Kalman-féle rendszermodell Méréselmélet PE MIK MI, VI BSc 1

Átírás

1 alman-féle rendszermodell.4.. Méréselmélet PE MI MI, VI BSc

2 álmán Rudolf Rudolf Emil alman was born in Budapest, Hungar, on Ma 9, 93. He received the bachelor's degree (S.B.) and the master's degree (S.M.) in electrical engineering, from the Massachusetts Institute of Technolog in 953 and 954 respectivel. He received the doctorate degree (D. Sci.) from Columbia Universit in 957. His major positions include that of Research Mathematician at R.I.A.S. (Research Institute for Advanced Stud) in Baltimore, between , Professor at Stanford Universit between , and from 97 to 99 Graduate Research Professor, and Director, at the Center for Mathematical Sstem Theor, Universit of Florida, Gainesville. Moreover, since 973 he has also held the chair for Mathematical Sstem Theor at the ETH (Swiss Federal Institute of Technolog) Zurich. He is the recipient of numerous awards, including the IEEE Medal of Honor (974), the IEEE Centennial Medal (984), the oto Prize in High Technolog from the Inamori foundation, Japan (985), the Steele Prize of the American Mathematical Societ (987), and the Bellman Prize (997). He is a member of the National Academ of Sciences (USA), the National Academ of Engineering (USA), and the American Academ of Arts and Sciences (USA). He is a foreign member of the Hungarian, French, and Russian Academies of Science, and has received man honorar doctorates. He is married to Constantina nee Stavrou, and the have two children, Andrew and Elisabeth. alman-modell/

3 alman-féle rendszer definíció állapottér definíciók (térbeli) bemenetek rendszer (térbeli) kimenetek (időbeli) bemenetek - kimenetek alman-modell/3

4 alman-féle rendszer definíció Bevezető fogalmak. Idő T - időhalmaz foltonos diszkrét véges végtelen (egik vag mindkét iránban) alman-modell/4

5 alman-féle rendszer definíció. Adott a a lehetséges bemeneti értékek halmaza U, u U a lehetséges kimeneti értékek halmaza Y, Y a lehetséges belső állapot értékek halmaza X, x X alman-modell/5

6 alman-féle rendszer definíció 3. Adott a lehetséges bemenet-időfüggvének halmaza Ω Ω = {ω ω : T U } u (t ) ω a lehetséges kimenet-időfüggvének halmaza Γ Γ = {γ γ : T Y } (t ) γ alman-modell/6

7 alman-féle rendszer definíció Axiómák. A bemenetek szétvághatósága bemenetszegmens fogalma (t, t ] T időintervallum u(t )/ t (t, t ] u (t ) (t, t ] szétvághatóság t <t <t u (t )=u (t )/ t (t, t ] u (t )=u (t )/ t (t, t ] alman-modell/7

8 alman-féle rendszer definíció. Az állapot-átmeneti függvén létezése ϕ : T T X Ω X x(t )= ϕ (t, t, x(t ), u (t )/ t (t, t ] ) tulajdonságok. t t -re igaz;. t = t esetén x(t )= x(t ); konzisztencia alman-modell/8

9 alman-féle rendszer definíció 3. ha t < t <t, akkor x(t )= ϕ (t, t, x(t ), u(t ) (t, t] ) = = ϕ (t, t, x(t ), u(t ) (t, t ] ) ; 4. Egértelműség: ha x(t ) = x (t ) és u(t ) = u (t ) / t (t, t ] akkor x(t ) = x (t ) alman-modell/9

10 alman-féle rendszer definíció 3. A kiolvasó- (kimenet) függvén létezése η : T X U Y (t )= η (t, x(t ), u (t )) alman-modell/

11 alman-féle rendszer definíció Rendszerdefiníció: Σ = (T, X, U, Y, Ω, Γ, ϕ, η) ahol T az időhalmaz X a lehetséges belső állapot értékek halmaza U a lehetséges bemeneti értékek halmaza Y a lehetséges kimeneti értékek halmaza Ω a lehetséges bemenet időfüggvének h.-a Γ a lehetséges kimenet időfüggvének h.-a ϕ az állapotátmeneti függvén η a kiolvasó függvén alman-modell/

12 alman-féle rendszer definíció néhán elnevezés: (t, x t ) - esemén T X eseméntér vag fázistér ϕ állapotátviteli függvén trajektória, pála, folam, megoldás, megoldási görbe alman-modell/

13 alman-féle rendszer definíció az ω / u(t) bemenet vag beavatkozás a rendszer x(t ) állapotát átviszi vag áttranszformálja a ϕ(t, t, x(t ), u (t ) (t, t] ) állapotba, azaz a rendszer működik ha Ω -nak egetlen eleme van, akkor Σ-t szabadnak nevezzük reverzibilis rendszer, ha az állapot-átmeneti függvén tetszőleges t, t értékekre teljesül alman-modell/3

14 Rendszerek osztálozása A T időhalmaz alapján: foltonos idejű diszkrét idejű Az X, U, Y halmazok értékei alapján: számszerűek nemszámszerűek Az X állapothalmaz alapján: véges állapotú végtelen állapotú alman-modell/4

15 Rendszerek osztálozása Az X, U, Y, Ω, Γ halmazok alapján: lineárisak nemlineárisak A ϕ függvén alapján: időinvariáns idővariáns A ϕ, u(t), (t) függvének alapján: determinisztikus - sztochasztikus alman-modell/5

16 Rendszerek osztálozása A ϕ függvén értékeinek a heltől való függése alapján: véges dimenziós végtelen dimenziós (koncentrált paraméterű elosztott paraméterű) Véges állapotú, diszkrét idejű, időinvariáns rendszerek automaták alman-modell/6

17 Állapottér modell Az állapottér modell alakjai: az állapot-átmeneti függvén: ϕ : T T X Ω X x(t )= ϕ (t, t, x(t ), u (t )/ t (t, t ] ) a kiolvasó függvén: η : T X U Y (t )= η (t, x(t ), u (t )) alman-modell/7

18 Állapottér modell Nemlineáris, idővariáns, foltonos idejű rendszer: x& ( t) = f ( t,x( t),u( t) ) ( t) = g( t,x( t),u( t) ) Nemlineáris, időinvariáns, foltonos idejű rendszer: x& ( t) = f ( x( t),u( t) ) ( t) = g( x( t),u( t) ) alman-modell/8

19 Állapottér modell Lineáris, idővariáns, foltonos idejű állapottér modell: x& ( t) = A( t) x( t) B( t) u( t) ( t ) = C ( t ) x ( t ) D ( t ) u ( t ) az egüttható mátrixok (A, B, C, D) időfüggők! alman-modell/9

20 Állapottér modell Lineáris, időinvariáns, foltonos idejű állapottér modell: x& ( t) = Ax( t) Bu( t) ( t) = C x( t) Du( t) ahol x a belső állapotok vektora u a bemeneti vektor a kimeneti vektor A az állapotátmeneti mátrix B a bemeneti mátrix C a kimeneti mátrix D a segédmátrix alman-modell/

21 Állapottér modell A modell elemeinek dimenziója x& = Ax Bu SISO MIMO dim(x) n n dim(u) p dim() r dim(a) n n n n dim(b) n n p dim(c) n r n dim(d) r p x& = Ax bu x& = Ax Bu = Cx Du = c T x du = Cx Du alman-modell/

22 Állapottér modell az állapottér modell blokkdiagramja D u B x(t ) integral(x) x C A alman-modell/

23 Állapottér modell Lineáris, időinvariáns diszkrét idejű állapottér modell: x (( k ) T ) = Φ x( kt ) Γ u( kt ) ( kt ) = C x( kt ) ahol x a belső állapotok vektora u a bemeneti vektor a kimeneti vektor T mintavételezési idő k mintavételezés sorszáma Φ az állapotátmeneti mátrix Φ = e AT Γ a bemeneti mátrix C a kimeneti mátrix Γ =A - (e AT -I)B alman-modell/3

24 Állapottér modell - példa Példa F i v h h v A A F F o ahol A, A az. ill.. tartál alapterülete h, h az. ill.. tartálbeli szintmagasság v, v a szelep ellenállási ténezők F i, F, F o belépő, átfoló, kilépő vízáram alman-modell/4

25 Állapottér modell - példa a leíró egenletek: tartálbeli belépő kilépő menniség = áram - áram megváltozása. tartál. tartál A h& A h& = = F i v v ( h h ) ( h h ) h v alman-modell/5

26 Állapottér modell - példa legen a két állapotváltozó h és h x vektor elemei a bemenő változó F i u (eg bemenet) a kimenő változó F (eg kimenet) az egenletek átalakítása után: alman-modell/6 az egenletek átalakítása után: ( ) ( ) h h F h A A h A h F A h h A h v v v v i v = = = & &

27 Állapottér modell - példa ebből az állapottér modell: i A A A A A F h h h h v v v v v v v = & & alman-modell/7 = A x B u = C x D u = h h F v v x&

28 I/O modell Rendszerdefiníció: Σ = (T, X, U, Y, Ω, Γ, ϕ, η) hagjuk el az állapotra vonatkozó elemeket vezessük be az A indexhalmazt és az F függvéncsaládot: F = {f α f α : T Ω Y, α A} F eges tagjai: (t) = f α (t, u(t)) ahol az (t) az u(t) bemenetből a t időpillanatban kapott eredmén az α kísérlet esetében alman-modell/8

29 I/O modell az függvéneket input/output (bemenet/kimenet) függvéneknek nevezzük, melekre igaz: (az idő irána) létezik az ι: A T leképezés úg, hog f α (t, u(t)) definiált t ι(α) -ra (okozatiság) Legen τ, t T és τ < t. Ha u(t),u (t) Ω és u(t) (τ, t] = u (t) (τ, t] akkor f α (t, u(t)) = f α (t, u (t)) α-ra úg, hog τ = ι(α) alman-modell/9

30 I/O modell Bemenet-kimenet modell definíciója Σ I/O = (T, U, Y, Ω, Γ, F) a dinamikus bemenet/kimenet modellek a kísérleti adatok összefoglalásai az α absztrakt paraméterrel megcímkézett kísérletek eg alkalmazott bemenetből (ω vag u(t)) és eg megfigelt kimenetből ((t)) állnak. alman-modell/3

31 I/O modell A bemenet-kimenet modell alakjai: általános alak: (t) = F(u(τ), t τ t) (t ) dinamikus rendszerek esetén ez az általános alak átírható differenciálegenletté: f ((t), (t) (),, (t) (n), u(t), u(t) (),, u(t) (m), t) = alman-modell/3

32 I/O modell Lineáris, időinvariáns, foltonos idejű bemenetkimenet modell: a ( n) ( n) ( ) ( m) a a a = bmu b n n u ahol u a bemenő jel a kimenő jel a n,,a,b m,,b paraméterek alman-modell/3

33 I/O modell Lineáris, idővariáns, foltonos idejű bemenetkimenet modell: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t u t b t u t b t t a t t a t t a t t a m m n n n n = = alman-modell/33 az egütthatók (a n,,a,b m,,b ) időfüggők! ( ) ( ) ( ) ( ) t u t b t u t b m =

34 I/O modell Diszkrét időtartomán differenciaegenlet modell előrefelé vett differenciák ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) kt u d m T k u d kt c T k c T n k c T n k c m n n = = alman-modell/34 visszafelé vett differenciák m ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) m T d k u d T d k u d T d k u d T n k c T n k c T k c kt c m n n = =