SÖVÉNYVÁGÓ JÁTÉKOK. Radnai Ágnes. Témavezet : Király Tamás Operációkutatás Tanszék. Eötvös Loránd Tudományegyetem

Átírás

1 SÖVÉNYVÁGÓ JÁTÉKOK Radnai Ágnes Témavezet : Király Tamás Operációkutatás Tanszék Eötvös Loránd Tudományegyetem

2 Szeretnék köszönetet mondani témavezet mnek, Király Tamásnak, aki készségesen mesélt mindenr l a témaválasztásnál, utat mutatott a legnehezebb bizonyításoknál, és a legnagyobb odagyeléssel javította a pontatlanságokat, hogy a játékokhoz ill könnyed fogalmazás ne menjen a precizitás kárára. Köszönöm szépen! 1

3 Tartalomjegyzék 1. evezetés kombinatorikus játékokról általában Gráf-reprezentáció végességr l Grundy számok és NIM NIM Grundy-számok Zöld sövényvágás zöld sövényvágás szabályai zöld bambuszliget z illesztési szabály Zöld erd ben Paritás szabály Zöld sövényvágás a kezdetek Összehúzható! ambuszok a hídon Felezünk Készen vagyunk! Partizán játékok és a piros-kék sövényvágás partizán játékokról általában Mi lesz a Grundy-számokkal? Piros-kék sövényvágás Kategorizáljunk! Zéró? Több? Kevesebb? Mennyit ér a játék?

4 Már a bambuszok sem egyszer ek! Piros-kék-zöld sövényvágás Nagyrészt zöld játékok számegyenes-módszer megbukik

5 1. evezetés z elkövetkez fejezetekben kombinatorikus játékokról lesz szó. sakk, a go, a malom és több világhír játék is idetartozik, bár ezeknél sokkal egyszer bb példákat fogunk tárgyalni. Szemben a stratégiai játékelmélettel, melyet ma közgazdaságtanban, biológiában, pszichológiában és egyéb területeken is alkalmaznak, a kombinatorikus játékokat inkább csak mint a matematika üde színfoltját lehet emlegetni. játékok legjobb tulajdonságai: érdekesek, izgalmasak. Gyerekkorunk nagy részét játékkal töltjük. Így mikor ugyanez matematikai köntösben el kerül, egy-egy játék kapcsán egészen egyértelm, mit szeretnénk: nyerni, majd pár játszma után egy jó stratégiát, s t, egy biztos stratégiát a nyeréshez. Matematikai kérdéseket teszünk fel magunknak, még akkor is, ha amúgy a matematika nem része az életünknek, és ezeket minél jobban szeretnénk az adott pillanatban megválaszolni. Ha van olyan ötletünk, amivel mindenképp nyerünk, akkor tulajdonképpen megfejtettük a játékot. Onnantól valami bonyolultabbal ütjük el az id t. továbbiakban olyan játékokról lesz szó, melyeket egy általános iskolás gyermek is élvezettel játszhat, de mi betekintünk a játékok mögé, és állítások kimondásával, ezek részletes, gazdagon illusztrált indoklásaival haladunk el re. lényegi gondolatokat, témákat, ötleteket, állításokat és bizonyításokat innen vettem: Elwyn R. erlekamp, John H. Conway, Richard K. Guy: Winning ways for your mathematical plays Ez egy olyan könyv a játékokról, mely nagyszer en olvastatja magát, kreatív, és a bonyolultabb gondolatoknál f ként az olvasó intuíciójára támaszkodik. Legf bb feladatom az volt, hogy ezeket a gondolatokat, indoklásukkal együtt egyszer en követhet lépésekre lebontsam úgy, hogy közben a fogalmazás módja átadjon valamennyit a könyv könnyed, vicces stílusából kombinatorikus játékokról általában kétszemélyes kombinatorikus játékok menete a következ : két játékos van, és, mindketten tökéletesen értik a játékszabályokat. gondolkozik, majd lép. gondol- 4

6 kozik, majd lép. játék szempontjából lényegtelen, két lépés között mennyi id telt el, tehát egy játszma lefolyását mint lépések sorozatát írhatjuk le. Állásból állásba lépnek azaz diszkrét játékot játszanak. mennyiben a játékban a véletlenszer ségnek nincs szerepe, tehát és szabad akaratából dönt minden lépésnél, determinisztikus játékról beszélünk. Teljes információs a játék, ha a játékosok pontosan tudják, mi a játék állása. kártyajátékoknál nem tudjuk biztosan, mi az állás, hiszen az függ a kézben lév lapoktól. Végállásnak nevezünk egy állást, ha ott a játéknak vége van, azaz a soron következ játékos nem tud lépni. játék kimenetele háromféle lehet ekkor: nyer, nyer, vagy döntetlen a játszma. Ily módon egy végállás háromféle lehet. z olyan játékot, melyben nincs döntetlen végállás, éles játéknak nevezzük. játék véges, ha tetsz leges kezd állásból véges sok lépésen belül véget ér, akármit lépnek a játékosok. Végesfokúnak pedig akkor hívjuk, ha minden állásból véges sok állásba lehet lépni. Ha bármely állásból bármely állásba pontosan ugyanazokat a lépéseket teheti meg, mint, a játékot szimmetrikusnak nevezzük. Ellenkez esetben aszimmetrikus, vagy más néven partizán játékról beszélünk. név azt sugallja, hogy a játék egyenl tlen: amit megtehet az egyik, azt a másik nem. sakk, go, malom esetében mégsincs ez az érzetünk, pedig ezek is ilyen játékok! partizán játékokat az utolsó fejezetben fogjuk vizsgálni. fenti deníciókkal már pontosabb meghatározást, címet adhatunk a következ fejezeteknek: teljes információs, diszkrét, kétszemélyes, éles, véges, végesfokú játékokkal fogunk foglalkozni, el bb szót ejtünk a szimmetrikusakról: a NIM-r l és az ún. sövényvágó játékról, majd a partizán játékokról, azon belül a partizán sövényvágásról is Gráf-reprezentáció z elkövetkez kben lesz olyan játék, amihez kavicsok, bambuszok, rajzok kellenek majd. De van az összesnek egy közös matematikai leírása, melyre a kés bbiekben néha hivatkozni fogunk. z egészet elképzelhetjük úgy, mintha egy irányított gráf csúcsain lépkednénk élek mentén: minden állásnak egy csúcsot feleltetünk meg, melyek közül 5

7 a kezd állás, illetve a végállások kitüntetett szerepet kapnak, és egy adott csúcsból pontosan akkor vezet él egy másik csúcsba, ha az el bbi csúcsnak megfelel állásból megengedett lépni az utóbbi csúcs-állásba. Partizán játékok esetén az éleket megszínezzük pirossal és kékkel, hiszen itt különbséget teszünk a játékosok között, mikor egy lépés megengedettségér l beszélünk. Egy játszma tehát tulajdonképpen egy, a gráfon megtett sétával azonosítható Deníció. fenti gráfot a játék gráf-reprezentációjának fogjuk nevezni. gráf-reprezentáció nem összetévesztend a játékok ún. játékgráfjával, amit a kés bbi gráfos játékoknál fogunk használni Deníció. Egy meghatározott játék esetén játszmának nevezzük a játék egy lefolyását. Ez ekvivalens egy, a gráf-reprezentációban kezd állástól végállásig vezet úttal végességr l Tegyük fel, hogy van egy véges, végesfokú játékunk. Mit is jelent ez a gráfra nézve? zt, hogy egyrészt nincsen a kezd állásból induló, végtelen hosszú séta, és minden csúcs végesfokú. El bbib l következik, hogy a gráf aciklikus, mert ha körbe-körbe haladhatnánk, végtelen sétát kapnánk. Így a séta helyett az út kifejezést is használhatjuk, hiszen egy játszma során kétszer ugyanazt az állást, gráf-értelemben ugyanazt a lépést nem tehetjük meg Állítás. Egy véges, végesfokú játék esetén a játszmák hosszának van fels korlátja: tudunk olyan N természetes számot mondani, hogy a játék N lépésen belül véget ér. bizonyításhoz sokkal könnyebb egy er sebb állítást belátni: ármely állásból indulunk, az onnan induló játszmák hosszának van fels korlátja. Innen indirekt bizonyítással adódik, hogy ha létezik olyan állás, melyb l vezet tetsz legesen hosszú út, akkor az abból kiinduló véges sok él közül az egyik biztosan olyan csúcsba vezet, melyre ez a tulajdonság örökl dik: a kapott csúcsból is vezet tesz leges hosszú út. Ezt a gondolatmenetet akármeddig, a végtelenségig is iterálhatjuk, így viszont végtelen hosszú úton mennénk végig, ami ellentmondás. 6

8 1.4. Grundy számok és NIM Ezt a témát most felületesen fogjuk elemezni, mintegy ismétlésképpen. Legegyszer bb játékunkat egy kupac kaviccsal játsszuk, és a szabály is egyszer : egy játékos egy lépésben egy vagy két kavicsot vehet el, továbbá az veszít, aki nem tud lépni. Jelen esetben tehát az nyer, aki az utolsó kavicsot elveszi. Mint minden játékot, ezt is lehet gráfként ábrázolni: Ábra. Kiszínezzük az állásokat El ször felismerjük, hogy vannak állások, ahová szeretünk lépni, ezek legyenek a zöldek. És vannak a pirosak, ahová nem szeretünk lépni. színezést érdemes a végállásból visszafelé haladva elvégezni, és két dologra ügyelni közben: zöldr l csak pirosra léphessünk, és minden pirosról tudjunk zöldre lépni. színezett ábrával a nyer stratégia pofonegyszer, és persze 100 százalék biztonságot ad, ha mi választhatjuk meg, kit illessen meg a kezdés joga: ellenfelünket, ha zöldr l indulunk, bennünket, ha pirosról NIM NIM szabálya, így játszása sem sokkal bonyolultabb az el z nél, egy nyer stratégiához azaz a jól játszáshoz azonban sokkal többet kell gondolkodni. Kezdésként néhány kupac kavicsot teszünk az asztalra, majd minden lépésben kiválasztunk egy kupacot, és abból valamennyi kavicsot, de legalább egyet elveszünk. z nyer, aki az utolsó kavicsot veszi el. Felmerülhet a kérdés, hogy minek bajlódunk még a stratégiákkal, mikor a színezés-módszerrel már mindent tudunk. NIM-állásokat is színezhetjük, de sajnos el fordulhat, hogy egy nagyobb csata el tt napokig színeznünk kell. Egykupacos játékunkban gyorsan felfedeztünk egy szabályosságot piros, piros, zöld, piros, piros, zöld, stb., de itt ez nem megy olyan könnyen. 7

9 játék megértéséhez egy másik játékot fogunk elemezni: Néhány sorban pénzérméket helyezünk el, fejjel vagy írással felfelé. Egy lépés abból áll, hogy a soron következ játékos kiválaszt egy sort, melyben legalább egy érme szerepel írással felfelé, és a következ t teheti: egy írást mindenképp megfordít, és a t le jobbra lev érmék közül azokat fordítja meg, amelyeket akarja. Ha nincs több írás, végállásban vagyunk. 2. Ábra. z érme-fordítós játék egy lépése Két fontos dolgot állapíthatunk meg a játékkal kapcsolatban: 1.4. Megjegyzés. nyer stratégia az, ha minden oszlopban páros számú fejjel felfelé lev érmét hagyunk magunk után. Könnyen ellen rizhet, hogy ez mindig megléphet, és az ellenfél ezt mindig elrontja lépéseivel Megjegyzés. mennyiben úgy tekintünk a játékra, hogy a fejre, mint 0-ra, ill. az írásra mint 1-re gondolunk, a játékot így is megfogalmazhatjuk: leírunk néhány számot kettes számrendszerben, és felváltva kiválasztunk egy számot, azt csökkentjük legalább 1-gyel, úgy, hogy nemnegatív egész számot kapjunk, és a maradékot felírjuk kettes számrendszerben az eredeti szám helyére. 8

10 1.6. Deníció. Két, vagy több szám NIM-összegén azt a számot értjük, melyet úgy kapunk, hogy maradék-átvitel nélkül összeadjuk ket kettes-számrendszerben. z összeg egy helyiértékén 1-es áll, ha páratlan sokszor áll egyes az összeadandó számok azonos helyértékén, 0 akkor, ha páros sokszor. NIM-összeadást így jelöljük: a b = c, pl.: 5 3 = 6 Ez ugyanaz, mint a bitenkénti összeg, két változó esetén a programozásban használt bitenkénti kizáró vagy (XOR) m velettel azonos Megjegyzés. Zöldre színezzük a NIM játék azon állásait, melyben az egyes kupacokban lev kavicsok számának NIM-összege 0. Minden más állás piros. = 6 = 13 = 4 = 1 = = Ábra. NIM, érmék helyett számjegyekkel kár így is fogalmazhatunk: néhány kupac kaviccsal játszunk, egy játékos egy lépésben kiválaszt egy kupacot és abból valamennyi kavicsot elvesz, legalább egyet. z nyer, aki az utolsó kavicsot elveszi. Ez pedig nem más, mint a NIM. Lássuk tehát a NIM nyer stratégiáját: a számokat kettes számrendszerben felírva, minden helyiértéken páros számú 1-es kell, hogy álljon Grundy-számok Most kisebb kitér után azt a gondolatmenetet folytatjuk, hogy zöldre, illetve pirosra színeztük az állásokat ez egy kupac kavicsos játékunkban. Grundy-számozás a zöldpiros színezés továbbfejlesztése. Minden állást megcímkézünk egy egész számmal: 1.8. Deníció. Egy állás Grundy-száma a legkisebb olyan nemnegatív egész szám, ami nem fordul el azon állások Grundy-számai között, ahová az adott állásból lépni lehet. Ehhez persze kell a jól deniáltság, hogy ezt meg lehet csinálni, és ez egyértelm. De ez könnyen látható, ha gyelembe vesszük, hogy egy játékot reprezentáló gráf csak aciklikus lehet, így van topologikus sorrendje. Ha az utolsóval kezdve (ami nyilván 9

11 végállás..) egyesével visszafelé haladva címkézzük meg az állásokat, egy jó és egyértelm Grundy-számozást kapunk. Grundy-számozás, mint rekurzív m velet indokolja, hogy látszólag egy fogalom bevezetéséhez magát a fogalmat használtuk fel. Nézzük a fenti példában az egyes állások Grundy-számait: Ábra. Példa Grundy-számozásra színezés tehát a Grundy-számok egy gyenge változata: a zöld szín ek a 0 címkét kapják, míg a pirosak a pozitív egész számok valamelyikét Deníció. Egy játék Grundy-számán a kezd állásának Grundy-számát értjük. Ezt G játék esetén Γ(G)-vel fogjuk a továbbiakban jelölni. Mi van akkor, ha nem tudunk dönteni kétféle játék között, mert a partnerünk mást szeretne játszani, mint mi? Természetesen még mindig a szimmetrikus, kombinatorikus játékok berkein belül vagyunk. Lehet egy egyezményes alternatíva: mindkét játékot játsszuk egyszerre! El készítjük a kezd állást mindkét játékban, és mindenki dönthet, hogy a saját lépése címén az egyik, vagy a másik játékban végez-e el egy lépést. Logikus lenne, ha azt mondanánk, az nyer, aki valamelyik játékban nyer, de most ragaszkodjunk az általánosabb az veszít, aki nem tud lépni elvhez, és ennek megfelel en mindegy, hogy az ellenfél nyert az egyik játékban, ha a másikban még van lépés és nyerhetünk. Tehát az nyer, aki utoljára nyer! Deníció. Két játék összegén a következ játékot értjük: legyen a két játék gráfreprezentációja G 1 = (V 1, E 1 ) és G 2 = (V 2, E 2 ). Ekkor az összeg játék gráfjában a csúcsok halmaza V 1 V 2, azaz rendezett párok halmaza. Kezd állás lesz az a rendezett pár, melynek elemei külön-külön kezd állások, végállás(ok) az(ok), mely(ek)nek elemei végállások. Két rendezett pár között akkor vezet él, ha vagy az els, vagy a második 10

12 elemük megegyezik, míg a másik elemek között eredetileg vezetett él: ((x, y), (w, z)) E 1+2 (x = w (y, z) E 2 y = z (x, w) E 1 ) Tétel. Két játék összegében egy állás Grundy-száma a két külön játékállás Grundyszámának NIM-összege. (iz. nélkül) Következmény. Két játék összegének a Grundy-száma a két játék Grundyszámának NIM-összege. Ebben a pillanatban kétféleképpen is megkaptuk a NIM játék nyer stratégiáját: a pénzérmés analógia már elég volt ahhoz, hogy megfejtsük, de most már gondolhatunk úgy is rá, mint játékok összegére: n kupac n játék! z összeadott játékok egykupacosak, és önmagukban nem sok értelmük van: a kezd mindig nyer, ugyanis itt annyit vesz el a kupacból, amennyit akar. Itt viszont ahány kavicsból áll a kupac, annyi a Grundy-szám. uta játékunk tehát nagyon is sok értelmet nyer, ha többször hozzáadjuk önmagához! 11

13 2. Zöld sövényvágás 5. Ábra. Zöld sövényvágás 12

14 2.1. zöld sövényvágás szabályai 2.1. Deníció. Vegyünk egy G = (V, E) irányítatlan gráfot, és egy F V csúcshalmazt úgy, hogy G minden komponensében legyen F -beli csúcs. játék menete a következ : a játékosok felváltva vesznek el egy-egy élt a gráfból. Ha valamely x csúcsra igaz, hogy x / F és x-b l nem vezet út F -beli csúcsba, akkor x-et és minden x-b l kiinduló élt törlünk azonnal. Így egy él elvételével akár több is törl dhet a halmazból. z veszít, aki nem tud lépni. Ez a sövényvágó játék. 6. Ábra. Felváltva veszünk el éleket fenti deníció persze pontosan az, amit egy sövényvágó játéktól elvárunk: dott egy sövény-gráf, melynek bizonyos csúcsai a földön vannak, és a sövény minden eleme össze van kötve a földdel. Egy lépésben pontosan egy élt törölni kell. mi ezután a földhöz nem kapcsolódik, az leesik, így szintén törl dik a gráfból. z nyer, aki az utolsó élt veszi el zöld bambuszliget zöld bambuszligetben n nek a legegyszer bb gráfok: olyan erd ez, melyben 2 a maximális fokszám. 13

15 7. Ábra. Zöld bambuszliget z els felismerés a játékkal kapcsolatban az, hogy ha a bambuszokat párba állíthatjuk úgy, hogy egyforma hosszú (izomorf) bambuszok kerüljenek egy párba, akkor a kezd veszít, mert a második játékos minden lépésre az adott él megfelel jével válaszol. Ha nincsenek párok, akkor is gyorsan tudunk dönteni, hogy kezdjünk-e, vagy átadjuk a lehet séget, ugyanis Megjegyzés....megintcsak NIM-et játszunk! bambuszok számát megfeleltethetjük a kupacok számának, az egyes bambuszok hosszát (éleinek számát) a megfelel kupacban lev kavicsok számának. Világos, hogy innent l a lépések is kölcsönösen megfeleltethet ek egymásnak: egy 5-hosszú bambusz alulról negyedik élét levágni ugyanaz, mint egy 5 kavicsból álló kupacból két kavicsot elvenni. nyerési feltétel: elvenni az utolsó bambuszdarabot, illetve kavicsot. 14

16 8. Ábra. Tulajdonképpen NIM-et játszunk = = 9. Ábra. Így a NIM-összeadás megint m ködik 2.3. z illesztési szabály z illesztési szabály egy könnyen látható és átgondolható, a továbbiakban nélkülözhetetlen állítást mond ki: 2.3. Állítás. Legyen G egy tetsz leges sövényvágó játék gráfja, H és H pedig további játékgráfok, melyeknek összesen egy-egy csúcsa ér a földhöz és Grundy-számuk egyenl : Γ(H) = Γ(H ). G egy tetsz leges x csúcsára illesztve H-t, illetve H -t, két új játékgráfot 15

17 ragaszthatunk össze magunknak. Grundy-száma megegyezik. z illesztési szabály a következ : a kapott játékok 2.4. Megjegyzés. Ha és játékokra a Γ() = Γ() állítást akarjuk igazolni, néha egyszer bb a játékok összegére ezt belátni: Γ( + ) = 0. Két játék összege pedig ebben az esetben nem más, mint a két játékgráf egymás mellé rajzolása. Most az összegjátékra fogjuk belátni, hogy Grundy-száma 0, tehát a kezd nem nyerhet, ha a másik játékos a megfelel lépéseket teszi meg. G H x G 10. Ábra. Illesztési szabály H' x fenti állítás bizonyítása nem nehéz: második játékos nyer stratégiáját kell meghatározni. Ha az els játékos G-b l vesz el: mi elvesszük az él párját. Ha x leesik, x párja is le fog, innent l egyértelm a gy zelem. Tegyük fel, hogy a másik H-ból vett el! Ekkor H és H maradékának különbözik a Grundy száma. Vegyünk el egy élt úgy, hogy újra egyenl legyen! Világos, hogy a végállapotba is csak a második játékos érhet el így. z illesztési szabály legfontosabb következménye: tetsz leges G játékgráfnak vegyük olyan x csúcsát, mely két komponenst köt össze, azaz elvágó csúcs! Csak az egyik komponens érintkezzen a földdel. Ekkor a leveg ben lev komponenst kicserélhetjük tetsz leges, azonos Grundy-számú gráfra, legegyszer bb esetben egy bambuszra Zöld erd ben... zöld bambuszokat a NIM után gyorsan kiismertük. egész erd t vágunk ki! Nézzük, mi történik, ha egy 2.5. Deníció. Egy fagráfot, melynek egy csúcsa van a földön, zöld erd játéknak nevezünk. földön lév csúcsot akár több csúcsnak is vehetjük, így ténylegesen egy erd t kapunk. fogalmazhattunk volna így is: csúcsa legyen a földön. egy erd gráf minden komponensének pontosan egy 16

18 2.6. Megjegyzés. z illesztési szabály miatt az erd b l bambuszokat csinálhatunk anélkül, hogy a Grundy-szám változna. Ez azt jelenti, hogy bármely erd nek könnyen meghatározhatjuk mostantól a Grundy-számát! 2.5. Paritás szabály 1 2=3 4 5=1 ~ ~ paritás szabály egy apró észrevétel, mely hasznos lesz, mikor az illesztési szabályt sorozatosan fogjuk alkalmazni. Mikor kett, vagy több bambusz egy pontból 11. Ábra. Fából bambusz az illesztési szabállyal indul, azokat helyettesíthetjük egy bambusszal. z új bambusz hosszának paritását pedig az fogja meghatározni, hogy eredetileg hány darab páratlan bambusz volt az elágazásnál. Ez a NIM összeg deníciójából könnyen ellen rizhet : 2.7. Állítás. Egy elágazás, vagy akár egy egész erd bambuszosítása során az élek számának paritása nem változik Következmény. Ha egy zöld erd vágásnál páratlan sok élt számlálunk, ragaszkodnunk kell a kezdéshez! 2.6. Zöld sövényvágás a kezdetek zöld sövényben megengedjük a köröket, többszörös éleket, hurokéleket. zöld sövényvágás problémájához már nem használhatjuk közvetlenül az eddig látott NIM-összegre alapuló módszereket. Pár egyszer sítést viszont megengedhetünk, melyek a játék Grundy-számát nem fogják változtatni Megjegyzés. játék mit sem változik, ha a földön lév csúcsokat összehúzzuk Megjegyzés. hurokéleket falevelekkel helyettesíthetjük. 17

19 2.11. Deníció. dott G játékgráfban két különböz csúcs, x és y. két csúcs összehúzásával keletkezett gráfot úgy kapjuk, hogy a két csúcsot gráfelméleti értelemben összehúzzuk, azaz x = y csúcsba érkezik minden olyan él, ami eddig x-be vagy y-ba ment; ezenkívül az összehúzott csúcson annyi új hurokélet deniálunk, ahányszoros él eredetileg a két csúcs között vezetett. Végeredményben tehát egy ugyanannyi él, eggyel kevesebb csúcsú gráfot kapunk Összehúzható! Tétel. Egy körsétán belül tetsz legesen választott két csúcs összehúzásával a Grundy-szám változatlan marad. Indirekt fogunk bizonyítani. Legyen n olyan szám, hogy n él ellenpélda létezik, ennél kevesebb él viszont nem. z n él ellenpéldák közül veszünk egy olyat, mely csúcsainak száma minimális. Legyen ez a sövény-gráf G. Most belátunk pár dolgot G-r l: x y x=y Lemma. G-ben nincsen olyan csúcspár, melynek összehúzásával a Grundy-szám ne változna. 12. Ábra. Összehúzunk két csúcsot Tudjuk, hogy G-ben van olyan csúcspár, mondjuk a és b csúcsok, melyek összehúzásával a Grundy-szám változik. De miért ne lehetne olyan c és d csúcs, melyek összehúzása nem okoz gondot? c és d közül legfeljebb egy megegyezhet a-val, vagy b-vel, ez az indoklást nem fogja elrontani. Ha mindkett megegyezik, úgy az állítás nyilvánvaló. c és d összehúzásával G gráfot kapunk. a és b összehúzásával G gráfot, míg mindkét csúcspár összehúzásával G gráfot kapjuk. Tudjuk azt, hogy G és G Grundy-száma különböz, de azt is, hogy G és G, valamint G és G Grundy száma megegyezik, hiszen az ellenpéldánál kisebb csúcs-számú gráfokról és csúcs-összehúzás utáni változatukról van szó. Ekkor világos, hogy G és G Grundy-száma is különböz, összességében tehát ezt kaptuk: Γ(G) Γ(G ) = Γ( G) = Γ( G ) 18

20 G a b c d ~ / a=b G' c d ~ G ~ / a b c=d ~ a=b ~ G' ~ c=d 13. Ábra. Nincs olyan csúcspár, melynek összehúzásával a Grundy-szám ne változna. 14. Ábra. Csak egy csúcs lehet a földön. Ezzel a lemmát beláttuk Lemma. G-nek egyetlen csúcsa lehet csak a földön. Ellenkez esetben ugyanannyi él, de kevesebb csúcsú ellenpéldát találnánk, ha a földön lév csúcsokat összehúznánk ugyanis ez a játék állásain, lépésein semmit nem változtatna Lemma. G nem rendelkezhet olyan a, b csúcsokkal, melyeket 3, vagy több élidegen út köt össze. Tegyük fel, hogy létezik ilyen csúcspár. Jelöljük H-val az a és b csúcsok összehúzásával kapott gráfot. Γ(H) Γ(G), így Γ(G + H) 0, vagyis az indirekt feltevés szerint G + H-ban létezik jó kezd lépés. G minden élének létezik megfelel je H-ban és viszont. Mi történik, ha a második játékos az elvett él megfelel jével válaszol? G és H gráfokat kapunk, melyekre igaz, hogy H -t úgy kaptuk G -b l, hogy az a és b csúcsokat (melyek még mindig egy körséta csúcsai! legalább két élidegen út maradt..) összehúztuk. G -nek továbbá n 1 éle van. Így nem lehet ellenpélda, tehát Γ(G + H ) = 0. Így viszont mégsem nyerhet a kezd játékos, hiszen most mutattuk meg, hogy a második játékosnak minden kezdésre van nyer válasza. Ezzel az indirekt bizonyításunk indirekt részbizonyítását beláttuk. G-ben tehát nincs olyan pontpár, melyeket három élidegen 19

21 út köt össze Lemma. G-ben nem lehet olyan kör, ami nem érintkezik a földdel. Tegyük fel indirekt, hogy van ilyen C kör G-ben! Mi történik, ha C éleit elvágjuk? Nevezzük G - nek az élek elvágása után maradt darabot. földön maradt komponens ekkor legfeljebb egy csúcsát tartalmazhatja C-nek. Ha kett t tartalmazna a-t és b-t, akkor egyrészt a és b között vezet út G'-ben, mert egy csúcs van a földön, így egy komponensben vannak. Továbbá vezetett köztük két út C-ben is: ez összesen három élidegen út, C 1 C C2 15. Ábra. Nincs olyan kör, ami nem érintkezik a földdel. ami a korábbiak miatt ellentmondás. Így csak egy C-beli csúcs maradt, nevezzük ezt x-nek. Ezek alapján G-t leírhatjuk úgy is, hogy a G és a maradék legyen H gráfok összessége, közös pontjuk csak egy van, x. C kör is H része ekkor, természetesen. Ha veszem csak H-t, mint játékot, úgy, hogy x van a földön, illetve H -t, melyet H-ból kapok a C kör összehúzása után, megállapíthatjuk, hogy Γ(H) = Γ(H ), mivel H nem lehet ellenpélda. z illesztési szabály miatt ekkor az eredeti G gráfban is igaz, hogy C összehúzásával a Grundy-szám nem változik. Így a lemmát igazoltuk. fenti három lemmából a következ, negyediket fogalmazhatjuk meg: Lemma. G csak egy kört tartalmaz, ami földön lev ponton is átmegy. Ha két kör is lenne a földön, ezek mind tartalmaznák a földön lev csúcsot, más közös pontjuk viszont nem lehet, mert ekkor a föld és az említett pont között három út is vezetne. Így a két kör két külön 16. Ábra. Végül egy hidat kaptunk! komponens része, és ezeken (minthogy nem ellenpéldák) külön-külön összehúzhatnánk a köröket. Ez G esetében pedig nem lehetséges. 20

22 Nézzük tehát, hogyan nézhet ki G! Van benne egy kör, C: ez a földön át halad. földön lev csúcsból két él indul a kör mentén Állítás. Több él nem indul a földb l. Tegyük fel, hogy van harmadik, földb l induló él. G nem állhat több, csak a földön érintkez komponensb l, hiszen akkor a komponensek nem-ellenpéldák, így összegük sem lenne az. Így kell, hogy legyen olyan földb l induló, C kör egy másik x csúcsába érkez út, mely C egy élét sem tartalmazza. föld és x között így három élidegen út vezetne. Ez ellentmondás. Most megengedünk egy kis módosítást, pusztán azért, hogy G-t majd könnyebb legyen lerajzolni: egy kör, melynek minden nem-földön-lev csúcsából egy fa indulhat ki, melyet bambusszal helyettesíthetünk, ezt meg is tesszük. földön lev csúcs helyett kett t fogunk rajzolni. Egyszer és szemléletes összegzését kapjuk így a fenti lemmáknak: Következmény. G tulajdonképpen egy híd, amin bambuszok vannak ambuszok a hídon Most a kapott hídról mondunk ki állításokat: Megjegyzés. hídról azt szeretnénk belátni, hogy összehúzható. Ez pontosan azt jelenti, hogy ha a hídon lev bambuszokat egyenként a híd mellé másoljuk, a kapott játék Grundy-száma a híd éleinek paritásától függ: 0, ha páros, illetve 1, ha páratlan sok élb l áll Deníció. G b vítésének fogjuk hívni a fenti módon, bambuszok hozzáadásával nyert játékgráfot. Jele: G Lemma. híd nem állhat páros sok élb l, mert ekkor a híd összehúzható lenne. Tegyük fel ugyanis indirekt, hogy páros sokból áll! G-n játszva elég megmutatni, hogy a második játékosnak van nyer stratégiája. Mit tehet a kezd játékos? Ha a hídból vesz el, páratlan Grundy-számú állásba lép, mert a kapott zöld erd játéknak páratlan 21

23 sok páratlan komponense lesz. Ez mindenképpen rossz lépés, így nem éri meg elvenni a hídból. bambuszok fognak el bb elfogyni ezt feltehetjük, majd a híd páros számú éle: a bambuszokat páronként fogyasztva, majd a híd bontásánál mindenre a tükörképével válaszolva a második játékosnak van nyer stratégiája: Γ( G) = 0. Ebb l Γ(G) = k, ahol 1,..., k a hídon lev k darab bambusz hossza. Tehát a híd összehúzható Megjegyzés. Most már feltehetjük, hogy páratlan sok híd-él van. rra fogunk törekedni, hogy belássuk: Γ( G) = Állítás. Nem tudunk olyat lépni G b vítésében, hogy 1 Grundy-számú játékgráfot kapjunk. Ha a hídból veszünk el, egy páros élszámú erd t kapunk: a paritás szabály miatt ennek a Grundy-száma páros. Ha valamelyik bambuszból veszünk el, a bambusz párjával ugyanezt kell tenni, és a maradék Grundy-száma 1 lesz! Ugyanis G-nél kisebb gráfról beszélünk, bambusz-párokkal és összehúzott páratlan-híddal; és ha egy-egy lépés után 1 Grundy-számút kaptunk, a kezd lépés után nem lehetett Megjegyzés. Ha egy állásból egy lépés után a Grundy szám nem lehet 1, eredetileg 0 vagy 1 lehetett a Grundy-száma. Elegend tehát azt belátni, hogy tudunk egy jó kezd lépést! következik, hogy nem 0, hanem 1 a Grundy-száma G b vítésének. ~ G Ebb l már 17. Ábra. G b vítése 22

24 híd éleire melyekr l feltehetjük, hogy páratlan sokan vannak, bet ket, -kat és -ket írunk. alról jobbra haladva, -val kezdünk, majd a következ szabály szerint folytatjuk: Ha olyan csomóhoz érkezünk, melyb l páratlan hosszú bambusz indul ki, akkor ugyanolyan bet vel folytatjuk, mint el tte, ha pedig az adott csúcsból páros hosszú bambusz (vagy semmi sem) indul, váltunk: ha eddig volt, most jön és viszont Lemma. (Hídvágó-lemma) G-ben a kezd játékosnak semmiképp se jó olyan bet jel élt elvenni, amib l páros számú van, mert ekkor a kapott H játékra Γ(H) 2 (mod 4), tehát nem jó kezd lépésnek. Ha viszont a többi híd-élb l vesz el ezekb l páratlan sok van, az így kapott H játékra Γ(H ) 0 (mod 4) izonyítás: hídból bármely élt elvéve két fát kapunk, amelyeknek már könnyen meghatározhatjuk a Grundy-számát. z els fontos észrevétel az, hogy a bambuszok teljes hossza helyett vehetjük csak a hossz maradékát (mod 4): hiszen Γ(H) meghatározásához veszem egy bambusz hosszát, hozzáadok 1-et, NIM-hozzáadom a következ bambusz hosszát, stb. Mivel az állítás csak a kettes számrendszerbeli utolsó két számjegyre vonatkozik, a többi teljesen mindegy, így egy Ábra. híd-éleket megbet zzük hosszú bambusz helyett 3 hosszúval is számolhatok, egy 12 hosszúságú bambuszra akár úgy is tekinthetünk, mintha ott se lenne. Ez eddig szinte triviális, most viszont belátjuk, hogy (mod 2) is elég a bambuszok hosszát nézni! z állítást ebben a formában fogalmazzuk meg: Állítás. Ha egy bambusz tetejér l letörünk egy 2-hosszú utat, és ugyanennyit letörünk a híd melletti másolatáról is, Γ(H) (mod 4) nem változik. Képletek helyett inkább jöjjön egy szöveges indoklás: hidat elvágtuk valahol, és maradt két fa. z egyik ugyanolyan, mint edddig, a másik fát valahol két éllel megrövidítettük, az eredeti bambuszból egy -t csináltunk. fa Grundy-számát ebben a speciális esetben így számoljuk ki: veszem a földt l legtávolabbi bambusz 23

25 hosszát. Hozzáadok egyet. NIM-összeadom a következ bambusz hosszával. Hozzáadok egyet. És így tovább. paritás minden m veletnél ugyanaz, mintha az a két él nem is hiányozna. kérdés az, hogy hogyan változik a második helyiérték? 1. Egy nem bambusznál: Ha eddig változott, most is fog, ha nem, akkor pedig nem. 2. Ha bambusznál tartok: Ha eddig nem változott, most fog, és viszont. 3. Mikor épp 1-et adok hozzá: a második helyiérték változása csak az aktuális érték paritásától függ. paritás pedig lépésenként is ugyanaz. Összességében ezt kaptuk: 2-es helyiértéken lev szám 1-gyel többször, vagy 1-gyel kevesebbszer változik, mint az eredeti hídnál. Igen ám, de párjából is letörtünk két élt! Így ez a szám (mod 4) mégiscsak ugyanaz. Most már indokolt a lemma bizonyításához a következ t felhasználni: Következmény. Ha a lemma igaz 0- és 1-hosszú bambuszokra, akkor akármilyen hosszúakra, így G-re is alkalmazhatjuk. lemmát a híd éleinek számára alkalmazott teljes indukcióval bizonyítjuk. Els lépés: Ha a hídnak csak egy éle van, akkor egy bet b l csak úgy lehet páros sok, hogy 0 van bel le. Ezekre a nem létez élekre az állítás nyilván igaz. Ha azt az egy élt elvesszük, akkor vége van a játéknak, a maradék Grundy-száma 0. zt továbbra is feltesszük, hogy páratlan sok híd-él van, és így az indukciós lépéseknél is mindig kettesével lépünk. e fogjuk tehát látni, hogy ha 2k 1-ig minden páratlan számra igaz a lemma, akkor 2k + 1-re is. Indukciós lépés: Vegyünk egy 2k + 1 hosszú H hidat, maximum 1-hosszú bambuszokkal! Vágjunk el egy híd-élt! Ha a kapott két fából az egyik tartalmaz és élt is, akkor nyilván tartalmazni fog egymás melletti - élpárt is. két él között nincs bambusz, ezt a bet zés szabályából tudjuk. Ha ezt a 2-hosszú utat kivágjuk, majd két 24

26 végénél összeragasztjuk, az újonnan kapott fa Grundy-számának els bitje megmarad, a második pedig megváltozik, hiszen két egymást követ hozzáadok egyet-lépés marad ki a fent tárgyalt mechanizmusból. Ha a kapott gráfban elvágunk egy olyan bet jel híd-élt, amilyen bet b l páratlan sok van, a maradék gráf Grundy-száma 4- gyel osztható az indukciós feltevés szerint. De az eredeti gráfban pont ebb l a bet b l volt páros sok, és az eredeti gráf második bitje pont változott. Így Γ(G ) 2 (mod 4) teljesül. ~ 19. Ábra. z élek kivágása nem rontja el a bet zést Állítás. z - út kivágásával a bet zési szabályt nem rontjuk el, azonos bet k között páratlan, míg különböz ek között páros hosszú bambusz lesz továbbra is. Ez az ábráról könnyen leolvasható Megjegyzés. Ha esetleg a híd lábánál húzunk össze két élt, a földre kerülhet egy bambusz. Ezt a bambuszt viszont a párjával együtt eltüntethetjük, és a Grundy-szám sem változik így. Mi van akkor, ha a kapott két fa közül egyikben sincs két különböz bet jel él? Ekkor nem m ködik a fenti indukciós bizonyítás. Nézzük, mit állíthatunk a homogén bet jel fákról! Egy fa esetében kétféleképpen számolhatjuk ki a Grundy-számot: 25

27 1. Ugyanolyan bet s élt vágtunk el, mint a fa bet i: Ekkor egy n-hosszú híddarab Grundy-száma 2n. 2. z elvágott él és a fa éleinek bet je különböz : fa Grundy-száma 1, ha van éle, egyébként 0. Tudjuk továbbá, hogy a fák híd-éleinek paritása megegyezik. (Mert híd-élekb l összesen páros sok marad egy elvágása után.) homogén fák esetét most bontsuk részesetekre! 1. Földön lev híd-élt vágtunk el, ennek bet je megegyezik a többiével. maradék fának 2x híd-éle van, Grundy-száma 4x, ez 4-gyel osztható, az adott bet b l páratlan sok volt. Páros sok bambusz-másolat van, mert bármely két szomszédos híd-él között van egy bambusz. Ezek a bambusz-másolatok kiejtik egymást, így nem kell foglalkozni velük, Grundy-számuk 0. Így 4x-et kapunk, ami igazolja az állítást erre az esetre. 2. Földön lev híd-élt vágtunk el, ennek bet je különbözik a többit l. maradék fának 2x híd-éle van, Grundy-száma 1. Páratlan sok bambusz-másolat van, mert egy helyen nincs bambusz a hídon, a másolatok Grundy-száma 1, mert a párok kiejtik egymást és egy marad. Egy darab olyan bet s él volt, amilyet elvágtunk, így 4-gyel osztható számot szeretnénk kapni: valóban: 1 1 = 0, így ezt igazoltuk. további négy esetben feltesszük, hogy nem földön lev híd-élt vágtunk el. Ez azért fontos, mert ekkor egy fa-maradékról feltehetjük, hogy van éle. 3. két fából az egyikben csak, másikban csak élek vannak, és mindkett ben páratlan híd-él van. Ekkor a két fa híd-él-hossza legyen 2x+1 és 2y + 1. Grundy-száma (4x + 2) 1, vagy (4y + 2) 1, így 4z + 3 alakú. Ehhez még hozzá-nim-adjuk a bambusz-másolatok Grundy-számát, ami 0, ha páros sok van bel lük, és 1, ha páratlan. Összesen páros sok hely van bambuszoknak, és egyszer váltunk a híd bet zése során, ott nincs bambusz. Tehát páratlan sok bambusz-másolat van. (4z + 3) 1 2 (mod 4) és olyat vettünk el, amib l páros sok van. Ezt az esetet tehát beláttuk. 26

28 4. két fából az egyikben csak, másikban csak élek vannak, és mindkett ben páros híd-él van. Ekkor a két fa híd-él-hossza legyen 2x és 2y. Grundy-száma 4x 1, vagy 4y 1, így 4z + 1 alakú. Ehhez hozzá-nim-adjuk a bambusz-másolatok Grundy-számát, ami 1, mert páratlan sok van. (4z +1) 1 0 (mod 4) és olyat vettünk el, amib l páratlan sok van, az állítás tehát most is igaz. 5. híd bet i mind azonosak. két fa híd-él-hossza legyen x és y. Grundyszáma 2x 2y = 2(x y). ambusz-másolatból páros sok van, így azokat ignorálhatjuk. x és y paritása megegyezik: x y 0 (mod 2), ebb l 2-vel szorozva, azaz a biteket balra tolva ezt kapjuk: 2(x y) 0 (mod 4). Páratlan sok azonos bet b l vettünk el egyet, és a várt eredményt kaptuk. 6. Csak az elvett él különbözött a többit l. Mindkét fa Grundy-száma 1, és összesen páros sok bambusz-másolat van, mivel két helyen hiányzik a hídról a bambusz. 1 1 = 0, tehát 4-gyel osztható. mi jó, hiszen egyetlen ilyen bet s híd-él volt. Most tehát egy indukcióval beláttuk az állítást úgy, hogy a végén külön vizsgáltuk azokat az eseteket, ahol a fák homogének bet k szempontjából, itt nem is használtuk az indukciós feltevést. hídvágó-lemmát tehát beláttuk. Még mindig az a célunk, hogy megmutassuk, van olyan él, melyet elvéve a kapott gráf Grundy-száma 0 lesz. Most már tudjuk, hogy Következmény....nem éri meg olyan bet jel élt elvenni, amelyb l páros sok van Felezünk Lemma. (Felez lemma) Ha most gráfelméleti értelemben összehúzzuk az olyan híd-éleket, melyek bet jéb l páros sok van, az így egymás mellé került bambuszok hosszát NIM-összeadjuk, és ennek megfelel en a kapott összeg hosszúságúval helyettesítjük (illesztési szabály), és ezután minden bambusz hosszát elfelezzük (lefelé kerekítve, ha páratlan volt), akkor a Grundy-szám is feleannyi lesz, mint volt. 27

29 izonyítás: Tegyük fel, hogy jel híd-élb l van páratlan sok. Nevezzük redukált gráfnak azt, amit a bambuszok felezésével és a jel élek összehúzásával kapunk. Vegyünk egy adott -jel élt, és töröljük ki az eredeti gráfból: ekkor több fa keletkezik, ezek közül válasszunk egyet. Ha a redukált gráfból töröljük ki ugyanazt az élt, akkor ott is keletkezik egy ennek megfelel fa, amit nevezzünk redukált fának. zt látjuk be, hogy a redukált fa Grundy-száma az eredeti fa Grundy-számának a fele, lefele kerekítve Megjegyzés. Ha egy híd-él összehúzása során egy hídon lev bambusz a földre kerül, akkor azt onnantól gyelmen kívül hagyhatjuk a másolatával együtt. Így földre kerül bambuszokkal a továbbiakban nem fogunk számolni Állítás. Ha a fa egy -jel éle feletti részfát nézzük, akkor annak a Grundyszáma páratlan, egy -jel él feletti részfa Grundy-száma meg mindig páros. izonyítás: fában legfelül lév híd-élre igaz az állítás, mert jel élt töröltünk, tehát ha a legfels híd-él jel, akkor a fában felette lév rész két jel él közti bambusz, tehát páratlan. Hasonlóan, ha a legfels jel, akkor a felette lév rész egy és közti bambusz, tehát páros. Most már csak azt kell belátni, hogy ez a tulajdonság örökl dik a híd-éleken egyesével lefelé haladva. Egy ilyen lefelé lépésnél a Grundy-szám a következ képpen változik: el bb hozzáadunk 1-et, majd NIM-hozzáadunk egy másik számot: ez a szám páros, ha a következ bet különbözik az el z t l, egyébként pedig páratlan. Ez pedig pont azt jelenti, hogy ha bet t váltunk, paritást is váltunk Állítás. Ha az egyik fában egy híd-él feletti részfát nézünk, akkor a redukált fában az ennek megfelel részfa Grundy-száma az eredeti fele, lefelé kerekítve. z el z bizonyítás mintájára fogjuk ezt is belátni fentr l lefelé. legfels híd-élre ez nyilván igaz: a legfelül lev bambuszt megfeleztük, lefelé kerekítve, ez ugyanígy igaz a Grundy-számra is. lefelé lépésnél szét kell választanunk pár esetet aszerint, hogy milyen bet jel élr l milyenre lépünk tovább. z el z, paritásról szóló szabályt már tudjuk, most megmutatjuk, hogy ez az állítás is örökl dik. Nézzük tehát, milyen élr l milyenre léphetünk! 1. : Ekkor az jel él feletti részfa Grundy-száma páratlan, legyen 2k + 1, redukált változaté pedig k. Most hozzávesszük az élt, ez k + 1. z és élek között van egy eredetileg páros, 2l hosszú bambusz, ennek a redukált 28

30 fában l a hossza. Egyrészt tehát az eredeti fában a lépés után a Grundy-szám (2k + 1) + 1 2l = 2(k + 1 l), másrészt a redukált fában k + 1 l, pont a fele. 2. : Megint páratlan, 2k + 1 Grundy-számú részfából indulunk, ami redukálva k. z eredeti fában hozzáadunk 1-et, majd egy páratlan-hosszú bambuszt: (2k + 2) (2l + 1) = (2k + 2 2l) + 1 = 2(k + 1 l) + 1, a redukált fában pedig miután 1-et hozzáadtunk, l-et NIM-adunk hozzá: k + 1 l-et kapunk, amit szerettünk volna. 3. : Páros, 2k, illetve redukálva k a Grundy-számmal indulunk, de most csak az eredeti fában adunk hozzá egyet! Majd természetesen a páratlan hosszú bambuszt is hozzávesszük: (2k + 1) (2l + 1) = 2k 2l = 2(k l). redukált fában egyszer en k l lesz a Grundy-szám, az eredeti fele. 4. : Induló Grundy-szám: 2k, és k. z eredeti fában (2k + 1) 2l = 2(k l) + 1 számot kapunk, a redukáltban k l lesz, mivel itt sem adunk hozzá 1-et. 2l 2k+1 l 2l 2k+2 l k+1 k 2l+1 2k+1 l 2l+1 2k+2 l k+1 k 2l+1 2k l (k) 2l+1 2k+1 l k 2l 2k l (k) 2l 2k+1 l k 20. Ábra. Grundy-szám felez dik Már csak egy lépés van hátra: az utolsó, földön lev híd-élen is lelépünk. Ha ez az utolsó él él, 2k + 1 Grundy-számú részfa van felette, az éllel együtt 2k + 2 a 29

31 teljes fa Grundy-száma. redukált fában pedig k-ból k + 1 lesz. Ha pedig él van legalul, 2k-ból 2k + 1 lesz az eredeti, míg marad a k a redukált fában, ahol ugye az élt összehúztuk. felezésr l szóló lemma bizonyításának lezárásaként már csak az kell, hogy mindez G b vítésére is igaz. részfákra már láttuk, a bambuszokra külön-külön nyilván igaz, hiszen itt a hossz és a Grundy-szám teljesen ugyanaz. Úgy gondoljunk a felezésre, hogy az adott szám kettes számrendszerbeli alakjában egy helyiértékkel jobbra toljuk a számjegyeket, az utolsót törölve. Világos, hogy Grundy-számok összegének a fele így a Grundy-számok felének összege lesz. felez lemmát tehát beláttuk Készen vagyunk! Most már birtokában vagyunk mindennek ahhoz, hogy a körösszehúzási tételt belássuk. Ellenpéldánkról, G-r l beláttuk, hogy egy híd, és azt is, hogy ha találunk jó kezd lépést G b vítésében, akkor készen vagyunk. Olyan élt keresünk, aminek elvételével 0 lesz a Grundy-szám. Van ilyen a híd-élek között! Visszafelé gondolkodunk: tegyük fel, hogy egy jó e élt vettünk el, legyen ez egy jel él! Nyilván ekkor páratlan sok híd-él van, ezt a hídvágó-lemmából tudjuk. Most a felez lemmában tanult módon húzzuk össze a éleket, és felezzük el a bambuszokat! Grundy-szám 0 volt, 0 is lett. Mi történik, ha redukáljuk G-t és aztán újrabet zzük? z új bet zésben melyik csoportba fog tartozni e? Páratlan, vagy páros sok lesz az új bet jéb l? () C () C () D () C C () (D) E 21. Ábra. Hogyan találjuk meg e-t? válasz az, hogy csak páratlan lehet, hiszen e-t kivágva a redukált hídból 0 lesz 30

32 a maradék Grundy-száma! Megint a hídvágó-lemmát alkalmaztuk. Ha a hidat és a bambuszokat annyiszor redukáljuk, amennyiszer csak lehet, végül egy egy-él hidat kapunk, aminek a Grundy-száma 1. Ezt az élt, ami minden redukálás után megmaradt, nevezzük el az eredeti hídban e-nek, és most már a felez lemma miatt tudjuk, hogy e elvételével az eredeti b vített hidas játékban is 0 Grundy-számú játékállást kapunk, így e jó kezd lépés. Innen pedig tudjuk, hogy G összehúzható, ami ellentmond indirekt feltevésünknek. 3. Partizán játékok és a piros-kék sövényvágás 22. Ábra. Piros-kék sövényvágás: egy lehetséges kezd állás 3.1. partizán játékokról általában partizán játékokról még a bevezetésben szó esett. Itt az egyik játékos nem ugyanazokat a lépéseket teheti meg, mint a másik. mennyiben a játékot, mint állás-csúcsok között lépés-éleken át megtett sétát értelmezzük egy irányított gráfban, úgy a partizán játék gráf-reprezentációjában az éleket kékkel és pirossal színezhetjük, és az egyik játékos csak a kék, míg a másik csak a piros éleken haladhat. Milyenek ezek a játékok? onyolultabbak? Mindenképpen. szimmetrikus játékot, mint egy speciális esetet is felfoghatjuk itt. Mik azok az alapvet feltevéseink, amelyek 31

33 változtak? szimmetrikus játékokban ugyanazt léphetjük, mint az ellenfél, ugyanazokat az állásokat szeretjük, mint az ellenfél. Na de mi van akkor, ha mi szeretünk valahova lépni, ahová nem? zaz: ha van olyan állás, ahova bármelyikünk lép, én nyerhetek? Ennek bemutatására egyszer példa a sakk. Ha megkérdeznénk valakit, vajon a sakkban ugyanazt lépheti-e az egyik, mint a másik, azt mondhatná: persze, így igazságos, egyenl a játék. Pedig egy olyan lépés sincs, amit mindketten léphetnek! Hiszen az egyikük csak a világos, másik pedig csak a sötét bábukat mozdíthatja. Ha pedig van 16 világos bábu a táblán és egy sötét király, majdnem mindegy, ki lépett utoljára, ebbe az állásba valószín leg csak a világos játékos szeret lépni. Eddig két kategóriába soroltunk egy játékot: aki kezd, az nyer, vagy aki kezd, az veszít. Most mivel nem mindegy, hogy melyik játékosként ülünk le játszani, a kategorizálás némiképp módosul: 3.1. Megjegyzés. Egy partizán játékot négy kategóriába sorolhatunk: 1. z nyer, aki kezd. 2. z veszít, aki kezd. 3. piros játékos nyer. 4. kék játékos nyer. Valójában a játék minden állását ezen kategóriák közé sorolhatjuk, majd a kezd állás határozza meg a játék kategóriáját Mi lesz a Grundy-számokkal? legels példajátékunk egy partizán módosulatát játsszuk: van egy kupac kavicsunk, melyb l a két játékos felváltva vesz el valamennyit: 1. piros játékos egyet, vagy kett t, 2. kék játékos egyet, vagy hármat. 32

34 Ennek a játéknak a gráf-reprezentációját fogjuk vizsgálni Ábra. Így léphetünk. De hogyan színezzünk? Van-e értelme most is Grundy-számokkal operálni? Els ránézésre nem sok, hiszen egy állásról még azt sem tudjuk eldönteni, hogy piros-e vagy zöld, hiszen az attól függ, hogy a Piros, vagy a Kék játékos szempontjából nézzük. z ötlet az, hogy minden állás kapjon két színt! Egyet az egyik játékos szemszögéb l, egyet a másikéból Ábra. Kiszíneztük az állásokat Ha több, mint 3 kaviccsal játszunk, a színezés eredményét lényegében így lehet összefoglalni: mindig a pirosnak van nyer stratégiája. stratégia pedig tulajdonképpen az, hogy soha ne lépjünk pirosként olyat, hogy 1 vagy 3 kavics maradjon! Ezt minden esetben tudjuk teljesíteni, és így már biztosítva van a nyerés. Eddig egy állás színét nem tudtuk eldönteni, hiszen az függött attól, hogy ki lépett oda. Most nézzük meg a fenti ábrát! Megdupláztuk az állásokat, és egy kicsit bonyolultabb gráfot kaptunk, viszont erre már igaz, hogy az állás meghatározza azt is, hogy ki lépett oda. Ki is színeztük, és ezt kaptuk! gráf irányítatlan verziója páros. Mit is jelent ez? Hogy egy játszma során folyamatosan az alsó és a fels sor között lépkedünk, ahogy azt az ábrán is látjuk. Felelevenítjük egy játszma menetét: feltehetjük, hogy piros kezd, ami azt jelenti, hogy választ egy, a 33

35 kezd állásból kiinduló piros élt, és abba az állásba lép, amelybe az él mutat. Majd kék jön, a jelenlegi állásból kiinduló kék élt választ (ha nincs ilyen, kék veszít), stb. Ez a színezetlen és a színes ábrán is érvényes, és nyilván a két gráfon játszani gyakorlatilag ugyanaz. különbség annyi, hogy a színes ábrán csak kék él indul egy állásból, ha a kék következik, és ugyanez igaz pirosra is Megjegyzés. Mi értelme volt akkor kiszínezni az éleket is? Hiszen semmit sem determinál. válasz az, hogy semmi! Ugyanis éppen most csináltunk partizán játékból szimmetrikus játékot! Persze, ha a játékot, mint szimmetrikus játékot elmesélnénk valakinek, az valahogy így hangozna: Van egy kupac kavicsunk, és egy pénzérménk, kezdetben írással felfelé. Egy lépés a következ : ha az érmén az írás van felül, 1-et vagy 2-t elveszünk a kupacból és megfordítjuk az érmét. megfordítjuk az érmét. z veszít, aki nem tud lépni. Ha fej van felül, 1-et vagy 3-at veszünk el a kupacból és 3.3. Megjegyzés. partizán játékok tehát els látásra tágabb fogalmat takarnak, melynek a szimmetrikus játékok speciális esetei. Most azonban a Grundy-számozhatóság érdekében azt is megmutattuk, hogy fordítva is lehet látni a dolgokat: egy partizán játékot leírhatunk speciális szimmetrikus játékként is. Ugyanezen elv alapján tehát nemcsak színezni, de akár Grundy-számozni is tudunk: Ábra. Grundy-számozás 34

36 Ez azt jelenti, hogy egy partizán játék eredeti gráf-reprezentációján a csúcsok Grundyszámozása helyett Grundy-számpározást csinálunk! (1, 0) (1, 0) (1, 0) (1, 0) (1, 0) (1, 0) (2, 0) (2, 0) (1, 1) (0, 0) Ábra. Grundy-számpározás Ha megvannak a számpárok, így játsszunk: ha pirossal vagyunk, (., 0) Grundy-számpárú állásba lépjünk, ahol. akármi lehet. Ha pedig kékkel vagyunk, a (0,.) alakú számpárokkal ellátott állásokba kell lépni. Ha pedig erre nincs lehet ségünk, akkor sajnos az ellenfelünknek van nyer stratégiája Piros-kék sövényvágás piros-kék sövényvágás mint a neve is mutatja abban különbözik a zöld sövényvágástól, hogy itt az élek pirosak, vagy kékek. z egyik játékos csak kék, míg a másik csak piros élt törölhet. z veszít, aki nem tud lépni, tehát nincs már a pályán az színéb l él. Nézzünk pár egyszer bb esetet! 1. legegyszer bb, mikor csak egy szín van.. nyilvánvaló, hogy ekkor csak az nyerhet, akinek a színéb l áll a gráf. 2. Szimmetrikus játék: mi van akkor, ha két egyforma alakzatunk van, egyik piros, másik kék? Ekkor az veszít, aki kezd, ez könnyen meggondolható. 3. Kvázi-szimmetrikus játék: két alakzat van, melyekre a következ érvényes: a két alakzat egyforma, tehát minden élnek van egy párja a másik alakzatban. Ekkor az él és a párja különböz szín. Ekkor a másodiknak lép játékos mindig el 35

37 tudja érni, hogy nyerjen: bármit lép a kezd játékos, mindig a törölt él párját veszi el a következ lépésben. Így a második játékos minden lépése után kváziszimmetrikus állást kapunk. 27. Ábra. Egyszer bb esetek 3.4. Deníció. Zéró játéknak nevezünk egy játékot, vagy annak játékgráfját, ha igaz az, hogy aki kezd benne, az veszít Megjegyzés. szimmetrikus és a kvázi-szimmetrikus játék tehát zéró-játék Kategorizáljunk! Mostanra már tudunk olyan piros-kék játékgráfot rajzolni, melyben a piros nyer, függetlenül attól, hogy ki kezd. Ilyen például az, ha egy darab piros él van. Hasonlóan, tudunk olyat is, ahol csak a kék nyerhet. Zéró játéknak neveztük azokat, ahol az veszít, aki kezd, és erre is láttunk már példát. Van azonban egy negyedik kategóriája a partizán játékoknak, amire még nem láttunk példát: az nyer, aki kezd. Vajon létezik ilyen sövény? 3.6. Állítás. Nincs olyan piros-kék sövény, melyben mindig a kezd nek van nyer stratégiája. izonyítás: Tegyük fel, hogy van egy ilyen játék! Mondjuk, hogy kékkel vagyunk és mi kezdünk. Van egy nyer stratégiánk, melyben az él törlésével kezdünk. Innent l pedig ellenfelünk bármely lépésére van egy biztos válaszlépésünk. Mi van akkor, ha az ellenfelünk kezd? Ha úgy lépünk, mintha mi kezdtünk volna és úgy vesszük, mintha 36