FELÜLETI FESZÜLTSÉGI ÁLLAPOT MEGHATÁROZÁSA NYÚLÁSMÉRÉSSEL, ELMOZDULÁSMÉRÉS
|
|
- Irma Jázmin Fazekasné
- 7 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 FELÜLETI FESZÜLTSÉGI ÁLLPOT MEGHTÁROZÁS NYÚLÁSMÉRÉSSEL, ELMOZDULÁSMÉRÉS Lbortóriumi mérési gkort Egetemi pképésben (BSc) rést vevő mérnökhgtók sámár Össeáított: cé Ákos, egetemi tnársegéd. Siárdságtni pismeretek ktrésekné, mérnöki serkeetekné gkrn eőforduó eset, hog feüeten, vg feüet köeében ku ki kritikus (vesées) fesütségi ápot és ennek követketében feüetrő indu e serkeet tönkremenetee. Eért fontos, hog ktrések feüetén kikuó fesütségi ápotot meghtárouk. bortóriumi gkorton ktrés feüetén evő pontokbn feépő fesütségek meghtároásánk egik eggkoribb mérési módjáv ún. núásmérő béeges mérési technikáv, vmint emoduásmérésse ismerkedünk meg... Feüeti fesütségi ápot núásmérő béeges technikát műski fejestésse fogkoó cégek gkrn kmák, e ejárás ugnis tetsőeges kú és terheésű ktrés feüetén kms kvátoásiés fesütségi ápot meghtároásár. sámítógépes méreteési módserek eterjedéséve (P: végeseem módser, peremeem módser, véges differenciák módsere, stb.) núásmérési technikát gkrn hsnájuk sámítások heességének eenőrésére. vóságos serkeeteken fesütséget nem tudunk mérni! ún. núásmérő béegekke serkeet küső feüetén küönböő iránokbn fjgos núás értékét tudjuk mérni, és ebbő Hooke-törvén ismeretében fesütségeket meghtároni. mint eőbbiekbő kitűnik, ismernünk ke bionos siárdságtni pfogmkt síkbei fesütségápotho kpcsoódón. terheeten küső feüet P τ τ normáisú sík terheeten küső feüet: ρ = 0 τ = τ = = 0 feüeti fesütségápot semétetése. ábr ktrés terheeten feüetén fesütség nem ébred: ρ = 0 τ = τ = = 0. feüet pontjibn. ábr serint, τ, ietve, τ fesütségek ébrednek. τ és τ fesütségekre érvénes duitás eve, vgis i és j normáisú pok köötti ére néve τ és τ fesütségek vg össefutó, vg sétfutó iránúk és bsoút értékük egenő. terheeten feüeten kikuó fesütségi ápotot tehát követkeő fesütségi tenor írj e: P
2 τ 0 F P = τ 0, ho tenge terheeten feüet kifeé muttó normáis, egben fesütségi főirán k normáisú, terheeten feüeten évő P pont kvátoási ápotát követkeő kvátoási γ 0 tenor írj e: P = γ két tenor koordinátái köött Hooke-törvén teremt kpcsotot követkeő össefüggések serint. kvátoási jeemők eőáítás fesütségek meghtároás fesütségekbő: kvátoási jeemőkbő: = ( ν ), = E ( + ν) E ν = ( ν), = E ( + ν) E ν ν ν E = ( + ) = ( + ), τ = γ E ν + ν ( ) + ν γ = τ, E ho E rugmssági moduus, ν Poisson-téneő. (cér.. Hjított, nírt trtó fesütségi ápot 5 E 0MP, ν 0,3.) mérés során eg hjított, nírt trtót fogunk visgáni, menek eméeti úton eőáított megodását ismerjük.. ábrán áthtó egik végén befott és másik végén F erőve terhet trtó fesütségi visonit rúdeméet pján tárgjuk. F b M F B F Hjított, nírt trtó és rúdmodeje támstóerő-rendserre. ábr trtó kerestmetseténé ( befásná) ábrán fetüntetett F = F erő és M = i F = F k nomték bitosítj egensút. Eek ismeretében meghtárohtjuk igénbevétei függvéneket és megrjohtjuk igénbevétei ábrákt.
3 T F F T ( ) = F F M h M ( ) = F( ) h Hjított, nírt trtó igénbevétei ábrái és igénbevétei függvénei 3. ábr siárdságtni sempontbó vesées kerestmetset befásná évő kerestmetset. fenti függvénekbő trtó bármeik kerestmetsetének igénbevétee kisámíthtó. rúd tetsőeges kerestmetsetének eg kivástott pontjábn követkeő fesütségi tenor ép fe: τ 0 M h ( ) F( ) F = τ 0 0 (, ) = = 3, ho I b ( ) ( ) F 6 τ = τ = 4 b Hooke-törvén segítségéve kisámíthtjuk kvátoási tenort: (, ) F( ) γ 0 (, ) = = 3 E Eb P = γ 0 = = ν, ho ν + ν F γ ( ) ( ) 6 = γ = τ = E E 4 b kvátoást csk ktrés feüetén tudjuk mérni, eért trtó feüeti pontjibn feépő b kvátoási koordinátákt htárouk meg. menniben = ± ( trtó só és feső feüete), 6F( ) ( ) =±, = = ν, γ = 0. Een feüeteken kvátoást tehát kiáróg hjítás oko. H meg tudjuk mérni eeken feüeteken tenge iránú Eb fjgos núást, kkor követketethetünk feüet fesütségi ápotár is. fesütségkoordináták nem függenek hekoordinátátó, eért h =± ( trtó odfeüetei), kkor normá fesütséget és csústtó fesütséget egránt megfigehetünk. menni- ben =± és = 0 ( odfeüetek köépvon), kkor normá fesütség etűnik, miköben csústtó fesütség és beőe fkdó sögtoruás mimáis. H meg tudjuk mérni ee- 3
4 ken sksokon sögtoruást, kkor követketethetünk feüet fesütségi ápotár is. fjgos núást és követve sögtoruást núásmérő béegge mérhetjük meg.. núásmérő béeg Ismeretes, hog eg hu eektromos eenáás függ hu hossátó és kerestmetsetétő: R = ρ, ho veető hoss, veető kerestmetsete, ρ veető fjgos eenáás. H hu hoss megnő, vg kerestmetsete ecsökken, eenáás megnöveksik. H eg ien hut úg rögítünk ktrés feüetéhe, hog ktrés kvátoását hu is esenvedje, nékü, hog htáss enne mgánk visgát ktrésnek kvátoásár, kkor ennek hunk eenáás-vátoásábó követketethetünk sóbn forgó ktrés visgát feüetén bekövetkeő kvátoásr. núásmérő béeg eredeti formájábn tehát eg vimos sigeteőpr (hordoó réteg) rögített eektromos veető hu, menek feüetére küső behtások kiárásár eg védőborítást visnek fe. núásmérő béeget terheeten ktrés mérendő P pontjár rgstjuk, pontosbbn ktrés sbd feüetére (4. ábr). hordoó réteg hu cstkoó ábk mérési irán P e feüet P pontjár rgstott núásmérő béeg vát 4. ábr rgstónk keően siárdnk ke ennie hho, hog feüet kvátoását mrdéktnu továbbíts mérőbéeg hordoó rétegének. hordoó rétegnek pedig on ágnk ke ennie, hog ktrés kvátoását ne befoásoj. modern núásmérő béegek mérőeemei nomttott ármköri technikánk megfeeően már nem veető huok, hnem ábr kját követő veető fóiák, veetőrétegek. cé ktrések méréséhe hsnát núásmérő béegek néveges eektromos eenáás R = 0 Ω ngságú. mérési hoss ( ábrán jeöi) mérési cétó függően = 0,3 00 mm ; sokvános gépéseti fedtokná mm értékű. Fontos megemíteni, hog mérőbéeg nem eg pontbn, P pontbn mér, hnem P pont körneetében mérési hossnk és béeg séességének megfeeő terüeten átgos núást méri. veetőréteg kikítás bitosítj mérőbéeg eenáásánk ngfokú éréketenségét mérési iránr merőeges núásr. sokásos kerestiránú érékenség tiedsáék ngságrendű, vgis ktrés mérési iránr merőeges núás több sásor kisebb eenáás-vátoást oko, mint ugnkkor ngságú, de mérési iránb eső núás. E pján fetéteehetjük, hog jó fergstott núásmérő béeg eektromos veetőjének fjgos núás megegeik P pontbn, ietve pont megfeeő körneetében mérendő ktrés feüetén bekövetkeő átgos fjgos núáss. 4
5 béeg eektromos eenáás: = [ Ω] R ρ, ho veetőréteg hoss m-ben, veetőré- Ω mm teg kerestmetsete mm -ben, ρ veetőréteg fjgos eenáás mértékegségben. m H béeg ktrés terheése köben mérendő feüette egütt kvátov megnúik, kkor béegen évő veetőréteg megnúik, kerestmetsete ecsökken, íg R eenáás megvátoik. tpstt serint e R eenáás-vátoás rános fjgos núáss: R = k0, ho ko béegándó, más néven átkítási téneő. Mive k o béegándó és R,7 köötti érték, eért retív eenáásvátoás fjgos núás ngságrendjébe esik. Ien kis (tied-, sád-, vg kár eredsáékni) eenáásvátoás pontos és megbíhtó mérésére erre cér épített mérőműser, ún. mérőerősítő kms. mérőerősítő működése Whetstone-híd (kiejtve: Vítston-híd) kiegenítésére veethető viss. ktrés feüetére rgstott mérőbéeget (R M mérőbéeg eenáás), béeg cstkoó ábiho forrstott veetékekke cstkottv mérőműserbe épített három másik eenááss ún. Whetstone-híd kpcsoásb kötjük össe (5. ábr). R R M D G C R R V B mérő-híd bekötési vát 5. ábr Whetstone-híd, B kpcsir egenármú ármforrást, C és D kpcsok köé eg gvnométert (éréken ármmérő) kpcsounk. mérendő ktrés terheeten. R V vátotthtó eenáást úg áítjuk be, hog gvnométeren ne fojon árm, vgis gvnométer muttój I G = 0 ármértéket jeeen. Ienkor C és D pont onos potenciáon vn, vgis R RM eenáásokbó képett fesütségostókr fenná = egenőség. neveőkke vó bővítés után kiesik R R+ R RM + RV R M és kpjuk RM R = RR V, vg ee egenértékű R R = M egenőséget. Vgis híd semben évő ágibn évő eenáások sort egenő. R RV H tejesü R = R egenőség, kkor céserű on R V vátotthtó eenáást hsnáni, menek eenáás köépáásbn megegeik mérőbéeg eenáásáv. H mérendő ktrést megterhejük, kkor R M núásmérő béeg megnúik, híd ehngoódik, és gvnométeren árm foik. Ekkor R V eenáást ismét ddig vátottjuk, míg I G = 0 kiegenítettség be nem á. hngoási értéket mindkét esetben vátotthtó eenáás skáájáró tudjuk eovsni. eovsás küönbsége megdj, menni R V eenáásnk 5
6 R V megvátoás terheeten ápotho képest. Mive V M M o R = R = R k, íg ebbő mérőbéeg fjgos núás meghtárohtó. R M értékére onbn munkdrb hőmérséketének vátoás is htáss vn, et htást ki ke egenítenünk, kompenánunk ke. nná is inkább, mert munkdrbnk már néhán Cesius 5 fokos meegedése on mértékben vátottj mérőbéeg eenáását, mint eg 0 ngságrendű fjgos núás. Ekkor hőmérséketvátoást pedig pustán munkdrb megviágításáv is okohtunk. 6. ábrán áthtó mérési erendeésben Whetstone-híd két féhídr osik. jobbodi féhíd mérőerősítőben fog heet, bodi féhíd mindkét eenáás egeg núásmérő béeg. Mérendő ktrés Mérőműser R K R C C G R M B B R V mérési erendeés kompenációv 6. ábr R M mérendő ktrés kvátoását érékei terheés megjeenésekor, R K kompenátor béeget pedig mérendő ktrés körneetében on here rgstjuk, ho nem ébred fesütség, nem jön étre núás, de hőmérséket köe onos mérendő P pont körneetének hőmérséketéve. Ekkor hőmérséket vátoás mitt bekövetkeő eenáás-vátoások: RM és RK onos értékűek. Íg semben évő hídágkbn eenáások sort onos mrd, nem sűnik meg híd kiegenítettsége. Ee tehát kikompenátuk hőmérséketvátoás htását. 6. ábr b odán áthtó R M -R K kpcsoást fé hídkpcsoásnk neveük. 7. és 8. ábrán hőmérséket-kompenát núásmérés gkorti megvósítás áthtó rudk két egegserűbb igénbevéteére: hjításr és húás-nomásr. R M R K Hőmérséket-kiegenítés hjítás esetén 7. ábr H rúd igénbevétee tist egenes hjítás, kkor két mérőbéeg kmás mrdéktnu kompenáj hőmérséket vátoásánk htását, hisen híd somsédos ágibn vnnk. kvátoásbó eredő eenáás-vátoásik visont össedódnk, R M -me jeöt mérőbéeg ugnis núik, vgis eenáás nő, míg R -v jeöt hoss és ee eenáás csök- K 6
7 ken. Íg híd kiegenítése után eovsott eenáás-vátoást ostni ke kettőve, hog R eenáású mérőbéegné feépő fjgos núást kisámíthssuk. M RM RK Hőmérséket-kiegenítés húás-nomás esetén 8. ábr H rúd igénbevétee húás-nomás, kkor hőmérséket-vátoást tejesen kikompenáhtjuk 8. ábr serinti erendeésben. próbtestnek terheés iránár merőeges méretei és ee R K jeű béeg hoss csökkennek, mit núásmérés kiértékeésekor figeembe ke venni. + k0 Whetstone-híd kiegenített ápot RV = R esetén követkeik be, mi mgsbb k ν rendű tgok ehngoásáv RV = R + ( +ν ) k0 kifejeéssé egserűsödik. íg kpott núáseredmént tehát ( + ν )-ve ostni ke, hog ténegesen bekövetkeett núást megkpjuk (ν Poisson-téneő). egmodernebb núásmérő béegek bionos esetekben egátán nem igénik hőmérséketkiegenítést. veetőréteg ngánk gondos megvástásáv ugnis eérhető, hog béeg ngánk hőmérséketvátoás mitt bekövetkeő eenáás-vátoás ugnkkor bsoút értékű, de eentétes eőjeű egen, mint vátoás, mi mérendő ktrés hőmérséketvátoás okot táguásábó ered. H tehát vóbn on hőtáguású ngbó késüt ktrést visgáunk, mienre speciáis béeget terveték, kkor hőkompenáás emrdht. Eeknek speciáis béegeknek visont komo hátránuk, hog menniben nem megfeeő ngot visgájuk veük, kkor tejesen hmis eredmént sogátthtnk. hőkompenáásr tehát küönösen ügeni ke, h ismereten hőtáguású (ismereten ngú) ktrést visgáunk. Semmiképpen nem kmhtó hőkompenáó béegként mérőbéegtő etérő típus, hisen eőforduht, hog ee kompenáás heett tovább növejük kiegenítetenséget! fent eírt mérési ev idők fomán nem vátoott, de mérőműserek énegesen korserűbbek ettek. egenármú műserek heett vátóármú ún. vivőfrekvenciás mérőerősítőket hsnáunk. hidt csk mérés kedetén ke kiegeníteni, s kijeő skáát úg is kibráhtjuk, hog núás heett fesütséget mutss. mérőműserek egserre több mérőbéeget is ki tudnk sogáni. ( többcstornás mérőerősítő átábn 6 vg cstornás, de éteik 00 cstornás mérőerősítő is.) bortóriumi gkorton eg Hottinger-Bdwin Messtechnik GmbH át gártott Quntum 840 típusú sámítógépes 6, ietve cstornás mérő és méréskiértékeő műsercsoportot hsnáunk. cstornák eg rése hőfokmérésre, ietve emoduás mérésre hsnáhtó. 0 7
8 3. Feüeti kvátoási- és fesütségi ápot meghtároás núásmérésse k normáisú terheeten feüeten évő P pont kvátoási tenorát már meghtárotuk: γ 0 P = γ tenor koordinátái köü csk öt nem egenő nuáv, és eek sem mind függetenek egmástó: = ν ( + ), γ = γ. (Eső össefüggés = 0 egenőségbő, második ν kvátoási tenor simmetriájábó követkeik.) Hsonó módon kpjuk j normáisú, terheeten feüeten fekvő pontok kvátoási tenorát: 0 γ P = 0 0. γ 0 Tehát ktrés terheeten feüetén évő tetsőeges pont kvátoás-ápotát meghtárohtjuk dott pontbn végett három egmástó függeten núásmérés segítségéve. Erre fedtr fejestették ki úg neveett roettákt. roetták on össetett núásmérő béegek, meek ugnbbn pontbn több küönböő mérési iránbn mérik fjgos núást. mérőbéegek mérési iránánk egmáss beárt söge gkortbn 45, vg 60. eőbbi esetre meghtárouk kvátoási tenor koordinátáink kisámítási módját. hordoó réteg roett három, egmás föé rétegett núásmérő béegbő á. mérési iránok (, b, béegáb c) egmáss 45 -t, ietve 90 -t árnk be. mérőbéegek köéppontji pontosn egmás föött vnnk, eért három mérőbéeg három mérési iránbn bekövetkeett fjgos núást ugnnnk pontnk kis körneetében méri! núásmérő béegeket béegábkr forrstott kiveetésekke cstkotthtjuk mérőerősítőhö. mérendő kt- b rés feüetére speciáis rgstóv hordoó réteget ke rögíteni. c 45 -os roett 9. ábr H hjított, nírt trtó feső és/vg só feüetén kikuó kvátoást visgájuk, kkor roettát 0. ábr serint erendeésben rgstjuk ktrésre. 8
9 P c 45 -os roett hjított, nírt trtó feső feüetén 0. ábr P b trtór rgstott roett P ( P, b,0) pont kis körneetében méri, b, c iránú fjgos núásokt. roett iránításábó követkeik, hog = és c =. b iránú fjgos núást pedig kifejehetjük kvátoási tenor fenti kjábó: b = nb αb = nb nb, ho n b b iránú egségvektor, αb b-re merőeges feüeten feépő kvátoás-vektor. Ebben esetben n b = 0 = ; 0;. 0 γ Íg αb = = + γ ; 0; γ + c. 4 4 γ 0 c c γ Végü b = nb αb = ; 0; + γ ; 0; γ + c = + +, 4 4 ho már kihsnátuk kvátoási tenor simmetriáját ( γ = γ ). Kifejehetjük fjgos sögtoruást: γ = γ = b ( + c). visgát feüetre merőeges fjgos núást ν ν feüet terheeten votábó sámíthtjuk: = ( ) ( c) ν + = ν +. Tehát, h három, egmáss 45 -os söget beáró fjgos núást mérésbő meghtárouk, kkor kvátoási tenor minden koordinátáját kisámíthtjuk. kvátoási tenor ismeretében mód níik fesütségi tenor meghtároásár is, Hooke-törvén segítségéve: E = 0 = ( + νc) ν E τ = τ = 0 = ( c + ν) ν τ E E = τ = = b ( + c ) ( + ) γ ( + ) τ = τ = 0 ν ν 9
10 4. Emoduásmérés induktív útdóv befott és megterhet trtó pontji emodunk. Eeket emoduásokt kisámíthtjuk Cstigino-téte (kiejtve: Kstiiánó) segítségéve. bortóriumi gkort során onbn trtó eg pontjánk küönböő terheések során bekövetkeő emoduását nem sámításs, hnem mérésse fogjuk meghtároni. Visgátink során on kis emoduásokt ke pontosn megmérni, meek sbd semme eseteg ésre sem vehetők. ien kis emoduások mérésére induktív emoduás-mérőt, vg műski gkortbn eterjedt nevén: induktív útdót hsnáunk. induktív útdó működése on pu, hog eg tekercs induktivitás megnöveksik, h ferromágneses ngbó késüt tárg köeedik hoá. cétárgk emoduását tehát már eg egserű tekercs segítségéve is mérhetnénk, onbn induktivitás távoságnk nem ineáris függvéne, továbbá jsint és pontosság rendkívüi mértékben függene távoságtó. gkortbn úgneveett tpintós, kettőstekercsű induktív útdó rendekeik megfeeő ineritáss és ng mérési trtománn. tpintócsúcs két tekercs besejében mogó vsmg pintni heetétő függ L és L tekercs induktivitás, vmint két tekercs vsmg M köcsönös induktivitás. L L tekercsek Tpintós kettőstekercsű induktív útdó. ábr tekercsek L és L induktivitásábó, vmint M köcsönös induktivitásbó meghtárohtó L L vsmg emoduás. ábrán áthtó köépheettő: = α = α K, ho α L+ L + M L L késüékre jeemő ándó. K = menniség ugnis semben mgukk L + L + M L, L, M induktivitásokk sées trtománon beü ineáris függvéne emoduásnk. mérőerősítő sükséges induktivitások mérése után követenü sogáttj emoduást. De kieégítő pontosságot érhetünk e két tekercs féhídb kpcsoásáv is, hog núásmérő béeg hőmérséketkompenáásáná tettük. Ekkor két induktivitás küönbségét mérjük és e vsmg emoduásáv rános, fetéve, hog e emoduás kicsi útdó tekercseinek hossáho képest. Mive éppen kicsi (egfejebb néhán miiméterni) emoduások mérése céunk, e fetéte tejesü, hisen tekercsek 5-0 cm hossúk. 0
11 5. mérés eírás, normá fesütség meghtároás hjított-nírt trtón: núásmérő béeg kmásáv befott, hjított-nírt trtó feső feüetének kvátoását visgájuk terheés függvénében.. ábrán áthtó, egik végén befogott, tégp kerestmetsetű trtót küönböő ngságú súokk terhejük. súterheésbő sármik trtó F terheése. trtó pontjibn tehát nírás és hjítás egidejűeg feép. i =,, 3, 4, R R 4 R R R F R i Mért érték i R 5 R 4 R 3 R R R komp bortóriumi mérés vát ábr bortóriumi mérés od- és feünéetben 3. ábr Mérési fedt: dott terheésre núásmérésse meghtároni feső feüet öt megdott pontjábn fesütségi ápotot, vgis fesütségi tenort. ( trtó ngánk rugmssági moduusát és Poisson-téneőjét ismerjük: E = 0MP, ν = 0,3.) rúdeméet pján sámításs meghtároni fesütségi ápotot ugnbbn öt 5 pontbn, ugn terheésse. sámításokt össehsonítjuk mért értékekke. mérési eredménekbő is és rúdeméet pján sámotkbó is megrjoni trtó dott sksár M ( ) nomtéki ábrát. h
12 Három küönböő terheésre mind öt pontbn mérésse fevenni = ( ) digrmot. trtó ehjását eg dott pontbn megmérni három küönböő terheés esetén. mérés menete tehát követkeő:. terheeten (pontosbbn csk sját súáv terhet) trtón évő mérőbéegekhe kpcsoódó Whetstone-hidkt kiegeníttetjük mérőerősítőve.. ismert sú megterhejük trtót és beáó új egensúbn eovssuk mérőbéegekné tpstt fjgos núásokt és induktív útdó át sogáttott ehjást. 3. terheést evessük és még terheetenü ismét kiegeníttetjük Whetstone-hidkt. Ugneeket épéseket evégeük mindhárom terheés esetében. méréssorot eredméneként tienötsör három fjgos núás értékhe és három ehjásértékhe jutunk. (Minden roett három fjgos núás értéket sogátt mind öt heen és mind három sú esetén.) mérési eredmének kiértékeése követkeőképpen történik:. hrmdik fejeet eső feében eírtk serint meghtárouk öt pont fesütségi tenorát három küönböő terheés esetén. Várkoásink serint tenoroknk csk koordinátáj nem es érus. korátoott mérési pontosság mitt többi koordinátár sem fetétenü kpunk nuát, de ngságrendekke kisebb sámot, mint -re. Figemetetés: ne kometikáuk mérési eredméneket bbó cébó, hog várkoásoknk megfeeő eredmén jöjjön ki! mérési ponttnság mérés termésetes veejárój, meet nem efedni, hnem korrekten keeni és mérés fejestéséve csökkenteni ke!. terheések ismeretében, rúdeméet segítségéve sámításs is meghtárouk eeket tenorokt. Termésetesen itt vóbn csk koordinátákt kpunk, vgis fedt ennek tienöt normáfesütségnek kisámítás. 3. nomtéki ábrák megrjoás során három terheés esetét küön-küön koordinátrendserben ábráojuk. Íg három ábrát kpunk, mindegikben két-két görbét (várkoásink serint egenest). Egiket rúdeméetbő sámítjuk ( eső fejeet második rése pján), másikt mérési eredméneinkbő sámítjuk követkeő egserű képet I b pján: Mh ( ) = ( ) K = ( ) = ( ). csknem eg egenesre ieskedő pontokr egenest ke iesteni htodik fejeetben réseteett egkisebb nége- b 6 tek módseréve. 4. öt visgát pont = ( ) függvénének eőáítás követkeőképpen történik: fjgos núás értékeit núásmérő béegek sogáttták, normá fesütséget pedig terheés és geometrii méretek ismeretében sámojuk: F ( ) b 6 ( ) = = F( ). Minden mérési pontbn három mérési dt á rendekeésünkre három terheésbő. Erre három eredménre ke egenest iesteni I b htodik fejeetben réseteett egkisebb négetek módsere pján. öt pontr öt egenest kpunk. egenesek meredeksége egenő rugmssági moduus reciprokáv. Várkoásink serint e nem függ pont heétő, tehát öt egenest párhumosnk, sőt onosnk várjuk. 5. Ábráojuk vc = vc( F) függvént mérések sogáttt három érték segítségéve. három pontr egenest ke iesteni htodik fejeetben réseteett egkisebb négetek módseréve.
13 6. Hibsámítás, mérési eredmének kiértékeése, egenes iestése 6.. hibák keetkeése és terjedése Minden mérés hibáv terhet. Egrést eőforduhtnk emberi mustások, tévedések, másrést tudomásu ke vennünk, hog mérőesköeink pontosság is korátoott. H pedig fehsnát dtok és méretek sem tetsőegesen pontosk, kkor mérési ejárás végeredménétő sem várhtjuk e tökéetes egeést vóságos értékekke. Méréseink során hib forrás geometrii méretek ponttn ismerete, ugnis esköeinkke egfejebb fé tied miiméter pontosságg htárohtjuk meg őket. ngi ándókt sem 4 ismerjük tetsőeges pontosságg és kmott súterheések is csk körübeü ± 50 N pontosságúk. Újbb hibforrás dódik núásmérő béeg kerestiránú érékenségébő, vgis bbó jeenségbő, hog béeg eenáás kis mértékben mérési iránr merőeges fjgos núástó is függ. egsámottevőbb hib onbn béeg ponttn fergstásábó ered. egkörütekintőbb rgstás során sem árhtó ki két-három fokos etérés visgát trtó hosstengee és roett mérési irán köött. E átsóg jeentékteen etérés néhán sáékos (jeemően 3-5%) hibát eredméne kvátoási tenor digonáis eemeiben és fesütségi tenor egngobb koordinátáibn, de kár több, mint sásáékos hibát is okoht sögtoruásokbn és fesütségi tenor kis értékű koordinátáibn. Semétetésü tekintsük 5 γ = 4, 0 eredmént! H et ponttn méréseinkbő sámítottuk, kkor tudomásu ke vennünk, hog ennek hibáj eérheti kár sáötven sáékot is, vgis sögtoruásró csk 4 4 nnit tudunk bitosn, hog, 0 γ 6,3 0. Lehet kár nu is. Sikeres mérésrő tehát kkor beséhetünk, h követen mérési eredménekbő sámított,, fjgos núások és normáfesütség csk néhán sáéknit tér e rúdmodebő sámított értékektő, többi tenor-koordinát pedig ngságrendekke kisebb eekné. sóbn forgó koordináták mimáis hibáját követkeő tábát trtm. Mért, ietve sámított Retív hib: mimáis hib és mérésekbő sámított érték hándosánk menniség bsoút értéke, 45 hr = 0, hr = 0, γ τ h r = 0, = γ hr = 0,07 = τ } 45 + hr = 0,035 ν + ν 45 ( ) h ( ) 45 r = 0,035 ν + ν + 3
14 kvátoási- és fesütségi tenor többi eeme érus, mit nem mérési eredménekbő tudunk, hnem bbó, hog sóbn forgó feüet terheeten. Eeket érusokt tehát tejesen pontos dtoknk tekinthetjük. átunk visgát trtóv köös ávánon áthtó eg on trtó, meen roetták tengee körübeü 45 -ot árnk be (3. ábr). Bioníthtó, hog + c = +, függetenü ttó, hog roett mérési iráni mien söget árnk be koordinátrendser tengeeive (h és c mérési iránok merőegesek egmásr). H fesütség egtengeű, pédáu i iránú, kkor + c méréséve meghtárohtjuk kvátoási tenort, ugnis: + c = + = ( ν). Íg kiküsöböhetjük rgstási söghib át okoott mérési hibát. 6.. egkisebb négetek módsere egtöbb mérési fedt során ehetőeg miné több dtbó áó pontsorr ke egenest iesteni és ennek egenesnek prmétereire (eggkrbbn meredekségére) vgunk kíváncsik. H mérendő fiiki menniségek egmáss nem ineáris kpcsotbn vnnk, probémát sok esetben kkor is egenes ábráoásár ke vissveetnünk! H pédáu mérni kívánt menniség várhtón függeten vátoó négetéve (vg éppen ogritmusáv) rános, kkor -t (vg g() függvénében) ke ábráonunk! Íg jogg várunk egenest. mérés köben és sámítások során feépő hibák, ponttnságok mitt onbn dtokbó képett pontok mégsem esnek pontosn eg egenesre! On egenest ke keresnünk, mere ehető egkisebb hibáv ieskednek mérési eredmének. optimiáási fedt céj pontoknk egenestő vett függőeges távoságánk négetössegét minimiáni egenes prmétereinek kms megvástásáv (egkisebb négetek módsere). Bioníthtó, hog e négetösseg kkor minimáis, h = m+ b kbn keresett egenes prméterei követkeők: m = n i= ( )( ) i át i át n ( j át) j=, b= m. át át össefüggések megdják egenes m meredekségét és tengee vó b metsetét. össegéseket össes mért értékpárr e ke végeni, át és át pedig mérés függeten és mért függő vátoójár kpott értékek sámtni köepei. Várkoásunk serint ismert terheésekbő sámított normá fesütség és mért fjgos núás ránosk egmáss, ránossági téneő E Young-moduus. H tehát ábráojuk ( ) függvént, on egenest várunk, me átmeg origón ( b = 0 ) és meredeksége: m =. E 7. mérési jegőkönv ekésítése mérési jegőkönv eg rövid össefogóv kedődik, meben mérést végő eírj, mien berendeések és mérőesköök igénbevéteéve, mien fiiki törvénserűségek fehsnáásáv mien fiiki menniségek mérését végete e. Eután követkeik konkrét mérési erendeés vátrj műski ábráoás követeméneinek betrtásáv. Céserű sámításokho hsnát méreteket eenőrini (pédáu toómérőve). ténegesen evégett mérések sámserű eredméneit tábátbn ke rögíteni, mindig fetüntetve menniségek mértékegségét is. mérés követen eredméneibő sámítások útján htárouk meg kvátoási- és fesütségi tenor koordinátáit. Termésetesen nem eegendő pustán végeredmének köése! mérési jegőkönvbő ki ke derünie, hog mé- 4
15 rést végő hogn sámot ki eredméneit. Eért egább eg pont egább eg terheése esetére sámításokt tejes résetességge meékeni ke! mérési eredménekrő grfikont ke késíteni: vísintes tengere függeten vátoónk tekintett fesütséget, függőeges tengere függő vátoónk tekintett fjgos núást mérve fe. tábát pján ferjot pontokr tán fenti egenes-iestési ejáráss egenest fektetünk. Ügeni ke grfikon tengeeinek hees skááásár és egenes jeemőinek fetüntetésére is. mérési jegőkönvet össefogó árj, meben értékeni ke, mennire tejesütek eméet pján megfogmott eőetes várkoások. Küön meg ke visgáni, vjon mi okohtt eseteges etéréseket. Eseteg jvstokt ehet megfogmni mérés pontosságánk növeésére. 5
NYÚLÁS-, ELMOZDULÁS- ÉS ERŐMÉRÉS. Oktatási segédlet
NYÚLÁS-, LOZDULÁS- ÉS RŐÉRÉS Oktatási segédet a Rugamasságtan és kamaott mechanika aboratóriumi mérési gakoratokho a egetemi mesterképésben (Sc) réstvevő mérnökhagatók sámára. feüeti fesütségi áapot Gépakatrésekné,
RészletesebbenFELÜLETI FESZÜLTSÉGI ÁLLAPOT MEGHATÁROZÁSA NYÚLÁSMÉRÉSSEL, ELMOZDULÁSMÉRÉS
FLÜLTI FSZÜLTSÉGI ÁLLAPOT MGHATÁROZÁSA NYÚLÁSMÉRÉSSL, LMOZDULÁSMÉRÉS Lbortóriumi mérési gkorlt getemi mesterképésben (MSc) rést vevő mérnökhllgtók sámár Össeállított: Acél Ákos egetemi tnársegéd 1. Silárdságtni
Részletesebben4. MECHANIKA-SZILÁRDSÁGTAN GYAKORLAT (kidolgozta: dr. Nagy Zoltán egy. adjunktus; Bojtár Gergely egy. ts.; Tarnai Gábor mérnöktanár) F q
1 ZÉCHENY TVÁN EGYETE LKLZOTT ECHNK TNZÉK. ECHNK-ZLÁDÁGTN GYKOLT (kidogot: dr. Ng Zotán eg. djunktus; ojtár Gerge eg. ts.; Trni Gáor mérnöktnár).1. rimtikus rúd hjítás: q q / 60 N / m 15 N 75 N m 1 m T
Részletesebben3. MECHANIKA-SZILÁRDSÁGTAN GYAKORLAT (kidolgozta: dr. Nagy Zoltán egy. adjunktus; Bojtár Gergely egy. ts.; Tarnai Gábor mérnöktanár) y P
SZÉCHEYI ISTVÁ EGYETEM LKLMZOTT MECHIK TSZÉK MECHIK-SZILÁRDSÁGT GYKORLT (idogota: dr ag Zotán eg adjuntus; Bojtár Gerge eg ts; Tarnai Gábor mérnötanár) Vastag faú cső húása: / d D dott: a ábrán átható
Részletesebbenb) A tartó szilárdsági méretezése: M
ZÉCHENY TVÁN EGYETEM LKLMZOTT MECHNK TNZÉK 5 MECHNK-ZLÁRDÁGTN GYKORLT (kidogot: dr Ng Zotá eg djuktus; ojtár Gerge eg Ts; Tri Gábor méröktár) 5 Rúdserkeet siárdságti méreteése: d kn kn kn m m m dott: kn
RészletesebbenA lecke célja: A tananyag felhasználója megismerje az erő, a nyomaték és erőrendszerek jellemzőit.
2 modul: Erőrendserek 21 lecke: Erő és nomték lecke célj: tnng felhsnálój megismerje erő, nomték és erőrendserek jellemőit Követelmének: Ön kkor sjátított el megfelelően tnngot, h sját svivl meg tudj htároni
Részletesebben9. MECHANIKA-SZILÁRDSÁGTAN GYAKORLAT (kidolgozta: dr. Nagy Zoltán egy. adjunktus; Bojtár Gergely egy. Ts.; Tarnai Gábor mérnöktanár.
LKLZOTT EHNIK TNSZÉK 9 EHNIK-SZILÁRDSÁGTN GYKORLT (kidolgot: dr Ng Zoltán eg djunktus; ojtár Gergel eg Ts; Trni Gábor mérnöktnár) 9 Fjlgos núlás htároás núlásmérő béleggel érőeskö: 6 -os núlásmérő béleg
RészletesebbenF.I.1. Vektorok és vektorműveletek
FI FÜGGELÉK: FI Vektorok és vektorműveletek MATEMATIKAI ÖSSZEFOGLALÓ Skláris menniség: oln geometrii vg fiiki menniség melet ngság (előjel) és mértékegség jelleme Vektor menniség: iránított geometrii vg
RészletesebbenANYAGJELLEMZŐK MEGHATÁROZÁSA ERŐ- ÉS NYÚLÁSMÉRÉSSEL. Oktatási segédlet
ANYAGJELLEMZŐK MEGHATÁROZÁSA ERŐ- ÉS NYÚLÁSMÉRÉSSEL Oktatási segédlet a Rugalmasságtan és Alkalmaott mechanika laboratóriumi mérési gakorlatokho a egetemi mesterképésben (MSc) réstvevő mérnökhallgatók
RészletesebbenA lecke célja: A tananyag felhasználója megismerje a merev testek kinematikájának elméleti alapjait.
0 odu: Kineatika, Kinetika 03 ecke: Merev test kinetikája ecke céja: tananag fehasnáója egiserje a erev testek kineatikájának eéeti aapjait Követeének: Ön akkor sajátította e egfeeően a tananagot, ha:
RészletesebbenA lecke célja: A tananyag felhasználója megismerje a forgó tömegek kiegyensúlyozásának elméleti alapjait.
modu: Kinematika Kinetika 4 ecke: Forgó tömegek kiegensúoása ecke céja: tananag fehasnáója megismerje a forgó tömegek kiegensúoásának eméeti aapjait Követemének: Ön akkor sajátította e megfeeően a tananagot
RészletesebbenTevékenység: Olvassa el a bekezdést! Jegyezze meg a teljes potenciális energia értelmezését! Írja fel és tanulja meg a külső erőrendszer potenciálját!
tejes potenciáis energia minimuma ev Ovassa e a bekedést! Jegyee meg a tejes potenciáis energia értemeését! Írja fe és tanuja meg a küső erőrendser potenciáját! tejes potenciáis energia minimuma ev konervatív
Részletesebben10. MECHANIKA-SZILÁRDSÁGTAN GYAKORLAT (kidolgozta: dr. Nagy Zoltán egy. adjunktus; Bojtár Gergely egy. Ts.; Tarnai Gábor mérnöktanár.
10.1. Ferde hjlítás 10. ECHNK-ZLÁRDÁGTN GYKORLT (kidolgot: dr. Ng Zoltán eg. djunktus; ojtár Gergel eg. Ts.; Trni Gábor mérnöktnár.) dott: b 60 b 20 mm, mm, ( 40 j 120 k ) knm. Feldt: ) Htáro meg és sámíts
RészletesebbenSzilárdságtan Feladatok 17/1. a xz. [ A ] T = a xy a yy a zy a zx a zy a zz
Siádságt Fedtok 17/1 1 Teoíisbei jeöések: vektook, mátiok, teook () Mátiok () koodiát edsebe: osopmáti: p. vekto máti v = v e + v e + v e eseté [ v = v, osopmáti tspoátj: [ v T = [ v v v v égetes (3 3)
RészletesebbenHárom erő egyensúlya kéttámaszú tartó
dott: z 1. ábr szerinti kéttámszú trtó. Három erő egyensúy kéttámszú trtó 1. ábr Keresett: ~ rekcióerők vektor, szerkesztésse és számításs, z ábbi dtok esetén ; ~ speciáis esetek tgás. dtok: F = 10,0 kn;
Részletesebbenhajlító nyomaték és a T nyíróerő között ugyanolyan összefüggés van, mint az egyenes rudaknál.
5 RÚDELADATOK 51 íkgörbe rudk Grhof 1 -féle elmélete íkgörbe rúd: rúd köépvonl ( ponti ál) íkgörbe e P n e t Jelöléek: A köépvonl mentén pontokt ívkoordinátávl onoítjuk Pl P pont A P pontbn (P pontho trtoó
Részletesebben5. MECHANIKA-SZILÁRDSÁGTAN GYAKORLAT (kidolgozta: dr. Nagy Zoltán egy. adjunktus; Bojtár Gergely egy. ts.; Tarnai Gábor mérnöktanár)
ZÉCHENY TVÁN EGYETEM ALKALMAZOTT MECHANKA TANZÉK 5. MECHANKA-ZLÁRDÁGTAN GYAKORLAT (kidogota: dr. Nag Zotá eg. adjuktus; Bojtár Gerge eg. ts.; Tarai Gábor méröktaár) 5.. Rugamas sá differeciáegeete (ehajás
Részletesebben14. MECHANIKA-SZILÁRDSÁGTAN GYAKORLAT (kidolgozta: Tarnai Gábor mérnöktanár.) Adott:, F F. y A
4 EHNK-SZLÁRDSÁGTN GYKORLT (kidogota: Tarnai Gábor mérnöktanár) 4 Statikaiag határoatan tartó igénbeéteeinek meghatároása: (astigiano téte) dott: m kn 4 5 mm N E 5 mm Statikai ismeretenek: tartó statikaiag
Részletesebbenl.ch TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS DIFFERENCIÁLHATÓSÁGA
l.ch TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS DIFFERENCIÁLHATÓSÁGA A kétváltozós függvének két vlós számhoz rendelnek hozzá eg hrmdik vlós számot, másként foglmzv számpárokhoz rendelnek hozzá eg hrmdik számot.
RészletesebbenA lecke célja: A tananyag felhasználója megismerje az erőrendszerek egyenértékűségének és egyensúlyának feltételeit.
modul: Erőrendserek lecke: Erőrendserek egenértékűsége és egensúl lecke célj: tnng felhsnálój megsmerje erőrendserek egenértékűségének és egensúlánk feltételet Követelmének: Ön kkor sjátított el megfelelően
Részletesebben5. MECHANIKA-SZILÁRDSÁGTAN GYAKORLAT (kidolgozta: dr. Nagy Zoltán egy. adjunktus; Bojtár Gergely egy. ts.; Tarnai Gábor mérnöktanár)
ZÉCHENY TVÁN EGYETEM ALKALMAZOTT MECHANKA TANZÉK 5 MECHANKA-ZLÁRDÁGTAN GYAKORLAT (kidogota: dr Nag Zotá eg adjuktus; Bojtár Gerge eg ts; Tarai Gábor méröktaár) 5 Rugamas sá differeciáegeete (ehajás sögeforduás):
RészletesebbenÖSZVÉRSZERKEZETEK. Tartószerkezet-rekonstrukciós Szakmérnöki Képzés a BME Szilárdságtani és Tartószerkezeti Tanszéken. Dr.
Dr. Kovás Nuik ÖSZVÉRSZERKEZETEK BE Silárdságtni és Trtóserkeeti Tnséken Dr. Kovás Nuik egyetemi doens BE, Hidk és Serkeetek Tnsék BE Silárdságtni és Trtóserkeeti Tnsék 01. Trtlom Dr. Kovás Nuik 1. Beveetés...
Részletesebben- Anyagi pontrendszer: anyagi pontok halmaza / összessége.
LFGLK mechnk fk egk (klsskus) résterülete mechnk tárg: testek (ng pontok ng pontrendserek) heletváltottó mogásnk és eeket létrehoó htásoknk (erőknek) vsgált vsgált testek hlmállpot sernt besélhetünk: -
Részletesebben2. MECHANIKA-STATIKA GYAKORLAT (kidolgozta: Triesz Péter, egy. ts.; Tarnai Gábor, mérnök tanár) Erők eredője, fölbontása
SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM LKLMZOTT MECHNIK TNSZÉK. MECHNIK-STTIK GYKORLT (kidolgozt: Triesz Péter, eg. ts.; Trni Gábor, mérnök tnár) Erők eredője, fölbontás.1. Péld dott eg erő és eg egenes irán-egségvektor:
RészletesebbenMiskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Statika. Készítette: Nándori Frigyes, Szirbik Sándor Mechanikai Tanszék, 3515 Miskolc-Egyetemváros
iskolci Egetem GÉPÉSZÉRNÖKI ÉS INORTIKI KR Sttik (Okttási segédlet Gépésmérnöki és Informtiki Kr sc leveleős hllgtói résére) Késítette: Nándori riges, Sirbik Sándor echniki Tnsék, 3515 iskolc-egetemváros
RészletesebbenSTATIKA A minimum teszt kérdései a gépészmérnöki szak hallgatói részére (2003/2004 tavaszi félév)
STATIKA A minimum test kérdései a gépésmérnöki sak hallgatói résére (2003/2004 tavasi félév) Statika Pontsám 1. A modell definíciója (2) 2. A silárd test értelmeése (1) 3. A merev test fogalma (1) 4. A
Részletesebben- Anyagi pontrendszer: anyagi pontok halmaza / összessége.
2 LPFGLK mechnk fk egk (klsskus) résterülete mechnk tárg: testek (ng pontok ng pontrendserek) heletváltottó mogásnk és eeket létrehoó htásoknk (erőknek) vsgált vsgált testek hlmállpot sernt besélhetünk:
Részletesebben9. MECHANIKA-MOZGÁSTAN GYAKORLAT (kidolgozta: Németh Imre óraadó tanár, Bojtár Gergely egyetemi ts., Szüle Veronika, egy. ts.)
ZÉCHENYI ITVÁN EGYETEM LKLMZOTT MECHNIK TNZÉK 9. MECHNIK-MOZGÁTN GYKOLT (kidogot: Néeth Ire órdó tnár Bojtár Gerge egetei ts. üe Veronik eg. ts.) Tehetetenségi notékok tejesítén energi 9/. fedt: Tehetetenségi
RészletesebbenTEHETETLENSÉGI NYOMATÉKOK (kidolgozta: Fehér Lajos) A következőkben különböző merev testek tehetetlenségi nyomatékait fogjuk kiszámolni.
écheni István Egete kaaott Mechanika MECHNIK-MOZGÁTN TEHETETLENÉGI NYOMTÉKOK (kidogota: Fehér Lajos) követkeőkben küönböő erev testek tehetetenségi noatékait fogjuk kisáoni..1. Péda: Páca tehetetenségi
RészletesebbenVI. Deriválható függvények tulajdonságai
1 Deriválhtó függvének tuljdonsági VI Deriválhtó függvének tuljdonsági Ebben fejezetben zt vizsgáljuk, hog deriválhtó függvének esetén derivált milen összefüggésben vn függvén más tuljdonságivl, és hogn
Részletesebben(5) Mit értünk a szilárdságtanban a dinamikán? A szilárdságtanban a dinamika leírja a terhelés hatására a testben fellépő belső erőrendszert.
SZÉCHENY STVÁN EGYETE ECHANKA - SZLÁRDSÁGTAN ALKALAZOTT ECHANKA TANSZÉK Elméleti kérdések és válasok egetemi alapképésben (BS képésben) réstvevő mérnökhallgatók sámára () i a silárdságtan tárga? A silárdságtan
RészletesebbenAz összetett hajlítás képleteiről
A össetett hajlítás képleteiről Beveetés A elemi silárdságtan ismereteit a tankönvek serői általában igekenek úg kifejteni, hog a kedő sámára se okoanak komolabb matematikai nehéségeket. A húásra / nomásra
RészletesebbenSegédlet zárthelyi dolgozathoz
Facsavarok tengeiránú teerbírása: kiúóási teerbírás karakteristikus értéke a rostokka α söget beáró iránú facsavarokka kiaakított kapcsoat esetén: n ef f ax,k ef k F axα,rk =,2 cos 2 α sin 2 α n ef a kapcsoatban
RészletesebbenA szilárdságtan alapkísérletei III. Tiszta hajlítás
5. FEJEZET silárdságtn lpkísérletei III. Tist hjlítás 5.1. Egenes primtikus rúd tist egenes hjlítás 5.1.1. Beveető megjegések. Tist hjlításról besélünk, h rúd eg dott sks csk hjlításr vn igénbe véve. Másként
Részletesebben3. Szerkezeti elemek méretezése
. Serkeeti elemek méreteése.. Serkeeti elemek méreteési elvei A EC serint a teherbírási határállapotok ellenőrése során a alábbi visgálatokat kell elvégeni: - Kerestmetseti ellenállások visgálata, ami
Részletesebben2. Közelítő megoldások, energiaelvek:
SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM ALKALMAZOTT MECHANIKA TANSZÉK 4. MECHANIKA-VÉGESELEM MÓDSZER ELŐADÁS (kidogozta: Szüe Veronika, eg. ts.) IV. eőadás. Közeítő megodások, energiaevek:.4. Ritz-módszer,.4.. Lineáris
RészletesebbenA szilárdságtan 2D feladatainak az feladatok értelmezése
A silárdságtan D feladatainak a feladatok értelmeése Olvassa el a ekedést! Jegee meg a silárdságtan D feladatainak csoportosítását! A silárdságtan (rugalmasságtan) kétdimeniós vag kétméretű (D) feladatai
RészletesebbenMűszaki Mechanika I. A legfontosabb statikai fogalmak a gépészmérnöki kar mérnök menedzser hallgatói részére (2008/2009 őszi félév)
Műsaki Mechanika I. A legfontosabb statikai fogalmak a gépésmérnöki kar mérnök menedser hallgatói résére (2008/2009 ősi félév) Műsaki Mechanika I. Pontsám 1. A modell definíciója (2) 2. A silárd test értelmeése
Részletesebben9. osztály 1.) Oldjuk meg a valós számhármasok halmazán a következő egyenletet!
HANCSÓK KÁLMÁN MEGYEI MAEMAIKAVERSENY MEZŐKÖVESD Sóeli feldto és megoldáso ostál ) Oldju meg vlós sámhármso hlmán öveteő egenletet! ( pont) A egenlet l oldlát átlíthtju öveteőéppen: A l oldl egi tgj sem
Részletesebben6. RUDAK ÖSSZETETT IGÉNYBEVÉTELEI
RUK ÖZETETT GÉNYBEVÉTELE Tönkremeneteli elméletek a) peiális eset: a fesültségi tenornak sak eg eleme nem nulla (pl rudak egserű igénbevételeinél), ϕ tt nins probléma, mert a anagjellemők eekre a egserű
Részletesebben1. Algebra x. x + értéke? x
Alger I Feldtok Bonts fel két 0-nél ngo sám sortár követkeő sámokt: ) ) ) d) e) f) g) h) i) j) k) Alkíts lson foksámú polinomok sortává lái polinomokt: ) i) ) j) 7 ) k) d) l) 0 6 e) m) 0 6 f) n) g) o)
RészletesebbenFüggvények közelítése hatványsorral (Taylor-sor) Ha az y(x) függvény Taylor-sorának csupán az elsı két tagját tartjuk meg, akkor az
Füvénye özeítése htványsorr (Tyor-sor z heyen többször deriváhtó y( füvényt z pont örnyezetében jó özeíthetjü z dy( d y( d y( y( y( ( ( (! d! d! d véteen htványsorr. derivát értéét z heyen e számítni.
Részletesebben12. MECHANIKA-SZILÁRDSÁGTAN GYAKORLAT (kidolgozta: dr. Nagy Zoltán egy. adjunktus; Bojtár Gergely egy. Ts.; Tarnai Gábor mérnöktanár.
1 EHNK-ZLÁRDÁGTN GYKORLT (kidolgota: dr Nag Zoltán eg adjunktus; Bojtár Gergel eg Ts; Tarnai Gábor mérnöktanár) 11 Primatikus rúd össetett igénbevétele (nírás és hajlítás) dott: a 0,4 m, b 45 mm, F 1 kn,
RészletesebbenFizika A2E, 1. feladatsor
Fiika AE, 1. feladatsor Vida Görg Jósef vidagorg@gmail.com 1. feladat: Legen a = i + j + 3k, b = i 3j + k és c = i + j k. a Mekkora a a, b és c vektorok hossa? b Milen söget ár be egmással a és b? c Mekkora
RészletesebbenTengelyek lehajlásának számítása Oktatási segédlet
Németh Gé djunktus Tengelyek lehjlásánk sámítás Okttási segédlet iskolci Egyetem Gép és termékterveési Intéet iskolc, 4. március. - - Tengelyek lehjlásánk sámítás A tengelyeket kéttámsú trtóként modelleve,
RészletesebbenA HŐMÉRSÉKLET MÉRÉSE
A HŐMÉRSÉKLET MÉRÉSE A hőmérséket az egyik eggyakrabban mért fizikai mennyiség, egyike a hét SI aapmértékegységnek. Nehezen meghatározható és kaibráható, ugyanis a hőmérséketi tartományt meghatározni és
RészletesebbenLineáris programozás 2 Algebrai megoldás
Lineáris progrmoás Algeri megoldás Késítette: Dr. Árhám István A lineáris progrmoási feldtok mátriritmetiki lkji A LP feldtok lgeri megoldás függ feldt típsától. Tekintsük át eeket! Normál feldt A ( )
Részletesebben15. Többváltozós függvények differenciálszámítása
5. Többváltoós függvének differenciálsámítása 5.. Határoa meg a alábbi kétváltoós függvének elsőrendű parciális derivált függvéneit és a gradiens függvénét, valamint eek értékét a megadott pontban:, =
RészletesebbenKozák Imre Szeidl György FEJEZETEK A SZILÁRDSÁGTANBÓL
Koák Imre Seidl Görg FEJEZETEK SZILÁRDSÁGTNBÓL KÉZIRT 008 0 Tartalomjegék. fejeet. tenorsámítás elemei.. Beveető megjegések.. Függvének.3. másodrendű tenor fogalmának geometriai beveetése 5.4. Speciális
RészletesebbenSpin és elektron transzport különböző félvezető heterostruktúrákban mágneses és elektromos tér jelenlétében
Spin és eektron transport küönböő féveető heterostruktúrákban mágneses és eektromos tér jeenétében Doktori értekeés Bora Sándor NymE SKK Fiika és Eektrotechnika Intéet Témaveető: Dr. Papp György Fiika
RészletesebbenTARTÓSZERKETETEK III.
TARTÓSZERKETETEK III. KERESZTETSZETEK ELLENÁLLÁSA + STABILITÁSI ELLENÁLLÁS 1 KERESZTETSZETEK ELLENÁLLÁSA 1.1 Csavarlukkal gengített köpontosan húott rúd 1. Egik sárán kapsolt köpontosan húott sögaél 1.
RészletesebbenMECHANIKA I. - STATIKA. BSc-s hallgatók számára
ECHNK. - STTK BSc-s hllgtók sámár ECHNK. - STTK Tnkönv és jeget BSc-s hllgtók résére - - Dr. Glmbos rges echnk. Sttk tnkönv és jeget BSc-s hllgtók résére Írt és serkestette: Dr. Glmbos rges és Sándor
RészletesebbenProjektív ábrázoló geometria, centrálaxonometria
Projektív ábráoló geometria, centrálaonometria Ennél a leképeésnél a projektív teret seretnénk úg megjeleníteni eg képsíkon, hog a aonometrikus leképeést (paralel aonometriát) speciális esetként megkaphassuk.
RészletesebbenA szilárdságtan alapkísérletei III. Tiszta hajlítás
5. FEJEET silárdságtan alapkísérletei III. Tista hajlítás 5.1. Egenes primatikus rúd tista egenes hajlítása 5.1.1. Beveető megjegések.tista hajlításról besélünk, ha a rúd eg adott sakasa csak hajlításra
Részletesebben9. modul: A rugalmasságtan 2D feladatai lecke: Vastagfalú csövek
9 modul: A ruglmsságtn D feldti 9 lecke: Vstgflú csövek A lecke célj: A tnnyg felhsnálój ismerje vstgflú csövek terhelését, el tudj késíteni csődigrmot, el tudj végeni vstgflú csövek silárdságtni méreteését
Részletesebben9. A RUGALMASSÁGTAN 2D FELADATAI
9 A UGALMASSÁGTAN D FELADATAI A D ( két dimeniós ) feladatok köös jellemői: - két skalár elmodulásmeő különöik nullától - minden mechanikai menniség két helkoordinátától függ 9 Sík alakváltoás (SA) a)
Részletesebben1. MECHANIKA-SZILÁRDSÁGTAN GYAKORLAT (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. Ts; Tarnai Gábor mérnöktanár.) Matematikai összefoglaló, kiinduló feladatok
/0 SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM LKLMZOTT MECHNIK TNSZÉK MECHNIK-SZILÁRDSÁGTN GYKORLT (kidolgozt: Szüle Veronik, eg Ts; Trni Gábor mérnöktnár) Mtemtiki összefoglló, kiinduló feldtok Mátrilgebri összefoglló:
RészletesebbenA ferde hajlítás alapképleteiről
ferde hajlítás alapképleteiről Beveetés régebbi silárdságtani sakirodalomban [ 1 ], [ ] más típusú leveetések, más alakú képletek voltak forgalomban a egenes tengelű rudak ferde hajlításával kapcsolatban,
RészletesebbenMechanika. III. előadás március 11. Mechanika III. előadás március / 30
Mechanika III. előadás 2019. március 11. Mechanika III. előadás 2019. március 11. 1 / 30 7. Serkeetek statikája 7.2. Rácsos serkeet hidak, daruk, távveeték tartó oslopok, stb. 3 kn C 4 m 2 4 8 5 3 7 1
Részletesebben1. ALKALMAZOTT ÖSSZEFÜGGÉSEK
Gkorlt 08 echnik II. Szilárdságtn 0 08 Segédlet KÜLPONTOS HÚZÁS-NYOÁS Trtlom. ALKALAZOTT ÖSSZEFÜGGÉSEK.... GYAKORLATOK PÉLDÁI.... TOVÁBBI FELADATOK..... Külpontos húzás-nomás..... Hjlítás és húzás... 9
Részletesebben3. A RUGALMASSÁGTAN ENERGIA ELVEI
A RUGALMASSÁGTAN ENERGIA ELVEI A rugamasságta egyeetredseréek egakt és köeítő megodásai eergia evekre aapova is eőáíthatók Aapfogamak Kiematikaiag ehetséges emoduásmeő Jeöése: u u r u, y, A továbbiakba
Részletesebben7. RÚDSZERKEZETEK ALAKVÁLTOZÁSA, STATIKAILAG HATÁROZATLAN RÚDSZERKEZETEK
7 RÚSZERKEZETEK LKVÁLTOZÁS, STTIKILG HTÁROZTLN RÚSZERKEZETEK 7 apfogamak a) Serkeetek tatikai határoottága: Statikaiag határoott erkeet: - erkeet támatóerői egérteműen meghatárohatók tatikai egenúi egenetek
RészletesebbenDr. Égert János Dr. Nagy Zoltán ALKALMAZOTT RUGALMASSÁGTAN
Dr Égert János Dr Nag Zoltán ALALMAZOTT UGALMASSÁGTAN Dr Égert János Dr Nag Zoltán ALALMAZOTT UGALMASSÁGTAN UNIVESITAS-GYŐ Nonprofit ft Gőr 9 SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM GYŐ Írta: Dr Égert János Dr Nag Zoltán
RészletesebbenKábel-membrán szerkezetek
Kábe-membrán szerkezetek Szereési aak meghatározása Definíció: Egy geometriai aak meghatározása adott peremfetéte és eőfeszítés esetén ameyné a beső erők egyensúyban vannak. Numerikus módszerek: Geometriai
Részletesebben1. Egydimenziós, rugalmas, peremérték feladat:
SZÉCHNYI ISTVÁN GYTM ALKALMAZOTT MCHANIKA TANSZÉK 1. MCHANIKA-VÉGSLM MÓDSZR LŐADÁS (kidogozta: Szüe Veronika, eg. ts.) Bevezető: A számítógépes mérnöki tervező rendszerek szinte mindegike tartamaz végeseem
RészletesebbenIdeális kristályszerkezet február 27.
Ideális kristályserkeet 00. február 7. Térrács fglm: Kiterjedés nélküli pntk sbálys rendje térben. Elemi cell: térrács n legkisebb egysége, mely dtt serkeet vlmennyi gemetrii törvényserűségét mgán hrd.
Részletesebben14. MECHANIKA-STATIKA GYAKORLAT (kidolgozta: Tarnai Gábor, mérnöktanár) Érdes testek - súrlódás
SZÉCHENYI ISTVÁN EYETEM LKLMZOTT MECHNIK TNSZÉK 4. MECHNIK-STTIK YKORLT (kidolgozt: Trni ábor, mérnöktnár) Érdes testek - súrlódás 4.. Péld. dott: z ábrán láthtó letőn elhelezett test méretei és terhelése.
RészletesebbenMűveletek komplex számokkal
Műveletek komplex sámokkl A komplex sámok lklmás nyn eyserűsíti sámos műski prolém meoldását, különös tekintettel elektrotechniki, rendserelméleti és reéstni feldtokr. A követkeőken csk műski lklmások
RészletesebbenEllenırzési nyomvonal
3.sz. meéket Eenırzési nyomvon z Ámháztrtás mőködési rendjérı szóó 217/1998. (XII. 30.) Kormányrendeet 145/B. (2) bekezdése kimondj, hogy z eenırzési nyomvon kötségvetési szerv szervezeti és mőködési szbáyztánk
RészletesebbenMatematikai összefoglaló
Mtemt össefoglló Vetoro Ngon so oln mennség vn, mel nem ellemehető egetlen sámml. A len mennségre legegserű és mnden áltl ól smert péld, vlmel pontn helete téren. Amor táéoódun és eg pont heletét meg ru
RészletesebbenAz F er A pontra számított nyomatéka: M A = r AP F, ahol
Sécheni István Egetem M saki Tudománi Kar lkalmaott Mechanika Tansék LKLMZTT MECHNIK () Mi a mechanika tárga? Elméleti kérdések és válasok MSc képésben réstvev mérnök hallgatók sámára nagi rendserek (testek)
RészletesebbenAcélszerkezetek méretezése Eurocode 3 szerint
Acélserkeetek méreteése Eurocode 3 serint Gakorlati útmutató Dunai Lásló, Horváth Lásló, Kovács auika, Varga Géa, Verőci Béla, Vigh L. Gergel (a Útmutató jelen késültségi sintjén a Tartalomjegékben dőlt
RészletesebbenA szilárdságtan alapkísérletei I. Egyenes rúd húzása, zömök rúd nyomása
3. FEJEZET silárdságtan alapkísérletei I. Egenes rúd húása, ömök rúd nomása 3.. alapkísérletek célja Hétkönapi megfigelés, hog uganaon silárd test alakváltoásainak mértéke függ a testet terhelő erőrendsertől.
RészletesebbenA tiszta hajlítás fogalma. A hajlítás tipikus esetei a mérnöki gyakorlatban
13. HAJLÍTÁ I. A tist hjlítás foglm A rúd kerestmetsetére htó erőrendser eredője kerestmetseti síkn fekvő erőpár (másképpen: kerestmetset egetlen nemérus igénevétele hjlítónomték). A hjlítás tipikus esetei
RészletesebbenHőterjedési formák. Dr. Seres István. Fizika I. Hőterjedés. Seres István 1
Dr. Seres István Hőterjedés Seres István http://fft.szie.hu HŐAN Hő terjedési formák: hőáramás hővezetés hősugárzás Seres István http://fft.szie.hu HŐAN Hőáramás Miért az abak eé rakják a radiátort? Miért
RészletesebbenSzilárdságtan. Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR
Miskolci Egetem GÉÉMÉRNÖKI É INORMTIKI KR ilárságtan (Oktatási segélet a Gépésmérnöki és Informatikai Kar sc leveleős hallgatói résére) Késítette: Nánori riges, irbik ánor Miskolc, 2008. Een kéirat a Gépésmérnöki
RészletesebbenHéj / lemez hajlítási elméletek, felületi feszültségek / élerők és élnyomatékok
Héj / leme hajlítási elméletek felületi fesültségek / élerők és élnomatékok Tevékenség: Olvassa el a bekedést! Jegee meg a héj és a leme definícióját! Tanulja meg a superpoíció elvét és a membrán állapot
RészletesebbenDr. Égert János Dr. Molnár Zoltán Dr. Pere Balázs ALKALMAZOTT MECHANIKA
Dr Égert János Dr Molnár Zoltán Dr ere Blás ALKALMAZOTT MECHANIKA UNIVERSITAS-GYŐR Nonprofit Kft Gőr, 010 SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM MŰSZAKI TUDOMÁNYI KAR ALKALMAZOTT MECHANIKA TANSZÉK ALKALMAZOTT MECHANIKA
RészletesebbenHÁZI FELADAT megoldási segédlet. Relatív kinematika Két autó. 1. rész
HÁZI FELDT egoldái egédlet Reltí kinetik Két utó.. ré. Htárouk eg, hogy ilyennek éleli utóbn ül egfigyel utó ebeégét é gyoruláát bbn pillntbn, ikor ábrán áolt helyetbe érnek.. lépé: ontkottái renderek
Részletesebben1. MECHANIKA-SZILÁRDSÁGTAN GYAKORLAT (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. Ts; Tarnai Gábor mérnöktanár.) Matematikai összefoglaló, kiinduló feladatok
SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM LKLMZOTT MECHNIK TNSZÉK MECHNIK-SZILÁRDSÁGTN GYKORLT (kidolgozt: Szüle Veronik, eg Ts; Trni Gáor mérnöktnár) Mtemtiki összefoglló, kiinduló feldtok Mátrilgeri összefoglló: ) Mátri
RészletesebbenREZGÉSTAN GYAKORLAT Kidolgozta: Dr. Nagy Zoltán egyetemi adjunktus
SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM ALKALMAZOTT MECHANIKA TANSZÉK REZGÉSTAN GYAKORLAT Kdogozt: r. Ngy Zotán egyetem djunktus 4. fedt: Mndkét végén efzott rúd ongtudnás rezgése (kontnuum mode) A, ρ, E Adott: mndkét
Részletesebben9. Exponenciális és logaritmusos egyenletek, egyenlőtlenségek
. Eponenciális és ritmusos egenletek, egenlőtlenségek Elméleti összefoglló H >, b>, és vlós számok, kkor + ( ) b ( b) H >, kkor z z ( ) ( ) f függvén szigorún monoton növekvő, míg h <
RészletesebbenFüggvények, 7 8. évfolyam
Függvének, 7 8. évfolm Orosz Gul 01. június 8. TARTALOMJEGYZÉK Trtlomjegzék Feldtok 7 1. Grfikonok................................... 7. Geometrii trnszformáiók.......................... 19 3. Geometrii
RészletesebbenVI. Kétismeretlenes egyenletrendszerek
Mtemtik A 9. évfolm 7. modul: EGYENLETEK Tnári kézikönv VI. Kétismeretlenes egenletrendszerek Behelettesít módszer Mintpéld Két testvér érletpénztárnál jeget vásárol. Az egik vonljegért és eg átszálló
RészletesebbenRobottechnika II. 1. Bevezetés, ismétlés. Ballagi Áron Automatizálási Tanszék
Robottechnika II. 1. Beveetés, ismétlés Ballagi Áron Automatiálási Tansék Bemutatkoás Dr. Ballagi Áron tansékveető-helettes, egetemi docens Automatiálási Ts. C71, 3461 Autonóm és Intelligens Robotok Laboratórium
RészletesebbenCastigliano- és Betti-tételek összefoglalása, kidolgozott példa
Castigiano- és Betti-téteek összefogaása, kidogozott péda Készítette: Dr. Kossa Attia kossa@mm.bme.hu) BME, Műszaki Mechanikai Tanszék Frissítve: 15. január 8. Az aakvátozási energiasűrűség számítása egy
RészletesebbenA VÉGESELEM-MÓDSZER ALAPJAI
A VÉGESEEM-MÓDSZER AAPJAI A projekt címe: Egségesített Jármű- és mobilgépek képés- és tananagfejlestés A megvalósítás érdekében létrehoott konorcium réstvevői: KECSKEMÉI FŐISKOA BUDAPESI MŰSZAKI ÉS GAZDASÁGUDOMÁNYI
RészletesebbenStatika. Miskolci Egyetem. (Oktatási segédlet a Gépészmérnöki és Informatikai Kar Bsc levelez½os hallgatói részére)
iskolci Egetem GÉPÉSZÉRNÖKI ÉS INORTIKI KR Statika (Oktatási segédlet a Gépésmérnöki és Informatikai Kar sc levele½os hallgatói résére) Késítette: Sirbik Sándor, Nándori riges ½usaki echanikai Intéet iskolc,
RészletesebbenFizika A2E, 5. feladatsor
Fiika A2E, 5. feladatsor Vida György Jósef vidagyorgy@gmail.com. feladat: Mi a homogén E térer sség potenciálja? A potenciál deníciója: E(x,y, = U(x,y,, amely kifejtve a három komponensre: Utolsó módosítás:
RészletesebbenAz ABCD köré írható kör egyenlete: ( x- 3) + ( y- 5) = 85. ahol O az origó. OB(; 912). Legyen y = 0, egyenletrendszer gyökei adják.
5 egyes feldtok Az dott körök k : x + ( y- ) = és k : ( x- ) + y = K (; 0), r, K (; 0), r K K = 0 > +, két körnek nincs közös pontj Legyen (; ) Az egyenlô hosszú érintôszkszokr felírhtjuk következô egyenletet:
RészletesebbenMűszaki mechanika gyakorlati példák 1. hét: Közös ponton támadó erőrendszer síkban, kötélerők számítása
Műsaki mechanika gakorlati példák. hét: Köös ponton támadó erőrendser síkban, kötélerők sámítása. ábrán látható G = 22 N súlerejű lámpát fújja a sél. Ennek hatására a kötél a függőlegestől β = 2 -ban tér
Részletesebben1. MECHANIKA-MOZGÁSTAN GYAKORLAT (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. ts.) Matematikai összefoglaló
SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM ALKALMAZOTT MECHANIKA TANSZÉK 1 MECHANIKA-MOZGÁSTAN GYAKORLAT (kidolgozt: Szüle Veronik, eg ts) Mtemtiki összefoglló 11 Mátrilgeri összefoglló: ) Mátri értelmezése, jelölése: Mátri:
Részletesebben6. A RUGALMASSÁGTAN 2D FELADATAI
6 A UGALMASSÁGTAN D FELADATAI A D rövidítés jelentése: két dimeniós A D feldtok köös jellemői: - két sklár elmodulásmeő különöik nullától - minden mechniki menniség két helkoordinátától függ A D feldtok
RészletesebbenStatika Feladatok 22/1
Sttik eldtok /. Vektornlíi. Vektor értelmeée, tuljdonági, megdá. Műveletek vektorokkl, külön hngúlt fektetve oráokr (klárrl vló, klári, vektoriáli, kétere vektoriáli, vege orá). (; 0; 5) [m]; ( ; 4; 0)
RészletesebbenHázi főelzárók. Házi főelzárók. Nr. 2600. Nr. 2600. Nr. 2630 házi főelzáró, poliacetál, Nr. 2630. Konstrukció jellemzők: Tömítő rendszer:
ázi főezárók Kivite 2600 gömbgrfitos / emezgrfitos öntvény, mindkét odon ISO tok PE sőhöz 20 poietá, mindkét odon ISO tokk, PE sőhöz hideg rendeésre ½" Méret / ázi főezárók Ieszkedő kézikerék: Ieszkedő
RészletesebbenTörésmechanika. Statikus törésmechanikai vizsgálatok
Törésmechnik (Gykorlti segédlet) A C törési szívósság meghtározás Sttikus törésmechniki vizsgáltok A vizsgáltokt áltlábn z 1. és. ábrán láthtó úgynevezett háromontos hjlító (TPB) illetve CT róbtesteken
Részletesebben3. MÉRETEZÉS, ELLENŐRZÉS STATIKUS TERHELÉS ESETÉN
ÉRETEZÉS ELLENŐRZÉS STATIUS TERHELÉS ESETÉN A méreteés ellenőrés célkitűése: Annak elérése hog a serkeet rendeltetésserű hasnálat esetén előírt ideig és előírt bitonsággal elviselje a adott terhelést anélkül
RészletesebbenN-ed rendű polinomiális illesztés
ed rendű polinomiális illesztés 1 oldl Tegük fel, hog dottk vlmilen fiziki menniség függvénében mért értékek, zz mérési értékpárok, hlmz ( db mérési pont) A mérés mindig trtlmz vlmekkor bizontlnságot mért
RészletesebbenTevékenység: Olvassa el a jegyzet oldalain található tananyagát! Tanulmányozza át a segédlet 11. fejezetében lévı kidolgozott feladatot!
3.2. Lánchajtások Tevékenység: Olvassa el a jegyet 163-173 oldalain található tananyagát! Tanulmányoa át a segédlet 11. fejeetében lévı kidolgoott feladatot! A tananyag tanulmányoása köben a alábbiakra
Részletesebben2. Közelítő megoldások, energiaelvek:
SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM ALKALMAZOTT MECHANIKA TANSZÉK 3. MECHANIKA-VÉGESELEM MÓDSZER ELŐADÁS (kidogozta: Szüe Veronika, egy. ts.) III. eőadás. Közeítő megodások, energiaevek:.. A tejes otenciáis energia
Részletesebben