3. rész. Két változó kapcsolatának vizsgálata. Minden összefügg mindennel!? Komputerstatisztika kurzus

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "3. rész. Két változó kapcsolatának vizsgálata. Minden összefügg mindennel!? Komputerstatisztika kurzus"

Átírás

1 Két kapcsolatának vizsgálata Minden összefügg mindennel!? Komputerstatisztika kurzus Barczy Mátyás Informatikai Kar Debreceni Egyetem 1

2 A témái

3 A kapcsolat természete A statisztikai k (adatbázisok attributumainak) korábban megismert egyenkénti jellemzése leíró statisztikákkal és grafikus eszközökkel többnyire csak egy kezdeti lépés. A statisztikai k általában nem függetlenek egymástól, az egyes k értékei befolyásolják más k értékeit. A kapcsolat természete kétféle lehet: determinisztikus (függvényszerű): néhány egyértelműen (függvénnyel megadható módon) meghatározza más (k) értékét(eit), sztochasztikus (véletlenszerű): a fenti meghatározottság csak tendenciaszerű, bizonyos mértékű hiba erejéig érvényes. A kapcsolat irányultsága is kétféle lehet: aszimmetrikus: az egyik hat a másikra, pl. a viszony ok okozati, illetve időben eltérő, szimmetrikus: a k kölcsönösen hatnak egymásra, egyidejűek. 3

4 Példa (Determinisztikus kapcsolat) A hetente és havonta előállított termékek száma. (Az utóbbi az előbbiek összegzésével adódik). A kapcsolat aszimmetrikus abban az értelemben, hogy a havonta előállított termékek számából nem kapható meg a hetente előállított termékek száma, fordítva viszont igen. Az éves és a havi átlaghőmérsékletek. Egy termék vagy szolgáltatás ára és az áfa nagysága (20%-os áfa esetén az árat 0.2 del kell szorozni). A kapcsolat szimmetrikus abban az értelemben, hogy az áfa nagyságának ismeretében a termék ára és a kifizetett áfa kölcsönösen egyértelműen meghatározza egymást. 4

5 Példa (Sztochasztikus kapcsolat) Szemszín és a hajszín mint két diszkrét egyidejű kapcsolata (szimmetrikus kapcsolat). Testsúly és magasság mint két folytonos egyidejű kapcsolata (szimmetrikus kapcsolat). A termés nagysága és a különbőző termelési módok. A gépkocsi sebessége és a fékút hossza (aszimmetrikus kapcsolat). Az idő és a számítástechnikai eszközök fejlettsége (tárolókapacitás, számolási sebesség stb.). 5

6 Két kapcsolatának leírása Ez a lehetséges legegyszerűbb kapcsolat, ennek ellenére már itt is eltérő módszerekkel találkozunk aszerint, hogy milyen kat vizsgálunk, milyen skálán mérjük őket. Jelöljük a két t X szel és Y nal. Ha ok okozati kapcsolat áll fenn, akkor legyen X az ok és Y az okozat. Ekkor X et magyarázó, Y t függő nak nevezzük. A legalapvetőbb osztályozást akkor kapjuk, ha a kat a típusuk alapján, mint diszkrét és folytonos, különböztetjük meg. 6

7 Az alábbi négy esetet vizsgáljuk: Mindkét diszkrét: kontingencia táblák vizsgálata és rang. Mindkét folytonos: és regresszió analízis. X és Y között ok okozati kapcsolat áll fenn, az X ok diszkrét, az Y okozat folytonos: szórásanalízis. X és Y között ok okozati kapcsolat áll fenn, az X ok folytonos, az Y okozat diszkrét: osztályozási. 7

8 elemzése Legyenek az X és Y diszkrét k lehetséges értékei x 1,...,x r és y 1,..., y s. Tekintsünk az (X, Y) párra vonatkozóan egy olyan r s j=1 n ij elemű mintát, ahol n ij azon megfigyelések (rekordok) számát (gyakoriságát) jelöli, amelyeknél X = x i és Y = y j, i = 1,..., r, j = 1,...,s. Az összes elemző módszer ezután az így bevezetett gyakoriságokra épül. Ezek a mintában lévő teljes információt tartalmazzák, használatuk egy nagyon hatékony adattömörítő eszköz. 8

9 Elemzési eszköztár: statisztikai módszer: kontingencia táblák vizsgálata, rangs együttható, grafikus eszközök: haladottabb (osztott, csoportosított, halmozott stb.) fánk diagramok. A legfontosabb kérdés a két függetlensége. Amennyiben ezt elutasítjuk, a függőségük erősségének mérése. 9

10 Kontingencia táblázat A kontingencia (kereszt) táblázat egy kétdimenziós gyakorisági tábla, amellyel két diszkrét együttes gyakoriságait tudjuk megjeleníteni. Y X y1 y 2 y s x 1 n 11 n 12 n 1s n 1+ x 2 n 21 n 22 n 2s n x r n r1 n r2 n rs n r+ n+1 n +2 n +s n ++ A táblázatbeli sor és oszlopösszegek az alábbi módon vannak definiálva: n i+ := s n ij, n +j := j=1 r n ij, n ++ := r j=1 s n ij =: n. 10

11 A megjelenítés hasonló a kétdimenziós diszkrét valószínűségeloszlás megadásához. Ekkor a táblázat valószínűségeket tartalmaz, az utolsó sor és oszlop pedig az ún. marginális (perem) eloszlásokat. A kontingencia tábla celláiban (abszolút) gyakoriságok helyett ábrázolhatunk relatív gyakoriságokat is. A statisztikai szoftverek emellé még számos egyéb lehetőséget is nyújtanak, pl. oszlop vagy sor százalék, várt érték a függetlenség esetén stb. A két függetlenségének vizsgálatát, illetve a függőségük erősségének mérését az alábbi két esetben tárgyaljuk: mindkét (diszkrét) t nominális skálán, illetve mindkét t ordinális skálán mérjük. 11

12 Nominális skálán mért diszkrét k Feltételezzük a továbbiakban, hogy r 2, s 2 és n i+ 1, n +j 1, i = 1,...,s, j = 1,...,r. Cramér mutató: ahol C := χ 2 := az ún. χ 2 statisztika. χ 2 n ++ min{r 1, s 1}, r j=1 ( s n ij n i+n +j n n i+ n +j n Az n i+ n +j /n értékeket (gyakoriságokat) a két függetlenségének feltételezése melletti gyakoriságoknak is szokás nevezni, ugyanis n i+ n +j n = n n i+ n n +j n. ) 2 12

13 Állítás A Cramér mutatóra teljesül, hogy C [0, 1]. Bizonyítás. Először megmutatjuk, hogy r s χ 2 n 2 = n ++ ij 1. n i+ n +j Valóban, ( ) r s n ij n 2 i+n +j n = n i+ n +j j=1 = = r j=1 r s s j=1 j=1 r s j=1 n 2 ij n i+ n +j 2 n ++ n ++ + n 2 ij n i+ n +j 1. ( n 2 ij 2 n ij + n ) i+n +j n i+ n +j n ++ (n ++ ) 2 1 (n ++ ) 2 r s n i+ j=1 n +j 13

14 Így elég azt ellenőriznünk, hogy r s nij 2 min{r, s}. n i+ n +j j=1 Felhasználva, hogy n ij n i+ 1, kapjuk, hogy r s j=1 n 2 ij n i+ n +j = i = 1,...,r, j = 1,...,s, r j=1 s j=1 s n ij n +j = s 1 n +j n +j = s. Hasonlóan belátható, hogy r s nij 2 r. n i+ n +j j=1 1 r n ij n +j j=1 14

15 Megjegyzés. C = 0 akkor és csak akkor, ha n ij = n i+n +j, i = 1,...,r, j = 1,...,s, n azaz, ha a megfigyelt és várt gyakoriságok megegyeznek. C = 0 : függetlenség. Ha s r, úgy C = 1 akkor és csak akkor, ha minden i = 1,...,r esetén n ij {0, n i+ }, j = 1,...,s, azaz minden sorban pontosan egy db n ij C = 1 : függőség. nem nulla. 15

16 Példa arra, hogy C = 0. Tekintsük az alábbi kontingencia táblázatot: Ekkor χ 2 = 0 és C = 0. Y X Példa arra, hogy C = 1. Tekintsük az alábbi kontingencia táblázatot: Y X Ekkor χ 2 = 6 és C =

17 : χ T := 2. n ++ (r 1)(s 1) Nyilván, T C és így T [0, 1]. Értelmezés ugyanaz, mint a Cramér mutatónál. Megjegyzés A későbbiekben elemezni fogjuk, hogy a mutatók (pontosabban a χ 2 statisztika) milyen nagy értékei utalnak függőségre, lásd két teljes eseményrendszer függetlenségének vizsgálatára vonatkozó χ 2 próba. 17

18 Példa A szem és a haj színének a kapcsolatát vizsgáltuk 400 embernél. Eredményül az alábbi kontingencia táblát kaptuk: Hajszín Szemszín barna fekete szőke vörös kék sötét zöld

19 Megoldás. r = 3, s = 4 és a χ 2 statisztika értéke A Cramér mutató értéke: C = 400 min{3 1, 4 1} A értéke: T := 400 (3 1)(4 1) A Cramér, ill. értéke alapján (mivel 0 hoz vannak közelebb, mint 1 hez) gyenge függőségre következtethetünk. Azonban a későbbi vizsgálatok során kiderül majd, hogy a jelen ban a Cramér mutató értéke alapján erős függőségre kell következtetnünk. 19

20 A függőség mértékének a megítélésében a P(χ 2 6 > 84.32) valószínűség nagysága az irányadó, ugyanis belátható, hogy a két függetlensége esetén a χ 2 statisztika aszimptotikusan χ 2 (r 1)(s 1) eloszlású, ahol χ 2 n az n szabadsági fokú χ 2 eloszlást jelöli. Esetünkben (r 1)(s 1) = 6 és P(χ 2 6 > 84.32) 0, így tényleg erős függőségre következtethetünk. Megjegyezzük továbbá, hogy érvényes ugyan a χ 2 n n 2n L N(0, 1) ha n, eloszlásbeli konvergencia, ez azonban elég lassú. 20

21 Gondoljunk ugyanis a Berry Esseen tételre, ahol is a konvergenciasebesség nagysága az abszolút ferdeségtől (harmadik abszolút centrált momentum osztva a szórás köbével) függ, ami χ 2 1 eloszlás esetén relatíve nagy. Mivel a gyakorló okban a χ 2 (r 1)(s 1) határeloszlás szabadsági foka, azaz (r 1)(s 1), általában kicsi, így a határeloszlásnak N((r 1)(s 1), 2(r 1)(s 1)) eloszlással való közelítését nem ajánljuk. A következő lapokon a példabeli kontingencia táblát ábrázoltuk különböző módokon. 21

22 Térbeli oszlopdiagram Előállította a SAS rendszer 22

23 Csoportosított oszlopdiagram Előállította a SAS rendszer 23

24 Halmozott oszlopdiagram Előállította a SAS rendszer 24

25 Csoportosított kördiagram Előállította a SAS rendszer 25

26 Halmozott kördiagram Előállította a SAS rendszer 26

27 Fánkdiagram Előállította a SAS rendszer 27

28 Ordinális skálán mért diszkrét k Legyen a két ordinális skálán mért, diszkrét ra megfigyelt minta a következő: X : x 1, x 2,..., x n Y : y 1, y 2,..., y n. Megjegyezzük, hogy valójában mintapárokat, úm. (x i, y i ), figyelünk meg, amelynek elemei összetartoznak. Rang:= a rendezett mintában hányadik az illető mintaelem. Jelöljük az X, ill. Y szerinti rangokat R X, illetve R Y módon. Ha egy mintaelem többször is előfordul, akkor ezekhez azon rangszámok súlyozatlan számtani átlagát rendeljük rangszámként, melyet akkor kapnánk, ha az adott mintaelemek páronként különbözőek lennének. Ezek az ún. kapcsolt rangok. 28

29 rangs együttható: az R X és R Y rangszámok tapasztalati (lineáris) s együtthatója: ahol S(X, Y) := (R X, R Y ), n (X, Y) := (x i x)(y i y) n (x i x) 2. n (y i y) 2 Azaz n S(X, Y) = (R x i R X )(R yi R Y ) n (R x i R X ) 2, n (R y i R Y ) 2 ahol R X := 1 n n R xi, R Y := 1 n n R yi. Megj.: A tapasztalati (lineáris) s együtthatóval két folytonos kapcsolatának elemzésekor majd részletesen foglalkozunk. 29

30 A rangs együttható tulajdonságai: S(X, Y) 1, Ha S(X, Y) = 1, akkor az R X és R Y rangszámsorozat egybeesik. Ha S(X, Y) = 1, akkor az R X és R Y rangszámsorozat egymás fordítottjai abban az értelemben, hogy R yi = R xi + n+1, i = 1,...,n. Ha S(X, Y) > 0, akkor pozitív irányú függésről beszélünk: az X-re vonatkozó mintában a nagyobb rang együttjár az Y -re vonatkozó mintában a nagyobb ranggal (illetve fordítva is). Ha S(X, Y) < 0, akkor negatív irányú függésről beszélünk: az X-re vonatkozó mintában a nagyobb rang együttjár az Y -re vonatkozó mintában a kisebb ranggal (illetve fordítva is). Ha S(X, Y) = 0, akkor a két rangsor között nincs kapcsolat. 30

31 Megjegyzés Ha nincsenek kapcsolt rangok, akkor S(X, Y) = 1 6 n (R x i R yi ) 2 n(n 2. 1) A gyakorlatban akkor is használatos a fenti formula, ha vannak kapcsolt rangok, de nem sok. 31

32 Az SPSS algoritmusa a rangs együttható számolására ahol S(X, Y) = T X + T Y n (R x i R yi ) 2 2 T X T Y, T X := n3 n ST X 12 ST X := ST Y :=, T Y := n3 n ST Y, 12 {t>1:t db mintaelem egybeesik az x 1,...,x n mintában} {t>1: t db mintaelem egybeesik az y 1,...,y n mintában} (t 3 t), (t 3 t). Ha T X = 0 vagy T Y = 0, akkor S(X, Y) nem kerül kiszámolásra. Valóban ellenőrizhető, hogy a fenti algoritmussal számolt rangs együttható megegyezik az általunk bevezetettel. 32

33 elemzése Legyen a két folytonos ra megfigyelt minta a következő: X : x 1, x 2,..., x n Y : y 1, y 2,..., y n Újra felhívjuk a figyelmet, hogy valójában mintapárokat, úm. (x i, y i ), figyelünk meg, amelynek elemei összetartoznak. Így bármilyen művelet (pl. rendezés) a mintán csak a párokon hajtható végre, ként pedig nem. Statisztikai eszközök: szimmetrikus eset: analízis, ok okozati eset: regresszió analízis. Grafikus eszköz: pontdiagram, melyben a Descartes koordinátarendszerben ábrázoljuk az (X, Y) párra kapott megfigyeléseket mint pontokat. A koordinátatengelyek kijelölése gyakran feltételez ok okozati viszonyt a két között. 33

34 Pearson féle s együttható Két valószínűségi közötti függőséget a kovariancia és s együttható mennyiségekkel mérhetjük. A ξ és η valószínűségi k (elméleti) kovarianciája: Cov(ξ,η) := E(ξ Eξ)(η Eη), és s együtthatója: Corr(ξ,η) := Cov(ξ,η) D 2 ξd 2 ξ. A s együtthatót akkor értelmezzük, ha 0 < D 2 ξ < és 0 < D 2 η <. Ezek tapasztalati megfelelőit vezetjük be az alábbiakban. 34

35 Definíció (Tapasztalati kovariancia és ) Az X és Y közötti tapasztalati kovariancia: c(x, Y) := 1 n n (x i x)(y i y). Pearson-féle tapasztalati (lineáris) s együttható: c(x, Y) n (X, Y) := s(x)s(y) = (x i x)(y i y) n (x i x) 2, n (y i y) 2 feltéve, hogy s(x) 0 és s(y) 0, ahol s(x), illetve s(y) az x 1,...,x n, ill. y 1,..., y n minta korrigálatlan tapasztalati szórását jelöli. Megj.: Korábban az x 1,..., x n minta korrigálatlan tapasztalati szórását s n módon jelöltük. A fentiekben a minta elemszámát nem tüntettük fel a jelölésben, azt viszont igen, hogy melyik mintára vonatkozik. 35

36 Megjegyzés c(x, Y) = 1 n n x i y i x y =: xy x y. X és Y között nem feltétlen van ok okozati kapcsolat. Bevezetve az alábbi jelöléseket: x i := x i x ns(x), ỹ i := y i y ns(y), i = 1,..., n, az X := ( x 1,..., x n ) és Ỹ := (ỹ 1,..., ỹ n ) mintákra teljesül, hogy (X, Y) = n x i ỹ i = X, Ỹ, ahol, az euklideszi belső szorzatot jelöli. (X, Y) 2 : determinációs együttható. 36

37 A s együttható tulajdonságai A tapasztalati kovariancia a két közös skáláján méri a kapcsolat erősségét, a tapasztalati s együttható ezzel szemben már normalizált skálán mér, így összehasonlításra jobban használható. Ha (X, Y) > 0, akkor pozitív irányú függésről beszélünk: az egyik értékének növelése a másik értékének a növekedését eredményezi. Ha (X, Y) < 0, akkor negatív irányú függésről beszélünk: az egyik értékének növelése a másik értékének a csökkenését eredményezi. Ha (X, Y) = 0, akkor korrelálatlanságról beszélünk. (Nem tévesztendő össze a függetlenséggel, ami egy erősebb dolog.) 37

38 Tétel Legyen X = (x 1,..., x n ) és Y = (y 1,..., y n ) olyan, hogy s(x) 0 és s(y) 0. Ekkor (X, Y) 1 és egyenlőség pontosan akkor áll fenn, ha léteznek olyan a, b R valós számok, hogy Y = ax + b, azaz y i = ax i + b minden i = 1,...,n re. Utóbbi esetben lineáris kapcsolatról beszélünk. Továbbá, a > 0, illetve a < 0 aszerint, hogy (X, Y) = 1, illetve (X, Y) = 1. 38

39 Bizonyítás. A Cauchy Schwarz egyenlőtlenség alapján: ( n n ) 1/2 n (x i x)(y i y) (x i x) 2 (y i y) 2, melyből átrendezéssel adódik az állítás. Egyenlőség pontosan akkor teljesül, ha (x 1 x,...,x n x) és (y 1 x,...,y n x) lineárisan függőek. Mivel s(x) 0 és s(y) 0, kapjuk, hogy pontosan akkor teljesül egyenlőség, ha létezik olyan a R, hogy y i y = a(x i x) minden i = 1,...,n esetén. Innen közvetlenül adódik, hogy y i = ax i + b, ahol b := y a x. 39

40 Ha Y = ax + b, ahol a > 0, akkor (X, Y) = c(x, ax + B) a c(x, X) = s(x)s(ax + b) a s(x)s(x) = 1. Ha Y = ax + b, ahol a < 0, akkor (X, Y) = c(x, ax + B) a c(x, X) = s(x)s(ax + b) a s(x)s(x) = 1. Összefoglalva: a s együttható a [ 1, 1] intervallumon (skálán) méri két folytonos kapcsolatának az erősségét. A skála két végpontja esetén a kapcsolat lineáris (Y = ax + b), a 1 végpont esetén a < 0, a +1 végpont esetén pedig a > 0. 40

41 Példa (olyan determinisztikus kapcsolatra, amelynél a k korrelálatlanok) Tekintsük az alábbi mintát: Ekkor x = 0, (x 1, y 1 ) = (1, 1), (x 2, y 2 ) = ( 1, 1), (x 3, y 3 ) = (2, 8), (x 4, y 4 ) = ( 2, 8). y = = 4.5, 4 xy = = 0, 4 így c(x, Y) = 0 és (X, Y) = 0. X és Y között determinisztikus kapcsolat van: y i = x 3 i, i = 1, 2, 3, 4. 41

42 Példa (A tapasztalati s együttható számolása) A minta: X: 1, 2, -1, 2, 1 Y: 2, 4, 0, 8, 1 Mivel x = 1 és y = 3 a centralizált minta: X x: 0, 1, -2, 1, 0 Y y: -1, 1, -3, 5, -2 c(x, Y) = 0 ( 1)+1 1+( 2) ( 3) ( 2) 5 =2.4, s 2 (X) = 1 5 ( ( 2) ) = 1.2, s 2 (Y) = 1 5 (( 1) ( 3) ( 2) 2 ) = 8. Ezért: (X, Y) = 2.4/ =

43 Lineáris regresszió Láttuk, hogy maximális (azaz 1) abszolút értékű s együttható lineáris kapcsolatot jelent a k között. Hogyan lehet ennek a kapcsolatnak az együtthatóit meghatározni a minta alapján? Általánosabban, az Y függő t szeretnénk az X magyarázó lineáris függvényével közelíteni: Y ax + b. Milyen a és b valós együtthatókat válasszunk az (X, Y)-ra vonatkozó n elemű minta ismeretében? Először az elemi hibákat (veszteségeket) definiáljuk az alábbi módon e i := y i (ax i + b), i = 1,..., n. Ezután ezen (elemi) hibákból egy összesített hibát (rizikót) állítunk elő. Végül az így kapott összesített hibát, mint célfüggvényt minimalizáljuk az a és b együtthatók függvényében. Ez egy szélsőértékszámítási (optimalizációs). 43

44 A legkisebb négyzetek módszere Az együtthatók meghatározására használt legelterjedtebb elv a legkisebb négyzetek módszere. Ekkor az összesí tett hiba az elemi hibák négyzeteinek összege: E(a, b) := n ei 2 = Szélsőértékszámítási : n (y i (ax i + b)) 2. min (a,b) R 2 E(a, b). Az E függény előnye, hogy a szélsőértékszámítási megoldásánál támaszkodhatunk a differenciálszámítás eszköztárára, hiszen az E : R 2 R függvény mindkét ja szerint akárhányszor differenciálható. 44

45 Ismert, hogy az E : R 2 R függvénynek (â, b) lokális minimumhelye, ha (i) (â, b) stacionárius pont, azaz az elsőrendű parciális deriváltakból álló ún. gradiens vektorra E a (â, b) = 0, E b (â, b) = 0; (ii) a másodrendű parciális deriváltakból álló ún. Hesse mátrix pozitív definit az (â, b) helyen, azaz ( ) ( 2 E (â, b) 2 E u v a 2 a b (â, b) ) (u ) 2 E a b (â, b) > 0 2 E(â, b) v b 2 minden (u, v) (0, 0) esetén, vagy ekvivalens módon u 2 2 E a 2 (â, b)+2uv 2 E a b (â, b)+v 2 2 E b 2(â, b) > 0 minden u, v R, u 2 + v 2 > 0 esetén. 45

46 A regressziós együtthatók meghatározása I. Az E gradiens vektorára kapjuk, hogy E n b (a, b) =2 (y i (ax i + b))( 1) = 0, E n a (a, b) =2 (y i (ax i + b))( x i ) = 0. Ebből átrendezéssel kapjuk az alábbi ún. normál egyenleteket: a n a x 2 i n x i + bn = + b n x i = n y i, n x i y i. 46

47 A regressziós együtthatók meghatározása II. A normálegyenletek az x = 1 n n x i, y = 1 n n y i, x 2 = 1 n n x 2 i, xy = 1 n n x i y i, jelölések bevezetésével az alábbi egyszerűbb alakot öltik: a x + b =y, a x 2 + b x =xy, melyeket írhatunk mátrixos alakban is: ( )( ) 1 x b x x 2 = a ( ) y. xy 47

48 A regressziós együtthatók meghatározása III. Az első egyenletből kapjuk, hogy b = y a x. Ezt a második egyenletbe behelyettesítve adódik a megoldás: â = xy x y x 2 x 2, b = y xy x y x 2 x 2 x, amennyiben x 2 x 2. Ez utóbbi akkor és csak akkor teljesül, ha az X re vett minta nem konstans, ugyanis ( n n ) 2 x 2 = x 2 n xi 2 = x i, illetve a Cauchy Schwarz egyenlőtlenség szerint ( n ) 2 n x i n és egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn, ha d R, hogy x i = d, i = 1,...,n. x 2 i 48

49 A regressziós együtthatók meghatározása IV. Mivel a másodrendű parciális deriváltak: 2 E n a 2 (a, b) = 2 xi 2, 2 E n a b (a, b) = 2 x i, 2 E b2(a, b) = 2n, a Hesse mátrix tetszőleges (a, b) R 2 helyen ( 2 n x i 2 2 n x ) i 2 n x i 2n Ez pozitív definit, hiszen u 2 2 n x 2 i + 2uv2 n x i + v 2 2n = 2 n (ux i + v) 2 > 0 ha u, v R, u 2 + v 2 > 0 és az X re vett minta nem konstans. 49

50 A regressziós együtthatók meghatározása V. Egyetlen dolgot kell még ellenőriznünk: az E függvény egyetlen lokális minimumhelye egyben globális minimumhely is. Ehhez elég belátni, hogy az E függvény szigorúan konvex. Ugyanis, ha egy szigorúan konvex függvénynek van lokális minimuma az szükségképpen globális minimum is. Az E szigorú konvexségéhez elég ellenőriznünk, hogy a Hesse-mátrixának sarokfőminorai pozitívak, azaz azt, hogy 2 n n 4 n x i 2 x 2 i > 0 és ( n ) 2 x i = 4n 2 (x 2 (x) 2 ) > 0. Ezek teljesülnek, hiszen az X re vett minta nem konstans. Ezzel beláttuk, hogy a normál egyenletek egyértelmű megoldása valóban globális minimumhelyet határoz meg. 50

51 A Felhasználva, hogy c(x, Y) = xy x y és azt, hogy a Steiner formula alapján s 2 (X) = x 2 x 2, a regressziós együtthatókat a következő alakban is felírhatjuk: â = (X, Y) s(y) s(x), b = y (X, Y) s(y) s(x) x. A át megoldó egyenes egyen letét, az ún. t az alábbi alakokban írhatjuk fel: Y = xy x y x 2 x 2 X + y xy x y x 2 x 2 x, Y = (X, Y) s(y) X + y (X, Y)s(Y) s(x) s(x) x. 51

52 Feltételezve, hogy az Y ra vett minta sem konstans, a másodikat átrendezve kapjuk, hogy Y y s(y) = (X, Y)X x s(x), azaz a két minta standardizálása után egy origón átmenő egyenest kapunk, melynek meredeksége a tapasztalati s együttható. 52

53 Nem Csak azzal a speciális esettel foglalkozunk, amikor az Y függő t szeretnénk az X magyarázó hatvány függvényével közelíteni: Y b a X, ahol feltételezzük, hogy a valódi a és b paraméterek pozitívak. Milyen a és b valós együtthatókat válasszunk az (X, Y)-ra vonatkozó n elemű minta ismeretében? A legkisebb négyzetek elve alapján olyan a és b értékeket választunk, melyekre az alábbi összesített hiba minimális: n (y i ba x i ) 2. Ezen nemlineáris szélsőértékszámítási megoldása helyett azonban sokszor az alábbi lineáris (így egyszerűbb) ot oldjuk meg. 53

54 Az eredeti s ot visszavezetjük egy s megoldására, linearizálunk: ln(y) ln(a)x + ln(b). Az (x i, ln(y i )), i = 1,...,n minta ismeretében az ln(a) és ln(b) paraméterek legkisebb négyzetes becslése teljesíti az alábbi normálegyenletet: ( )( ) ( ) 1 x ln(b) ln(y) =. x x 2 ln(a) x ln(y) 54

55 A korábbiak alapján, ha az X-re vett minta nem konstans, akkor az ln(a) és ln(b) paraméterek legkisebb négyzetes becslése egyértelmű: ln(a) = x ln(y) x ln(y) x 2 x 2, ln(b) x ln(y) x ln(y) = ln(y) x 2 x 2 x. Így az a és b paraméterek becslése: â = e ln(a), b = e ln(b). 55

56 A s és linearizáltjának a kapcsolata Legyenek az (X, Y) párra vonatkozó megfigyeléseink (x i, y i ), i = 1,...,n, ahol y i > 0, i = 1,...,n, és az X-re vett minta nem konstans. Vizsgáljuk meg az alábbi két közötti kapcsolatot. I. Legyen E 1 : R R R, n E 1 (u, v) := (ln(y i ) (ux i + v)) 2, u, v R. Minimalizáljuk E 1 -et és jelölje (û, v) a minimumhelyet. II. Legyen E 2 : (0, ) (0, ) R, n E 2 (a, b) := (y i ba x i ) 2, a, b > 0. Minimalizáljuk E 2 -t és jelölje (â, b) a minimumhelyet, melyről feltételezzük, hogy egyértelmű. Igaz-e, hogy (â, b) = (eû, e v )? 56

57 Az I. megoldása: û = x ln(y) x ln(y) x 2 x 2, v = ln(y) A II. megoldása: a x ln(y) x ln(y) x 2 x 2 x. E 2 a (a, b) = 0, E 2 (a, b) = 0, b egyenletrendszer az alábbi alakot ölti: n (y i ba x i )x i a x i = 0, n (y i ba x i )a x i = 0. Ezt általában nem tudjuk explicit módon megoldani. 57

58 Az (â, b) = (eû, e v ) összefüggés általában nem igaz. Példát adunk arra is, mikor teljesül és arra is, mikor nem. 1. Példa: Legyen n = 3 és (x 1, y 1 ) := (1, 6), (x 2, y 2 ) := (2, 18), (x 2, y 2 ) := (3, 54). Ekkor û , v , â = 3, b = 2, és teljesül az (â, b) = (eû, e v ) összefüggés. Továbbá, E 1 (û, v) 0, E 2 (â, b) = 0. 58

59 2. Példa: Legyen n = 3 és (x 1, y 1 ) := (1, 4), (x 2, y 2 ) := (2, 22), (x 2, y 2 ) := (3, 50). Ekkor û , v , eû , e v , â , b , és nem teljesül az (â, b) = (eû, e v ) összefüggés. Továbbá, E 1 (û, v) , E 2 (â, b) , azaz a s modell illeszkedik jobban. 59

60 Az előző példából legalább két tanulság is leszűrhető: a s nak és linearizáltjának a megoldása nem ekvivalens egymással. alapértelmezés szerint egyik módszer sem tekinthető jobbnak a másiknál, hiszen az egyik esetben egy nemlineáris egyenletrendszert kell megoldanunk, a másik esetben pedig linearizálunk. Azt, hogy melyik módszerrel kapott becslést fogadjuk el további vizsgálatok, szakmai megfontolások dönthetik el. 60

61 Példa: Moore törvény Gordon Moore, az Intel egyik alapítója fogalmazta meg 1975 ben: Az integrált áramkörökben lévő tranzisztorok száma minden 24. hónapban (azaz 2 évente) megduplázódik. Copyright: Intel Corporation. A függőleges tengelyen a tranzisztorok számának logaritmusa van ábrázolva. 61

62 Diszkrét és folytonos kapcsolata a k közötti ok okozati viszony esetén Ha a magyarázó diszkrét, akkor azt faktornak nevezzük. Ha a magyarázó folytonos, akkor a kovariáns elnevezéssel élünk. Statisztikai módszerek: Diszkrét magyarázó és folytonos függő : szórásanalízis. Folytonos magyarázó és diszkrét függő : osztályozási. Grafikus módszerek: Diszkrét magyarázó és folytonos függő : csoportosított hisztogram és doboz ábra. Folytonos magyarázó és diszkrét függő : halmozott hisztogram. 62

63 I. Figyeljük meg az Y folytonos t és az F (diszkrét) faktort (ez a korábban X szel jelölt magyarázó ). A minta: (y 1, f 1 ),(y 2, f 2 ),...,(y n, f n ). Tegyük fel, hogy az F faktor k értéket vehet fel, amelyeket nyilván kódolhatunk az 1, 2,...,k számokkal. Ezeket az értékeket szinteknek nevezzük. 63

64 II. A k szint alapján a mintát az alábbi módon oszthatjuk fel: y 11,y 12,...,y 1n1 y 21,y 22,...,y 2n2. y k1,y k2,...,y knk Az i edik sor előállítása: az (y l, f l ), l = 1,...,n mintaelemek közül megkeressük azokat, melyeknél f l = i, a hozzájuk tartozó y ok alkotják az i edik szinthez tartozó megfigyeléseket: y ij nél az első index a szintet, a második pedig a szinten belüli sorrendet jelöli. Nyilván, k n i = n. Kérdés: van e szerepe a faktornak, mennyire magyarázza a mintaelemeknek a (teljes) mintaátlag körüli szóródását? 64

65 III. Vezessük be az alábbi jelöléseket: y i := 1 n i y := 1 n Q T := Q K := Q B := n i j=1 y ij k n i j=1 y ij az i edik szint átlaga, teljes átlag, k n i (y ij y ) 2 teljes, j=1 k n i (y i y ) 2 külső, j=1 k n i (y ij y i ) 2 belső. j=1 65

66 Megjegyzés Q K = k n i (y i y ) 2. használatosak még az alábbi jelölések is: Q T = SST, Q K = SSK, Q B = SSB, ahol SS=Sum of Squares és T=teljes, K=külső, B=belső. 66

67 Tétel () Q T = Q K + Q B (SST = SSK + SSB). Bizonyítás. Alkalmazzuk a teve szabályt: (y ij y ) 2 = ((y ij y i )+(y i y )) 2 = (y ij y i ) 2 +(y i y ) 2 + 2(y ij y i )(y i y ) Világos, hogy elég belátni k n i (y ij y i )(y i y ) = 0. j=1 Ez következik abból, hogy mivel y i y nem függ j től, ezért a belső szummából kiemelhető és y i definíciója alapján n i n i (y ij y i ) = y ij n i y i = 0. j=1 j=1 67

68 Heurisztika A szórásfelbontásból következtethetünk a két közötti függőség erősségére. Ha a Q K külső relatíve nagy a Q B belső hez képest, akkor ez arra utal, hogy az Y ra vett együttes mintában lévő ingadozás elsősorban a szintek közötti különbségből adódik. Így az F faktor hatással van az Y függő ra. Ha viszont a Q K külső relatíve kicsi a Q B belső hez képest, akkor ez arra utal, hogy az Y ra vett együttes mintában lévő inga dozást elsősorban a szinteken belüli ingadozások magyarázzák. Így az F faktor nincs hatással az Y függő ra. 68

69 H 2 mutató H 2 := Q K Q T [0, 1]. Értelmezés: H 2 az Y tapasztalati ének az F faktor által megmagyarázott hányada. A H 2 = Q K /Q T tört számlálójában a Q K külső annak felel meg, hogy minden egyes szint esetén a szint összes mintaelemét a szint átlagával helyettesítjük és, ha ez a kicsi a teljes hez képest, akkor az F faktor csak kicsit magyarázza az Y mintaelemek szóródását. A heurisztika pontosítására a későbbiekben kerül sor. Nyilván, H 2 = Q K Q T = 1 Q B Q T. 69

70 Megjegyzés H 2 = 0 Q K = 0 y 1 = = y k = y, azaz minden szint átlaga megegyezik a teljes mintaátlaggal. A szintek között átlag szempontjából nincs különbség, a faktornak nincs szerepe. H 2 = 1 Q B = 0 y ij = y i, i = 1,...,k, j = 1,...,n i. Ez abban az értelemben függvényszerű kapcsolat, hogy ha megmondjuk, hogy melyik szintről van szó és, hogy mennyi az adott szint átlaga, akkor ezzel az adott szinthez tartozó összes mintaelemet is megmondtuk. 70

71 Teljes, külső és belső Teljes (tapasztalati) : s 2 T := Q T n Külső (tapasztalati) : s 2 K := Q K n Belső (tapasztalati) : s 2 B := Q B n Az i edik szinten belüli (tapasztalati) rész : ni si 2 j=1 := (y ij y i ) 2, i = 1,...,k. n i 71

72 Megjegyzés s 2 T = s2 K + s2 B, k ni sb 2 = j=1 (y ij y i ) 2 n = k n is 2 i n azaz a rész eknek az egyes szintekhez tartozó mintaelemek számával súlyozott számtani közepe a belső, és nem a teljes. H 2 = s2 K s 2 T = 1 s2 B st 2., 72

73 Ha az Y függő diszkrét, akkor osztályozási ról beszélünk. Ekkor ugyanis Y értékei egy egy csoportot jelölnek ki, és az X folytonos (valós értékű) magyarázó (kovariáns) segítségével akarjuk azt eldönteni, hogy a megfigyelés (rekord) melyik csoportba tartozik. Bináris osztályozási : Y értékei 0 vagy 1. Ekkor a mintát két csoportba, egy 0 ás és egy 1 es csoportba oszthatjuk. Az alábbiakban csak ezzel foglalkozunk. Példa Tranzakciók vizsgálata (csalás legális). Ügyfélszegmentáció (jó rossz ügyfél). Betegség felismerés (igen nem). Döntésfüggvény: egy d : R {0, 1} függvény, amellyel a számegyenest két részre bontjuk. A két részhalmaznak feleltetjük meg ezután a két csoportot. 73

74 A leírása: minden mintaelemet a 0 ás vagy 1 es csoportba szeretnénk besorolni. Már rendelkezésre áll egy 0 ás minta, illetve egy 1 es minta (azaz vannak mintaelemeink, melyeket a 0 ás, illetve az 1 es csoportba már besoroltunk). Vezesük be az alábbi jelöléseket: x 0 : a 0 ás minta mintaátlaga, s0 2: a 0 ás minta korrigálatlan emipirikus e, x 1 : az 1 es minta mintaátlaga, s 2 1 : az 1 es minta korrigálatlan emipirikus e. 74

75 Lineáris döntésfüggvény Tegyük fel, hogy s 2 0 = s2 1. Az x mintaelemet akkor soroljuk a 0 ás csoportba, ha x (½{x 0 >x 1 } ½{x 0 x 1 }) (½{x 0 >x 1 } ½{x 0 x 1 } )x 0 + x 1. 2 (1) Azaz x 0 > x 1 esetén az x mintaelemet akkor soroljuk a 0 ás csoportba, ha míg x 0 x 1 x x 0 + x 1, 2 esetén akkor, ha x x 0 + x 1. 2 Ekkor d : R {0, 1}, d(x) := 0, ha x R olyan, hogy (1) teljesül, egyébként pedig d(x) := 1. 75

76 Kvadratikus döntésfüggvény Az x mintaelemet akkor soroljuk a 0 ás csoportba, ha ( x x0 s 0 ) 2 ( ) x 2 ln s0 2 x1 ln s1 2 s. (2) 1 Ekkor d : R {0, 1}, d(x) := 0, ha x R olyan, hogy (2) teljesül, egyébként pedig d(x) := 1. Megj. Ellenőrizhető, hogy x 0 x 1 és s0 2 = s2 1 esetén a kvadratikus döntésfüggvénnyel is ugyanazt a döntést hozzuk meg, mint a lineáris döntésfüggvénnyel. Ha x 0 = x 1 és s0 2 = s2 1, akkor a kvadratikus döntésfüggvénnyel mindig a 0 ás csoportba soroljuk x et, a lineáris döntésfüggvénnyel nem mindig. A kérdéskörrel általánosabban foglalkozik a diszkriminancia analízis és a logisztikus regresszió. 76

77 Több kapcsolata Ilyen kapcsolatok vizsgálatára a statisztika egy rendkívül szerteágazó eszköztárat hozott létre (többs statisztikai módszerek). Valójában ezek a módszerek képezik a statisztikai szoftverek gerincét. Ezek közül egy hatékony leíró, vizualizációs eszköz az ún. többdimenziós (MDS: multidimensional scaling). A módszer során a megfigyeléseinket (az adatbázis rekordjait) ábrázoljuk egy alacsony (2 vagy 3) dimenziós térben. Legyenek a vizsgált statisztikai k X 1, X 2,..., X p, melyeket egy vektorba írunk: X := (X 1, X 2,..., X p ). Az X re vonatkozó megfigyelések, melyek szintén vektorok (az adatbázis rekordjai vagy sorai), pedig legyenek: x 1, x 2,...,x n. Ez egy ún. többdimenziós minta. 77

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 3 III. VÉLETLEN VEKTOROK 1. A KÉTDIMENZIÓs VÉLETLEN VEKTOR Definíció: Az leképezést (kétdimenziós) véletlen vektornak nevezzük, ha Definíció:

Részletesebben

Statisztika - bevezetés Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc 1

Statisztika - bevezetés Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc 1 Statisztika - bevezetés 00.04.05. Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc Bevezetés Véletlen jelenség fogalma jelenséget okok bizonyos rendszere hozza létre ha mindegyik figyelembe vehető egyértelmű leírás általában

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 4 IV. MINTA, ALAPsTATIsZTIKÁK 1. MATEMATIKAI statisztika A matematikai statisztika alapfeladatát nagy általánosságban a következőképpen

Részletesebben

Gauss-Jordan módszer Legkisebb négyzetek módszere, egyenes LNM, polinom LNM, függvény. Lineáris algebra numerikus módszerei

Gauss-Jordan módszer Legkisebb négyzetek módszere, egyenes LNM, polinom LNM, függvény. Lineáris algebra numerikus módszerei A Gauss-Jordan elimináció, mátrixinvertálás Gauss-Jordan módszer Ugyanazzal a technikával, mint ahogy a k-adik oszlopban az a kk alatti elemeket kinulláztuk, a fölötte lévő elemeket is zérussá lehet tenni.

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 10 X. SZIMULÁCIÓ 1. VÉLETLEN számok A véletlen számok fontos szerepet játszanak a véletlen helyzetek generálásában (pénzérme, dobókocka,

Részletesebben

Statisztika I. 11. előadás. Előadó: Dr. Ertsey Imre

Statisztika I. 11. előadás. Előadó: Dr. Ertsey Imre Statisztika I. 11. előadás Előadó: Dr. Ertsey Imre Összefüggés vizsgálatok A társadalmi gazdasági élet jelenségei kölcsönhatásban állnak, összefüggnek egymással. Statisztika alapvető feladata: - tényszerűségek

Részletesebben

Statisztikai következtetések Nemlineáris regresszió Feladatok Vége

Statisztikai következtetések Nemlineáris regresszió Feladatok Vége [GVMGS11MNC] Gazdaságstatisztika 10. előadás: 9. Regressziószámítás II. Kóczy Á. László koczy.laszlo@kgk.uni-obuda.hu Keleti Károly Gazdasági Kar Vállalkozásmenedzsment Intézet A standard lineáris modell

Részletesebben

Matematika (mesterképzés)

Matematika (mesterképzés) Matematika (mesterképzés) Környezet- és Településmérnököknek Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 1 / 29 Lineáris tér,

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

A mérési eredmény megadása

A mérési eredmény megadása A mérési eredmény megadása A mérés során kapott értékek eltérnek a mérendő fizikai mennyiség valódi értékétől. Alapvetően kétféle mérési hibát különböztetünk meg: a determinisztikus és a véletlenszerű

Részletesebben

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Középértékek és szóródási mutatók

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Középértékek és szóródási mutatók Matematikai alapok és valószínőségszámítás Középértékek és szóródási mutatók Középértékek A leíró statisztikák talán leggyakrabban használt csoportját a középértékek jelentik. Legkönnyebben mint az adathalmaz

Részletesebben

Alap-ötlet: Karl Friedrich Gauss ( ) valószínűségszámítási háttér: Andrej Markov ( )

Alap-ötlet: Karl Friedrich Gauss ( ) valószínűségszámítási háttér: Andrej Markov ( ) Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Gépészmérnöki Kar Hidrodinamikai Rendszerek Tanszék, Budapest, Műegyetem rkp. 3. D ép. 334. Tel: 463-6-80 Fa: 463-30-9 http://www.vizgep.bme.hu Alap-ötlet:

Részletesebben

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II.

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II. 8 Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II Elméleti összefoglaló Az a + b+ c, a egyenletet másodfokú egyenletnek nevezzük A D b ac kifejezést az egyenlet diszkriminánsának nevezzük Ha D >, az

Részletesebben

Korreláció és lineáris regresszió

Korreláció és lineáris regresszió Korreláció és lineáris regresszió Két folytonos változó közötti összefüggés vizsgálata Szűcs Mónika SZTE ÁOK-TTIK Orvosi Fizikai és Orvosi Informatikai Intézet Orvosi Fizika és Statisztika I. előadás 2016.11.02.

Részletesebben

Készítette: Fegyverneki Sándor

Készítette: Fegyverneki Sándor VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS Összefoglaló segédlet Készítette: Fegyverneki Sándor Miskolci Egyetem, 2001. i JELÖLÉSEK: N a természetes számok halmaza (pozitív egészek) R a valós számok halmaza R 2 {(x, y) x, y

Részletesebben

A maximum likelihood becslésről

A maximum likelihood becslésről A maximum likelihood becslésről Definíció Parametrikus becsléssel foglalkozunk. Adott egy modell, mellyel elképzeléseink szerint jól leírható a meghatározni kívánt rendszer. (A modell típusának és rendszámának

Részletesebben

Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat, megoldással,

Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat, megoldással, Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat, megoldással, levelező képzés Definiálja az alábbi fogalmakat! 1. Kvadratikus mátrix invertálhatósága és inverze. (4 pont) Egy A kvadratikus mátrixot invertálhatónak

Részletesebben

Regresszió. Csorba János. Nagyméretű adathalmazok kezelése március 31.

Regresszió. Csorba János. Nagyméretű adathalmazok kezelése március 31. Regresszió Csorba János Nagyméretű adathalmazok kezelése 2010. március 31. A feladat X magyarázó attribútumok halmaza Y magyarázandó attribútumok) Kérdés: f : X -> Y a kapcsolat pár tanítópontban ismert

Részletesebben

Segítség az outputok értelmezéséhez

Segítség az outputok értelmezéséhez Tanulni: 10.1-10.3, 10.5, 11.10. Hf: A honlapra feltett falco_exp.zip-ben lévő exploratív elemzések áttanulmányozása, érdekességek, észrevételek kigyűjtése. Segítség az outputok értelmezéséhez Leiro: Leíró

Részletesebben

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének 6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük

Részletesebben

Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai 1.

Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai 1. Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai.). Feladat. Határozzuk meg az alábbi integrálokat: a) x x + dx d) xe x dx b) c)

Részletesebben

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Gazdasági matematika II tárgy gyakorlataihoz a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottnak tekintjük a nehezebb

Részletesebben

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII.

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Magasabbfokú egyenletek: A 3, vagy annál nagyobb fokú egyenleteket magasabb fokú egyenleteknek nevezzük. Megjegyzés: Egy n - ed fokú egyenletnek legfeljebb n darab valós

Részletesebben

Matematikai geodéziai számítások 5.

Matematikai geodéziai számítások 5. Matematikai geodéziai számítások 5 Hibaterjedési feladatok Dr Bácsatyai László Matematikai geodéziai számítások 5: Hibaterjedési feladatok Dr Bácsatyai László Lektor: Dr Benedek Judit Ez a modul a TÁMOP

Részletesebben

Matematika III. harmadik előadás

Matematika III. harmadik előadás Matematika III. harmadik előadás Kézi Csaba Debreceni Egyetem, Műszaki Kar Debrecen, 2013/14 tanév, I. félév Kézi Csaba (DE) Matematika III. harmadik előadás 2013/14 tanév, I. félév 1 / 13 tétel Az y (x)

Részletesebben

STATISZTIKA. András hármas. Éva ötös. Nóri négyes. 5 4,5 4 3,5 3 2,5 2 1,5 ANNA BÉLA CILI 0,5 MAGY. MAT. TÖRT. KÉM.

STATISZTIKA. András hármas. Éva ötös. Nóri négyes. 5 4,5 4 3,5 3 2,5 2 1,5 ANNA BÉLA CILI 0,5 MAGY. MAT. TÖRT. KÉM. STATISZTIKA 5 4,5 4 3,5 3 2,5 2 1,5 1 0,5 0 MAGY. MAT. TÖRT. KÉM. ANNA BÉLA CILI András hármas. Béla Az átlag 3,5! kettes. Éva ötös. Nóri négyes. 1 mérés: dolgokhoz valamely szabály alapján szám rendelése

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

A brachistochron probléma megoldása

A brachistochron probléma megoldása A brachistochron probléma megoldása Adott a függőleges síkban két nem egy függőleges egyenesen fekvő P 0 és P 1 pont, amelyek közül a P 1 fekszik alacsonyabban. Azt a kérdést fogjuk vizsgálni. hogy van-e

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 9 IX. ROBUsZTUs statisztika 1. ROBUsZTUssÁG Az eddig kidolgozott módszerek főleg olyanok voltak, amelyek valamilyen értelemben optimálisak,

Részletesebben

Matematikai geodéziai számítások 6.

Matematikai geodéziai számítások 6. Matematikai geodéziai számítások 6. Lineáris regresszió számítás elektronikus távmérőkre Dr. Bácsatyai, László Matematikai geodéziai számítások 6.: Lineáris regresszió számítás elektronikus távmérőkre

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 3 III. MEGFELELTETÉSEk, RELÁCIÓk 1. BEVEZETÉS Emlékeztetünk arra, hogy az rendezett párok halmazát az és halmazok Descartes-féle szorzatának nevezzük. Más szóval az és halmazok

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Biometria az orvosi gyakorlatban. Korrelációszámítás, regresszió

Biometria az orvosi gyakorlatban. Korrelációszámítás, regresszió SZDT-08 p. 1/31 Biometria az orvosi gyakorlatban Korrelációszámítás, regresszió Werner Ágnes Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék e-mail: werner.agnes@virt.uni-pannon.hu Korrelációszámítás

Részletesebben

Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla

Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, 0. október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Az előadáshoz ajánlott jegyzet: Szabó László: Bevezetés a lineáris algebrába, Polygon Kiadó, Szeged,

Részletesebben

Adatok statisztikai értékelésének főbb lehetőségei

Adatok statisztikai értékelésének főbb lehetőségei Adatok statisztikai értékelésének főbb lehetőségei 1. a. Egy- vagy kétváltozós eset b. Többváltozós eset 2. a. Becslési problémák, hipotézis vizsgálat b. Mintázatelemzés 3. Szint: a. Egyedi b. Populáció

Részletesebben

Matematikai statisztika c. tárgy oktatásának célja és tematikája

Matematikai statisztika c. tárgy oktatásának célja és tematikája Matematikai statisztika c. tárgy oktatásának célja és tematikája 2015 Tematika Matematikai statisztika 1. Időkeret: 12 héten keresztül heti 3x50 perc (előadás és szeminárium) 2. Szükséges előismeretek:

Részletesebben

[Biomatematika 2] Orvosi biometria

[Biomatematika 2] Orvosi biometria [Biomatematika 2] Orvosi biometria 2016.02.08. Orvosi biometria (orvosi biostatisztika) Statisztika: tömegjelenségeket számadatokkal leíró tudomány. A statisztika elkészítésének menete: tanulmányok (kísérletek)

Részletesebben

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 15 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 151 Lineáris egyenletrendszer, Gauss elimináció 1 Definíció Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az (1) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a

Részletesebben

GVMST22GNC Statisztika II.

GVMST22GNC Statisztika II. GVMST22GNC Statisztika II. 4. előadás: 9. Kétváltozós korreláció- és regressziószámítás Kóczy Á. László koczy.laszlo@kgk.uni-obuda.hu Keleti Károly Gazdasági Kar Vállalkozásmenedzsment Intézet Korrelációszámítás

Részletesebben

Miért fontos számunkra az előző gyakorlaton tárgyalt lineáris algebrai ismeretek

Miért fontos számunkra az előző gyakorlaton tárgyalt lineáris algebrai ismeretek Az november 23-i szeminárium témája Rövid összefoglaló Miért fontos számunkra az előző gyakorlaton tárgyalt lineáris algebrai ismeretek felfrissítése? Tekintsünk ξ 1,..., ξ k valószínűségi változókat,

Részletesebben

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al: Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x

Részletesebben

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé.

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. HA 1 Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) HA 2 Halmazok HA 3 Megjegyzések A halmaz, az elem és az eleme fogalmakat nem definiáljuk, hanem alapfogalmaknak

Részletesebben

Matematikai geodéziai számítások 5.

Matematikai geodéziai számítások 5. Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara Dr Bácsatyai László Matematikai geodéziai számítások 5 MGS5 modul Hibaterjedési feladatok SZÉKESFEHÉRVÁR 2010 Jelen szellemi terméket a szerzői jogról

Részletesebben

9. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 9. előadás Mátrix inverze, mátrixegyenlet

9. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 9. előadás Mátrix inverze, mátrixegyenlet 9. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 75. 84. oldal. Gondolkodnivalók Mátrix rangja 1. Gondolkodnivaló Határozzuk meg a p valós paraméter értékétől függően a következő mátrix rangját: p 3 1 2 2

Részletesebben

MÉRÉSI EREDMÉNYEK PONTOSSÁGA, A HIBASZÁMÍTÁS ELEMEI

MÉRÉSI EREDMÉNYEK PONTOSSÁGA, A HIBASZÁMÍTÁS ELEMEI MÉRÉSI EREDMÉYEK POTOSSÁGA, A HIBASZÁMÍTÁS ELEMEI. A mérési eredmény megadása A mérés során kapott értékek eltérnek a mérendő fizikai mennyiség valódi értékétől. Alapvetően kétféle mérési hibát különböztetünk

Részletesebben

A mérés problémája a pedagógiában. Dr. Nyéki Lajos 2015

A mérés problémája a pedagógiában. Dr. Nyéki Lajos 2015 A mérés problémája a pedagógiában Dr. Nyéki Lajos 2015 A mérés fogalma Mérésen olyan tevékenységet értünk, amelynek eredményeként a vizsgált jelenség számszerűen jellemezhetővé, más hasonló jelenségekkel

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 4 IV. FÜGGVÉNYEk 1. LEkÉPEZÉSEk, függvények Definíció Legyen és két halmaz. Egy függvény -ből -ba egy olyan szabály, amely minden elemhez pontosan egy elemet rendel hozzá. Az

Részletesebben

1. előadás. Lineáris algebra numerikus módszerei. Hibaszámítás Számábrázolás Kerekítés, levágás Klasszikus hibaanalízis Abszolút hiba Relatív hiba

1. előadás. Lineáris algebra numerikus módszerei. Hibaszámítás Számábrázolás Kerekítés, levágás Klasszikus hibaanalízis Abszolút hiba Relatív hiba Hibaforrások Hiba A feladatok megoldása során különféle hibaforrásokkal találkozunk: Modellhiba, amikor a valóságnak egy közelítését használjuk a feladat matematikai alakjának felírásához. (Pl. egy fizikai

Részletesebben

10. Előadás. 1. Feltétel nélküli optimalizálás: Az eljárás alapjai

10. Előadás. 1. Feltétel nélküli optimalizálás: Az eljárás alapjai Optimalizálási eljárások MSc hallgatók számára 10. Előadás Előadó: Hajnal Péter Jegyzetelő: T. Szabó Tamás 2011. április 20. 1. Feltétel nélküli optimalizálás: Az eljárás alapjai A feltétel nélküli optimalizálásnál

Részletesebben

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat.

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat. Poisson folyamatok, exponenciális eloszlások Azt mondjuk, hogy a ξ valószínűségi változó Poisson eloszlású λ, 0 < λ

Részletesebben

karakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja

karakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja Mátrixok hasonlósága, karakterisztikus mátrix, karakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja 1.Mátrixok hasonlósága, karakterisztikus mátrix, karakterisztikus

Részletesebben

Matematikai statisztikai elemzések 5.

Matematikai statisztikai elemzések 5. Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara Prof. Dr. Závoti József Matematikai statisztikai elemzések. MSTE modul Kapcsolatvizsgálat: asszociáció vegyes kapcsolat korrelációszámítás. Varianciaanalízis

Részletesebben

LINEÁRIS ALGEBRA. matematika alapszak. Euklideszi terek. SZTE Bolyai Intézet, őszi félév. Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40

LINEÁRIS ALGEBRA. matematika alapszak. Euklideszi terek. SZTE Bolyai Intézet, őszi félév. Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40 LINEÁRIS ALGEBRA matematika alapszak SZTE Bolyai Intézet, 2016-17. őszi félév Euklideszi terek Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40 Euklideszi tér Emlékeztető: A standard belső szorzás és standard

Részletesebben

Biostatisztika VIII. Mátyus László. 19 October

Biostatisztika VIII. Mátyus László. 19 October Biostatisztika VIII Mátyus László 19 October 2010 1 Ha σ nem ismert A gyakorlatban ritkán ismerjük σ-t. Ha kiszámítjuk s-t a minta alapján, akkor becsülhetjük σ-t. Ez további bizonytalanságot okoz a becslésben.

Részletesebben

DIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC

DIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC BSC MATEMATIKA II. MÁSODRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK BSc. Matematika II. BGRMAHNND, BGRMAHNNC MÁSODRENDŰ DIFFERENCIÁLEGYENLETEK Egy explicit közönséges másodrendű differenciálegyenlet általános

Részletesebben

Többváltozós lineáris regressziós modell feltételeinek

Többváltozós lineáris regressziós modell feltételeinek Többváltozós lineáris regressziós modell feltételeinek tesztelése I. - A hibatagra vonatkozó feltételek tesztelése - Petrovics Petra Doktorandusz Többváltozós lineáris regressziós modell x 1, x 2,, x p

Részletesebben

6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban?

6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? 6. Függvények I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? f x g x cos x h x x ( ) sin x (A) Az f és a h. (B) Mindhárom. (C) Csak az f.

Részletesebben

Matematika. 4. konzultáció: Kétváltozós függvények szélsőértéke. Parciális függvény, parciális derivált

Matematika. 4. konzultáció: Kétváltozós függvények szélsőértéke. Parciális függvény, parciális derivált Matematika 1 NYME KTK, Egyetemi kiegészítő alapképzés 2004/2005. tanév, I. évf. I.félév Budapest Előadó: Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet 9400 Sopron, Bajcsy Zs. u. 9. GT fszt. 3. (99) 518

Részletesebben

I. Gondolkodási műveletek

I. Gondolkodási műveletek I. Gondolkodási műveletek 1. Halmazok 1.1. A halmaz mint alapfogalom A halmaz és annak eleme a matematikában alapfogalmak, azaz nem definiáljuk őket. Akkor mondhatjuk, hogy adott tulajdonságú dolgok együttese,

Részletesebben

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek A másodfokú egyenlet grafikus megoldása Példa1. Ábrázold az f(x) = x 1x 16 függvényt, majd olvasd le az ábráról az alábbi egyenlet megoldását: x 1x 16 =. 1. lépés:

Részletesebben

Szélsőérték feladatok megoldása

Szélsőérték feladatok megoldása Szélsőérték feladatok megoldása A z = f (x,y) függvény lokális szélsőértékének meghatározása: A. Szükséges feltétel: f x (x,y) = 0 f y (x,y) = 0 egyenletrendszer megoldása, amire a továbbiakban az x =

Részletesebben

Varianciaanalízis 4/24/12

Varianciaanalízis 4/24/12 1. Feladat Egy póker kártya keverő gép a kártyákat random módon választja ki. A vizsgálatban 1600 választott kártya színei az alábbi gyakorisággal fordultak elő. Vizsgáljuk meg, hogy a kártyák kiválasztása

Részletesebben

Új típusú döntési fa építés és annak alkalmazása többtényezős döntés területén

Új típusú döntési fa építés és annak alkalmazása többtényezős döntés területén Új típusú döntési fa építés és annak alkalmazása többtényezős döntés területén Dombi József Szegedi Tudományegyetem Bevezetés - ID3 (Iterative Dichotomiser 3) Az ID algoritmusok egy elemhalmaz felhasználásával

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 8 VIII VEkTOROk 1 VEkTOR Vektoron irányított szakaszt értünk Jelölése: stb Vektorok hossza A vektor abszolút értéke az irányított szakasz hossza Ha a vektor hossza egységnyi akkor

Részletesebben

III. Kvantitatív változók kapcsolata (korreláció, regresszió)

III. Kvantitatív változók kapcsolata (korreláció, regresszió) III. Kvantitatív változók kapcsolata (korreláció, regresszió) Tartalom Változók kapcsolata Kétdimenziós minta (pontdiagram) Regressziós előrejelzés (predikció) Korreláció Tanuló Kétdimenziós minta Tanulással

Részletesebben

A szimplex algoritmus

A szimplex algoritmus A szimplex algoritmus Ismétlés: reprezentációs tétel, az optimális megoldás és az extrém pontok kapcsolata Alapfogalmak: bázisok, bázismegoldások, megengedett bázismegoldások, degenerált bázismegoldás

Részletesebben

RE 1. Relációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!

RE 1. Relációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel! RE 1 Relációk Függvények RE 2 Definíció: Ha A, B és ρ A B, akkor azt mondjuk, hogy ρ reláció A és B között, vagy azt, hogy ρ leképezés A-ból B-be. Ha speciálisan A=B, azaz ρ A A, akkor azt mondjuk, hogy

Részletesebben

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság.

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság. 2. Közönséges differenciálegyenlet megoldása, megoldhatósága Definíció: Az y függvényt a valós számok H halmazán a közönséges differenciálegyenlet megoldásának nevezzük, ha az y = y(x) helyettesítést elvégezve

Részletesebben

Matematikai statisztikai elemzések 6.

Matematikai statisztikai elemzések 6. Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara Prof. Dr. Závoti József Matematikai statisztikai elemzések 6. MSTE6 modul Regressziószámítás: kétváltozós lineáris és nemlineáris regresszió, többváltozós

Részletesebben

Feladatok megoldásokkal az első gyakorlathoz (differencia- és differenciálhányados fogalma, geometriai és fizikai jelentése) (x 1)(x + 1) x 1

Feladatok megoldásokkal az első gyakorlathoz (differencia- és differenciálhányados fogalma, geometriai és fizikai jelentése) (x 1)(x + 1) x 1 Feladatok megoldásokkal az első gyakorlathoz (differencia- és differenciálhányados fogalma, geometriai és fizikai jelentése). Feladat. Határozzuk meg az f(x) x 2 függvény x 0 pontbeli differenciahányados

Részletesebben

Khi-négyzet eloszlás. Statisztika II., 3. alkalom

Khi-négyzet eloszlás. Statisztika II., 3. alkalom Khi-négyzet eloszlás Statisztika II., 3. alkalom A khi négyzet eloszlást (Pearson) leggyakrabban kategorikus adatok elemzésére használjuk. N darab standard normális eloszlású változó négyzetes összegeként

Részletesebben

Tartalomjegyzék. Tartalomjegyzék Valós változós valós értékű függvények... 2

Tartalomjegyzék. Tartalomjegyzék Valós változós valós értékű függvények... 2 Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék... Valós változós valós értékű függvények... Hatványfüggvények:... Páratlan gyökfüggvények:... Páros gyökfüggvények... Törtkitevős függvények (gyökfüggvények hatványai)...

Részletesebben

Többváltozós, valós értékű függvények

Többváltozós, valós értékű függvények Többváltozós függvények Többváltozós, valós értékű függvények Többváltozós függvények Definíció: többváltozós függvények Azokat a függvényeket, melyeknek az értelmezési tartománya R n egy részhalmaza,

Részletesebben

Egyszempontos variancia analízis. Statisztika I., 5. alkalom

Egyszempontos variancia analízis. Statisztika I., 5. alkalom Statisztika I., 5. alkalom Számos t-próba versus variancia analízis Kreativitás vizsgálata -nık -férfiak ->kétmintás t-próba I. Fajú hiba=α Kreativitás vizsgálata -informatikusok -építészek -színészek

Részletesebben

Microsoft Excel 2010. Gyakoriság

Microsoft Excel 2010. Gyakoriság Microsoft Excel 2010 Gyakoriság Osztályközös gyakorisági tábla Nagy számú mérési adatokat csoportokba (osztályokba) rendezése -> könnyebb áttekintés Osztályokban szereplő adatok száma: osztályokhoz tartozó

Részletesebben

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 1

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 1 Halmazok 1 Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 2 A fejezet legfontosabb elemei Halmaz megadási módjai Halmazok közti műveletek (metszet,

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 2 II. A valószínűségi VÁLTOZÓ És JELLEMZÉsE 1. Valószínűségi VÁLTOZÓ Definíció: Az leképezést valószínűségi változónak nevezzük, ha

Részletesebben

1. Generátorrendszer. Házi feladat (fizikából tudjuk) Ha v és w nem párhuzamos síkvektorok, akkor generátorrendszert alkotnak a sík vektorainak

1. Generátorrendszer. Házi feladat (fizikából tudjuk) Ha v és w nem párhuzamos síkvektorok, akkor generátorrendszert alkotnak a sík vektorainak 1. Generátorrendszer Generátorrendszer. Tétel (Freud, 4.3.4. Tétel) Legyen V vektortér a T test fölött és v 1,v 2,...,v m V. Ekkor a λ 1 v 1 + λ 2 v 2 +... + λ m v m alakú vektorok, ahol λ 1,λ 2,...,λ

Részletesebben

Hódmezővásárhelyi Városi Matematikaverseny április 14. A osztályosok feladatainak javítókulcsa

Hódmezővásárhelyi Városi Matematikaverseny április 14. A osztályosok feladatainak javítókulcsa Hódmezővásárhelyi Városi Matematikaverseny 2003. április 14. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa 1. feladat Egy számtani sorozatot az első eleme és különbsége egyértelműen meghatározza, azt

Részletesebben

Kabos: Statisztika II. t-próba 9.1. Ha ismert a doboz szórása de nem ismerjük a

Kabos: Statisztika II. t-próba 9.1. Ha ismert a doboz szórása de nem ismerjük a Kabos: Statisztika II. t-próba 9.1 Egymintás z-próba Ha ismert a doboz szórása de nem ismerjük a doboz várhatóértékét, akkor a H 0 : a doboz várhatóértéke = egy rögzített érték hipotézisről úgy döntünk,

Részletesebben

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1 Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =

Részletesebben

Szélsőérték-számítás

Szélsőérték-számítás Szélsőérték-számítás Jelölések A következő jelölések mind az f függvény x szerinti parciális deriváltját jelentik: Ugyanígy az f függvény y szerinti parciális deriváltja: f x = xf = f x f y = yf = f y

Részletesebben

1. Adatok kiértékelése. 2. A feltételek megvizsgálása. 3. A hipotézis megfogalmazása

1. Adatok kiértékelése. 2. A feltételek megvizsgálása. 3. A hipotézis megfogalmazása HIPOTÉZIS VIZSGÁLAT A hipotézis feltételezés egy vagy több populációról. (pl. egy gyógyszer az esetek 90%-ában hatásos; egy kezelés jelentősen megnöveli a rákos betegek túlélését). A hipotézis vizsgálat

Részletesebben

Mérési adatok illesztése, korreláció, regresszió

Mérési adatok illesztése, korreláció, regresszió Mérési adatok illesztése, korreláció, regresszió Korreláció, regresszió Két változó mennyiség közötti kapcsolatot vizsgálunk. Kérdés: van-e kapcsolat két, ugyanabban az egyénben, állatban, kísérleti mintában,

Részletesebben

Relációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!

Relációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel! függvények RE 1 Relációk Függvények függvények RE 2 Definíció Ha A, B és ρ A B, akkor azt mondjuk, hogy ρ reláció A és B között, vagy azt, hogy ρ leképezés A-ból B-be. Ha speciálisan A=B, azaz ρ A A, akkor

Részletesebben

Kutatásmódszertan és prezentációkészítés

Kutatásmódszertan és prezentációkészítés Kutatásmódszertan és prezentációkészítés 10. rész: Az adatelemzés alapjai Szerző: Kmetty Zoltán Lektor: Fokasz Nikosz Tizedik rész Az adatelemzés alapjai Tartalomjegyzék Bevezetés Leíró statisztikák I

Részletesebben

STATISZTIKA. A maradék független a kezelés és blokk hatástól. Maradékok leíró statisztikája. 4. A modell érvényességének ellenőrzése

STATISZTIKA. A maradék független a kezelés és blokk hatástól. Maradékok leíró statisztikája. 4. A modell érvényességének ellenőrzése 4. A modell érvényességének ellenőrzése STATISZTIKA 4. Előadás Variancia-analízis Lineáris modellek 1. Függetlenség 2. Normális eloszlás 3. Azonos varianciák A maradék független a kezelés és blokk hatástól

Részletesebben

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek A másodfokú egyenlet grafikus megoldása Példa1. Ábrázold az f(x) = x + 1x + 16 függvényt, majd olvasd le az ábráról az alábbi egyenlet megoldását: x + 1x + 16 = 0.

Részletesebben

9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA. 9.1 Metrika és topológia R k -ban

9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA. 9.1 Metrika és topológia R k -ban 9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA 9.1 Metrika és topológia R k -ban Definíció. A k-dimenziós euklideszi térnek nevezzük és R k val jelöljük a valós számokból alkotott k-tagú x = (x 1, x

Részletesebben

6. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 6. előadás Bázis, dimenzió

6. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 6. előadás Bázis, dimenzió 6. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 37. 41. oldal. Gondolkodnivalók Lineáris függetlenség 1. Gondolkodnivaló Legyen V valós számtest feletti vektortér. Igazolja, hogy ha a v 1, v 2,..., v n V

Részletesebben

MATEMATIKA EMELT SZINTŰ SZÓBELI VIZSGA TÉMAKÖREI (TÉTELEK) 2005

MATEMATIKA EMELT SZINTŰ SZÓBELI VIZSGA TÉMAKÖREI (TÉTELEK) 2005 2005 1. * Halmazok, halmazműveletek, nevezetes ponthalmazok 2. Számhalmazok, halmazok számossága 3. Hatványozás, hatványfüggvény 4. Gyökvonás, gyökfüggvény 5. A logaritmus. Az exponenciális és a logaritmus

Részletesebben

Eloszlás-független módszerek (folytatás) 14. elıadás ( lecke) 27. lecke khí-négyzet eloszlású statisztikák esetszámtáblázatok

Eloszlás-független módszerek (folytatás) 14. elıadás ( lecke) 27. lecke khí-négyzet eloszlású statisztikák esetszámtáblázatok Eloszlás-független módszerek (folytatás) 14. elıadás (7-8. lecke) Illeszkedés-vizsgálat 7. lecke khí-négyzet eloszlású statisztikák esetszámtáblázatok elemzésére Illeszkedés-vizsgálat Gyakorisági sorok

Részletesebben

Taylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját!

Taylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Taylor-polinomok 205. április.. Alapfeladatok. Feladat: Írjuk fel az fx) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Megoldás: A feladatot kétféle úton is megoldjuk. Az els megoldásban induljunk el

Részletesebben

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok I. DEFINÍCIÓ: (Számsorozat) A számsorozat olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, értékkészlete a valós számok egy részhalmaza. Jelölés: (a n ), {a n }.

Részletesebben

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex A sorozat fogalma Definíció. A természetes számok N halmazán értelmezett függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet a valós számok halmaza, valós számsorozatról beszélünk, mígha az

Részletesebben

Függvények vizsgálata

Függvények vizsgálata Függvények vizsgálata ) Végezzük el az f ) = + polinomfüggvény vizsgálatát! Értelmezési tartomány: D f = R. Zérushelyek: Próbálgatással könnyen adódik, hogy f ) = 0. Ezután polinomosztással: + ) / ) =

Részletesebben

A Matematika I. előadás részletes tematikája

A Matematika I. előadás részletes tematikája A Matematika I. előadás részletes tematikája 2005/6, I. félév 1. Halmazok és relációk 1.1 Műveletek halmazokkal Definíciók, fogalmak: halmaz, elem, üres halmaz, halmazok egyenlősége, részhalmaz, halmazok

Részletesebben

Analízis előadás és gyakorlat vázlat

Analízis előadás és gyakorlat vázlat Analízis előadás és gyakorlat vázlat Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 2010-11. I. Félév 2 1. fejezet Számhalmazok és tulajdonságaik 1.1. Nevezetes számhalmazok ➀ a) jelölése: N b)

Részletesebben

Irányításelmélet és technika II.

Irányításelmélet és technika II. Irányításelmélet és technika II. Legkisebb négyzetek módszere Magyar Attila Pannon Egyetem Műszaki Informatikai Kar Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék amagyar@almos.vein.hu 200 november

Részletesebben