3. rész. Két változó kapcsolatának vizsgálata. Minden összefügg mindennel!? Komputerstatisztika kurzus
|
|
- Zsanett Molnár
- 8 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Két kapcsolatának vizsgálata Minden összefügg mindennel!? Komputerstatisztika kurzus Barczy Mátyás Informatikai Kar Debreceni Egyetem 1
2 A témái
3 A kapcsolat természete A statisztikai k (adatbázisok attributumainak) korábban megismert egyenkénti jellemzése leíró statisztikákkal és grafikus eszközökkel többnyire csak egy kezdeti lépés. A statisztikai k általában nem függetlenek egymástól, az egyes k értékei befolyásolják más k értékeit. A kapcsolat természete kétféle lehet: determinisztikus (függvényszerű): néhány egyértelműen (függvénnyel megadható módon) meghatározza más (k) értékét(eit), sztochasztikus (véletlenszerű): a fenti meghatározottság csak tendenciaszerű, bizonyos mértékű hiba erejéig érvényes. A kapcsolat irányultsága is kétféle lehet: aszimmetrikus: az egyik hat a másikra, pl. a viszony ok okozati, illetve időben eltérő, szimmetrikus: a k kölcsönösen hatnak egymásra, egyidejűek. 3
4 Példa (Determinisztikus kapcsolat) A hetente és havonta előállított termékek száma. (Az utóbbi az előbbiek összegzésével adódik). A kapcsolat aszimmetrikus abban az értelemben, hogy a havonta előállított termékek számából nem kapható meg a hetente előállított termékek száma, fordítva viszont igen. Az éves és a havi átlaghőmérsékletek. Egy termék vagy szolgáltatás ára és az áfa nagysága (20%-os áfa esetén az árat 0.2 del kell szorozni). A kapcsolat szimmetrikus abban az értelemben, hogy az áfa nagyságának ismeretében a termék ára és a kifizetett áfa kölcsönösen egyértelműen meghatározza egymást. 4
5 Példa (Sztochasztikus kapcsolat) Szemszín és a hajszín mint két diszkrét egyidejű kapcsolata (szimmetrikus kapcsolat). Testsúly és magasság mint két folytonos egyidejű kapcsolata (szimmetrikus kapcsolat). A termés nagysága és a különbőző termelési módok. A gépkocsi sebessége és a fékút hossza (aszimmetrikus kapcsolat). Az idő és a számítástechnikai eszközök fejlettsége (tárolókapacitás, számolási sebesség stb.). 5
6 Két kapcsolatának leírása Ez a lehetséges legegyszerűbb kapcsolat, ennek ellenére már itt is eltérő módszerekkel találkozunk aszerint, hogy milyen kat vizsgálunk, milyen skálán mérjük őket. Jelöljük a két t X szel és Y nal. Ha ok okozati kapcsolat áll fenn, akkor legyen X az ok és Y az okozat. Ekkor X et magyarázó, Y t függő nak nevezzük. A legalapvetőbb osztályozást akkor kapjuk, ha a kat a típusuk alapján, mint diszkrét és folytonos, különböztetjük meg. 6
7 Az alábbi négy esetet vizsgáljuk: Mindkét diszkrét: kontingencia táblák vizsgálata és rang. Mindkét folytonos: és regresszió analízis. X és Y között ok okozati kapcsolat áll fenn, az X ok diszkrét, az Y okozat folytonos: szórásanalízis. X és Y között ok okozati kapcsolat áll fenn, az X ok folytonos, az Y okozat diszkrét: osztályozási. 7
8 elemzése Legyenek az X és Y diszkrét k lehetséges értékei x 1,...,x r és y 1,..., y s. Tekintsünk az (X, Y) párra vonatkozóan egy olyan r s j=1 n ij elemű mintát, ahol n ij azon megfigyelések (rekordok) számát (gyakoriságát) jelöli, amelyeknél X = x i és Y = y j, i = 1,..., r, j = 1,...,s. Az összes elemző módszer ezután az így bevezetett gyakoriságokra épül. Ezek a mintában lévő teljes információt tartalmazzák, használatuk egy nagyon hatékony adattömörítő eszköz. 8
9 Elemzési eszköztár: statisztikai módszer: kontingencia táblák vizsgálata, rangs együttható, grafikus eszközök: haladottabb (osztott, csoportosított, halmozott stb.) fánk diagramok. A legfontosabb kérdés a két függetlensége. Amennyiben ezt elutasítjuk, a függőségük erősségének mérése. 9
10 Kontingencia táblázat A kontingencia (kereszt) táblázat egy kétdimenziós gyakorisági tábla, amellyel két diszkrét együttes gyakoriságait tudjuk megjeleníteni. Y X y1 y 2 y s x 1 n 11 n 12 n 1s n 1+ x 2 n 21 n 22 n 2s n x r n r1 n r2 n rs n r+ n+1 n +2 n +s n ++ A táblázatbeli sor és oszlopösszegek az alábbi módon vannak definiálva: n i+ := s n ij, n +j := j=1 r n ij, n ++ := r j=1 s n ij =: n. 10
11 A megjelenítés hasonló a kétdimenziós diszkrét valószínűségeloszlás megadásához. Ekkor a táblázat valószínűségeket tartalmaz, az utolsó sor és oszlop pedig az ún. marginális (perem) eloszlásokat. A kontingencia tábla celláiban (abszolút) gyakoriságok helyett ábrázolhatunk relatív gyakoriságokat is. A statisztikai szoftverek emellé még számos egyéb lehetőséget is nyújtanak, pl. oszlop vagy sor százalék, várt érték a függetlenség esetén stb. A két függetlenségének vizsgálatát, illetve a függőségük erősségének mérését az alábbi két esetben tárgyaljuk: mindkét (diszkrét) t nominális skálán, illetve mindkét t ordinális skálán mérjük. 11
12 Nominális skálán mért diszkrét k Feltételezzük a továbbiakban, hogy r 2, s 2 és n i+ 1, n +j 1, i = 1,...,s, j = 1,...,r. Cramér mutató: ahol C := χ 2 := az ún. χ 2 statisztika. χ 2 n ++ min{r 1, s 1}, r j=1 ( s n ij n i+n +j n n i+ n +j n Az n i+ n +j /n értékeket (gyakoriságokat) a két függetlenségének feltételezése melletti gyakoriságoknak is szokás nevezni, ugyanis n i+ n +j n = n n i+ n n +j n. ) 2 12
13 Állítás A Cramér mutatóra teljesül, hogy C [0, 1]. Bizonyítás. Először megmutatjuk, hogy r s χ 2 n 2 = n ++ ij 1. n i+ n +j Valóban, ( ) r s n ij n 2 i+n +j n = n i+ n +j j=1 = = r j=1 r s s j=1 j=1 r s j=1 n 2 ij n i+ n +j 2 n ++ n ++ + n 2 ij n i+ n +j 1. ( n 2 ij 2 n ij + n ) i+n +j n i+ n +j n ++ (n ++ ) 2 1 (n ++ ) 2 r s n i+ j=1 n +j 13
14 Így elég azt ellenőriznünk, hogy r s nij 2 min{r, s}. n i+ n +j j=1 Felhasználva, hogy n ij n i+ 1, kapjuk, hogy r s j=1 n 2 ij n i+ n +j = i = 1,...,r, j = 1,...,s, r j=1 s j=1 s n ij n +j = s 1 n +j n +j = s. Hasonlóan belátható, hogy r s nij 2 r. n i+ n +j j=1 1 r n ij n +j j=1 14
15 Megjegyzés. C = 0 akkor és csak akkor, ha n ij = n i+n +j, i = 1,...,r, j = 1,...,s, n azaz, ha a megfigyelt és várt gyakoriságok megegyeznek. C = 0 : függetlenség. Ha s r, úgy C = 1 akkor és csak akkor, ha minden i = 1,...,r esetén n ij {0, n i+ }, j = 1,...,s, azaz minden sorban pontosan egy db n ij C = 1 : függőség. nem nulla. 15
16 Példa arra, hogy C = 0. Tekintsük az alábbi kontingencia táblázatot: Ekkor χ 2 = 0 és C = 0. Y X Példa arra, hogy C = 1. Tekintsük az alábbi kontingencia táblázatot: Y X Ekkor χ 2 = 6 és C =
17 : χ T := 2. n ++ (r 1)(s 1) Nyilván, T C és így T [0, 1]. Értelmezés ugyanaz, mint a Cramér mutatónál. Megjegyzés A későbbiekben elemezni fogjuk, hogy a mutatók (pontosabban a χ 2 statisztika) milyen nagy értékei utalnak függőségre, lásd két teljes eseményrendszer függetlenségének vizsgálatára vonatkozó χ 2 próba. 17
18 Példa A szem és a haj színének a kapcsolatát vizsgáltuk 400 embernél. Eredményül az alábbi kontingencia táblát kaptuk: Hajszín Szemszín barna fekete szőke vörös kék sötét zöld
19 Megoldás. r = 3, s = 4 és a χ 2 statisztika értéke A Cramér mutató értéke: C = 400 min{3 1, 4 1} A értéke: T := 400 (3 1)(4 1) A Cramér, ill. értéke alapján (mivel 0 hoz vannak közelebb, mint 1 hez) gyenge függőségre következtethetünk. Azonban a későbbi vizsgálatok során kiderül majd, hogy a jelen ban a Cramér mutató értéke alapján erős függőségre kell következtetnünk. 19
20 A függőség mértékének a megítélésében a P(χ 2 6 > 84.32) valószínűség nagysága az irányadó, ugyanis belátható, hogy a két függetlensége esetén a χ 2 statisztika aszimptotikusan χ 2 (r 1)(s 1) eloszlású, ahol χ 2 n az n szabadsági fokú χ 2 eloszlást jelöli. Esetünkben (r 1)(s 1) = 6 és P(χ 2 6 > 84.32) 0, így tényleg erős függőségre következtethetünk. Megjegyezzük továbbá, hogy érvényes ugyan a χ 2 n n 2n L N(0, 1) ha n, eloszlásbeli konvergencia, ez azonban elég lassú. 20
21 Gondoljunk ugyanis a Berry Esseen tételre, ahol is a konvergenciasebesség nagysága az abszolút ferdeségtől (harmadik abszolút centrált momentum osztva a szórás köbével) függ, ami χ 2 1 eloszlás esetén relatíve nagy. Mivel a gyakorló okban a χ 2 (r 1)(s 1) határeloszlás szabadsági foka, azaz (r 1)(s 1), általában kicsi, így a határeloszlásnak N((r 1)(s 1), 2(r 1)(s 1)) eloszlással való közelítését nem ajánljuk. A következő lapokon a példabeli kontingencia táblát ábrázoltuk különböző módokon. 21
22 Térbeli oszlopdiagram Előállította a SAS rendszer 22
23 Csoportosított oszlopdiagram Előállította a SAS rendszer 23
24 Halmozott oszlopdiagram Előállította a SAS rendszer 24
25 Csoportosított kördiagram Előállította a SAS rendszer 25
26 Halmozott kördiagram Előállította a SAS rendszer 26
27 Fánkdiagram Előállította a SAS rendszer 27
28 Ordinális skálán mért diszkrét k Legyen a két ordinális skálán mért, diszkrét ra megfigyelt minta a következő: X : x 1, x 2,..., x n Y : y 1, y 2,..., y n. Megjegyezzük, hogy valójában mintapárokat, úm. (x i, y i ), figyelünk meg, amelynek elemei összetartoznak. Rang:= a rendezett mintában hányadik az illető mintaelem. Jelöljük az X, ill. Y szerinti rangokat R X, illetve R Y módon. Ha egy mintaelem többször is előfordul, akkor ezekhez azon rangszámok súlyozatlan számtani átlagát rendeljük rangszámként, melyet akkor kapnánk, ha az adott mintaelemek páronként különbözőek lennének. Ezek az ún. kapcsolt rangok. 28
29 rangs együttható: az R X és R Y rangszámok tapasztalati (lineáris) s együtthatója: ahol S(X, Y) := (R X, R Y ), n (X, Y) := (x i x)(y i y) n (x i x) 2. n (y i y) 2 Azaz n S(X, Y) = (R x i R X )(R yi R Y ) n (R x i R X ) 2, n (R y i R Y ) 2 ahol R X := 1 n n R xi, R Y := 1 n n R yi. Megj.: A tapasztalati (lineáris) s együtthatóval két folytonos kapcsolatának elemzésekor majd részletesen foglalkozunk. 29
30 A rangs együttható tulajdonságai: S(X, Y) 1, Ha S(X, Y) = 1, akkor az R X és R Y rangszámsorozat egybeesik. Ha S(X, Y) = 1, akkor az R X és R Y rangszámsorozat egymás fordítottjai abban az értelemben, hogy R yi = R xi + n+1, i = 1,...,n. Ha S(X, Y) > 0, akkor pozitív irányú függésről beszélünk: az X-re vonatkozó mintában a nagyobb rang együttjár az Y -re vonatkozó mintában a nagyobb ranggal (illetve fordítva is). Ha S(X, Y) < 0, akkor negatív irányú függésről beszélünk: az X-re vonatkozó mintában a nagyobb rang együttjár az Y -re vonatkozó mintában a kisebb ranggal (illetve fordítva is). Ha S(X, Y) = 0, akkor a két rangsor között nincs kapcsolat. 30
31 Megjegyzés Ha nincsenek kapcsolt rangok, akkor S(X, Y) = 1 6 n (R x i R yi ) 2 n(n 2. 1) A gyakorlatban akkor is használatos a fenti formula, ha vannak kapcsolt rangok, de nem sok. 31
32 Az SPSS algoritmusa a rangs együttható számolására ahol S(X, Y) = T X + T Y n (R x i R yi ) 2 2 T X T Y, T X := n3 n ST X 12 ST X := ST Y :=, T Y := n3 n ST Y, 12 {t>1:t db mintaelem egybeesik az x 1,...,x n mintában} {t>1: t db mintaelem egybeesik az y 1,...,y n mintában} (t 3 t), (t 3 t). Ha T X = 0 vagy T Y = 0, akkor S(X, Y) nem kerül kiszámolásra. Valóban ellenőrizhető, hogy a fenti algoritmussal számolt rangs együttható megegyezik az általunk bevezetettel. 32
33 elemzése Legyen a két folytonos ra megfigyelt minta a következő: X : x 1, x 2,..., x n Y : y 1, y 2,..., y n Újra felhívjuk a figyelmet, hogy valójában mintapárokat, úm. (x i, y i ), figyelünk meg, amelynek elemei összetartoznak. Így bármilyen művelet (pl. rendezés) a mintán csak a párokon hajtható végre, ként pedig nem. Statisztikai eszközök: szimmetrikus eset: analízis, ok okozati eset: regresszió analízis. Grafikus eszköz: pontdiagram, melyben a Descartes koordinátarendszerben ábrázoljuk az (X, Y) párra kapott megfigyeléseket mint pontokat. A koordinátatengelyek kijelölése gyakran feltételez ok okozati viszonyt a két között. 33
34 Pearson féle s együttható Két valószínűségi közötti függőséget a kovariancia és s együttható mennyiségekkel mérhetjük. A ξ és η valószínűségi k (elméleti) kovarianciája: Cov(ξ,η) := E(ξ Eξ)(η Eη), és s együtthatója: Corr(ξ,η) := Cov(ξ,η) D 2 ξd 2 ξ. A s együtthatót akkor értelmezzük, ha 0 < D 2 ξ < és 0 < D 2 η <. Ezek tapasztalati megfelelőit vezetjük be az alábbiakban. 34
35 Definíció (Tapasztalati kovariancia és ) Az X és Y közötti tapasztalati kovariancia: c(x, Y) := 1 n n (x i x)(y i y). Pearson-féle tapasztalati (lineáris) s együttható: c(x, Y) n (X, Y) := s(x)s(y) = (x i x)(y i y) n (x i x) 2, n (y i y) 2 feltéve, hogy s(x) 0 és s(y) 0, ahol s(x), illetve s(y) az x 1,...,x n, ill. y 1,..., y n minta korrigálatlan tapasztalati szórását jelöli. Megj.: Korábban az x 1,..., x n minta korrigálatlan tapasztalati szórását s n módon jelöltük. A fentiekben a minta elemszámát nem tüntettük fel a jelölésben, azt viszont igen, hogy melyik mintára vonatkozik. 35
36 Megjegyzés c(x, Y) = 1 n n x i y i x y =: xy x y. X és Y között nem feltétlen van ok okozati kapcsolat. Bevezetve az alábbi jelöléseket: x i := x i x ns(x), ỹ i := y i y ns(y), i = 1,..., n, az X := ( x 1,..., x n ) és Ỹ := (ỹ 1,..., ỹ n ) mintákra teljesül, hogy (X, Y) = n x i ỹ i = X, Ỹ, ahol, az euklideszi belső szorzatot jelöli. (X, Y) 2 : determinációs együttható. 36
37 A s együttható tulajdonságai A tapasztalati kovariancia a két közös skáláján méri a kapcsolat erősségét, a tapasztalati s együttható ezzel szemben már normalizált skálán mér, így összehasonlításra jobban használható. Ha (X, Y) > 0, akkor pozitív irányú függésről beszélünk: az egyik értékének növelése a másik értékének a növekedését eredményezi. Ha (X, Y) < 0, akkor negatív irányú függésről beszélünk: az egyik értékének növelése a másik értékének a csökkenését eredményezi. Ha (X, Y) = 0, akkor korrelálatlanságról beszélünk. (Nem tévesztendő össze a függetlenséggel, ami egy erősebb dolog.) 37
38 Tétel Legyen X = (x 1,..., x n ) és Y = (y 1,..., y n ) olyan, hogy s(x) 0 és s(y) 0. Ekkor (X, Y) 1 és egyenlőség pontosan akkor áll fenn, ha léteznek olyan a, b R valós számok, hogy Y = ax + b, azaz y i = ax i + b minden i = 1,...,n re. Utóbbi esetben lineáris kapcsolatról beszélünk. Továbbá, a > 0, illetve a < 0 aszerint, hogy (X, Y) = 1, illetve (X, Y) = 1. 38
39 Bizonyítás. A Cauchy Schwarz egyenlőtlenség alapján: ( n n ) 1/2 n (x i x)(y i y) (x i x) 2 (y i y) 2, melyből átrendezéssel adódik az állítás. Egyenlőség pontosan akkor teljesül, ha (x 1 x,...,x n x) és (y 1 x,...,y n x) lineárisan függőek. Mivel s(x) 0 és s(y) 0, kapjuk, hogy pontosan akkor teljesül egyenlőség, ha létezik olyan a R, hogy y i y = a(x i x) minden i = 1,...,n esetén. Innen közvetlenül adódik, hogy y i = ax i + b, ahol b := y a x. 39
40 Ha Y = ax + b, ahol a > 0, akkor (X, Y) = c(x, ax + B) a c(x, X) = s(x)s(ax + b) a s(x)s(x) = 1. Ha Y = ax + b, ahol a < 0, akkor (X, Y) = c(x, ax + B) a c(x, X) = s(x)s(ax + b) a s(x)s(x) = 1. Összefoglalva: a s együttható a [ 1, 1] intervallumon (skálán) méri két folytonos kapcsolatának az erősségét. A skála két végpontja esetén a kapcsolat lineáris (Y = ax + b), a 1 végpont esetén a < 0, a +1 végpont esetén pedig a > 0. 40
41 Példa (olyan determinisztikus kapcsolatra, amelynél a k korrelálatlanok) Tekintsük az alábbi mintát: Ekkor x = 0, (x 1, y 1 ) = (1, 1), (x 2, y 2 ) = ( 1, 1), (x 3, y 3 ) = (2, 8), (x 4, y 4 ) = ( 2, 8). y = = 4.5, 4 xy = = 0, 4 így c(x, Y) = 0 és (X, Y) = 0. X és Y között determinisztikus kapcsolat van: y i = x 3 i, i = 1, 2, 3, 4. 41
42 Példa (A tapasztalati s együttható számolása) A minta: X: 1, 2, -1, 2, 1 Y: 2, 4, 0, 8, 1 Mivel x = 1 és y = 3 a centralizált minta: X x: 0, 1, -2, 1, 0 Y y: -1, 1, -3, 5, -2 c(x, Y) = 0 ( 1)+1 1+( 2) ( 3) ( 2) 5 =2.4, s 2 (X) = 1 5 ( ( 2) ) = 1.2, s 2 (Y) = 1 5 (( 1) ( 3) ( 2) 2 ) = 8. Ezért: (X, Y) = 2.4/ =
43 Lineáris regresszió Láttuk, hogy maximális (azaz 1) abszolút értékű s együttható lineáris kapcsolatot jelent a k között. Hogyan lehet ennek a kapcsolatnak az együtthatóit meghatározni a minta alapján? Általánosabban, az Y függő t szeretnénk az X magyarázó lineáris függvényével közelíteni: Y ax + b. Milyen a és b valós együtthatókat válasszunk az (X, Y)-ra vonatkozó n elemű minta ismeretében? Először az elemi hibákat (veszteségeket) definiáljuk az alábbi módon e i := y i (ax i + b), i = 1,..., n. Ezután ezen (elemi) hibákból egy összesített hibát (rizikót) állítunk elő. Végül az így kapott összesített hibát, mint célfüggvényt minimalizáljuk az a és b együtthatók függvényében. Ez egy szélsőértékszámítási (optimalizációs). 43
44 A legkisebb négyzetek módszere Az együtthatók meghatározására használt legelterjedtebb elv a legkisebb négyzetek módszere. Ekkor az összesí tett hiba az elemi hibák négyzeteinek összege: E(a, b) := n ei 2 = Szélsőértékszámítási : n (y i (ax i + b)) 2. min (a,b) R 2 E(a, b). Az E függény előnye, hogy a szélsőértékszámítási megoldásánál támaszkodhatunk a differenciálszámítás eszköztárára, hiszen az E : R 2 R függvény mindkét ja szerint akárhányszor differenciálható. 44
45 Ismert, hogy az E : R 2 R függvénynek (â, b) lokális minimumhelye, ha (i) (â, b) stacionárius pont, azaz az elsőrendű parciális deriváltakból álló ún. gradiens vektorra E a (â, b) = 0, E b (â, b) = 0; (ii) a másodrendű parciális deriváltakból álló ún. Hesse mátrix pozitív definit az (â, b) helyen, azaz ( ) ( 2 E (â, b) 2 E u v a 2 a b (â, b) ) (u ) 2 E a b (â, b) > 0 2 E(â, b) v b 2 minden (u, v) (0, 0) esetén, vagy ekvivalens módon u 2 2 E a 2 (â, b)+2uv 2 E a b (â, b)+v 2 2 E b 2(â, b) > 0 minden u, v R, u 2 + v 2 > 0 esetén. 45
46 A regressziós együtthatók meghatározása I. Az E gradiens vektorára kapjuk, hogy E n b (a, b) =2 (y i (ax i + b))( 1) = 0, E n a (a, b) =2 (y i (ax i + b))( x i ) = 0. Ebből átrendezéssel kapjuk az alábbi ún. normál egyenleteket: a n a x 2 i n x i + bn = + b n x i = n y i, n x i y i. 46
47 A regressziós együtthatók meghatározása II. A normálegyenletek az x = 1 n n x i, y = 1 n n y i, x 2 = 1 n n x 2 i, xy = 1 n n x i y i, jelölések bevezetésével az alábbi egyszerűbb alakot öltik: a x + b =y, a x 2 + b x =xy, melyeket írhatunk mátrixos alakban is: ( )( ) 1 x b x x 2 = a ( ) y. xy 47
48 A regressziós együtthatók meghatározása III. Az első egyenletből kapjuk, hogy b = y a x. Ezt a második egyenletbe behelyettesítve adódik a megoldás: â = xy x y x 2 x 2, b = y xy x y x 2 x 2 x, amennyiben x 2 x 2. Ez utóbbi akkor és csak akkor teljesül, ha az X re vett minta nem konstans, ugyanis ( n n ) 2 x 2 = x 2 n xi 2 = x i, illetve a Cauchy Schwarz egyenlőtlenség szerint ( n ) 2 n x i n és egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn, ha d R, hogy x i = d, i = 1,...,n. x 2 i 48
49 A regressziós együtthatók meghatározása IV. Mivel a másodrendű parciális deriváltak: 2 E n a 2 (a, b) = 2 xi 2, 2 E n a b (a, b) = 2 x i, 2 E b2(a, b) = 2n, a Hesse mátrix tetszőleges (a, b) R 2 helyen ( 2 n x i 2 2 n x ) i 2 n x i 2n Ez pozitív definit, hiszen u 2 2 n x 2 i + 2uv2 n x i + v 2 2n = 2 n (ux i + v) 2 > 0 ha u, v R, u 2 + v 2 > 0 és az X re vett minta nem konstans. 49
50 A regressziós együtthatók meghatározása V. Egyetlen dolgot kell még ellenőriznünk: az E függvény egyetlen lokális minimumhelye egyben globális minimumhely is. Ehhez elég belátni, hogy az E függvény szigorúan konvex. Ugyanis, ha egy szigorúan konvex függvénynek van lokális minimuma az szükségképpen globális minimum is. Az E szigorú konvexségéhez elég ellenőriznünk, hogy a Hesse-mátrixának sarokfőminorai pozitívak, azaz azt, hogy 2 n n 4 n x i 2 x 2 i > 0 és ( n ) 2 x i = 4n 2 (x 2 (x) 2 ) > 0. Ezek teljesülnek, hiszen az X re vett minta nem konstans. Ezzel beláttuk, hogy a normál egyenletek egyértelmű megoldása valóban globális minimumhelyet határoz meg. 50
51 A Felhasználva, hogy c(x, Y) = xy x y és azt, hogy a Steiner formula alapján s 2 (X) = x 2 x 2, a regressziós együtthatókat a következő alakban is felírhatjuk: â = (X, Y) s(y) s(x), b = y (X, Y) s(y) s(x) x. A át megoldó egyenes egyen letét, az ún. t az alábbi alakokban írhatjuk fel: Y = xy x y x 2 x 2 X + y xy x y x 2 x 2 x, Y = (X, Y) s(y) X + y (X, Y)s(Y) s(x) s(x) x. 51
52 Feltételezve, hogy az Y ra vett minta sem konstans, a másodikat átrendezve kapjuk, hogy Y y s(y) = (X, Y)X x s(x), azaz a két minta standardizálása után egy origón átmenő egyenest kapunk, melynek meredeksége a tapasztalati s együttható. 52
53 Nem Csak azzal a speciális esettel foglalkozunk, amikor az Y függő t szeretnénk az X magyarázó hatvány függvényével közelíteni: Y b a X, ahol feltételezzük, hogy a valódi a és b paraméterek pozitívak. Milyen a és b valós együtthatókat válasszunk az (X, Y)-ra vonatkozó n elemű minta ismeretében? A legkisebb négyzetek elve alapján olyan a és b értékeket választunk, melyekre az alábbi összesített hiba minimális: n (y i ba x i ) 2. Ezen nemlineáris szélsőértékszámítási megoldása helyett azonban sokszor az alábbi lineáris (így egyszerűbb) ot oldjuk meg. 53
54 Az eredeti s ot visszavezetjük egy s megoldására, linearizálunk: ln(y) ln(a)x + ln(b). Az (x i, ln(y i )), i = 1,...,n minta ismeretében az ln(a) és ln(b) paraméterek legkisebb négyzetes becslése teljesíti az alábbi normálegyenletet: ( )( ) ( ) 1 x ln(b) ln(y) =. x x 2 ln(a) x ln(y) 54
55 A korábbiak alapján, ha az X-re vett minta nem konstans, akkor az ln(a) és ln(b) paraméterek legkisebb négyzetes becslése egyértelmű: ln(a) = x ln(y) x ln(y) x 2 x 2, ln(b) x ln(y) x ln(y) = ln(y) x 2 x 2 x. Így az a és b paraméterek becslése: â = e ln(a), b = e ln(b). 55
56 A s és linearizáltjának a kapcsolata Legyenek az (X, Y) párra vonatkozó megfigyeléseink (x i, y i ), i = 1,...,n, ahol y i > 0, i = 1,...,n, és az X-re vett minta nem konstans. Vizsgáljuk meg az alábbi két közötti kapcsolatot. I. Legyen E 1 : R R R, n E 1 (u, v) := (ln(y i ) (ux i + v)) 2, u, v R. Minimalizáljuk E 1 -et és jelölje (û, v) a minimumhelyet. II. Legyen E 2 : (0, ) (0, ) R, n E 2 (a, b) := (y i ba x i ) 2, a, b > 0. Minimalizáljuk E 2 -t és jelölje (â, b) a minimumhelyet, melyről feltételezzük, hogy egyértelmű. Igaz-e, hogy (â, b) = (eû, e v )? 56
57 Az I. megoldása: û = x ln(y) x ln(y) x 2 x 2, v = ln(y) A II. megoldása: a x ln(y) x ln(y) x 2 x 2 x. E 2 a (a, b) = 0, E 2 (a, b) = 0, b egyenletrendszer az alábbi alakot ölti: n (y i ba x i )x i a x i = 0, n (y i ba x i )a x i = 0. Ezt általában nem tudjuk explicit módon megoldani. 57
58 Az (â, b) = (eû, e v ) összefüggés általában nem igaz. Példát adunk arra is, mikor teljesül és arra is, mikor nem. 1. Példa: Legyen n = 3 és (x 1, y 1 ) := (1, 6), (x 2, y 2 ) := (2, 18), (x 2, y 2 ) := (3, 54). Ekkor û , v , â = 3, b = 2, és teljesül az (â, b) = (eû, e v ) összefüggés. Továbbá, E 1 (û, v) 0, E 2 (â, b) = 0. 58
59 2. Példa: Legyen n = 3 és (x 1, y 1 ) := (1, 4), (x 2, y 2 ) := (2, 22), (x 2, y 2 ) := (3, 50). Ekkor û , v , eû , e v , â , b , és nem teljesül az (â, b) = (eû, e v ) összefüggés. Továbbá, E 1 (û, v) , E 2 (â, b) , azaz a s modell illeszkedik jobban. 59
60 Az előző példából legalább két tanulság is leszűrhető: a s nak és linearizáltjának a megoldása nem ekvivalens egymással. alapértelmezés szerint egyik módszer sem tekinthető jobbnak a másiknál, hiszen az egyik esetben egy nemlineáris egyenletrendszert kell megoldanunk, a másik esetben pedig linearizálunk. Azt, hogy melyik módszerrel kapott becslést fogadjuk el további vizsgálatok, szakmai megfontolások dönthetik el. 60
61 Példa: Moore törvény Gordon Moore, az Intel egyik alapítója fogalmazta meg 1975 ben: Az integrált áramkörökben lévő tranzisztorok száma minden 24. hónapban (azaz 2 évente) megduplázódik. Copyright: Intel Corporation. A függőleges tengelyen a tranzisztorok számának logaritmusa van ábrázolva. 61
62 Diszkrét és folytonos kapcsolata a k közötti ok okozati viszony esetén Ha a magyarázó diszkrét, akkor azt faktornak nevezzük. Ha a magyarázó folytonos, akkor a kovariáns elnevezéssel élünk. Statisztikai módszerek: Diszkrét magyarázó és folytonos függő : szórásanalízis. Folytonos magyarázó és diszkrét függő : osztályozási. Grafikus módszerek: Diszkrét magyarázó és folytonos függő : csoportosított hisztogram és doboz ábra. Folytonos magyarázó és diszkrét függő : halmozott hisztogram. 62
63 I. Figyeljük meg az Y folytonos t és az F (diszkrét) faktort (ez a korábban X szel jelölt magyarázó ). A minta: (y 1, f 1 ),(y 2, f 2 ),...,(y n, f n ). Tegyük fel, hogy az F faktor k értéket vehet fel, amelyeket nyilván kódolhatunk az 1, 2,...,k számokkal. Ezeket az értékeket szinteknek nevezzük. 63
64 II. A k szint alapján a mintát az alábbi módon oszthatjuk fel: y 11,y 12,...,y 1n1 y 21,y 22,...,y 2n2. y k1,y k2,...,y knk Az i edik sor előállítása: az (y l, f l ), l = 1,...,n mintaelemek közül megkeressük azokat, melyeknél f l = i, a hozzájuk tartozó y ok alkotják az i edik szinthez tartozó megfigyeléseket: y ij nél az első index a szintet, a második pedig a szinten belüli sorrendet jelöli. Nyilván, k n i = n. Kérdés: van e szerepe a faktornak, mennyire magyarázza a mintaelemeknek a (teljes) mintaátlag körüli szóródását? 64
65 III. Vezessük be az alábbi jelöléseket: y i := 1 n i y := 1 n Q T := Q K := Q B := n i j=1 y ij k n i j=1 y ij az i edik szint átlaga, teljes átlag, k n i (y ij y ) 2 teljes, j=1 k n i (y i y ) 2 külső, j=1 k n i (y ij y i ) 2 belső. j=1 65
66 Megjegyzés Q K = k n i (y i y ) 2. használatosak még az alábbi jelölések is: Q T = SST, Q K = SSK, Q B = SSB, ahol SS=Sum of Squares és T=teljes, K=külső, B=belső. 66
67 Tétel () Q T = Q K + Q B (SST = SSK + SSB). Bizonyítás. Alkalmazzuk a teve szabályt: (y ij y ) 2 = ((y ij y i )+(y i y )) 2 = (y ij y i ) 2 +(y i y ) 2 + 2(y ij y i )(y i y ) Világos, hogy elég belátni k n i (y ij y i )(y i y ) = 0. j=1 Ez következik abból, hogy mivel y i y nem függ j től, ezért a belső szummából kiemelhető és y i definíciója alapján n i n i (y ij y i ) = y ij n i y i = 0. j=1 j=1 67
68 Heurisztika A szórásfelbontásból következtethetünk a két közötti függőség erősségére. Ha a Q K külső relatíve nagy a Q B belső hez képest, akkor ez arra utal, hogy az Y ra vett együttes mintában lévő ingadozás elsősorban a szintek közötti különbségből adódik. Így az F faktor hatással van az Y függő ra. Ha viszont a Q K külső relatíve kicsi a Q B belső hez képest, akkor ez arra utal, hogy az Y ra vett együttes mintában lévő inga dozást elsősorban a szinteken belüli ingadozások magyarázzák. Így az F faktor nincs hatással az Y függő ra. 68
69 H 2 mutató H 2 := Q K Q T [0, 1]. Értelmezés: H 2 az Y tapasztalati ének az F faktor által megmagyarázott hányada. A H 2 = Q K /Q T tört számlálójában a Q K külső annak felel meg, hogy minden egyes szint esetén a szint összes mintaelemét a szint átlagával helyettesítjük és, ha ez a kicsi a teljes hez képest, akkor az F faktor csak kicsit magyarázza az Y mintaelemek szóródását. A heurisztika pontosítására a későbbiekben kerül sor. Nyilván, H 2 = Q K Q T = 1 Q B Q T. 69
70 Megjegyzés H 2 = 0 Q K = 0 y 1 = = y k = y, azaz minden szint átlaga megegyezik a teljes mintaátlaggal. A szintek között átlag szempontjából nincs különbség, a faktornak nincs szerepe. H 2 = 1 Q B = 0 y ij = y i, i = 1,...,k, j = 1,...,n i. Ez abban az értelemben függvényszerű kapcsolat, hogy ha megmondjuk, hogy melyik szintről van szó és, hogy mennyi az adott szint átlaga, akkor ezzel az adott szinthez tartozó összes mintaelemet is megmondtuk. 70
71 Teljes, külső és belső Teljes (tapasztalati) : s 2 T := Q T n Külső (tapasztalati) : s 2 K := Q K n Belső (tapasztalati) : s 2 B := Q B n Az i edik szinten belüli (tapasztalati) rész : ni si 2 j=1 := (y ij y i ) 2, i = 1,...,k. n i 71
72 Megjegyzés s 2 T = s2 K + s2 B, k ni sb 2 = j=1 (y ij y i ) 2 n = k n is 2 i n azaz a rész eknek az egyes szintekhez tartozó mintaelemek számával súlyozott számtani közepe a belső, és nem a teljes. H 2 = s2 K s 2 T = 1 s2 B st 2., 72
73 Ha az Y függő diszkrét, akkor osztályozási ról beszélünk. Ekkor ugyanis Y értékei egy egy csoportot jelölnek ki, és az X folytonos (valós értékű) magyarázó (kovariáns) segítségével akarjuk azt eldönteni, hogy a megfigyelés (rekord) melyik csoportba tartozik. Bináris osztályozási : Y értékei 0 vagy 1. Ekkor a mintát két csoportba, egy 0 ás és egy 1 es csoportba oszthatjuk. Az alábbiakban csak ezzel foglalkozunk. Példa Tranzakciók vizsgálata (csalás legális). Ügyfélszegmentáció (jó rossz ügyfél). Betegség felismerés (igen nem). Döntésfüggvény: egy d : R {0, 1} függvény, amellyel a számegyenest két részre bontjuk. A két részhalmaznak feleltetjük meg ezután a két csoportot. 73
74 A leírása: minden mintaelemet a 0 ás vagy 1 es csoportba szeretnénk besorolni. Már rendelkezésre áll egy 0 ás minta, illetve egy 1 es minta (azaz vannak mintaelemeink, melyeket a 0 ás, illetve az 1 es csoportba már besoroltunk). Vezesük be az alábbi jelöléseket: x 0 : a 0 ás minta mintaátlaga, s0 2: a 0 ás minta korrigálatlan emipirikus e, x 1 : az 1 es minta mintaátlaga, s 2 1 : az 1 es minta korrigálatlan emipirikus e. 74
75 Lineáris döntésfüggvény Tegyük fel, hogy s 2 0 = s2 1. Az x mintaelemet akkor soroljuk a 0 ás csoportba, ha x (½{x 0 >x 1 } ½{x 0 x 1 }) (½{x 0 >x 1 } ½{x 0 x 1 } )x 0 + x 1. 2 (1) Azaz x 0 > x 1 esetén az x mintaelemet akkor soroljuk a 0 ás csoportba, ha míg x 0 x 1 x x 0 + x 1, 2 esetén akkor, ha x x 0 + x 1. 2 Ekkor d : R {0, 1}, d(x) := 0, ha x R olyan, hogy (1) teljesül, egyébként pedig d(x) := 1. 75
76 Kvadratikus döntésfüggvény Az x mintaelemet akkor soroljuk a 0 ás csoportba, ha ( x x0 s 0 ) 2 ( ) x 2 ln s0 2 x1 ln s1 2 s. (2) 1 Ekkor d : R {0, 1}, d(x) := 0, ha x R olyan, hogy (2) teljesül, egyébként pedig d(x) := 1. Megj. Ellenőrizhető, hogy x 0 x 1 és s0 2 = s2 1 esetén a kvadratikus döntésfüggvénnyel is ugyanazt a döntést hozzuk meg, mint a lineáris döntésfüggvénnyel. Ha x 0 = x 1 és s0 2 = s2 1, akkor a kvadratikus döntésfüggvénnyel mindig a 0 ás csoportba soroljuk x et, a lineáris döntésfüggvénnyel nem mindig. A kérdéskörrel általánosabban foglalkozik a diszkriminancia analízis és a logisztikus regresszió. 76
77 Több kapcsolata Ilyen kapcsolatok vizsgálatára a statisztika egy rendkívül szerteágazó eszköztárat hozott létre (többs statisztikai módszerek). Valójában ezek a módszerek képezik a statisztikai szoftverek gerincét. Ezek közül egy hatékony leíró, vizualizációs eszköz az ún. többdimenziós (MDS: multidimensional scaling). A módszer során a megfigyeléseinket (az adatbázis rekordjait) ábrázoljuk egy alacsony (2 vagy 3) dimenziós térben. Legyenek a vizsgált statisztikai k X 1, X 2,..., X p, melyeket egy vektorba írunk: X := (X 1, X 2,..., X p ). Az X re vonatkozó megfigyelések, melyek szintén vektorok (az adatbázis rekordjai vagy sorai), pedig legyenek: x 1, x 2,...,x n. Ez egy ún. többdimenziós minta. 77
FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI
FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 3 III. VÉLETLEN VEKTOROK 1. A KÉTDIMENZIÓs VÉLETLEN VEKTOR Definíció: Az leképezést (kétdimenziós) véletlen vektornak nevezzük, ha Definíció:
RészletesebbenFEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI
FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 8 VIII. REGREssZIÓ 1. A REGREssZIÓs EGYENEs Két valószínűségi változó kapcsolatának leírására az eddigiek alapján vagy egy numerikus
RészletesebbenKorrelációs kapcsolatok elemzése
Korrelációs kapcsolatok elemzése 1. előadás Kvantitatív statisztikai módszerek Két változó közötti kapcsolat Független: Az X ismérv szerinti hovatartozás ismerete nem ad semmilyen többletinformációt az
RészletesebbenBiomatematika 12. Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar. Fodor János
Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar Biomatematikai és Számítástechnikai Tanszék Biomatematika 12. Regresszió- és korrelációanaĺızis Fodor János Copyright c Fodor.Janos@aotk.szie.hu Last Revision
RészletesebbenFEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI
FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 4 IV. MINTA, ALAPsTATIsZTIKÁK 1. MATEMATIKAI statisztika A matematikai statisztika alapfeladatát nagy általánosságban a következőképpen
RészletesebbenRegressziós vizsgálatok
Regressziós vizsgálatok Regresszió (regression) Általános jelentése: visszaesés, hanyatlás, visszafelé mozgás, visszavezetés. Orvosi területen: visszafejlődés, involúció. A betegség tünetei, vagy maga
RészletesebbenStatisztika - bevezetés Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc 1
Statisztika - bevezetés 00.04.05. Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc Bevezetés Véletlen jelenség fogalma jelenséget okok bizonyos rendszere hozza létre ha mindegyik figyelembe vehető egyértelmű leírás általában
RészletesebbenStatisztika I. 12. előadás. Előadó: Dr. Ertsey Imre
Statisztika I. 1. előadás Előadó: Dr. Ertsey Imre Regresszió analízis A korrelációs együttható megmutatja a kapcsolat irányát és szorosságát. A kapcsolat vizsgálata során a gyakorlatban ennél messzebb
RészletesebbenGauss-Jordan módszer Legkisebb négyzetek módszere, egyenes LNM, polinom LNM, függvény. Lineáris algebra numerikus módszerei
A Gauss-Jordan elimináció, mátrixinvertálás Gauss-Jordan módszer Ugyanazzal a technikával, mint ahogy a k-adik oszlopban az a kk alatti elemeket kinulláztuk, a fölötte lévő elemeket is zérussá lehet tenni.
Részletesebben[Biomatematika 2] Orvosi biometria
[Biomatematika 2] Orvosi biometria Bódis Emőke 2016. 04. 25. J J 9 Korrelációanalízis Regresszióanalízis: hogyan változik egy vizsgált változó értéke egy másik változó változásának függvényében. Korrelációs
RészletesebbenFEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI
FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 10 X. SZIMULÁCIÓ 1. VÉLETLEN számok A véletlen számok fontos szerepet játszanak a véletlen helyzetek generálásában (pénzérme, dobókocka,
RészletesebbenStatisztika I. 11. előadás. Előadó: Dr. Ertsey Imre
Statisztika I. 11. előadás Előadó: Dr. Ertsey Imre Összefüggés vizsgálatok A társadalmi gazdasági élet jelenségei kölcsönhatásban állnak, összefüggnek egymással. Statisztika alapvető feladata: - tényszerűségek
RészletesebbenStatisztikai következtetések Nemlineáris regresszió Feladatok Vége
[GVMGS11MNC] Gazdaságstatisztika 10. előadás: 9. Regressziószámítás II. Kóczy Á. László koczy.laszlo@kgk.uni-obuda.hu Keleti Károly Gazdasági Kar Vállalkozásmenedzsment Intézet A standard lineáris modell
RészletesebbenFüggvények Megoldások
Függvények Megoldások ) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) x x b) x x + c) x ( x + ) b) Az x függvény
RészletesebbenSegítség az outputok értelmezéséhez
Tanulni: 10.1-10.3, 10.5, 11.10. Hf: A honlapra feltett falco_exp.zip-ben lévő exploratív elemzések áttanulmányozása, érdekességek, észrevételek kigyűjtése. Segítség az outputok értelmezéséhez Leiro: Leíró
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata
RészletesebbenA mérési eredmény megadása
A mérési eredmény megadása A mérés során kapott értékek eltérnek a mérendő fizikai mennyiség valódi értékétől. Alapvetően kétféle mérési hibát különböztetünk meg: a determinisztikus és a véletlenszerű
Részletesebben2013 ŐSZ. 1. Mutassa be az egymintás z-próba célját, alkalmazásának feltételeit és módszerét!
GAZDASÁGSTATISZTIKA KIDOLGOZOTT ELMÉLETI KÉRDÉSEK A 3. ZH-HOZ 2013 ŐSZ Elméleti kérdések összegzése 1. Mutassa be az egymintás z-próba célját, alkalmazásának feltételeit és módszerét! 2. Mutassa be az
Részletesebben(Independence, dependence, random variables)
Két valószínűségi változó együttes vizsgálata Feltételes eloszlások Két diszkrét változó együttes eloszlása a lehetséges értékpárok és a hozzájuk tartozó valószínűségek (táblázat) Példa: Egy urna 3 fehér,
RészletesebbenMatematika (mesterképzés)
Matematika (mesterképzés) Környezet- és Településmérnököknek Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 1 / 29 Lineáris tér,
RészletesebbenAlap-ötlet: Karl Friedrich Gauss ( ) valószínűségszámítási háttér: Andrej Markov ( )
Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Gépészmérnöki Kar Hidrodinamikai Rendszerek Tanszék, Budapest, Műegyetem rkp. 3. D ép. 334. Tel: 463-6-80 Fa: 463-30-9 http://www.vizgep.bme.hu Alap-ötlet:
RészletesebbenNemlineáris programozás 2.
Optimumszámítás Nemlineáris programozás 2. Többváltozós optimalizálás feltételek mellett. Lagrange-feladatok. Nemlineáris programozás. A Kuhn-Tucker feltételek. Konvex programozás. Sydsaeter-Hammond: 18.1-5,
RészletesebbenFirst Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Többváltozós függvények (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Egyváltozós függvények esetén a differenciálhatóságból következett a folytonosság. Fontos tudni, hogy abból, hogy egy
Részletesebben15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK
15 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 151 Lineáris egyenletrendszer, Gauss elimináció 1 Definíció Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az (1) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a
Részletesebben0-49 pont: elégtelen, pont: elégséges, pont: közepes, pont: jó, pont: jeles
Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I. 2013. jan. 10. Név: Neptun kód: Idő: 180 perc Elm.: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. Fel. össz.: Össz.: Oszt.: Az elérhető pontszám 40 (elmélet) + 60 (feladatok)
RészletesebbenRegresszió. Csorba János. Nagyméretű adathalmazok kezelése március 31.
Regresszió Csorba János Nagyméretű adathalmazok kezelése 2010. március 31. A feladat X magyarázó attribútumok halmaza Y magyarázandó attribútumok) Kérdés: f : X -> Y a kapcsolat pár tanítópontban ismert
Részletesebben6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének
6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük
RészletesebbenAz R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.
2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az
Részletesebben3. Lineáris differenciálegyenletek
3. Lineáris differenciálegyenletek A közönséges differenciálegyenletek két nagy csoportba oszthatók lineáris és nemlineáris egyenletek csoportjába. Ez a felbontás kicsit önkényesnek tűnhet, a megoldásra
Részletesebben352 Nevezetes egyenlôtlenségek. , az átfogó hossza 81 cm
5 Nevezetes egyenlôtlenségek a b 775 Legyenek a befogók: a, b Ekkor 9 + $ ab A maimális ab terület 0, 5cm, az átfogó hossza 8 cm a b a b 776 + # +, azaz a + b $ 88, tehát a keresett minimális érték: 88
RészletesebbenDualitás Dualitási tételek Általános LP feladat Komplementáris lazaság 2017/ Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet
Operációkutatás I. 2017/2018-2. Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet Számítógépes Optimalizálás Tanszék 7. Előadás Árazási interpretáció Tekintsük újra az erőforrás allokációs problémát (vonat
RészletesebbenKészítette: Fegyverneki Sándor
VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS Összefoglaló segédlet Készítette: Fegyverneki Sándor Miskolci Egyetem, 2001. i JELÖLÉSEK: N a természetes számok halmaza (pozitív egészek) R a valós számok halmaza R 2 {(x, y) x, y
RészletesebbenKorreláció és lineáris regresszió
Korreláció és lineáris regresszió Két folytonos változó közötti összefüggés vizsgálata Szűcs Mónika SZTE ÁOK-TTIK Orvosi Fizikai és Orvosi Informatikai Intézet Orvosi Fizika és Statisztika I. előadás 2016.11.02.
RészletesebbenHipotézis, sejtés STATISZTIKA. Kétmintás hipotézisek. Tudományos hipotézis. Munkahipotézis (H a ) Nullhipotézis (H 0 ) 11. Előadás
STATISZTIKA Hipotézis, sejtés 11. Előadás Hipotézisvizsgálatok, nem paraméteres próbák Tudományos hipotézis Nullhipotézis felállítása (H 0 ): Kétmintás hipotézisek Munkahipotézis (H a ) Nullhipotézis (H
RészletesebbenA maximum likelihood becslésről
A maximum likelihood becslésről Definíció Parametrikus becsléssel foglalkozunk. Adott egy modell, mellyel elképzeléseink szerint jól leírható a meghatározni kívánt rendszer. (A modell típusának és rendszámának
RészletesebbenMatematikai alapok és valószínőségszámítás. Középértékek és szóródási mutatók
Matematikai alapok és valószínőségszámítás Középértékek és szóródási mutatók Középértékek A leíró statisztikák talán leggyakrabban használt csoportját a középértékek jelentik. Legkönnyebben mint az adathalmaz
RészletesebbenA leíró statisztikák
A leíró statisztikák A leíró statisztikák fogalma, haszna Gyakori igény az, hogy egy adathalmazt elemei egyenkénti felsorolása helyett néhány jellemző tulajdonságának megadásával jellemezzünk. Ezeket az
RészletesebbenMatematika III előadás
Matematika III. - 3. előadás Vinczéné Varga Adrienn Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Előadáskövető fóliák Vinczéné Varga Adrienn (DE-MK) Matematika III. 2016/2017/I 1 / 19 Skalármezők
Részletesebbenx, x R, x rögzített esetén esemény. : ( ) x Valószínűségi Változó: Feltételes valószínűség: Teljes valószínűség Tétele: Bayes Tétel:
Feltételes valószínűség: Teljes valószínűség Tétele: Bayes Tétel: Valószínűségi változó általános fogalma: A : R leképezést valószínűségi változónak nevezzük, ha : ( ) x, x R, x rögzített esetén esemény.
RészletesebbenFEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI
FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 9 IX. ROBUsZTUs statisztika 1. ROBUsZTUssÁG Az eddig kidolgozott módszerek főleg olyanok voltak, amelyek valamilyen értelemben optimálisak,
RészletesebbenGazdasági matematika II. vizsgadolgozat, megoldással,
Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat, megoldással, levelező képzés Definiálja az alábbi fogalmakat! 1. Kvadratikus mátrix invertálhatósága és inverze. (4 pont) Egy A kvadratikus mátrixot invertálhatónak
RészletesebbenGépi tanulás a gyakorlatban. Lineáris regresszió
Gépi tanulás a gyakorlatban Lineáris regresszió Lineáris Regresszió Legyen adott egy tanuló adatbázis: Rendelkezésünkre áll egy olyan előfeldolgozott adathalmaz, aminek sorai az egyes ingatlanokat írják
Részletesebben8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II.
8 Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II Elméleti összefoglaló Az a + b+ c, a egyenletet másodfokú egyenletnek nevezzük A D b ac kifejezést az egyenlet diszkriminánsának nevezzük Ha D >, az
RészletesebbenFeladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai 1.
Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai.). Feladat. Határozzuk meg az alábbi integrálokat: a) x x + dx d) xe x dx b) c)
RészletesebbenA legjobb közeĺıtés itt most azt jelentette, hogy a lineáris
Többváltozós függvények differenciálhatósága f(x) f(x Az egyváltozós függvények differenciálhatóságát a lim 0 ) x x0 x x 0 függvényhatárértékkel definiáltuk, s szemléletes jelentése abban mutatkozott meg,
Részletesebben17. előadás: Vektorok a térben
17. előadás: Vektorok a térben Szabó Szilárd A vektor fogalma A mai előadásban n 1 tetszőleges egész szám lehet, de az egyszerűség kedvéért a képletek az n = 2 esetben szerepelnek. Vektorok: rendezett
RészletesebbenVéletlen jelenség: okok rendszere hozza létre - nem ismerhetjük mind, ezért sztochasztikus.
Valószín ségelméleti és matematikai statisztikai alapfogalmak összefoglalása (Kemény Sándor - Deák András: Mérések tervezése és eredményeik értékelése, kivonat) Véletlen jelenség: okok rendszere hozza
RészletesebbenHipotézis STATISZTIKA. Kétmintás hipotézisek. Munkahipotézis (H a ) Tematika. Tudományos hipotézis. 1. Előadás. Hipotézisvizsgálatok
STATISZTIKA 1. Előadás Hipotézisvizsgálatok Tematika 1. Hipotézis vizsgálatok 2. t-próbák 3. Variancia-analízis 4. A variancia-analízis validálása, erőfüggvény 5. Korreláció számítás 6. Kétváltozós lineáris
RészletesebbenLosonczi László. Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar
Szélsőértékszámítás Losonczi László Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar Losonczi László (DE) Szélsőértékszámítás 1 / 21 2. SZÉLSOÉRTÉKSZÁMÍTÁS 2.1 A szélsőérték fogalma, létezése Azt
Részletesebben11. Előadás. 11. előadás Bevezetés a lineáris programozásba
11. Előadás Gondolkodnivalók Sajátérték, Kvadratikus alak 1. Gondolkodnivaló Adjuk meg, hogy az alábbi A mátrixnak mely α értékekre lesz sajátértéke a 5. Ezen α-ák esetén határozzuk meg a 5 sajátértékhez
RészletesebbenMatematikai geodéziai számítások 5.
Matematikai geodéziai számítások 5 Hibaterjedési feladatok Dr Bácsatyai László Matematikai geodéziai számítások 5: Hibaterjedési feladatok Dr Bácsatyai László Lektor: Dr Benedek Judit Ez a modul a TÁMOP
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
RészletesebbenFeladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz
Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Gazdasági matematika II tárgy gyakorlataihoz a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottnak tekintjük a nehezebb
RészletesebbenDifferenciálegyenletek. Vajda István március 4.
Analízis előadások Vajda István 2009. március 4. Függvényegyenletek Definíció: Az olyan egyenleteket, amelyekben a meghatározandó ismeretlen függvény, függvényegyenletnek nevezzük. Függvényegyenletek Definíció:
RészletesebbenMÉRÉSI EREDMÉNYEK PONTOSSÁGA, A HIBASZÁMÍTÁS ELEMEI
MÉRÉSI EREDMÉYEK POTOSSÁGA, A HIBASZÁMÍTÁS ELEMEI. A mérési eredmény megadása A mérés során kapott értékek eltérnek a mérendő fizikai mennyiség valódi értékétől. Alapvetően kétféle mérési hibát különböztetünk
RészletesebbenMatematikai geodéziai számítások 6.
Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara Dr. Bácsatyai László Matematikai geodéziai számítások 6. MGS6 modul Lineáris regresszió számítás elektronikus távmérőkre SZÉKESFEHÉRVÁR 2010 Jelen szellemi
RészletesebbenA brachistochron probléma megoldása
A brachistochron probléma megoldása Adott a függőleges síkban két nem egy függőleges egyenesen fekvő P 0 és P 1 pont, amelyek közül a P 1 fekszik alacsonyabban. Azt a kérdést fogjuk vizsgálni. hogy van-e
RészletesebbenEgyenletek, egyenlőtlenségek VII.
Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Magasabbfokú egyenletek: A 3, vagy annál nagyobb fokú egyenleteket magasabb fokú egyenleteknek nevezzük. Megjegyzés: Egy n - ed fokú egyenletnek legfeljebb n darab valós
RészletesebbenMatematikai geodéziai számítások 6.
Matematikai geodéziai számítások 6. Lineáris regresszió számítás elektronikus távmérőkre Dr. Bácsatyai, László Matematikai geodéziai számítások 6.: Lineáris regresszió számítás elektronikus távmérőkre
RészletesebbenAdatok statisztikai értékelésének főbb lehetőségei
Adatok statisztikai értékelésének főbb lehetőségei 1. a. Egy- vagy kétváltozós eset b. Többváltozós eset 2. a. Becslési problémák, hipotézis vizsgálat b. Mintázatelemzés 3. Szint: a. Egyedi b. Populáció
RészletesebbenPrincipal Component Analysis
Principal Component Analysis Principal Component Analysis Principal Component Analysis Definíció Ortogonális transzformáció, amely az adatokat egy új koordinátarendszerbe transzformálja úgy, hogy a koordináták
RészletesebbenMatematika III. harmadik előadás
Matematika III. harmadik előadás Kézi Csaba Debreceni Egyetem, Műszaki Kar Debrecen, 2013/14 tanév, I. félév Kézi Csaba (DE) Matematika III. harmadik előadás 2013/14 tanév, I. félév 1 / 13 tétel Az y (x)
RészletesebbenSTATISZTIKA. András hármas. Éva ötös. Nóri négyes. 5 4,5 4 3,5 3 2,5 2 1,5 ANNA BÉLA CILI 0,5 MAGY. MAT. TÖRT. KÉM.
STATISZTIKA 5 4,5 4 3,5 3 2,5 2 1,5 1 0,5 0 MAGY. MAT. TÖRT. KÉM. ANNA BÉLA CILI András hármas. Béla Az átlag 3,5! kettes. Éva ötös. Nóri négyes. 1 mérés: dolgokhoz valamely szabály alapján szám rendelése
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
RészletesebbenGazdasági matematika II. vizsgadolgozat megoldása, június 10
Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat megoldása, 204. június 0 A dolgozatírásnál íróeszközön kívül más segédeszköz nem használható. A dolgozat időtartama: 90 perc. Ha a dolgozat első részéből szerzett
RészletesebbenMatematika III előadás
Matematika III. - 2. előadás Vinczéné Varga Adrienn Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Előadáskövető fóliák Vinczéné Varga Adrienn (DE-MK) Matematika III. 2016/2017/I 1 / 23 paramétervonalak,
RészletesebbenKétváltozós függvények differenciálszámítása
Kétváltozós függvények differenciálszámítása 13. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Kétváltozós függvények p. 1/1 Definíció, szemléltetés Definíció. Az f : R R R függvényt
RészletesebbenLine aris f uggv enyilleszt es m arcius 19.
Lineáris függvényillesztés 2018. március 19. Illesztett paraméterek hibája Eddig azt néztük, hogy a mérési hiba hogyan propagál az illesztett paraméterekbe, ha van egy konkrét függvényünk. a hibaterjedés
Részletesebben1. előadás. Lineáris algebra numerikus módszerei. Hibaszámítás Számábrázolás Kerekítés, levágás Klasszikus hibaanalízis Abszolút hiba Relatív hiba
Hibaforrások Hiba A feladatok megoldása során különféle hibaforrásokkal találkozunk: Modellhiba, amikor a valóságnak egy közelítését használjuk a feladat matematikai alakjának felírásához. (Pl. egy fizikai
RészletesebbenKvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla
Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, 0. október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Az előadáshoz ajánlott jegyzet: Szabó László: Bevezetés a lineáris algebrába, Polygon Kiadó, Szeged,
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 3 III. MEGFELELTETÉSEk, RELÁCIÓk 1. BEVEZETÉS Emlékeztetünk arra, hogy az rendezett párok halmazát az és halmazok Descartes-féle szorzatának nevezzük. Más szóval az és halmazok
RészletesebbenBiomatematika 2 Orvosi biometria
Biomatematika 2 Orvosi biometria 2017.02.05. Orvosi biometria (orvosi biostatisztika) Statisztika: tömegjelenségeket számadatokkal leíró tudomány. A statisztika elkészítésének menete: tanulmányok (kísérletek)
RészletesebbenBiometria az orvosi gyakorlatban. Korrelációszámítás, regresszió
SZDT-08 p. 1/31 Biometria az orvosi gyakorlatban Korrelációszámítás, regresszió Werner Ágnes Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék e-mail: werner.agnes@virt.uni-pannon.hu Korrelációszámítás
RészletesebbenBIOMATEMATIKA ELŐADÁS
BIOMATEMATIKA ELŐADÁS 9. Együttes eloszlás, kovarianca, nevezetes eloszlások Debreceni Egyetem, 2015 Dr. Bérczes Attila, Bertók Csanád A diasor tartalma 1 Bevezetés, definíciók Együttes eloszlás Függetlenség
RészletesebbenMatematikai statisztika c. tárgy oktatásának célja és tematikája
Matematikai statisztika c. tárgy oktatásának célja és tematikája 2015 Tematika Matematikai statisztika 1. Időkeret: 12 héten keresztül heti 3x50 perc (előadás és szeminárium) 2. Szükséges előismeretek:
RészletesebbenTartalomjegyzék I. RÉSZ: KÍSÉRLETEK MEGTERVEZÉSE
Tartalomjegyzék 5 Tartalomjegyzék Előszó I. RÉSZ: KÍSÉRLETEK MEGTERVEZÉSE 1. fejezet: Kontrollált kísérletek 21 1. A Salk-oltás kipróbálása 21 2. A porta-cava sönt 25 3. Történeti kontrollok 27 4. Összefoglalás
RészletesebbenKonjugált gradiens módszer
Közelítő és szimbolikus számítások 12. gyakorlat Konjugált gradiens módszer Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Vinkó Tamás Faragó István Horváth Róbert jegyzetei alapján 1 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK
RészletesebbenELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék GAZDASÁGSTATISZTIKA. Készítette: Bíró Anikó. Szakmai felelős: Bíró Anikó június
GAZDASÁGSTATISZTIKA GAZDASÁGSTATISZTIKA Készült a TÁMOP-4.1.2-08/2/A/KMR-2009-0041pályázati projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TátK Közgazdaságtudományi Tanszékén az ELTE Közgazdaságtudományi
RészletesebbenFunkcionálanalízis. n=1. n=1. x n y n. n=1
Funkcionálanalízis 2011/12 tavaszi félév - 2. előadás 1.4. Lényeges alap-terek, példák Sorozat terek (Folytatás.) C: konvergens sorozatok tere. A tér pontjai sorozatok: x = (x n ). Ezen belül C 0 a nullsorozatok
RészletesebbenGVMST22GNC Statisztika II.
GVMST22GNC Statisztika II. 4. előadás: 9. Kétváltozós korreláció- és regressziószámítás Kóczy Á. László koczy.laszlo@kgk.uni-obuda.hu Keleti Károly Gazdasági Kar Vállalkozásmenedzsment Intézet Korrelációszámítás
Részletesebben4. Az A és B események egymást kizáró eseményeknek vagy idegen (diszjunkt)eseményeknek nevezzük, ha AB=O
1. Mit nevezünk elemi eseménynek és eseménytérnek? A kísérlet lehetséges kimeneteleit elemi eseményeknek nevezzük. Az adott kísélethez tartozó elemi események halmazát eseménytérnek nevezzük, jele: X 2.
RészletesebbenLeíró és matematikai statisztika el adásnapló Matematika alapszak, matematikai elemz szakirány 2016/2017. tavaszi félév
Leíró és matematikai statisztika el adásnapló Matematika alapszak, matematikai elemz szakirány 2016/2017. tavaszi félév A pirossal írt anyagrészeket nem fogom közvetlenül számon kérni a vizsgán, azok háttérismeretként,
RészletesebbenNorma Determináns, inverz Kondíciószám Direkt és inverz hibák Lin. egyenletrendszerek A Gauss-módszer. Lineáris algebra numerikus módszerei
Indukált mátrixnorma Definíció A. M : R n n R mátrixnormát a. V : R n R vektornorma által indukált mátrixnormának nevezzük, ha A M = max { Ax V : x V = 1}. Az indukált mátrixnorma geometriai jelentése:
RészletesebbenTöbbváltozós, valós értékű függvények
TÖ Többváltozós, valós értékű függvények TÖ Definíció: többváltozós függvények Azokat a függvényeket, melyeknek az értelmezési tartománya R n egy részhalmaza, n változós függvényeknek nevezzük. TÖ Példák:.
RészletesebbenFüggetlenségvizsgálat, Illeszkedésvizsgálat
Varga Beatrix, Horváthné Csolák Erika Függetlenségvizsgálat, Illeszkedésvizsgálat 4. előadás Üzleti statisztika A sokaság/minta több ismérv szerinti vizsgálata A statisztikai elemzés egyik ontos eladata
RészletesebbenEgészrészes feladatok
Kitűzött feladatok Egészrészes feladatok Győry Ákos Miskolc, Földes Ferenc Gimnázium 1. feladat. Oldjuk meg a valós számok halmazán a { } 3x 1 x+1 7 egyenletet!. feladat. Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges
RészletesebbenTrigonometria Megoldások. 1) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( )
Trigonometria Megoldások Trigonometria - megoldások ) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( ) akkor a háromszög egyenlő szárú vagy derékszögű!
RészletesebbenFraktálok. Kontrakciók Affin leképezések. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék. TARTALOMJEGYZÉK Kontrakciók Affin transzformációk
Fraktálok Kontrakciók Affin leképezések Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék TARTALOMJEGYZÉK 1 of 71 A Lipschitz tulajdonság ÁTMÉRŐ, PONT ÉS HALMAZ TÁVOLSÁGA Definíció Az (S, ρ) metrikus tér
RészletesebbenLineáris regressziós modellek 1
Lineáris regressziós modellek 1 Ispány Márton és Jeszenszky Péter 2016. szeptember 19. 1 Az ábrák C.M. Bishop: Pattern Recognition and Machine Learning c. könyvéből származnak. Tartalom Bevezető példák
RészletesebbenEgyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek Megoldások
) Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek - megoldások Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek Megoldások a) Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenletet! = 6 (5 pont) b) Oldja
RészletesebbenMiért fontos számunkra az előző gyakorlaton tárgyalt lineáris algebrai ismeretek
Az november 23-i szeminárium témája Rövid összefoglaló Miért fontos számunkra az előző gyakorlaton tárgyalt lineáris algebrai ismeretek felfrissítése? Tekintsünk ξ 1,..., ξ k valószínűségi változókat,
RészletesebbenMatematikai geodéziai számítások 5.
Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara Dr Bácsatyai László Matematikai geodéziai számítások 5 MGS5 modul Hibaterjedési feladatok SZÉKESFEHÉRVÁR 2010 Jelen szellemi terméket a szerzői jogról
RészletesebbenMatematikai statisztikai elemzések 5.
Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara Prof. Dr. Závoti József Matematikai statisztikai elemzések. MSTE modul Kapcsolatvizsgálat: asszociáció vegyes kapcsolat korrelációszámítás. Varianciaanalízis
RészletesebbenA szimplex algoritmus
A szimplex algoritmus Ismétlés: reprezentációs tétel, az optimális megoldás és az extrém pontok kapcsolata Alapfogalmak: bázisok, bázismegoldások, megengedett bázismegoldások, degenerált bázismegoldás
RészletesebbenA következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat.
Poisson folyamatok, exponenciális eloszlások Azt mondjuk, hogy a ξ valószínűségi változó Poisson eloszlású λ, 0 < λ
Részletesebben10. Előadás. 1. Feltétel nélküli optimalizálás: Az eljárás alapjai
Optimalizálási eljárások MSc hallgatók számára 10. Előadás Előadó: Hajnal Péter Jegyzetelő: T. Szabó Tamás 2011. április 20. 1. Feltétel nélküli optimalizálás: Az eljárás alapjai A feltétel nélküli optimalizálásnál
RészletesebbenTöbbváltozós lineáris regressziós modell feltételeinek tesztelése I.
Többváltozós lineáris regressziós modell feltételeinek tesztelése I. - A hibatagra vonatkozó feltételek tesztelése - Kvantitatív statisztikai módszerek Petrovics Petra Többváltozós lineáris regressziós
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Paraméter
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Paraméter A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
Részletesebben[Biomatematika 2] Orvosi biometria
[Biomatematika 2] Orvosi biometria 2016.02.08. Orvosi biometria (orvosi biostatisztika) Statisztika: tömegjelenségeket számadatokkal leíró tudomány. A statisztika elkészítésének menete: tanulmányok (kísérletek)
Részletesebben