3. rész. Két változó kapcsolatának vizsgálata. Minden összefügg mindennel!? Komputerstatisztika kurzus

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "3. rész. Két változó kapcsolatának vizsgálata. Minden összefügg mindennel!? Komputerstatisztika kurzus"

Átírás

1 Két kapcsolatának vizsgálata Minden összefügg mindennel!? Komputerstatisztika kurzus Barczy Mátyás Informatikai Kar Debreceni Egyetem 1

2 A témái

3 A kapcsolat természete A statisztikai k (adatbázisok attributumainak) korábban megismert egyenkénti jellemzése leíró statisztikákkal és grafikus eszközökkel többnyire csak egy kezdeti lépés. A statisztikai k általában nem függetlenek egymástól, az egyes k értékei befolyásolják más k értékeit. A kapcsolat természete kétféle lehet: determinisztikus (függvényszerű): néhány egyértelműen (függvénnyel megadható módon) meghatározza más (k) értékét(eit), sztochasztikus (véletlenszerű): a fenti meghatározottság csak tendenciaszerű, bizonyos mértékű hiba erejéig érvényes. A kapcsolat irányultsága is kétféle lehet: aszimmetrikus: az egyik hat a másikra, pl. a viszony ok okozati, illetve időben eltérő, szimmetrikus: a k kölcsönösen hatnak egymásra, egyidejűek. 3

4 Példa (Determinisztikus kapcsolat) A hetente és havonta előállított termékek száma. (Az utóbbi az előbbiek összegzésével adódik). A kapcsolat aszimmetrikus abban az értelemben, hogy a havonta előállított termékek számából nem kapható meg a hetente előállított termékek száma, fordítva viszont igen. Az éves és a havi átlaghőmérsékletek. Egy termék vagy szolgáltatás ára és az áfa nagysága (20%-os áfa esetén az árat 0.2 del kell szorozni). A kapcsolat szimmetrikus abban az értelemben, hogy az áfa nagyságának ismeretében a termék ára és a kifizetett áfa kölcsönösen egyértelműen meghatározza egymást. 4

5 Példa (Sztochasztikus kapcsolat) Szemszín és a hajszín mint két diszkrét egyidejű kapcsolata (szimmetrikus kapcsolat). Testsúly és magasság mint két folytonos egyidejű kapcsolata (szimmetrikus kapcsolat). A termés nagysága és a különbőző termelési módok. A gépkocsi sebessége és a fékút hossza (aszimmetrikus kapcsolat). Az idő és a számítástechnikai eszközök fejlettsége (tárolókapacitás, számolási sebesség stb.). 5

6 Két kapcsolatának leírása Ez a lehetséges legegyszerűbb kapcsolat, ennek ellenére már itt is eltérő módszerekkel találkozunk aszerint, hogy milyen kat vizsgálunk, milyen skálán mérjük őket. Jelöljük a két t X szel és Y nal. Ha ok okozati kapcsolat áll fenn, akkor legyen X az ok és Y az okozat. Ekkor X et magyarázó, Y t függő nak nevezzük. A legalapvetőbb osztályozást akkor kapjuk, ha a kat a típusuk alapján, mint diszkrét és folytonos, különböztetjük meg. 6

7 Az alábbi négy esetet vizsgáljuk: Mindkét diszkrét: kontingencia táblák vizsgálata és rang. Mindkét folytonos: és regresszió analízis. X és Y között ok okozati kapcsolat áll fenn, az X ok diszkrét, az Y okozat folytonos: szórásanalízis. X és Y között ok okozati kapcsolat áll fenn, az X ok folytonos, az Y okozat diszkrét: osztályozási. 7

8 elemzése Legyenek az X és Y diszkrét k lehetséges értékei x 1,...,x r és y 1,..., y s. Tekintsünk az (X, Y) párra vonatkozóan egy olyan r s j=1 n ij elemű mintát, ahol n ij azon megfigyelések (rekordok) számát (gyakoriságát) jelöli, amelyeknél X = x i és Y = y j, i = 1,..., r, j = 1,...,s. Az összes elemző módszer ezután az így bevezetett gyakoriságokra épül. Ezek a mintában lévő teljes információt tartalmazzák, használatuk egy nagyon hatékony adattömörítő eszköz. 8

9 Elemzési eszköztár: statisztikai módszer: kontingencia táblák vizsgálata, rangs együttható, grafikus eszközök: haladottabb (osztott, csoportosított, halmozott stb.) fánk diagramok. A legfontosabb kérdés a két függetlensége. Amennyiben ezt elutasítjuk, a függőségük erősségének mérése. 9

10 Kontingencia táblázat A kontingencia (kereszt) táblázat egy kétdimenziós gyakorisági tábla, amellyel két diszkrét együttes gyakoriságait tudjuk megjeleníteni. Y X y1 y 2 y s x 1 n 11 n 12 n 1s n 1+ x 2 n 21 n 22 n 2s n x r n r1 n r2 n rs n r+ n+1 n +2 n +s n ++ A táblázatbeli sor és oszlopösszegek az alábbi módon vannak definiálva: n i+ := s n ij, n +j := j=1 r n ij, n ++ := r j=1 s n ij =: n. 10

11 A megjelenítés hasonló a kétdimenziós diszkrét valószínűségeloszlás megadásához. Ekkor a táblázat valószínűségeket tartalmaz, az utolsó sor és oszlop pedig az ún. marginális (perem) eloszlásokat. A kontingencia tábla celláiban (abszolút) gyakoriságok helyett ábrázolhatunk relatív gyakoriságokat is. A statisztikai szoftverek emellé még számos egyéb lehetőséget is nyújtanak, pl. oszlop vagy sor százalék, várt érték a függetlenség esetén stb. A két függetlenségének vizsgálatát, illetve a függőségük erősségének mérését az alábbi két esetben tárgyaljuk: mindkét (diszkrét) t nominális skálán, illetve mindkét t ordinális skálán mérjük. 11

12 Nominális skálán mért diszkrét k Feltételezzük a továbbiakban, hogy r 2, s 2 és n i+ 1, n +j 1, i = 1,...,s, j = 1,...,r. Cramér mutató: ahol C := χ 2 := az ún. χ 2 statisztika. χ 2 n ++ min{r 1, s 1}, r j=1 ( s n ij n i+n +j n n i+ n +j n Az n i+ n +j /n értékeket (gyakoriságokat) a két függetlenségének feltételezése melletti gyakoriságoknak is szokás nevezni, ugyanis n i+ n +j n = n n i+ n n +j n. ) 2 12

13 Állítás A Cramér mutatóra teljesül, hogy C [0, 1]. Bizonyítás. Először megmutatjuk, hogy r s χ 2 n 2 = n ++ ij 1. n i+ n +j Valóban, ( ) r s n ij n 2 i+n +j n = n i+ n +j j=1 = = r j=1 r s s j=1 j=1 r s j=1 n 2 ij n i+ n +j 2 n ++ n ++ + n 2 ij n i+ n +j 1. ( n 2 ij 2 n ij + n ) i+n +j n i+ n +j n ++ (n ++ ) 2 1 (n ++ ) 2 r s n i+ j=1 n +j 13

14 Így elég azt ellenőriznünk, hogy r s nij 2 min{r, s}. n i+ n +j j=1 Felhasználva, hogy n ij n i+ 1, kapjuk, hogy r s j=1 n 2 ij n i+ n +j = i = 1,...,r, j = 1,...,s, r j=1 s j=1 s n ij n +j = s 1 n +j n +j = s. Hasonlóan belátható, hogy r s nij 2 r. n i+ n +j j=1 1 r n ij n +j j=1 14

15 Megjegyzés. C = 0 akkor és csak akkor, ha n ij = n i+n +j, i = 1,...,r, j = 1,...,s, n azaz, ha a megfigyelt és várt gyakoriságok megegyeznek. C = 0 : függetlenség. Ha s r, úgy C = 1 akkor és csak akkor, ha minden i = 1,...,r esetén n ij {0, n i+ }, j = 1,...,s, azaz minden sorban pontosan egy db n ij C = 1 : függőség. nem nulla. 15

16 Példa arra, hogy C = 0. Tekintsük az alábbi kontingencia táblázatot: Ekkor χ 2 = 0 és C = 0. Y X Példa arra, hogy C = 1. Tekintsük az alábbi kontingencia táblázatot: Y X Ekkor χ 2 = 6 és C =

17 : χ T := 2. n ++ (r 1)(s 1) Nyilván, T C és így T [0, 1]. Értelmezés ugyanaz, mint a Cramér mutatónál. Megjegyzés A későbbiekben elemezni fogjuk, hogy a mutatók (pontosabban a χ 2 statisztika) milyen nagy értékei utalnak függőségre, lásd két teljes eseményrendszer függetlenségének vizsgálatára vonatkozó χ 2 próba. 17

18 Példa A szem és a haj színének a kapcsolatát vizsgáltuk 400 embernél. Eredményül az alábbi kontingencia táblát kaptuk: Hajszín Szemszín barna fekete szőke vörös kék sötét zöld

19 Megoldás. r = 3, s = 4 és a χ 2 statisztika értéke A Cramér mutató értéke: C = 400 min{3 1, 4 1} A értéke: T := 400 (3 1)(4 1) A Cramér, ill. értéke alapján (mivel 0 hoz vannak közelebb, mint 1 hez) gyenge függőségre következtethetünk. Azonban a későbbi vizsgálatok során kiderül majd, hogy a jelen ban a Cramér mutató értéke alapján erős függőségre kell következtetnünk. 19

20 A függőség mértékének a megítélésében a P(χ 2 6 > 84.32) valószínűség nagysága az irányadó, ugyanis belátható, hogy a két függetlensége esetén a χ 2 statisztika aszimptotikusan χ 2 (r 1)(s 1) eloszlású, ahol χ 2 n az n szabadsági fokú χ 2 eloszlást jelöli. Esetünkben (r 1)(s 1) = 6 és P(χ 2 6 > 84.32) 0, így tényleg erős függőségre következtethetünk. Megjegyezzük továbbá, hogy érvényes ugyan a χ 2 n n 2n L N(0, 1) ha n, eloszlásbeli konvergencia, ez azonban elég lassú. 20

21 Gondoljunk ugyanis a Berry Esseen tételre, ahol is a konvergenciasebesség nagysága az abszolút ferdeségtől (harmadik abszolút centrált momentum osztva a szórás köbével) függ, ami χ 2 1 eloszlás esetén relatíve nagy. Mivel a gyakorló okban a χ 2 (r 1)(s 1) határeloszlás szabadsági foka, azaz (r 1)(s 1), általában kicsi, így a határeloszlásnak N((r 1)(s 1), 2(r 1)(s 1)) eloszlással való közelítését nem ajánljuk. A következő lapokon a példabeli kontingencia táblát ábrázoltuk különböző módokon. 21

22 Térbeli oszlopdiagram Előállította a SAS rendszer 22

23 Csoportosított oszlopdiagram Előállította a SAS rendszer 23

24 Halmozott oszlopdiagram Előállította a SAS rendszer 24

25 Csoportosított kördiagram Előállította a SAS rendszer 25

26 Halmozott kördiagram Előállította a SAS rendszer 26

27 Fánkdiagram Előállította a SAS rendszer 27

28 Ordinális skálán mért diszkrét k Legyen a két ordinális skálán mért, diszkrét ra megfigyelt minta a következő: X : x 1, x 2,..., x n Y : y 1, y 2,..., y n. Megjegyezzük, hogy valójában mintapárokat, úm. (x i, y i ), figyelünk meg, amelynek elemei összetartoznak. Rang:= a rendezett mintában hányadik az illető mintaelem. Jelöljük az X, ill. Y szerinti rangokat R X, illetve R Y módon. Ha egy mintaelem többször is előfordul, akkor ezekhez azon rangszámok súlyozatlan számtani átlagát rendeljük rangszámként, melyet akkor kapnánk, ha az adott mintaelemek páronként különbözőek lennének. Ezek az ún. kapcsolt rangok. 28

29 rangs együttható: az R X és R Y rangszámok tapasztalati (lineáris) s együtthatója: ahol S(X, Y) := (R X, R Y ), n (X, Y) := (x i x)(y i y) n (x i x) 2. n (y i y) 2 Azaz n S(X, Y) = (R x i R X )(R yi R Y ) n (R x i R X ) 2, n (R y i R Y ) 2 ahol R X := 1 n n R xi, R Y := 1 n n R yi. Megj.: A tapasztalati (lineáris) s együtthatóval két folytonos kapcsolatának elemzésekor majd részletesen foglalkozunk. 29

30 A rangs együttható tulajdonságai: S(X, Y) 1, Ha S(X, Y) = 1, akkor az R X és R Y rangszámsorozat egybeesik. Ha S(X, Y) = 1, akkor az R X és R Y rangszámsorozat egymás fordítottjai abban az értelemben, hogy R yi = R xi + n+1, i = 1,...,n. Ha S(X, Y) > 0, akkor pozitív irányú függésről beszélünk: az X-re vonatkozó mintában a nagyobb rang együttjár az Y -re vonatkozó mintában a nagyobb ranggal (illetve fordítva is). Ha S(X, Y) < 0, akkor negatív irányú függésről beszélünk: az X-re vonatkozó mintában a nagyobb rang együttjár az Y -re vonatkozó mintában a kisebb ranggal (illetve fordítva is). Ha S(X, Y) = 0, akkor a két rangsor között nincs kapcsolat. 30

31 Megjegyzés Ha nincsenek kapcsolt rangok, akkor S(X, Y) = 1 6 n (R x i R yi ) 2 n(n 2. 1) A gyakorlatban akkor is használatos a fenti formula, ha vannak kapcsolt rangok, de nem sok. 31

32 Az SPSS algoritmusa a rangs együttható számolására ahol S(X, Y) = T X + T Y n (R x i R yi ) 2 2 T X T Y, T X := n3 n ST X 12 ST X := ST Y :=, T Y := n3 n ST Y, 12 {t>1:t db mintaelem egybeesik az x 1,...,x n mintában} {t>1: t db mintaelem egybeesik az y 1,...,y n mintában} (t 3 t), (t 3 t). Ha T X = 0 vagy T Y = 0, akkor S(X, Y) nem kerül kiszámolásra. Valóban ellenőrizhető, hogy a fenti algoritmussal számolt rangs együttható megegyezik az általunk bevezetettel. 32

33 elemzése Legyen a két folytonos ra megfigyelt minta a következő: X : x 1, x 2,..., x n Y : y 1, y 2,..., y n Újra felhívjuk a figyelmet, hogy valójában mintapárokat, úm. (x i, y i ), figyelünk meg, amelynek elemei összetartoznak. Így bármilyen művelet (pl. rendezés) a mintán csak a párokon hajtható végre, ként pedig nem. Statisztikai eszközök: szimmetrikus eset: analízis, ok okozati eset: regresszió analízis. Grafikus eszköz: pontdiagram, melyben a Descartes koordinátarendszerben ábrázoljuk az (X, Y) párra kapott megfigyeléseket mint pontokat. A koordinátatengelyek kijelölése gyakran feltételez ok okozati viszonyt a két között. 33

34 Pearson féle s együttható Két valószínűségi közötti függőséget a kovariancia és s együttható mennyiségekkel mérhetjük. A ξ és η valószínűségi k (elméleti) kovarianciája: Cov(ξ,η) := E(ξ Eξ)(η Eη), és s együtthatója: Corr(ξ,η) := Cov(ξ,η) D 2 ξd 2 ξ. A s együtthatót akkor értelmezzük, ha 0 < D 2 ξ < és 0 < D 2 η <. Ezek tapasztalati megfelelőit vezetjük be az alábbiakban. 34

35 Definíció (Tapasztalati kovariancia és ) Az X és Y közötti tapasztalati kovariancia: c(x, Y) := 1 n n (x i x)(y i y). Pearson-féle tapasztalati (lineáris) s együttható: c(x, Y) n (X, Y) := s(x)s(y) = (x i x)(y i y) n (x i x) 2, n (y i y) 2 feltéve, hogy s(x) 0 és s(y) 0, ahol s(x), illetve s(y) az x 1,...,x n, ill. y 1,..., y n minta korrigálatlan tapasztalati szórását jelöli. Megj.: Korábban az x 1,..., x n minta korrigálatlan tapasztalati szórását s n módon jelöltük. A fentiekben a minta elemszámát nem tüntettük fel a jelölésben, azt viszont igen, hogy melyik mintára vonatkozik. 35

36 Megjegyzés c(x, Y) = 1 n n x i y i x y =: xy x y. X és Y között nem feltétlen van ok okozati kapcsolat. Bevezetve az alábbi jelöléseket: x i := x i x ns(x), ỹ i := y i y ns(y), i = 1,..., n, az X := ( x 1,..., x n ) és Ỹ := (ỹ 1,..., ỹ n ) mintákra teljesül, hogy (X, Y) = n x i ỹ i = X, Ỹ, ahol, az euklideszi belső szorzatot jelöli. (X, Y) 2 : determinációs együttható. 36

37 A s együttható tulajdonságai A tapasztalati kovariancia a két közös skáláján méri a kapcsolat erősségét, a tapasztalati s együttható ezzel szemben már normalizált skálán mér, így összehasonlításra jobban használható. Ha (X, Y) > 0, akkor pozitív irányú függésről beszélünk: az egyik értékének növelése a másik értékének a növekedését eredményezi. Ha (X, Y) < 0, akkor negatív irányú függésről beszélünk: az egyik értékének növelése a másik értékének a csökkenését eredményezi. Ha (X, Y) = 0, akkor korrelálatlanságról beszélünk. (Nem tévesztendő össze a függetlenséggel, ami egy erősebb dolog.) 37

38 Tétel Legyen X = (x 1,..., x n ) és Y = (y 1,..., y n ) olyan, hogy s(x) 0 és s(y) 0. Ekkor (X, Y) 1 és egyenlőség pontosan akkor áll fenn, ha léteznek olyan a, b R valós számok, hogy Y = ax + b, azaz y i = ax i + b minden i = 1,...,n re. Utóbbi esetben lineáris kapcsolatról beszélünk. Továbbá, a > 0, illetve a < 0 aszerint, hogy (X, Y) = 1, illetve (X, Y) = 1. 38

39 Bizonyítás. A Cauchy Schwarz egyenlőtlenség alapján: ( n n ) 1/2 n (x i x)(y i y) (x i x) 2 (y i y) 2, melyből átrendezéssel adódik az állítás. Egyenlőség pontosan akkor teljesül, ha (x 1 x,...,x n x) és (y 1 x,...,y n x) lineárisan függőek. Mivel s(x) 0 és s(y) 0, kapjuk, hogy pontosan akkor teljesül egyenlőség, ha létezik olyan a R, hogy y i y = a(x i x) minden i = 1,...,n esetén. Innen közvetlenül adódik, hogy y i = ax i + b, ahol b := y a x. 39

40 Ha Y = ax + b, ahol a > 0, akkor (X, Y) = c(x, ax + B) a c(x, X) = s(x)s(ax + b) a s(x)s(x) = 1. Ha Y = ax + b, ahol a < 0, akkor (X, Y) = c(x, ax + B) a c(x, X) = s(x)s(ax + b) a s(x)s(x) = 1. Összefoglalva: a s együttható a [ 1, 1] intervallumon (skálán) méri két folytonos kapcsolatának az erősségét. A skála két végpontja esetén a kapcsolat lineáris (Y = ax + b), a 1 végpont esetén a < 0, a +1 végpont esetén pedig a > 0. 40

41 Példa (olyan determinisztikus kapcsolatra, amelynél a k korrelálatlanok) Tekintsük az alábbi mintát: Ekkor x = 0, (x 1, y 1 ) = (1, 1), (x 2, y 2 ) = ( 1, 1), (x 3, y 3 ) = (2, 8), (x 4, y 4 ) = ( 2, 8). y = = 4.5, 4 xy = = 0, 4 így c(x, Y) = 0 és (X, Y) = 0. X és Y között determinisztikus kapcsolat van: y i = x 3 i, i = 1, 2, 3, 4. 41

42 Példa (A tapasztalati s együttható számolása) A minta: X: 1, 2, -1, 2, 1 Y: 2, 4, 0, 8, 1 Mivel x = 1 és y = 3 a centralizált minta: X x: 0, 1, -2, 1, 0 Y y: -1, 1, -3, 5, -2 c(x, Y) = 0 ( 1)+1 1+( 2) ( 3) ( 2) 5 =2.4, s 2 (X) = 1 5 ( ( 2) ) = 1.2, s 2 (Y) = 1 5 (( 1) ( 3) ( 2) 2 ) = 8. Ezért: (X, Y) = 2.4/ =

43 Lineáris regresszió Láttuk, hogy maximális (azaz 1) abszolút értékű s együttható lineáris kapcsolatot jelent a k között. Hogyan lehet ennek a kapcsolatnak az együtthatóit meghatározni a minta alapján? Általánosabban, az Y függő t szeretnénk az X magyarázó lineáris függvényével közelíteni: Y ax + b. Milyen a és b valós együtthatókat válasszunk az (X, Y)-ra vonatkozó n elemű minta ismeretében? Először az elemi hibákat (veszteségeket) definiáljuk az alábbi módon e i := y i (ax i + b), i = 1,..., n. Ezután ezen (elemi) hibákból egy összesített hibát (rizikót) állítunk elő. Végül az így kapott összesített hibát, mint célfüggvényt minimalizáljuk az a és b együtthatók függvényében. Ez egy szélsőértékszámítási (optimalizációs). 43

44 A legkisebb négyzetek módszere Az együtthatók meghatározására használt legelterjedtebb elv a legkisebb négyzetek módszere. Ekkor az összesí tett hiba az elemi hibák négyzeteinek összege: E(a, b) := n ei 2 = Szélsőértékszámítási : n (y i (ax i + b)) 2. min (a,b) R 2 E(a, b). Az E függény előnye, hogy a szélsőértékszámítási megoldásánál támaszkodhatunk a differenciálszámítás eszköztárára, hiszen az E : R 2 R függvény mindkét ja szerint akárhányszor differenciálható. 44

45 Ismert, hogy az E : R 2 R függvénynek (â, b) lokális minimumhelye, ha (i) (â, b) stacionárius pont, azaz az elsőrendű parciális deriváltakból álló ún. gradiens vektorra E a (â, b) = 0, E b (â, b) = 0; (ii) a másodrendű parciális deriváltakból álló ún. Hesse mátrix pozitív definit az (â, b) helyen, azaz ( ) ( 2 E (â, b) 2 E u v a 2 a b (â, b) ) (u ) 2 E a b (â, b) > 0 2 E(â, b) v b 2 minden (u, v) (0, 0) esetén, vagy ekvivalens módon u 2 2 E a 2 (â, b)+2uv 2 E a b (â, b)+v 2 2 E b 2(â, b) > 0 minden u, v R, u 2 + v 2 > 0 esetén. 45

46 A regressziós együtthatók meghatározása I. Az E gradiens vektorára kapjuk, hogy E n b (a, b) =2 (y i (ax i + b))( 1) = 0, E n a (a, b) =2 (y i (ax i + b))( x i ) = 0. Ebből átrendezéssel kapjuk az alábbi ún. normál egyenleteket: a n a x 2 i n x i + bn = + b n x i = n y i, n x i y i. 46

47 A regressziós együtthatók meghatározása II. A normálegyenletek az x = 1 n n x i, y = 1 n n y i, x 2 = 1 n n x 2 i, xy = 1 n n x i y i, jelölések bevezetésével az alábbi egyszerűbb alakot öltik: a x + b =y, a x 2 + b x =xy, melyeket írhatunk mátrixos alakban is: ( )( ) 1 x b x x 2 = a ( ) y. xy 47

48 A regressziós együtthatók meghatározása III. Az első egyenletből kapjuk, hogy b = y a x. Ezt a második egyenletbe behelyettesítve adódik a megoldás: â = xy x y x 2 x 2, b = y xy x y x 2 x 2 x, amennyiben x 2 x 2. Ez utóbbi akkor és csak akkor teljesül, ha az X re vett minta nem konstans, ugyanis ( n n ) 2 x 2 = x 2 n xi 2 = x i, illetve a Cauchy Schwarz egyenlőtlenség szerint ( n ) 2 n x i n és egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn, ha d R, hogy x i = d, i = 1,...,n. x 2 i 48

49 A regressziós együtthatók meghatározása IV. Mivel a másodrendű parciális deriváltak: 2 E n a 2 (a, b) = 2 xi 2, 2 E n a b (a, b) = 2 x i, 2 E b2(a, b) = 2n, a Hesse mátrix tetszőleges (a, b) R 2 helyen ( 2 n x i 2 2 n x ) i 2 n x i 2n Ez pozitív definit, hiszen u 2 2 n x 2 i + 2uv2 n x i + v 2 2n = 2 n (ux i + v) 2 > 0 ha u, v R, u 2 + v 2 > 0 és az X re vett minta nem konstans. 49

50 A regressziós együtthatók meghatározása V. Egyetlen dolgot kell még ellenőriznünk: az E függvény egyetlen lokális minimumhelye egyben globális minimumhely is. Ehhez elég belátni, hogy az E függvény szigorúan konvex. Ugyanis, ha egy szigorúan konvex függvénynek van lokális minimuma az szükségképpen globális minimum is. Az E szigorú konvexségéhez elég ellenőriznünk, hogy a Hesse-mátrixának sarokfőminorai pozitívak, azaz azt, hogy 2 n n 4 n x i 2 x 2 i > 0 és ( n ) 2 x i = 4n 2 (x 2 (x) 2 ) > 0. Ezek teljesülnek, hiszen az X re vett minta nem konstans. Ezzel beláttuk, hogy a normál egyenletek egyértelmű megoldása valóban globális minimumhelyet határoz meg. 50

51 A Felhasználva, hogy c(x, Y) = xy x y és azt, hogy a Steiner formula alapján s 2 (X) = x 2 x 2, a regressziós együtthatókat a következő alakban is felírhatjuk: â = (X, Y) s(y) s(x), b = y (X, Y) s(y) s(x) x. A át megoldó egyenes egyen letét, az ún. t az alábbi alakokban írhatjuk fel: Y = xy x y x 2 x 2 X + y xy x y x 2 x 2 x, Y = (X, Y) s(y) X + y (X, Y)s(Y) s(x) s(x) x. 51

52 Feltételezve, hogy az Y ra vett minta sem konstans, a másodikat átrendezve kapjuk, hogy Y y s(y) = (X, Y)X x s(x), azaz a két minta standardizálása után egy origón átmenő egyenest kapunk, melynek meredeksége a tapasztalati s együttható. 52

53 Nem Csak azzal a speciális esettel foglalkozunk, amikor az Y függő t szeretnénk az X magyarázó hatvány függvényével közelíteni: Y b a X, ahol feltételezzük, hogy a valódi a és b paraméterek pozitívak. Milyen a és b valós együtthatókat válasszunk az (X, Y)-ra vonatkozó n elemű minta ismeretében? A legkisebb négyzetek elve alapján olyan a és b értékeket választunk, melyekre az alábbi összesített hiba minimális: n (y i ba x i ) 2. Ezen nemlineáris szélsőértékszámítási megoldása helyett azonban sokszor az alábbi lineáris (így egyszerűbb) ot oldjuk meg. 53

54 Az eredeti s ot visszavezetjük egy s megoldására, linearizálunk: ln(y) ln(a)x + ln(b). Az (x i, ln(y i )), i = 1,...,n minta ismeretében az ln(a) és ln(b) paraméterek legkisebb négyzetes becslése teljesíti az alábbi normálegyenletet: ( )( ) ( ) 1 x ln(b) ln(y) =. x x 2 ln(a) x ln(y) 54

55 A korábbiak alapján, ha az X-re vett minta nem konstans, akkor az ln(a) és ln(b) paraméterek legkisebb négyzetes becslése egyértelmű: ln(a) = x ln(y) x ln(y) x 2 x 2, ln(b) x ln(y) x ln(y) = ln(y) x 2 x 2 x. Így az a és b paraméterek becslése: â = e ln(a), b = e ln(b). 55

56 A s és linearizáltjának a kapcsolata Legyenek az (X, Y) párra vonatkozó megfigyeléseink (x i, y i ), i = 1,...,n, ahol y i > 0, i = 1,...,n, és az X-re vett minta nem konstans. Vizsgáljuk meg az alábbi két közötti kapcsolatot. I. Legyen E 1 : R R R, n E 1 (u, v) := (ln(y i ) (ux i + v)) 2, u, v R. Minimalizáljuk E 1 -et és jelölje (û, v) a minimumhelyet. II. Legyen E 2 : (0, ) (0, ) R, n E 2 (a, b) := (y i ba x i ) 2, a, b > 0. Minimalizáljuk E 2 -t és jelölje (â, b) a minimumhelyet, melyről feltételezzük, hogy egyértelmű. Igaz-e, hogy (â, b) = (eû, e v )? 56

57 Az I. megoldása: û = x ln(y) x ln(y) x 2 x 2, v = ln(y) A II. megoldása: a x ln(y) x ln(y) x 2 x 2 x. E 2 a (a, b) = 0, E 2 (a, b) = 0, b egyenletrendszer az alábbi alakot ölti: n (y i ba x i )x i a x i = 0, n (y i ba x i )a x i = 0. Ezt általában nem tudjuk explicit módon megoldani. 57

58 Az (â, b) = (eû, e v ) összefüggés általában nem igaz. Példát adunk arra is, mikor teljesül és arra is, mikor nem. 1. Példa: Legyen n = 3 és (x 1, y 1 ) := (1, 6), (x 2, y 2 ) := (2, 18), (x 2, y 2 ) := (3, 54). Ekkor û , v , â = 3, b = 2, és teljesül az (â, b) = (eû, e v ) összefüggés. Továbbá, E 1 (û, v) 0, E 2 (â, b) = 0. 58

59 2. Példa: Legyen n = 3 és (x 1, y 1 ) := (1, 4), (x 2, y 2 ) := (2, 22), (x 2, y 2 ) := (3, 50). Ekkor û , v , eû , e v , â , b , és nem teljesül az (â, b) = (eû, e v ) összefüggés. Továbbá, E 1 (û, v) , E 2 (â, b) , azaz a s modell illeszkedik jobban. 59

60 Az előző példából legalább két tanulság is leszűrhető: a s nak és linearizáltjának a megoldása nem ekvivalens egymással. alapértelmezés szerint egyik módszer sem tekinthető jobbnak a másiknál, hiszen az egyik esetben egy nemlineáris egyenletrendszert kell megoldanunk, a másik esetben pedig linearizálunk. Azt, hogy melyik módszerrel kapott becslést fogadjuk el további vizsgálatok, szakmai megfontolások dönthetik el. 60

61 Példa: Moore törvény Gordon Moore, az Intel egyik alapítója fogalmazta meg 1975 ben: Az integrált áramkörökben lévő tranzisztorok száma minden 24. hónapban (azaz 2 évente) megduplázódik. Copyright: Intel Corporation. A függőleges tengelyen a tranzisztorok számának logaritmusa van ábrázolva. 61

62 Diszkrét és folytonos kapcsolata a k közötti ok okozati viszony esetén Ha a magyarázó diszkrét, akkor azt faktornak nevezzük. Ha a magyarázó folytonos, akkor a kovariáns elnevezéssel élünk. Statisztikai módszerek: Diszkrét magyarázó és folytonos függő : szórásanalízis. Folytonos magyarázó és diszkrét függő : osztályozási. Grafikus módszerek: Diszkrét magyarázó és folytonos függő : csoportosított hisztogram és doboz ábra. Folytonos magyarázó és diszkrét függő : halmozott hisztogram. 62

63 I. Figyeljük meg az Y folytonos t és az F (diszkrét) faktort (ez a korábban X szel jelölt magyarázó ). A minta: (y 1, f 1 ),(y 2, f 2 ),...,(y n, f n ). Tegyük fel, hogy az F faktor k értéket vehet fel, amelyeket nyilván kódolhatunk az 1, 2,...,k számokkal. Ezeket az értékeket szinteknek nevezzük. 63

64 II. A k szint alapján a mintát az alábbi módon oszthatjuk fel: y 11,y 12,...,y 1n1 y 21,y 22,...,y 2n2. y k1,y k2,...,y knk Az i edik sor előállítása: az (y l, f l ), l = 1,...,n mintaelemek közül megkeressük azokat, melyeknél f l = i, a hozzájuk tartozó y ok alkotják az i edik szinthez tartozó megfigyeléseket: y ij nél az első index a szintet, a második pedig a szinten belüli sorrendet jelöli. Nyilván, k n i = n. Kérdés: van e szerepe a faktornak, mennyire magyarázza a mintaelemeknek a (teljes) mintaátlag körüli szóródását? 64

65 III. Vezessük be az alábbi jelöléseket: y i := 1 n i y := 1 n Q T := Q K := Q B := n i j=1 y ij k n i j=1 y ij az i edik szint átlaga, teljes átlag, k n i (y ij y ) 2 teljes, j=1 k n i (y i y ) 2 külső, j=1 k n i (y ij y i ) 2 belső. j=1 65

66 Megjegyzés Q K = k n i (y i y ) 2. használatosak még az alábbi jelölések is: Q T = SST, Q K = SSK, Q B = SSB, ahol SS=Sum of Squares és T=teljes, K=külső, B=belső. 66

67 Tétel () Q T = Q K + Q B (SST = SSK + SSB). Bizonyítás. Alkalmazzuk a teve szabályt: (y ij y ) 2 = ((y ij y i )+(y i y )) 2 = (y ij y i ) 2 +(y i y ) 2 + 2(y ij y i )(y i y ) Világos, hogy elég belátni k n i (y ij y i )(y i y ) = 0. j=1 Ez következik abból, hogy mivel y i y nem függ j től, ezért a belső szummából kiemelhető és y i definíciója alapján n i n i (y ij y i ) = y ij n i y i = 0. j=1 j=1 67

68 Heurisztika A szórásfelbontásból következtethetünk a két közötti függőség erősségére. Ha a Q K külső relatíve nagy a Q B belső hez képest, akkor ez arra utal, hogy az Y ra vett együttes mintában lévő ingadozás elsősorban a szintek közötti különbségből adódik. Így az F faktor hatással van az Y függő ra. Ha viszont a Q K külső relatíve kicsi a Q B belső hez képest, akkor ez arra utal, hogy az Y ra vett együttes mintában lévő inga dozást elsősorban a szinteken belüli ingadozások magyarázzák. Így az F faktor nincs hatással az Y függő ra. 68

69 H 2 mutató H 2 := Q K Q T [0, 1]. Értelmezés: H 2 az Y tapasztalati ének az F faktor által megmagyarázott hányada. A H 2 = Q K /Q T tört számlálójában a Q K külső annak felel meg, hogy minden egyes szint esetén a szint összes mintaelemét a szint átlagával helyettesítjük és, ha ez a kicsi a teljes hez képest, akkor az F faktor csak kicsit magyarázza az Y mintaelemek szóródását. A heurisztika pontosítására a későbbiekben kerül sor. Nyilván, H 2 = Q K Q T = 1 Q B Q T. 69

70 Megjegyzés H 2 = 0 Q K = 0 y 1 = = y k = y, azaz minden szint átlaga megegyezik a teljes mintaátlaggal. A szintek között átlag szempontjából nincs különbség, a faktornak nincs szerepe. H 2 = 1 Q B = 0 y ij = y i, i = 1,...,k, j = 1,...,n i. Ez abban az értelemben függvényszerű kapcsolat, hogy ha megmondjuk, hogy melyik szintről van szó és, hogy mennyi az adott szint átlaga, akkor ezzel az adott szinthez tartozó összes mintaelemet is megmondtuk. 70

71 Teljes, külső és belső Teljes (tapasztalati) : s 2 T := Q T n Külső (tapasztalati) : s 2 K := Q K n Belső (tapasztalati) : s 2 B := Q B n Az i edik szinten belüli (tapasztalati) rész : ni si 2 j=1 := (y ij y i ) 2, i = 1,...,k. n i 71

72 Megjegyzés s 2 T = s2 K + s2 B, k ni sb 2 = j=1 (y ij y i ) 2 n = k n is 2 i n azaz a rész eknek az egyes szintekhez tartozó mintaelemek számával súlyozott számtani közepe a belső, és nem a teljes. H 2 = s2 K s 2 T = 1 s2 B st 2., 72

73 Ha az Y függő diszkrét, akkor osztályozási ról beszélünk. Ekkor ugyanis Y értékei egy egy csoportot jelölnek ki, és az X folytonos (valós értékű) magyarázó (kovariáns) segítségével akarjuk azt eldönteni, hogy a megfigyelés (rekord) melyik csoportba tartozik. Bináris osztályozási : Y értékei 0 vagy 1. Ekkor a mintát két csoportba, egy 0 ás és egy 1 es csoportba oszthatjuk. Az alábbiakban csak ezzel foglalkozunk. Példa Tranzakciók vizsgálata (csalás legális). Ügyfélszegmentáció (jó rossz ügyfél). Betegség felismerés (igen nem). Döntésfüggvény: egy d : R {0, 1} függvény, amellyel a számegyenest két részre bontjuk. A két részhalmaznak feleltetjük meg ezután a két csoportot. 73

74 A leírása: minden mintaelemet a 0 ás vagy 1 es csoportba szeretnénk besorolni. Már rendelkezésre áll egy 0 ás minta, illetve egy 1 es minta (azaz vannak mintaelemeink, melyeket a 0 ás, illetve az 1 es csoportba már besoroltunk). Vezesük be az alábbi jelöléseket: x 0 : a 0 ás minta mintaátlaga, s0 2: a 0 ás minta korrigálatlan emipirikus e, x 1 : az 1 es minta mintaátlaga, s 2 1 : az 1 es minta korrigálatlan emipirikus e. 74

75 Lineáris döntésfüggvény Tegyük fel, hogy s 2 0 = s2 1. Az x mintaelemet akkor soroljuk a 0 ás csoportba, ha x (½{x 0 >x 1 } ½{x 0 x 1 }) (½{x 0 >x 1 } ½{x 0 x 1 } )x 0 + x 1. 2 (1) Azaz x 0 > x 1 esetén az x mintaelemet akkor soroljuk a 0 ás csoportba, ha míg x 0 x 1 x x 0 + x 1, 2 esetén akkor, ha x x 0 + x 1. 2 Ekkor d : R {0, 1}, d(x) := 0, ha x R olyan, hogy (1) teljesül, egyébként pedig d(x) := 1. 75

76 Kvadratikus döntésfüggvény Az x mintaelemet akkor soroljuk a 0 ás csoportba, ha ( x x0 s 0 ) 2 ( ) x 2 ln s0 2 x1 ln s1 2 s. (2) 1 Ekkor d : R {0, 1}, d(x) := 0, ha x R olyan, hogy (2) teljesül, egyébként pedig d(x) := 1. Megj. Ellenőrizhető, hogy x 0 x 1 és s0 2 = s2 1 esetén a kvadratikus döntésfüggvénnyel is ugyanazt a döntést hozzuk meg, mint a lineáris döntésfüggvénnyel. Ha x 0 = x 1 és s0 2 = s2 1, akkor a kvadratikus döntésfüggvénnyel mindig a 0 ás csoportba soroljuk x et, a lineáris döntésfüggvénnyel nem mindig. A kérdéskörrel általánosabban foglalkozik a diszkriminancia analízis és a logisztikus regresszió. 76

77 Több kapcsolata Ilyen kapcsolatok vizsgálatára a statisztika egy rendkívül szerteágazó eszköztárat hozott létre (többs statisztikai módszerek). Valójában ezek a módszerek képezik a statisztikai szoftverek gerincét. Ezek közül egy hatékony leíró, vizualizációs eszköz az ún. többdimenziós (MDS: multidimensional scaling). A módszer során a megfigyeléseinket (az adatbázis rekordjait) ábrázoljuk egy alacsony (2 vagy 3) dimenziós térben. Legyenek a vizsgált statisztikai k X 1, X 2,..., X p, melyeket egy vektorba írunk: X := (X 1, X 2,..., X p ). Az X re vonatkozó megfigyelések, melyek szintén vektorok (az adatbázis rekordjai vagy sorai), pedig legyenek: x 1, x 2,...,x n. Ez egy ún. többdimenziós minta. 77

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 4 IV. MINTA, ALAPsTATIsZTIKÁK 1. MATEMATIKAI statisztika A matematikai statisztika alapfeladatát nagy általánosságban a következőképpen

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

Segítség az outputok értelmezéséhez

Segítség az outputok értelmezéséhez Tanulni: 10.1-10.3, 10.5, 11.10. Hf: A honlapra feltett falco_exp.zip-ben lévő exploratív elemzések áttanulmányozása, érdekességek, észrevételek kigyűjtése. Segítség az outputok értelmezéséhez Leiro: Leíró

Részletesebben

Készítette: Fegyverneki Sándor

Készítette: Fegyverneki Sándor VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS Összefoglaló segédlet Készítette: Fegyverneki Sándor Miskolci Egyetem, 2001. i JELÖLÉSEK: N a természetes számok halmaza (pozitív egészek) R a valós számok halmaza R 2 {(x, y) x, y

Részletesebben

STATISZTIKA. András hármas. Éva ötös. Nóri négyes. 5 4,5 4 3,5 3 2,5 2 1,5 ANNA BÉLA CILI 0,5 MAGY. MAT. TÖRT. KÉM.

STATISZTIKA. András hármas. Éva ötös. Nóri négyes. 5 4,5 4 3,5 3 2,5 2 1,5 ANNA BÉLA CILI 0,5 MAGY. MAT. TÖRT. KÉM. STATISZTIKA 5 4,5 4 3,5 3 2,5 2 1,5 1 0,5 0 MAGY. MAT. TÖRT. KÉM. ANNA BÉLA CILI András hármas. Béla Az átlag 3,5! kettes. Éva ötös. Nóri négyes. 1 mérés: dolgokhoz valamely szabály alapján szám rendelése

Részletesebben

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Középértékek és szóródási mutatók

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Középértékek és szóródási mutatók Matematikai alapok és valószínőségszámítás Középértékek és szóródási mutatók Középértékek A leíró statisztikák talán leggyakrabban használt csoportját a középértékek jelentik. Legkönnyebben mint az adathalmaz

Részletesebben

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság.

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság. 2. Közönséges differenciálegyenlet megoldása, megoldhatósága Definíció: Az y függvényt a valós számok H halmazán a közönséges differenciálegyenlet megoldásának nevezzük, ha az y = y(x) helyettesítést elvégezve

Részletesebben

Mérési adatok illesztése, korreláció, regresszió

Mérési adatok illesztése, korreláció, regresszió Mérési adatok illesztése, korreláció, regresszió Korreláció, regresszió Két változó mennyiség közötti kapcsolatot vizsgálunk. Kérdés: van-e kapcsolat két, ugyanabban az egyénben, állatban, kísérleti mintában,

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 2 II. A valószínűségi VÁLTOZÓ És JELLEMZÉsE 1. Valószínűségi VÁLTOZÓ Definíció: Az leképezést valószínűségi változónak nevezzük, ha

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az

Részletesebben

Varianciaanalízis 4/24/12

Varianciaanalízis 4/24/12 1. Feladat Egy póker kártya keverő gép a kártyákat random módon választja ki. A vizsgálatban 1600 választott kártya színei az alábbi gyakorisággal fordultak elő. Vizsgáljuk meg, hogy a kártyák kiválasztása

Részletesebben

9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA. 9.1 Metrika és topológia R k -ban

9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA. 9.1 Metrika és topológia R k -ban 9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA 9.1 Metrika és topológia R k -ban Definíció. A k-dimenziós euklideszi térnek nevezzük és R k val jelöljük a valós számokból alkotott k-tagú x = (x 1, x

Részletesebben

1. előadás. Lineáris algebra numerikus módszerei. Hibaszámítás Számábrázolás Kerekítés, levágás Klasszikus hibaanalízis Abszolút hiba Relatív hiba

1. előadás. Lineáris algebra numerikus módszerei. Hibaszámítás Számábrázolás Kerekítés, levágás Klasszikus hibaanalízis Abszolút hiba Relatív hiba Hibaforrások Hiba A feladatok megoldása során különféle hibaforrásokkal találkozunk: Modellhiba, amikor a valóságnak egy közelítését használjuk a feladat matematikai alakjának felírásához. (Pl. egy fizikai

Részletesebben

azonosságot minden 1 i, l n, 1 j k, indexre teljesítő együtthatókkal, amelyekre érvényes a = c (j) i,l l,i

azonosságot minden 1 i, l n, 1 j k, indexre teljesítő együtthatókkal, amelyekre érvényes a = c (j) i,l l,i A Cochran Fisher tételről A matematikai statisztika egyik fontos eredménye a Cochran Fisher tétel, amely a variancia analízisben játszik fontos szerepet. Ugyanakkor ez a tétel lényegét tekintve valójában

Részletesebben

Ökonometria. Logisztikus regresszió. Ferenci Tamás 1 tamas.ferenci@medstat.hu. Nyolcadik fejezet. Budapesti Corvinus Egyetem. 1 Statisztika Tanszék

Ökonometria. Logisztikus regresszió. Ferenci Tamás 1 tamas.ferenci@medstat.hu. Nyolcadik fejezet. Budapesti Corvinus Egyetem. 1 Statisztika Tanszék Ferenci Tamás 1 tamas.ferenci@medstat.hu 1 Statisztika Tanszék Budapesti Corvinus Egyetem Nyolcadik fejezet Tartalom V. esettanulmány 1 V. esettanulmány Csődelőrejelzés 2 Általános gondolatok 3 becslése

Részletesebben

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat.

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat. Poisson folyamatok, exponenciális eloszlások Azt mondjuk, hogy a ξ valószínűségi változó Poisson eloszlású λ, 0 < λ

Részletesebben

karakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja

karakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja Mátrixok hasonlósága, karakterisztikus mátrix, karakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja 1.Mátrixok hasonlósága, karakterisztikus mátrix, karakterisztikus

Részletesebben

út hosszát. Ha a két várost nem köti össze út, akkor legyen c ij = W, ahol W már az előzőekben is alkalmazott megfelelően nagy szám.

út hosszát. Ha a két várost nem köti össze út, akkor legyen c ij = W, ahol W már az előzőekben is alkalmazott megfelelően nagy szám. 1 Az utazó ügynök problémája Utazó ügynök feladat Adott n számú város és a városokat összekötő utak, amelyeknek ismert a hossza. Adott továbbá egy ügynök, akinek adott városból kiindulva, minden várost

Részletesebben

MÉRÉSI EREDMÉNYEK PONTOSSÁGA, A HIBASZÁMÍTÁS ELEMEI

MÉRÉSI EREDMÉNYEK PONTOSSÁGA, A HIBASZÁMÍTÁS ELEMEI MÉRÉSI EREDMÉYEK POTOSSÁGA, A HIBASZÁMÍTÁS ELEMEI. A mérési eredmény megadása A mérés során kapott értékek eltérnek a mérendő fizikai mennyiség valódi értékétől. Alapvetően kétféle mérési hibát különböztetünk

Részletesebben

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie.

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

Diszkrét matematika II., 5. előadás. Lineáris egyenletrendszerek

Diszkrét matematika II., 5. előadás. Lineáris egyenletrendszerek 1 Diszkrét matematika II, 5 előadás Lineáris egyenletrendszerek Dr Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@infnymehu http://infnymehu/ takach/ 2007 március 8 Egyenletrendszerek Középiskolás módszerek:

Részletesebben

Regresszió számítás. Tartalomjegyzék: GeoEasy V2.05+ Geodéziai Kommunikációs Program

Regresszió számítás. Tartalomjegyzék: GeoEasy V2.05+ Geodéziai Kommunikációs Program Regresszió számítás GeoEasy V2.05+ Geodéziai Kommunikációs Program DigiKom Kft. 2006-2010 Tartalomjegyzék: Egyenes x változik Egyenes y változik Egyenes y és x változik Kör Sík z változik Sík y, x és z

Részletesebben

Kutatásmódszertan és prezentációkészítés

Kutatásmódszertan és prezentációkészítés Kutatásmódszertan és prezentációkészítés 10. rész: Az adatelemzés alapjai Szerző: Kmetty Zoltán Lektor: Fokasz Nikosz Tizedik rész Az adatelemzés alapjai Tartalomjegyzék Bevezetés Leíró statisztikák I

Részletesebben

A Markowitz modell: kvadratikus programozás

A Markowitz modell: kvadratikus programozás A Markowitz modell: kvadratikus programozás Harry Markowitz 1990-ben kapott Közgazdasági Nobel díjat a portfolió optimalizálási modelljéért. Ld. http://en.wikipedia.org/wiki/harry_markowitz Ennek a legegyszer

Részletesebben

Matematikai statisztikai elemzések 5.

Matematikai statisztikai elemzések 5. Matematikai statisztikai elemzések 5. Kapcsolatvizsgálat: asszociáció, vegyes kapcsolat, korrelációszámítás. Varianciaanalízis Prof. Dr. Závoti, József Matematikai statisztikai elemzések 5.: Kapcsolatvizsgálat:

Részletesebben

SULINOVA PROGRAMTANTERVÉHEZ ILLESZKEDŐ TANMENET 9. ÉVFOLYAM SZÁMÁRA

SULINOVA PROGRAMTANTERVÉHEZ ILLESZKEDŐ TANMENET 9. ÉVFOLYAM SZÁMÁRA 1 SULINOVA PROGRAMTANTERVÉHEZ ILLESZKEDŐ TANMENET 9. ÉVFOLYAM SZÁMÁRA Heti óraszám: 3 Éves óraszám: 37 x 3 = 111 A tanmenet 101 óra beosztását tartalmazza. A dolgozatok írása és javítása 10 órát foglal

Részletesebben

Q1 = 1575 eft Me = 2027,7778 eft Q3 = 2526,3158 eft

Q1 = 1575 eft Me = 2027,7778 eft Q3 = 2526,3158 eft Gyak1: b) Mo = 1857,143 eft A kocsma tipikus (leggyakoribb) havi bevétele 1.857.143 Ft. c) Q1 = 1575 eft Me = 2027,7778 eft Q3 = 2526,3158 eft Gyak2: b) X átlag = 35 Mo = 33,33 σ = 11,2909 A = 0,16 Az

Részletesebben

Microsoft Excel 2010. Gyakoriság

Microsoft Excel 2010. Gyakoriság Microsoft Excel 2010 Gyakoriság Osztályközös gyakorisági tábla Nagy számú mérési adatokat csoportokba (osztályokba) rendezése -> könnyebb áttekintés Osztályokban szereplő adatok száma: osztályokhoz tartozó

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (Derivált)

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (Derivált) Valós függvények (3) (Derivált) . Legyen a belső pontja D f -nek. Ha létezik és véges a f(x) f(a) x a x a = f (a) () határérték, akkor f differenciálható a-ban. Az f (a) szám az f a-beli differenciálhányadosa.

Részletesebben

Bevezető Adatok rendezése Adatok jellemzése Időbeli elemzés. Gazdaságstatisztika KGK VMI

Bevezető Adatok rendezése Adatok jellemzése Időbeli elemzés. Gazdaságstatisztika KGK VMI Gazdaságstatisztika 2. előadás Egy ismérv szerinti rendezés Kóczy Á. László KGK VMI Áttekintés Gyakorisági sorok Grafikus ábrázolásuk Helyzetmutatók Szóródási mutatók Az aszimmetria mérőszámai Koncentráció

Részletesebben

Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Tekintsünk a térben egy P (p 1, p 2, p 3 ) pontot és egy v = (v 1, v 2, v 3 ) = 0 vektort. Ekkor pontosan egy egyenes létezik,

Részletesebben

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása 11 modul: EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK MEGOLDÁSA 6 I Egyenlet fogalma, algebrai megoldása Módszertani megjegyzés: Az egyenletek alaphalmazát, értelmezési tartományát később vezetjük be, a törtes egyenletekkel

Részletesebben

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Statisztikai változók Adatok megtekintése

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Statisztikai változók Adatok megtekintése Matematikai alapok és valószínőségszámítás Statisztikai változók Adatok megtekintése Statisztikai változók A statisztikai elemzések során a vizsgálati, vagy megfigyelési egységeket különbözı jellemzık

Részletesebben

Biomatematika 15. Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar. Fodor János

Biomatematika 15. Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar. Fodor János Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar Biomatematikai és Számítástechnikai Tanszék Biomatematika 15. Nemparaméteres próbák Fodor János Copyright c Fodor.Janos@aotk.szie.hu Last Revision Date: November

Részletesebben

Statisztika I. 4. előadás Mintavétel. Kóczy Á. László KGK-VMI. Minta Mintavétel Feladatok. http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1.

Statisztika I. 4. előadás Mintavétel. Kóczy Á. László KGK-VMI. Minta Mintavétel Feladatok. http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1. Statisztika I. 4. előadás Mintavétel http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1.htm Kóczy Á. László KGK-VMI koczy.laszlo@kgk.uni-obuda.hu Sokaság és minta Alap- és mintasokaság A mintasokaság az a részsokaság,

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2006. február 21. KÖZÉPSZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2006. február 21. KÖZÉPSZINT I. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 006. február 1. KÖZÉPSZINT I. 1) Mennyi annak a mértani sorozatnak a hányadosa, amelynek harmadik tagja 5, hatodik tagja pedig 40? ( pont) 3 1 5 a a q 5 6 1 40 a a q Innen q Összesen:

Részletesebben

Mérési hibák 2006.10.04. 1

Mérési hibák 2006.10.04. 1 Mérési hibák 2006.10.04. 1 Mérés jel- és rendszerelméleti modellje Mérési hibák_labor/2 Mérési hibák mérési hiba: a meghatározandó értékre a mérés során kapott eredmény és ideális értéke közötti különbség

Részletesebben

Korreláció és Regresszió (folytatás) Logisztikus telítıdési függvény Több független változós regressziós függvények

Korreláció és Regresszió (folytatás) Logisztikus telítıdési függvény Több független változós regressziós függvények Korreláció és Regresszió (folytatás) 12. elıadás (23-24. lecke) Logisztikus telítıdési függvény Több független változós regressziós függvények 23. lecke A logisztikus telítıdési függvény Több független

Részletesebben

Határozatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Határozatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Határozatlan integrál () First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Az összetett függvények integrálására szolgáló egyik módszer a helyettesítéssel való integrálás. Az idevonatkozó tétel pontos

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. Koordináta-geometria és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 4

Részletesebben

Statisztika 3. Dr Gősi Zsuzsanna Egyetemi adjunktus Koncentráció mérése Koncentráció általában a jelenségek tömörülését, összpontosulását értjük. Koncentráció meglétéről gyorsan tájékozódhatunk, ha sokaságot

Részletesebben

A) 1. Számsorozatok, számsorozat torlódási pontja, határértéke. Konvergencia kritériumok.

A) 1. Számsorozatok, számsorozat torlódási pontja, határértéke. Konvergencia kritériumok. ZÁRÓVIZSGA TÉMAKÖRÖK egyetemi szintű közgazdasági programozó matematikus szakon A) 1. Számsorozatok, számsorozat torlódási pontja, határértéke. Konvergencia kritériumok. 2. Függvények, függvények folytonossága.

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

Statisztika I. 4. előadás Mintavétel. Kóczy Á. László KGK-VMI. Minta Mintavétel Feladatok. http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1.

Statisztika I. 4. előadás Mintavétel. Kóczy Á. László KGK-VMI. Minta Mintavétel Feladatok. http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1. Statisztika I. 4. előadás Mintavétel http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1.htm Kóczy Á. László KGK-VMI koczy.laszlo@kgk.uni-obuda.hu Sokaság és minta Alap- és mintasokaság A mintasokaság az a részsokaság,

Részletesebben

Korreláció és Regresszió

Korreláció és Regresszió Korreláció és Regresszió 9. elıadás (17-18. lecke) Korrelációs együtthatók 17. lecke Áttekintés (korreláció és regresszió) A Pearson-féle korrelációs együttható Korreláció és Regresszió (témakörök) Kapcsolat

Részletesebben

A kanonikus sokaság. :a hőtartály energiája

A kanonikus sokaság. :a hőtartály energiája A kanonikus sokaság A mikrokanonikus sokaság esetén megtanultuk, hogy a megengedett mikroállapotok egyenértéküek, és a mikróállapotok száma minimális. A mikrókanónikus sokaság azonban nem a leghasznosabb

Részletesebben

Konvex optimalizálás feladatok

Konvex optimalizálás feladatok (1. gyakorlat, 2014. szeptember 16.) 1. Feladat. Mutassuk meg, hogy az f : R R, f(x) := x 2 függvény konvex (a másodrend derivált segítségével, illetve deníció szerint is)! 2. Feladat. Mutassuk meg, hogy

Részletesebben

I. rész. Feladatsor. 2. Andi keresett két olyan számot, amelyre teljesül, hogy a < b. Igaz-e, hogy a < b?

I. rész. Feladatsor. 2. Andi keresett két olyan számot, amelyre teljesül, hogy a < b. Igaz-e, hogy a < b? 1. Feladatsor I. rész 1. Adott két halmaz. A a 9-nél kisebb páros pozitív egészek; B a 30-nál kisebb, 6-tal osztható pozitív egészek halmaza. Adja meg az A B és a B \ A halmazokat!. Andi keresett két olyan

Részletesebben

Fourier-sorok. néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól. Vizsgán. k=1. 1 k = j.

Fourier-sorok. néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól. Vizsgán. k=1. 1 k = j. Fourier-sorok Bevezetés. Az alábbi anyag a vizsgára való felkészülés segítése céljából készült. Az alkalmazott jelölések vagy bizonyítás részletek néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól.

Részletesebben

Skalárszorzat, norma, szög, távolság. Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2005.

Skalárszorzat, norma, szög, távolság. Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2005. 1 Diszkrét matematika II., 4. el adás Skalárszorzat, norma, szög, távolság Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2005. március 1 A téma jelent sége

Részletesebben

Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Valós számsorozaton valós számok meghatározott sorrendű végtelen listáját értjük. A hangsúly az egymásután következés rendjén van.

Részletesebben

1. A komplex számok definíciója

1. A komplex számok definíciója 1. A komplex számok definíciója A számkör bővítése Tétel Nincs olyan n természetes szám, melyre n + 3 = 1. Bizonyítás Ha n természetes szám, akkor n+3 3. Ezért bevezettük a negatív számokat, közöttük van

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 1 I. HALmAZOk 1. JELÖLÉSEk A halmaz fogalmát tulajdonságait gyakran használjuk a matematikában. A halmazt nem definiáljuk, ezt alapfogalomnak tekintjük. Ez nem szokatlan, hiszen

Részletesebben

Támogatás / Excel / Excel 2010 súgó és útmutató / Diagramok / Diagramok formázása Hibasáv felvétele, módosítása és eltávolítása diagramban

Támogatás / Excel / Excel 2010 súgó és útmutató / Diagramok / Diagramok formázása Hibasáv felvétele, módosítása és eltávolítása diagramban Page 1 of 6 Támogatás / Excel / Excel 2010 súgó és útmutató / Diagramok / Diagramok formázása Hibasáv felvétele, módosítása és eltávolítása diagramban Hatókör: Microsoft Excel 2010, Outlook 2010, PowerPoint

Részletesebben

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Valószínőségi eloszlások Binomiális eloszlás

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Valószínőségi eloszlások Binomiális eloszlás Matematikai alapok és valószínőségszámítás Valószínőségi eloszlások Binomiális eloszlás Bevezetés A tudományos életben megfigyeléseket teszünk, kísérleteket végzünk. Ezek többféle különbözı eredményre

Részletesebben

Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport

Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport 1. Egy egyenesre esnek-e az A (2, 5, 1), B (5, 17, 7) és C (3, 9, 3) pontok? 5 pont Megoldás: Nem, mert AB (3, 12,

Részletesebben

Zárthelyi dolgozat feladatainak megoldása 2003. õsz

Zárthelyi dolgozat feladatainak megoldása 2003. õsz Zárthelyi dolgozat feladatainak megoldása 2003. õsz 1. Feladat 1. Milyen egységeket rendelhetünk az egyedi információhoz? Mekkora az átváltás közöttük? Ha 10-es alapú logaritmussal számolunk, a mértékegység

Részletesebben

Komplex számok algebrai alakja

Komplex számok algebrai alakja Komplex számok algebrai alakja Lukács Antal 015. február 8. 1. Alapfeladatok 1. Feladat: Legyen z 1 + 3i és z 5 4i! Határozzuk meg az alábbiakat! (a) z 1 + z (b) 3z z 1 (c) z 1 z (d) Re(i z 1 ) (e) Im(z

Részletesebben

EuroOffice Modeller felhasználói útmutató

EuroOffice Modeller felhasználói útmutató EuroOffice Modeller felhasználói útmutató 1 Bevezetés...5 EuroOffice Modeller: ANOVA felhasználói útmutató...5 Előkészítés...5 Egyutas ANOVA...5 Kétutas ANOVA...8 EuroOffice Modeller: Egymintás Z-próba

Részletesebben

Nemlineáris optimalizálás Dr. Házy, Attila

Nemlineáris optimalizálás Dr. Házy, Attila Nemlineáris optimalizálás Dr. Házy, Attila Nemlineáris optimalizálás Dr. Házy, Attila Miskolci Egyetem Kelet-Magyarországi Informatika Tananyag Tárház Kivonat Kivonat Nemzeti Fejlesztési Ügynökség http://ujszechenyiterv.gov.hu/

Részletesebben

Matematika. 9.osztály: Ajánlott tankönyv és feladatgyűjtemény: Matematika I-II. kötet (Apáczai Kiadó; AP-090803 és AP-090804)

Matematika. 9.osztály: Ajánlott tankönyv és feladatgyűjtemény: Matematika I-II. kötet (Apáczai Kiadó; AP-090803 és AP-090804) Matematika A definíciókat és tételeket (bizonyítás nélkül) ki kell mondani, a tananyagrészekhez tartozó alap- és közepes nehézségű feladatokat kell tudni megoldani A javítóvizsga 60 -es írásbeliből áll.

Részletesebben

Feladatok a Diffrenciálegyenletek IV témakörhöz. 1. Határozzuk meg következő differenciálegyenletek általános megoldását a próba függvény módszerrel.

Feladatok a Diffrenciálegyenletek IV témakörhöz. 1. Határozzuk meg következő differenciálegyenletek általános megoldását a próba függvény módszerrel. Feladatok a Diffrenciálegyenletek IV témakörhöz 1 Határozzuk meg következő differenciálegyenletek általános megoldását a próba függvény módszerrel (a) y 3y 4y = 3e t (b) y 3y 4y = sin t (c) y 3y 4y = 8t

Részletesebben

6. Differenciálegyenletek

6. Differenciálegyenletek 312 6. Differenciálegyenletek 6.1. A differenciálegyenlet fogalma Meghatározni az f függvény F primitív függvényét annyit jelent, mint találni egy olyan F függvényt, amely differenciálható az adott intervallumon

Részletesebben

Bevezetés. 1. előadás, 2015. február 11. Módszerek. Tematika

Bevezetés. 1. előadás, 2015. február 11. Módszerek. Tematika Bevezetés 1. előadás, 2015. február 11. Zempléni András Valószínűségelméleti és Statisztika Tanszék Természettudományi Kar Eötvös Loránd Tudományegyetem Áringadozások előadás Heti 2 óra előadás + 2 óra

Részletesebben

Ellenőrző kérdések. 36. Ha t szintű indexet használunk, mennyi a keresési költség blokkműveletek számában mérve? (1 pont) log 2 (B(I (t) )) + t

Ellenőrző kérdések. 36. Ha t szintű indexet használunk, mennyi a keresési költség blokkműveletek számában mérve? (1 pont) log 2 (B(I (t) )) + t Ellenőrző kérdések 2. Kis dolgozat kérdései 36. Ha t szintű indexet használunk, mennyi a keresési költség blokkműveletek számában mérve? (1 pont) log 2 (B(I (t) )) + t 37. Ha t szintű indexet használunk,

Részletesebben

1. feladatsor, megoldások. y y = 0. y h = C e x

1. feladatsor, megoldások. y y = 0. y h = C e x 1. feladatsor, megoldások 1. Ez egy elsőrendű diffegyenlet, először a homogén egyenlet megoldását keressük meg, majd partikuláris megoldást keresünk: y y = 0 Ez pl. egy szétválasztható egyenlet, melynek

Részletesebben

Elliptikus eloszlások, kopuláik. 7. előadás, 2015. március 25. Elliptikusság tesztelése. Arkhimédeszi kopulák

Elliptikus eloszlások, kopuláik. 7. előadás, 2015. március 25. Elliptikusság tesztelése. Arkhimédeszi kopulák Elliptiks eloszlások, kopláik 7. előadás, 215. márcis 25. Zempléni András Valószínűségelméleti és Statisztika Tanszék Természettdományi Kar Eötös Loránd Tdományegyetem Áringadozások előadás Sűrűségfüggényük

Részletesebben

Mechanika Kinematika. - Kinematikára: a testek mozgását tanulmányozza anélkül, hogy figyelembe venné a kiváltó

Mechanika Kinematika. - Kinematikára: a testek mozgását tanulmányozza anélkül, hogy figyelembe venné a kiváltó Mechanika Kinematika A mechanika a fizika része mely a testek mozgásával és egyensúlyával foglalkozik. A klasszikus mechanika, mely a fénysebességnél sokkal kisebb sebességű testekre vonatkozik, feloszlik:

Részletesebben

Kabos: Statisztika II. ROC elemzések 10.1. Szenzitivitás és specificitás a jelfeldolgozás. és ilyenkor riaszt. Máskor nem.

Kabos: Statisztika II. ROC elemzések 10.1. Szenzitivitás és specificitás a jelfeldolgozás. és ilyenkor riaszt. Máskor nem. Kabos: Statisztika II. ROC elemzések 10.1 ROC elemzések Szenzitivitás és specificitás a jelfeldolgozás szóhasználatával A riasztóberendezés érzékeli, ha támadás jön, és ilyenkor riaszt. Máskor nem. TruePositiveAlarm:

Részletesebben

Matematika kisérettségi I. rész 45 perc NÉV:...

Matematika kisérettségi I. rész 45 perc NÉV:... Matematika kisérettségi I. rész 45 perc NÉV:... 1. Az A halmaz elemei a háromnál nagyobb egyjegyű számok, a B halmaz elemei pedig a húsznál kisebb pozitív páratlan számok. Sorolja fel az halmaz elemeit!

Részletesebben

13. előadás. Matlab 7. (Statisztika, regresszió, mérési adatok feldolgozása) Dr. Szörényi Miklós, Dr. Kallós Gábor. Széchenyi István Egyetem

13. előadás. Matlab 7. (Statisztika, regresszió, mérési adatok feldolgozása) Dr. Szörényi Miklós, Dr. Kallós Gábor. Széchenyi István Egyetem 13. előadás Matlab 7. (Statisztika, regresszió, mérési adatok feldolgozása) Dr. Szörényi Miklós, Dr. Kallós Gábor 2013 2014 1 Tartalom Statisztikai alapfogalmak Populáció, hisztogram, átlag, medián, szórás,

Részletesebben

Hogyan fogalmazzuk meg egyszerűen, egyértelműen a programozóknak, hogy milyen lekérdezésre, kimutatásra, jelentésre van szükségünk?

Hogyan fogalmazzuk meg egyszerűen, egyértelműen a programozóknak, hogy milyen lekérdezésre, kimutatásra, jelentésre van szükségünk? Hogyan fogalmazzuk meg egyszerűen, egyértelműen a programozóknak, hogy milyen lekérdezésre, kimutatásra, jelentésre van szükségünk? Nem szükséges informatikusnak lennünk, vagy mélységében átlátnunk az

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET 9.B OSZTÁLY FIZIKA TAGOZAT HETI 6 ÓRA, ÖSSZESEN 216 ÓRA

MATEMATIKA TANMENET 9.B OSZTÁLY FIZIKA TAGOZAT HETI 6 ÓRA, ÖSSZESEN 216 ÓRA MATEMATIKA TANMENET 9.B OSZTÁLY FIZIKA TAGOZAT HETI 6 ÓRA, ÖSSZESEN 216 ÓRA A TÁMOP 3.1.4. EU-s pályázat megvalósításához a matematika (9. b/fizika) tárgy tanmenete a matematika kompetenciaterület A típusú

Részletesebben

Operációkutatás. 4. konzultáció: Szállítási feladat. A feladat LP modellje

Operációkutatás. 4. konzultáció: Szállítási feladat. A feladat LP modellje Operációkutatás 1 NYME KTK, gazdálkodás szak, levelező alapképzés 2002/2003. tanév, II. évf. 2.félév Előadó: Dr. Takách Géza NyME FMK Információ Technológia Tanszék 9400 Sopron, Bajcsy Zs. u. 9. GT fszt.

Részletesebben

EuroOffice Optimalizáló (Solver)

EuroOffice Optimalizáló (Solver) 1. oldal EuroOffice Optimalizáló (Solver) Az EuroOffice Optimalizáló egy OpenOffice.org bővítmény, ami gyors algoritmusokat kínál lineáris programozási és szállítási feladatok megoldására. Szimplex módszer

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Komplex számok (2)

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Komplex számok (2) 2. előadás Komplex számok (2) 1. A a + bi (a, b) kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés lehetővé teszi, hogy a komplex számokat a sík pontjaival, illetve helyvektoraival ábrázoljuk. A derékszögű koordináta

Részletesebben

Folytonos rendszeregyenletek megoldása. 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja

Folytonos rendszeregyenletek megoldása. 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja Folytonos rendszeregyenletek megoldása 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja A folytonos rendszeregyenletek megoldásakor olyan rendszerekkel foglalkozunk, amelyeknek egyetlen u = u(t)

Részletesebben

Dr`avni izpitni center MATEMATIKA

Dr`avni izpitni center MATEMATIKA Dr`avni izpitni center *P05C10113M* ŐSZI IDŐSZAK MATEMATIKA ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ 005. augusztus 9., hétfő SZAKMAI ÉRETTSÉGI VIZSGA RIC 005 P05-C101-1-3M ÚTMUTATÓ a szakmai írásbeli érettségi vizsga feladatainak

Részletesebben

Elméleti kérdés minták (3 x 5 pont) 1. Definiálja két halmaz unióját! Készítsen hozzá Venn-diagramot!

Elméleti kérdés minták (3 x 5 pont) 1. Definiálja két halmaz unióját! Készítsen hozzá Venn-diagramot! Elméleti kérdés minták (3 x 5 pont) 1. Deiniálja két halmaz unióját! Készítsen hozzá Venn-diagramot!. Csoportosítsa a négyszögeket az oldalak párhuzamossága, és egyenlősége alapján! 3. Határozza meg a

Részletesebben

1/50. Teljes indukció 1. Back Close

1/50. Teljes indukció 1. Back Close 1/50 Teljes indukció 1 A teljes indukció talán a legfontosabb bizonyítási módszer a számítástudományban. Teljes indukció elve. Legyen P (n) egy állítás. Tegyük fel, hogy (1) P (0) igaz, (2) minden n N

Részletesebben

1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor

1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor . Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor Vizsgálja meg a következ végtelen sorokat konvergencia szempontjából. Tétel. (Cauchy-féle bels konvergenciakritérium) A a n végtelen sor akkor és csakis

Részletesebben

2. Zárthelyi megoldásokkal 1998 tavasz I. évf. 13.-18.tk.

2. Zárthelyi megoldásokkal 1998 tavasz I. évf. 13.-18.tk. . Zárthelyi megoldásokkal 998 tavasz I. év..-8.tk.. Döntse el, hogy létezik e, és ha igen, számítsa ki az ) e üggvény századik deriváltját az helyen! MO. Egyrészt e ) n origó körüli Taylor-sora alapján

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA. 9. Nyelvi előkészítő osztály

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA. 9. Nyelvi előkészítő osztály MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI ELJÁRÁS MELLÉKLET Tanmenetborító Azonosító: ME-III.1./1 Változatszám: 2 Érvényesség 2013. 01. 01. kezdete: Oldal/összes: 1/6 Fájlnév: ME- III.1.1.Tanmenetborító SZK- DC-2013 MATEMATIKA

Részletesebben

A hiperbolikus síkgeometria Poincaré-féle körmodellje

A hiperbolikus síkgeometria Poincaré-féle körmodellje A hiperbolikus síkgeometria Poincaré-féle körmodellje Ha egy aiómarendszerre modellt adunk, az azt jelenti, hogy egy matematikai rendszerben interpretáljuk az aiómarendszer alapfogalmait és az aiómák a

Részletesebben

Hamilton rendszerek, Lyapunov függvények és Stabilitás. Hamilton rendszerek valós dinamikai rendszerek, konzerva3v mechanikai rendszerek

Hamilton rendszerek, Lyapunov függvények és Stabilitás. Hamilton rendszerek valós dinamikai rendszerek, konzerva3v mechanikai rendszerek Hamilton rendszerek, Lyapunov függvények és Stabilitás Hamilton rendszerek valós dinamikai rendszerek, konzerva3v mechanikai rendszerek Sokszor nem lehetséges, hogy a tanult linearizációs módszerrel meghatározzuk

Részletesebben

Analízis elo adások. Vajda István. 2012. szeptember 10. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem. Vajda István (Óbudai Egyetem)

Analízis elo adások. Vajda István. 2012. szeptember 10. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem. Vajda István (Óbudai Egyetem) Vajda István Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem 1 / 36 Bevezetés A komplex számok értelmezése Definíció: Tekintsük a valós számpárok R2 halmazát és értelmezzük ezen a halmazon a következo két

Részletesebben

MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS

MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS Szerkesztette: Balogh Tamás 214. december 7. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így

Részletesebben

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS Matematika PRÉ megoldókulcs 0. január. MTEMTIK PRÓBÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS = KÖZÉP SZINT = I. rész: z alábbi feladat megoldása kötelező volt! ) Oldd meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán! tg

Részletesebben

Görbe- és felületmodellezés. Szplájnok Felületmodellezés

Görbe- és felületmodellezés. Szplájnok Felületmodellezés Görbe- és felületmodellezés Szplájnok Felületmodellezés Spline (szplájn) Spline: Szakaszosan, parametrikus polinomokkal leírt görbe A spline nevét arról a rugalmasan hajlítható vonalzóról kapta, melyet

Részletesebben

Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7

Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 A = {1; 3; 5; 7; 9} A B = {3; 5; 7} A/B = {1; 9} Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 Azonos alapú hatványokat

Részletesebben

Érettségi feladatok: Egyenletek, egyenlőtlenségek 1 / 6. 2005. május 29. 13. a) Melyik (x; y) valós számpár megoldása az alábbi egyenletrendszernek?

Érettségi feladatok: Egyenletek, egyenlőtlenségek 1 / 6. 2005. május 29. 13. a) Melyik (x; y) valós számpár megoldása az alábbi egyenletrendszernek? Érettségi feladatok: Egyenletek, egyenlőtlenségek 1 / 6 Elsőfokú 2005. május 28. 1. Mely x valós számokra igaz, hogy x 7? 13. a) Oldja meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán! x 1 2x 4 2 5 2005.

Részletesebben

GAUSS-EGÉSZEK ÉS DIRICHLET TÉTELE

GAUSS-EGÉSZEK ÉS DIRICHLET TÉTELE GAUSS-EGÉSZEK ÉS DIRICHLET TÉTELE KEITH KEARNES, KISS EMIL, SZENDREI ÁGNES Második rész Cikkünk első részében az elemrend és a körosztási polinomok fogalmára alapozva beláttuk, hogy ha n pozitív egész,

Részletesebben

1.1: Egy felmérés során a BGF-ről frissen kikerült diplomások jövedelmét vizsgálták.

1.1: Egy felmérés során a BGF-ről frissen kikerült diplomások jövedelmét vizsgálták. 1.1: Egy felmérés során a BGF-ről frissen kikerült diplomások jövedelmét vizsgálták. a) Hozzon létre osztályközös gyakoriságot az alábbi osztályközökkel: - 100.000 100.000-150.000 150.000-200.000 200.000-250.000

Részletesebben

Variancia-analízis (folytatás)

Variancia-analízis (folytatás) Variancia-analízis (folytatás) 7. elıadás (13-14. lecke) Egytényezıs VA blokk-képzés nélkül és blokk-képzéssel 13. lecke Egytényezıs variancia-analízis blokkképzés nélkül Az átlagok páronkénti összehasonlítása(1)

Részletesebben

Térbeli transzformációk, a tér leképezése síkra

Térbeli transzformációk, a tér leképezése síkra Térbeli transzformációk, a tér leképezése síkra Homogén koordináták bevezetése térben A tér minden P pontjához kölcsönösen egyértelműen egy valós (x, y, z) számhármast rendeltünk hozzá. (Descartes-féle

Részletesebben

Információ megjelenítés Tufte szabályai

Információ megjelenítés Tufte szabályai Információ megjelenítés Tufte szabályai Mennyiségi adatok megjelenítése Edward Tufte (Professor, Yale) Mondat: 2, 3 adat összehasonlítására alkalmas Táblázat: sorokba, oszlopokba rendezett adat pontos

Részletesebben

Fourier-sorok. Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia. 2010. április 7.

Fourier-sorok. Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia. 2010. április 7. ME, Anaĺızis Tanszék 21. április 7. A Taylor-polinom ill. Taylor-sor hátránya, hogy az adott függvényt csak a sorfejtés helyén ill. annak környezetében közeĺıti jól. A sorfejtés helyétől távolodva a közeĺıtés

Részletesebben

Egyszerű programozási tételek

Egyszerű programozási tételek Egyszerű programozási tételek 2. előadás Sergyán Szabolcs sergyan.szabolcs@nik.uni-obuda.hu Óbudai Egyetem Neumann János Informatikai Kar 2011. szeptember 15. Sergyán (OE NIK) AAO 02 2011. szeptember 15.

Részletesebben

2. Logika gyakorlat Függvények és a teljes indukció

2. Logika gyakorlat Függvények és a teljes indukció 2. Logika gyakorlat Függvények és a teljes indukció Folláth János Debreceni Egyetem - Informatika Kar 2012/13. I. félév Áttekintés 1 Függvények Relációk Halmazok 2 Természetes számok Formulák Definíció

Részletesebben