x = r sin θ cosϕ y = r sinθ sinϕ z = r cosθ. ¾µ x = f(t) y = g(t) z = h(t) x = pt + a y = qt + b z = st + c

Átírás

1 ÐÑ Ð Ø Þ Áº ÐÑ Ð Ø Ñ Ò ÀÖ È Ø Ö È ¾¼¼¾º

2 Ì ÖØ ÐÓÑ ÝÞ ½º½º ÑÓÞ Ð Ö ÖØ ¹ ÓÓÖ Ò Ø Ðº º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½º¾º Æ ÛØÓÒ¹ Ý ÒÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º º Æ ÛØÓÒ¹ Ý ÒÐ Ø ÖÚ ÒÝ Ò Ö Ø ØØ ÐØ Ø Ð º º º º º º º º º º ½¼ ½º º Ø Ñ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º º Þ Ö ÓÑÔÓÒ Ò ÐØ Ð ÒÓ ÓÓÖ Ò Ø Ò º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º º Þ Ö Ú ÒÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º º Þ Ò Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¼ ½º º Æ ÛØÓÒ¹ Ý ÒÐ Ø Ö ÚÓÒ Ð ÓÓÖ Ò Ø Ò º º º º º º º º º º º ¾ ½º º Ä Ö Ò ¹ Ú ÒÝ Ä Ö Ò ¹ Ý ÒÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½º½¼º Ä Ö Ò ¹ Ð Ö ÒÚ Ö Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ ½º½½º Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º½¾º Ø ÐÚ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º½ º Ä Ö Ò ¹ Ý ÒÐ Ø Þ ÖÑ ÞØ Ø Ø ÐÚ Ð º º º º º º º º º º º ½º½ º Þ ÐØ Ð ÒÓ ØÓØØ ÑÔÙÐÞÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º½ º ËÞ ÑÑ ØÖ ÑÓÞ ÐÐ Ò Ô ÓÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º ½º½ º Þ Ò Ö Ñ Ñ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º½ º ýðø Ð ÒÓ Ñ ÝÞ ÑÓÞ Ý ÒÐ Ø Ñ ÓÐ Ö Ð º º º º º º º ½º½ º ÒØÖ Ð Þ ÑÑ ØÖ Ù ØØ ØÔÖÓ Ð Ñ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º½ º à ÔÐ Ö¹ÔÖÓ Ð Ñ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ ½º¾¼º Ã Ø ÒØ Æ ÔÖ Ò Þ ÖÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º¾½º ÒÝ Þ ÖÑÓÞ Ó Ø Ö Ý Ð Ø ÐÚ Ð Ô Òº º º º º º º º º º º º ½º¾¾º Ð Ò Ö ÖÑÓÒ Ù Ó Þ ÐÐ ØÓÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º¾ º ØÓÐØ Ö Þ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º¾ º Ö Ð Ø Ú Ø ÐÚ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º¾ º ÝÓÖ ÙÐ ÓÓÖ Ò Ø Ö Ò Þ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º¾ º ÑÓÞ Ý ÒÐ Ø ÝÓÖ ÙÐ ÓÓÖ Ò Ø Ö Ò Þ Ö Ò Ø ÞØ ØÖ Ò ÞÐ µ ½º¾ º ÑÓÞ Ý ÒÐ Ø ÝÓÖ ÙÐ ÓÓÖ Ò Ø Ö Ò Þ Ö Ò Ø ÞØ ÓÖ µ º º º ½¼¼ ½º¾ º ÑÓÞ Ý ÒÐ Ø ÝÓÖ ÙÐ ÓÓÖ Ò Ø Ö Ò Þ Ö Ò ÐØ Ð ÒÓ Øµ º º ½¼½ ½º¾ º Ê Ð Ø Ú ÞÓÐ Ø ÑÓÞ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ ½º ¼º ÓÒ ÙÖ Ø Ö Þ Ø Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½¼ ½º ½º ÒÓÒ Ù ¹ Ú Ý À Ñ ÐØÓÒ¹ Ý ÒÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½ ½º ¾º Þ Ø Ù ÒÚ Ö Ò Ó ÐÑ Ð Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½ ½º º Ñ Ö Ú Ø Ø ÐÝ ÓÖ ÒØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾ ½º º ÓÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾ ½º º Ñ Ö Ú Ø Ø ÐØ Ð ÒÓ ÑÓÞ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾ ½º º Ñ Ö Ú Ø Ø ÑÓÞ Ý ÒÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾ ½º º Ø Ñ Þ ÔÔÓÒØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¼ ½º º Þ O ¹Ö ÚÓÒ Ø ÓÞØ ØÓØØ ÑÔÙÐÞÙ ÑÓÑ ÒØÙÑ ÓÖ Ø ÒÝÓÑ Ø º º º ½ ¾ ½º º Ø Ø ØÐ Ò ÒÝÓÑ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º ¼º Ñ Ö Ú Ø Ø ÑÓÞ Ò Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º ½º Þ ÙÐ Ö¹ Ý ÒÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½

3 ½º ¾º Þ ÑÑ ØÖ Ù Ô Ö ØØÝò Ö ÙÐ Ö ÔÖ Þ º º º º º º º º º º º º º ½ ¼ ½º º Ð ÓÐÝ Ö ÙÐ Ö ÔÖ Þ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾

4 ½º½º ÑÓÞ Ð Ö ÖØ ¹ ÓÓÖ Ò Ø Ðº ÙÖÞÙ Ð Ö Þ Ò Ø Ñ ÔÓÒØÓ Ð ÐÐ Ö Ò Þ Ö Ð Ó Ð Ð ÓÞÙÒ º Ì Ñ ÔÓÒع Ò Þ ÓÐÝ Ò Ø Ø Ø Ò Ú ÞÞ Ñ ÐÝÒ Ð ØÖÙ Ø Ö Ø Ð Þ ÓØØ Ð Ø Þ Ñ¹ ÔÓÒØ Ð ÐØ ÒØ Ø Ò Ð Ø Ò ÐÐ Ñ Þ Ø ÖÓÑ ÐÝ ÓÓÖ Ò Ø Ú Ðº ÐÝ ÓÓÖ Ò Ø ÐÐ Ñ ÒÞ Ù Ø Ð ÖØÚ ÓÓÖ Ò Ø Ö Ò ¹ Þ Ö Ø ÔÙ Ø Ðº Þ Ð Ò ÒÝ Þ Ø Ò ÖØ ¹ ÓÓÖ Ò Ø Ð ÓÐ ÓÞÙÒ Ñ ÐÝ Ø Ð Ò Þ Ñ Ó ÓÒ Ð Ð Ø Ò ½ Ø Ñ ÔÓÒØ Ø Ò x, y, z Ú Ý x 1, x 2, x 3 n Ø Ñ ÔÓÒØÒ Ð x α, y α, z α Ú Ý x (α) i Ð Ø Ñ ÔÔ Ò º ÁØØ α = 1,...n n Ø Ñ ÔÓÒØÓ Þ Ñ µ i ÓÓÖ Ò Ø Ø Ò ÐÝ Ð Ø Ö Ð ÑÓÞ Ò Ð 1, 2, 3 Ð Ò Ð 1, 2µº ÖØ ¹ ÓÓÖ Ò Ø Þ Ò Ö ÓÓÖ Ò Ø ÓÒ Ð ÔÓÐ Ö¹ ÓÓÖ ¹ Ò Ø ÓÒ Ö ÞØ Ð x = ρ cosϕ y = ρ sin ϕ, ½µ Ñ ÓÓÖ Ò Ø ÓÒ Ö ÞØ Ð Ô x = r sin θ cosϕ y = r sinθ sinϕ z = r cosθ. ¾µ Þ Ó Ó Þ Ñ f ØÐ Ò ÓÓÖ Ò Ø Þ Ñ Ú Ð Ý ÒÐ º Ø Ñ ÔÓÒØ ØÖ Ø Ö Ø Ö Ò ÑÓÞ Ø Ð Ö ÖÓÑ x = f(t) y = g(t) z = h(t) Ú ÒÝ Ô µ Ò Ý Ò Ò Ú ÒÝ Þ Ñ ¾ Ðк ½µº ½º Ð Ø Ö Ù Ð Þ Ý ÒÐ Ø Ý Ò ÚÓÒ Ð ÑÓÞ ØÖ Ø Ö Øº Å ÓÐ a, b, c, p, q, s ÓÒ Ø Ò Ó ½ º x = pt + a y = qt + b z = st + c ¾º Ð Ø Í Ý Ò Þ Ñ ÓÖ ÑÓÞ Þ x Ø Ò ÐÝ Ñ ÒØ Ò Ø ÖØ Ò º ý Ö ÞÓÐ Ù ØÖ Ø Ö Ø Þ xt ÓÒº º Ð Ø À Ø ÖÓÞÞÙ Ñ ØÖ Ø Ö Ø R Ù Ö Ö Ò Ý ÒÐ Ø Ð ÑÓÞ Ø Ñ ÔÓÒØÖ º Å ÓÐ À t = 0¹ Ò Ø Ø Ö ÒÝ α Þ Ø Þ Ö Þ x¹ø Ò ÐÐÝ Ð ÓÖ x = R cos(ωt + α) y = R sin(ωt + α). º Ð Ø Í Ý Ò Þ R Ù Ö Ñ Ö Ò ÑÓÞ Ø Ñ ÔÓÒØÖ º ½ Ð Ø Ú Ø ÐÞ º

5 Å ÓÐ Ö Ð Þ Þ xy¹ ÓÞ Ô Ø Ð Ý Ò ǫ t = 0¹ Ò Ø Ø Ð Ý Ò Þ x¹ø Ò ÐÝ Òº ÓÖ x = R cosωt y = R cosǫ sin ωt z = R sin ǫ sin ωt. Å ÝÞ Ñ Ð Ð Ø Ò Ú Þ ØØ Ø Ø ØÐ Ò ÑÓÞ Ñ Ò Ö Ñ ÒØ Ò Ø ÖØ Ò º ÖÖ Ð Ú Ø Þ Ñ ÓÒ Ý Þ Ø Ñ Ñ ÙÒ Øº Ä Ý Ò Ø Ø Þ ÓØØ Ô ÐÐ Ò Ø Ò Ñ Ð Ð Ø P ÔÓÒØ Òº Þ OP ÐÝÞ ØÚ ØÓÖ v Ú ØÓÖ Ð Ð Ý Ñ Ø ÖÓÞÓØØ ÓØ Ñ ÐÝ Ø Ð Þ ÓÖ Ò Ñ Ø Ý Ö Ò Ñ Ø Þ º ÑÓÞ Ö Ñ ÒØ Ò Ñ Ý Ú º À Ò Ñ Ý Ø ÖØ ÒÒ Ø Ñ ÔÓÒØ Ð ÝÒ ÖØ ÓÖ Ø Ð Ñ Þ Ð Ñ ÐÝ Ø Þ Ò ÓÖ Ö Ø ÖÓÐ Þ Ý Ö Ö ÐÒ º Ø Ð Ñ Ø Ð Ø Ò Ý Ò ÖØ ò Ò Ò Ý Ñ Ø Ò¹ Ø ØÚ Ñ ÓÞ Ô Øº Þ ÖØ Ø Ø Ú Þ ÐÝÞ Ø Þ ÐØ Ð Ð ÐØ Ö Ò ÑÓÞÓ º Þ Ø ÓÒ ÓÐ ØÑ Ò Ø Ø Ý ÞÖ Ú Ø ÐРк Î Ý Ð ÖØ ¹ ÓÓÖ ¹ Ò Ø Ö Ò Þ ÖØ Ý Ó Ý Þ xy Ò Ý Þ ÐÝÞ Ø ÐØ Ð Ð ÐØ ÖÖ Ðº ÓÖ z¹ø Ò ÐÝ Ø Ð Ñ Þ Ð Þ Ý Ð ÑÙØ Ø Þ Ð Ø Þ Ð Ø ÒØ Ø Þ Ý Ð Ñ Ø Ñ ÓÞ Ô Øº Ó ¹ Ð Ó Ö ÓÓÖ Ò Ø Ö Ò Þ Ö ÞÓÒ Ò ÔÓÒØ Ò Ð Ò Þ ÝÑ Ø Ð Ó Ý z¹ø Ò ÐÝ Ñ ÐÝ Ð Ñ Ð ÑÙØ Ø Ý Ò Ø ÒØ ØÚ Ñ ÓÞ Ô Øº Þ ÖØ Þ Þ ÞÖ Ú Ø Ð Ñ Ð ÐÑ ÖÖ Ó Ý Ø ÓÐ Ð Þ Ð Þ Ý Ø Ø ÒØ Ø ØØÒ Ø ÒØ Ñ ÓÞ Ô Øº º Ð Ø Ì Ñ ÔÓÒØ Þ x¹ø Ò ÐÝ Ñ ÒØ Ò ÖÑÓÒ Ù Ö Þ ÑÓÞ Ø Ú Þ Þ ÓÖ ÓÞ Ô Øº À Ø ÖÓÞÞÙ Ñ ØÖ Ø Ö Ø Ö ÞÓÐ Ù Þ xt ÓÒº Å ÓÐ x = Acos(ωt + δ)º A x δ/ω t Ø Ñ ÔÓÒØ Ô ÐÝ ÞÓÒ ÔÓÒØÓ Ñ ÖØ Ò ÐÝ Ñ ÐÝ Ò ÑÓÞ ÓÖ Ò Ø ¹ Ð º º Ð Ø ýðð Ô Ø Ù Ñ Ô ÐÝ Ø Þ Ð ØÓ Òº

6 Í Ý Ò Þ Ô ÐÝ Ð Ò Þ ØÖ Ø Ö ÓÞ Ø ÖØÓÞ Ø Ñ ÖØ Ø Ø Ð Ò Ð Ó ÞØ Ð ÙØ Ø Ú Ö Ø º º Ð Ø ÙÒ Ñ Ð Ò Ð ØÖ Ø Ö Ø Ñ ÐÝ Þ Ù Ý Ò Þ ÖÔ ÐÝ Ø ÖØÓÞ Þ xy ÓÒº Ø Ñ ÔÓÒØ Þ Ú ØÓÖ Ñ ÐÝÒ ÓÑÔÓÒ Ò ØÖ Ø Ö Þ Ö¹ ÒØ Ð Ö Ú ÐØ ( v r df(t) = (ẋ, ẏ, ż) = dt, dg(t), dt ) dh(t),. µ dt Ú ØÓÖ Ö ÒÝ Ñ Ý Þ Ô ÐÝ Ö ÒØ Ò Þ Ö ÒÝ Ú Ðº Ø Ñ ÔÓÒØ ÝÓÖ ÙÐ Þ Ú ØÓÖ Ñ ÐÝÒ ÓÑÔÓÒ Ò ØÖ Ø Ö Þ Ö ÒØ Ñ Ó Ö Ú ÐØ a r = (ẍ, ÿ, z) = ( d 2 f(t) dt 2, d 2 g(t) dt 2, º Ð Ø Å ÝÓÖ ÙÐ Þ ½º º Ð Ø Ò Å ÓÐ Þ ½º Ð Ø Ò v x = p = v 0x v y = q = v 0y v z = s = v 0z. d 2 ) h(t) dt 2,. µ Þ Ø ÖØ Ø ÒÙÐй Ò Ü Þ Ð Ð Ò ÞØ Ø Ñ Ý a = x 0, b = y 0, c = z 0 µº º Ð Ø Ò Þ Ý Þ Öò Ú ÖØ Ð Ý Ò α = 0º ÓÖ v a = ( Rω sin ωt, Rω cosωt) = ( Rω 2 cosωt, Rω 2 sin ωt) Þ a a = Rω 2 Ò Ú ÒØÖ Ô Ø Ð ÝÓÖ ÙÐ º a v Ñ ÖØ ( a v) Ð Ö ÞÓÖÞ ØÙ Þ ÖÙ º Å ÝÞ Ø Ø Ø Þ Ð Ú ØÓÖÖ ÓÐ γ Ú ØÓÖÓ ÐØ Ð Þ ÖØ Þ º ½º¾º Æ ÛØÓÒ¹ Ý ÒÐ Ø º ( a b) = a x b x + a y b y + a z b z = ab cosγ Æ ÛØÓÒ¹ Ý ÒÐ Ø Ø Ñ ÔÓÒØÓ Ý¹ Ý ÓÓÖ Ò Ø Ò Ñ Ó Ð ¹ Ö Ú ÐØ Ø Þ Þ Þ ÓÓÖ Ò Ø Þ Þ ¹ ÓÑÔÓÒ Ò Ú Ð Ñ ÒØ Þ Ú ÒÝ Ò Þ Ð Ú Ø Þ ÐØ Ð ÒÓ ÔÐ Ø Ò Ø Ð Ú Ð ¹ Ø ÔÐ Ø Ö Ú Ø Ö Ò Ò Ñ Ø ÒØ Ø Ðµº Æ ÛØÓÒ¹ Ý ÒÐ Ø Þ Ò¹ Ö Ò Ð¹ Ý ÒÐ Ø Ö Ò Þ ÖØ Ð ÓØÒ Ñ ÐÝÒ Ñ Ö ØÐ Ò Ø Ñ ÔÓÒØÓ

7 ØÖ Ø Ö Ø Ñ Ø ÖÓÞ Ú ÒÝ º Þ ÐÝ Ò Ø ÔÙ Ð ØÓ Ñ Ø Ñ Ø Ð Ò Þ Ð Ø Þ Ø ÖØÓÞÒ Ñ ÓÐ Ù Ö Ò Ñ Ð Ø Þ ÐØ Ð ÒÓ Ñ Þ Öº Ý ØÐ Ò Ø Ñ ÔÓÒØ Æ ÛØÓÒ¹ Ý ÒÐ Ø Ú Ø Þ mẍ = F x (x, y, z, t) X(x, y, z, t) mÿ = F y (x, y, z, t) Y (x, y, z, t) m z = F z (x, y, z, t) Z(x, y, z, t). Ã Ø Ø Ñ ÔÓÒØÒ Ð Þ Ý ÒÐ ØÖ Ò Þ Ö Ø Ý ÒÐ Ø Ð ÐÐ m 1 ẍ 1 = X 1 (x 1, y 1, z 1, x 2, y 2, z 2, t) m 1 ÿ 1 = Y 1 (x 1, y 1, z 1, x 2, y 2, z 2, t) m 1 z 1 = Z 1 (x 1, y 1, z 1, x 2, y 2, z 2, t) m 2 ẍ 2 = X 2 (x 1, y 1, z 1, x 2, y 2, z 2, t) m 2 ÿ 2 = Y 2 (x 1, y 1, z 1, x 2, y 2, z 2, t) m 2 z 2 = Z 2 (x 1, y 1, z 1, x 2, y 2, z 2, t) ýðø Ð ÒÓ Ø m α ẍ (α) i = X (α) i (x, t), ÓÐ x (x (1) 1,...x(n) 3 ) ÓÓÖ Ò Ø Þ Ø Ð ÒØ º Æ ÛØÓÒ¹ Ý ÒÐ Ø ÐØ Ð ÒÓ Ñ ÓÐ Ò Ö Ò Þ ÖØ Ð ÓØ Ø Ñ ÔÓÒØÓ ÓÐÝ Ò ØÖ Ø Ö Ø ÖØ Ñ ÐÝ Ð Ø Ø ÞÒ Ú Ø Þ Ø ÐØ Ø ÐÒ ½µ À ÐÝ ØØ Ø Ø Þ Ý ÒÐ Ø ÞÓÒÓ Ó Ø ÔÙÒ Þ Þ Ð Ø Þ Ý ÒÐ Ø Øµ ¾µ Þ Ò 2f Ö Ò ÒÝ Ò Ú Ð ÞØ Ø ÓÒ Ø Ò ÓØ Ø ÖØ ÐÑ ÞÒ º ÓÒ Ø Ò Ó Ð Þ Ö Ú Ð ÞØ Ú Ð ÐÐ Ø Ø Ù Ú ÒØ Þ ÐØ Ø Ð Øº À ½µ Ø Ð Ð Ñ ÓÐ Ø Ô ÖØ ÙÐ Ö Ò Ò Ú ÞÞ º À Ñ ÓÐ Ø ÑÓÒ ÙÒ Ö Ò Þ Ö ÒØ Þ ÐØ Ð ÒÓ Ñ ÓÐ Ø ÖØ Ö Ø º º Ð Ø Ö Ù Ð Þ Ø Ñ ÔÓÒØ Ó µ ÑÓÞ Ý ÒÐ Ø Ø Ñ ÓРغ ½¼º Ð Ø Í Ý Ò Þ Ý ØÐ Ò Ø Ñ ÔÓÒØÖ ÓÑÓ Ò Ö Ú Ø Ø Ö Òº Å ÓÐ mẍ = 0 mÿ = 0 m z = mg x = v 0x t + x 0 yx = v 0y t + y 0 z = 1 2 gt2 + v 0z t + z 0. Î Ð ÞÙ Ñ ÓÒ Ø Ò Ó Ø Ý Ó Ý Ñ ÓÐ Ð Ø Ø Ö ÓÒ Ð º Þ ÙØ Ð Ù ÑÓÞ Ø ¾ º ¾ ØÓÚ Ò ÞØ Ö Ø Ñ Ò Ò Ð Ø ÙØÓÑ Ø Ù Ò Ð ÖØ º

8 ½½º Ð Ø Þ Ð Þ Ð Ø Ò Ú Ý Ý Ð Ñ Ð ÐÐ Ò ÐÐ Ø Ø ÒØ Ð Ö ÒÝÓ Ò µº Å ÓÐ mẍ = λẋ mÿ = λẏ m z = mg λż. x = mv 0x λ y = mv 0y λ z = ( mv0z λ ( 1 e λt/m) + x 0 ( 1 e λt/m) + y 0 + m2 g λ 2 ) ( 1 e λt/m) mg λ t + z 0. Å ÝÞ λ 0¹Ò Ð Þ Ñ ÓÐ ØÑ Ý ½¼º Ð Ø Ñ ÓÐ º z Ø Ò Ôк Þ 1 e λt/m = λ m t 1 ( ) 2 λ t 2 + o(λ 3 ) 2 m Ø ÐÝ ØØ Ø ÙØ Ò λ ÐØòÒ Ò Ú Þ Ð λ 0 Ø Ö ØÑ Ò Ø Ú Ö Ø Ø º ½¾º Ð Ø À ÖÓÑ Ñ ÒÞ Ò Þ ÓÖ Ð ÑÙØ Ø ÖÙ ÐÑ Ö Ø ÞÓØÖ Ô ÖÑÓÒ Ù Ó Þ ÐÐ ØÓÖµº Ö Ù Ð ÑÓÞ Ý ÒÐ Ø Ø Ñ ÓР٠غ Å ÓÐ mẍ = Dx mÿ = Dy m z = Dz x = A cos(ωt + α) y = B cos(ωt + β) z = C cos(ωt + γ) ÓÐ ω = D/mº ÝÓÖ ÙÐ ÒÒ Ò Ö Ò Ð Ð Ô Ø º Ô ÐÝ Ñ Ò Ý Ò Þ ÞÓÒÝ Ø º Ð Ø ÓÞ ÓÒÐ ÓÒ Ó¹ Ð ØÑ Ò ØØ Ð Ø ÖØ Ò µº Î Ð ÞÙ ÓÓÖ Ò Ø Ö Ò Þ ÖØ Ý Ó Ý Ô ÐÝ z = 0 Ð Ý Ò Þ Ý Ò ÖØ ò Þ C = 0 Ú Ð ÞØ Ðµº Ñ Ö Ò Ý ÓÒ Ø Ò Ð Ò Ð Ñ Ú Ð ÞØ Ú Ð Ô ØÙÒ Ý Ò Þ ÞØ α = βµ ÐÐ Ô Þ Ø Ñ ÐÝÒ Ø Ò ÐÝ Þ x, y Ø Ò ÐÝ Ð Ô Ö ÙÞ ÑÓ α β = π/2µ Ú Ý ÖØ Ñ A = B Ø Ð Ðµº Å ÝÞ Þ Ð ÓÒØÓ º Ý ÒÐ Ø d 2 f dt 2 + κf = 0

9 ÐØ Ð ÒÓ Ñ ÓÐ Ò Ð Ø Ø Ø ÐÐ Ñ Ð Ò ÞØ ØÒ ½µ κ = ω 2 > 0 A cos(ωt + α) f = A. cosωt + B sin ωt µ A + e iωt + A e iωt. ¾µ κ = ω 2 < 0 A cosh(ωt + α) f = A. cosh ωt + B sinhωt µ A + e ωt + A e ωt. ½ º Ð Ø Ì Ö Ò Ø Ø Ñ ÔÓÒØ ÑÓÞÓ Þ ØØ ÖÙ ÐÑ Ö Øº Ö Ù Ð ÑÓÞ Ý ÒÐ Ø Ø Þ ÐØ Ð ÒÓ Ñ ÓРغ Å ÓÐ m 1 ẍ 1 = D (x 1 x 2 ) m 2 ẍ 2 = +D (x 1 x 2 ) m 1 ÿ 1 = D (y 1 y 2 ) m 2 ÿ 2 = +D (y 1 y 2 ) m 1 z 1 = D (z 1 z 2 ) m 2 z 2 = +D (z 1 z 2 ) x 1 = m 2 m 1 + m 2 A cos(ωt + α) + pt + a x 2 = m 1 A cos(ωt + α) + pt + a m 1 + m 2 m 2 y 1 = B cos(ωt + β) + qt + b m 1 + m 2 y 2 = m 1 B cos(ωt + β) + qt + b m 1 + m 2 m 2 z 1 = C cos(ωt + γ) + st + c m 1 + m 2 z 2 = m 1 m 1 + m 2 C cos(ωt + γ) + st + c ÓÐ µ Ò Ú Ö Ù ÐØ Ø Ñ º ω = D µ µ = m 1m 2 m 1 + m 2.

10 ½ º Ð Ø Ì Ñ ÔÓÒØ Ò Ú Ý Ø Ö Ò ÓÐÝ Ò ÒØÖ Ð ÚÓÒÞ Ö Ø Ð ØØ ÑÓÞÓ Ñ ÐÝ ÓÖ ØÚ Ö ÒÝÓ Þ ÓÖ Ø Ð Ñ ÖØ Ø ÚÓÐ Ò ÝÞ Ø Ú Ðº Ö Ù Ð ÑÓÞ Ý ÒÐ Ø Øº Å ÓÐ Æ ÛØÓÒ¹ Ý ÒÐ Ø Ò x mẍ = γ (x 2 + y 2 ) 3/2 y mÿ = γ (x 2 + y 2 ) 3/2 Þ Þ Ø Ö Ò Ô m r = γ 1 (x 2 + y 2 ) 3/2 r, mẍ = x γ (x 2 + y 2 + z 2 ) 3/2 mÿ = y γ (x 2 + y 2 + z 2 ) 3/2 m z = z γ (x 2 + y 2 + z 2 ). 3/2 Þ Þ m r = γ 1 (x 2 + y 2 + z 2 ) 3/2 r. Þ Ö ØØ Ð Ñ ÖØ ÓÖÖ Þ ÓÖ Ò Ö Þ Ø ØØ ÔÓÒØ Þ Öò Ø Øº Þ Ð Ó ÓÖ Ó Ó ÓÖÖ M f Ø Ñ Ó Ð Ò ÝÓ m¹ò к ½ º Ð Ø Í Ý Ò Ò ÒØÖ Ð Ö Ø Ö Ò Ø Ø Ñ ÔÓÒØ ÑÓÞÓ Ñ ÐÝ ÖÙ ÐÑ Ö Ú Ð ØÒ Ð Òº Ö Ù Ð ÑÓÞ Ý ÒÐ Ø Øº Å ÓÐ m 1 r1 = 1 γ (x y2 1 + z2 1 )3/2 r 1 D ( r 1 r 2 ) m 1 r2 = 1 γ (x y2 2 + z2 2 )3/2 r 1 + D ( r 1 r 2 ) ½ º Ð Ø Ì Ñ ÔÓÒØ ÑÓÞÓ Ø Ö Ò Ø Ö Ø Ð Øغ Þ Ý Þ O ÔÓÒØ Ð Ö ÒÝÙÐ Ö Ú Ø ÚÓÒÞ Ñ Þ O ÔÓÒØ Ð Ö ÒÝÙÐ ÖÑÓÒ Ù Ö OO = aµº Ö Ù Ð ÑÓÞ Ý ÒÐ Ø Øº

11 Å ÓÐ Þ O Ð Ý Ò Þ ÓÖ Þ O Ô (0, 0, a) ÓÓÖ Ò Ø ÔÓÒغ ÓÖ mẍ = γ x Dx (x 2 + y 2 + z 2 ) 3/2 mÿ = γ y Dy (x 2 + y 2 + z 2 ) 3/2 m z = γ z D(z a) (x 2 + y 2 + z 2 ) 3/2 ½ º Ð Ø ÈÓÒØØ ÐØ ÑÓÞÓ ÓÑÓ Ò Ñ Ò Ø Ö Òº Ö Ù Ð ÑÓÞ ¹ Ý ÒÐ Ø Ø Þ ÐØ Ð ÒÓ Ñ ÓРغ Å ÓÐ ÔÓÒØØ ÐØ Ò Ý Ð Ý Ò qº ÓÓÖ Ò Ø Ö Ò Þ Ö z¹ø Ò ÐÝ Ø Ú Ð ÞÙ Ø ÖÖ Ð Ô Ö ÙÞ ÑÓ Ò B = (0, 0, B)º ÑÓÞ Ý ÒÐ Ø Ñ ÓÐ mẍ = q ( v B ) x = qẏb mÿ = q ( v B ) = qẋb y m z = 0. x = R cos(ωt + α) + x 0 y = R sin(ωt + α) + y 0 z = v 0z t + z 0 ω = qb m. Ô ÐÝ xy¹ú Ø Ð Ø R¹ Ù Ö Ö Þ x 0, y 0 ÒØ Ö ÓÒ Ø Ò Ó Ö Þ Ô¹ ÔÓÒØ Ò ÓÓÖ Ò Ø Ò Ñ Þ Ø ÖØ µ º Å ÝÞ ( a b) Ø Ú ØÓÖ Ú ØÓÖ ÞÓÖÞ Ø Ñ ÐÝÒ Ð ØÙÐ ÓÒ Ð Ò Ú ØÓÖ ÞÓÖÞ Ø Þ Ñ Ø ÓÞ ( a b) = ( b a) (α a b) = α( a b) ( a + b c) = ( a c) + ( b c), µ µ a, b, c ÖÓÑ ÝÑ Ö Ñ Ö Ð Ý Ú ØÓÖ Ñ ÐÝ Ó Ö Ò Þ ÖØ Ð Óع Ò ÓÖ ( a b) = cº ½ º Ð Ø Þ Ð Þ Ð ØÓØ Þ Ø ÓÑÓ Ò Ð ØÖÓÑÓ Ñ Þ Ú Ðº Å ÓÐ ÓÓÖ Ò Ø Ö Ò Þ ÖØ Ú Ð ÞÙ Ý Ó Ý Þ Ð ØÖÓÑÓ Ñ Þ Þ yz¹ Ð Ð Ý Ò Ô Ö ÙÞ ÑÓ E = (0, Ey, E z )º ÓÖ mẍ = q ( v B ) x = qẏb mÿ = q ( v B ) y + qe y = qẋb + qe y m z = qe z. ½¼

12 Ñ ÓÐ x = R cos(ωt + α) + x 0 + E y B t y = R sin(ωt + α) + y 0 ω = qb m. z = qe z 2m t2 + v 0z t + z 0. Î Ý ÞÖ Ó Ý ÔÓÒØØ ÐØ E y /B ØÐ Ð Ó Ö Ö Øµ Ø Ö Ö Ñ Ö Ð Ö ÒÝ º ½º º Æ ÛØÓÒ¹ Ý ÒÐ Ø ÖÚ ÒÝ Ò Ö Ø ØØ ÐØ Ø Ð º Þ ÐØ Ø Ð Ú Ø Þ µ ÖØ ¹Ö Ò Þ ÖÒ Ñ Þ Ø Ø Ø Ú ÞÓÒÝ Ø Ù Ò Ö Ö Ò Þ ÖÒ ÐÐ Ð ÒÒ º µ Þ Ö Ò Ñ Ò Þ ÔÓÒØÓ Ø Ð ÓÐÚ Ù Þ Ò Ö Ø ÐÐ ÑÙØ ØÒ Ù º µ Þ Ý ÒÐ Ø Ó ÓÐ Ð ÓÖ Ð Ò Þ Ø ÒÙÐÐ Ø Ð Ö ØÙ ÙÒ ÑÙØ ØÒ ÞÓ Ö Þ Ó ØÙÑÓ Ö Ñ ÐÝ Þ Ö Ø ÓÖÖ ÞÓÐ ÐØ Ñ ÒÝÓ µ Ø Ñ ÔÓÒع Ò Ð Ó ÓÐ ÐÓÒ ÒÙÐÐ Ò ÐÐ ÐÐÒ º ÁØØ ÖÓÑ Ó ÐÑ Ø Ú Þ ØØ Ò Þ Ò Ö Ö Ò Þ ÖØ Þ Ò Ö Ø Ú Ð Ñ ÒØ Þ Ö Øµº Ð Ð Ø Ö Þ ÚÓÐÒ Ý Ð Ð Ó Ø Ð Þ Ø Ò ÐÒ Ò ÞÙØ Ò Ò ÖØÓ Ò Ú Þ ØÒ Ò Æ ÛØÓÒ¹ Ý ÒÐ Ø Øº Þ µ Þ Ö ÒØ Ô Ð ÙÐ Æ ÛØÓÒ¹ Ý ÒÐ Ø Ò Ö Ö Ò Þ Ö Ò ÖÚ ÒÝ Þ ÖØ Ð Ñ ÐÐ Ò ÑÓÒ Ò Ñ Þ Ó Ý Ò Ö Ö Ò Þ Ö ÒÒ Ñ Ö Ø Ò Æ ÛØÓÒ¹ Ý ÒÐ Ø Ú Þ Ø Ø Ý ÐÐ Ò Ð Þ Ò Ó Ý Ú Ý Ò Ý Ò Ö Ö Ò Þ Öغºº º Ì Ð Ò ÓÒÐ ÐÝÞ Ø Þ Ò Ö Ú Ð Þ Ö Ú Ð º Î Ð Ò Þ Ú Ø ÐÑ ÒÝ Ò Ñ Ú Ð Ø Ø Ñ Ñ ÖØ Þ Ò Ö Ö Ò Þ ÖÒ Þ Ò Ö Ò Þ Ö Ò Æ ÛØÓÒ¹ Ý ÒÐ Ø Ð Þ Ò Ú Ò Ø ÖÓÞÓØØ Ð ÒØ Ñ ÐÝ Þ Þ Ö ÒØ Æ ÛØÓÒ¹ Ý ÒÐ Ø ÔÓ ÞØÙÐ Ð Ú Ð Ô Ö ÙÞ ÑÓ Ò Ø Ñ º ÖÓÑ Ó ÐÓÑ Ø Ø Æ ÛØÓÒ¹ Ý ÒÐ Ø Ð Ý ØØ Ý ÓÐÝ Ò ÓÑÔÐ Ü Ó ÐÑ Ø Ð ÓØ Ñ ÐÝ Ò Ð Ð Ñ Ò Ý Ð Ñ Ñ Ý Ö Þ Ø Ò Ð Ð ÐÐ ÞÒ ÐÒ Ñ ÖÑ Øº ÓÑÔÐ Ü Ó ÐÑ Ø Ð Ø ÖØ ÐÑ ÞÒ Þ Ð Ñ Ø Ð Ò¹ Ð Ò Ò Ñº ý Ö ÞÓÐ Ö Þ Ò µ ½½

13 Î Þ Ð Ù Ñ Ö ÞÐ Ø Ò ÖÓÑ Ó ÐÑ Ø Ð Ò¹ Ð Ò ½µ ÁÒ Ö Ö Ò Þ ÖÒ ÞÓ Ø ÚÓÒ Ø ÓÞØ Ø Ö Ò Þ Ö Ø Ò Ú ÞÞ Ñ ÐÝ Ò Æ ÛØÓÒ¹ Ý ÒÐ Ø ÖÚ ÒÝ º Þ Ò Ö Ò Þ Ö Ò ÖÚ ÒÝ Ø Ø ØÐ Ò Ø ÖÚ ÒÝ Þ ÞÓÐ ÐØ Ø Ñ ÔÓÒØ Ñ Ø ÖØ ÒÝÙ ÐÑ ÐÐ ÔÓØ Ø Ú Ý Ý ÒÐ Ø Ý Ò ÚÓÒ Ð ÑÓÞ Øº ÈÓÒØÖ Ò ¹ Þ ÖÒ Ð Ð ÒØ Ø Ñ Þ ÔÔÓÒØ ÑÓÞ Ö ÚÓÒ Ø ÓÞ Ð º Ð Þ Ö Þ Ù Þ¹ Þ Øºµ ÆÝ ÐÚ ÒÚ Ð Ó Ý Þ Ø ÖÚ ÒÝ Ò Ñ Ø Ð Ð Ø Ø Þ Ð ÑÓÞ ÐÐ ÔÓØ Ó¹ ÓÖ Ò Ø Ö Ò Þ Ö Ò Þ ÖØ Ð ÐÑ Þ Ò Ö Ö Ò Þ Ö Ú Ð ÞØ Ö º Ø Ø ØÐ Ò Ø ÖÚ ÒÝ Ò Ò Ó Ð Þ µ Þ Ö ÒØ Ò Ö Ö Ò Þ Ö Ò Æ ÛØÓÒ¹ Ý ÒÐ Ø ÖÚ ÒÝ µ Þ Ö ÒØ ÞÓÐ ÐØ Ø Ñ ÔÓÒØÖ Ò Ñ Ø Ö º Ý ÓÖ mẍ = mÿ = m z = 0, Ñ ÐÝÒ ÐØ Ð ÒÓ Ñ ÓÐ Ñ ÒØ Ñ Ö Ð ØØÙ Ý ÒÐ Ø Ý Ò ÚÓÒ Ð ÑÓÞ Ø Ö Ð Ø Ø Ø Ø ØÐ Ò Ø ÖÚ ÒÝ Ú Ð Ò Ø Ð Ðº ÑÓÞ Ý ÒÐ Ø Ò Ñ ÐÐ Ô Ø ÓÞ ÞÓÒ Ò Þ Ó Ý Ö Ò Þ Ò Ö Ø Ñ Ö ÒÝÙ ÐÑ ÐÐ ÔÓØ Ñ Ø ÖØ Ö Ð ÞÓÒ Ò Ò Ð Ð Ñ Ð Ø ÞÓÒÝÓ Ó Ò µº À K Ò Ö Ö Ò Þ Ö ÓÞÞ Ô Ø Ý ÒÐ Ø Ý Ò ÚÓÒ Ð ÑÓÞ Ø Ú Þ Ö Ò Þ Ö ÞÓ º Þ ÓÐÝ Ò Ö Ò Þ ÖØ Ñ ÐÝ Ò Ñ Ò Ö Ö Ò Þ Ö ÝÓÖ ÙÐ Ò Ò Ú ÞÞ º Å ÝÞ ÓÓÖ Ò Ø Ö Ò Þ Ö ÔÞ Ð Ø Ò Ò Ð Ø ÞÒ ÞÓ Ø Ø Ú Ð Ó Ñ ÐÝ Þ ÓÓÖ Ò Ø Ö Ò Þ ÖØ ÓÒ ÓÐ Ø Ò ÓÞÞ Ö Ò Ð º ÓÓÖ Ò Ø Ö Ò Þ Ö ÑÓÞ ÐÐ ÔÓØ Þ Ò Ø Ø Ò ÑÓÞ ÐÐ ÔÓØ Ú Ð Ý Þ Ñ º À Þ Ö Ø Ø Ö ÓÒ ÓÐÙÒ ÓÓÖ Ò Ø Ø Ò ÐÝ Ò Ð Ð ÚÓÒ Ø ÓÞ¹ Ø Ø Ö Ò Þ Ö Þ Ø ÞÒ Ð Ø Ù º ¾µ ÁÒ Ö Ø ÞÓ Þ Ö ÑÙØ ØÒ Ñ ÐÝ Þ Ú ÞÓÒÝ ØÚ Æ ÛØÓÒ¹ Ý ÒÐ Ø Þ º Î Ð ÞÙÒ Ý ÓÐÝ Ò Ò Ñ Ö Ò Þ ÖØ Ñ ÐÝ Ò Ø Ö Ø Ò ÝÓÒ Ð ¹ Ñ Ö Ú Ý Æ ÛØÓÒ¹ Ý ÒÐ Ø Ø ÔÓÒØÓ Ò Ø ÒØ Ø º Ä Ý Ò Ò Ö Ö Ò ¹ Þ Ö Òº ÇÐ Ù Ñ Þ Ý ÒÐ Ø Ø ÐÐ Ò Ö ÞÞ Ú Ð Ñ ÐÝ µ ÖÐ Ø Ú Ø ÞÑ ÒÝ Øº Þ Ö Ðк À ÞØ Ø Ð Ð Ù Ó Ý ÑÓÞ ÔÓÒØÓ Ò Ñ ÓÐ Ò Ñ Ð Ð Ò Ñ Ý Ú ÓÖ Þ Ö Ò Þ Ò Ö Ø ÑÙØ Ø º À ÐØ Ö Ø Ø Ð ÐÙÒ Þ Ö Ø ÒÒ Ð Ô Ò Ø Ð Ö Ð Ø Ù Ò Ö Ö º Ñ ÒÒÝ Ò Ú Ð ÞØÓØØ ÑÓÞ Ô Ö Ù ÒÑ ÞÓÐ Ð Ø ÓÐÝ Ò Ö ÒØ Ñ ÐÝ Þ Ò Ö Ø ÐÞ º Ý ÓÖÐ Ø Ñ Ö Ò Ð Þ Ú Ø ÐÑ ÒÝ Þ Ð Ø Ò Ø Ð ÐÒ º Ý Ð Ò Ö Ø ÔÓÒØÓ Ò Ø ÒØ Ò ÒÓ Ò Ñ Ò Ö Ö Ò Þ Ö Ò ÒÝÙ Þ ÖÒÝ Þ Ø Ø Ó Ø Ñ Ñ Ö ÔÓÒØÓ Òº ÐÐ Þ Ø Ò Ó Þ Ð Ò Ú Ò Þ Þ Ò Ö Ñ Ò Ð ÔÓÒØÓ Ñ Ö Ø Ö Þ ÖØ Ð Ö Ð Ö Ð Ø Æ Ô¹ Ö Ò Þ Ö ÑÓÞ Ð Ô Ò Ú Þ º Æ ÔÖ Ò Þ Ö Ú Ð Ò ÞÓÐ ÐØÒ Ø ÒØ Ø ÒÒ Ø Ö Ú Ø Ö Ø ÖÚ ÒÝ Ñ Ò Ò Ð Þ Ö ÒØ Ò ÔÓÒØÓ º ÞØ Þ Ö ØÑÙ Ø Ñ Ø ÞÞ Ð Ñ Þ ÖÖ Ð ÔÒ Ñ ÐÝ Ñ Ò Ò Ú Ð Þ Òò Þ Ö ÒØ Þ Ò Ö Ö ØÑÙ Ñ Ö Þ Ò Ò Ú Þ º ½¾

14 µ Þ Ö À Ò Ö Ö Ò Þ Ö Ò Ò Ö ÞÒ Ð Ø Ñ ÐÐ ØØ Ø Ñ ÔÓÒØ Ò Ñ Ú Þ Ý ÒÐ Ø Ý Ò ÚÓÒ Ð ÑÓÞ Ø ÓÖ Ò Ñ Ð Ø ÞÓÐ ÐØ Ú Ð Ñ ÐÝ Ò Ó ØÙÑ Ö Ú Ð Ø Ö º Þ Þ Ó ØÙÑ Þ Ö Ø ÓÖÖ º Å Ø Ñ Ø Ð Þ Þ ØÙ Ò ÙØ Þ Ö Ó Ý Þ Ý ÒÐ Ø Ó ÓÐ Ð Ö Ú Ð Ñ ÐÝ Ò Þ ÖÙ Ø Ð Ð Ò Þ Þ Ö Ð Ñ ÐÝ Ý ÒÐ Ø Ò Þ Ö Ø Ø Ö ÔÖ Þ Ò¹ Ø Ð º ÞØ Ñ Ø Ñ Ø Þ Ø Ò Ú ÞÞ Ö Ò º Å ÒØ Ð Ø Ù Þ Ö Ø Þ Ö Ó ÐÑ Ø Ñ Ð Ò ÞØ Ø ÝÑ Ø Ð Þ Ö Þ ÖÞ Ò Ö Ø Ö Ø Ñ Ø Ñ¹ Ø Ñ Ð Ò ÓÖÑ Æ ÛØÓÒ¹ Ý ÒÐ Ø Òº À ÐÐ Ø Ð Ó Ò ÞØ Ø ÖÑ ÒÓÐ Ø ÞÒ Ð Ù Ñ ÓÖ Æ ÛØÓÒ¹ Ý ÒÐ Ø Ø Þ Ð Þ Ú Ð ÓÐÚ Ù Ð Ø Ñ Þ Ö ÝÓÖ ÙÐ Ý ÒÐ Ö º Þ Ö Ú ÒÝ Ð Ø ØÐ Ò Ú ÐØÓÞ ÓÓÖ Ò Ø Þ Ö Ø ÖÚ ÒÝÒ Ò Ú ÞÞ º À Þ Ö ÓÖÖ Ò Ñ Ø ÖØÓÞ Ö Ò Þ Ö Þ Ò Ò Ò ÐÐ Þ Ó µ ÓÖ Þ Ö Ø Ð Ö Ò ÐÐ Ò Þ Ø Ò Ð Ö Ò Ò Ú ÞÞ º À Ö Ò Þ Ö Ý ØÐ Ò Ø Ñ ÔÓÒØÓØ Ø ÖØ ÐÑ Þ Ð Ö Ø Ø Ö º Þ Ö ÐØ Ð ÒÓ ØÙÐ ÓÒ Ø Þ Ð Ø ÔÓÒØ Ò Ó Ð Ð Ø Ù Þ µ Å Ø Ð Ð Ø Þ Þ Ó ØÙÑ Ñ ÐÝ Þ Ö Ø ÓÖÖ º µ Ä Ø Þ Ñ Ø ÖÓÞÓØØ Ö Ø ÖÚ ÒÝ Ö ØÐ Ò Ñ Ñ Ö µ Ñ ÐÝ Æ ÛØÓÒ¹ Ý ÒÐ Ø Ò Ö ÔÖ Þ ÒØ Ð Þ Ö Ø Øº µ Þ Ö Ú ØÓÖÑ ÒÒÝ Ñ Ú Ð ÝÓÖ ÙÐ Þµ mẍ = F x mÿ = F y m z = F z m r = F. µ ÖÚ ÒÝ Ø ¹ ÐÐ Ò Ø Ø ÖÚ ÒÝ À Þ Ö ÓÖÖ F Ö Ú Ð Ø Ø Ñ ¹ ÔÓÒØÖ ÓÖ Ø Ñ ÔÓÒØ F Ö Ú Ð Ø ÓÖÖ Ö º Þ Þ ÐÚ Ð Ð Ö Ö Ý Ö ÒØ ÖÚ ÒÝ º µ À Ø Ð Ò Þ ÓÖÖ Ð Þ ÖÑ Þ Ö Ø Ý Ø ØÖ Ø Ù Ú ØÓÖ Ð Ò Þ º Þ Ò Ñ Ú Ø Þ ÙØÓÑ Ø Ù Ò µ¹ Ð Ñ ÖØ Ñ ÞØ Ð ÒØ Ó Ý Ý Ö ÓÖÖ Ø Ø Ò Ñ Ú ÐØÓÞØ Ø Ñ Ù Ý Ò ÖÖ Ø Ñ ÔÓÒØÖ Ñ Ö Øº ÓÖÖ Ó ÝÑ Ö Ø ÞÓÒ Ò Ø ÖÑ Þ Ø Ò Ñ Ú ÐØÓÞØ Ø Ø Ñ Ù Ò ÓÖÖ Ó Ò Þ Ö Þ Ø Ø Þ Ò Ö ÞØ Ð Þ ÐØ ÐÙ Ø ØØ Ö Ø Øº Å ÝÞ αµ ÅÓÒ ÓØØÙ Ó Ý ÞÓÐ ÐØ ÔÓÒØÖ Ò Þ ÖÒ Ð Ø Ø ØÐ Ò Ø ÖÚ ÒÝ Ø Ñ Þ Ô¹ ÔÓÒØÖ ÚÓÒ Ø ÓÞ º µ Ð Ô Ò Þ Ý ÞÓÐ Ø Ø Ø Ø Ô Ð Òµ Æ ÛØÓÒ¹ Ý ÒÐ Ø m 1 r1 = F 2 1 m 2 r2 = F 1 2 ½

15 ÓÐ F i j Þ i¹ Ø Ø Ñ ÒØ ÓÖÖ ÐØ Ð j¹ Ö Ø Ö º µ Þ Ö ÒØ Þ ÖØ Ø Ý ÒÐ Ø Ø Þ Ù F i j + F j i = 0, d 2 dt 2 (m 1 r 1 + m 2 r 2 ) = 0 Ý ÒÐ Ö ÙØÙÒ º Þ Ú Ð Ò ÞØ Þ Ó Ý Þ R Ø Ñ Þ ÔÔÓÒØ ÝÓÖ ÙÐ ÒÙÐÐ Ù Ý Ò R = m 1 r 1 + m 2 r 2 m 1 + m 2. βµ À Ý Ø Ñ ÔÓÒØÖ Ø Ú Ý Ø Ö Ø Þ ÓÐØ Ø ÝÑ Øº ÁÐÝ Ò ÓÖ Ø Ñ ÔÓÒØÖ Ò Ñ Ø Ö ÒÓ Ñ Ò Ý ÓÖÖ Ö Ø Ø Ý ÓÖÓÐ Ø Ñ ÔÓÒØÖ º Þ Ö Ø ÒÑ Ò Ø Ø Ò Ñ Ö Þ ÔÔ Ò Ý ØØ ÝÓÖ ÙРк γµ Þ Ö Þ Ø ÞÓ ÞÒ ÐÒ ÓÐÝ Ò Ø Ò Ñ ÓÖ Ð ÓÖÓÐØ Ø ØÙ¹ Ð ÓÒ Þ Ð ÞÓÒÝÓ Ò Ñ Ø Ð ÐÒ º Å ÒØ Ñ Þ Ð Þ Ö Ð Þ Ò Ö Ö Ôк ÒØÖ Ù Ð Ö µ Ò Ñ Ø ÞÒ Ð Ø Þ µ ØÙÐ ÓÒ Ò ÒÒ Ú Ø ÞØ Ò µ¹ò ѵº Þ ÐÝ Ò Ö Ø Ø Ú Ö Ò Ò Ú ÞÞ Þ Ñ Ò Ú Ð Ö Ð Ñ ÐÝ Ò Ñ Ø ÖÓÞÓØØ Þ Ó ØÙÑÓ ÓÖÖ º Ø Ú Ö ÓÖ Ð ÔÒ Ð ÑÓÞ Ý ÒÐ Ø Ò Ñ ÓÖ Þ Ö Ø Ð Ú Ð Ö Ø Ø ÖØ ÐÑ Þ Æ ÛØÓÒ¹ Ý ÒÐ Ø Ø Ú Ð Ñ ÐÝ Ò Ñ Ø Ñ Ø Ø Ð Ø Ò Ú Ø Ð Ô Ð ÙÐ Ò Ö Ö Ò Þ¹ ÖÖ Ð ÝÓÖ ÙÐ Ö Ò Þ ÖÖ Ø Ö Ò Øµº ËÞ ÓÖ Ò Ú Ú Ø Ø Þ ÐÝ Ò ØØÖ Ò Þ ÓÖÑ ÐØ Æ ÛØÓÒ¹ Ý ÒÐ Ø Ø Ø Ú Ö Ð ÒÐ Ø Ñ ØØ Ñ Ö Ò Ñ Ò Ú Þ ØÒ Ò Æ ÛØÓÒ¹ Ý ÒÐ ØÒ º ÒÒÝ Ö Ô Ö Þ Ò Ñ ÐÐ Þ Ö Þ Ð Ó Ø Ò Ð ÒÒ Ò Ñ ÓÖ Ñ Ð Ò ÞØ Ø Ú Ð Ñ ÐÝ Ò Ó Ð Ð ÒÝ Ø Ú Ö Ø Ø ÖØ ÐÑ Þ ØÖ Ò Þ ÓÖ¹ Ñ ÐØ Æ ÛØÓÒ¹ Ý ÒÐ Ø Ø Ò Ñ Æ ÛØÓÒ¹ Ý ÒÐ ØÒ Ò Ñ ÑÓÞ Ý ÒÐ ØÒ Ó Ù ÚÒ º δµ Æ ÛØÓÒ¹ Ý ÒÐ Ø Ú Ð Ñ ÒØ Þ Ò Ö Ö Ò Þ Ö Þ Ò Ö Þ Ö ÞÒ Ð Ø ÓÖ Ò ÞÓÒÝ Ö Ó ÓÐÝ Ò ÐÐ Ø Ð Ó Ð ÐØ Ú Ø ÞÒ ÐÙÒ ÒØÙ ØÐ ÒÙÐ Ñ ¹ ÐÝ Ö Ð Ò Ñ ØØ Þ º Þ Ý ÒØ Ñ Ò Ò Ó ÐÓÑ Ø Ò Ý Ú Òº ÐØ Ð Ò Ð Ò Ñ Ð Ø ØÐ Ò Ð ÒÒ Þ Ø Ñ Ò Ð Ö Ø Ò Þ Ý ÒÐ Ø Ñ Ø ÒÙÐ Ý ÓÖÐ ÓÖ Ò Þ Ð Ý ØØ ÙØÓÑ Ø Ù Ò Ø Ø Ù Ð Øº ½º º Ø Ñ Ò ÛØÓÒ Ð Ó Þ Ö ÒØ Ø Ñ Ø ØÖ ÐÐ ÑÞ Ô Ö Ñ Ø Ö Ñ ÐÝ ÑÓÞ Ý Ò¹ Ð Ø Ò ÝÓÖ ÙÐ Ø ÞÓÖÓÞÞ ÖØ ØÐ Ò ØØ Ð Ó Ý Ñ ÐÝ Ò Ö Ø Ø ØÖ º Þ Ý ÒÐ Ø Ò Ð Ó Ð ÐØ ÐÝ Ð Ô Ò Ø Ñ Ø Ø ØÐ Ò Ñ ÖØ Ø Ø Ø Þ Ð Þ ÐÐ ÐÐ Ò Ó Ò Ý ÓØØ Ö ÝÓÖ Ø Ø Ò Ñ ÐÝÒ Ò ÝÓ Ø Ñ º Ø Ñ ÞÓÒ Ò Þ Ý ÒÐ Ø Ó ÓÐ Ð Ò Ñ Ð Ò Ö Ú Ø Ö Ø ÖÚ Òݹ Òº ½

16 ýðð Ø Ù Ô Ö ÙÞ Ñ Ð Ð Þ Ò Ò Ð Ú ÓÑÓ Ò Ö Ú Ø Ñ Þ Ò Ð ÓÐÝ ÑÓÞ Ø ÔÓÒØØ ÐØ ÓÒ ÒÞ ØÓÖ Ð ÑÓÞ Ú Ð Ñ ÓÖ ÑÓÞ Ý ÒÐ Ø m z = qe ( ) E = (0, 0, E) º Ö Ú Ø Ø Ö Ö Þ E Ò ÐÓ ÓÒ Ð Ð Ø Ø E g ¹Ú Ð q Ð ØÖÓÑÓ Ø ÐØ Ð Ò Ð Ö Ú Ø Ø ÐØ Ø Ô q g ¹Ú к Ö Ú Ø ÑÓÞ Ý ÒÐ Ø ÓÖ m z = q g E g º Ì Ô ÞØ Ð Ø Ð ÞÓÒ Ò ÞØ Ø Ð Ð Ù Ó Ý Ö Ú Ø ÝÓÖ ÙÐ ÓÒ ÒÞ ¹ ØÓÖ Ò ÐÐ Ô ÝÓÖ ÙÐ Ð ÐÐ ÒØ Ø Ò ÙÒ Ú ÖÞ Ð Ñ Ò Ò Ø ØÖ g = 9, 81Ñ» 2 ¹ Ð Ý ÒÐ º ÑÓÞ Ý ÒÐ Ø ÓÖ ÞØ Þ Ö Ñ ÒÝØ Ø Ø Ö Ú¹ Ø Ø ÐØ Þ ÓÖ Ò Ö ÒÝÓ Ø Ñ Ð q g = k m ÓÐ k ÙÒ Ú ÖÞ Ð Ð¹ Ð Ò º ÞØ ÐÐ Ø Ø Ù 1¹Ò Ý Ó Ý Ý Ú Ð ÞØÓØØ Ø Ò Ö Ø Ø q g ¹ Ø Ø Ñ Ú Ð Ú Þ Ý ÒÐ Ò Ý Ö Þ Ø Ö Ú Ø Ø ÐØ Ý Øº ÓÖ Ö Ú Ø ÝÓÖ ÙÐ ÙÒ Ú ÖÞ Ð Ø Ú Ø ÞØ Ò Ñ Ò Ò Ø Ø q g ¹ Ñ Ý Þ Ø Ñ Ú Ð ÑÓÞ Ý ÒÐ Ø Ð Ô Ò E g Ý ÒÐ Ú Ú Ð g¹ú к ÞØ Þ Ý Ú Ð ÞØ Ø ÐØ Ø Ð ÞÚ ÞÓ q g ¹Ø Ö Ú Ø Ø ÐØ ÐÝ ØØ ÐÝÓ Ø Ñ Ò Ò Ú ÞÒ Ö Ú Ø ÝÓÖ ÙÐ ÙÒ Ú ÖÞ Ð Ø Ø Ý Ó ÐÑ ÞÒ Ó Ý Ñ Ò Ò Ø Ø ÐÝÓ Ø Ñ Ñ Ý Þ m Ø Ø ØÐ Ò Ø Ñ Ú Ð Ñ ÐÝ Æ ÛØÓÒ¹ Ý ÒÐ Ø Ò Ý¹ ÓÖ ÙÐ Ø ÞÓÖÓÞÞ º Ò ÛØÓÒ Ñ Ò Ò Ò Ò Ñ Ý Ö Þ Ø ÖÖ Ñ ÖØ Ø Ð Ð Ø ØÐ Ò ÔÓÒ¹ ØÓ Ð Þ Þ Ý ÒÐ Ñ ÐÝÒ Ñ Ò Ñ Ý Ð ÔÓÒØÓ ÞÓÐ ØÚ ÄÓÖ Ò Ò Ú Þ òþ º Ò Ø Ò ÐØ Ð ÒÓ Ö Ð Ø Ú Ø ¹ ÐÑ Ð Ø Ò ÞÓÒ Ò Ö Ú¹ Ø Ò ÓÐÝ Ò Ø Ö Ý Ð Ø Ø Ñ Ñ ÐÝ ÑÔ Ö Ù Ò Ò ÛØÓÒ Ò Ð ÔÓÒØÓ ØÖÙ Ø Ö ÓÐÝ Ò Ó Ý ÒÒ Ý ØÐ Ò Ø Ñ Ð Ô Ð Ñ ÐÝ ÝÓÖ ÙÐ ÞÓÖÞ ¹ ÒØ Ø Ø ØÐ Ò Ø Ñ Þ Ö Ø ÖÚ ÒÝ Ò Ô ÐÝÓ Ø Ñ Þ Ö Ô Ø Ø Þ ÐÝÑ ÓÒ Ø Ø Ñ Ð Ò Þ Ò Ð Ø Ð Ñ Ñ Ö Ð º Ò ÛØÓÒ Ñ Ò Ò ÝÓÖ ÙÐ Ø ÞÓÖÞ Ø Ñ Ò Æ ÛØÓÒ¹ Ý ÒÐ Ø Ð Þ Ò Ú Ò ÖØ ÐÑ Þ Ò Þ Ñ ÒÒÝ Ò Þ Ö ÒØ Þ Ø Ñ ÔÓÒ¹ ØÓØ ÐÐ ÑÞ Ô Ö Ñ Ø Ö Ñ ÐÝ Þ Ý ÒÐ Ø Ò ÝÓÖ ÙÐ Ø ÞÓÖÓÞÞ Þ ÖØ µ Ö ÑÑÓÒ Ð ÒÒ ÐÝ º Þ ÐØ Ð ÒÓ Ö Ð Ø Ú Ø ÐÑ Ð Ø Þ Ö ÒØ ÞÓÒ Ò Þ Ô Ö Ñ Ø Ö Ð ÒÝ Ò Ñ Ý Þ Ø Ø ÐÝ Ú Ð ÖÙ Ñ ÖÐ ÖÙ Ò Ñ ¹ ÒÝ Ð Ú Ðµ Ò Þ ÖØ Ð Ñ Ò ØÐ Ò Æ ÛØÓÒ¹ Ý ÒÐ Ø Ø Ðº Þ ÖØ Ø Ö Ý Ð¹ ØÙ Ð Ò Þ Ø Òº ½º º Þ Ö ÓÑÔÓÒ Ò ÐØ Ð ÒÓ ÓÓÖ Ò Ø Ò Ð Ô ÐÚ Ð Ø Þ ÑÑ ØÖ ÓÞ ÑÙÐ ÓÓÖ Ò Ø Ö Ò Þ Ö Ð ÐÑ Þ Ñ Òݹ ÒÝ Ø Þ Ý ÒÐ Ø Þ Ù Þ Ø Ñ ÓРغ Å ÐÐ Ø Ø Ø ÒÙÐÒÙÒ Æ ÛØÓÒ¹ Ý ÒÐ Ø Ø ÖØ ¹ ÓÓÖ Ò Ø Ö Ð ÐØ Ð ÒÓ ÓÓÖ Ò Ø Ö Ø ÖÒ ØØÖ Ò Þ ÓÖÑ Ð¹ Ò µº ØÓÚ Ò Ò Ö¹ Ð ÔÓÐ Ö¹µ Ø Ö Ð Ñ ÓÓÖ Ò Ø Ø Ó ÙÒ ÞÒ ÐÒ ÖØ ¹ ÓÓÖ Ò Ø ÓÒ Ú Ðµ Þ ÖØ Þ Ò Ø Ö Ý Ð Ö Ó¹ ÖÐ ØÓÞ ÙÒ º Ò Þ Ø Ò Þ Ö Ó ÓРе Ø Ð Ø Ö Ð Ð Þ Þ ÐÓÐ Ð ÝÓÖ ÙÐ µ ØÖ Ò Þ ÓÖÑ Ø Ò ÒÝ Þ ØØ Ð Ø Ö Ý Ð Ù º Ö Ö ÝÓÖ ÙÐ ÚÓÒ Ø ÓÞØ Ø Ö Ò Þ Ö Ø Ö Ý Ð Ò Ð Ö Ú Ò Ú Þ Ø Ö Ò º ½

17 È Ð Ë Ð ÑÓÞ Þ Ö ÒØÖ Ð 1/ρ 2 ¹ ÒØ Þ ÓÖ Ø Ð Ñ ÖØ Ø ÚÓРк ÖØ ¹ ÓÑÔÓÒ Ò F x x cosϕ = γ = γ (x 2 + y 2 ) 3/2 ρ 2 F y y sin ϕ = γ = γ (x 2 + y 2 ) 3/2 ρ 2. ÁØØ ÖØ ¹ ÓÑÔÓÒ Ò Ø ÖØÙ Ð ÔÓÐ Ö ÓÓÖ Ò Ø Ú ÒÝ ÒØ Ð¹ Þ Öò ÓÑÔÓÒ Ò Ø ÓÓÖ Ò Ø Ö Ò Þ Ö Þ ÑÙÐ ÐÓ Ð Þ Ö ÚÓÒ Ø ÓÞ¹ Ø ØÒ º Þ ÓÐÝ Ò Þ Ñ ÐÝÒ Ý Ú ØÓÖ ÓÓÖ Ò Ø ÚÓÒ Ð Ö ÒØ Þ e q Ý Ú ØÓÖ ÞØ ÓÓÖ Ò Ø ÚÓÒ Ð Ø Ö ÒØ Ñ ÐÝ Ñ ÒØ Ò q Ú ÐØÓÞ q Ò Ú Ö ÒÝ ÑÙØ Øº À ÐÓ Ð Þ ÓÖØÓ ÓÒ Ð ÓÓÖ Ò Ø Ö Ò Þ ÖØ Ñ Ø ÓÖØÓ ÓÒ Ð Ò Ò Ú ÞÞ º Ò Ö¹ ÔÓÐ Ö¹ Ñ ÓÓÖ Ò Ø Ö Ò Þ Ö ÓÖØÓ ÓÒ Ð º Å Ú Ð ÞÓÒ¹ Ò Ö ÚÓÒ Ð Ð Ò Þ ÔÓÒØÓ ÓÞ Ø ÖØÓÞ ÐÓ Ð Þ Ó Ò Ñ Ô Ö ÙÞ ÑÓ ÝÑ Ðº Þ Ð Ö Þ Ð ÔÓÐ Ö ÓÓÖ Ò Ø Ö Ò Þ Ö Ý ÔÓÒØ ÓÞ Ø ÖØÓÞ ÐÓ Ð Þ Ø Ö ÞÓÐ º ρ = ϕ = ϕ ϕ ρ Þ Ö Ø Ñ ÔÓÒØ ÐÓ Ð Þ ÓÖ º ÐÓ Ð Þ Ó ØÖ Ò Þ ÓÖÑ ÔÐ Ø e ρ = cosϕ e x + sin ϕ e y e ϕ = sinϕ e x + cosϕ e y ½¼µ e x = cosϕ e ρ sin ϕ e ϕ ½½µ e y = sin ϕ e ρ + cosϕ e ϕ ½

18 Þ Ö ÓÑÔÓÒ Ò Ò ØÖ Ò Þ ÓÖÑ Þ F = F x e x + F y e y = = (F x cosϕ + F y sin ϕ) e ρ + ( F x sin ϕ + F y cosϕ) e ϕ = F ρ e ρ + F ϕ e ϕ Ð ÓÒØ Ó Ð Ô Ò F ρ = cosϕ F x + sin ϕ F y ½¾µ F ϕ = sinϕ F x + cosϕ F y Ô Ð Ò F x = cosϕ F ρ sin ϕ F ϕ ½ µ F y = sin ϕ F ρ + cosϕ F ϕ F ρ = γ ρ 2, F ϕ = 0, ÔÓÐ Ö ÓÓÖ Ò Ø Ò Ø Ø Þ Ö Þ Ý ÓÓÖ Ò Ø Ø Ð ρ¹ø е Þ Ý ÓÑÔÓÒ Ò Ð Ò Þ Þ ÖÙ Ø Ðº Þ Ð ÒØ Ý Þ Öò Ø º ÒØ ÔÐ Ø Ò Ö ÓÓÖ Ò Ø Ö ÚÓÒ Ø ÓÞÒ º Ñ ÓÓÖ Ò Ø Ò Ð e r = sin ϑ cosϕ e x + sin ϑ sin ϕ e y + cosϑ e z e ϑ = cosϑ cosϕ e x + cosϑ sin ϕ e y sinϑ e z ½ µ e ϕ = sinϕ e x + cosϕ e y e x = sin ϑ cosϕ e r + cosϑ cosϕ e ϑ sin ϕ e ϕ e y = sin ϑ sin ϕ e r + cosϑ sin ϕ e ϑ + cosϕ e ϕ ½ µ e z = cosϑ e r sin ϑ e ϑ F r = sin ϑ cosϕ F x + sin ϑ sin ϕ F y + cosϑ F z F ϑ = cosϑ cosϕ F x + cosϑ sin ϕ F y sin ϑ F z ½ µ F ϕ = sin ϕ F x + cosϕ F y F x F y = sin ϑ cosϕ F r + cosϑ cosϕ F ϑ sinϕ F ϕ = sin ϑ sin ϕ F r + cosϑ sin ϕ F ϑ + cosϕ F ϕ ½ µ F z = cosϑ F r sin ϑ F ϑ ½ º Ð Ø Ö Ù Ð Þ ÞÓØÖ Ô ÖÑÓÒ Ù Ó Þ ÐÐ ØÓÖ Ò Ø Ö Ø Ð ÐÑ Ó¹ ÓÖ Ò Ø Ö º Å ÓÐ F r = Dr F ϑ = F ϕ = 0. ¾¼º Ð Ø Ö Ù Ø Þ Ð Ú ØÓÖÑ Þ Ø Ð ÐÑ ÓÓÖ Ò Ø Ö F x = y (x 2 + y 2 ) F y = x (x 2 + y 2 ) F z = 0. ½

19 Å ÓÐ F ϕ = 1 ρ F ρ = F z = 0. ¾½º Ð Ø Í Ý Ò Þ Ð Ø z Ø Ò ÐÝ Ö Ð ω Þ Ð ÓÖ Ø Ø Ñ Þ Ö º Å ÓÐ v ϕ = ωρ v ρ = v z = 0. Å ÝÞ Ñ Þ Þ Ð ÒØ Ò Ñ ÐÐ Ô Ø Ò Ð Ð ÐÐ Ò ÙÐÒ Ó Ý Ý Ñ Þ Ñ Ò Ø Ö ÔÓÒØ ÓÞ Ö Ò Ð Ú Ð Ñ ÐÝ Ò Ñ ÒÒÝ Øº Ñ Þ Ø Ò Þ Ñ ÒÒÝ Ø Ö Ñ Ò Ò (x, y, z) ÔÓÒØ Ò Þ Ú ØÓÖ Ñ ÐÐÝ Ð Ø Ø ÞÓÒ ÔÓÒØ Ö Ò Ð Þ Ñ ÐÝ Þ ÓØØ Ô ÐÐ Ò Ø Ò ÔÔ Ò Þ (x, y, z) ÔÓÒØ Ò Ø ÖØ Þ Ó º ¾¾º Ð Ø Í Ý Ò Þ ÖÖ Þ Ö Ø ÖÖ Ñ ÐÐÝ Ð Ý ÓÖ Ò ÒÝÙ Ú q Ñ Ò Ø ÐØ Ø Ý q Ð ØÖÓÑÓ ÔÓÒØØ ÐØ Ö º Å ÓÐ ÔÓÒØØ ÐØ Ö Þ F = q ( v B) ÄÓÖ ÒØÞ¹ Ö Ø Ñ ÐÝ Ò B = q 4πr 2 e r = B e r Þ ÓÖ Ð q Ñ Ò Ø ÐØ ÓÙÐÓÑ ¹Ø Ö º Þ ÖØ F = q{v r ( e r e r ) +v ϑ ( e ϑ e r ) +v ϕ ( e ϕ e r )}B. }{{}}{{}}{{} 0 e ϕ à ÞÒ ÐØÙ Ó Ý Þ e r, e ϑ, e ϕ Þ Ú ØÓÖÓ Ó Ó Ö Ö Ò Þ ÖØ Ð ÓØÒ µº Ý e ϑ F r = 0 F ϑ = qv ϕ B = qq 4πr 2 v ϕ F ϕ = qv ϑ B = qq 4πr 2 v ϑ. ½º º Þ Ö Ú ÒÝ Î Þ Ð ÙÒ ÓÐÝ Ò Ö Ø Ñ ÐÝ ÓÓÖ Ò Ø Þ Ú Ð Ñ ÐÝ Ò U Ú ÒÝ Ò Ò Ø Ú Ö Ò º Þ ÐÝ Ò Ö Ø Ö Ø ÔÓØ Ò ÐÓ Ò Ú Ý Ö Ò ¹Ñ Þ Ò µ Þ U¹Ø Ô Ö Ú ÒÝÒ Ò Ú ÞÞ º Ý ØÐ Ò Ø Ñ ÔÓÒØÒ Ð U = U(x, y, z, t) U( r, t) F = U = U r = ( U x, U y, U z ) = = ( x U, y U, z U) = x U e x y U e y z U e z, Ñ Ò Ø ÐØ ÑÓÒÓÔ ÐÙ Ó µ Ñ Ý Ð Ö Ö ÒÝÙÐ ÖÐ Ø Ñ Ò Ò Ø Ú Ö Ñ ÒÒÝ Ð Þ ÖÙÐØ º ÔÖÓ Ð Ñ Ø Þ Ð ØÖÓ Ò Ñ Ò Ø Ö Ý Ð Ù Ö ÞÐ Ø Òº ½

20 n Ø Ñ ÔÓÒØÒ Ð U = U(x 1, y 1, z 1,...x n, y n, z n, t) U( r 1,... r n, t) F α = α U = U ( ) U r α = U U,, = x α y α z α = ( x α U, α y U, α z U) = α x U e x y α U e y z α U e z, ÓÐ α = 1, 2,...nº Î Ð Ó Ó Ý U U + konst Ù Ý Ò ÞØ Þ Ö Ø Ø ÖÓÞÞ Ñ º Ö Ò ÔÞ Ò Ð t ÓÒ Ø Ò Ò Ø ÒØ Ò Ñ ÓÖ Þ α¹ Ø Ñ ÔÓÒØ Ó¹ ÓÖ Ò Ø Þ Ö ÒØ Ö Ú ÐÙÒ Ø Ø Ñ ÔÓÒØ ÓÓÖ Ò Ø ÓÒ Ø Ò Ó º Þ ÖØ Ö Ò Ú ØÓÖ ÓÑ ØÖ Ð ÒØ Ò Ú Þ Ð Ø Ò Ð ÓÖÐ ØÓÞ ØÙÒ Ý ØÐ Ò Ø Ñ ÔÓÒØ U(x, y, z) Ø ÔÙ Ö Ú ÒÝ Ö º ÞÓ Ø Ð Ð Ø Ø Ñ ÐÝ Ò U(x, y, z) ÖØ ÓÒ Ø Ò Þ ÒØ Ð Ð Ø Ò Ò Ú Þ¹ Þ º À r = (x, y, z) r + d r = (x + dx, y + dy, z + dz) Ø Þ Ð ÔÓÒØ ÓÖ du = U(x + dx, y + dy, z + dz) U(x, y, z) = U x U U dx + dy + y z dz = ( U d r). Ä Ý Ò Ð Þ Ö d r Þ ÒØ Ð Ð Ø Ö ÒØ º Ø ÔÓÒØ ÓÖ Ù Ý Ò ÞÓÒ Þ ÒØ Ð Ð Ø Ò Þ Ý du = 0 Þ ÖØ ( U d r) = 0. Ð ÔÐ Ø Ð Ð ÓÐÚ Ø Ó Ý U(x, y, z) Ñ Ö Ð Þ (x, y, z) ÔÓÒØÓÒ Ø Ð Þ ÒØ Ð Ð ØÖ º ÞÙØ Ò Ú Ð ÞÙ d r¹ø Þ ÒØ Ð Ð ØÖ Ñ Ö Ð Ò Þ Þ U¹Ú Ð Ô Ö ÙÞ ÑÓ Ò µ Ý Ó Ý U Ò Ú Ö ÒÝ ÑÙØ ÓÒº ÓÖ du = U ds, ÓÐ ds = d r º Þ ÔÐ Ø ÑÙØ Ø Ó Ý U Ú ØÓÖ Ó Þ du ¹ Ð Þ U Ú Ó Þ¹ ds Þ Þ Ö ÒØ Ö Ú ÐØ Ú Ð Ý ÒÐ Ú Ý Þ U Ý ÒÝ ØÖ ÙØ Ñ Ò Ú Ú Ð Þ ÒØ Ð Ð ØÖ Ñ Ö Ð Ö ÒÝ Òµº ÒÒ ÓÑ ØÖ ÔÒ Þ Ð Ô Ò ÒÒÝ Ò Ð Ö Ø Ù Ö Ò ÓÑÔÓÒ Ò¹ Ø Þ Ð Þ Þ Ø Ò Ø Ö Ý ÐØ ÐÓ Ð Þ Ó Òº Ä Ý Ò e q Þ Ú ØÓÖÓ Ý º U e q Ö ÒÝ ÓÑÔÓÒ Ò Ò Ò Ý du ¹Ú Ð Ý ÒÐ ÓÐ ds q dq ÓÓÖ Ò ¹ ds q Ø Ð Ò Þ Ø ÖØÓÞ Ø ÚÓÐ Ôк q ϕ Ò Ö ÓÓÖ Ò Ø Þ ÑÙØ Þ ÓÖ ds ϕ = ρ dϕµº Þ Ö ÒØ U = U ρ e ρ + 1 U ρ ϕ e ϕ + U z e z ½ µ = U r e r + 1 U r ϑ e ϑ + 1 U r sin ϑ ϕ e ϕ. ½

21 ÐÝ Òº ¾ º Ð Ø Å ÓÐ U = D 2 r2 º Ù Ñ ½ º Ð Ø Ö Ø Ö Þ Ø ÖØÓÞ Ö Ú ÒÝØ Ú Ò ¾ º Ð Ø Í Ý Ò Þ ¾¼º Ð ØÖ º Å ÓÐ U = ϕ 0 ϕ < 2π ρ 0 º ¾ º Ð Ø Í Ý Ò Þ ½ º Ð ØÖ Å ÓÐ Ë Ò U = γ ρ Ø Ö Ò U = γ r º ¾ º Ð Ø Ù Ý Ò Þ ½ º Ð ØÖ º γ γ Å ÓÐ U = x y1 2 + z2 1 x y z2 2 D( (x 1 x 2 ) 2 +(y 1 y 2 ) (z 1 z 2 ) 2) ¾ º Ð Ø Í Ý Ò Þ ¾½º Ð Ø Ñ Þ Ö º Å ÓÐ Þ v Ò Ñ Ö Ò Ñ Þ º Å Ý Ö Þ Ø À v Ö Ò Ñ Þ ÓÖ v i x j = v j x i Ý ÒÐ ÞÓÒÝÓ Ò Ø Ð¹ Ð Ù º v i = U x i Ú Ø ÞØ Ò 2 U x j x i = 2 U x i x j ÞÓÒÓ Ö Ö Ù Ð º Ð Ø Ò ÞÓÒ Ò ÖØ ÓÓÖ Ò Ø Ò v = ω ( y, x, 0) Þ ÖØ v x y = ω v y = +ω Ø Ø Þ v Ò Ñ Ö Ò Ñ Þ º x Ì ÒÙÐ Þ F(x, y, z) ÓÖ Ö Ò Ñ Þ F x y = F y x F y z = F z y ¾ º Ð Ø Í Ý Ò Þ ½ º Ð Ø Ö Ø Ö Ö º F z x = F x z. Å ÓÐ Þ Þ Ö Ø Ö Ò Ñ Ö Ò Ñ Þ Ñ ÖØ º ¾ º Ð Ø À Ø ÖÓÞÞÙ Ñ Þ U = ( d r) r 3 d ÓÒ Ø Ò Ú ØÓÖµ ½ µ Ö Ú ÒÝ Þ Ø ÖØÓÞ Ö Ø ÖÚ ÒÝØ Ô ÐØ Öµº Å ÓÐ Ñ ÓÖ U ÖØ ¹ ÓÓÖ Ò Ø Ò Þ r ÐÝÞ ØÚ ØÓÖØ Ø ÖØ ÐÑ Þ Ð Ö ÞÓÖÞ ØÓ ÓÒ Ö ÞØ Ð Ú Ò ÞÚ Ö Ò Ø Þ r¹ Þ Ö ÒØ Ö Ú Ð Ð Ô Þ Ø ( d r) F = U r 3 r3 r = r r ( d r) r 6 = 3( d r) r r 2 d r 5. ¾¼µ ¾¼

22 Ð ÞÒ ÐØÙ Ó Ý r r r ( r r)1/2 = r = 1 2( r r) 1/2 2 r = 1 r r. Þ Ö Ø Ñ ÔÓÒØ Þ r ÐÝÞ ØÚ ØÓÖ Ú ÔÓÒØ º Å ÝÞ Þ ÙØ ÔÐ Ø Ð Þ Ð ØÖÓ ÞØ Ø Ò Ø Ð Ð ÓÞÙÒ º À Ù Ý Ò ¾¼µ¹ Ò ÐÚ ÞÞ 1 d = q p 4πǫ 0 ÐÝ ØØ Ø Ø ÓÖ Þ F = q E ÔÐ ØÖ ÙØÙÒ Ñ ÐÝ Ò E = 3( p r) r r2 p 4πǫ 0 r 5 Þ ÓÖ Ò Ð ÐÝ Þ p Ô ÐÒÝÓÑ Ø ÔÓÒØ Þ Öò Ô Ð Ð ØÖÓÑÓ Ø Ö º ½º º Þ Ò Ö À Ý Ö Ø Ö ÓÐÝ Ò Ö Ú ÒÝ Ð Þ ÖÑ ÞØ Ø Ø Ñ ÐÝ Ò Ñ ÜÔÐ Ø Þ Ø Ð ÓÒÞ ÖÚ Ø ÚÒ Ò Ú ÞÞ º Þ ÐÒ Ú Þ Ñ Ý Ö Þ Ø Þ Ó Ý ÓÖ K +U = E Þ Ñ ÐÝ Ò K Ò Ø Ù Ò Ö ÑÓÞ ÐÐ Ò º Þ Þ Ø Ø Ð µ Ò Ö Ò Þ U¹Ø Ô Þ Ò Ö Þ Ò Ø ÞÓØØ Þ Ö Ô Ñ ØØ ÔÓØ Ò Ð Ò Ö Ò Ò Ú ÞÞ ÓÖ ÜÔÐ Ø Þ Ø Ðµº Å ÝÞ ½µ À Ý Ò Ñ Ñ ÒÒÝ ÒÒ Þ Ö ÔÐ ÓÓÖ Ò Ø ÓÒ Ò Ö ÞØ Ð Þ Ø Ð ÓÖ ÑÔÐ Ø Ö Ð Þ Ð Ò º Þ ÜÔÐ Ø ÞØ Ð ÒØ Ó Ý Þ Ö ÙÑ ÒØÙÑÓ Þ ØØ Þ Ö Ô Ð Ð Ò Þ º ¾µ ÅÓÞ ÐÐ Ò Ò ÑÓÞ ÒØ Ö ÐÒ µ ÓÓÖ Ò Ø ÓÐÝ Ò Ú ÒÝ Ø Ò Ú ÞÞ Ñ ÐÝ Ñ Ø ÖØ ÐÐ Ò ÖØ Ø Ñ ÓÖ ÓÓÖ Ò Ø ÑÓÞ Ý ÒÐ Ø Ò Ñ Ð Ð Ò Ú ÐØÓÞÒ º Þ Ò Ö Ø Ø Ð ÞÓÐ Ð Þ Ö Ý ØÐ Ò Ð Ö Ø Ö Ò ÑÓÞ Ø Ñ ÔÓÒØÖ µ ÑÓÞ Ý ÒÐ Ø mẍ = F x = U x mÿ = F y = U y m z = F z = U z. ¾½

23 ËÞÓÖÓÞÞÙ Þ Ý ÒÐ Ø Ø Ö Ò Ö ẋ, ẏ, ż¹ú Ð Ù Þ ÖÓÑ Ý ÒÐ Ø Ø ÐÓÐ Ð = d 1 dt Ó ÓÐ Ð = U x Ð º Ñ ÝÞ Øµ ÓÒÒ Ò mẍẋ = U dx x dt mÿẏ = U dy y dt m zż = U z dz dt. 2 m(ẋ2 + ẏ 2 + ż 2 ) = dk dt dx dt U dy y dt U z dz dt = du dt + U t, d de (K + U) = dt dt = U t. ( ) U Ñ ÓÖ Ø Ø U Ò Ñ ÜÔÐ Ø Þ Ø Ð t = 0 E Ú Ð Ò ÑÓÞ ÐÐ Ò º Å ÝÞ Ô Ö Ð Ø Ð Þ Ö ÒØ Ö Ú ÐØ Ð Ò Ö Ð Ô Ó¹ Ð Ø Ö Ð Ä Ý Ò f = f(x, y, z, t)º f dx Þ f Ñ Ú ÐØÓÞ ÒÒ Ú Ø ÞØ Ò Ó Ý x Ñ Ú ÐØÓÞ dx¹ Ð Ñ Þ Ò x Þ Þ Ø ØÐ Ò Ú ÐØÓÞ ÐÐ Ò Ñ Ö º df dt Þ f Ñ Ú ÐØÓÞ dt Ð ØØ Þ Þ Ö ÙÑ ÒØÙÑ Ú ÐØÓÞ Ú Ø ÞØ Òº dt Ø Ó Ø Ú Ø Ð Ô Ò df dt = f dx x dt + f dy y dt + f dz z dt + f t. ÞØ Þ Ý ÒÐ Ø Ø dt¹ú Ð Ñ ÞÓÖÞÓØØ Ð Ò ÞÒ Ð Ù º Þ ÐØ Ð ÒÓ Ø Ò x, y, z¹ø x α, y α, z α ¹Ú Ð ÐÝ ØØ Ø Ø ÖÑ Þ Ø Ò K = K α = ( 1 2 m αẋ 2 α m αẏα ) 2 m αżα 2. α α ¾¾

24 ÞÓÒÝ Ø Ð Ô Ù Ý Ò ÞÓ Ñ ÒØ Ð º Þ F Ö d r ÐÑÓÞ ÙÐ ÓÒ dw = F x dx + F y dy + F z dz = F d r ÑÙÒ Ø Ú Þ Ø Ñ ÔÓÒØÓÒ dw Ð Ð Ñ ÒÒÝ µº Þ Ò Ö Ø Ø Ð Ú Ø ÞØ Ò Þ ÑÙÒ Ò Ø Ù Ò Ö Ø Ò Ú Ð ÔÓØ Ò Ð Ò Ö ÖÓÚ Ö dk = du = U x U U dx dy y z dz = F xdx + F y dy + F z dz = dw. ¼º Ð Ø Á ÞÓÐ Ù Ó Ý Ñ Ò Ø Ö Ò ÑÓÞ ÔÓÒØØ ÐØ Ò Ø Ù Ò¹ Ö ÑÓÞ ÐÐ Ò º Á ÞÓÐ ËÞÓÖÓÞÞÙ Þ m a = e( v B) ÑÓÞ Ý ÒÐ Ø Ñ Ò Ø ÓÐ Ð Ø Ð Ö Ò Ðº Ó ÓÐ ÐÓÒ ÒÙÐÐ Ø ¹ ÔÙÒ Ñ ÖØ ( v B) v ÐÓÐ ÐÓÒ Ô m a v = d dt( 1 2 mv2) = dk dt ¹Øº ½º Ð Ø Ö Ù Ð ÑÓÞ Ò Ö Ø ÔÓÐ Ö¹ Ò Ö¹ Ñ ÓÓÖ Ò Ø Òº Å ÓÐ À dt Ð ØØ Ñ Ø ØØ Ø ds ÓÖ K = m 2 ( ) 2 ds. dt Í Ý Ò ÞØ ds ÐÑÓÞ ÙÐ Ø Ð Ò Þ ÓÓÖ Ò Ø Ö Ò Þ Ö Ò Ú Ø Þ ÔÐ Ø Þ ÓÒÒ Ò ds 2 = dx 2 + dy 2 + dz 2 = dρ 2 + ρ 2 dϕ 2 + dz 2 = dr 2 + r 2 dϑ 2 + r 2 sin 2 ϑ dϕ 2, K = m 2 ( ρ2 + ρ 2 ϕ 2 ) m 2 ( ρ2 + ρ 2 ϕ 2 ) + ż 2 m 2 (ṙ2 + r 2 ϑ2 + r 2 sin 2 ϑ ϕ 2 ). Å ÒØ Ð ØØÙ Ñ ÓÖ U ÜÔÐ Ø Þ Ø Ð Ö Ò Þ Ö Ò Ö Ò Ñ Ñ Ö Ñ de dt = U t, ¾ ¾½µ

25 Þ Ò Ö Ú ÐØÓÞ Þ Ö Ú ÒÝ Þ Ö ÒØ Ô Ö Ð Ö Ú ÐØ Ú Ð Ý Þ Ñ º Þ U ÜÔÐ Ø Ð Ö Ð ÒÐ Ø Ö ÙØ Ðº Ð Ö Ø ÓÞÞ Ù Ø ÖØÓÞ Ö Ú ÒÝØ Ù Ý Ò Ö Ò Þ Ö Þ Ø ÖØÓÞ Ø Ø ÐÝÞ Ø ÓÓÖ Ò Ø µ Ø ÖÓÞÞ Ñ Ñ ÐÝÒ Ú ÐØÓÞ Ø ÑÓÞ Ý ÒÐ Ø Þ ÐÝÓÞÞ Þ ÖØ Ò Ñ ØÒ ÜÔÐ Ø Ð Ö Ñ ÓØØ Ñ ÓÒµ t¹ø к Ð Ö ÓÖÖ ÞÓÒ Ò ÓÐÝ Ò Ó ØÙÑÓ Ñ ÐÝ Ò Ñ Ø ÖØÓÞÒ Ö Ò Þ Ö Þ Þ ÖØ Ð Ö ¹ Ø Ö Ò Þ Ö ÑÓÞ Ø Ð ØÐ Ò Ð Ø Ù Ñ º À Ð Ö ÓÖÖ Ø ÓÖÓÐ Ù Ö Ò Þ Ö Ö Ò Þ ÖØ ÒÝ ØÓØØ Ð Þ ÖØØ Ø Þ µ Þ Ò Ý Ö Ò Þ Ö Ò Ö Ñ Ö Þ ÔÔ Ò ÑÓÞ ÐÐ Ò Ð Þº Þ Ñ ÓÒ ÓÐ ÑÙØ Ø Ó Ý Þ Ö Ø ÒÝ ØÓØØ Ö Ò Þ Ö Ò Ö Ò Ñ Ú ÐØÓÞ Ø ÓÖÖ Ó Ò Ö Þ º Ò Ö Ø Ø Ð ÁÞÓÐ ÐØ Þ Öص Ö Ò Þ Ö Ò Ö Ñ Ñ Ö º ¾º Ð Ø Ä Ò Ö ÖÑÓÒ Ù Ó Þ ÐÐ ØÓÖ D ÖÙ ÐÑ ÐÐ Ò Ø Ù¹ Ò Ú ÐØÓÞ Ôк Ú Ý Ñ ÓÐÝ Ñ ØÓ Ø Ö µº ÀÓ Ý Ò Ú ÐØÓÞ Ö Þ Ò Ö Å ÓÐ Þ Ø Ù Ó ÐÑ Ø ÓÖ ÞÒ Ð Ù Ñ ÓÖ Ý Ö Ò Þ Ö¹ Ò Ø ÝÑ Ø Ð Ò ÝÓÒ Ð Ò Þ Ð Ý ÝÓÖ Ý Ð µ ÓÐÝ Ñ Ø Ñ Ý Ú ÝÓÖ ÓÐÝ Ñ Ø Ø Ö Ý Ð Ò Ð Ð Ú ÐØÓÞ Ø Ð ÐØ ÒØ Ø Ò º Ô Ð Ò Ò Ö ÓÒ Ø Ò Ú ÐØÓÞ ÓÐÝ Ò Ð Ó Ý Ø Ö Þ ÑÓÞ Ö Ñ ÐÝ ÝÓÖ ÓÐÝ Ñ Ø Ò ÝÓÒ Ó Ô Ö Ù ÙØ Ò Ú Ø ÞÖ Þ ÖØ Ö Þ Ñ Ò Ò Ô ÐÐ Ò Ø Ò Ø ÖÓÞÓØØ ÑÔÐ ØÙ Ú Ð Ö Ö Ú Ò Ú Ð Ô Ö Ù Ð Þ Ð Ö Ò Ð Þ º ÖÑÓÒ Ù Ó Þ ÐÐ ØÓÖ Ò Ö E = m 2 ẋ2 + D 2 x2, Ñ ÐÝ Ò Ñ Ó Ø ÔÓØ Ò Ð Ò Ö Þ ÖØ Þ Ò Ö Ú ÐØÓÞ Ø de dt = U t = 1 dd 2 dt x2 ÔÐ Ø Ø ÖÓÞÞ Ñ º Þ Ø Ù Ñ ØØ Ö Þ Ô Ö Ù Ð ØØ D dd dt ÓÒ Ø Ò Ò Ø ÒØ Ø º Þ ÖØ Þ Ò Ö Ý Ô Ö Ù Ö ØÐ ÓÐØ Ú ÐØÓÞ Ø de dt = 1 dd 2 dt x2 = 1 dd 4 dt A2 ÔÐ Ø Ñ º Ð ÞÒ ÐØÙ Ó Ý x 2 Ý Ô Ö Ù Ö ØÐ ÓÐØ ÖØ x 2 = A 2 cos 2 ωt = 1 2 A2, de dt ØÐ Ö Ñ ÝØÙ de dt РРغµ Å Ú Ð E = 1 2 DA2 Þ ÖØ Þ ÔÐ Ø Ė = E 2DḊ ¾

26 Ð Ò Ö Ø º Ö Ú Ð Ð Ñ Ý Þ Ø Ò Ö Ð Ó Ý ÒÒ º Ý ÒÐ ØÒ Ñ ÓÐ E = C D C = ÓÒ Ø Ò µ. ÞÞ Ð Ú Ð ÞØ ÔØÙÒ Ö Ò Ö E ØÐ µ Ö ÓÒ Ø Ò Ò ÝÞ Ø Ý Ú Ð Ö ÒÝÓ Ò Ú ÐØÓÞ t = 0¹ Ò E = E 0 D = D 0 ÓÖ C = E 0 D0 µº Å Ú Ð D = ω m ÞØ Þ Ö Ñ ÒÝØ Ò Þ E ω = ÒÚ Ð Ò ÞÓ Ø Ð ÖÒ ÞØ ÑÓÒ Ó Ý Þ Ò Ö Ö Ö Ú Ò ÒÝ Ó Ø Ù ÒÚ Ö Ò D Ø Ù Ú ÐØÓÞ ÓÖ Þ Þ Ö ÒÝ Ò ÐÐ Ò º Ã Ö À Ñ Ö Ð Ø Ú ÐØÓÞ Ú Ø ÞØ Ò D Ò Ý Þ Ö Ö Ò º ÀÓ Ý Ò Ú Ð¹ ØÓÞ Ñ Þ ÑÔÐ Ø Î Ð Þ D 4D E 2E A (1/ 2)A. ½º º Æ ÛØÓÒ¹ Ý ÒÐ Ø Ö ÚÓÒ Ð ÓÓÖ Ò Ø Ò Ò Þ Ø Ò Æ ÛØÓÒ¹ Ý ÒÐ Ø ÐÓÐ Ð Ò ÝÓÖ ÙÐ Ò µ ØÖ Ò Þ ÓÖ¹ Ñ Ú Ð Ó Ð Ð ÓÞÙÒ ÔÓÐ Ö¹ Ò Ö¹ Ðк Ñ ÓÓÖ Ò Ø Ö º È Ð ÒØ Ý ØÐ Ò Ø Ñ ÔÓÒØ Ð ÑÓÞ Ø Ú Þ Ð Ù mẍ = F x mÿ = F y. Ð Ø Ù Þ Ø Þ Ý ÒÐ Ø Ø Ý Ó Ý Ó ÓÐ ÐÓÒ F ρ, F ϕ ÐÐ ÓÒº Þ Ø Ð Ø Ø Ð Ô Ð Ðк Ð Þ Ö ½¾µ Ð Ô Ò Þ Ý ÒÐ Ø Ø Þ ÐÐ Ò Ñ ÙØ Ò ÓÖ Ò cosϕ¹ú Ð sinϕ¹ú Ð Ñ Ô sinϕ¹ú Ð cosϕ¹ú Ð ÞÓÖÓÞØÙ Ø m(ẍ cosϕ + ÿ sin ϕ) = F ρ m( ẍsin ϕ + ÿ cosϕ) = F ϕ. Å Ó Ð Ô ÒØ Þ ẍ¹ø Þ ÿ¹ø Þ x = ρ cosϕ y = ρ sin ϕ Ø Þ Ö Ö Ú Ð Ú Ð ÐÐ ÞÒ ρ, ϕ¹ò Ö ÞØ Ð ẍ = ρ cosϕ 2 ρ ϕsin ϕ ρ ϕsin ϕ ρ ϕ 2 cosϕ ÿ = ρ sinϕ + 2 ρ ϕ cosϕ + ρ ϕcosϕ ρ ϕ 2 sinϕ. ¾

27 Þ Ð Ô Ò Ô Ù Ö ØØ ÑÓÞ Ý ÒÐ Ø Ø m ρ = F ρ + mρ ϕ 2 mρ ϕ = F ϕ 2m ρ ϕ. Þ Ý ÒÐ Ø Ø Ý Ö Ò ÞØ Ó Ý ÓÒÐ Ð Ý Ò ÖØ ¹ ÓÓÖ Ò Ø Ò ÖÚ ÒÝ Ý ÒÐ Ø Þ ÒÒÝ Ò Ó Ý ÐÓÐ ÐÓÒ Ñ Ó Ö Ú ÐØ Ø Ø ÖØ ÐÑ Þ Ø ÐÐ ÓÒ Ó ÓÐ ÐÓÒ Ð Ò Ø ÒØ Ñ Ö Ò Ñ Þ F Ö Ö Ø ÓÑÔÓÒ Ò º Þ ÙØ Ñ ÐÐ ØØ Ó ÓÐ ÐÓÒ Ñ Ð Ò Þ F c = (F c ρ, F c ϕ ) = (mρ ϕ2, 2m ρ ϕ) Ø Ú Ö Ñ ÐÝ Ø ÓÓÖ Ò Ø Ö Ò Ó ÙÒ Ò Ú ÞÒ c¹ Ò Ü Þ Ð Ð Ò ÞØ Ø Ò Ñ Ú Ð Ö Ø Ðº Þ F c ρ ÒØÖ Ù Ð Þ F c ϕ ÓÖ ÓÐ ¹ Ö Ú Ð ÞÓÒÓ Ñ ÒØ ÞØ ÝÓÖ ÙÐ ÓÓÖ Ò Ø Ö Ò Þ Ö Ø Ö Ý Ð Ò Ð Ð ØÒ Ó Ù º Рصº ÓÓÖ Ò Ø Ö ÖØ ¹ ÓÑÔÓÒ Ò Ò Ð ÖØ ÑÓÞ Ý ÒÐ Ø ÐÓÐ Ð Ð Þ ÖÑ Þ Þ ÖØ Ö ÒÝÓ ÒÒ Ø ØÒ Ø Ñ Ú Ð Ñ Ö Øº Þ ØÙÐ ÓÒ Ø Ú Ö Ø Ò Ñ ÐÐ ÑÞ Ú Ð Ö Ö º ÃÓÓÖ Ò Ø Ö ÓÖ Ð Ô Ð Ñ ÓÖ Æ ÛØÓÒ¹ Ý ÒÐ Ø Ø ÖØ Ø Ð ÐØ Ö Ó¹ ÓÖ Ò Ø Ö Ò Þ Ö ØÖ Ò Þ ÓÖÑ Ð Ù Øº ÓÓÖ Ò Ø Ö ÙÒ Þ ÑÓÞ F = 0µ Ø Ö Ý Ð Ò Ð Ð Ø Þ Ú Ð Ó Òº ÓÖ ÑÓÞ Ý ÒÐ Ø ÔÓÐ Ö ÓÓÖ Ò Ø ¹ Ò Ú Ø Þ m ρ = mρ ϕ 2 mρ ϕ = 2m ρ ϕ. ¾¾µ À ÓÓÖ Ò Ø Ö Ò Ñ Ð ÒÒ Ò Ñ Ó ÓÐ ÐÓÒ ÒÙÐÐ ÐÐÒ Ñ ÒØ ÖØ ¹ ÓÓÖ Ò Ø Ò Ñ ÓÐ Ó Þ ØØ Ñ Ø Ð ÐÒ Ò Ô Ð ÙÐ ρ = konst ϕ = ωt Ý ÒÐ Ø ÖÑÓÞ Ø ÒÒ ÐÐ Ò Ö Ó Ý Ú Ð Þ ÑÓÞ Ý ÒÐ Ø Ý ¹ Ò ÚÓÒ Ð º ÖØ ¹ ÓÓÖ Ò Ø Ø Þ Ø ÒØ Ø Ó Ý ÓÓÖ Ò Ø Ö Ò Þ Ö Þ ØØ Þ ÑÙÐ Ø Ø ØÐ Ò Ø ÖÚ ÒÝ Þ ÖØ ¹ ÓÓÖ Ò Ø Ò Þ Ó Ý Ó¹ ÓÖ Ò Ø ÚÓÒ Ð Ñ Ý ÞÒ Ø Ø ØÐ Ò ÑÓÞ Ô ÐÝ Ú Ðº º Ð Ø Ö Ù Ð ÑÓÞ Ý ÒÐ Ø Ø Ñ ÓÓÖ Ò Ø Òº Å ÓÐ m( r r ϑ 2 r sin 2 ϑ ϕ 2 ) = F r m(r ϑ r sin ϑ cosϑ ϕ 2 + 2ṙ ϑ) = F ϑ m(r sinϑ ϕ + 2ṙ ϕ sinϑ + 2r ϑ ϕcosϑ) = F ϕ, ¾ µ Å Ð Ð ØÖ Ò Þ Ð Ñ Ô Ø Ù ÓÓÖ Ò Ø Ö ÔÐ Ø Ø Ñ ÓÓÖ Ò Ø Òº Å ÝÞ Þ Ø Ð Ø Ñ Ó Ð Ô Ò Þ Ð Ø Ý ÒÐ Ø ÐÓÐ Ð Ò Þ Ø Ð Ò Ñ Ñ ÐÝ Þ Ñ Ø ÝÑ Ø Ý Ó Ý Ú Ð ÖÓÑ Ø Ñ Ö º Ý Ò Ø Ø Ó Ý Ð Ø Þ Ð Ø Ñ ÓÐ Ò ÓÐÝ Ò Ý Þ Öò Ñ Ñ ÐÝÒ Ñ Ò Ò Ð Ô Ò Ð ÒÝ Ø Ó Ð ÒÒ Ñ º ÁÐÝ Ò Ø ÓÒÝ ØØ Òع Ø Ð Ö Ä Ö Ò ¹Ñ Þ Öº ¾

28 ½º º Ä Ö Ò ¹ Ú ÒÝ Ä Ö Ò ¹ Ý ÒÐ Ø Þ Ð Þ Þ Ø Ò Ñ Ý Þ ØØ Ò Ö Ð Ó Ý ÑÓÞ Ý ÒÐ Ø Ø Ö Ó¹ ÓÖ Ò Ø Ö ÓÒÝÓÐÙÐØ Ð Øº Ä Ö Ò ¹Ñ Þ Ö Ý µ Ð ÒÝ Þ Ó Ý ÞØ Þ ØØ Ö Ø Ð ÒÝ Ò Ý Þ Öò Ø º Ñ Þ Ö Ð Ô Þ Ó Ý Ò ÝÓÒ Ó Ø Ò Ò Ñ Ö Ò Þ Ö Þ ØÙÐ ¹ ÓÒ Þ Ó Ð Ð Ø Ý ØÐ Ò Ú ÒÝ Ò Þ Ä Ö Ò ¹ Ú ÒÝ Ñ ÐÝ ÓÓÖ Ò Ø Þ Ú ÒÝ º Ä Ö Ò ¹ Ú ÒÝ Ð ÙÒ Ú ÖÞ Ð Ø Ø Þ Ð ÓÓÖ Ò Ø Ò ÖÚ ÒÝ µ Ð Ö Ð Þ ÖÑ ÞØ Ø Ø ÑÓÞ Ý ÒÐ Ø Þ ÖØ ÓÓÖ Ò Ø ØÖ Ò Þ ÓÖÑ Ø Ò Ñ ÑÓÞ Ý ÒÐ Ø Ò Ò Ñ Ä Ö Ò ¹ Ú ÒÝ Ò Ð Þ Öò ÐÚ ÞÒ Ñ Ò Ò Ý Ý Þ Öò Ø º ÓÓÖ Ò Ø Ø ÖÑ Þ Ø Ø Þ ÐØ Ð ÒÓ Ø Ö Ý Ð Ò Ò Ñ Þ Ô Ð Þ Ð¹ ÒÙÒ Þ ÖØ ÐØ Ð ÒÓ ÓÓÖ Ò Ø Ð Ó ÙÒ ÓÐ ÓÞÒ Ñ Ø q 1, q 2,...q n ¹ Ð Ð Ð Ò º q i ¹ Þ ØØ Ð ØÒ Ø ÚÓÐ Ó Þ Ø º Ø Ø Þ Ñ ÒÞ Ù Ð Ò¹ Þ Øº Þ Ð ÒÝ Ó Ý q i ¹ Ñ Ý ÖØ ÐÑò Ò Ö Þ Ø Ö Ò Þ Ö ÓÒ ÙÖ Øº Ì Ý Ð ÑÓ Ø Ó Ý Ò Ñ Ö Ò Þ Ö Ò Þ Ö Ò Ð Ø Ä Ö Ò ¹ Ú ÒÝ Ñ ÐÝ Ø L = L(q 1,...q n, q 1,... q n, t) = L(q, q, t) ¹Ú Ð Ð Ð Ò º Ä Ö Ò ¹ Ú ÒÝ i¹ ÓÓÖ Ò Ø Þ Ö ÒØ Ä Ö Ò ¹ Ö Ú ÐØ Ò Þ L i d L L dt q i q i Þ Ø Ò Ú ÞÞ º Ò Þ Ò ÓÓÖ Ò Ø Þ Ö ÒØ Ô Ö¹ Ð Ö Ú Ð Ð Ý ØØ Þ Ö Ô Ð d Ø Ð Þ Ö ÒØ Ö Ú ÐØ Ñ ÐÝÒ ¹ dt Ð ÒØ Ø º Þ Ø Ò Ø Ö Ý ÐØÙ Þ L i Ð Ø L Ú ÐØÓÞ ÒÒ q i Ú Ø ÞØ Ò Ó Ý ÒÒ ÓÓÖ Ò Ø Þ Ú ÐØÓÞ º Þ L¹ Ð ÑÓÞ Ý ÒÐ Ø Þ L i d L L = 0 i = 1,...n. ¾ µ dt q i q i Þ ÐÝ Ð Ô Ò Þ Ñ Ø Ø º Þ Ø Þ Ý ÒÐ Ø Ø Ò Ú ÞÞ Ä Ö Ò ¹ Ý ÒÐ Ø ¹ Ò º ÀÓ Ý Ò Ö Ò Ð Ø Ò ÓØØ Ò Ñ Ö Ò Þ Ö Þ Ä Ö Ò ¹ Ú ÒÝØ À ÑÓÞ Ý ÒÐ Ø Ø Ö Øµ Ñ Ö Ñ Ö Þ Ý ØÐ Ò Þ ÑÔÓÒØ Þ Ó Ý Ä Ö Ò ¹ Ý ÒÐ Ø Ý ÞÞ Ò Ñ ÑÓÞ Ý ÒÐ Ø Ðº À ÑÓÞ Ý ÒÐ Ø Ñ µ Ò Ñ Ñ Ö Ø ÓÐÝ Ò L¹Ø ÐÐ Ú Ð ÞØ Ò Ñ ÐÝ Þ Ø ÖØÓÞ Ä Ö Ò ¹ Ý ÒÐ Ø Ø Ô Þ¹ Ø Ð ØØ Ð Ñ Ý Þ ÑÓÞ Ó Ø ÖÒ Ð º Þ L Ñ Ú Ð ÞØ Ø Ñ ÒÒÝ Ø Ú Ø Þ Þ ÑÔÓÒØÓ ½µÀ Ú Ò Ö Ú ÒÝ ÓÖ L = K Uº ¾

29 ¾µ Þ L Ò Ñ Ø ÖØ ÐÑ ÞÞ Ú Ö Ø Ù Ò Ð Ñ ØÚ ÒÝ Øº µ ØÐ Ò Ö Ò Þ Ö Ä Ö Ò ¹ Ú ÒÝ Þ Ò º Ú Ø Þ Þ Ø Ò Ó Ù ÞÓÒÝ Ø Ò Ó Ý Ä Ö Ò ¹ Ý ÒÐ Ø Ø Ó¹ ÓÖ Ò Ø Ø ÖÑ Þ Ø Ø Ð ØÐ Ò Ð Ñ Ò ¾ µ Ð Ô Ò ÐÐ Þ ÖÑ ÞØ ØÒ º Ó Ù ÞØ ÑÓ Ø Ð Ò ÞÞ Ò Ô Ð Ø Ñ ÐÝ Ò Ð Ò Ð Ò Ñ Ö Ò Þ Ö L¹ Ø ÐÐ Ñ Ø Ð ÐÒ Ð ÐÐ Ð Ð Þ ÖÑ ÞØ ØÒ Ä Ö Ò ¹ Ý ÒÐ Ø Øº Þ ÖØ º Ð Ø Ý ØÐ Ò Ø Ñ ÔÓÒØ Þ ÑÓÞ ÖØ ¹ ÓÓÖ Ò Ø Òº Å ÓÐ K = m 2 (ẋ2 + ẏ 2 + ż 2 ), U = 0, L = K = m 2 (ẋ2 + ẏ 2 + ż 2 ). Þ x¹ú ÐØÓÞ ÓÞ Ø ÖØÓÞ Ä Ö Ò ¹ Ý ÒÐ Ø Ú Ø Þ L x = d L dt ẋ L x = 0, Ñ ÐÝ Ò L ẋ = mẋ d L dt ẋ = mẍ, Ö ØØ Ä Ö Ò ¹ Ý ÒÐ Ø Ø Ø mẍ = 0, L x = 0. Ñ Ý Þ Þ ÑÓÞ Æ ÛØÓÒ¹ Ý ÒÐ Ø Ú Ðº ÆÝ ÐÚ Ò Ù Ý Ò Þ ÐÝÞ Ø Þ L y = 0 L z = 0 Ý ÒÐ Ø Ð Ø Ø Þ L¹Ø ÐÝ Ò Ú Ð ÞØÓØØÙ º º Ð Ø Í Ý Ò Þ Ò Ö ÓÓÖ Ò Ø Òº Ñ ÓÖ ÓÓÖ Ò Ø Ö Ò Þ ÖØ Ú ÐØÓÞØ ØÙÒ Þ L Ù Ý Ò Þ Ñ Ö ÐÐ ÞÒ Þ ÓÓÖ Ò Ø ÓÒ Ö ÞØ Ðº Þ Ø ÖØ Ò Ø ÐÝ ØØ Ø Ð Ý Þ Öò Ú Þ K ¾½µ¹ Ð Ñ Ö Ñ ÖØ Ð Ø Þ L ρ = 0 Ý ÒÐ Ø Þ ÖÑ ÞØ Ø L ρ = m ρ, L ρ = d dt L = m 2 ( ρ2 + ρ 2 ϕ 2 + ż 2 ). d L dt ρ = m ρ, L ρ = mρ ϕ2 L ρ 2 L ρ = m ρ mρ ϕ2 = 0. Þ L ϕ = 0 L z = 0 Ý ÒÐ Ø Ð Ú Þ Ø ÓÒÐ L ϕ = d L dt ϕ L ϕ = mρ2 ϕ + 2m ρ ϕ = 0 ¾

30 L z = d L dt ż L = m z = 0. z Þ Ð Ø Ý ÒÐ Ø ÞÓÒÓ ¾¾µ¹Ú Ð Ä Ö Ò ¹Ñ Þ ÖÖ Ð Ø ÖØ Ò Þ ÖÑ Þ¹ Ø Ø Ý Þ Öò Ñ ÖØ Ö Ò Ð Ó Ø ÒÝ Ð Ò Ò Þ Ý ÒÐ Ø Þ¹ Þ ÓÑ Ò Ð Ö º º Ð Ø ÀÓÑÓ Ò Ð ØÖÓÑÓ Ø Ö Ò ÑÓÞ ÔÓÒØØ ÐØ º Å ÓÐ U = q( r E). º Ð Ø Ý ØÐ Ò Ø Ñ ÔÓÒØ ÑÓÞ Ö Ø Ö Ò Ñ ÓÓÖ Ò Ø Òº Å ÓÐ L = m(ṙ2 + r 2 2 ϑ2 + r 2 sin 2 ϑ ϕ 2) U(r, ϑ, ϕ). Ä Ö Ò ¹ Ý ÒÐ Ø ¾ µ¹ñ Ð ÞÓÒÓ º Ð Ý ÓÖ Ø Þ Ñ ÓÖ Þ Ö ÒØÖ Ð Þ Ö Ú ÒÝ r¹ø Ð µº ÓÖ L = m(ṙ2 + r 2 2 ϑ2 + r 2 sin 2 ϑ ϕ 2) U(r), ¾ µ ÑÓÞ Ý ÒÐ Ø Ú Ø Þ m( r r ϑ 2 r sin 2 ϑ ϕ 2 ) = U (r) r ϑ r sin ϑ cosϑ ϕ 2 + 2ṙ ϑ = 0 r sin ϑ ϕ + 2ṙ ϕsin ϑ + 2r ϑ ϕcosϑ = 0. ¾ µ º Ð Ø Ã Ø Ø Ñ ÔÓÒØ Þ ØØ ÒØÖ Ð Ö Øº Å ÓÐ L = m 1 2 (ẋ2 1+ẏ 2 1 +ż 2 1)+ m 2 2 (ẋ2 2+ẏ 2 2 +ż 2 2) U ( (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2 + (z 1 z 2 ) 2). Ð Þ Öò Ú Þ ØÒ ÓÓÖ Ò Ø ÒØ Þ r = (x, y, z) Ö Ð Ø Ú ÓÓÖ Ò Ø Ø Ø Ñ Þ ÔÔÓÒØ R = (X, Y, Z) ÓÓÖ Ò Ø Ø x = x 1 x 2 y = y 1 y 2 z = z 1 z 2 X = m 1x 1 + m 2 x 2 m 1 + m 2 Y = m 1y 1 + m 2 y 2 m 1 + m 2 Z = m 1z 1 + m 2 z 2 m 1 + m 2. ¾

31 Þ ÒÚ ÖÞ ØÖ Ò Þ ÓÖÑ x 1 = X + m 2 m 1 + m 2 x, y 1 = Y + m 2 m 1 + m 2 y, z 1 = Z + m 2 m 1 + m 2 z x 2 = X m 1 m 1 x, y 2 = Y y, z 2 m 1 + m 2 m 1 + m 2 = Z m 1 m 1 + m 2 z L = M 2 (Ẋ2 + Ẏ 2 + Ż2 ) + µ 2 (ẋ2 + ẏ 2 + ż 2 ) U( x 2 + y 2 + z 2 ), ÓÐ M = m 1 + m 2 µ = m 1 m 2. m 1 + m 2 ØÖ Ò Þ ÓÖÑ Ö Ñ ÒÝ Þ Ó Ý Ä Ö Ò Ú ÒÝ Ø ØÐ Ò Ö ÞÖ Þ Ø Þ Ô Ö Ð µ L = L TK (Ẋ, Ẏ, Ż) + L rel(x, y, z, ẋ, ẏ, ż). Î Ð Ó Ó Ý L rel ¹ Ò Ð Þ Öò Ñ ÓÓÖ Ò Ø Ö ØØ ÖÒ L = M 2 (Ẋ2 + Ẏ 2 + Ż2) + µ 2 (ṙ2 + r 2 ϑ2 + r 2 sin 2 ϑ ϕ 2) U(r) = = L TK (Ẋ, Ẏ, Ż) + L rel(r, ϑ, ϕ, ṙ, ϑ, ϕ). Þ L TK Ø Ñ Þ ÔÔÓÒØ ÑÓÞ Ø Þ L rel Ö Ð Ø Ú ÓÓÖ Ò Ø Ú ÐØÓÞ Ø Ö ¹ Ð Ø Ú ÑÓÞ Ø µ Ø ÖÓÞÞ Ñ º Ø Ñ Þ ÔÔÓÒØÖ ÚÓÒ Ø ÓÞ Ø Þ ÑÓÞ Ø Ö Ð Ø Ñ Þ ÔÔÓÒØ Ý ÒÐ Ø Ý ÒÚÓÒ Ð ÑÓÞ Ø Ú Þº Ö Ð Ø Ú ÓÓÖ Ò Ø Ä Ö Ò ¹ Ú ÒÝ Þ m µ ÐÝ ØØ Ø Ø Ð ÐØ ÒØÚ Ñ Ý Þ Þ Ð Þ Ð Ø Ä Ö Ò ¹ Ú ÒÝ Ú Ð ¾ µ¹ø Ð Ö Ð Ø Ú ÓÓÖ Ò Ø ÔÓÒØÓ Ò Ù Ý Ò Ý Ú Ð¹ ØÓÞ Ñ ÒØ Þ ÓÖ ÒØÖ Ð Ö Ø Ö Ò ÑÓÞ Ý ØÐ Ò µ Ø Ñ ò Ø Ø ÓÓÖ Ò Ø º º Ð Ø ÈÓÒØØ ÐØ ÑÓÞÓ ÓÑÓ Ò Ñ Ò Ø Ö Ò ½ º Рصº Ã Ö Ñ ÔÖ Ð Ø Ð Ð Ø Ä Ö Ò ¹ Ú ÒÝ Øº Å ÓÐ µ ÑÓÞ Ý ÒÐ Ø Ö Ú Þ Ø Ä Ö Ò ¹ Ú ÒÝ Ð Ø Ú Ø Þ Ú ØÓÖ Ð Ð Ò Ô L = K q (yẋ xẏ)b, 2 L = K + q 2( r r ) B. Ñ ÐÐ ØØ ÞÓÒ Ò Þ L = K + qxẏb Ñ Ð Ð Ú Ð ÞØ ÓØØ ÑÓÞ Ý Ò¹ Ð Ø Þ Ø Ø Ø Ð Ò Þ Ä Ö Ò ¹ Ú ÒÝ Ø Ð Ð Ø º ¼º Ð Ø ÅÙØ Ù Ñ Ó Ý L(q, q, t) L (q, q, t) = L(q, q, t) + df(q, t) dt = L(q, q, t) + f(q, t) q q + f(q, t) t Ù Ý Ò ÖÖ ÑÓÞ Ý ÒÐ ØÖ Ú Þ Ø L L Ú Ú Ð Ò Ä Ö Ò ¹ Ú ÒÝ º Å Ú Ð Ä Ö Ò ¹ Ú ÒÝÒ Ò Ò Ò ÐÐ Þ Ð ÒØ Þ Ý ÖØ ÐÑò ÒÝ Ò Ñ ¹ Ð ÒØ ÔÖÓ Ð Ñ Ø Þ Ú Ú Ð Ò Ä Ö Ò ¹ Ú ÒÝ Þ Ð ÓÐ ÓÞ ØÙÒ ÖÑ ÐÝ Ðº ¼

32 ½º½¼º Ä Ö Ò ¹ Ð Ö ÒÚ Ö Ò Ä Ö Ò ¹Ñ Þ Ö Ø ÓÒÝ ÞÓÒ Ñ Ð Ó Ý ¾ µ ÔÐ Ø Ø Ø Þ Ð Ó¹ ÓÖ Ò Ø Ú Ð ÞØ Ò Ð ÖÚ ÒÝ º ÞØ ÞÓÒ Ò ÞÓÒÝ Ø Ò Ðк Ì Ý Ð Ó Ý Ú Ð Ñ ÐÝ Ò q 1, q 2,..., q n q ÓÓÖ Ò Ø Ø ÞÒ ÐÙÒ Ñ ÐÝ ¹ Ò Ä Ö Ò ¹ Ú ÒÝ L = L(q, q, t) ÑÓÞ Ý ÒÐ Ø Ú Ø Þ L qi d L L = 0 (i = 1,..., n). ¾ µ dt q i q i ÞÙØ Ò ØØ Ö Ò Þ x 1, x 2,..., x n x ÐØ Ð ÒÓ ÓÓÖ Ò Ø Ö q i = f i (x 1, x 2,..., x n, t) f i (x, t) (i = 1,..., n) ÔÐ Ø Ø Ú Ðº ÐØ Ú Ò Ñ Ø ÞÓÒÝ Ø Ò Þ Ö ØÒ Ò Þ Ó Ý Þ Ú ÐØÓÞ Ò ÑÓÞ ¹ Ý ÒÐ Ø Ù Ý Ò Ä Ö Ò ¹ Ý ÒÐ Ø L xi d L L = 0 (i = 1,..., n), ¾ µ dt ẋ i x i Ñ ÐÝ Ò L = L(x, ẋ, t)º Å ÝÞ Þ L(x, ẋ, t) Þ L(q, q, t) Ø Ú ÐØÓÞ Ò Ø ÖÑ Þ Ø Ò Ð Ò¹ Þ Ð Ú ÒÝ Ñ Ù Ý Ò ÞØ Þ L Ð Ø ÞÒ Ð Ù Ñ Ò ØØ Ò Ðº ÞÞ Ð ÙØ ÐÙÒ ÖÖ Ó Ý Ù Ý Ò ÒÒ Ö Ò Þ ÖÒ Ä Ö Ò ¹ Ú ÒÝ Ö Ð Ú Ò Þ Ð Ò¹ Þ ÓÓÖ Ò Ø Òº Ú ÐØÓÞ Ñ ÐÝ Þ Ö ÒØ L¹Ø Ö Ú Ð Ù ÑÙØ ØÒ Ó Ó Ý Ø Ð Ø Þ Ð Ñ ÐÝ Ú ÒÝØ ÐÐ L¹Ò ÖØ Ò ºµ Þ ÐÐ Ø ÙÒ Ø d L L n ( d L = c ij L ) ¾ µ dt ẋ i x i dt q j q j j=1 Ý ÒÐ ÞÓÒÝ Ø Ú Ð ÞÓÐ Ù º À Ù º Þ Þ ÓÖ ¾ µ Ø Ð Ð Ñ ÙØ Ò ÚÓÒ ¾ µ Ø Ð Ð Ø Ñ ÓÖ ØÚ detc ij 0 Ñ Ø ÐØ Þ Ò µº ¾ µ ÞÓÒÝ Ø Ø n = 1¹Ö Ú ÞÞ Ñ ÖØ Ð ÒÝ Ñ Ö Ð Ú Ð Ó º Ä Ý Ò Ø Ø q = f(x, t), q = f xẋ + f t, ÓÒÒ Ò q x = f x, q ẋ = 0, q x = 2 f x 2 ẋ + 2 f x t = d dt ( ) f, x q ẋ = f x. Ð Ø Þ Ó Ý Þ L x, ẋ Þ Ö ÒØ Ö Ú ÐØ Ö Ð q, q Þ Ö ÒØ Ö Ú ÐØ Ö Ø Ö Ò Ø ÞÚ Ø ØØ Ú ÒÝ Ö Ú Ð Þ ÐÝ Ø Ú Ð L x = L q q x + L q q x = L q f x + L q d ( ) f dt x ½

33 d L dt ẋ = d ( L dt q q ẋ + L q q ) = d ( L ẋ dt q f ) ( d = x dt ) L f q x + L q d dt ( ) f. x À Ø Þ Ð Ò Ø Ú Þ Þ ÙØÓÐ Ø Ó Ø ÝÑ Ø ÞØ Ø Ð Ð Ù Ó Ý d L dt ẋ L ( d x = c L dt q L ) ( ) f, c =, q x Ñ ¾ µ Ô Ð Ø n = 1¹Ö º ÞÞ Ð Ä Ö Ò ¹ Ý ÒÐ Ø ÒÚ Ö Ò Ø Ð ØØÙ º ÞÓÒÝ Ø ÞÓÒ Ò ÒÝ ÖÞ Ø Ø Ý Þ Ñ Ö Ò Þ Þ ÖÞ Ò Ó Ý Ä Ö Ò ¹ Ý ÒÐ Ø ÒÚ Ö Ò Ò ¹ ÞÓÒÝ Ö Ú Ò Ú Ð Ñ Ñ ÐÝ Ó Ú Ý ÐÐ Ð ÒÒ ÓÐÝ Ò Ò Þ ÔÓÒØÒ Ñ ÐÝ Ð Þ Þ ÒÚ Ö Ò Ö Ò Þ Ö Ñ Ò Ò Ñ Ø Ñ Ø Ð Ú Þ Ø Ò Ð Ð Ð Ø Þ º ÁÐÝ Ò Ò Þ ÔÓÒØ Ø ÐÚ Ñ ÐÝ Ø Ú Ø Þ Ò ÒÝ Þ Ø Ò Ñ ÖØ Ø Ò º ½º½½º Ø Æ ÛØÓÒ¹ Ý ÒÐ Ø ÐØ Ð ÒÓ Ñ ÓÐ Ò Þ ÓÒ Ø Ò Ó Ø Ð Ø Þ Ö Þ Ø ÓÓÖ Ò Ø Þ Ñ Ò Ö ÞØ Ð Ö Þ Ø º Ð Ö ØÙÒ ÞÓÒ Ò Ñ ÔÔ Ò Þ ÐÝ ØØ Ñ Ø Ù ÓÓÖ Ò Ø ÖØ Ø Ý Ø Ø Þ Ð ÔÓÒØ Òº Þ Ý ÓÖÐ Ø Ð ØÓ Ñ ÓÐ Ò Ð Ö Ø Ò Ð ÓÖ ÙÐ Þ ÐÑ Ð Ø Ñ ÓÒØÓÐ Ó Þ ÑÔÓÒØ Ð Ò ÝÓÒ ÓÒØÓ Ð Ö Ý Ó¹ ÐÑ Þ Ø Ñ Î Ð ÞÙÒ Ø ÔÓÒØÓØ t i ¹Ø t f ¹Ø t i < t f µº t i ¹ Ò ÓÓÖ Ò Ø Ð Ý Ò q i1, q i2, q in q i Þ ÐÐ ÔÓØ ÓÓÖ Ò Ø µ t f ¹ Ò Ô q f1, q f2, q fn q f Ú ÐÐ ÔÓØ ÓÓÖ Ò Ø µº À Ø ÖÓÞÞÙ Ñ ÑÓÞ Ý ÒÐ Ø Ò ÞØ Ô ÖØ ÙÐ Ö Ñ ÓÐ Ø Ñ ÐÝ Þ Ð ÐØ Ø Ð Ð Þ Öº ½º Ð Ø t i = 0¹ Ò Ð Ò Ð Ó ÓØØ t f = T ¹ Ò Ö Ð Øº À Ø ÖÓÞÞÙ Ñ ØÖ Ø Ö Øº Å ÓÐ Þ m z = mg Æ ÛØÓÒ¹ Ý ÒÐ Ø ÐØ Ð ÒÓ Ñ ÓÐ z(t) = 1 2 gt2 + v 0 t + z 0. Ð Ø ÐØ Ø Ð Þ Ö ÒØ z i = z f = 0 Þ ÖØ z(0) = z i = 0 z(t) = z f = 0, Ú Ý z 0 = gt 2 + v 0 T + z 0 = 0. Þ Ø Ð Ö Ý ÒÐ Ø Ñ Ø ÖÓÞÞ Þ ÐØ Ð ÒÓ Ñ ÓÐ Ò Þ Ö ÔÐ z 0, v 0 Þ ÓÒ Ø Ò Ó Ø z 0 = 0 v 0 = 1 2 gt. Þ i Þ f Ò Ü Þ Ò Ø Ð Þ Ø µ Ò Ð Ú µ Ò ÓÐ Þ Ú Ö ÙØ Ðº ¾

34 Ð Ø ÐØ Ø Ð Ø Ð Ø Ô ÖØ ÙÐ Ö Ñ ÓÐ Ø Ø Ú Ø Þ z(t) = 1 g(t t)t. 2 ¼µ ¾º Ð Ø À Ø ÖÓÞÞÙ Ñ Ö Ø ØÖ Ø Ö Ø Ø Ø T Ð ØØ a Ø ÚÓÐ Ö ÙØ Ðº Å ÓÐ Þ Ø ÔÓÒØÓØ Ò ÒÝ Ò Ú Ð ÞØ Ø Ù Þ Ò Ö Ú Ø Ò Ñ Ú ÐØÓÞ Òº Ä Ý Ò Ñ ÒØ t i = 0º ÓÖ t f = T º À ÓÒÐ Ò Þ ÓÒ Ú Ð Þع Ø Ù Ñ Þ Ø Ú ÐÐ ÔÓØ x, y ÓÓÖ Ò Ø Ø ÞÞ Ð Þ Ý ÐØ Ø ÐÐ Ð Ó Ý Ø ÚÓÐ Ù Ð Ý Ò aº Î Ð ÞÙ Ø Ý ÑÓÞ Ý ÒÐ Ø ÐØ Ð ÒÓ Ñ ÓÐ x f = a x i = y i = y f = z i = z f = 0. x(t) = v 0x t + x 0 y(t) = v 0y t + y 0 z(t) = 1 2 gt2 + v 0z t + z 0. à ÒÒÝ Ò Ð Ø Ø Ù Ó Ý Ð Ø ÐØ Ø Ð Ò Ñ Ð Ð ÓÒ Ø Ò Ó Ú Ø Þ x 0 = y 0 = z 0 = 0, v 0x = a T v 0y = 0 v 0z = 1 2 gt. Þ Ø Þ ÖØ Ø Þ ÐØ Ð ÒÓ Ñ ÓÐ ÐÝ ØØ ØÚ Ô Ù Ö ØØ Ô Ö¹ Ø ÙÐ Ö Ñ ÓÐ Ø x(t) = a T t y(t) = 0 z(t) = 1 g(t t)t. 2 ½º Ð Ø ¼µ Ñ ÓÐ Ø Þ Ð Ö Ò Ö ÞÓÐØÙ Ð z 1 _ 8 gt 2 i f T/2 T t Þ i Þ f ÔÓÒØ ÐÞ Þ Ø ÐÐ ÔÓØ Ú ÐÐ ÔÓØ ÓÓÖ Ò Ø Ø Þ Ø Ú ÐÐ ÔÓØ ÓÒ ÙÖ Øµ Ñ ÐÝ Ø ¼µ ÓÖ ØÓØØ Ô Ö ÓÐ ¹ Þ Ñ Ò Ø Þ ÝÑ Ðº

35 Î Ð Ó Ó Ý Þ i Þ f ÔÓÒØÓØ Ú Ø Ð Ò Ó ØÖ Ø Ö Ú Ð Ø Ø Þ Þ Þ Ð Ý Ð ¼µ Ô Ö ÓÐ ¹ Þ Ñ Ò Ð Ø Æ ÛØÓÒ¹ Ý ÒÐ Ø Øº ÞØ Ý ÞÞ Ó Ý Ý Ð ¼µ Ñ Ú Ð ÙÐ ØÖ Ø Ö Þ Þ Ø Ò Ñ¹ Ñ Ú Ð ÙÐ Ú ÖØÙ Ð µ º ÓÖ ÙÐ ÙÒ ÑÓ Ø Ä Ö Ò ¹ Ú ÒÝ Þº À Ä Ö Ò ¹ Ú ÒÝ Ò Ó¹ ÓÖ Ò Ø ÐÝ Ú Ð Ñ ÐÝ Ñ Ú Ð ÙÐ Ú Ý Ú ÖØÙ Ð ØÖ ¹ Ø Ö ÓÓÖ Ò Ø Ø ÓÑÔÓÒ Ò Ø ÐÝ ØØ Ø Ä Ö Ò ¹ Ú ÒÝ t ÜÔÐ Ø Ú ÒÝ Ú Ú Ð º ½º Ð Ø Ò Ôк L(z, ż, t) = m 2 ż2 mgzº ¼µ Ñ Ú Ð ÙÐ ØÖ Ø Ö Ò Þ Þ L t m 2 ( ) 2 1 gt gt mg 1 [ ] 1 g(t t)t = mg T 2 (T t)t Ú ÒÝ º Þ Þ Ö ÒØ Ú Ð ÞØÙÒ Ý ØÖ Ø Ö Ø Ä Ö Ò ¹ Ú ÒÝØ Þ Ò ØÖ ¹ Ø Ö Ò ÒØ Ö Ð Ø Ù t Þ Ö ÒØ (t i, t f ) ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑ Òº ÒÒ Þ ÒØ Ö ÐÒ Þ ÖØ Ø Ò Ú ÞÞ Ø Ò S¹ Ð Ð Ð S[q(t)] = tf t i L(q, q, t)dt. ½µ Þ ÔÐ Ø Ñ Ò Ò q(t) q 1 (t), q 2 (t) q n (t) ØÖ Ø Ö ÓÞ Ý Þ ÑÓØ Þ S[q(t)] Ø Ø Ö Ò Ð ÓÞÞ º Þ ÓÐÝ Ò Ñ Ø Ñ Ø Ó ØÙÑÓ Ø Ñ ÐÝ Ú ÒÝ Þ Þ ÑÓØ Ö Ò ÐÒ ÙÒ ÓÒ ÐÒ Ò Ú ÞÞ Þ Ñ Ò Ú ÒÝ Ð Ñ ÐÝ Þ ÑÓ ÓÞ Ö Ò ÐÒ Þ ÑÓصº ½µ¹ Ò Ò ÐØ S Ø ÒÝ ÐÚ Ò ÙÒ ÓÒ Ð Þ Ò ÓÞ Ó Ý Þ ÖØ Ø Þ Ñ Ø Ù Ñ ÐÐ ÒÙÒ Ý ØÖ Ø Ö Ø n Ö q j (t) ¹ Ú ÒÝ Ø Ú Ðº Þ Ú ÒÝ Ñ ÐÝ Ø q(t) Þ Ñ ÓÐ Þ Ð Þ S Ö ÙÑ Ò¹ ØÙÑ º q(t) Ö ÙÑ ÒØÙÑÓØ Þ ÖØ Ø ØØ Ö Ó Þ Ö Ð Ó Ý Ò ÐÝÓÞÞÙ S Ò Ñ q j (t) Ú ÒÝ t¹ Ò ÐÚ ØØ ÖØ Ò Ú ÒÝ Ò Ñ Þ Þ (t i, t f ) ÒØ ÖÚ ÐÐÙѹ Ð q j (t) Ú ÒÝ ÙÒ ÓÒ Ð º Ø ÙÒ ÓÒ Ð ¼µ ØÖ Ø Ö ÓÞ Ø ÖØÓÞ ÖØ T [ ] 1 S[(30)] = mg 2 8 T 2 (T t)t dt = 1 24 mg2 T 3. ¾µ 0 Ø Ø Ò Ñ Þ Ð ÒØ Ø Þ ÓÒØÓ Þ ÐÑ Ð Ø Þ Þ Ñ Ö º Î Ð Ò Ò Ò Ñ Ó Ø Þ Ð ÒØ Ñ Ñ Ö Ð Ö Þ Ø Ó Ý Þ ÑÔÙÐÞÙ ¹ Ð ÑÔÙÐÞÙ ÑÓÑ ÒØÙÑÑ Ð Ò Ö Ú Ð ÐÐ ÒØ Ø Ò Ò Ñ Ý ÓØØ Ô ÐÐ Ò Ø¹ Ð ÓÓÖ Ò Ø Ú ÒÝ Ò Ñ Ý Þ ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑ Ò Ð ÓÐÝ ÑÓÞ ÙÒ ÓÒ Ð º ÞØ Ø ÖÑ Þ Ø Ò ÐØ Þ Ó Ý Ú ÖØÙ Ð ØÖ Ø Ö Ý ÖØ ò Ú ÒÝ t¹ò Ò Ñ ÒÝ ÖÓ Ò Ú Þ Þ Òµº

36 ½º½¾º Ø ÐÚ Ø Ð ÒØ Ø Ø ÐÚ Ò Ø ÐØ ØØ Þ Ö Ô º Ø ÐÚ t i ¹ Ð Þ Ø t f ¹ Ð Ú ÐÐ ÔÓØ ÓÒ ÙÖ Ø Þ Ø Ñ ¹ Ú Ð ÙÐ ØÖ Ø Ö Þ Ñ ÐÝÖ Ò ÞÚ ½µ Ø ÙÒ ÓÒ ÐÒ Þ Ð ÖØ ÜØÖ ¹ ÑÙÑ µ Ú Òº Ñ Ú Ð ÙÐ ØÖ Ø Ö Ø Þ ÖØ ÜØÖ Ñ Ð Ò Ò Ú Þ º ÁÐÐÙ ÞØÖ ÖØ ÓÖ ÙÐ ÙÒ Ñ ÒØ Ð Ø ÓÞ Þ Ñ Ø Ù Ø Ø Ñ Ò Ò z A (t) = A (T t)t µ ØÖ Ø Ö Ö Ñ ÐÝ Ò A Ò ÒÝ ÐÐ Ò º z 1 _ 4 AT2 i f T/2 T t ¼µ¹ Ð ØÙ Ù Ó Ý Ñ Ú Ð ÙÐ ØÖ Ø Ö ÓÞ A = 1 g Ø ÖØÓÞ Þ Þ 2 ÓÐÝ Ò ØÖ Ø Ö Ñ ÐÝÖ A 1 g Ú ÖØÙ Ð º À Ø ÐÚ Þ ÓÖ Þ 2 S[A] = T 0 [ m T [ m 2 ż2 A A] mgz dt = 0 2 A2 (T 2t) 2 mga(t t)t] dt = = 1 6 mt 3 (A 2 ga) µ ÙÒ ÓÒ ÐÒ A = 1 g¹ò Ð Þ Ð ÖØ Ò ÐÐ Ð ÒÒ º 2 Þ Ø Ð Ð Ù Ý Ò Þ (A 2 ga) Ú ÒÝÒ Ú Ð Ò A = 1 g¹ò Ð Ú Ò Ñ Ò ÑÙÑ ÓÐ µ Ó ÓÐ Ð 2 ÓÖ Ò Þ Ñ ØÓØØ 1 24 mg2 T 3 ¹ Ð Ý ÒÐ º Ò Ñ ÓÒ ÓÐ Ò Ø ÖÑ Þ Ø Ò Ú ÖØÙ Ð ØÖ Ø Ö Ò Ò ÝÓÒ Ö Þ Ø Ú ØØ Ý Ð Ñ ÞÓ Ø Ñ ÐÝ µ Ð Å Ò Ò A¹ ÓÞ Ø ÖØÓÞ Ý ØÖ Ø Ö Þ ÖØ Ò Ü Ð Ø Ø A¹Ú Ð Ó Ý ÞØ S Ö ÙÑ Ò¹ ØÙÑ Ò Ø ØØ º

37 z i f T/2 T t Ø ÐÚ Þ Ö ÒØ Ñ Ú Ð ÙÐ ØÖ Ø Ö Ò Ø ÙÒ ÓÒ ÐÒ Þ Þ Ð Ø¹ Ú ÖØÙ Ð Ô ÐÝ ÓÞ Ú ÞÓÒÝ ØÚ Ú Ò Þ Ð ÖØ z i f T t ÒÒ Þ ÐØ Ð ÒÓ Ð Þ Ð ÖØ ÔÖÓ Ð Ñ Ò Ñ Ø Ñ Ø Ñ Ó ÐÑ Þ Ð Ø Þ Ð ÖØ ÐØ Ø Ð ÒØ Ä Ö Ò ¹ Ý ÒÐ Ø Ø Ð Ð Ø Ú Ø Ð Ñ º º Ð Ø Ð Ø Ò Ð ½º Рص Þ Ñ Ø Ù Ø Ø ÖÖ Ú Ö¹ ØÙ Ð ØÖ Ø Ö Ö Ñ ÐÝ Ý ÒÐ Þ Ö ÖÓÑ Þ Ð Ð º Þ Ö Øµ ÓÐÝ Ò Ó Ý Þ Ð ØØ Ð Ú Ø Ö Ð Ø Ñ Ý Þ ¼µ Ñ Ú Ð ÙÐ ØÖ Ø Ö ÐØ Ð Ø ÖÓÐØ Ø Ö Ð Ø¹ Ø Ðº À ÓÒÐ Ø Ù Þ Þ Ö Ñ ÒÝØ Ñ Ú Ð ÙÐ ØÖ Ø Ö ÓÞ Ø ÖØÓÞ Ø Ðº

38 z i f T t Å ÓÐ ¼µ Ð ØØ Ø Ö Ð Ø 1 12 gt 3 ¹ Ð Ý ÒÐ Þ ÖØ 1 2 ht = 1 12 gt 3 ÓÒÒ Ò h = 1 6 gt 2 ż = 2h T = 1 gt º Þ Ò Ô Ð ØÖ Ø Ö Ò 3 S[h] = m 2 ( ) gt T mg 1 2 ht = 1 36 mg2 T 3 > 1 24 mg2 T 3 = S[(30)]. ½º½ º Ä Ö Ò ¹ Ý ÒÐ Ø Þ ÖÑ ÞØ Ø Ø ÐÚ Ð Ä Ý Ò q(t) ÜØÖ Ñ Ð Ñ ÐÝ Ò ½µ ÙÒ ÓÒ ÐÒ Þ Ð ÖØ Ú Òº Þ Ø ÒÝ Ñ Ø Ñ Ø Ð Ò ÙØ Þ Ö Ó Ý q(t) + δq(t) q(t)¹ Þ Þ Ð ØÖ ¹ Ø Ö Ñ ÐÝ Ù Ý Ò ÞØ Þ Ø Ú ÐÐ ÔÓØ ÓÒ ÙÖ Ø Ø Þ Ñ ÒØ q(t) ÓÖ Þ S[q(t)+δq(t)] Þ S[q(t)] Ð Ò δq(t)¹ Ò Ð Ò Ö ÔÓÒØÓ Ð Þ ÖÙ δs S[q(t) + δq(t)] S[q(t)] = o ( δq(t) 2), µ ÓÐ δq(t) δq 1 (t), δq 2 (t), δq n (t) q(t) Ñ Ú ÐØÓÞ Ñ ÐÝ δq j (t i ) = δq j (t f ) = 0 (j = 1, 2, n) µ ÐØ Ø ÐØ Ð ÐØ ÒØÚ Ø Ð Ò Ò ÒÝ º ÁÒ Ó Ð À Ð ÒÒ ÓÐÝ Ò δq(t) Ñ ÐÝÒ Ð δq(t)¹ Ò Ð Ò Ö ÔÓÒØÓ Ð δs > 0 ÓÖ δq(t)¹ò Ð δs < 0 ÚÓÐÒ Ø Ø S¹Ò Ò Ñ Ð ÒÒ q(t)¹ò Ð Þ Ð ÖØ ÓÒ¹ ÓÐ ÙÒ Ú ÒÝ Þ Ð ÖØ Ö f(x)¹ò ÓØØ Ú Ò Þ Ð ÖØ ÓÐ δf(x) f(x + dx) f(x) = o(δx 2 ))º Ã Ö µ Ø Ð Ð Ò Ñ Ø Ñ Ø ÐØ Ø Ð Ø Ø µ¹ Ò Ø ÙÒ ÓÒ ÐÓ Ð Ò Ø δq(t)¹ Ò Ð Ò Ö ÔÓÒØÓ ¹ Ð tf [ δs = L (q + δq, q + ddt ) ] δq, t L(q, q, t) dt = = t i n j=1 tf t i [ L δq j (t) + L d ] q j q j dt δq j(t) dt + o ( δq(t) 2). µ

39 Ó ÓÐ Ð ÙØÓÐ Þ Ø ÒØ Ö Ð Ù Ô Ö Ð Ò tf t i L d q j dt δq j(t) dt = tf t i [ ] d L tf δq j (t) dt dt q j t i d L δq j (t)dt = dt q j = d dt [ ] L t f tf δq j (t) q j t i t i d L δq j (t)dt. dt q j Þ Ð Ø µ Ú Ø ÞØ Ò Þ ÖÙ º À Ñ Ñ Ö Ø Ñ Ó Ø ÓØ ÐÝ ØØ Ø µ¹ n tf [ L δs = d ] L δq j (t) dt q j dt q j j=1 t i Þ Ö ÙØÙÒ Ñ ÐÝÒ ÒØ Ö Ð Ò Þ Ö Ð Ò ÔÔ Ò Þ L qj Ä Ö Ò ¹ Ö Ú ÐØ Ò Ø Ú ÐÐ n tf δs = L qj (q, q, t) δq j (t) dt. µ t i j=1 Å Ø Þ Þ ÔÐ Ø Þ ÒØ Ö Ò Ù Ò Þ L qj (q, q, t) Ø ÒÝ Þ Ñ Ò Ò ÓØØ ØÖ Ø Ö Ò Þ Þ ÓØØ q(t) q 1 (t) q 2 (t) q n (t) Ñ ÐÐ ØØ t ÜÔÐ Ø Ú ÒÝ º À Ú Ð ÞØÓØØ ØÖ Ø Ö ÔÔ Ò Ñ Ú Ð ÙÐ ØÖ Ø Ö ÓÖ Ø ÐÚ Þ Ö ÒØ µ ÒØ Ö ÐÒ Ñ Ò Ò µ¹ Ð Þ Ö δq 1 (t), δq 2 (t), δq n (t) δq(t)¹ò Ð Ð ÐÐ Ø ÒÒ º à Òݹ ÒÝ Ò Ñ Ý Þ Ø Ñ ÙÒ Ø Ö Ð Ó Ý Þ ÓÖ Ð Ø Ñ Ú Ð ÙÐ ØÖ Ø Ö Ò Ñ Ò Ý L qj (q, q, t) Ñ Þ ÖÙ q(t) ØÖ Ø Ö ÓÖ Ð Ø Ñ Ú Ð ÙÐ Ð Ø Ä Ö Ò ¹ Ý ÒÐ Ø Øº Ä Ö Ò ¹ Ý ÒÐ Ø ÒÚ Ö Ò Ý Ò Ú Ø ÞÑ ÒÝ ÒÒ Ó Ý Þ Ø Þ Ý ÒÐ Ø Ø Þ ØÖ Ø Ö Ð Ø Ñ ÐÝ Ò Ø ÙÒ ÓÒ ÐÒ Þ Ð ÖØ Ú Òº Î Ð Ò Ý ÓØØ ØÖ Ø Ö Ò Ø ÙÒ ÓÒ Ð ÖØ Ò Ñ ØØ Ð Ñ ÐÝ Ò ÓÓÖ Ò Ø Ö Ò Þ Ö Þ Ú ÞÓÒÝ ØÚ Ù Ñ ÞØ ØÖ Ø Ö Ø ØÖ Ø Ö Ý ÔÓÒØ Ò Þ L ÖØ Ù Ý Ò Ò Ñ Ú ÐØÓÞ Ñ ØØ Ð ÓÓÖ Ò Ø Ö Ø Ö Ò Ø ØÖ Ø Ö ÔÓÒØ ÓÞ Ø ÖØÓÞ ÔÓÒØÓ Ñ Ò ÓÓÖ Ò Ø Ö Ò Þ Ö Ú Ð ÞØ Ø Ðº Þ ÖØ Ò Ñ ÓÓÖ Ò Ø Þ Ñ Ø Ð Þ Ó Ý Ñ ÐÝ ØÖ Ø Ö Þ ÜØÖ Ñ Ð º Ñ Ú Ð Ä Ö Ò ¹ Ý ÒÐ Ø Ø ÔÔ Ò Þ ÜØÖ Ñ Ð Ð Ø Þ Ñ Ø ÓÓÖ Ò Ø Ö Ò Þ Ö Ñ Ú Ð ÞØ Ø Ð Ó Ý Ý ØÖ Ø Ö Ð Ø ¹ Ä Ö Ò ¹ Ý ÒÐ Ø Ø Ú Ý Ñ Þ Ý Ò Ð Ø Ø Þ Þ Ø Ò Ð Ø Ø Þ Ò º

40 ½º½ º Þ ÐØ Ð ÒÓ ØÓØØ ÑÔÙÐÞÙ q i ÓÓÖ Ò Ø ÓÞ Ö Ò ÐØ ÐØ Ð ÒÓ ØÓØØ ÑÔÙÐÞÙ Ò p i = L q i Þ Ø Ò Ú ÞÞ º ÒÒ Ó ÐÓÑÒ Ø Ú Ð Ä Ö Ò ¹ Ý ÒÐ Ø ṗ i = L q i µ ¼µ Ð ÓØ ÐØ º Þ Þ Ý ÒÐ Ø ÓÒÐ Ø Æ ÛØÓÒ¹ Ý ÒÐ Ø Þ Þ Ò Ôк mẍ = d dt (mx) = ṗ x º Ñ ØØ L q i ¹Ø Ò µ Þ ÐØ Ð ÒÓ ØÓØØ Ö i¹ ÓÑÔÓÒ Ò Ò Ò Ú Þ º Ñ ÓÖ q i Ñ ÒÞ Ò Ñ Ó Þ Lµ p i Ñ ÒÞ Ð Ò Þ MLT 1 ¹Ø Ð Þ ÑÔÙÐÞÙ Ñ ÒÞ Ø Ðº Èк Ò Ö ÓÓÖ Ò Ø Ò p ϕ = mρ 2 ϕ Ñ Ò Ñ ÒÞ¹ ML 2 T 1 ¹ Ð Þ ÑÔÙÐÞÙ ÑÓÑ ÒØÙÑ Ô Ö Ð Øµ Ñ ÒÞ Ú Ð Ý Þ Ñ º Ö Ù Ø p ϕ ¹Ø ÖØ ¹ ÓÓÖ Ò Ø ϕ = 1 ϕ = arctan y x, ẏx ẋy x y2 x 2 p ϕ = mρ 2 ϕ = m(xẏ yẋ) = (xp y yp x ) = ( r p) z, = xẏ yẋ x 2 + y 2, Ø Ø p ϕ Þ ÑÔÙÐÞÙ ÑÓÑ ÒØÙÑ z¹ ÓÑÔÓÒ Ò º ÞÞ Ð Þ Ñ Ò p = (p x, p y, p z ) = m(ẋ, ẏ, ż) Ú ØÓÖ ϕ¹ ÓÑÔÓÒ Ò ½¾µ Ð Ô Ò m( sinϕ ẋ+cos ẏ) = m [ sinϕ( ρ cosϕ ρ sin ϕ ϕ)+cosϕ( ρ sinϕ+ρ cosϕ ϕ) ] = mρ ϕ ¹Ø Ð Ý ÒÐ º ÞØ Ñ ÒÒÝ Ø p ϕ ¹Ú Ð ÐÐ Ò Ð ÐÒ Ò ÞØ Ó Ñ Ó Ù Ñ Ø ÒÒ p ϕ ¹Ò ÐØ Ð Ò p i ¹Òµ Ñ Ò µ ÐØ Ð Ò ÐØ Þ Ø Ó Ù ÖØ Ò Þ ÖØ Þ ÐØ Ð ÒÓ ØÓØØ ÐÞ Ø Ð Ý Ø Ù º Þ ÐØ Ð ÒÓ ØÓØØ Ö Ú Ð Ñ Ö ÞÓÒ Ò Ò Ñ Ú Þ Ø Ò Ð Ò Ð Ð Ø L ÓÒÐ ÐÝÞ Øº ϕ Ñ ÒÞ Ôк ML2 T 2 Ñ Ò Ñ Ý Þ Ñ Þ Ö ¹ Ñ ÒÞ Ú Ð MLT 2 ¹Ú еº ÒÒ Ý ÐÐ Ð ÒÒ º À p ϕ Þ ÑÔÙÐÞÙ ÑÓÑ ÒØÙÑ z¹ ÓÑÔÓÒ Ò ÓÖ ¼µ Ð Ô Ò L Ò Ñ Ð Ø Ñ Ñ ÒØ ÓÖ Ø ÒÝÓÑ Ø z¹ ϕ ÓÑÔÓÒ Ò º À Ú Ð Ñ ÐÝ q i ¹Ò Þ Ö Ú ÐØ ÓÖ ÙÐ Ð L¹ Ò ÓÖ q i ¹Ø Ð Ù Ó¹ ÓÖ Ò Ø Ò Ò Ú ÞÞ º ¼µ ÑÙØ Ø Ó Ý Ð Ù ÓÓÖ Ò Ø ÓÞ Ø ÖØÓÞ ÐØ Ð ÒÓ ¹ ØÓØØ ÑÔÙÐÞÙ ÑÓÞ ÐÐ Ò º

41 º Ð Ø Á ÞÓÐ Ù Ó Ý Ò ÒØÖ Ð Ö Ø Ð ØØ ÑÓÞ Ø Ñ ÔÓÒØÖ Ø Ð Ð Ã ÔÐ Ö ¾ºØ ÖÚ ÒÝ º Å ÓÐ ¾ºØ ÖÚ ÒÝ Ø Ö Ð Ø ÐÐ Ò Ø ÑÓÒ º Å Ú Ð L = m 2 ( ρ2 + ρ 2 ϕ 2 ) U(ρ) ϕ Ð Ù ÓÓÖ Ò Ø p ϕ = mρ 2 ϕ ÑÓÞ ÐÐ Ò º Ø Ö Ð Ø Ù Ý Ò ρ 2 ϕ¹ú Ð Ö ÒÝÓ Ñ Ú Ð ρ(t) ρ(t + dt) ÐØ Ð Þ ÖØ Þ Ñ Ò Ø Ö Ð Ø 1 2 ρ2 (t)dϕ¹ú Ð Ý ÒÐ º Þ ÖØ p ϕ ÐÐ Ò Ý Ò ÖØ ò Ø Ö Ð Ø ÐÐ Ò Ú Ðº ½º½ º ËÞ ÑÑ ØÖ ÑÓÞ ÐÐ Ò Ô ÓÐ Ø À Ý Ò Ñ Ö Ò Þ Ö Ø Ñ ÔÓÒØ Ø Ý òð Ð Ð Ø ÑÓÞ Ø Ò Ý Ó Ý Þ Ò Ú ÞÓÒÝÐ Ó ÐÝÞ Ø Ò Ú ÐØÓÞÞÓÒ Ñ ÝÑ ÓÞ Ð Ö ÓÖ¹ Ö ÓÞ Ô Ø ÓÖ ÞØ Þ ÐÑÓÞ Ø Ø Þ ÑÑ ØÖ Ò Ò Ú ÞÞ º Þ ÑÑ ØÖ Ð Ö Ø Ð ØÖ ÓÞ Ó ØÙÑÓ ÓÒ ÙÖ Ò ØÓ Þ Ò Þ ÓØØ Ð Ö ÐÑ ÒÝ Þ ØØ Ý Ö Ò Þ ÖÒ Ú Ò Ú Ð Ñ ÐÝ Ò Þ ÑÑ ØÖ ÓÖ Ñ Ò¹ Ò ÓÐÝ Ò Ö Ò Þ Ö Ö Ò Ð ÞÒ Ó Ù Ý Ò ÞÞ Ð Þ ÑÑ ØÖ Ú Ð Ñ ÐÝÖ Ù Ý Ò ÞÓ Ð Ö ØÒ º Þ ÑÑ ØÖ Ð Ø Þ Ö Ø Ú Ý ÓÐÝØÓÒÓ Þ Ö ÒØ Ó Ý Þ ÐÑÓÞ Ø Ñ ÖØ Þ Ö Ø ÖØ Ø Ú Ø Ð Ú Ý ÒÙÐÐ Ø Ð Þ Ú ÓÐÝØÓÒÓ Ò Ú ÐØÓÞ Øº Þ Ð Ò ÓÐÝØÓÒÓ Þ ÑÑ ØÖ Ö Ð Ð Þ Þ º ÐØÓÐ ØÖ Ò ÞÐ µ Þ ÑÑ ØÖ Ò Ð Ô Ð ÙÐ Ø Ñ ÔÓÒØÓ ÐÑÓÞ Ø Ý ÓØØ n Ö ÒÝ Ò Ø ÖØ Ò Ø Ø Þ Ð Ñ Ò Ò Ø Ñ ÔÓÒØÖ Ò ÞÚ ÞÓÒÓ Ò Ý ÐØÓÐ º º Ð Ø ÅÙØ ÙÒ Ö Þ Ð Ñ Ò Ö Ò Þ Ö ÐØÓÐ Þ ÑÑ ØÖ Ö µ Ý ØÐ Ò Þ Ø Ñ ÔÓÒغ µã Ø ÝÑ Ð ÒØÖ Ð Ö Ú Ð Ð Ò Ø Ø Ñ ÔÓÒغ µ Ý ØÐ Ò Ø Ñ ÔÓÒØ Ö Þ Ø ØØ ÒØÖÙÑ Ö Ø Ö Òº µ Ý ØÐ Ò Ø Ñ ÔÓÒØ Ø Ö Þ Ø ØØ ÒØÖÙÑ Ö Ø Ö Òº µ ÝÑ Ð ÒØÖ Ð Ö Ò Ö ÞØ Ð Ð Ò Ø Ø Ñ ÔÓÒØÓ Ð Ð Þ Ò Ó¹ ÑÓ Ò Ö Ú Ø Ö Ø Ö Òº µèóòøø ÐØ Ú Ø Ð Ò ÓÒ ÒÞ ØÓÖ Ò Ñ ÐÝ ÝÑ Ð Ð ØÖÓ ÞØ Ø Ù Ò ØÒ Ð Òº µí Ý Ò ÐÝ Ò ÔÓÒØØ ÐØ Ý Ö Þ Ø ØØ Ú Ø Ð Ò Ó Þ Ð ØÖÓÑÓ Ò Ø ÐØ ØØ Ú Þ Ø Ð ØÖÓ ÞØ Ø Ù Ø Ö Òº Þ ÑÑ ØÖ ÒØ Ò Ð Ú Ø Þ Ó Ý Þ ÑÑ ØÖ ØÖ Ò Þ ÓÖÑ Ò Ð U Ú ÐØÓÞ ØÐ Ò Ñ Ö º ÐØÓÐ Þ ÑÑ ØÖ Ø Ò Ð Þ Öò ÓÐÝ Ò ÓÓÖ Ò Ø Ø Ú Ð Þ¹ Ø Ò Ñ ÐÝ Ò ÖÓÑ ÓÓÖ Ò Ø ÚÓÒ Ð¹ Ö Þ Ð Ð Ð Þ Ý Ô Ö ÙÞ ÑÓ Ý Ò Ð ÐÐ ÖØ ¹ Ú Ý Ò Ö ÓÓÖ Ò Ø µº Î Ý Ð z¹ø Ò ÐÝØ n¹ Ö ÒÝ Ò º ÓÖ Þ U Ú ÐØÓÞ ØÐ Ò ÒÚ Ö Ò µ n Ö ÒÝ Ò Ò Ø Þ Ñ Ð δa ÁØØ ÞÒ Ð Ù Ó Ý Þ ÑÑ ØÖ ÓÐÝØÓÒÓ º ¼

42 Ò Ý ÐØÓÐ Ò Ð Ý Ó ÐÑ Þ Ø Ñ U(, z 1 + δa,..., z N + δa) = U(, z 1,..., z N ) ÐÐ ÓÞÓØØ ÐÝ Ò Ú ÐØÓÞ ØÐ Ò Ö ÙÑ ÒØÙÑÓ ÐÐÒ µ Ú Ý du = N α=1 U z α δa = 0 N α=1 U z α = 0. ÆÓ Ø Ö Ø Ø Ð Ö Ò Þ Ö Ñ Ò Ò ÓÐÝØÓÒÓ Þ ÑÑ ØÖ ÓÞ Ø ÖØÓÞ Ý Ñ ¹ Ñ Ö Ñ ÒÒÝ ÑÓÞ ÒØ Ö Ðµº Á ÞÓÐ n¹ Ö ÒÝ ÐØÓÐ Þ ÑÑ ØÖ Ò Ð Ú Ð ÞØÓØØ ÓÓÖ Ò Ø Ö Ò Þ Ö Ò Ò Ø Ù Ò Ö Ò Ñ Ø ÖØ ÐÑ ÞÞ z Ú ÐØÓÞ Ø Þ ÖØ Þ U ÒÚ Ö Ò Ý Ò L ÒÚ Ö Ò N α=1 L z α = N ( K α=1 z }{{} α 0 Ö Ù Ð ÑÓ Ø z α ¹ ÓÞ Ø ÖØÓÞ Ä Ö Ò ¹ Ý ÒÐ Ø Ø U z α ) = 0. ½µ dp αz dt = L z α α = 1,...N Ù Ø Þ º ½µ Ú Ø ÞØ Ò ÞØ Ø Ð Ð Ù Ó Ý ÓÐ dp z dt P z = = 0, N α=1 Ö Ò Þ Ö Ø Ð P ÑÔÙÐÞÙ Ò z¹ ÓÑÔÓÒ Ò º Å Ú Ð z¹ø n¹ Ö ÒÝ Ò Ú Ð ÞØÓØØÙ Ö Ñ ÒÝ Ò Ý Ó ÐÑ Þ Ø Ñ n¹ Ö ÒÝ ÐØÓÐ Þ ÑÑ ØÖ Ø Ò P Ø Ð ÑÔÙÐÞÙ n¹ Ö ÒÝ Ú Ø Ð Ø P n µ ÑÓÞ ÐÐ Ò º º Ð Ø Ø Ð ÑÔÙÐÞÙ Ñ ÐÝ ÓÑÔÓÒ Ò Ñ Ö Ò Ñ Þ Ð Þ Ð ¹ Ø Ò Ð ÓÖÓÐØ Ö Ò Þ Ö Ò Ð ÓÖ ÖÓØ µ Þ ÑÑ ØÖ Ò Ð Ø Ñ ÔÓÒØÓ ÐÑÓÞ Ø Ý ÓØØ n Ö ÒÝ T Ø Ò ÐÝ Ö Ð Ø ÖØ Ò Ø Ø Þ Ð Ñ Ò Ò Ø Ñ ÔÓÒØÖ Ò ÞÚ ÞÓÒÓ Ò Ý Ð ÓÖ Ø º º Ð Ø ÅÙØ ÙÒ Ö º Ð Ø Ò Ð ÓÖÓÐØ Ñ Ò Ö Ò Þ Ö ÓÖ Þ ÑÑ ØÖ Ö º p αz ½

43 Ð Þ Öò Ò Ö ÓÓÖ Ò Ø ¹Ö Ò Þ ÖØ Ú Ð ÞØ Ò Ñ ÐÝÒ z¹ø Ò ÐÝ Ý T ¹ Ú Ðº ÓÖ z Þ ÑÑ ØÖ Ø Ò ÐÝ Þ ÖØ Ú Ý U(, ϕ 1 + δϕ,..., ϕ N + δϕ) = U(, ϕ 1,..., ϕ N ), du = N α=1 U ϕ α δϕ = 0 N α=1 U ϕ α = 0. T ¹ Ö Ð ÓÖ Þ ÑÑ ØÖ Ò Ð Ú Ð ÞØÓØØ ÓÓÖ Ò Ø Ö Ò Þ Ö Ò Ò Ø Ù Ò Ö Ò Ñ Ø ÖØ ÐÑ ÞÞ ϕ Ú ÐØÓÞ Ø Þ ÖØ Þ U ÒÚ Ö Ò Ý Ò L ÒÚ Ö Ò N α=1 L ϕ α = N ( K α=1 ϕ }{{} α 0 Ö Ù Ð ÑÓ Ø ϕ α ¹ ÓÞ Ø ÖØÓÞ Ä Ö Ò ¹ Ý ÒÐ Ø Ø U ϕ α ) = 0. ¾µ dp αϕ dt = L ϕ α α = 1,...N Ù Ø Þ º ¾µ Ú Ø ÞØ Ò ÞØ Ø Ð Ð Ù Ó Ý dl α dt = 0, ÓÐ Lα = N α=1 Ö Ò Þ Ö Ø Ð L ÑÔÙÐÞÙ ÑÓÑ ÒØÙÑ Ò z¹ ÓÑÔÓÒ Ò º Å Ú Ð z¹ø n¹ Ö ÒÝ Ò Ú Ð ÞØÓØØÙ Ö Ñ ÒÝ Ò Ý Ó ÐÑ Þ Ø Ñ n¹ Ö ÒÝ Ø Ò ÐÝ Ö Ð ÓÖ Þ ÑÑ ØÖ Ø Ò Þ L Ø Ð ÑÔÙÐÞÙ ÑÓÑ ÒØÙÑ n¹ Ö ÒÝ Ú Ø Ð Ø L n µ ÑÓÞ Ð¹ Ð Ò º Ã Ð Ò ÐÐ Ñ ÐÒ Þ ÖØ Ö Ò Þ Ö Ø Øº ÓÖ Ø Ø Þ Ð n Ö ÒÝ ÐØÓÐ Ø Ø Þ Ð n¹ Ö ÒÝ Ö Ð ÓÖ Ø Þ ÑÑ ØÖ Ñ Ú Ð Ý Þ ÖØ Ö Ò Þ Ö Ø Ñ ÔÓÒØ Þ Ò ÑòÚ Ð Ø Ò ÓÖ Ò Þ Ö Ø Ö Ú Ú Ð Ò ÔÓÒØ Ö ÐÒ º Å Þ Ú Ð Ô Ò Þ Ö ÒØ Ù Ý Ò Þ Ö Ø Ö ÓÑÓ Ò Ò Ò ÒÒ Ø ÒØ Ø ØØ ÔÓÒص ÞÓØÖ Ô Ò Ò ÒÒ Ø ÒØ Ø ØØ Ö Òݵº ÆÓ Ø Ö¹Ø Ø Ð Ú Ø ÞØ Ò Ø Ø Þ ÖØ Ö Ò Þ Ö Ø Ð P ÑÔÙÐÞÙ L ÑÔÙÐÞÙ ÑÓÑ ÒØÙÑ Ñ Ñ Ö º Å ÝÞ Þ ÑÔÙÐÞÙ ÑÓÑ ÒØÙÑÓØ Ä Ö Ò ¹ Ú ÒÝØ Ý Ö ÒØ L¹ Ð Ð Ð ÓÒØ ÜØÙ Ð Ñ Ò Ú Ð Ó Ñ ÓÖ Ñ ÐÝ Ö Ð Ú Ò Þ º p αϕ ¾