Val sz n s gsz m t s. Ketskem ty L szl

Átírás

1 Val sz n s gsz m t s Ketskem ty L szl Budapest, 998. szeptember 8.

2

3 AKolmogorov-f le val sz n s gi mez 7 I. Aval sz n s gsz m t s alapfogalmai s axi marendszere... 7 I.. ld k val sz n s gi mez kre... 7 I.. K s rletsorozat, az esem nyek relat v gyakoris ga... 8 I.3. A felt teles val sz n s g s az esem nyek f ggetlens ge... 9 I.4. Kidolgozott feladatok s gyakorlatok... 4 I.5. A val sz n s gi v ltoz 5 II. A val sz n s gi v ltoz fogalma... 5 II.. Az eloszl sf ggv ny fogalma II.. Diszkr t val sz n s gi v ltoz k II.3. Folytonos val sz n s gi v ltoz k II.4. Val sz n s gi v ltoz k transzform ci i II.5. A v rhat rt k... 7 II.6. Magasabb momentumok, sz r sn gyzet II.7. vektorv ltoz k 93 III.Val sz n s gi vektorv ltoz k, egy ttes eloszl sf ggv ny III..Val sz n s gi val sz n s gi v ltoz k egy ttes eloszl sa III..Diszkr t val sz n s gi v ltoz k egy ttes eloszl sa III.3.Folytonos vektorv ltoz k transzform ci i III.4.Val sz n s gi kovariancia s a korrel ci s egy tthat III.5.A felt teles v rhat rt k III.6.A feladatok s gyakorlatok...5 III.7.Kidolgozott Tartalomjegyz k EL SZ 5 II.8. Kidolgozott feladatok s gyakorlatok

4 t rv nyek 37 IV.Val sz n s gi egyenl tlens gek IV..Nevezetes v ltoz k sorozatainak konvergenci i...38 IV..Val sz n s gi nagy sz mok t rv nyei...40 IV.3.A karakterisztikus f ggv ny...4 IV.4.A hat reloszl s t telek...45 IV.5.Centr lis 4 TATALOMJEGYZ K IV.6.Kidolgozott feladatok s gyakorlatok...47 Jel l sek 59 Aj nlott irodalom 63 F GGEL K 65

5 jegyzet a BME Villamosm rn ki s Informatikai Kar Informatikus szak nak A Val sz n s gsz m t s c. tant rgy hoz k sz lt seg danyag. jegyzet az elm let szok sos fel p t s t k vetve n gy fejezetre tagol dik, A fejezetek szakaszokb l llnak. Az els fejezet tartalmazza a val sz n s gsz - a axi marendszer t, a val sz n s gi m rt k legfontosabb tulajdons gait m t s kisz m t s nak klasszikus m dszereit. A m sodik fejezet a val sz n s gi s a harmadik fejezet a val sz n s gi vektorv ltoz kkal foglakozik. v ltoz kkal, negyedik fejezetben kapnak helyet a nagy sz mok t rv nyei s a centr lis A t telek. A fejezetek v g n nagy sz m kidolgozott feladat s hat reloszl s megoldand gyakorlat tal lhat. A jegyzet v g n a felhaszn lt n ll an szimb lumok sszefoglal sa, t rgymutat, aj nlott irodalmak jegyz ke jel l sek, s f ggel kben a norm lis eloszl s t bl zata olvashat m g. c. tant rgy el k sz ti a T megkiszolg l s informatikai AVal sz n s gsz m t s rendszerekben s az Inform ci elm let c. tant rgyakat, de olyan m s is p tenek r, mint pl. a Matematikai statisztika, Sztochasztikus t rgyak V letlen sz mok gener l sa s szimul ci k, Megb zhat s gelm - folyamatok, Oper ci kutat s, stb. let, axiomatikus fel p t sben t rgyaljuk, eleve elfo- Aval sz n s gsz m t st alapfogalmakb l s alapt telekb l kiindulva jutunk el az egyszer bb gadott s den ci kon kereszt l az sszetettebb ll t sokhoz s fogalmak- t teleken A t telek nagy r sze bizony t sokkal egy tt szerepel, ami az elm leti hoz. jobb meg rt s t szolg lja. Ugyanezt seg tik a bemutatott p ld k s h tt r feladatok, valamint a mell kelt br k is. Az sszetett, bonyolult kidolgozott els olvas skor mell zni lehet, a f bb sszef gg sek an lk l is bizony t sokat meg rthet k. mondok k sz netet Dr. Gy r L szl akad mikusnak a k zirat Ez ton tnez s rt, a jegyzet szerkezeti fel p t s vel kapcsolatos tan csai rt gondos rt kes szakmai megjegyz sei rt, kieg sz t sei rt. K sz n m int r M rta s EL SZ 5

6 is, hogy k r ltekint en elolvasta a k ziratot, s seg tett a hib k, doktorandusznak pontatlans gok kik sz b l s ben. K sz nettel tartozom Gy ri S ndor informatikus hallgat nak is, aki sokat dolgozott a sz veg internet m sod ves h l zatra t tel vel. V gezet l k sz n m Salfer G bor tan rseg dnek a A TEXsz vegszerkeszt vel kapcsolatos tan csait, seg ts g t. L 998. szeptember 5. Budapest, 6 TATALOMJEGYZ K Ketskem ty L szl

7 Kolmogorov-f le val sz n s gi A mez alapfogalmai s axi- Aval sz n s gsz m t s marendszere alapfogalmak szeml letb l ered, mag t l rtet d fogalmakat jelentenek, Az egyszer bb fogalmak seg ts g vel nem lehet deni lni, hanem csu- amelyeket k r l rni lehet ket, illet leg p ld kat lehet mutatni r juk. p n az axi m k bizony t s n lk l elfogadott ll t sok, amelyek Hasonl an, Alapfogalom: V letlen k s rleten (K) olyan folyamatot, jelens get I... rt nk, amelynek kimenetele el re bizonyosan meg nem mondhat, csup n hogy elvileg milyen k s rletkimenetelek lehetnek. Av letlen k s rletet az, meg lehet gyelni, vagy v gre lehet hajtani azonos felt telek ak rh nyszor Egy szab lyos j t kkock val dobunk. Nem tudjuk el re megmondani az a.) de azt ll thatjuk, hogy az,,3,4,5,6 rt k k z l valamelyiket eredm nyt, Egy teljes, j l megkevert csomag magyark rty b l v letlenszer en kih zunk b.) 0 lapot. A v letlent l f gg, hogy melyik lesz az a 0 lap, de azt I. fejezet I.. annyira nyilv nval ak, hogy csup n a szeml letb l vezetj k le ket. mellett. I... lda: kapjuk. 7

8 8 I. FEJEZET AKolmogorov-f le val sz n s gi mez hogy a 3 lap sszes ism tl s n lk li kombin ci ja k z l lehet tudjuk, valamelyik. csak Egy telefonk sz l ket gyelve m rj k a k t h v s k z tt eltelt id t. A c.) kimenetelek a[0 ) intervallum pontjai. lehets ges Alapfogalom: A K v letlen k s rlet lehets ges kimeneteleitelemi I... nevezz k. Av letlen k s rlet v grehajt sa sor n az elemi es- esem nynek halmaz b l mindig csak egy fog realiz l dni. Az elemi esem nyek em nyek az!, esetleg! i szimb lumokat fogjuk haszn lni. jel l s re Den ci : A K v letlen k s rlettel kapcsolatos sszes elemi esem ny I... halmaz t esem nyt rnek nevezz k s -val jel lj k. A kockadob s k s rlet vel kapcsolatos elemi esem nyek az a.) f g. rt kek, A k rtyah z s k s rlethez tartoz elemi esem nyek a 3-es csomag sszes b.) lapos r szhalmazai, a lapok sorrendj t nem gyelembev ve, f! :! 0 A telefonh v sok k z tti id tartamra vonatkoz k s rlethez tartoz elemi c.) az[0 ) intervallum pontjai. esem nyek Den ci : Az elemi esem nyek halmazait, az esem nyt r r szhalmazait I... esem nyeknek nevezz k, s a latin abc bet ivel jel lj k: A B C : : :. I... lda: a 3 k rtyacsomag egy 0 elemsz m kombin ci jag. Megjegyz s: Az esem nyek deni l s t gyakran logikai ll t sok megfogalmaz s val a.) Ilyenkor az esem nynek megfelel halmaz azokb l az elemi es- tessz k. em nyekb l ll, amelyek realiz l d sa eset n a logikai ll t s rt ke igaz. Az egyetlen elemi esem nyb l ll esem nyeket az egyszer s g kedv rt b.) szint n elemi esem nyeknek fogjuk nevezni, holott ma- atov bbiakban az elem s az elemb l ll egyelem halmaz fogalma nem tematikailag A legal bb k telem esem nyeket sszetett esem nynek is ne- ugyanaz! vezz k.

9 Den ci : Az A esem ny bek vetkezik, haak s rletv grehajt sa I..3. olyan elemi esem ny realiz l dott, ami az A eleme. ut n lda: a.) A kockadob s k s rlet vel kapcsolatos esem nyaf 4 6g I..3. esem ny-halmaz, melyet a p rosat dobunklogikai ll t ssal is deni- elemi lhatunk. A k rtyah z s k s rlethez tartoz esem ny pl. a. van sz a kih zott b.) alkot ; t ; ; 3 8 ; esem nyb l elemi db. A telefonh v sok k z tti id tartamra vonatkoz k s rlethez tartoz c.) pl. az t percen bel l fog cs ngeni, ami ppen a [0 5) intervallum esem ny Den ci : Az A esem ny maga ut n vonja a B esem nyt, ha az I..4. esem ny r szhalmaza a B esem nynek. Jel l s: A B. A A K v letlen k s rlet! elemi esem nyeit jellemzi az, hogy Megjegyz s: olyan B 6 esem ny, amely!-t maga ut n vonn. nincs lda: a.) Kockadob sn l a hatost dobunkesem ny maga ut n I..4. a p rosat dobunkesem nyt. vonja K rtyah z sn l a mind a n gy szt kih ztukesem ny maga ut n b.) a van piros sz n lapakih zottak k z ttesem nyt. vonja Telefonh v sn l az t percen bel l cs r gni fogmaga ut n vonja a c.) percen bel l cs r gni fogesem nyt, hiszen [0 5) [0 0). t z Den ci : Az A s B esem nyek ekvivalensek, haa B s B A I..5. egyszerre. Ekvivalens esem nyek k z tt nem tesz nk k l nbs get. teljes l Den ci : Lehetetlen esem nynek nevezz k azt a -vel jel lt esem nyt, I..6. amely a K b rmely v grehajt sa sor n soha nem fog bek vetkezni, az res halmaz. megfelel a konstans hamis ll t snak, olyan esem ny, azaz elvileg soha nem k vetkezhet be. ami Den ci : Biztos esem nynek nevezz k azt az esem nyt, amelyik I..7. K b rmely v grehajt sa sor n mindig bek vetkezik. Ez az esem ny nem a I. Aval sz n s gsz m t s alapfogalmai s axi marendszere 9 lapok k z tt ll t shoz tartoz k rtya-kombin ci k halmaza, amelyhez az 8 8 tartozik. pontjait deni lja. Jel l s: A B. m s, mint az esem nyt r. megfelel a kontans igaz ll t snak.

10 0 I. FEJEZET AKolmogorov-f le val sz n s gi mez A kockadob sn l a 0-n l kisebb rt ket dobunkesem ny az-val, a a.) rt ket dobunkesem ny pedig -vel ekvivalens. negat v K rtyah z sn l van a lapok k z tt hetest l k l nb z -val, m g a b.) lap rt ke legal bb t z -vel ekvivalens. minden Telefonh v sn l valamikor cs r gni fog -val, soha nem fog cs r gni c.) -vel ekvivalens. pedig Den ci : Egy A esem ny ellentett esem nye azaz A -val jel lt I..8. ami pontosan akkor k vetkezik be, amikor A nem k vetkezikbe. A esem ny, Den ci : Az A s B esem nyek szorzat n azt az AB vagy ABvel I..0. jel lt esem nyt rtj k, amely pontosan akkor k vetkezik be,amikor A is Den ci : Az A s B esem nyek k l nbs g n azt az A n B - I... jel lt esem nyt rtj k, ami pontosan akkor k vetkezik be, amikor A vel T tel: Tetsz leges A B s C esem nyekre igazak az al bbiak: I... A + B B + A a.) (A + B) +C A +(B + C) b.) A + A A c.) AB BA d.) (AB)C A(BC) e.) AA A f.) A(B + C) (AB)+(AC) g.) A +(BC)(A + B)(A + C) h.) A A i.) A + B A B j.) A B A + B k.) I..5. lda: az A-nak az -ra vonatkoztatott komplementer halmaza, azaz A n A. Den ci : Az A s B esem nyek sszeg n azt az A + B-vel jel lt I..9. rtj k, amely pontosan akkor k vetkezik be, ha A s B k z l lega- esem nyt l bb az egyik bek vetkezik. (A + B az A s B esem nyek uni ja). s B is egyidej leg bek vetkezik. (AB az A s B esem nyek metszete). bek vetkezik, de B nem. ( A n B A B).

11 A A l.) A + A m.) A A n.) A + o.) A p.) A + A: r.) Mivel az esem nyek k z tti m veletek a halmazok k z tti Bizony t s: s metszet illetve akomplementer seg ts g vel voltak rtelmezve, s ott uni Den ci : Az A s B esem nyek egym st kiz r ak, haab, I... szorzatuk a lehetetlen esem ny. Egym st kiz r esem nyek egyidej leg azaz Den ci : Az A A ::: A n :::esem nyek (nem felt tlen l v ges I..3. elemsz m ) rendszereteljes esem nyrendszert alkot, ha i j -re A i A j A K v letlen k s rlet egy v grehajt sa sor n a teljes esem nyrendszer a.) k z l csak egyik k fog biztosan bek vetkezni. esem nyei lda: A francia k rty b l val h z sn l az A k rt h zok, A I..6. h zok, A 3 pikket h zok s A 4 treet h zokesem nyek teljes k r t Axi m k: A K v letlen k s rlettel kapcsolatos sszes esem nyek I... rendszere (az.n. esem nyalgebra) -algebra, azaz kiel g ti az al bbi tulajdons gokat: o o Ha A ) A is. o Ha A A ::: A n :::) 3 A i is. 8i I. Aval sz n s gsz m t s alapfogalmai s axi marendszere igazak a Boole algebra sszef gg sei, itt is rv nyesek lesznek. nem k vetkezhetnek be. (p ronk nt egym st kiz rj k) s 8i A i teljes l. Megjegyz s: b.) Az A s A k telem teljes esem nyrendszer. esem nyrendszert alkotnak. Megjegyz s:

12 I. FEJEZET AKolmogorov-f le val sz n s gi mez nem felt tlen l esik egybe sszes r szhalmazainak halmazrendszer vel. a.) -ben csak a k s rlettel kapcsolatba hozhat.n. meggyelhet Nem z rjuk ki, hogy lehetnek -nak olyan A r szhalmazai, esem nyekvannak. amelyeket nem tudunk meggyelni, azaz lehet olyan kimenetel, v g n nem tudjuk megmondani, hogy A bek vetkezett-e vagy sem. ami axi m kkal ppen az ilyen A esem nyeket akarjuk kiz rni a tov bbi Az Az axi m k nyilv nval tulajdons gokat fogalmaznak meg. Az o pontban b.) azt k vetelj k meg, hogy a biztos esem ny meggyelhet legyen. A o -ben azt ll tjuk, hogy ha az A esem nyt meg tudjuk gyelni, akkor ellentettj t is meg tudjuk. A 3 o -ban pedig az az ll t s, hogy ha es- az egy rendszer t egyenk nt meg tudjuk gyelni, akkor azt az em nyeknek is meg fogjuk tudni gyelni, amely akkor k vetkezik be, ha a esem nyt Ha A B )AB is, azaz meggyelhet esem nyek szorzata is c.) meggyelhet. d.) Ha A A ::: A n ::: ) Y 8i Ha A B )AnB s B n A, azaz meggyelhet esem nyek e.) is meggyelhet ek. k l nbs gei A i A A B A 3 A 4 v laszt ssal, a 3 o axi m b l k vetkezik. b.) Az A vizsg latainkb l. felsorolt esem nyek k z l legal bb egy bek vetkezik. I... T tel: Az axi m kb l levezethet k -nek tov bbi tulajdons gai is: a.), azaz a lehetetlen esem ny ismeggyelhet. b.) Ha A B )A + B is, azaz a 3 o axi ma v ges sok esetre is igaz. is igaz, azaz meggyelhet esem nyek egy ttbek vetkez se is meggyelhet. Bizony t s: a.) Az o s o axi m kb l trivi lisan k vetkezik.

13 Ha A B,akkor o miatt A B is igaz, de akkor b.) miatt A + B c.) fenn ll, de jra a o axi m ra hivatkozva ekkor A + B AB is fenn ll. Az utols l p sben a I.. t tel j.) s i.) ll t sait haszn ltuk is fel. Az el z h z hasonl an, a o s 3 o axi m kb l valamint ade Morgan d.) k vetkezik. azonoss gokb l o miatt A B is igaz, gy c.) miatt (A n B )A B s e.) n A )B A is igaz. (B Axi m k: Adott egy :![0 ] halmazf ggv ny, melyet val sz n s gnek I... nevez nk. A f ggv ny kiel g ti az al bbi tulajdons gokat: o () o Ha A A ::: A n :::p ronk nt egym st kiz rj k, azaz 8i 6 j-re A i A j, akkor ( 8i A o axi m ban megfogalmazott tulajdons got a val sz n s g -additivit si a.) tulajdons g nak nevezz k. A meggyelhet esem nyek val sz n s geit kisz m that nak t telezz k b.) A (A) rt k az A esem ny bek vetkez s nek m rt ke, es lye. A fel. rendelkezik azokkal a tulajdons gokkal, amikkel minden halmazf ggv ny m rt k is rendelkezik (pl. hossz,ter let, t rfogat,t meg stb.) A o m s azt ll tja, hogy egym st kiz r esem nyek sszeg nek val sz n s ge axi ma az esem nyek val sz n s geinek sszege, mint ahogy pl. egym st nem fed r szekb l ll s kidom ter lete egyenl a r szek ter leteinek t Az o axi ma azt posztul lja, hogy legyen a biztos esem ny sszeg vel., sehhezk pest jellemezz k a t bbi esem ny bek vetkez s nek val sz n s ge es ly t. A zikai mennyis gekhez m r m szerek szerkeszthet k, az adott test egy zikai jellemz j nek elm leti rt k t nagy pontoss ggal hogy megbecs lhess k. Ilyen m szer a hosszm r sre a m terr d, Ugyan gy, mint m s m rt kn l, a val sz n - eset n is szerkeszthet m r m szer, amivel az elm leti val sz n s g s g j l becs lhet lesz. Ez a m r m szera k s bb rtelmezend sz m rt ke I. Aval sz n s gsz m t s alapfogalmai s axi marendszere 3 A i ) 8i (A i ): Megjegyz s: t megre a karosm rleg. relat v gyakoris g lesz. (L sd az I.3. szakaszt!)

14 4 I. FEJEZET AKolmogorov-f le val sz n s gi mez Den ci : Az ( ) h rmast a K v letlen k s rlethez tartoz I..4. val sz n s gi mez nek nevezz k. Kolmogorov-f le T tel: Aval sz n s g axi marendszer b l levezethet ek a val sz n s g I..3. al bbi tulajdons gai: Ha A A ::: A n ::: esem nyek teljes esem nyrendszert alkotnak, c.) akkor (A i ), 8i B A + A B s A ( A B) gy (B) (A) +( A B). Mivel d.) A B) 0, m rk vetkezik az ll t s. ( B AB + AB s (AB)( AB) miatt (B) (AB)+( AB): e.) B n A B A gy az ll t s m r k vetkezik. Mivel Ha A A ::: A n tetsz legesek, akkor ( S n i n A i ) n () n+ S n i ahol a.) ( A); (A) b.) ( ) ; () 0 d.) Ha A B akkor (A) (B) e.) (AnB) (B) ; (AB): Bizony t s: a.) A A A+ A s o, o miatt () (A+ A)(A)+( A). b.) miatt az el z ll t sb l trivi lis. c.) Mivel 8i A i s az A A ::: A n ::: esem nyek egym st p ronk nt kiz rj k, az axi m kb l m r k vetkezik az ll t s. I..4. T tel: (oincare-t tel) (A j A j A ji ): j <j <<j in

15 n-re vonatkoz teljes indukci val: Bizony t s: esetben: n + A A +(A A ) s A (A A ) miatt I..3 t tel e.) ll t s t A (A +A )(A )+(A A )(A )+(A );(A A ): felhaszn lva: fel, hogy az ll t s igaz n esetben. Tegy k +-re az ll t s bizony t sa: n A i ( n+ n A i )( n n A i )+(A n+ ) ; ( A i ) n (A i A j )+ i<j<k n A i ) n n A A n )+(A n+ ) ; +() (A i A n+ )+ (A (A i A j A n+ ) ; + i<j n (A A A n A n+ ) +() a tagok felcser l s vel az ll t st kapjuk. ahonnan T tel: (Boole-egyenl tlens g) I..5. ( ) Kolmogorov-f le val sz n s gi mez. Akkor minden Legyen a.) n A i b.) nq A i n n (A i ) n ; A i : ; A i A +(A n A )+(A 3 n (A + A )) + +(A n n n egy diszjunkt felbont s, s Ez n A A ) (A n A ) (A ) A A i ): I. Aval sz n s gsz m t s alapfogalmai s axi marendszere 5 n+ A i + A n+ gy A i )+(A n+ ) ; (A n+ A i A n+ ): ( Az indukci s feltev s felhaszn l s val: n+ ( n (A i ) ; i<j (A i A j A k ) ; + + A A ::: A n eset n Bizony t s: a.) A 3 n (A + A ) A 3 ) (A 3 n (A + A )) (A 3 ).

16 6 I. FEJEZET AKolmogorov-f le val sz n s gi mez n n n A A i A n ) A n n n i (A n ) : A n A i (A )+(A n A )+(A 3 n (A + A )) + n A i nq A i nq A i: A i n nq n A i ; A i akkor ( akkor ( Y i ) lim A (A n ): n! Y A ) lim(a i n ): n! i $ lim A A n n! A $ lim A i n n! a lim fenn ll x n ) limf(x f( n ) tulajdons g. n! n! a.) Legyen A 0 s C i A i n A i n (A i ) : n ; A ; A i : i C i C j ha i 6 j mert Ekkor i n A i ) (A j n A j )A i (A j A i ) A j ha i 6 j. (A Tov bb A i Aval sz n s g ;additivit sa miatt: n n n A + + b.) A De Morgan azonoss gb l: gy az a.) ll t s eredm ny t is felhaszn lva: I..6. T tel: (A val sz n s g folytonoss gi tulajdons ga) Ha ::: A n,... olyan esem nyek, hogy a.) A A A A n A b.) Ha A A ::: A n :::.olyan esem nyek, hogy A A A n Megjegyz s: A t tel elnevez se az rt jogos, mert folytonos f ggv nyekn l Bizony t s: (i :::): C i :

17 C i i A gy Legyen i A i,akkor B B B n b.) B i : B Y B i A i, ez rt B i Y A i, teh t alkalmazva aza.) i lim(b n ) lim ( ) ; (A n )) ; lim (A n B ) n! n! n! i ) lim B (A n ): n! lda: A klasszikus val sz n s gi mez, a diszkr t egyenletes eloszl s I... az esem nyt r v ges elemsz m elemi esem ny halmaza: Ekkor! :::! n g,az esem nyalgebra sszes r szhalmazainak rend- f! s mindegyik elemi esem ny bek vetkez s nek egyforma a val sz n s geszere, (f! g)(f! g) (f! n g). Mivel az sszes elemi esem nyek rendszere teljes esem nyrendszert alkot, ez rt () ( n g) ) p i (f! i g) n 8 i -re. n (f! tetsz leges esem ny, akkor (A) gy, (f!g) n haa!a f! i g) An ahol k k az A esem ny sz moss ga. Vagyis az esem nyek val sz n s ge A gy sz m that, hogy az esem nybek vetkez se szempontj b l ked- ilyenkor elemi esem nyek sz m t osztjuk a k s rlettel kapcsolatos sszes elemi vez sz m val. esem nyek val sz n s gi mez vel modellezhet a kockadob s, a p nzfeldob s, Klasszikus a rulettez s, a k rtyah z s, a lott h z s, a tot tippel s stb. lda: Geometriai val sz n s gi mez I... a K v letlen k s rlet elemi esem nyeinek halmaza egy v ges m rt k Alkosson I. ld k val sz n s gi mez kre 7 (C i ) lim (C i ) n n! (A ) ; (A i )) lim ( ( (A n ) ; (A 0 )) lim i (A n ) : n! n! lim n n! Mivel eredm ny t ( ( A i ); ( I.. ld k val sz n s gi mez kre!a

18 8 I. FEJEZET AKolmogorov-f le val sz n s gi mez alakzatot. Ilyenkor az esem nyrendszer a geometriai alakzat m rhet geometriai r szhalmazait jelenti, s az A esem ny val sz n s g t a (A) (A) sz m tjuk, ahol a geometriai t r m rt k t jel li. Ha pl. intervallum, m don akkor hosszm rt k, ha s kidom, akkor ter letm rt k, ha test, akkor stb. t rfogatm rt k ha x s y k t v letlen l v lasztott 0 s k z es sz m, akkor ld ul, annak a val sz n s ge, hogy x + y< s xy < 0 6 lesz? mennyi most az egys gn gyzet lesz, az k rd ses esem ny pedig az al bbi br n 0 6 dx : x az esem nyek relat v gyakoris ga K s rletsorozat, lda: Amikor t zszer dobunk egy szab lyos j t kkock val, a kockadob shoz I.3.. tartoz t zszeres kis rletsorozatr l van sz. A lott h z sok soro- t bb mint harminc ven t tart kis rletsorozatk nt is felfoghat, gy az zata k s rletsz mra igaz az n>500: Ultiz sn l minden j t k el tt az oszt sn l n az I../b.) p ld ban eml tett K k s rletet, azaz itt is kis rletsorozatr l v grehajtjuk van sz. Den ci : Ha egy n-szeres k s rletsorozatban az A esem ny k A I.3.. k vetkezett be, akkor k A az A esem ny gyakoris ga, r n (A) k A -szor pedig n () besat rozott ter letnek felel meg: 0 8 A besat rozott ter let nagys ga: 0 I.3. Den ci : Tekints nk egy K v letlen k s rletet, s jel lje K n azt I.3.. k s rletet, amely a K n-szeres azonos k r lm nyek k z tti ism telt v gre- a hajt s b l ll. K n -t egy n-szereskis rletsorozatnak nevezz k. a relat v gyakoris ga.

19 Nyilv nval, hogy mind a gyakoris g, mind a relat v gyakoris g Megjegyz s: konkr t rt ke f ggav letlent l. A relat v gyakoris g rendelkezik az c.) Ha A A ::: A n :::egym st kiz r esem nyek, akkor r n ( A i ) sz zadban, mikor meggyelt k, hogy a relat v gyakoris g egyre kisebb XVII. ingadozik egy 0 s k z es sz m k r l. A klasszikus matema- m rt kben ppen ez alapj n deni lt k az esem nyek elm leti val sz n s g t: tikusok az rt k, amely k r l a relat v gyakoris g ingadozik. A relat v gyakoris g az alkalmas a val sz n s g mint zikai mennyis g m r s re. teh t az axi m iban a relat v gyakoris g a.)-c.) tulajdons gait Kolmogorov t a val sz n s gre, minthogy a hat r tmenet ezeket a tulajdons gokat r k tette megtartja. felt teles val sz n s g s az esem nyek A f ggetlens ge K v letlen k s rlet elemi esem nyei sz munkra v letlenszer en k vetkeznek A m gpedig az rt, mert a v geredm nyt befoly sol k r lm nyek bonyolult be, nem ismerj k pontosan. Viszont ismerj k az egyes esem nyek, komplexum t esem nyek bek vetkez si es lyeit a val sz n s get, vagy legal bbis elemi Ha viszont aza esem ny bek - k r lm nyeir l tov bbi inform ci kat szerz nk be, vagy bizonyos vetkez si felt telez ssel l nk, megv ltozhat az A bek vetkez si es lye, n het pontos t de cs kkenhet is. l. a kockadob s k s rletn l, a 6-os dob s esem nyval sz n s ge is, 0, ha tudjuk, hogy a dobott rt k p ratlan sz m, s 3, ha tudjuk, I.4 A felt teles val sz n s g s az esem nyek f ggetlens ge 9 al bbi tulajdons gokkal: I.3.. T tel: Egy adott n-szeres k s rletsorozatn l a.) r n :![0 ] b.) r n () r n (A i ): Megjegyz s: Az el z t tel azt ll tja, hogy a relat v gyakoris g ren- a val sz n s g tulajdons gaival. K s bb l tni fogjuk azt is, hogy delkezik n vekedt vel r n (A)! (A) is fenn ll. (Nagy sz mok Bernoulli-f le t r- n v nye). Ezt a t rv nyszer s get el sz r tapasztalati ton fedezt k fel a I.4. tetsz leges pontoss ggal m rhetj k ket. hogy a dobott rt k p ros volt.

20 0 I. FEJEZET AKolmogorov-f le val sz n s gi mez v ltozik (v ltozna) az A esem ny val sz n s ge, ha az A-val Hogyan meggyelhet B esem ny bek vetkez s t ismerj k (ismern nk)? egyidej leg fel, hogy a K k s rlettel v grehajtottunk egy n hossz s g kis rletsorozatot. Tegy k Az A esem nyt k A -szor, a B esem nyt k B -szer, az AB esem nyt k AB -szer gyelt k meg. Ekkor a B esem ny bek vetkez s hez k pest pedig A esem ny bek vetkez s nek relat v gyakoris ga nyilv n r n (A jb ) k AB k az B az A esem nynek a B esem nyre vonatkoztatott relat v gyakoris g nak melyet nevez nk. Ez az ar ny azabek vetkez si es lyeit pontosabban t kr zi, a B bek vetkez s r l biztos tudom sunk van, mint azr n (A) k A ha : n felt teles relat v gyakoris g tulajdons gai nyilv n: A r n ( A i jb ) r n (A jb ) k AB k Az B n (A jb )! (AB) (B) : r AB k n k Bn rn(ab) r n(b) Den ci : Legyenek A B olyan esem nyek, hogy A tetsz leges I.4.. s (B) > 0: Akkor az A esem nynek a B-re vonatkoztatott felt teles a (A jb) (AB) (B) val sz n s g n T tel: Tekints k az ( ) Kolmogorov-f le val sz n s gi mez t. I.4.. B (B) > 0 r gz tett. a B (A) $ (A jb) felt teles val sz n s gre teljes lnek az al bbi Ekkor tulajdons gok: a.) 0 B (A) a.) 0 r n (A jb ) b.) r n (B jb ) c.) Ha A A ::: A n :::egym st kiz r esem nyek, akkor r n (A i jb) : t r s ut n, ha n! kapjuk, hogy sz mot rtj k. (8 A ) b.) B (B) B ( ) 0 c.) 8 A A ::: A n :::: A i A j (i 6 j) ) B ( A i ) B (A i ): Bizony t s:

21 B B B miatt B (B) (B) (B) s B, teh t B( ) ( ) (B) 0: b.) Mivel az A A ::: A n ::: esem nyrendszer egym st kiz r esem nyekb l c.) ll, ez rt A B A B ::: A n B ::: is egym st kiz r esem nyekb l ll rendszer, gy a val sz n s g -additivit si tulajdons g b l: ( (A i B). Mindk t oldalt osztva (B)-vel m r ad dik az ll t s. (A i B)) Az el z t tel azt ll tja, hogy ha B-t r gz tj k, s B $ fc C A B A g, a.) a (B B B ) kiel g ti a Kolmogorov val sz n s gi mez axi m it. akkor Vannak A B esem nyek, amelyekre (A jb) (A) teljes l, azaz A val sz n s ge b.) nem v ltozik meg, ha a B esem ny bek vetkez s t ismerj k Den ci : Legyenek A B tesz leges esem nyek. Az A s B I.4.. f ggetlenek, ha(ab) (A)(B) fenn ll. esem nyek Nem szabad sszekeverni az egym st kiz r esem nyek s a f ggetlen esem nyek b.) fogalmait! Ha k t esem ny egym st kiz rja, azaz AB, akkor egyik bek vetkez se igencsak meghat rozza a m sik bek vetkez s t: az pl. A bek vetkezik, akkor B biztosan nem k vetkezik be. F gget- ha esem nyek eset n, ha az egyik esem nybek vetkez s t ismerj k, nem len meg a m sik bek vetkez si val sz n s ge. v ltozik Az esem nyek f ggetlens g nek a fogalma k l nb zik a zikai rtelemben c.) f ggetlens g fogalm t l is. Azikai f ggetlens g azt jelenti, hogy vett okozat nem k vetkezm nye az oknak, teh t itt a f ggetlens g nem az szimmetrikus. I.4 A felt teles val sz n s g s az esem nyek f ggetlens ge a.) Mivel AB B, ez rt (AB) (B), teh t k vetkezik az ll t s. Megjegyz s: az A val sz n s ge f ggetlen a B bek vetkez s t l. Megjegyz s: Ha az A B esem nyek f ggetlenek s (A)(B) > 0,akkor (A jb ) a.) s (B ja) (B) is fenn ll, vagyis az egyik esem ny bek vetke- (A) z s nek ismerete, nem befoly solja a m sik esem ny val sz n s g t.

22 I. FEJEZET AKolmogorov-f le val sz n s gi mez (A B)+(AB) (A) ) (A B)(A) ; (AB) a.) ; (A)(B) (A)( ; (B)) (A)( B) (A) ( AB) +(AB) (B) ) ( AB) (B) ; (AB) b.) ; (A)(B) (B)( ; (A)) (B)( A) (B) ( A B)+(A B)( B) ) ( A B)( B) ; (A B) c.) B) ; (A)( B)( B)( ; (A)) ( B)( A) ( T tel: Az s esem nyek mindena esem nyt l f ggetlenek. I.4.3. ( A) ( ) 00(A) ( )(A) ) s A f ggetlenek. Bizony t s: (A) (A) (A) ()(A) ) s A f ggetlenek. Den ci : Az A A ::: A n esem nyek p ronk nt f ggetlenek, I.4.3. ha(a i A j )(A i ) (A j ) (8 i 6 j): Den ci : Az A A ::: A n esem nyek teljesen f ggetlenek, I k f 3 ::: ng s 8 i <i < <i k n indexkombin ci ra ha T tel: Ha az A A ::: A n esem nyek teljesen f ggetlenek, I.4.4. p ronk nt is f ggetlenek. Ford tva ltal ban nem igaz. akkor I.4.. T tel: Ha az A B esem nyek f ggetlenek, akkor a.) A s B b.) A s B c.) A s B is f ggetlenek. Bizony t s: ) A B f ggetlenek. ) B A f ggetlenek. ) B A f ggetlenek. (A i A i A ik )(A i )(A i ) (A ik ).

23 Bizony t s: I.4.4 den ci ban, amikor k, ppen az I.4.3 den ci t kapjuk. Az megford t sra ellenp lda: A : Dobjunk egy szab lyos kock val egym s ut n k tszer. K els re p ratlant dobunk B: m sodikra p ratlant dobunk A: ak t dobott sz m sszege p ratlan. C: (A) (B) (C), (AB) (AC) (BC) 4 f ggetlenek. p ronk nt (ABC) 06 (A)(B)(C) 8 azaz teljesen nem f ggetlenek De! T tel: Ha az A A ::: A n esem nyek teljesen f ggetlenek, I.4.5. k z l k b rmelyiket azellentett esem ny re felcser lve, jra teljesen akkor Bizony t s: fel pl. A -et A -gyel. Ekkor a teljesen f ggetlens g felt telrendsze- Cser lj k csak azokat az sszef gg seket kell ellen rizni, amelyekben A szerepeltr ben Legyen egy ilyen pl. ( A A i A ik ) ahol <i < <i k n: hogy az eredeti rendszer teljesen f ggetlen volt: Kihaszn lva, A i A ik )(A )(A i ) (A ik )(A ) (A i A i3 A ik ) (A A f ggetlen a A i A i3 A ik szorzatesem nyt l, gy a I.4. t tel miatt azaz is az. De ekkor A A A i A ik )( A ) (A i A i3 A ik )( A )(A i ) (A ik ) ( teljes l A -re is a teljesen f ggetlens ghez sz ks ges felboml s. azaz T tel: (Szorz si szab ly) I.4.6. az A A ::: A n tetsz leges esem nyek gy, hogy Legyenek ny A i ) > 0: Ekkor A i! ny A i! (A ja ) (A ) : i A A i! A i! I.4 A felt teles val sz n s g s az esem nyek f ggetlens ge 3 ) A B C A B s C. f ggetlen rendszert kapunk. ( ny! n Y n A i A! n; Y n A i A Y n Bizony t s: 0 A i n Y n A n; Y n A n A i! ::: 0 Y n; C Y A

24 4 I. FEJEZET AKolmogorov-f le val sz n s gi mez (A ja ) (A A ) ) : (A T tel: (A teljes val sz n s g t tele) I.4.7. A A ::: A n :::teljes esem nyrendszert, vagyis Alkosson j ) s ( A i. Tegy k fel tov bb, hogy (A i ) > 0 6 i minden i-re. Ekkor tetsz leges B esem nyre (B) Bizony t s: Mivel B B B A s i k vetkezik, hogy (B) ( A i B) A i (A i B) T tel: (Bayes t tele) I.4.8. A A ::: A n :::teljes esm nyrendszert, vagyis Alkosson (A i jb) j ) s ( A i : Tegy k fel tov bb, hogy (A i ) > 0 6 i (BjAi)(Ai) j (BjA j )(A j) felt teles val sz n s g den ci j b l: (A i jb ) (AiB) (B) : Asz ml l he- A (B ja i ) (A i ) -t rva, a nevez hely be pedig a teljes val sz n s g ly be kapott formul t helyettes tve azonnal ad dik az ll t s. t tel b l Feladat: A pr bagy rt s sor n k t szempontb l vizsg lj k a k szterm keket. I.5.. Az A esem ny azt jelenti, hogy egy v letlenszer en kiv lasztott anyaghib s, a B pedig az az esem ny, hogy a kiv lasztott gy rtm ny mintadarab m rethib s. Tudjuk, hogy (A) 0 5 (B) 0 3 s (AB) L that, hogy sszeszorz s s egyszer s t s ut n az ll t st kapjuk. A i A j (B ja i )(A i ) : (A i B) valamint (A i B) (A j B) aval sz n s g -additivit si tulajdons g b l (B ja i )(A i ) : A i A j minden i-re. Ekkor tetsz leges B esem nyre, ahol (B) > 0 : Bizony t s: I.5. Kidolgozott feladatok s gyakorlatok Mennyi annak a val sz n s ge, hogy valamelyik term k hib tlan?

25 Feladat: Mennyi ; A j B ha (A) 0 6 (B) 0 5 s (A+ I ? B) ; A j B (A B) B) (A);(AB) ;(B) (A+B);(B) ;(B) 0 6: ( Feladat: Egy fekete s feh r goly kat tartalmaz urn b l kih zunk I.5.3. n db goly t. A i jelentse azt az esem nyt, hogy az i-ediknek kih zott feh r. ( i n ). Fejezz k ki az A i esem nyek seg ts g vel az al bbi goly esem nyeket: : Mindegyik goly feh r, A : Legal bb egy goly feh r, B : ontosan egy goly feh r, C : Mindegyik goly ugyanolyan sz n. D A A A n A C D n nq Q A A j i i6j A i + nq A i. Feladat: be, tetsz leges A B esem nyekre I.5.4. Bizony tsa hogy ; ; A B ; ; + AB ; ; + A B 0 5! + (AB)) ( (AB)+ ; A B + ; AB + ; A B : Legyen (AB) +0 5 ; A B y +0 5 ; AB z +0 5 ; A B v +0 5: Mivel x x + y + z + v 0) (x +0 5) +(y +0 5) +(z +0 5) +(v +0 5) + y + z + v + x+y+z+v x Feladat: Ketten sakkoznak. Az A esem ny akkor k vetkezik be, I.5.5. a vil gossal j tsz nyer, a B esem ny akkor, ha a s t ttel j tsz m sik, ha pedig a C esem ny k vetkezik be. Fogalmazzuk meg szavakban, mit remin l az al bbi esem nyek: jelentenek I.5 Kidolgozott feladatok s gyakorlatok 5 ; A B ; (A + B) ; (A); (B)+ (AB) 0 63 B A + A + + A n : a. AB + A B

26 6 I. FEJEZET AKolmogorov-f le val sz n s gi mez c. A + C? a. s b. a C esem nyt jelenti, c. B azaz nem a s t ttel j tsz nyer. j t kos Feladat: Egy c lt bla t z koncentrikus k rb l ll, s a sugarakra I.5.6. az < < < 0 rel ci. A k azt az esem nyt jelenti, hogy egy fenn ll az k sugar k rbe esik. Fogalmazzuk meg szavakban, mit jelentenek l v s al bbi esem nyek: B A +A 3 +A 6 C A A 4 A 6 A 8 D (A + A 3 ) A 6! az I.5.7. Feladat: Tegy k fel, hogy A B B A + B ) (A + B) (A)+(B); (AB) ; (AB) A Feladat: Bizony tsa be, hogy ; AB + A B (A) + (B) ; I.5.8. (AB)! ; AB + A B ; AB + ; A B (A) ; (AB) + (B) ; (AB). (A + B) (AB) 3 (B) 3 (A), gy (A)+(B);(AB) (A)+0 5(A); 3 (A) 7 6 (A), (A+B) Feladat: Legyen (A) 3 (A j B) 3 (B j A) 3 : Hat rozza I.5.0. meg a (A + B) s ( A j B) val sz n s geket! (AB) (A)(BjA) 9 (B) (AB)(AjB) gy(a + B) 3 +3 ; ( A j B)( A B)( B) 3, b. A B B A 6 C A D A 3 : val sz n s g esem nyek. Mutassuk meg, hogy ekkor (AB) ; AB! (A + B) ; ; A + B ; ; A B ) ll t s. Feladat: Ha az A s B esem nyekk z l az egyik felt tlen l bek vetkezik, I.5.9. (A j B) 3 (B j A) 3, mennyi a (A) s (B) val sz n s g? azaz (A) 6 7 s (B) 3 7 : ( ; (A + B)) ( ; (B)) 3 :

27 Feladat: (De M r lovag feladv nya) I.5.. esem nynek nagyobb a val sz n s ge: hogy egy kock val n gyszer Melyik legal bb egyszer hatost dobunk(a), vagy annak, hogy k t kock val dobva dobva legal bb egyszer k t hatosunk lesz(b)? huszonn gyszer K t k l nb z val sz n s gi mez r l van sz. Az els ben szab lyos kock val n gyszer dobunk. Az sszes elemi esem nyek sz ma egy 6 4 : n vizsg lt A esem ny ellentettje az az esem ny, hogy egyszer sem dobunk A hatost. Ilyen eset sszesen 5 4 lehet, vagyisazellentett esem ny val sz n - ; A ; 5 4 : gy az A esem ny val sz n s ge: ; ; 5 s ge: m sodik vizsg lt esem ny egy eg szen m s k s rlethez s esem nyt rhez A Most a v letlen k s rlet az, hogy k t szab lyos kock val dobunk 4- tartozik. Az sszes elemi esem ny most sokkal t bb: A m sodik esem ny szer. most az, hogy a dob ssorozatban egyszer sem dobunk dupl n ellentettje ::: L that, hogy az A esem nyval sz n s ge nagyobb. a A feladatot De M r lovag adta fel Blaise ascal francia Megjegyz s: aki ezen feladat kapcs n elkezdett vizsg l d sai nyom n matematikusnak, el a val sz n s gsz m t s els komoly eredm nyeihez. A feladatban jutott els pillant sra az t nik fel, hogy mindk t esem ny eset ben a egy bk nt sz m nak s a lehets ges kimenetelek sz m nak ar nya azonos: A- dob sok Feladat: Egy urn b l, ahol feh r s fekete goly k vannak, v letlenszer en I.5.. kivesz nk visszatev ssel k t goly t. Bizony tsuk be, hogy annak a Legyen a feh r goly k sz ma n, afeket k m (n m ). Ekkor k s rlet elemi esem nyeinek sz ma (n + m) akedvez esetek av letlen pedig n + m : Akeresett val sz n s g: p n +m Feladat: ( lya-f le urnamodell) I.5.3. urna r darab fekete s s darab feh r goly t tartalmaz. V letlenszer en Egy egy goly t. Akih zott goly t s m g plusz c darab ugyanolyan kih zunk goly t visszatesz nk az urn ba. Mennyi a val sz n s ge annak, hogy sz n I.5 Kidolgozott feladatok s gyakorlatok : Ennek val sz n s ge ; A m sodik esem nyval sz n s ge gy hatost. a ; 35 ; (B) n l 4:6,aB-n l 4 : 36. val sz n s ge, hogy a goly k ugyanolyan sz n ek, nem lehet kisebb mint 0 5. (n+m).mivel (n ; m) 0 ) n +m n +nm + m ) p 0 5.

28 8 I. FEJEZET AKolmogorov-f le val sz n s gi mez n-edik h z s ut n a-szor h ztukkiafekete, s b-szer a feh r goly t? az + b n). (a r(r+c)(r+c)(r+3c)(r+(a)c)s(s+c)(s+c)(s+(b)c). (r+s)(r+s+c)(r+s+c)(r+s+3c)(r+s+(n)c) minden m s olyan h z ssorozatnak, ahol a-szor h ztuk ki a fekete, s De a feh r goly t is ugyanekkora a val sz n s ge. A k l nb z kimenetelek b-szer ; n a gy a keresett val sz n s g: sz ma ; n r(r+c)(r+c)(r+3c)(r+(a)c)s(s+c)(s+c)(s+(b)c) (r+s)(r+s+c)(r+s+c)(r+s+3c)(r+s+(n)c). a Feladat: Ha egy szab lyos p nz rm t n-szer feldobunk, mennyi I.5.4. hogy k-val t bbsz r fogunk fejet kapni, mint r st? aval sz n s ge, Ha a fejdob sok sz m t f, az r sok t i jel li, fenn kell llnia, f +i n s f ;i k. Innen k vetkezik, hogy f n +k s i n;k, hogy hossz s g ppen fejet ; n ; n n n+k f; dobunk f dob ssorozatban n minden hossz s g sorozat egyform n ; n val sz n s g, s ezek Ugyanis, ; n n k z tt ; f olyan k l nb z dob ssorozat lehet, ahol a fejek sz ma ppen f Feladat: Egy minden oldal n befestett fakock t a lapokkal p rhuzamos I.5.5. s kokban 000 azonos m ret kis kock ra f r szelnek sz t. A kapott kock kb l v letlenszer en kiv lasztunk egyet. Mennyi a val sz n s ge, kis a kock nak ppen k oldala festett? (0 k 3). hogy sszes eset n 000. Kedvez esetek k 0-n l 8 3 (abels 8 8 kisn gyzetben l v mindegyik r szkocka j ), k -n l 6 64 (mindegyik 8 a bels 8 8-as n gyzethez tartoz an), k -n l 8 (minden len lapon 8 ilyen kocka) s v g l k 3-n l 8 (a cs csok n l lehet ilyen eset). van Feladat: Egy kalapban az angol ABC 6 bet je van. Visszatev ssel I szer h zva, a kih zott bet ket sorban egy pap rra fel rva, mennyi hogy a kapott sz b l legfeljebb k t bet t felcser lve ppen a aval sz n s ge, sz j n ki? STATISZTIKA n : l. annak az esem nynek a val sz n s ge, hogy az els a mindig fekete s az utols b h z skor pedig csupa feh r goly t fo- h z skor gunk h zni: (0 k n). vagyis n s k parit s nak meg kell egyeznie. Annak val sz n s ge, hogy egy (kedvez esetek).

29 ;3 Az sszes eset n 6 kedvez esetek sz ma k + ; azonos bet k egym s k zti cser it le kell vonni). 50(az ; 3 ; Feladat: Egy szab lyos rm vel n-szer dobva, mennyi a val sz n s ge, I.5.7. hogy a fejdob sok sz ma p ratlan lesz? Aval sz n s g ppen 0 5. Ugyanis, ha tekint nk egy olyan amelyben a fejek sz ma p ratlan, akkor ha az els dob st kicse- sorozatot, az ellenkez j re, olyan sorozatot kapunk, melyben a fejek sz ma m r r ln nk lesz. Azaz a p ros s a p ratlan fejdob sos sorozatok k z tt k lcs n sen p ros lek pez s hozhat l tre, vagyis mindegyik k ugyanolyan val sz n. egy-egy rtelm Feladat: Egy szab lyos rm vel n-szer dobva, mennyi a val sz n s ge, I.5.8. hogy ; n,d: ; ; ; n, b: ha p ratlan ; n n, ha n p ros, c: ; s n 0, Feladat: Egy kalapban h rom c dula van, amelyekre az 3 I.5.9. vannak fel rva. V letlenszer en egyes vel kih zzuk a c dul kat. sz mjegyek a val sz n s ge annak, hogy a h z skor lesz olyan c dula, amelyikre Mennyi az a sz m van fel rva, ah nyadikk nt kih ztuk azt? ppen Az sszes eset n 3!6. Ezek k z tt a nem kedvez eset kett van: 3 s 3. Akeresett val sz n s g: 3. csak Feladat: Feldobunk h rom szab lyos p nz rm t. Mennyi a val sz n s ge I.5.0. az A B C esem nyeknek, ahol A: legal bb k t rm vel fejet B: pontosan k t rm vel fejet dobunk, C: legfeljebb k t rm vel dobunk, dobunk? fejet I.5 Kidolgozott feladatok s gyakorlatok 9 ; a. el sz r az n-edikre j n fej? b. ugyanannyi fejet dobunk, mint r st? c. pontosan k t fejet dobunk? d. legal bb k t fejet dobunk? a: ; n n ; n. n ;

30 30 I. FEJEZET AKolmogorov-f le val sz n s gi mez (vagy kett, vagy h rom fejet dobunk) ;; 3 (A) 3 ; ; (B) ; fejet ; : ; dobunk) (h rom + ; 3 3; Feladat: A 905 lott h z s el tt mennyi a val sz n s ge, hogy I tal latunk lesz? k k tal latn l: ; 5 -n l 5 ; 85, 3 ; k k 3-n l ; 5 4-n l ; 5 4 k 3; 85, ; 85 ; 85 4, v g l 5-n l 5; : ; k s Feladat: Egy urn ban feh r s fekete goly k vannak, melyeket I.5.. ut n visszatev s n lk l kih zunk. Az A vagy a B esem nynek nagyobb-e egym s (A) K(N)(N;) K N s (B) (N)(N;)K K N Feladat: Egy csomag 5 lapos francia k rty b l 3 lapot tal lomra I.5.4. visszatev s n lk l kih zunk. Mennyi a val sz n s ge annak, hogy (C) (nem h rom fejet dobunk) Az lehets ge sz ma ; , 5 sszes lott h z sok n sz ma esetek akedvez, aval sz n s ge, ahol A: az els goly feh r, s B: az utols goly feh r? Ha N agoly k sz ma, ebb l K a feh rek, akkor N! N!, azaz a k t esem ny ugyanolyan val sz n s g. Feladat: Ha n egyforma l d ba elhelyez nk n egyforma goly t I.5.3. hogy b rmely l d ba ugyanolyan val sz n s ggel tessz k b rmelyik go- gy, ly t, mennyi a val sz n s ge annak, hogy mindegyik l d ban lesz goly? sszes eset n n,akedvez esetek sz ma pedig: n!. a. a tre kir ly a kih zott lapok k z tt lesz? b. pontosan k t tre lesz a leosztott lapok k zt? c. a tre kir ly s a tre sz a kih zott lapok k zt van? d. van tre a leosztott lapok k z tt?

31 3) b: ( 3 )( 39 ) 5 3) ( 3) d: ; ( Feladat: Legal bb h ny szab lyos p nzdarabot kell feldobni ahhoz, I.5.5. hogy 90%-n l nagyobb legyen a val sz n s ge annak, hogy van k z tt k 39 3) 3) : (nem dobunk fejet) ; n 0 9 ) n 4: Feladat: Egy sz rakozott polg r elfelejtette bankk rty j nak szem lyi I.5.6. azonos t (IN) k dj t, csak abban biztos, hogy a n gy sz mjegy k z tt Az sszes lehets ges vari ci k sz ma: : Ennek sz ks ges id : 4590 m sodperc. Egy r ban 3600 m sodperc van, be t s hez a val sz n s g: p : gy Feladat: Egy rm t n-szer feldobunk, a fejval sz n s ge p. I.5.7. p n -nel annak val sz n s g t, hogy az n dob s sor n p ros sz m Jel lj k n (; p) p n + p ( ; p n ) p 0 : p Feladat: Ha az egys gn gyzetben v letlenszer en kiv lasztunk I.5.8. (x y) pontot, akkor mennyi a val sz n s ge, hogy az a t glalap, melynek egy orig s az ellent tes cs csai olyan lesz, hogy a ker lete kisebb -n l, a az pedig ugyanakkor kisebb lesz 0 6-n l? ter lete most az egys gn gyzet lesz, az k rd ses esem ny pedigaz besat rozott ter letnek felel meg: br n I.5 Kidolgozott feladatok s gyakorlatok 3 (5 ) 5 a: ( (50 ) c: 5 ( ( 5 fej? pontosan k t h rmas, s az els jegy biztosan nem a nulla volt. Ha t z volt be t egy lehets ges vari ci t, akkor mennyi az es lye an- m sodpercenk nt nak, hogy egy r n bel l eltal lja a helyes azonos t sz mot? fejet dobtunk. Mennyi p n? n p ( ; p) +p p n; ( ; p) + p ( ; p) +p p n p 0 ( ; p) n n + p ( ; p) i ( + ( ; p)n ) : i0 Ha az rme szab lyos, p n 0 5:

32 3 I. FEJEZET AKolmogorov-f le val sz n s gi mez 0 6 dx : x Feladat: (A Buon-t probl ma, 777.) I.5.9. szob ban egym st l d t vols gban p rhuzamosan padl r sek futnak. Egy egys<dhossz s g t t, mekkora a val sz n s ge, hogy a t ppen Leejtve padl r st fog metszeni? egy A t helyzet t egy rtelm en a felez pontj nak a fels padl r st l vett y t vols g val s a padl r sek ir ny val bez rt sz g vel jellemezz k. a k r lm nyekkel, hogy melyik k t r s ltal meghat rozott s vba Azokkal a k z ppont, s hogy a p rhuzamosokra mer leges falt l milyen messze esik a k z ppont nem foglalkozunk, mert a t metszi a padl r stesem ny van ezek nincsenek hat ssal. bek vetkez s re 0 y d s 0. A t leejt se ut n y s egy rtelm en Nyilv n vagyis a v letlen k s rlet elemi esem nyei azon (y ) pont- meghat rozhat, melyek elemei a [0 d] s [0 ] intervallumok ltal meghat rozott t glalapnakp rok, (Ez a t glalap az esem nyt r). Metsz s egyszerre csak egy 0 8 A besat rozott ter let nagys ga: 0 padl r sn l k vetkezhet be, mert s<d. A metsz s csak akkor k vetkezhet

33 ha 0 y s sin, vagy ha (d ; y) s sin teljes l. A felt teleknek be, (y ) pontp rok tartom ny t az al bbi br n besat roztuk: megfelel 0 s sin d s [; cos ] 0 s a ter lete pedig d. t glalap a keresett val sz n s g: (a t metszi a padl r st) s d. gy Mivel a val sz n s g kapcsolatos -vel, lehet s g van statisztikus Megjegyz s: eszk z kkel a becsl s re. Ha nagyon sokszor v grehajtjuk a v - k s rletet, s sz moljuk a metsz sek bek vetkez s t, azaz a vizsg lt letlen akkor ezt a k s rletek sz m val elosztva (relat v gyako- esem nygyakoris g t, a fenti val sz n s get j l lehet k zel teni. Ebb l -t kifejezvekapjuk a ris g) 885-ben Stephan Smith angol matematikus 300-szer v grehajtva k zel t st. Feladat: V lasszunk ki egy pontot v letlenszer en az egys gn gyzetben, I melynek koordin t it jel lje (a b). Tekintveap(x) ax ;bx+ mekkora a val sz n s ge annak, hogy a p(x) 0egyenletnek van polinomot, gy ke? val s Egy polinomnak akkor van val s gy ke, ha a diszkrimin nsa azaz D 4b ; 4a 0: Innen k vetkezik, hogyav letlenszer - pozit v, kiv lasztott pont koordin t i k z tt fenn kell llnia a b a rel ci nak. en megfelel tartom nyt az egys gn gyzetben bes t t tett k: Ennek I.5 Kidolgozott feladatok s gyakorlatok 33 A s t t tett ter let nagys ga T a k s rletet, -re t kapott.

34 34 I. FEJEZET AKolmogorov-f le val sz n s gi mez bes t t tett tartom ny ter lete megegyezik a keresett val sz n s ggel, A az egys gn gyzet ter lete. mivel Feladat: V lasszunk ki egy pontot v letlenszer en az egys gn gyzetben, I.5.3. melynek koordin t it jel lje (a b). Mekkora a val sz n s ge annak, Egym st metsz egyenesekt l egyenl t vols gra fekv pontok helye az egyenesek sz g nek felez egyenese. Az oldalegyenesek s m rtani tl egyeneseinek sz gfelez i az oldalegyenesekkel 5 -os sz get z rnak az A vizsg lt esem nypontjai ez rt az oldalak s a sz gfelez k ltal hat rolt be. br n jel lt magass gvonal m tg 5 : A bes t t tett ter let most Az a keresett val sz n s ggel egyezik meg: is (a pont k zelebb van az oldalhoz) T 4 m gy (van val s gy k) x dx 3 : 0 hogy a pont k zelebb van a n gyzet egy oldal hoz, mint egy tl j hoz? tartom nyba esnek: tg 5 p ; : Feladat: Az egys gintervallumban v letlenszer en kijel lve k t I.5.3. mekkora a val sz n s ge, hogy a keletkez h rom szakaszb l h rom- pontot, sz g szerkeszthet?

35 Jel lj k a k t pontnak a 0-t l vett t vols gait rendre x-el s Az (x y) p r ilyenkor egy pontot hat roz meg az egys gn gyzetben, y-nal. teh t most is a v letlen k s rlethez tartoz esem nyt r. A h romsz g ami a keletkez h rom szakasz a b c hosszainak ki kell el g tenie szerkeszt s hez az a + b c, a + c b s b + c a egyenl tlens geket. Az egyidej leg a h rom szakasz az a x b y ; x s c ; y. gy a x<yesetben szerkeszthet s ge az al bbi egyenl tlens gek egyidej fenn ll s t h romsz g meg x y-t l: k veteli y x esetben a fenti egyenl tlens geknek a x 0 5 x;0 5 y s y Az rendszer fog megfelelni. A k t krit riumrendszerhez tartoz tartom nyt 0:5 Feladat: Egy szob ban egym st l d t vols gban p rhuzamosan I futnak. Leejtve egys<d tm r j p nzdarabot, mennyi a va- padl r sek hogy a p nz ppen egy padl deszka belsej be esik, azaz nem l sz n s ge, a padl r st? metszi I.5 Kidolgozott feladatok s gyakorlatok 35 x +(y ; x) ; y () y 0 5 x +( ; y) y ; x () y x +0 5 (y ; x) +(; y) x () x 0 5: bes t t tett k az egys gn gyzetben: gyakeresett val sz n s g 0 5 lesz.

36 36 I. FEJEZET AKolmogorov-f le val sz n s gi mez Ap nzk z ppontj nak s-n l nagyobb t vols gra kell lennie padl r st l, gy a val sz n s g p ; sd. mindk t Feladat: Egy d 0cm oldalhossz s g n gyzetr csos padl zatra I leejt nk egy s 3cm tm r j p nzdarabot. Mennyi a val sz n s ge, hogy a p nz teljes terjedelm vel egy n gyzet belsej be a. fog esni? Mennyi a val sz n s ge, hogy h sszor v grehajtva a k s rletet, az esem ny b. tsz r k vetkezik be? ppen a. Ahhoz, hogy a p nzdarab benne legyen a n gyzetben, a bels 7 cm oldalhossz s g n gyzetbe kell esnie, ap nzk z ppontj nak p 49. b. Az el z p val sz n s ggel: ; 0 5 p ( ; p) 5 0 gyaval sz n s g Feladat: Egy d 0cm oldalhossz s g n gyzetr csos padl zatra I leejt nk egy s 3cm hossz t t. Mennyi a val sz n s ge, hogy a t Akeresett val sz n s g p ; 4sd;s hogy a t a v zszintes oldalt metszi, B pedig azt, hogy a t f gg leges jelenti, keresztez, akkor meghat rozand a (A + B) val sz n s g. oincare oldalt l ttuk, hogy (A) (B) (AB) 4 d 0 0 s d dxdyd s : Ak pletben x s y at k z p- d koordin t i, pedig a t egyenes nek a v zszintessel bez rt sz ge. pontj nak (AB) val sz n s g a k t oldalt egyszerre metsz t elhelyezked sekhez A (x y ) pontok alkotta t rr sz t rfogat nak s a d d has b tartoz ar nya. t rfogat nak 5 k plettel sz molhatjuk ki. teljes eg sz ben egy n gyzet belsej be ker l? d : Ha A aztazesem nyt t tel b l: (A + B) (A) +(B) ; (AB). A Buon-t probl m n l Az AB szorzatesem ny val sz n s ge s s jcos j sin 0

37 Feladat: Egy a b oldalhossz s g t glalapon kiv lasztunk I egy pontot. Mennyi a val sz n s ge, hogy a pont k zelebb van egy K t pont k z tt egyenl t vols gra l v pontok m rtani helye sszek t szakasz felez mer legese. gy a keresett esem nynek apontokat (feh r) alakzat k t szimmetrikus trap zb l ll. Mivel a trap zok Ak z ps k z pvonalai az tl k meghat rozta h romsz g k z pvonal val egyeznek a hosszuk. A trap z magass g 0 5. gy a feh r alakzat ter lete ppen meg, lesz. Ez rt a bes t t tett alakzat ter lete is, gyakeresett val sz n s g Feladat: Ketten megbesz lik, hogy 0 s ra k z tt egy meghat rozott I helyen tal lkoznak. Meg llapod s szerint, aki kor bban rkezik percet v r a m sikra, s csak azut n t vozik. Mennyi a tal lkoz s val sz n s ge, 0 ha mindketten v letlenszer en rkeznek? Jel lje x az egyik, y a m sik ember v letlen meg rkez s nek Az (x y) p r egy v letlen pontot hat roz meg az egys gn gyzetben. idej t. A tal lkoz shoz fenn kell llnia a jx ; yj < 3 I.5 Kidolgozott feladatok s gyakorlatok 37 cs cshoz, mint ak z pponthoz? megfelel tartom nyt az al bbi br n bes t t t ssel szeml ltethetj k: 0 5. rel ci nak, melyet kiel g t pontok bes t t tve l that k az al bbi br n: Az br r l k zvetlen l leolvashat, hogy a keresett val sz n s g: ; :

38 38 I. FEJEZET AKolmogorov-f le val sz n s gi mez Feladat: Egy egys gnyi hossz s g szakaszon tal lomra v lasztunk I k t pontot. Mennyi a val sz n s ge annak, hogy ezek k zelebb vannak x<yesetben, hogy y ; x< ; y s y ; x<x.(azy<xesetben fenn ll a krit riumok x ; y< ; x s x ; y<ylenn nek.) Az egys gn gyzeten ezek Feladat: Egy temeletes h zban az emeletek k z tt 6 mt vols g I van, a f ldszint s az els emelet k z tt 8 m. Ha a liftajt m, mennyi a annak, hogy a lift megakad sakor az ajt t teljes eg sz ben fal val sz n s ge takarja? A lift teljesen a fal m g tti takar sban van a f ldszinten 4 kereszt l, az : : 3. s 4. emeleten - m-en t. A lift ssz tja m-en 6+34m. gy a keresett val sz n s g: p 34 : 8+4 Feladat: Az ABCD egys gn gyzeten v letlenszer en kiv lasztva I pontot, mennyi a val sz n s ge, hogy a pont k zelebb lesz a n gyzet egy Egy pontt l s egy egyenest l azonos t vols gban fekv pontok helye a s kban a parabola. gy a n gyzet pontjai k z l azok lesznek m rtani k zelebb, mint az alapon fekv AB oldalhoz, amelyek felette ak z pponthoz azon parabola vonal nak, melynek a k z ppont a f kusza, s az AB vannak egym shoz, mint b rmelyik v gponthoz? A vizsg lt esem nyhez tartoz pontok (x y) koordin t ira bejel lve a rel ci knak eleget tev pontok alkotta tartom nyt: Ezek alapj n a keresett val sz n s g: 3 : k z ppontj hoz, mint az AB oldalhoz? a direktrisze. Ha AB az x tengelyre esik, s az A pont ppenaz vonala

39 ; +0 5 dx (x : 0 5) ; 3 Feladat: Egy egys gnyi hossz szakaszt elt r nk, majd a hosszabbik I.5.4. r szt jb l elt rj k. Mennyi a val sz n s ge, hogy a keletkez h rom Jel lje az els t r s ut n keletkezett hosszabbik szakasz hossz t (0 5 x ) : A m sodik t r sn l ezt az x hossz s g szakaszt t rj k x y ( ; y) x +; x xy () x y: Miut n az els felt tel trivi lisan x a szerkeszthet s g felt tele: ; x y x x ; teljes l, I.5 Kidolgozott feladatok s gyakorlatok 39 orig, akkor a parabola egyenlete: y (x ; 0 5) +0 5: Akeresett ter let: ; 0 szakaszb l lehet h romsz get szerkeszteni? xy s ( ; y) x hossz szakaszok keletkeznek, ahol 0 y : A h rom kett : most a xy b (; y) x s ; x: H romsz g akkor szerkesz- szakaszhossz thet, ha xy +(; y) x ; x () x 0 5 xy+; x ( ; y) x () ; y (0 ) : A felt teleknek megfelel tartom ny s t t tett az al bbi br n:

40 40 I. FEJEZET AKolmogorov-f le val sz n s gi mez ln ; Feladat: Sz moljuk ki annak felt teles val sz n s g t, hogy k t I.5.4. dobva mindk t rt k p ros felt ve, hogy sszeg k legal bb t z! kock val Legyen A: K t szab lyos kock val dobva mindk t rt k p ros B: A dobott rt kek sszege nem kisebb mint 0. (B) (Az lesz s 0 vagy vagy ) (A dob sok eredm nye (6 4),(4 6),(5 5) sszeg (5 6) (6 5) vagy (6 6)) 6. (A) : (AB) (A dob sok vagy (6 4) (4 6) vagy (6 6)) 3 36 eredm nye (AB) B) Feladat: A 3 lapos magyar k rty b l h rom lapot h zunk egym s I ut n visszatev s n lk l. Mennyi a val sz n s ge annak, hogy az els 7 : A harmadiknak h zott lap hetes. A kere- val sz n s get a a szorz si szab lyb l sz molhatjuk: (A () 7 A () 9 A (3) 7 ) sett () 7 ) (A() 9 ja () 7 ) (A(3) 7 ja () (A 7 A () (A () 7 ) (A() 9 ja () 7 ) 4 3 meghat rozhatjuk: (3) 7 ja () 7 A () 9 ) gyakeresett val sz n s g (A Feladat: Egy rekeszben 5 teniszlabda van, melyek k z l 9 m g I Az els j t khoz kivesz nk tal lomra h rom labd t, majd a haszn latlan. ut n visszarakjuk azokat a rekeszbe. (Nyilv n, ha volt k z tt k haszn latlan, j t k az a j t k sor n elveszti ezt a tulajdons g t.) A m sodik j t khoz tal lomra vesz nk ki h rom labd t. Mennyi a val sz n s ge annak, ism t az ut bb kivett labd k mind m g haszn latlanok lesznek? hogy Vezess k be az al bbi esem nyeket: i : Az els j t khoz ppen i db haszn latlan labd t vett nk ki, i A 3. 0 : A m sodik j tszm hoz h rom haszn latlant vett nk ki. B A besat rozott ter let nagys ga: T 0 5 ; dx x ; ; ; x 0 5 ; x ; dx a biztos esem nynek megfelel t glalap ter lete: 0 5 gyakeresett val sz n s g: p (ln ; 0 5) ln 4 e :. A den ci t haszn lva (A j (B). L thatjuk, hogy a felt teles val sz n s g most nagyobb, mint a felt tel n lk li. kih zott lap hetes, a m sodik kilences, a harmadik ism t hetes? Legyenek A () 7 : Az els nek h zott lap hetes, A() 9 : A m sodiknak kih zott lap 9-es, A (3) ). Az egyes t nyez ket egyszer en 9

41 hogy az A i esem nyek teljes esem nyrendszert alkotnak. L that, B esem nynek az A i esem nyekre vonatkoz felt teles val sz n s gei: A (9;i A i ) 3 ) j (B az i esem nyek val sz n s gei: m g (9 A ) i)( 6 3;i) i (A 3 i0 ( 5 Feladat: Hat doboz mindegyik ben hat-hat darab goly van, I rendre darab feh r sz n tal lhat (a t bbi fekete). melyekk z tt dobozt v letlenszer en kiv lasztunk, majd abb l visszatev ssel h rom Egy kih zunk. Ha azt tapasztaljuk, hogy mindh rom goly feh r sz n, goly t annak a val sz n s ge, hogy a csupa feh r goly t tartalmaz dobozt mennyi ki? v lasztottuk Legyenek A i -k a k vetkez esem nyek: Azt a dobozt v lasztottuk, amelyikben i db feh r goly van, i Nyilv nval, ezek az esem nyek teljes esem nyrendszert alkotnak, s mindegyik k hogy egyform n 6 val sz n s g. Legyen tov bb B az az esem ny, bek vetkez se hogy Visszatev ssel h zva mindegyik goly sz ne feh r. (BjA i ) ; i (A 6 j B) (BjA6)(A6) 6 (BjA i)(a i) : Feladat: Bizony tsuk be, hogy ha (A) 0 8 (b) 0 8,akkor I ! (AB) ;(AB) (A+B) (A)+(B);(AB) ). 0 6 (AB) Feladat: Dobjunk k t kock val! Mondjunk olyan esem nyeket I a k s rlettel kapcsolatban, amelyek f ggetlenek, s olyanokat, amelyek ezzel l. A: Az egyik kock n kettest dobunk, B: A m sik h rmast dobunk, C: Van hatos a k t dobott rt k k z tt, D: A kock n (C)(D) (CD) 6 3 I.5 Kidolgozott feladatok s gyakorlatok 4 (i 0 3): ( 5 3 ) (i 0 3): 3 ) A teljes val sz n s g t tel t alkalmazva: (B) (B j A i ) (A i ) 0 045: i ABayes-t telt alkalmazva: nem f ggetlenek egym st l! dobott rt kek nem egyenl ek. Az A s B f ggetlenek, C s D nem, hiszen

42 4 I. FEJEZET AKolmogorov-f le val sz n s gi mez Feladat: Ha (AjB) 0 7, (BjA) 0 6 (A j B) 0 3, I mennyi (A)? akkor (AB) 0 7(B) 0 6(A) ) (B) 67(A): M sr szt (AB)+(A B)0 6(A)+0 3( B)0 6(A)+0 3;0 3(B) (A) Feladat: H rom szab lyos kock val dobunk. Mennyi a val sz n s ge I annak, hogy van hatos rt k nk, ha tudjuk, hogy mindegyik dob s , (AB) (B) ; ( AB) 8 ; 3 (B) (AB) (B) 9 7 : Feladat: Egy urn ban b darab fekete s r darab feh r goly van. I kih znak egy goly t. A kih zott goly t s m g ugyanolyan v letlenszer en c darabot visszatesznek az urn ba. A k s rlet eredm ny t nem ismerve, sz n b l m sodszorra mi h zunk az urn b l. Felt ve, hogy a m sodik h z skor goly t h zunk, mennyi a val sz n s ge annak, hogy az els h z skor fekete fekete volt az eredm ny? is b+c, ( Bj A) b+r+c b, (A) b+r+c (BjA)(A) A)( A), ahol (BjA) (BjA)(A)+(Bj b s ( A) b+r r. gy(ajb) b+r b+c. b+r+c egyik kock n hatos van, akkor (AB) (B) , gy, Feladat: Egy l d ban 00 darab dob kockavan, melyek k z l 99 I.5.5. szab lyos, egy pedig hamis olyan rtelemben, hogy vele mindig hatos teljesen csak. Ha v letlenszer en kivesz nk egy kock t a l d b l s azzal dobhat dobva mindig hatost kapunk, mennyi a val sz n s ge, hogy ppen a t zszer 470(A) +0 3, ahonnan (A) 46: p ros lett? Ha B: Mindegyik dob s p ros, A: Van hatos dob s. : gy (A j B) 6 A : Az els h z s fekete volt, B: A m sodik goly fekete. t telt alkalmazva: (AjB) ABayes Feladat: H rom szab lyos kock val dobunk. Mennyi a val sz n s ge I.5.5. annak, hogy a dob sok k z tt van hatos, ha mindegyik kock n k l nb z rt k van? Ha B: Mindh rom kock n m s-m s eredm ny van, A: Az 36 (AjB) 0 5. hamis kock t vett k ki el z leg?

43 Legyen A: A hamis kock t v lasztottuk ki, B: T zszer dobva hatost kapunk. A Bayes t telt alkalmazva: mindig (BjA)(A) A)( A), ahol (A) 0 0, ( A)0 99 (BjA)(A)+(Bj (Bj A) 6 0 : Behelyettes tve: (AjB) : (BjA) Feladat: K t b n z, x s y egym st l f ggetlen l hazudnak, I mondanak igazat 3 illetve 3 val sz n s ggel. Felt ve, hogy x azt illetve A: x azt ll tja, hogy y hazudik, B: y igazat mond. (x hazudik) 3 (B) 3 (Aj B) (x igazat (AjB) mond) 3 ; B 3 (AjB)(B) B)( B) : (AjB)(B)+(Aj Feladat: K t urna k z l az egyikben n fekete s m feh r, a I N fekete s M feh r goly van. Az els b l tal lomra trakunk m sikban a m sodikba, majd onnan tal lomra visszavesz nk egyet. Megint az egyet h zva, mennyi a val sz n s ge a feh rnek? els b l A vissza, rakunk : Az els urn b l feh ret rakunk a m sodikba, a m sodikb l feket t A vissza, rakunk 3 : Az els urn b l feket t rakunk a m sodikba, a m sodikb l feh ret A vissza, rakunk 4 : Az els urn b l feket t rakunk a m sodikba, a m sodikb l feket t A vissza, rakunk Harmadszorra az els rn b l feh ret h zunk. B: 4 Feladat: K t j t kos felv ltva h z egy-egy goly t visszatev s I egy urn b l, amiben egy feh r s h rom fekete goly van. Az a j t kos n lk l amelyik el sz r h z feh ret. Mennyi a val sz n s ge, hogy az els nek nyer, j t kos fog nyerni? h z I.5 Kidolgozott feladatok s gyakorlatok 43 (AjB) ll tja, hogy y hazudik, mennyi a val sz n s ge, hogy y igazat mond? : ABayes-t telt alkalmazva: (BjA) : Az els urn b l feh ret rakunk a m sodikba, a m sodikb l feh ret A A A 3 A 4 teljes esem nyrendszer. A teljes val sz n s g t tel b l: (BjA i )(A i ):::. (B)

44 44 I. FEJEZET AKolmogorov-f le val sz n s gi mez A: Az els h z s ut n nyer a kezd j t kos, B: A harmadik h z s ut n nyer a kezd j t kos, C: Nyer a kezd j t kos. Nyilv n: Feladat: Egy kalapban t z c dula van, melyekre a I sz mjegyek vannak fel rva. Visszatev ssel kivesz nk k t c dul t. 6 a meg i j X 0)val sz n s geket! (i 0 ::: 8). (Y (X 0) 9 00 s i-t h ztunk+i-t s 0- t h ztunk) (0- t (X0) 9,hai ::: 9. Feladat: Egy perzsa sah egyszer egy el t ltnek azt mondta, hogy I szerint elhelyezhet 50 feh r s 50 fekete goly t k t egyforma v z ba. tetsz s egyikb l majd a sah kih z egy goly t, s ha az feh r, megkegyelmez. Az viszont akih zott goly fekete, vagy kider l, hogy nem mindegyik goly Ha a v z kba berakva, esetleg a kiv lasztott v z ban nem volt semmilyen volt az t let hal l. Hogyan kell sz tosztania az el t ltnek a goly kat, hogy goly, Az optim lis strat gia az, ha az egyik v z ba egy feh r goly t a m sikba az sszes t bbit. Ekkor a teljes val sz n s g t tel t al- tesz nk, (A feh ret ; : Minden m s sz - h z) sah kalmazva: Feladat: A bin ris szimmetrikus csatorna egy olyan bin ris bemenet I s bin ris kimenet csatorna, melynek minden bemenete p 0 0 az ellenkez j re v lt a kimenetkor (q ;p). A0 forr sbitet val sz n s ggel az forr sbitet -gyel k ldj k t. Adek dol t bbs gi d nt st 000-val, Ha a 0 s forr sbitek el fordul s nak egyar nt 0 5 aval sz n s ge, hoz. adja meg a dek dol s hibaval sz n s g t! akkor (-est vesz nk j 0- st adnak) 3p q + p 3 (0- st vesz nk j -est adnak) 3p q + p 3. Gyakorlat: Legyen A B. Adja meg az sszes olyan X I.5.. melyre A X A B teljes l! esem nyt, (C) (A) +(B) : Jel lje Y a sz mjegyek sszeg t, X pedig a sz mjegyek szorzat t. Adjuk (Y ijx 0), (Y ijx 0)0,hai>9. amegkegyelmez s val sz n s ge maxim lis legyen? toszt sn l cs kken ez a val sz n s g. (Hib zunk) (3p q + p 3 +3p q + p 3 ) 98 0 ;4 :

45 Gyakorlat: Legyen A A ::: A n. Bizony tsa be, hogy I.5.3. (A A A n ) (A )+(A )++ (A n ) ; (n ; ). Gyakorlat: Bizony tsa be, hogy minden A B eset n I.5.4. (AB) ; (AC)j (B M C) B M C $ B C + C B! j Gyakorlat: Bizony tsa be, hogy minden A B eset n I (AB) ; (A) (B) 4! ; Gyakorlat: Bizony tsa be, hogy minden A B eset n I.5.6. (AB) ; A B 4! Gyakorlat: Bizony tsa be, hogy minden A B eset n I.5.7. (A M B) (A) + (B) ; (AB)! Gyakorlat: Bizony tsa be, hogy minden A B C eset n I.5.8. (AB)+(AC) ; (BC) (A)! Gyakorlat: Bizony tsa be, hogy minden A B C eset n I.5.9. (A + B + C) ; (ABC) (B M C)! Gyakorlat: Bizony tsa be, hogy minden A B C eset n I.5.0. (A M B) (A M C) + (B M C)! Gyakorlat: Bizony tsa be, hogyha (A) 0 9 s (B) 0 8, I.5.. (AB) 0 7! akkor Gyakorlat: A K k s rlet abban ll, hogy v letlenszer en kiv lasztunk I.5.. egy n elem permut ci t. Jelentse A ij azt az esem nyt, amikor a permut ci ban az i-edik elem a j-edik helyen ll. Fejezze ki A ij - kiv lasztott seg ts g vel az al bbi esem nyeket: k az els elem a m sodikt l balra ll, A: az els elem sorsz ma legfeljebb j. B: n A i. ll tsuk I.5 Kidolgozott feladatok s gyakorlatok 45 I.5.. Gyakorlat: Legyen A B. Adja meg az A B-t tartalmaz legsz kebb ;algebr t! I.5.3. Gyakorlat: Legyen A A ::: A n s A el A-t egym st kiz r esem nyek sszegek nt!

46 46 I. FEJEZET AKolmogorov-f le val sz n s gi mez Gyakorlat: Egy egyetemi vfolyamon a l nyok k z l 60-nak a I.5.4. barna, 40-nek a haja s a szeme is barna, 0 l nynak a haja s a szeme haja N gyen llnak az au- el tt - 0 Ft-os rm vel a kez kben, amikor oda rkezem. Mekkora tomata hogy jut nekem a k v b l? Mekkoraannakaval sz n s ge, aval sz n s ge, Gyakorlat: Melyik lott sz m lesz a legnagyobb val sz n s ggel I.5.6. m sodik legnagyobb kih zott sz m? a Gyakorlat: Mennyi a val sz n s ge annak, hogy a k vetkez I.5.7. lott sz mok legnagyobbika kisebb lesz, mint ar k vetkez h t kih zott heti Gyakorlat: Mennyi a val sz n s ge annak, hogy a lott n a kih zott I.5.8. t sz m k z l nagys g szerint ak z ps 50-n l kisebb? Gyakorlat: Egy sakkt bl n tal lomra elhelyez nk 8 b sty t. Menynyi I.5.9. a val sz n s ge annak, hogy a b sty k nem tik egym st? Gyakorlat: Egy kalapban az angol ABC 6 bet je van. Visszatev ssel I szor kih zunk egy bet t s le rjuk azt. Mennyi a val sz n s ge hogy legfeljebb k t bet csere ut n a le rt sz b l megkapjuk a DEB- annak, sz t? ECEN Gyakorlat: Egyszerre n szab lyos dob kock val dobunk. Menynyi I.5.. a val sz n s ge annak, hogy Gyakorlat: Egy urn ban a darab feh r s b darab fekete goly I.5.. (a b ). Visszatev s n lk l kivesz nk k t goly t az urn b l. Mennyi van. k z l legal bb az egyik barna. H ny barnaszem l nyvan az vfolyamon? Gyakorlat: Egy k v automata 0 Ft-os rm kkel m k dik. Egy I Ft-os rm t 0.98 val sz n s ggel fogad el. Az automata ki- tetsz leges jelz je mutatja, hogy m g 4 adag k v van benne. hogy n iszom a 4 adag k z l az els t? sz mainak legkisebbike? a. az sszes kock val ugyanazt az rt ket kapjuk? b. legal bb egy hatost dobunk? c. pontosan egy hatost dobunk? aval sz n s ge annak, hogy

47 Gyakorlat: Harminc sz mozott goly t rakunk sz t nyolc k l nb z I.5.3. l d ba. Az elhelyez skor b rmelyik goly t ugyanakkora val sz n s ggel b rmelyik l d ba. Keress k meg annak az elhelyez snek a val sz n s g t, tehet nk amelyn l h rom l da res, kett ben h rom goly van, kett ben hat Gyakorlat: Tekints k az sszes olyan n hossz s g sorozatot, I.5.4. a 0 sz mokb l llnak. Hat rozzuk meg annak a val sz n s g t, amelyek pontosan m + db 0- t tartalmaz, melyek k z l kett a sorozat v g n b. van Gyakorlat: Ketten p nzfeldob ssal j tszanak. Andr s nyer, ha I.5.5. szab lyos rme dob si sorozat ban h rom fej hamarabb k vetkezik, mint egy fej- r s-fej sorozat. Viszont B laanyer, ha mindez ford tva t rt nik, azaz a fej- r s-fej sorozat el bb j n, mint a fej-fej-fej. Egyenl ek a j t k nyer si a Milyen legyen a fej dob s nak p val sz n s ge, hogy a j t k fair es lyei? legyen? Gyakorlat: Legyen A az az esem ny, hogy lott h z sn l egyik I.5.6. sz m sem nagyobb mint 50, sb pedig az az esem ny, hogy min- kih zott kih zott sz m p ros. Sz moljuk ki a (A) (B) (AB) (A + B) degyik val sz n s geket! Gyakorlat: Mennyi a val sz n s ge annak, hogy a lott h z sn l I.5.7. legnagyobb s legkisebb sz m k l nbs ge ppen k? (4 k 89): kih zott Gyakorlat: Egy res t glalap alak szob ban, melynek falai 0 I m ter hossz ak, leejt nk egy goly t. Mennyi a val sz n s ge, hogy s goly egy olyan pontban fog meg llni, amely k zelebb van a szoba egy a mint a szoba k z ppontj hoz? sark hoz, I.5 Kidolgozott feladatok s gyakorlatok 47 a. a k t goly azonos sz n? b. a k t goly k l nb z sz n? s egyben db goly ker l! hogy egy v letlen l v lasztott ilyen sorozat: a. 0-val kezd dik c. pontosan m db -est tartalmaz d. pontosan m 0 db 0- t, m db -est s m db -est tartalmaz.

48 48 I. FEJEZET AKolmogorov-f le val sz n s gi mez Gyakorlat: Egy 0cm oldalhossz s g n gyzetr csos h l zatra I.5.9. egy 3cm tm r j k ralak p nzdarabot. Mennyi a val sz n s ge, leejt nk Gyakorlat: Egy 0 cm oldalhossz s g n gyzetr csos padl zatra I ledobunk egy cm lhossz s g j t kkock t. Mennyi a val sz n s ge, Gyakorlat: Mennyi a val sz n s ge, hogy egy egys gnyi szakaszt I.5.3. h rom r szre t r nk, a keletkez szakaszokb l hegyessz g v letlenszer en Gyakorlat: Az ABCD n gyzetben tal lomra v lasztunk egy I.5.3. Mennyi a val sz n s ge, hogy k zelebb lesz az AB oldalhoz, mint pontot. Gyakorlat: Egy d sz less g l cekb l ll padl zatra ledobunk I s d hossz s g t t. Mennyi a val sz n s ge, hogy a t k t padl r st egy Gyakorlat: Az egys gk r ker let n v letlenszer en kiv lasztunk I pontot: A B s C-t. Mennyi a val sz n s ge, hogy a BAC sz g h rom Gyakorlat: Legyen (a b) az egys gn gyzet egy v letlen l I pontja s p(x) 3 x3 ;a x+b egy harmadfok polinom. Mennyi kiv lasztott hogy p(x)-nek pontosan egy, illetve pontosan h rom val s aval sz n s ge, van? gy ke Gyakorlat: Tal lomra kiv lasztunk egy pontot az egys gk r I majd egy Q pontot a k rlapon. Mennyi a val sz n s ge, hogy a ker let n, Gyakorlat: A (0 ) s (0 3) szakaszokon v lasztunk tal lomra I pontot, legyenek ezek x s y. Mennyi a val sz n s ge, hogy az x y egy-egy Gyakorlat: A [0 ] intervallumon tal lomra kiv lasztunk k t sz mot. I Mennyi a val sz n s ge, hogy az egyik sz m t bb, mint k tszerese lesz hogy a p nzdarab lefedi egy n gyzet cs cs t? hogy a kocka teljes terjedelm vel a padl zat egy n gyzet ben lesz? h romsz g szerkeszthet? a n gyzet k z ppontj hoz? fog egyszerre metszeni? nagyobb lesz 60 -n l? Q szakasz hossza nagyobb mint? s hossz s g szakaszokb l szerkeszthet h romsz g? a m siknak?

49 Gyakorlat: V lasszunk ki egy X s Y pontot az egys gintervallumban! I Tekints k azt a t glalapot, melynek oldalhosszai X s Y. Mennyi a hogy a keletkez t glalap ker lete nagyobb, mint s ter lete val sz n s ge, mint 0 5? kisebb, Gyakorlat: Egy urn ban b darab fekete s r darab feh r goly I.5.4. v letlenszer en kih znak egy goly t. A kih zott goly t s m g ugyano- van. sz n b l c darabot visszatesznek az urn ba. Ezt megteszik egym s ut n lyan Igazolja, hogy ezek ut n, a fekete goly kih z s nak val sz n s ge n-szer. b! b+r Gyakorlat: Magyar k rty val huszonegyez nk. A k rtya rt kei: I.5.4. fels 3, kir ly4, hetes7, nyolcas8, kilences9, tizes0, sz. als, a val sz n s ge, hogy -et h zunk, ha a 9-et el rt k az t dik h z s Mennyi Gyakorlat: Egy kalapban t z c dula van, melyekre a I sz mjegyek vannak fel rva. Visszatev ssel kivesz nk k t c dul t. 5 Y a sz mjegyek sszeg t, X pedig a sz mjegyek szorzat t. Adjuk meg Jel lje a Gyakorlat: Egy rekeszben 5 teniszlabda van, melyek k z l 9 I haszn latlan. H rom j t khoz kivesz nk tal lomra h rom labd t, majd m g az a j t k sor n elveszti ezt a tulajdons g t.) Mennyi a val sz n s ge haszn latlan, annak, hogy mindh rom kiv telhez j s haszn lt labda ker l Gyakorlat: Egy sz vegszerkeszt a karaktereket 7 bitbe k dolja, I ezt egy parit sbittel eg sz ti ki gy, hogyaz-esek sz ma p ros legyen. s I.5 Kidolgozott feladatok s gyakorlatok 49 Gyakorlat: Vegy nk egy v letlen (a b) pontot az egys gn gyzetb l. I Mennyi annak a val sz n s ge, hogy a p(x) ax ; bx +polinomnak nincs val s gy ke? ut n? (Y i j X>0) val sz n s geket! (i 0 ::: 8). Gyakorlat: El sz r feldobunk egy szab lyos rm t. Ha fej, egyszer, I ha r s k tszer dobunk egy szab lyos dob kock val. Mennyi a val sz n s ge, hogy lesz hatos? a j t k ut n visszarakjuk azokat a rekeszbe. (Nyilv n, ha volt k z tt k akez nkbe?

50 50 I. FEJEZET AKolmogorov-f le val sz n s gi mez ezt az rt, hogy p ratlan parit ssal szlelni tudja a hib z st. Tegy k Teszi hogy nyolc bitet egy olyan csatorn n k ldi t, amely egy bitet 0 fel, ront el. Milyen val sz n s ggel kapunk a kimeneten gy nyolc val sz n s ggel hogy az hib s, de m gsem tudjuk azt szlelni? bitet, Gyakorlat: A vizsg z k 75%-a A szakos, 5%-a B szakos s I C szakos. Annak az esem nynek a val sz n s ge, hogy egy hall- 0%-a t st kap, az A szakosok eset ben 0 4, ab szakosokn l 0 7 s a C gat 0 6. Ha egy szem lyr l tudjuk, hogy t sre vizsg zott, akkor szakosokn l Gyakorlat: H rom egyforma doboz k z l kett ben piros, egyben I piros s feh r goly van. V letlenszer en kiv lasztunk egy dobozt, abb l egy goly t. Ha ez piros, mennyi a val sz n s ge, hogy a dobozban s goly sz ne feh r? marad Gyakorlat: Egy szab lyos kock val addig dobunk jra s jra, I el sz r hatost nem kapunk. Mennyi a val sz n s ge, hogy ek zben am g n veli jobban az t s tal latom felt teles val sz n s g t? A : az els melyik sz m a 40-es, B : kih zt k a 40-es sz mot, C : a 40-es sz m a kih zott Gyakorlat: Egy szab lyos dob kock val addig dobunk, am g t st I.5.5. kapunk. Mennyi a val sz n s ge, hogy ezalatt nem dobunk hatost? nem Gyakorlat: H rom szab lyos dob kock val dobunk! A: az szszeg I , B: mindegyik p ros, C: van k z tt k h rmas. Sz molja ki a Gyakorlat: Bizony tsa be, hogy a Boole egyenl tlens g v gtelen I esem ny eset n is fenn ll.(a folytonoss gi t telt haszn lja!) sok milyen val sz n s ggel lehet A B illetve C szakos? pontosan egyest dobunk? I Gyakorlat: Egyetlen szelv nnyel lott zok. Sz maim k z tt a 40-es a k z ps. Az al bbi h rom esem ny esetleges bek vetkez se k z l kih zott sz mok k z tt a harmadik. (A (B + C)) s a ((A + C) B) val sz n s geket!

51 sz mok r szhalmazai k z l, csak azokkal fogunk a tov bbiakban Aval s amelyek intervallumok rendszer b l egyes t ssel, metsz ssel s foglalkozni, el ll that k. Ezek az.n. Borel-m rhet halmazok, komplemens-k pz ssel fogalm t a II.. den ci ban adjuk meg. A gyakorlatban minden melynek gy a ny lt, z rt, f lig ny lt, f lig z rt intervallumok, az pesz halmaz, halmazok, a f legyenesek s a ny lt s z rt val s r szhalmazok, egyelem az eg sz sz megyenes maga is Borel-m rhet ek. A k vetkez t telben valamint felhaszn ljuk a -algebra fogalm t, ami az esem nyalgebra axi m in l T tel: Ha < < < 3 :::a V halmaz r szhalmazainak -algebr i, II... \ akkor < i szint n -algebra. 8i Az rt igaz, mert V mindegyik t nyez -algebr ban benne van, akkor a a.) r szben is benne kell, hogy legyen. k z s Ha egy A V r szhalmaz benne van a metszetben, az csak gy lehet, b.) mindegyik komponens -algebr ban is benne van. De mivel a kompo- ha -algebr k, benn kakomplemens halmaz is benne van,deakkor nensek metszet kben is benne van a V na. a II. fejezet A val sz n s gi v ltoz II.. Aval sz n s gi v ltoz fogalma m r szerepelt. Bizony t s: 5

52 5 II. FEJEZET Aval sz n s gi v ltoz Ha r szhalmazok egy rendszere benne van a metszetben, akkor minden c.) benne van, de akkor az egyes t s k is benne van minden komponensben Den ci : Az A B C : : : V halmazrendszert tartalmaz szszes II... -algebra metszet t ami az el z t tel szerint magais-algebra halmazrendszer ltal gener lt -algebr nak nevezz k, s (A B C : : :)-val a jel lj k. Den ci : A balr l z rt, jobbr l ny lt val s intervallumok ltal II... -algebr t, Borel-f le -algebr nak nevezz k, s B-vel jel lj k: gener lt Den ci : Legyen ( ) Kolmogorov-f le val sz n s gi mez. II..3. X :! f ggv nyt val sz n s gi v ltoz nak nevezz k, ha minden Az B eset n A f! X (!) Bg, azaz a Borel-halmazok k pe az X B meggyelhet esem ny lesz. lek pez sn l M rt kelm leti terminol gi val, X m rhet f ggv ny. L that, Megjegyz s: hogy az X val sz n s gi v ltoz minden! elemi esem nyhez egy val s T tel: Az fa A f! X (!) Bg BBg esem nyrendszer II... melyet az X ltal gener lt -algebr nak nevez nk, s (X)-el -algebra, Bizony t s: o f! X (!) g, mert B. o Ha A f! X (!) Bg (X), akkor A f! X (!) n Bg is, hiszen B. nb ( [ 3 f! X(!) B o g! X(!) i X(!) B i ) (X), hiszen! A ha ha! A, akkor (X) A A. 0 B i B. Ha X(!) c, azaz a val sz n s gi v ltoz konstansf ggv ny, akkor b.) f g. (X) komponensben, gy a metszet kben is. B (f[a b) a b g) : sz mot rendel. jel l nk. [ [ II... lda: a.) Ha X az A esem ny indik tor f ggv nye, azaz

53 Den ci : Legyen ( ) Kolmogorov-f le val sz n s gi mez, II... val sz n s gi v ltoz. Ekkor a Q X : B! [0 ] halmazf ggv ny, X b.) Ha B B ::: B n :::diszjunkt Borel-halmazok, akkor Q X ( S b.) B i X Q S (!) X! [ B f! X (!) B i g i B i ) Amikor egy K v letlen k s rlethez hozz rendel nk egy X val sz n s gi Megjegyz s: v ltoz t, akkor egy ttal egy lek pez st hajtunk v gre az absztrakt teh t a v letlen k s rlet egy matematikai modellje. v ltoz v ltoz k deni l sa az esetek t bbs g ben term szetes Aval sz n s gi II. Az eloszl sf ggv ny fogalma 53 II.. Az eloszl sf ggv ny fogalma den ci ja Q X (B) $ (f! X(!) Bg) jel (X B) (B B) melynek X val sz n s gi v ltoz eloszl sa. az II... T tel: A Q X halmazf ggv ny tulajdons gai: a.) Q X () : Q X (B i ). Megjegyz s: AQ X kiel g ti a val sz n s g axi m it. Bizony t s: a.) Q X () (f! X(!) g) () : Q X (B i ) : (f! X (!) B i g) ) s az ( B Q X ) Kolmogorov-f le val sz n s gi mez k k z tt. A ( nehezen kezelhet ( ) strukt ra helyett egy jobban ki- matematikailag s kiismert ( B Q X ) strukt r ra t r nk t, ahol az esem nyeket dolgozott Borel-halmazok seg ts g vel fogjuk megfogalmazni, az esem nyek val sz - a n s geit pedig az eloszl ssal kalkul ljuk a tov bbiakban. Aval sz n s gi ad dik. Gondoljunk csak p ld ul a kockadob s k s rletre, a rulettt rcsa m don megforgat s ra, a Duna pillanatnyi v zmagass g ra, vagy a legk ze- sz letend csecsem tests ly ra stb. Sokszor, b r az elemi esem nyek lebb sz mok, de val sz n s gi v ltoz val egy-egy rtelm megfeleltet s l tes - nem thet k zt k s a val s sz mok egy r szhalmaza k z tt, s gy a val sz n s gi

54 54 II. FEJEZET Aval sz n s gi v ltoz seg ts g vel ugyan gy t rgyalhat a jelens g. l. a k rtyah z sn l a v ltoz sorsz mozzuk, minden addigi esem ny ekvivalens m don tfogal- k rty kat mazhat. a val sz n s gi v ltoz k az eredeti k s rlet egyszer s t - Felhaszn lhat k is. l. k s bb l tni fogjuk, hogy egy n-szeres hossz s g k s rletsorozat s re egyetlen val sz n s gi v ltoz meggyel se is lehets ges. helyett Den ci : Az F X (x) Q X (( x)) x f ggv nyt az X II... v ltoz eloszl sf ggv ny nek nevezz k. val sz n s gi F X (x) Q X (( x))(f! X(!) <xg) $ Megjegyz s: (X <x) x vagyis F X :! [0 ]val s f ggv ny. $ T tel: Aval sz n s gi v ltoz eloszl sa s eloszl sf ggv nye k lcs n sen II... egy rtelm en meghat rozz k egym st. A II.. t telt nem bizony tjuk, csak annyit jegyz nk meg, Megjegyz s: a bizony t s azon m lik, hogy a f legyenesek ltal gener lt -algebra hogy A t telnek az a fontos zenete van a sz - hogy az eloszl sf ggv ny seg ts g vel is kisz m that k az esem nyek munkra, val sz n s gei. F X balr l folytonos, azaz lim b.) F X(x) F X (y) minden y -re. x!y; Legyen x<y, akkor A x f! X(!) <xga y f! X(!) <yg, s a.) az I..3. t tel d.) pontja szerint F X (x) (A x ) (A y )F X (y), gy maga a Borel-f le -algebra. II..3. T tel: (Az F X eloszl sf ggv ny tulajdons gai) a.) F X monoton nemcs kken, azaz F X (x) F X (y), hax<y. c.) lim F X(x) s lim x! F X(x) 0. x!+ Bizony t s: ami az ll t s volt.

55 b.) Legyen h n tetsz leges monoton fogy nullsorozat. (pl. h n n y tetsz leges r gz tett val s sz m. Legyen n $ A y;hn f! X(!) <y; h n g : Ekkor nyilv n B B n B B i. M sr szt B i f! X(!) <yg is B! fenn ll, B i ) 9n : X(!) <y; h n ) X(!) <y ha ugyanis, is. ha X(!) <y ) 9n : X(!) <y; h n Ford tva: F X (y) (X <y)( lim F X(x). x!y; lim F X(x) bizony t sa: x!+ ) B i.! i lim B (B n ) lim (X ) <y; h n ) n! n! x n!szigor an n veked tetsz leges sz msorozat (pl. x n n Legyen ilyen): A B i tartalmaz s trivi lisan igaz, a m sik ir ny tartalmaz s igazol sa:! tetsz leges, ekkor Legyen lim F X(x) 0bizony t sa: x! i lim (B n ) limf ) X (x n ) limf X B (x). x! n! n! X (x) (X <x)(;x >;x) F ; (;X ;x) ; (Y ;x), ahol Y ;X. lim X(x) lim (Y ; y) ; 0. y!+ F x! y!+ F Y (y), II. Az eloszl sf ggv ny fogalma 55 ilyen.) Aval sz n s g folytonoss gi tulajdons g b l (I..6. t tel): c.) A n A ekkor B xn $ B B n B B i. ) K : X(!) <K ) 9 n : X(!) <K<x n ) X(!) 9 B n )!! ) B i : gy a folytonoss gi t telb l: () ( A lim (Y <;x) lim ;x!+ (Y <;x) (Y ;x) s mint ahogy az el bb l ttuk. gy

56 56 II. FEJEZET Aval sz n s gi v ltoz Mindegyik ll t s bizony t sa hasonl m don t rt nik, ez rt Bizony t s: a c.) ll t s igazol s t r szletezz k. csak x X(!) yg f! x X(!)g\f! X(!) yg f! x<yf! y<x(!)g f! x X(!)g s f! x X(!)g[ Mivel X(!) yg : f! Aoincare-t telb l: (f! x X(!)g + f! X(!) yg) () (X y) +(x X) ; (x X y) (X y) +; (X <x) ; (x X y): (*) (x X y) (X y) ; (X <x). Innen: Y n f! X(!) <y+ h n g : ha! f! X(!) yg, akkor Ugyanis, f! X(!) <y+ h n g minden n indexre, teh t! Y n f! X(!) <y+ h n g is. Y n f! X(!) <y+ h n g akkor minden n-re f! X(!) <y+ h n g teh t! f! X(!) yg is. A folytonoss gi t rv nyb l:! (X y) ( Y X(!) <y+ h n g) lim f! (X <y+h n )F X (y +0): n! II..4. T tel: Tetsz leges x<yeset n a.) (x X<y)F X (y) ; F X (x) b.) (x <X<y)F X (y) ; F X (x +0) c.) (x X y) F X (y +0); F X (x) d.) (x <X y) F X (y +0); F X (x +0) e.) (X x) F X (x +0); F X (x): Ha most 0 h n szigor an cs kken nullsorozat, akkor megmutathat, hogy f! X(!) yg! M sr szt, ha! n Ez ut bbit (*)-ba behelyettes tve kapjuk az ll t st.

57 HaF X folytonos az x helyen, akkor F X (x) F X (x +0) s az Bizony t s: ll t s igazolja a k vetkezm nyt. e.) Eloszl sf ggv nyekre p ld kat a k vetkez szakaszokban b s gesen Megjegyz s: adunk majd. Den ci : Az X val sz n s gi v ltoz t diszkr tnek nevezz k, ha II.3.. megsz ml lhat (sorozatba rendezhet ), vagyis 8! -ra rt kk szlete Den ci : A p i (f! X(!) x i g) $ (X x i )(i :::) II.3.. sszess g t az X diszkr t val sz n s gi v ltoz eloszl s nak val sz n s gek T tel: Az X diszkr t val sz n s gi v ltoz p p ::: p n :::eloszl s ra II.3.. teljes l, hogy a.) 0 p i b.) p i : a.) Trivi lis, mivel az A i Mivel az A i f! X(!) x i g (i :::) esem nyek teljes esem nyrendszert b.) alkotnak, gy az I..3 t tel c.) r sze miatt igaz az ll t s. X F p (x) i, m sr szt: p i F X (x i +0); F (x i ) : i<x x a diszkr t val sz n s gi v ltoz eloszl sf ggv nye olyan l pcs s f ggv ny, Azaz melynek az ugr helyei az x x ::: x n ::: helyeken vannak, s az II.3 Diszkr t val sz n s gi v ltoz k 57 K vetkezm ny: HaF X folytonos az x helyen, akkor (X x) 0: II.3. Diszkr t val sz n s gi v ltoz k X(!) E fx x ::: x n :::g : nevezz k. Bizony t s: f! X(!) x i g esem ny val sz n s g r l van sz. II.3.. T tel: Az X diszkr t val sz n s gi v ltoz F X eloszl sf ggv ny re: ugr s nagys ga rendre p p ::: p n :::.

58 58 II. FEJEZET Aval sz n s gi v ltoz Mivel x f! <xg Bizony t s: A A i f! X(!) x X(!) i g i<x x i<x x az A i esem nyek egym st p ronk nt kiz rj k, k vetkezik az ll t s els s M sr szt p i (X x i )(x i X x i )F X (x i +0); F X (x i ): r sze. lda: Indik tor val sz n s gi v ltoz II.3.. ( ) Kolmogorov-f le val sz n s gi mez, A egy pozit v Legyen ak vetkez : X(!) indik tor val sz n s gi v ltoz nak nevez nk. Jel l s: X I(A). melyet X eloszl sa : p 0 (X 0)p p (X ); p: Az Vegye felx azt az rt ket, ah nyszor A bek vetkezett a k s rletsorozatot. X lehets ges rt kei teh t 0 ::: n:az egyes rt kek k s rletsorozatban. p k (X k) ; n A A A {z } + (n;k);szor p k ( ; p) n;k ; n A jobb oldalon ll esem nyek egym st kiz rj k, s mindegyik k val sz n s ge a f ggetlens g miatt p k q n;k. A tagok sz ma n! ; n elem olyan ism tl ses permut ci ir l van sz, ahol k illetve n ; k elem n megegyezik. n k0 n p k p q n;k (p + q) n n. k k k0; n s p param ter binomi lis eloszl s val sz n s gi v ltoz nak nevezz k. X-et val sz n s g esem ny: p (A) > 0. AzX :! f ggv ny den ci ja! A.Ekkor X diszkr t val sz n s gi v ltoz, 0! A lda: Binomi lis eloszl s val sz n s gi v ltoz II.3.. ( ) Kolmogorov-f le val sz n s gi mez, A egy poz- Legyen it v val sz n s g esem ny: p (A) > 0. Hajtsunk v gre egy n-szeres felv tel nek val sz n s gei, azaz X eloszl sa: k k p k q n;k k 0 ::: n: Ugyanis {z } k-szor A A A {z } (n;k)-szer f! X(!) kg AA A + AA A + A A A AA {z } (n;k)-szor {z } (k)-szer AA A : {z } k;szor k!(n;k)! k mert A p k val sz n s gek eloszl st alkotnak, hiszen a binomin lis t tel szerint: n X B(n p). Jel l s: B( p)i(a) teh t a binomi lis eloszl s az indik tor eloszl s kiter- Nyilv n jeszt se.

59 p k n;k+ k p q p k (k 3 ::: n) p 0 q n : a.) Ha [(n +)p], ahol [x] az eg szr szt jel li, akkor p p k (k b.) ::: n). 0 k p k p k)p k q n;k+ n;k+ p q. k A fenti azonoss gb l ad dik, hogy p k p k b.) +)p k illetve p k p k () n;k+ (n n;k+ k () +)p k. Innen m r l that, hogy ha az indexre [(n +)p], (n a hozz tartoz eloszl s rt k nagyobb a t bbin l. Az is megmu- akkor hogy ha (n+)p maga is eg sz sz m, akkor az (n+)p tathat, tartoz val sz n s gek egyenl ek, s a t bbin l nagyobbak indexekhez lda: oisson-eloszl s val sz n s gi v ltoz II.3.3. egy X val sz n s gi v ltoz rt kk szlete a term szetes sz mok halmaza: Ha II.3 Diszkr t val sz n s gi v ltoz k 59 II.3.. bra A binomi lis eloszl s n 0 p 0:5 param terekkel II.3.3. T tel: A binomi lis eloszl s p k elemeire teljes l, hogy Bizony t s: n k)p k q n;k ( n ( a.) p ;p () p k ;p () lesznek. N f0 ::: n :::g eloszl sa pedig p k (X k) k k! e; k E ::: ahol >0 akkor X-et param ter oisson-eloszl s val sz n - 0 s gi v ltoz nak nevezz k. Jel l s: X o():

60 60 II. FEJEZET Aval sz n s gi v ltoz k0 k0 k e; e ; k! T tel: lim II.3.4. n! p!0 k e ; e : k! ; k n q n;k k p e; azaz a oisson-eloszl s a binomik! k az A esem ny p val sz n s ge pedig 0-hoz tart, mik zben az np szorzat n, lland. Jel lje b(k n p) ; n k k p q n;k. A II.3.3 t telben l ttuk, most Bizony t s: b(k n p) b(k n p) n;k+ p q k np+(;k)p k(;p)! k k( ; p)! k a felt telek miatt. M sr szt b(0 n p) ( ; p) n 0 ; n )n! e ; is. gy b( n p) ( b( n p)! b( n p) miatt b( n p)! A oisson-eloszl s j l alkalmazhat olyan n-szeres k s rletsorozat Megjegyz s: modellez s hez, ahol a k s rletek sz ma nagyon nagy, viszont a meg- esem ny val sz n s ge 0-hoz k zeli. gyelt ld ul: II.3.. bra Aoisson-eloszl s param terrel param terekkel Afenti val sz n s gek val ban eloszl st alkotnak, mert p k k0 np lis eloszl s hat resete, amikor a k s rletek sz ma (n) minden hat ron t hogy, hiszen np ( ; k)p! b(0 n p)! miatt b( n p)! e; : Hasonl an : e; : Folytatva az elj r st, a t tel ll t s t kapjuk. egy adott t rfogatban id egys g alatt elboml atomi r szecsk k sz ma a mikroszk p l t ter be beker lt egysejt ek sz ma

61 eml tett esetekben binomi lis eloszl s alkalmaz sa k r lm nyes lenne, Az a binomi lis egy tthat k sz mol sa a nagy n miatt t lcsordul shoz, mert lda: Geometriai eloszl s val sz n s gi v ltoz II.3.4. K egy v letlen k s rlet, s ( ) a hozz tartoz Kolmogorov-f le Legyen mez, A egy pozit v val sz n s g esem ny: p (A) > 0. val sz n s gi K k s rlethez tartoz k s rletsorozatot addig hajtsuk v gre, am g az A A benemk vetkezik. Az X val sz n s gi v ltoz t rtelmezz k gy, esem ny aza esem ny bek vetkez s hez sz ks ges ism tl sek sz m t. X-et p mint geometriai eloszl s val sz n s gi v ltoz nak nevezz k. Jel l s: param ter G(p): X lehets ges rt kei : 3:4 ::: azaz a pozit v eg sz sz mok. X eloszl sa: X p k (X k) (; p) k p q k p, hiszen f! X(!) kg A A A {z } (k)-szer k k II.3 Diszkr t val sz n s gi v ltoz k 6 id egys g alatt a telefonk zpontba be rkez h v sok sz ma id egys g alatt bek vetkez r di akt v boml sok sz ma egy s tem nyszeletben tal lhat mazsol k sz ma egy k nyvoldalon tal lhat sajt hib k sz ma stb. illetve sz mol si pontatlans gokhoz vezethet. II.3.3. bra A geometriai eloszl s p 6 param terrel A, s a f ggetlen v grehajt s miatt az esem ny val sz n s ge: q q q p q k p: A geometriai sor sszegz k plet t felhaszn lva l thatjuk be, hogy ezek a val sz n s gek val ban eloszl st alkotnak: p k k p q q k p ;q p p : p k0

62 6 II. FEJEZET Aval sz n s gi v ltoz T tel: (A geometriai eloszl s r kifj tulajdons ga) II.3.5. m + k jx >m)(x k) 8m k-ra, azaz annak felt teles val - (X hogy a k vetkez k v grehajt s v g n bek vetkezik az A esem ny, sz n s ge, az el z m meggyel s alatt nem k vetkezett be ugyanannyi, amennyiben annak val sz n s ge, hogy ppen a k-adik v grehajt s ut n k vetkezik mint az A esem ny. be Bizony t s: (X m + k j X>m) (Xm+k X>m) q qm+k p q m q k p (X k) : (Xm+k) (X>m) qm+k p m+ q p Den ci : Legyen X az ( )-n rtelmezett val sz n s gi v ltoz, II.4.. melynek rt kk szlete kontimuum sz moss g. Jel lje F X az eloszl s- X-et folytonos val sz n s gi v ltoz nak nevezz k, ha F X abszol f ggv nyt. folytonos, azaz l tezik olyan iemann integr lhat f X :! f ggv ny, melyre fenn ll az F X (x) x f X (t) dt f X f ggv nyt az X val sz n s gi v ltoz (vagy az F X eloszl sf ggv ny) Az nevezz k. Ha F X abszol t folytonos, akkor folytonos is s r s gf ggv ny nek X (x) df dx A diszkr t val sz n s gi v ltoz k nem folytonosak, m r csak az rt sem, a.) eloszl sf ggv ny k nem folytonos. mert A geometriai eloszl s r kifj tulajdons g t a k vetkez k pp Megjegyz s: interpret lni: att l, hogy egy esem ny az ism telt v grehajt s sor n r - lehet gen fordult el, m g nem fog a bek vetkez si val sz n s g megn ni! (X>m) qm+k p m p q 0 II.4. Folytonos val sz n s gi v ltoz k (x ) sszef gg s. s majdnem minden tt dierenci lhat, azaz pl. v ges sok helyen lehet csak f X (x) ha x folytonoss gi pontja f X -nek. t r spontja. Megjegyz s: L teznek olyan val sz n s gi v ltoz k, melyek se nem diszkr tek, se nem b.) Ezek az ltal nos val sz n s gi v ltoz k, melyekkel a tov b- folytonosak. biakban mi nem foglalkozunk a gyakorlatban ritk n fordulnak el. l.

63 ha x 0 p ;t dt ha x>0 e T tel: (A s r s gf ggv ny tulajdons gai) II.4.. X az ( )-n rtelmezett folytonos val sz n s gi v ltoz. Akkor Legyen + b.) a.) Mivel F X monoton nem cs kken, s df X (x) x!+ F X(x) A s r s gf ggv ny a folytonos val sz n s gi v ltoz kn l ugyanazt a szerepet a.) t lti be, mint diszkr t val sz n s gi v ltoz kn l az eloszl s. Ugyanis tetsz leges a s x>0 -ra (a X<a+x) F X (a+x);f X (a) a x kicsi, akkor f X (a) f X (a ) gy (a X<a+ x) f X (a) x: Ha az X val sz n s gi v ltoz az a k rnyezet ben az f X (a) rt kkel Teh t val sz n s ggel tart zkodik. (Az f X (a) rt k lehet -n l nagyobb ar nyos is!) f X (x) $ 0 ha 6 9 df X (x) dx : b.) lda: (Az egyenletes eloszl s val sz n s gi v ltoz ) II.4.. X az [a b] intervallumon egyenletes eloszl s, ha eloszl sf ggv nye: Az x;a b;a U([a b]): Ekkor a s r s gf ggv ny: f X (x) b;a x (a b) X Jel l s: 0 x (a b) II.4 Folytonos val sz n s gi v ltoz k 63 az az X ltal nos val sz n s gi v ltoz, melynek eloszl sf ggv nye: 8 < F X (x) x : az f X :! s r s gf ggv nyre teljes l, hogy a.) f X (x) 0 f X (t) dt : Bizony t s: f X (x) ha x folytonoss gi dx pontja f X -nek, k vetkezik az ll t s. + b.) lim lim f X (t) dt x x!+ f X (t) dt: Megjegyz s: a+x f X (t) dt f X (a ) x ahol a a <a+x. 8 < 0 x a a<x b: F X (x) : x>b :

64 64 II. FEJEZET Aval sz n s gi v ltoz hossz s g szakaszon azonos val sz n s ggel veszi fel rt keit. b rmely ha c c + [a b], akkor Teh t, (c X<c+)F X (c +); F X (c) c+;a ; c;a b;a. egyr szt nem f gg a r szintervallum c kezd pontj t l, m sr szt Aval sz n s g ppen a r szintervallum s a teljes intervallum hosszainak ar ny val lda: (Az exponenci lis eloszl s val sz n s gi v ltoz ) II.4.. X val sz n s gi v ltoz > 0 param ter exponenci lis eloszl s, ha Az ;x ; e x>0 F X (x) : 0 x 0 II.4.. bra Az [ 3] intervallumon egyenletes eloszl s eloszl sf ggv nye II.4.. bra Az [ 3] intervallumon egyenletes eloszl s s r s gf ggv nye Megjegyz s: Az X U([a b]) val sz n s gi v ltoz ra jellemz, hogy b;a b egyenl. eloszl sf ggv nye

65 s r s gf ggv ny 0 (x) ;x e x>0 A F : X(x) f X egy bk nt 0 Exponenci lis eloszl ssal a gyakorlatban berendez sek lettartam t Megjegyz s: szok s modellezni. De exponenci lis eloszl s nak tekinthet t meg- modellekben a kiszolg l si id s az j ig nyek rendszerbe val kiszolg l si ideje is, vagy a r dioakt v atomok elboml si ideje is. be rkez si bra A 0 5 param ter exponenci lis eloszl sok II.4.3. eloszl sf ggv nyei bra A 0 5 param ter exponenci lis eloszl sok II.4.4. s r s gf ggv nyei II.4 Folytonos val sz n s gi v ltoz k 65 Jel l s: X E():

66 66 II. FEJEZET Aval sz n s gi v ltoz T tel: (Az exponenci lis eloszl s r kifj tulajdons ga) II.4.. X folytonos eloszl s val sz n s gi v ltoz (X <x)f (x) Legyen elos- Akkor (X <x+t jx x) (X <t) 8 0 <x t-re () zl sf ggv nnyel. >0: F (x) ; e ;x x> 0 vagyis X E () : 9 X az rt r kifj, mert annak felt teles val sz n s ge, hogy Megjegyz s: legfeljebb x + t-ig l, ha m r x-et meg lt egyenl annak val sz n s g vel, X X legfeljebb t ideig l, azaz a t l l si kond ci k az id m l s val nem hogy hiszen 0 s t k z tt ugyanaz a t l l si es ly mint x s x + t cs kkennek, A t tel azt ll tja, hogy az exponenci lis eloszl s az egyetlen r kifj a k z tt. folytonos eloszl sok k z tt. ( Bizony t s: 0 <x ttetsz legesek, ekkor Legyenek <x+ t jx x) (xx<x+t) (Xx) (X e ;t (X <t): ; ) F X (x+t);f X (x) ;F (x) X <x+ t jx x) (X <t) G(x);G(x+t) G(x) (X ;e;(x+t) +e ;x +e ;x G(x + t) G(x)G(t): azaz G(t) (G(t)) G(3t) G(t)G(t) (G(t)) 3 G(nt) (G(t)) n : Teh t nt s-re: ; G( s n ) n s azaz G( n )(G(s)) n : G(s) M sr szt G m ; ; s m m s n (G (s)) n azaz s -gyel G( m m ) (G()) n : gy ; G n n racion lis sz mra fenn ll G(r) (G()) r : Mivel Q <r 0 tetsz leges Teh t is s az exponenci lis f ggv nyek folytonosak, gy 8x >0 val s sz mra is G kell llnia G(x) (G()) x -nek. De G(); F () < miatt 9 >0 fenn G() e ; legyen. Behelyettes t s ut n G(x) e ;x 8x >0 azaz hogy (x) ; e ;x XE () : F lda: (A norm lis eloszl s val sz n s gi v ltoz ) II.4.3. X val sz n s gi v ltoz s >0param ter norm lis eloszl s, Az eloszl sf ggv nye F X (x) (x) p ha Az X s r s gf ggv nye: f X (x) ' (x) 0 (x) '(x) p ' e ; x s 0 (x) (x) p ; (t;) dt x : e p e ; (x;) e ; t Legyen G(x) ; F (x) (X x) : Ekkor 8 0 <x t-ra ; G(t) x Jel l s: X N( ): x. Ha X N(0 ), akkor standard norm lis eloszl sr l besz l nk. Ilyenkor x dt:

67 bra Az N ( 0 5) N (0 ) s N ( )norm lis eloszl sok II.4.5. eloszl sf ggv nyei bra Az N ( 0 5) N (0 ) s N ( )norm lis eloszl sok II.4.6. s r s gf ggv nyei x!+ '(x) p c.) '(0) '(x) > 0 8x : II.4 Folytonos val sz n s gi v ltoz k 67 II.4.3. T tel: (A ' Gauss-f ggv ny tulajdons gai) a.) '(;x) '(x), vagyis ' p ros f ggv ny. lim lim '(x) 0: b.) x! d.) ' inexi s helyei a + s, azaz' 00 () ' 00 (+) 0:

68 68 II. FEJEZET Aval sz n s gi v ltoz Az a.) s b.) ll t sok nyilv nval ak. Bizony t s: s d.) ' 0 (x) ;x p c.) e ; x ;x'(x) 0, x 0 00 (x) ;'(x) ; x' 0 (x) '(x)(x ; ) 0, x ' + inexi s pontok. ) e ; t dt + t + u r J(r )det cos ; +u ) (t dtdu e r ; h r ddr ;e ; r i e r ;x ; (t +u ) dtdu tt rve e '(x) c.) e ; x p () k p xk k k! s ahonnan m r k vetkezik az ll t s. k0 + e.) '(x)dx. ' 00 (0) ;'(0) < 0 ) a0helyen maximum van e.) e ; t dt e ; u du a t r cos u r sin pol rkoordin t kra: ;r sin sin r cos + +, ahonnan m r k vetkezik az ll t s. II.4.4. T tel: (A eloszl sf ggv ny tulajdons gai) a.) (x) ; (;x) 8x>0, azaz grakonja szimmetrikus a (0 )-ra, b.) szigor an monoton n veked, (x) + p c.) (x ; x3!3 + + ()k x k+ + ) 8x >0 k! k (k+) lim (x) lim (x) d.) 0: x! x! Bizony t s: ;x a.) (;x) '(t) dt ; '(t) dt ; '(;t) dt ; '(t) dt x x ; (x): b.) Igaz, mert 0 (x) '(x) > 0 (II.4.3 t tel c.) r sze). d.) Nyilv nval k vetkezm nye a II.4.3 t tel e.) r sz nek.

69 T tel: Legyen X diszkr t val sz n s gi v ltoz II.5.. fx k k 0 :::g rt kk szlettel s p k (X x k ) eloszl s- A Legyen t : A! B tetsz leges f ggv ny, B fy j j 0 :::g: sal. az Y t(x) diszkr t val sz n s gi v ltoz rt kk szlete B, eloszl sa Akkor 8x k :t(x k )y j p k lesz. egym st s Y y g eset n f! kiz rj k, X(!) f! x (!) k j g, a j )y k :t(x k 8x lda: Ha X B (n p) s t(x) n ; x, akkor II.5.. t(x) B (n ; p), hiszen (Y k) (X n ; k) Y ; n;k n ( ; p) n;(n;k) ; n k k ( ; p) p n;k : p n;k 0 ; k e; ha k 0 k! i e; ha k : i! ha x 0 x x>0 ha T tel: Ha X olyan folytonos val sz n s gi v ltoz, hogy II.5.. (X A) valamely A halmazra, s t : A! B szigor an monoton F Y (y) X (t (y)) ha t sz.m. " F ; F X (t (y)) ha t sz.m. # illetve dt (y) dy Mivel t szigor an monoton, ez rt invert lhat is. Ha t n veked Bizony t s: (cs kken ), akkor az inverze is n veked (cs kken ). Ha t szigor an n veked, az f! t(x(!)) <yg s az f! X(!) <t (y)g n v esem nyek monoton ekvivalensek, a t lek pez s invert lhat s ga miatt. F Y (y) (Y < y) (t(x) <y) (X <t (y)) F X (t (y)): gy t szigor an monoton cs kken, akkor az f! t(x(!)) <yg s az Ha II.5 Val sz n s gi v ltoz k transzform ci i 69 II.5. Val sz n s gi v ltoz k transzform ci i (Y y j ) Bizony t s: Mivel az f! X(!) x k g n v esem nyek k l nb z k indexek val sz n s g -additivit s b l m r k vetkezik az ll t s. II.5.. lda: Ha X o() s t(x),akkor az Y t(x) rt kk szlete B f0 ::: g s eloszl sa < 8 (Y k) : i0 f ggv ny, akkor az Y t(x) is folytonos val sz n s gi v ltoz lesz, s f Y (y) f X (t (y)) : f! X(!) >t (y)g n v esem nyek ekvivalensek, s F Y (y) (Y < y)

70 70 II. FEJEZET Aval sz n s gi v ltoz (t(x) <y) (X >t (y)) ; F X (t (y)): Deriv l s ut n ad dik a a k plet. s r s gf ggv nyekre lda: Ha az X standard norm lis eloszl s val sz n s gi v ltoz, II.5.3. mi a s r s gf ggv nye azy X val sz n s gi v ltoz nak? x>0: (Y < x)(x <x)(jxj < p x) Ha (; p x<x< p x)( p x) ; (; p x)( p x) ; ) deriv l s ut n a s r s gf ggv nyt: f Y (x) '( p x) p x kapjuk lda: Ha az X param ter norm lis eloszl s val sz n s gi II.5.4. mi a s r s gf ggv nye azy e X val sz n s gi v ltoz nak? (Y az v ltoz, <x) e <x (X <ln x) F X (ln x) ; ln x;, gy X ; (Y Y p ; (ln x;) e : f (x) x II.5. t tel speci lis esete az al bbi, mely v letlensz m gener l sokn l A hasznos. T tel: Ha U a [0 ] intervallumon egyenletes eloszl s s F (y) II.5.3. szigor an monoton n vekv eloszl sf ggv ny azon az intervallumon, ahol egy <F(y) <, akkor az Y F (U) val sz n s gi v ltoz eloszl sf ggv nye 0 F (y) lesz. ppen Bizony t s: is megjegyezz k, hogy egy szigor an monoton n vekv f ggv nynek El sz r az inverze. (Y < y)(f (U) <y)(f (F (U)) <F(y)) l tezik <F(y)) F (y) mert F (y) [0 ] : (U A II.5.3 t tel lehet s get ad arra, hogy a sz m t g pek egyenletes Megjegyz s: eloszl s v letlen sz mokat gener l rutinja seg ts g vel tetsz leges in- F (y) eloszl sf ggv nyhez tartoz v letlen sz mokat el ll tsunk s vert lhat szimul ci s programokhoz felhaszn ljuk. azokat T tel: Ha X eloszl sf ggv nye F (y) egy szigor an monoton n vekv II.5.4. eloszl sf ggv ny azonazintervallumon, ahol 0 <F(y) <,akkor az p x e ; x ha x>0:.n. lognorm lis eloszl s val sz n s gi v ltoz ). Ak vetkez t tel az el z megford t sa: U F (X) val sz n s gi v ltoz egyenletes eloszl s lesz [0 ]-en.

71 Bizony t s: is megjegyezz k, hogy egy szigor an monoton n vekv f ggv nynek El sz r az inverze. Legyen y [0 ] tetsz leges! l tezik <y)(f (X) <y)(f (F (X)) <F (y)) (U T tel: (Line ris transzform ci ) II.5.5. X folytonos val sz n s gi v ltoz, s t(x) ax + b a 6 0 akkor az Ha Y t(x) ax + b line ris transzform lt val sz n s gi v ltoz eloszl sf ggv nye F Y (y) Y (y) jaj f X f ; y;b ha a>0 F ; X y;b X F ; ; y;b : a ha a<0, s r s gf ggv nye pedig t tel azt mondja ki, hogy a norm lis eloszl scsal d a line ris Ak vetkez n zve z rt: transzform ci ra (x) ( x; ), a.) '( x; ) vagyis a standard norm lis eloszl s s r s gf ggv - s eloszl sf ggv ny vel tesz leges s > 0 param ter ny vel eloszl s s r s gf ggv ny s eloszl sf ggv ny el ll that. norm lis ( x; ) p a.) x; ; t dt p e u; t + u dt du t ; (u;) e II.5 Val sz n s gi v ltoz k transzform ci i 7 (X <F (y)) F (F (y)) y, ez rt U U ([0 ]) : a a Bizony t s: A II.5. t tel egyszer k vetkezm nye. II.5.6. T tel: (A norm lis eloszl s transzform ci s tulajdons gai) b.) ' (x) Bizony t s: x du (x) b.) az a.) mindk t oldal t deriv ljuk. II.5.7. T tel: (Folytonos val sz n s gi v ltoz diszkretiz l sa) y k I (x [r k r k )), Legyen X folytonos val sz n s gi v ltoz, s t(x) k

72 7 II. FEJEZET Aval sz n s gi v ltoz 0 ha x 6 [rk r k ) I (x [r k r k )) ) k r k [r x ha s (Y y k ) rt kk szlettel f X (u)du eloszl ssal. k r r k y k )(r k X<r k ) Bizony t s: f (Y X (u)du: k r k k ;x dx ; e ;x k k e ; n ; p) n;j k n X< j j p p ( ; p) n;j k 0 ::: n: L that, hogy ( j j0; j j0 EX x i (X x i ) ahol 0 r k szigor an n veked sorozat, : Ekkor Y t(x) diszkr t val sz n s gi v ltoz lesz f::: y y 0 y y :::g k r II.5.5. lda: Legyen X E () t(x) [x]+: Ekkor Y t(x) G ; ; e ; : Hiszen (Y k) ; ; ; ; e k ; ; ; e : Ha feladatunk valamely f::: y y 0 y y :::g ; k (Y y k ) k 0 ::: eloszl s diszkr t val sz - p rt kk szlet, n s gi v ltoz sz m t g pes szimul l sa, akkor a II.5.7 t tel azon speci lis p j : eset t kell alkalmazni, amikor X U (0 ) s r k k j II.5.6. lda: (Binomi lis eloszl s v letlen sz mok gener l sa sz m t g ppel) k Legyen X U (0 ) v letlen sz m. Legyen Y k, ha Y B (n p) v letlen sz m lesz. II.6. Av rhat rt k II.6.. Den ci : Az X diszkr t val sz n s gi v ltoz nak akkor l tezz k v rhat rt ke, ha a.) a jx i j(x x i ) sor konvergens. Ekkor az X v rhat rt k n az sor sszeget rtj k.

73 rt k n az EX Egy val sz n s gi v ltoz nak nem felt tlen l l tezik a v rhat rt ke. a.) l tni fogunk ellenp ld kat. K s bb Az.n. Stieltjes-integr l seg ts g vel a v rhat rt k mind a diszkr t, b.) a folytonos esetben azonos m don deni lhat. Legyen F (x) egy mind eloszl sf ggv ny, slegyen g(x) folytonos s korl tos -en. Legyen to- f[x k x k+ ) k 0 ::: lim v bb x k lim x k g k! k! a sz megyenes egy v gtelen feloszt sa, melynek a noms g t () sup (x k+ ; x k ) jel li. K pezz k a <k< g (x k )(F(x k+) ; F (x k )) k ahol x k az [x k x k+ ) intervallum egy pontja. A iemannintegr l sszegeket, l tez s nek bizony t sa szinte sz szerint tvihet erre az esetre s gy kimutathat, hogy ha a ( ) intervallum feloszt s t minden is, hat ron t l s r tj k, azaz, ha ()! 0, akkor az integr lk zel t hat r rt khez, amelyet sszegek g(x)df (x)-szel je- egy konverg lnak s a g(x) f ggv nynek az F (x) s lyf ggv nyre vonatkoz Stieltjesintegr lj nal l nk, nevezz k. A Stieltjes-integr l den ci j b l k vetkezik, ha F (x) egy diszkr t val sz n s gi v ltoz eloszl sf ggv nye, vagyis hogy (x) l pcs s f ggv ny, m gpedig F (x) ugr shelyei x x ::: x n ::: s az F g(x)df (x) g(x n )p n : K nnyen bel that tov bb, hogy ha F (x) szakaszonk nt n sima eloszl sf ggv ny, sf 0 (x) f(x) akkor g(x)df (x) g(x)f(x)dx: Ugyanis, ha F (x) az (a b) intervallumban minden tt dif- akkor a Lagrange-k z p rt kt tel szerint ferenci lhat, (x k+ ) ; F (x k )f(x 0 k )(x k+ ; x k ),aholx k <x 0 k <x k+, s gyha F Av rhat rt k 73 II.6 + b.) Az X folytonos val sz n s gi v ltoz nak akkor l tezz k v rhat rt ke, ha az jxjf X (x)dx improprius integr l konvergens. Ekkor az X v rhat + x f X (x)dx sz mot rtj k. Megjegyz s: x n helyen F (x) ugr sa p n F (x n +0); F (x n ),akkor

74 74 II. FEJEZET Aval sz n s gi v ltoz g (x k )(F (x k+) ; F (x k )) v rhat rt k Stieltjes-integr llal rhat fel: EX g (x 0 k ) f(x0 k )(x k+ ; x k ) T tel: Legyen g :! tetsz leges val s f ggv ny. Ekkor, ha II.6.. Y g(x) val sz n s gi v ltoz, s l tezik a v rhat rt ke, akkor az a.) ha X diszkr t : EY Bizony t s: eset: Diszkr t az X diszkr t val sz n s gi v ltoz rt kk szlete a V megsz ml hat Legyen az Y g (X) diszkr t val sz n s gi v ltoz pedig sz mhalmaz, yw g (x) (X x) xv :g(x)y (X x) eset: Folytonos fel, hogy g dierenci lhat. Ekkor a II.5.. t telt alkalmazva: Tegy k EY yf Y (y) dy yf X (g (y)) dy T tel: Legyen az X val sz n s gi v ltoz nak v rhat rt ke EX: II.6.. az Y a X + b val sz n s gi v ltoz nak is l tezik v rhat rt ke, s Ekkor Bizony t s: a II.6.. t telt a g(x) ax + b line ris f ggv nyre! Alkalmazzuk x k x0 k,akkor a k k sszeg ppen a g(x)f(x)dx iemann-integr l integr l k zel t sszege! Teh t, ha most g(x) x, mind a diszkr t, mind a folytonos esetben a + x df X (x): g(x i ) (X x i ) + b.) ha X folytonos: EY g(x) f X (x)dx: W fy y g (x) x V g : Ekkor den ci szerint: X EY y (Y y) y yw yw X X g (x) (X x) : xv :g(x)y xv g 0 (g (y)) v grehajtva azy g(x) v ltoz cser t: g(x)f X (x) dx: EY aex + b:

75 EX EX (a x i + b)p i a p i + b x p i a EX + b : i f X (x)dx lda: (Az indik tor eloszl s v rhat rt ke) II.6.. eloszl s : (X )p (X 0); p q: EX p +0q p: Az Az eloszl s : p k (X k) ; n EX n k n k0 np n EX 0 k0 k p k n k0 k ; n k p k q n;k p k ( ; p) n;k ; n n! pk q n;k (k)!(n;k)! (n)! pk q n;!(n;)! ; k n q n; np (p + q) n np azaz EX np: p k p k k k k! e; k k e; ; e (k)! lda: (A geometriai eloszl s v rhat rt ke) II.6.4. eloszl s : p k (X k) (; p) k p q k p, k 3 ::: Az EX k k p k k k q k p k (k ; ) q k p + EX-et kifejezve EX ;q p ad dik. ahonnan k II.6 Av rhat rt k 75 a.) diszkr t eset: + + b.) folytonos eset: + (ax + b)f X (x)dx a xf X (x)dx + b a EX + b : K vetkezm ny: Akonstans val sz n s gi v ltoz v rhat rt ke nmaga. II.6.. lda: (A binomi lis eloszl s v rhat rt ke) k k p k q n;k k 0 ::: n: n k k p q n;k ; k n k (n)! q n np n;(k) pk (k)!(n;(k))! np n k 0 lda: (A oisson-eloszl s v rhat rt ke) II.6.3. eloszl s : p k (X k) k k! e; k 0 :::: Az k (k)! k k e ; e : q k p q EX +,

76 76 II. FEJEZET Aval sz n s gi v ltoz EX x f X (x)dx ; e;x 0 : 0+ EX EX x f X (x)dx x f X (x)dx dx b;a b;a hx p e x h; p e ; x i + ; dx x ' (x)dx 0: x; '( )dx x Den ci : Az X val sz n s gi v ltoz n-edik momentum n az II.7.. n val sz n s gi v ltoz v rhat rt k t rtj k, ha az l tezik. Jel l s: n X a.) diszkr t esetben: n b.) folytonos esetben : n II.6.5. lda: (Az egyenletes eloszl s v rhat rt ke) + b x a i b b ;a a+b : b;a a II.6.6. lda: (Az exponenci lis eloszl s v rhat rt ke) + EX x f X (x)dx e ;x dx ;xe ;x 0 + e x ;x dx 0 0 II.6.7. lda: (A norm lis eloszl s v rhat rt ke) a.) Standard norm lis eloszl s + x b.) Az ltal nos eset, X N( ): (y +)'(y)dy y'(y)dy + '(y)dy 0+ : Teh t a norm lis eloszl s param tere a v rhat rt ket jelenti. II.7. Magasabb momentumok, sz r sn gyzet EX n. Megjegyz s: x n i (X x i): + x n f X (x)dx:

77 Den ci : Az X val sz n s gi v ltoz sz r sn gyzet n vagy varianci j n II.7.. az Y (X; EX) val sz n s gi v ltoz v rhat rt k t rtj k az l tezik). Jel l s: X E(X ; EX) : (amennyiben X val sz n s gi v ltoz sz r sa a sz r sn gyzet pozit v n gyzetgy ke: Az a.) diszkr t esetben: X b.) folytonos esetben : X T tel: Legyen X olyan val sz n s gi v ltoz, melynek l tezik II.7.. Ekkor minden val s x eset n: sz r sn gyzete. A bizony t sban felhaszn ljuk a v rhat rt k addit v tulajdons g t, Bizony t s: melyet majd a III.4.6. t telben bizony tunk. g(x) E(X ; x) E(X ; X x + x )EX ; x EX + x : Legyen g 0 (x) x ; EX 0,akkor ha x EX s g 00 (x) > 0, ez rt az Mivel Az X val sz n s gi v ltoz rt kei a v rhat rt k k r l Megjegyz s: a legkisebb m rt kben az sszes val s sz m k z l, s ezt a min- ingadoznak ingadoz st, bizonytalans got jellemzi a sz r sn gyzet. Ha teh t egy im lis v ltoz nak nagy a sz r sa, rt keit bizonytalanul tudjuk csak val sz n s gi Ha a sz r sn gyzet kicsi, a bizonytalans gunk a v ltoz rt keit megbecs lni. cs kken. Ad abszurdum, a konstans sz r sn gyzete 0. illet en HaX diszkr t, akkor Bizony t s: 0 X i ; EX) (X x i ) (x i6ex 8i:x (X () x i )(X 6 EX) 0 () i6ex 8i:x II.7 Magasabb momentumok, sz r sn gyzet 77 X +p E(X ; EX) : Megjegyz s: (x i ; EX) (X x i ): + (x; EX) f X (x)dx: X E(X ; EX) E(X ; x) : x EX hely minimumhely, ami m r igazolja az ll t st. II.7.. T tel: X 0 () (X EX) : (x i ; EX) (X x i ) () 8i () 8i : x i 6 EX ) (X x i )0 () () (X EX) :

78 78 II. FEJEZET Aval sz n s gi v ltoz T tel: (Steiner formula) II.7.3. X E(X ; a) ; [E(X ; a)] minden a -re. Speci lisan a 0-ra Legyen a tetsz leges! Bizony t s: ; a) E(X ; ax + a )EX ; a EX + a E(X ; a)] [EX ; a] [EX] ; a EX + a : [E(X E(X ; a) ; [E(X ; a)] EX ; [EX] : gy X E(X ; EX) E(X ; X EX +[EX] ) Viszont EX ; EX EX +[EX] EX ; [EX] amib l m r k vetkezik az K vetkezm ny: Mivel X E(X ; EX) 0 ) II.7.. [EX], teh t, ha X m sodik momentuma ( gy a sz r sn gyzete is) EX T tel: (ax +b) a X, minden a b -re. Azaz a sz r sn gyzet II.7.4. eltol s invari ns. Bizony t s: (ax + b) E(aX + b) ; [E(aX + b)] a EX +ab EX + b ; a [EX] ; ab EX ; b a (EX ; [EX] )a X: X;EX X ~X lda: (Az indik tor eloszl s sz r sn gyzete) II.7.. X (; p) p +(0; p) q q p + p q p q(q + p) pq p( ; p): lda: (A binomi lis eloszl s sz r sn gyzete) II.7.. X EX ; [EX] EX n k n k0 k p k n k0 ; ) ; n k k p q n;k + (k k ; n k k p q n;k k n! pk q n;k + EX (k;)!(n;k)! n k k p q n;k ; k ; n k k p q n;k k X EX ; [EX] : ll t s. l tezik, akkor a v rhat rt knek is l teznie kell! II.7.3. Den ci : Egy X val sz n s gi v ltoz standardiz ltj n az line ris transzform lt val sz n s gi v ltoz t rtj k. Megjegyz s: E ~ X 0 ~ X : n k n k n k

79 0 n (n ; )p n; (n;)! pk; q n;;(k;) + np (k;)!(n;;(k;))! ; n; p q n;; + np n (n ; ) p (p + q) n; + np n p ; np + np: X n p ; np + np ; (np) np( ; p) npq: gy EX k0 k k k q k p k k0 k e; + (k;)! ; (k ; ) +k ; q k p q EX +EX q EX + p ; : Innen EX -et kifejezve: EX ;p p : X EX ; [EX] ;p p ; p q p ;p p : gy (b;a) : II.7 Magasabb momentumok, sz r sn gyzet 79 n (n ; ) p n k II.7.3. lda: (A oisson-eloszl s sz r sn gyzete) EX k p k k (k ; ) p k + k p k k k; + e ; e + + : (k;)! e ; k gy X EX ; [EX] + ; : II.7.4. lda: (A geometriai eloszl s sz r sn gyzete) II.7.5. lda: (Az egyenletes eloszl s sz r sn gyzete) EX + x f X (x)dx b x b;a dx b;a a x 3 h i b 3 b 3 ;a 3 3 a +ab+b 3 b;a a X EX ; [EX] a +ab+b 3 ; (a+b) 4 a ;ab+b II.7.6. lda: (Az exponenci lis eloszl s sz r sn gyzete) + EX x f X (x)dx e ;x dx ;x e ;x 0 + xe x ;x dx ;x, gy X EX ; [EX] ; ; : dx xe 0 II.7.7. lda: (A norm lis eloszl s sz r sn gyzete)

80 80 II. FEJEZET Aval sz n s gi v ltoz EX + x f X (x)dx x; '( )dx x p e ; x dx p e ; x dx 0+: x ' (x)dx + + y'(y)dy x p x e ; x dx '(y)dy : X EX ; [EX] + ; : Teh t a norm lis Innen Mivel lim F (x), ez rt a c.) tulajdons g s r l. x! 0 ha x +x ha x> x;0 8 Feladat: Egy csomag magyar k rty b l tal lomra kih zunk egy II.8.. Vegye fel X ak rtya pont rt k t! (als :, fels :3, kir ly:4, sz:, lapot. nyolcas:8, kilences:9, tizes:0). Adjuk meg s br zoljuk a eloszl sf ggv ny t! hetes:7, a.) Standard norm lis eloszl s + x EX x f X (x)dx h e ; x i + ) x + p (; gy X EX ; [EX] ; 0: b.) Az ltal nos eset, X N( ): + (y + ) '(y)dy + y '(y)dy + eloszl s param tere a sz r st jelenti. II.8. Kidolgozott feladatok s gyakorlatok II.8.. Feladat: Mutassuk meg, hogy az F (X) f ggv ny nem lehet eloszl sf ggv ny! X rt kk szlete a f g sz mhalmaz. Mindegyik i rt ket (X i) 8 val sz n s ggel veheti fel. gy az eloszl sf ggv ny:

81 F X (x) >< >: ha x 0 ha <x3 8 ha 3 <x4 8 ha 4 <x7 38 ha 7 <x8 48 ha 8 <x9 58 ha 9 <x0 68 ha 0 <x 78 Feladat: Av letlen k s rlet az, hogy n darab dobozba v letlenszer en II.8.3. goly kat helyez nk el gy, hogy minden elhelyez sn l b rmelyik kiv laszt sa egyform n val sz n. Akkor llunk meg, ha szrevessz k, doboz az egyes sz m dobozba beker lt az els goly. Jel lje X a k s rlet hogy, annak, hogy nem ebbe ker l a goly q n jel lj k azt az esem nyt, hogy az egyes dobozba ker l a goly, akkor a val elhelyez s t addig kell folytatnunk, am g A el sz r be nem k vetkezik, goly k teh t X geometriai eloszl s lesz. Az eloszl sa: (X k) q k p ; k n k0 ::: : n n Feladat: Mennyi a val sz n s ge, hogy a hagyom nyos 90/5 lott h z s II.8.4. sor n valamennyi kih zott sz m p ros lesz? II.8 Kidolgozott feladatok s gyakorlatok 8 8 ha <x befejez d sekor az elhelyezett goly k sz m t. Adjuk meg az X eloszl s t! Annak a val sz n s ge, hogy az egyes sz m dobozba ejt nk egy goly t p n n. Ha A-

82 8 II. FEJEZET Aval sz n s gi v ltoz (45 X eloszl sa, (X k) k )( 45 5;k) Az arra amikor k 5,azazakeresett val sz n s g: k rd s (45 vonatkozik, 5) 5 )( 45 0 ) (X Geometriai m dszerrel lehet meghat rozni az eloszl sf gg- Az al bbi br n s t t tve mutatjuk az X<xesem nynek megfelel v nyt. tartom nyt: A ter let nagys ga ;( ; x), gyf X (x) Deriv l s ut n kapjuk a s r s gf ggv nyt: f X (x) 4 ; 8x ( 90 ha x 0 0 ; ( ; x) ha 0 <x 0 5 x>0 5 ha 0 <x 0 5 ha Feladat: Egy egys gnyi hossz s g szakaszt tal lomra v lasztott II.8.6. k t r szre osztunk. Mi a keletkezett szakaszok k z l a kisebbik pontj val ha x 0 0 ha 0 <x< x ha x k A k ) ( 90 5 ) Feladat: Az egys gn gyzeten kiv lasztunk v letlenszer en egy II.8.5. Jel lje X apontnakalegk zelebbi oldalt l vett t vols g t. Ad- pontot. juk meg az X val sz n s gi v ltoz s r s gf ggv ny t! 8 <. : egy bk nt. 0 hossz nak s r s gf ggv nye? Jel lj k Y -nal a kiv lasztott pont orig t l vett t vols g t! 8 Ekkor nyilv n Y U [0 ], s eloszl sf ggv nye F Y (x) <. : Akeletkez szakaszok k z l a r videbb hossz t jel lj k X-el! A k t v ltoz k z tt az al bbi kapcsolat ll fenn: X Y 0 5 ha Y X gy el- : > 0 5 Y ha Y ; oszl sf ggv nye kifejezhet Y eloszl sf ggv ny vel:

83 X (x) (X <x)(x <x Y 0 5) + (X <x Y>0 5) F (Y < x Y 0 5) + ( ; Y < x Y > 0 5) ha x 0 0 +(; ( ; x)) x ha x (0 0 5) x ha x 0 5 Feladat: Egy szob ban t telefon m k dik, melyek k z l b rmelyik II.8.7. megsz lalhat a t bbiekt l teljesen f ggetlen l X id n bel l, ahol X exponenci lis eloszl s val sz n s gi v ltoz. Mennyi az es lye param ter hogy egys gnyi id n bel l pontosan k t telefonk sz l k fog cs r gni? annak, AzA: egy telefon megcs rren egys gnyi id n bel lesem ny p (X <) F X () ; e : Mivel t f ggetlen l val sz n s ge: k sz l k nk van, a feladat tfogalmazhat gy, mintha az A esem nyre zemel vonatkoz tsz r s k s rletsorozatr l volna sz. gy a binomi lis gyelembev ve, val sz n s ge, hogy az A esem ny pontosan eloszl st annak be: ; 5 p ( ; p) 3 0(; e) (e) : k vetkezik k tszer Feladat: Egy automata zacsk kba cukork t adagol. A zacsk k X II (gramm), (gramm) param ter norm lis eloszl s nak s ly t zacsk k z tt legal bb egy olyan van, amelynek a s lya 99 s kiv lasztott gramm k z esik? 0 Legyen A : a zacsk s lya 99 s 0 gramm k z esik esem ny. Az A bek vetkez s nek val sz n s g t az eloszl sf ggv nye seg ts g vel hat rozhatjuk meg: (A) (99 X<0) ; 9900 ; (0 5) ; (;0 5) (0 5) ; 0 383: A h rom zacsk kiv laszt sa n 3 s (A) param ter binomi lis eloszl ssal modellezhet, ami alapj n a keresett val sz n s g: ; ; ( ; (A)) : 0 ((A)) Legyen az X val sz n s gi v ltoz folytonos eloszl s- Feladat: II.8.9. olyan, hogy >F(x) > 0 esetben szigor an monoton n veked is. f ggv nye be, hogy ekkor az Y 3F (X)+4 val sz n s gi v ltoz egyenletes Bizony tsa (Y < x) (3F (X) +4 < x) (X < F ( x;4 (F ( x;4 3 )) x;4 3. F II.8 Kidolgozott feladatok s gyakorlatok 83 8 (Y < x)+ ( ; x<y) <, : azaz X U [0 0 5] : tekinthetj k. Mennyi a val sz n s ge annak, hogy h rom v letlenszer en F X (0) ; F X (99) ; 000 eloszl s a [4 7] intervallumon! 3 ))

84 84 II. FEJEZET Aval sz n s gi v ltoz Feladat: Legyen az X val sz n s gi v ltoz folytonos eloszl sf ggv nye II.8.0. olyan, hogy >F(x) > 0 esetben szigor an monoton n veked is. Bizony tsa be, hogy ekkor az Y ln (Y < x)(ln F (X) <x)(f (X) > e;x ) (F (X) e ;x ); (X <F (e ;x )) ; e ;x ) Y E(): ; Feladat: Ha az X val sz n s gi v ltoz s r s gf ggv nye f(x), II.8.. mi a s r s gf ggv nye azy jxj val sz n s gi v ltoz nak? akkor (Y < x)(jxj <x)(;x <X<x)F (x) ; F (;x), ut n kapjuk a s r s gf ggv nyt: f Y (x) f(x) +f(;x), x>0. deriv l s Feladat: Ha X -param ter oisson-eloszl s val sz n s gi II.8.. akkor mi az eloszl sa az Y X +val sz n s gi v ltoz nak? v ltoz, Ha x 0, akkor (Y < x) ( X ; ; X x ; FX ; x ; x. gy F Y (x) ; x ha 0 x A : s r s gf ggv nyt deriv l ssal x> ha x 0 sohasem teljes l.) Deriv l s ut n: f Z(x) (; x) ;,hax<0 5 ;x Feladat: Ha X a [0,] intervallumon egyenletes eloszl s, akkor II.8.4. a s r s gf ggv nye azy jx ; j val sz n s gi v ltoz nak? mi eloszl sa param ter F (X) exponenci lis! Mivel X f0 :::g)y f 3 5 ::: n + :::g s (X k) (Y k +) k k! e;. Feladat: Ha az X a [0 ] intervallumon egyenletes eloszl s II.8.3. v ltoz, mi a s r s gf ggv nye azy X s a Z X +X val - val sz n s gi sz n s gi v ltoz knak? < x) 0, mert ez lehetetlen. Ha x > 0, akkor (Y < x) ( X < x) ; X> x, azaz x, ha m g az is fenn ll, hogy x hat rozhatjuk meg: f Y (x) x ; ha x> (k l nben 0). M sr szt < ; X ; x x ha x 0 5 (Z x) : (Az ;x ;x X< <x +X x>0 5 ha (k l nben 0).

85 (Y < x)(jx ; j <x)( ; x<x<+x) +x ( + x) ; F X ( ; x) ; ;x x ha x [0 ] X F Feladat: Ha X -param ter exponenci lis eloszl s val sz n s gi II.8.5. v ltoz, akkor mi a s r s gf ggv nye azy 3X +3 val sz n s gi Y x;3 e; 3, x>3. 3 (x) f (Y < x) (X <x ) ; e ;x x > 0. f Y (x) ;x x> 0. xe II.8.7. Feladat: Ha X-param ter exponenci lis eloszl s val sz n s gi v ltoz, akkor mi a s r s gf ggv nye azy (Y < x)(0 < X X ; X> p <x) x > X x X p ; F X ( p ). ; Deriv l s ut n f Y (x) x x p 3 e; p x, x>0. x addig folytatjuk, am g a dob sok sorozat ban mind a fej, mind p nzfeldob st r sok sz ma el ri a k sz mot. Jel lje X az ehhez sz ks ges dob sok az gy (X n) (Y k Z n ; k) +(Y n ; k Z k) ; n ; n ; n k n. n k Feladat: A [0 ] szakaszon v letlenszer en kiv lasztunk k t pontot. II.8.9. Legyen a k t pont t vols ga X. Adja meg X s r s gf ggv ny t! II.8 Kidolgozott feladatok s gyakorlatok 85, ha x>: vagyis Y U[0 ]. v ltoz nak? (Y x)(x < x;3 x;3 3 ); e; 3,hax3. < Feladat: Ha X-param ter exponenci lis eloszl s val sz n s gi II.8.6. v ltoz, akkor mi a s r s gf ggv nye azy p X val sz n s gi v ltoz nak? val sz n s gi v ltoz nak? II.8.8. Feladat: Egy szab lyos p nzdarabbal v gz nk dob sokat. A sz m t. Adja meg az X eloszl s t! Jel lje Y a fejek sz m t, Z az r sok sz m t az n dob s k z tt. k n +

86 86 II. FEJEZET Aval sz n s gi v ltoz Jel lje Y illetve Z ak t pont orig t l vett t vols g t! Ekkor jy ; Zj, (X <x) (Y ; x<z<y + x) : Geometriai val sz n - X m dszerrel: (Y Z) egy v letlen pont az egys gn gyzetben, gy s gsz m t si (Y ; x) <Z<(Y + x) felt telnek megfelel tartom ny: az Akeresett eloszl sf ggv ny: F X (x) ha x 0 0 ; ( ; x) ha x (0 ) ha x A p ) f(x) N : p 0 Feladat: Az egys gnyi oldal n gyzet k t tellenes oldal n tal lomra II.8.. v lasztunk egy-egy pontot. Jel lj k X-el a k t pont t vols g t! Adja q (x ; y) + t ; p -re X X (t) (X <t) ; (x ; y) +<t F ; x ; p t ; <y<x+ p t ; Feladat: Az egyetemen nagyon sok telefonk sz l k van, amelyek II.8.. egym st l f ggetlen l romlanak el azonos val sz n s ggel. Az v 360 tlagosan olyan nap van, hogy egyetlen k sz l k sem romlik el. napj b l h ny olyan nap lesz, amikor vagy -n l t bb telefon romlik el? V rhat an, 8 < : : Feladat: Az A param ter milyen rt k n l lesz az f(x) Ae ;x II.8.0. f ggv ny s r s gf ggv ny? Mennyi ekkor a v rhat rt k s a sz r s- x n gyzet? p p e ; x meg az F X (x) : (X <x) eloszl sf ggv nyt! ; ; ; p t ; p t ; ; (t ; ) :

87 ln 30: Ez rt (X ) ; (X ); (X 0); 30 Feladat: Az X U (0 ) val sz n s gi v ltoz seg ts g vel gener ljunk II.8.3. Y G (0 5) eloszl s val sz n s gi v ltoz t! i j0 Feladat: Egy k pzeletbeli diktat r ban a Nagy Testv raz II.8.4. rendeleteket hozta: al bbi A hadsereg ut np tl s nak biztos t sa v gett minden csal d k teles gyermeket sz lni. A demogr ai robban s elker l se v gett minden csal dban, ha m r sz letett, t bb gyermek nem sz lethet. A Nagy Testv rv gtelen b lcsess ge k vetkezt ben, nem meg a l ny ar ny! Hiszen, ha N csal d van az orsz gban, a k v ltozik N 4 N k+ k + Feladat: Legyen X oisson-eloszl s >0 param terrel, II.8.5. X +.Adjuk meg Y v rhat rt k t s sz r sn gyzet t! Y II.8.6. Feladat: Legyen Xn s p param ter binomi lis eloszl s va- v ltoz, Y +X.Adjuk meg Y v rhat rt k t s sz r s t! l sz n s gi EY n k0 n k p ( ; p) n;k ::: k +k; ; ; n k p ( ; p) n;k ; (EY ) ::: stb. k +k II.8 Kidolgozott feladatok s gyakorlatok 87 Jel lje X az egy nap alatt meghib sodott telefonk sz l kek X nyilv n oisson-eloszl s. Mivel (X 0)e ; ) sz m t! ( + ln 30) : Az X napok v rhat sz ma: 360 ; ; 30 ( + ln 30) 307: Legyen q i j 3 j q 0 : Ekkor Y i ha q i < X 4 q i+ i 0 :::. Hogyan v ltoztatja meg a Nagy Testv rezen k t rendelete a -l ny ar nyt? sz ma nyilv n N lesz. A l nyok pedig: N 4 + N 8 + N k k N: k EY EX + + Y 4 X 4: n k0 Y

88 88 II. FEJEZET Aval sz n s gi v ltoz II.8.7. Feladat: Ha az X s r s gf ggv nye f X (x) ) dx ln ( + x ) (+x Feladat: Legyen X N( ), azaz, param ter norm lis II.8.8. val sz n s gi v ltoz! Adjunk k pletet EX n -re! eloszl s Ha ~ X X; ~ X 0, gy a standardiz lt minden p ratlan hatv ny nak v rhat rt ke 0. E ~ X n (n ; )(n ; 3) (n ; )!, mivel E ~ X. M sr szt EX n E n n k n;k E ~ X k is fenn ll. Behelyettes tve kaphatjuk a v geredm nyt. k k0; Feladat: Egy j t kos 03 zseton indul t k vel rulettezik. Az II.8.9. strat gi ja, hogy addig folytatja a j t kot, am g vagy nyer, vagy pedig elf- a az sszes zsetonja. Minden forgat s el tt a piros mez re rak megdupl zva ogy el z t tet. Mennyi a nyerem ny nek av rhat rt ke? (Az egyszer s g az j t kos a 0-dik j t k ut n mindegyik zsetonj t elveszti: k; ; 0 0 ; ( ; ) ; EY k 0 ) (X 0) ; 0 : Feladat: Egy r ten h rom szarvas legel szik gyan tlanul. Egym sr l II nem tudva h rom vad sz lopakodik a tiszt shoz, s egyszerre t zelnek Mindegyik l v s tal l, s hal los. avadakra. a l v sek ut n a r tr l elszalad szarvasok sz m nak v rhat Mennyi X az elfut szarvasok sz ma: X f0 g : (X ) (Mindegyik vad sz ugyanazt a szarvast l vi le) EX 0 9 X 6 8 : EX (x ), (+x ) l tezik-e rt ke? v rhat akkor mert l tezik, Nem x divergens. jel li a standardiz ltat, akkor ~ X N(0 ). x n; ' (x) dx (n ; ) E ~ X n;. Mivel E ~ X n x n ' (x) dx (n ; ) kedv rt tekints k a piros s fekete forgat sok val sz n s geit -nek!) X a piros forgat shoz sz ks ges k s rletsz m: X G ; : a j t kos nyeres ge. A nyeres g, ha nyer a j t kos mindig zseton. A Y 03: (X >0) 0 0: Av rhat nyeres g teh t 0 zseton! rt ke s sz r sa? (Elvileg t bb vad sz is l het ugyanarra a szarvasra...) (X 0) (Mindegyik vad sz m s-m s a szarvasra l ) 6 7 (X ); (X 0); (X ) 8 7

89 Gyakorlat: Az egys gn nyzeten tal lomra kiv lasztunk egy II.8.. Jel lje X a s a hozz legk zelebb ll cs cs t vols g t. Adja meg pontot. Gyakorlat: Legyen X E () s Y X : Adja meg Y s r s gf ggv ny t! II.8.. Gyakorlat: Legyen az X val sz n s gi v ltoz eloszl sf ggv nye II.8.3. (x) : Legyen Y maxf0 Xg Z minf0 ;Xg V jxj s W ;X: F p Adja meg Y X: Gyakorlat: Egy h ztart si g p gy ri nk lts ge Ft. A II.8.7. a gy r v garanci t ad, ami szerint a hib s g pet ingyen kicser li, term kre az ven bel l meghib sodik. A gy r szakemberei szerint a g p amennyiben 30 v v rhat rt k exponenci lis eloszl s. A termel i r a g p lettartama plussz a garanci lis cser k nk lts g nek v rhat rt ke. Mekkora nk lts ge a termel i r? legyen II.8.8. Gyakorlat: X E () seg ts g vel gener ljon egy Y G ; Gyakorlat: Egy gy rtm nynak az egy sz zal ka selejtes. A darabokat II.8.9. ezres vel dobozokba csomagolj k. Mennyi a val sz n s ge, hogy egy Gyakorlat: Egy szab lyos p nz rm t addig dobunk fel jra s II.8.0. m g meg nem kapjuk a m sodik fej et is. Mennyi annak a val sz n s ge, jra, az els fej ut n a m sodik fej ig ugyanannyi dob sra van sz ks g, mint hogy dob s kellett az els fej ig? ah ny II.8 Kidolgozott feladatok s gyakorlatok 89 X eloszl s- s s r s gf ggv ny t! Fejezze ki Y Z V s W eloszl sf ggv ny t F (x)-szel! Gyakorlat: A (0 ) intervallumban kijel l nk h rom pontot v letlenszer en. II.8.4. Hat rozzuk meg a k z ps pont 0;t l val t vols g nak eloszl sf ggv ny t! Gyakorlat: Egy csomag 3 lapos magyar k rty b l kih zunk egy II.8.5. Legyen X akih zott lap rt ke. Adja meg s br zolja X eloszl s- lapot. f ggv ny t! Sz molja ki a 7 5 <X<0 esem ny val sz n s g t! II.8.6. Gyakorlat: Legyen X U (0 ) s Y s r s gf ggv ny t! 3 val sz n s gi v ltoz t! v letlenszer en kiv lasztott dobozban nincs h romn l t bb hib s?

90 90 II. FEJEZET Aval sz n s gi v ltoz II.8.. Gyakorlat: Tekints k az f(x) 3x x [ ] s r s gf gg- Az X U (0 ) seg ts g vel ll tsunk el olyan Y val sz n s gi v ltoz tv nyt! amelynek s r s gf ggv nye ppen f(x)! Gyakorlat: Milyen b rt kn l lesz az f(x) b p x ; x ( 3) II.8.. s r s gf ggv ny? f ggv ny Gyakorlat: Egy norm lis eloszl s val sz n s gi v ltoz 0 II.8.3. vesz fel 0 -n l kisebb rt ket, s 0 5 val sz n s ggel 3 6- val sz n s ggel Gyakorlat: Egy sz m t g pes szerv zben egy h nap h sz munkanapj b l II.8.4. tlagosan kett n nincsen reklam ci. oisson-eloszl st felt te- mennyi annak a val sz n s ge, hogy egy adott napon h rom, vagy lezve, t bb reklam ci rkezik? h romn l Gyakorlat: Legyen X U (a b) s Y X n : Adja meg Y eloszl sf ggv ny t! II.8.5. Gyakorlat: Egy teg addig t zel egy c lpontra, am g el nem II.8.6. A tal lat val sz n s ge minden l v sn l p. Mennyi az egy tal lathoz tal lja. Gyakorlat: Az A k nyvben az egy oldalon tal lhat sajt hib k II.8.7. X o() m g a B k nyvben ugyanez Y o() : Igaz-e a sz ma k t ll t s egyszerre: (i) Az A k nyvben h romszor annyi sajt hiba k vetkez mint ab k nyvben. (ii) A B k nyvben tsz r akkora egy hibamentes van Gyakorlat: A boltban rult izz k %-a hib s. Ha vesz nk 00 II.8.8. akkor h ny darab lesz benne rossz a legnagyobb val sz n s ggel, s darabot, Gyakorlat: Egy MFt nk lts g sz m t g p termel i r t II.8.9. meghat rozni. A sz m t g p lettartama exponenci lis eloszl s 0 v kell akkor kicser lj k, ha a m sodik is elromlik egy ven bel l, akkor elromlik, a g p r t. A termel i r legyen az az rt k, mely mellett a kiad s visszaadjuk 7 n l nagyobb rt ket. Mennyi a v rhat rt ke s sz r sa? sz ks ges tlagos l szerk szlet, a mun ci? oldalnak a val sz n s ge, mint aza k nyvben? mekkora ez a val sz n s g? v rhat rt kkel. Garanci t v llalunk gy, hogy ha az els vben a g p s a bev tel v rhat rt ke megegyezik. (A visszavett g pek rt ktelenek.)

91 Gyakorlat: Egy m r s elv gz s hez k t lehet s g nk van. Vagy II.8.0. dr ga k sz l kkel m r nk egyet, ahol a m r s hib ja N (0 ) eloszl s, egy egy olcs k sz l kkel m r nk h romszor, s a m r seredm nyeket tlagoljuk, vagy ahol viszont a m r s hib ja m r N (0 6) eloszl s. Melyik m r si Gyakorlat: Egy dobozban a sziv rv ny h t sz n vel egyez sz n II.8.. goly k vannak. Addig h zzuk ki a goly kat visszatev ssel a dobozb l, valamennyi sz n goly t ki nem h ztunk egyszer. Mi az ehhez sz ks ges am g h z ssz m eloszl sa? X Gyakorlat: Legyen az X val sz n s gi v ltoz eloszl sf ggv nye II.8.. F (x) s r s gf ggv nye pedig f(x): Bizony tsa be, hogy EF (X) : ex x ) x : Sz molja ki az X medi nj t, vagyis azt az (+e Gyakorlat: Legyen az X val sz n s gi v ltoz olyan, hogy II.8.5. (0 <X<) : Bizony tsa be, hogy X<EX! Gyakorlat: Egy baromudvarban a gondoz gy r j r l lees II.8.6. k vet az egyik liba lenyelte. A gondoz k nytelen a lib k lev g s val rt kes visszaszerezni a k vet. Addig v gja le a v letlenszer en elkapott megpr b lni am g valamelyik begy ben meg nem tal lja a k v t. Ha sszesen 50 lib kat, van a farmon, mennyi a k nyszer s gb l lev gott lib k sz m nak v rhat liba rt ke? Gyakorlat: Legyen (a b) az egys gn gyzet egy v letlen l II.8.7. pontja. Jel lje Xa pont orig t l vett euklideszi t vols g t. kiv lasztott Gyakorlat: X B ; s Y X : Mi Y eloszl sa, II.8.8. Legyen a v rhat rt ke? mennyi s II.8 Kidolgozott feladatok s gyakorlatok 9 technika adja a pontosabb m r st? Gyakorlat: Legyen X logisztikus eloszl s, azaz s r s gf ggv nye: II.8.3. f X (x) M X sz mot, amelyre (X <M X ) (X M X ) teljes l. II.8.4. Gyakorlat: Legyen X f0 :::g olyan val sz n s gi v ltoz, melynek l tezik a v rhat rt ke. Bizony tsa be, hogy EX (X i) : Mennyi X v rhat rt ke?

92 9 II. FEJEZET Aval sz n s gi v ltoz Gyakorlat: Az orig b l kiindulva egy bolha ugr l a sz megyenesen. II.8.9. Minden ugr sa egys gnyi hossz s a t bbit l f ggetlen l p val sz - jobbra, ; p val sz n s ggel balra t rt nik. Az t dik ugr s ut n n s ggel a bolha hely t. Adja meg ennek az eloszl s t! meggyelj k Gyakorlat: Az X norm lis eloszl s val sz n s gi v ltoz v rhat II rt ke ;5 s tudjuk, hogy (;5 X<0)0 3: Mennyi (;5 <X<4)? Gyakorlat: L tezik-e az F (x) xln x ; x + x [ e] eloszl sf ggv ny II.8.3. val sz n s gi v ltoz nak m sodik momentuma? Gyakorlat: Egy szab lyos p nz rm t addig dobok fel ism telten, II am g k t fejet, vagy k t r st nem kapok. Mennyi a dob sok sz m nak Gyakorlat: Legyen X E (), ahol 0 s Y [X] azaz II eg szr sze. Mennyi az Y diszkr t val sz n s gi v ltoz v rhat rt ke? X Gyakorlat: Egy j t kos rulettezik. H rom t tet tesz meg: egyegy II Ft-os zsetont tesz a fekete 3 sz mra, a fekete mez re s a p ratlan tsz r megism telve ezt a strat gi t, mennyi a j t kos nyeres g nek mez re. v rhat rt ke? (A rulett rcs n 0-t l 36-ig llnak a sz mok, (vesztes g nek) fekete, 8 piros, a 0- s z ld sz n.a fekete sz mok k z tt 9 db p ros s 8 db p ratlan van. Ha valaki sz mra tesz, a t tet s m g annak 36-szoros t 9 be. A fekete vagy p ratlan mez k n a nyeres g k tszeres. A 0-ra nem sepri fogadni. Ha 0- s p r g ki, minden megrakott t tet a bank viszi el.) lehet II.8.3. Gyakorlat: Az X val sz n s gi v ltoz s r s gf ggv nye f X (x) 8 ;x ha 0 x e x ha <x 3e : Mennyi EX? < : 0 egy bk nt v rhat rt ke s sz r sa?

93 vektorv ltoz k, val sz n s gi Val sz n s gi v ltoz k egy ttes eloszl sa gyakran nem lehet a v letlen jelens get egyetlen sz madattal jellemezni. Nagyon l. amikor az id j r si helyzetet pr b lj k el rejelezni, megadj k a h m rs klet, csapad kmennyis g, l gnyom s, sz ler ss g stb. adatokat, v rhat azaz a prognosztiz lt helyzetet egy vektorral jellemzik. A vektor kom- val sz n s gi v ltoz k, rt keik a v letlent l f ggnek. Felmer lhet ponensei egyes komponensek k z tt fenn ll kapcsolatok k rd se is. az Den ci : Legyen ( ) Kolmogorov-f le val sz n s gi mez. III... Tekints k az X :! p f ggv nyt! Az X (X X ::: X p ) T vektorv ltoz, ha minden B B p p-dimenzi s Borel-halmazra val sz n s gi X(!) Bg teljes l. f! B p a B B B p alak halmazok ltal gener lt - Megjegyz s: ahol B i B tetsz leges egydimenzi s Borel-halmaz. algebra, Den ci : A Q X (B) (f! X(!) Bg), B B p az X val sz n s gi III... vektorv ltoz eloszl sa. Den ci : Legyen (x x ::: x p ) T x p, s a hozz tartoz III..3. Borel-halmaz B x ( x ) ( x ) ( x p ): p-dimenzi s Ekkor az F X (x) F X X ::: X p (x x ::: x p )Q X (B x ) III. fejezet Val sz n s gi vektorv ltoz k III.. 93

94 94 III. FEJEZET Val sz n s gi vektorv ltoz k (X <x X <x ::: X p <x p ) f ggv nyt az X val sz n s gi vektorv ltoz eloszl sf ggv ny nek, illetveazx X ::: X p komponens val sz n s gi T tel: Az X val sz n s gi vektorv ltoz eloszl sa s eloszl sf ggv nye III... k lcs n sen egy rtelm en meghat rozz k egym st. x i <x i akkor F X (x ::: x i ::: x p ) F X (x ::: x i ::: x p ): ha lim i!+ F X(x ::: x i ::: x p ) s lim 9x i! F X(x ::: x i ::: x p )0: 8x Az egyszer s g kedv rt csak p esetben modjuk ki ezt a tulajdons got. d.) ltal nos eset t rgyal s t l sd a III.7.. feladatban.) (Az T [a b) [c d) tetsz leges p dimenzi s t gla. Ekkor Legyen X (a c) +F X (b d) ; F X (a d) ; F X (b c) 0: F Az a.), b.) s c.) ll t sok az egydimenzi s esethez, hasonl an Bizony t s: r szletez s kt l itt eltekint nk. A d.) ll t s nem szerepelt az bizony that ak esetben, ott a neki megfelel alak a tetsz leges [a b) intervallum egydimenzi s F X (b) ; F X (a) 0, ami a monotonit si tulajdons ggal esik egybe. eset n 0 ha x + x 0 F (x x ) > 0 x + x ha kiel g ti a.), b.) s c.)-t, de d.) nem teljes l r. A bizony t s azon f ggv ny hogy megmutatjuk, hogy d.) baloldal n a (X T ) val sz n s g ll, m lik, nyilv nval an nemnegat v. Deni ljuk az al bbi esem nyeket: ami f! X (!) <ag A f! X (!) <bg B f! X (!) <cg C v ltoz k egy ttes eloszl sf ggv ny nek nevezz k. Megjegyz s: A t telt nem bizony tjuk. III... T tel: (Az egy ttes eloszl sf ggv ny tulajdons gai) a.) F X minden v ltoz j ban monoton nem cs kken f ggv ny, azaz8 i -re, F X minden v ltoz j ban balr l folytonos f ggv ny, azaz b.) lim 0 i ;0 F X (x ::: y ::: x p )F X (x ::: x 0 i ::: x p ): y!x c.) T bbdimenzi s esetben sz ks g van d.)-re, mert pl p esetben az

95 f! X (!) <dg : D Ekkor (BD); (ABD + BCD) (BD); (ABD); (BCD)+ (ABCD) A B s C D, gy az elnyel d s miatt: Mivel (BD) ; (AD) ; (BC)+(AB), ppen az ll t s. ami III..4. Den ci : Ha X (X X ::: X p ) T val sz n s gi vektorv l- eloszl sf ggv nye F X s j <j < <j k p egy tetsz leges k elemtoz indexkombin ci, akkor az indexekhez tartoz X j X j ::: X jk kompo- val sz n s gi v ltoz k egy ttes eloszl sf ggv nyeazf X egy k-dimenzi s nens vagy vet leti eloszl sf ggv nye. perem- A r szletes bizony t st a val sz n s g folytonoss gi tulajdons g val Bizony t s: lehetne elv gezni. Ekkor az l that be, hogy hogy a ford tott ll t s nem igaz, p esetben adunk ellenp ld t: Arra, X s X olyan val sz n s gi v ltoz k, melyek csak a 0 s + Legyenek Ekkor F Xi (x) 0 5 ; " " perem X ha x 0 ha <x0 0 5 ha 0 <x 0 75 ha <x III. Val sz n s gi vektorv ltoz k, egy ttes eloszl sf ggv ny 95 0 (X T )(a X <b c X <d) AB CD BD(A + C) (BD) ; (BD (A + C)) ; T tel: Ha a X X ::: X p val sz n s gi v ltoz k egy ttes eloszl sf ggv nye III..3. F X ismert, akkor b rmely vet leti eloszl sf ggv nye megha- Ford tva ltal ban nem igaz: ha ismerj k az sszes alacsonyabb t rozhat. vet leti eloszl sf ggv nyt, az egy ttes eloszl sf ggv ny nem l- dimenzi s l that el. F X X ::: X n (x x ::: x n ). F Xi X i ::: X ik (x i x i ::: x ik ) lim j! 8x jfi i ::: i k g rt keket vehetik fel az al bbi eloszl st bl zat szerint X n X 0 + X perem " ; " ahol 0 <"<0 5 tetsz leges. 8 >< >:

96 96 III. FEJEZET Val sz n s gi vektorv ltoz k vet leti eloszl sf ggv ny, ami nyilv n nem hat rozza meg az egy ttes ak t mely az " param tert is tartalmazza. eloszl sf ggv nyt, Den ci : Legyenek X X ::: X p val sz n s gi v ltoz k az III..5. ) Kolmogorov-f le val sz n s gi mez n. ( X X ::: X p p ronk nt f ggetlenek, ha8 i<j n -re a.) Xi Xj (x y) F Xi (x) F Xj (y) teljes l 8 x y -re. F X X ::: X p teljesen f ggetlenek, ha8 k p s b.) i <i < <i k p indexkombin ci ra 8 F Xi X i ::: X ik (x i x i ::: x ik ) ky j F Xij (x ij ) 8x i x i ::: x ik -re. T tel: Ha X X ::: X p teljesen f ggetlenek, akkor p ronk nt III..4. f ggetlenek. A megford t s ltal ban nem igaz. is A t tel els fele nyilv nval, hiszen a teljes f ggetlens g felt telrendszere Bizony t s: a p ronk nti f ggetlens g felt telrendszer t is tartalmazza. Az val sz n s gi v ltoz k egy ttes Diszkr t eloszl sa Ha X s Y diszkr t val sz n s gi v ltoz k E fx x ::: x n :::g illetve a.) fy y ::: y n :::g rt kk szletekkel, akkor az D ij (f! X(!) x i g\f! Y (!) y j g) $ (X x i Y y j ) r j :::) val sz n s gek sszess g t a k t diszkr t val sz n s gi (i e n x (i) x (i) ::: x (i) o n ::: (i ::: p). (i) rendre ugyanazon a p ld n alapulhat, mint amikor megmutattuk, hogy a ellenp lda f ggetlen esem nyek rendszere nem felt tlen l alkot teljesen f g- p ronk nt getlen esem nyrendszert. (l sd I.4.4 t telt). III.. III... Den ci : v ltoz egy ttes eloszl s nak nevezz k. b.) Az X X ::: X p diszkr t val sz n s gi v ltoz k rt kk szleteit jel lje

97 az r i i ::: i p (X x () i Ekkor X x () ::: X p x (p) az X X ::: X p diszkr t val sz n s gi v ltoz k egy ttes eloszl sa. sszess ge III... Den ci : Ha adott az X X ::: X p diszkr t val sz n s gi v l- n i i ::: i p (X x () i toz k X x () ::: X p x (p) o i r ) 8i k p egy ttes eloszl sa, s j <j < <j k p, akkor az X j X j ::: X jk v ltoz k egy ttes eloszl s t k-dimenzi s vet leti- vagy peremeloszl snak val sz n s gi nevezz k. T tel: A diszkr t val sz n s gi v ltoz k egy ttes eloszl sa kiel g ti III... az al bbi tulajdons gokat: a.) 0 r i i ::: i p r i i ::: i p p ::: i i 8i c.) (X j x j X j x j ::: X jk x jk ) l fj j ::: j k g 8i n (!) x () n i! o! X (!) x () i o X n X p (!) x (p) o i esem ny val sz n s g r l van sz.! p b.) Mivel az A i i ::: i p A folytonoss gi t tel k vetkezm nye ez a tulajdons g, melynek r szletez s t l c.) eltekint nk. Speci lisan, az ll t s p esetben: (X x i ) j (X x i Y y j ) s (Y y j ) Az X s Y diszkr t val sz n s gi v ltoz k f ggetlenek, ha 8 i j-re a.) x i Y y j )(X x i ) (Y y j ): (X III. Diszkr t val sz n s gi v ltoz k egy ttes eloszl sa 97 i i p ) val sz n s gek i diszkr t b.) r i i ::: i p : Bizony t s: a.) Nyilv nval, hiszen az A i i ::: i p esem nyek teljes esem nyrendszert alkotnak, igaz az ll t s. (X x i Y y j ): III... T tel:

98 98 III. FEJEZET Val sz n s gi vektorv ltoz k Az X X ::: X p diszkr t val sz n s gi v ltoz k teljesen f ggetlenek, ha b.) k p-re s 8 j <j < <j k p eset n 8 kq lda: (olinomi lis eloszl s) III... ( ) Kolmogorov-f le val sz n s gi mez, A A ::: A r egy Legyen r A i : Ekkor, r p i : Hajtsunk v gre egy n-szeres k s rlet- Vegye fel X i azt az rt ket, ah nyszor A i bek vetkezett a k s rletsorozatbansorozatot. Az X X ::: X r val sz n s gi v ltoz k egy ttes eloszl s t p p ::: p r param ter polinomi lis eloszl snak nevezz k. Az X i val sz n s gi n v ltoz k rt kei a 0 ::: n sz mok k z esnek. Az X X ::: X r n i0 8k r X i n. Az n! p k r! pk pkr r (p + p + + p r ) n :!k!k k val sz n s gi v ltoz k egy ttes Folytonos eloszl sa III.3.. Den ci : Az X X ::: X p (X j x j X j x j ::: X jk x jk ) (X j x j ) : A bizony t st nem r szletezz k, csak annyit jegyz nk meg, Bizony t s: az X i val sz n s gi v ltoz k teljes f ggetlens ge ekvivalens a kapcso- hogy latos A i f! X i (!) x i g n v esem nyek teljes f ggetlens g vel. r esem nyb l ll teljes esem nyrendszer, azaz A i A j ha 0 < (A i )p i, akkor val sz n s gi v ltoz k rt kei k z tt szoros sszef gg s van: X ::: X r val sz n s gi v ltoz k egy ttes eloszl sa: X k X k ::: X r k r ) (X n! p k r! p k p kr r. A fenti val sz -!k!k k n s gek val ban eloszl st alkotnak, hiszen: k +k ++k r n A binomi lis eloszl s speci lis polinomi lis eloszl s, amikor Megjegyz s:. A teljes esem nyrendszer ilyenkor A s az ellentettje. Teh t a poli- r eloszl s a binomi lis eloszl s t bbdimenzi s kiterjeszt se. A polinomi linomi lis eloszl s X i komponensei egyenk nt B(n p i ) eloszl s ak, azaz a polinomi lis eloszl s egydimenzi s peremeloszl sai binomi lisak. III.3. folytonos val sz n s gi v ltoz k egy ttes s r s gf ggv ny n azt az f X X ::: X p (x x ::: x p ) iemann-integ-

99 F X X ::: X p (x x ::: x p F X X ::: Xp (x x ::: Den ci : Az f X X ::: X p (x x ::: x p ) egy ttes s r s gf ggv nyegyk-dimenzi s III.3.. vet leti s r s gf ggv ny n ( k p) valamely i <i < <i k p indexkombin ci ra az X i X i ::: X ik f X X ::: X p (t t ::: t p )dt j dt j dt jp;k azaz az egy ttes s - az sszes t bbi a kiv lasztott index kombin ci ban nem r s gf ggv nyt indexhez tartoz v ltoz ra kell kiintegr lni a teljes sz megyene- szerepl hogy el ll tsuk a k-dimenzi s vet leti s r s gf ggv nyt sen, j ::: j p;k fi i ::: i k g : fj y alak, akkor a k t val sz n s gi v ltoz egy ttes eloszl sa k tdimenzi s x norm lis, ahol a peremeloszl sokra X N( ) Y N( ) gy pl. f Y (y) p e ; (y; ) f X Y (x y) dx %(y; ) + III.3 Folytonos val sz n s gi v ltoz k egy ttes eloszl sa 99 r lhat f ggv nyt rtj k, melyre: x x p x f X X ::: X p (t t ::: t p )dt p dt p dt, f X X ::: X p (x x ::: x p ),hax (x x ::: x p ) T folytonoss gi pontja f X X ::: X p (x x ::: x p )-nek. val sz n s gi v ltoz k egy ttes s r s gf ggv ny t rtj k. III.3.. T tel: f Xi X i ::: X ik (x i x i ::: x ik ) Bizony t s: A III..3 t tel egyszer k vetkezm nye. III.3.. lda: (A k tdimenzi s norm lis eloszl s) Ha X s Y egy ttes s r s gf ggv nye f X Y (x y) p ;% exp (;% h (x; ) ) ; % (x)(y; ) ; (y; ) + i f X Y (x y) p e ; (y; ) p p e; (;% ) h x; ;% i : teljes l. Ugyanis megmutathat, hogy e; (;% ) h x; i + %(y; ) dx p ;% p ; (y; ) : e p m g tt az N + Az %(y ; ) p ; % eloszl s s r s g- integr l f ggv nye ll, gy az integr l rt ke.

100 00 III. FEJEZET Val sz n s gi vektorv ltoz k bra Ak tdimenzi s norm lis eloszl s s r s gf ggv nye. A III.3. tengelyt tartalmaz s kmetszetei harangg rb k, a szimmetria T tel: Legyenek X X ::: X p folytonos val sz n s gi v ltoz k III.3.. ( ) Kolmogorov-f le val sz n s gi mez n. az X X ::: X p p ronk nt f ggetlenek () 8 i<jn -re a.) Xi Xj (x y) f Xi (x) f Xj (y) teljes l 8 x y -re. f X X ::: X p teljesen f ggetlenek () 8 k p s b.) i <i < <i k p indexkombin ci ra 8 f Xi X i ::: X ik (x i x i ::: x ik ) ky j f Xij (x ij ), 8x i x i ::: x ik. Az III..5 den ci b l egyszer en deriv l ssal k vetkezik az Bizony t s: ll t s. F X Y szimmetriatengelyre mer leges s kmetszetek pedig ellipszisek. + + Megjegyz s: p esetben az el z t telek speci lis alakjai: f X Y (x y), f X (x) f X Y (x y)dy, f Y (y) f X Y (x y)dx ha X s Y f ggetlenek f X Y (x y) f X (x)f Y (y) (8 x y ): III.3.3. T tel: (Az egy ttes s r s gf ggv ny tulajdons gai) a.) f X X ::: X p (x x ::: x p ) 0

101 A III.. t tel a.) s c.) pontj b l, valamint az egy ttes Bizony t s: III.3. den ci j b l k zvetlen l k vetkezik. s r s gf ggv ny vektorv ltoz k transzform ci i Val sz n s gi T tel: Jel lje az X (X X ::: X p ) T val sz n s gi vektorv ltoz III.4.. s r s gf ggv ny t f X (x), amely elt nik a D p tartom nyon k v l. u : D! H( p ) bijekt v (k lcs n sen egy-egy rtelm ) transzform ci. Legyen Ekkor az Y u(x) val sz n s gi vektorv ltoz s r s gf ggv ny t f Y (y) fx (u (y)) det(j(y)) ahol J(y) H y y H, 0 p Legyen D egy tetsz leges p-dimenzi s Borel-halmaz, Bizony t s: (D) B pedig az sk pe, vagyis az a p-dimenzi s Borel-halmaz, melyet u D-re k pez. Ekkor nyilv n (Y D) (X u (D)) (X B). u s r s gf ggv nyek seg ts g vel: (Y D) A f Y (y) dy, m sr szt D u (D) f X (x) dx D X s Y val sz n s gi v ltoz az ( ) Kolmogorov-f le val sz n s gi Legyen mez n. Jel lje f X Y (x y) az egy ttes s r s gf ggv ny ket. Ekkor a III.4 Val sz n s gi vektorv ltoz k transzform ci i b.) f X X ::: X p (t t ::: t p ) dt p :::dt dt : III.4. A II.5. transzform ci s t tel t bbdimenzi s ltal nos t sa az al bbi: az al bbi m don sz m 0 B p (y) C p B C alek pez s Jacobi-m trixa. C B B p (y) p f X (u (y)) det(j(y) dy. (X u (D)) Ak t integr l sszehasonl t s b l m r k vetkezik az ll t s. III.4.. T tel: (K t folytonos val sz n s gi v ltoz sszeg nek eloszl sa)

102 0 III. FEJEZET Val sz n s gi vektorv ltoz k f Z (x) f X Y (t x ; t) dt Ez ut bbi esetben f Z az f X s f Y y ) szereposzt ssal. Ilyenkor J(y 0 Z X + Y s Y egy ttes s r s gf ggv nye: A Z Y (y y )f X Y (y ; y y ) : f f Z (y ) f Z (x) f X Y (t y ; t) dt k pletet. Ha X s Y f ggetlenek, akkor a f X (t) f Y (x ; t)dt F Z (z) (Z <z) (X + Y < z) Z d dz (z) f f X Y (x z ; x) dx: (x y) dydx X Y f d dz (x y)dy dx X Y f Mivel f ggetlen esetben az sszeg s r s gf ggv ny re a k t komponens b.) konvol ci j t kaptuk, f ggetlen val sz n s gi v l- s r s gf ggv nyeinek eset n az sszeg val sz n s gi v ltoz t a komponens v ltoz k konvol ci j natoz k is nevezz k. Z X + Y val sz n s gi v ltoz s r s gf ggv nye: + + f X Y (x ; t t) dt. Ha X s Y f ggetlenek is, akkor + + f X (x ; t) f Y (t)dt: f Z (x) f X (t) f Y (x ; t) dt s r s gf ggv nyek konvol ci ja. Bizony t s: Alkalmazzuk a III.4. t telt az u (x x )x + x y u (x x )x y y ; y u (y y )x ) u y (y y )x gy det(j(y y )) : Innen Z s r s gf ggv ny t a III.3. t telt felhaszn lva sz molhatjuk: + + f Z (y ) f Z Y (y y )dy f X Y (y ; y y )dy : Az ut bbi integr lban az y ; y t v ltoz transzform ci val kapjuk az + III.3. t telb l kapjuk, hogy f X Y (x y) f X (x) f Y (y) gy + + f X (x ; t) f Y (t)dt. Megjegyz s: z;x a.) Az el z t tel egy m sik bizony t sa az al bbi: f X Y (x y) dydx: Mindk t oldalt z szerint deriv lva kapjuk meg a s r s gf ggv nyt: z;x z;x

103 lda: Legyenek X Y U (0 ) f ggetlenek, Z X + Y! Sz moljuk III.4.. ki Z s r s gf ggv ny t! f Z (z) f X (z;x)f Y (x) dx dx 8 >< >: dx z ha z ( ) z 0 ha z (0 ) X s Y val sz n s gi v ltoz az ( ) Kolmogorov-f le val sz n s gi Legyen mez n. Jel lje f X Y (x y) az egy ttes s r s gf ggv ny ket. Ekkor a f Z (x) f Z (x) f X Y (t x + t) dt f X (t) f Y (x + t) dt A III.4. t telhez hasonl an, az y u (x x ) x ; x Bizony t s: m dos t ssal. T tel: (Diszkr t val sz n s gi v ltoz k sszeg nek eloszl sa) III.4.4. X s Y diszkr t nemnegat v eg sz rt k val sz n s gi v ltoz k, akkor Ha melynek eloszl sa: (Z k) k 0 (Z k) k 0 k 0 (X )(Y k ; ) Bizony t s: f! Z(!) kg (X Y k ; ) k 0 k f! X(!) Y (!) k ; g, s a 0 III.4 Val sz n s gi vektorv ltoz k transzform ci i 03 Z (0 ) lehet csak. Legyen z (0 ) tetsz leges. A konvol ci s k pletb l: z dx z ha z (0 ) 0 minf zg : maxf0 zg III.4.3. T tel: (K t folytonos val sz n s gi v ltoz k l nbs g nek eloszl sa) Z X ; Y val sz n s gi v ltoz s r s gf ggv nye: + + f X Y (x + t t) dt. Ha X s Y f ggetlenek is, akkor + + f X (x + t) f Y (t)dt: Z X + Y szint n diszkr t nemnegat v eg sz rt k val sz n s gi v ltoz, (X k ; Y ) k 0 :::. Ha m g az is igaz, hogy X s Y f ggetlenek, akkor (X k ; )(Y ) k 0 :::: komponensesem nyek egym st p ronk nt kiz rj k. gy a val sz n s g -

104 04 III. FEJEZET Val sz n s gi vektorv ltoz k tulajdons g b l (ld. I.. axi m k, o tulajdons g) m r k vetkezik addit v ll t s. az lda: Legyenek X o() Y o() f ggetlenek (ld. II.3.3. III.4.. Akkor p ld t!). (+)k k! e ;(+) (+)k k! e ;(+) (+)k k! e ;(+) k 0 k!!(k;)! k; k 0 k; e; e; (k;)!! n (i) x (i) ::: x (i) o n ::: (i ::: p) egy ttes eloszl - x pedig fr i i ::: i p (X x () i sukat X x () ::: X p x (p) g : p! tetsz leges p-v ltoz s val s f ggv ny. Ekkor az Legyen g(x X ::: X p ) val sz n s gi v ltoz, s l tezik a v rhat rt ke: Y (p) i x ): p Az X X ::: X p folytonos val sz n s gi v ltoz k egy ttes s r s gf ggv ny t b.) jel lje f X X ::: X p (x x ::: x p ): Legyen g : p! tetsz leges val s f ggv ny. Ekkor az Y g(x X ::: X p ) val sz n s gi p-v ltoz s s l tezik a v rhat rt ke: v ltoz, EY Bizony t s: eset: Diszkr t g(x x ::: x p )f X X ::: X p (x x ::: x p )dx p dx dx : + a diszkr t X (X X ::: X p ) T vektor rt k val sz n s gi v ltoz Legyen a V megsz ml lhat vektorhalmaz, az Y g (X) diszkr t va- rt kk szlete v ltoz pedig W fy y g (x) x V g : l sz n s gi den ci szerint: Ekkor (X + Y k) (X )(Y k ; ) k 0 k + k 0 ::: azaz X + Y o( + ): III.4.5. T tel: a.) Az X X ::: X p diszkr t val sz n s gi v ltoz k rt kk szleteit jel lje rendre (i) i i p )g: EY g ; x i x i ::: x ip (X x () i X x () i ::: X p p) ::: i i 8(i + +

105 yw g (x) (X x) xv :g(x)y (X x) eset: Folytonos III.4.. t telt alkalmazzuk, arra az u : p ;! p transzform ci ra, ahol A u (X X ::: X p ) g (X X ::: X p ) Y u (X X ::: X p ) X X X p u p (X X ::: X p ) X (y x ::: x p) ( EY lesz, gy f Y X ::: Xp (y x ::: x p ) X X ::: X p (g (y x ::: x p ) x ::: x p ) f yf Y (y) (y x ::: x yf X X ::: X p (g (y x ::: x p ) x ::: x p ) ha y g (x x ::: x (y x ::: (y x ::: (y x ::: x azy g (x x ::: x p ) v ltoz transzform ci t az integr lban, v grehajtva igazoltuk az ll t st: m ris y g (x x ::: x p ) dx p dx dx p dx dy g (x x ::: x p ) f X X ::: X p (x x ::: x p )dx p dx T tel: Az Y X +X ++X p val sz n s gi v ltoz v rhat III.4.6. l tezik, amennyiben a X i tagok v rhat rt ke l tezik, s EY EX + rt ke Az el z t tel k vetkezm nye, amikor g(x x ::: x p ) Bizony t s: + x + + x p : x III.4 Val sz n s gi vektorv ltoz k transzform ci i 05 X EY y (Y y) y yw yw X X g (x) (X x) : xv :g(x)y xv :... Az inverztranszform ci Jacobi determin ns nak abszol t rt ke 0 egy bk nt amib l a III.3.. t telt felhaszn lva integr l ssal kapjuk: f Y (y) f X X ::: X p (g (y x ::: x p ) x ::: x p ) dx p dx : gy y f X X ::: X p (g (y x ::: x p ) x ::: x p ) EX + + EX p : III.4.7. T tel: Legyenek az X s Y val sz n s gi v ltoz k f ggetlenek,

106 06 III. FEJEZET Val sz n s gi vektorv ltoz k l tezz k a v rhat rt k k. Ekkor a Z XY val sz n s gi v ltoz nak is s a v rhat rt ke, s EZ EX EY. l tezik EZ 8i EZ + 8j xf X (x)dx xyf X Y (x y)dydx + (y)dy EX EY: Y yf 8y j x i y j (X x i )(Y y j ) xyf X (x)f Y (y)dydx T tel: Legyenek az X s Y val sz n s gi v ltoz k f ggetlenek, III.4.8. l tezz k a sz r sn gyzet k. Ekkor (X Y ) X + Y: s (X Y )E(X Y ) ; [E(X Y )] Bizony t s: E [X X Y + Y ] ; [(EX) EX EY +(EY ) ] EX E(X Y )+EY ; (EX) EX EY ; (EY ) EX ; (EX) + EY ; (EY ) X + Y: a III.4.7 t tel ll t s t, miszerint f ggetlens g eset n Felhaszn ltuk Y )(EX) (EY ). E(X Den ci : Legyenek X s Y val sz n s gi v ltoz k az ( ) III.5.. val sz n s gi mez n. Tegy k fel, hogy l tezik a sz r sn gy- Kolmogorov-f le Ekkor az X s Y kovarianci j n a Z (X ; EX) (Y ; EY ) zet k. v ltoz v rhat rt k t rtj k. val sz n s gi Den ci : Az X s Y val sz n s gi v ltoz k korrel ci s egy tthat j n III.5.. standardiz ltjaik kovarianci j t rtj k. (X Y )cov( ~ X ~ Y ) cov(x Y ) XY. Jel l s: Bizony t s: Alkalmazzuk a III.4.5 t telt g(x y) x y -ra! a.) diszkr t eset: x i y j (X x i Y y j ) 8x i x i (X x i ) 8xi! y j (Y y j ) EX EY: j 8y + + b.) folytonos eset: + + III.5. Akovariancia s a korrel ci s egy tthat Jel l s: cov(x Y )E [(X ; EX) (Y ; EY )]. Megjegyz s: cov(x X) X:

107 cov(x Y )E((X ; EX) (Y ; EY )) Bizony t s: E(X Y ; X EY ; Y EX +(EX) (EY )) E(X Y ) ; (EX) (EY ) ; (EY ) (EX) +(EX) (EY ) E(X Y ) ; (EX) (EY ): T tel: Ha X s Y f ggetlenek, akkor cov(x Y )0 s III.5.. Y )0: A t tel megford t sa ltal ban nem igaz. (X A t tel a III.4.7 s a III.5. t telek egyszer k vetkezm nye. Bizony t s: megford t sra k t ellenp lda: A X s Y diszkr t val sz n s gi v ltoz, 0 rt kk szletekkel. Legyen eloszl sukat az al bbi t bl zatban l thatjuk: Egy ttes perem X EY 4 () EX Y )() () 0+00 E(X Y )E(X Y ) ; (EX) (EY )0:X s Y nem f ggetlenek, mert cov(x (X 0 Y ) 4 6 (X 0)(Y ) 4 : pl. esetre ellenp lda: Folytonos U(0 ), azaza(0 ) intervallumon egyenletes eloszl s val sz n s gi X EY sin x dx 0 ;cos EZ 0 (sin X cos X) 0 5E(sin X) 4 E(YZ)E cos x dx 0 sin 4 ;cos 8 cov(y Z)0 de nem f ggetlenek, hiszen (Y + Z ): Ha Y s gy f ggetlenek lenn nek, akkor az Y + Z val sz n s gi v ltoz s r s gf gg- Z az Y (y) p ; ; ; p py + fy ; y y (0 ) s r s gf ggv ny fy y f v ny t nmag val val konvolv l s val lehetne kisz m tani, ahol f Y (y) f Z (y) p y ( ) ak t komponens azonos s r s gf ggv nye. Ekkor viszont ;y III.5 Akovariancia s a korrel ci s egy tthat 07 III.5.. T tel: cov(x Y )E(X Y ) ; (EX) (EY ): Y n X 0 + Y perem v ltoz. Y sin X s Z cosx. Hat rozzuk meg cov(y Z)-t! 0 0 sin x dx 0: (Y + Z )0-nak kellene fenn llnia! (Ld. a II.. k vetkezm nyt!)

108 08 III. FEJEZET Val sz n s gi vektorv ltoz k Den ci : Az X s Y val sz n s gi v ltoz k korrel latlanok, ha III.5.3. Y )cov(x Y )E(X Y ) ; (EX) (EY )0: (X A korrel latlans g a f ggetlens g sz ks ges, de nem felt tlen l el gs ges a.) felt tele. cov(x Y ) 8i ;( x i (X x i )) ( 8j 8i cov(x Y ) x i y j (X x i Y y j ); 8j x f X (x)dx y f Y (y)dy T tel: Ha az X s Y val sz n s gi v ltoz k sz r sn gyzetei l teznek, III.5.3. gy (X Y ) X + Y cov(x Y ): Bizony t s: (X Y )E[(X Y ) ] ; [E(X Y )] E [X XY + Y ] ; [(EX) (EX)(EY )+(EY ) ] EX EXY + EY ; (EX) (EX)(EY ) ; (EY ) p p p -re ppen a III.5.3 t telt kapjuk. Tegy k fel, hogy az Bizony t s: igaz valamely p -re! Ekkor ll t s ( X i ) ( X i + p X i )+ X p+ +cov( i<j%i j ::: p p X i X p+ ) p T tel: Tetsz leges a b eset n cov(ax + by Z) III.5.5. (X Z) +bcov (Y Z) : acov E ((ax + by )Z) ae(xz)+be(yz) s Bizony t s: (ax + by )EZ aex EZ +bey EZ miatt, a III.5.. t telre hivatkozva E Megjegyz s: b.) Diszkr t esetben a kovariancia sz m t sa: y j (Y y j )): Folytonos esetben a kovariancia sz m t sa: xyf X Y (x y)dxdy; : X + Y cov(x Y ). III.5.4. T tel: ( X i ) cov(x i X j ): X i + i<j p+ p+ cov(x i X p+ ) ) ll t s. cov(x i X j )+ bizony thatjuk az ll t st.

109 T tel: Ha az X s Y val sz n s gi v ltoz k sz r sn gyzetei l teznek, III.5.6. akkor (X Y ). Legyen ~ X X;EX X Bizony t s: s ~ Y Y ;EY Y cov(x Y ) ;EY (X Y ). XY Y III.5.3 t telt felhaszn lva: A ( ~ X ~ Y ) ~X + ~Y cov( ~ X ~ Y )+(X Y ) () 0 T tel: Ha az X s Y val sz n s gi v ltoz k sz r sn gyzetei l teznek, III.5.7. gy (X Y ) () 9 a b : (X a Y + b) : Bizony t s: ~ X X;EX Legyen s ~ Y Y ;EY a b : (X a Y + b), ( ~ X ~ Y ), 9 ( ~ X ~ Y )( (X Y )), 0 Y ) r ad sul (X Y )sgn(a): (X levezet sben felhaszn ltuk a II.7. s III.5.6 t tel eredm nyeit. A III.5.4. Den ci : Az X (X X ::: X p ) T val sz n s gi vektorv l- v rhat rt k vektor n a komponens val sz n s gi v ltoz k v rhat toz ll vektort rtj k: EX (EX EX ::: EX p ) T : rt keib l III.5.5. Den ci : Az X (X X ::: X p ) T val sz n s gi vektorv l- kovarianciam trix n a (cov(x i X j )) ::: p toz pp-s m trixot rtj k. j ::: p T tel: szimmetrikus s pozit v szemidenit, azaz T s III.5.8. a p -re a T a 0. 8 Legyen a p tetsz leges! Bizony t s: T a E(a T (X; EX) (X ; EX) T a) EY 0, ahol a Y a T (X; EX) p III.5 Akovariancia s a korrel ci s egy tthat 09 Y X ak t standardiz lt val sz n s gi v ltoz. cov( ~ X ~ Y )E ; X;EX (X Y ) : K vetkezm ny: jcov(x Y )j X Y. X Y a standardiz lt val sz n s gi v ltoz. a i (X i ; EX i ). III.5.. lda: (A polinomi lis eloszl s v rhat rt k-vektora s kovarianciam trixa

110 0 III. FEJEZET Val sz n s gi vektorv ltoz k polinomi lis eloszl st a III.. p ld ban adtuk meg. A X X ::: X r val sz n s gi v ltoz k mindegyik re igaz, hogy Az i B(n p i ) azaz binomi lis eloszl s ak. Ez rt X (np np ::: np r ) T n (p p ::: p r ) T n p. EX ki kell sz molnunk a cov(x i X j ) kovarianci kat. Akovarianciam trixhoz i X j ) E(X 8k (n;)! p k j)!k r! p k i)!(k!(k k kj j p kr r p n(n)p i p j, mert a szumma m g tt az n; p p ::: p r param ter eloszl s val sz n s gei llnak, melyek sszege. polinomi lis cov(x i X j )E(X i X j );(EX i )(EX j )n(n)p i p j ;np i np j gy ;n p i p j,hai 6 j. Akovarianciam trix diagon lis ban a biomi lis komponensek sz r sn gyzetei, teh t cov(x i X i ) X i n p i ( ; p i )... p r ;np p r np r q r ;np x y, akkor E (XY ) + % ( + ) ; A : xy f X Y (x y) dxdy + %(y ; ) dy % (X Y ): A s r s gf ggv ny a % k i k j (X k ::: X i k i ::: X j k j ::: X r k r ) 8k n r ++k +k k n(n)p i p j i k ++k r n n p i q i llnak. Teh t: 0 B q ;np p ;np p r np p np q ;np p r ;np C B C B III.5.. lda: (A komponensek korrel ci ja k tdimenzi s norm lis esetben.) X s Y egy ttes s r s gf ggv nye Ha X Y (x y) f p ;% exp (;% h (x; ) ) ; % (x)(y; ) ; (y; ) + i p e ; (y; ) y x e; (;% ) h x; i + %(y; ) dx! dy p p ;% p e ; (y; ) y % + %: Teh t cov(x Y ) % kovarianciam trix s a ( ) T v rhat rt k-vektor seg ts g vel m trixos fel r sban is

111 det e; (x;)t (x;) x : p T tel: Ha X s Y egy ttes eloszl sa norm lis, akkor X s Y III.5.9. s csak akkor f ggetlenek, ha korrel latlanok. akkor A f ggetlens gb l mindig k vetkezik a korrel latlans g. Bizony t s: (X Y ) 0 akkor az egy ttes s r s gf ggv nyre: Ha Legyen A (A) > 0 tetsz leges esem ny, X fx x :::g pedig a.) tetsz leges diszkr t val sz n s gi v ltoz. Ekkor (X x i j A) egy i A) (Xx i ::: az X felt teles eloszl sa A-ra n zve. (A) Legyen A A ::: teljes esem nyrendszer, X fx x :::g pedig b.) tetsz leges diszkr t val sz n s gi v ltoz. Ekkor a egy (X x i j A j ) :::g j :::g eloszl sokat az X-nek az ff j j :::g rendszerre vonatkoz felt teles eloszl s nak nevezz k. fa Legyen X fx x :::g s Y fy y :::g diszkr t val sz n s gi v ltoz c.) )-n. Ekkor a ff (X x i j Y y j ) i :::g j :::g ( Az X-nek az Y -ra vonatkoz regresszi j n,vagy felt teles v rhat rt k n b.) az E (X j Y )-vel jel lt diszkr t val sz n s gi v ltoz t rtj k, melynek azt K fr (y j ) $ E (X j Y y j ) j :::g eloszl sa pedig rt kk szlete (E (X j Y )r(y j )) (Y y j ) j :::: III.6 Afelt teles v rhat rt k megadhat : f (x) f X Y (x y) exp (x; h ) (y;) ; i f X (x) f + Y (y) teljes l, ami m r igazolja a f ggetlens get. III.6. A felt teles v rhat rt k Diszkr t eset: III.6.. Den ci : eloszl sokat az X-nek az Y -ra vonatkoz felt teles eloszl s nak nevezz k. III.6.. Den ci : a.) E (X j Y y j ) $ 8x i x i (X x i j Y y j ) $ r (y j ) az X felt teles v rhat rt ke az Y y j felt tel mellett.

112 III. FEJEZET Val sz n s gi vektorv ltoz k eset: Folytonos X s Y folytonos val sz n s gi v ltoz ( )-n F X Y (x y) s Legyen X Y (x y+y);f X Y (x y) F y Y (y+y);f Y (y) F y X Y <y+y) (X<x yy <y+y) (yy III.6.3. Den ci : Az F XjY (x jy) $ X Y F X Y (x y+y);f X Y (x y) F (y+y);f Y (y) Y Den ci : A felt teles eloszl sf ggv ny x-szerinti parci lis deriv lt-f ggv ny t III.6.4. az X-nek az Y -ra vonatkoz felt teles s r s gf ggv ny nek Y jx (yjx)f X (x) f + F X Y f Y jx (yju) f X (u)du f X Y (x y) f (y). Y f X Y (x y) f Y jx (y jx) f X (x), f Y (y) f X Y (x y)dx Den ci : Az X-nek Y -ra vonatkoz felt teles v rhat rt k n III.6.5. regresszi j n az E(X jy )r(y ) val sz n s gi v ltoz t rtj k, ahol vagy xf X Y (x y)dx f X Y (x y)egy ttes eloszl s-, illetve egy ttes s r s gf ggv nnyel. Tekints k az al bbi f ggv nyt: (X <x y Y < y +y)! f Y (y) (y! 0): f Y (y) k tv ltoz s f ggv nyt az X-nek az Y -ra vonatkoz felt teles eloszl sf ggv ny nek nevezz k. f Y (y) nevezz k: f XjY (x jy) $ III.6.. T tel: (Bayes-formula) f XjY (x jy). + Bizony t s: + f Y jx (y jx) f X (x)dx ) ll t s. + + a regresszi s g rbe. r(y) x f XjY (x jy) dx f Y (y) III.6.. T tel: (A regresszi tulajdons gai) a.) E (E(X jy )) EX. b.) E (h(y ) X jy )h(y ) E (X jy ).

113 Diszkr t a.) eset: (X j Y )) E E (E (X j Y y j ) (Y y j ) j 8y 8x i x i (X x i Y y j ) 8x i x i (X x i )EX: f X Y (x y) f x (y) f Y (y) dxdy Y Diszkr t b.) eset: ) X j Y y j ) E x (h(y i h(y j ) (X x i j Y y j )h(y j )E (X j Y y j ) : i 8x eset: Folytonos y tetsz leges. Ekkor Legyen Diszkr t eset: c.) (X x i j Y y j )(X x i ) ) E (X j Y y j ) eset: Folytonos X Y (x y) f X (x) f Y (y) ) f XjY (x jy )f X (x) f T tel: Legyen d :! tetsz leges f ggv ny. Ekkor III.6.3. (X ; r(y )) E (X ; d(y )), ahol r(y ) E(X jy ). Speci lisan, ha E III.6 Afelt teles v rhat rt k 3 c.) Ha X s Y f ggetlenek, akkor E(X jy )EX. Bizony t s: x i (X x i j Y y j ) (Y y j ) 8y j i 8x j 8y Folytonos eset: E (E(X jy )) E (r (Y )) r (y)f Y (y) dy x x f X (x) dx EX: f X Y (x y) dydx E (h (Y ) X j Y y) h (y) x f XjY (x jy) dx h (y) x f XjY (x jy) dx h (y) E(X jy y ): 8x i x i (X x i j Y y j ) 8x i x i (X x i )EX ) E (X j Y )E(X): + + r(y) x f XjY (x jy )dx x f X (x)dx EX ) E (X jy )EX: d(y) EX, akkor E (X ; E (X jy )) E (X ; EX) X.

114 4 III. FEJEZET Val sz n s gi vektorv ltoz k Bizony t s: (X ; d(y )) E (X ; r(y )+r(y ) ; d(y )) E E (X ; r(y )) + E (r(y ) ; d(y )) +E ((X ; r(y )) (r(y ) ; d(y ))) : E ((X ; r(y )) (r(y ) ; d(y ))) E [E ((X ; r(y )) (r(y ) ; d(y ))) jy ] Mivel E [(r(y ) ; d(y )) E ((X ; r(y )) jy )] E [(r(y ) ; d(y )) (E (X jy ) ; r(y ))] E [(r(y ) ; d(y )) 0]0 gy (X ; d(y )) E (X ; r(y )) + E (r(y ) ; d(y )) E (X ; r(y )) ) E ; a : b f XjY (x jy ) f X Y (x y) Az kapjuk, hogy: f XjY (x jy ) f XjY (x jy )dx + x % (y ; ), hiszen Den ci : Legyen X s Y k t adott val sz n s gi v ltoz. Az III.6.6. X+b val sz n s gi v ltoz az Y -nak a X-re vonatkoz line ris regresszi ja, a E(Y ; a X ; b ) min ha E(Y ; ax ; b)) : 8a b T tel: a (X Y ) Y X b EY ; (X Y ) Y X EX: III.6.4. Legyen h(a b) $ E(Y ;ax;b)) : A line ris regresszi meghat roz s hoz Bizony t s: ezt a k tv ltoz s f ggv nyt kell minimaliz lni. A ;E [(Y ; ax ; ;E [Y ; ax ; b] 0: + bex E(XY ) aex + b EY ) b EY ; aex ) aex aex +(EY ; aex)ex E(XY ) ) ) ll t s. III.6.. lda: (egresszi norm lis eloszl s eset n) X s Y egy ttes s r s gf ggv nye Legyen X Y (x y) f p ;% exp (;% h (x; ) ) ; % (x)(y; ) ; + (y; ) i y alak, azaz a k t val sz n s gi v ltoz egy ttes eloszl sa k tdimenzi s % s x norm lis. Megmutatjuk, hogy E(X jy )ay + b, ahol a f Y (y) den ci b l, a formul k behelyettes t se ut n p (;% ) h x; i + %(y; ) : e; p ;% + gy E(X jy y) l that a felt teles s r s gf ggv ny r gz tett y mellett a + amint %(y ; ) v rhat rt k s p ; % sz r sn gyzet norm lis eloszl s s r s gf ggv nye. l tez s nek sz ks ges felt tele, hogy:

115 EX EX Norm lis esetben mint ahogy az a III.6. p ld n l l that Megjegyz s: a line ris regresszi s s a regresszi s sszef gg sek egybeesnek. volt Feladat: Legyen T [a b ) [a b ) [a p b p ) tetsz leges III.7.. t gla, s " " ::: " p f0 g tetsz legesek (0 vagy diadikus p-dimenzi s 8(" " ::: " p) () j F X (" a +(;" )b " a +(;" )b ::: " p a p +(;" p )b p ) 0 ahol j p A bizony t s azon m lik, hogy megmutatjuk, hogy az egyenl tlens g bal oldal n a (X T ) val sz n s g ll, ami nyilv nval an nemnegat v. az al bbi esem nyeket: A i f! X i (!) <a i g Deni ljuk i f! X i (!) <b i g : B (X T )(a X <b a X <b ::: a p X p <b p ) Ekkor B py p A i ) A B i : Teh t a oincare-t telt alkalmazva kapjuk, hogy p p i (B) j ; A () j (A A ji B). ip <<j <j j A jk B jk ) A jk B jk A jk : gy Mivel j A j A ji B)F X (" a +(; " ) b ::: " p a p +(; " p ) b p ),ahol (A j " j " ji a t bbi " j 0: M sr szt (B) F X (b b ::: b p ), " az az eset, amikor mindegyik " j 0. Visszahelyettes tve ppen az teh t py III.7 Kidolgozott feladatok s gyakorlatok 5 Y ) Y X b EY ; (X Y ) Y X EX EX (X a pozit v denit, s ez volt az ll t s. III.7. Kidolgozott feladatok s gyakorlatok Bizony tsuk be, hogy ekkor sz mok). " i : ( A A A p B B B p ) ( A B) (B) ; (A B), ahola A i s 0 (X T )(B) ; ( (A i B)) ll t st kapjuk.

116 6 III. FEJEZET Val sz n s gi vektorv ltoz k III.7.. Feladat: Legyen X s Y k t azonos eloszl s val sz n s gi v l- Igaz-e, hogy E X X+Y E Y Y +X? toz. esem nyrendszert, ahol (A) (B) (C) 3 :X 8 < : s Y ha! A 0 ha! C s (Y 0) (Y ) (Y ) Z X;Y 8 < : X+Y Viszont () 3 ; 9 60,vagyis E X ha! A 0 ha! B : Ekkor (X 0) (X ) (X ) 3 ha! A 3 ha! B ; s 3 + ; ; EZ Feladat: Egy szab lyos kock val dobunk ism telten. X az els III.7.3. Y a m sodik dob s eredm nye. Sz moljuk ki (X X + Y )-t! dob s, Egyr szt, a f ggetlens g miatt cov(x X + Y )cov(x X)+ Y ) X m sr szt (X +Y ) X + Y X: gy (X X + cov(x ) cov(x X+Y ) X(X+Y ) Y X p XX Feladat: Legyen X s Y k t p 0 5 param ter f ggetlen indik tor III.7.4. val sz n s g v ltoz. Mutassuk meg, hogy X + Y s jx ; Y j b r + Y 0)(X 0)(Y 0)0 5, (X + Y ) (X )(Y 0)+(X 0)(Y )0 5, (X + Y ) (X )(Y )0 5. (jx ; Y j 0)(X 0)(Y 0)+ (X )(Y )0 5, (jx ; Y j )(X )(Y 0)+ (X 0)(Y )0 5. E(X + Y )EX + EY, E (jx ; Y j) 0 5, (X ((X + Y )jx ; Y j) E (jx ; Y j) 0 5. gy cov(x + Y jx ; Y j) E + Y 0 jx ; Y j ) 0 de (X + Y 0) (jx ; Y j ) (X ltal ban nem. Egy ellenp lda: alkosson A B C olyan teljes ha! C 8 < : ha! B azaz X s Y azonos elos- 3 zl s ak. ha! C Y ; E Y +X ; 9 : X+Y p : korrel latlanok, de nem f ggetlenek! (X ) (X 0) (Y ) (Y 0) ; X + Y s jx ; Y j nem lehetnek f ggetlenek, mert pl.

117 Feladat: K t azonos k pess g atl ta versenyt fut. Mindkettej k III.7.5. eredm ny t m 0 s 0 param ter norm lis eloszl ssal Feladat: Ha X s Y f ggetlen val sz n s gi v ltoz k, hat rozzuk III.7.6. meg V minfx Y g s W maxfx Y g eloszl sf ggv ny t! (V < x); (V x) ; (X x Y x) ; (X x) (Y x) ; ( ; F X (x)) ( ; F Y (x)) : Feladat: K t szab lyos kock val dobunk. Jelentse X a hatos III.7.7. sz m t, Y pedig a dobott sz mok sszeg t. Adjuk meg X s Y dob sok Az al bbi t bl zatban az oszlopok tetej n szerepelnek az X rt kei, a sorok elej n pedig az Y rt kk szlet nek megfelel sz - lehets ges llnak. Az (i j) koordin t knak megfelel cell ban a (X i Y j) mok tal lhat k. val sz n s gek peremeloszl sa X III.7 Kidolgozott feladatok s gyakorlatok 7 jellemezhetj k m sodpercekben. Mennyi a val sz n s ge, hogy az egyik legal bb 0 m sodperccel legy zi a m sikat? versenyz X Y N (0 0 ) ) X ; Y N ; 0 p 0 0 (jx ; Y j0 ) ; (jx ; Y j < 0 ) ; (;0 <X; Y < 0 ) ; p p 0 0 : (W <x) (X <x Y<x) (X <x) (Y < x)f X (x) F Y (x): egy ttes eloszl s t! X 0 Y peremeloszl sa Y

118 8 III. FEJEZET Val sz n s gi vektorv ltoz k ld ul a t bl zat nyolcadik sor nak s m sodik oszlop nak keresztez d s ben az rt ll Y 8felt teleknek: a (6 ) s a ( 6). AzY eloszl s t a sorokban X val sz n s gek sszead s val, az X eloszl s t pedig az oszlopokban ll ll sszead s val kapjuk meg. L that az is, hogy X nem f ggetlen val sz n s gek Y -t l, hiszen pl. (X Y )06 (X ) (Y ) 36 : Feladat: Az X s Y val sz n s gi v ltoz k egy ttes eloszl s t III.7.8. az al bbi t bl zat: tartalmazza azaz p p 3p 6p 5p 5p 30p Feladat: El sz r egy szab lyos kock val dobunk, majd a dobott III.7.9. megfelel en kih zunk lapokat egy 3 lapos k rtyacsomagb l. Jel lje rt knek akih zott lapok k z tt tal lhat gur s lapok sz m t, Y pedig legyen a X kir lyok sz ma. Adja meg a (X 4 Y )val sz n s get! kih zott Haakock val 3-t dobunk, (X 4 Y )0nyilv n, n gyn l kevesebb lapb l nem lehet n gy gur st kih zni. Ha a kock val mert dobunk esem ny : kir ly s gur s nem kir ly. 4-et (4 akkorakeresett (X 4 Y j4-et dobunk a kock val) )( 8 ) p 3 4 ). Haakock n ( kapunk, az esem ny: kir ly s gur s nem kir ly s egy b. t st (4 (X 4 Y j t t dobtunk a kock val) )( 8 )( 0 ) p 3 : V g l, ha a ) 5 ( hatos volt, a keresett esem ny: kir ly, gur s nem kir ly s dob s egy b. (4 (X 4 Y j hatot dobtunk a kock val) )( 8 )( 0 ) 3 p 3 6 ) (, mert a 36 dob si lehet s gb l csak kett felel meg az 36 X 0 Y Mekkora a p param ter rt ke? F ggetlen-e X s Y? Mivel az egy ttes eloszl s elemeinek sszege, gy 60p, 60 :X s Y f ggetlenek, mert minden lehets ges rt kp rn l tel- a f ggetlens g felt tele, pl. (X ) 6 (Y ) 0 s jes l (X Y ) 60 stb. : A teljes val sz n s g t tel b l: (X 4 Y ) 6 (p + p + p 3 ) :

119 Feladat: Legyen az X s Y egy ttes s r s gf ggv nye III.7.0. y) e ;x;y 0 <x y< (egy bk nt f(x y) 0). Hat rozza meg f(x ;x;y dy e ;x e e ;y dy e ;x x>0:f Y (y) 0 0 ;x;y dx e ;y e e ;x dx e ;y y > 0: Mivel f(x y) f X (x) f Y (y) 0 0 f(x y) (x + xy + y)dy x y + y hxy f Y (y) y +0 4 teljesen hasonl an. L that, hogy nem f ggetlenek, 0 4 f X Y (x y) 6 f X (x)f Y (y): mert Feladat: Ultiz sn l a 3 lapos magyar k rty b l kett t talonba III.7.. osztanak. Jel lje X a talonba ker lt piros sz n lapok, Y pedig az szok ( 0 Y 0) ) (X ( 3 ) 0 ( Y ) )+( 3 )( 7 ) 3 (X ) ( ) 3 ) ( i (3 (X Y ) ) 3 63 ) 3 63 ( (7 Y 0) ) 3 (X ) (7 63 (X Y ) ) ( (X Y )0: ) 4 (E(XY EX ) cov (X Y )0, de nem f ggetlenek! ) 63 III.7.3. Feladat: Legyen a (X Y ) T s r s gf ggv nye: f (x y) ( x+y + xy e; x+y e; x y [ ] III.7 Kidolgozott feladatok s gyakorlatok 9 a perems r s gf ggv nyeket! F ggetlen-e X s Y? f X (x) gy X s Y f ggetlenek! III.7.. Feladat: Legyen az X s Y egy ttes s r s gf ggv nye 0 <x< s 0 <y< ha (x + y + xy) : 0 egy bk nt Hat rozza meg a perems r s gf ggv nyeket! F ggetlen-e X s Y? f X (x) x + 0 sz m t! Adja meg X s Y egy ttes eloszl s t! F ggetlen-e X s Y? 63 (X 0 Y )(3 )( (3 0 Y ) ) 3 (X ) 3 63 (X Y 0)(7 )( ) ( ( 3 ) ( 3 63 ) 7 63 EY val sz n s gi v ltoz p r egy ttes e : egy bk nt

120 0 III. FEJEZET Val sz n s gi vektorv ltoz k xy dy '(x) hasonl an: f Y (y) '(y) ) e Nem k tdimenzi s norm lis eloszl s, mert m s a s r s gf ggv nye. b.) kellene. '(x)'(y) X ha X X 0 ha 0 X< 3 X vagy ha X< ha X< 3 4 vagy X< 4 X 0 X perem X 4 4 X perem Feladat: Legyen X a [0 ] intervallumon egyenletes eloszl s III.7.5. v ltoz, Y : sin (X) s Z : cos(x) : Sz molja ki a (Y Z) T val sz n s gi EY Y EY 4 4 x dx 0 EZ sin a.) Adja meg a perems r s gf ggv nyeket! b.) K tdimenzi s norm lis eloszl s -e (X Y ) T? a.) f X (x) '(x)'(y)dy + X Y N (0 ) : Feladat: Legyen az X U (0 ) val sz n s gi v ltoz kettes III.7.4. fel rva: X 0 X X :::: F ggetlenek-e az X s X dig- sz mrendszerben itek? : Egy ttes eloszl sukat az al bbi t bl zat tartalmazza:, 0 ahonnan m r leolvashat, a f ggetlens g t nye. p r kovarianciam trix t! cos x dx sin x dx 0 5 0

121 Z EZ ) cos x dx 0 5 E(YZ) : Feladat: Egy szab lyos p nz rm t addig dob lok, am g m sodszorra III.7.6. nem kapok fejet. Jel lje X a sz ks ges dob sok sz m t. Adja meg X Y +Y Y Y G (0 5) f ggetlenek ) EX EY +EY k k 0 5 (Y l) (Y k ; l) l Feladat: Legyenek X s Y f ggetlen, azonos f(x) s r s gf ggv ny III.7.7. val sz n s gi v ltoz k. Sz moljuk ki a (X <Y) val sz n s get! (X <Y) (X ; Y < 0) F X;Y (0) : Mivel f ;Y (x) f(;x) gy a konvol ci s k pletb l f X;Y (x) gy F X;Y (0) 0 (z) f f (z) F (z) dz f X;Y (x)dx + x) dx dz (z f : f (t) f (x + t) dt ad dik. f (t) f (x + t) dtdx z (z) f dy dz (y) f Feladat: X E () f ggetlenek. Mennyi a III.7.8. ; Legyenek Y X <Y ; val sz n s g? Y ; X Mivel X; X s Y ; Y III.7 Kidolgozott feladatok s gyakorlatok 0 5 sin x dx 0) 0 0 X v rhat rt k t s sz r s t! k +4: (X k) (Y + Y k) (k ; )0 5 k : l 0 0 h i F (z) Teh t (X <Y) : azonos eloszl s ak s f ggetlenek, szint n az el z feladat eredm ny t felhaszn lva, a keresett val sz n s g : Feladat: Legyenek X X ::: X n f ggetlen, azonos eloszl s, III.7.9. val sz n s g v ltoz k. Mennyi a (max fx ::: X n g <X ) va- folytonos l sz n s g?

122 III. FEJEZET Val sz n s gi vektorv ltoz k Jel lje f(x) F(x) ak z s s r s gf ggv nyt, illetve eloszl sf ggv nyt, s legyen Y maxfx ::: X n g!ekkor Y (x) (n ; ) (F (x)) n; f(x): (a III.7.6. feladat megold s t n-re ltal nos tva f s deriv lva) f Y ;X (t) gy F Y ;X (0) 0 n : f Y (t + z)f(z)dz (n ; ) (F (t + z)) n; f(t + z)f(z)dzdt (n ; ) (F (t + z)) n; f(t + z)dtdz 0 f(z)(f (z)) n dz Feladat: (K t val sz n s gi v ltoz szorzat nak eloszl sa) III.7.0. X s Y val sz n s gi v ltoz az ( ) Kolmogorov-f le val sz n - Legyen mez n. Jel lje f X Y (x y) az egy ttes s r s gf ggv ny ket. Bizony tsuk s gi hogy a Z X Y val sz n s gi v ltoz s r s gf ggv nye: be, J(y y ) y f X Y (t x t ) f X (t) f Y ( x t ) y y ; dt + f X Y ( x t t) dt + Alkalmazva a transzform ci s t telt, a Z X Y s Y egy ttes s r s gf ggv nye: f Z Y (y y )f X Y ( y f X ( x t ) f Y (t) u (y y )x y det(j(y. ) y )) y f X Y ( y (Y < X ) (Y ; X < 0) F Y ;X (0) f Y ;X (t)dt ahol f Y ;X (t) akonvol ci s k pletb l sz molhat : (n ; ) (F (t + z)) n; f(t + z)f(z)dz: 0 f(z) (F (z)) n h i n + dt: f Z (x) t t Ha X s Y f ggetlenek is, akkor + dt: f Z (x) t t Legyen most u (x x )x x y u (x x )x y y u (y y )x y ) D H f(y y ) j y 60g 0 y y ) y : Innen Z s r s gf ggv ny t + + kiintegr l ssal sz molhatjuk: f Z (y ) f Z Y (y y )dy y y ) y dy.

123 ut bbi integr lban az y y Az t dy dt ; y t f X Y (y y f X (t) f Y ( x t ) dt + f X ( x t ) f Y (t) be, hogy a Z X Y f Z (x) f X Y (x t t) jtj dt X (t) f Y ( t x ) jtj x dt f X Y (t t x ) jtj x dt. f A transzform ci s t telt alkalmazva, a Z X Y Y egy ttes s r s gf gg- s f Z Y (y y )f X Y (y y y ) jy j : Innen Z s r s gf ggv ny t kiintegr l ssav nye: sz molhatjuk: Az ut bbi integr lban az y y X Y (y y y f ) jyj y dy dt f X (x t) f Y (t) jtj dt: Feladat: Legyenek X Y N(0 ) f ggetlenek. Hat rozzuk III.7.. a Z X Y s r s gf ggv ny t! meg III.7 Kidolgozott feladatok s gyakorlatok 3 v ltoz transzform ci val kapjuk + az f Z (y ) y ) y dy k pletet. Ha X s Y f ggetlenek, akkor f X Y (x y) f X (x) f Y (y) gy + f Z (x) dt: t t Feladat: (K t val sz n s gi v ltoz h nyados nak eloszl sa) III.7.. X s Y val sz n s gi v ltoz az ( ) Kolmogorov-f le val sz n - Legyen s gi mez n. Jel lje f X Y (x y) az egy ttes s r s gf ggv ny ket. Bizony tsuk val sz n s gi v ltoz s r s gf ggv nye: + + Ha X s Y f ggetlenek is, akkor + + f Z (x) f X (x t) f Y (t) jtj dt: Legyen most u (x x ) x x y u (x x )x y y u y y )x ) (y u (y y )x y det(j(y y )) jy j : ) x ) j x 60g H D f(x y y ) y J(y f Z (y ) f Z Y (y y )dy f X Y (y y y ) jy j dy. t y v ltoz transzform ci val + kapjuk az f Z (y ) dy k pletet. Ha X s Y f ggetlenek, akkor f X Y (x y) f X (x) f Y (y) gy + f Z (x) X f Y ( t x ) t x + dt (t) f

124 4 III. FEJEZET Val sz n s gi vektorv ltoz k f Z (x) p + dz x 0 +) : (x jyj (x y +) dy: ; exp Z eloszl s t Cauchy- vagy t ( szabads gfok Student) eloszl snak Megjegyz s: nevezz k. Feladat: Tekints k a T [; ] [ ] t glalapon v letlenszer en III.7.3. kiv lasztott pontot! Igaz-e, hogy pol rkoordin t i f ggetlenek X + Y s arctg Y X Ekkor ( <t <u) (X + Y <t Y <Xtg u) : Az orig n tmen tg u egyenes mindig felezi az orig k z ppont, t sugar k r te- meredeks g gy ( <t <u) ( <t ) ( <u) ( <t ) ) r let t, f ggetlenek. Feladat: A f rak testmagass g t X N (75 0) a n k t III.7.4. N (65 8) val sz n s gi v ltoz kkal modellezve, mekkora annak a val - Y hogy egy tetsz legesen kiv lasztott f r 0 (cm)-rel alacsonyabb, sz n s ge, egy tetsz legesen kiv lasztott n? mint Feladat: Egy aut X (km)-t tud defekt n lk l megtenni, ahol III.7.5. E (), azaz (X <x); e ;x x > 0: Egy 000 (km) hossz s g X mennyi annak a val sz n s ge, hogy az aut legfeljebb egy defektet kap? ton 0 ;4 ). ( f Z (x) jyj ' (xy) ' (y) dy V grehajtva azy p x +z v ltoz cser t: p x + e; z p z + e; x jzj z p x + dz h ;e ; z i +) (x 0 lesznek? Jel lje s a pol r, X Y pedig a descartes-i koordin t kat. : s egy ttes eloszl sf ggv nye:

125 X X az els illetve m sodik defektig megtett t, Y a defektek sz ma. (Y 0) (X 000) e III.7.6. Feladat: Az (X Y ) T b.) E (X + Y )? (X + Y )? c.) (0 X<7 Y )? x e ;t e ;(x;t) dt xe ;x ) 0 x te ;t dt ; e ;x [+x] : Akeresett val sz n s g: 0 EX + EY 5+ 4 X + Y b.) c.) (0 X<7 Y ) 7 e;4y dydx e;4 56 : Feladat: K t biatlon versenyz X, illetve Y ra alatt futja a III.7.7. km-es t vot, ahol X s Y f ggetlen exponenci lis eloszl s val sz n s gi 0 szervez nk akik 5 km-n l v ltj k egym st, mennyi a val sz n s ge, csapatot 0 perc alatt teljes tik a 0 km-es t vot? hogy A 0 km-t X+Y ; X+Y < x e ;t e ;(x;t) dt 4 (e ;x ; e ; x ) ) 0 f X+Y (t) dt 4 0 ( ; e;0 8 h (e;0 84 i ; ) : )+ III.7 Kidolgozott feladatok s gyakorlatok 5 (Y ) (X < 000 X + X 000) (X < 000) ; (X + X < 000) e mert a X + X kon- vol ci s r s gf ggv nye: (X + X <x) (Y 0)+ (Y ) e : val sz n s gi v ltoz p r egy ttes s r s gf ggv nye f(x y) e;4y ha <x<9 s y>0 (egy bk nt f(x y) 0). a.) F ggetlen-e X s Y? f X (x) 8 x [ 9] f Y (y) 4e ;4y y >0: a.) F ggetlenek! v ltoz k, illetve param terekkel. Ha a k t versenyz b l id alatt teljes tik. A konvol ci s s r s gf ggv ny: f X+Y (x)

126 6 III. FEJEZET Val sz n s gi vektorv ltoz k (X k j X + Y n) n (k ::: n; ) : hogy (X k j X + Y n) qk pq n;k p n q i pq n;i p n : n) (Xk X+Y n) (X+Y n;k) (Xk)(Y n) (X+Y Feladat: Legyenek X o() s Y o() f ggetlenek. III.7.9. meg, hogy X-nek az X + Y n felt telre vonatkoz felt teles Mutassuk l j0 l l;j e; e; l! e;(+) (l;j)! l! l j0 j!(l;j)! j l;j (+)l Azaz X + Y o( + ) : (X k j X + Y n) n;k) (Xk Y n) (X+Y k n;k e; e; (n;k)! k! (+) n ;(+) n! k!(n;k)! e + + n;k n;k) (Xk X+Y n) (X+Y Feladat: Egy ty k X o() toj st tojik. Minden toj sb l III f ggetlen l p val sz n s ggel kel ki kiscsirke. Mennyi a kiscsirk k egym st l Jel lje akikelt kiscsirk k sz m t! Y k j X n) ; n k k p ( ; p) n;k ) E (Y j X n) (Y n0 n n! e; p EX p : (np) Feladat: Az el z feladat jel l seivel adjuk meg E (X j Y k) III.7.3. sorozatot, illetve aze (X j Y ) regresszi t! regresszi s kjxn)(xn) (Y k) (Y (n k)p k (;p) n;k n n! e; ((;p))n;k (n;k)! e ;(;p) : gy E (X j Y k) n (X n j Y k) nk nk ((;p))n;k (n;k)! e ;(;p) (; p) + k n nk III.7.8. Feladat: Legyenek X Y G (p) f ggetlenek. Bizony tsa be, qn; p n; p n q eloszl sa binomi lis! (X + Y l) (X j) (Y l ; j) l! l! l e ;(+) : j0 k n! ez pedig a B eloszl s! n + sz m nak v rhat rt ke? np () E (Y j X) Xp) : gy EY Legyen n k. (X n j Y k) mk ( m k )p k (;p) m;k m m! e; n;k ((;p)) e ;(;p) (n;k)! (; p) + k: Ebb l m r l that, hogy E (X j Y )Y +(; p) :

127 Feladat: Dobjunk n-szer egy szab lyos dob kock val. Jel lje III.7.3. a hatosok sz m t, Y pedig a p ros dob sok sz m t! Sz moljuk ki az X n! k 6) ( l;k 3) ( n;l ) k!(l;k)!(n;l)!( ( n l)( ) n ; l l k0 III Feladat: Legyen ; X X Y (x y) f l) (Xk Y l) (Y ; k l ; l;k l 3 azaz E (X j Y )Y 3 : 3 3 k; k ;r exp ; (;r ) (x ; rxy + y ) p ;r exp y exp ; p ;r exp y exp ; p v ltoz cser t: p x;ry ;r p x;ry ;r p u y v ) J (u v) p x;ry ; r r ;r 0 ;rv p ; u +v cos v sin J( ) cos u hogy kapjuk, exp p ; r dd 4 + arcsin r: ; Feladat: Legyenek V W U (0 ) f ggetlenek. Ha III p ;lnv cos W s Y p ;lnv sin W akkor bizony tsuk be, X Ezen az eredm nyen alapszik a standard norm lis eloszl s (Megjegyz s: sz mok gener l s nak Box-M ller m dszere.) v letlen III.7 Kidolgozott feladatok s gyakorlatok 7 E (X j Y ) regresszi t! Ha k l akkor (X k j Y l) k; 3 k ; 3 l;k : gy E (X j Y l) ; r Y N ;; 0 0 r : Hat rozzuk meg a (X 0 Y 0) val sz n s get! az egy ttes s r s gf ggv ny. (X 0 Y 0) f X Y (x y)dxdy dxdy v grehajtva az 0 ;r exp dudv pol rkoordin t kra tt rve: ; sin sin cos ; arcsinr 0 hogy X Y N(0 ) f ggetlenek!

128 8 III. FEJEZET Val sz n s gi vektorv ltoz k T Z z) f U Z (t z)texp ; t (t f T p X + Y Z arctg Y X J(X Y ) p ) +Y X transzform ci t v gre- f (x f (p y arctg y x ) hajtva X Y exp (x +y ) ; + x T Z y) +y px m %d d d %d d d! Ezen az eredm nyen alapulva lehet el rt v rhat rt k-vektor, (Megjegyz s: kovarianciam trix s kbeli norm lis v letlen vektorokat gener lni.) s ; % d III Feladat: Ha X X X V W V W X A + m Y ; akkor sz moljuk ki a N A keresett mennyis g azt adja meg, hogy mekkora a val sz n s ge (Megjegyz s: annak, hogy az X k tdimenzi s norm lis vektor rt kei az ; T ; x ; " egyenlet ellipszis belsej be essenek. Az.n. x ; v rhat rt k-vektor, tengelyei pedig a a centrumpontja sz r sellipszis saj tvektorainak ir ny ba mutatnak. A szimmetriatengelyek kovarianciam trix hosszainak ar nya a saj t rt keinek ar ny t adja, m g a tengelyek Legyen tetsz leges! ; ">0 Ekkor T ; X ; <" () Y T Y <" ahol ; X El sz r hogy U ;lnv E ; s felhaszn ljuk, U (0 ) f ggetlenek: Ez rt f U Z (u z) exp; ; u W Z u>0 z (0 ) : V grehajtva at p U Z Z transzform ci t: : Most az X T cos Z Y T sin Z ami m r igazolja az ll t st. III Feladat: Mutassuk meg, hogy ha X Y N(0 ) f ggetlenek, m N m + d X akkor p m + %d X + ; % d Y p Legyenek V m + d X,W m + %d X + ; % d Y m m 0 d p A %d m A : : Ekkor norm lis eloszl s transzform ci s t rv ny b l: N ; m A A T, ami m r igazolja az elj r st. T ; X ; <" val sz n s get, ahol ">0 tetsz leges! ; X ; hosszai f ggnek "-t l.)

129 Y ; ; X ; N ; 0 E : Mivel Y T Y E ; T ; X ; <" ; E ; ; X ; ez rt Gyakorlat: Legyenek X Y G (p) f ggetlenek. Adja meg a III.7.. (X Y ) val sz n s get! Gyakorlat: Egy aut szerel m helybe rkezvek t aut van el tt nk, III.7.. az egyiket ppen szerelik. Felt telezve, hogy a szerel si id k egym st l E () eloszl s val sz n s gi v ltoz k, mennyi a val sz n s ge, hogy f ggetlen ( r n) bel l megjav tj k? aut nkat Gyakorlat: Legyenek X Y E () f ggetlenek. Bizony tsa be, III.7.3. minfx Y ge () s, hogy maxfx Y g eloszl sa megegyezik X + Y hogy Gyakorlat: Akar csonyf nkon 5 db egym ssal sorosan szszekapcsolt III.7.4. sz nes g vil g t. Az izz k lettartamai egym st l f ggetlen, exponenci lis eloszl s val sz n s gi v ltoz k, melyek v rhat k l n-k l n 30 ra. Amikor elalszik a f ny, azonnal kicser lem a ki gett izz t. rt ke Gyakorlat: Akar csonyf nkon 5 db egym ssal sorosan szszekapcsolt III.7.5. sz nes g vil g t. Az izz k lettartamai egym st l f ggetlen, exponenci lis eloszl s val sz n s gi v ltoz k. Milyen kellene, k l n-k l n legyen az izz k lettartam nak v rhat rt ke ahhoz, hogy 00 r s hogy Gyakorlat: K t kiv l Forma -es versenyz k rideje az id m r III.7.6. edz sen egyar nt egyenletes eloszl s az : 0 : 0 id intervallumban. ra ezredm sodperc pontoss ggal tud m rni.) Mennyi a val sz n s ge, (Az azonos id t fognak menni egy adott k rben? Kisebb vagy nagyobb hogy a val sz n s ge, hogy ha mindegyik knek k t k s rlete van, akkor a annak eredm ny minimuma azonos? k t-k t Gyakorlat: Tegy k fel, hogy minden h ten t zmilli szelv nnyel III.7.7. Mennyi annak a val sz n s ge, hogy t z h ten kereszt l nem lesz fogadnak. III.7 Kidolgozott feladatok s gyakorlatok 9 <" ; e ; " : eloszl s val! Adja meg az izz cser k k z tti id tartam eloszl s t! zemel s alatt 95%-os val sz n s ggel ne kelljen izz t cser lnem? t s tal lat?

130 30 III. FEJEZET Val sz n s gi vektorv ltoz k Gyakorlat: inc nkben db p rhuzamosan kapcsolt izz vil g t. III.7.8. Az izz k lettartamai egym st l f ggetlen, k l n-k l n exponenci lis val sz n s gi v ltoz k, melyek v rhat rt ke 6 h nap. Csak akkor eloszl s izz t cser lni, ha m r mindkett ki gett. Vezesse le az izz cser k szoktam Gyakorlat: Legyenek X Y N (0 ) f ggetlenek, s III.7.9. jx + Y j : Hat rozza meg Z s r s gf ggv ny t! Z Gyakorlat: Legyenek X Y E () f ggetlenek, s III.7.0. jx ; Y j : Hat rozza meg Z s r s gf ggv ny t! Z Z X + Gyakorlat: Egy csomag 3 lapos magyar k rty b l kih zunk III.7.. n lk l 0 lapot. Legyen X p X z X t X m rendre a kih zott piros, visszatev s t k s makk sz n lapok sz ma! Adja meg (X p X z X t X m ) T eloszl s t! z ld, a (X p <X z ) val sz n s g? Mennyi Gyakorlat: Legyenek X X ::: X n E () teljesen f ggetlenek. III.7.3. Hat rozza meg a k (X + X + :::+ X k <X + X + :::+ X k + X k+ ) p ( k n ; ) : val sz n s get! f X Y (x y) a (x + xy + y ) ha 0 <x y< Gyakorlat: H romszor dobunk egy szab lyos dob kock val. III.7.5. akapott hatosok sz ma, Y akapott p ros rt kek sz ma. Adja meg X s X Gyakorlat: rja fel k t f ggetlen val sz n s gi v ltoz egy ttes III.7.6. s r s gf ggv ny t, ha az els standard norm lis, a m sodik pedig 0 k zti id tartam eloszl sf ggv ny t! III.7.. Gyakorlat: Legyenek X Y E () f ggetlenek, s Y: Hat rozza meg Z s r s gf ggv ny t! a Z v rhat Mennyi rt ke s sz r sa? III.7.4. Gyakorlat: Az X s Y egy ttes s r s gf ggv nye : 0 egy bk nt Mennyi az a rt ke? F ggetlen-e X s Y? Y egy ttes eloszl s t, kovariancia m trixukat. F ggetlen-e X s Y? param ter exponenci lis eloszl s!

131 Gyakorlat: Az [ ] [ ] n gyzeten egym s ut n sorsolunk III.7.7. ki v letlen pontokat. Akkor llunk meg, amikor a kisorsolt pont el sz r III.7.8. Gyakorlat: Ha a v (X Y ) T k z ppont, egys gnyi sugar k rlemezen, mi a s r s gf ggv nye a orig hossz nak, kvk p X + Y ;nek? vektor Gyakorlat: Legyen az X s Y egy ttes eloszl sf ggv nye: III.7.0. X Y (x y) x 3 y 0 x 0 y : Mennyi a F Gyakorlat: Hat rozza meg az orig k z ppont sugar k rlapon III.7.. vett egyenletes eloszl s kovarianciam trix t! Gyakorlat: Legyen az (X Y ) T val sz n s gi vektorv ltoz s r s gf ggv nye III.7.. f(x y) 7 [6x y ; xy +6y +8x ; 36x + 8] x [0 ] Gyakorlat: K t ember mindegyike addig dob fel egy-egy szab lyos III.7.3. p nz rm t, am g az els fej ki nem j n. Mennyi a val sz n s ge, hogy Gyakorlat: Egy j l megkevert csomag 3 lapos magyar k rty b l III.7.4. leosztunk 8-at. Legyen X, ha a leosztott lapok k z tt van piros, X 0, ha nincs. Legyen tov bb Y,havan a nyolc lap k z tt sz, s s 0k l nben. Adja meg X s Y egy ttes eloszl s t! Y Gyakorlat: K t busz egym st l f ggetlen l X, illetve Y id III.7.5. ri el a meg ll t, ahol n v rakozom. B rmelyik busszal tudom az alatt X. X+Y III.7 Kidolgozott feladatok s gyakorlatok 3 esik bele az orig k z ppont egys gk rbe. Mi a pontok sz m nak eloszl sa? vektor egyenletes eloszl s az Gyakorlat: Ha X Y U (0 ), akkor mi az (X + Y X ; Y ) T III.7.9. val sz n s gi v ltoz v rhat rt k-vektora s kovarianciam trixa? k tdimenzi s (0 5 X Y 0 5) val sz n s g? y [0 ] : F ggetlenek a komponensek? ehhez mindkett nek ugyanannyi dob sra van sz ks ge? utamat folytatni. Mennyi a val sz n s ge, hogy x > 0 id n bel l befut valamelyik, ha X Y E () f ggetlenek? III.7.6. Gyakorlat: Legyenek X Y U (0 ) f ggetlenek, Z Sz molja ki Z s r s gf ggv ny t!

132 3 III. FEJEZET Val sz n s gi vektorv ltoz k Gyakorlat: Legyen X U (0 ) : Xseg ts gvel gener ljon III.7.7. orig k z ppont egys gk r ker let n egyenletes eloszl s k tdimenzi s az Gyakorlat: Egy m szerben egy bizonyos f egys g tlagos lettartama III.7.8. v, a be p tett ellen rz rendszer pedig 3 v. A haszn lat sor n sem regszik s egyik k t nkremenetele sem f gg a m sikt l. Mennyi egyik hogy az ellen rz rendszer el bb romlik el, mint a f egys g? aval sz n s ge, (Seg ts g: X E ; a f egys g, Y E ; 3 az ellen rz egys g lettartama, Gyakorlat: Legyenek X o(0 5) s Y o(0 ) f ggetlenek! III.7.9. Mennyi (X + Y )? Gyakorlat: Legyenek X G (0 5) s Y G ( 5) f ggetlenek! III Mennyi (X + Y k) (k 3 4 :::)? y y [ 3] s r s gf ggv nyek konvol ci s s r s gf ggv ny t, f X+Y (t)-t! 5 Gyakorlat: Legyenek X Y U (0 ) f ggetlenek, III.7.3. X ; Y. Sz molja ki Z s r s gf ggv ny t! Z Gyakorlat: Legyenek X Y U (0 ) f ggetlenek, Z X;Y. III ki Z eloszl sf ggv ny t! Sz molja Gyakorlat: Bin ris, rt k egyform n val sz n szimb lumot III k ld nk t zajos csatorn n, ahol a szimb lumhoz t le f ggetlen kimenete pozit v, akkor mellett, egy bk nt - mellett d nt nk. csatorna a hib s d nt s val sz n s ge? Mennyi Gyakorlat: Egy fogorvosi rendel be rkezve, ketten vannak III az egyiknek ppen most kezdt k el a kezel s t. A fogorvos egy el tt nk, hogy egys gnyi id n bel l sorra ker l nk? Oldjuk meg a feladatot val sz n s ge, akkor is, ha p rhuzamosan k t orvos fogad egyszerre! v letlen pontot! (Seg ts g: Z cos X Y sin X). f ggetlenek. Mennyi (Y < X)?) III.7.3. Gyakorlat: Sz molja ki az f X (x) x [0 ] s az f Y (y) f(x) 0 5(; 0 5 jxj) x (; ) s r s gf ggv ny zaj ad dik. Ha a p cienssel 0,5 param ter exponenci lis id alatt v gez. Mennyi annak a

133 Gyakorlat: Egy berendez s X ideig m k dik hibamentesen, III Y id kell a jav t s hoz, ahol X E () s Y E () egym st l f gget- s Mennyi annak a val sz n s ge, hogy a g pet a T>0id tartam alatt lenek. k tszer kellett jav tani? legal bb Gyakorlat: Legyenek X N (5 ) s Y N (4 3) f ggetlenek. III Adja meg a (X <Y) val sz n s get! Gyakorlat: Egy zemben k t g p zemel egym st l f ggetlen III s X ideig, ahol X, X E (0 ) : A folyamatos gy rt shoz az egyik X zemeltet se is elegend, a m sik g p tartal k. Ha az ppen m szakban g p g p meghib sodik, azonnal a tartal kot ll tj k zembe. Melegtartal k ll a tartal k g p is lland an be van kapcsolva, azaz ilyenkor a folyamatos eset n id maxfx X g: A hidegtartal kol s eset n a tartal k g pet csak m k d si id X + X lesz. Hat rozza meg a folyamatos zemeltet s zemeltet si v rhat rt k t meleg- s hidegtartal kol s eset n! idej nek Gyakorlat: Legyen X E (). Hat rozza meg a cov (X X ) III sz mot! Gyakorlat: Legyenek X X ::: X n f ggetlen, azonos eloszl s III.7.4. val sz n s gi v ltoz k. Tegy k fel, hogy (X i > 0) : Bizony tsa be, X ++X k k +X n! n ++X +X X Gyakorlat: Legyen az X val sz n s gi v ltoz olyan, hogy III.7.4. (X >0) (X <0) EX a E jxj b: Sz molja ki a jxj X X Gyakorlat: Legyenek X X ::: X n f ggetlen, azonos eloszl s III val sz n s gi v ltoz k. (X i ) (X i ) 4 (X i 0) az Y n III.7 Kidolgozott feladatok s gyakorlatok 33 Gyakorlat: Az emberek tests ly t N (75 ) eloszl ssal modellezz k. III Ha egy n gyszem lyes lift 30 (kg)-os sszteherb r s, akkor menynyi a val sz n s ge, hogy egy n gy f s csoport t ls lyos lesz? az zembe ll t s pillanat ban kapcsolj k be. Teh t ilyenkor a folyamatos hogy E cov -t! (i ::: n) : Sz m tsa ki X i val sz n s gi v ltoz v rhat rt k t s sz r s t!

134 34 III. FEJEZET Val sz n s gi vektorv ltoz k Gyakorlat: Legyenek X s Y f ggetlen val sz n s gi v ltoz k. III be, hogy (XY ) X Y +(EX) Y +(EY ) X: Bizony tsa Gyakorlat: Legyenek X X ::: X n U (0 ) teljesen f ggetlenek. III Ezek kijel lnek n +db r szintervallumot (0 ) ;en. Jel lje Y k k-adik r szintervallum hossz t (k ::: n+): Mutassa meg, hogy a k n+! EY Gyakorlat: Fodr szn l sorunkra v runk. Mekkoraaval sz n s ge, III hogy az tlagosn l tov bb v rakozunk, ha a v rakoz si id E ()? Gyakorlat: X X ::: X n f ggetlen, azonos eloszl s val sz n s gi III Legyenek v ltoz k, melyeknek l tezik a v rhat rt k k s sz r suk: X i i EX i X i d : Fejezze ki s d f ggv ny ben a n n n X i cov X i mennyis geket! i Gyakorlat: Egy kalapban egy-egy c dul ra fel vannak rva az III sz mjegyek. Egym s ut n, visszatev s n lk l kivesz nk k t c dul t. az els, Y a m sodik h z s eredm nye. Adja meg (X Y )-t! F ggetlen-e X s Y? X Gyakorlat: Bizony tsa be, hogy ha X s Y azonos sz r s III.7.5. v ltoz k, akkor X + Y s X ; Y korrel latlanok! val sz n s gi Gyakorlat: Legyenek X Y N (0 ) f ggetlenek! V X+Y III.7.5. W X ; Y +.Adja meg a (V W) T vektor kovarianciam trix t! s Gyakorlat: Legyenek X Y f ggetlen val sz n s gi v ltoz k, III EX 4 EY 0 X Y : Hat rozza meg az al bbi mennyi- ahol s geket: E (5X ; 6Y ) EXY (5X ; 6Y +8) cov (5X 6Y )! Gyakorlat: Ultiz sn l a 3 lapos magyar k rty b l kett t talonba III osztanak. Jel lje X a talonba ker lt piros sz n lapok, Y pedig az s III Gyakorlat: H rom szab lyos kock val dobunk. Jel lje Y a dobott rt kek sszeg t. Adja meg EY -t s Y -t! III Gyakorlat: Legyen X N(0 ). Sz molja ki (X X 3 )-t! szok sz m t! Sz molja ki X s Y kovarianci j t!

135 Gyakorlat: Bizony tsa be, hogy ha EX EX 3 0,akkor X III Y korrel latlanok! s Gyakorlat: Az X s Y egy ttes s r s gf ggv nye: III X Y (x y) 0x y 0 y x : Hat rozza meg adott X x felt tel f f X Y (x y) 0: Sz molja ki az f XjY (x j y) felt teles s r s gf ggv nyt! egy bk nt Sz molja ki a kovarianciam trixot! Sz molja ki az E (X j Y y) Gyakorlat: Dobjunk n-szer egy szab lyos dob kock val. Jel lje III X a hatosok sz m t, Y pedig a p ros dob sok sz m t! Sz molja ki az X Y (x y) d exp f ; x +y sd Gyakorlat: Legyenek X Y N(0 ) f ggetlen val sz n s gi III.7.6. egy s kbeli vektor komponensei: V (X Y ) T : Adja meg a vektor v ltoz k III.7.6. Gyakorlat: Legyen (X Y ) T N : meg azt a line ris transzform ci t, melynek eredm nyek pp a komponensek Adja f ggetlen standard norm lis eloszl s ak lesznek! III.7 Kidolgozott feladatok s gyakorlatok 35 eset n az Y felt teles s r s gf ggv ny t! Gyakorlat: Legyen az X s Y val sz n s gi v ltoz k egy ttes III f X Y (x y) 5 (x ; xy + y ) ha 0 x 0 y s r s gf ggv nye regresszi s f ggv nyt! Gyakorlat: Egy k tdimenzi s val sz n s gi v ltoz els koordin t j nak III s r s gf ggv nye f X (x) x (0 <x<) : Ha az els ko- x, akkor ilyen felt tel mellett a m sodik koordin ta (Y ) +x ordin ta exponenci lis eloszl st k vet. Hat rozza meg annak a val sz - param ter n s g t, hogy a k t koordin ta sszege kisebb mint! E (Y j X) regresszi t! III Gyakorlat: Legyen az X Y egy ttes s r s gf ggv nye : Hat rozza meg Z max fjxj jy jg x y s r s gf ggv ny t! hossz nak az eloszl sf ggv ny t! III Gyakorlat: X s Y egy ttes eloszl sa k tdimenzi s norm lis, ( ) T kovarianciam t- s v rhat rt k-vektorral rixszal. Fejezze ki az E (Y j X) regresszi t komponensei s X seg ts g vel!

136 36 III. FEJEZET Val sz n s gi vektorv ltoz k

137 T tel: (A Markov-egyenl tlens g) IV... Y 0 olyan val sz n s gi v ltoz, melynek l tezik a v rhat rt ke: Legyen 0. Ekkor 8 >0 eset n (Y > ) EY : EY Bizony t s: val sz n s gi v ltoz eset ben: Diszkr t (Y > ) ) ll t s. val sz n s gi v ltoz eset ben: Folytonos (x)dx x x f Y (x)dx f Y (x)dx ( ; F Y ()) Y f 0 Az egyenl tlens gben most akkor kapunk nem semmitmond ll t st, ha a.) EY. K l nben a Markov-egyenl tlens g csak annyit jelentene, hogy val sz n s g nem nagyobb, mint egy -n l nagyobb sz m... Teh t egy >0 nem azt sugallja mint ltal ban a matematikai t telekben most hogy tetsz legesen kicsi pozit v sz m, hanem ppen ellenkez leg,, nagy. most IV. fejezet Val sz n s gi t rv nyek IV.. Nevezetes egyenl tlens gek EY 8i i i y y (Y i (Y y i ) (Y y y ) i ) i> y i> y EY (Y > ) ) ll t s. Megjegyz s: 37

138 38 IV. FEJEZET Val sz n s gi t rv nyek A Markov-egyenl tlens get a k vetkez m don fogalmazhatjuk t, ha b.) a EX helyettes t st: 8 >0 eset n (Y > EY ) v grehajtjuk : Innen viszont azolvashat le, hogy Y kicsi val sz n s ggel vehet csak a saj t v rhat rt k n l sokkal nagyobb rt keket, vagyis Y hajlamosa fel v rhat rt ke k zel ben felvenni rt k t. l. annak val sz - hogy egy nemnegat v val sz n s gi v ltoz a v rhat rt k nek n s ge, nagyobb rt ket felvegyen, 0,-n l kisebb. tsz r s n l T tel: (A Csebisev-egyenl tlens g) IV... X olyan val sz n s gi v ltoz, amelynek v ges a sz r sn gyzete: Legyen X<. Ekkor minden ">0 eset n (jx ; EXj ") X ". Alkalmazzuk a Markov-egyenl tlens get Y (X ; EX) Bizony t s: " helyettes t ssel: ; EXj ") ((X ; EX) " ) E(X;EX) " X " : (jx "-r l ugyanaz elmondhat, mint a Markov-egyenl tlens g eset n -r l: a.) X esetben lesz csak nem-trivi lis az egyenl tlens g. " A Csebisev-egyenl tlens g is tfogalmazhat, ha " X: b.) >0eset n (jx ; EXj X).Vagyis a val sz n s gi Minden a v rhat rt ke k r l ingadozik, s ann l kisebb m rt kben, v ltoz kisebb a sz r sa. l. egy val sz n s gi v ltoz nem t rhet el jobban min l rt k t l, mint a sz r sa h romszorosa, csak legfeljebb 9 0 av rhat val sz n s ggel. v ltoz k sorozatainak konvergenci i Val sz n s gi Den ci : Legyenek X X ::: X n ::: s X val sz n s gi v ltoz k IV... az ( ) Kolmogorov-f le val sz n s gi mez n. Azt mondjuk, hogy n o az A! lim konverg l X n (!) X(!) esem ny egy val - ha X-hez, n! (A) sz n s g :. v n! X: X Jel l s: Megjegyz s: IV.. a.) Az X X ::: X n ::: val sz n s gi v ltoz -sorozat egy val sz n s ggel

139 Az X X ::: X n ::: val sz n s giv ltoz -sorozat L r -ben (vagy r-edik b.) tart X-hez, ha E (jx n ; Xj r )! 0 (n!): momentumban) L r! X: n X Jel l s: Az X X ::: X n :::val sz n s giv ltoz -sorozat sztochasztikusan konverg l c.) X-hez, ha 8">0eset n (f! jx n (!) ; X(!)j >"g)! 0 (n! ): st n! X: X Jel l s: folytonos. e n! X: X Jel l s: IV... T tel: Ha X n L st n! X akkor Xn X Ha T tel: IV..3. st e akkor X n! X is, azaz a sztochasztikus X!! X is, azaz az L -beli konver- k vetkezik a sztochasztikus konvergencia, gy az eloszl sban val genci b l is. Az ll t s megford t sa ltal ban nem igaz! konvergencia IV..4. T tel: Ha X n IV. Val sz n s gi v ltoz k sorozatainak konvergenci i 39 Az X X ::: X n :::val sz n s giv ltoz -sorozat eloszl sban konverg l d.) ha lim X-hez, F Xn (x) F X (x) minden olyan x -ben, ahol F X (x) n! T tel: Az eloszl sban val konvergenci b l nem k vetkezik sem IV... egy val sz n s ggel val, sem az L r -ben val, sem a sztochasztikus kon- az vergencia. Bizony t s: L sd a IV.6.5. feladatot! konvergenci b l k vetkezik az eloszl sban val konvergencia. Bizony t s: L sd a IV.6.6. feladatot! Bizony t s: L sd a IV.6.7. feladatot! v st akkor X n! X is, de a megford t s l- X,! tal ban nem igaz. Bizony t s: L sd nyi [] 37. oldal!

140 40 IV. FEJEZET Val sz n s gi t rv nyek Legyen U U(0 ) s f n k (x) k 0 x ha n ahol n N tet- ha x k k ::: n: Aval sz n s giv ltoz -sorozat den ci ja: X m sz leges, f n k (U) ahol m n + k: Ekkor X m " (0 ) eset n (jx m ; Xj >") ; U< n konvergencia viszont nem teljes l, mert az X m! 0 egyetlen U (0 ) val sem igaz! Ugyanis tetsz leges x (0 ) eset n s minden n N- realiz ci ra T tel: Az egy val sz n s ggel val konvergencia s az L r -beli IV..5. k z l egyik sem k vetkezik a m sikb l ltal nos esetben. konvergencia X n v L r! X n X 3 7 st e n! X ) X n X ) 5 nagy sz mok t rv nyei azt a meggyel st t masztj k al elm letileg is, A egy val sz n s gi v ltoz t sokszor meggyelve, az tlag rt k mindig hogy az elt r s cs kken, azaz az tlag rt kek konverg lnak is a v rhat n vekedt vel rt khez. A k l nb z nagy sz mok t telei a meggyel s-sorozat k r lm - s a konvergencia tipus ban t rnek el egym st l. Ha a konvergencia nyeiben gyenge t rv nyr l, ha egy val sz n s g, akkor er s alakr l sztochasztikus, T tel: (A nagy sz mok t tel nek Csebisev-f le gyenge alakja) IV.3.. az X X ::: X n :::val sz n s gi v ltoz k p ronk nt f ggetlenek Legyenek azonos eloszl s ak (azonos eloszl sf ggv nnyel rendelkez k) az ( ) s val sz n s gi mez n. L tezz k a k z s EX i v rhat Kolmogorov-f le IV... lda: (Gyeng n igen, er sen nem konvergens val sz n s giv ltoz -sorozat k n n k n st! X, ahol X 0, hiszen tetsz leges : Az egy val sz n s ggel n re l tezik k, hogy f n k (x) legyen.) Bizony t s: L sd a IV.6.8. feladatot! Megjegyz s: sszegezve a fejezetben kimondott t teleket, a konvergenci k k z tti er sorrend:! X! X: IV.3. A nagy sz mok t rv nyei k zel van az elm leti v rhat rt khez. Az is igaz, hogy a meggyel sek besz l nk. rt k k s a k z s d X i sz r sn gyzet k.

141 a n X+X++Xn st n val sz n s giv ltoz -sorozatra Z n Z Ekkor n E X ++X n +X n n ; EZ Z n n n ; EZ n j") (jz n ; j ") Z n " (jz d n"! 0 (n!), ami m r igazolja az ll t st. T tel: (A nagy sz mok t tel nek Bernoulli-f le gyenge alakja) IV.3.. ( ) Kolmogorov-f le val sz n s gi mez, A egy pozit v Legyen esem ny: p (A) > 0: Hajtsunk v gre egy v gtelen k s rletsorozatot, val sz n s g vagyis gyelj k meg az A bek vetkez seit az ::: n ::: -edik Legyen X i I (A) vagyis az i-edik v grehajt skor a meggyelt v grehajt skor! A esem ny indik tor val sz n s gi v ltoz ja. X i -k teljesen f ggetlenek s azonos eloszl s ak: p 0 (X i 0)( A)q p (X i ) p EX i p X i pq: Legyen Z n X+X++Xn n (A) r n (A) st! p azaz 8">0 eset n Ekkor A t tel speci lis esete a IV.3. t telnek. Bizony t s: a Csebisev-egyenl tlens gnek a Ekkor (jz n ; EZ n j") (jr n (A) ; pj ") Z n pq n" " 4n"! 0 (n!) felel meg, mert p q 4 mindig teljes l. A t tel azt mondja ki, hogy a relat v gyakoris g j l k zel ti Megjegyz s: esem ny elm leti val sz n s g t, ahogyan azt m r a I.. axi m k ut n az T tel: (A nagy sz mok t tel nek Kolmogorov-f le er s alakja) IV.3.3. az X X ::: X n :::val sz n s gi v ltoz k teljesen f ggetlenek az Legyenek X i i IV.3 Anagy sz mok t rv nyei 4!,vagyis 8">0 eset n (jz n ; j ")! 0 (n!): Bizony t s: EX i n n. n A p ronk nti f ggetlens g miatt: n n X X i n n d d n : i n L that teh t, hogy Z n minden indexre teljes ti a Csebisev-egyenl tlens g felt tel t, gy: r n (A) a relat v gyakoris g. (jr n (A) ; pj ")! 0 (n!): tett megjegyz s nkben el re jelezt k. Kolmogorov-f le mez n. L tezz k a k z s EX i ( ) val sz n s gi a sz r sn gyzet kre teljes lj k a s rt k k v rhat < felt tel.

142 4 IV. FEJEZET Val sz n s gi t rv nyek a n X+X++Xn v n val sz n s giv ltoz -sorozatra Z n Z Ekkor A felt telrendszerben er sebb f ggetlens get t telezt nk fel, Megjegyz s: az azonos eloszl st nem tett k fel, csup n annak egy sz ks ges felt tel t, de Den ci : A Z X +iy komplex rt k val sz n s gi v ltoz IV.4.. rt k n az EZ EX + i EY komplex sz mot rtj k. v rhat Den ci : Az X val sz n s gi v ltoz karakterisztikus f ggv ny n IV.4.. a ' X (t) Ee ixt (t ) f ggv nyt rtj k. Mivel e ixt cos(xt)+isin(xt) ) Megjegyz s: X (t) E cos(xt)+i E sin(xt): ' esetben: X (t) Diszkr t cos(x j t)(x x j )+i ' 8j 8j + ' X (t) cos(xt) f X (x)dx + i esetben: folytonos sin(xt) f X (x)dx. hogy a karakterisztikus f ggv ny a s r s gf ggv ny Fourier-transzform ltja. L that, 8z z ::: z n komplex sz mokra n! vagyis lim ( Z n ) : n! hiszen X i i d < : Az ll t s viszont a IV..4 t tel szerint i er sebb, mint a IV.3. t tel volt. Bizony t s: L sd nyi [] oldal. IV.4. Akarakterisztikus f ggv ny sin(x j t)(x x j ) + IV.4.. T tel: (A karakterisztikus f ggv ny tulajdons gai) a.) j' X (t)j s ' X (0) : b.) ' X egyenletesen folytonos -en. c.) ' X pozit v szemidenit f ggv ny, azaz 8n 8t t ::: t n s ' X (t k ; t l ) z k z l 0 : n l k d.) ' X (;t) ' X (t):

143 e.) Ha X X ::: X p teljesen f ggetlenek, akkor ' X+X ++X p (t) f.) Ha X els n momentuma l tezik, akkor ' X n k0 + tetsz leges. Mivel ">0 Legyen b.) o(t ) valamint n EX k '(k) X (0) i k : k + ' X (t) e ;itx dx f X (x)dx< " 4 : Fel fogjuk haszn lni, hogy " jxj>a + + je ixt ; e ixt jf X (x)dx " jxj>a +A" n k f X (x)dx ) 9A " : ;A " je ixt ; e ixt jf X (x)dx+ ' X (;t) E ; e ix(;t) E (cos(;xt)) + i E (sin(;xt)) d.) E (cos(xt)) ; i E (sin(xt)) ' X (t). py j ' Xj (t) : IV.4 A karakterisztikus f ggv ny 43 n-szer dierenci lhat s ' X (t) k (it) k k! g.) Minden eloszl st egy rtelm en meghat roz a karakterisztikus f ggv nye. Ha X folytonos, akkor f X (x) + (x ): (Inverzi s formula). Bizony t s: X (t)j E( ixt e )E() 'X (0) E(e 0 ) E () : j' a.) je ixt ; e ixt j < jx t ; x t j s je ixt ; e ixt j < : j' X (t ) ; ' X (t )j (e ixt ; e ixt ) f X (x)dx " +A je ixt ; e ixt jf X (x)dx je ixt e jf ixt (x)dx+ f X ; (x)dx X A " jt ; t j+ " 4 <", ;A " jxj>a " t j < " ; jt ha A " : e it kx z k! 0: n n l k c.) ' X (t k ; t l )z k z l E

144 44 IV. FEJEZET Val sz n s gi t rv nyek py X i! py ' (k) X gy n k0 py py j ' Xj (t): ixt f X (x)dx ' 0 + X (t) e (ix) k e ixt f X (x)dx. (0) ik + x k f X (x)dx i k k : py n k0 (k) X (0) ' X N(0 ), akkor f X (x) '(x) p Ha e ; x, s gyafourier-transzform ltra: + + i '(x)dx cos(xt) m sodik integr l az rt 0, mert az integrandus p ratlan f ggv ny. t- A deriv lva midk t oldalt: szerint ' 0 X (t) + h p e ; x i + sin(xt) (;x) p sin(xt) e ; x dx t tel a.) pontja szerint ' X (0), akarakterisztikusf ggv ny kiel g ti IV.. y 0 ;t y y(0)kezdeti rt k-feladatot! az dierenci legyenlet megold s b l a standard norm lis eloszl s karakterisztikus A f ggv ny re: ' X (t) e ; t (t ) : e.) Felhaszn ljuk, hogy ha X X ::: X p teljesen f ggetlenek, akkor E EX i.! k e ix kt ' X+X ++X p (t) E ; e i(x+x++xp)t E E ; e ix kt k + f.) ' X (t) ixe ixt f X (x)dx ::: X (t) + ' (k) ATaylor-formul b l a t 0 0helyen: ' X (t) k! t k +o (t n ) k (it) k + o(t n ). k! g.) Az ll t st nem bizony tjuk. IV.4.. lda: (A standard norm lis eloszl s karakterisztikus f ggv nye) + + ' X (t) sin(xt) '(x)dx cos(xt) '(x)dx: + ;x sin(xt) '(x)dx + t ; p cos(xt) e ; x dx 0; t ' X (t) mivel a

145 it; t ' X (t) E ; e ixt E e i(x+)t e it E e ix(t) gy ' X+X ++X p (t) p j p j py j s j ' Xj (t) p j ). j py j exp i j t ; j t p j lda: (Az exponenci lis eloszl s karakterisztikus f ggv nye) IV.4.4. most X E(). Legyen 0 itx e ;x dx e e (it;)x dx 0 speci lisan a ;b ' X (t) eitb ;e ;itb bit Ha (it;)x e it; : 0 it; dx b;a [eitx ] b a eitb ;e ita (b;a)it : b;a sin(bt) b : p j j T tel: (Helly-t tel) IV.4.. X s X X ::: X n :::val sz n s gi v ltoz az ( ) Kolmogorov- Legyen f le val sz n s gi mez n. Ekkor X n e T tel: (A centr lis hat reloszl s t tel) IV.5.. az X X ::: X n :::val sz n s gi v ltoz k p ronk nt f ggetlenek Legyenek! : IV.5 Centr lis hat reloszl s t telek 45 IV.4.. lda: (A karakterisztikus f ggv ny ltal nos norm lis esetben) most X N( ). Ekkor a standardiz ltra ~ X X; N(0 ) Legyen hiszen ( ~ X<x) (X < x + ) ( x + ) (x) (ld. a igaz, II.5.6 t telt.), felhaszn lva a IV.4. p lda eredm ny t. e lda: (A konvol ci sz m t sa norm lis esetben) IV.4.3. X X ::: X p teljesen f ggetlen, norm lis eloszl s val sz n s gi v l- Ha toz k, X i N( i i ),akkor a IV.4. t tel e.) pontja szerint: exp j ; t it Azaz teljesen f ggetlen norm lis eloszl sok konvol ci ja is norm lis: X j N( ' X (t) IV.4.5. lda: (Az egyenletes eloszl s karakterisztikus f ggv nye) Ha X U([a b]), akkor ' X (t) b e itx a! X () ' Xn (t)! ' X (t) egyenletesen. Bizony t s: A t tel bizony t sa megtal lhat nyi [] 7. oldal n. IV.5. Centr lis hat reloszl s t telek

146 46 IV. FEJEZET Val sz n s gi t rv nyek azonos eloszl s ak (azonos eloszl sf ggv nnyel rendelkez k) az ( ) s val sz n s gi mez n. L tezz k a k z s EX i v rhat Kolmogorov-f le a Z n X+X++Xn;n p Ekkor n Z N(0 ), hogyz n olyan ( X+X++Xn;n e Z vagyis F Zn (x) (Z n <x)! A Helly-t tel alapj n (ld. IV.4. t telt) azt fogjuk bizony tani, Bizony t s: hogy Z n ' Zn karakterisztikus f ggv nyeinek sorozata egyenletesen konverg l (t) e ; t -h z, a standard norm lis eloszl s karakterisztikus f ggv ny hez. X i -k azonos eloszl s ak, gy k z s karakterisztikus f ggv ny k van, Mivel jel lj nk ' Xi (t) g(t) -vel. Ekkor az X i ; val sz n s gi v ltoz k melyet karakterisztikus f ggv nye: k z s $ ' Xj;(t) e ;it ' Xj (t) e ;it g(t): (t) f ggetlens g miatt: ' Xi+X++X n;n(t) [ (t)] n : A ' Zn (t) ' X +X ++Xn;n p gy (t) n E(X i ;) 0 s E (X i ; ) X i a (t) els k t deriv ltja Mivel s a IV.4. t tel miatt m sodik tagig 0 k r l Taylor-sorba fejthet : l tezik, t n o ; o() vagyis n hogy n t + o()! t Felhaszn ltuk, y n n y! e y,hay n! y (n!). ; n Az el z t tel r mutat a norm lis eloszl snak az elm letben Megjegyz s: j tszott fontos szerep nek ok ra: tetsz leges eloszl s val sz n s gi v l- tlaga norm lis eloszl st k vet. Teh t, ha egy v letlen jelens get sok toz k nem jelent s, f ggetlen hat s sszegek nt kapunk, akkor az j l egyenk nt a norm lis eloszl ssal. Tipikusan ilyenek a m r sekb l sz rmaz k zel thet a Duna k zepes v z ll sa, a napi k z ph m rs klet stb. Az elekt- adatok: rt k k s a k z s X i sz r sn gyzet k. val sz n s giv ltoz -sorozathoz l tezik p n <x)! (x) (n!) 8x : p n i n : h t + o(t ): + ie(xi;) t + (i) E(X i;)! (t)! t + o(t ); t gy ' Zn (t) p n i n t + o ; n t n : n h t A t v ltoz r gz t se ut n: n o h (t) ; n Zn ( t + o()) i n ; t! e (n!): ' (n!) s, hogy Vagyis ' Zn (t)! e ; t egyenletesen, azaz F Zn (x)! (x) (n!) 8x :

147 eloszt k zpontban is norm lis eloszl s nak tekinthet a lakoss gi fogyaszt s, romos hiszen nagyon sok kisfogyaszt ered jek nt ll el. Lehet, hogy egyes fogyaszt k k l n-k l n nem a norm lis eloszl s szerint fogyasztanak, az de az tlagos fogyaszt st a nagy sz mok t rv nye rtelm ben biztosan T tel: (A MoivreLaplace-t tel, 733.) IV.5.. ( ) Kolmogorov-f le val sz n s gi mez, A egy pozit v Legyen k s rletn l! Legyen X i A!! A 0 indik tor val sz n s gi v ltoz ja. Az X i -k teljesen f ggetlenek s esem ny eloszl s ak: azonos X i pq: a Z n X+X++Xn;np p Ekkor np(;p) olyan Z N(0 ), hogy Z n e Z, vagyis! Bizony t s: A IV.5. t tel speci lis esete, amikor az X i eloszl s ak. ad sul indik tor Zn (x) (Z n <x)(n S n < p n p q x + n p) mivel F n (A) S n X+X++Xn r S n k) ; n (n k q n;k, amib l az eloszl sf ggv nyre: k p S n < p npqx + np) k p q n;k (n n npqx+np; k p k< ; k n q n;k (x) p p k k;np ; k n p q n;k : k <x p npq Feladat: Egy c lpontra 00 l v st adnak le. A tal lat val sz n s ge IV.6.. minden l v sn l 0 4. Milyen hat rok k z fog esni 90%-os val sz n s ggel IV.6 Kidolgozott feladatok sgyakorlatok 47 tekinthetj k norm lisnak modelljeinkben. val sz n s g esem ny: p (A) > 0: Hajtsunk v gre egy v gtelen k s rletsorozatot, vagyis gyelj k meg az A bek vetkez seit az ::: n :::-edik vagyis az i-edik v grehajt skor az p 0 (X i 0)( A)q p (X i )(A) p EX i p val sz n s giv ltoz -sorozathoz l tezik F Zn (x) (Z n <x)! (x) (n!) 8x : I(A) azaz n a relat v gyakoris g s n S n B(n p), gy Teh t a t tel azt ll tja, hogy lim e ; t dt (8x ): x k;np n! p npq <x IV.6. Kidolgozott feladatok s gyakorlatok a tal latok sz ma?

148 48 IV. FEJEZET Val sz n s gi t rv nyek Jel lj k X-szel a tal latok sz m t! A l v ssorozat felfoghat n 00hossz s g k s rletsorozatnak, ahol a meggyelt esem ny a c l- egy eltal l sa. Ez rt binomi lis eloszl s n 00 s p 0 4 param terekkel. pont EX np X npq : A Csebisev- gy alkalmazzuk erre az esetre " p 0X v laszt ssal: egyenl tlens get ; jx ; EXj > p 0X ; jx ; 80j > p 480 0, ahonnan ; jx ; 80j p 480 ; 80 ; p 480 X 80 + p 480 (58 X 0) 0 9 ad dik, azaz a l v sek 58 s 0 k z fognak esni Feladat: Egy automata min s gvizsg l n elem mint t IV.6.. ellen riz le egy gy rt soron el ll tott sz m t g pes alkatr szt megb l. A ut n milyen val sz n s ggel ll thatjuk, hogy a mint b l meghat rozott vizsg lat selejtar nyak szlet elm leti p selejtval sz n s g t l legfeljebb 0 0-dal most " 000-rel alkalmazzuk: (jx ; 0 5 pj000) 0 5 ; p 0 0 ; 0 5 pq Egy-egy do- tlagosan 5000 csavar ker l. A csavarok sz m nak sz r sa a tapasztalabozba szerint 0 darab. Mit mondhatunk annak val sz n s g r l, hogy egy a csavarok sz ma 4900 s 500 k z esik, ha az eloszl st nem ismerj k? dobozban Jel lje X acsavarok sz m t! Ekkor a Csebisev-egyenl tlens gb l: (4900 X 500) (jx ; 5000j 00) ; : Feladat: Legyen X standard norm lis eloszl s val sz n s gi IV.6.4. A standard norm lis eloszl s t bl zat nak haszn lata n lk l bi- v ltoz! zony tsa be, hogy ekkor fenn ll a (;3 <X<3) ; Markov-egyenl tlens gb l: (jxj > 3) EjXj 3 A amib l m r k vetkezik (;3 <X<3) ; 3 3 legal bb 90%-os val sz n s ggel. t r el? X most a selejtes term kek sz m t jel lje a mint ban! Ekkor selejtar ny a mint ban X 0 5 lesz. Nyilv n X B(00000 p), aholap is- a meretlen. EX np 0 5 p X npq 0 5 pq. A Csebisev-egyenl s get 40 ; X Alevezet sben felhaszn ltuk, hogy pq p ; p 0 5. IV.6.3. Feladat: Egy zemben csavarokat csomagolnak. p 8 egyenl tlens g! p, p.

149 Egy ellenp ld t fogunk adni, amely eloszl sban konverg l val sz n s giv ltoz -sorozat lesz, de a m sik h rom rtelemben nem konverg l. Legyen A tetsz leges (A) I( A) indik tor val sz n s gi v ltoz. Az X Y azonos eloszl s, hiszen Y 0 (X 0)( A) q 0 (Y 0)(A) p Mivel F Xn (x) F Y (x) ez rt X n x> 0 <x 0 0 x Konverg ljon az X X ::: X n ::: val sz n s giv ltoz -sorozat sztochasztikusan X-hez, azaz 8">0 eset n (f! jx n (!) ; X(!)j >"g)! 0 (n!): ">0 tetsz leges! Legyen Xn (x) (X n <x)(x n <x X<x+ ") +(X n <x Xx + ") F (X <x+ ") +(X >X n + ") (X <x+ ") +(jx n ; Xj >") X (x + ")+(jx n ; Xj >"): M sr szt: F X (x;") (X <x;") (X n <x X<x;")+(X n x X < x;") F (X n <x)+(x <X n ; ") F Xn (x) +(jx n ; Xj >"). egyenl tlens gb l: Ak t X (x ; ") ; (jx n ; Xj >") F Xn (x) F X (x + ") +(jx n ; Xj >"). F fenti egyenl tlens gben n!hat r tmenetet k pezve: A X (x). gy9 lim F F Xn (x) s F X (x): n! "!0 F X (x + ") Ehhez az ll t shoz a Markov-egyenl tlens get fogjuk felhaszn lni. Legyen X 0 olyan val sz n s gi v ltoz, melynek l tezik a v rhat IV.6 Kidolgozott feladatok sgyakorlatok 49 IV.6.5. Feladat: Bizony tsuk be a IV... t telt! esem ny, legyen X I(A) s p (X )(A) q (Y )( A) : Deni ljuk a sorozatot gy, hogyx n X 8n-re. Ekkor nyilv n: 8 F Xn (x) F X (x) F Y (x) < : : e! Y,dejX n ; Y j miatt a m sik h rom rtelemben nem konverg lhat X n az Y -hoz. IV.6.6. Feladat: Bizony tsa be a IV... t telt! X (x ; ") lim inf F Xn (x) lim sup F Xn (x) F X (x + "): F x folytonoss gi ponja F X (x) -nek, akkor lim Ha F X (x ; ") lim "!0 IV.6.7. Feladat: Bizony tsa be a IV..3. t telt!

150 50 IV. FEJEZET Val sz n s gi t rv nyek rt ke: EX 0. Ekkor 8" >0 eset n (X > ") EX " : Legyen "> 0 A n olyan esem nyek, melyek val sz n s gei (A n ) Legyenek n3 n A! Megmutatjuk, : n A! 0 a sorozat b r sztochasztikusan konverg l az X 0-hoz, de m r els hogy nem. momentumban X n Y n st X: De E (jx n ; Xj) EX n n 3! n L v X n! X de Xn hogy arra, Ellenp lda Ellenp lda arra, hogy X n ) X n v L de amint l ttuk, Xn 6! X: X! L v n 6! X. Legyenek A n -ek olyan dex X,!! A n3 n hat r a val sz n s gi v ltoz pedig n A! 0 IV.6.9. Feladat: Igazolja, hogy ha X n st st s Y n! Y,akkor X n + X! (jx n + Y n ; (Y + X)j ") (jx n ; Xj " + jy n ; Y j") (jx n ; Xj ") + (jy n ; Y j")! 0: IV.6.0. Feladat: Igazolja, hogy ha X n X n Y n st st s Y n! Y,akkor X! jx n Y n ; XY j jx n Y n ; X n Y + X n Y ; XY j n ; X + XjjY n ; Y j + jy jjx n ; Xj jx n ; XjjY n ; Y j + jxjjy n ; Y j + jx ekkor (jx n ; Xj >") EjXn;Xj "! 0(n!): tetsz leges, arra, hogy a t tel nem megford that : Ellenp lda A n : sorozat elemeinek den ci ja: X n (!) L that, hogy (jx n ; Xj >")(X n >") n,han> 3 p ", azaz n!a momentumban val konvergencia nem igaz. IV.6.8. Feladat: Bizony tsa be a IV..5. t telt! 6! X: A IV.. p lda itt is j, mert ha m n + k: E (jx m ; Xj) EX m n! 0 teljesen f ggetlen esem nyek, ahol (A n ) n : Legyen a sorozat elemeinek den ci ja: X n (!) L Mivel E (jx n ; Xj) EX n n! ) X n 6! X: Viszont X 0: v n X hogy megmutathat,! X: st! X + Y! st! X Y!

151 jjx ; Xj : Legyen ">0 tetsz leges! (jx n Y n ; XY j >") jy n jx n ; XjjY n ; Y j > " ; 3 + jxjjyn ; Y j > " ; 3 + jy jjxn ; Xj > " 3 : ; jx n ; XjjY n ; Y j > " ; 3 jxn ; Xj > p " 3 + Tov bb : ; ; n ; Y j > p " jy! M sr szt, y>0 3 0: ha tetsz leges, ; Y j > " 3 jy n ; Y j > " 3y n jxjjy ; IV.6.. Feladat: Igazolja, hogy ha X n X akkor n st a valamely a>0 sz mra,! jx ; aj a ; a > <X n : 8 >0-hoz 9n0 : n>n 0 n ; < ; jx n ; aj < a ; a < <X n : ; eset n n n>n 0! j Xn (!) > a A n n aj a jx! 0 (n!): Mivel > ; " n aj > a jx + : gy lim sup ; " A nagy sz mok t tel b l k vetkezik, hogy n X i n ; aj > a jx + ; A " n X i X i n X i st m m +d!! st m s! st m + d : Felhaszn lva azel z k t feladat eredm ny t, m r! Feladat: Legyenek X X ::: X n f ggetlen, azonos eloszl s IV.6.3. v ltoz k, EX i m>0: Tekints k a Z n np Y Y :::Y n val - val sz n s g sz n s gi v ltoz t, ahol Y k k k v : Igazoljuk, hogy Z n! m! i X IV.6 Kidolgozott feladatok sgyakorlatok 5 (jxj >y)! 0 ha n y! 0: + Ebb l m r k vetkezik, hogy (jx n Y n ; XY j >")! 0: st! a is! s legyen ">0 tetsz leges! A $ Q >" (A fjx n ; aj > jx n aj "g) X n ; a o X n ; a >" + X n ; a X n ; a >" A >" A >" X n ; a, smivel tetsz leges volt, m r k vetkezik az ll t s. IV.6.. Feladat: Legyenek X X ::: X n f ggetlen, azonos eloszl s val sz n s g v ltoz k, EX i m X i d : Igazolja, hogy n n k vetkezik az ll t s.