Néhány elemmel konzisztenssé tehető páros összehasonlítás mátrixok

Átírás

1 Néhány elemmel konzisztenssé tehető páros összehasonlítás mátrixok Poesz Attila BCE Operációkutatás és Aktuáriustudományok Tanszék április 1. Poesz A. () Következetlenség április 1. 1 / 28

2 Vázlat Probléma bemutatása Koczkodaj megközelítése, triádok külön-külön vizsgálata Új megközelítés, triádok teljes rendszerének együttes vizsgálata Egészértékű programozás Gráf reprezentáció Példa bemutatása Összegzés Poesz A. () Következetlenség április 1. 2 / 28

3 Páros összehasonlítási mátrixok alkalmazása Többszempontú döntési feladatoknál: alternatívák szempontok szerinti értékelése szempontsúlyok meghatározása csoportos döntéseknél: kompetencia-súlyok (szavazóerők) meghatározása Legfeljebb 3 elemmel konzisztenssé/közel konzisztenssé tehető mátrixok jelentősége: elírások kiszűrése döntéshozónak javítási lehetőség csökken a következetlenség szintje közel azonosnak értékelt alternatívák esetében Poesz A. () Következetlenség április 1. 3 / 28

4 Saaty-féle hányados skála:1/9,..., 9 A 1 : acél szerkezet A 2 : megerősített beton,fa állv. A 3 : megerősített beton A 4 : előre gyártott betonelemekből A 5 : beton mag merevítve A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 A A 2 1/5 1 1/5 1/5 1/7 A 3 1/ /3 A 4 1/ /3 A 5 1/ Tulajdonságok Önmagával azonos a ii = 1, (1) Reciprocitás a ĳ = 1/a ji, (2) Konzisztencia a ik = a ĳ a jk, i,j,k (3) Inkonzisztens az a mátrix, amelyik nem konzisztens. inkonzisztencia magas nincs értelme számolni Poesz A. () Következetlenség április 1. 4 / 28

5 Koczkodaj megközelítése Alapötlet Minden A R 3 3 páros összehasonlítás mátrix konzisztenssé tehető egyetlen elemének (és reciprokának) alkalmas megváltoztatásával. A 1 A 2 A 3 A A 2 1/21 1 1/7 A 3 1/3 7 1 GD a = 21 5 = 16 CM a = = 3.2 A 1 A 2 A 3 A A 2 1/5 1 1/7 A 3 1/3 7 1 A 1 A 2 A 3 A /7 A 2 1/5 1 1/7 A 3 7/5 7 1 GD b = 3 5/7 = CM b = /7 = A 1 A 2 A 3 A A 2 1/5 1 3/5 A 3 1/3 5/3 1 GD c = 7 5/3 = 5.33 CM c = 1/7 7 5/3 = az egyes triádokról, illetve azok egy konzisztens mátrixtól vett minimális eltéréséről Nem vizsgálja a mátrix teljes triád struktúráját Poesz A. () Következetlenség április 1. 5 / 28

6 Új megközelítés Mátrix triádjainak összefüggő rendszere javítása a teljes rendszer vizsgálatával Jelölések: A R n n Ā = log A ā ĳ = log a ĳ, i, j = 1,...,n. Konzisztencia: ā ĳ + ā jk + ā ki = 0, i, j, k = 1,...,n. A4 A5 Kutatási irányok: 1 Gráfelmélet 2 Egészértékű programozás A3 A2 A6 A1 Poesz A. () Következetlenség április 1. 6 / 28

7 Gráf reprezentáció Gráf reprezentáció: G ={V, E} irányított gráf V ={1,...,n} a csúcspontok, E =V V pedig az élek halmaza. (i, j) E élhez az ā ĳ súlyt rendeljük Az (i, j, k) triád = (i, j), (j, k), (k, i) élek által alkotott kör. Az (i, j, k) triád súlya S(i,j,k)=ā ĳ + ā jk + ā ki A3 A4 A2 A1 Triád konzisztens ha súlya 0, ellenkező esetben pedig inkonzisztens. Konzisztencia tekintetében (i,j,k) triád azonos (i,k,j) S(i, j, k) = S(i, k, j) Az A mátrix konzisztens,ha minden triádjának 0 a súlya. Poesz A. () Következetlenség április 1. 7 / 28

8 Állítás (2) Legyen (i, j, k) egy inkonzisztens triád. Ekkor tetszőlegesl V\{i, j, k} esetén az (l, i, j), (l, j, k) és (l, k, i) triádok közül legalább az egyik inkonzisztens. Bizonyítás: S(l, i, j) + S(l, j, k) + S(l, k, i) = S(i, j, k) Mivel az (i, j, k) súlya nem nulla, a másik három triád közül legalább az egyik súlya nem nulla kell, hogy legyen. A4 A3 A1 A2 Következmény 1.: Ha A inkonzisztens, akkor G legalább n 2 inkonzisztens triádot tartalmaz. 2.: Ha A inkonzisztens, akkor tetszőleges i V esetén van G-ben inkonzisztens (i, j, k) triád. Poesz A. () Következetlenség április 1. 8 / 28

9 Állítás (3. - Egy elem megváltoztatása) Egy A inkonzisztens páros összehasonlítási mátrix pontosan akkor tehető egyetlen elemének megváltoztatásával konzisztenssé, ha a megfelelő G gráf pontosan n 2 inkonzisztens triádot tartalmaz. Ha n 4, akkor a változtatás egyértelmű. Bizonyítás: Triviális n=3, triviális, ( itt n=4 együtt n 5 Fontos..kell n=4l 1,l 2 nem lehet) 2.Áll (i, j, k) inkonz. triád + G gráf (n 2) inkonz. l V\{i, j, k} esetén az (l, i, j), (l, j, k) és (l, k, i) triádok közül pontosan egy inkonzisztens. S(i, j, k)=α előző pont Tfh.: valamely (l, i, j) inkonz. (Ábra) (l, j, k) és (l, k, i) konzisztensek: A3 ā lj + ā jk + ā kl =0 ā lk + ā ki + ā il = 0 Σ A4 A2 ā jk + ā ki =ā jl + ā li + ā ĳ ā ĳ + ā jk + ā ki = ā li + ā ĳ + ā jl =α A1 S(i, j, k) = S(i, j, l) = S(l, j, i) =α Poesz A. () Következetlenség április 1. 9 / 28

10 (i, j) él közös: indirekt tfh.: (i, j, k) közös él l1 V\{i, j, k}, (l 1, i, j) inkonz. (j,l 2,l 1 ) konz. 1.pont l2 V\{i, j, k}, (l 2, k, i) inkonz. (l 2, j, k) konz. ā l2 j + ā jk + ā kl2 =0 ā jl2 + ā l2 l 1 + ā l1 j = 0 Σ ā jk + ā kl2 + ā l2 l 1 + ā l1 j = 0 S(i,l2,l 1 ) = 0, S(i, j, k) =α, S(l 1, j, i) = S(l 2, i, k) = α, ezen triádok súlyait összegezve: javítás: Tfh.: ā jk + ā kl2 + ā l2 l 1 + ā l1 j = α, aholα 0 l V\{i, j, k}, (l, i, j) triád inkonz. (előző pont) S(l, i, j) = S(i, j, k) =α (2. pont) ā ĳ = ā ĳ α l, S(l, i, j) = 0 és S(i, j, k) = 0, többi triád értéke nem változott (= 0). változtatás egyértelműsége: csak az (i, j) él vesz részt mind az n 2 triádban. Poesz A. () Következetlenség április / 28

11 1. Megjegyzés. Könnyen látható, hogy annak ellenőrzése, hogy az inkonzisztens triádok száma n 2 vagy sem, O(n 3 ) művelettel végrehajtható, a feltétel teljesülése esetén pedig a módosítandó él és a módosítás mértékének meghatározása már csak O(n 2 ) műveletet igényel. Állítás (4.) Egy konzisztens páros összehasonlítási mátrix K számú elemének (és azok reciprokjainak) megváltoztatásával kapott A páros összehasonlítási mátrix G gráfjában legfeljebb K(n 2) inkonzisztens triád lehet. Akkor lesz az inkonzisztens triádok száma pontosan K(n 2), ha a megváltoztatott elemek nem szerpelnek közös triádban. Bizonyítás: A R n n konzisztens mátrix: K lépés, lépésenként max. n 2 triád súlya változik legfeljebb K(n 2) lehet G-ben Poesz A. () Következetlenség április / 28

12 Módosított elemek és azok kapcsolata Esetek k 3 elem közös triádban 2 elem közös triádban konzisztens közös triádok inkonzisztens triádok I (n 2) II (n 2) III/A (n 2)-1 III/B (n 2)-2 IV (n 2) V/A (n 2)-1 V/B (n 2)-2 VI/A (n 2)-2 VI/B (n 2)-3 VI/C (n 2)-4 VII/A (n 2)-3 VII/B (n 2)-4 VII/C (n 2)-5 VII/D (n 2)-6 VIII/A (n 2)-2 VIII/B (n 2)-3 Esetek k megváltoztatott dimenzió mátrix elemek I 1 α 12 n 3 II 2 α 12,α 34 n 4 III 2 α 12,α 13 n 4 IV 3 α 12,α 34,α 56 n 6 V 3 α 12,α 13,α 45 n 5 VI 3 α 12,α 13,α 24 n 4 VII 3 α 12,α 13,α 14 n 4 VIII 3 α 12,α 13,α 23 n 4 Példa mátrix, log(a) 0 α 12 α α 16 α 12 0 α α 26 α 13 α α α 16 α 26 α Poesz A. () Következetlenség április / 28

13 Állítás (5.=3.) Egy A inkonzisztens páros összehasonlítási mátrix pontosan akkor tehető egyetlen elemének megváltoztatásával konzisztenssé, ha a megfelelő G gráfban van olyan (i, j) él, hogy minden (l, i, j),l V\{i, j} triád súlya ugyanaz a nem nulla szám, az összes többi triád viszont konzisztens. Ha n 4, ez az (i, j) él egyértelmű. Két él módosítása két él kapcsolata független egymáshoz kapcsolódó n = 3 triviálisan végtelen sok megoldás n 4 releváns Poesz A. () Következetlenség április / 28

14 Állítás (6.) Egy A inkonzisztens páros összehasonlítási mátrix pontosan akkor tehető két elemének megváltoztatásával konzisztenssé, ha a megfelelő G gráfban az alábbi két eset valamelyike teljesül: 1 (i 1, j 1 ) és (i 2, j 2 ) független él,α 1 0 ésα 2 0, hogy (l, i 1, j 1 ), l V\{i 1, j 1 } triád súlyaα 1, (l, i 2, j 2 ),l V\{i 2, j 2 } triád súlyaα 2, az összes többi triád viszont konzisztens. 2 Van két olyan egymáshoz csatlakozó (i, j) és (j, k) él, valamint nem nullaα 1 ésα 2 szám, hogy minden (l, i, j),l V\{i, j, k} triád súlyaα 1, minden (l, j, k),l V\{i, j, k} triád súlyaα 2, az (i, j, k) triád súlyaα 1 +α 2, az összes többi triád viszont konzisztens. i k āij i1 āi1j1 j1 j ājk i2 āi2j2 j2 (a) (i1,ji), (i2,j2) függetlenek l k (b) (i, j), (j, k) csatlakozó élek Poesz A. () Következetlenség április / 28

15 āi1j1 Három elem megváltoztatása i1 āi1j1 j1 i2 āi2j2 āj1k1 k1 āk1l1 l1 j2 j1 i3 āi3j3 j3 i1 (c) 3 független él (d) 3 csatlakozó él k1 l1 āj1k1 j1 i2 āi2j2 j2 āi1l1 i1 āi1j1 j1 i1 āi1j1 j1 āi1j1 āi1k1 āj1k1 āk1i1 i1 k1 k1 (e) 1 független él (f) centrális elhelyezkedés (g) közös triádban Poesz A. () Következetlenség április / 28

16 Kevert egészértékű programozás M a lehetséges páros összehasonlítás értékek maximuma M = 2 log M, egy felső korlát n 1 n min y ĳ i=1 j=i+1 x ĳ, i, j = 1,...,n, i j, módosított mátrix elemeinek logaritmusa y ĳ, i, j = 1,...,n, i j, Dummy s.t. x ĳ + x jk + x ki = 0, 1 i< j< k n, x ĳ = x ji, 1 i< j n, M x ĳ M, 1 i< j n, 2 My ĳ x ĳ ā ĳ 2 My ĳ, 1 i< j n, y ĳ {0, 1}, 1 i< j n, Állítás (1.) Az MIP optimumértéke: a minimális elemszám, amivel az A konzisztenssé tehető. Legfeljebb K elem megváltoztatásával konzisztenssé tehető? Csatolandó feltétel: n 1 n y ĳ K i=1 j=i+1 Poesz A. () Következetlenség április / 28

17 Összehasonlítás MIP eredmény: sor oszlop régi elem új elem eltérés /5 1/ /2 1/8 1/ /2 1/8 1/2 1 A 124 = / / /2 1/8 1/2 1 GD iterációs eredmény: Iteráció sor oszlop régi elem új elem GD /7 0, /2 7/8 0, /2 7/8 0, /4 0, /5 0, /2 5/8 0, /2 5/8 0, /4 7/5 0,35 A j 124 = 1 1 1/2 1/8 1/ /2 1/8 1/ / / /2 1/8 1/ /8 1/8 7/ /8 1/8 7/8 1 A j 124 = /5 7/5 8/ /7 1 1/7 1 8/ /2 1/8 7/8 1 Poesz A. () Következetlenség április / 28

18 MIP feladat eredménye adathalmazon Valós minta Szakfolyóiratokban publikált 22 valós döntési szintuációt leíró cikkből, összesen 137 páros összehasonlítás mátrixot gyűjtöttünk össze és dolgoztunk fel. Mátrixok 1 elem 2 elem 3 elem Dimenzió száma Konzisztens módosítása módosítása módosítása és nagyobb Összesen Poesz A. () Következetlenség április / 28

19 A mintában szereplő mátrixok: A 44 R 5 5, A 6 R 6 6 és az A 76 R / A 44 = 1/ / Aj 44 = 1/3 1/2 1/2 1/ / / / /4 1/2 1/2 1/ A 6 = /7 1/7 1/7 1 1/7 2 A j 6 = 1/7 1/7 1/7 1 1/7 9/ /9 1/9 1/9 1/2 1/9 1 1/9 1/9 1/9 7/9 1/ /7 1/ / A 76 = 1 1/7 1/ /7 1/ A j 76 = 1 1/7 1/ /7 1/ /7 1/ /7 1/ / / /7 1/ /7 1/ /7 1/ /7 1/ /7 1/ Poesz A. () Következetlenség április / 28

20 60 %? Poesz A. () Következetlenség április / 28

21 További modellek és eredmények ( ) 1 a b A 3 3 = 1/a 1 c [a b c] R /b 1/c 1 CM(a, b, c) = min( 1 a a b c, 1 b b ac, 1 c c b a ). CM(A) = max{cm(a ĳ, a ik, a jk ) i j< k n} Bozóki S. és Rapcsák T. [2008] megmutatták, ha T(a, b, c) = max { ac, } b b ac CM(a, b, c) = 1 1 T(a, b, c) T(a, b, c) = 1 1 CM(a, b, c) Ā = log(a) esetében T(ā, b, c) = max { ā + c b, (ā + c b) }. LP megoldása: CM(A) = 1 1 exp(z opt) Bozóki, Fülöp, Koczkodaj [2010]: min z s.t. ā ĳ + ā jk + ā ki z, 1 i< j< k n, (ā ĳ + ā jk + ā ki ) z, 1 i< j< k n, Poesz A. () Következetlenség április / 28

22 II. MIP K és CM krit adott Az A mátrix maximum K elemének megváltoztatásával CM(A ) CM krit teljesül? z = log( 1 1 CM krit ) M = log(m) ā ĳ = log(a ĳ ) min n 1 n y ĳ i=1 j=i+1 s.t. x ĳ + x jk + x ki z, 1 i< j< k n, (x ĳ + x jk + x ki ) z, 1 i< j< k n, x ĳ = x ji, 1 i< j n, M x ĳ M, 1 i< j n, 2 My ĳ x ĳ ā ĳ 2 My ĳ, 1 i< j n, y ĳ {0, 1}, 1 i< j n, n 1 n y ĳ i=1 j=i+1 K Poesz A. () Következetlenség április / 28

23 III. MIP K adott Az A mátrix maximum K elemének megváltoztatásával min CM(A )? z változó CM(A ) = 1 1 exp(z opt) M = log(m) ā ĳ = log(a ĳ ) min z s.t. x ĳ + x jk + x ki z, 1 i< j< k n, (x ĳ + x jk + x ki ) z, 1 i< j< k n, x ĳ = x ji, 1 i< j n, M x ĳ M, 1 i< j n, 2 My ĳ x ĳ ā ĳ 2 My ĳ, 1 i< j n, y ĳ {0, 1}, 1 i< j n, n 1 n K y ĳ i=1 j=i+1 Poesz A. () Következetlenség április / 28

24 R 6 6 mátrixok, III. MIP Min CM Sorszám CM K=3 Eltérés CR 2 0,78 0,63 0,15 9,38% 3 0,61 0,61 0 3,22% 4 0,75 0,63 0,13 6,9% 5 0,36 0 0,36 0,35% 6 0,63 0,56 0,07 4,23% 7 0,7 0,62 0,08 6,42% 8 0,64 0,53 0,11 3,64% 9 0,61 0,42 0,19 2,81% 10 0,44 0,44 0 1,24% 11 0,82 0,5 0,32 7,67% 12 0,47 0,4 0,07 1,88% 13 0,81 0,72 0,09 14,7% 14 0,98 0,67 0,31 34,71% 15 0,83 0,38 0,46 5,04% 16 0,75 0,63 0,13 7,69% 17 0,78 0,56 0,22 6,32% 18 0,83 0,67 0,17 12,01% 19 0,8 0,38 0,43 6,53% 20 0,6 0,5 0,1 3,98% 21 0,43 0 0,43 0,54% 1 1/3 1/ /5 5 3 A = 5 1/ /3 5 1/ CR = 34, 71% 1/7 1/5 1/5 1/3 1 1/3 1/5 1/3 1/3 1/ /3 1/ , A 1 = 5 1/ /3 0, 65 1/ CR = 15, 03% 1/7 1/5 1/5 1/3 1 1/3 1/5 1/3 1/3 1/ /3 1, , A 2 = 0, 87 1/ /3 0, 34 1/ CR = 7, 29% 1/7 1/5 1/5 1/3 1 1/3 1/5 1/3 1/3 1/ , 97 1, , A 3 = 0, 64 1/ /3 1/3 1/ CR = 4, 94% 1/7 1/5 1/5 1/3 1 1/3 1/5 1/3 1/3 1/3 3 1 Poesz A. () Következetlenség április / 28

25 Összefoglalás Eredmények alkalmazása: elírt páros összehasonlítási elemek detektálása triád struktúra feltárása a bemutatott eszközökkel teljes triád struktúrát figyelembe vevő javító algoritmus Eredményeink: egészértékű programozási feladat felírása módosított gráf reprezentáció állítások megfogalmazása és belátása eredmények ellenőrzése valós adatokon konzisztens mátrix 1, 2, 3 elemének megváltoztatással, hány inkonzisztens triád keletkezik Poesz A. () Következetlenség április / 28

26 További kutatási irányok További inkonzisztencia mutatókra (CR, GD) felírni hasonló összefüggéseket. Kutatási eredmények más területen történő alkalmazása? párosösszehasonlítás mátrix ferdén szimmetrikus mátrix játékelmélet gazdaságstatisztika Lie-Algebra? Poesz A. () Következetlenség április / 28

27 Bozóki, S., Rapcsák, T. [2008]: On Saaty s and Koczkodaj s inconsistencies of pairwise comparison matrices, Journal of Global Optimalization 42(2), pp Bozóki, S., Fülöp, J., Koczkodaj, W.W. [2010]: LP-based consistency-driven supervision for incomplete pairwise comparison matrices, Working Paper, WP Bozóki, S., Fülöp, J., Poesz, A. [2010]: On pairwise comparison matrices that can be made consistent by modification of a few elements, Central European Journal of Operation Research (in print). DOI /s Kéri, G. [2005]: Kritériumok páros összehasonlítás mátrixokra, Szigma, 36, pp Kindler, J., Papp O. [1977]: Komplex rendszerek vizsgálata, Műszaki Könyvkiadó, Budapest. Koczkodaj, W.W [1993]: A new definition of consistency of pairwise comparisons, Mathematical and computer modelling, 18, pp Poesz, A. [2008]: A páros összehasonlítás mátrixok kritikus értékeinek detektálása, TDK dolgozat, Budapesti Corvinus Egyetem, Budapest. Poesz, A. [2008]: Tapasztalati páros összehasonlítás mátrixok inkonzisztenciájának vizsgálata, Szakdolgozat, Budapesti Corvinus Egyetem, Közgazdaságtudományi Kar, Gazdasági Döntések Tanszék, Budapest. Saaty, T.L [1980]: The analytic hierarchy process, McGraw-Hill, New-York. Poesz A. () Következetlenség április / 28

28 Köszönöm a figyelmet! Poesz A. () Következetlenség április / 28