A sík egybevágóságai és a tengelyes tükrözések
|
|
- Krisztián Barta
- 7 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Pogáts Feren A sík egyevágósági és... Pogáts Feren A sík egyevágósági és tengelyes tükrözések A ímen foglltk tárgylás során támszkodni fogunk Hjós György: Bevezetés geometriá (TANKÖNYVKIADÓ, Budpest, 1960). tnkönyvének témánkt érintő foglmir és tételeire. Így különösen z első fejezet.3., 3.4 és 3.5., szkszir, vlmint második fejezet 11. és 1. prgrfusir. A szokásos jelöléseken túl, lklmzzuk még z láikt is:,,, (ltin kisetűk) nem sk egy-egy egyenest jelölnek, hnem jelenthetik jelölt egyenesre vontkozó tükrözést is. jelöli z egyenesre, mjd ezt követően egyenesre vontkozó tükrözést. Szóhsználtunkn ez: két tükrözés szorzt, egymásutánj. O, A, B, (ltin ngyetűk) nemsk egy-egy pontot jelölnek, hnem jelenthetik jelölt pontr vontkozó tükrözést is. BA jelöli z A pontr, mjd ezt követően B pontr vontkozó tükrözést. Ez eseten szólhtunk két tükrözés szorztáról, egymásutánjáról. F(0, φ) jelöli z O közepű, φ előjeles mértékű, pont körüli forgtást. T eltolást jelöl, hosszát T. Az eltolást z irányított AB szksszl is megdhtjuk. I z identikus leképezést, zt z egyevágóságot jelöli, melyen minden pont képe önmg. (Ez tehát z egyik legfontos (egyevágósági) trnszformáió, semmittevés). H Φ, Ψ, Π, (görög ngyetűk) egy-egy egyevágóság, kkor Φ(P)=P zt jelenti, hogy P pont fixpontj e trnszformáiónk. A ΨΦ szorzt zt z egyevágóságot jelöli, melyet Φ, mjd ezt követően Ψ egyevágóság szolgáltt. (A Ψ ΨΨ szorztot jelöli.) A Φ -1 Φ egyevágóság inverzét jelöli, vgyis zt távolságtrtó leképezést, mely Φ(P) képpontokt z eredeti P pont viszi vissz, zz Φ -1 Φ = Φ Φ -1 = I. 1
2 Pogáts Feren A sík egyevágósági és Forgtások, eltolások 1. TÉTEL: Az egymást O pontn metsző és egyenesekre vontkozó tükrözésszorzt z O pont körüli AOB irányított szögű elforgtás, hol A, ill. B z, ill. egyenesek egy-egy O tól különöző pontj, vgyis jelöléseinkkel =F(O;ϕ =AOB ). BIZONYÍTÁS: Jelölje P sík egy tetszőleges P pontjánk z egyenesre vontkozó tükörképét, míg P P -nk re vló tükörképét (1. ár). Azt fogjuk megmuttni, hogy OP=OP, és POP (irányított) szög nem függ P megválsztásától. A tükrözés távolságtrtó voltáól z (1) OP=OP =OP, A szögtrtó voltáól pedig z irányított szögekre felírt P () POA =AOP, P OB =BOP O egyenlőségek következnek. Az irányított szögekre érvényes P POP =POA + AOP + P OB +BOP P B zonosságól, () felhsználásávl. POP =AOP +P OB =(AOP +P OB )=AOB 1. ár és ezzel izonyítottuk állításunkt. Tételünk megfordítás is igz:. TÉTEL: A sík minden F(O;φ) O közepű, φ irányított szögű elforgtás végtelen sokféleképpen dhtó meg két, z O pontr illeszkedő, egyenesekre vló tükrözésszorzttl, hol -t -e z O körüli, előjeles φ/ mértékű forgás viszi. BIZONYÍTÁS: A két egyenest jelzett módon válsztv, z 1. TÉTEL szerint z F(O;φ=AOB ) forgást kpjuk. A két egyenes egyikét, például -t tetszés szerint válszthtjuk, z O pontr illeszkedő egyenesek közül. 3.TÉTEL: Az egymássl párhuzmos és egyenesekre vontkozó tükrözésszorzt egy T eltolás, melynek hosszát és irányát két egyenest merőlegesen összekötő AB irányított szksz kétszerese dj, zz T=AB. BIZONYÍTÁS: Legyen sík egy tetszőleges P pontjánk z egyenesen lévő tlppontj A, egyenesen pedig B (. ár). A tengelyes tükrözés távolságtrtó és félsíkváltó tuljdonságáól következik, hogy z irányított szkszokr felírt (1) PA=AP, P B=BP egyenlőségek teljesülnek. Mivel z irányított egyenesre illeszkedő, nem feltétlenül különöző pontokr PP =PA+AP +P B+BP irányított szkszokkl zonosság, ezért (1) mitt PP =AP +P B=(AP +P B)=AB, mi állításunkt igzolj, hiszen AB irányított szksz nem függ fentiek szerint P pont megválsztásától. A tétel lái megfordítás is igz: P A. ár 4. TÉTEL: Minden T eltolás végtelen sokféleképpen dhtó meg két párhuzmos, egyenesre vontkozó tükrözésszorzttl. P B P
3 Pogáts Feren A sík egyevágósági és... BIZONYÍTÁS: Legyen z egyenes merőleges z eltolás irányár, és vele párhuzmos, tőle T / távolságr hldó egyenest T eltolássl egyező irányú eltolássl kpjuk z egyenesől. Elői tételünk szerint T =, és mivel T -re merőleges válsztás tetszőleges volt, ezzel tételünket izonyítottuk. 3
4 Pogáts Feren A sík egyevágósági és.... A középpontos tükrözések 5. TÉTEL: Két (különöző),, egyenesre vontkozó tükrözésszorzt kkor és sk kkor kommuttív, zz =, h két egyenes merőleges egymásr. BIZONYÍTÁS: =, kkor és sk kkor, h (1) ()=(), zz két oldlon álló tükrözésszorztot követő, egyenesre vló tükrözésnek ezekkel vló szorzt egynz z egyevágóság. A leképezések sszoitív tuljdonság mitt (1) kkor és sk kkor áll, h () ()=(), zz (3) I = = (). Legyen * egyenes z egyenesnek egyenesére vló tükörképe (3. ár). * * 3. ár A 4. és. TÉTELeink szerint eltolás vgy forgtás, z * eltolás vgy forgtás, zz = *, mivel (3)-ól z sszoitívitást is ismételten felhsználv (4) =()=()=( * )= * )= * ()= * I= *. Ám z egyenes pontosn kkor zonos tükörképével, h z egyenes tengely (vgyis = ), vgy pedig z merőleges egyenesre. Mivel feltettük, hogy és két (különöző) egyenes, ezért sk z utói eset lehetséges. DEFINICIÓ: Az egymásr merőleges, egyenesekre vontkozó tükrözésszorztot két egyenes közös O metszéspontjár vontkozó tükrözésnek (O közepű, 180 -os forgtás), röviden középpontos vgy entrális tükrözésnek nevezzük. MEGJEGYZÉSEK: (1) A. és z 5. TÉTEL szerint minden O közepű középpontos tükrözés végtelen sokféleképpen dhtó meg z O r illeszkedő két, egymásr merőleges egyenesre vontkozó tükrözésszorzttl. () Az 5. TÉTEL izonyítás során eláttuk zt is, hogy két, nem feltétlenül különöző, egyenesre vontkozó tükrözésszorzt kkor és sk kkor kommuttiv, h =, vgy. (3) Az = kkor és sk kkor áll, h ()()=()(), zz, h z sszoitivitást töszörösen felhsználjuk l oldli szorztr, úgy ()=(I)=(I)==I=()()=(). Ezek szerint egyrészt ármely két, nem feltétlenül különöző, egyenesre () -1 =, vgyis z () tükrözésszorzt inverze, másrészt pedig () tükrözésszorzt kétszeri, egymás utáni lklmzás pontosn kkor dj z identikus leképezést, h = vgy, h tehát mg z identitás (=) vgy =(O; π ). 6. TÉTEL: Legyen O 1 és O két középpontos tükrözés. Az O O 1 tükrözésszorzt eltolás, mégpedig O 1 O vel. 4
5 Pogáts Feren A sík egyevágósági és... BIZONYÍTÁS: Legyen egyenes z O 1 O egyenes (h O 1 =O, kkor z O 1 -re illeszkedő tetszőlegesen válsztott egyenes lesz ), és z legyen z O 1 -en -re merőleges, pedig z O -en emelt, ugynsk -re merőleges egyenes (4. ár). A. és z 5. TÉTEL szerint O 1 =, O =, zz O 1 O O O 1 =()()=()=(I)=(I)=, mi viszont 3. TÉTEL szerint O 1 O eltolás. 4. ár 7. TÉTEL: Minden T eltolás végtelen sokféleképpen dhtó meg két O 1, O pontr vontkozó O O 1 tükrözésszorzttl. BIZONYÍTÁS: H sík tetszőlegesen válsztott O 1 pontjához zt z O pontot válsztjuk, melyre O 1 O =T, kkor elői tételünk mitt O O 1 =T. 8. TÉTEL: A nem feltétlenül különöző O 1, O, O 3 pontokr vontkozó O 3 O O 1 tükrözésszorzt mindig egyetlen O pontr vontkozó tükrözéssel zonos. O O 1 5. ár O 3 O BIZONYÍTÁS: A 7. TÉTEL szerint z O O 1 tükrözésszorzt dt eltolást z O 3 O tükrözésszorzttl is megdhtjuk, h z O pontot úgy válsztjuk meg, hogy z O 3 O = O O 1 legyen (5. ár). Eme válsztásr z sszoitivitást töszörösen felhsználv O 3 O O 1 =O 3 (O O 1 )=O 3 (O 3 O)=(O 3 O 3 )O=IO=O. 5
6 Pogáts Feren A sík egyevágósági és A súszástükrözések DEFINICIÓ: Az egymássl párhuzmos, egyenesekre, mjd z ezeket követő, rájuk merőleges egyenesre vontkozó () tükrözésszorztot (vlódi) súszástükrözésnek, vgy súszttv tükrözésnek nevezzük (6. ár). A B 6. ár MEGJEGYZÉSEK: (1) A párhuzmos, egyenespárr vló tükrözésszorzt AB eltolás, z ezt követő, egyenesre vló tükrözés pedig z eltolássl egyállású egyenesre vló tükrözés. A 6. ár súszástükrözés tehát definiió szerint egy eltolás, és egy ezzel egyállású egyenesre vló tükrözés egymásutánj. () A merőleges egyenesekre vontkozó tükrözésszorzt kommuttívitás mitt, felhsználv z sszoitív tuljdonságot is ()=()=()=()=()=(), vgyis súszástükrözést dó két trnszformáió (eltolás és tükrözés) sorrendje felserélhető. (3) A súszástükrözés z egyik leghétköznpi egyevágóság. Miót z emer kétágú és tlpr állt, mást sem tesz, mint np mint np ezt gykorolj. (Lásd 7. ár: Fehér tenger homokos prtján sétáló ennszülött lányomát, mint kosm felé trt.) 7. ár MEGÁLLAPODÁS: A tengelyes tükrözést is súszástükrözések közé soroljuk és nem vlódi, illetve vlódi súszástükrözésről eszélünk szerint, hogy = vgy (6. ár). E megállpodás szerinti szóhsználttl élve teljesül 9. TÉTEL: Bármely három, nem feltétlenül különöző,, egyenesre vontkozó tükrözésszorzt (vlódi vgy nem vlódi) súszástükrözés. BIZONYÍTÁS: H z egyenesek között vn két zonos, úgy 1., = esetén ()=()=I=;., = esetén =()=()=I=; 3., = esetéen pedig, h * jelöli egyenesnek z egyenesre vontkozó tükörképét, úgy = * = *, tehát =()=( * )=() * =I * = *, vgyis most vizsgált eseteken igz z állítás. A továikn feltesszük, hogy z egyenesek különözőek. Ekkor kölsönös helyzetüket tekintve vgy vn közöttük két párhuzmos vgy páronként metszik egymást. 8. ár 6
7 Pogáts Feren A sík egyevágósági és... Az első eseten z egyenesek vgy egymássl párhuzmosk, vgy közülük pontosn két egyenes párhuzmos ( és ezeket metszi hrmdik; 8. ár). A második eseten három egyenes vgy ugynn pontn, vgy páronként különöző pontokn metszi egymást (9. ár) ár Először zt fogjuk igzolni, hogy h három egyenes egy sugársorhoz trtozik (zz párhuzmosk, vgy egy pontr illeszkednek), kkor =d, hol d egyenest ugynz z eltolás (h ), illetve forgtás (h ) viszi egyenese, mint z egyenest -e. E válsztásr ugynis =d első négy tételünk mitt, és így ()=(d)=()d=id=d. A még nem tárgylt két esetet ( két egyenesnek vn közös pontj, mi mindhármójuknk nem pontj) egyszerre intézhetjük el. A egyenest z és egyenesek leglá egyike metszi, különen három egymássl párhuzmos egyenesünk lenne. Feltehetjük, hogy z és egyenesek metszik egymást, mert ellenkező eseten z egymást metsző és egyenesekre szorítkozv ugynúgy izonyítnánk, mint így. Legyen z, egyenesek közös pontj M, és illesszünk z M-re egy, egyenesre merőleges, f egyenest (10. ár). Jelölje e zt z M ponton áthldó egyenest, melyet ugynz z M pont körüli forgtás visz z f egyenese, mint z egyenest -e. E válsztásr =fe, vgyis (1) ()=((fe)=(f)e. Jelölje N z egymásr merőleges és f egyenesek közös pontját. Mivel f tükrözésszorztot ármely két, egymást z N-en metsző, M merőleges egyenesre vontkozó tükrözésszorzttl előállíthtjuk, ezért z ilyenek közül válsszuk meg zt g, h párt, melyre h e N e teljesül. Ezzel válsztássl f=hg, h f g 10. ár és (1) így lkul: () ()=(f)e=(hg)e=h(ge). Az e és g egyenesek párhuzmosk, hiszen ugynrr z egyenesre, h-r merőlegesek (és különöznek, mivel e z M pontr, g pedig z M-től különöző N pontr illeszkedik), zz () vlódi súszástükrözés. Bizonyításunkól z is kiderült, hogy három, nem feltétlenül különöző egyenesre vontkozó tükrözésszorzt pontosn kkor vlódi súszástükrözés, h vn olyn pont, melyik pontosn két egyeneshez trtozik. Bizonyításunk konstruktív is n z értelemen, hogy áltl megdhtó (szerkeszthető) z z eltolás és z ezzel párhuzmos tengely, melyek meghtározzák tétel szerinti súszástükrözést. A sík egyevágóságink tükrözésszorzttl eddig tárgylt eseteien fixpontok hlmz rendre: ) h z egyevágóság z I identitás, úgy sík minden pontj; ) h z egyevágóság z egyenesre tükrözés, úgy z egyenes pontji;
8 Pogáts Feren A sík egyevágósági és... ) h z egyevágóság (vlódi) eltolás, úgy z üres hlmz; d) h z egyevágóság (vlódi, zz nem teljes szög egész töszörösével történő) forgtás, úgy egyetlen pont, forgásentrum; e) h z egyevágóság (vlódi) súszástükrözés, úgy z üres hlmz. Az első négy eseten per definitionem igz z állítás. Az e) eseten P fixpont, h (1) (())(P)=P. Ez kkor és sk kkor teljesül, h () (()) (P)=(())(P)=P. Mivel és, ezért (()) =(())(())=()()()=()()()= =(()()=(I)()=() =(T), ezért () pontosn kor áll, h (T) (P)=P. Ám T eltolás négyzetének (vgyis T T nek) skis kkor vn fixpontj, h T nem vlódi eltolás, h tehát T z identikus leképezés, zz =, és így ()= nem vlódi súszástükrözés. Az eddigiek lklmzásként eizonyítjuk: A háromszög oldlfelező merőlegesei egy ponton mennek át. BIZONYÍTÁS: A 11. ár jelöléseivel z, és oldlfelező merőlegesekre vontkozó tükrözésszorzt vlódi vgy nem vlódi súszástükrözés. Mivel ()(B)=B, zz B fixpontj tükrözésszorztnk, hiszen (B)=C, (C)=A és (A)=B, ezért nem vlódi súszástükrözés. Az oldlfelező merőlegesek páronként metszik egymást, ezért z előiek szerint egy ponton kell átmenjenek. B A 11. ár C 8
9 Pogáts Feren A sík egyevágósági és Eltolások, forgtások szorzt H,, és d négy nem feltétlenül különöző egyenes, kkor d tükrözésszorzt z sszoitivitás mitt (d)() lkn is írhtó. A nyert két tényező két tükrös szorztok, tehát eltolások vgy forgtások. Ilyen szorztokról szól 10. TÉTEL: ) Két, T 1, T eltolás T T 1 szorzt T eltolás; ) T eltolás és F(O;φ ) forgtás szorzt új középpont körüli ugynolyn szögű forgtás; ) Két F 1 (O 1 ;φ 1 ), F (O ;φ ) forgtás F F 1 szorzt, h φ 1 + φ =π n, n Ζ, kkor eltolás, h φ 1 + φ π n, kkor φ 1 + φ szögű forgtás O 1 =O esetén O 1 körül, egyéként pedig új O középpont körül. A tételen dott egyevágóságokról feltettük, hogy egyikük sem z identitás, tehát vlódi eltolásokról, forgtásokról, illetve ilyenek szorztáról szól tételünk. BIZONYÍTÁS: ) A 7. TÉTEL szerint T 1 és T eltolások megdhtók z (O O 1 ) és ( O 3 O ) tükrözésszorztokkl, így T T 1 = ( O 3 O ) ( O O 1 ) = O 3 ( O O ) O 1 = O 3 I O 1 = O 3 O 1 = T. O e f O T 1 T ϕ O O 1 O 3 T T ϕ O* 1. ár ) A. és 4. TÉTEL szerint mind T eltolás, mind z F(O;φ ) elforgtás két egyenesre vló tükrözésszorzttl előállíthtó, és mindkét trnszformáión z egyik tükörtengely z O entrumr illeszkedő T állásár merőleges egyenes legyen (1. ár). Az F T tükrözésszorzt tényezőit z, illetve tükrözésszorztokkl állítjuk elő, hol is = T Ú, és t z - T-vel egyező irányú eltolás viszi, továá egyenes z egyenesnek z O pont körüli φ Ú szögű elforgtottj. Így F T = ( )( ) = ( ) = ( I ) =. Mivel és egyenes φ Ú π n mitt metszi z egyenest, ezért metszi z -vl párhuzmos egyenest is egy O * pontn, és ezért -t -e z O * körüli ugynsk φ Ú szögű forgtás viszi, tehát F T = = F * (O * ; φ ). H z F forgtást követi T eltolás, úgy ezeket z egyevágóságokt most z e, illetve f tükrözésszorztok dják, melyeken z e, illetve f egyenes, illetve egyenesnek z egyenesre vontkozó tükörképe (1. ár). Ezek szerint 9
10 Pogáts Feren A sík egyevágósági és... T F= ( f )( e ) =f ( )e=f ( I )e=fe. Az f mitt, mivel e metszi -t, ezért metszi vele párhuzmos f egyenest is z O pontn és e-t z f-e z O pont körül ugynz φ Ú szögű forgtás viszi, mint e-t z -. ) Ugynsk. TÉTEL szerint z F 1 és F forgtások metsző egyenesekre vontkozó tükrözésszorztokkl dhtók meg, és két forgtást előállító tükörtengelyek között legyen ott z O 1, O forgásközéppontokr illeszkedő egyenes (13. ár). H z egyenest úgy válsztjuk meg, hogy őt z O 1 körüli O ϕ+ϕ 1 ϕ ϕ 1 O O ár φ 1 / szögű forgás vigye egyenese, egyenest pedig úgy, hogy egyenest z O körüli φ / szögű forgás vigye -e, kkor e válsztásokkl F 1 ( O 1 ; φ 1 ) =, F ( O ; φ ) =, zz F F 1 = ( ) ( )= ( )= ( I )=. Az és (nem feltétlenül különöző) egyenesekre vló tükrözések szorzt eltolást, vgy pont körüli forgtást d. H két forgásközép O 1 és O zonosk (ekkor egyenes tetszőlegesen válszthtó z O 1 -re illeszkedők közül), kkor (φ 1 + φ )/ szögű, O 1 körüli forgtás viszi z egyenest -e, így F F 1 ==F(O 1 ; φ 1 + φ ), mely F forgtás szerint vlódi vgy sem, hogy φ 1 + φ π n vgy φ 1 + φ = πn (n Ζ ) melyike teljesül. H z O 1 és O pontok különözőek, kkor rájuk illeszkedő illetve egyenesek pontosn kkor metszik egymást, h φ 1 /+ φ / π n ( n Ζ ), és közös O pontjuk körüli (φ 1 + φ )/ szögű forgtás viszi z egyenest -e. Ez eseten tehát F F 1 = = F( O; φ 1 + φ ) (13. ár). H most ( φ 1 + φ )/ = π n, de φ 1 / π k ( k Ζ ), úgy z és egyenesek párhuzmosk (14. ár) és F F 1 = = T. H pedig φ 1 / = πk, úgy φ / = πm, vgyis z és egyenesek zonosk, így F F 1 = = = I. és ezzel tételünket igzoltuk. ϕ 1 ϕ O 1 O 1 T 14. ár MEGJEGYZÉSEK: (1) Az egyes esetek izonyításin megszerkeszthettük zokt z egyeneseket, melyekre vló tükrözések egymásutánj z eredő egyevágóságot dj. () Tételünkkel zt is igzoltuk, hogy ármely négy (nem feltétlenül különöző) egyenesre vontkozó tükrözésszorzt mindig két (nem feltétlenül különöző) egyenesre vontkozó tükrözésszorzttl zonos. Eől eredően, h t 1, t, t 3,, t n leglá négy, nem feltétlenül különöző egyenese síknk, kkor z áltluk képzett (1) t n t n-1 t 3 t t 1 n tényezős tükrözésszorzt legfelje három ( nem feltétlenül különöző) egyenesre vontkozó tükrözésszorzttl zonos, mivel tételünk szerint t 4 t 3 t t 1 = s s 1, mi áltl z (1)-eli n-tényezős szorzt n- tényezőssé válik. Ez z eljárás mindddig ismételhető, míg mrdó tükrözésszám leglá négy. 10
11 Pogáts Feren A sík egyevágósági és... A sík egyevágóságink tengelyes tükrözésszorztokkl vló előállíthtásáról szólnk z lái tételek. 11. TÉTEL: H sík vlmely egyevágóságánk vn három, nem kollineáris fixpontj, kkor minden pont fixpont, vgyis z egyevágóság z I identitás. BIZONYÍTÁS: Legyen síkot önmgá vivő vlmely Φ egyevágóságánk három, nem egy egyenesre illeszkedő fixpontj z A, B és C, vgyis A = Φ( A )= A; B =Φ(B)=B; ( ) C = Φ( C )= C (15. ár). Indirekt okoskodunk. Tegyük fel, hogy tétel állításávl ellentéten vn oly síkeli D pont, mely nem fixpontj Φ egyevágóságnk, zz D Φ ( D )= D. B= ϕ( B)= B' B D A= ϕ( A)= A' 15. ár A C' C C= ϕ( C)= C' 16. ár ϕ( D)= D' B'=B C A'=A =A C Az egyevágóság távolságtrtó, zz CD = C D = C D, BD = B D = B D, AD = A D = A D, ( ) feltétel mitt, és így z A, B és C pontoknk DD szksz felezőmerőlegesén kell lenniök, mi ellentmond rájuk tett megszorításnk. 1. TÉTEL: A sík minden egyevágóság legfelje három (tengelyes) tükrözésszorzttl előállíthtó. BIZONYÍTÁS: Elegendő zt megmuttnunk, hogy h z egyevágóság sík nem kollineáris A, B, C pontjihoz z A ', B ' és C ' pontokt rendeli, kkor ez legfelje 3 egyenesre vontkozó tükrözésszorzttl elérhető. Ugynis, h Φ egyevágóság nem kollineáris pontpárr, z ezek Ψ dt B A, B, C pontokhoz z A ' = Φ (A ), B ' = Φ ( B ), C ' = Φ (C ) pontokt rendeli, kkor tekintsük zt Ψ ponttrnszformáiót, mely sík Φ ( A ), Φ ( B ) és Φ ( C ) pontjit helyenhgyj, de sík ármely más P pontjához Φ egyevágóság dt P ' = Φ ( P ) képét rendeli, zz Ψ: P Φ ( P ), Ψ ( P ) = Φ ( P ) = P ' A Ψ leképezés egyevágóság, mivel ármely P, Q Ψ ( P ) = Φ ( P ) = P ' és Ψ ( Q ) = Φ ( Q ) = Q ' képeinek távolság, Φ egyevágóság voltáól következően, PQ szksz hosszávl egyenlő. A Ψ leképezésnek vn három, nem kollineáris fixpontj, ezért elői tételünk szerint Ψ z identitás. H tehát legfelje három tükrözés egymásutánj nem kollineáris A, B, C pontokt Φ dt képeie viszi, kkor ez tükrözésszorzt sík minden pontját Φ dt képée viszi. Legyen most z A, A' pontokt egymás vivő tengely z egyenes (16. ár). H A=A', kkor nins szükségünk erre z egyenesre, illetve rá vontkozó tükrözésre. Tükrözzük síkot z egyenesre. A pontok tükörképét rendre A, B, és C jelölje. E tükrözés z A pontot z A'-e viszi. A B pontot B' e vivő tengelyt jelölje (h 11
12 Pogáts Feren A sík egyevágósági és... B =B', kkor ez tengely felesleges). Tükrözzük síkot egyenesre, és pontok tükörképét jelölje rendre A, B és C. Az A' B' = A B = A' B mitt z A' pont egyenesen vn, tehát A' = A = A. A tükrözés B pontot B pont viszi, és így tükrözésszorzt z A és B pontokt z A', illetve B' pontok viszi. H most C és C különöző pontok ( ellenkező eseten z állítás igzolásávl készen vgyunk), kkor jelöli szkszuk felező merőlegesét, úgy egyrészt ezen z egyenesen z A C =A'C = A'C és B C =B'C = B'C mitt z A' és B' rjt vn, másrészt pedig tükrözésszorzt z A, B, C ponthármst z A', B', C' ponthárms viszi. Ezzel tételünket igzoltuk. A 10. TÉTELhez fűzött megjegyzésünk szerint sík minden páros számú tényezőt trtlmzó tükrözésszorzt két tényezős szorzttá, míg pártln számú tényezőt trtlmzó tükrözésszorzt (egy vgy) három tényezős szorzttá redukálhtó. Ezekről szól 13. TÉTEL: A sík semelyik páros sok tényezőt trtlmzó tükrözésszorzt nem egyenlő egy pártln sok tényezős tükrözésszorzttl. BIZONYÍTÁS: Indirekt. Tegyük fel, hogy síknk vn olyn páros sok tényezős, zz lehetséges redukió mitt kéttényezős tükrözésszorzt, mely egy három- (vgy egy-) tényezős szorzttl zonos. (1) t t 1 = t 3 t 4 t 5 (Az (1)-en t 4 = t 5 legyen, h feltételünk egy tükrös egyevágóságról ez legyen t 3 - állítj l oldlll vló zonosságot.) Az (1) kkor és sk kkor áll, h ( t t 1 )-gyel vló szorztukr is z egyenlőség áll, zz h () I = ( t t 1 ) -1 ( t t 1 ) = ( t t 1 ) -1 ( t 3 t 4 t 5 ) = t 1 t t 3 t 4 t 5. A jo oldli öt tényezős szorzt 10. TÉTEL mitt három tényezőssé, zz vlódi vgy nem vlódi súszástükrözéssé redukálhtó, tehát (3) I = lenne, mi lehetetlen, mert jo oldli egyevágóság fixpontjink hlmz nem egyezik meg l oldliévl. MEGJEGYZÉSEK (1) A 1. és 13. TÉTELekkel sík egyevágóságit tükrözésszámuk szerint is osztályozhtjuk: 0 tükrös z I identitás, 1 tükrösek tengelyes szimmetriák, tükrösek vlódi (és nem vlódi) eltolások, pont körüli forgtások, 3 tükrösek vlódi (és nem vlódi) súszástükrözések. () A sík egyevágósági, z egymásutánisággl (szorztukkl) soportot 1 lkotnk. Tételeink szerint e soport elemei legfelje 3, nem feltétlenül különöző egyenesre vló tükrözésszorztok. Egységelem z I 1 A nem üres H hlmz elemein értelmezett egy szorzásnk mondott művelet. H minden, H r H teljesül, úgy H hlmzt e műveletre zártnk mondjuk. H minden,, H r = ( ) = ( ), kkor művelet sszoitív. H H minden eleméhez vn olyn -1 ( gyel jelölt ) elem, hogy ármely elemre -1 =, kkor műveletet invertálhtónk, z -1 elemet z inverzének, és z -1 elemet egységelemnek nevezzük, és továikn e vel jelöljük. H H hlmz rjt értelmezett szorzásr nézve zárt, sszoitív és minden elemnek vn inverze, kkor zt mondjuk, hogy H z dott műveletre nézve soportot lkot. Könnyen eláthtó, hogy soportn -1 = és -1 = -1 = e is fennáll. 1
13 Pogáts Feren A sík egyevágósági és... identitás, mely z egyenesre vló kétszeri tükrözés, és ármely t 3, t, t 1 egyenesre t 1-1 = t 1, ( t t 1 ) -1 = t 1 t, ( t 3 t t 1 ) -1 = t 1 t t 3. (3) A 10. TÉTEL szerint fenti soportnk vlódi részsoportját dják (nem feltétlenül különöző) két egyenesre vló tükrözésszorztok, vgyis vlódi és nem vlódi eltolások és pont körüli forgtások. Az eredeti egyevágósági soportnk e részsoport szerinti mellékosztályit két tükrös egyevágóságok (eltolások, forgtások), illetve három tükrös egyevágóságok (vlódi és nem vlódi) súszástükrözések dják, vgyis soportnk e részsoport szerinti indexe. Ugynsk 10. TÉTEL szerint z elői részsoportnk egy továi (kommuttív) részsoportját z egyállású egyenesekre vló két tényezős tükrözésszorztok, vgyis vlódi és nem vlódi eltolások dják. A 13. TÉTEL szerint definiálhtók z láik. DEFINÍCIÓ: A páros sok tényezőt trtlmzó tükrözésszorztot körüljárástrtó, míg pártln sok tényezőt trtlmzó tükrözésszorztot körüljárásváltó egyevágóságnk mondjuk. A fentiek szerint körüljárástrtó egyevágóságok egy részsoportját dják sík egyevágóságink, mely részsoport szerinti egyik mellékosztály körüljárásváltó egyevágóságokól áll. A H' H H nk (nem üres) részhlmzát H részsoportjánk mondjuk, h H' is soport H eli művelettel. H H' részsoportj H nk, kkor h H vl képzett hh' hlmzt, mi z összes H' eli elem (lról vett) h vl vló szorztánk hlmz, H nk H' részsoportj szerinti egyik l oldli mellékosztályánk nevezzük. Az összes H eli elemmel vett l oldli mellékosztály z dott H hlmznk H' részsoport szerinti l oldli mellékosztályit dják. Nem nehéz elátni, hogy H hlmz H' szerinti l oldli mellékosztályi között, h vn kettőnek közös eleme, kkor minden elemük közös, és így páronként diszjunkt (idegen) l oldli mellékosztályok egyesítése mg H. A fentiek lpján képezhető H nk H' szerinti H' h vl jelölt jo oldli mellékosztályi. A H soport rendjén elemeinek számát értjük. A mellékosztályok definíiójáól rögvest következik, hogy h H soport véges, kkor ármely H' részsoportjánk rendje osztój H rendjének. A H nk H' részsoportj szerinti mellékosztályok számát H nk e részsoport szerinti indexének mondjuk. 13
Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2010/2011 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) Az 1. forduló feladatainak megoldása
Okttási Hivtl Országos Középiskoli Tnulmányi Verseny 00/0 Mtemtik I ktegóri (SZAKKÖZÉPISKOLA) Az forduló feldtink megoldás Az x vlós számr teljesül hogy Htározz meg sin x értékét! 6 sin x os x + 6 = 0
RészletesebbenVektorok. Vektoron irányított szakaszt értünk.
Vektorok Vektoron irányított szkszt értünk A definíció értelmében tehát vektort kkor ismerjük, h ismerjük hosszát és z irányát A vektort kövér kis betűkkel (, b stb) jelöljük, megkülönböztetve z, b számoktól,
Részletesebben1. feladat Oldja meg a valós számok halmazán a következő egyenletet: 3. x log3 2
A 004/005 tnévi Országos Középiskoli Tnulmányi Verseny második fordulójánk feldtmegoldási MATEMATIKÁBÓL ( I ktegóri ) feldt Oldj meg vlós számok hlmzán következő egyenletet: log log log + log Megoldás:
RészletesebbenIX. A TRIGONOMETRIA ALKALMAZÁSA A GEOMETRIÁBAN
4 trigonometri lklmzás geometrián IX TRIGONOMETRI LKLMZÁS GEOMETRIÁN IX szinusz tétel Feldt Számítsd ki z háromszög köré írhtó kör sugrát háromszög egy oldl és szemen fekvő szög függvényéen Megoldás z
RészletesebbenV. Koordinátageometria
oordinátgeometri Szkszt dott rányn osztó pont súlypont koordinátái 6 6 6 ) xf + 9 yf + N 7 N F 9 i ) 7 O c) O N d) O c N e) O O 6 6 + 8 B( 8) 7 N 5 N N N 6 A B C O O O BA( 6) A B BA A B O $ BA A B Hsonlón
RészletesebbenEgybevágósági transzformációk. A geometriai transzformációk olyan függvények, amelyek ponthoz pontot rendelnek hozzá.
Egybevágósági transzformációk A geometriai transzformációk olyan függvények, amelyek ponthoz pontot rendelnek hozzá. Egybevágósági transzformációk azok a geometriai transzformációk, amelyeknél bármely
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria III.
Geometria III. DEFINÍCIÓ: (Vektor) Az egyenlő hosszúságú és egyirányú irányított szakaszoknak a halmazát vektornak nevezzük. Jele: v. DEFINÍCIÓ: (Geometriai transzformáció) Geometriai transzformációnak
RészletesebbenA 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató
Okttási Hivtl A 013/014 tnévi Országos Középiskoli Tnulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Jvítási-értékelési útmuttó 1 Oldj meg vlós számok hlmzán egyenletet! 3 5 16 0
RészletesebbenNéhány szó a mátrixokról
VE 1 Az Néhány szó mátrixokról A : 11 1 m1 1 : m......... 1n n : mn tábláztot, hol ij H (i1,,m, j1,,n) H elemeiből képzett m n típusú vlós mátrixnk nevezzük. Továbbá zt mondjuk, hogy A-nk m sor és n oszlop
RészletesebbenXX. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny
XX. Nemzetközi Mgyr Mtemtik Verseny onyhá, 011. március 11 15. 11. osztály 1. felt: Igzoljuk, hogy ármely n 1 természetes szám esetén. Megolás: Az összeg tgji k k 1+ k = = 1+ + n +... < 1+ 1+ n 3 1+ k
RészletesebbenKözépiskolás leszek! matematika. 13. feladatsor 1. 2. 3. 4. 5. 6.
Középiskolás leszek! mtemtik Melyik számot jelentheti A h tudjuk hogy I felennyi mint S S egyenlõ K és O összegével K egyenlõ O és L különbségével O háromszoros L-nek L negyede 64-nek I + S + K + O + L
RészletesebbenVektoralgebra előadás fóliák. Elméleti anyag tételek, definíciók, bizonyítás vázlatok. Bércesné Novák Ágnes 1. Források, ajánlott irodalom:
Bevezetés számítástudomány mtemtiki lpji Vektorlger elődás fóliák Elméleti nyg tételek, definíciók, izonyítás vázltok Bércesné Novák Ágnes Források, jánlott irodlom: Hjós György: Bevezetés geometriá, Tnkönyvkidó,
RészletesebbenHázi feladatok megoldása. Automaták analízise, szintézise és minimalizálása. Házi feladatok megoldása. Házi feladatok megoldása
Automták nlízise, szintézise és minimlizálás Formális nyelvek, 11. gykorlt Célj: Az utomták nlízisének és szintézisének gykorlás, utomt minimlizáió Foglmk: Anlízis és szintézis, nyelvi egyenlet és egyenletrendszer
RészletesebbenExponenciális és logaritmikus egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek
Eponenciális és logritmikus egyenletek, Eponenciális és logritmikus egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek Eponenciális egyenletek 60 ) = ; b) = ; c) = ; d) = 0; e) = ; f) = ; g) = ; h) =- 7
Részletesebben5. A logaritmus fogalma, a logaritmus azonosságai
A ritmus foglm ritmus zonossági I Elméleti összefoglló H > 0 > 0 > 0 vlós számok és n tetszőleges vlós szám kkor 0 n n H > 0 > 0 > 0 vlós számok kkor H > kkor z f( ) kkor z f( ) függvén szigorún monoton
RészletesebbenPtolemaios-tétele, Casey-tétel, feladatok
Kutov ntl Ptolemios, sey, feldtok Kutov ntl (Kposvár) Ptolemios-tétele, sey-tétel, feldtok Ptolemios-tétel: H egy konvex négyszög szemközti oldli és, ill. és d; átlói e és f, kkor + d e f. Egyenlőség kkor
RészletesebbenMATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára
8. évfolym TMt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár tehetséggondozó változt 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti
RészletesebbenVektortér fogalma vektortér lineáris tér x, y x, y x, y, z x, y x + y) y; 7.)
Dr. Vincze Szilvi Trtlomjegyzék.) Vektortér foglm.) Lineáris kombináció, lineáris függetlenség és lineáris függőség foglm 3.) Generátorrendszer, dimenzió, bázis 4.) Altér, rng, komptibilitás Vektortér
RészletesebbenVektoralgebra. Ebben a részben a vektorokat aláhúzással jelöljük
Vektorlger VE Vektorlger Een részen vektorokt láhúzássl jelöljük Vektorlger VE Szdvektorok Helyzetvektorok (kötött vektorok) Az irányított szkszok hlmzán z eltolás, mint ekvivlenci reláció, áltl generált
Részletesebben4. előadás: A vetületek általános elmélete
4. elődás: A vetületek áltlános elmélete A vetítés mtemtiki elve Két mtemtikilg meghtározott felület prméteres egyenletei legyenek következők: x = f 1 (u, v), y = f 2 (u, v), I. z = f 3 (u, v). ξ = g 1
RészletesebbenKörnyezetfüggetlen nyelvek
Környezetfüggetlen nyelvek Kiegészítő nyg z Algoritmuselmélet tárgyhoz VI. ( ónyi Ivnyos Szó: Algoritmusok könyv mellé) Friedl Ktlin BM SZI friedl@cs.me.hu 2016. feruár 24. A reguláris nyelveket véges
RészletesebbenMatematika emelt szintû érettségi témakörök 2014. Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár)
Mtemtik emelt szintû érettségi témkörök 04 Összeállított: Kovácsné Németh Srolt (gimnáziumi tnár) Tájékozttó vizsgázóknk Tisztelt Vizsgázó! szóeli vizsgán tétel címéen megjelölt tém kifejtését és kitûzött
Részletesebben1. Végezd el a kijelölt mûveleteket a betûk helyére írt számokkal! Húzd alá azokat a mûveleteket,
Számok és mûveletek + b b + Összedásnál tgok felcserélhetõk. (kommuttív tuljdonság) ( + b) + c + (b + c) Összedásnál tgok csoportosíthtók. (sszocitív tuljdonság) b b ( b) c (b c) 1. Végezd el kijelölt
RészletesebbenMATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára
8. évfolym TMt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár tehetséggondozó változt 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti
RészletesebbenKörnyezetfüggetlen nyelvek
Környezetfüggetlen nyelvek Kiegészítő nyg z Algoritmuselmélet tárgyhoz ( ónyi Ivnyos Szó: Algoritmusok könyv mellé) Friedl Ktlin BM SZI friedl@cs.me.hu 2017. ugusztus 3. A reguláris nyelveket véges utomtákkl
RészletesebbenMATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára
8. évfolym TMt2 feltlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár tehetséggonozó változt 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll olgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feltokt tetszés szerinti sorrenen
RészletesebbenEgy szép és jó ábra csodákra képes. Az alábbi 1. ábrát [ 1 ] - ben találtuk; talán már máskor is hivatkoztunk rá.
Egy szép és jó ábr csodákr képes Az lábbi. ábrát [ ] - ben tláltuk; tlán már máskor is hivtkoztunk rá.. ábr Az különlegessége, hogy vlki nem volt rest megcsinál(tt)ni, még h sok is volt vele munk. Ennek
RészletesebbenIV. Algebra. Algebrai átalakítások. Polinomok
Alger Algeri átlkítások olinomok 6 ) Öttel oszthtó számok pl: -0-5 0 5 áltlánosn 5 $ l lkú, hol l tetszôleges egész szám Mtemtiki jelöléssel: 5 $ l hol l! Z ) $ k+ vgy$ k- hol k! Z $ m- vgy $ m+ lkú, hol
Részletesebben16. tétel Egybevágósági transzformációk. Konvex sokszögek tulajdonságai, szimmetrikus sokszögek
16. tétel Egybevágósági transzformációk. Konvex sokszögek tulajdonságai, szimmetrikus sokszögek EGYBEVÁGÓSÁGI TRANSZFORMÁCIÓK Geometriai transzformáció Def:Olyan speciális függvény, melynek értelmezési
Részletesebben11. évfolyam feladatsorának megoldásai
évolym eldtsoránk megoldási Oldjuk meg természetes számok hlmzán következő egyenleteket x ) y 6 x! 3 b) y 6 3 ) Átrendezve megoldndó egyenlet y 6 x! 3 H x 0, kkor H x, kkor H x, kkor H x 3, kkor H x, kkor
RészletesebbenMatematika emelt szintû érettségi témakörök 2012. Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár)
Mtemtik emelt szintû érettségi témkörök 0 Összeállított: Kovácsné Németh Srolt (gimnáziumi tnár) Tájékozttó vizsgázóknk Tisztelt Vizsgázó! szóeli vizsgán tétel címéen megjelölt tém kifejtését és kitûzött
RészletesebbenHeves Megyei Középiskolák Palotás József és Kertész Andor Matematikai Emlékversenye évfolyam (a feladatok megoldása)
Okttási Hivtl E g r i P e d g ó g i i O k t t á s i K ö z p o n t Cím: 00 Eger, Szvorényi u. 7. Postcím: 00 Eger, Szvorényi u. 7. elefon: /50-90 Honlp: www.oktts.hu E-mil: POKEger@oh.gov.hu Heves Megyei
RészletesebbenThis article shows a new approximation cosinus theorem of geometry of Bolyai, Euclides and Riemann. From this pont of view these are special cases.
EXPANDED BOLYAI GEOMETRY HORVÁTH ISTVÁN SZELLŐ LÁSZLÓ EXPANDED BOLYAI GEOMETRY CIKKSOROZAT A KITERJESZTETT BOLYAI GEOMETRIÁRÓL: I. BOLYAI JÁNOS ÚJ, MÁS VILÁGA Cikkünken egy új megközelítésen tárgyljuk
RészletesebbenMATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára
8. évfolym Mt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden oldhtod meg.
Részletesebben4. Legyen Σ = {0, 1}. Adjon meg egy determinisztikus véges automatát, amely azokat a szavakat fogadja el,
lgoritmuselmélet 29 2 gykorlt Véges utomták Legyen Σ = {, } djon meg egy determinisztikus véges utomtát, mely zokt szvkt fogdj el, melyeken páros sok null és pártln sok egyes vn! z ötlet z, hogy számoljuk
Részletesebben2. ELŐADÁS. Transzformációk Egyszerű alakzatok
2. ELŐADÁS Transzformációk Egyszerű alakzatok Eltolás A tér bármely P és P pontpárjához pontosan egy olyan eltolás létezik, amely P-t P -be viszi. Bármely eltolás tetszőleges egyenest vele párhuzamos egyenesbe
RészletesebbenMATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára
8. évfolym AMt2 feltlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll olgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feltokt tetszés szerinti sorrenen olhto meg. Minen
RészletesebbenFELVÉTELI VIZSGA, július 15.
BABEŞ-BOLYAI TUDOMÁNYEGYETEM, KOLOZSVÁR MATEMATIKA ÉS INFORMATIKA KAR FELVÉTELI VIZSGA, 8. július. Írásbeli vizsg MATEMATIKÁBÓL FONTOS TUDNIVALÓK: ) A feleletválsztós feldtok (,,A rész) esetén egy vgy
Részletesebben1. MECHANIKA-MOZGÁSTAN GYAKORLAT (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. ts.) Matematikai összefoglaló
SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM ALKALMAZOTT MECHANIKA TANSZÉK MECHANIKA-MOZGÁSTAN GYAKORLAT (kidolgozt: Szüle Veronik, eg ts) Mtemtiki összeoglló Mátrilgeri összeoglló: ) Mátri értelmezése, jelölése: Mátri: skláris
Részletesebben1. MECHANIKA-SZILÁRDSÁGTAN GYAKORLAT (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. Ts; Tarnai Gábor mérnöktanár.) Matematikai összefoglaló, kiinduló feladatok
SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM LKLMZOTT MECHNIK TNSZÉK MECHNIK-SZILÁRDSÁGTN GYKORLT (kidolgozt: Szüle Veronik, eg Ts; Trni Gáor mérnöktnár) Mtemtiki összefoglló, kiinduló feldtok Mátrilgeri összefoglló: ) Mátri
RészletesebbenGyőry Ákos: A Titu-lemma. A Titu-lemma. Győry Ákos Földes Ferenc Gimnázium, Miskolc
A Titu-lemm Győry Ákos Földes Feren Gimnázium, Miskol Az lái feldtsort jórészt z 5. Rátz László Vándorgyűlésen elhngzott nygól állítottm össze, néhány feldttl kiegészítettem, néhol pedig új izonyításokkl
RészletesebbenEmelt szintő érettségi tételek. 3. tétel: Nevezetes ponthalmazok síkban és térben
. tétel: Nevezetes ponthlmzok síkn és téren Ponthlmzok: Sík vgy tér részhlmzi, áltlán utsításokkl djuk meg: A P x; y R x + y = B= R Nevezetes ponthlmzok: = { ( ) } vgy { PO= r, r>. Két pont szkszfelezı
Részletesebben1. MECHANIKA-MOZGÁSTAN GYAKORLAT (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. ts.) Matematikai összefoglaló
SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM ALKALMAZOTT MECHANIKA TANSZÉK 1 MECHANIKA-MOZGÁSTAN GYAKORLAT (kidolgozt: Szüle Veronik, eg ts) Mtemtiki összefoglló 11 Mátrilgeri összefoglló: ) Mátri értelmezése, jelölése: Mátri:
RészletesebbenGyökvonás. Hatvány, gyök, logaritmus áttekintés
Htvány, gyök, logritmus áttekintés. osztály Gyökvonás Négyzetgyök: Vlmely nem negtív vlós szám négyzetgyöke olyn nem negtív vlós szám, melynek négyzete z szám. Mgj.: R = Azonosságok: b ; b k ;, h, b R
RészletesebbenHázi feladatok megoldása. Harmadik típusú nyelvek és véges automaták. Házi feladatok megoldása. VDA-hoz 3NF nyelvtan készítése
Hrmdik típusú nyelvek és véges utomták Formális nyelvek, 10. gykorlt Házi feldtok megoldás 1. feldt Melyik nyelvet fogdj el következő utomt? c q 0 q 1 q 2 q 3 q 1 q 4 q 2 q 4 q 2 q 0 q 4 q 3 q 3 q 4 q
RészletesebbenKözépiskolai tanulmányok alapján átismétlend, illetve önállóan feldolgozandó anyag
Mrkó Zoltán Középiskoli tnulmányok lpján átismétlend, illetve önállón feldolgozndó nyg GEOMETRI Trtlomjegyzék Trtlomjegyzék... 3 sík egyevágósági és hsonlósági trnszformáiói... 5 Egyevágósági trnszformáiók
RészletesebbenJuhász István Orosz Gyula Paróczay József Szászné Dr. Simon Judit MATEMATIKA 10. Az érthetõ matematika tankönyv feladatainak megoldásai
Juhász István Orosz Gyul Próczy József Szászné Dr Simon Judit MATEMATIKA 0 Az érthetõ mtemtik tnkönyv feldtink megoldási A feldtokt nehézségük szerint szinteztük: K középszint, könnyebb; K középszint,
Részletesebbena b a leghosszabb. A lapátlók által meghatározott háromszögben ezzel szemben lesz a
44 HANCSÓK KÁLMÁN MEGYEI MATEMATIKAVERSENY MEZŐKÖVESD, évfolym MEGOLDÁSOK Mutssuk meg, hogy egy tetszőleges tégltest háromféle lpátlójából szerkesztett háromszög hegyesszögű lesz! 6 pont A tégltest egy
RészletesebbenLineáris egyenletrendszerek
Lineáris egyenletrendszerek lineáris elsőfokú, z ismeretlenek ( i -k) elsőfokon szerepelnek. + + n n + + n n m + m +m n n m m n n mn n m (m n)(n )m A A: együtthtó mátri Megoldás: milyen értékeket vehetnek
Részletesebben4. Hatványozás, gyökvonás
I. Nulldik ZH-bn láttuk:. Htványozás, gyökvonás. Válssz ki, hogy z lábbik közül melyikkel egyezik meg következő kifejezés, h, y és z pozitív számok! 7 y z z y (A) 7 8 y z (B) 7 8 y z (C) 9 9 8 y z (D)
RészletesebbenMATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára
6. évfolym Mt1 feltlp MATEMATIKA FELADATLAP 6. évfolymosok számár 2015. jnuár 17. 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll olgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feltokt tetszés szerinti sorrenen
Részletesebben17. előadás: Vektorok a térben
17. előadás: Vektorok a térben Szabó Szilárd A vektor fogalma A mai előadásban n 1 tetszőleges egész szám lehet, de az egyszerűség kedvéért a képletek az n = 2 esetben szerepelnek. Vektorok: rendezett
RészletesebbenFELVÉTELI FELADATOK 6. osztályosok számára M 2 feladatlap
2004. jnuár-feruár FELVÉTELI FELADATOK 6. osztályosok számár M 2 feltlp Név:... Születési év: hó: np: A feltokt tetszés szerinti sorrenen olhto meg. Minen próálkozást feltlpon végezz! Mellékszámításokr
RészletesebbenKOMPLEX SZÁMOK A GEOMETRIÁBAN
KMPLEX SZÁMK GEMETRIÁBN Mirce Bechenu Ismert, hogy kölcsönösen egyértelmű (ijektív) megfeleltetés létezik sík pontji és komplex számok hlmz közt. Ez megfeleltetés lehetővé teszi zt, hogy komplex számokt
RészletesebbenSzinusz- és koszinusztétel
Szinusz- és koszinusztétel. Htározzuk meg z oldlk rányát, h α 0, β 60. α + β + γ 80 γ 80 α β 80 0 60 90 A szinusztételt felhsználv z oldlk rány: zz : : : sin β : sin 0 : sin 60 : sin 90 : : : : : :. Htározzuk
RészletesebbenEgybevágóság szerkesztések
Egybevágóság szerkesztések 1. Adott az ABCD trapéz, alapjai AB és CD. Szerkesszük meg a vele tengelyesen szimmetrikus trapézt, ha az A csúcs tükörképe a BC oldal középpontja. Nyilvánvaló, hogy a tengelyes
Részletesebben5. Logaritmus. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 125 -öt kapjunk. A 3 5 -nek a 3. hatványa 5, log. x Mennyi a log kifejezés értéke?
. Logritmus I. Nulldik ZH-bn láttuk:. Mennyi kifejezés értéke? (A) Megoldás I.: BME 0. szeptember. (7B) A feldt ritmus definíciójából kiindulv gykorltilg fejben végiggondolhtó. Az kérdés, hogy -öt hánydik
RészletesebbenFeladatok Házi feladat. Keszeg Attila
2016.01.29. 1 2 3 4 Adott egy O pont és egy λ 0 valós szám. a tér minden egyes P pontjához rendeljünk hozzá egy P pontot, a következő módon: 1 ha P = O, akkor P = P 2 ha P O, akkor P az OP egyenes azon
RészletesebbenDifferenciálszámítás. Lokális szélsőérték: Az f(x) függvénynek az x 0 helyen lokális szélsőértéke
Differenciálszámítás Lokális növekedés (illetve csökkenés): H z f() függvény deriváltj z 0 helyen pozitív: f () > 0 (illetve negtív: f () < 0), kkor z f() függvény z 0 helyen növekvően (illetve csökkenően)
RészletesebbenAlgebrai struktúrák, mátrixok
A számítástudomány mtemtiki lpji Algebri struktúrák, mátrixok ef.: Algebri struktúrán olyn nemüres hlmzt értünk melyen leglább egy művelet vn definiálv. ef.: A H nemüres hlmzon értelmezett kétváltozós
RészletesebbenMATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára
8. évfolym TMt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár tehetséggondozó változt 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti
RészletesebbenHatványozás és négyzetgyök. Másodfokú egyenletek
Defiíció: R, Z Htváyozás és égyzetgyök 0 h 0... ( téyezős szorzt) h h 0, 0. A htváyozás zoossági: : m ( ) m m m m m Defiíció: Az x vlós szám ormállkják evezzük z hol 0 és egész szám. 0 kifejezést, h x
Részletesebben2014/2015-ös tanév II. féléves tematika
Dr Vincze Szilvi 24/25-ös tnév II féléves temtik Mátrix foglm, speciális mátrixok Műveletek mátrixokkl, mátrix inverze 2 A determináns foglm és tuljdonsági 3 Lineáris egyenletrendszerek és megoldási módszereik
RészletesebbenGAZDASÁGI MATEMATIKA I.
GAZDASÁGI MATEMATIKA I.. A HALMAZELMÉLET ALAPJAI. Hlmzok A hlmz, hlmz eleme lpfoglom (nem deniáljuk ket). Szokásos jelölések: hlmzok A, B, C (ngy bet k), elemek, b, c (kis bet k), trtlmzás B ( eleme z
RészletesebbenI. HALMAZOK, KOMBINATORIKA
I HLMZOK, KOMINTORIK VEGYES KOMINTORIKI FELDTOK dott 9 külsõre egyform érme z érmék közül z egyik hmis, tömege könnye töinél Rendelkezésünkre áll egy kétkrú mérleg, mellyel összehsonlításokt tudunk végezni
RészletesebbenMATEMATIKA FELADATLAP a 4. évfolyamosok számára
4. évfolym AMt3 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 4. évfolymosok számár 20. jnuár 28. 1:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden
RészletesebbenMatematika érettségi 2015 május 5
( ) A 6-tl vló oszthtóság feltétele, hogy szám oszthtó legyen -vel és -ml. 60 6 64 66 68 X {;8} X {;8} A minden tgdás: vn olyn A brn tgdás: nem brn Vn olyn szekrény, melyik nem brn (A) A D 49 b 4 ( 0)
RészletesebbenFejezetek az abszolút geometriából 6. Merőleges és párhuzamos egyenesek
Fejezetek az abszolút geometriából 6. Merőleges és párhuzamos egyenesek Ebben a fejezetben megadottnak feltételezzük az abszolút tér egy síkját és tételeink mindig ebben a síkban értendők. T1 (merőleges
RészletesebbenMATEMATIKA II. (GEOMETRIA)
1. Mi z lpfoglom? lpfoglom: olyn foglom, mit ismertnek fogdunk el, nem tudunk más foglmk segítségével meghtározni, legfelje szemléletesen körülírjuk. Minden tudomány ilyen lpfoglmkr épül fel.. geometri
RészletesebbenA VI. FEKETE MIHÁLY EMLÉKVERSENY
A VI. FEKETE MIHÁLY EMLÉKVERSENY Elődó: Bgi Márk Elődás címe: Csillgászti elődás és kvíz A versenyzők feldtmegoldásokon törik fejüket. 88 VI. FEKETE MIHÁLY EMLÉKVERSENY Zent, 008. december. 9. évfolym.
RészletesebbenA hiperbolikus síkgeometria Poincaré-féle körmodellje
A hiperbolikus síkgeometria Poincaré-féle körmodellje Ha egy aiómarendszerre modellt adunk, az azt jelenti, hogy egy matematikai rendszerben interpretáljuk az aiómarendszer alapfogalmait és az aiómák a
RészletesebbenMatematika emelt szintû érettségi témakörök 2015. Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár)
Mtemtik emelt szintû érettségi témkörök 05 Összeállított: Kovácsné Németh Srolt (gimnáziumi tnár) Tájékozttó vizsgázóknk Tisztelt Vizsgázó! szóeli vizsgán tétel címéen megjelölt tém kifejtését és kitûzött
RészletesebbenPÉLDA: Négyezer-hatszázöt 4 6 0 5 Jel Szám
7. TESZTFÜZET JAVÍTÓKULCS / 2 ELEMI SZÁMOLÁSI KÉSZSÉG Minden helyes megoldás esetén 1, ármilyen hiányosság vgy hi esetén 0 pontot kell dni. SZÁMÍRÁS A BETŰVEL MEGADOTT SZÁMOKAT ÍRD LE SZÁMJEGYEKKEL! 02
Részletesebbenf (ξ i ) (x i x i 1 )
Villmosmérnök Szk, Távokttás Mtemtik segédnyg 4. Integrálszámítás 4.. A htározott integrál Definíció Az [, b] intervllum vlmely n részes felosztásán (n N) z F n ={,,..., n } hlmzt értjük, melyre = <
RészletesebbenKomplex számok. (a, b) + (c, d) := (a + c, b + d)
Komplex számok Definíció. Komplex számoknak nevezzük a valós számokból képzett rendezett (a, b) számpárok halmazát, ha közöttük az összeadást és a szorzást következőképpen értelmezzük: (a, b) + (c, d)
Részletesebben2010/2011 es tanév II. féléves tematika
2 február 9 Dr Vincze Szilvi 2/2 es tnév II féléves temtik Mátrix foglm, speciális mátrixok Műveletek mátrixokkl, mátrix inverze 2 A determináns foglm és tuljdonsági 3 Lineáris egyenletrendszerek és megoldási
RészletesebbenVektorgeometria (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Vektorgeometria (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. A térbeli irányított szakaszokat vektoroknak hívjuk. Két vektort egyenlőnek tekintünk, ha párhuzamos eltolással fedésbe hozhatók.
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások
Megoldások 1. Határozd meg a szakasz hosszát, ha a végpontok koordinátái: A ( 1; ) és B (5; )! A szakasz hosszához számítsuk ki a két pont távolságát: d AB = AB = (5 ( 1)) + ( ) = 6 + 1 = 7 6,08.. Határozd
RészletesebbenVI. Deriválható függvények tulajdonságai
1 Deriválhtó függvének tuljdonsági VI Deriválhtó függvének tuljdonsági Ebben fejezetben zt vizsgáljuk, hog deriválhtó függvének esetén derivált milen összefüggésben vn függvén más tuljdonságivl, és hogn
RészletesebbenA Riemann-integrál intervallumon I.
A Riemnn-integrál intervllumon I. A htározott integrál foglm és kiszámítás Boros Zoltán Debreceni Egyetem, TTK Mtemtiki Intézet, Anĺızis Tnszék Debrecen, 2017. március 6. Zárt intervllum felosztási A továbbikbn,
RészletesebbenArányosság. törtszámot az a és a b szám arányának, egyszer en aránynak nevezzük.
Arányosság Az törtszámot z és szám rányánk, egyszeren ránynk nevezzük. Az rány értéke zt ejezi ki, hogy z szám hányszor ngyo számnál, illetve szám hányszor kise z számnál. Az rányokkl végezhet két legontos
RészletesebbenGeometria 1, normálszint
Geometria 1, normálszint 2. előadás 1 / 46 Geometria 1, normálszint ELTE Matematikai Intézet, Geometriai Tanszék 2019 A diákat készítette: Moussong Gábor Előadó: Lakos Gyula lakos@math.elte.hu 2. előadás
Részletesebben4 x. Matematika 0 1. előadás. Végezzük el a műveleteket! Alakítsuk szorzattá a következő kifejezéseket! 5. Oldjuk meg az alábbi egyenleteket!
Mtemtik 0. elődás Végezzük el műveleteket!. 6... Alkítsuk szorzttá következő kifejezéseket!. 8 6 6. 7. 8. y Oldjuk meg z lái egyenleteket! 9. 0. 7 0 7 6. 7. Egy kétjegyű szám számjegyeinek összege. H felseréljük
RészletesebbenEgybevágósági transzformációk
Egybevágósági transzformációk Párhuzamos eltolás Geometriai transzformációk Egybevágósági transzformációk (9. osztály) Helybenhagyás Tengelyes tükrözés Középpontos tükrözés Pont körüli forgatás Párhuzamos
RészletesebbenMATEMATIKA FELADATLAP
MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár tehetséggonozó változt :00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll olgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feltokt tetszés szerinti sorrenen olhto meg. Minen
RészletesebbenMATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára
8. évfolym TMt2 feltlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár tehetséggonozó változt 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll olgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feltokt tetszés szerinti sorrenen
RészletesebbenKözéppontos hasonlóság szerkesztések
Középpontos hasonlóság szerkesztések 1. Adott az AV B konvex szög és a belsejében egy P pont. Húzzunk a P ponton át egy egyenest úgy, hogy a szög száraiból kimetszett szeletek aránya 3 : 4 legyen. Legyen
RészletesebbenVektorok (folytatás)
Vektorok (folyttás) Vektor szorzás számml (sklárrl) Vektor szorzás számml b 1 c 2b c 2 ( 1 ) 2 Az vektor k-szoros (k R, vgyis k egy vlós szám) z vektor, melynek hossz k, irány pedig k > 0 esetén irányávl
Részletesebben1. MECHANIKA-SZILÁRDSÁGTAN GYAKORLAT (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. Ts; Tarnai Gábor mérnöktanár.) Matematikai összefoglaló, kiinduló feladatok
/0 SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM LKLMZOTT MECHNIK TNSZÉK MECHNIK-SZILÁRDSÁGTN GYKORLT (kidolgozt: Szüle Veronik, eg Ts; Trni Gábor mérnöktnár) Mtemtiki összefoglló, kiinduló feldtok Mátrilgebri összefoglló:
RészletesebbenMatematika emelt szintû érettségi témakörök 2011. Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár)
Mtemtik emelt szintû érettségi témkörök 0 Összeállított: Kovácsné Németh Srolt (gimnáziumi tnár) Tájékozttó vizsgázóknk szóeli vizsg leírás: z emelt szintû szóeli vizsg z Okttási Hivtl áltl kidott tételsor
RészletesebbenVégeredmények, emelt szintû feladatok részletes megoldása
Végeredmények, emelt szintû feldtok részletes megoldás I. gyökvonás. gyökfoglom kiterjesztése. négyzetgyök lklmzási. számok n-edik gyöke 5. z n-edik gyökfüggvény, z n-edik gyök lklmzás 6 II. Másodfokú
RészletesebbenGeometria. a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk)
1. Térelemek Geometria a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk) b. Def: félegyenes, szakasz, félsík, féltér. c. Kölcsönös helyzetük: i. pont és (egyenes vagy
RészletesebbenA 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny MATEMATIKA II. KATEGÓRIA (GIMNÁZIUM)
A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA II. KATEGÓRIA (GIMNÁZIUM) Javítási értékelési útmutató 1. Melyek azok a pozitív p és q prímek, amelyekre a számok mindegyike
Részletesebben1. Mátrixösszeadás és skalárral szorzás
1 Mátrixösszeadás és skalárral szorzás Mátrixok tömör jelölése T test Az M = a i j T n m azt az n sorból és m oszlopból álló mátrixot jelöli, amelyben az i-edik sor j-edik eleme a i j T Példák [ ] Ha M
RészletesebbenAbsztrakt vektorterek
Absztrkt vektorterek Összeállított: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 213. 1. 8. Absztrkt vektorterek /1. Absztrkt vektortér definíciój Legyen V egy hlmz, egy test (pl. vlós vgy komplex számtest), és
Részletesebbenl.ch TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS DIFFERENCIÁLHATÓSÁGA
l.ch TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS DIFFERENCIÁLHATÓSÁGA A kétváltozós függvének két vlós számhoz rendelnek hozzá eg hrmdik vlós számot, másként foglmzv számpárokhoz rendelnek hozzá eg hrmdik számot.
RészletesebbenHázi feladatok megoldása. Veremautomaták. Házi feladatok megoldása. Házi feladatok megoldása. Formális nyelvek, 12. gyakorlat
Veremutomták Formális nyelvek, 12. gykorlt Házi feldtok megoldás 1. feldt Oldjuk meg következő egyenletrendszert! X () Y = X X Y = Y Célj: A környezet-független nyelvek hsználtávl kpsoltos lpfeldtok egykorlás
RészletesebbenFormális nyelvek I/2.
Formális nyelvek I/2. Véges utomták minimlizálás Fülöp Zoltán SZTE TTIK Informtiki Intézet Számítástudomány Alpji Tnszék 6720 Szeged, Árpád tér 2. Véges utomták minimlizálás Két utomt ekvivlens, h ugynzt
RészletesebbenÖsszeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens
Az R 3 tér geometriája Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. 1 Vektorok Vektor: irányított szakasz Jel.: a, a, a, AB, Jellemzői: irány, hosszúság, (abszolút érték) jel.: a Speciális
RészletesebbenGyakorló feladatsor 11. osztály
Htvány, gyök, logritmus Gykorló feldtsor 11. osztály 1. Számológép hsznált nélkül dd meg z lábbi kifejezések pontos értékét! ) b) 1 e) c) d) 1 0, 9 = f) g) 7 9 =. Számológép hsznált nélkül döntsd el, hogy
Részletesebben