SEGÉDLET A kutatási eredmények számítógépes kiértékelése c. PhD. tárgyhoz

Átírás

1 SEGÉDLET A kutatási eredmények számítógépes kiértékelése c. PhD. tárgyhoz Szerkesztette: Dr. Csanády Viktória egyetemi docens Sopron NyME

2 Bevezetés A természetben előforduló különböző folyamatok vizsgálata során nyert egy független és egy függőváltozós adatsorokra regressziós eljárással matematikai függvények illeszthetők, melyek meghatározzák a folyamatok törvényszerűségét. Az adatsorok által meghatározott pontok grafikus szemlélete alapján mód van megfelelő illesztendő függvény vagy függvények kiválasztására. A helyes döntést alapvetően a számítógépes regressziós eljárás végrehajtása során nyert 1-hez legközelebb álló korrelációs együttható (R) indokolhatja amellett, hogy a kiválasztott függvény nyert paraméterei a valóságnak megfelelően értelmezhetők legyenek. A bemutatásra és elemzésre kerülő adatsorok a természetben előforduló folyamatok adatsorait modellezik a gyorsabb és egyszerűbb regressziós eljárások alkalmazása és értékelése érdekében Telítési függvény (Awrami) Az első adatsor az idő függvényében a fanövekedés értékeit tartalmazza. Az adatsor előzetes áttekintése vagy grafikus ábrázolása alapján könnyen megállapítható, hogy a függvény illesztéséhez telítési függvény alkalmazása a célszerű. A matematikai alak: =1 + (Awrami-görbe) A számítógépes alak: = A változók: var1= évek száma (év) var= famagasság (m) Az adatsort, a regressziós eljáráshoz szükséges kezdőértékeket, a nyert paraméter értékeket, a korrelációs együtthatót és az értelmezést az alábbi táblázatok tartalmazzák. Példa 1. Adatok: Var 1,19, 3 1,91 1,1 5 1, ,7 7 13,1 8 1, , , 11 3, 1 8,1 13 5,7 1 5, ,9

3 3 Kezdőértékek: b3=b=b1=b=,1 (a programban alapbeállításként szereplő értékek, módosítást nem igényelnek) Kapott értékek: Model: var=b3*(1-exp(-1*((b*var1)^b1)))+b (pelda1) Dep. var: Var Loss: (OBS-PRED)** Final loss:,9983 R=,9995 Variance explained: 99,99% N=15 b3 b b1 b Estimate,78,391 1,91,589 Értelmezés: b3+b= az elért legnagyobb (végső) famagasság (m) b= a kezdő famagasság (m) Megadható az a var1 érték (x), melynél a határértéktől való eltérés 1%-os a var-re nézve. Ez az alábbi képlettel számítható: =!!## " (!!$ %& %' Az illesztés grafikus reprezentációja: 8 Model: var=b3*(1-exp(-1*((b*var1)^b1)))+b y=(,78)*(1-exp(-1*(((,391)*x)^(1,91))))+(,589) C:

4 Az előző függvény illesztése módosított kezdőértékekkel az alábbi: Kezdőértékek: b3=b=b1=b=1 Model: var=b3*(1-exp(-1*((b*var1)^b1)))+b (pelda1) Dep. var: Var Loss: (OBS-PRED)** Final loss:,998 R=,9995 Variance explained: 99,99% N=15 b3 b b1 b Estimate,78,391 1,99,585 8 Model: var=b3*(1-exp(-1*((b*var1)^b1)))+b y=(,78)*(1-exp(-1*(((,391)*x)^(1,91))))+(,585) C: Mint ahogy az az eredményekből is látható az Awrami függvény illesztése a kezdőértékekre kevésbé érzékeny. Megismételve a kísérletet az alábbi kezdőértékekre: b3=1 b=,5 b1=,1 b=1 Az eredmények az alábbiak: Model: var=b3*(1-exp(-1*((b*var1)^b1)))+b (pelda1) Dep. var: Var Loss: (OBS-PRED)** Final loss:,9983 R=,9995 Variance explained: 99,99% N=15 b3 b b1 b Estimate,783,391 1,99,58

5 5 8 Model: var=b3*(1-exp(-1*((b*var1)^b1)))+b y=(,78)*(1-exp(-1*(((,391)*x)^(1,91))))+(,58) C: Az eredmény azt mutatja, hogy a függvény kezdőértékek beállítása a felhasználó számára nem okoz jelentős gondot. Nem ezt tapasztaljuk más típusú növekedési görbék estén. Ezen kívül a már fentiekben történő paraméter értelmezés minden esetben megállja a helyét. Az Awrami féle telítési függvényen kívül még számos hasonló növekedési görbe létezik. Az egyszerűbb nem rendelkezik inflexiós ponttal, az összetettebbek igen. Az alábbiakban a felhasznált példasor alkalmazásával megadásra kerül illesztési eredményük, a paraméterek, a korrelációs együttható értéke, valamint illesztési ábráik, végül, de nem utolsó sorban a futtatásnál módosított kezdőértékek melyek módosítása nélkül nem kapunk eredményt, vagy ha igen csak gyenge korrelációval. A paraméterek kezdőértékeinek kiokoskodása a függvény matematikai jellemzőinek ismeretében történhet, figyelembe véve az adatsort. Minden egyes illesztésnél a var mint függő változó a famagasságot jelöli, var1 a független változó, az idő függvényében. 1.. Bertalanffy növekedési függvénye Bertalanffy növekedési függvénye: Nem adunk példát a kezdőértékek módosítására, mivel alapvetően látható, hogy a függvény nem rendelkezik inflexiós ponttal, ami a példa esetében nem ad kedvező eredményt bár az R értéke magas.

6 Matematikai alak: = 1 ) Számítógépes alak: = Kezdőértékek: b=b1=b=,1 Az illesztés eredménye és ábrája: Model: var=b*(1-b1*exp(-1*(b*var1))) (pelda1) Dep. var: Var Loss: (OBS-PRED)** Final loss: 3,9878 R=,989 Variance explained: 97,35% N=15 b b1 b Estimate 31,515 1,933,879 3 Model: var=b*(1-b1*exp(-1*(b*var1))) y=(31,51)*(1-(1,93)*exp(-1*((,879)*x))) C: Mitscherlich növekedési függvénye Mitscherlich növekedési függvénye: Matematikai alak: = 1 ) Számítógépes alak: = Első esetben hagyjuk meg az Awraminál alkalmazott,1 kezdőértéket minden paraméter esetén:

7 7 Az eredmények nem különböznek az alábbiakban adott kezdőértékeknél kapott eredménytől. Kezdőértékek: b=b1=b=1 Az illesztés eredménye és ábrája: Model: var=b*(1-exp(-1*b1*var1))^b (pelda1) Dep. var: Var Loss: (OBS-PRED)** Final loss:,393 R=,9999 Variance explained: 99,818% N=15 b b1 b Estimate 5,855,775 3, Model: var=b*(1-exp(-1*b1*var1))^b y=(5,85)*(1-exp(-1*(,7751)*x))^(3,138) C: A következő függvény esetében azonban már látható, hogy jelentős eltérések adódnak az illesztés eredményében a kezdőérték változtatás miatt. 1.. Richards növekedési függvénye Richards növekedési függvénye: Matematikai alak: = 1 ) * Számítógépes alak: =

8 8 Kezdőértékek: b3=b=b1=b=,1 Az eredmények: Model: var=b3*(1-b*exp(-1*b1*var1))^b (pelda1) Dep. var: Var Loss: (OBS-PRED)** Final loss: 131,39937 R= -- Variance explained: -- % N=15 b3 b b1 b Estimate 11,17133,999978, ,995 8 Model: var=b3*(1-b*exp(-1*b1*var1))^b y=(11,1713)*(1-(,999978)*exp(-1*(,97937)*x))^(1,99) C: Az eredmény értékelhetetlen. Ismételve a kísérlet módosított kezdőértékekkel: Kezdőértékek: b3=1 b= -1 b1=,5 b=,1 Az illesztés eredménye és ábrája:

9 9 Model: var=b3*(1-b*exp(-1*b1*var1))^b (pelda1) Dep. var: Var Loss: (OBS-PRED)** Final loss:, R=,9999 Variance explained: 99,937% N=15 b3 b b1 b Estimate 5,373 -,553,9585-9, Model: var=b3*(1-b*exp(-1*b1*var1))^b y=(5,515)*(1-(,9)*exp(-1*(,911)*x))^(1,3) C: Hasonló eredményeket produkálhatunk a helyes kezdőértékek megválasztása nélkül az alább megadott függvények esetén, gondolva, hogy az illesztett függvény nem alkalmazható. A példák is azt mutatják, hogy a helyes kezdőérték megválasztása kulcskérdés, ami viszont matematikailag sem egyszerű, nem beszélve a paraméterek értelmezhetőségéről, ami az utóbb felsorolt illetve az alább bemutatott függvények esetében sem egyértelműen magyarázható. Bár a korrelációs együtthatók a jól megválasztott (nem egyszerű kiválasztás révén) megadott kezdőértékek esetére magas értéket mutatnak, a paraméterek többségében leginkább nehezen vagy egyáltalán nem értelmezhetők Chapman-Richard függvény Chapman-Richards növekedési függvény Gál által módosítva: Matematikai alak: = 1 ) Számítógépes alak: = 1 1 1

10 1 Kezdőértékek: b=1 b1= -1 b=,5 Az illesztés eredménye és ábrája: Model: var=b*(1-exp(b1*var1))^b (pelda1) Dep. var: Var Loss: (OBS-PRED)** Final loss:,393 R=,9999 Variance explained: 99,818% N=15 b b1 b Estimate 5,8557 -,775 3,139 8 Model: var=b*(1-exp(b1*var1))^b y=(5,85)*(1-exp((-,775)*x))^(3,135) C: Colin-Fokasz függvény Colin-Fokasz növekedési függvény: Matematikai alak: =+ + 1!$), -. /- Számítógépes alak: =+ 1 / /

11 11 Kezdőértékek: b=1 b1= -1 b=,5 b3=,1 b=1 Az illesztés eredménye és ábrája: Model: var=b+(b1-b)/(1+b*exp(-1*b3*(var1-b)))^(1/b) (pelda1) Dep. var: Var Loss: (OBS-PRED)** Final loss:, R=,99973 Variance explained: 99,95% N=15 b b1 b b3 b Estimate 5, ,885 1, , , Model: var=b+(b1-b)/(1+b*exp(-1*b3*(var1-b)))^(1/b) y=(5,39)+((-1,88)-(5,39))/(1+(1,7335)*exp(-1*(-,15555)*(x-(18,1))))^( 1/(1,7335)) C: A fenti példák azt illusztrálják, hogy bár számos telítési nevezzük inkább növekedési folyamatot részében vagy teljességében (negatív értékekre is értelmezett függvények szerepeltek a felsoroltak között) leíró függvényeket ismerünk, ezek alkalmazása a gyakorlatban a számítógépes statisztikai programok használata esetén is gondot okoz. Az alkalmazott modell megválasztás esetén szem előtt tartandók az igények a paraméterek értelmezhetőségére, valamint a kezdőértékek megválasztásának illetve kiválasztásának egyszerűségére, nem beszélve a modell alkalmazhatóságáról (az Awrami féle függvény akkor is alkalmazható, ha nincs inflexiós pont). Ezen kívül a modell értelmezési tartományának vizsgálata sem elhanyagolható, a már említett negatív független változók (példákban az idő) vonatkozásában, hiszen ez nem értelmezhető.

12 1. Rönkleltár A második adatsor a faraktárban található válogatással nyert rönkök leltárát elemzi az átmérő függvényében található darabszám szerint. Az adatsor egyszerű áttekintése alapján rögtön megállapítható, hogy megfelelően transzformált Gauss-görbe illesztése a célszerű. A matematikai alak: = +, % /- + A számítógépi alak: =3/exp A változók: var1= fatörzsátmérő (cm) var= darabszám (db) Az adatsort, a regressziós eljáráshoz szükséges kezdőértékeket, a nyert paraméterértékeket, a korrelációs együtthatót és az értelmezést az alábbi táblázatok tartalmazzák. Példa. Adatok Var Kezdőértékek: b3=b=b=1 módosítást igényelnek) b1= (a programban alapbeállításként szereplő értékek, A számított illesztési értékek: Model: var=b3/exp((b*(var1-1*b1))^)+b (példa) Dep. var: Var Loss: (OBS-PRED)** Final loss: 7,131 R=,9931 Variance explained: 99,% N=15 b3 b b1 b Estimate,39,11933,1333-3,599 Értelmezés: b3+b = a legnagyobb darabszám

13 13 b1= a legnagyobb darabszámhoz tartozó törzsátmérő. Az illesztés grafikus reprezentációja: 7 Model: var=b3/exp((b*(var1-1*b1))^)+b y=(,37)/exp(((,11933)*(x-1*(,133)))^)+(-3,51) C: Faanyagszárítás A harmadik adatsor a faanyag szárítási folyamata során nyert értékeket tartalmazza az idő függvényében. Az adatsor áttekintése vagy grafikus ábrázolása alapján eldönthető, hogy megfelelően transzformált tangens hiperbolikus görbe illesztése vezet helyes eredményre, és értelmezhető paraméterekhez. A matematikai alak: =tanh =+ A számítógépi alak: =3 tanh A változók: var1= az eltelt idő (óra) var= a nedvességtartalom (%) Az adatsort, a regressziós eljáráshoz szükséges kezdőértékeket, a nyert paraméterértékeket, a korrelációs együtthatót és az értelmezést az alábbi táblázatok tartalmazzák.

14 1 Példa 3. Adatok Var 1,9, 3,1 5, 5 8,7 1, , , , ,3 11 5, 1,1 13 3,8 1 3, , Kezdőértékek: b3=b=b=1 módosítást igényelnek) b1=15 (a programban alapbeállításként szereplő értékek, A számított értékek: Model: var=b3*tanh(b*(var1-1*b1))+b (példa3) Dep. var: Var Loss: (OBS-PRED)** Final loss:, R=,9997 Variance explained: 99,95% N=1 b3 b b1 b Estimate -11,8755, , 1,93 Értelmezés: b-b3= a kezdeti nedvességtartalom (%) b+b3= a végső nedvességtartalom (%). Az illesztés grafikus reprezentációja:

15 15 8 C: 18 1 Model: var=b3*tanh(b*(var1-1*b1))+b y=(-11,87)*tanh((,18593)*(x-1*(1,)))+(1,9) Anyaglehülés A negyedik adatsor az idő függvényében történő anyag lehűlés értékeit tartalmazza. Az adatsor egyszerű áttekintése vagy esetleges grafikus ábrázolása alapján itt most megállapítható, hogy a függvényillesztéshez egy megfelelően transzformált exponenciális ( negatív exponenciális ) görbe alkalmazása lehet a legmegfelelőbb. A matematikai alak: = +, % /-+ A számítógépi alak: =3/ A változók: var1= idő (min) var= hőmérséklet (C o ) Az adatsort, a regressziós eljáráshoz szükséges kezdőértékeket, a nyert paraméter értékeket, a korrelációs együtthatót és az értelmezést az alábbi táblázatok tartalmazzák:

16 1 Példa. Adatok Var ,1 3 9,1 3, ,1 1 1, 7 1 1, 8 1 1, , , , 1 7, , ,5 Kezdőértékek: b3=b=b1=b=1 (ebben az esetben is szükséges az alapértékek módosítása) A számított paraméterek és a korrelációs együttható: Model: var=b3/exp(b*(var1-1*b1))+b (Spreadsheet) Dep. var: Var Loss: (OBS-PRED)** Final loss:,759 R=,9998 Variance explained: 99,99% N=15 b3 b b1 b Estimate 1,991, ,1918 5,3373 Értelmezés: b= a mért legalacsonyabb hőmérséklet (véghőmérséklet) 3 >! + = a mért legmagasabb hőmérséklet (kezdőhőmérséklet). Az illesztés grafikus reprezentációja:

17 Model: var=b3/exp(b*(var1-1*b1))+b y=(1,99)/exp((,153119)*(x-1*(7,1917)))+(5,337) 5 C: Hangerő ingerérték Az ötödik adatsor a hangerő függvényében észlelhető ingerértékek nyert elméleti adatait mutatja. A pontsor grafikus ábrázolása alapján logaritmikus függvény illesztése látszik legmegfelelőbbnek, ha az alkalmazott függvényt előzetesen megfelelően transzformáljuk, lehetővé téve az origóból való kiindulást a kezdő adatpár miatt. A matematikai alak: = =+ A számítógépi alak: =3?@ A változók: var1= hangerő (db) var= ingerérték (i) Az adatsort, a regressziós eljáráshoz szükséges kezdőértékeket, a nyert paraméterértékeket, a korrelációs együtthatót és az értelmezéseket az alábbi táblázatok tartalmazzák:

18 18 Példa 5. Adatok Var 1 1,7 3,1 1, 3, 1, 5,3 5,18 7 7,, 8 9,1, ,3 3,9 1 15,3 3, ,, 1 3,3, , ,,5 1 1,83 Kezdőértékek: b3=b=b=1 b1= -1 (módosított értékek) A számított paraméterek és a korrelációs együttható: Model: var=b3*log(b*(var1-1*b1))+b (Spreadsheet8) Dep. var: Var Loss: (OBS-PRED)** Final loss:,11137 R=,99999 Variance explained: 99,998% N=1 b3 b b1 b Estimate 1, ,5391-1,999-1,9578 Értelmezés: b= a mért legalacsonyabb ingerérték = a legmagasabb mért ingerérték. Az illesztés grafikus reprezentációja:

19 19 8 Model: var=b3*log(b*(var1-1*b1))+b y=(1,7389)*log((1,53917)*(x-1*(-1,999)))+(-1,958) C: Lövedékpálya A hatodik adatsor egy kilőtt lövedék útjának adatait mutatja. A pontsor értékeinek áttekintése és a gyakorlati ismeretek és elemzés alapján könnyen megállapítható, hogy a görbeillesztésre parabola, másodfokú hatvány függvény a megfelelő, a szükséges transzformálással. A matematikai alak: = > += A számítógépi alak: = A változók: var1= a vízszintesen mért távolság (m) var= a lövedék magassága Az adatsort, a regressziós eljáráshoz szükséges kezdőértékeket, a nyert paraméterek értékeit, a korrelációs együtthatót és az értelmezést az alábbi táblázatok tartalmazzák:

20 Példa. Adatok Var 1,5 1,1 3 1,9 1,9 3 3,5 5 33,1 3,1 5,1 7 9,5 5,9 8 5, ,3 1 91,1 7, ,93 1 1, 7, ,7 1 19,8, ,1 3,1 Kezdőértékek: b= -,1 b1= 8 b=,1 (a kezdőértékek módosítása szükséges) A számított eredmények: Model: var=b*(var1-1*b1)^+b (Spreadsheet1) Dep. var: Var Loss: (OBS-PRED)** Final loss:,888 R= 1, Variance explained: 99,999% N=15 b b1 b Estimate -,8 99,899 7,99979 Értelmezés: b= a lövedék legnagyobb magassága b1= az a távolság ahol a lövedék legmagasabban van b b*b1 = a lövedék kiindulási magassága. Az illesztés grafikus reprezentációja:

21 1 1 Model: var=b*(var1-1*b1)^+b y=(-,8e-3)*(x-1*(99,899))^+(7,99971) C: Lázgörbe A hetedik adatsor egy betegséggel együtt járó időbeli lázváltozás adatait mutatja (lázgörbe). Az adatsor elsődleges elemzése alapján transzformált Gauss-görbe alkalmazása látszik lehetségesnek. A grafikus ábrázolás azonban mutatja, hogy a görbe aszimmetrikus, hirtelen emelkedő és lassan csökkenő kellene, hogy legyen. Ezért a függvényillesztéshez egy speciálisan kialakított matematikai formulát szükséges alkalmazni. A matematikai alak: = + $ ). A számítógépi alak: =3 1/ A változók: var1= az idő (nap) var= hőmérséklet 3 C o felett Az adatsort, a regressziós eljáráshoz szükséges kezdőértékeket, a nyert paraméter értékeket, a korrelációs együtthatót és az értelmezést az alábbi táblázatok tartalmazzák:

22 Példa 7. Adatok Var 1,1,5 1, ,5 1,5, 5,5, 7 3 1, 8 3,5,8 9,5 1,5,3 11 5, 1 5,5,1 13,1 1 7 Kezdőértékek: b3=b=b1=b=1 (módosított kezdőérték) Az illesztésnél kapott paraméterek és a korrelációs együttható: Model: var=b3*var1/(b+(b1*var1)^b) (lázgörbep) Dep. var: Var Loss: (OBS-PRED)** Final loss:, R=,99973 Variance explained: 99,9% N=1 b3 b b1 b Estimate,38 1,78,5359 5,17 Értelmezés: b3/b= a kezdő meredekség azaz, az egy nap alatti induló hőemelkedés értéke (betegség jellemző adat). Az illesztés grafikus reprezentációja:

23 3 5 Model: var=b3*var1/(b+(b1*var1)^b) y=(,39)*x/((1,78)+((,5359)*x)^(5,17)) 3 C: Napi levegő hőmérséklet A nyolcadik adatsor egy órás levegőhőmérséklet változás értékeit mutatja, éjféltől-éjfélig. Az értékpárok elemzése és grafikus áttekintése itt jól mutatja, hogy megfelelően transzformált szinusz függvény alkalmazása a célszerű, ami a gyakorlati ismeretek alapján kézenfekvő. A matematikai alak: =sin =+ A számítógépi alak: =3 sin A változók: var1= idő (óra) var= a hőmérséklet (C o ) Az adatsort, a regressziós eljáráshoz szükséges kezdőértékeket, a nyert paraméter értékeket, a korrelációs együtthatót és az értelmezéseket az alábbi táblázatok tartalmazzák:

24 Példa 8. Adatok Var 1, , , 1 11, , , ,3 1 8,7 13,3 Kezdőértékek: b3=b=b1=1 b=5 (módosított kezdőértékek) A kapott számítási eredmények: Model: var=b3*sin(b*(var1-1*b1))+b (napihőingadozás) Dep. var: Var Loss: (OBS-PRED)** Final loss:, R=,9999 Variance explained: 99,99% N=13 b3 b b1 b Estimate 5,1991 -,177-3,3 9, Értelmezés: b-b3= a legalacsonyabb hőmérséklet (C o ) b+b3= a legmagasabb hőmérséklet (C o ) b1+= a legalacsonyabb hőmérséklet időpontja (óra) b1++1= a legmagasabb hőmérséklet időpontja (óra) Az illesztés grafikus reprezentációja:

25 5 1 Model: var=b3*sin(b*(var1-1*b1))+b y=(5,199)*sin((-,177)*(x-1*(-3,3)))+(9,99798) C: Ötvözet vezetőképesség A kilencedik adatsor egy olyan modellkísérlet adatait tartalmazza, ahol két fémből készült ötvözet vezetőképességének vizsgálata történt a százalékos összetétel függvényében. Az adatsor áttanulmányozása és grafikus elemzése alapján látható, hogy két határérték mutatkozik, azonban az ezek által meghatározott tartományon kívüli értékek is jelen vannak köztesen. Ez azt jelenti, hogy egyszerű klasszikus transzformált matematikai függvénnyel az illesztés nem látszik megoldhatónak. Ebből kiindulva, valamint a határértékek jelenléte miatt két különböző tangens hiperbolikusz függvény megfelelően transzformált összege adhatja a jó regressziót. A matematikai alak: =tanh A számítógépi alak: = tanh tanh A változók: var1= a százalékos összetétel (%) var= vezetőképesség (s/m 1 )

26 Az adatsort, a regressziós eljáráshoz szükséges kezdőértékeket, a nyert paraméter értékeket, a korrelációs együtthatót és az értelmezéseket az alábbi táblázatok tartalmazzák: Példa 9. Adatok Var 1,58,5,58 3 5,5,57 1,75,55 5 1,51 1,5,5 7,5,3 8 31,75, ,75 1,5 1, 11 7,5 1, 1 5,75 1, ,11 1 3,5 1, ,5 1, ,75 1, ,5 18 8,5 1, ,5 1,1 9,75 1, , Kezdőértékek: b=b5=b=b3=b=b1=b=1 (módosított kezdőértékek) A paraméter értékek és a korrelációs együttható: Model: var=b*tanh(b5*(var1-1*b))+b3*tanh(b*(var1-1*b1)... (vezetőképesség) Dep. var: Var Loss: (OBS-PRED)** Final loss:,99888 R=,9999 Variance explained: 99,98% N=1 b b5 b b3 b b1 b Estimate,337,885 7,9 -,8137, ,8,97139 Értelmezés: Ha b>b1 akkor HI$>! =legkisebb vezetőképességhez tartozó %-os H$> összetétel értéke. var1= helyettesítéssel kiszámítható a %-hoz tartozó vezetőképesség értéke. var1=1 helyettesítéssel kiszámítható a 1%-hoz tartozó vezetőképesség értéke. Az illesztés grafikus reprezentációja:

27 7 Model: var=b*tanh(b5*(var1-1*b))+b3*tanh(b*(var1-1*b1))+b y=(,337)*tanh((,885)*(x-1*(7,9)))+(-,8137)*tanh((,81759)*(x-1*(3, 8)))+(,971),8 C:,,,, 1,8 1, 1, C: C:1 5 1, 1 3 1,,8,,,, Huzalfeszítés A tízedik adatsor a huzal megnyújtás függvényében jelentkező feszítőerő adatpár sorát tartalmazza, azaz a huzalszakadás folyamatát jellemzi mért értékekkel. Az adatsor elemzése és grafikus áttanulmányozása alapján látható, hogy a kezdő és végső határérték egyforma (), de a változás hírtelen mértékben aszimmetrikus. Ez azt jelenti, hogy klasszikus egyszerű transzformált matematikai függvénnyel az illesztés nem adódik megoldhatónak. Így következik, hogy bonyolultabb függvény kombináció használandó, jelen esetben is a két megfelelően transzformált tangens hiperbolikusz függvény összege adhat várhatóan megbízhatóan jó regressziót 1-hez közeli korrelációs együtthatóval, és jól értelmezhető és értékelhető paraméterekkel. A matematikai alak: =tanh A számítógépi alak: = tanh tanh A változók: var1= a megnyújtás (mm) var= a feszítő erő (N 1 ) Az adatsort, a regressziós eljáráshoz szükséges kezdőértékeket, a nyert paraméter értékeket, a korrelációs együtthatót és az értelmezéseket az alábbi táblázatok tartalmazzák:

28 8 Példa 1. Adatok Var 1,31 3 1,,3,9,13 5,,58 5,5 1,97 7,85 3,9 8 8,15 5, 9 9, 5,3 1 1,77 5,3 11 1,8 1 13,38 Kezdőértékek: b=b5=b3=b=b=1 b=5 b1=1 (módosított értékek) Az illesztés számítási eredményei: Model: var=b*tanh(b5*(var1-1*b))+b3*tanh(b*(var1-1*b1)... (feszítőerő) Dep. var: Var Loss: (OBS-PRED)** Final loss:,19 R= 1, Variance explained: 1,% N=1 b b5 b b3 b b1 b Estimate,77871,591957,5157 -,73, ,3117 -,973 Értelmezés: Ha b>b1 akkor z= HI$>! =a legnagyobb feszítő erőhöz tartozó megnyújtás H$> (mm) értéke. J= tanh5 J 1 +3 tanh J 1 1+ = a legnagyobb feszítő erő (a szakadást létrehozó erő). Az illesztés grafikus reprezentációja:

29 9 Model: var=b*tanh(b5*(var1-1*b))+b3*tanh(b*(var1-1*b1))+b y=(,7787)*tanh((,591957)*(x-1*(,51)))+(-,7)*tanh((,378)*(x-1*(11,3 1)))+(-,97e-3) C: Radioaktív sugárintenzitás A tizenegyedik adatsor a radioaktív anyag idő függvényében észlelhető sugárintenzitásának értékeit tartalmazza. Az adott értékpár sorozat áttekintése alapján könnyen megállapítható, hogy egy negatív exponenciális függvény illesztése lehet a megfelelő. Mivel az ilyen jellegű vizsgálatoknál a felezési idő meghatározása is elemi követelmény, ezért a matematikai alak megfelelő transzformálása szükséges. A matematikai alak: = + / (vagy: = + > / ) A számítógépi alak: =/1 1/ (vagy =/ 1/ ) A változók: var1= az idő (hónap) var= a sugárintenzitás (1 Bq) Az adatsort, a regressziós eljáráshoz szükséges kezdőértékeket, a nyert paraméter értékeket, a korrelációs együtthatót és az értelmezéseket az alábbi táblázatok tartalmazzák:

30 3 Példa 11. Adatok Var 1 8 1,3 3,9 3 3,88 5 3,9 5, 7 1, , ,18 1 9,9 11 1,73 Kezdőértékek: b=1 b1=b= (módosított értékek) Az illesztés számított paraméterei és a korrelációs együttható: Model: var=b/b1^(var1/b) (felezésiidő) Dep. var: Var Loss: (OBS-PRED)** Final loss:,9773 R=,99998 Variance explained: 99,99% N=11 b b1 b Estimate 7,9937,188,93119 Értelmezések: A megoldás akkor érvényes, ha 1,98<b1<,. Ekkor a felezési idő: b, a kezdeti intenzitás b. Az illesztés grafikus reprezentációja:

31 31 9 Model: var=b/b1^(var1/b) y=(7,9937)/(,188)^(x/(,931)) 8 7 C: Toboztömeg változás A tizenkettedik adatsor modellkísérletként a fenyőtoboz időbeli tömegváltozásának adatait mutatja. Az adatsor áttekintése az értékváltozásokkal kapcsolatban nem látszik elegendőnek a megfelelő függvény megkereséséhez. Mindenképpen célszerű az adatpárokból nyert pontok grafikus ábrázolása. Látható, hogy a folyamatot ábrázoló és illesztendő függvény egy kezdeti értékből indul, két inflexiós pontot is tartalmaz, maximumot is megad, majd egy határérték felé tart. A használható függvény az eddigiekben nem alkalmazott és nem ismert matematikai formulájú, és az előbbiekben felsorolt feltételeknek eleget tesz. A matematikai alak: =sin1 ). +C A számítógépi alak: = sin A változók: var1 = az idő (hónap) var = a fenyőtoboz tömege (g) Az adatsort, a regressziós eljáráshoz szükséges kezdőértékeket, a nyert paraméter értékeket, a korrelációs együtthatót és az értelmezéseket az alábbi táblázatok tartalmazzák:

32 3 Példa 1. Adatok Var 1 1,5 1, ,1 5, ,9 13, , 8 8, ,3 1 1, ,9 1 1, , , , , , , ,3 1, , 13, ,1 13, 5 5 1,93 Kezdőértékek: b=b3=b=b1=b= A paraméter értékek és a korrelációs együttható: Model: var=b*sin(b3*(1-exp(-1*(b*var1)^b1)))+b (fenyőtoboztömegváltozá Dep. var: Var Loss: (OBS-PRED)** Final loss:,8393 R=,9999 Variance explained: 99,993% N=5 b b3 b b1 b Estimate,97139,133,8995,3199,31 Értelmezések: b+b= a legnagyobb tömeg (g) akkor, ha b3>π/ 1/b= a legnagyobb tömeghez tartozó időpont (hónap) közelítő értéke b+bsinb3= a végső tömeg (g) b1= a változás sebességét befolyásoló tényező. Általánosságban: b+b= az elért legnagyobb var érték (lokális maximum) akkor, ha b3>π/ b+bsinb3= a végső var érték (határérték)

33 33 =! >K ahol x az a var1 érték, amelyhez a! >KL legnagyobb (b+b) var érték tartozik A következő formula M = NO NO#,##!! x v értéke a végső var értéktől (a határértéktől) 1 %-nál kisebb értékkel való eltérés tartományának kezdete. Az illesztés grafikus reprezentációja: 8 Model: var=b*sin(b3*(1-exp(-1*(b*var1)^b1)))+b y=(,971)*sin((,133)*(1-exp(-1*((,8995)*x)^(,3))))+(,31) C:C:1C:C:C: C: I.és IV. fatermési osztály vizsgálata akác esetén Az alábbiakban néhány olyan példa kerül bemutatásra, melyek esetében az adatsor nem modellezett. Az Erdészettudományi Közlemények évfolyam 1. számából származnak. Rédei K., Csiha I. et al.: Nyírségi akácosok táji fatermési táblája című cikkükből. A fatermési táblából az I. és IV-es fatermési osztály adatait vizsgáljuk. Minkét fatermési osztály esetében a változók az alábbiakat jelölik: var1 = az idő (év) var = átlagos magasság (m) var3 =átlagos mellmagassági átmérő (cm) var = fatérfogat (m 3 )

34 3 var5= átlagnövedék (m 3 /év) var = folyónövedék (m 3 /év) A var, var3 és var értékek az egész állományra vonatkoztatottak, var5 és a var pedig az összes fatermésre. Az alábbi táblázatok tartalmazzák a felhasznált adatsorokat. I.fatermési osztály VAR1 VAR VAR3 VAR VAR5 VAR 1 5, 7, 5, 1, 8,3, 1, 13,1 1, 11, 1,9 17,5 3 15, 17, 15,3 19, 1,3 17,,,8 19, 17, 1,5 15, 5 5, 3,1,8 59, 1, 13, 3,,7 5, 9, 13, 1, 7 35, 5,8 8, 33, 1,9 8,7 8,, 3,1 35, 1,3 7, 9 5, 7,3 3,1 378, 11,7 7,5 IV. fatermési osztály VAR1 VAR VAR3 VAR VAR5 VAR 1 5,,9 3,,,3, 1, 8,9,7,, 8,5 3 15, 11,9 1,3 89, 7,1 8,, 1, 13, 11, 7, 7, 5 5, 15,7 15, 13, 7,1,5 3, 1,8 17,5 15,,8 5,3 7 35, 17, 19,1 19,,,3 8, 18,1, 183,,1 3,8 9 5, 18,, 198, 5,8 3,8 Az alkalmazott regressziós függvények var, var3 és var mint függő változó var1 (idő) mint független változó esetén az alábbi: A matematikai alak: =1 + (Awrami-görbe) A számítógépes alak: Q= A var5 és var mint függő változó var1 (idő) függvényében az alkalmazott modell a következő: A matematikai alak: =sin1 ). +C A számítógépi alak: Q= sin A kezdőértékek mind a két fatermési osztály esetében var=f(var1), var3=f(var1) illetve var=f(var1) illesztéseinél b3=b=b1=b=1. A var5=f(var1) illetve var=f(var1) regressziójánál az I. fatermési osztálynál b=b=, míg b3=b=b1=1, a IV. fatermési osztály adatsorának használatakor b=b3=b=b1=1, b=.

35 35 Az alábbi táblázatok az illesztés során kapott paraméter értékeket és a korrelációs együtthatókat tartalmazzák, az ábrák grafikusan reprezentálják az eredményeket. Az I. fatermési osztály eredményei: Model: var=b3*(1-exp(-1*((b*var1)^b1)))+b (akác1) Dep. var: VAR Loss: (OBS-PRED)** Final loss:, R=,99998 Variance explained: 99,995% N=9 b3 b b1 b Estimate 8,7539,7 1, -, Model: var=b3*(1-exp(-1*((b*var1)^b1)))+b y=(8,7537)*(1-exp(-1*(((,7)*x)^(1,))))+(-,7115) 15 C: VAR1

36 3 Model: var3=b3*(1-exp(-1*((b*var1)^b1)))+b (akác1) Dep. var: VAR3 Loss: (OBS-PRED)** Final loss:, R=,99987 Variance explained: 99,97% N=9 b3 b b1 b Estimate,75,379 1,8118 -, Model: var3=b3*(1-exp(-1*((b*var1)^b1)))+b y=(,75)*(1-exp(-1*(((,379)*x)^(1,81))))+(-,51935) 15 1 C: VAR1

37 37 Model: var=b3*(1-exp(-1*((b*var1)^b1)))+b (akác1) Dep. var: VAR Loss: (OBS-PRED)** Final loss: 3, R=,99979 Variance explained: 99,957% N=9 b3 b b1 b Estimate 11,,937, ,179 5 Model: var=b3*(1-exp(-1*((b*var1)^b1)))+b y=(11,)*(1-exp(-1*(((,937)*x)^(,759))))+(-117,18) 3 C: VAR1

38 38 Model: var5=b*sin(b3*(1-exp(-1*(b*var1)^b1)))+b (akác1) Dep. var: VAR5 Loss: (OBS-PRED)** Final loss:,717 R=,9999 Variance explained: 99,98% N=9 b b3 b b1 b Estimate 5,39779,59,58,859-1, Model: var5=b*sin(b3*(1-exp(-1*(b*var1)^b1)))+b y=(5,3978)*sin((,59)*(1-exp(-1*((,58)*x)^(,859))))+(-1,8) C: VAR1

39 39 Model: var=b*sin(b3*(1-exp(-1*(b*var1)^b1)))+b (akác1) Dep. var: VAR Loss: (OBS-PRED)** Final loss:, R=,9983 Variance explained: 99,7% N=9 b b3 b b1 b Estimate 359,11 1,857,537, ,1 5 Model: var=b*sin(b3*(1-exp(-1*(b*var1)^b1)))+b y=(359,1)*sin((1,857)*(1-exp(-1*((,537)*x)^(,57377))))+(-31,) C: VAR1

40 A IV. fatermési osztály eredményei: Model: var=b3*(1-exp(-1*((b*var1)^b1)))+b (akác) Dep. var: VAR Loss: (OBS-PRED)** Final loss:,195 R=,9999 Variance explained: 99,99% N=9 b3 b b1 b Estimate 19,37,3955 1,835, Model: var=b3*(1-exp(-1*((b*var1)^b1)))+b y=(19,371)*(1-exp(-1*(((,3955)*x)^(1,83))))+(,885) 1 8 C: VAR1

41 1 Model: var3=b3*(1-exp(-1*((b*var1)^b1)))+b (akác) Dep. var: VAR3 Loss: (OBS-PRED)** Final loss:, R=,9997 Variance explained: 99,951% N=9 b3 b b1 b Estimate,9811,3553 1,133 -, Model: var3=b3*(1-exp(-1*((b*var1)^b1)))+b y=(,9811)*(1-exp(-1*(((,3553)*x)^(1,133))))+(-,8) C: VAR1

42 Model: var=b3*(1-exp(-1*((b*var1)^b1)))+b (akác) Dep. var: VAR Loss: (OBS-PRED)** Final loss:, R=,99989 Variance explained: 99,978% N=9 b3 b b1 b Estimate 51,389,183,5158-5, Model: var=b3*(1-exp(-1*((b*var1)^b1)))+b y=(51,387)*(1-exp(-1*(((,183)*x)^(,5158))))+(-5,75) 1 8 C: VAR1

43 3 Model: var5=b*sin(b3*(1-exp(-1*(b*var1)^b1)))+b (akác) Dep. var: VAR5 Loss: (OBS-PRED)** Final loss:,5131 R=,9991 Variance explained: 99,93% N=9 b b3 b b1 b Estimate 9,95573,53,538, , Model: var5=b*sin(b3*(1-exp(-1*(b*var1)^b1)))+b y=(9,9557)*sin((,53)*(1-exp(-1*((,538)*x)^(,71575))))+(-,7137) C: VAR1

44 Model: var=b*sin(b3*(1-exp(-1*(b*var1)^b1)))+b (akác) Dep. var: VAR Loss: (OBS-PRED)** Final loss:,78759 R=,99771 Variance explained: 99,53% N=9 b b3 b b1 b Estimate 11,381 1,98,19175,333-11,5 1 Model: var=b*sin(b3*(1-exp(-1*(b*var1)^b1)))+b y=(11,381)*sin((1,95)*(1-exp(-1*((,19175)*x)^(,333))))+(-11,51) C: VAR1 A fenti eredmények jól igazolják, hogy az alkalmazott regressziós modellek a szakirodalomból származó adatsorokra jól illeszthetők (r >,9977). A kezdőértékek meghatározása lényegesen egyszerűbb mint a korábban felsorolt növekedési függvények esetén, a paraméterek a már említettek szerint értelmezhetők. 1. Hat fatermési osztály összefoglaló vizsgálata akác esetén Az alábbi példában a hat fatermési osztály teljes állományra vonatkozó átlagos famagasság adatait elemezzük az idő függvényében. A telítési függvény kerül felhasználásra, var1= az idő (év), var(k) k=,3,,5,,7 a hat fatermési osztály átlagos famagassági adatsorai (m). Összesített táblázat a hat fatermési osztály átlagos famagasságára:

45 5 Átlagos famagasság az idő függvényében Var Var3 Var Var5 Var Var ,,5 5,7,9,1 3,3 1 13,1 11,7 1,3 8,9 7,5, , 15,7 13,8 11,9 1,1 8,,8 18, 1, 1, 1 9, ,1,7 18, 15,7 13,3 1,8 3,7,1 19, 1,8 1, 11, ,8 3,3 17, 1,8 1,1 8, 3,7,9 18,1 15,3 1, ,3, 1,5 18, 15,7 1,8 A kezdőértékek b3=b=b1=b=1. Az illesztés eredményei: Model: var=b3*(1-exp(-1*((b*var1)^b1)))+b (akac1-magassag) Dep. var: Var Loss: (OBS-PRED)** Final loss:, R=,99998 Variance explained: 99,995% N=9 b3 b b1 b Estimate 8,753,7 1, -,7113 Model: var3=b3*(1-exp(-1*((b*var1)^b1)))+b (akac1-magassag) Dep. var: Var3 Loss: (OBS-PRED)** Final loss:,58999 R=,99993 Variance explained: 99,98% N=9 b3 b b1 b Estimate 5,391, 1,19,98 Model: var=b3*(1-exp(-1*((b*var1)^b1)))+b (akac1-magassag) Dep. var: Var Loss: (OBS-PRED)** Final loss:,381 R=,99995 Variance explained: 99,99% N=9 b3 b b1 b Estimate,37,1 1,831,1598 Model: var5=b3*(1-exp(-1*((b*var1)^b1)))+b (akac1-magassag) Dep. var: Var5 Loss: (OBS-PRED)** Final loss:,195 R=,9999 Variance explained: 99,99% N=9 b3 b b1 b Estimate 19,37,3955 1,835,885 Model: var=b3*(1-exp(-1*((b*var1)^b1)))+b (akac1-magassag) Dep. var: Var Loss: (OBS-PRED)** Final loss:,13198 R=,99995 Variance explained: 99,99% N=9 b3 b b1 b Estimate 1,97,5 1, ,131

46 Model: var7=b3*(1-exp(-1*((b*var1)^b1)))+b (akac1-magassag) Dep. var: Var7 Loss: (OBS-PRED)** Final loss:, R=,99999 Variance explained: 99,998% N=9 b3 b b1 b Estimate 13,189,198 1,3971 -,115 Az adatokból jól látható b3+b-ból pedig számítható a magasság határértéke, melyet jelentősen nem lép már túl az átlagmagasság. Az értékek csökkenése jól jellemzik az egyes fatermési osztályokat. Az alábbi összesített ábra is ezt támasztja alá. 3 Model: var(k)=b3*(1-exp(-1*((b*var1)^b1)))+b C: C: C: C: C: C: Az átlagos famagassághoz hasonlóan az összes fatermés átlagnövedéke is vizsgálható, az illesztésnél itt a már korábban bemutatott összetett függvény alkalmazása célszerű, nevezetesen az =sin1 ). +C függvényé.

47 7 A hat fatermési osztály adatait az alábbi táblázat tartalmazza, var1= az idő (év) var(k) k=,3,,5,,7 a hat osztály átlagnövedéki adatsora: Összes fatermés átlagnövedéke Var Var3 Var Var5 Var Var ,3,8 5,5,3 3,3, 1 1,9 1,5 8,3,,7 3, ,3 11, 9, 7,1 5, 3, 1,5 11,8 9, 7, 5,3 3, , 11, 9, 7,1 5, 3, 3 13, 11,1 8,8,8 5 3, ,9 1,5 8,,,7 3,3 8 1,3 1 7,9,1, 3, ,7 9,5 7, 5,8,3 3 A kezdőértékeket az alábbi táblázat mutatja: Fatermési b b3 b b1 b osztály I II III IV V VI ,5 Az illesztés eredményei, a paraméterek és korrelációs együtthatók: Model: var=b*sin(b3*(1-exp(-1*(b*var1)^b1)))+b (átlagnövedék1-) Dep. var: Var Loss: (OBS-PRED)** Final loss:,719 R=,9999 Variance explained: 99,98% N=9 b b3 b b1 b Estimate 5,3971,5,58,8588-1,85 Model: var3=b*sin(b3*(1-exp(-1*(b*var1)^b1)))+b (átlagnövedék1-) Dep. var: Var3 Loss: (OBS-PRED)** Final loss:,91351 R=,9997 Variance explained: 99,953% N=9 b b3 b b1 b Estimate,137,7151,53887,135-1,315 Model: var=b*sin(b3*(1-exp(-1*(b*var1)^b1)))+b (átlagnövedék1-) Dep. var: Var Loss: (OBS-PRED)** Final loss:,7989 R=,9995 Variance explained: 99,931% N=9 b b3 b b1 b Estimate 1,7781,73,5331,7815-3,3798 Model: var5=b*sin(b3*(1-exp(-1*(b*var1)^b1)))+b (átlagnövedék1- Dep. var: Var5 Loss: (OBS-PRED)** Final loss:,5131 R=,9991 Variance explained: 99,93% N=9 b b3 b b1 b Estimate 9,957,53,538, ,7131

48 8 Model: var=b*sin(b3*(1-exp(-1*(b*var1)^b1)))+b (átlagnövedék1-) Dep. var: Var Loss: (OBS-PRED)** Final loss:,131 R=,9983 Variance explained: 99,7% N=9 b b3 b b1 b Estimate,9575,5551,5117,9535,3913 Model: var7=b*sin(b3*(1-exp(-1*(b*var1)^b1)))+b (átlagnövedék1-) Dep. var: Var7 Loss: (OBS-PRED)** Final loss:,39157 R=,9985 Variance explained: 99,7% N=9 b b3 b b1 b Estimate 3,5978,73953,811,7998,97 A korrelációs együtthatók itt is meghaladják a,998 értékét, ami szoros illeszkedésre utal. A paraméterekből b+b megkapjuk a maximális var(k), átlagnövedék értéket. Számítható továbbá akár az a határ var1-re, az időre, ami a végső var(k) értéktől (a határértéktől) 1 %-nál kisebb értékkel való eltérés tartományának kezdete. Az alábbi összesített ábra akár az átlagos famagasság esetén is jól mutatja föntről lefelé egytől hatig az egyes fatermési osztályok közötti eltérést az átlagnövedékre Model: var(k)=b*sin(b3*(1-exp(-1*(b*var1)^b1)))+b C: C: C: C: C: C: A bemutatott példák alapján látható, hogy a két alkalmazott modell felhasználásával az összehasonlítás lehetősége adott mind számszerűsített formában mind pedig vizuálisan.

49 9 Összefoglaló az alkalmazott modellekből =1 + (Awrami-görbe) Lehetséges görbealakok:, Function Plot Function = y=3,*(1-exp(-1*(,85*x)^,7)), Function Plot Function = y=3,*(1-exp(-1*(,17*x)^5,7)) 3,5 3,5 3, 3,,5,5 Y, Y, 1,5 1,5 1, 1,,5,5, X, X, Function Plot Function = y=3,*(1-exp(-1*(,17*x)^15,7)) 5,5 Function Plot Function = y=-3,*(1-exp(-1*(,17*x)^1,7))+5 3,5 5,,5 3,,,5 3,5 Y, Y 3,,5 1,5, 1, 1,5,5 1,,5, X, X + = + (Gauss-görbe) Lehetséges görbealakok:, % /- Y Function Plot Function = y=,/exp((,8*(x-1*8,3))^)+,5 5,,5, 3,5 3,,5, 1,5 1,,5, X Y Function Plot Function = y=-,/exp((,8*(x-1*8,3))^)+7,5 8, 7,5 7,,5, 5,5 5,,5, 3,5 3,,5, 1,5 1,,5, X

50 5 =tanh =+ Lehetséges görbealakok: Function Plot Function Plot,5 Function = y=* tanh(1,5*(x-))+ 1, Function = y=,5* tanh(,*(x-5))+,5, 1, 3,5 3,,8,5 Y Y,, 1,5, 1,,,5, X, X Y Function Plot Function = y=-,* tanh(,*(x-5))+1,5, 1,9 1,8 1,7 1, 1,5 1, 1,3 1, 1,1 1,,9,8,7,,5,,3,,1, X = +,% /-+ Görbealak: = =+ Görbealak: Function Plot Function Plot 1 Function = y=,5/exp(1,*(x-3))+5 8 Function = y=1,5* log(*(x-)) Y Y X X

51 51 = > += Lehetséges görbealakok: 1 Function Plot Function = y=,5*(x-3,5)^+,5 1 Function Plot Function = y=-*(x-,5)^ Y 8 Y X X 18 Function Plot Function = y=-1*x*(x-8) Y 8 8 X = + Lehetséges görbealakok: (d pozitív nem egész érték) $ ). 1, Function Plot Function = y=*x/(1,7+(*x)^1,17) 1, Function Plot Function = y=*x/(,7+(*x)^3,17) 1, 1, 1, 1,,8 1, Y,, Y,8,,,,, 8 1 X, X

52 5 =sin =+ Görbealak: = + / Görbealak:, Function Plot Function = y=,7*sin(1,5*(x-3,17))+1,, Function Plot Function = y=,/1,9^(x/,95),, 1,8, 1, 1,8 1, 1, Y 1, 1,,8, Y 1, 1, 1,,8,,,,,, X, X =tanh Lehetséges görbealakok: 7 Function Plot Function = y=,5* tanh(,*(x-5))+(-,)* tanh(9*(x-1))+1 7 Function Plot Function = y=3* tanh(,5*(x-))+(-,5)* tanh(*(x-1)) Y Y X X Y Function Plot Function = y=-* tanh(,5*(x-))+(,5)* tanh(*(x-1)) X Y Function Plot Function = y=7* tanh(,5*(x-))+(-1,5)* tanh(*(x-1))+5, X

53 53 =sin1 ). +C Lehetséges görbealakok: 1 Function Plot Function = y=9*sin(,5*(1-exp(-1*(,3*x)^,7))) 9 Function Plot Function = y=*sin(3,*(1-exp(-1*(,5*x)^3,7))) Y Y X 8 1 X 1 Function Plot Function = y=-1*sin(,5*(1-exp(-1*(,*x)^,7)))+1 1 Function Plot Function = y=-1*sin(,1*(1-exp(-1*(,*x)^,8))) Y Y X X A fenti összefoglalóban nyilván nincs lehetőség arra, hogy a paraméterek összes lehetséges változtatása révén keletkező ábra bemutatásra kerüljön, inkább néhány jellegzetes eset került kiválasztásra.

54 5 Tartalomjegyzék Bevezetés. 1.1 Telítési függvény (Awrami) Bertalanffy növekedési függvénye Mitscherlich növekedési függvénye.. 1. Richards növekedési függvénye Chapman-Richard függvény Colin-Fokasz függvény. 1. Rönkleltár 1 3. Faanyagszárítás 13. Anyaglehülés Hangerő ingerérték Lövedékpálya Lázgörbe Napi levegő hőmérséklet Ötvözet vezetőképesség Huzalfeszítés Radioaktív sugárintenzitás Toboztömeg változás I.és IV. fatermési osztály vizsgálata akác esetén Hat fatermési osztály összefoglaló vizsgálata akác esetén.... Összefoglaló az alkalmazott modellekről....9