FÜGGVÉNYEK. Hozzárendelések

Átírás

1 FÜGGVÉNYEK Hozzárendelések 469. A rendezett párok a következõk lehetnek: (; ), (; ) (4; ), (4; ), (4; 4) (6; ), (6; ), (6; ), (6; 6) (8; ), (8; ), (8; 4), (8; 8) a) A az egyetlen olyan páros szám aminek pontosan két osztója van. Ezért a az egyetlen páros prím. b) A felhasznált egyjegyû páros számok közül a 6 és a 8 is négy osztóval rendelkezik. c) A reláció nem függvény, hiszen egy számhoz több számot is rendelhetünk A = {; ; 5; 7; 9} Alkossunk rendezett (a; b) elempárokat, ahol b az a pozitív osztóinak a számát jelentse: (; ), (; ), (5; 4), (7; ), (9; ) a) A halmazból egyedül a 5 lesz összetett szám, azaz az összes többi prím. A 5-nek 4 pozitív osztója van. b) A megadott hozzárendelés függvény. 47. a) A verseny végeredménye 4 féleképpen alakulhatott, hiszen az elsõ helyre négy, a másodikra három, a harmadikra kettõ, az utolsó helyre már csak egy lehetõség adódhat. Ezek szorzata adja a végeredményt. b) Mivel Antal nem lett elsõ, és Béla második lett, ezért az elsõ helyen ketten végezhettek. A második Béla lett. A harmadik helyen szintén ketten végezhettek, az utolsó helyen így már csak egy lehetõség marad. A lehetséges sorrendek száma: = a) A relációk megadására használhatunk rendezett számpárokat, nyíldiagrammot, táblázatot vagy koordináta-rendszerben is ábrázolhatjuk az egymáshoz tartozó értékeket. Néhány példa:. (-; ), (0; ), (; ).. A B 0 7

2 FÜGGVÉNYEK b) A lehetséges számpárok: (-; ), (-; ), (-; ), (0; ),- (0; ), - (0; ) (; ) 47. Adjuk meg a hozzárendelés táblázatát: Mivel a - œb, ezért az -hez nem tudunk hozzárendelni egy értéket sem. Ezért a megadott hozzárendelés nem függvény a) A hozzárendelés függvény lesz. b) A hozzárendelések megadásánál arra kell ügyelnünk, hogy ha megadjuk a két alaphalmazt (A és B) és közöttük függvény kapcsolatot (A Æ B) szeretnénk létesíteni, akkor A minden egyes eleméhez B-bõl pontosan egy elemet rendelhetünk hozzá. Pl.: A = {; ; } B = {0; ; ; } Ha minden a ŒA-hoz hozzárendeljük b ŒB-t úgy, hogy b az a pozitív osztóinak száma legyen, akkor függvényt kapunk. Nem kapunk akkor függvényt, ha a ŒA-hoz a pozitív osztóit rendeljük hozzá A keletkezõ párok függnek attól, hogy a számokat milyen elrendezésben helyezzük a kocka éleire. Mi csak egy lehetõséget mutatunk be. a) {; ; 9; } halmazból képezhetõ számpárok: lehetõség. {5; 6; 7; 8} halmazból képezhetõ számpárok: lehetõség. {; 4: 0; } halmazból képezhetõ számpárok: lehetõség. Így összesen 6 számpár írható fel. b) Minden csúcsban él találkozik. Pl.: {; 4; 5} halmazból 6 rendezett számpár írható fel: (; 4), (; 5), (4; ), (4; 5), (5; ), (5; 4). Mivel 8 csúcs van így összesen 48 rendezett számpár írható fel. c) Minden élhez 4 másik kitérõ él tartozik. Pl. az -es élhez tartozó kitérõ élek: 7; 8; 0;. Ezek meghatározzák a következõ rendezett elempárokat: (; 7), (; 8), (; 0), (; ). 4 féle számpár. Ezt minden kiválasztott él esetén el tudjuk végezni, és mivel összesen él van, ezért az össze rendezett szápár 48 féle lehet. d) Mivel a kocka minden éle egyenlõ hosszúságú, így az összes lehetséges módon felírhatjuk a számpárokat. Ezek száma: = 44 lesz. (Itt azok a számpárok is létrejönnek, amelyeknek mindkét eleme ugyanaz. Pl.: (; ), (; )...) 476. a) (6; ), (7; ), (7; ), (8; ), (8; ), (8; ) (9; ), (9; ), (9; ), (9; 4). 8

3 HOZZÁRENDELÉSEK b) A lehetséges számpárok: (; ), (; ),... (; 9) 9 db (; ), (; ),... (; 9) 9 db (; ), (; ),... (; 9) 9 db (4; ), (4; ),... (4; 9) 9 db (; ), (5; ),... (5; 9) 8 db (; ), (6; ),... (5; 9) 7 db (; ), (9; 6),... (5; 9) 4 db Összesen: 66 számpár. c) Nem igaz, hiszen egyikben sem soroltunk fel például olyan eseteket, amikor a - b = a) Az A Æ B típusú hozzárendelések megadásához elõször meghatározzuk az (a; b) rendezett elempárok számát, ahol a ŒA és b ŒB. Legyen ezek halmaza H. H elemeinek száma: = 9. Minden hozzárendelés megfelel ezen H halmaz egy részhalmazának. Például: hozzárendelés megfelel a {(0; ), (0; 4), (0; 6)} részhalmaznak. Ezek szerint a lehetséges hozzárendelések száma annyi ahány részhalmaza egy 9 elemû halmaznak van, azaz 9 = 5. (Itt figyelembe vettük azt az esetet,a mikor A egy eleméhez sem rendelünk hozzá a B halmazból elemet.) b) Például: f: AÆ B; A = {; ; ; 4; 5; 6; 7; 8; 9} a) (a; b) létezik, ha b osztható a-val. Ezek a párok: (; ), (; ), (; ), (; 4), (; 5), (; 6), (; 7), (; 8), (; 9) (; ), (; 4), (; 6), (; 8) (; ), (; 6), (; 9) (4; 4), (4; 8). 8 rendezett számpár létezik b) (a; b) létezik, ha a többszöröse b-nek. Az a) részben felsorolt 8 számpárt kell felsorolni, csak fordított sorrendben. Azok az elempárok teljesítik mindkét feltételt, amelyeknél a = b teljesül. Ezek (; ), (; ), (; ), (4; 4). Vannak olyan elempárok amelyek nem szerepelnek a felsorolásban. Pl.: (; 5), (; 7) stb. 9

4 FÜGGVÉNYEK 479. A megoldásokban csak egy lehetséges hozzárendelést adunk. Természetesen ettõl eltérõ helyes megoldások is léteznek. a) A Æ B; A B b) A Æ B; + A B c) A Æ B; prímosztói és az. A B A megadott hozzárendelések közül a c) nem lesz függvény. 0

5 HOZZÁRENDELÉSEK 480. a) b) A legmagasabb hõmérsékletet 4 óra környékén C-nak mérték. A legalacsonyabb hõmérséklet -4 C és 4 óra idõpontok között volt mérhetõ. c) Az átlaghõmérséklet: T átlag = +, , ( - ) + ( - ) + ( -, 5) + ( - ) + ( -, 5) + ( - 4) + ( - 4) ª ª-077, C 48. a) A pontokat összekötve szemléltethetõ az évek során bekövetkezõ változások minõsége.

6 FÜGGVÉNYEK 48. a) b) 970-es év kezdetétõl az 984-es év végéig 5 év telik el. Mivel a 70-es években nem ismerünk adatokat, ezért itt az évtizedre kell az 980 és 970-ben adódó termelés különbségét venni. Így az évenkénti átlagos növekedés: ( 499-4) + ( ) + ( 4-504) + ( 77-4) + ( 87-77) = = = ª 96,. 5 Ez azt jelenti, hogy az évenkénti átlagos növekedés közel 0 ezer db hûtõszekrény volt. b) Az évenkénti átlagos napfénytartalom: = 60, a) A gép a t = 0 min, és t = min idõpillanatban volt a legmagasabban (000 m). b) A repülés percig tartott. c) A legtovább az 500 m magasságon tartózkodott, 4 percen keresztül. d) perc: folyamatosan emelkedett kb. 850 m magasságig perc: kb. 850 m magasságban marad perc: kb. 000 m magasságba emelkedik. 0 - perc: kb. 500 m magasságra süllyed. - 6 perc: kb. 500 m magasságban marad. 6 - perc: kb. 500 m-rõl 000 m magasságra emelkedik. - perc: kb. 000 m-rõl leszállásig süllyed a) 00 m. b) 4 perc alatt. c) percig. d) Menet közben a percenként megtett útja: 00 4 e) A percenként átlagosan megtett út: m = 60 m Az egymáshoz tartozó értékeket foglaljuk táblázatba: a) Magasság (km) Hõmérséklet ( C) km - C 6km - C b) Hõmérséklet ( C) 5 C 0 C Magasság (km) 0, km,6 km m = 75 m. 8km -9 C -5 C 6, km (A leolvasott értékek természetesen csak jó közelítésnek vehetõk.) felszínen 6 C -40 C 8, km

7 HOZZÁRENDELÉSEK 486. Többféle kapcsolat is létezik. Mi mindegyik esetben mutatunk egy lehetõséget. a) Ha a ŒA b ŒB, akkor b) Ha a ŒA; b ŒB és c ŒC, c) Ha a ŒA és b ŒB, akkor észrevehetõ pl. hogy akkor a + b + c = 80. a 60 = b, ezért: a + b = 90. Ezt felhasználva kitölt- a 60 a A megfeleltetés: hetõ a táblázat. Az utolsó a 90 - a. A B oszlopba tetszõleges érték helyettesíthetõ. A B C a 54 6 a 487. A gép szabályára egy lehetséges megoldás: a) + «= ª b) + «= ª «ª helyére tetszõleges szám írható Egy lehetséges megfeleltetés: y = tizedestört alakja «ª A 7 B y , 04, 0, 06,, 6, 05, 05, Egy-egy lehetséges szabály lehet a következõ: a) (a + b) = c b) 4a = b c) (a + b) + c = d

8 FÜGGVÉNYEK a b c a b d) = y e) 0 + = y f), 5, 5, 8,,,, 7 y 4, 0, 0, 56, 64, 4, 6 5, 4, 5, 44, 40, 90,, 08, y 6 5, 4 4 9, 9 a b c d = y y 6, 06, 7, 07,, 5, 4 54, 5 05, 0, 0, 0, 490. Néhány megfelelõ pont: P (; ) ; P (; 4) ; P (5; 7) y A hozzárendelés szabálya: Minden olyan P(; y) pont megfelelõ, ahol = y. Pl.: P (; ) ; P (7; 7) ; P (00; 00)... y 4 4 A hozzárendelés szabálya:. 49. Az ábráról leolvasható, hogy minden olyan pont megfelelõ, amelyre vagy = y, vagy - = y teljesül. Ezek a pontok a koordináta-rendszer tengelyei által bezárt szöget megfelezõ egyenesre illeszkednek. y P( ; y) = y P( ; y) - = y 4

9 HOZZÁRENDELÉSEK 49. Az részét azaz 4 km-t. 0 4 km t = = h alatt teszi meg. km 0 5 h B faluba óra 0 perckor érkezik meg Az elsõ táblázat hozzárendelési szabálya: y = vagy. y A második táblázat egy lehetséges hozzárendelési szabálya: +, ha 0, és -, ha < 0. y Néhány megfelelõ pont: P (; 4), P (6; ), P (-; -4), P 4 (-; 4), P 5 (; -6), P 6 (6; -). Ezek a koordináta-rendszerben olyan egyenesen helyezkednek el amelyik illeszkedik az origóra. A hozzárendelési szabály: vagy -. P''( ; - ) P'( ; ) 496. a) y y, 9, 5, 0, 0 08, 6, 7, 07, 0, 05, 0 08, 0 08, 06, 0 07, 0 0 5

10 FÜGGVÉNYEK y = [ ] y = {} b) A két függvény alapján az y + y grafikonja is megszerkeszthetõ! A függvények definíciója alapján is nyilvánvaló, hogy y = y + y = {} + [] = a) A táblázat a helységek és köztük felvehetõ utak összeszámlálása alapján kitölthetõ: b) y Minden helységbõl - út indul ki, és mivel minden útnak két vége van, ezért az összes út ( -) száma: y = Az origóra vonatkozó tükrözés szintén az A B szakaszt határozná meg. 6

11 HOZZÁRENDELÉSEK 499. A megfelelõ értékpárokat foglaljuk táblázatban! ( + ) a) f( )=- Ê ˆ A Á ; - Ë 5 0 A ( 00 ; ) A ( 4; - 7) b) g( )=- + B ( 7 ; ) Ê 5 ˆ B Á ; - Ë Ê 99 ˆ B Á ; Ë c) h ( )= - C (-0 ; ) C C Ê Á Ë ˆ Ê ˆ ;- C ; vagy Á- - Ë ( 5; 00) vagy C (- 5; 00) d) Ê D 0; ˆ Á Ë 7

12 FÜGGVÉNYEK Ê 7 ˆ D Á- ; - Ë D ( ; ) = estén a függvény nincs értelmezve! 50. a) Az A(; ) pont a grafikon egy pontja, ezért: f() =, de f() = a a = fi a =. b) A két pont alapján felírható a következõ egyenletrendszer: 4= a + b 40 = a ( - ) + b Ezt megoldva a = és b = adódik. c) A két pont alapján: 5= a ( - ) + b = a + b Ez alapján a = és b = 7; vagy a =- és b = 7 adódik. 50. a) A táblázat alapján bármely π 0 és π 0 értéket is választunk ki, teljesül a következõ: : = f( ): f( ) b) f() = 8

13 HOZZÁRENDELÉSEK c) f ( )= 50. Az tengelyre illeszkedõ pontok második koordinátája (ordinátája) 0: Pl. (; 0). Az y tengelyre illeszkedõ pontok elsõ koordinátája (abszcisszája) 0: Pl. (0; ) Bármely megadott pont abszcisszája:. Pl.: R(; 4). Bármely megadott pont ordinátája: 7. Pl.: R(8; 7). Az egyenes az ordináta-tengelyt a Q(0; 7) pontban metszi. 9

14 FÜGGVÉNYEK 506. a) Ebben az esetben a három pont egy egyenesre esik, azaz nem határoz meg háromszöget. Az egyenesre illeszkedõ minden pontra igaz, hogy y = -5. b) A három pont nem határoz meg háromszöget, hanem mindhárom egy origón áthaladó egyenesre illeszkedik. Az egyenes minden egyes P(; y) pontjára teljesül, hogy y = -. c) A három pont ebben az esetben egy olyan egyenesre illeszkedik, amelynek P(; y) pontjaira teljesül, hogy y = +. 0

15 HOZZÁRENDELÉSEK 507. a) Ha a tükrözés tengelye az b) Ha a tükrözés tengelye az ordinátatengely: abszcisszatengely: A'( -; 5) A( 5 ; ) A( 5 ; ) C'( -5; ) C( 5 ;) B'( -4; ) C( 5 ;) B'( -4; -) B( 4; -) B( 4; -) C'( 5; -) A'( 4; - 5) Általában: P(; y) ordinátatengelyre vonatkozó tükörképe: P (-; y). Általában: P(; y) abszcisszatatengelyre vonatkozó tükörképe: P (; -y). Ha az origóra tükrözünk, akkor a P(; y) pont tükörképe: P (-; -y). A feladat esetében: A(; 5) Æ A (-; -5); B(-4; ) Æ B (4; -) valamint C(5; ) Æ B (-5; -) a) A két pont ordinátája egyenlõ. Pl.: P (; 7), P (0; 7). b) A két pont abszcisszája egyenlõ. Pl.: P (; 7), P (; 0). c) A két pont ordinátája egymásnak ellentettje. Pl.: P (; 7), P (; -7). d) A megfelelõ koordináták egymás ellentettjei. Pl.: P (; 7), P (-; -7) A megfelelõ pontok: a) az tengelyre illeszkednek; b) = az e egyenes minden pontjára teljesül.

16 FÜGGVÉNYEK c) d) A megfelelõ pontok az I. síknegyed pontjai a határoló egyeneseket kivéve. A megfelelõ pontok a II. síknegyed pontjai a határoló egyeneseket kivéve. e) f) y = + y =6 50. a) P(; y) pontokat keressük, ahol = y. Pl.: P (-4; -), Pl.: P (-; -), Pl.: P (0; 0), Pl.: P 4 (; ), Pl.: P 5 (4; ) P P P P 4 P 5 b) Pl.: P (-5; -5), Pl.: P (-; ), Pl.: P (-; ), Pl.: P 4 (; -), Pl.: P 5 (; -) P y =- P P P 4 P 5

17 HOZZÁRENDELÉSEK c) Pl.: P (-; -), Pl.: P (0; -), Pl.: P (; -), Pl.: P 4 (6; 0), Pl.: P 5 (9; ) P P P y = - P 5 P 4 5. a) b) c) d)

18 FÜGGVÉNYEK e) f) 5. a) b) c) d) 4

19 HOZZÁRENDELÉSEK e) f) - y = F HG P ; I K J + y = g) h) 5. Az ábrán látható ponthalmazok egy lehetséges megadása a következõ: a) < b) < és y c) y + < 0 ha < 0 y + > 0 ha > 0 y = 0 ha = 0 d) ΩyΩ + ΩΩ = e) y + és < 0 és y > 0. f) y + és y < és y. 5

20 Arányosságok 54. a) b) P ( 00 ; ) P (; ) P (-;-) g( )=- P ( 00 ; ) P (; - ) P (-4 ; ) f( )= c) F HG P ; P (; ) P (-;-) I K J d) k ( )=- P ( 00 ; ) P (- ; ) P (; -) h ( )= 55. Mivel f() egyenes arányosság, ezért felírható f() = a alakban, ahol a az arányossági tényezõ. Ezt felhasználva az a értéke meghatározható. a) - = a ( -) a = Az egyenes arányosság szabálya így: f( )=. b) 6= a a= fi f( ) =. c) 7= a ( -) 7 7 a=- fi f( ) = a) = ª ª = 9 b) ª = (-) ª = - 4 A 9 ; 4 B ; 6

21 ARÁNYOSSÁGOK F HG I K J c) ª = - ª = d) = ª ª = C ; D ; A megadott pontok közül a C(-; ) illeszkedik az egyenes arányosság grafikonjára, hiszen =- ( -). 58. a) Az A és C pontok ugyanannak az f( )=- egyenes arányosságnak a grafikonjára illeszkednek. b) A B által meghatározott egyenes arányosság: g ( )= 4 A D pont által meghatározott egyenes arányosság: h() =. 59. Az egyik pontnak válasszuk az origót: O(0; 0), hiszen ez bármelyik egyenes arányosság grafikonjára illeszkedik, a másik pont ezek után bármelyik pont lehet, csak ne illeszkedjék egyik koordináta-tengelyre sem. 50. Az a) és d) grafikon határoz meg egyenes arányosságot. Ezek hozzárendelési szabályai: a) f( )= b) g() = Legyen a nagyobbik szám:. = = 8 5. Az arány alapján jelöljük a két számot -szel és 5-szel. + 5 = 48 = 6 A keresett két szám: a 8 és a Alakítsuk át a törtkifejezést az alábbi módon: + + y + y 4 5 = = =. y 4 7

22 FÜGGVÉNYEK 54. Az elsõ hónapban összegyûjtött pénz legyen, a másodikban = 80 = 40 Az elsõ hónapban 80 forintot a másodikban 00 forintot spórolt. 55. Legyen a téglalap két oldala a és b, a kerülete k. Mivel a= 5 k ezért a másik b oldal: 8 a) at. k 5 9 b = - a= k- k = k k 4 a k = b) = 8 5 = c) a = b k 5 b 9 k A b)-ben kapott eredmény alapján legyen a = 5 és b = 9. 5 = 9-6 = 4 A téglalap két oldla: a = 0 m és b = 6 m. A téglalap területe: a b = 0 m 6 m = 70 m. 57. A nyers kávé és a pörkölt kávé mennyisége egyenesen arányos mennyiségek, ezért ha a keresett nyers kávé mennyisége : 6 = 60 5 = 7 7 kg nyers kávéból. 58. A keresett idõ legyen óra. A munkások száma és a munkaidó fordított arányosságban állnak. 68 = = 6 6 óra alatt végez a munkás. 59. Mivel s = v t, ezért rögzített út esetén a sebesség és az út megtételéhez szükséges idõ fordítottan arányosak. A keresett idõ legyen t. 40 = 60 t 4 t = A menetidõ 4 óra lesz. 50. Jelölje a szükséges festék tömegét:. A felhasznált festék tömege a kocka felszínével egyensen arányos. 8

23 ARÁNYOSSÁGOK Az eredeti kocka felszíne A = 6a, ahol a a kocka élhossza. A megnövelt kocka felszíne A = 6(a) = 4a = 4A. = 4A A = 4 4 kg festékre van szükségünk. 5. A tömeg és a térfogat egyenesen arányosak. Ha a keresett térfogatot -szel jelöljük, akkor = 6 5, = 0 A darab térfogata: 0 cm. 5. A szükséges idõ:, a munkások számával és a naponta végzett munkaórák számával fordítottan arányos. 8 = 44 = nap alatt végeznek. 5. A keresett idõ legyen. Ez a csapok számával fordítottan, a szükséges vízmennyiséggel egyenesen arányos. 6 = = óra alatt gyûjthetünk össze 00 liter vizet. 54. Az elkészülõ anyag hossza. Ez a gyapjú mennyiségével egyenesen, az anyag szélességével fordítottan arányos. 05, 40 = 0 0 = méter hosszú anyag készül. 55. A napok száma legyen. Ez a gépkocsik és a napi fuvarok számával fordítottan, az áru tömegével egyenesen arányos = = nap alatt végzik el a szállítást. 56. Jelöljük a három számot így: ; ; 4. 9

24 FÜGGVÉNYEK = 80 = 0 A három szám: 40; 60; A festék tizedrésze, azaz 5 g szükséges. 58. Legyen két háromszög két magassága m és m. Mivel a területek egyenlõk, ezért: 6 m = 4 m m = m 59. Egy gép egy nap alatt a munka = részét végzi el. Ha a munkanapok száma, 6 7 akkor ( -4) 8 = 7 7 az elsõ 4 nap nap alatt végzik el a munkát. = 540. a) nap alatt b) nap alatt c) 48 nap alatt. 54. Lineáris függvények 40

25 LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK a) Az tengelyre való tükrözés után a következô függvények adódnak. a'( ) = 4 b'( ) = c'( ) = d'( ) = b) Az y tengelyre való tükrözés után a következô függvények adódnak. a''( ) = 4 b''( ) = c''( ) = d''( ) = c) Az origó körüli 90º-os forgatás után a következô függvényeket kapjuk: 4 a'''( ) = b'''( ) = c'''( ) nem lesz függvény d'''( ) = 4

26 FÜGGVÉNYEK a ( ) =- + d ( ) = ( - ) + F e ( ) = HG I K J 544. Mindegyik grafikon az y tengelyt az y = pontban metszi. Az egyes függvények a következô helyeken metszik az tengelyt: a(): + = 0 = - b(): - + = 0 = c(): ( + 4) = 0 = -4 b ( ) = + f( ) = ( - ) + d(): ( + ) - = 0 = - e(): = 0 = -6 4

27 LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK 545. A függvények grafikonjai a következô értékeknél metszik a tengelyeket: y tengely tengely a(): y = -6 = b(): y = 0 = 0 c(): y = = d(): y = - = 00 e(): y = -7 = Jelölje t az idôt V a tartályban levô víz mennyiségét. t () s 4 a) V () l 5, 45, 6 A közöttük levô függvénykapcsolat: V =,5t. V = 000 l térfogathoz szükséges idô: 000 =, 5 t t = 666 s b) Ha a tartály kezdetben 4 l vizet tartalmaz: t () s 4 V () l 55, 7 85, 0 V = 4 +,5t V = 000 l esetén: 000 = 4 +, 5 t t = Az egyes idôpontokhoz tartozó térfogatokat a következô táblázat határozza meg. V () l t() s a) b) c) A térfogat és az eltelt idô közötti függvénykapcsolatok: a) V = t + 00 b) V = t + 00 c) V = 5t + 00 Ezen függvények grafikonjai az ábrán látható. 4

28 FÜGGVÉNYEK 548. Jelölje a tartályban levõ víz mennyiségét V, a közben eltelt idõt t. A közöttük mérhetõ kapcsolatok: a) V = t + 6 Ha a tartály megtelik, akkor V = 4. 4 = t + 6 t = 6 6 s alatt lesz tele a tartály. b) V = t+ 4 = t + t = s alatt lesz tele a tartály. Az egyes esetekben a függvények grafikonjai az ábrán láthatók A megadott függvényeket elõször egyszerûbb alakra hozzuk. a) a() = - 5 Mivel - π 0, ezért a függvény értelmezési tartománya a kivételével minden racionális szám. R ÉT: ŒQ ST U \ VW. b) b ( )= ÉT: ŒQ\ c) c ( )= + R. ÉT: ŒQ ST U \ VW. R ST U VW 44

29 LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK d) d() = e) d() = + ÉT: ŒQ ÉT: ŒQ \ {0} 550. A fügvényt f() = a + b alakban keresve az a és b értékeit az alábbi egyenletrendszer megoldása adja: - a+ b=- a+ b= a= b=- A függvény: f() = - a) f(0) = - b) f(00) = A függvényt f() = a + b alakban keresve: a+ b=- - a+ b= egyenletrendszert megoldva a = -5 b = A keresett függvény: f() =

30 FÜGGVÉNYEK 55. A keresett függvény f() = a + b alakú. A megadott értékpárok alapján: 00a+ b= 99 a+ b= Az egyenletrendszert megoldva: a = 4 b = -. A függvény szabálya: f() = Elõször a függvényeket egyszerûbb alakra hozzuk. - 8 a ( )= + = Az tengelyt = 4-nél, az y tengelyt y = 8 5 -nél metszi, a meredeksége - 5. b ( ) = ( - )( + ) - 6( + )( - ) =- + 4 A függvény meredeksége -, az tengelyt = 4-nél, az y tengelyt y = 4-nél metszi. 6 + c ( )= - = - + A függvény meredeksége, az tengelyt = -nél, az y tengelyt y = --nél metszi. d ( )= = A függvény meredeksége - 5, az tengelyt = -nél, az y tengelyt -nél metszi a) b) 46

31 LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK 555. A grafikon három pontja: P (0; -4) P (; -) P (; ) P P P 556. Egy-egy lehetséges ponthármas a következõ: a) P (-; -) P (0; ) P (; 6) b) Q (-; 0) Q (0; ) Q (; 7) c) R (-; -) R (0; ) R (; ) 557. Mindegyik függvényt f() = m + b alakban keressük. Mivel m ismert és az adott pont megfelelõ koordinátái az egymáshoz rendelt függvényértékeket meghatározzák, így a b értéke meghatározható. a) = m 0 + b, ahol m = b = Így f() = + b) f( )= + 5 e) f( )= f) f( )= - h) f( ) = 5, c) f( )=- + 7 d) f( )= g) f( )= A keresett függvények f() = a + b alakúak. A megadott pontpárok alapján az a és b értékei meghatározhatók. a) b) = a 0+ b a = = a 0+ b a = 0= a 6+ b 7= a ( ) + b b = b = f( ) = + f( ) = + 47

32 FÜGGVÉNYEK c) = a + b 0= a ( ) + b f( ) = + a = b = d) = a ( ) + b 5= a 5+ b f( ) = a = b = a) b) a ( ) = RST +, ha 0 -, ha > 0 b ( ) = RST +, ha -, ha > c) d), c ( ) = RST ha 0 -, ha > 0 c ( ) = R S T -, ha 0, ha 0< < - 5, egyébként 560. A megfelelõ értékpárokat táblázatba foglalva: 5 0 f( )

33 LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK 56. Mindegyik függvényt f() = m + b alakban keressük. a) A függvény meredeksége: m = A megadott pont alapján: = - + b b = f() = + b) m =- c) m = = + b b = =- + b b= 5 f( ) =- + f( ) = + 5 d) m =- = + b b= f( ) =- + 5 e) m =- 5 = + b b=- 5 f( ) = A függvényeket f() = a + b alakban keressük. A pontpárok alapján a és b értékei meghatározhatók. a) b) 0= a + b a = 0= a 0+ b a = = a + b = a + b b = b = 0 f( ) = f( ) = c) 4= a 0+ b = a ( ) + b 5 f( ) = a = b = 4 d) 4= a ( ) + b 8= a + b f( ) = a = b = 56. a) A grafikonra illeszkedõ pontok: F A ; F b F ; ; 49g, D - ; HG 9 I HG K J, B I HG 8 K J, C - - b) A függvény grafikonja fölött levõ pontok például: Ab4 ; g, Bb; 8g, Cb F -99; -49g, D -; HG 5 I K J I K J c) A függvény grafikonja alatt levõ pontok például: Ab ; g, Bb; 8g, Cb F 5-99; -49g, D - ; HG 9 I K J 49

34 MÁSODFOKÚ FÜGGVÉNYEK Másodfokú függvények 564. a) b) c) d) 50

35 MÁSODFOKÚ FÜGGVÉNYEK 565. a) b) c) d) 5

36 FÜGGVÉNYEK 566. a) b) c) d) 567. a) b) f( ) =- ( + ) - g ( ) = + 4-6= ( + ) -8 5

37 MÁSODFOKÚ FÜGGVÉNYEK c) d) F I HG K J + k ( )= + + = F 6 H G I K J + h ( )=- - - = a) f( )= + 4+ ÉK: f() 0 A tengelyt = --nél érinti. Az y tengelyt y = -nél metszi. b) g ( ) = ( -) - ÉK: g() - A tengelyt = --nél és = 4-nél metszi. Az y tengelyt y = - -nál metszi. 5

38 FÜGGVÉNYEK c) h ( ) =- ( + ) + 4 ÉK: h() 4 A tengelyt = --nál és = -nél metszi. Az y tengelyt y = -nál metszi. d) k ( )= ÉK: k() A tengelyt = 4 - -nél és = 4 + -nél metszi. Az y tengelyt y = -7-nél metszi A függvényeket f() = a + b + c alakban keressük. A megadott értékpárok alapján felírt egyenletrendszerekbõl az a, b és c értéke meghatározható. a) a 0+ b 0+ c = 0 b) a + b ( - ) + c =- a 4+ b + c = a + b + c =- a + b ( - ) + c = a 4+ b + c = a= b= 0 c = 0 a= b= 0 c =- f( ) = f( ) = - c) a + b ( - ) + c = a 0+ b 0+ c = 5 a + b + c = a=- b= c = 5 f( ) = d) a + b + c = 0 a 9+ b + c = a + b ( - ) + c = a = b =- c = 4 4 f( ) = = --nél az f() értéke 0. a) (-) + (-) + c = 0 c = 0 b) (-) - (-) + c = 0 c = c) (- - )( (-) + c) = 0 c = 6 d) (- + )(c - (-)) + = 0 nincs megfelelõ c valós szám 54

39 MÁSODFOKÚ FÜGGVÉNYEK 57. a) f( ) = R S T +, ha 0 - -, ha > 0 b) f( ) = R S T +, ha <, ha - -, ha < Tört, abszolútérték és négyzetgyökfüggvény 57. Jelöljük a függvények értelmezési tartományát D-vel! a) D = D = D = D = ŒR π 0 f g h k m r 55

40 FÜGGVÉNYEK b) D = ŒR π 0 f m D = D = D = ŒR π g h k m r r 57. A megadott pontok alapján felírt egyenletrendszerbõl az a és b értékeit meghatározhatjuk. a U a) + b = a a V = b b = = W f( ) = + b) U a + b = 0 a V + b = W 6 f( ) = - a b = 6 =- 56

41 TÖRT, ABSZOLÚTÉRTÉK ÉS NÉGYZETGYÖKFÜGGVÉNY c) a + b = 0 a =- a b = b W f( ) = = U V d) U V a + b = 0 0 0a+ b= 99W 0 f( ) = - a b = 0 = a) b) 57

42 FÜGGVÉNYEK c) d) 575. a) b) c) d) 58

43 TÖRT, ABSZOLÚTÉRTÉK ÉS NÉGYZETGYÖKFÜGGVÉNY 576. a) b) c) d) 577. Mindegyik esetben a h() függvény menetét írjuk le. a) h ( )= + + Menete: - -tõl = --ig szigorúan monoton csökken. = --tõl = 0-ig konstans, értéke. = 0-tól -ig szigorúan monoton nõ. 59

44 FÜGGVÉNYEK b) h ( )= Menete: - -tõl = --ig szigorúan monoton csökken. = --tõl = -ig konstans, értéke. = -tõl -ig szigorúan monoton nõ. c) h ( )= + + Menete: - -tõl = --ig konstans, értéke. = --tól = 0-ig szigorúan monoton csökken. = 0-tól -ig konstans, értéke -. d) h ( )= + + Menete: - -tõl = 0-ig szigorúan monoton csökken. = 0-tól -ig szigorúan monoton nõ a) f( )= - - D f = R Menete: - -tõl = -ig szigorúan monoton csökken. = -nél minimuma van: -. = -tõl -ig szigorúan monoton nõ. 60

45 TÖRT, ABSZOLÚTÉRTÉK ÉS NÉGYZETGYÖKFÜGGVÉNY b) f( )= - - D f = R Menete: - -tõl = - -ig szigorúan monoton csökken. = - -tõl = - ig szigorúan monoton nõ. = -tõl = + -ig szigorúan monoton csökken. = + -tõl -ig szigorúan mo- noton nõ. Minimuma van = - -nél és = + esetén ennek értéke 0. Helyi maimuma van = -nél, értéke:. c) f( ) = - + D f = \ Menete: - -tõl = --ig szigorúan monoton csökken. = --nél minimuma van: 0. = --tõl = -ig szigorúan monoton nõ. R lq = -nél szakadása van. = -tõl -ig szigorúan monoton csökken. d) f( )= - D f = R Menete: - -tõl = --ig szigorúan monoton csökken. = --tõl = 0-ig szigorúan monoton nõ. = 0-tól = -ig szigorúan monoton csökken. = -tõl -ig szigorúan monoton nõ. Minimuma van = - és = értékeknél, ez 0. Helyi maimuma van = 0-nál, ennek értéke:. 6

46 FÜGGVÉNYEK 579. a) { } D = D = D = D = ŒR 0 f g h k b) { } D = D = D = D = ŒR 0 f g h k c) { R 0} { R 0} D = Œ f D = D = D = Œ g h k 6

47 TÖRT, ABSZOLÚTÉRTÉK ÉS NÉGYZETGYÖKFÜGGVÉNY 580. a) Df = mœr π 0r, m Dg = ŒR π r, m D h = ŒR π r, m Dk = ŒR π - r b) Df = { ŒR 0 }, Dg { } Dk { } c) Df = Œ R > 0 = ŒR 6, Dh = R, m r, Dg = { Œ Ÿ π } Dk = { ŒR 0 } m r, Dg { } d) Df = ŒR π 0Ÿ π m R 0, D h = Œ R > 0r, = ŒR, Dh = Œ R > m r 58. a) b) - c) = d) = - = = 6

48 FÜGGVÉNYEK a) - < 0, 5, ha < 0 vagy > 5 5 b) < - < 0, ha < < a) b) f( ) > 0, ha > 8 f( ) < 0, ha < 8 f( ) = 0, ha = f( ) > 0, ha 4< < 6 f( ) < 0, ha < 4 vagy > 6 f( ) = 0, ha = 6 64

49 TÖRT, ABSZOLÚTÉRTÉK ÉS NÉGYZETGYÖKFÜGGVÉNY c) d) f( ) > 0, ha < 0 vagy > 4 f( ) < 0, ha 0< < 4 f( ) = 0, ha = 0 vagy = 4 f( ) > 0, ha < vagy > 4 f( ) < 0, ha < < 4 f( ) = 0, ha = vagy = a) + b) c) = -4 + d) = = - =

50 FÜGGVÉNYEK e) - 4 f) g) h) ( -4)-( + ) - -5 i) j) + 0 < < π 66

51 TÖRT, ABSZOLÚTÉRTÉK ÉS NÉGYZETGYÖKFÜGGVÉNY k) 4 l) ( + ) Grafikonok a koordináta-rendszerben 585. a) A(4; ), B(-; ), C(-; -), D(4; -6) b) A(0; 7), B(-; ), C(-5; -), D(; -) c) A(-; -), B(; -), C(4; ), D(7; ), E(0; 7), F(-4; ), G(-7; ) d) A(-; 0), B(; 0), C(; 4), D(0; 8), E(-; 4), F(-; ), G(; ), H(; ), J(-; ) 586. a) 8 f( )= P (5; 4) P 4 (0; ) b) f( )=- P (0; 0) P 4 (-4; 6) c) f( )=- + P (; 0) P 4 (-; ) 8 d) f( )= + P F0 ; 8 HG I K J P 4 (-; ) 587. a) f( )=- P (0; 0) P (; -) b) f( )= - 4 P (0; -) P (4; 0) 67

52 FÜGGVÉNYEK c) f( )= + P (0; ) P (; ) d) f( )=- P (0; 0) P (; -) 588. a) f( )=-- m = - P (-; 0) P y (0; -) b) f( )= - m = P (; 0) P y F 0; - HG c) f( )=- + m = - P (; 0) P y (0; ) d) f( )= + m = P 4 4 (-; 0) P y F0 ; I K J 589. a) f( )= - P (; 0) P y (0; -) b) f( )= + P (-; 0) P y (0; ) c) f( )=-- P (-; 0) P y (0; -) d) f( )=- + P 4 4 F F I 5 0 ; K J I HG K J P y 0 HG a) f( )= -5 P (5; 0) P y (0; -5) b) f( )=- + P (4; 0) P y (0; ) c) f( )=- az tengelyt nem metszi, P y (0; -) d) f( )=-- P - ; 0 P y (0; -) F HG I K J 59. a) m = - f( )=- + P (; 0) P y (0; ) b) m = f( )= - P F I HG ; 0 K J P y (0; -) c) A megadott egyenesre merõleges egyenes nem lesz függvény! Olyan ponthalmazt kapunk, amely az = feltételnek tesz eleget. d) m = f( )= + P (-; 0) P y F0 ; I K J 59. A feltételt átírhatjuk y =- + határozza meg. 59. A grafikonok alapján egy-egy lehetséges szabályt adunk meg. a) f( )= - b) f( )=- - c) f( )= - + d) f( )= + - HG HG alakra. Ez a d) ábrának megfelelõ grafikont I K J 68

53 GRAFIKONOK A KOORDINÁTA-RENDSZERBEN 594. a) f( )= - b) f( ) =- ( +) 5 c) f( ) = ( - ) + d) f( ) =- ( + ) A függvényeket f ( )= a + b + c alakban keresve, a megadott pontok alapján felírt egyenletrendszerekbõl az a, b és c értékei meghatározhatók. a) A(-; ), B(0; ), C(; 4) = 4a b+ c = c 4 = a+ b+ c a= b= c= f( ) = + + = ( + ) b) A(; ), B(; ), C(4; -) f( ) =-( - ) + = c) A(-4; -), B(-; ), C(0; 6) f( ) = = ( -) - d) A(-; 4), B(0; -), C(; 0) F I HG K J - f( )= -- = a) f( )= b) f( )= + c) f( )= - d) f( )= 597. Az ábrákon függvények transzformációs lépései láthatók. a) f( )= ; f( ) = ( - 4) ; f( ) =- ( - 4) ; f4( ) =- ( -4) -4 b) f( )= ; f( )= + 4 ; f( )= ; f4( )= c) f( )= ; f( ) = ( - 4) ; f( ) = ( - 4) + ; f4( ) = ( - 4) a) f( )= ; f( ) = ( - 6) ; f( ) =- ( - 6) ; f4( ) =- ( -6) - b) f( )= ; f( )= + 6 ; f( )=- + 6 ; f4( )= c) f( )= ; f( )= ; f( )=- ; f4( )=

54 FÜGGVÉNYEK 599. A gépek mûködésére egy-egy lehetséges szabály a következõ: a) ; + ; - b) ; - 8; c) ; ; A gépek kimenetén a kapott értékek a következõk: a) 4 b) 5 c) 4 d) 49 e) - f). 60. A bemeneti értékek az egyes gépeken a következõk: a) -4 b) - c) d) 5 vagy a) a 7 = a= b) 7 - a= a= c) - a+ = 9 a=- d) 00-8 = 00 a = a 7 e) + a+ a= a= 0 f) 60. A kimeneten adódó értékek: a) - b) a + 7= a = a) 4- b) ( -)- = -5 70

55 GRAFIKONOK A KOORDINÁTA-RENDSZERBEN c) ( -) - + = d) ( - ) = = a) f: + R Df = ŒR π - S T U V W b) f: - D { } f = ŒR 7

56 FÜGGVÉNYEK c) f: ( -) - = 4-4 d) f: + = + D f = R D f = R 606. A keresett szabélyokra egy-egy lehetõséget adunk meg. a) 0 b) - 7 c) - + d) A d) esetet részletezve: y - y+ Æ - 7 7, hiszen F 0I HG K J + = - + = Mindegyik esetben hat lehetséges sorrend létezik. Ha a gépeket sorszámozzuk, akkor ezek a következõk:,,,,,. Az eredményül kapott függvényeket ebben a sorrendben megadva: a) ( + ) ; ( ) + ; ( ( + )) ; ( + ) ; + ; ( + ). b) ( - - ) ; ( -) - ; ( - + ) ; -(- -); - -; - +. c) - ; ; - ; - Ê ˆ Á- ; ; Ë ( - ) - 7

57 GRAFIKONOK A KOORDINÁTA-RENDSZERBEN 608. Egy-egy megoldás lehet a következõ: a) y y- b) - c) + d) z -z Természetesen több megoldás is elképzelhetõ. Egy lehetséges esetet mutat az ábra: y - y+ Æ a) b) c) - y y + ( -) y y+ + y ( y- ) + Æ( - ) + Æ( - ) + Æ( - ) + 6. a) y y Æ A gépek felcserélésével nem változik a szabály. b) + y y- Æ c) A gépeket felcserélve másik szabály adódik: + y y A gépeket felcserélve másik szabály adódik: y- +. Æ 6. Egyiket sem. Mindegyik esetben különbözõ szabályok keletkeznek. Ezeket meg is adjuk. a) -4-4; b) 4 - ; - + c) - ; - d) - 4 ; -. n n e j e j 6. Bármelyik hatványfüggvény megfelelõ, hiszen = =. Tehát a keresett gép szabálya: n. n 7

58 GARFIKUSAN ÉS ALGEBRAI ÚTON IS MEGOLDHATÓ FELADATOK Garfikusan és algebrai úton is megoldható feladatok 64. Ha az elõször elinduló menetidejét -szel jelöljük, akkor az általa megtett út, a másik által pedig 4,5( - ) = 4,5-9. Ábrázoljuk az és 4,5-9 függvényeket! Ezek metszéspontja az = 6-nél lesz. Tehát a város távolsága legalább 8 km. 65. Az egyik gyalogos óra alatt megtesz 4 km-t, a másik 6 km-t. Az elsõ gyalogos indulási helyétõl mért távolságuk ezért 4 ill Azt kell megvizsgálni, hogy az 4 ill. 0-6 függvények hol metszik egymást. A metszéspont = -nél lesz. A gyalogosok óra múlva az elsõ gyalogos indulási helyétõl 4 km-re találkoznak. 74

59 GARFIKUSAN ÉS ALGEBRAI ÚTON IS MEGOLDHATÓ FELADATOK 66. Készítsük el a gyalogos út-idõ garfikonját! Errõl leolvashatók az adatok: a) A gyalogos 9 órakor 5 km, 0 óra 0 perckor 8 km, órakor 0 km távolságra volt az indulási helyétõl. b) 8 km távolságra 0 órakor állt meg pihenni. c) 4 km hosszú utat járt be. d) 6 km-re 9 óra 0 perckor, 0 km-re órakor, 4 km-re órakor volt. 67. Közös koordináta-rendszerben ábrázoljuk András és Béla távolságát András indulási helyétõl mérve az idõ függvényében. Leolvasható, hogy 4 óra elteltével András 9 km-re, Béla km-re lesz, azaz egymástól km-re. Ettõl mérve idõ alatt a találkozásig megtesznek ill. 4 km-t. + 4 = fi = 7 Eszerint 4 óra múlva találkoznak Ábrázoljuk közös koordináta-rendszerben a gyalogos éa a villamosok távolságát a gyalogos indulási helyétõl mérve az idõ függvényében. a) A gyalogossal egyirányú villamosok A gyalogossal szemben jövõ villamosok 6 belsõ pont 0 belsõ pont 75

60 FÜGGVÉNYEK Azt kell összeszámolnunk, hogy a 4 óra idõtartamon belül hány metszéspont van. A gyalogos út-idõ függvénye: 4. A vele egy irányban haladó villamosoké: 8 - b, ahol b =,5; ;...; 9. A szembe jövõ villamosoké: 8 + b, ahol b =,5; ;...; 5. Az ábrákról leolvasható, hogy 6 azonos irányban és 0 szembejövõ, azaz összesen 6 villamossal találkozik. b) Hasonló gondolatmenet alapján megállapítható, hogy 6 azonos irányban haladó és 0 szembejövõ villamossal találkozik ebben az esetben is. 69. a) I. tartály 0 - II. tartály + I. tartályban levõ víz mennyiségét meghatározó függvény: II. tartály: A grafikon alapján = 6 percnél mindkét tartályban 8 l víz van. b) I. tartály kétszerese 40-4 II. tartály + = 76, perckor I. tartály: 4,8 l II. tartály: 9,6 l II. tartály kétszerese 4+ = 4 perckor I. tartály: l II. tartály: 6 l I. tartály 0-76

61 GARFIKUSAN ÉS ALGEBRAI ÚTON IS MEGOLDHATÓ FELADATOK c) II. tartály háromszorosa 6+ I. tartály 0 -( -) = 6, perckor I. tartály: 6,8 l II. tartály: 5,6 l 60. A folyadék hõmérsékletét leíró függvény: A tartályét: A két függvény metszéspontja alapján a közös hõmérséklet 56ºC lesz és perc múlva alakul ki. 77

62 FÜGGVÉNYEK 6. A két lovas 6 áróig együtt haladt. 6 óra múlva az elsõ lovas célba ért, ekkor a második a céltól = 5 6 km-re volt. Ennyivel elõzte meg õt az elsõ lovas. A két ló így = óra idõkülönbséggel ért 0 célba A szükséges sóoldat mennyisége legyen. A só mennyiségét figyelembe véve a következõ egyenlet írható fel: = ( ) = g 5 %-os sóoldatra van szükség. 78