FÜGGVÉNYEK. Hozzárendelések
|
|
- György Fábián
- 7 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 FÜGGVÉNYEK Hozzárendelések 469. A rendezett párok a következõk lehetnek: (; ), (; ) (4; ), (4; ), (4; 4) (6; ), (6; ), (6; ), (6; 6) (8; ), (8; ), (8; 4), (8; 8) a) A az egyetlen olyan páros szám aminek pontosan két osztója van. Ezért a az egyetlen páros prím. b) A felhasznált egyjegyû páros számok közül a 6 és a 8 is négy osztóval rendelkezik. c) A reláció nem függvény, hiszen egy számhoz több számot is rendelhetünk A = {; ; 5; 7; 9} Alkossunk rendezett (a; b) elempárokat, ahol b az a pozitív osztóinak a számát jelentse: (; ), (; ), (5; 4), (7; ), (9; ) a) A halmazból egyedül a 5 lesz összetett szám, azaz az összes többi prím. A 5-nek 4 pozitív osztója van. b) A megadott hozzárendelés függvény. 47. a) A verseny végeredménye 4 féleképpen alakulhatott, hiszen az elsõ helyre négy, a másodikra három, a harmadikra kettõ, az utolsó helyre már csak egy lehetõség adódhat. Ezek szorzata adja a végeredményt. b) Mivel Antal nem lett elsõ, és Béla második lett, ezért az elsõ helyen ketten végezhettek. A második Béla lett. A harmadik helyen szintén ketten végezhettek, az utolsó helyen így már csak egy lehetõség marad. A lehetséges sorrendek száma: = a) A relációk megadására használhatunk rendezett számpárokat, nyíldiagrammot, táblázatot vagy koordináta-rendszerben is ábrázolhatjuk az egymáshoz tartozó értékeket. Néhány példa:. (-; ), (0; ), (; ).. A B 0 7
2 FÜGGVÉNYEK b) A lehetséges számpárok: (-; ), (-; ), (-; ), (0; ),- (0; ), - (0; ) (; ) 47. Adjuk meg a hozzárendelés táblázatát: Mivel a - œb, ezért az -hez nem tudunk hozzárendelni egy értéket sem. Ezért a megadott hozzárendelés nem függvény a) A hozzárendelés függvény lesz. b) A hozzárendelések megadásánál arra kell ügyelnünk, hogy ha megadjuk a két alaphalmazt (A és B) és közöttük függvény kapcsolatot (A Æ B) szeretnénk létesíteni, akkor A minden egyes eleméhez B-bõl pontosan egy elemet rendelhetünk hozzá. Pl.: A = {; ; } B = {0; ; ; } Ha minden a ŒA-hoz hozzárendeljük b ŒB-t úgy, hogy b az a pozitív osztóinak száma legyen, akkor függvényt kapunk. Nem kapunk akkor függvényt, ha a ŒA-hoz a pozitív osztóit rendeljük hozzá A keletkezõ párok függnek attól, hogy a számokat milyen elrendezésben helyezzük a kocka éleire. Mi csak egy lehetõséget mutatunk be. a) {; ; 9; } halmazból képezhetõ számpárok: lehetõség. {5; 6; 7; 8} halmazból képezhetõ számpárok: lehetõség. {; 4: 0; } halmazból képezhetõ számpárok: lehetõség. Így összesen 6 számpár írható fel. b) Minden csúcsban él találkozik. Pl.: {; 4; 5} halmazból 6 rendezett számpár írható fel: (; 4), (; 5), (4; ), (4; 5), (5; ), (5; 4). Mivel 8 csúcs van így összesen 48 rendezett számpár írható fel. c) Minden élhez 4 másik kitérõ él tartozik. Pl. az -es élhez tartozó kitérõ élek: 7; 8; 0;. Ezek meghatározzák a következõ rendezett elempárokat: (; 7), (; 8), (; 0), (; ). 4 féle számpár. Ezt minden kiválasztott él esetén el tudjuk végezni, és mivel összesen él van, ezért az össze rendezett szápár 48 féle lehet. d) Mivel a kocka minden éle egyenlõ hosszúságú, így az összes lehetséges módon felírhatjuk a számpárokat. Ezek száma: = 44 lesz. (Itt azok a számpárok is létrejönnek, amelyeknek mindkét eleme ugyanaz. Pl.: (; ), (; )...) 476. a) (6; ), (7; ), (7; ), (8; ), (8; ), (8; ) (9; ), (9; ), (9; ), (9; 4). 8
3 HOZZÁRENDELÉSEK b) A lehetséges számpárok: (; ), (; ),... (; 9) 9 db (; ), (; ),... (; 9) 9 db (; ), (; ),... (; 9) 9 db (4; ), (4; ),... (4; 9) 9 db (; ), (5; ),... (5; 9) 8 db (; ), (6; ),... (5; 9) 7 db (; ), (9; 6),... (5; 9) 4 db Összesen: 66 számpár. c) Nem igaz, hiszen egyikben sem soroltunk fel például olyan eseteket, amikor a - b = a) Az A Æ B típusú hozzárendelések megadásához elõször meghatározzuk az (a; b) rendezett elempárok számát, ahol a ŒA és b ŒB. Legyen ezek halmaza H. H elemeinek száma: = 9. Minden hozzárendelés megfelel ezen H halmaz egy részhalmazának. Például: hozzárendelés megfelel a {(0; ), (0; 4), (0; 6)} részhalmaznak. Ezek szerint a lehetséges hozzárendelések száma annyi ahány részhalmaza egy 9 elemû halmaznak van, azaz 9 = 5. (Itt figyelembe vettük azt az esetet,a mikor A egy eleméhez sem rendelünk hozzá a B halmazból elemet.) b) Például: f: AÆ B; A = {; ; ; 4; 5; 6; 7; 8; 9} a) (a; b) létezik, ha b osztható a-val. Ezek a párok: (; ), (; ), (; ), (; 4), (; 5), (; 6), (; 7), (; 8), (; 9) (; ), (; 4), (; 6), (; 8) (; ), (; 6), (; 9) (4; 4), (4; 8). 8 rendezett számpár létezik b) (a; b) létezik, ha a többszöröse b-nek. Az a) részben felsorolt 8 számpárt kell felsorolni, csak fordított sorrendben. Azok az elempárok teljesítik mindkét feltételt, amelyeknél a = b teljesül. Ezek (; ), (; ), (; ), (4; 4). Vannak olyan elempárok amelyek nem szerepelnek a felsorolásban. Pl.: (; 5), (; 7) stb. 9
4 FÜGGVÉNYEK 479. A megoldásokban csak egy lehetséges hozzárendelést adunk. Természetesen ettõl eltérõ helyes megoldások is léteznek. a) A Æ B; A B b) A Æ B; + A B c) A Æ B; prímosztói és az. A B A megadott hozzárendelések közül a c) nem lesz függvény. 0
5 HOZZÁRENDELÉSEK 480. a) b) A legmagasabb hõmérsékletet 4 óra környékén C-nak mérték. A legalacsonyabb hõmérséklet -4 C és 4 óra idõpontok között volt mérhetõ. c) Az átlaghõmérséklet: T átlag = +, , ( - ) + ( - ) + ( -, 5) + ( - ) + ( -, 5) + ( - 4) + ( - 4) ª ª-077, C 48. a) A pontokat összekötve szemléltethetõ az évek során bekövetkezõ változások minõsége.
6 FÜGGVÉNYEK 48. a) b) 970-es év kezdetétõl az 984-es év végéig 5 év telik el. Mivel a 70-es években nem ismerünk adatokat, ezért itt az évtizedre kell az 980 és 970-ben adódó termelés különbségét venni. Így az évenkénti átlagos növekedés: ( 499-4) + ( ) + ( 4-504) + ( 77-4) + ( 87-77) = = = ª 96,. 5 Ez azt jelenti, hogy az évenkénti átlagos növekedés közel 0 ezer db hûtõszekrény volt. b) Az évenkénti átlagos napfénytartalom: = 60, a) A gép a t = 0 min, és t = min idõpillanatban volt a legmagasabban (000 m). b) A repülés percig tartott. c) A legtovább az 500 m magasságon tartózkodott, 4 percen keresztül. d) perc: folyamatosan emelkedett kb. 850 m magasságig perc: kb. 850 m magasságban marad perc: kb. 000 m magasságba emelkedik. 0 - perc: kb. 500 m magasságra süllyed. - 6 perc: kb. 500 m magasságban marad. 6 - perc: kb. 500 m-rõl 000 m magasságra emelkedik. - perc: kb. 000 m-rõl leszállásig süllyed a) 00 m. b) 4 perc alatt. c) percig. d) Menet közben a percenként megtett útja: 00 4 e) A percenként átlagosan megtett út: m = 60 m Az egymáshoz tartozó értékeket foglaljuk táblázatba: a) Magasság (km) Hõmérséklet ( C) km - C 6km - C b) Hõmérséklet ( C) 5 C 0 C Magasság (km) 0, km,6 km m = 75 m. 8km -9 C -5 C 6, km (A leolvasott értékek természetesen csak jó közelítésnek vehetõk.) felszínen 6 C -40 C 8, km
7 HOZZÁRENDELÉSEK 486. Többféle kapcsolat is létezik. Mi mindegyik esetben mutatunk egy lehetõséget. a) Ha a ŒA b ŒB, akkor b) Ha a ŒA; b ŒB és c ŒC, c) Ha a ŒA és b ŒB, akkor észrevehetõ pl. hogy akkor a + b + c = 80. a 60 = b, ezért: a + b = 90. Ezt felhasználva kitölt- a 60 a A megfeleltetés: hetõ a táblázat. Az utolsó a 90 - a. A B oszlopba tetszõleges érték helyettesíthetõ. A B C a 54 6 a 487. A gép szabályára egy lehetséges megoldás: a) + «= ª b) + «= ª «ª helyére tetszõleges szám írható Egy lehetséges megfeleltetés: y = tizedestört alakja «ª A 7 B y , 04, 0, 06,, 6, 05, 05, Egy-egy lehetséges szabály lehet a következõ: a) (a + b) = c b) 4a = b c) (a + b) + c = d
8 FÜGGVÉNYEK a b c a b d) = y e) 0 + = y f), 5, 5, 8,,,, 7 y 4, 0, 0, 56, 64, 4, 6 5, 4, 5, 44, 40, 90,, 08, y 6 5, 4 4 9, 9 a b c d = y y 6, 06, 7, 07,, 5, 4 54, 5 05, 0, 0, 0, 490. Néhány megfelelõ pont: P (; ) ; P (; 4) ; P (5; 7) y A hozzárendelés szabálya: Minden olyan P(; y) pont megfelelõ, ahol = y. Pl.: P (; ) ; P (7; 7) ; P (00; 00)... y 4 4 A hozzárendelés szabálya:. 49. Az ábráról leolvasható, hogy minden olyan pont megfelelõ, amelyre vagy = y, vagy - = y teljesül. Ezek a pontok a koordináta-rendszer tengelyei által bezárt szöget megfelezõ egyenesre illeszkednek. y P( ; y) = y P( ; y) - = y 4
9 HOZZÁRENDELÉSEK 49. Az részét azaz 4 km-t. 0 4 km t = = h alatt teszi meg. km 0 5 h B faluba óra 0 perckor érkezik meg Az elsõ táblázat hozzárendelési szabálya: y = vagy. y A második táblázat egy lehetséges hozzárendelési szabálya: +, ha 0, és -, ha < 0. y Néhány megfelelõ pont: P (; 4), P (6; ), P (-; -4), P 4 (-; 4), P 5 (; -6), P 6 (6; -). Ezek a koordináta-rendszerben olyan egyenesen helyezkednek el amelyik illeszkedik az origóra. A hozzárendelési szabály: vagy -. P''( ; - ) P'( ; ) 496. a) y y, 9, 5, 0, 0 08, 6, 7, 07, 0, 05, 0 08, 0 08, 06, 0 07, 0 0 5
10 FÜGGVÉNYEK y = [ ] y = {} b) A két függvény alapján az y + y grafikonja is megszerkeszthetõ! A függvények definíciója alapján is nyilvánvaló, hogy y = y + y = {} + [] = a) A táblázat a helységek és köztük felvehetõ utak összeszámlálása alapján kitölthetõ: b) y Minden helységbõl - út indul ki, és mivel minden útnak két vége van, ezért az összes út ( -) száma: y = Az origóra vonatkozó tükrözés szintén az A B szakaszt határozná meg. 6
11 HOZZÁRENDELÉSEK 499. A megfelelõ értékpárokat foglaljuk táblázatban! ( + ) a) f( )=- Ê ˆ A Á ; - Ë 5 0 A ( 00 ; ) A ( 4; - 7) b) g( )=- + B ( 7 ; ) Ê 5 ˆ B Á ; - Ë Ê 99 ˆ B Á ; Ë c) h ( )= - C (-0 ; ) C C Ê Á Ë ˆ Ê ˆ ;- C ; vagy Á- - Ë ( 5; 00) vagy C (- 5; 00) d) Ê D 0; ˆ Á Ë 7
12 FÜGGVÉNYEK Ê 7 ˆ D Á- ; - Ë D ( ; ) = estén a függvény nincs értelmezve! 50. a) Az A(; ) pont a grafikon egy pontja, ezért: f() =, de f() = a a = fi a =. b) A két pont alapján felírható a következõ egyenletrendszer: 4= a + b 40 = a ( - ) + b Ezt megoldva a = és b = adódik. c) A két pont alapján: 5= a ( - ) + b = a + b Ez alapján a = és b = 7; vagy a =- és b = 7 adódik. 50. a) A táblázat alapján bármely π 0 és π 0 értéket is választunk ki, teljesül a következõ: : = f( ): f( ) b) f() = 8
13 HOZZÁRENDELÉSEK c) f ( )= 50. Az tengelyre illeszkedõ pontok második koordinátája (ordinátája) 0: Pl. (; 0). Az y tengelyre illeszkedõ pontok elsõ koordinátája (abszcisszája) 0: Pl. (0; ) Bármely megadott pont abszcisszája:. Pl.: R(; 4). Bármely megadott pont ordinátája: 7. Pl.: R(8; 7). Az egyenes az ordináta-tengelyt a Q(0; 7) pontban metszi. 9
14 FÜGGVÉNYEK 506. a) Ebben az esetben a három pont egy egyenesre esik, azaz nem határoz meg háromszöget. Az egyenesre illeszkedõ minden pontra igaz, hogy y = -5. b) A három pont nem határoz meg háromszöget, hanem mindhárom egy origón áthaladó egyenesre illeszkedik. Az egyenes minden egyes P(; y) pontjára teljesül, hogy y = -. c) A három pont ebben az esetben egy olyan egyenesre illeszkedik, amelynek P(; y) pontjaira teljesül, hogy y = +. 0
15 HOZZÁRENDELÉSEK 507. a) Ha a tükrözés tengelye az b) Ha a tükrözés tengelye az ordinátatengely: abszcisszatengely: A'( -; 5) A( 5 ; ) A( 5 ; ) C'( -5; ) C( 5 ;) B'( -4; ) C( 5 ;) B'( -4; -) B( 4; -) B( 4; -) C'( 5; -) A'( 4; - 5) Általában: P(; y) ordinátatengelyre vonatkozó tükörképe: P (-; y). Általában: P(; y) abszcisszatatengelyre vonatkozó tükörképe: P (; -y). Ha az origóra tükrözünk, akkor a P(; y) pont tükörképe: P (-; -y). A feladat esetében: A(; 5) Æ A (-; -5); B(-4; ) Æ B (4; -) valamint C(5; ) Æ B (-5; -) a) A két pont ordinátája egyenlõ. Pl.: P (; 7), P (0; 7). b) A két pont abszcisszája egyenlõ. Pl.: P (; 7), P (; 0). c) A két pont ordinátája egymásnak ellentettje. Pl.: P (; 7), P (; -7). d) A megfelelõ koordináták egymás ellentettjei. Pl.: P (; 7), P (-; -7) A megfelelõ pontok: a) az tengelyre illeszkednek; b) = az e egyenes minden pontjára teljesül.
16 FÜGGVÉNYEK c) d) A megfelelõ pontok az I. síknegyed pontjai a határoló egyeneseket kivéve. A megfelelõ pontok a II. síknegyed pontjai a határoló egyeneseket kivéve. e) f) y = + y =6 50. a) P(; y) pontokat keressük, ahol = y. Pl.: P (-4; -), Pl.: P (-; -), Pl.: P (0; 0), Pl.: P 4 (; ), Pl.: P 5 (4; ) P P P P 4 P 5 b) Pl.: P (-5; -5), Pl.: P (-; ), Pl.: P (-; ), Pl.: P 4 (; -), Pl.: P 5 (; -) P y =- P P P 4 P 5
17 HOZZÁRENDELÉSEK c) Pl.: P (-; -), Pl.: P (0; -), Pl.: P (; -), Pl.: P 4 (6; 0), Pl.: P 5 (9; ) P P P y = - P 5 P 4 5. a) b) c) d)
18 FÜGGVÉNYEK e) f) 5. a) b) c) d) 4
19 HOZZÁRENDELÉSEK e) f) - y = F HG P ; I K J + y = g) h) 5. Az ábrán látható ponthalmazok egy lehetséges megadása a következõ: a) < b) < és y c) y + < 0 ha < 0 y + > 0 ha > 0 y = 0 ha = 0 d) ΩyΩ + ΩΩ = e) y + és < 0 és y > 0. f) y + és y < és y. 5
20 Arányosságok 54. a) b) P ( 00 ; ) P (; ) P (-;-) g( )=- P ( 00 ; ) P (; - ) P (-4 ; ) f( )= c) F HG P ; P (; ) P (-;-) I K J d) k ( )=- P ( 00 ; ) P (- ; ) P (; -) h ( )= 55. Mivel f() egyenes arányosság, ezért felírható f() = a alakban, ahol a az arányossági tényezõ. Ezt felhasználva az a értéke meghatározható. a) - = a ( -) a = Az egyenes arányosság szabálya így: f( )=. b) 6= a a= fi f( ) =. c) 7= a ( -) 7 7 a=- fi f( ) = a) = ª ª = 9 b) ª = (-) ª = - 4 A 9 ; 4 B ; 6
21 ARÁNYOSSÁGOK F HG I K J c) ª = - ª = d) = ª ª = C ; D ; A megadott pontok közül a C(-; ) illeszkedik az egyenes arányosság grafikonjára, hiszen =- ( -). 58. a) Az A és C pontok ugyanannak az f( )=- egyenes arányosságnak a grafikonjára illeszkednek. b) A B által meghatározott egyenes arányosság: g ( )= 4 A D pont által meghatározott egyenes arányosság: h() =. 59. Az egyik pontnak válasszuk az origót: O(0; 0), hiszen ez bármelyik egyenes arányosság grafikonjára illeszkedik, a másik pont ezek után bármelyik pont lehet, csak ne illeszkedjék egyik koordináta-tengelyre sem. 50. Az a) és d) grafikon határoz meg egyenes arányosságot. Ezek hozzárendelési szabályai: a) f( )= b) g() = Legyen a nagyobbik szám:. = = 8 5. Az arány alapján jelöljük a két számot -szel és 5-szel. + 5 = 48 = 6 A keresett két szám: a 8 és a Alakítsuk át a törtkifejezést az alábbi módon: + + y + y 4 5 = = =. y 4 7
22 FÜGGVÉNYEK 54. Az elsõ hónapban összegyûjtött pénz legyen, a másodikban = 80 = 40 Az elsõ hónapban 80 forintot a másodikban 00 forintot spórolt. 55. Legyen a téglalap két oldala a és b, a kerülete k. Mivel a= 5 k ezért a másik b oldal: 8 a) at. k 5 9 b = - a= k- k = k k 4 a k = b) = 8 5 = c) a = b k 5 b 9 k A b)-ben kapott eredmény alapján legyen a = 5 és b = 9. 5 = 9-6 = 4 A téglalap két oldla: a = 0 m és b = 6 m. A téglalap területe: a b = 0 m 6 m = 70 m. 57. A nyers kávé és a pörkölt kávé mennyisége egyenesen arányos mennyiségek, ezért ha a keresett nyers kávé mennyisége : 6 = 60 5 = 7 7 kg nyers kávéból. 58. A keresett idõ legyen óra. A munkások száma és a munkaidó fordított arányosságban állnak. 68 = = 6 6 óra alatt végez a munkás. 59. Mivel s = v t, ezért rögzített út esetén a sebesség és az út megtételéhez szükséges idõ fordítottan arányosak. A keresett idõ legyen t. 40 = 60 t 4 t = A menetidõ 4 óra lesz. 50. Jelölje a szükséges festék tömegét:. A felhasznált festék tömege a kocka felszínével egyensen arányos. 8
23 ARÁNYOSSÁGOK Az eredeti kocka felszíne A = 6a, ahol a a kocka élhossza. A megnövelt kocka felszíne A = 6(a) = 4a = 4A. = 4A A = 4 4 kg festékre van szükségünk. 5. A tömeg és a térfogat egyenesen arányosak. Ha a keresett térfogatot -szel jelöljük, akkor = 6 5, = 0 A darab térfogata: 0 cm. 5. A szükséges idõ:, a munkások számával és a naponta végzett munkaórák számával fordítottan arányos. 8 = 44 = nap alatt végeznek. 5. A keresett idõ legyen. Ez a csapok számával fordítottan, a szükséges vízmennyiséggel egyenesen arányos. 6 = = óra alatt gyûjthetünk össze 00 liter vizet. 54. Az elkészülõ anyag hossza. Ez a gyapjú mennyiségével egyenesen, az anyag szélességével fordítottan arányos. 05, 40 = 0 0 = méter hosszú anyag készül. 55. A napok száma legyen. Ez a gépkocsik és a napi fuvarok számával fordítottan, az áru tömegével egyenesen arányos = = nap alatt végzik el a szállítást. 56. Jelöljük a három számot így: ; ; 4. 9
24 FÜGGVÉNYEK = 80 = 0 A három szám: 40; 60; A festék tizedrésze, azaz 5 g szükséges. 58. Legyen két háromszög két magassága m és m. Mivel a területek egyenlõk, ezért: 6 m = 4 m m = m 59. Egy gép egy nap alatt a munka = részét végzi el. Ha a munkanapok száma, 6 7 akkor ( -4) 8 = 7 7 az elsõ 4 nap nap alatt végzik el a munkát. = 540. a) nap alatt b) nap alatt c) 48 nap alatt. 54. Lineáris függvények 40
25 LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK a) Az tengelyre való tükrözés után a következô függvények adódnak. a'( ) = 4 b'( ) = c'( ) = d'( ) = b) Az y tengelyre való tükrözés után a következô függvények adódnak. a''( ) = 4 b''( ) = c''( ) = d''( ) = c) Az origó körüli 90º-os forgatás után a következô függvényeket kapjuk: 4 a'''( ) = b'''( ) = c'''( ) nem lesz függvény d'''( ) = 4
26 FÜGGVÉNYEK a ( ) =- + d ( ) = ( - ) + F e ( ) = HG I K J 544. Mindegyik grafikon az y tengelyt az y = pontban metszi. Az egyes függvények a következô helyeken metszik az tengelyt: a(): + = 0 = - b(): - + = 0 = c(): ( + 4) = 0 = -4 b ( ) = + f( ) = ( - ) + d(): ( + ) - = 0 = - e(): = 0 = -6 4
27 LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK 545. A függvények grafikonjai a következô értékeknél metszik a tengelyeket: y tengely tengely a(): y = -6 = b(): y = 0 = 0 c(): y = = d(): y = - = 00 e(): y = -7 = Jelölje t az idôt V a tartályban levô víz mennyiségét. t () s 4 a) V () l 5, 45, 6 A közöttük levô függvénykapcsolat: V =,5t. V = 000 l térfogathoz szükséges idô: 000 =, 5 t t = 666 s b) Ha a tartály kezdetben 4 l vizet tartalmaz: t () s 4 V () l 55, 7 85, 0 V = 4 +,5t V = 000 l esetén: 000 = 4 +, 5 t t = Az egyes idôpontokhoz tartozó térfogatokat a következô táblázat határozza meg. V () l t() s a) b) c) A térfogat és az eltelt idô közötti függvénykapcsolatok: a) V = t + 00 b) V = t + 00 c) V = 5t + 00 Ezen függvények grafikonjai az ábrán látható. 4
28 FÜGGVÉNYEK 548. Jelölje a tartályban levõ víz mennyiségét V, a közben eltelt idõt t. A közöttük mérhetõ kapcsolatok: a) V = t + 6 Ha a tartály megtelik, akkor V = 4. 4 = t + 6 t = 6 6 s alatt lesz tele a tartály. b) V = t+ 4 = t + t = s alatt lesz tele a tartály. Az egyes esetekben a függvények grafikonjai az ábrán láthatók A megadott függvényeket elõször egyszerûbb alakra hozzuk. a) a() = - 5 Mivel - π 0, ezért a függvény értelmezési tartománya a kivételével minden racionális szám. R ÉT: ŒQ ST U \ VW. b) b ( )= ÉT: ŒQ\ c) c ( )= + R. ÉT: ŒQ ST U \ VW. R ST U VW 44
29 LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK d) d() = e) d() = + ÉT: ŒQ ÉT: ŒQ \ {0} 550. A fügvényt f() = a + b alakban keresve az a és b értékeit az alábbi egyenletrendszer megoldása adja: - a+ b=- a+ b= a= b=- A függvény: f() = - a) f(0) = - b) f(00) = A függvényt f() = a + b alakban keresve: a+ b=- - a+ b= egyenletrendszert megoldva a = -5 b = A keresett függvény: f() =
30 FÜGGVÉNYEK 55. A keresett függvény f() = a + b alakú. A megadott értékpárok alapján: 00a+ b= 99 a+ b= Az egyenletrendszert megoldva: a = 4 b = -. A függvény szabálya: f() = Elõször a függvényeket egyszerûbb alakra hozzuk. - 8 a ( )= + = Az tengelyt = 4-nél, az y tengelyt y = 8 5 -nél metszi, a meredeksége - 5. b ( ) = ( - )( + ) - 6( + )( - ) =- + 4 A függvény meredeksége -, az tengelyt = 4-nél, az y tengelyt y = 4-nél metszi. 6 + c ( )= - = - + A függvény meredeksége, az tengelyt = -nél, az y tengelyt y = --nél metszi. d ( )= = A függvény meredeksége - 5, az tengelyt = -nél, az y tengelyt -nél metszi a) b) 46
31 LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK 555. A grafikon három pontja: P (0; -4) P (; -) P (; ) P P P 556. Egy-egy lehetséges ponthármas a következõ: a) P (-; -) P (0; ) P (; 6) b) Q (-; 0) Q (0; ) Q (; 7) c) R (-; -) R (0; ) R (; ) 557. Mindegyik függvényt f() = m + b alakban keressük. Mivel m ismert és az adott pont megfelelõ koordinátái az egymáshoz rendelt függvényértékeket meghatározzák, így a b értéke meghatározható. a) = m 0 + b, ahol m = b = Így f() = + b) f( )= + 5 e) f( )= f) f( )= - h) f( ) = 5, c) f( )=- + 7 d) f( )= g) f( )= A keresett függvények f() = a + b alakúak. A megadott pontpárok alapján az a és b értékei meghatározhatók. a) b) = a 0+ b a = = a 0+ b a = 0= a 6+ b 7= a ( ) + b b = b = f( ) = + f( ) = + 47
32 FÜGGVÉNYEK c) = a + b 0= a ( ) + b f( ) = + a = b = d) = a ( ) + b 5= a 5+ b f( ) = a = b = a) b) a ( ) = RST +, ha 0 -, ha > 0 b ( ) = RST +, ha -, ha > c) d), c ( ) = RST ha 0 -, ha > 0 c ( ) = R S T -, ha 0, ha 0< < - 5, egyébként 560. A megfelelõ értékpárokat táblázatba foglalva: 5 0 f( )
33 LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK 56. Mindegyik függvényt f() = m + b alakban keressük. a) A függvény meredeksége: m = A megadott pont alapján: = - + b b = f() = + b) m =- c) m = = + b b = =- + b b= 5 f( ) =- + f( ) = + 5 d) m =- = + b b= f( ) =- + 5 e) m =- 5 = + b b=- 5 f( ) = A függvényeket f() = a + b alakban keressük. A pontpárok alapján a és b értékei meghatározhatók. a) b) 0= a + b a = 0= a 0+ b a = = a + b = a + b b = b = 0 f( ) = f( ) = c) 4= a 0+ b = a ( ) + b 5 f( ) = a = b = 4 d) 4= a ( ) + b 8= a + b f( ) = a = b = 56. a) A grafikonra illeszkedõ pontok: F A ; F b F ; ; 49g, D - ; HG 9 I HG K J, B I HG 8 K J, C - - b) A függvény grafikonja fölött levõ pontok például: Ab4 ; g, Bb; 8g, Cb F -99; -49g, D -; HG 5 I K J I K J c) A függvény grafikonja alatt levõ pontok például: Ab ; g, Bb; 8g, Cb F 5-99; -49g, D - ; HG 9 I K J 49
34 MÁSODFOKÚ FÜGGVÉNYEK Másodfokú függvények 564. a) b) c) d) 50
35 MÁSODFOKÚ FÜGGVÉNYEK 565. a) b) c) d) 5
36 FÜGGVÉNYEK 566. a) b) c) d) 567. a) b) f( ) =- ( + ) - g ( ) = + 4-6= ( + ) -8 5
37 MÁSODFOKÚ FÜGGVÉNYEK c) d) F I HG K J + k ( )= + + = F 6 H G I K J + h ( )=- - - = a) f( )= + 4+ ÉK: f() 0 A tengelyt = --nél érinti. Az y tengelyt y = -nél metszi. b) g ( ) = ( -) - ÉK: g() - A tengelyt = --nél és = 4-nél metszi. Az y tengelyt y = - -nál metszi. 5
38 FÜGGVÉNYEK c) h ( ) =- ( + ) + 4 ÉK: h() 4 A tengelyt = --nál és = -nél metszi. Az y tengelyt y = -nál metszi. d) k ( )= ÉK: k() A tengelyt = 4 - -nél és = 4 + -nél metszi. Az y tengelyt y = -7-nél metszi A függvényeket f() = a + b + c alakban keressük. A megadott értékpárok alapján felírt egyenletrendszerekbõl az a, b és c értéke meghatározható. a) a 0+ b 0+ c = 0 b) a + b ( - ) + c =- a 4+ b + c = a + b + c =- a + b ( - ) + c = a 4+ b + c = a= b= 0 c = 0 a= b= 0 c =- f( ) = f( ) = - c) a + b ( - ) + c = a 0+ b 0+ c = 5 a + b + c = a=- b= c = 5 f( ) = d) a + b + c = 0 a 9+ b + c = a + b ( - ) + c = a = b =- c = 4 4 f( ) = = --nél az f() értéke 0. a) (-) + (-) + c = 0 c = 0 b) (-) - (-) + c = 0 c = c) (- - )( (-) + c) = 0 c = 6 d) (- + )(c - (-)) + = 0 nincs megfelelõ c valós szám 54
39 MÁSODFOKÚ FÜGGVÉNYEK 57. a) f( ) = R S T +, ha 0 - -, ha > 0 b) f( ) = R S T +, ha <, ha - -, ha < Tört, abszolútérték és négyzetgyökfüggvény 57. Jelöljük a függvények értelmezési tartományát D-vel! a) D = D = D = D = ŒR π 0 f g h k m r 55
40 FÜGGVÉNYEK b) D = ŒR π 0 f m D = D = D = ŒR π g h k m r r 57. A megadott pontok alapján felírt egyenletrendszerbõl az a és b értékeit meghatározhatjuk. a U a) + b = a a V = b b = = W f( ) = + b) U a + b = 0 a V + b = W 6 f( ) = - a b = 6 =- 56
41 TÖRT, ABSZOLÚTÉRTÉK ÉS NÉGYZETGYÖKFÜGGVÉNY c) a + b = 0 a =- a b = b W f( ) = = U V d) U V a + b = 0 0 0a+ b= 99W 0 f( ) = - a b = 0 = a) b) 57
42 FÜGGVÉNYEK c) d) 575. a) b) c) d) 58
43 TÖRT, ABSZOLÚTÉRTÉK ÉS NÉGYZETGYÖKFÜGGVÉNY 576. a) b) c) d) 577. Mindegyik esetben a h() függvény menetét írjuk le. a) h ( )= + + Menete: - -tõl = --ig szigorúan monoton csökken. = --tõl = 0-ig konstans, értéke. = 0-tól -ig szigorúan monoton nõ. 59
44 FÜGGVÉNYEK b) h ( )= Menete: - -tõl = --ig szigorúan monoton csökken. = --tõl = -ig konstans, értéke. = -tõl -ig szigorúan monoton nõ. c) h ( )= + + Menete: - -tõl = --ig konstans, értéke. = --tól = 0-ig szigorúan monoton csökken. = 0-tól -ig konstans, értéke -. d) h ( )= + + Menete: - -tõl = 0-ig szigorúan monoton csökken. = 0-tól -ig szigorúan monoton nõ a) f( )= - - D f = R Menete: - -tõl = -ig szigorúan monoton csökken. = -nél minimuma van: -. = -tõl -ig szigorúan monoton nõ. 60
45 TÖRT, ABSZOLÚTÉRTÉK ÉS NÉGYZETGYÖKFÜGGVÉNY b) f( )= - - D f = R Menete: - -tõl = - -ig szigorúan monoton csökken. = - -tõl = - ig szigorúan monoton nõ. = -tõl = + -ig szigorúan monoton csökken. = + -tõl -ig szigorúan mo- noton nõ. Minimuma van = - -nél és = + esetén ennek értéke 0. Helyi maimuma van = -nél, értéke:. c) f( ) = - + D f = \ Menete: - -tõl = --ig szigorúan monoton csökken. = --nél minimuma van: 0. = --tõl = -ig szigorúan monoton nõ. R lq = -nél szakadása van. = -tõl -ig szigorúan monoton csökken. d) f( )= - D f = R Menete: - -tõl = --ig szigorúan monoton csökken. = --tõl = 0-ig szigorúan monoton nõ. = 0-tól = -ig szigorúan monoton csökken. = -tõl -ig szigorúan monoton nõ. Minimuma van = - és = értékeknél, ez 0. Helyi maimuma van = 0-nál, ennek értéke:. 6
46 FÜGGVÉNYEK 579. a) { } D = D = D = D = ŒR 0 f g h k b) { } D = D = D = D = ŒR 0 f g h k c) { R 0} { R 0} D = Œ f D = D = D = Œ g h k 6
47 TÖRT, ABSZOLÚTÉRTÉK ÉS NÉGYZETGYÖKFÜGGVÉNY 580. a) Df = mœr π 0r, m Dg = ŒR π r, m D h = ŒR π r, m Dk = ŒR π - r b) Df = { ŒR 0 }, Dg { } Dk { } c) Df = Œ R > 0 = ŒR 6, Dh = R, m r, Dg = { Œ Ÿ π } Dk = { ŒR 0 } m r, Dg { } d) Df = ŒR π 0Ÿ π m R 0, D h = Œ R > 0r, = ŒR, Dh = Œ R > m r 58. a) b) - c) = d) = - = = 6
48 FÜGGVÉNYEK a) - < 0, 5, ha < 0 vagy > 5 5 b) < - < 0, ha < < a) b) f( ) > 0, ha > 8 f( ) < 0, ha < 8 f( ) = 0, ha = f( ) > 0, ha 4< < 6 f( ) < 0, ha < 4 vagy > 6 f( ) = 0, ha = 6 64
49 TÖRT, ABSZOLÚTÉRTÉK ÉS NÉGYZETGYÖKFÜGGVÉNY c) d) f( ) > 0, ha < 0 vagy > 4 f( ) < 0, ha 0< < 4 f( ) = 0, ha = 0 vagy = 4 f( ) > 0, ha < vagy > 4 f( ) < 0, ha < < 4 f( ) = 0, ha = vagy = a) + b) c) = -4 + d) = = - =
50 FÜGGVÉNYEK e) - 4 f) g) h) ( -4)-( + ) - -5 i) j) + 0 < < π 66
51 TÖRT, ABSZOLÚTÉRTÉK ÉS NÉGYZETGYÖKFÜGGVÉNY k) 4 l) ( + ) Grafikonok a koordináta-rendszerben 585. a) A(4; ), B(-; ), C(-; -), D(4; -6) b) A(0; 7), B(-; ), C(-5; -), D(; -) c) A(-; -), B(; -), C(4; ), D(7; ), E(0; 7), F(-4; ), G(-7; ) d) A(-; 0), B(; 0), C(; 4), D(0; 8), E(-; 4), F(-; ), G(; ), H(; ), J(-; ) 586. a) 8 f( )= P (5; 4) P 4 (0; ) b) f( )=- P (0; 0) P 4 (-4; 6) c) f( )=- + P (; 0) P 4 (-; ) 8 d) f( )= + P F0 ; 8 HG I K J P 4 (-; ) 587. a) f( )=- P (0; 0) P (; -) b) f( )= - 4 P (0; -) P (4; 0) 67
52 FÜGGVÉNYEK c) f( )= + P (0; ) P (; ) d) f( )=- P (0; 0) P (; -) 588. a) f( )=-- m = - P (-; 0) P y (0; -) b) f( )= - m = P (; 0) P y F 0; - HG c) f( )=- + m = - P (; 0) P y (0; ) d) f( )= + m = P 4 4 (-; 0) P y F0 ; I K J 589. a) f( )= - P (; 0) P y (0; -) b) f( )= + P (-; 0) P y (0; ) c) f( )=-- P (-; 0) P y (0; -) d) f( )=- + P 4 4 F F I 5 0 ; K J I HG K J P y 0 HG a) f( )= -5 P (5; 0) P y (0; -5) b) f( )=- + P (4; 0) P y (0; ) c) f( )=- az tengelyt nem metszi, P y (0; -) d) f( )=-- P - ; 0 P y (0; -) F HG I K J 59. a) m = - f( )=- + P (; 0) P y (0; ) b) m = f( )= - P F I HG ; 0 K J P y (0; -) c) A megadott egyenesre merõleges egyenes nem lesz függvény! Olyan ponthalmazt kapunk, amely az = feltételnek tesz eleget. d) m = f( )= + P (-; 0) P y F0 ; I K J 59. A feltételt átírhatjuk y =- + határozza meg. 59. A grafikonok alapján egy-egy lehetséges szabályt adunk meg. a) f( )= - b) f( )=- - c) f( )= - + d) f( )= + - HG HG alakra. Ez a d) ábrának megfelelõ grafikont I K J 68
53 GRAFIKONOK A KOORDINÁTA-RENDSZERBEN 594. a) f( )= - b) f( ) =- ( +) 5 c) f( ) = ( - ) + d) f( ) =- ( + ) A függvényeket f ( )= a + b + c alakban keresve, a megadott pontok alapján felírt egyenletrendszerekbõl az a, b és c értékei meghatározhatók. a) A(-; ), B(0; ), C(; 4) = 4a b+ c = c 4 = a+ b+ c a= b= c= f( ) = + + = ( + ) b) A(; ), B(; ), C(4; -) f( ) =-( - ) + = c) A(-4; -), B(-; ), C(0; 6) f( ) = = ( -) - d) A(-; 4), B(0; -), C(; 0) F I HG K J - f( )= -- = a) f( )= b) f( )= + c) f( )= - d) f( )= 597. Az ábrákon függvények transzformációs lépései láthatók. a) f( )= ; f( ) = ( - 4) ; f( ) =- ( - 4) ; f4( ) =- ( -4) -4 b) f( )= ; f( )= + 4 ; f( )= ; f4( )= c) f( )= ; f( ) = ( - 4) ; f( ) = ( - 4) + ; f4( ) = ( - 4) a) f( )= ; f( ) = ( - 6) ; f( ) =- ( - 6) ; f4( ) =- ( -6) - b) f( )= ; f( )= + 6 ; f( )=- + 6 ; f4( )= c) f( )= ; f( )= ; f( )=- ; f4( )=
54 FÜGGVÉNYEK 599. A gépek mûködésére egy-egy lehetséges szabály a következõ: a) ; + ; - b) ; - 8; c) ; ; A gépek kimenetén a kapott értékek a következõk: a) 4 b) 5 c) 4 d) 49 e) - f). 60. A bemeneti értékek az egyes gépeken a következõk: a) -4 b) - c) d) 5 vagy a) a 7 = a= b) 7 - a= a= c) - a+ = 9 a=- d) 00-8 = 00 a = a 7 e) + a+ a= a= 0 f) 60. A kimeneten adódó értékek: a) - b) a + 7= a = a) 4- b) ( -)- = -5 70
55 GRAFIKONOK A KOORDINÁTA-RENDSZERBEN c) ( -) - + = d) ( - ) = = a) f: + R Df = ŒR π - S T U V W b) f: - D { } f = ŒR 7
56 FÜGGVÉNYEK c) f: ( -) - = 4-4 d) f: + = + D f = R D f = R 606. A keresett szabélyokra egy-egy lehetõséget adunk meg. a) 0 b) - 7 c) - + d) A d) esetet részletezve: y - y+ Æ - 7 7, hiszen F 0I HG K J + = - + = Mindegyik esetben hat lehetséges sorrend létezik. Ha a gépeket sorszámozzuk, akkor ezek a következõk:,,,,,. Az eredményül kapott függvényeket ebben a sorrendben megadva: a) ( + ) ; ( ) + ; ( ( + )) ; ( + ) ; + ; ( + ). b) ( - - ) ; ( -) - ; ( - + ) ; -(- -); - -; - +. c) - ; ; - ; - Ê ˆ Á- ; ; Ë ( - ) - 7
57 GRAFIKONOK A KOORDINÁTA-RENDSZERBEN 608. Egy-egy megoldás lehet a következõ: a) y y- b) - c) + d) z -z Természetesen több megoldás is elképzelhetõ. Egy lehetséges esetet mutat az ábra: y - y+ Æ a) b) c) - y y + ( -) y y+ + y ( y- ) + Æ( - ) + Æ( - ) + Æ( - ) + 6. a) y y Æ A gépek felcserélésével nem változik a szabály. b) + y y- Æ c) A gépeket felcserélve másik szabály adódik: + y y A gépeket felcserélve másik szabály adódik: y- +. Æ 6. Egyiket sem. Mindegyik esetben különbözõ szabályok keletkeznek. Ezeket meg is adjuk. a) -4-4; b) 4 - ; - + c) - ; - d) - 4 ; -. n n e j e j 6. Bármelyik hatványfüggvény megfelelõ, hiszen = =. Tehát a keresett gép szabálya: n. n 7
58 GARFIKUSAN ÉS ALGEBRAI ÚTON IS MEGOLDHATÓ FELADATOK Garfikusan és algebrai úton is megoldható feladatok 64. Ha az elõször elinduló menetidejét -szel jelöljük, akkor az általa megtett út, a másik által pedig 4,5( - ) = 4,5-9. Ábrázoljuk az és 4,5-9 függvényeket! Ezek metszéspontja az = 6-nél lesz. Tehát a város távolsága legalább 8 km. 65. Az egyik gyalogos óra alatt megtesz 4 km-t, a másik 6 km-t. Az elsõ gyalogos indulási helyétõl mért távolságuk ezért 4 ill Azt kell megvizsgálni, hogy az 4 ill. 0-6 függvények hol metszik egymást. A metszéspont = -nél lesz. A gyalogosok óra múlva az elsõ gyalogos indulási helyétõl 4 km-re találkoznak. 74
59 GARFIKUSAN ÉS ALGEBRAI ÚTON IS MEGOLDHATÓ FELADATOK 66. Készítsük el a gyalogos út-idõ garfikonját! Errõl leolvashatók az adatok: a) A gyalogos 9 órakor 5 km, 0 óra 0 perckor 8 km, órakor 0 km távolságra volt az indulási helyétõl. b) 8 km távolságra 0 órakor állt meg pihenni. c) 4 km hosszú utat járt be. d) 6 km-re 9 óra 0 perckor, 0 km-re órakor, 4 km-re órakor volt. 67. Közös koordináta-rendszerben ábrázoljuk András és Béla távolságát András indulási helyétõl mérve az idõ függvényében. Leolvasható, hogy 4 óra elteltével András 9 km-re, Béla km-re lesz, azaz egymástól km-re. Ettõl mérve idõ alatt a találkozásig megtesznek ill. 4 km-t. + 4 = fi = 7 Eszerint 4 óra múlva találkoznak Ábrázoljuk közös koordináta-rendszerben a gyalogos éa a villamosok távolságát a gyalogos indulási helyétõl mérve az idõ függvényében. a) A gyalogossal egyirányú villamosok A gyalogossal szemben jövõ villamosok 6 belsõ pont 0 belsõ pont 75
60 FÜGGVÉNYEK Azt kell összeszámolnunk, hogy a 4 óra idõtartamon belül hány metszéspont van. A gyalogos út-idõ függvénye: 4. A vele egy irányban haladó villamosoké: 8 - b, ahol b =,5; ;...; 9. A szembe jövõ villamosoké: 8 + b, ahol b =,5; ;...; 5. Az ábrákról leolvasható, hogy 6 azonos irányban és 0 szembejövõ, azaz összesen 6 villamossal találkozik. b) Hasonló gondolatmenet alapján megállapítható, hogy 6 azonos irányban haladó és 0 szembejövõ villamossal találkozik ebben az esetben is. 69. a) I. tartály 0 - II. tartály + I. tartályban levõ víz mennyiségét meghatározó függvény: II. tartály: A grafikon alapján = 6 percnél mindkét tartályban 8 l víz van. b) I. tartály kétszerese 40-4 II. tartály + = 76, perckor I. tartály: 4,8 l II. tartály: 9,6 l II. tartály kétszerese 4+ = 4 perckor I. tartály: l II. tartály: 6 l I. tartály 0-76
61 GARFIKUSAN ÉS ALGEBRAI ÚTON IS MEGOLDHATÓ FELADATOK c) II. tartály háromszorosa 6+ I. tartály 0 -( -) = 6, perckor I. tartály: 6,8 l II. tartály: 5,6 l 60. A folyadék hõmérsékletét leíró függvény: A tartályét: A két függvény metszéspontja alapján a közös hõmérséklet 56ºC lesz és perc múlva alakul ki. 77
62 FÜGGVÉNYEK 6. A két lovas 6 áróig együtt haladt. 6 óra múlva az elsõ lovas célba ért, ekkor a második a céltól = 5 6 km-re volt. Ennyivel elõzte meg õt az elsõ lovas. A két ló így = óra idõkülönbséggel ért 0 célba A szükséges sóoldat mennyisége legyen. A só mennyiségét figyelembe véve a következõ egyenlet írható fel: = ( ) = g 5 %-os sóoldatra van szükség. 78
b) Ábrázolja ugyanabban a koordinátarendszerben a g függvényt! (2 pont) c) Oldja meg az ( x ) 2
1) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) b) c) ( ) ) Határozza meg az 1. feladatban megadott, ; intervallumon
RészletesebbenCsoportmódszer Függvények I. (rövidített változat) Kiss Károly
Ismétlés Adott szempontok szerint tárgyak, élőlények, számok vagy fizikai mennyiségek halmazokba rendezhetők. A halmazok kapcsolatát pedig hozzárendelésnek (relációnak, leképezésnek) nevezzük. A hozzárendelés
RészletesebbenFüggvények Megoldások
Függvények Megoldások ) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) x x b) x x + c) x ( x + ) b) Az x függvény
RészletesebbenDescartes-féle, derékszögű koordináta-rendszer
Descartes-féle, derékszögű koordináta-rendszer A derékszögű koordináta-rendszerben a sík minden pontjához egy rendezett valós számpár rendelhető. A számpár első tagja (abszcissza) a pont y tengelytől mért
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek megoldásához!
RészletesebbenRacionális számok: Azok a számok, amelyek felírhatók két egész szám hányadosaként ( p q
Szóbeli tételek matematikából 1. tétel 1/a Számhalmazok definíciója, jele (természetes számok, egész számok, racionális számok, valós számok) Természetes számok: A pozitív egész számok és a 0. Jele: N
Részletesebben6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének
6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük
RészletesebbenNagy András. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 2010.
Nagy András Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 010. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 1) Döntsd el, hogy a P pont illeszkedik-e az e egyenesre
RészletesebbenMatematika 8. osztály
ELTE Apáczai Csere János Gyakorló Gimnázium és Kollégium Hat évfolyamos Matematika 8. osztály III. rész: Függvények Készítette: Balázs Ádám Budapest, 2018 2. Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék III. rész:
Részletesebben10. Koordinátageometria
I. Nulladik ZH-ban láttuk: 0. Koordinátageometria. Melyek azok a P x; y pontok, amelyek koordinátái kielégítik az Ábrázolja a megoldáshalmazt a koordináta-síkon! x y x 0 egyenlőtlenséget? ELTE 00. szeptember
Részletesebben6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban?
6. Függvények I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? f x g x cos x h x x ( ) sin x (A) Az f és a h. (B) Mindhárom. (C) Csak az f.
RészletesebbenFÜGGVÉNYEK. A derékszögű koordináta-rendszer
FÜGGVÉNYEK A derékszögű koordináta-rendszer Az. jelzőszámot az x tengelyről, a 2. jelzőszámot az y tengelyről olvassuk le. Pl.: A(-3;-) B(3;2) O(0;0) II. síknegyed I. síknegyed A (0; 0) koordinátájú pontot
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások
Megoldások 1. Írd fel a K (0; 2) középpontú 7 sugarú kör egyenletét! A keresett kör egyenletét felírhatjuk a képletbe való behelyettesítéssel: x 2 + (y + 2) 2 = 49. 2. Írd fel annak a körnek az egyenletét,
RészletesebbenKoordináta-geometria feladatok (középszint)
Koordináta-geometria feladatok (középszint) 1. (KSZÉV Minta (1) 2004.05/I/4) Adott az A(2; 5) és B(1; 3) pont. Adja meg az AB szakasz felezőpontjának koordinátáit! 2. (KSZÉV Minta (2) 2004.05/I/7) Egy
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
RészletesebbenMatematika 11 Koordináta geometria. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < szeptember 27.
Matematika 11 Koordináta geometria Juhász László matematika és fizika szakos középiskolai tanár > o < 2015. szeptember 27. copyright: c Juhász László Ennek a könyvnek a használatát szerzői jog védi. A
RészletesebbenKoordináta geometria III.
Koordináta geometria III. TÉTEL: A P (x; y) pont akkor és csak akkor illeszkedik a K (u; v) középpontú r sugarú körre (körvonalra), ha (x u) 2 + (y v) 2 = r 2. Ez az összefüggés a K (u; v) középpontú r
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások. 1. Az alábbi hozzárendelések közül melyik függvény? Válaszod indokold!
Megoldások 1. Az alábbi hozzárendelések közül melyik függvény? Válaszod indokold! A: Minden emberhez hozzárendeljük a munkahelyének nevét. B: Minden valós számhoz hozzárendeljük az ellentettjét. C: Minden
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett
Részletesebben5. feladatsor megoldása
megoldása I. rész ( ) = 1. x x, azaz C) a helyes válasz, mivel a négyzetgyökvonás eredménye csak nemnegatív szám lehet.. A húrnégyszögek tétele szerint bármely húrnégyszög szemközti szögeinek összege 180.
RészletesebbenAz egyenes egyenlete: 2 pont. Az összevont alak: 1 pont. Melyik ábrán látható e függvény grafikonjának egy részlete?
1. Írja fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely áthalad az (1; 3) ponton, és egyik normálvektora a (8; 1) vektor! Az egyenes egyenlete: 2. Végezze el a következő műveleteket, és vonja össze az egynemű
Részletesebbenaz Energetikai Szakközépiskola és Kollégium kisérettségiző diákjai számára
8. témakör: FÜGGVÉNYEK A feladatok megoldásához használjuk a Négyjegyű függvénytáblázatot! Függvények: 6-30. oldal. Ábrázold a koordinátasíkon azokat a pontokat, amelyek koordinátái kielégítik a következő
RészletesebbenHozzárendelés, lineáris függvény
Hozzárendelés, lineáris függvény Feladat 1 A ménesben a lovak száma és a lábaik száma közötti összefüggést vizsgáljuk. Hány lába van 0; 1; 2; 3; 5; 7... lónak? Készíts értéktáblázatot, és ábrázold derékszögű
RészletesebbenE-tananyag Matematika 9. évfolyam 2014. Függvények
Függvények Függvények értelmezése Legyen adott az A és B két nem üres halmaz. Az A halmaz minden egyes eleméhez rendeljük hozzá a B halmaz egy-egy elemét. Ez a hozzárendelés egyértelmű, és ezt a hozzárendelést
RészletesebbenKisérettségi feladatsorok matematikából
Kisérettségi feladatsorok matematikából. feladatsor I. rész. Döntse el, hogy a következő állítások közül melyik igaz és melyik hamis! a) Ha két egész szám összege páratlan, akkor a szorzatuk páros. b)
RészletesebbenKoordináta - geometria I.
Koordináta - geometria I A koordináta geometria témaköre geometriai problémákat old meg algebrai módszerekkel úgy, hogy a geometriai fogalmaknak algebrai fogalmakat feleltet meg: a pontokat, vektorokat
RészletesebbenÉrettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve / 5
Érettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve 2005-2013 1/ 5 Vektorok 2005. május 28./12. Adottak az a (4; 3) és b ( 2; 1) vektorok. a) Adja meg az a hosszát! b) Számítsa ki az a + b koordinátáit!
RészletesebbenFüggvények 1. oldal Készítette: Ernyei Kitti. Függvények
Függvények 1. oldal Készítette: Ernyei Kitti Függvények DEFINÍCIÓ: Ha adott két nemüres halmaz: és, továbbá minden eleméhez hozzárendeljük a valamely elemét, akkor ezt a hozzárendelést függvénynek nevezzük.
Részletesebben2012. október 9 és 11. Dr. Vincze Szilvia
2012. október 9 és 11. Dr. Vincze Szilvia Egyváltozós valós függvények nevezetes osztályai I. Algebrai függvények Racionális egész függvények (polinomok) Racionális törtfüggvények Irracionális függvények
Részletesebben2. Adott a valós számok halmazán értelmezett f ( x) 3. Oldja meg a [ π; π] zárt intervallumon a. A \ B = { } 2 pont. függvény.
1. Az A halmaz elemei a ( 5)-nél nagyobb, de 2-nél kisebb egész számok. B a pozitív egész számok halmaza. Elemeinek felsorolásával adja meg az A \ B halmazt! A \ B = { } 2. Adott a valós számok halmazán
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények ) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) x
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
Részletesebbenegyenletrendszert. Az egyenlő együtthatók módszerét alkalmazhatjuk. sin 2 x = 1 és cosy = 0.
Magyar Ifjúság. X. TRIGONOMETRIKUS FÜGGVÉNYEK A trigonometrikus egyenletrendszerek megoldása során kísérletezhetünk új változók bevezetésével, azonosságok alkalmazásával, helyettesítő módszerrel vagy más,
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások
Megoldások 1. Határozd meg a szakasz hosszát, ha a végpontok koordinátái: A ( 1; ) és B (5; )! A szakasz hosszához számítsuk ki a két pont távolságát: d AB = AB = (5 ( 1)) + ( ) = 6 + 1 = 7 6,08.. Határozd
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. Koordináta-geometria és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 4
Részletesebben1. tétel. 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója 7 cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont)
1. tétel 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont). Adott az ábrán két vektor. Rajzolja meg a b, a b és az a b vektorokat! (6 pont)
RészletesebbenKoordinátageometria Megoldások
005-0XX Középszint Koordinátageometria Megoldások 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 + 4 + 1 3 F ; = F ;1 ) Egy kör sugarának
RészletesebbenÉrettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5
Érettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5 2003. Próba/ 13. Adott egy háromszög három csúcspontja a koordinátáival: A( 4; 4), B(4; 4) és C( 4; 8). Számítsa ki a C csúcsból induló súlyvonal és az A csúcsból
RészletesebbenPótvizsga matematika 7. osztály (Iskola honlapján is megtalálható!) Tételek
Pótvizsga matematika 7. osztály (Iskola honlapján is megtalálható!) Tételek 1. Hatványozás 2. Normálalak. Mértékegységek. Műveletek racionális számokkal (tört, tizedes tört) 5. Középpontos tükrözés 6.
RészletesebbenGyakorló feladatok 9.évf. halmaznak, írd fel az öt elemű részhalmazokat!. Add meg a következő halmazokat és ábrázold Venn-diagrammal:
Gyakorló feladatok 9.évf.. Mennyi az összes részhalmaza az A a c; d; e; f halmaznak, írd fel az öt elemű részhalmazokat!. Legyen U ;;;;;6;7;8;9, A ;;6;7; és B ;;8. Add meg a következő halmazokat és ábrázold
RészletesebbenExponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek
Eponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek. Hatványozási azonosságok. Számítsd ki a következő hatványok pontos értékét! a) 8 b) 4 c) d) 7 e) f) 9 0, g) 0, 9 h) 6 0, 7,, i) 8 j) 6 k) 4 l) 49,.
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Koordináta-geometria
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett
Részletesebben1. Ábrázolja az f(x)= x-4 függvényt a [ 2;10 ] intervallumon! (2 pont) 2. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét!
Függvények 1 1. Ábrázolja az f()= -4 függvényt a [ ;10 ] intervallumon!. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! 3. Ábrázolja + 1 - függvényt a [ ;] -on! 4. Az f függvényt a valós
RészletesebbenKoordináta-geometria feladatok (emelt szint)
Koordináta-geometria feladatok (emelt szint) 1. (ESZÉV Minta (2) 2004.05/7) Egy ABC háromszögben CAB = 30, az ACB = 45. A háromszög két csúcsának koordinátái: A(2; 2) és C(4; 2). Határozza meg a harmadik
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 8. KÖZÉPSZINT
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 007. május 8. KÖZÉPSZINT ) Egyszerűsítse a következő törtet! (a; b valós szám, ab 0)! a b ab ab ab ( a ) a ab I. Összesen: pont ) Egy mértani sorozat második eleme 3, hatodik eleme.
RészletesebbenTrigonometria Megoldások. 1) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( )
Trigonometria Megoldások Trigonometria - megoldások ) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( ) akkor a háromszög egyenlő szárú vagy derékszögű!
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 10. KÖZÉP SZINT I.
1) Adott két pont: A ; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 005. május 10. KÖZÉP SZINT I. és B 1; Írja fel az AB szakasz 1 1 F ; F ;1 ) Az ábrán egy ; intervallumon
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 8. EMELT SZINT
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 007. május 8. EMELT SZINT 1) Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenletet! x x 4 log 9 10 sin x x 6 I. (11 pont) sin 1 lg1 0 log 9 9 x x 4 Így az 10 10 egyenletet kell megoldani,
RészletesebbenAz egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:
Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x
RészletesebbenKövetelmény a 7. évfolyamon félévkor matematikából
Követelmény a 7. évfolyamon félévkor matematikából Gondolkodási és megismerési módszerek Elemek halmazba rendezése több szempont alapján. Halmazok ábrázolása. A nyelv logikai elemeinek helyes használata.
Részletesebben2. tétel Egész számok - Műveletek egész számokkal. feleletvázlat
1. tétel Természetes számok tízes számrendszer műveletek és tulajdonságaik Természetes számok, jele, jelölések, ábrázolása számegyenesen műveletek a természetes számok halmazán belül Tízes számrendszer
RészletesebbenFüggvény fogalma, jelölések 15
DOLGO[Z]ZATOK 9.. 1. Függvény fogalma, jelölések 1 1. Az alábbi hozzárendelések közül melyek függvények? a) A magyarországi megyékhez hozzárendeljük a székhelyüket. b) Az egész számokhoz hozzárendeljük
RészletesebbenSorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
Sorozatok I. DEFINÍCIÓ: (Számsorozat) A számsorozat olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, értékkészlete a valós számok egy részhalmaza. Jelölés: (a n ), {a n }.
RészletesebbenMindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé.
HA 1 Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) HA 2 Halmazok HA 3 Megjegyzések A halmaz, az elem és az eleme fogalmakat nem definiáljuk, hanem alapfogalmaknak
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria III.
Geometria III. DEFINÍCIÓ: (Vektor) Az egyenlő hosszúságú és egyirányú irányított szakaszoknak a halmazát vektornak nevezzük. Jele: v. DEFINÍCIÓ: (Geometriai transzformáció) Geometriai transzformációnak
RészletesebbenOSZTHATÓSÁG. Osztók és többszörösök : a 3 többszörösei : a 4 többszörösei Ahol mindkét jel megtalálható a 12 többszöröseit találjuk.
Osztók és többszörösök 1783. A megadott számok elsõ tíz többszöröse: 3: 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 4: 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 5: 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 6: 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 1784. :
Részletesebben7. 17 éves 2 pont Összesen: 2 pont
1. { 3;4;5} { 3; 4;5;6;7;8;9;10} A B = B C = A \ B = {1; }. 14 Nem bontható. I. 3. A) igaz B) hamis C) igaz jó válasz esetén, 1 jó válasz esetén 0 pont jár. 4. [ ; ] Más helyes jelölés is elfogadható.
RészletesebbenOktatási Hivatal. 1 pont. A feltételek alapján felírhatók az. összevonás után az. 1 pont
Oktatási Hivatal Öt pozitív egész szám egy számtani sorozat első öt eleme A sorozatnak a különbsége prímszám Tudjuk hogy az első négy szám köbének összege megegyezik az ezen öt tag közül vett páros sorszámú
RészletesebbenA kör. A kör egyenlete
A kör egyenlete A kör A kör egyenlete 8 a) x + y 6 b) x + y c) 6x + 6y d) x + y 9 8 a) x + y 6 + 9 b) x + y c) x + y a + b 8 a) (x - ) + (y - ) 9, rendezve x + y - 8x - y + b) x + y - 6x - 6y + c) x +
Részletesebben2) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont)
(11/1) Függvények 1 1) Ábrázolja az f()= -4 függvényt a [ ;10 ] intervallumon! (pont) ) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont) 3) Ábrázolja + 1 - függvényt a [ ;] -on! (3pont)
RészletesebbenFüggvények ábrázolása, jellemzése I.
Függvények ábrázolása, jellemzése I. DEFINÍCIÓ: (Hozzárendelés) Két nem üres A és B halmaz elemei közti kapcsolat (megfeleltetés, hozzárendelés, reláció), a két halmaz elemeiből képezhető rendezett elempároknak
RészletesebbenNagy András. Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály 2010.
Nagy András Feladatok a logaritmus témaköréhez. osztály 00. Feladatok a logaritmus témaköréhez. osztály ) Írd fel a következő egyenlőségeket hatványalakban! a) log 9 = b) log 4 = - c) log 7 = d) lg 0 =
RészletesebbenVektorok és koordinátageometria
Vektorok és koordinátageometria Vektorral kapcsolatos alapfogalmak http://zanza.tv/matematika/geometria/vektorok-bevezetese Definíció: Ha egy szakasz két végpontját megkülönböztetjük egymástól oly módon,
RészletesebbenNULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI
NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI 08-09-07 Terem: Munkaidő: 0 perc. A dolgozat megírásához íróeszközön kívül semmilyen segédeszköz nem használható! A feladatlap kizárólag kék vagy fekete tollal tölthető ki.
Részletesebben1. megold s: A keresett háromjegyű szám egyik számjegye a 3-as, a két ismeretlen számjegyet jelölje a és b. A feltétel szerint
A 004{005. tan vi matematika OKTV I. kateg ria els (iskolai) fordul ja feladatainak megold sai 1. feladat Melyek azok a 10-es számrendszerbeli háromjegyű pozitív egész számok, amelyeknek számjegyei közül
RészletesebbenKoordinátageometria. , azaz ( ) a B halmazt pontosan azok a pontok alkotják, amelynek koordinátáira:
005-0XX Emelt szint Koordinátageometria 1) a) Egy derékszögű háromszög egyik oldalegyenese valamelyik koordinátatengely, egy másik oldalegyenesének egyenlete x + y = 10, egyik csúcsa az origó. Hány ilyen
RészletesebbenEgyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek Megoldások
) Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek - megoldások Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek Megoldások a) Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenletet! = 6 (5 pont) b) Oldja
RészletesebbenMatematika szóbeli érettségi témakörök 2016/2017-es tanév őszi vizsgaidőszak
Matematika szóbeli érettségi témakörök 2016/2017-es tanév őszi vizsgaidőszak Halmazok Halmazok egyenlősége Részhalmaz, valódi részhalmaz Üres halmaz Véges és végtelen halmaz Halmazműveletek (unió, metszet,
Részletesebben1. Halmazok, számhalmazok, alapműveletek
1. Halmazok, számhalmazok, alapműveletek I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Határozza meg az (A B)\C halmaz elemszámát, ha A tartalmazza az összes 19-nél kisebb természetes számot, továbbá B a prímszámok halmaza
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI október 19. KÖZÉPSZINT
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 010. október 19. KÖZÉPSZINT 1) Adott az A és B halmaz: Aa; b; c; d, B a; b; d; e; f felsorolásával az A I.. Adja meg elemeik B és A B halmazokat! A B a; b; d A B a; b; c; d; e; f Összesen:
Részletesebben352 Nevezetes egyenlôtlenségek. , az átfogó hossza 81 cm
5 Nevezetes egyenlôtlenségek a b 775 Legyenek a befogók: a, b Ekkor 9 + $ ab A maimális ab terület 0, 5cm, az átfogó hossza 8 cm a b a b 776 + # +, azaz a + b $ 88, tehát a keresett minimális érték: 88
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett
RészletesebbenHarmadikos vizsga Név: osztály:
. a) b) c) Számítsd ki az alábbi kifejezések pontos értékét! log 6 log log 49 4 7 d) log log 6 log 8 feladat pontszáma: p. Döntsd el az alábbi öt állítás mindegyikéről, hogy igaz vagy hamis! A pontozott
RészletesebbenNULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI
A NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI 20-09-2 Terem: Munkaidő: 0 perc. A dolgozat megírásához íróeszközön kívül semmilyen segédeszköz nem használható! Csak és kizárólag tollal tölthető ki a feladatlap, a ceruzával
Részletesebben3. A megoldóképletből a gyökök: x 1 = 7 és x 2 = Egy óra 30, így a mutatók szöge: 150º. 3 pont. Az éves kamat: 6,5%-os. Összesen: 2 pont.
. 3650 =,065 0000 Az éves kamat: 6,5%-os I.. D C b A a B AC = a + b BD = b a 3. A megoldóképletből a gyökök: x = 7 és x = 5. Ellenőrzés 4. Egy óra 30, így a mutatók szöge: 50º. írásbeli vizsga 05 3 / 007.
RészletesebbenFeladatok megoldásokkal a harmadik gyakorlathoz (érintési paraméterek, L Hospital szabály, elaszticitás) y = 1 + 2(x 1). y = 2x 1.
Feladatok megoldásokkal a harmadik gyakorlathoz (érintési paraméterek, L Hospital szabály, elaszticitás). Feladat. Írjuk fel az f() = függvény 0 = pontbeli érintőjének egyenletét! Az érintő egyenlete y
RészletesebbenMATEMATIKA HETI 5 ÓRA
EURÓPAI ÉRETTSÉGI 2008 MATEMATIKA HETI 5 ÓRA IDŐPONT : 2008. június 5 (reggel) A VIZSGA IDŐTARTAMA: 4 óra (240 perc) MEGENGEDETT ESZKÖZÖK: Európai képletgyűjtemény Nem programozható, nem grafikus számológép
Részletesebben5. osztály. Matematika
5. osztály A természetes számok értelmezése 100 000-ig. A tízes számrendszer helyértékes írásmódja. A A természetes számok írásbeli összeadása, kivonása. A műveleti eredmények becslése. Ellenőrzés 3. A
Részletesebben2012. október 2 és 4. Dr. Vincze Szilvia
2012. október 2 és 4. Dr. Vincze Szilvia Tartalomjegyzék 1.) Az egyváltozós valós függvény fogalma, műveletek 2.) Zérushely, polinomok zérushelye 3.) Korlátosság 4.) Monotonitás 5.) Szélsőérték 6.) Konvex
RészletesebbenMatematika pótvizsga témakörök 9. V
Matematika pótvizsga témakörök 9. V 1. Halmazok, műveletek halmazokkal halmaz, halmaz eleme halmazok egyenlősége véges, végtelen halmaz halmazok jelölése, megadása természetes számok egész számok racionális
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 3. EMELT SZINT I.
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 0. május. EMELT SZINT I. ) Hatjegyű pozitív egész számokat képezünk úgy, hogy a képzett számban szereplő számjegy annyiszor fordul elő, amekkora a számjegy. Hány ilyen hatjegyű számjegy
RészletesebbenNÉMETH LÁSZLÓ VÁROSI MATEMATIKA VERSENY 2014 HÓDMEZŐVÁSÁRHELY OSZTÁLY ÁPRILIS 7.
1. Falióránk három mutatója közül az egyik az órát, a másik a percet, harmadik a másodpercet mutatja. Egy bolha ráugrik déli órakor a másodpercmutatóra és megkezdi egy órás körutazását. Ha fedésbe kerül
RészletesebbenKövetelmény a 6. évfolyamon félévkor matematikából
Követelmény a 6. évfolyamon félévkor matematikából Gondolkodási és megismerési módszerek Halmazba rendezés adott tulajdonság alapján, részhalmaz felírása, felismerése. Két véges halmaz közös részének,
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások
Megoldások 1. Tekintsük az alábbi szabályos hatszögben a következő vektorokat: a = AB és b = AF. Add meg az FO, DC, AO, AC, BE, FB, CE, DF vektorok koordinátáit az (a ; b ) koordinátarendszerben! Alkalmazzuk
RészletesebbenMindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 1
Halmazok 1 Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 2 A fejezet legfontosabb elemei Halmaz megadási módjai Halmazok közti műveletek (metszet,
RészletesebbenAz egyszerűsítés utáni alak:
1. gyszerűsítse a következő törtet, ahol b 6. 2 b 36 b 6 Az egyszerűsítés utáni alak: 2. A 2, 4 és 5 számjegyek mindegyikének felhasználásával elkészítjük az összes, különböző számjegyekből álló háromjegyű
Részletesebben3 függvény. Számítsd ki az f 4 f 3 f 3 f 4. egyenlet valós megoldásait! 3 1, 3 és 5 3 1
Érettségi, M, I-es feladatsor, természettudomány.. Számítsd ki a C! összeget! log 4. Határozd meg a. Számítsd ki az egyenlet valós megoldásait! összeg értékét, ha és az 4. Adott az f : 0,, f. Adottak az
RészletesebbenNémeth László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely. 2015. március 30. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa
Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely 2015. március 30. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa Feladatok csak szakközépiskolásoknak Sz 1. A C csúcs értelemszerűen az AB oldal felező
RészletesebbenEgyenletek, egyenlőtlenségek VIII.
Egyenletek, egyenlőtlenségek VIII. 1. Melyik az a szám, amelynek a felét és az ötödét összeszorozva, a szám hétszeresét kapjuk? Legyen a keresett szám:. A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet:
RészletesebbenI. Egyenes arányosság és a lineáris függvények kapcsolata
6 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE I. Egyenes arányosság és a lineáris függvények kapcsolata Mintapélda 1 A csapból percenként 5 l víz folyik a fürdőkádba, melynek befogadó képessége 80 liter. Mennyi
RészletesebbenMATEMATIKA TANMENET. 9. osztály. 4 óra/hét. Budapest, 2014. szeptember
MATEMATIKA TANMENET 9. osztály 4 óra/hét Budapest, 2014. szeptember 2 Évi óraszám: 144 óra Heti óraszám: 4 óra Ismerkedés, év elejei feladatok, szintfelmérő írása 2 óra I. Kombinatorika, halmazok 13 óra
Részletesebben17. előadás: Vektorok a térben
17. előadás: Vektorok a térben Szabó Szilárd A vektor fogalma A mai előadásban n 1 tetszőleges egész szám lehet, de az egyszerűség kedvéért a képletek az n = 2 esetben szerepelnek. Vektorok: rendezett
RészletesebbenArany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2012/2013-as tanév kezdők III. kategória I. forduló
Bolyai János Matematikai Társulat Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 01/013-as tanév kezdők I II. kategória II. forduló kezdők III. kategória I. forduló Megoldások és javítási útmutató 1. Egy osztályban
RészletesebbenHalmazelméleti alapfogalmak
Halmazelméleti alapfogalmak halmaz (sokaság) jól meghatározott, megkülönböztetett dolgok (tárgyak, fogalmak, stb.) összessége. - halmaz alapfogalom. z azt jelenti, hogy csak példákon keresztül magyarázzuk,
RészletesebbenPróbaérettségi feladatsor_b NÉV: osztály Elért pont:
Próbaérettségi feladatsor_b NÉV: osztály Elért pont: I. rész A feladatsor 12 példából áll, a megoldásokkal maimum 30 pont szerezhető. A kidolgozásra 45 perc fordítható. 1. feladat Egy derékszögű háromszög
RészletesebbenKoordinátageometria. M veletek vektorokkal grakusan. Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar Matematika Tanszék 1
Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar Matematika Tanszék 1 Koordinátageometria M veletek vektorokkal grakusan 1. Az ABCD négyzet oldalvektorai közül a = AB és b = BC. Adja meg az AC és BD vektorokat a
RészletesebbenIV. Felkészítő feladatsor
IV. Felkészítő feladatsor 1. Az A halmaz elemei a (-7)-nél nagyobb, de 4-nél kisebb egész számok. B a nemnegatív egész számok halmaza. Elemeinek felsorolásával adja meg az A \ B halmazt! I. 2. Adott a
RészletesebbenVEKTOROK. 1. B Legyen a( 3; 2; 4), b( 2; 1; 2), c(3; 4; 5), d(8; 5; 7). (a) 2a 4c + 6d [(30; 10; 30)]
Bodó Beáta 1 VEKTOROK 1. B Legyen a( ; 2; 4), b( 2; 1; 2), c(; 4; 5), d(8; 5; 7). (a) 2a 4c + 6d [(0; 10; 0)] (b) c + b 7a [(18; 15; 29)] (c) 2d c + b [ (5; ; ) = 6, 56] (d) 4a + 8b 7c [ ( 49; 44; 5) =
Részletesebben