A 2015/2016. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló FIZIKA II. KATEGÓRIA. Javítási-értékelési útmutató

Átírás

1 Oktatási Hiatal A 015/016. tanéi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló FIZIKA II. KATEGÓRIA Jaítási-értékelési útmutató 1. feladat: Súrlódásmentes, ízszintes felületen L = 30 cm élhosszúságú négyzet alapú, lapos, egyenes hasá nyugszik. Egy pontszerűnek tekinthető testet a hasá felső lapjára helyezünk az ára szerint a hasá hátsó élének középső pontjáan. A hasá homloklapján súlytalan ütköző található. A hasá és a kis test tömege megegyezik, közöttük a súrlódási együttható értéke μ = 1/3. a) Mekkora seességgel kell a kis testet indítani, hogy eljusson az ütközőig? ) Mekkora seességgel kell a kis testet indítani, hogy tökéletesen rugalmas ütközés után isszafelé éppen égigcsússzon a hasáon, agyis a kiindulási pontjáan álljon meg a hasáon? c) Ha a kis testet a ) kérdéseli seesség kétszereséel indítjuk, akkor a hasához képest mekkora lesz a kis test relatí seessége az elálás pillanatáan? Megjegyzés: Feltételezhetjük, hogy az ütközési körülmények olyanok, hogy a hasá egyik eseten sem illen meg. Megoldás. a) Jelöljük az indítási seességet a -al! Az eljutás feltétele az, hogy a hasá elejére ére a hasá és a kis test seessége megegyezzen, a közös seességet jelöljük u -al! Az impulzusmegmaradás és a munkatétel alkalmazható: Az (1) és () egyenletekől m mu, (1) a 1 1 mu m a mgl. () a gl m. s adódik. Tehát akkor jut el a kis test az ütközőig, ha a kezdőseessége m/s-nál nem kise. OKTV 015/ forduló

2 Megjegyzés: Kinematikailag is megoldható a feladat, ha kihasználjuk, hogy a hasá előre mutató gyorsulással, a kis test pedig ugyanekkora nagyságú, ellentétes irányú, gyorsulással mozog. A megtett útra és a közös seességre a köetkező egyenleteket írhatjuk fel: g g t at t L a gt gt Az idő kiküszöölése után ugyanarra az eredményre jutunk, mint koráan. Még egyszerűen kaphatjuk meg a égeredményt, ha a hasáal együtt mozgó koordináta-rendszert használjuk. Een a kist test gyorsulása, tehát a köetkező kinematikai egyenletet írhatjuk fel: ami közetlenül megadja a határseességet. a g L 4gL ) Een az eseten is lényegéen ugyanaz történik, mint az a) kérdésnél. Közös seesség alakul ki, ami az (1) egyenlet alapján most a kis test -el jelölt kezdőseességének a fele:. u. A () egyenletet azzal a módosítással írhatjuk fel, hogy a súrlódási munka számításakor L helyett L kerül az egyenlet jo oldalára: 1 1 mu m mg L. Vegyük észre, hogy a hasá elején található ütközőnek a első erők és a tökéletesen rugalmas ütközés miatt nincs lényeges szerepe sem az impulzusmegmaradás, sem a munkatétel felírásáan. Az égseesség ehelyettesítése után a köetkező égeredmény adódik: m 8μgL,8. s Megjegyzés: Een az eseten is megkaphatjuk a égeredményt kinematikai számítások alapján, a legegyszerűen úgy, ha a hasához rögzített koordinátarendszert használjuk. Miel az ütközőről történő isszapattanáskor a kis test gyorsulása is, és a hasá gyorsulása is előjelet ált, így a kis test gyorsulása a hasához képest mindégig, tehát lényegéen az előző esethez hasonló egyenletet írhatjuk fel: g L 8 gl, amiől közetlenül adódik a égeredmény. c) Een az eseten a égállapotan (amikor a kis test elhagyja a hasáot) a két test seessége különöző lesz. Legyen ekkor a kis test seessége 1, a hasáé pedig, irányuk mutasson jora. A kis test kezdőseességét jelöljük c -el ( c = ). Most is érényes az impulzusmegmaradás, illete felírhatjuk a munkatételt: m m m, c m 1 m m c mg L. OKTV 015/ forduló

3 Innen a seességekre a köetkező kifejezések adódnak: 8gL c c 1 (kis test), 8gL c c (hasá). Megjegyzés: A másodfokú egyenlet két gyöke közül azért kell a fentieket használnunk, mert ha a kis test lecsúszik a hasáról, akkor a hasának kell nagyo seességgel rendelkeznie (pozití előjel a gyök előtt), illete a kis test lassa (negatí előjel a gyök előtt). A kis test relatí seességét rel = 1 alakan kapjuk meg: rel 1 c 8 gl. Ez az eredmény tetszőleges c kezdőseességekre teljesül. (Láthatjuk azt is, hogy 8gL esetén isszakapjuk a ) kérdés eredményét.) Helyettesítsük e a megadott c c 8gL értéket, és így megkapjuk a égeredményt: 4 8gL 3gL 8gL 6gL rel m 4,9. s Megjegyzés: A hasáal együtt mozgó rendszeren az előzőeknek megfelelően írhatjuk fel a kinematikai összefüggéseket. Een a koordináta-rendszeren a hasá seessége mindig nulla, ezért a relatí seesség megegyezik a kis test seességéel ( = rel ): 4 g L, amiől 4gL adódik, egyezésen a fenti számolással. rel. feladat: Asztalon álló, henger alakú hőszigetelt edényen a nagyon könnyű, hőezető A dugattyú és a nehéz, hőszigetelő B dugattyú két, egyenként L = 0,4 m hosszú térrészt zár e, melyek mindegyikéen azonos anyagmennyiségű egyatomos, ideális gáz található. Kezdeten a rendszer termikus egyensúlyan an. A gázokat nagyon lassan melegítjük, összesíte a teljes hőközlés Q = 00 J. Mekkora a súrlódási erő az A dugattyú és a henger fala között, ha ez a dugattyú mozdulatlan marad? A B dugattyú súrlódás nélkül mozoghat. I. Megoldás. A termikus egyensúly miatt a két térrészen megegyezik a kezdeti hőmérséklet, és a nagyon lassú melegítés, alamint az A dugattyú hőezető tulajdonsága miatt a két térrészen mindig azonos lesz a hőmérséklet a későieken is. A megegyező anyagmennyiség (mólszám), azonos térfogat, azonos kezdeti hőmérséklet miatt a két térrészen megegyező nagyságú a nyomás is, ezért a nagyon könnyű A dugattyúra kezdeten nem hat súrlódási erő. OKTV 015/ forduló

4 Vegyük észre, hogy a hőezető A dugattyú miatt a rendszer olyan, hogy teljesen mindegy, hogy a hőközlés az alsó agy a felső térrészen léő fűtőszálakkal történik, agy mindkettőel ármilyen megoszlásan. A súrlódás miatt eszoruló, mozdulatlan A dugattyú köetkeztéen az alsó térrészen a gáz állapotáltozása állandó térfogaton történik (izochor folyamat), míg a súrlódás nélkül elmozduló B dugattyú miatt a felső térrészen a nyomás állandó (izoár folyamat). A fentiek alapján mindkét gáz hőmérsékletáltozása azonos, tehát a rendszerrel közölt teljes hő a két gáz között a gázok állandó térfogaton, illete állandó nyomáson ett mólhőinek az arányáan oszlik meg: Láthatjuk, hogy a két egyatomos gáz között a teljes hő 3:5 arányan oszlik meg. A fenti egyenletől kiszámíthatjuk az RnT szorzatot, amire RnT = 50 J adódik. A melegítés közen a felső gáz nyomása nem áltozik (csak a térfogata nő), míg az alsó gáz térfogata marad állandó, azonan nyomása p-el nöekszik:, ahol A a dugattyúk keresztmetszetének területe. Az S súrlódási erő a nyomáskülönség és a dugattyúterület szorzataként határozható meg: II. Megoldás. A feladat megoldható úgy is, ha a két térrészen léő gáz állapotáltozását köetjük nyomon, illete a hőtan első főtételét használjuk. Legyen a gázok kezdeti hőmérséklete T 1, így a gázok kezdeti állapotegyenlete: ahol, toáá A a dugattyúk keresztmetszeti területe, M a felső dugattyú tömege, n a mólok száma. Jelöljük a égső hőmérsékletet T -el (ez mindkét gáz esetén ugyanakkora, mert az alsó dugattyú jó hőezető). Az alsó gáz esetéen a folyamat állandó térfogaton zajlik (izochor folyamat), ezért a égső nyomás: A felső gáz esetéen a nyomás áltozatlan (izoár folyamat), ezért a égső térfogat: A közölt hő a két gáz elsőenergia-áltozására fordítódott, alamint fedezte a felső gáz tágulási munkáját: Vegyük észre, hogy, hiszen a felső gáz állapotáltozása állandó nyomáson történik. Ezért a közölt hő kifejezése így alakítható: A kérdéses súrlódási erő a két térrészen léő gázok nyomáskülönségéől származik, ami így írható fel és alakítható át: OKTV 015/ forduló

5 Osszuk el a hőre kapott kifejezést a súrlódási erő képletéel (a hányados hosszúság dimenziójú kell, hogy legyen): és égül fejezzük ki eől a súrlódási erőt: 3. feladat: Két nagyméretű, egymásra merőleges, ékony, függőleges helyzetű szigetelő lap mindkét oldalán a felületi töltéssűrűség mindenhol azonos nagyságú, amelynek az értéke az egyik lap mindkét oldalán, míg a másikon mindkét oldalon. Az árának megfelelően, a lapok szélétől táol, mindkét síktól d táolságra elhelyezünk egy pozití töltésű, pontszerű testet. a) Melyik lemezt és az indítás után mennyi időel éri el először a magára hagyott, kezdőseesség nélkül induló m tömegű, Q pozití töltésű test? ) Határozzuk meg az indítási pont és a ecsapódás helye közti táolságot! Megjegyzés: A közegellenállás hatásától tekintsünk el. Megoldás. a) A Gauss-tétel segítségéel külön-külön meghatározhatjuk az egyes lemezek által létrehozott, a lemezekre merőleges irányú, homogén elektromos mező térerősség ektorainak a nagyságát: Az egyes tér-negyedeken homogén elektromos mező alakul ki, ahol a térerősség ektor ízszintes irányú, nagyságát és irányát a szuperpozíció ele alapján határozhatjuk meg az 1. árának megfelelően: E E 1 E E E1. 0 A kialakuló elektromos mező felülnézeti erőonal képét a. ára szemlélteti, az erőonalak 45 -os szöget zárnak e a síkokkal: E E 1 E 1. ára - d d. ára OKTV 015/ forduló

6 A mozgás ízszintes irányan a homogén elektromos mező miatt egyenes onalú, egyenletesen gyorsuló, míg függőleges irányan szaadesés. Jelölje a x a ízszintes irányú gyorsulást. EQ ma x EQ Q. m m a x 0 A ízszintes irányú elmozdulás nagyságát a lemez eléréséig jelöljük x-szel ( x d ), t-el pedig a ecsapódásig eltelt időt. Az állandó nagyságú gyorsulás miatt: ax x t. Rendezéssel és ehelyettesítéssel: x d 0md t 0m. a Q Q x Tehát a negatí töltésű lemezt éri el először az elektromosan töltött, pontszerű test az elengedés után időel. 0 md Q ) A t idejű szaadesésől meghatározható, hogy mekkora h mélységen éri el először a pozití töltésű test a negatí töltésű lemezt: g mgd h t 0. Q Eközen a test ízszintes irányú elmozdulása közötti L táolság:, tehát az indítási pont és a ecsapódási hely 0 mgd Q Megjegyzés: Természetesen azoknak a számítása is teljes értékű, akik számoltak, ha egyéként helyesen dolgoztak. -al 4. feladat: Sík-domorú lencse n = 1,5 törésmutatójú üegől készült, síklapjának átmérője D = 5 cm. A domorú gömfelület sugara R = 5 cm. A lencse domorú oldala mögött, az optikai tengelyre merőlegesen egy ernyő helyezkedik el. Az ernyőt azon a helyen rögzítették, ahol az optikai tengely mentén a lencsére eeső igen keskeny fénynyalá az ernyőn a legkise átmérőjű foltot adja. Ezután a lencse sík felületére az optikai tengely irányáól olyan széles párhuzamos fénynyaláot ocsátunk, amely a teljes lencsét megilágítja. Határozzuk meg a széles fénynyalá esetén a fényfolt átmérőjét az ernyőn! OKTV 015/ forduló

7 Megoldás. Bár a feladatan szereplő sík-domorú lencse nem ékony, hanem astag lencsének számít, azonan az optikai tengely mentén haladó ékony fénysugár esetéen a leképezésen csak a lencse domorú felületének kicsiny középső tartománya esz részt. Ilyenkor a rendszert egy sík-párhuzamos (plán-parallel) lemeznek és egy ékony lencsének tekinthetjük. A izsgált fénysugarat a sík-párhuzamos lemez nem téríti el, tehát ekkor a fókusztáolságot a köetkező, ékony lencsékre érényes formula alapján számíthatjuk ki: amiől R 1 = R és R = ehelyettesítéséel kapjuk meg a fókusztáolságot: R f = = 10 cm. n 1 Így megállapíthatjuk, hogy az ernyőt a lencsétől f táolságra helyezték el (lásd még a megoldás égén léő Megjegyzést). A lencse elhelyezkedése a megoldás szempontjáól egyszerűnek mondható. A széles, párhuzamos nyalá merőlegesen esik a lencse sík felületére, így ott nem törik meg, ezért törést számítani a csak a félgöm - leegő határánál kell. Tekintsük az optikai tengelytől legtáolai sugarat, amint azt az ára mutatja. Vegyük észre, hogy a eesési merőleges éppen a gömfelület sugara, és fedezzük fel, hogy a eesési szög = 30: sin = (D/)/R = 0,5. A törési szög a törési törény alapján: sin = n sin = 0,75, azaz = 48,6. Keressük meg, hogy a izsgált fénysugár a lencse síklapjától mekkora L táolságra halad át az optikai tengelyen: L = (D/) ctg ( ) = 7,43 cm. Szükségünk an a lencse optikai tengelyen mért d astagságára: d = R(1 cos 30) = 0,67 cm. A lencse astagságát is figyeleme ée megkaphatjuk, hogy szélső sugarak a törés után az optikai tengelyt x = f d L = 3,4 cm OKTV 015/ forduló

8 táolságra metszik az ernyőtől. Csúcsszögek egyenlőségét figyeleme ée, a fényfolt átmérőjére = x tg ( ) =, cm adódik. A köetkező ára szerint láthatjuk, hogy szélső sugár adja a folt külső határát, az optikai tengelyhez közele haladó sugarak az ernyőhöz közele metszik az optikai tengelyt. Megjegyzés: Az ernyő helyzetét nemcsak a ékony lencsékre érényes formula alapján kaphatjuk meg, hanem közetlenül is kiszámíthatjuk. Az optikai tengelyhez nagyon közel haladó sugarakra a számításan alkalmazhatjuk a tg sin közelítést. Így a gömfelületnél a törésre n adódik, a metszési pont táolsága pedig a gömfelülettől OKTV 015/ forduló

9 Pontozási útmutató 1. feladat a) A feltétel értelmezése Az egyenletek felírása pont A paraméteres számítások elégzése pont A égeredmény numerikus megadása ) A feltétel értelmezése Az egyenletek felírása pont A paraméteres számítások elégzése pont A égeredmény numerikus megadása c) A feltétel értelmezése Az egyenletek helyes felírása A paraméteres számítások elégzése A égeredmény numerikus megadása Összesen 0 pont. feladat A rendszer iselkedésének helyes felismerése 5 pont A hőközlés helyes felírása 4 pont A gáz állapotáltozásának helyes felírása 4 pont A súrlódási erőre onatkozó összefüggés felírása A paraméteres számítások hiátlan elégzése A súrlódási erő numerikus értékének megadása Összesen 0 pont 3. feladat Az egyes lemezek által kialakított homogén elektromos mező térerősség ektorainak nagyság és irány szerinti megadása 4 pont Szuperpozíció elének alkalmazása, a kialakuló elektromos mező jellemzése 4 pont Annak felismerése, hogy a mozgás ízszintes és függőleges irányú, egyenletesen áltozó mozgások összetételeként jön létre A ízszintes irányú gyorsulás meghatározása pont A ízszintes irányú elmozdulás megadása A ecsapódás idejének (agy négyzetének) meghatározása pont A függőleges irányú elmozdulás kiszámítása Az indítás és a ecsapódás helye közötti táolság megadása 4. feladat Az ernyő táolságának megadása a lencsétől (indoklás nélkül pont) Jó ára a sugármenetekről, szögekkel, és táolságokkal A szélső sugármenet jelentőségének felismerése, a eesési és törési szög meghatározása A lencse astagságának megadása az optikai tengelyen A fényfolt átmérőjének meghatározása Toái sugármenet rajza, illete indoklás arról, hogy a szélső sugár adja a legnagyo foltot pont pont Összesen 0 pont 5 pont 5 pont pont pont Összesen 0 pont A megoldásan ázoltaktól eltérő számításokra, amelyek elileg helyesek és helyes égeredményre ezetnek, az alkérdésekre adható teljes pontszám jár. A nehézségi gyorsulás értékére 9,81 m/s agy 10 m/s egyaránt elfogadható, hacsak a feladat máshogy nem rendelkezik. OKTV 015/ forduló