I. Egyszerű egyenletek

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "I. Egyszerű egyenletek"

Átírás

1 7. modul: EGYENLETEK 9 I. Egyszerű egyenletek Módszertani megjegyzés: Csoportalakítás. Mindenkinek adunk egy kártyát, melyen azonos időtartamot meghatározó kifejezések vannak. Ez a kiosztás lehet véletlenszerű: például a tanulók maguk húznak egy-egy kártyát a tanári asztalról, lehet tudatos: figyelünk arra, hogy kinek melyik kártyát adjuk. Az azonos kifejezést jelentő kártyák tulajdonosai alkotnak egy csoportot. Ezen az órán ők dolgoznak együtt. 7. kártyakészlet alkalmazása 9 óra,5 óra 90 perc Másfél óra 6 óra 0,5 óra 5 perc Fertály óra 4 6 nap óra 60 perc 600 másodperc 4 6 óra 0,6 óra 6 perc Fél óra és 6 perc 5 9 óra 0,75 óra 45 perc Háromnegyed óra óra 0, óra perc 70 másodperc 5 óra nap 0 perc 600 másodperc 6 44 óra nap 0 perc 00 másodperc 7 Módszertani megjegyzés: A tanulók az előbb megalakult 4 fős csoportokban dolgoznak tovább. Kiosztjuk a feladatokat, differenciálva a tanulók képességei szerint. A csoport mindegyik tagja más-más feladatot kap, melyet önállóan old meg. A csoportok munkáját tartsuk figyelemmel, nyújtsunk segítséget az elakadóknak. Az önálló feladatmegoldás után a csoport megismerkedik minden feladattal. Minden tanuló ismerteti saját megoldását a csoporton belül, ezt közösen megvitatják. Húzzunk egy feladatszámot és egy csoportjelet. A feladat megoldását az ismerteti a táblánál, akinek a csoport jelét és feladatszámát kihúzza a tanár. A többi csoport véleményezi, hogy jó megoldást hallottak-e. Hozzáfűzhetik, ha ők esetleg másképpen gondolkodtak, megbeszélhetik, melyik megoldás az egyszerűbb.

2 0 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM Tanári útmutató Mintapélda Egy könyvszekrény felső polcán háromszor annyi és még 6 könyv van, mint az alsó polcon. Dani a felső polcról 8 könyvet áttesz az alsó polcra, így ott a felső polcon található könyvek felénél -mal több könyv lesz. Hány darab könyv van most az alsó, ill. a felső polcon? Hány könyve van Daninak összesen? Jelöljük az alsó polcon található könyvek számát -szel. Ekkor a felső polcon: 6 darab könyv van Daninak jelenleg az alsó polcon: 8 4 8, a felső polcon: darab könyve van, így összesen 0 darab könyve van. Ellenőrzés: 70 fele: 5 tényleg -mal több a -nél. Mintapélda Egy 6 éves anyának 6 éves fia van. Hány év múlva lesz az anya háromszor annyi idős, mint a fia? Anya Fia Most 6 6 év múlva ( 6 ) év múlva lesz az anya háromszor annyi idős, mint a fia. Ellenőrzés: 9 év múlva az anya 45 éves, a fia 5 éves lesz és Egyenletek megoldásakor fontos szerepe van annak, hogy mi az alaphalmaz. Ismételjük át közösen, hogy milyen halmazokat ismerünk, és ezeket hogyan jelöljük. Módszertani megjegyzés: A tanulók csoportokban dolgozva, próbálják átgondolni, hogy milyen számhalmazokat ismernek. Egy lehetséges módszer, hogy akinek a csoport jelét, és számát kihúzza a tanár, az ír egy halmazt a táblára, majd választ egy tanulót, akitől azt kéri, hogy írja fel a jelét az általa felírt halmazhoz.

3 7. modul: EGYENLETEK Természetes számok halmaza N, Egész számok halmaza Z, Racionális számok halmaza Q, Valós számok halmaza R, Irracionális számok halmaza Q* Minden egyenlethez tartozik egy alaphalmaz, amelyben a megoldásokat keressük. Ha a feladat szövege nem adja meg előre, akkor a valós számok halmazát tekintjük alaphalmaznak. Az alaphalmaznak azt a legbővebb részhalmazát, amelyen az egyenletben szereplő összes kifejezés értelmezhető, az egyenlet értelmezési tartományának nevezzük. Az egyenlet megoldásakor meg kell keresnünk azokat a számokat az értelmezési tartományból, amelyek kielégítik az egyenletet. Ezeket a számokat hívjuk az egyenlet megoldásainak vagy az egyenlet gyökeinek, és ezek a számok alkotják az egyenlet megoldáshalmazát. Amennyiben nincs olyan szám, amelyik igazzá teszi az egyenletet, akkor az egyenletnek nincsen megoldása, azaz a megoldáshalmaz az üres halmaz. Az egyenlet megoldása során olyan átalakításokat végzünk, amelynek során egyre egyszerűbb egyenlethez jutunk. Célunk, hogy végül az egyenlet egyik oldalán csak az ismeretlen álljon, a másik oldalon egy konkrét szám. Ehhez a következő átalakításokat végezhetjük: Az egyenlet mindkét oldalához hozzáadhatjuk, illetve mindkét oldalából kivonhatjuk ugyanazt a számot. Az egyenlet mindkét oldalát szorozhatjuk, illetve oszthatjuk ugyanazzal a nullától különböző számmal. Ismeretlent tartalmazó kifejezéseket is hozzáadhatunk, illetve kivonhatunk az egyenlet mindkét oldalából. Ha ismeretlent tartalmazó kifejezéssel szorzunk, vagy az egyenletet négyzetre emeljük, akkor hamis gyököket kaphatunk. Ha ismeretlent tartalmazó kifejezéssel osztunk, akkor gyököket veszíthetünk. Ennek elkerülésére általában esetszétválasztást végzünk: egyik esetben megvizsgáljuk azt, amikor a kifejezés értéke nulla: ad-e megoldást, vagy sem. A másik esetben pedig az ismeretlent tartalmazó kifejezésről feltesszük, hogy nem 0, és elvégezve a kritikus műveletet, oldjuk tovább az egyenletet.

4 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM Tanári útmutató Feladatok. Oldd meg a 7 egyenletet a racionális számok halmazán! Ellenőrzés: 7 9 Hívjuk fel a figyelmet az ellenőrzés fontosságára. A mindennapi életünkben is fontos szerepet játszik az ellenőrzés. Például, ha a piacon nem ellenőrizzük, hogy az eladó jól adott-e vissza, könnyen pórul járhatunk. Bal oldal: ; jobb oldal:. A 9 eleme az egyenlet alaphalmazának, és az ellenőrzésnél a két oldal helyettesítési értéke egyenlő, ezért az 9 valóban megoldás. Mindig fogalmaztassuk meg a tanulókkal, hogy mi a megoldás (ne legyen elég kétszer aláhúzni). M 9. Megoldáshalmaz: { }. Oldd meg a ( 4 7) 6 egyenletet az egész számok halmazán! Figyeljünk a zárójelek helyes felbontására (disztributivitás). Gyakori hiba, hogy csak a zárójelen belüli első tagot szorozzák meg a zárójel előtt álló számmal ( ) 0 9 A 9 0 nem eleme az egyenlet alaphalmazának, így az egyenletnek nincs megoldása. Megoldáshalmaz: M.. Egy bankjegykiadó automata készlete az ünnepek előtt szinte teljesen kifogyott. Összesen 6000 Ft maradt benne 000-es és 5000-es címletekben. Hány darab 000-es és 5000-es maradt az automatában, ha egy híján kétszer annyi 000-es van, mint 5000-es. Jelöljük az ötezresek számát -szel. Hívjuk fel a figyelmet az egy híján kétszer annyi kifejezésre, nem biztos, hogy mindenki pontosan érti. Próbáljuk őket rávezetni. Ekkor a kétezresek száma:. ( ) Az automatában db kétezres és 7 darab ötezres maradt.

5 7. modul: EGYENLETEK Két ismeretlennel is megoldható a feladat, például ha az ötezresek számát -szel, a kétezresek számát y-nal jelöljük. 4. Meg tudja-e venni Tibor a 600 Ft-os feltöltőkártyát, ha pénzének harmada 400 Ft-tal kevesebb, mint a feltöltőkártya árának a fele? Jelöljük Tibor pénzét -szel A helyes egyenlet felírásában segíthet, ha relációs jelekkel szemléltetjük, melyik a 600 több és melyik a kevesebb. <. 400 Tibornak 400 Ft-ja van, ezért fel tudja tölteni a telefonját. Figyeljünk arra, hogy szöveges feladatra mindig adjunk szöveges választ. 5. Tudjuk, hogy egy dobozban ötször annyi szög van, mint egy másikban. Az egyikből átraktunk a másikba db szöget, így mindkét dobozban ugyanannyi szög lett. Mennyi szög volt a dobozokban eredetileg és a pakolás után? Legyen az egyik dobozban eredetileg darab szög, ekkor a másikban 5 darab szög van. 5 6 Így az egyik dobozban 6, a másik dobozban 80 darab szög van. 6. Enikőnek kétszer annyi gyűrűje van, mint Szandinak, Vikinek azonban -gyel kevesebb van, mint Szandinak és 4-gyel több, mint Anettnek. Ha összeszámolnánk Szandi, Viki és Anett gyűrűit, az pontosan annyi lenne mint amennyi Enikőnek van. Hány gyűrűje van külön-külön a lányoknak? Jelöljük Szandi gyűrűinek a számát -szel. 5 6 Enikőnek, Szandinak 6, Vikinek 5 és Anettnek gyűrűje van. Házi feladat javaslat: 5. és 6. feladat

6 4 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM Tanári útmutató II. Törtegyütthatós egyenletek Módszertani megjegyzés: Memóriajáték: Minden csoport kap 0 darab kártyát. Feladatuk először felfelé fordítva összepárosítani az azonos értékűeket. Majd összekeverik a kártyákat, mindegyiket lefordítják és kiraknak belőle egy 65-ös téglalapot. Az első tanuló felfordít két kártyát, ha azonos kifejezések szerepelnek rajta, akkor az övé mind a két kártya, és még egyszer ő fordít, ha nem, akkor visszafordítja a kártyákat és jön a következő. Addig próbálkoznak, amíg az összes kártya el nem fogy. Az nyer, akihez a legtöbb kártya került. Ez a játék azon túl, hogy gyakoroltatja a szöveges feladatokban sokszor előforduló kifejezéseket fejszámolási és emlékezeterősítő gyakorlat is. 7. kártyakészlet alkalmazása 5 háromszorosánál - mal kevesebb 6 harmada és legkisebb közös többszöröse 0 negyedénél -gyel több 4 duplájának a negyede 4 hatoda 6 és 05 legnagyobb közös osztója nyolcadánál eggyel kevesebb Feleannyi, mint 48 Háromszor annyi, mint 8 Kétszerannyi, mint 5 Hatszor annyi, mint 5 6 duplája és még a nek a -a 7-nek a 5%-a 5%-a 4-nek a 5 -e és 5 legkisebb közös többszöröse 60 negyede duplája és még a 5%-a 8-nak a 5 -e Egy híján 0 4 felénél kettővel kevesebb 4 másfélszerese 8-nak a 4 -e és 7 legkisebb közös többszöröse 8-nak a 75%-a 4-nek a másfélszerese 84-nek a 4 -e 55 és 88 legnagyobb 56 nyolcadánál négy- Két és félszer annyi, 40 duplájának a ne- közös osztója gyel több mint 8 gyede

7 7. modul: EGYENLETEK 5 Mintapélda Zoli, Krisztián, Laci és István szeretnék megvenni a kedvenc Play Station játékukat. Zoli beleadott 50 Ft-ot, Krisztián feleannyit, Laci harmadannyit, István negyedannyit fizetett, mint a többiek összesen. Mennyibe került a játék? Jelöljük -szel a játék árát. Krisztián feleannyit fizetett, mint a többiek összesen, vagyis kifizette a harmadát. Laci harmadannyit fizetett, mint a többiek összesen, vagyis kifizette a negyedét. István negyed annyit fizetett, mint a többiek összesen, vagyis kifizette az ötödét A játék 5000 Ft-ba került. Ellenőrzés: a szöveg alapján. Mintapélda 4 Oldjuk meg a valós számok halmazán a következő egyenletet: Alaphalmaz: R. ( ) 5 ( 7) 5 ( 4 4) ,5 Ellenőrzés: Bal oldal értéke: ; jobb oldal értéke: Az eleme az egyenlet alaphalmazának, és az ellenőrzésnél a két oldal helyettesítési értéke egyenlő, ezért az Megoldáshalmaz: M. valóban megoldás.

8 6 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM Tanári útmutató Feladatok 7. Egy osztály tanulóinak 6 -a jár gyalog az iskolába, -a jár valamilyen tömegközlekedési eszközzel, a többi 5 diákot kocsival hozzák. Hány tanulója van az osztálynak? Hányan jönnek gyalog, és hányan valamilyen járművel? (egyenlettel) Jelöljük az osztály létszámát -szel Az osztály létszáma 0. Ebből valamilyen járművel. (következtetéssel) 0 5 en járnak gyalog, en járnak 6 Az osztály 6 -a jár gyalog és -a jár valamilyen tömegközlekedési eszközzel, ez az osztály 6 5 -a. A többi 6, azaz 5 gyerek kocsival érkezik. Tehát az osztálylétszám ennek 6 szorosa, azaz 0 fő. Közülük 5-en járnak gyalog, a többiek 5-en valamilyen járművel Oldd meg a egyenletet a pozitív számok halmazán! 4 Amikor az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk a közös nevezővel, gyakran a tanulók a törtvonal eltűnésével elfelejtik kitenni a zárójelet. Hívjuk fel a figyelmet, hogy a törtvonal egyben zárójelet is jelent, és előbb írjuk fel a zárójeles, majd utána a felbontott alakot ( ) 0 Törtszámokkal nem nagyon szeretnek ellenőrizni a gyerekek, ez a törtekkel való nem magabiztos műveletvégzésre utal. Ezért ne sikkadjunk el az ellenőrzés megbeszélése felett, vegyük úgy, mint egy jó gyakorlást a törtekkel való számolásra. Ellenőrzés: Bal oldal értéke: 7 ; jobb oldal értéke: 7. 7 Megoldáshalmaz: M.

9 7. modul: EGYENLETEK 7 9. Lóri szülei elutaztak, ezért édesanyja főzött egy nagy fazék töltött káposztát. Hétfőn a barátjával megette a töltelékek felét és még 6 darabot. Kedden a maradék káposzta harmadát és még darabot, szerdán megette a maradék 7 tölteléket, így végre elfogyott a töltött káposzta Hány töltelék volt a fazékban hétfő reggel?. megoldás: (egyenlettel) Eredetileg töltelék volt a fazékban Ellenőrzés: Hétfőn 6 7 darabot ettek meg, maradt 5, kedden 5 8 darabot, maradt 7, szerdán 7-et evett meg, így tényleg elfogyott a káposzta. Hétfőn reggel 4 töltelék volt a fazékban.. megoldás: (következtetéssel). Visszafele számolva egyenlet nélkül adódik a megoldás: ( 7 ) Oldd meg az egyenletet a racionális számok halmazán: ( ) ( ) ,5 Ellenőrzés: Bal oldal értéke:, 5; jobb oldal értéke:, 5. Megoldáshalmaz: 7 M. Egy törtegyütthatós egyenlet megoldásakor a kényes lépések: az alaphalmaz meghatározása, közös nevezőre hozás, beszorzásnál minden tagot meg kell szorozni, törtvonal, mint zárójel, zárójel felbontás, a megoldáshalmaz meghatározása, ellenőrzés stb.

10 8 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM Tanári útmutató. Elutazás előtt zoknikat csomagolok. A fiókból kivettem három pár zoknit, majd a maradék egyharmadát. Később kivettem a fiókból még egyet, ekkor a zoknik fele maradt a fiókban. Hány pár zoknim van? Mennyit vittem magammal az utazásra? Jelöljük a zoknik számát -szel. 8 8 pár zoknim van, ennek a felét azaz 9-et vittem magammal az utazásra. Ellenőrzés a szöveg alapján.. Fejtsd meg Diophantosz, görög matematikus sírfeliratát! Vén Diophantoszt rejti e kő. Bár ő maga szunnyad, megtanította a sírt, mondja el élte sorát. Évei egy hatodát tölté ki a gyönge gyerekkor, még feleannyi lefolyt, s álla szakálla kinőtt. Egy heted eltelt még, és nászágy várta a férfit, elmúlt újra öt év, és fia megszületett. Ez feleannyi napig láthatta a fényt idefenn, mint atyja, mivel neki így szabta az isteni sors. Őt gyászolva a sír felé hajlott agg Diophantosz, négy évvel később ő is elérte a célt. Mondd, hány esztendőt élt hát meg gyászban, örömben, S itta az édes fényt, míg hona lett ez a sír? Jelöljük -szel Diophantosz életkorát Dipohantosz 84 évig élt. Ellenőrzés: Gyermekkor: 4 év ; ifjúkor: 7 év ; esküvőig: év 6 7 ; fia született: 5 év múlva; fia élt: 4 év ; fia halála után: 4 év. Összesen: Házi feladat javaslat:. és. feladat

11 7. modul: EGYENLETEK 9 III. Algebrai törtes egyenletek A következő feladatok az eddig ismert egyenletektől abban különböznek, hogy ismeretlen szerepel a nevezőben. Ilyenkor arra kell figyelni, hogy a nevező helyettesítési értéke nem lehet nulla. Mintapélda 5 Oldjuk meg a következő egyenletet az egész számok halmazán: Minthogy a nevező nem lehet nulla, így az értelmezési tartomány a 4-től különböző egész számok halmaza. Röviden: Z \{ 4 }. Szorozzunk a közös nevezővel, ( 4) gyel! ( 8 5) ( 4) ( 6 5) ,5 Ellenőrzés: 8,5 5 6,5 5 Bal oldal értéke: 8; jobb oldal értéke: 8.,5 4,5 4 Megoldáshalmaz: {,5} M. Mintapélda Oldjuk meg a következő egyenletet az egész számok halmazán: Minthogy a nevező nem lehet nulla, így az értelmezési tartomány a -tól különböző egész számok halmaza. Röviden: Z \{ }. Észrevétel: ( ) -nak a ( ) -szerese a ( ). 4 6 Szorozzunk a közös nevezővel, ( ) -mal!

12 0 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM Tanári útmutató ( ) ( ) Ellenőrzés: Bal oldal értéke: ( ) ( ) Jobb oldal értéke: ( ) ( ) Megoldáshalmaz: { } 4 M. Mintapélda 7 Oldjuk meg a következő egyenletet a racionális számok halmazán: Minthogy a nevező nem lehet nulla, így az értelmezési tartomány a -tól és -tól különböző racionális számok halmaza. Röviden: Q \{ } ;. ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) Szorozzunk a közös nevezővel, ( )( ) 9 -cel! ( )( ) ( )( ) Azonosság. Az értelmezési tartomány minden eleme megoldás. Megoldáshalmaz: { }, : M Q. Feladatok. Oldd meg a következő egyenletet a valós számok halmazán: 7 Az értelmezési tartomány: R \{ } Megoldáshalmaz: M.

13 7. modul: EGYENLETEK 4. Oldd meg a következő egyenletet az egész számok halmazán: Az értelmezési tartomány: Z \{ 4 }. 5 Megoldáshalmaz: { 5} M Oldd meg a következő egyenletet a valós számok halmazán: Az értelmezési tartomány: R \{ }. 5 9 ( ) 5 Megoldáshalmaz: { } M. Mintapélda 8 Oldjuk meg a következő egyenletet az egész számok halmazán! Minthogy a nevező nem lehet nulla, így az értelmezési tartomány a 4-től különböző egész számok halmaza. Röviden: Z \{ 4 }. Szorozzunk a közös nevezővel, ( 4) -gyel! ( 8 5) ( 4) ( 6 5) ,5 Ellenőrzés: 8,5 5 6,5 5 Bal oldal értéke: 8; jobb oldal értéke: 8.,5 4,5 4 Megoldáshalmaz: {,5} M.

14 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM Tanári útmutató Mintapélda 9 Oldjuk meg a következő egyenletet az egész számok halmazán! 4 6 Minthogy a nevező nem lehet nulla, így az értelmezési tartomány a -tól különböző egész számok halmaza. Röviden: Z \{ }. Észrevétel: ( ) -nak a ( ) -szerese a ( ). 4 6 Szorozzunk a közös nevezővel, ( ) ( ) ( 6) Ellenőrzés: Bal oldal értéke: -mal! ( 4) ( 4) Jobb oldal értéke: ( 4 ) 6 4 ( 4) Megoldáshalmaz: M { 4}. 6. Mintapélda 0 Oldjuk meg a következő egyenletet a racionális számok halmazán! Minthogy a nevező nem lehet nulla, így az értelmezési tartomány a -tól és -tól különböző racionális számok halmaza. Röviden: Q \{ ; }. ( )( ) ( )( ) 7 9 ( )( ) ( )( ) 9 Szorozzunk a közös nevezővel, ( )( ) 9 -cel!

15 7. modul: EGYENLETEK ( )( ) ( )( ) Azonosság. Az értelmezési tartomány minden eleme megoldás. Megoldáshalmaz: M Q \{ ; }. Feladatok 6. Oldd meg a következő egyenletet az egész számok halmazán: 8 4 Az értelmezési tartomány Z \{ 4 }. ( ) ( 4) A 4 nem eleme az egyenlet értelmezési tartományának, így az egyenletnek nincs megoldása. Megoldáshalmaz: M. Módszertani megjegyzés: Minden csoport kitalál egy algebrai törtes egyenletet és megad hozzá egy alaphalmazt, majd átadja egy másik csoportnak. Megoldják a kapott feladatokat, utána visszaküldik a feladónak, aki kijavítja és értékeli a megoldást. Felügyeljük a feladat írását, hogy ne adjanak egymásnak túl nehéz feladatokat, csak olyanokat, amelyeket ők is meg tudnak oldani. Megnézzük az elkészült megoldásokat, hogy van-e benne hiba, de ne szóljunk érte, hanem figyeljük meg, hogy a javító csoport megtalálja-e a hibát Oldd meg a következő egyenletet a negatív számok halmazán: 6 Az értelmezési tartomány: R \. 6 7 ( ) ( ) Megoldáshalmaz: Házi feladat javaslat: 7. feladat 5 M. ( )

16 4 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM Tanári útmutató Módszertani megjegyzés: Mindenkinek adunk egy kártyát az alábbiakból. Ez lehet véletlenszerű: például a tanulók maguk húznak egy-egy kártyát a tanári asztalról vagy tudatos: figyelünk arra, hogy kinek melyik kártyát adjuk. Az azonos kifejezést jelentő kártyák tulajdonosai alkotnak egy csoportot. Ezen az órán ők dolgoznak együtt. 7. kártyakészlet alkalmazása ( ) ( )( ) 4 4 ( ) ( )( ) 4 4 ( ) ( )( ) 6 9 ( )( ) 9 ( )( ) 4 ( ) ( )( ) 6 9 ( 4) ( 4)( 4) 8 6

17 7. modul: EGYENLETEK 5 ( ) 4 ( )( ) Közösen oldjuk meg a feladatokat, a csoportok ötleteket adhatnak, hogy hogyan indulnának el. 8. Oldd meg a következő egyenletet az egész számok halmazán: 4 4 Az értelmezési tartomány: Z \{ } 4. ( ) ( )( ) Megoldáshalmaz: { } M. 9. Oldd meg a következő egyenletet a racionális számok halmazán: Az értelmezési tartomány: Q \{ } ;. ( )( ) ( )( ) Megoldáshalmaz: { } 0 M. Az előző feladatok alapján a csoportosan, vagy egyénileg megoldják az alábbi feladatokat.

18 6 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM Tanári útmutató 0. Oldd meg a következő egyenletet a természetes számok halmazán: Az értelmezési tartomány: N \{ }. ( ) 5 ( )( 5 6) Megoldáshalmaz: M Oldd meg a következő egyenletet a racionális számok halmazán: Az értelmezési tartomány: Q \{ 4; 4}. ( 6)( 4) ( 4 ) ( 5)( 4) Azonosság. Az értelmezési tartománynak minden eleme megoldás. Megoldáshalmaz: { : 4, 4} M Q.. Oldd meg a következő egyenletet a racionális számok halmazán: 4 Az értelmezési tartomány: Q \{ 4; 4}. ( )( 4) ( )( 4) Azonosság. Az értelmezési tartomány minden eleme megoldás. Megoldáshalmaz: { : 4, 4} M Q.

19 7. modul: EGYENLETEK 7. Oldd meg a következő egyenletet a racionális számok halmazán: Az értelmezési tartomány: Q \{ ; }. 4 ( )( ) ( )( ) Megoldáshalmaz: { 7} ( ) ( )( ) M Oldd meg a következő egyenletet a valós számok halmazán: 8 5 Az értelmezési tartomány: R \ { 5}. ( 5) ( 5) Megoldáshalmaz: { 9} M. Házi feladat javaslat:. feladat

20 8 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM Tanári útmutató IV. Egyenlőtlenségek Mintapélda Oldjuk meg a következő egyenlőtlenséget! A megoldáshalmazt ábrázoljuk számegyenesen! 7 < 0 Minthogy a nevező nem lehet nulla, így az értelmezési tartomány a 0-tól különböző valós számok halmaza. Röviden: R \{ 0 }. Egy tört akkor és csak akkor negatív, ha a számlálója és a nevezője különböző előjelű. I. eset Ha a számláló pozitív és a nevező negatív. VAGY II. eset Ha a számláló negatív és a nevező pozitív. 7 > 0 > 7 ÉS < 0 7 < 0 < 7 ÉS > > < A kettő együtt sohasem teljesül, A kettő együtt akkor teljesül, ha ebből az esetből nem kapunk megoldást. 7 7 > 0 és <, azaz 0 < <. A feladat megoldása során ekvivalens lépéseket végeztünk, így a két esetet összevetve 7 azt kapjuk, hogy a megoldáshalmaz: M 0 < < más módon jelölve 7 M 0;.

21 7. modul: EGYENLETEK 9 Mintapélda Oldjuk meg a következő egyenlőtlenséget a valós számok halmazán: > 0! A megoldáshalmazt ábrázoljuk számegyenesen! 6 Beszéljük meg mind a háromféle megoldási módot, (előfordulhat, hogy a csoportok is különbözőképpen gondolkodnak), majd mindenki maga döntse le, hogy neki melyik módszer a legszimpatikusabb.. megoldás: Készítsük el a következő ábrát, a megoldás rögtön leolvasható:. megoldás: Minthogy a nevező nem lehet nulla, így az értelmezési tartomány a valós számok halmaza. Röviden: R \. Szorozzuk meg az egyenlőtlenséget ( 6 ) -mal! -től különböző Hívjuk fel a figyelmet arra, hogy ha egy egyenlőtlenséget, ismeretlent tartalmazó kifejezéssel szorzunk, akkor figyelnünk kell arra, hogy ez a kifejezés pozitív vagy negatív. E szerint két esetet kell megvizsgálnunk. I. eset VAGY II. eset Ha 6 > 0, azaz > Ha pozitív számmal szorzunk, az egyenlőtlenség iránya változatlan marad. > 0 / > > / : Ez valóban a vizsgált tartományba esik, mert > >. Ha 6 < 0, azaz < Ha negatív számmal szorzunk, az egyenlőtlenség iránya megváltozik, megfordul a relációs jel. < 0 / < < / : Ennek csak egy része esik a vizsgált tartományba, ezért csak ezek a jó megoldások: < <.

22 0 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM Tanári útmutató A feladat megoldása során ekvivalens lépéseket végeztünk, így a két esetet összevetve. megoldás: azt kapjuk, hogy a megoldáshalmaz: M < vagy >. Értelmezési tartomány: R \. Egy tört akkor és csak akkor pozitív, ha a számlálója és a nevezője azonos előjelű. I. eset Ha a számláló és a nevező is pozitív VAGY II. eset Ha a számláló és a nevező is negatív 6 > 0 ÉS > 0 6 < 0 ÉS < 0 6 > > 6 < < > > > < A kettő együtt akkor teljesül, ha A kettő együtt akkor teljesül, ha >. <. A feladat megoldása során ekvivalens lépéseket végeztünk, így a két esetet összevetve azt kapjuk, hogy a megoldáshalmaz: M < vagy >. Feladatok 5. Isi és Marcsi az esküvőjüket szervezik. Két zenekartól kaptak ajánlatot. Az egyik zenekar 5000 Ft-ot kér előre és utána óránként 500 Ft-ot, a másik 0000 Ft előleget kér, és óránként 000 Ft-ot. Mit tanácsolnál Isinek és Marcsinak, melyik zenekart válassza, ha mindkét zenekar ugyanolyan jól játszik. Válaszodat indokold, készíts ábrát!

23 7. modul: EGYENLETEK I. zenekar II. zenekar Előleg Óradíj óra ára Összesen < < 5000 < 0 Ha 0 óránál kevesebbet játszik a zenekar, akkor az első zenekart, ha több mint 0 órát játszanak, akkor a második zenekart érdemes választani, ha pontosan 0 órát, akkor mindegy, hogy melyiket választják. 6. Oldd meg a következő egyenlőtlenséget a valós számok halmazán! A megoldáshalmazt ábrázold számegyenesen! Végtelen sok megoldást ellenőrizni nem tudunk, de a feladat megoldása során ekvivalens lépéseket végeztünk, így a megoldáshalmaz: { 9} M. 7. Oldd meg a következő egyenlőtlenséget a valós számok halmazán! A megoldáshalmazt ábrázold számegyenesen! ( 7) ( ) 6 ( 4) 5 59

24 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM Tanári útmutató A feladat megoldása során ekvivalens lépéseket végeztünk, így a megoldáshalmaz: M 8. Oldd meg a következő egyenlőtlenséget! A megoldáshalmazt ábrázold számegyenesen! > 0 4 Egy tört akkor és csak akkor pozitív, ha a számlálója és a nevezője azonos előjelű. I. eset Ha a számláló és a nevező is pozitív VAGY II. eset Ha a számláló és a nevező is negatív > 0 > ÉS 4 > 0 > < 0 < ÉS 4 < 0 A kettő együtt akkor teljesül, ha A kettő együtt akkor teljesül, ha >. <. A feladat megoldása során ekvivalens lépéseket végeztünk, így a két esetet összevetve azt kapjuk, hogy a megoldáshalmaz: M < vagy >. <

25 7. modul: EGYENLETEK 9. Oldd meg a következő egyenlőtlenséget! A megoldáshalmazt ábrázold számegyenesen! Egy tört akkor és csak akkor nem negatív, ha a számlálója és a nevezője azonos előjelű, illetve a számláló lehet 0 is. I. eset Ha a számláló nem negatív és a nevező pozitív. VAGY II. eset Ha a számláló nem pozitív és a nevező negatív ÉS 4 > 0 4 > ÉS 4 < 0 4 < A kettő együtt akkor teljesül, ha A kettő együtt sohasem teljesül, ebből az esetből nem kapunk megol- 7 < 4. 5 dást. A feladat megoldása során ekvivalens lépéseket végeztünk, így a két esetet összevetve 7 7 azt kapjuk, hogy a megoldáshalmaz: M < 4 vagy M 5 ; 4 5.

26 4 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM Tanári útmutató 0. Oldd meg a következő egyenlőtlenséget! A megoldáshalmazt ábrázold számegyenesen! 7 5 ( ) 7 ( ) ( 5 ) A feladat megoldása során ekvivalens lépéseket végeztünk, így a megoldáshalmaz: M. Az egyenlőtlenségek megoldásakor a következő műveleteket végezhetjük: Az egyenlőtlenség mindkét oldalához hozzáadhatjuk, illetve mindkét oldalából kivonhatjuk ugyanazt a számot. Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozhatjuk, illetve oszthatjuk ugyanazzal a pozitív számmal. Ismeretlent tartalmazó kifejezéseket is hozzáadhatunk, illetve kivonhatunk az egyenlőtlenség mindkét oldalából. Ha negatív számmal szorozzuk vagy osztjuk az egyenlőtlenséget, akkor megváltozik az egyenlőtlenség iránya. Ha ismeretlent tartalmazó kifejezéssel szorzunk vagy osztunk, akkor figyelnünk kell arra, hogy az lehet pozitív, negatív, illetve nulla is (esetszétválasztást végzünk). Házi feladat javaslat: 0. feladat

27 7. modul: EGYENLETEK 5 V. Abszolútértékes egyenletek Mintapélda Oldjuk meg a valós számok halmazán az 4 egyenletet!. megoldás (grafikus):. megoldás (algebrai): I. eset Feltétel: 0 Ha az abszolútérték jelen belül álló kifejezés nemnegatív, akkor a szám abszolútértéke önmaga, azaz elhagyhatjuk az abszolútérték jelet: Ellentmondás. Ebben a tartományban nem kaptunk megoldást. VAGY Feltétel: < 0 II. eset Ha az abszolútérték jelen belül álló kifejezés negatív, akkor a szám abszolútértéke a szám ellentettje: 4 4 Ez a feltételben meghatározott tartományba esik, mert < 0. Ellenőrzés: Bal oldal értéke: ; jobb oldal értéke: 4 ( ) A két esetet összevetve azt kapjuk, hogy a megoldáshalmaz: M { }..

28 6 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM Tanári útmutató Mintapélda 4 Oldjuk meg a egyenletet! I. eset VAGY Feltétel: Ha az abszolútérték jelen belül álló kifejezés nem negatív, akkor a szám abszolútértéke önmaga, azaz elhagyhatjuk az abszolútérték jelet: Ez a feltételben meghatározott tartományba esik, így az eredeti egyenletnek is gyöke. II. eset Feltétel: < Ha az abszolútérték jelen belül álló kifejezés negatív, akkor a szám abszolútértéke a szám ellentettje: 4 ( ) Ez az érték nem felel meg az < feltételnek, így az eredeti egyenletnek sem lesz gyöke. Ellenőrzés: Bal oldal értéke: ; jobb oldal értéke:. A két esetet összevetve azt kapjuk, hogy a megoldáshalmaz: { } M. Legyen a tetszőleges algebrai kifejezés. a abszolútértéke: a, ha a 0 a. a, ha a < 0 Feladatok. Jelöld számegyenesen azokat a számokat, a) amelyeknek 0-tól való távolsága kisebb 4-nél; b) amelyeknek -tól való távolsága nagyobb -nél; c) amelyeknek abszolútértéke nagyobb -nál; d) amelyeknek abszolútértéke kisebb 5-nél.

29 7. modul: EGYENLETEK 7 a) b) c) d). Melyik az a szám, amelynek az abszolútértéke?. Oldd meg az 5 egyenletet! Feltétel: 0 I. eset VAGY Feltétel: < 0 II. eset Ez az érték nem felel meg az 0 Ez a feltételben meghatározott tartományba esik, így az eredeti egyen- feltételnek, így az eredeti egyenletnek sem lesz gyöke. letnek is gyöke. 5 A két esetet összevetve azt kapjuk, hogy a megoldáshalmaz: M

30 8 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM Tanári útmutató 4. Oldd meg a racionális számok halmazán a 4 egyenletet! I. eset Feltétel: 0, azaz ha 4 7 7,5 Ez a szám, a feltételben meghatározott tartományba esik, mert 7. VAGY A két esetet összevetve azt kapjuk, hogy a megoldáshalmaz: II. eset Feltétel: < 0, azaz ha ( ) 4 4 < 0,5 Ez a szám, a feltételben meghatározott tartományba esik, mert <. 7 M,. 5. Oldd meg a 7 egyenletet! I. eset Feltétel: 0, azaz ha Ez a feltételben meghatározott tartományba esik, mert. VAGY II. eset Feltétel: < 0, azaz ha ( ) < Ez a feltételben megadott tartományon kívül esik, ezért ebben a tartományban nem kaptunk megoldást. A két esetet összevetve azt kapjuk, hogy a megoldáshalmaz: { } M.

31 7. modul: EGYENLETEK 9 6. Oldd meg az egész számok halmazán az 4 9 egyenletet! I. eset Feltétel: < 4 ( 4) ( ) Ez a feltételben meghatározott tartományba esik, mert 6 < 4. VAGY II. eset Feltétel: 4 < ( ) Ellentmondás. Ebben a tartományban nem kaptunk megoldást. VAGY Feltétel: III. eset Ez a feltételben meghatározott tartományba esik, mert. A három esetet összevetve azt kapjuk, hogy a megoldáshalmaz { 6, } M. Mindenkinek adjunk egy kártyát, amelyen abszolútérték-jelet tartalmazó algebrai kifejezések állnak. Írjuk a táblára a következő három kifejezést:,,, valamint 6 nyissunk egy egyik sem rovatot is. Minden tanuló feladata az, hogy elhelyezze a saját kártyáját az alá a kifejezés alá, amelyikkel egyenlő, vagy ha nem talál ilyet, akkor az egyik sem rovat alá. Közösen beszéljük meg, hogy minden kártya jó helyre került-e.

32 40 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM Tanári útmutató 7. 4 kártyakészlet alkalmazása

33 7. modul: EGYENLETEK 4 7. Oldd meg az 5 7 egyenletet! I. eset VAGY II. eset 7 7 Feltétel: Feltétel: < ( 5 7) Ez a feltételben meghatározott tartományba esik, így az eredeti egyen- 9 5 letnek is gyöke. Ez a feltételben meghatározott tartományba esik, így az eredeti egyenletnek is gyöke. 9 A két esetet összevetve azt kapjuk, hogy a megoldáshalmaz: M ; Oldd meg az 5 egyenletet! I. eset VAGY II. eset Feltétel: Feltétel: < ( 5 ) Ez a feltételben meghatározott tartományba 7 esik, így az eredeti egyen- letnek is gyöke. Ez a feltételben meghatározott tartományba esik, így az eredeti egyenletnek is gyöke. 4 A két esetet összevetve azt kapjuk, hogy a megoldáshalmaz: M ;. 7 Házi feladat javaslat: 7. és 8. feladat

Módszertani megjegyzés: A kikötés az osztás műveletéhez kötődik. A jobb megértés miatt célszerű egy-két példát mu-

Módszertani megjegyzés: A kikötés az osztás műveletéhez kötődik. A jobb megértés miatt célszerű egy-két példát mu- . modul: ELSŐFOKÚ TÖRTES EGYENLETEK A következő órákon olyan egyenletekkel foglalkozunk, amelyek nevezőjében ismeretlen található. Ha a tört nevezőjében ismeretlen van, akkor kikötést kell tennünk: az

Részletesebben

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása 11 modul: EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK MEGOLDÁSA 6 I Egyenlet fogalma, algebrai megoldása Módszertani megjegyzés: Az egyenletek alaphalmazát, értelmezési tartományát később vezetjük be, a törtes egyenletekkel

Részletesebben

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II.

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II. 8 Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II Elméleti összefoglaló Az a + b+ c, a egyenletet másodfokú egyenletnek nevezzük A D b ac kifejezést az egyenlet diszkriminánsának nevezzük Ha D >, az

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII.

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Magasabbfokú egyenletek: A 3, vagy annál nagyobb fokú egyenleteket magasabb fokú egyenleteknek nevezzük. Megjegyzés: Egy n - ed fokú egyenletnek legfeljebb n darab valós

Részletesebben

7. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek I.

7. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek I. 7. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek I. I. Elméleti összefoglaló Egyenlet Az egyenlet két oldalát függvénynek tekintjük: f(x) = g(x). Az f és g függvények értelmezési tartományának közös

Részletesebben

Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek

Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek 9 Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek Irracionális egyenletek /I a) Az egyenlet bal oldala a nemnegatív számok halmazán, a jobb oldal minden valós szám esetén

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Eponenciális és Logaritmikus kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szoálhatnak fontos információval

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek X.

Egyenletek, egyenlőtlenségek X. Egyenletek, egyenlőtlenségek X. DEFINÍCIÓ: (Logaritmus) Ha egy pozitív valós számot adott, 1 - től különböző pozitív alapú hatvány alakban írunk fel, akkor ennek a hatványnak a kitevőjét logaritmusnak

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás:

9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás: 9. Trigonometria I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! x = cos 150 ; y = sin 5 ; z = tg ( 60 ) (A) z < x < y (B) x < y < z (C) y < x < z (D) z < y

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

Függvény fogalma, jelölések 15

Függvény fogalma, jelölések 15 DOLGO[Z]ZATOK 9.. 1. Függvény fogalma, jelölések 1 1. Az alábbi hozzárendelések közül melyek függvények? a) A magyarországi megyékhez hozzárendeljük a székhelyüket. b) Az egész számokhoz hozzárendeljük

Részletesebben

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek A másodfokú egyenlet grafikus megoldása Példa1. Ábrázold az f(x) = x 1x 16 függvényt, majd olvasd le az ábráról az alábbi egyenlet megoldását: x 1x 16 =. 1. lépés:

Részletesebben

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie.

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

11. Sorozatok. I. Nulladik ZH-ban láttuk:

11. Sorozatok. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 11. Sorozatok I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Egy számtani sorozat harmadik eleme 15, a nyolcadik eleme 30. Mely n természetes számra igaz, hogy a sorozat első n elemének összege 6? A szokásos jelöléseket

Részletesebben

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek A másodfokú egyenlet grafikus megoldása Példa1. Ábrázold az f(x) = x + 1x + 16 függvényt, majd olvasd le az ábráról az alábbi egyenlet megoldását: x + 1x + 16 = 0.

Részletesebben

Írásbeli szorzás. a) b) c)

Írásbeli szorzás. a) b) c) Írásbeli szorzás 96 100 1. Számítsd ki a szorzatokat! a) 321 2 432 2 112 3 222 3 b) 211 2 142 2 113 3 112 4 c) 414 2 222 2 221 4 243 2 2. Becsüld meg a szorzatokat! Számítsd ki a feladatokat! a) 216 2

Részletesebben

7. Számelmélet. 1. Lehet-e négyzetszám az a pozitív egész szám, amelynek tízes számrendszerbeli alakjában 510 darab 1-es és valahány 0 szerepel?

7. Számelmélet. 1. Lehet-e négyzetszám az a pozitív egész szám, amelynek tízes számrendszerbeli alakjában 510 darab 1-es és valahány 0 szerepel? 7. Számelmélet I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Lehet-e négyzetszám az a pozitív egész szám, amelynek tízes számrendszerbeli alakjában 510 darab 1-es és valahány 0 szerepel? ELTE 2006. október 27. (matematika

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK

EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK Elsőfokú egyenletek megoldása mérleg elvvel Az egyenletek megoldása során a következő lépéseket hajtjuk végre: a kijelölt műveletek elvégzésével, az egynemű kifejezések összevonásával

Részletesebben

Jelenlegi életkor Életkor 11 év múlva Anya x x + 11 Gyermek x 29 x 29 + 11 = x 18

Jelenlegi életkor Életkor 11 év múlva Anya x x + 11 Gyermek x 29 x 29 + 11 = x 18 Szöveges feladatok Életkori feladatok. Feladat. Egy anya 29 éves volt, amikor a a született. év múlva az életkora évvel lesz kevesebb, mint a a akkori életkorának kétszerese. Hány évesek most? Megoldás.

Részletesebben

Szöveges feladatok és Egyenletek

Szöveges feladatok és Egyenletek Szöveges feladatok és Egyenletek Sok feladatot meg tudunk oldani következtetéssel, rajz segítségével és egyenlettel is. Vajon mikor érdemes egyenletet felírni? Van-e olyan eset, amikor nem tanácsos, vagy

Részletesebben

6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban?

6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? 6. Függvények I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? f x g x cos x h x x ( ) sin x (A) Az f és a h. (B) Mindhárom. (C) Csak az f.

Részletesebben

Halmazok. A és B különbsége: A \ B. A és B metszete: A. A és B uniója: A

Halmazok. A és B különbsége: A \ B. A és B metszete: A. A és B uniója: A Halmazok Érdekes feladat lehet, amikor bizonyos mennyiségű adatok között keressük az adott tulajdonsággal rendelkezők számát. A következőekben azt szeretném megmutatni, hogy a halmazábrák segítségével,

Részletesebben

V. Békés Megyei Középiskolai Matematikaverseny 2012/2013 Megoldások 12. évfolyam

V. Békés Megyei Középiskolai Matematikaverseny 2012/2013 Megoldások 12. évfolyam 01/01 1. évfolyam 1. Egy röplabda bajnokságban minden csapat pontosan egyszer játszik a többi csapat mindegyikével. A bajnokságból még két forduló van hátra és eddig 104 mérkőzést játszottak le. Hány csapat

Részletesebben

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak!

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak! Magyar Ifjúság 6 V SOROZATOK a) Három szám összege 76 E három számot tekinthetjük egy mértani sorozat három egymás után következő elemének vagy pedig egy számtani sorozat első, negyedik és hatodik elemének

Részletesebben

Magasabbfokú egyenletek

Magasabbfokú egyenletek 86 Magasabbfokú egyenletek Magasabbfokú egyenletek 5 90 a) =! ; b) =! ; c) = 5, 9 a) Legyen = y Új egyenletünk: y - 5y+ = 0 Ennek gyökei: y=, y= Tehát egyenletünk gyökei:, =!,, =! b) Új egyenletünk: y

Részletesebben

Másodfokú egyenletek. 2. Ábrázoljuk és jellemezzük a következő,a valós számok halmazán értelmezett függvényeket!

Másodfokú egyenletek. 2. Ábrázoljuk és jellemezzük a következő,a valós számok halmazán értelmezett függvényeket! Másodfokú egyenletek 1. Alakítsuk teljes négyzetté a következő kifejezéseket! a.) - 4 + 4 b.) - 6 + 8 c.) + 8 - d.) - 4 + 9 e.) - + 8 - f.) - - 4 + 3 g.) + 8-5 h.) - 4 + 3 i.) -3 + 6 + 1. Ábrázoljuk és

Részletesebben

VII. Apáczai Matematika Kupa 7. osztály 2011. Pontozási útmutató

VII. Apáczai Matematika Kupa 7. osztály 2011. Pontozási útmutató 1. feladat: VII. Apáczai Matematika Kupa 7. osztály 011. Pontozási útmutató Egy szöcske ugrál a számegyenesen. Ugrásainak hossza egység. A számegyenesen a 10-et jelölő pontból a 1-et jelölő pontba ugrással

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam

Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam Halmazok:. Adott két halmaz: A = kétjegyű pozitív, 4-gyel osztható számok B = 0-nél nagyobb, de 0-nál nem nagyobb pozitív egész

Részletesebben

A III. forduló megoldásai

A III. forduló megoldásai A III. forduló megoldásai 1. Egy dobozban pénzérmék és golyók vannak, amelyek vagy ezüstből, vagy aranyból készültek. A dobozban lévő tárgyak 20%-a golyó, a pénzérmék 40%-a ezüst. A dobozban levő tárgyak

Részletesebben

MATEMATIKA A 10. évfolyam

MATEMATIKA A 10. évfolyam MATEMATIKA A 10. évfolyam 7. modul Négyzetgyökös egyenletek Készítette: Gidófalvi Zsuzsa Matematika A 10. évfolyam 7. modul: Négyzetgyökös egyenletek Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok II.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok II. Sorozatok II. DEFINÍCIÓ: (Mértani sorozat) Az (a n ) valós számsorozatot mértani sorozatnak nevezzük, ha van olyan valós szám, amellyel a sorozat bármely tagját megszorozva a következő tagot kapjuk. Jelöléssel:

Részletesebben

Elsôfokú egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek

Elsôfokú egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek Elsôfokú egyváltozós egyenletek 6 Elsôfokú egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek. Elsôfokú egyváltozós egyenletek 000. Érdemes egyes tagokat, illetve tényezôket alkalmasan csoportosítani, valamint

Részletesebben

Feladatok MATEMATIKÁBÓL

Feladatok MATEMATIKÁBÓL Feladatok MATEMATIKÁBÓL a 12. évfolyam számára III. 1. Számítsuk ki a következő hatványok értékét! 2. Írjuk fel gyökjelekkel a következő hatványokat! 3. Az ötnek hányadik hatványa a következő kifejezés?

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek V.

Egyenletek, egyenlőtlenségek V. Egyenletek, egyenlőtlenségek V. DEFINÍCIÓ: (Másodfokú egyenlet) Az ax + bx + c = 0 alakban felírható egyenletet (a, b, c R; a 0), ahol x a változó, másodfokú egyenletnek nevezzük. TÉTEL: Az ax + bx + c

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 8. KÖZÉPSZINT

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 8. KÖZÉPSZINT MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 007. május 8. KÖZÉPSZINT ) Egyszerűsítse a következő törtet! (a; b valós szám, ab 0)! a b ab ab ab ( a ) a ab I. Összesen: pont ) Egy mértani sorozat második eleme 3, hatodik eleme.

Részletesebben

OSZTHATÓSÁG. Osztók és többszörösök : a 3 többszörösei : a 4 többszörösei Ahol mindkét jel megtalálható a 12 többszöröseit találjuk.

OSZTHATÓSÁG. Osztók és többszörösök : a 3 többszörösei : a 4 többszörösei Ahol mindkét jel megtalálható a 12 többszöröseit találjuk. Osztók és többszörösök 1783. A megadott számok elsõ tíz többszöröse: 3: 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 4: 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 5: 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 6: 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 1784. :

Részletesebben

Egész számok. pozitív egész számok: 1; 2; 3; 4;... negatív egész számok: 1; 2; 3; 4;...

Egész számok. pozitív egész számok: 1; 2; 3; 4;... negatív egész számok: 1; 2; 3; 4;... Egész számok természetes számok ( ) pozitív egész számok: 1; 2; 3; 4;... 0 negatív egész számok: 1; 2; 3; 4;... egész számok ( ) 1. Írd a következõ számokat a halmazábra megfelelõ helyére! 3; 7; +6 ; (

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 10. KÖZÉP SZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 10. KÖZÉP SZINT I. 1) Adott két pont: A ; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 005. május 10. KÖZÉP SZINT I. és B 1; Írja fel az AB szakasz 1 1 F ; F ;1 ) Az ábrán egy ; intervallumon

Részletesebben

Diophantosz, I.sz. 250 körül. Az alexandriai Diophantosz Aritmetikája. Legismertebb műve

Diophantosz, I.sz. 250 körül. Az alexandriai Diophantosz Aritmetikája. Legismertebb műve Diophantosz, I.sz. 250 körül Az alexandriai Diophantosz Aritmetikája Klukovits Lajos TTIK Bolyai Intézet 2014. március 11. Életéről egy rejtvény(sír)vers Vén Diophantoszt rejti e kő. Bár ő maga szunnyad,

Részletesebben

Oktatási Hivatal. 1 pont. A feltételek alapján felírhatók az. összevonás után az. 1 pont

Oktatási Hivatal. 1 pont. A feltételek alapján felírhatók az. összevonás után az. 1 pont Oktatási Hivatal Öt pozitív egész szám egy számtani sorozat első öt eleme A sorozatnak a különbsége prímszám Tudjuk hogy az első négy szám köbének összege megegyezik az ezen öt tag közül vett páros sorszámú

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged

Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged Magas szintű matematikai tehetséggondozás Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged Ahhoz, hogy egy diák kimagasló eredményeket érhessen el matematika versenyeken, elengedhetetlenül

Részletesebben

EGYENLETEK. Mérleg-elv. = + x 1. = x + 12 2. 2 x + = 1 3x 10. = 1. 17. 13 3x. 5 x 11. ( ) Abszolutértékes egyenletek, egyenlőtlenségek. 28.

EGYENLETEK. Mérleg-elv. = + x 1. = x + 12 2. 2 x + = 1 3x 10. = 1. 17. 13 3x. 5 x 11. ( ) Abszolutértékes egyenletek, egyenlőtlenségek. 28. EGYENLETEK Mérleg-elv..... 6. + = 7 = + = 7+ 7+ 6 + = + = = ( ) 7. = + + 6 8 6 8. = 7 7 9.. 7 = + ( ) + + =. + Abszolutértékes egyenletek, egyenlőtlenségek. = 7. =. =. 8 = 6. 7 9 = 7. = 8. 8 = 9. =. 6.

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I. Számelmélet I. DEFINÍCIÓ: (Osztó, többszörös) Ha egy a szám felírható egy b szám és egy másik egész szám szorzataként, akkor a b számot az a osztójának, az a számot a b többszörösének nevezzük. Megjegyzés:

Részletesebben

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2006-2007. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2006-2007. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 006-007. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára 1. Melyek azok a pozitív egészek, amelyeknek pontosan négy pozitív

Részletesebben

Matematika 10 Másodfokú egyenletek. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < 2015. szeptember 27.

Matematika 10 Másodfokú egyenletek. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < 2015. szeptember 27. Matematika 10 Másodfokú egyenletek Juhász László matematika és fizika szakos középiskolai tanár > o < 2015. szeptember 27. copyright: c Juhász László Ennek a könyvnek a használatát szerzői jog védi. A

Részletesebben

2016/2017. Matematika 9.Kny

2016/2017. Matematika 9.Kny 2016/2017. Matematika 9.Kny Gondolkodási módszerek 1. Számhalmazok: N, Z, Q, Q*, R a számhalmazok kapcsolata, halmazábra 2. Ponthalmazok: o 4. oldal K I. fejezet: 172-178., 180-185., 191. feladat távolsággal

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Exponenciális és Logaritmusos feladatok

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Exponenciális és Logaritmusos feladatok MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Eponenciális és Logaritmusos feladatok A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

Diszkrét matematika II., 5. előadás. Lineáris egyenletrendszerek

Diszkrét matematika II., 5. előadás. Lineáris egyenletrendszerek 1 Diszkrét matematika II, 5 előadás Lineáris egyenletrendszerek Dr Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@infnymehu http://infnymehu/ takach/ 2007 március 8 Egyenletrendszerek Középiskolás módszerek:

Részletesebben

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok I. DEFINÍCIÓ: (Számsorozat) A számsorozat olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, értékkészlete a valós számok egy részhalmaza. Jelölés: (a n ), {a n }.

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2008. május 06. KÖZÉPSZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2008. május 06. KÖZÉPSZINT I. 1) Adja meg a Például: 1 ; 8 8 M 1 ; 10 5 MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 008. május 06. KÖZÉPSZINT I. nyílt intervallum két különböző elemét! ( pont) ( pont) ) Egy 7-tagú társaságban mindenki mindenkivel egyszer

Részletesebben

VI. Kétismeretlenes egyenletrendszerek

VI. Kétismeretlenes egyenletrendszerek Mtemtik A 9. évfolm 7. modul: EGYENLETEK Tnári kézikönv VI. Kétismeretlenes egenletrendszerek Behelettesít módszer Mintpéld Két testvér érletpénztárnál jeget vásárol. Az egik vonljegért és eg átszálló

Részletesebben

I. Egységtörtek. Ha az egységet nyolc egyenlő részre vágjuk, akkor ebből egy rész 1-nyolcadot ér.

I. Egységtörtek. Ha az egységet nyolc egyenlő részre vágjuk, akkor ebből egy rész 1-nyolcadot ér. Tudnivaló I. Egységtörtek Ha az egységet nyolc egyenlő részre vágjuk, akkor ebből egy rész 1-nyolcadot ér. Ezt röviden így írhatjuk: A nevező megmutatja, hogy az egységet hány egyenlő részre vágjuk. A

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Számelmélet

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Számelmélet MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Számelmélet A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI 2013 I. rész

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI 2013 I. rész MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI 203 I. rész. Oldja meg a következő egyenletet: x 2 25. Az egyenlet megoldása: 2. Egy vállalat 280 000 Ft-ért vásárol egy számítógépet. A számítógép évente 5%-ot veszít az értékéből.

Részletesebben

PYTAGORIÁDA. 1. Két szám összege 156. Az első összeadandó a 86 és a 34 különbsége. Mekkora a másik összeadandó?

PYTAGORIÁDA. 1. Két szám összege 156. Az első összeadandó a 86 és a 34 különbsége. Mekkora a másik összeadandó? Az iskolai forduló feladatai 2006/2007-es tanév Kategória P 3 1. Két szám összege 156. Az első összeadandó a 86 és a 34 különbsége. Mekkora a másik összeadandó? 2. Számítsd ki: 19 18 + 17 16 + 15 14 =

Részletesebben

Hódmezővásárhelyi Városi Matematikaverseny április 14. A osztályosok feladatainak javítókulcsa

Hódmezővásárhelyi Városi Matematikaverseny április 14. A osztályosok feladatainak javítókulcsa Hódmezővásárhelyi Városi Matematikaverseny 2003. április 14. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa 1. feladat Egy számtani sorozatot az első eleme és különbsége egyértelműen meghatározza, azt

Részletesebben

Matematika A 9. szakiskolai évfolyam. 11. modul EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK MEGOLDÁSA. Készítették: Vidra Gábor és Koller Lászlóné dr.

Matematika A 9. szakiskolai évfolyam. 11. modul EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK MEGOLDÁSA. Készítették: Vidra Gábor és Koller Lászlóné dr. Matematika A 9. szakiskolai évfolyam 11. modul EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK MEGOLDÁSA Készítették: Vidra Gábor és Koller Lászlóné dr. MATEMATIKA A 9. SZAKISKOLAI ÉVFOLYAM 11. modul: EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK

Részletesebben

MATEMATIKA KISÉRETTSÉGI Ponthatárok: (5) (4) (3) (2) (1) Pontszám. A háromszög oldalainak nagysága:

MATEMATIKA KISÉRETTSÉGI Ponthatárok: (5) (4) (3) (2) (1) Pontszám. A háromszög oldalainak nagysága: MATEMATIKA KISÉRETTSÉGI 2010. Ponthatárok: (5) 83-100 (4) 65-82 (3) 47-64 (2) 30-46 (1) 0-29 Név, osztály Pontszám I. rész - A rendelkezésre álló idő: 45 perc I. rész 30 pont Érdemjegy II. rész 70 pont

Részletesebben

Érettségi feladatok: Egyenletek, egyenlőtlenségek 1 / 6. 2005. május 29. 13. a) Melyik (x; y) valós számpár megoldása az alábbi egyenletrendszernek?

Érettségi feladatok: Egyenletek, egyenlőtlenségek 1 / 6. 2005. május 29. 13. a) Melyik (x; y) valós számpár megoldása az alábbi egyenletrendszernek? Érettségi feladatok: Egyenletek, egyenlőtlenségek 1 / 6 Elsőfokú 2005. május 28. 1. Mely x valós számokra igaz, hogy x 7? 13. a) Oldja meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán! x 1 2x 4 2 5 2005.

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Paraméteres és összetett egyenlôtlenségek

Paraméteres és összetett egyenlôtlenségek araméteres és összetett egyenlôtlenségek 79 6 a) Minden valós szám b) Nincs ilyen valós szám c) c < vagy c > ; d) d # vagy d $ 6 a) Az elsô egyenlôtlenségbôl: m < - vagy m > A második egyenlôtlenségbôl:

Részletesebben

Matematika. Emelt szintű feladatsor pontozási útmutatója

Matematika. Emelt szintű feladatsor pontozási útmutatója Matematika Emelt szintű feladatsor pontozási útmutatója Kérjük, hogy a dolgozatok javítását a javítási útmutató alapján végezze, a következők figyelembevételével. Formai kérések: Kérjük, hogy piros tollal

Részletesebben

Feladatok MATEMATIKÁBÓL a 12. évfolyam számára

Feladatok MATEMATIKÁBÓL a 12. évfolyam számára Feladatok MATEMATIKÁBÓL a. évfolyam számára I.. Egy 35 fős osztályból mindenki részvett valamelyik iskolai kiránduláson. 5-en Debrecenbe utaztak, 8-an pedig Pécsre. Hányan utaztak mindkét városba?. Állapítsa

Részletesebben

11. osztály. 1. Oldja meg az egyenletrendszert a valós számok halmazán! (10 pont) Megoldás: A három egyenlet összege: 2 ( + yz + zx) = 22.

11. osztály. 1. Oldja meg az egyenletrendszert a valós számok halmazán! (10 pont) Megoldás: A három egyenlet összege: 2 ( + yz + zx) = 22. osztály Oldja meg az egyenletrendszert a valós számok halmazán! y + yz = 8 yz + z = 9 z + y = 5 (0 pont) Megoldás: A három egyenlet összege: ( + yz + z) = Ebből kivonva az egyenleteket: y =, yz = 6, z

Részletesebben

Feladatok MATEMATIKÁBÓL II.

Feladatok MATEMATIKÁBÓL II. Feladatok MATEMATIKÁBÓL a 12. évfolyam számára II. 1. Alakítsuk át a következő kifejezéseket úgy, hogy teljes négyzetek jelenjenek meg: a) x 2 2x + b) x 2 6x + 10 c) x 2 + x + 1 d) x 2 12x + 11 e) 2x 2

Részletesebben

Matematika kisérettségi

Matematika kisérettségi Matematika kisérettségi 2010. május 11. I. rész Fontos tudnivalók 1. A feladatok megoldására 30 percet fordíthat, az idő elteltével a munkát be kell fejeznie. 2. A megoldások sorrendje tetszőleges. 3.

Részletesebben

PRÓBAÉRETTSÉGI 2004.május MATEMATIKA. KÖZÉPSZINT I. 45 perc

PRÓBAÉRETTSÉGI 2004.május MATEMATIKA. KÖZÉPSZINT I. 45 perc PRÓBAÉRETTSÉGI 2004.május MATEMATIKA KÖZÉPSZINT I. 45 perc A feladatok megoldására 45 perc fordítható, az idő leteltével a munkát be kell fejeznie. A feladatok megoldási sorrendje tetszőleges. A feladatok

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 0801 ÉRETTSÉGI VIZSGA 009. május 5. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Formai előírások: Fontos tudnivalók

Részletesebben

IV.3. GONDOLJ, GONDOLJ... A feladatsor jellemzői

IV.3. GONDOLJ, GONDOLJ... A feladatsor jellemzői IV.3. GONDOLJ, GONDOLJ... Tárgy, téma A feladatsor jellemzői Elsőfokú egyenletek, egyenlőtlenségek megoldása. Ezek felhasználása szöveges feladatok megoldásánál. Előzmények Egyenletek, egyszerűbb algebrai

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Számelmélet

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Számelmélet MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Számelmélet A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek VIII.

Egyenletek, egyenlőtlenségek VIII. Egyenletek, egyenlőtlenségek VIII. 1. Melyik az a szám, amelynek a felét és az ötödét összeszorozva, a szám hétszeresét kapjuk? Legyen a keresett szám:. A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet:

Részletesebben

Megoldás A számtani sorozat első három eleme kifejezhető a második elemmel és a differenciával. Összegük így a 2. d =33, azaz 3a 2. a 2.

Megoldás A számtani sorozat első három eleme kifejezhető a második elemmel és a differenciával. Összegük így a 2. d =33, azaz 3a 2. a 2. 1. Egy 33-as létszámú zenetagozatos osztályban hegedülni és zongorázni tanulnak a diákok. Minden diák játszik legalább egy hangszeren. Azok száma, akik mindkét hangszeren játszanak, akik csak hegedülnek,

Részletesebben

1. Írd le számjegyekkel illetve betűkkel az alábbi számokat! Tízezer-hétszáztizenkettő Huszonhétmillió-hétezer-nyolc

1. Írd le számjegyekkel illetve betűkkel az alábbi számokat! Tízezer-hétszáztizenkettő Huszonhétmillió-hétezer-nyolc 1. Írd le számjegyekkel illetve betűkkel az alábbi számokat! Tízezer-hétszáztizenkettő Huszonhétmillió-hétezer-nyolc 10 325 337 30 103 000 002 2. Végezd el az alábbi műveleteket, ahol jelölve van ellenőrizz!

Részletesebben

M/D/13. Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát a közös nevezővel, 12-vel; így a következő egyenlethez jutunk: = 24

M/D/13. Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát a közös nevezővel, 12-vel; így a következő egyenlethez jutunk: = 24 OKTATÁSI MINISZTÉRIUM M/D/13 Dolgozók gimnáziuma Dolgozók szakközépiskolája Szakmunkások szakközépiskolája intenzív tagozat) 003. május ) Határozza meg a következő egyenlet racionális gyökét! 1 3 4 + 5

Részletesebben

A 2016/2017. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKGIMNÁZIUM, SZAKKÖZÉPISKOLA)

A 2016/2017. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKGIMNÁZIUM, SZAKKÖZÉPISKOLA) Oktatási Hivatal A 016/017. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKGIMNÁZIUM, SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató 1. Egy húrtrapéz pontosan

Részletesebben

Bolyai János Matematikai Társulat. 1. Az a és b valós számra a 2 + b 2 = 1 teljesül, ahol ab 0. Határozzuk meg az. szorzat minimumát. Megoldás.

Bolyai János Matematikai Társulat. 1. Az a és b valós számra a 2 + b 2 = 1 teljesül, ahol ab 0. Határozzuk meg az. szorzat minimumát. Megoldás. Bolyai János Matematikai Társulat Oktatási Minisztérium Alapkezelő Igazgatósága támogatásával Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 005/00-os tanév első iskolai) forduló haladók II. kategória nem speciális

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 9.A, 9.D. OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT ÖSSZ: 148 ÓRA

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 9.A, 9.D. OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT ÖSSZ: 148 ÓRA MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI ELJÁRÁS MELLÉKLET Tanmenetborító ME-III.1./1 2 Azonosító: Változatszám : Érvényesség kezdete: Oldal/összes: 1/6 Fájlnév: ME- III.1.1.Tanmenetborító SZK-DC-2013 2013. 09. 01. MATEMATIKA

Részletesebben

Szakközépiskola 9. évfolyam. I/1 gyakorló feladatsor

Szakközépiskola 9. évfolyam. I/1 gyakorló feladatsor Szakközépiskola 9. évfolyam I/1 gyakorló feladatsor 1. Adott az A={1,,3,4,5,6} és a B={1,3,5,7,9} halmaz. Adjuk meg elemeinek felsorolásával az AUB és az A\B halmazokat!. Számítsuk ki a 40 és 560 legnagyobb

Részletesebben

PYTAGORIÁDA Az országos forduló feladatai 35. évfolyam, 2013/2014-es tanév. Kategória P 6

PYTAGORIÁDA Az országos forduló feladatai 35. évfolyam, 2013/2014-es tanév. Kategória P 6 Kategória P 6 1. Írjátok le azt a számot, amely a csillag alatt rejtőzik: *. 5 = 9,55 2. Babszem Jankó 25 ször kisebb, mint Kukorica Jancsi. Írjátok le, hogy hány centiméter Babszem Jankó, ha Kukorica

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 9. KÖZÉPSZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 9. KÖZÉPSZINT I. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 006. május 9. KÖZÉPSZINT I. 1) Egy háromszög belső szögeinek aránya :5:11. Hány fokos a legkisebb szög? A legkisebb szög o 0. Összesen: pont ) Egy számtani sorozat első eleme 8, differenciája.

Részletesebben

Abszolútértékes egyenlôtlenségek

Abszolútértékes egyenlôtlenségek Abszolútértékes egyenlôtlenségek 575. a) $, $ ; b) < - vagy $, # - vagy > 4. 5 576. a) =, =- 6, 5 =, =-, 7 =, 4 = 5; b) nincs megoldás;! c), = - ; d) =-. Abszolútértékes egyenlôtlenségek 577. a) - # #,

Részletesebben

MATEMATIKA VERSENY --------------------

MATEMATIKA VERSENY -------------------- Eötvös Károly Közös Fenntartású Általános Iskola 2013. és Alapfokú Művészetoktatási Intézmény 831 Vonyarcvashegy, Fő u. 8/1. 2. osztály MATEMATIKA VERSENY -------------------- név Olvasd el figyelmesen,

Részletesebben

Matematika 11 Koordináta geometria. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < szeptember 27.

Matematika 11 Koordináta geometria. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < szeptember 27. Matematika 11 Koordináta geometria Juhász László matematika és fizika szakos középiskolai tanár > o < 2015. szeptember 27. copyright: c Juhász László Ennek a könyvnek a használatát szerzői jog védi. A

Részletesebben

Feladatok MATEMATIKÁBÓL

Feladatok MATEMATIKÁBÓL Feladatok MATEMATIKÁBÓL a 1. évfolyam számára III. 1. Számítsuk ki a következő hatványok értékét! a) b) 7 c) 5 d) 5 1 e) 6 1 6 f) ( 81 16 ) g) 0,00001 5. Írjuk fel gyökjelekkel a következő hatványokat!

Részletesebben

Komplex számok algebrai alakja

Komplex számok algebrai alakja Komplex számok algebrai alakja Lukács Antal 015. február 8. 1. Alapfeladatok 1. Feladat: Legyen z 1 + 3i és z 5 4i! Határozzuk meg az alábbiakat! (a) z 1 + z (b) 3z z 1 (c) z 1 z (d) Re(i z 1 ) (e) Im(z

Részletesebben

Szélsőérték feladatok megoldása

Szélsőérték feladatok megoldása Szélsőérték feladatok megoldása A z = f (x,y) függvény lokális szélsőértékének meghatározása: A. Szükséges feltétel: f x (x,y) = 0 f y (x,y) = 0 egyenletrendszer megoldása, amire a továbbiakban az x =

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 1 I. HALmAZOk 1. JELÖLÉSEk A halmaz fogalmát tulajdonságait gyakran használjuk a matematikában. A halmazt nem definiáljuk, ezt alapfogalomnak tekintjük. Ez nem szokatlan, hiszen

Részletesebben

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 0511 ÉRETTSÉGI VIZSGA 005. május 10. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÉRETTSÉGI VIZSGA Az írásbeli vizsga időtartama: 180 perc JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók

Részletesebben

Próbaérettségi 2004 MATEMATIKA. PRÓBAÉRETTSÉGI 2004. május EMELT SZINT. 240 perc

Próbaérettségi 2004 MATEMATIKA. PRÓBAÉRETTSÉGI 2004. május EMELT SZINT. 240 perc PRÓBAÉRETTSÉGI 2004. május MATEMATIKA EMELT SZINT 240 perc A feladatok megoldására 240 perc fordítható, az idő leteltével a munkát be kell fejeznie. A feladatok megoldási sorrendje tetszőleges. A II. részben

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 29. KÖZÉPSZINT

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 29. KÖZÉPSZINT MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 005. május 9. KÖZÉPSZINT 1) Mely x valós számokra igaz, hogy x I. 9? x 1 3. x 3. Összesen: pont ) Egy háromszög egyik oldalának hossza 10 cm, a hozzá tartozó magasság hossza 6 cm.

Részletesebben

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé.

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. HA 1 Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) HA 2 Halmazok HA 3 Megjegyzések A halmaz, az elem és az eleme fogalmakat nem definiáljuk, hanem alapfogalmaknak

Részletesebben

Az egyszerűsítés utáni alak:

Az egyszerűsítés utáni alak: 1. gyszerűsítse a következő törtet, ahol b 6. 2 b 36 b 6 Az egyszerűsítés utáni alak: 2. A 2, 4 és 5 számjegyek mindegyikének felhasználásával elkészítjük az összes, különböző számjegyekből álló háromjegyű

Részletesebben

Minta 2. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI FELADATSOR. I. rész

Minta 2. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI FELADATSOR. I. rész 2. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI FELADATSOR I. rész A feladatok megoldására 45 perc fordítható, az idő leteltével a munkát be kell fejeznie. A feladatok megoldási sorrendje tetszőleges. A feladatok megoldásához

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 8 VIII VEkTOROk 1 VEkTOR Vektoron irányított szakaszt értünk Jelölése: stb Vektorok hossza A vektor abszolút értéke az irányított szakasz hossza Ha a vektor hossza egységnyi akkor

Részletesebben

szöveges feladatok (2. osztály) 1. Marika vett 8 kacsát, 7 lovat, 9 tyúkot és 3 szamarat a vásárban. Hány állatott vett összesen?

szöveges feladatok (2. osztály) 1. Marika vett 8 kacsát, 7 lovat, 9 tyúkot és 3 szamarat a vásárban. Hány állatott vett összesen? 1. Marika vett 8 kacsát, 7 lovat, 9 tyúkot és 3 szamarat a vásárban. Hány állatott vett összesen? 2. Péter vett 3 dm gatyagumit, de nem volt elég, ezért vissza ment a boltba és vett még 21 cm-t. Hány cm-t

Részletesebben

4. A kézfogások száma pont Összesen: 2 pont

4. A kézfogások száma pont Összesen: 2 pont I. 1. A páros számokat tartalmazó részhalmazok: 6 ; 8 ; 6 ; 8. { } { } { }. 5 ( a ) 17 Összesen: t = = a a Összesen: ot kaphat a vizsgázó, ha csak két helyes részhalmazt ír fel. Szintén jár, ha a helyes

Részletesebben