I. Egyszerű egyenletek

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "I. Egyszerű egyenletek"

Átírás

1 7. modul: EGYENLETEK 9 I. Egyszerű egyenletek Módszertani megjegyzés: Csoportalakítás. Mindenkinek adunk egy kártyát, melyen azonos időtartamot meghatározó kifejezések vannak. Ez a kiosztás lehet véletlenszerű: például a tanulók maguk húznak egy-egy kártyát a tanári asztalról, lehet tudatos: figyelünk arra, hogy kinek melyik kártyát adjuk. Az azonos kifejezést jelentő kártyák tulajdonosai alkotnak egy csoportot. Ezen az órán ők dolgoznak együtt. 7. kártyakészlet alkalmazása 9 óra,5 óra 90 perc Másfél óra 6 óra 0,5 óra 5 perc Fertály óra 4 6 nap óra 60 perc 600 másodperc 4 6 óra 0,6 óra 6 perc Fél óra és 6 perc 5 9 óra 0,75 óra 45 perc Háromnegyed óra óra 0, óra perc 70 másodperc 5 óra nap 0 perc 600 másodperc 6 44 óra nap 0 perc 00 másodperc 7 Módszertani megjegyzés: A tanulók az előbb megalakult 4 fős csoportokban dolgoznak tovább. Kiosztjuk a feladatokat, differenciálva a tanulók képességei szerint. A csoport mindegyik tagja más-más feladatot kap, melyet önállóan old meg. A csoportok munkáját tartsuk figyelemmel, nyújtsunk segítséget az elakadóknak. Az önálló feladatmegoldás után a csoport megismerkedik minden feladattal. Minden tanuló ismerteti saját megoldását a csoporton belül, ezt közösen megvitatják. Húzzunk egy feladatszámot és egy csoportjelet. A feladat megoldását az ismerteti a táblánál, akinek a csoport jelét és feladatszámát kihúzza a tanár. A többi csoport véleményezi, hogy jó megoldást hallottak-e. Hozzáfűzhetik, ha ők esetleg másképpen gondolkodtak, megbeszélhetik, melyik megoldás az egyszerűbb.

2 0 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM Tanári útmutató Mintapélda Egy könyvszekrény felső polcán háromszor annyi és még 6 könyv van, mint az alsó polcon. Dani a felső polcról 8 könyvet áttesz az alsó polcra, így ott a felső polcon található könyvek felénél -mal több könyv lesz. Hány darab könyv van most az alsó, ill. a felső polcon? Hány könyve van Daninak összesen? Jelöljük az alsó polcon található könyvek számát -szel. Ekkor a felső polcon: 6 darab könyv van Daninak jelenleg az alsó polcon: 8 4 8, a felső polcon: darab könyve van, így összesen 0 darab könyve van. Ellenőrzés: 70 fele: 5 tényleg -mal több a -nél. Mintapélda Egy 6 éves anyának 6 éves fia van. Hány év múlva lesz az anya háromszor annyi idős, mint a fia? Anya Fia Most 6 6 év múlva ( 6 ) év múlva lesz az anya háromszor annyi idős, mint a fia. Ellenőrzés: 9 év múlva az anya 45 éves, a fia 5 éves lesz és Egyenletek megoldásakor fontos szerepe van annak, hogy mi az alaphalmaz. Ismételjük át közösen, hogy milyen halmazokat ismerünk, és ezeket hogyan jelöljük. Módszertani megjegyzés: A tanulók csoportokban dolgozva, próbálják átgondolni, hogy milyen számhalmazokat ismernek. Egy lehetséges módszer, hogy akinek a csoport jelét, és számát kihúzza a tanár, az ír egy halmazt a táblára, majd választ egy tanulót, akitől azt kéri, hogy írja fel a jelét az általa felírt halmazhoz.

3 7. modul: EGYENLETEK Természetes számok halmaza N, Egész számok halmaza Z, Racionális számok halmaza Q, Valós számok halmaza R, Irracionális számok halmaza Q* Minden egyenlethez tartozik egy alaphalmaz, amelyben a megoldásokat keressük. Ha a feladat szövege nem adja meg előre, akkor a valós számok halmazát tekintjük alaphalmaznak. Az alaphalmaznak azt a legbővebb részhalmazát, amelyen az egyenletben szereplő összes kifejezés értelmezhető, az egyenlet értelmezési tartományának nevezzük. Az egyenlet megoldásakor meg kell keresnünk azokat a számokat az értelmezési tartományból, amelyek kielégítik az egyenletet. Ezeket a számokat hívjuk az egyenlet megoldásainak vagy az egyenlet gyökeinek, és ezek a számok alkotják az egyenlet megoldáshalmazát. Amennyiben nincs olyan szám, amelyik igazzá teszi az egyenletet, akkor az egyenletnek nincsen megoldása, azaz a megoldáshalmaz az üres halmaz. Az egyenlet megoldása során olyan átalakításokat végzünk, amelynek során egyre egyszerűbb egyenlethez jutunk. Célunk, hogy végül az egyenlet egyik oldalán csak az ismeretlen álljon, a másik oldalon egy konkrét szám. Ehhez a következő átalakításokat végezhetjük: Az egyenlet mindkét oldalához hozzáadhatjuk, illetve mindkét oldalából kivonhatjuk ugyanazt a számot. Az egyenlet mindkét oldalát szorozhatjuk, illetve oszthatjuk ugyanazzal a nullától különböző számmal. Ismeretlent tartalmazó kifejezéseket is hozzáadhatunk, illetve kivonhatunk az egyenlet mindkét oldalából. Ha ismeretlent tartalmazó kifejezéssel szorzunk, vagy az egyenletet négyzetre emeljük, akkor hamis gyököket kaphatunk. Ha ismeretlent tartalmazó kifejezéssel osztunk, akkor gyököket veszíthetünk. Ennek elkerülésére általában esetszétválasztást végzünk: egyik esetben megvizsgáljuk azt, amikor a kifejezés értéke nulla: ad-e megoldást, vagy sem. A másik esetben pedig az ismeretlent tartalmazó kifejezésről feltesszük, hogy nem 0, és elvégezve a kritikus műveletet, oldjuk tovább az egyenletet.

4 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM Tanári útmutató Feladatok. Oldd meg a 7 egyenletet a racionális számok halmazán! Ellenőrzés: 7 9 Hívjuk fel a figyelmet az ellenőrzés fontosságára. A mindennapi életünkben is fontos szerepet játszik az ellenőrzés. Például, ha a piacon nem ellenőrizzük, hogy az eladó jól adott-e vissza, könnyen pórul járhatunk. Bal oldal: ; jobb oldal:. A 9 eleme az egyenlet alaphalmazának, és az ellenőrzésnél a két oldal helyettesítési értéke egyenlő, ezért az 9 valóban megoldás. Mindig fogalmaztassuk meg a tanulókkal, hogy mi a megoldás (ne legyen elég kétszer aláhúzni). M 9. Megoldáshalmaz: { }. Oldd meg a ( 4 7) 6 egyenletet az egész számok halmazán! Figyeljünk a zárójelek helyes felbontására (disztributivitás). Gyakori hiba, hogy csak a zárójelen belüli első tagot szorozzák meg a zárójel előtt álló számmal ( ) 0 9 A 9 0 nem eleme az egyenlet alaphalmazának, így az egyenletnek nincs megoldása. Megoldáshalmaz: M.. Egy bankjegykiadó automata készlete az ünnepek előtt szinte teljesen kifogyott. Összesen 6000 Ft maradt benne 000-es és 5000-es címletekben. Hány darab 000-es és 5000-es maradt az automatában, ha egy híján kétszer annyi 000-es van, mint 5000-es. Jelöljük az ötezresek számát -szel. Hívjuk fel a figyelmet az egy híján kétszer annyi kifejezésre, nem biztos, hogy mindenki pontosan érti. Próbáljuk őket rávezetni. Ekkor a kétezresek száma:. ( ) Az automatában db kétezres és 7 darab ötezres maradt.

5 7. modul: EGYENLETEK Két ismeretlennel is megoldható a feladat, például ha az ötezresek számát -szel, a kétezresek számát y-nal jelöljük. 4. Meg tudja-e venni Tibor a 600 Ft-os feltöltőkártyát, ha pénzének harmada 400 Ft-tal kevesebb, mint a feltöltőkártya árának a fele? Jelöljük Tibor pénzét -szel A helyes egyenlet felírásában segíthet, ha relációs jelekkel szemléltetjük, melyik a 600 több és melyik a kevesebb. <. 400 Tibornak 400 Ft-ja van, ezért fel tudja tölteni a telefonját. Figyeljünk arra, hogy szöveges feladatra mindig adjunk szöveges választ. 5. Tudjuk, hogy egy dobozban ötször annyi szög van, mint egy másikban. Az egyikből átraktunk a másikba db szöget, így mindkét dobozban ugyanannyi szög lett. Mennyi szög volt a dobozokban eredetileg és a pakolás után? Legyen az egyik dobozban eredetileg darab szög, ekkor a másikban 5 darab szög van. 5 6 Így az egyik dobozban 6, a másik dobozban 80 darab szög van. 6. Enikőnek kétszer annyi gyűrűje van, mint Szandinak, Vikinek azonban -gyel kevesebb van, mint Szandinak és 4-gyel több, mint Anettnek. Ha összeszámolnánk Szandi, Viki és Anett gyűrűit, az pontosan annyi lenne mint amennyi Enikőnek van. Hány gyűrűje van külön-külön a lányoknak? Jelöljük Szandi gyűrűinek a számát -szel. 5 6 Enikőnek, Szandinak 6, Vikinek 5 és Anettnek gyűrűje van. Házi feladat javaslat: 5. és 6. feladat

6 4 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM Tanári útmutató II. Törtegyütthatós egyenletek Módszertani megjegyzés: Memóriajáték: Minden csoport kap 0 darab kártyát. Feladatuk először felfelé fordítva összepárosítani az azonos értékűeket. Majd összekeverik a kártyákat, mindegyiket lefordítják és kiraknak belőle egy 65-ös téglalapot. Az első tanuló felfordít két kártyát, ha azonos kifejezések szerepelnek rajta, akkor az övé mind a két kártya, és még egyszer ő fordít, ha nem, akkor visszafordítja a kártyákat és jön a következő. Addig próbálkoznak, amíg az összes kártya el nem fogy. Az nyer, akihez a legtöbb kártya került. Ez a játék azon túl, hogy gyakoroltatja a szöveges feladatokban sokszor előforduló kifejezéseket fejszámolási és emlékezeterősítő gyakorlat is. 7. kártyakészlet alkalmazása 5 háromszorosánál - mal kevesebb 6 harmada és legkisebb közös többszöröse 0 negyedénél -gyel több 4 duplájának a negyede 4 hatoda 6 és 05 legnagyobb közös osztója nyolcadánál eggyel kevesebb Feleannyi, mint 48 Háromszor annyi, mint 8 Kétszerannyi, mint 5 Hatszor annyi, mint 5 6 duplája és még a nek a -a 7-nek a 5%-a 5%-a 4-nek a 5 -e és 5 legkisebb közös többszöröse 60 negyede duplája és még a 5%-a 8-nak a 5 -e Egy híján 0 4 felénél kettővel kevesebb 4 másfélszerese 8-nak a 4 -e és 7 legkisebb közös többszöröse 8-nak a 75%-a 4-nek a másfélszerese 84-nek a 4 -e 55 és 88 legnagyobb 56 nyolcadánál négy- Két és félszer annyi, 40 duplájának a ne- közös osztója gyel több mint 8 gyede

7 7. modul: EGYENLETEK 5 Mintapélda Zoli, Krisztián, Laci és István szeretnék megvenni a kedvenc Play Station játékukat. Zoli beleadott 50 Ft-ot, Krisztián feleannyit, Laci harmadannyit, István negyedannyit fizetett, mint a többiek összesen. Mennyibe került a játék? Jelöljük -szel a játék árát. Krisztián feleannyit fizetett, mint a többiek összesen, vagyis kifizette a harmadát. Laci harmadannyit fizetett, mint a többiek összesen, vagyis kifizette a negyedét. István negyed annyit fizetett, mint a többiek összesen, vagyis kifizette az ötödét A játék 5000 Ft-ba került. Ellenőrzés: a szöveg alapján. Mintapélda 4 Oldjuk meg a valós számok halmazán a következő egyenletet: Alaphalmaz: R. ( ) 5 ( 7) 5 ( 4 4) ,5 Ellenőrzés: Bal oldal értéke: ; jobb oldal értéke: Az eleme az egyenlet alaphalmazának, és az ellenőrzésnél a két oldal helyettesítési értéke egyenlő, ezért az Megoldáshalmaz: M. valóban megoldás.

8 6 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM Tanári útmutató Feladatok 7. Egy osztály tanulóinak 6 -a jár gyalog az iskolába, -a jár valamilyen tömegközlekedési eszközzel, a többi 5 diákot kocsival hozzák. Hány tanulója van az osztálynak? Hányan jönnek gyalog, és hányan valamilyen járművel? (egyenlettel) Jelöljük az osztály létszámát -szel Az osztály létszáma 0. Ebből valamilyen járművel. (következtetéssel) 0 5 en járnak gyalog, en járnak 6 Az osztály 6 -a jár gyalog és -a jár valamilyen tömegközlekedési eszközzel, ez az osztály 6 5 -a. A többi 6, azaz 5 gyerek kocsival érkezik. Tehát az osztálylétszám ennek 6 szorosa, azaz 0 fő. Közülük 5-en járnak gyalog, a többiek 5-en valamilyen járművel Oldd meg a egyenletet a pozitív számok halmazán! 4 Amikor az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk a közös nevezővel, gyakran a tanulók a törtvonal eltűnésével elfelejtik kitenni a zárójelet. Hívjuk fel a figyelmet, hogy a törtvonal egyben zárójelet is jelent, és előbb írjuk fel a zárójeles, majd utána a felbontott alakot ( ) 0 Törtszámokkal nem nagyon szeretnek ellenőrizni a gyerekek, ez a törtekkel való nem magabiztos műveletvégzésre utal. Ezért ne sikkadjunk el az ellenőrzés megbeszélése felett, vegyük úgy, mint egy jó gyakorlást a törtekkel való számolásra. Ellenőrzés: Bal oldal értéke: 7 ; jobb oldal értéke: 7. 7 Megoldáshalmaz: M.

9 7. modul: EGYENLETEK 7 9. Lóri szülei elutaztak, ezért édesanyja főzött egy nagy fazék töltött káposztát. Hétfőn a barátjával megette a töltelékek felét és még 6 darabot. Kedden a maradék káposzta harmadát és még darabot, szerdán megette a maradék 7 tölteléket, így végre elfogyott a töltött káposzta Hány töltelék volt a fazékban hétfő reggel?. megoldás: (egyenlettel) Eredetileg töltelék volt a fazékban Ellenőrzés: Hétfőn 6 7 darabot ettek meg, maradt 5, kedden 5 8 darabot, maradt 7, szerdán 7-et evett meg, így tényleg elfogyott a káposzta. Hétfőn reggel 4 töltelék volt a fazékban.. megoldás: (következtetéssel). Visszafele számolva egyenlet nélkül adódik a megoldás: ( 7 ) Oldd meg az egyenletet a racionális számok halmazán: ( ) ( ) ,5 Ellenőrzés: Bal oldal értéke:, 5; jobb oldal értéke:, 5. Megoldáshalmaz: 7 M. Egy törtegyütthatós egyenlet megoldásakor a kényes lépések: az alaphalmaz meghatározása, közös nevezőre hozás, beszorzásnál minden tagot meg kell szorozni, törtvonal, mint zárójel, zárójel felbontás, a megoldáshalmaz meghatározása, ellenőrzés stb.

10 8 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM Tanári útmutató. Elutazás előtt zoknikat csomagolok. A fiókból kivettem három pár zoknit, majd a maradék egyharmadát. Később kivettem a fiókból még egyet, ekkor a zoknik fele maradt a fiókban. Hány pár zoknim van? Mennyit vittem magammal az utazásra? Jelöljük a zoknik számát -szel. 8 8 pár zoknim van, ennek a felét azaz 9-et vittem magammal az utazásra. Ellenőrzés a szöveg alapján.. Fejtsd meg Diophantosz, görög matematikus sírfeliratát! Vén Diophantoszt rejti e kő. Bár ő maga szunnyad, megtanította a sírt, mondja el élte sorát. Évei egy hatodát tölté ki a gyönge gyerekkor, még feleannyi lefolyt, s álla szakálla kinőtt. Egy heted eltelt még, és nászágy várta a férfit, elmúlt újra öt év, és fia megszületett. Ez feleannyi napig láthatta a fényt idefenn, mint atyja, mivel neki így szabta az isteni sors. Őt gyászolva a sír felé hajlott agg Diophantosz, négy évvel később ő is elérte a célt. Mondd, hány esztendőt élt hát meg gyászban, örömben, S itta az édes fényt, míg hona lett ez a sír? Jelöljük -szel Diophantosz életkorát Dipohantosz 84 évig élt. Ellenőrzés: Gyermekkor: 4 év ; ifjúkor: 7 év ; esküvőig: év 6 7 ; fia született: 5 év múlva; fia élt: 4 év ; fia halála után: 4 év. Összesen: Házi feladat javaslat:. és. feladat

11 7. modul: EGYENLETEK 9 III. Algebrai törtes egyenletek A következő feladatok az eddig ismert egyenletektől abban különböznek, hogy ismeretlen szerepel a nevezőben. Ilyenkor arra kell figyelni, hogy a nevező helyettesítési értéke nem lehet nulla. Mintapélda 5 Oldjuk meg a következő egyenletet az egész számok halmazán: Minthogy a nevező nem lehet nulla, így az értelmezési tartomány a 4-től különböző egész számok halmaza. Röviden: Z \{ 4 }. Szorozzunk a közös nevezővel, ( 4) gyel! ( 8 5) ( 4) ( 6 5) ,5 Ellenőrzés: 8,5 5 6,5 5 Bal oldal értéke: 8; jobb oldal értéke: 8.,5 4,5 4 Megoldáshalmaz: {,5} M. Mintapélda Oldjuk meg a következő egyenletet az egész számok halmazán: Minthogy a nevező nem lehet nulla, így az értelmezési tartomány a -tól különböző egész számok halmaza. Röviden: Z \{ }. Észrevétel: ( ) -nak a ( ) -szerese a ( ). 4 6 Szorozzunk a közös nevezővel, ( ) -mal!

12 0 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM Tanári útmutató ( ) ( ) Ellenőrzés: Bal oldal értéke: ( ) ( ) Jobb oldal értéke: ( ) ( ) Megoldáshalmaz: { } 4 M. Mintapélda 7 Oldjuk meg a következő egyenletet a racionális számok halmazán: Minthogy a nevező nem lehet nulla, így az értelmezési tartomány a -tól és -tól különböző racionális számok halmaza. Röviden: Q \{ } ;. ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) Szorozzunk a közös nevezővel, ( )( ) 9 -cel! ( )( ) ( )( ) Azonosság. Az értelmezési tartomány minden eleme megoldás. Megoldáshalmaz: { }, : M Q. Feladatok. Oldd meg a következő egyenletet a valós számok halmazán: 7 Az értelmezési tartomány: R \{ } Megoldáshalmaz: M.

13 7. modul: EGYENLETEK 4. Oldd meg a következő egyenletet az egész számok halmazán: Az értelmezési tartomány: Z \{ 4 }. 5 Megoldáshalmaz: { 5} M Oldd meg a következő egyenletet a valós számok halmazán: Az értelmezési tartomány: R \{ }. 5 9 ( ) 5 Megoldáshalmaz: { } M. Mintapélda 8 Oldjuk meg a következő egyenletet az egész számok halmazán! Minthogy a nevező nem lehet nulla, így az értelmezési tartomány a 4-től különböző egész számok halmaza. Röviden: Z \{ 4 }. Szorozzunk a közös nevezővel, ( 4) -gyel! ( 8 5) ( 4) ( 6 5) ,5 Ellenőrzés: 8,5 5 6,5 5 Bal oldal értéke: 8; jobb oldal értéke: 8.,5 4,5 4 Megoldáshalmaz: {,5} M.

14 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM Tanári útmutató Mintapélda 9 Oldjuk meg a következő egyenletet az egész számok halmazán! 4 6 Minthogy a nevező nem lehet nulla, így az értelmezési tartomány a -tól különböző egész számok halmaza. Röviden: Z \{ }. Észrevétel: ( ) -nak a ( ) -szerese a ( ). 4 6 Szorozzunk a közös nevezővel, ( ) ( ) ( 6) Ellenőrzés: Bal oldal értéke: -mal! ( 4) ( 4) Jobb oldal értéke: ( 4 ) 6 4 ( 4) Megoldáshalmaz: M { 4}. 6. Mintapélda 0 Oldjuk meg a következő egyenletet a racionális számok halmazán! Minthogy a nevező nem lehet nulla, így az értelmezési tartomány a -tól és -tól különböző racionális számok halmaza. Röviden: Q \{ ; }. ( )( ) ( )( ) 7 9 ( )( ) ( )( ) 9 Szorozzunk a közös nevezővel, ( )( ) 9 -cel!

15 7. modul: EGYENLETEK ( )( ) ( )( ) Azonosság. Az értelmezési tartomány minden eleme megoldás. Megoldáshalmaz: M Q \{ ; }. Feladatok 6. Oldd meg a következő egyenletet az egész számok halmazán: 8 4 Az értelmezési tartomány Z \{ 4 }. ( ) ( 4) A 4 nem eleme az egyenlet értelmezési tartományának, így az egyenletnek nincs megoldása. Megoldáshalmaz: M. Módszertani megjegyzés: Minden csoport kitalál egy algebrai törtes egyenletet és megad hozzá egy alaphalmazt, majd átadja egy másik csoportnak. Megoldják a kapott feladatokat, utána visszaküldik a feladónak, aki kijavítja és értékeli a megoldást. Felügyeljük a feladat írását, hogy ne adjanak egymásnak túl nehéz feladatokat, csak olyanokat, amelyeket ők is meg tudnak oldani. Megnézzük az elkészült megoldásokat, hogy van-e benne hiba, de ne szóljunk érte, hanem figyeljük meg, hogy a javító csoport megtalálja-e a hibát Oldd meg a következő egyenletet a negatív számok halmazán: 6 Az értelmezési tartomány: R \. 6 7 ( ) ( ) Megoldáshalmaz: Házi feladat javaslat: 7. feladat 5 M. ( )

16 4 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM Tanári útmutató Módszertani megjegyzés: Mindenkinek adunk egy kártyát az alábbiakból. Ez lehet véletlenszerű: például a tanulók maguk húznak egy-egy kártyát a tanári asztalról vagy tudatos: figyelünk arra, hogy kinek melyik kártyát adjuk. Az azonos kifejezést jelentő kártyák tulajdonosai alkotnak egy csoportot. Ezen az órán ők dolgoznak együtt. 7. kártyakészlet alkalmazása ( ) ( )( ) 4 4 ( ) ( )( ) 4 4 ( ) ( )( ) 6 9 ( )( ) 9 ( )( ) 4 ( ) ( )( ) 6 9 ( 4) ( 4)( 4) 8 6

17 7. modul: EGYENLETEK 5 ( ) 4 ( )( ) Közösen oldjuk meg a feladatokat, a csoportok ötleteket adhatnak, hogy hogyan indulnának el. 8. Oldd meg a következő egyenletet az egész számok halmazán: 4 4 Az értelmezési tartomány: Z \{ } 4. ( ) ( )( ) Megoldáshalmaz: { } M. 9. Oldd meg a következő egyenletet a racionális számok halmazán: Az értelmezési tartomány: Q \{ } ;. ( )( ) ( )( ) Megoldáshalmaz: { } 0 M. Az előző feladatok alapján a csoportosan, vagy egyénileg megoldják az alábbi feladatokat.

18 6 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM Tanári útmutató 0. Oldd meg a következő egyenletet a természetes számok halmazán: Az értelmezési tartomány: N \{ }. ( ) 5 ( )( 5 6) Megoldáshalmaz: M Oldd meg a következő egyenletet a racionális számok halmazán: Az értelmezési tartomány: Q \{ 4; 4}. ( 6)( 4) ( 4 ) ( 5)( 4) Azonosság. Az értelmezési tartománynak minden eleme megoldás. Megoldáshalmaz: { : 4, 4} M Q.. Oldd meg a következő egyenletet a racionális számok halmazán: 4 Az értelmezési tartomány: Q \{ 4; 4}. ( )( 4) ( )( 4) Azonosság. Az értelmezési tartomány minden eleme megoldás. Megoldáshalmaz: { : 4, 4} M Q.

19 7. modul: EGYENLETEK 7. Oldd meg a következő egyenletet a racionális számok halmazán: Az értelmezési tartomány: Q \{ ; }. 4 ( )( ) ( )( ) Megoldáshalmaz: { 7} ( ) ( )( ) M Oldd meg a következő egyenletet a valós számok halmazán: 8 5 Az értelmezési tartomány: R \ { 5}. ( 5) ( 5) Megoldáshalmaz: { 9} M. Házi feladat javaslat:. feladat

20 8 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM Tanári útmutató IV. Egyenlőtlenségek Mintapélda Oldjuk meg a következő egyenlőtlenséget! A megoldáshalmazt ábrázoljuk számegyenesen! 7 < 0 Minthogy a nevező nem lehet nulla, így az értelmezési tartomány a 0-tól különböző valós számok halmaza. Röviden: R \{ 0 }. Egy tört akkor és csak akkor negatív, ha a számlálója és a nevezője különböző előjelű. I. eset Ha a számláló pozitív és a nevező negatív. VAGY II. eset Ha a számláló negatív és a nevező pozitív. 7 > 0 > 7 ÉS < 0 7 < 0 < 7 ÉS > > < A kettő együtt sohasem teljesül, A kettő együtt akkor teljesül, ha ebből az esetből nem kapunk megoldást. 7 7 > 0 és <, azaz 0 < <. A feladat megoldása során ekvivalens lépéseket végeztünk, így a két esetet összevetve 7 azt kapjuk, hogy a megoldáshalmaz: M 0 < < más módon jelölve 7 M 0;.

21 7. modul: EGYENLETEK 9 Mintapélda Oldjuk meg a következő egyenlőtlenséget a valós számok halmazán: > 0! A megoldáshalmazt ábrázoljuk számegyenesen! 6 Beszéljük meg mind a háromféle megoldási módot, (előfordulhat, hogy a csoportok is különbözőképpen gondolkodnak), majd mindenki maga döntse le, hogy neki melyik módszer a legszimpatikusabb.. megoldás: Készítsük el a következő ábrát, a megoldás rögtön leolvasható:. megoldás: Minthogy a nevező nem lehet nulla, így az értelmezési tartomány a valós számok halmaza. Röviden: R \. Szorozzuk meg az egyenlőtlenséget ( 6 ) -mal! -től különböző Hívjuk fel a figyelmet arra, hogy ha egy egyenlőtlenséget, ismeretlent tartalmazó kifejezéssel szorzunk, akkor figyelnünk kell arra, hogy ez a kifejezés pozitív vagy negatív. E szerint két esetet kell megvizsgálnunk. I. eset VAGY II. eset Ha 6 > 0, azaz > Ha pozitív számmal szorzunk, az egyenlőtlenség iránya változatlan marad. > 0 / > > / : Ez valóban a vizsgált tartományba esik, mert > >. Ha 6 < 0, azaz < Ha negatív számmal szorzunk, az egyenlőtlenség iránya megváltozik, megfordul a relációs jel. < 0 / < < / : Ennek csak egy része esik a vizsgált tartományba, ezért csak ezek a jó megoldások: < <.

22 0 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM Tanári útmutató A feladat megoldása során ekvivalens lépéseket végeztünk, így a két esetet összevetve. megoldás: azt kapjuk, hogy a megoldáshalmaz: M < vagy >. Értelmezési tartomány: R \. Egy tört akkor és csak akkor pozitív, ha a számlálója és a nevezője azonos előjelű. I. eset Ha a számláló és a nevező is pozitív VAGY II. eset Ha a számláló és a nevező is negatív 6 > 0 ÉS > 0 6 < 0 ÉS < 0 6 > > 6 < < > > > < A kettő együtt akkor teljesül, ha A kettő együtt akkor teljesül, ha >. <. A feladat megoldása során ekvivalens lépéseket végeztünk, így a két esetet összevetve azt kapjuk, hogy a megoldáshalmaz: M < vagy >. Feladatok 5. Isi és Marcsi az esküvőjüket szervezik. Két zenekartól kaptak ajánlatot. Az egyik zenekar 5000 Ft-ot kér előre és utána óránként 500 Ft-ot, a másik 0000 Ft előleget kér, és óránként 000 Ft-ot. Mit tanácsolnál Isinek és Marcsinak, melyik zenekart válassza, ha mindkét zenekar ugyanolyan jól játszik. Válaszodat indokold, készíts ábrát!

23 7. modul: EGYENLETEK I. zenekar II. zenekar Előleg Óradíj óra ára Összesen < < 5000 < 0 Ha 0 óránál kevesebbet játszik a zenekar, akkor az első zenekart, ha több mint 0 órát játszanak, akkor a második zenekart érdemes választani, ha pontosan 0 órát, akkor mindegy, hogy melyiket választják. 6. Oldd meg a következő egyenlőtlenséget a valós számok halmazán! A megoldáshalmazt ábrázold számegyenesen! Végtelen sok megoldást ellenőrizni nem tudunk, de a feladat megoldása során ekvivalens lépéseket végeztünk, így a megoldáshalmaz: { 9} M. 7. Oldd meg a következő egyenlőtlenséget a valós számok halmazán! A megoldáshalmazt ábrázold számegyenesen! ( 7) ( ) 6 ( 4) 5 59

24 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM Tanári útmutató A feladat megoldása során ekvivalens lépéseket végeztünk, így a megoldáshalmaz: M 8. Oldd meg a következő egyenlőtlenséget! A megoldáshalmazt ábrázold számegyenesen! > 0 4 Egy tört akkor és csak akkor pozitív, ha a számlálója és a nevezője azonos előjelű. I. eset Ha a számláló és a nevező is pozitív VAGY II. eset Ha a számláló és a nevező is negatív > 0 > ÉS 4 > 0 > < 0 < ÉS 4 < 0 A kettő együtt akkor teljesül, ha A kettő együtt akkor teljesül, ha >. <. A feladat megoldása során ekvivalens lépéseket végeztünk, így a két esetet összevetve azt kapjuk, hogy a megoldáshalmaz: M < vagy >. <

25 7. modul: EGYENLETEK 9. Oldd meg a következő egyenlőtlenséget! A megoldáshalmazt ábrázold számegyenesen! Egy tört akkor és csak akkor nem negatív, ha a számlálója és a nevezője azonos előjelű, illetve a számláló lehet 0 is. I. eset Ha a számláló nem negatív és a nevező pozitív. VAGY II. eset Ha a számláló nem pozitív és a nevező negatív ÉS 4 > 0 4 > ÉS 4 < 0 4 < A kettő együtt akkor teljesül, ha A kettő együtt sohasem teljesül, ebből az esetből nem kapunk megol- 7 < 4. 5 dást. A feladat megoldása során ekvivalens lépéseket végeztünk, így a két esetet összevetve 7 7 azt kapjuk, hogy a megoldáshalmaz: M < 4 vagy M 5 ; 4 5.

26 4 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM Tanári útmutató 0. Oldd meg a következő egyenlőtlenséget! A megoldáshalmazt ábrázold számegyenesen! 7 5 ( ) 7 ( ) ( 5 ) A feladat megoldása során ekvivalens lépéseket végeztünk, így a megoldáshalmaz: M. Az egyenlőtlenségek megoldásakor a következő műveleteket végezhetjük: Az egyenlőtlenség mindkét oldalához hozzáadhatjuk, illetve mindkét oldalából kivonhatjuk ugyanazt a számot. Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozhatjuk, illetve oszthatjuk ugyanazzal a pozitív számmal. Ismeretlent tartalmazó kifejezéseket is hozzáadhatunk, illetve kivonhatunk az egyenlőtlenség mindkét oldalából. Ha negatív számmal szorozzuk vagy osztjuk az egyenlőtlenséget, akkor megváltozik az egyenlőtlenség iránya. Ha ismeretlent tartalmazó kifejezéssel szorzunk vagy osztunk, akkor figyelnünk kell arra, hogy az lehet pozitív, negatív, illetve nulla is (esetszétválasztást végzünk). Házi feladat javaslat: 0. feladat

27 7. modul: EGYENLETEK 5 V. Abszolútértékes egyenletek Mintapélda Oldjuk meg a valós számok halmazán az 4 egyenletet!. megoldás (grafikus):. megoldás (algebrai): I. eset Feltétel: 0 Ha az abszolútérték jelen belül álló kifejezés nemnegatív, akkor a szám abszolútértéke önmaga, azaz elhagyhatjuk az abszolútérték jelet: Ellentmondás. Ebben a tartományban nem kaptunk megoldást. VAGY Feltétel: < 0 II. eset Ha az abszolútérték jelen belül álló kifejezés negatív, akkor a szám abszolútértéke a szám ellentettje: 4 4 Ez a feltételben meghatározott tartományba esik, mert < 0. Ellenőrzés: Bal oldal értéke: ; jobb oldal értéke: 4 ( ) A két esetet összevetve azt kapjuk, hogy a megoldáshalmaz: M { }..

28 6 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM Tanári útmutató Mintapélda 4 Oldjuk meg a egyenletet! I. eset VAGY Feltétel: Ha az abszolútérték jelen belül álló kifejezés nem negatív, akkor a szám abszolútértéke önmaga, azaz elhagyhatjuk az abszolútérték jelet: Ez a feltételben meghatározott tartományba esik, így az eredeti egyenletnek is gyöke. II. eset Feltétel: < Ha az abszolútérték jelen belül álló kifejezés negatív, akkor a szám abszolútértéke a szám ellentettje: 4 ( ) Ez az érték nem felel meg az < feltételnek, így az eredeti egyenletnek sem lesz gyöke. Ellenőrzés: Bal oldal értéke: ; jobb oldal értéke:. A két esetet összevetve azt kapjuk, hogy a megoldáshalmaz: { } M. Legyen a tetszőleges algebrai kifejezés. a abszolútértéke: a, ha a 0 a. a, ha a < 0 Feladatok. Jelöld számegyenesen azokat a számokat, a) amelyeknek 0-tól való távolsága kisebb 4-nél; b) amelyeknek -tól való távolsága nagyobb -nél; c) amelyeknek abszolútértéke nagyobb -nál; d) amelyeknek abszolútértéke kisebb 5-nél.

29 7. modul: EGYENLETEK 7 a) b) c) d). Melyik az a szám, amelynek az abszolútértéke?. Oldd meg az 5 egyenletet! Feltétel: 0 I. eset VAGY Feltétel: < 0 II. eset Ez az érték nem felel meg az 0 Ez a feltételben meghatározott tartományba esik, így az eredeti egyen- feltételnek, így az eredeti egyenletnek sem lesz gyöke. letnek is gyöke. 5 A két esetet összevetve azt kapjuk, hogy a megoldáshalmaz: M

30 8 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM Tanári útmutató 4. Oldd meg a racionális számok halmazán a 4 egyenletet! I. eset Feltétel: 0, azaz ha 4 7 7,5 Ez a szám, a feltételben meghatározott tartományba esik, mert 7. VAGY A két esetet összevetve azt kapjuk, hogy a megoldáshalmaz: II. eset Feltétel: < 0, azaz ha ( ) 4 4 < 0,5 Ez a szám, a feltételben meghatározott tartományba esik, mert <. 7 M,. 5. Oldd meg a 7 egyenletet! I. eset Feltétel: 0, azaz ha Ez a feltételben meghatározott tartományba esik, mert. VAGY II. eset Feltétel: < 0, azaz ha ( ) < Ez a feltételben megadott tartományon kívül esik, ezért ebben a tartományban nem kaptunk megoldást. A két esetet összevetve azt kapjuk, hogy a megoldáshalmaz: { } M.

31 7. modul: EGYENLETEK 9 6. Oldd meg az egész számok halmazán az 4 9 egyenletet! I. eset Feltétel: < 4 ( 4) ( ) Ez a feltételben meghatározott tartományba esik, mert 6 < 4. VAGY II. eset Feltétel: 4 < ( ) Ellentmondás. Ebben a tartományban nem kaptunk megoldást. VAGY Feltétel: III. eset Ez a feltételben meghatározott tartományba esik, mert. A három esetet összevetve azt kapjuk, hogy a megoldáshalmaz { 6, } M. Mindenkinek adjunk egy kártyát, amelyen abszolútérték-jelet tartalmazó algebrai kifejezések állnak. Írjuk a táblára a következő három kifejezést:,,, valamint 6 nyissunk egy egyik sem rovatot is. Minden tanuló feladata az, hogy elhelyezze a saját kártyáját az alá a kifejezés alá, amelyikkel egyenlő, vagy ha nem talál ilyet, akkor az egyik sem rovat alá. Közösen beszéljük meg, hogy minden kártya jó helyre került-e.

32 40 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM Tanári útmutató 7. 4 kártyakészlet alkalmazása

33 7. modul: EGYENLETEK 4 7. Oldd meg az 5 7 egyenletet! I. eset VAGY II. eset 7 7 Feltétel: Feltétel: < ( 5 7) Ez a feltételben meghatározott tartományba esik, így az eredeti egyen- 9 5 letnek is gyöke. Ez a feltételben meghatározott tartományba esik, így az eredeti egyenletnek is gyöke. 9 A két esetet összevetve azt kapjuk, hogy a megoldáshalmaz: M ; Oldd meg az 5 egyenletet! I. eset VAGY II. eset Feltétel: Feltétel: < ( 5 ) Ez a feltételben meghatározott tartományba 7 esik, így az eredeti egyen- letnek is gyöke. Ez a feltételben meghatározott tartományba esik, így az eredeti egyenletnek is gyöke. 4 A két esetet összevetve azt kapjuk, hogy a megoldáshalmaz: M ;. 7 Házi feladat javaslat: 7. és 8. feladat

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása 11 modul: EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK MEGOLDÁSA 6 I Egyenlet fogalma, algebrai megoldása Módszertani megjegyzés: Az egyenletek alaphalmazát, értelmezési tartományát később vezetjük be, a törtes egyenletekkel

Részletesebben

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II.

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II. 8 Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II Elméleti összefoglaló Az a + b+ c, a egyenletet másodfokú egyenletnek nevezzük A D b ac kifejezést az egyenlet diszkriminánsának nevezzük Ha D >, az

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII.

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Magasabbfokú egyenletek: A 3, vagy annál nagyobb fokú egyenleteket magasabb fokú egyenleteknek nevezzük. Megjegyzés: Egy n - ed fokú egyenletnek legfeljebb n darab valós

Részletesebben

7. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek I.

7. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek I. 7. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek I. I. Elméleti összefoglaló Egyenlet Az egyenlet két oldalát függvénynek tekintjük: f(x) = g(x). Az f és g függvények értelmezési tartományának közös

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Eponenciális és Logaritmikus kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szoálhatnak fontos információval

Részletesebben

Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek

Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek 9 Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek Irracionális egyenletek /I a) Az egyenlet bal oldala a nemnegatív számok halmazán, a jobb oldal minden valós szám esetén

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek X.

Egyenletek, egyenlőtlenségek X. Egyenletek, egyenlőtlenségek X. DEFINÍCIÓ: (Logaritmus) Ha egy pozitív valós számot adott, 1 - től különböző pozitív alapú hatvány alakban írunk fel, akkor ennek a hatványnak a kitevőjét logaritmusnak

Részletesebben

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie.

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

Szöveges feladatok és Egyenletek

Szöveges feladatok és Egyenletek Szöveges feladatok és Egyenletek Sok feladatot meg tudunk oldani következtetéssel, rajz segítségével és egyenlettel is. Vajon mikor érdemes egyenletet felírni? Van-e olyan eset, amikor nem tanácsos, vagy

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

Jelenlegi életkor Életkor 11 év múlva Anya x x + 11 Gyermek x 29 x 29 + 11 = x 18

Jelenlegi életkor Életkor 11 év múlva Anya x x + 11 Gyermek x 29 x 29 + 11 = x 18 Szöveges feladatok Életkori feladatok. Feladat. Egy anya 29 éves volt, amikor a a született. év múlva az életkora évvel lesz kevesebb, mint a a akkori életkorának kétszerese. Hány évesek most? Megoldás.

Részletesebben

Halmazok. A és B különbsége: A \ B. A és B metszete: A. A és B uniója: A

Halmazok. A és B különbsége: A \ B. A és B metszete: A. A és B uniója: A Halmazok Érdekes feladat lehet, amikor bizonyos mennyiségű adatok között keressük az adott tulajdonsággal rendelkezők számát. A következőekben azt szeretném megmutatni, hogy a halmazábrák segítségével,

Részletesebben

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak!

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak! Magyar Ifjúság 6 V SOROZATOK a) Három szám összege 76 E három számot tekinthetjük egy mértani sorozat három egymás után következő elemének vagy pedig egy számtani sorozat első, negyedik és hatodik elemének

Részletesebben

VII. Apáczai Matematika Kupa 7. osztály 2011. Pontozási útmutató

VII. Apáczai Matematika Kupa 7. osztály 2011. Pontozási útmutató 1. feladat: VII. Apáczai Matematika Kupa 7. osztály 011. Pontozási útmutató Egy szöcske ugrál a számegyenesen. Ugrásainak hossza egység. A számegyenesen a 10-et jelölő pontból a 1-et jelölő pontba ugrással

Részletesebben

Másodfokú egyenletek. 2. Ábrázoljuk és jellemezzük a következő,a valós számok halmazán értelmezett függvényeket!

Másodfokú egyenletek. 2. Ábrázoljuk és jellemezzük a következő,a valós számok halmazán értelmezett függvényeket! Másodfokú egyenletek 1. Alakítsuk teljes négyzetté a következő kifejezéseket! a.) - 4 + 4 b.) - 6 + 8 c.) + 8 - d.) - 4 + 9 e.) - + 8 - f.) - - 4 + 3 g.) + 8-5 h.) - 4 + 3 i.) -3 + 6 + 1. Ábrázoljuk és

Részletesebben

A III. forduló megoldásai

A III. forduló megoldásai A III. forduló megoldásai 1. Egy dobozban pénzérmék és golyók vannak, amelyek vagy ezüstből, vagy aranyból készültek. A dobozban lévő tárgyak 20%-a golyó, a pénzérmék 40%-a ezüst. A dobozban levő tárgyak

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok II.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok II. Sorozatok II. DEFINÍCIÓ: (Mértani sorozat) Az (a n ) valós számsorozatot mértani sorozatnak nevezzük, ha van olyan valós szám, amellyel a sorozat bármely tagját megszorozva a következő tagot kapjuk. Jelöléssel:

Részletesebben

Diophantosz, I.sz. 250 körül. Az alexandriai Diophantosz Aritmetikája. Legismertebb műve

Diophantosz, I.sz. 250 körül. Az alexandriai Diophantosz Aritmetikája. Legismertebb műve Diophantosz, I.sz. 250 körül Az alexandriai Diophantosz Aritmetikája Klukovits Lajos TTIK Bolyai Intézet 2014. március 11. Életéről egy rejtvény(sír)vers Vén Diophantoszt rejti e kő. Bár ő maga szunnyad,

Részletesebben

Elsôfokú egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek

Elsôfokú egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek Elsôfokú egyváltozós egyenletek 6 Elsôfokú egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek. Elsôfokú egyváltozós egyenletek 000. Érdemes egyes tagokat, illetve tényezôket alkalmasan csoportosítani, valamint

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

EGYENLETEK. Mérleg-elv. = + x 1. = x + 12 2. 2 x + = 1 3x 10. = 1. 17. 13 3x. 5 x 11. ( ) Abszolutértékes egyenletek, egyenlőtlenségek. 28.

EGYENLETEK. Mérleg-elv. = + x 1. = x + 12 2. 2 x + = 1 3x 10. = 1. 17. 13 3x. 5 x 11. ( ) Abszolutértékes egyenletek, egyenlőtlenségek. 28. EGYENLETEK Mérleg-elv..... 6. + = 7 = + = 7+ 7+ 6 + = + = = ( ) 7. = + + 6 8 6 8. = 7 7 9.. 7 = + ( ) + + =. + Abszolutértékes egyenletek, egyenlőtlenségek. = 7. =. =. 8 = 6. 7 9 = 7. = 8. 8 = 9. =. 6.

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I. Számelmélet I. DEFINÍCIÓ: (Osztó, többszörös) Ha egy a szám felírható egy b szám és egy másik egész szám szorzataként, akkor a b számot az a osztójának, az a számot a b többszörösének nevezzük. Megjegyzés:

Részletesebben

Matematika 10 Másodfokú egyenletek. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < 2015. szeptember 27.

Matematika 10 Másodfokú egyenletek. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < 2015. szeptember 27. Matematika 10 Másodfokú egyenletek Juhász László matematika és fizika szakos középiskolai tanár > o < 2015. szeptember 27. copyright: c Juhász László Ennek a könyvnek a használatát szerzői jog védi. A

Részletesebben

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2006-2007. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2006-2007. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 006-007. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára 1. Melyek azok a pozitív egészek, amelyeknek pontosan négy pozitív

Részletesebben

Diszkrét matematika II., 5. előadás. Lineáris egyenletrendszerek

Diszkrét matematika II., 5. előadás. Lineáris egyenletrendszerek 1 Diszkrét matematika II, 5 előadás Lineáris egyenletrendszerek Dr Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@infnymehu http://infnymehu/ takach/ 2007 március 8 Egyenletrendszerek Középiskolás módszerek:

Részletesebben

I. Egységtörtek. Ha az egységet nyolc egyenlő részre vágjuk, akkor ebből egy rész 1-nyolcadot ér.

I. Egységtörtek. Ha az egységet nyolc egyenlő részre vágjuk, akkor ebből egy rész 1-nyolcadot ér. Tudnivaló I. Egységtörtek Ha az egységet nyolc egyenlő részre vágjuk, akkor ebből egy rész 1-nyolcadot ér. Ezt röviden így írhatjuk: A nevező megmutatja, hogy az egységet hány egyenlő részre vágjuk. A

Részletesebben

Érettségi feladatok: Egyenletek, egyenlőtlenségek 1 / 6. 2005. május 29. 13. a) Melyik (x; y) valós számpár megoldása az alábbi egyenletrendszernek?

Érettségi feladatok: Egyenletek, egyenlőtlenségek 1 / 6. 2005. május 29. 13. a) Melyik (x; y) valós számpár megoldása az alábbi egyenletrendszernek? Érettségi feladatok: Egyenletek, egyenlőtlenségek 1 / 6 Elsőfokú 2005. május 28. 1. Mely x valós számokra igaz, hogy x 7? 13. a) Oldja meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán! x 1 2x 4 2 5 2005.

Részletesebben

Matematika kisérettségi

Matematika kisérettségi Matematika kisérettségi 2010. május 11. I. rész Fontos tudnivalók 1. A feladatok megoldására 30 percet fordíthat, az idő elteltével a munkát be kell fejeznie. 2. A megoldások sorrendje tetszőleges. 3.

Részletesebben

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok I. DEFINÍCIÓ: (Számsorozat) A számsorozat olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, értékkészlete a valós számok egy részhalmaza. Jelölés: (a n ), {a n }.

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

VI. Kétismeretlenes egyenletrendszerek

VI. Kétismeretlenes egyenletrendszerek Mtemtik A 9. évfolm 7. modul: EGYENLETEK Tnári kézikönv VI. Kétismeretlenes egenletrendszerek Behelettesít módszer Mintpéld Két testvér érletpénztárnál jeget vásárol. Az egik vonljegért és eg átszálló

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2008. május 06. KÖZÉPSZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2008. május 06. KÖZÉPSZINT I. 1) Adja meg a Például: 1 ; 8 8 M 1 ; 10 5 MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 008. május 06. KÖZÉPSZINT I. nyílt intervallum két különböző elemét! ( pont) ( pont) ) Egy 7-tagú társaságban mindenki mindenkivel egyszer

Részletesebben

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI 2013 I. rész

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI 2013 I. rész MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI 203 I. rész. Oldja meg a következő egyenletet: x 2 25. Az egyenlet megoldása: 2. Egy vállalat 280 000 Ft-ért vásárol egy számítógépet. A számítógép évente 5%-ot veszít az értékéből.

Részletesebben

Feladatok MATEMATIKÁBÓL a 12. évfolyam számára

Feladatok MATEMATIKÁBÓL a 12. évfolyam számára Feladatok MATEMATIKÁBÓL a. évfolyam számára I.. Egy 35 fős osztályból mindenki részvett valamelyik iskolai kiránduláson. 5-en Debrecenbe utaztak, 8-an pedig Pécsre. Hányan utaztak mindkét városba?. Állapítsa

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 9.A, 9.D. OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT ÖSSZ: 148 ÓRA

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 9.A, 9.D. OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT ÖSSZ: 148 ÓRA MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI ELJÁRÁS MELLÉKLET Tanmenetborító ME-III.1./1 2 Azonosító: Változatszám : Érvényesség kezdete: Oldal/összes: 1/6 Fájlnév: ME- III.1.1.Tanmenetborító SZK-DC-2013 2013. 09. 01. MATEMATIKA

Részletesebben

Feladatok MATEMATIKÁBÓL II.

Feladatok MATEMATIKÁBÓL II. Feladatok MATEMATIKÁBÓL a 12. évfolyam számára II. 1. Alakítsuk át a következő kifejezéseket úgy, hogy teljes négyzetek jelenjenek meg: a) x 2 2x + b) x 2 6x + 10 c) x 2 + x + 1 d) x 2 12x + 11 e) 2x 2

Részletesebben

Paraméteres és összetett egyenlôtlenségek

Paraméteres és összetett egyenlôtlenségek araméteres és összetett egyenlôtlenségek 79 6 a) Minden valós szám b) Nincs ilyen valós szám c) c < vagy c > ; d) d # vagy d $ 6 a) Az elsô egyenlôtlenségbôl: m < - vagy m > A második egyenlôtlenségbôl:

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 1 I. HALmAZOk 1. JELÖLÉSEk A halmaz fogalmát tulajdonságait gyakran használjuk a matematikában. A halmazt nem definiáljuk, ezt alapfogalomnak tekintjük. Ez nem szokatlan, hiszen

Részletesebben

M/D/13. Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát a közös nevezővel, 12-vel; így a következő egyenlethez jutunk: = 24

M/D/13. Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát a közös nevezővel, 12-vel; így a következő egyenlethez jutunk: = 24 OKTATÁSI MINISZTÉRIUM M/D/13 Dolgozók gimnáziuma Dolgozók szakközépiskolája Szakmunkások szakközépiskolája intenzív tagozat) 003. május ) Határozza meg a következő egyenlet racionális gyökét! 1 3 4 + 5

Részletesebben

PRÓBAÉRETTSÉGI 2004.május MATEMATIKA. KÖZÉPSZINT I. 45 perc

PRÓBAÉRETTSÉGI 2004.május MATEMATIKA. KÖZÉPSZINT I. 45 perc PRÓBAÉRETTSÉGI 2004.május MATEMATIKA KÖZÉPSZINT I. 45 perc A feladatok megoldására 45 perc fordítható, az idő leteltével a munkát be kell fejeznie. A feladatok megoldási sorrendje tetszőleges. A feladatok

Részletesebben

PYTAGORIÁDA Az országos forduló feladatai 35. évfolyam, 2013/2014-es tanév. Kategória P 6

PYTAGORIÁDA Az országos forduló feladatai 35. évfolyam, 2013/2014-es tanév. Kategória P 6 Kategória P 6 1. Írjátok le azt a számot, amely a csillag alatt rejtőzik: *. 5 = 9,55 2. Babszem Jankó 25 ször kisebb, mint Kukorica Jancsi. Írjátok le, hogy hány centiméter Babszem Jankó, ha Kukorica

Részletesebben

MATEMATIKA ÍRÁSBELI VIZSGA 2009. május 5.

MATEMATIKA ÍRÁSBELI VIZSGA 2009. május 5. MATEMATIKA ÍRÁSBELI VIZSGA 2009. május 5. I. rész Fontos tudnivalók A megoldások sorrendje tetszőleges. A feladatok megoldásához szöveges adatok tárolására és megjelenítésére nem alkalmas zsebszámológépet

Részletesebben

Próbaérettségi 2004 MATEMATIKA. PRÓBAÉRETTSÉGI 2004. május EMELT SZINT. 240 perc

Próbaérettségi 2004 MATEMATIKA. PRÓBAÉRETTSÉGI 2004. május EMELT SZINT. 240 perc PRÓBAÉRETTSÉGI 2004. május MATEMATIKA EMELT SZINT 240 perc A feladatok megoldására 240 perc fordítható, az idő leteltével a munkát be kell fejeznie. A feladatok megoldási sorrendje tetszőleges. A II. részben

Részletesebben

Minta 2. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI FELADATSOR. I. rész

Minta 2. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI FELADATSOR. I. rész 2. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI FELADATSOR I. rész A feladatok megoldására 45 perc fordítható, az idő leteltével a munkát be kell fejeznie. A feladatok megoldási sorrendje tetszőleges. A feladatok megoldásához

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek VIII.

Egyenletek, egyenlőtlenségek VIII. Egyenletek, egyenlőtlenségek VIII. 1. Melyik az a szám, amelynek a felét és az ötödét összeszorozva, a szám hétszeresét kapjuk? Legyen a keresett szám:. A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet:

Részletesebben

MATEMATIKA VERSENY --------------------

MATEMATIKA VERSENY -------------------- Eötvös Károly Közös Fenntartású Általános Iskola 2013. és Alapfokú Művészetoktatási Intézmény 831 Vonyarcvashegy, Fő u. 8/1. 2. osztály MATEMATIKA VERSENY -------------------- név Olvasd el figyelmesen,

Részletesebben

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 0511 ÉRETTSÉGI VIZSGA 005. május 10. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÉRETTSÉGI VIZSGA Az írásbeli vizsga időtartama: 180 perc JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók

Részletesebben

Komplex számok algebrai alakja

Komplex számok algebrai alakja Komplex számok algebrai alakja Lukács Antal 015. február 8. 1. Alapfeladatok 1. Feladat: Legyen z 1 + 3i és z 5 4i! Határozzuk meg az alábbiakat! (a) z 1 + z (b) 3z z 1 (c) z 1 z (d) Re(i z 1 ) (e) Im(z

Részletesebben

Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely. 2015. március 30. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa

Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely. 2015. március 30. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely 2015. március 30. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa Feladatok csak szakközépiskolásoknak Sz 1. A C csúcs értelemszerűen az AB oldal felező

Részletesebben

Feladatok MATEMATIKÁBÓL

Feladatok MATEMATIKÁBÓL Feladatok MATEMATIKÁBÓL a 1. évfolyam számára III. 1. Számítsuk ki a következő hatványok értékét! a) b) 7 c) 5 d) 5 1 e) 6 1 6 f) ( 81 16 ) g) 0,00001 5. Írjuk fel gyökjelekkel a következő hatványokat!

Részletesebben

A kompetencia alapú matematika oktatás. tanmenete a 9. osztályban. Készítette Maitz Csaba

A kompetencia alapú matematika oktatás. tanmenete a 9. osztályban. Készítette Maitz Csaba A kompetencia alapú matematika oktatás tanmenete a 9. osztályban Készítette Maitz Csaba Szerkesztési feladatok 1. Síkgeometriai alapfogalmak 2. Egyszerűbb rajzok, szerkesztések körző, vonalzó használata

Részletesebben

Szakközépiskola 9. évfolyam. I/1 gyakorló feladatsor

Szakközépiskola 9. évfolyam. I/1 gyakorló feladatsor Szakközépiskola 9. évfolyam I/1 gyakorló feladatsor 1. Adott az A={1,,3,4,5,6} és a B={1,3,5,7,9} halmaz. Adjuk meg elemeinek felsorolásával az AUB és az A\B halmazokat!. Számítsuk ki a 40 és 560 legnagyobb

Részletesebben

az Energetikai Szakközépiskola és Kollégium kisérettségiző diákjai számára ; halmaz összes részhalmazát!

az Energetikai Szakközépiskola és Kollégium kisérettségiző diákjai számára ; halmaz összes részhalmazát! 1. témakör: HALMAZELMÉLET A feladatok megoldásához használjuk a Négyjegyű függvénytáblázatot! Halmazok: 8-9. oldal 1. Sorold fel az a b x y halmaz összes részhalmazát!. AdottU alaphalmaz, és annak két

Részletesebben

szöveges feladatok (2. osztály) 1. Marika vett 8 kacsát, 7 lovat, 9 tyúkot és 3 szamarat a vásárban. Hány állatott vett összesen?

szöveges feladatok (2. osztály) 1. Marika vett 8 kacsát, 7 lovat, 9 tyúkot és 3 szamarat a vásárban. Hány állatott vett összesen? 1. Marika vett 8 kacsát, 7 lovat, 9 tyúkot és 3 szamarat a vásárban. Hány állatott vett összesen? 2. Péter vett 3 dm gatyagumit, de nem volt elég, ezért vissza ment a boltba és vett még 21 cm-t. Hány cm-t

Részletesebben

V. Békés Megyei Középiskolai Matematikaverseny 2012/2013 Megoldások 11. évfolyam

V. Békés Megyei Középiskolai Matematikaverseny 2012/2013 Megoldások 11. évfolyam 01/01 1. Ha egy kétjegyű szám számjegyeit felcseréljük, akkor a kapott kétjegyű szám értéke az eredeti szám értékénél 108 %-kal nagyobb. Melyik ez a kétjegyű szám? Jelölje a kétjegyű számot xy. 08 A feltételnek

Részletesebben

Abszolútértékes egyenlôtlenségek

Abszolútértékes egyenlôtlenségek Abszolútértékes egyenlôtlenségek 575. a) $, $ ; b) < - vagy $, # - vagy > 4. 5 576. a) =, =- 6, 5 =, =-, 7 =, 4 = 5; b) nincs megoldás;! c), = - ; d) =-. Abszolútértékes egyenlôtlenségek 577. a) - # #,

Részletesebben

148 feladat 21 + + 20 20 ) + ( 1 21 + 2 200 > 1 2. 1022 + 1 51 + 1 52 + + 1 99 2 ) (1 1 100 2 ) =?

148 feladat 21 + + 20 20 ) + ( 1 21 + 2 200 > 1 2. 1022 + 1 51 + 1 52 + + 1 99 2 ) (1 1 100 2 ) =? 148 feladat a Kalmár László Matematikaversenyről 1. ( 1 19 + 2 19 + + 18 19 ) + ( 1 20 + 2 20 + + 19 20 ) + ( 1 21 + 2 21 + + 20 21 ) + ( 1 22 + 2 22 + + 21 22 ) =? Kalmár László Matematikaverseny megyei

Részletesebben

PRÓBAÉRETTSÉGI MATEMATIKA. 2003. május-június KÖZÉPSZINT JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ. Vizsgafejlesztő Központ

PRÓBAÉRETTSÉGI MATEMATIKA. 2003. május-június KÖZÉPSZINT JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ. Vizsgafejlesztő Központ PRÓBAÉRETTSÉGI 00. május-június MATEMATIKA KÖZÉPSZINT JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ Vizsgafejlesztő Központ Kedves Kolléga! Kérjük, hogy a dolgozatok javítását a javítási útmutató alapján végezze, a következők figyelembevételével.

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 061 ÉRETTSÉGI VIZSGA 006. május 9. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások: A dolgozatot

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 080 ÉRETTSÉGI VIZSGA 009. május 5. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

Az egyszerűsítés utáni alak:

Az egyszerűsítés utáni alak: 1. gyszerűsítse a következő törtet, ahol b 6. 2 b 36 b 6 Az egyszerűsítés utáni alak: 2. A 2, 4 és 5 számjegyek mindegyikének felhasználásával elkészítjük az összes, különböző számjegyekből álló háromjegyű

Részletesebben

1.1. Halmazok. 2. Minta - 5. feladat (2 pont) Adott két halmaz:

1.1. Halmazok. 2. Minta - 5. feladat (2 pont) Adott két halmaz: 1.1. Halmazok 2009. május id. - 11. feladat (3 pont) A H halmaz elemei legyenek a KATALINKA szó betűi, a G halmaz elemei pedig a BICEBÓCA szó betűi. Írja fel a H U G halmaz elemeit! 2010. október - 1.

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA. 9. Nyelvi előkészítő osztály

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA. 9. Nyelvi előkészítő osztály MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI ELJÁRÁS MELLÉKLET Tanmenetborító Azonosító: ME-III.1./1 Változatszám: 2 Érvényesség 2013. 01. 01. kezdete: Oldal/összes: 1/6 Fájlnév: ME- III.1.1.Tanmenetborító SZK- DC-2013 MATEMATIKA

Részletesebben

2 2 = 2 p. = 2 p. 2. Végezd el a kijelölt műveleteket! 3. Végezd el a kijelölt műveleteket! 4. Alakítsad szorzattá az összeget!

2 2 = 2 p. = 2 p. 2. Végezd el a kijelölt műveleteket! 3. Végezd el a kijelölt műveleteket! 4. Alakítsad szorzattá az összeget! Matematika vizsga 014. 9. osztály Név: Az 1-1. feladatok megoldását a feladatlapra írd! A 1-19. feladatokat a négyzetrácsos lapon oldd meg! 1. Számítsd ki az alábbi kifejezések pontos értékét! 0, = = p

Részletesebben

PRÓBAÉRETTSÉGI 2004.május MATEMATIKA. KÖZÉPSZINT II. 135 perc

PRÓBAÉRETTSÉGI 2004.május MATEMATIKA. KÖZÉPSZINT II. 135 perc PRÓBAÉRETTSÉGI 2004.május MATEMATIKA KÖZÉPSZINT II. 135 perc A feladatok megoldására 135 perc fordítható, az idő leteltével a munkát be kell fejeznie. A feladatok megoldási sorrendje tetszőleges. A II/B

Részletesebben

Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet TÁMOP-3.1.1-11/1-2012-0001 XXI. századi közoktatás (fejlesztés, koordináció) II. szakasz. Fejlesztőfeladatok

Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet TÁMOP-3.1.1-11/1-2012-0001 XXI. századi közoktatás (fejlesztés, koordináció) II. szakasz. Fejlesztőfeladatok Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet TÁMOP-3.1.1-11/1-2012-0001 XXI. századi közoktatás (fejlesztés, koordináció) II. szakasz Fejlesztőfeladatok MATEMATIKA 4. szint 2015 Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet

Részletesebben

Oszthatósági problémák

Oszthatósági problémák Oszthatósági problémák Érdekes kérdés, hogy egy adott számot el lehet-e osztani egy másik számmal (maradék nélkül). Ezek eldöntésére a matematika tanulmányok során néhány speciális esetre látunk is példát,

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2008. október 21. EMELT SZINT

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2008. október 21. EMELT SZINT MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 008. október. EMELT SZINT ) Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenleteket: a) b) lg 8 0 6 I. (5 pont) (5 pont) a) A logaritmus értelmezése alapján: 80 ( vagy ) Egy szorzat

Részletesebben

Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István. tankönyv. Mozaik Kiadó Szeged, 2013

Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István. tankönyv. Mozaik Kiadó Szeged, 2013 Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István tankönyv 0 Mozaik Kiadó Szeged, 03 TARTALOMJEGYZÉK Gondolkodási módszerek. Mi következik ebbõl?... 0. A skatulyaelv... 3. Sorba rendezési

Részletesebben

Érettségi feladatok: Halmazok, logika

Érettségi feladatok: Halmazok, logika Érettségi feladatok: Halmazok, logika 2005. május 10 18. Egy rejtvényújságban egymás mellett két, szinte azonos rajz található, amelyek között 23 apró eltérés van. Ezek megtalálása a feladat. Először Ádám

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 10.B OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT/ ÖSSZ 148 ÓRA

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 10.B OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT/ ÖSSZ 148 ÓRA MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI ELJÁRÁS MELLÉKLET Tanmenetborító Azonosító: ME-III.1./1 Változatszám: 2 Érvényesség 2013. 09. 01. kezdete: Oldal/összes: 1/7 Fájlnév: ME- III.1.1.Tanmenetborító SZK- DC-2013 MATEMATIKA

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 1411 ÉRETTSÉGI VIZSGA 014. október 14. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

TANMENETJAVASLAT. Dr. Korányi Erzsébet MATEMATIKA. tankönyv ötödikeseknek. címû tankönyvéhez

TANMENETJAVASLAT. Dr. Korányi Erzsébet MATEMATIKA. tankönyv ötödikeseknek. címû tankönyvéhez TANMENETJAVASLAT Dr. Korányi Erzsébet MATEMATIKA tankönyv ötödikeseknek címû tankönyvéhez A heti 3 óra, évi 111 óra B heti 4 óra, évi 148 óra Javaslat témazáró dolgozatra: Dr. Korányi Erzsébet: Matematika

Részletesebben

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS Matematika PRÉ megoldókulcs 0. január. MTEMTIK PRÓBÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS = KÖZÉP SZINT = I. rész: z alábbi feladat megoldása kötelező volt! ) Oldd meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán! tg

Részletesebben

Törtek. Rendelhetőek nagyon jó szemléltethető eszközök könyvesboltokban és internetek is, pl:

Törtek. Rendelhetőek nagyon jó szemléltethető eszközök könyvesboltokban és internetek is, pl: Törtek A törteknek kétféle értelmezése van: - Egy egészet valamennyi részre (nevező) osztunk, és abból kiválasztunk valahány darabot (számláló) - Valamennyi egészet (számláló), valahány részre osztunk

Részletesebben

0644. MODUL SZÁMELMÉLET. Közös osztók, közös többszörösök KÉSZÍTETTE: PINTÉR KLÁRA

0644. MODUL SZÁMELMÉLET. Közös osztók, közös többszörösök KÉSZÍTETTE: PINTÉR KLÁRA 0644. MODUL SZÁMELMÉLET Közös osztók, közös többszörösök KÉSZÍTETTE: PINTÉR KLÁRA 0644. Számelmélet Közös osztók, közös többszörösök Tanári útmutató MODULLEÍRÁS A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály

Részletesebben

A 2006-2007. tanévi matematika OKTV I. kategória első (iskolai) fordulójának pontozási útmutatója

A 2006-2007. tanévi matematika OKTV I. kategória első (iskolai) fordulójának pontozási útmutatója SZAKKÖZÉPISKOLA A 006-007. tanévi matematika OKTV I. kategória első (iskolai) fordulójának pontozási útmutatója. Feladat: Egy számtani sorozat három egymást követő tagjához rendre 3-at, -et, 3-at adva

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Matematika I

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Matematika I Matematika I (Analízis) Készítette: Horváth Gábor Kötelező irodalom: Ács László, Gáspár Csaba: Analízis 1 Oktatási segédanyagok és a tantárgyi követelményrendszer megtalálható a http://rs1.szif.hu/ horvathg/horvathg.html

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2006. február 21. KÖZÉPSZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2006. február 21. KÖZÉPSZINT I. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 006. február 1. KÖZÉPSZINT I. 1) Mennyi annak a mértani sorozatnak a hányadosa, amelynek harmadik tagja 5, hatodik tagja pedig 40? ( pont) 3 1 5 a a q 5 6 1 40 a a q Innen q Összesen:

Részletesebben

Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit!

Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! 1. 2. 3. 4. Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg a kivonásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg a szorzásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg az osztásban szereplő számok

Részletesebben

Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály, középszint

Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály, középszint TÁMOP-4-08/-009-00 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Feladatok a logaritmus témaköréhez osztály, középszint Vasvár, 00 május összeállította: Nagy

Részletesebben

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének 6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük

Részletesebben

Színes érettségi feladatsorok matematikából középszint írásbeli

Színes érettségi feladatsorok matematikából középszint írásbeli Színes érettségi feladatsorok matematikából középszint írásbeli I. rész 1. Mivel egyenlő ( x 3) 2, ha x tetszőleges valós számot jelöl? A) x 3 B) 3 x C) x 3 2. Mekkora az a és b szöge az ábrán látható

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2005. május 28. KÖZÉPSZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2005. május 28. KÖZÉPSZINT I. ) Mely valós számokra igaz, hogy 7 7 MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 005. május 8. KÖZÉPSZINT I. 7? Összesen: pont ) Egy 40 000 Ft-os télikabátot a tavaszi árleszállításkor 0%-kal olcsóbban lehet megvenni. Mennyi

Részletesebben

1. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI FELADATSOR

1. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI FELADATSOR 1. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI FELADATSOR A feladatok megoldására 240 perc fordítható, az idő leteltével a munkát be kell fejeznie. A feladatok megoldási sorrendje tetszőleges. A II. részben kitűzött

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 3 III. MEGFELELTETÉSEk, RELÁCIÓk 1. BEVEZETÉS Emlékeztetünk arra, hogy az rendezett párok halmazát az és halmazok Descartes-féle szorzatának nevezzük. Más szóval az és halmazok

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET. 9. osztály. 4 óra/hét. Budapest, 2014. szeptember

MATEMATIKA TANMENET. 9. osztály. 4 óra/hét. Budapest, 2014. szeptember MATEMATIKA TANMENET 9. osztály 4 óra/hét Budapest, 2014. szeptember 2 Évi óraszám: 144 óra Heti óraszám: 4 óra Ismerkedés, év elejei feladatok, szintfelmérő írása 2 óra I. Kombinatorika, halmazok 13 óra

Részletesebben

A matematikai feladatok és megoldások konvenciói

A matematikai feladatok és megoldások konvenciói A matematikai feladatok és megoldások konvenciói Kozárné Fazekas Anna Kántor Sándor Matematika és Informatika Didaktikai Konferencia - Szatmárnémeti 2011. január 28-30. Konvenciók Mindenki által elfogadott

Részletesebben

Érettségi feladatok: Halmazok, logika

Érettségi feladatok: Halmazok, logika Érettségi feladatok: Halmazok, logika 2005. május 10 18. Egy rejtvényújságban egymás mellett két, szinte azonos rajz található, amelyek között 23 apró eltérés van. Ezek megtalálása a feladat. Először Ádám

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 5 V ELEmI ALGEbRA 1 BINÁRIS műveletek Definíció Az halmazon definiált bináris művelet egy olyan függvény, amely -ből képez -be Ha akkor az elempár képét jelöljük -vel, a művelet

Részletesebben

HALMAZOK, SZÁMHALMAZOK, PONTHALMAZOK

HALMAZOK, SZÁMHALMAZOK, PONTHALMAZOK I. Témakör: feladatok 1 Huszk@ Jenő IX.TÉMAKÖR I.TÉMAKÖR HALMAZOK, SZÁMHALMAZOK, PONTHALMAZOK Téma A halmaz fogalma, alapfogalmak, elemek száma, üres halmaz, egyenlő halmazok, ábrázolás Venn-diagrammal

Részletesebben

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ A MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI 1. FELADATSORHOZ

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ A MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI 1. FELADATSORHOZ JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ A MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI 1. FELADATSORHOZ Formai előírások: A dolgozatot a vizsgázó által használt színűtől eltérő színű tollal kell javítani, és a tanári gyakorlatnak

Részletesebben

A táblára felírtuk a 0-tól 2003-ig terjedő egész számokat (tehát összesen 2004 db számot). Mekkora a táblán levő számjegyek összege?

A táblára felírtuk a 0-tól 2003-ig terjedő egész számokat (tehát összesen 2004 db számot). Mekkora a táblán levő számjegyek összege? ! " # $ %& '()(* $ A táblára felírtuk a 0-tól 00-ig terjedő egész számokat (tehát összesen 004 db számot). Mekkora a táblán levő számjegyek összege? 0 0 0 0 0. 9 7. 9 9 9 + ')./ &,- $ Először a 0-tól 999-ig

Részletesebben

50. modul 1. melléklet 2. évfolyam tanítói fólia

50. modul 1. melléklet 2. évfolyam tanítói fólia 50. modul 1. melléklet 2. évfolyam tanítói fólia 50. modul 2. melléklet 2. évfolyam tanítói fólia 50. modul 3. melléklet 2. évfolyam tanítói fólia 50. modul 4. melléklet 2. évfolyam tanítói fólia és csoport

Részletesebben

I. rész. Feladatsor. 2. Andi keresett két olyan számot, amelyre teljesül, hogy a < b. Igaz-e, hogy a < b?

I. rész. Feladatsor. 2. Andi keresett két olyan számot, amelyre teljesül, hogy a < b. Igaz-e, hogy a < b? 1. Feladatsor I. rész 1. Adott két halmaz. A a 9-nél kisebb páros pozitív egészek; B a 30-nál kisebb, 6-tal osztható pozitív egészek halmaza. Adja meg az A B és a B \ A halmazokat!. Andi keresett két olyan

Részletesebben

XVIII. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny

XVIII. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny 9. osztály 1. feladat: Oldjuk meg a természetes számok halmazán az 1 1 1 egyenletet? x y 009 Kántor Sándor (Debrecen). feladat: B Az ABCD deltoidban az A és C csúcsnál derékszög van, és a BD átló 1 cm.

Részletesebben

Szent István Tanulmányi Verseny Matematika 3.osztály

Szent István Tanulmányi Verseny Matematika 3.osztály SZENT ISTVÁN RÓMAI KATOLIKUS ÁLTALÁNOS ISKOLA ÉS ÓVODA 5094 Tiszajenő, Széchenyi út 28. Tel.: 56/434-501 OM azonosító: 201 669 Szent István Tanulmányi Verseny Matematika 3.osztály 1. Hányféleképpen lehet

Részletesebben

P R Ó B A É R E T T S É G I 2 0 0 4. m á j u s KÖZÉPSZINT JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

P R Ó B A É R E T T S É G I 2 0 0 4. m á j u s KÖZÉPSZINT JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ P R Ó B A É R E T T S É G I 0 0 4. m á j u s MATEMATIKA KÖZÉPSZINT JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Formai előírások: A dolgozatot a vizsgázó által használt színűtől eltérő színű tollal kell javítani, és a

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 0813 ÉRETTSÉGI VIZSGA 008. május 6. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben