Az informatika logikai alapjai 1

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Az informatika logikai alapjai 1"

Átírás

1 Az informatika logikai alapjai Az alábbi idézetek 1 közül melyek fejeznek ki állítást? Miért, illetve miért nem? (a) Ez volt ám az ember, ha kellett, a gáton. (b) Szép öcsém, miért állsz ott a nap tüzében? (c) Hej! ha én is, én is köztetek mehetnék, Szép magyar vitézek, aranyos leventék! (d) Toldi György nagy úr volt. (e) Add ki, bátya, tüstént, ami engem illet; Add ki a jussomat: pénzt, paripát, fegyvert Az alábbi kijelentő mondatok közül melyek állítások? (a) A hét páratlan szám. (b) A tíz nem osztható öttel. (c) Prímnek nevezzük azokat a természetes számokat, amelynek pontosan két osztójuk van (maga a szám és 1). (d) Minden ötnél nagyobb páratlan szám előáll három prímszám összegeként. (Goldbach-sejtés) (e) x Mi a probléma a logikában az alábbi kijelentő mondatokkal? (a) Fiam, aki Budapesten él, biológus. (b) A Tisza mellékfolyója árad. (c) Ez az állítás hamis. (d) A jelenleg uralkodó egyiptomi fáraó kopasz Vannak-e az alábbi mondatok között olyanok, amelyek ugyanazt az állítást fejezik ki? (a) Anna Béla férje. (b) Béla Anna felesége. (c) Csaba Anna unokája. (d) Van olyan gyermeke Annának, aki szülője Csabának. (e) Csaba valaki olyannak a gyermeke, akinek egyik szülője Anna. (f) Itt van a kutya elásva. (g) Ezen a helyen hantolták el az ebet Írjuk át a természetes nyelven megfogalmazott negációkat a jel használatával a következő mondatokban! A negációjel argumentumát határoljuk zárójelekkel. (a) A tíz osztható öttel. (b) A tíz nem osztható öttel. (c) Nem igaz, hogy a tíz nem osztható öttel. (d) Az ébenfa nem fehér. (e) Az ébenfa fekete. 1 Arany: Toldi

2 Az informatika logikai alapjai 2 (f) Tévedés, hogy az ébenfa nem fekete. (g) A csokoládét Péter megette. (h) A csokoládét nem Péter ette meg. (i) Nem igaz, hogy a csokoládét Péter megette. (j) Nincs igaza annak, aki tagadja, hogy a csokoládét Péter megette. (k) A probléma megoldható. (l) A probléma megoldhatatlan. (m) Tévedés az, hogy a probléma megoldhatatlan Írjuk át a természetes nyelven megfogalmazott negációkat a, a konjunkciókat jelek használatával a következő mondatokban! Az argumentumokat határoljuk zárójelekkel. (a) Hervad már ligetünk, s díszei hullanak. 2 (b) Egy kálomista pap s Csokonai Egymásnak voltak jóbarátai. 3 (c) Elment, nem látom többé már soha, Elment, nem látom többé már soha. 4 (d) Tán csodállak, ámde nem szeretlek... 5 (e) Sem utódja, sem boldog őse, Sem rokona sem ismerőse nem vagyok senkinek A köznyelvben a vagy kötőszót többféle értelemben használjuk: megengedő, kizáró és összeférhetetlen értelemben. Az alábbi mondatokban döntsük el, milyen értelemben használtuk a kötőszót. (a) Zoltánt vagy Gábort magammal viszem. (b) Vagy Zoltánt viszem magammal, vagy Gábort. (c) Egy angolul vagy németül beszélő idegenvezető kíséri a látogatókat. (d) Melyik állomás következik most? kérdezi az egyik utas a másiktól. Vagy Téglás, vagy Újfehértó feleli az. (e) Kérlek, Tomi, tedd le most a könyvet mondta az apja. Vagy eszik az ember, vagy olvas Írjuk át a természetes nyelven megfogalmazott negációkat a, a konjunkciókat, a diszjunkciókat jelek használatával a következ* mondatokban! Az argumentumokat határoljuk zárójelekkel. (a) Elutazhatunk a Balatonra vagy a Mátrába, de nem utazhatunk a Balatonra is és a Mátrába is. (b) Anna elmegy és Bella itt marad, vagy mind a ketten elmennek, és Anna vissza sem jön, de Bella vagy visszajön, vagy mégsem jön vissza. (c) Kizárt, hogy nem vizsgázom le logikából vagy diszkrét matematikából elsőre, mégis izgulok Írjuk át a természetes nyelven megfogalmazott negációkat a, a konjunkciókat, a diszjunkciókat, az implikációkat jelek használatával a következő mondatokban! Az argumentumokat határoljuk zárójelekkel. 2 Berzsenyi: A közelítő tél 3 Petőfi: Csokonai 4 Ady: Egyedül a tengerrel 5 Petőfi: Az Alföld 6 Ady: Szeretném, ha szeretnének

3 Az informatika logikai alapjai 3 (a) Ha meghalunk, hát meghalunk... 7 (b) Ha egy úri lócsiszárral találkoztam s bevert sárral: Nem pöröltem, - Félreálltam, letöröltem. 8 (c) Csak akkor születtek nagy dolgok, Ha bátrak voltak, akik mertek. 9 (d) Ó ha cinke volnék, útra kelnék, hömpölygž sugárban énekelnék Mely állítások fejezik ki ugyanazt? (a) Ha Julcsinak sikerül a dolgozata, megkapja a jelest. (b) Ha Julcsinak nem sikerül a dolgozata, nem kapja meg a jelest. (c) Ha Julcsi megkapta a jelest, sikerült a dolgozata. (d) Ha Julcsi nem kapta meg a jelest, nem sikerült a dolgozata. (e) Csak akkor kapja meg Julcsi a jelest, ha sikerül a dolgozata. (f) Csak akkor nem kapja meg Julcsi a jelest, ha nem sikerül a dolgozata Reginam occidere nolite timere bonum est si omnes consentiunt ego non contradico. írta Merániai János esztergomi érsek híres levelében dodonai kétértelműséggel. Magyarul: A királynőt megölni nem kell félnetek jó lesz ha mindnyájan beleegyeztek én nem ellenzem. Adjuk meg a lehetséges jelentéseket, melyeket alább formalizáltunk: (a) (a királynőt meg kell ölni) (félnetek jó lesz) (mindnyájan beleegyeztek (én beleegyeztem)) (én ellenzem) (b) (a királynőt megölni félnetek kell) (jó lesz) (mindnyájan beleegyeztek (én ellenzem)) 7 Ady: Hadak útján 8 Arany: Epilógus 9 Ady: A Tűz csiholója 10 Weöres: Buba éneke

4 Az informatika logikai alapjai Legyenek X, Y és Z ítéletváltozók. Döntsük el, hogy az alábbi jelsorozatok (teljesen zárójelezett) formuláke, azaz olyan formulák, melyek megadásakor nem használunk a zárójelek elhagyásával kapcsolatos megállapodásokat és nem vezetünk be jelöléseket. (a) ((X Y ) Z) (b) ((X Y ) Z) (c) (X Y (d) (X Y )) (e) (Z XY ) (f) (Z X Y ) (g) ( X) (h) (X Y ) (i) (( X Y ) (X Z)) (j) (X Y Z) (k) (X Y Z) 2.2. Hagyjuk el a lehető legtöbb zárójelet a formulákból. (a) ((X Y ) Z) (b) ( (X Y ) Z) (c) (( ( X Y ) Z) (X Z)) (d) (((X Y ) (Y Z)) ( X Z)) (e) (((X Y ) (Y Z)) ( X Z)) (f) ((X Y ) ( X Y )) (g) (((X Y ) Z) (X Z)) (h) ((X Y ) Z) (i) (X (Y Z)) 2.3. Adjuk meg az alábbi formulák teljesen zárójelezett alakját. (a) X Y Z (b) X Y Z (c) X Y Y Z (d) X Y Y Z (e) X Y (f) Y X Z (g) X Y Z (h) ( X Y ) Z 2.4. Milyen (teljesen zárójelezett) formulát rövidítenek az alábbiak? (A B) ((A B) (B A)) (a) X Y (b) X Y X Y (c) X Y Z X Z (d) (X Y ) Z X 2.5. Jelentse E, hogy esik az eső, S, hogy strandolok, N, hogy napozok, O, hogy otthon maradok. Mit jelentenek természetes nyelven az alábbi formulák? (a) (E (S N)) (b) ((O E) (E O)) (c) (S E) (d) ((E O) ( E S)) (e) ( O ((N E) S)) 2.6. Formalizáljuk az ítéletlogika nyelvén a következő mondatokat! (a) Jancsi eltévedt az erdőben, és nem talált haza.

5 Az informatika logikai alapjai 5 (b) Jancsi eltévedt az erdőben, de Juliska nem. (c) Jancsi eltévedt az erdőben, bár jól ismerte az utat. (d) Egészségtelenül táplálkozik, vagy keveset mozog. (e) Saját autójával megy, vagy hív egy taxit. (f) Ha holnap süt a nap, akkor 10-kor várlak az uszodában. (g) Csak akkor fejezzük be a gyakorlatot, ha már mindenki volt a táblánál. (h) Elmegyek moziba, feltéve, hogy van pénzem. (i) Akkor és csak akkor süt a nap, ha holnap kimegyek az uszodába Írjuk fel ítéletlogikai nyelven az alábbi állításokat. (a) Nincs jó idő. (b) Ha jó az idő, kirándulni megyünk. (c) Nincs jó idő, és nem megyünk kirándulni. (d) Csak akkor megyünk kirándulni, ha jó az idő. (e) Nem fordulhat elő, hogy kirándulni megyünk, és nincs jó idő. (f) Ha esik az eső vagy fúj a szél, akkor nincs jó idő. (g) Esik az eső, pedig süt a Nap. (h) Ha esik az eső és süt a Nap, akkor szivárványt lehet látni, kivéve ha éppen a városban vagyunk. (i) Ha várakozás nélkül kapok reggelit, akkor - föltéve hogy nem alszom el - nyolc órára megérkezem. (j) Ha elalszom, nem kapok várakozás nélkül reggelit. (k) Ha nem alszom el, akkor reggelit is várakozás nélkül kapok, és meg is érkezem nyolc órára. (l) Ha ünnepély lesz, a tanítás délben véget ér. (m) Ha osztályfőnöki óra lesz, a tornaóra elmarad. (n) A tanítás nem ér véget délben, pedig ünnepély vagy osztályfőnöki óra lesz. (o) Ha a szemtanú megbízható, és az írásszakértő véleménye helytálló, úgy a bűncselekményt akkor és csak akkor követték el előre megfontolt szándékkal, ha a talált ujjlenyomatok a tettestől vagy esetleges bűntársától származnak. (p) Ha a szemtanú megbízható, az írásszakértő véleménye helytálló, és a talált ujjlenyomatok a tettestől származnak, akkor a bűncselekményt előre megfontolt szándékkal követték el Írjuk le az ítéletlogika nyelvén. (a) Nemcsak X, hanem Y is. (b) X abban az esetben, ha Y. (c) Nem igaz, hogy ha X, akkor egyúttal Y. (d) X, feltéve, hogy Y. (e) Bár nem X, mégis Y. (f) Csak akkor X, ha Y. (g) Legfeljebb akkor X, ha Y. (h) X, kivéve, ha nem Y.

6 Az informatika logikai alapjai 6 (i) Akkor X, ha Y, de csak akkor. (j) Ha nem X, hát legalább Y. (k) Vagy X, vagy Y, de nem mind a kettő. (l) Ha X, akkor Y, feltéve hogy nem Z. (m) Pontosan akkor X, ha nem Y.

7 Az informatika logikai alapjai Adjuk meg az alábbi formulák közvetlen részformuláit, részformuláik halmazait és állapítsuk meg a logikai összetettségüket. (a) X (b) X (c) X X (d) X Y (e) X Y Z (f) (X Y ) (g) ( (X Y ) (Z X)) (h) (X Y Z) Y Z (i) ( X Y Z) (j) X X Y (k) X Y Z (l) ((X Y ) ((X Y ) Y )) (m) X Y Z (X Z) (n) (X Y ) (Y Z) X Z 3.2. Mely formula(ák) részformulája(i) az alábbi formuláknak? (a) X Y Z X Z i. Z X ii. Z X Z iii. Y Z iv. X Y (b) X Y Z Y X i. Y Z ii. Z Y iii. X Y iv. Y Z Y (c) X Y Z X Y Z i. X Y ii. Z X Y iii. Y Z iv. Y Z 3.3. Adjuk meg a megjelölt logikai összekötőjel hatáskörét az alábbi formulákban, majd keressük meg a fő logikai összekötő jelet! X Z 1 Y 2 W ( ) X 6 Y 7 (Y Z) 3 (X Z) Y ( ) X Y 4 Z Y 5 Z ( X 8 Y Z) 9 Y 10 Z 3.4. Legyenek X, Y, Z ítéletváltozók. Hányféleképpen lehet zárójelekkel ellátni az alábbi jelsorozatokat úgy, hogy (teljesen zárójelezett) formulákat kapjunk? (a) X Y Y Z (b) X Y Z X Y 3.5. Bizonyítsuk be, hogy egy formulában a nyitó- és zárójelek száma megegyezik Legyen egy formulában n helyen logikai összekötőjel. Hány részformulája lehet maximum a formulának?

8 Az informatika logikai alapjai Igazoljuk, hogy egy formula valamelyik részformuláját másik formulával helyettesítve ismét formulát kapunk Adjuk meg a következő formulák értékét a megadott interpretációban: X X I1 I 1 (X) = i X X I2 I 2 (X) = h X X I3 I 3 (X) = i X X I4 I 4 (X) = h X X I5 I 5 (X) = i X X I6 I 6 (X) = h X Z Y I7 I 7 (X) = h I 7 (Y ) = h I 7 (Z) = h ( (X Y ) (Z X)) I8 I 8 (X) = h I 8 (Y ) = i I 8 (Z) = i (X Y Z) Y Z I9 I 9 (X) = i I 9 (Y ) = i I 9 (Z) = h ( X Y Z) I10 I 10 (X) = h I 10 (Y ) = i I 10 (Z) = h X X Y I11 I 11 (X) = i I 11 (Y ) = i I 11 (Z) = i X (Y X) I12 I 12 (X) = h I 12 (Y ) = i (Y X) (X Y ) I13 I 13 (X) = i I 13 (Y ) = h ( Y X X Y ) I14 I 14 (X) = h I 14 (Y ) = h 3.9. Határozzuk meg az alábbi formulák értékét a megadott interpretációban! I(X) = i, I(Y ) = h, I(Z) = h, I(W ) = h (a) ( (X Y Z) W Z) (b) (X Y ) Z X (c) X Z Y W (d) (X Z) Y (e) (X Y ) (Y Z) (f) (X Y Z) Y Z Tegyük fel, hogy egy formula igazságértékét ismerjük valamely interpretációban. Meg tudjuk-e határozni ezen ismeret birtokában egy másik, alább megadott formula igazságértékét? (a) X Y, ha X Y = i (b) X Y, ha X Y = h (c) (X Y ) Z, ha Y = i (d) (X Y ) ( Y X), ha Y = i (e) X Y X Z, ha X = i és Z = h (f) X Y X Y, ha X Y = i (g) X Y X Y, ha X Y = i

9 Az informatika logikai alapjai Mely állítások igazak az alábbiak közül? (a) Minden kielégíthető formula logikai törvény. (b) Van olyan kielégíthető formula, mely törvény. (c) Minden logikai törvény kielégíthető. (d) Csak az a formula logikai törvény, mely kielégíthető. (e) Ha egy formula ellentmondás, akkor kielégíthetetlen. (f) Ha egy formula kielégíthetetlen, akkor negáltja kielégíthető. (g) Ha egy formula kielégíthető, akkor negáltja ellentmondás. (h) Egy formula akkor és csak akkor kielégíthető, ha negáltja ellentmondás. (i) Egy formula pontosan akkor törvény, ha negáltja ellentmondás. (j) Ha egy formula negáltja kielégíthető, akkor az ellentmondás. (k) Minden formula vagy kielégíthető, vagy ellentmondás. (l) Minden formula vagy nem logikai törvény vagy ellentmondás Milyen szemantikai tulajdonságokkal rendelkeznek az alábbi formulák, azaz melyik kielégíthető, törvény, ellentmondás? Döntsük el a kérdést igazságtáblával! (a) X Y (X Y ) (b) (X Y ) (X Y ) (c) (X Y ) ( Z Y ) (d) (X (Y (Z X))) (e) X (Y (Z X)) 4.3. Adjunk meg (amennyiben lehetséges) egy-egy olyan interpretáció, melyben az alábbi formulák igazak! (a) (X Y Z) ( X Y ) (Z W Y ) (b) (X Y Z) ( W Z) (Y W ) (c) (X Y Y Z) (Z X) (Z Y ) (d) (X Y Z) (Z Y ) (W X) (Y Z W ) 4.4. Határozzuk meg a szemantikai definíciók mentén (igazságtábla nélkül), hogy az alábbi formulák közül melyek törvények! (a) (X Y ) X Y (b) X ( Y (Z ( U (W X)))) (c) ((X Y ) (X Y )) X (d) X (Y Z) ( X Y ) ( X Z) 4.5. Határozzuk meg a szemantikai definíciók mentén (igazságtábla nélkül), hogy az alábbi formulák közül melyek ellentmondások! (a) ( X Y ) (Y X)

10 Az informatika logikai alapjai 10 (b) (X Y Z) (Y (X Z)) (c) ((X Y ) (Y Z)) (X Z) 4.6. Ekvivalensek-e az alábbi formulák? Bizonyítsuk igazságtáblával! (a) (X Y ) X? 0 (b) (X Y ) X? 0 (c) X Y Z (d) (X Y ) Z (e) X (Y Z) (f) X (Y Z)? 0? 0 X X ( X Y ) Z (Y X) Z? 0 X (Z Y )? 0 (X Y ) Z 4.7. Ekvivalensek-e az alábbi formulák? Bizonyítsuk a szemantikai definíciók segítségével! (a) X Y Z? 0 (b) (X Y ) (Z W ) Z Y X? 0 (X Z) ( Y W ) 4.8. Létezik-e olyan interpretáció, melyben az alábbi formulahalmaz minden formulája igaz? Indokoljon! {X Y Z, X Z, X Y X Z}

11 Az informatika logikai alapjai Legyenek P 1, P 2, valamint K egy következtetés premisszáit illetve konklúzióját leíró formulák. Mely állítások igazak az alábbiak közül? (a) Ha a következtetés helyes akkor P 1 P 2 K logikai törvény. (b) Ha P 1 P 2 K logikai törvény, akkor a következtetés helyes. (c) A következtetés pontosan akkor helyes, ha P 1 P 2 K ellentmondás. (d) A következtetés pontosan akkor helyes, ha {P 1, P 2, K} formulahalmaz formuláji egyetlen interpretációban sem lesznek egyszerre igazak. (e) Ha a következtetés helytelen, P 1 P 2 K logikai törvény. (f) Ha a következtetés helytelen, P 1 P 2 K kielégíthető. (g) Ha P 1 P 2 ellentmondás, akkor a következtetés helyes. (h) Ha K ellentmondás, akkor a következtetés helyes. (i) Ha K ellentmondás, akkor a következtetés csak akkor helyes, ha P 1 P 2 ellentmondás Található-e olyan interpretáció, mely az alábbi formulahalmazok valamelyikének minden formuláját kielégíti? (a) { X Y Z, ( X Y ), Z U Y } (b) { (X Y Z), U Z, Y U } 5.3. Döntsük el táblázat segítségével, hogy az alábbi következtetések helyesek-e! Premisszál: P 1 (X Y ) Z P 2 X Z Következtetések: a.) Y Z b.) Y Z 5.4. Formalizáljuk az alábbi mondatokat! Döntsük el táblázat segítségével, hogy az alábbi következtetések helyesek-e! Premisszál: P 1 P 2 Ha Zoltán hazudik, akkor János csak akkor füllent, ha Imre igazat mond. János füllent, de ha Zoltán hazudik, akkor Imre nem mond igazat. Következtetések: a.) b.) Ha Imre nem mond igazat, akkor János füllent. Ha János füllent, akkor Imre nem mond igazat Döntsük el a szemantikai definíciók segítségével, hogy az alábbi következtetések helyesek-e! Premisszál: P 1 (X Y ) (Z W ) P 2 (Y Z X U) Következtetések: a.) b.) K X W Z

12 Az informatika logikai alapjai Formalizáljuk az alábbi mondatokat! Döntsük el a szemantikai definíciók segítségével, hogy az alábbi következtetések helyesek-e! Premisszál: P 1 P 2 P 3 Csak akkor megyek boltba, ha elfogyott a tej vagy kevés a kenyér. Nem igaz az, hogy nem megyek boltba vagy elfogyott a tej. Amennyiben kevés a kenyér, úgy liszt sincs már vagy elfogyott a tej. Következtetések: a.) b.) c.) Csak abban az esetben megyek boltba, amennyiben liszt már nincs, de nem fogyott el a tej. Ha nem fogy el a tej, akkor kevés a kenyér. Ha elmegyek a boltba, akkor liszt már nincs Formalizáljuk az alábbi mondatokat! Döntsük el a szemantikai definíciók segítségével, hogy az alábbi következtetések helyesek-e! Premisszál: P 1 P 2 P 3 Nem igaz az, hogy ha rossz időt jósoltak mára de süt a nap, akkor esik az eső. Ha nem fúj a szél, nem is esik az eső. Csak akkor süt a nap, ha a szél nem fúj. Következtetések: a.) b.) Ha rossz időt jósoltak mára, akkor nem fúj a szél, és az eső sem esik. Csak akkor nem fúj a szél, ha nem jósoltak rossz időt mára.

13 Az informatika logikai alapjai Tekintsük az aritmetika (Ar) nyelvét és természetes interpretációját informálisan a következőképpen: Ar = {szt}, {P }, {f, g, h}, {nulla} Jelentse szt a nemnegatív egész számokat! A nyelv szinbólumai és az interpretáció informális leírása: P r ν 1 interpretáció P (szt, szt) egyenlőség predikátum F n ν 2 interpretáció f (szt, szt) rákövetkező egész g (szt, szt, szt) összeadás h (szt, szt, szt) szorzás Cnst ν 3 interpretáció nulla (szt) 0 Vezessük be a következő jelöléseket: 0 nulla x = y P (x, y) sx f(x) x + y g(x, y) x y h(x, y) Formalizáljuk az Ar nyelv természetes interpretációjában az alábbi mondatokat! Vezessünk be új jelöléseket ahol ez szükséges. 1. Az x és y számok nem egyenlőek. 2. Az x szám kisebb vagy egyenlő, mint az y. 3. Az x szám kisebb, mint az y. 4. Az x szám osztja az y számot. 5. Az x prím szám. 6. Végtelen sok prím szám van. 7. Véges sok prím szám van. 8. Az ikerprímek száma végtelen. 9. Minden nem negatív szám felírható négy nem negatív szám négyzetének összegeként! 10. Ha x > y, akkor x + z > y + z. Tekintsük az aritmetika (Ar) nyelvének olyan interpretációját, mely az előbbitől csak annyiban különbözik, hogy az szt fajtához az egész számok halmazát rendeli! Hogyan formalizálhatók ekkor a fenti mondatok?

14 Az informatika logikai alapjai Tekintsük a geometria (Geom) nyelvét és természetes interpretációját informálisan a következőképpen: Geom = {pt, et, st}, {P, Q, R},, Legyen a fajták jelentése a következő: Srt változók interpretáció pt A, B, C,... a 3 dimenziós euklideszi tér pontjai et e, f, g,... a 3 dimenziós euklideszi tér egyenesei st a, b, c,... a 3 dimenziós euklideszi tér síkjai A nyelv szinbólumai és az interpretáció informális leírása: P r ν 1 interpretáció P (pt, pt) két pont egyebeesik Q (pt, et) az egyenes tartalmazza a pontot R (pt, st) a sík tartalmazza a pontot Vezessük be a következő jelöléseket: A = B P (A, B) A e Q(A, e) A a R(A, a) Formalizáljuk a geometria (Geom) nyelvének természetes interpretációjában az alábbi mondatokat! Vezessünk be új jelöléseket, ahol ez szükséges. 1. Az e egyenes az a síkban van. 2. Az e és f egyenesek egybeesnek. 3. Az a és b síkok egybeesnek. 4. Az e és f egyenesek párhuzamosak. 5. Az e és f egyenesek kitérőek. 6. Az e és f egyenesek pontosan egy pontban keresztezik egymást. 7. Az e egyenes egy pontban döfi az a síkot. 8. Az a és b síkok párhuzamosak. 9. Bármely két nem egybeeső pontra pontosan egy egyenes illeszthető. 10. Bármely ponton át pontosan egy, a pontot nem tartalmazó egyenessel párhuzamos egyenes húzható.

15 Az informatika logikai alapjai 15 Legyen L 1 elsőrendű logikai nyelv definiálva a következőképpen: L 1 = {π 1 }, {P, Q, R}, {f, g}, {c} x, y, z,... változók π 1 fajtájúak ν 1 (P ) = (π 1 ), ν 1 (Q) = (π 1, π 1 ), ν 1 (R) = (π 1, π 1 ) ν 2 (f) = (π 1, π 1 ), ν 2 (g) = (π 1, π 1 ) ν 3 (c) = (π 1 ) 7.1. Az alábbi kifejezések közül melyek π 1 fajtájú termjei az L 1 nyelvnek? (a) c (b) x (c) F (x) (d) f(c, x) (e) c(x) (f) f(c) (g) f(g(x)) (h) f(g(x, y), z) (i) P (x) (j) Q(x) (k) f(c) (l) g(c, f(x)) 7.2. Az alábbi kifejezések közül melyek formulái az L 1 nyelvnek? (a) P (c) (b) Q(x) (c) P ( f(x)) (d) R(f(x), g(x)) (e) xf(x) (f) P (x) f(x) (g) c(p (c) R(f(c), y)) (h) xr(p (c), f(x)) (i) P (x) xq(x, x) (j) f(x)p (f(x)) (k) f(c) yq(y, y) (l) P (x y)

16 Az informatika logikai alapjai 16 Legyen L 2 elsőrendű logikai nyelv definiálva a következőképpen: L 2 = {π 1, π 2 }, {P, Q, R}, {f, g, h}, {c, ɛ} x, y, z,... változók π 1 fajtájúak, α, β, γ,... változók π 2 fajtájúak ν 1 (P ) = (π 1 ), ν 1 (Q) = (π 1, π 2 ), ν 1 (R) = (π 2, π 2 ) ν 2 (f) = (π 1, π 2 ), ν 2 (g) = (π 1, π 1, π 2 ), ν 2 (h) = (π 2, π 2, π 1 ) ν 3 (c) = (π 1 ), ν 3 (ɛ) = (π 2 ) 7.3. Keressük ki az alábbi kifejezések közül az L 2 nyelv π 1 valamint π 2 fajtájú termjeit! (a) f(c, x) (b) h(f(x), g(x, y)) (c) f(g(x, x)) (d) f(h(ɛ, ɛ)) (e) f(ɛ) (f) g(q(c), R(ɛ)) (g) g(f(x), f(c)) (h) f(f(g(x, y))) (i) g(c, f(x)) 7.4. Az alábbi kifejezések közül melyek formulái az L 2 nyelvnek? (a) ɛr(ɛ, α) (b) xq(x, f(x)) xp (h(f(x), ɛ)) (c) P (x) f(x) (d) Q(f(x), ɛ) R(ɛ, α) (e) Q(x, Q(x)) (f) xp (x) (g) f(x, g(c, x)) (h) Q(x, α) P (x) 7.5. Legyenek az alábbi kifejezések valamely alkalmas elsőrendű nyelv elemei! (P, Q, R,... predikátum szimbólumok, f, g, h,... függvény szimbólumok, a, b, c,... konstansok szimbólumok és x, y, z,... változók.) határozzuk meg a formulák logikai- és a termek funkcionális összetettségét, adjuk meg a közvetlen részkifejezéseiket! (a) P (x) Q(x, y) P (f(x)) Q(f(x), y) (b) x(p (x) Q(x, y) P (x) Q(x, y)) (c) f(g(x, y)) (d) g(f(x), f(x)) (e) P (g(f(x), f(x))) 7.6. Legyenek az alábbi kifejezések (a megelőző feladathoz hasonló módon) valamely alkalmas elsőrendű nyelv formlái! határozzuk meg az egyes változó előfordulások státuszát, készítsük el (ha szükséges) a formulák változóiban tiszta alakját! (a) P (x) Q(x, y) P (f(x)) Q(f(x), y) (b) P (x) Q(x, y) P (z) Q(z, y) (c) x y(p (x) Q(x, y) P (f(x))) Q(f(x), c)

17 Az informatika logikai alapjai 17 (d) y x(p (y) Q(y, x) P (f(y))) Q(f(x), c) (e) x(p (x) xq(x, f(x))) Q(x, c) (f) y(p (y) xq(y, f(y))) Q(y, c) (g) P (x) xp (x) Q(x, y) (h) P (x) yp (y) Q(y, x) Található-e a fenti formulák közt olyan, mely kongruens az alábbiak egyikével? i. Kongruens-e (a) vagy (b) formulávak: P (y) Q(y, x) P (f(y)) Q(f(y), x)? ii. Kongruens-e (c) vagy (d) formulávak: y x(p (y) Q(y, x) P (f(y))) Q(f(y), c)? iii. Kongruens-e (e) vagy (f) formulávak: x(p (x) yq(y, f(y))) Q(y, c)? iv. Kongruens-e (g) vagy (h) formulávak: P (x) yp (y) Q(y, x)?

18 Az informatika logikai alapjai 18 Legyen L 2 elsőrendűlogikai nyelv definiálva a következőképpen: L 2 = {π 1, π 2 }, {P, Q, R}, {f, g, h}, {c, ɛ} x, y, z,... változók π 1 fajtájúak, α, β, γ,... változók π 2 fajtájúak ν 1 (P ) = (π 1 ), ν 1 (Q) = (π 1, π 2 ), ν 1 (R) = (π 2, π 2 ) ν 2 (f) = (π 1, π 2 ), ν 2 (g) = (π 1, π 1, π 2 ), ν 2 (h) = (π 2, π 2, π 1 ) ν 3 (c) = (π 1 ), ν 3 (ɛ) = (π 2 ) 8.1. Készítsünk interptetációt L 2 elsőrendű logikai nyelvhez, amely eleget tesz az alábbiaknak! π 1 fajtájú individuumok halmaza: {1, 2} π 2 fajtájú individuumok halmaza: {a, b} 8.2. Készítsünk olyan interpretációt az Ar nyelvhez, mely a természetes interperetációtól annyiban különbözik, hogy univerzumát az egész számok adják! 8.3. Formalizáljuk alkalmas elsőrendű nyelven az alábbi mondatokat. Készítsük el a nyelvek egy-egy interpretációját! (a) (b) Mindenki, aki az első padban ül, kabátot visel. Csak azok nem ültek az ablak mellé, akiknek kék szemük van. Senki nem ül ablak mellett, aki kabátot visel. Minden olyan nap, amikor esik az eső, és hideg van, fáradt vagyok. Minden téli hónapra eső nap hideg van. Van olyan hideg nap, mely nem téli hónapra esik. Legyen L elsőrendű logikai nyelv definiálva a következőképpen: L 3 = {π}, {P, Q}, {f, g}, {c} x, y, z,... változók π fajtájúak ν 1 (P ) = (π), ν 1 (Q) = (π, π) ν 2 (f) = (π, π), ν 2 (g) = (π, π, π) ν 3 (c) = (π) Legyen I az L 3 elsőrendű logikai nyelv alábbi interpretációja: I = I Srt, I P r, I F n, I Cnst I Srt (π) = {1, 2, 3, 4} f I (α) = 5 α I P r (P ) = P I, I F n (f) = f I, I Cnst (c) = 2 I P r (Q) = Q I I F n (g) = g I g I (α, β) = α β + 1 P I (α) { i ha α = 1 vagy α = 4 = h egyébként { i ha α > β Q I (α, β) = h egyébként

19 Az informatika logikai alapjai Határozzuk meg az alábbi L 3 nyelvű termek értékét I interpretációban a megadott változókiértékelés mellett! κ(x) = 1, κ(y) = 3 (a) c I,κ (b) y I,κ (c) f(c) I,κ (d) f(g(c, c)) I,κ (e) g(f(x), f(y)) I,κ (f) f(g(x, g(y, c))) I,κ κ(x) = 2, κ(y) = 4 (a) y I,κ (b) g(f(x), f(y)) I,κ (c) f(g(x, g(y, c))) I,κ 8.5. Határozzuk meg az alábbi L 3 nyelvű formulák értékét I interpretációban κ változókiértékelés mellett! κ(x) = 1, κ(y) = 3 (a) P (y) I,κ (b) xp (x) I,κ (c) Q(x, y) I,κ (d) Q(x, y) Q(f(x), f(y)) I,κ (e) x(q(f(x), y) Q(x, f(y))) I,κ (f) y(q(f(c), y) Q(c, f(y))) I,κ (g) xp (x) x Q(x, f(x)) I,κ (h) x y Q(x, f(y)) I,κ (i) x y Q(x, f(y)) I,κ (j) x y(q(x, f(y)) Q(f(y), x)) I,κ

20 Az informatika logikai alapjai Készítsünk olyan változókiértékeléseket L 3 nyelv I interpretációjához, melyben az alábbi formulák igazak, vagy igazoljuk, hogy nincs ilyen változókiértékelés! (a) xq(x, f(y)) I,κ1 = i (b) x(q(x, f(y)) P (y)) I,κ2 = i (c) x (Q(x, f(y)) P (y)) I,κ3 = i (d) Q(y, f(c)) Q(f(c), y) I,κ4 = i (e) Q(x, f(x)) Q(f(x), x) I,κ5 = i 9.2. Konstruáljuk meg (ha ez lehetséges) az L 3 nyelv olyan interpretációit és ezekben olyan változókiértékelést, melyen az alábbi formulák igazak! (a) x y(q(x, y) Q(y, x)) (b) x(p (x) Q(x, c)) x Q(x, c) (c) x y(p (x) Q(y, x) P (y)) (d) Q(x, f(x)) Q(y, f(y)) (e) x yq(y, x) y xq(y, x) (f) x y(q(x, y) Q(y, x)) (g) ( x(p (x) Q(x, c)) x Q(x, c)) (h) x y (P (x) Q(y, x) P (y)) (i) Q(x, f(x)) Q(y, f(y)) (j) x yq(y, x) y xq(y, x) 9.3. Legyenek az alábbi kifejezések valamely alkalmas egy fajtájú elsőrendű nyelv formulái! (P, Q, R,... predikátum szimbólumok, f, g, h,... függvény szimbólumok, a, b, c,... konstansok szimbólumok és x, y, z,... változók.) Mely formulák tautologikusan igazak az alábbiak közül? (a) Q(x, c) Q(y, c) (b) xp (x) yp (y) (c) ( xp (x) yq(y, c)) ( xp (x) yq(y, c)) (d) xq(x, c) x Q(x, c) (e) ( xp (x) yr(y)) x P (x) (f) ( xp (x) yr(y)) xp (x) 9.4. Legyenek az alábbi kifejezések valamely alkalmas egy fajtájú elsőrendű nyelv formulái! (P, Q, R,... predikátum szimbólumok, f, g, h,... függvény szimbólumok, a, b, c,... konstansok szimbólumok és x, y, z,... változók.) Mely szemantikai tulajdonságoknak tesznek eleget az alábbi formulák? logikai törvény, kielégíthető, ellentmondás. (a) xq(x, c) x Q(x, c) (b) P (c) xp (x) (c) x yq(x, y) y xq(x, y) (d) x yq(x, y) y xq(y, x) (e) xp (x) xr(x) x(p (x) R(x)) (f) xp (x) xr(x) x(p (x) R(x)) (g) x(p (x) R(x)) ( xp (x) xr(x)) (h) x Q(x, c) yq(y, c) (i) xp (x) y(q(y, y) P (y)) (j) y xq(x, y) x yq(x, y) (k) y xq(y, x) x yq(x, y) (l) xp (x) xr(x) x(p (x) R(x)) (m) x(p (x) R(x)) xp (x) xr(x) (n) ( xp (x) xq(x)) x(p (x) R(x))

21 Az informatika logikai alapjai Legyenek az alábbi kifejezések valamely alkalmas egy fajtájú elsőrendű nyelv formulái! (P, Q, R,... predikátum szimbólumok, f, g, h,... függvény szimbólumok, a, b, c,... konstansok szimbólumok és x, y, z,... változók.) Mely formulák ekvivalensek az alábbi formulasorozatokban? (a) (b) (c) (d) (e) i. x((p (x) Q(x)) (Q(x) R(x))) ii. x(p (x) R(x)) iii. x(p (x) Q(x)) x(q(x) R(x)) i. xp (x) xq(x) ii. x(p (x) Q(x)) iii. x( P (x) Q(x)) i. xp (x) xq(x) ii. x(p (x) Q(x)) iii. x(p (x) Q(x)) i. xp (x) xq(x) ii. x(p (x) Q(x)) iii. xp (x) x Q(x) i. xp (x) xq(x) ii. x(p (x) Q(x)) Formalizáljuk alkalmas elsőrendű logikai nyelven az alábbi kijelentéseket, és keressük meg az ekvivalens állításokat! (a) (b) (c) i. Mindenki aki alaposan felkészül, jó jegyet fog szerezni. ii. Csak azok szereznek jó jegyet, akik alaposan felkészültek. iii. Csak azok készültek fel alaposan, akik jó jegyet fognak szerezni. i. Minden nap esett az eső, vagy egyetlen nap sem volt szél. ii. Nem igaz az, hogy ugyan volt nem esős nap, de nem minden nap telt el szél nélkül. iii. Ha volt szeles nap, akkor nem volt esős nap sem. i. Minden kosaras apja sportol. ii. Nem igaz, hogy nincs olyan kosaras akinek nem sportoló az apja. iii. Akinek az apja nem sportoló az nem kosaras.

22 Az informatika logikai alapjai Mely alábbi tulajdonságokkal rendelkeznek a megadott ítéletlogikai formulák? literál elemi konjunkció elemi diszjunkció konjunktív normál forma diszjunktív normál forma (a) X (b) X Y (c) X Y (d) Y (e) (X Y ) Z (f) (X Y ) Z (g) (X Y ) Z (h) (X Y ) Z (i) X (j) (X Y ) Z (k) (X Y ) Z (l) (X Y ) (Y Z) (m) ( X Y ) ( Y Z) Készítsen az alábbi formulával ekvivalens ugyanakkor kisebb logikai összetettségű formulát (alkalmazza az egyszerűsítési szabályokat)! (a) X (b) (X Y X) Y (c) (X Y X) Y (d) (X Y ) (Z Y ) (e) (X Y ) (Z Y ) (f) ( X Y ) (g) ( X Y ) (h) X Y (i) X Y (j) (X Y ) (X Y ) Határozza meg a következő ítéletlogikai formulák diszjunktív normál formáját (alkalmazza a disztributivitási szabályokat)! (a) X (Y Z) (b) (X Y Z) (U W ) (c) (X Y ) ( Z U W ) (S T ) Határozza meg a következő ítéletlogikai formulák konjunktív normál formáját (alkalmazza a disztributivitási szabályokat)! (a) X ( Y Z) (b) (X ( Y Z)) (U W ) (c) (X Y ) (( Z U W ) (S T )) Határozza meg a következő ítéletlogikai formulák konjunktív és diszjunktív normál formáját! Egyszerűsítsen ahol ez lehetséges! (a) X (Y (Z U)) (b) ((X Y ) Z) U (c) (X Y ) (X Z)

23 Az informatika logikai alapjai 23 (d) (X Y Z) (U W ) (e) (X ( Y Z)) (U W ) (f) (X Z) (Z X) (g) ((X Z) (Z X)) (h) (X Y ) (( Z U W ) (S T )) Legyenek az alábbi kifejezések valamely alkalmas egy fajtájú elsőrendű nyelv formulái! (P, Q, R,... predikátum szimbólumok és x, y, z,... változók.)! Adja meg a formulák prenex alakját! (a) xp (x) xq(x) (b) xp (x) xq(x) (c) xp (x) x Q(x) (d) x(p (x) xq(x)) ( xq(x) R(x)) (e) x(p (x) xq(x)) ( xq(x) R(x)) (f) xp (x) ( xr(x) xq(x)) (g) x y T (x, y) (h) x( yt (x, y) xr(x) P (x)) (i) x yt (x, y) Q(x) R(y) (j) P (x) ( yq(y) xt (x, y))

24 Az informatika logikai alapjai Formalizálja a következő állításokat alkalmas elsőrendű logikai nyelven! Ha akad, aki elvégezze a munkát, akkor mindenki elégedett lehet. Aki elégedett lehet, az nyugodtan alszik. János elvégzi a munkát. Az előbbi állításokat premisszaként tekintve, mely következtetések helyesek az alábbiak közül? (a) Mindenki nyugodtan alszik. (b) Ha János nem végzi el a munkát, nem alhat nyugodtan Formalizálja a következő állításokat alkalmas elsőrendű logikai nyelven! Ha egy részecske nyugalmi tömege 0 és a részecske bozon, akkor ez a részecske foton. A Higgs részecske nem foton, de bozon. Nem minden 0 nyugalmi tömegű részecskére igaz, hogy foton. Az előbbi állításokat premisszaként tekintve, mely következtetések helyesek az alábbiak közül? (a) Léteznek nem 0 nyugalmi tömegű részecskék és nem minden részecske bozon. (b) Nem igaz az, hogy minden részecske 0 nyugalmi tömegű és bozon Formalizálja a következő állításokat alkalmas elsőrendű logikai nyelven! Nem igaz az, hogy ha van, aki nem kelt korán, akkor van olyan is, aki nem tanult. Mindenki, aki hamar nyugovóra tért, korán kelt. Az előbbi állításokat premisszaként tekintve, mely következtetések helyesek az alábbiak közül? (a) Nem igaz az, hogy ha mindenki tanult, akkor mindenki hamar nyugovóra is tért. (b) Nem mindenki tért hamar nyugovóra.

25 Az informatika logikai alapjai Adjon meg az alábbi szekventekkel ekvivalens formulákat! Egyszerűsítsen, ahol ez lehetséges! (a) (X Y ) (b) X Y (c) X Y Y Z (d) (X Y ) (e) X Y Y Z (f) X, Y Y, Z Bizonyítsuk be Gentzen-kalkulus segítségével hogy az alábbi ítéletlogikai formulák logikai törvények! (a) Predikátumkalkulus axiómája (X (Y Z)) ((X Y ) (X Z)) (b) De Morgan törvényei i. X Y (X Y ) ii. (X Y ) X Y iii. X Y (X Y ) iv. (X Y ) X Y (c) Implikáció átalakítás i. (X Y ) X Y ii. X Y (X Y ) iii. (X Y ) X Y iv. X Y (X Y ) (d) Peirce törvénye (e) Reduktio ad absurdum ((X Y ) X) X (X Y ) (X Y ) X (f) Előtag felcserélése implikációban (X (Y Z)) (Y (X Z)) (g) Az implikáció öndisztributivitása i. (X (Y Z)) ((X Y ) (X Z)) ii. (X Y ) (X Z)) (X (Y Z)) (h) Az implikáció tranzitivitása ((A B) (B C)) (A C) (i) Kontrapozíció i. (X Y ) ( Y X) ii. ( Y X) (X Y ) (j) Konjunkció disztributivitás i. (X Y ) Z (X Z) (Y Z) ii. (X Z) (Y Z) (X Y ) Z (k) Diszjunkció disztributivitás i. (X Y ) Z (X Z) (Y Z) ii. (X Z) (Y Z) (X Y ) Z

26 Az informatika logikai alapjai Bizonyítsuk be Gentzen-kalkulus segítségével hogy az alábbi elsőrendű formulák logikai törvények! (a) De Morgan kvantoros törvényei i. ( xp (x) x P (x)) ( x P (x) xp (x)) ii. ( xp (x) x P (x)) ( x P (x) xp (x)) (b) Kétoldali kvantorkiemelés i. xp (x) xq(x) x(p (x) Q(x)) ii. x(p (x) Q(x)) xp (x) xq(x) iii. xp (x) xq(x) x(p (x) Q(x)) iv. x(p (x) Q(x)) xp (x) xq(x)

Logika feladatgyűjtemény

Logika feladatgyűjtemény Debreceni Egyetem Informatikai Kar Logika feladatgyűjtemény 2005. május 19. Készítette: Lengyel Zoltán lengyelz@inf.unideb.hu Tartalomjegyzék 1. Ítéletlogika 2 2. Elsőrendű logika 17 2.1. Prenex alak......................................

Részletesebben

Az informatika logikai alapjai előadások

Az informatika logikai alapjai előadások VÁRTERÉSZ MAGDA Az informatika logikai alapjai előadások 2006/07-es tanév 1. félév Tartalomjegyzék 1. Bevezetés 2 2. Az ítéletlogika 18 2.1. Az ítéletlogika nyelve szintaxis...............................................

Részletesebben

Matematikai logika. 3. fejezet. Logikai m veletek, kvantorok 3-1

Matematikai logika. 3. fejezet. Logikai m veletek, kvantorok 3-1 3. fejezet Matematikai logika Logikai m veletek, kvantorok D 3.1 A P és Q elemi ítéletekre vonatkozó logikai alapm veleteket (konjunkció ( ), diszjunkció ( ), implikáció ( ), ekvivalencia ( ), negáció

Részletesebben

A logikai következmény

A logikai következmény Logika 3 A logikai következmény A logika egyik feladata: helyes következtetési sémák kialakítása. Példa következtetésekre : Minden veréb madár. Minden madár gerinces. Minden veréb gerinces 1.Feltétel 2.Feltétel

Részletesebben

Megoldások. 2001. augusztus 8.

Megoldások. 2001. augusztus 8. Megoldások 2001. augusztus 8. 1 1. El zetes tudnivalók a különböz matematikai logikai nyelvekr l 1.1. (a) Igen (b) Igen (c) Nem, mert nem kijelent mondat. (d) Nem fejez ki önmagában állítást. "Ádám azt

Részletesebben

Logikai alapok a programozáshoz. Nagy Károly 2014

Logikai alapok a programozáshoz. Nagy Károly 2014 Logikai alapok a programozáshoz előadások összefoglalója (Levelezős hallgatók számára) Nagy Károly 2014 1 1. Kijelentés logika, ítéletkalkulus 1.1. Definíció. Azokat a kijelentő mondatokat, amelyekről

Részletesebben

Logika és informatikai alkalmazásai

Logika és informatikai alkalmazásai Logika és informatikai alkalmazásai 1. gyakorlat Németh L. Zoltán http://www.inf.u-szeged.hu/~zlnemeth SZTE, Informatikai Tanszékcsoport 2008 tavasz Követelmények A tárgy (ea+gyak) teljesítésének követlményeit

Részletesebben

A matematika nyelvér l bevezetés

A matematika nyelvér l bevezetés A matematika nyelvér l bevezetés Wettl Ferenc 2012-09-06 Wettl Ferenc () A matematika nyelvér l bevezetés 2012-09-06 1 / 19 Tartalom 1 Matematika Matematikai kijelentések 2 Logikai m veletek Állítások

Részletesebben

A matematika nyelvéről bevezetés

A matematika nyelvéről bevezetés A matematika nyelvéről bevezetés Wettl Ferenc 2006. szeptember 19. Wettl Ferenc () A matematika nyelvéről bevezetés 2006. szeptember 19. 1 / 17 Tartalom 1 Matematika Kijelentő mondatok Matematikai kijelentések

Részletesebben

Diszkrét matematika I.

Diszkrét matematika I. Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 2. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Matematikai logika Diszkrét matematika I. középszint

Részletesebben

Felmentések. Ha valaki tanár szakos, akkor mivel neki elvileg a hálóban nincs logika rész, felmentést kaphat a logika gyakorlat és vizsga alól.

Felmentések. Ha valaki tanár szakos, akkor mivel neki elvileg a hálóban nincs logika rész, felmentést kaphat a logika gyakorlat és vizsga alól. Felmentések Ha valaki tanár szakos, akkor mivel neki elvileg a hálóban nincs logika rész, felmentést kaphat a logika gyakorlat és vizsga alól. Az eredménye, ezek után a számításelélet részből elért eredmény

Részletesebben

Halmazelmélet és logika

Halmazelmélet és logika Halmazelmélet és logika Dr. Szilágyi Ibolya szibolya@ektf.hu Matematika és Informatika Intézet EKF, Eger 2006/07 I. szemeszter Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/007 1 / 58 Outline A halmazelmélet és

Részletesebben

A matematika alapjai. Nagy Károly 2014

A matematika alapjai. Nagy Károly 2014 A matematika alapjai előadások összefoglalója (Levelezős hallgatók számára) Nagy Károly 2014 1 1. Kijelentés logika, ítéletkalkulus 1.1. Definíció. Azokat a kijelentő mondatokat, amelyekről egyértelműen

Részletesebben

Magyarok: Bereczki Ilona, Kalmár László, Neumann, Péter Rózsa, Pásztorné Varga Katalin, Urbán János, Lovász László

Magyarok: Bereczki Ilona, Kalmár László, Neumann, Péter Rózsa, Pásztorné Varga Katalin, Urbán János, Lovász László MATEMATIKAI LOGIKA A gondolkodás tudománya Diszkrét matematika Arisztotelész(i.e. 384-311) Boole, De Morgan, Gödel, Cantor, Church, Herbrand, Hilbert, Kleene, Lukesiewicz, Löwenheim, Ackermann, McKinsey,

Részletesebben

Logika és informatikai alkalmazásai

Logika és informatikai alkalmazásai Logika és informatikai alkalmazásai 1. gyakorlat Németh L. Zoltán http://www.inf.u-szeged.hu/~zlnemeth SZTE, Informatikai Tanszékcsoport 2009 tavasz Követelmények A tárgy (ea+gyak) teljesítésének követlményeit

Részletesebben

LOGIKA ÉS ÉRVELÉSTECHNIKA

LOGIKA ÉS ÉRVELÉSTECHNIKA LOGIKA ÉS ÉRVELÉSTECHNIKA ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Logika és érveléstechnika NULLADREND LOGIKA 3. Készítette: Szakmai felel s: 2011. február Készült a következ m felhasználásával: Ruzsa

Részletesebben

2. Logika gyakorlat Függvények és a teljes indukció

2. Logika gyakorlat Függvények és a teljes indukció 2. Logika gyakorlat Függvények és a teljes indukció Folláth János Debreceni Egyetem - Informatika Kar 2012/13. I. félév Áttekintés 1 Függvények Relációk Halmazok 2 Természetes számok Formulák Definíció

Részletesebben

LOGIKA. Magyarok: Bereczki Ilona, Kalmár László, Neumann, Péter Rózsa, Pásztorné Varga Katalin, Urbán János, Lovász László.

LOGIKA. Magyarok: Bereczki Ilona, Kalmár László, Neumann, Péter Rózsa, Pásztorné Varga Katalin, Urbán János, Lovász László. MATEMATIKAI A gondolkodás tudománya Arisztotelész(i.e. 384-311) Boole, De Morgan, Gödel, Cantor, Church, Herbrand, Hilbert, Kleene, Lukesiewicz, Löwenheim, Ackermann, McKinsey, Tarski, Ramsey, Russel,

Részletesebben

Matematikai logika. Nagy Károly 2009

Matematikai logika. Nagy Károly 2009 Matematikai logika előadások összefoglalója (Levelezős hallgatók számára) Nagy Károly 2009 1 1. Elsőrendű nyelvek 1.1. Definíció. Az Ω =< Srt, Cnst, F n, P r > komponensekből álló rendezett négyest elsőrendű

Részletesebben

LOGIKA. A logika feladata tehát a premisszák és a konklúzió

LOGIKA. A logika feladata tehát a premisszák és a konklúzió LOGIKA hétköznapi jelentése: a rendszeresség, következetesség szinonimája Ez logikus beszéd volt. Nincs benne logika. Más logika szerint gondolkodik. tudományszak elnevezése, melynek fő feladata a helyes

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Logika

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Logika Logika Indukció: A fogalomalkotásnak azt a módját, amikor a konkrét tapasztalatokra támaszkodva jutunk el az általános fogalomhoz, indukciónak nevezzük. Dedukció: A fogalomalkotásnak azt a módját, amikor

Részletesebben

LOGIKA. A logika feladata tehát a premisszák és a konklúzió

LOGIKA. A logika feladata tehát a premisszák és a konklúzió LOGIKA hétköznapi jelentése: a rendszeresség, következetesség szinonimája Ez logikus beszéd volt. Nincs benne logika. Más logika szerint gondolkodik. tudományszak elnevezése, melynek fő feladata a helyes

Részletesebben

A matematikai logika alapjai

A matematikai logika alapjai A matematikai logika alapjai A logika a gondolkodás törvényeivel foglalkozó tudomány A matematikai logika a logikának az az ága, amely a formális logika vizsgálatára matematikai módszereket alkalmaz. Tárgya

Részletesebben

Logikai alapok a programozáshoz

Logikai alapok a programozáshoz Logikai alapok a programozáshoz Kidolgozott tételek Készítette: Chripkó Ágnes Felhasznált anyagok: előadásvázlat; gyakorlatok anyaga; Pásztorné Varga K., Várterész M.: A matematikai logika alkalmazásszemléletű

Részletesebben

Következik, hogy B-nek minden prímosztója 4k + 1 alakú, de akkor B maga is 4k + 1 alakú, s ez ellentmondás.

Következik, hogy B-nek minden prímosztója 4k + 1 alakú, de akkor B maga is 4k + 1 alakú, s ez ellentmondás. Prímszámok A (pozitív) prímszámok sorozata a következő: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,... 1. Tétel. Végtelen sok prímszám van. Első bizonyítás. (Euklidész) Tegyük fel, hogy állításunk nem igaz, tehát véges

Részletesebben

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al: Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x

Részletesebben

Knoch László: Információelmélet LOGIKA

Knoch László: Információelmélet LOGIKA Mi az ítélet? Az ítélet olyan mondat, amely vagy igaz, vagy hamis. Azt, hogy az adott ítélet igaz vagy hamis, az ítélet logikai értékének nevezzük. Jelölése: i igaz h hamis A 2 páros és prím. Logikai értéke

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 1 I. HALmAZOk 1. JELÖLÉSEk A halmaz fogalmát tulajdonságait gyakran használjuk a matematikában. A halmazt nem definiáljuk, ezt alapfogalomnak tekintjük. Ez nem szokatlan, hiszen

Részletesebben

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek A másodfokú egyenlet grafikus megoldása Példa1. Ábrázold az f(x) = x + 1x + 16 függvényt, majd olvasd le az ábráról az alábbi egyenlet megoldását: x + 1x + 16 = 0.

Részletesebben

Oktatási Hivatal. 1 pont. A feltételek alapján felírhatók az. összevonás után az. 1 pont

Oktatási Hivatal. 1 pont. A feltételek alapján felírhatók az. összevonás után az. 1 pont Oktatási Hivatal Öt pozitív egész szám egy számtani sorozat első öt eleme A sorozatnak a különbsége prímszám Tudjuk hogy az első négy szám köbének összege megegyezik az ezen öt tag közül vett páros sorszámú

Részletesebben

Dr. Jelasity Márk. Mesterséges Intelligencia I. Előadás Jegyzet (2008. október 6) Készítette: Filkus Dominik Martin

Dr. Jelasity Márk. Mesterséges Intelligencia I. Előadás Jegyzet (2008. október 6) Készítette: Filkus Dominik Martin Dr. Jelasity Márk Mesterséges Intelligencia I Előadás Jegyzet (2008. október 6) Készítette: Filkus Dominik Martin Elsőrendű logika -Ítéletkalkulus : Az elsőrendű logika egy speciális esete, itt csak nullad

Részletesebben

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek A másodfokú egyenlet grafikus megoldása Példa1. Ábrázold az f(x) = x 1x 16 függvényt, majd olvasd le az ábráról az alábbi egyenlet megoldását: x 1x 16 =. 1. lépés:

Részletesebben

Válogatott fejezetek a logikai programozásból ASP. Answer Set Programming Kelemen Attila

Válogatott fejezetek a logikai programozásból ASP. Answer Set Programming Kelemen Attila ASP 1 Kedvcsináló N királynő 3+1 sorban index(1..n). % minden sorban pontosan 1 királynő van 1{q(X,Y):index(X)}1 :- index(y). % az rossz, ha ugyanabban az oszlopban 2 királynő van :- index(x; Y1; Y2),

Részletesebben

Metrikus terek, többváltozós függvények

Metrikus terek, többváltozós függvények Metrikus terek, többváltozós függvények 2003.10.15 Készítette: Dr. Toledo Rodolfo és Dr. Blahota István 1. Metrikus terek, metrika tulajdonságai 1.1. A valós, komplex, racionális, természetes és egész

Részletesebben

Matematikai logika 1 A MATEMATIKAI LOGIKA ALAPJAI. Pécsi Tudományegyetem, 2005. Bevezetés

Matematikai logika 1 A MATEMATIKAI LOGIKA ALAPJAI. Pécsi Tudományegyetem, 2005. Bevezetés Matematikai logika 1 A MATEMATIKAI LOGIKA ALAPJAI Dr. Tóth László Pécsi Tudományegyetem, 2005 Bevezetés A logika a gondolkodás általános törvényszerűségeit, szabályait vizsgálja. A matematikai logika a

Részletesebben

Bevezetés. 1. fejezet. Algebrai feladatok. Feladatok

Bevezetés. 1. fejezet. Algebrai feladatok. Feladatok . fejezet Bevezetés Algebrai feladatok J. A számok gyakran használt halmazaira a következ jelöléseket vezetjük be: N a nemnegatív egész számok, N + a pozitív egész számok, Z az egész számok, Q a racionális

Részletesebben

Matematika 11 Koordináta geometria. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < szeptember 27.

Matematika 11 Koordináta geometria. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < szeptember 27. Matematika 11 Koordináta geometria Juhász László matematika és fizika szakos középiskolai tanár > o < 2015. szeptember 27. copyright: c Juhász László Ennek a könyvnek a használatát szerzői jog védi. A

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

Diszkrét matematika I. gyakorlat

Diszkrét matematika I. gyakorlat Vizsgafeladatok megoldása 2012. december 5. Tartalom Teljes feladatsor #1 1 Teljes feladatsor #1 2 Teljes feladatsor #2 3 Teljes feladatsor #3 4 Teljes feladatsor #4 5 Válogatott feladatok 6 Végső bölcsesség

Részletesebben

Határérték. prezentációjából valók ((C)Pearson Education, Inc.) Összeállította: Wettl Ferenc október 11.

Határérték. prezentációjából valók ((C)Pearson Education, Inc.) Összeállította: Wettl Ferenc október 11. Határérték Thomas féle Kalkulus 1 című könyv alapján készült a könyvet használó hallgatóknak. A képek az eredeti könyv szabadon letölthető prezentációjából valók ((C)Pearson Education, Inc.) Összeállította:

Részletesebben

Számelmélet. 4. Igazolja, hogy ha hat egész szám összege páratlan, akkor e számok szorzata páros!

Számelmélet. 4. Igazolja, hogy ha hat egész szám összege páratlan, akkor e számok szorzata páros! Számelmélet - oszthatóság definíciója - oszthatósági szabályok - maradékos osztás - prímek definíciója - összetett szám definíciója - legnagyobb közös osztó definíciója - legnagyobb közös osztó meghatározása

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I. Számelmélet I. DEFINÍCIÓ: (Osztó, többszörös) Ha egy a szám felírható egy b szám és egy másik egész szám szorzataként, akkor a b számot az a osztójának, az a számot a b többszörösének nevezzük. Megjegyzés:

Részletesebben

1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy b = ax. Ennek jelölése a b.

1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy b = ax. Ennek jelölése a b. 1. Oszthatóság, legnagyobb közös osztó Ebben a jegyzetben minden változó egész számot jelöl. 1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy

Részletesebben

Analízis előadás és gyakorlat vázlat

Analízis előadás és gyakorlat vázlat Analízis előadás és gyakorlat vázlat Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 2010-11. I. Félév 2 1. fejezet Számhalmazok és tulajdonságaik 1.1. Nevezetes számhalmazok ➀ a) jelölése: N b)

Részletesebben

Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam

Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam Halmazok:. Adott két halmaz: A = kétjegyű pozitív, 4-gyel osztható számok B = 0-nél nagyobb, de 0-nál nem nagyobb pozitív egész

Részletesebben

Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűségszámítás,

Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűségszámítás, // KURZUS: Matematika II. MODUL: Valószínűség-számítás 21. lecke: A feltételes valószínűség, események függetlensége Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűségszámítás,

Részletesebben

Diszkrét Matematika. Ha Picur akkor és csak akkor szabadítja ki a kalitkából Gombóc Artúrt, ha Artúr

Diszkrét Matematika. Ha Picur akkor és csak akkor szabadítja ki a kalitkából Gombóc Artúrt, ha Artúr FELADATOK AZ ÍTÉLETKALKULUS TÉMAKÖRHÖZ Diszkrét Matematika 3.1. Feladat. Döntse el, hogy az (a) A ( ( B) (C B) ) ( ) (b) A ( B) (C B) ( ) ( ) (c) (A ( B)) C B (d) A ( B) (C B) formulák közül a prímítéletek

Részletesebben

Intelligens Rendszerek I. Tudásábrázolás formális logikával

Intelligens Rendszerek I. Tudásábrázolás formális logikával Intelligens Rendszerek I. Tudásábrázolás formális logikával 2007/2008. tanév, I. félév Dr. Kovács Szilveszter E-mail: szkovacs@iit.uni-miskolc.hu Miskolci Egyetem Informatikai Intézet 106. sz. szoba Tel:

Részletesebben

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása 11 modul: EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK MEGOLDÁSA 6 I Egyenlet fogalma, algebrai megoldása Módszertani megjegyzés: Az egyenletek alaphalmazát, értelmezési tartományát később vezetjük be, a törtes egyenletekkel

Részletesebben

25. tétel: Bizonyítási módszerek és bemutatásuk tételek bizonyításában, tétel és megfordítása, szükséges és elégséges feltétel

25. tétel: Bizonyítási módszerek és bemutatásuk tételek bizonyításában, tétel és megfordítása, szükséges és elégséges feltétel 5. tétel: Bizonyítási módszerek és bemutatásuk tételek bizonyításában, tétel és megfordítása, szükséges és elégséges feltétel Axióma: Bizonyítás: olyan állítás, amelynek igazságát bizonyítás nélkül elfogadjuk.

Részletesebben

4. Fuzzy relációk. Gépi intelligencia I. Fodor János NIMGI1MIEM BMF NIK IMRI

4. Fuzzy relációk. Gépi intelligencia I. Fodor János NIMGI1MIEM BMF NIK IMRI 4. Fuzzy relációk Gépi intelligencia I. Fodor János BMF NIK IMRI NIMGI1MIEM Tartalomjegyzék I 1 Klasszikus relációk Halmazok Descartes-szorzata Relációk 2 Fuzzy relációk Fuzzy relációk véges alaphalmazok

Részletesebben

Itt és a továbbiakban a számhalmazokra az alábbi jelöléseket használjuk:

Itt és a továbbiakban a számhalmazokra az alábbi jelöléseket használjuk: 1. Halmazok, relációk, függvények 1.A. Halmazok A halmaz bizonyos jól meghatározott dolgok (tárgyak, fogalmak), a halmaz elemeinek az összessége. Azt, hogy az a elem hozzátartozik az A halmazhoz így jelöljük:

Részletesebben

LOGIKA ÉS SZÁMÍTÁSELMÉLET KIDOLGOZOTT JEGYZET

LOGIKA ÉS SZÁMÍTÁSELMÉLET KIDOLGOZOTT JEGYZET LOGIKA ÉS SZÁMÍTÁSELMÉLET KIDOLGOZOTT JEGYZET Készítette: Butkay Gábor és Gyenes József A jegyzet a 2013-2014-es tanév 2. felében lévő Logika és számításelmélet előadások alapján született. A jegyzet nem

Részletesebben

Matematika 10 Másodfokú egyenletek. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < 2015. szeptember 27.

Matematika 10 Másodfokú egyenletek. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < 2015. szeptember 27. Matematika 10 Másodfokú egyenletek Juhász László matematika és fizika szakos középiskolai tanár > o < 2015. szeptember 27. copyright: c Juhász László Ennek a könyvnek a használatát szerzői jog védi. A

Részletesebben

VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER október 15. Irodalom. További ajánlott feladatok

VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER október 15. Irodalom. További ajánlott feladatok VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER 2004. október 15. Irodalom A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: ezek egyrészt elhangzanak az előadáson, másrészt megtalálják

Részletesebben

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2015/2016-os tanév 1. forduló Haladók III. kategória

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2015/2016-os tanév 1. forduló Haladók III. kategória Bolyai János Matematikai Társulat Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2015/2016-os tanév 1. forduló Haladók III. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. Az a és b befogójú derékszögű háromszögnek

Részletesebben

Számelméleti alapfogalmak

Számelméleti alapfogalmak 1 Számelméleti alapfogalmak 1 Definíció Az a IN szám osztója a b IN számnak ha létezik c IN melyre a c = b Jelölése: a b 2 Példa a 0 bármely a számra teljesül, mivel c = 0 univerzálisan megfelel: a 0 =

Részletesebben

2. Reprezentáció-függvények, Erdős-Fuchs tétel

2. Reprezentáció-függvények, Erdős-Fuchs tétel 2. Reprezentáció-függvények, Erdős-Fuchs tétel A kör-probléma a következőképpen is megközelíthető: Jelölje S a négyzetszámok halmazát. Jelölje r S (n) azt az értéket, ahány féleképpen n felírható két pozitív

Részletesebben

Alapfogalmak-szemantika

Alapfogalmak-szemantika Volt (a helyes következtetéseknél): ELSŐRENDŰ LOGIKA Minden veréb madár. Minden madár gerinces. Minden veréb gerinces. Feltétel1 Feltétel2 Következmény Érezzük, hogy a leírt következtetés helyes. Azonban

Részletesebben

Kijelentéslogika I. 2004. szeptember 24.

Kijelentéslogika I. 2004. szeptember 24. Kijelentéslogika I. 2004. szeptember 24. Funktorok A természetesnyelvi mondatok gyakran összetettek: további mondatokból, végső soron pedig atomi mondatokból épülnek fel. Az összetevő mondatokat mondatkonnektívumok

Részletesebben

Negáció igazságtáblája. Propozicionális logika -- levezetések. Diszjunkció igazságtáblája. Konjunkció igazságtáblája. Kondicionális igazságtáblája

Negáció igazságtáblája. Propozicionális logika -- levezetések. Diszjunkció igazságtáblája. Konjunkció igazságtáblája. Kondicionális igazságtáblája Negáció igazságtáblája Propozicionális logika -- levezetések p ~p I H H I Konjunkció igazságtáblája Diszjunkció igazságtáblája p q p&q I I I I H H H I H H H H p q pvq I I I I H I H I I H H H Megengedő

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 4 IV. FÜGGVÉNYEk 1. LEkÉPEZÉSEk, függvények Definíció Legyen és két halmaz. Egy függvény -ből -ba egy olyan szabály, amely minden elemhez pontosan egy elemet rendel hozzá. Az

Részletesebben

Ésik Zoltán (SZTE Informatikai Tanszékcsoport) Logika a számtastudományban Logika és informatikai alkalmazásai Varterész Magdolna, Uni-Deb

Ésik Zoltán (SZTE Informatikai Tanszékcsoport) Logika a számtastudományban Logika és informatikai alkalmazásai Varterész Magdolna, Uni-Deb Logika, 5. Az előadásfóliák ÉsikZoltén (SZTE InformatikaiTanszékcsoport) Logikaa szamtastudomanyban Logikaes informatikaialkalmazasai Előadásai alapján készültek Ésik Zoltán (SZTE Informatikai Tanszékcsoport)

Részletesebben

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság.

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság. 2. Közönséges differenciálegyenlet megoldása, megoldhatósága Definíció: Az y függvényt a valós számok H halmazán a közönséges differenciálegyenlet megoldásának nevezzük, ha az y = y(x) helyettesítést elvégezve

Részletesebben

Hódmezővásárhelyi Városi Matematikaverseny április 14. A osztályosok feladatainak javítókulcsa

Hódmezővásárhelyi Városi Matematikaverseny április 14. A osztályosok feladatainak javítókulcsa Hódmezővásárhelyi Városi Matematikaverseny 2003. április 14. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa 1. feladat Egy számtani sorozatot az első eleme és különbsége egyértelműen meghatározza, azt

Részletesebben

Diszkrét matematika I.

Diszkrét matematika I. Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 10. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Felhívás Diszkrét matematika I. középszint 2014.

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII.

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Magasabbfokú egyenletek: A 3, vagy annál nagyobb fokú egyenleteket magasabb fokú egyenleteknek nevezzük. Megjegyzés: Egy n - ed fokú egyenletnek legfeljebb n darab valós

Részletesebben

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny tanévi második fordulójának feladatmegoldásai. x 2 sin x cos (2x) < 1 x.

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny tanévi második fordulójának feladatmegoldásai. x 2 sin x cos (2x) < 1 x. Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi második fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára 1. Oldja meg a következő egyenlőtlenséget, ha x > 0: x 2 sin

Részletesebben

y + a y + b y = r(x),

y + a y + b y = r(x), Definíció 1 A másodrendű, állandó együtthatós, lineáris differenciálegyenletek általános alakja y + a y + b y = r(x), ( ) ahol a és b valós számok, r(x) pedig adott függvény. Ha az r(x) függvény az azonosan

Részletesebben

A relációelmélet alapjai

A relációelmélet alapjai A relációelmélet alapjai A reláció latin eredet szó, jelentése kapcsolat. A reláció, két vagy több nem feltétlenül különböz halmaz elemei közötti viszonyt, kapcsolatot fejez ki. A reláció értelmezése gráffal

Részletesebben

NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI

NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI A NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI 20-09-2 Terem: Munkaidő: 0 perc. A dolgozat megírásához íróeszközön kívül semmilyen segédeszköz nem használható! Csak és kizárólag tollal tölthető ki a feladatlap, a ceruzával

Részletesebben

OSZTHATÓSÁG. Osztók és többszörösök : a 3 többszörösei : a 4 többszörösei Ahol mindkét jel megtalálható a 12 többszöröseit találjuk.

OSZTHATÓSÁG. Osztók és többszörösök : a 3 többszörösei : a 4 többszörösei Ahol mindkét jel megtalálható a 12 többszöröseit találjuk. Osztók és többszörösök 1783. A megadott számok elsõ tíz többszöröse: 3: 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 4: 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 5: 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 6: 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 1784. :

Részletesebben

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az

Részletesebben

Matematikai logika. Jegyzet. Összeállította: Faludi Anita 2011.

Matematikai logika. Jegyzet. Összeállította: Faludi Anita 2011. Matematikai logika Jegyzet Összeállította: Faludi Anita 2011. Tartalomjegyzék Bevezetés... 3 Előzmények... 3 Augustus de Morgan (1806-1871)... 3 George Boole(1815-1864)... 3 Claude Elwood Shannon(1916-2001)...

Részletesebben

Logika és számításelmélet. 2011/11 11

Logika és számításelmélet. 2011/11 11 (Logika rész) Logika és számításelmélet. 2011/11 11 1. előadás 1. Bevezető rész Logika (és a matematikai logika) tárgya Logika (és a matematikai logika) tárgya az emberi gondolkodás vizsgálata. A gondolkodás

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Diszkrét matematika 1. estis képzés. Komputeralgebra Tanszék ősz

Diszkrét matematika 1. estis képzés. Komputeralgebra Tanszék ősz Diszkrét matematika 1. estis képzés 2015. ősz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 6. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2015. ősz Elemi számelmélet Diszkrét matematika 1. estis

Részletesebben

ARCHIMEDES MATEMATIKA VERSENY

ARCHIMEDES MATEMATIKA VERSENY Koszinusztétel Tétel: Bármely háromszögben az egyik oldal négyzetét megkapjuk, ha a másik két oldal négyzetének összegéből kivonjuk e két oldal és az általuk közbezárt szög koszinuszának kétszeres szorzatát.

Részletesebben

Permutációk véges halmazon (el adásvázlat, február 12.)

Permutációk véges halmazon (el adásvázlat, február 12.) Permutációk véges halmazon el adásvázlat 2008 február 12 Maróti Miklós Ennek az el adásnak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudni: ismétlés nélküli variáció leképezés indulási és érkezési halmaz

Részletesebben

2) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont)

2) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont) (11/1) Függvények 1 1) Ábrázolja az f()= -4 függvényt a [ ;10 ] intervallumon! (pont) ) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont) 3) Ábrázolja + 1 - függvényt a [ ;] -on! (3pont)

Részletesebben

Bizonytalanság. Mesterséges intelligencia április 4.

Bizonytalanság. Mesterséges intelligencia április 4. Bizonytalanság Mesterséges intelligencia 2014. április 4. Bevezetés Eddig: logika, igaz/hamis Ha nem teljes a tudás A világ nem figyelhető meg közvetlenül Részleges tudás nem reprezentálható logikai eszközökkel

Részletesebben

2. Feladatsor. N k = {(a 1,...,a k ) : a 1,...,a k N}

2. Feladatsor. N k = {(a 1,...,a k ) : a 1,...,a k N} 2. Feladatsor Oszthatóság, legnagyobb közös osztó, prímfaktorizáció az egész számok körében 1 Kötelező házi feladat(ok) 2., Határozzuk meg a ϕ:z Z, z [ z 5] leképezés magját. Adjuk meg a ker(ϕ)-hez tartozó

Részletesebben

6. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 6. előadás Bázis, dimenzió

6. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 6. előadás Bázis, dimenzió 6. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 37. 41. oldal. Gondolkodnivalók Lineáris függetlenség 1. Gondolkodnivaló Legyen V valós számtest feletti vektortér. Igazolja, hogy ha a v 1, v 2,..., v n V

Részletesebben

Egész számok. pozitív egész számok: 1; 2; 3; 4;... negatív egész számok: 1; 2; 3; 4;...

Egész számok. pozitív egész számok: 1; 2; 3; 4;... negatív egész számok: 1; 2; 3; 4;... Egész számok természetes számok ( ) pozitív egész számok: 1; 2; 3; 4;... 0 negatív egész számok: 1; 2; 3; 4;... egész számok ( ) 1. Írd a következõ számokat a halmazábra megfelelõ helyére! 3; 7; +6 ; (

Részletesebben

Megoldások MATEMATIKA II. VIZSGA (VK) NBT. NG. NMH. SZAKOS HALLGATÓK RÉSZÉRE (Kérjük, hogy a megfelelő szakot jelölje be!

Megoldások MATEMATIKA II. VIZSGA (VK) NBT. NG. NMH. SZAKOS HALLGATÓK RÉSZÉRE (Kérjük, hogy a megfelelő szakot jelölje be! MATEMATIKA II. VIZSGA (VK) NBT. NG. NMH. SZAKOS HALLGATÓK RÉSZÉRE (Kérjük, hogy a megfelelő szakot jelölje be!) 2016. JANUÁR 21. Elérhető pontszám: 50 pont Megoldások 1. 6. 2. 7. 3. 8. 4. 9. 5. Össz.:

Részletesebben

HALMAZELMÉLET feladatsor 1.

HALMAZELMÉLET feladatsor 1. HALMAZELMÉLET feladatsor 1. Egy (H,, ) algebrai struktúra háló, ha (H, ) és (H, ) kommutatív félcsoport, és teljesül az ún. elnyelési tulajdonság: A, B H: A (A B) = A, A (A B) = A. A (H,, ) háló korlátos,

Részletesebben

9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás:

9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás: 9. Trigonometria I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! x = cos 150 ; y = sin 5 ; z = tg ( 60 ) (A) z < x < y (B) x < y < z (C) y < x < z (D) z < y

Részletesebben

FÜGGVÉNYTANI ALAPOK A) ÉRTELMEZÉSI TARTOMÁNY

FÜGGVÉNYTANI ALAPOK A) ÉRTELMEZÉSI TARTOMÁNY FÜGGVÉNYTANI ALAPOK Foglalkoztunk az alaptulajdonságnak tekinthető értelmezési tartománnyal, és a paritással, továbbá az összetett függvények képzési módjával, illetve ezeknek az elemi függvényekre való

Részletesebben

Matematika III. harmadik előadás

Matematika III. harmadik előadás Matematika III. harmadik előadás Kézi Csaba Debreceni Egyetem, Műszaki Kar Debrecen, 2013/14 tanév, I. félév Kézi Csaba (DE) Matematika III. harmadik előadás 2013/14 tanév, I. félév 1 / 13 tétel Az y (x)

Részletesebben

Az informatika logikai alapjai PTI BSc nappali szakosok számára g 2. verzió, 2009. október 9.

Az informatika logikai alapjai PTI BSc nappali szakosok számára g 2. verzió, 2009. október 9. Az informatika logikai alapjai PTI BSc nappali szakosok számára g 2. verzió, 2009. október 9. Vályi Sándor NyF TTIK Matematikai és Informatikai Intézet 2009 szi szemeszter Az 1. verzióbeli részek apróbb

Részletesebben

Az ellenpéldával történő cáfolás az elemi matematikában

Az ellenpéldával történő cáfolás az elemi matematikában Az ellenpéldával történő cáfolás az elemi matematikában Tuzson Zoltán, Székelyudvarhely Ismeretes, hogy a logika a helyes gondolkodás törvényeit leíró tudomány, ezért más tudományágakban sem nélkülözhető.

Részletesebben

BOOLE ALGEBRA Logika: A konjunkció és diszjunkció tulajdonságai

BOOLE ALGEBRA Logika: A konjunkció és diszjunkció tulajdonságai BOOLE ALGEBRA Logika: A konjunkció és diszjunkció tulajdonságai 1.a. A B B A 2.a. (A B) C A (B C) 3.a. A (A B) A 4.a. I A I 5.a. A (B C) (A B) (A C) 6.a. A A I 1.b. A B B A 2.b. (A B) C A (B C) 3.b. A

Részletesebben

Feladatok Differenciálegyenletek II. témakörhöz. 1. Határozzuk meg a következő elsőrendű lineáris differenciálegyenletek általános megoldását!

Feladatok Differenciálegyenletek II. témakörhöz. 1. Határozzuk meg a következő elsőrendű lineáris differenciálegyenletek általános megoldását! Feladatok Differenciálegyenletek II. témakörhöz 1. Határozzuk meg a következő elsőrendű lineáris differenciálegyenletek általános megoldását! (a) (b) 2. Tekintsük az differenciálegyenletet. y y = e x.

Részletesebben

Dinamikus modellek szerkezete, SDG modellek

Dinamikus modellek szerkezete, SDG modellek Diagnosztika - 3. p. 1/2 Modell Alapú Diagnosztika Diszkrét Módszerekkel Dinamikus modellek szerkezete, SDG modellek Hangos Katalin PE Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék Diagnosztika - 3.

Részletesebben

A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny MATEMATIKA II. KATEGÓRIA (GIMNÁZIUM)

A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny MATEMATIKA II. KATEGÓRIA (GIMNÁZIUM) A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA II. KATEGÓRIA (GIMNÁZIUM) Javítási értékelési útmutató 1. Melyek azok a pozitív p és q prímek, amelyekre a számok mindegyike

Részletesebben

Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged

Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged Magas szintű matematikai tehetséggondozás Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged Ahhoz, hogy egy diák kimagasló eredményeket érhessen el matematika versenyeken, elengedhetetlenül

Részletesebben

Természetes számok: a legegyszerűbb halmazok elemeinek. halmazokat alkothatunk, ezek elemszámai természetes 3+2=5

Természetes számok: a legegyszerűbb halmazok elemeinek. halmazokat alkothatunk, ezek elemszámai természetes 3+2=5 1. Valós számok (ismétlés) Természetes számok: a legegyszerűbb halmazok elemeinek megszámlálására használjuk őket: N := {1, 2, 3,...,n,...} Például, egy zsák bab felhasználásával babszemekből halmazokat

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Számelmélet

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Számelmélet MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Számelmélet A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie.

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben