Az informatika logikai alapjai 1

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Az informatika logikai alapjai 1"

Átírás

1 Az informatika logikai alapjai Az alábbi idézetek 1 közül melyek fejeznek ki állítást? Miért, illetve miért nem? (a) Ez volt ám az ember, ha kellett, a gáton. (b) Szép öcsém, miért állsz ott a nap tüzében? (c) Hej! ha én is, én is köztetek mehetnék, Szép magyar vitézek, aranyos leventék! (d) Toldi György nagy úr volt. (e) Add ki, bátya, tüstént, ami engem illet; Add ki a jussomat: pénzt, paripát, fegyvert Az alábbi kijelentő mondatok közül melyek állítások? (a) A hét páratlan szám. (b) A tíz nem osztható öttel. (c) Prímnek nevezzük azokat a természetes számokat, amelynek pontosan két osztójuk van (maga a szám és 1). (d) Minden ötnél nagyobb páratlan szám előáll három prímszám összegeként. (Goldbach-sejtés) (e) x Mi a probléma a logikában az alábbi kijelentő mondatokkal? (a) Fiam, aki Budapesten él, biológus. (b) A Tisza mellékfolyója árad. (c) Ez az állítás hamis. (d) A jelenleg uralkodó egyiptomi fáraó kopasz Vannak-e az alábbi mondatok között olyanok, amelyek ugyanazt az állítást fejezik ki? (a) Anna Béla férje. (b) Béla Anna felesége. (c) Csaba Anna unokája. (d) Van olyan gyermeke Annának, aki szülője Csabának. (e) Csaba valaki olyannak a gyermeke, akinek egyik szülője Anna. (f) Itt van a kutya elásva. (g) Ezen a helyen hantolták el az ebet Írjuk át a természetes nyelven megfogalmazott negációkat a jel használatával a következő mondatokban! A negációjel argumentumát határoljuk zárójelekkel. (a) A tíz osztható öttel. (b) A tíz nem osztható öttel. (c) Nem igaz, hogy a tíz nem osztható öttel. (d) Az ébenfa nem fehér. (e) Az ébenfa fekete. 1 Arany: Toldi

2 Az informatika logikai alapjai 2 (f) Tévedés, hogy az ébenfa nem fekete. (g) A csokoládét Péter megette. (h) A csokoládét nem Péter ette meg. (i) Nem igaz, hogy a csokoládét Péter megette. (j) Nincs igaza annak, aki tagadja, hogy a csokoládét Péter megette. (k) A probléma megoldható. (l) A probléma megoldhatatlan. (m) Tévedés az, hogy a probléma megoldhatatlan Írjuk át a természetes nyelven megfogalmazott negációkat a, a konjunkciókat jelek használatával a következő mondatokban! Az argumentumokat határoljuk zárójelekkel. (a) Hervad már ligetünk, s díszei hullanak. 2 (b) Egy kálomista pap s Csokonai Egymásnak voltak jóbarátai. 3 (c) Elment, nem látom többé már soha, Elment, nem látom többé már soha. 4 (d) Tán csodállak, ámde nem szeretlek... 5 (e) Sem utódja, sem boldog őse, Sem rokona sem ismerőse nem vagyok senkinek A köznyelvben a vagy kötőszót többféle értelemben használjuk: megengedő, kizáró és összeférhetetlen értelemben. Az alábbi mondatokban döntsük el, milyen értelemben használtuk a kötőszót. (a) Zoltánt vagy Gábort magammal viszem. (b) Vagy Zoltánt viszem magammal, vagy Gábort. (c) Egy angolul vagy németül beszélő idegenvezető kíséri a látogatókat. (d) Melyik állomás következik most? kérdezi az egyik utas a másiktól. Vagy Téglás, vagy Újfehértó feleli az. (e) Kérlek, Tomi, tedd le most a könyvet mondta az apja. Vagy eszik az ember, vagy olvas Írjuk át a természetes nyelven megfogalmazott negációkat a, a konjunkciókat, a diszjunkciókat jelek használatával a következ* mondatokban! Az argumentumokat határoljuk zárójelekkel. (a) Elutazhatunk a Balatonra vagy a Mátrába, de nem utazhatunk a Balatonra is és a Mátrába is. (b) Anna elmegy és Bella itt marad, vagy mind a ketten elmennek, és Anna vissza sem jön, de Bella vagy visszajön, vagy mégsem jön vissza. (c) Kizárt, hogy nem vizsgázom le logikából vagy diszkrét matematikából elsőre, mégis izgulok Írjuk át a természetes nyelven megfogalmazott negációkat a, a konjunkciókat, a diszjunkciókat, az implikációkat jelek használatával a következő mondatokban! Az argumentumokat határoljuk zárójelekkel. 2 Berzsenyi: A közelítő tél 3 Petőfi: Csokonai 4 Ady: Egyedül a tengerrel 5 Petőfi: Az Alföld 6 Ady: Szeretném, ha szeretnének

3 Az informatika logikai alapjai 3 (a) Ha meghalunk, hát meghalunk... 7 (b) Ha egy úri lócsiszárral találkoztam s bevert sárral: Nem pöröltem, - Félreálltam, letöröltem. 8 (c) Csak akkor születtek nagy dolgok, Ha bátrak voltak, akik mertek. 9 (d) Ó ha cinke volnék, útra kelnék, hömpölygž sugárban énekelnék Mely állítások fejezik ki ugyanazt? (a) Ha Julcsinak sikerül a dolgozata, megkapja a jelest. (b) Ha Julcsinak nem sikerül a dolgozata, nem kapja meg a jelest. (c) Ha Julcsi megkapta a jelest, sikerült a dolgozata. (d) Ha Julcsi nem kapta meg a jelest, nem sikerült a dolgozata. (e) Csak akkor kapja meg Julcsi a jelest, ha sikerül a dolgozata. (f) Csak akkor nem kapja meg Julcsi a jelest, ha nem sikerül a dolgozata Reginam occidere nolite timere bonum est si omnes consentiunt ego non contradico. írta Merániai János esztergomi érsek híres levelében dodonai kétértelműséggel. Magyarul: A királynőt megölni nem kell félnetek jó lesz ha mindnyájan beleegyeztek én nem ellenzem. Adjuk meg a lehetséges jelentéseket, melyeket alább formalizáltunk: (a) (a királynőt meg kell ölni) (félnetek jó lesz) (mindnyájan beleegyeztek (én beleegyeztem)) (én ellenzem) (b) (a királynőt megölni félnetek kell) (jó lesz) (mindnyájan beleegyeztek (én ellenzem)) 7 Ady: Hadak útján 8 Arany: Epilógus 9 Ady: A Tűz csiholója 10 Weöres: Buba éneke

4 Az informatika logikai alapjai Legyenek X, Y és Z ítéletváltozók. Döntsük el, hogy az alábbi jelsorozatok (teljesen zárójelezett) formuláke, azaz olyan formulák, melyek megadásakor nem használunk a zárójelek elhagyásával kapcsolatos megállapodásokat és nem vezetünk be jelöléseket. (a) ((X Y ) Z) (b) ((X Y ) Z) (c) (X Y (d) (X Y )) (e) (Z XY ) (f) (Z X Y ) (g) ( X) (h) (X Y ) (i) (( X Y ) (X Z)) (j) (X Y Z) (k) (X Y Z) 2.2. Hagyjuk el a lehető legtöbb zárójelet a formulákból. (a) ((X Y ) Z) (b) ( (X Y ) Z) (c) (( ( X Y ) Z) (X Z)) (d) (((X Y ) (Y Z)) ( X Z)) (e) (((X Y ) (Y Z)) ( X Z)) (f) ((X Y ) ( X Y )) (g) (((X Y ) Z) (X Z)) (h) ((X Y ) Z) (i) (X (Y Z)) 2.3. Adjuk meg az alábbi formulák teljesen zárójelezett alakját. (a) X Y Z (b) X Y Z (c) X Y Y Z (d) X Y Y Z (e) X Y (f) Y X Z (g) X Y Z (h) ( X Y ) Z 2.4. Milyen (teljesen zárójelezett) formulát rövidítenek az alábbiak? (A B) ((A B) (B A)) (a) X Y (b) X Y X Y (c) X Y Z X Z (d) (X Y ) Z X 2.5. Jelentse E, hogy esik az eső, S, hogy strandolok, N, hogy napozok, O, hogy otthon maradok. Mit jelentenek természetes nyelven az alábbi formulák? (a) (E (S N)) (b) ((O E) (E O)) (c) (S E) (d) ((E O) ( E S)) (e) ( O ((N E) S)) 2.6. Formalizáljuk az ítéletlogika nyelvén a következő mondatokat! (a) Jancsi eltévedt az erdőben, és nem talált haza.

5 Az informatika logikai alapjai 5 (b) Jancsi eltévedt az erdőben, de Juliska nem. (c) Jancsi eltévedt az erdőben, bár jól ismerte az utat. (d) Egészségtelenül táplálkozik, vagy keveset mozog. (e) Saját autójával megy, vagy hív egy taxit. (f) Ha holnap süt a nap, akkor 10-kor várlak az uszodában. (g) Csak akkor fejezzük be a gyakorlatot, ha már mindenki volt a táblánál. (h) Elmegyek moziba, feltéve, hogy van pénzem. (i) Akkor és csak akkor süt a nap, ha holnap kimegyek az uszodába Írjuk fel ítéletlogikai nyelven az alábbi állításokat. (a) Nincs jó idő. (b) Ha jó az idő, kirándulni megyünk. (c) Nincs jó idő, és nem megyünk kirándulni. (d) Csak akkor megyünk kirándulni, ha jó az idő. (e) Nem fordulhat elő, hogy kirándulni megyünk, és nincs jó idő. (f) Ha esik az eső vagy fúj a szél, akkor nincs jó idő. (g) Esik az eső, pedig süt a Nap. (h) Ha esik az eső és süt a Nap, akkor szivárványt lehet látni, kivéve ha éppen a városban vagyunk. (i) Ha várakozás nélkül kapok reggelit, akkor - föltéve hogy nem alszom el - nyolc órára megérkezem. (j) Ha elalszom, nem kapok várakozás nélkül reggelit. (k) Ha nem alszom el, akkor reggelit is várakozás nélkül kapok, és meg is érkezem nyolc órára. (l) Ha ünnepély lesz, a tanítás délben véget ér. (m) Ha osztályfőnöki óra lesz, a tornaóra elmarad. (n) A tanítás nem ér véget délben, pedig ünnepély vagy osztályfőnöki óra lesz. (o) Ha a szemtanú megbízható, és az írásszakértő véleménye helytálló, úgy a bűncselekményt akkor és csak akkor követték el előre megfontolt szándékkal, ha a talált ujjlenyomatok a tettestől vagy esetleges bűntársától származnak. (p) Ha a szemtanú megbízható, az írásszakértő véleménye helytálló, és a talált ujjlenyomatok a tettestől származnak, akkor a bűncselekményt előre megfontolt szándékkal követték el Írjuk le az ítéletlogika nyelvén. (a) Nemcsak X, hanem Y is. (b) X abban az esetben, ha Y. (c) Nem igaz, hogy ha X, akkor egyúttal Y. (d) X, feltéve, hogy Y. (e) Bár nem X, mégis Y. (f) Csak akkor X, ha Y. (g) Legfeljebb akkor X, ha Y. (h) X, kivéve, ha nem Y.

6 Az informatika logikai alapjai 6 (i) Akkor X, ha Y, de csak akkor. (j) Ha nem X, hát legalább Y. (k) Vagy X, vagy Y, de nem mind a kettő. (l) Ha X, akkor Y, feltéve hogy nem Z. (m) Pontosan akkor X, ha nem Y.

7 Az informatika logikai alapjai Adjuk meg az alábbi formulák közvetlen részformuláit, részformuláik halmazait és állapítsuk meg a logikai összetettségüket. (a) X (b) X (c) X X (d) X Y (e) X Y Z (f) (X Y ) (g) ( (X Y ) (Z X)) (h) (X Y Z) Y Z (i) ( X Y Z) (j) X X Y (k) X Y Z (l) ((X Y ) ((X Y ) Y )) (m) X Y Z (X Z) (n) (X Y ) (Y Z) X Z 3.2. Mely formula(ák) részformulája(i) az alábbi formuláknak? (a) X Y Z X Z i. Z X ii. Z X Z iii. Y Z iv. X Y (b) X Y Z Y X i. Y Z ii. Z Y iii. X Y iv. Y Z Y (c) X Y Z X Y Z i. X Y ii. Z X Y iii. Y Z iv. Y Z 3.3. Adjuk meg a megjelölt logikai összekötőjel hatáskörét az alábbi formulákban, majd keressük meg a fő logikai összekötő jelet! X Z 1 Y 2 W ( ) X 6 Y 7 (Y Z) 3 (X Z) Y ( ) X Y 4 Z Y 5 Z ( X 8 Y Z) 9 Y 10 Z 3.4. Legyenek X, Y, Z ítéletváltozók. Hányféleképpen lehet zárójelekkel ellátni az alábbi jelsorozatokat úgy, hogy (teljesen zárójelezett) formulákat kapjunk? (a) X Y Y Z (b) X Y Z X Y 3.5. Bizonyítsuk be, hogy egy formulában a nyitó- és zárójelek száma megegyezik Legyen egy formulában n helyen logikai összekötőjel. Hány részformulája lehet maximum a formulának?

8 Az informatika logikai alapjai Igazoljuk, hogy egy formula valamelyik részformuláját másik formulával helyettesítve ismét formulát kapunk Adjuk meg a következő formulák értékét a megadott interpretációban: X X I1 I 1 (X) = i X X I2 I 2 (X) = h X X I3 I 3 (X) = i X X I4 I 4 (X) = h X X I5 I 5 (X) = i X X I6 I 6 (X) = h X Z Y I7 I 7 (X) = h I 7 (Y ) = h I 7 (Z) = h ( (X Y ) (Z X)) I8 I 8 (X) = h I 8 (Y ) = i I 8 (Z) = i (X Y Z) Y Z I9 I 9 (X) = i I 9 (Y ) = i I 9 (Z) = h ( X Y Z) I10 I 10 (X) = h I 10 (Y ) = i I 10 (Z) = h X X Y I11 I 11 (X) = i I 11 (Y ) = i I 11 (Z) = i X (Y X) I12 I 12 (X) = h I 12 (Y ) = i (Y X) (X Y ) I13 I 13 (X) = i I 13 (Y ) = h ( Y X X Y ) I14 I 14 (X) = h I 14 (Y ) = h 3.9. Határozzuk meg az alábbi formulák értékét a megadott interpretációban! I(X) = i, I(Y ) = h, I(Z) = h, I(W ) = h (a) ( (X Y Z) W Z) (b) (X Y ) Z X (c) X Z Y W (d) (X Z) Y (e) (X Y ) (Y Z) (f) (X Y Z) Y Z Tegyük fel, hogy egy formula igazságértékét ismerjük valamely interpretációban. Meg tudjuk-e határozni ezen ismeret birtokában egy másik, alább megadott formula igazságértékét? (a) X Y, ha X Y = i (b) X Y, ha X Y = h (c) (X Y ) Z, ha Y = i (d) (X Y ) ( Y X), ha Y = i (e) X Y X Z, ha X = i és Z = h (f) X Y X Y, ha X Y = i (g) X Y X Y, ha X Y = i

9 Az informatika logikai alapjai Mely állítások igazak az alábbiak közül? (a) Minden kielégíthető formula logikai törvény. (b) Van olyan kielégíthető formula, mely törvény. (c) Minden logikai törvény kielégíthető. (d) Csak az a formula logikai törvény, mely kielégíthető. (e) Ha egy formula ellentmondás, akkor kielégíthetetlen. (f) Ha egy formula kielégíthetetlen, akkor negáltja kielégíthető. (g) Ha egy formula kielégíthető, akkor negáltja ellentmondás. (h) Egy formula akkor és csak akkor kielégíthető, ha negáltja ellentmondás. (i) Egy formula pontosan akkor törvény, ha negáltja ellentmondás. (j) Ha egy formula negáltja kielégíthető, akkor az ellentmondás. (k) Minden formula vagy kielégíthető, vagy ellentmondás. (l) Minden formula vagy nem logikai törvény vagy ellentmondás Milyen szemantikai tulajdonságokkal rendelkeznek az alábbi formulák, azaz melyik kielégíthető, törvény, ellentmondás? Döntsük el a kérdést igazságtáblával! (a) X Y (X Y ) (b) (X Y ) (X Y ) (c) (X Y ) ( Z Y ) (d) (X (Y (Z X))) (e) X (Y (Z X)) 4.3. Adjunk meg (amennyiben lehetséges) egy-egy olyan interpretáció, melyben az alábbi formulák igazak! (a) (X Y Z) ( X Y ) (Z W Y ) (b) (X Y Z) ( W Z) (Y W ) (c) (X Y Y Z) (Z X) (Z Y ) (d) (X Y Z) (Z Y ) (W X) (Y Z W ) 4.4. Határozzuk meg a szemantikai definíciók mentén (igazságtábla nélkül), hogy az alábbi formulák közül melyek törvények! (a) (X Y ) X Y (b) X ( Y (Z ( U (W X)))) (c) ((X Y ) (X Y )) X (d) X (Y Z) ( X Y ) ( X Z) 4.5. Határozzuk meg a szemantikai definíciók mentén (igazságtábla nélkül), hogy az alábbi formulák közül melyek ellentmondások! (a) ( X Y ) (Y X)

10 Az informatika logikai alapjai 10 (b) (X Y Z) (Y (X Z)) (c) ((X Y ) (Y Z)) (X Z) 4.6. Ekvivalensek-e az alábbi formulák? Bizonyítsuk igazságtáblával! (a) (X Y ) X? 0 (b) (X Y ) X? 0 (c) X Y Z (d) (X Y ) Z (e) X (Y Z) (f) X (Y Z)? 0? 0 X X ( X Y ) Z (Y X) Z? 0 X (Z Y )? 0 (X Y ) Z 4.7. Ekvivalensek-e az alábbi formulák? Bizonyítsuk a szemantikai definíciók segítségével! (a) X Y Z? 0 (b) (X Y ) (Z W ) Z Y X? 0 (X Z) ( Y W ) 4.8. Létezik-e olyan interpretáció, melyben az alábbi formulahalmaz minden formulája igaz? Indokoljon! {X Y Z, X Z, X Y X Z}

11 Az informatika logikai alapjai Legyenek P 1, P 2, valamint K egy következtetés premisszáit illetve konklúzióját leíró formulák. Mely állítások igazak az alábbiak közül? (a) Ha a következtetés helyes akkor P 1 P 2 K logikai törvény. (b) Ha P 1 P 2 K logikai törvény, akkor a következtetés helyes. (c) A következtetés pontosan akkor helyes, ha P 1 P 2 K ellentmondás. (d) A következtetés pontosan akkor helyes, ha {P 1, P 2, K} formulahalmaz formuláji egyetlen interpretációban sem lesznek egyszerre igazak. (e) Ha a következtetés helytelen, P 1 P 2 K logikai törvény. (f) Ha a következtetés helytelen, P 1 P 2 K kielégíthető. (g) Ha P 1 P 2 ellentmondás, akkor a következtetés helyes. (h) Ha K ellentmondás, akkor a következtetés helyes. (i) Ha K ellentmondás, akkor a következtetés csak akkor helyes, ha P 1 P 2 ellentmondás Található-e olyan interpretáció, mely az alábbi formulahalmazok valamelyikének minden formuláját kielégíti? (a) { X Y Z, ( X Y ), Z U Y } (b) { (X Y Z), U Z, Y U } 5.3. Döntsük el táblázat segítségével, hogy az alábbi következtetések helyesek-e! Premisszál: P 1 (X Y ) Z P 2 X Z Következtetések: a.) Y Z b.) Y Z 5.4. Formalizáljuk az alábbi mondatokat! Döntsük el táblázat segítségével, hogy az alábbi következtetések helyesek-e! Premisszál: P 1 P 2 Ha Zoltán hazudik, akkor János csak akkor füllent, ha Imre igazat mond. János füllent, de ha Zoltán hazudik, akkor Imre nem mond igazat. Következtetések: a.) b.) Ha Imre nem mond igazat, akkor János füllent. Ha János füllent, akkor Imre nem mond igazat Döntsük el a szemantikai definíciók segítségével, hogy az alábbi következtetések helyesek-e! Premisszál: P 1 (X Y ) (Z W ) P 2 (Y Z X U) Következtetések: a.) b.) K X W Z

12 Az informatika logikai alapjai Formalizáljuk az alábbi mondatokat! Döntsük el a szemantikai definíciók segítségével, hogy az alábbi következtetések helyesek-e! Premisszál: P 1 P 2 P 3 Csak akkor megyek boltba, ha elfogyott a tej vagy kevés a kenyér. Nem igaz az, hogy nem megyek boltba vagy elfogyott a tej. Amennyiben kevés a kenyér, úgy liszt sincs már vagy elfogyott a tej. Következtetések: a.) b.) c.) Csak abban az esetben megyek boltba, amennyiben liszt már nincs, de nem fogyott el a tej. Ha nem fogy el a tej, akkor kevés a kenyér. Ha elmegyek a boltba, akkor liszt már nincs Formalizáljuk az alábbi mondatokat! Döntsük el a szemantikai definíciók segítségével, hogy az alábbi következtetések helyesek-e! Premisszál: P 1 P 2 P 3 Nem igaz az, hogy ha rossz időt jósoltak mára de süt a nap, akkor esik az eső. Ha nem fúj a szél, nem is esik az eső. Csak akkor süt a nap, ha a szél nem fúj. Következtetések: a.) b.) Ha rossz időt jósoltak mára, akkor nem fúj a szél, és az eső sem esik. Csak akkor nem fúj a szél, ha nem jósoltak rossz időt mára.

13 Az informatika logikai alapjai Tekintsük az aritmetika (Ar) nyelvét és természetes interpretációját informálisan a következőképpen: Ar = {szt}, {P }, {f, g, h}, {nulla} Jelentse szt a nemnegatív egész számokat! A nyelv szinbólumai és az interpretáció informális leírása: P r ν 1 interpretáció P (szt, szt) egyenlőség predikátum F n ν 2 interpretáció f (szt, szt) rákövetkező egész g (szt, szt, szt) összeadás h (szt, szt, szt) szorzás Cnst ν 3 interpretáció nulla (szt) 0 Vezessük be a következő jelöléseket: 0 nulla x = y P (x, y) sx f(x) x + y g(x, y) x y h(x, y) Formalizáljuk az Ar nyelv természetes interpretációjában az alábbi mondatokat! Vezessünk be új jelöléseket ahol ez szükséges. 1. Az x és y számok nem egyenlőek. 2. Az x szám kisebb vagy egyenlő, mint az y. 3. Az x szám kisebb, mint az y. 4. Az x szám osztja az y számot. 5. Az x prím szám. 6. Végtelen sok prím szám van. 7. Véges sok prím szám van. 8. Az ikerprímek száma végtelen. 9. Minden nem negatív szám felírható négy nem negatív szám négyzetének összegeként! 10. Ha x > y, akkor x + z > y + z. Tekintsük az aritmetika (Ar) nyelvének olyan interpretációját, mely az előbbitől csak annyiban különbözik, hogy az szt fajtához az egész számok halmazát rendeli! Hogyan formalizálhatók ekkor a fenti mondatok?

14 Az informatika logikai alapjai Tekintsük a geometria (Geom) nyelvét és természetes interpretációját informálisan a következőképpen: Geom = {pt, et, st}, {P, Q, R},, Legyen a fajták jelentése a következő: Srt változók interpretáció pt A, B, C,... a 3 dimenziós euklideszi tér pontjai et e, f, g,... a 3 dimenziós euklideszi tér egyenesei st a, b, c,... a 3 dimenziós euklideszi tér síkjai A nyelv szinbólumai és az interpretáció informális leírása: P r ν 1 interpretáció P (pt, pt) két pont egyebeesik Q (pt, et) az egyenes tartalmazza a pontot R (pt, st) a sík tartalmazza a pontot Vezessük be a következő jelöléseket: A = B P (A, B) A e Q(A, e) A a R(A, a) Formalizáljuk a geometria (Geom) nyelvének természetes interpretációjában az alábbi mondatokat! Vezessünk be új jelöléseket, ahol ez szükséges. 1. Az e egyenes az a síkban van. 2. Az e és f egyenesek egybeesnek. 3. Az a és b síkok egybeesnek. 4. Az e és f egyenesek párhuzamosak. 5. Az e és f egyenesek kitérőek. 6. Az e és f egyenesek pontosan egy pontban keresztezik egymást. 7. Az e egyenes egy pontban döfi az a síkot. 8. Az a és b síkok párhuzamosak. 9. Bármely két nem egybeeső pontra pontosan egy egyenes illeszthető. 10. Bármely ponton át pontosan egy, a pontot nem tartalmazó egyenessel párhuzamos egyenes húzható.

15 Az informatika logikai alapjai 15 Legyen L 1 elsőrendű logikai nyelv definiálva a következőképpen: L 1 = {π 1 }, {P, Q, R}, {f, g}, {c} x, y, z,... változók π 1 fajtájúak ν 1 (P ) = (π 1 ), ν 1 (Q) = (π 1, π 1 ), ν 1 (R) = (π 1, π 1 ) ν 2 (f) = (π 1, π 1 ), ν 2 (g) = (π 1, π 1 ) ν 3 (c) = (π 1 ) 7.1. Az alábbi kifejezések közül melyek π 1 fajtájú termjei az L 1 nyelvnek? (a) c (b) x (c) F (x) (d) f(c, x) (e) c(x) (f) f(c) (g) f(g(x)) (h) f(g(x, y), z) (i) P (x) (j) Q(x) (k) f(c) (l) g(c, f(x)) 7.2. Az alábbi kifejezések közül melyek formulái az L 1 nyelvnek? (a) P (c) (b) Q(x) (c) P ( f(x)) (d) R(f(x), g(x)) (e) xf(x) (f) P (x) f(x) (g) c(p (c) R(f(c), y)) (h) xr(p (c), f(x)) (i) P (x) xq(x, x) (j) f(x)p (f(x)) (k) f(c) yq(y, y) (l) P (x y)

16 Az informatika logikai alapjai 16 Legyen L 2 elsőrendű logikai nyelv definiálva a következőképpen: L 2 = {π 1, π 2 }, {P, Q, R}, {f, g, h}, {c, ɛ} x, y, z,... változók π 1 fajtájúak, α, β, γ,... változók π 2 fajtájúak ν 1 (P ) = (π 1 ), ν 1 (Q) = (π 1, π 2 ), ν 1 (R) = (π 2, π 2 ) ν 2 (f) = (π 1, π 2 ), ν 2 (g) = (π 1, π 1, π 2 ), ν 2 (h) = (π 2, π 2, π 1 ) ν 3 (c) = (π 1 ), ν 3 (ɛ) = (π 2 ) 7.3. Keressük ki az alábbi kifejezések közül az L 2 nyelv π 1 valamint π 2 fajtájú termjeit! (a) f(c, x) (b) h(f(x), g(x, y)) (c) f(g(x, x)) (d) f(h(ɛ, ɛ)) (e) f(ɛ) (f) g(q(c), R(ɛ)) (g) g(f(x), f(c)) (h) f(f(g(x, y))) (i) g(c, f(x)) 7.4. Az alábbi kifejezések közül melyek formulái az L 2 nyelvnek? (a) ɛr(ɛ, α) (b) xq(x, f(x)) xp (h(f(x), ɛ)) (c) P (x) f(x) (d) Q(f(x), ɛ) R(ɛ, α) (e) Q(x, Q(x)) (f) xp (x) (g) f(x, g(c, x)) (h) Q(x, α) P (x) 7.5. Legyenek az alábbi kifejezések valamely alkalmas elsőrendű nyelv elemei! (P, Q, R,... predikátum szimbólumok, f, g, h,... függvény szimbólumok, a, b, c,... konstansok szimbólumok és x, y, z,... változók.) határozzuk meg a formulák logikai- és a termek funkcionális összetettségét, adjuk meg a közvetlen részkifejezéseiket! (a) P (x) Q(x, y) P (f(x)) Q(f(x), y) (b) x(p (x) Q(x, y) P (x) Q(x, y)) (c) f(g(x, y)) (d) g(f(x), f(x)) (e) P (g(f(x), f(x))) 7.6. Legyenek az alábbi kifejezések (a megelőző feladathoz hasonló módon) valamely alkalmas elsőrendű nyelv formlái! határozzuk meg az egyes változó előfordulások státuszát, készítsük el (ha szükséges) a formulák változóiban tiszta alakját! (a) P (x) Q(x, y) P (f(x)) Q(f(x), y) (b) P (x) Q(x, y) P (z) Q(z, y) (c) x y(p (x) Q(x, y) P (f(x))) Q(f(x), c)

17 Az informatika logikai alapjai 17 (d) y x(p (y) Q(y, x) P (f(y))) Q(f(x), c) (e) x(p (x) xq(x, f(x))) Q(x, c) (f) y(p (y) xq(y, f(y))) Q(y, c) (g) P (x) xp (x) Q(x, y) (h) P (x) yp (y) Q(y, x) Található-e a fenti formulák közt olyan, mely kongruens az alábbiak egyikével? i. Kongruens-e (a) vagy (b) formulávak: P (y) Q(y, x) P (f(y)) Q(f(y), x)? ii. Kongruens-e (c) vagy (d) formulávak: y x(p (y) Q(y, x) P (f(y))) Q(f(y), c)? iii. Kongruens-e (e) vagy (f) formulávak: x(p (x) yq(y, f(y))) Q(y, c)? iv. Kongruens-e (g) vagy (h) formulávak: P (x) yp (y) Q(y, x)?

18 Az informatika logikai alapjai 18 Legyen L 2 elsőrendűlogikai nyelv definiálva a következőképpen: L 2 = {π 1, π 2 }, {P, Q, R}, {f, g, h}, {c, ɛ} x, y, z,... változók π 1 fajtájúak, α, β, γ,... változók π 2 fajtájúak ν 1 (P ) = (π 1 ), ν 1 (Q) = (π 1, π 2 ), ν 1 (R) = (π 2, π 2 ) ν 2 (f) = (π 1, π 2 ), ν 2 (g) = (π 1, π 1, π 2 ), ν 2 (h) = (π 2, π 2, π 1 ) ν 3 (c) = (π 1 ), ν 3 (ɛ) = (π 2 ) 8.1. Készítsünk interptetációt L 2 elsőrendű logikai nyelvhez, amely eleget tesz az alábbiaknak! π 1 fajtájú individuumok halmaza: {1, 2} π 2 fajtájú individuumok halmaza: {a, b} 8.2. Készítsünk olyan interpretációt az Ar nyelvhez, mely a természetes interperetációtól annyiban különbözik, hogy univerzumát az egész számok adják! 8.3. Formalizáljuk alkalmas elsőrendű nyelven az alábbi mondatokat. Készítsük el a nyelvek egy-egy interpretációját! (a) (b) Mindenki, aki az első padban ül, kabátot visel. Csak azok nem ültek az ablak mellé, akiknek kék szemük van. Senki nem ül ablak mellett, aki kabátot visel. Minden olyan nap, amikor esik az eső, és hideg van, fáradt vagyok. Minden téli hónapra eső nap hideg van. Van olyan hideg nap, mely nem téli hónapra esik. Legyen L elsőrendű logikai nyelv definiálva a következőképpen: L 3 = {π}, {P, Q}, {f, g}, {c} x, y, z,... változók π fajtájúak ν 1 (P ) = (π), ν 1 (Q) = (π, π) ν 2 (f) = (π, π), ν 2 (g) = (π, π, π) ν 3 (c) = (π) Legyen I az L 3 elsőrendű logikai nyelv alábbi interpretációja: I = I Srt, I P r, I F n, I Cnst I Srt (π) = {1, 2, 3, 4} f I (α) = 5 α I P r (P ) = P I, I F n (f) = f I, I Cnst (c) = 2 I P r (Q) = Q I I F n (g) = g I g I (α, β) = α β + 1 P I (α) { i ha α = 1 vagy α = 4 = h egyébként { i ha α > β Q I (α, β) = h egyébként

19 Az informatika logikai alapjai Határozzuk meg az alábbi L 3 nyelvű termek értékét I interpretációban a megadott változókiértékelés mellett! κ(x) = 1, κ(y) = 3 (a) c I,κ (b) y I,κ (c) f(c) I,κ (d) f(g(c, c)) I,κ (e) g(f(x), f(y)) I,κ (f) f(g(x, g(y, c))) I,κ κ(x) = 2, κ(y) = 4 (a) y I,κ (b) g(f(x), f(y)) I,κ (c) f(g(x, g(y, c))) I,κ 8.5. Határozzuk meg az alábbi L 3 nyelvű formulák értékét I interpretációban κ változókiértékelés mellett! κ(x) = 1, κ(y) = 3 (a) P (y) I,κ (b) xp (x) I,κ (c) Q(x, y) I,κ (d) Q(x, y) Q(f(x), f(y)) I,κ (e) x(q(f(x), y) Q(x, f(y))) I,κ (f) y(q(f(c), y) Q(c, f(y))) I,κ (g) xp (x) x Q(x, f(x)) I,κ (h) x y Q(x, f(y)) I,κ (i) x y Q(x, f(y)) I,κ (j) x y(q(x, f(y)) Q(f(y), x)) I,κ

20 Az informatika logikai alapjai Készítsünk olyan változókiértékeléseket L 3 nyelv I interpretációjához, melyben az alábbi formulák igazak, vagy igazoljuk, hogy nincs ilyen változókiértékelés! (a) xq(x, f(y)) I,κ1 = i (b) x(q(x, f(y)) P (y)) I,κ2 = i (c) x (Q(x, f(y)) P (y)) I,κ3 = i (d) Q(y, f(c)) Q(f(c), y) I,κ4 = i (e) Q(x, f(x)) Q(f(x), x) I,κ5 = i 9.2. Konstruáljuk meg (ha ez lehetséges) az L 3 nyelv olyan interpretációit és ezekben olyan változókiértékelést, melyen az alábbi formulák igazak! (a) x y(q(x, y) Q(y, x)) (b) x(p (x) Q(x, c)) x Q(x, c) (c) x y(p (x) Q(y, x) P (y)) (d) Q(x, f(x)) Q(y, f(y)) (e) x yq(y, x) y xq(y, x) (f) x y(q(x, y) Q(y, x)) (g) ( x(p (x) Q(x, c)) x Q(x, c)) (h) x y (P (x) Q(y, x) P (y)) (i) Q(x, f(x)) Q(y, f(y)) (j) x yq(y, x) y xq(y, x) 9.3. Legyenek az alábbi kifejezések valamely alkalmas egy fajtájú elsőrendű nyelv formulái! (P, Q, R,... predikátum szimbólumok, f, g, h,... függvény szimbólumok, a, b, c,... konstansok szimbólumok és x, y, z,... változók.) Mely formulák tautologikusan igazak az alábbiak közül? (a) Q(x, c) Q(y, c) (b) xp (x) yp (y) (c) ( xp (x) yq(y, c)) ( xp (x) yq(y, c)) (d) xq(x, c) x Q(x, c) (e) ( xp (x) yr(y)) x P (x) (f) ( xp (x) yr(y)) xp (x) 9.4. Legyenek az alábbi kifejezések valamely alkalmas egy fajtájú elsőrendű nyelv formulái! (P, Q, R,... predikátum szimbólumok, f, g, h,... függvény szimbólumok, a, b, c,... konstansok szimbólumok és x, y, z,... változók.) Mely szemantikai tulajdonságoknak tesznek eleget az alábbi formulák? logikai törvény, kielégíthető, ellentmondás. (a) xq(x, c) x Q(x, c) (b) P (c) xp (x) (c) x yq(x, y) y xq(x, y) (d) x yq(x, y) y xq(y, x) (e) xp (x) xr(x) x(p (x) R(x)) (f) xp (x) xr(x) x(p (x) R(x)) (g) x(p (x) R(x)) ( xp (x) xr(x)) (h) x Q(x, c) yq(y, c) (i) xp (x) y(q(y, y) P (y)) (j) y xq(x, y) x yq(x, y) (k) y xq(y, x) x yq(x, y) (l) xp (x) xr(x) x(p (x) R(x)) (m) x(p (x) R(x)) xp (x) xr(x) (n) ( xp (x) xq(x)) x(p (x) R(x))

21 Az informatika logikai alapjai Legyenek az alábbi kifejezések valamely alkalmas egy fajtájú elsőrendű nyelv formulái! (P, Q, R,... predikátum szimbólumok, f, g, h,... függvény szimbólumok, a, b, c,... konstansok szimbólumok és x, y, z,... változók.) Mely formulák ekvivalensek az alábbi formulasorozatokban? (a) (b) (c) (d) (e) i. x((p (x) Q(x)) (Q(x) R(x))) ii. x(p (x) R(x)) iii. x(p (x) Q(x)) x(q(x) R(x)) i. xp (x) xq(x) ii. x(p (x) Q(x)) iii. x( P (x) Q(x)) i. xp (x) xq(x) ii. x(p (x) Q(x)) iii. x(p (x) Q(x)) i. xp (x) xq(x) ii. x(p (x) Q(x)) iii. xp (x) x Q(x) i. xp (x) xq(x) ii. x(p (x) Q(x)) Formalizáljuk alkalmas elsőrendű logikai nyelven az alábbi kijelentéseket, és keressük meg az ekvivalens állításokat! (a) (b) (c) i. Mindenki aki alaposan felkészül, jó jegyet fog szerezni. ii. Csak azok szereznek jó jegyet, akik alaposan felkészültek. iii. Csak azok készültek fel alaposan, akik jó jegyet fognak szerezni. i. Minden nap esett az eső, vagy egyetlen nap sem volt szél. ii. Nem igaz az, hogy ugyan volt nem esős nap, de nem minden nap telt el szél nélkül. iii. Ha volt szeles nap, akkor nem volt esős nap sem. i. Minden kosaras apja sportol. ii. Nem igaz, hogy nincs olyan kosaras akinek nem sportoló az apja. iii. Akinek az apja nem sportoló az nem kosaras.

22 Az informatika logikai alapjai Mely alábbi tulajdonságokkal rendelkeznek a megadott ítéletlogikai formulák? literál elemi konjunkció elemi diszjunkció konjunktív normál forma diszjunktív normál forma (a) X (b) X Y (c) X Y (d) Y (e) (X Y ) Z (f) (X Y ) Z (g) (X Y ) Z (h) (X Y ) Z (i) X (j) (X Y ) Z (k) (X Y ) Z (l) (X Y ) (Y Z) (m) ( X Y ) ( Y Z) Készítsen az alábbi formulával ekvivalens ugyanakkor kisebb logikai összetettségű formulát (alkalmazza az egyszerűsítési szabályokat)! (a) X (b) (X Y X) Y (c) (X Y X) Y (d) (X Y ) (Z Y ) (e) (X Y ) (Z Y ) (f) ( X Y ) (g) ( X Y ) (h) X Y (i) X Y (j) (X Y ) (X Y ) Határozza meg a következő ítéletlogikai formulák diszjunktív normál formáját (alkalmazza a disztributivitási szabályokat)! (a) X (Y Z) (b) (X Y Z) (U W ) (c) (X Y ) ( Z U W ) (S T ) Határozza meg a következő ítéletlogikai formulák konjunktív normál formáját (alkalmazza a disztributivitási szabályokat)! (a) X ( Y Z) (b) (X ( Y Z)) (U W ) (c) (X Y ) (( Z U W ) (S T )) Határozza meg a következő ítéletlogikai formulák konjunktív és diszjunktív normál formáját! Egyszerűsítsen ahol ez lehetséges! (a) X (Y (Z U)) (b) ((X Y ) Z) U (c) (X Y ) (X Z)

23 Az informatika logikai alapjai 23 (d) (X Y Z) (U W ) (e) (X ( Y Z)) (U W ) (f) (X Z) (Z X) (g) ((X Z) (Z X)) (h) (X Y ) (( Z U W ) (S T )) Legyenek az alábbi kifejezések valamely alkalmas egy fajtájú elsőrendű nyelv formulái! (P, Q, R,... predikátum szimbólumok és x, y, z,... változók.)! Adja meg a formulák prenex alakját! (a) xp (x) xq(x) (b) xp (x) xq(x) (c) xp (x) x Q(x) (d) x(p (x) xq(x)) ( xq(x) R(x)) (e) x(p (x) xq(x)) ( xq(x) R(x)) (f) xp (x) ( xr(x) xq(x)) (g) x y T (x, y) (h) x( yt (x, y) xr(x) P (x)) (i) x yt (x, y) Q(x) R(y) (j) P (x) ( yq(y) xt (x, y))

24 Az informatika logikai alapjai Formalizálja a következő állításokat alkalmas elsőrendű logikai nyelven! Ha akad, aki elvégezze a munkát, akkor mindenki elégedett lehet. Aki elégedett lehet, az nyugodtan alszik. János elvégzi a munkát. Az előbbi állításokat premisszaként tekintve, mely következtetések helyesek az alábbiak közül? (a) Mindenki nyugodtan alszik. (b) Ha János nem végzi el a munkát, nem alhat nyugodtan Formalizálja a következő állításokat alkalmas elsőrendű logikai nyelven! Ha egy részecske nyugalmi tömege 0 és a részecske bozon, akkor ez a részecske foton. A Higgs részecske nem foton, de bozon. Nem minden 0 nyugalmi tömegű részecskére igaz, hogy foton. Az előbbi állításokat premisszaként tekintve, mely következtetések helyesek az alábbiak közül? (a) Léteznek nem 0 nyugalmi tömegű részecskék és nem minden részecske bozon. (b) Nem igaz az, hogy minden részecske 0 nyugalmi tömegű és bozon Formalizálja a következő állításokat alkalmas elsőrendű logikai nyelven! Nem igaz az, hogy ha van, aki nem kelt korán, akkor van olyan is, aki nem tanult. Mindenki, aki hamar nyugovóra tért, korán kelt. Az előbbi állításokat premisszaként tekintve, mely következtetések helyesek az alábbiak közül? (a) Nem igaz az, hogy ha mindenki tanult, akkor mindenki hamar nyugovóra is tért. (b) Nem mindenki tért hamar nyugovóra.

25 Az informatika logikai alapjai Adjon meg az alábbi szekventekkel ekvivalens formulákat! Egyszerűsítsen, ahol ez lehetséges! (a) (X Y ) (b) X Y (c) X Y Y Z (d) (X Y ) (e) X Y Y Z (f) X, Y Y, Z Bizonyítsuk be Gentzen-kalkulus segítségével hogy az alábbi ítéletlogikai formulák logikai törvények! (a) Predikátumkalkulus axiómája (X (Y Z)) ((X Y ) (X Z)) (b) De Morgan törvényei i. X Y (X Y ) ii. (X Y ) X Y iii. X Y (X Y ) iv. (X Y ) X Y (c) Implikáció átalakítás i. (X Y ) X Y ii. X Y (X Y ) iii. (X Y ) X Y iv. X Y (X Y ) (d) Peirce törvénye (e) Reduktio ad absurdum ((X Y ) X) X (X Y ) (X Y ) X (f) Előtag felcserélése implikációban (X (Y Z)) (Y (X Z)) (g) Az implikáció öndisztributivitása i. (X (Y Z)) ((X Y ) (X Z)) ii. (X Y ) (X Z)) (X (Y Z)) (h) Az implikáció tranzitivitása ((A B) (B C)) (A C) (i) Kontrapozíció i. (X Y ) ( Y X) ii. ( Y X) (X Y ) (j) Konjunkció disztributivitás i. (X Y ) Z (X Z) (Y Z) ii. (X Z) (Y Z) (X Y ) Z (k) Diszjunkció disztributivitás i. (X Y ) Z (X Z) (Y Z) ii. (X Z) (Y Z) (X Y ) Z

26 Az informatika logikai alapjai Bizonyítsuk be Gentzen-kalkulus segítségével hogy az alábbi elsőrendű formulák logikai törvények! (a) De Morgan kvantoros törvényei i. ( xp (x) x P (x)) ( x P (x) xp (x)) ii. ( xp (x) x P (x)) ( x P (x) xp (x)) (b) Kétoldali kvantorkiemelés i. xp (x) xq(x) x(p (x) Q(x)) ii. x(p (x) Q(x)) xp (x) xq(x) iii. xp (x) xq(x) x(p (x) Q(x)) iv. x(p (x) Q(x)) xp (x) xq(x)

Logika es sz am ıt aselm elet I. r esz Logika Negyedik el oad as 1/26

Logika es sz am ıt aselm elet I. r esz Logika Negyedik el oad as 1/26 1/26 Logika és számításelmélet I. rész Logika Negyedik előadás Tartalom 2/26 Az elsőrendű logika szemantikája Formulák és formulahalmazok szemantikus tulajdonságai Elsőrendű logikai nyelv interpretációja

Részletesebben

Logika feladatgyűjtemény

Logika feladatgyűjtemény Debreceni Egyetem Informatikai Kar Logika feladatgyűjtemény 2005. május 19. Készítette: Lengyel Zoltán lengyelz@inf.unideb.hu Tartalomjegyzék 1. Ítéletlogika 2 2. Elsőrendű logika 17 2.1. Prenex alak......................................

Részletesebben

Elsőrendű logika szintaktikája és szemantikája. Logika (3. gyakorlat) 0-adrendű szemantika 2009/10 II. félév 1 / 1

Elsőrendű logika szintaktikája és szemantikája. Logika (3. gyakorlat) 0-adrendű szemantika 2009/10 II. félév 1 / 1 Elsőrendű logika szintaktikája és szemantikája Logika és számításelmélet, 3. gyakorlat 2009/10 II. félév Logika (3. gyakorlat) 0-adrendű szemantika 2009/10 II. félév 1 / 1 Az elsőrendű logika Elemek egy

Részletesebben

Az informatika logikai alapjai

Az informatika logikai alapjai Az informatika logikai alapjai Várterész Magda DE, Informatikai Kar PTI BSc és informatikatanár hallgatók számára 2017. Az elsőrendű logikai nyelv interpretációja L interpretációja egy I-vel jelölt függvénynégyes,

Részletesebben

Az informatika logikai alapjai

Az informatika logikai alapjai Az informatika logikai alapjai Várterész Magda DE, Informatikai Kar PTI BSc és informatikatanár hallgatók számára 2017. A logikai ekvivalencia Az A és a B elsőrendű formulák logikailag ekvivalensek, ha

Részletesebben

Matematikai logika. 3. fejezet. Logikai m veletek, kvantorok 3-1

Matematikai logika. 3. fejezet. Logikai m veletek, kvantorok 3-1 3. fejezet Matematikai logika Logikai m veletek, kvantorok D 3.1 A P és Q elemi ítéletekre vonatkozó logikai alapm veleteket (konjunkció ( ), diszjunkció ( ), implikáció ( ), ekvivalencia ( ), negáció

Részletesebben

Az informatika logikai alapjai előadások

Az informatika logikai alapjai előadások VÁRTERÉSZ MAGDA Az informatika logikai alapjai előadások 2006/07-es tanév 1. félév Tartalomjegyzék 1. Bevezetés 2 2. Az ítéletlogika 18 2.1. Az ítéletlogika nyelve szintaxis...............................................

Részletesebben

Az informatika logikai alapjai

Az informatika logikai alapjai Az informatika logikai alapjai Várterész Magda DE, Informatikai Kar PTI BSc és informatikatanár hallgatók számára 2017. Formulahalmaz kielégíthetősége Ezen az előadáson Γ-val egy elsőrendű logikai nyelv

Részletesebben

Logika es sz am ıt aselm elet I. r esz Logika Hatodik el oad as 1/33

Logika es sz am ıt aselm elet I. r esz Logika Hatodik el oad as 1/33 1/33 Logika és számításelmélet I. rész Logika Hatodik előadás Tartalom 2/33 Elsőrendű rezolúciós kalkulus - előkészítő fogalmak Prenex formula, Skolem normálforma 3/33 Eldönthető formulaosztályok keresése

Részletesebben

Az informatika logikai alapjai

Az informatika logikai alapjai Az informatika logikai alapjai Várterész Magda DE, Informatikai Kar PTI BSc és informatikatanár hallgatók számára 2017. Példák Az alábbi világokban állításokat akarunk megfogalmazni: A táblára színes karikákat

Részletesebben

Logika es sz am ıt aselm elet I. r esz Logika M asodik el oad as 1/26

Logika es sz am ıt aselm elet I. r esz Logika M asodik el oad as 1/26 1/26 Logika és számításelmélet I. rész Logika Második előadás Tartalom 2/26 Ítéletlogika - Szemantika (folytatás) Formulák és formulahalmazok szemantikus tulajdonságai Szemantikus következményfogalom Formalizálás

Részletesebben

A logikai következmény

A logikai következmény Logika 3 A logikai következmény A logika egyik feladata: helyes következtetési sémák kialakítása. Példa következtetésekre : Minden veréb madár. Minden madár gerinces. Minden veréb gerinces 1.Feltétel 2.Feltétel

Részletesebben

Matematikai logika és halmazelmélet

Matematikai logika és halmazelmélet Matematikai logika és halmazelmélet Wettl Ferenc előadása alapján 2015-09-07 Wettl Ferenc előadása alapján Matematikai logika és halmazelmélet 2015-09-07 1 / 21 Tartalom 1 Matematikai kijelentések szerkezete

Részletesebben

Logika és informatikai alkalmazásai

Logika és informatikai alkalmazásai Logika és informatikai alkalmazásai 1. gyakorlat Németh L. Zoltán http://www.inf.u-szeged.hu/~zlnemeth SZTE, Informatikai Tanszékcsoport 2011 tavasz Követelmények A tárgy (ea+gyak) teljesítésének követlményeit

Részletesebben

1. A matematikai logika alapfogalmai. 2. A matematikai logika műveletei

1. A matematikai logika alapfogalmai. 2. A matematikai logika műveletei 1. A matematikai logika alapfogalmai Megjegyzések: a) A logikában az állítás (kijelentés), valamint annak igaz vagy hamis voltát alapfogalomnak tekintjük, nem definiáljuk. b) Minden állítással kapcsolatban

Részletesebben

Logika es sz am ıt aselm elet I. r esz Logika Harmadik el oad as 1/33

Logika es sz am ıt aselm elet I. r esz Logika Harmadik el oad as 1/33 1/33 Logika és számításelmélet I. rész Logika Harmadik előadás Tartalom 2/33 Elsőrendű logika bevezetés Az elsőrendű logika szintaxisa 3/33 Nulladrendű állítás Az ítéletlogikában nem foglalkoztunk az álĺıtások

Részletesebben

Megoldások. 2001. augusztus 8.

Megoldások. 2001. augusztus 8. Megoldások 2001. augusztus 8. 1 1. El zetes tudnivalók a különböz matematikai logikai nyelvekr l 1.1. (a) Igen (b) Igen (c) Nem, mert nem kijelent mondat. (d) Nem fejez ki önmagában állítást. "Ádám azt

Részletesebben

AZ INFORMATIKA LOGIKAI ALAPJAI

AZ INFORMATIKA LOGIKAI ALAPJAI AZ INFORMATIKA LOGIKAI ALAPJAI Előadó: Dr. Mihálydeák Tamás Sándor Gyakorlatvezető: Kovács Zita 2017/2018. I. félév 4. gyakorlat Interpretáció A ϱ függvényt az L (0) = LC, Con, Form nulladrendű nyelv egy

Részletesebben

Logikai alapok a programozáshoz. Nagy Károly 2014

Logikai alapok a programozáshoz. Nagy Károly 2014 Logikai alapok a programozáshoz előadások összefoglalója (Levelezős hallgatók számára) Nagy Károly 2014 1 1. Kijelentés logika, ítéletkalkulus 1.1. Definíció. Azokat a kijelentő mondatokat, amelyekről

Részletesebben

Logikai alapok a programozáshoz

Logikai alapok a programozáshoz Logikai alapok a programozáshoz Nagy Károly 2014 Nyíregyházi Főiskola Matematika és Informatika Intézet 1 Tartalomjegyzék 1. Kijelentés logika, ítéletkalkulus 2 2. A kijelentés logika törvényei 5 3. Logikai

Részletesebben

Matematikai logika NULLADRENDŰ LOGIKA

Matematikai logika NULLADRENDŰ LOGIKA Matematikai logika NULLADRENDŰ LOGIKA Kijelentő mondatokhoz, melyeket nagy betűkkel jelölünk, interpretáció (egy függvény) segítségével igazságértéket rendelünk (I,H). Szintaxisból (nyelvtani szabályok,

Részletesebben

Logika és informatikai alkalmazásai

Logika és informatikai alkalmazásai Logika és informatikai alkalmazásai 1. gyakorlat Németh L. Zoltán http://www.inf.u-szeged.hu/~zlnemeth SZTE, Informatikai Tanszékcsoport 2008 tavasz Követelmények A tárgy (ea+gyak) teljesítésének követlményeit

Részletesebben

A matematika nyelvéről bevezetés

A matematika nyelvéről bevezetés A matematika nyelvéről bevezetés Wettl Ferenc 2006. szeptember 19. Wettl Ferenc () A matematika nyelvéről bevezetés 2006. szeptember 19. 1 / 17 Tartalom 1 Matematika Kijelentő mondatok Matematikai kijelentések

Részletesebben

Logika és informatikai alkalmazásai

Logika és informatikai alkalmazásai Logika és informatikai alkalmazásai 2. gyakorlat Németh L. Zoltán http://www.inf.u-szeged.hu/~zlnemeth SZTE, Informatikai Tanszékcsoport 2011 tavasz Irodalom Szükséges elmélet a mai gyakorlathoz Előadás

Részletesebben

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Nagy Gábor  compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz Diszkrét matematika 1. középszint 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 2. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra

Részletesebben

A matematika nyelvér l bevezetés

A matematika nyelvér l bevezetés A matematika nyelvér l bevezetés Wettl Ferenc 2012-09-06 Wettl Ferenc () A matematika nyelvér l bevezetés 2012-09-06 1 / 19 Tartalom 1 Matematika Matematikai kijelentések 2 Logikai m veletek Állítások

Részletesebben

Ítéletkalkulus. 1. Bevezet. 2. Ítéletkalkulus

Ítéletkalkulus. 1. Bevezet. 2. Ítéletkalkulus Ítéletkalkulus Logikai alapfogalmak, m veletek, formalizálás, logikai ekvivalencia, teljes diszjunktív normálforma, tautológia. 1. Bevezet A matematikai logikában az állításoknak nem a tényleges jelentésével,

Részletesebben

Felmentések. Logika (1. gyakorlat) 0-adrendű szintaktika 2009/10 II. félév 1 / 21

Felmentések. Logika (1. gyakorlat) 0-adrendű szintaktika 2009/10 II. félév 1 / 21 Felmentések Logika (1. gyakorlat) 0-adrendű szintaktika 2009/10 II. félév 1 / 21 Felmentések Ha valaki tanár szakos, akkor mivel neki elvileg a hálóban nincs logika rész, felmentést kaphat a logika gyakorlat

Részletesebben

Diszkrét matematika I.

Diszkrét matematika I. Diszkrét matematika I. középszint 2013 ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 8. előadás Mérai László merai@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ merai Komputeralgebra Tanszék 2013 ősz Kombinatorika

Részletesebben

Felmentések. Ha valaki tanár szakos, akkor mivel neki elvileg a hálóban nincs logika rész, felmentést kaphat a logika gyakorlat és vizsga alól.

Felmentések. Ha valaki tanár szakos, akkor mivel neki elvileg a hálóban nincs logika rész, felmentést kaphat a logika gyakorlat és vizsga alól. Felmentések Ha valaki tanár szakos, akkor mivel neki elvileg a hálóban nincs logika rész, felmentést kaphat a logika gyakorlat és vizsga alól. Az eredménye, ezek után a számításelélet részből elért eredmény

Részletesebben

Diszkrét matematika I.

Diszkrét matematika I. Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 2. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Matematikai logika Diszkrét matematika I. középszint

Részletesebben

Logika es sz am ıt aselm elet I. r esz Logika 1/36

Logika es sz am ıt aselm elet I. r esz Logika 1/36 1/36 Logika és számításelmélet I. rész Logika 2/36 Elérhetőségek Tejfel Máté Déli épület, 2.606 matej@inf.elte.hu http://matej.web.elte.hu Tankönyv 3/36 Tartalom 4/36 Bevezető fogalmak Ítéletlogika Ítéletlogika

Részletesebben

Halmazelmélet és logika

Halmazelmélet és logika Halmazelmélet és logika Dr. Szilágyi Ibolya szibolya@ektf.hu Matematika és Informatika Intézet EKF, Eger 2006/07 I. szemeszter Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/007 1 / 58 Outline A halmazelmélet és

Részletesebben

ÍTÉLETKALKULUS (NULLADRENDŰ LOGIKA)

ÍTÉLETKALKULUS (NULLADRENDŰ LOGIKA) ÍTÉLETKALKULUS SZINTAXIS ÍTÉLETKALKULUS (NULLADRENDŰ LOGIKA) jelkészlet elválasztó jelek: ( ) logikai műveleti jelek: ítéletváltozók (logikai változók): p, q, r,... ítéletkonstansok: T, F szintaxis szabályai

Részletesebben

2. Ítéletkalkulus szintaxisa

2. Ítéletkalkulus szintaxisa 2. Ítéletkalkulus szintaxisa (4.1) 2.1 Az ítéletlogika abc-je: V 0 V 0 A következő szimbólumokat tartalmazza: ítélet- vagy állításváltozók (az állítások szimbolizálására). Esetenként logikai változónak

Részletesebben

Logika és informatikai alkalmazásai kiskérdések február Mikor mondjuk, hogy az F formula a G-nek részformulája?

Logika és informatikai alkalmazásai kiskérdések február Mikor mondjuk, hogy az F formula a G-nek részformulája? ,,Alap kiskérdések Logika és informatikai alkalmazásai kiskérdések 2012. február 19. 1. Hogy hívjuk a 0 aritású függvényjeleket? 2. Definiálja a termek halmazát. 3. Definiálja a formulák halmazát. 4. Definiálja,

Részletesebben

1. Logikailag ekvivalens

1. Logikailag ekvivalens Informatikai logikai alapjai Mérnök informatikus 4. gyakorlat 1. Logikailag ekvivalens 1. Az alábbi formulák közül melyek logikailag ekvivalensek a ( p p) formulával? A. ((q p) q) B. (q q) C. ( p q) D.

Részletesebben

Logika és informatikai alkalmazásai

Logika és informatikai alkalmazásai Logika és informatikai alkalmazásai 2. gyakorlat Németh L. Zoltán http://www.inf.u-szeged.hu/~zlnemeth SZTE, Informatikai Tanszékcsoport 2009 tavasz Irodalom Szükséges elmélet a mai gyakorlathoz Előadás

Részletesebben

Logika és informatikai alkalmazásai

Logika és informatikai alkalmazásai Logika és informatikai alkalmazásai 2. gyakorlat Németh L. Zoltán http://www.inf.u-szeged.hu/~zlnemeth SZTE, Informatikai Tanszékcsoport 2008 tavasz Irodalom Szükséges elmélet a mai gyakorlathoz Előadás

Részletesebben

3. Magyarország legmagasabb hegycsúcsa az Istállós-kő.

3. Magyarország legmagasabb hegycsúcsa az Istállós-kő. 1. Bevezetés A logika a görög,,logosz szóból származik, melynek jelentése gondolkodás, beszéd, szó. A logika az emberi gondolkodás vizsgálatával foglalkozik, célja pedig a gondolkodás során használt helyes

Részletesebben

Logika és informatikai alkalmazásai

Logika és informatikai alkalmazásai Logika és informatikai alkalmazásai 1. levelezős gyakorlat Németh L. Zoltán http://www.inf.u-szeged.hu/~zlnemeth SZTE, Informatikai Tanszékcsoport 2009 tavasz Követelmények A tárgy (ea+gyak) teljesítésének

Részletesebben

Predikátumkalkulus. 1. Bevezet. 2. Predikátumkalkulus, formalizálás. Predikátumkalkulus alapfogalmai, formalizálás, tagadás, logikailag igaz formulák.

Predikátumkalkulus. 1. Bevezet. 2. Predikátumkalkulus, formalizálás. Predikátumkalkulus alapfogalmai, formalizálás, tagadás, logikailag igaz formulák. Predikátumkalkulus Predikátumkalkulus alapfogalmai, formalizálás, tagadás, logikailag igaz formulák. 1. Bevezet Nézzük meg a következ két kijelentést: Minden almához tartozik egy fa, amir l leesett. Bármely

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldás

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldás Megoldás 1. Melyik mondat állítás a következőek közül? A: Szép idő van ma? B: A 100 szép szám. C: Minden prímszám páratlan. D: Bárcsak újra nyár lenne! Az állítás olyan kijelentő mondat, melyről egyértelműen

Részletesebben

Logika és informatikai alkalmazásai

Logika és informatikai alkalmazásai Logika és informatikai alkalmazásai 4. gyakorlat Németh L. Zoltán http://www.inf.u-szeged.hu/~zlnemeth SZTE, Informatikai Tanszékcsoport 2011 tavasz Irodalom Szükséges elmélet a mai gyakorlathoz Előadás

Részletesebben

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Nagy Gábor  compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz Diszkrét matematika 1. középszint 017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra

Részletesebben

Logika és informatikai alkalmazásai

Logika és informatikai alkalmazásai Logika és informatikai alkalmazásai 4. gyakorlat Németh L. Zoltán http://www.inf.u-szeged.hu/~zlnemeth SZTE, Informatikai Tanszékcsoport 2011 tavasz Irodalom Szükséges elmélet a mai gyakorlathoz Előadás

Részletesebben

Ítéletkalkulus. 1. Bevezet. 2. Ítéletkalkulus

Ítéletkalkulus. 1. Bevezet. 2. Ítéletkalkulus Ítéletkalkulus Logikai alapfogalmak, m veletek, formalizálás, logikai ekvivalencia, teljes diszjunktív normálforma, tautológia. 1. Bevezet A matematikai logikában az állításoknak nem a tényleges jelentésével,

Részletesebben

A matematika alapjai. Nagy Károly 2014

A matematika alapjai. Nagy Károly 2014 A matematika alapjai előadások összefoglalója (Levelezős hallgatók számára) Nagy Károly 2014 1 1. Kijelentés logika, ítéletkalkulus 1.1. Definíció. Azokat a kijelentő mondatokat, amelyekről egyértelműen

Részletesebben

Kijelentéslogika, ítéletkalkulus

Kijelentéslogika, ítéletkalkulus Kijelentéslogika, ítéletkalkulus Kijelentés, ítélet: olyan kijelentő mondat, amelyről egyértelműen eldönthető, hogy igaz vagy hamis Logikai értékek: igaz, hamis zürke I: 52-53, 61-62, 88, 95 Logikai műveletek

Részletesebben

Elsőrendű logika. Mesterséges intelligencia március 28.

Elsőrendű logika. Mesterséges intelligencia március 28. Elsőrendű logika Mesterséges intelligencia 2014. március 28. Bevezetés Ítéletkalkulus: deklaratív nyelv (mondatok és lehetséges világok közti igazságrelációk) Részinformációkat is kezel (diszjunkció, negáció)

Részletesebben

Logika és informatikai alkalmazásai

Logika és informatikai alkalmazásai Logika és informatikai alkalmazásai 6. gyakorlat Németh L. Zoltán http://www.inf.u-szeged.hu/~zlnemeth SZTE, Informatikai Tanszékcsoport 2008 tavasz Irodalom Szükséges elmélet a mai gyakorlathoz Előadás

Részletesebben

Kijelentéslogika, ítéletkalkulus

Kijelentéslogika, ítéletkalkulus Kijelentéslogika, ítéletkalkulus Arisztotelész (ie 4. sz) Leibniz (1646-1716) oole (1815-1864) Gödel (1906-1978) Neumann János (1903-1957) Kalmár László (1905-1976) Péter Rózsa (1905-1977) Kijelentés,

Részletesebben

Predikátumkalkulus. Predikátumkalkulus alapfogalmai, formalizálás, tagadás, logikailag igaz formulák. Vizsgáljuk meg a következ két kijelentést.

Predikátumkalkulus. Predikátumkalkulus alapfogalmai, formalizálás, tagadás, logikailag igaz formulák. Vizsgáljuk meg a következ két kijelentést. Predikátumkalkulus Predikátumkalkulus alapfogalmai, formalizálás, tagadás, logikailag igaz formulák. 1. Bevezet Vizsgáljuk meg a következ két kijelentést. Minden almához tartozik egy fa, amir l leesett.

Részletesebben

Logika és informatikai alkalmazásai

Logika és informatikai alkalmazásai Logika és informatikai alkalmazásai 2. gyakorlat Németh L. Zoltán http://www.inf.u-szeged.hu/~zlnemeth SZTE, Informatikai Tanszékcsoport 2009 tavasz Irodalom Szükséges elmélet a mai gyakorlathoz Előadás

Részletesebben

Magyarok: Bereczki Ilona, Kalmár László, Neumann, Péter Rózsa, Pásztorné Varga Katalin, Urbán János, Lovász László

Magyarok: Bereczki Ilona, Kalmár László, Neumann, Péter Rózsa, Pásztorné Varga Katalin, Urbán János, Lovász László MATEMATIKAI LOGIKA A gondolkodás tudománya Diszkrét matematika Arisztotelész(i.e. 384-311) Boole, De Morgan, Gödel, Cantor, Church, Herbrand, Hilbert, Kleene, Lukesiewicz, Löwenheim, Ackermann, McKinsey,

Részletesebben

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Nagy Gábor  compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz Diszkrét matematika 1. estis képzés 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 9. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján

Részletesebben

Logika és informatikai alkalmazásai

Logika és informatikai alkalmazásai Logika és informatikai alkalmazásai 9. gyakorlat Németh L. Zoltán http://www.inf.u-szeged.hu/~zlnemeth SZTE, Informatikai Tanszékcsoport 2008 tavasz Egy HF múlt hétről HF1. a) Egyesíthető: s = [y/f(x,

Részletesebben

1. Definíciók. 2. Formulák. Informatikai logikai alapjai Mérnök informatikus 3. gyakorlat

1. Definíciók. 2. Formulák. Informatikai logikai alapjai Mérnök informatikus 3. gyakorlat Informatikai logikai alapjai Mérnök informatikus 3. gyakorlat 1. Definíciók A feladatokban bevezetünk két újabb logikai konstanst: a és jellel jelölteket. Ez a két konstans önmagában is formulának tekintendő.

Részletesebben

Logika és informatikai alkalmazásai

Logika és informatikai alkalmazásai Logika és informatikai alkalmazásai 1. gyakorlat Németh L. Zoltán http://www.inf.u-szeged.hu/~zlnemeth SZTE, Informatikai Tanszékcsoport 2009 tavasz Követelmények A tárgy (ea+gyak) teljesítésének követlményeit

Részletesebben

1. Formalizálás. Informatikai logikai alapjai Mérnök informatikus 6. gyakorlat. 1. Jelöljék a következő nemlogikai konstansok a következőket:

1. Formalizálás. Informatikai logikai alapjai Mérnök informatikus 6. gyakorlat. 1. Jelöljék a következő nemlogikai konstansok a következőket: Informatikai logikai alapjai Mérnök informatikus 6. gyakorlat 1. Formalizálás 1. Jelöljék a következő nemlogikai konstansok a következőket: p Aladár gőgös. q Aladár zsémbes. r Bea gőgös. s Bea zsémbes.

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Logika

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Logika Logika Indukció: A fogalomalkotásnak azt a módját, amikor a konkrét tapasztalatokra támaszkodva jutunk el az általános fogalomhoz, indukciónak nevezzük. Dedukció: A fogalomalkotásnak azt a módját, amikor

Részletesebben

Matematika alapjai; Feladatok

Matematika alapjai; Feladatok Matematika alapjai; Feladatok 1. Hét 1. Tekintsük a,, \ műveleteket. Melyek lesznek a.) kommutativok b.) asszociativak c.) disztributívak-e a, műveletek? Melyik melyikre? 2. Fejezzük ki a műveletet a \

Részletesebben

LOGIKA ÉS ÉRVELÉSTECHNIKA

LOGIKA ÉS ÉRVELÉSTECHNIKA LOGIKA ÉS ÉRVELÉSTECHNIKA ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Logika és érveléstechnika NULLADREND LOGIKA 3. Készítette: Szakmai felel s: 2011. február Készült a következ m felhasználásával: Ruzsa

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Logika

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Logika Logika Indukció: A fogalomalkotásnak azt a módját, amikor a konkrét tapasztalatokra támaszkodva jutunk el az általános fogalomhoz, indukciónak nevezzük. Dedukció: A fogalomalkotásnak azt a módját, amikor

Részletesebben

LOGIKA. Magyarok: Bereczki Ilona, Kalmár László, Neumann, Péter Rózsa, Pásztorné Varga Katalin, Urbán János, Lovász László.

LOGIKA. Magyarok: Bereczki Ilona, Kalmár László, Neumann, Péter Rózsa, Pásztorné Varga Katalin, Urbán János, Lovász László. MATEMATIKAI A gondolkodás tudománya Arisztotelész(i.e. 384-311) Boole, De Morgan, Gödel, Cantor, Church, Herbrand, Hilbert, Kleene, Lukesiewicz, Löwenheim, Ackermann, McKinsey, Tarski, Ramsey, Russel,

Részletesebben

2. Logika gyakorlat Függvények és a teljes indukció

2. Logika gyakorlat Függvények és a teljes indukció 2. Logika gyakorlat Függvények és a teljes indukció Folláth János Debreceni Egyetem - Informatika Kar 2012/13. I. félév Áttekintés 1 Függvények Relációk Halmazok 2 Természetes számok Formulák Definíció

Részletesebben

Logika és informatikai alkalmazásai

Logika és informatikai alkalmazásai Logika és informatikai alkalmazásai 9. gyakorlat Németh L. Zoltán http://www.inf.u-szeged.hu/~zlnemeth SZTE, Informatikai Tanszékcsoport 2011 tavasz Irodalom Szükséges elmélet a mai gyakorlathoz Előadás

Részletesebben

Matematikai logika. Nagy Károly 2009

Matematikai logika. Nagy Károly 2009 Matematikai logika előadások összefoglalója (Levelezős hallgatók számára) Nagy Károly 2009 1 1. Elsőrendű nyelvek 1.1. Definíció. Az Ω =< Srt, Cnst, F n, P r > komponensekből álló rendezett négyest elsőrendű

Részletesebben

b, Van olyan makacs ember, a senki más tanácsára nem hallgat. (Univerzum az emberek halmaza)

b, Van olyan makacs ember, a senki más tanácsára nem hallgat. (Univerzum az emberek halmaza) Elsőrendű logika. Formalizálja az alábbi mondatokat: a, Aki másnak vermet ás, maga esik verembe. (Univerzum az emberek halmaza) ( yv ( E( ) E(: verembe esik, V(: vermet ás y-nak b, Van olyan makacs ember,

Részletesebben

LOGIKA. A logika feladata tehát a premisszák és a konklúzió

LOGIKA. A logika feladata tehát a premisszák és a konklúzió LOGIKA hétköznapi jelentése: a rendszeresség, következetesség szinonimája Ez logikus beszéd volt. Nincs benne logika. Más logika szerint gondolkodik. tudományszak elnevezése, melynek fő feladata a helyes

Részletesebben

f(x) vagy f(x) a (x x 0 )-t használjuk. lim melyekre Mivel itt ɛ > 0 tetszőlegesen kicsi, így a a = 0, a = a, ami ellentmondás, bizonyítva

f(x) vagy f(x) a (x x 0 )-t használjuk. lim melyekre Mivel itt ɛ > 0 tetszőlegesen kicsi, így a a = 0, a = a, ami ellentmondás, bizonyítva 6. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 6.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási

Részletesebben

A logika, és a matematikai logika alapjait is neves görög tudós filozófus Arisztotelész rakta le "Analitika" című művében, Kr.e. IV. században.

A logika, és a matematikai logika alapjait is neves görög tudós filozófus Arisztotelész rakta le Analitika című művében, Kr.e. IV. században. LOGIKA A logika tudománnyá válása az ókori Görögországban kezdődött. Maga a logika szó is görög eredetű, a logosz szó jelentése: szó, fogalom, ész, szabály. Már az első tudósok, filozófusok, és politikusok

Részletesebben

LOGIKA ÉS ÉRVELÉSTECHNIKA

LOGIKA ÉS ÉRVELÉSTECHNIKA LOGIKA ÉS ÉRVELÉSTECHNIKA ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Logika és érveléstechnika NULLADREND LOGIKA 1. Készítette: Szakmai felel s: 2011. február Készült a következ m felhasználásával: Ruzsa

Részletesebben

LOGIKA. A logika feladata tehát a premisszák és a konklúzió

LOGIKA. A logika feladata tehát a premisszák és a konklúzió LOGIKA hétköznapi jelentése: a rendszeresség, következetesség szinonimája Ez logikus beszéd volt. Nincs benne logika. Más logika szerint gondolkodik. tudományszak elnevezése, melynek fő feladata a helyes

Részletesebben

A matematikai logika alapjai

A matematikai logika alapjai A matematikai logika alapjai A logika a gondolkodás törvényeivel foglalkozó tudomány A matematikai logika a logikának az az ága, amely a formális logika vizsgálatára matematikai módszereket alkalmaz. Tárgya

Részletesebben

Az informatika logikai alapjai

Az informatika logikai alapjai Az informatika logikai alapjai Várterész Magda DE, Informatikai Kar PTI BSc és informatikatanár hallgatók számára 2017. A logika szó hétköznapi jelentése: rendszeresség, következetesség Ez logikus beszéd

Részletesebben

Matematika Logika

Matematika Logika Matematika Logika 1 Állítások - Kijelentések Az alábbi kijelentő mondatok közül válaszd ki az állításokat! 1. Minden prímszám páratlan 2. Holnap jó műsor lesz a tv-ben. 3. Az óvodában a legszebb lány Veronika.

Részletesebben

1. A polinom fogalma. Számolás formális kifejezésekkel. Feladat Oldjuk meg az x2 + x + 1 x + 1. = x egyenletet.

1. A polinom fogalma. Számolás formális kifejezésekkel. Feladat Oldjuk meg az x2 + x + 1 x + 1. = x egyenletet. 1. A polinom fogalma Számolás formális kifejezésekkel. Feladat Oldjuk meg az x2 + x + 1 x + 1 = x egyenletet. Megoldás x + 1-gyel átszorozva x 2 + x + 1 = x 2 + x. Innen 1 = 0. Ez ellentmondás, így az

Részletesebben

Matematika 11. osztály

Matematika 11. osztály ELTE Apáczai Csere János Gyakorló Gimnázium és Kollégium Humán tagozat Matematika 11. osztály I. rész: Hatvány, gyök, logaritmus Készítette: Balázs Ádám Budapest, 018 . Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék

Részletesebben

Logika gyakorlat 08. Nincs olyan változó, amely szabadon és kötötten is előfordul.

Logika gyakorlat 08. Nincs olyan változó, amely szabadon és kötötten is előfordul. Logika gyakorlat 08 Normálformák elsőrendben Egy formula kiigazított, ha: Különböző kvantorok különböző változókat kötnek Nincs olyan változó, amely szabadon és kötötten is előfordul. Minden formulát kiigazíthatunk,

Részletesebben

Diszkrét matematika II., 8. előadás. Vektorterek

Diszkrét matematika II., 8. előadás. Vektorterek 1 Diszkrét matematika II., 8. előadás Vektorterek Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2007.??? Vektorterek Legyen T egy test (pl. R, Q, F p ). Definíció.

Részletesebben

Logika kiskáté. Mihálydeák Tamás és Aszalós László

Logika kiskáté. Mihálydeák Tamás és Aszalós László Logika kiskáté Mihálydeák Tamás és Aszalós László 2012 1. Definíciók 1. Adja meg a klasszikus nulladrendű nyel definícióját! Klasszikus nulladrendű nyelen az L (0) = LC, Con, F orm rendezett hármast értjük,

Részletesebben

Logikai ágensek. Mesterséges intelligencia március 21.

Logikai ágensek. Mesterséges intelligencia március 21. Logikai ágensek Mesterséges intelligencia 2014. március 21. Bevezetés Eddigi példák tudásra: állapotok halmaza, lehetséges operátorok, ezek költségei, heurisztikák Feltételezés: a világ (lehetséges állapotok

Részletesebben

Diszkrét matematika 1. középszint

Diszkrét matematika 1. középszint Diszkrét matematika 1. középszint 2017. sz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 3. el adás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra

Részletesebben

Logika kiskáté. Mihálydeák Tamás és Aszalós László

Logika kiskáté. Mihálydeák Tamás és Aszalós László Logika kiskáté Mihálydeák Tamás és Aszalós László 2012 1. Definíciók 1. Adja meg a klasszikus nulladrendű nyel definícióját! Klasszikus nulladrendű nyelen az L (0) = LC, Con, F orm rendezett hármast értjük,

Részletesebben

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al: Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x

Részletesebben

Logikai alapok a programozáshoz

Logikai alapok a programozáshoz Logikai alapok a programozáshoz Kidolgozott tételek Készítette: Chripkó Ágnes Felhasznált anyagok: előadásvázlat; gyakorlatok anyaga; Pásztorné Varga K., Várterész M.: A matematikai logika alkalmazásszemléletű

Részletesebben

Bevezetés a Formális Logikába Érveléstechnika-logika 7.

Bevezetés a Formális Logikába Érveléstechnika-logika 7. Bevezetés a Formális Logikába Érveléstechnika-logika 7. Elemi és összetett állítások Elemi állítások Állítás: Jelentéssel bíró kijelentő mondat, amely információt közöl a világról. Az állítás vagy igaz

Részletesebben

Bizonyítási módszerek ÉV ELEJI FELADATOK

Bizonyítási módszerek ÉV ELEJI FELADATOK Bizonyítási módszerek ÉV ELEJI FELADATOK Év eleji feladatok Szükséges eszközök: A4-es négyzetrácsos füzet Letölthető tananyag: Emelt szintű matematika érettségi témakörök (2016) Forrás: www.mozaik.info.hu

Részletesebben

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek A másodfokú egyenlet grafikus megoldása Példa1. Ábrázold az f(x) = x + 1x + 16 függvényt, majd olvasd le az ábráról az alábbi egyenlet megoldását: x + 1x + 16 = 0.

Részletesebben

Feladatsor A differenciálgeometria alapja c. kurzus gyakorlatához

Feladatsor A differenciálgeometria alapja c. kurzus gyakorlatához Feladatsor A differenciálgeometria alapja c. kurzus gyakorlatához Dr. Nagy Gábor, Geometria Tanszék 2010. szeptember 16. Görbék paraméterezése 1. feladat. (A) Bizonyítsuk be a vektoriális szorzatra vonatkozó

Részletesebben

Diszkrét matematika 2.

Diszkrét matematika 2. Diszkrét matematika 2. 2018. november 23. 1. Diszkrét matematika 2. 9. előadás Fancsali Szabolcs Levente nudniq@cs.elte.hu www.cs.elte.hu/ nudniq Komputeralgebra Tanszék 2018. november 23. Diszkrét matematika

Részletesebben

Oktatási Hivatal. 1 pont. A feltételek alapján felírhatók az. összevonás után az. 1 pont

Oktatási Hivatal. 1 pont. A feltételek alapján felírhatók az. összevonás után az. 1 pont Oktatási Hivatal Öt pozitív egész szám egy számtani sorozat első öt eleme A sorozatnak a különbsége prímszám Tudjuk hogy az első négy szám köbének összege megegyezik az ezen öt tag közül vett páros sorszámú

Részletesebben

Knoch László: Információelmélet LOGIKA

Knoch László: Információelmélet LOGIKA Mi az ítélet? Az ítélet olyan mondat, amely vagy igaz, vagy hamis. Azt, hogy az adott ítélet igaz vagy hamis, az ítélet logikai értékének nevezzük. Jelölése: i igaz h hamis A 2 páros és prím. Logikai értéke

Részletesebben

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek A másodfokú egyenlet grafikus megoldása Példa1. Ábrázold az f(x) = x 1x 16 függvényt, majd olvasd le az ábráról az alábbi egyenlet megoldását: x 1x 16 =. 1. lépés:

Részletesebben

Következik, hogy B-nek minden prímosztója 4k + 1 alakú, de akkor B maga is 4k + 1 alakú, s ez ellentmondás.

Következik, hogy B-nek minden prímosztója 4k + 1 alakú, de akkor B maga is 4k + 1 alakú, s ez ellentmondás. Prímszámok A (pozitív) prímszámok sorozata a következő: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,... 1. Tétel. Végtelen sok prímszám van. Első bizonyítás. (Euklidész) Tegyük fel, hogy állításunk nem igaz, tehát véges

Részletesebben

Dr. Jelasity Márk. Mesterséges Intelligencia I. Előadás Jegyzet (2008. október 6) Készítette: Filkus Dominik Martin

Dr. Jelasity Márk. Mesterséges Intelligencia I. Előadás Jegyzet (2008. október 6) Készítette: Filkus Dominik Martin Dr. Jelasity Márk Mesterséges Intelligencia I Előadás Jegyzet (2008. október 6) Készítette: Filkus Dominik Martin Elsőrendű logika -Ítéletkalkulus : Az elsőrendű logika egy speciális esete, itt csak nullad

Részletesebben

Optimalizálási eljárások GYAKORLAT, MSc hallgatók számára. Analízis R d -ben

Optimalizálási eljárások GYAKORLAT, MSc hallgatók számára. Analízis R d -ben Optimalizálási eljárások GYAKORLAT, MSc hallgatók számára Analízis R d -ben Gyakorlatvezetõ: Hajnal Péter 2012. február 8 1. Konvex függvények Definíció. f : D R konvex, ha dom(f) := D R n konvex és tetszőleges

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 1 I. HALmAZOk 1. JELÖLÉSEk A halmaz fogalmát tulajdonságait gyakran használjuk a matematikában. A halmazt nem definiáljuk, ezt alapfogalomnak tekintjük. Ez nem szokatlan, hiszen

Részletesebben

Határérték. prezentációjából valók ((C)Pearson Education, Inc.) Összeállította: Wettl Ferenc október 11.

Határérték. prezentációjából valók ((C)Pearson Education, Inc.) Összeállította: Wettl Ferenc október 11. Határérték Thomas féle Kalkulus 1 című könyv alapján készült a könyvet használó hallgatóknak. A képek az eredeti könyv szabadon letölthető prezentációjából valók ((C)Pearson Education, Inc.) Összeállította:

Részletesebben