A SPECIÁLIS RELATIVITÁSELMÉLET

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "A SPECIÁLIS RELATIVITÁSELMÉLET"

Átírás

1 A SPECIÁLIS RELATIVITÁSELMÉLET Szerző: Szabó Gábor egyetemi tanár (SZTE Optikai és Kantumelektronikai Tanszék) 1. Beezetés A speiális relatiitáselmélet megszületése magán iselte a fizika nagy forradalmainak összes lényeges ismérét. Az ismert elméletek nem oltak képesek megmagyarázni lényeges kísérleti eredményeket sőt néhol maguk az elméletek egymással is ellentmondásba kerültek, részproblémákra már születtek megoldások, de ezek nem kapsolódtak egymással, azaz szükség olt egy géniuszra, aki képes megalkotni a nagy fizikai elméletektől elárt rendszert. Ez a géniusz Albert Einstein személyében nagyjából időben meg is érkezett és a rend legalábbis addig, amíg a kantummehanika ismét mindent fel nem borított helyreállt. A helyzet annyiban is hasonlított a mehanika XVII. században lezajlott forradalmához, hogy a rendszer, illete a rendszert megalkotó géniusz ott Newton megjelenése máig is nehezen átlátható árnyékot etett az elődökre. Az utókor mind a mai napig gyakran megfeledkezik azokról, akik Newtont észázadokkal megelőze mint a Merton College kutatói, Buridan, Oresme, Stein, agy aki kortársként talán a legtöbb méltánytalanságot elszenede mint Hooke, alamilyen formában lényegesen hozzájárultak a newtoni mehanika megalkotásához. Einstein nee is oly mértékben összeforrt a speiális relatiitáselmélettel, hogy Voigt, Poinaré, Fitzgerald és Lorentz az utódoktól gyakran nem a alódi szerepüknek megfelelő megbesülést kapták meg. Az emberiség kollektí memóriájának az a szokása, hogy hajlamos egy-egy nagy eredményt egy néel összekötni, általában kiáltja az ellenreakiót is, azaz megjelennek tudománytörténészek, akik megpróbálják a nagyokat deheroizálni. Galileihez agy Newtonhoz hasonlóan nem kerülte el ezt a sorsot Einstein sem. Edmund Whittaker Einsteinnek az ös történelmi jelentőségű dolgozatáról az 50-es éekben a köetkezőket írja Einstein egy ikket publikált, amelyben Poinaré és Lorentz relatiitáselméletét fejti ki némi kiegészítéssel. Ahelyett, hogy az ilyen a tudomány lényegét nem érintő, bár kétségkíül érdekes itákban megpróbálnánk igazságot tenni, szögezzük le, hogy a természettudományok fejlődésében a kétféle kutatónak, aki részletkérdések tudományos igényű tisztázásáal lényeges elméleteket támaszt alá, agy ingat meg, és aki a tudományosan meglapozott részleteket rendszerbe képes foglalni, egyaránt döntő szerepe an. A speiális relatiitáselmélet megalapozásához számos úton el lehet jutni. Mi ebben a fejezetben átláthatósága miatt jórészt azt az utat köetjük, amelyet Einstein ír le [1] tanulmányában. Egy dolgot azonban már a kezdeteknél is hangsúlyoznunk kell. A speiális relatiitáselmélet egy különlegesen szép példája a fizika nagy elméleteinek. Különlegessége főként abban rejlik, hogy a többi nagy elmélethez hasonlóan a szemléletünket megrázó eredményekhez jut. Mindezt azonban úgy teszi, hogy két posztulátuma semmiel sem bonyolultabb a klasszikus mehanika axiómáinál, a legfontosabb eredmények bemutatásához szükséges matematikai eszközök pedig nem haladják meg a középiskolás tananyag szintjét. Ahhoz, hogy egy probléma megoldását igazán értékelni tudjuk, először is az szükséges, hogy magát a problémát alaposan megértsük. Ez a relatiitáselmélet esetében is természetesen így an, ezért először is megizsgáljuk, hogy mik oltak a múlt század égi fizikában azok a főbb ellentmondások, amelyek égül is az elmélet megalkotását kikényszerítették. 1

2 . Előzmények: ellentmondások a XIX sz. égének fizikájában..1. Relatiitás ele agy fénysebesség állandósága? Amint azt korábban láttuk a klasszikus mehanika egy általános ele a Galilei-féle relatiitási el. Ennek egyik szemléletes megfogalmazása az, hogy a mehanika számára az összes ineriarendszerek egyenértékűek, azaz semmilyen mehanikai kísérlettel nem lehet a különböző ineriarendszerek mozgásállapotára onatkozóan informáiót nyerni. Galilei maga arra mutatott rá, hogy a sima tengeren haladó hajó belsejében égzett kísérletekből nem lehet megmondani, hogy a hajó halad-e, agy áll. Ez a probléma számára elsősorban azért olt fontos, mert ezzel áfolta a Föld tengely körüli forgásáal szemben az ő korában hangoztatott bizonyítékot : a Föld már sak azért sem foroghat a tengelye körül, mert ekkor egy toronyból leejtett kő nem a torony töében érne földet. Galilei ezzel szemben azt állította, hogy ilyenkor a kő sakúgy mint a hajó esetében együtt mozog a toronnyal. Mi már tudjuk, hogy Galilei gondolatmenete a toronyra onatkozóan nem egészen helyes, hiszen forgó rendszerben az ineria erőket is figyelembe kell enni, amelyek alóban kismértékben eltérítik pályájukon az eső testeket. A hajó esetében iszont teljes mértékben igaza olt. A relatiitási el fenti megfogalmazásában nem életlenül hangsúlyoztuk a mehanika szót. A klasszikus mehanikára onatkozóan ugyanis bizonyítható, tehát ha a klasszikus mehanika helyes, akkor a Galilei-féle relatiitási elnek igaznak kell lennie. A klasszikus mehanika megalapozása és a 19. század ége között eltelt mintegy 00 é alatt sok tapasztalat gyűlt össze arra néze, hogy zárt rendszerben a rendszer mozgására onatkozóan nemsak mehanikai, hanem másfajta kísérletekkel sem nyerhetünk informáiót. Ílymódon kialakult egy újabb megfogalmazás, amelyet a Galilei-féle relatiitási eltől aló megkülönböztetésül általános relatiitási elnek neezünk, mely szerint az ineriarendszerek a fizika számára egyenértékűek. Az általános relatiitási elnek, amennyiben igaz, an egy fontos köetkezménye: nem létezik abszolút nyugó onatkoztatási rendszer, azaz abszolút tér. Az abszolút tér fogalma az emberi szemlélet számára kényelmes kategória, amelynek feladása nem könnyű. Ez magánál Newtonnál is érdekes kettősségre ezetett. Ő alószínűleg főként filozófiai okokból posztulálta az abszolút tér létezését, de fizikusi zsenialitása megakadályozta abban, hogy ezt alójában ki is használja. Így eredményei helyesek annak ellenére, hogy felteései között hibás is olt. A múlt század égén tehát úgy tűnt, hogy az általános relatiitási el egyike a fizika fontos eleinek, amikor egy komoly ellentmondás kezdett köronalazódni. A 19. századi fizika egyik legnagyobb eredményét jelentik, az elektromágnesség jelenségkörének leírására felállított Maxwell egyenletek. Ezeknek egyik fontos köetkezménye az, hogy az elektromágneses sugárzás (ákuumban) mindig fénysebességgel terjed függetlenül a forrás agy a detektor sebességétől. Ez ugyan még önmagában nem mondana ellent az általános relatiitási elnek, a magyarázat azonban, amellyel ezt a kétségkíül zaarba ejtő tényt magyarázni próbálták, annál inkább. A magyarázat ugyanis az olt, hogy a fényhullámokat egy speiális közeg, az ún. éter toábbítja, így a terjedés sebessége a hanghullámokhoz hasonlóan a közeghez képest állandó. Az ellentmondás tehát az, hogy ha a ilágmindenséget kitöltő éter létezik, akkor két ineriarendszer között különbséget tehetünk az éterhez iszonyított sebességük alapján, agy ha akarjuk az éter az abszolút iszonyítási rendszer. Az éter fogalma a fizika egyik ma már elfeledett itája során keletkezett. A ita eredete Newtonig nyúlik issza, aki a fény terjedését speiális tulajdonságokkal felruházott részeskékhez kötötte. Elméletének kifinomult, az interferenia értelmezését is lehetőé teő részletei a köetők értelmezésében lekoptak, és az, hogy a fény terjedése részeskék áramlása, dogmáá mereedett kiszoríta Huygens hullámszerű elméletét. (Huygens elmélete még nem olt a mai értelemben ett hullámelmélet, miután az a mozgásállapot terjedéséről szól, hiányzik belőle a periodiitás, és emiatt természetesen az interferenia.) Ennek köetkeztében az 1700-as éekben az optikában jó száz éig nem

3 történt semmi, miután a hullámelmélet beezetéséel próbálkozók Newton tekintélyéel, agy inkább árnyékáal találták szemben magukat. Az 1800-as éek fordulóján Young kísérletei fontos bizonyítékot szolgáltattak a hullámtermészetre, amelyet Fresnel elegáns, matematikailag is teljes elmélettel értelmezett. Fresnel megfontolásaiban egyértelműen az éter fogalmára támaszkodott, ezért az éter szorosan összekapsolódott a fényterjedés hullámmodelljéel. Így a hullámmodell térnyeréséel az éter fogalom is egyre jobban beépült a fizikába. Azt, hogy az éter fogalom a század égére mennyire elfogadottá ált, jól mutatja, hogy Kelin, kora egyik kiemelkedő fizikusa 1891-ben a köetkezőket írja: Az elektromágneses éter a dinamikában az egyetlen szubsztania amelyben bizonyosak lehetünk.az elektromágneses éter tudományos alóságnak tekinthető. Az éter hipotézis első látásra teljesen rendben leőnek tűnik, és igen szemléletesen megmagyaráz egy egyébként a szemlélet számára idegen tényt. Kissé közelebbről szemléle a dolgot, egyre több zaaró tényezőt találunk. Amennyiben ez a ilágmindenséget kitöltő anyag létezik, akkor olyannak kell lennie, hogy a benne mozgó tárgyak mozgását nem akadályozhatja. Másrészt, miel a fény transzerzális hullám ezért alamilyen szerkezetének kell lennie, hiszen a transzerzális hullámok terjedéséhez olyan rendszerekre an szükség, amelyek alami módon alakjuk isszaállítására törekszenek. Ezt természetesen a múlt század fizikusai is jól látták, ennek ellenére az éter fogalom makasul tartotta magát. Ez minden bizonnyal arra ezethető issza, hogy e nélkül a fénysebesség állandóságának ele ellent mond a józan észnek. Einsteint is saját elmondása szerint már egyetemi hallgató korában igen erősen foglalkoztatta a fénysebesség állandóságának ele, agy méginkább annak érthetetlensége. Ez később feltehetően a speiális relatiitás elmélet megalkotásában is nagy szerepet játszott. A dilemma tehát az, hogy álasztanunk kell két el között: agy a nagyszámú kísérleti tapasztalattal alátámasztott általános relatiitás elét tartjuk meg, agy az éter hipotézist, ami szükséges egy ugyansak kísérleti tapasztalatokon, sőt egy sokféle módon bizonyított nagyszabású elméleten alapuló elnek, a fénysebesség állandósága elének az értelmezéséhez.. Galilei agy Lorentz transzformáió? Tekintsünk egy K ineriarendszert, és egy K, a K-hoz képest sebességgel mozgó iszonyítási rendszert. (Viszonyítási rendszereinket mostantól kezde mindig úgy esszük fel, hogy az x és x tengelyek egybeesnek, az y,y és a z,z tengelyek párhuzamosak, alamint a közös x,x tengelyek irányába mutat. Ez az egyszerűsítés a fizikai tartalmat nem torzítja el, ugyanakkor a számolásokat jóal egyszerűbbé teszi.) A kérdés az, hogy milyen műeletet kell égeznünk az {x,y,z,t} koordinátákkal ahhoz, hogy megkapjuk azokat az {x,y,z,t } koordinátákat, amelyekkel egyenleteink a K rendszerben is helyesek maradnak. Másképpen fogalmaza: milyen alakú az a (koordináta)transzformáió, amely az {x,y,z,t} koordinátákat a helyes {x,y,z,t } koordinátákba iszi át? Ha a kérdést a klasszikus mehanika körében etjük fel, a álaszt könnyen megadhatjuk. A keresett transzformáió nyilán a köetkező: x = x t (1a) y = y (1b) z = z (1) t = t (1d) Az (1a-d) egyenleteket Galilei transzformáiónak neezzük, és fentieket úgy is megfogalmazhatjuk, hogy a mehanika Galilei transzformáióra néze inariáns. A Maxwell elmélet megalkotása után hamarosan nyilánalóá ált, hogy a Maxwell egyenletek a Galilei transzformáióra néze nem inariánsak. Többen is foglalkoztak azzal a kérdéssel, hogy milyen lehet az a transzformáió, amely a Maxwell egyenleteket inariánsan hagyja. Nyilánaló, hogy a kérdésre adott álasz a fizika egészét illetően is lényeges 3

4 köetkezményekkel járhat. Ha ugyanis a keresett transzformáió a Galilei transzformáióal teljesen összeegyeztethetetlen, akkor a fizika két részre esik szét. A Galilei transzformáió ugyanis a klasszikus mehanikából köetkezik. A klasszikus mehanika iszont a kísérletek szerint a makroszkopikus testek ilágában helyesen írja le a megfigyelhető eseményeket. (Ez a századforduló környékén mindenképpen így olt. Az első olyan kísérleti eredmény, amely makroszkopikus testek esetében közetlenül mérhető eltérést mutat, sak az 1970-es éekben született.) A belőle köetkező el teljesen hibás tehát nem lehet. Ha tehát a Maxwell egyenletek egy ezzel ellentmondó transzformáióhoz ezetnek, akkor a fizika egysége súlyosan sérül, mert a mehanikai és elektromosságtani jelenségek leírása nem egységesíthető. A helyes megoldáshoz már nagyon közel jutott Voigt 1887-ben, amikor megadott egy olyan transzformáiót, amely az elektromágneses hullámok terjedését leíró hullámegyenletre néze helyes olt. Gondolatmenetének igazán forradalmi eleme az olt, hogy t = t helyettesítést elete az időt is transzformálta. Ez azt jelenti, hogy eletette az abszolút idő létezésének fogalmát. Az abszolút idő fogalma legalább olyan mélyen beleiódott szemléletünkbe, mint az abszolút tér. Ezért nyugodtan forradalminak neezhető annak már a puszta feletése is, hogy az idő múlása függ a iszonyítási rendszertől. Ebből a szempontból igen érdekes Ernst Mah munkássága, aki egy filozófiai értekezésében az abszolút tér és abszolút idő fogalmát egyaránt eleti, mint olyan metafizikai konstrukiókat, amelyek semmilyen fizikai kísérletben nem jelennek meg, így a fizika számára értelmetlenek. Bizonyára nem életlen, hogy Einstein gondolkodására amint azt önéletrajzi jegyzeteiben ő maga is kihangsúlyozza, igen nagy hatással olt Mah A mehanika története. műének elolasása. A megoldást égül is H. A. Lorentz találta meg, aki 1899-ben eljutott a térkoordináták helyes transzformáiójához, majd 1904-ben megadta a teljes megoldást amelyet Lorentz transzformáiónak neezünk. A Lorentz transzformáió a köetkező alakú: x t x' = (a) y ' = y (b) z ' = z () t' = x t (d) A Lorentz transzformáió részletes elemzésére később még isszatérünk, azonban két fontos megjegyzést már itt meg kell tennünk. Az első: megnyugással esszük észre, hogy a Lorentz transzformáió nem mond ellent a Galilei transzformáiónak, ugyanis ha a iszonyítási rendszerek egymáshoz képesti sebessége nem összemérhető a fénysebességgel ez a makroszkopikus testek esetében gyakorlatilag mindig teljesül, akkor a Lorentz transzformáió a Galilei transzformáióba megy át. A második megjegyzés: a Lorentz transzformáió szerint az idő a iszonyítási rendszertől függ, ami az abszolút időre onatkozó elképzeléseink felülizsgálatára kell, hogy késztessen bennünket. 4

5 .3. Mihelson és Morley kísérlete: álasz, agy újabb kérdőjelek? Amint az eddigi megfontolásainkból is kiderült, az alapető konfliktus a mehanikai, illete az elektromágneses jelenségek, agy méginkább az ezeket leíró elméletek, azaz a newtoni mehanika és a Maxwell egyenletek között látszik köronalazódni. A múlt század égén természetszerűen etődött fel az a gondolat, hogy a kérdést legélszerűbben alamilyen elektromágneses kísérlettel lehetne tisztázni. Az elektromágneses jelenségek közül a fény az, amit könnyű előállítani és detektálni, ezért igen alkalmasnak tűnik alamilyen, a fény terjedésére onatkozó mérés. A gyakorlati előnyök mellett problémát jelent a fény igen nagy terjedési sebessége. Egy, a gyakorlatban megalósítható kísérleti eszköz méretei nem nagyon haladhatják meg a 10 m-t. Ekkora táolság megtételéhez a fénynek 3, másodperre an szüksége. Ilyen kisiny időtartamok kellő pontosságú közetlen mérésére abban az időben nem olt esély. 15 Az utóbbi néhány ében a lézerfizika fejlődésének köetkeztében lehetőé ált s időtartamú fényimpulzusok előállítása. Ilyen röid impulzusokkal, kellően nagy táolságot álaszta már közetlen méréseket is lehetne égezni. A fény azonban elektromágneses rezgés, amelynek periódusideje pl. a 600 nm 15 hullámhosszú naranssárga fényé 10 s. Ha tehát két fényhullám fázisának összehasonlításáal dolgozunk, azaz kihasználjuk a fényinterfereniát, akkor a periódusidő egytizedének megfelelő terjedési idő különbségek mérése is lehetőé álik. Ennek megfelelően Mihelson egy olyan kísérletet terezett, amelyben a fény futásidejét hasonlította össze egy ún. interferométer két karjában. A kísérlet ázlata az 1. ábrán látható. A fénysugár egy Ny nyalábosztóra esik, ahol a fény 50%-a isszaerődik és az A karba jut, 50%-a áthalad és belép a B karba. A karok égén elhelyezett T a és T b tükrökről a fény isszaerődik, az A karból érkező fény 50%-a a nyalábosztón áthalad, a B karból érkező fény 50%-a a nyalábosztón isszaerődik, azaz a nyalábosztó hátoldalán két párhuzamos fénysugár lép ki, amelyek egymással interferálnak. Amennyiben az A és B kar egyenlő hosszúságúak ezt a toábbiakban mindig feltételezzük és az eszköz nyugalomban an, akkor a fény terjedési ideje a két karban pontosan megegyezik (L/, ahol L a kar hossza, a fénysebesség), tehát a kilépő fényhullámok azonos fázisban találkoznak, azaz az interferenia során erősítik egymást. Vizsgáljuk meg, hogy az eszköz miképpen alkalmas a feltételezett éterhez iszonyított mozgásunk kimutatására. Tételezzük fel, hogy az interferométer az éterhez képest az ábra szerint jobbról balra, azaz a B kar tengelyéel párhuzamosan sebességgel mozog. Számítsuk ki a terjedési időket a két karban. Az A karban a helyzet a nyugó esethez képest annyiban különbözik, hogy amíg a fény a nyalábosztótól a tükörig t idő alatt eljut, azalatt a tükör maga is elmozdul t táolságra, így a fénynek L helyett az L és t befogókból alkotott derékszögű háromszög átfogóját kell befutnia (lásd a a. ábrát). Ennek figyelembeételéel írhatjuk: Ny T a 1. ábra A Mihelson interferométer ázlata T b 5

6 L+t L L-t t a. ábra Fény terjedése a Mihelson interferométer A karjában b. ábra Fény terjedése a Mihelson interferométer B karjában L + ( t') t' = (3) A (3) egyenletből t -t kifejeze kapjuk: t' = L (4) A T a tükörről aló isszaerődés után a fény nyilán ugyanekkora út megtételéel jut issza a nyalábosztóhoz, azaz a teljes futásidő az A karban t a = t tehát (a fizikai tartalom könnyebben látható, ha neezőben -t kiemele kialakítjuk a nyugó interferométerben észlelhető L/ terjedési időt): t a L 1 = (5) A B karban a fény áthalada a nyalábosztón a T b tükör felé repül. Mielőtt a tükröt elérné az t táolságra elmozdul, így tehát a fény által megtett táolság L helyett L + t (lásd b ábra). A terjedési időre írhatjuk tehát: L + t" t" = (6) A (6) egyenletből kifejeze t -t kapjuk: L t" = (7) A tükörről aló isszaerődés után a fény alamely t idő alatt ér issza a nyalábtágítóhoz úgy, hogy eközben a nyalábtágító a fény felé mozog, tehát a megtett út L t. Azaz: L t"' t"' = (8) 6

7 t -re kapjuk: L t" '= (9) + A B karban a teljes futásidő t b = t + t, tehát (7) és (9) alapján írhatjuk: t b L 1 = (10) Gondolatmenetünk égeredménye az (5) és (10) egyenletek összehasonlításából adódik: az éterhez képest mozgó interferométer karjaiban a futásidő különbözik egymástól (és a nyugalomban leőtől). A kérdés most már az, hogy ez a különbség mérhető-e. Ennek eldöntéséhez határozzuk meg először is a kérdéses időkülönbséget. L t = t t b a = (11) A (11) kifejezés első látásra kissé bonyolultnak tűnhet, de kihasznála azt, hogy a földi körülmények között megalósítható kísérletek esetében a << mindig fennáll, sokkal egyszerűbb alakra hozható. Ebben az esetben az emeletes tört neezőjében / az 1 mellett elhanyagolható. Használjuk ki toábbá, hogy x<<1 esetén: Ezek után írhatjuk: x x L t (1) A mérés során az első probléma az lehet, hogy a gyakorlatban nem tudjuk biztosítani, hogy amint azt feltételeztük a két karhossz pontosan ugyanakkora legyen. Ennek hatását Mihelson egy szellemes megoldással ejtette ki. Két összehasonlító mérést égzett el úgy, hogy közben az egész interferométert 90 o -al elforgatta, ami másképpen azt jelenti, hogy a mozgás irányához képest a két kar szerepet serél. Könnyű belátni, hogy ekkor a karok hosszának esetleges különbsége kiesik, ráadásul a mérendő eltérés kétszeresére nő. A földi körülmények között égzendő mérések számára elérhető legnagyobb sebesség a Föld Nap körüli keringéséből adódó mintegy 30 km/s. (1) alapján nyilánaló, hogy a mérendő mennyiség arányos az L karhosszal, így ezt élszerű minél nagyobbra álasztani. A kor tehnikája által lehetőé tett legnagyobb karhossz, 1 m nagyságrendű olt. Ezeket a paramétereket (1)-be helyettesíte azt kapjuk, hogy a két karból érkező fényhullám között a futásidő különbség 3, s. Figyelembe ée, hogy a méréshez használt 600 nm 15 hullámhosszú fény rezgési periódusideje 10 s, a két karból érkező fényhullámok közötti fáziskülönbség kb. o. A mérés ugyan roppant nehéz, de an esély a jelenség észlelésére. A mérés nehézségéel Mihelson is tisztában olt. Először 1881-ben alósította meg a kísérletet, amelynek eredményét maga sem fogadta el perdöntőnek ben Mihelson és Morley lényegesen jobb körülmények között újra elégezték a mérést, aminek eredményeként az adódott, hogy az eltolódás nem lehet nagyobb, mint a árt érték 40-ed része azaz az éterszél nem létezik. 7

8 A Mihelson kísérlet a kísérleti fizika történetének egyik sústeljesítménye. A kísérletet Mihelson először berlini tanulmányútja során égezte el, de az eredmények megbízhatóságát illetően erős kételyei oltak. (Mai ismereteink alapján biztosan állíthatjuk, hogy az eredmények nem oltak elég megbízhatóak ahhoz, hogy a kísérlet perdöntőnek legyen neezhető.) Az USA-ba isszatére 1887-ben, Morley közreműködéséel ismét elégezték a kísérletet. Az már a korábbi kísérletek során nyilánalóá ált, hogy a kritikus tényező az interferométer mehanikai stabilitása, amit alapetően az határoz meg, hogy mennyire sikerül a környezeti zaaró hatásoktól függetleníteni. (Képzeljük el azt, hogy a készülék egyik tükre rezgésbe jön. Ez nyilán azt jelenti, hogy az interferométer karhossza a rezgésnek megfelelően áltozik. Ha azt a feltételt szabjuk, hogy az ebből adódó zaaró hatás ne haladja meg a árt jelenség egytizedét, a terjedési időkülönbségre onatkozó korábbi megfontolásaink alapján adódik, hogy a rezgés amplitúdója nem lehet nagyobb a fény hullámhosszának kb. 600-ad részénél. Ez 600 nm-es hullámhossz esetén 1 nm, azaz NaCl kristályban az atomok közötti táolság kb. kétszerese!) Mihelson és Morley tudatában oltak ennek. Interferométerüket ezért egy 1,5 m x 1,5 m keresztmetszetű, 30 m astagságú (!) kőlapra építették. A kőlap alatt egy fagyűrű olt, ami egy gyűrű alakú higanykádban úszott, hogy a készüléket el lehessen forgatni anélkül, hogy a környezeti hatások a mérést zaarnák. Minthogy a mérés pontossága a karhosszal arányos, ezért a fényt tükrök segítségéel a kőlap átlója mentén többször odaissza küldték, így elérték azt, hogy a karhossz 11m legyen. Az elégzett mérések azt mutatták, hogy az időkülönbség ha egyáltalán létezik nem lehet nagyobb, mint a (1) alapján árt érték 40-ed része. Ez az eredmény már egyértelműen kizárja az éterszél létét. A kísérlet negatí eredményét nagyon sokféle módon próbálták magyarázni. Az egyik legegyszerűbb magyarázat az lenne, hogy a Föld a mérés során pl. a naprendszer egészének mozgása miatt a méréskor életlenül éppen közel nyugalomban an éterhez képest. Ezt ahogy azt már Mihelson is felismerte, könnyű kizárni azzal, hogy a mérést fél éel később újra elégezzük, amikor a Föld kerületi sebessége éppen ellenkező irányú. Mások feletették azt, hogy esetleg a Föld az őt közetlenül körüleő étert a folyadékban mozgó golyóhoz hasonlóan magáal ragadja, így közetlenül a Föld felszínén relatí mozgás nins. Ez azonban ellentétben állna a sillagászatban nagy pontossággal megfigyelt, ún. aberráió jelenségéel, amely szerint a sillagokat éppen abból az irányból észleljük, ami a Föld mozgásából adódik. A többi ér is rendre ellentmondásba került más tapasztalati tényekkel, így égül is néhány é alatt a kutatók egy jelentős része elfogadta, hogy az éterszél és ezzel együtt az éter sem létezik. Ezzel azonban ahelyett, hogy álaszt kaptunk olna, a kérdőjelek száma nöekedett. 3. A megoldás: a speiális relatiitáselmélet 3.1. A két posztulátum Az előbbi megfontolásaink alapján kiderül, hogy a fénysebesség állandóságának ele az éterfogalommal összekapsola ellentmondani látszik az általános relatiitás elének, miután egy olyan lehetőséget et fel, hogy a iszonyítási rendszerek mozgása az éterhez képest kimutatható. Vegyük azonban észre, hogy a két el önmagában nem zárja ki egymást. Megkísérelhetjük tehát azt, hogy feltételezzük, hogy a fénysebesség állandóságának ele és az általános relatiitás ele egyszerre érényes, és megizsgáljuk, az ebből adódó modell helyesen írja-e le a kísérleti eredményeket. (Azt, hogy érdemes ezen az úton próbálkoznunk nagyban sugallja a Mihelson-kísérlet eredménye is, amit úgy is értelmezhetünk, mint egy, a két el közti ellentmondás kimutatására onatkozó igen alaposan megterezett kísérlet kudarát.) Ennek megfelelően a speiális relatiitáselmélet az alábbi két felteésen (posztulátumon) alapul: 1. A ákuumbeli fénysebesség állandó, függetlenül a fény frekeniájától, a terjedés irányától, a detektor, illete a fényforrás mozgási sebességétől. 8

9 . Az egymáshoz képest egyenes onalú, egyenletes mozgást égző iszonyítási rendszerek a fizika számára egyenértékűek. Véssük emlékezetünkbe, hogy a speiális relatiitáselmélet supán a fenti két, igen egyszerű, a szemlélet számára könnyen elfogadható felteésen alapul. Ezt azért nagyon fontos hangsúlyoznunk, mert gyakran össze szokták téeszteni az elmélet igen meglepő, a szemlélettel nehezen összeegyeztethető köetkezményeit az elmélet felteéseiel. Nem tételezünk fel semmit pl. az események egyidejűségéről, agy a tömeg sebességfüggéséről, az ezzel kapsolatos meglepő eredmények köetkeznek két felteésünkből. A speiális relatiitáselméletben éppen az a sodálatos, hogy két egyszerű posztulátum alkalmazásáal egy egészen új ilágba jutunk el. A meglepő eredmények illusztrálására égezzünk el egy egyszerű gondolatkísérletet. Készítsünk egy speiális órát amelynek működési ele a köetkező. Egy fényforrásból fényjelet küldünk a szemben L táolságra elhelyezkedő tükör felé, ahol isszaerődik és a fényforrás mellett elhelyezkedő detektorba jut. Az óra egy kettyenését az az idő adja, amelyre a fénynek a L táolság befutására szüksége an, azaz t = L/. Adjuk oda az órát egy nagysebességű űrhajón mozgó űrhajósnak. A sebességgel mozgó fényóra járása megáltozik, miután most a fény hosszabb utat fut be. Az új időegységet nem is kell újra kiszámolnunk, ha felismerjük, hogy a helyzet megegyezik azzal, ami a Mihelson interferométer függőleges karjában an, alkalmazhatjuk tehát (5)-t: t' L = 1 Az óra járása tehát az űrhajóban lelassul. Az természetesen még önmagában nem olna meglepő, hogy egy speiálisan konstruált fényóra a mozgó űrhajón másképpen jár. Ha azonban kihasználjuk második posztulátumunkat, akkor ilágos, hogy az űrhajón leő összes többi órának, agy még általánosabban az összes időben lejátszódó eseménynek hasonlóan le kell lassulnia, mert ha sak egy olyan folyamat is an, amely a mozgás során is áltozatlan marad, akkor ezt a folyamatot a fényóra által mutatott időel összehasonlíta az űrhajós kísérletileg tud köetkezetni rendszere mozgásállapotára, tehát ellentmondásba kerülünk a. posztulátummal. A mozgó űrhajóban tehát az idő másként múlik. 3.. A posztulátumok és a Lorentz transzformáió Az előbbiekben megizsgáltuk azokat a felteéseket, amelyeken a speiális relatiitáselmélet nyugszik. Fontos kérdés az, hogy a posztulátumokból milyen koordináta transzformáió adódik. Eddigi megfontolásaink nem jogosítanak fel annak feletésére, hogy ez éppen a Lorentz transzformáió lenne. Amikor tehát megpróbálkoznunk azzal, hogy a transzformáiót a két posztulátumból leezessük, akkor egy eszélyes kísérletbe kezdünk. Ha ugyanis alami teljesen új transzformáióhoz jutunk, akkor a relatiitáselmélet elálik a fizika többi részétől, ami az egész elmélettel kapsolatban kételyeket et fel. Amennyiben iszont eredményül a Lorentz transzformáió adódna, akkor elméletünk sokkal mélyebb alapokon nyugszik, mint korábban képzeltük. Írjuk fel mindkét koordinátarendszerben az x tengely mentén, pozití irányban terjedő fényjel egyenletét figyelembe ée, hogy a fénysebesség mindkét rendszerben ugyanaz: 9

10 x = t (13a) x ' = t' (13b) Azok a pontok amelyeken a fény égighalad a K rendszerben, egy fényjel pályáját írják le a K -ben is, azaz (13a) megoldásai egyben (13b)-nek is megoldásai, amelyek egymástól legfeljebb egy konstans szorzóban különbözhetnek. Írjuk ezt fel: x' t' = λ ( x t) (14) Gondolatmenetünket ismételjük meg az x tengely mentén, negatí irányban terjedő fényjelre. Ekkor kapjuk: x ' + t' = µ ( x + t) (15) A (14) és (15) egyenletekből próbáljunk meg kialakítani olyan kifejezéseket, amelyek formájukban hasonlítanak a keresett transzformáióra. (Pl. ha az x koordináta transzformáiójára gondolunk, akkor egy olyan egyenletet árunk, amelynek bal oldalán x áll, jobb oldalán pedig egy x-et és t-t tartalmazó kifejezés.) Összeada (14)-et és (15)-t kapjuk: x ' = ( λ + µ ) x ( λ µ ) t (16) Végezzük el (16)-ban az λ + µ λ µ a =, és b = helyettesítéseket. Ekkor kapjuk: x' = ax bt (17) (14)-ből kiona (15)-t, és elégeze a fenti helyettesítést adódik: t' = at bx (18) (17) és (18) formailag megfelel a keresett transzformáiónak, feladatunkat tehát megoldjuk, ha sikerül az a és b együtthatókat meghatározni. Emlékezzünk arra, hogy eddig sak a fénysebesség állandóságára onatkozó posztulátumot használtuk ki. A keresett állandók meghatározásához még toábbi összefüggéseket nyerhetünk a relatiitási elnek, alamint annak a ténynek a kihasználásáal, hogy K K-hoz képest sebességgel mozog a közös x tengely mentén. Vizsgáljuk meg, hogy mi köetkezik az utóbbiból. Tekintsük K origóját, azaz a x = 0 pontot. Ennek x koordinátájára is nyilán igaz, hogy x=t. Helyettesítsük ezeket be a (17) egyenletbe. (19)-ből az a/b hányadosra adódik: 0 = at bt (19) a = (0) b A relatiitási el kihasználása ennél kissé bonyolultabb. Ehhez képzeljük először el, hogy a K-beli megfigyelő a t = 0 pillanatban egy pillanatfelételt készít a K -beli hosszegységet megtestesítő mérőrúdról ( x = 1), majd a kapott eredményt a saját hosszegységéel összehasonlítja. (17)-ből a t = 0 helyettesítéssel x = ax adódik, tehát a keresett összefüggés a hosszegységek között: 10

11 x' 1 x = = (1) a a Végeztessük el gondolatban ugyanezt a kísérletet fordíta, tehát a t =0 pillanatban készítsen a K -beli megfigyelő pillanatfelételt a K-beli hosszegységről. Ekkor (18)-ból adódik at = bx. Fejezzük ebből t-t, és helyettesítsük (17)-be. b b x' = x( a ), tehát x' = a () a a A relatiitási elből iszont köetkezik, hogy a két eredménynek meg kell egyeznie, hiszen ha ez nem így an, akkor an egy olyan kísérlet, aminek segítségéel a két iszonyítási rendszer megkülönböztethető. A x = x feltételből adódik: a = 1 b (3) a (3)-ból négyzetgyököt ona, alamint b-t (0) segítségéel eliminála kapjuk: (4)-ből (0) kihasználásáal b-re adódik: 1 a = (4) b = (5) Végül az együtthatókat (17)-be és (18)-ba helyettesíte a keresett transzformáióra kapjuk: x t x' = (6a) x t t' = (6b) Rátekinte (6a-b)-re megállapíthatjuk, hogy a speiális relatiitáselmélet két posztulátumából éppen a Lorentz transzformáió adódik. 11

EGYENES VONALÚ MOZGÁSOK KINEMATIKAI ÉS DINAMIKAI LEÍRÁSA

EGYENES VONALÚ MOZGÁSOK KINEMATIKAI ÉS DINAMIKAI LEÍRÁSA EGYENES VONALÚ MOZGÁSOK KINEMATIKAI ÉS DINAMIKAI LEÍRÁSA 1. A kinematika és a dinamika tárgya. Egyenes onalú egyenletes mozgás a) Kísérlet és a belőle leont köetkeztetés b) A mozgás jellemző grafikonjai

Részletesebben

Mit nevezünk nehézségi erőnek?

Mit nevezünk nehézségi erőnek? Mit nevezünk nehézségi erőnek? Azt az erőt, amelynek hatására a szabadon eső testek g (gravitációs) gyorsulással esnek a vonzó test centruma felé, nevezzük nehézségi erőnek. F neh = m g Mi a súly? Azt

Részletesebben

FIZIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

FIZIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Fizika közészint ÉRETTSÉGI VIZSGA 0. május 7. FIZIKA KÖZÉPSZITŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMZETI ERŐFORRÁS MIISZTÉRIUM A dolgozatokat az útmutató utasításai szerint, jól köethetően

Részletesebben

SZE, Fizika és Kémia Tsz. v 1.0

SZE, Fizika és Kémia Tsz. v 1.0 Fizikatörténet A fénysebesség mérésének története Horváth András SZE, Fizika és Kémia Tsz. v 1.0 Kezdeti próbálkozások Galilei, Descartes: Egyszerű kísérletek lámpákkal adott fényjelzésekkel. Eredmény:

Részletesebben

Tornyai Sándor Fizikaverseny 2009. Megoldások 1

Tornyai Sándor Fizikaverseny 2009. Megoldások 1 Tornyai Sánor Fizikaerseny 9. Megolások. Aatok: á,34 m/s, s 6,44 km 644 m,,68 m/s,,447 m/s s Az első szakasz megtételéez szükséges iő: t 43 s. pont A másoik szakaszra fennáll, ogy s t pont s + s t + t

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

Az Országos Közoktatási Intézet keretében szervezett obszervációs vizsgálatok

Az Országos Közoktatási Intézet keretében szervezett obszervációs vizsgálatok Iskolakultúra 005/10 Radnóti Katalin Általános Fizika Tanszék, TTK, ELTE Hogyan lehet eredményesen tanulni a fizika tantárgyat? Szinte közhelyszámba megy, hogy a fizika az egyik legkeésbé kedelt a tantárgyak

Részletesebben

Fizika példák a döntőben

Fizika példák a döntőben Fizika példák a döntőben F. 1. Legyen két villamosmegálló közötti távolság 500 m, a villamos gyorsulása pedig 0,5 m/s! A villamos 0 s időtartamig gyorsuljon, majd állandó sebességgel megy, végül szintén

Részletesebben

Mechanika Kinematika. - Kinematikára: a testek mozgását tanulmányozza anélkül, hogy figyelembe venné a kiváltó

Mechanika Kinematika. - Kinematikára: a testek mozgását tanulmányozza anélkül, hogy figyelembe venné a kiváltó Mechanika Kinematika A mechanika a fizika része mely a testek mozgásával és egyensúlyával foglalkozik. A klasszikus mechanika, mely a fénysebességnél sokkal kisebb sebességű testekre vonatkozik, feloszlik:

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII.

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Magasabbfokú egyenletek: A 3, vagy annál nagyobb fokú egyenleteket magasabb fokú egyenleteknek nevezzük. Megjegyzés: Egy n - ed fokú egyenletnek legfeljebb n darab valós

Részletesebben

OPTIKA. Geometriai optika. Snellius Descartes-törvény. www.baranyi.hu 2010. szeptember 19. FIZIKA TÁVOKTATÁS

OPTIKA. Geometriai optika. Snellius Descartes-törvény. www.baranyi.hu 2010. szeptember 19. FIZIKA TÁVOKTATÁS OPTIKA Geometriai optika Snellius Descartes-törvény A fényhullám a geometriai optika szempontjából párhuzamos fénysugarakból áll. A vákuumban haladó fénysugár a geometriai egyenes fizikai megfelelője.

Részletesebben

A lézer alapjairól (az iskolában)

A lézer alapjairól (az iskolában) A lézer alapjairól (az iskolában) Dr. Sükösd Csaba c. egyetemi tanár Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Tartalom Elektromágneses hullám (fény) kibocsátása Hogyan bocsát ki fényt egy atom? o

Részletesebben

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II.

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II. 8 Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II Elméleti összefoglaló Az a + b+ c, a egyenletet másodfokú egyenletnek nevezzük A D b ac kifejezést az egyenlet diszkriminánsának nevezzük Ha D >, az

Részletesebben

Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely. 2015. március 30. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa

Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely. 2015. március 30. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely 2015. március 30. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa Feladatok csak szakközépiskolásoknak Sz 1. A C csúcs értelemszerűen az AB oldal felező

Részletesebben

Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Tekintsünk a térben egy P (p 1, p 2, p 3 ) pontot és egy v = (v 1, v 2, v 3 ) = 0 vektort. Ekkor pontosan egy egyenes létezik,

Részletesebben

A II. kategória Fizika OKTV mérési feladatainak megoldása

A II. kategória Fizika OKTV mérési feladatainak megoldása Nyomaték (x 0 Nm) O k t a t á si Hivatal A II. kategória Fizika OKTV mérési feladatainak megoldása./ A mágnes-gyűrűket a feladatban meghatározott sorrendbe és helyre rögzítve az alábbi táblázatban feltüntetett

Részletesebben

Alkalmazás a makrókanónikus sokaságra: A fotongáz

Alkalmazás a makrókanónikus sokaságra: A fotongáz Alkalmazás a makrókanónikus sokaságra: A fotongáz A fotonok az elektromágneses sugárzás hordozó részecskéi. Spinkvantumszámuk S=, tehát kvantumstatisztikai szempontból bozonok. Fotonoknak habár a spinkvantumszámuk,

Részletesebben

A fény korpuszkuláris jellegét tükröző fizikai jelenségek

A fény korpuszkuláris jellegét tükröző fizikai jelenségek A fény korpuszkuláris jellegét tükröző fizikai jelenségek A fény elektromágneses sugárzás, amely hullámjelleggel és korpuszkuláris sajátosságokkal is rendelkezik. A fény hullámjellege elsősorban az olyan

Részletesebben

A mozgás leírása azt jelenti, hogy minden időpillanatban meg tudjuk adni egyértelműen vizsgált test helyét és helyzetét.

A mozgás leírása azt jelenti, hogy minden időpillanatban meg tudjuk adni egyértelműen vizsgált test helyét és helyzetét. A MOZGÁSOK LEÍRÁSA KINEMATIKA MOZGÁS A VONATKOZTATÁSI RENDSZER Minden test bármely időpillanatban helyet foglal el alahol a térben. Akkor mondjuk, hogy egy test mozog, ha helye agy helyzete a térben megáltozik.

Részletesebben

2.3 Newton törvények, mozgás lejtőn, pontrendszerek

2.3 Newton törvények, mozgás lejtőn, pontrendszerek Keresés (http://wwwtankonyvtarhu/hu) NVDA (http://wwwnvda-projectorg/) W3C (http://wwww3org/wai/intro/people-use-web/) A- (#) A (#) A+ (#) (#) English (/en/tartalom/tamop425/0027_fiz2/ch01s03html) Kapcsolat

Részletesebben

Forogj! Az [ 1 ] munkában találtunk egy feladatot, ami beindította a HD - készítési folyamatokat. Eredményei alább olvashatók. 1.

Forogj! Az [ 1 ] munkában találtunk egy feladatot, ami beindította a HD - készítési folyamatokat. Eredményei alább olvashatók. 1. 1 Forogj! Az [ 1 ] munkában találtunk egy feladatot, ami beindította a HD - készítési folyamatokat. Eredményei alább olvashatók. 1. Feladat Egy G gépkocsi állandó v 0 nagyságú sebességgel egyenes úton

Részletesebben

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása 11 modul: EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK MEGOLDÁSA 6 I Egyenlet fogalma, algebrai megoldása Módszertani megjegyzés: Az egyenletek alaphalmazát, értelmezési tartományát később vezetjük be, a törtes egyenletekkel

Részletesebben

Thomson-modell (puding-modell)

Thomson-modell (puding-modell) Atommodellek Thomson-modell (puding-modell) A XX. század elejére világossá vált, hogy az atomban található elektronok ugyanazok, mint a katódsugárzás részecskéi. Magyarázatra várt azonban, hogy mi tartja

Részletesebben

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok I. DEFINÍCIÓ: (Számsorozat) A számsorozat olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, értékkészlete a valós számok egy részhalmaza. Jelölés: (a n ), {a n }.

Részletesebben

Modern fizika vegyes tesztek

Modern fizika vegyes tesztek Modern fizika vegyes tesztek 1. Egy fotonnak és egy elektronnak ugyanakkora a hullámhossza. Melyik a helyes állítás? a) A foton lendülete (impulzusa) kisebb, mint az elektroné. b) A fotonnak és az elektronnak

Részletesebben

A speciális relativitáselmélet alapjai

A speciális relativitáselmélet alapjai A speciális relativitáselmélet alapjai A XIX-XX. századforduló táján, amikor a mechanika és az elektromágnességtan alapvető törvényeit már jól ismerték, a fizikát sokan befejezett tudománynak gondolták.

Részletesebben

A levegő törésmutatójának mérése Michelsoninterferométerrel

A levegő törésmutatójának mérése Michelsoninterferométerrel XI. Erdélyi Tudományos Diákköri Konferencia Kolozsvár, 008. május 3 4. A levegő törésmutatójának mérése Michelsoninterferométerrel Szerző: Kovács Anikó-Zsuzsa, Babes-Bolyai Tudoányegyetem Kolozsvár, Fizika

Részletesebben

Legyen képes egyszerű megfigyelési, mérési folyamatok megtervezésére, tudományos ismeretek megszerzéséhez célzott kísérletek elvégzésére.

Legyen képes egyszerű megfigyelési, mérési folyamatok megtervezésére, tudományos ismeretek megszerzéséhez célzott kísérletek elvégzésére. Fizika 7. osztály A tanuló használja a számítógépet adatrögzítésre, információgyűjtésre. Eredményeiről tartson pontosabb, a szakszerű fogalmak tudatos alkalmazására törekvő, ábrákkal, irodalmi hivatkozásokkal

Részletesebben

ELEKTROMÁGNESES REZGÉSEK. a 11. B-nek

ELEKTROMÁGNESES REZGÉSEK. a 11. B-nek ELEKTROMÁGNESES REZGÉSEK a 11. B-nek Elektromos Kondenzátor: töltés tárolására szolgáló eszköz (szó szerint összesűrít) Kapacitás (C): hány töltés fér el rajta 1 V-on A homogén elektromos mező energiát

Részletesebben

2010/2011. tanév Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny döntő forduló. FIZIKA II. kategória FELADATLAP ÉS MEGOLDÁS

2010/2011. tanév Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny döntő forduló. FIZIKA II. kategória FELADATLAP ÉS MEGOLDÁS Oktatási Hiatal 2010/2011. tané Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny döntő forduló FIZIKA II. kategória FELAATLAP MEGOLÁ Feladatok: Mérések függőleges alumínium, illete sárgaréz csőben eső mágnessel.

Részletesebben

FIZIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

FIZIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Fizika középszint ÉRETTSÉGI VIZSGA 0. október 7. FIZIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM A dolgozatokat az útmutató utasításai szerint,

Részletesebben

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak!

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak! Magyar Ifjúság 6 V SOROZATOK a) Három szám összege 76 E három számot tekinthetjük egy mértani sorozat három egymás után következő elemének vagy pedig egy számtani sorozat első, negyedik és hatodik elemének

Részletesebben

Rezgés tesztek. 8. Egy rugó által létrehozott harmonikus rezgés esetén melyik állítás nem igaz?

Rezgés tesztek. 8. Egy rugó által létrehozott harmonikus rezgés esetén melyik állítás nem igaz? Rezgés tesztek 1. Egy rezgés kitérés-idő függvénye a következő: y = 0,42m. sin(15,7/s. t + 4,71) Mekkora a rezgés frekvenciája? a) 2,5 Hz b) 5 Hz c) 1,5 Hz d) 15,7 Hz 2. Egy rezgés sebesség-idő függvénye

Részletesebben

Érettségi feladatok: Trigonometria 1 /6

Érettségi feladatok: Trigonometria 1 /6 Érettségi feladatok: Trigonometria 1 /6 2003. Próba 14. Egy hajó a Csendes-óceán egy szigetéről elindulva 40 perc alatt 24 km-t haladt észak felé, majd az eredeti haladási irányhoz képest 65 -ot nyugat

Részletesebben

Speciális relativitáselmélet. Ami fontos, az abszolút.

Speciális relativitáselmélet. Ami fontos, az abszolút. Speciális relativitáselmélet Ami fontos, az abszolút. Vonatkoztatási rendszer A fizikai mennyiségek értéke, iránya majdnem mindig attól függ, hogy honnan nézzük, vagyis függenek a vonatkoztatási rendszertől.

Részletesebben

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Fizika középszint ÉRETTSÉGI VIZSGA 2005. november 5. FIZIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM A dolgozatokat az útmutató utasításai szerint, jól követhetően

Részletesebben

Síkbeli egyenesek. 2. Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg

Síkbeli egyenesek. 2. Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg Analitikus mértan 3. FELADATLAP Síkbeli egyenesek 1. Írjuk fel annak az egyenesnek a paraméteres egyenleteit, amely (i) áthalad az M 0 (1, 2) ponton és párhuzamos a a(3, 1) vektorral; (ii) áthalad az origón

Részletesebben

SCHWARTZ 2012 Emlékverseny

SCHWARTZ 2012 Emlékverseny SCHWARTZ 2012 Emlékverseny A TRIÓDA díjra javasolt feladat ADY Endre Líceum, Nagyvárad, Románia 2012. november 10. Befejezetlen kísérlet egy fecskendővel és egy CNC hőmérővel A kísérleti berendezés. Egy

Részletesebben

A test tömegének és sebességének szorzatát nevezzük impulzusnak, lendületnek, mozgásmennyiségnek.

A test tömegének és sebességének szorzatát nevezzük impulzusnak, lendületnek, mozgásmennyiségnek. Mozgások dinamikai leírása A dinamika azzal foglalkozik, hogy mi a testek mozgásának oka, mitől mozognak úgy, ahogy mozognak? Ennek a kérdésnek a megválaszolása Isaac NEWTON (1642 1727) nevéhez fűződik.

Részletesebben

Hatvány, gyök, normálalak

Hatvány, gyök, normálalak Hatvány, gyök, normálalak 1. Számítsd ki a következő hatványok pontos értékét! 3 5 3 3 1 4 3 3 4 1 7 3 3 75 100 3 0,8 ( ) 6 3 1 3 5 3 1 3 0 999. 3. Számológép használata nélkül számítsd ki a következő

Részletesebben

Körmozgás és forgómozgás (Vázlat)

Körmozgás és forgómozgás (Vázlat) Körmozgás és forgómozgás (Vázlat) I. Egyenletes körmozgás a) Mozgás leírását segítő fogalmak, mennyiségek b) Egyenletes körmozgás kinematikai leírása c) Egyenletes körmozgás dinamikai leírása II. Egyenletesen

Részletesebben

LINEÁRIS VEKTORTÉR. Kiegészítő anyag. (Bércesné Novák Ágnes előadása) Vektorok függetlensége, függősége

LINEÁRIS VEKTORTÉR. Kiegészítő anyag. (Bércesné Novák Ágnes előadása) Vektorok függetlensége, függősége LINEÁRIS VEKTORTÉR Kiegészítő anyag (Bércesné Noák Ágnes előadása) Vektorok függetlensége, függősége Vektortér V 0 Halmaz T test : + ; + ; Abel csoport V elemeit ektoroknak neezzük. Abel - csoport Abel

Részletesebben

1. Prefix jelentések. 2. Mi alapján definiáljuk az 1 másodpercet? 3. Mi alapján definiáljuk az 1 métert? 4. Mi a tömegegység definíciója?

1. Prefix jelentések. 2. Mi alapján definiáljuk az 1 másodpercet? 3. Mi alapján definiáljuk az 1 métert? 4. Mi a tömegegység definíciója? 1. Prefix jelentések. 10 1 deka 10-1 deci 10 2 hektó 10-2 centi 10 3 kiló 10-3 milli 10 6 mega 10-6 mikró 10 9 giga 10-9 nano 10 12 tera 10-12 piko 10 15 peta 10-15 fento 10 18 exa 10-18 atto 2. Mi alapján

Részletesebben

Matematika 10 Másodfokú egyenletek. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < 2015. szeptember 27.

Matematika 10 Másodfokú egyenletek. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < 2015. szeptember 27. Matematika 10 Másodfokú egyenletek Juhász László matematika és fizika szakos középiskolai tanár > o < 2015. szeptember 27. copyright: c Juhász László Ennek a könyvnek a használatát szerzői jog védi. A

Részletesebben

KVANTUMMECHANIKA. a11.b-nek

KVANTUMMECHANIKA. a11.b-nek KVANTUMMECHANIKA a11.b-nek HŐMÉRSÉKLETI SUGÁRZÁS 1 Hősugárzás: elektromágneses hullám A sugárzás által szállított energia: intenzitás I, T és λkapcsolata? Példa: Nap (6000 K): sárga (látható) Föld (300

Részletesebben

Hullámtan. A hullám fogalma. A hullámok osztályozása.

Hullámtan. A hullám fogalma. A hullámok osztályozása. Hullátan A hullá fogala. A hulláok osztályozása. Kísérletek Kis súlyokkal összekötött ingasor elején keltett rezgés átterjed a többi ingára is [0:6] Kifeszített guikötélen keltett zavar végig fut a kötélen

Részletesebben

Haladó mozgások A hely és a mozgás viszonylagos. A testek helyét, mozgását valamilyen vonatkoztatási ponthoz, vonatkoztatási rendszerhez képest adjuk

Haladó mozgások A hely és a mozgás viszonylagos. A testek helyét, mozgását valamilyen vonatkoztatási ponthoz, vonatkoztatási rendszerhez képest adjuk Haladó mozgások A hely és a mozgás viszonylagos. A testek helyét, mozgását valamilyen vonatkoztatási ponthoz, vonatkoztatási rendszerhez képest adjuk meg, ahhoz viszonyítjuk. pl. A vonatban utazó ember

Részletesebben

A kanonikus sokaság. :a hőtartály energiája

A kanonikus sokaság. :a hőtartály energiája A kanonikus sokaság A mikrokanonikus sokaság esetén megtanultuk, hogy a megengedett mikroállapotok egyenértéküek, és a mikróállapotok száma minimális. A mikrókanónikus sokaság azonban nem a leghasznosabb

Részletesebben

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 0513 ÉRETTSÉGI VIZSGA 005. május 8. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÉRETTSÉGI VIZSGA Az írásbeli vizsga időtartama: 180 perc JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók

Részletesebben

11. Egy Y alakú gumikötél egyik ága 20 cm, másik ága 50 cm. A két ág végeit azonos, f = 4 Hz

11. Egy Y alakú gumikötél egyik ága 20 cm, másik ága 50 cm. A két ág végeit azonos, f = 4 Hz Hullámok tesztek 1. Melyik állítás nem igaz a mechanikai hullámok körében? a) Transzverzális hullám esetén a részecskék rezgésének iránya merőleges a hullámterjedés irányára. b) Csak a transzverzális hullám

Részletesebben

Történeti áttekintés

Történeti áttekintés A fény Történeti áttekintés Arkhimédész tükrök segítségével gyújtotta fel a római hajókat. A fény hullámtermészetét Cristian Huygens holland fizikus alapozta meg a 17. században. A fénysebességet először

Részletesebben

Modellek és változásaik a fizikában V. A XX. Század fizikája Albert Einstein

Modellek és változásaik a fizikában V. A XX. Század fizikája Albert Einstein Modellek és változásaik a fizikában V. A XX. Század fizikája Albert Einstein Albert Einstein (1879-1955) "A kérdés, ami néha elbizonytalanít: én vagyok őrült, vagy mindenki más?" "Csak két dolog végtelen.

Részletesebben

A lengőfűrészelésről

A lengőfűrészelésről A lengőfűrészelésről Az [ 1 ] tankönyvben ezt írják a lengőfűrészről, működéséről, használatáról: A lengőfűrész árkolásra, csaprések készítésére alkalmazott, 150 00 mm átmérőjű, 3 4 mm vastag, sűrű fogazású

Részletesebben

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének 6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük

Részletesebben

11.3. Az Achilles- ín egy olyan rugónak tekinthető, amelynek rugóállandója 3 10 5 N/m. Mekkora erő szükséges az ín 2 mm- rel történő megnyújtásához?

11.3. Az Achilles- ín egy olyan rugónak tekinthető, amelynek rugóállandója 3 10 5 N/m. Mekkora erő szükséges az ín 2 mm- rel történő megnyújtásához? Fényemisszió 2.45. Az elektromágneses spektrum látható tartománya a 400 és 800 nm- es hullámhosszak között található. Mely energiatartomány (ev- ban) felel meg ennek a hullámhossztartománynak? 2.56. A

Részletesebben

Határozatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Határozatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Határozatlan integrál () First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Az összetett függvények integrálására szolgáló egyik módszer a helyettesítéssel való integrálás. Az idevonatkozó tétel pontos

Részletesebben

Mágneses mező jellemzése

Mágneses mező jellemzése pólusok dipólus mező mező jellemzése vonalak pólusok dipólus mező kölcsönhatás A mágnesek egymásra és a vastárgyakra erőhatást fejtenek ki. vonalak vonzó és taszító erő pólusok dipólus mező pólusok északi

Részletesebben

10. Éneklő fűszál Egy fűszál, papírszalag vagy hasonló tárgy élére fújva hangot hozhatunk létre. Vizsgáld meg a jelenséget!

10. Éneklő fűszál Egy fűszál, papírszalag vagy hasonló tárgy élére fújva hangot hozhatunk létre. Vizsgáld meg a jelenséget! 3. Mesterséges izom: Erősíts polimer horgászzsinórt egy elektromos fúróra, majd a fúróval feszíts meg a zsinórt. Ahogy csavarodik a zsinór rugó-szerű elrendezésben feszes spirálokat képez. Hő közlésével

Részletesebben

Feladatok a szinusz- és koszinusztétel témaköréhez 11. osztály, középszint

Feladatok a szinusz- és koszinusztétel témaköréhez 11. osztály, középszint TÁMOP-3.1.4-08/-009-0011 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Feladatok a szinusz- és koszinusztétel témaköréhez 11. osztály, középszint Vasvár, 010.

Részletesebben

Modern Fizika Labor. Fizika BSc. Értékelés: A mérés dátuma: A mérés száma és címe: 5. mérés: Elektronspin rezonancia. 2008. március 18.

Modern Fizika Labor. Fizika BSc. Értékelés: A mérés dátuma: A mérés száma és címe: 5. mérés: Elektronspin rezonancia. 2008. március 18. Modern Fizika Labor Fizika BSc A mérés dátuma: 28. március 18. A mérés száma és címe: 5. mérés: Elektronspin rezonancia Értékelés: A beadás dátuma: 28. március 26. A mérést végezte: 1/7 A mérés leírása:

Részletesebben

MEGOLDÓKULCS AZ EMELT SZINTŰ FIZIKA HELYSZÍNI PRÓBAÉRETTSÉGI FELADATSORHOZ 11. ÉVFOLYAM

MEGOLDÓKULCS AZ EMELT SZINTŰ FIZIKA HELYSZÍNI PRÓBAÉRETTSÉGI FELADATSORHOZ 11. ÉVFOLYAM AZ OSZÁG VEZETŐ EGYETEMI-FŐISKOLAI ELŐKÉSZÍTŐ SZEVEZETE MEGOLDÓKULCS AZ EMELT SZINTŰ FIZIKA HELYSZÍNI PÓBAÉETTSÉGI FELADATSOHOZ. ÉVFOLYAM I. ÉSZ (ÖSSZESEN 3 PONT) 3 4 5 6 7 8 9 3 4 5 D D C D C D D D B

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

2014/2015. tavaszi félév

2014/2015. tavaszi félév Hajder L. és Valasek G. hajder.levente@sztaki.mta.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2014/2015. tavaszi félév Tartalom Geometria modellezés 1 Geometria modellezés 2 Geometria modellezés

Részletesebben

Gyorsítók. Veszprémi Viktor ATOMKI, Debrecen. Supported by NKTH and OTKA (H07-C 74281) 2009. augusztus 17 Hungarian Teacher Program, CERN 1

Gyorsítók. Veszprémi Viktor ATOMKI, Debrecen. Supported by NKTH and OTKA (H07-C 74281) 2009. augusztus 17 Hungarian Teacher Program, CERN 1 Gyorsítók Veszprémi Viktor ATOMKI, Debrecen Supported by NKTH and OTKA (H07-C 74281) 2009. augusztus 17 Hungarian Teacher Program, CERN 1 Az anyag felépítése Részecskefizika kvark, lepton Erős, gyenge,

Részletesebben

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az

Részletesebben

Mozgásvizsgálatok. Mérnökgeodézia II. Ágfalvi Mihály - Tóth Zoltán

Mozgásvizsgálatok. Mérnökgeodézia II. Ágfalvi Mihály - Tóth Zoltán Mérnökgeodézia II. Ágfalvi Mihály - Tóth Zoltán Célja: Várható elmozdulások előrejelzése (erőhatások alatt, Siógemenci árvízkapu) Már bekövetkezett mozgások okainak vizsgálata (Pl. kulcsi löszpart) Laboratóriumi

Részletesebben

összeadjuk 0-t kapunk. Képletben:

összeadjuk 0-t kapunk. Képletben: 814 A ferde kifejtés tétele Ha egy determináns valamely sorának elemeit egy másik sor elemeihez tartozó adjungáltakkal szorozzuk meg és a szorzatokat összeadjuk 0-t kapunk Képletben: n a ij A kj = 0, ha

Részletesebben

Mérés: Millikan olajcsepp-kísérlete

Mérés: Millikan olajcsepp-kísérlete Mérés: Millikan olajcsepp-kísérlete Mérés célja: 1909-ben ezt a mérést Robert Millikan végezte el először. Mérése során meg tudta határozni az elemi részecskék töltését. Ezért a felfedezéséért Nobel-díjat

Részletesebben

Átszámítások különböző alapfelületek koordinátái között

Átszámítások különböző alapfelületek koordinátái között Átszámítások különböző alapfelületek koordinátái között A különböző időpontokban, különböző körülmények között rögzített pontok földi koordinátái különböző alapfelületekre (ellipszoidokra geodéziai dátumokra)

Részletesebben

FIZIKA SZÓBELI VIZSGA TÉMAKÖREI ÉS MÉRÉSEI

FIZIKA SZÓBELI VIZSGA TÉMAKÖREI ÉS MÉRÉSEI FIZIKA SZÓBELI VIZSGA TÉMAKÖREI ÉS MÉRÉSEI 1. Egyenes vonalú mozgások 2012 Mérje meg Mikola-csőben a buborék sebességét! Mutassa meg az út, és az idő közötti kapcsolatot! Három mérést végezzen, adatait

Részletesebben

FIZIKA KÖZÉPSZINTŐ SZÓBELI FIZIKA ÉRETTSÉGI TÉTELEK Premontrei Szent Norbert Gimnázium, Gödöllı, 2012. május-június

FIZIKA KÖZÉPSZINTŐ SZÓBELI FIZIKA ÉRETTSÉGI TÉTELEK Premontrei Szent Norbert Gimnázium, Gödöllı, 2012. május-június 1. Egyenes vonalú mozgások kinematikája mozgásokra jellemzı fizikai mennyiségek és mértékegységeik. átlagsebesség egyenes vonalú egyenletes mozgás egyenes vonalú egyenletesen változó mozgás mozgásokra

Részletesebben

Taylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját!

Taylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Taylor-polinomok 205. április.. Alapfeladatok. Feladat: Írjuk fel az fx) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Megoldás: A feladatot kétféle úton is megoldjuk. Az els megoldásban induljunk el

Részletesebben

Foucault ingakísérlete a Szegedi Dómban

Foucault ingakísérlete a Szegedi Dómban Foucault ingakísérlete a Szegedi Dómban 2005. április 13. És mégis mozog a Föld A világról alkotott kép alakulása Ókorban 6 bolygót ismertek (Merkur,..., Szaturnusz) Ptolemaiosz (120-160) A geocentrikus

Részletesebben

Méréstechnika. Rezgésmérés. Készítette: Ángyán Béla. Iszak Gábor. Seidl Áron. Veszprém. [Ide írhatja a szöveget] oldal 1

Méréstechnika. Rezgésmérés. Készítette: Ángyán Béla. Iszak Gábor. Seidl Áron. Veszprém. [Ide írhatja a szöveget] oldal 1 Méréstechnika Rezgésmérés Készítette: Ángyán Béla Iszak Gábor Seidl Áron Veszprém 2014 [Ide írhatja a szöveget] oldal 1 A rezgésekkel kapcsolatos alapfogalmak A rezgés a Magyar Értelmező Szótár megfogalmazása

Részletesebben

A csúszóvágásról, ill. - forgácsolásról

A csúszóvágásról, ill. - forgácsolásról A csúszóvágásról, ill. - forgácsolásról A vágás, ill. a forgácsolás célja: anyagi részek egymástól való elválasztása. A vágás, ill. a forgácsolás hagyományos eszköze: a kés. A kés a v haladási irányhoz

Részletesebben

MATEMATIKA HETI 5 ÓRA. IDŐPONT: 2010. Június 4.

MATEMATIKA HETI 5 ÓRA. IDŐPONT: 2010. Június 4. EURÓPAI ÉRETTSÉGI 2010 MATEMATIKA HETI 5 ÓRA IDŐPONT: 2010. Június 4. A VIZSGA IDŐTARTAMA: 4 óra (240 perc) ENGEDÉLYEZETT SEGÉDESZKÖZÖK : Európai képletgyűjtemény Nem programozható, nem grafikus kalkulátor

Részletesebben

A 2006-2007. tanévi matematika OKTV I. kategória első (iskolai) fordulójának pontozási útmutatója

A 2006-2007. tanévi matematika OKTV I. kategória első (iskolai) fordulójának pontozási útmutatója SZAKKÖZÉPISKOLA A 006-007. tanévi matematika OKTV I. kategória első (iskolai) fordulójának pontozási útmutatója. Feladat: Egy számtani sorozat három egymást követő tagjához rendre 3-at, -et, 3-at adva

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. Koordináta-geometria és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 4

Részletesebben

Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7

Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 A = {1; 3; 5; 7; 9} A B = {3; 5; 7} A/B = {1; 9} Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 Azonos alapú hatványokat

Részletesebben

Tradicionálisan téves számítások a Michelson Morley-kísérlet éterhipotézis szerinti értelmezésében

Tradicionálisan téves számítások a Michelson Morley-kísérlet éterhipotézis szerinti értelmezésében Tradicionálisan téves számítások a Michelson Morley-kísérlet éterhipotézis szerinti Dr. Korom Gyula E-mail: korom.mem@axelero.hu Kulcsszavak: fazor-elmélet, útkülönbség, optikai útkülönbség, fáziskülönbség,

Részletesebben

GEOMETRIAI OPTIKA I.

GEOMETRIAI OPTIKA I. Elméleti háttér GEOMETRIAI OPTIKA I. Törésmutató meghatározása a törési törvény alapján Snellius-Descartes törvény Az új közeg határához érkező fény egy része behatol az új közegbe, és eközben általában

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

A Maxwell - kerékről. Maxwell - ingának is nevezik azt a szerkezetet, melyről most lesz szó. Ehhez tekintsük az 1. ábrát is!

A Maxwell - kerékről. Maxwell - ingának is nevezik azt a szerkezetet, melyről most lesz szó. Ehhez tekintsük az 1. ábrát is! 1 A Maxwell - kerékről Maxwell - ingának is nevezik azt a szerkezetet, melyről most lesz szó. Ehhez tekintsük az 1. ábrát is! 1. ábra forrása: [ 1 ] Itt azt láthatjuk, hogy egy r sugarú kis hengerre felerősítettek

Részletesebben

Indexszámítás során megválaszolandó kérdések. Hogyan változott a termelés értéke, az értékesítés árbevétele, az értékesítési forgalom?

Indexszámítás során megválaszolandó kérdések. Hogyan változott a termelés értéke, az értékesítés árbevétele, az értékesítési forgalom? Index-számítás Indexszámítás során megálaszolandó kérdések Hogyan áltozott a termelés értéke, az értékesítés árbeétele, az értékesítés forgalom? Hogyan áltozott a termelés, értékesítés mennysége? Hogyan

Részletesebben

A fizika története (GEFIT555-B, GEFIT555B, 2+0, 2 kredit) 2015/2016. tanév, 1. félév Dr. Paripás Béla. 7. Előadás (2015.10.29.)

A fizika története (GEFIT555-B, GEFIT555B, 2+0, 2 kredit) 2015/2016. tanév, 1. félév Dr. Paripás Béla. 7. Előadás (2015.10.29.) A fizika története (GEFIT555-B, GEFIT555B, 2+0, 2 kredit) 2015/2016. tanév, 1. félév Dr. Paripás Béla 7. Előadás (2015.10.29.) Az atomelmélet fejlődése (folyt.) 1, az anyag atomos szerkezetének bizonyítása

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Komplex számok (2)

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Komplex számok (2) 2. előadás Komplex számok (2) 1. A a + bi (a, b) kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés lehetővé teszi, hogy a komplex számokat a sík pontjaival, illetve helyvektoraival ábrázoljuk. A derékszögű koordináta

Részletesebben

PRÓBAÉRETTSÉGI MATEMATIKA. 2003. május-június KÖZÉPSZINT JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ. Vizsgafejlesztő Központ

PRÓBAÉRETTSÉGI MATEMATIKA. 2003. május-június KÖZÉPSZINT JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ. Vizsgafejlesztő Központ PRÓBAÉRETTSÉGI 00. május-június MATEMATIKA KÖZÉPSZINT JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ Vizsgafejlesztő Központ Kedves Kolléga! Kérjük, hogy a dolgozatok javítását a javítási útmutató alapján végezze, a következők figyelembevételével.

Részletesebben

Alkalmazott fizika Babák, György

Alkalmazott fizika Babák, György Alkalmazott fizika Babák, György Alkalmazott fizika Babák, György Publication date 2011 Szerzői jog 2011 Szent István Egyetem Copyright 2011, Szent István Egyetem. Minden jog fenntartva, Tartalom Bevezetés...

Részletesebben

Modern fizika laboratórium

Modern fizika laboratórium Modern fizika laboratórium Röntgen-fluoreszcencia analízis Készítette: Básti József és Hagymási Imre 1. Bevezetés A röntgen-fluoreszcencia analízis (RFA) egy roncsolásmentes anyagvizsgálati módszer. Rövid

Részletesebben

Parciális differenciálegyenletek numerikus módszerei számítógépes alkalmazásokkal Karátson, János Horváth, Róbert Izsák, Ferenc

Parciális differenciálegyenletek numerikus módszerei számítógépes alkalmazásokkal Karátson, János Horváth, Róbert Izsák, Ferenc Karátson, János Horváth, Róbert Izsák, Ferenc numerikus módszerei számítógépes írta Karátson, János, Horváth, Róbert, és Izsák, Ferenc Publication date 2013 Szerzői jog 2013 Karátson János, Horváth Róbert,

Részletesebben

Folytonos rendszeregyenletek megoldása. 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja

Folytonos rendszeregyenletek megoldása. 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja Folytonos rendszeregyenletek megoldása 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja A folytonos rendszeregyenletek megoldásakor olyan rendszerekkel foglalkozunk, amelyeknek egyetlen u = u(t)

Részletesebben

Ha vasalják a szinusz-görbét

Ha vasalják a szinusz-görbét A dolgozat szerzőjének neve: Szabó Szilárd, Lorenzovici Zsombor Intézmény megnevezése: Bolyai Farkas Elméleti Líceum Témavezető tanár neve: Szász Ágota Beosztása: Fizika Ha vasalják a szinusz-görbét Tartalomjegyzék

Részletesebben

L'Hospital-szabály. 2015. március 15. ln(x 2) x 2. ln(x 2) = ln(3 2) = ln 1 = 0. A nevez határértéke: lim. (x 2 9) = 3 2 9 = 0.

L'Hospital-szabály. 2015. március 15. ln(x 2) x 2. ln(x 2) = ln(3 2) = ln 1 = 0. A nevez határértéke: lim. (x 2 9) = 3 2 9 = 0. L'Hospital-szabály 25. március 5.. Alapfeladatok ln 2. Feladat: Határozzuk meg a határértéket! 3 2 9 Megoldás: Amint a korábbi határértékes feladatokban, els ként most is a határérték típusát kell megvizsgálnunk.

Részletesebben

Kosárra dobás I. Egy érdekes feladattal találkoztunk [ 1 ] - ben, ahol ezt szerkesztéssel oldották meg. Most itt számítással oldjuk meg ugyanezt.

Kosárra dobás I. Egy érdekes feladattal találkoztunk [ 1 ] - ben, ahol ezt szerkesztéssel oldották meg. Most itt számítással oldjuk meg ugyanezt. osárra dobás I. Egy érdekes feladattal találkoztunk [ 1 ] - ben, ahol ezt szerkesztéssel oldották meg. Most itt számítással oldjuk meg ugyanezt. A feladat Az 1. ábrán [ 1 ] egy tornaterem hosszmetszetét

Részletesebben

A SEBESSÉG. I. kozmikus sebesség (Föld körüli körpályán való keringés sebessége): 7,91 km/s

A SEBESSÉG. I. kozmikus sebesség (Föld körüli körpályán való keringés sebessége): 7,91 km/s A SEBESSÉG A sebesség az, ami megmutatja, mi mozog gyorsabban. Minél nagyobb a sebessége valaminek, annál gyorsabban mozog Fontosabb sebességek: fénysebesség: 300.000 km/s (vákumban) hangsebesség: 340

Részletesebben

VALÓS SZÁMOK MEGKÖZELÍTÉSE TÖRTEKKEL

VALÓS SZÁMOK MEGKÖZELÍTÉSE TÖRTEKKEL Surányi János Farey törte mate.fazeas.u Surányi János VALÓS SZÁMOK MEGKÖZELÍTÉSE TÖRTEKKEL FAREY-TÖRTEK. Egy a alós számot racionális számoal, azaz törteel aarun megözelíteni. A törteet az alábbiaban mindig

Részletesebben

BEVEZETÉS AZ ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIÁBA

BEVEZETÉS AZ ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIÁBA Pék Johanna BEVEZETÉS AZ ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIÁBA (Matematika tanárszakos hallgatók számára) Tartalomjegyzék Előszó ii 0. Alapismeretek 1 0.1. Térgeometriai alapok............................. 1 0.2. Az ábrázoló

Részletesebben

Geometria 1 normál szint

Geometria 1 normál szint Geometria 1 normál szint Naszódi Márton nmarci@math.elte.hu www.math.elte.hu/ nmarci ELTE TTK Geometriai Tsz. Budapest Geometria 1 p.1/4 Vizsga 1. Írásban, 90 perc. 2. Index nélkül nem lehet vizsgázni!

Részletesebben

Harmonikus rezgések összetevése és felbontása

Harmonikus rezgések összetevése és felbontása TÓTH.: Rezgésösszetevés (kibővített óravázlat) 30 005.06.09. Harmonikus rezgések összetevése és felbontása Gyakran előfordul hogy egy rezgésre képes rendszerben több közelítőleg harmonikus rezgés egyszerre

Részletesebben

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Fizika középszint 0622 ÉRETTSÉGI VIZSGA 2007. november 7. FIZIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM A dolgozatokat az útmutató utasításai

Részletesebben