Elméleti modell: mikroszkopikus vagy fenomenológiai Mikroszkopikus modell: szükségképpen statisztikus

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Elméleti modell: mikroszkopikus vagy fenomenológiai Mikroszkopikus modell: szükségképpen statisztikus"

Átírás

1 NYITOTT KVANTUMRENDSZEREK ELMÉLETEI Miért nyitott? S rendszer kölcsönhat környező R rendszerrel (rezervoár,tartály) S+R zárt rendszer, reverzibilis dinamikával S nyitott rendszer, irreverzibilis dinamikával Miért kvantum (Q)? Q-vákuum mindig jelen van, mint R Q-rendszer túlérzékeny a környezetre R környező rendszer közeg, hőtartály, egy másik rendszer, Q-vákuum dinamikai vagy info-gyűjtő (mérő) rendszer R alaphatásai disszipáció (csillapított inga) fluktuáció (Brown mozgás) dekoherencia (két csillapított inga) lokalizáció (mért-megfigyelt diffúzió) irreverzibilitás! Alapjelenségek Közegellenállás (kl+q) Csillapított rezgés (kl+q) Spontán bomlás (Q) Folytonos mérés (kl+q)... kvark-hadronizáció (Q) Elméleti modell: mikroszkopikus vagy fenomenológiai Mikroszkopikus modell: szükségképpen statisztikus 1

2 Zárt rendszer összefoglaló Klasszikus kankord: x; Állapot: ϱ(x) normált sűrűség ϱ(x) 0, ϱ(x)dx = 1 Statisztikus értelmezés: szokásos Tiszta állapot: δ(x x) Tiszta-állapot-felbontás (egyértelmű): ϱ(x) = δ(x x)ϱ( x)d x Kevert áll. mozgásegy.: ϱ = {H, ϱ} (Liouville) Tiszta áll. mozgásegy.: δ(x x t ) =?; ẋ = {x, H} (Hamilton) Összetett rendszer: x A, x B x AB (x A, x B ), ϱ AB (x AB ) Ha A,B független: ϱ(x AB ) = ϱ A (x A )ϱ B (x B ) Kölcsönhatás: H AB = H A + H B + K A redukált állapota: ϱ A (x A ) = ϱ AB (x AB )dx B Q-bázis: x ; Q-állapot: ϱ(x; x ) = x ˆϱ x normált sűrűségmátrix ˆϱ 0, tr ˆϱ = x ϱ(x, x) = 1 Statisztikus értelmezés: Q-méréselmélet (szokatlan) Tiszta állapot: ψ ψ Tiszta-állapot-felbontás (nem egyértelmű): ˆϱ = λ λ λ ϱ(λ) Kevert áll. mozgásegy.: ˆϱ = ( i/ )[Ĥ, ˆϱ] (Neumann J.) Tiszta áll. mozgásegy.: ψ = ( i/ )Ĥ ψ Összetett rendszer: x A, x B x AB x A x B ϱ AB (x AB ; x AB ) = x AB ˆϱ AB x AB Ha A,B független: ˆϱ AB = ˆϱ A ˆϱ B, azaz ϱ(x AB ; x AB ) = ϱ A(x A ; x A )ϱ B(x B ; x B ) Kölcsönhatás: Ĥ AB = ĤA + ĤB + ˆK A redukált állapota: ˆϱ A = tr B ˆϱ AB azaz ϱ A (x A ; x A ) = x B ϱ AB (x A, x B ; x A, x B) 2

3 Nyitott rendszer mikroszkopikus modell elve - S+R Ha S és R nem hatna kölcsön: S: ϱ(x), H(x); ϱ = {H, ϱ} R: ϱ R (x R ), H R (x R ); ϱ R = {H R, ϱ R } S+R: ϱ SR (x, x R ; t) = ϱ(x; t)ϱ R (x R ; t) De ha S és R kölcsönhatnak: H SR (x, x R ) = H(x) + H R (x R ) + K(x, x R ): ϱ SR = {H SR, ϱ SR } (reverzibilis) S állapota S+R redukált állapota: ϱ(x) = ϱ SR (x, x R )dx R S dinamikája S+R redukált dinamikája: ϱ = {H SR, ϱ SR }dx R (irreverzibilis) Tegyük fel ϱ SR (x, x R ; 0) = ϱ(x; 0)ϱ R (x R ; 0), j.o. lineáris ϱ(0)-ban, megoldás is lineáris: ϱ(t) = K(t)ϱ(0) K(t) lineáris leképezés (nem-invertálható szuper-operator). Markovi közelítésben K(t) = exp(lt), ekkor: ϱ(t) = Lϱ(t) Markovi Mászter (vagy: Kinetikus) Egyenlet (időben első rendű diff.egy. ϱ-ra) Feltételek: gyors R, lassú S; gyenge csatolás előny, de nem feltétel. Ha S és R Q-rendszerek, a konstrukció ugyanez: ϱ ˆϱ, ϱϱ R ˆϱ ˆϱ R, dxr tr R,... A legtöbb fenomenológiai modell a MME-t posztulálja. ϱ = Lϱ = {H, ϱ} + Dϱ ˆϱ = Lˆϱ = i [Ĥ, ˆϱ] + Dϱ 3

4 Példák klasszikus MME-re ϱ(x) = D 2 xϱ(x) (diffúzió egy.) ϱ(x, p) = p m xϱ(x, p) + D 2 pϱ(x, p) + η p pϱ(x, p) (Fokker-Planck egy.) ϱ(p) = p m xϱ(x, p) + ütközési tag (Boltzmann egy. - j.o. kvadratikus ϱ-ban) ϱ(x) = x v(x)ϱ(x) + [T (x, y)ϱ(y) T (y, x)ϱ(x)], T (x, y) 0 (Kinetikus egy.) y Minden klasszikus MME kinetikus szerkezetű. Reverzibilis rész: v sebességű drift ({H, ϱ}). Nincs, ha x diszkrét. Irreverzibilis (Dϱ) rész: véletlen átmenetek, T (x, y) T (x y) valószínűség/időegység Példák Q-MME-re ˆϱ = i ˆϱ = i [ ] ˆp 2 2m, ˆϱ [ ] ˆp 2 2m, ˆϱ ˆϱ = i [Ĥ, ˆϱ] + α D [ˆx, [ˆx, ˆϱ]] 2 (hely-decoherencia egy.) D η [ˆx, [ˆx, ˆϱ]] i [ˆx, {ˆp, ˆϱ}]+? 2 2m [ˆL α ˆϱˆL α 1 2 {ˆL α ˆL α, ˆϱ}], (Q-Fokker-Planck egy.) (Lindblad mászter egy.) Minden Q-MME Lindblad-szerkezetű. Reverzibilis rész: unitér fejlődés ( i/ [Ĥ, ˆϱ]). Diszkrét Q-rendszerre is lehet! Irreverzibilis (Dϱ) rész: Q-átmenetek, ˆL α Lindblad-generátorok szerint 4

5 Diffúzió mászter egy.: ϱ = Dϱ Speciális megoldás: ϱ(x; t x 0 = 0) = 1 4πDt e x2 4Dt ; ϱ(x; 0) = δ(x) x t = 0, x 2 t = 2Dt Kevert ϱ - tiszta állapotok egyértelmű keveréke: ϱ(x) = δ(x x )ϱ(x )dx Általános megoldás: 1 ϱ(x; t) = e (x x ) 2 4Dt ϱ(x ; 0)dx 4πDt x t = x 0 x 2 t x 2 t = 2Dt Diffúzió egy. = Kinetikus egy., szinguláris átmeneti valószínűségekkel: T (x; x 0 ) lim t 0 1 t ϱ(x; t x 0) = lim t 0 Diffúzió egy. determinisztikus. Van-e stochasztikus leírás? MC-barát leírás: stochasztikus folyamat, trajektória 1/ t e (x x 0 )2 4D t 4πD t 5

6 Diffúzió, mint Markov stochasztikus folyamat Markov lánc: x 0, x τ, x 2τ..., x t... ; Prob(x t+τ ) = ϱ(x t+τ x t ) Véletlen bolyongás: x 0 = 0, x τ = ±a,..., x t+τ = x t ± a,..., x t = 0, x 2 t = a 2 t τ Centrális határeloszlás tétel: x t Gauss-eloszlású ha t/τ : ϱ(x t x 0 = 0) 1 2πa2 t/τ e x 2 2a 2 t/τ Diffúzív határeset: τ 0; a 0; a 2 /τ 2D ϱ(x t x 0 = 0) ϱ(x; t x 0 = 0) Markov lánc diffúzív határesete: x t Markov folyamat Egyenértékű modell a ϱ = Dϱ diff.egy.-tel: ϱ(x; t) = δ(x x t ) A diffúziós MME egyenlet megoldását tiszta állapotok keverékeként fejtettük ki. Ez a trajektória módszer. MC-barát, és valóságközelibb. De mik az x t stochasztikus folyamat (trajektória) saját egyenletei? 6

7 Wiener-stoch-folyamat, fehér zaj x t Wiener stoch. folyamat, mérnökiesen : fehér zaj Fehér zaj definitív tulajdonságai: 1) ẋ t = 0 2) ẋ t ẋ s = 2Dδ(t s) (tökéletes korrelálatlanság) 3) Gaussi: Prob(x t1 ), Prob(x t1, x t2 ), Prob(x t1, x t2, x t3 ),..., Gauss Direkt bizonyítás: véletlen bolyongás Markov-lánc, majd diffúzív határeset Differenciálos definíció: 1) dx t = 0 2) dx t dx s = 2Ddt ha t = s, és 0 egyébként 3) 2-nél több dx szorzatának -e dt-ben 1-nél magasabb rendű Ellenőrzés: ϱ(x; t) = δ(x x t ) -nek ki kell elégítenie diffúzió egy.-et Naiv számolás rosszra vezet: ϱ(x; t) = ẋ t δ (x x t ) = 0 x t szinguláris fv., deriváltját határértékként kell kezeljük ϱ(x; t) ϱ(x; t + t) ϱ(x; t) x t δ (x x t ) + 1 ( x 2 t) 2 δ (x x t ) = = 1 ( x 2 t) 2 δ (x x t ) = 1 ( x 2 t) 2 ϱ (x; t) Kihasználtuk: x t = t+ t dsẋ t s statisztikusan független x t -től. Végül: ( xt ) 2 t+ t = ds t t+ t t dr ẋ s ẋ r = Tehát ϱ(t) = lim ϱ(t)/ t = Dϱ ha t 0 t+ t t+ t t ds t dr2dδ(s r) = 2D t Sokkal egyszerűbb differenciálosan: dϱ(x; t) dδ(x x t ) = dx t δ (x x t ) (dx t) 2 δ (x x t ) = = 1 2 (dx t) 2 δ (x x t ) = Dϱ (x; t) 7

8 Standard Wiener folyamat, fehér zaj Standard (D=1/2) Wiener folyamat: W t Diffúziós egyenlete: ϱ(w ; t) = 1 2 ϱ (W, t) Kapcsolat: ϱ(w ; t) = δ(w W t ) w t = Ẇt standard fehér zaj Fehér zaj definitív tulajdonságai: 1) w t = 0 2) w t w s = δ(t s) (tökéletes korrelálatlanság) 3) Gaussi Spektrális definíció w ω = (1/2π) w t exp(iωt)dt Fourier-komponensekre: 1) w ω = 0 2) w ω w ω = 1 δ(ω 2π ω ) (egyenletes spektrális erősség) 3) Gaussi Differenciálos definíció W t -re, ahol dw t = W t+ t W t ; t +0 1) dw t = 0 2) dw t dw s = dt ha t = s, és 0 egyébként 3) 2-nél több dw differenciál szorzatának -e dt-ben 1-nél magasabb rendű 8

9 Wiener folyamatok Ito-kalkulusa Helyfüggő diffúzió-drift egyenlet: ϱ = x V ϱ + 2 xdϱ Hozzárendelt Wiener folyamat: x t ; ϱ(x; t) = δ(x x t ) A dx t Ito-differenciál Ito-kalkulusa: 1) dx t = V (x t )dt 2) (dx t ) 2 = 2D(x t )dt (Nincs! Miért? Csak!) 3) dx t statisztikailag független x t -től: f(x t )dx t = f(x t ) dx t Belátható, hogy dϱ = x V ϱdt + 2 xdϱdt teljesül. Hogyan segít Ito az y = f(x) változó transzformációban? dy = f (x)dx f (dx) 2 = f (x)dx + f D(x t )dt dy = f (x)v (x)dt + f D(x)dt Ṽ (y)dt (dy) 2 = 2[f (x)] 2 D(x)dt 2 D(y)dt Innen leolvassuk: Ṽ = f V + f D és D = (f ) 2 D A diffúzió+drift egy. az új változóban: ϱ = y Ṽ ϱ + 2 y Dϱ dx standard reprezentációban: dx = V (x)dt + 2D(x)dW Többváltozós általánosítás: x, V, W vektorok, D mátrix Speciális eset, csak 1 zaj, standard reprezentációban: dx = V (x)dt + U(x)dW (x, V, U vektorok, W skalár) Q-elméletben komplex általánosítás: x = ψ, vagy x = ˆϱ, pl.: dˆϱ = Lˆϱdt +... dw d ψ = (i/ )Ĥ ψ + + (i/ )fˆx ψ dw Leibniz-Ito szabály: Ha x 1 és x 2 két Wiener folyamat, akkor: d(x 1 x 2 ) = (dx 1 )x 2 + x 1 (dx 2 ) + (dx 1 )(dx 2 ) Ha például dx 1 = V 1 dt + 2D 1 dw és dx 1 = V 1 dt + 2D 1 dw, akkor: d(x 1 x 2 ) = (dx 1 )x 2 + x 1 (dx 2 ) + 2 D 1 D 2 dt 9

10 Trajektória vagy mászter egyenlet? Trajektória Mászter szemléletesebb absztraktabb stochasztikus determinisztikus egyszerű MC-szimuláció forrásigényes szimuláció kl: x-et fejleszt kl: ϱ(x)-et fejleszt Q: ψ -t fejleszt (d változó) Q: ˆϱ-t fejleszt (d d változó) 10

11 A legegyszerűbb tartály: fehér zaj H SR (x, p, x R ) = H(x, p) + H R (x R ) xf (x R ) R véletlen külső erő: F (x r ) fw t R-ben nincs önálló dinamika. Nem ad disszipációt, csak fluktuációt. Teljes Hamilton: H(x, p; t) = p2 fxw 2m t ill. Ĥ(t) = ˆp2 fˆxw 2m t Ito-alakban: H(x, p; t)dt = p2 dt fxdw 2m t ill. Ĥ(t)dt = ˆp2 dt fˆxdw 2m t Klasszikus dinamika: Trajektória (Hamilton egy.): ẋ t = ṗ t = pt m fw t ill. dx = dp = p m dt fdw Csak p diffundál! 2D = f MME ϱ(x, p; t) = δ(x x t )δ(p p t ) -re: dϱ(x, p) dt = p m xϱ(x, p) + D 2 pϱ(x, p) Ez a Fokker-Planck egy. súrlódás nélkül. Levezetés: dϱ(x, p; t) = d δ(x x t )δ(p p t ) = = dx t δ (x x t )δ(p p t ) dp t δ(x x t )δ (p p t )+ 1 2 (dx t) 2 δ(x x t )δ (p p t ) = = { (p/m)dt x +Ddt 2 p} δ(x x t )δ(p p t ) = { (p/m) x +D 2 p}ϱ(x, p; t)dt. 11

12 Q-dinamika: Trajektória (Heisenberg egy.): ˆx t = ˆp t /m; ˆp t = fw t De: nem ezt hívjuk Q-trajektóriának!! Fehér-zaj Q-trajektória: ψ t vektor, amit a Ĥ(t) fejleszt: Naivan: d ψ t /dt = (i/ )Ĥ(t) ψ t - ez nem működik! Használjuk az Ito-t! ψ t+dt = exp{ (i/ )Ĥ(t)dt} ψ t = {1 (i/ )Ĥ(t)dt [Ĥ(t)dt]2 } ψ t = ψ t (i/ )Ĥ(t) ψ t dt 1 2 (f/ )2ˆx 2 ψ t dt Innen d ψ t = ψ t+dt ψ t -re a korrekt Schrödinger egy.: d ψ = i ˆp 2 2m 1 ψ dt 2 f 2ˆx 2 ψ dt + i fˆx ψ dw 2 Ez egyben a ψ t fehérzaj Q-trajektória egyenlete. Q-MME: ˆϱ = ψ ψ mozgás egy.-e: Levezetés: d ψ ψ = d ψ ψ + ψ d ψ + d ψ d ψ =... Eredmény a térbeli dekoherencia egy.: dˆϱ dt = i [ ] ˆp 2 2m, ˆϱ 1 i D[ˆx, [ˆx, ˆϱ]] 2 [ ] ˆp 2 2m, ˆϱ + Dˆϱ Ha D nagy, kinetikus tagot elhanyagoljuk, dˆϱ/dt = Dˆϱ, és ϱ(x, y) = x ˆϱ y : ϱ(x, y) = x Dˆϱ y = D 2 (x y) 2 ϱ(x, y), így: [ ϱ(x, y; t) = exp Dt ] (x y)2 ϱ(x, y; 0) = exp( t/τ 2 d )ϱ(x, y; 0) τ d = 2 D(x y) 2 (dekoherencia idő) MME-ben duplakommutátor ˆx-ben dekoherencia x-ben! 12

13 Schrödinger macska ψ 0 = eleven + holt Q-optikai Sch. macska: ψ 0 = α + β ; α β 1 Q-mechanikus Sch. macska: ψ 0 = itt + ott ; itt ott nagy A kezdeti sűrűségmátrix tiszta állapot: ˆϱ 0 = 1 ( itt + ott ) ( itt + ott ) 2 Ha itt r 1 és ott r 2 akkor ψ(x; t = 0) = 2 1/2 [ϕ(x r 1 ) + ϕ(x r 2 )] ahol ϕ(x) keskeny hullámcsomag. Koordináta reprezentációban ϱ(x, y; 0) = ψ(x; 0) ψ(y; 0) = = 1 2 ϕ(x r 1) ϕ(y r 1 ) ϕ(x r 2) ϕ(y r 2 ) (diagonális) 1 ϕ(x r 2 1) ϕ(y r 2 ) + 1ϕ(x r 2 2) ϕ(y r 1 ) (off-diagonális) Térbeli-dekoherencia egyenlet hatására off-diagonális rész lecseng: ϱ(x, y; t) = exp[ Dt (x y) 2 ]ϱ(x, y; 0) exp[ Dt (r r 2 ) 2 ]ϱ(x, y; 0) 1ϕ(x r 2 1) ϕ(y r 1 ) + 1ϕ(x r 2 2) ϕ(y r 2 ) (diagonális) Eredeti absztrakt jelölésben: ˆϱ 0 = 1 ( itt + ott ) ( itt + ott ) 1 itt itt + 1 ott ott A dekoherencia hatására tiszta állapot (1/ 2-1/ 2 amplitúdóval itt és ott) átmegy kevert állapotba ( 1-1 valósz.-gel itt vagy ott)

14 Spekuláció: gravitáció/téridő eredetű térbeli dekoherencia Feltevés: Azért nem látunk Sch. macskákat, mert van egy univerzális dekoherencia tag minden - egyébként zárt - rendszerre is. Ez a dekoherencia olyan, mintha egy gravitációs/téridős fehér zaj tartály létezne mindenütt, egyelőre láthatatlanul. Elemi jóslat: D = GM 2 2R 3 ( r 1 r 2 R) Ha M = 1g, R = 1cm, r 1 r 2 = R/10 akkor τ d = 2 D(r 1 r 2 ) R GM 2 R 2 = 100 R GM s = s Ennyi idő alatt bomlana le a Sch. macska! Ez irreálisan rövid idő, azt jelzi, hogy ki sem alakulhat az ilyen macska, ha a gravitációs/téridős zaj hipotézise igaz. Nem is rossz, éppen ezt akartuk. De: van-e direkt kísérleti igazolás? Ehhez nanomacska kell, aminek van esélye létrejönni, és nekünk van esélyünk a bomlását megfigyelni. 14

15 Kétállapotú Q-rendszer fehér zajban spin fel-le z-irányban L R cirkulárisan polarizált foton, balra/jobbra H V lineárisan polarizált foton, vízsz./függ. g e kétállapotú atom, alap/gerjesztett 0 1 absztrakt logikai qubit, 0/1 Spin z-irányú fluktuáló mágnes térben: Ĥ(t) = ɛ 2 ˆσ z + fw tˆσ z ill. Ĥ(t)dt = ɛ 2 ˆσ zdt + f ˆσ z dw ψ t+dt = exp{ (i/ )Ĥ(t)dt} ψ t = {1 (i/ )Ĥ(t)dt [Ĥ(t)dt]2 } ψ t = ψ t (i/ )Ĥ(t) ψ t dt 1 2 (f/ )2 ψ t dt Innen d ψ t = ψ t+dt ψ t -re a korrekt Schrödinger egy.: d ψ = i 2 ɛˆσ z ψ dt f 2 ψ dt i 2 f ˆσ z ψ dw Ez egyben a ψ t spin-állapot fehérzaj Q-trajektória egyenlete. Q-MME: ˆϱ = ψ ψ mozgás egy.-e: Levezetés: d ψ ψ = d ψ ψ + ψ d ψ + d ψ d ψ =... Eredmény a spin-dekoherencia (fázisvesztés) egy.: dˆϱ dt = i 2 ɛ[ˆσ z, ˆϱ] f 2 2 [ˆσ z, [ˆσ 2 z, ˆϱ]] i 2 ɛ[ˆσ z, ˆϱ] + Dˆϱ Bevezetve az s = tr(ˆ σˆϱ) = ˆ σ polarizációt: ṡ x = (ɛ/ )s y (1/τ r )s x ṡ y = +(ɛ/ )s x (1/τ r )s y ṡ z = 0 τ r = 2f 2 2 (relaxációs idő) A z-körüli precesszió állandó s z mellett τ r időskálán elhal. MME-ben duplakommutátor ˆσ z -ben dekoherencia (fázisvesztés) és (vagy L és R, vagy g és e ) között! 15

16 Mechanikus Súrlódás - fenomenológia Klasszikusan dinamika: Trajektória (Hamilton egy.) módosítva: dx = dp = p m dt 2DdW ηpdt Csak p diffundál, és csak p súrlódik! Stacioner p 2 =? d p 2 = 2η p 2 dt + 2Ddt, tehát p 2 = D/η. Ha a tartály hőtartály, akkor ekvipartíció tétel: p 2 /2m = k B T/2, tehát: D = ηmk B T = ηp 2 T p T = mk B T = termalis impulzus MME ϱ(x, p; t) = δ(x x t )δ(p p t ) -re: dϱ(x, p) dt = p m xϱ(x, p) + ηmk B T 2 pϱ(x, p) + η p pϱ(x, p) Ez a Fokker-Planck egy., súrlódással, hőtartályban. Levezetés: mint előbb. Stacioner megoldás a Maxwell-eloszlás: ) 1 ϱ(x, p, ) = V exp ( p2 2πp 2 2p 2 T T Most, hogy tudjuk D-t a súrlódás és hőmérséklet fv-ben, vissza a Sch. macska bomlásidejéhez hőtartályban! τ d = 2 D(x y) = 2 2 ηp 2 T (x = 1 ( ) 2 λt y)2 η (x y) λ T = /p T a termális (hőmérsékleti) de Broglie hullámhossz. Pl.: m = 1g-os Schrödinger macskára: λ T = ergs 1g erg/k 300K cm Általában: τ D (Zurek) 1/η. Dekoherencia sokkal gyorsabb, mint a disszipáció! 16

17 Mechanikus Súrlódás - fenomenológia Q-dinamika: Trajektória (Hamilton egy.) módosítva: dˆx = dˆp = ˆp m dt 2DdW ηˆpdt Probléma: d[ˆx, ˆp] = [dˆx, ˆp] + [ˆx, dˆp] + [dˆx, dˆp] = iηdt Tehát [ˆx t, ˆp t ] = i exp( ηt) 0, a Heisenberg x p /2 sérül! A fenomenológikus súrlódási tag önmagában nem elég. Kiút általában: mikroszkopikus levezetés. Előtte: Wigner fv. fenomenológia W (x, p) = Wδ(x ˆx)δ(p ˆp) ˆϱ = WW (x, p) W Weyl-rendezés definíciója: We aˆx e aˆp = e aˆx+bˆp Így levezethető, hogy: W (x, p) = 1 2π e irp/ x + r/2 ˆϱ x r/2 dr Normált fázistér kvázi-eloszlás (W 0 sérülhet, ezért kvázi). Átírási szabályok: [ˆx, ˆϱ] i p W és {ˆp, ˆϱ} 2pW. dϱ(x, p) dt = p m xϱ(x, p) + ηmk B T 2 pϱ(x, p) + η p pϱ(x, p) Ez volt a Fokker-Planck egy., súrlódással, hőtartályban. Tekintsük ezt a Wigner-fv. mászter egyenletének, és írjuk át ˆϱ-ra: dˆϱ dt = i [ ] ˆp 2 2m, ˆϱ ηmk BT [ˆx, [ˆx, ˆϱ]] i η [ˆx, {ˆp, ˆϱ}] 2 2 Ez a Q-Fokker-Planck (Q-Brown mozgás) egy. magas T hőmérsékleten Baj: alacsony T és keskeny hullámcsomag esetén elrontja a ˆϱ nemnegativitását 17

18 Q-Fokker-Planck egy. - Lindblad alak Csak a Lindblad alak garantálja, hogy ˆϱ 0 megőrződik: dˆϱ dt = i ] [Ĥ, ˆϱ + D, Dˆϱ = α A magas hőm. Q-Fokker-Planck dˆϱ dt = i [ ] ˆp 2 2m, ˆϱ [ˆL α ˆϱˆL α 1 2 {ˆL α ˆL α, ˆϱ}] ηp2 T η [ˆx, [ˆx, ˆϱ]] i [ˆx, {ˆp, ˆϱ}] 2 2 nem hozható Lindblad alakra. Próbálkozzunk egyetlen nem-hermitikus Lindblad generátorral: ˆL = ( pt 2η ˆx + i ) ˆp 4p T Ezt a Lindblad disszipátort kapjuk: Dˆϱ = ˆLˆϱˆL 1 2 {ˆL ˆL, ˆϱ} = ηp2 T η [ˆx, [ˆx, ˆϱ]] i [ˆx, {ˆp, ˆϱ}] η p 2 T [ˆp, [ˆp, ˆϱ]] + i η [{ˆx, ˆp}, ˆϱ] 4 Az utolsó tag Hamiltoni típusú járulék, ezt a Hamilton op. Ĥ = ˆp2 η {ˆx, ˆp} 2m 4 formális korrekciójával kiejtjve: dˆϱ dt = i [ ] ˆp 2 2m, ˆϱ i η [ˆx, {ˆp, ˆϱ}] η [ˆp, [ˆp, ˆϱ]] 2 16p 2 T Ez a Q-Brown mozgás Lindblad ME. Új, alacsony hőmérsékleten jelentős tag jött be: momentum-dekoherenciát ír le! Behelyettesítéssel igazolható, a stac. megoldás a Maxwell-Gibbs állapot: ˆϱ( ) = 1 2πp 2 T ) exp ( ˆp2 Alkalmazás pl.: nanomechanikus oszcillátor (csatolva fotonhoz, q-dothoz, elelmi magspinhez,...) Elvileg elektron transzportra is, de erre a stat-fiz. más standard módszereket használ. 2p 2 t 18

19 Egységes reprezentáció: Fock Kétállapotú q-rendszer Pauli Fock: = 0 = 1 bázis, Ĥ 0 = 0 és Ĥ 1 = ɛ 1 1 (ˆσ 1 2 x iˆσ y ) = â = 0 1, (ˆσ 2 x + iˆσ y ) = â = 1 0 eltűntető/keltő op. â 2 = (â ) 2 = 0, {â, â } = ââ + â â = 1 fermion felcserélési rel. 1 1 ˆσ 2 2 z = â â = ˆn betöltés, okkupáció, n = 0, 1 Ĥ = ɛˆn Hamilton Példa: spin-dekoherencia (fázisvesztés) egy. Pauliban Fockban: dˆϱ dt = +i 2 ɛ[ˆσ z, ˆϱ] 1 [ˆσ z, [ˆσ z, ˆϱ]] +i 4τ r 2 ɛ[ˆσ z, ˆϱ] + Dˆϱ dˆϱ dt = i ɛ[ˆn, ˆϱ] 1 [ˆn, [ˆn, ˆϱ]] i ɛ[ˆn, ˆϱ] + Dˆϱ τ r Megoldás Fockban: ρ 00 = ρ 11 = const és ρ 10 (t) = exp( iωt τr 1 t)ρ 10 (0), tehát diagonális rész állandó (nincs disszipáció), az off-diagonális rész lecseng (van dekoherencia). Sokállapotú q-rendszer: harmonikus oszcillátor Kanonikus Fock: â = mωˆx + iˆp/ mω 2, â =... Ha az oszcillátor nem mechanikus, hanem egy üreg e.m. módusa, akkor â, â elsődleges, és: ˆx = â + â 2 ŷ = â â i 2 kvadraturak [â, â ] = 1 bozon felcserélési rel. (másképp: [ˆx, ŷ] = i) 0, 1,..., n,... bázis, Ĥ n = nɛ n, ɛ = ω â n = n n 1 â n = n + 1 n + 1 â â n = n n ˆn = â â betöltés, okkupáció, n = 0, 1, 2,... Ĥ = ɛˆn Hamilton [másképp: Ĥ = (ɛ/2)(ˆx 2 + ŷ 2 )] 19

20 Q-disszipáció - mászter egyenletek (Lindblad fenomenológia) Kétállapotú atom spontán bomlás ˆL = ˆL : csak dekoherencia. ˆL ˆL kell disszipációhoz. Legyen ˆL = Γâ (Γ a bomlási sebesség lesz) Lindblad ezt adja: dˆϱ dt = iω[ˆn, ˆϱ] + Γ ( âˆϱâ 1 {ˆn, ˆϱ}) 2 Innen ˆϱ( ) = 0 0 stacionárius állapot o.k., bomlás van! ME-ből egzakt megoldás: ρ 11 (t) = e Γt ρ 11 (0), ρ 00 (t) = 1 ρ 11 (t), ρ 10 (t) = e iωt Γt/2 ρ 10 (0). ρ 11 0 (disszipáció); ρ 10 0 (dekoherencia) Atomfizikából, mikroszkópikusan: Γ = 4ω3 D 2 3 c 3 (D = atmeneti dipolmomentum) Alkalmazás pl.: Q-optika, lézertérben fluoreszkáló atom,...; Magmágnesség: spinrelaxáció 20

21 Q-disszipáció - mászter egyenletek (még mindig fenomenológia) Csillapított e.m. üreg oszcillátor Egyetlen módus harmonikus oszcillátor ˆL = ˆL : csak dekoherencia. ˆL ˆL kell disszipációhoz. Legyen ˆL = Γâ (Γ a bomlási sebesség lesz) Lindblad ezt adja: dˆϱ dt = iω[ˆn, ˆϱ] + Γ ( âˆϱâ 1 {ˆn, ˆϱ}) 2 Innen ˆϱ( ) = 0 0 stacionárius állapot o.k., bomlás van! Formailag eddig minden azonos a kétállapotú atommal, hála Fock-nak. ME-ből egzakt bomlási (disszipációs) tulajdonságok: ṅ d ˆn dt = tr(ˆndˆϱ/dt) = Γn, n(t) = e Γt n(0) ȧ d â dt = tr(âdˆϱ/dt) = iωa Γa, a(t) = e iωt Γt/2 a(0) Miben különbözik az e.m. üregoszci a mechanikus oszcitól? Mechanikusnál csak ˆp disszipálódik (súrlódik), ˆx nem (csak ˆp-n keresztül. E.m. üregoszciban - tipikus esetben - â hermitikus és anti-hermitikus része (a két kvadratúra) azonosan disszipálódik! Γ: üregből a kifolyási veszteség sebessége. Alkalmazás pl.: Q-optika (cm-es üreg, 0,1,2, fotonnal) Érdekesség: grav. hull. detektor, km-es üreg, extrém magas gerjesztettség, ugyanez az egyenlet, de elég a klasszikus. 21

22 A legegyszerűbb Q-tartály: bozon vákuum Markov közelítésben H R a tartály Hilbert tere, ˆϱ R a tartály vákuum (T=0) egyensúlyi állapota ˆξ t, ˆξ t a bozontér markovi közelítésben, Fock-szerű reprezentációban Kanonikus csererelációk: [ ˆξt, ˆξs ] = [ ˆξ t, ˆξ s ] = 0, [ ˆξt, ˆξ s ] = δ(t s) Várható értékek,... tr(... ˆϱ R ): ˆξt = ˆξ t = 0, ˆξ t ˆξ s = 0 (bozonvakuum) Ugyanez Ito-val: 0) [dˆξ, dˆξ ] = dt 1) dˆξ = dˆξ = 0 2) dˆξdˆξ = dt, (dˆξ) 2 = (dˆξ ) 2 = 0 3) f(ˆξ)dˆξ = 0 ˆξt ˆξ s = δ(t s) felcs miatt Emellett mindig eltűnik dˆξ t dˆξ s, dˆξ t dˆξ s, dˆξ t dˆξ s. Továbbá dˆξ t, dˆξ s kommutál, és dˆξ t dˆξ s eltűnik, ha t s. 22

23 Q-disszipáció (a mikroszkopikus levezetés) Kétállapotú atom + bozonvákuum (a tartály) Q-Itoval a teljes Hamilton: Ĥdt + ĤSRdt = ωˆndt + Γ(âdˆξ + h.c.) A tartály ĤR Hamiltonja érdektelen a Markovi közelítés miatt. Standard mikroszkopikus modellben ˆϱ ˆϱ R ˆϱˆϱ R kezdőállapotot fejlesztünk: d(ˆϱˆϱ R ) = exp[ iωˆndt i Γ(âdˆξ +h.c.)]ˆϱˆϱ R exp[iωˆndt+i Γ(âdˆξ +h.c.)] ˆϱˆϱ R Jobb-oldalt dt rendben kiértékeljük, és dˆϱ = tr R d(ˆϱˆϱ R )-hez kiértékeljük valamennyi tr dˆξ ˆϱ R, tr dˆξdˆξ ˆϱ R, tr dˆξdˆξ ˆϱ R, tr dˆξ ˆϱ R dˆξ, stb. faktort, ezek többsége 0, de pl. tr dˆξ ˆϱ R dˆξ = dt: Ez éppen a spontán bomlás ME! dˆϱ = iω[ˆn, ˆϱ]dt + Γ ( âˆϱâ 1 2 {ˆn, ˆϱ}) dt Alternatív formalizmus: Heisenberg-Ito egy.: dâ = exp[iωˆndt + i Γ(âdˆξ + h.c.)]â exp[ iωˆndt i Γ(âdˆξ + h.c.)] â = (iω Γ)âdt + i Γ(2ˆn 1)dˆξ Elsö tag: u.a., mint â egyenlete. Második tag: a tartály járuléka. Kanonikus reláció, {â, â } = 1, megőrződik a dˆξ járuléka segítségével: d{â, â } = { (iω Γ)âdt + i Γ(2ˆn 1)dˆξ, â } + h.c. + Γ{(2ˆn 1)dˆξ, (2ˆn 1)dˆξ } = (iω Γ){â, â }dt + h.c. + i Γ{2ˆn 1, â }dˆξ + h.c. + Γ(2ˆn 1) 2 {dˆξ, dˆξ } Ez 0, mert {â, â } = 1, {2ˆn 1, â } = 0, (2ˆn 1) 2 = 1 és {dˆξ, dˆξ } = dt. 23

24 Q-disszipáció (a mikroszkopikus levezetés) E.m. üreg oszcillátor + bozonvákuum (a tartály) Hála Fock-nak, u.a., mint kétállapotú atom. Q-Itoval a teljes Hamilton: Ĥdt + ĤSRdt = ωˆndt + Γ(âdˆξ + h.c.) A tartály ĤR Hamiltonja érdektelen a Markovi közelítés miatt. Standard mikroszkopikus modellben ˆϱ ˆϱ R ˆϱˆϱ R kezdőállapotot fejlesztünk: d(ˆϱˆϱ R ) = exp[ iωˆndt i Γâdˆξ +h.c.)]ˆϱˆϱ R exp[iωˆndt+i Γ(âdˆξ +h.c.)] ˆϱˆϱ R Jobb-oldalt dt rendben kiértékeljük, és dˆϱ = tr R d(ˆϱˆϱ R )-hez kiértékeljük valamennyi tr dˆξ ˆϱ R, tr dˆξdˆξ ˆϱ R, tr dˆξdˆξ ˆϱ R, tr dˆξ ˆϱ R dˆξ, stb. faktort, ezek többsége 0, de pl. tr dˆξ ˆϱ R dˆξ = dt: dˆϱ = iω[ˆn, ˆϱ]dt + Γ ( âˆϱâ 1 2 {ˆn, ˆϱ}) dt Ez éppen a csillapított oszci ME! (Azonos alakú az atomi spontán bomlás ME-tel.) Alternatív formalizmus: Heisenberg-Ito egy.: dâ = exp[iωˆndt + i Γ(âdˆξ + h.c.)]â exp[ iωˆndt i Γ(âdˆξ + h.c.)] â = (iω Γ)âdt i Γdˆξ Elsö tag: u.a., mint â egyenlete. Második tag: a tartály járuléka A tartály járuléka más alakú, mint atomi sp. bomlás Heisenberg-Ito egy.-ben. Kanonikus reláció, [â, â ] = 1, megőrződik a dˆξ járuléka segítségével: d[â, â ] = [ (iω Γ)âdt i Γdˆξ, â ] + h.c. + Γ[dˆξ, dˆξ ] = (iω Γ)[â, â ]dt + h.c. + Γ[dˆξ, dˆξ ] = 0 Mert dˆξ, dˆξ mindig kommutálnak â, â -vel, [â, â ] = 1, és [dˆξ, dˆξ ] = dt. 24

25 Q-hőtartály: bozonos, Markov közelítésben H R a tartály Hilbert tere, ˆϱ R a tartály T > 0 egyensúlyi állapota ˆξ t, ˆξ t a bozontér markovi közelítésben, Fock-szerű reprezentációban Ugyanaz, mint a bozonvákuum tartály, csak ˆϱ R változott, és ˆξ t ˆξ s 0 többé. Rögtön minden Ito-val (β = 1/k B T ): 0) [dˆξ, dˆξ ] = dt 1) dˆξ = dˆξ = 0 2) dˆξ dt dˆξ =, dˆξdˆξ dt =, (dˆξ) 2 = (dˆξ ) 2 = 0 exp(βɛ) 1 1 exp( βɛ) 3) f(ˆξ)dˆξ = 0 Emellett mindig eltűnik dˆξ t dˆξ s, dˆξ t dˆξ s. Továbbá dˆξ t, dˆξ s kommutál, dˆξ t dˆξ s és dˆξ t dˆξ s eltűnik, ha t s. 25

26 Q-disszipáció T > 0 ( mikroszkopikus levezetés) atom/oszci + Q-hőtartály (markovi közelítésben) Hála Fock-nak, atom/oszci u.a. Q-Itoval a teljes Hamilton: Ĥdt + ĤSRdt = ωˆndt + Γ(âdˆξ + h.c.) A tartály ĤR Hamiltonja érdektelen a Markovi közelítés miatt. Standard mikroszkopikus modellben ˆϱ ˆϱ R ˆϱˆϱ R kezdőállapotot fejlesztünk: d(ˆϱˆϱ R ) = exp[ iωˆndt i Γâdˆξ +h.c.)]ˆϱˆϱ R exp[iωˆndt+i Γ(âdˆξ +h.c.)] ˆϱˆϱ R Jobb-oldalt dt rendben kiértékeljük, és dˆϱ = tr R d(ˆϱˆϱ R )-hez kiértékeljük valamennyi tr dˆξ ˆϱ R, tr dˆξdˆξ ˆϱ R, tr dˆξdˆξ ˆϱ R, tr dˆξ ˆϱ R dˆξ, stb. faktort, ezek többsége 0, de pl. tr dˆξ ˆϱ R dˆξ = dt 1 exp( βɛ), tr dˆξ ˆϱ R dˆξ = Vegyük észre: a második e βɛ -szor kisebb, mint az első! Eredmény: dˆϱ tr R d(ˆϱˆϱ R ) = dt exp(βɛ) 1 = iω[ˆn, ˆϱ]dt + Γ β (âˆϱâ 1 2 {ˆn, ˆϱ}) dt + e βɛ Γ β (â ˆϱâ 1 2 {ââ, ˆϱ} ) dt ahol Γ β = Γ/[1 exp( βɛ)] a T -függő bomlási sebesség. Az atom/oszci közös alakú ME-e T > 0 hőtartályban: dˆϱ dt = iω[ˆn, ˆϱ] + Γ β (âˆϱâ 1{ˆn, ˆϱ}) + e βɛ (â Γ 2 β ˆϱâ 1 2 {ââ, ˆϱ} ) Az első Lindblad járulék: disszipáció (bomlás, csillapodás), sebessége: Γ β = Γ 1 exp( βɛ) A második Lindblad járulék: pumpálás (a hőtartályból a rendszerbe), sebessége: e βɛ Γ Γ β = exp(βɛ) 1 A kettő harcából termikus egyensúlyi állapot: ˆϱ β = 1 Z β exp( βɛˆn) Ez stac. állapota a ME-nek. ME jobboldala el kell tűnjön ˆϱ = ˆϱ β -ra. Első tag o.k., marad Γ β -szor: âe βɛˆn â ˆne βɛˆn + e βɛ â e βɛˆn â e βɛ ââ e βɛˆn Az első tag kiejti az utolsót (hasonlóan a belső két tag egymást). Biz: âe βɛˆn â = e βɛˆn e βɛˆn âe βɛˆn â = e βɛˆn e βɛ âe βɛˆn â = e βɛ ââ e βɛˆn 26

27 A Q-tartály Markovi közelítése Ez lett volna a záró előadás, ha megtartom. Így csak meséltem róla: A Q-hőtartály egzakt mikroszkopikus modellje pl. a másodkvantált fekete-test sugárzás, majdan lineárisan csatolva az atom/oszci-hoz. A másodkvantált e.m. tér ilyenkor Markovi közelítésben a ˆξ térrel írható le, az atom/oszci-val való kölcsönhatás szempontjából. A markovi Q-hőtartály már figyelembe veszi az atom/oszci ɛ gerjesztési energiáját (a ˆξ tér korrelációi nem csak T -től, ɛ-tól is függnek). Másik atom/oszcihoz (ha más az ɛ) másik markovi Q-hőtartály tartozik. A Markovi Q-hőtartályunk ezért nem univerzális. (Pedig elvárhatnánk: termodinamikában ugyanazon hőtartály bármilyen gyengén hozzácsatolt rendszert termikus egysúlyba juttat a tartállyal. Ez Q-hőtartályokra nem tud ilyen univerzális lenni.) Ami még kimaradt R környező rendszer info-gyűjtő (mérő) rendszer R alaphatásai lokalizáció (mért-megfigyelt diffúzió) Alapjelenségek Folytonos mérés (kl+q) Trajektória vagy mászter egyenlet? Q-trajektóriára egyetlen futó (épp nem MC-barát) példa jutott. Amire sok időt kellett szánni, mert alapvető Fél tucat Q-mászter egyenlet. 27

Modern fejlemények a kvantumelméletben. Elméleti Fizikai Iskola Tihany, 2010. augusztus 30. - szeptember 3.

Modern fejlemények a kvantumelméletben. Elméleti Fizikai Iskola Tihany, 2010. augusztus 30. - szeptember 3. Modern fejlemények a kvantumelméletben Bevezetés Ádám Péter, Diósi Lajos Elméleti Fizikai Iskola Tihany, 2010. augusztus 30. - szeptember 3. Iskola témája, bevezetés célja Iskola témája kvantumoptika és

Részletesebben

Kvantumos információ megosztásának és feldolgozásának fizikai alapjai

Kvantumos információ megosztásának és feldolgozásának fizikai alapjai Kvantumos információ megosztásának és feldolgozásának fizikai alapjai Kis Zsolt Kvantumoptikai és Kvantuminformatikai Osztály MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont H-1121 Budapest, Konkoly-Thege Miklós út 29-33

Részletesebben

1. Prefix jelentések. 2. Mi alapján definiáljuk az 1 másodpercet? 3. Mi alapján definiáljuk az 1 métert? 4. Mi a tömegegység definíciója?

1. Prefix jelentések. 2. Mi alapján definiáljuk az 1 másodpercet? 3. Mi alapján definiáljuk az 1 métert? 4. Mi a tömegegység definíciója? 1. Prefix jelentések. 10 1 deka 10-1 deci 10 2 hektó 10-2 centi 10 3 kiló 10-3 milli 10 6 mega 10-6 mikró 10 9 giga 10-9 nano 10 12 tera 10-12 piko 10 15 peta 10-15 fento 10 18 exa 10-18 atto 2. Mi alapján

Részletesebben

Alkalmazás a makrókanónikus sokaságra: A fotongáz

Alkalmazás a makrókanónikus sokaságra: A fotongáz Alkalmazás a makrókanónikus sokaságra: A fotongáz A fotonok az elektromágneses sugárzás hordozó részecskéi. Spinkvantumszámuk S=, tehát kvantumstatisztikai szempontból bozonok. Fotonoknak habár a spinkvantumszámuk,

Részletesebben

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság.

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság. 2. Közönséges differenciálegyenlet megoldása, megoldhatósága Definíció: Az y függvényt a valós számok H halmazán a közönséges differenciálegyenlet megoldásának nevezzük, ha az y = y(x) helyettesítést elvégezve

Részletesebben

Reológia Mérési technikák

Reológia Mérési technikák Reológia Mérési technikák Reológia Testek (és folyadékok) külső erőhatásra bekövetkező deformációját, mozgását írja le. A deformációt irreverzibilisnek nevezzük, ha a az erőhatás megszűnése után a test

Részletesebben

DINAMIKAI VIZSGÁLAT ÁLLAPOTTÉRBEN. 2003.11.06. Dr. Aradi Petra, Dr. Niedermayer Péter: Rendszertechnika segédlet 1

DINAMIKAI VIZSGÁLAT ÁLLAPOTTÉRBEN. 2003.11.06. Dr. Aradi Petra, Dr. Niedermayer Péter: Rendszertechnika segédlet 1 DINAMIKAI VIZSGÁLAT ÁLLAPOTTÉRBEN 2003..06. Dr. Aradi Petra, Dr. Niedermayer Péter: Rendszertechnika segédlet Egy bemenetű, egy kimenetű rendszer u(t) diff. egyenlet v(t) zárt alakban n-edrendű diff. egyenlet

Részletesebben

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat.

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat. Poisson folyamatok, exponenciális eloszlások Azt mondjuk, hogy a ξ valószínűségi változó Poisson eloszlású λ, 0 < λ

Részletesebben

Készítette: Fegyverneki Sándor

Készítette: Fegyverneki Sándor VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS Összefoglaló segédlet Készítette: Fegyverneki Sándor Miskolci Egyetem, 2001. i JELÖLÉSEK: N a természetes számok halmaza (pozitív egészek) R a valós számok halmaza R 2 {(x, y) x, y

Részletesebben

MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS

MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS Szerkesztette: Balogh Tamás 214. december 7. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így

Részletesebben

azonosságot minden 1 i, l n, 1 j k, indexre teljesítő együtthatókkal, amelyekre érvényes a = c (j) i,l l,i

azonosságot minden 1 i, l n, 1 j k, indexre teljesítő együtthatókkal, amelyekre érvényes a = c (j) i,l l,i A Cochran Fisher tételről A matematikai statisztika egyik fontos eredménye a Cochran Fisher tétel, amely a variancia analízisben játszik fontos szerepet. Ugyanakkor ez a tétel lényegét tekintve valójában

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 10 X. SZIMULÁCIÓ 1. VÉLETLEN számok A véletlen számok fontos szerepet játszanak a véletlen helyzetek generálásában (pénzérme, dobókocka,

Részletesebben

A kanonikus sokaság. :a hőtartály energiája

A kanonikus sokaság. :a hőtartály energiája A kanonikus sokaság A mikrokanonikus sokaság esetén megtanultuk, hogy a megengedett mikroállapotok egyenértéküek, és a mikróállapotok száma minimális. A mikrókanónikus sokaság azonban nem a leghasznosabb

Részletesebben

Határozatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Határozatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Határozatlan integrál () First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Az összetett függvények integrálására szolgáló egyik módszer a helyettesítéssel való integrálás. Az idevonatkozó tétel pontos

Részletesebben

Bevezetés a modern fizika fejezeteibe. 4. (b) Kvantummechanika. Utolsó módosítás: 2013. november 9. Dr. Márkus Ferenc BME Fizika Tanszék

Bevezetés a modern fizika fejezeteibe. 4. (b) Kvantummechanika. Utolsó módosítás: 2013. november 9. Dr. Márkus Ferenc BME Fizika Tanszék Bevezetés a modern fizika fejezeteibe 4. (b) Kvantummechanika Utolsó módosítás: 2013. november 9. 1 A legkisebb hatás elve (1) A legkisebb hatás elve (Hamilton-elv): S: a hatás L: Lagrange-függvény 2 A

Részletesebben

Gravitáció mint entropikus erő

Gravitáció mint entropikus erő Gravitáció mint entropikus erő Takács Gábor MTA-BME Lendület Statisztikus Térelméleti Kutatócsoport ELFT Elméleti Fizikai Iskola Szeged, Fizikai Intézet 2012. augusztus 28. Vázlat 1. Entropikus erő: elemi

Részletesebben

KVANTUMMECHANIKA. a11.b-nek

KVANTUMMECHANIKA. a11.b-nek KVANTUMMECHANIKA a11.b-nek HŐMÉRSÉKLETI SUGÁRZÁS 1 Hősugárzás: elektromágneses hullám A sugárzás által szállított energia: intenzitás I, T és λkapcsolata? Példa: Nap (6000 K): sárga (látható) Föld (300

Részletesebben

A TételWiki wikiből. Tekintsük a következő Hamilton-operátorral jellemezhető rendszert:

A TételWiki wikiből. Tekintsük a következő Hamilton-operátorral jellemezhető rendszert: 1 / 12 A TételWiki wikiből 1 Ritka gázok állapotegyenlete 2 Viriál sorfejtés 3 Van der Waals gázok 4 Ising-modell 4.1 Az Ising-modell megoldása 1 dimenzióban(*) 4.2 Az Ising-modell átlagtérelmélete 2 dimenzióban(**)

Részletesebben

Alapja a véletlen minták kiértékelése. Sok szabadság fokú csatolt rendszerek

Alapja a véletlen minták kiértékelése. Sok szabadság fokú csatolt rendszerek Alapja a véletlen minták kiértékelése Matematikai rendszerek Fizikai szimuláció Sok szabadság fokú csatolt rendszerek Folyadékok, sejt struktúrák, kapcsolt szilárd rendszerek Nagy bizonytalanságú rendszerek

Részletesebben

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 15 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 151 Lineáris egyenletrendszer, Gauss elimináció 1 Definíció Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az (1) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a

Részletesebben

Hamilton rendszerek, Lyapunov függvények és Stabilitás. Hamilton rendszerek valós dinamikai rendszerek, konzerva3v mechanikai rendszerek

Hamilton rendszerek, Lyapunov függvények és Stabilitás. Hamilton rendszerek valós dinamikai rendszerek, konzerva3v mechanikai rendszerek Hamilton rendszerek, Lyapunov függvények és Stabilitás Hamilton rendszerek valós dinamikai rendszerek, konzerva3v mechanikai rendszerek Sokszor nem lehetséges, hogy a tanult linearizációs módszerrel meghatározzuk

Részletesebben

Modellezési esettanulmányok. elosztott paraméterű és hibrid példa

Modellezési esettanulmányok. elosztott paraméterű és hibrid példa Modellezési esettanulmányok elosztott paraméterű és hibrid példa Hangos Katalin Számítástudomány Alkalmazása Tanszék Veszprémi Egyetem Haladó Folyamatmodellezés és modell analízis PhD kurzus p. 1/38 Tartalom

Részletesebben

1 Műszaki hőtan Termodinamika. Ellenőrző kérdések-02 1

1 Műszaki hőtan Termodinamika. Ellenőrző kérdések-02 1 1 Műszaki hőtan Termodinamika. Ellenőrző kérdések-02 1 Kérdések. 1. Mit mond ki a termodinamika nulladik főtétele? Azt mondja ki, hogy mindenegyes termodinamikai kölcsönhatáshoz tartozik a TDR-nek egyegy

Részletesebben

karakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja

karakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja Mátrixok hasonlósága, karakterisztikus mátrix, karakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja 1.Mátrixok hasonlósága, karakterisztikus mátrix, karakterisztikus

Részletesebben

MATEMATIKAI ÉS FIZIKAI ALAPOK

MATEMATIKAI ÉS FIZIKAI ALAPOK MATEMATIKAI ÉS FIZIKAI ALAPOK F:\EGYJEGYZ\20\alapok.doc 4 Feb 20 www.rmki.kfki.hu/~szego/egyjegyz. A Dirac-delta 2. Elektrodinamika mozgó közegekben 3. Függvénytranszformációk (Fourier transzformáció)

Részletesebben

Szilárdtestek el e ek e tr t o r n o s n zer e k r ez e et e e t

Szilárdtestek el e ek e tr t o r n o s n zer e k r ez e et e e t Szilárdtestek elektronszerkezete Kvantummechanikai leírás Ismétlés: Schrödinger egyenlet, hullámfüggvény, hidrogén-atom, spin, Pauli-elv, periódusos rendszer 2 Szilárdtestek egyelektron-modellje a magok

Részletesebben

Folytonos rendszeregyenletek megoldása. 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja

Folytonos rendszeregyenletek megoldása. 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja Folytonos rendszeregyenletek megoldása 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja A folytonos rendszeregyenletek megoldásakor olyan rendszerekkel foglalkozunk, amelyeknek egyetlen u = u(t)

Részletesebben

Egzotikus elektromágneses jelenségek alacsony hőmérsékleten Mihály György BME Fizikai Intézet Hall effektus Edwin Hall és az összenyomhatatlan elektromosság Kvantum Hall effektus Mágneses áram anomális

Részletesebben

Méréstechnika. Rezgésmérés. Készítette: Ángyán Béla. Iszak Gábor. Seidl Áron. Veszprém. [Ide írhatja a szöveget] oldal 1

Méréstechnika. Rezgésmérés. Készítette: Ángyán Béla. Iszak Gábor. Seidl Áron. Veszprém. [Ide írhatja a szöveget] oldal 1 Méréstechnika Rezgésmérés Készítette: Ángyán Béla Iszak Gábor Seidl Áron Veszprém 2014 [Ide írhatja a szöveget] oldal 1 A rezgésekkel kapcsolatos alapfogalmak A rezgés a Magyar Értelmező Szótár megfogalmazása

Részletesebben

Részecskék hullámtermészete

Részecskék hullámtermészete Részecskék ullámtermészete Bevezetés A sugárzás és az anyag egyaránt mutat részecskejellegű és ullámjellegű tulajdonságokat. Atommodellek A Tomson modell J.J. Tomson 1898 A negatív töltésű elektronok pozitív

Részletesebben

Numerikus módszerek 1.

Numerikus módszerek 1. Numerikus módszerek 1. 9. előadás: Paraméteres iterációk, relaxációs módszerek Lócsi Levente ELTE IK Tartalomjegyzék 1 A Richardson-iteráció 2 Relaxált Jacobi-iteráció 3 Relaxált Gauss Seidel-iteráció

Részletesebben

OPTIKA. Fénykibocsátás mechanizmusa fényforrás típusok. Dr. Seres István

OPTIKA. Fénykibocsátás mechanizmusa fényforrás típusok. Dr. Seres István OPTIKA Fénykibocsátás mechanizmusa Dr. Seres István Bohr modell Niels Bohr (19) Rutherford felfedezte az atommagot, és igazolta, hogy negatív töltésű elektronok keringenek körülötte. Niels Bohr Bohr ezt

Részletesebben

Mer legesség. Wettl Ferenc 2015-03-13. Wettl Ferenc Mer legesség 2015-03-13 1 / 40

Mer legesség. Wettl Ferenc 2015-03-13. Wettl Ferenc Mer legesség 2015-03-13 1 / 40 Mer legesség Wettl Ferenc 2015-03-13 Wettl Ferenc Mer legesség 2015-03-13 1 / 40 Tartalom 1 Pszeudoinverz 2 Ortonormált bázis ortogonális mátrix 3 Komplex és véges test feletti terek 4 Diszkrét Fourier-transzformált

Részletesebben

Radioaktivitás. 9.2 fejezet

Radioaktivitás. 9.2 fejezet Radioaktivitás 9.2 fejezet A bomlási törvény Bomlási folyamat alapjai: Értelmezés (bomlás): Azt a magfizikai folyamatot, amely során nagy tömegszámú atommagok spontán módon, azaz véletlenszerűen (statisztikailag)

Részletesebben

Zitterbewegung. általános elmélete. Grafén Téli Iskola 2011. 02. 04. Dávid Gyula ELTE TTK Atomfizikai Tanszék

Zitterbewegung. általános elmélete. Grafén Téli Iskola 2011. 02. 04. Dávid Gyula ELTE TTK Atomfizikai Tanszék A Zitterbewegung általános elmélete Grafén Téli Iskola 2011. 02. 04. Dávid Gyula ELTE TTK Atomfizikai Tanszék 1. Mi a Zitterbewegung? A Zitterbewegung általános elmélete 2. Kvantumdinamika Heisenberg-képben

Részletesebben

3. Jelöljük meg a numerikus gyökkereső módszerekre vonatkozó egyedüli helyes kijelentést:

3. Jelöljük meg a numerikus gyökkereső módszerekre vonatkozó egyedüli helyes kijelentést: INFORMATICĂ PENTRU FIZICIENI 1. Egy mechanikai rendszerre vonatkozó Newtoni-mozgástörvényben megjelenő valamely paraméter nem pontos. Milyen típusú hibát eredményez az említett bizonytalanság az egyenlet

Részletesebben

Kvantummechanika feladatgyűjtemény

Kvantummechanika feladatgyűjtemény Kvantummechanika feladatgyűjtemény Szunyogh László, Udvardi László, Ujfalusi László, Varga Imre 4. február 3. Előszó A fizikus alapképzésben központi jelentőségű a Kvantummechanika tárgy oktatása, hiszen

Részletesebben

Fourier-sorok. néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól. Vizsgán. k=1. 1 k = j.

Fourier-sorok. néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól. Vizsgán. k=1. 1 k = j. Fourier-sorok Bevezetés. Az alábbi anyag a vizsgára való felkészülés segítése céljából készült. Az alkalmazott jelölések vagy bizonyítás részletek néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól.

Részletesebben

Részecske azonosítás kísérleti módszerei

Részecske azonosítás kísérleti módszerei Részecske azonosítás kísérleti módszerei Galgóczi Gábor Előadás vázlata A részecske azonosítás létjogosultsága Részecske azonosítás: Módszerek Detektorok ALICE-ból példa A részecskeazonosítás létjogosultsága

Részletesebben

FIZIKA KÖZÉPSZINTŐ SZÓBELI FIZIKA ÉRETTSÉGI TÉTELEK Premontrei Szent Norbert Gimnázium, Gödöllı, 2012. május-június

FIZIKA KÖZÉPSZINTŐ SZÓBELI FIZIKA ÉRETTSÉGI TÉTELEK Premontrei Szent Norbert Gimnázium, Gödöllı, 2012. május-június 1. Egyenes vonalú mozgások kinematikája mozgásokra jellemzı fizikai mennyiségek és mértékegységeik. átlagsebesség egyenes vonalú egyenletes mozgás egyenes vonalú egyenletesen változó mozgás mozgásokra

Részletesebben

Dierenciálhányados, derivált

Dierenciálhányados, derivált 9. fejezet Dierenciálhányados, derivált A dierenciálhányados deníciója D 9.1 Az egyváltozós valós f függvény x0 pontbeli dierenciálhányadosának nevezzük a lim f(x0 + h) f(x0) h 0 h határértéket, ha ez

Részletesebben

Reakciókinetika és katalízis

Reakciókinetika és katalízis Reakciókinetika és katalízis 14. előadás: Enzimkatalízis 1/24 Alapfogalmak Enzim: Olyan egyszerű vagy összetett fehérjék, amelyek az élő szervezetekben végbemenő reakciók katalizátorai. Szubsztrát: A reakcióban

Részletesebben

Modern fizika vegyes tesztek

Modern fizika vegyes tesztek Modern fizika vegyes tesztek 1. Egy fotonnak és egy elektronnak ugyanakkora a hullámhossza. Melyik a helyes állítás? a) A foton lendülete (impulzusa) kisebb, mint az elektroné. b) A fotonnak és az elektronnak

Részletesebben

Dinamikus modellek felállítása mérnöki alapelvek segítségével

Dinamikus modellek felállítása mérnöki alapelvek segítségével IgyR - 3/1 p. 1/20 Integrált Gyártórendszerek - MSc Dinamikus modellek felállítása mérnöki alapelvek segítségével Hangos Katalin PE Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék IgyR - 3/1 p. 2/20

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (Derivált)

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (Derivált) Valós függvények (3) (Derivált) . Legyen a belső pontja D f -nek. Ha létezik és véges a f(x) f(a) x a x a = f (a) () határérték, akkor f differenciálható a-ban. Az f (a) szám az f a-beli differenciálhányadosa.

Részletesebben

A kvantummechanika speciális fejezetei

A kvantummechanika speciális fejezetei A kvantummechanika speciális fejezetei Jakovác Antal 2013 utolsó javítás: May 9, 2016 Contents 1 Előszó 3 2 A kvantumelmélet felépítése 3 2.1 Mérés a kvantumelméletben.....................................

Részletesebben

Thomson-modell (puding-modell)

Thomson-modell (puding-modell) Atommodellek Thomson-modell (puding-modell) A XX. század elejére világossá vált, hogy az atomban található elektronok ugyanazok, mint a katódsugárzás részecskéi. Magyarázatra várt azonban, hogy mi tartja

Részletesebben

Mechatronika alapjai órai jegyzet

Mechatronika alapjai órai jegyzet - 1969-ben alakult ki a szó - Rendszerek és folyamatok, rendszertechnika - Automatika, szabályozás - számítástechnika Cd olvasó: Dia Mechatronika alapjai órai jegyzet Minden mechatronikai rendszer alapstruktúrája

Részletesebben

Az időtől független Schrödinger-egyenlet (energia sajátértékegyenlet), A Laplace operátor derékszögű koordinátarendszerben

Az időtől független Schrödinger-egyenlet (energia sajátértékegyenlet), A Laplace operátor derékszögű koordinátarendszerben Atomfizika ψ ψ ψ ψ ψ E z y x U z y x m = + + + ),, ( h ) ( ) ( ) ( ) ( r r r r ψ ψ ψ E U m = + Δ h z y x + + = Δ ),, ( ) ( z y x ψ =ψ r Az időtől független Schrödinger-egyenlet (energia sajátértékegyenlet),

Részletesebben

A sugárzás kvantumos természete. A hőmérsékleti sugárzás

A sugárzás kvantumos természete. A hőmérsékleti sugárzás A sugárzás kvantumos természete A hőmérsékleti sugárzás Bevezetés A következőkben azokat a századorduló táján kutatott őbb jelenségeket tekintjük át, amelyek megértése a klasszikus izika alapján nem volt

Részletesebben

V É G E S E L E M M Ó D S Z E R M É R N Ö K I M E C H A N I K A I A L K A LM A Z Á S A I

V É G E S E L E M M Ó D S Z E R M É R N Ö K I M E C H A N I K A I A L K A LM A Z Á S A I ALKALMAZOTT MECHANIKA TANSZÉK V É G E S E L E M M Ó D S Z E R M É R N Ö K I M E C H A N I K A I A L K A LM A Z Á S A I Előadásvázlat a Multidiszciplináris Műszaki Tudományi Doktori Iskola hallgatói számára

Részletesebben

Akusztikai tervezés a geometriai akusztika módszereivel

Akusztikai tervezés a geometriai akusztika módszereivel Akusztikai tervezés a geometriai akusztika módszereivel Fürjes Andor Tamás BME Híradástechnikai Tanszék Kép- és Hangtechnikai Laborcsoport, Rezgésakusztika Laboratórium 1 Tartalom A geometriai akusztika

Részletesebben

9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA. 9.1 Metrika és topológia R k -ban

9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA. 9.1 Metrika és topológia R k -ban 9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA 9.1 Metrika és topológia R k -ban Definíció. A k-dimenziós euklideszi térnek nevezzük és R k val jelöljük a valós számokból alkotott k-tagú x = (x 1, x

Részletesebben

Modern Fizika Labor. Fizika BSc. Értékelés: A mérés dátuma: A mérés száma és címe: 12. mérés: Infravörös spektroszkópia. 2008. május 6.

Modern Fizika Labor. Fizika BSc. Értékelés: A mérés dátuma: A mérés száma és címe: 12. mérés: Infravörös spektroszkópia. 2008. május 6. Modern Fizika Labor Fizika BSc A mérés dátuma: A mérés száma és címe: 12. mérés: Infravörös spektroszkópia Értékelés: A beadás dátuma: 28. május 13. A mérést végezte: 1/5 A mérés célja A mérés célja az

Részletesebben

Számítógépvezérelt irányítás és szabályozás elmélete (Bevezetés a rendszer- és irányításelméletbe, Computer Controlled Systems) 8.

Számítógépvezérelt irányítás és szabályozás elmélete (Bevezetés a rendszer- és irányításelméletbe, Computer Controlled Systems) 8. Számítógépvezérelt irányítás és szabályozás elmélete (Bevezetés a rendszer- és irányításelméletbe, Computer Controlled Systems) 8. előadás Szederkényi Gábor Pázmány Péter Katolikus Egyetem Információs

Részletesebben

Sztochasztikus folyamatok a gazdaságban (előadás vázlat)

Sztochasztikus folyamatok a gazdaságban (előadás vázlat) Sztochasztikus folyamatok a gazdaságban (előadás vázlat) Sinkovicz Péter PhD hallgató S t 0 0 50 00 50 00 50 t 0 0 04 Sinkovicz Peter BEVEZETÉS Statisztikai alapfogalmak Események valószínűségének értelmezése.....................................

Részletesebben

Fizika vizsgakövetelmény

Fizika vizsgakövetelmény Fizika vizsgakövetelmény A tanuló tudja, hogy a fizika alapvető megismerési módszere a megfigyelés, kísérletezés, mérés, és ezeket mindig valamilyen szempont szerint végezzük. Legyen képes fizikai jelenségek

Részletesebben

Modern Fizika Labor. Fizika BSc. Értékelés: A mérés dátuma: A mérés száma és címe: 5. mérés: Elektronspin rezonancia. 2008. március 18.

Modern Fizika Labor. Fizika BSc. Értékelés: A mérés dátuma: A mérés száma és címe: 5. mérés: Elektronspin rezonancia. 2008. március 18. Modern Fizika Labor Fizika BSc A mérés dátuma: 28. március 18. A mérés száma és címe: 5. mérés: Elektronspin rezonancia Értékelés: A beadás dátuma: 28. március 26. A mérést végezte: 1/7 A mérés leírása:

Részletesebben

DINAMIKAI VIZSGÁLAT OPERÁTOROS TARTOMÁNYBAN. 2003.10.30. Dr. Aradi Petra, Dr. Niedermayer Péter: Rendszertechnika segédlet 1

DINAMIKAI VIZSGÁLAT OPERÁTOROS TARTOMÁNYBAN. 2003.10.30. Dr. Aradi Petra, Dr. Niedermayer Péter: Rendszertechnika segédlet 1 DINAMIKAI VIZSGÁLAT OPERÁTOROS TARTOMÁNYBAN 2003.10.30. Dr. Aradi Petra, Dr. Niedermayer Péter: Rendszertechnika segédlet 1 Differenciálegyenlet megoldása u(t) diff. egyenlet v(t) a n d n v m dt a dv n

Részletesebben

A gáz halmazállapot. A bemutatót összeállította: Fogarasi József, Petrik Lajos SZKI, 2011

A gáz halmazállapot. A bemutatót összeállította: Fogarasi József, Petrik Lajos SZKI, 2011 A gáz halmazállapot A bemutatót összeállította: Fogarasi József, Petrik Lajos SZKI, 0 Halmazállapotok, állapotjelzők Az anyagi rendszerek a részecskék közötti kölcsönhatásoktól és az állapotjelzőktől függően

Részletesebben

Modern Fizika Laboratórium Fizika BSc 18. Granuláris anyagok

Modern Fizika Laboratórium Fizika BSc 18. Granuláris anyagok Modern Fizika Laboratórium Fizika BSc 18. Granuláris anyagok Mérést végezték: Márkus Bence Gábor Kálmán Dávid Kedd délelőtti csoport Mérés ideje: 05/08/2012 Beadás ideje: 05/11/2012 Érdemjegy: 1 1. A mérés

Részletesebben

LINEÁRIS VEKTORTÉR. Kiegészítő anyag. (Bércesné Novák Ágnes előadása) Vektorok függetlensége, függősége

LINEÁRIS VEKTORTÉR. Kiegészítő anyag. (Bércesné Novák Ágnes előadása) Vektorok függetlensége, függősége LINEÁRIS VEKTORTÉR Kiegészítő anyag (Bércesné Noák Ágnes előadása) Vektorok függetlensége, függősége Vektortér V 0 Halmaz T test : + ; + ; Abel csoport V elemeit ektoroknak neezzük. Abel - csoport Abel

Részletesebben

Nemlineáris jelenségek és Kao2kus rendszerek vizsgálata MATHEMATICA segítségével. Előadás: 10-12 Szerda, 215 Labor: 16-18, Szerda, 215

Nemlineáris jelenségek és Kao2kus rendszerek vizsgálata MATHEMATICA segítségével. Előadás: 10-12 Szerda, 215 Labor: 16-18, Szerda, 215 Nemlineáris jelenségek és Kao2kus rendszerek vizsgálata MATHEMATICA segítségével Előadás: 10-12 Szerda, 215 Labor: 16-18, Szerda, 215 Célok: Ismerkedés a kao2kus dinamikával és ennek tanulmányozása. A

Részletesebben

0. Teszt megoldás, matek, statika / kinematika

0. Teszt megoldás, matek, statika / kinematika 0. Teszt megoldás, matek, statika / kinematika Mechanika (ismétlés) statika, kinematika Dinamika, energia Áramlástan Reológia Optika find x Teszt: 30 perc, 30 kérdés Matek alapfogalmak: Adattípusok: Természetes,

Részletesebben

A fény korpuszkuláris jellegét tükröző fizikai jelenségek

A fény korpuszkuláris jellegét tükröző fizikai jelenségek A fény korpuszkuláris jellegét tükröző fizikai jelenségek A fény elektromágneses sugárzás, amely hullámjelleggel és korpuszkuláris sajátosságokkal is rendelkezik. A fény hullámjellege elsősorban az olyan

Részletesebben

Méréstechnika. Hőmérséklet mérése

Méréstechnika. Hőmérséklet mérése Méréstechnika Hőmérséklet mérése Hőmérséklet: A hőmérséklet a termikus kölcsönhatáshoz tartozó állapotjelző. A hőmérséklet azt jelzi, hogy egy test hőtartalma milyen szintű. Amennyiben két eltérő hőmérsékletű

Részletesebben

Gyorsítók. Veszprémi Viktor ATOMKI, Debrecen. Supported by NKTH and OTKA (H07-C 74281) 2009. augusztus 17 Hungarian Teacher Program, CERN 1

Gyorsítók. Veszprémi Viktor ATOMKI, Debrecen. Supported by NKTH and OTKA (H07-C 74281) 2009. augusztus 17 Hungarian Teacher Program, CERN 1 Gyorsítók Veszprémi Viktor ATOMKI, Debrecen Supported by NKTH and OTKA (H07-C 74281) 2009. augusztus 17 Hungarian Teacher Program, CERN 1 Az anyag felépítése Részecskefizika kvark, lepton Erős, gyenge,

Részletesebben

A lézer alapjairól (az iskolában)

A lézer alapjairól (az iskolában) A lézer alapjairól (az iskolában) Dr. Sükösd Csaba c. egyetemi tanár Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Tartalom Elektromágneses hullám (fény) kibocsátása Hogyan bocsát ki fényt egy atom? o

Részletesebben

Mérés és adatgyűjtés

Mérés és adatgyűjtés Mérés és adatgyűjtés 7. óra Mingesz Róbert Szegedi Tudományegyetem 2013. április 11. MA - 7. óra Verzió: 2.2 Utolsó frissítés: 2013. április 10. 1/37 Tartalom I 1 Szenzorok 2 Hőmérséklet mérése 3 Fény

Részletesebben

Feladatok Differenciálegyenletek II. témakörhöz. 1. Határozzuk meg a következő elsőrendű lineáris differenciálegyenletek általános megoldását!

Feladatok Differenciálegyenletek II. témakörhöz. 1. Határozzuk meg a következő elsőrendű lineáris differenciálegyenletek általános megoldását! Feladatok Differenciálegyenletek II. témakörhöz 1. Határozzuk meg a következő elsőrendű lineáris differenciálegyenletek általános megoldását! (a) (b) 2. Tekintsük az differenciálegyenletet. y y = e x.

Részletesebben

86 MAM112M előadásjegyzet, 2008/2009

86 MAM112M előadásjegyzet, 2008/2009 86 MAM11M előadásjegyzet, 8/9 5. Fourier-elmélet 5.1. Komplex trigonometrikus Fourier-sorok Tekintsük az [,], C Hilbert-teret, azaz azoknak a komplex értékű f : [,] C függvényeknek a halmazát, amelyek

Részletesebben

1. tétel. Valószínűségszámítás vizsga Frissült: 2013. január 19. Valószínűségi mező, véletlen tömegjelenség.

1. tétel. Valószínűségszámítás vizsga Frissült: 2013. január 19. Valószínűségi mező, véletlen tömegjelenség. 1. tétel Valószínűségszámítás vizsga Frissült: 2013. január 19. Valószínűségi mező, véletlen tömegjelenség. A valószínűségszámítás tárgya: véletlen tömegjelenségek vizsgálata. véletlen: a kísérlet kimenetelét

Részletesebben

Konvex optimalizálás feladatok

Konvex optimalizálás feladatok (1. gyakorlat, 2014. szeptember 16.) 1. Feladat. Mutassuk meg, hogy az f : R R, f(x) := x 2 függvény konvex (a másodrend derivált segítségével, illetve deníció szerint is)! 2. Feladat. Mutassuk meg, hogy

Részletesebben

Házi feladatok megoldása. Nyelvtani transzformációk. Házi feladatok megoldása. Házi feladatok megoldása. Formális nyelvek, 6. gyakorlat.

Házi feladatok megoldása. Nyelvtani transzformációk. Házi feladatok megoldása. Házi feladatok megoldása. Formális nyelvek, 6. gyakorlat. Nyelvtani transzformációk Formális nyelvek, 6. gyakorlat a. S (S) SS ε b. S XS ε és X (S) c. S (SS ) Megoldás: Célja: A nyelvtani transzformációk bemutatása Fogalmak: Megszorított típusok, normálformák,

Részletesebben

MITISZK Miskolc-Térségi Integrált Szakképző Központ

MITISZK Miskolc-Térségi Integrált Szakképző Központ MITISZK Miskolc-Térségi Integrált Szakképző Központ VALÓSZÍNŰSÉG-SZÁMÍTÁS ÉS MATEMATIKAI STATISZTIKA FEGYVERNEKI SÁNDOR Miskolci Egyetem Gépészmérnöki és Informatikai Kar Készült a HEFOP-3.2.2-P.-2004-10-0011-/1.0

Részletesebben

Belső energia, hőmennyiség, munka Hőtan főtételei

Belső energia, hőmennyiség, munka Hőtan főtételei Belső energia, hőmennyiség, munka Hőtan főtételei Ideális gázok részecske-modellje (kinetikus gázmodell) Az ideális gáz apró pontszerű részecskékből áll, amelyek állandó, rendezetlen mozgásban vannak.

Részletesebben

Mikroökonómia - Bevezetés, a piac

Mikroökonómia - Bevezetés, a piac Mikroökonómia szeminárium Bevezetés, a piac Budapesti Corvinus Egyetem Makroökonómia Tanszék 2011 szeptember 21. A témakör alapfogalmai Keresleti (kínálati) görbe - kereslet (kínálat) fogalma - kereslet

Részletesebben

A Jövő Internet elméleti alapjai. Vaszil György Debreceni Egyetem, Informatikai Kar

A Jövő Internet elméleti alapjai. Vaszil György Debreceni Egyetem, Informatikai Kar A Jövő Internet elméleti alapjai Vaszil György Debreceni Egyetem, Informatikai Kar Kutatási témák Bizalmas adatok védelme, kriptográfiai protokollok DE IK Számítógéptudományi Tsz., MTA Atomki Informatikai

Részletesebben

Funkcionálanalízis. Általánosított függvények Disztribúciók. 12-13. el adás. 2012. május 9.-16. Lineáris funkcionál

Funkcionálanalízis. Általánosított függvények Disztribúciók. 12-13. el adás. 2012. május 9.-16. Lineáris funkcionál Funkcionálanalízis 12-13. el adás 212. május 9.-16. Általánosított függvények Disztribúciók Lineáris funkcionál Legyen C () az függvénytér, amely a végtelen sokszor dierenciálható, kompakt tartójú függvényeket

Részletesebben

Lineáris algebra - jegyzet. Kupán Pál

Lineáris algebra - jegyzet. Kupán Pál Lineáris algebra - jegyzet Kupán Pál Tartalomjegyzék fejezet Vektorgeometria 5 Vektorok normája Vektorok skaláris szorzata 4 3 Vektorok vektoriális szorzata 5 fejezet Vektorterek, alterek, bázis Vektorterek

Részletesebben

XXV. ELEKTROMOS VEZETÉS SZILÁRD TESTEKBEN

XXV. ELEKTROMOS VEZETÉS SZILÁRD TESTEKBEN 2007. február 6. 1 Pálinkás József: Fizika 2. XXV. ELEKTROMOS VEZETÉS SZILÁRD TESTEKBEN Bevezetés: Az előző fejezetekben megismertük, hogy a kvantumelmélet milyen jól leírja az atomok és a molekulák felépítését.

Részletesebben

és a hozzájuk tartozó modellezési és matematikai módszereket egyaránt jelölik. A

és a hozzájuk tartozó modellezési és matematikai módszereket egyaránt jelölik. A BEVEZETÉS A NEM-EGYENSÚLYI TERMODINAMIKÁBA ÍRTA: VÁN PÉTER Kivonat. Figyelem! A jegyzet az előadástól és az előző változattól tisztább formában használja az egyensúly fogalmát! 1. Bevezetés A nemegyensúlyi

Részletesebben

Az analízis néhány alkalmazása

Az analízis néhány alkalmazása Az analízis néhány alkalmazása SZAKDOLGOZAT Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi kar Szerz : Fodor Péter Szak: Matematika Bsc Szakirány: Matematikai elemz Témavezet : Sikolya Eszter, adjunktus

Részletesebben

Ez mit jelent? Ahány könyv annyi interpretáció, annyi diszciplína kerül bele.

Ez mit jelent? Ahány könyv annyi interpretáció, annyi diszciplína kerül bele. BEVEZETÉS TÁRGY CÍME: FIZIKAI KÉMIA Ez mit jelent? Ahány könyv annyi interpretáció, annyi diszciplína kerül bele. Ebben az eladásban: a fizika alkalmazása a kémia tárgykörébe es fogalmak magyarázatára.

Részletesebben

Fogalmi alapok Mérlegegyenletek

Fogalmi alapok Mérlegegyenletek 1. Fogalmi alapok Mérlegegyenletek Utolsó módosítás: 2013. február 11. A transzportfolyamatokról általában 1 A természetben lezajló folyamatok leírására szolgáló összefoglaló elmélet, amely attól függetlenül

Részletesebben

Sztochasztikus folyamatok 1. házi feladat

Sztochasztikus folyamatok 1. házi feladat Sztochasztikus folyamatok 1. házi feladat 1. Egy borfajta alkoholtartalmának meghatározására méréseket végzünk. Az egyes mérések eredményei egymástól független valószínûségi változók, melyek normális eloszlásúak,

Részletesebben

TekaBe08_UJ.qxd 2/20/08 3:50 PM Page 1. Beépíthetô konyhai készülékek

TekaBe08_UJ.qxd 2/20/08 3:50 PM Page 1. Beépíthetô konyhai készülékek TekaBe08_UJ.qxd 2/20/08 3:50 PM Page 1 Beépíthetô konyhai készülékek TekaBe08_UJ.qxd 2/20/08 3:51 PM Page 2 BEÉPÍTHETÔ ELEKTROMOS SÜTÔK HA 890 Multifunkciós (9 funkció) Ajtónyitásra a sütô automatikusan

Részletesebben

A MODERN FIZIKA ÖSSZEHANGOLT

A MODERN FIZIKA ÖSSZEHANGOLT A MODERN FIZIKA ÖSSZEHANGOLT KÍSÉRLETES TANÍTÁSA A KÖZOKTATÁSBAN raics.peter@science.unideb.hu http://www.unideb.hu; http://falcon.phys.unideb.hu; http://falcon.phys.unideb.hu/kisfiz/raics http://falcon.phys.klte.hu/~raics/public/2016nyh

Részletesebben

2014/2015. tavaszi félév

2014/2015. tavaszi félév Hajder L. és Valasek G. hajder.levente@sztaki.mta.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2014/2015. tavaszi félév Tartalom Geometria modellezés 1 Geometria modellezés 2 Geometria modellezés

Részletesebben

Differenciál és integrálszámítás diszkréten

Differenciál és integrálszámítás diszkréten Differenciál és integrálszámítás diszkréten Páles Zsolt Debreceni Egyetem, Matematikai Intézet MAFIÓK, Békéscsaba, 010. augusztus 4-6. Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten

Részletesebben

Részletes összefoglaló jelentés

Részletes összefoglaló jelentés Részletes összefoglaló jelentés 1. Hőátadási tényező vizsgálata egyidejű hő- és anyagátadási folyamatok esetén Az egyidejű hő- és anyagátadással járó szárítási folyamatoknál számos szerző utalt a hőátadási

Részletesebben

Polimerek fizikai, mechanikai, termikus tulajdonságai

Polimerek fizikai, mechanikai, termikus tulajdonságai SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM ANYAGISMERETI ÉS JÁRMŰGYÁRTÁSI TANSZÉK POLIMERTECHNIKA NGB_AJ050_1 Polimerek fizikai, mechanikai, termikus tulajdonságai DR Hargitai Hajnalka 2011.10.05. BURGERS FÉLE NÉGYPARAMÉTERES

Részletesebben

Hatvány, gyök, normálalak

Hatvány, gyök, normálalak Hatvány, gyök, normálalak 1. Számítsd ki a következő hatványok pontos értékét! 3 5 3 3 1 4 3 3 4 1 7 3 3 75 100 3 0,8 ( ) 6 3 1 3 5 3 1 3 0 999. 3. Számológép használata nélkül számítsd ki a következő

Részletesebben

Diszkrét matematika II., 5. előadás. Lineáris egyenletrendszerek

Diszkrét matematika II., 5. előadás. Lineáris egyenletrendszerek 1 Diszkrét matematika II, 5 előadás Lineáris egyenletrendszerek Dr Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@infnymehu http://infnymehu/ takach/ 2007 március 8 Egyenletrendszerek Középiskolás módszerek:

Részletesebben

Drótos G.: Fejezetek az elméleti mechanikából 4. rész 1

Drótos G.: Fejezetek az elméleti mechanikából 4. rész 1 Drótos G.: Fejezete az elméleti mechaniából 4. rész 4. Kis rezgése 4.. gyensúlyi pont, stabilitás gyensúlyi pontna az olyan r pontoat nevezzü valamely oordináta-rendszerben, ahol a vizsgált tömegpont gyorsulása

Részletesebben

1. Ha két közeg határfelületén nem folyik vezetési áram, a mágneses térerősség vektorának a(z). komponense folytonos.

1. Ha két közeg határfelületén nem folyik vezetési áram, a mágneses térerősség vektorának a(z). komponense folytonos. Az alábbi kiskérdéseket a korábbi Pacher-féle vizsgasorokból és zh-kból gyűjtöttük ki. A többségnek a lefényképezett hivatalos megoldás volt a forrása (néha még ezt is óvatosan kellett kezelni, mert egy

Részletesebben

Mesterséges intelligencia, 7. előadás 2008. október 13. Készítette: Masa Tibor (KPM V.)

Mesterséges intelligencia, 7. előadás 2008. október 13. Készítette: Masa Tibor (KPM V.) Mesterséges intelligencia, 7. előadás 2008. október 13. Készítette: Masa Tibor (KPM V.) Bizonytalanságkezelés: Az eddig vizsgáltakhoz képest teljesen más világ. A korábbi problémák nagy része logikai,

Részletesebben

VÁLASZLAP ..BF.. KockaKobak Országos Matematikaverseny MINTA 2012. Kezdő feladat: KockaKobak Országos Matematikaverseny MINTA 2012.

VÁLASZLAP ..BF.. KockaKobak Országos Matematikaverseny MINTA 2012. Kezdő feladat: KockaKobak Országos Matematikaverseny MINTA 2012. ..BF.. 1. AZ CP OJ VZ 2. DT ID WR ZX 3. AT ER NX RD 4. KF NF TF XJ 5. CV HF LD TL 6. MB SZ XD ZF 7. GB JH NL SB 8. FJ OD OP XP 9. FP PB RP WL 10. IP MH TX WX 11. BX JZ QL YB 12. HX KL MZ ST 13. FV JT VN

Részletesebben

Számítási feladatok a Számítógépi geometria órához

Számítási feladatok a Számítógépi geometria órához Számítási feladatok a Számítógépi geometria órához Kovács Zoltán Copyright c 2012 Last Revision Date: 2012. október 15. kovacsz@nyf.hu Technikai útmutató a jegyzet használatához A jegyzet képernyőbarát

Részletesebben

Kvantumvilág emergens klasszikusság és valószínűségi értelmezés

Kvantumvilág emergens klasszikusság és valószínűségi értelmezés Kvantumvilág emergens klasszikusság és valószínűségi értelmezés Takács Gábor ELFT Elméleti Fizikai Iskola Tihany, 2010. aug. 30. - szept. 3. Ajánlott irodalom W.H. Zurek: Relative States and the Environment:

Részletesebben