Elméleti modell: mikroszkopikus vagy fenomenológiai Mikroszkopikus modell: szükségképpen statisztikus

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Elméleti modell: mikroszkopikus vagy fenomenológiai Mikroszkopikus modell: szükségképpen statisztikus"

Átírás

1 NYITOTT KVANTUMRENDSZEREK ELMÉLETEI Miért nyitott? S rendszer kölcsönhat környező R rendszerrel (rezervoár,tartály) S+R zárt rendszer, reverzibilis dinamikával S nyitott rendszer, irreverzibilis dinamikával Miért kvantum (Q)? Q-vákuum mindig jelen van, mint R Q-rendszer túlérzékeny a környezetre R környező rendszer közeg, hőtartály, egy másik rendszer, Q-vákuum dinamikai vagy info-gyűjtő (mérő) rendszer R alaphatásai disszipáció (csillapított inga) fluktuáció (Brown mozgás) dekoherencia (két csillapított inga) lokalizáció (mért-megfigyelt diffúzió) irreverzibilitás! Alapjelenségek Közegellenállás (kl+q) Csillapított rezgés (kl+q) Spontán bomlás (Q) Folytonos mérés (kl+q)... kvark-hadronizáció (Q) Elméleti modell: mikroszkopikus vagy fenomenológiai Mikroszkopikus modell: szükségképpen statisztikus 1

2 Zárt rendszer összefoglaló Klasszikus kankord: x; Állapot: ϱ(x) normált sűrűség ϱ(x) 0, ϱ(x)dx = 1 Statisztikus értelmezés: szokásos Tiszta állapot: δ(x x) Tiszta-állapot-felbontás (egyértelmű): ϱ(x) = δ(x x)ϱ( x)d x Kevert áll. mozgásegy.: ϱ = {H, ϱ} (Liouville) Tiszta áll. mozgásegy.: δ(x x t ) =?; ẋ = {x, H} (Hamilton) Összetett rendszer: x A, x B x AB (x A, x B ), ϱ AB (x AB ) Ha A,B független: ϱ(x AB ) = ϱ A (x A )ϱ B (x B ) Kölcsönhatás: H AB = H A + H B + K A redukált állapota: ϱ A (x A ) = ϱ AB (x AB )dx B Q-bázis: x ; Q-állapot: ϱ(x; x ) = x ˆϱ x normált sűrűségmátrix ˆϱ 0, tr ˆϱ = x ϱ(x, x) = 1 Statisztikus értelmezés: Q-méréselmélet (szokatlan) Tiszta állapot: ψ ψ Tiszta-állapot-felbontás (nem egyértelmű): ˆϱ = λ λ λ ϱ(λ) Kevert áll. mozgásegy.: ˆϱ = ( i/ )[Ĥ, ˆϱ] (Neumann J.) Tiszta áll. mozgásegy.: ψ = ( i/ )Ĥ ψ Összetett rendszer: x A, x B x AB x A x B ϱ AB (x AB ; x AB ) = x AB ˆϱ AB x AB Ha A,B független: ˆϱ AB = ˆϱ A ˆϱ B, azaz ϱ(x AB ; x AB ) = ϱ A(x A ; x A )ϱ B(x B ; x B ) Kölcsönhatás: Ĥ AB = ĤA + ĤB + ˆK A redukált állapota: ˆϱ A = tr B ˆϱ AB azaz ϱ A (x A ; x A ) = x B ϱ AB (x A, x B ; x A, x B) 2

3 Nyitott rendszer mikroszkopikus modell elve - S+R Ha S és R nem hatna kölcsön: S: ϱ(x), H(x); ϱ = {H, ϱ} R: ϱ R (x R ), H R (x R ); ϱ R = {H R, ϱ R } S+R: ϱ SR (x, x R ; t) = ϱ(x; t)ϱ R (x R ; t) De ha S és R kölcsönhatnak: H SR (x, x R ) = H(x) + H R (x R ) + K(x, x R ): ϱ SR = {H SR, ϱ SR } (reverzibilis) S állapota S+R redukált állapota: ϱ(x) = ϱ SR (x, x R )dx R S dinamikája S+R redukált dinamikája: ϱ = {H SR, ϱ SR }dx R (irreverzibilis) Tegyük fel ϱ SR (x, x R ; 0) = ϱ(x; 0)ϱ R (x R ; 0), j.o. lineáris ϱ(0)-ban, megoldás is lineáris: ϱ(t) = K(t)ϱ(0) K(t) lineáris leképezés (nem-invertálható szuper-operator). Markovi közelítésben K(t) = exp(lt), ekkor: ϱ(t) = Lϱ(t) Markovi Mászter (vagy: Kinetikus) Egyenlet (időben első rendű diff.egy. ϱ-ra) Feltételek: gyors R, lassú S; gyenge csatolás előny, de nem feltétel. Ha S és R Q-rendszerek, a konstrukció ugyanez: ϱ ˆϱ, ϱϱ R ˆϱ ˆϱ R, dxr tr R,... A legtöbb fenomenológiai modell a MME-t posztulálja. ϱ = Lϱ = {H, ϱ} + Dϱ ˆϱ = Lˆϱ = i [Ĥ, ˆϱ] + Dϱ 3

4 Példák klasszikus MME-re ϱ(x) = D 2 xϱ(x) (diffúzió egy.) ϱ(x, p) = p m xϱ(x, p) + D 2 pϱ(x, p) + η p pϱ(x, p) (Fokker-Planck egy.) ϱ(p) = p m xϱ(x, p) + ütközési tag (Boltzmann egy. - j.o. kvadratikus ϱ-ban) ϱ(x) = x v(x)ϱ(x) + [T (x, y)ϱ(y) T (y, x)ϱ(x)], T (x, y) 0 (Kinetikus egy.) y Minden klasszikus MME kinetikus szerkezetű. Reverzibilis rész: v sebességű drift ({H, ϱ}). Nincs, ha x diszkrét. Irreverzibilis (Dϱ) rész: véletlen átmenetek, T (x, y) T (x y) valószínűség/időegység Példák Q-MME-re ˆϱ = i ˆϱ = i [ ] ˆp 2 2m, ˆϱ [ ] ˆp 2 2m, ˆϱ ˆϱ = i [Ĥ, ˆϱ] + α D [ˆx, [ˆx, ˆϱ]] 2 (hely-decoherencia egy.) D η [ˆx, [ˆx, ˆϱ]] i [ˆx, {ˆp, ˆϱ}]+? 2 2m [ˆL α ˆϱˆL α 1 2 {ˆL α ˆL α, ˆϱ}], (Q-Fokker-Planck egy.) (Lindblad mászter egy.) Minden Q-MME Lindblad-szerkezetű. Reverzibilis rész: unitér fejlődés ( i/ [Ĥ, ˆϱ]). Diszkrét Q-rendszerre is lehet! Irreverzibilis (Dϱ) rész: Q-átmenetek, ˆL α Lindblad-generátorok szerint 4

5 Diffúzió mászter egy.: ϱ = Dϱ Speciális megoldás: ϱ(x; t x 0 = 0) = 1 4πDt e x2 4Dt ; ϱ(x; 0) = δ(x) x t = 0, x 2 t = 2Dt Kevert ϱ - tiszta állapotok egyértelmű keveréke: ϱ(x) = δ(x x )ϱ(x )dx Általános megoldás: 1 ϱ(x; t) = e (x x ) 2 4Dt ϱ(x ; 0)dx 4πDt x t = x 0 x 2 t x 2 t = 2Dt Diffúzió egy. = Kinetikus egy., szinguláris átmeneti valószínűségekkel: T (x; x 0 ) lim t 0 1 t ϱ(x; t x 0) = lim t 0 Diffúzió egy. determinisztikus. Van-e stochasztikus leírás? MC-barát leírás: stochasztikus folyamat, trajektória 1/ t e (x x 0 )2 4D t 4πD t 5

6 Diffúzió, mint Markov stochasztikus folyamat Markov lánc: x 0, x τ, x 2τ..., x t... ; Prob(x t+τ ) = ϱ(x t+τ x t ) Véletlen bolyongás: x 0 = 0, x τ = ±a,..., x t+τ = x t ± a,..., x t = 0, x 2 t = a 2 t τ Centrális határeloszlás tétel: x t Gauss-eloszlású ha t/τ : ϱ(x t x 0 = 0) 1 2πa2 t/τ e x 2 2a 2 t/τ Diffúzív határeset: τ 0; a 0; a 2 /τ 2D ϱ(x t x 0 = 0) ϱ(x; t x 0 = 0) Markov lánc diffúzív határesete: x t Markov folyamat Egyenértékű modell a ϱ = Dϱ diff.egy.-tel: ϱ(x; t) = δ(x x t ) A diffúziós MME egyenlet megoldását tiszta állapotok keverékeként fejtettük ki. Ez a trajektória módszer. MC-barát, és valóságközelibb. De mik az x t stochasztikus folyamat (trajektória) saját egyenletei? 6

7 Wiener-stoch-folyamat, fehér zaj x t Wiener stoch. folyamat, mérnökiesen : fehér zaj Fehér zaj definitív tulajdonságai: 1) ẋ t = 0 2) ẋ t ẋ s = 2Dδ(t s) (tökéletes korrelálatlanság) 3) Gaussi: Prob(x t1 ), Prob(x t1, x t2 ), Prob(x t1, x t2, x t3 ),..., Gauss Direkt bizonyítás: véletlen bolyongás Markov-lánc, majd diffúzív határeset Differenciálos definíció: 1) dx t = 0 2) dx t dx s = 2Ddt ha t = s, és 0 egyébként 3) 2-nél több dx szorzatának -e dt-ben 1-nél magasabb rendű Ellenőrzés: ϱ(x; t) = δ(x x t ) -nek ki kell elégítenie diffúzió egy.-et Naiv számolás rosszra vezet: ϱ(x; t) = ẋ t δ (x x t ) = 0 x t szinguláris fv., deriváltját határértékként kell kezeljük ϱ(x; t) ϱ(x; t + t) ϱ(x; t) x t δ (x x t ) + 1 ( x 2 t) 2 δ (x x t ) = = 1 ( x 2 t) 2 δ (x x t ) = 1 ( x 2 t) 2 ϱ (x; t) Kihasználtuk: x t = t+ t dsẋ t s statisztikusan független x t -től. Végül: ( xt ) 2 t+ t = ds t t+ t t dr ẋ s ẋ r = Tehát ϱ(t) = lim ϱ(t)/ t = Dϱ ha t 0 t+ t t+ t t ds t dr2dδ(s r) = 2D t Sokkal egyszerűbb differenciálosan: dϱ(x; t) dδ(x x t ) = dx t δ (x x t ) (dx t) 2 δ (x x t ) = = 1 2 (dx t) 2 δ (x x t ) = Dϱ (x; t) 7

8 Standard Wiener folyamat, fehér zaj Standard (D=1/2) Wiener folyamat: W t Diffúziós egyenlete: ϱ(w ; t) = 1 2 ϱ (W, t) Kapcsolat: ϱ(w ; t) = δ(w W t ) w t = Ẇt standard fehér zaj Fehér zaj definitív tulajdonságai: 1) w t = 0 2) w t w s = δ(t s) (tökéletes korrelálatlanság) 3) Gaussi Spektrális definíció w ω = (1/2π) w t exp(iωt)dt Fourier-komponensekre: 1) w ω = 0 2) w ω w ω = 1 δ(ω 2π ω ) (egyenletes spektrális erősség) 3) Gaussi Differenciálos definíció W t -re, ahol dw t = W t+ t W t ; t +0 1) dw t = 0 2) dw t dw s = dt ha t = s, és 0 egyébként 3) 2-nél több dw differenciál szorzatának -e dt-ben 1-nél magasabb rendű 8

9 Wiener folyamatok Ito-kalkulusa Helyfüggő diffúzió-drift egyenlet: ϱ = x V ϱ + 2 xdϱ Hozzárendelt Wiener folyamat: x t ; ϱ(x; t) = δ(x x t ) A dx t Ito-differenciál Ito-kalkulusa: 1) dx t = V (x t )dt 2) (dx t ) 2 = 2D(x t )dt (Nincs! Miért? Csak!) 3) dx t statisztikailag független x t -től: f(x t )dx t = f(x t ) dx t Belátható, hogy dϱ = x V ϱdt + 2 xdϱdt teljesül. Hogyan segít Ito az y = f(x) változó transzformációban? dy = f (x)dx f (dx) 2 = f (x)dx + f D(x t )dt dy = f (x)v (x)dt + f D(x)dt Ṽ (y)dt (dy) 2 = 2[f (x)] 2 D(x)dt 2 D(y)dt Innen leolvassuk: Ṽ = f V + f D és D = (f ) 2 D A diffúzió+drift egy. az új változóban: ϱ = y Ṽ ϱ + 2 y Dϱ dx standard reprezentációban: dx = V (x)dt + 2D(x)dW Többváltozós általánosítás: x, V, W vektorok, D mátrix Speciális eset, csak 1 zaj, standard reprezentációban: dx = V (x)dt + U(x)dW (x, V, U vektorok, W skalár) Q-elméletben komplex általánosítás: x = ψ, vagy x = ˆϱ, pl.: dˆϱ = Lˆϱdt +... dw d ψ = (i/ )Ĥ ψ + + (i/ )fˆx ψ dw Leibniz-Ito szabály: Ha x 1 és x 2 két Wiener folyamat, akkor: d(x 1 x 2 ) = (dx 1 )x 2 + x 1 (dx 2 ) + (dx 1 )(dx 2 ) Ha például dx 1 = V 1 dt + 2D 1 dw és dx 1 = V 1 dt + 2D 1 dw, akkor: d(x 1 x 2 ) = (dx 1 )x 2 + x 1 (dx 2 ) + 2 D 1 D 2 dt 9

10 Trajektória vagy mászter egyenlet? Trajektória Mászter szemléletesebb absztraktabb stochasztikus determinisztikus egyszerű MC-szimuláció forrásigényes szimuláció kl: x-et fejleszt kl: ϱ(x)-et fejleszt Q: ψ -t fejleszt (d változó) Q: ˆϱ-t fejleszt (d d változó) 10

11 A legegyszerűbb tartály: fehér zaj H SR (x, p, x R ) = H(x, p) + H R (x R ) xf (x R ) R véletlen külső erő: F (x r ) fw t R-ben nincs önálló dinamika. Nem ad disszipációt, csak fluktuációt. Teljes Hamilton: H(x, p; t) = p2 fxw 2m t ill. Ĥ(t) = ˆp2 fˆxw 2m t Ito-alakban: H(x, p; t)dt = p2 dt fxdw 2m t ill. Ĥ(t)dt = ˆp2 dt fˆxdw 2m t Klasszikus dinamika: Trajektória (Hamilton egy.): ẋ t = ṗ t = pt m fw t ill. dx = dp = p m dt fdw Csak p diffundál! 2D = f MME ϱ(x, p; t) = δ(x x t )δ(p p t ) -re: dϱ(x, p) dt = p m xϱ(x, p) + D 2 pϱ(x, p) Ez a Fokker-Planck egy. súrlódás nélkül. Levezetés: dϱ(x, p; t) = d δ(x x t )δ(p p t ) = = dx t δ (x x t )δ(p p t ) dp t δ(x x t )δ (p p t )+ 1 2 (dx t) 2 δ(x x t )δ (p p t ) = = { (p/m)dt x +Ddt 2 p} δ(x x t )δ(p p t ) = { (p/m) x +D 2 p}ϱ(x, p; t)dt. 11

12 Q-dinamika: Trajektória (Heisenberg egy.): ˆx t = ˆp t /m; ˆp t = fw t De: nem ezt hívjuk Q-trajektóriának!! Fehér-zaj Q-trajektória: ψ t vektor, amit a Ĥ(t) fejleszt: Naivan: d ψ t /dt = (i/ )Ĥ(t) ψ t - ez nem működik! Használjuk az Ito-t! ψ t+dt = exp{ (i/ )Ĥ(t)dt} ψ t = {1 (i/ )Ĥ(t)dt [Ĥ(t)dt]2 } ψ t = ψ t (i/ )Ĥ(t) ψ t dt 1 2 (f/ )2ˆx 2 ψ t dt Innen d ψ t = ψ t+dt ψ t -re a korrekt Schrödinger egy.: d ψ = i ˆp 2 2m 1 ψ dt 2 f 2ˆx 2 ψ dt + i fˆx ψ dw 2 Ez egyben a ψ t fehérzaj Q-trajektória egyenlete. Q-MME: ˆϱ = ψ ψ mozgás egy.-e: Levezetés: d ψ ψ = d ψ ψ + ψ d ψ + d ψ d ψ =... Eredmény a térbeli dekoherencia egy.: dˆϱ dt = i [ ] ˆp 2 2m, ˆϱ 1 i D[ˆx, [ˆx, ˆϱ]] 2 [ ] ˆp 2 2m, ˆϱ + Dˆϱ Ha D nagy, kinetikus tagot elhanyagoljuk, dˆϱ/dt = Dˆϱ, és ϱ(x, y) = x ˆϱ y : ϱ(x, y) = x Dˆϱ y = D 2 (x y) 2 ϱ(x, y), így: [ ϱ(x, y; t) = exp Dt ] (x y)2 ϱ(x, y; 0) = exp( t/τ 2 d )ϱ(x, y; 0) τ d = 2 D(x y) 2 (dekoherencia idő) MME-ben duplakommutátor ˆx-ben dekoherencia x-ben! 12

13 Schrödinger macska ψ 0 = eleven + holt Q-optikai Sch. macska: ψ 0 = α + β ; α β 1 Q-mechanikus Sch. macska: ψ 0 = itt + ott ; itt ott nagy A kezdeti sűrűségmátrix tiszta állapot: ˆϱ 0 = 1 ( itt + ott ) ( itt + ott ) 2 Ha itt r 1 és ott r 2 akkor ψ(x; t = 0) = 2 1/2 [ϕ(x r 1 ) + ϕ(x r 2 )] ahol ϕ(x) keskeny hullámcsomag. Koordináta reprezentációban ϱ(x, y; 0) = ψ(x; 0) ψ(y; 0) = = 1 2 ϕ(x r 1) ϕ(y r 1 ) ϕ(x r 2) ϕ(y r 2 ) (diagonális) 1 ϕ(x r 2 1) ϕ(y r 2 ) + 1ϕ(x r 2 2) ϕ(y r 1 ) (off-diagonális) Térbeli-dekoherencia egyenlet hatására off-diagonális rész lecseng: ϱ(x, y; t) = exp[ Dt (x y) 2 ]ϱ(x, y; 0) exp[ Dt (r r 2 ) 2 ]ϱ(x, y; 0) 1ϕ(x r 2 1) ϕ(y r 1 ) + 1ϕ(x r 2 2) ϕ(y r 2 ) (diagonális) Eredeti absztrakt jelölésben: ˆϱ 0 = 1 ( itt + ott ) ( itt + ott ) 1 itt itt + 1 ott ott A dekoherencia hatására tiszta állapot (1/ 2-1/ 2 amplitúdóval itt és ott) átmegy kevert állapotba ( 1-1 valósz.-gel itt vagy ott)

14 Spekuláció: gravitáció/téridő eredetű térbeli dekoherencia Feltevés: Azért nem látunk Sch. macskákat, mert van egy univerzális dekoherencia tag minden - egyébként zárt - rendszerre is. Ez a dekoherencia olyan, mintha egy gravitációs/téridős fehér zaj tartály létezne mindenütt, egyelőre láthatatlanul. Elemi jóslat: D = GM 2 2R 3 ( r 1 r 2 R) Ha M = 1g, R = 1cm, r 1 r 2 = R/10 akkor τ d = 2 D(r 1 r 2 ) R GM 2 R 2 = 100 R GM s = s Ennyi idő alatt bomlana le a Sch. macska! Ez irreálisan rövid idő, azt jelzi, hogy ki sem alakulhat az ilyen macska, ha a gravitációs/téridős zaj hipotézise igaz. Nem is rossz, éppen ezt akartuk. De: van-e direkt kísérleti igazolás? Ehhez nanomacska kell, aminek van esélye létrejönni, és nekünk van esélyünk a bomlását megfigyelni. 14

15 Kétállapotú Q-rendszer fehér zajban spin fel-le z-irányban L R cirkulárisan polarizált foton, balra/jobbra H V lineárisan polarizált foton, vízsz./függ. g e kétállapotú atom, alap/gerjesztett 0 1 absztrakt logikai qubit, 0/1 Spin z-irányú fluktuáló mágnes térben: Ĥ(t) = ɛ 2 ˆσ z + fw tˆσ z ill. Ĥ(t)dt = ɛ 2 ˆσ zdt + f ˆσ z dw ψ t+dt = exp{ (i/ )Ĥ(t)dt} ψ t = {1 (i/ )Ĥ(t)dt [Ĥ(t)dt]2 } ψ t = ψ t (i/ )Ĥ(t) ψ t dt 1 2 (f/ )2 ψ t dt Innen d ψ t = ψ t+dt ψ t -re a korrekt Schrödinger egy.: d ψ = i 2 ɛˆσ z ψ dt f 2 ψ dt i 2 f ˆσ z ψ dw Ez egyben a ψ t spin-állapot fehérzaj Q-trajektória egyenlete. Q-MME: ˆϱ = ψ ψ mozgás egy.-e: Levezetés: d ψ ψ = d ψ ψ + ψ d ψ + d ψ d ψ =... Eredmény a spin-dekoherencia (fázisvesztés) egy.: dˆϱ dt = i 2 ɛ[ˆσ z, ˆϱ] f 2 2 [ˆσ z, [ˆσ 2 z, ˆϱ]] i 2 ɛ[ˆσ z, ˆϱ] + Dˆϱ Bevezetve az s = tr(ˆ σˆϱ) = ˆ σ polarizációt: ṡ x = (ɛ/ )s y (1/τ r )s x ṡ y = +(ɛ/ )s x (1/τ r )s y ṡ z = 0 τ r = 2f 2 2 (relaxációs idő) A z-körüli precesszió állandó s z mellett τ r időskálán elhal. MME-ben duplakommutátor ˆσ z -ben dekoherencia (fázisvesztés) és (vagy L és R, vagy g és e ) között! 15

16 Mechanikus Súrlódás - fenomenológia Klasszikusan dinamika: Trajektória (Hamilton egy.) módosítva: dx = dp = p m dt 2DdW ηpdt Csak p diffundál, és csak p súrlódik! Stacioner p 2 =? d p 2 = 2η p 2 dt + 2Ddt, tehát p 2 = D/η. Ha a tartály hőtartály, akkor ekvipartíció tétel: p 2 /2m = k B T/2, tehát: D = ηmk B T = ηp 2 T p T = mk B T = termalis impulzus MME ϱ(x, p; t) = δ(x x t )δ(p p t ) -re: dϱ(x, p) dt = p m xϱ(x, p) + ηmk B T 2 pϱ(x, p) + η p pϱ(x, p) Ez a Fokker-Planck egy., súrlódással, hőtartályban. Levezetés: mint előbb. Stacioner megoldás a Maxwell-eloszlás: ) 1 ϱ(x, p, ) = V exp ( p2 2πp 2 2p 2 T T Most, hogy tudjuk D-t a súrlódás és hőmérséklet fv-ben, vissza a Sch. macska bomlásidejéhez hőtartályban! τ d = 2 D(x y) = 2 2 ηp 2 T (x = 1 ( ) 2 λt y)2 η (x y) λ T = /p T a termális (hőmérsékleti) de Broglie hullámhossz. Pl.: m = 1g-os Schrödinger macskára: λ T = ergs 1g erg/k 300K cm Általában: τ D (Zurek) 1/η. Dekoherencia sokkal gyorsabb, mint a disszipáció! 16

17 Mechanikus Súrlódás - fenomenológia Q-dinamika: Trajektória (Hamilton egy.) módosítva: dˆx = dˆp = ˆp m dt 2DdW ηˆpdt Probléma: d[ˆx, ˆp] = [dˆx, ˆp] + [ˆx, dˆp] + [dˆx, dˆp] = iηdt Tehát [ˆx t, ˆp t ] = i exp( ηt) 0, a Heisenberg x p /2 sérül! A fenomenológikus súrlódási tag önmagában nem elég. Kiút általában: mikroszkopikus levezetés. Előtte: Wigner fv. fenomenológia W (x, p) = Wδ(x ˆx)δ(p ˆp) ˆϱ = WW (x, p) W Weyl-rendezés definíciója: We aˆx e aˆp = e aˆx+bˆp Így levezethető, hogy: W (x, p) = 1 2π e irp/ x + r/2 ˆϱ x r/2 dr Normált fázistér kvázi-eloszlás (W 0 sérülhet, ezért kvázi). Átírási szabályok: [ˆx, ˆϱ] i p W és {ˆp, ˆϱ} 2pW. dϱ(x, p) dt = p m xϱ(x, p) + ηmk B T 2 pϱ(x, p) + η p pϱ(x, p) Ez volt a Fokker-Planck egy., súrlódással, hőtartályban. Tekintsük ezt a Wigner-fv. mászter egyenletének, és írjuk át ˆϱ-ra: dˆϱ dt = i [ ] ˆp 2 2m, ˆϱ ηmk BT [ˆx, [ˆx, ˆϱ]] i η [ˆx, {ˆp, ˆϱ}] 2 2 Ez a Q-Fokker-Planck (Q-Brown mozgás) egy. magas T hőmérsékleten Baj: alacsony T és keskeny hullámcsomag esetén elrontja a ˆϱ nemnegativitását 17

18 Q-Fokker-Planck egy. - Lindblad alak Csak a Lindblad alak garantálja, hogy ˆϱ 0 megőrződik: dˆϱ dt = i ] [Ĥ, ˆϱ + D, Dˆϱ = α A magas hőm. Q-Fokker-Planck dˆϱ dt = i [ ] ˆp 2 2m, ˆϱ [ˆL α ˆϱˆL α 1 2 {ˆL α ˆL α, ˆϱ}] ηp2 T η [ˆx, [ˆx, ˆϱ]] i [ˆx, {ˆp, ˆϱ}] 2 2 nem hozható Lindblad alakra. Próbálkozzunk egyetlen nem-hermitikus Lindblad generátorral: ˆL = ( pt 2η ˆx + i ) ˆp 4p T Ezt a Lindblad disszipátort kapjuk: Dˆϱ = ˆLˆϱˆL 1 2 {ˆL ˆL, ˆϱ} = ηp2 T η [ˆx, [ˆx, ˆϱ]] i [ˆx, {ˆp, ˆϱ}] η p 2 T [ˆp, [ˆp, ˆϱ]] + i η [{ˆx, ˆp}, ˆϱ] 4 Az utolsó tag Hamiltoni típusú járulék, ezt a Hamilton op. Ĥ = ˆp2 η {ˆx, ˆp} 2m 4 formális korrekciójával kiejtjve: dˆϱ dt = i [ ] ˆp 2 2m, ˆϱ i η [ˆx, {ˆp, ˆϱ}] η [ˆp, [ˆp, ˆϱ]] 2 16p 2 T Ez a Q-Brown mozgás Lindblad ME. Új, alacsony hőmérsékleten jelentős tag jött be: momentum-dekoherenciát ír le! Behelyettesítéssel igazolható, a stac. megoldás a Maxwell-Gibbs állapot: ˆϱ( ) = 1 2πp 2 T ) exp ( ˆp2 Alkalmazás pl.: nanomechanikus oszcillátor (csatolva fotonhoz, q-dothoz, elelmi magspinhez,...) Elvileg elektron transzportra is, de erre a stat-fiz. más standard módszereket használ. 2p 2 t 18

19 Egységes reprezentáció: Fock Kétállapotú q-rendszer Pauli Fock: = 0 = 1 bázis, Ĥ 0 = 0 és Ĥ 1 = ɛ 1 1 (ˆσ 1 2 x iˆσ y ) = â = 0 1, (ˆσ 2 x + iˆσ y ) = â = 1 0 eltűntető/keltő op. â 2 = (â ) 2 = 0, {â, â } = ââ + â â = 1 fermion felcserélési rel. 1 1 ˆσ 2 2 z = â â = ˆn betöltés, okkupáció, n = 0, 1 Ĥ = ɛˆn Hamilton Példa: spin-dekoherencia (fázisvesztés) egy. Pauliban Fockban: dˆϱ dt = +i 2 ɛ[ˆσ z, ˆϱ] 1 [ˆσ z, [ˆσ z, ˆϱ]] +i 4τ r 2 ɛ[ˆσ z, ˆϱ] + Dˆϱ dˆϱ dt = i ɛ[ˆn, ˆϱ] 1 [ˆn, [ˆn, ˆϱ]] i ɛ[ˆn, ˆϱ] + Dˆϱ τ r Megoldás Fockban: ρ 00 = ρ 11 = const és ρ 10 (t) = exp( iωt τr 1 t)ρ 10 (0), tehát diagonális rész állandó (nincs disszipáció), az off-diagonális rész lecseng (van dekoherencia). Sokállapotú q-rendszer: harmonikus oszcillátor Kanonikus Fock: â = mωˆx + iˆp/ mω 2, â =... Ha az oszcillátor nem mechanikus, hanem egy üreg e.m. módusa, akkor â, â elsődleges, és: ˆx = â + â 2 ŷ = â â i 2 kvadraturak [â, â ] = 1 bozon felcserélési rel. (másképp: [ˆx, ŷ] = i) 0, 1,..., n,... bázis, Ĥ n = nɛ n, ɛ = ω â n = n n 1 â n = n + 1 n + 1 â â n = n n ˆn = â â betöltés, okkupáció, n = 0, 1, 2,... Ĥ = ɛˆn Hamilton [másképp: Ĥ = (ɛ/2)(ˆx 2 + ŷ 2 )] 19

20 Q-disszipáció - mászter egyenletek (Lindblad fenomenológia) Kétállapotú atom spontán bomlás ˆL = ˆL : csak dekoherencia. ˆL ˆL kell disszipációhoz. Legyen ˆL = Γâ (Γ a bomlási sebesség lesz) Lindblad ezt adja: dˆϱ dt = iω[ˆn, ˆϱ] + Γ ( âˆϱâ 1 {ˆn, ˆϱ}) 2 Innen ˆϱ( ) = 0 0 stacionárius állapot o.k., bomlás van! ME-ből egzakt megoldás: ρ 11 (t) = e Γt ρ 11 (0), ρ 00 (t) = 1 ρ 11 (t), ρ 10 (t) = e iωt Γt/2 ρ 10 (0). ρ 11 0 (disszipáció); ρ 10 0 (dekoherencia) Atomfizikából, mikroszkópikusan: Γ = 4ω3 D 2 3 c 3 (D = atmeneti dipolmomentum) Alkalmazás pl.: Q-optika, lézertérben fluoreszkáló atom,...; Magmágnesség: spinrelaxáció 20

21 Q-disszipáció - mászter egyenletek (még mindig fenomenológia) Csillapított e.m. üreg oszcillátor Egyetlen módus harmonikus oszcillátor ˆL = ˆL : csak dekoherencia. ˆL ˆL kell disszipációhoz. Legyen ˆL = Γâ (Γ a bomlási sebesség lesz) Lindblad ezt adja: dˆϱ dt = iω[ˆn, ˆϱ] + Γ ( âˆϱâ 1 {ˆn, ˆϱ}) 2 Innen ˆϱ( ) = 0 0 stacionárius állapot o.k., bomlás van! Formailag eddig minden azonos a kétállapotú atommal, hála Fock-nak. ME-ből egzakt bomlási (disszipációs) tulajdonságok: ṅ d ˆn dt = tr(ˆndˆϱ/dt) = Γn, n(t) = e Γt n(0) ȧ d â dt = tr(âdˆϱ/dt) = iωa Γa, a(t) = e iωt Γt/2 a(0) Miben különbözik az e.m. üregoszci a mechanikus oszcitól? Mechanikusnál csak ˆp disszipálódik (súrlódik), ˆx nem (csak ˆp-n keresztül. E.m. üregoszciban - tipikus esetben - â hermitikus és anti-hermitikus része (a két kvadratúra) azonosan disszipálódik! Γ: üregből a kifolyási veszteség sebessége. Alkalmazás pl.: Q-optika (cm-es üreg, 0,1,2, fotonnal) Érdekesség: grav. hull. detektor, km-es üreg, extrém magas gerjesztettség, ugyanez az egyenlet, de elég a klasszikus. 21

22 A legegyszerűbb Q-tartály: bozon vákuum Markov közelítésben H R a tartály Hilbert tere, ˆϱ R a tartály vákuum (T=0) egyensúlyi állapota ˆξ t, ˆξ t a bozontér markovi közelítésben, Fock-szerű reprezentációban Kanonikus csererelációk: [ ˆξt, ˆξs ] = [ ˆξ t, ˆξ s ] = 0, [ ˆξt, ˆξ s ] = δ(t s) Várható értékek,... tr(... ˆϱ R ): ˆξt = ˆξ t = 0, ˆξ t ˆξ s = 0 (bozonvakuum) Ugyanez Ito-val: 0) [dˆξ, dˆξ ] = dt 1) dˆξ = dˆξ = 0 2) dˆξdˆξ = dt, (dˆξ) 2 = (dˆξ ) 2 = 0 3) f(ˆξ)dˆξ = 0 ˆξt ˆξ s = δ(t s) felcs miatt Emellett mindig eltűnik dˆξ t dˆξ s, dˆξ t dˆξ s, dˆξ t dˆξ s. Továbbá dˆξ t, dˆξ s kommutál, és dˆξ t dˆξ s eltűnik, ha t s. 22

23 Q-disszipáció (a mikroszkopikus levezetés) Kétállapotú atom + bozonvákuum (a tartály) Q-Itoval a teljes Hamilton: Ĥdt + ĤSRdt = ωˆndt + Γ(âdˆξ + h.c.) A tartály ĤR Hamiltonja érdektelen a Markovi közelítés miatt. Standard mikroszkopikus modellben ˆϱ ˆϱ R ˆϱˆϱ R kezdőállapotot fejlesztünk: d(ˆϱˆϱ R ) = exp[ iωˆndt i Γ(âdˆξ +h.c.)]ˆϱˆϱ R exp[iωˆndt+i Γ(âdˆξ +h.c.)] ˆϱˆϱ R Jobb-oldalt dt rendben kiértékeljük, és dˆϱ = tr R d(ˆϱˆϱ R )-hez kiértékeljük valamennyi tr dˆξ ˆϱ R, tr dˆξdˆξ ˆϱ R, tr dˆξdˆξ ˆϱ R, tr dˆξ ˆϱ R dˆξ, stb. faktort, ezek többsége 0, de pl. tr dˆξ ˆϱ R dˆξ = dt: Ez éppen a spontán bomlás ME! dˆϱ = iω[ˆn, ˆϱ]dt + Γ ( âˆϱâ 1 2 {ˆn, ˆϱ}) dt Alternatív formalizmus: Heisenberg-Ito egy.: dâ = exp[iωˆndt + i Γ(âdˆξ + h.c.)]â exp[ iωˆndt i Γ(âdˆξ + h.c.)] â = (iω Γ)âdt + i Γ(2ˆn 1)dˆξ Elsö tag: u.a., mint â egyenlete. Második tag: a tartály járuléka. Kanonikus reláció, {â, â } = 1, megőrződik a dˆξ járuléka segítségével: d{â, â } = { (iω Γ)âdt + i Γ(2ˆn 1)dˆξ, â } + h.c. + Γ{(2ˆn 1)dˆξ, (2ˆn 1)dˆξ } = (iω Γ){â, â }dt + h.c. + i Γ{2ˆn 1, â }dˆξ + h.c. + Γ(2ˆn 1) 2 {dˆξ, dˆξ } Ez 0, mert {â, â } = 1, {2ˆn 1, â } = 0, (2ˆn 1) 2 = 1 és {dˆξ, dˆξ } = dt. 23

24 Q-disszipáció (a mikroszkopikus levezetés) E.m. üreg oszcillátor + bozonvákuum (a tartály) Hála Fock-nak, u.a., mint kétállapotú atom. Q-Itoval a teljes Hamilton: Ĥdt + ĤSRdt = ωˆndt + Γ(âdˆξ + h.c.) A tartály ĤR Hamiltonja érdektelen a Markovi közelítés miatt. Standard mikroszkopikus modellben ˆϱ ˆϱ R ˆϱˆϱ R kezdőállapotot fejlesztünk: d(ˆϱˆϱ R ) = exp[ iωˆndt i Γâdˆξ +h.c.)]ˆϱˆϱ R exp[iωˆndt+i Γ(âdˆξ +h.c.)] ˆϱˆϱ R Jobb-oldalt dt rendben kiértékeljük, és dˆϱ = tr R d(ˆϱˆϱ R )-hez kiértékeljük valamennyi tr dˆξ ˆϱ R, tr dˆξdˆξ ˆϱ R, tr dˆξdˆξ ˆϱ R, tr dˆξ ˆϱ R dˆξ, stb. faktort, ezek többsége 0, de pl. tr dˆξ ˆϱ R dˆξ = dt: dˆϱ = iω[ˆn, ˆϱ]dt + Γ ( âˆϱâ 1 2 {ˆn, ˆϱ}) dt Ez éppen a csillapított oszci ME! (Azonos alakú az atomi spontán bomlás ME-tel.) Alternatív formalizmus: Heisenberg-Ito egy.: dâ = exp[iωˆndt + i Γ(âdˆξ + h.c.)]â exp[ iωˆndt i Γ(âdˆξ + h.c.)] â = (iω Γ)âdt i Γdˆξ Elsö tag: u.a., mint â egyenlete. Második tag: a tartály járuléka A tartály járuléka más alakú, mint atomi sp. bomlás Heisenberg-Ito egy.-ben. Kanonikus reláció, [â, â ] = 1, megőrződik a dˆξ járuléka segítségével: d[â, â ] = [ (iω Γ)âdt i Γdˆξ, â ] + h.c. + Γ[dˆξ, dˆξ ] = (iω Γ)[â, â ]dt + h.c. + Γ[dˆξ, dˆξ ] = 0 Mert dˆξ, dˆξ mindig kommutálnak â, â -vel, [â, â ] = 1, és [dˆξ, dˆξ ] = dt. 24

25 Q-hőtartály: bozonos, Markov közelítésben H R a tartály Hilbert tere, ˆϱ R a tartály T > 0 egyensúlyi állapota ˆξ t, ˆξ t a bozontér markovi közelítésben, Fock-szerű reprezentációban Ugyanaz, mint a bozonvákuum tartály, csak ˆϱ R változott, és ˆξ t ˆξ s 0 többé. Rögtön minden Ito-val (β = 1/k B T ): 0) [dˆξ, dˆξ ] = dt 1) dˆξ = dˆξ = 0 2) dˆξ dt dˆξ =, dˆξdˆξ dt =, (dˆξ) 2 = (dˆξ ) 2 = 0 exp(βɛ) 1 1 exp( βɛ) 3) f(ˆξ)dˆξ = 0 Emellett mindig eltűnik dˆξ t dˆξ s, dˆξ t dˆξ s. Továbbá dˆξ t, dˆξ s kommutál, dˆξ t dˆξ s és dˆξ t dˆξ s eltűnik, ha t s. 25

26 Q-disszipáció T > 0 ( mikroszkopikus levezetés) atom/oszci + Q-hőtartály (markovi közelítésben) Hála Fock-nak, atom/oszci u.a. Q-Itoval a teljes Hamilton: Ĥdt + ĤSRdt = ωˆndt + Γ(âdˆξ + h.c.) A tartály ĤR Hamiltonja érdektelen a Markovi közelítés miatt. Standard mikroszkopikus modellben ˆϱ ˆϱ R ˆϱˆϱ R kezdőállapotot fejlesztünk: d(ˆϱˆϱ R ) = exp[ iωˆndt i Γâdˆξ +h.c.)]ˆϱˆϱ R exp[iωˆndt+i Γ(âdˆξ +h.c.)] ˆϱˆϱ R Jobb-oldalt dt rendben kiértékeljük, és dˆϱ = tr R d(ˆϱˆϱ R )-hez kiértékeljük valamennyi tr dˆξ ˆϱ R, tr dˆξdˆξ ˆϱ R, tr dˆξdˆξ ˆϱ R, tr dˆξ ˆϱ R dˆξ, stb. faktort, ezek többsége 0, de pl. tr dˆξ ˆϱ R dˆξ = dt 1 exp( βɛ), tr dˆξ ˆϱ R dˆξ = Vegyük észre: a második e βɛ -szor kisebb, mint az első! Eredmény: dˆϱ tr R d(ˆϱˆϱ R ) = dt exp(βɛ) 1 = iω[ˆn, ˆϱ]dt + Γ β (âˆϱâ 1 2 {ˆn, ˆϱ}) dt + e βɛ Γ β (â ˆϱâ 1 2 {ââ, ˆϱ} ) dt ahol Γ β = Γ/[1 exp( βɛ)] a T -függő bomlási sebesség. Az atom/oszci közös alakú ME-e T > 0 hőtartályban: dˆϱ dt = iω[ˆn, ˆϱ] + Γ β (âˆϱâ 1{ˆn, ˆϱ}) + e βɛ (â Γ 2 β ˆϱâ 1 2 {ââ, ˆϱ} ) Az első Lindblad járulék: disszipáció (bomlás, csillapodás), sebessége: Γ β = Γ 1 exp( βɛ) A második Lindblad járulék: pumpálás (a hőtartályból a rendszerbe), sebessége: e βɛ Γ Γ β = exp(βɛ) 1 A kettő harcából termikus egyensúlyi állapot: ˆϱ β = 1 Z β exp( βɛˆn) Ez stac. állapota a ME-nek. ME jobboldala el kell tűnjön ˆϱ = ˆϱ β -ra. Első tag o.k., marad Γ β -szor: âe βɛˆn â ˆne βɛˆn + e βɛ â e βɛˆn â e βɛ ââ e βɛˆn Az első tag kiejti az utolsót (hasonlóan a belső két tag egymást). Biz: âe βɛˆn â = e βɛˆn e βɛˆn âe βɛˆn â = e βɛˆn e βɛ âe βɛˆn â = e βɛ ââ e βɛˆn 26

27 A Q-tartály Markovi közelítése Ez lett volna a záró előadás, ha megtartom. Így csak meséltem róla: A Q-hőtartály egzakt mikroszkopikus modellje pl. a másodkvantált fekete-test sugárzás, majdan lineárisan csatolva az atom/oszci-hoz. A másodkvantált e.m. tér ilyenkor Markovi közelítésben a ˆξ térrel írható le, az atom/oszci-val való kölcsönhatás szempontjából. A markovi Q-hőtartály már figyelembe veszi az atom/oszci ɛ gerjesztési energiáját (a ˆξ tér korrelációi nem csak T -től, ɛ-tól is függnek). Másik atom/oszcihoz (ha más az ɛ) másik markovi Q-hőtartály tartozik. A Markovi Q-hőtartályunk ezért nem univerzális. (Pedig elvárhatnánk: termodinamikában ugyanazon hőtartály bármilyen gyengén hozzácsatolt rendszert termikus egysúlyba juttat a tartállyal. Ez Q-hőtartályokra nem tud ilyen univerzális lenni.) Ami még kimaradt R környező rendszer info-gyűjtő (mérő) rendszer R alaphatásai lokalizáció (mért-megfigyelt diffúzió) Alapjelenségek Folytonos mérés (kl+q) Trajektória vagy mászter egyenlet? Q-trajektóriára egyetlen futó (épp nem MC-barát) példa jutott. Amire sok időt kellett szánni, mert alapvető Fél tucat Q-mászter egyenlet. 27

Tárgymutató. dinamika, 5 dinamikai rendszer, 4 végtelen sok állapotú, dinamikai törvény, 5 dinamikai törvények, 12 divergencia,

Tárgymutató. dinamika, 5 dinamikai rendszer, 4 végtelen sok állapotú, dinamikai törvény, 5 dinamikai törvények, 12 divergencia, Tárgymutató állapottér, 3 10, 107 általánosított impulzusok, 143 147 általánosított koordináták, 143 147 áramlás, 194 197 Arisztotelész mozgástörvényei, 71 77 bázisvektorok, 30 centrifugális erő, 142 ciklikus

Részletesebben

Modern fejlemények a kvantumelméletben. Elméleti Fizikai Iskola Tihany, 2010. augusztus 30. - szeptember 3.

Modern fejlemények a kvantumelméletben. Elméleti Fizikai Iskola Tihany, 2010. augusztus 30. - szeptember 3. Modern fejlemények a kvantumelméletben Bevezetés Ádám Péter, Diósi Lajos Elméleti Fizikai Iskola Tihany, 2010. augusztus 30. - szeptember 3. Iskola témája, bevezetés célja Iskola témája kvantumoptika és

Részletesebben

Kvantumos információ megosztásának és feldolgozásának fizikai alapjai

Kvantumos információ megosztásának és feldolgozásának fizikai alapjai Kvantumos információ megosztásának és feldolgozásának fizikai alapjai Kis Zsolt Kvantumoptikai és Kvantuminformatikai Osztály MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont H-1121 Budapest, Konkoly-Thege Miklós út 29-33

Részletesebben

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Gazdasági matematika II tárgy gyakorlataihoz a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottnak tekintjük a nehezebb

Részletesebben

1. Prefix jelentések. 2. Mi alapján definiáljuk az 1 másodpercet? 3. Mi alapján definiáljuk az 1 métert? 4. Mi a tömegegység definíciója?

1. Prefix jelentések. 2. Mi alapján definiáljuk az 1 másodpercet? 3. Mi alapján definiáljuk az 1 métert? 4. Mi a tömegegység definíciója? 1. Prefix jelentések. 10 1 deka 10-1 deci 10 2 hektó 10-2 centi 10 3 kiló 10-3 milli 10 6 mega 10-6 mikró 10 9 giga 10-9 nano 10 12 tera 10-12 piko 10 15 peta 10-15 fento 10 18 exa 10-18 atto 2. Mi alapján

Részletesebben

3. (b) Kereszthatások. Utolsó módosítás: április 1. Dr. Márkus Ferenc BME Fizika Tanszék

3. (b) Kereszthatások. Utolsó módosítás: április 1. Dr. Márkus Ferenc BME Fizika Tanszék 3. (b) Kereszthatások Utolsó módosítás: 2013. április 1. Vezetési együtthatók fémekben (1) 1 Az elektrongáz hővezetési együtthatója A levezetésben alkalmazott feltételek: 1. Minden elektron ugyanazzal

Részletesebben

Az egydimenziós harmonikus oszcillátor

Az egydimenziós harmonikus oszcillátor Az egydimenziós harmonikus oszcillátor tárgyalása az általános formalizmus keretében November 7, 006 Példaképpen itt megmutatjuk, hogyan lehet a kvantumos egydimenziós harmonikus oszcillátort tárgyalni

Részletesebben

Alkalmazás a makrókanónikus sokaságra: A fotongáz

Alkalmazás a makrókanónikus sokaságra: A fotongáz Alkalmazás a makrókanónikus sokaságra: A fotongáz A fotonok az elektromágneses sugárzás hordozó részecskéi. Spinkvantumszámuk S=, tehát kvantumstatisztikai szempontból bozonok. Fotonoknak habár a spinkvantumszámuk,

Részletesebben

Differenciálegyenletek

Differenciálegyenletek DE 1 Ebben a részben I legyen mindig pozitív hosszúságú intervallum DE Definíció: differenciálegyenlet Ha D n+1 nyílt halmaz, f:d folytonos függvény, akkor az y (n) (x) f ( x, y(x), y'(x),..., y (n-1)

Részletesebben

Parciális dierenciálegyenletek

Parciális dierenciálegyenletek Parciális dierenciálegyenletek 2009. május 25. A félév lezárásaként néhány alap-deníciót és alap-példát szeretnék adni a Parciális Dierenciálegynletek (PDE) témaköréb l. Épp csak egy kis izelít t. Az alapfeladatok

Részletesebben

2. (d) Hővezetési problémák II. főtétel - termoelektromosság

2. (d) Hővezetési problémák II. főtétel - termoelektromosság 2. (d) Hővezetési problémák II. főtétel - termoelektromosság Utolsó módosítás: 2015. március 10. Kezdeti érték nélküli problémák (1) 1 A fél-végtelen közeg a Az x=0 pontban a tartományban helyezkedik el.

Részletesebben

Azonos és egymással nem kölcsönható részecskékből álló kvantumos rendszer makrókanónikus sokaságban.

Azonos és egymással nem kölcsönható részecskékből álló kvantumos rendszer makrókanónikus sokaságban. Kvantum statisztika A kvantummechanika előadások során már megtanultuk, hogy az anyagot felépítő részecskék nemklasszikus, hullámtulajdonságokkal is rendelkeznek aminek következtében viselkedésük sok szempontból

Részletesebben

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság.

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság. 2. Közönséges differenciálegyenlet megoldása, megoldhatósága Definíció: Az y függvényt a valós számok H halmazán a közönséges differenciálegyenlet megoldásának nevezzük, ha az y = y(x) helyettesítést elvégezve

Részletesebben

Lagrange egyenletek. Úgy a virtuális munka mint a D Alembert-elv gyakorlati alkalmazását

Lagrange egyenletek. Úgy a virtuális munka mint a D Alembert-elv gyakorlati alkalmazását Lagrange egyenletek Úgy a virtuális munka mint a D Alembert-elv gyakorlati alkalmazását megnehezíti a δr i virtuális elmozdulások egymástól való függősége. (F i ṗ i )δx i = 0, i = 1, 3N. (1) i 3N infinitezimális

Részletesebben

Reológia Mérési technikák

Reológia Mérési technikák Reológia Mérési technikák Reológia Testek (és folyadékok) külső erőhatásra bekövetkező deformációját, mozgását írja le. A deformációt irreverzibilisnek nevezzük, ha a az erőhatás megszűnése után a test

Részletesebben

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat.

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat. Poisson folyamatok, exponenciális eloszlások Azt mondjuk, hogy a ξ valószínűségi változó Poisson eloszlású λ, 0 < λ

Részletesebben

DINAMIKAI VIZSGÁLAT ÁLLAPOTTÉRBEN. 2003.11.06. Dr. Aradi Petra, Dr. Niedermayer Péter: Rendszertechnika segédlet 1

DINAMIKAI VIZSGÁLAT ÁLLAPOTTÉRBEN. 2003.11.06. Dr. Aradi Petra, Dr. Niedermayer Péter: Rendszertechnika segédlet 1 DINAMIKAI VIZSGÁLAT ÁLLAPOTTÉRBEN 2003..06. Dr. Aradi Petra, Dr. Niedermayer Péter: Rendszertechnika segédlet Egy bemenetű, egy kimenetű rendszer u(t) diff. egyenlet v(t) zárt alakban n-edrendű diff. egyenlet

Részletesebben

Kvantummechanika. - dióhéjban - Kasza Gábor július 5. - Berze TÖK

Kvantummechanika. - dióhéjban - Kasza Gábor július 5. - Berze TÖK Kvantummechanika - dióhéjban - Kasza Gábor 2016. július 5. - Berze TÖK 1 / 27 Mire fogunk választ kapni az előadásból? Miért KVANTUMmechanika? Miért részecske? Miért hullám? Mit mond a Schrödinger-egyenlet?

Részletesebben

Termodinamika (Hőtan)

Termodinamika (Hőtan) Termodinamika (Hőtan) Termodinamika A hőtan nagyszámú részecskéből (pl. gázmolekulából) álló makroszkópikus rendszerekkel foglalkozik. A nagy számok miatt érdemes a mólt bevezetni, ami egy Avogadro-számnyi

Részletesebben

Készítette: Fegyverneki Sándor

Készítette: Fegyverneki Sándor VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS Összefoglaló segédlet Készítette: Fegyverneki Sándor Miskolci Egyetem, 2001. i JELÖLÉSEK: N a természetes számok halmaza (pozitív egészek) R a valós számok halmaza R 2 {(x, y) x, y

Részletesebben

MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS

MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS Szerkesztette: Balogh Tamás 214. december 7. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 10 X. SZIMULÁCIÓ 1. VÉLETLEN számok A véletlen számok fontos szerepet játszanak a véletlen helyzetek generálásában (pénzérme, dobókocka,

Részletesebben

Határozatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Határozatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Határozatlan integrál () First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Az összetett függvények integrálására szolgáló egyik módszer a helyettesítéssel való integrálás. Az idevonatkozó tétel pontos

Részletesebben

A kanonikus sokaság. :a hőtartály energiája

A kanonikus sokaság. :a hőtartály energiája A kanonikus sokaság A mikrokanonikus sokaság esetén megtanultuk, hogy a megengedett mikroállapotok egyenértéküek, és a mikróállapotok száma minimális. A mikrókanónikus sokaság azonban nem a leghasznosabb

Részletesebben

Reakciókinetika és katalízis

Reakciókinetika és katalízis Reakciókinetika és katalízis k 4. előadás: 1/14 Különbségek a gázfázisú és az oldatreakciók között: 1 Reaktáns molekulák által betöltött térfogat az oldatreakciónál jóval nagyobb. Nincs akadálytalan mozgás.

Részletesebben

Dinamikus modellek szerkezete, SDG modellek

Dinamikus modellek szerkezete, SDG modellek Diagnosztika - 3. p. 1/2 Modell Alapú Diagnosztika Diszkrét Módszerekkel Dinamikus modellek szerkezete, SDG modellek Hangos Katalin PE Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék Diagnosztika - 3.

Részletesebben

Bevezetés a modern fizika fejezeteibe. 4. (b) Kvantummechanika. Utolsó módosítás: 2013. november 9. Dr. Márkus Ferenc BME Fizika Tanszék

Bevezetés a modern fizika fejezeteibe. 4. (b) Kvantummechanika. Utolsó módosítás: 2013. november 9. Dr. Márkus Ferenc BME Fizika Tanszék Bevezetés a modern fizika fejezeteibe 4. (b) Kvantummechanika Utolsó módosítás: 2013. november 9. 1 A legkisebb hatás elve (1) A legkisebb hatás elve (Hamilton-elv): S: a hatás L: Lagrange-függvény 2 A

Részletesebben

SZTE Elméleti Fizikai Tanszék. Dr. Czirják Attila tud. munkatárs, c. egyetemi docens. egyetemi docens. Elméleti Fizika Szeminárium, december 17.

SZTE Elméleti Fizikai Tanszék. Dr. Czirják Attila tud. munkatárs, c. egyetemi docens. egyetemi docens. Elméleti Fizika Szeminárium, december 17. Időfüggő kvantumos szórási folyamatok Szabó Lóránt Zsolt SZTE Elméleti Fizikai Tanszék Témavezetők: Dr. Czirják Attila tud. munkatárs, c. egyetemi docens Dr. Földi Péter egyetemi docens Elméleti Fizika

Részletesebben

dinamikai tulajdonságai

dinamikai tulajdonságai Szilárdtest rácsok statikus és dinamikai tulajdonságai Szilárdtestek osztályozása kötéstípusok szerint Kötések eredete: elektronszerkezet k t ionok (atomtörzsek) tö Coulomb- elektronok kölcsönhatás lokalizáltak

Részletesebben

azonosságot minden 1 i, l n, 1 j k, indexre teljesítő együtthatókkal, amelyekre érvényes a = c (j) i,l l,i

azonosságot minden 1 i, l n, 1 j k, indexre teljesítő együtthatókkal, amelyekre érvényes a = c (j) i,l l,i A Cochran Fisher tételről A matematikai statisztika egyik fontos eredménye a Cochran Fisher tétel, amely a variancia analízisben játszik fontos szerepet. Ugyanakkor ez a tétel lényegét tekintve valójában

Részletesebben

Gravitáció mint entropikus erő

Gravitáció mint entropikus erő Gravitáció mint entropikus erő Takács Gábor MTA-BME Lendület Statisztikus Térelméleti Kutatócsoport ELFT Elméleti Fizikai Iskola Szeged, Fizikai Intézet 2012. augusztus 28. Vázlat 1. Entropikus erő: elemi

Részletesebben

Atomok és molekulák elektronszerkezete

Atomok és molekulák elektronszerkezete Atomok és molekulák elektronszerkezete Szabad atomok és molekulák Schrödinger egyenlete Tekintsünk egy kvantummechanikai rendszert amely N n magból és N e elektronból áll. Koordinátáikat jelölje rendre

Részletesebben

Szilárdtestek mágnessége. Mágnesesen rendezett szilárdtestek

Szilárdtestek mágnessége. Mágnesesen rendezett szilárdtestek Szilárdtestek mágnessége Mágnesesen rendezett szilárdtestek 2 Mágneses anyagok Permanens atomi mágneses momentumok: irány A kétféle spin-beállású elektronok betöltöttsége különbözik (spin-polarizáció)

Részletesebben

Tartalom. Typotex Kiadó

Tartalom. Typotex Kiadó Tartalom Előszó 13 1. A kvantumelmélet kezdetei 15 1.1. A Planck-féle sugárzási törvény és a szigetelő kristályok hőkapacitása 15 1.2. A fényelektromos jelenség: Lénárd és Einstein 19 1.3. Az atomos gázok

Részletesebben

Abszorpciós spektroszkópia

Abszorpciós spektroszkópia Tartalomjegyzék Abszorpciós spektroszkópia (Nyitrai Miklós; 2011 február 1.) Dolgozat: május 3. 18:00-20:00. Egész éves anyag. Korábbi dolgozatok nem számítanak bele. Felmentés 80% felett. A fény; Elektromágneses

Részletesebben

előadás Diszkrét idejű tömegkiszolgálási modellek Poisson-folyamat Folytonos idejű Markov-láncok Folytonos idejű sorbanállás

előadás Diszkrét idejű tömegkiszolgálási modellek Poisson-folyamat Folytonos idejű Markov-láncok Folytonos idejű sorbanállás 13-14. előadás Diszkrét idejű tömegkiszolgálási modellek Poisson-folyamat Folytonos idejű Markov-láncok Folytonos idejű sorbanállás 2016. november 28. és december 5. 13-14. előadás 1 / 35 Bevezetés A diszkrét

Részletesebben

KVANTUMMECHANIKA. a11.b-nek

KVANTUMMECHANIKA. a11.b-nek KVANTUMMECHANIKA a11.b-nek HŐMÉRSÉKLETI SUGÁRZÁS 1 Hősugárzás: elektromágneses hullám A sugárzás által szállított energia: intenzitás I, T és λkapcsolata? Példa: Nap (6000 K): sárga (látható) Föld (300

Részletesebben

A TételWiki wikiből. Tekintsük a következő Hamilton-operátorral jellemezhető rendszert:

A TételWiki wikiből. Tekintsük a következő Hamilton-operátorral jellemezhető rendszert: 1 / 12 A TételWiki wikiből 1 Ritka gázok állapotegyenlete 2 Viriál sorfejtés 3 Van der Waals gázok 4 Ising-modell 4.1 Az Ising-modell megoldása 1 dimenzióban(*) 4.2 Az Ising-modell átlagtérelmélete 2 dimenzióban(**)

Részletesebben

E.4 Markov-láncok E.4 Markov-láncok. Sok sorbanállási hálózat viselkedése leírható "folytonos idejű Markovláncok " segítségével.

E.4 Markov-láncok E.4 Markov-láncok. Sok sorbanállási hálózat viselkedése leírható folytonos idejű Markovláncok  segítségével. E.4 Markov-láncok Sok sorbanállási hálózat viselkedése leírható "folytonos idejű Markovláncok " segítségével. Egy Markov-láncot (MC) meghatároznak az alapját adó sorbanállási hálózat állapotai és az ezek

Részletesebben

Lássuk be, hogy nem lehet a három pontot úgy elhelyezni, hogy egy inerciarendszerben

Lássuk be, hogy nem lehet a három pontot úgy elhelyezni, hogy egy inerciarendszerben Feladat: A háromtest probléma speciális megoldásai Arra vagyunk kiváncsiak, hogy a bolygó mozgásnak milyen egyszerű egyensúlyi megoldásai vannak három bolygó esetén. Az így felmerülő három-test probléma

Részletesebben

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 15 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 151 Lineáris egyenletrendszer, Gauss elimináció 1 Definíció Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az (1) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 3 III. VÉLETLEN VEKTOROK 1. A KÉTDIMENZIÓs VÉLETLEN VEKTOR Definíció: Az leképezést (kétdimenziós) véletlen vektornak nevezzük, ha Definíció:

Részletesebben

Kevert állapoti anholonómiák vizsgálata

Kevert állapoti anholonómiák vizsgálata Kevert állapoti anholonómiák vizsgálata Bucz Gábor Témavezet : Dr. Fehér László Dr. Lévay Péter Szeged, 2015.04.23. Bucz Gábor Kevert állapoti anholonómiák vizsgálata Szeged, 2015.04.23. 1 / 27 Tartalom

Részletesebben

1. Diagonalizálás. A Hom(V) diagonalizálható, ha van olyan bázis, amelyben A mátrixa diagonális. A diagonalizálható van sajátvektorokból álló bázis.

1. Diagonalizálás. A Hom(V) diagonalizálható, ha van olyan bázis, amelyben A mátrixa diagonális. A diagonalizálható van sajátvektorokból álló bázis. 1 Diagonalizálás Diagonalizálható mátrixok Ismétlés Legyen M,N T n n Az M és N hasonló, ha van olyan A lineáris transzformáció, hogy M is és N is az A mátrixa egy-egy alkalmas bázisban Az M és N pontosan

Részletesebben

Kvantum-soktestprobléma ultrahideg atomokkal optikai rezonátorban. Szakdolgozat

Kvantum-soktestprobléma ultrahideg atomokkal optikai rezonátorban. Szakdolgozat Kvantum-soktestprobléma ultrahideg atomokkal optikai rezonátorban Kónya Gábor Fizika Bsc. III. Szakdolgozat Témavezető: Domokos Péter Szilárdtestfizikai és Optikai Kutatóintézet Kvantumoptikai és Kvantuminformatikai

Részletesebben

Tartalomjegyzék. Emlékeztetõ. Emlékeztetõ. Spektroszkópia. Fényelnyelés híg oldatokban A fény; Abszorpciós spektroszkópia

Tartalomjegyzék. Emlékeztetõ. Emlékeztetõ. Spektroszkópia. Fényelnyelés híg oldatokban A fény;  Abszorpciós spektroszkópia Tartalomjegyzék PÉCS TUDOMÁNYEGYETEM ÁLTALÁNOS ORVOSTUDOMÁNY KAR A fény; Abszorpciós spektroszkópia Elektromágneses hullám kölcsönhatása anyaggal; (Nyitrai Miklós; 2015 január 27.) Az abszorpció mérése;

Részletesebben

Hamilton rendszerek, Lyapunov függvények és Stabilitás. Hamilton rendszerek valós dinamikai rendszerek, konzerva3v mechanikai rendszerek

Hamilton rendszerek, Lyapunov függvények és Stabilitás. Hamilton rendszerek valós dinamikai rendszerek, konzerva3v mechanikai rendszerek Hamilton rendszerek, Lyapunov függvények és Stabilitás Hamilton rendszerek valós dinamikai rendszerek, konzerva3v mechanikai rendszerek Sokszor nem lehetséges, hogy a tanult linearizációs módszerrel meghatározzuk

Részletesebben

Shor kvantum-algoritmusa diszkrét logaritmusra

Shor kvantum-algoritmusa diszkrét logaritmusra Ivanyos Gábor MTA SZTAKI Debrecen, 20 január 2. Tartalom és kvantum-áramkörök 2 A diszkrét log probléma Kvantum bit Állapot: a B = C 2 komplex euklideszi tér egy egységvektora: az a 0 + b szuperpozíció

Részletesebben

Alapja a véletlen minták kiértékelése. Sok szabadság fokú csatolt rendszerek

Alapja a véletlen minták kiértékelése. Sok szabadság fokú csatolt rendszerek Alapja a véletlen minták kiértékelése Matematikai rendszerek Fizikai szimuláció Sok szabadság fokú csatolt rendszerek Folyadékok, sejt struktúrák, kapcsolt szilárd rendszerek Nagy bizonytalanságú rendszerek

Részletesebben

ω mennyiségek nem túl gyorsan változnak

ω mennyiségek nem túl gyorsan változnak Licenszvizsga példakérdések Fizika szak KVANTUMMECHANIKA Egy részecskére felírt Schrödinger egyenlet szétválasztható a három koordinátatengely irányában levő egydimenziós egyenletre ha a potenciális energiára

Részletesebben

1. Feladatok munkavégzés és konzervatív erőterek tárgyköréből. Munkatétel

1. Feladatok munkavégzés és konzervatív erőterek tárgyköréből. Munkatétel 1. Feladatok munkavégzés és konzervatív erőterek tárgyköréből. Munkatétel Munkavégzés, teljesítmény 1.1. Feladat: (HN 6B-8) Egy rúgót nyugalmi állapotból 4 J munka árán 10 cm-rel nyújthatunk meg. Mekkora

Részletesebben

Bevezetés a modern fizika fejezeteibe. 4. (e) Kvantummechanika. Utolsó módosítás: december 3. Dr. Márkus Ferenc BME Fizika Tanszék

Bevezetés a modern fizika fejezeteibe. 4. (e) Kvantummechanika. Utolsó módosítás: december 3. Dr. Márkus Ferenc BME Fizika Tanszék Bevezetés a modern fizika fejezeteibe 4. (e) Kvantummechanika Utolsó módosítás: 2014. december 3. 1 A Klein-Gordon-egyenlet (1) A relativisztikus dinamikából a tömegnövekedésre és impulzusra vonatkozó

Részletesebben

Követelmények: f - részvétel az előadások 67 %-án - 3 db érvényes ZH (min. 50%) - 4 elfogadott laborjegyzőkönyv

Követelmények: f - részvétel az előadások 67 %-án - 3 db érvényes ZH (min. 50%) - 4 elfogadott laborjegyzőkönyv Fizikai kémia és radiokémia B.Sc. László Krisztina 18-93 klaszlo@mail.bme.hu F ép. I. lépcsőház 1. emelet 135 http://oktatas.ch.bme.hu/oktatas/konyvek/fizkem/kornymern Követelmények: 2+0+1 f - részvétel

Részletesebben

Modellezési esettanulmányok. elosztott paraméterű és hibrid példa

Modellezési esettanulmányok. elosztott paraméterű és hibrid példa Modellezési esettanulmányok elosztott paraméterű és hibrid példa Hangos Katalin Számítástudomány Alkalmazása Tanszék Veszprémi Egyetem Haladó Folyamatmodellezés és modell analízis PhD kurzus p. 1/38 Tartalom

Részletesebben

Diszkrét idejű felújítási paradoxon

Diszkrét idejű felújítási paradoxon Magda Gábor Szaller Dávid Tóvári Endre 2009. 11. 18. X 1, X 2,... független és X-szel azonos eloszlású, pozitív egész értékeket felvevő valószínűségi változó (felújítási idők) P(X M) = 1 valamilyen M N

Részletesebben

1 Műszaki hőtan Termodinamika. Ellenőrző kérdések-02 1

1 Műszaki hőtan Termodinamika. Ellenőrző kérdések-02 1 1 Műszaki hőtan Termodinamika. Ellenőrző kérdések-02 1 Kérdések. 1. Mit mond ki a termodinamika nulladik főtétele? Azt mondja ki, hogy mindenegyes termodinamikai kölcsönhatáshoz tartozik a TDR-nek egyegy

Részletesebben

A valószínűségszámítás elemei

A valószínűségszámítás elemei A valószínűségszámítás elemei Kísérletsorozatban az esemény relatív gyakorisága: k/n, ahol k az esemény bekövetkezésének abszolút gyakorisága, n a kísérletek száma. Pl. Jelenség: kockadobás Megfigyelés:

Részletesebben

II. Két speciális Fibonacci sorozat, szinguláris elemek, természetes indexelés

II. Két speciális Fibonacci sorozat, szinguláris elemek, természetes indexelés II. Két speciális Fibonacci sorozat, szinguláris elemek, természetes indexelés Nagyon könnyen megfigyelhetjük, hogy akármilyen két számmal elindítunk egy Fibonacci sorozatot, a sorozat egymást követő tagjainak

Részletesebben

9. évfolyam. Osztályozóvizsga tananyaga FIZIKA

9. évfolyam. Osztályozóvizsga tananyaga FIZIKA 9. évfolyam Osztályozóvizsga tananyaga A testek mozgása 1. Egyenes vonalú egyenletes mozgás 2. Változó mozgás: gyorsulás fogalma, szabadon eső test mozgása 3. Bolygók mozgása: Kepler törvények A Newtoni

Részletesebben

karakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja

karakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja Mátrixok hasonlósága, karakterisztikus mátrix, karakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja 1.Mátrixok hasonlósága, karakterisztikus mátrix, karakterisztikus

Részletesebben

Monte Carlo módszerek a statisztikus fizikában. Az Ising modell. 8. előadás

Monte Carlo módszerek a statisztikus fizikában. Az Ising modell. 8. előadás Monte Carlo módszerek a statisztikus fizikában. Az Ising modell. 8. előadás Démon algoritmus az ideális gázra időátlag fizikai mennyiségek átlagértéke sokaságátlag E, V, N pl. molekuláris dinamika Monte

Részletesebben

Szilárdtestek el e ek e tr t o r n o s n zer e k r ez e et e e t

Szilárdtestek el e ek e tr t o r n o s n zer e k r ez e et e e t Szilárdtestek elektronszerkezete Kvantummechanikai leírás Ismétlés: Schrödinger egyenlet, hullámfüggvény, hidrogén-atom, spin, Pauli-elv, periódusos rendszer 2 Szilárdtestek egyelektron-modellje a magok

Részletesebben

Irányításelmélet és technika I.

Irányításelmélet és technika I. Irányításelmélet és technika I. Mechanikai rendszerek dinamikus leírása Magyar Attila Pannon Egyetem Műszaki Informatikai Kar Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék amagyar@almos.vein.hu 2010

Részletesebben

MATEMATIKAI ÉS FIZIKAI ALAPOK

MATEMATIKAI ÉS FIZIKAI ALAPOK MATEMATIKAI ÉS FIZIKAI ALAPOK F:\EGYJEGYZ\20\alapok.doc 4 Feb 20 www.rmki.kfki.hu/~szego/egyjegyz. A Dirac-delta 2. Elektrodinamika mozgó közegekben 3. Függvénytranszformációk (Fourier transzformáció)

Részletesebben

Itt és a továbbiakban a számhalmazokra az alábbi jelöléseket használjuk:

Itt és a továbbiakban a számhalmazokra az alábbi jelöléseket használjuk: 1. Halmazok, relációk, függvények 1.A. Halmazok A halmaz bizonyos jól meghatározott dolgok (tárgyak, fogalmak), a halmaz elemeinek az összessége. Azt, hogy az a elem hozzátartozik az A halmazhoz így jelöljük:

Részletesebben

Folytonos rendszeregyenletek megoldása. 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja

Folytonos rendszeregyenletek megoldása. 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja Folytonos rendszeregyenletek megoldása 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja A folytonos rendszeregyenletek megoldásakor olyan rendszerekkel foglalkozunk, amelyeknek egyetlen u = u(t)

Részletesebben

Egzotikus elektromágneses jelenségek alacsony hőmérsékleten Mihály György BME Fizikai Intézet Hall effektus Edwin Hall és az összenyomhatatlan elektromosság Kvantum Hall effektus Mágneses áram anomális

Részletesebben

0,424 0,576. f) P (X 2 = 3) g) P (X 3 = 1) h) P (X 4 = 1 vagy 2 X 2 = 2) i) P (X 7 = 3, X 4 = 1, X 2 = 2 X 0 = 2) j) P (X 7 = 3, X 4 = 1, X 2 = 2)

0,424 0,576. f) P (X 2 = 3) g) P (X 3 = 1) h) P (X 4 = 1 vagy 2 X 2 = 2) i) P (X 7 = 3, X 4 = 1, X 2 = 2 X 0 = 2) j) P (X 7 = 3, X 4 = 1, X 2 = 2) Legyen adott a P átmenetvalószín ség mátrix és a ϕ 0 kezdeti eloszlás Kérdés, hogy miként lehetne meghatározni az egyes állapotokban való tartózkodás valószín ségét az n-edik lépés múlva Deniáljuk az n-lépéses

Részletesebben

Idő-frekvencia transzformációk waveletek

Idő-frekvencia transzformációk waveletek Idő-frekvencia transzformációk waveletek Pokol Gergő BME NTI Üzemi mérések és diagnosztika 013. áprils 17. Vázlat Alapfogalmak az idő-frekvencia síkon Rövid idejű Fourier-transzformáció spektrogram Folytonos

Részletesebben

Az ideális határesetek, mint például tömegpont, tökéletesen merev testek pillanatszerű

Az ideális határesetek, mint például tömegpont, tökéletesen merev testek pillanatszerű Részlet Török János, Orosz László, Unger Tamás, Elméleti Fizika 1 jegyzetéből 1 1. fejezet Matematikai bevezető 1.1. Dirac-delta Az ideális határesetek, mint például tömegpont, tökéletesen merev testek

Részletesebben

Kifejtendő kérdések június 13. Gyakorló feladatok

Kifejtendő kérdések június 13. Gyakorló feladatok Kifejtendő kérdések 2016. június 13. Gyakorló feladatok 1. Adott egy egyenletes térfogati töltéssel rendelkező, R sugarú gömb, melynek felületén a potenciál U 0. Az elektromos potenciál definíciója (1p)

Részletesebben

Méréstechnika. Rezgésmérés. Készítette: Ángyán Béla. Iszak Gábor. Seidl Áron. Veszprém. [Ide írhatja a szöveget] oldal 1

Méréstechnika. Rezgésmérés. Készítette: Ángyán Béla. Iszak Gábor. Seidl Áron. Veszprém. [Ide írhatja a szöveget] oldal 1 Méréstechnika Rezgésmérés Készítette: Ángyán Béla Iszak Gábor Seidl Áron Veszprém 2014 [Ide írhatja a szöveget] oldal 1 A rezgésekkel kapcsolatos alapfogalmak A rezgés a Magyar Értelmező Szótár megfogalmazása

Részletesebben

Numerikus módszerek 1.

Numerikus módszerek 1. Numerikus módszerek 1. 9. előadás: Paraméteres iterációk, relaxációs módszerek Lócsi Levente ELTE IK Tartalomjegyzék 1 A Richardson-iteráció 2 Relaxált Jacobi-iteráció 3 Relaxált Gauss Seidel-iteráció

Részletesebben

Kvantum összefonódás és erősen korrelált rendszerek

Kvantum összefonódás és erősen korrelált rendszerek Kvantum összefonódás és erősen korrelált rendszerek MaFiHe TDK és Szakdolgozat Hét Szalay Szilárd MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont, Szilárdtest Fizikai és Optikai Intézet, Erősen Korrelált Rendszerek Lendület

Részletesebben

Szilárdtestek sávelmélete. Sávelmélet a szabadelektron-modell alapján

Szilárdtestek sávelmélete. Sávelmélet a szabadelektron-modell alapján Szilárdtestek sávelmélete Sávelmélet a szabadelektron-modell alapján A Fermi Dirac statisztika alapjai Nagy részecskeszámú rendszerek fizikai jellemzéséhez statisztikai leírást kell alkalmazni. (Pl. gázokra

Részletesebben

Adatok statisztikai értékelésének főbb lehetőségei

Adatok statisztikai értékelésének főbb lehetőségei Adatok statisztikai értékelésének főbb lehetőségei 1. a. Egy- vagy kétváltozós eset b. Többváltozós eset 2. a. Becslési problémák, hipotézis vizsgálat b. Mintázatelemzés 3. Szint: a. Egyedi b. Populáció

Részletesebben

Fermi Dirac statisztika elemei

Fermi Dirac statisztika elemei Fermi Dirac statisztika elemei A Fermi Dirac statisztika alapjai Nagy részecskeszámú rendszerek fizikai jellemzéséhez statisztikai leírást kell alkalmazni. (Pl. gázokra érvényes klasszikus statisztika

Részletesebben

12. előadás - Markov-láncok I.

12. előadás - Markov-láncok I. 12. előadás - Markov-láncok I. 2016. november 21. 12. előadás 1 / 15 Markov-lánc - definíció Az X n, n N valószínűségi változók sorozatát diszkrét idejű sztochasztikus folyamatnak nevezzük. Legyen S R

Részletesebben

Kvantumos jelenségek lézertérben

Kvantumos jelenségek lézertérben Kvantumos jelenségek lézertérben Atomfizika Benedict Mihály SZTE Elméleti Fizikai Tanszék Az előadást támogatta a TÁMOP-4.2.1/B-09/1/KONV-2010-0005 sz. Kutatóegyetemi Kiválósági Központ létrehozása a Szegedi

Részletesebben

Elméleti kérdések 11. osztály érettségire el ı készít ı csoport

Elméleti kérdések 11. osztály érettségire el ı készít ı csoport Elméleti kérdések 11. osztály érettségire el ı készít ı csoport MECHANIKA I. 1. Definiálja a helyvektort! 2. Mondja meg mit értünk vonatkoztatási rendszeren! 3. Fogalmazza meg kinematikailag, hogy mikor

Részletesebben

Véletlenszám generátorok és tesztelésük HORVÁTH BÁLINT

Véletlenszám generátorok és tesztelésük HORVÁTH BÁLINT Véletlenszám generátorok és tesztelésük HORVÁTH BÁLINT Mi a véletlen? Determinisztikus vs. Véletlen esemény? Véletlenszám: számok sorozata, ahol véletlenszerűen követik egymást az elemek Pszeudo-véletlenszám

Részletesebben

Számítógépvezérelt irányítás és szabályozás elmélete (Bevezetés a rendszer- és irányításelméletbe, Computer Controlled Systems) 9.

Számítógépvezérelt irányítás és szabályozás elmélete (Bevezetés a rendszer- és irányításelméletbe, Computer Controlled Systems) 9. Számítógépvezérelt irányítás és szabályozás elmélete (Bevezetés a rendszer- és irányításelméletbe, Computer Controlled Systems) 9. előadás Szederkényi Gábor Pázmány Péter Katolikus Egyetem Információs

Részletesebben

3. Jelöljük meg a numerikus gyökkereső módszerekre vonatkozó egyedüli helyes kijelentést:

3. Jelöljük meg a numerikus gyökkereső módszerekre vonatkozó egyedüli helyes kijelentést: INFORMATICĂ PENTRU FIZICIENI 1. Egy mechanikai rendszerre vonatkozó Newtoni-mozgástörvényben megjelenő valamely paraméter nem pontos. Milyen típusú hibát eredményez az említett bizonytalanság az egyenlet

Részletesebben

Mer legesség. Wettl Ferenc 2015-03-13. Wettl Ferenc Mer legesség 2015-03-13 1 / 40

Mer legesség. Wettl Ferenc 2015-03-13. Wettl Ferenc Mer legesség 2015-03-13 1 / 40 Mer legesség Wettl Ferenc 2015-03-13 Wettl Ferenc Mer legesség 2015-03-13 1 / 40 Tartalom 1 Pszeudoinverz 2 Ortonormált bázis ortogonális mátrix 3 Komplex és véges test feletti terek 4 Diszkrét Fourier-transzformált

Részletesebben

Dinamikus modellek felállítása mérnöki alapelvek segítségével

Dinamikus modellek felállítása mérnöki alapelvek segítségével IgyR - 3/1 p. 1/20 Integrált Gyártórendszerek - MSc Dinamikus modellek felállítása mérnöki alapelvek segítségével Hangos Katalin PE Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék IgyR - 3/1 p. 2/20

Részletesebben

Az összefonódás elemi tárgyalása Benedict Mihály

Az összefonódás elemi tárgyalása Benedict Mihály Az összefonódás elemi tárgyalása Benedict Mihály Elméleti Fizikai Iskola Tihany 2010, augusztus 31 Kétrészű rendszerek, tiszta állapotok, Schmidt fölbontás és az összefonódási mértékek Példák a kvantumoptikából

Részletesebben

Zitterbewegung. általános elmélete. Grafén Téli Iskola 2011. 02. 04. Dávid Gyula ELTE TTK Atomfizikai Tanszék

Zitterbewegung. általános elmélete. Grafén Téli Iskola 2011. 02. 04. Dávid Gyula ELTE TTK Atomfizikai Tanszék A Zitterbewegung általános elmélete Grafén Téli Iskola 2011. 02. 04. Dávid Gyula ELTE TTK Atomfizikai Tanszék 1. Mi a Zitterbewegung? A Zitterbewegung általános elmélete 2. Kvantumdinamika Heisenberg-képben

Részletesebben

Atommodellek de Broglie hullámhossz Davisson-Germer-kísérlet

Atommodellek de Broglie hullámhossz Davisson-Germer-kísérlet Atommodellek de Broglie hullámhossz Davisson-Germer-kísérlet Utolsó módosítás: 2016. május 4. 1 Előzmények Az atomok színképe (1) A fehér fény komponensekre bontható: http://en.wikipedia.org/wiki/spectrum

Részletesebben

Kvantummechanika feladatgyűjtemény

Kvantummechanika feladatgyűjtemény Kvantummechanika feladatgyűjtemény Szunyogh László, Udvardi László, Ujfalusi László, Varga Imre 4. február 3. Előszó A fizikus alapképzésben központi jelentőségű a Kvantummechanika tárgy oktatása, hiszen

Részletesebben

Radioaktivitás. 9.2 fejezet

Radioaktivitás. 9.2 fejezet Radioaktivitás 9.2 fejezet A bomlási törvény Bomlási folyamat alapjai: Értelmezés (bomlás): Azt a magfizikai folyamatot, amely során nagy tömegszámú atommagok spontán módon, azaz véletlenszerűen (statisztikailag)

Részletesebben

I. Fejezetek a klasszikus analízisből 3

I. Fejezetek a klasszikus analízisből 3 Tartalomjegyzék Előszó 1 I. Fejezetek a klasszikus analízisből 3 1. Topológia R n -ben 5 2. Lebesgue-integrál, L p - terek, paraméteres integrál 9 2.1. Lebesgue-integrál, L p terek................... 9

Részletesebben

Atommodellek. Ha nem tudod egy pincérnőnek elmagyarázni a fizikádat, az valószínűleg nem nagyon jó fizika. Rausch Péter kémia-környezettan tanár

Atommodellek. Ha nem tudod egy pincérnőnek elmagyarázni a fizikádat, az valószínűleg nem nagyon jó fizika. Rausch Péter kémia-környezettan tanár Atommodellek Ha nem tudod egy pincérnőnek elmagyarázni a fizikádat, az valószínűleg nem nagyon jó fizika. Ernest Rutherford Rausch Péter kémia-környezettan tanár Modellalkotás A modell a valóság nagyított

Részletesebben

Fourier-sorok. néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól. Vizsgán. k=1. 1 k = j.

Fourier-sorok. néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól. Vizsgán. k=1. 1 k = j. Fourier-sorok Bevezetés. Az alábbi anyag a vizsgára való felkészülés segítése céljából készült. Az alkalmazott jelölések vagy bizonyítás részletek néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól.

Részletesebben

Idő-frekvencia transzformációk waveletek

Idő-frekvencia transzformációk waveletek Idő-frekvencia transzformációk waveletek Pokol Gergő BME NTI Üzemi mérések és diagnosztika 2014. május 8. Vázlat Alapfogalmak az idő-frekvencia síkon Rövid idejű Fourier-transzformáció spektrogram Folytonos

Részletesebben

Mechatronika alapjai órai jegyzet

Mechatronika alapjai órai jegyzet - 1969-ben alakult ki a szó - Rendszerek és folyamatok, rendszertechnika - Automatika, szabályozás - számítástechnika Cd olvasó: Dia Mechatronika alapjai órai jegyzet Minden mechatronikai rendszer alapstruktúrája

Részletesebben

Részecskék hullámtermészete

Részecskék hullámtermészete Részecskék ullámtermészete Bevezetés A sugárzás és az anyag egyaránt mutat részecskejellegű és ullámjellegű tulajdonságokat. Atommodellek A Tomson modell J.J. Tomson 1898 A negatív töltésű elektronok pozitív

Részletesebben

Feladatok az 5. hétre. Eredményekkel és teljesen kidolgozott megoldásokkal az 1,2,3.(a),(b),(c), 6.(a) feladatokra

Feladatok az 5. hétre. Eredményekkel és teljesen kidolgozott megoldásokkal az 1,2,3.(a),(b),(c), 6.(a) feladatokra Feladatok az 5. hétre. Eredményekkel és teljesen kidolgozott megoldásokkal az 1,,3.(a),(b),(), 6.(a) feladatokra 1. Oldjuk meg a következő kezdeti érték feladatot: y 1 =, y(0) = 3, 1 x y (0) = 1. Ha egy

Részletesebben

Példatár Lineáris algebra és többváltozós függvények

Példatár Lineáris algebra és többváltozós függvények Példatár Lineáris algebra és többváltozós függvények Simonné Szabó Klára. február 4. Tartalomjegyzék. Integrálszámítás.. Racionális törtek integrálása...................... Alapfeladatok..........................

Részletesebben

Szabadentalpia nyomásfüggése

Szabadentalpia nyomásfüggése Égéselmélet Szabadentalpia nyomásfüggése G( p, T ) G( p Θ, T ) = p p Θ Vdp = p p Θ nrt p dp = nrt ln p p Θ Mi az a tűzoltó autó? A tűz helye a világban Égés, tűz Égés: kémiai jelenség a levegő oxigénjével

Részletesebben

Részecske azonosítás kísérleti módszerei

Részecske azonosítás kísérleti módszerei Részecske azonosítás kísérleti módszerei Galgóczi Gábor Előadás vázlata A részecske azonosítás létjogosultsága Részecske azonosítás: Módszerek Detektorok ALICE-ból példa A részecskeazonosítás létjogosultsága

Részletesebben