Elméleti modell: mikroszkopikus vagy fenomenológiai Mikroszkopikus modell: szükségképpen statisztikus

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Elméleti modell: mikroszkopikus vagy fenomenológiai Mikroszkopikus modell: szükségképpen statisztikus"

Átírás

1 NYITOTT KVANTUMRENDSZEREK ELMÉLETEI Miért nyitott? S rendszer kölcsönhat környező R rendszerrel (rezervoár,tartály) S+R zárt rendszer, reverzibilis dinamikával S nyitott rendszer, irreverzibilis dinamikával Miért kvantum (Q)? Q-vákuum mindig jelen van, mint R Q-rendszer túlérzékeny a környezetre R környező rendszer közeg, hőtartály, egy másik rendszer, Q-vákuum dinamikai vagy info-gyűjtő (mérő) rendszer R alaphatásai disszipáció (csillapított inga) fluktuáció (Brown mozgás) dekoherencia (két csillapított inga) lokalizáció (mért-megfigyelt diffúzió) irreverzibilitás! Alapjelenségek Közegellenállás (kl+q) Csillapított rezgés (kl+q) Spontán bomlás (Q) Folytonos mérés (kl+q)... kvark-hadronizáció (Q) Elméleti modell: mikroszkopikus vagy fenomenológiai Mikroszkopikus modell: szükségképpen statisztikus 1

2 Zárt rendszer összefoglaló Klasszikus kankord: x; Állapot: ϱ(x) normált sűrűség ϱ(x) 0, ϱ(x)dx = 1 Statisztikus értelmezés: szokásos Tiszta állapot: δ(x x) Tiszta-állapot-felbontás (egyértelmű): ϱ(x) = δ(x x)ϱ( x)d x Kevert áll. mozgásegy.: ϱ = {H, ϱ} (Liouville) Tiszta áll. mozgásegy.: δ(x x t ) =?; ẋ = {x, H} (Hamilton) Összetett rendszer: x A, x B x AB (x A, x B ), ϱ AB (x AB ) Ha A,B független: ϱ(x AB ) = ϱ A (x A )ϱ B (x B ) Kölcsönhatás: H AB = H A + H B + K A redukált állapota: ϱ A (x A ) = ϱ AB (x AB )dx B Q-bázis: x ; Q-állapot: ϱ(x; x ) = x ˆϱ x normált sűrűségmátrix ˆϱ 0, tr ˆϱ = x ϱ(x, x) = 1 Statisztikus értelmezés: Q-méréselmélet (szokatlan) Tiszta állapot: ψ ψ Tiszta-állapot-felbontás (nem egyértelmű): ˆϱ = λ λ λ ϱ(λ) Kevert áll. mozgásegy.: ˆϱ = ( i/ )[Ĥ, ˆϱ] (Neumann J.) Tiszta áll. mozgásegy.: ψ = ( i/ )Ĥ ψ Összetett rendszer: x A, x B x AB x A x B ϱ AB (x AB ; x AB ) = x AB ˆϱ AB x AB Ha A,B független: ˆϱ AB = ˆϱ A ˆϱ B, azaz ϱ(x AB ; x AB ) = ϱ A(x A ; x A )ϱ B(x B ; x B ) Kölcsönhatás: Ĥ AB = ĤA + ĤB + ˆK A redukált állapota: ˆϱ A = tr B ˆϱ AB azaz ϱ A (x A ; x A ) = x B ϱ AB (x A, x B ; x A, x B) 2

3 Nyitott rendszer mikroszkopikus modell elve - S+R Ha S és R nem hatna kölcsön: S: ϱ(x), H(x); ϱ = {H, ϱ} R: ϱ R (x R ), H R (x R ); ϱ R = {H R, ϱ R } S+R: ϱ SR (x, x R ; t) = ϱ(x; t)ϱ R (x R ; t) De ha S és R kölcsönhatnak: H SR (x, x R ) = H(x) + H R (x R ) + K(x, x R ): ϱ SR = {H SR, ϱ SR } (reverzibilis) S állapota S+R redukált állapota: ϱ(x) = ϱ SR (x, x R )dx R S dinamikája S+R redukált dinamikája: ϱ = {H SR, ϱ SR }dx R (irreverzibilis) Tegyük fel ϱ SR (x, x R ; 0) = ϱ(x; 0)ϱ R (x R ; 0), j.o. lineáris ϱ(0)-ban, megoldás is lineáris: ϱ(t) = K(t)ϱ(0) K(t) lineáris leképezés (nem-invertálható szuper-operator). Markovi közelítésben K(t) = exp(lt), ekkor: ϱ(t) = Lϱ(t) Markovi Mászter (vagy: Kinetikus) Egyenlet (időben első rendű diff.egy. ϱ-ra) Feltételek: gyors R, lassú S; gyenge csatolás előny, de nem feltétel. Ha S és R Q-rendszerek, a konstrukció ugyanez: ϱ ˆϱ, ϱϱ R ˆϱ ˆϱ R, dxr tr R,... A legtöbb fenomenológiai modell a MME-t posztulálja. ϱ = Lϱ = {H, ϱ} + Dϱ ˆϱ = Lˆϱ = i [Ĥ, ˆϱ] + Dϱ 3

4 Példák klasszikus MME-re ϱ(x) = D 2 xϱ(x) (diffúzió egy.) ϱ(x, p) = p m xϱ(x, p) + D 2 pϱ(x, p) + η p pϱ(x, p) (Fokker-Planck egy.) ϱ(p) = p m xϱ(x, p) + ütközési tag (Boltzmann egy. - j.o. kvadratikus ϱ-ban) ϱ(x) = x v(x)ϱ(x) + [T (x, y)ϱ(y) T (y, x)ϱ(x)], T (x, y) 0 (Kinetikus egy.) y Minden klasszikus MME kinetikus szerkezetű. Reverzibilis rész: v sebességű drift ({H, ϱ}). Nincs, ha x diszkrét. Irreverzibilis (Dϱ) rész: véletlen átmenetek, T (x, y) T (x y) valószínűség/időegység Példák Q-MME-re ˆϱ = i ˆϱ = i [ ] ˆp 2 2m, ˆϱ [ ] ˆp 2 2m, ˆϱ ˆϱ = i [Ĥ, ˆϱ] + α D [ˆx, [ˆx, ˆϱ]] 2 (hely-decoherencia egy.) D η [ˆx, [ˆx, ˆϱ]] i [ˆx, {ˆp, ˆϱ}]+? 2 2m [ˆL α ˆϱˆL α 1 2 {ˆL α ˆL α, ˆϱ}], (Q-Fokker-Planck egy.) (Lindblad mászter egy.) Minden Q-MME Lindblad-szerkezetű. Reverzibilis rész: unitér fejlődés ( i/ [Ĥ, ˆϱ]). Diszkrét Q-rendszerre is lehet! Irreverzibilis (Dϱ) rész: Q-átmenetek, ˆL α Lindblad-generátorok szerint 4

5 Diffúzió mászter egy.: ϱ = Dϱ Speciális megoldás: ϱ(x; t x 0 = 0) = 1 4πDt e x2 4Dt ; ϱ(x; 0) = δ(x) x t = 0, x 2 t = 2Dt Kevert ϱ - tiszta állapotok egyértelmű keveréke: ϱ(x) = δ(x x )ϱ(x )dx Általános megoldás: 1 ϱ(x; t) = e (x x ) 2 4Dt ϱ(x ; 0)dx 4πDt x t = x 0 x 2 t x 2 t = 2Dt Diffúzió egy. = Kinetikus egy., szinguláris átmeneti valószínűségekkel: T (x; x 0 ) lim t 0 1 t ϱ(x; t x 0) = lim t 0 Diffúzió egy. determinisztikus. Van-e stochasztikus leírás? MC-barát leírás: stochasztikus folyamat, trajektória 1/ t e (x x 0 )2 4D t 4πD t 5

6 Diffúzió, mint Markov stochasztikus folyamat Markov lánc: x 0, x τ, x 2τ..., x t... ; Prob(x t+τ ) = ϱ(x t+τ x t ) Véletlen bolyongás: x 0 = 0, x τ = ±a,..., x t+τ = x t ± a,..., x t = 0, x 2 t = a 2 t τ Centrális határeloszlás tétel: x t Gauss-eloszlású ha t/τ : ϱ(x t x 0 = 0) 1 2πa2 t/τ e x 2 2a 2 t/τ Diffúzív határeset: τ 0; a 0; a 2 /τ 2D ϱ(x t x 0 = 0) ϱ(x; t x 0 = 0) Markov lánc diffúzív határesete: x t Markov folyamat Egyenértékű modell a ϱ = Dϱ diff.egy.-tel: ϱ(x; t) = δ(x x t ) A diffúziós MME egyenlet megoldását tiszta állapotok keverékeként fejtettük ki. Ez a trajektória módszer. MC-barát, és valóságközelibb. De mik az x t stochasztikus folyamat (trajektória) saját egyenletei? 6

7 Wiener-stoch-folyamat, fehér zaj x t Wiener stoch. folyamat, mérnökiesen : fehér zaj Fehér zaj definitív tulajdonságai: 1) ẋ t = 0 2) ẋ t ẋ s = 2Dδ(t s) (tökéletes korrelálatlanság) 3) Gaussi: Prob(x t1 ), Prob(x t1, x t2 ), Prob(x t1, x t2, x t3 ),..., Gauss Direkt bizonyítás: véletlen bolyongás Markov-lánc, majd diffúzív határeset Differenciálos definíció: 1) dx t = 0 2) dx t dx s = 2Ddt ha t = s, és 0 egyébként 3) 2-nél több dx szorzatának -e dt-ben 1-nél magasabb rendű Ellenőrzés: ϱ(x; t) = δ(x x t ) -nek ki kell elégítenie diffúzió egy.-et Naiv számolás rosszra vezet: ϱ(x; t) = ẋ t δ (x x t ) = 0 x t szinguláris fv., deriváltját határértékként kell kezeljük ϱ(x; t) ϱ(x; t + t) ϱ(x; t) x t δ (x x t ) + 1 ( x 2 t) 2 δ (x x t ) = = 1 ( x 2 t) 2 δ (x x t ) = 1 ( x 2 t) 2 ϱ (x; t) Kihasználtuk: x t = t+ t dsẋ t s statisztikusan független x t -től. Végül: ( xt ) 2 t+ t = ds t t+ t t dr ẋ s ẋ r = Tehát ϱ(t) = lim ϱ(t)/ t = Dϱ ha t 0 t+ t t+ t t ds t dr2dδ(s r) = 2D t Sokkal egyszerűbb differenciálosan: dϱ(x; t) dδ(x x t ) = dx t δ (x x t ) (dx t) 2 δ (x x t ) = = 1 2 (dx t) 2 δ (x x t ) = Dϱ (x; t) 7

8 Standard Wiener folyamat, fehér zaj Standard (D=1/2) Wiener folyamat: W t Diffúziós egyenlete: ϱ(w ; t) = 1 2 ϱ (W, t) Kapcsolat: ϱ(w ; t) = δ(w W t ) w t = Ẇt standard fehér zaj Fehér zaj definitív tulajdonságai: 1) w t = 0 2) w t w s = δ(t s) (tökéletes korrelálatlanság) 3) Gaussi Spektrális definíció w ω = (1/2π) w t exp(iωt)dt Fourier-komponensekre: 1) w ω = 0 2) w ω w ω = 1 δ(ω 2π ω ) (egyenletes spektrális erősség) 3) Gaussi Differenciálos definíció W t -re, ahol dw t = W t+ t W t ; t +0 1) dw t = 0 2) dw t dw s = dt ha t = s, és 0 egyébként 3) 2-nél több dw differenciál szorzatának -e dt-ben 1-nél magasabb rendű 8

9 Wiener folyamatok Ito-kalkulusa Helyfüggő diffúzió-drift egyenlet: ϱ = x V ϱ + 2 xdϱ Hozzárendelt Wiener folyamat: x t ; ϱ(x; t) = δ(x x t ) A dx t Ito-differenciál Ito-kalkulusa: 1) dx t = V (x t )dt 2) (dx t ) 2 = 2D(x t )dt (Nincs! Miért? Csak!) 3) dx t statisztikailag független x t -től: f(x t )dx t = f(x t ) dx t Belátható, hogy dϱ = x V ϱdt + 2 xdϱdt teljesül. Hogyan segít Ito az y = f(x) változó transzformációban? dy = f (x)dx f (dx) 2 = f (x)dx + f D(x t )dt dy = f (x)v (x)dt + f D(x)dt Ṽ (y)dt (dy) 2 = 2[f (x)] 2 D(x)dt 2 D(y)dt Innen leolvassuk: Ṽ = f V + f D és D = (f ) 2 D A diffúzió+drift egy. az új változóban: ϱ = y Ṽ ϱ + 2 y Dϱ dx standard reprezentációban: dx = V (x)dt + 2D(x)dW Többváltozós általánosítás: x, V, W vektorok, D mátrix Speciális eset, csak 1 zaj, standard reprezentációban: dx = V (x)dt + U(x)dW (x, V, U vektorok, W skalár) Q-elméletben komplex általánosítás: x = ψ, vagy x = ˆϱ, pl.: dˆϱ = Lˆϱdt +... dw d ψ = (i/ )Ĥ ψ + + (i/ )fˆx ψ dw Leibniz-Ito szabály: Ha x 1 és x 2 két Wiener folyamat, akkor: d(x 1 x 2 ) = (dx 1 )x 2 + x 1 (dx 2 ) + (dx 1 )(dx 2 ) Ha például dx 1 = V 1 dt + 2D 1 dw és dx 1 = V 1 dt + 2D 1 dw, akkor: d(x 1 x 2 ) = (dx 1 )x 2 + x 1 (dx 2 ) + 2 D 1 D 2 dt 9

10 Trajektória vagy mászter egyenlet? Trajektória Mászter szemléletesebb absztraktabb stochasztikus determinisztikus egyszerű MC-szimuláció forrásigényes szimuláció kl: x-et fejleszt kl: ϱ(x)-et fejleszt Q: ψ -t fejleszt (d változó) Q: ˆϱ-t fejleszt (d d változó) 10

11 A legegyszerűbb tartály: fehér zaj H SR (x, p, x R ) = H(x, p) + H R (x R ) xf (x R ) R véletlen külső erő: F (x r ) fw t R-ben nincs önálló dinamika. Nem ad disszipációt, csak fluktuációt. Teljes Hamilton: H(x, p; t) = p2 fxw 2m t ill. Ĥ(t) = ˆp2 fˆxw 2m t Ito-alakban: H(x, p; t)dt = p2 dt fxdw 2m t ill. Ĥ(t)dt = ˆp2 dt fˆxdw 2m t Klasszikus dinamika: Trajektória (Hamilton egy.): ẋ t = ṗ t = pt m fw t ill. dx = dp = p m dt fdw Csak p diffundál! 2D = f MME ϱ(x, p; t) = δ(x x t )δ(p p t ) -re: dϱ(x, p) dt = p m xϱ(x, p) + D 2 pϱ(x, p) Ez a Fokker-Planck egy. súrlódás nélkül. Levezetés: dϱ(x, p; t) = d δ(x x t )δ(p p t ) = = dx t δ (x x t )δ(p p t ) dp t δ(x x t )δ (p p t )+ 1 2 (dx t) 2 δ(x x t )δ (p p t ) = = { (p/m)dt x +Ddt 2 p} δ(x x t )δ(p p t ) = { (p/m) x +D 2 p}ϱ(x, p; t)dt. 11

12 Q-dinamika: Trajektória (Heisenberg egy.): ˆx t = ˆp t /m; ˆp t = fw t De: nem ezt hívjuk Q-trajektóriának!! Fehér-zaj Q-trajektória: ψ t vektor, amit a Ĥ(t) fejleszt: Naivan: d ψ t /dt = (i/ )Ĥ(t) ψ t - ez nem működik! Használjuk az Ito-t! ψ t+dt = exp{ (i/ )Ĥ(t)dt} ψ t = {1 (i/ )Ĥ(t)dt [Ĥ(t)dt]2 } ψ t = ψ t (i/ )Ĥ(t) ψ t dt 1 2 (f/ )2ˆx 2 ψ t dt Innen d ψ t = ψ t+dt ψ t -re a korrekt Schrödinger egy.: d ψ = i ˆp 2 2m 1 ψ dt 2 f 2ˆx 2 ψ dt + i fˆx ψ dw 2 Ez egyben a ψ t fehérzaj Q-trajektória egyenlete. Q-MME: ˆϱ = ψ ψ mozgás egy.-e: Levezetés: d ψ ψ = d ψ ψ + ψ d ψ + d ψ d ψ =... Eredmény a térbeli dekoherencia egy.: dˆϱ dt = i [ ] ˆp 2 2m, ˆϱ 1 i D[ˆx, [ˆx, ˆϱ]] 2 [ ] ˆp 2 2m, ˆϱ + Dˆϱ Ha D nagy, kinetikus tagot elhanyagoljuk, dˆϱ/dt = Dˆϱ, és ϱ(x, y) = x ˆϱ y : ϱ(x, y) = x Dˆϱ y = D 2 (x y) 2 ϱ(x, y), így: [ ϱ(x, y; t) = exp Dt ] (x y)2 ϱ(x, y; 0) = exp( t/τ 2 d )ϱ(x, y; 0) τ d = 2 D(x y) 2 (dekoherencia idő) MME-ben duplakommutátor ˆx-ben dekoherencia x-ben! 12

13 Schrödinger macska ψ 0 = eleven + holt Q-optikai Sch. macska: ψ 0 = α + β ; α β 1 Q-mechanikus Sch. macska: ψ 0 = itt + ott ; itt ott nagy A kezdeti sűrűségmátrix tiszta állapot: ˆϱ 0 = 1 ( itt + ott ) ( itt + ott ) 2 Ha itt r 1 és ott r 2 akkor ψ(x; t = 0) = 2 1/2 [ϕ(x r 1 ) + ϕ(x r 2 )] ahol ϕ(x) keskeny hullámcsomag. Koordináta reprezentációban ϱ(x, y; 0) = ψ(x; 0) ψ(y; 0) = = 1 2 ϕ(x r 1) ϕ(y r 1 ) ϕ(x r 2) ϕ(y r 2 ) (diagonális) 1 ϕ(x r 2 1) ϕ(y r 2 ) + 1ϕ(x r 2 2) ϕ(y r 1 ) (off-diagonális) Térbeli-dekoherencia egyenlet hatására off-diagonális rész lecseng: ϱ(x, y; t) = exp[ Dt (x y) 2 ]ϱ(x, y; 0) exp[ Dt (r r 2 ) 2 ]ϱ(x, y; 0) 1ϕ(x r 2 1) ϕ(y r 1 ) + 1ϕ(x r 2 2) ϕ(y r 2 ) (diagonális) Eredeti absztrakt jelölésben: ˆϱ 0 = 1 ( itt + ott ) ( itt + ott ) 1 itt itt + 1 ott ott A dekoherencia hatására tiszta állapot (1/ 2-1/ 2 amplitúdóval itt és ott) átmegy kevert állapotba ( 1-1 valósz.-gel itt vagy ott)

14 Spekuláció: gravitáció/téridő eredetű térbeli dekoherencia Feltevés: Azért nem látunk Sch. macskákat, mert van egy univerzális dekoherencia tag minden - egyébként zárt - rendszerre is. Ez a dekoherencia olyan, mintha egy gravitációs/téridős fehér zaj tartály létezne mindenütt, egyelőre láthatatlanul. Elemi jóslat: D = GM 2 2R 3 ( r 1 r 2 R) Ha M = 1g, R = 1cm, r 1 r 2 = R/10 akkor τ d = 2 D(r 1 r 2 ) R GM 2 R 2 = 100 R GM s = s Ennyi idő alatt bomlana le a Sch. macska! Ez irreálisan rövid idő, azt jelzi, hogy ki sem alakulhat az ilyen macska, ha a gravitációs/téridős zaj hipotézise igaz. Nem is rossz, éppen ezt akartuk. De: van-e direkt kísérleti igazolás? Ehhez nanomacska kell, aminek van esélye létrejönni, és nekünk van esélyünk a bomlását megfigyelni. 14

15 Kétállapotú Q-rendszer fehér zajban spin fel-le z-irányban L R cirkulárisan polarizált foton, balra/jobbra H V lineárisan polarizált foton, vízsz./függ. g e kétállapotú atom, alap/gerjesztett 0 1 absztrakt logikai qubit, 0/1 Spin z-irányú fluktuáló mágnes térben: Ĥ(t) = ɛ 2 ˆσ z + fw tˆσ z ill. Ĥ(t)dt = ɛ 2 ˆσ zdt + f ˆσ z dw ψ t+dt = exp{ (i/ )Ĥ(t)dt} ψ t = {1 (i/ )Ĥ(t)dt [Ĥ(t)dt]2 } ψ t = ψ t (i/ )Ĥ(t) ψ t dt 1 2 (f/ )2 ψ t dt Innen d ψ t = ψ t+dt ψ t -re a korrekt Schrödinger egy.: d ψ = i 2 ɛˆσ z ψ dt f 2 ψ dt i 2 f ˆσ z ψ dw Ez egyben a ψ t spin-állapot fehérzaj Q-trajektória egyenlete. Q-MME: ˆϱ = ψ ψ mozgás egy.-e: Levezetés: d ψ ψ = d ψ ψ + ψ d ψ + d ψ d ψ =... Eredmény a spin-dekoherencia (fázisvesztés) egy.: dˆϱ dt = i 2 ɛ[ˆσ z, ˆϱ] f 2 2 [ˆσ z, [ˆσ 2 z, ˆϱ]] i 2 ɛ[ˆσ z, ˆϱ] + Dˆϱ Bevezetve az s = tr(ˆ σˆϱ) = ˆ σ polarizációt: ṡ x = (ɛ/ )s y (1/τ r )s x ṡ y = +(ɛ/ )s x (1/τ r )s y ṡ z = 0 τ r = 2f 2 2 (relaxációs idő) A z-körüli precesszió állandó s z mellett τ r időskálán elhal. MME-ben duplakommutátor ˆσ z -ben dekoherencia (fázisvesztés) és (vagy L és R, vagy g és e ) között! 15

16 Mechanikus Súrlódás - fenomenológia Klasszikusan dinamika: Trajektória (Hamilton egy.) módosítva: dx = dp = p m dt 2DdW ηpdt Csak p diffundál, és csak p súrlódik! Stacioner p 2 =? d p 2 = 2η p 2 dt + 2Ddt, tehát p 2 = D/η. Ha a tartály hőtartály, akkor ekvipartíció tétel: p 2 /2m = k B T/2, tehát: D = ηmk B T = ηp 2 T p T = mk B T = termalis impulzus MME ϱ(x, p; t) = δ(x x t )δ(p p t ) -re: dϱ(x, p) dt = p m xϱ(x, p) + ηmk B T 2 pϱ(x, p) + η p pϱ(x, p) Ez a Fokker-Planck egy., súrlódással, hőtartályban. Levezetés: mint előbb. Stacioner megoldás a Maxwell-eloszlás: ) 1 ϱ(x, p, ) = V exp ( p2 2πp 2 2p 2 T T Most, hogy tudjuk D-t a súrlódás és hőmérséklet fv-ben, vissza a Sch. macska bomlásidejéhez hőtartályban! τ d = 2 D(x y) = 2 2 ηp 2 T (x = 1 ( ) 2 λt y)2 η (x y) λ T = /p T a termális (hőmérsékleti) de Broglie hullámhossz. Pl.: m = 1g-os Schrödinger macskára: λ T = ergs 1g erg/k 300K cm Általában: τ D (Zurek) 1/η. Dekoherencia sokkal gyorsabb, mint a disszipáció! 16

17 Mechanikus Súrlódás - fenomenológia Q-dinamika: Trajektória (Hamilton egy.) módosítva: dˆx = dˆp = ˆp m dt 2DdW ηˆpdt Probléma: d[ˆx, ˆp] = [dˆx, ˆp] + [ˆx, dˆp] + [dˆx, dˆp] = iηdt Tehát [ˆx t, ˆp t ] = i exp( ηt) 0, a Heisenberg x p /2 sérül! A fenomenológikus súrlódási tag önmagában nem elég. Kiút általában: mikroszkopikus levezetés. Előtte: Wigner fv. fenomenológia W (x, p) = Wδ(x ˆx)δ(p ˆp) ˆϱ = WW (x, p) W Weyl-rendezés definíciója: We aˆx e aˆp = e aˆx+bˆp Így levezethető, hogy: W (x, p) = 1 2π e irp/ x + r/2 ˆϱ x r/2 dr Normált fázistér kvázi-eloszlás (W 0 sérülhet, ezért kvázi). Átírási szabályok: [ˆx, ˆϱ] i p W és {ˆp, ˆϱ} 2pW. dϱ(x, p) dt = p m xϱ(x, p) + ηmk B T 2 pϱ(x, p) + η p pϱ(x, p) Ez volt a Fokker-Planck egy., súrlódással, hőtartályban. Tekintsük ezt a Wigner-fv. mászter egyenletének, és írjuk át ˆϱ-ra: dˆϱ dt = i [ ] ˆp 2 2m, ˆϱ ηmk BT [ˆx, [ˆx, ˆϱ]] i η [ˆx, {ˆp, ˆϱ}] 2 2 Ez a Q-Fokker-Planck (Q-Brown mozgás) egy. magas T hőmérsékleten Baj: alacsony T és keskeny hullámcsomag esetén elrontja a ˆϱ nemnegativitását 17

18 Q-Fokker-Planck egy. - Lindblad alak Csak a Lindblad alak garantálja, hogy ˆϱ 0 megőrződik: dˆϱ dt = i ] [Ĥ, ˆϱ + D, Dˆϱ = α A magas hőm. Q-Fokker-Planck dˆϱ dt = i [ ] ˆp 2 2m, ˆϱ [ˆL α ˆϱˆL α 1 2 {ˆL α ˆL α, ˆϱ}] ηp2 T η [ˆx, [ˆx, ˆϱ]] i [ˆx, {ˆp, ˆϱ}] 2 2 nem hozható Lindblad alakra. Próbálkozzunk egyetlen nem-hermitikus Lindblad generátorral: ˆL = ( pt 2η ˆx + i ) ˆp 4p T Ezt a Lindblad disszipátort kapjuk: Dˆϱ = ˆLˆϱˆL 1 2 {ˆL ˆL, ˆϱ} = ηp2 T η [ˆx, [ˆx, ˆϱ]] i [ˆx, {ˆp, ˆϱ}] η p 2 T [ˆp, [ˆp, ˆϱ]] + i η [{ˆx, ˆp}, ˆϱ] 4 Az utolsó tag Hamiltoni típusú járulék, ezt a Hamilton op. Ĥ = ˆp2 η {ˆx, ˆp} 2m 4 formális korrekciójával kiejtjve: dˆϱ dt = i [ ] ˆp 2 2m, ˆϱ i η [ˆx, {ˆp, ˆϱ}] η [ˆp, [ˆp, ˆϱ]] 2 16p 2 T Ez a Q-Brown mozgás Lindblad ME. Új, alacsony hőmérsékleten jelentős tag jött be: momentum-dekoherenciát ír le! Behelyettesítéssel igazolható, a stac. megoldás a Maxwell-Gibbs állapot: ˆϱ( ) = 1 2πp 2 T ) exp ( ˆp2 Alkalmazás pl.: nanomechanikus oszcillátor (csatolva fotonhoz, q-dothoz, elelmi magspinhez,...) Elvileg elektron transzportra is, de erre a stat-fiz. más standard módszereket használ. 2p 2 t 18

19 Egységes reprezentáció: Fock Kétállapotú q-rendszer Pauli Fock: = 0 = 1 bázis, Ĥ 0 = 0 és Ĥ 1 = ɛ 1 1 (ˆσ 1 2 x iˆσ y ) = â = 0 1, (ˆσ 2 x + iˆσ y ) = â = 1 0 eltűntető/keltő op. â 2 = (â ) 2 = 0, {â, â } = ââ + â â = 1 fermion felcserélési rel. 1 1 ˆσ 2 2 z = â â = ˆn betöltés, okkupáció, n = 0, 1 Ĥ = ɛˆn Hamilton Példa: spin-dekoherencia (fázisvesztés) egy. Pauliban Fockban: dˆϱ dt = +i 2 ɛ[ˆσ z, ˆϱ] 1 [ˆσ z, [ˆσ z, ˆϱ]] +i 4τ r 2 ɛ[ˆσ z, ˆϱ] + Dˆϱ dˆϱ dt = i ɛ[ˆn, ˆϱ] 1 [ˆn, [ˆn, ˆϱ]] i ɛ[ˆn, ˆϱ] + Dˆϱ τ r Megoldás Fockban: ρ 00 = ρ 11 = const és ρ 10 (t) = exp( iωt τr 1 t)ρ 10 (0), tehát diagonális rész állandó (nincs disszipáció), az off-diagonális rész lecseng (van dekoherencia). Sokállapotú q-rendszer: harmonikus oszcillátor Kanonikus Fock: â = mωˆx + iˆp/ mω 2, â =... Ha az oszcillátor nem mechanikus, hanem egy üreg e.m. módusa, akkor â, â elsődleges, és: ˆx = â + â 2 ŷ = â â i 2 kvadraturak [â, â ] = 1 bozon felcserélési rel. (másképp: [ˆx, ŷ] = i) 0, 1,..., n,... bázis, Ĥ n = nɛ n, ɛ = ω â n = n n 1 â n = n + 1 n + 1 â â n = n n ˆn = â â betöltés, okkupáció, n = 0, 1, 2,... Ĥ = ɛˆn Hamilton [másképp: Ĥ = (ɛ/2)(ˆx 2 + ŷ 2 )] 19

20 Q-disszipáció - mászter egyenletek (Lindblad fenomenológia) Kétállapotú atom spontán bomlás ˆL = ˆL : csak dekoherencia. ˆL ˆL kell disszipációhoz. Legyen ˆL = Γâ (Γ a bomlási sebesség lesz) Lindblad ezt adja: dˆϱ dt = iω[ˆn, ˆϱ] + Γ ( âˆϱâ 1 {ˆn, ˆϱ}) 2 Innen ˆϱ( ) = 0 0 stacionárius állapot o.k., bomlás van! ME-ből egzakt megoldás: ρ 11 (t) = e Γt ρ 11 (0), ρ 00 (t) = 1 ρ 11 (t), ρ 10 (t) = e iωt Γt/2 ρ 10 (0). ρ 11 0 (disszipáció); ρ 10 0 (dekoherencia) Atomfizikából, mikroszkópikusan: Γ = 4ω3 D 2 3 c 3 (D = atmeneti dipolmomentum) Alkalmazás pl.: Q-optika, lézertérben fluoreszkáló atom,...; Magmágnesség: spinrelaxáció 20

21 Q-disszipáció - mászter egyenletek (még mindig fenomenológia) Csillapított e.m. üreg oszcillátor Egyetlen módus harmonikus oszcillátor ˆL = ˆL : csak dekoherencia. ˆL ˆL kell disszipációhoz. Legyen ˆL = Γâ (Γ a bomlási sebesség lesz) Lindblad ezt adja: dˆϱ dt = iω[ˆn, ˆϱ] + Γ ( âˆϱâ 1 {ˆn, ˆϱ}) 2 Innen ˆϱ( ) = 0 0 stacionárius állapot o.k., bomlás van! Formailag eddig minden azonos a kétállapotú atommal, hála Fock-nak. ME-ből egzakt bomlási (disszipációs) tulajdonságok: ṅ d ˆn dt = tr(ˆndˆϱ/dt) = Γn, n(t) = e Γt n(0) ȧ d â dt = tr(âdˆϱ/dt) = iωa Γa, a(t) = e iωt Γt/2 a(0) Miben különbözik az e.m. üregoszci a mechanikus oszcitól? Mechanikusnál csak ˆp disszipálódik (súrlódik), ˆx nem (csak ˆp-n keresztül. E.m. üregoszciban - tipikus esetben - â hermitikus és anti-hermitikus része (a két kvadratúra) azonosan disszipálódik! Γ: üregből a kifolyási veszteség sebessége. Alkalmazás pl.: Q-optika (cm-es üreg, 0,1,2, fotonnal) Érdekesség: grav. hull. detektor, km-es üreg, extrém magas gerjesztettség, ugyanez az egyenlet, de elég a klasszikus. 21

22 A legegyszerűbb Q-tartály: bozon vákuum Markov közelítésben H R a tartály Hilbert tere, ˆϱ R a tartály vákuum (T=0) egyensúlyi állapota ˆξ t, ˆξ t a bozontér markovi közelítésben, Fock-szerű reprezentációban Kanonikus csererelációk: [ ˆξt, ˆξs ] = [ ˆξ t, ˆξ s ] = 0, [ ˆξt, ˆξ s ] = δ(t s) Várható értékek,... tr(... ˆϱ R ): ˆξt = ˆξ t = 0, ˆξ t ˆξ s = 0 (bozonvakuum) Ugyanez Ito-val: 0) [dˆξ, dˆξ ] = dt 1) dˆξ = dˆξ = 0 2) dˆξdˆξ = dt, (dˆξ) 2 = (dˆξ ) 2 = 0 3) f(ˆξ)dˆξ = 0 ˆξt ˆξ s = δ(t s) felcs miatt Emellett mindig eltűnik dˆξ t dˆξ s, dˆξ t dˆξ s, dˆξ t dˆξ s. Továbbá dˆξ t, dˆξ s kommutál, és dˆξ t dˆξ s eltűnik, ha t s. 22

23 Q-disszipáció (a mikroszkopikus levezetés) Kétállapotú atom + bozonvákuum (a tartály) Q-Itoval a teljes Hamilton: Ĥdt + ĤSRdt = ωˆndt + Γ(âdˆξ + h.c.) A tartály ĤR Hamiltonja érdektelen a Markovi közelítés miatt. Standard mikroszkopikus modellben ˆϱ ˆϱ R ˆϱˆϱ R kezdőállapotot fejlesztünk: d(ˆϱˆϱ R ) = exp[ iωˆndt i Γ(âdˆξ +h.c.)]ˆϱˆϱ R exp[iωˆndt+i Γ(âdˆξ +h.c.)] ˆϱˆϱ R Jobb-oldalt dt rendben kiértékeljük, és dˆϱ = tr R d(ˆϱˆϱ R )-hez kiértékeljük valamennyi tr dˆξ ˆϱ R, tr dˆξdˆξ ˆϱ R, tr dˆξdˆξ ˆϱ R, tr dˆξ ˆϱ R dˆξ, stb. faktort, ezek többsége 0, de pl. tr dˆξ ˆϱ R dˆξ = dt: Ez éppen a spontán bomlás ME! dˆϱ = iω[ˆn, ˆϱ]dt + Γ ( âˆϱâ 1 2 {ˆn, ˆϱ}) dt Alternatív formalizmus: Heisenberg-Ito egy.: dâ = exp[iωˆndt + i Γ(âdˆξ + h.c.)]â exp[ iωˆndt i Γ(âdˆξ + h.c.)] â = (iω Γ)âdt + i Γ(2ˆn 1)dˆξ Elsö tag: u.a., mint â egyenlete. Második tag: a tartály járuléka. Kanonikus reláció, {â, â } = 1, megőrződik a dˆξ járuléka segítségével: d{â, â } = { (iω Γ)âdt + i Γ(2ˆn 1)dˆξ, â } + h.c. + Γ{(2ˆn 1)dˆξ, (2ˆn 1)dˆξ } = (iω Γ){â, â }dt + h.c. + i Γ{2ˆn 1, â }dˆξ + h.c. + Γ(2ˆn 1) 2 {dˆξ, dˆξ } Ez 0, mert {â, â } = 1, {2ˆn 1, â } = 0, (2ˆn 1) 2 = 1 és {dˆξ, dˆξ } = dt. 23

24 Q-disszipáció (a mikroszkopikus levezetés) E.m. üreg oszcillátor + bozonvákuum (a tartály) Hála Fock-nak, u.a., mint kétállapotú atom. Q-Itoval a teljes Hamilton: Ĥdt + ĤSRdt = ωˆndt + Γ(âdˆξ + h.c.) A tartály ĤR Hamiltonja érdektelen a Markovi közelítés miatt. Standard mikroszkopikus modellben ˆϱ ˆϱ R ˆϱˆϱ R kezdőállapotot fejlesztünk: d(ˆϱˆϱ R ) = exp[ iωˆndt i Γâdˆξ +h.c.)]ˆϱˆϱ R exp[iωˆndt+i Γ(âdˆξ +h.c.)] ˆϱˆϱ R Jobb-oldalt dt rendben kiértékeljük, és dˆϱ = tr R d(ˆϱˆϱ R )-hez kiértékeljük valamennyi tr dˆξ ˆϱ R, tr dˆξdˆξ ˆϱ R, tr dˆξdˆξ ˆϱ R, tr dˆξ ˆϱ R dˆξ, stb. faktort, ezek többsége 0, de pl. tr dˆξ ˆϱ R dˆξ = dt: dˆϱ = iω[ˆn, ˆϱ]dt + Γ ( âˆϱâ 1 2 {ˆn, ˆϱ}) dt Ez éppen a csillapított oszci ME! (Azonos alakú az atomi spontán bomlás ME-tel.) Alternatív formalizmus: Heisenberg-Ito egy.: dâ = exp[iωˆndt + i Γ(âdˆξ + h.c.)]â exp[ iωˆndt i Γ(âdˆξ + h.c.)] â = (iω Γ)âdt i Γdˆξ Elsö tag: u.a., mint â egyenlete. Második tag: a tartály járuléka A tartály járuléka más alakú, mint atomi sp. bomlás Heisenberg-Ito egy.-ben. Kanonikus reláció, [â, â ] = 1, megőrződik a dˆξ járuléka segítségével: d[â, â ] = [ (iω Γ)âdt i Γdˆξ, â ] + h.c. + Γ[dˆξ, dˆξ ] = (iω Γ)[â, â ]dt + h.c. + Γ[dˆξ, dˆξ ] = 0 Mert dˆξ, dˆξ mindig kommutálnak â, â -vel, [â, â ] = 1, és [dˆξ, dˆξ ] = dt. 24

25 Q-hőtartály: bozonos, Markov közelítésben H R a tartály Hilbert tere, ˆϱ R a tartály T > 0 egyensúlyi állapota ˆξ t, ˆξ t a bozontér markovi közelítésben, Fock-szerű reprezentációban Ugyanaz, mint a bozonvákuum tartály, csak ˆϱ R változott, és ˆξ t ˆξ s 0 többé. Rögtön minden Ito-val (β = 1/k B T ): 0) [dˆξ, dˆξ ] = dt 1) dˆξ = dˆξ = 0 2) dˆξ dt dˆξ =, dˆξdˆξ dt =, (dˆξ) 2 = (dˆξ ) 2 = 0 exp(βɛ) 1 1 exp( βɛ) 3) f(ˆξ)dˆξ = 0 Emellett mindig eltűnik dˆξ t dˆξ s, dˆξ t dˆξ s. Továbbá dˆξ t, dˆξ s kommutál, dˆξ t dˆξ s és dˆξ t dˆξ s eltűnik, ha t s. 25

26 Q-disszipáció T > 0 ( mikroszkopikus levezetés) atom/oszci + Q-hőtartály (markovi közelítésben) Hála Fock-nak, atom/oszci u.a. Q-Itoval a teljes Hamilton: Ĥdt + ĤSRdt = ωˆndt + Γ(âdˆξ + h.c.) A tartály ĤR Hamiltonja érdektelen a Markovi közelítés miatt. Standard mikroszkopikus modellben ˆϱ ˆϱ R ˆϱˆϱ R kezdőállapotot fejlesztünk: d(ˆϱˆϱ R ) = exp[ iωˆndt i Γâdˆξ +h.c.)]ˆϱˆϱ R exp[iωˆndt+i Γ(âdˆξ +h.c.)] ˆϱˆϱ R Jobb-oldalt dt rendben kiértékeljük, és dˆϱ = tr R d(ˆϱˆϱ R )-hez kiértékeljük valamennyi tr dˆξ ˆϱ R, tr dˆξdˆξ ˆϱ R, tr dˆξdˆξ ˆϱ R, tr dˆξ ˆϱ R dˆξ, stb. faktort, ezek többsége 0, de pl. tr dˆξ ˆϱ R dˆξ = dt 1 exp( βɛ), tr dˆξ ˆϱ R dˆξ = Vegyük észre: a második e βɛ -szor kisebb, mint az első! Eredmény: dˆϱ tr R d(ˆϱˆϱ R ) = dt exp(βɛ) 1 = iω[ˆn, ˆϱ]dt + Γ β (âˆϱâ 1 2 {ˆn, ˆϱ}) dt + e βɛ Γ β (â ˆϱâ 1 2 {ââ, ˆϱ} ) dt ahol Γ β = Γ/[1 exp( βɛ)] a T -függő bomlási sebesség. Az atom/oszci közös alakú ME-e T > 0 hőtartályban: dˆϱ dt = iω[ˆn, ˆϱ] + Γ β (âˆϱâ 1{ˆn, ˆϱ}) + e βɛ (â Γ 2 β ˆϱâ 1 2 {ââ, ˆϱ} ) Az első Lindblad járulék: disszipáció (bomlás, csillapodás), sebessége: Γ β = Γ 1 exp( βɛ) A második Lindblad járulék: pumpálás (a hőtartályból a rendszerbe), sebessége: e βɛ Γ Γ β = exp(βɛ) 1 A kettő harcából termikus egyensúlyi állapot: ˆϱ β = 1 Z β exp( βɛˆn) Ez stac. állapota a ME-nek. ME jobboldala el kell tűnjön ˆϱ = ˆϱ β -ra. Első tag o.k., marad Γ β -szor: âe βɛˆn â ˆne βɛˆn + e βɛ â e βɛˆn â e βɛ ââ e βɛˆn Az első tag kiejti az utolsót (hasonlóan a belső két tag egymást). Biz: âe βɛˆn â = e βɛˆn e βɛˆn âe βɛˆn â = e βɛˆn e βɛ âe βɛˆn â = e βɛ ââ e βɛˆn 26

27 A Q-tartály Markovi közelítése Ez lett volna a záró előadás, ha megtartom. Így csak meséltem róla: A Q-hőtartály egzakt mikroszkopikus modellje pl. a másodkvantált fekete-test sugárzás, majdan lineárisan csatolva az atom/oszci-hoz. A másodkvantált e.m. tér ilyenkor Markovi közelítésben a ˆξ térrel írható le, az atom/oszci-val való kölcsönhatás szempontjából. A markovi Q-hőtartály már figyelembe veszi az atom/oszci ɛ gerjesztési energiáját (a ˆξ tér korrelációi nem csak T -től, ɛ-tól is függnek). Másik atom/oszcihoz (ha más az ɛ) másik markovi Q-hőtartály tartozik. A Markovi Q-hőtartályunk ezért nem univerzális. (Pedig elvárhatnánk: termodinamikában ugyanazon hőtartály bármilyen gyengén hozzácsatolt rendszert termikus egysúlyba juttat a tartállyal. Ez Q-hőtartályokra nem tud ilyen univerzális lenni.) Ami még kimaradt R környező rendszer info-gyűjtő (mérő) rendszer R alaphatásai lokalizáció (mért-megfigyelt diffúzió) Alapjelenségek Folytonos mérés (kl+q) Trajektória vagy mászter egyenlet? Q-trajektóriára egyetlen futó (épp nem MC-barát) példa jutott. Amire sok időt kellett szánni, mert alapvető Fél tucat Q-mászter egyenlet. 27

Dekoherencia Markovi Dinamika Diósi Lajos. Elméleti Fizikai Iskola Tihany, augusztus szeptember 3.

Dekoherencia Markovi Dinamika Diósi Lajos. Elméleti Fizikai Iskola Tihany, augusztus szeptember 3. Dekoherencia Markovi Dinamika Diósi Lajos Elméleti Fizikai Iskola Tihany, 2010. augusztus 30. - szeptember 3. Tartalomjegyzék 1 Projektív dekoherencia 2 Nyitott rendszer - Lindblad egy. 3 Dekoherencia

Részletesebben

Kvantum termodinamika

Kvantum termodinamika Kvantum termodinamika Diósi Lajos MTA Wigner FK Budapest 2014. febr. 4. Diósi Lajos (MTA Wigner FKBudapest) Kvantum termodinamika 2014. febr. 4. 1 / 12 1 Miért van 1 qubitnek termodinamikája? 2 QuOszcillátor/Qubit:

Részletesebben

A spin. November 28, 2006

A spin. November 28, 2006 A spin November 28, 2006 1 A spin a kvantummechanikában Az elektronnak és sok más kvantummechanikai részecskének is van egy saját impulzusnyomatéka amely független a mozgásállapottól. (Úgy is mondhatjuk,

Részletesebben

Tárgymutató. dinamika, 5 dinamikai rendszer, 4 végtelen sok állapotú, dinamikai törvény, 5 dinamikai törvények, 12 divergencia,

Tárgymutató. dinamika, 5 dinamikai rendszer, 4 végtelen sok állapotú, dinamikai törvény, 5 dinamikai törvények, 12 divergencia, Tárgymutató állapottér, 3 10, 107 általánosított impulzusok, 143 147 általánosított koordináták, 143 147 áramlás, 194 197 Arisztotelész mozgástörvényei, 71 77 bázisvektorok, 30 centrifugális erő, 142 ciklikus

Részletesebben

Sztochasztikus folyamatok alapfogalmak

Sztochasztikus folyamatok alapfogalmak Matematikai Modellalkotás Szeminárium 2012. szeptember 4. 1 Folytonos idejű Markov láncok 2 3 4 1 Folytonos idejű Markov láncok 2 3 4 Folytonos idejű Markov láncok I Adott egy G = (V, E) gráf Folytonos

Részletesebben

Klasszikus és kvantum fizika

Klasszikus és kvantum fizika Klasszikus és kvantum fizika valamint a Wigner függvény T.S. Biró MTA Fizikai Kutatóközpont, Budapest 2017. november 13. T.S.Biró Wigner 115, Budapest, 2017. Nov. 15. Biró Klassz kvantum 1 / 22 Abstract

Részletesebben

Modern fejlemények a kvantumelméletben. Elméleti Fizikai Iskola Tihany, 2010. augusztus 30. - szeptember 3.

Modern fejlemények a kvantumelméletben. Elméleti Fizikai Iskola Tihany, 2010. augusztus 30. - szeptember 3. Modern fejlemények a kvantumelméletben Bevezetés Ádám Péter, Diósi Lajos Elméleti Fizikai Iskola Tihany, 2010. augusztus 30. - szeptember 3. Iskola témája, bevezetés célja Iskola témája kvantumoptika és

Részletesebben

Differenciálegyenletek numerikus integrálása április 9.

Differenciálegyenletek numerikus integrálása április 9. Differenciálegyenletek numerikus integrálása 2018. április 9. Differenciálegyenletek Olyan egyenletek, ahol a megoldást függvény alakjában keressük az egyenletben a függvény és deriváltjai szerepelnek

Részletesebben

Az elméleti mechanika alapjai

Az elméleti mechanika alapjai Az elméleti mechanika alapjai Tömegpont, a továbbiakban részecske. A jelenségeket a háromdimenziós térben és időben játszódnak le: r helyzetvektor v dr dt ṙ, a dr dt r a részecske sebessége illetve gyorsulása.

Részletesebben

Evans-Searles fluktuációs tétel

Evans-Searles fluktuációs tétel Az idő folyásának iránya Evans-Searles fluktuációs tétel Osváth Szabolcs Semmelweis Egyetem a folyamatok iránya a termodinamikai második főtétele alapján Nincs olyan folyamat, amelynek egyetlen eredménye,

Részletesebben

összetevője változatlan marad, a falra merőleges összetevő iránya ellenkezőjére változik, miközben nagysága ugyanakkora marad.

összetevője változatlan marad, a falra merőleges összetevő iránya ellenkezőjére változik, miközben nagysága ugyanakkora marad. A termodinamika 2. főtétele kis rendszerekben Osváth Szabolcs Semmelweis Egyetem Statisztikus sokaságok Nyomás Nyomás: a tartály falával ütköző molekulák, a falra erőt fejtenek ki Az ütközésben a részecske

Részletesebben

Lagrange és Hamilton mechanika

Lagrange és Hamilton mechanika Lagrange és 2010. október 17. Lagrange és Tartalom 1 Variáció Lagrange egyenlet Legendre transzformáció Hamilton egyenletek 2 3 Szimplektikus sokaság Hamilton mez Hamilton és Lagrange egyenletek ekvivalenciája

Részletesebben

Kvantummechanika gyakorlat Beadandó feladatsor Határid : 4. heti gyakorlatok eleje

Kvantummechanika gyakorlat Beadandó feladatsor Határid : 4. heti gyakorlatok eleje Kvantummechanika gyakorlat 015 1. Beadandó feladatsor Határid : 4. heti gyakorlatok eleje 1. Mutassuk meg, hogy A és B tetsz leges operátorokra igaz, hogy e B A e B = A + [B, A] + 1![ B, [B, A] ] +....

Részletesebben

1 A kvantummechanika posztulátumai

1 A kvantummechanika posztulátumai A kvantummechanika posztulátumai October 29, 2006 A kvantummechanika posztulátumai Célunk felépíteni a kvantummechanikát posztulátumok segítségével úgy ahogy az elemi hullámmechanika során eljártunk. Arra

Részletesebben

Differenciálegyenletek december 13.

Differenciálegyenletek december 13. Differenciálegyenletek 2018. december 13. Elsőrendű DE Definíció. Az elsőrendű differenciálegyenlet általános alakja y = f (x, y), ahol f (x, y) adott kétváltozós függvény. Minden y = y(x) függvény, amire

Részletesebben

"Flat" rendszerek. definíciók, példák, alkalmazások

Flat rendszerek. definíciók, példák, alkalmazások "Flat" rendszerek definíciók, példák, alkalmazások Hangos Katalin, Szederkényi Gábor szeder@scl.sztaki.hu, hangos@scl.sztaki.hu 2006. október 18. flatness - p. 1/26 FLAT RENDSZEREK: Elméleti alapok 2006.

Részletesebben

A kvantummechanika kísérleti előzményei A részecske hullám kettősségről

A kvantummechanika kísérleti előzményei A részecske hullám kettősségről A kvantummechanika kísérleti előzményei A részecske hullám kettősségről Utolsó módosítás: 2016. május 4. 1 Előzmények Franck-Hertz-kísérlet (1) A Franck-Hertz-kísérlet vázlatos elrendezése: http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/frhz.html

Részletesebben

Lineáris leképezések. Wettl Ferenc március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések március 9. 1 / 31

Lineáris leképezések. Wettl Ferenc március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések március 9. 1 / 31 Lineáris leképezések Wettl Ferenc 2015. március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések 2015. március 9. 1 / 31 Tartalom 1 Mátrixleképezés, lineáris leképezés 2 Alkalmazás: dierenciálhatóság 3 2- és 3-dimenziós

Részletesebben

Boros Zoltán február

Boros Zoltán február Többváltozós függvények differenciál- és integrálszámítása (2 3. előadás) Boros Zoltán 209. február 9 26.. Vektorváltozós függvények differenciálhatósága és iránymenti deriváltjai A továbbiakban D R n

Részletesebben

Kvantummechanikai alapok I.

Kvantummechanikai alapok I. Kvantummechanikai alapok I. Dr. Berta Miklós bertam@sze.hu 2017. szeptember 21. 1 / 41 Állapotfüggvény. Dinamikai egyenlet. Ψ(r, t) 2 / 41 Állapotfüggvény. Dinamikai egyenlet. Ψ(r, t) Ψ(r, t)-csak a hely

Részletesebben

MSC ELMÉLETI FIZIKA SZIGORLAT TÉTELEK. A-01. Tétel A KLASSZIKUS FIZIKA ÉS A NEMRELATIVISZTIKUS KVANTUMMECHANIKA ALAPEGYENLETEI.

MSC ELMÉLETI FIZIKA SZIGORLAT TÉTELEK. A-01. Tétel A KLASSZIKUS FIZIKA ÉS A NEMRELATIVISZTIKUS KVANTUMMECHANIKA ALAPEGYENLETEI. MSC ELMÉLETI FIZIKA SZIGORLAT TÉTELEK A-01. Tétel A KLASSZIKUS FIZIKA ÉS A NEMRELATIVISZTIKUS KVANTUMMECHANIKA ALAPEGYENLETEI. A klasszikus mechanika elvei. A Newton axiómák. A Lagrange és a Hamilton formalizmus

Részletesebben

Miért fontos számunkra az előző gyakorlaton tárgyalt lineáris algebrai ismeretek

Miért fontos számunkra az előző gyakorlaton tárgyalt lineáris algebrai ismeretek Az november 23-i szeminárium témája Rövid összefoglaló Miért fontos számunkra az előző gyakorlaton tárgyalt lineáris algebrai ismeretek felfrissítése? Tekintsünk ξ 1,..., ξ k valószínűségi változókat,

Részletesebben

1. Prefix jelentések. 2. Mi alapján definiáljuk az 1 másodpercet? 3. Mi alapján definiáljuk az 1 métert? 4. Mi a tömegegység definíciója?

1. Prefix jelentések. 2. Mi alapján definiáljuk az 1 másodpercet? 3. Mi alapján definiáljuk az 1 métert? 4. Mi a tömegegység definíciója? 1. Prefix jelentések. 10 1 deka 10-1 deci 10 2 hektó 10-2 centi 10 3 kiló 10-3 milli 10 6 mega 10-6 mikró 10 9 giga 10-9 nano 10 12 tera 10-12 piko 10 15 peta 10-15 fento 10 18 exa 10-18 atto 2. Mi alapján

Részletesebben

Az impulzusnyomatékok általános elmélete

Az impulzusnyomatékok általános elmélete Az impulzusnyomatékok általános elmélete November 27, 2006 Az elemi kvantummechanika keretében tárgyaltuk már az impulzusnyomatékot. A továbbiakban általánosítjuk az impulzusnyomaték fogalmát a kvantummechanikában

Részletesebben

Univerzalitási osztályok nemegyensúlyi rendszerekben, Ódor Géza

Univerzalitási osztályok nemegyensúlyi rendszerekben, Ódor Géza Univerzalitási osztályok nemegyensúlyi rendszerekben, Ódor Géza odor@mfa.kfki.hu 1. Bevezetõ, dinamikus skálázás, kritikus exponensek, térelmélet formalizmus, renormalizáció, topológius fázis diagrammok,

Részletesebben

Szilárd testek sugárzása

Szilárd testek sugárzása A fény keletkezése Szilárd testek sugárzása A szilárd test melegítés hatására fényt bocsát ki A sugárzás forrása a közelítőleg termikus egyensúlyban lévő kibocsátó test atomi részecskéinek véletlenszerű

Részletesebben

Kvantumos információ megosztásának és feldolgozásának fizikai alapjai

Kvantumos információ megosztásának és feldolgozásának fizikai alapjai Kvantumos információ megosztásának és feldolgozásának fizikai alapjai Kis Zsolt Kvantumoptikai és Kvantuminformatikai Osztály MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont H-1121 Budapest, Konkoly-Thege Miklós út 29-33

Részletesebben

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Gazdasági matematika II tárgy gyakorlataihoz a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottnak tekintjük a nehezebb

Részletesebben

Abszorpciós spektrumvonalak alakja. Vonalak eredete (ld. előző óra)

Abszorpciós spektrumvonalak alakja. Vonalak eredete (ld. előző óra) Abszorpciós spektrumvonalak alakja Vonalak eredete (ld. előző óra) Nagysága Kiszélesedése Elem mennyiségének becslése a vonalerősségből Elemi statfiz Boltzmann-faktor: Megadja egy állapot súlyát a sokaságban

Részletesebben

3. (b) Kereszthatások. Utolsó módosítás: április 1. Dr. Márkus Ferenc BME Fizika Tanszék

3. (b) Kereszthatások. Utolsó módosítás: április 1. Dr. Márkus Ferenc BME Fizika Tanszék 3. (b) Kereszthatások Utolsó módosítás: 2013. április 1. Vezetési együtthatók fémekben (1) 1 Az elektrongáz hővezetési együtthatója A levezetésben alkalmazott feltételek: 1. Minden elektron ugyanazzal

Részletesebben

Pósfay Péter. arxiv: [hep-th] Eur. Phys. J. C (2015) 75: 2 PoS(EPS-HEP2015)369

Pósfay Péter. arxiv: [hep-th] Eur. Phys. J. C (2015) 75: 2 PoS(EPS-HEP2015)369 arxiv:1604.01717 [hep-th] Eur. Phys. J. C (2015) 75: 2 PoS(EPS-HEP2015)369 Pósfay Péter ELTE, Wigner FK Témavezetők: Jakovác Antal, Barnaföldi Gergely G. Motiváció FRG módszer bemutatása Kölcsönható Fermi-gáz

Részletesebben

Az egydimenziós harmonikus oszcillátor

Az egydimenziós harmonikus oszcillátor Az egydimenziós harmonikus oszcillátor tárgyalása az általános formalizmus keretében November 7, 006 Példaképpen itt megmutatjuk, hogyan lehet a kvantumos egydimenziós harmonikus oszcillátort tárgyalni

Részletesebben

Alkalmazás a makrókanónikus sokaságra: A fotongáz

Alkalmazás a makrókanónikus sokaságra: A fotongáz Alkalmazás a makrókanónikus sokaságra: A fotongáz A fotonok az elektromágneses sugárzás hordozó részecskéi. Spinkvantumszámuk S=, tehát kvantumstatisztikai szempontból bozonok. Fotonoknak habár a spinkvantumszámuk,

Részletesebben

Összefonódottság detektálása tanúoperátorokkal

Összefonódottság detektálása tanúoperátorokkal Összefonódottság detektálása tanúoperátorokkal Tóth Géza Max-Plank-Intitute für Quantenoptik, Garching, Németország Budapest, 2005. október 4. Motiváció Miért érdekes a kvantum-informatika? Alapvető problémák

Részletesebben

Bevezetés az algebrába 2 Differencia- és differenciálegyenlet-rendszerek

Bevezetés az algebrába 2 Differencia- és differenciálegyenlet-rendszerek Bevezetés az algebrába 2 Differencia- és differenciálegyenlet-rendszerek Algebra Tanszék B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E

Részletesebben

Alkalmazott spektroszkópia

Alkalmazott spektroszkópia Alkalmazott spektroszkópia 009 Bányai István MR és a fémionok: koordinációs kémiai alkalmazások Bányai István Debreceni Egyetem TEK Kolloid- és Környezetkémiai Tanszék A mágnesség A mágneses erő: F pp

Részletesebben

1.1. Vektorok és operátorok mátrix formában

1.1. Vektorok és operátorok mátrix formában 1. Reprezentáció elmélet 1.1. Vektorok és operátorok mátrix formában A vektorok és az operátorok mátrixok formájában is felírhatók. A végtelen dimenziós ket vektoroknak végtelen sok sort tartalmazó oszlopmátrix

Részletesebben

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság.

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság. 2. Közönséges differenciálegyenlet megoldása, megoldhatósága Definíció: Az y függvényt a valós számok H halmazán a közönséges differenciálegyenlet megoldásának nevezzük, ha az y = y(x) helyettesítést elvégezve

Részletesebben

Parciális dierenciálegyenletek

Parciális dierenciálegyenletek Parciális dierenciálegyenletek 2009. május 25. A félév lezárásaként néhány alap-deníciót és alap-példát szeretnék adni a Parciális Dierenciálegynletek (PDE) témaköréb l. Épp csak egy kis izelít t. Az alapfeladatok

Részletesebben

Konstruktív dekoherencia kvantumrendszerekben

Konstruktív dekoherencia kvantumrendszerekben Doktori disszertáció Pécsi Tudományegyetem Természettudományi Kar Fizika Doktori Iskola Kárpáti Attila Konstruktív dekoherencia kvantumrendszerekben témavezető: Dr. Ádám Péter a fizika tudomány kandidátusa

Részletesebben

2. (d) Hővezetési problémák II. főtétel - termoelektromosság

2. (d) Hővezetési problémák II. főtétel - termoelektromosság 2. (d) Hővezetési problémák II. főtétel - termoelektromosság Utolsó módosítás: 2015. március 10. Kezdeti érték nélküli problémák (1) 1 A fél-végtelen közeg a Az x=0 pontban a tartományban helyezkedik el.

Részletesebben

Fluktuáló terű transzverz Ising-lánc dinamikája

Fluktuáló terű transzverz Ising-lánc dinamikája 2016. szeptember 8. Phys. Rev. B 93, 134305 Modell H(t) = 1 2 L 1 σi x σi+1 x h(t) 2 i=1 h(t)-fluktuáló mágneses tér. Hogyan terjednek jelek a zajos rendszerben? L σi z, i=1 Zajok típusai 1 fehér zaj 2

Részletesebben

Differenciálegyenletek

Differenciálegyenletek DE 1 Ebben a részben I legyen mindig pozitív hosszúságú intervallum DE Definíció: differenciálegyenlet Ha D n+1 nyílt halmaz, f:d folytonos függvény, akkor az y (n) (x) f ( x, y(x), y'(x),..., y (n-1)

Részletesebben

Az alábbi fogalmak és törvények jelentését/értelmezését/matematikai alakját (megfelelő mélységben) ismerni kell: Newtoni mechanika

Az alábbi fogalmak és törvények jelentését/értelmezését/matematikai alakját (megfelelő mélységben) ismerni kell: Newtoni mechanika Az alábbi fogalmak és törvények jelentését/értelmezését/matematikai alakját (megfelelő mélységben) ismerni kell: Newtoni mechanika 1. előadás Vonatkoztatási rendszer Hely-idő-tömeg standardok 3-dimenziós

Részletesebben

3. előadás Stabilitás

3. előadás Stabilitás Stabilitás 3. előadás 2011. 09. 19. Alapfogalmak Tekintsük dx dt = f (t, x), x(t 0) = x 0 t (, ), (1) Jelölje t x(t; t 0, x 0 ) vagy x(.; t 0, x 0 ) a KÉF megoldását. Kívánalom: kezdeti állapot kis megváltozása

Részletesebben

az Aharonov-Bohm effektus a vektorpotenciál problémája E = - 1/c A/ t - φ és B = x A csak egy mértéktranszformáció erejéig meghatározott nincs fizikai

az Aharonov-Bohm effektus a vektorpotenciál problémája E = - 1/c A/ t - φ és B = x A csak egy mértéktranszformáció erejéig meghatározott nincs fizikai az Aharonov-Bohm effektus a vektorpotenciál problémája E = - 1/c A/ t - φ és B = x A csak egy mértéktranszformáció erejéig meghatározott nincs fizikai jelentése? a kvantummechanikában ih m» a hullámfüggvény

Részletesebben

Lagrange egyenletek. Úgy a virtuális munka mint a D Alembert-elv gyakorlati alkalmazását

Lagrange egyenletek. Úgy a virtuális munka mint a D Alembert-elv gyakorlati alkalmazását Lagrange egyenletek Úgy a virtuális munka mint a D Alembert-elv gyakorlati alkalmazását megnehezíti a δr i virtuális elmozdulások egymástól való függősége. (F i ṗ i )δx i = 0, i = 1, 3N. (1) i 3N infinitezimális

Részletesebben

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 15 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 151 Lineáris egyenletrendszer, Gauss elimináció 1 Definíció Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az (1) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a

Részletesebben

Markov-láncok stacionárius eloszlása

Markov-láncok stacionárius eloszlása Markov-láncok stacionárius eloszlása Adatbányászat és Keresés Csoport, MTA SZTAKI dms.sztaki.hu Kiss Tamás 2013. április 11. Tartalom Markov láncok definíciója, jellemzése Visszatérési idők Stacionárius

Részletesebben

Reológia Mérési technikák

Reológia Mérési technikák Reológia Mérési technikák Reológia Testek (és folyadékok) külső erőhatásra bekövetkező deformációját, mozgását írja le. A deformációt irreverzibilisnek nevezzük, ha a az erőhatás megszűnése után a test

Részletesebben

January 16, ψ( r, t) ψ( r, t) = 1 (1) ( ψ ( r,

January 16, ψ( r, t) ψ( r, t) = 1 (1) ( ψ ( r, Közelítő módszerek January 16, 27 1 A variációs módszer A variációs módszer szintén egy analitikus közelítő módszer. Olyan esetekben alkalmazzuk mikor ismert az analitikus alak amelyben keressük a sajátfüggvényt,

Részletesebben

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat.

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat. Poisson folyamatok, exponenciális eloszlások Azt mondjuk, hogy a ξ valószínűségi változó Poisson eloszlású λ, 0 < λ

Részletesebben

Azonos és egymással nem kölcsönható részecskékből álló kvantumos rendszer makrókanónikus sokaságban.

Azonos és egymással nem kölcsönható részecskékből álló kvantumos rendszer makrókanónikus sokaságban. Kvantum statisztika A kvantummechanika előadások során már megtanultuk, hogy az anyagot felépítő részecskék nemklasszikus, hullámtulajdonságokkal is rendelkeznek aminek következtében viselkedésük sok szempontból

Részletesebben

Gauss-Jordan módszer Legkisebb négyzetek módszere, egyenes LNM, polinom LNM, függvény. Lineáris algebra numerikus módszerei

Gauss-Jordan módszer Legkisebb négyzetek módszere, egyenes LNM, polinom LNM, függvény. Lineáris algebra numerikus módszerei A Gauss-Jordan elimináció, mátrixinvertálás Gauss-Jordan módszer Ugyanazzal a technikával, mint ahogy a k-adik oszlopban az a kk alatti elemeket kinulláztuk, a fölötte lévő elemeket is zérussá lehet tenni.

Részletesebben

Gázok. 5-7 Kinetikus gázelmélet 5-8 Reális gázok (limitációk) Fókusz Légzsák (Air-Bag Systems) kémiája

Gázok. 5-7 Kinetikus gázelmélet 5-8 Reális gázok (limitációk) Fókusz Légzsák (Air-Bag Systems) kémiája Gázok 5-1 Gáznyomás 5-2 Egyszerű gáztörvények 5-3 Gáztörvények egyesítése: Tökéletes gáz egyenlet és általánosított gáz egyenlet 5-4 A tökéletes gáz egyenlet alkalmazása 5-5 Gáz halmazállapotú reakciók

Részletesebben

Erős terek leírása a Wigner-formalizmussal

Erős terek leírása a Wigner-formalizmussal Erős terek leírása a Wigner-formalizmussal Berényi Dániel 1, Varró Sándor 1, Vladimir Skokov 2, Lévai Péter 1 1, MTA Wigner FK, Budapest 2, RIKEN/BNL, Upton, USA Wigner 115 2017. November 15. Budapest

Részletesebben

DINAMIKAI VIZSGÁLAT ÁLLAPOTTÉRBEN. 2003.11.06. Dr. Aradi Petra, Dr. Niedermayer Péter: Rendszertechnika segédlet 1

DINAMIKAI VIZSGÁLAT ÁLLAPOTTÉRBEN. 2003.11.06. Dr. Aradi Petra, Dr. Niedermayer Péter: Rendszertechnika segédlet 1 DINAMIKAI VIZSGÁLAT ÁLLAPOTTÉRBEN 2003..06. Dr. Aradi Petra, Dr. Niedermayer Péter: Rendszertechnika segédlet Egy bemenetű, egy kimenetű rendszer u(t) diff. egyenlet v(t) zárt alakban n-edrendű diff. egyenlet

Részletesebben

Termodinamika (Hőtan)

Termodinamika (Hőtan) Termodinamika (Hőtan) Termodinamika A hőtan nagyszámú részecskéből (pl. gázmolekulából) álló makroszkópikus rendszerekkel foglalkozik. A nagy számok miatt érdemes a mólt bevezetni, ami egy Avogadro-számnyi

Részletesebben

Geometriai vagy kinematikai természetű feltételek: kötések vagy. kényszerek. 1. Egy apró korong egy mozdulatlan lejtőn vagy egy gömb belső

Geometriai vagy kinematikai természetű feltételek: kötések vagy. kényszerek. 1. Egy apró korong egy mozdulatlan lejtőn vagy egy gömb belső Kényszerek Geometriai vagy kinematikai természetű feltételek: kötések vagy kényszerek. Példák: 1. Egy apró korong egy mozdulatlan lejtőn vagy egy gömb belső felületén mozog. Kényszerek Geometriai vagy

Részletesebben

MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS

MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS Szerkesztette: Balogh Tamás 214. december 7. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így

Részletesebben

Mechanika, dinamika. p = m = F t vagy. m t

Mechanika, dinamika. p = m = F t vagy. m t Mechanika, dinamika Mozgás, alakváltozás és ennek háttere Newton: a mozgás természetes állapot. A témakör egyik kulcsfontosságú fizikai mennyisége az impulzus (p), vagy lendület, vagy mozgásmennyiség.

Részletesebben

Kvantummechanika. - dióhéjban - Kasza Gábor július 5. - Berze TÖK

Kvantummechanika. - dióhéjban - Kasza Gábor július 5. - Berze TÖK Kvantummechanika - dióhéjban - Kasza Gábor 2016. július 5. - Berze TÖK 1 / 27 Mire fogunk választ kapni az előadásból? Miért KVANTUMmechanika? Miért részecske? Miért hullám? Mit mond a Schrödinger-egyenlet?

Részletesebben

SCHRÖDINGER-EGYENLET SCHRÖDINGER-EGYENLET

SCHRÖDINGER-EGYENLET SCHRÖDINGER-EGYENLET SCHRÖDINGER-EGYENLET A Scrödinger-egyenlet a kvantummecanika mozgásegyenlet, Newton II. törvényével analóg. Nem vezetető le korábbi elvekből, de intuitívan bevezetető. Egy atározott energiával és impulzussal

Részletesebben

Véletlen bolyongás. 2. rész. Márkus László jegyzete alapján Tóth Tamás december 10.

Véletlen bolyongás. 2. rész. Márkus László jegyzete alapján Tóth Tamás december 10. 2. rész 2012. december 10. Határeloszlás tételek a bolyongás funkcionáljaira 1 A bolygó pont helyzete: EX i = 0, D 2 X i = EX 2 = 1 miatt i ES n = 0, D 2 S n = n, és a centrális határeloszlás tétel (CHT)

Részletesebben

Steven Weinberg: Mi történik egy kvantummechanikai mérés során?

Steven Weinberg: Mi történik egy kvantummechanikai mérés során? QM és CP Weinberg válasz Steven Weinberg: Mi történik egy kvantummechanikai mérés során? (magyar hangja Vecsernyés Péter) Wigner FK, Budapest CICO, Szeged 2016.01.01. Kivonat QM és CP Weinberg válasz A

Részletesebben

Sajátértékek és sajátvektorok. mf1n1a06- mf1n2a06 Csabai István

Sajátértékek és sajátvektorok. mf1n1a06- mf1n2a06 Csabai István Sajátértékek és sajátvektorok A fizika numerikus módszerei I. mf1n1a06- mf1n2a06 Csabai István Lineáris transzformáció Vektorok lineáris transzformációja: általános esetben az x vektor iránya és nagysága

Részletesebben

Fraktálok. Kontrakciók Affin leképezések. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék. TARTALOMJEGYZÉK Kontrakciók Affin transzformációk

Fraktálok. Kontrakciók Affin leképezések. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék. TARTALOMJEGYZÉK Kontrakciók Affin transzformációk Fraktálok Kontrakciók Affin leképezések Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék TARTALOMJEGYZÉK 1 of 71 A Lipschitz tulajdonság ÁTMÉRŐ, PONT ÉS HALMAZ TÁVOLSÁGA Definíció Az (S, ρ) metrikus tér

Részletesebben

Molekulák de Broglie hullámának terjedése

Molekulák de Broglie hullámának terjedése Ábrók Levente Molekulák de Broglie hullámának terjedése Fizika BSc szakdolgozat Ábrók Levente az ELTE TTK Fizika BSc hallgatója Témavezető: Belső konzulens: Kis Zsolt MTA Szilárdtestfizikai és Optikai

Részletesebben

KVANTUMJELENSÉGEK ÚJ FIZIKA

KVANTUMJELENSÉGEK ÚJ FIZIKA KVANTUMJELENSÉGEK ÚJ FIZIKA 196 Erwin Scrödinger HULLÁMMECHANIKA 197 Werner Heisenberg MÁTRIXMECHANIKA A két különböző fizikai megközelítésről később Paul Dirac bebizonyította, ogy EGYENÉRTÉKŰEK. Erwin

Részletesebben

Készítette: Fegyverneki Sándor

Készítette: Fegyverneki Sándor VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS Összefoglaló segédlet Készítette: Fegyverneki Sándor Miskolci Egyetem, 2001. i JELÖLÉSEK: N a természetes számok halmaza (pozitív egészek) R a valós számok halmaza R 2 {(x, y) x, y

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 10 X. SZIMULÁCIÓ 1. VÉLETLEN számok A véletlen számok fontos szerepet játszanak a véletlen helyzetek generálásában (pénzérme, dobókocka,

Részletesebben

Relativisztikus pont-mechanika

Relativisztikus pont-mechanika Relativisztikus pont-mechanika Balog János MTA Wigner FK RMI, Budapest Pont-mechanika és kauzalitás, no-interaction tétel Relativisztikus és prediktív mechanika Kanonikus relativisztikus mechanika Ruijsenaars-Schneider

Részletesebben

Reakciókinetika és katalízis

Reakciókinetika és katalízis Reakciókinetika és katalízis k 4. előadás: 1/14 Különbségek a gázfázisú és az oldatreakciók között: 1 Reaktáns molekulák által betöltött térfogat az oldatreakciónál jóval nagyobb. Nincs akadálytalan mozgás.

Részletesebben

A Relativisztikus kvantummechanika alapjai

A Relativisztikus kvantummechanika alapjai A Relativisztikus kvantummechanika alapjai January 25, 2005 A kvantummechanika Schrödinger egyenletének a felírása után azonnal kiderül, hogy ez az egyenlet nem relativisztikusan kovariáns. (Aránylag könnyen

Részletesebben

Meghatározás: Olyan egyenlet, amely a független változók mellett tartalmaz egy vagy több függvényt és azok deriváltjait.

Meghatározás: Olyan egyenlet, amely a független változók mellett tartalmaz egy vagy több függvényt és azok deriváltjait. Közönséges differenciálegyenletek Meghatározás: Olyan egyenlet, amely a független változók mellett tartalmaz egy vagy több függvényt és azok deriváltjait. Célunk a függvény meghatározása Egyetlen független

Részletesebben

Határozatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Határozatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Határozatlan integrál () First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Az összetett függvények integrálására szolgáló egyik módszer a helyettesítéssel való integrálás. Az idevonatkozó tétel pontos

Részletesebben

Molekuláris dinamika I. 10. előadás

Molekuláris dinamika I. 10. előadás Molekuláris dinamika I. 10. előadás Miről is szól a MD? nagy részecskeszámú rendszerek ismerjük a törvényeket mikroszkópikus szinten minden részecske mozgását szimuláljuk? Hogyan tudjuk megérteni a folyadékok,

Részletesebben

Bevezetés a modern fizika fejezeteibe. 4. (a) Kvantummechanika. Utolsó módosítás: november 15. Dr. Márkus Ferenc BME Fizika Tanszék

Bevezetés a modern fizika fejezeteibe. 4. (a) Kvantummechanika. Utolsó módosítás: november 15. Dr. Márkus Ferenc BME Fizika Tanszék Bevezetés a modern fizika fejezeteibe 4. (a) Kvantummechanika Utolsó módosítás: 2015. november 15. 1 Előzmények Az atomok színképe (1) A fehér fény komponensekre bontható: http://en.wikipedia.org/wiki/spectrum

Részletesebben

Haladó lineáris algebra

Haladó lineáris algebra B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Haladó lineáris algebra BMETE90MX54 Lineáris leképezések 2017-02-21 IB026 Wettl Ferenc

Részletesebben

Optika és Relativitáselmélet II. BsC fizikus hallgatóknak

Optika és Relativitáselmélet II. BsC fizikus hallgatóknak Optika és Relativitáselmélet II. BsC fizikus hallgatóknak 2. Fényhullámok tulajdonságai Cserti József, jegyzet, ELTE, 2007. Az elektromágneses spektrum Látható spektrum (erre állt be a szemünk) UV: ultraibolya

Részletesebben

Van-e a vákuumnak energiája? A Casimir effektus és azon túl

Van-e a vákuumnak energiája? A Casimir effektus és azon túl Van-e a vákuumnak energiája? és azon túl MTA-ELTE Elméleti Fizikai Kutatócsoport Bolyai Kollégium, 2007. október 3. Van-e a vákuumnak energiája? és azon túl Vázlat 1 2 3 4 5 Van-e a vákuumnak energiája?

Részletesebben

A hőmérsékleti sugárzás

A hőmérsékleti sugárzás A hőmérsékleti sugárzás Alapfogalmak 1. A hőmérsékleti sugárzás Értelmezés (hőmérsékleti sugárzás): A testek hőmérsékletével kapcsolatos, a teljes elektromágneses spektrumra kiterjedő sugárzást hőmérsékleti

Részletesebben

Atomok és molekulák elektronszerkezete

Atomok és molekulák elektronszerkezete Atomok és molekulák elektronszerkezete Szabad atomok és molekulák Schrödinger egyenlete Tekintsünk egy kvantummechanikai rendszert amely N n magból és N e elektronból áll. Koordinátáikat jelölje rendre

Részletesebben

Differenciálegyenletek. Vajda István március 4.

Differenciálegyenletek. Vajda István március 4. Analízis előadások Vajda István 2009. március 4. Függvényegyenletek Definíció: Az olyan egyenleteket, amelyekben a meghatározandó ismeretlen függvény, függvényegyenletnek nevezzük. Függvényegyenletek Definíció:

Részletesebben

Határozatlansági relációk származtatása az

Határozatlansági relációk származtatása az az állapottér BME TTK Matematikus MSc. 1. évf. 2012. november 14. Vázlat: Történeti áttekintés Nemkommutatív (kvantum) valószín ségelmélet Az állapottér geometriája: Az állapottér mint Riemann-sokaság

Részletesebben

azonosságot minden 1 i, l n, 1 j k, indexre teljesítő együtthatókkal, amelyekre érvényes a = c (j) i,l l,i

azonosságot minden 1 i, l n, 1 j k, indexre teljesítő együtthatókkal, amelyekre érvényes a = c (j) i,l l,i A Cochran Fisher tételről A matematikai statisztika egyik fontos eredménye a Cochran Fisher tétel, amely a variancia analízisben játszik fontos szerepet. Ugyanakkor ez a tétel lényegét tekintve valójában

Részletesebben

Bevezetés a modern fizika fejezeteibe. 4. (b) Kvantummechanika. Utolsó módosítás: 2013. november 9. Dr. Márkus Ferenc BME Fizika Tanszék

Bevezetés a modern fizika fejezeteibe. 4. (b) Kvantummechanika. Utolsó módosítás: 2013. november 9. Dr. Márkus Ferenc BME Fizika Tanszék Bevezetés a modern fizika fejezeteibe 4. (b) Kvantummechanika Utolsó módosítás: 2013. november 9. 1 A legkisebb hatás elve (1) A legkisebb hatás elve (Hamilton-elv): S: a hatás L: Lagrange-függvény 2 A

Részletesebben

Tartalom. Typotex Kiadó

Tartalom. Typotex Kiadó Tartalom Előszó 13 1. A kvantumelmélet kezdetei 15 1.1. A Planck-féle sugárzási törvény és a szigetelő kristályok hőkapacitása 15 1.2. A fényelektromos jelenség: Lénárd és Einstein 19 1.3. Az atomos gázok

Részletesebben

SZTE Elméleti Fizikai Tanszék. Dr. Czirják Attila tud. munkatárs, c. egyetemi docens. egyetemi docens. Elméleti Fizika Szeminárium, december 17.

SZTE Elméleti Fizikai Tanszék. Dr. Czirják Attila tud. munkatárs, c. egyetemi docens. egyetemi docens. Elméleti Fizika Szeminárium, december 17. Időfüggő kvantumos szórási folyamatok Szabó Lóránt Zsolt SZTE Elméleti Fizikai Tanszék Témavezetők: Dr. Czirják Attila tud. munkatárs, c. egyetemi docens Dr. Földi Péter egyetemi docens Elméleti Fizika

Részletesebben

Gravitáció mint entropikus erő

Gravitáció mint entropikus erő Gravitáció mint entropikus erő Takács Gábor MTA-BME Lendület Statisztikus Térelméleti Kutatócsoport ELFT Elméleti Fizikai Iskola Szeged, Fizikai Intézet 2012. augusztus 28. Vázlat 1. Entropikus erő: elemi

Részletesebben

A kanonikus sokaság. :a hőtartály energiája

A kanonikus sokaság. :a hőtartály energiája A kanonikus sokaság A mikrokanonikus sokaság esetén megtanultuk, hogy a megengedett mikroállapotok egyenértéküek, és a mikróállapotok száma minimális. A mikrókanónikus sokaság azonban nem a leghasznosabb

Részletesebben

Gázok. 5-7 Kinetikus gázelmélet 5-8 Reális gázok (korlátok) Fókusz: a légzsák (Air-Bag Systems) kémiája

Gázok. 5-7 Kinetikus gázelmélet 5-8 Reális gázok (korlátok) Fókusz: a légzsák (Air-Bag Systems) kémiája Gázok 5-1 Gáznyomás 5-2 Egyszerű gáztörvények 5-3 Gáztörvények egyesítése: Tökéletes gázegyenlet és általánosított gázegyenlet 5-4 A tökéletes gázegyenlet alkalmazása 5-5 Gáz reakciók 5-6 Gázkeverékek

Részletesebben

dinamikai tulajdonságai

dinamikai tulajdonságai Szilárdtest rácsok statikus és dinamikai tulajdonságai Szilárdtestek osztályozása kötéstípusok szerint Kötések eredete: elektronszerkezet k t ionok (atomtörzsek) tö Coulomb- elektronok kölcsönhatás lokalizáltak

Részletesebben

Dinamikus modellek szerkezete, SDG modellek

Dinamikus modellek szerkezete, SDG modellek Diagnosztika - 3. p. 1/2 Modell Alapú Diagnosztika Diszkrét Módszerekkel Dinamikus modellek szerkezete, SDG modellek Hangos Katalin PE Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék Diagnosztika - 3.

Részletesebben

A TételWiki wikiből. Tekintsük a következő Hamilton-operátorral jellemezhető rendszert:

A TételWiki wikiből. Tekintsük a következő Hamilton-operátorral jellemezhető rendszert: 1 / 12 A TételWiki wikiből 1 Ritka gázok állapotegyenlete 2 Viriál sorfejtés 3 Van der Waals gázok 4 Ising-modell 4.1 Az Ising-modell megoldása 1 dimenzióban(*) 4.2 Az Ising-modell átlagtérelmélete 2 dimenzióban(**)

Részletesebben

Funkcionálanalízis. n=1. n=1. x n y n. n=1

Funkcionálanalízis. n=1. n=1. x n y n. n=1 Funkcionálanalízis 2011/12 tavaszi félév - 2. előadás 1.4. Lényeges alap-terek, példák Sorozat terek (Folytatás.) C: konvergens sorozatok tere. A tér pontjai sorozatok: x = (x n ). Ezen belül C 0 a nullsorozatok

Részletesebben

Simított részecskedinamika Smoothed Particle Hydrodynamics (SPH)

Simított részecskedinamika Smoothed Particle Hydrodynamics (SPH) Smoothed Particle Hydrodynamics (SPH) Áramlások numerikus modellezése II. Tóth Balázs BME-ÉMK Vízépítési és Vízgazdálkodási Tanszék Numerikus módszerek Osztályozás A numerikus sémák két csoportosítási

Részletesebben

Szilárdtestek mágnessége. Mágnesesen rendezett szilárdtestek

Szilárdtestek mágnessége. Mágnesesen rendezett szilárdtestek Szilárdtestek mágnessége Mágnesesen rendezett szilárdtestek 2 Mágneses anyagok Permanens atomi mágneses momentumok: irány A kétféle spin-beállású elektronok betöltöttsége különbözik (spin-polarizáció)

Részletesebben

FIZIKA I. Ez egy gázos előadás lesz! (Ideális gázok hőtana) Dr. Seres István

FIZIKA I. Ez egy gázos előadás lesz! (Ideális gázok hőtana) Dr. Seres István Ez egy gázos előadás lesz! ( hőtana) Dr. Seres István Kinetikus gázelmélet gáztörvények Termodinamikai főtételek fft.szie.hu 2 Seres.Istvan@gek.szie.hu Kinetikus gázelmélet Az ideális gáz állapotjelzői:

Részletesebben

Elektrodinamika. Maxwell egyenletek: Kontinuitási egyenlet: div n v =0. div E =4 div B =0. rot E = rot B=

Elektrodinamika. Maxwell egyenletek: Kontinuitási egyenlet: div n v =0. div E =4 div B =0. rot E = rot B= Elektrodinamika Maxwell egyenletek: div E =4 div B =0 rot E = rot B= 1 B c t 1 E c t 4 c j Kontinuitási egyenlet: n t div n v =0 Vektoranalízis rot rot u=grad divu u rot grad =0 div rotu=0 udv= ud F V

Részletesebben