Mi a pont és a vektor? Milyen műveleteket végezhetünk el a pontokon és vektorokon? Pont: Vektor: Műveletek:

Átírás

1 Mi a pont és a vektor? Milyen műveleteket végezhetünk el a pontokon és vektorokon? Pont: a(z euklideszi) tér egy eleme, amelynek semmiféle kiterjedése sincs. Vektor: geometriailag egy eltolás, aminek iránya és hossza van. A tér egy pontjához azt a másikat rendeli hozzá, ami az adott irányban, a vektornak megfelelő távolságban van. Műveletek: pont+vektor=pont ; pont-pont=vektor Vektorra: összeadás, kivonás, skalárral szorzás, vektoriális szorzat (eredmény vektorok), skaláris szorzat (eredmény skalár). Hogyan néz ki egy térbeli jobbsodrású illetve balsodrású koordináta-rendszer? Jobb: Bal: 1 / 24

2 Mi a síkbeli polárkoordináta-rendszer def.? Hogyan számíthatóak egy Descartes-féle derékszögű koord. rendszerben adott pont polárkoord.i? Hogyan számíthatóak egy polárkoord.kal adott pont Descartes-féle derékszögű koord. rendszerbeli koord.i? Egy O kezdőpontból (referenciapontból) induló félegyenes (polártengely) határozza meg. Egy P pont helyét két adat azonosítja ( ): r 0: az OP távolsága a térben, [ ) az O-n és a P-n átmenő egyenes polártengellyel bezárt szöge. Polár Descartes: Descartes Polár: ( ) ( ) ( ) { 2 / 24 ( )

3 Mi a gömbi/térbeli polárkoord.-rendszer definíci ója? Hogyan számíthat óak egy Descartes-féle derékszögű koord.rendszerben adott pont gömbi koord.i? Hogyan számíthat óak egy térbeli polárkoord.kal adott pont Descartes-féle derékszögű koord.rendszerbeli koord.i? Egy térbeli P pontot 3 adat reprezentál ( ): a P pont alapsíkra vett vetületének polárkoordinátái, [ : az O-t és P-t összekötő egyenes Z tengellyel bezárt szöge Gömb Descartes: ( ) ( ): ; ; Descartes Gömb: ; ( ); { 3 / 24

4 Hány pontot kell rögzítenünk a síkban, ha teljes euklideszi teret (annak összes pontját) le akarjuk írni baricentrikus koordináták segítségével? Ebben az esetben mit jelent a definició nem egy n-1 dimenziós altérbe esnek kitétele, milyen geometriai megkötést ad a rögzített pontokra? Ha -ben az pontok kifeszítik a teret (azaz nem esnek egy n-1 dimenziós altérbe), akkor a tér bármely x pontjához találhatóak valós számok úgy, hogy, ahol a baricentrikus koordinátákra teljesül, hogy. A síkban tehát 3 általános állású pont kell (olyanok, amelyek nem esnek sem egy egyenesbe, sem egy pontba), a térben 4 általános állású pont. 4 / 24

5 Hogyan bővítettük ki az euklideszi síkot és teret? Mik és projektív lezárásainak definíciói? Egyenes=egyenes+1 ideális pont úgy, hogy: Párhuzamos egyenesek ideális pontja megegyezik, Egy sík ideális pontjai egy egyenesen vannak, ez a sík ideális egyenese, Párhuzamos síkok ideális egyenese megegyezik, A tér ideális elemei egy síkban vannak, ez a tér ideális síkja. Homogén sík: az projektív lezárása, azaz egy kitűntetett ideális egyenessel: Projektív síkban két pont meghatároz egy egyenest, Bármely két egyenes meghatároz egy pontot(!). Homogén tér: az projektív lezárása, azaz egy kitüntett ideális egyenessel: Bármely három pont meghatároz egy síkot, Bármely három sík meghatároz egy pontot(!). 5 / 24

6 Hogyan rendeltünk homogén koordinátákat az euklideszi tér pontjaihoz és vektoraihoz? Egy projektív síkbeli [térbeli] koordináta számhármas [számnégyes] mit ábrázol az euklideszi térben (az értékek függvényében)? Az euklideszi tér minden pontjához hozzárendelünk egy számnégyest, homogén koordinátákat: ( ) [ [ az összes v=[ [ vektorhoz pedig: [ [ [ [ Mik az origó, az x tengely, az y tengely és a z tengely homogén koordinátás alakjai? tetsz., nem nulla valós szám [0,0,0,c] az origo [c,0,0,0] az x tengely ideális pontja [0,c,0,0] az y tengely ideális pontja [0,0,c,0] a z tengely ideális pontja 6 / 24

7 Hogyan írható fel egy általános egyenes a síkban poolárkoordinátákkal? Az origón áthaladó, a polártengellyel szöget bezáró irányú egyenesek polárkoordinátás (implicit) egyenlete:. Ha az egyenesünk nem halad át az origón, akkor legyen ( ) a metszéspontja az egyenesüknek és egy arra merőleges az origón áthaladó egyenesnek. Ekkor az egyenesünk polárkoordinátái közül a sugár a polárszög függvényeként felírható a következő alakban: ( ) ( ) Mi a lineáris leképezés definíciója? Azon leképezések, amelyekre teljesül, hogy és esetén (a+b)= (a)+ (b) (additív) és ( ) ( ) (homogén). 7 / 24

8 Mik a projektív és affin transzformációk? Milyen algebrai struktúrát alkotnak a konkatenáció (transzformáció kompozíció) műveletével? Az ideális síkkal kibővített euklideszi tér önmagára való, kölcsönösen egyértelmű, pont-, egyenes-, sík-, és illeszkedést tartó leképezéseit kollineációknak, vagy projektív transzformációknak nevezzük. Affin transzformációk a projektív transzformációknak az az alcsoportja, amelyek a (kibővített) tér "közönséges, euklideszi részét önmagára képezik le, és az ideális síkot is önmagára képezi le. A projektív és affin transzformációk algebrai csoportot alkotnak a konkatenáció (transzformációk kompozíciója) műveletével. (konkatenáció asszoc, egységelem, a dimenziótartó transzformációknak van inverze, /NEM kommutatív/) 8 / 24

9 Bizonyítsd be, hogy a baricentrikus koordináták affin invariánsak! Legyenek a tetsz. x baricentrikus koord.i -kre vonatkoztatva, ekkor ( ) ( )= ( ) ( ), mert affin transzformáció additív és homogén. Ism. az eltolás transzformációját! (Definíció, inverz, algebrai struktúra) Minden pontot egy adott d vektorral eltolunk:, általában T(d x,d y,d z )-vel jelöljük, mátrix alakban homogén pontmegadás kell, választással: [ ]. Hiszen ha homogén koord.it használjuk x pontnak: [ ] [ ] [ ]. Az affin transzformációk egy kommutatív részcsoportját alkotják. T(a,b,c) inverze T -1 (a,b,c)=t(-a,-b,-c). 9 / 24

10 Ism. a forgatás transzformációját! (Definíció, inverz, algebrai struktúra) Forgatás mátrixok: ahol, Z tengely mentén: ( ) [ ] Y tengely mentén: ( ) [ ] X tengely mentén: ( ) [ ] Az azonos tengely körüli elforgatások az affin transzformációk egy kommutatív részcsoportját alkotják. A forgatás inverze az eredeti forgatás nagyságával megegyező, de ellentétes irányú forgatás. Az eltolás és forgatás sorrendje nem cserélhető! Tetszőleges orientáció előállítható a három forgatás egymás utáni alkalmazásásval. ( ) 10 / 24

11 [ ] [ ] [ ] Ism. a méretezés transzformációját! (Defi, inverz (linalg!), algebrai struktúra) Milyen spec. esetei vannak, hogyan hatnak ezek a sodrásirányra, van-e esetben inverz? Az x,y,z tengelyek mentén széthúzzuk vagy összenyomjuk az alakzatot, azaz más léptéket választunk egymástól függetlenül is akár. Mátrix alak: ( ) [ ] s x,s y,s z valamelyike negatív: ha az egyik: a tükrözés iránya merőleges a síkra, kettő: akkor tükrözés egy tengelyre, mindhárom: akkor középpontos tükrözés. Páratlan számú negatív együtthatónál a sodrásirány is megváltozik. Speciális eset: vetítés:ha s x,s y,s z vmelyike 0, ha 11 / 24

12 az egyik: az irányra merőleges síkra vetítünk, kettő: akkor egy tengelyre vetítünk, mind3: akkor az origóba vetítünk mindent. Ha a determináns 0 nincs inverz!!! Hogyan halad a fény a szemben? Mely lépései függnek az útnak a beérkező fény hullámhosszától? A fény a szaruhártyán megtörve jut a szembe, a szivárványhártya (iris) csökkenti a szembe jutó fény mennyiségét (szűri), a pupilla pedig fényrekeszként funkcionál. A szemlencse a belépő fénysugarakat a recehártyára (retinára) fókuszálja (az egészséges szemben) A különböző hullámhosszú fény másképp törik. Ahhoz, hogy a szemlencse a retinára tudja fókuszálni a sugárizomnak módosítania kell a szemlencse alakját. a piros színre fókuszáláskor ugyanaz játszódik le, mint amikor közelre nézünk. a kék színnél pedig, mint amikor távolra. A fényreceptorok érzékelését a látóideg továbbítja az agy felé. 12 / 24

13 A retinában milyen fényérzékelést szolgáló idegsejtek találhatóak? A retinában kétféle fény érzékelésére szolgáló idegsejt található: pálcikák (rod): alacsonyabb intenzitású fényre érzékenyek, a sötét-világos +különböztetésére alkalmas, alacsonyabb felbontásúak csapok (cone): erősebb fényingert igénylő idegsejtek, a színlátást és éleslátást szolgálják, tizedannyira érzékenyek a fényre mint a pálcikák Az elektromágneses energia egy bizonyos sávjára érzékenyek csak a fenti sejtek. 3féle csap található a szemben: érzékenységük: S csap: 420nm körüli fényre (kék) M csap: 530nm körüli fényre (zöld) L csap: 560nm körüli fényre (vörös) 13 / 24

14 Mi a CFF (critical flicker frequency)? Miért érzékeljük folyamatos képnek az ennél sűrűbben felvillanó képsorozatot? Egy lassan villogó fényt külön-külön felvillanásonként észlelünk. Azonban ha a felvillanások közt eltelt idő egyre kisebb, akkor a fotoreceptorok által leadott jelek összetorlódnak (eléri a critical flicker frequency-t) folyamatos fénypontként érzékeljük. CFF alatt a felvillanó képeket különálló elemekként kezeljük, azt átlépve folytonos képfolyamnak. a flicker rate sok tényezőtől függ (háttérmegvilágítás, megjelenített kép nagysága) ideális körülmények között nagyjából 60Hz Mi a tristimulus érték? bármely színérzet kódolható egy számhármassal, tristimulus értékkel Jellemezd az RGB szín-teret! Additív (összeadó) színmodell. Legyen 3 kiválasztott hullámhossz: 14 / 24

15 =700nm; =561nm; =436nm Legyen egy monokromatikus fénynyaláb. Ekkor a hozzá tartozó RGB értékek megadására használjuk az r( ),g( ),b( ) színillesztő fv-eket. használata: elsődlegesen elektronikai eszközök (képernyők, kijelzők, érzékelők) vörös,zöld,kék fény különböző mértékű keverésével határozza meg a színeket Az RGB skálán egy színt az határoz meg, hogy milyen intenzitású a három komponense. Jellemezd a CMYK szín-teret! Szubsztraktív (kivonó) színmodell a 3 alapszín: cián, magenta, sárga, fekete a fekete a színek összességét a fehér a színek hiányát jelenti használata: színes nyomtatás plusz fekete patron, praktikumból, hogy ne a másik háromból fogyasszon (az RGB kockában az eredeti tengelyekkel szemközti tengelyek) Jellemezd a HSL/HSV színmodelleket! A színeket egy hengerrel adjuk meg, egy árnyalat (Hue), egy telítettség (Saturation) és 15 / 24

16 egy fényesség (Lightness) vagy világosság (Value) segítségével. Hogyan néz ki az y tengelyű, (0,p) fókuszpontú parabola implicit, explicit és parametrikus egyenlete? Az y tengelyű, (0,p) fókuszpontú parabola egy implicit egyenlete: explicit egyenlete:, parametrikus egyenlete: ( ) [ Jellemezd a ray-casting-ot! Mi a célja, hogyan működik, hogyan állapítja meg, hogy egy adott pixelben mi látszik stb.? A ray-casting a szemlélőtől kiinduló sugarak segítségével dönti el egy-egy sík láthatóságát és építi fel a képet. Sugarat indítunk a színtérbe, minden objektumra megnézzük, hogy metszi-e a sugár az objektumot. A legközelebbi metszett objektum színével színezzük ki a pixelt. 16 / 24

17 Ismertesd általánosan a parametrikus alakban megadott felület és a sugár metszését! Legyen adva egy parametrikus felület ( ) [ ( ) ( ) ( ) kell találni egy olyan t sugárparamétert, amihez létezik (u,v), hogy ( ) ( ) ez 3 ismeretlenes (t,u,v), 3 egyenletes (x,y,z koord.nként egy) egyenletrendszer t ellenőrizendő, esetek: ha t>0, a sugarunk előtt van a felület és metszi t=0, a sugár a felületről indul t<0, a sugár mögött van a felület és metszi a sugár egyenese a felületet (nekünk t>0 kell!!) (u,v)-ra is figyelni kell, hogy a felületünk a paramétertartomány megengedett részén van-e Ismertesd általánosan az implicit alakban megadott felület és a sugár metszését! Legyen adva egy f(x)=0 implicit egyenlet, ami meghat. a metszeni kívánt felületünket.( ) a sugarunk egyenlete [ )-re meghat. egy pontot a térben. Tehát a köv. egyenletet kell megoldanunk t-re: ( ( )) 17 / 24

18 a kapott t-től függően az esetek: ha t>0, a sugarunk előtt van a felület és metszi t=0, a sugár a felületről indul t<0, a sugár mögött van a felület és metszi a sugár egyenese a felületet (nekünk t>0 kell!!) Hogyan kell eldönteni egy pontról, hogy egy poligonon belül van-e? Vezesd le a szükséges részmetszéseket is! A pont a poligonon belül van, ha tetsz. irányú, belőle indított sugárnak páratlan számú metszéspontja van a poligon oldalaival (azaz a sugarat a poligon összes oldalszakaszával el kell metszeni) Konkáv és csillag alakú poligonra is működik A poligon ( ), ( ) csúcspontjai közötti szakasz parametrikus alakja: ( ) ( ) ( ), [ ezt kell metszeni ( ) alakú sugárral a ( ) az a pont, amiről el akarjuk dönteni, hogy a poligonon belül van-e, d tetsz. legyen ( )! 18 / 24

19 így a ( ) ( ) egyenletet csak y koord.-ra kell megoldani keressük meg, hogy hol meszi a ( ) oldal egyenese a sugarat, s kifejezve: innen kapjuk x koord.t ( )-be helyettesítve, ahol a sugár metszi a szakaszt ha [ : a sugár nem metszi a szakaszt ha : a sugár egybeesik a szakasszal vagy mögötte van a metszéspont A fény-anyag kölcsönhatások tekintetében milyen típusú felületeket vettünk? Az anyagokat olyan színűnek látjuk, amilyen színű fényt visszavernek Fénykibocsátó felületeket emittáló anyagnak hívjuk (ezek a fényforrások, nap, lámpa) A diffúz vagy matt felületeket minden irányból nézve ugyanolyannak látjuk (a diffúz felület a beérkező fénysugár energiáját minden irányban azonos intenzitással veri vissza) Tükröződő felületek, az ideális fénytörés irányába verik vissza nagyrészt a beérkező fényt (spekuláris felület) 19 / 24

20 Átlátszó felület: ezeken a felületeken áthalad a fény, a beérkező fénysugár energiájának java részét áteresztik. Áttetsző felület: ezek a beérkező fény nagy részét magukba engedik, de csak kis része lép ki az anyagból Anizotróp felület: a felület a tengelye körül forgatva, a beeső és visszaverődő szögeket tartva is változik a színe Mi a BRDF? Miket használunk fel megadásakor?(rajz is!) A BRDF a kimenő (L) és a bejövő (L in ) sugárintenzitás aránya, figyelembe véve a nézett pont és a fényforrás geometriai viszonyát ( ) Legyen L in egy adott irányból a felület egy pontára beérkező, L pedig az onnan visszavert fény intenzitása, az x felületi pontot nézve jelölje l a fényforrás felé mutató egységvektort, v a nézőpont felé mutató egységvektort, n pedig a felületi normálist az adott pontban. A legyen az n és l által bezárt szög 20 / 24

21 ekkor a kétirányú visszaverődéses eloszlási függvény, BRDF (bi-directional reflection distribution function) a köv: ( ) jelölések: a nézeti irány, azaz a szem/kamera felé mutató vektor a megvilágító, a fényt adó pont felé mutató vektor, ekkor a beesési irány ( ). n a felületi normális v,l,n egységvektorok a l és a n által bezárt szög (RAJZOLJON A K ÉDESANYJA, ÉRTELMEZZE AMIT ÍROK ő SEM RAJZOLT ) Mi az ideális visszaverődés? Hogyan lehet kiszámítani az ideális visszaverődés irányát? Ábrával is szemléltesd a felhasznált mennyiségeket! Visszaverődési törvény: A beesési irány (-l), a felületi normális (n), és a kilépési irány (r) egy 21 / 24

22 síkban van, valamint a beesési szög( ) megegyezik a visszaverődési szöggel ( ). Az ideális tükör csak az r tükörirányba ver vissza. ( ) ( ) δ a Dirac-delta fv, amely minden nemnulla paraméterre nullát ad, de a valós számok felett vett integrálja 1. visszaverődési együttható a Fresnelegyüttható. Ez függ az anyag törésmutatójából és az elektromos vezetési képességéből származik. A Fresnel-együttható a visszavert és beeső energia hányadát fejezi ki. Általános esetben, egy v beeső vektorból a visszaverődési- vagy tükörirány: ( ) mivel n, v egységnyi hosszúak, és 22 / 24

23 Ismertesd a spekuláris visszaverődést és a Phong modelljét! Írd fel a BRDF-et, ismertesd a képletben szereplő együtthatókat! A tükörirányban intenzíven visszaverő, de attól távolodva gyorsan elhaló csillanás adható meg vele. Legyen az r tükörirány és a v nézeti irány által bezárt szög. Ekkor olyan fv-t keresünk, ami =0-ra nagy, de gyorsan elhal ( ) (nem szimmetrikus!) csak ezt nézve: ( ) Ismertesd a spekuláris visszaverődést és a Phong-Blinn modelljét! Írd fel BRDF-et, ismertesd a képletben szereplő együtthatókat. Legyen h a nézeti irány és a megvilágító pont felé mutató vektorok felezővektora Legyen δ a h és az n normálvektor által bezárt szög. Ekkor ( ) 23 / 24

24 csak ezt nézve: ( ) Mi az alias? A sugárkövetésnél miben jelentkezik? mintavételezés grafikában alias eddig pixelenként csak egyetlen sugarat indítottunk, ha többet indítunk, akkor a Nyquist frekvencia nő pixelenként egy szín kell csak, ezért a sugarak által behozott különböző színeket összegezni kell valahogy (pl átlagolni) de a több sugár eredményét is többféleképpen összegezhetjük (vagyis: szűrhetjük) egyenletes mintavételezéssel nem szűntethető meg az alias (csak ha a bejövő jel garantáltan nem tartalmaz túl magas frekvenciájú komponenseket) Azonban ha nem egyenletes a mintavételezés, hanem megfelelő eloszlás szerint történik, akkor a alias helyett véletlenszerű, nagyfrekvenciás zaj lesz a képen ehhez a szemünk már alkalmazkodott! 24 / 24