PERIÓDUSON BELÜLI PÉNZÁRAMOK JELENÉRTÉKE

Átírás

1 BUDAPESTI MŰSZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM Gazdaság- és Társadalomtudományi Kar Üzleti Tudományok Intézet Pénzügyek Tanszék Dr. Andor György Dr. Dülk Marcell PERIÓDUSON BELÜLI PÉNZÁRAMOK JELENÉRTÉKE oktatási segédanyag Budapest, 2015.

2 Jelen oktatási segédanyag a perióduson belüli pénzáramok (pénzáramlások) 1 jelenértéke kiszámításának kérdéskörével foglalkozik, bemutatva a pontos értéket adó eljárást, valamint a közelítő eljárások közül az időzítési konvenciókat. Perióduson belüli pénzáram (intraperiod cash flow) alatt egy előre meghatározott hosszúságú kamatperióduson (interest period, röviden csak periódus) belül valamilyen tetszőleges időpontban jelentkező pénzáramot értünk. A periódus hossza a gyakorlatban legtöbbször egy év, de lehet akár egy negyedév, egy hónap, de akár egy évnél hosszabb időszak is. A perióduson belüliségbe beleértjük a periódus kezdő- és végpontját is. A gyakorlatban leginkább elterjedt pénzáramprofiloknál (cash flow pattern) úgymint pl. annuitás, lineárisan vagy exponenciálisan növekvő pénzáramsorozat csak a periódusok végén van pénzáramlás. A valóságban azonban egy üzleti projektnek vagy vállalatnak gyakran a periódusok végpontjai között is, azaz pl. év közben is, vannak pénzáramai (azaz két pénzáram felmerülése között eltelt idő nem feltétlenül állandó), amit a jelenérték-számítás során figyelembe kell venni. Egy perióduson belüli pénzáramot szemléltet az 1. ábra, ahol P a jelenérték, F a pénzáram, t az idő, t F pedig az F pénzáram időzítése (timing), azaz felmerülésének időpontja. P F 0 1 t F 2 1. ábra: Perióduson belüli pénzáram és jelenértéke t Miután definiálásra került a periódus hossza, természetesen a diszkontrátát is a periódus hosszához illesztve kell megadni, azaz pl. éves periódus esetén éves diszkontrátát kell alkalmazni. (Élünk azzal a szokásos feltételezéssel, hogy a diszkontráta minden periódusban ugyanaz, azaz időben állandó.) Az eltérő periódushosszra vonatkozó diszkontrátát a kamatos kamatozás logikája szerint adhatjuk meg, az alábbi képlet szerint: = 1+ 1 (1.) ahol r a diszkontráta 2, t az egyik, T pedig a másik periódus hossza, azonos mértékegységben kifejezve! (Pl. t és T is egyaránt évben.) A periódus hosszának és a hozzá tartozó diszkontrátának a meghatározása után egy perióduson belüli pénzáram jelenértéke az alábbi formulával számolható: = 1+ (2.) Fontos hangsúlyozni, hogy a fenti képletben t F -et a periódus mértékegységében kell megadni. Tekintsünk most egy projektet, mely sok perióduson belüli pénzáramból áll (2. ábra)! 1 A pénzáram és pénzáramlás kifejezéseket szinonimaként használjuk. 2 Megjegyezzük, hogy jelen segédanyagban csak a diszkrét diszkontálással/kamatozással (discrete discounting/compounding) foglalkozunk, a folytonos (continuous) diszkontálással/kamatozással nem. Így tehát minden képlet a diszkrét megközelítésre vonatkozik, és r diszkrét diszkontráta. 1

3 P F 2 F 5 F F 3 1 F 4 F Q 0 t 1 1 t 2 t 3 2 t 4 t 5 3 n-1 t Q n 2. ábra: Több perióduson belüli pénzáramból álló projekt t Egy ilyen projekt pontos jelenértékét a pénzáramainak, a (2.) egyenlet szerinti, egyesével történő diszkontálásával, majd az egyes jelenértékek összegzésével kaphatjuk meg: = 1+ (3.) ahol a Q a pénzáramok darabszáma, a q pedig a futóindex. Ez az eljárás azonban nagyszámú pénzáram esetén igen körülményes lehet, ezért célszerű olyan közelítésekkel élni, amik nyilván nem adnak ugyan teljesen pontos eredményt, viszont alkalmazásuk egyszerűbb, gyorsabb. Ezen közelítések népszerű csoportját képezik az időzítési konvenciók (timing conventions), melyek logikája az, hogy az egyes periódusok pénzáramait a periódusok valamilyen adott kitüntetett pontjába vonják össze, majd ezen összevont pénzáramokat egyben diszkontálják. (Mondhatjuk, hogy a két pénzáram között eltelt időt egységesítik, így lehetővé téve az alap profilok, pl. az annuitás, alkalmazását.) Az időzítési konvenciók közül a legelterjedtebb a periódusvégi konvenció (end-of-period convention), amely a periódus minden pénzáramát a periódus végére tolja. Másik két ismertebb időzítési konvenció a periódus-eleji (beginning-of-period convention) és a periódus-közepi (mid-period convention) konvenció, amelyekben a periódus minden pénzárama a periódus elejére, illetve közepére van tolva. Az időzítési konvenciók közé sorolható a harmonikus konvenció (harmonic convention) is (részletesen ld. Andor és Dülk, 2013a), amely a periódusvégi és a periódus-eleji konvencióval számolt jelenértékek harmonikus közepét adja. (A számtani és mértani közepeken alapuló konvenciók is kidolgozottak, részletesebben lásd Andor és Dülk, 2013b, de ezekkel most nem foglalkozunk.) A harmonikus konvenció tehát egy speciális időzítési konvenciónak mondható, mert nem egy fix, univerzális azaz r-től független időpontot rögzít a perióduson belül, ahova aggregálja a pénzáramokat, hanem egy minden periódusban azonos jelenérték-korrekciót alkalmaz. (Matematikailag az időpont, ahova aggregálja a periódus pénzáramait, függ a diszkontrátától.) Megállapítható egyébként, hogy az eddig említett konvenciók mind felírhatók a periódusvégi konvencióval számolt jelenérték (továbbiakban egyszerűen periódusvégi jelenérték) korrekciójaként az alábbi formában: = 1 (4.) = 1+ (5.) = 1+ (6.) = (7.) 2

4 Ahol az E, B, M és H indexek rendre a periódusvégi (end), -eleji (beginning), -közepi (mid) és harmonikus (harmonic) konvencióra utalnak. A korrekciók tehát a diszkontráta viszonylag egyszerű függvényeinek mondhatók. A konvenciók kapcsán lévén, hogy csupán közelítései a perióduson belüli pénzáramok jelenértékének rögtön felmerül a kérdés, hogy mennyire pontosak, illetve a periódusvégihez képest mekkora hibákat küszöbölnek ki. Röviden: mennyire szükséges és egyben megfelelő korrekciókról van szó. A kérdés megválaszolásához bevezetjük a relatív hibát (ε), amelyet a közelítő és a pontos jelenérték hányadosaként (mínusz 1) definiálunk: = ö í ő 1 (8.) A legalapvetőbb és egyben legáltalánosabb kérdés a pontossággal kapcsolatban, hogy mekkora az elméletileg egyáltalán lehetséges legnagyobb hiba. Azaz, legyen szó bármilyen pénzáramprofilról (más szóval legyen a perióduson belüli pénzáramok időbeli eloszlása bármilyen), mi az a hibaszint, aminél nagyobb hibát biztosan nem vétünk az adott konvenció alkalmazásával. Ezt az elméleti hibamaximumot (ε max ) nevezzük lehetséges legnagyobb relatív hibának, rövidítsük LLH-nak. Levezethető, hogy az említett konvenciókra a LLH az alábbi:, = <, = 1+ 1<, = <, = (9.) A sorrend bármely pozitív diszkontrátára igaz. Az is belátható, hogy a lehetséges konvenciók közül a harmonikus konvenció minimalizálja a LLH-t. Pl. egy 20%-os diszkontráta esetén a LLH-k a következők: periódusvégi 16,67%, periódus-eleji 20%, periódus-közepi 9,55%, harmonikus 9,09%. Látszik tehát, hogy a nagyobb kalkulációs hibák elkerülése érdekében érdemes korrigálni a gyakorlatban általánosan használt periódusvégi jelenértéket a harmonikus vagy a periódus-közepi konvenció szerint, hiszen így jelentősen csökkenthető az elkövethető legnagyobb hiba mértéke, ráadásul a korrekció könnyen el is végezhető. Az eddigi megállapítások általánosak, azaz nem foglalkoznak a perióduson belüli pénzáramok tényleges időbeli eloszlásával, a pénzáramprofillal, és csak a hiba elméleti maximumára vonatkoznak. Egy konvenció tényleges hibája azonban természetesen a pénzáramprofiltól függ, így a tényleges hibát tekintve értelemszerűen nem feltétlenül ugyanaz a konvenciók pontossági rangsora, mint az elméleti hibamaximum tekintetében. Érdemes tehát néhány tipikus, a gyakorlatban gyakran előforduló pénzáramprofil esetére is vizsgálni az egyes konvenciók közelítési hibáit. Illusztratív példaként tekintsünk egy olyan profilt, amelyben a pénzáramok perióduson belüli lefutása ún. PERT-eloszlású. Ez egy egyetlen paraméterrel, a pénzáramok csúcspontjával (c móduszával, azzal az időponttal, amikor a legnagyobb intenzitással érkezik pénzáram) definiálható (időbeli) áramlási profil (lásd 3. ábra, ahol F(t) a pénzáram az idő függvényében). (Tekintsünk most el attól, hogy a profil időben folytonos függvényként van megadva, jelenleg pusztán a pénzáramok eloszlásának jellege számít. Különféle időben folytonos pénzáramprofilok pontos jelenértékének számításáról egyébként részletesen ld. pl. Park és Sharp-Bette, 1990.) 3

5 3. ábra: PERT-jellegű perióduson belüli pénzárameloszlások Ilyen PERT-jellegű profilokra a profilparaméter (c) és a diszkontráta (r) függvényeként az alábbi hibák állapíthatók meg és ábrázolhatók grafikusan (ún. nomogramokon) a periódusvégi (4. ábra) és a harmonikus (5. ábra) konvencióra: r 4. ábra: A periódusvégi konvenció közelítési hibái PERT-jellegű pénzáramprofilokra r 5. ábra: A harmonikus konvenció közelítési hibái PERT-jellegű pénzáramprofilokra Emellett készíthetünk ún. preferencia-tartomány nomogramot is (6. ábra), amely azt mutatja meg, hogy milyen paraméterkombinációk esetén melyik konvenció a legpontosabb a négy közül: 4

6 r 6. ábra: Preferencia-tartomány nomogram PERT-jellegű pénzáramprofilokra (négyzethálós: periódusvégi, hullámos: harmonikus, sraffozott: periódus-közepi, pöttyös: periódus-eleji) A nomogramok annyiban is nagy segítséget nyújtanak túl azon, hogy vizuálisan jól bemutatják a konvenciók pontosságát, hogy a pontos jelenérteket a konvenció szerinti jelenérték egyszerű korrekciójával megkaphatjuk. Magyarán, a nomogramról leolvasható, hogy az adott profil esetén mekkora pl. a periódusvégi konvenció hibája, így a periódusvégi jelenértéket korrigálva ezzel a hibával a pontos jelenérték megadható (a 8. egyenlet átrendezésével): = ö í ő (10.) A vizsgálatok alapján (részletesen lásd Andor és Dülk, 2013a) általánosságban megállapítható, hogy a harmonikus és a periódus-közepi konvenció közelítési hibája jellemzően kisebb mint 5%, tehát a gyakorlatban elfogadhatóan pontosak (azaz további korrekciójuk általában nem szükséges). Látható, hogy a periódusvégi jelenérték mindig alulbecsli a pontos jelenértéket, így magában hordozza esetleges jó projektek elvetésének veszélyét. Itt fontos kiemelni és hangsúlyozni, hogy az említett konvenciók (és a kapcsolódó megállapítások) csak a jelenértékre (P vagy más jelölésben PV) alkalmazhatók, a nettó jelenértékre (NPV) közvetlenül nem! Mivel a nettó jelenérték a jelenérték csökkentve a kezdeti beruházási összeggel, így korrekciója úgy történik, hogy a jelenértéket számítjuk ki a kívánt konvencióval, majd ebből a konvenció szerinti jelenértékből vonjuk le a kezdeti beruházási összeget. Hivatkozott, részletesebb tárgyalást adó publikációk: Andor, G., Dülk, M. (2013a): Harmonic mean as an approximation for discounting intraperiod cash flows. The Engineering Economist 58:(1) pp Andor, G., Dülk, M. (2013b): Közelítő módszerek perióduson belüli pénzáramok diszkontálásához. In: Meyer Dietmar (szerk.) Tehetséggondozás a BME GTK Gazdálkodásés Szervezéstudományi Doktori Iskolában. Budapest, Magyarország, Budapest: Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem, pp Paper 1. ISBN: Park, C.S., Sharp-Bette, G.P. (1990): Advanced engineering economics, John Wiley & Sons, New York, NY. 5