Universitatea Babeş-Bolyai Cluj-Napoca Departamentul pentru Pregătirea Personalului Didactic Facultatea de Matematică şi Informatică

Átírás

1 Uiversitatea Babeş-Bolyai Cluj-Napoca Departametul petru Pregătirea Persoalului Didactic Facultatea de Matematică şi Iformatică Lucrare metodico-ştiiţifică petru obţierea gradului didactic I Coducător ştiiţific, Dr. Adrás Szilárd lector uiversitar Cadidat, Csapó Hajalka Liceul Teoretic Márto Áro Miercurea Ciuc Cluj-Napoca Seria

2 Uiversitatea Babeş-Bolyai Cluj-Napoca Departametul petru Pregătirea Persoalului Didactic Facultatea de Matematică şi Iformatică Lucrare metodico-ştiiţifică petru obţierea gradului didactic I Eficieţa predării aalizei matematice Coducător ştiiţific, Dr. Adrás Szilárd lector uiversitar Cadidat, Csapó Hajalka Liceul Teoretic Márto Áro Miercurea Ciuc Cluj-Napoca Seria

3 Babeş-Bolyai Tudomáyegyetem Taárképző Itézet Matematika és Iformatika Kar I-es fokozati szakdolgozat A matematikai aalízis oktatásáak hatékoysága Témavezető Dr. Adrás Szilárd adjuktus Taár Csapó Hajalka Márto Áro Gimázium Csíkszereda Kolozsvár

4 Tartalomjegyzék 1. A természettudomáyok taításáak problémái európai és hazai jeletések tükrébe A Gago-jeletés A Rocard-jeletés A Miclea jeletés és a romáiai helyzet A matematikaoktatás helyzete Projektek Az expoeciális függvéy bevezetése pézügyi fogalmako keresztül Bevezető pézügyi fogalmak Az e ) 1, e = 1 + ) 1 sorozat vizsgálata A sorozat mootoitása A sorozat korlátossága Az expoeciális függvéy értelmezése Az expoeciális függvéy tulajdoságai Az expoeciális függvéy mootoitása Az expoeciális függvéy kovexitása Az expoeciális függvéy folytoossága Az expoeciális függvéy deriválhatósága Feladatlapok feladatlap

5 3.2. feladatlap feladatlap feladatlap feladatlap feladatlap Tapasztalatok, következtetések 59 2

6 Bevezetés The best way to lear is to do - to ask, ad to do. The best way to teach is to make studets ask, ad do. Do t preach facts stimulate acts. Halmos Pál) Az utóbbi évtizedbe több olya emzetközi felmérés született, amely a matematika és a természettudomáyok oktatásáak hatékoyságát vizsgálta a fetartható gazdasági és társadalmi fejlődés szempotjából. A legátfogóbbak a 2004-es Gagojeletés Europe eeds more scietists) és a 2007-es Rocard-jeletés Sciece Educatio NOW: A Reewed Pedagogy for the Future of Europe). Midkét jeletés végső ajálásai között szerepel a matematika és a természettudomáyok oktatásába alkalmazott pedagógiai módszerek megújítása, potosabba a kívácsiság-vezérelt oktatás Iquiry Based Learig) széles körű alkalmazása. Többek között a jeletések hatására dötéshozói szite is tudatosultak azok az égető problémák, amelyekkel a matematikát és a természettudomáyokat oktatók szembesülek, így az Európai Bizottság is több ilye iráyú projektet támogat. A 2010 jauárjába iduló Primas projektbe való részvétel ráiráyította figyelmem arra, hogy agy szükség va újszerű de régi elveke alapuló) taayagok létrehozására. Dolgozatomba az expoeciális függvéyt és tulajdoságait probálom meg a kivácsiság-vezérelt oktatás elveit szem 3

7 előtt tartva bevezeti. Köszöettel tartozom azért, hogy ez a dolgozat megszülethetett dr. Adrás Szilárd adjuktusak, aki középiskolás korom óta figyelte, egyegette matematikai pályafutásomat, illetve amióta taár vagyok midvégig támogatott megjegyzéseivel, építő kritikájával, segítő észrevételeivel és azzal a agy érdeklődéssel, amivel midig is a taítás kérdései felé fordult, s em tette ezt máskét jele dolgozat írásakor sem. 4

8 1. fejezet A természettudomáyok taításáak problémái európai és hazai jeletések tükrébe Az utóbbi évtizedbe egy ige aggasztó jeleséggel kell szembeézük. A techika századába egyre kevesebb fiatal mutat érdeklődést a matematikai és természettudomáyos pályák irát. Míg az egyetemet végzettek száma övekvőbe va Európába és a mi országukba is, addig a matematika és természettudomáyos szakokat választók száma csökke, sőt a bármilye tudomáyos karriert befuti vágyók száma is csökkeőbe va. Részletese elemzi ezt a helyzetet több erre a célra kievezett európai szakbizottság. A Rocard-jeletés a természettudomáyokra a következő meghatározást adja:,,a,,természettudomáyokba ag. sciece) tágabb értelembe beletartozik mide olya ismeretredszerta, amely a valóságot objektíve ábrázolja. Szűkebb értelembe véve a természettudomáy olya redszer, amely a tudás megfigyelés, kutatás és kísérlet általi megszerzésé és természettudomáyos módszerekkel való leírásá és összegzésé alapul. E taulmáy szerit a természettudomáy fogalma alatt értedő mide természettai értelembe vett tudomáy: így a biotudomáyok, a számítógéppel foglalkozó tudomáyok és techológiák, valamit a matematika tudomáyágaiak össze- 5

9 foglaló eve, illetve az általáos - és középiskolai oktatás tatárgyai, amelyek eze szakterületek valamelyikével foglalkozik. Dolgozatomba a továbbiakba ezt fogom értei természettudomáy alatt A Gago-jeletés A 2004 áprilisába Brüsszelbe bemutatott Gago-jeletés 1 szerit 2001-be az EU-ba 5,7 kutató jutott 1000 foglalkoztatottra, a tagságra váró országokba pedig átlagosa 3,5 kutató és 2001 között az átlagos évi övekedés 2,6% volt az EU tagországokba és 2,1% a tagságra váró országokba. Az országok között is agy külöbségek vaak. A feti átlagok amelett vaak, hogy egyes országokba Fiország, Norvégia, Svédország) az 1000 foglalkoztatottra jutó kutatók száma jóval meghaladja a 8-as átlagot, amit az európai gazdasági és techológiai fejlődés fetartása igéyel. Néháy országba a 90-es évekbe a övekedés is elég magas Görögországba és Portugáliába több, mit 100%-kal, Ausztriába, Fiországba, Dáiába, Svédországba és Belgiumba több, mit 50%-kal őtt a 90-es évekbe az 1000 foglalkoztatottra jutó kutatók száma), ami azt jeleti, hogy más országokba léyegese alacsoy, sőt csökkeő tedeciát mutat. Érdemes ezeket az adatokat összehasolítai a Japábeli 9,14 kutató/1000 foglalkoztatott, illetve az Egyesült Államokbeli 8,08 kutató/1000 foglalkoztatottal. A lisszaboai EU csúcso 2000-be kitűzött cél a GDP 3%-a kutatásra 2010-ig. Ehhez képest az akkori 1,82% 2008-ig csak 1,9%-ra övekedett. A 3%-os cél 8 kutató/1000 foglalkoztatottat jeletee, ami azt jeleti, hogy Európáak félmillióval több kutatásba dolgozó emberre va szüksége. A csoport az Uió országait taulmáyozva megállapította, hogy külööse rossz a helyzet a természettudomáyok területé. Ezek között főkét a matematika és fizika tudomáyok iráti érdeklődés mutat agyobb csökkeést az élettudomáyok és a 1 José Mariao Gago által vezetett kutatócsoport a EUROPE NEEDS MORE SCIENTISTS Európáak több tudósra va szüksége) kofereciára készített Icreasig Huma Recources for Sciece ad Techology i Europe Humá erőforrások megerősítése a természettudomáyok és méröki tudomáyok teré Európába) című taulmáya 6

10 számítástechika iráti érdeklődes stabil vagy akár övekedést mutat). A Gago-jeletés beszámol az Európai Fizikai Társaság Europea Physical Society) által végzett MAPS MAppig Physics Studets i Europe) taulmáyról, amely szerit 1997 és 2001 között 17%-kal csökket Európába a fizikába diplomázottak száma, a fizika egytemet választók száma pedig 2,7%-kal csökket. A természettudomáyos, műszaki és matematikai oktatással szervezett formába csak az iskolába találkozak a gyerekek em mit a yelvek, sport vagy zeei eveléssel). Ugyaakkor számos élethelyzetbe megjeleek ezek. Nagyo sok emberek ezekről a tudomáyokról való iformációszerzés kizárólag az iskola falai között törtét. Az elemi iskolákba viszoylag egyszerű felkeltei a gyerekek bármi iráti érdeklődését. Ez egyre ehezebb vagy akár lehetetle a agyobb gyerekekél. Sajos ez csakem mide tére így va. A természettudomáyokak az a hátráya, hogy viszoylag késő kezdik tauli, a kémiát vagy a fizikát például éves kor körül. Az elemi osztályokba taítók pedig az esetek többségébe kevés természettudomáyos orietáltságú felkészülésbe részesülek. Ugyaakkor képesek kell legyeek komplex tudomáyos jeleségeket elmagyarázi egyszerű és érdekfeszítő módo. A matematika és a fizika területeke bizoyos európai országokba emcsak a kutatók de a taárok száma sem elegedő. Így más végzettségűek taítják ezeket a tudomáyágakat. A jeletés szerit a természettudomáyok iráti érdeklődés csökkeéséek egy másik oka a em megfelelelő pályaválasztási taácsadás. A pályaválasztási taácsadók általába valamilye humá vagy társadalomtudomáyi végzettségűek áluk pszichológusok), így em midig tudak reális képet adi a természettudomáyos szakmákról. A média is általába arról tájékoztat, hogy em a tudomáyos pályák a legmegfizetettebbek, ugyaakkor kevésbé tájékoztat arról, hogy a felsőbb taulmáyaikat a természettudomáyok területé végzők között sokkal kevesebb a mukaélküli és a gyegé fizetett, mit például a humá vagy művészeti végzettségűek között. 7

11 A szezációhajhászás miatt a média agyo befolyásolja a tudomáyokról alkotott képet. Például a sok tudomáyos-fatasztikus filmek köszöhetőe soka hiszik azt, hogy a tudósok valóba foglalkozak a teleportálás taulmáyozásával) A Gago-jeletés beszámol számos felmérés eredméyéről. A 2001-es Eurobarometer 55.2 felmérés alapjá a legfotosabb tudomáyos iformációforráskét az emberek 60%-a a televíziót, 37%-a az írott sajtót, 27%-a a rádiót, 22%-a az iskolát, 20%-a a tudomáyos folyóiratokat és 17%-a az iteretet jelölte meg. Az arra voatkozó kérdésre, hogy mi lehet az oka tudomáyok iráti érdekteleségek a válaszadók 60%-a szerit az iskolai tudomáyos oktatás em elég érdekes, 55% szerit a tudomáyos témák túl boyolultak, 50%-ukat külöösebbe em érdeklik a tudomáyos témák, 42% szerit pedig a tudomáyos karrier em elég vozó. A 2001-es Eurobarometer felmérés szerit az embereket a tudomáyok közül legikább az orvostudomáy 60%), a köryezet 52%) és az iteret 28%) érdekli, a legkevésbé pedig a aotechológia 4%) érdekli. A jeletés leírja számos felmérés eredméyét fiúk és láyok érdeklődési körére voatkozóa. Az iskolás taulókat vizsgáló SAS taulmáy 2 szerit úgy a fiúkat, mit a láyokat legjobba érdeklő tudomáyos témák: A földö kívüli élet lehetősége A számítógépek és mire haszálhatjuk A diozauruszok és miért haltak ki Földregések és vulkáok Zee, hagszerek és hagok A Hold, a Nap és a bolygók 2 Svei Sjøberg, 2002, Sciece Ad Scietists: The SAS-study Cross-cultural evidece ad perspectives o pupils iterests, experieces ad perceptios 8

12 Ugyaez a taulmáy szerit a fiúkat és a láyokat egyarát a legkevésbé erdeklő témák: Hogya öveljük a termést a kertekbe és a farmoko? Hogya őek a övéyek és mire va szükségük? Növéyek és állatok a köryezetembe. Tisztítószerek, szappaok és működésük Táplálék készítése, tartósítása és tárolása Híres tudósok és életük A külöböző felmérések szerit a tudomáyos témák átlagba kétszer ayi fiút érdekelek, mit láyt. A fiúk körébe elterjedtebb a techika iráti érdeklődés, míg a láyok körébe a övéy és állatvilág iráti érdeklődés. A jeletés számos okot vizsgál és javaslatokat tesz a helyzet javítása érdekébe. A taításról, mit a jeleséget befolyásoló egyik fotos téyezőről a következőket állapítja meg: Az iskolába zajló matematikai és természettudomáyos oktatás egy,,saját világba zajlik, amely em tud a tudomáyos területeke zajló fejlődéssel lépést tartai. A diákok túl absztraktak érzékelik, mert alapgodolatokat próbál átadi megfelelő kísérletező, megfigyelő, értelmező háttér élkül. Abba az állapotba va, hogy túlyomóa téyszerű, ezáltal em eléggé figyelem és érdeklődés felkeltő. A diákok többsége irrelevásak és ehézek tartja. Az iskolai oktatás meg kellee oldja a gyerekek természettudomáyok iráti érdeklődéséek övelését úgy hivatás választás szitjé, mit a mideapi életről való godolkodás szitjé. Eek érdekébe a természettudomáyok oktatását midekiek elérhetővé kell tei. Ezt a taterv készítésél kell kezdei. Olya taterveket kell készítei, ami mideki számára erősíti a természettudomáyok megértését, felkelti a taulók kivácsiságát és egy elfogult tudomáyos godolkodásra teszek szert. A taító- és 9

13 taárképzésbe be kell iktati a kutatás és kísérletezés vezérelt oktatási módszerek elsajátítását. Optimizáli kell a taulás feltételeit. A taítókat és taárokat meg kell győzi arról, hogy diákjaikba reális képet alakítsaak ki a természettudomáyos hivatásokról és azok mideapi életbe való fotosságáról. Szorgalmazi kell az iformális természettudomáyos taulást. Olya hálózatokat kell kiépítei a médiá, iterete kereszül, amelyek segíthetek a természettudomáyos evelésbe) 1.2. A Rocard-jeletés A 2007-es Rocard-jeletés 3 megerősíti az előző jeletés megállapításait, sőt a helyzet súlyosbodásáról beszél.,,az elmúlt évekbe számtala taulmáy született a témába, miszerit Európába a fiatalokat egyre kevésbé érdeklik a természettudomáyos tatárgyak vagy a matematika. A számos ezzel foglalkozó projekt és kezdeméyezés elleére, a téyállásba egyelőre ics előrelépés. Ha em sikerül ez ügybe hatásosa fellépi, az hosszútávo Európa iovációs képességébe és kutatómukáiak miőségébe okozhat egatív következméyeket. Veszélyes jeleség, hogy amíg az emberek tudomáyos területeke való foglalkoztatottsága csökke, addig a mai tudásalapú társadalom erre voatkozó igéye az élet mide területé ő. A kutatócsoport mottója:,,ne félj a változástól! Hagyd működi, és felfedezed azokat a kokrét potokat, amike szükséges változtatod, ahhoz, hogy változás végbemehesse! A csoport az általáos és középiskolai természettudomáyos oktatást vizsgálta arra fektetve hagsúlyt, hogy MIT és HOGYAN taítaak. A taulmáyba megállapítják, hogy,,a természettudomáyos alapképzések biztosítaia kellee a mide polgár számára szükséges természettudomáyok iráti pozitív beállítottságot. Eze kell fáradozuk, hogy a jövő tudomáyaiak a legjobb szakembereket evelhessük. A 3 Az Európai Bizottság Michel Rocard által vezetett kutatócsoportja által végzett taulmáy: Sciece Educatio NOW: A Reewed Pedagogy for the Future of Europe Természettudomáy evelése MOST: a megújított pedagógia jövőjéek) 10

14 természettudomáyos alapképzés elegedhetetle a külöféle köryezetspecifikus orvosi, gazdasági vagy más problémák megértéséhez, amelyekkel egy moder társadalomak kofrotálódia kell. A moder társadalmak egyre ikább ki vaak téve a természettudomáyok és a techika újabb és újabb kihívásaiak. A megoldás, mide polgár számára elérhetővé tei az alapvető készségek kifejlesztését, amellyel egy tudomáyoko alapuló társadalom aktív résztvevője lehet. Meg kell adi a lehetőséget, hogy az egyé kifejleszthesse saját kritikai godolkodását és tudomáyos következtető képességét, ami megalapozhatja az egyé későbbi természettudomáyok melletti elköteleződését. A megújított természettudomáyos evelés segíthet a társadalom téves ítéleteit megváltoztati és közös kultúrákat racioális godolkodással újraértelmezi. A jeletés a,,megújított természettudomáyos evelés alatt a kívácsiság-vezérelt oktatás Iquiry-Based Sciece Educatio, IBSE, Iquiry-Based Learig, IBL vagy Problem-Based Learig, PBL) előtérbe helyezését érti. A természettudomáyos evelést két pedagógia kocepció jellemzi: a deduktív módszer Top-dow oktatás), amely sorá a taár sajátjakét adja elő a külöböző logikai következtetéseket és kocepciókat majd megevez éháy alkalmazási példát. az iduktív módszer Bottom-up oktatás), amely sorá taári szakvezetéssel, de a gyerek maga állítja fel a taayag egyes tételeit. Az iduktív módszer tulajdoképpe a kívácsiság-vezérelt oktatás. Kívácsiság-vezérelt tauláso a jeletés szerzői azt a folyamatot értik, amely problémák feltárására, kísérletek elemzésére, alteratívák megtalálására, kis kutatások megtervezésére, sejtések megfogalmazására, iformáció-gyűjtésre, modell alkotásra, koheres érvek megfogalmazására iráyul Lim, Davis, Bell 2004). A matematikaoktatásba problémaközpotú taításak Problem-Based Learig) evezzük azt a módszert, amelybe a taulás egy probléma felvetésével kezdődik és a taulási folyamat sorá megoldásra kerül. A probléma bemutatása úgy törtéik, hogy a gyerekekek új felismerésekre kell szert teiük, mielőtt a problémát megoldják. 11

15 Nem az a léyeg, hogy egy kokrét választ találjaak, haem, hogy miél több iformációt gyűjtseek, értékeljék azokat, majd dolgozzák ki a megoldáshoz szükséges következtetéseket és állítsaak fel saját defiíciókat. A kívácsiság-vezérelt oktatás egy problémamegoldáso alapuló módszer. Jeletősége a megoldáshoz megfigyelése és kísérletezése át vezető folyamatba rejlik. A taulmáyból kiderül az is, hogy a legtöbb európai országba a természettudomáyos oktatás sorá legtöbbször a deduktív módszert alkalmazzák aak elleére, hogy számos taár redelkezik külöféle tapasztalatokkal, iovatív elképzelésekkel. Ezek megvalósítása sokszor ayagi okokból kudarcot vall. Ezért vola szükség a kezdeméyezések közötti kooperációra. Ugyaakkor vaak Európa szitű bevált kezdeméyezések is, mit a POLLEN és a SINUS-TRANSFER projektek. Midkettő javított a gyermekek természettudomáyos érdeklődésé és teljesítméyé. A kutatócsoport azt is megállapította, hogy azokál a kezdeméyezésekél, ahol az IBL-t haszálják, sokkal aktívabb a láyok részvétele, illetve ötudatossága, mit a tradicioális módszerek szeriti oktatásba. A taárokak is egy szakmai hálószervezet tagjakét lehetőségük yílik szakmai eszköztáruk folyamatos bővítésére. Ez lehetővé teé a folyamatos tapasztalat-, ötletés eszmecserét, taárok és kutatók párbeszédét, így magát a természettudomáyos evelés miőségi fejlődését A Miclea jeletés és a romáiai helyzet A romá taügyi redszer állapotát tárgyaló 2007-es Miclea-jeletés 4 is kitér számos a feti jeletésekbe említett problémára. A jeletés rögtö az elejé leszögezi, hogy a romá taügyi redszerek égy agy problémája va: em hatékoy, jeletéktele, méltáytala és gyege miőségű. 4 Româia educaţiei, Româia cercetării, Raportul Comisiei Prezideţiale petru aaliza şi elaborarea politicilor di domeiile educaţiei şi cercetării, Bukarest, július 12

16 Azt, hogy meyire em hatékoy a külöböző emzetközi felmérések is igazolják. A Miclea jeletés beszámol a 2000-es PISA 5 felmérés, a 2003-as TIMSS 6 felméreés és a 2001-es PIRLS 7 felmérés eredméyeiről. A PISA felmérése a vizsgált 42 országból Romáia a 34. helye állt. A es TIMSS felmérés szerit a 8. osztályos taulók matematikai teljesítméye szerit Romáia 3 európai ország kivételével többyire az afrikai és délamerikai országokat előzi meg. Az olvasási készség eredméyek PIRLS 2001) kivételével Romáia mide teljesítméye ezeke a felméréseke jóval a emzetközi átlag alatt va. A jeletés felhívja a figyelmet arra, hogy véget kell veti aak az illúzióak, hogy szívoalas oktatási redszerük va a emzetközi természettudomáyos verseyeke elért eredméyekre hivatkozva, mert ezek csak a taulók és taárok egy részét dicsérik. Az oktatást jeletékteleek evezi a jeletés, mert em egy tudás alapú gazdasági és társadalmi jövő előkészítésére iráyul. A 2000-es Lisszaboi Stratégia célul tűzte ki, hogy 2010-ig az Európai Uióba maximum 10%-os legye a taulást idő előtt abbahagyók aráya, a 22 évesek miimum 85%-áak legye meg legalább a középiskolai végzettsége, azo 15 évesek aráya, akik alulteljesíteek a PISA felméréseke legfeljebb 15% legye, a matematikai, természettudomáyi és műszaki egyetemeket végzők száma legalább 10%-kal őjjö, a felőttoktatásba résztvevők aráya legalább 12,5% legye. Ehhez képest 2000-be Romáiába a kötelező 10 osztály utá 23,6% abbahagyta a taulást, a 22 évesekek pedig csak 66,7%-a fejezte be legalább a középiskolát. Az Uióba ezek az aráyok 14,9% és 77,3%. A 15 évesek 41%-a em érte el a legkisebb teljesítméyszitet sem a PISA 2001-es felmérés alapjá, az EU-ba ez az aráy 19,4% volt be Romáiába a matematikai, természettudomáyi és műszaki egyetemeket végzők aráya 23% volt, az EU-ba 24,1% volt, a felőttoktatásba résztvevők száma Romáiába 1,6% volt, míg az EU-ba 10,8%. A Hargita Megyei Tafelügyelőség segítségével felmérést végeztem a 2009-be 5 The Programme for Iteratioal Studet Assessmet 6 Treds i Iteratioal Mathematics ad Sciece Study 7 Progress i Iteratioal Readig Literacy Study 13

17 Hargita megyébe középiskolás taulmáyaikat befejező taulók továbbtaulásáról. A felmérés alapjá megyékbe sem rózsás a helyzet. A végzős taulók 52,92%- a folytatta taulmáyait egyeteme vagy valamilye középiskola utái képzése. A végzősők 12,75%-a folytatja taulmáyait műszaki vagy természettudomáyos oktatásba, ez a szám a továbbtaulók 24,08%-a, ami a 2000-es Európai átlagak felel meg. A műszaki vagy természettudomáyos oktatást választókak csupá 36,55%-a láy, miközbe a taulmáyaikat középiskola utá folytatók 59,01%-a láy. A be Hargita megyébe végző láyokak csupá 8,64%-a tault tovább műszaki vagy természettudomáyos területe, ami a továbbtauló láyokak 14,92%-a. A fiúk eseté ezek az aráyok 17,56% és 37,29%. Még szomorúbb az a téy, hogy a 2682 felmért végzősből 1420-a taulak tovább) csupá 2 tauló taul tovább matematika egyeteme, 2 fizika egyeteme, 9 kémia egyeteme és 4 biológia egyeteme. A Miclea-jeletés a külöféle felmérések eredméyei alapjá kijeleti, hogy a romá oktatás em képes az országak a mukapiaco verseyképes helyet biztosítai. Egy oktatási redszer méltáyos, ha a taulókak társadalmi és kulturális származásuktól függetleül azoos lehetőségeket teremt. Ehhez képest a falusi köryezetbe élő gyerekekek csak 24,54%-a kerül középiskolába. A falusi köryezetből származó taulók felméréseke elért eredméyei is gyegébbek, mit a városiaké. A hátráyos helyzetű gyerekek eredméyei ugyacsak gyegébbek. A beiskolázatla gyerekek 80%-a roma származású, akikek 38%-a fukcioális aalfabéta. A romá oktatás ifrastruktúrája és erőforrásai gyege miőségűek. Az oktató személyzet ki va öregedve a taárők átlagéletkora 40 év, a férfi taároké 44 év). Felmérések alapjá a taárok agy része deduktív módszereket haszál az oktatásba. A NPSER 8 által végzett felmérés alapjá a megkérdezett 8. osztályos gyerekekek 74%-a szerit a taárok általába diktálak a taóráko. Nem lehet tudi, milye tudást váruk el egy érettségizett fiataltól. Midez látóhatár élküli oktatáshoz és semmit em mutató belső felméréshez vezetett. A diákok pedig egyre kevésbé értékelek egy olya iskolaredszert, amely elzárkózik a tudás termeléséek és szállításáak jele- 8 Nevoi şi Priorităţi de Schimbare Educaţioală î Româia 14

18 legi módozataitól. Romáia a tudomáyos publikációk lakossághoz viszoyított száma szerit 11- szer kisebb teljesítméyt mutat az EU-s átlagál, ötször kisebbet Magyarországhoz és kétszer kisebbet Bulgáriához képest. Romáia iovációs együtthatója 2006-ba kétszer kisebb volt Bulgáriáéál, háromszor Magyarországéál és ötször az EU átlagál, ugyaakkor a legagyobb csökkeő tedeciát mutatja az összes felmért ország között. Az Eurobarometer 2001-es vizsgálata sorá az Európai Uió akkori tizeöt tagországába is és a tizehárom tagjelölt országba is a következő 13 alapvető tudomáyos kérdésről szóló igaz vagy hamis állítást tartalmazó kártyát mutatták meg a megkérdezettekek: A Föld középpotja agyo forró. Növéyek termelik az általuk belélegzett oxigét. A radioaktív tej forralás utá biztoságosa fogyasztható. Az elektrook kisebbek, mit az atomok. A földrészek amelyeke élük évmilliók óta vádorolak és vádorlásukat a jövőbe is folytatják majd. Az apai géek határozzák meg a születedő gyermek emét vagyis hogy fiú lesz-e vagy láy. Az első emberek egy időbe éltek a diozauruszokkal. Az atibiotikumok a baktériumokat és a vírusokat egyarát elpusztítják. A lézer haghullámok fókuszálásá alapul. Csak ember által létrehozott radioaktivitás létezik. A ma ismert ember korábbi állatfajokból fejlődött ki. A Nap a Föld körül kerig. Egy hóapig tart amíg a Föld megkerüli a Napot. A kutatás azt mutatta ki hogy a tagjelölt országok lakossága és az Európai Uió lakossága is csak korlátozott ismeretekkel redelkezik alapvető tudomáyos kérdésekbe. A tagjelölt országok válaszadói átlagba másfél kérdéssel kevesebbre 15

19 tudták a helyes választ. 1.1 ábra) 1.1. ábra. Háy téyből va helyes ismerete a 13 közül az egyes tagjelölt országok lakosságáak? Az Európai Bizottság megbízásából az Eurobarométer kutatások módszertaáak megfelelőe a Stadard Eurobarométer kutatási eredméyeivel összevethetőe október 16. és ovember 17. között a Magyar Gallup Itézet felmérést készített a tudomáyos kutatásra és a techológiára voatkozó ézetekről véleméyekről és ismeretekről tizehárom EU-tagjelölt országba. 1.2 és 1.3 ábrák). A szakorietált redszer miatt az elméleti oktatásba a középiskola humá tagozatai agyo gyege a természettudomáyos iráyú oktatás. A társadalomtudomáyok szako 11. és 12. osztályokba heti két óra matematikát ír elő a taterv és semmilye más természettudomáyos tatárgyat, a filológia osztályokba heti egy óra Természettudomáyok Ştiiţe) éve futó tatárgyat, amiek taítására vizsot a romáiai felsőoktatásba ics külö képzés, ugyais a taterv szerit az illető taárak kell értei fizikához, kémiához és biológiához is. Az elemi iskolások tatervébe is szerepel a Természettudomáyok tatárgy, a- melyek oktatására a taítok icseek felkészítve, ugyais semmilye fizikai, kémiai, biológiai, képzésbe em részesülek. A természetbe előforduló jeleségeket úgy kell elmagyarázzák a gyerekekek vozó módo, hogy tudomáyos hátterüket csak 16

20 1.2. ábra. A magukat az egyes témakörök irát érdelődőkek modók aráya a tagjelölt országok lakosságáak érdeklődési sorredjébe saját olvasmáyaikból ismerhetik. Sőt például a hazai oktatásba em is elvárás a versyvizsgáko még a matematika sem csak romá és magyar irodalomból verseyvizsgázak a taítók). Midez azt bizoyítja, hogy agyo agy szükség va a taítók, taárok ilye iráyú továbbképzésére. A Miclea-jeletés is eek egyik okát a taügyi redszer jelelegi állapotába látja és aak radikális átalakítását javasolja. Sok más fotos megoldadó probléma mellett kiemelt fotosságot tulajdoít a kompetecia-alapú oktatásak. A jeletés szerit a jelelegi kurrikulum túlterhelt és irrelevás a mukapiac szempotjából. Az iformációátadás teljese előtérbe va a problémamegoldást segítő kompeteciák fejlesztésével szembe. Midez azt mutatja, hogy a matematika és természettudomáyos oktatás világszerte em túl jó helyzete áluk még rosszabb képet mutat. Ilye körülméyek között valóba mide matematikát taító taárak el kell godolkozia, hogy mik azok a módozatok, amellyel ezt a tedeciát csökketei lehete. 17

21 1.3. ábra. A magukat a tudomáy irát érdelődőkek modók aráya az egyes tagjelölt országokba 1.4. A matematikaoktatás helyzete A matematikaoktatás kívácsiság vezéreltségéek igéye em mai probléma. Pólya György a,,a godolkodás iskolája című alapköyvébe már a múlt század közepé megfogalmazta:,,a matematika abba a kétes megtiszteltetésbe részesül, hogy az egész taayagba a legkevésbé épszerű tárgy... A jövedő taárok az általáos iskolába megtaulják a matematika utálatát, és visszatérek az általáos iskolába, hogy új emzedékeket taítsaak meg erre az utálatra.,,...em szabad semmi olyat elmulasztai, amiek valami esélye va arra, hogy a diákokhoz közelebb hozza a matematikát. A matematika agyo absztrakt tudomáy éppe ezért agyo kokréta kell előadi. Réyi Alfréd az,,ars mathematica című vallomásába ezt írja:,,míg más tatárgyakba az iskolai ayag elvezeti a taulót a moder tudomáy eredméyeihez, a hagyomáyos matematikataítás megáll körülbelül a XVII. század matematikájáál... A taítás hagyomáyos módszere a hagsúlyt bemagolt szabályok gépies, rutiszerű alkalmazására helyezei, em pedig a megértésre, az öálló godolkodásra. Ezáltal a taulóba 18

22 a matematikáról téves kép alakul ki.,,absztraháli csak kokrétumokból lehet, s ahhoz, hogy valaki jól tudjo absztraháli sokféle kokrétummal kell megismerkedie. A matematika agyo absztrakt, éppe ez a fő erőssége, hisze ez azt jeleti, hogy agyo sokféle kokrét jeleség közös léyeget sűríti magába. Ehhez a agyo absztrakthoz agyo kokrét kiidulással tudjuk a legsikeresebbe elvezeti a gyerekeket úgy, hogy elegedő számú és elég változatos kokrét tapasztalatba részesítjük őket. Varga Tamás) Nagyo sok olya téyező va, ami a társadalom és főkét a politikum dötései múlik. Természetese valamilye egységes, jól alátámasztott fellépéssel talá valamilye mértékbe ezt is lehet befolyásoli. Amit megtehetük és meg is kell tei az taítási gyakorlatuk átalakítása olya módo, hogy valóba parterei lehessük taítváyaikak a taulás folyamatába és megváltozott életkörülméyeikből adódó godjaikra valamilye életképes megoldást próbáljuk találi. Olya problémákkal szembesülük a taítás sorá, mit: az egyre erősödő hiáyos szövegértés, az absztrakciós képesség egyre agyobb hiáya, a yelvezet elszegéyedése és ezáltal az érzelmi és értelmi élet szegéyedése, a sok forrásból jövő álladó igerlések való kitettség miatt pedig jóval magasabb igerküszöb. Ezekek a gyerekekek erősebb impulzusokra va szükségük, ahhoz, hogy érdeklődésüket felkeltve aktív résztvevőivé váljaak a taulásak. Ahhoz, hogy ezt elérjük változatossá kell tei a módszereiket, és azokat a módszereket kell előtérbe helyezi, amelyek kötelezővé teszik a diák aktív részvételét a taórá. El kell érük, hogy a diák cselekvő módo reagáljo az őt érő kihívásokra. Ez külöbe az utóbbi időbe sokat hagoztatott kompetecia szó értelmezése is: az egyé belső késztetése, hogy cselekvéssel válaszoljo egy adott helyzet kihívására, tehát em azoos sem a tudással, sem a képességgel, magába foglalja ezeket, de em azoos velük Blomhoj és Jese, 2003). 19

23 A Rocard-jeletésbe kiemelt kívácsiságorietált oktatás olya módszer, amelyet érdemes lee redszerese haszáli a taítási folyamatba. Ez agymértékbe fejlesztheti a kompeteciákat a puszta ismerettel szembe. Eek gyökerei a probléma közpotú taítással azoosak. Ha megvizsgáljuk Erich Wittma elképzelését a problémamegoldás képességéek fejlesztésére voatkozóa, azt tapasztaljuk, hogy szite teljes mértékbe megegyezik a Rocard-jeletésbe foglaltakkal. Erich Ch.Wittma a problémamegoldási képességek fejlesztéséek tíz feltételét tartja alapvetőe fotosak 9 : 1. Ismeretszerzés felfedeztető taítás és taulás révé. 2. A taulók ösztözése a diverges godolkozásra többféle megfogalmazás; több iráyból törtéő megközelítése ugyaaak a problémáak; a matematika külöböző területeiek összekapcsolása, a módszerek ötvözése; stb.). 3. Automatizált godolatmeetek kizárólagos alkalmazásáak háttérbe szorítása. 4. Nyitott problémák vizsgálata ics direkt kérdés, többféle kérdésfeltevés lehetséges, apró kutatási lehetőségek stb.). 5. Ösztöözi kell arra a taulókat, hogy maguk is vesseek föl problémákat. 6. Egy olya,,yelv kialakítása, amely lehetővé teszi a taulók számára, hogy godolataikat ki tudják fejezi. 7. Ituitív idoklások, sejtések ösztözése. Egy kicsi, de öálló lépés többet ér, mit egy bemutatott godolatmeet,,leféyképezése.) 8. Heurisztikus stratégiák taulása. 9. Kostruktív magatartás kialakítása a hibákkal szembe. 10. Diszkussziók, reflexiók, argumetációk ösztözése. 9 Erich Ch. Wittma: Grudfrage des Mathematikuterrichts 20

24 Egyébkét magáak a problémáak a mibelétét is érdemes megvizsgáluk. Pólya György szerit:,,általába egy kíváságból vagy származik probléma, vagy em: ha azoal, mide akadály élkül olya kézefekvő teivaló jut eszembe, mellyel elérem a kívát dolgot, ics probléma, ha azoba ilye em jut eszembe, akkor va. Problémák va, tehát azt jeleti, hogy olya megfelelő teivalót keresük tudatosa, amely alkalmas valamilye világosa megfogalmazott, de közvetleül meg em közelíthető cél elérésére. Problémát megoldai a megfelelő teivaló megtalálását jeleti... a legjellemzőbb emberi tevékeység a problémamegoldás, a célratörő godolkodás, eszközök keresése valamely kitűzött cél eléréséhez. 10 Ala H. Schoefeld a probléma fogalmáak értelmezésekor a,,problémaság kritériumát em a feladat, a kérdés boyolultságába keresi:,,az a ehézség a probléma fogalmáak értelmezésébe, hogy maga a problémamegoldás folyamata agyo függ a problémamegoldó személyétől. Azok a feladatok, amelyek megoldása komoly erőfeszítést kívá bizoyos taulóktól, mások számára lehetek egyszerű rutifeladatok, sőt egy matematikus számára ismeretei alapjá trivialitások. Eélfogva az, hogy egy feladat probléma-e, em magáak a feladatak a léyegi sajátossága, sokkal ikább az egyé és a feladat közötti kapcsolat jellemzője. 11 A Pólya-féle értelmezés agyo rávilágít arra, hogy a problémamegoldás képessége és a kompeteciák megléte teljese egy tőről fakad, Schoefeld értelmezése pedig rávilágít arra, hogy a problémaszituáció egyéekét külöbözik. Biztos probléma szituációt jeleteek mideki számára a taítás sorá azok a helyzetek, amikor olya feladatot kell ellátuk, amely megoldására em elegedőek a már meglevő eszközeik és újabbakat kell találuk. Egy új fogalom vagy eszköz ilyeszerű bevezetése ahol az lehetséges) biztosa élméyszerűbb a tauló számára, mit a puszta közlés. A problémaközpotú matematikai oktatásba azoal felmerül az alkalmazás és modellezés problémája. Az utóbbi másfél évszázad örökös kérdése volt, hogy tiszta matematikát taítsaake vagy alkalmazáscetrikusat, s ha ige, milye mértékbe. A mérleg yelve hol erre, 10 Pólya György: A problémamegoldás iskolája 11 A. H. Schoefeld: Mathematical Problem Solvig 21

25 hol arra dőlt el, amikor valamely iráy túlsúlyba került. Az utóbbi évtizedekbe kutatások is folytak, több európai országba is ilye iráyba Dáia, Holladia, Németország, Svédország) és egyre ikább szükségesek tartják a modellezési tevékeységek jelelétét a matematikataításba. Ezt yilvávalóvá teszi aak szükségessége, hogy a matematikát is itegráljuk az élet más területei kifejtett tevékeységekkel. Hogya valósul ez meg az alkalmazás és modellezés által? Midkettő a matematikáak a külvilággal való kapcsolatát teremti meg. A modellezés a külvilág matematika iráyú kapcsolatot képviseli. Amikor modellezük a külvilágba álluk és a matematika birodalmába keresük a:,,hol találhatok valamilye matematikai eszközt, ami segítse megoldai ezt a problémát? kérdésre választ. Az alkalmazás a matematika-külvilág iráyú kapcsolatot képviseli. Most a matematika birodalmába álluk és a külvilágba keressük a:,,hol haszálhatom a matematika világá kívül ezt az eszközt? kérdésre a választ. A matematika didaktikusok körébe elég agy koszezus alakult ki abba, hogy a modellezés agyo fotos a matematikataításba. Két felfogás is létezik, vaak akik magáért a taításért tartják fotosak, ebbe a felfogásba a modellezés eszközkét jeleik meg, amely megköyítheti és támogathatja a matematikáak, mit tatárgyak a taítását. A másik felfogás azt vallja, hogy a matematikát úgy kell taítai, hogy olya kompeteciákat fejlesszük, amelyek a matematika alkalmazásába és a modellalkotásba segíteek. Az általáos iskolába ez a dualitás természetes, hisze midkét aspektus agyo fotos, úgy kell egybeágyazi őket, hogy közbe még csak ki sem ejtjük a modell szót. Meg kell teremtei a gyerek számára a matematika világa és a saját világa közti összeköttetést, meg kell taítai haszáli a matematikát változatos kotextusokba és helyzetekbe, rá kell ébresztei, hogy midehol találkozik vele. Az,,alkalmazás és modellezés a matematika taulásáért elképzelés abból idul ki, 22

26 hogy: a) bizoyítai kell a diákak, hogy a matematikát az emberek sok okból és célból valóba haszálják, így egy gazdagabb képet alkotak a matematika természetéről és szerepéről b) motivációt yújt a diákak, hogy matematikát tauljo, mivel segít külöböző attitűdök és elképzelések formába ötésébe. A másik elképzelés szerit: a) a matematikai taítás és taulás egyik célja, hogy a diákokat felszerelje azzal a képességgel, hogy a matematikát ömaga határai túl alkalmazza. b) a matematika ömaga határai túli alkalmazása midig matematikai modellek és modellezése keresztül törtéik. Időről időre megjeleik külöböző iskolaredszerekbe és áluk még ma is él) az az elképzelés, hogy ha valaki helyes és hatékoy módo tault,,tiszta matematikát, akkor képes lesz alkalmazi a matematikát más területeke és más kotextusokba további erre iráyuló taítás élkül. Ezzel szembe az utóbbi idők kutatásai azt mutatták ki, hogy ics automatikus traszfer a tiszta matematikai tudás és azo képesség között, hogy ezt az egyé alkalmazi tudja olya helyzetekbe, amelyek még em teljese matematizáltak. Ezért, ha szereték, hogy diákjaik alkalmazási és modellezési kompeteciákkal redelkezzeek mit a matematikai műveltségük egyik kimeetele, az alkalmazás és modellezés explicite kell szerepelje a matematikataítás programjába. Eek megvalósításához viszot a taárak képesek kell leie változatos taítási köryezetek létrehozására, olya helyzeteket és tevékeységeket kell kitalália, ami támogatja az alkalmazási és modellezési kompeteciák megjeleését külöböző evelési helyzetekbe más matematikai kompeteciákkal párhuzamosa. Ebbe a taár azoba külöböző problémákba ütközik: időbeosztási godok meyit taítsuk ezekből időbe?), a tartalmak megtervezése mit, milye modelleket?), a tevékeységek és felhaszált ayagok kiválasztása, 23

27 a megfelelő egyesúly megteremtése az alkalmazás és a többi, fotos elméleti és más típusú matematikai tevékeység között. Ahogy a diák em képes boyolultabb helyzetekbe alkalmazi a matematikát, illetve megalkoti és kielemezi matematikai modelleket az elméleti matematikai ismereteiek automatikus következméyekét, ugyaúgy a taárt sem teszi képessé elméleti matematikusi vagy hagyomáyos matematikataári képzése arra, hogy megfelelő köryezeteket, helyzeteket illetve tevékeységeket hozzo létre az alkalmazásra és modellezésre. Ehhez be kell ezt iktati a taári képzésbe illetve a továbbképzések fotos részévé kell váljo eze taári képességek fejlesztése. Ugyaakkor fotos más országok már meglevő tapasztalataiak kielemzése és átvétele. Természetese a kompetecia-alapú, a kívácsiság-vezérelt taításak és taulásak is megvaak a maga korlátai, alkalmazhatósági határai, és ezek majd hosszasabb alkalmazás és vizsgálatok utá derülek ki például a kompeteciák méréséek egyik problémája, hogy ugyaazok a kompeteciák külöböző emberekél em egyidőbe alakulak ki, de az hogy em alakult ki a felmérés időpotjára, em azt jeleti feltétleül, hogy később sem válik operacioálissá). Kérdés az is, hogy bizoyos dolgok, mit a heurisztikus eljárások, a heurisztikus problémamegoldó képesség milye mértékbe taíthatóak. Például a heurisztika taíthatóságát illetőe Kosztoláyi József arra a következtetésre jut,,a problémamegoldási stratégiák című Phd-dolgozatába, hogy az csak bizoyos mértékbe taítható, de agyo haszos ezzel foglalkozi, mert bizoyos fejlődés elérhető megfelelő stratégiák jól feltett kérdésekkel iráyított taítása által. És természetese az, hogy ez csak bizoyos mértékig taítható em ok arra, hogy e tegyük azt. Ami biztos, és szité felmérések bizoyítják, a legfotosabb, hogy kik és hogya alkalmazzák ezeket a módszereket, azaz a lelkes, úgy szakmai, mit didaktikai szempotból jól felkészült, jó képességű és empátiával redelkező taárt em lehet semmivel helyettesítei, és mide módszere túl az ő személyes hozzáállása az, ami az egész taítási folyamatot a legagyobb mértékbe meghatározza. 24

28 Ugyaakkor a legkreatívabb és jó felkészültséggel redelkező evelőek, taítóak is szüksége va segítségre és együttműködésre az újrégi) iráyzatok megismerésére, az alkalmazáshoz szükséges erőfeszítések megtermékeyítésére. Ezért válak egyre szükségesebbeké a jól átgodolt, kivitelezett továbbképzések, illetve külöböző hazai illetve emzetközi projektekbe való részvételek és kooperációk. Egy másik ige fotos probléma a taköyvek illetve segédayagok kérdése. Ami a Romáiába forgalomba levő taköyveket illeti, az a god velük, hogy még midig jobba hasolítaak feladat ayaggal kiegészített egyetemi jegyzetekre, tétel, bizoyítás, példa stílusba való felvezetés jellemzi őket, s ha émely köyv el is tér valameyire ettől a stílustól ameyire ez egyáltalá lehetséges ahhoz, hogy megfelelje az elbirálási kritériumokak), mivel icseek taári kéziköyvek, a máshoz szokott taárok em igazá tudják haszáli ezeket, így ikább választják az általuk megszokott taköyveket. Egy más felfogásba szerkesztett, a kivácsiság-vezérelt oktatást támogató taköyv kocepcióra lee szükség. Természetese ehhez ige agy többletmukára va szükség a szerzők részéről és egy agyobb stabilitásra a taügybe, modjuk miimálisa arra, hogy a taterv em változik évete vagy kétévete, mit azt az utóbbi időbe már megszoktuk. Dolgozatomba az expoeciális függvéy bevezetésével és tulajdoságaiak bizoyításával foglalkozom a problémaközpotú taítás elveiek megfelelőe, úgy, hogy az a kivácsiság-vezérelt taulást támogassa. Úgy próbálok építkezi, hogy a probléma megelőzze az elméletet, hogy a tauló láthassa, hogy hoa és miért bukkaak elő a fogalmak, tulajdoságok és miért leszek haszosak a talált matematikai eszközök, mideközbe pedig a modell alkotásról is émi képet szerezhet akár ki em modott formába is) Projektek Többek között a jeletések hatására dötéshozói szite is tudatosultak azok az égető problémák, amelyekkel a matematikát és a tudomáyokat oktatók szembesülek; 25

29 így az Európai Bizottság is több ilye iráyú projektet támogat. Az egyik ilye sikeres projekt a már említett POLLEN projekt, amely már 12 országba működik. A programba részt vevő városokak több lehetőségük yílik taári továbbképzések szervezésére vagy az oktatáshoz szükséges erőforrások valamit iteretes hozzáférések igéybe vételére. Általáosságba elmodható, hogy a módszer alkalmazásával javul az általáos iskolai természettudomáyos oktatás szívoala, a taórák miősége, a természettudomáyokat taító szaktaárok öbecsülése és motivációs készsége. A módszer jó hatással bír a gyerekek természettudomáyos érdeklődésére, pozitíva befolyásolja a taórai aktív részvételüket. A emek aráyába mutatkozó szakadék csökke. Külööse látváyos a taulási ehézségekkel küzdő, szociálisa hátráyos helyzetű taulók természettudomáyos motivációjába törtét változás. A Rocard-jeletés is bemutatja a sokat hagoztatott IBL módszer Polle projektből átvett példáját A kísérletekhez em feltétle szükségesek midig a legújabb vagy legmoderebb eszközök. A legtöbb kísérlethez, amit a Polle az iskolákak a kerettatervbe beillesztei ajál, csupá az amúgy is redelkezésre álló felszereltségre va szükség. Képzeljük el egy taárt és egy osztályyi gyereket. A téma a,,homokóra mit egy ismert és egyszerű időmérő beredezés). Milye paraméterekkel magyarázza meg a taár, hogy meyi idő alatt pereg át a homok a szerkezete? A következőkbe éháy erre voatkozó lehetséges techikát tárgyaluk: A. A taár bemutat egy homokórát a gyerekekek és elmagyarázza, hogy az óra azt az időegységet méri, ameyi idő alatt a homok lepereg. Tehát a homok meyisége és a megmért időegység összefüggeek. Majd ezt a taulók is kipróbálják. Ez a módszer majdem olya, mit egy előadás, ahol a taár csupá a kísérleti folyamat eredméyeit közli. A vizsgálati oktatási módszertől midez agyo távol áll. B. A taulók megfigyelek egy homokórát, majd lerajzolják és körülírják a taári asztalo. Ezutá a taár megkérdezi, hogy milye téyezőktől függ az idő mérése? A legtöbb tauló megérti az összefüggéseket és rájö a megoldásra, de em mideki. 26

30 C. Egy homokóra közös megfigyelése utá a taár megkérdezi a taulókat, hogya lehet meghosszabbítai vagy lerövidítei azt az időitervallumot, amely alatt a homokórába a homok lepereg. A gyerek ekkor megkapja a kérdésfeltevés lehetőségét, hogy általa megtalálja megoldást. D. A taár miimum három homokórát mutat be. Az egyikbe sokkal több ideig tart a homok lepergése, mit a többiél. A csoportokba osztott taulók megfigyelik, lerajzolják és körülírják azt a homokórát, amit kapak. A homokórák körbejárak a csoportoko belül, és amikor a taulók észreveszik azt a homokórát, amelyél sokkal tovább tart a homok lepergése, ösztööse felteszik a kérdést: hogya lehetséges ez. Ez a módszer egy lehetőség em az egyetle), hogy a taulók saját kezébe adjuk egy probléma felvetéséek lehetőségét, és hogy saját maguk jöjjeek rá ezt követőe a probléma megoldására is. Midez jól mutatja, miért lehet sikeres az IBL. A gyerekek általába agyo jól megjegyzik azokat a kísérleteket, amelyeket ők maguk végezek. A kísérleti folyamat akkor eredméyes, ha azokból ők maguk voják le a következtetéseket. A homokóra példáál maradva a gyerekek számba vehetik a homok meyiségét, az üveg alakját, a homokszemcsék és a homokóra méretét. Nics aál jobb, mit amikor a gyerek maga végzi el a kísérletet és maga voja le a következtetéseket. A másik agy projekt a SINUS-TRANSFER projekt, amely a középiskolai természettudomáyos oktatás pedagógiai kocepciójáak megújítását célozza meg. Ez a módszer a természettudomáyos megfigyelések, és kísérletek kiemelt fotosságát hagsúlyozza. Léyegi eleme a taárok folyamatos szakmai továbbképzéséek a kérdése. A Sius-Trasfer külöös figyelemmel kíséri a taulók egyéi, természettudomáyos fejlődését. Erős együttműködés kialakítására törekszik iskolá belül és más iskolák, kutatók bevoásával. Midkét projekt egy iovatív pedagógiai kocepciót kíál, és em azzal a szádékkal, hogy felforgassa az eddigi tameeteket, csupá változtatásokat javasol, illetve kiegészíti a hagyomáyos elképzeléseket. Midkét módszer hagsúlyozza a kísérleti taulás fotosságát, és em elégszik meg a természettudomáyos kísérletek 27

31 és vizsgálatok eredméyeiek közlésével, éppe az eredméyekhez vezető folyamatok megfigyelését yomatékosítja. Az Európai Közösség 7. Kutatási-, Techológifejlesztési és Demostrációs keretprogramja 7. keretprogram, Seveth Framework Programme, FP7) kb. 60 millió eurót szá ilye jellegű további projektek támogatására jauárjától a korábbi Comeius projektek mellett pl. DQME II) Romáiába jeleleg két FP7-es projekt működik: A FIBONACCI és a PRIMAS Ezekek a projektekek két alapvető célkitűzése va: egyrészt olya taayagok fejlesztése/kipróbálása, amelyek illeszkedek a romáiai tatervhez és tükrözik az IBL alapelveit, másrészt olya oktatói testület kiképzése, amely hosszú távo közelebb hozhatja a matematikát és a természettudomáyokat a diákokhoz. A Fiboacci projektbe 21 ország 25 közpotja vesz rászt. A romáiai közpot a bukaresti Lézer, plazma és sugárzás fizikájáak kutatóitézete. A Primas Projektbe 14 országból 12 közpot vesz részt. A romáiai közpot a kolozsvári Babeş Bolyai Tudomáyegyetem. A PRIMAS projekt kocepciója a kívácsiság-vezérelt taulásról: A természettudomáyokba a kívácsiság-vezérelt taulás kokréta a tudomáyos ismereteke alapuló kísérletezésbe, a kísérletezés és a modellezés közötti kölcsöhatásokba yilvául meg. A projekt a köyebb átláthatóságért a a kíváycsiság-vezérelt taulási folyamat körkörösségét ábrázolja Hama, 2004, Klahr, 2000) 1.4 ábra) A projekt mukaközössége szerit matematikát és természettudomáyokat jól taítai azt jeleti, hogy: ösztözözi a matematika és a természettudomáyok taulása iráti érdeklődést és motivációt; alaptudást biztosítai; 28

32 1.4. ábra. A kívácsiság-vezérelet taulás ciklusa a témákba alap műveltséget fejlesztei; a taulókat hagyi, hogy a hibáikból tauljaak; fokozatos taulást fejlesztei; autoóm taulást fejlesztei; az iterdiszcipliáris megközelítéseket biztosítai; a taulók együttműködését támogati; a emi hovatartozási sztereotípiákat csökketei. A kívácsiság vezérelt oktatással kapcsolatos tipikus taári sztereotípiák: ics megfelelő háttértudásuk és képességük; 29

33 a kívácsiság vezérelt módszerek túl sok időt veszek igéybe és em tudják betartai a tatervet; a záróvizsgák ikább az iformációk birtoklását szükségeltetetik mit a tudomáyos godolkodást; ics elég forrásuk a kívácsiság vezérelt oktatás előtérbe helyezésére. Az iterdiszcipliaritás hiáyáak egyik fő oka a taárképzés egyoldalúsága. Vladimir Arold 1997-be foglamazta meg eziráyú aggályait:,,a matematika a fizika része. A fizika egy kísérleteke alapuló tudomáy, a természettudomáy egy ága. A matematika a fizika azo ága, amelybe olcsók a kísérletek. A húszadik század közepé szétválasztották a fizikát és a matematikát. A következméyek katasztrófálisak. Matematikusok geerációi őttek fel tudomáyuk feléek ismerete híjjá és természetese mide más tudomáy iráti közömbösséggel. 12 A PRIMAS projekt célkitűzései 1. A kívácsiság vezérelt oktatás Iquiry Based Learig) széles körű elterjesztése A helyi tatervekek megfelelő, IBL szemléletű taayagok létrehozása, fejlesztése, terjesztése A taárképzés és taártovábbképzés támogatása 2. A matematika és a természettudomáyok taítási illetve taulási szokásaiak megváltoztatása Működőképes oktatási-, képzési- és továbbképzési modellek, reális alteratívák bemutatása A traszformációs modelle alapuló taárképző és továbbképző tafolyamok 12 Vladimir Arold: O Teachig Mathematics, Párizs, március 7. 30

34 Foglalkozások iskolá kívüli célcsoportok számára A romáiai kurrikulum em tér ki semmilye modellezési, kívácsiság-vezérelt vagy bármilye alteratív taítási módszerre, csak a Bourbaki iskola kocepcióját követi. Nicseek speciális taárképző itézméyek, a taárok továbbképzését az egyetemek vagy civil szervezetek szervezik, tartalmuk em feltétleül a matematika oktatására iráyul, haem ikább iformáció-átadás. A taterv és a záróvizsgák szerkezete a legtöbb taárt em ösztözi más megközelítések fejlesztésére. Így agyo agy szükség va a kívácsiság-vezérelt oktatás terjesztésére. 31

35 2. fejezet Az expoeciális függvéy bevezetése pézügyi fogalmako keresztül 2.1. Bevezető pézügyi fogalmak Mideekelőtt értelmezzük éháy pézügyi fogalmat! Kamat: a jövőbeli és a jelebeli pézösszeg közötti külöbözet. Kamatláb: időegység alatt realizált kamat és tőke aráya. Egyszerű kamat: csak az alap összeg kamatozik, azaz mide évbe az alapösszeg kamatlábbal ő a tőke. Kamatos kamatozás: a kamattal megövelt összeg kamatozik, azaz mide évbe az aktuális összeg kamatlábbal ő a tőke. Tekitsük éháy példát! Ha a kamatláb 10%, és a befektetett összeg 100 pézegység, akkor egyszerű kamatozás eseté 1 év utá , 10 = 110, 2 év utá , 10 = 120 pézegységük va, A fogalom megértéséek elleőrzéseképpe a taulók megoldják a feladatot, amelybe rájöek az egyszerű kamat liearitására, azaz, hogy p kamatláb eseté, ha a befektetett összeg S, akkor az 32

36 év utá kivehető összeg S = S1 + p). Kamatos kamatozás eseté 1 év utá , 10 = 110 pézegységük va, majd ez a teljes összeg kamatozik, így 2 év utá , 10 = 121 pézegységük va. A fogalom megértéséek elleőrzéseképpe a taulók megoldják a feladatot, amelybe rájöek hogy mide évbe az összeg 1, 1-szer ő és levoják a következtetést, hogy p kamatláb eseté, ha a befektetett összeg S, akkor kamatos kamat eseté az év utá kivehető összeg S1 + p). A és feladatok megoldásakor a taulók megfogalmazzák, hogy ugyaolya kamatláb mellett kamatos kamattal jobba megéri befekteti, illetve, hogy ha az egyszerű kamat eseté agyobb a kamatláb, mit a kamatos kamat eseté, akkor rövid távo jobba megéri az egyszerű kamattal befekteti, de hosszútávo a kamatos kamat éri meg jobba. A feti példákba a kamatozási periódus 1 év volt. A mideapi életbe gyakra találkozhatuk azoba olya befektetésekkel, amelyekél a kamatozási periódus egy évél rövidebb. Ezt úgy evezzük, hogy évekéti többszöri tőkésítés. Ilye esetekbe a kamatozási periódussal megyegyező érvéyességi időtartamra voatkozó kamatlábat kell haszáli. Ha például a befektetett pézösszeg 100 pézegység, a kamatláb 10% és havota tőkésítük, akkor a havi kamatláb 10 %, így kamatos kamatozás eseté 12 1 hóap utá hóap utá 100, 83) + 100, 83) = 100, 83) pézegységük va, = 101, 67361) pézegységük va, 1 év utá pedig )12 110, 471 pézegységük va, 2 év utá pedig )24 122, 039 pézegységük va. Egyszerű kamatozás eseté 1 hóap utá hóap utá év utá pedig = 110. = 100, 83) pézegységük va, = 101, 6) pézegységük va, Vizsgáljuk mi törtéik a pézösszeggel, ha hetete tőkésítük kamatos kamatozás 33