KOLLOIDKÉMIA: NANORENDSZEREK ÉS HATÁRFELÜLETEK. egyetemi jegyzet

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "KOLLOIDKÉMIA: NANORENDSZEREK ÉS HATÁRFELÜLETEK. egyetemi jegyzet"

Átírás

1 KOLLOIDKÉMIA: NANORENDSZEREK ÉS HATÁRFELÜLETEK egyetem jegyzet Glány Tbor ELTE Kollodkéma és Kollodtechnológa Tanszék Budapest, 2005

2 A kollodkéma tárgya A kollodkéma tárgyának meghatározásához nduljunk k az alább gondolatkísérletből. Az α-β kétfázsú makroszkópos rendszerben a β fázst aprítsuk fel apróbb részecskékre és a részecskéket oszlassuk el az α fázsban (1. ábra A-B). Majd folytassuk az aprítást és szétoszlatást (C). Ennek nylvánvaló határa a kéma mnőség megváltoztatása nélkül a molekulákg történő aprítás (D). A B-C rendszert dszperz rendszernek nevezzük, mely két lényeges jellemzőjében különbözk az A és D rendszertől: 1. ábra: Dszperz rendszer keletkezése a β fázs aprítása során. 1

3 a) Ha az anyagot aprítjuk, akkor az α-β fázshatár fajlagos nagysága növekszk, amnek következménye, hogy a határfelület jelenléte egyre nagyobb szerepet játszk az anyag tulajdonságokban. Az 1 cm 3 térfogatú kocka felülete 6 cm 2. Ha ezt a kockát 0,1 mm-es élű kockákká aprítjuk, akkor az összes felület 0,6 m 2 lesz. Folytatva az aprítást 10 nm-es kockákká, a felület órásra, 600 m 2 nyre nő. Ilyen fokú aprítottság előfordul a természetben és megvalósítható mesterségesen s. b) Ha az A, B, C és D rendszert mnt struktúrát tekntjük, akkor az A és D az egyszerűbb struktúra, amelynek a molekula az építőeleme. A B és C struktúrák eleme a részecskék. (A részecskének mnt struktúrának a molekulák az építőeleme. A részecske-rendszerben a molekula szubstruktúraelem). A vszonylag kevés molekulából felépülő részecske az anyag strukturáls herarchájában a mkro- (molekula) és a makrovlág (test) közé ékelődk. Az aprítás során megjelenő új struktúraelem - a dszperz részecske - újfajta kölcsönhatás megjelenését s jelent. 1 Míg az A és D rendszert a molekulák között kölcsönhatások jellemzk, addg a B-C rendszerben új jelenségként a részecske-részecske kölcsönhatás s fellép. Ez akkor s így van, ha fzka alapját lletően ugyanazok a kölcsönhatások (pl. csak elektromágneses kölcsönhatások) eredményezk a részecskerészecske kölcsönhatást és a molekula-molekula kölcsönhatást s. Tudománytörténet okokból a dszperz rendszerek egy szűkebb csoportját kollod rendszereknek nevezzük, melyekben a részecskék jellemző mérete a néhánytól a néhány száz nm-es mérettartományba esk. E valójában önkényes és szükségtelen megszorítás célja annak kfejezése volt, hogy e rendszerek tulajdonságaban a határfelületek meghatározó szerepet játszanak. A nagy aprítottságú rendszereknek ugyans szükségszerűen nagy a fajlagos felülete s. Amnt az 1. ábrából ktűnk, az A és a B, lletve a C és a D eloszlás között végtelen sok aprítottság fok lehetséges, vagys a kollod rendszerből a kétfázsú (egyenként homogén) rendszerbe és hasonlóképpen az egyfázsú homogén rendszerbe való átmenet folytonos. Az 1. ábrán vázolt aprítás folyamat elvleg bármlyen anyag mnőségű rendszerrel elvégezhető (kvéve a gázfázs aprítását gázfázsban), vagys bármlyen kondenzált anyag rendszer dszperz (vagy kollod) állapotba hozható. Ilyen értelemben a kollod állapotról mnt az anyag egyetemleges megjelenés formájáról beszélhetünk. A fentek alapján 1 A dszperz részecske fogalom nem trváls. Az A rendszerben s kjelölhetnénk molekulahalmazokat, azok mégsem lennének részecskék. A részecske olyan molekulahalmaz, amely knetka egységet alkot (megfelelő körülmények között önálló transzlácós hőmozgást végez, vagy önálló knetka egységként mozog, pl. ülepszk). 2

4 a kollodkéma tárgya a határfelületek, valamnt a dszperz rendszerek vzsgálata. A kollodkéma e rendszerek keletkezését és megszűnését, stabltását és külső erőterekkel (mechanka (nyíró), gravtácós, centrfugáls, elektromágneses, elektromos és mágneses térrel) való kölcsönhatását tanulmányozza. A dszperz rendszerek tulajdonságanak vzsgálatát nemcsak az anyag megsmerésére rányuló tudományos kíváncsság ösztönz, hanem számos par termék előállításában és mndennap életünkben s nagy gyakorlat jelentősége van. Nézzünk erre néhány példát. Ha például körültekntünk egy tanteremben, dszperz rendszerek sokaságát vehetjük észre. Dszperz rendszer a fából készült asztal, a padok, mert a fa nagy belső felülettel jellemezhető növény rostokból áll. Dszperz rendszer továbbá a téglafal, de a falat bevonó, parány pgment-részecskéket tartalmazó festék s. Ha a sötét teremben a levegőt egy fénysugárral megvlágítjuk, akkor a hőmozgást végző vllódzó porszemek észlelhetővé válnak. A levegőben lebegő porszemek dszperz rendszert képeznek (aeroszol). Vzsgálatunk tárgya szempontjából m magunk s dszperz rendszerek vagyunk. Az élőlényeket felépítő sejtek, a szövet, a vér. Az órás belső felület nélkül nem játszódhatnának le az élettan folyamatok megfelelő sebességgel. Klépve a szabadba a boszféra tpkus dszperz rendszeret észlelhetjük. A felhőket, a talajt. A talaj például három fázsból képződő (szlárd-folyadék-gáz) dszperz rendszer. Végezetül néhány példa az par termékek és élelmszerek közül. Dszperz rendszer a már említett tégla, a festék, továbbá a papír, a tnta, a kerámák, a spray-k, a krémek, számos növényvédőszer készítmény és gyógyszer, a textílák, az élelmszerek közül a lszt, a kenyér, a tej, a kocsonya, stb. A példák hosszú sorát lehetne említen. Külön említést érdemel a napjankban egyre dvatosabb nanorészecskék (nanoszerkezetek, nanorendszerek) tudománya, mely az anyagtakarékosság, a mnatürzálás és az új tulajdonságú anyagok kutatásában vlágvszonylatban a kemelt fontosságú kutatás rányzatokhoz tartozk. A fentek tükrében nem nehéz észrevenn, hogy a nanorészecskék tudománya a kollodkéma újrafelfedezését, vagy új elnevezését jelent. 3

5 Határfelületek fzka kémája M a határfelület? A látszólag egyszerű kérdésre nem könnyű a szabatos válasz. Melőtt a határfelületek fzka-kémájának tárgyalását kezdenénk, a határfelület fogalmát defnálnunk kell. Egy tudományág színvonalát ugyans a használt fogalmak, defnícók pontossága és egyértelműsége határozza meg. A határfelület fogalom a köznap használatban kétdmenzós képződményre utal. Az anyag azonban térben és dőben létezk, kétdmenzós anyag nncs. Ha kétdmenzósként defnáljuk a felületet, anyagtudományt nem építhetünk rá. A határfelület anyagtudomány szempontból térben képződmény. Egyetlen fázsnak azonban nncs határfelülete, mert a határfelület szükségszerűen két különböző fázst választ el (a vákuumot s fázsként defnálva). A határfelület ezért csak az azt létrehozó két fázs segítségével defnálható. Ezek alapján a a határfelület két fázs térben átmenete. A határfelületek az azokat létrehozó fázsok halmazállapota alapján csoportosíthatók: szlárd/gáz, szlárd/folyadék, szlárd/szlárd, folyadék/gáz és folyadék/folyadék határfelületek. Defnícója alapján a fázs homogén, azaz tulajdonsága a helytől függetlenek. Az egyk fázsból a máskba történő átmenetben legalább néhány, egyes rendszerek esetében sok molekula-vastagságny rétegben változnak a tulajdonságok (a sűrűség, az összetétel, az elektromos potencál). A határfelület az α-β fázs átmenetében mnd az α, mnd a β fázstól különbözk és mvel az átmenet rányában tulajdonsága változnak, egy dmenzóban nem homogén. Az átmenetre merőleges síkokban azonban a határfelületnek s azonosak a tulajdonsága, azaz két dmenzóban teljesül a fázs-krtérum. A határfelület mellett használatos ezért a kfejezőbb határréteg és határfázs elnevezés s. Előbb a határfelület térben kterjedését, utóbb a két dmenzóban teljesülő fázskrtérumot hangsúlyozza. A határfelület pedg a fázsok között átmenet dszkrét jellegét (makroszkópos skálán az ugrásszerű változást) emel k. A háromféle elnevezés sznonmaként használatos. Mvel a határfelület önmagában nem létezhet, ezért nem lehet autonóm, azaz tulajdonságat a létrehozó fázsok határozzák meg. A makroszkópos termodnamka a határfelületet (joggal) elhanyagolja, mert a makroszkópos 4

6 méretű anyag felület rétegében elhanyagolhatóan kevés molekula van a fázsban lévőkhöz képest. A kollod rendszer esetében azonban, mvel a molekulák jelentős része a határrétegben van, a határfelület jelentős szerepet játszk a rendszer tulajdonságanak kalakításában. A határfelület vastagsága vagy lokáls tulajdonsága általában nem mérhető mennységek, ezért a határfelület jellemzésére olyan ntegrált mennységeket vezetünk be, melyek mérhetők, vagy valamlyen mérésből számolhatók. Ezek a mennységek általánosan a következő ntegrál formájában adhatók meg: σ β x = X z) dz α (, 1 melyben X a határréteg valamely lokáls tulajdonsága és z a határfelületre merőleges koordnáta. Az 1. ntegrál az α fázsból a β fázsba történő átmenet során az X mennység összegzését jelent. Értéke természetesen függ attól s, hogy α-ban és β-ban hol jelöljük k az ntegrálás határokat. Az 1. ntegrál alkalmazásával a későbbekben bevezetjük a felület feszültség, a határfelület többletenerga és a határfelület anyagtöbblet fogalmát, melyek a felület kéma fogalm rendszerének lényegét jelentk. Megértésük a felületek tudományának megalapozását eredményez. Ezt azért s hangsúlyozn kell, mert e fogalmak körül félreértések sajnálatos módon napjankban s gyakorak a tudományos rodalomban. 5

7 Határfelület többletenerga Vzsgáljuk meg az egykomponensű kétfázsú folyadék/gőz makroszkópos rendszer határfelület rétegét (2. ábra). 2. ábra: Kölcsönhatások a folyadék/gőz határrétegben. A felület rétegben kevesebb kölcsönható szomszédja van a molekuláknak, mnt a folyadék belsejében. A gondolatmenet egyszerűsítése céljából dealzáljuk a határfelület szerkezetét: tételezzük fel, hogy a folyadékfázs sűrűsége egyetlen molekularétegben csökken a folyadékéról a gőzére jellemző értékre. Egy, a folyadékban kszemelt molekulának a szomszédaval való kölcsönhatás energája k 1 ε, melyben ε a két molekula között átlagos kölcsönhatás energa, k 1 pedg a szomszédok száma, a koordnácós szám. (Csak a legközelebb szomszédok kölcsönhatását vegyük fgyelembe.) A felületen lévő molekulák kölcsönhatás energája szomszédaval k 2 ε, melyben k 2 a felület molekulák kölcsönható szomszédanak a száma. 6

8 Szükségszerű, hogy k 2 < k 1, pl. ha k 1 = 12, akkor k 2 = 9, vagys a felületen lévő molekuláknak mndg kevesebb szomszédja van. Vzsgáljuk meg m történk, ha a felületet növeljük a folyadékot tartalmazó edény falanak képzeletbel elmozdításával. A molekulák között átlagos egyensúly távolság nem változhat, mert azt az adott hőmérsékleten és nyomáson az anyag mnőség szabja meg. Az egyetlen lehetőség a felület (egyensúly) növelésére az, hogy a folyadék belsejéből újabb molekulák kerülnek a felszínre. Ehhez tömbfázsbel molekulákat kell kszakítan kölcsönhatásanak egy részéből, vagys molekulákként (k 1 -k 2 )ε kölcsönhatás energát be kell fektetn a felület növeléséhez. Ha a felületet létrehozzuk, akkor a rendszernek többletenergája lesz ahhoz az állapothoz képest, mntha nem tartalmazna határfelületet. A fent egyszerű gondolatkísérletből levont következtetés lényege, azaz a felület többletenerga létezése akkor s helytálló, ha reálsabb határfelület szerkezetből és kölcsönhatás képből ndulunk k, továbbá általánosítható szlárd-folyadék, szlárd-gáz és folyadék-folyadék határfelületre, valamnt többkomponensű rendszerekre s. A 2. ábrával kapcsolatban hangsúlyozn kell, hogy a kszemelt molekulák szomszédat jelölő vonalak csak a szomszédok számát hvatottak mutatn és nem jelentenek erőket. A tankönyvekben gyakran nylakkal jelölk a szomszédos molekulák kölcsönhatásat, és ezzel félrevezető módon azt sugallják, hogy a felület molekulák aszmmetrkus erőtérben vannak, azaz azokra a kondenzált fázs felé rányuló befelé húzó erő hat. Ez ellentmondana a Newton mechankának. Mechanka egyensúlyban a felület molekulákra dőátlagban ható összes erő zérus, ezért ugyanakkorra erő hat rájuk az α, mnt a β fázs rányából. A felületen lévő molekulákra nem hathat befelé húzó többleterő. A határfelület többletenerga létezésének számos következménye van, levezethetjük belőle a határfelület mnden globáls tulajdonságát. A határfelület szerkezetét és lokáls tulajdonságat természetesen nem, ahhoz a többletenerga lokáls eloszlásását kellene smernünk. A felület többletenerga bevezetésével nem fejezzük be a fogalom tárgyalását, a termodnamkával való kapcsolatának vzsgálatára később kerül sor. Ezt megelőzően megvzsgáljuk a felület többletenerga létezésének legfontosabb következményet: 1. A határfelület síkjában a felületet összehúzó erő hat (amelyet egységny hosszúságra vonatkoztatva felület feszültségnek nevezünk). 2. A görbült felülettel határolt fázsok között egyensúlyban nyomáskülönbség lép fel. 7

9 3. A görbült felületű fázs komponensenek gőznyomása, vagy egy másk fázsban való oldhatósága a görbület sugár függvénye. 4. A határfelület réteg összetétele eltérhet a tömbfázsokétól (adszorpcó). Az alábbakban a határfelület többletenerga felsorolt következményet és azoknak az anyag tulajdonságokban és természet folyamatokban játszott szerepét elemezzük A felület feszültség A felület többletenerga létezéséből következk, hogy a határfelület létrehozásához munkát kell végezn. Növeljük az x-y síkban lévő l hosszúságú határfelületet az l-re merőleges x rányban. A szemléletesség kedvéért legyen a határfelület egy mozgatható szárú keretben képzett szappanhártya (melynek egyébként két határfelülete van). Az nfntezmáls dx lépésekben a határfelületet állandóan egyensúlyban tartva a végzett mechanka munka a határfelület létrehozásához befektetett W energát jelent, melynek nagysága egy elem lépésben dw = Fdx, 2 ahol F az x rányban ható erő. Mvel dw nem lehet nulla, abból következk, hogy F sem lehet nulla, egyébként munkavégzés nélkül lehetne növeln a határfelületet. (Mndebből az s következk, hogy az F erő, mellyel szemben a felületnöveléskor munkát végzünk, a határfelület síkjában hat, azt összehúzn törekszk). Végtelen kterjedésű sík határfelület esetében a mechanka egyensúly trváls: bármely képzeletbel l hosszúságú szakaszra a határfelület síkjában l- re merőlegesen mndkét rányból ugyanakkora F erő hat. Folyadékfelszín esetében l-nek az x-y síkban történő forgatására F nvaráns (a határfelület két dmenzóban fázsként vselkedk). F kompenzálására véges nagyságú összefüggő fázs esetében két lehetőség van: vagy görbül a felület és önmagába záródk (pl. folyadékcsepp), vagy két másk határfelülettel találkozk (pl. folyadékcsepp a szlárd felszínen, vagy a fémkerettel érntkező folyadékhártya, amely esetekben három fázs találkozk). Ezeket az egyensúlyokat a későbbekben részletesen megvzsgáljuk. A 2. kfejezés ntegrálásához az F(x) függvényt kell smern. Nylvánvaló, hogy F nem függ x-től, mert a határfelületben ható kölcsönhatás erőket állandó nyomáson és hőmérsékleten a felület összetétele és anyag mnősége határozza meg a rendszer határfelületének nagyságától függetlenül. Ezt felhasználva és ntegrálva x = 0 tól x-g 8

10 W F = Fx = xl = σa 3 l A σ (= F/l) arányosság tényezőt - nem a legszerencsésebb módon - felület feszültségnek nevezzük, melynek mértékegysége erő/hosszúság (F/l) vagy energa/felület (W/A) (azaz nem erő és nem energa, ahogy a nyomás sem erő). Defnícója alapján a felület feszültség a felület síkjában ható egységny hosszúságú szakaszra vonatkoztatott összehúzó erő. A felület feszültséget gyakran szokták még az egységny területű felület szabadenergájaként s defnáln. Amnt azt a határfelületek termodnamkájának tárgyalása során látn fogjuk, az utóbb defnícó hbás Nyomásegyensúly a határfelületben A fentekben az F erőt síkban értelmeztük. Mvel a határfelület térben képződmény, nylvánvalóan F sem egy síkban hat. Pontosabb értelmezéséhez vzsgáljuk meg a határfelületben ható erőket egy végtelen nagy kterjedésű sík folyadék/gőz határátmenet esetében térben. 3. ábra: A nyomástenzorok változása az α/β fázsátmenet tartományában. A 3. ábrán a β (folyadék)/α (gőz) kétfázsú rendszer a határfelületre merőlegesen elhelyezett l hosszúságú képzeletbel mérőlemezzel találkozk. A lemez másk oldala a gőzfázsban van. A rendszerre ható külső nyomás P (a gravtácó hatását az alábbakban elhanyagoljuk). Az x, y, z rányú 9

11 nyomástenzorokra mnd az zotróp folyadék, mnd az zotróp gázfázsban gaz, hogy P x = P y = P z = P a nyomás. Az α fázsból a β fázsba áthaladva a határfelület síkjára merőleges P z nyomástenzornak a határátmenet bármely pontján szntén P lehet csak az értéke, mert a rendszer mechanka egyensúlyban van és a P-től eltérő nyomást semm sem kompenzálná. A határfelület réteg kvételével a mérőlemez mndkét oldalára ugyanaz a P nyomás hat az zotróp folyadék- és gázfázsban s. Kísérlet tény és a 2. egyenletből s következk, hogy a lemez egyensúlyban tartásához F erő szükséges. Ez csak akkor lehetséges, ha a határrétegben P-nél ksebb nyomás hat a lemezre, vagys a határfelület rétegben nem érvényes a Pascal törvény. Ezt szemléltet a 3. ábra. Jelölje a határréteg z rányú átmenetében a P T (z) (= P x = P y ) függvény a tangencáls nyomástenzort. Alkalmazzuk az erők összegezésére az 1. egyenletet, melyben X legyen (P-P T )A: β α ( P ) dz = F l = σ P T / 4 Mvel (P-P T ) értéke csak a határrétegben tér el nullától (sík határfelület esetén), ezért az α-ban és β-ban nem kell a pontos ntegrálás határokat kjelöln, az ntegrál a 3. ábrán a sötét színnel jelölt területet jelent, azaz a lemezt befelé húzó erők összegét, melyet mechanka egyensúlyban az azzal ellentétes rányú kísérletleg mérhető F erő kompenzál. Az ntegrál azt s megmutatja, hogy a határfelületben fellépő F (= σl) erő nem a tangencálsan ható nyomásból (P T ), hanem a (P-P T ) különbségből származk. Vagys különbség (excess) erők hozzák létre a határfelületben a feszültséget. A felület feszültség bzonyos értelemben hasonlítható ahhoz, mntha a felületen egy képzeletbel gumhártya lenne kfeszítve. Bár a hasonlat hasznos s lehet a megértéshez, a félreértés lehetősége matt fontosabb a különbséget hangsúlyozn, mnt a hasonlóságot. Ha a gumhártya felületét növeljük, abban a feszültség nő. A folyadék felület feszültsége vszont változatlan marad a felület növelésekor. Ennek oka a deformácó eltérő mechanzmusa a két esetben. A felület feszültség statsztkus mechanka értelmezése A fentekben a felületben kalakuló feszültséget formálsan értelmeztük anélkül, hogy számot adtunk volna arról, hogyan alakulhat k ez a feszültség a felületen, lletve a tömbfázsban lévő molekuláknak a szomszédos molekulákkal való kölcsönhatása különbségéből. Azaz hogyan lehet felelős a felületre merőleges aszmmetrkus ntermolekulárs kölcsönhatás a felülettel párhuzamos feszültség kalakulásáért. Bár a felület feszültséggel kapcsolatos vzsgálódások 10

12 évszázadokkal korábbra nyúlnak vssza, a probléma megoldása sokág váratott magára. Nehézségét tükröz, hogy a témakör egyk klasszkusa, N. K. Adam 1941-ben megjelent nevezetes könyvében még kétségbe vonta egy reáls feszültség létezését (később e nézetét vsszavonta). Végül 1970-ben (!) Orowan adta meg a jelenség korrekt magyarázatát. Az alábbakban ezt körvonalazzuk. Megértése nem feltétlenül szükséges a tovább tanulmányokhoz. Jelöljünk k a határfelület rétegben egy végtelen kcsny térfogatelemet és vzsgáljuk meg az erre az elemre a különböző rányból ható erőket. Az erők a nyomásból származnak, ezért előbb a nyomás eredetét molekulárs sznten kell értelmeznünk. A korábbakkal egyezésben azt kell kapnunk, hogy a határréteg nem zotróp, am a felület feszültség kalakulását eredményez. A nyomás területegységre vonatkoztatott erő, melyet a molekulák egy képzeletbel felület egyk oldalára fejtenek k. A nyomás két tagra bontható: P + kn stat = P P. a/ Az egyk tag a knetkus hozzájárulás (P kn ), mely a mozgó molekulák transzportmomentumából származk: kn P = ρ kt N, melyben ρ N a molekulák számsűrűsége. A kfejezés jól smert a tökéletes gáz knetkus elméletéből. Ugyanez a kfejezés érvényes a folyadékokra s, és értéke mndg poztív. b/ A sztatkus hozzájárulás (P stat ) a képzeletbel lemez két oldalán lévő molekulák között kölcsönhatás erőkből származk. A kölcsönhatásokban a vonzóerők domnálnak, ezért a molekulák a képzeletbel lemezt húzzák (P stat negatív). 4. ábra: Irányfüggő sztatkus kölcsönhatások a határfelületben. Az I. és II. térrész a kondenzált fázs, a III. és IV. a gázfázs felé esk. Az árnyékolás az anyagsűrűséget érzékeltet. 11

13 P stat felülettel párhuzamos és arra merőleges rányú komponensenek egymáshoz vszonyított nagyságát érzékeltet a 4. ábra. A határátmenet négy térrészre van osztva (az I. és II. a kondenzált fázs, a III. és IV. a gőzfázs felé esk). Az I. és II. térrészben lényegesen nagyobb a molekulák száma, mnt a III. és IV. térrészben. A 4a. ábrán a mérőlemez a határfelülettel párhuzamos pozícóban stat van, a rá ható (a felületre merőleges normáls rányú) P N kcs, mvel I-nek III-mal és IV-gyel, valamnt II-nek III-mal és IV-gyel s elenyészően kcs a kölcsönhatása a III. és IV. térrészben lévő molekulák ks száma matt. A stat felülettel párhuzamos tangencáls rányú nyomás P T (4b. ábra) vszont nagy negatív értékű, mert az I. és II. között kölcsönhatást tartalmazza és mndkettőben nagy a molekulák számsűrűsége. Vzsgáljuk meg a felületre merőleges (P N normáls) és azzal párhuzamos (P T tangencáls) nyomástenzor knetkus és sztatkus komponensenek hozzájárulását a nyomáshoz a folyadékból a gázba történő átmenet tartományában (5. ábra). 5. ábra: A sztatkus és knetkus nyomástenzorok hozzájárulása a nyomáshoz a határfelületben. A knetkus komponens nagysága független az ránytól (mert csak a molekulák számsűrűségétől függ), azaz P kn N = P kn T. Értéke a nagy részecskeszám-sűrűség matt a kondenzált fázsban nagy, a gázfázsban vszont kcs. A normáls stat kn komponens esetében a P N + P N = P N összeg állandó az egyk fázsból a máskba történő átmenet során és egyenlő a P külső nyomással (szaggatott vonal az 5a. ábrán). A tangencáls komponensek összegének vszont ksebbnek kell P- nél lenne a határátmenet tartományában (5b. ábra), mert a P kn T knetkus komponens ugyanakkora, mnt P kn N, a tangencáls vszont nagyobb (negatív) stat kn értékű (amnt azt a 4. ábra alapján beláthattuk). A P T + P T összeg eltérését P-től a határátmenet tartományában a szaggatott vonal jelöl az 5b. ábrán. Az 12

14 eltérést egy a felület tartományban kalakuló feszültség kompenzálja, hogy a határfelület mechanka egyensúlyban legyen. Nyomásegyensúly görbült felületekkel elválasztott fázsok között Vzsgáljuk meg az α és β fázs között ható erők egyensúlyát, ha a két fázst görbült határfelület választja el. Az egyszerűség kedvéért legyen a felszín gömbszmmetrkus (pl. a β fázs legyen r sugarú folyadékcsepp). Tekntsük a gömb egy x sugarú gömbsüveg alakú metszetére a z rányban ható erőket (6. ábra). 6. ábra: Nyomásegyensúly görbült felületű fázsok között. Az r sugarú folyadékcsepp x sugarú körlap alakú metszetének pereme mentén ható, a felület feszültségből származó erő. Az α fázsból x 2 πp α, a β fázsból x 2 πp β, a perem mentén pedg a felület feszültségből származó erő z rányú komponense 2πxσsnα hat. (Válasszuk az x 0 határértéket, ugyans ebben az esetben tart az x sugarú körlap által kjelölt gömbsüveg alakú felületelem területe x 2 π-hez.) Mechanka egyensúlyban a lapra ható erők összegének zérusnak kell lenne, azaz x 2 πp α + 2πx σsnα - x 2 πp β = 0, amből snα = x/r felhasználásával β α P = P P = 2σ / r. 5 13

15 Megállapíthatjuk, hogy a görbület matt a felület feszültség hozzájárul az egyk fázs nyomásához, pontosabban a két fázs között mechanka egyensúlyban nyomáskülönbségnek kell lenne e hozzájárulás kompenzálásához. Mnél ksebb a görbület sugár, annál nagyobb a nyomáskülönbség. Abban a fázsban nagyobb a nyomás, amely felé a felület görbül, függetlenül attól, hogy melyk a kondenzált fázs. Például a P nyomású gőzben lévő r sugarú vízcseppben és a P nyomású vízben lévő r sugarú buborékban ugyanakkora a nyomás: P+2σ/r. A levegőben lévő szappanbuborék esetében azonban kétszer akkora 2x2σ/r a légkör és a buborék belseje között nyomáskülönbség. Mért? Tetszőleges alakú görbült felület esetén P = σ 1/ r 1 + 1/ r ) 6 ( 2 (Young-Laplace egyenlet), melyben r 1 és r 2 a fő görbület sugarak. 2 Végtelen hosszú henger esetében P = σ/r h (r 1 =r h a henger görbület sugara és r 2 = ), sík felszínre vszont P = 0 (mert r 1 =r 2 = ). Van azonban egy olyan alakú görbült felszín, amely esetében P = 0. Melyk ez a felszín? Sík lapokkal határolt krstályok esetében az előbb levezetést nem alkalmazhatjuk. Vzsgáljuk meg mnt a legegyszerűbb esetet, az a él-hosszúságú köbös krstályban kalakuló nyomásegyensúlyt. Bármelyk kszemelt krstálylapra, annak peremén a szomszédos derékszögben érntkező 4 lapból összesen 4aσ erő hat. A nyomásból származó, a krstálylapra ható erő a krstály oldaláról a 2 P β, a gázfázs felől pedg a 2 P α. Mechanka egyensúlyban amből 2 β 2 α a P = a P + 4aσ, β α P = P P = 4σ / a = 2σ / r. 7 Ha a krstály sugarát r = a/2-nek defnáljuk, a kapott összefüggés analóg a gömbre vonatkozó Young-Laplace egyenlettel. Polgonáls krstály esetében a levezetés bonyolultabb. A különböző krstálylapok felület feszültsége lyen esetben nem azonos. Hasáb alakú krstályra az x-y-z rányra merőleges lapok felület feszültségét σ x, σ y lletve σ z -vel jelölve: 2 A felület egy pontjához tartozó r 1 és r 2 fő görbület sugarakat az alább módon defnáljuk. A felület érntő síkjában tetszőleges rányban meghatározunk egy görbület sugarat r 1, majd arra merőlegesen egy másodkat r 2. 1/r + 1/r 2 értéke független attól, hogy hol jelöltük k az első görbület sugarat. Szmmetrkus felszín esetén ezért célszerűen úgy választjuk meg az első sugarat, hogy a kfejezés egyszerű legyen. Pl. henger esetében, ha r 1 =r h a henger sugara, akkor r 2 végtelen. 14

16 P = 4σ / x = 4σ / y = 4σ z, 8 x y z / melyben x, y és z a megfelelő lapok él-hossza. A mechanka egyensúly megkövetel, hogy P ugyanaz az érték legyen, bármelyk krstálylapra számoljuk, ezért az egyes lapok és a krstálytan méretek között a 8. összefüggésnek megfelelő vszonynak kell teljesüln. A 8. összefüggés energetka megfontolás alapján s levezethető. A krstályok úgy növekednek, hogy a krstály (összes) felület többletenergája mnmáls legyen. A nagyobb energájú krstálylap gyorsabban növekszk, amnek következtében távolabb kerül a krstály centrumától és területe ksebb lesz. A krstálylapok egyensúly növekedésére Wulff a múlt század elején állított fel a 8. összefüggésnek megfelelő tapasztalat szabályt. A fgyelmes elemzőnek feltűnhet, hogy ellentmondásba kerültünk a mechanka egyensúly követelményével a krstálylapok sík részén. Ugyans a sík részen nncs a felület feszültségnek a krstály felé ható komponense, am kompenzálná a két fázsból a lapra ható eltérő nyomások különbségét. Hogyan oldaná fel ezt az ellentmondást? Görbült felületű fázsok komponensenek gőznyomása és oldhatósága Mvel a görbült felülettel elválasztott fázsok között nyomáskülönbség van, ezért a görbület sugár változásával az egyes komponensek egyensúlyának a feltétele s változk, amnek számos fontos következménye van. Termodnamka egyensúlyban a fázsokat alkotó bármelyk mobl komponens kéma potencálja az egyes fázsokban azonos, amből következk, hogy α β µ dµ d = 9 A szabadentalpa függvényből defnálva a kéma potencál T, P és az összetétel függvénye. Az N komponensű rendszerben az -k komponens kéma potencáljának teljes megváltozása (az adott fázsban) d µ N µ = SdT + VdP + dx j j= x 10 1 j melyben S és V az -k komponens parcáls molárs entrópája lletve térfogata. Az α és β fázs nyomásváltozásának különbségét a görbület sugár 15

17 függvényében a Young Laplace egyenlet segítségével (6. egyenlet) fejezhetjük k β α 1 1 dp dp = d{ σ ( + )} r 1 r 2 σ 2 ( = d( ) gömbre). 11 r A egyenletek felhasználásával levezethetjük a flud fázsoknak a görbülettel kapcsolatos egyensúlyfeltételet. Az alábbakban ezek közül vzsgálunk meg néhány fontosabb esetet. Egykomponensű folyadékcsepp (legyen a β fázs) egyensúlya gőzével állandó β hőmérsékleten (dx j =0, dt=0, V << V α RT/P g, melyben P g a gőznyomás): g pr ln = g p 2σV rrt β, 12 g g ahol P r és P az r sugarú folyadékcsepp lletve a sík folyadékfelszínhez tartozó egyensúly gőznyomás (Kelvn egyenlet). A 12. egyenlet alapján a következőket állapíthatjuk meg: az egyensúly gőznyomás annál nagyobb, mnél ksebb a folyadékcsepp. Ezért termodnamka egyensúly csak akkor lehet, ha egyetlen folyadékfázs van a rendszerben (makroszkópos mennységű sík folyadék, vagy egyetlen csepp). Ha két folyadékcsepp van a rendszerben, akkor a ksebbk egyensúly gőznyomása nagyobb, mnt a máské. Mvel a nagyobbk cseppre túltelített a gőz, a felesleg azon kondenzáln fog. A ksebb csepp vszont párolog, hogy vsszaálljon a kondenzácó matt gőznyomáscsökkenés. Ez a folyamat az zoterm desztllácó. Ha a két csepp mérete azonos, a rendszer labls állapotban van. Ha a fluktuácó matt bármelyk csepp görbülete (vagy felszínén egy görbület elem) egy parányt s változk, akkor megndul a folyamat, melynek során az egyk csepp párolog, míg el nem fogy, a másk pedg növekszk. Ugyanezt a gondolatmenetet smételhetjük meg sok részecskét tartalmazó rendszerre s. Termodnamka egyensúlyban az összes részecske eltűnk és egyetlen összefüggő, mnmáls felületű fázst képez. Fontos hangsúlyozn, hogy adott gőznyomáshoz egyetlen krtkus cseppméret r kr tartozk, amely esetében a csepp a gőzzel egyensúlyban van. Ha ennél ksebb a csepp, akkor elpárolog, ha pedg nagyobb, akkor tovább növekszk. Ha folyadékával nem érntkezk a gőz, akkor a normáls (a sík felülethez tartozó) kondenzácós hőmérsékleten még nem kondenzálódk, mert ahhoz csepp(ek)nek 16

18 kell előbb képződn, mely(ek) tovább képesek növekedn. A cseppek képződéséhez vszont nagyobb gőznyomás szükséges, vagys a gőzt túl kell telíten, hogy olyan krtkus gócok képződhessenek benne, melyek már spontán tovább növekednek. Ezt a kérdést csak a határfelületek termodnamkájának smeretében tudjuk érdemben tárgyaln. A krtkus gócképződés feltételenek elemzéséhez a későbbekben még vsszatérünk. Folyadékban lévő buborék esetében a gőznyomás-egyensúlyt szntén a 12. egyenlet adja meg, azzal a különbséggel, hogy a görbület sugár ebben az esetben negatív: ln p p g r g = 2σV rrt β, 13 azaz a buborékban ksebb a gőznyomás, mnt a sík felület esetében. A 13. egyenlet segítségével értelmezhetjük azt a jelenséget, hogy a folyadékok a normáls forráspont fölé hevíthetők, anélkül hogy forrn kezdenének. A ks részecskék oldhatóságának azok méretétől való függését s levezethetjük a egyenlet alapján. Ebben az esetben a 11. egyenletben szereplő r (a 8. egyenlet alapján) értelemszerűen a krstály effektív sugarát jelent, melyet rövden a részecske méretének szokás nevezn. Legyen a β fázs egykomponensű részecske. dp α =0, mert P α állandó, a légkör nyomás. Az α fázs kétkomponsű (oldószer és oldott anyag). Az oldott anyag kéma potencálja állandó T és P α esetén µ = µ o + RTlna, melyben a=γx, ahol γ az aktvtás együttható. Ezek alapján V α 2σ d( ) = r RTd ln a. 14 A 14. egyenletet ntegrálva r= -től valamely véges r-g a( r) ln = a( r = ) 2σV rrt β, 15 melyben a(r) az r sugarú lletve a(r= ) a makroszkópos méretű részecskéhez tartozó oldhatóság (aktvtással kfejezve, amt ks oldhatóságok esetén a koncentrácóval közelíthetünk). A 15. egyenletből hasonló következtetéteseket vonhatunk le, mnt a 12. egyenlet esetében: a krstályok oldhatósága nő a méretük csökkenésével. Ezért a ks krstályok oldódnak, a nagyobbak pedg 17

19 tovább növekednek (zoterm átkrstályosodás). A rendszer akkor lesz termodnamka egyensúlyban, ha egyetlen makroszkópos méretű krstály képződk. A határfelületek tulajdonságanak vzsgálatához makroszkópos mennységeket (lyen a felület feszültség s) használtunk. Felmerül a kérdés, mennyre ks görbület sugarak esetén használhatók még a levezetett összefüggések, például a Kelvn és Young-Laplace egyenlet. Ez a kérdés számos elmélet és kísérlet vzsgálat tárgya volt. Közönséges folyadékok esetén néhány molekulaméretnynél ksebb görbület sugár tartományában függ a felület feszültség a görbület sugártól. A határfelületek termodnamkája A határfelületek termodnamka leírását csak a makroszkópos termodnamkára alapozhatjuk. Csábító az a lehetőség, hogy a határfelület többletenergát az egyk homogén fázs energájához hozzáadjuk (amt sajnálatos módon gyakran meg s tesznek). Fgyelembe véve azonban, hogy a határfelület térben képződmény, nem lenne egyértelmű, hogy mekkora térrészt tekntenénk határfelületnek, pl. menny anyag tartozna hozzá. Ragaszkodva a határfelület defnícójához, amennyben az két fázs térben átmenete, termodnamkáját s csak a két fázséra építhetjük. A határfelület ugyans nem autonóm, az a fázsoktól függetlenül nem létezk. Tekntsük az α-β kétfázsú makroszkópos rendszert, melynek teljes belső energája U. A belső energát valamlyen módon fel kell bontan a két homogén fázshoz és a határréteghez tartozó tagra. A legegyszerűbb felbontás, ha a rendszert V=V α +V β +V σ térfogatra bontjuk, melyben V α és V β a két homogén fázs és V σ a határréteg térfogata. A felbontás önkényes, ugyans a határréteg csak önkényesen jelölhető k, ezért a hozzárendelhető U=U α +U β +U σ energamérleg jobb oldalán lévő tagok konkrét értéke attól függ, hogy mekkorára választjuk V σ -t (csak összegük, azaz U független a modelltől). Ezzel a felbontással ndult Guggenhem (1976). Bár Guggenhem határfelület termodnamkája szemléletes, egyrészt görbült felületek esetében alkalmazása rendkívül bonyolulttá válk, másrészt a kísérletleg mérhető mennységekre vonatkozó kfejezések megegyeznek a Gbbs-féle határfelület termodnamkából kapott eredményekkel. Az utóbb termodnamka mntegy évszázaddal korábban született (1874), matematkalag lényegesen egyszerűbb, bár kétségtelenül nehezebben szemléltethető. A továbbakban a Gbbs-féle határfelület termodnamkát tekntjük át. 18

20 u β α β u α megosztó felület 7. ábra: A Gbbs-féle megosztó felület. Gbbs a két fázst egy képzeletbel elválasztó felületg homogénnek tekntette, a határfelület energát a rendszer teljes energája és az elválasztó felületg homogénnek tekntett fázsok energájának különbségeként defnálta (7. ábra). A rendszer teljes térfogata a két homogén fázs térfogatának összege, azaz V=V α +V β és V σ =0 (!). Mvel ebben a felbontásban a fázsok átmenetének tartományában az energasűrűség nem egyezk meg a valód energasűrűséggel, az energamérleghez hozzá kell írn egy tagot: U α α β β σ = u( z) Adz = u V + u V + U 16 V melyben u az energasűrűség és U σ korrekcós tag. u α és u β konstansok, a megfelelő homogén fázsok energasűrűsége. U σ azt az eltérést fejez k, hogy a két fázs nem homogén a képzeletbel elválasztó felületg. Ezzel a felbontással Gbbs elegáns és mnt azt később látn fogjuk hasznos módon a határfelületet úgy defnálta mnt a fázsoknak a homogentástól való eltérését a két fázs átmenetének tartományában. U σ értékét a 7. ábrán besatírozott területek különbsége adja meg (az egyk terület az az energa, amennyvel az u α V α 19

21 energatag ksebb, a másk, hogy u β V β mennyvel nagyobb a valódnál). A 16. összefüggéshez hasonlót írhatunk fel a több állapotfüggvényre és az anyagmérlegre s: β α α β β n c Adz = c V + c V + α = n, 17 α β melyben n. az -k komponens móljanak száma a teljes rendszerben, c és c a σ (konstans) koncentrácó a megfelelő homogén fázsban és n a határfelületnek tulajdonított eltérés (mely lehet negatív, tehát hány s). többletmennységnek szokás nevezn (akkor s, ha negatív). σ n -t határfelület A Gbbs-féle felbontás természetesen szntén modellfüggő. A 16. és 17. összefüggés jobboldalán lévő mndhárom tag értéke függ attól, hogy hova helyezzük az elválasztó felületet. Belátható, hogy az elválasztó felület helyzetének változtatásával U σ értékének szükségszerűen nullán s át kell menne (ekkor a 7. ábrán a besatírozott két terület nagysága azonos). Gbbs érdeme, hogy megmutatta, a modellfüggő kfejezésekből ndulva hogyan lehet a modellválasztástól független, nvaráns termodnamka összefüggéseket levezetn. A belső energa megváltozása (ha külső erőtér nem hat a rendszerre) du = TdS PdV + µ dn, 18 ahol az első tag a rendszer által elnyelt hő, a másodk a rendszeren végzett mechanka munka (egy fázs esetében a térfogat munka) és a harmadk a kéma tag. Vzsgáljuk meg először a mechanka munkát kétfázsú rendszer esetében. Legyen az egyszerűség kedvéért az r sugarú, gömb alakú folyadékcsepp (β) az α gőzfázsban egy deáls dugattyúban, mely P α nyomással tart egyensúlyt (8. ábra). σ 20

22 8. ábra: Mechanka munkavégzés kétfázsú rendszeren. A dugattyúban egy r sugarú folyadékcseppet tartalmazó P α nyomású gőz van. A dugattyú végtelen lassú összenyomásakor a rendszeren végzett mechanka munka dw α α α α β = P dv = P dv P dv, 19 mvel V = V α + V β. Formálsan adjuk hozzá és vonjuk k a P β dv β tagot a 19. egyenletből. Felhasználva, hogy P β - P α = 2σ/r (Young-Laplace egyenlet), továbbá azt, hogy dv β = r/2da, a 19. összefüggést az alább formában írhatjuk fel: dw α α β β = P dv P dv + σda, 20 melyben A a β fázs felületének területe. A rendszeren végzett mechanka munkát - anélkül, hogy mesterségesen bevezettük volna a felület többletenergát - felbontottuk két (az α és a β rendszeren végzett) térfogat munkára és a felület növelésével kapcsolatos σda munkára. Írjuk fel a belső energa megváltozását a 16. összefüggésnek megfelelő felbontásban a teljes mechanka munkát s részere bontva: 21

23 melyben du + du du du α β σ = du + du du, 21 α β σ = TdS = TdS = TdS α σ β P P α β dv + σda dv α β α α µ β β µ dn σ σ µ dn dn A 21. összefüggésből du σ -t kfejezve du σ α β σ σ σ = du du du = TdS + σda + µ dn. 22 A 21. (és 22.) összefüggés a határfelület termodnamka alapegyenlete, melyből számos fontos összefüggést vezethetünk le. Az alábbakban ezek közül vzsgálunk meg néhányat. A rendszer szabadenergájának megváltozása állandó hőmérsékleten df = d( U P α dv α TS) = du TdS = P β dv β α + σda + ( µ dn α + µ dn β β + µ dn σ σ ) 23 Állandó térfogaton a rendszeren nem végzünk mechanka munkát, vagys ebben az esetben a 23. egyenlet jobboldalán lévő első három tag összege, a mechanka munka zérus (-P α dv α - P β dv β + σda = 0). Felhasználva, hogy 0=dV=dV α +dv β, továbbá azt, hogy általános felület görbület esetén da=(1/r 1 +1/r 2 )dv β : β α β ( P ) dv = σ (1/ r1 + 1/ r2 P ) dv, azaz (P β - P α ) = σ(1/r 1 +1/r 2 ). Termodnamka úton közvetlenül levezettük a Young-Laplace (6.) egyenletet. Vzsgáljuk meg a termodnamka egyensúly feltételét a határfelületet tartalmazó zárt (dn =0) makroszkópos rendszerben állandó hőmérsékleten (dt=0) és térfogaton (dv=0). Mvel egyensúlyban df = 0, a 23. egyenletből következk, hogy α α β β σ σ 0 = ( dn + µ dn + µ dn ). µ Felhasználva, hogy dn = dn + dn + dn = 0: α β σ β 22

24 = ( ) α σ α β σ β µ µ ) dn + ( µ µ dn 0, amből µ α β σ µ = µ = µ...( = ). 24 Vagys egyensúlyban, amnt az a makroszkópos termodnamkából jól smert, (ha a rendszerre külső erőtér nem hat!) bármelyk mobl komponens kéma potencálja azonos mndkét tömbfázsban, és ez a határfelület fázsra bevezetett többletekre s vonatkozk. A k fajta különböző határfelületet tartalmazó, komponensere nézve zárt (dn = 0) rendszer esetén állandó T, V α és V β (azaz a fázsok állandó térfogata) mellett az egyensúly feltétele (mvel df=0) σ kda k = k vagys a felület többletenergák összege mnmum. Egyfajta felületet tartalmazó rendszer, pl. egy folyadékcsepp esetében a csepp felülete akkor mnmáls nagyságú, ha a csepp gömb-alakú. Fontos megjegyezn, hogy a 25. egyensúlyfeltétel nem teljesen általános, mert külső erőtértől mentes makroszkópos fázsokat tartalmazó rendszerre vonatkozk, melyben háromfázsú peremvonalak nem alakulnak k. Az alkalmazásnál ezeket a korlátokat fgyelembe kell venn és szükség esetén a mnmum-feltételt a megfelelő energa-tagokkal k kell egészíten. A felület feszültséget a mechanka munkavégzés alapján vezettük be. Vzsgáljuk meg most a felület feszültség termodnamka jelentését. A 22. egyenlet alapján σ U σ =, 26 A σ S,{ σ n } amely kfejezés korrekt ugyan, de haszontalan, mert nem rendelhető hozzá kísérlet utasítás. A 22. egyenletet felhasználva df σ = d( U σ σ σ σ TS ) = S dt + σ da + µ dn, 27 23

25 amből σ F σ = A. 28 T,{ σ n } A 28. összefüggéssel, az (excess) határfelület szabadenerga parcáls derváltja segítségével történő defnícóval, hasonló a probléma, mnt a 26. defnícó esetében. A 22. egyenletet ntegrálva U σ σ σ σ = TS + σa + µ n. 29 Az F (Helmholtz féle szabadenerga) függvény defnícója alapján F lletve A-val elosztva σ σ σ σ σ = U TS = σa + µ n, 30 f = F / A = + σ Γ, 31 σ σ σ µ melyben f σ az egységny felület felület (excess) szabadenergája, Γ pedg az -k komponens felületegységre vonatkoztatott felület többletkoncentrácója. A 31. egyenlet alapján a felület feszültség nem az egységny területű felület szabadenergája, mert tartalmazza a µ σ Γ tagot s. Ráadásul f σ modellfüggő, amnt az a 7. ábra alapján belátható, értéke az elválasztó felület helyzetétől függ. Választhatnánk ugyan olyan specáls modellt, amely esetében µ =0, ez σ Γ azonban értelmetlen, mert σ defnícója tautologkán alapulna. Tehát nem jutottunk el így sem a felület feszültség használható defnícójához. A probléma kapcsolatos a határfelület termodnamka alapkérdésével, azzal, hogy a határfelület nem autonóm, csak a két fázs segítségével defnálható. Ezt szem előtt tartva defnáljuk σ-t a teljes rendszer energája segítségével. Felhasználva, hogy F=U TS, a 21. egyenlet alapján F σ =. 32 A α β T, V, V { n } A 32. defnícóhoz kísérlet utasítás s megadható. Még egyszer hangsúlyozzuk, hogy ellentétben a 26., 28. és 31. összefüggéssel a 32. kfejezésben nem a 24

26 felület fázs modell alapján defnált többletenergája (U σ vagy F σ ), hanem a kétfázsú rendszer teljes energája (F) szerepel. Gbbs adszorpcós egyenlete Vezessük le a határfelületre vonatkozó Gbbs-Duhem egyenletet. A 29. összefüggés alapján U σ teljes dfferencálját felírva du σ = S σ dt + TdS σ + σda + σ σ Adσ + µ dn + n σ dµ σ és kvonva belőle a 22. egyenletet az alább összefüggéshez jutunk: σ σ σ 0 = S dt + Adσ + n dµ. 33 Állandó hőmérsékleten (alkalmazva a Γ = n σ / A jelölést a felület α β többletkoncentrácóra) és egyensúlyban, amkor µ = µ = µ σ (= µ ): d Γ µ = d σ, 34 amely a határfelület termodnamka leggyakrabban alkalmazott összefüggése. A 34. képletre alapozva az adszorpcós többletet a flud (folyadék/gáz és folyadék/folyadék) határfelületek esetében mérhető σ vs. koncentrácó függvényekből számolhatjuk. Szlárd/flud felszín esetében σ nem mérhető. Ha vszont az adszorpcós többleteket smerjük a flud fázsban oldott anyagok koncentrácója függvényében, akkor a felület feszültség változását számolhatjuk a 34. segítségével. A 34. kfejezésben Γ dµ nem függ a modelltől (mert dσ modell-független). Az egyes Γ értékek azonban a Gbbs-féle elválasztó felület helyzetétől függenek. A Γ többletkoncentrácók az elválasztó felület helyzetének változtatásával úgy változnak, hogy a Γ dµ összeg változatlan marad. Meg kell vzsgáln ezért, hogyan lehet a 34. összefüggést a kísérlet adatok elemzésére használn. A 34. összefüggésben a µ kéma potencálok közül egy nem független, amt az α és β fázsra felírt Gbbs- Duhem egyenlet segítségével kfejezhetünk. Állandó hőmérsékleten N α α α V dp = n dµ 1 25

27 N β β β V dp = n dµ. Állandó görbület sugár, vagy sík felszín esetén dp α =dp β. Az egyk komponens kéma potencálját (felhasználva, hogy a megfelelő fázsokban c = n /V) az alább módon fejezhetjük k: N α β α 1 c1 ) dµ 1 = ( c 2 ( c c ) dµ, melyet a 34. kfejezésbe behelyettesítve (c α -c β = c jelöléssel) 1 β c. 35 N d σ = { Γ Γ } dµ 2 1 c1 A zárójelben lévő kfejezés az -k komponensnek az 1. komponensre vonatkoztatott relatív adszorpcós többletkoncentrácója (Γ,1 ): c Γ,1 = Γ Γ1. c Sík határfelület esetében Γ, 1dµ független a modelltől, bárhova választjuk s a megosztó felületet, akár a fzkalag reáls határfelületen kívülre s, az egyes Γ és Γ 1 értékek a megosztó felület helyzetének változtatásával egymás rovására változnak. Mvel a megosztó felület helyzetének változtatásával Γ 1 értéke szükségszerűen nullán s átmegy, Gbbs azt ajánlotta, hogy válasszuk úgy a megosztó felületet, hogy Γ 1 = 0 legyen. Ekkor Γ,1 = Γ Gbbs,1, melyet a 35. képlet alapján σ-nak µ szernt parcáls derváltja közvetlenül megad. A megosztó felület helyzetének ezt a megválasztását Gbbs-féle megosztó felületnek, lletve a hozzá tartozó adszorpcót Gbbs-féle adszorpcós többletkoncentrácónak nevezzük. Konkrét rendszer vzsgálatakor Γ Gbbs fzka jelentését elemezn kell. Végezzük el ezt az elemzést a gyakorlatban fontos kétkomponensű híg oldatra olyan esetben, amkor az oldott anyag a határfelület rétegben halmozódk (9. ábra, melyben az oldószer és oldott anyag koncentrácó-proflját az átteknthetőség céljából külön ábrázoltuk a két fázs között átmenet tartományában). Válasszuk =1-es komponensnek az oldószert és legyen Γ 1 = 0. Az elválasztó felület a Γ 1 = 0 választásnál nylvánvalóan a fzkalag reáls határrétegben van (a 9a. ábra alapján valahol ott, ahol az oldószer sűrűségproflja a két fázs között Gbbs változk). Γ 2 értékét a 9b. ábrán satírozott terület adja meg. Látható az 1 26

28 ábrából, hogy az oldott anyag Gbbs-féle többlete az elválasztó felület helyzetének ksmértékű változtatására nem érzékeny, mvel a fázsokban az oldott anyag koncentrácója kcs. Mvel az adszorbeált anyag rétegvastagsága általában egy molekularéteg vastagságny ( monoréteges adszorpcó), a Gbbs többletet a határfelületen halmozódó anyag kétdmenzós abszolút koncentrácójaként közelíthetjük. A kétdmenzós koncentrácó matematka absztrakcó, nem jelent kétdmenzós anyagot. 9. ábra: A Gbbs-féle adszorpcós többlet jelentése. Alkalmazzuk a 35. kfejezést kétkomponensű oldatra (legyen Γ 1 = 0, és hagyjuk Gbbs el a Γ 2 jelölés ndexet). Felhasználva, hogy az oldott anyag kéma potencáljának megváltozása dµ = RTdlna, melyben a az oldott anyag aktvtása (híg oldatokra a c): 1 dσ 1 d Γ = σ. 36 RT d ln a RT d ln c A 36. egyenlet szernt, ha az oldott anyag koncentrácójának növelésével csökken a felület feszültség (dσ/dlnc negatív), akkor Γ, a Gbbs-féle adszorpcós többletkoncentrácó poztív, vagys az oldott anyag halmozódk a határfelület rétegben. Ellenkező esetben, ha a felület feszültség nő a 27

29 koncentrácóval, akkor negatív adszorpcó játszódk le, azaz a felület réteg elszegényedk az oldott komponensben. Fontos hangsúlyozn, hogy a 36. egyenlet alapján számolt Γ nem függ semmlyen az adszorbeált réteg szerkezetére vonatkozó megfontolástól, sem attól, hogy fzka eredetét lletően mféle kölcsönhatások hatnak a molekulák között. Ezek a kölcsönhatások az adszorbeált mennységnek a kéma potencáltól vagy az oldott anyag koncentrácójától való konkrét függését, például a Γ(c) függvényt, az un. adszorpcós zotermát határozzák meg. A 34. egyenlettel tehát az adszorpcós zotermát kísérletleg meghatározhatjuk. A kapott adszorpcós zoterma értelmezésére és matematka leírására vszont az adszorbeált réteg szerkezetét és a kölcsönhatásokat kell smern. Mvel ezek rendszer-specfkusak, unverzáls zoterma-egyenlet nncs. Éppúgy, mnt például a reáls gázok állapotegyenlete vonatkozásában, számos zotermamodellt dolgozhatunk k. Ezek jósága attól függ, hogy a felület szerkezetére és a kölcsönhatásokra vonatkozó modellfeltevések mennyre közelítk a valóságot. 10. ábra: Az oldott anyagok hatása a felület feszültségre. A 10. ábra a felület feszültség koncentrácó-függésének jellegét mutatja különböző anyag mnőségű oldott anyagok esetében. Az oldott anyagnak a felület feszültségre kfejtett hatása alapján az anyagok két fő csoportba 28

30 sorolhatók. Azokat, amelyek növelk a felület feszültséget kapllár-naktív anyagoknak, azokat, amelyek csökkentk, kaplláraktív anyagoknak nevezzük. A kaplláraktív vagy naktív hatás nem az oldott anyag egyed, hanem az oldószer és oldott anyag együttes sajátsága. Valamely oldószerben kaplláraktív anyag nem feltétlenül az egy másk oldószerben. Azokat a kaplláraktív anyagokat, amelyek már nagyon ks koncentrácóban jelentősen csökkentk a felület feszültséget felületaktív anyagoknak nevezzük. Ez a megkülönböztetés természetesen kvaltatív jellegű. M határozza meg azt, hogy egy anyag valamely határfelületen halmozódk vagy sem, azaz kaplláraktív vagy naktív? Ennek megválaszolása céljából alkalmazzuk kétkomponensű híg oldatra a határfelület réteg dealzált modelljét, melyet korábban a többletenerga értelmezésére alkalmaztunk (2. ábra). Jelöljük az oldott 11. ábra: A kölcsönhatások változása a folyadék/gőz határrétegben ha egy oldószer molekula (szürke) egy oldott molekulával (fekete) cserélődk k. molekulákat fekete, az oldószert fehér körökkel. Ebben az esetben háromféle kölcsönhatást kell fgyelembe vennünk, az oldószer molekulák között ε oo, az oldószer oldott molekula között ε o és az oldott molekulák között fellépő ε kölcsönhatást (11. ábra). Ez utóbbt, mvel az oldat híg, fgyelmen kívül 29

31 hagyhatjuk. Cseréljünk k egy a felszínen lévő oldószer molekulát egy az oldatfázs belsejében lévő oldott molekulával. Jelöljük a korábbakhoz hasonlóan a koordnácós számot a fázs belsejében k 1 -el, a felszínen k 2 -vel. Az oldott molekulák felszínre juttatásakor (k 1 -k 2 )ε o energát kell befektetn (mert k 1 -k 2 kölcsönhatását meg kell szüntetn), vszont (k 1 -k 2 )ε oo kölcsönhatás energát vsszanyerünk, mert az oldószer molekula a felületről vsszakerül a tömbfázsba. A molekulacsere során létrejövő teljes energa-változás (k 1 -k 2 )(ε o - ε oo ). Ha a gondolatkísérletben a tszta oldószerből ndulunk k, melynek σ o a felület feszültsége és bejuttatjuk az oldott molekulákat, akkor a felületre kerülő oldott molekulák hatására σ o nőn fog, ha ε o >ε oo és csökkenn, ha ε o <ε oo. Vagys az oldószer - oldott molekula és az oldószer oldószer molekulák között kölcsönhatás vszonya határozza meg, hogy a felület többletenerga hogyan fog változn. Folytassuk a gondolatkísérletet az ε o >ε oo eset vzsgálatával. A felület többletenerga akkor lenne a legksebb, ha egyáltalán nem lenne oldott molekula a felszínen (ekkor σ o nem változna). Az egyensúlyt azonban nem a felület többletenerga, hanem a rendszer teljes energájának mnmuma szabja meg. Egyensúlyban a felületen és az oldatban lévő molekulák kéma potencáljának k kell egyenlítődne (24. összefüggés). Ezért a molekulák addg dffundálnak a felszínre, vagy onnan az oldatba, míg a kéma potencál a tömbfázsban és a felület fázsban azonos nem lesz. Egyensúlyban az oldott anyag megoszlása annak a fázsnak a javára tolódk el, amelykben az oldott molekuláknak nagyobb a kölcsönhatása a környezetükkel (a standard kéma potencál abban a fázsban ksebb). Ennek eredményeképpen tehát valamenny molekulának az ε o >ε oo esetben s a felszínre kell kerülne, amnek következtében vszont a felület feszültség nő. Ez a növekedés azonban ksebb annál, mnt am az oldott molekulák statsztkusan egyenletes (az oldatban és a felszínen s azonos) eloszlásának felelne meg. Az egyenletes eloszláshoz képest a felület fázsban az oldott molekulákból hány lesz (negatív adszorpcó). Ha az oldószermolekuláknak nagyobb az egymással, mnt az oldott molekulákkal való kölcsönhatása (ε o <ε oo ) a gondolatkísérletet megsmételve arra a következtetésre jutunk, hogy a felület feszültség csökkenn fog. Az oldott anyag megoszlása a felület javára tolódk el, vagys az oldott anyag a felületen halmozódk (poztív adszorpcó). A gyakorlatban a poztív adszorpcónak, melyet a továbbakban egyszerűen adszorpcónak fogunk nevezn, órás jelentősége van. 30

Elektrokémia 03. Cellareakció potenciálja, elektródreakció potenciálja, Nernst-egyenlet. Láng Győző

Elektrokémia 03. Cellareakció potenciálja, elektródreakció potenciálja, Nernst-egyenlet. Láng Győző lektrokéma 03. Cellareakcó potencálja, elektródreakcó potencálja, Nernst-egyenlet Láng Győző Kéma Intézet, Fzka Kéma Tanszék ötvös Loránd Tudományegyetem Budapest Cellareakcó Közvetlenül nem mérhető (

Részletesebben

,...,q 3N és 3N impulzuskoordinátával: p 1,

,...,q 3N és 3N impulzuskoordinátával: p 1, Louvlle tétele Egy tetszőleges klasszkus mechanka rendszer állapotát mnden t dőpllanatban megadja a kanónkus koordnáták összessége. Legyen a rendszerünk N anyag pontot tartalmazó. Ilyen esetben a rendszer

Részletesebben

Az entrópia statisztikus értelmezése

Az entrópia statisztikus értelmezése Az entrópa statsztkus értelmezése A tapasztalat azt mutatja hogy annak ellenére hogy egy gáz molekulá egyed mozgást végeznek vselkedésükben mégs szabályszerűségek vannak. Statsztka jellegű vselkedés szabályok

Részletesebben

VÁLASZOK A FIZKÉM I ALAPKÉRDÉSEKRE, KERESZTÉVFOLYAM 2006

VÁLASZOK A FIZKÉM I ALAPKÉRDÉSEKRE, KERESZTÉVFOLYAM 2006 ÁLASZOK A FIZKÉM I ALAPKÉRDÉSEKRE, KERESZÉFOLYAM 6. Az elszgetelt rendszer határfelületén át nem áramlk sem energa, sem anyag. A zárt rendszer határfelületén energa léhet át, anyag nem. A nytott rendszer

Részletesebben

Az elektromos kölcsönhatás

Az elektromos kölcsönhatás TÓTH.: lektrosztatka/ (kbővített óravázlat) z elektromos kölcsönhatás Rég tapasztalat, hogy megdörzsölt testek különös erőket tudnak kfejten. Így pl. megdörzsölt műanyagok (fésű), megdörzsölt üveg- vagy

Részletesebben

Elméleti fizikai kémia II. Felületek termodinamikája nts/tamop/mfk/ch05.html

Elméleti fizikai kémia II. Felületek termodinamikája  nts/tamop/mfk/ch05.html Elmélet fzka kéma II Felületek termodnamkája http://www.ttk.undeb.hu/docume nts/tamop/mfk/ch05.html Az előadások tartalma 1. A (határ)felületek fogalma, termodnamka sajátsága. A felület feszültség, Laplace-nyomás,

Részletesebben

KLASSZIKUS TERMODINAMIKA

KLASSZIKUS TERMODINAMIKA Klasszkus termodnamka KLASSZIKUS ERMODINAMIKA Póta György: Modern fzka kéma (Dgtáls ankönyvtár, 2013), 1.1 fejezet P. W. Atkns: Fzka kéma I. (ankönyvkadó, Budapest, 2002) Amkor először tanulod, egyáltalán

Részletesebben

Bevezetés a kémiai termodinamikába

Bevezetés a kémiai termodinamikába A Sprnger kadónál megjelenő könyv nem végleges magyar változata (Csak oktatás célú magánhasználatra!) Bevezetés a kéma termodnamkába írta: Kesze Ernő Eötvös Loránd udományegyetem Budapest, 007 Ez az oldal

Részletesebben

SZÁMOLÁSI FELADATOK. 2. Mekkora egy klíma teljesítménytényező maximális értéke, ha a szobában 20 C-ot akarunk elérni és kint 35 C van?

SZÁMOLÁSI FELADATOK. 2. Mekkora egy klíma teljesítménytényező maximális értéke, ha a szobában 20 C-ot akarunk elérni és kint 35 C van? SZÁMOLÁSI FELADATOK 1. Egy fehérje kcsapásához tartozó standard reakcóentalpa 512 kj/mol és standard reakcóentrópa 1,60 kj/k/mol. Határozza meg, hogy mlyen hőmérséklettartományban játszódk le önként a

Részletesebben

Elegyek. Fizikai kémia előadások 5. Turányi Tamás ELTE Kémiai Intézet. Elegyedés

Elegyek. Fizikai kémia előadások 5. Turányi Tamás ELTE Kémiai Intézet. Elegyedés Elegyek Fzka kéma előadások 5. Turány Tamás ELTE Kéma Intézet Elegyedés DEF elegyek: makroszkokusan homogén, többkomonensű rendszerek. Nemreaktív elegyben kéma reakcó nncs, de szerkezet változás lehet!

Részletesebben

d(f(x), f(y)) q d(x, y), ahol 0 q < 1.

d(f(x), f(y)) q d(x, y), ahol 0 q < 1. Fxponttétel Már a hétköznap életben s gyakran tapasztaltuk, hogy két pont között a távolságot nem feltétlenül a " kettő között egyenes szakasz hossza" adja Pl két település között a távolságot közlekedés

Részletesebben

Folyadékok és gázok mechanikája

Folyadékok és gázok mechanikája Folyadékok és gázok mechanikája Hidrosztatikai nyomás A folyadékok és gázok közös tulajdonsága, hogy alakjukat szabadon változtatják. Hidrosztatika: nyugvó folyadékok mechanikája Nyomás: Egy pontban a

Részletesebben

2 Wigner Fizikai Kutatóintézet augusztus / 17

2 Wigner Fizikai Kutatóintézet augusztus / 17 Táguló sqgp tűzgömb többkomponensű kéma kfagyása Kasza Gábor 1 és Csörgő Tamás 2,3 1 Eötvös Loránd Tudományegyetem 2 Wgner Fzka Kutatóntézet 3 Károly Róbert Főskola 2015. augusztus 17. Gyöngyös - KRF 1

Részletesebben

A sokaság/minta eloszlásának jellemzése

A sokaság/minta eloszlásának jellemzése 3. előadás A sokaság/mnta eloszlásának jellemzése tpkus értékek meghatározása; az adatok különbözőségének vzsgálata, a sokaság/mnta eloszlásgörbéjének elemzése. Eloszlásjellemzők Középértékek helyzet (Me,

Részletesebben

FELÜLETI FESZÜLTSÉG. Jelenség: A folyadék szabad felszíne másképp viselkedik, mint a folyadék belseje.

FELÜLETI FESZÜLTSÉG. Jelenség: A folyadék szabad felszíne másképp viselkedik, mint a folyadék belseje. Jelenség: A folyadék szabad felszíne másképp iselkedik, mint a folyadék belseje. A felületen leő molekulákra a saját részecskéik onzása csak alulról hat, a felülettel érintkező leegő molekulái által kifejtett

Részletesebben

ORVOSI STATISZTIKA. Az orvosi statisztika helye. Egyéb példák. Példa: test hőmérséklet. Lehet kérdés? Statisztika. Élettan Anatómia Kémia. Kérdések!

ORVOSI STATISZTIKA. Az orvosi statisztika helye. Egyéb példák. Példa: test hőmérséklet. Lehet kérdés? Statisztika. Élettan Anatómia Kémia. Kérdések! ORVOSI STATISZTIKA Az orvos statsztka helye Élettan Anatóma Kéma Lehet kérdés?? Statsztka! Az orvos döntéseket hoz! Mkor jó egy döntés? Mennyre helyes egy döntés? Mekkora a tévedés lehetősége? Példa: test

Részletesebben

A Ga-Bi OLVADÉK TERMODINAMIKAI OPTIMALIZÁLÁSA

A Ga-Bi OLVADÉK TERMODINAMIKAI OPTIMALIZÁLÁSA A Ga-B OLVADÉK TRMODINAMIKAI OPTIMALIZÁLÁSA Végh Ádám, Mekler Csaba, Dr. Kaptay György, Mskolc gyetem, Khelyezett Nanotechnológa tanszék, Mskolc-3, gyetemváros, Hungary Bay Zoltán Közhasznú Nonproft kft.,

Részletesebben

v i = v i V. (1) m i m i (v i V) = i P = i m i V = m i v i i A V = P M

v i = v i V. (1) m i m i (v i V) = i P = i m i V = m i v i i A V = P M Mképpen függ egy pontrendszer mpulzusa a vonatkoztatás rendszertől? K-ban legyenek a részecskék sebessége v. K -ben mely K-hoz képest V sebességgel halad v = v V. (1) P = m v = m (v V) = m v m V = = P

Részletesebben

A kolloidika alapjai. 4. Fluid határfelületek

A kolloidika alapjai. 4. Fluid határfelületek A kolloidika alapjai 4. Fluid határfelületek Kolloid rendszerek csoportosítása 1. Folyadék-gáz határfelület Folyadék-gáz határfelület -felületi szabadenergia = felületi feszültség ( [γ] = mn/m = mj/m 2

Részletesebben

Termodinamikai bevezető

Termodinamikai bevezető Termodinamikai bevezető Alapfogalmak Termodinamikai rendszer: Az univerzumnak az a részhalmaza, amit egy termodinamikai vizsgálat során vizsgálunk. Termodinamikai környezet: Az univerzumnak a rendszeren

Részletesebben

4 2 lapultsági együttható =

4 2 lapultsági együttható = Leíró statsztka Egy kísérlet végeztével általában tetemes mennységű adat szokott összegyűln. Állandó probléma, hogy mt s kezdjünk - lletve mt tudunk kezden az adatokkal. A statsztka ebben segít mnket.

Részletesebben

ELTE II. Fizikus, 2005/2006 I. félév KISÉRLETI FIZIKA Hıtan 15. (XII.14) Irreverzibilis termodinamika Diffúzió

ELTE II. Fizikus, 2005/2006 I. félév KISÉRLETI FIZIKA Hıtan 15. (XII.14) Irreverzibilis termodinamika Diffúzió λ x ELTE II. Fzkus, 2005/2006 I. félév KISÉRLETI FIZIKA Hıtan 15. (XII.14) Irreverzbls termodnamka Dffúzó Az átlagos szabad úthossz (λ) és az átlagos ütközés dı (τ): λ = < v> τ A N = n (A x); A σ σ π (2r)

Részletesebben

Q 1 D Q 2 (D x) 2 (1.1)

Q 1 D Q 2 (D x) 2 (1.1) . Gyakorlat 4B-9 Két pontszerű töltés az x tengelyen a következőképpen helyezkedik el: egy 3 µc töltés az origóban, és egy + µc töltés az x =, 5 m koordinátájú pontban van. Keressük meg azt a helyet, ahol

Részletesebben

1. előadás. Gáztörvények. Fizika Biofizika I. 2015/2016. Kapcsolódó irodalom:

1. előadás. Gáztörvények. Fizika Biofizika I. 2015/2016. Kapcsolódó irodalom: 1. előadás Gáztörvények Kapcsolódó irodalom: Fizikai-kémia I: Kémiai Termodinamika(24-26 old) Chemical principles: The quest for insight (Atkins-Jones) 6. fejezet Kapcsolódó multimédiás anyag: Youtube:

Részletesebben

63/2004. (VII. 26.) ESzCsM rendelet

63/2004. (VII. 26.) ESzCsM rendelet 63/2004. (VII. 26.) ESzCsM rendelet a 0 Hz-300 GHz között frekvencatartományú elektromos, mágneses és elektromágneses terek lakosságra vonatkozó egészségügy határértékeről Az egészségügyről szóló 1997.

Részletesebben

Alapmőveletek koncentrált erıkkel

Alapmőveletek koncentrált erıkkel Alapmőveletek koncentrált erıkkel /a. példa Az.7. ábrán feltüntetett, a,5 [m], b, [m] és c,7 [m] oldalú hasábot a bejelölt erık terhelk. A berajzolt koordnátarendszer fgyelembevételével írjuk fel komponens-alakban

Részletesebben

Alapvető elektrokémiai definíciók

Alapvető elektrokémiai definíciók Alapvető elektrokéma defnícók Az elektrokéma cella Elektródnak nevezünk egy onvezető fázssal (másodfajú vezető, pl. egy elektroltoldat, elektroltolvadék) érntkező elektronvezetőt (elsőfajú vezető, pl.

Részletesebben

METROLÓGIA ÉS HIBASZÁMíTÁS

METROLÓGIA ÉS HIBASZÁMíTÁS METROLÓGIA ÉS HIBASZÁMíTÁS Metrológa alapfogalmak A metrológa a mérések tudománya, a mérésekkel kapcsolatos smereteket fogja össze. Méréssel egy objektum valamlyen tulajdonságáról számszerű értéket kapunk.

Részletesebben

Elektrokémia 03. (Biologia BSc )

Elektrokémia 03. (Biologia BSc ) lektokéma 03. (Bologa BSc ) Cellaeakcó potencálja, elektódeakcó potencálja, Nenst-egyenlet Láng Győző Kéma Intézet, Fzka Kéma Tanszék ötvös Loánd Tudományegyetem Budapest Cellaeakcó Közvetlenül nem méhető

Részletesebben

Kirchhoff 2. törvénye (huroktörvény) szerint az áramkörben levő elektromotoros erők. E i = U j (3.1)

Kirchhoff 2. törvénye (huroktörvény) szerint az áramkörben levő elektromotoros erők. E i = U j (3.1) 3. Gyakorlat 29A-34 Egy C kapacitású kondenzátort R ellenálláson keresztül sütünk ki. Mennyi idő alatt csökken a kondenzátor töltése a kezdeti érték 1/e 2 ed részére? Kirchhoff 2. törvénye (huroktörvény)

Részletesebben

TARTALOM. 8. Elegyek és oldatok 2

TARTALOM. 8. Elegyek és oldatok 2 TARTALOM 8. Elegyek és oldatok 8.. A kéma otencál 3 8.. A fázsegyensúlyok feltétele 8 8.3. A Gbbs-féle fázsszabály 0 8.4. Az elegykéződésre jellemző mennységek 3 8.5. Parcáls molárs mennységek 7 8.6. A

Részletesebben

Általános esetben az atomok (vagy molekulák) nem függetlenek, közöttük erős

Általános esetben az atomok (vagy molekulák) nem függetlenek, közöttük erős I. BEVEZETÉS A STATISZTIKUS MÓDSZEREKBE Ebben a fejezetben konkrét példán vzsgáljuk meg, hogy mlyen jellegzetes tulajdonsága vannak a makroszkopkus testeknek statsztkus fzka szempontból. A megoldás során

Részletesebben

Alkalmazás a makrókanónikus sokaságra: A fotongáz

Alkalmazás a makrókanónikus sokaságra: A fotongáz Alkalmazás a makrókanónikus sokaságra: A fotongáz A fotonok az elektromágneses sugárzás hordozó részecskéi. Spinkvantumszámuk S=, tehát kvantumstatisztikai szempontból bozonok. Fotonoknak habár a spinkvantumszámuk,

Részletesebben

Termodinamika (Hőtan)

Termodinamika (Hőtan) Termodinamika (Hőtan) Termodinamika A hőtan nagyszámú részecskéből (pl. gázmolekulából) álló makroszkópikus rendszerekkel foglalkozik. A nagy számok miatt érdemes a mólt bevezetni, ami egy Avogadro-számnyi

Részletesebben

Felületi feszültség: cseppfolyós-gáz határfelületen a vonzerő kiegyensúlyozatlan: rugalmas hártyaként viselkedik.

Felületi feszültség: cseppfolyós-gáz határfelületen a vonzerő kiegyensúlyozatlan: rugalmas hártyaként viselkedik. Felületi feszültség: cseppfolyós-gáz határfelületen a vonzerő kiegyensúlyozatlan: rugalmas hártyaként viselkedik. Mérése: L huzalkeret folyadékhártya mozgatható huzal F F = L σ két oldala van a hártyának

Részletesebben

Gázok. Boyle-Mariotte törvény. EdmeMariotte ( ) Robert Boyle ( ) Adott mennyiségű ideális gázra: pv=állandó. két állapotra: p 1 V 1

Gázok. Boyle-Mariotte törvény. EdmeMariotte ( ) Robert Boyle ( ) Adott mennyiségű ideális gázra: pv=állandó. két állapotra: p 1 V 1 Boyle-Marotte törény Gázok Nyomás / atm Robert Boyle (167 1691) EdmeMarotte (160 1684) Adott mennységű deáls gázra: pvállandó két állapotra: Térfogat p 1 V 1 p V http://www.unzar.es/lfnae/luzon/cdr3/termodnamca.htm

Részletesebben

Határfelületi jelenségek: felületi feszültség koncepció

Határfelületi jelenségek: felületi feszültség koncepció Határfelületi jelenségek: felületi feszültség koncepció Bányai István www.kolloid.unideb.hu 3. óra Kolloidok és a határfelület A kolloidméret felé haladva a fajlagos felület rohamosan növekszik Határfelületi

Részletesebben

KOMBINATORIKA ELŐADÁS osztatlan matematika tanár hallgatók számára. Szita formula

KOMBINATORIKA ELŐADÁS osztatlan matematika tanár hallgatók számára. Szita formula KOMBINATORIKA ELŐADÁS osztatlan matematka tanár hallgatók számára Szta formula Előadó: Hajnal Péter 2015. 1. Bevezető példák 1. Feladat. Hány olyan sorbaállítása van a a, b, c, d, e} halmaznak, amelyben

Részletesebben

A TERMODINAMIKA I. AXIÓMÁJA. Egyszerű rendszerek egyensúlya. Első észrevétel: egyszerű rendszerekről beszélünk.

A TERMODINAMIKA I. AXIÓMÁJA. Egyszerű rendszerek egyensúlya. Első észrevétel: egyszerű rendszerekről beszélünk. A TERMODINAMIKA I. AXIÓMÁJA Egyszerű rendszerek egyensúlya Első észrevétel: egyszerű rendszerekről beszélünk. Második észrevétel: egyensúlyban lévő egyszerű rendszerekről beszélünk. Mi is tehát az egyensúly?

Részletesebben

Lendület. Lendület (impulzus): A test tömegének és sebességének szorzata. vektormennyiség: iránya a sebesség vektor iránya.

Lendület. Lendület (impulzus): A test tömegének és sebességének szorzata. vektormennyiség: iránya a sebesség vektor iránya. Lendület Lendület (impulzus): A test tömegének és sebességének szorzata. vektormennyiség: iránya a sebesség vektor iránya. Lendülettétel: Az lendület erő hatására változik meg. Az eredő erő határozza meg

Részletesebben

Szárítás során kialakuló hővezetés számítása Excel VBA makróval

Szárítás során kialakuló hővezetés számítása Excel VBA makróval Szárítás során kalakuló hővezetés számítása Excel VBA makróval Rajkó Róbert 1 Eszes Ferenc 2 Szabó Gábor 1 1 Szeged Tudományegyetem, Szeged Élelmszerpar Főskola Kar Élelmszerpar Műveletek és Környezettechnka

Részletesebben

Hipotézis vizsgálatok. Egy példa. Hipotézisek. A megfigyelt változó eloszlása Kérdés: Hatásos a lázcsillapító gyógyszer?

Hipotézis vizsgálatok. Egy példa. Hipotézisek. A megfigyelt változó eloszlása Kérdés: Hatásos a lázcsillapító gyógyszer? 01.09.18. Hpotézs vzsgálatok Egy példa Kérdések (példa) Hogyan adhatunk választ? Kérdés: Hatásos a lázcsllapító gyógyszer? Hatásos-e a gyógyszer?? rodalomból kísérletekből Hpotézsek A megfgyelt változó

Részletesebben

Statisztikai próbák. Ugyanazon problémára sokszor megvan mindkét eljárás.

Statisztikai próbák. Ugyanazon problémára sokszor megvan mindkét eljárás. Statsztka próbák Paraméteres. A populácó paraméteret becsüljük, ezekkel számolunk.. Az alapsokaság eloszlására van kkötés. Nem paraméteres Nncs lyen becslés Nncs kkötés Ugyanazon problémára sokszor megvan

Részletesebben

3D - geometriai modellezés, alakzatrekonstrukció, nyomtatás

3D - geometriai modellezés, alakzatrekonstrukció, nyomtatás 3D - geometra modellezés, alakzatrekonstrukcó, nyomtatás 17. 3D Szegmentálás http://cg.t.bme.hu/portal/node/312 https://www.vk.bme.hu/kepzes/targyak/viiiav54 Dr. Várady Tamás, Dr. Salv Péter BME, Vllamosmérnök

Részletesebben

Kolloid rendszerek definíciója, osztályozása, jellemzése. Molekuláris kölcsönhatások. Határfelüleleti jelenségek (fluid határfelületek)

Kolloid rendszerek definíciója, osztályozása, jellemzése. Molekuláris kölcsönhatások. Határfelüleleti jelenségek (fluid határfelületek) Kollod rendszerek defnícója, osztályozása, jellemzése. olekulárs kölcsönhatások. Határfelülelet jelenségek (flud határfelületek) Kollodka helye Bológa Kollodkéma Fzka kéma bokéma Szerves kéma Fzka A kéma

Részletesebben

rendszer: a világ általunk vizsgált, valamilyen fallal (részben) elhatárolt része környezet: a világ rendszert körülvevő része

rendszer: a világ általunk vizsgált, valamilyen fallal (részben) elhatárolt része környezet: a világ rendszert körülvevő része I. A munka ogalma, térogat és egyéb (hasznos) munka. II. A hő ogalma. III. A belső energa denícója és molekulárs értelmezése. I. A termodnamka első őtételének néhány megogalmazása.. Az entalpa ogalma,

Részletesebben

Biofizika szeminárium. Diffúzió, ozmózis

Biofizika szeminárium. Diffúzió, ozmózis Biofizika szeminárium Diffúzió, ozmózis I. DIFFÚZIÓ ORVOSI BIOFIZIKA tankönyv: III./2 fejezet Részecskék mozgása Brown-mozgás Robert Brown o kísérlet: pollenszuszpenzió mikroszkópos vizsgálata o megfigyelés:

Részletesebben

azonos sikban fekszik. A vezetőhurok ellenállása 2 Ω. Számítsuk ki a hurok teljes 4.1. ábra ábra

azonos sikban fekszik. A vezetőhurok ellenállása 2 Ω. Számítsuk ki a hurok teljes 4.1. ábra ábra 4. Gyakorlat 31B-9 A 31-15 ábrán látható, téglalap alakú vezetőhurok és a hosszúságú, egyenes vezető azonos sikban fekszik. A vezetőhurok ellenállása 2 Ω. Számítsuk ki a hurok teljes 4.1. ábra. 31-15 ábra

Részletesebben

SEMMELWEIS EGYETEM. Biofizikai és Sugárbiológiai Intézet, Nanokémiai Kutatócsoport

SEMMELWEIS EGYETEM. Biofizikai és Sugárbiológiai Intézet, Nanokémiai Kutatócsoport SEMMELWEIS EGYETEM Bofzka és Sugárbológa Intézet, Nanokéma Kutatócsoport TERMODINAMIKA egyensúlyok és transzportjelenségek legáltalánosabb tudománya Zríny Mklós egyetem tanár, az MTA levelező tagja mkloszrny@gmal.com

Részletesebben

Az anyagi rendszer fogalma, csoportosítása

Az anyagi rendszer fogalma, csoportosítása Az anyagi rendszer fogalma, csoportosítása A bemutatót összeállította: Fogarasi József, Petrik Lajos SZKI, 2011 1 1 A rendszer fogalma A körülöttünk levő anyagi világot atomok, ionok, molekulák építik

Részletesebben

FIZIKA I. Ez egy gázos előadás lesz! (Ideális gázok hőtana) Dr. Seres István

FIZIKA I. Ez egy gázos előadás lesz! (Ideális gázok hőtana) Dr. Seres István Ez egy gázos előadás lesz! ( hőtana) Dr. Seres István Kinetikus gázelmélet gáztörvények Termodinamikai főtételek fft.szie.hu 2 Seres.Istvan@gek.szie.hu Kinetikus gázelmélet Az ideális gáz állapotjelzői:

Részletesebben

3.1. ábra ábra

3.1. ábra ábra 3. Gyakorlat 28C-41 A 28-15 ábrán két, azonos anyagból gyártott ellenállás látható. A véglapokat vezető 3.1. ábra. 28-15 ábra réteggel vonták be. Tételezzük fel, hogy az ellenállások belsejében az áramsűrűség

Részletesebben

Statisztika I. 3. előadás. Előadó: Dr. Ertsey Imre

Statisztika I. 3. előadás. Előadó: Dr. Ertsey Imre Statsztka I. 3. előadás Előadó: Dr. Ertsey Imre Vszonyszámok Statsztka munka: adatgyűjtés, rendszerezés, összegzés, értékelés. Vszonyszámok: Két statsztka adat arányát kfejező számok, Az un. leszármaztatott

Részletesebben

Vezetők elektrosztatikus térben

Vezetők elektrosztatikus térben Vezetők elektrosztatikus térben Vezető: a töltések szabadon elmozdulhatnak Ha a vezető belsejében a térerősség nem lenne nulla akkor áram folyna. Ha a felületen a térerősségnek lenne tangenciális (párhuzamos)

Részletesebben

Légköri termodinamika

Légköri termodinamika Légköri termodinamika Termodinamika: a hőegyensúllyal, valamint a hőnek, és más energiafajtáknak kölcsönös átalakulásával foglalkozó tudományág. Meteorológiai vonatkozása ( a légkör termodinamikája): a

Részletesebben

A gáz halmazállapot. A bemutatót összeállította: Fogarasi József, Petrik Lajos SZKI, 2011

A gáz halmazállapot. A bemutatót összeállította: Fogarasi József, Petrik Lajos SZKI, 2011 A gáz halmazállapot A bemutatót összeállította: Fogarasi József, Petrik Lajos SZKI, 0 Halmazállapotok, állapotjelzők Az anyagi rendszerek a részecskék közötti kölcsönhatásoktól és az állapotjelzőktől függően

Részletesebben

Hely és elmozdulás - meghatározás távolságméréssel

Hely és elmozdulás - meghatározás távolságméréssel Hely és elmozdulás - meghatározás távolságméréssel Bevezetés A repülő szerkezetek repülőgépek, rakéták, stb. helyének ( koordnátának ) meghatározása nem új feladat. Ezt a szakrodalom részletesen taglalja

Részletesebben

Fermi Dirac statisztika elemei

Fermi Dirac statisztika elemei Fermi Dirac statisztika elemei A Fermi Dirac statisztika alapjai Nagy részecskeszámú rendszerek fizikai jellemzéséhez statisztikai leírást kell alkalmazni. (Pl. gázokra érvényes klasszikus statisztika

Részletesebben

9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás:

9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás: 9. Trigonometria I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! x = cos 150 ; y = sin 5 ; z = tg ( 60 ) (A) z < x < y (B) x < y < z (C) y < x < z (D) z < y

Részletesebben

A nyomás. IV. fejezet Összefoglalás

A nyomás. IV. fejezet Összefoglalás A nyomás IV. fejezet Összefoglalás Mit nevezünk nyomott felületnek? Amikor a testek egymásra erőhatást gyakorolnak, felületeik egy része egymáshoz nyomódik. Az egymásra erőhatást kifejtő testek érintkező

Részletesebben

1. fejezet. Gyakorlat C-41

1. fejezet. Gyakorlat C-41 1. fejezet Gyakorlat 3 1.1. 28C-41 A 1.1 ábrán két, azonos anyagból gyártott ellenállás látható. A véglapokat vezető réteggel vonták be. Tételezzük fel, hogy az ellenállások belsejében az áramsűrűség bármely,

Részletesebben

Megoldás: A feltöltött R sugarú fémgömb felületén a térerősség és a potenciál pontosan akkora, mintha a teljes töltése a középpontjában lenne:

Megoldás: A feltöltött R sugarú fémgömb felületén a térerősség és a potenciál pontosan akkora, mintha a teljes töltése a középpontjában lenne: 3. gyakorlat 3.. Feladat: (HN 27A-2) Becsüljük meg azt a legnagyo potenciált, amelyre egy 0 cm átmérőjű fémgömöt fel lehet tölteni, anélkül, hogy a térerősség értéke meghaladná a környező száraz levegő

Részletesebben

6. Oldatok felületi feszültségének meghatározása. Előkészítő előadás

6. Oldatok felületi feszültségének meghatározása. Előkészítő előadás 6. Oldatok felületi feszültségének meghatározása Előkészítő előadás 2017.02.13. Elméleti áttekintés Felületi feszültség: a szabadentalpia függvény felület szerinti parciális deriváltja. Ez termodinamikai

Részletesebben

Az Ampère-Maxwell-féle gerjesztési törvény

Az Ampère-Maxwell-féle gerjesztési törvény Az Ampère-Maxwell-féle gerjesztési törvény Maxwell elméleti meggondolások alapján feltételezte, hogy a változó elektromos tér örvényes mágneses teret kelt (hasonlóan ahhoz ahogy a változó mágneses tér

Részletesebben

Szilárd testek rugalmas alakváltozásai Nyú y j ú tás y j Hooke törvény, Hooke törvén E E o Y un un modulus a f eszültség ffeszültség

Szilárd testek rugalmas alakváltozásai Nyú y j ú tás y j Hooke törvény, Hooke törvén E E o Y un un modulus a f eszültség ffeszültség Kontinuumok mechanikája Szabó Gábor egyetemi tanár SZTE Optikai Tanszék Szilárd testek rugalmas alakváltozásai Nyújtás l l = l E F A Hooke törvény, E Young modulus σ = F A σ a feszültség l l l = σ E Szilárd

Részletesebben

Az egyensúly. Általános Kémia: Az egyensúly Slide 1 of 27

Az egyensúly. Általános Kémia: Az egyensúly Slide 1 of 27 Az egyensúly 6'-1 6'-2 6'-3 6'-4 6'-5 Dinamikus egyensúly Az egyensúlyi állandó Az egyensúlyi állandókkal kapcsolatos összefüggések Az egyensúlyi állandó számértékének jelentősége A reakció hányados, Q:

Részletesebben

Reakciókinetika és katalízis

Reakciókinetika és katalízis Reakciókinetika és katalízis 5. előadás: /22 : Elemi reakciók kapcsolódása. : Egy reaktánsból két külön folyamatban más végtermékek keletkeznek. Legyenek A k b A kc B C Írjuk fel az A fogyására vonatkozó

Részletesebben

Hidrosztatika, Hidrodinamika

Hidrosztatika, Hidrodinamika Hidrosztatika, Hidrodinamika Folyadékok alaptulajdonságai folyadék: anyag, amely folyni képes térfogat állandó, alakjuk változó, a tartóedénytől függ a térfogat-változtató erőkkel szemben ellenállást fejtenek

Részletesebben

Egy negyedrendű rekurzív sorozatcsaládról

Egy negyedrendű rekurzív sorozatcsaládról Egy negyedrendű rekurzív sorozatcsaládról Pethő Attla Emlékül Kss Péternek, a rekurzív sorozatok fáradhatatlan kutatójának. 1. Bevezetés Legyenek a, b Z és {1, 1} olyanok, hogy a 2 4b 2) 0, b 2 és ha 1,

Részletesebben

Műszaki folyamatok közgazdasági elemzése. Kevert stratégiák és evolúciós játékok

Műszaki folyamatok közgazdasági elemzése. Kevert stratégiák és evolúciós játékok Műszak folyamatok közgazdaság elemzése Kevert stratégák és evolúcós átékok Fogalmak: Példa: 1 szta stratéga Vegyes stratéga Ha m tszta stratéga létezk és a 1 m annak valószínűsége hogy az - edk átékos

Részletesebben

Geometriai és hullámoptika. Utolsó módosítás: május 10..

Geometriai és hullámoptika. Utolsó módosítás: május 10.. Geometriai és hullámoptika Utolsó módosítás: 2016. május 10.. 1 Mi a fény? Részecske vagy hullám? Isaac Newton (1642-1727) Pierre de Fermat (1601-1665) Christiaan Huygens (1629-1695) Thomas Young (1773-1829)

Részletesebben

Békefi Zoltán. Közlekedési létesítmények élettartamra vonatkozó hatékonyság vizsgálati módszereinek fejlesztése. PhD Disszertáció

Békefi Zoltán. Közlekedési létesítmények élettartamra vonatkozó hatékonyság vizsgálati módszereinek fejlesztése. PhD Disszertáció Közlekedés létesítmények élettartamra vonatkozó hatékonyság vzsgálat módszerenek fejlesztése PhD Dsszertácó Budapest, 2006 Alulírott kjelentem, hogy ezt a doktor értekezést magam készítettem, és abban

Részletesebben

A mechanika alapjai. A pontszerű testek dinamikája

A mechanika alapjai. A pontszerű testek dinamikája A mechanika alapjai A pontszerű testek dinamikája Horváth András SZE, Fizika Tsz. v 0.6 1 / 26 alapi Bevezetés Newton I. Newton II. Newton III. Newton IV. alapi 2 / 26 Bevezetés alapi Bevezetés Newton

Részletesebben

Határfelületi reológia vizsgálata cseppalak analízissel

Határfelületi reológia vizsgálata cseppalak analízissel Határfelületi reológia vizsgálata cseppalak analízissel A reológia alapjai Reológiai folyamatról akkor beszélünk, ha egy anyagra erő hat, mely az anyag (vagy annak egy darabjának) deformációját eredményezi.

Részletesebben

Hidrosztatika. Folyadékok fizikai tulajdonságai

Hidrosztatika. Folyadékok fizikai tulajdonságai Hidrosztatika A Hidrosztatika a nyugalomban lévő folyadékoknak a szilárd testekre, felületekre gyakorolt hatásával foglalkozik. Tárgyalja a nyugalomban lévő folyadékok nyomásviszonyait, vizsgálja a folyadékba

Részletesebben

Modern Fizika Labor. 2. Elemi töltés meghatározása

Modern Fizika Labor. 2. Elemi töltés meghatározása Modern Fizika Labor Fizika BSC A mérés dátuma: 2011.09.27. A mérés száma és címe: 2. Elemi töltés meghatározása Értékelés: A beadás dátuma: 2011.10.11. A mérést végezte: Kalas György Benjámin Németh Gergely

Részletesebben

s n s x A m és az átlag Standard hiba A m becslése Információ tartalom Átlag Konfidencia intervallum Pont becslés Intervallum becslés

s n s x A m és az átlag Standard hiba A m becslése Információ tartalom Átlag Konfidencia intervallum Pont becslés Intervallum becslés A m és az átlag Standard hba Mnta átlag 1 170 Az átlagok szntén ngadoznak a m körül. s x s n Az átlagok átlagos eltérése a m- től! 168 A m konfdenca ntervalluma. 3 166 4 173 x s x ~ 68% ~68% annak a valószínűsége,

Részletesebben

1. Feladatok a dinamika tárgyköréből

1. Feladatok a dinamika tárgyköréből 1. Feladatok a dinamika tárgyköréből Newton három törvénye 1.1. Feladat: Három azonos m tömegű gyöngyszemet fonálra fűzünk, egymástól kis távolságokban a fonálhoz rögzítünk, és az elhanyagolható tömegű

Részletesebben

NE HABOZZ! KÍSÉRLETEZZ!

NE HABOZZ! KÍSÉRLETEZZ! NE HABOZZ! KÍSÉRLETEZZ! FOLYADÉKOK FELSZÍNI TULAJDONSÁGAINAK VIZSGÁLATA KICSIKNEK ÉS NAGYOKNAK Országos Fizikatanári Ankét és Eszközbemutató Gödöllő 2017. Ötletbörze Kicsiknek 1. feladat: Rakj három 10

Részletesebben

TestLine - Fizika 7. osztály Hőtan Témazáró Minta feladatsor

TestLine - Fizika 7. osztály Hőtan Témazáró Minta feladatsor 1. 2:24 Normál Magasabb hőmérsékleten a részecskék nagyobb tágassággal rezegnek, s így távolabb kerülnek egymástól. Magasabb hőmérsékleten a részecskék kisebb tágassággal rezegnek, s így távolabb kerülnek

Részletesebben

2012/2013 tavaszi félév 8. óra

2012/2013 tavaszi félév 8. óra 2012/2013 tavasz félév 8. óra Híg oldatok törvénye Fagyáspontcsökkenés és forráspont-emelkedés, Ozmózsnyomás Molárs tömeg meghatározása kollgatív tulajdonságok segítségével Erős elektroltok kollgatív tulajdonsága

Részletesebben

A TERMODINAMIKA MIKROSZKOPIKUS ÉRTELMEZÉSE: A STATISZTIKUS TERMODINAMIKA ALAPJAI

A TERMODINAMIKA MIKROSZKOPIKUS ÉRTELMEZÉSE: A STATISZTIKUS TERMODINAMIKA ALAPJAI A TERMODINAMIKA MIKROSZKOPIKUS ÉRTELMEZÉSE: A STATISZTIKUS TERMODINAMIKA ALAPJAI BEVEZETÉS Alkotórészek: molekulárs modell + statsztka Mért kell a statsztka? Mert 0 23 nagyságrend mkroszkopkus változója

Részletesebben

1. Feladatok a termodinamika tárgyköréből

1. Feladatok a termodinamika tárgyköréből . Feladatok a termodinamika tárgyköréből Hővezetés, hőterjedés sugárzással.. Feladat: (HN 9A-5) Egy épület téglafalának mérete: 4 m 0 m és, a fal 5 cm vastag. A hővezetési együtthatója λ = 0,8 W/m K. Mennyi

Részletesebben

BUDAPESTI MŰ SZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM KÖZLEKEDÉSMÉRNÖKI ÉS JÁRMŰMÉRNÖKI KAR VASÚTI JÁRMŰVEK ÉS JÁRMŰRENDSZERANALÍZIS TANSZÉK

BUDAPESTI MŰ SZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM KÖZLEKEDÉSMÉRNÖKI ÉS JÁRMŰMÉRNÖKI KAR VASÚTI JÁRMŰVEK ÉS JÁRMŰRENDSZERANALÍZIS TANSZÉK BUDAPESTI MŰ SZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM KÖZLEKEDÉSMÉRNÖKI ÉS JÁRMŰMÉRNÖKI KAR VASÚTI JÁRMŰVEK ÉS JÁRMŰRENDSZERANALÍZIS TANSZÉK MÉRNÖKI MATAMATIKA Segédlet a Bessel-függvények témaköréhez a Közlekedésmérnök

Részletesebben

5. Az adszorpciós folyamat mennyiségi leírása a Langmuir-izoterma segítségével

5. Az adszorpciós folyamat mennyiségi leírása a Langmuir-izoterma segítségével 5. Az adszorpciós folyamat mennyiségi leírása a Langmuir-izoterma segítségével 5.1. Átismétlendő anyag 1. Adszorpció (előadás) 2. Langmuir-izoterma (előadás) 3. Spektrofotometria és Lambert Beer-törvény

Részletesebben

Gyakorlat 30B-14. a F L = e E + ( e)v B képlet, a gravitációs erőt a (2.1) G = m e g (2.2)

Gyakorlat 30B-14. a F L = e E + ( e)v B képlet, a gravitációs erőt a (2.1) G = m e g (2.2) 2. Gyakorlat 30B-14 Az Egyenlítőnél, a földfelszín közelében a mágneses fluxussűrűség iránya északi, nagysága kb. 50µ T,az elektromos térerősség iránya lefelé mutat, nagysága; kb. 100 N/C. Számítsuk ki,

Részletesebben

Darupályák ellenőrző mérése

Darupályák ellenőrző mérése Darupályák ellenőrző mérése A darupályák építésére, szerelésére érvényes 15030-58 MSz szabvány tartalmazza azokat az előírásokat, melyeket a tervezés, építés, műszak átadás során be kell tartan. A geodéza

Részletesebben

Minősítéses mérőrendszerek képességvizsgálata

Minősítéses mérőrendszerek képességvizsgálata Mnősítéses mérőrendszerek képességvzsgálata Vágó Emese, Dr. Kemény Sándor Budapest Műszak és Gazdaságtudomány Egyetem Kéma és Környezet Folyamatmérnök Tanszék Az előadás vázlata 1. Mnősítéses mérőrendszerek

Részletesebben

Hőtágulás - szilárd és folyékony anyagoknál

Hőtágulás - szilárd és folyékony anyagoknál Hőtágulás - szilárd és folyékony anyagoknál Celsius hőmérsékleti skála: 0 ºC pontja a víz fagyáspontja 100 ºC pontja a víz forráspontja Kelvin hőmérsékleti skála: A beosztása 273-al van elcsúsztatva a

Részletesebben

Hőtan ( első rész ) Hőmérséklet, szilárd tárgyak és folyadékok hőtágulása, gázok állapotjelzői

Hőtan ( első rész ) Hőmérséklet, szilárd tárgyak és folyadékok hőtágulása, gázok állapotjelzői Hőtan ( első rész ) Hőmérséklet, szilárd tárgyak és folyadékok hőtágulása, gázok állapotjelzői Hőmérséklet Az anyagok melegségének mérésére hőmérsékleti skálákat találtak ki: Celsius-skála: 0 ºC pontja

Részletesebben

TestLine - Fizika 7. osztály Hőtan Témazáró Minta feladatsor

TestLine - Fizika 7. osztály Hőtan Témazáró Minta feladatsor 1. 2:29 Normál párolgás olyan halmazállapot-változás, amelynek során a folyadék légneművé válik. párolgás a folyadék felszínén megy végbe. forrás olyan halmazállapot-változás, amelynek során nemcsak a

Részletesebben

Szélsőérték feladatok megoldása

Szélsőérték feladatok megoldása Szélsőérték feladatok megoldása A z = f (x,y) függvény lokális szélsőértékének meghatározása: A. Szükséges feltétel: f x (x,y) = 0 f y (x,y) = 0 egyenletrendszer megoldása, amire a továbbiakban az x =

Részletesebben

Matematika III előadás

Matematika III előadás Matematika III. - 2. előadás Vinczéné Varga Adrienn Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Előadáskövető fóliák Vinczéné Varga Adrienn (DE-MK) Matematika III. 2016/2017/I 1 / 30 Egy

Részletesebben

A +Q töltés egy L hosszúságú egyenes szakasz mentén oszlik el egyenletesen (ld ábra ábra

A +Q töltés egy L hosszúságú egyenes szakasz mentén oszlik el egyenletesen (ld ábra ábra . Gyakorlat 4B-9 A +Q töltés egy L hosszúságú egyenes szakasz mentén oszlik el egyenletesen (ld. 4-6 ábra.). Számítsuk ki az E elektromos térerősséget a vonal irányában lévő, annak.. ábra. 4-6 ábra végpontjától

Részletesebben

a térerősség mindig az üreg falára merőleges, ezért a tér ott nem gömbszimmetrikus.

a térerősség mindig az üreg falára merőleges, ezért a tér ott nem gömbszimmetrikus. 2. Gyakorlat 25A-0 Tekintsünk egy l0 cm sugarú üreges fémgömböt, amelyen +0 µc töltés van. Legyen a gömb középpontja a koordinátarendszer origójában. A gömb belsejében az x = 5 cm pontban legyen egy 3

Részletesebben

Transzportjelenségek

Transzportjelenségek Transzportjelenségek Fizikai kémia előadások 8. Turányi Tamás ELTE Kémiai Intézet lamináris (réteges) áramlás: minden réteget a falhoz közelebbi szomszédja fékez, a faltól távolabbi szomszédja gyorsít

Részletesebben

Szilárd testek rugalmassága

Szilárd testek rugalmassága Fizika villamosmérnököknek Szilárd testek rugalmassága Dr. Giczi Ferenc Széchenyi István Egyetem, Fizika és Kémia Tanszék Győr, Egyetem tér 1. 1 Deformálható testek (A merev test idealizált határeset.)

Részletesebben

A kanonikus sokaság. :a hőtartály energiája

A kanonikus sokaság. :a hőtartály energiája A kanonikus sokaság A mikrokanonikus sokaság esetén megtanultuk, hogy a megengedett mikroállapotok egyenértéküek, és a mikróállapotok száma minimális. A mikrókanónikus sokaság azonban nem a leghasznosabb

Részletesebben

Méréselmélet: 5. előadás,

Méréselmélet: 5. előadás, 5. Modellllesztés (folyt.) Méréselmélet: 5. előadás, 03.03.3. Út az adaptív elárásokhoz: (85) és (88) alapán: W P, ( ( P). Ez utóbb mndkét oldalát megszorozva az mátrxszal: W W ( ( n ). (9) Feltételezve,

Részletesebben

VIII. ELEKTROMOS ÁRAM FOLYADÉKOKBAN ÉS GÁZOKBAN

VIII. ELEKTROMOS ÁRAM FOLYADÉKOKBAN ÉS GÁZOKBAN VIII. ELEKTROMOS ÁRAM FOLYADÉKOKBAN ÉS GÁZOKBAN Bevezetés: Folyadékok - elsősorban savak, sók, bázsok vzes oldata - áramvezetésének gen fontos gyakorlat alkalmazása vannak. Leggyakrabban az elektronkus

Részletesebben