Eloszláscsaládokhoz való illeszkedés vizsgálata Ph.D. értekezés

Átírás

1 Eloszláscsaládokhoz való illeszkedés vizsgálata Ph.D. értekezés Osztéyié Krauczi Éva Témavezet : Dr. Csörg Sádor Kozulesek: Dr. Pap Gyula és Dr. Sz cs Gábor Matematika- és Számítástudomáyi Doktori Iskola Szegedi Tudomáyegyetem, Bolyai Itézet Szeged, 26

2 Tartalomjegyzék. Bevezetés 2. Törtéeti el zméyek Illeszkedésvizsgálat rögzített eloszlás eseté Illeszkedésvizsgálat eloszláscsalád eseté Eloszláscsalád tesztelése rögzített eloszláshoz való illeszkedésvizsgálat segítségével Regresszió- és korrelációtesztek Illeszkedésvizsgálat egyeletes eloszlás esetébe Együttes klaszterszámok aszimptotikus viselkedése Elméleti eredméyek A [,] itervallumo egyeletes eloszlásból származó klaszterszámok együttes aszimptotikus viselkedése Adott itervallumo egyeletes eloszlásból származó klaszterszámok együttes aszimptotikus viselkedése Ismeretle itervallumo egyeletes eloszlásból származó klaszterszámok együttes aszimptotikus viselkedése Statisztikai eredméyek és szimuláció Tesztstatisztikák A távolságszit sorozatok optimális választása és a kritikus értékek A tesztek ereje Illeszkedésvizsgálat ormális eloszláscsaládra A kvatilis korrelációteszt Szimuláció A határeloszlás és a szimulált kritikus értékek A teszt erejéek vizsgálata Illeszkedésvizsgálat logisztikus eloszláscsaládra Súlyozott kvatilis korreláció tesztek Elméleti eredméyek Súlyozott kvatilis korreláció tesztek logisztikus eloszláscsaládok eseté A határeloszlás végtele soros alakja Szimuláció i

3 TARTALOMJEGYZÉK Az V és W tesztstatisztikák eloszlásai és aszimptotikus eloszlásai Az V és W tesztek ereje Összefoglalás 82 Summary 89 Köszöetyilváítás 96 Irodalomjegyzék 2 ii

4 . fejezet Bevezetés A hipotézisvizsgálat, és eze belül az illeszkedésvizsgálat fotos területe a matematikai statisztikáak. Arra a kérdésre, hogy mikor merült fel az els ilye típusú probléma az emberiség törtéetébe, a teljes ismeret hiáyába em tuduk teljes bizoyossággal válaszoli. Ayi ismert, hogy 82-be Laplace csillagászati vizsgálataiba statisztikai módszert haszált aak a hipotézisek az eldötésére, hogy a apredszer üstökösei szerves részei a apredszerek, vagy csak küls behatolók. Ha csak küls behatolók az üstökösök, akkor pályasíkjuk és az ekliptika közötti szög egyeletes eloszlású kell legye a,2π) itervallumo, vagyis egy illeszkedésvizsgálatot kellett elvégezie. Az illeszkedésvizsgálat igazi úttör i K. Pearso, E. S. Pearso, A. Fisher és J. Neyma voltak, akik az els eljárásokat dolgozták ki aak a hipotézisek az eldötésére, hogy egy véletle meyiség eloszlása a mita gyakoriságeloszlása alapjá tekithet -e egy megadott F eloszlással megegyez ek. Ezt evezzük egyszer illeszkedésvizsgálatak. Kés bb szükség lett olya eljárásokra is, melyekkel arról a hipotézisr l tudtak dötést hozi, hogy a mita egy megadott eloszláscsaládból származik-e. Ezeket az eljárásokat evezzük összetett illeszkedésvizsgálatak. A 2. fejezetbe a disszertáció szempotjából fotos törtéeti el zméyeket gy jtötük össze. Ehhez del Barrio, Cuesta-Albertos és Matrá [33] cikkét haszáltuk, melybe egy jó összefoglalás található. Mivel a 4. és 5. fejezetekbe tárgyalt illeszkedésvizsgálati módszerek, valamit a 3. fejezetbe bevezetésre kerül egyik módszer eloszláscsaládokhoz való illeszkedés elle rzésére alkalmasak, illetve alkalmas, így ebbe a fejezetbe az ezzel kapcsolatos fotosabb eddigi eredméyek bemutatása a cél. Az eredméyek bemutatása alatt egyrészt a potos módszer, a tesztstatisztika, másrészt a tesztstatisztika határeloszlásáak megadását értjük. Eze eljárások két agy osztályát tárgyaljuk részletese, az egyik a mita eloszlásáak és az eloszláscsalád eloszlásaiak távolságá alapuló tesztek, a másik a regresszió-, illetve korrelációtesztek. Eek az az oka, hogy a 4. és 5. fejezetekbe lév tesztek ezekhez az osztályokhoz tartozak. A 3. fejezetbe egy eljárást javasluk egyeletes eloszlás eseté egyszer, illetve összetett illeszkedésvizsgálatra. Az ötlet a következ. Legyeek U, U 2,..., U függetle, [,] itervallumo egyeletes eloszlású véletle változók, egy mita. Emellett adott egy determiisztikus d,) távolságszit mide mitamérethez. A [,] itervallumo húzzuk végig ezt a távolságszitet, és gyeljük meg, hogy a redezett mita elemei háy osztályba esek. Egy klaszterbe azok az elemei tartozak a redezett mitáak, amelyekre teljesül az, hogy az egymást követ elemek távolsága em agyobb, mit d. Egy adott mitához

5 és távolságszithez tartozó osztályok számát evezzük klaszterszámak. Csörg S. és Wu [23] három külöböz rátával ullához tartó távolságszit sorozat mellett bebizoyították a klaszterek számáak aszimptotikus ormalitását. Eek a tételek bizoyítjuk a többdimeziós változatait külöböz itervallumo egyeletes eloszlások esetébe, majd haszáljuk egyeletesség tesztelésére ismert és ismeretle itervallumo. Bebizoyítjuk a Csörg Wu-féle, külöböz távolságszitekhez tartozó klaszterszámok együttes aszimptotikus ormalitását három esetbe: ha a mita a [,], ha az ismert [a, b] illetve ha egy ismeretle itervallumo egyeletes eloszlásból származik. Így ebb l adódóa aszimptotikus χ 2 -tesztet kapuk egyszer, illetve összetett ullhipotézis elle rzésére. Meghatározzuk a tesztek erejét külöböz [,] itervallumo folytoos alteratívákkal szembe szimulációval, valamit összehasolítjuk az új tesztek erejét az Iglot és Ledwia [48] által bevezetett data drive smooth teszttel. Ez a fejezet tartalmazza a Krauczi [59] cikk eredméyeit. A 4. fejezetbe az L 2 -Wasserstei távolságot haszáló del Barrio, Cuesta-Albertos, Matrá és Rodríguez-Rodríguez [34] által bevezetett ormalitás tesztet vizsgáljuk. Egy eltolás- és skálametes tesztstatisztikát kaptak, amely egyrészt úgy tesztel ormális eloszláscsaládhoz való tartozást, hogy miimális távolságot keres kvatilis-függvéyek távolságáak segítségével; másrészt a tesztstatisztikából látható, hogy korrelációtesztet határoz meg. Ebb l a kétféle megközelítésb l származik a teszt kés bbi elevezése is, kvatilis korreláció teszt, amely elevezést Csörg Sádortól hallottam el ször. Eek a ormalitástesztek számos alteratívával szembei er vizsgálatát végezzük el szimuláció segítségével, valamit összehasolítjuk más ormalitástesztek viselkedésével. Mivel a Wilk Shapiro-teszttel aszimptotikusa ekvivales a spayolok[34] tesztje, em meglep az er vizsgálat eredméye. Ez a fejezet tartalmazza a Krauczi [52] cikk eredméyeit. Az utolsó, 5. fejezetbe Del Barrio, Cuesta-Albertos, Matrá és Rodríguez-Rodríguez [34], valamit del Barrio, Cuesta-Albertos és Matrá [33] által bevezetett kvatilis korreláció teszt súlyozott változatát vezetjük be logisztikus eloszláscsalád esetébe. A súlyfüggvéy haszálatát a tesztstatisztikába egymástól függetleül de Wet [28, 29] és Csörg S. [9, 2] külöböz motivációból javasolta. Csörg a súlyfüggvéy bevezetésével a tesztstatisztika határeloszlásáak létezését remélte több eloszláscsalád esetébe, de Wet pedig a ormális eloszláscsalád esetébe haszált tesztstatisztika határeloszlásáak végtele soros el állításába tapasztalt szabadságifok vesztést remélte el idézi más eloszláscsaládok esetébe is. Szabadságifok vesztés alatt azt értjük, hogy a határeloszlás soros el állításába az els kett tag hiáyzik. Mi a Csörg -féle [2] eredméyt a de Wet által, eltolás eloszláscsalád esetére javasolt kokrét súlyfüggvéyel bizoyítjuk logisztikus eltolás-skála eloszláscsalád esetébe. Del Barrio, Cuesta-Albertos és Matrá [33] a tesztstatisztika határeloszlását megadták súlyozott Brow-hidak KarhueLoève-sorfejtésekét. Ugyaeze techikával meghatározzuk az általuk kapott határeloszlás soros alakját. Majd ugyacsak egy szimulációs er vizsgálat következik, valamit összehasolítjuk az új teszt erejét az empirikus karakterisztikus függvéyre és az empirikus mometum-geeráló függvéyre alapozott Meitais [58] tesztekkel. Ez a fejezet tartalmazza a Balogh és Krauczi [6] cikk eredméyeit. 2

6 2. fejezet Törtéeti el zméyek Ebbe a fejezetbe áttekitést szereték adi arról, hogy hoa idult az illeszkedésvizsgálat, és milye fotosabb eljárások ismertek. Ehhez del Barrio, Cuesta-Albertos és Matrá [33] cikkét haszáljuk, melybe egy jó összefoglalás található. A következ kbe bevezetjük az általuk haszált jelöléseket. A emegatív egészek halmazát N, a valós számok halmazát R és a komplex számok halmazát C jelöli. Mide véletle változó ugyaazo Ω, A, P ) valószí ségi mez va deiálva. Jelölje I A az A eseméy idikátor változóját. Legyeek X,..., X függetle azoos eloszlású véletle változók, azaz egy statisztikai mita. Jelölje F x), x R, a változók közös eloszlásfüggvéyét, és Q F t) = F t) := if{x R : F x) t}, t,), az F eloszlásfüggvéy kvatilisfüggvéyét. Legye X = X k, S 2 = X k X ) 2, illetve m i = X k X ) i k= k= k= a mita átlaga, szóráségyzete, illetve i-edik cetrális mometuma. Jelölje F x) = I {Xk x}, illetve α F, x) = F x) F x) ), x R, k= az empirikus eloszlásfüggvéyt, illetve az empirikus folyamatot. A redezett mitára az X,,..., X,, a mita kvatilisfüggvéyére pedig a Q t), t [,], jelölést haszáljuk. Vegyük észre, hogy tetsz leges k =,2,..., és t k )/, k/] eseté Q t) = X k,. Ha a mita a [,] itervallumo egyeletes eloszlásból származik, akkor speciálisa jelölje G az empirikus eloszlásfüggvéyét. Az egyeletes empirikus folyamatot α t) = G t) t ), t [,], a Brow-hidat Bt), t [,], jelöli. Ez utóbbi egy mitafolytoos, EBt)) = várható érték és CovBs), Bt))=mis, t) st, s, t [,], kovariaciafüggvéy Gauss-folyamat. Jelölje Φ a stadard ormális eloszlásfüggvéyt, ϕ a hozzá tartozó s r ségfüggvéyt jelöli. Legye mide σ > és mide µ R eseté N µ σ x)= Φx µ)/σ), x R, a µ várható érték és σ szórású ormális eloszlás eloszlásfüggvéye, valamit haszáljuk az 3

7 2.. Illeszkedésvizsgálat rögzített eloszlás eseté N = {N µ σ : σ >, µ R} jelölést a ormális eloszláscsaládra, vagyis az összes ormális eloszlás osztályára. Továbbá jelölje az -dimeziós, m R várható érték vektorú és Σ kovariaciamátrixú ormális eloszlást N m, Σ) mide N eseté. Két metrikus térre lesz szükségük. Az egyik a C[,] tér, amely az összes [,] itervallumo értelmezett, valós érték, folytoos függvéyek halmaza. A C[,] tér az x := sup xt), t x C[,], a szuprémum ormával va ellátva, mellyel ez a tér teljes, szeparábilis metrikus tér lesz. A másik a D[,] tér, mely azo [,] itervallumo értelmezett, valós érték függvéyek halmaza, amelyek jobbról folytoosak és va baloldali határértékük. Ez a tér egy olya távolsággal va ellátva, melyet Szkorohod vezetett be, és amivel ez is teljes, szeparábilis metrikus tér. Részletes bemutatása megtalálható Billigsley [8] köyvébe. A Brow-híd a C[,], az egyeletes empirikus folyamat a D[,] tér véletle eleméek tekithet. Az értekezésbe mide kovergecia úgy érted, amit. A D az eloszlásba való, a P pedig a sztochasztikus kovergeciát jelöli. Az eloszlásbeli egyel séget az = D jelöli. 2.. Illeszkedésvizsgálat rögzített eloszlás eseté Az egyszer illeszkedésvizsgálat azt jeleti, hogy a mita egy adott, rögzített F x), x R, eloszlásfüggvéyhez való illeszkedését vizsgáljuk. Adott egy X,..., X véletle mita egy ismeretle F x), x R, eloszlásfüggvéy véletle változóból. Teszteljük azt az egyszer ullhipotézis, hogy H : F = F. A Pearso-féle χ 2 -tesztet tekithetjük az els ilye illeszkedésvizsgálatak [6]. Az ötlet a következ : osszuk fel a valós egyeest k db párokét diszjukt cellára, melyek együtt lefedik az egész valós egyeest. Jelölje C,..., C k ezeket a cellákat, és legye redre p,..., p k aak a valószí sége, hogy a ullhipotézis mellett az X véletle változó beleesik az egyes cellákba. Vagyis, ha F =F, akkor P X C i )=p i, i=,..., k. Legye O ) i cellába es meggyelések száma. Ekkor O ) i Így a MoivreLaplace-tétel szerit p i pi p i ) O ) i az i-edik biomiális eloszlású és p i paraméterekkel. D N,). A többváltozós cetrális határeloszlás-tételb l következik, hogy ha l k, akkor a B ) l = ) O ) p,..., O ) l p l véletle vektorak va határeloszlása. A határeloszlás a ulla várható érték és Σ l = =σ i,j ) i,j=,...,l kovariaciamátrixú ormális eloszlás, ahol a kovariaciamátrix elemei σ i,j = = p i p j, i j eseté, és σ i,i = p i p i ). S t, ha p i > mide i =,..., k eseté, akkor 4

8 2.. Illeszkedésvizsgálat rögzített eloszlás eseté a Σ k kovariaciamátrixak létezik iverze, Σ k = ν i,j) i,j=,...,k, melyek elemei ν i,j = = p k, i j eseté, és ν i,i = p i +p k. Ekkor köye látható, hogy χ 2 ) := k j= O ) j p j ) 2 p j = B ) k Σ k B) k így kapjuk meg a következ jól ismert aszimptotikus eredméyt. D χ 2 k, 2.. Tétel. A ullhipotézis teljesülése mellett χ 2 ) aszimptotikus eloszlása χ 2 k. A teszt hátráya, hogy agy szabadságot eged a cellák méretéek, helyéek és számáak megválasztásába. Például em tud külöbséget tei két külöböz eloszlás között, melyek a kiválasztott cellákhoz azoos valószí séget redelek. Az illeszkedésvizsgálati eljárások következ agy osztálya az EDF Empirical Distributio Fuctio)-tesztek. Eze tesztek alapötlete az, hogy mérjük meg az F hipotetikus eloszlásfüggvéy és a mitából számolt F empirikus eloszlásfüggvéy távolságát, és eze eltérés agysága alapjá dötsük a megegyezésr l, illetve külöböz ségr l. Az egyes tesztek abba külöbözek egymástól, hogy hogya mérjük meg a két függvéy távolságát. Az els ilye teszt 928-ból Cramér [4], eek általáosított változata pedig 93-b l vo Mises [75] évéhez f z dik. A vo Mises-féle tesztstatisztika ω 2 := F x) F x) ) 2 wx)dx alakba va deiálva, tehát súlyozott L 2 -ormába méri a két függvéy távolságát, ahol w a külöböz séget alkalmasa mér súlyfüggvéy. Speciálisa a Cramér-teszt a w választással adódik. Kolmogorov [5] a szuprémum ormát haszálja, a kétoldali tesztstatisztikája D := sup F x) F x) x R 933-ból, Szmirov [69, 7] egyoldali tesztstatisztikái az 93-as évek végér l D + := sup F x) F x) ), D := sup F x) F x) ), x R x R melyekre D = maxd +, D ). A három statisztikát együtt KolmogorovSzmirov-statisztikák ak evezik. Eze statisztikák el ye, hogy eloszlásmetes statisztikák, ugyais mide folytoos F eloszlásfüggvéy eseté, a ullhipotézis mellett D D = sup t α t), D + D = sup t α t), és D D = sup )α t). t Így mide folytoos eloszlásfüggvéy eloszlás eseté, adott szigikaciaszithez és mitamérethez ugyaaz a kritikus érték tartozik. Ez a tulajdoság em teljesül az ω 2 statisztikára, de a Szmirov [67, 68] 936-ba javasolt W 2 Ψ) := Ψ F x) ) F x) F x) ) 2 df x) 5

9 2.. Illeszkedésvizsgálat rögzített eloszlás eseté változatára már ige, ahol Ψt), t, emegatív súlyfüggvéy. Az összes ilye statisztikát, amit Ψ változtatásával kapuk, Cramérvo Mises-típusú statisztiká ak evezük. A külöböz súlyfüggvéyek haszálata lehet séget ad külöböz alteratívák felismerésére, éppe ezért a Kolmogorov-statisztikáak is bevezették a súlyozott változatát: K Ψ) := sup x R F x) F x) Ψ F x) ). Bár ez se tudta kompezáli azt a hiáyát a szuprémum ormáak, hogy csak a legagyobb elterést érzékeli F és F között, amíg az L 2 -orma eze két függvéy súlyozott átlagos távolságát méri. Eze heurisztikus meggyelést a szimuláció is alátámasztja lásd 4. fejezet, ahol azt tapasztaltuk a ormális eloszláscsaládhoz való illeszkedésvizsgálat esetébe, hogy a Kolmogorov-tesztek a legtöbb alteratívával szembei ereje jóval kisebb, mit más próbák ereje). Két statisztika külöös gyelmet kapott az irodalomba. A Ψ esetbe, W 2 := F x) F x) ) 2 df x) a Cramérvo Mises-statisztika ; valamit a Ψt) = t t)), t,), mellett A 2 F x) F x)) 2 := F t) F t)) df x) az AdersoDarlig-statisztika [4], mely utóbbi a szimulációs vizsgálatok alapjá a leger sebb ilye típusú tesztek t ik lásd például Stephes [7] cikkbe, valamit a 4.5. táblázatba a fejezetbe). Ahhoz, hogy haszáli tudjuk a gyakorlatba ezeket a teszteket, ismerük kell az eloszlásfüggvéyüket tetsz leges N eseté, vagy legalább az aszimptotikus eloszlásukat. 94-be Szmirov [7] explicit formába meg tudta adi D + eloszlásfüggvéyét tetsz leges eseté, Kolmogorov [5] pedig megadott egy rekurzív kifejezést 933-ba, amivel kiszámítható a P D < x) valószí ség tetsz leges N és x R eseté. A Cramérvo Mises-típusú statisztikák eloszlásfüggvéyéek a meghatározása már agyobb ehézséget okozott. Akkoriba Mote-Carlo szimuláció hiáyába fotos kérdés volt, hogy ki tudjáke számoli a kritikus értékeket rögzített N eseté. Emellett a határeloszlás kérdése elméleti, de gyakorlati szempotból is érdekes volt. Az els aszimptotikus eredméyt is a KolmogorovSzmirov-típusú statisztikákra sikerült megkapi: 2.2. Tétel. Mide x > eseté Kolmogorov 933, [5]) Szmirov 94, [7]) lim P D x) = ) j e 2j2 x 2, j= lim P D+ > x) = lim P D < x) = e 2x2. 6

10 2.. Illeszkedésvizsgálat rögzített eloszlás eseté 948-ba Feller [39] megjegyezte, hogy Kolmogorov és Szmirov teljese külöböz módszerrel bizoyították állításaikat, és megpróbálta egységesítei a bizoyításukat. Mivel a D, D + és W 2 statisztikák az F empirikus és az F elméleti eloszlásfüggvéyek eltérését mérik, vagyis az α F, empirikus folyamat fukcioáljai, ezért eze statisztikák H melletti határeloszlásait valamimilye közös techikával lehete származtati. Így Feller cikke fotos lépés az empirikus folyamatra épített illeszkedésvizsgálat aszimptotikus elméletéek egységesítésébe. Bár ekkor még magát az empirikus folyamatot és aak a határeloszlását em vizsgálták. 949-be Doob [36] a véges dimeziós eloszlásokat vizsgálva sejtette meg az egyeletes empirikus folyamatak a Brow-hídhoz való kovergeciáját, de bizoyítai em tudta. Viszot bizoyította, hogy mide x > eseté és ) P sup Bt) x t = ) j e 2j2 x 2 j= ) P sup Bt) > x t = e 2x2, vagyis az egyeletes empirikus folyamat abszolút szuprémum és szuprémum fukcioáljaiak határeloszlása megegyezik a Brow-híd ugyaeze fukcioáljaiak eloszlásával. Ez azt jeleti, hogy ha Doob sejtése igaz, akkor Kolmogorov és Szmirov eredméyeire talá egyszer bb bizoyítás is adható. 95-be Dosker [35] ivariacia elve által yert bizoyítást a sejtés. Az ivariacia elv a következ t jeleti. A részletösszeg folyamat mide folytoos fukcioáljáak eloszlása kovergál a Brow-mozgás megfelel fukcioáljáak eloszlásához, illetve az egyeletes empirikus folyamat mide folytoos fukcioáljáak eloszlása kovergál a Brow-híd megfelel fukcioáljáak eloszlásához. Eze eredméyek hatására fejl dött ki a metrikus terekbe való gyege kovergecia elmélete többek között Kolmogorovak, Prohorovak és Szkorohodak köszöhet e, amely elmélet segített jobba megértei az ivariacia elvet. Err l szól Billigsley [8] 968-as köyve. Fotos lépés volt, hogy kidolgozták az elméletet a C[,] és a D[,] tereke. El ször a részletösszeg és az empirikus folyamatokat lieáris iterpolációval kapott folytoos folyamatokkal közelítették, hogy e kellje a C[,] térb l kilépiük. Eze új folyamat sorozatokra bizoyították a véges dimeziós eloszlások kovergeciáját és a sorozat feszességét, amely kett tulajdoság együtt a folyamatok eloszlásbeli kovergeciáját adja. A folytoos folyamatokkal való közelítés valahogy mesterkélt. Ahhoz, hogy ezt el tudjuk kerüli, egy gazdagabb tére kell dolgozuk. Ez a gazdagabb tér a D[,] tér, amelyek már maga az empirikus folyamat is eleme Tétel. Az α D B kovergecia teljesül a D[,] tére. A 2.3. Tétel lehet vé teszi a 2.2. Tétel természetesebb bizoyítását. Be lehet láti, hogy az x x leképezés folytoos a Szkorohod-topológiára ézve egy B eloszlása szerit ulla mérték halmazt kivéve, és mivel D = α, ekkor D B. Hasoló kovergecia teljesül a D + és a D statisztikák esetébe. A 2.3. Tétel teszi lehet vé a Cramérvo Mises-statisztika határeloszlásásáak meghatározását is. Az x x2 t)dt fukcioál szité folytoos a Szkorohod-topológiára 7 D

11 2.2. Illeszkedésvizsgálat eloszláscsalád eseté ézve egy B eloszlása szerit ulla mérték halmazt kivéve. Így a feti érvelés ismételt alkalmazásával kapjuk, hogy D ) 2 Bt) dt. W 2 Ie pedig egy lépés a Cramérvo Mises-típusú statisztikák határeloszlása. Mit a Brow-hidakra voatkozó iterált logaritmus tétel következméyekét Aderso és Darlig [4] 952-be megmutatta, hogy feltéve az δ Ψt)t log log t dt és itegrálok végességét valamilye δ,) eseté teljesül a W 2 Ψ) D δ Ψt) t) log log t dt Ψt) Bt) ) 2 dt 2.) kovergecia. Ez az állítás az ivarieciaelv alkalmazásával is bizoyítható, ugyais az x Ψt)x2 t) dt fukcioál folytoos a Szkorohod-topológiára ézve egy B eloszlása szerit ulla mérték halmazt kivéve. A 2.) kovergecia az AdersoDarlig-féle súlyfüggvéy eseté is teljesül, tehát ) 2 Bt) A 2 D t t) dt Illeszkedésvizsgálat eloszláscsalád eseté Ebbe a fejezetbe azokat a teszteket tekitjük, ahol a kérdés az, hogy a mita egy adott eloszláscsaládból származik-e. Itt legye F eloszlásfüggvéyek egy parametrikus eloszláscsaládja, azaz F = {F, θ) : θ Θ}, ahol Θ valamilye yitott paraméterhalmaz R d -be. Az els vizsgálatok az 93-as évekbe a ormális eloszláscsalád esetébe törtétek. Fisher [4], Pearso [6] és Williams [79] voltak az els k, akik a β ) = m 3 )/m 2/3 2 ) és β 2 ) = m 4 )/m 2 2) stadardizált harmadik és egyedik mometumok segítségével mérték meg a ormalitástól való eltérést. 977-be Pearso, D'Agostio és Bowma [6] a β ) és β 2 ) két alkalmas függvéyét haszálta erre. Ezekkel a tesztekkel az a probléma, hogy a lapultsági és a ferdeségi mutató kevés, hogy karakterizálja a ormális eloszlást, emiatt eze tesztek ereje kicsi bizoyos alteratívákkal szembe. Ezek a tesztek akkor is elfogadják a ullhipotézist, ha a mita ugya emormális eloszlásból származik, de szimmetrikus és a lapultsági mutatója szité 3, mit ormális eloszlásé. Másrészt a gyakorlati alkalmazások szempotjából az is fotos lee, hogy ha egy eloszlás csak agyo kicsit külöbözik a ormális eloszlástól, akkor a teszt azt e vesse el. Ugyacsak 977-be Ali [3] adott eloszlásokak egy olya sorozatát, amely ugya eloszlásba tart a stadard ormális eloszláshoz, de a lapultsági mutatója felrobba. Vagyis, ha a sorozat elég agy idex tagjából származik a miták, akkor agy eséllyel ezek a tesztek elutasítják, pedig valójába közel ormális eloszlásról va szó. 8

12 2.2. Illeszkedésvizsgálat eloszláscsalád eseté Más típusú ormalitásteszt például 954-b l az u := X, X, ) 2 m 2 2 ) statisztika David, Hartley és Pearso [27]), ami a terjedelem és a szórás, valamit 947- b l az j= a := X j X m 2 2 ) statisztika Geary [43]), ami a mitaátlagtól való átlagos abszolút eltérés és a szórás háyadosából származtatott teszt. Ezek a tesztek csak egyes alteratívákkal szembe viselkedek jól, de kicsi er vel bírak alteratívák széles skálájával szembe. A következ alfejezetbe azokat a teszteket mutatjuk be, amelyeket rögzített eloszláshoz való illeszkedéstesztek átdolgozásakét kapuk Eloszláscsalád tesztelése rögzített eloszláshoz való illeszkedésvizsgálat segítségével A 2.. fejezetbe rögzített eloszláshoz való illeszkedés teszteket tekitettük. Egy lehet ség, hogy eloszláscsaládhoz való illeszkedést teszteljük ezekkel a tesztekkel, ha a θ paraméterek a H mellett egy ˆθ becslését véve azt elle rizzük, hogy a mita F x, ˆθ ), x R, eloszlásfüggvéy -e. Ezt javasolta Pearso a χ 2 -tesztje esetébe. Legye ˆχ 2 ) := k j= O ) j p j ˆθ )) 2 p j ˆθ ) ahol p j θ) aak a valószí sége, hogy X a j-edik cellába esik F x, θ), x R, mellett. Pearso em tudta megadi ˆχ 2 ) aszimptotikus eloszlását. Fisher volt az, aki rámutatott arra, hogy a határeloszlás függ a paraméter becsléséek módszerét l, és megmutatta, hogy a szokásos feltételek mellett, ha a θ maximum likelihood becslését vesszük a csoportosított O ),..., O ) k ) adatoko, akkor a ˆχ2 ) statisztikáak χ 2 k d a határeloszlása lásd Cochra [3] 952-b l). Fisher azt is meggyelte, hogy a csoportosított O ),..., O ) k ) mitából származó ˆθ becslésb l adódó iformációvesztés er csökkeést eredméyez. Ezért Fisher abba az esetbe is megvizsgálta ˆχ 2 ) határeloszlását, amikor a θ paraméter egydimeziós, és a teljes mitából vesszük a θ paraméter maximum likelihood becslését. Az eredméyét 954- be Chero és Lehma [2] d-dimeziós paraméterre általáosította, evezetese, hogy megfelel feltételek mellett k d ˆχ 2 ) D Zj 2 + j= k j=k d, λ j Z 2 j, 2.2) ahol Z j függetle stadard ormális változók, és λ j [,], j = k d,..., k, olya kostasok, amelyek függhetek a θ paraméter igazi értékét l. Ez a függés mutatja az egyik agy hátráyát a ˆχ 2 -teszt haszálatáak eloszláscsalád esetébe. 9

13 2.2. Illeszkedésvizsgálat eloszláscsalád eseté A másik ehézség a ˆχ 2 tipusú teszt haszálatába a cellák választása. Az O ) i cellagyakoriságok aszimptotikus ormalitásáak a következméye a Pearso-féle statisztika aszimptotikus χ 2 k -eloszlása. Viszot egy kicsi várható gyakorisággal redelkez cella esetébe az O ) i változó agyo lassa kovergál a ormális eloszláshoz, ami azt eredméyezi, hogy a 2.2) kovergecia lassú. Vagyis az asszimptotikus kritikus értékek haszálatáak létjogosultsága sérüle ebbe az esetbe. A gyakorlatba ezt úgy próbálják meg elkerüli, hogy olya cellákat haszálak, amelyekbe legalább meggyelés esik lásd Cochra [3]). A cellák jó választására ézve 94-es évekbe Ma és Wald [57] valamit Gumbel [45] azt javasolták rögzített eloszlás eseté, hogy a ullhipotézis mellett azoos valószí - ség cellákat haszáljuk, ezáltal csökketve a cellák választásáak esetlegességét. Ez a godolat paraméteres eloszláscsalád esetére úgy vihet át, hogy el ször vegyük valamilye alkalmas becslését θ-ak, majd F x, ˆθ ), x R, mellett azoos valószí ség cellákat haszáljuk. Vagyis megit véletleül foguk cellákat választai! Ugyaúgy a mita határozza meg, hogy melyik cellákat haszáljuk, mit amikor olya cellákat választuk, amelyekbe legalább meggyelés esik. 957-be Watso [76, 77] megmutatta, ha ˆθ a teljes mitából származó maximum likelihood becslése θ-ak, valamit a j-edik cella végpotjai F j )/k, ˆθ ) és F j/k, ˆθ ), akkor 2.2) teljesül. Továbbá, ha F eltolás-skála család, akkor a λ j együtthatók em függek a θ paramétert l, csak az eloszláscsaládtól. Az EDF-tesztek adaptációja eloszláscsaládok esetére köye kivitelezhet, és hasolóa a rögzített eloszlás esetére, ezek a tesztek jobb er vel bírak, mit a ˆχ 2 -tesztek. Legye ˆθ valamilye becslése θ-ak. Ekkor a megfelel becsléses statisztikák Ŵ 2 Ψ) := Ψ F x, ˆθ ) ) F x) F x, ˆθ 2 )) df x, ˆθ ) és ˆK Ψ) := sup x R F x) F x, ˆθ ) Ψ F x, ˆθ ). ) A Ψ esetbe a két statisztikát a Ŵ 2 és ˆK jelöli. A kíváatos eloszlásmetesség, ami a rögzített esetbe teljesült, itt sajos em igaz. Legye Z ) i = F X i, ˆθ ), i =,...,, és Ĝ t), t [,], jelölje a Z ),..., Z ) változókhoz tartozó empirikus eloszlásfüggvéyt. Ekkor és Ŵ 2 Ψ) = ˆK Ψ) = sup <t< Ψt)Ĝt) t) 2 dt Ĝt) t. Ψt) Tehát a két statisztika értéke csak a Ĝ függvéyt l függ. Viszot Z ),..., Z ) em függetle, azoosa egyeletes eloszlású véletle változók, ami azt eredméyezi, hogy a Ĝ függvéy fukcioáljaiak eloszlására em alkalmazhatók az eddigiek. Éppe ezért Ĝ em olya, amivel klasszikus értelembe tuduk dolgozi. Számos fotos esetbe Z ),..., Z ) eloszlása em függ a θ paramétert l, csak az eloszláscsaládtól, vagyis ekkor Ŵ Ψ) 2 és ˆK Ψ) 2 paramétermetes. Ez törtéik az eltolás-skála családok esetébe,

14 2.2. Illeszkedésvizsgálat eloszláscsalád eseté amikor olya ˆθ becslést haszáluk, amibe a becslés felcserélhet a skálázással, illetve az eltolással lásd David és Johso [26] 948-ból). 967-be Lilliefors [56] ezt haszálta fel és készítette el a épszer táblázatát a ormális eloszláscsalád esetére a Kolmogorov Szmirov-statisztikához. A becsléses Ŵ 2 Ψ) és ˆK 2 Ψ) típusú statisztikák határeloszlásáak a meghatározására tett els kísérlet Darlig [25] evéhez f z dik 955-b l. A becsléses Cramérvo Mises-statisztika aszimptotikus eloszlását tudta meghatározi abba az esetbe, amikor a θ paraméter egydimeziós. 972-be Sukhatme [72] kiterjesztette Darlig eredméyét többdimeziós paraméterekre. Ezekbe a cikkekbe egy segédfolyamato keresztül találták meg Ŵ 2 határeloszlását. 955-be viszot Kac, Kiefer és Wolfowitz [49] közvetleül az ˆα t) = Ĝt) t), t [,], becsléses empirikus folyamatot taulmáyozva kapták meg Ŵ 2 határeloszlását ormális eloszláscsalád eseté a maximum likelihood paraméterbecslésekkel: ˆθ = ˆX, S). 2 Ugya a becsléses empirikus folyamatak a gyege kovergeciáját em bizoyították, de megmutatták, hogy Ŵ 2 D ahol Zt), t,), egy várható érték és Zt)) 2 dt, Ks, t) = mis, t) st ϕ Φ s) ) ϕ Φ t) ) 2 Φ s)ϕ Φ s) ) Φ t)ϕ Φ t) ) kovariaciafüggvéy Gauss-folyamat. A becsléses empirikus folyamat gyege kovergeciájáak általáos vizsgálata Durbi [37] evéhez f z dik 973-ból. Az eloszláscsaládra és a paraméterre tett megfelel regularitási feltételek mellett az ˆα empirikus folymat gyegé kovergál a várható érték és Ks, t), s, t [,], kovariaciafüggvéy Gauss folyamathoz. Durbi cikkébe explicit formulát adott a Ks, t) kovariaciafüggvéyre, és stadard számolással megmutatható, hogy eek speciális esete a Kac, Kiefer és Wolfowitz által megadott kovariacia. Megjegyezzük, hogy Burke, Csörg M., Csörg S. és Révész [] 979-es cikkéb l következik Durbi eredméye. Ebbe a cikkbe a becsléses empirikus folyamatot Gauss folyamatok sorozatával közelítik. Azo túl, hogy Durbi tételéb l következik a Ŵ 2 Ψ) és ˆK 2 Ψ) típusú statisztikák ullhipotézis melletti eloszlásbeli kovergeciája, a [] cikk eredméye az aszimptotikus er k taulmáyozásáak is eszköze lehet. Az empirikus folyamatot taulmáyozó elmélet fejl déséek következméyekét további illeszkedést vizsgáló techikák jeletek meg az 98-as évekbe. Például Feuerverger és Mureika [4], valamit Csörg S. [5] az empirikus karakterisztikus függvéy aszimptotikus eloszlását vizsgálták. A Durbi-tétel aalóg változatát empirikus karakterisztikus és kvatilis függvéyekre Csörg S. [6] és LaRiccia és Maso [53] dolgozták ki. Eze eredméyek segítségével új ormalitástesztek születtek, melyek közül Murota és Takeuchi Hall és Wels [47], Epps és Pulley [38] valamit Csörg S. [7, 8] eredméyeit említjük meg. Egy másik ötlet, hogy hogya tudjuk a rögzített eloszlás esetébe haszált tesztelési eljárást parametrikus eloszláscsalád esetébe haszáli, a miimum távolság módszere.

15 2.2. Illeszkedésvizsgálat eloszláscsalád eseté Legye δ egy metrika az eloszlásfüggvéyek halmazá. Ekkor F, F)=if θ δf, F, θ)) egy lehetséges mértéke az empirikus eloszlásfüggvéy F parametrikus eloszláscsaládtól való távolságáak. Pollard [62] 98-ba haszálta ezt el ször és meghatározta F, F) határeloszlását, tetsz leges ormált lieáris tér érték véletle változók esetébe Regresszió- és korrelációtesztek Ebbe a fejezetbe tegyük fel, hogy F eltolás-skála család, vagyis adott egy H stadardizált várható érték és szórású) eloszlásfüggvéy, és az eloszláscsalád többi tagja lieáris traszformációval kapható bel le. Az ötlet a következ. Legye X,..., X az F eloszláscsaládból származó µ várható érték és σ 2 szóráségyzet mita. A korábbi jelölésekek megfelel e legye X = = X,,..., X, ) a mitához tartozó redezett mita. Tekitsük továbbá egy elem mitát H eloszlásfüggvéyel, és legye Z = Z,,..., Z, ) a kapcsolatos redezett mita. Jelölje m = m,,..., m, ) illetve V a Z vektor várható érték vektorát illetve kovariaciamátrixát. Köye látszik, hogy X i, D =µ+σz i,, i =,...,. 2.3) Ha kétdimeziós koordiátaredszerbe ábrázoljuk az m i,, X i, ), i =,..., potokat, akkor ezekek közelít leg egy egyeesre kell esiük, és a liearitás hiáya azt sugallja, hogy X eloszlásfüggvéye em F-beli. Gyakra ezt csak szemre elle rzik, de vaak aalitikus eljárások is eek az elle rzésére. Két agy osztálya va ezekek az eljárásokak: az egyik a regresszió-, a másik a korrelációtesztek, mely külöböz eljárások valójába ekvivales tesztekre vezetek. Az els esetbe a 2.3) lieáris model segítségével aduk egy ˆσ 2 becslést a σ 2 szóráségyzetre, és ezt hasolítjuk össze az S 2 becsléssel. Ekkor a ullhipotézis mellett a ˆσ 2 /S 2 tesztstatisztika értéke közel kell legye -hez, ellekez esetbe elvetjük a ullhipotézist. Ezeket az eljárásokat evezik regressziótesztekek. A másik osztálya eze tesztekek a ρ korrelációs együttható segítségével elle rzi, va-e lieáris kapcsolat az X véletle vektor és az m determiisztikus vektor között a következ képpe: ) ρ 2 m X m 2 X m, X ) = m m m ) 2) X X X ) 2), ahol =,...,) R. Ekkor a ullhipotézis mellett a ρ 2 m, X ) tesztstatisztika értéke közel kell legye -hez, ellekez esetbe elvetjük a ullhipotézist. Ezeket az eljárásokat evezik korrelációtesztekek. A regressziótesztek els változata 965-b l Wilk és Shapiro [65] W ormalitástesztje. A µ és σ paraméterek legjobb lieáris torzítatla becslése a 2.3) model alapjá az általáosított legkisebb égyzetek módszerével, illetve a szimmetrikus eloszlásokra teljesül V m = összefüggés alkalmazásával ˆµ = X és ˆσ = m V X. m V m 2

16 2.2. Illeszkedésvizsgálat eloszláscsalád eseté Wilk és Shapiro a W tesztstatisztikát a ˆσ /S 2 2 tesztstatisztika ormalizált változatakét deiálta m V X ) 2 W := m V V m i X i X) 2.4) 2 alakba. Ezzel egy regressziótesztet kaptak. Másrészt ez egy korrelációteszt is, ami a ormalizációból következik, ugyais W = ρ 2 V m, X ). Shapiro, Wilk és Che [63] szimulációs vizsgálatából kiderült, hogy a W -teszt egyike a leger sebb ormalitástesztekek alteratívák széles skálájával szembe. Ezért épszer módszer a mai apig, aak elleére, hogy rejteget egy-két ehézséget a haszálata. Egyik probléma, hogy magát a W tesztstatisztikát boyolult kiszámítai. Ahhoz, hogy W -t meg tudjuk határozi, el zetese ki kell számoluk az m vektort és a V mátrixot. Ez a mitaméret övekedésével egyre ehezebb feladat, és valójába amikor W -et bevezették, legfeljebb 2 elem mita eseté tudták megadi a V mátrix elemeit potosa. Ezért már Wilk és Shapiro is umerikus közelítéssel számolta W értékeit 5- es mitaméretig. Egy másik probléma, hogy az = 3 esetet kivéve em ismerjük W eloszlásfüggvéyét. Mivel az = 3 esetbe a W -teszt megegyezik az u -teszttel, ekkor W potos eloszlása is ismert. Wilk és Shapiro = 5 mitaméretig szimulációval adták meg a kritikus értékeket. A határeloszlás viszot 986-ig ismeretle volt, amikor is Leslie, Stephes és Fotopoulos [55] megmutatták a W -teszt aszimptotikus ekvivaleciáját egy másik korrelációteszttel, amely teszt határeloszlása akkor már ismert volt. Ezek a problémák a W -teszt módosításaihoz vezettek. Az els példáyai ezekek a próbálkozásokak a D'Agostio [24] 97-b l és a ShapiroFracia-korrelációtesztek [64] 972- b l, melyek haszálatát 5-él agyobb elem miták eseté javasolták. A D'Agostiotesztstatisztika a + i= i 2 D := )X i,, 2 S és a ShapiroFracia-tesztstatisztika pedig a W := m X ) 2 m m i X i X) 2 formulával va deiálva. Midkét cikk szimulációs taulmáya azt sugallta, hogy eze tesztek aszimptotikusa ekvivalesek a W -teszttel. A W további egyszer sítését javasolta Weisberg és Bigham [78] 975-be. Az m vektort helyettesítsük az m = m,,..., m, ) vektorral, ahol ) i 3/8 m i, = Φ, i =,...,. +/4 Ez a statisztika még köyebbe számolható, mit W, valamit Weisberg és Bigham empirikus vizsgálata szerit aszimptotikusa ekvivales a W statisztikával. A következ fotos változata a W -tesztek de Wet és Veter [3] korrelációtesztje 972-b l. Az tesztstatisztikájuk W := Xi, X i= S )) 2 i Φ. + 3

17 2.2. Illeszkedésvizsgálat eloszláscsalád eseté Azo túl, hogy k vezették be a korrelációteszt fogalmát, ez volt az els olya típusú ormalitásteszt, amely határeloszlását is sikerült meghatározi. De Wet és Veter megmutatták, hogy ha Z, Z 2,... függetle, stadard ormális véletle változók sorozata, akkor 2 W /2 ) + i= i i ) ϕ Φ + + i + ) )) D i=3 Z 2 i i Ezzel a tétellel megyílt a lehet ség arra, hogy más korreláció ormalitástesztek határeloszlását megkaphatjuk a W -teszttel való aszimptotikus ekvivalecia által. Fotos lépés volt ebbe a programba 987-b l Verril és Johso [74] eredméye, ahol megmutatták a korrelációtesztek bizoyos általáos feltételek melletti aszimptotikus ekvivaleciáját. Így vált világossá, hogy a ShapiroFracia- és a WeisbergBigham-tesztek határeloszlása megegyezik a de WetVeter-teszt határeloszlásával. Továbbá a WilkShapiro- és ShapiroFracia-tesztek aszimptotikus ekvivaleciájából következett a kiidulási W -teszt határeloszlásáak ismerete.. 4

18 3. fejezet Illeszkedésvizsgálat egyeletes eloszlás esetébe 3.. Együttes klaszterszámok aszimptotikus viselkedése Legyeek U, U 2... függetle, a [,] itervallumo egyeletes eloszlású véletle változók, valamit bármely N eseté legye U,,..., U, az U,..., U mitához tartozó redezett mita. A mita elemei majdem biztosa külöbözek egymástól, így az U, < < < U, reláció majdem biztosa érvéyes. Adott, determiisztikus d,) távolságszit mellett deiálható egy G = GU,..., U ; d ) véletle itervallumgráf. A G gráf csúcshalmaza az U,..., U elemeket reprezetáló {,..., } halmaz. Két külöböz i és j csúcs között akkor és csak akkor va él, ha U i U j < d, ahol i, j {,..., }. A mitához tartozó klasztereket úgy deiáljuk, mit eze mitához tartozó gráf összefügg kompoesei. A K klaszterszám a gráf összefügg kompoeseiek a számát jelöli. Godehardt és Jaworski [44] taulmáyozta az el bb deiált véletle itervallumgráfot, és sikerült meghatároziuk a K eloszlását mide -re. A klaszterek számáak potos eloszlása mellett természetese vet dött fel a kérdés, hogy va-e határeloszlása a K sorozatak. Ahhoz, hogy e degeerált eloszlást kapjuk, a továbbiakba tegyük fel, hogy d. Godehardt ésjaworski [44] megmutatták, ha 2 d, akkor K majdem biztosa, vagyis, ha d elég gyorsa kovergál ullához, akkor valószí séggel létezik olya véletlet l függ ) küszöbszám, hogy bármely eseté ics él a G gráfba. További d sorozatok esetébe taulmáyozták az adott méret klaszterek számáak az aszimptotikus eloszlását és az U,..., U mita egy adott elemét tartalmazó klaszter méretéek határeloszlását. Sajos általáosságba em modtak semmit K viselkedésér l. Csörg és Wu [23] em a véletle gráfos reprezetációt haszálva három külöböz aszimptotikus viselkedés távolságszit sorozat mellett bebizoyították a klaszterek számáak aszimptotikus ormalitását. A módszerükkel, amit mi is alkalmazi foguk, még rátát is adtak az eloszlásfüggvéyek kovergeciájáak sebességére. A következ tételbe az eredméyüket fogalmazzuk meg. 5

19 3.2. Elméleti eredméyek 3.. Tétel Csörg és Wu [23]). i) Ha d és 2 d, akkor ) := sup x R P K e d x Φx) e d e d ) ) = O 4 log d + log + log ) d d. d Eélfogva K e d d D N,). ii) Ha < lim if d lim sup d <, akkor P K e d ) Φx) e 2d e d 2 d 2 ) x = O sup x R Ebb l következik, hogy ha d c, ), akkor K e d D N, e 2c [e c c 2 ]). ) log 3/4. /4 iii) Ha d és e d, akkor d ) 3/2 = O + ) e d ε d loge d )+ e d loge d ), ahol ugyaazt a szuprémumot jelöli, mit az i) esetbe, valamit ε = 4 log )/. És így K e d e d D N,). A következ kbe eek a tételek bizoyítjuk a többdimeziós változatait külöböz itervallumoko egyeletes eloszlások esetébe, majd haszáljuk egyeletesség tesztelésére ismert és ismeretle itervallumo Elméleti eredméyek A [,] itervallumo egyeletes eloszlásból származó klaszterszámok együttes aszimptotikus viselkedése Csörg és Wu [23] megmutatták K aszimptotikus ormalitását három külöböz aszimptotikus viselkedés távolságszit sorozat mellett. Céluk, hogy ugyaeze távolságszitekhez tartozó klaszterszámok együttes viselkedését megvizsgáljuk. 6

20 3.2. Elméleti eredméyek Tekitsük J darab d d 2... d J, N, távolságszit sorozatot. A K j d j ) jelölje a d j távolságszithez tartozó klaszterek számát mide és j eseté. Tekitsük a K = K d ) m,..., K ) Jd J ) m J 3.) σ σ J a véletle vektorváltozót az m j = e d j és σ j = e 2d j e d j 2 d 2 j ), N, j =,..., J, 3.2) cetralizáló és ormalizáló sorozattal. Ekkor a következ határeloszlástételt állíthatjuk Tétel. Tegyük fel, hogy a d d 2... d J, N, távolságszit sorozatok midegyike kielégíti az alábbi feltételek valamelyikét: T) d j, 2 d j ; T2) < lim if d j lim sup d j < ; T3) d j, e d j. Továbbá, tegyük fel, hogy s ij := lim e di dj e di 2 d i d j ) σ i σ j R, i < j J, 3.3) és legye s jj := és s ji := s ij. Ekkor K a Σ = s ij ) i,j=,...,j kovariaciamátrixszal. D N J, Σ), 3.4) Megjegyezzük, hogy a Σ kovariaciamátrix lehet sziguláris is. Ebbe az esetbe a ormális határeloszlás az R J térek egy lieáris alterére kocetrált. A 3.2. Tétel bizoyítása el tt kimoduk egy állítást, melyet haszáli foguk a 3.2. Tétel bizoyításába Állítás. Legye J természetes szám és g j : R R, j =,..., J, N, mérhet függvéyekek egy redszere. Tegyük fel, hogy Y r, r N, függetle azoos eloszlású véletle változókak egy olya sorozata, hogy E g j Y r )) =, s jj := E g 2 jy r ) ) = mide, j és r eseté. Továbbá, tegyük fel, hogy mide i j és r eseté és s ij := lim E g i Y r )g j Y r ) ) R, 3.5) E g j Y r ) 3) = o ). 3.6) Ekkor az R J érték Z r = g Y r ),..., g J Y r )), r =,...,, N, véletle vektorokból álló szériasorozatra teljesül az, hogy ahol Σ = s ij ) i,j=,...,j. Z + +Z 7 D N J, Σ),

21 3.2. Elméleti eredméyek Bizoyítás. Ezt a többdimeziós határeloszlástételt a CramérWold-lemma segítségével bizoyítjuk. Ehhez legye c = c,..., c J ) R J rögzített, tetsz leges vektor. Ekkor be kell látuk, hogy c Z + +Z D N, c Σc). 3.7) Legye Σ a Z vektorváltozó kovariaciamátrixa, ami egy pozitív szemideit mátrix. A feltevések szerit Σ = lim Σ, amib l következik, hogy Σ is pozitív szemideit. Ez azt jeleti, hogy c Σc mide c R J eseté. Vegyük észre továbbá, hogy D 2 c Z ) + +Z = D2 ) c Z ) + +D 2 c Z = c Σ c = c Σ c Tekitsük el ször azt az esetet, amikor c Σc =. Ekkor a Csebisev-egyel tleség alkalmazásával tetsz leges ε > eseté. P c Z ) + +Z > ε c Σ c c Σc =. ε 2 ε 2 Ez azt jeleti, hogy c Z + +Z P, amib l következik, hogy a kovergecia eloszlásba is teljesül. Mivel c Σc = eseté N, c Σc) = majdem biztosa, a 3.7) kovergecia ebbe az esetbe bizoyított. A 3.7) kovergeciát a c Σc > esetbe a Ljapuov-tétel segítségével mutatjuk meg. Jegyezzük meg, hogy c Σ c c Σc = J c 2 j + j= J c i c j s ij >, továbbá a jobb oldali kvadratikus alak folytoos az s ij kompoesekbe. Ebb l következik, hogy létezik küszöbszám és ε >, hogy eseté c Σ c J c 2 j + j= i,j= i j J c i c j s ij ε) >. i,j= i j Jelölje K az egyel tleségredszer középs kifejezését. Ekkor s 2 = D 2 ) c Z r = c Σ c K >. r= Másrészt az L 3 -ormára voatkozó háromszög-egyel tleség miatt J 3 E c Z r 3 ) = c Z r L 3 c g Y r ) L c J g J Y r ) L 3 = o 6 ) c j. j= 8

22 3.2. Elméleti eredméyek Mivel Y, Y 2,... azoos eloszlásúak, ezért sup E c Z r 3) o J 3 ) c j ). r Ekkor a c Z r, r =,...,, N, szériasorozat kielégíti a Ljapuov-feltételt δ = választással, ugyais c r= E Z r Ec Z r ) 2+δ) c ) r= E 3 Z r o J ) 3 ) j= c j s 2+δ = s 3 j= 3 2 K 3 2 Eélfogva a Ljapuov-féle cetrális határeloszlástételb l következik, hogy c Z + +Z D N, c Σc). Így a CramérWold-lemmából következik a bizoyítadó állítás.. A 3.2. Tétel bizoyítása. A 3.2. Tétel bizoyítása a 3.3. Állításból és a Csörg és Wu [23] cikk 2.2. fejezetébe bemutatott érvelésb l jö. Legyeek Y, Y 2,... függetle expoeciális eloszlású véletle változók λ = paraméterrel, és jelölje S m := Y + +Y m, m N, a kapcsolatos részletösszegeket. Legye továbbá F x) = e x, x >, a változók közös eloszlásfüggvéye, és jelölje F x) = m= I {Y m x}, x R, az empirikus eloszlásfüggvéyt. Az ismert ) U,,..., U, ) = D S S,..., 3.8) S + eloszlásbeli egyel ségb l következik, hogy az U,..., U mitához és d j távolságszit sorozathoz tartozó G véletle itervallumgráf azoos eloszlású a ) S S G,..., ; d j = GS,..., S ; d j S + ) S + S + S + véletle itervallumgráal. Ez azt jeleti, hogy az összefügg kompoesek száma számolható azo helyek számából, ahol az egymás utái S,..., S részletösszegek az adott távolságszitél agyobb értékkel külöbözek egymástól. Tehát K j d j ) =+ D m= [ I {Ym+ >d j S + } = + ) m= D = I {Ym dj S + } = )F d j S + ), m= I {Ym+ d j S + } tetsz leges j =,..., J és =2, 3,... eseté. Mivel F d j S + )= e d js +, azt kapjuk, hogy mide j és eseté K j d j ) e d j D = e d j ) )F d j S + )+[F d j S + ) e d js + )] = [e d js + e d j ] )[F d j S + ) F d j S + )]+F d j S + ). ] 9

23 3.2. Elméleti eredméyek Mit a Csörg és Wu [23] cikkbe lév 2.8) és 2.5) felbotásokba, itt is felbothatók a ormált klaszterszámok a kovergecia szempotjából egy f - és három maradéktagra. Legye most j =,..., J és = 2, 3,... eseté a f tag és a maradéktagok Ekkor az M j := d je d j S ) [F d j ) F d j )] σj, R ) j := e d j [e d j d js + d j d j S )] σj, R 2) j := ) [F d j ) F d j )] [F d j S + ) F d j S + )]) σj, R 3) j := F d js + ) F d j )+I {Y d j } σj. F d j ) = )F d j )+I {Y d j } azoosság alkalmazásával algebrailag elle rizhet, hogy K j d j ) e d j σj = M j +R ) j +R2) j +R3) j. 3.9) A továbbiakba megmutatjuk, hogy az R ) j, R2) j, R3) j maradéktagok sztochasztikusa kovergálak ullához, majd ezek utá meghatározzuk az M j határeloszlását. A J = esetbe Csörg és Wu [23] adott a 3.9) felbotáshoz hasoló reprezetációt, és a távolságszit sorozatra voatkozó külöböz feltételek mellett megmutatták a maradéktagok sztochasztikus kovergeciáját. Szerecsére az általuk bevezetett R ) j, R2) j és R3) j tagok algebrailag kifejezhet k a Csörg és Wu által deiált maradéktagokból, és ilye módo az R ) j, R2) j és R3) j maradéktagok kovergeciáját bizoyítai tudjuk. maradéktagok sztochasz Állítás. A 3.2. Tétel feltételei mellett az R ) j, R2) j és R 3) j tikusa ullához kovergálak. Bizoyítás. Rögzítsük j értékét, és legye σ j = e d j e d j). Csörg és Wu [23] a 2.. Tétel bizoyításába megmutatta, hogy ha a d j távolságszit sorozat teljesíti a T) vagy T3) feltételt, akkor R ) j := e d j [e d j d js + ] P, σj R 2) j := ) [F d j ) F d j ] [F d j S + ) F d j S + )]) P, σj R 3) j := F d js + ) P. σj 2

24 3.2. Elméleti eredméyek Algebrailag elle rizhet, hogy R ) j R 2) j R 3) j ) σ j = R j d j S ), σ j σj 2) σ j = R j, σ j 3) σ j = R j F d j) I {Y d j}. σ j σj El ször azt mutatjuk meg, hogy σ j /σ j és σ j /d j. Abba az esetbe, ha a távolságszit sorozat a T) feltételt elégíti ki, akkor σ 2 j σ 2 j = e d j e d j ) e 2d j e d j 2 d 2 j ) = e dj e d j 2 d 2 j = h d j ), ahol h x) = e x )/e x x 2 ), x >. A L'Hospital-szabály alkalmazásával látható, hogy lim h e x x) = lim x x e x x = lim e x 2 x e x 2x =, vagyis ebbe az esetbe σ j /σ j. Hasoló módo σ 2 j d 2 j = e 2d j e d j 2 d 2 j) d 2 j = e d j e 2d j 2 d 2 je 2d j d j = h 2 d j ), d j d j ahol h 2 x) = e x e 2x x 2 e 2x )/x, x >. Szité a L'Hospital-szabály alkalmazásával látható, hogy lim h e x e 2x x 2 e 2x 2x) = lim = lim e x ) e 2x 2) 2xe 2x x 2 e 2x 2) =, x x x x valamit /d j, ami együtt mutatja, hogy a σ j /d j sorozat diverges. Ameyibe a távolságszit sorozat a T3) feltételt elégíti ki, akkor a téyez k megfelel egyszer sítésével illetve csoportosításával σ j e d j e d j) e = = σ j e d j e = d j 2d j e d j 2 d 2j ) e d j 2 d 2 j e d j 2 d, 2 j e d j illetve σ j d j = e 2d j e d j 2 d 2 j ) d j = e d j e d j 2 d 2 j 2 d j 2. Az eddigi eredméyekb l azoal következik R 2) j. Az R ) j maradéktagba lév d j S /) /σ j tag sztochasztikus ullához tartása a BerryEssee-tétel segítségével látható midkét típusú távolságszit sorozat eseté. P 2

25 3.2. Elméleti eredméyek Tetsz leges ε > eseté d j P S ) > ε) = P σ j S ) d j = G ε σ j = Φ = 2 ε σ ) j d j Φ ) > ε σ ) j d j + G ε σ ) j d j +O )+ Φ ε σ j d j )) +O ), ε σ j d j ) ahol G jelölje S /) eloszlásfüggvéyét. Ebb l következik, hogy R ) j ullához. A R 3) j ) +O kovergál maradéktagba található F d j ) I {Y dj })/ σ j ) meyiség sztochasztikus viselkedése a Csebisev-egyel tleségb l következik. Vegyük észre, hogy most EI {Y dj }) = F d j ) és D 2 I {Y d j }) = EI {Y d j }) E 2 I {Y d j }) = F d j ) F 2 d j ) 3.) Azt kapjuk, hogy P = e d j )e d j = σ 2 j. ) F d j ) I {Y dj } > ε σj D2 ) I {Y dj } = σ2 j ε 2 σj 2 ε 2 σj 2 = ε 2 σj σ j ) 2 midkét típusú távolságszit sorozat és mide ε> eseté. Ezzel sikerült megmutatuk, hogy R 3) j is kovergál ullához. Ameyibe a távolságszit sorozat a T2) feltételt teljesíti, akkor Csörg és Wu azt is megmutatta, hogy R ) j := e d j [e d j d js + d j d j S + )] P, σj j := ) [F d j ) F d j ] [F d j S + ) F d j S + )]) P, σj R 2) j := F d js + ) d j e d j + + j= [I {Y d j } F d j )] P. σj R 3) Algebrailag elle rizhet, hogy ebbe az esetbe R ) j = R) j d je d j Y + σj, R 2) j = R2) j, R 3) j = R3) j I {Y + d j } F d j ) d j e d j σj. 22

26 3.2. Elméleti eredméyek A T2) feltétel mellett < lim if e d j lim sup e d j <. Ebb l következik, hogy < lim if σ j, tehát az R 3) j d j e d j σj. Mivel az Y, Y 2,... sorozat sztochasztikusa korlátos, ezért d j e d j Y + σj P. maradéktagba Végül a Csebisev-egyel tleség és a 3.) azoosság alkalmazásával ) I {Y+ d P j } F d j ) > ε D2 ) I {Y dj } = σj ε 2 σj 2 ε 2 σj σ j ) 2, mide ε > eseté, hisze σ j. Tehát sikerült megmutatuk, hogy tetsz leges távolságszit sorozat eseté R ) j, R2) j és R 3) j sztochasztikusa tart ullához T2) feltétel eseté is. Ahhoz, hogy a 3.9) formulába szerepl f tago- A 3.2. Tétel bizoyításáak folytatása. kat vizsgáli tudjuk, tekitsük a g j x) := d je d j x) [I {x dj } F d j )] σ j, x R, j =,..., J, =,2,..., mérhet függvéyeket. Ekkor a f tag az alábbi alakba áll el : r= M j = g jy r ). Az a céluk, hogy a 3.3. Állítást alkalmazzuk az M j f tagra. Az így kapott g j Y r ) véletle változó várható értékére teljesül a 3.3. Állítás feltétele, mivel ) dj e d ) j Y r ) [I {Yr d E g j Y r ) = E j } F d j )] σ j = d je d j ) [P Y r d j ) F d j )] σ j =. Továbbá vegyük észre, hogy mide i j J eseté E I {Yr d i }I {Yr d j }) = P Yr mid i, d j ) ) = F d i ), amib l következik, hogy E [I {Yr di } F d i )][I {Yr dj } F d j )] ) = E ) I {Yr di }I {Yr dj } EI {Yr di })F d j ) F d i )EI {Yr dj })+F d i )F d j ) = F d i ) F d i )F d j ). 23

27 3.2. Elméleti eredméyek Valamit E ) dj Y r )I {Yr dj } = y)e y dy = [ y )e y] dj d j e y dy = d j e d j, és E Y r ) 2 ) = D 2 Y r ) =. Ekkor ) di e d i Y r ) [I {Yr d E g i Y r )g j Y r ) = E i } F d i )] σ i d je d ) j Y r ) [I {Yr dj } F d j )] σ j = di e d i d j e d j E Y r ) 2) +F d i ) F d i )F d j ) σ i σ j d i e d i E Y r )I {Yr dj }) dj e d j E )) Y r )I {Yr di } = di e d i d j e d j + e d i e d i ) e d j ) σ i σ j d i e d i d j e d j d j e d j d i e ) d i = e d i d j e d i 2 d i d j ) σ i σ j. Ha i < j, akkor a 3.3) feltétel szerit teljesül a 3.3. Állítás 3.5) feltétele, míg i = j esetbe σ j deíciójából következik, hogy EgjY 2 r )) =. Tehát megmutattuk, hogy teljesülek a 3.3. Állítás kovariaciákra voatkozó feltételei. Már csak az maradt hátra, hogy bebizoyítsuk a 3.6) feltevés érvéyességét. Háromszor parciálisa itegrálva illetve E Y r 3 = y) 3 e y dy + y ) 3 e y dy = 2 2e e E[I {Yr d j } F d j )] 3 = F d j )) 3 P Y r d j ) + F dj )) 3 P Y r > d j ) = e 3d j e d j )+e d j ) 3 e d j = e d j e d j )2e d j ). Ekkor az L 3 -ormára voatkozó háromszög-egyel tleséget haszálva ) /3 E g j Y r ) 3 d j e d j E Y r 3) /3 + E[I{Yr d σ j σ j } F d j )] 3) /3 j = d j σ j e d j d j σ j e d j ) /3 2 2e + e 2 2e e σ j [ e d j e d j )2e d j ) ) /3 + [e d j e d j )] /3 σ j = fd j ), ] /3, ahol fx) = x ) 2 2e /3 2 e +e 3 x e x ) 3, x >. ex x 2 24