Eloszláscsaládokhoz való illeszkedés vizsgálata. Ph. D. értekezés tézisfüzete

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Eloszláscsaládokhoz való illeszkedés vizsgálata. Ph. D. értekezés tézisfüzete"

Átírás

1 Eloszláscsaládokhoz való illeszkedés vizsgálata Ph.. értekezés tézisfüzete Osztéyié Krauczi Éva Témavezet : r. Csörg Sádor Kozulesek: r. Pap Gyula és r. Sz cs Gábor Matematika- és Számítástudomáyok oktori Iskola Szegedi Tudomáyegyetem, Bolyai Itézet Szeged, 26

2 . Bevezetés A disszertációba illeszkedésvizsgálattal kapcsolatos eredméyeket taglaluk. Legye X,..., X mita függetle, azoos eloszlású véletle változók) egy ismeretle F x), x R, eloszlásfüggvéy véletle változóból. Több külöböz módszerrel, több eloszlás eseté teszteli szereték azt az egyszer ullhipotézist, hogy H : F = F, ahol F x), x R, egy rögzített eloszlásfüggvéy; valamit azt az összetett ullhipotézist, hogy H : F F, ahol F egy eloszláscsaládot jelöl. A 2. fejezetbe a disszertáció szempotjából fotos törtéeti el zméyeket gy jtöttük össze. Felidézzük az els módszereket, amelyekkel rögzített eloszláshoz való illeszkedést lehet teszteli, valamit azt is, hogy hogya találták meg eze tesztstatisztikák határeloszlásait. Majd a számukra érdekes els összetett illeszkedésvizsgálati módszereket és határeloszlásukat eleveítjük fel. Eze eljárások két agy osztályát tárgyaljuk részletese, az egyik a mita eloszlásáak és az eloszláscsalád eloszlásaiak távolságá alapuló tesztek, a másik a regresszió-, illetve korrelációtesztek. A 3. fejezetbe egy eljárást javasluk egyeletes eloszlás eseté egyszer, illetve összetett illeszkedésvizsgálatra. Az ötlet a következ. Legyeek U, U 2,..., U függetle, [,] itervallumo egyeletes eloszlású véletle változók, egy mita. Emellett adott egy determiisztikus d,) távolságszit mide mitamérethez. A [,] itervallumo húzzuk végig ezt a távolságszitet, és gyeljük meg, hogy a redezett mita elemei háy osztályba esek. Egy klaszterbe azok az elemei tartozak a redezett mitáak, amelyekre teljesül az, hogy az egymást követ elemek távolsága em agyobb, mit d. Egy adott mitához és távolságszithez tartozó osztályok számát evezzük klaszterszámak. Csörg S. és Wu [6] három külöböz rátával ullához tartó távolságszit sorozat mellett bebizoyították a klaszterek számáak aszimptotikus ormalitását. Eek a tételek bizoyítjuk a többdimeziós változatait külöböz itervallumo egyeletes eloszlások esetébe, majd haszáljuk egyeletesség tesztelésére ismert és ismeretle itervallumo. Aszimptotikus χ 2 -tesztet kapuk egyszer, illetve összetett ullhipotézis elle rzésére. Elvégeztük az új tesztek szimulációs vizsgálatát. A 4. fejezetbe az L 2 -Wasserstei távolságot haszáló del Barrio, Cuesta-Albertos, Matrá és Rodríguez-Rodríguez [] által bevezetett ormalitás teszt szimulációs vizsgálatát mutatjuk be. Egy eltolás- és skálametes tesztstatisztikát kaptak a H : F N ullhipotézis elle rzésére, ahol N a ormális eloszláscsaládot jelöli. Eek a ormalitástesztek számos alteratívával szembei er vizsgálatát végeztük el szimuláció segítségével, valamit összehasolítottuk más ormalitástesztek viselkedésével. Az 5. fejezetbe el Barrio, Cuesta-Albertos, Matrá és Rodríguez-Rodríguez [], valamit del Barrio, Cuesta-Albertos és Matrá [9] által bevezetett kvatilis korreláció teszt súlyozott változatát vezetjük be logisztikus eloszláscsalád esetébe. A súlyfüggvéy haszálatát a tesztstatisztikába egymástól függetleül de Wet [7, 8] és Csörg S. [4, 5] külöböz motivációból javasolta. Mi a Csörg -féle [5] eredméyt a de Wet által, eltolás eloszláscsalád esetére javasolt kokrét súlyfüggvéyel bizoyítjuk logisztikus eltolás-skála

3 eloszláscsalád esetébe. el Barrio, Cuesta-Albertos és Matrá [9] a tesztstatisztika határeloszlását megadták súlyozott Brow-hidak KarhueLoève-sorfejtésekét. Ugyaeze techikával meghatározzuk az általuk kapott határeloszlás soros alakját. Majd bemutatjuk az új teszttel kapcsolatos szimulációs vizsgálat eredméyét. A disszertáció három cikk eredméyeit tartalmazza. Az Osztéyié Krauczi [6] tartalmazza az illeszkedésvizsgálat eredméyeit egyeletes eloszlás esetébe. A szimulációs vizsgálat eredméyei a ormális eloszláscsalád esetébe a Krauczi [4] cikkbe találhatók. A Balogh, Krauczi [2] tartalmazza a logisztikus eloszláscsalád esetébe kapott súlyozott kvatilis korreláció teszt bevezetését, aszimptotikus és szimulációs vizsgálatát. A tézisbe mide kovergecia úgy érted, amit. A az eloszlásba való kovergeciát, a P pedig a sztochasztikus kovergeciát jelöli. 2. Törtéeti el zméyek Az els alfejezetbe felidézzük az els teszteket, amelyekkel rögzített eloszláshoz való illeszkedést lehet elle rizi valamit, hogy hogya találták meg eze tesztstatisztikák határeloszlását. Az els illeszkedésvizsgálatra haszált eljárás a Pearso-féle χ 2 -teszt [7], amely aszimptotikusa χ 2 eloszlású megfelel szabadsági fokkal a ullhipotézis teljesülése mellett. Majd az empirikus és a hipotetikus eloszlásfüggvéy külöböz távolságait haszáló tesztek, az EF-tesztek bemutatása következik határeloszlásaik izgalmas megtalálásával. A második alfejezetbe a számukra érdekes els összetett illeszkedésvizsgálati módszereket és határeloszlásukat eleveítjük fel. Az els vizsgálatok ormális eloszláscsalád esetébe törtétek. Majd bemutatjuk, hogy az els alfejezetbeli rögzített eloszláshoz való illeszkedésvizsgálatra haszált módszerek alkalmasak parametrikus eloszláscsaládhoz való illeszkedés elle rzésére. A paraméterek becslése utá egy a becsült paraméter eloszláshoz való illeszkedést kell vizsgáli, illetve a becsléses tesztstatisztikák aszimptotikus viselkedését. Végül a regresszió-, illetve korrelációteszteket idézzük fel. Bemutatjuk Wilk Shapiro [9] ormalistástesztjét, eek további változatait, valamit, hogy hogya sikerült meghatározi a határeloszlását. 3. Illeszkedésvizsgálat egyeletes eloszlás esetébe Bevezetés és el zméyek Ebbe a fejezetbe egy eljárást vezetük be egyeletesség tesztelésére klaszterszámok segítségével. Legyeek U, U 2... függetle, a [,] itervallumo egyeletes eloszlású véletle változók, valamit bármely N eseté legye U,,..., U, az U,..., U mitához tartozó redezett mita. A mita elemei majdem biztosa külöbözek egymástól, így az U, < < U, reláció majdem biztosa érvéyes. Adott, determiisztikus d,) távolságszit mellett deiálható egy G =GU,..., U ; d ) véletle itervallumgráf. A G gráf csúcshalmaza az U,..., U elemeket reprezetáló {,..., } halmaz. Két külöböz i és j csúcs között akkor és csak akkor va él, ha U i U j < d, ahol i, j {,..., }. A mitához tartozó klasztereket úgy deiáljuk, mit eze mitához tartozó gráf összefügg kompoesei. A K klaszterszám a gráf összefügg kompoeseiek a számát jelöli. 2

4 Csörg S. és Wu [6] három külöböz aszimptotikus viselkedés távolságszit sorozat mellett bizoyították a klaszterek számáak aszimptotikus ormalitását, és még rátát is adtak az eloszlásfüggvéyek kovergeciájáak sebességére.. Tétel Csörg és Wu [6]). i) Ha d és 2 d, akkor ) := sup x R P K e d x Φx) e d e d ) ) = O 4 log d + log + log ) d d. d Eélfogva K e d d N,). ii) Ha < lim if d lim sup d <, akkor P K e d ) Φx) e 2d e d 2 d 2 ) x = O sup x R Ebb l következik, hogy ha d c, ), akkor K e d N, e 2c [e c c 2 ]). ) log 3/4. /4 iii) Ha d és e d, akkor d ) 3/2 = O + ) e d ε d loge d )+ e d loge d ), ahol ugyaazt a szuprémumot jelöli, mit az i) esetbe, valamit ε = 4 log )/. És így K e d e d N,). Eek a tételek bizoyítjuk a többdimeziós változatait külöböz itervallumo egyeletes eloszlások esetébe, majd haszáljuk egyeletesség tesztelésére ismert és ismeretle itervallumo. Elméleti eredméyek Megvizsgáltuk a Csörg Wu-féle, külöböz távolságszitekhez tartozó klaszterszámok együttes aszimptotikus ormalitását három esetbe: ha a mita a [,], ha az ismert [a, b] illetve ha egy ismeretle itervallumo egyeletes eloszlásból származik. 3

5 Tekitsük J darab, d d 2... d J, N, távolságszit sorozatot. A K j d j ) jelölje a d j távolságszithez tartozó klaszterek számát mide és j eseté. Tekitsük a K = K d ) m,..., K ) Jd J ) m J ) σ σ J a véletle vektorváltozót az m j = e d j és σ j = e 2d j e d j 2 d 2 j ), N, j =,..., J, cetralizáló és ormalizáló sorozattal. A következ határeloszlástételt kapjuk az ) vektor viselkedésére. 2. Tétel. Tegyük fel, hogy a d d 2... d J, N, távolságszit sorozatok midegyike kielégíti az alábbi feltételek valamelyikét: T) d j, 2 d j ; T2) < lim if d j lim sup d j < ; T3) d j, e d j. Továbbá, tegyük fel, hogy s ij := lim e di dj e di 2 d i d j ) σ i σ j R, i < j J, 2) és legye s jj := és s ji := s ij. Ekkor K a Σ = s ij ) i,j=,...,j kovariaciamátrixszal. N J, Σ), 3) Egy következméye eek a tételek, ha a távolságszitek típusai szerit sorbaredezük a klaszterszámokat, valamit ha a külöböz típusokhoz tartozó távolságszitek jól viselkedek, akkor blokkdiagoális kovariaciamátrixú határeloszlását kapjuk a ormált klaszterszám vektorak. 2.. Következméy. Speciálisa tegyük fel, hogy J 2 és J J 2 J olyaok, hogy mide j J eseté a d j távolságszitek T) típusúak, és mide j > J 2 eseté pedig T3) típusúak. Továbbá tegyük fel, hogy teljesülek az alábbi feltételek: i) Mide i < j J eseté s ij := lim di /d j R létezik. ii) Mide J <j J 2 eseté c j :=lim d j R szité létezik. Ekkor J <i<j J 2 eseté e c i c i c j ) s ij :=. e c i c 2 i )e c j c 2 j ) iii) Mide J 2 < i < j eseté pedig s ij := lim e d j d i )/2 R is létezik. Legye továbbá s ji := s ij és s jj :=. Ekkor a 3) kovergecia érvéyes, a Σ Σ = Σ 2 Σ 3 4

6 blokkdiagoális kovariaciamátrixszal, ahol Σ, Σ 2 és Σ 3 blokkok redre J J, J 2 J ) J 2 J ) és J J 2 ) J J 2 ) dimeziósak. A Σ mátrix blokkjaiba található kompoesek a fet deiált s ij értékek. Csörg S. és Wu [6] mutat jól viselked távolságszit sorozatokat midhárom típushoz. Egy tipikus d ) =,2,... távolságszit sorozat T) esetbe a d = α sorozat tetsz leges α,2) paraméterrel. J darab ilye d j = α j, j J, sorozatot véve, α > >α 2 > >α J paraméterrel a kovariaciamátrixba s ij = adódik mide i<j J eseté. Hasolóa egy tipikus d ) =,2,... távolságszit sorozat a T3) esetbe a d = βlog )/ sorozat tetsz leges β,) paraméterrel. Így a d j = β j log )/, j > J 2, sorozatok, a β J2 + < β J2 +2 < < β J paraméterválasztással szité a s ij = értékeket eredméyezik mide J 2 < i < j < J eseté. Végül, legye J 2 J 2. A J 2 J = esetbe ics T2) típusú távolságszit sorozat, míg a J 2 J = eseté egy ilye típusú sorozat va. A J 2 J = 2 esetbe pedig a c J2 = e c J + )/c J + összefüggés teljesül. Azáltal, hogy a sorozatokba lév paramétereket a feti módo választjuk, diagoális kovariaciamátrixot kapuk. Így ezekkel a sorozatokkal a 2.. Következméy a következ alakot ölti Következméy. Az el z bekezdésbe szerepl távolságszit sorozatok eseté ahol E J a J dimeziós egységmátrix. K N J, E J ), Vizsgáltuk továbbá ismert [a, b] itervallumo egyeletes eloszlású véletle változók eseté adott távolságszitekhez tartozó klaszterszámok együttes viselkedését. Ebbe az esetbe is meg tuduk adi a 2. Tétel megfelel jét, mivel [a, b] itervallumo egyeletes eloszlású mita köye [,] itervallumo egyeletesé traszformálható. Legyeek V, V 2,..., V függetle, egy ismert [a, b] itervallumo egyeletes eloszlású véletle változók, ahol a, b R, a < b. Jelölje K a,b := K a,b d ) az [a, b] itervallumból származó V, V 2,..., V mitához és a d távolságszithez tartozó klaszterszámot, amely meyiséget ugyaúgy deiáljuk, mit a [,] itervallumo a K, d ) = K d ) klaszterszámot. Legye J természetes szám, és legyeek d d 2... d J távolságszit sorozatok. A K a,b j d j) jelöli a megfelel d j távolságszithez tartozó klaszterszámot, j = =,..., J. Legyeek m a,b dj j = e b a, σ a,b j = ) ) 2 e 2 d j b a e d j dj b a, b a valamit K a,b = K a,b d ) m a,b σ a,b Ekkor a következ eredméyt bizoyítottuk. ),..., Ka,b J d J) m a,b J. σ a,b J 3. Tétel. Tegyük fel, hogy a d j sorozatok midegyike kielégíti a T), a T2) vagy a T3') feltétel valamelyikét, ahol 5

7 T3') d j, e d j b a. Tegyük fel továbbá, hogy létezik s ij valós szám, amire e d i b a d j b a e d i d i b a b a d j b a és legye s ii := és s ji := s ij. Ekkor érvéyes a K a,b kovergecia a Σ = s ij ) i,j=,...,j kovariaciamátrixszal. ) /σ a,b i σa,b j s ij, i < j J, 4) N J, Σ) 5) Végül pedig legyeek V,..., V függetle, ismeretle [a, b] itervallumo egyeletes eloszlású véletle változók, a, b R, a < b, valamit legye V,,..., V, a hozzá tartozó redezett mita. Ebbe az esetbe is megkaptuk a 2. és a 3. Tételek megfelel it azáltal, hogy az itervallum végpotjait becsüljük az â legkisebb és ˆb legagyobb mitaelemmel. Hasolóa az eddigi jelölésekhez, adott J természetes szám és adott d < <d J távolságszitek eseté ˆK j d j ) jelöli a megfelel d j távolságszithez tartozó klaszterszámot, j =,..., J. Legyeek ˆm j = e d j ) ) ˆb â, ˆσ j = 2 d j d j 2 dj e ˆb â e ˆb â ˆb â valamit K = ˆK d ) ˆm,..., ˆK J d J ) ˆm J ˆσ ˆσ J ). 4. Tétel. Tegyük fel, hogy teljesülek a 3. Tétel feltételei, és tekitsük az ott deiált Σ kovariaciamátrixot. Ekkor K N J, Σ). 6) Statisztikai eredméyek Adott X,..., X mita egy ismeretle F x), x R, eloszlásfüggvéy véletle változóból. Teszteli szereték azt az egyszer ullhipotézist, hogy H : F = F,, ahol most F, a [,] itervallumo egyeletes eloszlás eloszlásfüggvéyét jelöli. Tetsz leges J eseté legyeek a d... d J, N, távolságszit sorozatok olyaok, hogy midegyik sorozat kielégíti a T), T2) vagy T3) feltételek valamelyikét. Továbbá tegyük fel, hogy a 2) feltétel teljesül, és a 2. Tételbeli Σ kovariaciamátrix em sziguláris. Legye K az )-be deiált vektor. Ekkor a 3) kovergeciából a ullhipotézis mellett következik, hogy a tesztstatisztika C := K Σ K χ 2 J, 6

8 ahol χ 2 J a J szabadsági fokú khi-égyzet eloszlás. Így a C próbastatisztikával tesztelhetjük a H ullhipotézist. Ezt a tesztet evezzük klasztertesztek. Jelölje F a véges zárt itervallumo vett egyeletes eloszlások családját. Tekitsük azt az összetett ullhipotézist, hogy a mita valamelyik egyeletes eloszlásból származik, tehát H : F F = {F a,b : a, b R, a < b}, ahol F a,b az [a, b] itervallumo vett egyeletes eloszlás eloszlásfüggvéyét jelöli. Legyeek d... d J, N, távolságszit sorozatok olyaok, melyek kielégítik a 4. Tétel feltételeit. Ekkor teljesül Ĉ := K Σ K χ 2 J. 7) Ez alapjá úgy t het, hogy az összetett ullhipotézist lehet teszteli az el z bekezdéshez hasolóa. A probléma az, hogy mivel em ismertjük az a és b potos értékét, ezért a Σ kovariaciamátrix kompoeseit se tudjuk meghatározi, emiatt a Ĉ statisztika egy adott mita alapjá em számolható ki. Éppe emiatt az összetett ullhipotézist egy másik módszerrel fogjuk teszteli. Egy lehetséges megoldás, hogy a tetsz leges itervallumból származó V,..., V mitát a [,] itervallumba traszformáljuk a következ képpe: V2, V, V, V,,..., V, V, V, V, A feti formulába V,,..., V, a V,..., V mitaelemekhez tartozó redezett mitát jelöli.) Jelölje K 2,j d j ) a d j távolságszithez tartozó klaszterszámot az átskálázott mita eseté, j =,..., J, és legye ). K 2 := K 2, d ) m 2,,..., K 2,J d J ) m 2,J σ 2, σ 2,J az átskálázott mitához tartozó ormalizált klaszterszám vektor. Továbbá jelölje Σ a kovariaciamátrixot az átskálázott mita eseté. Ekkor C mod := K 2 Σ K 2 χ 2 J. Az így kapott tesztstatisztika már számolható, és ezáltal összetett ullhipotézis elle rzésére alkalmas. Ezt evezzük módosított klasztertesztek. Meghatároztuk eze tesztek erejét külöböz [,] itervalumo folytoos alteratívákkal szembe szimulációval, valamit összehasolítottuk az új tesztek erejét Iglot és Ledwia [2] által bevezetett data drive smooth teszttel. Az er vizsgálat kokluziója, hogy a klaszter tesztek rosszabbul viselkedek, mit más egyeletesség tesztek, kivéve a agyo oszcilláló alteratívák esetébe. A potos eredméyek táblázatok és ábrák formájába találhatók a disszertációba. ) 4. Illeszkedésvizsgálat ormális eloszláscsalád eseté Bevezetés és el zméyek Az L 2 -Wasserstei távolságot haszáló del Barrio, Cuesta-Albertos, Matrá és Rodríguez-Rodríguez [] által bevezetett ormalitás teszt szimulációs vizsgálatát mutatjuk be. 7

9 Egy eltolás- és skálametes tesztstatisztikát kaptak a H : F N ullhipotézis elle rzésére, ahol N a ormális eloszláscsaládot jelöli. Ez az eljárás egyrészt úgy tesztel ormális eloszláscsaládhoz való tartozást, hogy a teststatisztika a mita empirikus kvatilisfüggvéyéek egy fukcioálja; másrészt aszimptotikusa ekvivales egy korrelációteszttel. A két külöböz megközelítésb l származik az elevezése: kvatilis korrelációteszt. Legye P 2 R) azo valószí ségi mértékek halmaza R-e, melyekek létezik a második mometumuk. A P és P 2 P 2 R) valószí ségi mértékek L 2 -Wasserstei távolsága WP, P 2 ) := if { [EX X 2 ) 2 ] /2, LX ) = P, LX 2 ) = P 2 }, ahol LX) az X véletle változó eloszlását jelöli. Kvatilisfüggvéyek segítségével potosa számolható ez a távolság: [ /2 WP, P 2 ) = F t) F2 t)) dt] 2, ahol F illetve F2 a P illetve a P 2 eloszlásokhoz tartozó kvatilisfüggvéyek. Egy eloszláscsalád és egy adott eloszlás távolságát úgy deiáljuk, mit az adott eloszlásak az eloszláscsalád elemeit l vett távolságaiak imumát. Legye P P 2 R) tetsz leges valószí ségi mérték, és legye F az eloszlásfüggvéye, µ várható értéke és σ a szórása. Ekkor a P eloszlás távolságégyzete az N ormális eloszláscsaládtól 2 W 2 P, N) := if{w 2 P, N σ µ ), N σ µ N} = σ 2 F t)φ t)dt), ahol Φ a stadard ormális kvatilisfüggvéyt jelöli. Ha adott egy F eloszlásfüggvéy X,..., X véletle mita, akkor a H : F N összetett ullhipotézis elle rzésére megadható a WP, N)/σ háyados empirikus változata. Ekkor egy eltolás- és skálametes statisztikát kapuk: T := W2 F, N) S 2 = [ ] 2 Q t)φ t)dt S 2 = [ k= X k, k ] 2 k Φ t)dt, S 2 ahol S 2 az empirikus szóráségyzet. el Barrio, Cuesta-Albertos, Matrá és Rodríguez-Rodríguez [] megvizsgálták a tesztstatisztika ullhipotézis melletti aszimptotikus viselkedését. Két alakba sikerült el állítaiuk a határeloszlást. Az els Brow-híd fukcioáljakét, a második véletle változók végtele sorakét. Jelölje ϕ a stadard ormális eloszlás s r ségfüggvéyét, és legye a = + + t t) [ϕφ t))] 2 dt. 5. Tétel del Barrio, Cuesta-Albertos, Matrá és Rodríguez-Rodríguez[]). Ha F N, akkor [ T a ) B 2 t) EB 2 t)) ] 2 Bt) ] dt [ ϕ 2 Φ t)) ϕ 2 Φ t)) dt Bt)Φ 2 t) ϕ 2 Φ t)) dt = Zj 2 j j=3 ahol Z j ) j=3 függetle, stadard ormális eloszlású véletle változók sorozata. 8

10 Szimulációs eredméyek A szimulációs vizsgálatba el ször az 5. Tételbe deiált határ véletle változó eloszlását határoztuk meg umerikusa az ott megadott végtele soros alak segítségével. Eztá = -t l = -ig többféle mitaméret mellett Mote Carlo szimuláció alkalmazásával meghatároztuk az T a ) tesztstatisztika eloszlásfüggvéyét, és meggyeltük a kovergecia sebességét. A vizsgálat eredméyeit a. és a 2. ábra tartalmazza.. ábra. Az aszimptotikus eloszlásfüggvéy balra) és a s r ségfüggvéy jobbra) 2. ábra. Az T a ) tesztstatisztika eloszlásfüggvéye =, 2 potozott voal), 5 mitaméret eseté és az A-val jelölt vastagabb voal bal oldalo az aszimptotikus eloszlásfüggvéy balra). Ugyaez = és mitaméret eseté jobbra). Továbbá a szimulációs vizsgálatba kiértékeltük a BCMR-teszt a szerz k kezd bet ib l) számos alteratívával szembei erejét és öt másik ormalitás teszttel összehaso- 9

11 3. ábra. A BCMR, W, ISE, BHEP, és A 2 tesztek ereje a CNλ, 4) alteratíva λ paraméteréek függvéyébe balra) és ugyaez a CNλ, 9) alteratívára jobbra), jelölések: =BCMR-teszt; 2=W -teszt; 3=ISE-teszt; 4=BHEP-teszt; 5=-teszt; 6=A 2 -teszt lítottuk. Eze tesztek közül az els ShapiroWilk W -tesztje [9], amit = 2 és = 5 eseté haszáltuk az összehasolításba. Mivel a W -teszt együtthatói az = mitaméret eseté agyo eheze számolhatók, ezért ebbe az esetbe a ShapiroFracia [8] W -tesztet haszáltuk. Az EF-tesztek közül a KolmogorovSmirov [3] -teszt Stephes [2] által javasolt módosított változatát, és az Adersoarlig [] A 2 -tesztet választottuk. A egyedik teszt, amit bevettük az összehasolításba, egy s r ségbecslésre alapozott teszt, Bowma és Foster [3] itegrált égyzetes hiba ISE-tesztje. Az ötödik teszt Epps és Pulley [] BHEP-tesztje. A jobb összehasolíthatóság céljából a 3. ábrá felvettük a hat tesztek a kotamiált ormális alteratívákkal szembei erejét a λ paraméter függvéyébe. Jelölje CNλ, σ 2 ), <λ< és σ > paraméterekkel a kotamiált ormális eloszlást, amely a következ eloszlásfüggvéyel va deiálva F x) = λ)φx)+λφx/σ), x R. A szigikaciaszit,5; a mitaméret = 2 midkét esetbe. Általáos kokluziója eek a vizsgálatak, hogy a BCMR-teszt általába jobba teljesít, mit más tesztek, kivéve a WilkShapiro- és ShapiroFracia-teszteket. Valamit a legtöbb esetbe a W W kombiált teszt tulajdoságai és a BCMR kvatilis korrelációteszt tulajdoságai agyo hasolítaak egymáshoz. 5. Illeszkedésvizsgálat logisztikus eloszláscsalád eseté el Barrio, Cuesta-Albertos, Matrá és Rodríguez-Rodríguez [], valamit del Barrio, Cuesta-Albertos és Matrá [9] által bevezetett kvatilis korreláció teszt súlyozott

12 változatát vezetjük be logisztikus eloszláscsalád esetébe. A súlyfüggvéy haszálatát a tesztstatisztikába egymástól függetleül de Wet [7], [8] és Csörg S. [4], [5] külöböz motivációból javasolta. Mi a Csörg -féle [5] eredméyt a de Wet által eltolás eloszláscsalád esetére javasolt, kokrét súlyfüggvéyel bizoyítjuk logisztikus eltolás-skála eloszláscsalád esetébe. Adott Gx), x R, eloszlásfüggvéyre valamit θ R és σ > eltolás és skála paraméterekre legye G θ σx) = Gx θ)/σ), x R, valamit tekitsük a G l,s = {G θ σ : θ R, σ > } eltolás-skála családot. Jelölje Q G t) = G t), < t <, a G kvatilisfüggvéyét. Legye a w :,) [, ) súlyfüggvéy olya, amely a wt)dt = feltételt kielégíti, és deiáljuk az r-edik súlyozott mometumot µ r G, w) := Q G t)) r wt)dt = x r wgx))dgx). A továbbiakba feltesszük, hogy µ G, w) és µ 2 G, w) véges, és deiáljuk a súlyozott szóráségyzetet is: νg, w) := µ 2 G, w) µ 2 G, w). Két eloszlásfüggvéy, F és G, súlyozott L 2 -Wasserstei-távolságát deiáljuk a [ W w F, G) := ] Q F t) Q G t)) 2 2 wt)dt meyiséggel. A W w F, G l,s ) = if{w w F, G) : G G l,s } az F eloszlás és a G l,s eltolás-skála család közötti súlyozott L 2 -Wasserstei távolságot és a súlyozott variacia háyadosát [ ] 2 WwF, 2 G l,s ) Q F t)q G t)wt)dt µ F, w)µ G, w) = νf, w) νf, w)νg, w) Csörg S. [5] cikkéb l származtatjuk. Tekitsük egy X,..., X véletle mitát egy ismeretle F eloszlásfüggvéyel, és legye G egy rögzített eloszlásfüggvéy. Szereték teszteli a H : F G l,s ullhipotézist. Ebb l a célból deiáljuk a mita empirikus eloszlása és a G l,s eltolás-skála család súlyozott L 2 -Wasserstei-távolságából származtatott V [ Q t)q G t)wt)dt µ G, w) Q t)wt)dt := [ ) ] 2 νg, w) Q2 t)wt)dt Q t)wt)dt [ { k k Q G t)wt)dt µ G, w) k k = νg, w) k= X k, [ k= X2 k, k k wt)dt k= X k, ] 2 }] 2 wt)dt k k wt)dt ) 2 ] tesztstatisztikát, ahol Q az empirikus kvatilisfüggvéyt jelöli. Csörg t l [5] származik a következ eredméy a V statisztika aszimptotikus viselkedésér l.

13 6. Tétel Csörg [5]). Legye w egy emegatív, a,) itervallumo itegrálható függvéy, amelyre wt)dt =. Tegyük fel, hogy G olya eloszlásfüggvéy, amelyek va véges súlyozott második mometuma, és kétszer folytoosa diereciálható az a G, b G ) yitott itervallumo, továbbá gx)=g x)> mide x a G, b G ) eseté. Legye továbbá B a Brow-híd. Ha a t t) g Q G t)) t t) <, wt)dt <, g 2 Q G t)) g 2 Q G t)) és az sup <t< + [Y, Q G t)] 2 wt)dt, P [Y, Q G t)] 2 wt)dt, P + feltételek teljesülek, akkor a következ állítás érvéyes: Ha F a G által geerált G l,s eltolás-skála családhoz tartozik, akkor { V [ B 2 t) ] 2 } V g := νg, w) g 2 Q G t)) wt)dt Bt) gq G t)) wt)dt [ Bt)Q G t) νg, w) gq G t)) wt)dt µ G, w) ] 2 Bt) νg, w) gq G t)) wt)dt. Eek a tételek a segítségével találtuk meg a tesztstatisztika határeloszlását logisztikus eloszláscsalád esetébe. Eredméyek Tekitsük a Gx) = /+e x ), x R, logisztikus eloszlásfüggvéyt, és jelölje G l,s a kapcsolatos eltolás-skála családot. irekt számolással megmutatható, hogy a de Wet [8] által eltolás család esetére javasol wt) = 6t t), < t < súlyfüggvéyel a súlyozott els és második mometum µ G, w) = és µ 2 G, w) = π 2 /3 2. Ekkor az eltolás-skála metes tesztstatisztika logisztikus eltolás-skála család esetébe [ k= k= a k, X k, ] 2 V = ) π 2 ) b k, Xk, 2 b k, X k, ahol az együtthatók potosa számolhatóak az alábbi alakba: k ) t a k, = 6t t) l dt t b k, = k k= = k2 3 2k) l k 3 k k )2 3 2k +2) l k 3 k + +l k k + + 2k + 2, k k 6t t)dt = 32k ) k2 +3k ) 3. 2,

14 Csörg aszimptotikus eredméyéek [5] a következméyekét kapjuk a V tesztstatisztika határeloszlását. 7. Tétel. Ha a mita F eloszlásfüggvéye a G l,s logisztikus eltolás-skála családhoz tartozik, akkor { V [ 6B 2 t) ] 2 } V := π 2 /3 2 t t) dt 6Bt) dt [ ) 2 t 6Bt) l dt], π 2 /3 2 t ahol a határérték valószí séggel létezik. el Barrio, Cuesta-Albertos, Matrá [9] a súly élküli tesztstatisztika határeloszlását megadták súlyozott Brow-hidak KarhueLoève-sorfejtésekét. Ugyaeze techikával meghatároztuk a határeloszlás végtele soros alakját. 8. Tétel. A V határeloszlás felírható V = π k=2 6 kk +) Z2 k [ π l= 3 ] 2 4l + ll +)2l )2l +) Z 2l alakba, ahol Z m ) m= függetle stadard ormális eloszlású véletle változók végtele sorozata, és a sor valószí séggel kovergál. Szimulációs eredméyek Hasolóa az el bbi fejezetekhez egy szimulációs er vizsgálatot hajtottuk végre, majd összehasolítottuk az új tesztet az empirikus karakterisztikus függvéyre és empirikus mometum geeráló függvéyre alapozott Meitais-tesztekkel [5]. A kapott eredméyeket az. táblázat foglalja össze. Általáos kokluziója eek a szimulációs vizsgálatak, hogy köye számolható tesztstatisztikájú, akár az aszimptotikus kritikus értékeket is haszálható, közepes er sség tesztet kaptuk. Hivatkozások [] T. W. Aderso ad. A. arlig. Asymptotic theory of certai goodess of t criteria based o stochastic processes. Aals of Mathematical Statistics, 23:9322, 952. [2] F. Balogh ad É. Krauczi. Weighted quatile corelatio test for the logistic family. Acta Scietiarum Mathematicarum.Szeged), 8-2):37326, 24. [3] A. Bowma ad P. Foster. Adaptive smoothig ad desity-based tests of multivariate ormality. JASA. Joural of the America Statistical Associatio, 88:529537,

15 [4] S. Csörg. Weighted correlatio tests for scale families. Test, ):29248, 22. [5] S. Csörg. Weighted correlatio tests for locatio-scale families. Mathematical ad Computer Modellig, 387-9):753762, 23. Hugaria applied mathematics ad computer applicatios. [6] S. Csörg ad W. B. Wu. O the clusterig of idepedet uiform radom variables. Radom Structures Algorithms, 254):39642, 24. [7] T. de Wet. iscussio of "Cotributios of empirical ad quatile processes to the asymptotictheory of goodess-of-t tests". Test, 9):7479, 2. [8] T. de Wet. Goodess-of-t tests for locatio ad scale families based o a weighted L 2 -Wasserstei distace measure. Test, ):897, 22. [9] E. del Barrio, J. A. Cuesta-Albertos, ad C. Matrá. Cotributios of empirical ad quatile processes to the asymptotic theory of goodess-of-t tests. Test, 9):96, 2. With discussio. [] E. del Barrio, J. A. Cuesta-Albertos, C. Matrá, ad J. M. Rodríguez-Rodríguez. Tests of goodess of t based o the L 2 -Wasserstei distace. The Aals of Statistics, 274):23239, 999. [] T. Epps ad L. B. Pulley. A test for ormality based o the empirical characteristic fuctio. Biometrika, 7:723726, táblázat. Az V teszt %-ba megadott empirikus ereje éháy alteratívával szembe, = 2, 5 és mitaméret és α szigikaciaszit mellett a % empirikus er t jelöli). Alteratívák N,) Egyeletes Cauchy * * Laplace Exp) 7 99 * * TriagleI) TriagleII) Beta2;2) Weibull2) Gamma2,) Logormal 86 * * 79 * * Studet5) χ 2 94 * * 88 * * Negatív Exp * * α,,5 4

16 [2] T. Iglot ad T. Ledwia. Towards data drive selectio of a pealty fuctio for data drive Neyma tests. Liear Algebra ad its Applicatios, 47):2433, 26. [3] A. Kolmogorov. Sulla determiazioe empirica di ua legge di distribuzioe. Giorale del Istituto Italiao degli Attuari, 4:839, 933. [4] É. Krauczi. A study of the quatile correlatio test of ormality. Test, 8):5665, 29. [5] S. G. Meitais. Goodess-of-t tests for the logistic distributio based o empirical trasforms. Sakhy a. The Idia Joural of Statistics, 662):36326, 24. [6] K. É. Osztéyié. Joit cluster couts from uiform distributio. Probability ad Mathematical Statistics, 33):936, 23. [7] E. S. Pearso. A further developmet of tests for ormality. Biometrika, 22:239249, 93. [8] M. W. Shapiro, S.S. ad H. Che. A approximate aalysis of variace test for ormality. Joural of the America Statistical Associatio, 63:34372, 968. [9] S. Shapiro ad M. Wilk. A aalysis of variace test for ormality complete samples). Biometrika, 52:596, 965. [2] M. A. Stephes. EF statistics for goodess of t ad some comparisos. Joural of the America Statistical Associatio, 69:73737,

Eloszláscsaládokhoz való illeszkedés vizsgálata Ph.D. értekezés

Eloszláscsaládokhoz való illeszkedés vizsgálata Ph.D. értekezés Eloszláscsaládokhoz való illeszkedés vizsgálata Ph.D. értekezés Osztéyié Krauczi Éva Témavezet : Dr. Csörg Sádor Kozulesek: Dr. Pap Gyula és Dr. Sz cs Gábor Matematika- és Számítástudomáyi Doktori Iskola

Részletesebben

18. Valószín ségszámítás. (Valószín ségeloszlások, függetlenség. Valószín ségi változók várható

18. Valószín ségszámítás. (Valószín ségeloszlások, függetlenség. Valószín ségi változók várható 8. Valószí ségszámítás. (Valószí ségeloszlások, függetleség. Valószí ségi változók várható értéke, magasabb mometumok. Kovergeciafajták, kapcsolataik. Borel-Catelli lemmák. Nagy számok gyege törvéyei.

Részletesebben

Statisztika 1. zárthelyi dolgozat március 21.

Statisztika 1. zárthelyi dolgozat március 21. Statisztika 1 zárthelyi dolgozat 011 március 1 1 Legye X = X 1,, X 00 függetle mita b paraméterű Poisso-eloszlásból b > 0 Legye T 1 X = X 1+X ++X 100, T 100 X = X 1+X ++X 00 00 a Milye a számra igaz, hogy

Részletesebben

Virág Katalin. Szegedi Tudományegyetem, Bolyai Intézet

Virág Katalin. Szegedi Tudományegyetem, Bolyai Intézet Függetleségvizsgálat Virág Katali Szegedi Tudomáyegyetem, Bolyai Itézet Függetleség Függetleség Két változó függetle, ha az egyik változó megfigyelése a másik változóra ézve em szolgáltat iformációt; azaz

Részletesebben

Az átlagra vonatkozó megbízhatósági intervallum (konfidencia intervallum)

Az átlagra vonatkozó megbízhatósági intervallum (konfidencia intervallum) Az átlagra voatkozó megbízhatósági itervallum (kofidecia itervallum) Határozzuk meg körül azt az itervallumot amibe előre meghatározott valószíűséggel esik a várható érték (µ). A várható értéket potosa

Részletesebben

biometria III. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert Hipotézisvizsgálat

biometria III. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert Hipotézisvizsgálat Kísérlettervezés - biometria III. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert u-próba Feltétel: egy ormális eloszlású sokaság σ variaciájáak számszerű értéke ismert. Hipotézis: a sokaság µ várható értéke

Részletesebben

Áringadozások elıadás Kvantitatív pénzügyek szakirány 2012/13 2. félév

Áringadozások elıadás Kvantitatív pénzügyek szakirány 2012/13 2. félév Árigadozások elıadás Kvatitatív pézügyek szakiráy 01/13. félév Heti óra elıadás + óra gyakorlat Elıadás: fıleg modellek, elemzési módszerek Gyakorlat: R programmal, alkalmazások Számokérés 50%: beadadó

Részletesebben

A matematikai statisztika elemei

A matematikai statisztika elemei A matematikai statisztika elemei Mikó Teréz, dr. Szalkai Istvá szalkai@almos.ui-pao.hu Pao Egyetem, Veszprém 2014. március 23. 2 Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék 3 Bevezetés................................

Részletesebben

Statisztika 1. zárthelyi dolgozat március 18.

Statisztika 1. zárthelyi dolgozat március 18. Statisztika. zárthelyi dolgozat 009. március 8.. Ismeretle m várható értékű, szórású ormális eloszlásból a következő hatelemű mitát kaptuk:, 48 3, 3, 83 0,, 3, 97 a) Számítsuk ki a mitaközepet és a tapasztalati

Részletesebben

A statisztikai vizsgálat tárgyát képező egyedek összességét statisztikai sokaságnak nevezzük.

A statisztikai vizsgálat tárgyát képező egyedek összességét statisztikai sokaságnak nevezzük. Statisztikai módszerek. BMEGEVGAT01 Készítette: Halász Gábor Budapesti Műszaki és Gazdaságtudomáyi Egyetem Gépészméröki Kar Hidrodiamikai Redszerek Taszék 1111, Budapest, Műegyetem rkp. 3. D ép. 334. Tel:

Részletesebben

BIOMATEMATIKA ELŐADÁS

BIOMATEMATIKA ELŐADÁS BIOMATEMATIKA ELŐADÁS 10. A statisztika alapjai Debrecei Egyetem, 2015 Dr. Bérczes Attila, Bertók Csaád A diasor tartalma 1 Bevezetés 2 Statisztikai függvéyek Defiíció, empirikus várható érték Empirikus

Részletesebben

véletlen : statisztikai törvényeknek engedelmeskedik (Mi az ami közös a népszavazásban, a betegségek gyógyulásában és a fiz. kém. laborban?

véletlen : statisztikai törvényeknek engedelmeskedik (Mi az ami közös a népszavazásban, a betegségek gyógyulásában és a fiz. kém. laborban? BEVEZETÉS A statisztika teljese laikusokak: agy mukával gyűjtött adatok vizsgálata, abból következtetések levoása ( statistical iferece ) (Egy kicsit sok hűhó semmiért azaz Much ado about othig.) Mi is

Részletesebben

Bootstrap (Efron, 1979)

Bootstrap (Efron, 1979) Bootstrap (Efro, 979) 4. elıadás 204. március 3. Bootstrap módszerek, többdimeziós extrém-érték eloszlások illeszkedésvizsgálata Újramitavételezési eljárás, a becsléseik szórásáak vizsgálatára, modell-illeszkedés

Részletesebben

A biostatisztika alapfogalmai, konfidenciaintervallum. Dr. Boda Krisztina PhD SZTE ÁOK Orvosi Fizikai és Orvosi Informatikai Intézet

A biostatisztika alapfogalmai, konfidenciaintervallum. Dr. Boda Krisztina PhD SZTE ÁOK Orvosi Fizikai és Orvosi Informatikai Intézet A biostatisztika alapfogalmai, kofideciaitervallum Dr. Boda Krisztia PhD SZTE ÁOK Orvosi Fizikai és Orvosi Iformatikai Itézet Mitavétel ormális eloszlásból http://www.ruf.rice.edu/~lae/stat_sim/idex.html

Részletesebben

2. Hatványsorok. A végtelen soroknál tanultuk, hogy az. végtelen sort adja: 1 + x + x x n +...

2. Hatványsorok. A végtelen soroknál tanultuk, hogy az. végtelen sort adja: 1 + x + x x n +... . Függvéysorok. Bevezetés és defiíciók A végtele sorokál taultuk, hogy az + x + x + + x +... végtele összeg x < eseté koverges. A feti végtele összegre úgy is godolhatuk, hogy végtele sok függvéyt aduk

Részletesebben

Tartalom. Kezdeti szimulációs technikák. Tipikus kérdések. A bootstrap módszer. Bevezetés A független, azonos eloszlású eset:

Tartalom. Kezdeti szimulációs technikák. Tipikus kérdések. A bootstrap módszer. Bevezetés A független, azonos eloszlású eset: Tartalom A bootstrap módszer Zempléi Adrás TTK, Valószíőségelméleti és Statisztika Taszék 2010. október 21 Bevezetés A függetle, azoos eloszlású eset: emparaméteres paraméteres eset Alkalmazások a rétegzett

Részletesebben

f (M (ξ)) M (f (ξ)) Bizonyítás: Megjegyezzük, hogy konvex függvényekre mindig létezik a ± ben

f (M (ξ)) M (f (ξ)) Bizonyítás: Megjegyezzük, hogy konvex függvényekre mindig létezik a ± ben Propositio 1 (Jese-egyelőtleség Ha f : kovex, akkor tetszőleges ξ változóra f (M (ξ M (f (ξ feltéve, hogy az egyelőtleségbe szereplő véges vagy végtele várható értékek létezek Bizoyítás: Megjegyezzük,

Részletesebben

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága Sorozatok, határérték fogalma. Függvéyek határértéke, folytoossága 1) Végtele valós számsorozatok Fogalma, megadása Defiíció: A természetes számok halmazá értelmezett a: N R egyváltozós valós függvéyt

Részletesebben

Matematika B4 I. gyakorlat

Matematika B4 I. gyakorlat Matematika B4 I. gyakorlat 2006. február 16. 1. Egy-dimeziós adatredszerek Va valamilye adatredszer (számsorozat), amelyről szereték kiszámoli bizoyos dolgokat. Az egyes értékeket jelöljük z i -vel, a

Részletesebben

3. SOROZATOK. ( n N) a n+1 < a n. Egy sorozatot (szigorúan) monotonnak mondunk, ha (szigorúan) monoton növekvő vagy csökkenő.

3. SOROZATOK. ( n N) a n+1 < a n. Egy sorozatot (szigorúan) monotonnak mondunk, ha (szigorúan) monoton növekvő vagy csökkenő. 3. SOROZATOK 3. Sorozatok korlátossága, mootoitása, kovergeciája Defiíció. Egy f : N R függvéyt valós szám)sorozatak evezük. Ha A egy adott halmaz és f : N A, akkor f-et A-beli értékű) sorozatak evezzük.

Részletesebben

Intervallum Paraméteres Hipotézisek Nemparaméteres. Statisztika december 2.

Intervallum Paraméteres Hipotézisek Nemparaméteres. Statisztika december 2. Itervallum Paraméteres Hipotézisek Nemparaméteres Statisztika Hipotézisvizsgálat Székely Balázs 2010. december 2. Itervallum Paraméteres Hipotézisek Nemparaméteres Előadás vázlat 1 Itervallumbecslések

Részletesebben

Zavar (confounding): akkor lép fel egy kísérletben, ha a kísérletet végző nem tudja megkülönböztetni az egyes faktorokat.

Zavar (confounding): akkor lép fel egy kísérletben, ha a kísérletet végző nem tudja megkülönböztetni az egyes faktorokat. Zavar és mita Zavar (cofoudig): akkor lép fel egy kísérletbe, ha a kísérletet végző em tudja megkülöbözteti az egyes faktorokat. Zavar és mita Zavar (cofoudig): akkor lép fel egy kísérletbe, ha a kísérletet

Részletesebben

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet):

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet): A umerikus sorozatok fogalma, határértéke (A TÁMOP-4-8//A/KMR-9-8 számú projekt keretébe írt egyetemi jegyzetrészlet): Koverges és diverges sorozatok Defiíció: A természetes számoko értelmezett N R sorozatokak

Részletesebben

I. Függelék. A valószínűségszámítás alapjai. I.1. Alapfogalamak: A valószínűség fogalma: I.2. Valószínűségi változó.

I. Függelék. A valószínűségszámítás alapjai. I.1. Alapfogalamak: A valószínűség fogalma: I.2. Valószínűségi változó. I. Függelék A valószíűségszámítás alapjai I.1. Alapfogalamak: Véletle jeleség: létrejöttét befolyásoló összes téyezőt em ismerjük. Tömegjeleség: a jeleség adott feltételek mellett akárháyszor megismételhető.

Részletesebben

Komplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós

Komplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós Komplex számok el adásvázlat, 008. február 1. Maróti Miklós Eek az el adásak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudi: test, test additív és multiplikatív csoportja, valós számok és tulajdoságaik.

Részletesebben

Statisztikai programcsomagok

Statisztikai programcsomagok Statisztikai programcsomagok Sz cs Gábor Szegedi Tudomáyegyetem, Bolyai Itézet Szeged, 2012. tavaszi félév Sz cs Gábor (SZTE, Bolyai Itézet) Statisztikai programcsomagok 2012. tavaszi félév 1 / 26 Bevezetés

Részletesebben

kismintás esetekben vagy olyanokban, melyeknél a tanulóalgoritmust tesztadatokon szeretnénk

kismintás esetekben vagy olyanokban, melyeknél a tanulóalgoritmust tesztadatokon szeretnénk ÚJRAMINTAVÉTELEZÉSI ELJÁRÁSOK A jackkife (zsebkés) és bootstrap (cipőhúzó a saját kallatyújáál fogva) eljárások agol elevezése is arra utal, hogy itt ad hoc eljárásokról va szó, melyek azoba agyo haszosak

Részletesebben

Komputer statisztika

Komputer statisztika Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Iformatikai Itézet Tómács Tibor Komputer statisztika Eger, 010. október 6. Tartalomjegyzék Előszó 4 Jelölések 5 1. Valószíűségszámítás 7 1.1. Valószíűségi mező............................

Részletesebben

Statisztika. Földtudomány szak, geológus szakirány, 2015/2016. tanév tavaszi

Statisztika. Földtudomány szak, geológus szakirány, 2015/2016. tanév tavaszi Statisztika Földtudomáy szak, geológus szakiráy, 015/016. taév tavaszi félév Backhausz Áges (ELTE TTK Valószíűségelméleti és Statisztika Taszék)1 Tartalomjegyzék 1. Bevezetés 3 1.1. Példa: az adatok elemzése....................

Részletesebben

A tárgy címe: ANALÍZIS 1 A-B-C (2+2). 1. gyakorlat

A tárgy címe: ANALÍZIS 1 A-B-C (2+2). 1. gyakorlat A tárgy címe: ANALÍZIS A-B-C + gyakorlat Beroulli-egyelőtleség Legye N, x k R k =,, és tegyük fel, hogy vagy x k 0 k =,, vagy pedig x k 0 k =,, Ekkor + x k + x k Speciális Beroulli-egyelőtleség Ha N és

Részletesebben

A szórások vizsgálata. Az F-próba. A döntés. Az F-próba szabadsági fokai

A szórások vizsgálata. Az F-próba. A döntés. Az F-próba szabadsági fokai 05..04. szórások vizsgálata z F-próba Hogya foguk hozzá? Nullhipotézis: a két szórás azoos, az eltérés véletle (mitavétel). ullhipotézishez tartozik egy ú. F-eloszlás. Szabadsági fokok: számláló: - evező:

Részletesebben

6. feladatsor. Statisztika december 6. és 8.

6. feladatsor. Statisztika december 6. és 8. 6. feladatsor Statisztika 200. december 6. és 8.. Egy = 0 szervert tartalmazó kiszolgáló mide szervere mide pillaatba 0 < p < valószíűséggel foglalt, a foglaltságok szerverekét függetleek. Tehát a foglaltak

Részletesebben

Differenciaegyenletek aszimptotikus viselkedésének

Differenciaegyenletek aszimptotikus viselkedésének Differeciaegyeletek aszimptotikus viselkedéséek vizsgálata Mathematica segítségével Botos Zsófia Újvidéki Egyetem TTK Újvidék Szerbia E-mail: botoszsofi@yahoo.com 1. Bevezető Tekitsük az késleltetett diszkrét

Részletesebben

Megjegyzések. További tételek. Valódi határeloszlások. Tulajdonságok. Gyenge (eloszlásbeli) konvergencia

Megjegyzések. További tételek. Valódi határeloszlások. Tulajdonságok. Gyenge (eloszlásbeli) konvergencia Valószíűségszámítás és statisztika előadás ifo. BSC/B-C szakosokak 6. előadás október 5. Megjegyzések. A tétel feltételei gyegíthetőek: elég, ha a függetle, azoos eloszlású változók várható értéke véges.

Részletesebben

Eddig megismert eloszlások Jelölése Eloszlása EX D 2 X P(X = 1) = p Ind(p) P(X = 0) = 1 p. Leíró és matematikai statisztika

Eddig megismert eloszlások Jelölése Eloszlása EX D 2 X P(X = 1) = p Ind(p) P(X = 0) = 1 p. Leíró és matematikai statisztika Leíró és matematikai statisztika Matematika alapszak, matematikai elemző szakiráy Zempléi Adrás Valószíűségelméleti és Statisztika Taszék Matematikai Itézet Természettudomáyi Kar Eötvös Lorád Tudomáyegyetem

Részletesebben

V. Deriválható függvények

V. Deriválható függvények Deriválható függvéyek V Deriválható függvéyek 5 A derivált fogalmához vezető feladatok A sebesség értelmezése Legye az M egy egyees voalú egyeletes mozgást végző pot Ez azt jeleti, hogy a mozgás pályája

Részletesebben

Statisztika gyakorlat Geológus szakirány

Statisztika gyakorlat Geológus szakirány Statisztika gyakorlat Geológus szakiráy Játékszabályok Az óráko részt kell vei, maximum 3-szor lehet hiáyozi. Az aláírás megszerzéséek lehetséges módjai: vagy ZH írásával vagy egy el re kihirdetett házi

Részletesebben

A függvénysorozatok olyanok, mint a valós számsorozatok, csak éppen a tagjai nem valós számok,

A függvénysorozatok olyanok, mint a valós számsorozatok, csak éppen a tagjai nem valós számok, l.ch FÜGGVÉNYSOROZATOK, FÜGGVÉNYSOROK, HATVÁNYSOROK Itt egy függvéysorozat: f( A függvéysorozatok olyaok, mit a valós számsorozatok, csak éppe a tagjai em valós számok, 5 haem függvéyek, f ( ; f ( ; f

Részletesebben

Kalkulus II., második házi feladat

Kalkulus II., második házi feladat Uger Tamás Istvá FTDYJ Név: Uger Tamás Istvá Neptu: FTDYJ Web: http://maxwellszehu/~ugert Kalkulus II, második házi feladat pot) Koverges? Abszolút koverges? ) l A feladat teljese yilvávalóa arra kívácsi,

Részletesebben

Kutatói pályára felkészítı modul

Kutatói pályára felkészítı modul Kutatói pályára felkészítı modul Kutatói pályára felkészítı kutatási ismeretek modul Tudomáyos kutatási alapayag feldolgozása, elemzési ismeretek KÖRNYEZETGAZDÁLKODÁSI MÉRNÖKI MSc TERMÉSZETVÉDELMI MÉRNÖKI

Részletesebben

(d) x 6 3x 2 2 = 0, (e) x + x 2 = 1 x, (f) 2x x 1 = 8, 2(x 1) a 1

(d) x 6 3x 2 2 = 0, (e) x + x 2 = 1 x, (f) 2x x 1 = 8, 2(x 1) a 1 . Bevezető. Oldja meg az alábbi egyeleteket: (a cos x + si x + cos x si x = (b π si x = x π 4 x 3π 4 cos x (c cos x + si x = si x (d x 6 3x = 0 (e x + x = x (f x + 5 + x = 8 (g x + + x + + x + x + =..

Részletesebben

Statisztika október 27.

Statisztika október 27. Statisztika 2011. október 27. Külöbség valószíőségszámítás és statisztika között Kísérlet: 4-szer dobuk fel egy érmét. Megszámoljuk a fejek számát. Valszám: Ismert a fejdobás valószíősége. Milye valószíőséggel

Részletesebben

Wiener-folyamatok definiciója. A funkcionális centrális határeloszlástétel. Norbert Wienerre, a második pedig egy Brown nevű XIX. században élt angol

Wiener-folyamatok definiciója. A funkcionális centrális határeloszlástétel. Norbert Wienerre, a második pedig egy Brown nevű XIX. században élt angol Wieer-folyamatok defiiciója. A fukcioális cetrális határeloszlástétel. A valószíűségszámítás egyik agyo fotos fogalma a Wieer-folyamat, amelyet Browmozgásak is hívak. Az első elevezés e fogalom első matematikailag

Részletesebben

Statisztika (jegyzet)

Statisztika (jegyzet) Statisztika (jegyzet) Csiszár Vill 009. május 6.. Statisztikai mez A statisztika egyik ága a leíró statisztika. Ekkor a meggyelt adatokat áttekithet formába ábrázoljuk, pl. hisztogrammal (oszlopdiagrammal),

Részletesebben

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov.

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov. Pályázat címe: Új geerációs sorttudomáyi kézés és tartalomfejlesztés, hazai és emzetközi hálózatfejlesztés és társadalmasítás a Szegedi Tudomáyegyeteme Pályázati azoosító: TÁMOP-4...E-5//KONV-05-000 Sortstatisztika

Részletesebben

ELTE TTK Budapest, január

ELTE TTK Budapest, január Valószíűségszámítás Arató Miklós előadásai alapjá Készítették: Martiek László Tassy Gergely ELTE TTK Budapest, 008. jauár Typeset by L A TEX . el adás 007. IX.. szerda Klasszikus (kombiatorikus valószí

Részletesebben

Matematika I. 9. előadás

Matematika I. 9. előadás Matematika I. 9. előadás Valós számsorozat kovergeciája +-hez ill. --hez divergáló sorozatok A határérték és a műveletek kapcsolata Valós számsorozatok mootoitása, korlátossága Komplex számsorozatok kovergeciája

Részletesebben

Autoregressziós folyamatok

Autoregressziós folyamatok Autoregressziós folyamatok.. Példa.. Az ε(t) folyamat függetle érték zaj, ha a várható értéke és ε(t)-k függetle, azoos eloszlású valószí ségi változók.. Az ε(t) folyamat fehér zaj, ha Eε(t) =, és ε(t)-k

Részletesebben

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése A határozatla esetek kiküszöbölése 9 VII A határozatla esetek kiküszöbölése 7 A l Hospital szabály A véges övekedések tétele alapjá egy függvéy értékét egy potba közelíthetjük az köryezetébe felvett valamely

Részletesebben

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha . Végtele sorok. Bevezetés és defiíciók Bevezetéskét próbáljuk meg az 4... végtele összegek értelmet adi. Mivel végtele sokszor em tuduk összeadi, emiatt csak az első tagot adjuk össze: legye s = 4 8 =,

Részletesebben

Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar. Analízis 1. Írásbeli tételek. Készítette: Szántó Ádám Tavaszi félév

Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar. Analízis 1. Írásbeli tételek. Készítette: Szántó Ádám Tavaszi félév Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Iformatikai Kar Aalízis. Írásbeli tételek Készítette: Szátó Ádám 20. Tavaszi félév . Archimedes tétele. Tétel: a > 0 és b R : N : b < a. Bizoyítás: Idirekt úto tegyük fel, hogy

Részletesebben

Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar. Analízis 1. Írásbeli beugró kérdések. Készítette: Szántó Ádám Tavaszi félév

Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar. Analízis 1. Írásbeli beugró kérdések. Készítette: Szántó Ádám Tavaszi félév Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Iformatikai Kar Aalízis 1. Írásbeli beugró kérdések Készítette: Szátó Ádám 2011. Tavaszi félév 1. Írja le a Dedekid-axiómát! Legyeek A R, B R. Ekkor ha a A és b B : a b, akkor

Részletesebben

Matematikai statisztika

Matematikai statisztika Matematikai statisztika PROGRAMTERVEZŐ INFORMATIKUS alapszak, A szakiráy Arató Miklós Valószíűségelméleti és Statisztika Taszék Természettudomáyi Kar 2019. február 18. Arató Miklós (ELTE) Matematikai statisztika

Részletesebben

Analízis feladatgy jtemény II.

Analízis feladatgy jtemény II. Oktatási segédayag a Programtervez matematikus szak Aalízis I. tatárgyához (003004. taév szi félév) Aalízis feladatgy jteméy II. Összeállította Szili László 003 Tartalomjegyzék I. Feladatok 3. Valós sorozatok.......................................

Részletesebben

Nevezetes sorozat-határértékek

Nevezetes sorozat-határértékek Nevezetes sorozat-határértékek. Mide pozitív racioális r szám eseté! / r 0 és! r +. Bizoyítás. Jelöljük p-vel, illetve q-val egy-egy olya pozitív egészt, melyekre p/q r, továbbá legye ε tetszőleges pozitív

Részletesebben

1. Adatok közelítése. Bevezetés. 1-1 A közelítő függvény

1. Adatok közelítése. Bevezetés. 1-1 A közelítő függvény Palácz Béla - Soft Computig - 11-1. Adatok közelítése 1. Adatok közelítése Bevezetés A természettudomáyos feladatok megoldásához, a vizsgált jeleségek, folyamatok főbb jellemzői közötti összefüggések ismeretére,

Részletesebben

Hipotézis-ellenırzés (Statisztikai próbák)

Hipotézis-ellenırzés (Statisztikai próbák) Következtetı statisztika 5. Hipotézis-elleırzés (Statisztikai próbák) 1 Egymitás próbák Átlagra, aráyra, Szórásra Hipotézis-vizsgálat Áttekités Egymitás em paraméteres próbák Függetleségvizsgálat Illeszkedésvizsgálat

Részletesebben

24. tétel A valószínűségszámítás elemei. A valószínűség kiszámításának kombinatorikus modellje.

24. tétel A valószínűségszámítás elemei. A valószínűség kiszámításának kombinatorikus modellje. 24. tétel valószíűségszámítás elemei. valószíűség kiszámításáak kombiatorikus modellje. GYORISÁG ÉS VLÓSZÍŰSÉG meyibe az egyes adatok a sokaságo belüli részaráyát adjuk meg (törtbe vagy százalékba), akkor

Részletesebben

Valószín ségszámítás (jegyzet)

Valószín ségszámítás (jegyzet) Valószí ségszámítás (jegyzet) Csiszár Vill 9. február 8.. Valószí ségi mez Két bevezet példa: ) Osztozkodási probléma (494, helyes megoldás több, mit évvel kés bb, Pascal, Fermat): Két játékos fej-írás

Részletesebben

VÉLETLENÍTETT ALGORITMUSOK. 1.ea.

VÉLETLENÍTETT ALGORITMUSOK. 1.ea. VÉLETLENÍTETT ALGORITMUSOK 1.ea. 1. Bevezetés - (Mire jók a véletleített algoritmusok, alap techikák) 1.1. Gyorsredezés Vegyük egy ismert példát, a redezések témaköréből, méghozzá a gyorsredezés algoritmusát.

Részletesebben

Gyakorló feladatok II.

Gyakorló feladatok II. Gyakorló feladatok II. Valós sorozatok és sorok Közgazdász szakos hallgatókak a Matematika B című tárgyhoz 2005. október Valós sorozatok elemi tulajdoságai F. Pozitív állítás formájába fogalmazza meg azt,

Részletesebben

2. egy iskola tanulói, a változók: magasságuk cm-ben, súlyuk (tömegük) kilóban; 3. egy iskola tanulói, a változó: tanulmányi átlaguk;

2. egy iskola tanulói, a változók: magasságuk cm-ben, súlyuk (tömegük) kilóban; 3. egy iskola tanulói, a változó: tanulmányi átlaguk; Statisztika Tegyük fel, hogy va egy halmazuk, és tekitsük egy vagy több valószíűségi változót, amelyek a halmaz mide elemé felveszek valamilye értéket. A halmazt populációak vagy sokaságak evezzük. Példák:

Részletesebben

Hajós György Versenyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 2011

Hajós György Versenyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 2011 1 Molár-Sáska Gáboré: Hajós György Verseyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 011 1. Írja fel a számokat 1-tıl 011-ig egymás utá! Határozza meg az így kapott agy szám 0-cal való osztási maradékát!. Az { }

Részletesebben

7. el adás Becslések és minta elemszámok. 7-1. fejezet Áttekintés

7. el adás Becslések és minta elemszámok. 7-1. fejezet Áttekintés 7. el adás Becslések és mita elemszámok 7-1. fejezet Áttekités 7-1 Áttekités 7- A populáció aráy becslése 7-3 A populáció átlag becslése: σismert 7-4 A populáció átlag becslése: σem ismert 7-5 A populáció

Részletesebben

Abszolút folytonos valószín ségi változó (4. el adás)

Abszolút folytonos valószín ségi változó (4. el adás) Abszolút folytonos valószín ségi változó (4. el adás) Deníció (Abszolút folytonosság és s r ségfüggvény) Az X valószín ségi változó abszolút folytonos, ha van olyan f : R R függvény, melyre P(X t) = t

Részletesebben

Metrikus terek. továbbra is.

Metrikus terek. továbbra is. Metrius tere továbbra is. Defiíció: Legye X egy halmaz, d : X X R egy függvéy. Azt modju, hogy d metria (távolság), ha.. 3. 4. d d d d x, x 0, x, y 0 x y, x, y dy, x, x, z dx, y dy, z. Az X halmazt a d

Részletesebben

ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA

ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA Szerkesztette: Balogh Tamás 202. július 2. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a ifo@baloghtamas.hu e-mail címe! Ez a Mű a Creative Commos Nevezd meg! - Ne add

Részletesebben

Matematikai statisztika

Matematikai statisztika Matematka statsztka 8. elıadás http://www.math.elte.hu/~arato/matstat0.htm Kétmtás eset: függetle mták + + + = + ) ( ) ( ) ( Y Y X X Y X m m m t m Ha smert a szórás: (X elemő, σ szórású, Y m elemő, σ szórású),

Részletesebben

Kevei Péter. 2013. november 22.

Kevei Péter. 2013. november 22. Valószíűségelmélet feladatok Kevei Péter 2013. ovember 22. 1 Tartalomjegyzék 1. Mérhetőség 4 2. 0 1 törvéyek 12 3. Vektorváltozók 18 4. Véletle változók traszformáltjai 28 5. Várható érték 33 6. Karakterisztikus

Részletesebben

Számsorozatok. 1. Alapfeladatok december 22. sorozat határértékét, ha. 1. Feladat: Határozzuk meg az a n = 3n2 + 7n 5n létezik.

Számsorozatok. 1. Alapfeladatok december 22. sorozat határértékét, ha. 1. Feladat: Határozzuk meg az a n = 3n2 + 7n 5n létezik. Számsorozatok 2015. december 22. 1. Alapfeladatok 1. Feladat: Határozzuk meg az a 2 + 7 5 2 + 4 létezik. sorozat határértékét, ha Megoldás: Mivel egy tört határértéke a kérdés, ezért vizsgáljuk meg el

Részletesebben

Valószín ségszámítás 2 gyakorlat Alkalmazott matematikus szakirány

Valószín ségszámítás 2 gyakorlat Alkalmazott matematikus szakirány Valószí ségszámítás gyakorlat Alkalmazott matematikus szakiráy Játékszabályok Az óráko részt kell vei, maximum 3-szor lehet hiáyozi. Aki többször hiáyzik, em ka gyakjegyet. 00 + x otot lehet szerezi a

Részletesebben

Debreceni Egyetem. Kalkulus példatár. Gselmann Eszter

Debreceni Egyetem. Kalkulus példatár. Gselmann Eszter Debrecei Egyetem Természettudomáyi és Techológiai Kar Kalkulus példatár Gselma Eszter Debrece, 08 Tartalomjegyzék. Valós számsorozatok Elméleti áttekités........................................................

Részletesebben

Mo= argmax f(x), ha X abszolút folytonos; Mo= argmax P (X = x i ), ha X diszkrét.

Mo= argmax f(x), ha X abszolút folytonos; Mo= argmax P (X = x i ), ha X diszkrét. Segédayag a Matematikai statisztika tatárgyhoz 09 április 0 Leíró statisztika A statisztikai elemzések egyik legfotosabb eszközei a viszoyszámok A viszoyszám két statisztikai adat háyadosa Jelölések: V

Részletesebben

Empirikus szórásnégyzet

Empirikus szórásnégyzet Empirikus égyzet Mi lee hasoló szellembe a becslése a mita alapjá? Empirikus égyzet Mi lee hasoló szellembe a becslése a mita alapjá? Az átlagtól való égyzetes eltérést kée átlagoli... Empirikus égyzet

Részletesebben

Approximációs tételek a kupongyűjtő problémában. Doktori (Ph.D.) értekezés tézisei

Approximációs tételek a kupongyűjtő problémában. Doktori (Ph.D.) értekezés tézisei Approximációs tételek a kupogyűjtő problémába Doktori Ph.D.) értekezés tézisei Pósfai Aa Témavezetők: Dr. Csörgő Sádor egyetemi taár és Dr. Adrew D. Barbour egyetemi taár Matematika- és Számítástudomáyok

Részletesebben

Kalkulus gyakorlat - Megoldásvázlatok

Kalkulus gyakorlat - Megoldásvázlatok Kalkulus gyakorlat - Megoldásvázlatok Fizika BSc I/. gyakorlat. Tétel Newto Leibiz. Ha f folytoos az a, b] itervallumo és F primitív függvéye f-ek, akkor b a f F b F a.. Számítsuk ki az alábbi racioális

Részletesebben

3.1. A Poisson-eloszlás

3.1. A Poisson-eloszlás Harmadik fejezet Nevezetes valószíűségi változók Valamely valószíűségi változóhoz kapcsolódó kérdésekre akkor tuduk potos választ adi, ha a változó eloszlása ismert, vagy megközelítőleg ismert. Ebbe a

Részletesebben

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198.

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198. ALGEBRA MÁSODFOKÚ POLINOMOK. Határozzuk meg az + p + q = 0 egyelet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 98.. Határozzuk meg az összes olya pozitív egész p és q számot, amelyre az

Részletesebben

ANALÍZIS 1. I. VIZSGA január 11. Mérnök informatikus szak α-variáns Munkaidő: 90 perc., vagyis z 2 1p = i 1p = ( cos 3π 2 2

ANALÍZIS 1. I. VIZSGA január 11. Mérnök informatikus szak α-variáns Munkaidő: 90 perc., vagyis z 2 1p = i 1p = ( cos 3π 2 2 ANALÍZIS. I. VIZSGA. jauár. Mérök iformatikus szak α-variás Mukaidő: perc. feladat pot) Adja meg az z 4 i)z i egyelet összes megoldását. i + i) + 4i + 4 i +, vagyis z p i p cos 3 + i si ) 3 vagy z p i

Részletesebben

min{k R K fels korlátja H-nak} a A : a ξ : ξ fels korlát A legkisebb fels korlát is:

min{k R K fels korlátja H-nak} a A : a ξ : ξ fels korlát A legkisebb fels korlát is: . A szupréum elv. = H R felülr l körlátos H fels korlátai között va legkisebb, azaz A és B a A és K B : a K Ekkor ξ-re: mi{k R K fels korlátja H-ak} } a A : a ξ : ξ fels korlát A legkisebb fels korlát

Részletesebben

1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3

1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3 Dr. Tóth László, Fejezetek az elemi számelméletből és az algebrából (PTE TTK, 200) Számelméleti függvéyek Számelméleti függvéyek értékeire voatkozó becslések A τ() = d, σ() = d d és φ() (Euler-függvéy)

Részletesebben

Tudjuk, hogy az optimumot az ún. regressziós görbe szolgáltatja, melynek egyenlete:

Tudjuk, hogy az optimumot az ún. regressziós görbe szolgáltatja, melynek egyenlete: æ REGRESSZIÓANALÍZIS Az alapprobléma a következő: Az X, Y v.v. együttes eloszlásáak ismeretébe közelítei szereték Y-t X mérhető t fv.-ével legkisebb égyzetes értelembe: E(Y t(x)) 2 mi. t be. Tudjuk, hogy

Részletesebben

ezek alapján kívánunk dönteni. Ez formálisan azt jelenti, hogy ellenőrizni akarjuk,

ezek alapján kívánunk dönteni. Ez formálisan azt jelenti, hogy ellenőrizni akarjuk, A deceber -i gyakorlat téája A hipotézisvizsgálat fotos probléája a következő két kérdés vizsgálata. a) Egy véletle eyiség várható értékéek agyságáról va bízoyos feltevésük. Elleőrizi akarjuk e feltevés

Részletesebben

x, x R, x rögzített esetén esemény. : ( ) x Valószínűségi Változó: Feltételes valószínűség: Teljes valószínűség Tétele: Bayes Tétel:

x, x R, x rögzített esetén esemény. : ( ) x Valószínűségi Változó: Feltételes valószínűség: Teljes valószínűség Tétele: Bayes Tétel: Feltételes valószínűség: Teljes valószínűség Tétele: Bayes Tétel: Valószínűségi változó általános fogalma: A : R leképezést valószínűségi változónak nevezzük, ha : ( ) x, x R, x rögzített esetén esemény.

Részletesebben

A figurális számokról (IV.)

A figurális számokról (IV.) A figurális számokról (IV.) Tuzso Zoltá, Székelyudvarhely A továbbiakba külöféle számkombiációk és összefüggések reprezetálásáról, és bizoyos összegek kiszámolásáról íruk. Sajátos összefüggések Az elekbe

Részletesebben

Matematikai statisztika gyakorlat Programtervez informatikus alapszak, A szakirány 2018/2019 tavaszi félév Megoldások, végeredmények

Matematikai statisztika gyakorlat Programtervez informatikus alapszak, A szakirány 2018/2019 tavaszi félév Megoldások, végeredmények Matematikai statisztika gyakorlat Programtervez iformatikus alapszak, A szakiráy 8/9 tavaszi félév Megoldások, végeredméyek. A. évi épszámlálás alapjá a -4 év közötti épesség emek szeriti megoszlása Forrás:

Részletesebben

Taylor-sorok alkalmazása numerikus sorok vizsgálatára

Taylor-sorok alkalmazása numerikus sorok vizsgálatára Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Természettudomáyi Kar Alkalmazott Aalízis és Számításmatematikai Taszék Taylor-sorok alkalmazása umerikus sorok vizsgálatára Szakdolgozat Készítette: Témavezet : Walter Petra

Részletesebben

Lineáris kódok. u esetén u oszlopvektor, u T ( n, k ) május 31. Hibajavító kódok 2. 1

Lineáris kódok. u esetén u oszlopvektor, u T ( n, k ) május 31. Hibajavító kódok 2. 1 Lieáris kódok Defiíció. Legye SF q. Ekkor S az F q test feletti vektortér. K lieáris kód, ha K az S k-dimeziós altere. [,k] q vagy [,k,d] q. Jelölések: F u eseté u oszlopvektor, u T (, k ) q sorvektor.

Részletesebben

10.M ALGEBRA < <

10.M ALGEBRA < < 0.M ALGEBRA GYÖKÖS KIFEJEZÉSEK. Mutassuk meg, hogy < + +... + < + + 008 009 + 009 008 5. Mutassuk meg, hogy va olya pozitív egész szám, amelyre 99 < + + +... + < 995. Igazoljuk, hogy bármely pozitív egész

Részletesebben

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8 Név, Neptu-kód:.................................................................... 1. Legyeek p, q Q tetszőlegesek. Mutassuk meg, hogy ekkor p q Q. Tegyük fel, hogy p, q Q. Ekkor létezek olya k 1, k 2,

Részletesebben

Andai Attila: november 13.

Andai Attila: november 13. Adai Attila: Aalízis éháy fejezete bizoyításokkal Óravázlat 006. ovember 13. Ebbe az óravázlatba az órá elhagzott defiíciókat és a bizoyított tételeket gyűjtöttem össze. i Elemi sorok és függvéyek 1 1.

Részletesebben

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet Debrecei Egyetem Közgazdaság- és Gazdaságtudomáyi Kar Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz a megoldásra feltétleül ajálott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottak

Részletesebben

Algebra gyakorlat, 3. feladatsor, megoldásvázlatok

Algebra gyakorlat, 3. feladatsor, megoldásvázlatok Algebra gyakorlat, 3. feladatsor, megoldásvázlatok 1. a) Z(G), mert az egységelem yilvá felcserélhet mide G-beli elemmel. Továbbá Z(G) zárt a szorzásra, mert ha a, b Z(G), akkor tetsz leges g G-re (ab)g

Részletesebben

Rudas Tamás: A hibahatár a becsült mennyiség függvényében a mért pártpreferenciák téves értelmezésének egyik forrása

Rudas Tamás: A hibahatár a becsült mennyiség függvényében a mért pártpreferenciák téves értelmezésének egyik forrása Rudas Tamás: A hibahatár a becsült meyiség függvéyébe a mért ártrefereciák téves értelmezéséek egyik forrása Megjelet: Agelusz Róbert és Tardos Róbert szerk.: Mérésről mérésre. A választáskutatás módszertai

Részletesebben

hogy alkalmas konstrukcióval megadható-e olyan sztochasztikus folyamat, melynek ezek

hogy alkalmas konstrukcióval megadható-e olyan sztochasztikus folyamat, melynek ezek Wieer folyamatok A következő két feladat azt mutatja, hogy az az eseméy, hogy egy sztochasztikus folyamat folytoos trajektóriájú-e vagy sem em határozható meg a folyamat véges dimeziós eloszlásai segítségével,

Részletesebben

Valószín ségszámítás és statisztika gyakorlat Programtervez informatikus szak, esti képzés

Valószín ségszámítás és statisztika gyakorlat Programtervez informatikus szak, esti képzés Valószí ségszámítás és statisztika gyakorlat Programtervez iformatikus szak, esti képzés.) Egy érmével dobuk. Ha az eredméy fej, akkor még egyszer dobuk, ha írás, akkor még kétszer. a.) Mik leszek a kísérletet

Részletesebben

1 n. 8abc (a + b) (b + c) (a + c) 8 27 (a + b + c)3. (1 a) 5 (1 + a)(1 + 2a) n + 1

1 n. 8abc (a + b) (b + c) (a + c) 8 27 (a + b + c)3. (1 a) 5 (1 + a)(1 + 2a) n + 1 A tárgy címe: ANALÍZIS A-B-C + gyakorlat Beroulli-egyelőtleség Ha N és h R, akkor + h + h Mikor va itt egyelőség? Léyeges-e a h feltétel? Számtai-mértai közép Bármely N és,, R, k 0 k =,, választással k

Részletesebben

Véletlen jelenség: okok rendszere hozza létre - nem ismerhetjük mind, ezért sztochasztikus.

Véletlen jelenség: okok rendszere hozza létre - nem ismerhetjük mind, ezért sztochasztikus. Valószín ségelméleti és matematikai statisztikai alapfogalmak összefoglalása (Kemény Sándor - Deák András: Mérések tervezése és eredményeik értékelése, kivonat) Véletlen jelenség: okok rendszere hozza

Részletesebben

hidrodinamikai határátmenet

hidrodinamikai határátmenet Véletle közegű kizárási folyamat, hidrodiamikai határátmeet Diplomamuka Írta Horváth Aja Alkalmazott matematikus szak Témavezető: Nagy Katali Egyetemi doces Differeciálegyeletek Taszék Budapesti Műszaki

Részletesebben

1. Példa. A gamma függvény és a Fubini-tétel.

1. Példa. A gamma függvény és a Fubini-tétel. . Példa. A gamma függvény és a Fubini-tétel.. Az x exp x + t )) függvény az x, t tartományon folytonos, és nem negatív, ezért alkalmazható rá a Fubini-tétel. I x exp x + t )) dxdt + t dt π 4. [ exp x +

Részletesebben