MATEMATIKA A 11. évfolyam 2. modul: Hatványozás kiterjesztése, hatványfüggvény

Átírás

1 MATEMATIKA A. évfolym. modul: Htváyozás kiterjesztése, htváyfüggvéy Készítette: Csákvári Áges és Dros Noémi Áges

2 Mtemtik A. évfolym. modul: Htváyozás kiterjesztése, htváyfüggvéy Tári útmuttó A modul célj Időkeret Ajálott korosztály Modulkpcsolódási potok A htváyozás kiterjesztése pozitív lp eseté rcioális kitevőkre. A htváyozás zoosságik ismerete, műveletek végzése, lklmzás feldtok. Az -edik gyökre votkozó zoosságok ismerete, műveletek végzése, lklmzás feldtok. Htváyfüggvéy és gyökfüggvéy grfikoják árázolás, függvéyek jellemzése. Gyökfüggvéy mit htváyfüggvéy iverze. ór. osztály Tág köryezete: Fiziki, kémii, gzdsági folymtok. Szűke köryezete: Geometrii trszformációk. A logritmus foglm, epoeciális kifejezések. Logritmikus és epoeciális egyeletek, egyeletredszerek, egyelőtleségek. Logritmusfüggvéy, epoeciális függvéy. Vektorok. Soroztok, kmtoskmt számítás. Ajálott megelőző tevékeységek: A htváyozás értelmezése 0 és egtív egész kitevőre, htváyozás zoossági. A égyzetgyökre votkozó zoosságok, gyökjel lól vló kihoztl, gyökjel lá vló evitel, törtek evezőjéek gyökteleítése. Másodfokú, szolútérték és égyzetgyök függvéy grfikoják árázolás, függvéyek jellemzése. Vektorok, geometrii trszformációk. Másodfokú, szolútértékes és égyzetgyökös egyeletek, egyelőtleségek megoldás. Ajálott követő tevékeységek: A logritmus értelmezése. A logritmus mit htváyozás iverz művelete. Epoeciális kifejezések értelmezése. A logritmus zoossági. A logritmus és z epoeciális függvéy. Logritmusos és epoeciális egyeletek, egyelőtleségek, egyeletredszerek megoldás. Mérti soroztok, kmtos-kmt számítás. Az lízis elemei.

3 Mtemtik A. évfolym. modul: Htváyozás kiterjesztése, htváyfüggvéy Tári útmuttó A képességfejlesztés fókuszi Számolás, számlálás, számítás: Htváyértékek kiszámítás. Függvéyérték, zérushely, szélsőérték kiszámítás. Koordiát-redszere grfiko potjik meghtározás. Becslés, mérés, vlószíűségi szemlélet: Koordiát-redszere irrcioális, illetve rcioális koordiátájú potok helyéek meghtározás. Szöveges feldtok, metkogíció: Az elméleti yg feldolgozás. Redszerezés, komitív godolkodás: A htváyozásr és égyzetgyökre votkozó zoosságok átismétlése. A htváyozás zoosságik lklmzás. Az. gyökre votkozó zoosságok lklmzás. Összetett függvéyek grfikoják rjzolás függvéytrszfromációkkl. Függvéyek jellemzése. Kpcsolt htváy- és gyökfüggvéy között. Kpcsolt páros kitevőjű htváyfüggvéyek között. Kpcsolt pártl kitevőjű htváyfüggvéyek között. Kpcsolt páros kitevőjű gyökfüggvéyek között. Kpcsolt pártl kitevőjű gyökfüggvéyek között. Értelmezési trtomáy vizsgált. Iduktív, deduktív következtetés: A htváyozás zoosságik lklmzás áltláos és kokrét esete. Az. gyökre votkozó zoosságok lklmzás áltláos és kokrét esete. A htváyozás és gyök defiícióják kiterjesztése permeci-elv lpjá. Htváyfüggvéy és gyökfüggvéy grfikoják árázolás kokrét esete, mjd áltláosítv. Függvéytrszformációk lklmzás kokrét eseteke. TÁMOGATÓ RENDSZER Táláztok, grfikook, kidolgozott elméleti yg, totó. dr kártykészlet, fóli (külö dokumetumok).

4 Mtemtik A. évfolym. modul: Htváyozás kiterjesztése, htváyfüggvéy Tári útmuttó JAVASOLT ÓRABEOSZTÁS. ór A htváyozásról tultk ismétlése ( ór). ór A égyzetgyökről tultk ismétlése ( ór). ór Az -edik gyök ( ór). ór A htváyfüggvéy és gyökfüggvéy ( ór). ór A htváyozás kiterjesztése rcioális kitevőre ( ór) ÉRETTSÉGI KÖVETELMÉNYEK Középszit A htváyozás értelmezése rcioális kitevő eseté. Ismerje és hszálj htváyozás zoosságit. Defiiálj és hszálj z foglmát. Ismerje és lklmzz égyzetgyökvoás zoosságit. Az iverzfüggvéy foglmák szemléletes értelmezése. Tudjo értéktálázt és képlet lpjá függvéyt árázoli, illetve dtokt leolvsi grfikoról. Tudjo éháy lépéses trszformációt igéylő függvéyeket függvéytrszformációk segítségével árázoli [f () + c f ( + c) c f () f (c ) ]. Tudj árázoli z f () g () és h () függvéyek grfikoját. Függvéyek jellemzése értékkészlet, zérushely, övekedés, fogyás, szélsőérték, pritás szempotjáól. Emelt szit Permeci-elv. Irrcioális kitevőjű htváy értelmezése szemléletese. Bizoyíts htváyozás zoosságit egész kitevők eseté. Bizoyíts égyzetgyökvoás zoosságit. Tudj árázoli z f () függvéyt. Tudjo témá trtozó függvéyekől összetett függvéyeket képezi, vlmit e függvéyek trszformáltjik grfikoját elkészítei (c f( + ) +d).

5 Mtemtik A. évfolym. modul: Htváyozás kiterjesztése, htváyfüggvéy Tári útmuttó MODULVÁZLAT Lépések, tevékeységek Kiemelt készségek, képességek Eszköz/ Feldt/ Gyűjteméy I. A htváyozásról tultk ismétlése ( ór). A htváyozás és htváyozás zoosságik ismétlése. Redszerezés, komitív godolkodás. A htváyozás zoosságik gykorlás. A mitpéldák közös Számolás, számítás, komitív megeszélése. godolkodás.. Feldtok megoldás. kártykészlet. és. mitpéldák. feldtokól válogtv II. A égyzetgyökvoásról tultk ismétlése ( ór). A égyzetgyökvoás, és égyzetgyökvoás zoosságik Redszerezés, komitív godolkodás. mitpéld ismétlése. A mitpéld közös megeszélése.. A égyzetgyökvoás zoosságik gykorlás. Számolás, számítás, komitív. kártykészlet. Feldtok megoldás godolkodás.. feldtokól válogtv III.Az -edik gyök ( ór). Az -edig gyök foglmák evezetése. Redszerezés, komitív godolkodás, iduktív, deduktív godolkodás. Mide csoport osszuk ki A, B, C, D jelű kártyákt, differeciálv tulók képességei szerit. Szétválk csoportok z A, B, C, D jelek szerit, z zoos etűsök dolgozk most együtt. H elkészültek csoportok, mideki visszmegy sját csoportjá, és töiekek elmodj feldták megoldását Számolás, számítás, komitív godolkodás.. és. mitpéldák. feldtokól válogtv. Feldtok megoldás Komitív godolkodás., 8. feldtokól válogtv

6 Mtemtik A. évfolym. modul: Htváyozás kiterjesztése, htváyfüggvéy Tári útmuttó IV. Htváyfüggvéy és gyökfüggvéy ( ór). Htváyfüggvéy és z -edik gyök függvéy grfikoj és jellemzése: A tulók fős csoportokt lkotk. A tár mide csoport kiosztj. kártykészlete tlálhtó feldtkártyákt. Akik ugyzt kártyát kpták, mejeek egy közös sztlhoz, és készítseek plkátot kártyájuko tlálhtó függvéyekről: Htározzák meg függvéyek értelmezési trtomáyát, mjd árázolják zokt közös koordiát-redszere és jellemezzék is. H elkészültek, mideki visszmegy sját csoportjához, és csoportforgóvl köre meek. Mide plkátál z mgyráz, ki plkát készítésée részt vett.. Kpcsolt htváyfüggvéy és gyökfüggvéy között: A tulók csoportoko elül párok dolgozk. A tár mide csoport szétosztj feldtkártyákt és etűket. kártykészletől. Mideki sját kártyáják megfelelőe közös koordiát-redszere árázolj függvé yeket, és jellemzi is függvéyeket egymás mellett, két oszlop, hogy mitpéldák is szerepel. H késze vk feldtikkl, elmodják egymásk tpsztltikt, kielemezve z oszlopok trtlmát.. Értelmezési trtomáy vizsgált: mitpéldák feldolgozás, mjd fős csoportok gykorlás (egy csoporto elül tulók megoldk - példát, mjd kicserélik és kijvítják egymásét). Függvéyek árázolás, és függvéy jellemzése: mitpéldák feldolgozás, mjd fős csoportok gykorlás (egy csoporto elül tulók megoldk - példát, mjd kicserélik és kijvítják egymásét) Redszerezés, komitív godolkodás, iduktív, deduktív godolkodás, számolás, számlálás, metkogíció, ecslés Redszerzés, komitív godolkodás, számlálás. és. kártykészlet. fóli 0. mitpéldákól válogtv 9. feldtokól válogtv.,. mitpéldák. kártykészlet Komitív godolkodás, számolás. mitpéld.,. feldtok Komitív godolkodás, deduktív godolkodás, számlálás, számolás. mitpéldák. feldtokól válogtv

7 Mtemtik A. évfolym. modul: Htváyozás kiterjesztése, htváyfüggvéy Tári útmuttó V. A htváyozás kiterjesztése rcioális kitevőre ( ór). A htváyozás kiterjesztése rcioális kitevőre. Redszerezés, komitív godolkodás 9. mitpéldák A mitpéldák közös megeszélése.. Domió játék. A törtkitevős htváyok gykorlásár, foglom. kártykészlet elmélyítésére. Mide csoportk djuk dr kártyát. Feldtuk felfelé fordítv kirki domiókt úgy, hogy mide kifejezéshez megtlálják hozzátrtozó értéket.. Feldtok megoldás Számolás, számítás, komitív 8. feldtokól válogtv. Mtemtiki TOTÓ. Mide tuló egyedül dolgozik feldtoko. H letelt z idő, vgy elkészültek tulók, kkor mideki átdj pdtársák füzetét, ki feldtok közös megeszélése lpjá kijvítj TOTÓ-t. A hiátl kitöltőket megjutlmzhtjuk. godolkodás. TOTÓ

8 Mtemtik A. évfolym Tári útmuttó 8 I. A htváyozásról tultk ismétlése Az előző évek sorá, megismerkedtük vlós számok egész kitevőjű htváyivl, vlmit htváyozás zoosságivl, illetve égyzetgyökvoássl és égyzetgyökös zoosságokkl. Ezeket z ismereteiket szereték kiővítei, de elő ismételjük át tultkt. Htváyozás egész kitevőre K, hol R, >, N dr téyező, h R. 0 0, h 0, R.( 0 -t em értelmezzük) +, h 0, R, N Módszerti megjegyzés: Mide csoportk pkli kártyát duk. A csoport mide tgj válszt mgák egy pklit, mjd megoldj feldtokt. Az öálló feldt megoldás utá csoport megeszéli mide feldt megoldását, vlmit közöse megpróálják felíri htváyozás zoosságit. A tár felír egyet z zoosságok közül, mjd húz egy csoportszámot és egy jelet. Az diák, kiek jelét kihúzták, tálár felírj hozzá trtozó kifejezéseket, töiek elleőrzik, hogy jót írt-e.. kártykészlet I. Pkli 8 ( ) II. Pkli 9 0 ( ) III. Pkli ( ) 0 IV. Pkli ( )

9 . modul: Htváyozás kiterjesztése, htváyfüggvéy Tári útmuttó 9 Mitpéld Számítsuk ki kifejezés potos értékét! Az lpokt írjuk fel prímszámok szorztkét és lklmzzuk htváyozás zoosságit: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 8 Mitpéld Az -k háydik htváy z ( ) ( ) ( ) 9 kifejezés? Botsuk fel zárójeleket és lklmzzuk htváyozás zoosságit, h 0 : Tehát kifejezés -k. htváy. Feldtok. Melyik szám gyo? ) vgy ( ) ) 9 vgy A htváyozás zoossági A htváyozás defiíciójá felsorolt feltételek eseté:. m m +. m m 0. ( ). 0. ( ) m m

10 Mtemtik A. évfolym Tári útmuttó 0 c) 0 0 vgy d) 9 vgy 0 9 e) 8 vgy 90 0 f) 0 8 vgy 8 ) 8 < ) c) 0 < d) < e) > f) >. Hozd egyszerű lkr következő kifejezéseket! ) ( ) ( ) ( ) ( ) 8 ) ( ) ( ) ( ) c) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 c c c c c d) ( ) ( ) ( ) e) ( ) ( ) ( ) ( ) f) ) 8 ) c) 8 c c c d) e) 8 8 f). Rkd övekvő sorrede következő számokt! ( ) 0 0,,, 9 0,0 0, 8 ( ) 0 0, < < < < < < <

11 . modul: Htváyozás kiterjesztése, htváyfüggvéy Tári útmuttó. Írd fel következő kifejezéseket törtmetes lk! 9. Írd fel következő kifejezéseket egtív kitevő hszált élkül!

12 Mtemtik A. évfolym Tári útmuttó II. A égyzetgyökről tultk ismétlése A égyzetgyök H 0, kkor jelöli zt emegtív számot, melyek égyzete. A égyzetgyökre votkozó zoosságok. 0, 0. 0, > 0 k k. ( ) > 0, k Z Mitpéld Htározzuk meg z lái kifejezések értékét! ) 8 ) c) d) ( 9) e) ( ) f) ) Alklmzzuk égyzetgyökre votkozó. zoosságot: 8 ) c) Alklmzzuk égyzetgyökre votkozó. zoosságot, mjd lklmzzuk z összeg és külöség szorztár votkozó evezetes zoosságot: ( 0 )( 0 + ) 0 ( ) d) Felotjuk zárójelet: e) Alklmzzuk kéttgú külöség égyzetére votkozó zoosságot: ( ) ( ) + ( ) f) Emeljük ki gyökjel lól: + 9 +

13 . modul: Htváyozás kiterjesztése, htváyfüggvéy Tári útmuttó Módszerti megjegyzés: Kártyjáték. A feldt összeillő kárty összegyűjtése. Egy megfelelő égyes zoos értékeket trtlmz. A tár mide sztlr kitesz egy összekevert ( dros) pklit írássl lefelé. Egy csoporto elül vlki kiosztj kártyákt. Midekiek - et d. Köre-köre hldv mideki letesz z sztl közepére egy számár felesleges lpot. H vlkiek kell z lp, felveheti középről, de le kell teie egy másikt. H megfelelő lpok ál vk, kkor viszot ő győzött. A győzelemért pot jár,. helyért pot,.- ért pot,. helyért pedig 0. H v idő, tö meetet is lejátszhtk.. kártykészlet Feldtok. Végezd el következő műveleteket! ) ) 8 8 c) ( ) f) g) ( + ) ( 9 ) h) e) ) ) c) 9 d) e) 8 9 f) g) h) 8 98 d)

14 Mtemtik A. évfolym Tári útmuttó. Melyik szám gyo? ) vgy 9 ) 90 ( 0 ) vgy + c) vgy ( ) ) < ) c) > 8. Htározd meg z lái kifejezések potos értékét! ) + ) + ) 9 ) 9. Htározd meg z lái kifejezések potos értékét! ) ( + ) ) ( ) c) d) + ) ) c) d) Végezd el következő műveleteket! ) ) c) + 9 d) ) ) c) + d) + 8

15 . modul: Htváyozás kiterjesztése, htváyfüggvéy Tári útmuttó. Melyik szám gyo? ) vgy ) vgy ) > ) < 8. Gyökteleítsd következő törtek evezőjét! ) ) c) d) e) + ) ) c) d) + e)

16 Mtemtik A. évfolym Tári útmuttó III. Az -edik gyök Mitpéld Egy kock térfogt Mivel kock térfogt: cm. Mekkor kock éléek hossz? V, ezért hrmdik htváy. Ez szám z, mert.. Azt számot keressük, melyek Az vlós szám kögyöke z vlós szám, melyek hrmdik htváy : ( ) Például, mert. Mitpéld Két kock térfogták külösége 0 cm, élhosszuk külösége cm. Számítsuk ki térfogtuk ráyát! Mekkor hsolóság ráy? Jelöljük kiseik kock éléek hosszát -vl, ekkor térfogt: V. A gyoik kock éléek hossz ekkor + Külöségük: V 0 ( + ) 0 V. Felhszálv ( ), térfogt: ( ) V evezetes zoosságot: A redezés utá egy másodfokú egyeletet kpuk: + 0. A másodfokú egyelet megoldóképletét lklmzv: ( ) ±, 8. Egy kock élhossz csk pozitív szám lehet, ezért. V, V ( + ) 8 Eől 8 Hsoló testek térfogták ráy hsolóság ráyák köével egyelő: V V 8 λ λ, mert. A kockák térfogtik ráy, hsolóság ráy.

17 . modul: Htváyozás kiterjesztése, htváyfüggvéy Tári útmuttó Az előzőek lpjá defiiáljuk gyököt áltláos formá is, de meg kell külööztetük páros és pártl eseteket. Páros gyökkitevő eseté defiíció hsoló lesz égyzetgyök, pártl gyökkitevő eseté kögyök defiíciójához. Az -edik gyök defiíciój Páros pozitív egész -re z emegtív vlós szám -edik gyöke z emegtív vlós szám, melyek z -edik htváy. Például: 8, mert 8, mert. Pártl, -él gyo egész -re z vlós szám -edik gyöke z vlós szám, melyek z -edik htváy. Például:, mert, mert ( ). Jelölés: z szám -edik gyöke:. Megjegyzés: -re z -t em értelmezzük. Az -edik gyökre votkozó zoosságok A defiíció áltl megegedett értékekre. ( >, N)., h p, kkor 0, 0 (p N + )., 0 k. ( ) k m m.. m k mk, m, k Z\{0 }, N\{0 }

18 Mtemtik A. évfolym Tári útmuttó 8 Feldtok Mide csoport osszuk ki z A, B, C, D jelű kártyákt, differeciálv tulók képességei szerit. Szétválk csoportok z A, B, C, D jelek szerit, z zoos etűsök dolgozk most együtt. H elkészültek csoportok, mideki visszmegy sját csoportjá, és töiekek elmodj feldták megoldását. A csoporto elül összekeverik z A, B, C, D jelű kártyákt, mideki húz egyet. A feldt megoldását z ismerteti táláál, kiek csoport számát és etűjelét kihúzz tár. Az A jelűek feldt:. Számítsd ki következő kifejezések értékét! ) ) 8 c) 8 d) 9 e) f) 8 g) h) i) 8 j) 9 k) l) m) ) o) 8 p) ) ) c) d) e) f) g) h) 0 i) j) k) l) m) ) o) p) Az B jelűek feldt:. Számítsd ki következő kifejezések értékét! ) ( ) ) ) ( ) d) e) f) g) h) ) ) c) d) e) f) g) h)

19 . modul: Htváyozás kiterjesztése, htváyfüggvéy Tári útmuttó 9 Az C jelűek feldt:. Melyik szám gyo? ) vgy ) vgy ) < ) < Az D jelűek feldt:. Keresd meg párját! ) A) 9 ) B) 80 c) 8 C) d) D) 9 ) B) vgy C) ) 8 A) 8 c) D) d) B) vgy C). Htározd meg z lái kifejezések potos értékét! ) ) + ) ) +

20 Mtemtik A. évfolym Tári útmuttó 0 8. Hozd egyszerű lkr következő kifejezéseket! ) ( 0) c) ( > 0) ( ) ) ( 0) d) ( > 0) ) ) 8 9 c) d) 8 8 8

21 . modul: Htváyozás kiterjesztése, htváyfüggvéy Tári útmuttó IV. Htváyfüggvéyek, gyökfüggvéyek Módszerti megjegyzés: Eddig tult függvéyek átismétlése kereksztl módszerrel. A tulók fős csoportokt lkotk. Előkészíteek három lpot. Az egyikre felírják Függvéyek, másikr Függvéytrszformációk, hrmdikr pedig Jellemzési szempotok szót. A lpokt idítsák el köre. Az egyiket elletétes iráy. A Függvéyek lpr írjk össze miél tö, eddig tult lpfüggvéyt. A Függvéytrszformációk lpr függvéytrszformációkt - kokrét példávl (képlete hogy jeleik meg, és z mit jelet). A hrmdik lpo pedig gyűjtsék össze z eddigi (+ ivertálhtóság) jellemzési szempotot. Mideki fölírj lpr, mit tud, illetve kiegészíti már leírtkt. H késze vk, közöse megeszélik. Itt lehet potozi csoport htékoyságát is. A htváyfüggvéy és z -edik gyökfüggvéy árázolás A tulók lkossk fős csoportokt. A tár mide csoport kiosztj.. kártykészlete tlálhtó feldtkártyákt.. kártykészlet,. fóli Akik ugyzt kártyát kpták, mejeek egy közös sztlhoz, és készítseek plkátot kártyájuko tlálhtó függvéyekről: Htározzák meg függvéyek értelmezési trtomáyát, mjd árázolják zokt közös koordiát-redszere és jellemezzék is. A tár evezetéskét ismerteti z m() 0, illetve z () függvéyeket (.8. fóli).. feldtkárty: f() g(). feldtkárty: h() k(). feldtkárty: () (). feldtkárty: c() d() H elkészültek, mideki visszmegy sját csoportjához, és csoportforgóvl köre meek. Mide plkátál z mgyráz, ki plkát készítésée részt vett.

22 Mtemtik A. évfolym Tári útmuttó. fóli Mitpéld Árázoljuk és jellemezzük z m() 0 és z () függvéyeket! Értelmezési trtomáyuk vlós számok hlmz. Jellemzés: m() 0 (). É.T. R R. É.K. {} R. zérushely ics 0. mootoitás kosts függvéy teljes értelmezési trtomáyo szigorú mooto övő. szélsőérték mide helye miimum és mimum ics v, melyek értéke.. pritás páros pártl

23 . modul: Htváyozás kiterjesztése, htváyfüggvéy Tári útmuttó Mitpéld Árázoljuk és jellemezzük vlós számok hlmzá értelmezett f() és g() függvéyeket! H szükséges, készítsük értéktáláztot. Jellemzés: Midkét függvéyre egyrát érvéyesek z lái tuljdoságok. É.T. R. É.K. R + {0}. zérushely 0. mootoitás 0: szig. mo. csökk. 0: szig. mo. övő. szélsőérték szolút miimumhely: 0 szolút miimumérték: f (0) 0. pritás páros Mitpéld 8 Készítsük el vlós számok hlmzá értelmezett h() és k() függvéyek grfikoját, és jellemezzük függvéyeket! H szükséges, készítsük értéktáláztot. Jellemzés: Midkét függvéyre egyrát érvéyesek z lái tuljdoságok. É.T. R. É.K. R. zérushely 0. mootoitás z teljes értelmezési trtomáyo szigorú mooto övő. szélsőérték ics. pritás pártl

24 Mtemtik A. évfolym Tári útmuttó Mitpéld 9 Árázoljuk és jellemezzük emegtív vlós számok hlmzá értelmezett () és () függvéyeket! H szükséges, készítsük értéktáláztot. Jellemzés: Midkét függvéyre egyrát érvéyesek z lái tuljdoságok. É.T. R + {0}. É.K. R + {0}. zérushely 0. mootoitás szigorú mooto övő. szélsőérték szolút miimumhely: 0 szolút miimumérték: f (0) 0. pritás em páros, em pártl Mitpéld 0 Árázoljuk és jellemezzük vlós számok hlmzá értelmezett c() és d() függvéyeket! H szükséges, készítsük értéktáláztot. Jellemzés:. É.T. R. É.K. R. zérushely 0. mootoitás szigorú mooto övő. szélsőérték ics. pritás pártl Válszolk z lái kérdésekre diákkvrtettel. (. kártykészlet) Diákkvrtett meete:. A tár d csoportokk egy etűjelet, vlmit csoport tgjik -től -ig egy sorszámot. De mgáál is trt egy etű- és egy számsoroztot.

25 . modul: Htváyozás kiterjesztése, htváyfüggvéy Tári útmuttó. Felolvss z első kérdést. Hgy pár percet, hogy csoportoko elül tulók megeszélhessék válszt.. Húz egy sorszámot és egy etűt. A kihúzott etűjelű csoport kihúzott sorszámú tgj válszol kérdésre.. Jó válsz eseté tár felolvss következő kérdést. Rossz válsz eseté megeszélik jót osztály szite.. kártykészlet Feldtok 9. Válszolj z lái kérdésekre! (Az 8. kérdések z f(), g(), h() és k() függvéyekre votkozk.). Milye összefüggést veszel észre z értékkészlet, és z kitevője között?. Milye összefüggést veszel észre eze kitevő és függvéy pritás között?. Melyek zok potok, melyeke mide páros kitevőjű htváyfüggvéy grfikoj áthld?. Melyek zok potok, melyeke mide pártl kitevőjű htváyfüggvéy grfikoj áthld?. E potok segítségével mit tudsz modi z f() és g() függvéyek grfikoják egymáshoz vló viszoyáról? Tudád-e áltláosíti ezt z észrevételt?. E potok segítségével mit tudsz modi z h() és k() függvéyek grfikoják egymáshoz vló viszoyáról? Tudád-e áltláosíti ezt z észrevételt?

26 Mtemtik A. évfolym Tári útmuttó. Elmodhtó-e pártl függvéyekről, hogy mide helyhez potos egy függvéyérték trtozik és fordítv, mide függvéyértékhez potos egy hely trtozik, vgyis függvéy kölcsööse egyértelmű? 8. Elmodhtó-e ez páros függvéyekről is? H em, tudsz-e z értelmezési trtomáyk oly részhlmzát modi, melyre teljesül? Most vizsgáljuk z (), (), c() és d() függvéyeket! 9. Milye összefüggést veszel észre z értékkészlet, és gyökkitevő között? 0. Milye összefüggést veszel észre gyökkitevő és függvéy pritás között?. Melyek zok potok, melyeke mide páros gyökkitevőjű függvéy grfikoj áthld?. Melyek zok potok, melyeke mide pártl gyökkitevőjű függvéy grfikoj áthld?. E potok segítségével mit tudsz modi z () és () függvéyek grfikoják egymáshoz vló viszoyáról? Tudád-e áltláosíti ezt z észrevételt?. E potok segítségével mit tudsz modi c() és d() függvéyek grfikoják egymáshoz vló viszoyáról? Tudád-e áltláosíti ezt z észrevételt?. Kölcsööse egyértelműek-e ezek függvéyek? Defiíciók: Mide vlós számhoz egyértelműe hozzáredelhetjük k -edik htváyát, hol N +. Az f (), N + hozzáredelési utsítássl kpott függvéyeket htváyfüggvéyekek evezzük. H > és pártl, kkor mide vlós számhoz hozzá tudjuk redeli k -edik gyökét. H pedig páros, kkor em egtív vlós számokhoz tudjuk egyértelműe hozzáredeli k -edik gyökét. A g (), N \ {0,} hozzáredelési utsítássl kpott függvéyeket gyökfüggvéyekek evezzük. Egy függvéy ivertálhtó, h kölcsööse egyértelmű.

27 . modul: Htváyozás kiterjesztése, htváyfüggvéy Tári útmuttó 0. Számítsd ki függvéyek értékét megdott helyeke! ) f () (+) {, 0 0, } ) g() { 0 0, } c) h() 0 {, } 8 d) k() { 8 0,0 } 8 ) f(,),0 f( ) 0 f, 0 f(0) f(0,) 0,0 f()8 9 ) g( ) g g(0) g(0,), g() c) h( ) h h() h(,) 0, h() 0 8 d) A k függvéy egtív -ekre ics értelmezve k (0) 0 k k (,0), k () 0. Állpítsd meg, hogy z dott potok mely függvéyek grfikojá tlálhtók! Egy pot tö függvéy grfikojá is rjt lehet, illetve tlálhtsz oly potot is, melyik egyik függvéy hozzáredelési utsításák sem felel meg. Potok: A( ) B( ) C( ) D( 8 ) E( ) F( ) G( 80) H I(0,0 0,) J( 0,,0 & & ) K( 0,,) 9 L( 0, 0,0009) M(0, 0,0) N, O, P Q R S 9 T 8 Függvéyek: () :... () :... c() - :... d() - :... e() :... f () :...

28 Mtemtik A. évfolym Tári útmuttó 8 A B, K, S és z M pot ics rjt egyetle függvéy grfikojá sem. Az függvéy grfikojá rjt vk C, D, I, P potok. A függvéy grfikojá rjt vk Q, E potok. A c függvéy grfikojá rjt vk C, H, J, N, R potok. A d függvéy grfikojá rjt v z A pot. Az e függvéy grfikojá rjt vk C, F, G, T potok. Az f függvéy grfikojá rjt vk z A, L, O potok. Kpcsolt htváyfüggvéy és gyökfüggvéy között A tulók lkossk ismét fős csoportokt! A tulók csoportoko elül párok dolgozk. A tár mide csoport szétosztj feldtkártyákt és etűket. kártykészletől. Mideki sját kártyáják megfelelőe közös koordiát-redszere árázolj függvéyek grfikoját, és jellemzi is függvéyeket egymás mellett, két oszlop, hogy mitpéldák is szerepel. H késze vk feldtikkl, elmodják egymásk tpsztltikt, kielemezve z oszlopok trtlmát.. kártykészlet

29 . modul: Htváyozás kiterjesztése, htváyfüggvéy Tári útmuttó 9 Mitpéld Árázoljuk és jellemezzük z () és () függvéyeket legtág értelmezési trtomáyo! Jellemzés: () (). É.T. R R + {0}. É.K. R + {0} R + {0}. zérushely 0 0. mootoitás 0: szig. mo. csökk. 0: szig. mo. övő szigorú mooto övő. szélsőérték szolút miimumhely: 0 szolút miimumhely: 0 szolút miimumérték: (0) 0 szolút miimumérték: (0) 0. pritás páros em páros, em pártl. ivertálhtósátó: R + {0} vgy R {0} megfelelő leszűkítés utá ivertálh- ivertálhtó Mitpéld Árázoljuk és jellemezzük vlós számok hlmzá értelmezett c() és d() függvéyeket! Jellemzés: c() d(). É.T. R R. É.K. R R. zérushely 0 0. mootoitás szigorú mooto övő szigorú mooto övő

30 Mtemtik A. évfolym Tári útmuttó 0. szélsőérték ics ics. pritás pártl pártl. ivertálh tóság ivertálhtó ivertálhtó Áltláosítv: Az eddigieke htváy és gyökfüggvéyek kpcsoltát vizsgáltuk. Megállpítottuk, hogy zoos pártl kitevő eseté egymás iverzei. A gyökfüggvéyek vizsgáltához figyeleme kell vei, hogy, h kitevő páros, kkor gyök csk em egtív számokr értelmezhető. H kitevő pártl, kkor tetszőleges vlós számk létezik gyöke. A megfelelő gyökfüggvéyek grfikoj: A gyökfüggvéyek jellemzése: f () k + g (). É.T. R + {0} R. É.K. R + {0} R. zérushely 0 0. mootoitás szigorú mooto övő szigorú mooto övő. szélsőérték szolút miimumhely: 0 szolút miimumérték: f (0) 0 ics. pritás em páros, em pártl pártl. ivertálh tóság ivertálhtó ivertálhtó k A tulók ismét fős csoportokt lkotk. Egy csoporto elül fő dolgozik együtt. Az egyik fős csoport. mitpéldát dolgozz fel, míg másik.-et. H átézték és feldolgozták, elmgyrázzák egymásk, mjd megoldk éháy feldtot sját szitjükek megfelelőe. Jo csoportokál. mitpéld is előkerülhet. Mitpéld Melyik z legőve számhlmz, melye következő függvéyek értelmezhetők? ) () + ) () + c) c() 0 + d) d() + e) e()

31 . modul: Htváyozás kiterjesztése, htváyfüggvéy Tári útmuttó ) Mivel gyökkitevő páros, ezért gyökjel ltti kifejezés em lehet egtív. + 0, zz megoldás [ [ hlmz. ) Mivel gyökkitevő pártl, zért z értelmezési trtomáy vlós számok hlmz. c) Mivel gyökkitevő páros, ezért gyökjel ltti kifejezés em lehet egtív. Oldjuk meg z 0 egyelőtleséget!, ± +, eől és A keresett trtomáy: ] ] [ [ d) Mivel gyökkitevő pártl, zért z értelmezési trtomáy vlós számok hlmz. e) Mivel gyökkitevő pártl, ezért gyökjel ltti kifejezés vlós számok hlmzá értelmezett. Csk zt kell megvizsgáli, hogy evező hol veszi fel ull értéket, mert ott ics értelmezve tört. 0, eől 0, vgyis z e függvéy értelmezési trtomáy vlós számok hlmz, kivéve 0-át. Mitpéld Árázoljuk és jellemezzük z f () ( + ) függvéyt! Trszformációs lépések:. () lpfüggvéy árázolás. () ( + ) grfikoják eltolás v( 0) vektorrl. c() ( + ) grfikoják tükrözése z tegelyre. f () ( + ) c grfikoják eltolás v(0 ) vektorrl Jellemzés:. É.T. R. É.K. R. zérushely ( + ) 0, eől. mootoitás szigorú mooto csökkeő

32 Mtemtik A. évfolym Tári útmuttó. szélsőérték ics. pritás em páros, em pártl. ivertálhtó Mitpéld Árázoljuk és jellemezzük z g() + függvéyt! Trszformációs lépések:. () lpfüggvéy árázolás. () grfikoják eltolás v( 0) vektorrl. c() grfikoják kétszeres yújtás z y tegely meté. g() + c grfikoják eltolás v(0 ) vektorrl Jellemzés:. É.T. [ [. É.K. [ [. zérushely ics. mootoitás szigorú mooto övő. szélsőérték szolút miimumhely: szolút miimumérték: g(). pritás em páros, em pártl. ivertálhtó Mitpéld Árázoljuk és jellemezzük z lái függvéyeket! ) e() ) f () ) Trszformációs lépések: lpfüggvéy árázolás. ( ). ( ) grfikoják tükrözése z tegelyre e grfikoják eltolás v(0 ) vektorrl. ( ) Jellemzés:. É.T. R. É.K. R. zérushely 0

33 . modul: Htváyozás kiterjesztése, htváyfüggvéy Tári útmuttó 8. mootoitás szigorú mooto csökkeő. szélsőérték ics. pritás em páros, em pártl. ivertálhtó ) Az árázoláshoz végezzük el következő átlkítást: ( ) ( ) ( ) A trszformáció lépései:. () lpfüggvéy árázolás. () grfikoják eltolás v(0) vektorrl. c() ( ) grfikoják tükrözése z egyeesre. f () ( ) c grfikoják kétszeres yújtás z y tegely meté Jellemzés:. É.T. ] ]. É.K. R +. zérushely. mootoitás szigorú mooto csökkeő. szélsőérték szolút miimumhely: szolút miimumérték: f () 0. pritás em páros, em pártl. ivertálhtó Feldtok. Htározd meg midzokt z -eket, melyekre értelmezhető függvéy! ) f () ) g() + c) h() + d) i() e) j() f) k() g) l() ) ) R c) > d) R \ {} e) > f), g) R. Htározd meg midzokt z -eket, melyekre értelmezhető függvéy! ) () + ) () 8 c) c() + e) e() f) f () + 8 d) d() ( )( + 8) g) g() h) h() +

34 Mtemtik A. évfolym Tári útmuttó ) vgy ) < c) R \ {} d) vgy e) f) R g) vgy h) R.. Árázold és jellemezd z lái htváyfüggvéyeket megdott értelmezési trtomáyoko! ) f () Z ) g() + [ [ c) h() ],, [ d) i() N e) j() ( ) [ ] f) k() ( + ) [ ] Ezek függvéyek elemi függvéytrszformációkkl árázolhtók. A függvéyek jellemzése korái mitpéldák lpjá törtéhet.. Árázold és jellemezd z lái gyökfüggvéyeket megfelelő értelmezési trtomáyoko! ) () + ) () c) c() d) d() e) e() f) f () + Ezek függvéyek elemi függvéytrszformációkkl árázolhtók. A függvéyek jellemzése korái mitpéldák lpjá törtéhet.. Árázold és jellemezd z lái htváyfüggvéyeket vlós számok hlmzá! ) f () + ) g() c) h() + d) k() e) l() ( ) + f) m() ( + ) Ezek függvéyek elemi függvéytrszformációkkl árázolhtók. A függvéyek jellemzése korái mitpéldák lpjá törtéhet.. Árázold és jellemezd z lái gyökfüggvéyeket megfelelő értelmezési trtomáyoko! ) () ) () c) c() + d) d() + e) e() + Ezek függvéyek elemi függvéytrszformációkkl árázolhtók. A függvéyek jellemzése korái mitpéldák lpjá törtéhet.

35 . modul: Htváyozás kiterjesztése, htváyfüggvéy Tári útmuttó V. A htváyozás kiterjesztése rcioális kitevőre A htváy foglmát z eddig megismert egész kitevőkről tört kitevőkre is szereték kiterjesztei úgy, hogy z ismert zoosságik továr is érvéye mrdjk. Az ilye jellegű követelméyt mtemtiká permeci-elvek evezzük. Mitpéld Egy sejtteyészet órákét duplázódik meg. Kezdete sejtük v. Meyi lesz ór, ór, ór, ór,, ór múlv? ór múlv: ór múlv: ór múlv: 8 ór múlv: 8, ór múlv: A,, értékét krjuk meghtározi. legye. Az egyeletet mid-, két oldlát égyzetre emelve: ( ),, hol > 0. Alklmzzuk htváy htváyár votkozó zoosságot: 9. Eek pozitív megoldás z 9., 9 Azz zt kptuk, hogy,. Megközelítőleg eyi sejtük v, ór múlv. 9 Mitpéld 8 Próáljuk értelmet di z lái törtkitevőjű htváyokk z előző feldt godoltmeete lpjá! ) ( ) ) ( ) ) Legye, y ( ), hol > 0, mert pozitív számok htváyit pozitívk értelmezzük.

36 Mtemtik A. évfolym Tári útmuttó Négyzetre emelve:, ( ) y. Eől:, mert > 0 y pedig em értelmezhető. Ie: ) Legye, y ( ), hol > 0, mert pozitív számok htváyit pozitívk értelmezzük. Hrmdik htváyr emelve:, ( ) Eől:, y. y. Mivel, vizsgáljuk meg z és z y ( ) számokt. ( ) 09, ( ) [ ] 09 y Htodik htváyr emelve: 09 09, y Eől: 09, y 09 Észrevehetjük, hogy, de ( ) ( ) y eredméye em htározhtó meg egyértelműe (először -et, másodszor -et kptuk eredméyül), ezért egtív lp eseté em értelmezzük törtkitevőjű htváyokt. Egy pozitív vlós szám k -dik htváy z lp -edik htváyáól vot k-dik gyök. k k > 0, R Z, k N \ { 0} Megállpodás: H > 0, k k kkor 0 0. Mitpéld 9 Számítsuk ki következő htváyok potos értékét! ) ) c) 8 d) e) 0, f) 0,

37 . modul: Htváyozás kiterjesztése, htváyfüggvéy Tári útmuttó ) ( ) ) ( ) c) 8 ( 8) 8 d) ( ) 0, e) 0, f) ( ) Módszerti megjegyzés: Domió játék ( törtkitevős htváyok gykorlásár, foglom elmélyítésére). Mide csoportk djuk dr kártyát. Feldtuk felfelé fordítv kirki domiókt úgy, hogy mide htváyhoz megtlálják hozzátrtozó értéket.. kártykészlet 9, 0, 9 8 0,, 0,, 8 0, 8 0, 0, 8,, Feldtok 8. Írd fel gyökjelekkel következő htváyokt! ) ) c) d) 8 e) f) g) ( 9 ) h) ( y ) i) z 8 j) k) y 8 z l)

38 Mtemtik A. évfolym Tári útmuttó 8 ) ) c) d) 8 e) g) 0 h) y y 0 i) j) > 0 k) y > 0 y z 9 l) z 0 z f) 9. Írd át törtkitevős lkr következő gyököket! ) ) c) d) e) ) c) d) e) ) f) f) 0. Keresd meg párját! ) A) 9 ) B) c) C) d) e) D) E) 8 f) F) 8 ) D), ) A), c) E), d) B), e) F), f) C).

39 . modul: Htváyozás kiterjesztése, htváyfüggvéy Tári útmuttó 9. Redezd övekvő sorrede következő számokt! 8 8 < < < < < < < 8. Írd fel htváykét következő kifejezéseket! ) ) c) 8 d) e) 9 8 f) 9 g) 9 h) i) j) ) ) c) d) e) f) g) 8 h) i) j). Hozd egyszerű lkr következő htváyokt! ) ) c) c c d) d d e) e e f) f ) ) ( ) f 0 c) c c 9 9 d) d d e) 0 0 e e f) f f

40 Mtemtik A. évfolym Tári útmuttó 0 Mtemtiki TOTÓ Módszerti megjegyzés: Mide tuló egyedül dolgozik feldtoko. H letelt z idő, vgy elkészültek tulók, kkor mideki átdj pdtársák füzetét, ki feldtok közös megeszélése lpjá kijvítj TOTÓ-t. A hiátl kitöltőket megjutlmzhtjuk. Mtemtiki TOTÓ Htározd meg következő kifejezések értékét! X Nem értelmezzük. Nem értelmezzük ( ) 0, 8 0,

41 . modul: Htváyozás kiterjesztése, htváyfüggvéy Tári útmuttó.).).) X.) X.).).) X 8.) 9.) X 0.) X.).) ) Vegyes feldtok. Htározd meg z lái kifejezések potos értékét! c) ) ( ) ) ( + 8) d) ) + ) c) d) Htározd meg midzokt z -eket, melyekre értelmezhető függvéy! 0 ) () ) () 9 c) c() + d) d() e) e() ) ) R c) d) R e) R. Htározd meg midzokt z -eket, melyekre értelmezhető függvéy! ) () ) () + c) c() d) d() 8 e) e() + f) f () g) g() ) R ) R c) 0 és d) R e) R f) ics értelmezve g) >

42 Mtemtik A. évfolym Tári útmuttó Kisleiko Kögyök: Az vlós szám kögyöke z vlós szám, melyek hrmdik htváy : ( ) -edik gyök: Páros pozitív egész -re z emegtív vlós szám -edik gyöke z emegtív vlós szám, melyek z -edik htváy ( N + \{}). Pártl, -él gyo egész -re z vlós szám -edik gyöke z vlós szám, melyek z -edik htváy. Jelölés: z szám -edik gyöke:.. Az -edik gyökre votkozó zoosságok: A defiíció áltl megegedett értékekre. ( >, N)., h p, kkor 0, 0 (p N + ). 0 k. ( ) k m m.. m k mk, m, k Z\{0 }, N\{0 } Egy pozitív vlós szám k -dik htváy z lp -edik htváyáól vot k-dik gyök. k k > 0, R Z, k N \ { 0} Megállpodás: H > 0, k k kkor 0 0. Htváyfüggvéy: A vlós számok hlmzá értelmezett f(), N + függvéyeket htváyfüggvéyekek evezzük. Gyökfüggvéy: A g (), N \ {0,} függvéyeket gyökfüggvéyekek evezzük. H > és pártl, kkor mide vlós számhoz hozzá tudjuk redeli k -edik gyökét.

43 . modul: Htváyozás kiterjesztése, htváyfüggvéy Tári útmuttó H pedig páros, kkor em egtív vlós számokhoz tudjuk egyértelműe hozzáredeli k -edik gyökét. Ivertálhtó függvéy: Egy függvéy ivertálhtó, h kölcsööse egyértelmű. Permeci-elv: Azt jeleti, hogy egy művelet értelmezését úgy terjesztjük ki őve számhlmzr, hogy szűke hlmz érvéyes műveleti szályok őve hlmz is érvéyesek mrdjk.