Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR"

Átírás

1 Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR Peremelem módszer ortotrop és mikropoláris testek síkfeladataira a lineáris rugalmasságtan primál és duál rendszerében PhD értekezés Készítette: Dudra Judit okleveles gépészmérnök Sályi István Gépészeti Tudományok Doktori Iskola, Gépészeti Alaptudományok Tématerület, Szilárd Testek Mechanikája Témacsoport Doktori iskola vezető: Páczelt István az MTA rendes tagja, egyetemi tanár Témacsoport vezető: Kozák Imre az MTA rendes tagja, professzor emeritus Témavezető: Szeidl György az MTA doktora, egyetemi tanár Miskolc, 009

2 Tartalomjegyzék Jelölésbeli megállapodások és jelölések Néhány általános jelölésbeli megállapodás Jelölések. fejezet Bevezetés 4.. A rugalmasságtan primál és duál rendszere síkfeladatokra 4.. Irodalmi előzmények és célkitűzések 6.3. Az értekezés belső tagolása 9. fejezet Síkfeladat primál rendszerben ortotrop testre és külső tartományra 0.. Bevezetés 0.. Mezőegyenletek és alapmegoldások 0.3. Somigliana formulák külső tartományra I..4. Az I κ integrál határértéke I Az I κ integrál határértéke II Somigliana formulák külső tartományra II Végtelenbeli viselkedés 9.8. Példák 3. fejezet Síkfeladat duál rendszerben ortotrop testre Bevezetés A duál rendszerben tekintett síkfeladat mezőegyenletei és peremfeltételei Alapegyenletek Elsőrendű alapmegoldás A másodrendű alapmegoldás A másodrendű alapmegoldás tulajdonságai fejezet Duál Somigliana formulák belső tartományra ortotrop testre A duál Somigliana-féle azonosság A duál Somigliana formulák belső tartomány A másodrendű alapmegoldás egy tulajdonságának igazolása Képletek a feszültségekre fejezet Duál Somigliana formulák ortotrop testre külső tartományra Feszültségek a végtelenben A duál Somigliana formulák levezetése külső tartomány Feszültségek számítása a peremen 5 6. fejezet A második duál Somigliana formula a direkt módszer integrálegyenlete numerikus megoldásának algoritmusa A vonalintegrálok diszkretizálása A megoldandó egyenletrendszer Számpéldák fejezet A mikropoláris rugalmasságtan első síkfeladata izotrop testre A kitűzött feladat egyenletei Kiegészítő kompatibilitási feltételek Alapegyenletek 64 i

3 ii TARTALOMJEGYZÉK 7.4. Elsőrendű alapmegoldás Másodrendű alapmegoldás fejezet Duál Somigliana formulák belső tartományra mikropoláris esetre A duál Somigliana-féle azonosság A duál Somigliana formulák belső tartomány Képletek a feszültségekre fejezet Duál Somigliana formulák külső tartományra mikropoláris esetre Feszültségek a végtelenben A duál Somigliana formulák levezetése külső tartomány Feszültségek számítása a peremen fejezet Összefoglalás Bevezetés Irodalmi előzmények és célkitűzések Eredmények Az eredmények hasznosításának lehetőségei Legfontosabb publikációk az értekezés témakörében 88. fejezet Summary 90 Boundary element method for plane problems of orthotropic and micropolar bodies in the primal and dual system of elasticity 90.. Novel results 9 Irodalomjegyzék 9 Ábrák jegyzéke 95 Táblázatok jegyzéke 96 A. függelék Átalakítások a primál rendszerbeni számításokhoz 97 A.. Trigonometrikus integrálok 97 A.. Részintegrálok összegeinek számítása 98 A.3. Alakváltozási tenzor primál rendszerben külső tartományra 03 B. függelék Részletszámítások duál rendszerben klasszikus eset 05 B.. Az elsőrendű alapmegoldás és az alapegyenlet 05 B.. A másodrendű alapmegoldás és az alapegyenlet 06 C. függelék Képletek a feszültségekre mikropoláris eset 0 D. függelék Részletszámítások duál rendszerben mikropoláris eset 6 D.. A χ függvény és az alapegyenlet 6 D.. Az elsőrendű alapmegoldás és az alapegyenlet 7 D.3. A másodrendű alapmegoldás és az alapegyenlet 7 E. függelék Programlista ortotrop testre duál rendszerben 9

4 Jelölésbeli megállapodások és jelölések Néhány általános jelölésbeli megállapodás A vizsgálatokat az O kezdőpontú x =x, x =y derékszögű kartéziuszi koordinátarendszerben végezzük. Hacsak nincs másként kikötve a {görög}latin index az {,},,3 értékeket veheti fel. Az indexes jelölésmódban írt kifejezések esetén általában összegezni kell az azonos néma indexek szerint. A Fejezetekben azonban az összegező index több mint kétszer fordul elő az alapmegoldások összegzéssel előállított tagjaiban. Ilyenkor mindig kiírjuk az összegezés szimbólumát. Általában indexes jelölést alkalmazunk, elvétve szimbolikus jelölést. Az x,x tengelyek mentén e, e, az ezekkel egybeeső x, y tengelyek mentén pedig e x, e y az egységvektorok. A Qξ,ξ és M x,x pontok az x,x koordinátasík két, általában különböző pontját jelölik. A Q pontot forráspontnak, az M pontot pedig a hatás pontjának nevezzük. Az M pont Q ponthoz viszonyított helyvektorát a Q és M pontok távolságát pedig r α M,Q=x α M ξ α Q=x α ξ α, R = RM,Q= r α M,Q jelöli. A vizsgálat tárgya minden esetben az A i belső, vagy az A e külső tartomány. Ezek elvben egyszeresen vagy többszörösen összefüggőek lehetnek. Az. ábra egyszeresen összefüggő eset feltételezése mellett szemléleti a kérdéses tartományokat. A e L o L o x x A i A i O x O x. ábra. Egyszeresen összefüggő belső és külső tartomány A kis karika, mint alsó index pl. M vagy Q azt jelöli, hogy a vonatkozó Q és/vagy M pontok a vizsgálat tárgyát képző tartomány L o peremgörbéjére vannak lokalizálva. A koordináták szerinti deriváltakat a x κ = M κ = M κ és ξ κ = Q κ = Q κ 3

5 Jelölések módon jelöljük, ahol a betűk felett álló Q és M arra utal, hogy melyik pont koordinátái szerint történik a deriválás. A képletekben álló a közismert nabla operator. A nabla operator felhasználásával adódik, hogy M M κ κ = M M κ κ = M és az M, illetve Q ponthoz tartozó Laplace operátor. Q κ Q κ = Q κ Q κ = Q 4 Jelölések Bevezető megjegyzések. A fontosabb jelölések felsorolása elkülönítetten és abc sorrendben tartalmazza a latin- és görögbetűs jelöléseket. Az egyes jelöléseket maga a folyó szöveg is értelmezi, illetve magyarázza. A jelölésjegyzéknek mindössze az a szerepe, hogy lehetővé teszi a fontosabb jelölések gyors azonosítását. A i A e Latinbetűs jelölések. belső tartomány v. ö.:. ábra,. oldal; háromszorosan összefüggő tartomány a 3. ábra szürke színnel kitöltött tartománya,. oldal; A ε A Q forráspont középpontú R ε = ε sugarú köralakú tartomány 3. ábra,. oldal; b ρ tartományi erőterhelés sűrűségvektora; c 3 tartományi erőpárterhelés sűrűségvektora; c,...,c a primál rendszerben felírt Hooke törvény anyagállandói - v.ö.: 7 képlet; c κ eltolódás lásd a 44 képletet; C ti ρ integrációs állandók - lásd a 69 képletet; d κ a βκ 3 kofaktora előjeles aldeterminánsa v.ö.: 95; D a 5 képlettel értelmezett állandó; D ij a D jk differenciál operátor kofaktor mátrixa a klasszikus és mikropoláris rugalmasságtan duál rendszerében; D ρλ a primál alapegyenletrendszer differenciál-operátora v.ö.: 9b; D ik a duál alapegyenletrendszer differenciál-operátora klasszikus és mikropoláris esetben lásd a 74a és 53 képleteket; ds Mo ívelem a tartomány peremgörbéjének kontúrgörbéjének M o pontjában; e κ Q a Q ponthoz kötött erő primál rendszerben, illetve a Q ponthoz kötött inkompatibilitás duál rendszerben klasszikus esetben; e k Q a Q ponthoz kötött inkompatibilitás duál rendszerben mikropoláris esetben; e κλ az alakváltozási tenzor síkbeli összetevői; er a háromszorosan összefüggő A e külső tartomány sugara lásd 3. ábra,. oldal; e κβ alakváltozási tenzor a végtelen távoli pontban állandó; F, F elsőrendű feszültségfüggvények klasszikus és mikropoláris esetben; g κ kellő rendben differenciálható vektormező elmozdulásmező lásd a 0 képletet; H elsőrendű feszültségfüggvény mikropoláris esetben; I κ a külső tartománnyal kapcsolatos direkt peremelem módszer integrálegyenletének jobb oldalán álló integrál - v.ö.: 6; I κ,.., 4 I κ az I κ integrált adó részintegrálok - v.ö.: 7; L o vizsgált belső vagy külső tartomány peremgörbéje; L ε a Q forráspont körüli A ε tartomány peremgörbéje 3. ábra,. oldal; L R L t, L t3 vizsgált A e külső tartomány peremgörbéje 3. ábra,. oldal; a L o peremgörbe azon ívei, melyeken feszültség az előírt 6. ábra, 5. oldal; L u, L u4 a L o peremgörbe azon ívei, melyeken elmozdulás az előírt 6. ábra, 5. oldal; M x,x a koordináta sík egy futópontja a hatás pontja; M a peremre kontúrgörbére lokalizált M pont; n π vizsgált tartomány külső normálisa; O a kartéziuszi koordinátarendszer origója; P ti,p t,i+ a tekintett peremív kontúrgörbe ív kezdő- és végpontja;

6 Jelölésbeli megállapodások és jelölések 3 M α az M pont koordinátái szerint történő deriválás tömör írásmódja; Qξ,ξ a forráspont; Q a peremre kontúrgörbére lokalizált Q pont; r κ az M pont Q ponthoz viszonyított helyvektora; R az r κ vektor abszolut értéke hossza; R ε Q középpontú A ε tartomány sugara 3. ábra,. oldal; s ívkoordináta a peremgörbe kontúrgörbe mentén pozitív s irányba történő haladás esetén a tartomány a baloldalon van; s,..., s az ortotrop testre vonatkozó és az alakváltozási tenzorra felírt Hooke törvény anyagállandói lásd a 64a,b képleteket; t κ duál feszültségvektor klasszikus esetben a 7 összefüggés értelmezi; duál feszültségvektor mikropoláris esetben a 97 összefüggés értelmezi; t κλ az erőfeszültségek tenzora klasszikus esetben szimmetrikus tenzor; t κλ feszültségi tenzor a végtelen távoli pontban; t λ M a peremgörbén vett feszültség; T κλ M,Q másodrendű alapmegoldás primál rendszerben; T kl M,Q másodrendű alapmegoldás duál rendszerben, illetve mikropoláris esetben; u κ elmozdulásvektor; ũ κ az u κ végtelen távoli pontbeli alakja aszimptotikus előállítása v.ö.: összefüggés; u κ duál elmozdulásvektor klasszikus esetben lásd a 74b képletet követő értelmezést; duál elmozdulásvektor mikropoláris esetben lásd a 54 képletet követő értelmezést; U κλ M,Q elsőrendű alapmegoldás primál rendszerben; U kl M,Q elsőrendű alapmegoldás duál rendszerben, illetve mikropoláris esetben. Görögbetűs jelölések. α, α a 8a összefüggésekkel értelmezett mennyiségek; β κ, β κ az ún. karakterisztikus egyenlet komplex gyökei - v.ö.: 9 összefüggés; δ κλ Kronecker delta; δm Q a Dirac féle függvény v.ö.: 86 képlet; ɛ ρπ3 a permutációs szimbólum; γ πρ alakváltozási tenzor mikropoláris testre; κ ρ3 forgási alakváltozási tenzor mikropoláris testre; K a 94 egyenlettel értelmezett állandó, konstans v.ö.: 9; μ nyírási rugalmassági modulus klasszikus és mikropoláris eset; μ ν3 az erőpárfeszültségek tenzora mikropoláris eset; τ κ a peremgörbe folytonosan változó íve mentén az érintőirányú egységvektor; ϑ polárszög; ϕ 3 forgásmező klasszikus és mikropoláris esetben; χ l Galjorkin függvények v.ö.: 9; ω végtelenbeli forgás lásd a képletet.

7 . FEJEZET Bevezetés.. A rugalmasságtan primál és duál rendszere síkfeladatokra A peremelem módszer PEM hatékony numerikus eljárás, amely parciális differenciálegyenletekkel kapcsolatos peremérték-feladatok integrálegyenleteinek alkalmazásával történő megoldására szolgál. Az eljárás integrálegyenletei a tartomány peremére vonatkoznak, így a numerikus megoldás keresése során a tartomány peremét síkbeli esetben a peremgörbét véges méretű elemekre, ún. peremelemekre bontjuk, és ezeken az elemeken értelmezzük a megoldásokat pl. elmozdulásvektor és feszültségvektor közelítő függvényeket. Az egész peremre vonatkozó közelítést a peremelemeken vett közelítések összessége adja. A tartomány peremére vonatkozó integrálegyenletek megoldása a feladat peremfeltételek alapján nem ismert változóit szolgáltatja a peremen. A peremen meghatározott mennyiségek ismeretében további egyenletekkel a tartomány belső pontjaiban képezhetőek a fizikai állapotokat leíró jellemzők. A peremelem módszer alapja a három Somigliana formula alkalmazása. Ezek közül a második formula a peremen szolgáltatja a feladat peremfeltételei révén nem ismert változókat. A második Somigliana formulát a direkt módszer integrálegyenletének is nevezzük, mivel a vizsgált tartomány peremgörbéjén keresett ismeretleneknek közvetlen fizikai jelentése van. A direkt jelző erre a körülményre utal. Az ismeretlenek meghatározása után az első Somigliana formula felhasználásával képezhetővé válnak a számunkra ismeretlen fizikai mennyiségek pl. elmozdulásvektor és feszültségvektor a tartomány belső pontjaiban. A harmadik Somigliana formulát csupán a teljesség kedvéért közöljük, az nem játszik szerepet az értekezés vizsgálataiban. A rugalmasságtan térbeli feladatait véve példának primál rendszerben a direkt peremelem módszer integrálegyenletében egy perempontban a feszültségvektor az ismeretlen, ha ott az elmozdulásmező az előírt, és megfordítva az elmozdulásvektor az ismeretlen egy perempontban, ha ugyanott a feszültségvektor az előírt. Megjegyezzük, hogy az indirekt módszer rugalmasságtani feladatokban a potenciálelméletből ismert egyszerű és kettős réteg potenciáljának fogalmát általánosítva állít fel integrálegyenleteket, melyekben a vonalon síkfeladatok, illetve felületen térbeli feladatok értelmezett potenciálfüggvények ezek most vektorok az ismeretlenek. Az értekezés a szilárd testek alakváltozásának linearizált elméletében vizsgál és old meg primál és duál felépítésű síkrugalmasságtani feladatokat direkt peremelem módszerrel. A két felépítés rendszer az alapváltozók, a közbenső változók, az értelmező egyenletek és mérlegegyenletek tekintetében tér el egymástól. Ezen túl minden rendszerben megkülönböztetünk klasszikus feladatokat és mikropoláris feladatokat. A klasszikus feladatokban a test kinematikájának leírására az elmozdulásmező, valamint a belőle képezhető forgási tenzormező és az alakváltozási tenzormező szolgál, míg a test belső erőrendszere az erő feszültségi tenzormezővel adható meg. A mikropoláris feladatokban a test kinematikájának leírására az elmozdulásmező és a forgásmező, valamint a belőlük képezhető két alakváltozási tenzormező szolgál, míg a test belső erőrendszere az erő feszültségi tenzormezővel és az erőpár nyomatéki feszültségi tenzormezővel adható meg. Az alakváltozási tenzor tenzorok és a feszültségi tenzor tenzorok között az anyagegyenletek jelentik a kapcsolatot. Ezt a fogalmat lentebb definiáljuk. 4

8 . Bevezetés 5 Primál rendszerben és klasszikus feladatnál az elmozdulásvektor az alapváltozó, azalakválto- zási tenzor az ún. elsődleges közbenső változó, továbbá a szimmetrikus feszültségi tenzor az ún. másodlagos közbenső változó. Primál rendszerben és mikropoláris feladatnál az elmozdulásvektor és a független forgásvektor együtt elmozdulásvektorok az alapváltozók, az alakváltozási tenzor és a független forgási alakváltozási tenzor együtt az alakváltozási tenzorok az ún. elsődleges közbenső változók, továbbá a nemszimmetrikus erő feszültségi tenzor és nyomatéki feszültségi tenzor együtt feszültségtenzorok az ún. másodlagos közbenső változók. A vizsgálat tárgyát jelentő síkbeli tartományon primál rendszerben a következő mezőegyenletek állnak fenn: az értelmező vagy kinematikai egyenletek az alakváltozási tenzorttenzorokat származtatjaják az elmozdulásvektorokból és biztosítjaák az ún. kompatibilitási egyenletek fennállását, a feszültségi tenzorok az anyagegyenletekkel adódik adódnak az alakváltozási tenzorokból, végül a feszültségi tenzorok, mint mérlegegyenleteknek, az egyensúlyi egyenleteknek tesznek eleget. Primál rendszerben az elmozdulásmezőre, illetve a test határfelületén ébredő feszültségekre vagylagosan írható elő peremfeltétel. Megjegyezzük, hogy másfajta kombinációk is előfordulhatnak pl. a peremgörbe érintője mentén elmozdulás, a normális irányában feszültség az előírt. Ezek a lehetőségek azonban nem játszanak szerepet a további gondolatmenetben, és így nem részletezzük a további lehetőségeket. A síkbeli tartomány elvben lehet egyszeresen, vagy többszörösen összefüggő és lehet végtelenbe nyúló külső tartomány is. Erre a körülményre egyébként már utaltunk az. oldalon. Duál rendszerben és klasszikus síkbeli feladatnál két elsőrendű feszültségfüggvény és a forgásmező az alapváltozók, a feszültségi tenzor az ún. elsődleges közbenső változó, továbbá a szimmetrikus alakváltozási tenzor az ún. másodlagos közbenső változó. Duál rendszerben és mikropoláris síkbeli feladatnál az elsőrendű feszültségfüggvény tenzorok nem zérus koordinátái, azaz az ún. feszültségfüggvények az alapváltozók, a nemszimmetrikus erő feszültségi és a nyomatéki feszültségi tenzor együtt a feszültségi tenzorok az ún. elsődleges közbenső változók, továbbá a nemszimmetrikus alakváltozási tenzor és a forgási alakváltozási tenzor együtt alakváltozási tenzorok az ún. másodlagos közbenső változók. A vizsgálat tárgyát jelentő síkbeli tartományon duál rendszerben a következő mezőegyenletek állnak fenn: az értelmező vagy kinematikai egyenletek klasszikus feladatnál a feszültségi tenzort származtatják a két elsőrendű feszültségfüggvényből és biztosítják az erőegyensúly fennállását a nyomatéki egyensúlyt biztosító szimmetriafeltételt külön kell előírni; mikropoláris feladatnál az értelmező egyenletek a feszültségi tenzorokat származtatják elsőrendű feszültségfüggvény tenzorokból összesen három feszültségfüggvényből és biztosítják valamennyi egyensúlyi egyenlet teljesülését, az alakváltozási tenzorok az anyagegyenletekkel adódik adódnak a feszültségi tenzorokból, az alakváltozási tenzorok, mint mérlegegyenleteknek, a kompatibilitási mezőegyegyenleteknek tesznek eleget. A síkbeli tartomány elvben lehet ez esetben is egyszeresen, vagy többszörösen összefüggő és lehet végtelenbe nyúló külső tartomány is. Valamely peremrészen duál rendszerben az alábbiak a peremfeltételek: feszültségi peremfeltételek ha vonalmenti terhelés van előírva, akkor levezethető közvetlenül a feszültségfüggvényekre is peremfeltétel és az értekezés az utóbbiakat használja majd, alakváltozási peremfeltételek ha klasszikus feladatnál az elmozdulásmező, illetve mikropoláris feladatnál az elmozdulásmező és a forgásmező van előírva, akkor ezekre duál

9 6.. Irodalmi előzmények és célkitűzések rendszerben nem írható közvetlenül elő peremfeltétel, mivel ezek a mennyiségek nem szerepelnek a duál rendszer változói között a megoldást az ún. alakváltozási peremfeltételek alkalmazása kínálja: az utóbbiak a peremen vett elmozdulások és forgások ívkoordináta szerinti deriváltjaira, illetve az alakváltozási tenzorok peremen tekintett koordinátáira tett előírások. Egyszeresen összefüggő tartomány esetén, ha több különálló peremíven van elmozdulásmező előírva, illetve többszörösen összefüggő tartomány esetén teljesülnie kell még az ún. kiegészítő és makro kompatibilitási feltételeknek is. A kompatibilitási mezőegyenletek, az alakváltozási peremfeltételek, továbbá a kiegészítő és a makro kompatibilitási feltételek együtt biztosítják duál rendszerben, hogy az alakváltozási tenzorokból a vizsgált síkbeli tartomány adott merevtestszerű mozgása esetén a tartományon és a peremen kontúrgörbéken is klasszikus feladatnál egyértékű elmozdulásmező, mikropoláris feladatnál pedig egyértékű elmozdulásmező és egyértékű forgásmező legyen előállítható... Irodalmi előzmények és célkitűzések... Primál rendszerbeli vizsgálatok klasszikus esetben. Ami a peremelem módszer előzményeit illeti Hess és Smith 60-as években megjelent, dolgozatait érdemes említeni. Az idézett tanulmányok másodfajú Fredholm típusú integrálegyenletekre vezették vissza az egyszerű forráseloszlás forgásfelületen történő meghatározását és numerikus megoldást is közöltek. Potenciálelméleti, illetve a Poisson egyenlettel kapcsolatos peremértékfeladatok esetén, a három Green féle képlet lásd pl. Jaswon és Symm 3 könyvének 37-ik oldalán a 3..6, 7, 8 képleteket közül a második a direkt módszer alapja. Az első olyan tanulmány, amely tudatosan kihasználta a peremgörbén tekintett második Green féle képletet kiemelve, hogy ez az egyenlet egy harmonikus függvény, és normálirányú deriváltjai között fennálló összefüggés a fentebb idézett könyv egyik szerzőjének Jaswonnak és Ponternek a munkája 4. Ez a tanulmány a rugalmasságtan csavarási feladatában megjelenő ún. deplanációs függvényének meghatározására vezetett le másodfajú integrálegyenletet, majd numerikus úton oldotta meg azt. A 4 tanulmány már a mai formájában tartalmazza az ún. direkt módszer teljes megalapozását a Poisson típusú differenciál-egyenletre. A módszer rugalmasságtani feladatokban történő alkalmazása tekintetében Rizzo tette meg az első lépést 5. Tanulmánya a síkrugalmasságtani peremértékfeladatok megoldására nyújt módszert integrálegyenleteket állítva elő a tartomány peremén kontúrgörbéjén ébredő feszültségek és az ugyanitt tekintett elmozdulások között. A numerikus megoldás során a tartomány peremét kontúrgörbéjét nagy számú kis elemre peremelemre osztotta fel, és egy-egy elemen belül állandó értékűnek tekintette az elmozdulásokat és feszültségeket. Az utóbbi feltevés lehetővé tette a peremen vett integrálok zárt alakban történő kiszámítását, ugyanakkor azonban a kielégítő pontosságú megoldás viszonylag sok elem felhasználását követelte meg. Rizzo következő cikke 6 a megoldások tekintetében ortotrop testek síkfeladatait vizsgálja a direkt peremelem módszerrel, de anizotrop esetre is közli a legfontosabb formulákat. A numerikus megoldás technikája konstans approximáció a peremelemeken ugyanaz, mint az 5 alatti tanulmányában. Előrelépést az approximáció és a szinguláris integrálok numerikus kezelésében Lachat PhD értekezése 7, illetve a Watsonnal közösen írt 8 tanulmánya jelenti, mivel ezekben kvadratikus izoparametrikus elemeket használnak a szerzők a peremelemek geometriája és a peremelemeken ismeretlen mezők közelítésére. Az elemhatáron folytonos approximáció mellett az ún. sarokpontokban fellépő szakadások kezelésére a részlegesen folytonos síkbeli esetben az elem egyik végpontjában, ab ovo fennáll a folytonosság a másikban nem vagy nem folytonos belső csomópontokra épülő síkbeli esetben az elemek egyik végpontjában sem teljesül automatikusan a folytonosság approximációt érdemes alkalmazni 9, 0,,. Ortotrop, illetve anizotrop testek esetén a legfőbb nehézséget az alapmegoldások előállítása okozza. Ebben a tekintetben különböző technikák állnak rendelkezésre az alapmegoldás meghatározására. Az ún. Galjorkin-féle eljáráson alapuló technikát tévesen Hörmander nevéhez tartozónak tekinti a nyugati szakirodalom Hörmander 3 könyve alapján. Valójában Lurie

10 . Bevezetés ben megjelent 4 tanulmánya az első, amely ezt a technikát alkalmazza a rugalmasságtan térbeli statikai feladataira. Ugyancsak ezt a technikát alkalmazza az alapmegoldás előállítására Kupradze Potenciálelméleti módszerek a rugalmasságtanban című híres könyvében 5 anizotrop testek primál rendszerben tekintett síkbeli feladatai esetén. Ortotrop, illetve anizotrop testek esetén Rizzo már idézett és síkbeli feladatokkal foglalkozó 6 cikkén túlmenően számos más publikáció is foglalkozik peremelem módszeren alapuló feladatmegoldással. Vable és Sikarskie ortotrop testek síkfeladatai esetén az indirekt módszert alkalmazza a megoldás során 6. Sáez, Ariza és Domínguez transzverzálisan izotrop testek estén vizsgálja meg egyes repedések környezetében a feszültségeloszlást 7. Shiah speciális, a vizsgált tartomány oly módon történő leképezésén alapuló technikát alkalmaz, hogy ennek erdményeképpen az alapegyenlet operátora mind síkbeli, mind pedig térbeli feladatokban a Laplace operátorra transzformálódik 8, 9. Az utóbbi eredmények nem alkalmazhatók közvetlenül rugalmasságtani feladatokban illetve csak akkor, ha értelmezhető olyan az elmozdulásmezőt adó potenciálfüggvény, amely az idézett cikkekben tekintett differenciál-operátornak tesz eleget. Dong és szerzőtársainak néhány cikke külső tartományokkal kapcsolatos egyes eredményekről izotrop 0, illetve anizotrop esetben ad számot. Izotrop esetben a formalizmus lényegében a 3 tanulmány eredményein alapul. Anizotrop esetben Dong és szerzőtársai saját korábbi eredményeikre hivatkoznak. Ortotrop esetben érdemes még megemlíteni a 4 cikket, valamint a 5, 6 könyveket, amelyekben további citátumok is találhatók. A peremelem módszer külső tartományokkal kapcsolatos egyenleteinek az a hátránya ortotrop esetben, hogy nem írhatók elő konstans feszültségek a végtelen távoli pontban. Ami az okokat illeti érdemes hivatkozni a 7 cikkre, amely világos feltevéssel él az elmozdulásmező végtelenbeli viselkedésére nézve az korlátos kell, hogy legyen. Ez a feltevés lehetővé teszi a Betti típusú formula felállítását és ennek révén az egzisztencia és unicitás igazolását a külső tartományra vonatkozó Dirichlet és Neumann feladatok esetén. Ugyanakkor kizárja a közvetlenül vizsgálható feladatok köréből azokat a gyakran előforduló eseteket, amikor konstans a feszültségi és alakváltozási állapot, és ezzel összhangban lineárisan függ az elmozdulásmező a helykoordinátáktól a végtelen távoli pont felé haladva. Ha a direkt PEM egyenletei előállítják ezt az elmozdulásmezőt, akkor konstans a vonatkozó alakváltozási és feszültségmező a végtelenben. Következésképp nincs szükség arra, hogy véges tartománnyal helyettesítsük a külső tartományt a számítás során. Ebben a tekintetben a 3 és8 cikkek említhetők, mivel a direkt módszer egyenleteit adják meg izotrop testre konstans feszültségi és alakváltozási állapotot tételezve fel a végtelenben. A 3 dolgozat primál rendszerben, a8 dolgozat pedig duál rendszerben végzi el a szükséges módosítást és kiegészítést. Fentiekre tekintettel az értkezés az alábbiakban fogalmazza meg az. Célkitűzést: Az értekezés ortotrop rugalmas test primál rendszerbeli síkbeli klasszikus feladataira igazolja kétféleképpen is, hogy a végtelen távoli pont feszültségi állapota beépíthető a direkt peremelem módszer formalizmusába. Az ily módon felépített formalizmus alkalmazhatóságát számpéldákon keresztül illusztráljuk.... Vizsgálatok duál rendszerben klasszikus eset. Bár számos tanulmány jelent meg a rugalmasságtan síkbeli feladatok primál rendszerbeni megoldásáról lásd pl. 5, 9, 30 vagy 3 alig található olyan cikk a síkrugalmasságtan szakirodalmában, amely a duál rendszer egyenleteit veszi alapul, azaz valós feszültségfüggvényeket tekint alapváltozónak. Kivételt jelent Jaswon, Mati és Symm cikke 3 érdemes ehelyütt Jaswon és Symm könnyebben hozzáférhető könyvére is hivatkozni 3 amelyben az ismeretlen biharmonikus függvényt valójában másodrendű feszültségfüggvényt két ismeretlennek tekintett harmonikus függvény segítségével, egyszerű réteg potenciáljaként adták meg a szerzők; az ismeretlen kontúrmenti forrássűrűség meghatározására pedig alkalmas peremintegrál-egyenleteket vezettek le. Elsőrendű feszültségfüggvények alkalmazását síkbeli és térbeli feladatokra Fraeijs de Veubeke kezdeményezte 33, 34 egy új, a teljes kiegészítő energia minimumának elvén alapuló

11 8.. Irodalmi előzmények és célkitűzések végeselemes eljárás kapcsán, mivel a C 0 folytonosságú elsőrendű feszültségfüggvények biztosítják a folytonos felületi terhelés meglétét, és ily módon lehetővé vált izoparametrikus elemeket alkalmazni elsőrendű feszültségfüggvényekre. Ha elsőrendű feszültségfüggvényeket alkalmazunk, akkor a feszültségek meghatározása a feszültségfüggvények első deriváltjainak számítását igényli, ellentétben az Airy féle másodrendű feszültségfüggvénnyel 35, ennek ismeretében ui. második deriváltak adják a feszültségeket. Az elsőrendű feszültségfüggvény idézett tulajdonsága vonzóvá teszi ezeket a függvényeket a peremelemes alkalmazások számára, annak ellenére, hogy a nyomatéki egyensúly fenntartása egy további egyenletet igényel. Megjegyezzük, hogy az Airy féle feszültségfüggvény alkalmazásának rendkívül bő irodalma van. A teljesség igénye nélkül emeljük ki ehelyütt Muszkhelisvili és iskolája eredményeit 36. Muszkhelisvili felismerte, hogy az Airy féle feszültségfüggvényre vonatkozó megoldás két reguláris komplex függvény segítségével adható meg. Mivel ez a megoldás teljesíti a vonatkozó mezőegyenletet a kompatibilitási egyenletet Airy féle feszültségfüggvénnyel egy adott peremértékfeladat megoldásához csak a peremfeltételek kielégítését kell biztosítani. Az elsőrendű feszültségfüggvények alkalmazása kapcsán számos kérdés merül fel. Mivel duál rendszerben vagyunk, tisztázni kell az egyértékűség szükséges és elégséges feltételeit, különös tekintettel a vegyes peremértékfeladatokra és a többszörösen összefüggő tartomány esetére. Meg kell keresni az elsőrendű feszültségfüggvényekre vonatkozó alapmegoldást is. Az alapmegoldás ismeretében mód nyílik a Somigliana féle identitás 37 duál rendszerbeni analogonjának felállítására és ily módon az úgynevezett direkt módszer integrálegyenletei is adódnak. Homogén izotrop testre Szeidl 38, 8 valamint Szeidl és Szirbik 39 vizsgálta részletesebben a kérdést. Az idézett művek részletes választ adnak a felvetett problémákra, ha a vizsgálat tárgyát képző test homogén és izotrop. A kidolgozott eljárás használhatóságát numerikus példák is szemléltetik. Ha azonban ortortóp a vizsgálat tárgyát képező test, akkor meg kell ismételni a 38, 8 valamint a 39 tanulmányok vizsgálatait. Ez fel kell, hogy ölelje az alapegyenletrenszer felírását, az első és másodrendű alapmegoldások előállítását, a duál Somigliana relációk levezetését belső és külső tartományra felállítva ezzel a direkt módszer integrálegyenleteit duál rendszerben ortotrop testre, valamint megoldási algoritmus kidolgozását, illetve a kidolgozott algoritmuson alapuló számítóprogram kifejlesztését, illetve numerikus számítások végrehajtását. A fentiekben áttekintett problémák alapján az értekezés megfogalmazza az alábbi. Célkitűzést: Az értekezés ortotrop rugalmas test duál rendszerbeli síkbeli klasszikus feladataira meghatározza a duál alapegyenlethez tartozó ún. első- és másodrendű alapmegoldást, illetve tisztázza ezek tulajdonságait, meghatározza a duál Somigliana identitást és ennek alapján levezeti a duál Somigliana formulákat mind belső-, mind pedig külső tartományra ezek közül a második a direkt módszer integrálegyenlete, tisztázza a megoldási algoritmust és programot dolgoz ki a numerikus megoldás érdekében, majd számpéldákon keresztül illusztrálja annak alkalmazhatóságát...3. Vizsgálatok duál rendszerben mikropoláris eset. Amikropolárisrugalmasságtan egyenletei, hasonlóan a klasszikus esthez, mind primál, mind pedig duál rendszerben megadhatók. A fenti Tonti sémáját 40 követő osztályozás a mikropoláris rugalmasságtan ún. első síkfeladatára a 4 értekezéseben lelhető fel. A mikropoláris rugalmasságtan primál rendszerében tekintett első síkfeladat integrálegyenleteit elsőként D. Ieasan 4 cikke adta meg. Az idézett cikk eredményeit pontosította, különös tekintettel a külső tartományokra vonatkozó és vegyes peremértékfeladatokra, illetve egzisztencia bizonyítással is kiegészítette Schiavone 43. Peremelem módszeren alapuló numerikus megoldásról a primál rendszer keretei között Fuang- Yuan és Keo-Zoo 44 alatti tanulmánya ad számot. A szerző ismeretei szerint kezdeti lépésektől eltekintve 45 nem került sor hasonló vizsgálatokra az első síkfeladat duál rendszerű Ismét hangsúlyozzuk, hogy direkt módszerről beszélünk, ha a vonatkozó integrálegyenletekben a test peremén vett egyes fizikai mennyiségek az ismeretlenek.

12 . Bevezetés 9 megfogalmazása esetén ebben a tekintetben a 4 értekezésre, valamint a 46 és a47 cikkekre utalunk, melyekben további hivatkozások is találhatók. A fentiek alapján az értekezés a mikropoláris rugalmasságtan első síkfeladata esetén duál rendszerben szeretné tisztázni a direkt módszer alapjait, és ennek érdekében megfogalmazza a 3. Célkitűzést: Az értekezés izotrop mikropoláris rugalmas test duál rendszerbeli síkbeli feladataira meghatározza a duál alapegyenlethez tartozó ún. első- és másodrendű alapmegoldásokat, tisztázza azok tulajdonságait, és ezek ismeretében kiindulva a duál Somigliana identitásból levezeti a duál Somigliana formulákat mind belső, mind pedig külső tartományra ezek közül a második a direkt módszer integrálegyenlete, illetve tisztázza a feszültségek számításának módját a mind a peremgörbén, mind pedig a belső pontokban..3. Az értekezés belső tagolása A megfogalmazott célkitűzések megoldását az értekezés főszövegét adó. 9. Fejezetek o. tartalmazzák. A. Fejezet tisztázza ortotrop testekkel kapcsolatos síkfeladatok esetén a formalizmus változását primál rendszerben, ha konstans a végtelen távoli pont feszültségállapota. Az átalakított formalizmus alkalmazhatóságát néhány tesztfeladaton keresztül illusztráljuk. A 3. Fejezet ortotrop testek duál rendszerben tekintett síkfeladatai esetén levezeti az alapegyenletet és meghatározza viszonylag hosszadalmas formális számítások elvégzésével a duál rendszerbeni első és másodrendű alapmegoldásokat. A duál rendszerbeni Somigliana identitást, és a Somigliana formulák levezetését belső tartományra a 4. Fejezet tartalmazza. Közöljük a feszültségek számításának képleteit is. A külső tartománnyal kapcsolatos gondolatmenet, ez felöleli a végtelen távoli pont konstans feszültségi állapotának figyelembevételét, az 5. Fejezetben található. A numerikus megoldás algoritmusát, és néhány, zömében tesztfeladat megoldását a 6. fejezet ismerteti. A mikropoláris rugalmasságtan első síkfeladatára vonatkozó vizsgálatokat a Fejezetek tartalmazzák. A 0. Összefoglalás című fejezet tézisfüzetszerűen foglalja össze az elvégzett vizsgálatokat és az eredményeket. Az értekezést a formális részletszámításokat tartalmazó A., B. és C. Függelék zárja. A D. Függelékben közöljük emellett az egyik program teljes forráslistáját is.

13 . FEJEZET Síkfeladat primál rendszerben ortotrop testre és külső tartományra.. Bevezetés A primál rendszerben és a rugalmasságtan ortotrop testekkel kapcsolatos síkfeladatai esetén, amint erre az. Célkitűzés kapcsán rámutattunk v.ö. 7 o., a peremelem módszer külső tartományokkal kapcsolatos egyenleteinek az a hátránya, hogy nem jelennek meg bennük a végtelen távoli pontban konstans feszültségekkel kapcsolatos tagok. Ha a megfelelően megfogalmazott direkt peremelem módszer egyenletei lineáris elmozdulásmezőt állítanak elő a végtelenben, akkor konstans a vonatkozó alakváltozási- és feszültségmező a végtelenben. Következésképp nincs szükség arra, hogy véges tartománnyal helyettesítsük a külső tartományt a számítás során. A fentebb mondottak alapján az tehát a kulcskérdés, hogy hogyan módosul a három Somigliana formula - a direkt módszer egyenletei - konstans feszültségi és alakváltozási állapotot feltételezve a végtelenben. Érdemes hangsúlyozni, hogy a szuperpozíció elv alkalmas felhasználásával is megoldható a végtelen távoli pont konstans feszültségi állapotának figyelembevétele. A formalizmus célszerű módosítása azonban ezzel együtt is sokkal előnyösebb, hiszen ily módon a direkt peremelem módszer megszokott algoritmusának válnak részévé a módosított és kiegészített egyenletek, azaz maga a kódolási munka is könnyebb... Mezőegyenletek és alapmegoldások A vizsgálatokat az x = x és x = y kartéziuszi koordinátarendszerben végezzük. A koordinátarendszer origóját O jelöli. Görög index értéke, lehet, néma indexek szerint összegezni kell. A tekintett külső tartományt A e, a tartomány peremgörbéjét pedig L o jelöli. Az A e tartománynak n π a külső normálisa, δ κλ a Kronecker szimbólum, az x α szerinti parciális deriváltakat α jelöli, ɛ 3κλ pedig a permutációs szimbólum. Síkfeladatok esetén rendre u κ, e κλ és t κλ jelöli az elmozdulásmezőt, valamint az alakváltozási és feszültségi tenzor síkbeli koordinátáit. Az s,s = s, s és s állandók az ortotrop test rugalmassági jellemzői állandói. Homogén, ortotrop anyag és síkfeladatok esetén a klasszikus rugalmasságtan mezőegyenleteit a e ρλ = ρu λ +u ρ λ 5 kinematikai egyenletek, a t = c e +c e, t = c e +c e, t = t =c e 6 Hooke törvény, itt c = s d, c = c = s d, c = s d, c = s és d = s s s, 7 valamint a t ρλ λ +b ρ =0 8 egyensúlyi egyenletek alkotják. 0

14 . Síkfeladat primál rendszerben ortotrop testre Az 5, 6, 8 egyenletrendszert elvben ki kell egészíteni a feladat peremfeltételeivel mivel azonban a peremfeltételek nem játszanak szerepet a formális átalakításokban, ezért nem részletezzük azokat. Nem nehéz belátni, hogy az u λ -ra vonatkozó alapegyenlet D ρλ u λ +b ρ =0 9a alakú, ahol c D ρλ = +c c +c 9b c +c c +c a 9a egyenletben álló differenciáloperátor. Legyen Qξ,ξ és M x,x a koordinátasík két pontja a forráspont és a hatás pontja. A Q pontot egyelőre rögzítettnek vesszük. A Q és M pontok távolságát R, aq pontból az M pontba mutató helyvektort r κ jelöli. A kiskarikás alsó indexek pl. M vagy Q azt jelölik, hogy a vonatkozó Q, illetve M pontok a peremgörbére vannak lokalizálva. A i L o rq,m = R Q M o r Q x r M O x. ábra. Az A i belső tartomány, Q és M o pontok képeivel, valamint a vonatkozó vektorok és távolságok szemléltetésével Nyilvánvaló, hogy Legyen továbbá r α M,Q=x α M ξ α Q=x α ξ α. 0 λ +λ =s +s /s, λ λ = s /s, A α = s λ α s, 3 ρ α = λ αr +r, 4 D =. 5 π λ λ s Következik a és es egyenletekből, hogy λ, = s +s ± s +s s s s. 6 s A 9a alapegyenlethez a 6, 4 cikkekalapjánaz U M,Q=D λ A ln ρ λ A ln ρ, λ λ r r U M,Q=DA A arctan λ λ r +r U M,Q=U M,Q, A U M,Q= D ln ρ A ln ρ λ λ, 7

15 .3. Somigliana formulák külső tartományra I. elsőrendű és a λ A T M,Q=D ρ { λ A T M,Q=D ρ { λ λ A T M,Q=D ρ λ A T M,Q=D ρ λ A ρ λ A ρ r n +r n, λ λ A λ A másodrendű alapmegoldás tartozik, amelyekkel ρ ρ A r n λ r n r n +r n ρ } A r n, λ ρ } λ A λ A r n ρ ρ, 8 u λ M=U λκ M,Qe κ Q és t λ M=T λκ M,Qe κ Q 9 a Q pontbeli e κ =e κ Q erő hatására kialakuló elmozdulás az M pontban, illetve feszültségvektor az M pontbeli n λ = n λ M normálisú vonalelemen..3. Somigliana formulák külső tartományra I. Tekintsük a 3. ábrán vázolt, az L o kontúrgöbével, az R ε sugarú és Q középpontú L ε körrel, valamint az e R sugarú és O középpontú külső körrel határolt háromszorosan összefüggő A e tartományt. Az e R sugár feltevés szerint elegendően nagy ahhoz, hogy mind az L o görbét, mind pedig az L ε kört tartalmazza. A vázolt A e tartomány az A e külső tartományba megy át, ha er és R ε 0. e n e R x L O x Lo Q A R L R A e 3. ábra. Az A e tartomány képe Legyen u κ M és g κ M legalább kétszer folytonosan differenciálható vektormező elmozdulásmező az x,x koordinátasíkon. Ha az u κ M és g κ M egyaránt elmozdulásmezőnek tekintett vektormező, akkor a belőlük képzett feszültségeket feszültségtenzort rendre t λκ u ρ M és

16 . Síkfeladat primál rendszerben ortotrop testre 3 t λκ g ρ M jelöli. Az { MDλσg MDλσu u λ M σ M g λ M σ M} da M = A e = {u λ M t λκ g ρ M n κ M g λ M t λκ u ρ M n κ M } ds M + L o + {u λ M t λκ g ρ M n κ M g λ M t λκ u ρ M n κ M } ds M + L ε + {u λ M t λκ g ρ M n κ M g λ M t λκ u ρ M n κ M } ds M 0 L R egyenlet, melyet úgy kaptunk meg, hogy parciális integrálás után alkalmaztuk a Gauss tételt a betűk feletti M azt jelöli, hogy a deriválás az M pont koordinátái szerint történik, n κ M mindig a külső normális a primál rendszerbeli Somigliana identitás 6 alkalmazása az identitás szó arra utal, hogy bármely u λ és g λ esetén fennáll a 0 összefüggés a háromszorosan összefüggő A e tartomány esetén. Legyen g λ M=U λκ M,Qe κ Q. Ez a teljes sík egy rugalmas állapota, amely nem szinguláris az A e tartományon. Tételezzük fel, hogy az u λ M elmozdulásmező az A e külső tartomány egy rugalmas állapota. Tételezzük fel továbbá, hogy ũ κ M=c κ +ε 3ρκ x ρ ω +e κβ x β az u λ M elmozdulásmező alakja a végtelen távoli pontban azaz a fenti képlet az elmozdulásmező aszimptotikus előállítása, ha x β, vagy ami ugyanaz, ha M a végtelenhez tart, ahol c κ eltolódás, ω végtelenbeli mozgásokhoz tartozó forgás, c κ + ε 3ρκ x ρ ω a vonatkozó merevtestszerű elmozdulás, e κβ a végtelenben vett konstans alakváltozási tenzor, e κβ x β pedig az ehhez tartozó elmozdulásmező. Az e κβ alakváltozásokból adódó feszültségeket a 6 Hooke törvényből nyerjük: t =c e +c e, t =c e +c e, t =t =c e. A g λ M=U λκ M,Qe κ Q előállítás 0 Somigliana formulákba történő behelyettesítésével a { } MDλσ MDλσ u λ M U σκ M,Q u σ M U λκ M,Q da M e κ Q= A e = u λ M T λκ M,Q t λ M U λκ M,Q ds M e κ Q+ L o + u λ M T λκ M,Q t λ M U λκ M,Q ds M e κ Q+ L ε + u λ M T λκ M,Q t λ M U λκ M,Q ds M e κ Q 3 L R képlet adódik, hiszen t λκ u ρ M n κ M =t λ M a peremgörbén vett feszültség és nyilvánvaló a 9 összefüggés alapján, hogy t λκ g ρ M n κ M =T λκ M,Qe κ Q. A 3 képletben az u λ már az A e tartomány fentebb említett rugalmas állapota. A továbbiakban feltételezzük, hogy nincs tartományi terhelés azaz homogének az alapegyenletek. Ez a feltételezés ui. nincs hatással a várható eredményekre. Mivel a 3 képlet bármilyen e κ Q esetén fennáll, így e κ Q elhagyható. A következő átalakítások során az a fő célunk, hogy tisztázzuk az e κ Q elhagyásával kapott egyenlet határértékét, midőn R ε 0 és e R. A baloldal eltűnik a homogén alapegyenleteket

17 4.4. Az I κ integrál határértéke I. ui. teljesítik az U λκ M,Q oszlopai, és mivel az u λ is a homogén alapegyenletnek tesz eleget, a vele kapcsolatos tag ugyancsak zérus, és amint az jól ismert lásd pl. 5 + lim L o R ε 0 = u κ Q+ L ε u λ M o T λκ M,Q t λ M U λκ M,Q ds M. L o Következésképp u κ Q = lim t λ M U λκ M,Q u λ M T λκ M,Q ds M + er L R + t λ M U λκ M,Q u λ M T λκ M,Q ds M. L o 4 A külső tartományra vonatkozó első Somigliana formula előállítása céljából már csak egy lépés maradt hátra: meg kell keresnünk a fenti képlet jobb oldalon álló első, azaz az I κ = lim er t λ M U λκ M,Q u λ M T λκ M,Q ds M L R 5 integrál határértékét. Ezt a határértéket kétféleképpen keressük meg..4. Az I κ integrál határértéke I. A továbbiakban megmutatjuk, hogy fennáll a I κ = lim t λ M U λκ M,Q u λ M T λκ M,Q ds M = er L R = c κ +ε 3ρκ ξ ρ ω +e κβ ξ β =ũ κ Q 6 reláció. Felhasználva az x β M = e Rn β M összefüggést, helyettesítsük t λ M helyére a t λρ n ρ M képletet és u λ M helyére pedig a c λ +ε 3ρλ x ρ ω+e κβ x β összefüggést az utóbbi helyettesítést az indokolja, hogy ez az összefüggés az u λ M aszimptotikus előállítása, ha e R a végtelenhez tart. Kapjuk, hogy I κ = I κ + I κ + 3 I κ + 4 I κ = = lim c λ T λκ M,Qds M lim ε 3ρλeRω n ρ M T λκ M,Qds M + er L R er L R + lim t λρ n ρ M U λκ M,Qds M lim e λβ e R n β M T λκ M,Qds M. er L R er L R Figyelembe véve a másodrendű alapmegoldások tulajdonságaival kapcsolatos közismert T λκ M,Qds M = δ κλ és ε 3ρλ r ρ T λκ M,Qds M =0 L R L R összefüggéseket a második egyenlet azt fejezi ki, hogy zérus a nyomatékösszeg a Q pontra írható, hogy I κ + I κ = c κ = c κ lim er lim ξ ρ +r ρ T λκ M,Qds M = L R ε 3ρλ ωξ ρ T λκ M,Qds M +ε 3ρλ ω r ρ T λκ M,Qds M L R L R er ε 3ρλω = 7 = c κ +ε 3ρκ ωξ ρ, 8 ami világosan mutatja, hogy az első két részintegrál összege a merevtestszerű elmozdulást adja vissza.

18 . Síkfeladat primál rendszerben ortotrop testre 5 Az 3 I κ és 4 I κ integrálok határértékeinek meghatározása viszonylag hosszú formális számításokat igényel. Ennek okán a főszövegben csak a számítás fontosabb lépéseit és a végeredményeket közöljük. Az átalakítások részleteit az A. Függelék tartalmazza. A határértékek meghatározásához szükségünk lesz az U λκ és T λκ alapmegoldásoknak az e R 0,, etc. kitevőjű hatványaival felírt soraira. Ezek előállítása az alábbi összefüggéseken alapul: n α M=n o α, r α = x α M ξ o α Q=x α ξ α = e R n α ξ α, 9a er { ρ α = λ α r +r er λ α n +n λ α n ξ +n ξ er λ α n + λ α ξ } +ξ +n e R λ α n, 9b +n ln ρ α ln e R+ ln λ α n +n λ α n ξ +n ξ er λ α n + λ α ξ +ξ +n e R λ α n, 9c +n ρ α er λ α n + λ α n ξ +n ξ +n er λ α n λ α ξ ξ +n er λ α n 9d +n és λ λ r r λ λ n n arctan λ λ r arctan +r λ λ n + +n λ λ λ λ n + n n 3 ξ λ λ n 3 n n ξ er n 4 λ λ +n 4 +λ +λ n. 9e n Kellően nagy e R esetén az alábbi képletek adják az első és másodrendű alapmegoldások aszimptotikus előállításait: λ U M,Q D A ln e R+ ln λ n +n λ n ξ +n ξ er λ n +n λ A ln e R+ ln λ n +n λ n ξ +n ξ er λ n, 30 +n A U M,Q D ln e R+ λ ln λ n +n λ n ξ +n ξ er λ n +n A ln e R+ λ ln λ n +n λ n ξ +n ξ er λ n, 3 +n λ U M,Q DA A arctan λ n n λ λ n + +n λ λ λ λ n + n n 3 ξ λ λ n 3 n n er n 4 λ λ +n 4 +λ +λ n n és T M,Q= D λ A er λ n +n T M,Q= D λ A er λ n +n D λ A er λ n +n + er λ n ξ +n ξ λ n +n D λ A er λ n +n λ n n + er λ n n + er + er er ξ n +ξ n λ n ξ +n ξ λ n +n λ n ξ +n ξ λ n +n λ n ξ +n ξ λ n +n ξ er ξ n +ξ n er λ ξ n ξ n er λ ξ n ξ n 3, 33, 34

19 6.4. Az I κ integrál határértéke I. T M,Q= D A λ er λ n +n D A λ er λ n +n λ n n + er λ n n + er λ n ξ +n ξ λ n +n λ n ξ +n ξ λ n +n er er ξ n λ ξ n ξ n λ ξ n, 35 T M,Q= D λ A er λ n +n + er λ n ξ +n ξ λ n +n D λ A er λ n +n + er er ξ n ξ n λ n ξ +n ξ λ n +n er ξ n ξ n. 36 Az U λκ elsőrendű és T λκ másodrendű alapmegoldások fenti aszimptotikus előállításainak ismeretében az alábbi megfontolások figyelembevétel számíthatók a 3 I κ és 4 I κ integrálok:. Az L R peremgörbe külső normálisát az n κ =cosϑ, sin ϑ képlet adja, ahol ϑ a polárszög.. Az L R körön az M o pontban vett ívelemnek ds o = e R dϑ az értéke. M 3. Ha e R, akkor az e R együtthatójaként megjelenő integrálok értéke mindig zérus értékű a vonatkozó integrálokat az A. Függelék részletezi. 4. Az e R 0-ik hatványú együtthatói hasonló szerkezetűek ezek is trigonometrikus integrálok. Ezek az integrálok tartalmazzák a ξ α koordinátákat is és nem szükségképpen zérus az értékük. A számítások elvégzése után az 3 I κ integrál tekintetében az 3 I κ = lim t λρ n ρ M U λκ M,Qds M = er L R = t ξ I κ +ξ I κ +t ξ I κ +ξ I κ t ξ I κ +ξ I κ +t ξ I κ +ξ I κ 37 eredményt kapjuk, ahol { 3 I =πd { 3 I =πd A A } λ + A λ λ +, λ } λ + A λ λ +, λ 3 I =0, 3 I =0, 33 I = πda A λ λ λ + λ +, 33 I =0, 38a 38b 38c 34 I = 33 I, 3 I = 33 I, 3 I = 34 I, 33 I =πd { A λ + A }, λ + { } 34 A I =πd λ λ + A, λ λ + 34 I =0, 3 I =0, 3 I =0, 33 I =0, 34 I =0. 38d 38e 38f 38g 38h

20 . Síkfeladat primál rendszerben ortotrop testre 7 Az 4 I κ integrál értéke hasonló gondolatmenettel adódik: 4 I κ = lim e λβ e R n β MT o λκ M,Qds M = er L R = e ξ I κ +ξ I κ +e ξ I κ +ξ I κ e ξ I κ +ξ I κ +e ξ I κ +ξ I κ, 39 ahol { 4 I =πd A λ { 4 λ I =πd A λ } λ + A, λ + } λ A λ, λ } { 43 λ λ I =πd A λ A { 44 I = πd { 4 λ λ I =πd A { 4 λ I = πd A { 43 I =πd A λ λ λ λ λ λ λ A A λ λ } λ λ A λ λ λ λ } λ A λ, λ } λ λ + A λ, λ + } λ, λ { 44 λ I =πd A λ A,, }, 4 I =0, 4 I =0, 43 I =0, 44 I =0, 4 I =0, 4 I =0, 43 I =0, 44 I =0. 40a 40b 40c 40d 40e 40f 40g 40h Visszahelyettesítve a 38a,...,38h és 40a,...,40h egyenletek zérustól különböző tagjait a 37 és 39 összefüggésekbe, majd felhasználva a Hooke törvényt, illetve a 7 összefüggéseket kapjuk, hogy 3 I + 4 I = s e s e 3 s s s ξ I + e s e ξ + s e s e 34 s s s ξ I e 4 ξ I I +ξ I + 43 I e 3 I + 33 I + ξ 4 I +ξ 4 I ξ 44 I +ξ 44 I 4a és, hogy 3 I + 4 I = s e s e 3 s s s ξ I + e s e ξ + s e s e 34 s s s ξ I e 4 ξ I I +ξ I + 43 I e 3 I + 33 I + ξ 4 I +ξ 4 I ξ 44 I +ξ 44 I. 4b

21 8.5. Az I κ integrál határértéke II. A és 6 egyenleteket felhasználva, majd rendre összegyűjtve mindkét, azaz a 4a és a 4b egyenlet esetén is az e, e és e alakváltozások együtthatóit az alábbi összefüggéseket kapjuk: s 3 s s I + s s s s s s 34 I 4 I =, 3 I + 33 I 4 I 43 I =, 4a és s s s s s 3 s 34 I s s I 44 I =0 s 3 s s s I + s s s s s 34 I 4 I =0, 3 I + 33 I 4 I 43 I =, 4b s s s s 3 s 34 I s s I 44 I =. s A fenti képletek igazolását az A. Függelék A.. szakasza közli lásd a 98. oldallal kezdődően. Ha visszahelyettesítjük a 4a,b egyenleteket a 4a,b által megjelölt összefüggésekbe, akkor 3 I κ + 4 I κ = e κβ ξ β 43 az eredmény. Visszaidézve az első két részintegrál összegére vonatkozó 8 képletet valóban a bizonyítani kívánt eredményt kapjuk: I κ = I κ + I κ + 3 I κ + 4 I κ = c κ +ε 3ρκ ξ ρ ω +e κβ ξ β =ũ κ Q Az I κ integrál határértéke II. Az előző szakaszban közölt igazolás nagy figyelmet kívánó formális számításokat igényelt. A jelen szakaszban a belső tartományra vonatkozó első Somigliana formula felhasználásával, elemi eszközökkel és igen egyszerű módon igazoljuk a 6 vagy ami ugyanaz a 44 összefüggés helyességét. Tekintsük az e R sugarú O középpontú körrel az L R körrel határolt egyszeresen összefüggő ortotrop A R tartományt. Legyen a Q pont az A R tartomány belső pontja. Tegyük fel, hogy nincs tartományi teher. Tegyük fel továbbá, hogy az ũ λ M elmozdulásmező rugalmas állapota az A R tartománynak. Ehhez a rugalmas állapothoz az ẽ κλ M alakváltozási tenzor, a t κλ M feszültségi tenzor és a tartomány peremén ébredő t κ = t κλ M o n κ M o feszültségvektor tartozik. Mivel az ũ λ M elmozdulásmező térfogati terhelés nélküli rugalmas állapota az ortotrop A R tartománynak, fennáll az első Somigliana féle formula, azaz ũ κ Q= t λ M U λκ M,Q ũ λ M T λκ M,Q ds M. 45 L R Nem nehéz ellenőrizni, hogy az A e külső tartomány rugalmas állapotát adó u λ M elmozdulásmező aszimptotikus viselkedésével kapcsolatos ũ λ M=c κ +ε 3ρκ x ρ ω +e κβ x β 46 elmozdulásmező valójában a teljes x,x koordináta sík, következésképp az A R tartomány olyan rugalmas állapota, amelyre az jellemző, hogy a sík minden pontjában állandó a feszültségi tenzor: t κλ M= t κλ. Mivel rugalmas állapotról van szó, fennáll a 45 és 46 egybevetéséből adódó L R t λ M U λκ M,Q ũ λ M T λκ M,Q ds M =ũ λ Q=c κ +ε 3ρκ ξ ρ ω +e κβ ξ β 47

22 . Síkfeladat primál rendszerben ortotrop testre 9 egyenlet is. Ha még azt is figyelembe vesszük a fentiek mellett, hogy lim u λm=ũ λ és lim t λm= t λ, 48 er er akkor a bizonyítani kivánt 6 összefüggés integráljának értékére valóban a kívánt lim er eredményt kapjuk. L R t λ M U λκ M,Q u λ M T λκ M,Q ds M =ũ κ Q=c κ +ε 3ρκ ξ ρ ω +e κβ ξ β Somigliana formulák külső tartományra II. Ha elhanyagoljuk a merevtestszerű mozgást, azaz zérusnak tekintjük az I κ + I κ összeget és ennek figyelembevételével tekintjük az I κ integrált, akkor egyszerűsödik az összeg: I κ = I κ + I κ + 3 I κ + 4 I κ = e κβ ξ β. A fentiek alapján a módosított és kiegészített Somigliana formula azonnal következik a 6 és 4 egyenletekből: u κ Q=e κβ ξ β Q+ t λ M U λκ M,Q u λ M T λκ M,Q ds M, L o Q A e. 50 Ha Q = Q,azazL o görbén vagyunk, a változás nem érinti az L R -n vett integrál határértékét. Ennélfogva C κρ u ρ Q =e κβ ξ β Q + t λ M U λκ M,Q u λ M T λκ M,Q ds M, L o Q = Q L o, 5 ahol C κρ = δ κρ /, haakontúrfolytonosq -ban. Ez az integrálegyenlet a direkt módszer integrálegyenlete a második Somigliana formula külső tartományra. Ha a Q az L o görbén kívül található eztatartományta i -vel jelöltük akkor könnyen belátható, hogy 0=e κβ ξ β Q+ t λ M U λκ M,Q u λ M T λκ M,Q ds M, Q= Q A i, 5 L o ami a harmadik Somigliana formula külső tartományra. Az A. Függelék A.3. szakasza közli az alakváltozási tenzor számításának összefüggéseit. Ezekkel a képletekkel és a Hooke törvényt adó összefüggéssel t αβ Q= t λ M ˆD λαβ M,Qds M u λ M ŜλαβM,Qds M, Q A e 53 L o L o a feszültségi tenzor, ahol ˆD λ = c D λ +c D λ, ˆD λ = c D λ +c D λ, ˆD λ =c D λ = ˆD λ, Ŝ λ = c S λ +c S λ, Ŝ λ = c S λ +c S λ, Ŝ λ =c S λ = Ŝλ Végtelenbeli viselkedés A jelen szakaszban azt vizsgáljuk meg formális számításokkal, hogy visszaadja-e a módosított és kiegészített első Somigliana formula, azaz az 50 képlet, az u κ Q merevtestszerű mozgás

Miskolci Egyetem. Peremelem módszer ortotróp és mikropoláris testek síkfeladataira a lineáris rugalmasságtan primál és duál rendszerében

Miskolci Egyetem. Peremelem módszer ortotróp és mikropoláris testek síkfeladataira a lineáris rugalmasságtan primál és duál rendszerében Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI KAR Peremelem módszer ortotróp és mikropoláris testek síkfeladataira a lineáris rugalmasságtan primál és duál rendszerében PhD értekezés tézisei Készítette: Dudra Judit okleveles

Részletesebben

Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI KAR. PhD értekezés. Készítette: Szirbik Sándor Mátyás okleveles gépészmérnök

Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI KAR. PhD értekezés. Készítette: Szirbik Sándor Mátyás okleveles gépészmérnök Miskolci Egyetem GÉPÉSMÉRNÖKI KAR Peremkontúr-módszer a lineáris rugalmasságtan síkfeladataira duál rendszerben PhD értekezés Készítette: Szirbik Sándor Mátyás okleveles gépészmérnök Sályi István Gépészeti

Részletesebben

V É G E S E L E M M Ó D S Z E R M É R N Ö K I M E C H A N I K A I A L K A LM A Z Á S A I

V É G E S E L E M M Ó D S Z E R M É R N Ö K I M E C H A N I K A I A L K A LM A Z Á S A I ALKALMAZOTT MECHANIKA TANSZÉK V É G E S E L E M M Ó D S Z E R M É R N Ö K I M E C H A N I K A I A L K A LM A Z Á S A I Előadásvázlat a Multidiszciplináris Műszaki Tudományi Doktori Iskola hallgatói számára

Részletesebben

Miskolci Egyetem. Peremkontúr-módszer a lineáris rugalmasságtan síkfeladataira duál rendszerben. PhD értekezés tézisei GÉPÉSZMÉRNÖKI KAR

Miskolci Egyetem. Peremkontúr-módszer a lineáris rugalmasságtan síkfeladataira duál rendszerben. PhD értekezés tézisei GÉPÉSZMÉRNÖKI KAR Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI KAR Peremkontúr-módszer a lineáris rugalmasságtan síkfeladataira duál rendszerben PhD értekezés tézisei Készítette: Szirbik Sándor Mátyás okleveles gépészmérnök Sályi István

Részletesebben

Példa: Tartó lehajlásfüggvényének meghatározása a Rayleigh Ritz-féle módszer segítségével

Példa: Tartó lehajlásfüggvényének meghatározása a Rayleigh Ritz-féle módszer segítségével Példa: Tartó lehajlásfüggvényének meghatározása a Rayleigh Ritz-féle módszer segítségével Készítette: Dr. Kossa Attila (kossa@mm.bme.hu) BME, Műszaki Mechanikai Tanszék 2013. szeptember 23. Javítva: 2013.10.09.

Részletesebben

Példa: Tartó lehajlásfüggvényének meghatározása végeselemes módszer segítségével

Példa: Tartó lehajlásfüggvényének meghatározása végeselemes módszer segítségével Példa: Tartó lehajlásfüggvényének meghatározása végeselemes módszer segítségével Készítette: Dr. Kossa Attila (kossa@mm.bme.hu) BME, Műszaki Mechanikai Tanszék 213. október 8. Javítva: 213.1.13. Határozzuk

Részletesebben

Bevezetés a modern fizika fejezeteibe. 1.(a) Rugalmas hullámok. Utolsó módosítás: szeptember 28. Dr. Márkus Ferenc BME Fizika Tanszék

Bevezetés a modern fizika fejezeteibe. 1.(a) Rugalmas hullámok. Utolsó módosítás: szeptember 28. Dr. Márkus Ferenc BME Fizika Tanszék Bevezetés a modern fizika fejezeteibe 1.(a) Rugalmas hullámok Utolsó módosítás: 2012. szeptember 28. 1 A deformálható testek mozgása (1) A Helmholtz-féle kinematikai alaptétel: A deformálható test elegendően

Részletesebben

3. Lineáris differenciálegyenletek

3. Lineáris differenciálegyenletek 3. Lineáris differenciálegyenletek A közönséges differenciálegyenletek két nagy csoportba oszthatók lineáris és nemlineáris egyenletek csoportjába. Ez a felbontás kicsit önkényesnek tűnhet, a megoldásra

Részletesebben

Gyakorlati példák Dr. Gönczi Dávid

Gyakorlati példák Dr. Gönczi Dávid Szilárdságtani számítások Gyakorlati példák Dr. Gönczi Dávid I. Bevezető ismeretek I.1 Definíciók I.2 Tenzoralgebrai alapismeretek I.3 Bevezetés az indexes jelölésmódba I.4 A lineáris rugalmasságtan általános

Részletesebben

Matematika A2 vizsga mgeoldása június 4.

Matematika A2 vizsga mgeoldása június 4. Matematika A vizsga mgeoldása 03. június.. (a (3 pont Definiálja az f(x, y függvény határértékét az (x 0, y 0 helyen! Megoldás: Legyen D R, f : D R. Legyen az f(x, y függvény értelmezve az (x 0, y 0 pont

Részletesebben

Energiatételek - Példák

Energiatételek - Példák 9. Előadás Húzott rúd potenciális energiája: Hooke-modell: σ = Eε Geom. hetséges Geometriai egyenlet: + geom. peremfeltételek: u εx = ε = x u(0) = 0 ul () = 0 du dx Energiatételek Példák = k l 0 pudx l

Részletesebben

Kétváltozós függvények differenciálszámítása

Kétváltozós függvények differenciálszámítása Kétváltozós függvények differenciálszámítása 13. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Kétváltozós függvények p. 1/1 Definíció, szemléltetés Definíció. Az f : R R R függvényt

Részletesebben

Végeselem analízis. 1. el adás

Végeselem analízis. 1. el adás Végeselem analízis 1. el adás Pere Balázs Széchenyi István Egyetem, Alkalmazott Mechanika Tanszék 2016. szeptember 7. Mi az a VégesElem Analízis (VEA)? Parciális dierenciálegyenletek (egyenletrendszerek)

Részletesebben

Gauss-Jordan módszer Legkisebb négyzetek módszere, egyenes LNM, polinom LNM, függvény. Lineáris algebra numerikus módszerei

Gauss-Jordan módszer Legkisebb négyzetek módszere, egyenes LNM, polinom LNM, függvény. Lineáris algebra numerikus módszerei A Gauss-Jordan elimináció, mátrixinvertálás Gauss-Jordan módszer Ugyanazzal a technikával, mint ahogy a k-adik oszlopban az a kk alatti elemeket kinulláztuk, a fölötte lévő elemeket is zérussá lehet tenni.

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA II 9 IX Magasabbrendű DIFFERENCIÁLEGYENLETEk 1 Alapvető ÖSSZEFÜGGÉSEk n-ed rendű differenciálegyenletek Az alakú ahol n-edrendű differenciálegyenlet általános megoldása tetszőleges

Részletesebben

Egy sík és a koordinátasíkok metszésvonalainak meghatározása

Egy sík és a koordinátasíkok metszésvonalainak meghatározása 1 Egy sík és a koordinátasíkok metszésvonalainak meghatározása Ehhez tekintsük az 1. ábrát! 1. ábra Itt az ( u, v, w ) tengelymetszeteivel adott S síkot látjuk, az Oxyz térbeli derékszögű koordináta -

Részletesebben

Pere Balázs október 20.

Pere Balázs október 20. Végeselem anaĺızis 1. előadás Széchenyi István Egyetem, Alkalmazott Mechanika Tanszék 2014. október 20. Mi az a VégesElem Anaĺızis (VEA)? Mi az a VégesElem Anaĺızis (VEA)? Mi az a VégesElem Anaĺızis (VEA)?

Részletesebben

Matematika II. 1 sin xdx =, 1 cos xdx =, 1 + x 2 dx =

Matematika II. 1 sin xdx =, 1 cos xdx =, 1 + x 2 dx = Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika II Határozatlan Integrálszámítás d) Adja meg az alábbi alapintegrálokat! x n 1 dx =, sin 2 x dx = d) Adja meg az alábbi alapintegrálokat!

Részletesebben

Többváltozós, valós értékű függvények

Többváltozós, valós értékű függvények TÖ Többváltozós, valós értékű függvények TÖ Definíció: többváltozós függvények Azokat a függvényeket, melyeknek az értelmezési tartománya R n egy részhalmaza, n változós függvényeknek nevezzük. TÖ Példák:.

Részletesebben

MÉSZÁROS JÓZSEFNÉ, NUMERIKUS MÓDSZEREK

MÉSZÁROS JÓZSEFNÉ, NUMERIKUS MÓDSZEREK MÉSZÁROS JÓZSEFNÉ, NUmERIKUS módszerek 9 FÜGGVÉNYKÖZELÍTÉSEK IX. SPLINE INTERPOLÁCIÓ 1. SPLINE FÜGGVÉNYEK A Lagrange interpolációnál említettük, hogy az ún. globális interpoláció helyett gyakran célszerű

Részletesebben

sin x = cos x =? sin x = dx =? dx = cos x =? g) Adja meg a helyettesítéses integrálás szabályát határozott integrálokra vonatkozóan!

sin x = cos x =? sin x = dx =? dx = cos x =? g) Adja meg a helyettesítéses integrálás szabályát határozott integrálokra vonatkozóan! Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Analízis II Határozatlan integrálszámítás g) t = tg x 2 helyettesítés esetén mivel egyenlő sin x = cos x =? g) t = tg x 2 helyettesítés esetén

Részletesebben

Végeselem modellezés alapjai 1. óra

Végeselem modellezés alapjai 1. óra Végeselem modellezés alapjai. óra Gyenge alak, Tesztfüggvény, Lagrange-féle alakfüggvény, Stiness mátrix Kivonat Az óra célja, hogy megismertesse a végeselem módszer (FEM) alkalmazását egy egyszer probléma,

Részletesebben

Differenciálegyenletek. Vajda István március 4.

Differenciálegyenletek. Vajda István március 4. Analízis előadások Vajda István 2009. március 4. Függvényegyenletek Definíció: Az olyan egyenleteket, amelyekben a meghatározandó ismeretlen függvény, függvényegyenletnek nevezzük. Függvényegyenletek Definíció:

Részletesebben

TERMÉKSZIMULÁCIÓ. Dr. Kovács Zsolt. Végeselem módszer. Elıadó: egyetemi tanár. Termékszimuláció tantárgy 6. elıadás március 22.

TERMÉKSZIMULÁCIÓ. Dr. Kovács Zsolt. Végeselem módszer. Elıadó: egyetemi tanár. Termékszimuláció tantárgy 6. elıadás március 22. TERMÉKZIMULÁCIÓ Végeselem módszer Termékszimuláció tantárgy 6. elıadás 211. március 22. Elıadó: Dr. Kovács Zsolt egyetemi tanár A végeselem módszer lényege A vizsgált, tetszıleges geometriai kialakítású

Részletesebben

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 15 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 151 Lineáris egyenletrendszer, Gauss elimináció 1 Definíció Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az (1) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a

Részletesebben

minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének mondjuk, f(x 0 )-at pedig az (abszolút) maximumértékének.

minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének mondjuk, f(x 0 )-at pedig az (abszolút) maximumértékének. Függvények határértéke és folytonossága Egy f: D R R függvényt korlátosnak nevezünk, ha a függvényértékek halmaza korlátos. Ha f(x) f(x 0 ) teljesül minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének

Részletesebben

0-49 pont: elégtelen, pont: elégséges, pont: közepes, pont: jó, pont: jeles

0-49 pont: elégtelen, pont: elégséges, pont: közepes, pont: jó, pont: jeles Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I. 2013. jan. 10. Név: Neptun kód: Idő: 180 perc Elm.: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. Fel. össz.: Össz.: Oszt.: Az elérhető pontszám 40 (elmélet) + 60 (feladatok)

Részletesebben

6. gyakorlat. Gelle Kitti. Csendes Tibor Somogyi Viktor. London András. jegyzetei alapján

6. gyakorlat. Gelle Kitti. Csendes Tibor Somogyi Viktor. London András. jegyzetei alapján Közelítő és szimbolikus számítások 6. gyakorlat Sajátérték, Gersgorin körök Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Somogyi Viktor Vinkó Tamás London András Deák Gábor jegyzetei alapján . Mátrixok sajátértékei

Részletesebben

1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor

1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor . Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor Vizsgálja meg a következő végtelen sorokat konvergencia szempontjából. Tétel. (Cauchy-féle belső konvergenciakritérium) A a n végtelen sor akkor és csakis

Részletesebben

DIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC

DIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC BSC MATEMATIKA II. MÁSODRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK BSc. Matematika II. BGRMAHNND, BGRMAHNNC MÁSODRENDŰ DIFFERENCIÁLEGYENLETEK Egy explicit közönséges másodrendű differenciálegyenlet általános

Részletesebben

Lineáris algebra numerikus módszerei

Lineáris algebra numerikus módszerei Hermite interpoláció Tegyük fel, hogy az x 0, x 1,..., x k [a, b] különböző alappontok (k n), továbbá m 0, m 1,..., m k N multiplicitások úgy, hogy Legyenek adottak k m i = n + 1. i=0 f (j) (x i ) = y

Részletesebben

I. Fejezetek a klasszikus analízisből 3

I. Fejezetek a klasszikus analízisből 3 Tartalomjegyzék Előszó 1 I. Fejezetek a klasszikus analízisből 3 1. Topológia R n -ben 5 2. Lebesgue-integrál, L p - terek, paraméteres integrál 9 2.1. Lebesgue-integrál, L p terek................... 9

Részletesebben

Az R forgató mátrix [ 1 ] - beli képleteinek levezetése: I. rész

Az R forgató mátrix [ 1 ] - beli képleteinek levezetése: I. rész Az R forgató mátri [ ] - beli képleteinek levezetése: I rész Az [ ] forrás kötetében a ( 49 ), ( 50 ) képletek nyilván mint közismertek nem lettek levezetve Minthogy az ottani további számítások miatt

Részletesebben

Matematika I. Vektorok, egyenesek, síkok

Matematika I. Vektorok, egyenesek, síkok Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika I Vektorok, egyenesek, síkok a) Hogyan számítjuk ki az a = (a 1, a 2, a 3 ) és b = (b 1, b 2, b 3 ) vektorok szögét? a) Hogyan számítjuk

Részletesebben

Elhangzott gyakorlati tananyag óránkénti bontásban. Mindkét csoport. Rövidítve.

Elhangzott gyakorlati tananyag óránkénti bontásban. Mindkét csoport. Rövidítve. TTK, Matematikus alapszak Differenciálegyenletek 1 (BMETE93AM15) Elhangzott gyakorlati tananyag óránkénti bontásban Mindkét csoport Rövidítve 1 gyakorlat 017 szeptember 7 T01 csoport Elsőrendű közönséges

Részletesebben

Segédlet: Főfeszültségek meghatározása Mohr-féle feszültségi körök alkalmazásával

Segédlet: Főfeszültségek meghatározása Mohr-féle feszültségi körök alkalmazásával Segédlet: Főfeszültségek meghatározása Mohr-féle feszültségi körök alkalmazásával Készítette: Dr. Kossa Attila (kossa@mm.bme.hu) BME, Műszaki Mechanikai Tanszék 212. október 16. Frissítve: 215. január

Részletesebben

MECHANIKA I. rész: Szilárd testek mechanikája

MECHANIKA I. rész: Szilárd testek mechanikája Egészségügyi mérnökképzés MECHNIK I. rész: Szilárd testek mechanikája készítette: Németh Róbert Igénybevételek térben I. z alapelv ugyanaz, mint síkban: a keresztmetszet egyik oldalán levő szerkezetrészre

Részletesebben

1. Homogén lineáris egyenletrendszer megoldástere

1. Homogén lineáris egyenletrendszer megoldástere X HOMOGÉN LINEÁRIS EGYENLET- RENDSZEREK 1 Homogén lineáris egyenletrendszer megoldástere Homogén lineáris egyenletrendszer definíciója már szerepelt Olyan lineáris egyenletrendszert nevezünk homogénnek,

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 4 IV. FÜGGVÉNYEk 1. LEkÉPEZÉSEk, függvények Definíció Legyen és két halmaz. Egy függvény -ből -ba egy olyan szabály, amely minden elemhez pontosan egy elemet rendel hozzá. Az

Részletesebben

MATEMATIKA HETI 5 ÓRA. IDŐPONT: 2009. június 8.

MATEMATIKA HETI 5 ÓRA. IDŐPONT: 2009. június 8. EURÓPAI ÉRETTSÉGI 2009 MATEMATIKA HETI 5 ÓRA IDŐPONT: 2009. június 8. A VIZSGA IDŐTARTAMA: 4 óra (240 perc) ENGEDÉLYEZETT SEGÉDESZKÖZÖK : Európai képletgyűjtemény Nem programozható, nem grafikus kalkulátor

Részletesebben

A főtengelyproblémához

A főtengelyproblémához 1 A főtengelyproblémához Korábbi, az ellipszis perspektivikus ábrázolásával foglalkozó dolgozatainkban előkerült a másodrendű görbék kanonikus alakra hozása, majd ebben a főtengelyrendszert előállító elforgatási

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA II 8 VIII Elsőrendű DIFFERENCIÁLEGYENLETEk 1 Alapvető ÖSSZEFÜGGÉSEk Elsőrendű differenciálegyenlet általános és partikuláris megoldása Az vagy (1) elsőrendű differenciálegyenlet

Részletesebben

Frissítve: 2015.04.29. Feszültség- és alakváltozási állapot. 1. példa: Írjuk fel az adott kockához tartozó feszültségtenzort!

Frissítve: 2015.04.29. Feszültség- és alakváltozási állapot. 1. példa: Írjuk fel az adott kockához tartozó feszültségtenzort! 1. példa: Írjuk fel az adott kockához tartozó feszültségtenzort! 1 / 20 2. példa: Rajzoljuk fel az adott feszültségtenzorhoz tartozó kockát! 2 / 20 3. példa: Feszültségvektor számítása. Egy alkatrész egy

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA II 7 VII VEkTORANALÍZIS 1 ELmÉLETI ALAPOk Az u függvényt skalár-vektor függvénynek nevezzük, ha értelmezési tartománya a háromdimenziós tér vektorainak halmaza, a függvényértékek

Részletesebben

Hajlított tartó elmozdulásmez jének meghatározása Ritz-módszerrel

Hajlított tartó elmozdulásmez jének meghatározása Ritz-módszerrel Hajlított tartó elmozdulásmez jének meghatározása Ritz-módszerrel Segédlet az A végeselem módszer alapjai tárgy 4. laborgyakorlatához http://www.mm.bme.hu/~kossa/vemalap4.pdf Kossa Attila (kossa@mm.bme.hu)

Részletesebben

Matematika szigorlat június 17. Neptun kód:

Matematika szigorlat június 17. Neptun kód: Név Matematika szigorlat 014. június 17. Neptun kód: 1.. 3. 4. 5. Elm. Fel. Össz. Oszt. Az eredményes szigorlat feltétele elméletből legalább 0 pont, feladatokból pedig legalább 30 pont elérése. A szigorlat

Részletesebben

Numerikus integrálás

Numerikus integrálás Közelítő és szimbolikus számítások 11. gyakorlat Numerikus integrálás Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Somogyi Viktor Vinkó Tamás London András Deák Gábor jegyzetei alapján 1. Határozatlan integrál

Részletesebben

Matematika III előadás

Matematika III előadás Matematika III. - 3. előadás Vinczéné Varga Adrienn Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Előadáskövető fóliák Vinczéné Varga Adrienn (DE-MK) Matematika III. 2016/2017/I 1 / 19 Skalármezők

Részletesebben

Norma Determináns, inverz Kondíciószám Direkt és inverz hibák Lin. egyenletrendszerek A Gauss-módszer. Lineáris algebra numerikus módszerei

Norma Determináns, inverz Kondíciószám Direkt és inverz hibák Lin. egyenletrendszerek A Gauss-módszer. Lineáris algebra numerikus módszerei Indukált mátrixnorma Definíció A. M : R n n R mátrixnormát a. V : R n R vektornorma által indukált mátrixnormának nevezzük, ha A M = max { Ax V : x V = 1}. Az indukált mátrixnorma geometriai jelentése:

Részletesebben

Matematika II képletek. 1 sin xdx =, cos 2 x dx = sh 2 x dx = 1 + x 2 dx = 1 x. cos xdx =,

Matematika II képletek. 1 sin xdx =, cos 2 x dx = sh 2 x dx = 1 + x 2 dx = 1 x. cos xdx =, Matematika II előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika II képletek Határozatlan Integrálszámítás x n dx =, sin 2 x dx = sin xdx =, ch 2 x dx = sin xdx =, sh 2 x dx = cos xdx =, + x 2

Részletesebben

Gauss-eliminációval, Cholesky felbontás, QR felbontás

Gauss-eliminációval, Cholesky felbontás, QR felbontás Közelítő és szimbolikus számítások 4. gyakorlat Mátrix invertálás Gauss-eliminációval, Cholesky felbontás, QR felbontás Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Somogyi Viktor London András Deák Gábor jegyzetei

Részletesebben

Példa: Normálfeszültség eloszlása síkgörbe rúd esetén

Példa: Normálfeszültség eloszlása síkgörbe rúd esetén Példa: Normálfeszültség eloszlása síkgörbe rúd esetén Készítette: Kossa Attila (kossa@mm.bme.hu) BME, Műszaki Mechanikai Tanszék 2011. március 20. Az 1. ábrán vázolt síkgörbe rúd méretei és terhelése ismert.

Részletesebben

Differenciálegyenletek megoldása próbafüggvény-módszerrel

Differenciálegyenletek megoldása próbafüggvény-módszerrel Differenciálegyenletek megoldása próbafüggvény-módszerrel Ez még nem a végleges változat, utoljára módosítva: 2012. április 9.19:38. Elsőrendű egyenletek Legyen adott egy elsőrendű lineáris állandó együtthatós

Részletesebben

VIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag

VIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag VIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag 2018/19 1. félév Függvények határértéke 1. Bizonyítsuk be definíció alapján a következőket! (a) lim x 2 3x+1 5x+4 = 1 2 (b) lim x 4 x 16 x 2 4x = 2

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 8 VIII VEkTOROk 1 VEkTOR Vektoron irányított szakaszt értünk Jelölése: stb Vektorok hossza A vektor abszolút értéke az irányított szakasz hossza Ha a vektor hossza egységnyi akkor

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII.

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Magasabbfokú egyenletek: A 3, vagy annál nagyobb fokú egyenleteket magasabb fokú egyenleteknek nevezzük. Megjegyzés: Egy n - ed fokú egyenletnek legfeljebb n darab valós

Részletesebben

Határozatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Határozatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Határozatlan integrál () First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Az összetett függvények integrálására szolgáló egyik módszer a helyettesítéssel való integrálás. Az idevonatkozó tétel pontos

Részletesebben

Függvények Megoldások

Függvények Megoldások Függvények Megoldások ) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) x x b) x x + c) x ( x + ) b) Az x függvény

Részletesebben

DIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC

DIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC 016.03.1. BSC MATEMATIKA II. ELSŐ ÉS MÁSODRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK BSc. Matematika II. BGRMAHNND, BGRMAHNNC AZ ELSŐRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLET FOGALMA Az elsőrendű közönséges differenciálegyenletet

Részletesebben

Matematika gyógyszerészhallgatók számára. A kollokvium főtételei tanév

Matematika gyógyszerészhallgatók számára. A kollokvium főtételei tanév Matematika gyógyszerészhallgatók számára A kollokvium főtételei 2015-2016 tanév A1. Függvénytani alapfogalmak. Kölcsönösen egyértelmű függvények és inverzei. Alkalmazások. Alapfogalmak: függvény, kölcsönösen

Részletesebben

A brachistochron probléma megoldása

A brachistochron probléma megoldása A brachistochron probléma megoldása Adott a függőleges síkban két nem egy függőleges egyenesen fekvő P 0 és P 1 pont, amelyek közül a P 1 fekszik alacsonyabban. Azt a kérdést fogjuk vizsgálni. hogy van-e

Részletesebben

Számítási módszerek a fizikában 1. (BMETE90AF35) tárgy részletes tematikája

Számítási módszerek a fizikában 1. (BMETE90AF35) tárgy részletes tematikája Számítási módszerek a fizikában 1. (BMETE90AF35) tárgy részletes tematikája Tasnádi Tamás 2014. szeptember 11. Kivonat A tárgy a BME Fizika BSc szak kötelező, alapozó tárgya a képzés 1. félévében. A tárgy

Részletesebben

HÁZI FELADATOK. 2. félév. 1. konferencia Komplex számok

HÁZI FELADATOK. 2. félév. 1. konferencia Komplex számok Figyelem! A feladatok megoldása legyen áttekinthet és részletes, de férjen el az arra szánt helyen! Ha valamelyik HÁZI FELADATOK. félév. konferencia Komple számok Értékelés:. egység: önálló feladatmegoldás

Részletesebben

Keresztmetszet másodrendű nyomatékainak meghatározása

Keresztmetszet másodrendű nyomatékainak meghatározása BUDAPEST MŰSZAK ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNY EGYETEM Keresztmetszet másodrendű nyomatékainak meghatározása Segédlet a Szilárdságtan c tárgy házi feladatához Készítette: Lehotzky Dávid Budapest, 205 február 28 ábra

Részletesebben

Matematika III előadás

Matematika III előadás Matematika III. - 2. előadás Vinczéné Varga Adrienn Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Előadáskövető fóliák Vinczéné Varga Adrienn (DE-MK) Matematika III. 2016/2017/I 1 / 23 paramétervonalak,

Részletesebben

{ } x x x y 1. MATEMATIKAI ÖSSZEFOGLALÓ. ( ) ( ) ( ) (a szorzás eredménye:vektor) 1.1. Vektorok közötti műveletek

{ } x x x y 1. MATEMATIKAI ÖSSZEFOGLALÓ. ( ) ( ) ( ) (a szorzás eredménye:vektor) 1.1. Vektorok közötti műveletek 1. MAEMAIKAI ÖSSZEFOGLALÓ 1.1. Vektorok közötti műveletek Azok a fizikai mennyiségek, melyeknek nagyságukon kívül irányuk is van, vektoroknak nevezzük. A vektort egyértelműen megadhatjuk a hosszával és

Részletesebben

Komplex számok. (a, b) + (c, d) := (a + c, b + d)

Komplex számok. (a, b) + (c, d) := (a + c, b + d) Komplex számok Definíció. Komplex számoknak nevezzük a valós számokból képzett rendezett (a, b) számpárok halmazát, ha közöttük az összeadást és a szorzást következőképpen értelmezzük: (a, b) + (c, d)

Részletesebben

1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás)

1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás) Matematika A2c gyakorlat Vegyészmérnöki, Biomérnöki, Környezetmérnöki szakok, 2017/18 ősz 1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás) 1. Valós vektorterek-e a következő

Részletesebben

x 2 e x dx c) (3x 2 2x)e 2x dx x sin x dx f) x cosxdx (1 x 2 )(sin 2x 2 cos 3x) dx e 2x cos x dx k) e x sin x cosxdx x ln x dx n) (2x + 1) ln 2 x dx

x 2 e x dx c) (3x 2 2x)e 2x dx x sin x dx f) x cosxdx (1 x 2 )(sin 2x 2 cos 3x) dx e 2x cos x dx k) e x sin x cosxdx x ln x dx n) (2x + 1) ln 2 x dx Integrálszámítás II. Parciális integrálás. g) i) l) o) e ( + )(e e ) cos h) e sin j) (sin 3 cos) m) arctg p) arcsin e (3 )e sin f) cos ( )(sin cos 3) e cos k) e sin cos ln n) ( + ) ln. e 3 e cos 3 3 cos

Részletesebben

Matematikai geodéziai számítások 10.

Matematikai geodéziai számítások 10. Matematikai geodéziai számítások 10. Hibaellipszis, talpponti görbe és közepes ponthiba Dr. Bácsatyai, László Matematikai geodéziai számítások 10.: Hibaellipszis, talpponti görbe és Dr. Bácsatyai, László

Részletesebben

Az egyenes ellipszishenger ferde síkmetszeteiről

Az egyenes ellipszishenger ferde síkmetszeteiről 1 Az egyenes ellipszishenger ferde síkmetszeteiről Vegyünk egy a és b féltengelyekkel bíró ellipszist a vezérgörbét, majd az ellipszis O centrumában állítsunk merőlegest az ellipszis síkjára. Ez a merőleges

Részletesebben

MTA DOKTORI ÉRTEKEZÉS TÉZISEI

MTA DOKTORI ÉRTEKEZÉS TÉZISEI MTA DOKTORI ÉRTEKEZÉS TÉZISEI KONTINUUMMECHANIKAI FELADATOK DUÁL FELÉPÍTÉSBEN Értelmező egyenletek származtatása Vegyes peremértékfeladatok megoldásának egyértékűsége Peremelem módszer síkfeladatokra Írta

Részletesebben

1.9. B - SPLINEOK B - SPLINEOK EGZISZTENCIÁJA. numerikus analízis ii. 34. [ a, b] - n legfeljebb n darab gyöke lehet. = r (m 1) n = r m + n 1

1.9. B - SPLINEOK B - SPLINEOK EGZISZTENCIÁJA. numerikus analízis ii. 34. [ a, b] - n legfeljebb n darab gyöke lehet. = r (m 1) n = r m + n 1 numerikus analízis ii 34 Ezért [ a, b] - n legfeljebb n darab gyöke lehet = r (m 1) n = r m + n 1 19 B - SPLINEOK VOLT: Ω n véges felosztás S n (Ω n ) véges dimenziós altér A bázis az úgynevezett egyoldalú

Részletesebben

Matematika (mesterképzés)

Matematika (mesterképzés) Matematika (mesterképzés) Környezet- és Településmérnököknek Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 1 / 29 Lineáris tér,

Részletesebben

2. Hogyan számíthatjuk ki két komplex szám szorzatát, ha azok a+bi alakban, illetve trigonometrikus alakban vannak megadva?

2. Hogyan számíthatjuk ki két komplex szám szorzatát, ha azok a+bi alakban, illetve trigonometrikus alakban vannak megadva? = komolyabb bizonyítás (jeleshez) Ellenőrző kérdések 2006 ősz 1. Definiálja a komplex szám és műveleteinek fogalmát! 2. Hogyan számíthatjuk ki két komplex szám szorzatát, ha azok a+bi alakban, illetve

Részletesebben

BIOMATEMATIKA ELŐADÁS

BIOMATEMATIKA ELŐADÁS BIOMATEMATIKA ELŐADÁS 6. Differenciálegyenletekről röviden Debreceni Egyetem, 2015 Dr. Bérczes Attila, Bertók Csanád A diasor tartalma 1 Bevezetés 2 Elsőrendű differenciálegyenletek Definíciók Kezdetiérték-probléma

Részletesebben

Determinánsok. A determináns fogalma olyan algebrai segédeszköz, amellyel. szolgáltat az előbbi kérdésekre, bár ez nem mindig hatékony.

Determinánsok. A determináns fogalma olyan algebrai segédeszköz, amellyel. szolgáltat az előbbi kérdésekre, bár ez nem mindig hatékony. Determinánsok A determináns fogalma olyan algebrai segédeszköz, amellyel jól jellemezhető a mátrixok invertálhatósága, a mátrix rangja. Segítségével lineáris egyenletrendszerek megoldhatósága dönthető

Részletesebben

12. Mikor nevezünk egy részhalmazt nyíltnak, illetve zártnak a valós számok körében?

12. Mikor nevezünk egy részhalmazt nyíltnak, illetve zártnak a valós számok körében? Ellenörző Kérdések 1. Mit jelent az, hogy egy f : A B függvény injektív, szürjektív, illetve bijektív? 2. Mikor nevezünk egy függvényt invertálhatónak? 3. Definiálja a komplex szám és műveleteinek fogalmát!

Részletesebben

Példa: Háromszög síkidom másodrendű nyomatékainak számítása

Példa: Háromszög síkidom másodrendű nyomatékainak számítása Példa: Háromszög síkidom másodrendű nyomatékainak számítása Készítette: Dr. Kossa Attila kossa@mm.bme.hu) BME, Műszaki Mechanikai Tanszék. február 6. Határozzuk meg az alábbi ábrán látható derékszögű háromszög

Részletesebben

Bevezetés a görbe vonalú geometriába

Bevezetés a görbe vonalú geometriába Bevezetés a görbe vonalú geometriába Metrikus tenzor, Christoffel-szimbólum, kovariáns derivált, párhuzamos eltolás, geodetikus Pr hle Zsóa A klasszikus térelmélet elemei (szeminárium) 2012. október 1.

Részletesebben

Q 1 D Q 2 (D x) 2 (1.1)

Q 1 D Q 2 (D x) 2 (1.1) . Gyakorlat 4B-9 Két pontszerű töltés az x tengelyen a következőképpen helyezkedik el: egy 3 µc töltés az origóban, és egy + µc töltés az x =, 5 m koordinátájú pontban van. Keressük meg azt a helyet, ahol

Részletesebben

Normák, kondíciószám

Normák, kondíciószám Normák, kondíciószám A fizika numerikus módszerei I. mf1n1a06- mf1n2a06 Csabai István Lineáris egyenletrendszerek Nagyon sok probléma közvetlenül lineáris egyenletrendszer megoldásával kezelhetı Sok numerikus

Részletesebben

A V É G E S E L E M M Ó D S Z E R M E C H A N I K A I A L K A LM A Z Á S A I

A V É G E S E L E M M Ó D S Z E R M E C H A N I K A I A L K A LM A Z Á S A I GÉPÉSZMÉRNÖKI, INFORMATIKAI ÉS VILLAMOSMÉRNÖKI KAR ALKALMAZOTT MECHANIKA TANSZÉK A V É G E S E L E M M Ó D S Z E R M E C H A N I K A I A L K A LM A Z Á S A I Előadásvázlat a Multidiszciplináris Műszaki

Részletesebben

Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I máj. 12. Név: Nept. kód: Idő: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. 6. f. Össz.: Oszt.

Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I máj. 12. Név: Nept. kód: Idő: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. 6. f. Össz.: Oszt. Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I. 2009. máj. 12. Név: Nept. kód: Idő: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. 6. f. Össz.: Oszt.: 180 perc 0-49 pont: elégtelen, 50-61 pont: elégséges, 62-73 pont:

Részletesebben

Szekrényes András. Delamináció nem szinguláris modellezése ortotróp kompozit lemezekben szemi-rétegmodell alkalmazásával

Szekrényes András. Delamináció nem szinguláris modellezése ortotróp kompozit lemezekben szemi-rétegmodell alkalmazásával Szekrényes András Delamináció nem szinguláris modellezése ortotróp kompozit lemezekben szemi-rétegmodell alkalmazásával című MTA doktori értekezésének bírálata Az értekezés általános véleményezése: Az

Részletesebben

Folytonos rendszeregyenletek megoldása. 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja

Folytonos rendszeregyenletek megoldása. 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja Folytonos rendszeregyenletek megoldása 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja A folytonos rendszeregyenletek megoldásakor olyan rendszerekkel foglalkozunk, amelyeknek egyetlen u = u(t)

Részletesebben

17. előadás: Vektorok a térben

17. előadás: Vektorok a térben 17. előadás: Vektorok a térben Szabó Szilárd A vektor fogalma A mai előadásban n 1 tetszőleges egész szám lehet, de az egyszerűség kedvéért a képletek az n = 2 esetben szerepelnek. Vektorok: rendezett

Részletesebben

Feladatok a Diffrenciálegyenletek IV témakörhöz. 1. Határozzuk meg következő differenciálegyenletek általános megoldását a próba függvény módszerrel.

Feladatok a Diffrenciálegyenletek IV témakörhöz. 1. Határozzuk meg következő differenciálegyenletek általános megoldását a próba függvény módszerrel. Feladatok a Diffrenciálegyenletek IV témakörhöz 1 Határozzuk meg következő differenciálegyenletek általános megoldását a próba függvény módszerrel (a) y 3y 4y = 3e t (b) y 3y 4y = sin t (c) y 3y 4y = 8t

Részletesebben

Gauss-Seidel iteráció

Gauss-Seidel iteráció Közelítő és szimbolikus számítások 5. gyakorlat Iterációs módszerek: Jacobi és Gauss-Seidel iteráció Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Somogyi Viktor London András Deák Gábor jegyzetei alapján 1 ITERÁCIÓS

Részletesebben

Tartalomjegyzék. Typotex Kiadó, 2010

Tartalomjegyzék. Typotex Kiadó, 2010 Tartalomjegyzék 15. Elliptikus egyenletek 7 15.1. Bevezetés: Elliptikus egyenletek alkalmazott feladatokban... 7 15.2. Elméleti háttér.......................... 9 15.3. Véges dierencia eljárások II...................

Részletesebben

b) Ábrázolja ugyanabban a koordinátarendszerben a g függvényt! (2 pont) c) Oldja meg az ( x ) 2

b) Ábrázolja ugyanabban a koordinátarendszerben a g függvényt! (2 pont) c) Oldja meg az ( x ) 2 1) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) b) c) ( ) ) Határozza meg az 1. feladatban megadott, ; intervallumon

Részletesebben

BME Gépészmérnöki Kar 3. vizsga (112A) Név: 1 Műszaki Mechanikai Tanszék január 11. Neptun: 2 Szilárdságtan Aláírás: 3

BME Gépészmérnöki Kar 3. vizsga (112A) Név: 1 Műszaki Mechanikai Tanszék január 11. Neptun: 2 Szilárdságtan Aláírás: 3 BME Gépészmérnöki Kar 3. vizsga (2A) Név: Műszaki Mechanikai Tanszék 2. január. Neptun: 2 Szilárdságtan Aláírás: 3. feladat (2 pont) A vázolt befogott tartót a p intenzitású megoszló erőrendszer, az F

Részletesebben

Rugalmasságtan és FEM, 2005/2006. II. félév, I. ZÁRTHELYI, A

Rugalmasságtan és FEM, 2005/2006. II. félév, I. ZÁRTHELYI, A Rugalmasságtan és FEM, 5/6. II. félév, I. ZÁRTHELYI, A 6. április., 7 5 8 Név: NEP T UN kod :. feladat Adott az elmozdulásmez½o: u = ( ax z i + bxz k) ; a = [mm ] ; b = [mm ].a., Írja fel az alakváltozási

Részletesebben

Németh László Matematikaverseny április 16. A osztályosok feladatainak javítókulcsa

Németh László Matematikaverseny április 16. A osztályosok feladatainak javítókulcsa Németh László Matematikaverseny 007. április 16. A 9-10. osztályosok feladatainak javítókulcsa Feladatok csak 9. osztályosoknak 1. feladat a) Vegyük észre, hogy 7 + 5 felírható 1 + 3 + 6 + alakban, így

Részletesebben

A síkbeli Statika egyensúlyi egyenleteiről

A síkbeli Statika egyensúlyi egyenleteiről 1 A síkbeli Statika egyensúlyi egyenleteiről Statikai tanulmányaink egyik mérföldköve az egyensúlyi egyenletek belátása és sikeres alkalmazása. Most egy erre vonatkozó lehetséges tanulási / tanítási útvonalat

Részletesebben

Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai 1.

Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai 1. Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai.). Feladat. Határozzuk meg az alábbi integrálokat: a) x x + dx d) xe x dx b) c)

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 19 XIX A HATÁROZOTT INTEGRÁL ALkALmAZÁSAI 1 TERÜLET ÉS ÍVHOSSZ SZÁmÍTÁSA Területszámítás Ha f az [a,b] intervallumon nemnegatív, folytonos függvény, akkor az görbe, az x tengely,

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Rugalmas láncgörbe alapvető összefüggések és tudnivalók I. rész

Rugalmas láncgörbe alapvető összefüggések és tudnivalók I. rész Rugalmas láncgörbe alapvető összefüggések és tudnivalók I rész evezetés rugalmas láncgörbe magyar nyelvű szakirodalma nem túl gazdag Egy viszonylag rövid ismertetés található [ 1 ] - ben közönséges ( azaz

Részletesebben

Gauss elimináció, LU felbontás

Gauss elimináció, LU felbontás Közelítő és szimbolikus számítások 3. gyakorlat Gauss elimináció, LU felbontás Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Somogyi Viktor London András Deák Gábor jegyzetei alapján 1 EGYENLETRENDSZEREK 1. Egyenletrendszerek

Részletesebben