MŰSZAKI ÉS TERMÉSZETTUDOMÁNYI SZEKCIÓ

Átírás

1 MŰSZAKI ÉS TERMÉSZETTUDOMÁNYI SZEKCIÓ 127

2 128

3 Műszaki és Természettudomáyi Szekció Kiterjedéssel redelkező autoóm robotok gyülekezése Bolla Kálmá 1, Kovács Tamás 2, Fazekas Gábor 2 1 Iformatika Taszék, Kecskeméti Főiskola, GAMF Kar 2 Iformáció Techológia Taszék, Debrecei Egyetem, Iformatikai Kar Összefoglalás: A robot swarm itelligecia alapfeladatok közül az egyik legfotosabb a robotok gyülekezéséek problémája. A szakirodalomba számos publikáció foglalkozik ezzel a témával, viszot amíg egyesek potszerű robot reprezetációt haszálak, mások a feladat megoldásához a szükségesél több tudást feltételezek. Ebbe a cikkbe bemutatuk egy olya megoldást az összegyűlés problémájára, ami a robotoktól miimálist tudást, valamit csekély számítási kapacitást vár el. A kifejlesztett algoritmus kiterjedéssel redelkező robotokra alkalmazható, ahol a robotok látótávolsága erőse limitált, az egyes egyedek egymástól megkülöböztethetetleek, em redelkezek memóriával, egymással em kommuikálak és ics globális avigációs redszerük. Megoldásuk helyességét MATLAB szimulációval bizoyítjuk, amely egyedi a robot swarm irodalomba, mivel sem szimulációt, sem kokrét roboto való megvalósítást eddig em publikáltak. Abstract: I the preset paper, we itroduce two differet algorithms for the two dimesioal gatherig problem for sychroous, fat (disk-like) robots with o global avigatio or commuicatio, ad with limited visibility. Oe of the algorithms is a slightly modified versio of the local smallest eclosig circle (local SEC) algorithm. The other algorithm uses a ew method of the gatherig: the robots move towards the furthest visible robot, ad the robots o the perimeter of the visibility graph apply a bigger extet of move tha the others. With the help of computer simulatios, the two proposed algorithms are show to be applicable for the gatherig problem above ad they perform better tha the earlier simple SEC algorithm developed for poit like robots. Kulcsszavak: robot swarm, robot swam alapfeladatok, autoóm robotok gyülekezése Keywords: mobile robot swarm, gatherig problem, fat robots 1. Bevezetés Az utóbbi időbe a robotika egyik kedvelt területévé vált a robot swarm feladatok lehetséges megoldásaiak kutatása autoóm elosztott redszerekre. Jelelegi swarm itelligecia alapfeladatra adott megoldások vagy em megfelelőek vagy csak elméleti eredméyek, amelyek a gyakorlatba em, vagy ehézkese alkalmazhatóak. Eddig legikább kutatott alapfeladatok: robotok egyetle potba gyülekezek (vagy a lehető legkisebb területre) [1-10], területbejáró algoritmusokat alkalmazak egy bázispotból idulva [11], haszos részecskéket (pl.: táplálék) gyűjteek be külöböző megoldásokkal ([12-13]). Jelelegi mukákba a gyülekezés problémájára kocetráluk egy akadálymetes köryezetbe. A gyülekezés azt jeleti, hogy tetszőleges alakzatból egyetle potba kell a robotokak találkoziuk véges idő alatt. Egyszerű változata a problémáak egy kovergecia feladat, ahol szükségük va aak a területek az átmérőjére, ahol elhelyezkedek a robotok, és csak ezt az átmérőt kell csökketei az idő előrehaladtával. Viszot ez a feladat számos esetbe em megoldható [1]. Olya megoldás, ami a robotoko fut autoóm módo, agyba függ a robot képességeitől, így megadjuk a feladat megoldása szempotjából fotos képességeket: 129

4 Műszaki és Természettudomáyi Szekció redelkezik memóriával vagy em, szikro vagy aszikro működésű, globális avigációja va közös koordiáta redszerrel vagy ics, limitált látótávolság vagy az egész köryezetet belátja, tudak e kommuikáli a robotok egymással vagy sem, potszerű a robot vagy kiterjedéssel redelkezik. A legtöbb gyülekezési algoritmust feledékey (memóriával em redelkező) robotokra fejlesztették ki globális avigáció haszálata élkül. A feledékeység azt jeleti, hogy a robot em tud visszalépi az előző pozíciójába, mivel csak az adott pillaat érzékelései alapjá döt, az előző lépést em tudja eltároli. Tipikusa egy gyülekezési algoritmusba a következő lépéseket ismétlik egymás utá: Look: látható robotok pozíciójáak meghatározása Calculate: következő pozíció számolása a Look alapjá Move: mozgás a kiszámított pozíció felé Szikro működés eseté a robotok ezeket a lépéseket egyszerre hajtják végre egy szikrojel hatására (vagy belső szikro segítségével). Egy aszikro modellbe azoba a robotok külöböző időpotokba idíthatják a lépéseiket attól függőe, hogy mikor fejezték be a folyamatot. Ebbe az esetbe egy Wait lépés is beékelődik a Move és Look lépések közé. Kézefekvő megoldásak tűik a gyülekezési problémára egy súlypot számolásá alapuló (COG Ceter Of Gravity) algoritmus. Cohe és Peleg [2] bebizoyította a GOG algoritmus működését (em limitált látótávolságra, tetszőleges alakzatból kiidulva, szikro működés eseté). Cieliebak és társai [3] COG helyett a látható robotokra legkisebb ráhúzható kör középpotja felé mozdulást alkalmazta (SEC - Smallest Eclosig Circle), és ezzel az algoritmussal megoldást adott potszerű robotok aszikro gyülekezésére, ahol a robotok feledékeyek és ics látótávolság korlátozás. Az előbb említett algoritmusokkal megoldást kapuk a gyülekezés problémájára potszerű és em limitált látótávolságú robotok eseté, azoba szükségessé vált, hogy a valóságba is megvalósítható modellek felé forduljaak. Ado és szerzőtársai [4] kifejlesztettek potszerű robotokra egy szikroműködésű algoritmust, ahol a robotok csak limitált látótávolsággal redelkezek. Itt be kell vezetük a láthatósági gráf fogalmát, ami az alapját jeleti a limitált látótávolságot feltételező megoldásokak. A gráf csomópotjai jeletik a robotokat, az élek pedig két robot közötti kapcsolatot abba az esetbe, ha azok látják egymást. Habár ők is SEC algoritmust haszáltak, mide egyed más középpot felé mozdul el, mert csak az adott robot által látható egyedekre számolódik ki. Eze kívül mide robotmozgás limitálva va, mivel a sikeres gyülekezéshez elegedhetetle, hogy a láthatósági gráf e szakadjo meg. A lokális SEC algoritmusuk működését szikro esetre bizoyították be. Később Flocchii [5] és Souissi [6] társaikkal együtt mutattak be limitált látótávolság mellett egy aszikro megoldást. Azoba itt feltételezték, hogy a robotok az iráyultsággal is tisztába vaak (pl.: va rajtuk iráytű), így ők egyfajta globális avigációs redszert haszáltak a probléma megoldásához. A szakirodalomba az egyik legfrissebb szikro és limitált látást alkalmazó megoldás Degeer evéhez [7] fűződik, aki a COG és SEC helyett lokális kovex sokszög alapjá határozza meg a következő lépést. Ebbe a megoldásba ics globális avigáció, viszot a 130

5 Műszaki és Természettudomáyi Szekció kommuikáció egedélyezett, így a robotok meg tudják osztai egymással jövőbei lépésüket. A következő lépés a gyakorlati megvalósítás felé, hogy elhagyjuk a potszerű robot reprezetációt és kiterjedéssel redelkező robotreprezetációt haszáluk, ahol a robotokat zárt alakzatkét értelmezzük, egy középpottal és R s sugárral. Azoba eek a módosításak komoly következméyei vaak: például a robotok em képesek egyetle potba gyülekezi, így az eredeti feltevést meg kell változtatuk. Másik probléma, hogy egy robot blokkoli tudja egy másik robot mozgását, ami igaz a láthatóságra is mivel az egyedek em átlátszóak. Ezutá felmerül a kérdés, hogy hogya tudjuk defiiáli a gyülekezést kiterjedéssel redelkező robotokra? Czyzowicz és társai [8] ezt a következőképpe defiiálták: a zárt alakzatok kotakt gráfja összefüggő, és midegyik robot látja a másikat Hozzá kell teük, hogy ők legfeljebb 4 robotra adták meg a gyülekezést, viszot több robot eseté a defiíció második része már em teljesíthető. Így a mi defiíciók szerit akkor tekitjük a swarm-ot összegyűltek, ha már kialakult a kotakt gráf. Cord-Ladwehr [9], később pedig Chaudhuri [10] mutattak be egy olya algoritmust, ami tetszőleges alakzatból hozta létre a kotakt gráfot, eze kívül céljuk volt az is, hogy a létrejött alakzat a lehető legtömörebb legye. A felhaszált modellbe a robotok redelkeztek globális avigációval és a köryezetet is teljese belátták, ami azt jeleeti, hogy a többi robotot átlátszóak tekitették. Jelelegi mukákba olya gyülekezési algoritmusokkal foglalkozuk, ami feledékey, kiterjedéssel redelkező, limitált látótávolságú robotokra lett kifejlesztve. Továbbá ics szükség globális avigációra és kommuikációra sem. A meglévő megoldások közül teszteltük a lokális SEC algoritmust módosítás élkül és egy általuk módosított változatát is. Valamit bemutatuk egy saját fejlesztésű algoritmust, ami jobb megoldást ad az eddig fellelhetőkkel szembe. A következő, 2. fejezetbe részletese bemutatjuk saját megoldásukat, a 3. fejezetbe pedig a szimulációk és a tesztek eredméyeit. Végül utolsó fejezetükbe összefoglaljuk az elért eredméyeket. 2. A kifejlesztett gyülekezési algoritmus Saját gyülekezési algoritmusuk szikroműködést feltételez, ahol a robotok kiterjedéssel redelkezek és em átlátszóak. Továbbá a gyakorlati megvalósítás szempotjából a robotokak limitált a látótávolsága és icseek globális avigációs redszerrel felszerelve. Eze kívül em redelkezek memóriával és az egyes egyedek em azoosíthatóak. Céluk, hogy a felsorolt miimális tudással is végrehajtható gyülekezési algoritmust készítsük. Természetese feltételezzük, hogy a láthatósági gráf összefüggő az algoritmus idításakor. Legye R={r 1,,r } a robotok halmaza és r i (t) az i-dik robot pozíciója t időpillaatba. Mide robotot egy zárt lemezkét értelmezük, ahol R s a robot sugara és V a láthatósági sugár. Jeletős probléma a kiterjedéssel redelkező robotok esetébe, hogy a robotok takarhatják és blokkolhatják egymást mozgás közbe. Tipikus probléma, hogy a csoport külső részé levő robotok blokkolják a belsőket. Ez a probléma em megoldható a SEC alapú algoritmusokkal (később ez demostrálva lesz a 3. fejezetbe). Alapötletük, hogy a robotok a látható legtávolabbi robot felé mozdulak, amely egy eddig em alkalmazott megoldás és részbe megoldást yújt a blokkolás problémájára is. A megvalósítás érdekébe 131

6 Műszaki és Természettudomáyi Szekció kettéosztottuk a robotok halmazát, ahol megkülöböztetük periméter és belső robotokat. Periméter robotak evezzük mide olya egyedet, ami csak 120 fokos szögbe lát szomszédos robotokat (tehát a swarm szélé helyezkedik el) (1. ábra). Jelölje RP a periméter robotok halmazát, így megkaphatjuk a belső robotok halmazát (R/RP) is, ezt jelölje RI. A robotok halmazát mide egyes ciklusba felbotjuk az előbb említett részhalmazokra. 1. ábra: Periméter robot. Gyülekezési algoritmusuk célja a következő: a periméter robotokat szereték a belső robotok felé mozdítai. Azoba ömagába az algoritmus működése azt eredméyezé, hogy a láthatósági gráf felbomlik, és külöböző csomópotok alakulak ki. Viszot a belső robotok mozgása és egy korlátozó algoritmus segítségével ez a probléma kiküszöbölhető. Az algoritmusuk három fő feladatra botható fel, amelyeket mide egyes lépésbe végrehajtaak a robotok: Look, Compute, Move. A Look fázisba a robotok összegyűjtik a látható szomszédjaikat t időpillaatba (RV i (t)-vel jelöljük a későbbiekbe), amit az algoritmusukba GetVisibleRobots(R) függvéy hajt végre, ahol a bemeet a robotok halmaza. Compute fázisba meghatározza a figyelő robot magáról, hogy periméter vagy belső robot, ezutá kiszámolja a legtávolabbi pozícióját ( r di t ) a GetFurthestVisbleRobot(RV i (t)) függvéy segítségével. A begyűjtött iformációk alapjá midegyik egyed meghatározza a célvektort ( g ) a következő képlettel: g = c r di t r V i t r di t r i t, (1) ahol c-t 1-ek vagy 1/2-ek választottuk attól függőe, hogy periméter vagy belső robotról va szó. A kostas értéke azért külöbözik a két esetbe, mert a pereme található egyedek körül kisebb sűrűségbe helyezkedek el robotok, így agyobb sebességgel szereték őket a többiek felé tereli. Viszot a belső robotok esetébe ics szükség agy lépésekre, mivel az ő feladatuk az, hogy bevárják a külső robotokat, és belül a lehető legegyeletesebbe helyezkedjeek el. 132

7 Műszaki és Természettudomáyi Szekció 2. ábra: Periméter (a) és belső robot (b) lépései. A láthatósági gráf megszakadásáak elkerülése érdekébe az Ado [4] féle SEC algoritmus limitálja a célvektort, ezért a mi megoldásukba is alkalmazzuk ezt a limitációs eljárást Blokkolási probléma feloldása A kiterjedéssel redelkező robot reprezetáció hátráya, hogy a robotok akadályoztatják egymást mozgás közbe, így a robotok úgyevezett holdpot helyzetbe kerülek. Eek feloldása egy egyszerű módszerrel megvalósítható: a blokkolt robot eredeti célvektorát úgy módosítjuk, hogy éritő iráyba törtéik az új elmozdulás (3. ábra), így a robot közelebb kerül az eredeti célhoz. A módszert csak akkor alkalmazzuk, ha egy blokkoló robot va (a blokkoló robotokat a GetBlockers( r i,rv i ) függvéy gyűjti össze), ha azoba ics blokkoló robot, akkor em kell módosítai, viszot ha egyél több va em lépük sehova. 3. ábra: Megoldás a blokkolás problémájára. 133

8 Műszaki és Természettudomáyi Szekció 2.1. Gyülekezési algoritmus Ebbe a részbe megadjuk a gyülekezési algoritmusuk potos leírását szikro működésű robot swarm-okra. Az algoritmusba a ComputeMovemetLimitatio eljárás számolja az Ado féle mozgáslimitációt, a TagetialDirectio pedig a kikerülést. Végül a mozgás vektorát m-el jelöljük. RVi(t) = GetVisibleRobots( r i (t ),R) r di (t ) = GetFurthestRobot(RV i (t)) ha r di (t ) RP(t) akkor c = 1 külöbe r t r t di i g = c r t r t di i V m = ComputeMovemetLimitatio( r i (t ),RV i (t), g ) B i (t) = GetBlockers( r i (t ),RV i (t)) c ha B i (t) 1-él több elemet tartalmaz akkor m = r i külöbe ha B i (t) 1 elemet tartalmaz akkor m = TagetialDirectio( r i (t ),B i (t), g ) külöbe az i-dik robot m -el lép tovább Teszt, futási eredméyek Algoritmusuk helyes működését MATLAB szimulációval bizoyítottuk, ahol teszteltük a három külöböző eljárást (SEC, SEC kikerüléssel és az új algoritmus) külöböző kezdőállapotokból és külöböző robotszámokkal egésze N=200 robotig. Először a SEC algoritmussal valósítottuk meg a gyülekezést, ami eredetileg potszerű robotokra lett kifejlesztve. Ezutá kiegészítettük a kikerülési eljárással (2.1-es alfejezet) aak érdekébe, hogy a blokkolást elkerüljük, végül pedig a saját algoritmusukat teszteltük. A három algoritmust N=12,25,50,100,200 robotszámú swarm-okra alkalmaztuk és mide esetet 5 külöböző kezdőpozícióról idítottuk. Az algoritmusok futása akkor áll le ha a robotok már em lépek többet, tehát a swarm összegyűlt. A 4. ábrá látható az N=200 eset egy lehetséges kiiduló pozíciója és a három gyülekezési algoritmus végeredméye, ahol jól látható a kotakt gráf kialakulása. 134

9 Műszaki és Természettudomáyi Szekció 4. ábra: A gyülekezési algoritmusok eredméye N=200 robotszám eseté. (a) mutatja a kezdőállapotot, (b) eredeti Ado algoritmust, (c) Ado algoritmust kiegészítve a kikerüléssel. Végül (d)- láthatjuk a saját algoritmusuk futásáak eredméyét. Végül az 5. ábrá láthatjuk a szimulációik halmozott eredméyeit, ahol mértük a gyülekezéshez szükséges időt (5/a) a kiiduló állapottól az algoritmus futásáak a végéig, valamit a legagyobb átmérőt (két legtávolabbi robot távolsága) a kialakult kotakt gráfba (5/b). Jól látható, hogy ics szigifikás külöbség az egyes algoritmusok között az idő tekitetébe, azoba a legagyobb átmérő jóval kisebb az új algoritmus esetébe. A változás jól látható a kikerüléssel módosított SEC algoritmusál is, tömörebb alakzatot lehetett eléri. SEC algoritmus esetébe fotos megjegyezi, hogy bizoyos esetekbe a gráf megszakadt, viszot a másik két algoritmus esetébe ez a probléma em állt fe. 135

10 Műszaki és Természettudomáyi Szekció 5. ábra: Az átlagos, gyülekezéshez szükséges idők (a) és a legagyobb átmérő alakulása a kotakt gráfba (b). 4. Következtetések Jelelegi mukákba bemutattuk egy új és hatékoy megoldást kiterjedéssel redelkező és limitált látótávolságú mobil robotok gyülekezésére. Az algoritmusukat MATLAB szimulációval mutattuk be és teszteltük le. Irodalomjegyzék [1] Precipe, G.: Impossibility of gatherig by a set of autoomous mobile robots. Theoretical Computer Sciece 384, (2007) [2] Cohe, R., Peleg, D.: Robot Covergece via Ceter-of-Gravity Algorithms. I:Kralovic, R., Sykora, O. (eds.) SIROCCO LNCS, vol. 3104, pp Spriger, Heidelberg (2004) [3] Cieliebak, M., Flocchii, P., Precipe, G., Satoro, N.: Solvig the Robots Gatherig Problem. I: Baete, J.C.M., Lestra, J.K., Parrow, J., Woegiger, G.J. (eds.) ICALP LNCS, vol. 2719, pp Spriger, Heidelberg (2003) [4] Ado, H., Suzuki, I., Yamashita, M.: Formatio ad agreemet problems for sychroous mobile robots with limited visibility. I: 1995 IEEE Iteratioal Symposium o Itelliget Cotrol, pp IEEE Press, New York (1995) [5] Flocchii, P., Precipe, G., Satoro, N., Widmayer, P.: Gatherig of asychroous robots with limited visibility. Theoretical Computer Sciece 337, (2005) [6] Souissi, S., Défago, X., Yamashita, M.: Usig Evetually Cosistet Compasses to Gather Oblivious Mobile Robots with Limited Visibility. I: Datta, A.K., Gradiariu, M. (eds.) SSS LNCS, vol. 4280, pp Spriger, Heidelberg (2006) [7] Degeer, B., Kempkes, B., auf der Heide, F.M.: A local O(2) gatherig algorithm. I: SPAA 2010: Proceedigs of the 22d ACM Symposium o Parallelism i Algorithms ad Architectures, pp ACM, New York (2010) [8] Czyzowicz, G.J., Gasieiec, L., Pelc, A.: I Gatherig few fat mobile robots i the plae. Theoretical Computer Sciece 410, (2009) [9] Cord-Ladwehr, A., Degeer, B., Fischer, M., Hüllma, M., Kempkes, B., Klaas,A., 136

11 Műszaki és Természettudomáyi Szekció Klig, P., Kurras, S.,Martes, M., auf der Heide, F.M., Raupach, C., Swierkot, K., Warer, D., Weddema, C., Woisch, D.: Collisioless Gatherig of Robots with a Extet. I: Cera, I., Gyimothy, T., Hromkovic, J., Jefferey, K., Kralovic, R., Vukolic, M., Wolf, S. (eds.) SOFSEM LNCS, vol. 6543, pp Spriger, Heidelberg (2011) [10] Ga Chaudhuri, S., Mukhopadhyaya, K.: Gatherig Asychroous Trasparet Fat Robots. I: Jaowski, T., Mohaty, H. (eds.) ICDCIT LNCS, vol. 5966, pp Spriger, Heidelberg (2010) [11] Cohe, R., Peleg, D.: Local Spread Algorithms for Autoomous Robot Systems. Theoretical Computer Sciece 399, (2008) [12] Valdastri, P., Corradi, P., Meciassi, A., Schmickl, T., Crailsheim, K., Seyfried, J., Dario, P.: Micromaipulatio, Commuicatio ad Swarm Itelligece Issues i a Swarm Microrobotic Platform. Robotics ad Autoomous Systems 54, (2006) [13] Nouya, S., Alexadre Campo, A., Dorigo, M.: Gatherig Path formatio i a robot swarm Self-orgaized strategies to fid your way home. Swarm Itelligece 2(1), 1 23 (2008) Szerzők Bolla Kálmá: Iformatika Taszék, Kecskeméti Főiskola GAMF Kar, Izsáki út 10., bolla.kalma@gamf.kefo.hu. Dr. Kovács Tamás: Iformatika Taszék, Kecskeméti Főiskola GAMF Kar, Izsáki út 10., E- mail: kovacs.tamas@gamf.kefo.hu. Dr. Fazekas Gábor: Iformáció Techológia Taszék, Debrecei Egyetem Iformatikai Kar, Egyetem tér 1., fazekasg@if.uideb.hu. 137

12 Műszaki és Természettudomáyi Szekció Hajlított rugó idomok elleőrzése vizuális burok alapú 3D rekostrukcióval Kátai-Urbá Gábor 1, Megyesi Zoltá 1, Pitér Istvá 1 1 Iformatika Taszék, Kecskeméti Főiskola, GAMF Kar Összefoglalás: Hajlított rugóidomok miőségbiztosítási elleőrzése ehézkes mauális mérési eszközökkel, ezért bemutatuk egy automatikus vizuális burok alapú 3D rekostrukciós eljárást. A redszer több kamerát és féyforrást tartalmazó mérő cella adataiak felhaszálásával, optikai úto határozza meg a rugó idomok 3D tulajdoságait. A vizuális burok alapú módszerek hagyomáyosa a kameraképeke szegmetált objektumokból állítják elő a 3D modellt. A bemutatásra kerülő eljárás, eze iformációk mellett, a potszerű féyforrással megvilágított objektum áryékképét is felhaszálja a rekostruálásra. A rekostrukció alapvető feltétele a kamerák és féyforrások külső és belső paramétereiek potos meghatározása, amelyre új kalibrációs folyamatot íruk le. Abstract: Idustrial quality cotrol of metal sprig parts is problematic with both automatic ad maual methods. We preset a automatic 3D recostructio ad verificatio system for sprig parts utilizig a Visual Hull based recostructio method that uses both cameras ad light sources to measure the 3D properties of the objects. While Visual Hull based methods ormally use oly cameras to gai visual iformatio, the preseted method is capable of usig light sources ad shadows to icrease the amout of visual iformatio. The calibratio of this ew visual system is also preseted i this article. Kulcsszavak: 3D, mérés, rekostrukció, vizuális burok, áryék, rugó Keywords: 3D, measuremet, recostructio, visual hull, shadow, sprig 1. Bevezetés Az ipari iformatika alkalmazásai között egyre agyobb szerepet játszik a gyártott elemek vizsgálata előre meghatározott szempotok alapjá. Gyakori igéy a száz százalékos elleőrzés, vagyis valameyi legyártott elem elleőrzése. Eek kivitelezése természetese csak automatizált elleőrző redszer képes, amely valamilye szezorból és a szezorból érkező adatokat elemző szoftverből állak, gyakra kiegészítve visszacsatolással a gyártási folyamatba (ilye visszacsatolás például hibás elem gyártása eseté a gyártó-sor leállítása). Az automatizált elleőrző redszerekbe gyakra haszálak ipari kamerákat is, amelyek megbízható képfeldolgozó szoftverekkel sokoldalú elleőrzés elvégzésére képesek. Azoba a mai ipari képfeldolgozó szoftverek zöme csak a 2D elleőrzéseket támogat, ami sok esetbe kevések bizoyul. Ilye esetek számít a rugó idomok vizsgálata. Ezek kamerás elleőrzése kimodotta ehéz, a rugók sokfélesége és térbeli kiterjedése miatt. A tipikus rugó fajták (yomórugó, húzórugó, torziós rugó és hajlított idomok, lásd 1. ábra) midegyike külö elleőrzési mechaizmust igéyel, azoba a hajlított idomok esetébe az alak és a térbeli tulajdoságok kiemelkedőe fotosak. Eze idomok alkalmazása megköveteli, hogy a rugók alakja, kezdő és végpotja a 3D térbe legfeljebb a tizedmilliméter tört részével térje el az előírástól. 138

13 Műszaki és Természettudomáyi Szekció 1. ábra: Rugó fajták, balról jobbra, fetről lefele: yomórugók, húzórugók, torziós rugók, hajlított idomok.(forrás:tatabáyai Rugógyártó Kft.) Jeleleg ics kellő megbízhatóságú automatikus elleőrző redszer a hajlított idomok vizsgálatára, ezért ma egy rugó elleőrzésére 3D formákat (kalibereket) készíteek (lásd 2. ábra), amelyek egy-egy iráyból képesek csak elleőrizi a legyártott rugókat. Céluk egy olya elleőrző redszer megalkotása volt, amely képes hajlított rugó idomok térbeli mérésére, modellezésére és elleőrzésére. 2. ábra: Külöböző rugó idom elleőrző kaliberek (forrás:tatabáyai Rugógyártó Kft.). A rugóidom tükröződő felszíel redelkező ayaga miatt a felület rekostrukciós módszerek helyett térfogat rekostrukciós módszert választottuk. Ezek közé tartozik a Vizuális Burok alapú rekostrukció [1], amely több kamera ézet alapjá a térek csak azt a részét hagyja meg, amely az összes ézetbe az objektumra esik. Kihaszálva a testek hegeres alakjáak ismeretét a kivágott térfogat modellre hegeres rugó modell illeszthető [2]. A vizuális burok alapú módszerek hátráya, hogy sok kamera ézetre va szükség a jó eredméyhez. Bemutatuk egy vizuális burok alapú módszert, amely kamera képek mellett féyforrásokat alkalmaz, hogy elérje a kívát kamera számot. A rekostrukcióhoz az optikai elemeket (kamerák és féyforrások) kalibráli kell. Ebbe a cikkbe bemutatuk egy új eljárást több kamerás redszerek térbeli kalibrálására. A megalkotott redszer tulajdoságait az 2. fejezetbe tárgyaljuk, a 3. fejezetbe a féyforrásokat felhaszáló vizuális burok módszert ismertetjük, míg a 4. fejezetbe az optikai elemek kalibrálását ismertetjük. Ezutá eredméyeket mutatuk be és összegezzük tapasztalataikat az 5. fejezetbe. 139

14 Műszaki és Természettudomáyi Szekció 2. Redszer A hajlított rugó idomok vizsgálatára kialakított mérő cella égy fő részből áll (lásd 3. ábra): mérési térből, kameraredszerből, féyforrásokból és a számítási egységből. A mérési tér kialakításál a hajlított idomok 500mm x 500mm x 100mm-es maximális méretét kell figyelembe vei. Itt em csak az ekkora mukadarabok homogé hátterét kell biztosítauk, haem az áryékképekek is erre a háttérre kell esiük. 3. ábra: A redszer blokkvázlata A agy felbotású ipari kamerák a mérési teret figyelik. Oldalsó állásba égy darab 3840 x 2748 pixel felbotású kamera veszi a mukateret. Ezt kiegészítettük két darab felső pozícióba elhelyezett hasoló felbotású kamerával, amelyek a mukatér felét - felét veszik, így eze ézet felbotását közel a duplájára övelhetjük. A mérési tér háttérvilágítása LED szalagokkal törtéik, amit külöböző féy diffúzor ayagokkal lehet homogéé tei. A mukatér körül 17 darab agy féyerejű potszerű LED féyforrás került elhelyezésre. Ezeket külö - külö alkalmazva külöböző áryékképeket yerhetük a rugó idomról. A számítási egység iráyítja a képkészítést, a féyforrások működését és végzi a képfeldolgozási műveleteket. A mérőcella gyártás közbe törtéő elleőrzésre készül, ezért laboratóriumi körülméyeket em feltételezhetük, mide részegységet ipari kivitelűre kellett tervezi, amelyek elleállak kisebb fizikai erőhatásokak. Eek megfelelőe ipari kivitelű IDS UEye UI-1490SE USB kamerák és hibatűrő, hosszú élettartamú LED megvilágítások kerültek beépítésre. A mérőcella kivitelezését a Mevisor Kft végezte (lásd 4. ábra). 4. ábra: A megépített mérőcella (kivitelezés: Mevisor Kft). 140

15 Műszaki és Természettudomáyi Szekció 3. Vizuális burok Több eljárás is ismert a képi iformációk alapjá törtéő 3D modellalkotásra. Ezeket a felhaszált iformáció alapjá shape-form-x kategóriákba sorolhatjuk. A Vizuális Burok eljárás a shape-form-silhuett alapú eljárás, mivel a modell előállításához az eredeti objektum kameraképeke detektálható körvoalát (sziluettjét) alkalmazza (feketével jelölve az 5/a. ábrá). Az eljárás bemeetét a térbeli objektumról több ézetből készített képek és a kamerák kalibrációs adatai képzik. A kalibrációs adatok azt írják le, hogy egy térbeli 3D potot a kamera hogya képez le a 2D képsíkjára. Az objektum körvoaláak potjait a kameraképekről visszavetítjük a 3D térbe. Ezek egy-egy a kamerától távolodva bővülő kúpot jelölek ki a térbe. Ahol a külöböző ézetből származó kúpok metszik egymást, ott va az objektum a térbe. Ezzel az eljárással a valós térbeli objektum kovex burkát kapjuk meg volumetrikus modellkét. Fotos megjegyezi, hogy az objektum kokáv részeiek leírására em alkalmas ez az eljárás. Mivel a hajlított rugó idomok em tartalmazak kokáv részeket, ez em okoz problémát a jele alkalmazásba. A rekostruált modell a kamerák ézeteiből teljese megegyezik az eredeti objektummal, viszot olya ézetből, ahoa em volt kamerák, jeletkezik eltérés (lásd piros szíel az 5/b ábrá). A potosságot úgy lehet öveli, ha a ézetek számát öveljük. Ehhez több kamerát kellee felhaszáluk, de eek ayagi korlátai vaak. Viszot egy kamera költségé agyságredekkel több féyforrást tuduk alkalmazi. Ebből kiidulva módosítottuk a klasszikus vizuális burok alapú eljárást úgy, hogy a féyforrások haszálatával keletkezett áryékképeket is fel tudjuk haszáli a rekostruálás sorá. 5. ábra: Vizuális burok: a, sziluett képek előállítása; b, példa a visszavetítéskor keletkező hibára Ahhoz, hogy kamerakét tudjuk haszáli a féyforrásokat, létre kell hozi egy egységes féyforrás képet. Mivel az áryékok helyzete em függ a kamera elhelyezésétől, mide kamerára megadhatuk egy sík-sík traszformációt (homográfiát), amellyel elő tuduk állítai egy olya közös féyforrás képet, amelye az áryékok ugyaott látszaak. Ezek utá meg kell határozuk a féyforrások külső és belső kalibrációs paramétereit, hogy a visszavetítést el tudjuk végezi ezeke a képeke is. A féyforrás képek visszavetítése sorá em az objektum áryék sziluettjét haszáljuk fel, haem azt ahol ics áryéka. A ormál kameraképekkel előállított volometrikus modellt csökketjük ott, ahol a féyforrás képe em látszott áryék, viszot a modellbe objektumak volt jelölve a térrész. Az így kiegészített eljárás simább és potosabb felületeket eredméyez a köztes ézetekből is. 141

16 Műszaki és Természettudomáyi Szekció 4. Kalibráció A fet bemutatott vizuális burok alapú rekostrukciós módszer potossága agyba függ az optikai eszközök potos kalibrációjától. A sziluettek visszavetítéséhez a kalibrációs eljárás sorá meghatározott kamerák és féyforrások vetítési paramétereit haszáljuk fel Kamera kalibráció Egy kamera belső vetítési tulajdoságait a K kamera mátrixszal adható meg (1) (1), ahol a a döféspot, a kamera fókusztávolsága. Az elméleti kamera modell alkalmazásához elegedő a K mátrix, de a valóságba a lecsék gyakra sugár iráyú torzítással módosítják a vetítést. Ezek kompezálásához meg kell határozuk a d torzítási vektort is. Ezek a paraméterek csak a kamera belső tulajdoságaitól függeek. Így amíg a fókusztávolság változatla marad, a kamerák eze paramétereit egymástól függetleül meghatározhatjuk. Az alkalmazott kalibrációs eljárás Zhag [3] módszeré alapul. A módszer léye, hogy egy síko felvett potok külöböző ézetből készült képei alapjá meghatározza a K mátrix és d vektor paramétereit. A síkbeli potok felvételéhez papírlapra yomtatott fekete-fehér sakktábla mitáról készítettük felvételeket az összes kamerával, külöböző ézetekből (6. ábra). A képeke detektált belő sarokpotok és a síko ismert koordiáták alapjá az optimalizációs eljárás meghatározza a belső paramétereket. 6. ábra: Kamera belső kalibráció A rekostrukció szempotjából fotos tuduk, hogy a kamerák hol helyezkedek el a térbe és milye iráyba ézek. Ezeket a külső paramétereket a t eltolás vektor és az R forgatás mátrix írja le. A kamerák külső paramétereit úgy szereték meghatározi, hogy azoos koordiátaredszerbe kerüljeek, ami a mérési tér koordiáta redszere is lesz egybe. Ezért a külső kalibrációhoz szükséges 3D koordiátákat a mérési térbe vesszük fel. Fotos szempot, hogy a potok lehetőleg a tér közepé, változó magasságokba legye elredezve a potosabb paraméter közelítés érdekébe. A külső kalibrációs objektum saját tervezésű, direkt erre a feladatra lett kialakítva. A kameraképeke ellipsziskét megjeleő, vékoy száro elhelyezkedő gömböket választottuk a térbeli potok kijelölésére, amelyek köye detektálhatóak (8/a. ábra). A pozíciójukat 3D koordiáta mérőgéppel határoztuk meg. Az így ismert térbeli pozíciók és a képeke detektált ellipszisek középpotjai alapjá a külső 142

17 Műszaki és Természettudomáyi Szekció paraméterek közelíthetőek Féyforrás kalibráció A féyforrásokat is felhaszáltuk a vizuális burok előállításához. Így ezekek is meg kell határozuk a kalibrációs paramétereit. A belső paraméterek meghatározásához, a kamerákhoz hasolóa, egy síkbeli objektum képét (áryékát) kell felhaszáluk. Mivel a hagyomáyos papírra yomtatott sakktábla mitáak az áryékképét eheze tudtuk vola előállítai, más kalibrációs objektumot kellett tervezük. Fotos, hogy a kialakított mita miél több, a kamera képeke potosa meghatározható potot tartalmazzo, amelyeket a féy és áryék határvoalak egyértelműe elválasszaak. E mellett a robusztus, ipari kialakítás is elegedhetetle, hogy az objektum síklapúsága e változzo a mérés sorá. Az általuk megvalósított kalibrációs objektum midezekek megfelel: egy fémlemeze készítettük mátrix szerűe furatokat (7. ábra). Ezeke a féy átjut és a sík mérőfelülete a perspektív torzulásak megfelelőe szabályosa elhelyezkedő ellipsziseket figyelhetük meg. Az ellipszisek középpotját detektáli tudjuk, ezek leszek a féyforrások képei. 7. ábra: Féyforrás belső kalibráció A féyforrások külső paramétereit is meg kell határozuk, hogy a vizuális burok visszavetítésekor ezt fel tudjuk haszáli. Eél a kalibrációs lépésél is az elvárás az, hogy ugyaabba a koordiáta redszerbe határozzuk meg a pozíciókat és az orieetációkat, mit amit a kamerák eseté felvettük. Így a kamerák külső kalibrációhoz haszált objektumát kell itt is alkalmazuk (8/b. ábra). 8. ábra: a, Kamera külső kalibráció; b, Féyforrás külső kalibráció A mérési síko ellipsziskét megjeleő áryékok középpotjai és a golyók térbeli pozíciója alapjá a külső paraméterek meghatározhatók a féyforrásokra is. 143

18 Műszaki és Természettudomáyi Szekció 5. Eredméyek A leírt redszer optikai eszközeiek kalibrációs potosságát a meghatározott paraméterekkel visszavetített potok és a valós 3D koordiáták átlagos égyzetes külöbségével mérjük. Az 1. táblázatba foglaltuk össze a kapott eredméyeket. Optikai eszközök Kamerák Féyforrások Átlagos visszavetítési hiba 0,096 mm 1,128 mm 1. táblázat: Kalibrációs potossága A leírt módszerek segítségével rekostruáltuk több rugó elemet. A 9. ábra egy hajlított rugó idomról készült mérés eredméyét mutatja be külöböző ézetekből. 9. ábra: Hajlított rugó idom 3D mérése (megjeleítés külöböző ézetekből) 6. Következtetések Bemutattuk egy vizuális burok módszere alapuló 3D mérő redszert, amely kamerákat és féyforrásokat egyarát haszál a mérés folyamá. A mérő redszert hajlított rugó idomok mérésére és elleőrzésére terveztük, amit az eredméyek között példával illusztráltuk. A redszer által elkészített volmetrikus 3D modelle a mért tárgy tulajdoságai vizsgálhatók, valamit egy etalohoz hasolíthatók. A mérő redszer potossága fotos kérdés ezért bemutattuk egy megfelelő kamera kalibrációs eljárást amely a kamerákat és a féyforrásokat kalibrálja. A mérő redszer teljes hibájáak elleőrzése azoba fotos jövőbeli feladat, eze hibára jeleleg csak a kalibrációs hiba ismeretébe tuduk felső becslést adi. A felülézeti iráyból az elméleti potosság (a mérési terület és a kamera felbotás aráyából számolva)

19 Műszaki és Természettudomáyi Szekció 0,052 mm, eze azoba rot a kalibráció potatlasága. Más ézetekből ez a potosság +- 0,16 mm. Ez az elméleti potosság lehetővé teszi a redszer számára az ipari alkalmazást. Irodalomjegyzék [1] A. Lauretii, The Visual Hull Cocept for Silhouette-Based Image Uderstadig, IEEE Trasactios o Patter Aalysis ad Machie Itelligece, Volume 16 Issue 2, February 1994, Page [2] I. Pitér, Z. Megyesi, G. Kátai-Urbá, Estimatio of geometrical features of wireforms usig 3-dimesioal image recostructio data, Proceedigs of Factory Automatio 2012, 21-22d May, Veszprém, pp [3] Z. Zhag, "A flexible ew techique for camera calibratio", IEEE Trasactios o Patter Aalysis ad Machie Itelligece, 22(11): , Szerzők Kátai-Urbá Gábor: Iformatika Taszék, Kecskeméti Főiskola, GAMF Kar Kecskemét Izsáki út 10., Magyarország. katai-urba.gabor@gamf.kefo.hu Megyesi Zoltá: Iformatika Taszék, Kecskeméti Főiskola, GAMF Kar Kecskemét Izsáki út 10., Magyarország. megyesi.zolta@gamf.kefo.hu Pitér Istvá: Iformatika Taszék, Kecskeméti Főiskola, GAMF Kar Kecskemét Izsáki út 10., Magyarország. piter.istva@gamf.kefo.hu Köszöet a Tatabáyai Rugogyártó KFT-ek az illusztrációk és az eredméyek megosztásáért. Ezt a mukát a (GOP /1) Iovatív 3D OFF LINE, és a gyártást közvetle elleőrző és kiszolgáló ON LINE mérőberedezés kifejlesztése megevezésű pályázat támogatta. 145

20 Műszaki és Természettudomáyi Szekció Parrodo paradoxo avagy széllel szembe is lehet Nagy Péter 1, Tasádi Péter 2 1 GAMF, KEFO 2 TTK, ELTE Összefoglalás: A Parrodo paradoxo éve ismertté vált és sok tudomáyterülettel kapcsolatba hozható jeleség arra ad bizoyítékot, hogy létezek olya stabila veszteséges stratégiák, amelyeket keverte játszva akár véletleszerű kevert stratégiával, akár valamilye fix mita szerit keverve az eredméy folyamatos, agy yereség lehet! A legkülöfélébb tudomáyterületeke adhatók meg olya modellek, amelyek a feti megfogalmazással izomorfak és izgalmas, teljese új alteratívákat tárak fel, ezek közül mutatuk be éháyat (játékelmélet, fizika, biológia, káoszelmélet, gazdaságta). Abstract: Parrodo paradox is amed after its creator, Spaish physicist Jua Parrodo, who discovered it, ad ca be described as: there exist pairs of games, each with a higher probability of losig tha wiig, for which it is possible to costruct a wiig strategy by playig the games alterately, eve by radomly mixed strategy, eve by fixed patter. Parrodo's paradox is used extesively i game theory, ad its applicatio i egieerig, ecoomics (fiacial risk), populatio geetics, cotrol theory, study of the discretecotiuous iterface, complex systems, diffusive trasport processes, ad gee dyamics & DNA, etc. Kulcsszavak: játékelmélet, véletle kevert stratégia, Parrodo paradoxo, alkalmazások. Keywords: game theory, radomly mixed strategy, Parrodo paradox, applicatios. 1. Bevezetés A természettudomáyos törvéyek egy része valószíűségi megfogalmazásba jeleik meg és a mideapok dötéshozatalaiba is fotos szerepet játszaak a valószíűségi megfotolások. Ezekek a megfotolásokak az egyik legkézzelfoghatóbb és legtisztább megjeleése a játékelméletbe található, ezért cikküket játékelméleti tárgyalással idítjuk. A játékelmélet megfogalmazása szerit egy játékos tiszta stratégiát játszik, ha valamilye egyértelmű szabály alapjá döti el, hogy milye lépésekre szája el magát, tehát ebből a szabályból adott helyzetbe midig ugyaaz a lépés következik. Az ú. kevert stratégiás játékmód esetébe a játékos a játék folytatásáak külöböző lehetőségei között előre meghatározott valószíűséggel választ, azaz az általa meghatározott valószíűségek szerit véletleszerűe hozza meg a dötését. A játékelmélet szerit mide játékos számára midig létezik optimális kevert stratégia, amelyet az ú. Nash-egyesúly határoz meg. A tudomáy számtala kokrét szituációba a fizikától kezdve a biológiáig, a közgazdaságtól a szociológiáig megmutatta, hogy adott helyzetbe midig valamilye véletleszerű kevert stratégia az optimális. Például az állatok táplálékkeresési mozgására iráyuló megfigyelések azt mutatják, hogy egyes állatfajok (pl. ragadozó halak, albatroszok, majmok) em egyszerű bolyogással (Brow-mozgással), haem az úgyevezett Lévyeloszlást követve mozogak: ebbe az eloszlásba a rövidtávú véletleszerű bolyogást ritká előforduló hosszabb lépések botják meg. Ezt úgy is megfogalmazhatjuk, hogy a táplálékkeresők véletleszerű kevert stratégiát alkalmazak: a lokális, rövidtávo végzett bolyogást (kicsiy terület átfésülését) véletleszerűe váltogatják a agyobb léptékű, 146

21 Műszaki és Természettudomáyi Szekció határozottabb iráyultságú mozgással (területváltás). A mikro-redszereket leíró kvatumállapot a redszer makroszkopikusa (klasszikus fizikai szituációkba) mérhető tulajdoságaihoz redelhető állapotaiak lieáris kombiációja, komplex amplitúdókkal súlyozott kevert állapot (az izgalmas és fudametális eltérés az, hogy a valószíűségeket eze amplitúdok égyzetei adják). Egyértelműe kijelethető, hogy a kevert stratégiák a tudomáyokba és a mideapi életbe egyarát kiemelt jeletőséggel bírak. A kevert stratégiákra voatkozóa Jua Parrodo a madridi egyetem fizikusa ige külöös és döbbeetes felfedezést tett [1], ami erőse foglalkoztatja a legkülöbözőbb tudomáyterületek (például fizika, biológia, közgazdaságta és szociológia) képviselőit. Azt a ma már Parrodo paradoxo éve ismertté vált állítást bizoyította, hogy két, stabila veszteséges stratégiát keverte játszva akár véletleszerű kevert stratégiával, akár megfelelő fix mita szerit keverve az eredméy folyamatos, agy yereség lesz! A Parrodo paradoxoak számos megfogalmazása, illetve iterpretációja ismert, talá egyik legszemléletesebb az előző bekezdésbe leírt játékelméletei iterpretáció, de mielőtt azt részletesebbe tárgyalák (a 3. fejezetbe), rövide szólák arról, hogy a saját kutatási területükbe mikét jelet meg a paradoxo. Kérjük az Olvasót, hogy látogasso el a oldalukra, ahol a jele cikkük bővebb, részletes számolásokat tartalmazó elektroikus változatát találja, sok képpel, videóval, szimulációval és futtatható alkalmazásokkal, valamit a témához kapcsolódó lik-gyűjteméyel. 2. Káosz-szabályozás A káosz determiisztikus redszerek szabálytala, em előrejelezhető, csak valószíűségi leírással jellemezhető mozgása (időváltozása). Fudametális voásai, mit a kezdeti feltételekre mutatott extrém érzékeység, valamit a permaes istabilitás miatt sokáig kizártak vélték a kaotikus viselkedés szabályozását: Egy kaotikus folyamat általába em jósolható meg és em is szabályozható. Nem jósolható meg, mert már egy kis zavaró hatás is a folyamat expoeciálisa övekvő perturbációját eredméyezi. Nem szabályozható, mert a kicsiy zavarások csak más kaotikus állapothoz, em pedig valamilye stabil, megjósolható alteratívához vezetek. (Freema Dyso: Egieers Dreams, 1988). Viszoylag új (mitegy másfél évtizedes) felismerés, hogy mégis va lehetőség a káosz regularizációjára. Fotos kiemeli, hogy a káosz szabályozásakor a redszer diamikai állapotát megszabó paraméterértékek midvégig a kaotikus tartomáyba maradak. Ezt ige köye elleőrizhetjük, ugyais a perturbációt megszütetve a redszer (egy rövid átmeeti szakaszt követőe) ismét kaotikusa fog viselkedi. Az egyik első, gyakorlatilag megvalósíthatóak tűő módszert Ott, Grebogi és Yorke (OGY-módszer) közölte a 90-es évekbe. Mi is eze módszer hatékoyságát vizsgáltuk külöböző diamikai redszerekbe, az alábbiakba az OGY módszer egy változatát az ú. egyszerű aráyos visszacsatolás (Simple Proportial Feedback) algoritmust mutatjuk be egy explicite is tárgyalható redszere. Az SPF-módszer két alapfeltevése: (1) Alacsoy dimeziójú kaotikus redszerekbe a kotrollparaméter értékéek kicsiy megváltoztatásakor képződő új kaotikus attraktor agyo hasoló az eredeti attraktorhoz. Így 147

22 Műszaki és Természettudomáyi Szekció az új attraktorból szerkeszthető új leképezés is agyo hasoló az eredetihez. Feltételezzük, hogy a kotrollparaméter perturbálásáak hatására az egydimeziós leképezés lokális jellemzői (pl. a mukapotba húzott éritők) egyszerűe csak párhuzamosa eltolódik az alkalmazott koordiátaredszer diagoálisa meté (lásd az 1. ábrá). (2) A kotrollparaméter perturbációja esetükbe a szabályozáshoz szükséges visszacsatolás agysága aráyos a változó aktuális értékéek a kívát fixpottól való eltérésével. A feti két alapfeltevést és az ábra jelöléseit haszálva itt em részletezett számolás utá kapjuk, hogy: 1. ábra: az SPF módszer d x 1 m d x * m p p p a h o l p C x, a m e lyb e C é s 1 K d p m K * d x p x * * * p, x p ahol p az -edik iterációs lépésbe a perturbáció agysága, p* a mukapoti kotrollparaméter-érték, x* a p*-hoz tartozó fixpot. Az x x 1 p x 1 x ú. logisztikus leképezés egydimeziós, egyparaméteres, diszkrét leképezés, amely a káoszelmélet állatorvosi lova, mivel számos valódi diamikai redszerből származtatható modell és a kaotikus viselkedés mide léyegi voásával redelkezik, ugyaakkor azo kivételese ritka modellek közé tartozik, amelybe a kaotikus jellemzők em csak umerikusa (számítógéppel), de egzaktul (kézzel) is számolhatók. A C perturbációs paraméter a logisztikus leképezés eseté: * p, C *2 * m p 2 p * m 1 K 1 p. * Ha például a választott kotrollparaméter mukapot-érték p 3, 7 9 (ez a leképezés kaotikus tartomáyába va!), akkor C 9, a perturbációs álladó egzakt értéke. A gyakorlatba azoba legtöbbször a leképezés kokrét alakja em ismert, ezért a feti értékeket umerikusa kell meghatározuk a változó kimért idősorából. Ez esetbe a lépések: 1. az egydimeziós leképezés rekostrukciója; 2. a szabályozadó fixpot meghatározása; 3. a leképezés elkészítése a kotrollparaméter kicsit eltérő értékéél; 4. a leképezések m meredekségéek umerikus meghatározása; 5. a fixpot eltolódásáak umerikus előállítása és a K álladó kiszámítása; 6. a C perturbációs álladó kiszámítása m és K ismeretébe. 148

23 Műszaki és Természettudomáyi Szekció A módszer tesztelésére a Maple programot haszáljuk, amely az egyik legelterjedtebbe haszálatos és legmegbízhatóbb matematikai program. Az eljáráshoz először a mérést szimuláljuk, amellyel legyártjuk a mérési idősorokat (egy választott mukapot kotrollparaméter értékél, és a kotrollparaméter kicsiy éháy százalékos eltéréséél). A szimulációval előállított idősorokat adatfájlokba tároljuk el, ezek a szabályozási algoritmus bemeetei. Egy kokrét futtatás eredméyét ismertetjük az alábbiakba a logisztikus redszer példájá. A választott * mukapot kotrollparaméter érték p 3, 7 9 (ez a leképezés kaotikus tartomáyába va), a kicsit eltérő kotrollparaméter érték pedig 3,752 (1%-os eltérés). A leképezés x, x 1 adatpárokkal rekostruált alakja látható a 2. ábrá. A fixpot közelítő meghatározása az x x m i. 1 alapjá törtét, majd az m meredekség umerikus meghatározása következett a kapott fixpotba. A fixpotot meghatározva a kicsit eltérő kotrollparaméter értékél is, 2. ábra: rekostrukció majd a K együttható kiszámítása a változás umerikus deriváltjával. Az m és K ismeretébe már előáll a C perturbációs álladó, amelyre C 9, adódott (vessük össze a fetebb kapott egzakt értékkel!). Ezutá idítsuk el a szabályozási algoritmust, az eredméy a 3. ábrá látható. 3. ábra: a logisztikus redszer káosz-szabályozása Először hagytuk a redszert szabályozás élkül futi, jól látható a kaotikus viselkedés. A szabályozás figyelését =100 lépésél idítottuk, a program megvárta, míg a változó értéke választott (10%-os) mértékbe véletleszerűe megközelítette a fixpot mukapot-értékét, ez =123 lépésél következett be. Ekkor bekapcsolt a perturbációs algoritmus, ami azt jeletette, hogy a kotrollparaméter perturbációja végrehajtásra került mide olya lépésbe, ahol a változó értéke 1%-ál agyobb mértékbe eltért a mukapot értéktől. Látható, hogy a változó értékét sikerül a mukapot érték közelébe tartai, a káoszt megszelídítettük! =400 lépésél a szabályozást leállítottuk, és megfigyelhetjük, hogy a perturbáció élkül a redszer éháy lépése belül visszatér a kaotikus viselkedéshez, azaz valóba a kaotikus tartomáyba voltuk midvégig. 149

24 Műszaki és Természettudomáyi Szekció Napjaikba már több káosz-szabályozási algoritmus létezik, ezek hatékoysága ige eltérő külöböző kaotikus diamikai redszerekre. Eze metódusok vizsgálata sorá egy teljese újszerű emperturbatív módszerre leltük: a [4] oldalo olvasható cikk megmutatja, hogy két kaotikus viselkedésű redszer között kapcsolgatva az eredő viselkedés szabályos lehet! Számukra teljese új iformációkét kiderült, hogy ez léyegébe az ú. Parrodo paradoxo egy lehetséges iterpretációja. 3. A Parrodo paradoxo játékelméleti megfogalmazása A Parrodo paradoxo szemléletes bemutatásához térjük tehát vissza a játékelméleti megfogalmazáshoz. Ismételte felhívjuk az Olvasók figyelmét, hogy a oldaluko mide alábbi megfotolás részletes számolását, kipróbálható szimulációját megtalálják. Tekitsük [2] alapjá két pézfeldobásos szerecsejátékot, amelyekbe mide egyes pézfeldobásál legye a tét egységyi. Midkét játék sorá a yereméyt az határozza meg, hogy mit dobuk egy pézérmével: fej eseté egységyi a yereségük (+1), írás eseté egységyi a veszteségük (-1). Az A játék sorá csak egy pézérmét haszáluk. Ha a pézérme szimmetrikus (azaz a fej és írás azoos eséllyel jö ki), akkor a játék dobásokéti várható yeresége yilvávalóa 0, azaz sok játékot lejátszva az összyereméy értéke közel ulla marad. Ha a pézérme em szimmetrikus, modjuk valószíűséggel fej, 1 p A valószíűséggel írás jö ki, akkor az egy dobásra eső yereség várható értéke em ulla, például p 0, 5 és 0, eseté a játék hosszútávo A yilvávalóa vesztes, a yereség várható értéke A 1 0, 0 1 p A y ( bevezetése talá idokolatlaak tűik, de a szakirodalom egyféle kotrollparaméterkét haszálja). A B játék kicsit boyolultabb. Itt két pézérmét haszáluk, és meghatározott szabály szerit dobuk vagy az egyikkel vagy a másikkal. Az egyik (B1) érmét rossz érméek evezzük, mert feldobva p B 1 valószíűséggel ( p 0, 5 ) jö ki fej, és B 1 1 p B 1 valószíűséggel írás, a másikat (B2) pedig jó érméek, mert vele dobva valószíűségű a fej ( p 0, 5 ) és B 2 1 p B 2 valószíűségű az írás. A játék sorá a B1 érmével akkor dobuk, ha a játék kezdete óta felhalmozott yereségük (a tetszés szerit választott) M egész számmal osztható, a B2 érmével pedig akkor, ha em. p B 2 4. ábra: a B játék szimulációja (Forrás: 150

25 Műszaki és Természettudomáyi Szekció Példakét tekitsük az M=3, p 0, 1, p 0, 7 5 és 0, (klasszikus ú. Abbott-féle) B 1 B 2 esetet. Noha em ayira yilvávaló, mit az A játék eseté, a B játék is hosszútávo mideképpe veszteséges, amit azt a számítógépes szimulációval kapott 4. ábrá látható. A szimulációs ábráko több futtatás (sok lejátszott játék) átlagos eredméyét jeleítjük meg. Világosa látszik, hogy a játék veszteséges, az egy játékra eső átlagos yereség az egyees meredekségéből becsülhető: pl. 50 játék utá mitegy 0, 9 5 egység, míg 450 játék utá agyjából 4, 4 5 egység, így a meredekség, azaz a játékokéti várható yereség körülbelül 4, 4 5 0, , ! Eek oka az, hogy a játék sorá az egyes (0, 1 és 2) maradékot adó összyereméy-állapotok em azoos (1/3) valószíűségűek, haem hosszútávo em-egyeletes egyesúlyi eloszláshoz tartaak. A számítógépes szimulációval kapott eloszlások alakulását az 5. ábrá láthatjuk. (Forrás: 5. ábra: az egyes összyereméy állapotok eloszlásáak szimulációja Látható, hogy a 0 maradékosztályú összyereméy-állapot azaz a B1 rossz érmével való dobás valószíűsége, agyobb 1/3-ál, így kissé megő a vesztes dobás esélye, ami végső soro a részletes számolásba azt eredméyezi, hogy az egy játékra eső átlagos yereség értékére 0, adódik, ami ige jó egyezést mutat a szimulációból kapott fetebbi 0, becslésükkel. Va tehát két játékuk (stratégiák), midkettő stabila (hosszútávo) veszteséges. Parrodo fatasztikus felfedezése az, hogy ha ezt a két játékot keverte játsszuk, akár véletleszerűe dötve el, hogy éppe melyik stratégia szerit játszuk, akár valamilye fix séma szerit felváltva játsszuk a két stratégiát, akkor hosszútávo stabila yereséges lehet! A várakozásokkal elletétbe em az törtéik, hogy a játék veszteséges marad, esetleg időbe változik a lefutása, haem alapvető változás áll be: a két veszteséges játék (véletleszerű, vagy adott séma szeriti) váltogatásával yereséges játék alakulhat ki! Jele cikkbe egy véletleszerű kevert stratégiát és egy fix mita szeriti kevert stratégiát tárgyaluk meg, továbbra is a p 0, 5, M=3, p 0,1, p 0, 7 5 és 0, (Abbottféle) esetet véve A B 1 B 2 példakét. 151

26 Műszaki és Természettudomáyi Szekció Nézzük először a véletleszerű kevert stratégiát: mide egyes dobás előtt véletleszerűe választva, hogy az A játék szerit, vagy a B játék szerit játszuk, p valószíűséggel A játékot választjuk, (1-p) valószíűséggel pedig B játékot. Ekkor például p=0,5 eseté az egy dobásra eső átlagos yereméy értéke 0, lesz, tehát a két stabila veszteséges játékot véletleszerű kevert stratégiával játszva hosszútávo yereségesek leszük! A részletes számítások azt mutatják, hogy (az Abbott-féle esetbe) 0, p 0, értékekél a véletleszerű kevert stratégia yereséges, 0 p 0, és 0, p 1 értékekél veszteséges. Játsszuk most az A és B játékot felváltva, azaz az AB ismétlődő séma szerit. A számítások szerit az AB mita szerit játszva az egy dobásra eső átlagos yereség értéke 0, , tehát a játék ugya továbbra is veszteséges marad, de midkét eredeti játékhoz képest csökket a veszteség, holott ituíciók szerit a két játék ötvözetével a veszteségek a két eredeti játék vesztesége között kellee leie. Találhatók azoba olya sémák, amelyek hosszútávo yereségesek, például az összes em homogé hármas csoport (pl. BAB), míg a égyes csoportok között egyarát találhatók yereségesek (ABBA) és veszteségesek (ABBB). A fetebb tárgyalt játékok o-lie számítógépes szimulációját kipróbálhatjuk a [3] oldalo található java-applet segítségével. Egyszerre maximum 9 stratégia szimulációja futtatható. A 6. ábrá egy (Abbott-féle esetre végzett) futtatás képeryő-másolata látható: égy yereséges stratégia (a BAB és az ABBA miták, valamit a p=0.5 és p=0.7 véletleszerű kevert stratégiák) és öt veszteséges stratégia (az eredeti A és B játékok, az AB és ABBB miták, valamit a p=0.9 véletleszerű kevert stratégia). (A oldal szimulációját haszálva.) 6. ábra: a játékok számítógépes szimulációja 4. Egy szemléletes fizikai modell A Parrodo paradoxo fizikai iterpretációjakét egyszerű mechaikai modellt készítettük. Vegyük két párhuzamos (A és B) fogas-szalagot, amelyek egy egyees meté mozogak (legye a jobbra iráy a pozitív, a balra a egatív). Midkét fogas-szalago a fogak azoos L 0,1 5 m távolságra vaak, adott t 0 időpillaatba a két szalago a fogak potosa egybeesek, a fogakat a köyebb áttekithetőség érdekébe sorszámozzuk meg. (7. ábra) Az 152