2. METROLÓGIA ÉS HIBASZÁMíTÁS

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "2. METROLÓGIA ÉS HIBASZÁMíTÁS"

Átírás

1 . METROLÓGIA ÉS HIBASZÁMíTÁS. Metrológa alapfogalmak A metrológa a mérések tdomáya, a mérésekkel kapcsolatos smereteket fogja össze. Méréssel egy objektm valamlye tlajdoságáról számszerő értéket kapk. A mérés eredméyt egy számmal (a mértékszámmal) és a mértékegységgel adjk meg. A mérés törtéhet mérıeszközzel vagy mőszerrel. A mérıeszközzel való mérésél az objektm valamlye tlajdoságát közvetle összehasolítással kapjk meg (pl. ha hosszúságot méterrúddal vagy tömeget mérleggel mérük). A mőszerrel való mérés vszot közvetett, az objektm és a mőszer valamlye kölcsöhatásából kalbrálással adja meg a mér kívát meység értékét. (Pl. az elektromos áram erısségét mérı Deprez-redszerő ampermérıbe a szögelfordlás az áram, a mágeses tér és a rgó kölcsöhatásáak az eredméye, de a mőszer skálája már áramerısségre va kalbrálva.) Sok esetbe azoba em s tdjk a jellemez kívát meységet közvetleül mér, haem csak más, vele kapcsolatba álló meységet, lletve meységeket, és az ezekre kapott mérés eredméyekbıl számítással kapjk a kívát adatot. Ekkor s mérésrıl - közvetett, lletve összetett mérésrıl beszélük. A mérést megsmételve általába em kapk azoos mérés eredméyeket. Egyrészt, mert a méredı meység változhat az dıvel. De ha a méredı meység álladó s, a mérés eredméyt a mőszer állapota és a megfgyelést végzı ember s befolyásolja. Jelöljük a mér kívát meység valóságos értékét x-szel, a mérés eredméyt x m -mel. A mérés hbája a mért érték és a valóságos érték külöbsége: x = x m - x. és a relatív hba: δ x = x / x. A mérés megbízhatóságát elsısorba a mőszer jellemzı határozzák meg. A mőszerek jellemzı a./ Érzékeység: Meghatározza, hogy a méredı meység egységy változásához a mőszerrıl közvetleül leolvasható érték mlye változása tartozk. Ez a mőszerrıl leolvasható legksebb egységek (skálarészek) megfelelı méredı meység recproka. (Pl. ha egy mtatós ma-mérı végktérése 50 ma, skálája leárs és 50 beosztású, a mőszer érzékeysége 50 skr / 50 ma = 0, skr/ma, és a mtató egy skálarészy ktérése 5 ma áramak felel meg.) Ha a skála em leárs, akkor az érzékeység függ attól, hogy mlye érték közelébe mérük. b./ Potosság: A mért és valód érték maxmáls lehetséges eltérése, a hba abszolút értékéek maxmma. c./ Reprodkálhatóság: A mőszerrel törtéı smételt mérésekkel kapható mérés eredméyek lehetséges maxmáls eltérése egymástól. Hbatípsok Véletle hba: A mérés eredméyek a valóságos értéktıl mdkét ráyba azoos valószíőséggel, véletleszerőe térek el. Nagy számú mérés átlagát véve a véletle hba tetszılegese csökkethetı. Redszeres hba: A mérés eredméyek a valóságos értéktıl eltérı érték körül gadozak. Oka a hbás vagy rosszl beállított mőszer, de redszeres hbát okoz az s, ha elhayagolk vagy rosszl veszük fgyelembe valamlye, a mérést befolyásoló külsı téyezıt (pl. hımérsékletet vagy yomást). METROLÓGIA /

2 .. A hbaszámítás alapja A hbaszámítás a valószíőségszámítás és matematka statsztka felhaszálásával a mérés sorá fellépı véletle hbák becslésére ad módot. Valószíőségszámítás alapfogalmak; a valószíőség sőrőség- és eloszlásfüggvéy Méréssel emcsak egyetle objektm valamlye álladó értékő sajátosságára kaphatk számszerő értéket, haem jellemezhetjük egy objektm olya sajátosságát s, mely dıbe vagy helyleg változk. Vagy jellemezhetük egy olya egyedekbıl álló sokaságot, melyekre ézve a méredı tlajdoság külöbözı mértékő. Beszélhetük a terem hımérsékletérıl, akkor s, ha a hımérséklet a radátor mellett más mt az ajtó mellett, éjszaka más mt appal. Vagy megadhatjk az évfolyamo a hallgató láyok átlagos magasságát. Egy sokaság eseté az egyed mérések valamlye átlaga lesz az egész sokaság jellemzıje, de tsztázk kell, hogy értjük ezt az átlagot. A sokaságot jellemzı számak az egyedekre s jellemzıek kell le valamlye módo, a sokaságra voatkozó adatból bzoyos mértékg meg kell tdk jósol az egyed mérések eredméyét, azaz a sokaság jellemzéséél azt s meg kell adk, hogy a megadott átlagérték körül adott valószíőséggel mlye tervallmba leszek az egyes mérések eredméye. Hasoló a probléma a terem hımérsékletéek megadásáál s. Ha a terem hımérséklete dıbe változk, a termet külöbözı dıpotokba elképzelve tekthetjük sokaságak, melyek eleme az egyes dıpotokba a terem pllaaty állapota, és ezekbe az állapotokba mérhetjük az egyed hımérséklet értékeket. De ha egy jól meghatározott, dıbe álladó meységet smételte mérük, a mőszer dıbe külöbözı állapota, a mőszer és a mért objektm, valamt a köryezet dıbe változó kölcsöhatása matt az smételt mérés eredméye változ fogak. Ezek az elképzelt smételt mérések megt egy sokaság elemeek tekthetık. Tételezzük fel egy sokaságot, és egy, a sokaságo értelmezett ξ meységet. ξ külöbözı értékeket vehet fel, de egyeseket agyobb, másokat ksebb valószíőséggel. (Egy dákláy magasságát gyakra mérjük 60 és 70 cm között értékek, és a terem hımérséklete kevéssé valószíő, hogy -0 C alatt va.) Azt modjk, hogy ξ valószíőség változó. Egy valószíőség változó lehet folytoos (mt a magasság vagy hımérséklet), és lehet dszkrét (mt a kockadobálás eredméye). A sokaság lehet véges elemő (mt a másodkos vegyészláyok sokasága), vagy végtele elemő (mt a terem állapota tetszıleges dıpotokba). Amkor mérük, kválasztjk egy egyedét a sokaságak, és eze végezzük el a mérést. Azt s modhatjk, hogy mtát veszük a sokaságból és azo egy kísérletet végzük. A kísérlet eredméyes vagy skeres, ha azt kaptk, amt vártk, pl. 6-ost a kockadobálásál. A skeres kísérletet evezzük eseméyek. Az eseméy valószíősége P: az összes lehetséges kedvezı kmeetelő mtavétel, kísérlet száma ( k ) osztva az összes lehetséges kísérlet számával (N Ö ): P = k / N Ö.3 A valószíőséget potos értékét meghatározhatjk, ha va formácók az egész sokaságról, külöbe a sokaság több-kevesebb elemé végzett kísérlet alapjá becsüljük P értékét. Legye példál a sokaság 00 skatlya gyfa, és a ξ dszkrét valószíőség változó a gyfaszálak száma egy dobozba. Ha a 00-ból 0 dobozba va 40 szál gyfa, akkor aak az eseméyek a valószíősége, hogy egy véletleül kválasztott skatlyába pot 40 szál gyfát találjk, P (ξ=40) = P (40) = 0 / 00 = 0,. Ha a valószíőség változó folytoos, akkor csak azt kérdezhetjük, hogy egy bzoyos tervallmba esı értéket mlye valószíőséggel vehet fel. Pl. ha a valószíőség változó a láyok magassága, és az évfolyam 50 hallgatóláyából 0-ek a magassága 60 és 70 cm közé esk, akkor aak a valószíősége, hogy egy véletleszerőe kválasztott láy h magasságát 60 és 70 cm közöttek találjk: P (60<h<70) = 0 / 50 = 0,. METROLÓGIA /

3 Ismételjük meg a kísérletet N-szer, és tegyük fel, hogy esetbe kaptk kedvezı eredméyt (pl. 40 szál gyfát a gyfaszámlálás kísérletbe). Az eseméy relatív gyakorsága: q = / N.4 Ha N ı, a relatív gyakorság a valószíőséghez tart: lm N q = P.5 Jelöljük a ξ folytoos valószíőség változó aktáls mért értékét x-szel. P (x < x < x + x) aak valószíősége, hogy x értéke x és x + x közé esse. A P lm ( x < x < x + x ) = f (x ).6 x 0 x határérték a ξ változó valószíőség sőrősége x -él, és f(x) ξ eloszlásáak valószíőség sőrőségfüggvéye vagy frekveca függvéye. Aak valószíősége, hogy ξ x és x + x között értéket vegye fel, közelítıleg P (x x x + x ) = f(x ) x,.7 ha x elég kcs. Általába aak valószíősége, hogy ξ x és x közé esse: P (x x x ) = x f( x) dx.8 x A valószíőség sőrőségfüggvéy tegrálja a valószíőség változó teljes értelmezés tartomáyára f( x' ) dx' = P ( x ) =. A valószíőség sőrőségfüggvéy tegrálfüggvéyét valószíőség eloszlásfüggvéyek evezzük és F(x)- szel jelöljük: x F(x) = f( x' ) dx' F() =.9 F(x ) aak a valószíősége, hogy a valószíőség változó értéke em agyobb, mt egy adott x érték: P (x x ) = F(x ).0 Az eloszlásfüggvéyel megadhatjk aak a valószíőségét, hogy a valószíőség változó értéke x és x közé esk: x x x P(x x x )= f( x) dx = f( x) dx f( x) dx = F( x ) F( x ) x Összetett kísérlet eredméyéek valószíősége Ha két meységet, ξ-t és η-t mérük egymás tá, m a valószíősége aak, hogy ξ-re x-et, η-ra y-t kapjk eredméyül? Ha N(y/x) azokak az esetekek a száma, amkor η-ra y értéket kapk, feltéve, hogy ξ-re már x értéket kaptk, akkor a valószíőség értelmezésébıl METROLÓGIA / 3

4 N P(x,y) = lm ( y / x ) lm ( / ) ( ) N = N y x N x N( x) N = P(y/x) P(x).. N N P(y/x)-t feltételes valószíőségek evezzük. Ha az η változóra voatkozó kísérlet eredméye em függ a ξ változótól, akkor P(y/x) = P(y) és P(x,y) = P(x) P(y). Ebbe az esetbe a két eseméy vagy kísérlet vagy valószíőség változó egymástól függetle. Függetle eseméyek valószíősége szorzódak, és gyaez áll a valószíőség sőrőségfüggvéyekre s. A mérést általába megsmételjük, hogy bztosabb eredméyt kapjk. Ilyekor feltesszük, hogy az egyes méréseket egymástól függetleül végeztük, hogy egy késıbb mérés eredméyét em befolyásolja egy elızı eredméy. Vgyázzk, hogy ez téyleg teljesüljö! Nagyo gyakor a megsmételt mérés eredméyéek ökétele szbjektív torzítása! Az eloszlás paramétere, a mta jellemzı A valószíőség sőrőségfüggvéybe szereplı kostasok és az azokból leszármaztatott meységek az eloszlás paramétere. Amkor mtát veszük a sokaságból és eze a mtá mérést végzük, a célk az, hogy az eloszlásról kapjk formácót. Az eloszlásfüggvéy alakja smert, vagy egy meghatározott függvéyel közelítjük, a függvéybe szereplı kostasokat vszot a mérésbıl akarjk meghatároz, vagy megbecsül. A mérés eredméyekbıl az eloszlásparaméterekre kapott becsléseket evezzük a mta jellemzıek. A mérés lehetséges kmeetele, a jövıbel mérés eredméy s valószíőség változó és így valamlye valószíőség sőrőségfüggvéy redelhetı hozzá. A mérésél téylegese kapott mérés eredméyek vszot kokrét számok, melyekkel kapcsolatba már cs értelme valószíőségrıl beszél. A mtavételél s beszélhetük a majda mtáról mt sokaságról, melyek eleme -az elképzelt mérés eredméyek- valószíőség változók. Eek az elképzelt mtáak mt sokaságak a jellemzı szté valószíőség változók leszek. A következıkbe az eloszlás paraméteret -melyek a sokaságra jellemzık- görög, a mta jellemzıt pedg lat betőkkel fogjk jelöl. A legfotosabb eloszlásparaméterek Legye a sokaságo egy ξ valószíőség változó (egy tlajdosága a sokaság elemeek) értelmezve, melyek értékét x-szel jelöljük. a./ A várható érték Tételezzük fel egy véges, N elemő sokaságot, melye értelmezett valószíőség változó dszkrét értékeket vehet fel. Pl. legye a sokaság 00 doboz gyfa és a valószíőség változó a gyfaszálak száma egy dobozba. Legye ξ értéke a sokaság számú elemé x. Akkor x átlagértéke N N x = ( x ) / N = x P( x ),.3a = = mvel P (x ) = / N..3a-t általáosítva, tetszıleges eloszlásra defálhatk egy, az eloszlásra jellemzı paramétert, az eloszlás várható értékét: Legye az eloszlás dszkrét, de a sokaság em feltétleül véges; a ξ valószíőség változó az x értéket P valószíőséggel vegye fel. Akkor a ξ valószíőség változó várható értéké, E [x]-e a következı összeget értjük: METROLÓGIA / 4

5 E [x] = x P( x ) = µ,.3 x ahol az összegzés a sokaság összes elemére törték. Ha az eloszlás folytoos, és az eloszlás valószíőség sőrőségfüggvéye f(x), akkor a várható érték,.3 aalógájára E [x] = x f(x) dx = µx.4 A valószíőség változó kostasszorosáak várható értéke a várható érték kostasszorosa: E [cx] = cx f(x) dx = c x f(x) dx = c E [x].5 Két valószíőség változó, ξ és η összegéek és szorzatáak várható értékéél az összetett kísérlet valószíőségével kell számolk. Ha a valószíőség változók dszkrétek, aak valószíősége, hogy a ξ tlajdoságra x-et, az η tlajdoságra y-t kapjk mérés eredméyül,. szert P(x,y). Folytoos eloszlásál a valószíőségeket a sőrőségfüggvéyel határozzk meg. Aak valószíősége, hogy a ξ tlajdoság mért értéke x és x + dx közé esse, és az η tlajdoságé y és y + dy közé: P (x ξ x+dx, y η y+dy) = h(x,y) dx dy.6 és.-ek megfelelıe, ha a két valószíőség változó függetle, h(x,y) = f(x) g(y), vagys két, csak x-tıl, lletve csak y-tól függı sőrőségfüggvéy szorzata. Két folytoos valószíőség változó összegéek várható értéke a két várható érték összege: E [x+y] = (x+y) h(x,y) dx dy = x ( h(x,y) dy) dx + y ( h(x,y) dx) dy = = x f(x) dx + y g(y) dy = E [x] + E [y]..7 Két függetle valószíőség változó szorzatáak várható értéke az egyes várható értékek szorzata: E [xy] = xy h(x,y) dx dy = xy f(x) g(y) dx dy = = x f(x) dx y f(y) dy = E [x] E [y].8 Ha a valószíőség sőrőségfüggvéy szmmetrks egy x 0 értékre, akkor y = x-x 0 várható értéke E [y] = 0, azaz az eredet várható érték éppe x 0 -lal egyelı. (Bzoyítás: E [y] = y f(y) dy = 0 y f(y) dy + y f(y) dy, 0 és mvel a szmmetra matt f(y) = f(-y), így 0 y f(y) dy + y f(y) dy = - y f(-y) dy + y f(y) dy = 0. ) METROLÓGIA / 5

6 b./ A medá és a módsz A eloszlás medája (µ e ) a valószíőség változóak az az értéke, melyél ksebb és agyobb érték s gyaolya valószíőségő, azaz ahol az eloszlásfüggvéy értéke F(µ e ) = 0,5. Az eloszlás módsza a sőrőségfüggvéy maxmm helye. Szmmetrks eloszlás várható értéke, medája és módsza azoos. c./ A varaca A valószíőség változó értéke ksebb vagy agyobb mértékbe eltérhet a várható értéktıl a sokaság eleme. A varaca eek az eltérések a mértéke: Var [x] = (x-µx ) f(x) dx = E [(x-µ x ) ].9 Változó kostasszorosáak varacája a varaca szorozva a kostas égyzetével: Var [cx] = E [cx-cµ x ] = c E [x-µ x ] = c Var [x].0 Két függetle valószíőség változó összegéek varacája az egyes varacák összege: Var [x+y] = E [(x+y-µ x -µ y ) ] = = E [(x-µ x ) ] + E [(y-µ y ) ] + E [(x-µ x )(y-µ y )] = Var [x] + Var [y]. Itt felhaszáltk az összeg várható értékére voatkozó.7 összefüggést, és mvel ξ és η függetleek,. harmadk tagjáál fel tdtk haszál.8-at, mszert E [(x-µ x )(y-µ y )] = E [x-µ x ] E [y-µ y ] = 0. Két függetle valószíőség változó szorzatáak varacája em egyezk meg vszot a varacák szorzatával! A ormáls (Gass) eloszlás Normáls eloszlást mtatak azok a valószíőség változók, melyek értékét sok ksmértékő véletleszerő hatás befolyásolja. A ormáls eloszlásál a valószíőség sőrőségfüggvéy az ú. Gass-függvéy: f ( x) = e π σ x µ σ,. ahol µ az eloszlás várható értéke, σ pedg az úgyevezett szórás, a varaca égyzetgyöke. Az ú. ormalzált Gass-függvéyt.-bıl az = (x-µ) / σ.3 traszformácóval kapjk, és a következı alakú: f() = π e A ormalzált Gass-eloszlás várható értéke 0, varacája..4 METROLÓGIA / 6

7 Bzoyítás: A várható érték.4 és a varaca.9 defícójából: E [] = f() d = π mert az tegrads páratla függvéy. e d = 0, Var [] = Felhaszálva, hogy e f() d = d = - e és parcálsa tegrálva, kapjk: π e d = π ( e ) d e d = e + e d. Az elsı tag kesk, a másodk pedg π -vel egyelı, így Var [] =. A ormalzált Gass-eloszláshoz tartozó valószíőség eloszlásfüggvéy: F() = t e dt = φ( ) (hbategrál), F()=..5 π A ormalzált Gass-függvéy, a φ() hbategrál vagy az erf () = π e t dt hbafüggvéy.6 0 értéket matematka kézköyvekbe táblázatosa megtaláljk. A két függvéy összefüggése Φ() = 0,5 ( + erf (/ ))..7 A Gass-eloszlás alkalmazása Tételezzük fel, hogy smerjük egy adott sokaságba egy bzoyos valószíőség változó eloszlását, és ez ormáls eloszlás, adott µ várható értékkel és σ szórással. Mlye valószíőséggel esk a valószíőség változó értéke a várható érték körül, adott sgarú tervallmba, tehát x = µ- x és x = µ+ x közé? Ilye feladatokál az aktáls változót.3 alapjá úgy traszformáljk, hogy ormalzált Gass-eloszlást kapjk. Az tervallm végpotja: = - x/σ és = x/σ = v..8.-et alkalmazva P( ) = F( ) - F( ) = φ(v) - φ(-v). A táblázatokba vszot csak poztív argmetmra találjk meg a φ hbategrált. Az ábrá a két pöttyözött terület a függvéy szmmetrája matt egyelı, azaz φ(-) = - φ() P(-v v) = φ(v) -.9 METROLÓGIA / 7

8 Aak a valószíősége pedg, hogy a változó értéke kesse az adott szmmetrks tervallmból, tehát egy adott tőrésél jobba eltérje a várható értéktıl: P( -v U v) = - (φ(v)-) = (-φ(v))..30 Példa Legye a másodéves láyok magasságeloszlásáak valószíőség sőrőségfüggvéye (a magasságot h-val jelölve és cm-be mérve): f (h) = e π5 h 65 0,5 5 a/ M aak a valószíősége, hogy egy véletleül kválasztott láy magassága 60 és 70 cm között legye? b/ Ha az évfolyamo 80 láy va, várhatóa háy magasabb 60 cm-él, háyak a magassága 60 cm és 70 cm között, lletve 70 és 75 cm között érték? c/ Va-e 75 cm-él magasabb láy? És 50 cm-él alacsoyabb? Megoldás: Térjük át a ormalzált eloszlásra (A) és keressük k az. Táblázatból a φ() függvéy értéket (B). Az eloszlás várható értéke µ = 65 cm, szórása σ = 5 cm. A B h (cm) v φ(v) φ(v) , ,843 0, ,977 0, ,9986 0,997 a/ A cm tervallm a várható érték körül σ sgarú tervallmak felel meg (v=), a táblázat szert ebbe az tervallmba 68,6% valószíőséggel esek a magasságok. b/ A 60 cm a ormalzált változóba = --ek felel meg, aak valószíősége, hogy - legye, P( -) = φ(-) = -φ() = 5,7 %, -P = 84,3%. Ey aak a valószíősége, hogy valakek a magassága agyobb legye, mt 60 cm. Mvel P = kedvezı /N összes, az évfolyamo 80 láy közül = 80 0,843 = 67 láyak a magassága 60 cm-él agyobb. Hasolóa, a 60 és 70 cm között magasságú láyok száma = 80 0,686 = 54,6, azaz láy magassága esk 60 és 70 cm közé. A [70 cm, 75 cm] tervallm a ormalzált változóba az [,] tervallmak felel meg. P( )=φ()-φ()=0,359. Ez személyt jelet. c/ A 75 cm-es magasság = -ek felel meg. P(>)=-P( )=-φ()=0,08. Ez azt jelet, hogy várhatóa két 75 cm-él magasabb láy va. A 50 cm = -3-ak felel meg, P(<-3)=φ(-3)=-φ(3)=0,004. Ez 0, személyek felel meg, tehát az évfolyamo valószíőleg cs 50 cm-él alacsoyabb láy. METROLÓGIA / 8

9 Célszerő megjegyez, hogy a ormáls eloszlásál a várható érték körül σ sgarú tervallmba (v=) a valószíőség változó értéke 68,3 % valószíőséggel esk, a σ sgarú tervallmba pedg (v=) kb. 95,4 % valószíőséggel. A középérték eloszlásáak tlajdosága Mérjük egy sokaságo a ξ sajátosságot -szer. Képzeljük el egy mérésbıl álló mtát, ahol az egyes mérések (egyelıre elképzelt) eredméye x,...,x. Ezek valószíőség változók, még em tdjk, mlye értéket kapak a mérésél. Az x,...,x valószíőség változó számta közepe x x = = szté valószíőség változó, tehát tartozk hozzá egy f(x,...,x ) valószíőség sőrőségfüggvéy, és kérdezhetjük, m eek a várható értéke és varacája. Az egyes mérés eredméyek függetleek egymástól, tehát f(x,...,x ) = f(x )...f(x ). Mvel gyaazt a mérést smételjük, az egyes mérés eredméyek várható értéke E[x ] = µ és varacája Var[x ] = σ azoos mde egyes mérésre. Az összeg és kostasszoros várható értékére és varacájára kapott.5,.7,.0,. formlákat alkalmazva kapjk, hogy E [ x] = / = Var [ x] = / E [x ] = µ = és Var [x ] = Var[x] = σ.3 Azaz a középérték várható értéke megegyezk az egyes mérések várható értékével, varacája vszot -ed része az egyes méréséek. A cetráls határeloszlás tétele szert bármlye eloszlású sokaság eseté az elemő mta számta középértékéek eloszlása a mta elemszámáak övekedésével egy olya ormáls eloszláshoz tart, melyek várható értéke megegyezk az eredet eloszlás várható értékével. Ez azt jelet, hogy ha már egyetle mérés eredméy s átlagak, pl. dıátlagak tekthetı, akkor várható, hogy az Gass-eloszlású lesz. A mérés eredméyek vszot agyo gyakra lye átlagértékek. A mtató tehetetlesége matt egy átlagértékek megfelelı helyzetbe áll be. Ha elektroksa győjtük adatot, azt s egy bzoyos deg tesszük, és az átlagjelet dolgozzk tovább fel. Így a gyakorlatba legtöbbször ormáls eloszlású mérés eredméyekkel találkozk. Az eloszlásparaméterek becslése A mtavétel és mérés célja, hogy formácót kapjk a sokaságo az adott tlajdoság eloszlásáról, azaz meg tdjk becsül az eloszlásparamétereket a sokaság elemszámáál sokkal ksebb mta alapjá. A becsült paramétereket hllámvoallal fogjk jelöl. Egy becslés torzítatla a θ paraméterre ézve, ha a becsült és valóságos várható értékek megegyezek, azaz E [ ~ θ] = θ vagy E [ ~ θ - θ] = 0, a hba várható értéke 0. METROLÓGIA / 9

10 A várható érték és a varaca becslése A várható értéket úgy vezettük be véges elemő, dszkrét sokaságra, mt a sokaságra vett átlagát az adott tlajdoságak (.3). Ha most em az egész sokaságot vesszük, csak egy mtát belıle, becsülhetjük úgy az egész sokaságra voatkozó átlagot, hogy csak a mtára átlagolk, azaz a várható értéket, µ-t a következıképp becsüljük: ~µ = / x.3 = Amíg a mérésrıl csak beszélük, ~ µ valószíőség változó, az x valószíőség változók számta közepe, melyek várható értéke megegyezk az egyes mérés várható értékével. Tehát ~ µ = µ, a becslés torzítatla. Hasolóa okoskodva, a varacát becsülhetjük az egyes mérések hbaégyzetéek átlagával: ~ σ = / (x - x) = Meg akarjk határoz eek a becslések a várható értékét; de egyszerőbb, ha ~ σ várható értékét számítjk k. E [ ~ σ ] = E ( x x) E (( x ) ( x )) = µ µ = = E ( x ) x j µ µ j = E x x j ( µ ) ( µ ) = j = [ ] + E ( x µ ) E ( x µ )( x j µ ) E ( x j µ ) j j Az elsı tag éppe az egyes mérések varacájáak (-/) -szerese. A másodk tagba a j= tag kmarad, így tehát az összeg egyes tagjaba a téyezık függetleek, szorzatk várható értéke a téyezık várható értékéek szorzata, am vszot 0. A harmadk tagot kfejtve (x j -µ) -es tagok fogak szerepel és vegyes szorzatok. Az tóbbak várható értéke, az elızı okfejtés értelmébe 0. Így végül a fet összeg a következıképp alakítható: E [ ~ σ ] = σ + E[ ( x ] = j µ ) j ( ) σ = + ( ) = σ ( + ) σ = (-) σ, azaz a varaca -szereséek becsült értéke a valóságos varaca (-)-szerese, ~ σ = (-) / σ..33 Ez a becslés torzított, így célszerőbb a varacát a mérés eredméyekbıl a következıképp becsül: ( x x) ~ σ = s = x = s x -et az egyes mérés eredméyek korrgált tapasztalat szórásáak evezzük. Mvel.3 szert a középérték varacája az egyes mérések varacájáak -ed része, s x sx =,.35 a középérték korrgált tapasztalat szórása (stadard devácója):.34 s x = Σ( x x) Σ( x x) és s x = ( ).36 METROLÓGIA / 0

11 I. táblázat A ormáls eloszlás F() eloszlásfüggvéye / t F( ) = e dt = φ ( ) π ,0,50000,50399,50798,597,5595,5994,539,5790,5388, ,,53983,54380,54776,557,55567,5596,56356,56749,574, ,,5796,5837,58706,59095,59483,5987,6057,6064,606,6409 0,3,679,67,655,6930,63307,63683,64058,6443,64803,6573 0,4,6554,6590,6676,66640,67003,67364,6774,6808,68439, ,5,6946,69497,69847,7094,70540,70884,76,7566,7904,740 0,6,7575,7907,7337,73565,7389,745,74537,74857,7575, ,7,75804,765,7644,76730,77035,77337,77637,77935,7830,7854 0,8,7884,7903,79389,79673,79955,8034,805,80785,8057,837 0,9,8594,8589,8,838,8639,8894,8347,83398,83646,8389,0,8434,84375,8464,84850,85083,8534,85543,85769,85993,864,,86433,86650,86864,87076,8786,87493,87698,87900,8800,8898,,88493,88686,88877,89065,895,89435,8967,89796,89973,9047,3,9030,90490,90658,9084,90988,949,9309,9466,96,9774,4,994,9073,90,9364,9507,9647,9786,99,93056,9380,5,9339,93448,93574,93699,938,93943,9406,9479,9495,94408,6,9450,94630,94738,94845,94950,95053,9554,9554,9535,95449,7,95543,95637,9578,9588,95907,95994,96080,9664,9646,9637,8,96407,96485,9656,96638,967,96784,96856,9696,96995,9706,9,978,9793,9757,9730,9738,9744,97500,97558,9765,97670,0,9775,97778,9783,9788,9793,9798,98030,98077,984,9869,,984,9857,98300,9834,9838,984,9846,98500,98537,98574,,9860,98645,98679,9873,98745,98778,98809,98840,98870,98899,3,9898,98956,98983,9900,99036,9906,99086,99,9934,9958,4,9980,990,994,9945,9966,9986,99305,9934,99343,9936,5,99379,99369,9943,99430,99446,9946, ,,99506,9950,6,99534,99547,99560,99573,99586,99598,99609,996,9963,99643,7,99653,99664,99674,99683,99693,9970,997,9970,9978,99736,8,99744,9975,99760,99767,99774,9978,99788,99795,9980,99807,9,9983,9989,9985,99830,99836,9984,99846,9985,99856, ,0,99865,99869,99874,99878,9988,99886,99889,99893,99896,99900 METROLÓGIA /

2. METROLÓGIA ÉS HIBASZÁMíTÁS

2. METROLÓGIA ÉS HIBASZÁMíTÁS . METROLÓGIA ÉS HIBASZÁMíTÁS. Metrológa alapfogalmak A metrológa a mérések tudomáya, a mérésekkel kapcsolatos smereteket fogja össze. Méréssel egy objektum valamlye tulajdoságáról számszerű értéket kapuk.

Részletesebben

? közgazdasági statisztika

? közgazdasági statisztika Valószíűségszámítás és a statsztka Valószíűség számítás Matematka statsztka Alkalmazott statsztka? közgazdaság statsztka épesség statsztka orvos statsztka Stb. Példa: vércsoportok Az eloszlás A AB B Elem

Részletesebben

? közgazdasági statisztika

? közgazdasági statisztika ... Valószíűségszámítás és a statsztka Valószíűség számítás Matematka statsztka Alkalmazott statsztka? közgazdaság statsztka épesség statsztka orvos statsztka Stb. Példa: vércsoportok Az eloszlás A AB

Részletesebben

ORVOSI STATISZTIKA. Az orvosi statisztika helye. Egyéb példák. Példa: test hőmérséklet. Lehet kérdés? Statisztika. Élettan Anatómia Kémia. Kérdések!

ORVOSI STATISZTIKA. Az orvosi statisztika helye. Egyéb példák. Példa: test hőmérséklet. Lehet kérdés? Statisztika. Élettan Anatómia Kémia. Kérdések! ORVOSI STATISZTIKA Az orvos statsztka helye Életta Aatóma Kéma Lehet kérdés?? Statsztka! Az orvos dötéseket hoz! Mkor jó egy dötés? Meyre helyes egy dötés? Mekkora a tévedés lehetősége? Példa: test hőmérséklet

Részletesebben

Matematikai statisztika

Matematikai statisztika Matematka statsztka 8. elıadás http://www.math.elte.hu/~arato/matstat0.htm Kétmtás eset: függetle mták + + + = + ) ( ) ( ) ( Y Y X X Y X m m m t m Ha smert a szórás: (X elemő, σ szórású, Y m elemő, σ szórású),

Részletesebben

METROLÓGIA ÉS HIBASZÁMíTÁS

METROLÓGIA ÉS HIBASZÁMíTÁS METROLÓGIA ÉS HIBASZÁMíTÁS Metrológa alapfogalmak A metrológa a mérések tudománya, a mérésekkel kapcsolatos smereteket fogja össze. Méréssel egy objektum valamlyen tulajdonságáról számszerű értéket kapunk.

Részletesebben

A peremeloszlások. Valószínőségszámítás elıadás III. alk. matematikus szak. Példa. Valószínőségi vektorváltozók eloszlásfüggvénye.

A peremeloszlások. Valószínőségszámítás elıadás III. alk. matematikus szak. Példa. Valószínőségi vektorváltozók eloszlásfüggvénye. y Valószíőségszámítás elıaás III. alk. matematkus szak 4. elıaás, szeptember 30 A peremeloszlások (X,Y) eloszlásából (elevezés: együttes eloszlás) következtethetük az egyes változók eloszlására: P(X)P(X,Y0)+P(X,Y)+P(X,Y2)

Részletesebben

Statisztika. Eloszlásjellemzők

Statisztika. Eloszlásjellemzők Statsztka Eloszlásjellemzők Statsztka adatok elemzése A sokaság jellemzése középértékekkel A sokaság jellemzéséek szempotja A sokaság jellemzéséek szempotja: A sokaság tpkus értékéek meghatározása. Az

Részletesebben

Feladatok és megoldások a 11. heti gyakorlathoz

Feladatok és megoldások a 11. heti gyakorlathoz Feladatok és megoldások a. het gyakorlathoz dszkrét várható érték Építőkar Matematka A. Egy verseye öt ő és öt férf verseyző dul. Tegyük fel, hogy cs két azoos eredméy, és md a 0! sorred egyformá valószíű.

Részletesebben

Megállapítható változók elemzése Függetlenségvizsgálat, illeszkedésvizsgálat, homogenitásvizsgálat

Megállapítható változók elemzése Függetlenségvizsgálat, illeszkedésvizsgálat, homogenitásvizsgálat Megállapítható változók elemzése Függetleségvzsgálat, lleszkedésvzsgálat, homogetásvzsgálat Ordáls, omáls esetre s alkalmazhatóak a következő χ próbá alapuló vzsgálatok: 1) Függetleségvzsgálat: két valószíűség

Részletesebben

BIOMATEMATIKA ELŐADÁS

BIOMATEMATIKA ELŐADÁS BIOMATEMATIKA ELŐADÁS 10. A statisztika alapjai Debrecei Egyetem, 2015 Dr. Bérczes Attila, Bertók Csaád A diasor tartalma 1 Bevezetés 2 Statisztikai függvéyek Defiíció, empirikus várható érték Empirikus

Részletesebben

Matematikai statisztika elıadás III. éves elemzı szakosoknak. Zempléni András 9. elıadásból (részlet)

Matematikai statisztika elıadás III. éves elemzı szakosoknak. Zempléni András 9. elıadásból (részlet) Matematka statsztka elıadás III. éves elemzı szakosokak Zemplé Adrás 9. elıadásból részlet Y közelítése függvéyével Gyakor eset, hogy em smerjük a számukra érdekes meység Y potos értékét pl. holap részvéy-árfolyam,

Részletesebben

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága Sorozatok, határérték fogalma. Függvéyek határértéke, folytoossága 1) Végtele valós számsorozatok Fogalma, megadása Defiíció: A természetes számok halmazá értelmezett a: N R egyváltozós valós függvéyt

Részletesebben

GEOFIZIKA / 4. GRAVITÁCIÓS ANOMÁLIÁK PREDIKCIÓJA, ANALITIKAI FOLYTATÁSOK MÓDSZERE, GRAVITÁCIÓS ANOMÁLIATEREK SZŰRÉSE

GEOFIZIKA / 4. GRAVITÁCIÓS ANOMÁLIÁK PREDIKCIÓJA, ANALITIKAI FOLYTATÁSOK MÓDSZERE, GRAVITÁCIÓS ANOMÁLIATEREK SZŰRÉSE MSc GEOFIZIKA / 4. BMEEOAFMFT3 GRAVITÁCIÓS ANOMÁLIÁK REDIKCIÓJA, ANALITIKAI FOLYTATÁSOK MÓDSZERE, GRAVITÁCIÓS ANOMÁLIATEREK SZŰRÉSE A gravtácós aomálák predkcója Külöböző feladatok megoldása sorá - elsősorba

Részletesebben

ÖKONOMETRIA. Készítette: Elek Péter, Bíró Anikó. Szakmai felelős: Elek Péter június

ÖKONOMETRIA. Készítette: Elek Péter, Bíró Anikó. Szakmai felelős: Elek Péter június ÖKONOMETIA Készült a TÁMOP-4.1.-08//A/KM-009-0041pályázat projet eretébe Tartalomfejlesztés az ELTE TáTK Közgazdaságtudomáy Taszéé az ELTE Közgazdaságtudomáy Taszé az MTA Közgazdaságtudomáy Itézet és a

Részletesebben

f (M (ξ)) M (f (ξ)) Bizonyítás: Megjegyezzük, hogy konvex függvényekre mindig létezik a ± ben

f (M (ξ)) M (f (ξ)) Bizonyítás: Megjegyezzük, hogy konvex függvényekre mindig létezik a ± ben Propositio 1 (Jese-egyelőtleség Ha f : kovex, akkor tetszőleges ξ változóra f (M (ξ M (f (ξ feltéve, hogy az egyelőtleségbe szereplő véges vagy végtele várható értékek létezek Bizoyítás: Megjegyezzük,

Részletesebben

AZ OPTIMÁLIS MINTANAGYSÁG A KAPCSOLÓDÓ KÖLTSÉGEK ÉS BEVÉTELEK RELÁCIÓJÁBAN

AZ OPTIMÁLIS MINTANAGYSÁG A KAPCSOLÓDÓ KÖLTSÉGEK ÉS BEVÉTELEK RELÁCIÓJÁBAN AZ OPTIMÁLIS MINTANAGYSÁG A KAPCSOLÓDÓ KÖLTSÉGEK ÉS BEVÉTELEK RELÁCIÓJÁBAN Molár László Ph.D. hallgató Mskolc Egyetem, Gazdaságelmélet Itézet 1. A MINTANAGYSÁG MEGHATÁROZÁSA EGYSZERŐ VÉLETLEN (EV) MINTA

Részletesebben

Ismérvek közötti kapcsolatok szorosságának vizsgálata. 1. Egy kis ismétlés: mérési skálák (Hunyadi-Vita: Statisztika I. 25-26. o)

Ismérvek közötti kapcsolatok szorosságának vizsgálata. 1. Egy kis ismétlés: mérési skálák (Hunyadi-Vita: Statisztika I. 25-26. o) Ismérvek között kapcsolatok szorosságáak vzsgálata 1. Egy ks smétlés: mérés skálák (Huyad-Vta: Statsztka I. 5-6. o) A külöböző smérveket, eltérő mérés sztekkel (skálákkal) ellemezhetük. a. évleges (omáls)

Részletesebben

Példák 2. Teljes eseményrendszer. Tulajdonságok. Példák diszkrét valószínőségi változókra

Példák 2. Teljes eseményrendszer. Tulajdonságok. Példák diszkrét valószínőségi változókra Valószíőségszámítás és statsztka elıadás fo. BSC/B-C szakosokak 3. elıadás Szeptember 28 dszkrét valószíőség változókra X(ω)=c mde ω-ra. Elevezés: elfajult eloszlás. P(X=c)=1. X akkor 1, ha egy adott,

Részletesebben

biometria III. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert Hipotézisvizsgálat

biometria III. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert Hipotézisvizsgálat Kísérlettervezés - biometria III. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert u-próba Feltétel: egy ormális eloszlású sokaság σ variaciájáak számszerű értéke ismert. Hipotézis: a sokaság µ várható értéke

Részletesebben

Tulajdonságok. Teljes eseményrendszer. Valószínőségi változók függetlensége. Példák, szimulációk

Tulajdonságok. Teljes eseményrendszer. Valószínőségi változók függetlensége. Példák, szimulációk Valószíőségszámítás és statsztka elıadás fo. BSC/B-C szakosokak 3. elıadás Szeptember 26 p 0.4 0.35 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 A bomáls és a hpergeom. elo. összehasolítása 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 k Hp.geom

Részletesebben

Statisztika 1. zárthelyi dolgozat március 21.

Statisztika 1. zárthelyi dolgozat március 21. Statisztika 1 zárthelyi dolgozat 011 március 1 1 Legye X = X 1,, X 00 függetle mita b paraméterű Poisso-eloszlásból b > 0 Legye T 1 X = X 1+X ++X 100, T 100 X = X 1+X ++X 00 00 a Milye a számra igaz, hogy

Részletesebben

Az átlagra vonatkozó megbízhatósági intervallum (konfidencia intervallum)

Az átlagra vonatkozó megbízhatósági intervallum (konfidencia intervallum) Az átlagra voatkozó megbízhatósági itervallum (kofidecia itervallum) Határozzuk meg körül azt az itervallumot amibe előre meghatározott valószíűséggel esik a várható érték (µ). A várható értéket potosa

Részletesebben

I. Függelék. A valószínűségszámítás alapjai. I.1. Alapfogalamak: A valószínűség fogalma: I.2. Valószínűségi változó.

I. Függelék. A valószínűségszámítás alapjai. I.1. Alapfogalamak: A valószínűség fogalma: I.2. Valószínűségi változó. I. Függelék A valószíűségszámítás alapjai I.1. Alapfogalamak: Véletle jeleség: létrejöttét befolyásoló összes téyezőt em ismerjük. Tömegjeleség: a jeleség adott feltételek mellett akárháyszor megismételhető.

Részletesebben

FELADATOK MÉRÉSELMÉLET tárgykörben. 1. Egy műszer osztálypontossága 2.5, a végkitérése 300 V. Mekkora a mérés abszolút hibája?

FELADATOK MÉRÉSELMÉLET tárgykörben. 1. Egy műszer osztálypontossága 2.5, a végkitérése 300 V. Mekkora a mérés abszolút hibája? FELADATOK MÉÉSELMÉLET tárgykörbe. Egy műszer osztálypotosság., végktérése 3 V. Mekkor mérés bszolút hbáj? H Op v / %,*3/ 7, V. A fet műszer V-ot mér. Mekkor mérés reltív hbáj? H h v % 6,% h 3. Egy mérés

Részletesebben

Azonos névleges értékű, hitelesített súlyokból alkotott csoportok együttes mérési bizonytalansága

Azonos névleges értékű, hitelesített súlyokból alkotott csoportok együttes mérési bizonytalansága Azoos évleges értékű, htelesített súlyokból alkotott csoportok együttes mérés bzoytalasága Zeleka Zoltá* Több mérés feladatál alkalmazak súlyokat. Sokszor ezek em egyekét, haem külöböző társításba kombácókba

Részletesebben

A biostatisztika alapfogalmai, konfidenciaintervallum. Dr. Boda Krisztina PhD SZTE ÁOK Orvosi Fizikai és Orvosi Informatikai Intézet

A biostatisztika alapfogalmai, konfidenciaintervallum. Dr. Boda Krisztina PhD SZTE ÁOK Orvosi Fizikai és Orvosi Informatikai Intézet A biostatisztika alapfogalmai, kofideciaitervallum Dr. Boda Krisztia PhD SZTE ÁOK Orvosi Fizikai és Orvosi Iformatikai Itézet Mitavétel ormális eloszlásból http://www.ruf.rice.edu/~lae/stat_sim/idex.html

Részletesebben

A statisztikai vizsgálat tárgyát képező egyedek összességét statisztikai sokaságnak nevezzük.

A statisztikai vizsgálat tárgyát képező egyedek összességét statisztikai sokaságnak nevezzük. Statisztikai módszerek. BMEGEVGAT01 Készítette: Halász Gábor Budapesti Műszaki és Gazdaságtudomáyi Egyetem Gépészméröki Kar Hidrodiamikai Redszerek Taszék 1111, Budapest, Műegyetem rkp. 3. D ép. 334. Tel:

Részletesebben

A paramétereket kísérletileg meghatározott yi értékekre támaszkodva becsülik. Ha n darab kisérletet (megfigyelést, mérést) végeznek, n darab

A paramétereket kísérletileg meghatározott yi értékekre támaszkodva becsülik. Ha n darab kisérletet (megfigyelést, mérést) végeznek, n darab öbbváltozós regresszók Paraméterbecslés-. A paraméterbecslés.. A probléma megfogalmazása A paramétereket kísérletleg meghatározott y értékekre támaszkodva becsülk. Ha darab ksérletet (megfgyelést, mérést

Részletesebben

A matematikai statisztika elemei

A matematikai statisztika elemei A matematikai statisztika elemei Mikó Teréz, dr. Szalkai Istvá szalkai@almos.ui-pao.hu Pao Egyetem, Veszprém 2014. március 23. 2 Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék 3 Bevezetés................................

Részletesebben

Kutatói pályára felkészítı modul

Kutatói pályára felkészítı modul Kutatói pályára felkészítı modul Kutatói pályára felkészítı kutatási ismeretek modul Tudomáyos kutatási alapayag feldolgozása, elemzési ismeretek KÖRNYEZETGAZDÁLKODÁSI MÉRNÖKI MSc TERMÉSZETVÉDELMI MÉRNÖKI

Részletesebben

A MATEMATIKAI STATISZTIKA ELEMEI

A MATEMATIKAI STATISZTIKA ELEMEI A MATEMATIKAI STATISZTIKA ELEMEI Az Eötvös Lórád Tudomáyegyetem Természettudomáy Kará a Fzka Kéma Taszék évek óta kéma-szakos taárhallgatókak matematka bevezetõ elõadásokat tart. Az elõadások célja az,

Részletesebben

A szórások vizsgálata. Az F-próba. A döntés. Az F-próba szabadsági fokai

A szórások vizsgálata. Az F-próba. A döntés. Az F-próba szabadsági fokai 05..04. szórások vizsgálata z F-próba Hogya foguk hozzá? Nullhipotézis: a két szórás azoos, az eltérés véletle (mitavétel). ullhipotézishez tartozik egy ú. F-eloszlás. Szabadsági fokok: számláló: - evező:

Részletesebben

Statisztika - bevezetés Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc 1

Statisztika - bevezetés Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc 1 Statisztika - bevezetés 00.04.05. Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc Bevezetés Véletlen jelenség fogalma jelenséget okok bizonyos rendszere hozza létre ha mindegyik figyelembe vehető egyértelmű leírás általában

Részletesebben

Tartalomjegyzék. 4.3 Alkalmazás: sorozatgyártású tűgörgő átmérőjének jellemzése

Tartalomjegyzék. 4.3 Alkalmazás: sorozatgyártású tűgörgő átmérőjének jellemzése 3 4 Tartalomegyzék. BEVEZETÉS 5. A MÉRÉS 8. A mérés mt folyamat, fogalmak 8. Fotosabb mérés- és műszertechka fogalmak 4.3 Mérés hbák 8.3. Mérés hbák csoportosítása eredetük szert 8.3. A hbák megeleítés

Részletesebben

Véletlen jelenség: okok rendszere hozza létre - nem ismerhetjük mind, ezért sztochasztikus.

Véletlen jelenség: okok rendszere hozza létre - nem ismerhetjük mind, ezért sztochasztikus. Valószín ségelméleti és matematikai statisztikai alapfogalmak összefoglalása (Kemény Sándor - Deák András: Mérések tervezése és eredményeik értékelése, kivonat) Véletlen jelenség: okok rendszere hozza

Részletesebben

2. Az együttműködő villamosenergia-rendszer teljesítmény-egyensúlya

2. Az együttműködő villamosenergia-rendszer teljesítmény-egyensúlya II RÉZ 2 EJEZE 2 Az együttműködő vllamoseerga-redszer teljesítméy-egyesúlya 2 A frekveca és a hatásos teljesítméy között összefüggés A fogyasztó alredszerbe a fogyasztók hatásos wattos teljesítméyt lletve

Részletesebben

1. A radioaktivitás statisztikus jellege

1. A radioaktivitás statisztikus jellege A radioaktivitás időfüggése 1. A radioaktivitás statisztikus jellege Va N darab azoos radioaktív atomuk, melyekek az atommagja spotá átalakulásra képes. tegyük fel, hogy ezek em bomlaak tovább. Ekkor a

Részletesebben

4 2 lapultsági együttható =

4 2 lapultsági együttható = Leíró statsztka Egy kísérlet végeztével általában tetemes mennységű adat szokott összegyűln. Állandó probléma, hogy mt s kezdjünk - lletve mt tudunk kezden az adatokkal. A statsztka ebben segít mnket.

Részletesebben

KOMBINATORIKA ELŐADÁS osztatlan matematikatanár hallgatók számára. Szita formula J = S \R,

KOMBINATORIKA ELŐADÁS osztatlan matematikatanár hallgatók számára. Szita formula J = S \R, KOMBINATORIKA ELŐADÁS osztatla matematkataár hallgatók számára Szta formula Előadó: Hajal Péter 2018 1. Bevezető példák 1. Feladat. Háy olya sorbaállítása va a {a,b,c,d,e} halmazak, amelybe a és b em kerül

Részletesebben

A pályázat címe: Rugalmas-képlékeny tartószerkezetek topológiai optimalizálásának néhány különleges feladata

A pályázat címe: Rugalmas-képlékeny tartószerkezetek topológiai optimalizálásának néhány különleges feladata 6. év OTKA zárójeletés: Vezető kutató:kalszky Sádor OTKA ylvátartás szám T 4993 A pályázat címe: Rugalmas-képlékey tartószerkezetek topológa optmalzálásáak éháy külöleges feladata (Részletes jeletés) Az

Részletesebben

Matematika B4 I. gyakorlat

Matematika B4 I. gyakorlat Matematika B4 I. gyakorlat 2006. február 16. 1. Egy-dimeziós adatredszerek Va valamilye adatredszer (számsorozat), amelyről szereték kiszámoli bizoyos dolgokat. Az egyes értékeket jelöljük z i -vel, a

Részletesebben

Miért pont úgy kombinálja kétfokozatú legkisebb négyzetek módszere (2SLS) az instrumentumokat, ahogy?

Miért pont úgy kombinálja kétfokozatú legkisebb négyzetek módszere (2SLS) az instrumentumokat, ahogy? Mért pot úgy kombálja kétfokozatú legksebb égyzetek módszere (2SLS az strumetumokat, ahogy? Kézrat A Huyad László 60. születésapjára készülő köyvbe Kézd Gábor 2004. júlus A Budapest Corvus Egyetem rövd

Részletesebben

Valószínőségszámítás helye a tudományok között. Véletlen tömegjelenségek. Történeti áttekintés 1. Modellezés. Történeti áttekintés 3.

Valószínőségszámítás helye a tudományok között. Véletlen tömegjelenségek. Történeti áttekintés 1. Modellezés. Történeti áttekintés 3. Valószíőségszámítás és statsztka elıadás Ifo. BSC B-C szakosokak 4/5. félév Zemplé Adrás zemple@ludes.elte.hu http://www.cs.elte.hu/~zemple/. elıadás: Bevezetés Irodalom, követelméyek A félév célja Valószíőségszámítás

Részletesebben

3.1. A Poisson-eloszlás

3.1. A Poisson-eloszlás Harmadik fejezet Nevezetes valószíűségi változók Valamely valószíűségi változóhoz kapcsolódó kérdésekre akkor tuduk potos választ adi, ha a változó eloszlása ismert, vagy megközelítőleg ismert. Ebbe a

Részletesebben

ORVOSI STATISZTIKA. Az orvosi statisztika helye. Egyéb példák. Példa: test hőmérséklet. Lehet kérdés? Statisztika. Élettan Anatómia Kémia. Kérdések!

ORVOSI STATISZTIKA. Az orvosi statisztika helye. Egyéb példák. Példa: test hőmérséklet. Lehet kérdés? Statisztika. Élettan Anatómia Kémia. Kérdések! ORVOSI STATISZTIKA Az orvos statsztka helye Élettan Anatóma Kéma Lehet kérdés?? Statsztka! Az orvos döntéseket hoz! Mkor jó egy döntés? Mennyre helyes egy döntés? Mekkora a tévedés lehetősége? Példa: test

Részletesebben

Tapasztalati eloszlás. Kumulált gyakorisági sorok. Példa. Értékösszegsor. Grafikus ábrázolás

Tapasztalati eloszlás. Kumulált gyakorisági sorok. Példa. Értékösszegsor. Grafikus ábrázolás Matemata statszta elıadás III. éves elemzı szaosoa 009/00. élév. elıadás Tapasztalat eloszlás Mde meggyeléshez (,,, ) / súlyt redel. Valószíőségeloszlás! Mtaátlag éppe ee az eloszlása a várható értée.

Részletesebben

Reakciómechanizmusok leírása. Paraméterek. Reakciókinetikai bizonytalanságanalízis. Bizonytalanságanalízis

Reakciómechanizmusok leírása. Paraméterek. Reakciókinetikai bizonytalanságanalízis. Bizonytalanságanalízis Megbízható kémiai modellek kifejlesztése sok mérési adat egyidejő feldolgozása alajá uráyi amás www.turayi.eu ELE Kémiai Itézet Reakciókietikai Laboratórium Eddig dolgoztak eze a témá: (témavezetık: uráyi

Részletesebben

Statisztika elméleti összefoglaló

Statisztika elméleti összefoglaló 1 Statisztika elméleti összefoglaló Tel.: 0/453-91-78 1. Tartalomjegyzék 1. Tartalomjegyzék.... Becsléselmélet... 3 3. Intervallumbecslések... 5 4. Hipotézisvizsgálat... 8 5. Regresszió-számítás... 11

Részletesebben

2. Hatványsorok. A végtelen soroknál tanultuk, hogy az. végtelen sort adja: 1 + x + x x n +...

2. Hatványsorok. A végtelen soroknál tanultuk, hogy az. végtelen sort adja: 1 + x + x x n +... . Függvéysorok. Bevezetés és defiíciók A végtele sorokál taultuk, hogy az + x + x + + x +... végtele összeg x < eseté koverges. A feti végtele összegre úgy is godolhatuk, hogy végtele sok függvéyt aduk

Részletesebben

24. tétel A valószínűségszámítás elemei. A valószínűség kiszámításának kombinatorikus modellje.

24. tétel A valószínűségszámítás elemei. A valószínűség kiszámításának kombinatorikus modellje. 24. tétel valószíűségszámítás elemei. valószíűség kiszámításáak kombiatorikus modellje. GYORISÁG ÉS VLÓSZÍŰSÉG meyibe az egyes adatok a sokaságo belüli részaráyát adjuk meg (törtbe vagy százalékba), akkor

Részletesebben

ezek alapján kívánunk dönteni. Ez formálisan azt jelenti, hogy ellenőrizni akarjuk,

ezek alapján kívánunk dönteni. Ez formálisan azt jelenti, hogy ellenőrizni akarjuk, A deceber -i gyakorlat téája A hipotézisvizsgálat fotos probléája a következő két kérdés vizsgálata. a) Egy véletle eyiség várható értékéek agyságáról va bízoyos feltevésük. Elleőrizi akarjuk e feltevés

Részletesebben

A Sturm-módszer és alkalmazása

A Sturm-módszer és alkalmazása A turm-módszer és alalmazása Tuzso Zoltá, zéelyudvarhely zámtala szélsőérté probléma megoldása, vagy egyelőtleség bzoyítása agyo gyara, már a matemata aalízs eszözere szorítoz, mt például a Jese-, Hölderféle

Részletesebben

Diszkrét Matematika 1. óra Fokszámsorozatok

Diszkrét Matematika 1. óra Fokszámsorozatok Dszkrét Matematka. óra 29.9.7. A köetkezı fogalmakat smertek tektük: gráf, egyszerő gráf, hurokél, párhuzamos élek, fa, ághatás operácó. Fokszámsorozatok Def.: G gráf fokszámsorozata fokaak reezett öekı

Részletesebben

Statisztika 1. zárthelyi dolgozat március 18.

Statisztika 1. zárthelyi dolgozat március 18. Statisztika. zárthelyi dolgozat 009. március 8.. Ismeretle m várható értékű, szórású ormális eloszlásból a következő hatelemű mitát kaptuk:, 48 3, 3, 83 0,, 3, 97 a) Számítsuk ki a mitaközepet és a tapasztalati

Részletesebben

Hipotézis vizsgálatok. Egy példa. Hipotézisek. A megfigyelt változó eloszlása Kérdés: Hatásos a lázcsillapító gyógyszer?

Hipotézis vizsgálatok. Egy példa. Hipotézisek. A megfigyelt változó eloszlása Kérdés: Hatásos a lázcsillapító gyógyszer? 01.09.18. Hpotézs vzsgálatok Egy példa Kérdések (példa) Hogyan adhatunk választ? Kérdés: Hatásos a lázcsllapító gyógyszer? Hatásos-e a gyógyszer?? rodalomból kísérletekből Hpotézsek A megfgyelt változó

Részletesebben

STATISZTIKA II. kötet

STATISZTIKA II. kötet Szeged Tudomáyegyetem Gazdaságtudomáy Kar Petres Tbor Tóth László STATISZTIKA II. kötet Szerzők: Dr. Petres Tbor, PhD egyetem doces Statsztka és Demográfa Taszék Tóth László PhD-hallgató Gazdaságtudomáy

Részletesebben

1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3

1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3 Dr. Tóth László, Fejezetek az elemi számelméletből és az algebrából (PTE TTK, 200) Számelméleti függvéyek Számelméleti függvéyek értékeire voatkozó becslések A τ() = d, σ() = d d és φ() (Euler-függvéy)

Részletesebben

Ismétlés: Visszatevéses mintavétel. A valószínőség további tulajdonságai. Visszatevés nélküli mintavétel. A valószínőség folytonossága

Ismétlés: Visszatevéses mintavétel. A valószínőség további tulajdonságai. Visszatevés nélküli mintavétel. A valószínőség folytonossága Valószíőségszámítás és statsztka elıadás f. BC/B-C szakskak. elıadás szeptember. Ismétlés: Vsszatevéses mtavétel N termék, melybıl M selejtes elemő mta vsszatevéssel A: ptsa k selejtes va a mtába k k k,,

Részletesebben

Nagy számok törvényei Statisztikai mintavétel Várható érték becslése. Dr. Berta Miklós Fizika és Kémia Tanszék Széchenyi István Egyetem

Nagy számok törvényei Statisztikai mintavétel Várható érték becslése. Dr. Berta Miklós Fizika és Kémia Tanszék Széchenyi István Egyetem agy számok törvényei Statisztikai mintavétel Várható érték becslése Dr. Berta Miklós Fizika és Kémia Tanszék Széchenyi István Egyetem A mérés mint statisztikai mintavétel A méréssel az eloszlásfüggvénnyel

Részletesebben

Adatfeldolgozás, adatértékelés. Dr. Szűcs Péter, Dr. Madarász Tamás Miskolci Egyetem, Hidrogeológiai Mérnökgeológiai Tanszék

Adatfeldolgozás, adatértékelés. Dr. Szűcs Péter, Dr. Madarász Tamás Miskolci Egyetem, Hidrogeológiai Mérnökgeológiai Tanszék Adatfeldolgozás, adatértékelés Dr. Szűcs Péter, Dr. Madarász Tamás Mskolc Egyetem, Hdrogeológa Mérökgeológa Taszék A vzsgált köryezet elemek, lletve a felszí alatt közeg megsmerése céljából számtala külöböző

Részletesebben

Táblázatok 4/5. C: t-próbát alkalmazunk és mivel a t-statisztika értéke 3, ezért mind a 10%-os, mind. elutasítjuk a nullhipotézist.

Táblázatok 4/5. C: t-próbát alkalmazunk és mivel a t-statisztika értéke 3, ezért mind a 10%-os, mind. elutasítjuk a nullhipotézist. 1. Az X valószínőség változó 1 várható értékő és 9 szórásnégyzető. Y tıle független várható értékkel és 1 szórásnégyzettel. a) Menny X + Y várható értéke? 13 1 b) Menny X -Y szórásnégyzete? 13 1 összesen

Részletesebben

Statisztika október 27.

Statisztika október 27. Statisztika 2011. október 27. Külöbség valószíőségszámítás és statisztika között Kísérlet: 4-szer dobuk fel egy érmét. Megszámoljuk a fejek számát. Valszám: Ismert a fejdobás valószíősége. Milye valószíőséggel

Részletesebben

2. fejezet. Számsorozatok, számsorok

2. fejezet. Számsorozatok, számsorok . fejezet Számsorozatok, számsorok .. Számsorozatok és számsorok... Számsorozat megadása, határértéke Írjuk fel képlettel az alábbi sorozatok -dik elemét! mooto, korlátos, illetve koverges-e! Vizsgáljuk

Részletesebben

Tanult nem paraméteres próbák, és hogy milyen probléma megoldására szolgálnak.

Tanult nem paraméteres próbák, és hogy milyen probléma megoldására szolgálnak. 8. GYAKORLAT STATISZTIKAI PRÓBÁK ISMÉTLÉS: Tanult nem paraméteres próbák, és hogy mlyen probléma megoldására szolgálnak. Név Illeszkedésvzsgálat Χ próbával Illeszkedésvzsgálat grafkus úton Gauss papírral

Részletesebben

Virág Katalin. Szegedi Tudományegyetem, Bolyai Intézet

Virág Katalin. Szegedi Tudományegyetem, Bolyai Intézet Függetleségvizsgálat Virág Katali Szegedi Tudomáyegyetem, Bolyai Itézet Függetleség Függetleség Két változó függetle, ha az egyik változó megfigyelése a másik változóra ézve em szolgáltat iformációt; azaz

Részletesebben

Ingatlanfinanszírozás és befektetés

Ingatlanfinanszírozás és befektetés Nyugat-Magyarországi Egyetem Geoiformatikai Kar Igatlameedzser 8000 Székesfehérvár, Pirosalma u. 1-3. Szakiráyú Továbbképzési Szak Igatlafiaszírozás és befektetés 2. Gazdasági matematikai alapok Szerzı:

Részletesebben

A sokaság/minta eloszlásának jellemzése

A sokaság/minta eloszlásának jellemzése 3. előadás A sokaság/mnta eloszlásának jellemzése tpkus értékek meghatározása; az adatok különbözőségének vzsgálata, a sokaság/mnta eloszlásgörbéjének elemzése. Eloszlásjellemzők Középértékek helyzet (Me,

Részletesebben

Függvénygörbe alatti terület a határozott integrál

Függvénygörbe alatti terület a határozott integrál Függvéygörbe alatt terület a határozott tegrál Tektsük az üggvéyt a ; tervallumo. Adjuk becslést a görbe az tegely és az egyees között síkdom területére! Jelöljük ezt a területet I-vel! A becslést legegyszerűbbe

Részletesebben

Sztochasztikus tartalékolás és a tartalék függése a kifutási háromszög időperiódusától

Sztochasztikus tartalékolás és a tartalék függése a kifutási háromszög időperiódusától Sztochasztkus tartalékolás és a tartalék függése a kfutás háromszög dőperódusától Faluköz Tamás Vtéz Ildkó Ibola Kozules: r. Arató Mklós ELTETTK Budapest IBNR kfutás háromszög IBNR: curred but ot reported

Részletesebben

Méréstani összefoglaló

Méréstani összefoglaló PÉCSI TUDOMÁNYEGYETEM TERMÉSZETTUDOMÁNYI KAR FIZIKAI INTÉZET Méréstai összefoglaló (köryezettudomáyi szakos hallgatók laboratóriumi mérési gyakorlataihoz) Összeállította: Dr. Német Béla Pécs 2008 1 Bevezetés

Részletesebben

Statisztika I. 4. előadás. Előadó: Dr. Ertsey Imre

Statisztika I. 4. előadás. Előadó: Dr. Ertsey Imre Statsztka I. 4. előadás Előadó: Dr. Ertsey Imre KÖZÉPÉRTÉKEK A statsztka sor általáos jellemzésére szolgálak, a statsztka sokaságot egy számmal jellemzk. Számított középértékek: matematka számítás eredméyekét

Részletesebben

Valószínűségszámítás összefoglaló

Valószínűségszámítás összefoglaló Statisztikai módszerek BMEGEVGAT Készítette: Halász Gábor Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Gépészmérnöki Kar Hidrodinamikai Rendszerek Tanszék, Budapest, Műegyetem rkp. 3. D ép. 334. Tel:

Részletesebben

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Normál eloszlás

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Normál eloszlás Matematikai alapok és valószínőségszámítás Normál eloszlás A normál eloszlás Folytonos változók esetén az eloszlás meghatározása nehezebb, mint diszkrét változók esetén. A változó értékei nem sorolhatóak

Részletesebben

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése A határozatla esetek kiküszöbölése 9 VII A határozatla esetek kiküszöbölése 7 A l Hospital szabály A véges övekedések tétele alapjá egy függvéy értékét egy potba közelíthetjük az köryezetébe felvett valamely

Részletesebben

20 PONT Aláírás:... A megoldások csak szöveges válaszokkal teljes értékőek!

20 PONT Aláírás:... A megoldások csak szöveges válaszokkal teljes értékőek! SPEC 2009-2010. II. félév Statsztka II HÁZI dolgozat Név:... Neptun kód: 20 PONT Aláírás:... A megoldások csak szöveges válaszokkal teljes értékőek! 1. példa Egy üzemben tejport csomagolnak zacskókba,

Részletesebben

[Biomatematika 2] Orvosi biometria

[Biomatematika 2] Orvosi biometria [Biomatematika 2] Orvosi biometria 2016.02.29. A statisztika típusai Leíró jellegű statisztika: összegzi egy adathalmaz jellemzőit. A középértéket jelemzi (medián, módus, átlag) Az adatok változékonyságát

Részletesebben

s n s x A m és az átlag Standard hiba A m becslése Információ tartalom Átlag Konfidencia intervallum Pont becslés Intervallum becslés

s n s x A m és az átlag Standard hiba A m becslése Információ tartalom Átlag Konfidencia intervallum Pont becslés Intervallum becslés A m és az átlag Standard hba Mnta átlag 1 170 Az átlagok szntén ngadoznak a m körül. s x s n Az átlagok átlagos eltérése a m- től! 168 A m konfdenca ntervalluma. 3 166 4 173 x s x ~ 68% ~68% annak a valószínűsége,

Részletesebben

Valószínűségi változók. Várható érték és szórás

Valószínűségi változók. Várható érték és szórás Matematikai statisztika gyakorlat Valószínűségi változók. Várható érték és szórás Valószínűségi változók 2016. március 7-11. 1 / 13 Valószínűségi változók Legyen a (Ω, A, P) valószínűségi mező. Egy X :

Részletesebben

Változók függőségi viszonyainak vizsgálata

Változók függőségi viszonyainak vizsgálata Változók függőség vszoyaak vzsgálata Ismétlés: változók, mérés skálák típusa kategoráls változók Asszocácós kapcsolat számszerű változók Korrelácós kapcsolat testsúly (kg) szemüveges em ő 1 3 férf 5 3

Részletesebben

5. SZABAD PONTRENDSZEREK MECHANIKAI ALAPELVEI, N-TESTPROBLÉMA, GALILEI-

5. SZABAD PONTRENDSZEREK MECHANIKAI ALAPELVEI, N-TESTPROBLÉMA, GALILEI- 5. SZABAD PONTRENDSZEREK MECHANIKAI ALAPELVEI, N-TESTPROBLÉMA, GALILEI- FÉLE RELATIVITÁSI ELV m, m,,m r, r,,r r, r,, r 6 db oordáta és sebességompoes 5.. Dama Mozgásegyelete: m r = F F, ahol F jelöl a

Részletesebben

13. Tárcsák számítása. 1. A felületszerkezetek. A felületszerkezetek típusai

13. Tárcsák számítása. 1. A felületszerkezetek. A felületszerkezetek típusai Tárcsák számítása A felületszerkezetek A felületszerkezetek típusa A tartószerkezeteket geometra méretek alapjá osztálozzuk Az eddg taulmáakba szereplı rúdszerkezetek rúdjara az a jellemzı hog a hosszuk

Részletesebben

Valószínűségszámítás. Ketskeméty László

Valószínűségszámítás. Ketskeméty László Valószíűségszámítás Ketskeméty László Budapest, 996 Tartalomjegyzék I. fejezet VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS 3. Kombatorka alapfogalmak 4 Elleőrző kérdések és gyakorló feladatok 6. A valószíűségszámítás alapfogalma

Részletesebben

A felhasznált térfogalmak: lineáris tér (vektortér), normált tér, Banach tér, euklideszi-tér, Hilbert tér. legjobban közelítõ elem, azaz v u

A felhasznált térfogalmak: lineáris tér (vektortér), normált tér, Banach tér, euklideszi-tér, Hilbert tér. legjobban közelítõ elem, azaz v u Approxmácó Bevezetés A felhaszált térfogalmak: leárs tér (vektortér) ormált tér Baach tér eukldesz-tér Hlbert tér V ormált tér T V T kompakt halmaz Ekkor v V u ~ T legjobba közelítõ elem azaz v u ~ f {

Részletesebben

Információs rendszerek elméleti alapjai. Információelmélet

Információs rendszerek elméleti alapjai. Információelmélet Iformácós redszerek elmélet alapja Iformácóelmélet Glbert-Moore Szemléltetése hasoló a Shao kódhoz A felezőpotokra a felezős kódolás A felezőpot értéke bttel hosszabb kfejtést géyel /2 0 x x x p p 2 p

Részletesebben

Matematikai statisztika

Matematikai statisztika Matematikai statisztika PROGRAMTERVEZŐ INFORMATIKUS alapszak, A szakiráy Arató Miklós Valószíűségelméleti és Statisztika Taszék Természettudomáyi Kar 2019. február 18. Arató Miklós (ELTE) Matematikai statisztika

Részletesebben

A függvénysorozatok olyanok, mint a valós számsorozatok, csak éppen a tagjai nem valós számok,

A függvénysorozatok olyanok, mint a valós számsorozatok, csak éppen a tagjai nem valós számok, l.ch FÜGGVÉNYSOROZATOK, FÜGGVÉNYSOROK, HATVÁNYSOROK Itt egy függvéysorozat: f( A függvéysorozatok olyaok, mit a valós számsorozatok, csak éppe a tagjai em valós számok, 5 haem függvéyek, f ( ; f ( ; f

Részletesebben

18. Valószín ségszámítás. (Valószín ségeloszlások, függetlenség. Valószín ségi változók várható

18. Valószín ségszámítás. (Valószín ségeloszlások, függetlenség. Valószín ségi változók várható 8. Valószí ségszámítás. (Valószí ségeloszlások, függetleség. Valószí ségi változók várható értéke, magasabb mometumok. Kovergeciafajták, kapcsolataik. Borel-Catelli lemmák. Nagy számok gyege törvéyei.

Részletesebben

Megoldás a, A sebességből és a hullámhosszból számított periódusidőket T a táblázat

Megoldás a, A sebességből és a hullámhosszból számított periódusidőket T a táblázat Fzka feladatok: F.1. Cuam A cuam hullám formájáak változása, ahogy a sekélyebb víz felé mozog (OAA) (https://www.wdowsuverse.org/?page=/earth/tsuam1.html) Az ábra, táblázat a cuam egyes jellemzőt tartalmazza.

Részletesebben

Áringadozások elıadás Kvantitatív pénzügyek szakirány 2012/13 2. félév

Áringadozások elıadás Kvantitatív pénzügyek szakirány 2012/13 2. félév Árigadozások elıadás Kvatitatív pézügyek szakiráy 01/13. félév Heti óra elıadás + óra gyakorlat Elıadás: fıleg modellek, elemzési módszerek Gyakorlat: R programmal, alkalmazások Számokérés 50%: beadadó

Részletesebben

MINTAVÉTEL A MARKETINGKUTATÁSBAN, KÜLÖNÖS TEKINTETTEL A DIVIZÍV ÉS AZ AGGLOMERATÍV RÉTEGZÉSRE

MINTAVÉTEL A MARKETINGKUTATÁSBAN, KÜLÖNÖS TEKINTETTEL A DIVIZÍV ÉS AZ AGGLOMERATÍV RÉTEGZÉSRE MINTAVÉTEL A MARKETINGKUTATÁSBAN, KÜLÖNÖS TEKINTETTEL A DIVIZÍV ÉS AZ AGGLOMERATÍV RÉTEGZÉSRE Molár László egyetem taársegéd 1. BEVEZETÉS A statsztkusok a mtaagyság meghatározására számos módszert dolgoztak

Részletesebben

A G miatt (3tagra) Az egyenlőtlenségek két végét továbbvizsgálva, ha mindkét oldalt hatványozzuk:

A G miatt (3tagra) Az egyenlőtlenségek két végét továbbvizsgálva, ha mindkét oldalt hatványozzuk: Kocsis Júlia Egyelőtleségek 1. Feladat: Bizoytsuk be, hogy tetszőleges a, b, c pozitv valósakra a a b b c c (abc) a+b+c. Megoldás: Tekitsük a, b és c számok saját magukkal súlyozott harmoikus és mértai

Részletesebben

3. SOROZATOK. ( n N) a n+1 < a n. Egy sorozatot (szigorúan) monotonnak mondunk, ha (szigorúan) monoton növekvő vagy csökkenő.

3. SOROZATOK. ( n N) a n+1 < a n. Egy sorozatot (szigorúan) monotonnak mondunk, ha (szigorúan) monoton növekvő vagy csökkenő. 3. SOROZATOK 3. Sorozatok korlátossága, mootoitása, kovergeciája Defiíció. Egy f : N R függvéyt valós szám)sorozatak evezük. Ha A egy adott halmaz és f : N A, akkor f-et A-beli értékű) sorozatak evezzük.

Részletesebben

Gyakorló feladatok II.

Gyakorló feladatok II. Gyakorló feladatok II. Valós sorozatok és sorok Közgazdász szakos hallgatókak a Matematika B című tárgyhoz 2005. október Valós sorozatok elemi tulajdoságai F. Pozitív állítás formájába fogalmazza meg azt,

Részletesebben

MATEMATIKAI STATISZTIKA KISFELADAT. Feladatlap

MATEMATIKAI STATISZTIKA KISFELADAT. Feladatlap Közlekedésmérnök Kar Jármőtervezés és vzsgálat alapja I. Feladatlap NÉV:..tk.:. Feladat sorsz.:.. Feladat: Egy jármő futómő alkatrész terhelésvzsgálatakor felvett, az alkatrészre ható terhelı erı csúcsértékek

Részletesebben

Hajós György Versenyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 2011

Hajós György Versenyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 2011 1 Molár-Sáska Gáboré: Hajós György Verseyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 011 1. Írja fel a számokat 1-tıl 011-ig egymás utá! Határozza meg az így kapott agy szám 0-cal való osztási maradékát!. Az { }

Részletesebben

Hipotéziselmélet. Statisztikai próbák I. Statisztikai próbák II. Informatikai Tudományok Doktori Iskola

Hipotéziselmélet. Statisztikai próbák I. Statisztikai próbák II. Informatikai Tudományok Doktori Iskola Hpotézselmélet Iformatka Tudomáyok Doktor Iskola Statsztka próbák I. 0.0.. Dr Ketskeméty László előadása Statsztka próbák II. Dötés eljárást dolgozuk k aak eldötésére, hogy a ullhpotézs gaz-e. Ha úgy kell

Részletesebben

Kalkulus II., második házi feladat

Kalkulus II., második házi feladat Uger Tamás Istvá FTDYJ Név: Uger Tamás Istvá Neptu: FTDYJ Web: http://maxwellszehu/~ugert Kalkulus II, második házi feladat pot) Koverges? Abszolút koverges? ) l A feladat teljese yilvávalóa arra kívácsi,

Részletesebben

MÉRÉSTECHNIKA. DR. HUBA ANTAL c. egy. tanár BME Mechatronika, Optika és Gépészeti Informatika Tanszék 2011

MÉRÉSTECHNIKA. DR. HUBA ANTAL c. egy. tanár BME Mechatronika, Optika és Gépészeti Informatika Tanszék 2011 MÉRÉSTECHNIKA DR. HUBA ANTAL c. egy. taár BME Mechatroka, Optka és Gépészet Iformatka Taszék 0 Rövde a tárgyprogramról Előadások tematkája: Metrológa és műszertechka alapok Mérés adatok kértékelése Időbe

Részletesebben

Statisztikai próbák. Ugyanazon problémára sokszor megvan mindkét eljárás.

Statisztikai próbák. Ugyanazon problémára sokszor megvan mindkét eljárás. Statsztka próbák Paraméteres. A populácó paraméteret becsüljük, ezekkel számolunk.. Az alapsokaság eloszlására van kkötés. Nem paraméteres Nncs lyen becslés Nncs kkötés Ugyanazon problémára sokszor megvan

Részletesebben