A logaritmus fogalma és azonosságai. Az exponenciális és a logaritmusfüggvény.

Átírás

1 A logritmus foglm és zoossági Az epoeciális és logritmusfüggvéy A logritmus értelmezése A htváyozás em kommuttív művelet, így más-más fordított (iverz) műveletre v szükség, h z htváyozás lpját () vgy kitevőjét (c) keressük A logritmus kitevő kereséséek művelete Defiíció: log b c c b log b zt c számot (zt kitevőt) jeleti, melyre -t emelve b-t kpuk: c b A defiíció jeletése szerit log b b A defiíciób c bármilye vlós számot jelethet, így logritmus lpj () és rgumetum (b) csk pozitív szám lehet (A vlós kitevőjű htváyozást csk pozitív lpr értelmezzük, és pozitív értéket d eredméyül) Az = lpot sem egedjük meg, mert mitt b = lehete csk (és log értéke em lee egyértelmű) A leggykrbb hszált logritmus lpok: A 0-es lpú logritmus, jele lg (tehát midepi hszált mitt A -es lpú logritmus A természetes lpú logritmus, jelölése l (tehát c lg log 0 ); elsősorb tízes számredszer l log e ) Az e lpszám közelítő értéke,788, ezt logritmust mgsbb szitű mtemtikáb lklmzzák A logritmus zoossági A logritmus műveletével kpcsoltb éháy lpzoosságot foglmzhtuk meg, ezek következők: log b log c log ( bc) ;, b, c > 0, b log b log c log ;, b, c > 0, c k 3 k log b log b ;, b > 0,, k R 4 log c b log b ;, b, c > 0, és, c log c Az első két zoosság logritmusok összegekét és külöbségekét írj fel szorzt, illetve háydos logritmusát A hrmdik htváy vgy gyökvoás logritmusák zoosság; egyedik zoosság segítségével pedig tetszőleges lpú logritmusr térhetük át Az zoosságok bizoyítás áltláb htváyozás segítségével törtéik Példképpe bebizoyítjuk z zoosságot

2 3 Az zoosság bizoyítás: Defiíció szerit, és bc A bc szorztot kétféleképpe felírjuk, és zoos átlkításokt végzük: logb logc logbc logblogc logbc Az lpú epoeciális függvéy szigorú mooto, ezért kitevők egyelők: log b log c log bc Ezzel z állítást beláttuk log b b log c 4 Az epoeciális függvéy c log bc A rcioális kitevőjű htváyozás kiterjesztésekor bevezettük z epoeciális függvéyt (A rcioális kitevőjű htváyozás zoossági vlós kitevőjű kiterjesztés eseté is érvéybe mrdtk A kiterjesztés tehát megfelelt permeci-elvek) Defiíció: Az R, függvéyt, hol > 0, epoeciális függvéyek evezzük (Hszáltos z lpú epoeciális függvéy elevezés is) Az epoeciális függvéy éháy lptuljdoság: ) Értékkészlete pozitív vlós számok hlmz b) Zérushelye függvéyek ics; z y tegelyt (0; ) potb metszi c) A függvéy szigorú mooto övekvő, h <, és szigorú mooto csökkeő, h 0 < < (H =, kkor kosts függvéyt kpjuk) d) A függvéy kove Két további tuljdoság: e) H < < b, kkor: h > 0, kkor b, míg h < 0, kkor b (0 < < b < eseté relációs jel megfordul, mit z ábrá láthtó) f) Az és lpú epoeciális függvéyek görbéi szimmetrikusk z y tegelyre, mit ez köye igzolhtó is Az ábrá z egyes függvéyek közötti gyságviszoyt és mootoitási kpcsoltot láthtjuk Az ábrázolt függvéyek: ( ), b( ) 3, c( ), d( ) 3

3 Az e) tuljdoság igzolás: f ( ) Mivel z és g( ) függvéyek > 0 eseté teljes vlós számhlmzo értelmezettek, z y tegelyre votkozó szimmetriához zt kell igzoluk, hogy mide -re f ( ) g( ), zz 5 A logritmusfüggvéy Mivel, z állítást beláttuk Defiíció: Az R *, log függvéyt, hol > 0 és, logritmusfüggvéyek evezzük (Hszáltos z lpú logritmusfüggvéy elevezés is) A logritmusfüggvéy éháy lptuljdoság: ) Értelmezési trtomáy pozitív vlós számok hlmz b) Értékkészlete vlós számok hlmz c) A függvéy zérushelye (; 0) d) A függvéy szigorú mooto övekvő, h >, és szigorú mooto csökkeő, h 0 < < e) H >, kkor függvéy kokáv, míg h 0 < <, kkor kove Három további tuljdoság: f) H < < b, kkor: h >, kkor log log, míg h 0 < <, kkor log log (0 < < b < eseté relációs jel megfordul, mit z ábrá láthtó) g) Az és b b lpú logritmusfüggvéyek görbéi szimmetrikusk z tegelyre, mit ez köyye igzolhtó is h) Az f: log és g: log b függvéyek értékei egy kosts szorzóvl térek el egymástól Az ábrá z egyes függvéyek közötti gyságviszoyt és mootoitási kpcsoltot láthtjuk Az ábrázolt függvéyek: ( ) log, ( ) log, c( ) log, d( ) log b 3 3 3

4 A g) tuljdoság igzolás: Mivel z f ( ) log és g( ) log függvéyek értelmezési trtomáy pozitív vlós számok hlmz, z tegelyre votkozó szimmetriához zt kell igzoluk, hogy mide pozitív -re f() = g(), zz log log Mivel log log log log log, z állítást beláttuk Hsoló köye igzolhtó például h) tuljdoság is, h logritmusokt közös lpr hozzuk 6 Az epoeciális és logritmusfüggvéy A logritmus defiíciójából következik, hogy z lpú epoeciális és z lpú logritmusfüggvéy egymás iverze Az ábrá láthtó iverz függvéypárok: ( ) log és c( ), vlmit b( ) log és d( ) Feltütettük viszoyításkét szggtott volll z f() = függvéy egyeesét is, melyre z iverz függvéygörbék tükrös helyzetűek 4

5 7 Néháy mtemtiki és mtemtiká kívüli lklmzási terület A htváyozás és logritmus műveletét és zoosságit felhszálv sokszor boyolultk tűő kifejezéseket egyszerűbb lkr lehet hozi A zsebszámológépek megjeleése előtt boyolult kifejezéseket, gy számokt logritmusuk segítségével (ezek összedásávl) szoroztk össze Eze z elve működött már már elvult logrléc, de függvéytábláztokb még most is gy meyiségű logritmustáblázt v Egy tipikus gykorlti lklmzássl tlálkozuk zsebszámológépek hszáltkor A gépeke áltláb csk <l> vgy <lg> billetyűk tlálhtók, így mikor más lpú logritmus értékét kell kiszámítuk, kkor logritmus 4 zoosságát hívjuk segítségül lg 3 Pl: log 3 lg Az pozitív egész szám számjegyeiek számát z [lg ] + képlet állítj elő, mit szám ormállkják segítségével köye igzolhtuk H lkú, kkor lg lg k, és itt 0 lg <, mert mtisszár < 0 Sok érdekes tuljdosággl redelkezik evezetes Az 5 sorozt, melyek htárértéke e,788, természetes lpú logritmus lpszám b függvéy primitív függvéye b d [l ] l b l l 0 k H például 0 < < b, kkor A logritmusos skálák z egyszerűbb és szemléletesebb grfikus ábrázolást segítik Az epoeciális függvéy áltláb kéyelmetleül ábrázolhtó z (; y) derékszögű koordiát-redszerbe, mert kis változásokr gykr gy változásokt kpuk eredméyül Ezért z y értéktegely léptékét z,, 3, lieáris skál helyett 0, 0, 0 3, beosztásr módosítják, eze grfikoo pl z 0 függvéy képe már (egy kéyelmese ábrázolhtó) egyees Hsoló járhtuk el logritmusfüggvéy esetébe, ekkor z tegely beosztás lehet pl 0, 0, 0 3, Ekkor z y lg függvéykpcsolt képe lesz egyees Egy tipikus logritmusos skál Richter-skál, melye földregések erősségét (mgitúdóját) mérik Ezt úgy állpítják meg, hogy h földregéstől 00 km-es távolságb szeizmográf muttóják (elvi) kilegése 0 k mikrométer, kkor földregés Richterskálá k-s erősségű (Áltláb skál 00 km-es távolságb, mikrométerbe mért mimális mplitúdó logritmusát jelzi) Egyes természeti és társdlmi folymtok bizoyos htárok között jól modellezhetők epoeciális függvéyel H pl egy populáció kezdeti egyedszám E, és geerációkéti szporodási és hlálozási ráyt s, illetve h jeleti, kkor z -edik geeráció egyedszám E ( s h) feltéve, hogy övekedést szbályozó egyéb téyezőktől eltekitük ( epoeciális épességrobbás ) kt Tipikus szporodási folymtot ír le rdioktív bomlás M( t) M(0) e képlete l (Itt T felezési idő) k Közgzdsági lklmzások külöböző bki pézügyi műveletek végzése: kmtos kmt vgy éves törlesztőrészlet számítás, éve belüli tőkésítések stb (Folymtos tőkésítés eseté ráismerhetük természetes logritmus lpszámát megdó soroztr) y

6 A fiziki és kémii lklmzások körébe is gyo gykori z epoeciális-logritmusos függvéykpcsolt, ezt egész sor összefüggés muttj Néháyt ezek közül középiskoláb is érithetük, ilye például folydékok ph értékéek meghtározás, légyomásr votkozó brométeres mgsságformul, gázok áltl álldó hőmérséklete végzett muk, Newto-féle lehűlési törvéy vgy hgitezitást megdó formul (Ez utóbbi képlet és még sok hsoló lpj természetbe midefjt érzetre közelítőe érvéyes Fecher Weber-féle pszichofiziki lptörvéy Eszerit z érzet erőssége áltláb z iger logritmusávl ráyos) Néháy mtemtiktörtéeti votkozás (07-től része szóbeli vizsgák): A XVI százd folymá gzdsági élet és csillgászt fejlődése egyre többször kívát meg gy számokkl törtéő művelet elvégzését Ezekre mtemtikusok több külöböző módszert hszáltk, melyek közül leghszosbbk logritmustábláztok bizoyultk Ezek segítségével gy számok szorzását jóvl köyebbe elvégezhető összedásr lehetett egyszerűsítei Egy kicsit leegyszerűsítve képzeljük el, hogy össze kell szorozuk 8-t 3-vel Ehhez v egy tábláztuk, mely mide szám esetébe trtlmzz, hogy z dott szám -ek háydik htváy Mivel és, így , zz csk zt kell megézük tábláztb, hogy -ek meyi 8 htváy, így kpjuk, hogy szorzt 56 Vgyis 8 és 3 összeszorzás helyett 3 és z 5 összedását kellett elvégezük Logritmustábláztokt készített többek között Stevi (holld mtemtikus, ), Bürgi (svájci órásmester, 55-63), Npier (skót mtemtikus, ), Briggs (gol mtemtikus, ) A logrlécek egésze z elektroikus számológépek megjeleéséig (vgyis z 960-s évekig) segítették számítások elvégzését 8 Feldt: 8 Oldj meg következő egyelőtleséget: log 4 ( ) log 4 (8 ) log ( 4) Megoldás: A logritmusok rgumetum pozitív, így + > 0; 8 > 0 és + 4 > 0, együttese < < 8 pot log log ( ) log (8 ) log ( )(8 ) log ( 6 6), pot log 4 ( 4) ( 4) log log 4 ( 4) log 4 ( 4) log 4 ( 8 4 6) pot A 4-es lpú logritmusfüggvéy szigorú mooto ő, így , redezés utá 0 pot A másodfokú kifejezés képe felfelé yitott prbol, zérushelyei és 0, pot így másodfokú egyelőtleség megoldás < vgy 0 < Összevetve z lpfeltétellel, < < vgy 0 < < 8 dódik eredméyül pot pot 6

7 A hsolóság foglm és lklmzási háromszögekre votkozó tételek bizoyításáb A középpotos hsolóság értelmezése A hsolóság sík vgy tér potji értelmezett geometrii trszformáció A trszformáció összetett, ezért először középpotos hsolósági trszformációt értelmezzük Adott egy O pot és egy 0 vlós szám A sík vgy tér tetszőleges P potjához következő módo redeljük képét: h P = O, kkor P pot képe ömg, P = P (= O); h P O, kkor P pot képe z OP egyeesek z P potj, melyre zz OP hossz -szoros z OP szksz hosszák OP' OP H > 0, kkor P pot z OP félegyeese v, zz z O pottól P-vel zoos iráyb mérjük fel P -t; míg h < 0, kkor P és P z O pottól elletétes iráyb vk Defiíció: A feti módo megdott geometrii trszformációt középpotos hsolósági trszformációk, vgy rövide középpotos hsolóságk evezzük Az O pot hsolóság középpotj vgy cetrum, középpotos hsolóság ráy Példák:, A középpotos hsolóságot h <, kkor kicsiyítések, h >, kkor gyításk modjuk Speciális értékek = és = Az első esetbe trszformáció helybehgyás (idetitás), második esetbe középpotos tükrözés (A középpotos hsolóság tehát = esetbe egybevágósági trszformációvá válik) A középpotos hsolósági trszformáció tuljdosági Néháy fotosbb tuljdoság: ) A középpotos hsolóság középpotj fipot b) H egy egyees átmegy hsolóság cetrumá, kkor képe ömg (ivriás egyees) c) A cetrumo át em hldó egyees képe z eredetivel párhuzmos egyees d) A középpotos hsolóság szögtrtó e) Középpotos hsolóságál mide szksz képe z eredeti szkszk -szoros Úgy is foglmzhtuk, hogy középpotos hsolóság ráytrtó trszformáció 7

8 3 A hsolóság értelmezése Defiíció: Hsolósági trszformációk evezzük zt trszformációt, melyet egy egybevágósági trszformáció és egy középpotos hsolóság egymás utái lklmzásávl (szorztávl) duk meg A hsolóság tehát sík vgy tér potji értelmezett geometrii trszformáció Bármely hsolósági trszformációt megdhtuk úgy, hogy megduk egy középpotos hsolóságot és egy egybevágósági trszformációt, vlmit ezek végrehjtásák sorredjét A hsolósági trszformációb szereplő középpotos hsolóság ráyát hsolósági trszformáció ráyák evezzük 4 A hsolóság tuljdosági Az egybevágósági trszformáció defiíció szerit távolságtrtó Ebből és z egybevágóság többi tuljdoságából, vlmit középpotos hsolóság tuljdoságiból igzolhtók hsolóság tuljdosági Néháy fotosbb tuljdoság: ) Egyees képe egyees; hsolóság egyeestrtó b) A hsolósági trszformáció szögtrtó c) Mide szksz képe z eredeti szkszk -szoros; hsolóság ráytrtó (A c) tuljdoság megfordítás is igz: h egy trszformáció mide szksz hosszúságát -szorosár változttj, kkor z egy hsolósági trszformáció) A hsolóság jele: ~ 5 Alkztok hsolóság A feldtmegoldások sorá gykr v szükségük hsoló lkztok felismerésére Defiíció: Két lkzt hsoló, h v oly hsolósági trszformáció, mely egyiket másikb viszi A hsolósági trszformáció éháy további tuljdoságát is megfoglmzhtjuk: d) Bármely lkzt hsoló ömgához (A helybehgyás is hsolósági trszformáció) Jelölésekkel: bármely A lkztr A ~ A e) A hsolóság szimmetrikus reláció: h z A, B lkztokr A ~ B, kkor B ~ A is teljesül f) A hsolóság trzitív reláció: h z A, B, C lkztokr A ~ B és B ~ C, kkor A ~ C is teljesül Két lkzt bizoyos dtik ismeretébe sokszor egyszerűbbe eldöthetjük, hogy két lkzt hsoló-e Például háromszögek eseté cskúgy, mit z egybevágósági kritériumok felállításkor hsolósági lpeseteket foglmzhtuk meg 8

9 5 Háromszögek hsolóság (hsolósági kritériumok) Állítás: Két háromszög hsoló, h oldlik ráy egyelő; egy-egy szögük s z ezt közrefogó oldlik ráy egyelő; 3 két-két szögük párokét egyelő; 4 két-két oldluk ráy és e két-két oldl közül gyobbikkl szemközt lévő szögük egyelő Ezek kritériumok háromszögek hsolóságák elégséges feltételei (H -4 közül vlmelyik feltétel teljesül, kkor többi is) Ekkor két háromszög hsoló, zz megfelelő szögeik egyelők, és mide megfelelő szkszuk ráy megegyezik Speciális: két szbályos háromszög midig hsoló; két egyelő szárú háromszög hsoló, h egy megfelelő szögük egyelő; két derékszögű háromszög hsoló, h egy-egy hegyesszögük megegyezik (A megfelelő oldlk ráyák egyezését kétféleképpe is értjük: h ABC és A B C hsoló AB A'B' AB AC háromszögek, kkor és egyrát felírhtó) AC A'C' A'B' A'C' 5 Sokszögek hsolóság Például háromszögekre votkozó 3 kritérium szerit két háromszög hsoló, h szögeik egyelők Sokszögek esetébe em tuduk ilye egyszerű hsolósági feltételeket megállpíti Az ábrá lévő ABCD égyszög BC oldlávl párhuzmos B C Láthtó, hogy z ABCD és ABC D égyszög szögei megegyezek, de em lehetek hsolók, hisze megfelelő oldlk ráy em egyelő Sokszögek hsolóságár viszoylg egyszerűek z lábbi kritériumok, bár gyegébb feltételek is megdhtók: Két sokszög hsoló, h z lábbi feltételek egyike teljesül: megfelelő oldlik és megfelelő átlóik hosszák ráy egyelő; vgy megfelelő oldlik ráy egyelő, és megfelelő szögeik párokét egyelők Speciális: két szbályos -szög midig hsoló (zz két égyzet is midig hsoló); és két tégllp áltláb em hsoló (csk h két szomszédos oldluk ráy megegyezik) 9

10 53 Egyéb lkztok hsolóság Két kör midig hsoló (Egybevágósági trszformációvl két kör kocetrikus körökbe vihető át, mik már középpotos hsolók) Sőt h két kör em kocetrikus, kkor két (ú külső és belső) hsolósági potjuk is v Bármely két gömb is hsoló Két kock is midig hsoló 6 A hsolóság lklmzási háromszögekre votkozó tételek bizoyításáb 6 A háromszög középvol Hsolóság segítségével gyo egyszerűe igzolhtó háromszögek középvolár votkozó összefüggés Tétel: A háromszög középvol párhuzmos megfelelő oldlll, és feleoly hosszú Bizoyítás: Az ábr szerit jelölje D és E z ABC háromszög AB, illetve AC oldlák felezőpotját Igzoldó, hogy DE középvol és BC oldl párhuzmos, vlmit hogy DE = BC Alklmzzuk egy A középpotú, = ráyú középpotos hsolósági trszformációt! Eek sorá D képe B, E képe C lesz, zz DE szksz képe BC A középpotos hsolóság tuljdoságiból következik tárgy- és képszksz (DE és BC) párhuzmosság, vlmit z is, hogy BC DE DE ; így z állítást igzoltuk A háromszög másik két középvolár is hsoló módo igzolhtó z összefüggés A középvol-tuljdoság egy érdekes következméye háromszög súlyvolir votkozó tétel A BE és CD súlyvolk metszéspotját jelölje S; ekkor BSC és ESD háromszögek hsolók (szögeik megegyezek), hsolósági ráy = Ezért BS = SE és CS = SD Ebből pedig már igzolhtó, hogy háromszög súlyvoli egy poto meek át, és egymást kölcsööse hrmdolják 0

11 6 Derékszögű háromszögre votkozó tételek A derékszögű háromszögekbe kimodhtó mgsságtétel és befogótétel bizoyítás zo z észrevétele lpul, hogy derékszögű háromszög átfogójához trtozó mgsság két hsoló részháromszögre botj z eredeti háromszöget Alklmzzuk z ábr szeriti hgyomáyos betűzést: ACB = 90, CD = m; AD = q és BD = p megfelelő vetületek hosszi Ekkor CAD = = BCD, mert midkettőek pótszöge Ebből pedig következik, hogy ABC ~ ACD ~ CBD, mert megfelelő szögek egyelők Tétel (mgsságtétel): Derékszögű háromszögbe z átfogóhoz trtozó mgsság mérti közepe befogók átfogór eső merőleges vetületéek Képlettel: m pq Bizoyítás: Az ADC és CDB háromszögek hsolóság mitt, szkszok hosszávl felírv m q p m CD AD BD CD Ebből átredezéssel és gyökvoássl következik tétel állítás Tétel (befogótétel): Derékszögű háromszögbe befogó mérti közepe z átfogók és befogó átfogór eső merőleges vetületéek Képlettel: pc és b qc Bizoyítás: Az ACB és CDB háromszögek hsolóság mitt, szkszok hosszávl felírv c p BC BA BD BC Ebből átredezéssel és gyökvoássl következik tétel állítás Az ADC háromszög felhszálásávl hsoló igzolhtó b qc állítás is

12 63 Szögfelezőtétel Tétel: A háromszög belső szögfelezője szemközti oldlt szöget közrefogó oldlk ráyáb osztj két részre Bizoyítás: Jelölje D z ABC háromszög A-ból húzott szögfelezője és BC oldl metszéspotját Húzzuk párhuzmost C- keresztül AD-vel és A- keresztül BC-vel, így z ábrá láthtó E és F metszéspotokt kpjuk BDA és AEF háromszögek hsolók, mert szögeik egyelők (Például BAD = AFE = párhuzmos szárú, egyállású hegyesszögek) ACE = γ γ szité, mert ACE és DAC váltószögek; ebből pedig AF = AC következik Végül DC = AE, mert DCEA prlelogrmm BD BD BA BA A BDA és AEF háromszögek hsolóságát felhszálv, és z egyelőséglác két széle éppe bizoyítdó állítás DC AE AF AC A másik két szögfelezőre hsoló igzolhtó tétel Megjegyzés: Hsoló tétel igz külső szögfelezők eseté is H z A csúcsból húzott külső szögfelező G-be metszi BC oldlt (AB AC), kkor igzolhtó, hogy, ez z összefüggés pedig formális megegyezik belső szögfelezőtétel BG BA GC AC BD BA képletével (A bizoyítás hsoló módo törtéhet) DC AC

13 64 Hsoló lkztok kerületéek, területéek, térfogták ráy Tétel: H z S és S sokszögek hsolók, és hsolóság ráy (tehát S oldli S oldlik -szorosi), kkor sokszögek kerületéek ráy sokszögek területéek ráy k' k t' t ; (A kerületre votkozó összefüggés yilvávló Háromszögekre területi összefüggés köyye igzolhtó, hisze képháromszög egyik oldl és hozzá trtozó mgsság egyrát -szorosr változott A sokszögekre votkozó tétel pedig sokszögek háromszögekre vló felbotásávl igzolhtó) A tétel áltláosíthtó tetszőleges síkidomokr, és bizoyos értelembe térbeli testekre is Tétel: H P és P testek hsolók, és hsolóság ráy (tehát P megfelelő lieáris jellemzői P jellemzőiek -szorosi), kkor testek lieáris méreteiek (pl élek vgy lpok kerülete) ráy testek felületéek ráy testek térfogták ráy A' A V ' V 7 Mtemtiki és mtemtiká kívüli lklmzások ; 3 A hsolóság geometri egyes részterületei és midepi életbe is viszoylg gykr hszált trszformáció Az lábbikb éháy példát soroluk fel A geometrii szerkesztések egy külö fejezetét lkotják hsolósági szerkesztések (Egy kirgdott péld: körök külső és belső hsolósági potjik szerkesztése) A párhuzmos szelők tétele fotos összefüggés, eek hátterébe is hsolósági trszformáció húzódik meg Eze belül egy tipikus lklmzás egyedik ráyos szerkesztése Eek sorá z összefüggésből, z dott, b, c szkszok segítségével z b c ismeretle szkszt szerkesztjük meg Áltláos iskoláb is tult fotos szerkesztés szksz dott ráyú részekre vló felosztás Néháy jól hszálhtó, hsolóság segítségével bizoyíthtó tétel: körhöz húzott szelőszkszok tétele (külső és belső potból), háromszögek területét megdó Héro-formul, csokgúl és csokkúp térfogtképlete, vgy húrégyszögekre votkozó Ptolemiosz-tétel (ez utóbbi kiegészítő yg) Egy érdekesség: mgsságtétel vgy befogótétel (vgy szelőszkszok tétele) segítségével megszerkeszthető dott szksz égyzetgyöke A trigoometri témköre, szögfüggvéyek lgebri és geometrii lklmzás derékszögű háromszögek hsolóságár épül ; 3

14 Mtemtiká kívüli lklmzásokt is bőve tláluk Az emberi szem, z optiki eszközök (féyképezőgép, távcső, mikroszkóp) képlkotás hsolóság elvé lpul (Jórészt ezzel fogllkozik fizikák z ú geometrii optik ág) A képlkotássl kpcsoltos kicsiyítés és gyítás megjeleik képzőművészetbe (festészet, féyképészet) és z építészetbe is (Pl templomok külöböző méretű, de hsoló rózsblkik tervezése) Tipikus hsolósági lklmzás térképészet, illetve eek térbeli megfelelője, modellezés, mkettek készítése Végül egy szép irodlmi (szépirodlmi) lklmzás Gulliver-törtéetek Ezekbe Joth Swift gol író -es váltószámot lklmzz (Gulliver például -szer gyobb, mit liliputik) Swift hsolósággl kpcsoltos számításit precíze végezte Jó közelítéssel z élelmiszer meyisége test térfogtávl ráyos, így egy-egy étkezéskor Gulliver 3 = 78 liliputi dgot kpott; míg ruházták szövete mely test felületével ráyos = 44 liliputi ruháják felelt meg Néháy mtemtiktörtéeti votkozás (07-től része szóbeli vizsgák): A hsolóság foglmát már z ókori bbilóiik is ismerték, rák mrdt írásos emlékek között szerepelt oly tétel, mely szerit, h két háromszög szögei megegyezek, kkor megfelelő oldlk ráy megegyezik A hsolóság foglmát z ókori görög mtemtikusok is hszálták, mikor épületek mgsságát vgy kár Np és Hold sugrák z ráyát meghtározták Eukleidész (Kre 300 körül) Elemek című lpvető művébe z V és VI köyv fogllkozik z ráyelmélettel, így hsolósággl is Ezekbe köyvekbe szite teljes egészébe szerepelek mi középiskoli mtemtik-tyg hsolósággl kpcsoltos tételei, ismeretei 4

15 8 Feldt Az ABC háromszögbe AB = AC = 3 cm, BC = 0 cm Számíts ki, hogy B csúcsból húzott mgsságvol mekkor részekre osztj z A csúcsból húzott mgsságvolt és z AC oldlt! Eredméyül potos értéket djo meg! Megoldás: Jelölje E B-ből, illetve F z A-ból húzott mgsságok tlppotjit, és D két mgsság metszéspotját (ábr) BF = 5 cm, mert ABC egyelő szárú, pot így Pitgorsz-tételből AF = 3 5 = (cm) pot Az AFB, BEC és BFD derékszögű háromszögek hsolók, mert egy-egy hegyesszögük z ABC háromszög fél szárszögével egyezik meg pot BF FA 5 DF DF, ie FB 5 5 DF és 5 9 AD pot BF BA 5 CE CE 3 BC 0, ie CE és AE 3 pot

16 Kombitorik Biomiális tétel Gráfok Kombitorik A kombitorik véges sok dolog sorb redezésével, kiválsztásávl, vlmit külöböző feltételekhez kötött összeszámlálási problémákkl fogllkozik Három típusfeldtot kell elsősorb megemlítei: sorb redezést (permutáció), kiválsztást (kombiáció), kiválsztás utái sorb redezést (vriáció) Permutáció Ismétlés élküli permutáció Defiíció: külöböző elem egy lehetséges sorredjét z elemek egy permutációják evezzük Tétel: külöböző elem összes permutációják szám (! = ; 0! = ) P =! Péld: Háy ötjegyű számot készíthetük 3, 4, 5, 6, 7 számjegyek felhszálásávl, h számjegyek egy számo belül em ismétlődhetek? Válsz: 5! Ismétléses permutáció Tétel: H z elem között v éháy zoos (k, k,, km drb, k + k + + k m = ), ( k!, k,, k ) m kkor z elem összes permutációják szám: P k! k! k! Péld: Háy kilecjegyű számot készíthetük,,,, 5, 5, 8, 8, 8 számjegyek felhszálásávl? 9! Válsz: 4!! 3! Ciklikus permutáció Defiíció: H z külöböző elemet sorb redezzük egy kör meté, tehát icse első és utolsó, kkor ezt z elem egy ciklikus permutációják evezzük Két ciklikus permutáció zoos, h (z iráyítást is figyelembe véve) bármely elemek midkét permutációb ugyzok z elemek szomszédji Tétel: külöböző elem összes ciklikus permutációják szám P = ( )! m 6

17 Péld: Háyféleképpe ülhet le egy öttgú cslád egy kör lkú sztl köré (Két ülésred külöböző, h v oly ember, kiek em ugyzok szomszédji) Válsz: (5 )! = 4-féleképpe Kombiáció Ismétlés élküli kombiáció Defiíció: H külöböző elem közül k drbot válsztuk ki úgy, hogy kiválsztott elemek sorredje em számít, kkor ezt kiválsztást z elem egy k-d osztályú ismétlés élküli kombiációják hívjuk Ezt z eljárást tekithetjük úgy is, hogy egy elemű hmz egy k elemű részhlmzát válsztjuk ki Egy -elemű hlmz k-elemű részhlmzik számát z (0 k ; k, N) k szimbólumml jelöljük Tétel: elem összes k-d osztályú ismétlés élküli kombiációik szám:! ( ) ( k ) C, k k k!( k)! k! Péld: Öt cédulár felírjuk, 3, 4, 6, 8 számokt, és egy klpból kihúzuk z öt cédulából egyszerre hármt Háyféleképpe húzhtuk? Válsz: 0 -féleképpe 3 3 Ismétléses kombiáció (kiegészítő yg) Defiíció: H külöböző elem közül k drbot válsztuk ki úgy, hogy kiválsztott elemek sorredje em számít, és ugyzt z elemet kár többször is válszthtjuk, kkor ezt kiválsztást z elem egy k-d osztályú ismétléses kombiációják hívjuk Tétel: elem összes k-d osztályú ismétléses kombiációik szám: k k C i, k Péld: Sok cédulák v, melyek midegyikére egy-egy szám v felírv, mégpedig, 3, 4, 5, 6 számok vlmelyike Midegyik szám leglább három cédulá szerepel A cédulákt egy klpb tesszük, mjd kihúzuk közülük egyszerre hármt Háyféle számhármst kphtuk? Válsz: 35 -féle számhármst kphtuk 3 3 7

18 Vriáció Ismétlés élküli vriáció H külöböző elem közül k drbot válsztuk ki úgy, hogy kiválsztott elemek sorredje is számít, kkor ezt kiválsztást z elem egy k-d osztályú ismétlés élküli vriációják hívjuk Tétel: elem összes k-d osztályú ismétlés élküli vriációik szám:! V, k ( ) ( k ) ( k)! Péld: Háy háromjegyű számot készíthetük, 3, 4, 5, 6 számjegyek felhszálásávl, h számjegyek egy-egy háromjegyű számo belül em ismétlődhetek? Válsz: = 60 Ismétléses vriáció H külöböző elem közül k-szor kiválsztuk egy-egy elemet úgy, hogy ugyzt z elemet kár többször is válszthtjuk, és kiválsztott elemek sorredje is számít, kkor ezt kiválsztást z elem egy k-d osztályú ismétléses vriációják hívjuk Tétel: elem összes k-d osztályú ismétléses vriációik szám: V i k, k Péld: Háy háromjegyű számot készíthetük, 3, 4, 5, 6 számjegyek felhszálásávl, h számjegyek em ismétlődhetek egy háromjegyű számo belül? Válsz: = 60 Biomiális tétel A tétel segítségével redezett poliom lkb írhtó fel egy kéttgú összeg (biom) -edik htváy A tételből kiderül, hogy z ( b) kifejezés kifejtésébe milye tgok szerepelek és milye együtthtókkl k k Tétel: ( b) b b b b 0 k A tételbe szereplő lkú együtthtókt biomiális együtthtókk hívjuk k Bizoyítás: ( b) ( b) ( b) ( b) Botsuk fel jobb oldlo álló drb zárójelet Mide zárójelből z összes lehetséges módo kiválsztuk egy-egy tgot és zokt összeszorozzuk Mide szorzt -téyezős A szorztokt összedjuk Vizsgáljuk meg, háyféleképpe kphtjuk meg pl k drb b-t és 8

19 9 ( k) drb -t trtlmzó szorztot! A korább elmodottk szerit ezt éppe k -féleképpe kphtjuk meg, hisze z zárójel közül sorredre vló tekitet élkül válsztuk ki k drbot, melyekből b-ket vesszük Így z áltláos, k k b szorzt együtthtój k Az állítást beláttuk A Pscl-háromszög biomiális együtthtókból álló számháromszög A 0 sorb 0 0, z sorb: 0 és, sorb 0, és és így tovább Az sorb 0,,,, szerepel A Pscl-háromszög első éháy sor: Kiszámolv megfelelő értékeket: A biomiális tétel egyik speciális esete z = és b = eset Ekkor biomiális együtthtókból álló Pscl-háromszög -edik soráb álló tgjik összegét kpjuk, mi ezek szerit

20 ( ) 0 k k k, zz 0 A kpott összefüggés egyúttl megdj z -elemű hlmz részhlmzik számát is A biomiális együtthtók két további tuljdoság:, mi z is muttj, hogy Pscl-háromszög szimmetrikus, vlmit k k, mi tuljdoképpe Pscl-háromszög összedási tuljdoság k k k 3 Gráfok Bár gráfelmélet születése 8 százdr yúlik vissz és hgyomáyos Euler köigsbergi hidk problémáj kiidulópot, gráfelmélet mégis moder tudomáyterülete mtemtikák, fotosbb eredméyei z elmúlt 00 évbe születtek Gráfokkl lehet szemlélteti például véges sok dolog közötti kpcsoltokt A dolgok miősége em léyeges, gráfokkl lpvetőe kpcsoltokr, struktúrár, szerkezet tuljdoságir fókuszáluk H szereték z ilye struktúrákt lerjzoli, kkor célszerű dolgokt potokkl, közöttük feálló kpcsoltot összekötő volll szemlélteti Defiíció: A gráf potokból (csúcsokból) és volkból (élekből) áll Mide él két (em feltétleül külöböző) potot köt össze A gráf tehát potok és élek hlmz Két pot kkor és csk kkor v összekötve éllel, h potok áltl modellezett objektumok között vizsgált kpcsolt áll fe Defiíció: H két potot több él is összeköt, kkor ezeket többszörös élek evezzük Defiíció: Hurokélek hívjuk zt z élt, melyek kezdő- és végpotj ugyz pot Defiíció: A gráf oly potját, melyből em idul ki él, izolált potk evezzük Defiíció: Egy véges gráfot egyszerű gráfk evezük, h sem hurokéle, sem többszörös éle icse Defiíció: A gráf egy potják fokszám potból iduló élek szám 0

21 Tétel: A fokszámok összege z élek számák kétszerese Eze tétel következméyei: Tétel: Mide gráfb fokszámok összege páros szám Tétel: Mide gráfb pártl fokszámú potok szám páros Defiíció: Egy gráf összefüggő, h bármely potjából bármely másik potjáb élek meté el lehet juti Defiíció: Egy -potú egyszerű gráf teljes gráf, h bármely két potját él köti össze Tétel: Az -potú teljes gráf éleiek szám ( ) (H gráf egyetle potból áll, kkor is teljes gráfk tekitjük) Defiíció: Egy egyszerű G gráf komplemeter gráfj z G gráf, melyek csúcshlmz megegyezik G csúcshlmzávl, közös élük icse, és G éleiek hlmz teljes gráfr egészíti ki G-t Defiíció: Útk evezzük z élek oly egymáshoz kpcsolódó soroztát, mely bármely poto legfeljebb egyszer hld át Defiíció: H z út kezdő- és végpotj megegyezik, kkor (gráfelméleti) körek hívjuk Defiíció: Az összefüggő és körmetes gráfot fgráfk vgy rövide fák evezzük Tétel: A f bármely két csúcsát egyetle út köti össze Tétel: Az -potú fgráf éleiek szám 4 Néháy lklmzás Kombitorik sorbredezési, kiválsztási, összeszámlálási problémák megoldás elemű hlmz összes részhlmzik szám biomiális tétel bizoyítás klsszikus vlószíűségi modell hszált

22 Gráfok közlekedési útvolk, elektromos hálóztok (chipek), mukfolymtok gzdságos tervezése társdlomtudomáyi felhszálhtóság (pl szociológi: szociometri, szociogrm) A szociometri szociológiák z emberi kpcsoltok felmérésével fogllkozó ág Jcob L Moreo pszichoterpeut dolgozt ki zo tulmáyib, melyek társdlmi szerkezetek és pszichológii jóllét közötti kpcsoltok közötti összefüggésre iráyulk A szociometrikus felmérések feltárják csoport rejtett szerkezetét Moreo egyik újítás szociogrm feltlálás volt, melybe egyes személyek képi potokkl vk ábrázolv, és személyek közti kpcsoltok volkkl ( szociológusok vették észre, hogy ht ember között midig v három, kik vgy mid ismerik egymást, vgy közülük seki sem ismer sekit Természetese egy gráfelméleti tételről v szó, mely Rmsey-elmélet egyik kisméretű esete A Rmsey-elméletet mi pig kuttják, regeteg megoldtl kérdése v Léyege, hogy gyméretű struktúrák (pl gráfok) trtlmzk szbályos részstruktúrákt Az említett ismeretségi példáb ez z ismeretségi háromszög vgy emismeretségi háromszög létezése, melyhez miimális 6 főre v szükség térképek szíezése, égyszí-sejtés A XIX százd közepé Frcis Guthrie gol mtemtikus tette fel kérdést: Legkevesebb háy szí elegedő egy tetszőleges térkép kiszíezéséhez? Úgy tűt, hogy három szí kevés, de égy szí elegedő, ám Guthrie ezt kérdést megoldi em tudt Még ebbe százdb bebizoyították, hogy öt szí biztos elegedő Több mit 0 évig seki sem tudt igzoli égyszí-sejtést, de 976-b számítógép segítségével sikerült bebizoyíti, és sejtésből tétel lett Ez volt z első lklom, mikor számítógép segítségével igzoltk mtemtiki állítást (bár sok vittták eek létjogosultságát) iformtiki struktúrák (pl meüredszer f) ismeretségi lácok pl közösségi oldlko: H két embert véletleszerűe kiválsztuk egy közösségi oldlo, kkor átlgos 4-5 hoszszúságú ismeretségi láccl összeköthetőek Tehát Jmesek v oly ismerőse, kiek v oly ismerőse, kiek v oly ismerőse, kiek v oly ismerőse, ki ismeri Che-t (Kultúrtörtéeti érdekesség, hogy Földö bármely két ember között létezik legfeljebb ht hosszú ismeretségi lác észrevétel, mit logiki játék először Krithy Frigyes: Lácszemek c írásáb szerepel) Mtemtiktörtéeti votkozások (07-től része szóbeli vizsgák) Blise Pscl mukásság: Pscl-háromszög és tuljdosági Leohrd Euler: köigsbergi hidk problémáj, gráfelmélet születése Kőig Dées (z első tudomáyos gráfelméleti köyv szerzője, 936), Erdős Pál Az Erdős-szám gráfj: Gráfuk csúcspotji legyeek mtemtikusok, és két mtemtikust kkor kössük össze egy éllel, h írtk közöse mtemtiki cikket Az Erdős-szám egy emegtív egész, mely zt muttj, hogy z dott tudós milye messze v ebbe gráfb Erdős Páltól Erdős Pál Erdősszám 0 Azokk z Erdős-szám, kik írtk vele közös cikket ( szomszédi ebbe gráfb) H vlki em publikált cikket Erdős Pálll, de olyl ige, ki írt közös cikket Erdős Pálll, kkor eki z Erdős-szám

23 Erdős-Szekeres-tétel (935): Bármely k + drb külöböző számból álló soroztb v vgy egy -él hosszbb csökkeő részsorozt, vgy egy k-ál hosszbb övekvő részsorozt Erdős Pál - Réyi Alfréd - T Sós Ver: Brátság-tétel: H egy véges gráfb bármely két csúcsk potos egy közös szomszédj v, kkor v oly csúcs, melyik z összes többivel szomszédos Lovász László: z egyik leghíresebb élő mgyr mtemtikus Wolf-díjs A kombitorik és számítógéptudomáy világhírű kuttój Többek között gyméretű gráfok tuljdoságit vizsgálj Ilye például z iteret gráf 5 Feldt ) Három házspár és egy brátjuk mozib megy Jegyeik egy sorb, egymás mellé szólk Háyféleképpe ülhetek le hét helyre, h brátjuko kívül mideki házstárs mellett szerete üli? b) Rjzoljo egy oly hétpotú egyszerű gráfot, melyek leglább 0 éle v, és ics bee három hosszúságú kör Megoldás: ) Brátjuk csk z, 3, 5 vgy 7 székre ülhet Csk így mrd páros sok szék házspárokk midkét iráyb, máskülöbe em tudák feltételekek megfelelőe leüli Ez 4 lehetőség pot A három házspár három femrdó székpárr 3! = 6 lehetséges sorredbe ülhet le pot Mide házspár kétféleképpe ülhet egymás mellé (férj-feleség, feleség-férj) pot H már dott házspárok sorredje, kkor három házspár esetébe ez 3 8 lehetőség, pot így megfelelő sorredek szám 4 3! 3 9 pot b) Megfelelő gráf rjz (Akár éle is lehet!) pot 3