A perdület a kvantummechanikában, iránykvantálás, a kvantumszámok rendszere a H-atomban. A mágneses momentum, a Zeeman-effektus, az elektronspin

Átírás

1 A pdült a kvantummchanikában, iánykvantálás, a kvantumszámok ndsz a H-atomban. A mágnss momntum, a man-ffktus, az lktonspin Az impulzusmomntum (pdült) fogalmát a klasszikus fizikában is használjuk. Tömgpont mozgása stén a pálya-impulzusmomntum (pályapdültt) fogalma használatos: z a tömgponthoz húzott hlyvkto és a tömgpont lndülténk vktoiális szozata: L p mv Az dményvkto mőlgs az és p vktook által kifszíttt síka, a nagysága pdig mv sinα Kitjdt tst saját tngly köüli pögés stén sajátpdültt is étlmzhtünk Θω (thttlnségi nyomaték szoozva a szögsbsség vktoal. Ezk ign hasznos fizikai mnnyiségk, mt fogatónyomaték hiányában mgmaadnak (az idők végztéig). A Nap köül kingő Földnk is van pályapdült, amly a Naphoz ögzíttt inciandszbn mgmaad. A tngly köüli fogásához pdig mgmaadó sajátpdült tatozik. A pdült nmcsak a klasszikus fizikában fontos, hanm a kvantummchanikában is. Előszö a hidogén atom Boh-modlljébn jött b. Boh szint a H-atomban olyan lktonpályák lhtségsk, amly Ln ħ (n1,, 3, ). (Ez kvivalns azzal az állítással, hogy a kövonalon az lkton hullám gész számszo fé l.) Később kidült, hogy Boh lképzlési pontosítása szoulnak, nézzük mg hogyan! A pdült a kvantummchanikában A kvantummchanika szint a pdült vkto 3 komponns L x, L y és L z gyidjűlg nm hatáozhatók mg, gy komponns föltétlnül hatáozatlan maad (z is gyfajta hatáozatlansági láció) A gyakolatban az vált b, hogy a pdült nagyságát, illtv annak a négyztét ( L ) és valamlyik komponnsét ( pl.: L z ) hatáozzuk mg gyidjűlg, tudomásul vév, hogy L x és L y hatáozatlanok. A kvantummchanika módszivl mghatáozhatók az gyidjűlg lhtségs L és L z sajátétékk. Az ign bonyolult számolások végdmény: L l( l+1); l 01,,,... Lz m; m l, l+ 1,..., l A fnti gész számokat kvantumszámoknak nvzzük: l mllékkvantumszám, m mágnss kvantumszám 94

2 Pl.: a.) lgyn l 0 kko L 0 és L z 0 gyáltalán nincs impulzus momntum b.) lgyn l 1 kko L és L z,ha m 1 L z 0,ha m 0 L z,ha m 1. A kapott dménykt bal oldalt ábázoltuk sugaú gömb amlybn a flső kúp alkotóvktoainak hossza, nnk függőlgs vtült, z éppn mgfll az L z ha m 1 stnk az alsó kúp alkotóvktoainak hossza, függőlgs vtült, z mgfll L z ha m 1 stnk a középkö pdig a L z 0 ha m 0 stnk fll mg. Kövtkzttés: a kitüntttt iánnyal az L impulzusvkto nm záhat b akámilyn szögt. Pl.: ϑ 1? Lz 1 cosϑ 1 L ϑ 1 45 hasonlóan lvégzv a többi stbn is ϑ 45 m 1 ϑ 90 m 0 ϑ 135 m 1 IRÁNYKVANTÁLÁ : ttszőlgsn flvtt iánnyal a ndsz impulzusvktoa nm záhat b akámilyn szögt. (Nobl-díj a bigazolásáét) Hatáozatlanság itt is van! Ha ismt az L vkto gy komponns, a többi ( a másik kttő ) má bizonytalan. A vktot jllmző 3 adatból ( xyz,, ) vagy (, ϑ, ϕ ) csak kttő hatáozható mg gyidjűlg. Nézzük mg, hogy mi a hlyzt a sajátpdülttl! 195. Goudsmit és Uhlnbck: az lkton ndlkzik saját impulzusmomntummal. Ez a PIN. (Kzdtbn azt gondolták, hogy a pögés miatt. a má inkább azt gondoljuk, hogy a spin gy lativisztikus ffktus (mt a lativisztikus számításokból adódik ki) 95

3 J L + J : tljs impulzusmomntum L : pálya impulzusmomntum : spin Az impulzusmomntuma vonatkozó összfüggésk a spin is igaznak bizonyultak, d a kvantumszámok itt fls étékűk lsznk: s ( s +1) ; s 1 z m ; m ± 1 (thát m 1 és m 1 lhtségs) m : PINKVANTUÁ ( ) ; 4 z cosγ ( 1 ) ( 3 ) 1 3 ; 1 3 γ cos 54, 7 o 3 A nmlativisztikus kvantummchanika nm tud a spinől, d bvhtő az lméltb. A lativisztikus kvantumból kijön a spin lét > a spin gy lativisztikus ffktus. Nm az lkton fogásából számazik, hanm gy lválaszthatatlan (vlszülttt) tulajdonság. A kvantumszámok ndsz a H-atomban. (Hidognatom, ha 1, más stbn ion) mag töltés: + V () k lkton A Coulomb-kölcsönhatás konzvatív, thát van potnciális ngia, ami a vonzóő miatt ngatív. Konzvatív mzőbn a tljs ngia mgmaadó mnnyiség. Az ddig lmondottak alapján a mgmaadó mnnyiségk: ngia, pályapdült (nagyság és komponns, sajátpdült. Ezt a négy fizikai mnnyiségt négy kvantumszám hatáozza mg. n,l,m m s 96

4 n: Főkvantumszám: mghatáozza az E ngiát. E E ; n 1,,...E *,18 aj n l: llékvantumszám: mghatáozza L -t. L h l l + 1; l 01,,..., n 1 ( ) m: ágnss kvantumszám: mghatáozza L z -t. L h m ; z m l, l + 1,...,0,..., l m: pinkvantumszám: mghatáozza z -t. m ; m ±1/ z s s Α hullámfüggvény alakja: pl: n 1 l 0 (1s állapot) m 0 a hidogén alapállapotban 0 impulzusmomntummal ndlkzik. n l 0 (s állapot) m 0 vagy l 1 (p állapot) m -1 vagy m 0 vagy m 1, z az állapot négyszsn dgnált! Több lktonnal ndlkző atomokban is hasonló állapotok (pályák) valósulnak mg. Az lktonok zkt az állapotokat tölthtik b, d gy állapotot csak gy lkton. Ez a Paulilv. A Pauli-lv thát kimondja, hogy gy atomban gy kvantumszám négyssl (n, l, m, m s ) csak gy lkton ndlkzht. Thát, ha gy atomon blül két lktont tkintünk, akko azoknak lgalább gy kvantumszáma lté. zokás úgy is fogalmazni, hogy ha gy tébli állapotban (amlyt az n, l, m kvantumszámok jllmznk) má van gy lkton, akko oda a második lkton csak llntéts spinnl (azaz llntéts lőjlű m s étékkl) tud bépülni. A Pauli-lv nmcsak lktonoka, hanm mindn fls spinű észcské is igaz. 97

5 A mágnss momntum Köáam mágnss momntuma: m IAn ( n nomálisú A tültű huokban I áam folyik A későbbikbn lgyn a jlölés I dq dt T π T ; A π V V V πn n π mvn L m m z m L z ; L z m z m m ; m 0; ± 1; ±... μ B : Boh-magnton μ B m lgkisbb gység. a mágnss momntum z komponnsénk z μ B m ; m 0; ± 1; ± ; L; m μ B m A man-ffktus: A jlnségt man vizsgálta. Kutatási dményiét 190-bn Nobl-díjat kapott. Az általa lvégztt kísélt lényg, hogy atomot ős mágnss téb tsszük, és vizsgáljuk a mágnss mző és az atomi lkton, pontosabban a köáam mágnss momntuma közötti kölcsönhatási ngiát. Fontos hogy ős lgyn a mágnss mző hiszn csak így kapjuk a zman-ffktust. man a klasszikus fizikát használta fl a jlnség vizsgálatáa, mi a kvantummchanikát használjuk. :az "atomi köáam" mágnss momntuma :a mágnss indukcióvkto W m :kölcsönhatási ngia a mágnss mző és a mágnss momntum között Vgyük fl a koodináta ndszt úgy hogy a z tngly a mágnss 98

6 indukcióvktoal páhuzamos iányba álljon. Ekko a kövtkzőkt kapjuk: W m -B z -B μ B m Ez az ngia hozzáadódik a többi ngiához Az ábá az ngiaszintk láthatóak B0 és B 0 stkbn. Ezkt a fnti képlt alapján kaphatjuk. Az ngiaszintk m szint "flhasadnak". Figyljük mg az atom spktumát a kövtkző ábákon: Ez a kísélt má bizonyíték volt az iánykvantálása, d z csak közvttt bizonyíték a jlnség. A közvtln bizonyítékot a tn-glach kísélttl találták mg. Kédés az hogy miét mindíg 3 flé hasad a színkép. E a választ a kiválasztási szabály adja, mt a kiválasztási szabály szint Δm csak 0 vagy csak ±1 lht. A spinhz tatozó mágnss momntum A méésk szint ± μ B ± ms m m m m s ( ± 1 m ) m z m L m + < és J L + nm lsz páhuzamos m L m + ( L + ) m thát mágnss szmpontból a spin "duplán számít". 99

7 Édksség: Kvantumlktodinamikai kokciók miatt a valóságban az lkton mágnss momntumának iányú komponns nm pontosan gyzik a Boh-magntonnal. A pontos éték: 1, (10) μ B A (10) az utolsó számjgy hibáját jlnti. A kvantumlktodinamikai számítás a kísélti étékkl 1 számjgyig, az utolsó lőtti 9-sig mggyzik. Aa, hogy az lmélt és a kísélt ilyn pontosan mggyzzn, valószínűlg nincs más példa. 100