Döntéselőkészítés. XII. előadás. Döntéselőkészítés

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Döntéselőkészítés. XII. előadás. Döntéselőkészítés"

Átírás

1 XII. előadás

2 Többszempontú döntések elmélete MAUT (Multi Attribute Utility Theory ) A többszempontú döntési feladatok megoldásának lépései: A döntési feladat felépítése: a) a cél megfogalmazása, b) az alternatívák kiválasztása, c) a szempontok meghatározása. A döntési feladat megoldása: a) minden alternatíva kiértékelése minden szempont szerint (döntési táblázat megadása), b) a szempontok súlyainak meghatározása, adatok számszerüsítése ( ha szükséges) c) az értékelések a választott módszerrel, a legjobb alternatíva(ák) kiválasztása.

3 Egyszerű döntési elvek: POLANO módszer (preferenciaazonos csoportokba sorolás) Dominancia vizsgálat (dominált és efficiens alternatívák domináltak elhagyása) MaxMin szabály (pesszimista döntéshozó az alternatívák leggyengébb értékei közül a legnagyobb értékkel rendelkező alternatívát választja) MaxMax szabály (optimista döntéshozó az alternatívák legjobb értékei közül a legnagyobb értékkel rendelkező alternatívát választja)

4 Egyszerű döntési elvek: Szűrési módszerek (I.,II.,III.) (Az alternatívákat két csoportra osztjuk: jó és rossz alternatívákra.) I. Konjunktív modell (Minden értékelési szemponthoz megadunk egy minimum feltételt, majd azokat az alternatívákat fogadjuk el jónak, amelyek minden szempont szerint teljesítik ezeket.) II. Diszjunktív modell (minden értékelési szemponthoz megadunk elegendő feltételeket, majd azokat az alternatívákat fogadjuk el jónak, amelyek legalább egy szempont esetén teljesítik az elégséges feltételt. )

5 Egyszerű döntési elvek: Szűrési módszerek (I.,II.,III.) III. szabály (Minden értékelési szemponthoz megadunk egy feltételt, majd összeszámoljuk, hogy az egyes alternatívák hány szempont esetén felelnek meg az alternatívákat osztályokba soroljuk.) Lexikografikus rendezés (értékelési szempontok fontosság szerint súlyozása, legfontosabbnak tartott értékelési szempont szerint sorba rendezzük az alternatívákat ha e szerint két vagy több alternatíva ugyanazt az értékelést kapta, akkor a fontossági sorrendben következő értékelési szempont szerinti folytatjuk a sorberendezést, és így tovább, míg az egyértelmű sorrend ki nem alakul.)

6 Eddig ismertetett módszerek közös jellemzői: Előny: Egyszerűek, könnyen kezelhetők, számítástechnikai héttér nem szükséges. Hátrány: Nem alkalmasak annak feltárására, hogy a döntés mennyire érzékenyek az egyes szempontok vagy értékelések változására. Általában nincsenek az alternatívák rangsorolva.

7 AHP eljárás Analytic Hierarchy Process A döntési feladatok megoldásának első lépése a döntési feladat felépítése: a cél megfogalmazása, az alternatívák kiválasztása, a szempontok meghatározása. Az AHP-ben az áttekinthetőség kedvéért a probléma egy többszintű fastruktúrában van ábrázolva. Legfelső szinten a cél, alatta levő szinteken a szempontok, majd a legalsó szinten az alternatívák helyezkednek el. Legalacsonyabb szinteken elhelyezkedő szempontok a levélszempontok.

8 Cél Szempontok Alszempontok Alternatívák AHP elvre épülő szoftver: Expert Choice (EC) (szakértői választás)

9 AHP eljárás Az AHP döntési modellekben a cél mindig az adott alternatívák rangsorának meghatározása. Értékelési szempontok fastruktúrába vannak rendezve szempontok közötti összefüggéseket is figyelembe lehet venni. A döntési feladat megoldásának lépései az AHP modellekben: -a szempontok súlyainak meghatározása, -az alternatívák kiértékelése a megadott szempontok szerint, -a súlyozás és az értékelés összegzése.

10 Páros összehasonlítás Az AHP eljárások egyik alapeszköze: alkalmas: szempontok súlyozására és az alternatívák egyes szempontok szerinti értékelésére egyaránt. A páros összehasonlítás eszköze: a páros összehasonlítás mátrix, melynek a sajátvektora segítségével értékelünk. Páros összehasonlítás mátrix: Jelölje A a páros összehasonlítás mátrixot, melynek legyen n sora és n oszlopa. Elemei legyenek a p R n (p i tetszőleges pozitív valós szám) vektor elemeiből képzettek i,j-dik elem legyen p i /p j.

11 Páros összehasonlítás mátrix: A 1 A 2... A n A 1 p 1 /p 1 p 1 /p 2... p 1 /p n A 2 p 2 /p 1 p 2 /p 2... p 2 /p n A n p n /p 1 p n /p 2... p n /p n Alternatívák fontossága: meghatározzuk a legnagyobb sajátértékhez tartozó sajátvektort a komponensek adják a súlyokat. Be lehet látni: a páros összehasonlítás mátrixokra érvényes, hogy Ap=np.

12 Mért értékek esetén a páros összehasonlítás mátrix és a sajátvektor is természetesen adódik. Pl.: A 1 5 A 2 1 A 3 10 A 4 2 A 5 15 Összpontszám megoszlása: A 1 5/33=0.15 A 2 1/33=0.03 A 3 10/33=0.30 A 4 2/33=0.06 A 5 15/33=0.46 Páros összehasonlítás mátrix: i,j-dik elem legyen p i /p j. A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 A /2 5/2 1/3 A 2 1/5 1 1/10 1/2 1/15 A /3 A 4 2/5 2 1/5 1 2/15 A /2 15/2 1 A saját vektor:{0.15,0.03,0.3,0.06,0.46}

13 Páros összehasonlítás Sajátvektor módszer (EM-Eigenvalue Method) (Saaty 1980): Lényeg: A döntéshozó a döntési feladat szempont súlyainak meghatározására és az alternatívák minden egyes levélszempont szerinti kiértékelésére megadja a páros összehasonlítás mátrixokat. A páros összehasonlítás intervallum-skálája az AHP módszertanban a következő (p i /p j értékek megadása): 1 egyformán fontos/előnyös 3 mérsékelten fontosabb/előnyösebb 5 sokkal fontosabb/előnyösebb 7 nagyon sokkal fontosabb/előnyösebb 9 rendkívüli mértékben fontosabb/előnyösebb (ha kell fel lehet használni a 2,4,6,8 közbülső értékeket is)

14 Az összehasonlító mátrixokból a szempontok fontosságát, ill. az alternatívák egyes levélszempontokra vonatkoztatott prioritását a páros összehasonlítás mátrixok legnagyobb sajátértékéhez tartozó sajátvektorok komponensei adják. A módszer hasznossága: a gyakorlatban általában nem a p i, hanem a p i /p j értékek ismertek. Általában döntéshozó azt mérlegeli, hogy bármely két szempont, vagy alternatíva esetén az egyik hányszor fontosabb vagy kevésbé fontos, mint pl. a másik. Pl. A i sokkal előnyösebb A j -nél, akkor a skála szerint p i /p j =5. ( A páros összehasonlítás mátrixok segítségével más módszerrel is meghatározhatók a prioritások: pl. távolság minimalizáló módszerek.)

15 Disztributív AHP modell 1. A szempontok súlyainak meghatározása: A szempontok súlyait vagy közvetlenül adjuk meg, vagy sajátvektor módszerrel határozzuk meg. Ez utóbbi esetben megadjuk az azonos szinteken levő szempontok egymáshoz viszonyított fontosságát tartalmazó páros összehasonlítás mátrixokat ezek legnagyobb sajátértékeihez tartozó sajátvektorai adják az azonos szinteken levő szempontok súlyait. Ezen súlyok összege minden szinten 1.

16 Disztributív AHP modell 2. Az alternatívák értékelése az egyes szempontok szerint: Az alternatívákat csak a levélszempontok szerint értékeljük a többi szempontnál a levélszempontokra adott pontszámokból és a súlyokból számítható ki a pontérték. Az alternatívákat minden levélszemponton a sajátvektor módszerrel értékeljük (az adott szempont szerint az egyik alternatíva hányszor olyan jó, mint a másik). Az alternatívák pontszámainak összege ebben az esetben is egyenlő 1-gyel a levélszempontokon a pontszámok csak azt jelzik, hogy az adott szempont szerint melyik alternatívát mennyire tartjuk fontosnak.

17 Disztributív AHP modell 3. Az értékelések és a súlyozás összegzése döntési tábla esetén: Tekintsünk n alternatívát és m szempontot. ( Alternatívák: A 1,A 2,,A n, szempontok: C 1,C 2,,C m.) Tegyük fel, hogy ismert az alternatívák értékelése az egyes szempontok szerint, és a szempontok súlyozása is. Jelölje a i,j >0 i=1,2, m, j=1,2,,n a j-edik alternatíva i-edik szempont szerinti értékét, w i >0 i=1,2, m az i-edik szempont súlyát, x j >0 j=1,2,,n a keresett végső rangsort adó értéket.

18 Disztributív AHP modell x 1 x n A 1 A n w 1 C 1 a 11 a 1n Adjuk meg az x vektort (az alternatívák sorbarendezését) úgy, hogy jól illeszkedjen a táblázat soraihoz. w m C m a m1 a mn

19 Disztributív AHP modell Az x vektor számítása: x D j = w i /w*(a ij / a ik ) j=1,2,,n, ahol w= w i. A képlet: (szempont súlya * alternatíva pontszáma)/ (az adott szempont szerinti értékelések összege). Lényegében az 1értéke van szétosztva a levélszempontok és az alternatívák között a fontosságuknak megfelelően. Javasolt feladatok: pl. erőforrás szétosztása. x 1 x n A 1 A n w 1 C 1 a 11 a 1n w m C m a m1 a mn

20 Az x vektor számítása: ahol w= w i. Ideális AHP modell x j I = w i /w*(a ij /max a ik ) j=1,2,,n, A képlet: (szempont súlya * alternatíva pontszáma)/ (az adott szempont szerinti max pontszámú alternatíva pontszáma). Ez a módszer akkor hasznos, ha a cél a legjobb alternatíva kiválasztása, és a sejthetően legjobb alternatívák pontszáma több szempont szerint közel azonos. (Létezik még a minősítő AHP modell is.)

21 Fontos kérdések: 1. Súlyok és értékelések aggregálása oly módon, hogy kizárjuk a rangsorfordulást. Rangsorfordulás: az a jelenség, amikor megváltozik a korábban figyelembe vett alternatívák rangsora, ha új alternatívával, vagy alterrnatívákkal bővül,vagy szűkül a döntési feladat. 2. Alternatívák érzékenységi vizsgálata: a döntési folyamat során kialakult rangsor stabilitásának vizsgálata a döntési paraméterek ( a súlyok és minősítések ) függvényében. 3. Eredmények vizualitása és értékelése: ábrázolás 3 dimenziós térben nagy méretű feladat esetén a megoldás áttekintése és megértése nem könnyű dolog.

22 Példa a rangfordulásra: Értékeljük ki az alábbi döntési táblát! w i A 1 A 2 1/2 C /2 C x j I = w i /w*(a ij /max a ik ) j=1,2,,n, Ideális modell alapján: x 1 =(1/2*1)/2+(1/2*3)/3=9/12 x 2 =(1/2*2)/2+(1/2*2)/3=10/12 Rangsor: A 2, A 1 w i A 1 A 2 A 3 1/2 C /2 C Ideális modell alapján: x 1 =(1/2*1)/4+(1/2*3)/3=15/24 x 2 =(1/2*2)/4+(1/2*2)/3=14/24 Rangsor: A 1, A 2 rangsor változott!!

23 Az értékelések és a súlyozás összegzése fa struktúra esetén: A szempontok súlyozása úgy történik, hogy a döntéshozó először a cél alatti első szinten levő szempontokat súlyozza páros összehasonlítás módszerével, majd felülről lefelé haladva minden szinten az ott található szempontok alatti alszempontokat addig, amíg a már tovább nem osztott levélszempontok is súlyozásra kerülnek. Az AHP modellekben a döntéshozó csak a levélszempontok szerint értékeli az alternatívákat. A súlyozás és értékelés összegzése: levélszempontok szintje feletti szintről induló, minden egyszerű részfa esetén megalkotjuk a döntési táblát és kiértékeljük az alternatívákat a választott modell típus szerint. Ezt folytatjuk amíg el nem érünk a cél szintig, és megkapjuk az alternatívák végső rangsorát.

24 EC (Expert Choice) EC többszempontú döntési problémák megoldására szolgáló szoftver. Egyéni (egy döntéshozó) és csoportos (több döntéshozó esete) változata is van. Jelenlegi EC rendszerek Windows alatt futó, könnyen kezelhető, felhasználó-barát interaktív rendszerek. Az EC által kezelt fák 5 szint mélységűek és egy szempontnak legfeljebb 9 alszempontja lehet. (Elvileg szempont kezelhető, ebből 6561 levélszempont) Tapasztalatok szerint a disztributív és ideális modell esetén nagy százalékban ugyanazt a rangsort kapjuk. Új fagylalt bolt helyének kiválasztása ebben a két módban EC-vel:

25

26

27 EC (Expert Choise) Az EC lehetővé teszi az érzékenységvizsgálatot és az eredmények vizualizálását. Háromféle érzékenységvizsgálatra van lehetőség, amikkel vizsgálhatók egy adott alternatíva sorrendnek a szempont súlyoktól való függése. Mindig egy szempont súlya változtatható ( ez maga után vonja a többi szempont súlyának változását is). A többi szempont súly egymás közötti aránya nem változik, és összegük változatlanul 1.

28 Erőforrás szétosztási feladat Gyakran fordul elő, hogy többszempontú döntési feladatot és optimalizálási feladatot kell kombinálni. Pl. feladat a legjobb kutatásfejlesztési pályázatok kiválasztása adott pénzügyi korlát mellett. Feladatot két részre bontjuk. Először megoldjuk a többszempontú feladatot, azaz a pályázatok rangsorolását így megkapjuk az egyes pályázatok súly- vagy prioritásértékeit. Ezután egy egészértékű optimalizálási feladatot kell megoldani: max x i z i c i z i K, z i {0,1}, i=1,2,..,n. ahol x i, i=1,2,,n prioritásérték az alternatívákra vonatkozóan, c i az egyes kutatásfejlesztési munkák tervezett költsége.

29 Feladat Közgazdász végzettségű ismerősünk három lehetőség közül választhat belép egy nagy könyvelő cégbe (A 1 ) saját tanácsadó céget alapít (A 2 ) vagy elfogadja az egyetem ajánlatát (A 3 ) négy tényezőt vesz figyelembe kereseti lehetőség (K) biztonság (B) előmenetel (E) munkakörülmények (M) Cél olyan munkahelyet választani, ahol elégedett lesz.

30 Feladat Elégedettség Kereset Biztonság Előmenetel Munkakörülmények Nagy vállalat Saját cég Egyetem

31 Feladat Legyen az egyes szempontok egymáshoz való értékelése a következő: (K:B)=(7:1), (K:E)=(1:1), (K:M)=(7:1), (B:E)=(1:3), (B:M)=(2:1), (E:M)=(5:1) Adjuk meg a páros összehasonlítás mátrixot: K B E M K B 1/7 1 1/3 2 E M 1/7 1/2 1/5 1 kereseti lehetőség (K) biztonság (B) előmenetel (E) munkakörülmények (M)

32 Ismerősünk most az alternatívákat az egyes tényezők szerint is értékeli ugyanezen a skálán, ugyanezen a módon: K 1 1/ /5 1/3 1 1/7 B 1/2 1/ E 1 1/ /3 1/ /3 M 1/2 1/

33 A saját érték feladatok megoldása: Elégedettség (1,00) K (0,48) B (0,10) E (0,36) M (0,06) A 1 (0,23) A 2 (0,65) A 3 (0,12) A 1 (0,19) A 2 (0,08) A 3 (0,73) A 1 (0,17) A 2 (0,74) A 3 (0,09) A 1 (0,10) A 2 (0,26) A 3 (0,64)

34 A végeredményt a súlyozott összegek adják: S(A 1 ) = 0,48*0,23+0,10*0,19+0,36*0,17+0,06*0,10 = 0,1966 S(A 2 ) = 0,6020 S(A 3 ) = 0,2014 Elégedettség (1,00) K (0,48) B (0,10) E (0,36) M (0,06) A 1 (0,23) A 2 (0,65) A 3 (0,12) A 1 (0,19) A 2 (0,08) A 3 (0,73) A 1 (0,17) A 2 (0,74) A 3 (0,09) A 1 (0,10) A 2 (0,26) A 3 (0,64)

35

5. Analytic Hierarchy Process (AHP)

5. Analytic Hierarchy Process (AHP) 5 Analytic Hierarchy Process (AHP) (ld Temesi J: A döntéselmélet alapjai, 120-128) (Rapcsák T: Többszempontú döntési problémák I ld http://wwwoplabsztakihu/tanszek/download/ ITobbsz-dont-modszpdf) 51 Bevezetés

Részletesebben

5. Analytic Hierarchy Process (AHP)

5. Analytic Hierarchy Process (AHP) 5 Analytic Hierarchy Process (AHP) (ld Temesi J: A döntéselmélet alapjai, 120-128) (Rapcsák T: Többszempontú döntési problémák I ld http://wwwoplabsztakihu/tanszek/download/ ITobbsz-dont-modszpdf) 51 Bevezetés

Részletesebben

Többszempontú döntési módszerek

Többszempontú döntési módszerek XI. előadás Többszempontú döntési módszerek Mindennapi tapasztalat: döntési helyzetbe kerülve több változat (alternatíva) között kell (lehet) választani, az alternatívákat kölönféle szempontok szerint

Részletesebben

Többszempontú döntési problémák

Többszempontú döntési problémák Budapesti Corvinus Egyetem MTA Számítástechnikai és Automatizálási Kutató Intézetébe kihelyezett Gazdasági Döntések Tanszék Rapcsák Tamás Többszempontú döntési problémák Egyetemi oktatáshoz segédanyag

Részletesebben

Többszempontú döntési módszerek, modellek Dr. Stettner Eleonóra

Többszempontú döntési módszerek, modellek Dr. Stettner Eleonóra Kaposvári Egyetem Gazdaságtudományi Kar Kari Tudományos Diákköri Tanács TDK módszertani kurzus 3. alkalom Többszempontú döntési módszerek, modellek Dr. Stettner Eleonóra 2016. április 4. A kurzus a Nemzeti

Részletesebben

Alternatívák rangsora Rangsor módszerek. Debreceni Egyetem

Alternatívák rangsora Rangsor módszerek. Debreceni Egyetem Döntéstámogató Rendszerek VII. előadás Bekéné Rácz Anett Debreceni Egyetem Definíciók Példa rangsorfordulásra Rangsorokkal kapcsolatos fogalmak Condorcet nyertes: Az az alternatíva, amely az összes többi

Részletesebben

Páros összehasonlítás mátrixok empirikus vizsgálata. Bozóki Sándor

Páros összehasonlítás mátrixok empirikus vizsgálata. Bozóki Sándor Páros összehasonlítás mátrixok empirikus vizsgálata Bozóki Sándor MTA SZTAKI Operációkutatás és Döntési Rendszerek Kutatócsoport Budapesti Corvinus Egyetem Operációkutatás és Aktuáriustudományok Tanszék

Részletesebben

Nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrixok sajátérték optimalizálása Newton-módszerrel p. 1/29. Ábele-Nagy Kristóf BCE, ELTE

Nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrixok sajátérték optimalizálása Newton-módszerrel p. 1/29. Ábele-Nagy Kristóf BCE, ELTE Nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrixok sajátérték optimalizálása Newton-módszerrel Ábele-Nagy Kristóf BCE, ELTE Bozóki Sándor BCE, MTA SZTAKI 2010. november 4. Nem teljesen kitöltött páros

Részletesebben

LINEÁRIS PROGRAMOZÁSI FELADATOK MEGOLDÁSA SZIMPLEX MÓDSZERREL

LINEÁRIS PROGRAMOZÁSI FELADATOK MEGOLDÁSA SZIMPLEX MÓDSZERREL LINEÁRIS PROGRAMOZÁSI FELADATOK MEGOLDÁSA SZIMPLEX MÓDSZERREL x 1-2x 2 6 -x 1-3x 3 = -7 x 1 - x 2-3x 3-2 3x 1-2x 2-2x 3 4 4x 1-2x 2 + x 3 max Alapfogalmak: feltételrendszer (narancs színnel jelölve), célfüggvény

Részletesebben

Páros összehasonlítás mátrixokból számolt súlyvektorok Pareto-optimalitása

Páros összehasonlítás mátrixokból számolt súlyvektorok Pareto-optimalitása Páros összehasonlítás mátrixokból számolt súlyvektorok Pareto-optimalitása Bozóki Sándor 1,2, Fülöp János 1,3 1 MTA SZTAKI; 2 Budapesti Corvinus Egyetem 3 Óbudai Egyetem XXXI. Magyar Operációkutatási Konferencia

Részletesebben

Többtényezős döntési problémák

Többtényezős döntési problémák KIPA módszer: Lépései: 1. értékelési tényezők páros elrendezése, 2. páros összehasonlítás elvégzése, 3. egyéni preferencia táblázatok felvétele, konzisztencia mutatók meghatározása, 4. aggregált preferencia

Részletesebben

Lineáris algebra 2. Filip Ferdinánd december 7. siva.banki.hu/jegyzetek

Lineáris algebra 2. Filip Ferdinánd december 7. siva.banki.hu/jegyzetek Lineáris algebra 2 Filip Ferdinánd filipferdinand@bgkuni-obudahu sivabankihu/jegyzetek 2015 december 7 Filip Ferdinánd 2016 februar 9 Lineáris algebra 2 1 / 37 Az el adás vázlata Determináns Determináns

Részletesebben

Értékelési, kiválasztási módszerek

Értékelési, kiválasztási módszerek Értékelési, kiválasztási módszerek Értékelési módszerek csoportosítása: 1. Ordinális (kvalitatív) elárások 1.1 Többségi módszer 1.2 Rangsor összegzési szabály 1.3 Copeland módszer 1.4 Datum módszer 1.5

Részletesebben

FELHASZNÁLÓI KÉZIKÖNYV

FELHASZNÁLÓI KÉZIKÖNYV többszempontú csoportos döntéstámogató szoftver EGY A ÉS WINGDSS PÉLDAFELADAT A KIÉRTÉKELÉS FÜGGELÉK 4.1 RENDSZERBEN FELÉPÍTÉSE LÉPÉSEI FELHASZNÁLÓI KÉZIKÖNYV Operációkutatás MTA és Döntési SZTAKI Rendszerek

Részletesebben

Csoportos döntési modellek

Csoportos döntési modellek Budapesti Közgazdaságtudományi és Államigazgatási Egyetem MTA Számítástechnikai és Automatizálási Kutató Intézetébe kihelyezett Gazdasági Döntések Tanszék Rapcsák Tamás Többszempontú döntési problémák

Részletesebben

Lineáris leképezések (előadásvázlat, szeptember 28.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla

Lineáris leképezések (előadásvázlat, szeptember 28.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Lineáris leképezések (előadásvázlat, 2012. szeptember 28.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Ennek az előadásnak a megértéséhez a következő fogalmakat kell tudni: homogén lineáris egyenletrendszer és

Részletesebben

Bozóki Sándor február 16. Érzékenységvizsgálat a Promethee módszertanban p. 1/18

Bozóki Sándor február 16. Érzékenységvizsgálat a Promethee módszertanban p. 1/18 Érzékenységvizsgálat a Promethee módszertanban Bozóki Sándor 2011. február 16. Érzékenységvizsgálat a Promethee módszertanban p. 1/18 Vázlat PROMETHEE Parciális érzékenységvizsgálat egy szempontsúly változhat

Részletesebben

Többtényezős döntési problémák

Többtényezős döntési problémák KIPA módszer: Lépései:. értékelési tényezők páros elrendezése, 2. páros összehasonlítás elvégzése, 3. egyéni preferencia táblázatok felvétele, konzisztencia mutatók meghatározása, 4. aggregált preferencia

Részletesebben

EGYSZERŰ ÉS ABSZOLÚT TÖBBSÉGI SZAVAZÁS

EGYSZERŰ ÉS ABSZOLÚT TÖBBSÉGI SZAVAZÁS EGYSZERŰ ÉS ABSZOLÚT TÖBBSÉGI SZAVAZÁS A választások és a szavazások többszempontú döntési problémák a szavazók valamilyen módon döntenek a jelöltekről a választási bizottság a szavazás után megállapítja,

Részletesebben

Gauss-Seidel iteráció

Gauss-Seidel iteráció Közelítő és szimbolikus számítások 5. gyakorlat Iterációs módszerek: Jacobi és Gauss-Seidel iteráció Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Somogyi Viktor London András Deák Gábor jegyzetei alapján 1 ITERÁCIÓS

Részletesebben

Tájékoztató. Használható segédeszköz: -

Tájékoztató. Használható segédeszköz: - A 35/2016. (VIII. 31.) NFM rendelet szakmai és vizsgakövetelménye alapján. Szakképesítés azonosítószáma és megnevezése 54 213 05 Szoftverfejlesztő Tájékoztató A vizsgázó az első lapra írja fel a nevét!

Részletesebben

Számítógépes döntéstámogatás. Döntések fuzzy környezetben Közelítő következtetések

Számítógépes döntéstámogatás. Döntések fuzzy környezetben Közelítő következtetések BLSZM-09 p. 1/17 Számítógépes döntéstámogatás Döntések fuzzy környezetben Közelítő következtetések Werner Ágnes Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék e-mail: werner.agnes@virt.uni-pannon.hu

Részletesebben

Összehasonlítások hibái

Összehasonlítások hibái Összehasonlítások hibái Kiegészítő anyag BME Filozófia és Tudománytörténet Tanszék http://www.filozofia.bme.hu/ Összehasonlítások Az összehasonlítás alapkérdése: a lehetőségek közül melyik a legjobb egy

Részletesebben

0. BEVEZETÉS. Decision theory: web Google keresés= 27 millió találat Döntéselmélet: web Google keresés= 12 ezer találat. orvosi,

0. BEVEZETÉS. Decision theory: web Google keresés= 27 millió találat Döntéselmélet: web Google keresés= 12 ezer találat. orvosi, 0. BEVEZETÉS Decision theory: web Google keresés= 27 millió találat Döntéselmélet: web Google keresés= 12 ezer találat Döntéselmélet néhány területe: orvosi, ogi, bírói, közgazdasági, műszaki, egyéb. Módszerek

Részletesebben

Analitikus hierarchia eljárás. Módszertani alapok, algoritmus és számpélda

Analitikus hierarchia eljárás. Módszertani alapok, algoritmus és számpélda Analitikus hierarchia eljárás Módszertani alapok, algoritmus és számpélda Készítette: Dr. Kiss Ferenc 2009. Tartalom Az Analitikus Hierarchia eljárás...3 Alapelvek és a szempontrendszer kialakítása...

Részletesebben

3. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 3. előadás Lineáris egyenletrendszerek

3. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 3. előadás Lineáris egyenletrendszerek 3. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 47. 50. oldal. Gondolkodnivalók Determinánsok 1. Gondolkodnivaló Determinánselméleti tételek segítségével határozzuk meg a következő n n-es determinánst: 1

Részletesebben

Algoritmusok bonyolultsága

Algoritmusok bonyolultsága Algoritmusok bonyolultsága 5. előadás http://www.ms.sapientia.ro/~kasa/komplex.htm 1 / 27 Gazdaságos faváz Kruskal-algoritmus Joseph Kruskal (1928 2010) Legyen V = {v 1, v 2,..., v n }, E = {e 1, e 2,...,

Részletesebben

Páros összehasonlítás mátrixok empirikus vizsgálata p. 1/20

Páros összehasonlítás mátrixok empirikus vizsgálata p. 1/20 Páros összehasonlítás mátrixok empirikus vizsgálata Bozóki Sándor 1,2, Dezső Linda 3,4, Poesz Attila 2, Temesi József 2 1 MTA SZTAKI; 2 Budapesti Corvinus Egyetem 3 Szegedi Tudományegyetem 4 Budapesti

Részletesebben

Szalai Péter. April 17, Szalai Péter April 17, / 36

Szalai Péter. April 17, Szalai Péter April 17, / 36 Szociális hálók Szalai Péter April 17, 2015 Szalai Péter April 17, 2015 1 / 36 Miről lesz szó? 1 Megfigyelések Kis világ Power-law Klaszterezhetőség 2 Modellek Célok Erdős-Rényi Watts-Strogatz Barabási

Részletesebben

Opponensi vélemény. Farkas András. Közlekedési rendszerek fejlesztése és értékelése többtényezős döntési eljárások felhasználásával

Opponensi vélemény. Farkas András. Közlekedési rendszerek fejlesztése és értékelése többtényezős döntési eljárások felhasználásával Opponensi vélemény Farkas András Közlekedési rendszerek fejlesztése és értékelése többtényezős döntési eljárások felhasználásával 1. Disszertáció felépítése c. akadémiai doktori értekezéséről Az angol

Részletesebben

Mátrixjátékok tiszta nyeregponttal

Mátrixjátékok tiszta nyeregponttal 1 Mátrixjátékok tiszta nyeregponttal 1. Példa. Két játékos Aladár és Bendegúz rendelkeznek egy-egy tetraéderrel, melyek lapjaira rendre az 1, 2, 3, 4 számokat írták. Egy megadott jelre egyszerre felmutatják

Részletesebben

Munkakörtervezés és -értékelés

Munkakörtervezés és -értékelés Munkakörtervezés és Emberierőforrás-menedzsment Dr. Finna Henrietta egyetemi adjunktus Dr. Finna Henrietta: Atipikus foglalkoztatás Munkakör-áttervezés A munkakörtervezés egy olyan folyamat, amelyben egy

Részletesebben

Sapientia - Erdélyi Magyar TudományEgyetem (EMTE) Csíkszereda IRT- 4. kurzus. 3. Előadás: A mohó algoritmus

Sapientia - Erdélyi Magyar TudományEgyetem (EMTE) Csíkszereda IRT- 4. kurzus. 3. Előadás: A mohó algoritmus Csíkszereda IRT-. kurzus 3. Előadás: A mohó algoritmus 1 Csíkszereda IRT. kurzus Bevezetés Az eddig tanult algoritmus tipúsok nem alkalmazhatók: A valós problémák nem tiszta klasszikus problémák A problémák

Részletesebben

1. zárthelyi,

1. zárthelyi, 1. zárthelyi, 2009.10.20. 1. Írjuk fel a tér P = (0,2,4) és Q = (6, 2,2) pontjait összekötő szakasz felezőmerőleges síkjának egyenletét. 2. Tekintsük az x + 2y + 3z = 14, a 2x + 6y + 10z = 24 és a 4x+2y

Részletesebben

Meghatalmazott Ajánlatkérő: Hivatalos név: Tolnáért-Tolna Megyei Térségfejlesztési Nonprofit Közhasznú Kft. Postai cím: Szent István tér

Meghatalmazott Ajánlatkérő: Hivatalos név: Tolnáért-Tolna Megyei Térségfejlesztési Nonprofit Közhasznú Kft. Postai cím: Szent István tér 14. melléklet a 44/2015. (XI. 2.) MvM rendelethez KÖZBESZERZÉSI ADATBÁZIS Összegezés az ajánlatok elbírálásáról I. szakasz: Ajánlatkérő I.1) Név és címek 1 (jelölje meg az eljárásért felelős összes ajánlatkérőt)

Részletesebben

8. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, , oldal. 8. előadás Mátrix rangja, Homogén lineáris egyenletrendszer

8. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, , oldal. 8. előadás Mátrix rangja, Homogén lineáris egyenletrendszer 8. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 51. 56., 70. 74. oldal. Gondolkodnivalók Elemi bázistranszformáció 1. Gondolkodnivaló Most ne vegyük figyelembe, hogy az elemi bázistranszformáció során ez

Részletesebben

Diszkrét matematika I., 12. előadás Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach november 30.

Diszkrét matematika I., 12. előadás Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet   takach november 30. 1 Diszkrét matematika I, 12 előadás Dr Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@infnymehu http://infnymehu/ takach 2005 november 30 Vektorok Definíció Egy tetszőleges n pozitív egész számra n-komponensű

Részletesebben

Mátrixok 2017 Mátrixok

Mátrixok 2017 Mátrixok 2017 számtáblázatok" : számok rendezett halmaza, melyben a számok helye két paraméterrel van meghatározva. Például lineáris egyenletrendszer együtthatómátrixa 2 x 1 + 4 x 2 = 8 1 x 1 + 3 x 2 = 1 ( 2 4

Részletesebben

2017/ Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet

2017/ Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet Operációkutatás I. 2017/2018-2. Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet Számítógépes Optimalizálás Tanszék 8. Előadás Bevezetés Egy olyan LP-t, amelyben mindegyik változó egészértékű, tiszta egészértékű

Részletesebben

Többszempontú döntési problémák. II. Esettanulmányok a WINGDSS szoftverrel

Többszempontú döntési problémák. II. Esettanulmányok a WINGDSS szoftverrel Budapesti Corvinus Egyetem MTA Számítástechnikai és Automatizálási Kutató Intézetébe kihelyezett Gazdasági Döntések Tanszék Rapcsák Tamás Többszempontú döntési problémák II. Esettanulmányok a WINGDSS szoftverrel

Részletesebben

Totális Unimodularitás és LP dualitás. Tapolcai János

Totális Unimodularitás és LP dualitás. Tapolcai János Totális Unimodularitás és LP dualitás Tapolcai János tapolcai@tmit.bme.hu 1 Optimalizálási feladat kezelése NP-nehéz Hatékony megoldás vélhetően nem létezik Jó esetben hatékony algoritmussal közelíteni

Részletesebben

9. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 9. előadás Mátrix inverze, Leontyev-modell

9. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 9. előadás Mátrix inverze, Leontyev-modell 9. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 75. 84. oldal. Gondolkodnivalók Mátrix rangja 1. Gondolkodnivaló Tegyük fel, hogy egy elemi bázistranszformáció kezdetekor a sor- és oszlopindexek sorban helyezkednek

Részletesebben

Felvételi tematika INFORMATIKA

Felvételi tematika INFORMATIKA Felvételi tematika INFORMATIKA 2016 FEJEZETEK 1. Természetes számok feldolgozása számjegyenként. 2. Számsorozatok feldolgozása elemenként. Egydimenziós tömbök. 3. Mátrixok feldolgozása elemenként/soronként/oszloponként.

Részletesebben

Numerikus integrálás

Numerikus integrálás Közelítő és szimbolikus számítások 11. gyakorlat Numerikus integrálás Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Somogyi Viktor Vinkó Tamás London András Deák Gábor jegyzetei alapján 1. Határozatlan integrál

Részletesebben

Mikroökonómia elıadás

Mikroökonómia elıadás Mikroökonómia - 12. elıadás JÓLÉT ÉS TÁRSADALMI PREFERENCIÁK Bacsi, 12. ea. 1 Fogyasztói preferenciák A fogyasztó saját jószágkosarainak összehasonlítása pl: 1 narancs + 3 kg hús + 2 pár cipı kevésbé értékes,

Részletesebben

Mintavétel fogalmai STATISZTIKA, BIOMETRIA. Mintavételi hiba. Statisztikai adatgyűjtés. Nem véletlenen alapuló kiválasztás

Mintavétel fogalmai STATISZTIKA, BIOMETRIA. Mintavételi hiba. Statisztikai adatgyűjtés. Nem véletlenen alapuló kiválasztás STATISZTIKA, BIOMETRIA. Előadás Mintavétel, mintavételi technikák, adatbázis Mintavétel fogalmai A mintavételt meg kell tervezni A sokaság elemei: X, X X N, lehet véges és végtelen Mintaelemek: x, x x

Részletesebben

6. gyakorlat. Gelle Kitti. Csendes Tibor Somogyi Viktor. London András. jegyzetei alapján

6. gyakorlat. Gelle Kitti. Csendes Tibor Somogyi Viktor. London András. jegyzetei alapján Közelítő és szimbolikus számítások 6. gyakorlat Sajátérték, Gersgorin körök Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Somogyi Viktor Vinkó Tamás London András Deák Gábor jegyzetei alapján . Mátrixok sajátértékei

Részletesebben

Matlab alapok. Baran Ágnes

Matlab alapok. Baran Ágnes Matlab alapok Mátrixok Baran Ágnes Mátrixok megadása Mátrix megadása elemenként A = [1, 2, 3; 4, 5, 6; 7, 8, 9] vagy A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9] eredménye: A = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 (Az egy sorban álló elemeket

Részletesebben

9. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 9. előadás Mátrix inverze, mátrixegyenlet

9. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 9. előadás Mátrix inverze, mátrixegyenlet 9. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 75. 84. oldal. Gondolkodnivalók Mátrix rangja 1. Gondolkodnivaló Határozzuk meg a p valós paraméter értékétől függően a következő mátrix rangját: p 3 1 2 2

Részletesebben

Experts. szakértoi rendszerek. www.diagnostics.hu. Kalocsai László, +36 (30) 9-773-890 2004 Ver. 09p07

Experts. szakértoi rendszerek. www.diagnostics.hu. Kalocsai László, +36 (30) 9-773-890 2004 Ver. 09p07 szakértoi rendszerek Kalocsai László, +36 (30) 9-773-890 2004 Ver. 09p07 www.diagnostics.hu Diagnosztika Experts Szakértoi és nyilvántartó rendszerek Mérések, muszerek, méréstechnika, diagnosztika Nagymennyiségu

Részletesebben

5. Előadás. (5. előadás) Mátrixegyenlet, Mátrix inverze március 6. 1 / 39

5. Előadás. (5. előadás) Mátrixegyenlet, Mátrix inverze március 6. 1 / 39 5. Előadás (5. előadás) Mátrixegyenlet, Mátrix inverze 2019. március 6. 1 / 39 AX = B (5. előadás) Mátrixegyenlet, Mátrix inverze 2019. március 6. 2 / 39 AX = B Probléma. Legyen A (m n)-es és B (m l)-es

Részletesebben

Nemzeti, Kbt Nyílt eljárás - EKR

Nemzeti, Kbt Nyílt eljárás - EKR ELJÁRÁS AZONOSÍTÓ ADATAI Nemzeti, Kbt. 115. Nyílt eljárás - EKR000491082018 E60 - Szerződéskötési-, teljesítési szakasz Ajánlatkérő neve: Közbeszerzés tárgya: ALFÖLDVÍZ Regionális Víziközmű-szolgáltató

Részletesebben

További programozási esetek Hiperbolikus, kvadratikus, integer, bináris, többcélú programozás

További programozási esetek Hiperbolikus, kvadratikus, integer, bináris, többcélú programozás További programozási esetek Hiperbolikus, kvadratikus, integer, bináris, többcélú programozás Készítette: Dr. Ábrahám István Hiperbolikus programozás Gazdasági problémák optimalizálásakor gyakori, hogy

Részletesebben

HARCÁSZATI REPÜLŐGÉPEK ÖSSZEHASONLÍTÁSÁRA HASZNÁLHATÓ MATEMATIKAI MÓDSZEREK

HARCÁSZATI REPÜLŐGÉPEK ÖSSZEHASONLÍTÁSÁRA HASZNÁLHATÓ MATEMATIKAI MÓDSZEREK Békési Bertold - Kavas László - Prof Dr. Óvári Gyula HARCÁSZATI REPÜLŐGÉPEK ÖSSZEHASONLÍTÁSÁRA HASZNÁLHATÓ MATEMATIKAI MÓDSZEREK A Magyar Honvédség légierejének lehetséges korszerűsítési módja napjainkban

Részletesebben

ELEMI BÁZISTRANSZFORMÁCIÓ LÉPÉSEI 1.EGYSZERŰSÍTETT VÁLTOZAT. 1.a) Paramétert nem tartalmazó eset

ELEMI BÁZISTRANSZFORMÁCIÓ LÉPÉSEI 1.EGYSZERŰSÍTETT VÁLTOZAT. 1.a) Paramétert nem tartalmazó eset ELEMI BÁZISTRANSZFORMÁCIÓ LÉPÉSEI 1.EGYSZERŰSÍTETT VÁLTOZAT 1.a) Paramétert nem tartalmazó eset A bázistranszformáció egyszerűsített változatában a bázison kívül elhelyezkedő vektorokból amennyit csak

Részletesebben

Konvexitás, elaszticitás

Konvexitás, elaszticitás DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS ALKALMAZÁSAI Konveitás, elaszticitás Tanulási cél A másodrendű deriváltat vizsgálva milyen következtetéseket vonhatunk le a üggvény konveitására vonatkozóan. Elaszticitás ogalmának

Részletesebben

EGYSZERŰ, NEM IRÁNYÍTOTT (IRÁNYÍTATLAN) GRÁF

EGYSZERŰ, NEM IRÁNYÍTOTT (IRÁNYÍTATLAN) GRÁF Összefoglaló Gráfok / EGYSZERŰ, NEM IRÁNYÍTOTT (IRÁNYÍTATLAN) GRÁF Adott a G = (V, E) gráf ahol a V a csomópontok, E az élek halmaza E = {(x, y) x, y V, x y (nincs hurokél) és (x, y) = (y, x)) Jelölések:

Részletesebben

Segédlet: Főfeszültségek meghatározása Mohr-féle feszültségi körök alkalmazásával

Segédlet: Főfeszültségek meghatározása Mohr-féle feszültségi körök alkalmazásával Segédlet: Főfeszültségek meghatározása Mohr-féle feszültségi körök alkalmazásával Készítette: Dr. Kossa Attila (kossa@mm.bme.hu) BME, Műszaki Mechanikai Tanszék 212. október 16. Frissítve: 215. január

Részletesebben

Diszkrét matematika I. gyakorlat

Diszkrét matematika I. gyakorlat Vizsgafeladatok megoldása 2012. december 5. Tartalom Teljes feladatsor #1 1 Teljes feladatsor #1 2 Teljes feladatsor #2 3 Teljes feladatsor #3 4 Teljes feladatsor #4 5 Válogatott feladatok 6 Végső bölcsesség

Részletesebben

Nemzeti, Kbt Nyílt eljárás - EKR

Nemzeti, Kbt Nyílt eljárás - EKR ELJÁRÁS AZONOSÍTÓ ADATAI Nemzeti, Kbt. 115. Nyílt eljárás - EKR000219752018 E50 - Bírálati szakasz Ajánlatkérő neve: Közbeszerzés tárgya: ALFÖLDVÍZ Regionális Víziközmű-szolgáltató Zártkörűen Működő Részvénytársaság

Részletesebben

10. Előadás. 1. Feltétel nélküli optimalizálás: Az eljárás alapjai

10. Előadás. 1. Feltétel nélküli optimalizálás: Az eljárás alapjai Optimalizálási eljárások MSc hallgatók számára 10. Előadás Előadó: Hajnal Péter Jegyzetelő: T. Szabó Tamás 2011. április 20. 1. Feltétel nélküli optimalizálás: Az eljárás alapjai A feltétel nélküli optimalizálásnál

Részletesebben

Numerikus módszerek 1.

Numerikus módszerek 1. Numerikus módszerek 1. 6. előadás: Vektor- és mátrixnormák Lócsi Levente ELTE IK 2013. október 14. Tartalomjegyzék 1 Vektornormák 2 Mátrixnormák 3 Természetes mátrixnormák, avagy indukált normák 4 Mátrixnormák

Részletesebben

Gráfelméleti feladatok. c f

Gráfelméleti feladatok. c f Gráfelméleti feladatok d e c f a b gráf, csúcsok, élek séta: a, b, c, d, e, c, a, b, f vonal: c, d, e, c, b, a út: f, b, a, e, d (walk, lanţ) (trail, lanţ simplu) (path, lanţ elementar) 1 irányított gráf,

Részletesebben

3. A választott eljárás fajtája: Kbt. Harmadik rész, XII. fejezet szerinti nyílt közbeszerzési eljárás

3. A választott eljárás fajtája: Kbt. Harmadik rész, XII. fejezet szerinti nyílt közbeszerzési eljárás 9. melléklet a 9/2011. (XII.30.) NFM rendelethez Összegezés az ajánlatok elbírálásáról 1. Az ajánlatkérő neve és címe: Hit Gyülekezete (székhely: 1103 Budapest, Gyömrői út 69., adószám: 19187262-4-42,,

Részletesebben

9. gyakorlat Lineáris egyenletrendszerek megoldási módszerei folyt. Néhány kiegészítés a Gauss- és a Gauss Jordan-eliminációhoz

9. gyakorlat Lineáris egyenletrendszerek megoldási módszerei folyt. Néhány kiegészítés a Gauss- és a Gauss Jordan-eliminációhoz 9. gyakorlat Lineáris egyenletrendszerek megoldási módszerei folyt. Néhány kiegészítés a Gauss- és a Gauss Jordan-eliminációhoz. Mindkét eliminációs módszer műveletigénye sokkal kisebb, mint a Cramer-szabályé:

Részletesebben

Esettanulmányok a WINGDSS szoftverrel

Esettanulmányok a WINGDSS szoftverrel Budapesti Közgazdaságtudományi és Államigazgatási Egyetem MTA Számítástechnikai és Automatizálási Kutató Intézetébe kihelyezett Gazdasági Döntések Tanszék Rapcsák Tamás Többszempontú döntési problémák

Részletesebben

Tender-EXPERT. Hatékony megoldás a szervezet érdekeinek védelmére. Bull Kormányzati Megoldások Szakmai Nap. Veszelka Tamás. vezérigazgató Winsdom Zrt.

Tender-EXPERT. Hatékony megoldás a szervezet érdekeinek védelmére. Bull Kormányzati Megoldások Szakmai Nap. Veszelka Tamás. vezérigazgató Winsdom Zrt. Tender-EXPERT Hatékony megoldás a szervezet érdekeinek védelmére Bull Kormányzati Megoldások Szakmai Nap Veszelka Tamás vezérigazgató Winsdom Zrt. Tartalom Cégünkről Elvárások kereszttüzében merre vezet

Részletesebben

A tanulók oktatási azonosítójára és a két mérési területen elér pontszámukra lesz szükség az elemzéshez.

A tanulók oktatási azonosítójára és a két mérési területen elér pontszámukra lesz szükség az elemzéshez. Útmutató az idegen nyelvi mérés adatainak elemzéshez készült Excel táblához A református iskolák munkájának megkönnyítése érdekében készítettünk egy mintadokumentumot (Idegen nyelvi mérés_intézkedési tervhez

Részletesebben

Struktúra nélküli adatszerkezetek

Struktúra nélküli adatszerkezetek Struktúra nélküli adatszerkezetek Homogén adatszerkezetek (minden adatelem azonos típusú) osztályozása Struktúra nélküli (Nincs kapcsolat az adatelemek között.) Halmaz Multihalmaz Asszociatív 20:24 1 A

Részletesebben

Statisztika I. 8. előadás. Előadó: Dr. Ertsey Imre

Statisztika I. 8. előadás. Előadó: Dr. Ertsey Imre Statisztika I. 8. előadás Előadó: Dr. Ertsey Imre Minták alapján történő értékelések A statisztika foglalkozik. a tömegjelenségek vizsgálatával Bizonyos esetekben lehetetlen illetve célszerűtlen a teljes

Részletesebben

1. Feladat: beolvas két számot úgy, hogy a-ba kerüljön a nagyobb

1. Feladat: beolvas két számot úgy, hogy a-ba kerüljön a nagyobb 1. Feladat: beolvas két számot úgy, hogy a-ba kerüljön a nagyobb #include main() { int a, b; printf( "a=" ); scanf( "%d", &a ); printf( "b=" ); scanf( "%d", &b ); if( a< b ) { inttmp = a; a =

Részletesebben

AJÁNLATTEVŐ. Székhelyén. Tárgy: Kiegészítő tájékoztatás I. Tisztelt Ajánlattevő!

AJÁNLATTEVŐ. Székhelyén. Tárgy: Kiegészítő tájékoztatás I. Tisztelt Ajánlattevő! AJÁNLATTEVŐ Tárgy: Kiegészítő tájékoztatás I. Tisztelt Ajánlattevő! Székhelyén Belügyminisztérium, mint Ajánlatkérő közbeszerzési eljárást kezdeményezett Keretmegállapodás a rendészeti továbbképzési feladatok

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek grafikus megoldása TK. II. kötet 25. old. 3. feladat

Egyenletek, egyenlőtlenségek grafikus megoldása TK. II. kötet 25. old. 3. feladat Egyenletek, egyenlőtlenségek grafikus megoldása TK. II. kötet. old.. feladat a. lépés: Az egyenlet bal oldalának ábrázolása függvényként.. lépés: Az egyenlet bal oldalának ábrázolása függvényként.. lépés:

Részletesebben

Egy érdekes statikai - geometriai feladat

Egy érdekes statikai - geometriai feladat 1 Egy érdekes statikai - geometriai feladat Előző dolgozatunkban melynek címe: Egy érdekes geometriai feladat egy olyan feladatot oldottunk meg, ami az itteni előtanulmányának is tekinthető. Az ottani

Részletesebben

A szimplex algoritmus

A szimplex algoritmus A szimplex algoritmus Ismétlés: reprezentációs tétel, az optimális megoldás és az extrém pontok kapcsolata Alapfogalmak: bázisok, bázismegoldások, megengedett bázismegoldások, degenerált bázismegoldás

Részletesebben

Kérdés Lista. A Magyarországon alkalmazott rajzlapoknál mekkora az oldalak aránya?

Kérdés Lista. A Magyarországon alkalmazott rajzlapoknál mekkora az oldalak aránya? Kérdés Lista információ megjelenítés :: műszaki rajz T A darabjegyzék előállítása során milyen sorrendben számozzuk a tételeket? Adjon meg legalább két módszert! T A Magyarországon alkalmazott rajzlapoknál

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 10 X. SZIMULÁCIÓ 1. VÉLETLEN számok A véletlen számok fontos szerepet játszanak a véletlen helyzetek generálásában (pénzérme, dobókocka,

Részletesebben

Általános algoritmustervezési módszerek

Általános algoritmustervezési módszerek Általános algoritmustervezési módszerek Ebben a részben arra mutatunk példát, hogy miként használhatóak olyan általános algoritmustervezési módszerek mint a dinamikus programozás és a korlátozás és szétválasztás

Részletesebben

Mátrix-alapú projektkockázatmenedzsment

Mátrix-alapú projektkockázatmenedzsment Mátrix-alapú projektkockázatmenedzsment Hegedűs Csaba, Kosztyán Zsolt Tibor Pannon Egyetem, Kvantitatív Módszerek Intézeti Tanszék XXXII. Magyar Operációkutatási Konferencia Cegléd, 2017.06.14-16. Informatikai

Részletesebben

Vektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek

Vektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek a Matematika mérnököknek I. című tárgyhoz Vektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek Vektorok A rendezett valós számpárokat kétdimenziós valós vektoroknak nevezzük. Jelölésükre latin kisbetűket használunk.

Részletesebben

Oktatási Hivatal. A 2014/2015 tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny döntő fordulójának feladatai. II. (programozás) kategória

Oktatási Hivatal. A 2014/2015 tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny döntő fordulójának feladatai. II. (programozás) kategória Oktatási Hivatal A 2014/2015 tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny döntő fordulójának feladatai II. (programozás) kategória Kedves Versenyző! A megoldások értékelése automatikusan, online módon

Részletesebben

Görbe- és felületmodellezés. Szplájnok Felületmodellezés

Görbe- és felületmodellezés. Szplájnok Felületmodellezés Görbe- és felületmodellezés Szplájnok Felületmodellezés Spline (szplájn) Spline: Szakaszosan, parametrikus polinomokkal leírt görbe A spline nevét arról a rugalmasan hajlítható vonalzóról kapta, melyet

Részletesebben

Térinformatikai algoritmusok Elemi algoritmusok

Térinformatikai algoritmusok Elemi algoritmusok Cserép Máté Analóg programozásnak nevezzük azt, amikor egy feladat megoldásához egy már ismert és megoldott feladat megoldását használjuk fel. Általában nem pontosan ugyanazt a feladatot oldottuk meg korábban,

Részletesebben

9. Előadás. (9. előadás) Lineáris egyr.(3.), Sajátérték április / 35

9. Előadás. (9. előadás) Lineáris egyr.(3.), Sajátérték április / 35 9. Előadás (9. előadás) Lineáris egyr.(3.), Sajátérték 2019. április 24. 1 / 35 Portfólió-analízis Tegyük fel, hogy egy bank 4 különböző eszközbe fektet be (réz, búza, arany és kakaó). Az ügyfeleinek ezen

Részletesebben

2. Készítsen awk szkriptet, amely kiírja az aktuális könyvtár összes alkönyvtárának nevét, amely februári keltezésű (bármely év).

2. Készítsen awk szkriptet, amely kiírja az aktuális könyvtár összes alkönyvtárának nevét, amely februári keltezésű (bármely év). 1. fejezet AWK 1.1. Szűrési feladatok 1. Készítsen awk szkriptet, ami kiírja egy állomány leghosszabb szavát. 2. Készítsen awk szkriptet, amely kiírja az aktuális könyvtár összes alkönyvtárának nevét,

Részletesebben

Matematikai geodéziai számítások 10.

Matematikai geodéziai számítások 10. Matematikai geodéziai számítások 10. Hibaellipszis, talpponti görbe és közepes ponthiba Dr. Bácsatyai, László Matematikai geodéziai számítások 10.: Hibaellipszis, talpponti görbe és Dr. Bácsatyai, László

Részletesebben

Mérés és modellezés Méréstechnika VM, GM, MM 1

Mérés és modellezés Méréstechnika VM, GM, MM 1 Mérés és modellezés 2008.02.04. 1 Mérés és modellezés A mérnöki tevékenység alapeleme a mérés. A mérés célja valamely jelenség megismerése, vizsgálata. A mérés tervszerűen végzett tevékenység: azaz rögzíteni

Részletesebben

Szöveges feladatok a mátrixaritmetika alkalmazására

Szöveges feladatok a mátrixaritmetika alkalmazására Szöveges feladatok a mátrixaritmetika alkalmazására Bevezetés: Tekintsük az alábbi -es mátrixot: A. Szorozzuk meg ezt jobbról egy alkalmas méretű (azaz -es) oszlopvektorral, amely az R tér kanonikus bázisának

Részletesebben

BAGME11NNF Munkavédelmi mérnökasszisztens Galla Jánosné, 2011.

BAGME11NNF Munkavédelmi mérnökasszisztens Galla Jánosné, 2011. BAGME11NNF Munkavédelmi mérnökasszisztens Galla Jánosné, 2011. 1 Mérési hibák súlya és szerepe a mérési eredményben A mérési hibák csoportosítása A hiba rendűsége Mérési bizonytalanság Standard és kiterjesztett

Részletesebben

5 labda ára 5x. Ez 1000 Ft-tal kevesebb, mint a nyeremény 1p. 7 labda ára 7x. Ez 2200Ft-tal több, mint a nyeremény 1p 5 x x 2200

5 labda ára 5x. Ez 1000 Ft-tal kevesebb, mint a nyeremény 1p. 7 labda ára 7x. Ez 2200Ft-tal több, mint a nyeremény 1p 5 x x 2200 2014. november 28. 7. osztály Pontozási útmutató 1. Egy iskola kosárlabda csapata egy tornán sportszervásárlási utalványt nyert. A csapat edzője szeretne néhány kosárlabdát vásárolni az iskola számára.

Részletesebben

Bázistranszformáció és alkalmazásai 2.

Bázistranszformáció és alkalmazásai 2. Bázistranszformáció és alkalmazásai 2. Lineáris algebra gyakorlat Összeállította: Bogya Norbert Tartalomjegyzék 1 Mátrix rangja 2 Mátrix inverze 3 Mátrixegyenlet Mátrix rangja Tartalom 1 Mátrix rangja

Részletesebben

FOLYAMATAUDIT JELENTÉS ELEKTRONIKUS VÁLTOZATA

FOLYAMATAUDIT JELENTÉS ELEKTRONIKUS VÁLTOZATA FOLYAMATAUDIT JELENTÉS ELEKTRONIKUS VÁLTOZATA 2.0 VERZIÓ A program alkalmazási környezete A program felépítése, tulajdonságai A program további tulajdonságai A program ára A program szállítása, telepítése

Részletesebben

A mérés problémája a pedagógiában. Dr. Nyéki Lajos 2015

A mérés problémája a pedagógiában. Dr. Nyéki Lajos 2015 A mérés problémája a pedagógiában Dr. Nyéki Lajos 2015 A mérés fogalma Mérésen olyan tevékenységet értünk, amelynek eredményeként a vizsgált jelenség számszerűen jellemezhetővé, más hasonló jelenségekkel

Részletesebben

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny, 2004/2005-ös tanév INFORMATIKA, II. (programozói) kategória második fordulójának javítási útmutatója

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny, 2004/2005-ös tanév INFORMATIKA, II. (programozói) kategória második fordulójának javítási útmutatója Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny, 2004/2005-ös tanév INFORMATIKA, II. (programozói) kategória második fordulójának javítási útmutatója Kérjük a tisztelt kollégákat, hogy az egységes értékelés érdekében

Részletesebben

Problémás regressziók

Problémás regressziók Universitas Eotvos Nominata 74 203-4 - II Problémás regressziók A közönséges (OLS) és a súlyozott (WLS) legkisebb négyzetes lineáris regresszió egy p- változós lineáris egyenletrendszer megoldása. Az egyenletrendszer

Részletesebben

Programozás. (GKxB_INTM021) Dr. Hatwágner F. Miklós március 31. Széchenyi István Egyetem, Gy r

Programozás. (GKxB_INTM021) Dr. Hatwágner F. Miklós március 31. Széchenyi István Egyetem, Gy r Programozás (GKxB_INTM021) Széchenyi István Egyetem, Gy r 2018. március 31. Városok közötti távolság Feladat: két város nevének beolvasása, városok közötti távolság megjelenítése. Kilépés azonos városok

Részletesebben

Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Tekintsünk a térben egy P (p 1, p 2, p 3 ) pontot és egy v = (v 1, v 2, v 3 ) = 0 vektort. Ekkor pontosan egy egyenes létezik,

Részletesebben

DÖNTÉSELŐKÉSZÍTŐ ÉRTÉKELÉSI MODELLEK ÉS MÓDSZEREK

DÖNTÉSELŐKÉSZÍTŐ ÉRTÉKELÉSI MODELLEK ÉS MÓDSZEREK DÖNTÉSELŐKÉSZÍTŐ ÉRTÉKELÉSI MODELLEK ÉS MÓDSZEREK Dr.Tánczos Lászlóné egyetemi tanár BME KözlekedésgazdaságiTanszék TÉMÁK - I A döntési folyamatok áttekintése és rendszerezése. Egykritériumú döntések optimalizálási

Részletesebben

1. Olvassuk be két pont koordinátáit: (x1, y1) és (x2, y2). Határozzuk meg a két pont távolságát és nyomtassuk ki.

1. Olvassuk be két pont koordinátáit: (x1, y1) és (x2, y2). Határozzuk meg a két pont távolságát és nyomtassuk ki. Számítás:. Olvassuk be két pont koordinátáit: (, y) és (2, y2). Határozzuk meg a két pont távolságát és nyomtassuk ki. 2. Olvassuk be két darab két dimenziós vektor komponenseit: (a, ay) és (b, by). Határozzuk

Részletesebben

Principal Component Analysis

Principal Component Analysis Principal Component Analysis Principal Component Analysis Principal Component Analysis Definíció Ortogonális transzformáció, amely az adatokat egy új koordinátarendszerbe transzformálja úgy, hogy a koordináták

Részletesebben