2 ADATKEZELÉS, STATISZTIKAI ÉS SZÁMÍTÁSTECHNIKAI ALAPOK

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "2 ADATKEZELÉS, STATISZTIKAI ÉS SZÁMÍTÁSTECHNIKAI ALAPOK"

Átírás

1 ELTE Regonáls Földrajz Tanszék ADATKEZELÉS, STATISZTIKAI ÉS SZÁMÍTÁSTECHNIKAI ALAPOK 2.1 Terület statsztka és térelemzés A kutatás cél, a főbb vzsgálat témakörök (hpotézsek) meghatározása, a szükséges nformácók összegyűjtése után gyakran már az nformácógyűjtéssel párhuzamosan három fontos munkafázst hív elő a kutatás folyamat, még a tényleges elemzés szakasz előtt: az nformácók jellegének, méréselmélet tulajdonságanak s ebből következő használhatóságának ellenőrzése. Itt kerül először szembe a kutató a statsztka alapfogalmaval. Ezzel megelőzhetjük azt, hogy az elemzés közepén kerüljünk zsákutcába, s hogy netán adatankat alkalmatlan módszerekkel dolgozzuk fel. az összegyűjtött nformácók rendszerezése (átteknthető adattáblák előállítása) ebben kemelt szerepe van ma a számítástechnka eszközenek és módszerenek. az összetettebb eljárások bevetése előtt fontos összefüggések tárhatók fel az alapnformácók (alapadatok) egyszerű átalakításával s. Ebben a fázsban az elem matematka eljárásanak lehet szerepe. Számos terület vzsgálat nduló lépése az nformácók térképezése, grafkus ábrázolása. Ha van fejezete a kötetnek, amre mndenképp áll, hogy bármfajta teljesség génye nélkül készült, akkor ez az, hsz akár a matematka, a statsztka vagy a számítástechnka alapfogalmanak áttekntése s önálló köteteket tölthetne k. Ismételten hangsúlyozzuk, ez a munka nem matematka-tankönyv, nem számítástechnka sorvezető s nem statsztka kézkönyv. Ugyanakkor épp oktatás tapasztalatank alapján nem tűnt feleslegesnek a három tudományterület néhány fontos fogalmának feldézése tt s mntegy emlékezetőként a legtöbbek által már (a középskolában vagy a felsőfokú képzés specáls kurzusan) elsajátított smeretekre. Itt smertetjük a terület kutatások kvanttatív módszere kapcsán leggyakrabban használt s a kötetben s alkalmazott jelöléseket, formulákat s. E fejezet tartalmazza az ELTE geográfusképzés alapozó matematka, statsztka és számítástechnka kurzusan sorra vett legfontosabb kérdésköröket. Ezek oktatás anyagokba, jegyzetekbe foglalásában a haza műhelyek közül kétségkívül a szeged egyetem oktató állnak az élen, akk tollából vagy szerkesztésében a korább munkák után a klencvenes években s több kötet látott napvlágot (Koppány Gy. et al 1995, Herend I. et al. 1996, Abonyné Palotás J. 1999, Katona T. - Lengyel I. szerk. 1999). A bevezető egyetem kurzusokon jól használható összefoglalója a társadalomföldrajzban használható elem matematka eljárásoknak Vucs Tbor feladatgyűjteménye (Vucs T. szerk. é.n.) A matematka-statsztka kézkönyve közül Hunyad L. Vta L munkája a legújabb, a sokág használt klasszkusok közül kemelhető Köves P. Párnczky G Mndezek haszonnal forgathatók. Mvel a matematka és a statsztka smeretek nem avulnak el, bármely régebb átfogó könyv használható ma s. Mndez kevésbé mondható el a számítástechnkára, ott különösen érdemes fgyeln a legújabb kadványokra. A kvanttatív elemzéseket a terület kutatásokban a vzsgálat térbelsége és az elemzett egységek, objektumok jellege szernt két nagy csoportba oszthatjuk: A területegységek (települések, régók, országok vagy általában bármlyen konkrét térfelosztás eredményeként kapott területegységek rendszerenek) vzsgálata a klasszkus terület adatmátrxból ( 2.2.2) ndul, s elemzés eszköztára az általános és terület statsztka (spatal statstcs) módszerere támaszkodk 1. A térbel, terület azonosítás ezekben az esetekben a megfgyelés egységek nevével, térkép ábrázolásával történk. E vzsgálatok számítástechnka bázsát a hagyományos táblázatkezelő és statsztka, valamnt térképrajzoló programok jelentk. 1 Ezt az smeretkört fogja át a haza regonáls elemző szakrodalom mmár klasszkusnak számító munkája, a Skos T. Tamás által szerkesztett kötet (1984), s hasonló szemléletű tanulmányokat tartalmaz Kulcsár V. szerk. 1976, amely az első modern magyar nyelvű kvanttatív elemző tanulmánykötetnek teknthető.

2 ELTE Regonáls Földrajz Tanszék Ebben a szemléletben a regonáls és település elemzések belleszkednek a társadalomelemzés más dmenzó sorába (Bukod E. 2001). Ilyen jellegzetes közelítést képez a demográfa (nem, életkor csoportok, családtípusok szernt) vzsgálat; a társadalmosztály-dmenzó (foglalkozás csoportok, munkaerő-pac szektorok, ágazatok szernt megoszlás); különböző társadalmlag veszélyeztetett csoportok (képzetlenek, tartós munkanélkülek, fatal munkanélkülek, fogyatékosok stb.) vzsgálata. A térben helyzetparaméterekkel (helykoordnátákkal) azonosított adatrendszerek vzsgálatakor a térbelség, a szomszédság relácók, a távolságeloszlások, a konfgurácó vzsgálata a térelemzés (spatal data analyss, exploratory spatal data analyss) eszközet gényl A témakörben számos átfogó módszertan munka látott már napvlágot (az újabbak közül: Fotherngham, A. S. et al. 2000). A számítógép munkában tt már specáls programokra van szükség. Ez az elemzés szemlélet általánosabb kérdéskörökhöz nyt utat, mnt a sajátos terület statsztka közelítés, s így a regonáls elemzéstől tartalmlag távol, generáls problémakörökben s felbukkan (lyen kérdéskör például a képfelsmerés) analógákat kínálva a társadalm folyamatok térbelségének elemzéséhez. (A legújabb haza szakrodalomban lyen tematkát s tartalmaz Dusek T. már többször dézett értekezése, valamnt Varga A térökonometra áttekntése.) A térelemzés (ezen belül s a térökonometra) egyk vezető nemzetköz szaktekntélye, Luc Anseln a döntően GIS alapú társadalm térelemzés alább kulcsterületet és hatásat jelöl meg (Anseln, L. 1999): adatntegrácó (különböző tartalmú adatbázsok együttes elemzése a térbel lokalzácó segítségével, egyazon területre vonatkozóan), a térbel eloszlások, konfgurácók feltárását segítő vzualzácó, emprkus térstatsztka és tér-ökonometra elemzések, a térbel (földrajz) gondolkodás erősödése a társadalomkutatásban (lásd például Krugman új gazdaság földrajzát) és a döntéshozatalban, a társadalm tér szemléletének alakítása különböző tudományterületeken, a tér-dő relácók kutatásának előtérbe kerülése. Mndezek fontos feltételeként hangsúlyozza a térelemzés smeretek ntegrálását az oktatásba, képzésbe. (Hasonló elemzés momentumokat emel k Bvand, R ) Érdemes még megemlíten, hogy a módszertan rodalomban találkozhatunk a térstatsztka kfejezéssel s, ez azonban nem a helyzetparaméterekhez kötődő, geokódolt adatok elemzését jelent, hanem a sokváltozós, n-dmenzós adatrendszerek ( terek ) vzsgálat módszerere utal (Füstös Meszéna Smonné 1997). Ezek közül kötetünkben részletesebben a faktoranalízssel 5.5 foglakozunk 2. A kétfajta közelítés rokonságát és különbségét jól érzékeltethetjük, ha néhány alapvető fogalom, lletve kvanttatív eljárás szempontjából szembesítjük őket (2.1. táblázat). 2 Rokon-módszer a regonáls vzsgálatokban rtkábban használt többdmenzós (vagy sokdmenzós) skálázás (Lengyel I. 1999) vagy a dszkrmnanca-analízs (Obádovcs Cs. 2004). E két eljárás nkább az ordnáls változókkal, hasonlóság mértékekkel operáló véleménykutatás, szocológa vzsgálatokban gyakor. A szűkebb értelemben vett regonáls elemzések ellenben általában magasabb mérés szntű változóra épülnek, amelyeket rtkán ndokolt méréselmélet szempontból lebutítan.

3 ELTE Regonáls Földrajz Tanszék Fogalomkör Terület statsztka Térelemzés Azonosítók Nevek Helykoordnáták, vektorok Középértékek Átlag Térbel közép (súlypont) Dfferencáltság Szórás Standard távolság Megoszlások A jellemzők eloszlásfüggvénye Térbel alakzat, konfgurácó Kapcsolatok Korrelácó, regresszó Terület autokorrelácó és regresszó 2.1. táblázat A terület statsztka és a térelemzés jellegadó fogalompárja A terület statsztka és a térelemzés természetesen össze s kapcsolódhat. A terület adatok összetettebb matematka-statsztka elemzésének maga az egységek térbelsége szab korlátokat, hsz ezek a megfgyelés egységek nem teknthetők egy véletlen mnta elemenek, mert épp a térbel közelség, szomszédság következtében egymásra s hatnak, s így jellemzők között kapcsolat, terület autokorrelácó ( 4.3) léphet fel. Más kérdés azonban az, hogy egy konkrét, emprkus adatsor mondjuk a GDP-nek a vlág országara vonatkozó keresztmetszet adatsora egyáltalában valamely matematkalag jól defnált elmélet eloszlás mntájaként vzsgálandó-e vagy sem. Ez a matematka-statsztka eszközök emprkus használatának egyk mág nytott vtakérdése. A terület elemző legtermészetesebb szempontja (mondhatnánk axómája) az, hogy térbel, területegységekhez rendelt (településekre, körzetekre, országokra vonatkozó) nformácókkal dolgozk. Ez annyra magától értetődő, hogy sem maguk az nformácók, sem a velük kapcsolatos elemzés eljárások kapcsán ezt a jellemzőt külön általában nem s taglalják. Márpedg a lokalzáltság, a helyhez kötés, a térbel kterjedés és érvényesség kapcsán nem árt néhány feltételt megvzsgáln, melőtt bonyolult elemzésekbe kezdenénk. Vegyünk néhány lyen szempontot: Az adott jelenség valóságos szerveződés egységeben és szntjen vzsgálódunk-e, vagy épp ott, ahol, amre az nformácók rendelkezésre állnak? Mként módosítja a vzsgált összefüggéseket, ha megváltoztatjuk a térség kereteket és sznteket (aggregáljuk vagy dezaggregáljuk az adatokat)? Mt kezdjünk a térben megosztott, egyetlen helyhez vagy téregységhez nem vagy csak részben köthető jelenségekkel, mlyen térbel keretekben elemezzük őket? Mlyen elem (tovább nem bontható lletve tovább nem bontott) egysége vannak a terület vzsgálatoknak? Elég egyetlen térség sznten vzsgálódn, netán követelmény mnden jelenség esetében az, hogy különböző aggregácókban s elvégezzük az elemzést? Mlyen feltételekkel használhatók a terület elemzésekben a geometra jól smert téreleme (pontok, vonalak, térrészek), mnt sajátos lokalzácós modellek? Mlyen gyakorlat gondokat okoznak mndezen kérdések a (terület) társadalomrányításban? 2.2 Műveletek terület adattáblákban és adattáblákkal Szám, vektor, mátrx A terület elemzések nformácóbázsa, adattáblá leggyakrabban számokból (skalárokból), s az ezek sajátos elrendezésével létrejövő vektorokból és mátrxokból állnak. Először néhány ezekkel kapcsolatos matematka összefüggést dézünk fel.

4 ELTE Regonáls Földrajz Tanszék Szám A szám a matematka legalapvetőbb, önállóan nem defnált fogalma. Megkülönböztethető dolgok megszámlálásával jutunk a természetes számokhoz (1, 2, 3 ). Ezekből mnden más szám különböző matematka műveletek felhasználásával levezethető. Ilyen levezetett szám a 0 (nulla) s, amely tehát nem tartozk a természetes számok közé, hanem már művelet eredménye, két azonos szám különbségéből adódk (a-a = 0). A nullánál ksebb számokat negatív, a nagyobbakat poztív számoknak nevezzük. Két különböző előjelű szám s lehet azonos abszolút értékű, ha hányadosuk -1 (a/b=-1, például 5 és -5). A számok abszolút értékének önálló jelölése van: a abszolút értékét a -val (függőleges vonalak, nem szokásos zárójelek!) jelöljük, ennek megfelelően: 5 = -5 =5. Ktüntetett tulajdonságú szám az 1. Bármely számot 1-gyel szorozva önmagát kapjuk eredményül. A számok tetszőlegesen nagyok lletve kcsk lehetnek, mínusz és plusz végtelen között oszlanak el (jelölés: - és + ). Kerekítés, normál alak A valós számokat általában végtelen sok számjeggyel adhatjuk meg. Ha a szám lyen előállításában valamely adott értéknél ksebb helyértékű számjegyeket olyan módon hagyjuk el, hogy a megmaradó számjegyekkel leírt számot az elhagyott számjegyek nagyságától függően, egy adott előírás szernt módosítjuk, kerekítésről beszélünk. Tízes számrendszerben úgy kerekítünk, hogy ha a legnagyobb helyértékű elhagyott számjegy 5-nél ksebb, akkor a megmaradó számokat változatlanul hagyjuk 5-nél nagyobb, akkor a legksebb hely értékű el nem hagyott számjegyet 1-gyel növeljük épp 5, akkor csak abban az esetben nem növeljük a legksebb hely értékű el nem hagyott számjegyet, ha az páros és az elhagyott szám után csupa nulla áll (az alább számpélda másodk esete ez, mvel vszonylag rtkán fordul elő, durva szabályként azt mondhatjuk, hogy az 5-öt s felfelé kerekítjük.) Szám: 8, Kerekítve: 8,73 8, ,72 8, ,72 Az elemzések során, tartalm szempontból akkor ndokolt kerekíten, ha az adott jelzőszám esetében az elhagyott értékeknek nncs érdem jelentőségük, a kerekítés hba hatása ezért elhanyagolható. Ks elemszámú mntákból számított korrelácónál ( 4.2) sem ndokolt a tudományosnak látszó sokértékű együttható közlése és részletező nterpretácója: megye szntű rangkorrelácó 0,3915 és 0,3500 értéke egyaránt 0,4-es korrelácót jelez. (A témakör tovább matematka fnomságaról lásd a kerekítés-elmélet szakrodalmát.) A számok alakjával összefüggő átalakítás a nagy számok ún. normálalakban történő (helytakarékos) megadása. Egy szám normál alakja az egy egész helyértékű alak és 10 megfelelő hatványának szorzata. Például: január 1-én az ország népessége fő volt, ennek normálalakban megfelel az 1, *10 7 kfejezés, amnek szokványos (például a legtöbb táblázatkezelő programban használt) jelölése: 1, E (Az más kérdés, hogy a számbavétel nehézségek matt legfeljebb ezres nagyságrendben megbízható a lélekszám.) A változók jelölése Matematka összefüggésekben, képletekben, egyenletekben jellemzően nem egyes, konkrét számok, hanem általában az adott összefüggésben megengedett, értelmezhető számok halmaza, csoportja, a változók szerepelnek (a statsztkában ez a különbség jelenk meg az smérv és az smérvérték fogalompárban). Ezek jelölésére különböző (latn, görög, héber) ábécékből vett betűket használnak. Bár bzonyos matematka területeken e betűjelölések jellegzetesek a geometrában gyakorak a görög betűk (α,β), az algebra a latn betűsor elejéről válogat (a,b,c), míg a statsztka ugyanezen betűsor végéről (x, y, z) hangsúlyozn kell, hogy ezek nem kötelezően használandók, csak kényelmes konvencók. Egy új, smeretlen képlettel találkozva nem a betűkre, hanem az összefüggés tartalmára, jelentésére kell fgyeln!

5 ELTE Regonáls Földrajz Tanszék Vektor A vektor a számfogalom kterjesztése. A rendezett szám-n-eseket vektornak nevezzük. V = a, a,... a ) ( 1 2 n A rendezettség a vektorban szereplő számok rögzített sorrendjét jelent, azonos számjegyeket, de különböző sorrendben tartalmazó vektorok különbözőek, például pl. A (4,8,0,6,2,2,) és B (2,2,6,0,8,4) két különböző vektor. Két vektor akkor egyenlő egymással, ha ugyanny számból áll (másként: a dmenzójuk azonos) s ugyanazon (az első, másodk, n-edk) helyen ugyanazon érték áll mndkét vektorban. A vektort mnd sorokban (sorvektor), mnd oszlopokban (oszlopvektor) elrendezett számok alkothatják. A vektor a geometrában rányított szakaszokkal reprezentálható. Azonos dmenzószámú vektorokkal műveletek végezhetők. 0-vektornak (nullvektornak) nevezzük azokat a vektorokat, amelyek mnden eleme 0. Ezt két azonos vektor különbségeként kaphatjuk, úgy, hogy a megfelelő helyen álló számokat kvonjuk egymásból. (Végtelen számú 0 vektor lehetséges, hsz mnden dmenzószámhoz különböző 0-vektor rendelhető). Vektorok esetében kétféle szorzás művelet s értelmezhető, ezek közül a skalárszorzat kerül gyakrabban elő a terület elemzésekben. Ez V(v 1, v 2.v n ) és W(w 1,w 2 w n) azonos dmenzószámú vektorok esetén értelmezhető, s a két vektor azonos helyen álló elemenek szorzatösszegeként egy számot (skalárt) ad eredményül: b n = = 1 1 v w Ugyancsak azonos dmenzószámú vektorokra értelmezett az ún. vektoráls szorzat, amely egy vektort ad eredményül, amelynek első eleme a két vektor első helyen álló elemének szorzata, a másodk a másodk helyen álló elemeké és így tovább: Koordnátarendszerek V*W= T (v 1 w 1, v 2 w 2 v n w n ) A koordnáta (vagy vektor-) geometra a matematka több nagy területét (algebra, analízs) kapcsolja össze a geometrával. A koordnátarendszerek rendezett szám n-esek (vektorok) és az eukldesz tér pontja között teremtenek megfeleltetést. A terület elemzésben s leggyakrabban a Descartes-féle derékszögű koordnátarendszert használják rendezett számpárok és a sík pontjanak megfeleltetésére (súlypont 2.6, regresszó-számítás 4.4) A koordnátarendszer kezdőpontja, orgója tetszőlegesen választható meg. A tengelyek eltolása (s a rtkábban előforduló elforgatása) ez az ún. tengely-transzformácó, amelynek során az új tengelyek metszőpontját tekntjük orgónak az eredet pontok koordnátá megváltoznak, de ez nem változtatja meg a pontok egymáshoz vszonyított helyzetét és távolságát. Ha a koordnátarendszer orgóját a C (a;b) pontba toljuk el, akkor az új rendszerben az A (x; y) pont új koordnátá x = x-a lletve y =y-b lesznek. Magyarország vzsgálatok esetében, amkor az elemzés alappontja az ország települése (városa), előnyös a koordnátarendszert úgy kjelöln, hogy annak orgója a főváros középpontjában legyen, ekkor ugyans a pontok (települések) helykoordnátának előjeleből azonnal következtetn lehet azok földrajz pozícójára s. A számítás eredmények (pl. súlypontok) azonban akkor sem mutathatnak más térbel konfgurácót, ha a koordnátarendszer középpontja a térkép bal alsó sarkában van (lyenkor mnden pont mndkét koordnátája poztív). A koordnátarendszerben elhelyezett pontok vzuáls értelmezésével nagyon óvatosan kell bánn, hsz azt a koordnátarendszer skálája (egysége) jelentősen befolyásolhatják Függvények, statsztka eloszlások egyszerű grafkus ábrázolásakor a két tengelyen ugyans nem feltétlenül azonosak az egységek (ez gyakran célszerű és megengedhető). A pontok távolságát nem vonalzóval kell mérn az ábrán, hanem a megfelelő távolságfüggvény segítségével.

6 ELTE Regonáls Földrajz Tanszék A földrajz legsmertebb koordnáta-rendszere a föld szélesség és hosszúság hálózat, am egy gömb polár-koordnátarendszer, hsz ott mnden ponthoz egy távolságérték (a Föld elmélet középpontjától mérve) és a két rányszög (a greenwch délkörhöz lletve az Egyenlítőhöz vszonyítva) határozza meg a pontok helyzetét. A föld gömb koordnáták használata a társadalm jelenségek vzsgálatakor vszonylag rtka, bár nagyobb térségek elemzésekor előfordul. Ksebb terekben végzett elemzések esetében sík területet feltételezünk a föld térben lokalzált elemek helyzetének meghatározásakor. Specáls koordnátarendszer az ún. háromszögdagram Mátrx A mátrx ugyancsak a számfogalom kterjesztése. Ha számokat n sorból és m oszlopból álló táblázatokba rendezünk, kapjuk a mátrxokat. (Általánosságban a matematka nem csak számok, hanem bármlyen matematka kfejezés lyen táblázatos elrendezését mátrxnak nevez.) Az egy sorból lletve egy oszlopból álló mátrx vektorként s értelmezhető. A matematka mátrx fogalma egyebek mellett abban különbözk a táblázat fogalmától, hogy abban a sorok és az oszlopok tartalmának nncs jelentősége a mátrx oldal- és fejléc nélkül táblázat. Ebben az értelemben a terület kutatás jellemzően csak táblázatokkal dolgozk, még ha mátrxnak hívja s őket. A mátrxokat leggyakrabban nagy latn betűkkel (A, B, C) vagy ún. általános (az.-k sorban és a j.-k oszlopban található elemükkel jelölk: {x j }. Ha a mátrx méretét soranak és oszlopanak számát s fontos megadn, akkor a fent jelölések egy n sorból és m oszlopból álló mátrx esetében így módosulnak: n A m lletve n {x j } m. Mnd a vektorokkkal, mnd a mátrxokkal a számokhoz hasonló műveletek (összeadás, szorzás) végezhetők, specáls szabályok szernt. Gyakran előforduló művelet mátrx és vektor szorzata, amvel gyakran találkozhat a terület elemző s, összetettebb statsztka módszereket használó publkácók összevont módszerleírásaban. Ez a művelet az ún. sor-oszlop skalárszorzás. Az y vektor elemet az A mátrx soraban található elemekkel rendre összeszorozzuk, majd ezeket a szorzatokat összeadva egy új vektort kapunk eredményül. A szorzás feltétele, hogy a mátrxnak anny sorból kell állna, ahány elemű a műveletben szereplő oszlopvektor (ezt érzékeltet az alább mátrx-egyenlet) ,5 0, ,5 0 0,5 0 y 0 y 0,5 y 0,5 y 0 y = 0,5 y 0,5 y 0,5 y y2 y1 + 0,5 y 5 + 0,5 y5 + 0,5y 4 Jellegzetes jelölése e műveleteknek: A y (A mátrxot szorozzuk y vektorral). Nem megrémüln, megérten (rövd matematka utánképzést gényel csak)! Legtöbbször nagyon egyszerű műveletekről van szó, összevont jelöléssel, az alapadatok ügyes, mátrx és vektor formájú elrendezését felhasználva A terület adatmátrx Amkor rendelkezésre állnak használható számszerű nformácók, akkor a terület elemzésekben a tér leggyakrabban a megfgyelés egységekben van jelen. Országokra, régókra, településekre vonatkozó jellemzők vzsgálata folyk. Ezeket a terület statsztka kadványokat megtöltő adattáblákat nevezzük terület (földrajz) adatmátrxoknak (2.1. ábra). A mátrx sora egy-egy területegység (terület, település megfgyelés egység) különböző jellemzőt tartalmazzák, oszlopa pedg egy-egy jellemző értéket a területegységekben.

7 ELTE Regonáls Földrajz Tanszék Jellemzők a11 a12... a1j... a1 m a21 a22... a2 j... a 2m Területegységek a1 a 2... aj... am an1 an2... anj... anm 2.1. ábra Terület adatmátrx Míg a terület, mnt megfgyelés egység tehát közös jegy, a jellemzők (gazdaságföldrajz, regonáls gazdaságtan, településszocológa, demográfa, poltka vagy más ndkátorok) tartalma az, am az egyes terület tudományokat elválasztja. Az oszlopok és a sorok szerepe felcserélhető. Az lyen elrendezést azonban rtkábban használjuk (legnkább akkor, ha néhány területegység, ország közvetlen összehasonlítása a cél). A legalapvetőbb statsztka mutatók számításakor s kedvezőbb, ha a változók szerepelnek az oszlopokban, s több összetettebb módszer esetében (faktoranalízs 5.5) követelmény az s, hogy a megfgyelés egységek (területegységek) száma jelentősen haladja meg a jellemzők, változók számát, így az ajánlott sor-oszlop elrendezés kényelmesebb, átteknthetőbb. A terület adatmátrx egyes eleme (a számítástechnkában: cellák), sora, oszlopa, résztömbje szernt vehető elemzésbe, egyszersmnd sajátos vzsgálat utakat teremtve: a sorok (a számítástechnkában: rekordok) szernt elemzés az egyes területegységek jellemzésére, a sorok összehasonlítása egymással a megfgyelés egységek belső térszerkezet összetételének, struktúrájának összevetésére ad lehetőséget. Ha mátrxunk csak egyetlen sorból áll, akkor sorvektornak s nevezhetjük; az oszlopok (a számítástechnkában: mezők) vzsgálata az adott jelenség térbel eloszlásának (térképezésének), a terület dfferencáltság mérésének kndulópontja, az oszlopok összehasonlítása a különböző társadalm szférák vagy jelzőszámok között terület kapcsolatok (asszocácó, korrelácó), összefüggés, együttmozgás vagy elkülönülés vzsgálat útja. Ha mátrxunk csak egyetlen oszlopból áll, akkor oszlop-vektornak s nevezhetjük. A nagy adatmátrxokat, vagy több, egymással összekapcsolt adatmátrx együttesét adatbázsnak nevezzük. Mndenkor érdemes arra s vgyázn, hogy a különböző jelzőszámokat azon a térség sznten, terület keretben használjuk, ahol tartalmuk valóságosan megfogható, releváns. Nncs értelme a fajlagos acélfelhasználást a főváros kerületek szntjén vzsgáln, még ha nagy nehézség árán talán meg lehetne valamlyen számértéket erre s becsüln, s ugyanígy eléggé formáls a szocáls segélyek nagytérség (regonáls) elemzése, hsz ez az egyének, családok, ksebb társadalm aggregátumok szntjéhez kötött. Mndez kssé általánosítva azt jelent, hogy a terület adatmátrx sora és oszlopa (mvel azok tartalma lényeges) nem kombnálhatók véletlenszerűen. Az smérvek rövd elnevezése Egy rendkívül gyakorlatas, de mndenkor felbukkanó feladat, hogy az elemzésbe vett, bonyolult módszerekkel feldolgozásra váró adatsorokat (a terület adatmátrxok oszlopfejeben, fejlécében, vagy a köztük lévő kapcsolatot leíró egyenletben) rövd jelöléssel s azonosítan kell. (Egy többváltozós regresszós analízs leírásába és az eredmények közlésébe algha lleszthetők be teljes elnevezésükkel például olyan változók, mnt az egy főre jutó GDP év adata vagy a város népesség aránya 2000.) Arra, hogy mként rövdítsük, jelöljük az adatot, nncs általános előírás. A magam módszerében az alább szempontokat szoktam érvényesíten:

8 ELTE Regonáls Földrajz Tanszék A rövdítés valóban legyen rövd (8, legfeljebb 10 karakter) A karakterek között ne legyenek hosszú ékezetes magyar betűk (ezt sok számítógép program nem szeret) A rövdítés utaljon a változó tartalmára Szerepeljen benne az dőpont s (ez főként akkor ndokolt, ha az adattáblában különböző dőpontra vonatkozó adatok szerepelnek). Ennek megfelelően a fent változókat így jelölném: GDPPOP99 lletve VARPOP00. Ak ért (például azt, hogy a POP betűhármas mért szerepel mndkét mutatóban, és mre utal) és aknek tetszk a megoldás, válassza ezt, aknek jobb, szebb megoldása van, tegyen úgy, az ajánlott szempontokat nem teljesen félretéve! Műveletek adatsorokkal Új adatok előállítása több adatsorból A terület elemzések során nagyon gyakor, hogy több adatsorunk s van, s nem pusztán egyenként vzsgáljuk őket, hanem (ha lehetséges) egyszerű számtan műveleteket s elvégzünk velük. Itt a terület adatmátrx oszlopaval (jellemzők, adatok) végzett műveletekről van szó, a sorok (a terület megfgyelés egységek) változatlanul maradnak. Összeadással kapott új adatsorok Az adatsorok egyszerű összeadása tartalmlag homogén adatok esetében kerül szóba. Ezen az úton a több részelemből álló aggregátumok egészére kaphatunk adatokat (az egyes ágazatokban foglalkoztatottak terület adatanak összeadása például a teljes foglalkoztatott kört, az egyes korcsoportoké pedg az össznépességet adja k.) Azt, hogy mlyen adatokat tekntünk tartalmlag homogénnek nem csak maga a dolog vagy jelenség, hanem az értékelés szempont s befolyásolja. A búza, a napraforgó és a burgonya termésmennységét a mezőgazdaságot elemezve nem szokás közvetlenül összeadn, de a vasút áruszállítás szempontjából ezek tömege a mérvadó, s ekkor már összeadhatók. (A naturálsan különböző dolgok közös nevezőre hozását, amkor tehát valam módon mégs összeadjuk őket, külön tárgyaljuk 5.4.1). Jellemző művelet az egy-egy hosszabb dőszak terület folyamatanak elemzésekor a természetes egységekben (naturálákban) mért terület dősorok egyed dőpontokra (általában egyes évekre) adott értékenek összeadása s az dőszakra egészére. Gyakor példája ennek a demográfa mozgalom éves adatanak, vagy a természetes egységekben kfejezett fejlesztések pl. az éves lakásépítés, az épített autópályák hossza volumenének összegzése, kumulálása. A növénytermelés adatok esetében az dőjárás változásával összefüggő, smétlődő, de dőben véletlenszerű termésngadozások hatásának kszűrésére általában több (3-4) év adatának ún. mozgó átlagával számol az összehasonlító agrárstatsztka. Kvonással kapott új adatsorok Ha túllépünk azon a logkalag és számtanlag természetes összefüggésen, hogy, am összeadható, az k s vonható (például a terület dősorok egyes adatoszlopat kvonva egymásból az éves relatív többletek és hányok tárulnak fel), e példa mellé újabbak s felsorakoztathatók. Szemben az összeadással, am kommutatív (felcserélhető), azaz A+B = B+A, a kvonás nem, azaz A B B A. S nem áll a fent kjelentés ellentettje sem, mszernt, ha két adat egymásból való kvonásának van értelme, akkor az összeadásának s van: ha az ország teljes népességéből kvonjuk a városlakók számát, megkapjuk a községekben lakók lélekszámát, ha azonban összeadjuk a teljes népességet és a városlakókat, akkor (mllóban számolva Magyarországon) egy megjátszható lottószám az eredmény, semm más.

9 ELTE Regonáls Földrajz Tanszék Vegyünk azonban még érdekesebb példát a kvonással kapható új adatokra. Erre jó terep a haza terület kutatások egyk leggyakrabban használt terület kncsestára a személyjövedelem-adó adatbázsa. Ebben az APEH 1988 óta lényegében mnden évre hozzáférhetővé tesz az ország mnden településére négy fontos adatot: az adóköteles jövedelem (J, forntban) a személy jövedelemadót fzetők száma (A, főben) a befzetett személyjövedelem-adó (S, forntban) az állandó népesség (N, főben) Ezt az adatbázst használva, teljesen új mnőségű adatot kapunk például akkor, ha az adóköteles jövedelemből (J) kvonjuk a befzetett személy jövedelemadót (S), ekkor áll ugyans elő a J S= N, nettó jövedelem. Szorzással kapott új adatsorok A szorzás kevésbé gyakor művelet új adatok előállítására a terület elemzésben, bár tt s előfordul, leggyakrabban az árakkal, költségekkel kapcsolatos elemzésekben. Az utazás vagy szállítás költség például a megtett út és a tarfák szorzata, de hasonló mutató az üzemanyag fogyasztás s. A szorzás, mnt alapvető matematka művelet természetesen nagyon gyakor mnden más összetettebb matematka formula, egyenlet esetében. Osztással kapott új adatsorok A műveletek közül talán az osztás a legnagyobb új adattermelő. Osztással kapjuk ugyans az alapadatokból a relatív vagy fajlagos adatokat. A fent adatbázsból véve a példát: J/N adja az egy főre (lakosra) jutó adóköteles jövedelmet, A/N pedg az adózók hányadát az összes népességből (ha ezt a hányadost 100-zal szorozzuk, akkor az arányt százalékban kapjuk). A terület vzsgálatokban leggyakrabban a népesség egészére (lletve specáls jellemzők esetében az érntett népesség körre: a fent adatok közül lyen az adófzetők száma), a területnagyságra vetített mutatószámokat használnak. Előbbek a fejlettség, ellátottság, hatékonyság jellegzetes mutatót adják, utóbbak pedg a különböző terület sűrűség, koncentrácós mutatókat (a legsmertebb a népsűrűség, amely a lélekszám és a terület hányadosa). A gazdaság fejlettség és sűrűség mutatók között egyszerű összefüggés van, a gazdaság sűrűséget a gazdaság fejlettség és a népsűrűség szorzatára bonthatjuk. GDP/terület = (GDP/népesség)*(népesség/terület) azaz: gazdaság sűrűség = (gazdaság fejlettség)*( népsűrűség) Új fajlagosok konstruálásával érdemes óvatosnak lenn. Formálsan számítható ugyan, de a vasútvonalak egy óvónőre vetített hosszának kstérség különbséget vélhetően csak nagyon czellált kutatás problémakörben érdemes önálló ndkátorként elemezn. Mndez arra nt: törekedjünk érdekes, új mutatók kszámítására, de értően, a tartalomra fgyelemmel! Gyakor az, hogy bzonyos fajlagos adatok és azok recproka egyaránt értelemmel bír. A fent adatokból számítható A/N (adózóarány) recproka, az N/A mutató azt fejez k, hogy egy adózónak hány embert kell eltartana. Mndez bzonyos esetekben jól khasználható. Lehet olyan vzsgálat, amkor a várossűrűség (városok/terület) máskor ellenben ennek épp a recproka (terület/városok) a jó mutató. Előbb nkább a terület fejlettség, utóbb az ntézmény ellátottság szükségletek tervezésének témakörében kerül szóba. Fejlettség vzsgálatok során gyakran használják az elemzők a munkanélkülség rátát (munkanélkülek és az aktív keresők aránya, százalékban kfejezve). Ennek azonban az a sajátossága, hogy klóg a hagyományos fejlettség, jólét mutatók köréből, hszen mnél nagyobb az értéke, annál rosszabb a helyzet az adott térségben. Itt s szóba jöhetne a recprok-mutató (aktívak/munkanélkülek), ennek azonban elég nehezen tudunk értelmet adn. Ebben az esetben a munkával rendelkezők aránya (100-munkanélkülség ráta) lehet az a jelzőszám, amnek nagy értéke a kedvező, alacsony értéke a krtkus térség állapotokra utalnak.

10 ELTE Regonáls Földrajz Tanszék A fajlagosok mértékegysége Az adatok értelmezéséhez fontos azok mértékegységének, dmenzójának smerete. Osztással kapott, fajlagos adatok esetében az új mértékegység a számlálóban lletve a nevezőben szereplő adat mértékegységének hányadosa: népsűrűség = népesség/terület, ezért mértékegysége fő/km 2. A gazdaság fejlettség mérésére használt jövedelemfajlagosok mértékegysége pénznem/fő. De ha konkrét mutatót emlegetünk (térképezünk), például a gyakorta használt egy főre jutó GDP-t, elégséges a pénznem megnevezése s. Számos olyan jelzőszám van, amnek a számlálója és a nevezője azonos mértékegységű, így az osztás után ezek mértékegység-nélkülvé, dmenzótlanná válnak. Ezt oldja fel az a megoldás, hogy a számlálót a nevező százalékában adjuk meg (lyen a város népesség aránya %-ban). Vannak nem szokványos mértékegységű mutatók s, így például a vasúthálózat sűrűségének dmenzója 1/km (a hossz/terület hányados következményeként). Összetettebb modellek formulában ugyancsak sajátos mértékegységek szerepelnek (pl. a potencálmodellben dollár/km lehet a dmenzó). Részben a mértékegységgel függ össze az, hogy bzonyos fajlagosok esetében a számláló lletve a nevező maga mlyen mértékegységű, nagyságrendű legyen. Vegyünk néhány példát. Bár a népsűrűség számításánál egyaránt értelmes, ha a népességet egy négyzetklométerre vagy egy hektárra vetítjük, a szokásos eset az egy négyzetklométerre vetítés (ennek ellentéte a termésátlagok mutatója, ahol a vetítés alap, a termőterület legtöbbször hektárban adott). Jól smert, hogy a legtöbb demográfa mutatószámot (születés, halálozás, vándorlás) 1000 főre vetítve használják, s ezért ezrelékben adják meg (ez azzal függ össze, hogy a népességdnamka e mutató jellemzően az adott népességszám egy-két százaléka körül nagyságrendűek). A legtöbb, a népességszámhoz vszonyítással kapott fajlagost egy főre számítják. Bzonyos ellátottság, nfrastrukturáls adatoknál gyakor a száz főre (száz háztartásra, lakásra) vetítés (am azt s jelent, hogy a kapott érték egyben azt mutatja, hogy a számba vettek hány százaléka él az adott ellátottsággal, pl. fürdőszobás lakással). Használat tárgyak esetében s gyakor a 100 főre vetítés (pl. személygépkocs), sőt előfordulnak 1000 lakosra vetített mutatószámok s. Ezek makrosznten nagyon jól használhatók, máskor azonban furcsa eredményt adnak. A TV készülékek ezer lakosra jutó száma egy 250 fős aprófaluban mndenesetre érdekes fajlagos (ha mnden lakosra jut egy készülék, akkor ez az adat tt 1000 s nem 250). Indexek Gyakran nagyon megkönnyít az adatsorok értelmezését, megsokszorozza a következtetéseket, ha az eredet adatokat az adatsor meghatározott értékehez vszonyítjuk, ndexekké alakítjuk. (Természetesen tt s fgyelemmel kell lenn arra, hogy a vszonyításnak matematkalag s legyen értelme.) Idősorok esetében a két leggyakorbban átalakítás: a bázsndex-dősor előállítása. Ekkor az adatsor mnden értékét a kezdő dőpont értékehez vszonyítjuk (vagy elosztunk mnden adatot az nduló értékkel, vagy annak százalékában fejezzük k, előbb esetben a bázsdőponthoz rendelt érték 1, utóbbban 100 lesz). a láncndex-dősorban mnden értéket az előző dőpontra vonatkozó adathoz vszonyítjuk (vagy elosztunk mnden adatot a megelőzővel, vagy annak százalékában fejezzük k) A lánc-ndexszé átalakítás sajátossága, hogy megrövdít az dősort, hsz az nduló dőpont adatát nncs mhez vszonyítan. A lánc-ndex dősor tehát nem 1-gyel vagy 100-zal kezdődk, hanem a kezdő dőponthoz nncs hozzárendelt érték! Az dősorokhoz hasonló átalakítással juthatunk a terület ndexekhez. Nagyon gyakor a terület elemzésben az adatsor átlagához vszonyítás (lásd: egy főre jutó GDP az országos átlag százalékában). Ez az átalakítás az dősorok bázs-ndexével mutat rokonságot. Terület lánc-ndex azonban nncs, hsz a terület adatsorokban nncs lneárs egymásutánság (az dőbel egymásutánságnak a térbel szemléletben a szomszédság fogalma feleltethető meg). Az ndexszé alakítás során eltűnk az adatsorok eredet mértékegysége. Ez azzal a jótékony következménnyel jár, hogy a különböző mértékegységben mért adatsorok s összehasonlíthatóvá válnak. Ez fontos feltétele a komplex mutatók előállításának s ( 5.4).

11 ELTE Regonáls Földrajz Tanszék Az ndexszámítás kapcsán a fentekben többször előkerült a százalékos adatforma. Ennek kapcsán érdemes felhívn a fgyelmet a mértékkülönbségek vagy a változások százalékos lletve százalékpontos formában való kfejezésére. Utóbb akkor kerül szóba, ha százalékos (arány) formában megadott adatok különbségét tekntjük jelzőszámnak. Ha például a város népesség aránya 50%-ról 75%-ra nő, akkor a növekedés 25 százalékpontos lletve 50 százalékos, ugyanígy a munkanélkülség ráta megduplázódása (azaz 100 százalékos növekedése) mondjuk 7%-ról 14%-ra, 7 százalékpontos növekedésként s nterpretálható. Mndkét összevetés használható, de nem összekeverendő! Megoszlás vszonyszámok Abszolút adatok (például terület, népességszám, összes jövedelem, kereskedelm forgalom, kukorcatermés) vzsgálatakor fontos alapnformácókat kaphatunk akkor, ha kszámítjuk, hogy az egyes területegységekben (például a megyékben) mekkora hányada összpontosul az adott mutató (országos) volumenének. Ehhez az egyes területegységek százalékos részesedését kell kszámítanunk. Az így módon kapott adatsort nevezzük (terület) megoszlás vszonyszám-adatsornak (a százalékszámítás bonyolult metódusát smertnek tekntjük). Mre jó ez az átalakítás? Néhány példa: Ha több évre kszámítjuk egy adott jellemző megoszlás vszonyszámát, meghatározhatók a növekvő lletve csökkenő részesedésű térségek, a terület koncentrálódás lletve szétterülés folyamata. Míg az eredet mértékegységben adott különböző jellemzők összehasonlítása a területegységek szernt nagyon nehézkes, ha megoszlás vszonyszámokká alakítjuk őket, összevethetők lesznek, eldönthető nagyságvszonyuk. (Azonnal eldönthető például így, hogy egy terület részesedése a népességből ksebb vagy nagyobb, mnt a jövedelemből.) Megoszlás vszonyszámokkal s végezhetők műveletek. Ha például a népességrészesedést osztjuk a területaránnyal, akkor a népsűrűségre kapunk sajátos értéket. A sajátos jelző azt jelent, hogy ekkor az országos népsűrűség érték 1 lesz (mvel a 100/100 hányados adja), ennél ksebb értékek az átlagnál ksebb benépesültségű, nagyobbak sűrűbb térséget jeleznek (ha a hányadosokat 100-zal megszorozzuk, akkor az országos átlag 100 lesz, s ennek megfelelően módosulnak az egyed adatok). Értékadatok (pl. jövedelem) esetében ahogy arra már utaltunk gyakor az, hogy különböző évek nomnáls, az áremelkedés, nflácó által torzított adata közvetlenül nem összehasonlíthatók. Ha azonban megoszlás vszonyszámokat számolunk belőlük, tt s azonnal eldönthető lesz, mely térség növelte jövedelemrészesedését, melyek a vsszaszoruló, depresszós területek. Megoszlás vszonyszámokon alapul számos kemelkedő fontosságú, gyakran használt terület egyenlőtlenség mutató ( 3.2.3). A szumma A terület elemzésekben használt statsztka összefüggésekben a leggyakrabban előforduló matematka művelet a terület megfgyelés egységekre (legyen ezek száma n) vonatkozó számszerű adatok, jellemzők (jelölje ezeket x vagy y ) összeadása (szummázása). Ennek a csak nagyon hosszú formában leírható műveletnek az egyszerű jelölésére használják a görög nagy Szgma betűt (Σ), így: x + x x +... x 1 2 n n = = 1 x szavakkal: egyenlő 1-től n-g szumma x, am n darab szám (az adott ndkátornak a terület egységekre vonatkozó értéke) összeadását jelent az elsőtől az utolsóg. Az lyen összefüggésben a szumma jel után szerepelnek az összeadandó értékek, a szumma jel alatt és felett ndexjelölés pedg azt mutatja meg, hogy melyk és hány adatot kell összeadnunk. A legtöbb esetben az összes (terület) megfgyelés egység adatát össze kell adn, ebben az esetben leegyszerűsödk a jelölés, a szumma jel ndexe elhagyhatók, ekkor az alább kfejezések egymással azonos jelentésűek: n x = x = x = 1

12 ELTE Regonáls Földrajz Tanszék A szumma jel alsó és felső ndexet mndenképp jelöln kell, ha az adatok összeadása csak a megfgyelés egységek egy részére terjed k. Nem csak az esetenként különböző értékű egyed változók, hanem azok különböző matematka összefüggésenek (összegek, szorzatak vagy más függvények) összeadására s szükség lehet. Ilyenkor az alább jelölések és összefüggések érvényesek: Ha az adott változó értéke mnden területegységben ugyanazt a konstans értéket (a) vesz fel, akkor az alább összefüggéssel van dolgunk (mvel a konstansok mnden megfgyelés egységben ugyanazon értékűek, ezekhez alsó ndex természetesen nem tartozk): a = na Ha az adott változót (x ) egy tetszőleges állandóval, konstanssal (legyen ennek jele b) megszorozzuk, majd ezt követően adjuk össze az adatokat, akkor a konstans kemelhető: bx = b x Ha két változó összegét szummázzuk mnden megfgyelés egységre, akkor két utat s választhatunk. Vagy először mnden megfgyelés egységre összeadjuk a két adatot (x -t és y -t) és ezt követően szummázunk, vagy előbb külön-külön összegezzük az egyes adatsorokat majd ezután adjuk össze a két teljes összeget. A végeredmény ugyanaz: ( x + y ) = x + y Hasonló logka alapján egyszerűsödk az alább összefüggés s, ha b konstans: ( x b = x nb ) Nagyon fontos felhívn a fgyelmet arra, hogy nem áll fenn ugyanlyen jellegű összefüggés az adatsorok szorzatösszegenél. Ekkor: x y x y azaz szorzatok összege nem (feltétlenül) egyenlő az összegek szorzatával. Ez alább egyszerű számpéldával könnyen belátható. Mntapélda az összegek szorzatának és a szorzatok összegének különbségére Területek() x y x y Σ ahol x y = 0 x y = 10 *15 = 150 A szummázások esetében nagyon fontos a zárójelek precíz használata, ezt példázzák az alább összefüggések: ( x b = x nb b vagy ) ( x ) 2 2 x am azt mutatja, hogy számok négyzetenek összege nem egyenlő számok összegenek négyzetével. Egyszerű algebra, majd számpéldával, két elemre bemutatva: x + x ( x + x ) = x + x x + x x 2 2

13 ELTE Regonáls Földrajz Tanszék = 26 (1 + 5) 2 = 36 Ezekre az összefüggésekre tekntettel nagy fgyelemmel kell számítan olyan gyakor mutatószámokat, mnt az adatsorok szórása vagy a korrelácós együtthatók! Összeadn nem csak egy-egy adatsor (vektor) elemet lehet, hanem egy mátrxét s. Ez a gyakorlatban kétféleképp történhet, először soronként haladva adjuk össze az elemeket, majd a sorösszegeket s összeadjuk vagy ugyanígy teszünk, de oszloponként haladva. Ha a képletekben két szummát látunk közvetlenül egymás mögött, akkor ott egy mátrx eleme kerülnek összeadásra: na m eleme összeadásának jelölése: x = j j x j j A Σ (n dszkrét adat összeadása) matematka kterjesztése folytonos változókra az ntegrálszámítás területére vezet. A szummához hasonló jelölés logkával egyszerűsíthető le n szám szorzata (a szorzás jele tt:*). A jelölésben a nagy görög Π (pí, p) betűt használjuk, így: x x... x... x 1 2 n = n = 1 x Azonosság, egyenlőség, egyenlőtlenség A matematkában gyakran kapcsolunk össze kfejezéseket relácós jelekkel. Az azonosságok, az egyenletek és az egyenlőtlenségek olyan matematka relácók, amelyek két oldalán smeretlenekből (változók), konstansokból (állandók) és műveletekből álló összefüggések szerepelnek. Azonosságnak azt a relácót nevezzük, amelynek két oldalán szereplő kfejezések az smeretlenek (ez alább esetben a és b) tetszőleges értéke mellett, azaz mndg egyenlők: ( a + b) = a + 2ab + b Azonosságok esetében a két kfejezés összekapcsolására az (azonosság) jelet s használják. Az egyenletekben a két, egyenlőségjellel (=) összekapcsolt kfejezés között egyenlőség csak a változók (smeretlenek) meghatározott értéke esetében áll fenn. Az egyenletek megoldása épp ezen értékek megkeresését jelent. (Vannak olyan egyenletek, amelyeknek általában, vagy a számok valamely körére vonatkozóan nncs megoldása.) Az egyenlőtlenségek az összekapcsolt kfejezések között nagyságvszonyt fejezk k, a változók (smeretlenek) meghatározott értéke (értelmezés tartománya) mellett. A-val és B-vel jelölve az összekapcsolt kfejezéseket az alább egyenlőtlenség relácók lehetségesek: A mndg ksebb, mnt B (am analóg azzal, hogy B mndg nagyobb, mnt A): A < B és B > A A mndg ksebb vagy egyenlő, mnt B (am analóg azzal, hogy B mndg nagyobb vagy egyenlő, mnt A): A B és B A Függvények Legáltalánosabb matematka értelemben két halmaz elemenek egymáshoz rendelését (vagy más szavakkal X halmaznak Y halmazra való leképezését) függvénynek nevezzük, ha van olyan utasítás (szabály, képlet, táblázat, ábra stb.), amely X halmaz mnden egyes x elemének megfeleltet Y halmaz

14 ELTE Regonáls Földrajz Tanszék egy f(x)-szel jelölt elemét. Az X halmazt értelmezés tartománynak, Y-nak az összes f(x)-ből álló részhalmazát értékkészletnek nevezzük. A függvényeket például az utasítás, a hozzárendelés szabály jellemző, tulajdonsága szernt - sokfajta csoportba, típusba sorolhatjuk. A függvény fogalma tág értelemben nem jelent azt, hogy X halmaz valamely értékéhez Y halmaznak egy és csak egy értéke rendelhető, bár ez a leggyakorbb eset. Többértékű függvénnyel azonban a terület elemzésben s találkozhatunk, lyen például a földrajz és az dőtávolság összefüggését leíró kapcsolatot, két azonos légvonal-távolságú pontpár a hálózat képítettség különbözősége okán nagyon erltérő dőtávolságú lehet. A függvénytan alapvető fogalmaval a matematka analízs foglalkozk. Ennek része a dfferencál- és ntegrálszámítás, amely, egyebek mellett a függvények tulajdonságanak (alakjának, szélsőértékenek, maxmumanak és mnmumanak stb.) meghatározásához alapvető jelentőségű matematka összefüggéseket kínál. A szélsőérték-számítás, optmumkeresés sok matematka-statsztka eljárásban s alapeszköz, csak egyet említve, ezen alapszk sznte az egész regresszó-analízs s, ahol a mért és becsült adatok eltérését számszerűsítő legksebb négyzetek módszere szélsőérték-számításra vezet 4.4. Lneárs kapcsolat Ha x mnden egységny növekedéséhez, x értékétől függetlenül f(x)-nek b értékű (b állandó, konstans) növekedése tartozk, akkor a két halmaz között lneárs függvénykapcsolat van, a függvényt derékszögű koordnátarendszerben ábrázolva egyenest kapunk. A közsmert képlet: y = a + bx ahol x a független, y a függő változó, b az ún. meredekség, a pedg (am az x=0 értékhez tartozó y érték) az ún. tengelymetszet (az egyenes b magasságban metsz az y tengelyt). Ha b együttható poztív, akkor x növekedésével y s növekszk, ha negatív, akkor csökken, ha értéke 0, akkor az x tengellyel párhuzamos, a magasságban lévő egyenes a függvénykép. Ha a független változók halmaza nem egy-, hanem kétdmenzós, akkor lneárs összefüggés esetében a függő változó értéke egy síkot képeznek. Ilyen összefüggést ír le az alább képlet: z = a +bx +cy 3 független változó esetén a függvény képe egy hasáb, n független változó esetében pedg egy (vzuálsan, grafkusan nem nterpretálható) n-dmenzós sík. Az n vektorból (x 1, x n ) és n skalárból (a 1 a n ) képzett n a = 1 x összefüggést (vektort) a vektorok lneárs kombnácójának nevezzük (lyen összefüggés van például a faktoranalízs módszerében az alapváltozók és a faktorok között 5.5). A logartmus Az a x = b exponencáls egyenlet megoldásakor olyan ktevőt keresünk, amelyre a alapot felemelve b-t kapunk. Az egyenletnek a > 0, a 1 és b > 0 esetén van egy és csak egy megoldása. A b poztív szám a alapú logartmusának nevezzük azt a ktevőt, amelyre a-t emelve b-t kapunk. Jelölése: loga b (a alapú logartmus b). A logartmus defnícójából következk, hogy log a 1=0 és log a a =1. A logartmus alapja tetszőleges 1-től különböző poztív szám lehet. A gyakorlat (statsztka, elemző) munkában leggyakrabban a 10-es alapú logartmust használjuk, s (ndex nélkül) log-gal jelöljük. Mvel többfajta előnyös matematka tulajdonsága van, gyakran használják az ún természetes alapú logartmust (ln), ahol az alap e=2,71828, am az (1+1/n) n függvény határértéke. Az ún. logartmkus azonosságok közül (emlékeztetőül): számok szorzatának logartmusa egyenlő a számok logartmusanak összegével, azaz:

15 ELTE Regonáls Földrajz Tanszék log( x ) = log x Számos jelenség növekedése exponencáls jellegű, egy-egy dőszak alatt a volumenek hatványozódnak. E függvények logartmusát véve a függvénygörbe képe egyenest ad (ezzel függ össze az, hogy gyakran használják az ún. szem-logartmkus koordnátarendszert, amelynek függőleges (y) tengelyén a beosztás nem lneárs, hanem logartmkus). Sok elemzés gazolja, hogy a lélekszám, a településnagyság fontos fejlettség tényező, ezért gyakorta szerepel összetettebb elemzésekben s, így a regresszóelemzések 4.4 magyarázó változóként. Ott gyakran feltűnk az, hogy nem a lélekszámot, hanem annak logartmusát szerepeltetk a számításban. E transzformácó matematka következménye, hogy a gyakorta nagyon széles ntervallumon eloszló településnagyság logartmzálva jobban közelít a matematka-statsztkában elvárt normáls eloszlást, s így a számítások matematka szempontból sem kérdőjelezhetők meg. A lélekszám (általában mnden abszolút volumen) logartmusának konkrét jelentése s van, a települések nagyságrendjét tükröz, így tartalmlag s megfelelően értelmezhető a hatása, szerepe: 10-es alapú logartmusa esetén log 1 = 0, log 10= 1, log 100= 2, log 1000 = Adattípusok, mérés skálák A statsztkában a megsmern kívánt, megfgyelt egységek halmazát sokaságnak nevezk. A sokaság jellemzésére, részekre bontására alkalmas vzsgálat szempontok az smérvek. A megfgyelt sokaság egyes tagjahoz az smérvek szernt különböző smérvértékek tartoznak. A terület elemzés mndg legalább két smérvvel dolgozk. Implct módon már a megfgyelés egységek kválasztásakor megjelenk a terület smérv, majd ehhez kapcsolódva az smérvek más típusa: dőbel, mennység, mnőség jellemzők. Ezeket változónak, esetenként csak a számszerű smérveknek nevezk. A legkülönbözőbb megfgyelés egységekre vonatkozó mérések, adatok, nformácók jól csoportosíthatók aszernt, hogy mlyen összehasonlításra alkalmasak. Ezt a csoportosítást tartalmazza a mérés (vagy adat) skálák vagy mérés szntek rendszere (összefoglalóan lásd a 2.2. táblázatban). Legyen adott két megfgyelés egység, A és B, s ezekre vonatkozó két mért vagy számbavett jellemző, smérv: X a és X b. Vannak olyan jellemzők, amelyek esetében csak az dönthető el, hogy A és B e jellemző szernt megegyezk egymással vagy különbözk egymástól. Az lyen jellemzőket nomnáls skálán mért adatoknak vagy nomnáls smérveknek nevezzük. E skála esetében két vagy több értéke, kmenete lehet a változóknak. Ennél már fnomabb összevetésre van módunk A és B között, amkor nemcsak a megegyezés vagy a különbözőség állapítható meg, hanem a nagyságvszony, a sorrend s, azaz, hogy A vagy B jellemzője a nagyobb. Ez az ún. ordnáls (sorrend) skála. Még fnomabb összevetésre van mód, amkor a megegyezés - meg nem egyezés, valamnt a sorrendség megállapításán túl az s kderíthető az adatokból, hogy mennyvel nagyobb az egyk érték a másknál (értelmezhető az adatok különbsége s). Az lyen jellemzőket ntervallum-skálán mért adatoknak nevezzük. A legteljesebb összehasonlításra az ún. arány-skálán mért adatok esetében van mód. Ekkor az összes fent relácón túlmenően értelmezhető az s, hogy egyk adat hányszorosa a másknak (megadható a két adat aránya).a mérés skálák sajátos herarchát alkotnak, amelynek csúcsán az arányskála áll. Mnden skálára gaz az, hogy az előző skálák tulajdonságaval rendelkezk.

16 ELTE Regonáls Földrajz Tanszék Annak smerete, hogy valamely jellemző mlyen skálán mért, azért fontos, mert bzonyos statsztka jellemzők és matematka-statsztka eljárások csak bzonyos adatskálákra számíthatók, lletve alkalmazhatók. Pusztán statsztka alapon merészség azt állítan, hogy a magyar focválogatott 63-szor rosszabb, mnt a lstavezető brazl (ha a két csapat az 1. lletve a 63. helyen áll a ranglstán), egy 0 átlagú adatsort pedg nem s lehet az átlag százalékában megadn. Mérés Tulajdonság Értelmezhető relácók Sajátosságok Jellemző példák skálák Nomnáls Megkülönböztetés X a = X b vagy X a X b Nem számszerű Név, születés hely, nem Ordnáls Megkülönböztetés, sorrend X a = X b vagy X a X b és X a X b vagy X a < X b Nehezen mérhető, csak sorrendbe Sorrendek, (katona) rangok Intervallum Arány Megkülönböztetés, sorrend, különbség Megkülönböztetés, sorrend, különbség, arány X a = X b vagy X a X b és X a X b vagy X a < X b Értelmezhető X a - X b X a = X b vagy X a X b és X a X b vagy X a < X b értelmezhető X a - X b valamnt X a /X b 2.2. táblázat A mérés skálák rendszere állítható Poztív és negatív értékek Van elmélet mnmum, azonos előjelű Vándorlás különbözet, átlaghőmérséklet Népességszám, jövedelem Az adatskálák között átmenetek közül talán a leggyakorbb az ntervallum- vagy arányskálán mért jellemzők sorrend (ordnáls) adatskálára történő átalakítása. (Ez az adat-transzformácó nem az adattábla soranak, azaz az egyes területegységekhez tartozó értékek sorrendjének felcserélését jelent, elem sznten gyakor hba és súlyos félreértés hanem egy új adatsor létrehozását, ahol az eredet adatsor legnagyobb értékéhez 1, a következőhöz 2 (vagy fordított rangsorolás esetén a legksebbhez 1, a következőhöz 2 és így tovább) számérték kerül, új adatként. Előfordulhat az, hogy az átalakításra kerülő adatsorban megegyező értékek szerepelnek, az ezekhez rendelt rangszámok esetében előnyös fenntartan azt az összefüggést, hogy a rangszámok összege ne változzék. Ez adategyezés esetében úgy bztosítható, hogy páros számú egyezés esetében a rangszámok átlagát rendeljük a megegyező adatokhoz, míg páratlan számú adat egyezésekor a középső rangszámot. Ha például a 4. és 5. helyen álló érték azonos, akkor a két rangszám egyaránt 4,5, ha a 8., 9. és 10. helyen álló érték egyezk meg, akkor mndhárom megfgyelés egységhez a 9 rangszámot rendeljük. A statsztka tehát nem smer holtversenyt, egy adatsor két azonos, legnagyobb értékéhez a rangsorolásban nem 1 1 érték két aranyérem rendelődk, hanem 1,5 1,5, ezáltal bztosítható, hogy a rangszám összeg ne változzék, ugyans: 1,5 + 1,5 = = 2. Érdemes még felhívn a fgyelmet arra, hogy amennyben mnden alapadat különbözk, akkor nncs jelentősége annak, hogy a sorrend átalakítást csökkenő vagy növekvő rendben végezzük el. Azonos, a fent szabályok szernt átalakítandó értékeket s tartalmazó adatsorok esetében azonban a kétfajta rangsorolás szernt új adatsornak ugyan az átlaga azonos, de a szórása különbözhet. A rangszámok és az eredet értékek között összefüggés önmagában s vzsgálatra érdemes. Ezzel foglalkozk a nagyon sok társadalm jelenségben, közte a m szakma körünkben elsősorban a településrendszerek vzsgálatakor tesztelhető, ún. rang-nagyság szabály 4.4.7). 2.4 Kódolás A kód valamely nformácó egyértelmű vsszaadására alkalmas, megállapodás szernt jel vagy szmbólum. A hétköznap élet s tele van kódolt nformácókkal. (Az egész távközlés és nformatka működésének alapfeltétele a nagyon különböző jellegű nformácók átvhető formájú jelekké alakítása.) A kódok előállítása a kódolás, a kódokból az eredet nformácók előállítása a dekódolás.

4 2 lapultsági együttható =

4 2 lapultsági együttható = Leíró statsztka Egy kísérlet végeztével általában tetemes mennységű adat szokott összegyűln. Állandó probléma, hogy mt s kezdjünk - lletve mt tudunk kezden az adatokkal. A statsztka ebben segít mnket.

Részletesebben

A multikritériumos elemzés célja, alkalmazási területe, adat-transzformációs eljárások, az osztályozási eljárások lényege

A multikritériumos elemzés célja, alkalmazási területe, adat-transzformációs eljárások, az osztályozási eljárások lényege A multkrtérumos elemzés célja, alkalmazás területe, adat-transzformácós eljárások, az osztályozás eljárások lényege Cél: tervváltozatok, objektumok értékelése (helyzetértékelés), döntéshozatal segítése

Részletesebben

s n s x A m és az átlag Standard hiba A m becslése Információ tartalom Átlag Konfidencia intervallum Pont becslés Intervallum becslés

s n s x A m és az átlag Standard hiba A m becslése Információ tartalom Átlag Konfidencia intervallum Pont becslés Intervallum becslés A m és az átlag Standard hba Mnta átlag 1 170 Az átlagok szntén ngadoznak a m körül. s x s n Az átlagok átlagos eltérése a m- től! 168 A m konfdenca ntervalluma. 3 166 4 173 x s x ~ 68% ~68% annak a valószínűsége,

Részletesebben

Hipotézis vizsgálatok. Egy példa. Hipotézisek. A megfigyelt változó eloszlása Kérdés: Hatásos a lázcsillapító gyógyszer?

Hipotézis vizsgálatok. Egy példa. Hipotézisek. A megfigyelt változó eloszlása Kérdés: Hatásos a lázcsillapító gyógyszer? 01.09.18. Hpotézs vzsgálatok Egy példa Kérdések (példa) Hogyan adhatunk választ? Kérdés: Hatásos a lázcsllapító gyógyszer? Hatásos-e a gyógyszer?? rodalomból kísérletekből Hpotézsek A megfgyelt változó

Részletesebben

A sokaság/minta eloszlásának jellemzése

A sokaság/minta eloszlásának jellemzése 3. előadás A sokaság/mnta eloszlásának jellemzése tpkus értékek meghatározása; az adatok különbözőségének vzsgálata, a sokaság/mnta eloszlásgörbéjének elemzése. Eloszlásjellemzők Középértékek helyzet (Me,

Részletesebben

Statisztika I. 3. előadás. Előadó: Dr. Ertsey Imre

Statisztika I. 3. előadás. Előadó: Dr. Ertsey Imre Statsztka I. 3. előadás Előadó: Dr. Ertsey Imre Vszonyszámok Statsztka munka: adatgyűjtés, rendszerezés, összegzés, értékelés. Vszonyszámok: Két statsztka adat arányát kfejező számok, Az un. leszármaztatott

Részletesebben

Statisztikai próbák. Ugyanazon problémára sokszor megvan mindkét eljárás.

Statisztikai próbák. Ugyanazon problémára sokszor megvan mindkét eljárás. Statsztka próbák Paraméteres. A populácó paraméteret becsüljük, ezekkel számolunk.. Az alapsokaság eloszlására van kkötés. Nem paraméteres Nncs lyen becslés Nncs kkötés Ugyanazon problémára sokszor megvan

Részletesebben

Adatsorok jellegadó értékei

Adatsorok jellegadó értékei Adatsorok jellegadó értéke Varga Ágnes egyetem tanársegéd varga.ag14@gmal.com Terület és térnformatka kvanttatív elemzés módszerek BCE Geo Intézet Terület elemzés forgatókönyve vacsora hasonlat Terület

Részletesebben

ORVOSI STATISZTIKA. Az orvosi statisztika helye. Egyéb példák. Példa: test hőmérséklet. Lehet kérdés? Statisztika. Élettan Anatómia Kémia. Kérdések!

ORVOSI STATISZTIKA. Az orvosi statisztika helye. Egyéb példák. Példa: test hőmérséklet. Lehet kérdés? Statisztika. Élettan Anatómia Kémia. Kérdések! ORVOSI STATISZTIKA Az orvos statsztka helye Élettan Anatóma Kéma Lehet kérdés?? Statsztka! Az orvos döntéseket hoz! Mkor jó egy döntés? Mennyre helyes egy döntés? Mekkora a tévedés lehetősége? Példa: test

Részletesebben

Regresszió. Fő cél: jóslás Történhet:

Regresszió. Fő cél: jóslás Történhet: Fő cél: jóslás Történhet: Regresszó 1 változó több változó segítségével Lépések: Létezk-e valamlyen kapcsolat a 2 változó között? Kapcsolat természetének leírása (mat. egy.) A regresszós egyenlet alapján

Részletesebben

Az entrópia statisztikus értelmezése

Az entrópia statisztikus értelmezése Az entrópa statsztkus értelmezése A tapasztalat azt mutatja hogy annak ellenére hogy egy gáz molekulá egyed mozgást végeznek vselkedésükben mégs szabályszerűségek vannak. Statsztka jellegű vselkedés szabályok

Részletesebben

1. fogalom. Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! Milyen tulajdonságai vannak az összeadásnak? Hogyan ellenőrizzük az összeadást?

1. fogalom. Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! Milyen tulajdonságai vannak az összeadásnak? Hogyan ellenőrizzük az összeadást? 1. fogalom Add meg az összeadásban szereplő számok 73 + 19 = 92 összeadandók (tagok) összeg Összeadandók (tagok): amiket összeadunk. Összeg: az összeadás eredménye. Milyen tulajdonságai vannak az összeadásnak?

Részletesebben

VARIANCIAANALÍZIS (szóráselemzés, ANOVA)

VARIANCIAANALÍZIS (szóráselemzés, ANOVA) VARIANCIAANAÍZIS (szóráselemzés, ANOVA) Varancaanalízs. Varancaanalízs (szóráselemzés, ANOVA) Adott: egy vagy több tetszőleges skálájú független változó és egy legalább ntervallum skálájú függő változó.

Részletesebben

Függvények Megoldások

Függvények Megoldások Függvények Megoldások ) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) x x b) x x + c) x ( x + ) b) Az x függvény

Részletesebben

Az elektromos kölcsönhatás

Az elektromos kölcsönhatás TÓTH.: lektrosztatka/ (kbővített óravázlat) z elektromos kölcsönhatás Rég tapasztalat, hogy megdörzsölt testek különös erőket tudnak kfejten. Így pl. megdörzsölt műanyagok (fésű), megdörzsölt üveg- vagy

Részletesebben

Komplex regionális elemzés és fejlesztés tanév DE Népegészségügyi Iskola Egészségpolitika tervezés és finanszírozás MSc

Komplex regionális elemzés és fejlesztés tanév DE Népegészségügyi Iskola Egészségpolitika tervezés és finanszírozás MSc Komplex regonáls elemzés és fejlesztés 2016-2017. tanév DE Népegészségügy Iskola Egészségpoltka tervezés és fnanszírozás MSc 2. előadás Terület elemzés módszerek az egészségföldrajzban Terület ellátás

Részletesebben

Lineáris regresszió. Statisztika I., 4. alkalom

Lineáris regresszió. Statisztika I., 4. alkalom Lneárs regresszó Statsztka I., 4. alkalom Lneárs regresszó Ha két folytonos változó lneárs kapcsolatban van egymással, akkor az egyk segítségével elıre jelezhetjük a másk értékét. Szükségünk van a függı

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

Békefi Zoltán. Közlekedési létesítmények élettartamra vonatkozó hatékonyság vizsgálati módszereinek fejlesztése. PhD Disszertáció

Békefi Zoltán. Közlekedési létesítmények élettartamra vonatkozó hatékonyság vizsgálati módszereinek fejlesztése. PhD Disszertáció Közlekedés létesítmények élettartamra vonatkozó hatékonyság vzsgálat módszerenek fejlesztése PhD Dsszertácó Budapest, 2006 Alulírott kjelentem, hogy ezt a doktor értekezést magam készítettem, és abban

Részletesebben

Tanult nem paraméteres próbák, és hogy milyen probléma megoldására szolgálnak.

Tanult nem paraméteres próbák, és hogy milyen probléma megoldására szolgálnak. 8. GYAKORLAT STATISZTIKAI PRÓBÁK ISMÉTLÉS: Tanult nem paraméteres próbák, és hogy mlyen probléma megoldására szolgálnak. Név Illeszkedésvzsgálat Χ próbával Illeszkedésvzsgálat grafkus úton Gauss papírral

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

KOMBINATORIKA ELŐADÁS osztatlan matematika tanár hallgatók számára. Szita formula

KOMBINATORIKA ELŐADÁS osztatlan matematika tanár hallgatók számára. Szita formula KOMBINATORIKA ELŐADÁS osztatlan matematka tanár hallgatók számára Szta formula Előadó: Hajnal Péter 2015. 1. Bevezető példák 1. Feladat. Hány olyan sorbaállítása van a a, b, c, d, e} halmaznak, amelyben

Részletesebben

d(f(x), f(y)) q d(x, y), ahol 0 q < 1.

d(f(x), f(y)) q d(x, y), ahol 0 q < 1. Fxponttétel Már a hétköznap életben s gyakran tapasztaltuk, hogy két pont között a távolságot nem feltétlenül a " kettő között egyenes szakasz hossza" adja Pl két település között a távolságot közlekedés

Részletesebben

Racionális számok: Azok a számok, amelyek felírhatók két egész szám hányadosaként ( p q

Racionális számok: Azok a számok, amelyek felírhatók két egész szám hányadosaként ( p q Szóbeli tételek matematikából 1. tétel 1/a Számhalmazok definíciója, jele (természetes számok, egész számok, racionális számok, valós számok) Természetes számok: A pozitív egész számok és a 0. Jele: N

Részletesebben

b) Ábrázolja ugyanabban a koordinátarendszerben a g függvényt! (2 pont) c) Oldja meg az ( x ) 2

b) Ábrázolja ugyanabban a koordinátarendszerben a g függvényt! (2 pont) c) Oldja meg az ( x ) 2 1) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) b) c) ( ) ) Határozza meg az 1. feladatban megadott, ; intervallumon

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek megoldásához!

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Példa: Egy üzletlánc boltjainak forgalmára vonatkozó adatok 1999. október hó: (adott a vastagon szedett!) S i g i z i g i z i

Példa: Egy üzletlánc boltjainak forgalmára vonatkozó adatok 1999. október hó: (adott a vastagon szedett!) S i g i z i g i z i . konzult. LEV. 013. ápr. 5. MENNYISÉGI ISMÉRV szernt ELEMZÉS Tk. 3-8., 88-90. oldal, kmarad: 70., 74. oldal A mennység smérv (X) lehet: dszkrét és folytonos. A rangsor a mennység smérv értékenek monoton

Részletesebben

Hely és elmozdulás - meghatározás távolságméréssel

Hely és elmozdulás - meghatározás távolságméréssel Hely és elmozdulás - meghatározás távolságméréssel Bevezetés A repülő szerkezetek repülőgépek, rakéták, stb. helyének ( koordnátának ) meghatározása nem új feladat. Ezt a szakrodalom részletesen taglalja

Részletesebben

Amit a törtekről tudni kell Minimum követelményszint

Amit a törtekről tudni kell Minimum követelményszint Amit a törtekről tudni kell Minimum követelményszint Fontos megjegyzés: A szabályoknak nem a pontos matematikai meghatározását adtuk. Helyettük a gyakorlatban használható, egyszerű megfogalmazásokat írtunk.

Részletesebben

Dr. Ratkó István. Matematikai módszerek orvosi alkalmazásai. 2010.11.08. Magyar Tudomány Napja. Gábor Dénes Főiskola

Dr. Ratkó István. Matematikai módszerek orvosi alkalmazásai. 2010.11.08. Magyar Tudomány Napja. Gábor Dénes Főiskola Dr. Ratkó István Matematka módszerek orvos alkalmazása 200..08. Magyar Tudomány Napja Gábor Dénes Főskola A valószínűségszámítás és matematka statsztka főskola oktatásakor a hallgatók néha megkérdezk egy-egy

Részletesebben

Az egyenes egyenlete: 2 pont. Az összevont alak: 1 pont. Melyik ábrán látható e függvény grafikonjának egy részlete?

Az egyenes egyenlete: 2 pont. Az összevont alak: 1 pont. Melyik ábrán látható e függvény grafikonjának egy részlete? 1. Írja fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely áthalad az (1; 3) ponton, és egyik normálvektora a (8; 1) vektor! Az egyenes egyenlete: 2. Végezze el a következő műveleteket, és vonja össze az egynemű

Részletesebben

STATISZTIKA I. A változók mérési szintjei. Nominális változók. Alacsony és magas mérési szint. Nominális változó ábrázolása

STATISZTIKA I. A változók mérési szintjei. Nominális változók. Alacsony és magas mérési szint. Nominális változó ábrázolása A változók mérési szintjei STATISZTIKA I. 3. Előadás Az adatok mérési szintjei, Viszonyszámok A változók az alábbi típusba tartozhatnak: Nominális (kategorikus és diszkrét) Ordinális Intervallum skála

Részletesebben

TANMENETJAVASLAT. Dr. Korányi Erzsébet MATEMATIKA. tankönyv ötödikeseknek. címû tankönyvéhez

TANMENETJAVASLAT. Dr. Korányi Erzsébet MATEMATIKA. tankönyv ötödikeseknek. címû tankönyvéhez TANMENETJAVASLAT Dr. Korányi Erzsébet MATEMATIKA tankönyv ötödikeseknek címû tankönyvéhez A heti 3 óra, évi 111 óra B heti 4 óra, évi 148 óra Javaslat témazáró dolgozatra: Dr. Korányi Erzsébet: Matematika

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 1 I. HALmAZOk 1. JELÖLÉSEk A halmaz fogalmát tulajdonságait gyakran használjuk a matematikában. A halmazt nem definiáljuk, ezt alapfogalomnak tekintjük. Ez nem szokatlan, hiszen

Részletesebben

Statisztikai alapfogalmak

Statisztikai alapfogalmak i alapfogalmak statisztikai sokaság: a megfigyelés tárgyát képező egyedek összessége 2 csoportja van: álló sokaság: mindig vmiféle állapotot, állományt fejez ki, adatai egy adott időpontban értelmezhetők

Részletesebben

Egész számok értelmezése, összehasonlítása

Egész számok értelmezése, összehasonlítása Egész számok értelmezése, összehasonlítása Mindennapi életünkben jelenlevő ellentétes mennyiségek kifejezésére a természetes számok halmazát (0; 1; 2; 3; 4; 5 ) ki kellett egészítenünk. 0 +1, +2, +3 +

Részletesebben

A területi koncentráció interpretálása: kitüntetett helyzetek

A területi koncentráció interpretálása: kitüntetett helyzetek A területi koncentráció interpretálása: kitüntetett helyzetek Kitüntetett helyzetek Egy társadalmi-gazdasági jelenség területi elhelyezkedésének mérése, interpretálása Egy jelenség középponti koordinátáinak

Részletesebben

1. Halmazok, számhalmazok, alapműveletek

1. Halmazok, számhalmazok, alapműveletek 1. Halmazok, számhalmazok, alapműveletek I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Határozza meg az (A B)\C halmaz elemszámát, ha A tartalmazza az összes 19-nél kisebb természetes számot, továbbá B a prímszámok halmaza

Részletesebben

Adatgyűjtés, adatkezelés, adattípusok

Adatgyűjtés, adatkezelés, adattípusok Adatgyűjtés, adatkezelés, adattípusok Varga Ágnes egyetemi tanársegéd varga.agnes@uni-corvinus.hu 2018/19. I. félév BCE Geo Intézet Társadalmi-gazdasági folyamatok feltárása Egyik legfontosabb és legizgalmasabb

Részletesebben

Hatványozás. A hatványozás azonosságai

Hatványozás. A hatványozás azonosságai Hatványozás Definíció: a 0 = 1, ahol a R, azaz bármely szám nulladik hatványa mindig 1. a 1 = a, ahol a R, azaz bármely szám első hatványa önmaga a n = a a a, ahol a R, n N + n darab 3 4 = 3 3 3 3 = 84

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények ) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) x

Részletesebben

II. Két speciális Fibonacci sorozat, szinguláris elemek, természetes indexelés

II. Két speciális Fibonacci sorozat, szinguláris elemek, természetes indexelés II. Két speciális Fibonacci sorozat, szinguláris elemek, természetes indexelés Nagyon könnyen megfigyelhetjük, hogy akármilyen két számmal elindítunk egy Fibonacci sorozatot, a sorozat egymást követő tagjainak

Részletesebben

METROLÓGIA ÉS HIBASZÁMíTÁS

METROLÓGIA ÉS HIBASZÁMíTÁS METROLÓGIA ÉS HIBASZÁMíTÁS Metrológa alapfogalmak A metrológa a mérések tudománya, a mérésekkel kapcsolatos smereteket fogja össze. Méréssel egy objektum valamlyen tulajdonságáról számszerű értéket kapunk.

Részletesebben

Egész számok. pozitív egész számok: 1; 2; 3; 4;... negatív egész számok: 1; 2; 3; 4;...

Egész számok. pozitív egész számok: 1; 2; 3; 4;... negatív egész számok: 1; 2; 3; 4;... Egész számok természetes számok ( ) pozitív egész számok: 1; 2; 3; 4;... 0 negatív egész számok: 1; 2; 3; 4;... egész számok ( ) 1. Írd a következõ számokat a halmazábra megfelelõ helyére! 3; 7; +6 ; (

Részletesebben

3. Évközi ellenőrzés módja: 2 zárhelyi dolgozat íratása. 4. A tárgy előírt külső szakmai gyakorlatai: -

3. Évközi ellenőrzés módja: 2 zárhelyi dolgozat íratása. 4. A tárgy előírt külső szakmai gyakorlatai: - Tantárgy neve Halmazok és függvények Tantárgy kódja MTB00 Meghrdetés féléve Kredtpont Összóraszám (elm+gyak + Számonkérés módja G Előfeltétel (tantárgy kód - Tantárgyfelelős neve Rozgony Tbor Tantárgyfelelős

Részletesebben

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 1

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 1 Halmazok 1 Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 2 A fejezet legfontosabb elemei Halmaz megadási módjai Halmazok közti műveletek (metszet,

Részletesebben

Matematika 10 Másodfokú egyenletek. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < 2015. szeptember 27.

Matematika 10 Másodfokú egyenletek. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < 2015. szeptember 27. Matematika 10 Másodfokú egyenletek Juhász László matematika és fizika szakos középiskolai tanár > o < 2015. szeptember 27. copyright: c Juhász László Ennek a könyvnek a használatát szerzői jog védi. A

Részletesebben

Biostatisztika e-book Dr. Dinya Elek

Biostatisztika e-book Dr. Dinya Elek TÁMOP-4../A/-/-0-005 Egészségügy Ügyvtelszervező Szakrány: Tartalomfejlesztés és Elektronkus Tananyagfejlesztés a BSc képzés keretében Bostatsztka e-book Dr. Dnya Elek Tartalomjegyzék. Bevezetés a mátrok

Részletesebben

Fuzzy rendszerek. A fuzzy halmaz és a fuzzy logika

Fuzzy rendszerek. A fuzzy halmaz és a fuzzy logika Fuzzy rendszerek A fuzzy halmaz és a fuzzy logka A hagyományos kétértékű logka, melyet évezredek óta alkalmazunk a tudományban, és amelyet George Boole (1815-1864) fogalmazott meg matematkalag, azon a

Részletesebben

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének 6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük

Részletesebben

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé.

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. HA 1 Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) HA 2 Halmazok HA 3 Megjegyzések A halmaz, az elem és az eleme fogalmakat nem definiáljuk, hanem alapfogalmaknak

Részletesebben

HALMAZOK. A racionális számok halmazát olyan számok alkotják, amelyek felírhatók b. jele:. A racionális számok halmazának végtelen sok eleme van.

HALMAZOK. A racionális számok halmazát olyan számok alkotják, amelyek felírhatók b. jele:. A racionális számok halmazának végtelen sok eleme van. HALMAZOK Tanulási cél Halmazok megadása, halmazműveletek megismerése és alkalmazása, halmazok ábrázolása Venn diagramon. Motivációs példa Egy fogyasztó 80 000 pénzegység jövedelmet fordít két termék, x

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 8 VIII VEkTOROk 1 VEkTOR Vektoron irányított szakaszt értünk Jelölése: stb Vektorok hossza A vektor abszolút értéke az irányított szakasz hossza Ha a vektor hossza egységnyi akkor

Részletesebben

Követelmény a 6. évfolyamon félévkor matematikából

Követelmény a 6. évfolyamon félévkor matematikából Követelmény a 6. évfolyamon félévkor matematikából Gondolkodási és megismerési módszerek Halmazba rendezés adott tulajdonság alapján, részhalmaz felírása, felismerése. Két véges halmaz közös részének,

Részletesebben

;3 ; 0; 1 7; ;7 5; 3. pozitív: ; pozitív is, negatív is: ;

;3 ; 0; 1 7; ;7 5; 3. pozitív: ; pozitív is, negatív is: ; . A racion lis sz mok A tanult sz mok halmaza A) Ábrázold számegyenesen az alábbi számokat! 8 + + 0 + 7 0 7 7 0 0. 0 Válogasd szét a számokat aszerint, hogy pozitív: pozitív is, negatív is: negatív: sem

Részletesebben

Bevezető Mi a statisztika? Mérés Csoportosítás

Bevezető Mi a statisztika? Mérés Csoportosítás Gazdaságstatisztika 1. előadás Kóczy Á. László Keleti Károly Gazdasági Kar Vállalkozásmenedzsment Intézet Oktatók Előadó Kóczy Á. László (koczy.laszlo@kgk.bmf.hu) Fogadóóra: szerda 11:30 11:55, TA125 Gyakorlatvezető

Részletesebben

A mérés problémája a pedagógiában. Dr. Nyéki Lajos 2015

A mérés problémája a pedagógiában. Dr. Nyéki Lajos 2015 A mérés problémája a pedagógiában Dr. Nyéki Lajos 2015 A mérés fogalma Mérésen olyan tevékenységet értünk, amelynek eredményeként a vizsgált jelenség számszerűen jellemezhetővé, más hasonló jelenségekkel

Részletesebben

3. Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek

3. Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek . Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Mennyi a 2x 2 8x 5 = 0 egyenlet gyökeinek a szorzata? (A) 10 (B) 2 (C) 2,5 (D) 4 (E) ezek egyike sem Megoldás I.: BME 2011.

Részletesebben

Függvény fogalma, jelölések 15

Függvény fogalma, jelölések 15 DOLGO[Z]ZATOK 9.. 1. Függvény fogalma, jelölések 1 1. Az alábbi hozzárendelések közül melyek függvények? a) A magyarországi megyékhez hozzárendeljük a székhelyüket. b) Az egész számokhoz hozzárendeljük

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Eponenciális és Logaritmikus kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szoálhatnak fontos információval

Részletesebben

Amit a törtekről tudni kell 5. osztály végéig Minimum követelményszint

Amit a törtekről tudni kell 5. osztály végéig Minimum követelményszint Amit a törtekről tudni kell. osztály végéig Minimum követelményszint Fontos megjegyzés: A szabályoknak nem a pontos matematikai meghatározását adtuk. Helyettük a gyakorlatban használható, egyszerű megfogalmazásokat

Részletesebben

,...,q 3N és 3N impulzuskoordinátával: p 1,

,...,q 3N és 3N impulzuskoordinátával: p 1, Louvlle tétele Egy tetszőleges klasszkus mechanka rendszer állapotát mnden t dőpllanatban megadja a kanónkus koordnáták összessége. Legyen a rendszerünk N anyag pontot tartalmazó. Ilyen esetben a rendszer

Részletesebben

MATEMATIKAI STATISZTIKA KISFELADAT. Feladatlap

MATEMATIKAI STATISZTIKA KISFELADAT. Feladatlap Közlekedésmérnök Kar Jármőtervezés és vzsgálat alapja I. Feladatlap NÉV:..tk.:. Feladat sorsz.:.. Feladat: Egy jármő futómő alkatrész terhelésvzsgálatakor felvett, az alkatrészre ható terhelı erı csúcsértékek

Részletesebben

Példák ekvivalencia relációra (TÉTELként kell tudni ezeket zárthelyin, vizsgán):

Példák ekvivalencia relációra (TÉTELként kell tudni ezeket zárthelyin, vizsgán): F NIK INÁRIS RLÁIÓK INÁRIS RLÁIÓK (és hasonló mátrxok s tt!) Defnícó: z R bnárs relácó, ha R {( a, b) a, b } nárs relácók lehetséges tuladonsága:. Reflexív ha ( x,.(a). Szmmetrkus ha ( x, y) ( y,.(b).

Részletesebben

Matematika szóbeli érettségi témakörök 2016/2017-es tanév őszi vizsgaidőszak

Matematika szóbeli érettségi témakörök 2016/2017-es tanév őszi vizsgaidőszak Matematika szóbeli érettségi témakörök 2016/2017-es tanév őszi vizsgaidőszak Halmazok Halmazok egyenlősége Részhalmaz, valódi részhalmaz Üres halmaz Véges és végtelen halmaz Halmazműveletek (unió, metszet,

Részletesebben

Koncentráció és mérése gazdasági és társadalmi területeken. Kerékgyártó Györgyné BCE Statisztika Tanszék

Koncentráció és mérése gazdasági és társadalmi területeken. Kerékgyártó Györgyné BCE Statisztika Tanszék Koncentrácó és mérése gazdaság és társadalm területeken Kerékgyártó Györgyné BCE Statsztka Tanszék Koncentrácó Fogalmát a XVIII. sz. másodk felétől egyre gyakrabban használták. Először a termelésre értelmezték,

Részletesebben

1. Mit nevezünk egész számok-nak? Válaszd ki a következő számok közül az egész számokat: 3 ; 3,1 ; 1,2 ; -2 ; -0,7 ; 0 ; 1500

1. Mit nevezünk egész számok-nak? Válaszd ki a következő számok közül az egész számokat: 3 ; 3,1 ; 1,2 ; -2 ; -0,7 ; 0 ; 1500 1. Mit nevezünk egész számok-nak? Válaszd ki a következő számok közül az egész számokat: 3 ; 3,1 ; 1,2 ; -2 ; -0,7 ; 0 ; 1500 2. Mit nevezünk ellentett számok-nak? Ábrázold számegyenesen a következő számokat

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I. Számelmélet I. DEFINÍCIÓ: (Osztó, többszörös) Ha egy a szám felírható egy b szám és egy másik egész szám szorzataként, akkor a b számot az a osztójának, az a számot a b többszörösének nevezzük. Megjegyzés:

Részletesebben

ÁLTALÁNOS STATISZTIKA

ÁLTALÁNOS STATISZTIKA Berzseny Dánel Főskola ÁLTALÁNOS STATISZTIKA műszak menedzser alapszak Írta: Dr. Köves János Tóth Zsuzsanna Eszter Budapest 006 Tartalomjegyzék. VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁSI ALAPOK... 4.. A VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS

Részletesebben

Műveletek mátrixokkal. Kalkulus. 2018/2019 ősz

Műveletek mátrixokkal. Kalkulus. 2018/2019 ősz 2018/2019 ősz Elérhetőségek Előadó: (safaro@math.bme.hu) Fogadóóra: hétfő 9-10 (H épület 3. emelet 310-es ajtó) A pontos tárgykövetelmények a www.math.bme.hu/~safaro/kalkulus oldalon találhatóak. A mátrix

Részletesebben

a) A logaritmus értelmezése alapján: x 8 0 ( x 2 2 vagy x 2 2) (1 pont) Egy szorzat értéke pontosan akkor 0, ha valamelyik szorzótényező 0.

a) A logaritmus értelmezése alapján: x 8 0 ( x 2 2 vagy x 2 2) (1 pont) Egy szorzat értéke pontosan akkor 0, ha valamelyik szorzótényező 0. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

Tanmenetjavaslat. Téma Óraszám Tananyag Fogalmak Összefüggések Eszközök Kitekintés. Helyi érték, alaki érték. Számegyenes.

Tanmenetjavaslat. Téma Óraszám Tananyag Fogalmak Összefüggések Eszközök Kitekintés. Helyi érték, alaki érték. Számegyenes. Heti 4 óra esetén, 37 tanítási hétre összesen 148 óra áll rendelkezésre. A tanmenet 132 óra beosztását tartalmazza. Heti 5 óra esetén összesen 37-tel több órában dolgozhatunk. Ez összesen 185 óra. Itt

Részletesebben

Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit!

Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! 1. 2. 3. 4. Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg a kivonásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg a szorzásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg az osztásban szereplő számok

Részletesebben

Korrelációs kapcsolatok elemzése

Korrelációs kapcsolatok elemzése Korrelációs kapcsolatok elemzése 1. előadás Kvantitatív statisztikai módszerek Két változó közötti kapcsolat Független: Az X ismérv szerinti hovatartozás ismerete nem ad semmilyen többletinformációt az

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII.

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Magasabbfokú egyenletek: A 3, vagy annál nagyobb fokú egyenleteket magasabb fokú egyenleteknek nevezzük. Megjegyzés: Egy n - ed fokú egyenletnek legfeljebb n darab valós

Részletesebben

Hatvány gyök logaritmus

Hatvány gyök logaritmus Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar Matematika Tanszék 1 Hatvány gyök logaritmus Hatványozás azonosságai 1. Döntse el az alábbi állításról, hogy igaz-e vagy hamis! Ha két szám négyzete egyenl, akkor

Részletesebben

Descartes-féle, derékszögű koordináta-rendszer

Descartes-féle, derékszögű koordináta-rendszer Descartes-féle, derékszögű koordináta-rendszer A derékszögű koordináta-rendszerben a sík minden pontjához egy rendezett valós számpár rendelhető. A számpár első tagja (abszcissza) a pont y tengelytől mért

Részletesebben

2016/2017. Matematika 9.Kny

2016/2017. Matematika 9.Kny 2016/2017. Matematika 9.Kny Gondolkodási módszerek 1. Számhalmazok: N, Z, Q, Q*, R a számhalmazok kapcsolata, halmazábra 2. Ponthalmazok: o 4. oldal K I. fejezet: 172-178., 180-185., 191. feladat távolsággal

Részletesebben

Követelmény az 5. évfolyamon félévkor matematikából

Követelmény az 5. évfolyamon félévkor matematikából Követelmény az 5. évfolyamon félévkor matematikából Gondolkodási és megismerési módszerek Néhány elem kiválasztása adott szempont szerint. Néhány elem sorba rendezése, az összes lehetséges sorrend felsorolása.

Részletesebben

20 PONT Aláírás:... A megoldások csak szöveges válaszokkal teljes értékőek!

20 PONT Aláírás:... A megoldások csak szöveges válaszokkal teljes értékőek! SPEC 2009-2010. II. félév Statsztka II HÁZI dolgozat Név:... Neptun kód: 20 PONT Aláírás:... A megoldások csak szöveges válaszokkal teljes értékőek! 1. példa Egy üzemben tejport csomagolnak zacskókba,

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Eponenciális és Logaritmikus kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 3. EMELT SZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 3. EMELT SZINT I. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 0. május. EMELT SZINT I. ) Hatjegyű pozitív egész számokat képezünk úgy, hogy a képzett számban szereplő számjegy annyiszor fordul elő, amekkora a számjegy. Hány ilyen hatjegyű számjegy

Részletesebben

Intelligens elosztott rendszerek

Intelligens elosztott rendszerek Intellgens elosztott rendszerek VIMIAC2 Adatelőkészítés: hhetőségvzsgálat normálás stb. Patak Béla BME I.E. 414, 463-26-79 atak@mt.bme.hu, htt://www.mt.bme.hu/general/staff/atak Valamlyen dőben állandó,

Részletesebben

6. OSZTÁLY. Az évi munka szervezése, az érdeklõdés felkeltése Feladatok a 6. osztály anyagából. Halmazok Ismétlés (halmaz megadása, részhalmaz)

6. OSZTÁLY. Az évi munka szervezése, az érdeklõdés felkeltése Feladatok a 6. osztály anyagából. Halmazok Ismétlés (halmaz megadása, részhalmaz) 6. OSZTÁLY Óraszám 1. 1. Az évi munka szervezése, az érdeklõdés felkeltése a 6. osztály anyagából Tk. 13/elsõ mintapélda 42/69 70. 96/elsõ mintapélda 202/16. 218/69. 2 3. 2 3. Halmazok Ismétlés (halmaz

Részletesebben

I. VEKTOROK, MÁTRIXOK

I. VEKTOROK, MÁTRIXOK 217/18 1 félév I VEKTOROK, MÁTRIXOK I1 I2 Vektorok 1 A síkon derékszögű koordinátarendszerben minden v vektornak van vízszintes és van függőleges koordinátája, ezeket sorrendben v 1 és v 2 jelöli A v síkbeli

Részletesebben

Diszkrét matematika I., 12. előadás Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach november 30.

Diszkrét matematika I., 12. előadás Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet   takach november 30. 1 Diszkrét matematika I, 12 előadás Dr Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@infnymehu http://infnymehu/ takach 2005 november 30 Vektorok Definíció Egy tetszőleges n pozitív egész számra n-komponensű

Részletesebben

Törtek. Rendelhetőek nagyon jó szemléltethető eszközök könyvesboltokban és internetek is, pl:

Törtek. Rendelhetőek nagyon jó szemléltethető eszközök könyvesboltokban és internetek is, pl: Törtek A törteknek kétféle értelmezése van: - Egy egészet valamennyi részre (nevező) osztunk, és abból kiválasztunk valahány darabot (számláló) - Valamennyi egészet (számláló), valahány részre osztunk

Részletesebben

1.Tartalomjegyzék 1. 1.Tartalomjegyzék

1.Tartalomjegyzék 1. 1.Tartalomjegyzék 1.Tartalomjegyzék 1 1.Tartalomjegyzék 1.Tartalomjegyzék...1.Beezetés... 3.A matematka modell kálasztása...5 4.A ékony lap modell...7 5.Egy más módszer a matematka modell kálasztására...10 6.A felületet

Részletesebben

Adatelemzés és adatbányászat MSc

Adatelemzés és adatbányászat MSc Adatelemzés és adatbányászat MSc. téma Adatelemzés, statsztka elemek áttekntése Adatelemzés módszertana probléma felvetés módszer, adatok meghatározása nyers adatok adatforrás meghatározása adat tsztítás

Részletesebben

2) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont)

2) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont) (11/1) Függvények 1 1) Ábrázolja az f()= -4 függvényt a [ ;10 ] intervallumon! (pont) ) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont) 3) Ábrázolja + 1 - függvényt a [ ;] -on! (3pont)

Részletesebben

Osztályozóvizsga-tematika 8. évfolyam Matematika

Osztályozóvizsga-tematika 8. évfolyam Matematika Osztályozóvizsga-tematika 8. évfolyam Matematika 1. félév 1. Gondolkozz és számolj! A természetes szám fogalma, műveleti tulajdonságok Helyiértékek rendszere a tízes számrendszerben: alakiérték, tényleges

Részletesebben

A SZÁMFOGALOM KIALAKÍTÁSA

A SZÁMFOGALOM KIALAKÍTÁSA A SZÁMFOGALOM KIALAKÍTÁSA TERMÉSZETES SZÁMOK ÉRTELMEZÉSE 1-5. OSZTÁLY Számok értelmezése 0-tól 10-ig: Véges halmazok számosságaként Mérőszámként Sorszámként Jelzőszámként A számok fogalmának kiterjesztése

Részletesebben

I. A közlekedési hálózatok jellemzői II. A közlekedési szükségletek jellemzői III. Analitikus forgalom-előrebecslési modell

I. A közlekedési hálózatok jellemzői II. A közlekedési szükségletek jellemzői III. Analitikus forgalom-előrebecslési modell Budapest Műszak és Gazdaságtudomány Egyetem Közlekedésmérnök és Járműmérnök Kar Közlekedésüzem Tanszék HÁLÓZATTERVEZÉSI MESTERISKOLA BEVEZETÉS A KÖZLEKEDÉS MODELLEZÉSI FOLYAMATÁBA Dr. Csszár Csaba egyetem

Részletesebben

Statisztika - bevezetés Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc 1

Statisztika - bevezetés Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc 1 Statisztika - bevezetés 00.04.05. Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc Bevezetés Véletlen jelenség fogalma jelenséget okok bizonyos rendszere hozza létre ha mindegyik figyelembe vehető egyértelmű leírás általában

Részletesebben

1. Mit nevezünk egész számok-nak? Válaszd ki a következő számok közül az egész számokat: 3 ; 3,1 ; 1,2 ; -2 ; -0,7 ; 0 ; 1500

1. Mit nevezünk egész számok-nak? Válaszd ki a következő számok közül az egész számokat: 3 ; 3,1 ; 1,2 ; -2 ; -0,7 ; 0 ; 1500 1. Mit nevezünk egész számok-nak? Válaszd ki a következő számok közül az egész számokat: 3 ; 3,1 ; 1,2 ; -2 ; -0,7 ; 0 ; 1500 2. Mit nevezünk ellentett számok-nak? Ábrázold számegyenesen a következő számokat

Részletesebben

Abszolútértékes és gyökös kifejezések Megoldások

Abszolútértékes és gyökös kifejezések Megoldások Abszolútértékes és gyökös kifejezések Megoldások ) Igazolja, hogy az alábbi négy egyenlet közül az a) és b) jelű egyenletnek pontosan egy megoldása van, a c) és d) jelű egyenletnek viszont nincs megoldása

Részletesebben