Bevezetés a kísérletmódszertanba. Johanyák Zsolt Csaba

Átírás

1 evezetés a kísérletmódszertanba Johanyák Zsolt Csaba 00

2 Johanyák Zsolt Csaba: evezetés a kísérletmódszertanba artalomjegyzék. evezetés...4. kísérletmódszertan léései Hibatényezõk csökkentése Kísérlettervezés elõkészítése Faktor Faktorok osztályozása Példák a faktorok kiválasztására Szint Jelölésmód Otimalizációs araméter (minõségi jellemzõ) Hagyományos faktoriális kísérlettervezési módszerek Faktorszint váltás egyesével (one-by-one módszer) Egyfaktoros módszer Regresszió elemzés Csoortfaktoros kísérletterv Kiértékelés eljes faktoriális kísérletterv Kísérletek kiértékelése Egyszerû hatásvizsgálat Részleges faktoriális kísérletterv ráteleítés kockázata ervkészítés az identitás oszlo segítségével Shainin kísérletmódszertana Elsõdleges kiválasztás öbbváltozós kártyák lkatrész keresés Páros összehasonlítás Változók keresése /C elemzés aguchi kísérletmódszertana Veszteségfüggvény Számítások aguchi veszteség függvényével Kölcsönhatás nélküli homogén terv Kölcsönhatásokat tartalmazó homogén terv Szabadon maradó oszlook Vegyes kísérletek tervezése Szintnövelés Szintcsökkentés...39

3 . evezetés Szintnövelés és szintcsökkentés kombinált alkalmazása Robusztus tervezés Standard elemzés Hatásvizsgálat Variancia elemzés (NOV) Ismétléses kísérletek kiértékelése Standard elemzés Jel/zaj viszony elemzés Minõségi változóval jellemezhetõ gyártási folyamatok elemzése Válaszfelület módszerek Válaszfelület Léegetések elve Léegetések elvén alauló módszerek Matematikai modell Gradiens módszer modell felállítása gradiens módszer alkalmazása Szimlex módszer Kezdõ szimlex z új szimlex csúcsa szimlex módszer elõnyös tulajdonságai Példa a szimlex módszer alkalmazására...6 Irodalomjegyzék Mellékletek t -α értékek táblázata...67 F értékek táblázata 95%-os szintre...67 z F értékek táblázata 99%-os szintre...68 aguchi által javasolt kísérlettervek...68 Háromszög táblázatok...73 Háromszög táblázat kétszintes oszlookhoz...73 Háromszszög táblázat háromszintes oszlookhoz...74 Háromszög táblázat négyszintes oszlookhoz

4 Johanyák Zsolt Csaba: evezetés a kísérletmódszertanba. evezetés legtöbb technológiánál a sorozatgyártás beállítása bonyolult folyamat. gékezelõ a feladatot sokéves taasztalata és beállítási utasítások alaján hajtja végre, amihez támontot nyújthatnak a katalógusok és az átlagérték táblázatok. kezdeti beállításokkal róbadarabokat készítenek, méréseket végeznek, módosítgatják a beállításokat mindaddig, míg el nem érik a megkívánt eredményt. Ezt az eljárási módot róbálgatásos módszernek nevezik. lkalmazása különösen új feladatoknál kritikus, ugyanis ilyenkor nem áll rendelkezésre taasztalati ismeretanyag. Egy jól megtervezett módszer lényeges eleme a visszavezethetõség, ami különösen fontos az orvosi és gyógyszerészeti területeken. Ma már az iari gyakorlatban is jellemzõ, hogy a megrendelõk szállítóiktól nemcsak minõséget követelnek meg, hanem annak bizonyítását is, hogy ezen minõség állandóságát megfelelõ intézkedésekkel biztosítják. Így éldául a Ford a minõségauditok során ellenõrzi, hogy a szállítók alkalmazzák-e a kísérlettervezés módszereit a folyamatok beállítása során. géiaron kívül más iarágakban is megfigyelhetjük, hogy rendszerezett módszereket használnak a folyamatok vizsgálatára. Ennek oka a vizsgálat idõtartamában rejlik. Míg egy esztergagé beállításának megváltoztatása egy gyorsan ellenõrizhetõ eredményt ad, addig a mezõgazdaságban egy kísérlet több évre is kinyúlhat. Éen ezért ezeken a területeken kénytelenek a tervezésre helyezni a hangsúlyt. mai kísérlettervezés alajait Ronald Fischer statisztikai vizsgálatai teremtették meg. jelenleg elterjedt módszereket alavetõen három csoortba oszthatjuk (.. táblázat). faktoriális tervek lehetõvé teszik több faktor egyidejû vizsgálatát. kísérletek számának elfogadható keretek között tartása érdekében a megvizsgálni kívánt beállítások számát faktoronként legtöbbször kettõre szokták korlátozni. Ez elegendõ a faktorok jelentõségének kimutatásához, és sok esetben az otimális beállítási tartomány meghatározásához is. Logikus feléítésük és egyszerû kezelésük következtében ezek a tervek az iari gyakorlatban jól alkalmazhatóak. z utóbbi idõben egyre nészerûbbek az egyszerûsítõ módszerek, mint a aguchi és Shainin által leírt technikák, amelyek a faktoriális vizsgálatok családjába tartoznak. táblázatban szerelõ válaszfelület módszereket az összefüggések részletekbe menõ vizsgálatára és a jelleggörbe mezõk modellezésére használják. z elõre meghatározott és az iteratív kísérleti utasításokon alauló módszereket különböztetjük meg. z elõre meghatározott kísérleti utasítások lehetõvé teszik a jelleggörbe mezõk matematikai modelljének feléítését. Itt olyan magasabb szintû kísérleti terveket alkalmaznak, melyek bizonyos ráfordításokat feltételeznek. léegetéses módszerek olyan stratégiákat alkalmaznak, melyek lehetõvé teszik a folyamat léésenkénti otimalizálását. Ezen csoort legfontosabb kéviselõi az evolúciós (fejlõdésen alauló) módszerek, melyek megróbálják a természet viselkedését lekéezni az iari folyamatokra... táblázat statisztikai kísérlettervezés módszerei Faktoriális tervek Válaszfelület tervek Faktorszint váltás egyesével Gauss-Seidel Egyfaktoros Gradiens (ox-wilson) Csoortfaktoros Szimlex eljes faktoriális X k Sztochasztikus Részleges faktoriális X k- közelítések módszere Shainin aguchi Négyzetes tervek Latin négyzet Görög-Latin négyzet Hier Görög-Latin négyzet Youden négyzet Lattice négyzet 4

5 . evezetés négyzetes terveket, kettõnél több beállítási lehetõséggel rendelkezõ faktor (a folyamat valamely állítható aramétere) egyidejû vizsgálatára használják. faktorok száma korlátozott kell legyen a kezelhetõség érdekében. végrehajtott kísérletek variancia elemzése (változékonyság elemzése) tájékoztatást ad a faktorok szignifikanciájáról (jelentõségérõl). 5

6 Johanyák Zsolt Csaba: evezetés a kísérletmódszertanba. kísérletmódszertan léései statisztikailag tervezett vizsgálatok alkalmazásának léései az.. táblázatban szereelnek. lavetõ jelentõségû, hogy a lehetõ legtöbb szakmai tudás éüljön be a vizsgálatba a hibás tervezés és értelmezés megelõzése érdekében. Itt nagy segítséget jelenthet a korábbi folyamatmegfigyelésekbõl nyert ismeretanyag. vizsgálatot egy részlegközi csoort hajtja végre, amelyben a kísérlettervezés és a statisztika területének szakértõi mellett olyanok is részt vesznek, akik jól ismerik az adott folyamat technológiáját. Különös figyelmet kell fordítani arra, hogy a vizsgálat sikeressége nagymértékben függ a gékezelõk együttmûködésétõl. különbözõ részlegek dolgozói közti együttmûködés megleõ hatásokat eredményezhet. Gyakran már azáltal is javulás érhetõ el, hogy a tervezés szakemberei taasztalatot cserélnek a gyártás szakembereivel. Minél ügyesebben terveznek meg egy kísérletet, annál kisebb a végrehajtáshoz szükséges ráfordítás, és annál megbízhatóbb a kísérlet kiértékelésébõl.. táblázat kísérletmódszertan léései Elõkészítés faktorok meghatározása kiválasztás mértékegység mérési ontosság mérési mód faktor szintek otimalizációs araméter ervezés kölcsönhatások becslése kísérlettervezési technika kiválasztása kísérletterv elkészítése Végrehajtás Paraméterek beállítása Minõségi jellemzõ meghatározása Elemzés grafikus módszer statisztikai módszer otimális faktorszintek meghatározása vagy visszatérés az elõkészítéshez vagy a tervezéshez Igazoló kísérletek tervezés végrehajtás kiértékelés levont következtetés. Ennek következtében a tervezés bír a legnagyobb jelentõséggel. legtöbb ráfordítás a megvizsgálni kívánt faktorok összeállításához és kiválasztásához, valamint a kölcsönhatások becsléséhez szükséges. Ezek lényeges elõfeltételei a végrehajtási költségek csökkentésének... Hibatényezõk csökkentéserandomizálás ismétlés o egy beállítással o beállítások váltogatásával kísérleteket recízen kell végrehajtani. változó folyamataraméterek ontos beállítása mellett figyelmet kell szentelni a mértékegységek megállaítására és az elõállított termékek jelölésére is. Õrizkedni kell attól, hogy a kísérleti tervet odaadjuk a gékezelõnek, és az eredményekben vakon megbízzunk. Különöskéen nagyobb kísérleti terveknél könnyen hiba csúszhat a végrehajtásba. Emiatt a kísérleteket több szakértõ személy jelenlétében kell végrehajtani. Ha a gékezelõt magára hagyják, akkor õ önhatalmúlag eltérhet a tervtõl, és ezt nem dokumentálja. Egy ilyen vizsgálat eredményei semmitmondóak, sõt félrevezetõek lehetnek. 6

7 . kísérletmódszertan léései hibás értelmezés megelõzése érdekében elfogadhatósági szemontból a kísérletek eredményét ellenõriztetik technológiai szakértõkkel. kiértékelés során jó szolgálatot tehetnek a grafikus eljárások, mint l. a hatásdiagramok. kísérleti eredményeket feldolgozás után továbbítják a vezetés felé. Erre jó megoldást jelenthet az elért javítás olyan ábrázolása, mely kiemeli a régi és az új állaot közötti különbséget. mennyiben lehetséges, a javítást énzügyi egységben (l. költségek) fejezik ki. Hatásosan alkalmazható aguchi veszteségfüggvénye is. 7

8 Johanyák Zsolt Csaba: evezetés a kísérletmódszertanba 3. Kísérlettervezés elõkészítése 3.. Faktor faktor egy mérhetõ vagy minõsíthetõ változó mennyiség, amely adott idõontban meghatározott jellemzõkkel bír, és hatást gyakorol a folyamatot jellemzõ mennyiségre (otimalizációs araméter). Faktor figyelmen kívül hagyásának kockázata: Növekszik a kísérleti hiba Nem a valódi otimális beállítást találjuk meg Lényegtelen faktorok kiszûrése: rostáló módszerek (ha a faktorszám>5) Véletlen kiegyenlítés módszere Plackett-urman tervek Shainin technikák NOV Feladatok: Faktor megválasztása Mértékegység megválasztása Mérési ontosság megválasztása Mérési mód megválasztása Faktorokkal szembeni követelmények: közvetlenül az objektumra irányuljon a hatása (egyértelmû) függetlenség, l. termodinamikus rendszer, faktorok: nyomás, hõmérséklet, térfogat VnR összeegyeztethetõség (veszélytelenség) 3... Faktorok osztályozása Kezelhetõség szemontjából: Kézben tartható (irányítható): a faktor bármely értelmezési tartományon belüli értéke beállítható különösebb anyagi vagy mûszaki jellegû nehézség nélkül, és a kísérlet során állandó értéken tartható aktív kísérletek Nem kézben tartható (aguchi zajfaktor): a faktor értelmezési tartományon belüli bármely értékeinek beállítása gazdasági, mûszaki vagy más jellegû nehézségbe ütközik vagy megoldhatatlan asszív kísérletek Összetettség szemontjából: egyedi összetett, l. két komonens hányadosa Értékelés szemontjából: mennyiségi: idõ, hõmérséklet, tömeg, darabszám, reakcióidõ, koncentráció, adagolási sebesség, PH érték minõségi: anyagtíus, minõség, technológiai eljárás tíusa, készülék, dolgozó személye Értékkészlet szemontjából: folytonos: idõ, hõmérséklet diszkrét értékekkel rendelkezõ: darabszám 8

9 3. Kísérlettervezés elõkészítése 3... Példák a faktorok kiválasztására. utadién-sztirol-kaucsuk telítetlen savak sóival történõ vulkanizálása [dler 977] Faktorok: vulkanizálási hõmérséklet, vulkanizálási idõ, iniciátor mennyisége, vulkanizáló hatóanyag mennyisége, oxid mennyisége oxid tíusa (cink oxid, magnézium oxid), savmaradék tíusa (metakrilát, maleát), sókation tíusa (Na, Mg ).. z alumínium elektrolízises elõállítási folyamatának vizsgálata [dler 977]. Faktorok: az elektrolizáló kád feszültsége; az elektrolízis üzemeltetési szakaszai közötti idõ; C a magnézium-fluorid koncentrációja az elektrolitben; C a kalcium-fluorid koncentrációja az elektrolitben; D a kriolit hányados; E az elektrolit szintje a kádban; F a szénhabelvétel oerációi közötti idõ. 3. rezisztorgyártás otimalizálása [dler 977]. Faktorok: a sajtolás során felléõ nyomás; a sajtolás során felléõ hõmérséklet; C a nyomás alatt tartás ideje; D a muffolában levõ hõmérséklet a sajtolás során; E a hõntartás ideje; F a töltõanyag diszergáltsága; G az adalékanyag és töltõanyag aránya; H a samottozás során fennálló nyomás; I a korom diszergáltsága; J a samottozás ideje; K a talazat kerámiájának minõsége; L az adalékanyag diszergáltsága. 4. szulfátcellulóz fõzési folyamatának vizsgálata [dler 977]. Faktorok: az aktív lúg koncentrációja a fõzõoldatban (Na O egységekben); az oldat szulfittartalma; C a fõzés véghõmérséklete; D a hõmérsékletnövekedés idõtartama a véghõmérséklet eléréséig; E a fõzés idõtartama a véghõmérsékleten. 5. molibdénérc dúsítási folyamatának vizsgálata [dler 977]. Faktorok: az érc arítási ideje; a szükséges nátriumoleát mennyisége; C a szükséges alkáliszulfát mennyisége; D a szükséges szóda mennyisége; E a szükséges etróleum mennyisége. 6. cirkónium és hafnium sósavlodatból való extrakciós folyamatának otimalizálása [dler 977]. Faktorok: a fém koncentrációja; a sav koncentrációja; C az alkohol koncentrációja; D a fázisok térfogatainak aránya. 7. Gékocsi-iari beszállítónál csövet réselnek egy furatba, és ragasztóval megerõsítik. z illeszkedés vizsgálata a kiszakítási nyomaték mérésével [Kemény 999]. Faktorok: 9

10 Johanyák Zsolt Csaba: evezetés a kísérletmódszertanba a furat átmérõje; a ragasztó tíusa; C a ragasztó mennyisége. 8. Gékocsi-iari beszállítónál furatba réselnek egy tengelyt, a cél a kiszakítási nyomaték elõírt minimális értékének elérése [Kemény 999]. Faktorok: - ragasztó tíusa; - ragasztó tömege; C - tengely-tisztítás; D - ház-tisztítás; E - beréselési nyomás; F - állási idõ; G - ragasztó alkalmazási módja. 3.. Szint faktorok kiválasztását követõ léés a a szintek számának és értékeinek meghatározása. szintek azon faktorértékek, amiket kiróbálunk a kísérletek során. Elsõként tisztáznunk kell, hogy milyen értékhatárok között változtathatjuk a kísérletek során az egyes befolyásoló tényezõk értékeit. taasztalatok alaján a gyakorlatban használt értékek határozzák meg legtöbbször az intervallumot. költségek mértékét általában alacsony szinten szeretnénk tartani, ezért legtöbbször két értéket jelölünk meg feltételezve, hogy közöttük lineárisan viselkedik a folyamat. y otvalódi y y y otfeltételezett y x 3.. ábra Hibás szintválasztás kockázata mennyiben nem lehetünk biztosak a lineáris viselkedésben, három vagy több szint kijelölése szükséges, különben könnyen átléhetünk a számunkra fontos értékek felett (3.. ábra). Ha a folyamat robusztus tervezése a cél, semmiké ne válasszunk háromnál kevesebb szintet. kiróbálásra kerülõ értékeket úgy határozzuk meg, hogy az alkalmazásukkal elõállított termék jó legyen, azaz semmiké ne válasszunk olyan értéket, amelyrõl elõre tudjuk, hogy a vele elõállított termék biztosan nem felel meg (l. tûrésmezõn kívülre esik). Részesítsük elõnyben az olyan értékeket, amelyek közül egynél várhatóan nagyon jó, míg másoknál nem olyan jó lesz a termék. Kísérletezésre kutatási, folyamatvizsgálati célból is sor kerülhet, ilyenkor a fenti javaslatok nem érvényesek, sõt a szélsõséges faktorértékek betervezése kifejezetten kívánatos. Mindkét esetben fontos megkötés, hogy csak összeférhetõ szinteket válasszunk Jelölésmód x otvalódi valódi viselkedés feltételezett viselkedés x x x otfeltételezett elõjellel (kétszintes eset): l., - betûjellel (kétszintes eset): l. J, R (J-feltételezhetõen jó eredményhez vezetõ szint, R- feltételezhetõen gyengébb eredményhez vezetõ szint) betûjellel (háromszintes eset): l., K, F (-alsó szint, K-közésõ szint, F-felsõ szint) számmal (háromszintes eset) l.,, 3 0

11 3. Kísérlettervezés elõkészítése 3.3. Otimalizációs araméter (minõségi jellemzõ) folyamat eredményének mértéke. Ideális esetben numerikus mennyiség. Ha a folyamatot több mennyiség együttesen jellemzi, akkor mesterséges otimalizációs aramétert ún. általános értékelési kritériumot (ÁÉK) állítunk fel. íusai: kisebb a jobb nagyobb a jobb célérték a jobb z otimalizációs araméterrel szemben támasztott elvárások: lehetõleg számmal kifejezhetõ legyen, ha nem mérhetõ, akkor rangsorolás bármely faktorszint kombináció eredménye mérhetõ legyen értékkészlet egyetlen szám vagy ÁÉK egyértelmûség, azaz egy faktorszint kombinációhoz egy eredmény véletlen változékonyság kielégítõ ontossággal lehessen mérni Legyen univerzális (teljes) segítségével a folyamat sokoldalúan jellemezhetõ l. ÁÉK Legyen egyszerûen és könnyen kiszámítható Legyen fizikailag értelmezhetõ Pl.: cetil aceton elõállítása [dler 977]. folyamat léései (3.. ábra): Etilacetát, aceton és nátrium kondenzálása lkohol-éter keverék leárlása C D E F cetil aceton kivonása az acetilaceton-nátriumból nyers acetil aceton nátrium leárlása G H I J K L M N O 3.. ábra cetil aceton elõállítási folyamatának léései Faktorok: a kondenzálás reakcióhõje (), az aceton hozzáöntésének idõtartama (), a kondenzálás idõtartama (C), a komonensek aránya (D), keverési sebesség (E), a száraz maradék véghõmérséklete (F), H érték (G), a sósav adagolási sebessége (H), a kiválasztódás hõmérséklete(i), az alkohol-éter keverék desztilációs hõmérséklete az elsõ frakcióban (J), az alkohol-éter keverék desztilációs hõmérséklete a második frakcióban (K), az alkohol-éter keverék desztilációs hõmérséklete a harmadik frakcióban (L), az elsõ frakció desztillációs idõtartama (M), a második desztillációs idõtartama (N), a harmadik desztillációs idõtartama (O). Végezzük-e el az otimalizálást a teljes folyamatra egyszerre vagy az egyes szakaszokra különkülön? Ha az egyes szakaszok kimenete jellemezhetõ egyetlen mennyiséggel, ami magában foglal minden olyan információt, ami a következõ szakasz bemenetének jellemzéséhez szükséges, akkor

12 Johanyák Zsolt Csaba: evezetés a kísérletmódszertanba szakaszként otimalizáljunk, mert az sokkal kevesebb kísérletet (kiadást) igényel, mint a teljes folyamatra egyszerre végrehajtott otimalizáció.

13 4. Hagyományos faktoriális kísérlettervezési módszerek 4. Hagyományos faktoriális kísérlettervezési módszerek 4.. Faktorszint váltás egyesével (one-by-one módszer) öbb faktor hatásának vizsgálatára a legegyszerûbb eljárás az one-by-one módszer. Itt egyszerre mindig csak egy faktort változtatnak, a többi változatlan marad. Mivel ez egy könnyen ismételhetõ eljárás, ezért nagyfokú egyszerûsége ellenére jelentõs javulást eredményez bármely tervezetlen eljárással szemben. Kétszintes esetben a kísérletek száma faktorszám. együk fel, hogy három kétszintes faktorunk van. kísérlettervet a táblázat tartalmazza. 4.. táblázat C múltban számos jelentõs tudós (Galilei, Newton) ezt a módszert alkalmazta. z egyfaktoros 4.. ábra Kísérletek a faktortérben módszernek hátrányai is vannak más kísérlettervezési módszerekkel szemben: nehéz felismerni a faktorok közötti kölcsönhatást, mivel mindig csak egy faktor 3 változik; a vizsgálat során nem lehet figyelembe venni az egyéb zavaró hatásokat. 4 Ezen okok miatt fejlesztették ki a továbbiakban ismertetésre kerülõ kísérleti terveket, melyek lehetõvé teszik egyszerre több faktor vizsgálatát. 4.. Egyfaktoros módszer Egyetlen faktorral és több szinttel dolgozó terv. z eredmények kiértéklésére interolációt vagy regressziót alkalmazunk.4... Regresszió elemzés regresszió elemzés lehetõvé teszi a vizsgált faktor hatásának modellezését a vizsgált értéktartományon belül. Általában akkor alkalmazzák, ha az egyes faktorszintekhez számszerûsíthetõ, mérhetõ értékek társíthatók. ovábbi elõfeltétel az is, hogy minden faktorszint esetén a kísérlet eredményeként mért érték normál eloszlású legyen, és varianciája ne függjön az adott kísérletet jellemzõ aramétertõl (homogén variancia). z elemzés során abból indulunk ki, hogy a faktor és a minõségi jellemzõ egy kétdimenziós teret (síkot) alkotnak, ahol minden egyes sor a kísérlettervbõl egy síkbeli ontnak felel meg. z elemzés során megróbálunk egy szabályos görbét illeszteni erre a onthalmazra úgy, hogy az egyes ontok görbétõl mért y irányú távolságainak négyzetösszege minimális legyen. görbe matematikai leírásának ismeretében megkeressük azt a araméterértéket, amely a számunkra otimális minõségi jellemzõt nyújtja. meghatározott függvénykacsolat csak a faktor kísérletekben kiróbált szélsõértékei által behatárolt intervallumban érvényes. z extraoláció nem lehetséges. C 4 3 3

14 Johanyák Zsolt Csaba: evezetés a kísérletmódszertanba Kövessük végig az eljárást lineáris regresszió esetén. kkor tekintjük lineárisnak a regressziót, ha a faktor értékváltozása és a kísérlet eredményének változása között egy egyenessel ábrázolható a kacsolat. együk fel, hogy egy kísérlet eredménye kéen a 4.. táblázatban szerelõ értékeket katuk. ontok grafikus ábrázolása a 4.. ábrán szereel. Ránézésre feltételezhetõ, hogy kacsolat van az x (faktorérték) és az y (mért eredmény) között, és elkézelhetõ, hogy ez a kacsolat lineáris. hhoz, hogy megbizonyosodjunk elsõ benyomásunk helyességén, ki kell számolnunk a korrelációs együtthatót (4..). sxy r s s x y (4..) ahol: s xy - xy közös korrigált taasztalati szórásnégyzete S x - x korrigált taasztalati szórása - y korrigált taasztalati szórása _ x k S y k i x i 34, ábra 4.. táblázat kísérlet eredményei x (faktorérték) y (mért érték) (4..) _ y k k i y i 09,857 (4.3.) k xi x yi y i s xy 33, 90 (4.4.) k s x k i _ xi x k 7, 43 (4.5.) s y k i r0,9399 _ yi y k 4, 7409 (4.6.) fenti kéletekben k a mérések számát jelölte (k7). kiszámított értékeket behelyettesítve a (4..)-ba megkajuk r értékét. korrelációs együttható értelmezése az emirikus módszerrel és a t- róbával lehetséges. 4

15 4. Hagyományos faktoriális kísérlettervezési módszerek 4... Emirikus módszer Ha r x és y között lineáris kacsolat van, 0,7< r < egyértelmû (ozitív/negatív) korreláció áll fenn, 0,3< r <0,7 bizonytalan (ozitív/negatív) korreláció áll fenn, r <0,3 x és y nem korrelált. mi esetünkben egyértelmûen megállaítható a ozitív korreláció, és mivel az érték -hez közeli, valószínû a lineáris kacsolat t-róba z adott feltételekre kiszámítunk egy t sz értéket (4.7.), és ezt összehasonlítjuk a szabadságfok (υ) és a választott szignifikancia szint (α) által meghatározott táblázatbeli kritikus értékkel. mennyiben t sz < t krit akkor (-α) 00 % valószínûséggel állíthatjuk, hogy nincs lineáris kacsolat x és y között. t sz > t krit akkor (-α) 00 % valószínûséggel állíthatjuk, hogy lineáris kacsolat van x és y között. becslés szabadságfoka υk-5, mivel a lineáris regresszió által meghatározott egyenes kéletében két aramétert kell majd megbecsülnünk. Ha 99%-os biztonsági szinten akarunk nyilatkozni, a szignifikancia szint α0,0 lesz. t sz értékét meghatározó kélet: t sz r υ r k r r 6, 55 Kétoldali esettel számolva a táblázatból kivett kritikus érték: t krit t υ,-α/ t 5; 0,995 4,03 (4.7.) számított érték ennél nagyobb, így 99%-os biztonsággal állíthatjuk, hogy x és y között lineáris kacsolat áll fenn z egyenes egyenlete Grafikusan ábrázolva a ontokat láthatjuk, hogy nem egy egyenesen helyezkednek el. z elméleti egyenestõl való eltéréseket a véletlen szórás okozza. ontok elhelyezkedését az y i a.x i b ε i (4.8.) egyenlettel modellezhetjük. z a.x i b rész fejezi ki a lineáris összefüggést, míg az ε i -k egymástól független normális eloszlású véletlenszámok, melyeknek várható értéke 0. Célunk az egyenes egyenletének meghatározása oly módon, hogy a mért értékeket ábrázoló ontok függõleges irányban a lehetõ legkisebb távolságra legyenek az egyenestõl. z a és b aramétereket a legkisebb négyzetek elvének alkalmazásával becsüljük meg. z eltérések négyzetösszege: k ( i i ) Q y a x b i (4.9.) Olyan egyenest keresünk, amelynél ez az érték minimális. Itt (4.9.)-t egy kétváltozós (a és b) függvénynek tekintjük, mely ott vesz fel szélsõértéket, ahol az a illetve b szerinti elsõrendû arciális 5

16 Johanyák Zsolt Csaba: evezetés a kísérletmódszertanba deriváltak (4.0.)(4..) nulla értékûek lesznek. mennyiben a másodrendû deriváltak (4..)(4.3.) ozitívak, ez a szélsõérték egy minimum ont. Q a Q b k i ( ) x y a x b i i i k ( yi a xi b) i (4.0.) (4..) Q a k x (4..) i i Q k (4.3.) b z elsõrendû deriváltakat egyenlõvé téve nullával egy kétismeretlenes lineáris egyenletrendszerhez (6) jutunk a-ban és b-ben. k k a xi b k yi i i k k k a xi b xi xi yi i i i z egyenletet megoldva az (4.4.) s a r s xy y (4.5.) s s x x _ s _ xy b y x (4.6.) s x kéletekhez jutunk. ehelyettesítve az aktuális értékeket: a 0,60 b 89,04 keresett egyenes egyenlete : y 0, 60 x 89, Csoortfaktoros kísérletterv Gyakran elõfordul, hogy a robléma megoldásához elegendõ a rendelkezésre álló feltevések igazolása (igazoló kísérletek). Pl. a futó folyamatokra vonatkozó adatelemzés vagy korábbi kísérletek eredményei arra engednek következtetni, hogy egy bizonyos folyamat-beállítás jelentõs javuláshoz vezet. Ilyen helyzetben a kísérletekhez kacsolódó ráfordítások szintjének alacsonyan tartása érdekében a következõ stratégia követése ajánlott: az egyes faktorok összefoglalása egyetlen csoortfaktorba, 6

17 4. Hagyományos faktoriális kísérlettervezési módszerek a csoortfaktor vizsgálata egy egyfaktoros kísérlettel, megfelelõ kiértékelési módszerek alkalmazása táblázat Csoortfaktor Faktor/szint Kenhetõség Kalóriatartalom Ár - alacsony magas magas magas alacsony alacsony Kövessük végig az eljárást egy egyszerû éldán keresztül. Növelni kell az eladott csomagok számát egy margarinfajta esetében. Minõségi jellemzõnek az eladott csomagok számát tekintjük egy rerezentatívnak minõsülõ áruházban. efolyásoló tényezõ a kenhetõség, az ár, az eltarthatóság és a kalóriatartalom. szakértõk arra számítanak, hogy a kenhetõség növelése, valamint a kalóriatartalom és az ár csökkentése az eladások mértékének növekedéséhez vezet. z eltarthatóságot nem tekintik lényeges tényezõnek az eladott darabszám szemontjából. z eljárás célja az, hogy ezeket a feltevéseket megvizsgáljuk, és nem az, hogy az egyes hatásokat részleteikben megállaítsuk. Elsõ léésként a fentiek szerint kialakítjuk a 3. táblázatban szerelõ csoortfaktort. Ennek (-) szintre állítása esetén a kenhetõség alacsony, a kalóriatartalom magas, az ár magas. csoortfaktorok alkalmazásának elõnye abban áll, hogy a szükséges ráfordítás egy egyfaktoros kísérlettel megegyezõ. z egyes befolyásoló tényezõk hatásaira vonatkozóan azonban nem jutunk információkhoz Kiértékelés z alkalmazható módszerek sorából kettõt ismertetünk az alábbiakban. z egyik a hagyományos t- róba, míg a másik ubey araméter nélküli End-Count tesztje, melyet a különösen alacsony mintaszám jellemez t-róba t-róba két minta átlagainak összehasonlítására szolgál. teszt eljárásmódja attól függ, hogy ismert-e a két eloszlás szórása, és hogy azonos méretû-e a két minta. z alábbiakban ismeretlen szórás és különbözõ mintanagyság esetére ismertetjük a módszert táblázat Kísérleti eredmények Faktor Eladott darabszám y átl (ár.) (jan.) (jún.) (dec.) (szet.) (aug.) 8000 (febr.) 8500 (márc.) 800 (okt.) 6500 (máj.) 7800 (júl.) 850 (nov.) 7858 Lehetõség szerint törekedni kell a kísérletek véletlen sorrendben történõ végrehajtására. Mindig egy hónaig (-) vagy () jelzetû termékeket adnak el. zt, hogy mikor melyiket dobják iacra sorshúzással döntik el. Minden hónaban megállaítják az eladott darabszámot. Mindkét beállítást egy n n - 6 hónaos idõtartamon tesztelik. vizsgálat eredményeit a 4.4. táblázat tartalmazza. Kiértékelés céljára kiszámítják a két folyamat-beállításhoz kacsolódó átlagértékeket. csoortfaktor (-) szintre állítása mellett átlagosan 579 csomagot, míg a () szint beállítása esetén 7

18 Johanyák Zsolt Csaba: evezetés a kísérletmódszertanba átlagosan 7858 csomagot adtak el. Felvetõdik azonban a kérdés, hogy az eladásokban megfigyelt különbség véletlen természetû-e vagy a megváltoztatott beállítási szintre vezethetõ-e vissza. Elsõ léésként kiszámítjuk a két mintából nyert szórásbecslést: s n j n ( y y ) ( y y ) j j n n j 597 (4.7.) t sz tesztstatisztika értéke: y y t sz 5,99 (4.8.) s n n Esetünkben s597 és t sz 5,99. t érték υ(n n - -)(66-)0 szabadságfokkal rendelkezik. esztelni kell a folyamatok azonos közéértékének feltételezését (H 0 :µ µ - ) szembeállítva a különbözõ közéértékek feltételezésével (H :µ >µ - ). Példánkban ezt a tesztet 5%-os szignifikancia (α-0,950,05) szinten kell végrehajtani. υ0 és α 0,05 értékároshoz a t υ;-α/ t 0;- 0,05t 0;0,975,88 tartozik (kétoldali eset) a t-eloszlás táblázatban. H 0 nullhiotézist t sz >t υ;-α/ egyenlõtlenség fennállása esetén vetjük el. Mivel 5,99>,88, elvethetjük a mullhiotézist. Így 95%- os biztonsággal kijelenthetjük, hogy a () beállításnál több darabot tudunk eladni, mint a (-) szint esetén. Általánosan megfigyelhetõ, hogy a t-róba érzékenysége növekszik a mintanagysággal. z itt alkalmazott mintanagyság mellett csak az erõs hatások mutathatók ki. róba az egyes beállításokon belül a normális eloszlás feltételezésén alaul, azonban mégis viszonylagosan érzéketlen az ezen feltevéstõl való eltérések iránt End-Count teszt kísérletekkel kacsolatos ráfordítások csökkentése érdekében gyakran ajánlják az ún. araméter nélküli eljárásokat. Ezek egyike a ubey által kifejlesztett End-Count teszt, melyet Shainin vs. C (etter Versus Current) névvel jelöl. Ennek segítségével lehetõvé válik az összehasonlítás elemi valószínûségszámításra történõ visszavezetése táblázat Kísérlet végrehajtása csoortfaktoros vizsgálatnál Hóna Csoortfaktor Eladott darabszám (/- szintek véletlen sora) január február 8000 március 8500 árilis május 6500 június július 7800 augusztus szetember

19 4. Hagyományos faktoriális kísérlettervezési módszerek október 800 november 850 december táblázat Sorba rendezett kísérleti eredmények Eladott darabszám Faktorbeállítás z eljárást a margarin eladási esetre ismertetjük. faktort (csoortfaktor) hatszor kell beállítani úgy a (), mint a (-) szintre. kísérletek eredménye kéen a 4.5. táblázatban látható eredménysor állt elõ. Nagyság szerint sorbarendezve az adatokat a 4.6. táblázatot kajuk. izenkét érték ismétlõdés! nélküli elrendezésére 94 ( ) különbözõ lehetõség van. 6! 6! /94 azaz 0,% annak a valószínûsége, hogy egy ilyen elrendezés véletlenszerûen bekövetkezik. ehát kiindulhatunk abból, hogy éldánkban 99,9%-os valószínûséggel a () beállítási szinttel jobb eredményeket érünk el, mint a (-) szint esetén. Ezzel igazoltuk a szakértõk feltevését. z eljárás különösen alacsony mintanagysággal dolgozik, és ezért a kísérletek véletlenszerû végrehajtását igényli. Óvakodni kell attól, hogy l. hat régebbi eredményt hat új, egymás után végrehajtott kísérlet eredményével hasonlítsunk össze. 9