Bevezetés a kísérletmódszertanba. Johanyák Zsolt Csaba

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Bevezetés a kísérletmódszertanba. Johanyák Zsolt Csaba"

Átírás

1 evezetés a kísérletmódszertanba Johanyák Zsolt Csaba 00

2 Johanyák Zsolt Csaba: evezetés a kísérletmódszertanba artalomjegyzék. evezetés...4. kísérletmódszertan léései Hibatényezõk csökkentése Kísérlettervezés elõkészítése Faktor Faktorok osztályozása Példák a faktorok kiválasztására Szint Jelölésmód Otimalizációs araméter (minõségi jellemzõ) Hagyományos faktoriális kísérlettervezési módszerek Faktorszint váltás egyesével (one-by-one módszer) Egyfaktoros módszer Regresszió elemzés Csoortfaktoros kísérletterv Kiértékelés eljes faktoriális kísérletterv Kísérletek kiértékelése Egyszerû hatásvizsgálat Részleges faktoriális kísérletterv ráteleítés kockázata ervkészítés az identitás oszlo segítségével Shainin kísérletmódszertana Elsõdleges kiválasztás öbbváltozós kártyák lkatrész keresés Páros összehasonlítás Változók keresése /C elemzés aguchi kísérletmódszertana Veszteségfüggvény Számítások aguchi veszteség függvényével Kölcsönhatás nélküli homogén terv Kölcsönhatásokat tartalmazó homogén terv Szabadon maradó oszlook Vegyes kísérletek tervezése Szintnövelés Szintcsökkentés...39

3 . evezetés Szintnövelés és szintcsökkentés kombinált alkalmazása Robusztus tervezés Standard elemzés Hatásvizsgálat Variancia elemzés (NOV) Ismétléses kísérletek kiértékelése Standard elemzés Jel/zaj viszony elemzés Minõségi változóval jellemezhetõ gyártási folyamatok elemzése Válaszfelület módszerek Válaszfelület Léegetések elve Léegetések elvén alauló módszerek Matematikai modell Gradiens módszer modell felállítása gradiens módszer alkalmazása Szimlex módszer Kezdõ szimlex z új szimlex csúcsa szimlex módszer elõnyös tulajdonságai Példa a szimlex módszer alkalmazására...6 Irodalomjegyzék Mellékletek t -α értékek táblázata...67 F értékek táblázata 95%-os szintre...67 z F értékek táblázata 99%-os szintre...68 aguchi által javasolt kísérlettervek...68 Háromszög táblázatok...73 Háromszög táblázat kétszintes oszlookhoz...73 Háromszszög táblázat háromszintes oszlookhoz...74 Háromszög táblázat négyszintes oszlookhoz

4 Johanyák Zsolt Csaba: evezetés a kísérletmódszertanba. evezetés legtöbb technológiánál a sorozatgyártás beállítása bonyolult folyamat. gékezelõ a feladatot sokéves taasztalata és beállítási utasítások alaján hajtja végre, amihez támontot nyújthatnak a katalógusok és az átlagérték táblázatok. kezdeti beállításokkal róbadarabokat készítenek, méréseket végeznek, módosítgatják a beállításokat mindaddig, míg el nem érik a megkívánt eredményt. Ezt az eljárási módot róbálgatásos módszernek nevezik. lkalmazása különösen új feladatoknál kritikus, ugyanis ilyenkor nem áll rendelkezésre taasztalati ismeretanyag. Egy jól megtervezett módszer lényeges eleme a visszavezethetõség, ami különösen fontos az orvosi és gyógyszerészeti területeken. Ma már az iari gyakorlatban is jellemzõ, hogy a megrendelõk szállítóiktól nemcsak minõséget követelnek meg, hanem annak bizonyítását is, hogy ezen minõség állandóságát megfelelõ intézkedésekkel biztosítják. Így éldául a Ford a minõségauditok során ellenõrzi, hogy a szállítók alkalmazzák-e a kísérlettervezés módszereit a folyamatok beállítása során. géiaron kívül más iarágakban is megfigyelhetjük, hogy rendszerezett módszereket használnak a folyamatok vizsgálatára. Ennek oka a vizsgálat idõtartamában rejlik. Míg egy esztergagé beállításának megváltoztatása egy gyorsan ellenõrizhetõ eredményt ad, addig a mezõgazdaságban egy kísérlet több évre is kinyúlhat. Éen ezért ezeken a területeken kénytelenek a tervezésre helyezni a hangsúlyt. mai kísérlettervezés alajait Ronald Fischer statisztikai vizsgálatai teremtették meg. jelenleg elterjedt módszereket alavetõen három csoortba oszthatjuk (.. táblázat). faktoriális tervek lehetõvé teszik több faktor egyidejû vizsgálatát. kísérletek számának elfogadható keretek között tartása érdekében a megvizsgálni kívánt beállítások számát faktoronként legtöbbször kettõre szokták korlátozni. Ez elegendõ a faktorok jelentõségének kimutatásához, és sok esetben az otimális beállítási tartomány meghatározásához is. Logikus feléítésük és egyszerû kezelésük következtében ezek a tervek az iari gyakorlatban jól alkalmazhatóak. z utóbbi idõben egyre nészerûbbek az egyszerûsítõ módszerek, mint a aguchi és Shainin által leírt technikák, amelyek a faktoriális vizsgálatok családjába tartoznak. táblázatban szerelõ válaszfelület módszereket az összefüggések részletekbe menõ vizsgálatára és a jelleggörbe mezõk modellezésére használják. z elõre meghatározott és az iteratív kísérleti utasításokon alauló módszereket különböztetjük meg. z elõre meghatározott kísérleti utasítások lehetõvé teszik a jelleggörbe mezõk matematikai modelljének feléítését. Itt olyan magasabb szintû kísérleti terveket alkalmaznak, melyek bizonyos ráfordításokat feltételeznek. léegetéses módszerek olyan stratégiákat alkalmaznak, melyek lehetõvé teszik a folyamat léésenkénti otimalizálását. Ezen csoort legfontosabb kéviselõi az evolúciós (fejlõdésen alauló) módszerek, melyek megróbálják a természet viselkedését lekéezni az iari folyamatokra... táblázat statisztikai kísérlettervezés módszerei Faktoriális tervek Válaszfelület tervek Faktorszint váltás egyesével Gauss-Seidel Egyfaktoros Gradiens (ox-wilson) Csoortfaktoros Szimlex eljes faktoriális X k Sztochasztikus Részleges faktoriális X k- közelítések módszere Shainin aguchi Négyzetes tervek Latin négyzet Görög-Latin négyzet Hier Görög-Latin négyzet Youden négyzet Lattice négyzet 4

5 . evezetés négyzetes terveket, kettõnél több beállítási lehetõséggel rendelkezõ faktor (a folyamat valamely állítható aramétere) egyidejû vizsgálatára használják. faktorok száma korlátozott kell legyen a kezelhetõség érdekében. végrehajtott kísérletek variancia elemzése (változékonyság elemzése) tájékoztatást ad a faktorok szignifikanciájáról (jelentõségérõl). 5

6 Johanyák Zsolt Csaba: evezetés a kísérletmódszertanba. kísérletmódszertan léései statisztikailag tervezett vizsgálatok alkalmazásának léései az.. táblázatban szereelnek. lavetõ jelentõségû, hogy a lehetõ legtöbb szakmai tudás éüljön be a vizsgálatba a hibás tervezés és értelmezés megelõzése érdekében. Itt nagy segítséget jelenthet a korábbi folyamatmegfigyelésekbõl nyert ismeretanyag. vizsgálatot egy részlegközi csoort hajtja végre, amelyben a kísérlettervezés és a statisztika területének szakértõi mellett olyanok is részt vesznek, akik jól ismerik az adott folyamat technológiáját. Különös figyelmet kell fordítani arra, hogy a vizsgálat sikeressége nagymértékben függ a gékezelõk együttmûködésétõl. különbözõ részlegek dolgozói közti együttmûködés megleõ hatásokat eredményezhet. Gyakran már azáltal is javulás érhetõ el, hogy a tervezés szakemberei taasztalatot cserélnek a gyártás szakembereivel. Minél ügyesebben terveznek meg egy kísérletet, annál kisebb a végrehajtáshoz szükséges ráfordítás, és annál megbízhatóbb a kísérlet kiértékelésébõl.. táblázat kísérletmódszertan léései Elõkészítés faktorok meghatározása kiválasztás mértékegység mérési ontosság mérési mód faktor szintek otimalizációs araméter ervezés kölcsönhatások becslése kísérlettervezési technika kiválasztása kísérletterv elkészítése Végrehajtás Paraméterek beállítása Minõségi jellemzõ meghatározása Elemzés grafikus módszer statisztikai módszer otimális faktorszintek meghatározása vagy visszatérés az elõkészítéshez vagy a tervezéshez Igazoló kísérletek tervezés végrehajtás kiértékelés levont következtetés. Ennek következtében a tervezés bír a legnagyobb jelentõséggel. legtöbb ráfordítás a megvizsgálni kívánt faktorok összeállításához és kiválasztásához, valamint a kölcsönhatások becsléséhez szükséges. Ezek lényeges elõfeltételei a végrehajtási költségek csökkentésének... Hibatényezõk csökkentéserandomizálás ismétlés o egy beállítással o beállítások váltogatásával kísérleteket recízen kell végrehajtani. változó folyamataraméterek ontos beállítása mellett figyelmet kell szentelni a mértékegységek megállaítására és az elõállított termékek jelölésére is. Õrizkedni kell attól, hogy a kísérleti tervet odaadjuk a gékezelõnek, és az eredményekben vakon megbízzunk. Különöskéen nagyobb kísérleti terveknél könnyen hiba csúszhat a végrehajtásba. Emiatt a kísérleteket több szakértõ személy jelenlétében kell végrehajtani. Ha a gékezelõt magára hagyják, akkor õ önhatalmúlag eltérhet a tervtõl, és ezt nem dokumentálja. Egy ilyen vizsgálat eredményei semmitmondóak, sõt félrevezetõek lehetnek. 6

7 . kísérletmódszertan léései hibás értelmezés megelõzése érdekében elfogadhatósági szemontból a kísérletek eredményét ellenõriztetik technológiai szakértõkkel. kiértékelés során jó szolgálatot tehetnek a grafikus eljárások, mint l. a hatásdiagramok. kísérleti eredményeket feldolgozás után továbbítják a vezetés felé. Erre jó megoldást jelenthet az elért javítás olyan ábrázolása, mely kiemeli a régi és az új állaot közötti különbséget. mennyiben lehetséges, a javítást énzügyi egységben (l. költségek) fejezik ki. Hatásosan alkalmazható aguchi veszteségfüggvénye is. 7

8 Johanyák Zsolt Csaba: evezetés a kísérletmódszertanba 3. Kísérlettervezés elõkészítése 3.. Faktor faktor egy mérhetõ vagy minõsíthetõ változó mennyiség, amely adott idõontban meghatározott jellemzõkkel bír, és hatást gyakorol a folyamatot jellemzõ mennyiségre (otimalizációs araméter). Faktor figyelmen kívül hagyásának kockázata: Növekszik a kísérleti hiba Nem a valódi otimális beállítást találjuk meg Lényegtelen faktorok kiszûrése: rostáló módszerek (ha a faktorszám>5) Véletlen kiegyenlítés módszere Plackett-urman tervek Shainin technikák NOV Feladatok: Faktor megválasztása Mértékegység megválasztása Mérési ontosság megválasztása Mérési mód megválasztása Faktorokkal szembeni követelmények: közvetlenül az objektumra irányuljon a hatása (egyértelmû) függetlenség, l. termodinamikus rendszer, faktorok: nyomás, hõmérséklet, térfogat VnR összeegyeztethetõség (veszélytelenség) 3... Faktorok osztályozása Kezelhetõség szemontjából: Kézben tartható (irányítható): a faktor bármely értelmezési tartományon belüli értéke beállítható különösebb anyagi vagy mûszaki jellegû nehézség nélkül, és a kísérlet során állandó értéken tartható aktív kísérletek Nem kézben tartható (aguchi zajfaktor): a faktor értelmezési tartományon belüli bármely értékeinek beállítása gazdasági, mûszaki vagy más jellegû nehézségbe ütközik vagy megoldhatatlan asszív kísérletek Összetettség szemontjából: egyedi összetett, l. két komonens hányadosa Értékelés szemontjából: mennyiségi: idõ, hõmérséklet, tömeg, darabszám, reakcióidõ, koncentráció, adagolási sebesség, PH érték minõségi: anyagtíus, minõség, technológiai eljárás tíusa, készülék, dolgozó személye Értékkészlet szemontjából: folytonos: idõ, hõmérséklet diszkrét értékekkel rendelkezõ: darabszám 8

9 3. Kísérlettervezés elõkészítése 3... Példák a faktorok kiválasztására. utadién-sztirol-kaucsuk telítetlen savak sóival történõ vulkanizálása [dler 977] Faktorok: vulkanizálási hõmérséklet, vulkanizálási idõ, iniciátor mennyisége, vulkanizáló hatóanyag mennyisége, oxid mennyisége oxid tíusa (cink oxid, magnézium oxid), savmaradék tíusa (metakrilát, maleát), sókation tíusa (Na, Mg ).. z alumínium elektrolízises elõállítási folyamatának vizsgálata [dler 977]. Faktorok: az elektrolizáló kád feszültsége; az elektrolízis üzemeltetési szakaszai közötti idõ; C a magnézium-fluorid koncentrációja az elektrolitben; C a kalcium-fluorid koncentrációja az elektrolitben; D a kriolit hányados; E az elektrolit szintje a kádban; F a szénhabelvétel oerációi közötti idõ. 3. rezisztorgyártás otimalizálása [dler 977]. Faktorok: a sajtolás során felléõ nyomás; a sajtolás során felléõ hõmérséklet; C a nyomás alatt tartás ideje; D a muffolában levõ hõmérséklet a sajtolás során; E a hõntartás ideje; F a töltõanyag diszergáltsága; G az adalékanyag és töltõanyag aránya; H a samottozás során fennálló nyomás; I a korom diszergáltsága; J a samottozás ideje; K a talazat kerámiájának minõsége; L az adalékanyag diszergáltsága. 4. szulfátcellulóz fõzési folyamatának vizsgálata [dler 977]. Faktorok: az aktív lúg koncentrációja a fõzõoldatban (Na O egységekben); az oldat szulfittartalma; C a fõzés véghõmérséklete; D a hõmérsékletnövekedés idõtartama a véghõmérséklet eléréséig; E a fõzés idõtartama a véghõmérsékleten. 5. molibdénérc dúsítási folyamatának vizsgálata [dler 977]. Faktorok: az érc arítási ideje; a szükséges nátriumoleát mennyisége; C a szükséges alkáliszulfát mennyisége; D a szükséges szóda mennyisége; E a szükséges etróleum mennyisége. 6. cirkónium és hafnium sósavlodatból való extrakciós folyamatának otimalizálása [dler 977]. Faktorok: a fém koncentrációja; a sav koncentrációja; C az alkohol koncentrációja; D a fázisok térfogatainak aránya. 7. Gékocsi-iari beszállítónál csövet réselnek egy furatba, és ragasztóval megerõsítik. z illeszkedés vizsgálata a kiszakítási nyomaték mérésével [Kemény 999]. Faktorok: 9

10 Johanyák Zsolt Csaba: evezetés a kísérletmódszertanba a furat átmérõje; a ragasztó tíusa; C a ragasztó mennyisége. 8. Gékocsi-iari beszállítónál furatba réselnek egy tengelyt, a cél a kiszakítási nyomaték elõírt minimális értékének elérése [Kemény 999]. Faktorok: - ragasztó tíusa; - ragasztó tömege; C - tengely-tisztítás; D - ház-tisztítás; E - beréselési nyomás; F - állási idõ; G - ragasztó alkalmazási módja. 3.. Szint faktorok kiválasztását követõ léés a a szintek számának és értékeinek meghatározása. szintek azon faktorértékek, amiket kiróbálunk a kísérletek során. Elsõként tisztáznunk kell, hogy milyen értékhatárok között változtathatjuk a kísérletek során az egyes befolyásoló tényezõk értékeit. taasztalatok alaján a gyakorlatban használt értékek határozzák meg legtöbbször az intervallumot. költségek mértékét általában alacsony szinten szeretnénk tartani, ezért legtöbbször két értéket jelölünk meg feltételezve, hogy közöttük lineárisan viselkedik a folyamat. y otvalódi y y y otfeltételezett y x 3.. ábra Hibás szintválasztás kockázata mennyiben nem lehetünk biztosak a lineáris viselkedésben, három vagy több szint kijelölése szükséges, különben könnyen átléhetünk a számunkra fontos értékek felett (3.. ábra). Ha a folyamat robusztus tervezése a cél, semmiké ne válasszunk háromnál kevesebb szintet. kiróbálásra kerülõ értékeket úgy határozzuk meg, hogy az alkalmazásukkal elõállított termék jó legyen, azaz semmiké ne válasszunk olyan értéket, amelyrõl elõre tudjuk, hogy a vele elõállított termék biztosan nem felel meg (l. tûrésmezõn kívülre esik). Részesítsük elõnyben az olyan értékeket, amelyek közül egynél várhatóan nagyon jó, míg másoknál nem olyan jó lesz a termék. Kísérletezésre kutatási, folyamatvizsgálati célból is sor kerülhet, ilyenkor a fenti javaslatok nem érvényesek, sõt a szélsõséges faktorértékek betervezése kifejezetten kívánatos. Mindkét esetben fontos megkötés, hogy csak összeférhetõ szinteket válasszunk Jelölésmód x otvalódi valódi viselkedés feltételezett viselkedés x x x otfeltételezett elõjellel (kétszintes eset): l., - betûjellel (kétszintes eset): l. J, R (J-feltételezhetõen jó eredményhez vezetõ szint, R- feltételezhetõen gyengébb eredményhez vezetõ szint) betûjellel (háromszintes eset): l., K, F (-alsó szint, K-közésõ szint, F-felsõ szint) számmal (háromszintes eset) l.,, 3 0

11 3. Kísérlettervezés elõkészítése 3.3. Otimalizációs araméter (minõségi jellemzõ) folyamat eredményének mértéke. Ideális esetben numerikus mennyiség. Ha a folyamatot több mennyiség együttesen jellemzi, akkor mesterséges otimalizációs aramétert ún. általános értékelési kritériumot (ÁÉK) állítunk fel. íusai: kisebb a jobb nagyobb a jobb célérték a jobb z otimalizációs araméterrel szemben támasztott elvárások: lehetõleg számmal kifejezhetõ legyen, ha nem mérhetõ, akkor rangsorolás bármely faktorszint kombináció eredménye mérhetõ legyen értékkészlet egyetlen szám vagy ÁÉK egyértelmûség, azaz egy faktorszint kombinációhoz egy eredmény véletlen változékonyság kielégítõ ontossággal lehessen mérni Legyen univerzális (teljes) segítségével a folyamat sokoldalúan jellemezhetõ l. ÁÉK Legyen egyszerûen és könnyen kiszámítható Legyen fizikailag értelmezhetõ Pl.: cetil aceton elõállítása [dler 977]. folyamat léései (3.. ábra): Etilacetát, aceton és nátrium kondenzálása lkohol-éter keverék leárlása C D E F cetil aceton kivonása az acetilaceton-nátriumból nyers acetil aceton nátrium leárlása G H I J K L M N O 3.. ábra cetil aceton elõállítási folyamatának léései Faktorok: a kondenzálás reakcióhõje (), az aceton hozzáöntésének idõtartama (), a kondenzálás idõtartama (C), a komonensek aránya (D), keverési sebesség (E), a száraz maradék véghõmérséklete (F), H érték (G), a sósav adagolási sebessége (H), a kiválasztódás hõmérséklete(i), az alkohol-éter keverék desztilációs hõmérséklete az elsõ frakcióban (J), az alkohol-éter keverék desztilációs hõmérséklete a második frakcióban (K), az alkohol-éter keverék desztilációs hõmérséklete a harmadik frakcióban (L), az elsõ frakció desztillációs idõtartama (M), a második desztillációs idõtartama (N), a harmadik desztillációs idõtartama (O). Végezzük-e el az otimalizálást a teljes folyamatra egyszerre vagy az egyes szakaszokra különkülön? Ha az egyes szakaszok kimenete jellemezhetõ egyetlen mennyiséggel, ami magában foglal minden olyan információt, ami a következõ szakasz bemenetének jellemzéséhez szükséges, akkor

12 Johanyák Zsolt Csaba: evezetés a kísérletmódszertanba szakaszként otimalizáljunk, mert az sokkal kevesebb kísérletet (kiadást) igényel, mint a teljes folyamatra egyszerre végrehajtott otimalizáció.

13 4. Hagyományos faktoriális kísérlettervezési módszerek 4. Hagyományos faktoriális kísérlettervezési módszerek 4.. Faktorszint váltás egyesével (one-by-one módszer) öbb faktor hatásának vizsgálatára a legegyszerûbb eljárás az one-by-one módszer. Itt egyszerre mindig csak egy faktort változtatnak, a többi változatlan marad. Mivel ez egy könnyen ismételhetõ eljárás, ezért nagyfokú egyszerûsége ellenére jelentõs javulást eredményez bármely tervezetlen eljárással szemben. Kétszintes esetben a kísérletek száma faktorszám. együk fel, hogy három kétszintes faktorunk van. kísérlettervet a táblázat tartalmazza. 4.. táblázat C múltban számos jelentõs tudós (Galilei, Newton) ezt a módszert alkalmazta. z egyfaktoros 4.. ábra Kísérletek a faktortérben módszernek hátrányai is vannak más kísérlettervezési módszerekkel szemben: nehéz felismerni a faktorok közötti kölcsönhatást, mivel mindig csak egy faktor 3 változik; a vizsgálat során nem lehet figyelembe venni az egyéb zavaró hatásokat. 4 Ezen okok miatt fejlesztették ki a továbbiakban ismertetésre kerülõ kísérleti terveket, melyek lehetõvé teszik egyszerre több faktor vizsgálatát. 4.. Egyfaktoros módszer Egyetlen faktorral és több szinttel dolgozó terv. z eredmények kiértéklésére interolációt vagy regressziót alkalmazunk.4... Regresszió elemzés regresszió elemzés lehetõvé teszi a vizsgált faktor hatásának modellezését a vizsgált értéktartományon belül. Általában akkor alkalmazzák, ha az egyes faktorszintekhez számszerûsíthetõ, mérhetõ értékek társíthatók. ovábbi elõfeltétel az is, hogy minden faktorszint esetén a kísérlet eredményeként mért érték normál eloszlású legyen, és varianciája ne függjön az adott kísérletet jellemzõ aramétertõl (homogén variancia). z elemzés során abból indulunk ki, hogy a faktor és a minõségi jellemzõ egy kétdimenziós teret (síkot) alkotnak, ahol minden egyes sor a kísérlettervbõl egy síkbeli ontnak felel meg. z elemzés során megróbálunk egy szabályos görbét illeszteni erre a onthalmazra úgy, hogy az egyes ontok görbétõl mért y irányú távolságainak négyzetösszege minimális legyen. görbe matematikai leírásának ismeretében megkeressük azt a araméterértéket, amely a számunkra otimális minõségi jellemzõt nyújtja. meghatározott függvénykacsolat csak a faktor kísérletekben kiróbált szélsõértékei által behatárolt intervallumban érvényes. z extraoláció nem lehetséges. C 4 3 3

14 Johanyák Zsolt Csaba: evezetés a kísérletmódszertanba Kövessük végig az eljárást lineáris regresszió esetén. kkor tekintjük lineárisnak a regressziót, ha a faktor értékváltozása és a kísérlet eredményének változása között egy egyenessel ábrázolható a kacsolat. együk fel, hogy egy kísérlet eredménye kéen a 4.. táblázatban szerelõ értékeket katuk. ontok grafikus ábrázolása a 4.. ábrán szereel. Ránézésre feltételezhetõ, hogy kacsolat van az x (faktorérték) és az y (mért eredmény) között, és elkézelhetõ, hogy ez a kacsolat lineáris. hhoz, hogy megbizonyosodjunk elsõ benyomásunk helyességén, ki kell számolnunk a korrelációs együtthatót (4..). sxy r s s x y (4..) ahol: s xy - xy közös korrigált taasztalati szórásnégyzete S x - x korrigált taasztalati szórása - y korrigált taasztalati szórása _ x k S y k i x i 34, ábra 4.. táblázat kísérlet eredményei x (faktorérték) y (mért érték) (4..) _ y k k i y i 09,857 (4.3.) k xi x yi y i s xy 33, 90 (4.4.) k s x k i _ xi x k 7, 43 (4.5.) s y k i r0,9399 _ yi y k 4, 7409 (4.6.) fenti kéletekben k a mérések számát jelölte (k7). kiszámított értékeket behelyettesítve a (4..)-ba megkajuk r értékét. korrelációs együttható értelmezése az emirikus módszerrel és a t- róbával lehetséges. 4

15 4. Hagyományos faktoriális kísérlettervezési módszerek 4... Emirikus módszer Ha r x és y között lineáris kacsolat van, 0,7< r < egyértelmû (ozitív/negatív) korreláció áll fenn, 0,3< r <0,7 bizonytalan (ozitív/negatív) korreláció áll fenn, r <0,3 x és y nem korrelált. mi esetünkben egyértelmûen megállaítható a ozitív korreláció, és mivel az érték -hez közeli, valószínû a lineáris kacsolat t-róba z adott feltételekre kiszámítunk egy t sz értéket (4.7.), és ezt összehasonlítjuk a szabadságfok (υ) és a választott szignifikancia szint (α) által meghatározott táblázatbeli kritikus értékkel. mennyiben t sz < t krit akkor (-α) 00 % valószínûséggel állíthatjuk, hogy nincs lineáris kacsolat x és y között. t sz > t krit akkor (-α) 00 % valószínûséggel állíthatjuk, hogy lineáris kacsolat van x és y között. becslés szabadságfoka υk-5, mivel a lineáris regresszió által meghatározott egyenes kéletében két aramétert kell majd megbecsülnünk. Ha 99%-os biztonsági szinten akarunk nyilatkozni, a szignifikancia szint α0,0 lesz. t sz értékét meghatározó kélet: t sz r υ r k r r 6, 55 Kétoldali esettel számolva a táblázatból kivett kritikus érték: t krit t υ,-α/ t 5; 0,995 4,03 (4.7.) számított érték ennél nagyobb, így 99%-os biztonsággal állíthatjuk, hogy x és y között lineáris kacsolat áll fenn z egyenes egyenlete Grafikusan ábrázolva a ontokat láthatjuk, hogy nem egy egyenesen helyezkednek el. z elméleti egyenestõl való eltéréseket a véletlen szórás okozza. ontok elhelyezkedését az y i a.x i b ε i (4.8.) egyenlettel modellezhetjük. z a.x i b rész fejezi ki a lineáris összefüggést, míg az ε i -k egymástól független normális eloszlású véletlenszámok, melyeknek várható értéke 0. Célunk az egyenes egyenletének meghatározása oly módon, hogy a mért értékeket ábrázoló ontok függõleges irányban a lehetõ legkisebb távolságra legyenek az egyenestõl. z a és b aramétereket a legkisebb négyzetek elvének alkalmazásával becsüljük meg. z eltérések négyzetösszege: k ( i i ) Q y a x b i (4.9.) Olyan egyenest keresünk, amelynél ez az érték minimális. Itt (4.9.)-t egy kétváltozós (a és b) függvénynek tekintjük, mely ott vesz fel szélsõértéket, ahol az a illetve b szerinti elsõrendû arciális 5

16 Johanyák Zsolt Csaba: evezetés a kísérletmódszertanba deriváltak (4.0.)(4..) nulla értékûek lesznek. mennyiben a másodrendû deriváltak (4..)(4.3.) ozitívak, ez a szélsõérték egy minimum ont. Q a Q b k i ( ) x y a x b i i i k ( yi a xi b) i (4.0.) (4..) Q a k x (4..) i i Q k (4.3.) b z elsõrendû deriváltakat egyenlõvé téve nullával egy kétismeretlenes lineáris egyenletrendszerhez (6) jutunk a-ban és b-ben. k k a xi b k yi i i k k k a xi b xi xi yi i i i z egyenletet megoldva az (4.4.) s a r s xy y (4.5.) s s x x _ s _ xy b y x (4.6.) s x kéletekhez jutunk. ehelyettesítve az aktuális értékeket: a 0,60 b 89,04 keresett egyenes egyenlete : y 0, 60 x 89, Csoortfaktoros kísérletterv Gyakran elõfordul, hogy a robléma megoldásához elegendõ a rendelkezésre álló feltevések igazolása (igazoló kísérletek). Pl. a futó folyamatokra vonatkozó adatelemzés vagy korábbi kísérletek eredményei arra engednek következtetni, hogy egy bizonyos folyamat-beállítás jelentõs javuláshoz vezet. Ilyen helyzetben a kísérletekhez kacsolódó ráfordítások szintjének alacsonyan tartása érdekében a következõ stratégia követése ajánlott: az egyes faktorok összefoglalása egyetlen csoortfaktorba, 6

17 4. Hagyományos faktoriális kísérlettervezési módszerek a csoortfaktor vizsgálata egy egyfaktoros kísérlettel, megfelelõ kiértékelési módszerek alkalmazása táblázat Csoortfaktor Faktor/szint Kenhetõség Kalóriatartalom Ár - alacsony magas magas magas alacsony alacsony Kövessük végig az eljárást egy egyszerû éldán keresztül. Növelni kell az eladott csomagok számát egy margarinfajta esetében. Minõségi jellemzõnek az eladott csomagok számát tekintjük egy rerezentatívnak minõsülõ áruházban. efolyásoló tényezõ a kenhetõség, az ár, az eltarthatóság és a kalóriatartalom. szakértõk arra számítanak, hogy a kenhetõség növelése, valamint a kalóriatartalom és az ár csökkentése az eladások mértékének növekedéséhez vezet. z eltarthatóságot nem tekintik lényeges tényezõnek az eladott darabszám szemontjából. z eljárás célja az, hogy ezeket a feltevéseket megvizsgáljuk, és nem az, hogy az egyes hatásokat részleteikben megállaítsuk. Elsõ léésként a fentiek szerint kialakítjuk a 3. táblázatban szerelõ csoortfaktort. Ennek (-) szintre állítása esetén a kenhetõség alacsony, a kalóriatartalom magas, az ár magas. csoortfaktorok alkalmazásának elõnye abban áll, hogy a szükséges ráfordítás egy egyfaktoros kísérlettel megegyezõ. z egyes befolyásoló tényezõk hatásaira vonatkozóan azonban nem jutunk információkhoz Kiértékelés z alkalmazható módszerek sorából kettõt ismertetünk az alábbiakban. z egyik a hagyományos t- róba, míg a másik ubey araméter nélküli End-Count tesztje, melyet a különösen alacsony mintaszám jellemez t-róba t-róba két minta átlagainak összehasonlítására szolgál. teszt eljárásmódja attól függ, hogy ismert-e a két eloszlás szórása, és hogy azonos méretû-e a két minta. z alábbiakban ismeretlen szórás és különbözõ mintanagyság esetére ismertetjük a módszert táblázat Kísérleti eredmények Faktor Eladott darabszám y átl (ár.) (jan.) (jún.) (dec.) (szet.) (aug.) 8000 (febr.) 8500 (márc.) 800 (okt.) 6500 (máj.) 7800 (júl.) 850 (nov.) 7858 Lehetõség szerint törekedni kell a kísérletek véletlen sorrendben történõ végrehajtására. Mindig egy hónaig (-) vagy () jelzetû termékeket adnak el. zt, hogy mikor melyiket dobják iacra sorshúzással döntik el. Minden hónaban megállaítják az eladott darabszámot. Mindkét beállítást egy n n - 6 hónaos idõtartamon tesztelik. vizsgálat eredményeit a 4.4. táblázat tartalmazza. Kiértékelés céljára kiszámítják a két folyamat-beállításhoz kacsolódó átlagértékeket. csoortfaktor (-) szintre állítása mellett átlagosan 579 csomagot, míg a () szint beállítása esetén 7

18 Johanyák Zsolt Csaba: evezetés a kísérletmódszertanba átlagosan 7858 csomagot adtak el. Felvetõdik azonban a kérdés, hogy az eladásokban megfigyelt különbség véletlen természetû-e vagy a megváltoztatott beállítási szintre vezethetõ-e vissza. Elsõ léésként kiszámítjuk a két mintából nyert szórásbecslést: s n j n ( y y ) ( y y ) j j n n j 597 (4.7.) t sz tesztstatisztika értéke: y y t sz 5,99 (4.8.) s n n Esetünkben s597 és t sz 5,99. t érték υ(n n - -)(66-)0 szabadságfokkal rendelkezik. esztelni kell a folyamatok azonos közéértékének feltételezését (H 0 :µ µ - ) szembeállítva a különbözõ közéértékek feltételezésével (H :µ >µ - ). Példánkban ezt a tesztet 5%-os szignifikancia (α-0,950,05) szinten kell végrehajtani. υ0 és α 0,05 értékároshoz a t υ;-α/ t 0;- 0,05t 0;0,975,88 tartozik (kétoldali eset) a t-eloszlás táblázatban. H 0 nullhiotézist t sz >t υ;-α/ egyenlõtlenség fennállása esetén vetjük el. Mivel 5,99>,88, elvethetjük a mullhiotézist. Így 95%- os biztonsággal kijelenthetjük, hogy a () beállításnál több darabot tudunk eladni, mint a (-) szint esetén. Általánosan megfigyelhetõ, hogy a t-róba érzékenysége növekszik a mintanagysággal. z itt alkalmazott mintanagyság mellett csak az erõs hatások mutathatók ki. róba az egyes beállításokon belül a normális eloszlás feltételezésén alaul, azonban mégis viszonylagosan érzéketlen az ezen feltevéstõl való eltérések iránt End-Count teszt kísérletekkel kacsolatos ráfordítások csökkentése érdekében gyakran ajánlják az ún. araméter nélküli eljárásokat. Ezek egyike a ubey által kifejlesztett End-Count teszt, melyet Shainin vs. C (etter Versus Current) névvel jelöl. Ennek segítségével lehetõvé válik az összehasonlítás elemi valószínûségszámításra történõ visszavezetése táblázat Kísérlet végrehajtása csoortfaktoros vizsgálatnál Hóna Csoortfaktor Eladott darabszám (/- szintek véletlen sora) január február 8000 március 8500 árilis május 6500 június július 7800 augusztus szetember

19 4. Hagyományos faktoriális kísérlettervezési módszerek október 800 november 850 december táblázat Sorba rendezett kísérleti eredmények Eladott darabszám Faktorbeállítás z eljárást a margarin eladási esetre ismertetjük. faktort (csoortfaktor) hatszor kell beállítani úgy a (), mint a (-) szintre. kísérletek eredménye kéen a 4.5. táblázatban látható eredménysor állt elõ. Nagyság szerint sorbarendezve az adatokat a 4.6. táblázatot kajuk. izenkét érték ismétlõdés! nélküli elrendezésére 94 ( ) különbözõ lehetõség van. 6! 6! /94 azaz 0,% annak a valószínûsége, hogy egy ilyen elrendezés véletlenszerûen bekövetkezik. ehát kiindulhatunk abból, hogy éldánkban 99,9%-os valószínûséggel a () beállítási szinttel jobb eredményeket érünk el, mint a (-) szint esetén. Ezzel igazoltuk a szakértõk feltevését. z eljárás különösen alacsony mintanagysággal dolgozik, és ezért a kísérletek véletlenszerû végrehajtását igényli. Óvakodni kell attól, hogy l. hat régebbi eredményt hat új, egymás után végrehajtott kísérlet eredményével hasonlítsunk össze. 9

Bevezetés a kísérletmódszertanba. Johanyák Zsolt Csaba

Bevezetés a kísérletmódszertanba. Johanyák Zsolt Csaba evezetés a kísérletmódszertanba Johanyák Zsolt Csaba 009 Johanyák Zsolt Csaba: evezetés a kísérletmódszertanba artalomjegyzék. evezetés... 4. kísérletmódszertan léései... 6.. Hibatényezık csökkentése...

Részletesebben

Több valószínűségi változó együttes eloszlása, korreláció

Több valószínűségi változó együttes eloszlása, korreláció Tartalomjegzék Előszó... 6 I. Valószínűségelméleti és matematikai statisztikai alapok... 8 1. A szükséges valószínűségelméleti és matematikai statisztikai alapismeretek összefoglalása... 8 1.1. Alapfogalmak...

Részletesebben

Alap-ötlet: Karl Friedrich Gauss ( ) valószínűségszámítási háttér: Andrej Markov ( )

Alap-ötlet: Karl Friedrich Gauss ( ) valószínűségszámítási háttér: Andrej Markov ( ) Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Gépészmérnöki Kar Hidrodinamikai Rendszerek Tanszék, Budapest, Műegyetem rkp. 3. D ép. 334. Tel: 463-6-80 Fa: 463-30-9 http://www.vizgep.bme.hu Alap-ötlet:

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 10 X. SZIMULÁCIÓ 1. VÉLETLEN számok A véletlen számok fontos szerepet játszanak a véletlen helyzetek generálásában (pénzérme, dobókocka,

Részletesebben

1. Adatok kiértékelése. 2. A feltételek megvizsgálása. 3. A hipotézis megfogalmazása

1. Adatok kiértékelése. 2. A feltételek megvizsgálása. 3. A hipotézis megfogalmazása HIPOTÉZIS VIZSGÁLAT A hipotézis feltételezés egy vagy több populációról. (pl. egy gyógyszer az esetek 90%-ában hatásos; egy kezelés jelentősen megnöveli a rákos betegek túlélését). A hipotézis vizsgálat

Részletesebben

[Biomatematika 2] Orvosi biometria

[Biomatematika 2] Orvosi biometria [Biomatematika 2] Orvosi biometria 2016.02.29. A statisztika típusai Leíró jellegű statisztika: összegzi egy adathalmaz jellemzőit. A középértéket jelemzi (medián, módus, átlag) Az adatok változékonyságát

Részletesebben

y ij = µ + α i + e ij STATISZTIKA Sir Ronald Aylmer Fisher Példa Elmélet A variancia-analízis alkalmazásának feltételei Lineáris modell

y ij = µ + α i + e ij STATISZTIKA Sir Ronald Aylmer Fisher Példa Elmélet A variancia-analízis alkalmazásának feltételei Lineáris modell Példa STATISZTIKA Egy gazdálkodó k kukorica hibrid termesztése között választhat. Jelöljük a fajtákat A, B, C, D-vel. Döntsük el, hogy a hibridek termesztése esetén azonos terméseredményre számíthatunk-e.

Részletesebben

Segítség az outputok értelmezéséhez

Segítség az outputok értelmezéséhez Tanulni: 10.1-10.3, 10.5, 11.10. Hf: A honlapra feltett falco_exp.zip-ben lévő exploratív elemzések áttanulmányozása, érdekességek, észrevételek kigyűjtése. Segítség az outputok értelmezéséhez Leiro: Leíró

Részletesebben

Statisztika I. 11. előadás. Előadó: Dr. Ertsey Imre

Statisztika I. 11. előadás. Előadó: Dr. Ertsey Imre Statisztika I. 11. előadás Előadó: Dr. Ertsey Imre Összefüggés vizsgálatok A társadalmi gazdasági élet jelenségei kölcsönhatásban állnak, összefüggnek egymással. Statisztika alapvető feladata: - tényszerűségek

Részletesebben

STATISZTIKA. A maradék független a kezelés és blokk hatástól. Maradékok leíró statisztikája. 4. A modell érvényességének ellenőrzése

STATISZTIKA. A maradék független a kezelés és blokk hatástól. Maradékok leíró statisztikája. 4. A modell érvényességének ellenőrzése 4. A modell érvényességének ellenőrzése STATISZTIKA 4. Előadás Variancia-analízis Lineáris modellek 1. Függetlenség 2. Normális eloszlás 3. Azonos varianciák A maradék független a kezelés és blokk hatástól

Részletesebben

Adatok statisztikai értékelésének főbb lehetőségei

Adatok statisztikai értékelésének főbb lehetőségei Adatok statisztikai értékelésének főbb lehetőségei 1. a. Egy- vagy kétváltozós eset b. Többváltozós eset 2. a. Becslési problémák, hipotézis vizsgálat b. Mintázatelemzés 3. Szint: a. Egyedi b. Populáció

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 9 IX. ROBUsZTUs statisztika 1. ROBUsZTUssÁG Az eddig kidolgozott módszerek főleg olyanok voltak, amelyek valamilyen értelemben optimálisak,

Részletesebben

Biometria az orvosi gyakorlatban. Korrelációszámítás, regresszió

Biometria az orvosi gyakorlatban. Korrelációszámítás, regresszió SZDT-08 p. 1/31 Biometria az orvosi gyakorlatban Korrelációszámítás, regresszió Werner Ágnes Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék e-mail: werner.agnes@virt.uni-pannon.hu Korrelációszámítás

Részletesebben

Matematikai geodéziai számítások 10.

Matematikai geodéziai számítások 10. Matematikai geodéziai számítások 10. Hibaellipszis, talpponti görbe és közepes ponthiba Dr. Bácsatyai, László Matematikai geodéziai számítások 10.: Hibaellipszis, talpponti görbe és Dr. Bácsatyai, László

Részletesebben

Statisztikai következtetések Nemlineáris regresszió Feladatok Vége

Statisztikai következtetések Nemlineáris regresszió Feladatok Vége [GVMGS11MNC] Gazdaságstatisztika 10. előadás: 9. Regressziószámítás II. Kóczy Á. László koczy.laszlo@kgk.uni-obuda.hu Keleti Károly Gazdasági Kar Vállalkozásmenedzsment Intézet A standard lineáris modell

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 4 IV. MINTA, ALAPsTATIsZTIKÁK 1. MATEMATIKAI statisztika A matematikai statisztika alapfeladatát nagy általánosságban a következőképpen

Részletesebben

6. Előadás. Vereb György, DE OEC BSI, október 12.

6. Előadás. Vereb György, DE OEC BSI, október 12. 6. Előadás Visszatekintés: a normális eloszlás Becslés, mintavételezés Reprezentatív minta A statisztika, mint változó Paraméter és Statisztika Torzítatlan becslés A mintaközép eloszlása - centrális határeloszlás

Részletesebben

Statisztika I. 8. előadás. Előadó: Dr. Ertsey Imre

Statisztika I. 8. előadás. Előadó: Dr. Ertsey Imre Statisztika I. 8. előadás Előadó: Dr. Ertsey Imre Minták alapján történő értékelések A statisztika foglalkozik. a tömegjelenségek vizsgálatával Bizonyos esetekben lehetetlen illetve célszerűtlen a teljes

Részletesebben

Matematikai statisztika c. tárgy oktatásának célja és tematikája

Matematikai statisztika c. tárgy oktatásának célja és tematikája Matematikai statisztika c. tárgy oktatásának célja és tematikája 2015 Tematika Matematikai statisztika 1. Időkeret: 12 héten keresztül heti 3x50 perc (előadás és szeminárium) 2. Szükséges előismeretek:

Részletesebben

Többváltozós lineáris regressziós modell feltételeinek

Többváltozós lineáris regressziós modell feltételeinek Többváltozós lineáris regressziós modell feltételeinek tesztelése I. - A hibatagra vonatkozó feltételek tesztelése - Petrovics Petra Doktorandusz Többváltozós lineáris regressziós modell x 1, x 2,, x p

Részletesebben

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Középértékek és szóródási mutatók

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Középértékek és szóródási mutatók Matematikai alapok és valószínőségszámítás Középértékek és szóródási mutatók Középértékek A leíró statisztikák talán leggyakrabban használt csoportját a középértékek jelentik. Legkönnyebben mint az adathalmaz

Részletesebben

Populációbecslés és monitoring. Eloszlások és alapstatisztikák

Populációbecslés és monitoring. Eloszlások és alapstatisztikák Populációbecslés és monitoring Eloszlások és alapstatisztikák Eloszlások Az eloszlás megadja, hogy milyen valószínűséggel kapunk egy adott intervallumba tartozó értéket, ha egy olyan populációból veszünk

Részletesebben

Matematikai geodéziai számítások 6.

Matematikai geodéziai számítások 6. Matematikai geodéziai számítások 6. Lineáris regresszió számítás elektronikus távmérőkre Dr. Bácsatyai, László Matematikai geodéziai számítások 6.: Lineáris regresszió számítás elektronikus távmérőkre

Részletesebben

A mérési eredmény megadása

A mérési eredmény megadása A mérési eredmény megadása A mérés során kapott értékek eltérnek a mérendő fizikai mennyiség valódi értékétől. Alapvetően kétféle mérési hibát különböztetünk meg: a determinisztikus és a véletlenszerű

Részletesebben

STATISZTIKA I. Változékonyság (szóródás) A szóródás mutatószámai. Terjedelem. Forgalom terjedelem. Excel függvények. Függvénykategória: Statisztikai

STATISZTIKA I. Változékonyság (szóródás) A szóródás mutatószámai. Terjedelem. Forgalom terjedelem. Excel függvények. Függvénykategória: Statisztikai Változékonyság (szóródás) STATISZTIKA I. 5. Előadás Szóródási mutatók A középértékek a sokaság elemeinek értéknagyságbeli különbségeit eltakarhatják. A változékonyság az azonos tulajdonságú, de eltérő

Részletesebben

Biostatisztika VIII. Mátyus László. 19 October

Biostatisztika VIII. Mátyus László. 19 October Biostatisztika VIII Mátyus László 19 October 2010 1 Ha σ nem ismert A gyakorlatban ritkán ismerjük σ-t. Ha kiszámítjuk s-t a minta alapján, akkor becsülhetjük σ-t. Ez további bizonytalanságot okoz a becslésben.

Részletesebben

A mérések általános és alapvető metrológiai fogalmai és definíciói. Mérések, mérési eredmények, mérési bizonytalanság. mérés. mérési elv

A mérések általános és alapvető metrológiai fogalmai és definíciói. Mérések, mérési eredmények, mérési bizonytalanság. mérés. mérési elv Mérések, mérési eredmények, mérési bizonytalanság A mérések általános és alapvető metrológiai fogalmai és definíciói mérés Műveletek összessége, amelyek célja egy mennyiség értékének meghatározása. mérési

Részletesebben

Egyszempontos variancia analízis. Statisztika I., 5. alkalom

Egyszempontos variancia analízis. Statisztika I., 5. alkalom Statisztika I., 5. alkalom Számos t-próba versus variancia analízis Kreativitás vizsgálata -nık -férfiak ->kétmintás t-próba I. Fajú hiba=α Kreativitás vizsgálata -informatikusok -építészek -színészek

Részletesebben

Regresszió. Csorba János. Nagyméretű adathalmazok kezelése március 31.

Regresszió. Csorba János. Nagyméretű adathalmazok kezelése március 31. Regresszió Csorba János Nagyméretű adathalmazok kezelése 2010. március 31. A feladat X magyarázó attribútumok halmaza Y magyarázandó attribútumok) Kérdés: f : X -> Y a kapcsolat pár tanítópontban ismert

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 3 III. VÉLETLEN VEKTOROK 1. A KÉTDIMENZIÓs VÉLETLEN VEKTOR Definíció: Az leképezést (kétdimenziós) véletlen vektornak nevezzük, ha Definíció:

Részletesebben

Statisztika - bevezetés Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc 1

Statisztika - bevezetés Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc 1 Statisztika - bevezetés 00.04.05. Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc Bevezetés Véletlen jelenség fogalma jelenséget okok bizonyos rendszere hozza létre ha mindegyik figyelembe vehető egyértelmű leírás általában

Részletesebben

biometria II. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert Matematikai-statisztikai adatfeldolgozás

biometria II. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert Matematikai-statisztikai adatfeldolgozás Kísérlettervezés - biometria II. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert Matematikai-statisztikai adatfeldolgozás A matematikai-statisztika feladata tapasztalati adatok feldolgozásával segítséget nyújtani

Részletesebben

[Biomatematika 2] Orvosi biometria

[Biomatematika 2] Orvosi biometria [Biomatematika 2] Orvosi biometria 2016.02.08. Orvosi biometria (orvosi biostatisztika) Statisztika: tömegjelenségeket számadatokkal leíró tudomány. A statisztika elkészítésének menete: tanulmányok (kísérletek)

Részletesebben

Méréselmélet MI BSc 1

Méréselmélet MI BSc 1 Mérés és s modellezés 2008.02.15. 1 Méréselmélet - bevezetés a mérnöki problémamegoldás menete 1. A probléma kitűzése 2. A hipotézis felállítása 3. Kísérlettervezés 4. Megfigyelések elvégzése 5. Adatok

Részletesebben

Paraméteres és összetett egyenlôtlenségek

Paraméteres és összetett egyenlôtlenségek araméteres és összetett egyenlôtlenségek 79 6 a) Minden valós szám b) Nincs ilyen valós szám c) c < vagy c > ; d) d # vagy d $ 6 a) Az elsô egyenlôtlenségbôl: m < - vagy m > A második egyenlôtlenségbôl:

Részletesebben

Mérés és modellezés Méréstechnika VM, GM, MM 1

Mérés és modellezés Méréstechnika VM, GM, MM 1 Mérés és modellezés 2008.02.04. 1 Mérés és modellezés A mérnöki tevékenység alapeleme a mérés. A mérés célja valamely jelenség megismerése, vizsgálata. A mérés tervszerűen végzett tevékenység: azaz rögzíteni

Részletesebben

Méréselmélet és mérőrendszerek

Méréselmélet és mérőrendszerek Méréselmélet és mérőrendszerek 6. ELŐADÁS KÉSZÍTETTE: DR. FÜVESI VIKTOR 2016. 10. Mai témáink o A hiba fogalma o Méréshatár és mérési tartomány M é r é s i h i b a o A hiba megadása o A hiba eredete o

Részletesebben

TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok II. útmutató

TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok II. útmutató BGF PÉNZÜGYI ÉS SZÁMVITELI KAR Módszertani Intézeti Tanszéki Osztály TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok II. útmutató 2013/2014. tanév II. félév Tantárgyi program Tantárgy megnevezése Tantárgy jellege/típusa:

Részletesebben

Gauss-Jordan módszer Legkisebb négyzetek módszere, egyenes LNM, polinom LNM, függvény. Lineáris algebra numerikus módszerei

Gauss-Jordan módszer Legkisebb négyzetek módszere, egyenes LNM, polinom LNM, függvény. Lineáris algebra numerikus módszerei A Gauss-Jordan elimináció, mátrixinvertálás Gauss-Jordan módszer Ugyanazzal a technikával, mint ahogy a k-adik oszlopban az a kk alatti elemeket kinulláztuk, a fölötte lévő elemeket is zérussá lehet tenni.

Részletesebben

Az SPC (statisztikai folyamatszabályozás) ingadozásai

Az SPC (statisztikai folyamatszabályozás) ingadozásai A TERMELÉSI FOLYAMAT MINÕSÉGKÉRDÉSEI, VIZSGÁLATOK 2.3 Az SPC (statisztikai folyamatszabályozás) ingadozásai Tárgyszavak: statisztikai folyamatszabályozás; Shewhart-féle szabályozókártya; többváltozós szabályozás.

Részletesebben

Mérés és modellezés 1

Mérés és modellezés 1 Mérés és modellezés 1 Mérés és modellezés A mérnöki tevékenység alapeleme a mérés. A mérés célja valamely jelenség megismerése, vizsgálata. A mérés tervszerűen végzett tevékenység: azaz rögzíteni kell

Részletesebben

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Statisztikai becslés Statisztikák eloszlása

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Statisztikai becslés Statisztikák eloszlása Matematikai alapok és valószínőségszámítás Statisztikai becslés Statisztikák eloszlása Mintavétel A statisztikában a cél, hogy az érdeklõdés tárgyát képezõ populáció bizonyos paramétereit a populációból

Részletesebben

[Biomatematika 2] Orvosi biometria

[Biomatematika 2] Orvosi biometria [Biomatematika 2] Orvosi biometria 2016.02.15. Esemény Egy kísérlet vagy megfigyelés (vagy mérés) lehetséges eredményeinek összessége (halmaza) alkotja az eseményteret. Esemény: az eseménytér részhalmazai.

Részletesebben

TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok 2. útmutató

TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok 2. útmutató BGF PÉNZÜGYI ÉS SZÁMVITELI KAR Módszertani Intézeti Tanszéki Osztály TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok 2. útmutató 2015/2016. tanév I. félév Tantárgyi program Tantárgy megnevezése Tantárgy jellege/típusa:

Részletesebben

A mérés problémája a pedagógiában. Dr. Nyéki Lajos 2015

A mérés problémája a pedagógiában. Dr. Nyéki Lajos 2015 A mérés problémája a pedagógiában Dr. Nyéki Lajos 2015 A mérés fogalma Mérésen olyan tevékenységet értünk, amelynek eredményeként a vizsgált jelenség számszerűen jellemezhetővé, más hasonló jelenségekkel

Részletesebben

Biomatematika 15. Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar. Fodor János

Biomatematika 15. Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar. Fodor János Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar Biomatematikai és Számítástechnikai Tanszék Biomatematika 15. Nemparaméteres próbák Fodor János Copyright c Fodor.Janos@aotk.szie.hu Last Revision Date: November

Részletesebben

Kutatásmódszertan és prezentációkészítés

Kutatásmódszertan és prezentációkészítés Kutatásmódszertan és prezentációkészítés 10. rész: Az adatelemzés alapjai Szerző: Kmetty Zoltán Lektor: Fokasz Nikosz Tizedik rész Az adatelemzés alapjai Tartalomjegyzék Bevezetés Leíró statisztikák I

Részletesebben

Khi-négyzet eloszlás. Statisztika II., 3. alkalom

Khi-négyzet eloszlás. Statisztika II., 3. alkalom Khi-négyzet eloszlás Statisztika II., 3. alkalom A khi négyzet eloszlást (Pearson) leggyakrabban kategorikus adatok elemzésére használjuk. N darab standard normális eloszlású változó négyzetes összegeként

Részletesebben

Mérési hibák 2006.10.04. 1

Mérési hibák 2006.10.04. 1 Mérési hibák 2006.10.04. 1 Mérés jel- és rendszerelméleti modellje Mérési hibák_labor/2 Mérési hibák mérési hiba: a meghatározandó értékre a mérés során kapott eredmény és ideális értéke közötti különbség

Részletesebben

A II. kategória Fizika OKTV mérési feladatainak megoldása

A II. kategória Fizika OKTV mérési feladatainak megoldása Nyomaték (x 0 Nm) O k t a t á si Hivatal A II. kategória Fizika OKTV mérési feladatainak megoldása./ A mágnes-gyűrűket a feladatban meghatározott sorrendbe és helyre rögzítve az alábbi táblázatban feltüntetett

Részletesebben

Populációbecslések és monitoring

Populációbecslések és monitoring Populációbecslések és monitoring A becslés szerepe az ökológiában és a vadgazdálkodásban. A becslési módszerek csoportosítása. Teljes számlálás. Statisztikai alapfogalmak. Fontos lehet tudnunk, hogy hány

Részletesebben

Kabos: Statisztika II. t-próba 9.1. Ha ismert a doboz szórása de nem ismerjük a

Kabos: Statisztika II. t-próba 9.1. Ha ismert a doboz szórása de nem ismerjük a Kabos: Statisztika II. t-próba 9.1 Egymintás z-próba Ha ismert a doboz szórása de nem ismerjük a doboz várhatóértékét, akkor a H 0 : a doboz várhatóértéke = egy rögzített érték hipotézisről úgy döntünk,

Részletesebben

ÁRAMKÖRÖK SZIMULÁCIÓJA

ÁRAMKÖRÖK SZIMULÁCIÓJA ÁRAMKÖRÖK SZIMULÁCIÓJA Az áramkörök szimulációja révén betekintést nyerünk azok működésébe. Meg tudjuk határozni az áramkörök válaszát különböző gerjesztésekre, különböző üzemmódokra. Végezhetők analóg

Részletesebben

Emelt szintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: november. I. rész

Emelt szintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: november. I. rész Pataki János, november Emelt szintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: november I rész feladat Oldja meg az alábbi egyenleteket: a) log 7 log log log 7 ; b) ( )

Részletesebben

11. modul: LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK

11. modul: LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK MATEMATIK A 9. évfolyam 11. modul: LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK KÉSZÍTETTE: CSÁKVÁRI ÁGNES Matematika A 9. évfolyam. 11. modul: LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK Tanári útmutató 2 A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási

Részletesebben

Korreláció és lineáris regresszió

Korreláció és lineáris regresszió Korreláció és lineáris regresszió Két folytonos változó közötti összefüggés vizsgálata Szűcs Mónika SZTE ÁOK-TTIK Orvosi Fizikai és Orvosi Informatikai Intézet Orvosi Fizika és Statisztika I. előadás 2016.11.02.

Részletesebben

VÁLLALATGAZDASÁGTAN II. Döntési Alapfogalmak

VÁLLALATGAZDASÁGTAN II. Döntési Alapfogalmak Vállalkozási VÁLLALATGAZDASÁGTAN II. Tantárgyfelelős: Prof. Dr. Illés B. Csaba Előadó: Dr. Gyenge Balázs Az ökonómiai döntés fogalma Vállalat Környezet Döntések sorozata Jövő jövőre vonatkozik törekszik

Részletesebben

Gyártástechnológia alapjai Méréstechnika rész. Előadások (2.) 2011.

Gyártástechnológia alapjai Méréstechnika rész. Előadások (2.) 2011. Gyártástechnológia alapjai Méréstechnika rész Előadások (2.) 2011. 1 Méréstechnika előadás 2. 1. Mérési hibák 2. A hiba rendszáma 3. A mérési bizonytalanság 2 Mérési folyamat A mérési folyamat négy fő

Részletesebben

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II.

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II. 8 Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II Elméleti összefoglaló Az a + b+ c, a egyenletet másodfokú egyenletnek nevezzük A D b ac kifejezést az egyenlet diszkriminánsának nevezzük Ha D >, az

Részletesebben

Méréselmélet és mérőrendszerek 2. ELŐADÁS (1. RÉSZ)

Méréselmélet és mérőrendszerek 2. ELŐADÁS (1. RÉSZ) Méréselmélet és mérőrendszerek 2. ELŐADÁS (1. RÉSZ) KÉSZÍTETTE: DR. FÜVESI VIKTOR 2016. 10. Mai témáink o A hiba fogalma o Méréshatár és mérési tartomány M é r é s i h i b a o A hiba megadása o A hiba

Részletesebben

GVMST22GNC Statisztika II. Keleti Károly Gazdasági Kar Vállalkozásmenedzsment Intézet

GVMST22GNC Statisztika II. Keleti Károly Gazdasági Kar Vállalkozásmenedzsment Intézet GVMST22GNC Statisztika II. 3. előadás: 8. Hipotézisvizsgálat Kóczy Á. László Keleti Károly Gazdasági Kar Vállalkozásmenedzsment Intézet Hipotézisvizsgálat v becslés Becslés Ismeretlen paraméter Közeĺıtő

Részletesebben

MATEMATIKA HETI 5 ÓRA. IDŐPONT: 2010. Június 4.

MATEMATIKA HETI 5 ÓRA. IDŐPONT: 2010. Június 4. EURÓPAI ÉRETTSÉGI 2010 MATEMATIKA HETI 5 ÓRA IDŐPONT: 2010. Június 4. A VIZSGA IDŐTARTAMA: 4 óra (240 perc) ENGEDÉLYEZETT SEGÉDESZKÖZÖK : Európai képletgyűjtemény Nem programozható, nem grafikus kalkulátor

Részletesebben

Andó Mátyás Felületi érdesség matyi.misi.eu. Felületi érdesség. 1. ábra. Felületi érdességi jelek

Andó Mátyás Felületi érdesség matyi.misi.eu. Felületi érdesség. 1. ábra. Felületi érdességi jelek 1. Felületi érdesség használata Felületi érdesség A műszaki rajzokon a geometria méretek tűrése mellett a felületeket is jellemzik. A felületek jellemzésére leginkább a felületi érdességet használják.

Részletesebben

TANMENETJAVASLAT. Dr. Korányi Erzsébet MATEMATIKA. tankönyv ötödikeseknek. címû tankönyvéhez

TANMENETJAVASLAT. Dr. Korányi Erzsébet MATEMATIKA. tankönyv ötödikeseknek. címû tankönyvéhez TANMENETJAVASLAT Dr. Korányi Erzsébet MATEMATIKA tankönyv ötödikeseknek címû tankönyvéhez A heti 3 óra, évi 111 óra B heti 4 óra, évi 148 óra Javaslat témazáró dolgozatra: Dr. Korányi Erzsébet: Matematika

Részletesebben

Varianciaanalízis 4/24/12

Varianciaanalízis 4/24/12 1. Feladat Egy póker kártya keverő gép a kártyákat random módon választja ki. A vizsgálatban 1600 választott kártya színei az alábbi gyakorisággal fordultak elő. Vizsgáljuk meg, hogy a kártyák kiválasztása

Részletesebben

Biomatematika 13. Varianciaanaĺızis (ANOVA)

Biomatematika 13. Varianciaanaĺızis (ANOVA) Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar Biomatematikai és Számítástechnikai Tanszék Biomatematika 13. Varianciaanaĺızis (ANOVA) Fodor János Copyright c Fodor.Janos@aotk.szie.hu Last Revision Date:

Részletesebben

Mérési adatok illesztése, korreláció, regresszió

Mérési adatok illesztése, korreláció, regresszió Mérési adatok illesztése, korreláció, regresszió Korreláció, regresszió Két változó mennyiség közötti kapcsolatot vizsgálunk. Kérdés: van-e kapcsolat két, ugyanabban az egyénben, állatban, kísérleti mintában,

Részletesebben

A bergengóc lakosság szemszín szerinti megoszlása a négy tartományban azonos:

A bergengóc lakosság szemszín szerinti megoszlása a négy tartományban azonos: A. Matematikai Statisztika 2.MINTA ZH. 2003 december Név (olvasható) :... A feladatmegoldásnak az alkalmazott matematikai modell valószínűségszámítási ill. statisztikai szóhasználat szerinti megfogalmazását,

Részletesebben

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 15 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 151 Lineáris egyenletrendszer, Gauss elimináció 1 Definíció Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az (1) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 10.B OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT/ ÖSSZ 148 ÓRA

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 10.B OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT/ ÖSSZ 148 ÓRA MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI ELJÁRÁS MELLÉKLET Tanmenetborító Azonosító: ME-III.1./1 Változatszám: 2 Érvényesség 2013. 09. 01. kezdete: Oldal/összes: 1/7 Fájlnév: ME- III.1.1.Tanmenetborító SZK- DC-2013 MATEMATIKA

Részletesebben

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé.

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. HA 1 Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) HA 2 Halmazok HA 3 Megjegyzések A halmaz, az elem és az eleme fogalmakat nem definiáljuk, hanem alapfogalmaknak

Részletesebben

Kontrol kártyák használata a laboratóriumi gyakorlatban

Kontrol kártyák használata a laboratóriumi gyakorlatban Kontrol kártyák használata a laboratóriumi gyakorlatban Rikker Tamás tudományos igazgató WESSLING Közhasznú Nonprofit Kft. 2013. január 17. Kis történelem 1920-as években, a Bell Laboratórium telefonjainak

Részletesebben

MÉRÉSI EREDMÉNYEK PONTOSSÁGA, A HIBASZÁMÍTÁS ELEMEI

MÉRÉSI EREDMÉNYEK PONTOSSÁGA, A HIBASZÁMÍTÁS ELEMEI MÉRÉSI EREDMÉYEK POTOSSÁGA, A HIBASZÁMÍTÁS ELEMEI. A mérési eredmény megadása A mérés során kapott értékek eltérnek a mérendő fizikai mennyiség valódi értékétől. Alapvetően kétféle mérési hibát különböztetünk

Részletesebben

Al-Mg-Si háromalkotós egyensúlyi fázisdiagram közelítő számítása

Al-Mg-Si háromalkotós egyensúlyi fázisdiagram közelítő számítása l--si háromalkotós egyensúlyi fázisdiagram közelítő számítása evezetés Farkas János 1, Dr. Roósz ndrás 1 doktorandusz, tanszékvezető egyetemi tanár Miskolci Egyetem nyag- és Kohómérnöki Kar Fémtani Tanszék

Részletesebben

Osztályozóvizsga követelményei

Osztályozóvizsga követelményei Osztályozóvizsga követelményei Képzés típusa: Tantárgy: Nyolcosztályos gimnázium Matematika Évfolyam: 7 Emelt óraszámú csoport Emelt szintű csoport Vizsga típusa: Írásbeli Követelmények, témakörök: Gondolkodási

Részletesebben

Módszertani Intézeti Tanszéki Osztály. A megoldás részletes mellékszámítások hiányában nem értékelhető!

Módszertani Intézeti Tanszéki Osztály. A megoldás részletes mellékszámítások hiányában nem értékelhető! BGF KKK Módszertani Intézeti Tanszéki Osztály Budapest, 2012.. Név:... Neptun kód:... Érdemjegy:..... STATISZTIKA II. VIZSGADOLGOZAT Feladatok 1. 2. 3. 4. 5. 6. Összesen Szerezhető pontszám 21 20 7 22

Részletesebben

1. tétel. Valószínűségszámítás vizsga Frissült: 2013. január 19. Valószínűségi mező, véletlen tömegjelenség.

1. tétel. Valószínűségszámítás vizsga Frissült: 2013. január 19. Valószínűségi mező, véletlen tömegjelenség. 1. tétel Valószínűségszámítás vizsga Frissült: 2013. január 19. Valószínűségi mező, véletlen tömegjelenség. A valószínűségszámítás tárgya: véletlen tömegjelenségek vizsgálata. véletlen: a kísérlet kimenetelét

Részletesebben

Determinánsok. A determináns fogalma olyan algebrai segédeszköz, amellyel. szolgáltat az előbbi kérdésekre, bár ez nem mindig hatékony.

Determinánsok. A determináns fogalma olyan algebrai segédeszköz, amellyel. szolgáltat az előbbi kérdésekre, bár ez nem mindig hatékony. Determinánsok A determináns fogalma olyan algebrai segédeszköz, amellyel jól jellemezhető a mátrixok invertálhatósága, a mátrix rangja. Segítségével lineáris egyenletrendszerek megoldhatósága dönthető

Részletesebben

1. tétel. 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója 7 cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont)

1. tétel. 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója 7 cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont) 1. tétel 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont). Adott az ábrán két vektor. Rajzolja meg a b, a b és az a b vektorokat! (6 pont)

Részletesebben

LINEÁRIS REGRESSZIÓ (I. MODELL) ÉS KORRELÁCIÓ FELADATOK

LINEÁRIS REGRESSZIÓ (I. MODELL) ÉS KORRELÁCIÓ FELADATOK LINEÁRIS REGRESSZIÓ (I. MODELL) ÉS KORRELÁCIÓ FELADATOK 2004 november 29. 1.) Lisztbogarak súlyvesztése 9 lisztbogár-csapat súlyát megmérték, (mindegyik 25 bogárból állt, mert egyenként túl kis súlyúak

Részletesebben

Statisztika 3. Dr Gősi Zsuzsanna Egyetemi adjunktus Koncentráció mérése Koncentráció általában a jelenségek tömörülését, összpontosulását értjük. Koncentráció meglétéről gyorsan tájékozódhatunk, ha sokaságot

Részletesebben

A kockázat fogalma. A kockázat fogalma. Fejezetek a környezeti kockázatok menedzsmentjéből 2 Bezegh András

A kockázat fogalma. A kockázat fogalma. Fejezetek a környezeti kockázatok menedzsmentjéből 2 Bezegh András Fejezetek a környezeti kockázatok menedzsmentjéből 2 Bezegh András A kockázat fogalma A kockázat (def:) annak kifejezése, hogy valami nem kívánt hatással lesz a valaki/k értékeire, célkitűzésekre. A kockázat

Részletesebben

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása 11 modul: EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK MEGOLDÁSA 6 I Egyenlet fogalma, algebrai megoldása Módszertani megjegyzés: Az egyenletek alaphalmazát, értelmezési tartományát később vezetjük be, a törtes egyenletekkel

Részletesebben

Ideális gáz és reális gázok

Ideális gáz és reális gázok Ideális gáz és reális gázok Fizikai kémia előadások 1. Turányi Tamás ELTE Kémiai Intézet Állaotjelzők állaotjelző: egy fizikai rendszer makroszkoikus állaotát meghatározó mennyiség egykomonensű gázok állaotjelzői:

Részletesebben

II. Két speciális Fibonacci sorozat, szinguláris elemek, természetes indexelés

II. Két speciális Fibonacci sorozat, szinguláris elemek, természetes indexelés II. Két speciális Fibonacci sorozat, szinguláris elemek, természetes indexelés Nagyon könnyen megfigyelhetjük, hogy akármilyen két számmal elindítunk egy Fibonacci sorozatot, a sorozat egymást követő tagjainak

Részletesebben

Mérési struktúrák

Mérési struktúrák Mérési struktúrák 2007.02.19. 1 Mérési struktúrák A mérés művelete: a mérendő jellemző és a szimbólum halmaz közötti leképezés megvalósítása jel- és rendszerelméleti aspektus mérési folyamat: a leképezést

Részletesebben

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének 6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük

Részletesebben

Matematika tanmenet 10. osztály (heti 3 óra) A gyökvonás 14 óra

Matematika tanmenet 10. osztály (heti 3 óra) A gyökvonás 14 óra Matematika tanmenet 10. osztály (heti 3 óra) Tankönyv: Ábrahám Gábor Dr. Kosztolányiné Nagy Erzsébet Tóth Julianna: Matematika 10. Példatárak: Fuksz Éva Riener Ferenc: É rettségi feladatgyűjtemény matematikából

Részletesebben

A DOE (design of experiment) mint a hat szigma folyamat eszköze

A DOE (design of experiment) mint a hat szigma folyamat eszköze A DOE (design of experiment) mint a hat szigma folyamat eszköze 2.5 Z [mils] 0.5 0-0.5 2.4.27 0.40-0.47 Y [in] - -.34-2.22 -.32 X [in] -0.42 0.48.38 2.28-2.2, feketeöves GE Consumer & Industrial A DOE

Részletesebben

Mátrixjátékok tiszta nyeregponttal

Mátrixjátékok tiszta nyeregponttal 1 Mátrixjátékok tiszta nyeregponttal 1. Példa. Két játékos Aladár és Bendegúz rendelkeznek egy-egy tetraéderrel, melyek lapjaira rendre az 1, 2, 3, 4 számokat írták. Egy megadott jelre egyszerre felmutatják

Részletesebben

A valószínűségszámítás elemei

A valószínűségszámítás elemei A valószínűségszámítás elemei Kísérletsorozatban az esemény relatív gyakorisága: k/n, ahol k az esemény bekövetkezésének abszolút gyakorisága, n a kísérletek száma. Pl. Jelenség: kockadobás Megfigyelés:

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

SULINOVA PROGRAMTANTERVÉHEZ ILLESZKEDŐ TANMENET 9. ÉVFOLYAM SZÁMÁRA

SULINOVA PROGRAMTANTERVÉHEZ ILLESZKEDŐ TANMENET 9. ÉVFOLYAM SZÁMÁRA 1 SULINOVA PROGRAMTANTERVÉHEZ ILLESZKEDŐ TANMENET 9. ÉVFOLYAM SZÁMÁRA Heti óraszám: 3 Éves óraszám: 37 x 3 = 111 A tanmenet 101 óra beosztását tartalmazza. A dolgozatok írása és javítása 10 órát foglal

Részletesebben

VALÓSZÍNŰSÉG, STATISZTIKA TANÍTÁSA

VALÓSZÍNŰSÉG, STATISZTIKA TANÍTÁSA VALÓSZÍNŰSÉG, STATISZTIKA TANÍTÁSA A VALÓSZÍNŰSÉGI SZEMLÉLET ALAPOZÁSA 1-6. OSZTÁLY A biztos, a lehetetlen és a lehet, de nem biztos események megkülünböztetése Valószínűségi játékok, kísérletek események

Részletesebben

NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI

NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI A NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI 20-09-2 Terem: Munkaidő: 0 perc. A dolgozat megírásához íróeszközön kívül semmilyen segédeszköz nem használható! Csak és kizárólag tollal tölthető ki a feladatlap, a ceruzával

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 11B OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT/ ÖSSZ 148 ÓRA

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 11B OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT/ ÖSSZ 148 ÓRA MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI ELJÁRÁS MELLÉKLET Tanmenetborító Azonosító: ME-III.1./1 Változatszám: 2 Érvényesség 2013. 09. 01. kezdete: Oldal/összes: 1/5 Fájlnév: ME- III.1.1.Tanmenetborító SZK- DC-2013 MATEMATIKA

Részletesebben

A Statisztika alapjai

A Statisztika alapjai A Statisztika alapjai BME A3c Magyar Róbert 2016.05.12. Mi az a Statisztika? A statisztika a valóság számszerű információinak megfigyelésére, összegzésére, elemzésére és modellezésére irányuló gyakorlati

Részletesebben

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 1

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 1 Halmazok 1 Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 2 A fejezet legfontosabb elemei Halmaz megadási módjai Halmazok közti műveletek (metszet,

Részletesebben