Bevezetés a kísérletmódszertanba. Johanyák Zsolt Csaba

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Bevezetés a kísérletmódszertanba. Johanyák Zsolt Csaba"

Átírás

1 evezetés a kísérletmódszertanba Johanyák Zsolt Csaba 00

2 Johanyák Zsolt Csaba: evezetés a kísérletmódszertanba artalomjegyzék. evezetés...4. kísérletmódszertan léései Hibatényezõk csökkentése Kísérlettervezés elõkészítése Faktor Faktorok osztályozása Példák a faktorok kiválasztására Szint Jelölésmód Otimalizációs araméter (minõségi jellemzõ) Hagyományos faktoriális kísérlettervezési módszerek Faktorszint váltás egyesével (one-by-one módszer) Egyfaktoros módszer Regresszió elemzés Csoortfaktoros kísérletterv Kiértékelés eljes faktoriális kísérletterv Kísérletek kiértékelése Egyszerû hatásvizsgálat Részleges faktoriális kísérletterv ráteleítés kockázata ervkészítés az identitás oszlo segítségével Shainin kísérletmódszertana Elsõdleges kiválasztás öbbváltozós kártyák lkatrész keresés Páros összehasonlítás Változók keresése /C elemzés aguchi kísérletmódszertana Veszteségfüggvény Számítások aguchi veszteség függvényével Kölcsönhatás nélküli homogén terv Kölcsönhatásokat tartalmazó homogén terv Szabadon maradó oszlook Vegyes kísérletek tervezése Szintnövelés Szintcsökkentés...39

3 . evezetés Szintnövelés és szintcsökkentés kombinált alkalmazása Robusztus tervezés Standard elemzés Hatásvizsgálat Variancia elemzés (NOV) Ismétléses kísérletek kiértékelése Standard elemzés Jel/zaj viszony elemzés Minõségi változóval jellemezhetõ gyártási folyamatok elemzése Válaszfelület módszerek Válaszfelület Léegetések elve Léegetések elvén alauló módszerek Matematikai modell Gradiens módszer modell felállítása gradiens módszer alkalmazása Szimlex módszer Kezdõ szimlex z új szimlex csúcsa szimlex módszer elõnyös tulajdonságai Példa a szimlex módszer alkalmazására...6 Irodalomjegyzék Mellékletek t -α értékek táblázata...67 F értékek táblázata 95%-os szintre...67 z F értékek táblázata 99%-os szintre...68 aguchi által javasolt kísérlettervek...68 Háromszög táblázatok...73 Háromszög táblázat kétszintes oszlookhoz...73 Háromszszög táblázat háromszintes oszlookhoz...74 Háromszög táblázat négyszintes oszlookhoz

4 Johanyák Zsolt Csaba: evezetés a kísérletmódszertanba. evezetés legtöbb technológiánál a sorozatgyártás beállítása bonyolult folyamat. gékezelõ a feladatot sokéves taasztalata és beállítási utasítások alaján hajtja végre, amihez támontot nyújthatnak a katalógusok és az átlagérték táblázatok. kezdeti beállításokkal róbadarabokat készítenek, méréseket végeznek, módosítgatják a beállításokat mindaddig, míg el nem érik a megkívánt eredményt. Ezt az eljárási módot róbálgatásos módszernek nevezik. lkalmazása különösen új feladatoknál kritikus, ugyanis ilyenkor nem áll rendelkezésre taasztalati ismeretanyag. Egy jól megtervezett módszer lényeges eleme a visszavezethetõség, ami különösen fontos az orvosi és gyógyszerészeti területeken. Ma már az iari gyakorlatban is jellemzõ, hogy a megrendelõk szállítóiktól nemcsak minõséget követelnek meg, hanem annak bizonyítását is, hogy ezen minõség állandóságát megfelelõ intézkedésekkel biztosítják. Így éldául a Ford a minõségauditok során ellenõrzi, hogy a szállítók alkalmazzák-e a kísérlettervezés módszereit a folyamatok beállítása során. géiaron kívül más iarágakban is megfigyelhetjük, hogy rendszerezett módszereket használnak a folyamatok vizsgálatára. Ennek oka a vizsgálat idõtartamában rejlik. Míg egy esztergagé beállításának megváltoztatása egy gyorsan ellenõrizhetõ eredményt ad, addig a mezõgazdaságban egy kísérlet több évre is kinyúlhat. Éen ezért ezeken a területeken kénytelenek a tervezésre helyezni a hangsúlyt. mai kísérlettervezés alajait Ronald Fischer statisztikai vizsgálatai teremtették meg. jelenleg elterjedt módszereket alavetõen három csoortba oszthatjuk (.. táblázat). faktoriális tervek lehetõvé teszik több faktor egyidejû vizsgálatát. kísérletek számának elfogadható keretek között tartása érdekében a megvizsgálni kívánt beállítások számát faktoronként legtöbbször kettõre szokták korlátozni. Ez elegendõ a faktorok jelentõségének kimutatásához, és sok esetben az otimális beállítási tartomány meghatározásához is. Logikus feléítésük és egyszerû kezelésük következtében ezek a tervek az iari gyakorlatban jól alkalmazhatóak. z utóbbi idõben egyre nészerûbbek az egyszerûsítõ módszerek, mint a aguchi és Shainin által leírt technikák, amelyek a faktoriális vizsgálatok családjába tartoznak. táblázatban szerelõ válaszfelület módszereket az összefüggések részletekbe menõ vizsgálatára és a jelleggörbe mezõk modellezésére használják. z elõre meghatározott és az iteratív kísérleti utasításokon alauló módszereket különböztetjük meg. z elõre meghatározott kísérleti utasítások lehetõvé teszik a jelleggörbe mezõk matematikai modelljének feléítését. Itt olyan magasabb szintû kísérleti terveket alkalmaznak, melyek bizonyos ráfordításokat feltételeznek. léegetéses módszerek olyan stratégiákat alkalmaznak, melyek lehetõvé teszik a folyamat léésenkénti otimalizálását. Ezen csoort legfontosabb kéviselõi az evolúciós (fejlõdésen alauló) módszerek, melyek megróbálják a természet viselkedését lekéezni az iari folyamatokra... táblázat statisztikai kísérlettervezés módszerei Faktoriális tervek Válaszfelület tervek Faktorszint váltás egyesével Gauss-Seidel Egyfaktoros Gradiens (ox-wilson) Csoortfaktoros Szimlex eljes faktoriális X k Sztochasztikus Részleges faktoriális X k- közelítések módszere Shainin aguchi Négyzetes tervek Latin négyzet Görög-Latin négyzet Hier Görög-Latin négyzet Youden négyzet Lattice négyzet 4

5 . evezetés négyzetes terveket, kettõnél több beállítási lehetõséggel rendelkezõ faktor (a folyamat valamely állítható aramétere) egyidejû vizsgálatára használják. faktorok száma korlátozott kell legyen a kezelhetõség érdekében. végrehajtott kísérletek variancia elemzése (változékonyság elemzése) tájékoztatást ad a faktorok szignifikanciájáról (jelentõségérõl). 5

6 Johanyák Zsolt Csaba: evezetés a kísérletmódszertanba. kísérletmódszertan léései statisztikailag tervezett vizsgálatok alkalmazásának léései az.. táblázatban szereelnek. lavetõ jelentõségû, hogy a lehetõ legtöbb szakmai tudás éüljön be a vizsgálatba a hibás tervezés és értelmezés megelõzése érdekében. Itt nagy segítséget jelenthet a korábbi folyamatmegfigyelésekbõl nyert ismeretanyag. vizsgálatot egy részlegközi csoort hajtja végre, amelyben a kísérlettervezés és a statisztika területének szakértõi mellett olyanok is részt vesznek, akik jól ismerik az adott folyamat technológiáját. Különös figyelmet kell fordítani arra, hogy a vizsgálat sikeressége nagymértékben függ a gékezelõk együttmûködésétõl. különbözõ részlegek dolgozói közti együttmûködés megleõ hatásokat eredményezhet. Gyakran már azáltal is javulás érhetõ el, hogy a tervezés szakemberei taasztalatot cserélnek a gyártás szakembereivel. Minél ügyesebben terveznek meg egy kísérletet, annál kisebb a végrehajtáshoz szükséges ráfordítás, és annál megbízhatóbb a kísérlet kiértékelésébõl.. táblázat kísérletmódszertan léései Elõkészítés faktorok meghatározása kiválasztás mértékegység mérési ontosság mérési mód faktor szintek otimalizációs araméter ervezés kölcsönhatások becslése kísérlettervezési technika kiválasztása kísérletterv elkészítése Végrehajtás Paraméterek beállítása Minõségi jellemzõ meghatározása Elemzés grafikus módszer statisztikai módszer otimális faktorszintek meghatározása vagy visszatérés az elõkészítéshez vagy a tervezéshez Igazoló kísérletek tervezés végrehajtás kiértékelés levont következtetés. Ennek következtében a tervezés bír a legnagyobb jelentõséggel. legtöbb ráfordítás a megvizsgálni kívánt faktorok összeállításához és kiválasztásához, valamint a kölcsönhatások becsléséhez szükséges. Ezek lényeges elõfeltételei a végrehajtási költségek csökkentésének... Hibatényezõk csökkentéserandomizálás ismétlés o egy beállítással o beállítások váltogatásával kísérleteket recízen kell végrehajtani. változó folyamataraméterek ontos beállítása mellett figyelmet kell szentelni a mértékegységek megállaítására és az elõállított termékek jelölésére is. Õrizkedni kell attól, hogy a kísérleti tervet odaadjuk a gékezelõnek, és az eredményekben vakon megbízzunk. Különöskéen nagyobb kísérleti terveknél könnyen hiba csúszhat a végrehajtásba. Emiatt a kísérleteket több szakértõ személy jelenlétében kell végrehajtani. Ha a gékezelõt magára hagyják, akkor õ önhatalmúlag eltérhet a tervtõl, és ezt nem dokumentálja. Egy ilyen vizsgálat eredményei semmitmondóak, sõt félrevezetõek lehetnek. 6

7 . kísérletmódszertan léései hibás értelmezés megelõzése érdekében elfogadhatósági szemontból a kísérletek eredményét ellenõriztetik technológiai szakértõkkel. kiértékelés során jó szolgálatot tehetnek a grafikus eljárások, mint l. a hatásdiagramok. kísérleti eredményeket feldolgozás után továbbítják a vezetés felé. Erre jó megoldást jelenthet az elért javítás olyan ábrázolása, mely kiemeli a régi és az új állaot közötti különbséget. mennyiben lehetséges, a javítást énzügyi egységben (l. költségek) fejezik ki. Hatásosan alkalmazható aguchi veszteségfüggvénye is. 7

8 Johanyák Zsolt Csaba: evezetés a kísérletmódszertanba 3. Kísérlettervezés elõkészítése 3.. Faktor faktor egy mérhetõ vagy minõsíthetõ változó mennyiség, amely adott idõontban meghatározott jellemzõkkel bír, és hatást gyakorol a folyamatot jellemzõ mennyiségre (otimalizációs araméter). Faktor figyelmen kívül hagyásának kockázata: Növekszik a kísérleti hiba Nem a valódi otimális beállítást találjuk meg Lényegtelen faktorok kiszûrése: rostáló módszerek (ha a faktorszám>5) Véletlen kiegyenlítés módszere Plackett-urman tervek Shainin technikák NOV Feladatok: Faktor megválasztása Mértékegység megválasztása Mérési ontosság megválasztása Mérési mód megválasztása Faktorokkal szembeni követelmények: közvetlenül az objektumra irányuljon a hatása (egyértelmû) függetlenség, l. termodinamikus rendszer, faktorok: nyomás, hõmérséklet, térfogat VnR összeegyeztethetõség (veszélytelenség) 3... Faktorok osztályozása Kezelhetõség szemontjából: Kézben tartható (irányítható): a faktor bármely értelmezési tartományon belüli értéke beállítható különösebb anyagi vagy mûszaki jellegû nehézség nélkül, és a kísérlet során állandó értéken tartható aktív kísérletek Nem kézben tartható (aguchi zajfaktor): a faktor értelmezési tartományon belüli bármely értékeinek beállítása gazdasági, mûszaki vagy más jellegû nehézségbe ütközik vagy megoldhatatlan asszív kísérletek Összetettség szemontjából: egyedi összetett, l. két komonens hányadosa Értékelés szemontjából: mennyiségi: idõ, hõmérséklet, tömeg, darabszám, reakcióidõ, koncentráció, adagolási sebesség, PH érték minõségi: anyagtíus, minõség, technológiai eljárás tíusa, készülék, dolgozó személye Értékkészlet szemontjából: folytonos: idõ, hõmérséklet diszkrét értékekkel rendelkezõ: darabszám 8

9 3. Kísérlettervezés elõkészítése 3... Példák a faktorok kiválasztására. utadién-sztirol-kaucsuk telítetlen savak sóival történõ vulkanizálása [dler 977] Faktorok: vulkanizálási hõmérséklet, vulkanizálási idõ, iniciátor mennyisége, vulkanizáló hatóanyag mennyisége, oxid mennyisége oxid tíusa (cink oxid, magnézium oxid), savmaradék tíusa (metakrilát, maleát), sókation tíusa (Na, Mg ).. z alumínium elektrolízises elõállítási folyamatának vizsgálata [dler 977]. Faktorok: az elektrolizáló kád feszültsége; az elektrolízis üzemeltetési szakaszai közötti idõ; C a magnézium-fluorid koncentrációja az elektrolitben; C a kalcium-fluorid koncentrációja az elektrolitben; D a kriolit hányados; E az elektrolit szintje a kádban; F a szénhabelvétel oerációi közötti idõ. 3. rezisztorgyártás otimalizálása [dler 977]. Faktorok: a sajtolás során felléõ nyomás; a sajtolás során felléõ hõmérséklet; C a nyomás alatt tartás ideje; D a muffolában levõ hõmérséklet a sajtolás során; E a hõntartás ideje; F a töltõanyag diszergáltsága; G az adalékanyag és töltõanyag aránya; H a samottozás során fennálló nyomás; I a korom diszergáltsága; J a samottozás ideje; K a talazat kerámiájának minõsége; L az adalékanyag diszergáltsága. 4. szulfátcellulóz fõzési folyamatának vizsgálata [dler 977]. Faktorok: az aktív lúg koncentrációja a fõzõoldatban (Na O egységekben); az oldat szulfittartalma; C a fõzés véghõmérséklete; D a hõmérsékletnövekedés idõtartama a véghõmérséklet eléréséig; E a fõzés idõtartama a véghõmérsékleten. 5. molibdénérc dúsítási folyamatának vizsgálata [dler 977]. Faktorok: az érc arítási ideje; a szükséges nátriumoleát mennyisége; C a szükséges alkáliszulfát mennyisége; D a szükséges szóda mennyisége; E a szükséges etróleum mennyisége. 6. cirkónium és hafnium sósavlodatból való extrakciós folyamatának otimalizálása [dler 977]. Faktorok: a fém koncentrációja; a sav koncentrációja; C az alkohol koncentrációja; D a fázisok térfogatainak aránya. 7. Gékocsi-iari beszállítónál csövet réselnek egy furatba, és ragasztóval megerõsítik. z illeszkedés vizsgálata a kiszakítási nyomaték mérésével [Kemény 999]. Faktorok: 9

10 Johanyák Zsolt Csaba: evezetés a kísérletmódszertanba a furat átmérõje; a ragasztó tíusa; C a ragasztó mennyisége. 8. Gékocsi-iari beszállítónál furatba réselnek egy tengelyt, a cél a kiszakítási nyomaték elõírt minimális értékének elérése [Kemény 999]. Faktorok: - ragasztó tíusa; - ragasztó tömege; C - tengely-tisztítás; D - ház-tisztítás; E - beréselési nyomás; F - állási idõ; G - ragasztó alkalmazási módja. 3.. Szint faktorok kiválasztását követõ léés a a szintek számának és értékeinek meghatározása. szintek azon faktorértékek, amiket kiróbálunk a kísérletek során. Elsõként tisztáznunk kell, hogy milyen értékhatárok között változtathatjuk a kísérletek során az egyes befolyásoló tényezõk értékeit. taasztalatok alaján a gyakorlatban használt értékek határozzák meg legtöbbször az intervallumot. költségek mértékét általában alacsony szinten szeretnénk tartani, ezért legtöbbször két értéket jelölünk meg feltételezve, hogy közöttük lineárisan viselkedik a folyamat. y otvalódi y y y otfeltételezett y x 3.. ábra Hibás szintválasztás kockázata mennyiben nem lehetünk biztosak a lineáris viselkedésben, három vagy több szint kijelölése szükséges, különben könnyen átléhetünk a számunkra fontos értékek felett (3.. ábra). Ha a folyamat robusztus tervezése a cél, semmiké ne válasszunk háromnál kevesebb szintet. kiróbálásra kerülõ értékeket úgy határozzuk meg, hogy az alkalmazásukkal elõállított termék jó legyen, azaz semmiké ne válasszunk olyan értéket, amelyrõl elõre tudjuk, hogy a vele elõállított termék biztosan nem felel meg (l. tûrésmezõn kívülre esik). Részesítsük elõnyben az olyan értékeket, amelyek közül egynél várhatóan nagyon jó, míg másoknál nem olyan jó lesz a termék. Kísérletezésre kutatási, folyamatvizsgálati célból is sor kerülhet, ilyenkor a fenti javaslatok nem érvényesek, sõt a szélsõséges faktorértékek betervezése kifejezetten kívánatos. Mindkét esetben fontos megkötés, hogy csak összeférhetõ szinteket válasszunk Jelölésmód x otvalódi valódi viselkedés feltételezett viselkedés x x x otfeltételezett elõjellel (kétszintes eset): l., - betûjellel (kétszintes eset): l. J, R (J-feltételezhetõen jó eredményhez vezetõ szint, R- feltételezhetõen gyengébb eredményhez vezetõ szint) betûjellel (háromszintes eset): l., K, F (-alsó szint, K-közésõ szint, F-felsõ szint) számmal (háromszintes eset) l.,, 3 0

11 3. Kísérlettervezés elõkészítése 3.3. Otimalizációs araméter (minõségi jellemzõ) folyamat eredményének mértéke. Ideális esetben numerikus mennyiség. Ha a folyamatot több mennyiség együttesen jellemzi, akkor mesterséges otimalizációs aramétert ún. általános értékelési kritériumot (ÁÉK) állítunk fel. íusai: kisebb a jobb nagyobb a jobb célérték a jobb z otimalizációs araméterrel szemben támasztott elvárások: lehetõleg számmal kifejezhetõ legyen, ha nem mérhetõ, akkor rangsorolás bármely faktorszint kombináció eredménye mérhetõ legyen értékkészlet egyetlen szám vagy ÁÉK egyértelmûség, azaz egy faktorszint kombinációhoz egy eredmény véletlen változékonyság kielégítõ ontossággal lehessen mérni Legyen univerzális (teljes) segítségével a folyamat sokoldalúan jellemezhetõ l. ÁÉK Legyen egyszerûen és könnyen kiszámítható Legyen fizikailag értelmezhetõ Pl.: cetil aceton elõállítása [dler 977]. folyamat léései (3.. ábra): Etilacetát, aceton és nátrium kondenzálása lkohol-éter keverék leárlása C D E F cetil aceton kivonása az acetilaceton-nátriumból nyers acetil aceton nátrium leárlása G H I J K L M N O 3.. ábra cetil aceton elõállítási folyamatának léései Faktorok: a kondenzálás reakcióhõje (), az aceton hozzáöntésének idõtartama (), a kondenzálás idõtartama (C), a komonensek aránya (D), keverési sebesség (E), a száraz maradék véghõmérséklete (F), H érték (G), a sósav adagolási sebessége (H), a kiválasztódás hõmérséklete(i), az alkohol-éter keverék desztilációs hõmérséklete az elsõ frakcióban (J), az alkohol-éter keverék desztilációs hõmérséklete a második frakcióban (K), az alkohol-éter keverék desztilációs hõmérséklete a harmadik frakcióban (L), az elsõ frakció desztillációs idõtartama (M), a második desztillációs idõtartama (N), a harmadik desztillációs idõtartama (O). Végezzük-e el az otimalizálást a teljes folyamatra egyszerre vagy az egyes szakaszokra különkülön? Ha az egyes szakaszok kimenete jellemezhetõ egyetlen mennyiséggel, ami magában foglal minden olyan információt, ami a következõ szakasz bemenetének jellemzéséhez szükséges, akkor

12 Johanyák Zsolt Csaba: evezetés a kísérletmódszertanba szakaszként otimalizáljunk, mert az sokkal kevesebb kísérletet (kiadást) igényel, mint a teljes folyamatra egyszerre végrehajtott otimalizáció.

13 4. Hagyományos faktoriális kísérlettervezési módszerek 4. Hagyományos faktoriális kísérlettervezési módszerek 4.. Faktorszint váltás egyesével (one-by-one módszer) öbb faktor hatásának vizsgálatára a legegyszerûbb eljárás az one-by-one módszer. Itt egyszerre mindig csak egy faktort változtatnak, a többi változatlan marad. Mivel ez egy könnyen ismételhetõ eljárás, ezért nagyfokú egyszerûsége ellenére jelentõs javulást eredményez bármely tervezetlen eljárással szemben. Kétszintes esetben a kísérletek száma faktorszám. együk fel, hogy három kétszintes faktorunk van. kísérlettervet a táblázat tartalmazza. 4.. táblázat C múltban számos jelentõs tudós (Galilei, Newton) ezt a módszert alkalmazta. z egyfaktoros 4.. ábra Kísérletek a faktortérben módszernek hátrányai is vannak más kísérlettervezési módszerekkel szemben: nehéz felismerni a faktorok közötti kölcsönhatást, mivel mindig csak egy faktor 3 változik; a vizsgálat során nem lehet figyelembe venni az egyéb zavaró hatásokat. 4 Ezen okok miatt fejlesztették ki a továbbiakban ismertetésre kerülõ kísérleti terveket, melyek lehetõvé teszik egyszerre több faktor vizsgálatát. 4.. Egyfaktoros módszer Egyetlen faktorral és több szinttel dolgozó terv. z eredmények kiértéklésére interolációt vagy regressziót alkalmazunk.4... Regresszió elemzés regresszió elemzés lehetõvé teszi a vizsgált faktor hatásának modellezését a vizsgált értéktartományon belül. Általában akkor alkalmazzák, ha az egyes faktorszintekhez számszerûsíthetõ, mérhetõ értékek társíthatók. ovábbi elõfeltétel az is, hogy minden faktorszint esetén a kísérlet eredményeként mért érték normál eloszlású legyen, és varianciája ne függjön az adott kísérletet jellemzõ aramétertõl (homogén variancia). z elemzés során abból indulunk ki, hogy a faktor és a minõségi jellemzõ egy kétdimenziós teret (síkot) alkotnak, ahol minden egyes sor a kísérlettervbõl egy síkbeli ontnak felel meg. z elemzés során megróbálunk egy szabályos görbét illeszteni erre a onthalmazra úgy, hogy az egyes ontok görbétõl mért y irányú távolságainak négyzetösszege minimális legyen. görbe matematikai leírásának ismeretében megkeressük azt a araméterértéket, amely a számunkra otimális minõségi jellemzõt nyújtja. meghatározott függvénykacsolat csak a faktor kísérletekben kiróbált szélsõértékei által behatárolt intervallumban érvényes. z extraoláció nem lehetséges. C 4 3 3

14 Johanyák Zsolt Csaba: evezetés a kísérletmódszertanba Kövessük végig az eljárást lineáris regresszió esetén. kkor tekintjük lineárisnak a regressziót, ha a faktor értékváltozása és a kísérlet eredményének változása között egy egyenessel ábrázolható a kacsolat. együk fel, hogy egy kísérlet eredménye kéen a 4.. táblázatban szerelõ értékeket katuk. ontok grafikus ábrázolása a 4.. ábrán szereel. Ránézésre feltételezhetõ, hogy kacsolat van az x (faktorérték) és az y (mért eredmény) között, és elkézelhetõ, hogy ez a kacsolat lineáris. hhoz, hogy megbizonyosodjunk elsõ benyomásunk helyességén, ki kell számolnunk a korrelációs együtthatót (4..). sxy r s s x y (4..) ahol: s xy - xy közös korrigált taasztalati szórásnégyzete S x - x korrigált taasztalati szórása - y korrigált taasztalati szórása _ x k S y k i x i 34, ábra 4.. táblázat kísérlet eredményei x (faktorérték) y (mért érték) (4..) _ y k k i y i 09,857 (4.3.) k xi x yi y i s xy 33, 90 (4.4.) k s x k i _ xi x k 7, 43 (4.5.) s y k i r0,9399 _ yi y k 4, 7409 (4.6.) fenti kéletekben k a mérések számát jelölte (k7). kiszámított értékeket behelyettesítve a (4..)-ba megkajuk r értékét. korrelációs együttható értelmezése az emirikus módszerrel és a t- róbával lehetséges. 4

15 4. Hagyományos faktoriális kísérlettervezési módszerek 4... Emirikus módszer Ha r x és y között lineáris kacsolat van, 0,7< r < egyértelmû (ozitív/negatív) korreláció áll fenn, 0,3< r <0,7 bizonytalan (ozitív/negatív) korreláció áll fenn, r <0,3 x és y nem korrelált. mi esetünkben egyértelmûen megállaítható a ozitív korreláció, és mivel az érték -hez közeli, valószínû a lineáris kacsolat t-róba z adott feltételekre kiszámítunk egy t sz értéket (4.7.), és ezt összehasonlítjuk a szabadságfok (υ) és a választott szignifikancia szint (α) által meghatározott táblázatbeli kritikus értékkel. mennyiben t sz < t krit akkor (-α) 00 % valószínûséggel állíthatjuk, hogy nincs lineáris kacsolat x és y között. t sz > t krit akkor (-α) 00 % valószínûséggel állíthatjuk, hogy lineáris kacsolat van x és y között. becslés szabadságfoka υk-5, mivel a lineáris regresszió által meghatározott egyenes kéletében két aramétert kell majd megbecsülnünk. Ha 99%-os biztonsági szinten akarunk nyilatkozni, a szignifikancia szint α0,0 lesz. t sz értékét meghatározó kélet: t sz r υ r k r r 6, 55 Kétoldali esettel számolva a táblázatból kivett kritikus érték: t krit t υ,-α/ t 5; 0,995 4,03 (4.7.) számított érték ennél nagyobb, így 99%-os biztonsággal állíthatjuk, hogy x és y között lineáris kacsolat áll fenn z egyenes egyenlete Grafikusan ábrázolva a ontokat láthatjuk, hogy nem egy egyenesen helyezkednek el. z elméleti egyenestõl való eltéréseket a véletlen szórás okozza. ontok elhelyezkedését az y i a.x i b ε i (4.8.) egyenlettel modellezhetjük. z a.x i b rész fejezi ki a lineáris összefüggést, míg az ε i -k egymástól független normális eloszlású véletlenszámok, melyeknek várható értéke 0. Célunk az egyenes egyenletének meghatározása oly módon, hogy a mért értékeket ábrázoló ontok függõleges irányban a lehetõ legkisebb távolságra legyenek az egyenestõl. z a és b aramétereket a legkisebb négyzetek elvének alkalmazásával becsüljük meg. z eltérések négyzetösszege: k ( i i ) Q y a x b i (4.9.) Olyan egyenest keresünk, amelynél ez az érték minimális. Itt (4.9.)-t egy kétváltozós (a és b) függvénynek tekintjük, mely ott vesz fel szélsõértéket, ahol az a illetve b szerinti elsõrendû arciális 5

16 Johanyák Zsolt Csaba: evezetés a kísérletmódszertanba deriváltak (4.0.)(4..) nulla értékûek lesznek. mennyiben a másodrendû deriváltak (4..)(4.3.) ozitívak, ez a szélsõérték egy minimum ont. Q a Q b k i ( ) x y a x b i i i k ( yi a xi b) i (4.0.) (4..) Q a k x (4..) i i Q k (4.3.) b z elsõrendû deriváltakat egyenlõvé téve nullával egy kétismeretlenes lineáris egyenletrendszerhez (6) jutunk a-ban és b-ben. k k a xi b k yi i i k k k a xi b xi xi yi i i i z egyenletet megoldva az (4.4.) s a r s xy y (4.5.) s s x x _ s _ xy b y x (4.6.) s x kéletekhez jutunk. ehelyettesítve az aktuális értékeket: a 0,60 b 89,04 keresett egyenes egyenlete : y 0, 60 x 89, Csoortfaktoros kísérletterv Gyakran elõfordul, hogy a robléma megoldásához elegendõ a rendelkezésre álló feltevések igazolása (igazoló kísérletek). Pl. a futó folyamatokra vonatkozó adatelemzés vagy korábbi kísérletek eredményei arra engednek következtetni, hogy egy bizonyos folyamat-beállítás jelentõs javuláshoz vezet. Ilyen helyzetben a kísérletekhez kacsolódó ráfordítások szintjének alacsonyan tartása érdekében a következõ stratégia követése ajánlott: az egyes faktorok összefoglalása egyetlen csoortfaktorba, 6

17 4. Hagyományos faktoriális kísérlettervezési módszerek a csoortfaktor vizsgálata egy egyfaktoros kísérlettel, megfelelõ kiértékelési módszerek alkalmazása táblázat Csoortfaktor Faktor/szint Kenhetõség Kalóriatartalom Ár - alacsony magas magas magas alacsony alacsony Kövessük végig az eljárást egy egyszerû éldán keresztül. Növelni kell az eladott csomagok számát egy margarinfajta esetében. Minõségi jellemzõnek az eladott csomagok számát tekintjük egy rerezentatívnak minõsülõ áruházban. efolyásoló tényezõ a kenhetõség, az ár, az eltarthatóság és a kalóriatartalom. szakértõk arra számítanak, hogy a kenhetõség növelése, valamint a kalóriatartalom és az ár csökkentése az eladások mértékének növekedéséhez vezet. z eltarthatóságot nem tekintik lényeges tényezõnek az eladott darabszám szemontjából. z eljárás célja az, hogy ezeket a feltevéseket megvizsgáljuk, és nem az, hogy az egyes hatásokat részleteikben megállaítsuk. Elsõ léésként a fentiek szerint kialakítjuk a 3. táblázatban szerelõ csoortfaktort. Ennek (-) szintre állítása esetén a kenhetõség alacsony, a kalóriatartalom magas, az ár magas. csoortfaktorok alkalmazásának elõnye abban áll, hogy a szükséges ráfordítás egy egyfaktoros kísérlettel megegyezõ. z egyes befolyásoló tényezõk hatásaira vonatkozóan azonban nem jutunk információkhoz Kiértékelés z alkalmazható módszerek sorából kettõt ismertetünk az alábbiakban. z egyik a hagyományos t- róba, míg a másik ubey araméter nélküli End-Count tesztje, melyet a különösen alacsony mintaszám jellemez t-róba t-róba két minta átlagainak összehasonlítására szolgál. teszt eljárásmódja attól függ, hogy ismert-e a két eloszlás szórása, és hogy azonos méretû-e a két minta. z alábbiakban ismeretlen szórás és különbözõ mintanagyság esetére ismertetjük a módszert táblázat Kísérleti eredmények Faktor Eladott darabszám y átl (ár.) (jan.) (jún.) (dec.) (szet.) (aug.) 8000 (febr.) 8500 (márc.) 800 (okt.) 6500 (máj.) 7800 (júl.) 850 (nov.) 7858 Lehetõség szerint törekedni kell a kísérletek véletlen sorrendben történõ végrehajtására. Mindig egy hónaig (-) vagy () jelzetû termékeket adnak el. zt, hogy mikor melyiket dobják iacra sorshúzással döntik el. Minden hónaban megállaítják az eladott darabszámot. Mindkét beállítást egy n n - 6 hónaos idõtartamon tesztelik. vizsgálat eredményeit a 4.4. táblázat tartalmazza. Kiértékelés céljára kiszámítják a két folyamat-beállításhoz kacsolódó átlagértékeket. csoortfaktor (-) szintre állítása mellett átlagosan 579 csomagot, míg a () szint beállítása esetén 7

18 Johanyák Zsolt Csaba: evezetés a kísérletmódszertanba átlagosan 7858 csomagot adtak el. Felvetõdik azonban a kérdés, hogy az eladásokban megfigyelt különbség véletlen természetû-e vagy a megváltoztatott beállítási szintre vezethetõ-e vissza. Elsõ léésként kiszámítjuk a két mintából nyert szórásbecslést: s n j n ( y y ) ( y y ) j j n n j 597 (4.7.) t sz tesztstatisztika értéke: y y t sz 5,99 (4.8.) s n n Esetünkben s597 és t sz 5,99. t érték υ(n n - -)(66-)0 szabadságfokkal rendelkezik. esztelni kell a folyamatok azonos közéértékének feltételezését (H 0 :µ µ - ) szembeállítva a különbözõ közéértékek feltételezésével (H :µ >µ - ). Példánkban ezt a tesztet 5%-os szignifikancia (α-0,950,05) szinten kell végrehajtani. υ0 és α 0,05 értékároshoz a t υ;-α/ t 0;- 0,05t 0;0,975,88 tartozik (kétoldali eset) a t-eloszlás táblázatban. H 0 nullhiotézist t sz >t υ;-α/ egyenlõtlenség fennállása esetén vetjük el. Mivel 5,99>,88, elvethetjük a mullhiotézist. Így 95%- os biztonsággal kijelenthetjük, hogy a () beállításnál több darabot tudunk eladni, mint a (-) szint esetén. Általánosan megfigyelhetõ, hogy a t-róba érzékenysége növekszik a mintanagysággal. z itt alkalmazott mintanagyság mellett csak az erõs hatások mutathatók ki. róba az egyes beállításokon belül a normális eloszlás feltételezésén alaul, azonban mégis viszonylagosan érzéketlen az ezen feltevéstõl való eltérések iránt End-Count teszt kísérletekkel kacsolatos ráfordítások csökkentése érdekében gyakran ajánlják az ún. araméter nélküli eljárásokat. Ezek egyike a ubey által kifejlesztett End-Count teszt, melyet Shainin vs. C (etter Versus Current) névvel jelöl. Ennek segítségével lehetõvé válik az összehasonlítás elemi valószínûségszámításra történõ visszavezetése táblázat Kísérlet végrehajtása csoortfaktoros vizsgálatnál Hóna Csoortfaktor Eladott darabszám (/- szintek véletlen sora) január február 8000 március 8500 árilis május 6500 június július 7800 augusztus szetember

19 4. Hagyományos faktoriális kísérlettervezési módszerek október 800 november 850 december táblázat Sorba rendezett kísérleti eredmények Eladott darabszám Faktorbeállítás z eljárást a margarin eladási esetre ismertetjük. faktort (csoortfaktor) hatszor kell beállítani úgy a (), mint a (-) szintre. kísérletek eredménye kéen a 4.5. táblázatban látható eredménysor állt elõ. Nagyság szerint sorbarendezve az adatokat a 4.6. táblázatot kajuk. izenkét érték ismétlõdés! nélküli elrendezésére 94 ( ) különbözõ lehetõség van. 6! 6! /94 azaz 0,% annak a valószínûsége, hogy egy ilyen elrendezés véletlenszerûen bekövetkezik. ehát kiindulhatunk abból, hogy éldánkban 99,9%-os valószínûséggel a () beállítási szinttel jobb eredményeket érünk el, mint a (-) szint esetén. Ezzel igazoltuk a szakértõk feltevését. z eljárás különösen alacsony mintanagysággal dolgozik, és ezért a kísérletek véletlenszerû végrehajtását igényli. Óvakodni kell attól, hogy l. hat régebbi eredményt hat új, egymás után végrehajtott kísérlet eredményével hasonlítsunk össze. 9

Segítség az outputok értelmezéséhez

Segítség az outputok értelmezéséhez Tanulni: 10.1-10.3, 10.5, 11.10. Hf: A honlapra feltett falco_exp.zip-ben lévő exploratív elemzések áttanulmányozása, érdekességek, észrevételek kigyűjtése. Segítség az outputok értelmezéséhez Leiro: Leíró

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 4 IV. MINTA, ALAPsTATIsZTIKÁK 1. MATEMATIKAI statisztika A matematikai statisztika alapfeladatát nagy általánosságban a következőképpen

Részletesebben

Varianciaanalízis 4/24/12

Varianciaanalízis 4/24/12 1. Feladat Egy póker kártya keverő gép a kártyákat random módon választja ki. A vizsgálatban 1600 választott kártya színei az alábbi gyakorisággal fordultak elő. Vizsgáljuk meg, hogy a kártyák kiválasztása

Részletesebben

Biomatematika 15. Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar. Fodor János

Biomatematika 15. Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar. Fodor János Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar Biomatematikai és Számítástechnikai Tanszék Biomatematika 15. Nemparaméteres próbák Fodor János Copyright c Fodor.Janos@aotk.szie.hu Last Revision Date: November

Részletesebben

Mérési adatok illesztése, korreláció, regresszió

Mérési adatok illesztése, korreláció, regresszió Mérési adatok illesztése, korreláció, regresszió Korreláció, regresszió Két változó mennyiség közötti kapcsolatot vizsgálunk. Kérdés: van-e kapcsolat két, ugyanabban az egyénben, állatban, kísérleti mintában,

Részletesebben

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása 11 modul: EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK MEGOLDÁSA 6 I Egyenlet fogalma, algebrai megoldása Módszertani megjegyzés: Az egyenletek alaphalmazát, értelmezési tartományát később vezetjük be, a törtes egyenletekkel

Részletesebben

Mérési hibák 2006.10.04. 1

Mérési hibák 2006.10.04. 1 Mérési hibák 2006.10.04. 1 Mérés jel- és rendszerelméleti modellje Mérési hibák_labor/2 Mérési hibák mérési hiba: a meghatározandó értékre a mérés során kapott eredmény és ideális értéke közötti különbség

Részletesebben

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Középértékek és szóródási mutatók

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Középértékek és szóródási mutatók Matematikai alapok és valószínőségszámítás Középértékek és szóródási mutatók Középértékek A leíró statisztikák talán leggyakrabban használt csoportját a középértékek jelentik. Legkönnyebben mint az adathalmaz

Részletesebben

MÉRÉSI EREDMÉNYEK PONTOSSÁGA, A HIBASZÁMÍTÁS ELEMEI

MÉRÉSI EREDMÉNYEK PONTOSSÁGA, A HIBASZÁMÍTÁS ELEMEI MÉRÉSI EREDMÉYEK POTOSSÁGA, A HIBASZÁMÍTÁS ELEMEI. A mérési eredmény megadása A mérés során kapott értékek eltérnek a mérendő fizikai mennyiség valódi értékétől. Alapvetően kétféle mérési hibát különböztetünk

Részletesebben

QualcoDuna jártassági vizsgálatok - A 2014. évi program rövid ismertetése

QualcoDuna jártassági vizsgálatok - A 2014. évi program rövid ismertetése QualcoDuna jártassági vizsgálatok - A 2014. évi program rövid ismertetése Szegény Zsigmond WESSLING Közhasznú Nonprofit Kft., Jártassági Vizsgálati Osztály szegeny.zsigmond@qualcoduna.hu 2014.01.21. 2013.

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Variancia-analízis (folytatás)

Variancia-analízis (folytatás) Variancia-analízis (folytatás) 7. elıadás (13-14. lecke) Egytényezıs VA blokk-képzés nélkül és blokk-képzéssel 13. lecke Egytényezıs variancia-analízis blokkképzés nélkül Az átlagok páronkénti összehasonlítása(1)

Részletesebben

Statisztika 3. Dr Gősi Zsuzsanna Egyetemi adjunktus Koncentráció mérése Koncentráció általában a jelenségek tömörülését, összpontosulását értjük. Koncentráció meglétéről gyorsan tájékozódhatunk, ha sokaságot

Részletesebben

Kutatásmódszertan és prezentációkészítés

Kutatásmódszertan és prezentációkészítés Kutatásmódszertan és prezentációkészítés 10. rész: Az adatelemzés alapjai Szerző: Kmetty Zoltán Lektor: Fokasz Nikosz Tizedik rész Az adatelemzés alapjai Tartalomjegyzék Bevezetés Leíró statisztikák I

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I. Számelmélet I. DEFINÍCIÓ: (Osztó, többszörös) Ha egy a szám felírható egy b szám és egy másik egész szám szorzataként, akkor a b számot az a osztójának, az a számot a b többszörösének nevezzük. Megjegyzés:

Részletesebben

Korreláció és Regresszió

Korreláció és Regresszió Korreláció és Regresszió 9. elıadás (17-18. lecke) Korrelációs együtthatók 17. lecke Áttekintés (korreláció és regresszió) A Pearson-féle korrelációs együttható Korreláció és Regresszió (témakörök) Kapcsolat

Részletesebben

Al-Mg-Si háromalkotós egyensúlyi fázisdiagram közelítő számítása

Al-Mg-Si háromalkotós egyensúlyi fázisdiagram közelítő számítása l--si háromalkotós egyensúlyi fázisdiagram közelítő számítása evezetés Farkas János 1, Dr. Roósz ndrás 1 doktorandusz, tanszékvezető egyetemi tanár Miskolci Egyetem nyag- és Kohómérnöki Kar Fémtani Tanszék

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 061 ÉRETTSÉGI VIZSGA 006. május 9. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások: A dolgozatot

Részletesebben

SULINOVA PROGRAMTANTERVÉHEZ ILLESZKEDŐ TANMENET 9. ÉVFOLYAM SZÁMÁRA

SULINOVA PROGRAMTANTERVÉHEZ ILLESZKEDŐ TANMENET 9. ÉVFOLYAM SZÁMÁRA 1 SULINOVA PROGRAMTANTERVÉHEZ ILLESZKEDŐ TANMENET 9. ÉVFOLYAM SZÁMÁRA Heti óraszám: 3 Éves óraszám: 37 x 3 = 111 A tanmenet 101 óra beosztását tartalmazza. A dolgozatok írása és javítása 10 órát foglal

Részletesebben

VÁLLALATGAZDASÁGTAN II. Döntési Alapfogalmak

VÁLLALATGAZDASÁGTAN II. Döntési Alapfogalmak Vállalkozási VÁLLALATGAZDASÁGTAN II. Tantárgyfelelős: Prof. Dr. Illés B. Csaba Előadó: Dr. Gyenge Balázs Az ökonómiai döntés fogalma Vállalat Környezet Döntések sorozata Jövő jövőre vonatkozik törekszik

Részletesebben

Regresszió számítás. Tartalomjegyzék: GeoEasy V2.05+ Geodéziai Kommunikációs Program

Regresszió számítás. Tartalomjegyzék: GeoEasy V2.05+ Geodéziai Kommunikációs Program Regresszió számítás GeoEasy V2.05+ Geodéziai Kommunikációs Program DigiKom Kft. 2006-2010 Tartalomjegyzék: Egyenes x változik Egyenes y változik Egyenes y és x változik Kör Sík z változik Sík y, x és z

Részletesebben

Készítette: Fegyverneki Sándor

Készítette: Fegyverneki Sándor VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS Összefoglaló segédlet Készítette: Fegyverneki Sándor Miskolci Egyetem, 2001. i JELÖLÉSEK: N a természetes számok halmaza (pozitív egészek) R a valós számok halmaza R 2 {(x, y) x, y

Részletesebben

Diszkrét matematika II., 5. előadás. Lineáris egyenletrendszerek

Diszkrét matematika II., 5. előadás. Lineáris egyenletrendszerek 1 Diszkrét matematika II, 5 előadás Lineáris egyenletrendszerek Dr Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@infnymehu http://infnymehu/ takach/ 2007 március 8 Egyenletrendszerek Középiskolás módszerek:

Részletesebben

Q1 = 1575 eft Me = 2027,7778 eft Q3 = 2526,3158 eft

Q1 = 1575 eft Me = 2027,7778 eft Q3 = 2526,3158 eft Gyak1: b) Mo = 1857,143 eft A kocsma tipikus (leggyakoribb) havi bevétele 1.857.143 Ft. c) Q1 = 1575 eft Me = 2027,7778 eft Q3 = 2526,3158 eft Gyak2: b) X átlag = 35 Mo = 33,33 σ = 11,2909 A = 0,16 Az

Részletesebben

Kabos: Statisztika II. ROC elemzések 10.1. Szenzitivitás és specificitás a jelfeldolgozás. és ilyenkor riaszt. Máskor nem.

Kabos: Statisztika II. ROC elemzések 10.1. Szenzitivitás és specificitás a jelfeldolgozás. és ilyenkor riaszt. Máskor nem. Kabos: Statisztika II. ROC elemzések 10.1 ROC elemzések Szenzitivitás és specificitás a jelfeldolgozás szóhasználatával A riasztóberendezés érzékeli, ha támadás jön, és ilyenkor riaszt. Máskor nem. TruePositiveAlarm:

Részletesebben

1. előadás. Lineáris algebra numerikus módszerei. Hibaszámítás Számábrázolás Kerekítés, levágás Klasszikus hibaanalízis Abszolút hiba Relatív hiba

1. előadás. Lineáris algebra numerikus módszerei. Hibaszámítás Számábrázolás Kerekítés, levágás Klasszikus hibaanalízis Abszolút hiba Relatív hiba Hibaforrások Hiba A feladatok megoldása során különféle hibaforrásokkal találkozunk: Modellhiba, amikor a valóságnak egy közelítését használjuk a feladat matematikai alakjának felírásához. (Pl. egy fizikai

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 0801 ÉRETTSÉGI VIZSGA 2008. május 6. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 080 ÉRETTSÉGI VIZSGA 009. május 5. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

STATISZTIKA. András hármas. Éva ötös. Nóri négyes. 5 4,5 4 3,5 3 2,5 2 1,5 ANNA BÉLA CILI 0,5 MAGY. MAT. TÖRT. KÉM.

STATISZTIKA. András hármas. Éva ötös. Nóri négyes. 5 4,5 4 3,5 3 2,5 2 1,5 ANNA BÉLA CILI 0,5 MAGY. MAT. TÖRT. KÉM. STATISZTIKA 5 4,5 4 3,5 3 2,5 2 1,5 1 0,5 0 MAGY. MAT. TÖRT. KÉM. ANNA BÉLA CILI András hármas. Béla Az átlag 3,5! kettes. Éva ötös. Nóri négyes. 1 mérés: dolgokhoz valamely szabály alapján szám rendelése

Részletesebben

Mechanika Kinematika. - Kinematikára: a testek mozgását tanulmányozza anélkül, hogy figyelembe venné a kiváltó

Mechanika Kinematika. - Kinematikára: a testek mozgását tanulmányozza anélkül, hogy figyelembe venné a kiváltó Mechanika Kinematika A mechanika a fizika része mely a testek mozgásával és egyensúlyával foglalkozik. A klasszikus mechanika, mely a fénysebességnél sokkal kisebb sebességű testekre vonatkozik, feloszlik:

Részletesebben

Posztanalitikai folyamatok az orvosi laboratóriumban, az eredményközlés felelőssége

Posztanalitikai folyamatok az orvosi laboratóriumban, az eredményközlés felelőssége Posztanalitikai folyamatok az orvosi laboratóriumban, az eredményközlés felelőssége Autovalidálási folyamatok Lókiné Farkas Katalin Az autovalidálás elméleti alapjai Az előző eredménnyel való összehasonlítás

Részletesebben

Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit!

Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! 1. 2. 3. 4. Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg a kivonásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg a szorzásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg az osztásban szereplő számok

Részletesebben

Statisztika I. 4. előadás Mintavétel. Kóczy Á. László KGK-VMI. Minta Mintavétel Feladatok. http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1.

Statisztika I. 4. előadás Mintavétel. Kóczy Á. László KGK-VMI. Minta Mintavétel Feladatok. http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1. Statisztika I. 4. előadás Mintavétel http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1.htm Kóczy Á. László KGK-VMI koczy.laszlo@kgk.uni-obuda.hu Sokaság és minta Alap- és mintasokaság A mintasokaság az a részsokaság,

Részletesebben

MATEMATIKA C 12. évfolyam 4. modul Még egyszer!

MATEMATIKA C 12. évfolyam 4. modul Még egyszer! MATEMATIKA C 1. évfolyam 4. modul Még egyszer! Készítette: Kovács Károlyné Matematika C 1. évfolyam 4. modul: Még eygszer! Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási pontok

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 2 II. A valószínűségi VÁLTOZÓ És JELLEMZÉsE 1. Valószínűségi VÁLTOZÓ Definíció: Az leképezést valószínűségi változónak nevezzük, ha

Részletesebben

Kontrol kártyák használata a laboratóriumi gyakorlatban

Kontrol kártyák használata a laboratóriumi gyakorlatban Kontrol kártyák használata a laboratóriumi gyakorlatban Rikker Tamás tudományos igazgató WESSLING Közhasznú Nonprofit Kft. 2013. január 17. Kis történelem 1920-as években, a Bell Laboratórium telefonjainak

Részletesebben

Statisztika I. 4. előadás Mintavétel. Kóczy Á. László KGK-VMI. Minta Mintavétel Feladatok. http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1.

Statisztika I. 4. előadás Mintavétel. Kóczy Á. László KGK-VMI. Minta Mintavétel Feladatok. http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1. Statisztika I. 4. előadás Mintavétel http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1.htm Kóczy Á. László KGK-VMI koczy.laszlo@kgk.uni-obuda.hu Sokaság és minta Alap- és mintasokaság A mintasokaság az a részsokaság,

Részletesebben

karakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja

karakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja Mátrixok hasonlósága, karakterisztikus mátrix, karakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja 1.Mátrixok hasonlósága, karakterisztikus mátrix, karakterisztikus

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2008. május 06. KÖZÉPSZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2008. május 06. KÖZÉPSZINT I. 1) Adja meg a Például: 1 ; 8 8 M 1 ; 10 5 MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 008. május 06. KÖZÉPSZINT I. nyílt intervallum két különböző elemét! ( pont) ( pont) ) Egy 7-tagú társaságban mindenki mindenkivel egyszer

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA. 9. Nyelvi előkészítő osztály

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA. 9. Nyelvi előkészítő osztály MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI ELJÁRÁS MELLÉKLET Tanmenetborító Azonosító: ME-III.1./1 Változatszám: 2 Érvényesség 2013. 01. 01. kezdete: Oldal/összes: 1/6 Fájlnév: ME- III.1.1.Tanmenetborító SZK- DC-2013 MATEMATIKA

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2006. február 21. KÖZÉPSZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2006. február 21. KÖZÉPSZINT I. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 006. február 1. KÖZÉPSZINT I. 1) Mennyi annak a mértani sorozatnak a hányadosa, amelynek harmadik tagja 5, hatodik tagja pedig 40? ( pont) 3 1 5 a a q 5 6 1 40 a a q Innen q Összesen:

Részletesebben

Hőtan I. főtétele tesztek

Hőtan I. főtétele tesztek Hőtan I. főtétele tesztek. álassza ki a hamis állítást! a) A termodinamika I. főtétele a belső energia változása, a hőmennyiség és a munka között állaít meg összefüggést. b) A termodinamika I. főtétele

Részletesebben

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Valószínőségi eloszlások Binomiális eloszlás

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Valószínőségi eloszlások Binomiális eloszlás Matematikai alapok és valószínőségszámítás Valószínőségi eloszlások Binomiális eloszlás Bevezetés A tudományos életben megfigyeléseket teszünk, kísérleteket végzünk. Ezek többféle különbözı eredményre

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 0711 ÉRETTSÉGI VIZSGA 007. május 8. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűségszámítás,

Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűségszámítás, // KURZUS: Matematika II. MODUL: Valószínűség-számítás 17. lecke: Kombinatorika (vegyes feladatok) Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűségszámítás, 3.1.

Részletesebben

Bevezető Adatok rendezése Adatok jellemzése Időbeli elemzés. Gazdaságstatisztika KGK VMI

Bevezető Adatok rendezése Adatok jellemzése Időbeli elemzés. Gazdaságstatisztika KGK VMI Gazdaságstatisztika 2. előadás Egy ismérv szerinti rendezés Kóczy Á. László KGK VMI Áttekintés Gyakorisági sorok Grafikus ábrázolásuk Helyzetmutatók Szóródási mutatók Az aszimmetria mérőszámai Koncentráció

Részletesebben

Hanthy László Tel.: 06 20 9420052

Hanthy László Tel.: 06 20 9420052 Hanthy László Tel.: 06 20 9420052 Néhány probléma a gyártási folyamatok statisztikai szabályzásával kapcsolatban Miben kellene segíteni az SPC alkalmazóit? Hanthy László T: 06(20)9420052 Megválaszolandó

Részletesebben

Intelligens Rendszerek Gyakorlata. Neurális hálózatok I.

Intelligens Rendszerek Gyakorlata. Neurális hálózatok I. : Intelligens Rendszerek Gyakorlata Neurális hálózatok I. dr. Kutor László http://mobil.nik.bmf.hu/tantargyak/ir2.html IRG 3/1 Trend osztályozás Pnndemo.exe IRG 3/2 Hangulat azonosítás Happy.exe IRG 3/3

Részletesebben

Rácsvonalak parancsot. Válasszuk az Elsődleges függőleges rácsvonalak parancs Segédrácsok parancsát!

Rácsvonalak parancsot. Válasszuk az Elsődleges függőleges rácsvonalak parancs Segédrácsok parancsát! Konduktometriás titrálás kiértékelése Excel program segítségével (Office 2007) Alapszint 1. A mérési adatokat írjuk be a táblázat egymás melletti oszlopaiba. Az első oszlopba kerül a fogyás, a másodikba

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET 9.B OSZTÁLY FIZIKA TAGOZAT HETI 6 ÓRA, ÖSSZESEN 216 ÓRA

MATEMATIKA TANMENET 9.B OSZTÁLY FIZIKA TAGOZAT HETI 6 ÓRA, ÖSSZESEN 216 ÓRA MATEMATIKA TANMENET 9.B OSZTÁLY FIZIKA TAGOZAT HETI 6 ÓRA, ÖSSZESEN 216 ÓRA A TÁMOP 3.1.4. EU-s pályázat megvalósításához a matematika (9. b/fizika) tárgy tanmenete a matematika kompetenciaterület A típusú

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2011. május 3. KÖZÉPSZINT

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2011. május 3. KÖZÉPSZINT MATMATIKA ÉRTTSÉGI 011. május 3. KÖZÉPSZINT 1) gyszerűsítse a következő törtet, ahol b 6 b b 36 6 I. Az egyszerűsítés utáni alak: b 6 Összesen: pont ) A, 4 és 5 számjegyek mindegyikének felhasználásával

Részletesebben

A III. forduló megoldásai

A III. forduló megoldásai A III. forduló megoldásai 1. Egy dobozban pénzérmék és golyók vannak, amelyek vagy ezüstből, vagy aranyból készültek. A dobozban lévő tárgyak 20%-a golyó, a pénzérmék 40%-a ezüst. A dobozban levő tárgyak

Részletesebben

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság.

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság. 2. Közönséges differenciálegyenlet megoldása, megoldhatósága Definíció: Az y függvényt a valós számok H halmazán a közönséges differenciálegyenlet megoldásának nevezzük, ha az y = y(x) helyettesítést elvégezve

Részletesebben

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie.

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA

KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA ÉRETTSÉGI VIZSGA 2011. május 3. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2011. május 3. 8:00 I. Időtartam: 45 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Matematika középszint

Részletesebben

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS Matematika PRÉ megoldókulcs 0. január. MTEMTIK PRÓBÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS = KÖZÉP SZINT = I. rész: z alábbi feladat megoldása kötelező volt! ) Oldd meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán! tg

Részletesebben

SZILÁRD FÁZISÚ EXTRAKCIÓ MINDIG UGYANÚGY

SZILÁRD FÁZISÚ EXTRAKCIÓ MINDIG UGYANÚGY SZILÁRD FÁZISÚ EXTRAKCIÓ MINDIG UGYANÚGY Szakács Tibor, Szepesi Ildikó ABL&E-JASCO Magyarország Kft. 1116 Budapest, Fehérvári út 130. ablehun@ablelab.com www.ablelab.com SZILÁRD FÁZISÚ EXTRAKCIÓ SOLID

Részletesebben

LINEÁRIS PROGRAMOZÁSI FELADATOK MEGOLDÁSA SZIMPLEX MÓDSZERREL

LINEÁRIS PROGRAMOZÁSI FELADATOK MEGOLDÁSA SZIMPLEX MÓDSZERREL LINEÁRIS PROGRAMOZÁSI FELADATOK MEGOLDÁSA SZIMPLEX MÓDSZERREL x 1-2x 2 6 -x 1-3x 3 = -7 x 1 - x 2-3x 3-2 3x 1-2x 2-2x 3 4 4x 1-2x 2 + x 3 max Alapfogalmak: feltételrendszer (narancs színnel jelölve), célfüggvény

Részletesebben

Miért betegebbek a szegény gyerekek?

Miért betegebbek a szegény gyerekek? KÖNYVEKRÕL, FOLYÓIRATOKRÓL MURAKÖZY BALÁZS Miért betegebbek a szegény gyerekek? Anne Case, Darren Lubotsky és Christina Paxson: Economic status and health in childhood: the origins of the gradient. American

Részletesebben

Dinamikus modellek felállítása mérnöki alapelvek segítségével

Dinamikus modellek felállítása mérnöki alapelvek segítségével IgyR - 3/1 p. 1/20 Integrált Gyártórendszerek - MSc Dinamikus modellek felállítása mérnöki alapelvek segítségével Hangos Katalin PE Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék IgyR - 3/1 p. 2/20

Részletesebben

Ragasztócsík ellenőrző kamerás rendszer

Ragasztócsík ellenőrző kamerás rendszer Ragasztócsík ellenőrző kamerás rendszer / Esettanulmány egy új fejlesztésű, flexibilis, felhasználóbarát betanítási rendszerről./ A papírdobozok gyártása során elengedhetetlen, hogy a ragasztás jó minőségű

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (Derivált)

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (Derivált) Valós függvények (3) (Derivált) . Legyen a belső pontja D f -nek. Ha létezik és véges a f(x) f(a) x a x a = f (a) () határérték, akkor f differenciálható a-ban. Az f (a) szám az f a-beli differenciálhányadosa.

Részletesebben

A kanonikus sokaság. :a hőtartály energiája

A kanonikus sokaság. :a hőtartály energiája A kanonikus sokaság A mikrokanonikus sokaság esetén megtanultuk, hogy a megengedett mikroállapotok egyenértéküek, és a mikróállapotok száma minimális. A mikrókanónikus sokaság azonban nem a leghasznosabb

Részletesebben

Matematika tanmenet 12. osztály (heti 4 óra)

Matematika tanmenet 12. osztály (heti 4 óra) Matematika tanmenet 12. osztály (heti 4 óra) Tankönyv: Ábrahám Gábor Dr. Kosztolányiné Nagy Erzsébet Tóth Julianna: Matematika 12. középszint Példatárak: Fuksz Éva Riener Ferenc: Érettségi feladatgyűjtemény

Részletesebben

Gáztörvények tesztek. 2. Azonos fajtájú ideális gáz különböző mennyiségei töltenek ki két hőszigetelt tartályt. Az egyik

Gáztörvények tesztek. 2. Azonos fajtájú ideális gáz különböző mennyiségei töltenek ki két hőszigetelt tartályt. Az egyik Gáztörvények tesztek. Azonos fajtájú ideális gáz különböző mennyiségei töltenek ki két hőszigetelt tartályt. Az egyik gázmennyiség jellemzői,,, a másiké,,. A két tartályt összenyitjuk. Melyik állítás igaz?

Részletesebben

A nád (Phragmites australis) vizsgálata enzimes bonthatóság és bioetanol termelés szempontjából. Dr. Kálmán Gergely

A nád (Phragmites australis) vizsgálata enzimes bonthatóság és bioetanol termelés szempontjából. Dr. Kálmán Gergely A nád (Phragmites australis) vizsgálata enzimes bonthatóság és bioetanol termelés szempontjából Dr. Kálmán Gergely Bevezetés Az úgynevezett második generációs (lignocellulózokból előállított) bioetanol

Részletesebben

Matematika kisérettségi I. rész 45 perc NÉV:...

Matematika kisérettségi I. rész 45 perc NÉV:... Matematika kisérettségi I. rész 45 perc NÉV:... 1. Az A halmaz elemei a háromnál nagyobb egyjegyű számok, a B halmaz elemei pedig a húsznál kisebb pozitív páratlan számok. Sorolja fel az halmaz elemeit!

Részletesebben

Hő- és füstelvezetés, elmélet-gyakorlat

Hő- és füstelvezetés, elmélet-gyakorlat Hő- és füstelvezetés, elmélet-gyakorlat Mérnöki módszerek alkalmazásának lehetőségei Szikra Csaba tudományos munkatárs BME Építészmérnöki Kar Épületenergetikai és Épületgépészeti Tanszék szikra@egt.bme.hu

Részletesebben

1. Feladat: beolvas két számot úgy, hogy a-ba kerüljön a nagyobb

1. Feladat: beolvas két számot úgy, hogy a-ba kerüljön a nagyobb 1. Feladat: beolvas két számot úgy, hogy a-ba kerüljön a nagyobb #include main() { int a, b; printf( "a=" ); scanf( "%d", &a ); printf( "b=" ); scanf( "%d", &b ); if( a< b ) { inttmp = a; a =

Részletesebben

FIZIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

FIZIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Fizika közészint ÉRETTSÉGI VIZSGA 0. május 7. FIZIKA KÖZÉPSZITŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMZETI ERŐFORRÁS MIISZTÉRIUM A dolgozatokat az útmutató utasításai szerint, jól köethetően

Részletesebben

Dr`avni izpitni center MATEMATIKA

Dr`avni izpitni center MATEMATIKA Dr`avni izpitni center *P05C10113M* ŐSZI IDŐSZAK MATEMATIKA ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ 005. augusztus 9., hétfő SZAKMAI ÉRETTSÉGI VIZSGA RIC 005 P05-C101-1-3M ÚTMUTATÓ a szakmai írásbeli érettségi vizsga feladatainak

Részletesebben

II. rész: a rendszer felülvizsgálati stratégia kidolgozását támogató funkciói. Tóth László, Lenkeyné Biró Gyöngyvér, Kuczogi László

II. rész: a rendszer felülvizsgálati stratégia kidolgozását támogató funkciói. Tóth László, Lenkeyné Biró Gyöngyvér, Kuczogi László A kockázat alapú felülvizsgálati és karbantartási stratégia alkalmazása a MOL Rt.-nél megvalósuló Statikus Készülékek Állapot-felügyeleti Rendszerének kialakításában II. rész: a rendszer felülvizsgálati

Részletesebben

Biomatematika 8. Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar. Fodor János

Biomatematika 8. Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar. Fodor János Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar Biomatematikai és Számítástechnikai Tanszék Biomatematika 8. Valószínűség-számítás II. Fodor János Copyright c Fodor.Janos@aotk.szie.hu Last Revision Date:

Részletesebben

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 0511 ÉRETTSÉGI VIZSGA 005. május 10. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÉRETTSÉGI VIZSGA Az írásbeli vizsga időtartama: 180 perc JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 131 ÉRETTSÉGI VIZSGA 013. október 15. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

1. A komplex számok definíciója

1. A komplex számok definíciója 1. A komplex számok definíciója A számkör bővítése Tétel Nincs olyan n természetes szám, melyre n + 3 = 1. Bizonyítás Ha n természetes szám, akkor n+3 3. Ezért bevezettük a negatív számokat, közöttük van

Részletesebben

www.menet-szerszam.hu MENETFÚRÓ HASZNOS TÁBLÁZATOK (SEBESSÉG, ELŐFÚRÓ, STB.)

www.menet-szerszam.hu MENETFÚRÓ HASZNOS TÁBLÁZATOK (SEBESSÉG, ELŐFÚRÓ, STB.) Sebesség, előtolás, és kenés MENETFÚRÓ HASZNOS TÁBLÁZATOK (SEBESSÉG, ELŐFÚRÓ, STB.) A menetfúrás sebessége számos tényezőn alapul: a) A menetemelkedés b) Megmunkált anyag c) Furat mélység d) Furat típusa:

Részletesebben

Határozatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Határozatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Határozatlan integrál () First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Az összetett függvények integrálására szolgáló egyik módszer a helyettesítéssel való integrálás. Az idevonatkozó tétel pontos

Részletesebben

Logaritmikus erősítő tanulmányozása

Logaritmikus erősítő tanulmányozása 13. fejezet A műveleti erősítők Logaritmikus erősítő tanulmányozása A műveleti erősítő olyan elektronikus áramkör, amely a két bemenete közötti potenciálkülönbséget igen nagy mértékben fölerősíti. A műveleti

Részletesebben

Matematika. 9.osztály: Ajánlott tankönyv és feladatgyűjtemény: Matematika I-II. kötet (Apáczai Kiadó; AP-090803 és AP-090804)

Matematika. 9.osztály: Ajánlott tankönyv és feladatgyűjtemény: Matematika I-II. kötet (Apáczai Kiadó; AP-090803 és AP-090804) Matematika A definíciókat és tételeket (bizonyítás nélkül) ki kell mondani, a tananyagrészekhez tartozó alap- és közepes nehézségű feladatokat kell tudni megoldani A javítóvizsga 60 -es írásbeliből áll.

Részletesebben

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Fizika középszint 0622 ÉRETTSÉGI VIZSGA 2007. november 7. FIZIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM A dolgozatokat az útmutató utasításai

Részletesebben

Döntéselőkészítés. I. előadás. Döntéselőkészítés. Előadó: Dr. Égertné dr. Molnár Éva. Informatika Tanszék A 602 szoba

Döntéselőkészítés. I. előadás. Döntéselőkészítés. Előadó: Dr. Égertné dr. Molnár Éva. Informatika Tanszék A 602 szoba I. előadás Előadó: Dr. Égertné dr. Molnár Éva Informatika Tanszék A 602 szoba Tárggyal kapcsolatos anyagok megtalálhatók: http://www.sze.hu/~egertne Konzultációs idő: (páros tan. hét) csütörtök 10-11 30

Részletesebben

Az együttfutásról általában, és konkrétan 2.

Az együttfutásról általában, és konkrétan 2. Az együttfutásról általában, és konkrétan 2. Az első részben áttekintettük azt, hogy milyen számítási eljárás szükséges ahhoz, hogy egy szuperheterodin készülék rezgőköreit optimálisan tudjuk megméretezni.

Részletesebben

A) 1. Számsorozatok, számsorozat torlódási pontja, határértéke. Konvergencia kritériumok.

A) 1. Számsorozatok, számsorozat torlódási pontja, határértéke. Konvergencia kritériumok. ZÁRÓVIZSGA TÉMAKÖRÖK egyetemi szintű közgazdasági programozó matematikus szakon A) 1. Számsorozatok, számsorozat torlódási pontja, határértéke. Konvergencia kritériumok. 2. Függvények, függvények folytonossága.

Részletesebben

Matematika kisérettségi

Matematika kisérettségi Matematika kisérettségi 2010. május 11. I. rész Fontos tudnivalók 1. A feladatok megoldására 30 percet fordíthat, az idő elteltével a munkát be kell fejeznie. 2. A megoldások sorrendje tetszőleges. 3.

Részletesebben

LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK MEGOLDÁSA BÁZISTRANSZFORMÁCIÓVAL. 1. Paramétert nem tartalmazó eset

LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK MEGOLDÁSA BÁZISTRANSZFORMÁCIÓVAL. 1. Paramétert nem tartalmazó eset LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK MEGOLDÁSA BÁZISTRANSZFORMÁCIÓVAL 1.Példa: Oldjuk meg a következő lineáris egyenletrendszert: 1. Paramétert nem tartalmazó eset x 1 + 3x 2-2x 3 = 2-2x 1-5x 2 + 4x 3 = 0 3x 1

Részletesebben

Korreláció és Regresszió (folytatás) Logisztikus telítıdési függvény Több független változós regressziós függvények

Korreláció és Regresszió (folytatás) Logisztikus telítıdési függvény Több független változós regressziós függvények Korreláció és Regresszió (folytatás) 12. elıadás (23-24. lecke) Logisztikus telítıdési függvény Több független változós regressziós függvények 23. lecke A logisztikus telítıdési függvény Több független

Részletesebben

Közönséges differenciálegyenletek megoldása Mapleben

Közönséges differenciálegyenletek megoldása Mapleben Közönséges differenciálegyenletek megoldása Mapleben Differenciálegyenlet alatt egy olyan egyenletet értünk, amelyben a meghatározandó ismeretlen egy függvény, és az egyenlet tartalmazza az ismeretlen

Részletesebben

A mérnöki módszerek alkalmazásának lehetőségei a hő- és füstelvezetésben

A mérnöki módszerek alkalmazásának lehetőségei a hő- és füstelvezetésben A mérnöki módszerek alkalmazásának lehetőségei a hő- és füstelvezetésben Szikra Csaba tudományos munkatárs BME Építészmérnöki Kar Épületenergetikai és Épületgépészeti Tanszék szikra@egt.bme.hu, 2013. Zárt

Részletesebben

Microsoft Excel 2010. Gyakoriság

Microsoft Excel 2010. Gyakoriság Microsoft Excel 2010 Gyakoriság Osztályközös gyakorisági tábla Nagy számú mérési adatokat csoportokba (osztályokba) rendezése -> könnyebb áttekintés Osztályokban szereplő adatok száma: osztályokhoz tartozó

Részletesebben

Ellenőrző kérdések. 36. Ha t szintű indexet használunk, mennyi a keresési költség blokkműveletek számában mérve? (1 pont) log 2 (B(I (t) )) + t

Ellenőrző kérdések. 36. Ha t szintű indexet használunk, mennyi a keresési költség blokkműveletek számában mérve? (1 pont) log 2 (B(I (t) )) + t Ellenőrző kérdések 2. Kis dolgozat kérdései 36. Ha t szintű indexet használunk, mennyi a keresési költség blokkműveletek számában mérve? (1 pont) log 2 (B(I (t) )) + t 37. Ha t szintű indexet használunk,

Részletesebben

Bevezetés. 1. előadás, 2015. február 11. Módszerek. Tematika

Bevezetés. 1. előadás, 2015. február 11. Módszerek. Tematika Bevezetés 1. előadás, 2015. február 11. Zempléni András Valószínűségelméleti és Statisztika Tanszék Természettudományi Kar Eötvös Loránd Tudományegyetem Áringadozások előadás Heti 2 óra előadás + 2 óra

Részletesebben

Programozási tételek. Dr. Iványi Péter

Programozási tételek. Dr. Iványi Péter Programozási tételek Dr. Iványi Péter 1 Programozási tételek A programozási tételek olyan általános algoritmusok, melyekkel programozás során gyakran találkozunk. Az algoritmusok általában számsorozatokkal,

Részletesebben

Darabárus raktárak készletezési folyamatainak vizsgálata szimulációs eljárás segítségével

Darabárus raktárak készletezési folyamatainak vizsgálata szimulációs eljárás segítségével Bóna Krisztián: Darabárus raktárak készletezési folyamatainak vizsgálata szimulációs eljárás segítségével 1. Bevezető Napjaink kedvelt módszerei közé tartoznak a számítógépes operációkutatási módszerek,

Részletesebben

Az Excel táblázatkezelő program használata a matematika és a statisztika tantárgyak oktatásában

Az Excel táblázatkezelő program használata a matematika és a statisztika tantárgyak oktatásában Az Excel táblázatkezelő program használata a matematika és a statisztika tantárgyak oktatásában Hódiné Szél Margit SZTE MGK 1 A XXI. században az informatika rohamos terjedése miatt elengedhetetlen, hogy

Részletesebben

A készítmény leírása

A készítmény leírása A készítmény leírása Bevezetõ A sablon a postforming lapok eredményes összekapcsolására szolgál. Az áttetsző műanyag szerkezete, az egyes elemek egyértelmű leírása a sablonba vésve, több összefüggő ütköző,

Részletesebben

VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS. MSc. Órai Feladatok

VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS. MSc. Órai Feladatok VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS MSc Órai Feladatok 1. Feladat (Diszkrét eloszlás) Ketten kosárlabdáznak. Az A játékos 0,4 a B játékos 0,3 valószínűséggel dob kosarat. A dobást A kezdi és felváltva dobnak egymás után.

Részletesebben

Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Tekintsünk a térben egy P (p 1, p 2, p 3 ) pontot és egy v = (v 1, v 2, v 3 ) = 0 vektort. Ekkor pontosan egy egyenes létezik,

Részletesebben

Támogatás / Excel / Excel 2010 súgó és útmutató / Diagramok / Diagramok formázása Hibasáv felvétele, módosítása és eltávolítása diagramban

Támogatás / Excel / Excel 2010 súgó és útmutató / Diagramok / Diagramok formázása Hibasáv felvétele, módosítása és eltávolítása diagramban Page 1 of 6 Támogatás / Excel / Excel 2010 súgó és útmutató / Diagramok / Diagramok formázása Hibasáv felvétele, módosítása és eltávolítása diagramban Hatókör: Microsoft Excel 2010, Outlook 2010, PowerPoint

Részletesebben