Bevezetés a kísérletmódszertanba. Johanyák Zsolt Csaba

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Bevezetés a kísérletmódszertanba. Johanyák Zsolt Csaba"

Átírás

1 evezetés a kísérletmódszertanba Johanyák Zsolt Csaba 00

2 Johanyák Zsolt Csaba: evezetés a kísérletmódszertanba artalomjegyzék. evezetés...4. kísérletmódszertan léései Hibatényezõk csökkentése Kísérlettervezés elõkészítése Faktor Faktorok osztályozása Példák a faktorok kiválasztására Szint Jelölésmód Otimalizációs araméter (minõségi jellemzõ) Hagyományos faktoriális kísérlettervezési módszerek Faktorszint váltás egyesével (one-by-one módszer) Egyfaktoros módszer Regresszió elemzés Csoortfaktoros kísérletterv Kiértékelés eljes faktoriális kísérletterv Kísérletek kiértékelése Egyszerû hatásvizsgálat Részleges faktoriális kísérletterv ráteleítés kockázata ervkészítés az identitás oszlo segítségével Shainin kísérletmódszertana Elsõdleges kiválasztás öbbváltozós kártyák lkatrész keresés Páros összehasonlítás Változók keresése /C elemzés aguchi kísérletmódszertana Veszteségfüggvény Számítások aguchi veszteség függvényével Kölcsönhatás nélküli homogén terv Kölcsönhatásokat tartalmazó homogén terv Szabadon maradó oszlook Vegyes kísérletek tervezése Szintnövelés Szintcsökkentés...39

3 . evezetés Szintnövelés és szintcsökkentés kombinált alkalmazása Robusztus tervezés Standard elemzés Hatásvizsgálat Variancia elemzés (NOV) Ismétléses kísérletek kiértékelése Standard elemzés Jel/zaj viszony elemzés Minõségi változóval jellemezhetõ gyártási folyamatok elemzése Válaszfelület módszerek Válaszfelület Léegetések elve Léegetések elvén alauló módszerek Matematikai modell Gradiens módszer modell felállítása gradiens módszer alkalmazása Szimlex módszer Kezdõ szimlex z új szimlex csúcsa szimlex módszer elõnyös tulajdonságai Példa a szimlex módszer alkalmazására...6 Irodalomjegyzék Mellékletek t -α értékek táblázata...67 F értékek táblázata 95%-os szintre...67 z F értékek táblázata 99%-os szintre...68 aguchi által javasolt kísérlettervek...68 Háromszög táblázatok...73 Háromszög táblázat kétszintes oszlookhoz...73 Háromszszög táblázat háromszintes oszlookhoz...74 Háromszög táblázat négyszintes oszlookhoz

4 Johanyák Zsolt Csaba: evezetés a kísérletmódszertanba. evezetés legtöbb technológiánál a sorozatgyártás beállítása bonyolult folyamat. gékezelõ a feladatot sokéves taasztalata és beállítási utasítások alaján hajtja végre, amihez támontot nyújthatnak a katalógusok és az átlagérték táblázatok. kezdeti beállításokkal róbadarabokat készítenek, méréseket végeznek, módosítgatják a beállításokat mindaddig, míg el nem érik a megkívánt eredményt. Ezt az eljárási módot róbálgatásos módszernek nevezik. lkalmazása különösen új feladatoknál kritikus, ugyanis ilyenkor nem áll rendelkezésre taasztalati ismeretanyag. Egy jól megtervezett módszer lényeges eleme a visszavezethetõség, ami különösen fontos az orvosi és gyógyszerészeti területeken. Ma már az iari gyakorlatban is jellemzõ, hogy a megrendelõk szállítóiktól nemcsak minõséget követelnek meg, hanem annak bizonyítását is, hogy ezen minõség állandóságát megfelelõ intézkedésekkel biztosítják. Így éldául a Ford a minõségauditok során ellenõrzi, hogy a szállítók alkalmazzák-e a kísérlettervezés módszereit a folyamatok beállítása során. géiaron kívül más iarágakban is megfigyelhetjük, hogy rendszerezett módszereket használnak a folyamatok vizsgálatára. Ennek oka a vizsgálat idõtartamában rejlik. Míg egy esztergagé beállításának megváltoztatása egy gyorsan ellenõrizhetõ eredményt ad, addig a mezõgazdaságban egy kísérlet több évre is kinyúlhat. Éen ezért ezeken a területeken kénytelenek a tervezésre helyezni a hangsúlyt. mai kísérlettervezés alajait Ronald Fischer statisztikai vizsgálatai teremtették meg. jelenleg elterjedt módszereket alavetõen három csoortba oszthatjuk (.. táblázat). faktoriális tervek lehetõvé teszik több faktor egyidejû vizsgálatát. kísérletek számának elfogadható keretek között tartása érdekében a megvizsgálni kívánt beállítások számát faktoronként legtöbbször kettõre szokták korlátozni. Ez elegendõ a faktorok jelentõségének kimutatásához, és sok esetben az otimális beállítási tartomány meghatározásához is. Logikus feléítésük és egyszerû kezelésük következtében ezek a tervek az iari gyakorlatban jól alkalmazhatóak. z utóbbi idõben egyre nészerûbbek az egyszerûsítõ módszerek, mint a aguchi és Shainin által leírt technikák, amelyek a faktoriális vizsgálatok családjába tartoznak. táblázatban szerelõ válaszfelület módszereket az összefüggések részletekbe menõ vizsgálatára és a jelleggörbe mezõk modellezésére használják. z elõre meghatározott és az iteratív kísérleti utasításokon alauló módszereket különböztetjük meg. z elõre meghatározott kísérleti utasítások lehetõvé teszik a jelleggörbe mezõk matematikai modelljének feléítését. Itt olyan magasabb szintû kísérleti terveket alkalmaznak, melyek bizonyos ráfordításokat feltételeznek. léegetéses módszerek olyan stratégiákat alkalmaznak, melyek lehetõvé teszik a folyamat léésenkénti otimalizálását. Ezen csoort legfontosabb kéviselõi az evolúciós (fejlõdésen alauló) módszerek, melyek megróbálják a természet viselkedését lekéezni az iari folyamatokra... táblázat statisztikai kísérlettervezés módszerei Faktoriális tervek Válaszfelület tervek Faktorszint váltás egyesével Gauss-Seidel Egyfaktoros Gradiens (ox-wilson) Csoortfaktoros Szimlex eljes faktoriális X k Sztochasztikus Részleges faktoriális X k- közelítések módszere Shainin aguchi Négyzetes tervek Latin négyzet Görög-Latin négyzet Hier Görög-Latin négyzet Youden négyzet Lattice négyzet 4

5 . evezetés négyzetes terveket, kettõnél több beállítási lehetõséggel rendelkezõ faktor (a folyamat valamely állítható aramétere) egyidejû vizsgálatára használják. faktorok száma korlátozott kell legyen a kezelhetõség érdekében. végrehajtott kísérletek variancia elemzése (változékonyság elemzése) tájékoztatást ad a faktorok szignifikanciájáról (jelentõségérõl). 5

6 Johanyák Zsolt Csaba: evezetés a kísérletmódszertanba. kísérletmódszertan léései statisztikailag tervezett vizsgálatok alkalmazásának léései az.. táblázatban szereelnek. lavetõ jelentõségû, hogy a lehetõ legtöbb szakmai tudás éüljön be a vizsgálatba a hibás tervezés és értelmezés megelõzése érdekében. Itt nagy segítséget jelenthet a korábbi folyamatmegfigyelésekbõl nyert ismeretanyag. vizsgálatot egy részlegközi csoort hajtja végre, amelyben a kísérlettervezés és a statisztika területének szakértõi mellett olyanok is részt vesznek, akik jól ismerik az adott folyamat technológiáját. Különös figyelmet kell fordítani arra, hogy a vizsgálat sikeressége nagymértékben függ a gékezelõk együttmûködésétõl. különbözõ részlegek dolgozói közti együttmûködés megleõ hatásokat eredményezhet. Gyakran már azáltal is javulás érhetõ el, hogy a tervezés szakemberei taasztalatot cserélnek a gyártás szakembereivel. Minél ügyesebben terveznek meg egy kísérletet, annál kisebb a végrehajtáshoz szükséges ráfordítás, és annál megbízhatóbb a kísérlet kiértékelésébõl.. táblázat kísérletmódszertan léései Elõkészítés faktorok meghatározása kiválasztás mértékegység mérési ontosság mérési mód faktor szintek otimalizációs araméter ervezés kölcsönhatások becslése kísérlettervezési technika kiválasztása kísérletterv elkészítése Végrehajtás Paraméterek beállítása Minõségi jellemzõ meghatározása Elemzés grafikus módszer statisztikai módszer otimális faktorszintek meghatározása vagy visszatérés az elõkészítéshez vagy a tervezéshez Igazoló kísérletek tervezés végrehajtás kiértékelés levont következtetés. Ennek következtében a tervezés bír a legnagyobb jelentõséggel. legtöbb ráfordítás a megvizsgálni kívánt faktorok összeállításához és kiválasztásához, valamint a kölcsönhatások becsléséhez szükséges. Ezek lényeges elõfeltételei a végrehajtási költségek csökkentésének... Hibatényezõk csökkentéserandomizálás ismétlés o egy beállítással o beállítások váltogatásával kísérleteket recízen kell végrehajtani. változó folyamataraméterek ontos beállítása mellett figyelmet kell szentelni a mértékegységek megállaítására és az elõállított termékek jelölésére is. Õrizkedni kell attól, hogy a kísérleti tervet odaadjuk a gékezelõnek, és az eredményekben vakon megbízzunk. Különöskéen nagyobb kísérleti terveknél könnyen hiba csúszhat a végrehajtásba. Emiatt a kísérleteket több szakértõ személy jelenlétében kell végrehajtani. Ha a gékezelõt magára hagyják, akkor õ önhatalmúlag eltérhet a tervtõl, és ezt nem dokumentálja. Egy ilyen vizsgálat eredményei semmitmondóak, sõt félrevezetõek lehetnek. 6

7 . kísérletmódszertan léései hibás értelmezés megelõzése érdekében elfogadhatósági szemontból a kísérletek eredményét ellenõriztetik technológiai szakértõkkel. kiértékelés során jó szolgálatot tehetnek a grafikus eljárások, mint l. a hatásdiagramok. kísérleti eredményeket feldolgozás után továbbítják a vezetés felé. Erre jó megoldást jelenthet az elért javítás olyan ábrázolása, mely kiemeli a régi és az új állaot közötti különbséget. mennyiben lehetséges, a javítást énzügyi egységben (l. költségek) fejezik ki. Hatásosan alkalmazható aguchi veszteségfüggvénye is. 7

8 Johanyák Zsolt Csaba: evezetés a kísérletmódszertanba 3. Kísérlettervezés elõkészítése 3.. Faktor faktor egy mérhetõ vagy minõsíthetõ változó mennyiség, amely adott idõontban meghatározott jellemzõkkel bír, és hatást gyakorol a folyamatot jellemzõ mennyiségre (otimalizációs araméter). Faktor figyelmen kívül hagyásának kockázata: Növekszik a kísérleti hiba Nem a valódi otimális beállítást találjuk meg Lényegtelen faktorok kiszûrése: rostáló módszerek (ha a faktorszám>5) Véletlen kiegyenlítés módszere Plackett-urman tervek Shainin technikák NOV Feladatok: Faktor megválasztása Mértékegység megválasztása Mérési ontosság megválasztása Mérési mód megválasztása Faktorokkal szembeni követelmények: közvetlenül az objektumra irányuljon a hatása (egyértelmû) függetlenség, l. termodinamikus rendszer, faktorok: nyomás, hõmérséklet, térfogat VnR összeegyeztethetõség (veszélytelenség) 3... Faktorok osztályozása Kezelhetõség szemontjából: Kézben tartható (irányítható): a faktor bármely értelmezési tartományon belüli értéke beállítható különösebb anyagi vagy mûszaki jellegû nehézség nélkül, és a kísérlet során állandó értéken tartható aktív kísérletek Nem kézben tartható (aguchi zajfaktor): a faktor értelmezési tartományon belüli bármely értékeinek beállítása gazdasági, mûszaki vagy más jellegû nehézségbe ütközik vagy megoldhatatlan asszív kísérletek Összetettség szemontjából: egyedi összetett, l. két komonens hányadosa Értékelés szemontjából: mennyiségi: idõ, hõmérséklet, tömeg, darabszám, reakcióidõ, koncentráció, adagolási sebesség, PH érték minõségi: anyagtíus, minõség, technológiai eljárás tíusa, készülék, dolgozó személye Értékkészlet szemontjából: folytonos: idõ, hõmérséklet diszkrét értékekkel rendelkezõ: darabszám 8

9 3. Kísérlettervezés elõkészítése 3... Példák a faktorok kiválasztására. utadién-sztirol-kaucsuk telítetlen savak sóival történõ vulkanizálása [dler 977] Faktorok: vulkanizálási hõmérséklet, vulkanizálási idõ, iniciátor mennyisége, vulkanizáló hatóanyag mennyisége, oxid mennyisége oxid tíusa (cink oxid, magnézium oxid), savmaradék tíusa (metakrilát, maleát), sókation tíusa (Na, Mg ).. z alumínium elektrolízises elõállítási folyamatának vizsgálata [dler 977]. Faktorok: az elektrolizáló kád feszültsége; az elektrolízis üzemeltetési szakaszai közötti idõ; C a magnézium-fluorid koncentrációja az elektrolitben; C a kalcium-fluorid koncentrációja az elektrolitben; D a kriolit hányados; E az elektrolit szintje a kádban; F a szénhabelvétel oerációi közötti idõ. 3. rezisztorgyártás otimalizálása [dler 977]. Faktorok: a sajtolás során felléõ nyomás; a sajtolás során felléõ hõmérséklet; C a nyomás alatt tartás ideje; D a muffolában levõ hõmérséklet a sajtolás során; E a hõntartás ideje; F a töltõanyag diszergáltsága; G az adalékanyag és töltõanyag aránya; H a samottozás során fennálló nyomás; I a korom diszergáltsága; J a samottozás ideje; K a talazat kerámiájának minõsége; L az adalékanyag diszergáltsága. 4. szulfátcellulóz fõzési folyamatának vizsgálata [dler 977]. Faktorok: az aktív lúg koncentrációja a fõzõoldatban (Na O egységekben); az oldat szulfittartalma; C a fõzés véghõmérséklete; D a hõmérsékletnövekedés idõtartama a véghõmérséklet eléréséig; E a fõzés idõtartama a véghõmérsékleten. 5. molibdénérc dúsítási folyamatának vizsgálata [dler 977]. Faktorok: az érc arítási ideje; a szükséges nátriumoleát mennyisége; C a szükséges alkáliszulfát mennyisége; D a szükséges szóda mennyisége; E a szükséges etróleum mennyisége. 6. cirkónium és hafnium sósavlodatból való extrakciós folyamatának otimalizálása [dler 977]. Faktorok: a fém koncentrációja; a sav koncentrációja; C az alkohol koncentrációja; D a fázisok térfogatainak aránya. 7. Gékocsi-iari beszállítónál csövet réselnek egy furatba, és ragasztóval megerõsítik. z illeszkedés vizsgálata a kiszakítási nyomaték mérésével [Kemény 999]. Faktorok: 9

10 Johanyák Zsolt Csaba: evezetés a kísérletmódszertanba a furat átmérõje; a ragasztó tíusa; C a ragasztó mennyisége. 8. Gékocsi-iari beszállítónál furatba réselnek egy tengelyt, a cél a kiszakítási nyomaték elõírt minimális értékének elérése [Kemény 999]. Faktorok: - ragasztó tíusa; - ragasztó tömege; C - tengely-tisztítás; D - ház-tisztítás; E - beréselési nyomás; F - állási idõ; G - ragasztó alkalmazási módja. 3.. Szint faktorok kiválasztását követõ léés a a szintek számának és értékeinek meghatározása. szintek azon faktorértékek, amiket kiróbálunk a kísérletek során. Elsõként tisztáznunk kell, hogy milyen értékhatárok között változtathatjuk a kísérletek során az egyes befolyásoló tényezõk értékeit. taasztalatok alaján a gyakorlatban használt értékek határozzák meg legtöbbször az intervallumot. költségek mértékét általában alacsony szinten szeretnénk tartani, ezért legtöbbször két értéket jelölünk meg feltételezve, hogy közöttük lineárisan viselkedik a folyamat. y otvalódi y y y otfeltételezett y x 3.. ábra Hibás szintválasztás kockázata mennyiben nem lehetünk biztosak a lineáris viselkedésben, három vagy több szint kijelölése szükséges, különben könnyen átléhetünk a számunkra fontos értékek felett (3.. ábra). Ha a folyamat robusztus tervezése a cél, semmiké ne válasszunk háromnál kevesebb szintet. kiróbálásra kerülõ értékeket úgy határozzuk meg, hogy az alkalmazásukkal elõállított termék jó legyen, azaz semmiké ne válasszunk olyan értéket, amelyrõl elõre tudjuk, hogy a vele elõállított termék biztosan nem felel meg (l. tûrésmezõn kívülre esik). Részesítsük elõnyben az olyan értékeket, amelyek közül egynél várhatóan nagyon jó, míg másoknál nem olyan jó lesz a termék. Kísérletezésre kutatási, folyamatvizsgálati célból is sor kerülhet, ilyenkor a fenti javaslatok nem érvényesek, sõt a szélsõséges faktorértékek betervezése kifejezetten kívánatos. Mindkét esetben fontos megkötés, hogy csak összeférhetõ szinteket válasszunk Jelölésmód x otvalódi valódi viselkedés feltételezett viselkedés x x x otfeltételezett elõjellel (kétszintes eset): l., - betûjellel (kétszintes eset): l. J, R (J-feltételezhetõen jó eredményhez vezetõ szint, R- feltételezhetõen gyengébb eredményhez vezetõ szint) betûjellel (háromszintes eset): l., K, F (-alsó szint, K-közésõ szint, F-felsõ szint) számmal (háromszintes eset) l.,, 3 0

11 3. Kísérlettervezés elõkészítése 3.3. Otimalizációs araméter (minõségi jellemzõ) folyamat eredményének mértéke. Ideális esetben numerikus mennyiség. Ha a folyamatot több mennyiség együttesen jellemzi, akkor mesterséges otimalizációs aramétert ún. általános értékelési kritériumot (ÁÉK) állítunk fel. íusai: kisebb a jobb nagyobb a jobb célérték a jobb z otimalizációs araméterrel szemben támasztott elvárások: lehetõleg számmal kifejezhetõ legyen, ha nem mérhetõ, akkor rangsorolás bármely faktorszint kombináció eredménye mérhetõ legyen értékkészlet egyetlen szám vagy ÁÉK egyértelmûség, azaz egy faktorszint kombinációhoz egy eredmény véletlen változékonyság kielégítõ ontossággal lehessen mérni Legyen univerzális (teljes) segítségével a folyamat sokoldalúan jellemezhetõ l. ÁÉK Legyen egyszerûen és könnyen kiszámítható Legyen fizikailag értelmezhetõ Pl.: cetil aceton elõállítása [dler 977]. folyamat léései (3.. ábra): Etilacetát, aceton és nátrium kondenzálása lkohol-éter keverék leárlása C D E F cetil aceton kivonása az acetilaceton-nátriumból nyers acetil aceton nátrium leárlása G H I J K L M N O 3.. ábra cetil aceton elõállítási folyamatának léései Faktorok: a kondenzálás reakcióhõje (), az aceton hozzáöntésének idõtartama (), a kondenzálás idõtartama (C), a komonensek aránya (D), keverési sebesség (E), a száraz maradék véghõmérséklete (F), H érték (G), a sósav adagolási sebessége (H), a kiválasztódás hõmérséklete(i), az alkohol-éter keverék desztilációs hõmérséklete az elsõ frakcióban (J), az alkohol-éter keverék desztilációs hõmérséklete a második frakcióban (K), az alkohol-éter keverék desztilációs hõmérséklete a harmadik frakcióban (L), az elsõ frakció desztillációs idõtartama (M), a második desztillációs idõtartama (N), a harmadik desztillációs idõtartama (O). Végezzük-e el az otimalizálást a teljes folyamatra egyszerre vagy az egyes szakaszokra különkülön? Ha az egyes szakaszok kimenete jellemezhetõ egyetlen mennyiséggel, ami magában foglal minden olyan információt, ami a következõ szakasz bemenetének jellemzéséhez szükséges, akkor

12 Johanyák Zsolt Csaba: evezetés a kísérletmódszertanba szakaszként otimalizáljunk, mert az sokkal kevesebb kísérletet (kiadást) igényel, mint a teljes folyamatra egyszerre végrehajtott otimalizáció.

13 4. Hagyományos faktoriális kísérlettervezési módszerek 4. Hagyományos faktoriális kísérlettervezési módszerek 4.. Faktorszint váltás egyesével (one-by-one módszer) öbb faktor hatásának vizsgálatára a legegyszerûbb eljárás az one-by-one módszer. Itt egyszerre mindig csak egy faktort változtatnak, a többi változatlan marad. Mivel ez egy könnyen ismételhetõ eljárás, ezért nagyfokú egyszerûsége ellenére jelentõs javulást eredményez bármely tervezetlen eljárással szemben. Kétszintes esetben a kísérletek száma faktorszám. együk fel, hogy három kétszintes faktorunk van. kísérlettervet a táblázat tartalmazza. 4.. táblázat C múltban számos jelentõs tudós (Galilei, Newton) ezt a módszert alkalmazta. z egyfaktoros 4.. ábra Kísérletek a faktortérben módszernek hátrányai is vannak más kísérlettervezési módszerekkel szemben: nehéz felismerni a faktorok közötti kölcsönhatást, mivel mindig csak egy faktor 3 változik; a vizsgálat során nem lehet figyelembe venni az egyéb zavaró hatásokat. 4 Ezen okok miatt fejlesztették ki a továbbiakban ismertetésre kerülõ kísérleti terveket, melyek lehetõvé teszik egyszerre több faktor vizsgálatát. 4.. Egyfaktoros módszer Egyetlen faktorral és több szinttel dolgozó terv. z eredmények kiértéklésére interolációt vagy regressziót alkalmazunk.4... Regresszió elemzés regresszió elemzés lehetõvé teszi a vizsgált faktor hatásának modellezését a vizsgált értéktartományon belül. Általában akkor alkalmazzák, ha az egyes faktorszintekhez számszerûsíthetõ, mérhetõ értékek társíthatók. ovábbi elõfeltétel az is, hogy minden faktorszint esetén a kísérlet eredményeként mért érték normál eloszlású legyen, és varianciája ne függjön az adott kísérletet jellemzõ aramétertõl (homogén variancia). z elemzés során abból indulunk ki, hogy a faktor és a minõségi jellemzõ egy kétdimenziós teret (síkot) alkotnak, ahol minden egyes sor a kísérlettervbõl egy síkbeli ontnak felel meg. z elemzés során megróbálunk egy szabályos görbét illeszteni erre a onthalmazra úgy, hogy az egyes ontok görbétõl mért y irányú távolságainak négyzetösszege minimális legyen. görbe matematikai leírásának ismeretében megkeressük azt a araméterértéket, amely a számunkra otimális minõségi jellemzõt nyújtja. meghatározott függvénykacsolat csak a faktor kísérletekben kiróbált szélsõértékei által behatárolt intervallumban érvényes. z extraoláció nem lehetséges. C 4 3 3

14 Johanyák Zsolt Csaba: evezetés a kísérletmódszertanba Kövessük végig az eljárást lineáris regresszió esetén. kkor tekintjük lineárisnak a regressziót, ha a faktor értékváltozása és a kísérlet eredményének változása között egy egyenessel ábrázolható a kacsolat. együk fel, hogy egy kísérlet eredménye kéen a 4.. táblázatban szerelõ értékeket katuk. ontok grafikus ábrázolása a 4.. ábrán szereel. Ránézésre feltételezhetõ, hogy kacsolat van az x (faktorérték) és az y (mért eredmény) között, és elkézelhetõ, hogy ez a kacsolat lineáris. hhoz, hogy megbizonyosodjunk elsõ benyomásunk helyességén, ki kell számolnunk a korrelációs együtthatót (4..). sxy r s s x y (4..) ahol: s xy - xy közös korrigált taasztalati szórásnégyzete S x - x korrigált taasztalati szórása - y korrigált taasztalati szórása _ x k S y k i x i 34, ábra 4.. táblázat kísérlet eredményei x (faktorérték) y (mért érték) (4..) _ y k k i y i 09,857 (4.3.) k xi x yi y i s xy 33, 90 (4.4.) k s x k i _ xi x k 7, 43 (4.5.) s y k i r0,9399 _ yi y k 4, 7409 (4.6.) fenti kéletekben k a mérések számát jelölte (k7). kiszámított értékeket behelyettesítve a (4..)-ba megkajuk r értékét. korrelációs együttható értelmezése az emirikus módszerrel és a t- róbával lehetséges. 4

15 4. Hagyományos faktoriális kísérlettervezési módszerek 4... Emirikus módszer Ha r x és y között lineáris kacsolat van, 0,7< r < egyértelmû (ozitív/negatív) korreláció áll fenn, 0,3< r <0,7 bizonytalan (ozitív/negatív) korreláció áll fenn, r <0,3 x és y nem korrelált. mi esetünkben egyértelmûen megállaítható a ozitív korreláció, és mivel az érték -hez közeli, valószínû a lineáris kacsolat t-róba z adott feltételekre kiszámítunk egy t sz értéket (4.7.), és ezt összehasonlítjuk a szabadságfok (υ) és a választott szignifikancia szint (α) által meghatározott táblázatbeli kritikus értékkel. mennyiben t sz < t krit akkor (-α) 00 % valószínûséggel állíthatjuk, hogy nincs lineáris kacsolat x és y között. t sz > t krit akkor (-α) 00 % valószínûséggel állíthatjuk, hogy lineáris kacsolat van x és y között. becslés szabadságfoka υk-5, mivel a lineáris regresszió által meghatározott egyenes kéletében két aramétert kell majd megbecsülnünk. Ha 99%-os biztonsági szinten akarunk nyilatkozni, a szignifikancia szint α0,0 lesz. t sz értékét meghatározó kélet: t sz r υ r k r r 6, 55 Kétoldali esettel számolva a táblázatból kivett kritikus érték: t krit t υ,-α/ t 5; 0,995 4,03 (4.7.) számított érték ennél nagyobb, így 99%-os biztonsággal állíthatjuk, hogy x és y között lineáris kacsolat áll fenn z egyenes egyenlete Grafikusan ábrázolva a ontokat láthatjuk, hogy nem egy egyenesen helyezkednek el. z elméleti egyenestõl való eltéréseket a véletlen szórás okozza. ontok elhelyezkedését az y i a.x i b ε i (4.8.) egyenlettel modellezhetjük. z a.x i b rész fejezi ki a lineáris összefüggést, míg az ε i -k egymástól független normális eloszlású véletlenszámok, melyeknek várható értéke 0. Célunk az egyenes egyenletének meghatározása oly módon, hogy a mért értékeket ábrázoló ontok függõleges irányban a lehetõ legkisebb távolságra legyenek az egyenestõl. z a és b aramétereket a legkisebb négyzetek elvének alkalmazásával becsüljük meg. z eltérések négyzetösszege: k ( i i ) Q y a x b i (4.9.) Olyan egyenest keresünk, amelynél ez az érték minimális. Itt (4.9.)-t egy kétváltozós (a és b) függvénynek tekintjük, mely ott vesz fel szélsõértéket, ahol az a illetve b szerinti elsõrendû arciális 5

16 Johanyák Zsolt Csaba: evezetés a kísérletmódszertanba deriváltak (4.0.)(4..) nulla értékûek lesznek. mennyiben a másodrendû deriváltak (4..)(4.3.) ozitívak, ez a szélsõérték egy minimum ont. Q a Q b k i ( ) x y a x b i i i k ( yi a xi b) i (4.0.) (4..) Q a k x (4..) i i Q k (4.3.) b z elsõrendû deriváltakat egyenlõvé téve nullával egy kétismeretlenes lineáris egyenletrendszerhez (6) jutunk a-ban és b-ben. k k a xi b k yi i i k k k a xi b xi xi yi i i i z egyenletet megoldva az (4.4.) s a r s xy y (4.5.) s s x x _ s _ xy b y x (4.6.) s x kéletekhez jutunk. ehelyettesítve az aktuális értékeket: a 0,60 b 89,04 keresett egyenes egyenlete : y 0, 60 x 89, Csoortfaktoros kísérletterv Gyakran elõfordul, hogy a robléma megoldásához elegendõ a rendelkezésre álló feltevések igazolása (igazoló kísérletek). Pl. a futó folyamatokra vonatkozó adatelemzés vagy korábbi kísérletek eredményei arra engednek következtetni, hogy egy bizonyos folyamat-beállítás jelentõs javuláshoz vezet. Ilyen helyzetben a kísérletekhez kacsolódó ráfordítások szintjének alacsonyan tartása érdekében a következõ stratégia követése ajánlott: az egyes faktorok összefoglalása egyetlen csoortfaktorba, 6

17 4. Hagyományos faktoriális kísérlettervezési módszerek a csoortfaktor vizsgálata egy egyfaktoros kísérlettel, megfelelõ kiértékelési módszerek alkalmazása táblázat Csoortfaktor Faktor/szint Kenhetõség Kalóriatartalom Ár - alacsony magas magas magas alacsony alacsony Kövessük végig az eljárást egy egyszerû éldán keresztül. Növelni kell az eladott csomagok számát egy margarinfajta esetében. Minõségi jellemzõnek az eladott csomagok számát tekintjük egy rerezentatívnak minõsülõ áruházban. efolyásoló tényezõ a kenhetõség, az ár, az eltarthatóság és a kalóriatartalom. szakértõk arra számítanak, hogy a kenhetõség növelése, valamint a kalóriatartalom és az ár csökkentése az eladások mértékének növekedéséhez vezet. z eltarthatóságot nem tekintik lényeges tényezõnek az eladott darabszám szemontjából. z eljárás célja az, hogy ezeket a feltevéseket megvizsgáljuk, és nem az, hogy az egyes hatásokat részleteikben megállaítsuk. Elsõ léésként a fentiek szerint kialakítjuk a 3. táblázatban szerelõ csoortfaktort. Ennek (-) szintre állítása esetén a kenhetõség alacsony, a kalóriatartalom magas, az ár magas. csoortfaktorok alkalmazásának elõnye abban áll, hogy a szükséges ráfordítás egy egyfaktoros kísérlettel megegyezõ. z egyes befolyásoló tényezõk hatásaira vonatkozóan azonban nem jutunk információkhoz Kiértékelés z alkalmazható módszerek sorából kettõt ismertetünk az alábbiakban. z egyik a hagyományos t- róba, míg a másik ubey araméter nélküli End-Count tesztje, melyet a különösen alacsony mintaszám jellemez t-róba t-róba két minta átlagainak összehasonlítására szolgál. teszt eljárásmódja attól függ, hogy ismert-e a két eloszlás szórása, és hogy azonos méretû-e a két minta. z alábbiakban ismeretlen szórás és különbözõ mintanagyság esetére ismertetjük a módszert táblázat Kísérleti eredmények Faktor Eladott darabszám y átl (ár.) (jan.) (jún.) (dec.) (szet.) (aug.) 8000 (febr.) 8500 (márc.) 800 (okt.) 6500 (máj.) 7800 (júl.) 850 (nov.) 7858 Lehetõség szerint törekedni kell a kísérletek véletlen sorrendben történõ végrehajtására. Mindig egy hónaig (-) vagy () jelzetû termékeket adnak el. zt, hogy mikor melyiket dobják iacra sorshúzással döntik el. Minden hónaban megállaítják az eladott darabszámot. Mindkét beállítást egy n n - 6 hónaos idõtartamon tesztelik. vizsgálat eredményeit a 4.4. táblázat tartalmazza. Kiértékelés céljára kiszámítják a két folyamat-beállításhoz kacsolódó átlagértékeket. csoortfaktor (-) szintre állítása mellett átlagosan 579 csomagot, míg a () szint beállítása esetén 7

18 Johanyák Zsolt Csaba: evezetés a kísérletmódszertanba átlagosan 7858 csomagot adtak el. Felvetõdik azonban a kérdés, hogy az eladásokban megfigyelt különbség véletlen természetû-e vagy a megváltoztatott beállítási szintre vezethetõ-e vissza. Elsõ léésként kiszámítjuk a két mintából nyert szórásbecslést: s n j n ( y y ) ( y y ) j j n n j 597 (4.7.) t sz tesztstatisztika értéke: y y t sz 5,99 (4.8.) s n n Esetünkben s597 és t sz 5,99. t érték υ(n n - -)(66-)0 szabadságfokkal rendelkezik. esztelni kell a folyamatok azonos közéértékének feltételezését (H 0 :µ µ - ) szembeállítva a különbözõ közéértékek feltételezésével (H :µ >µ - ). Példánkban ezt a tesztet 5%-os szignifikancia (α-0,950,05) szinten kell végrehajtani. υ0 és α 0,05 értékároshoz a t υ;-α/ t 0;- 0,05t 0;0,975,88 tartozik (kétoldali eset) a t-eloszlás táblázatban. H 0 nullhiotézist t sz >t υ;-α/ egyenlõtlenség fennállása esetén vetjük el. Mivel 5,99>,88, elvethetjük a mullhiotézist. Így 95%- os biztonsággal kijelenthetjük, hogy a () beállításnál több darabot tudunk eladni, mint a (-) szint esetén. Általánosan megfigyelhetõ, hogy a t-róba érzékenysége növekszik a mintanagysággal. z itt alkalmazott mintanagyság mellett csak az erõs hatások mutathatók ki. róba az egyes beállításokon belül a normális eloszlás feltételezésén alaul, azonban mégis viszonylagosan érzéketlen az ezen feltevéstõl való eltérések iránt End-Count teszt kísérletekkel kacsolatos ráfordítások csökkentése érdekében gyakran ajánlják az ún. araméter nélküli eljárásokat. Ezek egyike a ubey által kifejlesztett End-Count teszt, melyet Shainin vs. C (etter Versus Current) névvel jelöl. Ennek segítségével lehetõvé válik az összehasonlítás elemi valószínûségszámításra történõ visszavezetése táblázat Kísérlet végrehajtása csoortfaktoros vizsgálatnál Hóna Csoortfaktor Eladott darabszám (/- szintek véletlen sora) január február 8000 március 8500 árilis május 6500 június július 7800 augusztus szetember

19 4. Hagyományos faktoriális kísérlettervezési módszerek október 800 november 850 december táblázat Sorba rendezett kísérleti eredmények Eladott darabszám Faktorbeállítás z eljárást a margarin eladási esetre ismertetjük. faktort (csoortfaktor) hatszor kell beállítani úgy a (), mint a (-) szintre. kísérletek eredménye kéen a 4.5. táblázatban látható eredménysor állt elõ. Nagyság szerint sorbarendezve az adatokat a 4.6. táblázatot kajuk. izenkét érték ismétlõdés! nélküli elrendezésére 94 ( ) különbözõ lehetõség van. 6! 6! /94 azaz 0,% annak a valószínûsége, hogy egy ilyen elrendezés véletlenszerûen bekövetkezik. ehát kiindulhatunk abból, hogy éldánkban 99,9%-os valószínûséggel a () beállítási szinttel jobb eredményeket érünk el, mint a (-) szint esetén. Ezzel igazoltuk a szakértõk feltevését. z eljárás különösen alacsony mintanagysággal dolgozik, és ezért a kísérletek véletlenszerû végrehajtását igényli. Óvakodni kell attól, hogy l. hat régebbi eredményt hat új, egymás után végrehajtott kísérlet eredményével hasonlítsunk össze. 9

Bevezetés a kísérletmódszertanba. Johanyák Zsolt Csaba

Bevezetés a kísérletmódszertanba. Johanyák Zsolt Csaba evezetés a kísérletmódszertanba Johanyák Zsolt Csaba 009 Johanyák Zsolt Csaba: evezetés a kísérletmódszertanba artalomjegyzék. evezetés... 4. kísérletmódszertan léései... 6.. Hibatényezık csökkentése...

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 10 X. SZIMULÁCIÓ 1. VÉLETLEN számok A véletlen számok fontos szerepet játszanak a véletlen helyzetek generálásában (pénzérme, dobókocka,

Részletesebben

Segítség az outputok értelmezéséhez

Segítség az outputok értelmezéséhez Tanulni: 10.1-10.3, 10.5, 11.10. Hf: A honlapra feltett falco_exp.zip-ben lévő exploratív elemzések áttanulmányozása, érdekességek, észrevételek kigyűjtése. Segítség az outputok értelmezéséhez Leiro: Leíró

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 4 IV. MINTA, ALAPsTATIsZTIKÁK 1. MATEMATIKAI statisztika A matematikai statisztika alapfeladatát nagy általánosságban a következőképpen

Részletesebben

Matematikai statisztika c. tárgy oktatásának célja és tematikája

Matematikai statisztika c. tárgy oktatásának célja és tematikája Matematikai statisztika c. tárgy oktatásának célja és tematikája 2015 Tematika Matematikai statisztika 1. Időkeret: 12 héten keresztül heti 3x50 perc (előadás és szeminárium) 2. Szükséges előismeretek:

Részletesebben

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Középértékek és szóródási mutatók

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Középértékek és szóródási mutatók Matematikai alapok és valószínőségszámítás Középértékek és szóródási mutatók Középértékek A leíró statisztikák talán leggyakrabban használt csoportját a középértékek jelentik. Legkönnyebben mint az adathalmaz

Részletesebben

Paraméteres és összetett egyenlôtlenségek

Paraméteres és összetett egyenlôtlenségek araméteres és összetett egyenlôtlenségek 79 6 a) Minden valós szám b) Nincs ilyen valós szám c) c < vagy c > ; d) d # vagy d $ 6 a) Az elsô egyenlôtlenségbôl: m < - vagy m > A második egyenlôtlenségbôl:

Részletesebben

Biomatematika 15. Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar. Fodor János

Biomatematika 15. Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar. Fodor János Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar Biomatematikai és Számítástechnikai Tanszék Biomatematika 15. Nemparaméteres próbák Fodor János Copyright c Fodor.Janos@aotk.szie.hu Last Revision Date: November

Részletesebben

A II. kategória Fizika OKTV mérési feladatainak megoldása

A II. kategória Fizika OKTV mérési feladatainak megoldása Nyomaték (x 0 Nm) O k t a t á si Hivatal A II. kategória Fizika OKTV mérési feladatainak megoldása./ A mágnes-gyűrűket a feladatban meghatározott sorrendbe és helyre rögzítve az alábbi táblázatban feltüntetett

Részletesebben

Populációbecslések és monitoring

Populációbecslések és monitoring Populációbecslések és monitoring A becslés szerepe az ökológiában és a vadgazdálkodásban. A becslési módszerek csoportosítása. Teljes számlálás. Statisztikai alapfogalmak. Fontos lehet tudnunk, hogy hány

Részletesebben

Andó Mátyás Felületi érdesség matyi.misi.eu. Felületi érdesség. 1. ábra. Felületi érdességi jelek

Andó Mátyás Felületi érdesség matyi.misi.eu. Felületi érdesség. 1. ábra. Felületi érdességi jelek 1. Felületi érdesség használata Felületi érdesség A műszaki rajzokon a geometria méretek tűrése mellett a felületeket is jellemzik. A felületek jellemzésére leginkább a felületi érdességet használják.

Részletesebben

VÁLLALATGAZDASÁGTAN II. Döntési Alapfogalmak

VÁLLALATGAZDASÁGTAN II. Döntési Alapfogalmak Vállalkozási VÁLLALATGAZDASÁGTAN II. Tantárgyfelelős: Prof. Dr. Illés B. Csaba Előadó: Dr. Gyenge Balázs Az ökonómiai döntés fogalma Vállalat Környezet Döntések sorozata Jövő jövőre vonatkozik törekszik

Részletesebben

Khi-négyzet eloszlás. Statisztika II., 3. alkalom

Khi-négyzet eloszlás. Statisztika II., 3. alkalom Khi-négyzet eloszlás Statisztika II., 3. alkalom A khi négyzet eloszlást (Pearson) leggyakrabban kategorikus adatok elemzésére használjuk. N darab standard normális eloszlású változó négyzetes összegeként

Részletesebben

A mérés problémája a pedagógiában. Dr. Nyéki Lajos 2015

A mérés problémája a pedagógiában. Dr. Nyéki Lajos 2015 A mérés problémája a pedagógiában Dr. Nyéki Lajos 2015 A mérés fogalma Mérésen olyan tevékenységet értünk, amelynek eredményeként a vizsgált jelenség számszerűen jellemezhetővé, más hasonló jelenségekkel

Részletesebben

MÉRÉSI EREDMÉNYEK PONTOSSÁGA, A HIBASZÁMÍTÁS ELEMEI

MÉRÉSI EREDMÉNYEK PONTOSSÁGA, A HIBASZÁMÍTÁS ELEMEI MÉRÉSI EREDMÉYEK POTOSSÁGA, A HIBASZÁMÍTÁS ELEMEI. A mérési eredmény megadása A mérés során kapott értékek eltérnek a mérendő fizikai mennyiség valódi értékétől. Alapvetően kétféle mérési hibát különböztetünk

Részletesebben

Kutatásmódszertan és prezentációkészítés

Kutatásmódszertan és prezentációkészítés Kutatásmódszertan és prezentációkészítés 10. rész: Az adatelemzés alapjai Szerző: Kmetty Zoltán Lektor: Fokasz Nikosz Tizedik rész Az adatelemzés alapjai Tartalomjegyzék Bevezetés Leíró statisztikák I

Részletesebben

Mérési hibák 2006.10.04. 1

Mérési hibák 2006.10.04. 1 Mérési hibák 2006.10.04. 1 Mérés jel- és rendszerelméleti modellje Mérési hibák_labor/2 Mérési hibák mérési hiba: a meghatározandó értékre a mérés során kapott eredmény és ideális értéke közötti különbség

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II.

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II. 8 Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II Elméleti összefoglaló Az a + b+ c, a egyenletet másodfokú egyenletnek nevezzük A D b ac kifejezést az egyenlet diszkriminánsának nevezzük Ha D >, az

Részletesebben

Mérési adatok illesztése, korreláció, regresszió

Mérési adatok illesztése, korreláció, regresszió Mérési adatok illesztése, korreláció, regresszió Korreláció, regresszió Két változó mennyiség közötti kapcsolatot vizsgálunk. Kérdés: van-e kapcsolat két, ugyanabban az egyénben, állatban, kísérleti mintában,

Részletesebben

MATEMATIKA HETI 5 ÓRA. IDŐPONT: 2010. Június 4.

MATEMATIKA HETI 5 ÓRA. IDŐPONT: 2010. Június 4. EURÓPAI ÉRETTSÉGI 2010 MATEMATIKA HETI 5 ÓRA IDŐPONT: 2010. Június 4. A VIZSGA IDŐTARTAMA: 4 óra (240 perc) ENGEDÉLYEZETT SEGÉDESZKÖZÖK : Európai képletgyűjtemény Nem programozható, nem grafikus kalkulátor

Részletesebben

TANMENETJAVASLAT. Dr. Korányi Erzsébet MATEMATIKA. tankönyv ötödikeseknek. címû tankönyvéhez

TANMENETJAVASLAT. Dr. Korányi Erzsébet MATEMATIKA. tankönyv ötödikeseknek. címû tankönyvéhez TANMENETJAVASLAT Dr. Korányi Erzsébet MATEMATIKA tankönyv ötödikeseknek címû tankönyvéhez A heti 3 óra, évi 111 óra B heti 4 óra, évi 148 óra Javaslat témazáró dolgozatra: Dr. Korányi Erzsébet: Matematika

Részletesebben

Statisztika 3. Dr Gősi Zsuzsanna Egyetemi adjunktus Koncentráció mérése Koncentráció általában a jelenségek tömörülését, összpontosulását értjük. Koncentráció meglétéről gyorsan tájékozódhatunk, ha sokaságot

Részletesebben

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 15 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 151 Lineáris egyenletrendszer, Gauss elimináció 1 Definíció Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az (1) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a

Részletesebben

Kontrol kártyák használata a laboratóriumi gyakorlatban

Kontrol kártyák használata a laboratóriumi gyakorlatban Kontrol kártyák használata a laboratóriumi gyakorlatban Rikker Tamás tudományos igazgató WESSLING Közhasznú Nonprofit Kft. 2013. január 17. Kis történelem 1920-as években, a Bell Laboratórium telefonjainak

Részletesebben

Varianciaanalízis 4/24/12

Varianciaanalízis 4/24/12 1. Feladat Egy póker kártya keverő gép a kártyákat random módon választja ki. A vizsgálatban 1600 választott kártya színei az alábbi gyakorisággal fordultak elő. Vizsgáljuk meg, hogy a kártyák kiválasztása

Részletesebben

Al-Mg-Si háromalkotós egyensúlyi fázisdiagram közelítő számítása

Al-Mg-Si háromalkotós egyensúlyi fázisdiagram közelítő számítása l--si háromalkotós egyensúlyi fázisdiagram közelítő számítása evezetés Farkas János 1, Dr. Roósz ndrás 1 doktorandusz, tanszékvezető egyetemi tanár Miskolci Egyetem nyag- és Kohómérnöki Kar Fémtani Tanszék

Részletesebben

1. tétel. Valószínűségszámítás vizsga Frissült: 2013. január 19. Valószínűségi mező, véletlen tömegjelenség.

1. tétel. Valószínűségszámítás vizsga Frissült: 2013. január 19. Valószínűségi mező, véletlen tömegjelenség. 1. tétel Valószínűségszámítás vizsga Frissült: 2013. január 19. Valószínűségi mező, véletlen tömegjelenség. A valószínűségszámítás tárgya: véletlen tömegjelenségek vizsgálata. véletlen: a kísérlet kimenetelét

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 10.B OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT/ ÖSSZ 148 ÓRA

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 10.B OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT/ ÖSSZ 148 ÓRA MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI ELJÁRÁS MELLÉKLET Tanmenetborító Azonosító: ME-III.1./1 Változatszám: 2 Érvényesség 2013. 09. 01. kezdete: Oldal/összes: 1/7 Fájlnév: ME- III.1.1.Tanmenetborító SZK- DC-2013 MATEMATIKA

Részletesebben

Módszertani Intézeti Tanszéki Osztály. A megoldás részletes mellékszámítások hiányában nem értékelhető!

Módszertani Intézeti Tanszéki Osztály. A megoldás részletes mellékszámítások hiányában nem értékelhető! BGF KKK Módszertani Intézeti Tanszéki Osztály Budapest, 2012.. Név:... Neptun kód:... Érdemjegy:..... STATISZTIKA II. VIZSGADOLGOZAT Feladatok 1. 2. 3. 4. 5. 6. Összesen Szerezhető pontszám 21 20 7 22

Részletesebben

Regresszió számítás. Tartalomjegyzék: GeoEasy V2.05+ Geodéziai Kommunikációs Program

Regresszió számítás. Tartalomjegyzék: GeoEasy V2.05+ Geodéziai Kommunikációs Program Regresszió számítás GeoEasy V2.05+ Geodéziai Kommunikációs Program DigiKom Kft. 2006-2010 Tartalomjegyzék: Egyenes x változik Egyenes y változik Egyenes y és x változik Kör Sík z változik Sík y, x és z

Részletesebben

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének 6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük

Részletesebben

Készítette: Fegyverneki Sándor

Készítette: Fegyverneki Sándor VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS Összefoglaló segédlet Készítette: Fegyverneki Sándor Miskolci Egyetem, 2001. i JELÖLÉSEK: N a természetes számok halmaza (pozitív egészek) R a valós számok halmaza R 2 {(x, y) x, y

Részletesebben

Mátrixjátékok tiszta nyeregponttal

Mátrixjátékok tiszta nyeregponttal 1 Mátrixjátékok tiszta nyeregponttal 1. Példa. Két játékos Aladár és Bendegúz rendelkeznek egy-egy tetraéderrel, melyek lapjaira rendre az 1, 2, 3, 4 számokat írták. Egy megadott jelre egyszerre felmutatják

Részletesebben

Ideális gáz és reális gázok

Ideális gáz és reális gázok Ideális gáz és reális gázok Fizikai kémia előadások 1. Turányi Tamás ELTE Kémiai Intézet Állaotjelzők állaotjelző: egy fizikai rendszer makroszkoikus állaotát meghatározó mennyiség egykomonensű gázok állaotjelzői:

Részletesebben

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása 11 modul: EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK MEGOLDÁSA 6 I Egyenlet fogalma, algebrai megoldása Módszertani megjegyzés: Az egyenletek alaphalmazát, értelmezési tartományát később vezetjük be, a törtes egyenletekkel

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I. Számelmélet I. DEFINÍCIÓ: (Osztó, többszörös) Ha egy a szám felírható egy b szám és egy másik egész szám szorzataként, akkor a b számot az a osztójának, az a számot a b többszörösének nevezzük. Megjegyzés:

Részletesebben

Matematika tanmenet 10. osztály (heti 3 óra) A gyökvonás 14 óra

Matematika tanmenet 10. osztály (heti 3 óra) A gyökvonás 14 óra Matematika tanmenet 10. osztály (heti 3 óra) Tankönyv: Ábrahám Gábor Dr. Kosztolányiné Nagy Erzsébet Tóth Julianna: Matematika 10. Példatárak: Fuksz Éva Riener Ferenc: É rettségi feladatgyűjtemény matematikából

Részletesebben

DEBRECENI EGYETEM MŰSZAKI KAR GÉPÉSZMÉRNÖKI TANSZÉK SPM BEARINGCHECKER KÉZI CSAPÁGYMÉRŐ HASZNÁLATA /OKTATÁSI SEGÉDLET DIAGNOSZTIKA TANTÁRGYHOZ/

DEBRECENI EGYETEM MŰSZAKI KAR GÉPÉSZMÉRNÖKI TANSZÉK SPM BEARINGCHECKER KÉZI CSAPÁGYMÉRŐ HASZNÁLATA /OKTATÁSI SEGÉDLET DIAGNOSZTIKA TANTÁRGYHOZ/ DEBRECENI EGYETEM MŰSZAKI KAR GÉPÉSZMÉRNÖKI TANSZÉK SPM BEARINGCHECKER KÉZI CSAPÁGYMÉRŐ HASZNÁLATA /OKTATÁSI SEGÉDLET DIAGNOSZTIKA TANTÁRGYHOZ/ ÖSSZEÁLLÍTOTTA: DEÁK KRISZTIÁN 2013 Az SPM BearingChecker

Részletesebben

QualcoDuna jártassági vizsgálatok - A 2014. évi program rövid ismertetése

QualcoDuna jártassági vizsgálatok - A 2014. évi program rövid ismertetése QualcoDuna jártassági vizsgálatok - A 2014. évi program rövid ismertetése Szegény Zsigmond WESSLING Közhasznú Nonprofit Kft., Jártassági Vizsgálati Osztály szegeny.zsigmond@qualcoduna.hu 2014.01.21. 2013.

Részletesebben

SULINOVA PROGRAMTANTERVÉHEZ ILLESZKEDŐ TANMENET 9. ÉVFOLYAM SZÁMÁRA

SULINOVA PROGRAMTANTERVÉHEZ ILLESZKEDŐ TANMENET 9. ÉVFOLYAM SZÁMÁRA 1 SULINOVA PROGRAMTANTERVÉHEZ ILLESZKEDŐ TANMENET 9. ÉVFOLYAM SZÁMÁRA Heti óraszám: 3 Éves óraszám: 37 x 3 = 111 A tanmenet 101 óra beosztását tartalmazza. A dolgozatok írása és javítása 10 órát foglal

Részletesebben

Osztályozóvizsga és javítóvizsga témakörei Matematika 9. évfolyam

Osztályozóvizsga és javítóvizsga témakörei Matematika 9. évfolyam Osztályozóvizsga és javítóvizsga témakörei Matematika 9. évfolyam 1. félév Gondolkozás, számolás - halmazok, műveletek halmazokkal, intervallumok - racionális számok, műveletek racionális számokkal, zárójel

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET. 9. osztály. 4 óra/hét. Budapest, 2014. szeptember

MATEMATIKA TANMENET. 9. osztály. 4 óra/hét. Budapest, 2014. szeptember MATEMATIKA TANMENET 9. osztály 4 óra/hét Budapest, 2014. szeptember 2 Évi óraszám: 144 óra Heti óraszám: 4 óra Ismerkedés, év elejei feladatok, szintfelmérő írása 2 óra I. Kombinatorika, halmazok 13 óra

Részletesebben

STATISZTIKA. András hármas. Éva ötös. Nóri négyes. 5 4,5 4 3,5 3 2,5 2 1,5 ANNA BÉLA CILI 0,5 MAGY. MAT. TÖRT. KÉM.

STATISZTIKA. András hármas. Éva ötös. Nóri négyes. 5 4,5 4 3,5 3 2,5 2 1,5 ANNA BÉLA CILI 0,5 MAGY. MAT. TÖRT. KÉM. STATISZTIKA 5 4,5 4 3,5 3 2,5 2 1,5 1 0,5 0 MAGY. MAT. TÖRT. KÉM. ANNA BÉLA CILI András hármas. Béla Az átlag 3,5! kettes. Éva ötös. Nóri négyes. 1 mérés: dolgokhoz valamely szabály alapján szám rendelése

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII.

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Magasabbfokú egyenletek: A 3, vagy annál nagyobb fokú egyenleteket magasabb fokú egyenleteknek nevezzük. Megjegyzés: Egy n - ed fokú egyenletnek legfeljebb n darab valós

Részletesebben

Az egyszerűsítés utáni alak:

Az egyszerűsítés utáni alak: 1. gyszerűsítse a következő törtet, ahol b 6. 2 b 36 b 6 Az egyszerűsítés utáni alak: 2. A 2, 4 és 5 számjegyek mindegyikének felhasználásával elkészítjük az összes, különböző számjegyekből álló háromjegyű

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

Statisztika I. 4. előadás Mintavétel. Kóczy Á. László KGK-VMI. Minta Mintavétel Feladatok. http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1.

Statisztika I. 4. előadás Mintavétel. Kóczy Á. László KGK-VMI. Minta Mintavétel Feladatok. http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1. Statisztika I. 4. előadás Mintavétel http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1.htm Kóczy Á. László KGK-VMI koczy.laszlo@kgk.uni-obuda.hu Sokaság és minta Alap- és mintasokaság A mintasokaság az a részsokaság,

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 3 III. MEGFELELTETÉSEk, RELÁCIÓk 1. BEVEZETÉS Emlékeztetünk arra, hogy az rendezett párok halmazát az és halmazok Descartes-féle szorzatának nevezzük. Más szóval az és halmazok

Részletesebben

Szakmai nap Nagypontosságú megmunkálások Nagypontosságú keményesztergálással előállított alkatrészek felület integritása

Szakmai nap Nagypontosságú megmunkálások Nagypontosságú keményesztergálással előállított alkatrészek felület integritása Szakmai nap Nagypontosságú megmunkálások Nagypontosságú keményesztergálással előállított alkatrészek felület integritása Keszenheimer Attila Direct line Kft vendégkutató BME PhD hallgató Felület integritás

Részletesebben

Kabos: Statisztika II. ROC elemzések 10.1. Szenzitivitás és specificitás a jelfeldolgozás. és ilyenkor riaszt. Máskor nem.

Kabos: Statisztika II. ROC elemzések 10.1. Szenzitivitás és specificitás a jelfeldolgozás. és ilyenkor riaszt. Máskor nem. Kabos: Statisztika II. ROC elemzések 10.1 ROC elemzések Szenzitivitás és specificitás a jelfeldolgozás szóhasználatával A riasztóberendezés érzékeli, ha támadás jön, és ilyenkor riaszt. Máskor nem. TruePositiveAlarm:

Részletesebben

A termelés technológiai feltételei rövid és hosszú távon

A termelés technológiai feltételei rövid és hosszú távon 1 /12 A termelés technológiai feltételei rövid és hosszú távon Varian 18. Rgisztrált gazdasági szervezetek száma 2009.12.31 (SH) Társas vállalkozás 579 821 Ebbıl: gazdasági társaság: 533 232 Egyéni vállalkozás

Részletesebben

1. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI FELADATSOR

1. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI FELADATSOR 1. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI FELADATSOR A feladatok megoldására 240 perc fordítható, az idő leteltével a munkát be kell fejeznie. A feladatok megoldási sorrendje tetszőleges. A II. részben kitűzött

Részletesebben

Hanthy László Tel.: 06 20 9420052

Hanthy László Tel.: 06 20 9420052 Hanthy László Tel.: 06 20 9420052 Néhány probléma a gyártási folyamatok statisztikai szabályzásával kapcsolatban Miben kellene segíteni az SPC alkalmazóit? Hanthy László T: 06(20)9420052 Megválaszolandó

Részletesebben

Statisztika I. 4. előadás Mintavétel. Kóczy Á. László KGK-VMI. Minta Mintavétel Feladatok. http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1.

Statisztika I. 4. előadás Mintavétel. Kóczy Á. László KGK-VMI. Minta Mintavétel Feladatok. http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1. Statisztika I. 4. előadás Mintavétel http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1.htm Kóczy Á. László KGK-VMI koczy.laszlo@kgk.uni-obuda.hu Sokaság és minta Alap- és mintasokaság A mintasokaság az a részsokaság,

Részletesebben

9. Tétel Els - és másodfokú egyenl tlenségek. Pozitív számok nevezetes közepei, ezek felhasználása széls érték-feladatok megoldásában

9. Tétel Els - és másodfokú egyenl tlenségek. Pozitív számok nevezetes közepei, ezek felhasználása széls érték-feladatok megoldásában 9. Tétel Els - és másodfokú egyenl tlenségek. Pozitív számok nevezetes közepei, ezek felhasználása széls érték-feladatok megoldásában Bevezet : A témakörben els - és másodfokú egyenl tlenségek megoldásának

Részletesebben

Hőtan I. főtétele tesztek

Hőtan I. főtétele tesztek Hőtan I. főtétele tesztek. álassza ki a hamis állítást! a) A termodinamika I. főtétele a belső energia változása, a hőmennyiség és a munka között állaít meg összefüggést. b) A termodinamika I. főtétele

Részletesebben

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak!

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak! Magyar Ifjúság 6 V SOROZATOK a) Három szám összege 76 E három számot tekinthetjük egy mértani sorozat három egymás után következő elemének vagy pedig egy számtani sorozat első, negyedik és hatodik elemének

Részletesebben

Variancia-analízis (folytatás)

Variancia-analízis (folytatás) Variancia-analízis (folytatás) 7. elıadás (13-14. lecke) Egytényezıs VA blokk-képzés nélkül és blokk-képzéssel 13. lecke Egytényezıs variancia-analízis blokkképzés nélkül Az átlagok páronkénti összehasonlítása(1)

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 9.A, 9.D. OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT ÖSSZ: 148 ÓRA

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 9.A, 9.D. OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT ÖSSZ: 148 ÓRA MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI ELJÁRÁS MELLÉKLET Tanmenetborító ME-III.1./1 2 Azonosító: Változatszám : Érvényesség kezdete: Oldal/összes: 1/6 Fájlnév: ME- III.1.1.Tanmenetborító SZK-DC-2013 2013. 09. 01. MATEMATIKA

Részletesebben

Minta 2. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI FELADATSOR. I. rész

Minta 2. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI FELADATSOR. I. rész 2. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI FELADATSOR I. rész A feladatok megoldására 45 perc fordítható, az idő leteltével a munkát be kell fejeznie. A feladatok megoldási sorrendje tetszőleges. A feladatok megoldásához

Részletesebben

Statisztikai alapismeretek (folytatás) 4. elıadás (7-8. lecke) Becslések, Hipotézis vizsgálat

Statisztikai alapismeretek (folytatás) 4. elıadás (7-8. lecke) Becslések, Hipotézis vizsgálat Statisztikai alapismeretek (folytatás) 4. elıadás (7-8. lecke) Becslések, Hipotézis vizsgálat 7. lecke Paraméter becslés Konfidencia intervallum Hipotézis vizsgálat feladata Paraméter becslés és konfidencia

Részletesebben

2 2 = 2 p. = 2 p. 2. Végezd el a kijelölt műveleteket! 3. Végezd el a kijelölt műveleteket! 4. Alakítsad szorzattá az összeget!

2 2 = 2 p. = 2 p. 2. Végezd el a kijelölt műveleteket! 3. Végezd el a kijelölt műveleteket! 4. Alakítsad szorzattá az összeget! Matematika vizsga 014. 9. osztály Név: Az 1-1. feladatok megoldását a feladatlapra írd! A 1-19. feladatokat a négyzetrácsos lapon oldd meg! 1. Számítsd ki az alábbi kifejezések pontos értékét! 0, = = p

Részletesebben

2. Laboratóriumi gyakorlat A TERMISZTOR. 1. A gyakorlat célja. 2. Elméleti bevezető

2. Laboratóriumi gyakorlat A TERMISZTOR. 1. A gyakorlat célja. 2. Elméleti bevezető . Laboratóriumi gyakorlat A EMISZO. A gyakorlat célja A termisztorok működésének bemutatása, valamint főbb paramétereik meghatározása. Az ellenállás-hőmérséklet = f és feszültség-áram U = f ( I ) jelleggörbék

Részletesebben

Modern Fizika Labor. Fizika BSc. Értékelés: A mérés dátuma: A mérés száma és címe: 5. mérés: Elektronspin rezonancia. 2008. március 18.

Modern Fizika Labor. Fizika BSc. Értékelés: A mérés dátuma: A mérés száma és címe: 5. mérés: Elektronspin rezonancia. 2008. március 18. Modern Fizika Labor Fizika BSc A mérés dátuma: 28. március 18. A mérés száma és címe: 5. mérés: Elektronspin rezonancia Értékelés: A beadás dátuma: 28. március 26. A mérést végezte: 1/7 A mérés leírása:

Részletesebben

1. előadás. Lineáris algebra numerikus módszerei. Hibaszámítás Számábrázolás Kerekítés, levágás Klasszikus hibaanalízis Abszolút hiba Relatív hiba

1. előadás. Lineáris algebra numerikus módszerei. Hibaszámítás Számábrázolás Kerekítés, levágás Klasszikus hibaanalízis Abszolút hiba Relatív hiba Hibaforrások Hiba A feladatok megoldása során különféle hibaforrásokkal találkozunk: Modellhiba, amikor a valóságnak egy közelítését használjuk a feladat matematikai alakjának felírásához. (Pl. egy fizikai

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok II.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok II. Sorozatok II. DEFINÍCIÓ: (Mértani sorozat) Az (a n ) valós számsorozatot mértani sorozatnak nevezzük, ha van olyan valós szám, amellyel a sorozat bármely tagját megszorozva a következő tagot kapjuk. Jelöléssel:

Részletesebben

Kutatási beszámoló. 2015. február. Tangens delta mérésére alkalmas mérési összeállítás elkészítése

Kutatási beszámoló. 2015. február. Tangens delta mérésére alkalmas mérési összeállítás elkészítése Kutatási beszámoló 2015. február Gyüre Balázs BME Fizika tanszék Dr. Simon Ferenc csoportja Tangens delta mérésére alkalmas mérési összeállítás elkészítése A TKI-Ferrit Fejlsztő és Gyártó Kft.-nek munkája

Részletesebben

Rácsvonalak parancsot. Válasszuk az Elsődleges függőleges rácsvonalak parancs Segédrácsok parancsát!

Rácsvonalak parancsot. Válasszuk az Elsődleges függőleges rácsvonalak parancs Segédrácsok parancsát! Konduktometriás titrálás kiértékelése Excel program segítségével (Office 2007) Alapszint 1. A mérési adatokat írjuk be a táblázat egymás melletti oszlopaiba. Az első oszlopba kerül a fogyás, a másodikba

Részletesebben

Információk. Ismétlés II. Ismétlés. Ismétlés III. A PROGRAMOZÁS ALAPJAI 2. Készítette: Vénné Meskó Katalin. Algoritmus. Algoritmus ábrázolása

Információk. Ismétlés II. Ismétlés. Ismétlés III. A PROGRAMOZÁS ALAPJAI 2. Készítette: Vénné Meskó Katalin. Algoritmus. Algoritmus ábrázolása 1 Információk 2 A PROGRAMOZÁS ALAPJAI 2. Készítette: Vénné Meskó Katalin Elérhetőség mesko.katalin@tfk.kefo.hu Fogadóóra: szerda 9:50-10:35 Számonkérés időpontok Április 25. 9 00 Május 17. 9 00 Június

Részletesebben

Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat, megoldással,

Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat, megoldással, Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat, megoldással, levelező képzés Definiálja az alábbi fogalmakat! 1. Kvadratikus mátrix invertálhatósága és inverze. (4 pont) Egy A kvadratikus mátrixot invertálhatónak

Részletesebben

Legnagyobb anyagterjedelem feltétele

Legnagyobb anyagterjedelem feltétele Legnagyobb anyagterjedelem feltétele 1. Legnagyobb anyagterjedelem feltétele A legnagyobb anyagterjedelem feltétele (szabványban ilyen néven szerepel) vagy más néven a legnagyobb anyagterjedelem elve illesztett

Részletesebben

Statisztikai programcsomagok gyakorlat Pót zárthelyi dolgozat megoldás

Statisztikai programcsomagok gyakorlat Pót zárthelyi dolgozat megoldás Statisztikai programcsomagok gyakorlat Pót zárthelyi dolgozat megoldás A feladatok megoldásához használandó adatállományok: potzh és potolando (weboldalon találhatók) Az állományok kiterjesztése sas7bdat,

Részletesebben

Méretlánc átrendezés elmélete

Méretlánc átrendezés elmélete 1. Méretlánc átrendezés elmélete Méretlánc átrendezés elmélete Egyes esetekben szükség lehet, hogy arra, hogy a méretláncot átrendezzük. Ezeknek legtöbbször az az oka, hogy a rajzon feltüntetett méretet

Részletesebben

Verifikáció és validáció Általános bevezető

Verifikáció és validáció Általános bevezető Verifikáció és validáció Általános bevezető Általános Verifikáció és validáció verification and validation - V&V: ellenőrző és elemző folyamatok amelyek biztosítják, hogy a szoftver megfelel a specifikációjának

Részletesebben

MATEMATIKA HETI 3 ÓRA. IDŐPONT : 2009 június 8.

MATEMATIKA HETI 3 ÓRA. IDŐPONT : 2009 június 8. EURÓPAI ÉRETTSÉGI 2009 MATEMATIKA HETI 3 ÓRA IDŐPONT : 2009 június 8. A VIZSGA IDŐTARTAMA : 3 óra (180 perc) MEGENGEDETT SEGÉDESZKÖZÖK : Európai képletgyűjtemény Nem programozható, nem grafikus kalkulátor

Részletesebben

Vérnyomásmérés, elektrokardiográfia. A testhelyzet, a légzés, a munkavégzés hatása a keringési rendszerre. A mérési adatok elemzése és értékelése

Vérnyomásmérés, elektrokardiográfia. A testhelyzet, a légzés, a munkavégzés hatása a keringési rendszerre. A mérési adatok elemzése és értékelése Vérnyomásmérés, elektrokardiográfia A testhelyzet, a légzés, a munkavégzés hatása a keringési rendszerre. A mérési adatok elemzése és értékelése Pszichológia BA gyakorlat A mérést és kiértékelést végezték:............

Részletesebben

Matematika. 4. konzultáció: Kétváltozós függvények szélsőértéke. Parciális függvény, parciális derivált

Matematika. 4. konzultáció: Kétváltozós függvények szélsőértéke. Parciális függvény, parciális derivált Matematika 1 NYME KTK, Egyetemi kiegészítő alapképzés 2004/2005. tanév, I. évf. I.félév Budapest Előadó: Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet 9400 Sopron, Bajcsy Zs. u. 9. GT fszt. 3. (99) 518

Részletesebben

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Valószínőségi eloszlások Binomiális eloszlás

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Valószínőségi eloszlások Binomiális eloszlás Matematikai alapok és valószínőségszámítás Valószínőségi eloszlások Binomiális eloszlás Bevezetés A tudományos életben megfigyeléseket teszünk, kísérleteket végzünk. Ezek többféle különbözı eredményre

Részletesebben

Korreláció és Regresszió

Korreláció és Regresszió Korreláció és Regresszió 9. elıadás (17-18. lecke) Korrelációs együtthatók 17. lecke Áttekintés (korreláció és regresszió) A Pearson-féle korrelációs együttható Korreláció és Regresszió (témakörök) Kapcsolat

Részletesebben

TU 7 NYOMÁSSZABÁLYZÓ ÁLLOMÁSOK ROBBANÁSVESZÉLYES TÉRSÉGÉNEK MEGHATÁROZÁSA ÉS BESOROLÁSA AZ MSZ EN 60079-10:2003 SZABVÁNY SZERINT.

TU 7 NYOMÁSSZABÁLYZÓ ÁLLOMÁSOK ROBBANÁSVESZÉLYES TÉRSÉGÉNEK MEGHATÁROZÁSA ÉS BESOROLÁSA AZ MSZ EN 60079-10:2003 SZABVÁNY SZERINT. TU 7 NYOMÁSSZABÁLYZÓ ÁLLOMÁSOK ROBBANÁSVESZÉLYES TÉRSÉGÉNEK MEGHATÁROZÁSA ÉS BESOROLÁSA AZ MSZ EN 60079-10:2003 SZABVÁNY SZERINT. Előterjesztette: Jóváhagyta: Doma Géza koordinációs főmérnök Posztós Endre

Részletesebben

Matematika feladatbank I. Statisztika. és feladatgyűjtemény középiskolásoknak

Matematika feladatbank I. Statisztika. és feladatgyűjtemény középiskolásoknak Matematika feladatbank I. Statisztika Elméleti összefoglaló és feladatgyűjtemény középiskolásoknak ÍRTA ÉS ÖSSZEÁLLÍTOTTA: Dugasz János 2011 Fapadoskonyv.hu Kft. Dugasz János Tartalom Bevezető 7 Adatok

Részletesebben

SCM 012-130 motor. Típus

SCM 012-130 motor. Típus SCM 012-130 motor HU SAE A Sunfab SCM robusztus axiáldugattyús motorcsalád, amely különösen alkalmas mobil hidraulikus rendszerekhez. A Sunfab SCM könyökös tengelyes, gömbdugattyús típus. A kialakítás

Részletesebben

SIKLÓCSAPÁGY KISFELADAT

SIKLÓCSAPÁGY KISFELADAT Dr. Lovas Lászl SIKLÓCSAPÁGY KISFELADAT Segédlet a Jármű- és hajtáselemek II. tantárgyhoz Kézirat 2012 SIKLÓCSAPÁGY KISFELADAT 1. Adatválaszték pk [MPa] d [mm] b/d [-] n [1/min] ház anyaga 1 4 50 1 1440

Részletesebben

SZÁMÍTÁSOK A TÁBLÁZATBAN

SZÁMÍTÁSOK A TÁBLÁZATBAN SZÁMÍTÁSOK A TÁBLÁZATBAN Az Excelben az egyszerű adatok bevitelén kívül számításokat is végezhetünk. Ezeket a cellákba beírt képletek segítségével oldjuk meg. A képlet: olyan egyenlet, amely a munkalapon

Részletesebben

Törtek. Rendelhetőek nagyon jó szemléltethető eszközök könyvesboltokban és internetek is, pl:

Törtek. Rendelhetőek nagyon jó szemléltethető eszközök könyvesboltokban és internetek is, pl: Törtek A törteknek kétféle értelmezése van: - Egy egészet valamennyi részre (nevező) osztunk, és abból kiválasztunk valahány darabot (számláló) - Valamennyi egészet (számláló), valahány részre osztunk

Részletesebben

Diszkrét matematika II., 5. előadás. Lineáris egyenletrendszerek

Diszkrét matematika II., 5. előadás. Lineáris egyenletrendszerek 1 Diszkrét matematika II, 5 előadás Lineáris egyenletrendszerek Dr Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@infnymehu http://infnymehu/ takach/ 2007 március 8 Egyenletrendszerek Középiskolás módszerek:

Részletesebben

Tanmenet a Matematika 10. tankönyvhöz

Tanmenet a Matematika 10. tankönyvhöz Tanmenet a Matematika 10. tankönyvhöz (111 óra, 148 óra, 185 óra) A tanmenetben olyan órafelosztást adunk, amely alkalmazható mind a középszintû képzés (heti 3 vagy heti 4 óra), mind az emelt szintû képzés

Részletesebben

Logaritmikus erősítő tanulmányozása

Logaritmikus erősítő tanulmányozása 13. fejezet A műveleti erősítők Logaritmikus erősítő tanulmányozása A műveleti erősítő olyan elektronikus áramkör, amely a két bemenete közötti potenciálkülönbséget igen nagy mértékben fölerősíti. A műveleti

Részletesebben

Operációkutatás vizsga

Operációkutatás vizsga Operációkutatás vizsga A csoport Budapesti Corvinus Egyetem 2007. január 9. Egyéb gyakorló és vizsgaanyagok találhatók a honlapon a Letölthető vizsgasorok, segédanyagok menüpont alatt. OPERÁCIÓKUTATÁS

Részletesebben

Általános statisztika II. Kriszt, Éva Varga, Edit Kenyeres, Erika Korpás, Attiláné Csernyák, László

Általános statisztika II. Kriszt, Éva Varga, Edit Kenyeres, Erika Korpás, Attiláné Csernyák, László Általános statisztika II Kriszt, Éva Varga, Edit Kenyeres, Erika Korpás, Attiláné Csernyák, László Általános statisztika II Kriszt, Éva Varga, Edit Kenyeres, Erika Korpás, Attiláné Csernyák, László Publication

Részletesebben

Jegyzőkönyv. mágneses szuszceptibilitás méréséről (7)

Jegyzőkönyv. mágneses szuszceptibilitás méréséről (7) Jegyzőkönyv a mágneses szuszceptibilitás méréséről (7) Készítette: Tüzes Dániel Mérés ideje: 8-1-1, szerda 14-18 óra Jegyzőkönyv elkészülte: 8-1-8 A mérés célja A feladat egy mágneses térerősségmérő eszköz

Részletesebben

Az értékelés során következtetést fogalmazhatunk meg a

Az értékelés során következtetést fogalmazhatunk meg a Az értékelés során következtetést fogalmazhatunk meg a a tanuló teljesítményére, a tanulási folyamatra, a célokra és követelményekre a szülők teljesítményére, a tanulási folyamatra, a célokra és követelményekre

Részletesebben

Mozgásvizsgálatok. Mérnökgeodézia II. Ágfalvi Mihály - Tóth Zoltán

Mozgásvizsgálatok. Mérnökgeodézia II. Ágfalvi Mihály - Tóth Zoltán Mérnökgeodézia II. Ágfalvi Mihály - Tóth Zoltán Célja: Várható elmozdulások előrejelzése (erőhatások alatt, Siógemenci árvízkapu) Már bekövetkezett mozgások okainak vizsgálata (Pl. kulcsi löszpart) Laboratóriumi

Részletesebben

4. Javítás és jegyzetek

4. Javítás és jegyzetek és jegyzetek Schulcz Róbert schulcz@hit.bme.hu A tananyagot kizárólag a BME hallgatói használhatják fel tanulási céllal. Minden egyéb felhasználáshoz a szerző engedélye szükséges! 1 Automatikus javítás

Részletesebben

A 9001:2015 a kockázatközpontú megközelítést követi

A 9001:2015 a kockázatközpontú megközelítést követi A 9001:2015 a kockázatközpontú megközelítést követi Tartalom n Kockázat vs. megelőzés n A kockázat fogalma n Hol található a kockázat az új szabványban? n Kritikus megjegyzések n Körlevél n Megvalósítás

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Matematika I

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Matematika I Matematika I (Analízis) Készítette: Horváth Gábor Kötelező irodalom: Ács László, Gáspár Csaba: Analízis 1 Oktatási segédanyagok és a tantárgyi követelményrendszer megtalálható a http://rs1.szif.hu/ horvathg/horvathg.html

Részletesebben

6. OSZTÁLY. Az évi munka szervezése, az érdeklõdés felkeltése Feladatok a 6. osztály anyagából. Halmazok Ismétlés (halmaz megadása, részhalmaz)

6. OSZTÁLY. Az évi munka szervezése, az érdeklõdés felkeltése Feladatok a 6. osztály anyagából. Halmazok Ismétlés (halmaz megadása, részhalmaz) 6. OSZTÁLY Óraszám 1. 1. Az évi munka szervezése, az érdeklõdés felkeltése a 6. osztály anyagából Tk. 13/elsõ mintapélda 42/69 70. 96/elsõ mintapélda 202/16. 218/69. 2 3. 2 3. Halmazok Ismétlés (halmaz

Részletesebben

Egyes logisztikai feladatok megoldása lineáris programozás segítségével. - bútorgyári termelési probléma - szállítási probléma

Egyes logisztikai feladatok megoldása lineáris programozás segítségével. - bútorgyári termelési probléma - szállítási probléma Egyes logisztikai feladatok megoldása lineáris programozás segítségével - bútorgyári termelési probléma - szállítási probléma Egy bútorgyár polcot, asztalt és szekrényt gyárt faforgácslapból. A kereskedelemben

Részletesebben

S atisztika 2. előadás

S atisztika 2. előadás Statisztika 2. előadás 4. lépés Terepmunka vagy adatgyűjtés Kutatási módszerek osztályozása Kutatási módszer Feltáró kutatás Következtető kutatás Leíró kutatás Ok-okozati kutatás Keresztmetszeti kutatás

Részletesebben