Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem. Közlekedésmérnöki és Járműmérnöki Kar. Vasúti Járművek és Járműrendszeranalízis Tanszék

Átírás

1 Budapest Műszak és Gazdaságtudomáy Egyetem Közlekedésmérök és Járműmérök Kar Vasút Járművek és Járműredszeraalízs Taszék MÉRNÖKI MATEMATIKA A Közlekedésmérök és Járműmérök Kar MSc szakja tauló mérökhallgatók számára írta: Prof.Dr. Zobory Istvá Apácza Csere Jáos díjas egyetem taár BUDAPEST / 8

2 TARALOMJEGYZÉK. Előszó Mérök redszerek jellemzése redszeroperátorral... 5 A zárt tervallumo folytoos függvéyek leárs tere... 6 Összefoglaló megállapítások leárs terekről... 9 Leárs terek között leképezések operátora... A leárs tér elemeek függetlesége... Bázsfogalom leárs térbe... 3 Norma bevezetése leárs térbe... 6 Távolságfogalom, metrkus tér... 8 Kovergeca fogalmak függvéytérbe... 9 Függvéysorozatok függvéytér elemeből, függvéysorok... A leárs tér teljessége... Utér leárs terek... Sorozatterek... 4 Az -dmezós eukldész-tér: R... 5 Bázscsere kísérő traszformácó, és a traszformácó mátra... 6 Másod- és magasabbredű tezorok, mt homogé leárs operátorok... 8 Külöböző dmezós terek közt leképezés leárs operátorokkal... 9 A leárs operátor mátra... 3 A leárs operátor mátráak traszformálódása bázscsere eseté Skalár-, vektor- és tezormezők és alkalmazásak... 3 Vektorváltozós skalárértékű függvéyek... 3 Vektorváltozós vektorértékű függvéyek A dervált tezor mátráak varása Dvergecamező Rotácómező Itegrálredukcós tételek... 4 Néháy mérök alkalmazás... 4 Felhajtóerő száryproflo... 4 Örvéygép járókerekéek szállító/esés magassága Forrás- és örvéymetes vektormező Vektormező örvéyessége Ihomogé rotácómező Elektrodamka alkalmazás, Mawell-egyeletek Függvéysorozatok és függvéysorok... 5 Függvéysorozatok kovergecavszoya... 5 Hatváysorok, Taylor-sor... 5 Trgoometrkus Fourer-sorok A Fourer-együtthatók véglegesség relácója Általáos ϕ-fourer-sorok Teljes ortoormált redszerek Haar-wavelet, Shao-Kotyelykov wavelet Dfferecálegyeletek és tegrálegyeletek Alapfogalmak Elsőredű közöséges dfferecálegyeletek Magasabbredű dfferecálegyeletek kezelése A kezdet érték probléma megoldhatósága, a megoldás egyértelműsége / 8

3 Ekvvales tegrálegyelet... 7 Leárs dfferecálegyeletek... 7 Wrosk-determás Homogé leárs dfferecálegyelet megoldása, alapredszer Ihomogé leárs dfferecálegyelet általáos megoldása Kísérletező feltevés (Asatz) Az álladók varálása Változó együtthatós leárs homogé dfferecálegyeletek Bessel-függvéyek Bessel-fügvéyek ortogoaltása, Bessel függvéyekbe való sorfejtés D-féle ortogoáls függvéyredszer, Fourer-Bessel-D sorfejtés Dfferecálegyeletek umerkus megoldása Euler-módszere Ruge-módszere Ruge-Kutta módszer Dfferecálegyeletek megoldásáak stabltás problémája Külöös stabltás, káosz Etrémum problémák Lokáls szélsőérték Feltételes szélsőérték Nemleárs függvéy feltételes szélsőértéke Homogé leárs célfüggvéy, leárs programozás (LP) Varácós feladat... Alapfogalmak... Euler-Lagrage dfferecálegyelet... 5 A varácószámítás drekt módszere Sztochasztkus folyamatok a redszerjellemzésbe... Valószíűségelmélet alapfogalmak... Sztochasztkus folyamatok... Rekurres folyamatok... 3 Markov-folyamatok... 5 Szem-Markov folyamatok... 6 Stacoárus folyamatok... 8 Az ergodctás kérdésköre... A sztmeghaladás jellemzése... 5 Leárs redszer gyegé stacoárus bemeő folyamattal Ajálott rodalom / 8

4 ELŐSZÓ Ez a taköyv azo előadásam ayagát tartalmazza melyeket a a Budapest Műszak és Gazdaságtudomáy Egyetem Közlekedésmérök és Járműmérök Karáak MSc szakja tauló elsőéves hallgatók számára tartottam Mérök matematka címmel a 9/-es taévtől kezdődőe. A tatárgy fotos célja olya, tárgyalásmódjába és eszközredszerébe korszerű módo bemutat az alkalmazott matematka mérök redszer-problémákkal kapcsolatos modelljeek felállítását és a megoldások elvet, amely alkalmassá tesz a mérök hallgatókat, hogy tovább taulmáyak sorá a szaktatárgyakba, valamt később okl.mérök mukájuk sorá kapcsolód tudjaak a korszerű szakrodalomba elterjedt magas sztű matematka tárgyalásmódhoz. Tektettel arra, hogy az MSc képzés tatervébe egyes matematka módszerek más alapozó tatárgyakba szerves haszálatra kerülek, ezért a jele tárgyba eze smertek vehető matematka fejezetek (pl. sajátérték-probléma, umerkus megoldások) tárgyalását már csak terjedelm okok matt s mellőztük. Az. fejezetbe a mérök redszerek átvtel tulajdoságaak redszeroperátorral való jellemzése érdekébe a bemeet és kmeet függvéytereket mt leárs tereket tárgyaljuk. Így a korább taulmáyokat tovább épít a leárs függvéyterek sajátosságaak megsmerése, melyhez jó alapot ad a folytoos be- és kmeet függvéyek alapesetéek taulmáyozása. A leárs traszformácók és operátorok, továbbá bázsfüggő mátrak tárgyalása hdat ver a korábba taultak háromdmezós terekbe megsmert matematka eszközökhöz. A. fejezetbe a mérök alkalmazásokba fotos skalár, vektor- és tezormezők kerülek tárgyalásra, bemutatva a bevezetett fogalmak és módszerek mechaka, áramlásta és elektrodamka alkalmazásat s. A 3. fejezet a függvéysorozatok és függvéysorok tárgyalásáak va szetelve, kemelte kezelve a sma tulajdoságú függvéyek hatváysorokkal és a perodkus függvéyek trgoometrkus Fourer-sorokkal való közelítés módszerét. A fejezet megalapozott bevezetést ad a teljes ortoormált függvéyredszerek segítségével készíthető ϕ-fourer-sorok és a lokáls jellemzést bztosító wavelet bázsok kérdésköréhez s. A 4. fejezetbe a dfferecálegyeletek és tegrálegyeletek megoldhatóságát és a megoldás egyértelműségét vzsgáló bevezető rész utá a fotos homogé és homogé leárs dfferecálegyeletekre voatkozó kezdet érték problémák megoldását tárgyaljuk. Bemutatásra kerülek a dfferecálegyeletek és dfferecálegyelet-redszrek kezdet érték problémájáak umerkus megoldására alkalmazható legfotosabb módszerek. A korább taulmáyok kterjesztését jelet a Bessel-függvéyekbe való sorfejtések tárgyalása. A fejezet tárgyalja még a kezdet érték feladat megoldása stabltásáak alap problémáját és leárs dfferecálegyelet esetére megfogalmazza a megoldás stabltásáak a karaktersztkus egyelet gyökere támaszkodóa kértékelhető feltételét. A fejezet ktektést ad a emleárs redszerek megoldásaak sajátos stabltására, a káosz kérdéskörére. Az 5. fejezetbe a mérök redszerekkel kapcsolatos etrémum-problémákat tárgyaljuk, a lokáls etrémum-helyek meghatározását, a feltételes szésőérték-feladatok kérdéskörét, eze belül a leárs célfüggvéyel és leárs korlátozó feltételekkel meghatározott leárs programozás feladatokat vzsgáljuk egy mérök alkalmazás részletes bemutatásával. A szélsőérték vzsgálatokat a fukcoálok szélsőérték helyeek meghatározását célzó varácós feladatok tárgyalásával zárjuk, levezetve az Euler-Lagrage egyeleteket és rövde bemutatva a varácószámítás egyk leghatékoyabb umerkus módszerét a Rtz-módszert. A 6. fejezetbe a valószíűségelmélet eszközök rövd összefoglalása utá sztochasztkus folyamatok mérök redszerjellemzés szempotjából legfotosabb égy osztályát tárgylajuk. Ezek: a rekurres folyamatok középpotba helyezve a specáls de agyo fotos Posso folyamatot, az előzméyfüggetleséget felmutató Markov-folyamatok, a csakem mde sztochasztkus folyamattal leírható jeleség modellezésére alkalmas szem-markov-folyamatok, végül pedg talá legagyobb részletességgel a stacoárus folyamatok kerülek tárgyalásra. A gyegé stacoárus folyamatok közül a mérök alkalmazásokhoz agy fotossággal bírak az ergodkus folyamatok, melyek potos defálására és az ergodctás feállásáak feltételere súlyt helyez a tárgyalás. Végül a gyegé stacoárus folyamattal gerjesztett leárs dővarás redszerek frekvecatartomáybel kezelését a be- és kmeet folyamatok spektráls sűrűségfüggvéye kapcsolatáak levezetésével mutatjuk be, mely kapcsolat eve: a statsztka damka alaptörvéye. Budapest,. december 3. A szerző 4 / 8

5 . Mérök redszerek jellemzése redszeroperátorral A mérök gyakorlatba túlyomóa vselkedő redszereket vzsgáluk. Ezek esetébe adott behatás folyamatra a redszer a belső felépítésével meghatározott válaszfolyamatot ad. A kérdés a behatásfolyamat és a válaszfolyamat kapcsolata. Legye a vzsgálat dőkerete meghatározott véges zárt dőtervallum, jelölje I, Eze az I tervallumo értelmezett (t) bemeő függvéyt a redszer átvsz a kmeete jeletkező, ugyacsak az I tervallumo értelmezett y(t) válaszfüggvéybe. Azt modjuk, hogy a redszer kmeeté a bemeő függvéyek az R redszeroperátor szert képe jeletkezk: y(t) = R (t). A bemeetre érkező függvéysokaság egyk egyszerű reprezetása: az I felett folytoos függvéyek C(I) sokasága. A C(I) függvéyhalmaz eleme tehát az I zárt tervallum felett folytoos (és így az I zártsága matt I be egyeletese s folytoos) függvéyek. C(I) eleme (t) (t) A C(I) függvéysereg végtele sok elemből áll. Eze túlmeőe elempárja művelet értelmezett, azaz két C(I) bel függvéyhez a művelettel egy harmadk függvéy redelhető. redelhető. Térjük k a művelet fogalmára! Alapesetbe a művelet egy kétváltozós függvéy, a művelet az és bemeet meységekhez az f(, ) művelet eredméyt redel kmeetkét. (t) 4 (t) 3 (t) 5 szakaszokét leárs appromácója (közelítése), A két valós szám skalár algebra összeadás műveletét pl. a következőképp szemléltethetjük:,, 5 / 8

6 A C(I) bel és függvéyek összeadása a következőképp értelmezhető. Az + összeg függvéy t hely helyettesítés értéke legye egyelő az összeadadó és tag függvéyek t hely é helyettesítés értékeek összegével, képletbe:. Ezzel a C(I) függvéytérbe értelmezett az összeadás művelete, és ha és folytoos volt az I felett, akkor s folytoos lesz I felett, ezért C(I) függvéytér zárt az így értelmezett összeadás műveletére, az összeadás műveletéek eredméye em vezet k C(I)-ből! Következő tárgyalásukhoz célszerű bevezet a halmazok közt értelmezett drekt (Descartesféle vagy kartézus) szorzás műveletét. Legye H, H,,H számú tetszőleges halmaz. Elsőkét a H és H halmaz-pár drekt szorzatát értelmezzük., : é. Tehát a H H szorzat azo sorredjük szert redezett elempárok halmaza, ahol a pár első eleme H -bel, másodk eleme pedg H -bel. Hasoló godolatmeettel értelmezhető az alábbak szert az -számú halmaz drekt szorzata:,,, : é,,é. A fetek alapjá két, a számegyeese fekvő zárt tervallum drekt szorzata egy a síko fekvő zárt téglatartomáyt, egy -dmezós tervallumot zárt határoz meg: pl.:,,, =, :, é, ó á éá A C(I) függvéytérbe bevezetett + műveletet leképezéskét értelmezhető. Tektsük elsőkét a C(I) függvéytér ömagával vett C(I) C(I) drekt szorzatát. Eze szorzathalmaz eleme az I-felett folytoos függvéyek alkotta függvéypárok. A + művelet ezek utá a következő leképezéskét értelmezhető: + : C(I) C(I) C(I), azaz a + jelű művelet folytoos függvéyek alkotta C(I) C(I) bel függvéypárhoz egy harmadk, ugyacsak folytoos C(I) -bel függvéyt redel. A helyzetet az alább ábra szemléltet: 6 / 8

7 A baloldal körökből választott függvéypárhoz mt tárgy függvéyekhez a + művelet egy C(I) -bel képfüggvéyt redel, ez az összeg függvéy. Az így értelmezett C(I) -bel összeadás művelet 4 művelet azoosságak tesz eleget: a) kommutatvtás:, C(I)-re. b) asszocatvtás:,,, C(I)-re. c) A C(I) térek va zéró eleme: ez a + műveletre ézve eutráls elem: C C(I) melyre, C Az I felett azoosa zéró értékű (t) függvéy grafkoja fed az I tervallumot. d) Va C(I)-hez addtív verz függvéy, evezetese az C(I), melyre:, é é éé,. A C(I) függvéy sokaság (függvéytér) eleme kapcsolatba léphetek egy számtest elemevel. Emlékeztetük arra, hogy számtestről defícó szert akkor beszélük, ha egy számhalmazba a 4 alapművelet korlátozás élkül elvégezhető. Alapesetbe számtestek az valós számtestet tektjük. Vezessük most be a folytoos függvéyek valós számmal való szorzásáak műveletét. Tektsük ehhez előbb a C(I) szorzathalmazt, mt a C(I) bel függvéy és valós szám alkotta párok sokaságát. A függvéyek számmal való szorzásakét azoosított műveletet mármost a C(I) halmazak a C(I)-re való leképezésekét értelmezhető a következőképpe: : C(I) C(I). Ez tehát a -bel számmal való szorzás azt jelet, hogy C(I) és eseté meghatározott egy újabb C(I)-bel. elem, amely az (t) függvéy számmal vett szorzata, rövde számszorosa. (t) C(I) γ ( t) C(I) γ Γ 7 / 8

8 Az így értelmezett számmal való szorzás az alább művelet azoosságokak tesz eleget:.), é, Γ.). dsztrbutvtás Γ é, 3.). dsztrbutvtás, Γ é 4.) Létezk a számmal való szorzásra ézve eutráls elem -ba, ez a bel eegységelem, a valós szám: ; és A fet két műveletre ézve megvalósult zártság, és a bemutatott kétszer égy művelet azoosság érvéyessége matt z I = [a,b] tervallumo értelmezett folytoos függvéyek C(I) sokasága: LINEÁRIS TÉR A TEST FELETT, és ez a leárs tér (mt később kderül) végtele dmezós! Leárs alterek C(I)-be Defcó: A C(I) valamely Y(I) em üres részhalmaza leárs altér C(I)-be, ha ez a részhalmaz maga s leárs tér a C(I)-be értelmezett műveletekre ézve. Az ábra mutatja a C(I) azo Y(I)=C*(I) leárs alterét, amelyet az = a-ba és az = b-be zérus értéket felvevő, [a,b]-be folytoos függvéyek alkotak. Ismeretes, hogy az I = [a,b] tervallumba feálló folytoosság em szükséges ahhoz, hogy egy függvéysokaság leárs teret alkosso. Például az I = [a,b] felett értelmezett Remaszert ható függvéyek s leárs teret alkotak a valós számtest mt felett. Nyíl- 8 / 8

9 vávaló, hogy a jelzett tegrálhatósághoz a folytoosság megkövetelése em szükséges. A példakét bemutatott két helye véges ugráshellyel bíró függvéy Rema-szert tegrálható. Néháy a mérök gyakorlatba fotos függvéytér vszoyredszerét Gatdagram szemléltet. Összefoglaló megállapítások a leárs terekről A leárs tér egy matematka objektum-pár:, ahol X az alaphalmaz és a skalártest, pl.: vagy, amely felett a leárs teret értelmeztük. A két bevezetett művelet mt leképezés-pár volt értelmezve, mdkét művelet eredméye s X-bel, és mdkét műveletre 4-4 művelet azoosság teljesülését követeljük meg. Reprezetás példakét tektettel a mérök redszer-problémákba szereplő be és kmeet efüggvéyterek fotosságára a számegyeese fekvő véges I = [a,b] zárt tervallumo értelmezett C(I)-folytoos valós-értékeket felvevő (valós értékű) függvéyekek a valós számtest felett leárs terét választottuk. A részletese bemutatott összefüggések szert tehát C(I) = :folytoos, leárs tér, a két művelet: a.) +, az összeadás művelete, erre zárt a leárs tér C(I) alaphalmaza (a + művelet eredméye s C(I)-bel), b.), a számmal való szorzás művelete, és erre s zárt a leárs tér C(I) alaphalmaza ( művelet eredméye s C(I)-bel). A leárs térbel műveleteket leképezésekek felfogva az alább általáos, tömör, szemléltető felírást adjuk az (X,) leárs térről:,, I. +: ; zárt a műveletre aművelet azoossága 3, Xbel elempárok 4, halmaza,, II. : ; zárt a műveletre a művelet azoossága 3, 4, Kemeljük, hogy az X alaphalmaz és mdg végtele elemű halmaz, ( vagy ) Példák a mérök mukába fotos leárs terekre egy kvétel kemelésével l.), eseté, leárs tér: azaz a valós számtest ömaga felett leárs teret alkot 9 / 8

10 .), eseté, leárs tér: azaz a komple számtest a valós számtest felett leárs teret alkot 3.), é, leárs tér: azaz a komple számtest a komple számtest felett leárs teret alkot 4.), é, leárs tér A -bel számmal való szorzás tt kvezet -ből 5.), é, leárs tér: azaz az I felett folytoos függvéyek a valós számtest felett leárs teret alkotak 6.) Jelölje C (I) az I tervallum mde potjába dfferecálható függvéyek sokaságát. Ekkor az X = C (I), eseté (C (I),) leárs tér: azaz az I felett dfferecálható függvéyek a valós számtest felett leárs teret alkotak 7.) Jelölje C (I) az I tervallum mde potjába kétszer dfferecálható függvéyek sokaságát. Ekkor az X = C (I), eseté (C (I),) leárs tér: azaz az I felett kétszer dfferecálható függvéyek a valós számtest felett leárs teret alkotak 8.) Jelölje L (I) az I tervallumo abszolút értékbe égyzetese tegrálható valós változós, komple-értékű függvéyek sokaságát: :,,. Ekkor az X = L (I), eseté (C (I),) leárs tér: azaz az I felett abszolút értékbe égyzetese tegrálható valós változós, komple-értékű függvéyek a komple számtest felett leárs teret alkotak A leárs terek között leképezések operátora Már szóba került, hogy a mérök redszerek átvtel tulajdoságat a bemet és a kmeet leárs terek között leképezések operátora jeleítk meg. A redszer y(t) kmeő (válasz) függvéyét az (t) bemeő (gerjesztő, zavaró, vezérlő, stb.) függvéy R redszeroperátor szert képfüggvéykét értelmezzük. A már bevezetett jelölésekkel: y(t) = R (t). Mérök szempotból alapvető operátor típus: a leárs operátor Legye (X, és (Y, két leárs tér azoos = R test felett. Defcó: Az A: X Y leképezést homogé leárs operátorak evezzük, ha teljesül két jellemző tulajdoság:.) az A összegtartó tulajdoságú:.) az A aráytartó tulajdoságú: Példák homogé leárs operátorokra,,,, / 8

11 . Legye a dfferecálható függvéyek leárs tere felett. defcóval meghatározott dfferecáloperátor homogé leárs, ugyas a dfferecálás szabálya szert:., teljesül az összegtartás, és b.), azaz teljesül az aráytartás s.) Legye X az [a,b]-be Rema-szert tegrálható függvéyek leárs tere R felett és Y = R a valós számtest mt vektortér ugyacsak R felett. Ekkor a határozatla tegrál által meghatározott leképezés amely függvéyhez számot (a görbe és az -tegely közé zárt előjeles területet mérőszámát redel leárs operátor, mvel a határozott tegrálás szabálya szert: a.) b.), azaz teljesül az aráytartás s., teljesül az összegtartás, és 3.) A mérök redszerekbe érvéyesülő redszeroperátor hatás szemléltetésére az egy szabadságfokú leárs, gerjesztett és csllapított legőredszer példását tektjük. merevség s F(t) gerjesztő erő d leárs csllapítás téyező m y(t) ktérés válasz A vzsgált egyszerű leárs damka redszer operátoráak jellemzéséhez tektsük a ketka Newto-féle alapegyeletéek alkalmazását, fgyelembe véve, hogy az a gyorsulás az y(t) ktérésfüggvéy dő szert másodk derváltja: rugalmas vsszatérítő erő l. csllapító erő, külső gerjesztő erő A ktérésfüggvéy most kétszer dfferecálható, azaz y és a gerjesztőerő dőfüggése folytoosak va feltételezve:. Átredezve a kapott dfferecálegyeletet a szokásos, alakot kapjuk. Bevezetjük a dfferecáloperátort, eek kétszer egymás utá alkalmazásával értelmezett operátorszorzás művelettel = adódk. Ezt fgyelembe véve a p és p operátorok alkalmazásával kapjuk az y(t) válaszfüggvéyt a gerjesztő bemeet függvéybe átvvő operátor polomos felírást: / 8

12 ,. A belépett operátor polom maga s operátor és ezt az operátort az általuk defált R redszeroperátor verz operátorakét azoosíthatjuk. Ezzel adódk az R - Mvel p dfferecáloperátor volt a kapott R - operátorpolom s dfferecál operátor jellegű! Ezért fgyelembe véve hogy az általuk bevezetett R redszeroperátor az R = (R - ) - összefüggés alapjá áll elő, kmodhatjuk, hogy az R redszeroperátoruk operátor jellegű kell, hogy legye! Valóba, a leárs damka redszerük esetébe s értelmezhető a h(t) súlyfüggvéy amely a leárs, dővarás redszer jellemző függvéye, és az egységmpulzus bemeetre (a Drac δ-ra) adott redszer válasszal va értelmezve. Ismeretes a korább taulmáyokból, hogy a súlyfüggvéy smeretébe a redszerválasz kovolúcó típusú tegráloperátorral áll elő y(t) = R F(t) =. Alakba, tehát R tegráloperátor volta közvetleül leolvasható. A leárs tér elemeek leárs függetlesége A leárs algebrába agyo fotos szerepet kap a leárs tér bzoyos elemeek leárs függetlesége vagy leársa összefüggő volta. A leárs függetleség defícója a következő: Defícó: Az (X, l. tér,,, elemet leársa függetleek evezzük, ha az eze elemekkel képezett l. kombácó csak úgy adhatja k az X halmaz zéróelemét, ha az összes bel,, együttható zérus. Másképp: Ha,,, X -bel elemek leársa függetleek, akkor a egyelőség csak úgy állhat fe, ha λ λ λ teljesül. Leársa függetle elemek eseté csak a trváls (csupa zéró együtthatós) leárs kombácók tűhetek el. Jogos kérdés: háy leársa fgtl. elem létezk valamely (X, l. térbe? Válasz: defícó szert az (X, l. tér dmezója, ha található bee számú leársa függetle elem, de mde + számú elem már leársa összefüggő. Leársa összefüggő elem -es: ha ezekkel a zéró-elem em csupa zéró -val s előállítható. A leárs összefüggéssel kapcsolatba érvéyes a következő tétel: Valamely elem -es eseté akkor és csak akkor leársa összefüggő, ha valamelyk elem a többtől leársa függ. (a bzoyítást az olvasóra bízzuk). A fetekkel összhagba véges dmezós leárs térről beszélük, ha <. Nylvávaló, hogy (,) -dmezós, míg C(I) és L ([a,b]) -dmezós. Az utóbb két függvéytérbe tehát kválasztható akárháy ( sok) leársa függetle elem. / 8

13 Fotos kérdés a leárs algebrába az egyébkét végtele elemű X alaphalmaz tetszőleges eleméek egy ktütetett X-bel elemcsoport leárs kombácójakét való előállíthatósága. Eze kérdéshez kapcsolódk a következő defícó. Defícó: Az (X, leárs tér X alaphalmazáak,,, elemet geerátorredszerek evezzük, ha tetszőleges elem előáll a geerátorredszer elemeek leárs kombácójakét, az előállított elemre ézve specfkus (a tektett elemhez redelt) c, c,,c együtthatókkal alakba. A geerátor redszer szemléltetésére tektsük a (, leárs teret. Az X = alaphalmaz elemet most síkbel vektorokkal ábrázolhatjuk. Az ábrabel, és vektorok az X = egy geerátorredszerét alkotják Egy tetszőlegese választott vektor a bemutatott szaggatott voalas vektorok összegekét áll elő és ez az összeg éppe a geerátorredszer elemeek (egy) leárs kombácója, hsze a szaggatott voalas vektorok a geerátorredszer elemeek számmal való szorzásával adódtak (yújtás, zsugorítás).,, elemek az, geerátorredszerét adják A geerátorredszer elemevel ugya elő lehet állíta az X alaphalmaz elemet leárs kombácókét, de ez az előállítás messze em egyértelmű. Az egyértelmű előállíthatóság azoba fotos kérdés, és ezért meg kell szoríta valamlye tovább tulajdoság előírásával a geerátor redszer elemeek meghatározását. Eze megszorítás vezet a bázs fogalmához Defícó: Az (X, leárs tér alaphalmazáak,,, elem -esét bázsak evezzük, ha:. Az elem -es geerátorredszer,. Az elem -es eleme leársa függetleek. A fet defícó alapjá tehát a leárs tér bázsa leársa függetle elemű geerátorredszer. A leárs tér alaphalmaza tetszőleges eleméek egyértelműségéről szól a következő Tétel: Ha (X, véges dmezós, akkor bármely eleme egyértelműe állítható elő a bázselemek leárs kombácójakét. Bzoyítás: Idrekt. Tegyük fel a tétel állításával elletétbe, hogy ttszőleges yx elem az,,, bázs elemekkel kétféleképpe s előállítható leárs kombácókét: 3 / 8

14 ahol az együtthatók em azoosak, azaz,á. Egyelővé téve a két jobb oldalt: adódk, majd zéróra redukálva az egyeletet a,. egyelet adódk az X tér zéróeleméek előállítására. Mvel,,, bázs és eleme leársa függetleek, ez csak úgy lehet, ha,. Így az a feltevés, hogy létezhet két külöböző bázselőállítása az y elemek, elletmodásra vezetett. Tehát a bázselőállítás egyértelműségére voatkozó tételt bebzoyítottuk! Q.e.d. Bázsra voatkozóa az I = [a,b] felett folytoos függvéyek egy specáls véges-dmezós (de továbbra s végtele elemű) leárs alterét vzsgáljuk. A jelzett leárs altér megadása: : 5 rögzített helyetöréspottal bír,,szakaszokét l. Az így értelmezett altér 5 dmezós. Egy alkalmas bázsát az u. háztető függvéyek b (), b(),,b 5 (), sorozata alkotja. A háztetők csúcsa egységy magasak: b b a b a b b 4 b 3 a b a b 4 / 8

15 b 5 a b A megadott bázsfüggvéyekkel tetszőleges (öt belső töréspotú) eltüő végpotokkal bíró töröttvoal egyértelműe felírható:, ahol a specáls bázsválasztás matt, Egy, a bemutatott bázso kfeszített töröttvoalat az alább ára mutatja be f Adott [a,b] és,,... 5, [a,b] a b véges dmezós: dm C(I)=5 Eddg tárgyalásukba reprezetás leárs térkét a C(I) függvéyteret tektettük, vagys az I = [a,b]tervallum felett folytoos függvéyek leárs terét. Eek egyk leárs alterekét pedg a fetekbe taglalt tulajdoságú, a kezdő és végpotba eltűő véges sok potba töréspottal bíró töröttvoalak sokasága, szakaszokét leárs függvéyek halmazát vzsgáltuk. Láttuk a egy jellegzetes bázsát, ahol a töréspot abszcsszák száma. A véges, -dmezós leárs függvéytér, szembe C(I)-vel, amely dmezós. A mérök számítások sorá C(I) elemeek végesdmezós közelítő reprezetácója válk lehetővé, mert a folytoos függvéy töröttvoal függvéyel közelíthető, ha a töréspotok száma elég agy. Még jobb a közelítés, ha még agyobb A fet példába az I tervallum végpotokba eltűő f() C(I) elemét az osztáspotokba töréspotokkal bíró szakaszokét leárs () C(I) függvéyel (törött 5 / 8

16 voallal) közelítettük. Mvel az osztáspotok rögzítettek, az mérök szempotból értékes formácót az eredet f() függvéy osztáspotokbel felvett helyettesítés értékeek sorozata tartalmazza. Ez utóbb függvéy helyettesítés érték sorozat elemeből véges dmezós vektort készítve reprezetálható a függvéy közelítés. f f f f a b f Az általáosabb esetbe, ha a közelítedő f() függvéy olya, hogy f(a), akkor a háztető bázselemekhez két féltető bázselem veedő hozzá (az [a,b] elejéél és végéél). Ezek a bal tervallum végpot és az első osztáspot között leárs b (), és a osztáspot és a baloldal tervallum végpot között leárs b + () kegészítő bázsfüggvéyek. Mdkét kegészítő féltető bázsfüggvéy mamáls értéke az ábrá vázolt módo egységy. Bár eddg tárgyalásukba jórészt számukra az I felett folytoos függvéyek C(I) sokasága volt a reprezetás függvéytér, hagsúlyozuk kell, hogy a mérök számításokba ahol s jórészt másodredű, de esetekét magasabb-redű dfferecálegyeletek vagy dfferecálegyelet redszerek lépek be a redszerjellemzésbe. Ekkor fotos szerepet kapak a a felett értelmezett,, leárs függvéyterek (az I tervallumo értelmezett -szer, -szer, stb. dfferecálható függvéyek alkotta leárs függvéyterek a valós számtest felett esetleg felett). Norma bevezetése leárs terekbe Az (X, leárs tér X alaphalmazába lévő elemek között távolságfogalom kalakításához, és ez által az X-bel sorozatok kovergeca fogalmaak megalapozásához az X halmaz elemehez em egatív valós számot redelük hozzá, am tulajdoképpe egy re értelmezett, em egatív és em leárs N() függvéy megadását jelet. 6 / 8

17 Defícó: A eleme felvett N(), értéket az elem ormájáak evezzük, ha az N() függvéy teljesít a következő három feltételt (ezek a ormatulajdoságok ): ), ha ) ; é em leárs 3),, háromszög egyelőtleség, em leárs Felvethető a kérdés, hogy található-e egyáltalá lye tulajdoságú N() függvéy, va e ormált leárs tér? A válasz: ge, agyo sok!.) A mérök alkalmazások szempotjából alapvető jeletőségű X=, esetbe, árs tér, vagy, am ugyaaz, az -dmezós euklídész tér (másképp: az - dmezós umerkus tér) ormálható és a orma többféleképp s bevezethető. Legye tehát =,,, T akkor az alább három orma változatot mutatjuk be: pl..), eve: euklídész orma, pl..),, eve: koordátamamum orma, pl.3.), eve: abszolút érték összeg orma. = eseté jól szemléltethető az, é azzal, hogy hol helyezkedek el azo elemek, amelyekre, ahol adott. (Mlye mérta helye fekszeek a síkba az adott ormájú elemek a külöböző ormaértelmezések esetébe?)., orgó körül ε sugarú kör egyelete.,, orgó körül koordátaráyú oldalú égyzet, oldalhossza ε 3., orgó körül.ε oldalhosszú csúcsá álló égyzet, mert pl. l. be ha, é,, é ő ráytages absz. tag A fet meggodolások alapjá meg lehet rajzol az orgó körül a N = ε voalakat. 7 / 8

18 .) Leárs függvéyterek esetébe s értelmezhető a orma. Tektsük az [a,b] felett folytoos függvéyek sokaságát, vegyük alaphalmazkét smét az X = C(I) halmazt. eseté (C(I), ) leárs tér, eleme f() C(I), és N C (f) az f ormája: (f),, Megjegyzés: Elterjedt a ormára az N(f)= f jelölés s. Megjegyzés: Ha N(f) kcs, akkor f közel va az f()= azoosa zérus értékű függvéyhez, azaz a C(I) tér zéróeleméhez. 3.) Az, :,, ; az [a,b]- értelmezett komple értékű, abszolút értéke égyzetével együtt az [a,b]- ható függvéyek leárs teret alkotak felett, azaz most. A most bevezetett (X, függvéytér tehát leárs tér. Ebbe s bevezethető orma: / Megjegyzés: Az által geerált topológa erősebbek bzoyul majd az által geeráltál Távolságfogalom, metrkus tér: Defícó: Legye X tetszőleges halmaz. Az (X,d) párt metrkus térek evezzük, ha értelmezett a : leképezés (az X elempárjahoz d(,y) emegatív távolságot redel) a következő 3 tulajdoság teljesülése eseté:.,, emegatvtás.,,,, szmmetrctás 3.,,,,,, háromszög egyelőtleség Az -dmezós umerkus tér (az euklídész tér) metrkus s. Bevezethető az euklídész távolság két tetszőleges és y elem voatkozásába: X =,,,,,,,,,. 8 / 8

19 , eukldész távolság Eek köze va a ormához:, Nem véletle a fet összefüggés. Érvéyes a következő Tétel: Normált leárs tér mdg metrkus s, és érvéyes:, -be a 3 fajta ormáak megfelelőe három fajta távolság, a tektett függvéyterekbe pedg az alább két távolság értelmezett: d c (f,g)=,,,, ; d L (f,g)= /,,, Pl.: a folytoos függvéyek C(I) terébe az f() és g() függvéyek távolsága jól szemléltethető: a) ha d c (f,g) kcs, akkor f() és g() az [a,b] felett egyeletese közel helyezkedk el. b) d L (f,g)-be mérve a közelség csak égyzettegrálra ézve áll fe! Mde esetre jól értelmezett távolságfogalom áll redelkezésre a függvéyek távolságáak mérésére. Ez ahhoz kell, hogy egy függvéysorozat esetébe az de övekedésekor megvalósuló vselkedés értelmez tudjuk. Egy függvéysorozattal kapcsolatba az alább két eset valósulhat meg az de övekedése eseté: A. eseté közeledk az határfüggvéyhez koverges (fv. sorozat) B. eseté em redelkezk lye tulajdosággal dverges (fv. sorozat) Az ábra a legkellemesebb esetet mutatja: az függvéysorozat, -be koverges, sőt az [a,b] felett egyeletese s koverges, határfüggvéye. Most volt (I=[a,b]), ezért az határfüggvéy folytoos s. (Megj.: Ábrák specáls, mert a jó szemléltethetőség kedvéért mooto övekvő sorozatak vettük.) Függvéysorozatokkal kapcsolatba 4 féle kovergeca-fogalom lesz: - adott, potba feálló kovergeca, - bzoyos, -helyeke, de em mde, -re feálló kovergeca, -, potba, potokét feálló kovergeca, -, felett egyeletese feálló kovergeca. 9 / 8

20 Függvéysorozatok a függvéytér elemeből, függvéysorok Legye [ b] a, ; adott, és tektsük felette az { ( )} = f függvéysorozatot! Kovergeca: ha övekszk, akkor f ( ) közel kerül egy ( ) f ( ) s az [ a, b] - értelmezett.. Kovergeca [ a, b] -be (egy helye áll fe. lm f ( ) { ( ) = f a. Kovergeca egyes [ ab, ] 3. Kovergeca [ a, b] helye Létezk az lm f ( ) = f ( ) határfüggvéy, [ ab, ] esetébe, 4. Egyeletes kovergeca [ a, b] -be. Nemcsak, hogy [ a, b] helye f ( ) közel kerül ( ) f határfüggvéyhez, mely -potokba (de em mde [a,b] helye) közelkerülés egyeletes, azaz tetszőlegese kcs > csak ε -tól függő (és az helytől em függő) ( ) akkor f ( ) f ( ) < ε ; [ a, b] f ) -hez, haem ez a ε -hoz megadható olya ( ε ) ε küszöbde, hogy ha ( ε ), / 8

21 Megjegyzés: A potokét, [ a, b] -re érvéyesülő kovergecáál, a tetszőlegese kcs ε > -hoz tartozó küszöbdeek függek azo helytől, ahol vzsgáljuk a kovergecát: ( ε, ). Egyeletes kovergecáál a helyfüggés (az -függés) elmarad az küszöbde ε a, b -hez jó. kfejezésébe, az ( ) -től függetleül megfelel, másképp: [ ] Megjegyzés:. Értelmezzük a C ( I ); I [ a, b] = elemere az f def [ a,b] ( ) = ma f ormát.. Ez a orma távolságot (metrkát) dukált C ( I ) eleme között: d( f, g) = f g = ma f ( ) g( ) 3. Ezzel a távolsággal, ha { f ( )} eseté az f ( ) = határfüggvéy közel kerül f ( ) agy deekre, akkor ugyas d ( f g ) [ a b],, = f g = ma f [ a, b] ( ) f ( ) és ez éppe az { f ( )} függvéysorozatak az ( ) = egyeletes kovergecáját jelet az [ a, b] tervallumo. A leárs tér teljessége:. Defícó: Legye ( X,Γ) egy leárs tér, legye ez metrkus s! Az { } = megadható olya ( ε ) küszöbde, hogyha j ( ε ) teljesül. -hez f határfüggvéyhez való sorozatokat Cauchy sorozatokak evezzük, ha tetszőlegese ks ε > -hoz,, akkor d (, j ) < ε és j távolsága / 8

22 . Kérdés: Az X elemeből alkotott Cauchy sorozatak mdg va határértéke, de az em bztos, hogy az X s teljesül! Nem bztos és külö meg kell evez azt az esetet, ha ez mde Cauchy -sorozatra feáll: X,Γ leárs metrkus teret teljesek evezzük, ha mde X bel 3. Defícó: Az ( ) Cauchy sorozat lmeszére teljesül, hogy X. I = a, b teljes leárs ormált (és ezért metrkus) tér a felett. Megjegyzés: A ( I ) Tétel: Ha { ( )} = C ; [ ] f C( I )-bel függvéyek egyeletese koverges sorozata az I = [ a, b] felett, akkor az eseté adódó f ( ) határfüggvéye folytoos [ a, b] -. Bzoyítás: határ-. Tektsük egy tetszőleges [ a, b] potot! Azt kell belát, hogy az ( ) függvéy folytoos -ba, azaz tetszőlegese kcs ε > eseté, ha < δ ( ε ) akkor f ( ) f ( ) < ε.. Vzsgáljuk az f ( ) f ( ) eltérést formáls bővítés alkalmazásával! f ( ) f ( ) = f ( ) f ( ) + f ( ) f ( ) + f ( ) f ( ) 3. Alkalmazzuk a háromszög egyelőtleséget! f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) + f ( ) f ( ) + f ( ) f ( ) a b c, ε ε ε a jobb oldal tagok kcsvé, -ál ksebbé tehetők, ha < δ és, ezért ε ε ε f ( ) f ( ) < Az egyes tagokra voatkozóa az alább meggodolások érvéyesek: ε f f az { ( )} ε f egyeletes kovergecája matt <, ha =, 3 3 ε ε f f az f ( ) hely folytoossága matt <, ha < δ, 3 3 ε ε f f <, ha. 3 3 X teljes, ormált leárs teret Baach-féle térek evezzük. a) ( ) ( ) b) ( ) ( ) c) az a)-val azoos meggodolással ( ) ( ) Defícó: Az (,Γ) Utér leárs terek Defícó: Az ( X,Γ) leárs teret utérek evezzük, ha értelmezett az S : X X Γ leképezés a következő tulajdoságokkal:. S (, ), X ; S(, ) = ha = ο X. S ( + y, z) = S(, z) + S( y, z),, y, z X ; (S az első változóba összegtartó) 3. S ( λ, y) = λ S(, y),, y X és λ Γ (S az első változóba aráytartó) S y, = S, y,, y X 4. ( ) ( ) / 8

23 Megjegyzés: Az ( y) S, függvéyértékek az és y elemek (eze sorredbe vett) skalár szorzatát értelmezk, a szorzat értékétγ -ból vesz fel. Va-e egyáltalá utér leárs tér? A válasz: ge, agyo sok! def pl..), utér; S (, y) = 3 = pl..), utér; S(, y) = def def = pl. 3.), utér; S(, y) = = y y y pl. 4., :,,, é;,, Megjegyzés: ([ a b] ) C, em utér!! Tétel: Mde utér leárs tér ormálható és ezért metrzálható. def Ugyas: N ( ) = { S(, ) } mdg megfelel az ( X,Γ) ormájáak másképp jelölve ugyaaz: def = (, ) 3 ömagával vett skalárszorzata A leárs tér orma mdg dukál metrkát! def (, y) = y, y X d a ormatulajdoságok matt metrkát határoz meg. pl..),-be a már smert 3 féle orma alapjá adódk a 3 féle metrka d d d (, y) = ( y ) + K+ ( y ) (, y) = ma y 3 (, y) = = y def b pl..),,-be: d( f, g) = f( ) g( ) d ez a égyzettegrálra a def voatkozó távolságfogalom gyegébb, mt a d( f, g) = ma f( ) g( ) távolságfogalom. A dolog magyarázata abba rejlk, hogy a Rema- tegrálfogalom em érz, ha a függvéyt esetleg megszámlálhatóa végtele számú potba agy értékkel megváltoztatjuk. Az tegrál az ábra szert véges sok potba em érz az eltérést. / [ a, b] 3 / 8

24 A korább tárgyalásukba az ( X,Γ) leárs tér dmezóját az X-bel leársa függetle elemek mamáls számával értelmeztük. Tudjuk, hogy va dmezós leárs tér, pl. C([a,b]) és L ([a,b]). A végtele dmezós utér terek közül a teljesere voatkozk a következő Defícó: Ha az ( X,Γ) dmezós utér leárs tér, teljes, akkor Hlbert-féle térek evezzük. Megjegyzés: A bevezetett L ([ a, b] ) Baach tér s. leárs tér tehát Hlbert-tér. Mde Hlbert tér egybe H B Sorozatterek A mérök gyakorlat számos matematka feladatába az{ } valós elemű számsorozatok = vzsgálata kerül előtérbe. A valós vagy komple elemű számsorozatokat ezért célszerűe az de övekedése eseté kalakuló vselkedésük alapjá osztályokba soroljuk.) Az l sorozattér a korlátos sorozatok sokaságát tartalmazza: l {{ } :, hogy, K K } = < = Az így értelmezett l sorozat-sokaság leárs tér felett! 4 / 8

25 I. A l bel sorozatok összege: tagokét képezhető, és az így értelmezett összegzés teljesít a megkívát 4 művelet azoosságot II. A l bel sorozat számszorosa: elemekét szorozható, és az így értelmezett szorzás teljesít a megkívát 4 művelet azoosságot.) Az l részhalmazát lépezk a koverges sorozatok. Az utóbbak összességekét értelmezett l sorozat-sokaság leárs tér! Az l = { } { : lm létezk } = térbe az l -bel műveletek érvéyesek, így az l leárs altere l ek: 3.) Az l l l leárs részhalmazát lépezk a zéróhoz kovergáló sorozatok. Az utóbbak összességekét értelmezett l sorozat-sokaság leárs tér! Az l = { } { } :lm = = leárs térbe az l -bel műveletek érvéyesek, így az l leárs altere l ek: l l l 4.) A zérushoz tartó sorozatok egy fotos részhalmazát képezk azok a sorozatok amelyek elemeek abszolút értéke égyzeteből alkotott végtele sor koverges. A jelzett tulajdoságú sorozatok összességét l jelöl: = { } l : < = = l leárs tér felett az l -bel műveletekkel, és mvel a sorösszeg létezéséek szükséges feltétele a tagok zérushoz tartása, így l leárs altere l ek: l l és ezért l l l l. Az l sorozattér Hlbert térek bzoyul. Az l térbe értelmezett természetes skalár szorzat és orma meggodolását az olvasóra bízzuk. : az -dmezós eukldesz tér A mérök feladatokba játszott alapvető szerepe matt közelebbről megvzsgáljuk az (, ) leárs teret. A következő léyeges tulajdoságok számlálhatók elő:. (, ) Leárs tér: (I. (+),, 3, 4; II. ),, 3, 4); felett. (, ) Utér tér: S(, y) = y ; skalárszorzat (,, 3, 4) = Τ Τ = [,...; ], y = [ y,..., y ] 5 5 / 8

26 3. (, ) véges dmezós: Dm( ) = 4. Va -elemű bázs:. geerátorredszer (ha λ. leársa függetle + λ λ = ez csak λ = λ =... = λ = mellett lehetséges) 5. -be bármely elem előállítása egyértelmű. Bázscsere: Mvel -be sokféleképp választható bázs, természetes kérdés: ha tektük egy R elemet, akkor két bázs felvétele eseté hogya alakulak a két külöböző bázselőállításba szereplő valós együttható -esek. Ez a bázscsere probléma. Legye az ú. rég bázsa az u, u,, u elem -es. Legye továbbá új bázsa a v, v,, v elem -es. Legye tetszőleges. Előállítjuk -elemet (az -dmezós vektort) a két külöböző bázso:. Az { u } bázso : = c u = (egyértelmű!) =. A { v j } : = d ju j j= bázso (egyértelmű!) j= Az új bázs eleme vektorok lévé természetszerűe előállak a rég bázs elemeek egyértelműe meghatározott leárs kombácókét: közbevetett példa = esetére: v j = τ ju ; =,,... (*). Szemléltetésképp = v v = τ u + τ u = τ u + τ u Kérdés: τ j ;, j =, Válasz: τ =, τ =, τ =, τ = Vsszatérve a fő godolatmeethez: tektsük az -ek az új bázsra voatkozó előállítását és ezt vsszavezetjük a rég bázselemek leárs kombácójára: 6 / 8

27 = j= d j v j * = j= d j = τ u j = = j= τ d j j u Mvel = c u j= volt eredetleg, ezért együttható összehasolítással a következő összefüggések adódak: c = j= τ d j j ; =,,, Ezzel megva a{ c } d = és { } j j= együtthatók kapcsolata. Részletese kírva: leárs homogé egyeletredszer kapcsolja össze az együtthatókat: c, c,, c smert, az új bázs elemeek a rég bázso való előállításából adódó kétdees { τ } j = j= együtthatóredszer (at mátr) smeretébe az új bázso érvéyes d, d,, d együtthatók értelműe meghatározhatók: c c M c = τ = τ = τ d d d + τ + τ + τ d d d τ τ τ d d d τ τ... τ τ τ τ3.. τ d d c = = T d M, d τ τ... τ c d c d = adott; = = M M c d c d T c Vegyük észre, hogy a Τ mátr j-edk oszlopába az új bázs j-edk eleméek a rég bázsra voatozó koordátá állak. A Τ mátrot a bázscsere Τ kísérő traszformácója mátráak evezzük. A Τ leárs traszformácó bázst bázsba vsz át, ezért létezk a Τ - verz traszformácó s és mátra éppe a Τ mátr lesz. Esetükbe tehát a keresett új bázshoz tartozó együtthatók d = c alakba (leárs homogé egyeletredszer egyértelmű megoldásakét) meghatározottak. Megj.: Az előzőekbe már belépett a leárs traszformácó fogalma. Most potosabba defáljuk: Az ( X,Γ) leárs tér ömagára való homogé leárs T leképezését homogé leárs traszformácóak evezzük. Jelölje Τ : Χ Χ; Τ alkalmazása em vezet k X-ből. Τ 7 / 8

28 A traszformácó homogé leartása két követelméyt támaszt a Τ leképezéssel szembe:. A T értelmezés tartomáya megegyezk T képterével, azaz Τ : Χ Χ,. A T összeg- és aráytartó. Fotos: Az,-e értelmezett homogé l. traszformácókat másodredű tezorak (vagy affor ak) evezzük. Tehát: másodredű tezor vektorhoz ( -bel elemhez) vektort ( -bel elemet) redel. Fotos: Értelmezettek a magasabb redű tezorok s mt homogé leárs leképezések! Harmadredű tezor: A harmadredű tezor -bel elemhez másodredű tezort redel: vektorváltozós, másodredű tezor értékű homogé l. függvéy (azaz összeg- és aráytartó). Jelölje ({ T },) a másodredű tezorok alkotta leárs teret felett, megfelelőe értelmezett tezor összeg (I.;,, 3, 4) és számmal való szorzás (II.;,, 3, 4) mellett. Ekkor a harmadredű tezort a következőképp értelmezzük: Def.: a Q R {} T = homogé leárs leképezést harmadredű tezorak evezzük. Negyedredű tezor: Jelölje ({ T } 3,) a harmadredű tezorok alkotta leárs teret felett. Ekkor a egyedredű tezort a következőképp értelmezzük: Def.: a W R {} T 3 = homogé leárs leképezést egyedredű tezorak evezzük, stb. Az eddg tárgyalásukba a Τ: Χ Χ homogé leárs traszformácó szerepelt, azaz T az X-et ömagára képezte le. (Megj.: véges dmezós X leárs terekkel foglalkoztuk) A következőkbe olya homogé leárs leképezéseket vzsgáluk, melyek egy véges dmezós ( X,Γ) leárs térből egy másk eltérő véges dmezós ( Y, Γ ) leárs térbe vezetek. Legye Dm(X) = és Dm(Y) = m. Def.: Az A: Χ Y leképezést homogé leársak evezzük, ha 8 / 8

29 } X } X. Az A összegtartó, azaz: A + = A { + A { ;, Y Y 443. Az A aráytartó, azaz: A ( λ ) = λa, X és λ Γ Megj.: Ekkor az A az X tére értelmezett homogé leárs operátor. Legye e, e,, e bázs X-be. Legye f, f,, f bázs Y-ba. Operácó: MŰVELET Y X Az X bel elem = j e j= Működtessük az A homogé leárs operátort -re! j bázs-előállítás egyértelműe meghatározza az elemet. A= y, azaz jelölje az A operácó eredméyét y Y! Fgyelembe véve az elem bázselőállítását és a A homogé leartását (összegtartó és aráytartó voltát), a következő eredméyt kapjuk: y = A = összegtartó } } A je j = A( je j ) = j= j= aráytartó j= j Ae j { Y * A fet képlet utolsó tagja szert az A operátor hatását az X tér e j bázseleme kell tovább vzsgáluk! Tektsük tehát az X tér e j bázseleméek az Y térbel Ae j képét, tektetbe véve, hogy az Y térbe az f, f,,f m bázselemeket kell haszál: Y Ae j * y = A = = j= m = a j j f Ae, ezzel : j = j= m j = a j f = m = j= a f j j = m = y f Együttható összehasolítással kapjuk, hogy: y = a, =,,...,m j= j Részletesebb felírással a leképezett elem Y térbel koordátára a következő kfejezést kapjuk: y y M y m = a = a = a m + a + a + a m + K+ a j + K+ a + K+ a m y = A m m 9 / 8

30 Az lemodottak alapjá tehát rögzített bázsok eseté az A homogé l. operátor az [ ] m A = mátrszal jeletkezk. a j = j= Kérdés: mt jeleteek az A j-edk oszlopába álló elemek? m aj m Eml.: a j Ae j = a jf, az A j - edk oszlopába : elem m-es áll. Eze oszlopvektor az X = m M a mj tér j-edk bázsvektora A szert képéek koordátát adja az Y tér bel f, f,, f bázso. Megj.: ha adott az X A smeretébe az A szert képe: y = A meghatározható. Vzsgáljuk a két térbel bázsok cseréjéek a kérdését! Vezessük be az X térbe { e,e, K, e } rég bázs mellé { ε, ε, K, ε } új bázst és az Y térbe pedg a{ f,f, K, f m} rég bázs mellé { ϕ, ϕ, K ϕ } új bázst., m Az A homogé leárs operátor mátra a rég bázsok eseté: A. A bázscserék tárgyalt kísérő traszformácóak mátra la két térbe legyeek T ( -es) és T (m m-es). Felhaszálva y a korább smereteket a rég bázsokhoz tartozó koordáta -es és m-es felírható: * = e = ξε = TX ξ = m = ** y = yf = ηϕ y = TY η j= m j= mm Eleve a rég bázsok eseté érvéyes az vételével a T Y m η = η = T Y m y = A, most a fet összfüggések fgyelembe A T A T m X m X ξ ξ T Y eredméy adódk. Ezzel megva az A operátor új bázsokhoz tartozó A ~ = T A T. m Y X mm m A ~ mátra m 3 / 8

31 . Skalár-, vektor- és tezormezők és alkalmazásak Vektorváltozós skalárértékű függvéyek: X= ; ΓR; értelmezzük a : leképezést: egy megszabott 3-dmezós értelmezés tartomáy elemehez -bel elemeket redelük függvéyértékekkét. Működése: Vzsgál lehet a ϕ(r) függvéy értékek által ktöltött Y tartomáyt, mközbe r befutja a D( ϕ) értelmezés tartomáyt. Ekkor Y ; a kadódott Y tartomáy eve: a függvéy Y = ( ϕ) képtere. A mérök redszerek vzsgálatába sokszor lép fel a most bevezetett vektorváltozós skalárértékű függvéyekkel kapcsolatos feladat, godoljuk a helyvektor függvéyébe változó yomás vagy hőmérséklet, mt skalár érték alakulásáak vzsgálatára. A skalárértékű (r) ϕ függvéy valamely r D( ϕ ) r pot ks köryezetébe eső ( ) megváltozását vzsgáljuk. Legye r az pot (hely) ks köryezetébe való D ϕ -bel vektor. Tektsük a ϕ(r) függvéy r= r r a vektor övekméy eseté törtéő ϕ( r, r) = ϕ( r+ r) ϕ( r) megváltozását. A kapott ϕ( r, r) övekméyt (mely egy skalárérték) felírjuk egy r -be leárs főrész és egy r eseté eleyésző rész összegekét: Ha r eseté ϕ( r, r) = ϕ( r + r) ϕ( r) = gradϕ( r) r+ ε( r, r) ε ( r, r) = r érvéyes a lm r fő rész : skalár szorzat def. eleyésző rész lmesz relácó, azaz ha r r eseté az ε ( r, r) eleyésző rész gyorsabba tart zérushoz, mt r, akkor a ϕ(r) függvéy az r potba dfferecálható, és értelmezett ϕ(r) függvéy r potbel derváltvektora, melyet a ϕ(r) függvéy r potbel grades vektoráak evezük, jele: gradϕ ( r ). Eze grades vektor létezését feltételezve a ϕ(r) függvéy r potbel dfferecáls megváltozását dϕ( r ) = gradϕ( r ) d r 3 / 8

32 alakba írhatjuk fel. Az r hely gradϕ(r ) vektor a ϕ (r) vektorváltozós skalár értékű r - hely változás teztását adja meg. Kokrét számításokhoz alkalmas formát az ortoormált, j, k stadard bázs alkalmazásával kapuk. Az r vektor bázselőállítása ekkor: r = + yj+ zk az, y és z skalár együtthatókkal egyértelmű, a dr eleyésző vektorövekméy bázselőállítása pedg ugyacsak egyértelmű d r = d+ dyj+ dzk alakba a d, dy és dz eleyésző koordátaráyú skalár övekméyekkel, mt együtthatókkal. A gradϕ() r vektor bázselőállítása az ortoormált, j, k stadard bázs alkalmazásával grad ϕ(r) ϕ(, yz, ) ϕ( yz,, ) ϕ( yz,, ) = + j+ k y z ϕ( r) = ϕ(, y, z) alakba adódk a ϕ(, yz, ) skalár függvéy koordáta ráyú parcáls derváltjaból képzett együtthatókkal. Eek fgyelembe vételével a ϕ(, yz, ) skalárértékű függvéy d ϕ(, yz, ) megváltozását valamely, y, z potba az alább skalárszorzat kértékelésével kapjuk: ϕ( yz,, ) ϕ( yz,, ) ϕ( yz,, ) dϕ(, { y,) z = gradϕ(, y,) z dr = ( + j + k, d + dy j + dzk) y z r A kjelölt skalár szorzat kértékelésével (az, y és z függetle változók elhagyásával) a ϕ ϕ ϕ dϕ = d+ dy+ dz y z tömör felírás adódk, ambe felsmerjük a ϕ( r) = ϕ(, y,z) skalárfüggvéy teljes dfferecálját. Megj.:. Ha az -bel r helyett azt -bel = [,, ] változókét, akkor az így adódó ϕ () skalárértékű függvéy -bel D( ϕ) K vektor lép be függetle értelmezés ϕ tartomáyba eső -helye érvéyes teljes dfferecálja dϕ = gradϕ()d = d alakot ölt. Τ =. Nabla szmbolka: Szokás bevezet a vektorjellegű dfferecáloperátort az alább defícóval: def. = + j + k y z Ekkor a garades vektor felírása a következő alakot yer: gradϕ(, y, z) = ϕ(, y, z) = ( + j + k) ϕ(, y, z) = y z. ϕ( yz,, ) ϕ( yz,, ) ϕ( yz,, ) + j+ k y z 3 / 8

33 3. Skalármező jellemzése sztfelületekkel: Legye rögzített skalár érték. Keresedő azo vektorok mérta helye, amely vektoroko a ϕ(r) függvéy éppe a rögzített skalár értéket vesz fel. Keresedő tehát azo H D( ϕ) tartomáy, amely a c { : ϕ( ) } H = r r = c halmaz defícóval va megadva, vagys amelyek potjaba a tektett ϕ(r) függvéy értéke éppe a rögzített c. Az r helyvektor stadard bázsbel skalár koordátával megfogalmazva: keresedő azo,y,z skalárhármasok halmaza, amelyekre * ϕ (, y,z) = c. Kedvező esetbe a * összefüggésből z eplcte kfejezhető z = Ψ (, y) kétváltozós függvéykapcsolattal. Ekkor a c-hez egy D( ϕ) -be haladó felület, a c szthez tartozó sztfelület (ívófelület) kapcsolható! Ha c megváltozk, sztfelület sereg adódk kétváltozós függvéyseregkét:,. Az ábra a megadott c kostashoz és a c + c -hez valamt a c c -hez tartozó sztfelületeket jeleít meg c c Vektorváltozós vektorértékű függvéyek: A D(v) tartomáy elemehez (a helyvektorhoz) em skalárértéket, haem -bel vektorokat redelük, akkor a vektor-vektor függvéy kapcsolat adódk. Ilye függvéyek a mérök kotuum-problémákba alapvető jeletőségűek..) Jellemzés.) Jellemzés tárgyvektorok yalábja képvektorok yalábja Az r = + y j+ z k helyvektorok a stadard bázsba értelmezett koordáta-hármasukkal kapak umerkus jellemzést az r [,, ] = y z Τ alakjába. Az r helyvektorhoz redelt függőváltozó v = v + vy j+ vz k vektorok s a stadard bázso kerülek felírásra, 33 / 8

34 umerkus jellemzésük a oszlopvektorkét v= v, v, v Τ alakba törték. Itt fotos y z kemel, hogy a v vektor skalárkoordátá a helyfüggés matt három háromváltozós v = v( yz,, ), vy = vy( yz,, ) ésvz = vz( yz,, ) skalárfüggvéykét kezeledők a téyleges umerkus vzsgálatokba. A vektor-vektor függvéy működése az alább képletsorba foglalható: ; :. A vektor-vektor függvéy rövd felírása v = v(r) alakba szokásos. Az ekvvales három háromváltozós skalár függvéyhármas szerepeltetésével a bővebb jellemzést adó alakzat s haszálható. A vektorértékű () vr ( ) = vyz (,, ) = v( yz,, ) + v( yz,, ) j+ v( yzk,, ) y z vr függvéy valamely r D( v) r pot ks köryezetébe eső ( ) r -hoz közel D() v pot (hely) ks köryezetébe való megváltozását vzsgáljuk. Legye r az az Dv-bel vektor. Tektsük r vektort! Tektsük a függetle változó r övekméyét, a r = r r vektort! Állítsuk elő a függő változó vr (, r) = vr ( + r) vr ( ) övekméyét egy a r -be leárs főrész és egy eleyésző rész összegekét az alábbak szert, ahol teljesül, hogy def. fő rész eleyésző vr (, r) = vr ( + r) vr ( ) = { Ar ( ) r+ ε ( r, r), ε ( r, r) = r lm r l.op. A : R 3 R 3.redű tezor (ε gyorsabba tart -hoz, mt r!). Ha ez az előállítás létezk (azaz megva a homogé leárs operátorkét azoosított A( r ) tezor és az ε ( r, r) teljesül), akkor a v = v(r) függvéyt az r helye dfferecálhatóak r evezzük. Az r hely derválhatóság eseté az r helyhez redelt A(r ) tezor létezk, és a határátmeet sorá az eleyésző rész eltűk, így a dv = A( r) dr rövd összefüggés írható fel. A vektorváltozós vektorértékű függvéy derváltja tehát vektort vektorhoz redelő másodredű tezor-meységek bzoyult. Helyes tehát, ha a vektorváltozós vektorértékű függvéy dervált tezoráról beszélük. A umerkus kezeléshez természetese bázs-előállításokba szereplő skalár értékekre va szükségük. Rögzítsük a stadard bázst -ba (md a tárgytérbe, md a képtérbe) az, j és k egységvektorok felvételével! A dv = dv + dv y j + dv z k és a dr = d + dy j + dz k bázselőállításokba szereplő skalár koordáták most az A derválttezor stadard bázsokhoz tartozó A mátráak közvetítésével lépek homogé leárs kapcsolatba: 34 / 8

35 dv d ; dv y = A dy dv z dz Köyű belát, hogy az A mátr eleme háromváltozós függvéyek, a mátr soraba redre a v(r) stadard bázselőállításbel v (, y, z), vy (, y, z), vz (, y, z) skalár együttható függvéyehez tartozó grades gradv, gradvy, gradvz vektorok skalár koordátá állak az alábbak szert: v(, y, z) v(, y, z) v(, y, z) y z vy( yz,, ) vy( yz,, ) vy( yz,, ) A =. y z vz( yz,, ) vz( yz,, ) vz( yz,, ) y z Érdemes memorzál, hogy a dervált tezor A mátráak mde eleme helyfüggő, háromváltozós,,y,z -től függő függvéy. Így a dervált tezor maga s helyfüggő A = Ar () = Ayz (,,). A dervált tezor mátráak varása A D(v) mde potjába dfferecálható v = v(r) vektormező (vektor-vektor függvéy) dervált tezoráak, lletve a dervált tezor mátráak alapjá a mérök alkalmazásokba fotos, a v = v(r) vektormező sajátosságara jellemző tovább skalár ll. vektormezők vezethetők be.. A dvergecamező A D(v) mde potjába dfferecálható v = v(r) vektormező r hely dvergecája egy skalárértéket redel az r helyvektorhoz. Ha az r helyvektorhoz befutja a D() v értelmezés tartomáyt, akkor a dvergeca értékek egy skalármezőt határozak meg a D( v) tartomáyba. Az r helyvektorhoz tartozó dvergeca értékét előbb koordátaredszertől függetleül, varás módo értelmezzük. Másodk lépésbe megadjuk a dervált tezor mátrára támaszkodó koordátás bázsfüggő értelmezést a.) A dvergeca varás értelmezése: Legye r D() v és legye A egy ks zárt felület r körül, a körülzárt térfogat legye V. 35 / 8