Analitikus Geometria és Többváltozós Függvénytan

Átírás

1 BÁNKI DONÁT GÉPÉSZ ÉS BIZTONSÁGTECHNIKAI MÉRNÖKI KAR Hanka László Analitikus Geometria és Többváltozós Függvéntan ÓE-BGK 3063 Budapest, 014.

2

3 Szerző: Dr. Hanka László adjunktus (ÓE BGK) Lektor: Hosszú Ferenc mestertanár (ÓE BGK)

4

5 Fiamnak Boldizsárnak

6

7 Előszó Ez az elektronikus egetemi jegzet elsősorban mérnökhallgatóknak szól. Kettős célt szolgál. Egrészt biztosítani szeretnénk a lehetőséget, hog a BSc szak viszonlag csekél számú matematika óráján el nem hangzott, de a műszaki tárgak megértéséhez és feldolgozásához elengedhetetlenül szükséges tananagot a hallgató önállóan, vag eg választható kurzus keretein belül megtanulhassa. Uganakkor tankönvként szolgálhat azon MSc szakos hallgatók számára is, akik a feldolgozott fejezetek közül valameliket tanulmánaik során hallgatják. A jegzet elsősorban a gakorlatra helezi a hangsúlt. Természetesen cél az, hog a hallgatók megismerjenek olan fejezeteket a matematikából, amel az alapképzésbe vag esetleg a mesterképzés keretei közé sem fér be, de a mérnöki gakorlat számára elengedhetetlen. Szeretnénk szélesíteni a leendő mérnökök látókörét további matematikai ismeretekkel, bemutatni különböző elméleteket és ezek módszereit, de elsősorban úg, hog az elmélet alkalmazását példákon keresztül illusztráljuk. A 90 részletesen kidolgozott feladat és a 111 ábra segíti az elmélet megértését. Természetesen a megfogalmazott állítások eg részét bebizonítjuk, de nem mindegiket. Nem matematikusok számára íródott ez a jegzet, hanem mérnökök számára. Ezért azokat az állításokat igazoljuk, amelek elősegítik a témakör logikájának pontosabb megértését és esetleg az alkalmazott ötletek segítséget nújthatnak a gakorlati problémák megoldásában. A túlzottan bonolult, szélsőségesen elméleti fejtegetéseket mellőztük, eg érdeklődő hallgató igén szerint ezeknek utána tud nézni a jegzet végén közölt szakirodalomban. A feldolgozott témakörök a következők. Az első fejezet a vektorgeometria és analitikus geometria témakörét tárgalja. Ebben a témakörben az alapvető vektorműveletek értelmezése után az síkbeli és térbeli alakzatok, másodrendű görbék és másodrendű felületek tárgalásával foglalkozunk. A második fejezet a többváltozós függvének differenciál- és integrálszámításával foglalkozik. Különös hangsúlt fektettünk a szemléltetésre, mert úg gondoljuk, ez sokat segít olan alapvető ismeretek megértésében, mint a hibaszámítás, a többváltozós függvének szélsőértékének problémája vag a kettős és hármas integrálok kiszámítása. Eg jól képzett mérnök természetesen állandóan képzi magát, ez a jegzet természetesen nem eg kimerítő tárháza a szüksége ismereteknek, de úg gondoljuk, első lépésnek megfelelő, mert nagon reméljük, hog mindenkiben felmerül az önképzés, továbbképzés igéne. Ebben a jegzetben egütt gondolkodásra invitáljuk a tisztelt Olvasót, ezért a szöveg megfogalmazása némileg különbözik a szokásos száraz matematikai fogalmazástól. Megpróbáltunk hangosan gondolkodni, hog az olvasó érezze, milen új kérdések fogalmazódnak meg eg elmélet kifejtése során, és azokra hogan lehet válaszolni. A jegzet feldolgozásához, a matematika felfedezéséhez sok örömöt és sikerélmént kíván a Szerző Budapest, 014. június 30. Dr. Hanka László 1 Óbudai Egetem

8 Dr. Hanka László Óbudai Egetem

9 Analitikus Geometria 1. fejezet VEKTORGEOMETRIA, ANALITIKUS GEOMETRIA Dr. Hanka László 3 Óbudai Egetem

10 Analitikus Geometria Dr. Hanka László 4 Óbudai Egetem

11 Analitikus Geometria 1.1. VEKTORGEOMETRIA Ebben a pontban az alapvető vektorműveleteket tekintjük át. Azokra az alapvető kérdésekre térünk csak ki amelek nélkülözhetetlenek ahhoz, hog az analitikus geometriában és vektoranalízisben szereplő fogalmakat tisztázhassuk. A számításokat a térben tehát R 3 -ban fogjuk végezni. Itt kitüntetjük a standard bázist az {i, j, k} vektorokkal, amelek egségni hosszúak, i j k 1 és páronként ortogonálisak, i j, i k, j k, úg hog a három vektor i, j, k sorrendben jobbsodrású rendszert alkot, ami azt jelenti, hog például a k iránából visszatekintve az i és j síkjára az i vektort a j vektorba pozitív iránú - tehát az óramutató járásával ellentétes iránú os forgatás viszi át. Azt a bázist melnek vektorai páronként merőlegesek, más szóval ortogonálisak, és amelnek minden eleme egségni hosszúságú, tehát "normált" a lineáris algebrában ortonormált bázisnak nevezünk. (Erről a témáról részletesen olvashatnak Hanka László: Fejezetek a matematikából, című jegzetben.) Ez a bázis tehát az R 3 eg ortonormált bázisa. Ebben a bázisban az tér tetszőleges v vektora egértelműen bontható fel v v i v j v k 1 3 alakban. Ez a felírás egenértékű a v, v, v v szimbólummal, hiszen a bázist rögzítettük. 1 3 A v 1, v, v 3 valós számokat a v vektor koordinátáinak nevezzük. A felbontást szemlélteti az 1.1. ábra. v 3 z v v1, v, v3 v 1 i k j v x 1.1.ábra. Vektor felbontása merőleges komponensekre R 3 -ban. Dr. Hanka László 5 Óbudai Egetem

12 Analitikus Geometria Alapvető vektorműveletek Ebben a pontban vektor valós számmal történő szorzását, a vektorok összeadását és kivonását tárgaljuk, azt vizsgáljuk, hogan végezhetők el ezek a műveletek koordinátákkal. A vektoroktól történő megkülönböztetés érdekében a valós számokat szokás skalárnak nevezni. v v, v, v eg tetszőleges vektor és c eg tetszőleges a) Vektor szorzása skalárral. Legen a 1 3 való szám. Ekkor a v vektor c-szerese azt a cv jelű vektort jelenti, amel párhuzamos v-vel, ha c > 0 akkor egező iránúak, ha c < 0 akkor ellentétes iránúak, ha c = 0 akkor cv irána tetszőleges, és cv abszolút értékére fennáll a cv c v egenlőség. Vektor skalárszorosára vonatkozólag fennállnak az alapvető műveleti azonosságok. A művelet a) kommutatív: cv = vc c c v c c v c c v b) asszociatív: c) disztributív: ; Ha a v vektort a v1, v, v3 cv cv, cv, cv 1 3 kapjuk hog c c v c v c v c v v cv cv v koordináták határozzák meg, akkor a cv vektor koordinátái, uganis felhasználva a vektor bázisbeli előállítását valamint a disztributivitást,,, cv c v i v jv k cv i cv jcv k cv cv cv Eg vektor skalárszorosának koordinátáit tehát úg kapjuk, hog minden koordinátát szorzunk a skalárral. b) Vektorok összege. Legenek v v, v, v és u, u, u 1 3 u tetszőleges vektorok. A v és u 1 3 vektorok összegét a következő módon értelmezzük. Az összegvektort úg kapjuk, hog a v vektor végpontjából felmérjük az u vektort, és az összegvektor a v kezdőpontjából az u végpontjába mutat. Ezzel a definícióval tetszőleges számú vektor összegezhető. Speciális esetben, ha két vektor összegéről van szó és ha a vektorok nem párhuzamosak, eg nevezetes szabál adódik az összeg meghatározására. Közös kezdőpontból felmérjük a két vektort. Ezek "kifeszítenek eg paralelogrammát". A v + u összegvektor értelmezés szerin a paralelogramma azon átlóvektora amelnek kezdőpontja a v és u vektorok közös kezdőpontja. Ezt a definíciót nevezzük paralelogramma szabálnak. u v + u v 1..ábra. Paralelogramma szabál Dr. Hanka László 6 Óbudai Egetem

13 Analitikus Geometria Az összeadásra vonatkozólag teljesülnek a szokásos műveleti azonosságok. Az összeadás a) kommutatív: u v v u u v w u v w u v w b) asszociatív: Az összeg koordinátáinak a meghatározásához tegük fel, hog a két vektor a v1, v, v3 u, u, u 1 3 v és u koordinátákkal adott. Ekkor az összegvektor a skalárszorosra és az összegre vonatkozó műveleti azonosságok szerint a következő v1 v v3 u1 u u3 v1 u1 v u v3 u3 v u, v u, v u v u i j k i j k i j k Összeg koordinátáit tehát úg kapjuk, hog a koordinátákat összeadjuk. Ez igaz kettőnél több vektorra is. c) Vektorok különbsége. Nilvánvalóan közvetlenül csak két vektorra vonatkozólag értelmezhetjük a kivonás műveletét. Ezt azonban nem szükséges új műveletnek tekinteni, uganis visszavezethető az előző két műveletre. Definíció szerint v u v u Ebből azonnal adódik a koordinátákra vonatkozólag, hog a v v, v, v és u u, u, u koordinátákkal adott vektorok különbségének koordinátái vu v u, v u, v u Különbség koordinátáit tehát úg kapjuk, hog a koordináták különbségét képezzük. A u v u v nilvánvaló egenlőségen alapszik. Ha tehát az u különbség szemléltetése az vektorhoz hozzáadjuk a v u különbségvektort, akkor a v vektort kapjuk. P u v-u O Q v 1.3.ábra. Két vektor különbsége Innen látható, hog a különbségvektort a "vég mínusz kezdet szabál" alapján tudjuk meghatározni. Gakran előfordul az alkalmazások során, hog szükség van két adott pontot,, Q q, q, q pont a térben. Kérdés, hogan összekötő vektorra. Legen adott a P p p p és a Dr. Hanka László 7 Óbudai Egetem

14 Analitikus Geometria kapjuk a P pontból a Q pontba mutató vektort. Ehhez az origóból ún. helvektorokat indítunk a kérdéses pontokba, legen ezen helvektorok jele rendre p és q. Ezen vektorok koordinátái p p, p, p és definíció szerint megegeznek a végpontjaik koordinátáival, azaz teljesül, hog 1 3 q q q q. Ekkor a 3. ábra logikáját követve adódik, hog 1,, 3 PQ qp q p, q p, q p Dr. Hanka László 8 Óbudai Egetem

15 Analitikus Geometria Vektorok skaláris szorzata Vektorok skaláris szorzatának klasszikus definíciója a következő. Definíció: Az u év v vektorok skaláris szorzata a két vektor abszolút értékének és a két vektor által közrezárt szög koszinuszának a szorzata. Jele uv. Értelmezés szerint tehát uv u v cos Ahol uv,, és megegezés szerint v 1.4. ábra. A skaláris szorzat értelmezéséhez. A definícióból következően tehát a skaláris szorzat három valós szám szorzata, íg maga is valós szám tehát skalár. Innen ered az elnevezés. A skaláris szorzásra vonatkozó műveleti azonosságok a következők: a) kommutatív: uv = vu u v uv uv R b) asszociatív: ; c) disztributív: u vw uw vw φ Az asszociativitással kapcsolatban hangsúlozzuk, hog nincs értelme felvetni a kérdést úg, hog az uvw "skaláris szorzat" asszociatív-e, uganis ha (uv)w sorrendben számítjuk a szorzatot akkor csak az első szorzás skaláris szorzás, a w vektort már csak eg skalárral szorozzuk, ez pedig már más művelet, "skalárral való szorzás". Ha ennek figelembe vételével tesszük fel a kérdést, hog az uvw művelet eredméne független-e a zárójelezéstől, akkor a válasz egértelműen nem. Uganis az (uv)w a w vektor skalárszorosa, az u(vw) művelet eredméne pedig az u vektor skalárszorosa. Mivel pedig az általános esetben u és w nem párhuzamosak ezért skalárszorosaik nem lehetnek egenlők. Ebből adódóan az uvw szimbólumot csak zárójelezve van értelme leírni. Uganezt a jelet használjuk eg más szorzásműveletre, amelet az pontban tárgalunk. A skaláris szorzással kapcsolatosan az egik legfontosabb tétel azzal kapcsolatos, hog a művelet segítségével können vizsgálhatjuk két vektor merőlegességét. u Tétel: Az uv skaláris szorzat pontosan akkor zérus, ha egmásra. u v tehát ha a két vektor merőleges Dr. Hanka László 9 Óbudai Egetem

16 Analitikus Geometria Bizonítás: Egrészt ha feltesszük, hog u és v merőlegesek, akkor a skaláris szorzat értelmezése alapján azonnal adódik, hog uv u v cos u v cos90 u v 0 0. Megfordítva, ha a skaláris szorzat zérus, akkor ismét a definíció szerint uv u v cos 0 Ez az egenlőség pontosan akkor teljesül, ha legalább eg ténezője zérus. Ha cosφ = 0 akkor máris kapjuk, hog φ = 90, tehát a két vektor merőleges. Ha u 0 akkor ebből következik, hog u = 0, azaz u a nullvektor, melnek irána tetszőleges, íg tekinthetjük úg, hog merőleges a v-re. Ha v 0 a helzet uganez. Ezt az alapvető tételt felhasználhatjuk arra, hog koordinátákkal adott vektorok skaláris szorzatát számítsuk. Ehhez csak azt kell felhasználnunk, hog az {i, j, k} bázisvektorok egségni hosszúak, i j k 1 és páronként ortogonálisak, i j, i k, j k, amiből következik, hog ij ik jk 0 továbbá ii jj kk 11 cos 0 1. A disztributív törvén felhasználásával, ha a koordináták u u, u, u és v, v, v 1 3 v akkor a skaláris szorzat 1 3 u u u v v v uv i j k i j k u v ii u v ij u v ik u v ji u v jj u v jk u v ki u v kj u v kk u v u v u v Azt kaptuk tehát, hog a skaláris szorzat a megfelelő koordináták szorzatának összege. uv u1v 1 uv u3v3 Speciális de fontos esetként szorozzunk össze eg vektort skalárisan önmagával. Ekkor a definíció szerint egrészt adódik, hog uu u u cos u u cos 0 u tehát az önmagával képezett skaláris szorzat a vektor abszolút értékének négzete. Ha ezt koordinátákkal számoljuk, adódik, hog u uu u u u u u u u u u amivel értelmeztük eg vektor négzetét is. Eszerint eg vektor négzete egenlő az abszolút értékének négzetével. A két eredmén összevetéséből adódik, hog eg vektor hosszát az alábbi formulával számíthatjuk Dr. Hanka László 10 Óbudai Egetem

17 Analitikus Geometria u u u u 1 3 Ezek a formulák lehetőséget adnak nem csak a merőlegesség tesztelésére, hanem két vektor szögének számítására. A definíciós formula átrendezésével uganis az adódik, hog cos uv uv u v u v u v u u u v v v és ebből az összefüggésből a φ szög egértelműen meghatározható a megállapodás miatt. Mivel cos 1, ebből az összefüggésből mellékeredménként adódik a nevezetes Cauch-Schwartz-Bunakovszkij féle egenlőtlenség. u v u v u v u u u v v v A vektorok alkalmazásának számos területén van arra szükség, hog eg vektor esetén kiszámítsuk adott vektor iránába eső vetületének hosszát illetve az adott iránú vetületvektort. A skaláris szorzat kiváló apparátus ennek a két menniségnek az előállítására. Jelöljük ki az iránt az a vektorral. Legen az a iránába mutató egségvektor az e vektor, és határozzuk meg eg tetszőleges v vektor a iránú vetületének hosszát és az a iránú vetületvektort. v φ v p a e 1.5.ábra. Vektor adott iránú vetületének meghatározása Az 1.5. ábra alapján világos, hog a v vektor a vektorral párhuzamos vetületének - melet v p vektor jelöl - hossza v v p cos v 1 cos v e cos ve a vetület hossza tehát a ve skaláris szorzattal adható meg. Ha figelembe vesszük, hog akkor az a iránú vetület abszolút értéke az alábbi formulával kapható e a a, a va v p ve v a a Dr. Hanka László 11 Óbudai Egetem

18 Analitikus Geometria Ha szükség van a vetületvektorra, akkor az íg kapott abszolút értéket szorozni kell az a iránú egségvektorral. v p va a va a vee a a a Ezzel előállítottuk az adott iránba mutató vetületvektort. Dr. Hanka László 1 Óbudai Egetem

19 Analitikus Geometria Vektorok vektoriális szorzata Vektorok vektoriális szorzata, az elnevezésből adódóan eg vektor. Alapvetően fontos szerepe van mind a vektoranalízisben, mind a geometriában. Értelmezése a következő. Definíció: Az u és v vektorok vektoriális szorzata az az u v-vel jelölt vektor (olv. " u kereszt v") amel a következő tulajdonságokkal rendelkezik: a) Abszolút értéke: sin uv,, és megegezés szerint u v u v ahol b) Az u vvektor merőleges mind az u mind a v vektorra, tehát merőleges az u és v vektorok síkjára. c) Az u vvektor irána a következőképpen van értelmezve: az u, v, u v vektorok ebben a sorrendben jobbrendszert alkotnak. (Ez az az irán, amellel ellentétes iránban tekintve az u és v vektorok síkjára, az u vektort a v vektorba pozitív iránú, tehát az óramutató járásával ellentétes iránú, φ szögű elforgatás viszi át.) u v S φ u v 1.6.ábra. A vektoriális szorzat értelmezése. A vektoriális szorzásra vonatkozó műveleti azonosságok a következők: a) nem kommutatív, hanem alternáló: u v= vu u v u v u v R b) asszociatív: ; c) disztributív: u v w uw vw ; és uv w u v uw ; A c) pontban azért kellett mindkét formulát megadnunk, mert a művelet nem kommutatív. Ennél a műveletnél a b) pontbeli asszociativitás kérdése eg általánosabb módon is felmerülhet, itt uganis van értelme háromténezős vektori szorzatról beszélni, tehát van értelme az uvw szorzatot vizsgálni, hiszen itt mindkét szorzás valóban vektori szorzás. A kérdés tehát az lehet, hog az uvw és az uvw szorzatok egenlők-e vag nem. A válasz ismét nemleges, de ennek a szorzatnak a kiszámítására gakran szükség van, ezért bizonítás nélkül megadjuk a kiszámításra vonatkozó összefüggéseket, amelekből azonnal látható, hog a kétféle módon zárójelezett szorzás eredméne általában nem lesz megegező, uganis az uvw szorzás eredméne eg olan vektor amel az u és v vektorok lineáris kombinációja, tehát az u és v Dr. Hanka László 13 Óbudai Egetem

20 vektorok által meghatározott síkban van, az van. Tétel: (Kifejtési tétel) Analitikus Geometria u v w szorzat pedig a v és w vektorok síkjában u v w uw v vw u; u v w uw v uv w; A vektoriális szorzattal kapcsolatos alapvető eredmén a következő. Tétel: Az u v vektoriális szorzat pontosan akkor zérusvektor, ha u v tehát ha a két vektor párhuzamos egmással. Bizonítás: Egrészt ha feltesszük, hog u és v párhuzamosak, akkor a vektori szorzat értelmezése alapján azonnal adódik, hog u v u v sin u v sin 0 u v sin180 u v 0 0. Megfordítva, ha a vektori szorzat zérus, akkor ismét a definíció szerint u v u v sin 0 Ez az egenlőség pontosan akkor teljesül, ha legalább eg ténezője zérus. Ha sinφ = 0 akkor máris kapjuk, hog φ = 0 vag 180, tehát a két vektor párhuzamos. Ha u 0 akkor ebből következik, hog u = 0, azaz u a nullvektor, melnek irána tetszőleges, íg tekinthetjük úg, hog párhuzamos a v-vel. Ha v 0 a helzet uganez. Ezt az alapvető tételt felhasználhatjuk arra, hog koordinátákkal adott vektorok vektori szorzatát kiszámítsuk. Ehhez azt kell felhasználnunk, hog az {i, j, k} bázisvektorok egségni hosszúak, i j k 1 és páronként ortogonálisak, i j, i k, j k úg, hog i, j, k ebben a sorrendben jobbrendszert alkot, amiből következik, hog i j k, jk i, k i j továbbá ji k, k j i, ik j és végül ii j j k k 0. A disztributív törvén felhasználásával, ha a koordináták u u, u, u és v v, v, v 1 3 előző formulák figelembe vételével a következő. u u u v v v u v i j k i j k u1vk u1v3 j uv1 k uv3i u3v1 j u3v i u v u v i u v u v j u v u v k 1 3, akkor a vektoriális szorzat az u v ii u v i j u v ik u v ji u v j j u v jk u v k i u v k j u v k k ; Dr. Hanka László 14 Óbudai Egetem

21 Analitikus Geometria Azt kaptuk tehát, hog a vektoriális szorzat a vektorok koordinátáival a következő módon adható meg. u v u v u v, u v u v, u v u v ; A vektori szorzat koordinátáinak a megjegzését illetve számítások során a meghatározását megkönníti az a tén, amel szerint a kapott vektor előállítható eg olan harmadrendű formális determináns kifejtésével, amelnek első sorában az i, j, k bázisvektorok szerepelnek, a második és harmadik sor pedig rendre az u és v vektorok koordinátáit tartalmazza. Ha ezt a determinánst kifejtjük pontosan a definíció alapján kapott vektort kapjuk. Valóban, az első sor szerint kifejtve a mondott determinánst, kapjuk, hog i j k u u u u u u u u u i j k u v u v i u v u v j u v u v k ; v v3 v1 v3 v1 v 1 3 v v v ami, figelembe véve a sakktábla szabálban foglalt előjelezést, valóban megegezik a vektori u, u, u v v, v, v, szorzatra kapott eredménnel. Írhatjuk tehát, hog ha a koordináták u és akkor a vektori szorzat meghatározása a következő módon történhet uv i j k u u u 1 3 v v v 1 3 ; Ebből egrészt következik, hog a művelet valóban alternáló, mert ha megcseréljük a ténezők sorrendjét, akkor az sorcserét jelent a determinánsban, amiről a determinánsok elmélete alapján tudjuk, hog előjelváltást eredménez. A vektori szorzatnak fontos geometriai jelentése van, amel a vektoranalízisben fontos szerepet játszik. Induljunk ki eg olan paralelogrammából, amelet az u és v vektorok "feszítenek ki" az 1.7. ábra szerint. u v v Terület = u v φ 1.7. ábra. Paralelogramma területe u Számítsuk ki ennek a paralelogrammának a területét. Eg jól ismert összefüggés szerint a paralelogramma területét a Dr. Hanka László 15 Óbudai Egetem

22 Analitikus Geometria T u v sin u v képlet adja amel definíció szerint megegezik a két vektor vektoriális szorzatának abszolút értékével. Azt kaptuk tehát, hog az u és v vektorok vektori szorzata eg olan vektor amel merőleges az u és v síkjára és hossza pontosan megegezik az u és v vektorok által kifeszített paralelogramma területével. Ebből adódóan az u vvektort szokás területvektornak is nevezni. Ennek alapján szemléletes bizonítást is ner az a tétel, hog u v= 0 akkor és csak akkor, ha a két vektor párhuzamos, hiszen a paralelogramma területe pontosan akkor zérus, ha a paralelogramma "elfajuló", ha tehát a két vektor vag 0 -os vag 180 -os szöget zár be, amikor a paralelogramma eg szakasszá torzul. Dr. Hanka László 16 Óbudai Egetem

23 Analitikus Geometria Vektorok veges szorzata Vektorok veges szorzata nem új művelet, hanem a skaláris és a vektoriális szorzat műveletének az "egesítéséről" van szó eg három ténezős szorzatban. Definíció: Az u, v és w vektorok veges szorzatát az uvw uv w formulával értelmezzük. Tehát képezzük az u és v vektori szorzatának a w vektorral a skaláris szorzatát. Felhívjuk a figelmet az pontban mondottak alapján arra, hog ne keverjük össze az uvw szimbólumot a skaláris szorzással, hiszen azt három vektor esetén nem is lehet értelmezni. Ha skaláris szorzásról van szó, akkor azt zárójelezéssel az (uv)w vag u(vw) módon egértelművé kell tenni. A veges szorzatnak igen fontos geometriai és vektoranalízisbeli (fizikai) jelentése van. Elsőként tisztázzuk a geometriai jelentést. Tétel: Az uvw veges szorzat az u, v és w vektorok által kifeszített paralelepipedon előjeles térfogata. Bizonítás: A szorzat jelentése nagon szemléletes, ezért a bizonítást megkönnítjük eg ábrával. Az 1.8. ábrán látható a három vektor által kifeszített paralelepipedon. u v w ϑ v φ u 1.8. ábra. Az u, v és w vektorok által kifeszített paralelepipedon Ennek a testnek, mint minden hasábnak, a térfogatát az alapterület és magasság szorzatával számítjuk. Az pontban tisztáztuk, hog az u és v vektorok által kifeszített paralelogramma területe u v, a magassága pedig, az pontbeli okfejtésre támaszkodva éppen a w vektor u v iránú vetületének hossza. Ez az ábra jelöléseivel nilván w cos. Tegük fel elsőként, ahogan az 1.8. ábrán is látható, hog u v és w uganabban a féltérben vannak, tehát ϑ hegesszög. Ebben az esetben a paralelepipedon térfogata Dr. Hanka László 17 Óbudai Egetem

24 Analitikus Geometria V u v w cos ; Ez a szorzat az pont szerint azonban éppen eg skaláris szorzatot értelmez, mégpedig az u vés w vektorok skaláris szorzatát. Kapjuk tehát, hog a paralelepipedon térfogata a mondott esetben V u v w uvw ; éppen a három vektor veges szorzata. Előállhat azonban az az eset is, amikor a w vektor és az u v vektori szorzat nem uganabban a féltérben vannak. Ezt az esetet mutatja az 1.9. ábra. w ϑ u φ v u v 1.9. ábra. Paralelepipedon, amikor az élek jelölése eltérő az előzőtől Ez az eset egszerűen úg áll elő, hog az előbbi esetben u és v jelű élek jelölését felcseréljük. Ekkor jól láthatóan a ϑ szög tompaszög. Ekkor a paralelepipedon magassága nilvánvalóan w cos hiszen tompaszögek koszinusza negatív. Ebből adódóan a paralelepipedon térfogata V u v w cos u v w uvw Összefoglalva azt mondhatjuk, hog a veges szorzat a térfogatot adja (1.8. ábra) vag a térfogat ellentettjét (1.9. ábra). Ezt a két tulajdonságot egben úg szokás fogalmazni, hog a veges szorzat a paralelepipedon előjeles térfogatát szolgáltatja. Ha azonban képezzük a veges szorzat abszolút értékét, akkor minden körülmének között a térfogat adódik. uvw V Ezzel az állítást igazoltuk. Az igazolt állítás eg következménét azonnal megfogalmazhatjuk. Dr. Hanka László 18 Óbudai Egetem

25 Analitikus Geometria Tétel: (felcserélési tétel) uvw vwu wuv uwv wvu uwv A tétel tehát azt mondja ki, hog a veges szorzat ténezőinek sorrendjét a feltüntetett módon megváltoztatva a szorzat értéke vag nem változik vag ellentettre változik. Eg bevett szóhasználat szerint, ha az u, v és w vektorokat cilkikusan permutáljuk, akkor a veges szorzat nem változik, és uganez igaz a v, u és w vektorokra. Az előjelváltást már igazoltuk az előző tételben. Bizonítás: A tétel igazolása a szorzat szemléletes jelentése alapján nilvánvaló, uganis eg paralelepipedon térfogata nem függhet attól, hog melik két vektor által kifeszített paralelogrammát tekintjük alapnak. Kissé részletezve a fenti egenlőségláncból eg egenlőséget, a tétel állítása tehát az, hog és íg tovább. uvw u vw vwu vwu ; Ha figelembe vesszük az 1.8. és 1.9. ábrák jelöléseit, valamint a skaláris és a vektoriális szorzat értelmezését, akkor világos, hog a veges szorzat az alábbi módon számítható ki. uvw u vw u v w cos u v sin w cos u v w sin cos Ezen formula és a geometriai háttér alapján már igazolhatunk eg alapvető állítást. Tétel: Az uvw veges szorzat pontosan akkor zérus, ha a három vektor eg síkban van, azaz u, v és w komplanáris. Bizonítás: Az állítás igazolása a szorzat szemléletes tartalma alapján nilvánvaló. Hiszen a paralelepipedon térfogata pontosan akkor zérus, ha a test elfajuló, azaz ha nincs magassága, tehát eg síkidommá redukálódik, vag ha az alapként szolgáló paralelogramma elfajul eg egenes szakasszá, amikor az élek párhuzamosak. Ezzel a tételt igazoltnak is tekinthetjük. Azonban az és pontbeli analóg tételek bizonításának mintájára elemezhetjük az uvw u v w sin cos formulát is. Ha a vektorok eg síkban vannak, akkor vag ϑ = 0 vag φ = 0 illetve 180. A szögfüggvén értékek figelembe vételével mindkét esetben nilván zérus a szorzat. Fordítva, ha a szorzat zérus, akkor vag valamelik vektor nullvektor, vag valamelik szögfüggvén értéke zérus, amikor is visszajutunk a már elemzett esetekhez. Dr. Hanka László 19 Óbudai Egetem

26 Analitikus Geometria Fontos kérdés még az, hog ha ismerjük a három vektort koordinátákkal, akkor hogan számítjuk ki a veges szorzatot. Ehhez felhasználjuk a skaláris és a vektoriális szorzatra igazolt összefüggéseket. u, u, u v, v, v w w, w, w. Az u és v Tegük fel, hog a vektorok koordinátái u, v és vektori szorzatát ismerjük az pont alapján. i j k u v u u u u v u v i u v u v j u v u v k ; v v v Ennek kell képezni a skaláris szorzatát a w, w, w következő. w vektorral. Ez értelmezés szerint a 1 3 uvw u v w u v u v w u v u v w u v u v w u v w u v w u v w u v w u v w u v w Ezzel megkaptuk a veges szorzatot koordinátákkal kifejezve. A számítást illetve a megjegezhetőséget itt is megkönníti ha észrevesszük, hog a kapott hat tagú összeg eg harmadrendű determináns kifejtésével adódik, amelnek az első, második és harmadik sora rendre az u, v és w vektor koordinátái. Valóban, ha a u u u 1 3 v v v u v w v w u v w v w u v w v w w w w 1 3 determinánsban elvégezzük a zárójelek felbontását, pontosan a definíció alapján kapott összeg adódik. Írhatjuk tehát, hog a veges szorzat kiszámítható az alábbi módon. Ha a vektorok u, u, u v, v, v w w, w, w, akkor a veges szorzat kiszámítása koordinátái u, v és ; u u u 1 3 uvw v v v ; 1 3 w w w 1 3 A felcserélési tétel állítása egenes következméne a determinánsok tulajdonságainak. Végezetül rámutatunk a veges szorzat fizikai, vektoranalitikai jelentésére. Ha w eg homogén vektormező, továbbá u és v kifeszít eg paralelogrammát (téglalapot, négzetet), akkor az uvw veges szorzat jelentése a w vektormező normális, tehát sík felületre merőleges komponensének és a paralelogramma területének a szorzata, ami nem más mint a w vektormező adott sík felületdarabra vonatkozó fluxusa. Ezt a tént a későbbiekben még felhasználjuk. Dr. Hanka László 0 Óbudai Egetem

27 Analitikus Geometria 1.. A SÍK ANALITIKUS GEOMETRIÁJA Az egenes egenletei A legegszerűbb síkbeli alakzat, az egenes egenletét számos különböző alakban fel lehet írni. Az alkalmazás határozza meg, hog ezek közül meliket használjuk. A legáltalánosabb módszer, P x, hog az egenest a koordinátarendszerben úg rögzítjük, hog megadunk eg pontot és eg vektort. Ez utóbbira több lehetőség van Definíció: Az egenesre merőleges, nullvektortól különböző vektort az egenes normálvektorának nevezzük. A normálvektor jele n(a, B). A normálvektort máris felhasználhatjuk az egenes egenletének felírásához. Tegük fel, hog az P x, jelöli. Jelölje a P 0 és P pontokba mutató egenes eg tetszőleges pontját, a futópontot a helvektorokat rendre r 0 és r. Világos, hog a P pont akkor és csak akkor illeszkedik az egenesre ha teljesül, hog r r0 n. A skaláris szorzatra vonatkozó alapvető tétel szerint, ez a merőlegesség pontosan akkor teljesül, ha ezen két vektor skaláris szorzata zérus r r n 0 0 Ez az egenlet az egenes normálvektoros vektoregenlete. Ha ezt a skaláris szorzatot kifejtjük koordinátákkal, már el is jutottunk az egenes szokásos egenletéhez. Tekintettel a bevezetett rr P P x x,, innen a normálvektorra bevezetett jelölésekre, világos, hog jelölést felhasználva adódik, hog r r n Ax x B amel átrendezésével kapjuk az egenes normálvektoros egenletét. Ax B Ax B 0 0 ; A normálvektoros egenlet minden síkbeli egenes egenletének felírására alkalmas. Más lehetőség is van azonban az egenes helzetének meghatározására. Definíció: Az egenessel párhuzamos, nullvektortól különböző vektort az egenes iránvektorának nevezzük. Az iránvektor jele v(v 1, v ). Ha az iránvektort vesszük alapul, akkor világos, hog a P futópont akkor és csak akkor illeszkedik az egenesre ha az r r 0 különbség párhuzamos a v iránvektorral. Ez pontosan akkor teljesül, ha létezik olan t valós paraméter, amelre igaz, hog Dr. Hanka László 1 Óbudai Egetem

28 Analitikus Geometria r r tv; r r tv ; 0 0 Ez az egenes paraméteres vektoregenlete. Ha ezt az összefüggést felírjuk koordinátánként, akkor azt kapjuk, hog x x0 tv1 ; t R 0 tv Ennek átrendezett alakja az egenes paraméteres egenletrendszere. x x tv tv ; t R Ennek jelentősége abban áll, hog ebben a formában is felírható minden síkbeli egenes, továbbá ezt az egenletet lehet általánosítani térbeli egenes esetére olan módon, hog ebben a formában minden egenes megadható. Gakran használatos ennek az egenletrendszernek azon módosított alakja, amelet úg kapunk, hog kiküszöböljük a rendszerből a t paramétert. x x0 0 ; v x x0 v1 0 ; v v 1 Ha ebben eg oldalra rendezzük az ismeretleneket, akkor kapjuk az egenes iránvektoros egenletét. v x v v x v ; Bár a fenti átalakítás csak akkor heles, ha az iránvektor komponensei nem nullák, a kapott egenlet mégis minden esetben alkalmazható az egenes megadására. Gakran használatos, különösen az analízisben az egenes iránténezős egenlete. Definíció: Az egenes iránszögének nevezzük az egenes és az x-tengel pozitív irána által bezárt φ szöget. A φ iránszög tangensét, az m tgmenniséget az egenes irántangensének, meredekségének vag iránténezőjének nevezzük. Az irántangens segítségével leírható miden olan egenes, amelnek iránszöge különbözik P x, az egenes 90 -tól, ezen szögnek uganis nem létezik tangense. Legen szokás szerint rögzített pontja és Px, a futópont. Ez utóbbi pontosan akkor illeszkedik az egenesre, ha teljesül, hog a két pontot összekötő egenes szakasz meredeksége m, azaz ha x x 0 0 m; m x x 0 0 Dr. Hanka László Óbudai Egetem

29 Ha ezt az egenletet szokás szerint -ra rendezzük, akkor kapjuk, hog m x x mx mx ; Analitikus Geometria Bevezetve a b 0 mx0 jelölést adódik az egenes iránténezős egenletének szokásos alakja mx b; Ez az egenlet teljesül, ha helettesítjük a (0, b) rendezett párt. Ez azt jelenti, hog a b valós szám nem más, mint annak a pontnak az ordinátája, ahol az egenes metszi az -tengelt. Szokásos elnevezése tengelmetszet. Ha az egenes nem párhuzamos egik tengellel sem, akkor az x-tengelt is metszi. Jelölje a metszéspontot (a, 0). Világos, hog ekkor az (a, 0) és (0, b) pontokat összekötő vektor az v ab, koordinátákkal adható meg. Írjuk fel ezzel az egenes iránvektora. Ez például a iránvektorral az egenes iránvektoros egenletét. Korábbiak szerint, ha az egenes rögzített P a pont, akkor pontja például a 0,0 v x v bx a bx a bx a ab ; Osszuk el ezt az egenletet ab-vel, feltéve, hog sem a sem b nem zérus, rendezés után kapjuk, hog x 1 a b Ez az egenlet az egenes tengelmetszetes egenlete. Ebben a formában tehát akkor adható meg eg egenes egenlete, ha az nem halad át az origón és nem párhuzamos egik koordinátatengellel sem. Ha az egenes párhuzamos az x- illetve az -tengellel, akkor egenlete triviális módon, alkalmazva a tengelmetszetekre bevezetett jeleket, rendre a következő b; x a; 1.1.Példa: Írjuk fel annak az egenesnek az említett összes egenletét, amel áthalad az A(, 3) és B(, 5) pontokon. Világos, hog a két pontot összekötő vektor párhuzamos az egenessel, íg v AB,5 3 4, vektor az egenes eg iránvektora. Válasszuk P 0 pontnak a például az A pontot, azaz P 0 (, 3). Ekkor máris megvan az egenes iránvektoros egenlete. v x v v x v ; azaz x ; Dr. Hanka László 3 Óbudai Egetem

30 Analitikus Geometria Kaptuk tehát az egenes egenletét x 4 16; alakban. Ettől semmiben sem különbözik a normálvektoros egenlet, uganis ez a kérdés akkor merül fel, amikor felírjuk az egenletet valamel vektor birtokában. Esetünkben az iránvektor meghatározása volt kézenfekvő. Most fordított logikával, le tudjuk olvasni az egenletből az egenes eg normálvektorát. Ez például az n(, 4) vektor. Az iránvektor ismeretében azonnal kapjuk a paraméteres egenletrendszert, amel számunkra az alkalmazások szempontjából a legfontosabb. x 4 t ; 3t t R Ennek eg ekvivalens, de a vektoranalízisben szokásosabb felírása egparaméteres vektor skalár függvén alakjában a következő. r t 4 t,3 t ; t R Ha az egenletet rendezzük -ra, kapjuk az iránténezős egenletet. 1 x 4; Amiből kiderül, hog a meredekség m = 0,5 és a tengelmetszet b = 4. Ez természetesen közvetlenül is adódik, ha az A és B pontokat valamint a P(x, ) futópontot felhasználva kétféle módon is felírjuk az iránténezőt m ; ; 3 x 1; x 4; x x 4 Innen = 0 helettesítéssel kapjuk az első tengellel való metszéspont koordinátáját, x = 8. A bevezetett jelölésekkel tehát a két tengelmetszet a = 8 és b = 4. Ebből adódik a tengelmetszetes egenlet x Természetesen uganez adódik, ha például az iránténezős egenletben az ismeretleneket eg oldalra rendezzük és osztunk a jobb oldalon kapott konstanssal. Dr. Hanka László 4 Óbudai Egetem

31 Analitikus Geometria 1... A kör egenlete Definíció: ( A kör definíciója) Legen adott a síkban eg C pont, a kör centruma és eg pozitív r távolság. r sugarú körnek nevezzük azon síkbeli P pontok halmazát, melekre igaz, hog a C centrumtól mért távolság egenlő az adott r állandóval. A kör P pontjaira tehát teljesül, hog d P, C r állandó Keressük a kör egenletét abban az esetben, amikor a centrum az origóban van. A kör ezen elhelezkedését kanonikus helzetnek nevezzük. Ekkor, ha a futópontot P(x, ) jelöli, a definíció szerinti egenlőség az alábbi formában írható 0 0 x r Mivel az r pozitív szám, négzetre emeléssel ekvivalens egenletet kapunk. x r Ez az origó centrumú, r sugarú kör egenlete. Toljuk most el a kört úg, hog centruma az (x 0, 0 ) koordinátájú pontba essen. Ekkor a definíció szerint a kör pontjaira igaz, hog x x r 0 0 amelből négzetre emeléssel adódik az r sugarú kör legáltalánosabb egenlete 0 0 x x r ; Ha ebben az egenletben elvégezzük a négzetre emeléseket, azt kapjuk, hog x x x x r ; x x x x r 0; Ezt az egenletet megszorozhatjuk eg tetszőleges nullától különböző A állandóval. Ekkor egszerűsítő jelölések alkalmazása után az egenlet az Ax A Bx C D 0; általános formában írható. A kör egenletének ezen alakja akkor lesz fontos, amikor a másodrendű görbék általános vizsgálatával foglalkozunk az pontokban. Dr. Hanka László 5 Óbudai Egetem

32 Analitikus Geometria Nagon fontos kérdés, hog hogan lehet a kört paraméteres alakban megadni. Ezt az alakot a szögfüggvének definícióját felidézve nagon egszerűen fel tudjuk írni. Tekintsünk eg r sugarú kört a kanonikus helzetben. Válaszuk ki a kör eg tetszőleges pontját és tekintsük a centrumból az adott pontba mutató sugarat. Vegük fel t paraméternek a sugár és az x-tengel pozitív irána által bezárt szöget, ahogan azt az ábra mutatja ábra. A kör paraméterezése Ekkor nilvánvalóan igaz, hog x r cos t, r sin t, ahol a t paraméter a [0, π] intervallumot futja be. Ezzel meg is adtuk az origó középpontú és r sugarú kör eg lehetséges paraméterezését. x r cos t ; t 0, r sin t Egparaméteres vektor-skalár függvénként írva a kör megadható az r t rcos t, r sin t; t 0, alakban is. Ha a centrum a C(x 0, 0 ) pont, akkor a paraméteres megadás az alábbiak szerint módosul. x x0 r cos t ; t 0, 0 r sint illetve r t x rcos t, r sin t; t 0, 0 0 Dr. Hanka László 6 Óbudai Egetem

33 Analitikus Geometria A parabola egenlete A parabola jól ismert fogalom az analízisből, hiszen mindenki tudja, hog eg másodfokú függvén grafikonja parabola. Most geometriai szempontból fogjuk megvizsgálni a kérdést. Elsőként tisztázni kellene mit értünk parabolán geometriai szempontból. Definíció: ( A parabola definíciója) Legen adott a síkban eg F pont, a fókuszpont és eg v egenes, amel nem illeszkedik a fókuszra. Ezt az egenest vezéregenesnek vag direktrixnek nevezzük. Az F pont és a v egenes síkjában parabolának nevezzük azon P pontok halmazát, melekre igaz, hog a vezéregenestől mért távolságuk egenlő a fókuszponttól mért távolsággal, azaz amelekre teljesül, hog d(p, F) = d(p, v) A fókusz és a vezéregenes távolságát p-vel jelöljük és a parabola paraméterének nevezzük. Az F pontra illeszkedő vezéregenesre merőleges t egenes a parabola tengele. A t tengel és a parabola metszéspontja a T tengelpont. Ez felezi a tengel fókuszpont és vezéregenes közé eső szakaszát, tehát a tengelpont távolsága mindkét említett alakzattól p ábra. A parabola definíciója Keressük a parabola egenletét. Ehhez helezzük el a parabolát a koordinátarendszerben úg, hog a tengelpontja az origó, az ilen egenletet tengelponti (kanonikus) egenletnek nevezzük, és a fókusz helezkedjen el az x-tengel pozitív felén, tehát a definíció szerint a p fókusz koordinátái F,0. Ekkor a vezéregenes párhuzamos az -tengellel és az x-tengelt a p pontban metszi, egenlete tehát p x. Dr. Hanka László 7 Óbudai Egetem

34 Analitikus Geometria Legen a parabola futópontja a P(x, ) pont. Ekkor az értelmezés szerint teljesülnie kell annak, hog p p x 0 x p Mivel nilvánvalóan teljesül, hog x 0, az egenlet négzetre emelésével ekvivalens egenletet kapunk. p p x 0 x ; p p x px x px 4 4 Rendezve a kapott egenletet már meg is kaptuk a p paraméterű parabola tengelponti egenletét ; px Gondoljuk meg, hog eg parabola négféle módon helezhető el a koordináta rendszerben úg, hog tengelpontja az origóba essen. p 1. eset: Fókuszpontja az F,0, tengele az x-tengel, a vezéregenes egenlete p x. Ennek egenletét vezettük le közvetlenül. A fentiek szerint ez a következő px p. eset: Fókuszpontja az F,0, tengele az x-tengel, a vezéregenes egenlete p x. Ez a parabola az előbbi parabola tükörképe az -tengelre vonatkozólag. Ennek egenlete az előbbi egenletből úg adódik, hog x helére x-et írunk px p 3. eset: Fókuszpontja az F 0,, tengele az -tengel, a vezéregenes egenlete p. Ennek egenletét megkapjuk, ha a legelső egenletben x és szerepét felcseréljük x p Dr. Hanka László 8 Óbudai Egetem

35 Analitikus Geometria p 4. eset: Fókuszpontja az F 0,, tengele az -tengel, a vezéregenes egenlete p. Ez az x-tengelre vonatkozó tükörképe a 3. esetbeli parabolának. Ennek egenletét megkapjuk, ha a előjelét ellentettre változtatjuk x p Ezzel az összes lehetséges kanonikus helzetre megadtuk a parabola egenletét. Eg parabola természetesen nem csak kanonikus helzetben lehet, tengelpontját el lehet tolni eg tetszőleges (x 0, 0 ) koordinátákkal megadott T pontba. Egelőre még feltételezzük, hog a parabola t tengele továbbra is párhuzamos valamelik koordinátatengellel. Ekkor a fenti nég esetnek megfelelő helzetben a parabola egenlete rendre a következő px x px x ; ; x x p x x p ; ; Az említett esetekben a fókuszpont koordinátái és a vezéregenes egenlete rendre az alábbi módon adható meg p p p p F x0, 0, x x0 ; F x0, 0, x x0 ; p p p p F x0, 0, 0 ; F x0, v0, 0 ; A későbbiekben, a másodrendű görbék általános tárgalása során megvizsgáljuk, hogan módosulnak ezek az egenletek, ha megengedjük, hog a vezéregenes állása síkban tetszőleges legen, tehát nem kötjük meg a koordinátatengelekkel való párhuzamosságot. A parabola paraméterezése nagon egszerű feladat. Tekintsük például az elsőként felírt px egenletet. Ennek paraméterezése egszerűen úg történhet, hog az változót tekintjük paraméternek, azaz egszerűen bevezetjük a t = jelölést, amelből azonnal t következik, hog t px azaz x. Tehát a parabola eg paraméterezése lehet a p következő t rt, t ; t R p Értelemszerű módosítással kapjuk a másik három esetben a paraméterezést. Ha a parabola nem kanonikus helzetben van, akkor az első vizsgált esetben egenlete px x. 0 0 Dr. Hanka László 9 Óbudai Egetem

36 Analitikus Geometria Ebben az esetben ugancsak az változót tekintve paraméternek eg lehetséges paraméterezés a következő r t, ; 0 R p 0 t x t t Dr. Hanka László 30 Óbudai Egetem

37 Analitikus Geometria Az ellipszis egenlete Az ellipszis számos természettudomános probléma leírásánál fontos szerepet kap. Túl azon hog geometriailag a kör bizonos értelemben vett általánosításának is tekinthető, például a mechanikában a centrális erő hatására létrejövő mozgás eg lehetséges pálagörbéje. Íg Kepler és Newton vizsgálataiból tudjuk, hog a bolgók pálagörbéje ellipszis. Definiáljuk az ellipszist. Definíció: ( Az ellipszis definíciója) Legen adott a síkban két pont F 1 és F, a fókuszpontok. Jelölje ezek távolságát c. Legen továbbá adva eg távolság, amel nagobb, mint a két fókusz távolsága, legen ez a távolság a. A mondottak szerint tehát a > c. A fókuszpontokat tartalmazó síkban ellipszisnek nevezzük azon P pontok halmazát, melekre igaz, hog a két fókuszponttól mért távolságuk összege állandó, és ez az állandó egenlő a a távolsággal, tehát amelekre teljesül, hog d P, F d P, F a 1 A c állandót az ellipszis lineáris excentricitásának nevezzük. Mivel a > c, van értelme a definícióval értelmezett pozitív menniségnek. b a c 1.1. ábra. Az ellipszis definíciója Az ellipszisen kitüntetünk nég pontot, az 1.1. ábrán az A, B, C és D pontokat. Világos a definíció alapján, hog AF1AF a. De az is nilvánvaló, hog az ellipszis középpontosan szimmetrikus az F 1 F szakasz O felezőpontjára, íg az is nilvánvaló, AF1 CF amiből azonnal következik, hog AC AF CF AF AF1 a. Az A és C pontok távolsága tehát éppen a rögzített a távolsággal egezik meg. Eszerint AO OC a. Az AC szakaszt az ellipszis nagtengelének nevezzük. Dr. Hanka László 31 Óbudai Egetem

38 Analitikus Geometria Vizsgáljuk most az OF 1 B háromszöget. Világos, hog ez eg derékszögű háromszög, melnek OF 1 befogója értelmezés szerint c hosszúságú. A szimmetriából világos, hog BF 1 = BF és az is, hog BF1BF a, amiből az következik, hog BF 1 = a. A Pitagorasz-tétel alapján adódik, hog az OB szakasz hossza éppen a fentiekben értelmezett b a c menniséggel egenlő, amelre nilvánvalóan igaz, hog b < a. Az AC szakaszhoz hasonlóan BD szakasz is szimmetriatengele az ellipszisnek, neve kistengel. Az OA, OB, OC és OD szakaszok a féltengelek. Az AO OC a szakasz az ellipszis nag féltengele, az OB = OD = b pedig a kis féltengel.az O pont pedig az ellipszis centruma. Még eg menniséget használunk az ellipszis jellemzésére, amel az ellipszis lapultságát jellemzi. Ez a menniség a numerikus excentricitás, amelet az c e a hánados értelmez. Hangsúlozzuk, hog értelmezés szerint az ellipszis numerikus excentricitása kisebb, mint 1. Keressük az ellipszis egenletét abban az esetben, amikor az ellipszis O centruma az origóban van, fókuszai pedig az x-tengelen, melek koordinátái íg F1 c,0, F c,0. Ezt a helzetet kanonikus helzetnek nevezzük. A kanonikus egenlet levezetését a definícióra való hivatkozással kezdjük. Eszerint d P, F1 d P, F a. Ha a futópont szokás szerint P(x, ), akkor a távolságok összege a következő módon írható fel Rendezzük át az egenletet. x c x c a x c a x c Mivel nilván mindkét oldalon pozitív menniségek állnak, ezért négzetre emeléssel ekvivalens egenlethez jutunk. 4 4 x c a a x c x c Elvégezve a négzetre emeléseket, rendezéssel a következő alak adódik. x xc c 4a 4a x c x xc c ; 4xc 4a 4 a x c ; a xc a x c ; Dr. Hanka László 3 Óbudai Egetem

39 Analitikus Geometria Annak érdekében, hog megszabaduljunk az irracionalitástól ismét négzetre emelünk. 4 a a xc x c a x a xc a c a ; a x c a x a c a 4 ; Eg oldalra rendezve a konstansokat azt kapjuk, hog ahonnan kiemeléssel az 4 a x x c a a a c ; x a c a a a c ; egenlet adódik. Ha most figelembe vesszük a b definícióját, mel szerint b a c akkor azt kapjuk, hog b a c azaz b x a a b ; ahonnan osztással kapjuk az a nag féltengelű és b kis féltengelű ellipszis kanonikus egenletét, amikor tehát a fókuszok az x-tengelen vannak x a b 1; Ebből az egenletből azonnal adódik annak a kanonikus helzetű ellipszisnek az egenlete, amelnek fókuszai az -tengelen vannak, melek koordinátái F1 0, c, F 0, c. Ha ismét a jelöli a nag féltengel hosszát, akkor az egenlet a következő x b a 1; Ezek a kanonikus egenletek. Ha az ellipszist eltoljuk úg, hog a centruma az (x 0, 0 ) koordinátákkal adott pontban legen de tengelei továbbra is párhuzamosak legenek a koordinátatengelekkel, akkor a fenti két esetben az egenlet rendre a következő x x x x ; 1; a b b a A másodrendű görbék című fejezetben rátérünk annak vizsgálatára, amikor a tengel nem párhuzamos a koordinátatengelekkel. Dr. Hanka László 33 Óbudai Egetem

40 Analitikus Geometria Síkbeli merőleges affinitás A másodrendű görbék, de különösen a másodrendű felületek tanulmánozásánál hasznos segédeszköz az affinitás, mint geometriai transzformáció. Ebben a pontban a síkbeli változatot tanulmánozzuk. Definíció: A síkbeli merőleges affinitás eg olan transzformáció amel eg t egenes pontjait helben hagja, ez az egenes az affinitás tengele, a tengelre a T pontban emelt merőleges PT ' egenes eg P pontjához pedig azt a P' pontot rendeli, amelre igaz, hog ahol a PT nullától különböző valós szám az affinitás arána. Ha a negatív szám akkor értelmezés szerint a P és P' pontok a t tengel által meghatározott különböző félsíkokban vannak. A t tengelre merőleges iránt az affinitás iránának nevezzük. Abban a speciális esetben amikor = 1, az affinitás az identikus transzformáció, tehát a helbenhagás, amikor pedig = 1, az affinitás a tengeles tükrözést jelenti ábra. Síkbeli merőleges affinitás Vizsgáljuk meg, milen hatással van eg alakzat egenletére, ha az alakzatra alkalmazunk eg aránú merőleges affinitást. Állítás: Ha eg síkbeli alakzat egenlete az F(x, ) = 0 általános egenlet, a affinitás tengele az x-tengel illetve az -tengel, akkor az alakzat affin képének egenlete rendre x F x, 0; F, 0; Bizonítás: Az állítás nilvánvaló. Csak figelembe kell vennünk, a definíciót. Ha a tengel az x-tengel, akkor az egmáshoz rendelt pontok második koordinátájára értelmezés szerint teljesül, hog Dr. Hanka László 34 Óbudai Egetem

41 Analitikus Geometria ' ' ; azaz ' ; tehát Ha az affin kép egenletét keressük, csak annit kell tennünk ennek meghatározásához, hog az ' ' F(x, ) = 0 egenletben -t helettesítjük -val. Az egenlet alakja tehát Fx, 0. Ha itt elhagjuk a felesleges, csupán a levezetés során a megkülönböztetés érdekében használt vesszőt, akkor az állításban szereplő egenletet kapjuk. Hasonló módon adódik az egenlet, ha az -tengel az affinitás tengele. Következménként azonnal adódik eg egszerű de fontos tétel. Tétel: Eg kör affin képe ellipszis. Bizonítás: Mivel a kör forgásszimmetrikus, feltehetjük, hog az affinitás tengele az x-tengel. b Legen a kör sugara r = a, tehát egenlete x a és legen az affinitás arána. a Ekkor az igazolt tétel szerint a kör affin képnek egenlete a x x x a b a b Ha ezt az egenletet elosztjuk a -tel, akkor az x a b 1 egenletet kapjuk, ami valóban ellipszis egenlete. Attól függően, hog a arán kisebb illetve nagobb, mint 1 a kapott ellipszis nag féltengele rendre a illetve b. Ennek a tételnek a birtokában megadhatjuk az ellipszis paraméterezését is. Legen az affinitás b arána és használjuk fel, hog az r = a sugarú kör paraméterezése a r t acos t, a sin t; t 0, b b Az affinitás értelmezése szerint ekkor ' asin t bsin t a a. Az ellipszis eg lehetséges paraméterezése ezek szerint a következő r t acos t, b sin t; t 0, Dr. Hanka László 35 Óbudai Egetem

42 Analitikus Geometria A hiperbola egenlete A hiperbola ugancsak számos természettudomános probléma leírásánál fontos szerepet kap. A matematikában gakran találkozunk a fordított aránossággal, amelnek grafikus képe hiperbola, 1 és sokszor alkalmazzuk az f x függvént, amelnek grafikonjáról azt gondoljuk, hog x definíció szerint nevezzük hiperbolának, de említhetnénk még az ax b f x, ad bc 0 cx d 1 alakú lineáris törtfüggvéneket, melek grafikonja az f x függvén grafikonjának x transzformációjával adódik, ugancsak hiperbola. Továbbá a mechanikában vag a részecskefizikában, az ellipszishez hasonlóan a centrális erő hatására létrejövő mozgás eg lehetséges pálagörbéje, attól függően, hog mik a kezdeti feltételek. Értelmezzük ezek után a hiperbolát. Definíció: ( A hiperbola definíciója) Legen adott a síkban két pont F 1 és F, a fókuszpontok. Jelölje ezek távolságát c. Legen továbbá adva eg távolság, amel kisebb, mint a két fókusz távolsága, legen ez a távolság a. A mondottak szerint tehát a < c. A fókuszpontokat tartalmazó síkban hiperbolának nevezzük azon P pontok halmazát, melekre igaz, hog a két fókuszponttól mért távolságuk különbségének abszolút értéke állandó, és ez az állandó egenlő a a távolsággal, tehát amelekre teljesül, hog d P, F d P, F a 1 A c állandót a hiperbola lineáris excentricitásának nevezzük. Mivel a < c, van értelme a definícióval értelmezett pozitív menniségnek. b c a Világos az értelmezés szerint eg hiperbolának két ága van, az egik ág pontjaira az teljesül, d P, F d P, F a d P, F d P, F a hog, a másik ág pontjaira pedig az 1 1 összefüggés igaz. A hiperbola tengelesen és középpontosan szimmetrikus görbe. A szimmetriacentrum az O pont a hiperbola centruma, az egik szimmetriatengel az F 1 és F pontokat tartalmazó egenes, a másik pedig erre az O pontban emelt merőleges egenes. A hiperbolán kitüntetünk két pontot, az ábrán az A és C pontokat. Ezek a pontok az F 1 F szakasz és a két hiperbolaág metszéspontjai. Világos a definíció alapján, hog AF AF1 a. De az is nilvánvaló, a hiperbola középpontos szimmetriája miatt, hog AF1 CF amiből azonnal következik, hog AC AF CF AF AF1 a. Az A és C pontok távolsága tehát éppen a rögzített a távolsággal egezik meg. Eszerint AO OC a. Az AC = a hosszúságú szakaszt a hiperbola valós tengelének nevezzük. A b c a összefüggéssel definiált menniség kétszerese az Dr. Hanka László 36 Óbudai Egetem

43 Analitikus Geometria ún. képzetes tengel. Ennek jelentése az ábrára tekintve nilvánvaló. Határozzuk meg azokat a B és D pontokat a valós tengelre merőleges szimmetriatengelen, amelekre teljesül, hog BO = DO = b. A Pitagorasz-tétel alapján és b értelmezése szerint ekkor nilvánvaló, hog BA BC DA DC c. A képzetes tengel az ilen módon értelmezett BD szakasz. Ez a szakasz, bár első ránézésre kissé erőltetettnek tűnik az értelmezése, túl azon, hog analógiát teremt az ellipszissel, sokkal mélebb jelentéssel is bír, amelet a hiperbola aszimptotáinak tárgalásánál megmutatunk ábra. A hiperbola definíciója Az ellipszishez hasonlóan, a hiperbolának is értelmezzük a numerikus excentricitását, uganazzal az összefüggéssel. c e a Mivel ebben az esetben a < c, a hiperbola numerikus excentricitása nagobb, mint 1. Keressük a hiperbola egenletét abban az esetben, amikor a hiperbola O centruma az origóban van, fókuszai pedig az x-tengelen, melek koordinátái íg F1 c,0, F c,0. Ezt a helzetet kanonikus helzetnek nevezzük. A kanonikus egenlet levezetését a definícióra való d P, F d P, F a. Ha a futópontot szokás szerint P(x, ) hivatkozással kezdjük. Eszerint 1 jelöli, akkor a távolságok különbségének abszolút értéke a következő módon írható fel Rendezzük át az egenletet. x c x c a; x c x c a; Dr. Hanka László 37 Óbudai Egetem

44 Analitikus Geometria x c a x c ; Mivel a bal oldal pozitív a jobb oldalon is pozitív menniség áll, ezért négzetre emeléssel ekvivalens egenlethez jutunk. 4 4 x c a a x c x c Elvégezve a négzetre emeléseket, rendezéssel a következő alak adódik. x xc c 4a 4a x c x xc c ; 4xc 4a 4 a x c ; xc a a x c Annak érdekében, hog megszabaduljunk az irracionalitástól ismét négzetre emelünk. ; 4 x c xca a a x a xc a c a ; a x c a x a c a 4 ; Eg oldalra rendezve a konstansokat azt kapjuk, hog ahonnan kiemeléssel az 4 a x x c a a a c ; x a c a a a c ; egenlet adódik. Formálisan tehát pontosan uganarra az egenletre jutottunk, mint az ellipszis esetén. A különbség abban van, hog ez esetben másképpen definiáljuk a b menniséget. A hiperbola esetén a b definíciója azt kapjuk, hog b c a azaz b x a a b ; b c a. Ha ezt figelembe vesszük, akkor ahonnan osztással kapjuk a a valós tengelű és b képzetes tengelű hiperbola kanonikus egenletét, amikor tehát a fókuszok az x-tengelen vannak x a b 1; Dr. Hanka László 38 Óbudai Egetem

45 Analitikus Geometria Ez valóban két különálló hiperbolaág egenletét foglalja magába. Átrendezve adódik uganis, hog x 1 a b amel összefüggés tetszőleges valós esetén csak akkor teljesülhet, ha x a x a, a esetén nem létezik rendezett pár, amel kielégítené az egenletet. A aa, intervallumra illeszkedő a-szélességű függőleges sáv tehát szétválasztja a két ágat. Az egik ág, amikor x a teljesül a "jobb oldali" ág, a "bal oldali" ág pedig x a esetén adódik., de A kapott egenletből azonnal adódik annak a kanonikus helzetű hiperbolának az egenlete, amelnek fókuszai az -tengelen vannak, melek koordinátái F1 0, c, F 0, c. Ha ismét a jelöli a valós tengel hosszát, akkor az egenlet a következő x b a 1; Ezek a kanonikus egenletek. Ha a hiperbolát eltoljuk úg, hog a centruma az (x 0, 0 ) koordinátákkal adott pontban legen de tengelei továbbra is párhuzamosak legenek a koordinátatengelekkel, akkor a fenti két esetben az egenlet rendre a következő x x x x ; 1; a b b a 1 Ezek az egenletek még nem emlékeztetnek sem az f x függvénre, sem pedig eg x lineáris törtfüggvénre. Egelőre tehát nem találtuk meg a kapcsolatot a két fogalomkör között. Ennek oka az, hog még nem vizsgáltunk olan hiperbolát, amelnek valós és képzetes tengele nem párhuzamos a koordinátatengelekkel. A másodrendű görbék című fejezetben rátérünk ennek a kérdésnek a vizsgálatára is. A hiperbola paraméterezésével kapcsolatban olan szemléletes lehetőségünk nincs mint a kör és ebből adódóan az ellipszis esetében. Ilenkor az a kérdés, meg tudjuk-e adni az alakzat, adott esetben a hiperbola pontjainak koordinátáit egetlen t paraméter segítségével úg, hog a pontok és a paraméter értékei között eg kölcsönösen egértelmű kapcsolat legen, a görbe minden pontjához hozzárendelhető legen pontosan eg t paraméterérték és fordítva, minden eges paraméterérték a görbe pontosan eg pontját határozza meg. A hiperbola esetében eg hiperbolikus függvénekre vonatkozó nevezetes azonosság felidézése segít, ez a következő ch sh 1; t t t R Ennek figelembe vételével világos, hog ha az x és koordináták t paramétertől való függését az Dr. Hanka László 39 Óbudai Egetem

46 Analitikus Geometria x a ch t ; bsh t t R egenletekkel értelmezzük, akkor világos, hog ezek a függvének kielégítik a hiperbola egenletét, uganis ach t bsh t x a b a b ch t sh t 1; Mivel pedig a szinusz hiperbolikusz függvén szigorúan monoton növekedő, világos, hog a fenti paraméterezés különböző t értékek esetén különböző pontokat határoz meg, és az is világos, hog ha adott a hiperbola eg P(x, ) pontja, akkor ehhez a fenti egenletrendszerből következő b th t; azaz t arth a x a b x összefüggés, az area tangenshiperbolikusz függvén szigorú monoton növekedése miatt egértelmű t értéket rendel hozzá. Ez a paraméterezés azonban, mivel cht >0, csak az egik ágat paraméterezheti, azt amelik ág pontjainak abszcisszája pozitív érték, tehát a "jobboldali" ágat. A "baloldali" ágat nilván úg paraméterezhetjük, hog az x-koordinátát meghatározó egenlet ellentettjét tekintjük, hiszen a hiperbolaágak szimmetrikusak a képzetes tengelre. Kaptuk tehát a két hiperbolaág paraméterezését. x a ch t x a ch t " jobboldali ág" ; t ; "baloldali ág" ; t ; bsh t R bsh t R Egparaméteres vektor-skalár függvénként megadva a két ág paraméterezése a következő. r t ach t, bsh t ; r t ach t, bsh t ; t R 1 A hiperbolával kapcsolatosan felmerül eg fontos geometriai alakzat, az aszimptota kérdése. Az analízisből ismert, hog eg felülről nem korlátos halmazon értelmezett f(x) függvén +-beli aszimptotája az = mx + b egenletű egenes, ha teljesül, hog lim f x mx b 0 x Ültessük át ezt a fogalmat a mostani geometriai jellegű vizsgálatainkra. Vizsgáljuk meg, hog a hiperbolának létezik-e aszimptotája. Ehhez alakítsuk át a hiperbola x a b 1 Dr. Hanka László 40 Óbudai Egetem

47 Analitikus Geometria egenletét a következő módon. Szorozzuk meg az egenletet b b a x x b x -tel. Ekkor kapjuk, hog Nilvánvalóan igaz, hog b lim 0 vagis x x b lim 0 x a x tehát a b b b a x a x a x összefüggésből következően teljesül az alábbi két határérték reláció b b b b lim 0; lim 0 azaz lim x 0; lim x 0; x a x x a x x a x a ez pedig pontosan azt jelenti, hog megtaláltuk a hiperbola aszimptotáinak az egenletét. b b x; x; a a ábra. A hiperbola aszimptotái Itt ner értelmet, hog bevezettük a képzetes tengel fogalmát a b menniség felhasználásával. A kapott eredmén azt jelenti, hog a hiperbola aszimptotáinak meredeksége abszolút értékben a képzetes és valós tengel nagságának hánadosával egenlő. Dr. Hanka László 41 Óbudai Egetem

48 Analitikus Geometria tg α b b 1 ; tgα ; a a Nilván igaz, hog 1 és íg a két aszimptota szöge 1 vag 1 ha ez utóbbi kisebb. Eg hiperbolát derékszögűnek vag egenlő szárúnak nevezünk, ha 1 90 amikor tehát a = b. Eg derékszögű hiperbola egenlete tehát x a a 1; vagis x a ; Dr. Hanka László 4 Óbudai Egetem

49 Analitikus Geometria A parabola, ellipszis és hiperbola fokális egenlete Az előző három pontban tárgaltuk a parabola, az ellipszis és a hiperbola egenletét a klasszikus definíciók alapján. Az egenleteket olan koordinátarendszerben vezettük le, amelben a görbe tengelpontja illetve a centruma van az origóban. Ha áttérünk eg olan koordinátarendszerre, amelben az említett görbék eg fókusza van az origóban, akkor kapjuk az ún. fokális egenleteket. Mint látni fogjuk a fokális egenletek a görbék között fennálló sokkal mélebb kapcsolatokra fog rámutatni, amel összefüggések a klasszikus definíciókból közvetlenül nem következik. Végezzünk el tehát eg koordináta transzformációt. A parabola esetében tehát az egetlen fókusz legen az origóban, az ellipszis esetén a bal oldali fókusz, a hiperbola esetén a jobb oldali fókusz. Mint látni fogjuk ez teszi lehetővé az egséges tárgalást. Vezessük le elsőként a parabola fokális egenletét. Az egséges jelölés érdekében vezessük be a parabola esetében a paraméterre vonatkozólag a p = c jelölést. Ekkor elmondhatjuk, hog kanonikus helzetben a parabola tengele az x-tengel és fókusza az F(c, 0) pontban van. Térjünk át az (x, ) koordinátarendszerről a, koordinátarendszerre úg, hog a fókusz a, rendszer origójában legen. Ekkor az ábra alapján nilván igaz, hog x c,. Helettesítsük ezt a két transzformációs összefüggést a parabola kanonikus egenletébe. Adódik, hog p c Adjunk most mindkét oldalhoz -et és vegük figelembe, hog c = p. Ekkor azonos átalakításokkal adódik, hog p c p pc p p p Kaptuk tehát, hog a, koordinátarendszerben a parabola egenlete Ez az egenlet a parabola fokális egenlete. p Térjünk most rá az ellipszis fokális egenletének a levezetésére. Ha az origót az ellipszis bal oldali fókuszába helezzük, akkor a koordináta transzformáció a x c, egenletekkel van meghatározva. Elvégezve a helettesítést a kanonikus egenletben, azt kapjuk, hog c a 1; b Dr. Hanka László 43 Óbudai Egetem

50 Analitikus Geometria Rendezzük ezt az egenletet is -re c b 1 ; a majd hozzáadva mindkét oldalhoz -et és rendezve, azonos átalakításokkal azt kapjuk, hog b b b c b c b c b a a a a b b c b c a b b c a c a a a a a a b b ; Vegük most figelembe, hog ellipszis esetében kapjuk, hog a c b, a b c. Ezeket helettesítve c b b ; a a a 4 c Itt már csak azt kell észrevenni, hog a jobb oldal eg teljes négzet, mégpedig a következő c b a a Vegük figelembe, hog az ellipszis definíciójában már értelmeztük a numerikus excentricitás c fogalmát. Ennek definíciója az e hánados volt. Ha még bevezetünk eg egszerűsítő a b jelölést a p definícióval, és ez utóbbit az ellipszis paraméterének nevezzük, akkor a kapott a egenlet az egszerűbb e p alakot ölti. Ez definíció szerint az ellipszis fokális egenlete. Végül térjünk rá a hiperbola fokális egenletének levezetésére. Mint a bevezetőben említettük, hiperbola esetében az origót a jobboldali fókuszba, tehát az F 1 (c, 0) pontba helezzük. Ekkor a koordináta transzformáció az x c, összefüggésekkel végezhető el. Helettesítve a hiperbola kanonikus egenletébe, az adódik, hog c a 1; b ; ; Dr. Hanka László 44 Óbudai Egetem

51 Analitikus Geometria Rendezzük ezt az egenletet is -re b c 1; a ezek után hozzáadva mindkét oldalhoz -et és rendezve, azonos átalakításokkal azt kapjuk, hog b b b c b c c b b a a a a b b c b c a b b c c a a a a a a a b b ; Vegük most figelembe, hog hiperbola esetében pontosan uganazt kapjuk, mint az ellipszis esetén c a b, a b c. Ezeket helettesítve c b b ; a a a 4 c Nilvánvalóan most is teljesül, hog a jobb oldal eg teljes négzet, íg kapjuk a következő egenletet c b a a Ami formálisan pontosan uganaz mint az ellipszis esetében, tehát alkalmazva uganazokat a definíciókat adódik, hog e p Ez a hiperbola fokális egenlete. A legnilvánvalóbb különbség az, hog ellipszis esetén e < 1 míg hiperbola esetén e > 1. Összefoglalva a parabola, ellipszis és hiperbola fokális egenlete rendre a következő p ; e p, e 1; e p, e 1; A három görbe egenletét ebben a speciálisan választott koordináta rendszerben gakorlatilag uganolan alakban tudjuk felírni. Ha egelőre mélebb indoklás nélkül azt mondjuk, hog parabola esetén definiáljuk a numerikus excentricitást úg, hog legen e = 1, akkor látható, hog a három görbe egenlete pontosan uganolan alakba írható. Parabola, ellipszis és hiperbola esetén rendre e p, e 1, e 1, e 1; ; ; Dr. Hanka László 45 Óbudai Egetem

52 Analitikus Geometria A kapott összefüggések alapján lehetőség nílik arra, hog a p paraméternek szemléletes jelentést tulajdonítsunk. Induljunk ki a fokális egenletből. e p Helettesítsünk ebbe = 0-t. Ekkor adódik, hog b p ; azaz p a ami azt jelenti, hog a paraméter éppen azon pontok ordinátájának az abszolút értéke, amel pontokban az -tengel metszi a görbét. Másképpen fogalmazva, ha a fókuszban eg merőleges egenest állítunk rendre a tengelre, nagtengelre, valós tengelre, akkor ezen egenes és a görbe metszéspontja éppen p távolságra van a fókusztól. a) b) c) ábra. a) parabola; b) ellipszis; c) hiperbola fokális koordinátarendszerben a p paraméter megjelölésével A következőkben megvizsgáljuk, van-e az egenletek és definíciók alapján valamel mélebb kapcsolat a három görbe között. Dr. Hanka László 46 Óbudai Egetem

53 1..8. A parabola, ellipszis és hiperbola vezéregenese Induljunk ki az előző pontban kapott fokális egenletből. e p Analitikus Geometria Vonjunk gököt az egenlet mindkét oldalából, majd a jobb oldalon emeljünk ki e-t. Azt kapjuk, hog e p e e p Vegük most tekintetbe, hog a bal oldal nem más mint a görbe eg pontjának az origótól, vagis ebben az esetben, mivel fokális egenletről van szó, a fókusztól mért távolsága. A jobb oldal értelmének kiderítéséhez definiáljunk eg egenest a következő értelmezéssel. Definíció: (A vezéregenes definíciója) A parabola, ellipszis és hiperbola vezéregenesének nevezzük a, koordinátarendszerben a p egenletű, -tengellel párhuzamos egenest, amel tehát az értelmezés szerint a e p b -tengelt a e c skálaértéknél metszi. Parabola esetében már a klasszikus definíción belül értelmeztük ezt a fogalmat, íg parabola esetében ez nem jelent új fogalmat, a most értelmezett egenes nilván egbeesik a korábban értelmezett vezéregenessel. Ellipszis és hiperbola esetében azonban új fogalomról van szó. p Vegük most tekintetbe, hog a kapott egenlet jobb oldalán szereplő menniség ezek e szerint nem más, mint a görbe futópontjának a vezéregenestől mért távolsága, uganis a vezéregenes párhuzamos az -tengellel. Ezek alapján azt mondhatjuk, hog mindhárom görbére igaz a következő összefüggés p e e Ez tehát azt jelenti, a görbe pontjának a fókusztól mért távolsága osztva a vezéregenestől mért távolsággal eg állandó érték, amel parabola, ellipszis és hiperbola esetén rendre pontosan 1, kisebb, mint 1 illetve nagobb, mint 1. Ez tehát a mélebb rokonság a három görbe között. A kapott eredmént megfogalmazzuk eg állítás formájában is. Dr. Hanka László 47 Óbudai Egetem

54 Analitikus Geometria Tétel: Azon pontok mértani hele a síkban, amelekre igaz, hog eg adott ponttól és eg a pontra nem illeszkedő egenestől mért távolságuk hánadosa állandó, parabola, ellipszis vag hiperbola aszerint, hog ez az állandó egenlő 1-gel, kisebb, mint 1 vag nagobb, mint 1. Bizonítás: A tétel állítását a fentiekben igazoltuk. Ezen gondolatmenet alapján értelmet nert parabola esetében az e = 1 numerikus excentricitás. A parabola definíciójában szerepelt a vezéregenes. Az ellipszis és a hiperbola esetén ezek a fogalmak újdonságot jelentenek. Az ábrán látható az ellipszis és a hiperbola vezéregenese a fokális koordinátarendszerben. a) b) ábra. a) az ellipszis; b) a hiperbola vezéregenese x 1..Példa: Az a) ábrán látható ellipszis kanonikus egenlete 1. Innen leolvasható 5 16 a nag és a kis féltengel, a = 5 és b = 4. Ebből számítható a lineáris excentricitás c a b Ennek ismeretében pedig a numerikus excentricitás értéke c 3 OP 3 e. Az ábrán látható arán tehát az ellipszis minden pontjára vonatkozólag 1 a 5 PT 5. b 16 p 16 Továbbá a paraméter értéke p ahonnan kapjuk, hog ami azt jelenti, hog a a 5 e 3 16 fokális koordinátarendszerben a vezéregenes egenlete. 3 x A b) ábrán látható hiperbola kanonikus egenlete 1. Innen leolvasható a valós és a 9 16 képzetes tengel, a = 3 és b = 4. Ebből már számítható a lineáris excentricitás Dr. Hanka László 48 Óbudai Egetem

55 Analitikus Geometria c a b Ennek ismeretében pedig adódik a numerikus excentricitás értéke c 5 OP 5 e. Az ábrán látható arán tehát a hiperbola minden pontjára vonatkozólag 1 a 3 PT 3. b 16 p 16 Továbbá a paraméter értéke p ahonnan kapjuk, hog ami azt jelenti, hog a a 3 e 5 16 fokális koordinátarendszerben a vezéregenes egenlete. 5 Dr. Hanka László 49 Óbudai Egetem

56 Analitikus Geometria A parabola, ellipszis és hiperbola polárkoordinátás egenlete A matematika számos területén hasznos a síkbeli polárkoordináták használata. Ennek során eg síkbeli pont helét nem a derékszögű (x, ) koordinátákkal adjuk meg, hanem két más koordinátát definiálujnk a pont helzetének a meghatározásához. Ehhez rögzítünk eg O vonatkoztatási pontot és eg O-ból induló félegenest. A síkbeli P pont egik koordinátája az O ponttól mért r távolság, a másik pedig az OP vezérsugárnak az adott félegenessel bezárt φ szöge. Az ábra alapján nilvánvaló kapcsolat van az (x, ) és (r, φ) koordináták között ábra. Síkbeli polárkoordináták A derékszögű háromszögek figelembe vértelével a szögfüggvének definíciója alapján kapjuk a derékszögű és polárkoordináták kapcsolatát. xrcos rsin A fokális egenlet birtokában egszerűen felírhatjuk a tanulmánozott görbék egenletét síkbeli polárkoordinátákban. A, derékszögű koordinátákról az r, síkbeli polárkoordinátákra vonatkozó áttérési formula az előbbiek szerint tehát a következő egenletrendszerrel adott. r cos r sin Helettesítsük ezeket az összefüggéseket a e p hog r cos r sin er cos p fokális egenletbe. Azt kapjuk, r cos r sin er cos p r er cos p Dr. Hanka László 50 Óbudai Egetem

57 Analitikus Geometria Gököt vonva az adódik, hog r er cos p Parabola esetén e = 1, tehát az abszolút értéken belül az áll, hog nem lehet negatív, mert ha negatív lenne, abból r cos p r rcos p. E a menniség vagis p r1 cos következne. Itt a bal oldal pozitív a jobb oldal pedig eg negatív és eg nem negatív szám szorzata, tehát a jobboldal nem pozitív, ami természetesen nem lehetséges. Az abszolút értéken belül tehát pozitív szám áll íg írhatjuk, hog p r r cos p; r 1 cos p; r ; 1 cos Kaptuk tehát, hog a parabola polárkoordinátás egenlete p r ; 1 cos Ellipszis esetén e < 1. Az előző gondolatmenethez hasonlóan adódik, hog er cos p 0 mert ellenkező esetben r er cos p teljesülne, amiből átrendezéssel az adódik, hog p r 1 ecos. Itt a bal oldal pozitív, a jobb oldal pedig eg negatív és e < 1 miatt eg pozitív szám szorzata ami negatív, ez pedig ellentmondás. Kaptuk tehát, hog ellipszis esetén p r er cos p; r 1 ecos p; r ; 1 ecos Tehát az ellipszis polárkoordinátás egenlete p r ; e1 1 ecos Hiperbola esetén e > 1, íg az abszolút értéken belül álló összeg előjele nem egértelmű. Ekkor az abszolút érték elhagásával adódó egenlet rendezésével az adódik, hog p r er cos p; r 1 ecos p; r ; 1 ecos A hiperbola polárkoordinátás egenlete tehát a következő p r ; e1 1ecos Dr. Hanka László 51 Óbudai Egetem

58 Analitikus Geometria Felmerül a kérdés, hog melik előjel mire vonatkozik pontosan. Világos, hog a jobboldali tört felülről nem korlátos, hiszen a nevező elérheti a 0 értéket. Alulról azonban korlátos. A jobboldali hiperbolaág (vagis az a hiperbolaág, amelnek F(c, 0) a fókusza) esetén az alsó korlát kisebb, a baloldali esetén pedig nagobb. Világos, hog akkor kisebb az alsó korlát ha a nevező maximuma nagobb. Ebből következik, hog a pozitív előjel vonatkozik a jobboldali és a negatív a baloldali hiperbolaágra. Tehát a jobb és bal oldali hiperbolaág polárkoordinátás egenlete rendre a következő p p r, e 1; r, e 1; 1 ecos 1 ecos 1.3.Példa: Írjuk fel az alábbi másodrendű görbék fokális és polárkoordinátás egenletét. x x a x b c ) 16 ; ) 1; ) 1; Az a) pontban eg parabola egenlete szerepel. Az általános egenlet figelembe vételével adódik, hog p = 16 azaz p = 8. Ebből már adódik is rendre a fokális és polárkoordinátás egenlet. 8 ; r ; 1 cos 8 A b) pontban eg ellipszis egenletét adtuk meg, melnek nag féltengele a = 13, kis féltengele pedig b = 1. Ebből egrészt adódik, hog c a b 5 5amiből c 5 b 144 következően a numerikus excentricitás értéke e, a p paraméter pedig p. a 13 a 13 Innen kapjuk az ellipszis fokális és polárkoordinátás egenletét ; r cos 13 5cos 13 A c) feladatban szereplő egenlet hiperbolát határoz meg, melnek valós tengele a = 4, képzetes tengele b = 3. Ebből adódik, hog c a b 5 5, ahonnan a numerikus excentricitás c 5 b 9 értéke e, a hiperbola p paramétere pedig p. Ezek alapján a hiperbola fokális és a 4 a 4 a két hiperbolaág polárkoordinátás egenlete a következő ; r ; r ; cos 5 1 cos 1 cos 4 5cos 4 4 Dr. Hanka László 5 Óbudai Egetem

59 Analitikus Geometria Síkbeli koordináta transzformációk Ebben a pontban megvizsgáljuk, hog miképpen alakul a parabola, ellipszis és hiperbola egenlete akkor, ha a koordinátarendszert elforgatjuk illetve ha a forgatás után el is toljuk azt. Az egszerű eltolás esetét már megvizsgáltuk minden említett görbe esetében. Elsőként megvizsgáljuk a forgatás következméneit. Ehhez először azt kell tisztázni, milen összefüggésekkel írható le a koordináták transzformációja forgatás esetén. Vegük alapul a szokásos derékszögű (x, ) koordinátarendszert. Forgassuk ezt el φ szöggel pozitív iránban. Azt a kérdést tesszük fel, hog eg adott P pont koordinátáit hogan lehet megadni ebben az új φ-szöggel elforgatott koordinátarendszerben. Jelölje az új koordinátákat x' és '. Keressük tehát a kapcsolatot a sík rögzített P pontjának (x, ) és (x', ') koordinátarendszerbeli koordinátái között. Az összefüggések felírásában segít az ábra. φ φ ábra. A koordináták transzformációja forgatás esetén Azt kell megállapítanunk, mi a kapcsolat a vesszős és a vesszőtlen koordináták között. Az ábra alapján, a megjelölt derékszögű háromszögek figelembe vételével leolvashatók a következő transzformációs összefüggések. x xcos sin xsin cos Szükség van az inverz kapcsolatra is. Ez a felírt transzformációs összefüggésekből úg kapjuk, hog megoldjuk a kapott egenletrendszert az x és koordinátákra. Dr. Hanka László 53 Óbudai Egetem

60 Ennek érdekében szorozzuk meg az első egenletet cosφ-vel, a másodikat sinφ-vel Analitikus Geometria x cos xcos sin cos sin xsin cos sin és a kapott egenleteknek képezzük a különbségét. Ekkor az xcos sin x egenletet kapjuk, Hasonló logikával kiküszöbölhető a rendszerből az x koordináta, ekkor az xsin cos egenletet kapjuk. Az inverz transzformáció egenletei eszerint a következők x xcos sin xsin cos A koordinátarendszer elforgatását tehát ez a két egenletrendszer írja le. Vizsgáljuk meg ezután, milen módon alakul a parabola, ellipszis és hiperbola kanonikus egenlete, ha a koordinátarendszert elforgatjuk, azaz áttérünk az (x, ) rendszerről az (x', ') koordinátarendszerre. Ezt egszerűen úg tudjuk megvizsgálni, ha a kanonikus egenletekben az x és koordináták helére az inverz összefüggéseket helettesítjük. Elsőként vizsgáljuk a parabola egenletét. Induljunk ki a kanonikus egenletből. px Helettesítsük ebbe az inverz formulákat. xsin cos pxcos sin Ha elvégezzük a négzetre emelést a nullára redukálunk, a következő egenletet kapjuk. sin sin cos cos cos sin x x px p sin cos sin cos cos sin 0 x x px p Ha tehát eltekintünk attól, hog az egütthatók a φ szög szögfüggvénei, az elforgatott rendszerben a parabola egenlete Ax B Cx Dx E ' 0 alakú. Mielőtt rátérnénk a kapott eredmén értékelésére és jelentőségének vizsgálatára, először transzformáljuk az ellipszis és a hiperbola egenletét is. Dr. Hanka László 54 Óbudai Egetem

61 Analitikus Geometria Térjünk rá az ellipszis és a kör egenletének transzformálására. Ismét a kanonikus egenletet vesszük alapul. x 1; a b Szorzunk a nevezők szorzatával, majd helettesítjük az inverz összefüggéseket. b x a a b b x cos sin a x sin cos a b ; Elvégezzük a négzetre emeléseket és rendezzük az egenletet a hatvánok szerint. b x cos x cos sin ' sin a x sin x sin cos ' cos a b ; x b cos a sin b sin a cos x sin cos cos sin a b 0; Eltekintve ismét az egütthatók konkrét jelentésétől, azt kapjuk, hog eg ellipszis egenlete eg elforgatott koordinátarendszerben ; 0 Ax B Cx F alakú. Speciális esetként adódik a kör egenlete eg elforgatott koordinátarendszerben. Világos, hog mivel a kör forgásszimmetrikus, a kanonikus egenlet nem változhat meg, ha a koordinátarendszert elforgatjuk. Igazoljuk, hog ez valóban íg van. Ha az x r kanonikus egenletbe helettesítjük a transzformációs formulákat adódik, hog x cos sin x sin cos r ; Végezzük el a négzetre emeléseket, kiemeléseket és összevonásokat. x cos x cos sin sin x sin xsin cos cos r ; x cos x sin sin cos x cos sin xsin cos r ; x cos sin sin cos r ; x r Az egenlet tehát valóban nem változik, a transzformációs formulák tehát a várakozásnak megfelelően változatlanul hagják a kör egenletét. ; Dr. Hanka László 55 Óbudai Egetem

62 Analitikus Geometria 1.4.Példa: Adott eg ellipszis az x egenlettel. Forgassuk el a koordinátarendszert +30 kal és határozzuk meg az ellipszis egenletét az elforgatott rendszerben. φ = 30 esetén a transzformációs formulák a következők. 3 1 x xcos30 sin 30 x 1 3 xsin 30 cos30 x Helettesítsük ezeket az ellipszis 4x 9 36 egenletébe x x x x x 9 x x x x Megkaptuk tehát az ellipszis egenletét az elforgatott rendszerben. Az ábrán látható az ellipszis és az érintett két koordinátarendszer ábra. Az a = 3 nag féltengelű és b = kis féltengelű ellipszis az (x, ) és (x', ') koordinátarendszerekben. Dr. Hanka László 56 Óbudai Egetem

63 Analitikus Geometria Végül vizsgáljuk meg a hiperbola egenletének transzformálódását. Az első lépés az x a b 1; kanonikus egenlet átalakítása. Szorzunk a nevezők szorzatával, majd helettesítjük az inverz összefüggéseket. b x a a b ; b x cos sin a x sin cos a b ; Elvégezzük a négzetre emeléseket és rendezzük az egenletet a hatvánok szerint. b x cos x cos sin sin a x sin x sin cos cos a b ; x b cos a sin b sin a cos x sin cos cos sin a b 0; Eltekintve ismét az egütthatók konkrét jelentésétől, azt kapjuk, hog eg hiperbola egenlete eg elforgatott koordinátarendszerben 0 Ax B Cx F alakú. Ez formálisan pontosan olan, mint eg ellipszis egenlete. 1.5.Példa: Határozzuk meg, hog mi az x 1 derékszögű (egenlő szárú) hiperbola egenlete a φ = 45 -kal elforgatott koordinátarendszerben. Ebben a konkrét esetben a transzformációs képletek a következők Helettesítsünk a kanonikus egenletbe x xcos45 'sin 45 x xsin 45 'cos 45 x x x x x x x x x x x Dr. Hanka László 57 Óbudai Egetem

64 Analitikus Geometria Azt kaptuk tehát, hog ha az (x, ) koordinátarendszert elforgatjuk 45 -kal negatív tehát az óramutató járásával egező iránban, akkor a kapott (x', ') rendszerben az egenlő szárú hiperbola egenlete x ábra. A derékszögű hiperbola kanonikus helzetben és a 45 -kal elforgatott rendszerben 1 Ha most eltekintünk a vesszőktől, akkor tehát igazoltuk, hog az függvén képe eg x derékszögű hiperbola. Itt megjegezzük, hog nilvánvalóan mindeg, hog a koordinátarendszert forgatjuk el 45 -kal vag a hiperbolát +45 -kal. Tehát az említett függvén grafikonja a megszokott koordinátarendszerben valóban eg egenlő szárú hiperbola. Foltassuk most a vizsgálatainkat azzal, hog megvizsgáljuk az általános esetet, vagis azt, hog mi történik, ha az elforgatás után még eg eltolást is alkalmazunk. Tehát azt vizsgáljuk mi történik az alakzatok egenletével, ha az (x', ') koordinátarendszer origóját eltoljuk az (u, v) koordinátákkal adott pontba úg, hog további forgatást már nem alkalmazunk, tehát az eltolással kapott (x", ") koordinátarendszer tengelei párhuzamosak az (x', ') koordinátarendszer tengeleivel. Az 1.. ábra segíti az egébként nilvánvaló összefüggések leolvasását. Az ábra alapján a transzformációs és inverz transzformációs összefüggések a következők x x u x x u ; ; v v Ismét megvizsgáljuk a három nevezetes görbe egenletét az (x", ") koordinátarendszerben. Dr. Hanka László 58 Óbudai Egetem

65 Analitikus Geometria 1.. ábra. Koordináták transzformációja a koordinátarendszer eltolása esetén Mint láttuk, az elforgatott (x', ') rendszerben a parabola egenlete Ax B Cx Dx E ' 0 Helettesítsük ebbe a transzformációs képletek szerint x' és ' képletét, azt kapjuk, hog A x u B v C x u v D x u E v 0; Most eltekintünk attól, hog részletesen elvégezzük a számításokat. Ezek nélkül is teljesen világos, hog négzetre emelés, szorzás és rendezés után az egenlet alakja a következő 0 ax b cx dx e f Megkaptuk tehát a parabola egenletét az általános esetben amikor ha a görbe szempontjából fogalmazunk a parabolát elforgattuk és eltoltuk az eredeti (x, ) rendszerhez képest. A parabola legáltalánosabb egenlete tehát a következő 0 ax b cx dx e f Azt tapasztaltuk az elforgatás vizsgálata során, hog az ellipszis és a hiperbola lénegében uganolan alakot ölt. Eszerint ennek a két görbének a további vizsgálatát egszerre elvégezhetjük. Ha a forgatással kapott 0 Ax B Cx F egenletbe helettesítjük az eltolás transzformációs képleteit azt kapjuk, hog Dr. Hanka László 59 Óbudai Egetem

66 A x u B v C x u v F 0; Analitikus Geometria Ismét eltekintünk a részletes számításoktól, mert innen is teljesen nilvánvaló, hog rendezés után formálisan pontosan uganolan szerkezetű egenletekhez jutunk, mint parabola esetén. Azt kaptuk tehát, hog ha eg ellipszist vag hiperbolát az eredeti (x, ) rendszerben elforgatjuk és eltoljuk, akkor az alakzatok egenlete a következő 0 ax b cx dx e f Eredménünk tehát a következő. Eg parabola, ellipszis vag hiperbola legáltalánosabb egenlete a számítások során nilvánvalóan szükséges megkülönböztető jelek mellőzésével a következő ax b cx dx e f 0 Ez az eredmén azt jelenti, hog ellentétben a kanonikus egenletekkel, az általános esetben nem tudunk különbséget tenni a három görbe között, mert mindhárom görbe egenlete uganolan szerkezetű. A következő pontban arra mutatunk módszert, hog eg ilen általános egenlet esetében milen módszerekkel tudjuk eldönteni, hog pontosan melik görbe egenletéről van szó és arra is, hog ha kiderítettük milen típusú görbéről van, mik ezen görbe jellemző adatai, mi a paraméter, a nag és kistengel, illetve a valós és képzetes tengel. Dr. Hanka László 60 Óbudai Egetem

67 Másodrendű görbék. Főtengel transzformáció Analitikus Geometria Ebben a pontban nagmértékben támaszkodunk a mátrixelmélet alapvető fogalmaira és tételeire. A szereplő fogalmak és tételek szerepelnek Hanka László: Fejezetek a matematikából című jegzetben. Javasoljuk az olvasónak, hog mielőtt a másodrendű görbék tanulmánozásába belekezd, olvassa a el a hivatkozott jegzet 1.13., és pontjait, ezekben megtalál minden szükséges matematika segédeszközt és alapvető tételt. Konzekvensen alkalmazni fogjuk az említett jegzetben alkalmazott jelöléseket. Az előző pontokban tanulmánoztuk a kör, parabola, ellipszis és hiperbola egenletét különböző koordináta rendszerekben. Kiderült, hog mind a nég említett görbe egenlete az általános esetben uganolan alakot vesz fel, mindegik egenlete az ax b cx dx e f 0 alakot veszi fel. Az is világos, hog eg ilen egenletből általában nem lehet számítások nélkül következtetni arra, hog melik görbének az egenletéről van szó. Felmerül azonban eg további kérdés is, mégpedig az, hog vannak-e még olan görbék, ameleknek az egenlete ilen alakban írható fel, és a korábbi pontokban nem szerepelt. A tárgalás logikáját tehát megfordítjuk, kiindulunk eg ilen általános alakú, két ismeretlenes másodfokú egenletből, és egrészt módszert adunk arra vonatkozólag, hog milen módon dönthető el a görbe típusa, másrészt a tárgalásból az is kiderül, hog pontosan melek azok az alakzatok ameleknek az egenlete ilen alakra hozható. Az egszerűbb szóhasználat érdekében bevezetünk eg fogalmat, miközben a fentiekben alkalmazott jelöléseket célszerűen módosítjuk. Definíció: (Másodrendű görbe definíciója) Másodrendű görbének nevezzük azt az alakzatot, amelnek egenlete ekvivalens átalakításokkal az a x a x a a x a a alakra hozható, ahol kikötjük, hog az a11, a1, a egütthatók mindegike egszerre nem lehet zérus, hiszen akkor nem másodfokú az egenlet tehát nem másodrendű a görbe. A mátrixelmélet fogalmainak és tételeinek alkalmazásához célszerű ezt az egenletet mátrixos jelölésekkel is felírni. Az egenlet ekvivalens alakja a következő. a a x x x a a a 0 a a Hozzárendeltünk ezáltal a másodrendű görbéhez ez másodrendű szimmetrikus mátrixot, amelet a másodrendű görbe mátrixának nevezünk. Tovább egszerűsíthetjük a jelöléseket az alábbi definíciókkal. Dr. Hanka László 61 Óbudai Egetem

68 Analitikus Geometria x x a a a a A ; ; ; a a1 a Ezekkel a görbe egenlete formálisan még egszerűbb alakot ölt. T T x Ax a x a 0 0 Ennek az összegnek a homogén másodfokú része az A szimmetrikus mátrixszal definiált kvadratikus alak. T a a x Qx x Ax x a x a x a a a Vizsgálataink során ennek alapvető szerepe lesz, többször hivatkozunk majd ezen kvadratikus alak pozitív-, negatív definit, stb. tulajdonságaira. Az A mátrix szimmetrikus, ezért minden sajátértéke valós és minden esetben létezik két ortogonális sajátvektora. Normáljuk ezeket a sajátvektorokat, azaz válasszunk olan sajátvektorokat, amelek egségni hosszúságúak. Legen ez a két sajátvektor s 1 és s. Alkalmazzunk eg bázis transzformációt, az ortonormált {i, j} bázisról térjünk át az ugancsak ortonormált {s 1, s } bázisra, ügelve arra, hog az új bázisvektorok a növekvő indexek sorrendjében jobbsodrású koordinátarendszert definiáljanak, azaz legen az {s 1, s } bázis olan, hog az s 1 vektort az s vektorba pozitív iránú 90 -os elforgatás viszi át. Az s 1 és s ortonormált sajátvektorokból, mint oszlopvektorokból képezett modálmátrix a következő Q s s 1 Alkalmazzunk most eg bázistranszformációt, térjünk át az (x, ) koordinátákról a Q modálmátrixszal definiált transzformációval a (, ) koordinátákra. Ezt a transzformációt a x Qξ x; ahol x ; ; ξ mátrixszorzással értelmezzük. Mielőtt helettesítünk a másodrendű görbe egenletébe, kiszámítjuk az x vektor transzponáltját. Ehhez felidézzük a mátrixelméletből azt az alapvető tént, hog T T T AB az inverzével, mel szerint B A, továbbá azt, hog eg ortogonális mátrix transzponáltja megegezik Q Q. Ezek alapján írhatjuk, hog T 1 T 1 x Qξ ξ Q ξ Q T T T T Helettesítsük most a bázistranszformáció formuláit a másodrendű görbe egenletébe. Dr. Hanka László 6 Óbudai Egetem

69 Analitikus Geometria x Ax a x ξ Q AQξ a Qξ T T T 1 T a0 a0 0 1 A másodrendű görbe mátrixa a Q AQ formula szerint transzformálódik, ahol a Q mátrix oszlopvektorai a sajátvektorok. A sajátértékek elméletéből tudjuk, hog ez a szorzat éppen azzal a diagonális mátrixszal egenlő, amelnek főátlójában a sajátértékek állnak, más szóval ezzel a bázis transzformációval diagonalizáltuk az A mátrixot. A korábbi jelöléseink szerint a sajátértékekből képezett diagonális mátrixot jelöli. A 0 ; 1 1 Q AQ Λ 0 formula szerint a másodrendű görbe mátrixa éppen a sajátértékekből képezett diagonális mátrix. Íg az új bázis, tehát a sajátvektorok által definiált koordinátarendszerben a másodrendű görbe egenlete vektori alakban a következő T T ξ Λξ a Qξ a 0 0 Ha hangsúlozni szeretnénk a mátrixok és vektorok koordinátáit, akkor az 1 0 s11 s1 a1 a a0 0 0 s1 s egenletet kapjuk. Ha elvégezzük a mátrixműveleteket, akkor a másodrendű görbe egenlete a 1 a1s 11 as1 a1s 1 as a0 0 Ennek a formulának a jelentősége abban áll, hog az egenlet másodfokú része, tehát a kvadratikus alak négzetösszeggé alakult. Még tovább lehet egszerűsíteni az egenlet alakját, ha úg transzformáljuk, hog ne legenek benne első fokú tagok. Ehhez nem szükséges mást tenni mint teljes négzetté kiegészíteni. A T számítások egszerűsítése érdekében átmenetileg bevezetjük az as 1 a1s 11 as1 és T as a1s 1 as jelöléseket. Íg ha egik sajátérték sem zérus a teljes négzetté kiegészítés egszerűbb formulákkal az alábbi módon végezhető el a a a0 1 a A következőt egenletet kapjuk tehát Dr. Hanka László 63 Óbudai Egetem

70 Analitikus Geometria 1 a Ez az egenlet definiálja is azt a transzformációt, amel ahhoz szükséges, hog a görbe egenletében ne legenek elsőfokú tagok. Vezessük be az új (x 1, x ) koordinátákat és eg újabb egszerűsítő jelölést a következő értelmezéssel x ; x ; c a ; ahol a s a s, a s a s Ez a koordináta transzformáció nilván csak eg eltolást definiál. Ezen transzformáció eredméneképpen a másodrendű görbe egenlete az alábbi 1x1 x c 0 Ki kell még térnünk arra az esetre amikor az egik sajátérték zérus, például 0 (mindkét sajátérték nem lehet zérus, mert akkor a görbe mátrixa a nullmátrix lenne, akkor pedig a görbe nem másodrendű). Ebben az esetben a görbe egenlete az alábbi módon alakul. a a a0 1 a Ezt az egenletet kétféle módon vizsgálhatjuk a továbbiakban. Ha úg tekintünk az -ra, hog az nem transzformálódik, mivel nincs szükség teljes négzetté kiegészítésre, akkor az egenlet alakja 1 a Vezessük be az új (x 1, x ) koordinátákat és eg újabb egszerűsítő jelölést a következő értelmezéssel x 1 ; x ; c a0 ; ahol a1s 11 as1, a1s1 as Ez a koordináta transzformáció nilván csak eg eltolást definiál. Ezen transzformáció eredméneképpen a másodrendű görbe egenlete az alábbi 1x1 x c 0 Ez az egenlet a pozitív és negatív definit, illetve indefinit esetben kapott egenlet megfelelője. Ebben a szemidefinit esetben azonban gakran célszerű olan alakot megadnunk, amelben nem Dr. Hanka László 64 Óbudai Egetem

71 Analitikus Geometria szerepel c konstans, hiszen ez leginkább a parabola egenletére hasonlít, amelnek kanonikus egenletében állandó nem szerepel. Ekkor már eleve úg alakítjuk az egenletet, hog a transzformáció eredméneképpen ne legen az egenletben konstans. Itt már csak az változó transzformációját kell megállapítanunk. Ez eg kiemeléssel egszerűen adódik 41a0 1 a Ha tehát az egik sajátérték zérus, akkor az új (x 1, x ) koordinátákat meghatározó transzformációs képleteket a következő módon is definiálhatjuk. 4 a x x a s a s a s a s ; ; ahol , Ha az egik sajátérték zérus a másodrendű görbe egenlete az alábbi formára transzformálódik. 1x1 x 0 Ne felejtsük el, hog a szemidefinit esetben kapott 1x1 x c 0 illetve 1x1 x 0 egenletekben az x változónak más a definíciója. Hog meliket használjuk, az a konkrét problémától függ. Ha alkalmazzuk a bemutatott eljárást eg görbe egenletének átalakítására, akkor azt mondjuk, hog főtengel transzformációt hajtottunk végre. Ennek lénege tehát, hog áttérünk eg olan koordinátarendszerre, amelnek bázisvektorai a másodrendű görbe mátrixának ortonormált sajátvektorai jobbsodrású rendszert alapul véve. Ebben a koordináta rendszerben, eg esetleges további eltolás alkalmazásával, a görbe egenletében nem szerepelnek elsőfokú tagok és nem szerepel a koordináták veges szorzata sem, a másodfokú rész tisztán négzetösszeggé alakult, amelben a második hatvánok egütthatói éppen a másodrendű görbe mátrixának sajátértékei. 1.6.Példa: Határozzuk meg milen másodrendű görbe egenlete a 4x 4x x másodfokú egenlet. Mátrixos alakban az egenlet az 4 x x x formát ölti. A bevezetett jelölések szerint tehát 4 ; T A 14 ; a0 7; 1 a Dr. Hanka László 65 Óbudai Egetem

72 Analitikus Geometria Határozzuk meg a görbe mátrixának sajátértékeit és sajátvektorait. A karakterisztikus egenlet 4 det Ennek az egenletnek a megoldásai, tehát a sajátértékek 1 5, 0. A sajátvektorokat rendre a következő egenletrendszerek megoldásai szolgáltatják. 4 5 s11 1 s s11 4 s1 0 ; ; 15 s 1 4 s s 1 1 s 0 A megoldások a következők s11 t s1 r s1 ; ; tr, 0 s 1 t s s r Most úg kell megválasztanunk a t és r paraméter értékét, hog az s 1 és s sajátvektorok ebben sorrendben jobbrendszert alkossanak. Ez teljesül, ha t = 1 és r = 1. Az ortogonális jobbsodrású rendszert eszerint az s 1 1 ; ; 1 s vektorok definiálják. Ezek azonban még nem egségvektorok, mert abszolút értékük s s 1 1 5; Az új koordinátarendszert tehát az s ; ; 5 1 s 5 ortonormált bázis határozza meg. Írjuk fel ebben a bázisban a másodrendű görbe egenletét. Korábbi jelöléseinkhez ragaszkodva ez azt jelenti, hog áttérünk a (, ) koordinátákra. T T 1 a s1 a s a0 0; T T Eszerint szükség van még az a s1, a s skaláris szorzatokra. Dr. Hanka László 66 Óbudai Egetem

73 T as1 14 5; T as ; A számítások eredménét felhasználva a görbe egenletét az ; Analitikus Geometria alakban írhatjuk. Már csak a koordinátarendszer eltolása van hátra. Teljes négzetté kiegészítéssel adódik, hog ; Ha itt bevezetjük az új (x 1, x ) koordinátákat az 1 1 x1 ; x ; c 0; 5 5 definícióval, akkor az egenlet alakja 5x 6 5x 0; azaz 5x 6 5 x ; 1 1 ami nilvánvalóan eg parabola egenlete. Innen már adódik a parabola paraméterének az értéke is, uganis a kanonikus egenlet szerint az egenlet felírható x ; 6 5 x 6 x px 5 alakban is, ahonnan a paraméter értéke p. Ha szeretnénk kapcsolatot keresni az eredeti 1 (x, ) és a második lépésben kapott (x 1, 1 ) koordináták között, annit kell tennünk, hog a 1 1 x1 ; x ; 5 5 transzformációs képleteket behelettesítjük az x = Q összefüggésbe. Dr. Hanka László 67 Óbudai Egetem

74 Analitikus Geometria x1 x x1 x x x ; Qξ x1 x x 1 x Ebből mellékeredménként adódik, hog a parabola tengelpontja az eredeti (x, ) rendszerben a 1 3, pont. Az 1.4. ábrán látható a parabola a számítások során figelembe vett három 5 5 koordinátarendszerben ábra. A példában vizsgált parabola képe mindhárom említett koordinátarendszerben 1.7.Példa: Határozzuk meg milen másodrendű görbe egenlete a 6x 8 1x másodfokú egenlet. Mátrixos jelölésekkel az egenlet az 0 3 x x x alakban írható. A bevezetett jelölések szerint tehát Dr. Hanka László 68 Óbudai Egetem

75 Analitikus Geometria 0 3 ; T A 1 6 ; a0 11; 3 8 a Határozzuk meg a görbe mátrixának sajátértékeit és sajátvektorait. A karakterisztikus egenlet 3 det Ennek az egenletnek a megoldásai, vagis a sajátértékek 1 9, 1. A sajátvektorokat rendre a következő egenletrendszerek megoldásai szolgáltatják. 9 3 s s s s1 0 ; ; s s s s 0 A megoldások a következők s11 t s1 3r s1 ; ; tr, 0 s 1 3t s s r Most úg kell megválasztanunk a t és r paraméter értékét, hog az s 1 és s sajátvektorok ebben sorrendben jobbrendszert alkossanak. Ez teljesül, ha t = 1 és r = 1. Az ortogonális jobbsodrású rendszert eszerint az s ; ; 3 s 1 vektorok definiálják. Ezek azonban még nem egségvektorok, mert abszolút értékük s s ; Az új koordinátarendszert tehát az s ; ; 10 3 s 10 1 ortonormált bázis határozza meg. Írjuk fel ebben a bázisban a másodrendű görbe egenletét. Ez a két sajátvektor definiálja az ortogonális koordináta transzformáció mátrixát. A szokásos jelöléssel Q ; Ennek birtokában megadhatjuk az (x, ) és (, ) koordináták közötti kapcsolatot. Dr. Hanka László 69 Óbudai Egetem

76 Analitikus Geometria x x ; Qξ Ha most áttérünk a fenti formulával definiált (, ) koordinátákra, az alábbi egenletet kapjuk T T 1 a s1 a s a0 0; T T Eszerint szükség van még az a s1, a s skaláris szorzatokra. T as ; T as ; A számítások eredménét felhasználva a görbe egenletét az ; alakban írhatjuk. Már csak a koordinátarendszer eltolása van hátra. Teljes négzetté kiegészítéssel adódik, hog ; 4 4 Ha itt bevezetjük az új (x 1, x ) koordinátákat az x1 ; x ; c 9; definícióval, akkor az egenlet alakja x 9x1 x 9; azaz x1 1; 9 ami nilvánvalóan eg hiperbola egenlete. Innen már adódik a hiperbola valós tengelének és képzetes tengelének a hossza. A hiperbola általános Dr. Hanka László 70 Óbudai Egetem

77 Analitikus Geometria x a x b 1 1; egenlete szerint a = 1 és b = 3, tehát a valós tengel hossza a =, a képzetes tengel hossza pedig b = 6. Ha végül kapcsolatot keresünk az eredeti (x, ) és a második lépésben kapott (x 1, 1 ) koordináták között, annit kell tennünk, hog a x1 ; x ; transzformációs képleteket behelettesítjük az x = Q összefüggésbe x1 3 x x1 x 1 x x ; Qξ x x1 x 1 x Ebből az eredménből mellékesen adódik, hog a hiperbola centruma az eredeti (x, ) rendszer ( 1, ) pontjában van. A transzformációs lépések során adódó koordinátarendszereket és a hiperbolapárt láthatjuk az 1.5. ábrán. 1.5.ábra. A példában szereplő hiperbola képe és a leíráshoz szükséges koordinátarendszerek Dr. Hanka László 71 Óbudai Egetem

78 Analitikus Geometria Másodrendű görbék osztálozása Ebben a pontban részletesen megvizsgáljuk mi lehet a mértani hele annak a görbének amelet a a x a x a a x a a egenlet definiál. A görbe aszerint írható le, hog a görbe mátrixának a sajátértékei milen előjelűek. 1. eset: A másodrendű görbe mátrixának mindkét sajátértéke pozitív azaz a szimmetrikus A mátrix pozitív definit. Az előző pontban bizonítottuk, hog ekkor a görbe egenlete koordináta transzformációkkal a 1x1 x c 0; alakra hozható. Ezt most praktikusabb a 1x1 x d; formában írni. a) Tegük fel, hog d > 0. Ekkor az egenlet ekvivalens alakja x x 1; 1; d d d d 1 1 x1 x 1 Ez 1 esetén ellipszis egenlete, 1 esetén kör egenlete. Ha feltesszük, hog 1 akkor az ellipszis nag és kistengele rendre d d a, b. 1 Ha pedig 1 akkor a kör sugara az x x 1 d egenlet alapján d r. b) Ha d = 0, akkor a 1x1 x 0; egenletet csak az origó elégíti ki, tehát akkor ez egetlen pont, az origó egenlete. c) Ha d < 0, akkor nilván egetlen valós számpár sem elégíti ki az egenletet, tehát ekkor az egenlet az ún. üres alakzat egenlete. Dr. Hanka László 7 Óbudai Egetem

79 Analitikus Geometria. eset: A másodrendű görbe mátrixának mindkét sajátértéke negatív azaz a szimmetrikus A mátrix negatív definit. Az 1. esetbeli megállapítások értelemszerű módosításával kapjuk az eredméneket erre az esetre, hiszen akkor az egenlet 1-gel való szorzásával a probléma visszavezethető a már vizsgált esetre. a) Tegük fel, hog d > 0. Ekkor az egenlet az üres alakzat egenlete. b) Ha d = 0, akkor az egenletet csak az origó elégíti ki, tehát akkor ez egetlen pont, az origó egenlete. c) Ha d < 0, akkor az egenlet ellipszis vag kör egenlete. 3. eset: A másodrendű görbe mátrixának egik sajátértéke pozitív a másik sajátértéke negatív azaz a szimmetrikus A mátrix indefinit. A görbe egenlete koordináta transzformációkkal ugancsak felírható 1x1 x d; formában. Tegük fel, hog például 1 0, 0. Ekkor az egenletet a következő módon írhatjuk. x x d 1 1 ; a) Tegük fel, hog d > 0. Ekkor az egenlet ekvivalens alakja a következő x x 1; 1; d d d d 1 1 x1 x 1 Ez eg hiperbolának az egenlete, amelnek valós tengele és képzetes tengele rendre a következő d d a, b ; 1 b) Ha azt tesszük fel, hog d < 0, akkor az egenlet ekvivalens alakja a 1x1 x d ; Ha ezt szorozzuk 1-gel, akkor azt kapjuk, hog x 1x1 d ; Ekkor oszthatunk a d abszolút értékével és az Dr. Hanka László 73 Óbudai Egetem

80 Analitikus Geometria x x 1; 1; d d d d 1 1 x x1 1 alakot kapjuk. Ez ugancsak hiperbola egenlete, melnek valós és képzetes tengele rendre a következő c) Tegük fel végül, hog d = 0. Ekkor a d d a, b ; 1 x x 0; x x ; egenletet kapjuk, amel eg metsző egenes pár egenlete. Uganis osztással kapjuk, hog x x ; x x, és x x ; amelek valóban az origón áthaladó egenesek egenletei. Ezeknek az egeneseknek a meredeksége rendre m, m ; eset: A másodrendű görbe mátrixának egik sajátértéke pozitív vag negatív a másik sajátértéke zérus, tehát a szimmetrikus A mátrix pozitív vag negatív szemidefinit. Tegük fel, hog 1 0, 0. Már bizonítottuk, hog ekkor a görbe egenlete koordináta transzformációkkal a 1x1 x c 0 alakra hozható. a) Tegük fel, hog 0 és c tetszőleges valós szám. Ekkor a másodrendű görbe eg parabola, amelnek paramétere az 1 általános összefüggés szerint p. c x x px Dr. Hanka László 74 Óbudai Egetem

81 Analitikus Geometria b) Tegük most fel, hog 0, c 0, tehát az egenlet a egenértékű az 1 0 formára egszerűsödik. Ez 1x1 0 x egenlettel amel nilván az x -tengel, tehát eg egenes egenlete. c) Tegük fel, hog 0és c előjele megegezik a 1 sajátérték előjelével. Ekkor x1 0 tehát, nincs olan valós számpár, amel kielégítené az egenletet, vagis ekkor ez eg üres alakzat egenlete. d) Tegük fel, hog 0és c előjele ellentétes a 1 sajátérték előjelével. Ekkor c c x 0, x eg párhuzamos egenespár egenlete. Ezzel a másodrendű görbék osztálozását befejeztük. A korábbi pontokban részletesen tanulmánoztunk másodrendű görbéket. Ezek voltak a kör, parabola, ellipszis és a hiperbola. Mint láttuk, ezeknek az egenlete másodfokú, tehát ezek mind másodrendű görbék. Ebben a pontban, a másodrendű görbék osztálozása során kiderült, hog ha felveszünk eg másodfokú egenletet, akkor néhán "elfajuló" esettől eltekintve, azt mondhatjuk, hog eg másodrendű görbe éppen az említett nég görbe közül valamelik, más lénegesen különböző alakzat nem adható meg másodfokú egenlettel. Az elfajuló esetek, az üres alakzat, a pontkör illetve pontellipszis, vagis egetlen pont illetve két egbeeső, két párhuzamos illetve metsző egenes. Az üres alakzat és a pont érdektelen, az egenespárok pedig úg kerülnek a képbe, hog elsőfokú egenletek szorzásával vag négzetre emelésével másodfokú egenletek születnek. Dr. Hanka László 75 Óbudai Egetem

82 Analitikus Geometria 1.3. A TÉR ANALITIKUS GEOMETRIÁJA A egenes egenletrendszere A legegszerűbb térbeli alakzat, az egenes egenletét - vag mint látni fogjuk, egenletrendszerét - az iránvektor fogalmának térbeli általánosításával tudjuk megadni. Ennek az az oka, hog a normálvektor fogalma térbeli egenes esetére nem általánosítható használható módon. Uganis, ha a síkbeli eset mintájára úg értelmezzük, hog az egenesre merőleges vektor, akkor világos, hog eg ilen vektor a térben nem határozza meg egértelműen eg egenes állását. Uganis, ha kijelölünk eg pontot, amelre az egenes illeszkedik és eg vektort, amelre vonatkozólag azt követeljük meg, hog legen merőleges a pontra illeszkedő egenesre, akkor világos, hog ez a két feltétel nem eg hanem végtelen sok egenest határoz meg. Megadja az összes olan egenest, amel az adott pontra illeszkedő és az adott vektorra merőleges síkban van. Korlátozódnunk kell tehát az iránvektor alkalmazására. Definíció: Az egenessel párhuzamos, nullvektortól különböző vektort az egenes iránvektorának nevezzük. Az iránvektor jele v(v 1, v, v 3 ). Világos, hog az egenes eg rögzített pontja és eg iránvektor egértelműen meghatározza az P x,, z pont. Ekkor egenes helzetét a térben. Legen az egenes rögzített pontja a világos, hog a P(x,, z) futópont akkor és csak akkor illeszkedik az egenesre ha az r r 0 különbség párhuzamos a v iránvektorral. Ez pontosan akkor teljesül, ha létezik olan t valós paraméter amelre igaz, hog r r tv; r r tv ; 0 0 Ez az egenes paraméteres vektoregenlete. Ha ezt az összefüggést felírjuk koordinátánként, akkor azt kapjuk, hog x x0 tv1 0 tv; t R z z0 tv3 Ennek átrendezett alakja az egenes paraméteres egenletrendszere. x x0 tv1 0 tv; t R z z0 tv3 Ennek jelentősége abban áll, hog ebben a formában felírható minden térbeli egenes egenletrendszere. Dr. Hanka László 76 Óbudai Egetem

83 Analitikus Geometria A későbbiek során a vektoranalízisben hasznos lesz, ha ezt a rendszert egetlen vektor értékű függvénnek tekintjük. Megadható tehát az egenes egenletrendszere úg is, mint egparaméteres vektor-skalár függvén r t x tv, tv, z tv ; t R amelnek minden koordinátafüggvéne a t paraméter elsőfokú függvéne. Ezzel a függvénosztállal később részletesen foglalkozunk. Gakran használatos ennek az egenletrendszernek azon módosított alakja, amelet úg kapunk, hog kiküszöböljük a rendszerből a t paramétert. Ha feltesszük, hog az iránvektor egetlen komponense sem zérus, akkor kapjuk az x x z z v v v ; egenletrendszert. Vegük észre hog ez két egenlet, például a következő x x0 0 x x0 z z0 ; és ; v v v v az egenletek száma tehát a paraméter kiküszöbölésével háromról kettőre csökkent. 1.8.Példa: Határozzuk meg annak az egenesnek az egenletrendszerét, amel illeszkedik az A(1,, 3) és B(3, 1, 4) pontokra. A síkbeli esethez hasonlóan az A és B pontokat összekötő vektor az egenes eg iránvektora. v AB 31,1, 4 3,3, 7. Például a P 0 = A(1,, 3) választással kapjuk az egenes paraméteres egenletrendszerét. x1t 3 t ; t R z 3 7t Ha ezt vektoros formában adjuk meg, azaz egparaméteres vektor-skalár függvénként, akkor a vektoranalízisben szokásos alakot kapjuk. r t 1 t, 3 t,37 t ; t R Mivel az iránvektor egetlen koordinátája sem zérus, kiküszöbölve a t paramétert, felírhatjuk az egenes egenletrendszerét a következő formában is. x 1 z 3 ; 3 7 Dr. Hanka László 77 Óbudai Egetem

84 Analitikus Geometria A sík egenlete A sík analitikai leírása az egenesnél egszerűbb. Az egenlet felírásához azt kell meggondolnunk, hog mi határozza meg a sík helzetét egértelműen eg koordinátarendszerben. Világos hog a normálvektor fogalma ebben az esetben célravezető. Definíció: A síkra merőleges, nullvektortól különböző vektort a sík normálvektorának nevezzük. A normálvektor jele n(a, B, C). A sík eg rögzített pontja és a sík eg normálvektora egértelműen meghatározza a sík helzetét. Legen a sík rögzített pontja a P0 x0, 0, z 0 pont és tegük fel, hog a sík eg tetszőleges pontját, a futópontot a Px,, z jelöli. Jelölje a P 0 és P pontokba mutató helvektorokat rendre r 0 és r. Világos, hog a P pont pontosan akkor illeszkedik a síkra ha teljesül, hog r r0 n. A skaláris szorzatra vonatkozó alapvető tétel szerint, ez a merőlegesség akkor és csak akkor teljesül, ha ezen két vektor skaláris szorzata zérus r r n 0 0 Ez az egenlet a sík normálvektoros vektoregenlete. Ha ezt a skaláris szorzatot kifejtjük koordinátákkal, már el is jutottunk a sík szokásos egenletéhez. Tekintettel a bevezetett rr P P x x,, z z, innen a normálvektorra bevezetett jelölésekre, világos, hog jelölést felhasználva adódik, hog r r n Ax x B C z z amel átrendezésével kapjuk a sík (normálvektoros) egenletét. Ax B Cz Ax B Cz ; Ezen egenlet minden térbeli egenes egenletének felírására alkalmas. Ez a leggakrabban alkalmazott alak, azonban vektoranalízisbeli alkalmazások során sokkal praktikusabb eg másik P x,, z pont mellett adott alak használata. Ennek előállításához tegük fel, hog az adott két olan nullvektortól különböző vektor, jelölje ezeket ( p, p, p ), q, q, q p q, amelek nem párhuzamosak, ellenben párhuzamosak a síkkal. Mivel a sík minden pontja előállítható két nem P x,, z pont akkor és párhuzamos vektor lineáris kombinációi segítségével, világos, hog a csak akkor illeszkedik a síkra, ha - a szokásos jelölésekkel - létezik olan u és v valós paraméter, melekre teljesül, hog r r up vq; r r up vq; u, vr 0 0 Dr. Hanka László 78 Óbudai Egetem

85 Ha ezt felírjuk koordinátánként, kapjuk a sík paraméteres egenletrendszerét. Analitikus Geometria x x0 up1 vq1 0 up vq ; uv, R z z0 up3 vq3 Ezt a kétparaméteres felírási módot elsősorban akkor használjuk amikor a síkot kétparaméteres vektor-skalár függvénként adjuk meg az alábbi formában. r u, v x up vq, up vq, z up vq ; u, vr Ez tehát eg minkét paraméterben elsőfokú koordinátafüggvénekkel megadott vektor értékű függvén. Ezt a függvénosztált a felületek elméletében részletesen tanulmánozzuk majd. 1.9.Példa: Határozzuk meg annak a síknak az egenleteit, amel sík illeszkedik az A(, 3, 0), B(1,, 4) és C(3, 6, ) pontokra. A három pontból elő kell állítani a sík eg normálvektorát. Ha a bevezetett jelöléseknek megfelelően előállítjuk a 3, 5, 4 és AC 5,3, p AB q síkkal párhuzamos vektorokat, akkor a vektoriális szorzat definíciója szerint például a p q vektor merőleges lesz a síkra, tehát ez a vektor választható normálvektornak. i j k n pq i 6j 34 k ; 5 3 Eg normálvektor tehát az n(, 6, 34) vektor. Ezzel már fel is írhatjuk a normálvektoros egenletet ha mondjuk a P 0 = A(, 3, 0) választással élünk. Ax B Cz Ax B Cz ; x 6 34z ; A sík egenlete tehát x 6 34z 8; A vektoranalízisbeli alkalmazások szempontjából ettől sokkal fontosabb a kétparaméteres vektor skalár függvénnel történő felírás. A mondottak szerint ezt koordinátánként írva azt kapjuk, hog Dr. Hanka László 79 Óbudai Egetem

86 Analitikus Geometria x 3u 5v 3 5u 3v ; uv, R z 0 4u v Ha ezt egetlen vektorban összefoglaljuk, akkor a sík egenletének kétparaméteres alakja a szokásos formában a következő. r u, v 3u 5 v,35u 3 v,4u v ; u, vr Dr. Hanka László 80 Óbudai Egetem

87 Analitikus Geometria A gömb egenlete A gömb egenletéhez értelmeznünk kell a gömböt mint mértani helet. Definíció: A gömb azon pontok mértani hele a térben ameleknek eg adott C ponttól, a gömb centrumától mért távolsága állandó érték, amel állandó a gömb r sugara. Határozzuk meg a gömb egenletét. Legen a centrum a C(u, v, w) koordinátákkal adott, és P x,, z pont. Ekkor a CP szakasz hossza a legen a futópont a szokásos módon a CP x u v z w r egenlőséggel adható meg. Mivel az r sugár pozitív, az egenletet négzetre emelhetjük, íg ekvivalens egenletet kapunk. Az r sugarú, C(u, v, w) centrumú gömb egenlete tehát ; x u v z w r Ha speciális esetben a gömb centruma az origó, azaz C(0, 0, 0), tehát a gömb kanonikus helzetű, akkor az egenlete x z r ; 1.6. ábra. Eg r = 3 egség sugarú gömb képe Dr. Hanka László 81 Óbudai Egetem

88 Analitikus Geometria Ha az általános egenletben elvégezzük a műveleteket, majd rendezzük csökkenő hatvánok szerint, azt kapjuk, hog x ux u v z wz z r ; x z ux v wz u z r 0; Ha a kapott egenletet bővítjük eg tetszőleges, nullától különböző A konstanssal, akkor kapjuk a gömb egenletét a lehető legáltalánosabb alakban. Ax A Az Bx C Dz E 0; A gömb egenlete tehát a koordináták másodfokú függvéne. A korábbi terminológia általánosításával tehát azt mondhatjuk, hog a gömb eg másodrendű felület. A továbbiakban a másodrendű felületeket tanulmánozzuk. A gömb paraméterezése sokkal nagobb elméleti és gakorlati jelentőséggel bír, mint csupán annit, hog a gömböt meg tudjuk adni két paraméterrel. Ebből a gondolatból születik meg a térbeli polárkoordináta rendszer, amel a többváltozós analízisben, a vektoranalízisben nélkülözhetetlen apparátus. Induljunk ki tehát abból a problémából, hog a térben eg P pontot a derékszögű (x,, z) koordinátahármas helett adjuk meg más módon. Az új koordinátákat, ameleket gömbi koordinátáknak is nevezünk szokásos módon r, ϑ és φ jelöli. φ ϑ r 1.7.ábra. Térbeli polárkoordináták Dr. Hanka László 8 Óbudai Egetem

89 Analitikus Geometria Ezek értelmezése az ábra alapján a következő. A P pont origótól mért távolságát jelöli r. Az OP vezérsugár z-tengel pozitív iránával bezárt szöge a ϑ. Végül tekintsük a P pont merőleges vetületét az (x, )-síkra vonatkozólag, legen ez a P' pont. A φ szög értelmezés szerint az OP' sugárnak az x-tengel pozitív iránával bezárt szöge. Ha a tér tetszőleges pontját ezzel a három adattal szeretnénk leírni, akkor világos, hog a ϑ-szög 0-tól π-ig, míg a φ-szög 0-tól π-ig változhat. A szögfüggvének értelmezése szerint tehát az (x,, z) derékszögű koordináták és az (r, ϑ, φ) gömbi koordináták közötti kapcsolat a következő. x rsin cos rsin sin ; 0,, 0, z rcos Ha ezt alkalmazzuk a gömbfelületre mindössze annit kell észrevenni, hog értelmezés szerint az r = r 0 sugár állandó. Tehát az r 0 sugarú gömb eg lehetséges paraméterezése x r0 sin cos r0 sin sin ; 0,, 0, z r0 cos vag kétparaméteres vektor-skalár függvénként megadva r, r sin cos, r sin sin, r cos ; 0,, 0, Dr. Hanka László 83 Óbudai Egetem

90 Analitikus Geometria Forgásfelületek További felületeket egszerűen előállíthatunk, ha eg síkbeli görbét megforgatunk legegszerűbb esetben eg koordinátatengel körül. Elsőként azt vizsgáljuk meg, hogan adható meg a felület egenlete a síkgörbe egenletének ismeretében. Tegük fel, hog adott eg síkgörbe az (x, )-síkban az F(x, ) = 0 egenlettel. Azért ezt a speciálisnak tekinthető egenletet vizsgáljuk, mert célunk a másodrendű felületek tárgalása. Azt a kérdést tesszük fel, hogan írható fel annak a felültnek az egenlete amel úg keletkezik, hog a görbét megforgatjuk például az -tengel körül. Tétel: Ha az F(x, ) = 0 egenlettel adott síkgörbét megforgatjuk az -tengel körül akkor egenlete az F x z, 0 formában adható meg. Bizonítás: Tekintsük a görbe eg tetszőleges P(x, ) pontját. Ez kielégíti az F(x, ) = 0 egenletet. Ebben az esetben az x-koordináta négzetét úg is tekinthetjük, mint a P pont távolságának négzetét az -tengeltől. Ha megforgatjuk a görbét az -tengel körül a P pont eg kört ír le, melnek sugara x. Tehát az említett körön levő pontok távolsága az -tengeltől állandó. Ha a kör bármel pontjának koordinátáit helettesítjük a forgásfelület egenletébe, akkor bármelik körön levő pont távolságának négzete azt ki kell hog elégítse. Ha három dimenzióban vizsgáljuk a kérdést, akkor a P(x, ) pontnak megfelel az (x,, 0) pont, és a forgatással kapott pontok (x', ', z') koordinátáira vonatkozólag teljesül, hog x z x x x z ' ' ; azaz ' ' és nilván ' és ezek a menniségek kielégítik a forgásfelület egenletét. A forgatással kapott alakzat egenlete tehát F x z ' ', ' 0 Ha eltekintünk a megkülönböztető jelként alkalmazott de immár felesleges vesszőtől, akkor az állításbeli egenletet kapjuk. Értelemszerű módosítással, adódik, hog ha az F(x, ) = 0 egenlettel adott síkgörbét megforgatjuk az x-tengel körül akkor egenlete az formában adható meg. F x, z 0 Dr. Hanka László 84 Óbudai Egetem

91 Analitikus Geometria Ezen összefüggéseknek az alkalmazása következik ezután. Elsőként azonban a gömb egenletének eg másik levezetését adjuk. Használjuk fel, hog a kanonikus helzetű r sugarú kör egenlete x r Ha ezt a kört megforgatjuk az -tengel körül, nilván eg r sugarú gömböt kapunk. Alkalmazzuk az előző tétel szerint az egenletben az x x z helettesítést. Azt kapjuk, hog x z r ; azaz x z r ; ami megegezik a gömb már ismert egenletével. Dr. Hanka László 85 Óbudai Egetem

92 Analitikus Geometria Forgási paraboloid Forgási paraboloidot kapunk, ha a kanonikus helzetű parabolát megforgatjuk a tengele körül. Legen elsőként a parabola tengele az -tengel. Ekkor egenlete x p Ha elvégezzük az egenlete x x z helettesítést, adódik az -tengelű forgási paraboloid x z p Ha a többváltozós analízisbeli alkalmazásokat vesszük alapul akkor célszerű abból a síkbeli parabolából kiindulni, amel az (x, z)-síkban van és tengele a z-tengel. Ennek egenlete x pz Ha ezt a z-tengel körül forgatjuk el, akkor értelemszerűen, most a x x helettesítést kell elvégeznünk. Íg kapjuk a z-tengelű forgási paraboloid egenletét x pz A p = 0,5 paraméterű z-tengelű forgási paraboloidot mutatja az 1.8. ábra ábra. A p = 0,5 paraméterű forgási paraboloid képe Dr. Hanka László 86 Óbudai Egetem

93 Analitikus Geometria Forgási ellipszoid Forgási ellipszoidot kapunk, ha a kanonikus helzetű ellipszist megforgatjuk a nagtengele vag a kistengele körül. Eltekintve a tengelek relatív nagságától, legen az ellipszis kanonikus egenlete x 1 a b és forgassuk ezt meg az x-tengel körül. Ekkor elvégezve az a forgási ellipszoid egenletét z helettesítést, kapjuk x z a b b 1 Innen egszerű betűcserékkel eljuthatunk az összes forgási ellipszoid egenletéhez. Ha például az -tengel körül forgatunk, akkor az egenlet x z 1 a b a x Az 1.9. ábra az 1 egenletű ellipszoid x-tengel körüli megforgatásakor keletkező 9 4 x z forgási ellipszoidot mutatja, melnek egenlete a) b) 1.9. ábra. Forgási ellipszoid a = 3, b = paraméterekkel. a) főmetszetekkel; b) a teljes felület. Dr. Hanka László 87 Óbudai Egetem

94 Analitikus Geometria Egköpenű forgási hiperboloid Egköpenű forgási hiperboloidot kapunk, ha a kanonikus helzetű hiperbolát megforgatjuk a képzetes tengele körül. A szokásos összefüggések levezetéséhez induljunk ki abból, hog a hiperbola az (x,z)-síkban adott és képzetes tengele a z-tengelen van, amikor is az egenlete x a z b 1 Ha ezt megforgatjuk a z-tengel körül, el kell végeznünk a adódik az egköpenű forgási hiperboloid egenlete x x helettesítést. Íg x z a a b 1 Az a = b = 1 paraméterekkel adott egköpenű forgási hiperboloidot mutatja az ábra ábra. Egköpenű forgási hiperboloid a = b = 1 paraméterekkel Dr. Hanka László 88 Óbudai Egetem

95 Analitikus Geometria Kétköpenű forgási hiperboloid Kétköpenű forgási hiperboloidot kapunk, ha a kanonikus helzetű hiperbolát megforgatjuk a valós tengele körül. Induljunk ki ismét abból, hog a hiperbola az (x, z)-síkban adott és valós tengele az x-tengelen van, amikor is az egenlete x a z b 1 Ha ezt megforgatjuk az x-tengel körül, el kell végeznünk a adódik a kétköpenű forgási hiperboloid egenlete z z helettesítést. Íg x z a a b 1 Nagon könnű megjegezni, hog a két egenlet közül melik az egköpenű és melik a kétköpenű hiperboloid egenlete, uganis az egköpenű hiperboloid egenletében ha a jobb oldalon +1 áll akkor az egenlet bal oldalán eg negatív előjelű tag van, míg a kétköpenű esetében két tag előjele negatív. Az a = b = 1 paraméterekkel adott kétköpenű forgási hiperboloidot mutatja az ábra ábra. Kétköpenű forgási hiperboloid a = b = 1 paraméterekkel Dr. Hanka László 89 Óbudai Egetem

96 Analitikus Geometria Forgáskúp A görbék tárgalása során másodrendű görbének tekintettük a metsző egenespárt is. Ebben a pontban van ennek igazán jelentősége, mert a metsző egenespár, mint másodrendű görbe megforgatásával keletkező forgásfelület eg nagon fontos felület, amel a térgeometriából jól ismert alakzat, ez nem más mint a forgáskúp. c c Legen a metsző egenespár az [x, z]-síkban adott a z x és z x egenletekkel. Világos, a a hog ez a két egenes szimmetrikus a z-tengelre, a két egenes egmás tükörképe. A megadott két egenlet egenértékű a c c z x 0, z x 0 a a egenletpárral, amelek szorzatával a c z x x z z x 0 tehát a 0 illetve az 0 másodfokú egenlethez jutunk. A két a c a a c metsző egenesből álló másodrendű görbe egenletét kaptuk tehát. Forgassuk meg ezt az egenespárt a z-tengel körül. El kell végeznünk az x x helettesítést. Íg adódik a forgáskúp egenlete x z a a c 0 Az 1.3. ábrán az x z 0 egenletű forgáskúp látható ábra. Forgáskúp képe a =, c = 3 esetén. Dr. Hanka László 90 Óbudai Egetem

97 Analitikus Geometria Térbeli merőleges affinitás A síkbeli merőleges affinitás mintájára (1..4. pont) értelmezzük a térbeli merőleges affinitást. Definíció: A térbeli merőleges affinitás eg olan transzformáció amel eg S sík pontjait helben hagja, ez a sík az affinitás alapsíkja, a síkra a T pontban emelt merőleges egenes eg PT ' P pontjához pedig azt a P' pontot rendeli, amelre igaz, hog ahol a nullától PT különböző valós szám az affinitás arána. Ha a negatív szám akkor értelmezés szerint a P és P' pontok az S sík által meghatározott különböző félterekben vannak. Az S síkra merőleges iránt az affinitás iránának nevezzük. Abban a speciális esetben amikor = 1, az affinitás az identikus transzformáció, tehát a helbenhagás, amikor pedig = 1, az affinitás a síkra vonatkozó tükrözést jelenti. Vizsgáljuk meg, milen hatással van eg felület egenletére, ha az alakzatra alkalmazunk eg aránú merőleges affinitást. Állítás: Ha eg térbeli alakzat egenlete az F(x,, z) = 0 általános egenlet, a affinitás alapsíkja az [x, ]-sík, akkor az alakzat affin képének egenlete z F x,, 0; Bizonítás: A bizonításhoz figelembe kell vennünk, a definíciót. Ha az alapsík az [x, ]-sík, akkor az egmáshoz rendelt pontok harmadik koordinátájára értelmezés szerint teljesül, hog z' z' ; azaz z ' z; tehát z z Ha az affin kép egenletét keressük, csak annit kell tennünk ennek meghatározásához, hog az z ' z ' F(x,, z) = 0 egenletben z-t helettesítjük -val. Az egenlet alakja tehát F x,, 0. Ha itt elhagjuk a felesleges, csupán a levezetés során a megkülönböztetés érdekében használt vesszőt, akkor az állításban szereplő egenletet kapjuk. Értelem szerű módosítással, ha az alapsík az [x, z]-sík, és az affinitás arána, irána pedig az -tengellel párhuzamos irán, akkor az F(x,, z) = 0 egenlettel adott felület affin képnek az egenlete F x,, z 0; Az affinitást felhasználhatjuk többek között arra, hog segítségével a már megismert forgásfelületekből újabb alakzatokat kapjunk. Dr. Hanka László 91 Óbudai Egetem

98 Analitikus Geometria Elliptikus paraboloid Ha az pontban vizsgált z-tengelű forgási paraboloidra alkalmazunk eg affinitást, amelnek alapsíkja az [x, z]-sík, akkor definíció szerint eg elliptikus paraboloidot kapunk. Az elnevezés magarázatára még visszatérünk. Induljunk ki tehát a forgási paraboloid x pz egenletéből. Legen az affinitás arána az affin kép egenlete b. Ekkor a bevezetőben igazolt összefüggés szerint a a x p x pz; x pz; z; b a b a b a p Ha bevezetünk eg egszerűsítő jelölést a c 0 definícióval, akkor kapjuk, hog az a elliptikus paraboloid egenlete x a b cz; amel a speciális a = b esetben természetesen megegezik a forgási paraboloiddal. x Az ábrán az z egenletű paraboloid képe látható ábra. Elliptikus paraboloid képe Dr. Hanka László 9 Óbudai Egetem

99 Analitikus Geometria Térjünk rá most az elnevezés indoklására. Tekintsünk olan metsző síkot, amel párhuzamos az [x, z]-síkkal. Eg ilen sík egenlete = 0 = állandó. A metsztegörbe egenlete 1 z ca cb 0 x amel természetesen eg parabola egenlete. Hasonló eredmént kapunk, ha az [, z]-síkkal párhuzamos síkkal metszünk. Eg ilen sík egenlete x = x 0 = állandó. Ekkor a metszetgörbe a ; 1 x z cb ca 0 egenlettel meghatározott parabola. A függőleges síkmetszetek tehát parabolák, innen az elnevezés, hog "paraboloid". Vizsgáljuk most meg az [x, ]-síkkal párhuzamos síkmetszeteket. Ezen síkok egenlete z = z 0 = állandó. Az világos, hog z 0 < 0 esetén üres alakzatot kapunk, z 0 = 0-ra pedig csak az origó elégíti ki az egenletet. Ha azonban z 0 > 0 a kapott ; x a b cz 0; egenlet nilvánvalóan eg ellipszis egenlete. Innen származik az elnevezésben szereplő x "elliptikus" jelző. Az ábrán ugancsak a z paraboloid képe látható a vizsgált 16 4 metszetgörbékkel ábra. Elliptikus paraboloid vízszintes és függőleges síkmetszetekkel Dr. Hanka László 93 Óbudai Egetem

100 Analitikus Geometria Foglalkozzunk végül a paraboloid paraméterezésével. Induljunk ki az x a b cz; egenletből. Ennek paraméterezéséhez támpontot adhat az a tén, hog a vízszintes metszetek ellipszisek, amel görbe paraméterezését már ismerjük. Ha tehát rögzítjük a harmadik koordinátát az ellipszis paraméterezését kell visszakapnunk. Legen tehát az u paraméter a sugár x-tengel pozitív felével bezárt szög, a másik paraméter pedig, amit jelöljön v legen egenlő a z koordinátával. Ekkor a fenti elliptikus hiperboloid eg lehetséges paraméterezése x a c v cosu b c v sin u, u 0,, v z v R 0 Helettesítéssel adódik, hog ez a paraméterezés valóban kielégíti az egenletet, uganis x a b cv cos u cvsin u cv cz; Speciális esetben, amikor a = b tehát ha az elliptikus paraboloid forgási paraboloid, amelnek egenlete x cz; a a a paraméterezés a következő x a c v cosu a c v sin u, u 0,, v R 0. z v Dr. Hanka László 94 Óbudai Egetem

101 Analitikus Geometria Ellipszoid Ha az pontban vizsgált forgási ellipszoidra alkalmazunk eg affinitást, amelnek alapsíkja az [x, ]-sík, akkor definíció szerint eg általános értelemben vett ellipszoidot kapunk. Induljunk ki a forgási ellipszoid x z a b b 1 egenletéből. Alkalmazzunk rá eg olan affinitást, amelnek tehát alapsíkja az [x, ]-sík, arána c pedig. Ekkor a bizonított tétel szerint a forgási ellipszoid affin képnek az egenlete b 1 1 z x z x b x z 1; 1; 1; a b b c b a b b c a b c Kaptuk tehát, hog a a, b és c tengelekkel adott ellipszoid egenlete x z a b c 1; Ha itt két tengel egenlő, például a = b, akkor forgási ellipszoidot kapunk, ha pedig az teljesül, hog a = b = c, akkor az egenlet eg r = a sugarú gömböt határoz meg. x z Az 1 egenletű ellipszoid látható az ábrán ábra. Ellipszoid a = 4, b = 3, c = esetén. Dr. Hanka László 95 Óbudai Egetem

102 Analitikus Geometria Ennek a felületnek bármel koordinátasíkkal párhuzamos síkkal történő metszése ellipszist eredménez, kivéve két esetet. Tekintsük például az [x, ]-síkkal párhuzamos síkokat. Ezek z0 egenlete z = z 0 alakú. Ha z0 c akkor nilván c 1 amiből az következik, hog x 0 a b z0 amel nilvánvalóan üres alakzatnak az egenlete. Ha z0 c akkor pedig 1 amiből az c x következik, hog 0 amel két pontra teljesül, a P 10,0, c és P 0,0, c. Ha viszont a b z0 z0 c akkor nilván 1 tehát az x és koordináták közötti kapcsolatra az c x z0 1 0; a b c egenlet adódik amel eg ellipszis egenlete. Hasonló mondható el a másik két koordinátasíkkal párhuzamos síkkal való metszetekről. A vizsgálatunk eg következméne, hog az ellipszoid olan korlátos alakzat, amel benne van eg olan téglatestben amelnek szimmetriacentruma az origó és oldalhossza rendre a, b és c, vagis az ellipszoid tengelei. Az ábrán a fenti ellipszoid néhán síkmetszetét ábrázoltuk ábra. Az a = 4, b = 3 és c = tengelekkel adott ellipszoid néhán síkmetszete Dr. Hanka László 96 Óbudai Egetem

103 Analitikus Geometria Az ellipszoid paraméterezése könnedén előállítható a gömb paraméterezésének a felhasználásával. A gömböt már paramétereztük az pontban. x r0 sin cos r0 sin sin ; 0,, 0, z r0 cos Az ellipszoid paraméterezése ebből úg adódik, hog felidézzük, az ellipszoid a gömb affin képe. Ennek megfelelően az x z 1; a a c egenletű forgási ellipszoid eg paraméterezése x asin cos asin sin ; 0,, 0, z ccos amelet tehát úg kapunk, hog az r = a sugarú gömbre alkalmazunk eg olan térbeli merőleges affinitást, amelnek alapsíkja az [x, ]-sík, tengele a z-tengel és amelnek arána c. Ebből az a általános eset úg adódik, hog erre a forgási ellipszoidra alkalmazunk eg újabb affinitást, amelnek alapsíkja az [x, z]-sík, tengele a -tengel és amelnek arána b. Ebből következően a az x z a b c 1; egenletű ellipszoid eg lehetséges paraméterezése x asin cos bsin sin ; 0,, 0,. z ccos Dr. Hanka László 97 Óbudai Egetem

104 Analitikus Geometria Egköpenű hiperboloid Egköpenű hiperboloidot kapunk, ha az egköpenű forgási hiperboloidra alkalmazunk eg olan affinitást, amelnek alapsíkja például az [x, z]-sík. Induljunk ki az egköpenű forgási hiperboloid pontban levezetett x z a a b 1 egenletéből. Alkalmazzunk erre eg olan affinitást, melnek alapsíkja az [x, z]-sík arána c pedig. Ekkor a bizonított tétel szerint az egköpenű forgási hiperboloid affin képnek az a egenlete 1 1 x z x b z x z 1; 1; 1; a b c b b a b c b a c b Ha a kapott egenletben egszerű betűcserét alkalmazunk - uganis mindeg, hog az eges tengeleket milen betűvel jelöljük -, akkor kapjuk az egköpenű hiperboloid általános egenletét a szokásos alakban x z a b c 1; Az x z 1 egköpenű hiperboloid képe látható az ábrán ábra. Egköpenű hiperboloid a =, b = 3, c = 4 esetén. Dr. Hanka László 98 Óbudai Egetem

105 Analitikus Geometria Ennek síkmetszeteit vizsgálva érdekes felfedezést tehetünk. Az világos, hog tetszőleges z = z 0 valós szám esetén az [x, ]-síkkal párhuzamos, z = z 0 egenletű sík esetén a metszetgörbe az x z0 1 ; a b c egenletű ellipszis. Ha azonban az [x, z] síkkal párhuzamos síkmetszeteket vizsgáljuk, az adódik, hog a metszetgörbe b esetén az x z 1 ; z x 1; a c b c a b egenletű hiperbolapár, rendre attól függően, hog akkor a metszetgörbe egenlete b vag b. Legen most c x z x z x z 0; azaz 0; a c a c a c c c amel akkor teljesül, ha z x illetve z x. Ezek az egenletek egeneseket határoznak a a meg, összegezve eg metsző egenespárt. Ezeket az egeneseket a hiperboloid alkotóinak nevezzük. Elmondhatjuk tehát, hog a hiperboloid függőleges síkmetszete a mondott feltételek x z mellett eg metsző egenespár. Az ábrán látható eg ilen egenespár az egenletű hiperboloid esetén az = 3 síkban ábra. Egköpenű hiperboloid néhán síkmetszete és két alkotó Dr. Hanka László 99 Óbudai Egetem

106 Analitikus Geometria Az egköpenű hiperboloid paraméterezése úg történhet, hog tekintetbe vesszük a felületnek azt a fent bizonított tulajdonságát, hog a vízszintes metszetei ellipszisek, a függőleges metszetek pedig hiperbolák, és felhasználjuk, hog az és pontok alapján mindkét görbe paraméterezését ismerjük. Ebből adódóan az x z a b c 1; egenletű egköpenű hiperboloid eg lehetséges paraméterezése x a ch v cos u bch vsin u ; v R, u 0,. z csh v helettesítéssel können látható, hog ezek a koordinátafüggvének valóban kielégítik az egenletet, uganis nevezetes azonosságok szerint x z a b c Speciális esetként kapjuk az ch vcos u ch vsin u sh v ch v sh v 1; x z a a c 1; egenletű egköpenű forgási hiperboloid paraméterezését is. x a ch v cos u a ch vsin u ; v R, u 0, z csh v Dr. Hanka László 100 Óbudai Egetem

107 Analitikus Geometria Kétköpenű hiperboloid Kétköpenű hiperboloidot kapunk, ha a kétköpenű forgási hiperboloidra alkalmazunk eg olan affinitást, amelnek alapsíkja például az [x, z]-sík. Induljunk ki a kétköpenű forgási hiperboloid pontban levezetett x z a a b 1 egenletéből. Alkalmazzunk erre eg olan affinitást, melnek alapsíkja az [x, z]-sík arána c pedig. Ekkor ismét a bizonított tétel szerint a kétköpenű forgási hiperboloid affin a képnek az egenlete 1 1 x z x b z x z 1; 1; 1; a b c b b a b c b a c b Ha a kapott egenletben hasonlóan eg betűcserét alkalmazunk - uganis mindeg, hog az eges paramétereket milen betűvel jelöljük -, akkor kapjuk a kétköpenű hiperboloid általános egenletét a szokásos alakban x z a b c 1 Ennek síkmetszeteit vizsgálva világos, hog tetszőleges z = z 0 valós szám esetén az [x, ]-síkkal párhuzamos, z = z 0 egenletű sík esetén a metszetgörbe az x z0 1 ; a b c egenletű hiperbolapár. Ha azonban az [, z] síkkal párhuzamos síkmetszeteket vizsgáljuk, az adódik, hog a metszetgörbe x0 a esetén üres alakzat, uganis az z x0 1 0 b c a egenletet egetlen (, z) valós számpár sem elégíti ki. Ha x0 a akkor helettesítéssel az z a 1 0 b c a Dr. Hanka László 101 Óbudai Egetem

108 egenlet adódik, amelet két pont, a P a,0,0 és P a,0,0 feltesszük, hog x0 a akkor az 1 z x0 1 0 b c a Analitikus Geometria pontok elégítenek ki. Ha végül egenletet kapjuk, amel ellipszis egenlete. x z Az ábrán az 1 egenletű kétköpenű hiperboloid látható. Jól látszanak az ábrán az ellipszis metszetgörbék ábra. Kétköpenű hiperboloid a =, b = 3, c = 4 esetén. A kétköpenű hiperboloid paraméterezése az egköpenű hiperboloidhoz hasonlóan können megadható. Itt lénegében anni a különbség az pontbeli esethez képest, hog a vízszintes metszetek hiperbolák és a függőleges metszetek ellipszisek. Ennek megfelelően az x z a b c 1 egenletű kétköpenű hiperboloid eg lehetséges paraméterezése megadható annak figelembe vételével, hog a felület két diszjunkt mértani helből áll, az egikre x > 0 a másikra x < 0 Dr. Hanka László 10 Óbudai Egetem

109 Analitikus Geometria teljesül. Ennek megfelelően a "pozitív" és negatív féltérbeli" felület paraméterezése rendre a következő. ch "pozitív féltérben": x a v b sh v cos u ; z csh vsin u v R, u 0, ; x ach v "negatív féltérben": b sh v cos u ; z csh vsin u v R, u 0, ; Helettesítéssel können látható, hog ezek a koordinátafüggvének valóban kielégítik az egenletet, uganis nevezetes azonosságok szerint x z a b c ch v sh vcos u sh vsin u ch v sh v 1; Dr. Hanka László 103 Óbudai Egetem

110 Analitikus Geometria Kúp Az pontban tárgaltuk a forgáskúp egenletét. Azonban a kúp fogalma ennél tágabb, nem kizárólag a forgáskúpot jelenti. Kúpnak nevezzük általánosan azt a felületet, amelet úg kapunk, hog kijelölünk a térben eg pontot és eg olan zárt vag nílt síkgörbét, az ún. vezérgörbét, amelnek síkja nem tartalmazza a rögzített pontot. Ezek után pedig tekintjük az összes olan egenest amel illeszkedik az adott pontra továbbá illeszkedik a vezérgörbére is. Ezen egenesek alkotják a kúp alkotóját. Bennünket most eg speciális eset, a forgáskúp affin képe érdekel. Alkalmazzunk az x z 0 a a c egenletű forgáskúpra eg olan térbeli affinitást, amelnek alapsíkja az [x, z]-sík és arána b. Ekkor az affin kép egenlete a 1 1 x z x a z x z 0; 0; 0; a a b a c a a b c a b c Megkaptuk tehát eg általánosabb értelemben vett kúp egenletét a szokásos alakban. x z a b c 0; Ha tekintjük ezen kúp eg vízszintes síkmetszetét, z = z 0 egenletű síkkel metszve, azt kapjuk, x z0 hog a metszetgörbe egenlete ami ellipszis egenlete. Az affinitással a b c x z származtatott kúp vezéralakzata tehát eg ellipszis. Az ábrán az 0 egenletű kúp képe látható. A kúp paraméterezése ismét azonos logikával állítható elő. Használjuk fel, hog a vízszintes síkmetszetek ellipszisek az alkotók pedig origón átmenő egenesek. Ennek megfelelően az elliptikus kúp eg lehetséges paraméterezése x av cosu bvsin u ; v R, u 0, ; z cv Helettesítéssel ismét können igazolhatjuk, hog ezek a koordinátafüggvének valóban kielégítik az egenletet, uganis a nevezetes azonosság szerint Dr. Hanka László 104 Óbudai Egetem

111 Analitikus Geometria x z a b c v cos u v sin u v v v 0; ábra. Elliptikus kúp képe a =, b = 4, c = 3 esetén. Dr. Hanka László 105 Óbudai Egetem

112 Analitikus Geometria Másodrendű hengerek A henger szó hallatán általában a legegszerűbb, kör keresztmetszetű hengerre, vag körhengerre asszociálunk. A henger fogalma azonban általánosabb ennél. A hengert a következő módon szokás definiálni. Tekintsünk eg görbét, az ún. vezérgörbét vag vezéralakzatot, és eg iránt, amel irán nem párhuzamos a vezérgörbe síkjával. Illesszünk a vezérgörbe minden pontjához eg olan egenest amel párhuzamos az adott iránnal. Ezen egenesek alkotják a henger palástját. Ebben a pontban olan hengerekkel foglalkozunk, amelek vezéralakzata másodrendű görbe. Íg értelmezzük a másodrendű hengereket. A kanonikus helzetet alapul véve induljunk ki eg kanonikus helzetű másodrendű görbéből az [x, ]-síkban és az adott irán legen párhuzamos a z-tengellel. Ha a másodrendű görbe egenlete F(x, ) = 0 egenlettel adott, akkor az irán megválasztása miatt a henger pontjainak z-koordinátájától független a henger egenlete, az x és koordináták viszont kielégítik a vezéralakzat egenletét. Ez azt jelenti, hog a henger minden pontjának koordinátái kielégítik a vezéralakzat egenletét. Ebből adódik, hog eg másodrendű henger kanonikus egenlete megegezik a másodrendű görbe egenletével, F(x, ) = 0. Ha a vezéralakzat rendre kör, parabola, ellipszis, hiperbola, kapjuk rendre a forgáshengert, a parabolikus, elliptikus és hiperbolikus hengert. Ezek egenlete a kanonikus helzetben rendre x x ; ; 1; 1; a b a b x r x p Ilen hengerek képe látható az alábbi a), b), c) és d) ábrákon. a) b) c) d) ábra. a) Körhenger; b) Parabolikus henger; c) Elliptikus henger; d) Hiperbolikus henger Az ábrán látható másodrendű hengerek egenlete rendre a következő: x x x 16; x ; 1; 1; 16 6, 5 4 A másodrendű hengerek paraméterezése a kanonikus esetekben igen egszerű feladat uganis mint látható az egenletekből, csak a vezérgörbéket kell paraméterezni, adott esetben az [x, ]-síkban és a harmadik koordináta pedig tetszőleges. Dr. Hanka László 106 Óbudai Egetem

113 Analitikus Geometria A síkgörbék paraméterezését már ismerjük, íg azonnal felírhatjuk az x x ; ; 1; 1; a b a b x r x p egenlettel adott körhenger, parabolikus henger, elliptikus henger és hiperbolikus henger eg lehetséges paraméterezését, amel rendre a következő x r cosu körhenger : r sin u ; u 0,, v R z v x u u parabolikus henger : ; u R, v R p z v x a cosu elliptikus henger : b sin u ; u 0,, v R z v ch hiperbolikus henger a pozitív féltérben: x a u bsh u ; u R, v R z v x ach u hiperbolikus henger a negatív féltérben : bsh u ; u R, v R z v Dr. Hanka László 107 Óbudai Egetem

114 Analitikus Geometria Hiperbolikus paraboloid (neregfelület) A paraboloidok két képviselőjével már találkoztunk, a forgási és az elliptikus paraboloiddal. Létezik azonban még eg, mind az elmélet mind a gakorlat szempontjából fontos másodrendű felület, amelnek síkmetszetei parabolák, ezért paraboloidnak nevezzük, de az említettektől lénegesen eltér. Ezt nem lehet sem forgásfelületként értelmezni, sem pedig már megismert alakzatokból affinitással előállítani. Eg korábbiaktól eltérő módon kell származtatnunk a felületet. A kanonikus helzetű alakzat értelmezésével és egenletének levezetésével foglalkozunk ebben a pontban. Tekintsünk eg parabolát az [x, z]-síkban, amelnek tengele a z-tengel, és ezen tengel irána a z-tengel pozitív irána, tehát mondhatjuk azt is az analízis fogalmait használva, hog eg "alulról nézve konvex" parabolát tekintünk alapnak. Legen ennek egenlete 1 z x p 1 Tekintsünk most eg másik parabolát az előzőre merőleges [, z]-síkban, amelnek tengele ugancsak párhuzamos a z-tengellel, de tengelének irána a z-tengel negatív iránával egezik meg, tehát ez eg "alulról nézve konkáv" paraboláról van szó. Legen ennek egenlete az [, z]-síkban 1 z p Tegük végül a következőt. Toljuk el ez utóbbi parabolát úg hog síkja mindvégig párhuzamos marad az [, z]-síkkal, tengelpontja pedig illeszkedik az elsőként definiált parabolára. Az ilen módon származtatott felületet nevezzük hiperbolikus paraboloidnak vag neregfelületnek. Vezessük le ennek egenletét. Az egenlet egszerűen úg kapható, ha a kanonikus helzetnek 1 1 megfelelő z egenletben figelembe vesszük, hog a parabolát eltoltuk a z x p p 1 mentén, tehát a tengelpontja az x,0, x koordinátákkal adott pontban került. Ha az p1 eltolást figelembe vesszük, akkor az pontban tárgalt koordinátatranszformációk című pont szerint az eltolt parabola egenlete z 1 1 p x 1 p azaz z 1 1 p x 1 p. Ha a p paraméter helett bevezetjük az egenletekben szokásosabb a és b paramétereket, akkor kapjuk a hiperbolikus paraboloid egenletét a szokásos formában. 1 x a z b Dr. Hanka László 108 Óbudai Egetem

115 Analitikus Geometria Az 1.4. ábrán az értelmezésben követett logikának megfelelően ábrázoltunk néhán parabolát az x z felületen ábra. A hiperbolikus paraboloid származtatása parabolák segítségével. A fentiekből nilvánvaló, hog a felület [, z]-síkkal párhuzamos síkkal történő elmetszésével parabolák adódnak. Ez látható az ábrán. Azonban az is igaz, hog az [x, z]-síkkal párhuzamos síkmetszetek is parabolák. Eg ilen sík egenlete uganis = 0 = állandó alakú. Helettesítsük ezt a levezetett egenletbe. A helettesítés az x z a b 0 egenletre vezet amel nilvánvalóan ugancsak parabola egenlete. Tekintsük, most a felület [x, ]-síkkal párhuzamos síkmetszeteit. Eg ilen sík egenlete z = z 0 = állandó alakú. Helettesítéssel az x z 0 a b egenletet kapjuk. Ha z 0 = 0 akkor ez eg metsző egenespár, ha viszont z 0 különbözik nullától, akkor eg hiperbolapár egenletét kapjuk. Ha z 0 > 0 akkor a hiperbola egenlete x 1, melnek valós tengele az x-tengelen van és nagsága za, 0 képzetes z a z b 0 0 tengele pedig zb. 0 Ha viszont z 0 < 0 akkor az egenlet z b x z a alakú, amikor is a Dr. Hanka László 109 Óbudai Egetem

116 Analitikus Geometria valós tengel az -tengelen van és nagsága zb, 0 képzetes tengele pedig za. 0 Az ábra illusztrál néhán vízszintes síkmetszetet ábra. A hiperbolikus paraboloid néhán vízszintes síkmetszete Ezzel rámutattunk az elnevezés okára, tehát arra, hog ezt a másodrendű felületet miért nevezik x hiperbolikus paraboloidnak. Végezetül az ábrán bemutatjuk a z egenletű felület 4 képét ábra. Eg hiperbolikus paraboloid képe a, b esetén Dr. Hanka László 110 Óbudai Egetem

117 Analitikus Geometria Az ábra alapján világos, miért nevezik a hiperbolikus paraboloidot neregfelületnek. A neregfelületnek az egköpenű hiperboloidhoz hasonlóan van eg érdekes tulajdonsága, mégpedig az, hog minden pontján áthalad két olan egenes amel teljes egészében a hiperbolikus paraboloidra illeszkedik. Ennek igazolásához alakítsuk szorzattá a kanonikus egenletet. x x x z a b a b a b Legen a felület eg tetszőleges pontja a,, z-tengellel párhuzamos P x z pont és vizsgáljuk a P 0 pontra illeszkedő, x x 0 0 x 0 0 c1, és x c, a b a b a b a b síkokat. Tekintsük ezen síkok és a neregfelület metszetét. x 0 0 x x 0 0 1, x x x c z c z, a b a b a b a b a b a b A kapott két egenlet eg-eg síkot határoz meg amel azonban már nem párhuzamos a z-tengellel, tehát az előbbi síkokkal rendre úg metszik, hog a metszésvonal eg-eg egenes, amel a konstrukcióból adódóan illeszkedik a hiperboloidra. Ezeket az egeneseket a neregfelület alkotóinak nevezzük. Az ábrán látható az x z egenletű hiperbolikus paraboloid P0 1,, 3 pontjára illeszkedő két alkotó ábra. Neregfelület (1,, 3) ponthoz tartozó alkotói Dr. Hanka László 111 Óbudai Egetem

118 Analitikus Geometria Ha a neregfelület paraméterezéséhez a korábbiakban alkalmazott logikát alkalmazzuk akkor az x av ch u bvsh u ; v R, u R ; z v koordinátafüggvénekkel adott paraméterezést kapjuk. Können látható, hog ezek a függvének valóban kielégítik az x a z b egenletet, azonban ez nilván nem lehet a teljes felület paraméterezése, hiszen z = v miatt csak a z > 0 féltérbeli pontokat adhat. Megoldhatnánk a problémát úg, hog a negatív féltérre adunk eg másik paraméterezést, azonban ez nem "elegáns" megoldás, hiszen egetlen összefüggő felületről van szó. Ezért más koordinátafüggvénekkel paraméterezünk. A neregfelület eg lehetséges paraméterezése például a következő x a u v bu v; v R, u R ; z 4uv Ebben az esetben már nincs előjelprobléma és helettesítés igazolja, hog ezek a koordinátafüggvének kielégítik a neregfelület egenletét. Valóban teljesül, hog x u v u v u uv v u uv v 4uv z. a b Dr. Hanka László 11 Óbudai Egetem

119 Analitikus Geometria Térbeli koordinátatranszformációk Az pontban részletesen megvizsgáltuk, hogan módosul eg másodrendű görbe egenlete, ha a koordinátarendszert elforgatjuk, eltoljuk. A síkbeli vizsgálatoknál szokásos módon, a forgatás centrumaként az origót választottuk és megadtuk azt a φ szöget, amellel a koordinátarendszert elforgatjuk a kezdeti {i, j} ortonormált bázisvektorokkal adott rendszerhez képest, és erre a megadott szögre határoztuk meg a transzformáció mátrixát. A térbeli vizsgálataink lénegében uganezt a kérdést célozzák, de a síkbeli esettől eltérően, a forgatást nem szögekkel adjuk meg, hanem úg hog a kezdeti {i, j, k} ortonormált bázis helett választunk eg másik ortonormált bázist, melet például {b 1, b, b 3 } jelöl, és azt a kérdést tesszük fel, hog eg adott másodrendű felület egenlete hogan alakul, ha azt az utóbbi bázisban, illetve ezen bázis által meghatározott koordinátarendszerben írjuk fel. Térjünk tehát át az eredeti {i, j, k} ortonormált bázis által meghatározott (x,, z) koordinátarendszerről a {b 1, b, b 3 } bázis által meghatározott (,, ) koordinátarendszerre. A koordinátatranszformáció eg lineáris egenletrendszerrel adható meg például az x b11 b1 b31 b1 b b3 z b 13 b 3 b 33 alakban, ahol az egütthatók nilván attól függenek, hog milen iránban és mekkora szöggel forgattuk el a koordinátarendszert, azaz milen bázisra tértünk át. Ez az összefüggés mátrixjelölésekkel sokkal egszerűbben írható. Az áttérés az x Qξ T egenlőséggel is megadható, ahol x x,, z és ξ,, T továbbá a Q mátrix komponensei éppen az előző egenletrendszer egütthatói. Ha a mátrixszorzás definíciójára gondolunk, és a Q mátrixot oszlopvektorainak hangsúlozásával a Q b1 b b 3 formában írjuk, akkor világos, hog az x vektor előállítása x b1 b b 3, ami azt jelenti, hog az x vektor előállítását kapjuk az új bázisban, tehát a Q mátrix oszlopvektorai éppen az új {b 1, b, b 3 } ortonormált bázis bázisvektorai. Mivel ezek a vektorok páronként ortogonálisak és egségni hosszúak, ebből értelmezés szerint adódik, hog a Q eg ortogonális mátrix. Ha tehát eg másodrendű felület egenletét eg másik bázisban szeretnénk felírni, nem kell más t tenni, mint alkalmazni az x Qξ transzformációt. Az pontban már felhasználtuk, hog ekkor az T T T T 1 x vektor transzponáltja x ξ Q ξ Q alakban írható. Ennek figelembe vételével már előállítható a transzformált egenlet. Dr. Hanka László 113 Óbudai Egetem

120 Analitikus Geometria Példaképpen tekintsük eg ellipszoid x z a b c 1 egenletét. Egszerűbb jelölést alkalmazva az egenletet az Ax B Cz 1 alakban írhatjuk. Világos, hog ez az egenlet mátrixműveletekkel is felírható az A 0 0 x x z 0 B C z formában. Tovább egszerűsítve a jelöléseket, ha a formulában szereplő diagonális mátrixot D T jelöli, akkor az ellipszoid egenlete x Dx 1 alakot ölti. Alkalmazzuk most erre az x Qξ és x ξq formulákkal megadott koordinátatranszformációt. Azt kapjuk, hog T T T T T T x Dx ξ Q DQξ 1 Ezzel előállítottuk az ellipszis egenletét a (,, ) koordinátarendszerben. Ha figelembe vesszük az x Qξ transzformáció lineáris egenletrendszerrel megadott alakját világos, hog helettesítés után a (,, ) változóknak eg olan másodfokú kifejezését kapjuk, amel ezen koordinátáknak nem kizárólag a négzeteit tartalmazza, hanem a páronkénti szorzatok is előfordulhatnak, vagis a transzformált egenlet általános alakja a következő 0 Ha az általánosság szem előtt tartásával erre a koordinátarendszerre még eg eltolást is alkalmazunk, amelet az x1 0, x 0, x3 0 formulák definiálnak, akkor ezek helettesítésével olan egenlet adódik az (x 1, x, x 3 ) koordinátarendszerben, amelben a változók négzetén és páronkénti szorzatain kívül még az első hatvánai is szerepelnek. ax bx cx dx x ex x fx x gx hx kx m Ha mátrix formalizmust használunk, az egenlet az a d e x1 x1 x1 x x 3 d b f x g h k x m 0 e f c x x 3 3 formát neri. Uganezt az eredmént kapjuk, ha nem eg ellipszoid, hanem bármel más másodrendű felület egenletéből indulunk ki. Ez tehát a legáltalánosabb alakja eg másodrendű felület egenletének. Dr. Hanka László 114 Óbudai Egetem

121 Analitikus Geometria 1.10.Példa: Határozzuk meg az x 4 9 z 1 ellipszoid egenletét abban a koordinátarendszerben, amelnek bázisvektorai a b1, b, b 3,, vektorok. Az könnedén ellenőrizhető, hog ez a bázis valóban ortonormált, minden vektor hossza egségni és bármel kettő skaláris szorzata zérus. A fentiek szerint legen a Q ortogonális mátrix az a mátrix melnek oszlopvektorai ezek a bázisvektorok és végezzük el az T T x Qξ koordinátatranszformációt. Ekkor, mint láttuk, az ellipszoid egenlete ξ Q DQξ 1 alakú. Konkrét numerikus értékekkel a transzformált egenlet alakja T T ξ Q DQξ Ha elvégezzük el a számításokat, azt kapjuk, hog az ellipszis egenlete a (,, ) koordinátarendszerben a következő Ha még alkalmaznánk eg eltolást is, akkor az egenletben a koordináták elsőfokon is szerepelnének. Ezt azonban már nem tesszük, mert a célunk ebben a pontban csak az volt, hog illusztráljuk, milen hatással van eg koordinátatranszformáció eg másodrendű felület egenletére. Eredménünk tehát az, hog eg másodrendű felület egenlete a legáltalánosabb esetben 1 T T x Ax a x a 0 0 alakú, ahol A eg harmadrendű szimmetrikus mátrix. Dr. Hanka László 115 Óbudai Egetem

122 Analitikus Geometria Térbeli főtengel transzformáció Ebben a pontban az előző, pontbeli vizsgálatok során feltett kérdést fordított logikával elemezzük. Tegük fel, hog adott eg másodrendű felület egenlete T T x Ax a x a 0 0 alakban, ahol tehát A eg harmadrendű szimmetrikus mátrix, a másodrendű felület mátrixa. Az világos, hog minden a koordinátákban másodfokú egenlet felírható ilen módon, eg szimmetrikus mátrix segítségével, csak annit kell tenni, hog a "veges szorzatok" egütthatóit osztjuk -vel és a főátlóra szimmetrikusan írjuk a mátrixba Példa: Írjuk fel a 10x 5 3z 6x 8xz 14z 5x 8z 4 0 T T másodfokú egenletet x Ax a x a0 0 alakban. Ha figelembe vesszük a mondottakat, írhatjuk, hog az egenlet ekvivalens alakja x x x z z z Vizsgálataink során tehát elég ha szimmetrikus mátrixszal felírt másodrendű egenleteket elemzünk. Az előző pontban tehát kiderült, hog minden másodrendű felület egenlete a legáltalánosabb T T esetben az x Ax a x a0 0 formában írható. Mivel minden másodrendű felületre ez igaz, nem lehet "ránézésre" egértelműen eldönteni, hog milen típusú másodrendű felületről van szó. Azt a kérdést tesszük fel, most fordított logikával, hog ha adott eg másodrendű felület T T egenlete x Ax a x a0 0 alakban, akkor hogan lehet eldönteni, hog milen felületről van szó, illetve pontosabban, hogan lehet előállítani azt a bázist, amel által meghatározott koordinátarendszerben az adott felület kanonikus helzetű, tehát amelben egenlete az pontokban megismert alakok valamelikét veszi fel. Továbbá az a kérdés is felmerül, hog létezik-e még olan felület, amelnek egenlete a koordináták másodfokú függvéne és amelet a jelzett pontokban nem tárgaltunk. Definíció: (Másodrendű felület definíciója) Másodrendű felületnek nevezzük azt az alakzatot, amelnek egenlete ekvivalens átalakításokkal az a x a a z a x a xz a z a x a a z a Dr. Hanka László 116 Óbudai Egetem

123 Analitikus Geometria alakra hozható, ahol kikötjük, hog az a ij egütthatók mindegike egszerre nem lehet zérus, hiszen akkor nem másodfokú az egenlet tehát nem másodrendű a felület. A mátrixelmélet fogalmainak és tételeinek alkalmazásához célszerű ezt az egenletet mátrixos jelölésekkel is felírni. Az egenlet ekvivalens alakja a következő. a11 a1 a13 x x x z a1 a a 3 a1 a a 3 a0 0 a a a z z Hozzárendeltünk ezáltal a másodrendű felülethez eg harmadrendű szimmetrikus mátrixot, amelet a másodrendű felület mátrixának nevezünk. Tovább egszerűsíthetjük a jelöléseket az alábbi definíciókkal. x a1 a11 a1 a13 x ; a ; a1 a a a A 3 ; z a 3 a13 a3 a 33 Ezekkel a felület egenlete a fentiekben már előállított alakot ölti. T T x Ax a x a 0 0 Ennek az összegnek a homogén másodfokú része az A szimmetrikus mátrixszal definiált kvadratikus alak. a11 a1 a13 x T Q x x Ax x z a1 a a 3 a11x a a33z a1 x a13 xz a3z a13 a3 a 33 z Vizsgálataink során ennek alapvető szerepe lesz, többször hivatkozunk majd ezen kvadratikus alak pozitív-, negatív definit, stb. tulajdonságaira. Az A mátrix szimmetrikus, ezért minden sajátértéke valós és minden esetben létezik három ortogonális sajátvektora. Normáljuk ezeket a sajátvektorokat, azaz válasszunk olan sajátvektorokat, amelek egségni hosszúságúak. Legen ez a három sajátvektor s 1, s és s 3. Alkalmazzunk eg bázistranszformációt, az ortonormált {i, j, k} bázisról térjünk át az ugancsak ortonormált {s 1, s, s 3 } bázisra, ügelve arra, hog az új bázisvektorok a növekvő indexek sorrendjében jobbsodrású koordinátarendszert definiáljanak. Az s 1, s és s 3 ortonormált sajátvektorokból, mint oszlopvektorokból képezett modálmátrix a következő Q s1 s s 3 Dr. Hanka László 117 Óbudai Egetem

124 Analitikus Geometria Alkalmazzunk most eg bázistranszformációt, térjünk át az (x,, z) koordinátákról a Q modálmátrixszal definiált transzformációval a (,, ) koordinátákra. Ezt a transzformációt a x Qξ x; ahol x ; ξ ; z mátrixszorzással értelmezzük. Az x vektor transzponáltjára már az pontban is szükség volt. T 1 x Qξ ξ Q ξ Q T T T T Helettesítsük most a bázistranszformáció formuláit a másodrendű felület egenletébe. x Ax a x ξ Q AQξ a Qξ T T T 1 T a0 a0 0 1 A másodrendű felület mátrixa a Q AQ formula szerint transzformálódik, ahol a Q mátrix oszlopvektorai a sajátvektorok. A sajátértékek elméletéből tudjuk, hog ez a szorzat éppen azzal a diagonális mátrixszal egenlő, amelnek főátlójában a sajátértékek állnak, más szóval ezzel a bázis transzformációval diagonalizáltuk az A mátrixot. A korábbi jelöléseink szerint a sajátértékekből képezett diagonális mátrixot jelöli. A 1 Q AQ Λ ; formula szerint a másodrendű felület mátrixa éppen a sajátértékekből képezett diagonális mátrix. Íg az új bázis, tehát a sajátvektorok által definiált koordinátarendszerben a másodrendű felület egenlete vektori alakban a következő T T ξ Λξ a Qξ a 0 0 Ha jelölésekkel hangsúlozni szeretnénk a mátrixok és vektorok koordinátáit, akkor az s11 s1 s a1 a a 3 s1 s s 3 a s s s egenletet kapjuk. Ha elvégezzük a mátrixműveleteket, akkor a másodrendű felület egenlete a 1 3 a1s 11 as1 a3s13 a1s 1 as a3s3 a1s 31 as3 a3s33 a0 0 Dr. Hanka László 118 Óbudai Egetem

125 Analitikus Geometria alakot veszi fel. Ebben már nem szerepelnek a koordináták veges szorzatai. Ha itt alkalmazunk eg újabb koordinátatranszformációt, eg alkalmas eltolást, akkor elérhető, hog az egenletben ne szerepeljenek elsőfokú tagok, csak a koordináták négzetei. Ehhez nem szükséges mást tenni mint teljes négzetté kiegészíteni. A számítások egszerűsítése érdekében átmenetileg bevezetjük az as T 1 a1s 11 as1 a3s13, as T a1s 1 as a3s3 és as T 3 a1s 31 as3 a3s33 jelöléseket. Íg ha egik sajátérték sem zérus a teljes négzetté kiegészítés egszerűbb formulákkal az alábbi módon végezhető el a a a A következőt egenletet kapjuk tehát 1 3 a Ez az egenlet definiálja is azt a transzformációt, amel ahhoz szükséges, hog a felület egenletében ne legenek elsőfokú tagok. Vezessük be az új (x 1, x, x 3 ) koordinátákat és eg újabb egszerűsítő jelölést a következő értelmezéssel x ; x ; x ; c a ; Ez a koordináta transzformáció valóban eg eltolást definiál. Ezen transzformáció eredméneképpen a másodrendű felület egenlete az alábbi 1x1 x 3x3 c 0 A másodrendű felület egenlete tehát négzetösszeggé transzformálható. Ki kell még térnünk arra az esetre amikor eg vag két sajátérték zérus, például 3 0 vag 3 0 (mindhárom sajátérték nem lehet zérus, mert akkor a felület mátrixa a nullmátrix lenne, akkor pedig a felület nem másodrendű). Ebben az esetben a felület egenletét úg kapjuk, hog a fenti átalakítások során rendre a illetve az és változóknál nem végezzük el a teljes négzetté kiegészítést, csak jelölést módosítunk, tehát az egenletek rendre a következők. x x x c 0; x x x c 0; Dr. Hanka László 119 Óbudai Egetem

126 Analitikus Geometria Alkalmazzuk a bemutatott eljárást konkrét numerikus példában. 1.1.Példa: Határozzuk meg milen másodrendű felületet határoz meg a következő egenlet. x 5z x x 4 4z 0 A felület egenlete mátrixjelölésekkel a következő. 1 0 x x x z z z Most meghatározzuk a felület mátrixának sajátértékeit. A det karakterisztikus egenlet megoldásai a következők: 1 1, 3, 3 5. A harmadfokú egenlet például úg oldható meg, hog "észrevesszük", az 1 valós szám göke a polinomnak (egész gökök csak a konstans tag osztói közül kerülhetnek ki), majd elosztjuk a harmadfokú polinomot a ( 1) gökténezővel és a kapott másodfokú egenletet megoldjuk. Most meghatározzuk a sajátvektorokat. a) 1 = 1 eset: s s s s s s 3 0 ahonnan s1 s 0 azaz s s1 és s3 0. Tehát az első sajátértékhez tartozó sajátvektor és annak normált alakja rendre t s1 t, t \ 0 ; például 1 1, normálva 1 1 R s s ; b) 1 = 3 eset: s s s s s s 3 0 Dr. Hanka László 10 Óbudai Egetem

127 Analitikus Geometria ahonnan s1 s 0 azaz s s1 és s3 0. Tehát a második sajátértékhez tartozó sajátvektor és annak normált alakja rendre t s t, t \ 0 ; például 1, normálva 1 R s s ; c) 1 = 5 eset: s s s s s s 3 0 ahonnan 7s1 s 0 és s1 7s 0 azaz s1 s 0 és s3 R tetszőleges. Tehát a harmadik sajátértékhez tartozó sajátvektor és annak normált alakja rendre s3 0, t \ 0 ; normált vektor például 3 0 R s, célszerűen s 3 0 ; t 1 Ezek alapján a kezünkben van a transzformáció ortogonális mátrixa Q ; 0 0 Können látható, hog az oszlopvektorok páronként ortogonálisak, mert a skaláris szorzatok értéke páronként zérus, a mátrix valóban ortogonális. Innen adódik a másodrendű felület egenletének alakja. Már csak eg alkalmas eltolást kell alkalmazni, hog az elsőfokú tagok eltűnjenek és megkapjuk a kanonikus egenletet. Ehhez elvégezzük a mátrixműveleteket Most következik a teljes négzetté kiegészítés, amellel előáll a négzetösszeg alak. Dr. Hanka László 11 Óbudai Egetem

128 Analitikus Geometria Rendezés és összevonás után kapjuk, hog Ha itt bevezetjük az új (x 1, x, x 3 ) koordinátákat az x1 ; x ; x3 ; 5 értelmezéssel, akkor az egenlet alakja 4 x1 x x3 x1 3x 5 x3, tehát ha szorzunk 1-gel kapjuk az alakzat kanonikus egenletét x x x amelről már látható, hog a másodrendű felület eg kétköpenű hiperboloid. A bemutatott módszerrel bármel másodrendű felület egenlete kanonikus alakra transzformálható. A következő pontban azt vizsgáljuk, megismertünk-e minden másodrendű felületet. Dr. Hanka László 1 Óbudai Egetem

129 Analitikus Geometria Másodrendű felületek osztálozása Induljunk ki eg másodrendű felület általános T T x Ax a x a 0 0 egenletéből, ahol tehát A eg harmadrendű szimmetrikus mátrix, a másodrendű felület mátrixa. Legen az szimmetrikus A mátrix három valós sajátértéke 1,, 3. Az pontban kiderült, hog a másodrendű felület egenlete, c helett a d jelet bevezetve, elhagva az indexes jelölésmódot, az alábbi három alak egikére transzformálható. Három esetet különböztetünk meg. 1 x z d; 1 3 x z d; 1 3 1x z d; 1. eset: Az A mátrix definit, azaz pozitív vag negatív definit. Ez azt jelenti, hog mindhárom sajátérték különbözik 0-tól és rendre mind pozitív vag mind negatív előjelű. Elég foglalkoznunk azzal az esettel, amikor mindhárom sajátérték pozitív, mert különben az egenletet szorozva 1-gel elérhető ez a helzet. Ebben az esetben tehát a transzformációk eredméne az (1) egenlet. a) Ha d > 0 akkor (1) eg ellipszoid ( pont) speciális esetben gömb ( pont) egenlete. d-vel való osztással és jelölésmódosítással kapjuk, hog x z a b c 1 b) Ha d = 0 akkor az (1) egenletet csak egetlen pont elégíti ki, ekkor tehát eg pontellipszoidot kapunk. x z a b c 0 c) Ha d < 0 akkor (1) eg üres alakzat egenlete, hiszen egetlen valós számhármas sem elégíti ki. x z a b c 1. eset: Az A mátrix indefinit. Ez azt jelenti, hog mindhárom sajátérték különbözik 0-tól és a mátrixnak van pozitív és negatív sajátértéke is. Feltehetjük, hog két pozitív és eg negatív Dr. Hanka László 13 Óbudai Egetem

130 Analitikus Geometria sajátérték van, ellenkező esetben ismét 1-gel való szorzással előáll ez a helzet. Ebben az esetben a transzformációk eredméne ugancsak az (1) egenlet. a) Ha Ha d > 0 akkor (1) eg egköpenű hiperboloid egenlete ( pont). d-vel való osztással és jelölésmódosítással kapjuk, hog x z a b c 1 b) Ha d < 0 akkor (1) eg kétköpenű hiperboloid egenlete ( pont) c) Ha d = 0, akkor az egenlet alakja x z a b c 1 x z a b c 0 amel eg másodrendű kúpot határoz meg ( pont). 3. eset: Az A mátrix szemidefinit. Ez azt jelenti, hog a mátrixnak van zérus sajátértéke. A zérus sajátértékek száma lehet eg vag kettő. 3/1. eset. Elsőként vizsgáljuk az a szituációt, amikor eg darab zérus sajátértéke van, a másik két sajátérték egező előjelű, például mindkettő pozitív. Ha a két nem nulla sajátérték negatív 1-gel szorozva az egenletet kapjuk a feltételi állapotot. Ebben az esetben a transzformációk eredméne a () egenlet. a) Ha = 0 és d = 0 akkor a kapott egenlet jelölésmódosítással x a b 0 ami eg egenesnek az egenlete ( pont). Uganis az egenletet csak az x = = 0 számpár elégíti ki, de mivel ez eg térbeli alakzat egenlete z tetszőleges, ami tehát a z-tengel egenlete. b) Ha = 0 és d > 0 akkor a kapott x a b 1 egenlet eg elliptikus henger egenlete ( pont). c) Ha = 0 és d < 0 akkor a kapott x a b 1 Dr. Hanka László 14 Óbudai Egetem

131 Analitikus Geometria egenlet eg üres alakzat egenlete. d) Ha 0 akkor d értékétől függetlenül, ha d 0 eg újabb eltolással, a () egenlet az x a cz b alakra transzformálható, ami eg elliptikus paraboloid egenlete ( pont). 3/. eset. Most vizsgáljuk az a szituációt, amikor eg darab zérus sajátértéke van, a másik két sajátérték különböző előjelű, tehát egik pozitív másik negatív. Ebben az esetben a transzformációk eredméne ugancsak a () egenlet. a) Ha = 0 és d = 0 akkor a kapott egenlet jelölésmódosítással x a b 0 ami a síkban eg metsző egenespár, de mivel ez térbeli alakzat egenlete és az egenlet z-től független eg metsző, z-tengellel párhuzamos síkpár egenlete (1.3.. pont). b) Ha = 0 és d 0 akkor a kapott x a b 1 egenlet eg hiperbolikus henger egenlete ( pont). c) Ha 0 akkor d értékétől függetlenül, ha d 0 eg újabb eltolással, a () egenlet az x a cz b alakra transzformálható, ami eg hiperbolikus paraboloid egenlete ( pont). 3/3. eset. Végül vizsgáljuk az a szituációt, amikor két darab zérus sajátértéke van. Ebben az esetben a transzformációk eredméne a (3) egenlet. a) Ha β = 0, = 0 és d = 0 akkor az egenlet alakja ismételt jelölésmódosítással x a 0 amit az x = 0 valós szám elégít ki, de mivel ismét térbeli alakzatról van szó, és z tetszőleges, tehát ez eg sík, az (, z) koordinátasík egenlete (1.3.. pont). b) Ha β = 0, = 0 és d > 0 akkor az egenlet alakja a szokásos jelölésmódosítással Dr. Hanka László 15 Óbudai Egetem

132 Analitikus Geometria x a 1 amit az x = a és x = a valós számok elégítenek ki, de mivel ismét térbeli alakzatról van szó, és z tetszőleges, tehát ez eg (, z) koordinátasíkkal párhuzamos síkpár egenlete (1.3.. pont). c) Ha β = 0, = 0 és d < 0 akkor az egenlet alakja a szokásos jelölésmódosítással x a 1 ami üres alakzat egenlete. d) Ha β 0, = 0 és d értéke tetszőleges, akkor d 0 esetén eg ismételt eltolás alkalmazásával, az egenlet alakja x a ami eg parabolikus henger egenlete ( pont). Ha fordítva β = 0, 0 és d értéke tetszőleges akkor lénegében uganezt az egenletet kapjuk, csak helett a z koordinátával felírva. e) Ha végül β 0, 0 és d értéke tetszőleges, akkor pedig eg lineáris koordinátatranszformációval a z c definíció szerint, lénegében ismét uganazt az egenletet kapjuk. Ezzel a másodrendű felületek osztálozását befejeztük. Fén derült arra, hog ha eg T T másodrendű felületet eg x Ax a x a0 0 alakú egenlettel adunk meg, akkor a felület néhán "elfajuló" esettől eltekintve az 1.3. fejezet pontjaiban megismert felületek közül valamelik, ilen módon, a tanulmánozott felületektől lénegesen eltérő másodrendű felület nem létezik. c Dr. Hanka László 16 Óbudai Egetem

133 Analitikus Geometria Forgáskúp síkmetszetei, kúpszeletek Az analitikus geometria fejezetének lezárásaképpen, felhasználva a másodrendű görbékkel kapcsolatos ismereteket és a koordinátatranszformációkkal kapcsolatban mondottakat, megmutatjuk, hog eg forgáskúp síkmetszetei nevezetes másodrendű görbék, ellipszis, parabola vag hiperbola attól függően, hog milen a sík és a forgáskúp kölcsönös helzete. Erre vonatkozólag szép szemléletes bizonítások találhatók a szakirodalomban. Mi azonban, tekintettel arra, hog a vizsgálataink során nag hangsúlt heleztünk a koordinátatranszformációkra, az említett és az alábbiakban pontosan megfogalmazott téneket analitikus módszerekkel fogjuk igazolni. Tétel: Ha eg forgáskúpot úg metsszük el eg síkkal, hog a sík metszi a forgáskúp összes alkotóját, akkor a metszetgörbe ellipszis, speciális esetben kör, ha a metsző sík a kúp pontosan eg alkotójával párhuzamos, akkor a metszetgörbe parabola, és ha a metsző sík a kúp pontosan két alkotójával párhuzamos, akkor a metszetgörbe hiperbola. Ez a tétel indokolja, hog az említett másodrendű görbéket összefoglalóan kúpszeleteknek nevezzük. Bizonítás: A tételt olan módon igazoljuk, hog elsőként tekintünk eg forgáskúpot, melnek egenlete az (x,, z) koordinátarendszerben x z a a b 0 majd ezt a kúpot elmetsszük a tételben említett síkokkal és meghatározzuk a metszetgörbe egenletének analitikus alakját. Mivel azonban síkgörbék egenletét keressük eg térbeli koordinátarendszerben, ezen metszetgörbék egenletének előállításához, illetve azonosításához eg térbeli koordinátatranszformációt alkalmazunk úg, hog a transzformált (,, ) koordinátarendszerben a metsző sík párhuzamos legen a [, ] koordinátasíkkal, tehát egenlete = állandó alakú. Íg a metszetgörbe eg olan egenlettel lesz leírható amel a és koordináták közötti kapcsolatot ad meg, íg a másodrendű görbék elméletének ismeretében már könnedén megállapítható lesz a görbe jellege. A formulák és a számítások egszerűsítése érdekében először feltesszük, hog a forgáskúp egenlete x z 0 alakú, ami azt jelenti, hog az átellenes alkotók merőlegesek. A számítások logikája és az eredmének analízise pontosan íg történik az általános esetben, de a bizonítás íg könnebben elvégezhető. Az általános esetre a bizonítás végén térünk rá. Az x z 0 egenletű forgáskúp alkotói például az [, z] síkban m = 1, 1 meredekségű egenesek. Mivel a forgáskúpról van szó, a metsző sík helzetének rögzítése során van némi szabadsági fokunk. Elég olan síkokkal foglalkozni, amelek párhuzamosak az x-tengellel. Továbbá nilvánvalóan olan síkokat kell tekintenünk, amelek nem illeszkednek az origóra, hiszen ezek kúppal való metszete vag egetlen pont, vag eg egenespár, ezeket a szituációkat már ismerjük. Eg ilen síknak és az [, z] síknak a metszésvonala eg egenes, legen ennek meredeksége m. Dr. Hanka László 17 Óbudai Egetem

134 Analitikus Geometria Világos a következő: a) Ha ennek a metszésvonalnak az m meredeksége 1, akkor ez a sík párhuzamos a kúp pontosan eg alkotójával. b) Ha ennek a metszésvonalnak az m meredeksége kisebb, mint 1, akkor a sík metszi a kúp összes alkotóját. c) Ha ennek a metszésvonalnak az m meredeksége nagobb, mint 1 akkor ez a sík a kúp pontosan két alkotójával párhuzamos. a) b) c) ábra. Forgáskúp síkmetszeteinek a vizsgálatához. Az a), b) és c) ábrákon a metsző sík rendre a kúp pontosan eg alkotójával párhuzamos, metszi az összes alkotót, pontosak két alkotóval párhuzamos. Ennek megfelelően, azt fogjuk vizsgálni, hog ha a koordinátarendszert úg transzformáljuk, hog az (x,, z) rendszert elforgatjuk az x-tengel körül úg, hog természetesen az x-tengel képe saját maga, az -tengel képének, az -tengelnek a meredeksége az [, z]-síkban m, akkor hogan írható fel a kúp egenlete a kapott (,, ) koordinátarendszerben, ahol természetesen a -tengel a z-tengel képe. Ehhez a transzformációhoz elsőként meg kell adnunk a (,, ) rendszer eg ortonormált bázisát. Tekintettel az x-tengel körüli forgatásra, világos, hog az alábbi vektorok a kirótt feltételeket teljesítik b1 i 0 ; 1 ; 3 m b b ; m 1 m 1 0 m 1 Ebből már adódik a koordinátatranszformáció mátrixa. Q m m; m 1 0 m 1 Transzformáljuk most a forgáskúp egenletét ezzel a transzformációs mátrixszal. Mivel nilvánvalóan Dr. Hanka László 18 Óbudai Egetem

135 1 0 0 x ; z x z x z Analitikus Geometria T T 1 ezért az x Ax ξ Q AQξ 0 transzformációs képlet szerint a kúp egenlete a (,, ) koordinátarendszerben a következő. T 1 ξ Q AQξ m m m m 0 m 1 0 m m 1 Ha itt elvégezzük a mátrixok szorzását azt kapjuk, hog m T 1 1 ξ Q AQξ 0 1 m m 0 m 1 0 m m 1 Tehát eltekintve a konstans szorzótól, a metszetgörbe egenlete a transzformáció eredméneképpen a következő. m m m m ; Azt fogjuk megvizsgálni, milen görbét kapunk, ha különböző m meredekségek esetén ezt a kúpot metsszük eg olan síkkal amel párhuzamos a [, ] síkkal. a) Tegük fel, hog m = 1, és legen a metsző sík egenlete = 0 0. Ebben az esetben tehát a sík párhuzamos a kúp pontosan eg alkotójával. Helettesítéssel adódik, hog 4m 0 0 ez pedig éppen eg parabola egenlete ábra. Forgáskúp síkmetszete parabola abban az esetben amikor a sík a kúp pontosan eg alkotójával párhuzamos Dr. Hanka László 19 Óbudai Egetem

136 Analitikus Geometria b) Tegük fel, hog m < 1. Ekkor a [, ] síkkal párhuzamos = 0 0 egenletű sík a kúp minden alkotóját metszi. Rendezve a helettesítéssel kapott egenletet adódik, hog m m m m ; 0 0 Annak érdekében, hog kiderítsük ez milen görbének az egenlete, az változót tartalmazó tagokban teljes négzetté egészítünk ki. 4m ; 1 m 0 m m m 0 m 4m m m m ; 1m 1m m0 4m 0 0 m m m ; 1m 1m m 0 Ha itt bevezetjük az definícióval az ' új változót akkor a metszetgörbe egenlete 1 m az 4m 0 m 1 1 m 1 m 0 ; 1 m alakot ölti. Mivel a feltétel szerint m < 1 a bal oldalon minden egüttható pozitív és nem nulla, és uganezen ok miatt a jobb oldal is pozitív, tehát ez eg ellipszis egenlete, ahogan az állításban szerepel ábra. Forgáskúp síkmetszete ellipszis abban az esetben amikor a sík a kúp minden alkotóját metszi Dr. Hanka László 130 Óbudai Egetem

137 Analitikus Geometria c) Tegük fel, hog m > 1. Ekkor a [, ] síkkal párhuzamos = 0 0 egenletű sík a kúp pontosan két alkotójával párhuzamos. Felhasználhatjuk a b) pontbeli eredmént, amel szerint a metszetgörbe egenlete 4m 0 m 1 1 m 1 m 0 ; 1 m Szorozzuk ezt az egenletet 1-gel és rendezzük. Azt kapjuk, hog 4m ; m m m m Itt az m > 1 feltevés miatt a bal oldalon a két egüttható ellentétes előjelű és egik sem zérus, a jobb oldal pozitív. Ezen okok miatt ez eg hiperbola egenlete, ahogan az állításban szerepel ábra. Forgáskúp síkmetszete hiperbola abban az esetben amikor a sík a kúp pontosan két alkotójával párhuzamos Végül vázoljuk az általános esetre vonatkozó bizonítást. Legen a forgáskúp egenlete x z 0 x a z 0 a a b b b b Ekkor a forgáskúp alkotói az [, z] síkban m, meredekségű egenesek. Az a a T T 1 x Ax ξ Q AQξ 0 transzformációs képlet szerint a kúp egenlete a (,, ) koordinátarendszerben Dr. Hanka László 131 Óbudai Egetem

138 T 1 ξ Q AQξ Analitikus Geometria m m m m 0 m 1 0 m 1 a 0 m b Ha itt elvégezzük a mátrixok szorzását azt kapjuk, hog m T 1 1 a a ξ Q AQξ 0 1 m m m 0 m 1 b b a a 0 m m m b b Ismét eltekintve a konstans szorzótól, a metszetgörbe egenlete a transzformáció eredméneképpen a következő. a a a m 1 1 m m m 1 0; b b b Most azt kell vizsgálni, hog a metsző sík és az [, z]-sík metszésvonalának m meredeksége az alkotó b a meredekséghez képest egenlő, kisebb vag nagobb. Elvégezve a teljes négzetté kiegészítést és az egenlet rendezését, az egenlet alakja a következő. m a b m a b m m b b b b m a b m a a a m ; ahol Ennek az egenletnek az analízisével egszerűen eljuthatunk az állítás igazolásához az általános esetben. Pontosan uganolan logikával, mint a fentiekben, kapjuk, hog a) Ha b) Ha c) Ha b m az egenlet eg parabola egenlete. a b m az egenlet eg ellipszis egenlete. a b m az egenlet eg hiperbola egenlete. a Ezzel az állítást maradéktalanul igazoltuk. Dr. Hanka László 13 Óbudai Egetem

139 Többváltozós Függvének. fejezet TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK ANALÍZISE Dr. Hanka László 133 Óbudai Egetem

140 Többváltozós Függvének Dr. Hanka László 134 Óbudai Egetem

141 Többváltozós Függvének. TÖBBVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK.1. A többváltozós valós függvén fogalma A többváltozós valós függvének olan függvének, amelek két vag több független változóhoz eg valós számot rendelnek. Fogalmazhatunk úg is, hog eg vektorhoz rendelnek skalárt. A bevezetésre kerülő fogalmak szemléltetése szempontjából különösen fontos a kétváltozós valós értékű függvének osztála, ezért ezt a függvénosztált tárgaljuk a legrészletesebben. A fizikai és műszaki alkalmazások miatt továbbá nagon fontosak azok a többváltozós függvének, amelek a 3-dimenziós tér eg részhalmazán vannak értelmezve, tehát három valós változótól függenek, és valós értékűek. Ezek alkalmazásai például a villamosságtanban, hidrodinamikában és a hőtanban különösen nag hangsúlt kapnak. Ezen függvénosztál vizsgálatára is külön hangsúlt helezünk. Az alábbiakban általában olan halmazokat tekintünk értelmezési tartománnak, amelek összefüggő és nílt halmazok. Az ilen halmazokat tartománnak nevezzük. Speciális esetben értelmezünk függvéneket zárt intervallumok direkt szorzatán, azaz téglalapon, téglatesten, amelek az egdimenziós intervallum általánosításai. Ezek a halmazok éppen olan fontosak lesznek az alkalmazások során, elsősorban az integrálás témakörében. Többváltozós függvéneket nem a számegenes eg részhalmazán, hanem a sík illetve a három esetleg több dimenziós tér eg részhalmazán értelmezzük. Ennek pontos megfogalmazását segítik elő az alábbi definíciók. Definíció: Legen adott a tetszőleges A és B halmaz. Ezen két halmaz Descartes-féle szorzata jelenti azt a halmazt, melnek elemei mindazon rendezett párok, melek első komponense az A második komponense pedig a B halmazhoz tartozik. A B a, b a A, b B Hasonló módon értelmezhetjük három vag több halmaz Descartes-féle szorzatát. Az A 1, A,..., A n halmazok Descartes-szorzata az a halmaz, amel tartalmazza mindazon rendezett n-est, amelek i-edik komponense az A i halmazhoz tartozik. A A... A a, a,..., a a A, i 1,,..., n 1 n 1 n i i Számunkra ez abban az esetben lesz fontos amikor a valós számok R halmazának önmagával képezzük a Descartes-szorzatát. Definíció: Az RRhalmaz, amelet szokás az R szimbólummal is jelölni, az a halmaz amel tartalmazza mindazokat a rendezett párokat, ameleknek mindkét komponense valós szám. Tehát Dr. Hanka László 135 Óbudai Egetem

142 R RR x1, x x1 R, x R Többváltozós Függvének Ezt a halmazt szokás azonosítani a síkkal. Ennek indoka az, hog ha a síkban kitüntetünk eg Descartes-féle derékszögű koordinátarendszert, akkor minden ponthoz egértelműen hozzá tudunk rendelni eg rendezett párt, a pont két koordinátáját, és fordítva minden rendezett pár a síkban egértelműen meghatároz eg pontot. Tehát a két halmaz között eg oda-vissza egértelmű függvénkapcsolat van. Hasonlóan értelmezzük az RRRhalmazt, amelet szokás szerint egszerűbben R 3 jelöl, amel tartalmazza mindazokat a rendezett hármasokat, ameleknek minden komponense valós szám. Tehát 3 R RRR x1, x, x3 x1 R, x R, x3 R Uganolan indokok miatt, mint R esetén, ezt a halmazt azonosítjuk a háromdimenziós térrel. Ezek mintájára, általánosan, az n-dimenziós teret R n jelöli. n R RR... R x, x,..., x x R, i 1,,..., n 1 Ezek után rátérhetünk a többváltozós függvén fogalmának értelmezésére. Definíció: Legen D az R (tehát a sík) eg részhalmaza. Értelmezzük a D tartománon az f függvént az alábbi definícióval n i f : D R ; x, f x, Ezt a függvént kétváltozós valós függvénnek nevezzük..1.példa: Tegük fel, hog eg gűjtőlencse f fókusztávolságát szeretnénk meghatározni úg, hog mérjük a t tárgtávolságot és a k képtávolságot. A számítás alapja a leképezési törvén, amel a következő összefüggéssel adott f t k Ennek az összefüggésnek az átrendezésével kapjuk az f fókusztávolságot. f tk t k Ez az eredmén más megfogalmazásban azt jelenti, hog az f fókusztávolság két változótól függ, a t és k menniségektől, az f tehát ezen két változó függvéne. A fókusztávolságot eszerint eg kétváltozós függvénnel adhatjuk meg. Dr. Hanka László 136 Óbudai Egetem

143 Többváltozós Függvének f f t, k tk t k Definíció: Legen D az R 3 eg részhalmaza. Értelmezzünk a D tartománon eg U függvént az alábbi definícióval: U : D R ; x,, z U x,, z Ez a háromváltozós valós függvén definíciója. A függvén jele amel általában természetesen indifferens azért U, mert ezen függvénosztál egik leggakoribb fizikai alkalmazása az erőterek potenciáljának a leírása. Ezért az alkalmazásokra való tekintettel az ilen függvéneket gakran potenciálfüggvéneknek nevezzük. A háromváltozós függvénekkel kapcsolatosan használjuk még erre a függvénosztálra a skalár-vektor függvén elnevezést is. További fizikai példák ilen típusú függvénekre eg térrész T(x,, z) hőmérséklet-eloszlása, vag ρ(x,, z) mechanikai vag töltéssűrűség-eloszlása, stb. Az ilen típusú függvének tehát a tér eg tartománának pontjaihoz valós értékeket, skalárokat rendelnek, ezért vektoranalízisbeli terminológiával élve, különösen R 3 -ban szoktuk ezeket a skalár-vektor függvéneket skalármezőnek nevezni...példa: Tegük fel, hog eg soros RLC körben, amelre adott ω körfrekvenciájú szinuszos váltakozó feszültséget kapcsoltunk, meg szeretnénk határozni az eredő impedanciát. A villamosságtanból ismert, hog eg soros RLC kör impedanciája a Z R L C 1 összefüggés alapján számítható. Ez annit jelent, hog a Z impedancia három változó függvéne, függ az R ohmikus ellenállástól, az L induktivitástól és a C kapacitástól. A Z-t tehát eg három változós függvén értelmezi. Következzen az általános eset. Z R, L, C R L C 1 Definíció: Legen D az R n eg részhalmaza. Értelmezzünk a D tartománon eg f függvént az alábbi definícióval: f : D R ; x, x,..., x f x, x,..., x Ez az n-változós valós függvén formális definíciója. 1 n 1 n Dr. Hanka László 137 Óbudai Egetem

144 Többváltozós Függvének.. Két- és háromváltozós függvén szemléltetése, grafikon Mielőtt az analízisbeli fogalmak tárgalására rátérnénk, megvizsgáljuk, hogan lehet az ilen típusú függvéneket szemléltetni. A szemléltetés "maradéktalanul" csak a kétváltozós esetben valósítható meg. A grafikon uganis értelmezés szerint a következő. Definíció: Legen D az R eg részhalmaza. A D tartománon értelmezett f függvén grafikonja vag gráfja az alábbi halmaz 3,,, R, graf f x f x x D A grafikon tehát a három dimenziós tér eg ponthalmaza. A szemléltetéshez szükségünk van R 3 -ra. A szemléltetést azzal kezdjük, hog megmutatjuk egetlen (x 0, 0 ) ponthoz tartozó függvénérték hogan ábrázolható eg Descartes-féle derékszögű, jobbsodrású koordináta rendszerben (.1.ábra). f(x 0, 0 ) z A grafikon eg pontja x 0 0 D (x 0, 0 ) x.1. ábra. A kétváltozós függvén szemléltetésének bevezetése A grafikon eg pontja tehát a tér eg pontja a D tartomán "felett". Ha a D tartomán felett tekintjük az összes ilen pontot, akkor nilván eg felületet kapunk. Ez a felület tehát a kétváltozós függvén grafikonja. Eg felületet eg képlet alapján általában nem könnű "felismerni" például, mint láttuk másodfokú tagokat tartalmazó képlettel adott felület lehet gömb, ellipszoid, hiperboloid, paraboloid és ezeken belül is vannak léneges eltérések, uganakkor egváltozós esetben eg másodfokú függvén grafikonja mindig parabola, ezért a problémát visszavezetjük egváltozós függvének ábrázolására, tehát síkbeli ábrázolásra, és a kapott síkgörbék alapján következtetünk a felületre. Ehhez szükség van az alábbi értelmezésekre. Definíció: (Parciális függvén fogalma) Legen D az R eg tartomána és legen a kétváltozós f függvén értelmezve ezen a tartománon. Legen továbbá (x 0, 0 ) a D tartomán eg tetszőleges pontja. a) A kétváltozós f függvén (x 0, 0 ) ponthoz tartozó első parciális függvénének nevezzük az Dr. Hanka László 138 Óbudai Egetem

145 f : I R, x f x, ; I xr x, D x x 0 x 0 Többváltozós Függvének értelmezéssel adott egváltozós valós függvént. b) A kétváltozós f függvén (x 0, 0 ) ponthoz tartozó második parciális függvénének nevezzük az f : I R, f x, ; I R x, D 0 0 értelmezéssel adott egváltozós valós függvént. Erre a fogalomra a derivált értelmezésénél is szükség lesz, ezért azonnal megfogalmazzuk az általános esetre is. Definíció: (Parciális függvén fogalma) Legen D az R n eg tartomána és legen az n-változós f függvén értelmezve ezen a tartománon. Legen továbbá x01, x0,..., x0k,..., x 0n a D tartomán eg tetszőleges pontja. Az n-változós f függvén x01, x0,..., x0k,..., x 0n ponthoz tartozó k-adik parciális függvénének nevezzük az f : I R, x f x, x,..., x,..., x ; I x R x, x,..., x,..., x D xk k k 01 0 k 0n k k 01 0 k 0n értelmezéssel adott egváltozós valós függvént. A parciális függvéneket tehát úg értelmezzük, hog az n-változós valós függvén esetén n 1 db változót rögzítünk, és a függvént az egetlen olan változótól tekintjük függőnek, amelet nem rögzítettünk le. A parciális függvéneket használhatjuk fel eg többváltozós függvén grafikonjának megszerkesztéséhez, ehhez azonban újabb definíciót fogalmazunk meg. Definíció: (A főmetszet fogalma) Legen D az R eg tartomána és legen a kétváltozós f függvén értelmezve ezen a tartománon. a) Az f függvén = 0 -hoz tartozó első főmetszetének nevezzük az f(x, 0 ) = z egenlet által meghatározott görbét. Tehát azon pontok alkotják az első főmetszetet ameleknek a második koordinátája uganaz a 0 érték. Szemléletesen tehát az első főmetszet úg adódik, hog a felületet elmetsszük az = 0 egenletű síkkal, tehát eg olan síkkal amel párhuzamos az [x, z]-koordinátasíkkal és az ordinátatengelt az 0 értéknél metszi. b) Az f függvén x = x 0 -hoz tartozó második főmetszetének nevezzük az f(x 0, ) = z egenlet által meghatározott görbét. Tehát azon pontok alkotják a második főmetszetet ameleknek az első koordinátája uganaz az x 0 érték. Szemléletesen tehát a második főmetszet úg adódik, hog a felületet elmetsszük az x = x 0 egenletű síkkal, tehát eg olan síkkal amel párhuzamos az [, z]-koordinátasíkkal és az abszcisszatengelt az x 0 értéknél metszi. Világos az értelmezések alapján, hog a főmetszetek tehát éppen a parciális függvének grafikonjai. Lássunk erre eg példát. Dr. Hanka László 139 Óbudai Egetem

146 Többváltozós Függvének.3.Példa: Vizsgáljuk meg az, cos ;, f x x x R 3 függvén (, 5) ponthoz tartozó főmetszeteit és ábrázoljuk azokat. A főmetszetek általánosan tehát a parciális függvének grafikonjai. A parciális függvének általánosan a következők. f : R R, x f x, f x, x cos ; I R x f : R R, f x, f x, x cos ; I R A (, 5) ponthoz tartozó parciális függvének pedig az alábbiak. f I x f x f x x x I R 3 3 x : x R,,5, cos 5 0, 836 ; x f : I R, f, f x, cos 8cos ; I R Számos parciális függvén képe, azaz főmetszet látható fekete színnel és a két konkrét főmetszet fehér színnel látható a.. ábrán. 3 x.. ábra. Parciális függvének képe, tehát a főmetszetek az x 3 cos függvén esetében Nagon hasznos eg további görbesereg felvétele, amelet leggakrabban domborzati térképek elkészítésénél alkalmaznak. Ezek a szintvonalak. Dr. Hanka László 140 Óbudai Egetem

147 Többváltozós Függvének Definíció: (A szintvonal fogalma) Legen D az R eg tartomána és legen az f kétváltozós függvén értelmezve ezen a tartománon. Az f függvén z = z 0 -hoz tartozó szintvonalának nevezzük az f(x, ) = z 0 egenlet által meghatározott görbét. Tehát azon pontok alkotják a szintvonalat ameleknek a harmadik koordinátája uganaz a z 0 érték. Szemléletesen tehát a szintvonal úg adódik, hog a felületet z 0 "magasságban" elmetsszük eg olan síkkal amel párhuzamos az [x, ]-koordinátasíkkal..4.példa: Tekintsük ismét az előző példabeli, cos ;, f x x x R 3 függvént. Ennek a függvénnek a szintvonalai tetszőleges z 0 valós szám esetén az 3 x z0 cos ; egenlettel adottak. Ezek ábrázolását célszerű a számítógépre bízni. A MATLAB egszerre jeleníti meg a szintvonalakat és a főmetszeteket. A.3. ábrán az összes metszetgörbe látható, a szintvonalak a vízszintes síkra vetítve..3. ábra. Az x 3 cos függvén szintvonalai és főmetszetei eg ábrában A továbbiakban olan példákat hozunk amel gakrabban előfordul az alkalmazások során..5.példa: Határozzuk meg, hog mi a grafikonja az, ;, f x x x R függvénnek. Először vizsgáljuk a főmetszeteket. Ezek a következők Dr. Hanka László 141 Óbudai Egetem

148 f : R R, x f x, f x, x ; I R x 0 0 f : R R, f x, f x, x ; I R 0 0 Többváltozós Függvének A főmetszetek tehát konvex parabolák. A szintvonalak pedig tetszőleges z0 0 esetén az x x z0; egenlettel adott ellipszisek ha z 0 > 0, ha pedig z 0 = 0 akkor az origót kapjuk alakzatként. A.4. ábrán látható külön a szintvonalrendszer illetve a grafikon a főmetszetekkel. A kapott felület tehát eg elliptikus paraboloid. a) b).4. ábra. Az elliptikus paraboloid a) szintvonalai, b) főmetszetei illetve grafikonja. További alapvető és egben klasszikus példa a neregfelület..6.példa: Határozzuk meg, hog mi a grafikonja az, ;, f x x x R függvénnek. Először vizsgáljuk a főmetszeteket. Ezek a következők f : R R, x f x, f x, x ; I R x 0 0 f : R R, f x, f x, x ; I R 0 0 Az első főmetszetek tehát konvex, a második főmetszetek pedig konkáv parabolák. A szintvonalak pedig tetszőleges z 0 valós érték esetén az x z ; 0 egenlettel adottak. Ezek a görbék z0 0 esetén hiperbolapárok, z 0 = 0 esetén pedig eg metsző egenes pár. A grafikon tehát hiperbolikus paraboloid. A.5. ábrán láthatóak a szintvonalak, valamint a főmetszetek és a grafikon. x Dr. Hanka László 14 Óbudai Egetem

149 Többváltozós Függvének a) b).5.ábra. A neregfelület a) szintvonalai, b) főmetszetei és grafikonja. A bemutatott módszerrel, ha eg adott kétváltozós függvén esetén kellően sok szintvonalat és főmetszetet megrajzolunk, következtetni tudunk a felület jellegére. A továbbiakban azt mutatjuk meg, hogan ábrázolhatunk háromváltozós függvéneket. Kérdés, hog egáltalán milen módon lehet ezeket a függvéneket szemléltetni. A grafikon nem jöhet szóba, mert ahhoz 4 dimenzió kellene. Áthidaló megoldásként ún. szintfelületekkel szemléltetjük a függvént. Definíció: (A szintfelület fogalma) Legen C eg tetszőleges való érték az U(x,, z) függvén értékkészletéből, és tekintsük az U(x,, z) = C egenletet. Ez az egenlet meghatároz eg z = f(x, ) kétváltozós függvént, amelnek grafikonja eg felület, amelet a korábbiak szerint már tudunk ábrázolni. Ez az a felület, amelnek minden pontjában az U(x,, z) függvén uganazt a C értéket veszi fel. Szokás ezt a felületet ekvipotenciális felületnek nevezni. Ha több C esetén ezt elkészítjük, képet alkothatunk a függvén grafikus szerkezetéről..7. Példa: Legen U(x,, z) = 5x 3 + 6z. Bármilen C konstans esetén az 5x 3 + 6z = C egenlet eg síkot határoz meg, és ezek a síkok párhuzamosak egmással. Az U(x,, z) ekvipotenciális felületei párhuzamos síkok. Ezeket a síkokat az f x, C 5x 3 6 kétváltozós függvének grafikonjai jelentik. A C konstansnak különböző értékeket adunk, és minden C érték esetén ábrázoljuk a kapott síkot. Íg adódnak a szintfelületek vag "ekvipotenciális" felületek. A C = 0, 10, 0, 10, 0 esetre vonatkozó szintfelületeket láthatjuk a következő.6. ábrán. Dr. Hanka László 143 Óbudai Egetem

150 Többváltozós Függvének.6. ábra. Az U(x,, z) = 5x 3 + 6z háromváltozós függvén néhán szintfelülete..8.példa: Legen U(x,, z) = x + + z. Bármilen pozitív C konstans esetén az x + + z = C egenlet eg C sugarú, origó középpontú gömböt határoz meg, C = 0 esetén az origót, negatív szám pedig nincs az U(x,, z) értékkészletében. Az ekvipotenciális felületek tehát koncentrikus gömbök..9.példa: Legen U(x,, z) = x + z. A C = 0 esetben kapjuk az x + z = 0 egenletet, amel az x + = z egenlettel egenértékű. Korábban láttuk, hog ez eg z szimmetriatengelű forgáskúp. Azt is tudjuk a korábbiak alapján, hog C > 0 esetén az x + z = C egenlet eg egköpenű forgási hiperboloid, C < 0 esetén pedig eg kétköpenű forgási hiperboloid. Ennek a függvénnek az ekvipotenciális felületei tehát eg forgáskúp és forgási hiperboloidok..7. ábra. Az U(x,, z) = x + z háromváltozós függvén szintfelületei, kívülről befelé haladva rendre a C = 5, 0, 5 értékekhez tartozó szintfelületek Dr. Hanka László 144 Óbudai Egetem

151 Többváltozós Függvének.3. Többváltozós függvén határértéke, foltonossága A határérték és a foltonosság kérdésével csak a fogalom megismertetése és szemléltetése erejéig foglalkozunk. A fogalom ismét az egváltozós analízisben megismert fogalom közvetlen általánosítása. Ehhez elsőként a körnezet fogalmának általánosítása szükséges. Ez pedig a nílt intervallum két, három illetve több dimenziós megfelelője. Definíció: Legen δ > 0 eg rögzített pozitív szám. a) A síkbeli (x 0, 0 ) pont δ-sugarú körnezetének nevezzük a síkban az (x 0, 0 ) középpontú δ-sugarú nílt, tehát határvonal nélküli körlapot. Azaz,, R k x x x x b) A térbeli (x 0, 0, z 0 ) pont δ-sugarú körnezetének nevezzük a térben az (x 0, 0, z 0 ) középpontú δ-sugarú nílt, tehát határfelület nélküli gömböt. Azaz 3,,,, R k x z x z x x z z c) Az n-dimenziós R n térbeli 01, 0,..., 0n n-dimenziós térben az x x x pont δ-sugarú körnezetének nevezzük az x01, x0,..., x 0n középpontú δ-sugarú nílt n-dimenziós gömböt. Azaz k x x x x x x x x n 3 01, 0,..., 0n 1,,..., n R i 0i i1 Határérték nem értelmezhető tetszőleges pontban, hanem csak olan helen amel kielégít eg bizonos feltételt. Ezt a fogalmat értelmezzük most általánosan. Definíció: (Torlódási pont fogalma) Az n-dimenziós R n n térbeli x, x,..., x T R pontot a T halmaz torlódási pontjának n nevezzük, ha tetszőleges δ > 0 esetén 01, 0,..., 0n pozitív szám esetén az x01, x0,..., x0n T közös pontja. Másképpen fogalmazva, a k x x x T, vagis tetszőlegesen kis δ pont δ sugarú körnezetének és a T halmaznak van x01, x0,..., x0n T pont akkor torlódási pont, ha a T halmaznak tetszőleges δ > 0 esetén van olan pontja amel közelebb van x01, x0,..., x0n -hoz, mint δ. Ezek után definiálhatjuk a pontbeli határérték fogalmát, uganis a határértéket torlódási pontban értelmezzük. Dr. Hanka László 145 Óbudai Egetem

152 Többváltozós Függvének Definíció: (Kétváltozós valós függvén határértéke) f x, függvén értelmezési tartománának torlódási pontja. Azt Legen az (x 0, 0 ) pont az mondjuk, hog az f függvénnek az (x 0, 0 ) pontban a határértéke az A valós szám, ha tetszőleges ε > 0 pozitív szám esetén létezik δ > 0 pozitív szám olan, hog ha x, k x, akkor, 0 0 f x A Indirekt módon bizonítható, hog ha létezik ilen A valós szám, akkor az egértelmű. Ezek után bevezethetünk eg jelölést a határérték kifejezésére. lim f x, A; vag lim f x, A x, x0, 0 x0, 0 Értelemszerű módosítással definiálható a határérték és a többváltozós függvének határértéke. Mi azonban ezeket a fogalmakat e jegzetben nem fogjuk használni. Maradva a kétváltozós esetnél, inkább a fogalom illusztrálásával haladunk tovább. Tekintsünk két példát..10.példa: Vizsgáljuk meg határérték szempontjából az alábbi kétváltozós függvént a (0, 0) pontban. x f x, ; x, 0,0 x Az világos, hog az origó az értelmezési tartomán torlódási pontja, hiszen az értelmezési tartomán a teljes sík, kivéve az origót, vagis az origónak tetszőlegesen kis körnezetében van olan pont, amel hozzátartozik az értelmezési tartománhoz. Már csak annak vizsgálata van hátra, hog ebben a pontban van-e határérték és, ha van, akkor mi az. Azt állítjuk, hog ennek a függvénnek nincs határértéke az origóban. A problémakör jellegének megvilágítására eg gakorta hasznos módszert mutatunk. Közeledjünk az origóhoz az = mx egenletű, m meredekségű egenes mentén. Helettesítsük ezt a függvénbe. Azt kapjuk, hog f x, mx xmx m x mx 1 m vagis az említett egenes mentén ez a függvén konstans, ráadásul az origó tetszőlegesen kis körnezetében, és ez a konstans függ az m meredekségtől. Világos ezek után, hog nem létezik olan A valós szám, amelet a függvénértékek tetszőleges pontossággal megközelítenek, ha közeledünk az origóhoz. Tehát valóban nincs határérték az origóban. A példabeli vizsgálatok lezárásaképpen a.8. ábrán megmutatjuk a függvén képét az origó körnezetében. Ezen szemléletesen is jól érzékelhető, miért nincs határértéke a függvénnek az origóban. Dr. Hanka László 146 Óbudai Egetem

153 Többváltozós Függvének.8. ábra. A.10. példabeli függvén, amelnek nincs határértéke az origóban.11.példa: Módosítsuk az előző példát a következő módon. Vizsgáljuk, meg, hog az x, ;, 0,0 f x x x függvénnek létezik-e határértéke az origóban. Mint látni fogjuk, ennek a függvénnek létezik határértéke az origóban és az zérus. Ehhez alkalmazzuk az előbbi ötletet. Vizsgáljuk a függvén viselkedését az = mx egenletű, m meredekségű egenesek mentén. Ebbe beletartozik a sík origón átmenő összes egenese, kivéve az -tengelt, amit majd külön megvizsgálunk. Helettesítve azt kapjuk, hog x mx m f x, mx x x mx 1 m Tegük most fel, hog az (x, ) pont az origó δ-sugarú körnezetében van, azaz teljesül, hog 0 0 x x Ekkor nilván az is teljesül, hog x x x vagis ekkor igaz, hog m m f x mx x 1m 1m, 0 m Mivel az hánados konstans, és a δ tetszőlegesen kicsi, adódik, hog az f x, mx 0 1 m eltérés is tetszőlegesen kicsi, vagis m-től függetlenül az f függvén az origóban a vizsgált Dr. Hanka László 147 Óbudai Egetem

154 Többváltozós Függvének egenesek mentén a 0-hoz tart. Hátra van még az -tengel vizsgálata. Ezen tengel pontjaiban a függvén alakja 0 0 f 0, 0 0 Tehát az azonosan zérus függvént kapjuk, amelnek nilván zérus a határértéke az origóban. Ha felhasználjuk, hog m 11 m mm 1 m 1 m 1m 1m m akkor világos, hog az törtnek az m = 1 helen maximuma van, hiszen itt a derivált zérus, 1 m továbbá ebben a pontban a deriváltnak (+ ) jelváltása van. Ez azt jelenti, hog ennek a törtnek a maximuma 1. Ennek felhasználásával az adódik, hog bármel egenes mentén is közeledünk az origóhoz, igaz a következő becslés f x, 0 ; ha x Tehát, ha tetszőleges ε > 0 esetén élünk az azaz választással, akkor a határérték definíciója alapján világos, hog igazoltuk, miszerint a függvén origóbeli határértéke zérus, azaz írhatjuk, hog x lim 0 0,0 x A.9. ábrán a vizsgált függvén képe látható az origó körnezetében..9. ábra. A.11. példabeli függvén, amelnek origóbeli határértéke zérus Dr. Hanka László 148 Óbudai Egetem

155 Többváltozós Függvének A határértékhez szorosan kapcsolódó fogalom a foltonosság. Hangsúlozzuk, hog foltonosságot csak az értelmezési tartomán pontjaiban értelmezzük. Definíció: (Kétváltozós valós függvén foltonossága) f x, függvén értelmezési tartománának pontja. Azt mondjuk, Legen az (x 0, 0 ) pont az hog az f függvén az (x 0, 0 ) pontban foltonos, ha ebben a pontban létezik határértéke és a helettesítési értéke megegezik a határértékkel. Azaz foltonos, ha x0, 0 lim f x, f x, A definíciót a következő módon is fogalmazhatjuk. f x, függvén értelmezési tartománának pontja. Azt mondjuk, Legen az (x 0, 0 ) pont az hog az f függvén az (x 0, 0 ) pontban foltonos, ha tetszőleges ε > 0 pozitív szám esetén létezik δ > 0 pozitív szám olan, hog ha 0 0 x, k x, akkor,, 0 0 f x f x Példa: A határértékkel kapcsolatosan megvizsgáltunk két függvént. a) Megmutattuk, hog az x f x x x, ;, 0,0 függvénnek az origóban nem létezik határértéke. Ebből következik, hog akármilen módon is értelmezzük ezt a függvént az origóban, a kiterjesztéssel kapott függvén az origóban nem lehet foltonos. b) a) Megmutattuk, hog az x, ;, 0,0 f x x x függvénnek az origóbeli határértéke zérus. Ebből adódik, hog a függvén f x, x x ;, 0,0 0 ha x, 0,0 x definíció szerinti kiterjesztése foltonos az origóban. Ha azonban úg terjesztjük ki, hog az origóban bármel 0-tól különböző értéket adunk a függvénnek, akkor a kapott függvén az origóban nem lesz foltonos. Dr. Hanka László 149 Óbudai Egetem

156 .4. Többváltozós függvén parciális deriváltja Többváltozós Függvének A többváltozós függvén deriválásának értelmezését visszavezetjük a derivált egváltozós esetben megismert definíciójára. Ehhez csak azt kell hangsúloznunk, hog a parciális függvének egváltozós függvének. A parciális derivált fogalma nem más, mint az egváltozós parciális függvén hagomános értelemben vett deriváltja. Definíció: Legen D az R eg tartomána és legen az f kétváltozós függvén értelmezve ezen a tartománon. Legen továbbá x, D. 0 0 a) A kétváltozós f függvén első változó szerinti parciális deriváltja az, x f x,, f x f x , 0 lim ; xx0 x x0 x D pontban az határérték, ha ez létezik és véges. A szakirodalomban fellelhető még több más jelölés is a parciális deriváltra, ameleket néha ebben a jegzetben is használunk majd, ha egszerűbb jelölést tesz lehetővé. f f x x0, 0 1 f x0, 0 D1 f x0, 0 x0, 0 ; x Az első változó szerinti parciális deriváltat tehát úg kapjuk, hog az változót rögzítettnek, tehát állandónak tekintjük ( = 0 ), és az x változó szerint deriválunk a szokásos értelemben. b) A kétváltozós f függvén második változó szerinti parciális deriváltja az, pontban az f x,, f x f x , 0 lim ; x D határérték, ha ez létezik és véges. A szakirodalomban fellelhető még több más jelölés is a parciális deriváltra, ameleket néha ebben a jegzetben is használunk majd, ha egszerűbb jelölést tesz lehetővé. f f x0, 0 f x0, 0 D f x0, 0 x0, 0 ; A második változó szerinti parciális deriváltat tehát úg kapjuk, hog az x változót rögzítettnek, tehát állandónak tekintjük (x = x 0 ), és az változó szerint deriválunk a szokásos értelemben. 0 0 Dr. Hanka László 150 Óbudai Egetem

157 Többváltozós Függvének A parciális deriváltaknak igen szemléletes jelentése van. A derivált egváltozós esetben a függvén adott pontbeli érintőjének meredekségét jelenti. Itt uganez a helzet azzal a kiegészítéssel, hog a parciális deriváltak értelemszerűen a parciális függvének adott pontbeli érintőinek a meredekségét jelentik. Ezt illusztrálja a.10. a) és b) ábra. a) b).10. ábra. a) Az első változó szerinti parciális derivált; b) A második változó szerinti parciális derivált geometriai jelentése. Az a) ábrán látható az első parciális függvén érintő egenese, melnek iránszöge α, a b) ábrán pedig a második parciális függvén érintő egenese, melnek iránszöge β. Az értelmezések alapján tehát a parciális deriváltak értéke.13.példa: Számítsuk ki az f x, tg ; f x, tg ; x x f x x x 4, ;, R függvén mindkét változó szerinti parciális derivált függvénét. A mondottak szerint ezek a következők. 1 x 4 x x x 4 4 f x x, ; x 4 3 x 4 1 x 8 x 4 4x f x, ; x 4 3 x 4 1 Dr. Hanka László 151 Óbudai Egetem

158 Többváltozós Függvének Számítsuk most ki ezen deriváltak értékét az (1; 0,5) helen. A helettesítési értékek a következők f x1, ; f 1, ; Figelembe véve, hog arctg 19, 47, arctg 35, 6, kapjuk, hog az (1; 0,5) pontban az első parciális függvén érintőjének iránszöge ~19,47 a második parciális függvén érintőjének iránszöge pedig ~ 35,6. A három változós skalár-vektor függvén parciális deriváltját lénegében uganolan módon értelmezzük, mint a kétváltozós függvénét, a különbség anni, hog a derivált értelmezésénél nem eg hanem két változót kell rögzítettnek tekinteni. Definíció: Háromváltozós függvén parciális deriváltjai. 3 a) Az U : D R; x,, z U x,, z; D R függvén (x 0, 0, z 0 ) R 3 pontbeli első változó szerinti parciális deriváltja a,,,, (,, ) (,, ) (,, ) U (,, ) lim U x z U x z U ; x x z U x z DU x z x z x xx0 x x0 határérték, ha ez létezik és véges. 3 b) Az U : D R; x,, z U x,, z; D R függvén (x 0, 0, z 0 ) R 3 pontbeli második változó szerinti parciális deriváltja a,,,, (,, ) (,, ) (,, ) U (,, ) lim U x z U x z U ; x z U x z D U x z x z határérték, ha ez létezik és véges. U : D R; x,, z U x,, z ; D R függvén (x 0, 0, z 0 ) R 3 pontbeli harmadik c) Az 3 változó szerinti parciális deriváltja a,,,, U U x z U x z U( x,, z ) U( x,, z ) D U( x,, z ) ( x,, z ) lim ; z z zz0 z z0 határérték, ha ez létezik és véges. Mint látható, három változós esetben tehát úg számítjuk a parciális deriváltakat, hog két változót állandónak tekintünk és a harmadik változó szerint a hagomános értelemben deriválunk. Dr. Hanka László 15 Óbudai Egetem

159 .14.Példa: Számítsuk ki az z x 3 f x,, z ; x,, zr, x 0, 0, Többváltozós Függvének függvén mindhárom változó szerinti parciális derivált függvénét. Ezek a következők z 1 z 1 z x 1 x x x x f x x,, z z ; f x,, z z ; f z x,, z ln ; A fentiek mintájára tetszőleges pozitív egész n esetén értelmezhető az n-változós valós függvén x k változó szerinti parciális deriváltja. Ezt az értelmezést már tetszőleges k esetén egetlen definícióban megfogalmazzuk. Definíció: Az n-változós (n ) függvén parciális deriváltjai. Legen D az R n eg részhalmaza. Legen f a D tartománon értelmezett valós függvén f : D R ; x, x,..., x f x, x,..., x 1 n 1 Az f függvénx, x,..., x,..., x -pontbeli k-adik változó szerinti parciális deriváltja a k 0n f x x x x,,...,,...,,,...,,..., f x x x x f x x x x 01 0 k 0n k 0n x 01, 0,..., 0,..., 0 lim ; k k n xkx0 k xk x0k határérték, ha ez létezik és véges. Alternatív jelölések a következők,,...,,...,,,...,,..., f x x x x f x x x x xk k 0n k k 0n f D f x x x x x x x x,,...,,...,,,...,,..., k k 0n k 0n xk Definíció: A differenciáloperátor fogalma. Mint az kiderült, a parciális derivált jelölésére gakran használjuk a k jelet, amel tehát a k-adik változó szerinti parciális deriválást jelöli. Ha eg f függvén elé írjuk akkor felfoghatjuk eg műveleti utasításnak is, azt jelenti, hog határozzuk meg az f függvén k-adik változó k f szerinti parciális deriváltját! Ebben az értelemben szokás k -t parciális differenciáloperátornak nevezni. Ha eg többváltozós függvén esetén az összes változónak megfelelő parciális differenciáloperátort összefoglaljuk eg formális vektorban, akkor az elmélet és az alkalmazások szempontjából nagon fontos fogalomhoz jutunk. Nabla vektornak (Nabla operátornak) nevezzük a parciális differenciáloperátorokból képezett formális vektort. Jele:. ( A görög "nabla" szó jelentése hárfa.) n Dr. Hanka László 153 Óbudai Egetem

160 ,,...,,,..., ; 1 n x1 x x n Többváltozós Függvének A nabla vektor ugancsak eg "operátor", tehát eg műveleti utasítás. Ha eg többváltozós függvénre alkalmazzuk, eg ugancsak alapvető fogalomalkotáshoz jutunk, a gradiens vektorhoz. Definíció: A gradiens vektor fogalma. Legen D az R n eg részhalmaza. Legen f a D tartománon értelmezett valós függvén: Az f függvén,,...,,..., n-komponensű vektor: f : D R ; x, x,..., x f x, x,..., x k 0n 1 n 1 P x x x x D -pontbeli gradiens vektora a következő f P gradf P f P, f P,..., f P ; n 0 Mint látni fogjuk az iránmenti derivált kapcsán, a gradiens vektornak igen szemléletes jelentése van. A gradiens kétváltozós függvén esetében a következő vektor: x f x, gradf x, f x,, f x, f x,, f x, ; A fizikai alkalmazások szempontjából azonban még fontosabbnak tekinthető háromváltozós függvén esetében a gradiens vektor. Tegük fel, hog az U(x,, z) skalár-vektor függvén (potenciálfüggvén) mindhárom változója szerint parciálisan deriválható eg P 0 D pontban. Ekkor a potenciálfüggvén P 0 -beli gradiense vag gradiens-vektora a következő: U ( P ) U P ; U P ; U P ; vag U U U gradu ( x0, 0, z0) ( x0, 0, z0), ( x0, 0, z0), ( x0, 0, z0) x z 3 Ha a D R értelmezési tartomán eg T Drészhalmazának minden pontjában létezik 3 mindhárom változó szerinti parciális derivált, akkor a T R tartománon értelmezhetünk T-ből R 3 -ba eg leképezést az alábbi definícióval: gradu T gradu x z U x z U x z U x z 3 : R ; (,, ) 1,, ;,, ; 3,, ; ezt az U skalármező gradiensének (gradiensterének) nevezzük és egszerűen gradu-val jelöljük. Ez a leképezés tehát a T halmaz minden pontjához hozzárendeli az U skalármező gradiensét. Vegük észre, hog a gradu az R 3 eg T tartománát ugancsak R 3 -ba képezi, tehát n Dr. Hanka László 154 Óbudai Egetem

161 Többváltozós Függvének ez a leképezés vektorhoz vektort rendel, mondhatjuk, hog gradu eg vektormező. A fizikai alkalmazások szempontjából itt tartjuk fontosnak hangsúlozni, hog eg olan erőtér esetén amelnek van potenciálja, az erőtér mint vektormező éppen a potenciálfüggvén gradiense. Ezzel a kérdéskörrel részletesen a Vektoranalízis című fejezetben foglalkozunk..15.példa: Határozzuk meg az x f x x x 4, ;, R függvén gradiensét az (1; 0,5) helen. Már meghatároztuk a parciális deriváltakat ezen a helen f x1, ; f 1, ; Innen következik, hog az (1; 0,5) pontbeli gradiens vektor a következő.16.példa: Határozzuk meg az gradf 1, f 1,, ; z x 3 f x,, z ; x,, zr, x 0, 0, skalár-vektor függvén gradiensterét, és az (1,, 3) pontbeli gradiens vektort. Ennek a függvénnek is ismerjük már az elsőrendű parciális derivált függvéneit z 1 z 1 z x 1 x x x x f x x,, z z ; f x,, z z ; f z x,, z ln ; ahonnan a gradienstér az alábbi vektorértékű függvén z1 z1 z z x xz x x x gradf x,, z f x,, z ; ; ln ; Helettesítéssel ebből adódik az (1,, 3) pontbeli gradiens vektor. gradf ,, 3 1,, 3 ; ; ln 4;1; 8ln ; 4 f Dr. Hanka László 155 Óbudai Egetem

162 .5. Többváltozós függvén iránmenti deriváltja Többváltozós Függvének Mielőtt a címben szereplő kérdést vizsgálnánk, bevezetőben tárgalunk eg deriválási szabált, amelre a későbbiek során több alkalommal is szükségünk lesz. Ez pedig az összetett függvén deriválási szabálának általánosítása többváltozós függvén esetére. Foglalkozzunk először a kétváltozós függvénekkel. Legen D az R eg tartomána. Legen az x, f x,. Tegük most fel, hog az x és koordináták f függvén tehát kétváltozós, azaz mind egváltozós valós függvénei a t valós változónak, azaz x = x(t) és = (t), ahol t eg I intervallumhoz tartozik. Ekkor az f függvénre úg tekinthetünk, mint eg egváltozós, tehát a t-változótól függő valós függvénre. Ezzel eg összetett függvént értelmeztünk, ahol f a külső függvén és x(t), (t) a belső függvének., : R ;, f x I t f x t t Keressük ennek az összetett függvénnek a t-változó szerinti deriváltját. Ez tehát nem más, mint f x, összetett függvén deriváltja. az Tétel: Az f, x összetett függvén derivált függvéne a következő x f x, t f x t, t x t f x t, t t Bizonítás: Vezessünk be eg egszerűsítő jelölést az összetett függvénre: g t f x t, t. Ennek a függvénnek keressük a deriváltját a t 0 pontban. A derivált definíciója szerint g g t f xt, t f xt0, t0 0 t0 lim lim tt0 t t tt0 0 t t0,, 0, 0 0, 0,, 0, 0 0, 0 f x t t f x t t f x t t f x t t lim lim t t t t tt0 tt0 0 0 lim tt0 lim tt0 g t f x t t f x t t f x t t f x t t lim tt0 t t x f xt, t0 f xt0, t0 xt xt0 xt xt0 t t0 f xt, t f xt, t0 t t0 t t0 t t0 0, 0 0 0, 0 0 f x t t x t f x t t t és éppen ezt kellett bizonítani. A derivált függvén ebből úg adódik, hog ezt az eredmént alkalmazzuk minden olan t pontra amelben a deriváltak léteznek. 0 Dr. Hanka László 156 Óbudai Egetem

163 Többváltozós Függvének Az összetett függvén deriválási szabálát gakran nevezik láncszabálnak, csakúg mint egváltozós esetben. A láncszabált felírjuk a klasszikus jelölésekkel is, mert az alkalmazások során gakran találkozunk vele. dg f dx f d ; dt x dt dt Ez a jelölésmód kifejezően hangsúlozza a parciális derivált és a közönséges derivált eltérését. Ez a formula természetesen több változóra is átvihető értelemszerű módosítással, a fenti gondolatmenet nilvánvaló módosításával. Három- és n-változós esetre a láncszabál: n dg f dx f d f dz dg f dxk ; ; dt x dt dt z dt dt x dt k1 k Összetett függvént értelmezhetünk úg is, hog a belső függvének is többváltozós függvének. Ezek deriválása ugancsak értelemszerű módosításokkal azonnal adódik. Ezek után rátérhetünk a címbeli probléma vizsgálatára. Az iránmenti derivált a parciális derivált általánosítása. Fogalmilag uganarról van szó. Eg felületi görbe adott pontjához tartozó érintőjének a meredekségét keressük. A parciális derivált jelentése is ez, anni megkötéssel, hog ott az [x, z] illetve [, z] koordinátasíkkal párhuzamos sík metszi ki a felületi görbét, amel görbe a parciális függvén grafikonja. Az iránmenti derivált esetében ezt a következőképpen módosítjuk. Legen először is az f eg kétváltozós függvén. Rögzítsük az értelmezési tartománban az (x 0, 0 ) pontot és adjunk meg eg iránt. Erre több lehetőség is van. Megadhatunk eg α szöget, amelet mindig az x-tengel pozitív iránától mérünk, de megadhatunk eg v vektort is, amel a kívánt iránba mutat. Mint látni fogjuk még jobb, ha eg adott iránba mutató e egségvektort adunk meg. Az említett menniségek közötti kapcsolat nilvánvaló: v e cos,sin ; v v 0 sinα α e cosα x 0 x.11. ábra. Az iránmenti derivált értelmezése Tekintsük most azt a síkot, amel párhuzamos a z-tengellel, illeszkedik az [x, ]-síkban levő (x 0, 0 ) pontra, és ugancsak az [x, ]-síkkal való metszésvonala az x-tengel pozitív iránával α Dr. Hanka László 157 Óbudai Egetem

164 Többváltozós Függvének szöget zár be. Ez a sík az f függvén grafikonjából tehát eg felületből kimetsz eg felületi görbét. Keressük ezen felületi görbe érintőjének meredekségét az (x 0, 0, f(x 0, 0 )) felületi pontban. Ezt können meghatározhatjuk, hiszen az említett módon tulajdonképpen eg olan egváltozós függvént értelmeztünk, amel az eredeti f függvén eg leszűkítése az (x 0, 0 ) pontra illeszkedő α-iránszögű egenesre vonatkozólag. t g t f x t cos, t sin ; 0 0 Definíció: Az iránmenti derivált fogalma. Legen D az R eg tartomána és legen az f kétváltozós függvén értelmezve ezen a tartománon. Legen továbbá x0, 0 D. Az f kétváltozós függvén α-iránú iránmenti deriváltja az x0, 0 D pontban a fentiekben értelmezett g(t) függvén t = 0 pontbeli deriváltja, azaz f x g cos, sin, f x t t f x , 0 0 lim ; t0 határérték, ha ez létezik és véges. A szakirodalomban fellelhető még több más jelölés is az iránmenti deriváltra, ameleket néha ebben a jegzetben is használunk majd. Szokásos eljárás, hog a jelölésben azt a v vektort tüntetjük fel, amellel az iránt megadjuk: f f f x0, 0 f x0, 0 x0, 0 f v x0, 0 vf x0, 0 x0, 0 ; v Mielőtt kiszámítanánk az iránmenti deriváltat, szemléltetjük a fogalmat a.1. ábrán. t φ.1. ábra. Az -iránú iránmenti derivált szemléltetése Dr. Hanka László 158 Óbudai Egetem

165 Többváltozós Függvének Az iránmenti derivált fogalmilag tehát nem más, mint a.1. ábrán a felületi görbéhez az (x 0, 0, f(x 0, 0 )) felületi pontban húzott érintő meredeksége. Az érintő iránszögét jelöli φ, eszerint f x tg 0, 0 Az iránmenti derivált kiszámításához felhasználjuk az összetett függvén deriválási szabálát. g t f x t, t összetett függvén t szerinti deriváltját keressük a t = 0 Voltaképpen a pontban, ahol xt x t cos, t t sin. Mivel innen xt cos, t következik, ezért 0 0,, x f x t cos, t sin cos f x t cos, t sin sin x g t f x t t x t f x t t t sin ahonnan következik, hog az iránmenti derivált a következő formula szerint számítható f x0, 0 g 0 f x x0, 0 cos f x0, 0 sin ; Vegük észre, hog ez a kifejezés a gradiens fogalmával sokkal egszerűbben felírható. Felidézve, hog a gradiens vektor komponensei éppen a parciális deriváltak, az α-iránú egségvektor komponensei pedig cosα és sinα, világos, hog az iránmenti derivált nem más, mint a gradiens vektor és az α-iránú egségvektor skaláris szorzata.,, e, f x gradf x f x Hangsúlozzuk, hog itt a második komponens szükségképpen egségvektor. Ha eg nem egségni hosszúságú v vektort adunk meg, akkor azt először le kell normálni. Ha a fenti gondolatmenetet általánosítjuk több változóra, akkor können látható, hog az iránmenti derivált kiszámítására kapott legutóbbi képlet minden esetben igaz azzal a nilvánvaló különbséggel, hog -nél több változó esetén nem az x-tengel pozitív iránával bezárt szög a mérvadó, hiszen ez végtelen sok iránt megenged eg kúp palástjának alkotói mentén, hanem eg adott iránú v vektor definiálja az iránmenti deriváltat, melnek kiszámítása tehát tetszőleges n pozitív egész esetén a következő. e v f x gradf x f x v,,, v v v.17.példa: Határozzuk meg az, f x x x Dr. Hanka László 159 Óbudai Egetem

166 Többváltozós Függvének függvén (1, 1) pontbeli iránmenti deriváltját α = 75 iránban, majd tetszőleges α iránban. Határozzuk meg, milen iránban maximális, minimális illetve zérus az iránmenti derivált. Először meghatározzuk a gradiens vektort. A parciális derivált függvének a következők Ezek alapján kapjuk, hog f x, x ; f x, x; x f x, x, x ; f 1,1 1,1 ; Ebből következik, hog az α iránú iránmenti derivált az (1, 1) pontban a következő f f 1,1 1,1 e 1cos 1sin cos sin Ennek a függvénnek keressük a szélsőértékeit és a zérushelét. Felidézve eg addíciós tételt, azonos átalakításokkal adódik, hog 1 1 cos sin cos sin cos 45 cos sin 45 sin cos 45 Kaptuk tehát, hog f 1,1 cos 45 Az α = 75 iránú iránmenti derivált egszerű helettesítéssel adódik 3 3 f 1,1 cos cos 30 1,47 A kapott általános formula alapján világos, hog az iránmenti derivált akkor maximális amikor a cos függvén maximális, tehát maximális értéke, amikor a cos függvén értéke 1, ez pedig α = 45 esetén következik be. Hasonlóan adódik, hog az iránmenti derivált minimális értéke. Ez akkor teljesül ha a koszinusz függvén a 1 értéket veszi fel vagis α = 135 esetén. Végül az iránmenti derivált zérus ha a koszinusz függvén értéke is zérus, ez pedig α = 135 illetve α = 45 esetén teljesül. A kétváltozós függvén iránmenti deriváltjának mintájára, a fenti gondolatmenet értelemszerű általánosításával kapjuk a három- és többváltozós függvén iránmenti deriváltját.,,,, e e, e, e egségvektor iránában A háromváltozós f x z függvén x z pontbeli vett iránmenti deriváltja a következő ,,,,,,,,,, ; fe x0 0 z0 f x0 0 z0 e fx x0 0 z0 e1 f x0 0 z0 e fz x0 0 z0 e3 Dr. Hanka László 160 Óbudai Egetem

167 Többváltozós Függvének.18.Példa: Határozzuk meg az 1 f x z x z x z,, ;,, 0,0,0 háromváltozós függvén (1, 1, 1) pontbeli iránmenti deriváltját a v = (1,, 3) vektor iránában. Mindenek előtt vegük észre, hog ez a v vektor nem egségvektor, tehát le kell normálni. v e v v,, ; v Most meghatározzuk a parciális derivált függvéneket 1 x f x x,, z x ; 3 3 x z x z 1 f x,, z ; 3 3 x z x z 1 z f z x,, z z ; 3 3 x z x z ahonnan a gradienstér és az adott pontbeli gradiens vektor már adódik,, x 3 3 3,, z f x z ; x z x z x z f 1,1,1,, ; Az iránmenti derivált ebből a normált e egségvektorral történő skaláris szorzással adódik f e 1,1,1 f 1,1,1 e,,,, ; Hasonlóan adódik, hog az n-változós iránában vett iránmenti deriváltja a következő f r függvén r 0 -pontbeli e e e f e r f r e f r ei; 0 0 xi 0 i1 n T e 1,,..., n egségvektor Dr. Hanka László 161 Óbudai Egetem

168 Többváltozós Függvének Ha az iránt eg egségvektortól különböző v vektorral adjuk meg, akkor a korábbiak szerint ebben az esetben is le kell normálni az e v formula szerint. v Az iránmenti derivált fogalmát és a kiszámítására kapott összefüggést felhasználhatjuk arra, hog a gradiens fogalmához eg nagon szemléletes jelentést kapcsoljunk. Vizsgáljuk meg ennek érdekében, hog a α-iránú iránmenti derivált milen ϑ szög esetén vesz fel szélsőértéket, ahol a ϑ szög a gradiens vektor és az α-iránú e egségvektor szögét jelenti. Ehhez csak a skaláris szorzat elemi definíciójára kell hivatkoznunk. Ha tekintetbe vesszük, hog az e egségvektor, kapjuk azt a becslést, hog,, e cos, cos, f x f x f x f x Eszerint az iránmenti derivált értéke akkor maximális, ha ϑ = 0, tehát ha az e egségvektor párhuzamos a gradiens vektorral. Ez más szavakkal azt jelenti, hog a gradiens vektor abba az iránba mutat amel iránban a függvén változásának gorsasága maximális. Vag még másképpen, a gradiens vektor iránában növekszik a függvénérték a legintenzívebben. Ez az irán intuitíve nilvánvalóan az az irán, amel az adott pontban merőleges a ponton áthaladó szintvonalra, hiszen értelmezés szerint a szintvonal az a görbe, amel mentén a függvénérték konstans, tehát nem változik. Most megmutatjuk, hog a legintenzívebb változás szükségképpen merőleges a szintvonalra. r t x t, t x t i t j ún. vektor-skalár függvén eg Legen ennek érdekében síkgörbe paraméteres alakja (a görbék elméletével a vektoranalízis című fejezetben általánosan foglalkozunk). Az adott kérdést tekintve a szintvonal az amelet vizsgálunk. Határozzuk meg ennek a vektorfüggvénnek a deriváltját eg t 0 paraméterű pontban. Definíció: Legen adott az [a, b] intervallum, eg ezen intervallumon értelmezett r(t) függvén, és legen t 0 ]a, b[. Az r(t) függvént a t 0 -pontban deriválhatónak nevezzük, ha létezik az r( t) r( t0) r ( t0) lim tt0 tt 0 határérték. Ez a határérték a függvén definíciója szerint a koordináta-függvénekkel is felírható az alábbi módon. x( t) x( t ) ( t) ( t ) t t 0 0 r( t0) lim i j 0 t t0 t t0 Itt a határérték mindkét tagban a valós-valós függvének témakörében már megismert közönséges differenciálhánados. Ha a t szerinti deriváltakat a paraméteres módon megadott függvéneknél megszokott módon ponttal jelöljük, akkor azt kapjuk, hog: r( t ) x( t) i ( t) j 0 Dr. Hanka László 16 Óbudai Egetem

169 Többváltozós Függvének Ez azt jelenti, hog a vektor-skalár függvén deriváltját úg kapjuk, hog az előállításban szereplő koordinátafüggvéneket külön-külön deriváljuk az egváltozós valós függvének témakörében megismert szabálok szerint. Másként mondva, az r(t) vektor-skalár függvén pontosan akkor deriválható a t 0 helen, ha mindkét koordináta-függvéne deriválható a t 0 helen, és ekkor a derivált koordinátafüggvénei a koordinátafüggvének deriváltjai. Ebből az is következik, hog eg vektor-skalár függvén deriváltja szintén vektor-skalár függvén. Az r ( t0) derivált szemléletes jelentéséhez gondoljuk meg a következőt. Az r(t) r(t 0 ) különbségvektor a síkgörbe két pontját összekötő húr vektora. Ha ezt a vektort elosztjuk a nem nulla t t 0 skalárral, akkor a vektor állása nem változik meg, tehát marad húr iránú. Ha képezzük a határértéket t t 0 esetén, akkor a húr r(t) végpontja közeledik az r(t 0 ) végponthoz, határesetben a húrnak egetlen közös pontja lesz a görbével, ezt pedig érintőnek nevezzük. Megállapíthatjuk tehát, hog az r( t0) derivált a görbe t 0 pontbeli érintővektora. A mondottakat szemlélteti a.13. ábra. r( t0) r(t) r t rt t t 0 0 r(t) r(t 0 ) r(t) r(t 0 ) O.13. ábra. Kétdimenziós vektor-skalár függvén deriváltjának értelmezése Azt kaptuk tehát, hog ha az t xt t r i j függvént deriváljuk, akkor a derivált a t 0 pontban az r( t0) x( t) i ( t) j vektor, amel a görbe érintőjének iránába mutat. z f x, függvén z 0 Térjünk most vissza a gradiens vektor vizsgálatához. Tegük fel, hog a értékhez tartozó f x, z0 szintvonalát paraméterezzük t xt t r i j alakban. Ha a függvénbe helettesítjük a koordinátafüggvéneket, azaz képezzük az összetett függvént, akkor értelmezés szerint r 0 g t : f t f x t, t z állandó Dr. Hanka László 163 Óbudai Egetem

170 Többváltozós Függvének Képezzük most ennek a t paramétertől függő egváltozós függvénnek a deriváltját a t változó szerint a láncszabál felhasználásával. Mivel ez eg konstans függvén, deriváltja azonosan zérus. Ha felidézzük a gradiens vektor fogalmát kapjuk, hog r g t f x t, t x t f x t, t t f t t 0 x Ez az összefüggés azt jelenti, hog a szintvonal minden pontjában a gradiens vektor és a szintvonal érintő vektora merőlegesek, hiszen a skaláris szorzat pontosan akkor zérus, ha a vektorok merőlegesek egmásra. Ezzel igazoltuk, hog a gradiens vektor minden pontban merőleges a szintvonalra..14. ábra. A gradiens vektorok állása a neregfelület szintvonalainak néhán pontjában. A mondottakat szemlélteti a.14. ábra, amelen a hiperbolikus paraboloid, tehát az f x, x függvén grafikonja esetében rajzoltunk meg néhán szintvonalat és néhán pontban a gradiens vektort. A gradiens tehát mindenütt merőleges a szintvonalra és hossza arános a növekedés mértékével. Ahol sűrűbbek a szintvonalak, ott intenzívebb a növekedés, ott hosszabbak a gradiens vektorok. Eg korábbi ábrára visszatekintve emlékeztetünk, hog a kék színű szintvonalak a negatív függvénértéket jelölték a vörösek pedig a pirosat. Azonban a szintvonalakon láthatók a függvénértékek íg a növekedés irána is. Dr. Hanka László 164 Óbudai Egetem

171 .19.Példa: Tekintsük az Többváltozós Függvének f x, x függvén z 0 = értékhez tartozó szintvonalát. Ennek x egenlete x tehát az 1 egenletű hiperbola. Ez az ábrán a piros színű görbepár. Egszerű helettesítéssel meggőződhetünk, hog a jobb oldali görbének eg paraméterezése például a következő: r t ch t; sh t az ismert hiperbolikus azonosság alapján adódik, hog t t. Valóban, ha helettesítünk, akkor x ch sh ch t sh t ch t sh t 1 ami azt jelenti, hog a paraméterezés heles. Képezzük most a szintvonal deriváltját. r t sh t; ch t Most vizsgáljuk meg a gradiens függvént. A függvén vektor a következő f x, x; T Ha végül a kapott gradiens vektort képezzük az t ch t; sh t pontjaiban, akkor azt kapjuk, hog f x, x eszerint a gradiens r egenletű szintvonal, ; T ch ; sh f x t t x t t t t Ha most képezzük a skaláris szorzatot az érintő iránú vektorral az adódik, hog sh t f xt, tr t ch t; sh t ch t sh t sh t ch t 0 ch t Tehát ebben a konkrét példában is jól látható, hog a gradiens merőleges a szintvonalra. Ha ismét kiválasztjuk a x szintvonalat, és ezen a görbén például a 3;1 pontot, akkor ebben a pontban azonnal megadhatjuk a gradiens vektort és annak hosszát is. Ezek rendre a következők: T f f 3,1 3; ; 3, Ez pedig annit jelent, hog ha a 3;1 pontból a 3; T 1 vektorral megadott iránban haladunk, vagis a tg 3 3 irántangensű, tehát az x-tengellel α = 30 szöget bezáró iránban, akkor a felületi görbe meredeksége éppen 4 egség. T Dr. Hanka László 165 Óbudai Egetem

172 Többváltozós Függvének.6. Többváltozós függvén magasabb rendű deriváltjai Az alkalmazások, a Talor-sor meghatározása és a szélsőérték kiszámítása, azt igénli, hog értelmezzük a magasabb rendű deriváltak fogalmát. A másod-, harmad-, stb. derivált függvének úg adódnak, hog az "elsőrendű" parciális derivált függvéneket ismét deriváljuk. Mivel az elsőrendű parciális derivált függvének ugancsak többváltozós függvének, nincs szükség újabb definícióra. Mindössze arról van szó, hog a parciális derivált definícióját alkalmazzuk a parciális derivált függvénekre. Ha elsőként a kétváltozós függvénekkel foglalkozunk, akkor világos, hog az első változó szerinti elsőrendű parciális deriváltat elvben bármelik változó szerint ismét deriválhatjuk, ha definícióban szereplő feltételek teljesülnek az elsőrendű deriváltra és uganez igaz a második változó szerinti parciális deriváltra. Ennek megfelelően másodrendű parciális derivált négféle létezik. Ezek a következők f x f x x x,, ; xx f x f x x,, ; x f x f x x x,, ; f x f x,, ; Gakran használt elnevezés a következő. Az f x, és f x, x másodrendű deriváltakat veges parciális deriváltaknak nevezzük. Természetesen a másodrendű deriváltra is alkalmazhatunk más jelöléseket. Ezek az alábbiak f f x, x, 1 f x, ; x x x f f x, x, 1 f x, ; x x f f x, x, 1 f x, ; x x f f x, x, f x, ; Hog eg adott probléma kapcsán meliket alkalmazzuk, attól függ, hog melik a legegszerűbb, vag legkifejezőbb, de hangsúlozzuk, hog minden jelölés egenértékű. Felhívjuk a figelmet, hog a veges parciális deriváltak esetében a klasszikus, "görbe d"-vel f f felírt x, és x, deriváltaknál a változók sorrendje fordítva van feltüntetve a x x x Dr. Hanka László 166 Óbudai Egetem

173 Többváltozós Függvének f x másik két jelölés logikájához képest. A x, változó szerint deriválunk. derivált esetén tehát először az x és utána az Hasonlóan értelmezhető és jelölhető a három illetve többváltozós függvének deriváltjai, illetve a harmad illetve magasabb rendű deriváltak. Például eg kétváltozós függvén harmadrendű deriváltjai amelekből összesen 3 = 8 db van a következők f x, ; f x, ; f x, ; f x, ; xxx xx xx xx f x, ; f x, ; f x, ; f x, ; x x x.0.példa: Állítsuk elő másodrendig bezárólag a következő függvén parciális deriváltjait. Az elsőrendű parciális deriváltak f x, x ; x 0, R 1 f x, x ; f x, x ln x; x hiszen az első parciális függvén eg hatvánfüggvén, a második parciális függvén pedig exponenciális függvén. A másodrendű parciális deriváltak pedig. xx x f x x, 1 ; f x x x x x x x , 1 ln ln ; 1 f x x x x x x x x x 1 1 1, ln ln ; f x, x ln x ;.1.Példa: Állítsuk elő másodrendig bezárólag a következő függvén parciális deriváltjait. Az elsőrendű parciális deriváltak f x, e x sin x x ch x x 1 f x x, e sin x e cos x ch ; x x f x, e xsin x x sh ; A másodrendű parciális deriváltak pedig a következők Dr. Hanka László 167 Óbudai Egetem

174 Többváltozós Függvének x x x x 1 f xx x e x e x e x e x x 4 x x x 1 f x x, e x sinx e sinx e x cosx sh ; x x x x 1 f x x, e x sinx e sinx e x cosx sh ; x 1,5, sin cos cos sin ch ; f x e x x x x, sin ch ; Vegük észre, hog mindkét példában a veges parciális deriváltak egenlők. Ez bizonos feltételek esetén általánosan is íg van. Ezt fogalmazzuk meg a következő tételben. Tétel: (Schwartz; Young) f Tegük fel, hog az x, és f x, x másodrendű parciális derivált függvének x foltonosak eg (x 0, 0 ) pontban. Ekkor ebben a pontban a veges parciális derivált függvének értéke egenlő, azaz x,, f x f x 0 0 x 0 0 Ha ezt a tételt egmás után többször alkalmazzuk az adódik, hog foltonosság esetén a veges harmad vag negedrendű deriváltak is egenlők, illetve a tétel igaz többváltozós függvénre is. deriváltak foltonosak akkor egenlők...példa: Ha az fxx x, ; fxx x, ; f xx x, ; Mutassuk ezt meg az f x, x ; x 0, hog a másodrendű deriváltakat már előállítottuk. Rendre az f x f x f x deriváltak alapján adódik, hog xx R függvénnel kapcsolatban. Ehhez felhasználjuk, f x x x x x, 1 1 ln ; 1 f xx x x x x x x 1 f xx x x x x x x 1, 1 ln 1 ; 1, 1 ln 1 ;,,,,,, xx x x amelek valóban megegeznek, tehát a veges harmadrendű parciális deriváltak egenlők. f x, f x,. Utóbbi kettő azonossága nilván nem volt kétséges, hiszen már láttuk, hog A műszaki gakorlatban nagon ritkán találkozunk olan függvénekkel, amelek deriváltjaikkal egütt ne volnának foltonosak. Ebben az esetben a veges parciális deriváltak esetében elég eget meghatározni, íg foltonosság esetén már a kezünkben van az összes veges parciális derivált. x x Dr. Hanka László 168 Óbudai Egetem

175 Többváltozós Függvének.7. Többváltozós függvén Talor-sora A többváltozós függvénekre vonatkozó Talor-sort illetve a Talor-formulát úg kapjuk, hog a problémát visszavezetjük az egváltozós esetre. Ismét foglalkozzunk először a kétváltozós függvén esetével. Tegük fel, hog a kétváltozós f P x, D k x, függvén értelmezve van pontban, és ennek a pontnak eg körnezetében azaz valamel pozitív ε esetén eg P 0 középpontú ε-sugarú nílt körlapon és tegük fel, hog ebben a pontban tetszőlegesen sokszor parciálisan deriválható. Tegük fel, hog P x, k x, és azt kérdezzük, hogan közelíthető az f függvén P-pontbeli értéke a 0 0 P 0 -beli függvénérték és a parciális deriváltak ismeretében. A választ a következő módon adjuk meg. Szűkítsük le a függvént a P 0 P egenes szakaszra. Ezen a szakaszon pontosan úg, mint az iránmenti derivált levezetése során, a függvén egváltozós függvénnek tekinthető. Ha bevezetjük a dx x x0; d 0jelöléseket, akkor a leszűkített függvén az alábbi egváltozós függvén: t g t f x t dx, t d ; 0 0 Ha a függvénértéket közelíteni akarjuk a P pontban, akkor eljárhatunk úg, mint az egváltozós esetben. Az egváltozós g függvént Talor-sorba fejtjük a t = 0 pont körül uganis ez felel meg az (x 0, 0 ) síkbeli pontnak, és anni tagot veszünk figelembe amennit jónak látunk, illetve amenni az előírt pontosság alapján szükséges. Ha feltesszük, hog a g függvén végtelen sokszor deriválható, akkor a g függvén 0-körüli Talor-sora a következő: n0 n g 0 n 1 T 0g( t) t g(0) g 0 t g 0 t... n! Tekintettel a g függvén definíciójára, az összetett függvén deriválási szabálának x t x t dx, t t d, a kérdéses deriváltak a alkalmazásával figelembe véve, hog következő módon adódnak. A konstans tag nilvánvaló Az elsőrendű derivált ahonnan kapjuk, hog x x 0 0 g 0 f x, ; 0 0,, g t f x t t x t f x t t t,, f x tdx td dx f x tdx td d g 0 f x, dx f x, d; x Dr. Hanka László 169 Óbudai Egetem

176 A másodrendű derivált kiszámításához ismét szükség van a láncszabálra: xx x d 0, 0 x 0, 0,, 0 0 x 0 0,, Többváltozós Függvének d g t f x tdx tddx f x tdx td d dt dt f x tdx td dx f x tdx td dxd f x tdx td ddx f x tdx td d Ahonnan figelembe véve, hog foltonosság esetén a veges parciális deriváltak egenlők kapjuk, hog 0,,, g f x dx f x dxd f x d xx 0 0 x A sort foltathatnánk a harmad-, neged-, stb. rendű deriváltakkal, de ebben a jegzetben erre nem lesz szükség. Az alkalmazások során megelégszünk a legfeljebb másodfokú Talorpolinommal. Ha a kapott deriváltakat helettesítjük a g függvén 0-körüli Talor sorába, akkor kapjuk a kétváltozós f függvén (x 0, 0 ) pont körüli Talor-sorát.,,,, x, x T f x f x f x dx f x d f xx x0, 0 dx f x x0, 0 dxd f x0, 0 d... A formulát egszerűsíthetjük ha alkalmazzuk a mátrixalgebra jelöléseit és fogalmait. Vezessük be a következő jelöléseket: dx f x x0, 0 dr ; f x0, 0 ; d f x0, 0 Utóbbit már ismerjük, mint gradiens vektor. Továbbá bevezetünk eg fogalmat és jelölést, amelre később a szélsőérték számítás témakörében is szükségünk lesz. Definíció: A Hesse-féle mátrix fogalma. A kétváltozós f függvén (x 0, 0 ) pontbeli Hesse-féle mátrixának nevezzük az alábbi másodrendű szimmetrikus mátrixot., x,,, f xx x0 0 f x0 0 H x0, 0 R ; f x x0 0 f x0 0 Három- és n-változós függvén esetén a Hesse-mátrix értelmezése nilvánvaló módosításokkal rendre az alábbi harmad illetve n-ed rendű szimmetrikus mátrix. Dr. Hanka László 170 Óbudai Egetem

177 H P f P 0 0 Többváltozós Függvének 0, 0, 0 0, 0, 0 0, 0, 0,,,,,, f xx x z f x x z f xz x z 33 x0, 0, z0 f x0, 0, z0 f x x0, 0, z0 f x0, 0, z0 f z x0, 0, z 0 R ; f zx x0 0 z0 f z x0 0 z0 f zz x0 0 z 0 H... n... f P f P f P f P 1 f P0 f P0 n n1 f P0 n f P0... n f P R Ezzel a definícióval, felidézve a mátrixok szorzásának értelmezését észrevehető, hog a Talorsor harmadik tagja az alábbi egszerűbb alakba írható: 1,,, f x dx f x dxd f x d xx 0 0 x , 0 x 0, 0 1 f xx x f x dx dx d x 0, 0 0, d f x f x 0 1 T 1 T dr H x0, 0 dr dr f x0, 0 dr Ahonnan a Talor-sor az első három tag figelembe vételével egszerűbb alakban a következő. T 1 T T f x, f x 0, 0 0, 0 f x0, 0 dr dr f x0, 0 dr... x Ha az egváltozós esethez hasonlóan a Talor-sorból csak véges sok tagot veszünk figelembe, akkor kapjuk a megfelelő fokszámú Talor-polinomot. Ha három vag többváltozós függvén Talor-sorára van szükségünk, akkor a formula lénegében uganaz. Három változós függvén esetén például, ha alkalmazzuk a bevezetett f x x0, 0, z dx 0 dr d ; f x,, z f x,, z ; dz f z x,, z nn 0, 0, 0 0, 0, 0 0, 0, 0,,,,,, z f xx x z f x x z f xz x z f x,, z f x,, z f x,, z f x,, z f zx x0 0 z0 f z x0 0 z0 f zz x x z ; ; Dr. Hanka László 171 Óbudai Egetem

178 jelöléseket, akkor a három változós Talor-sor az alábbi módon írható. Többváltozós Függvének T 1 T T f x,, z f x 0, 0, 0 0, 0, z0 f x0, 0, z0 dr dr f x0, 0, z0 dr... x z Ebben a jegzetben bár előfordul többváltozós alkalmazás is elsősorban a kétváltozós Talorsort alkalmazzuk majd, ezért erre az esetre vonatkozó fogalmakat, formulákat részletezzük. Definíció: Az Talor-polinom fogalma. a) Az f függvén (x 0, 0 ) ponthoz tartozó elsőfokú Talor-polinomja T f x f x f x dr 1, 0,, 0 0, x T f x, f x, x x f x, ; 0 0 x b) Az f függvén (x 0, 0 ) ponthoz tartozó másodfokú Talor-polinomja T 1 T T f x, f x 0, 0 0, 0 f x0, 0 dr dr f x0, x 0 dr,,, f x f x x x f x 0 0 x f xx x0, 0 x x0 f x x0, 0 x x0 0 f x0, 0 0 ; Ezeknek a Talor-polinomoknak az alkalmazásával foglalkozunk a továbbiakban. Első alkalmazásként a függvénértékek közelítésével foglalkozunk, utána pedig a szélsőérték vizsgálatára térünk rá. Az első fokú Talor-polinom tisztán elsőfokú tagjának kiemelt szerepe van például függvénértékek lineáris közelítésénél, vag a hibaszámításnál. Ezért külön elnevezést és jelölést vezetünk be. Definíció: A Talor-sor elsőfokú tagjainak összegét, tehát a polinom lineáris részét az f függvén r 0 ponthoz tartozó teljes differenciáljának nevezzük és a df szimbólummal jelöljük. Ez kétváltozós függvén esetében a 0 df f r dr df f x, x x f x, f x, dx f x, d; x x összeggel egenértékű, háromváltozós esetben pedig az alábbival df f x,, z dx f x,, z d f x,, z dz; x T Dr. Hanka László 17 Óbudai Egetem

179 Többváltozós Függvének A teljes differenciált akkor szokás alkalmazni, amikor az r 0 ponttól eg kicsin dr menniséggel eltérve meg szeretnénk becsülni az f(r 0 ) függvénérték megváltozását. Ezt közelítjük a df menniséggel. A hibaszámítás című pontban ezt a kérdést részletesen elemezzük..3.példa: Határozzuk meg az f x, arctg x függvén (1, 1) ponthoz tartozó teljes differenciálját. Ehhez szükség van az elsőrendű parciális deriváltakra f xx, ; f x, ; x x 1 1 x x ameleknek az (1, 1) helen vett értéke a következő f x ,1 ; 1,1 ; f Ezek alapján a teljes differenciál a következő df x 1 1 dx d;.4.példa: Határozzuk meg az f x,, z 3 x 4 z függvén (1, 8, 16) ponthoz tartozó teljes differenciálját. Először kiszámítjuk az elsőrendű parciális deriváltakat. f x x,, z x ; f,, ;,, ; 3 4 x z x f x 3 4 z x z z 3 z 4 z majd ezek helettesítési értékét az (1, 8, 16) pontban f x 1,8,16 ; f 1,8,16 ; 1,8,16 ; 3 4 f 4 z Innen már adódik az (1, 8, 16) ponthoz tartozó teljes differenciál. Dr. Hanka László 173 Óbudai Egetem

180 df x 1 8 z 16 dx d dz; Többváltozós Függvének Ha esetleg szükség van a Talor-sor magasabb fokú tagjaira, akkor azt sem probléma felírni, mindössze a binomiális tételre kell hivatkoznunk. Ha szükséges az n-edik tag, akkor azt a x x0 0 differenciáloperátor n-edik hatvánának az alkalmazásával kapjuk. x Tehát a Talor-sor n-edik tagja: n 0, 0 nk n n 1 1 n f x x x f x x n! x n! x 0 0 xx 0 0 0; 0 k nk k0 k Íg természetesen előáll a második tag is, hiszen alkalmazva a formulát n = -re, kapjuk, hog 0 0 k 1 1 f x, x x f x x! x! x Amit ha kifejtünk az adódik, hog 0 0 xx 0 0 0; 0 k k k0 k 0, 0 0, 0 0, 0 x x x x 1 f x f x f x! 0 x 1 x ha figelembe vesszük a binomiális egütthatók értékeit és visszatérünk a másik jelölésre valóban a már megismert formulát kapjuk. 1! f x, x x f x, x x f x, ; xx x Ezen az úton megkapjuk a magasabb fokú tagokat is. Lássuk példaképpen a sor harmadik tagját: k f x, x x f x x 3! x 3! x 0 0 xx 0 0 0; 0 k 3k k0 k Kifejtve a felírt összeget, az adódik, hog 0, 0 0, 0 0, 0 0, 0 x x x x x x 1 3 f x 3 f x 3 f x 3 f x 3! 0 x 1 x x Ha figelembe vesszük a binomiális egütthatók értékét és alkalmazzuk a deriváltakra a szokásosabb indexes jelölésmódot, akkor adódik, hog a harmadfokú tag a következő k k k ; ; ; ; Dr. Hanka László 174 Óbudai Egetem

181 1 3! Többváltozós Függvének, 3, 3,, 3 3 xxx xx x f x x x f x x x f x x x f x És íg tovább minden magasabb fokú tag is előáll. Ezzel az észrevétellel a kétváltozós Talorsort általános "szummás-alakban" is fel tudjuk írni..5.példa: Határozzuk meg az 0, 0 nk n n 1 n f x k T f x, 0, ; x x x k nk n0n! k0k x f x, x ; x 0, 0 függvén (1, 1) ponthoz tartozó másodfokú Talor-polinomját. Ehhez szükség van az összes első- és másodrendű parciális deriváltra x f xx, ; f x, x ; 3 3 x x f xx x, ; f, ;, ; 3 x x f 3 x 5 4 x 4 x 4 A függvén és a deriváltak helettesítési értéke az (1, 1) pontban rendre a következő f 1,1 1; f x 1,1 ; f 1,1 ; f xx 1,1 ; f x 1,1 ; f 1,1 ; ahonnan az (1, 1) pont körüli másodfokú Talor-polinom formálisan az alábbi, 1,1 1,1 1,1 1 x 1,1 1 T f x f f x f 1 f xx 1,1 x 1 f x 1,1 x 1 1 f 1,1 1 ; Helettesítve a deriváltak értékét kapjuk, hog T f 1,1 x, 1 x 1 1 x 1 x ; ahonnan összevonással adódik a polinom végső alakja Dr. Hanka László 175 Óbudai Egetem

182 Többváltozós Függvének T f x, 1 1,1 x 1 1 x 1 x ; Példa: Határozzuk meg az f z x,, z x háromváltozós függvén (1,, 1) ponthoz tartozó elsőfokú Talor-polinomját. Ehhez szükség van az elsőrendű parciális deriváltakra xz z 1 f x x,, z ; f x,, z ; f z x,, z ; x x x A függvén és deriváltjainak helettesítési értéke az (1,, 1) pontban rendre a következő f 1,, 1 ; f x 1,, 1 ; f 1,, 1 ; f z 1,, 1 ; Innen kapjuk az elsőfokú Talor-polinomot.7.Példa: Határozzuk meg az T f x,, z 1,, 1 x 1 z 1 ; , x ;, R f x e x függvén (1, 1) ponthoz tartozó harmadfokú Talor-polinomját. Ehhez szükség van az összes első-, másod- és harmadrendű deriváltra. x x x, ;, ; x x x x, ;, ;, ; f x e f x xe f x e f x e xe f x x e xx x f x e f x e xe f x xe x e f x x e 3 x x x x x 3 x xxx, ; xx, ; x, ;, ; Számítjuk a függvénértéket és a deriváltak helettesítési értékét az (1, 1) pontban. f 1,1 e; f x1,1 e; f 1,1 e; xx 1,1 ; x, ;, ; f e f x e f x e f 1,1 e; f x, 3 e; f x, 3 e; f x, 3; xxx xx x Dr. Hanka László 176 Óbudai Egetem

183 Többváltozós Függvének Helettesítve a harmadfokú Talor-polinom általános képletébe, kapjuk a keresett Talorpolinomot 3 1 T f x, e ex 1 e 1 e 1,1 x 1 ex 1 1 e e x 1 33e x e x 1 1 e 1 ; 6 Rendezés után az adódik, hog 3 e e T f x, e ex 1 e 1 1,1 x 1 e x e 3 3e 3e e 3 x 1 x 1 1 x ; 6 6 Ha szükséges, ezzel a polinommal közelíthetjük az f függvént az (1, 1) pont körnezetében. Ha nem az (1, 1) pont körnezetében hanem például a (0, 0) pont körnezetében szeretnénk közelíteni a függvént, akkor a függvénértéket és a deriváltakat az origóban kell számítani. A deriváltakat tekintetbe véve világos, hog az első- és harmadrendű deriváltak értéke mind zérus, a másodrendűek közül is csak a veges parciális derivált értéke különbözik 0-tól. A függvénértékkel egütt a polinom 0-tól különböző egütthatói a következők f 1,1 1; f x, 1; Ebből következően az origó körüli másodfokú Talor-polinom a következő 1 T f x, 1,1 1 1x x; x.15. ábra. Az e x függvén (piros-kék színű felület) közelítése a másodfokú 1 + x Talor-polinommal (szürke színű felület) az origó körnezetében Dr. Hanka László 177 Óbudai Egetem

184 Többváltozós Függvének A Talor-sor vizsgálata során nilván ki kell térnünk annak a kérdésnek a vizsgálatára, hog ha eg függvént eg bizonos szituációban a sor véges sok tagjával becslünk, akkor mekkora hibát követünk el. A hibabecslés történhet a Lagrange-féle maradéktaggal pontosan úg, ahogan azt az egváltozós függvének Talor-soránál tettük. Megvizsgáljuk, hog milen módon írható fel ebben az esetben a Lagrange-féle maradéktag és azt, hog ennek milen következménei vannak. Induljunk ki a fentiekben definiált g(t) függvén 0-körüli sorából. n0 n g 0 n 1 T 0g( t) t g(0) g 0 t g 0 t... n! Ez egváltozós függvén, amelre alkalmazható a Talor-tétel. Eszerint létezik a ]0, t[ intervallumban eg olan ξ pont amelre igaz a következő egenlőség: k 0 g g g( t) T g( t) R t t t ; n n1 n k n1 0 n k0 k! n1! Tekintettel arra, hog az f(x, ) függvén (x 0, 0 )-pont körüli Talor-sora az előzőekben felírt egváltozós Talor-sorból úg adódik, hog a t változót 1-gel helettesítjük, hiszen ez nilvánvalóan következik a t g t f x0t dx, 0t d és dx x x0; d 0 definíciókból, az adódik hog k0 k 0 n n1 n g g f x, g(1) T0 g(1) Rn 1 ; k! n1! ahol 0,1. Ebből az általános képletből adódik, hog ha elsőfokú polinommal közelítünk, akkor a Talortétel konkrét alakja, vagis a Talor-formula a következő,,, f x f x f x dx d dr f x, f x dx, d dx f x dx, d d; 0 0 x ha pedig másodfokú Talor-polinommal közelítünk, akkor pedig a Talor-formula az alábbi egenlőséggel adható meg T 1 T f x, f x0, 0 f x0, 0 dr dr f x0 dx, 0 ddr,,, f x f x dx f x d 0 0 x f xx x0 dx, 0 ddx f x x0 dx, 0 d dxd f x0 dx, 0 d d ; T Dr. Hanka László 178 Óbudai Egetem

185 Többváltozós Függvének Ezeket az egenlőségeket pontosan úg használhatjuk hibabecslésre, mint az egváltozós esetben. 0,1 olan, hog teljesül az Az általános Talor-formula pedig a következő: létezik m f x, n1 f x dx, d f x, dx d dx d egenlőség. n m m n1 n mk k nk 1 k k mk k nk 1 m0 m! k0 k x n 1! k0 k x.8.példa: Számítsuk ki a 4,8 3,1 függvénértéket közelítőleg elsőfokú Talorpolinommal és becsüljük meg a közelítés hibáját. A problémát például az, f x x függvén segítségével oldhatjuk meg, és a sorfejtést célszerűen az, 5,3 végezzük. Az elsőrendű deriváltak a következők x pont körül x 1 f xx, x ; f, ; x x x x x A függvén és a deriváltak helettesítési értéke az (5, 3) helen f 3, ; f x3,5 ; f 3,5 ; Ezek szerint az elsőfokú Talor-polinom a következő Ebből következik a közelítő függvénérték T f x, 3,5 4 x 3 5 ; , ,8 3,1 f 3,1; 4,8 4 3,1 3 4, ,675; Kérdés, mekkora ennek a közelítő értéknek a hibája. Ennek becsléséhez használjuk a Talor- 0,1 valós szám, melre teljesül, hog tételt. A tétel szerint létezik olan f f dx d dx f dx d dxd f dx dd 40 3,1; 4,8 xx 3,5 x 3,5 3,5 ; Dr. Hanka László 179 Óbudai Egetem

186 Többváltozós Függvének ahol dx = 0,1 és d = 0,. Azonban a 0,1 meghatározására a Talor-tétel nem ad utasítást, ezért a hibát csak becsülni tudjuk. Ehhez ki kell számítanunk a másodrendű deriváltakat és ezek értékét kell felülről becsülni. A becslést az 1 x x x x x f xx x, ; x 3 x 1 x x x f x x, ; x 3 x 1 x x x f x, ; x 3 x f f f f 40 3,1;4,8 xx 3 0,1 ;5 0, 0,1 x 3 0,1 ;5 0, 0,1 0, 3 0,1 ;5 0, 0, ; formula alapján végezzük. A második deriváltak felső becslése Innen adódik a hiba felső becslése 5 3 f xx 30,1 ;5 0, 0,14; 3 4,8 3,1 3,15 f x 3 0,1 ;5 0, 0,69; 3 4,8 3,1 3,1 f 30,1 ;5 0, 0,195; 3 4,8 3, f 3,1;4,8 0,14 0,1 0,69 0,1 0, 0,195 0, 0,01719; 40 Kaptuk tehát, hog 4,8 3,1 3,675 0,01719, ami azt jelenti, hog a függvénérték benne van a [3,65781; 3,6919] intervallumban. A számológéppel kapott érték 3,66469, ami valóban ezen intervallum eleme, tehát a becslésünk heles. A becslésből az is kiderült, hog tekintettel a hiba becsült értékére, figelembe véve a közelítő értéket, eg tizedes pontossággal kaptuk a függvénértéket. Pontosabb közelítéshez nilván magasabb fokú Talor-polinom szükséges. Dr. Hanka László 180 Óbudai Egetem

187 Többváltozós Függvének.8. Függvénértékek közelítő számítása.8.1. Lineáris közelítés, kétváltozós függvén érintősíkja Eg többváltozós függvén legegszerűbb közelítését kapjuk, ha az elsőfokú Talor-polinommal közelítünk. Ezt nevezzük elsőfokú vag lineáris közelítésnek. Definíció: A lineáris közelítés fogalma. A többváltozós f függvén P 0 pontbeli lineáris közelítésének nevezzük az 1 f P T f P f P f P dr x0, közelítő formulát. Kétváltozós esetben ez a, ;, következő T P x P x jelölések figelembe vételével a f x, f x, f x, x x f x, ; 0 0 x Jelölésbeli egszerűsítés érdekében gakran alkalmazzuk a dx x x, d 0 0 jelöléseket. Ebben a kétváltozós esetben arról van szó, hog a függvént, az (x 0, 0 ) pontbeli érintősíkjával közelítjük. Mivel a,,, z f x f x x x f x 0 0 x egenlet mindhárom változójában lineáris egenlet, nilvánvaló hog sík egenlete. Az is nilvánvaló, hog az (x 0, 0, f(x 0, 0 )) rendezett hármas, vagis a felületi pont koordinátái kielégítik az egenletet, tehát ez eg olan sík, amelik illeszkedik a felületi pontra. Már csak azt kell igazolnunk, hog valóban "érintő" helzetű. Ehhez azt kell tekintetbe vennünk, hog az érintősíkot a parciális függvének érintő egenesei feszítik ki. Ez látható a.16. ábrán. v 1 v n.16. ábra. Eg kétváltozós függvén által meghatározott felület érintősíkját kifeszítő két érintő egenes és a sík normálvektora Dr. Hanka László 181 Óbudai Egetem

188 Többváltozós Függvének Keressük a sík normálvektorát. Az ábra alapján ez nilvánvalóan a v 1 és v vektorok vektoriális szorzataként adódik, ahol v 1 és v a parciális függvének érintőivel párhuzamos vektorok, vagis f x, és az érintő egenesek iránvektorai. Mivel ezen érintők meredeksége rendre f x, ezért a kérdéses iránvektorokat megadhatjuk például a következő módon: 0 0 f x f x v 1,0,, ; v 0,1,, ; Ezen vektorok vektoriális szorzata pedig a következő: i j k n v v 1 0 f x, i 0 f x, j f x, 0 k 1 0 ; f x, 0 0 Összevonás és ( 1)-gel történő szorzás után adódik az érintősík eg normálvektora. n f x,, f x,, 1 ; Ha az elsőfokú Talor polinom felhasználásával kapott lineáris egenletet átrendezzük, akkor az eredetivel ekvivalens alakban kapjuk a kétváltozós függvén érintősíkjának egenletét: f x, x x f x, z f x, 0; vag f x, x x f x, z f x, 0; x Ebben az egenletben az egütthatók éppen a kapott normálvektor koordinátái, amivel igazoltuk, hog ha a kétváltozós f függvént az elsőfokú Talor polinomjával közelítjük, akkor az geometriailag annit jelent, hog a függvént az (x 0, 0, f(x 0, 0 )) pontbeli érintősíkjával közelítjük. Ez a lineáris közelítés lénege..17. ábra. A parciális függvének érintői által kifeszített érintősík Dr. Hanka László 18 Óbudai Egetem

189 Többváltozós Függvének Mellékeredménként adódik a fenti gondolatmenetből a felületi normális egenletrendszere. A felületi normális az az egenes amel a felületi pontban döfi a felületet és merőleges az adott pontbeli érintősíkra. Nilvánvaló ebből, hog a normális iránvektora pontosan megegezik az érintősík normálvektorával, tehát eg iránvektor v f x,, f x,, 1 ; Ennek ismeretében már felírhatjuk az (x 0, 0, f(x 0, 0 )) felületi ponton áthaladó v iránvektorú egenes paraméteres egenletrendszerét. A felületi normális paraméteres egenletrendszere tehát a következő,,, 1 x x0 t 1 f x0 0 t f x z f x0 0 t Példa: Alkalmazzuk a lineáris közelítés módszerét a 5,0 11,97 függvénérték közelítő meghatározására. Definiálunk eg kétváltozós függvént amel jól illeszkedik a problémához, és keresünk alkalmas (x 0, 0 ) pontot amel körül célszerű felírni az elsőfokú Talor-polinomot. A vizsgált problémához nilván jól illeszkedik a következő választás: f x, x ; x 5; 1; dx 0,0; d 0, Elsőként számítsunk függvénértéket az (x 0, 0 ) pontban. f x, x ; Most vegük figelembe a korrekciót a teljes differenciál alkalmazásával. Ehhez szükség van a parciális deriváltak értékére az adott pontban. x 5 5 f x x, ; f 0, 0 ; x x x f x, ; f 0, 0 ; x x Behelettesítve ezeket a teljes differenciál képletébe, kapjuk, hog 5,0 11,97, 0, 0 x 0, 0 0, 0 f x f x f x dx f x d , 0 ( 0, 03) 1,98; Dr. Hanka László 183 Óbudai Egetem

190 Többváltozós Függvének Ha összevetjük ezt az eredmént eg számológép által adott eredménnel ( 5,0 11,97 1, ), látható, hog a lineáris közelítés meglepően jó közelítő eredmént szolgáltatott. Ez természetesen azon is múlik, hog a dx és d menniségek nagon kicsik. Ha az eltérés az (x 0, 0 ) ponttól nagobb, akkor célszerű magasabb rendű közelítést alkalmazni Példa: Alkalmazzuk a lineáris közelítés módszerét a 1,00,003 3,004 függvénérték közelítő meghatározására. Ebben az esetben eg három változós függvént kell definiálnunk, amel illeszkedik a problémához. A függvén és az x,, z pont célszerűen a következő f x,, z x z ; x 1,, z 3; dx 0,00; d 0,003; dz 0,004; Elsőként kiszámítjuk a függvén helettesítési értékét az,, 1,,3 3 Meghatározzuk a parciális derivált függvéneket f 1,, x z pontban f x z z f x z xz f x z x z 3 3 x,, ;,, ; z,, 3 ; Ezek helettesítési értéke az,, 1,,3 x z pontban rendre a következő f f f 3 3 x 1,, ; 1,, ; z 1,, ; Ennek alapján az,, 1,,3 x z pontbeli teljes differenciál az T f x z f x z f x z dr 1,, 0, 0,,, 0 0, 0, x z elsőrendű Talor-polinom felhasználásával a következő T r df f x,, z d f 1,,3 dx f 1,,3 d f 1,,3 dz 108( dx d dz) x z Figelembe véve a konkrét adatokat, kapjuk hog Eszerint a közelítő függvénérték df 108 (0,00 0,003 0,004) 0,97 3 1,00,003 3, ,97 108,97 T Dr. Hanka László 184 Óbudai Egetem

191 Többváltozós Függvének Megjegezzük, hog a számológépes számítás eredméne 108,975 tehát két tizedes pontosságú eredmént kaptunk a lineáris közelítéssel. A hibabecsléssel a következő pontban foglalkozunk..31.példa: Vezessünk le közelítő formulát az origó körnezetében az f x x, arctg 1 x függvén értékeinek közelítő kiszámítására. A feltevés szerint tehát, 0,0 pontban a függvénérték f 0 0 0, 0 arctg arctg x. Ebben a A teljes differenciált alkalmazzuk a függvénérték megváltozásának közelítésére. Ehhez szükségesek az elsőrendű parciális deriváltak. 1 1 x x 1 1 x x x f x x, ; f, ; 1 x x x x 1x 1 1 1x 1x Ezek helettesítési értéke az, 0,0 0 0 Talor-polinomot illetve a teljes differenciált. 0 0 x pontban egaránt 1. Innen kapjuk az elsőrendű 1 T r x T f x, f x, f x, d 0 1 x x ;, 0 0 vagis df x. Mivel f(0, 0) = 0 ezért az origó körnezetében a függvénértékek közelítő kiszámítására alkalmas formula az alábbi.3.példa: Határozzuk meg az f x, x ;, f x x függvén (3, 4) pontbeli érintősíkjának egenletét és a felületi normális egenes paraméteres egenletrendszerét. Az 1. fejezet alapján tudjuk, hog a grafikon eg forgáskúp felület. A parciális derivált függvének a következők 1 x 1 f xx, x ; f, ; x x x x x Dr. Hanka László 185 Óbudai Egetem

192 Többváltozós Függvének A helettesítési értékek a (3, 4) pontban f x ,4 ; 3,4 ; f Innen adódik az érintősík normálvektora ami egben a felületi normális iránvektora is n ,, 1 ;,, 1 ; 5 5 v 5 5 Nilván ezen vektorok 5-szöröse is normál- illetve iránvektor, tehát az általunk választott 3,4, 5 ; 3,4, 5 f 3,4 5 ezért a normálvektor és iránvektor a következő n v. Mivel felületi pont koordinátái (3,4,5). Ebből következően az érintősík egenlete 3 x 3 4 x 4 5 x 5 0; azaz 3x 4 5z 0; az érintősík tehát illeszkedik az origóra. A felületi normális egenletrendszere pedig x33t 4 4t ; z 5 5t.18. ábra. A kúp (piros-kék színű felület) (3,4) pontbeli érintősíkja (szürke felület) és a felületi normális egenes Dr. Hanka László 186 Óbudai Egetem

193 Többváltozós Függvének.8.. Hibaszámítás Rokon probléma, bár természetéből adódóan a teljes differenciál némileg eltérő alkalmazása a hibaszámítás. Ehhez vegük tekintetbe, elsőként kétváltozós esetben, a következőket. Tegük fel, hog méréseket végzünk, és a mért értékek x 0 és 0. Ezek a mért értékek hibával terheltek, jelölje ezen menniségek mérésből adódó, vag akár inherens hibáját dx és d. Ezekből a menniségekből kiszámítunk eg f(x, ) függvénértéket. Nilvánvaló, hog a számított érték is tartalmaz hibát, hiszen a változói is hibával terheltek. A közelítő függvénérték előző pontban bemutatott számítása nagon közeli problémakör, azonban van eg alapvető különbség. A hibaszámításnál nem tudjuk, hog a valódi értéktől való eltérés milen előjelű, ezért az abszolút hibát, tehát a dx és d menniségeket úg definiáljuk, hog az eltérések abszolút értéke, azaz definíció szerint pozitív menniségek. Ezt úg is kifejezésre juttatjuk, hog a méréssel kapott érték x0dx és 0 d. Feladatul tűzzük ki ezek után az f(x 0, 0 ) függvénérték hibájának becslését. A számított érték becsült hibáját jelölje df. A ténleges hiba azonban ettől eltérő, ennek jele legen Δf. A kettő közötti különbséget világítja meg a.19. ábra. (x0+dx,0+d).19. ábra. A hibaszámítás grafikus háttere Ez alapján világos, hog ha az (x 0, 0 ) pont helett az (x 0 +dx, 0 +d) pontban számítjuk a függvénértéket, akkor az eltérés,, f f x dx d f x Ezt az eltérést, pontosabban ennek az abszolút értékét, azonban csak becsülni tudjuk. A becslés a teljes differenciál segítségével, tehát az elsőfokú Talor-polinom segítségével történik. f x dx, d f x, f df f x, dx f x, dx; x Dr. Hanka László 187 Óbudai Egetem

194 Többváltozós Függvének A.19. ábra szemléletesen is alátámasztja az elsőfokú Talor-polinom alkalmazásának jogosságát, ha tetszik igazolja, hog az érintősíkkal történő közelítés egbeesik a teljes differenciállal, hiszen a derivált definíciója alapján a dx hibából adódó eltérés közelíthető az f x, dx D f x, dx menniséggel, és hasonlóan a d hibából adódó eltérés pedig az x ,, f x d D f x d menniséggel. Az ábra alapján világos, hog ezek összegével érdemes első rendben közelíteni a hibát. A hibabecslő formula abból adódik, hog ennek becsüljük az abszolút értékét felülről. Figelembe véve a háromszög egenlőtlenséget valamint azt hog a dx és d értelmezés szerint pozitív menniségek, kapjuk a becslést:,,,, f df f x dx f x dx f x dx f x dx x x Ezzel a jobb oldali összeggel becsülhetjük felülről a hibát. A hibaszámítás kapcsán szokás beszélni abszolút és relatív hibáról. Utóbbi az abszolút hibának a mért illetve számított értékhez viszonított arána, amelet szokás %-os formában is megadni. A relatív hibák tehát 0, 0 0, 0, f dx d x x dx f x dx,,. Ez utóbbit az egszerűség de a x f x mögöttes tartalom szem előtt tartásával szokás a mondottak illusztrálására eg egszerű példát. df f x, 0 0 szimbólummal is jelölni. Tekintsünk a.33.példa: Tegük fel, hog eg kocka alakú szilárd test sűrűségét határozzuk meg. Mérünk tömeget és hosszúságot, azaz a kocka élhosszát. Legenek a mért adatok az abszolút hibával a következők, élhosszúság: x = 0, (m); tömeg : = 1,5 0,003(kg). Határozzuk meg az anag sűrűségének számított értékét és becsüljük meg annak hibáját. Egrészt világos, hog a sűrűséget a m V x x ; 3 összefüggéssel számíthatjuk. Világos tehát, hog a sűrűség értéke eg kétváltozós függvénnel számítható. Ha alkalmazzuk az x 0 0 0,1; dx 0, 001; 1,5; d 0, 003; jelöléseket, akkor adódik a sűrűség számított értéke x 1,5 0,1 kg m 0 0; 0 0,1;1, Most megbecsüljük a számított érték hibáját. Ehhez szükség van a parciális deriváltakra. Dr. Hanka László 188 Óbudai Egetem

195 Többváltozós Függvének 3 1 x x; ; 4 x; ; 3 x x Kiszámítjuk a deriváltak értékét az adott pontban. 31,5 1 x x0; 0 x 0,1;1, ; 4 x0; 0 0,1;1,5 1000; 3 0,1 0,1 Végül alkalmazzuk a hibabecslő formulát. A példa jelöléseivel d x, dx x, dx , , x Kaptuk tehát, hog a sűrűség értéke kg 3. A relatív hibák pedig a következők. m dx 0, 001 d 0, 003 d 48 1%; 0,%; 3,%; x 0,1 1,5 x, Ebből kiderül, hog a számított érték hibája az x adat mérési hibájával eg nagságrendbe esik, az hibájánál viszont eg nagságrenddel nagobb. Ha pontosítani szeretnénk a számított értéket, akkor nilván a hosszúságmérést kell pontosabbá tenni. A következőkben eg olan példát mutatunk ahol nem két hanem három változótól függ a számított függvénérték. Ebben az estben a hibaszámítás a következő módon történik. Az elsőfokú Talor-polinom formálisan nem változik, tehát a közelítés ugancsak a 1 f P T f P f P f P dr x0, formula alapján történi, azonban ha figelembe vesszük, hog három változós a függvén, akkor, ez a becslés a következő konkrét alakot ölti. f x,, z f x,, z f x,, z x x f x,, z f x,, z z z ; x z Ahonnan a hibabecslésre alkalmas formula a következő. f f x,, z f x,, z df f x,, z dx f x,, z d f x,, z dz; x z Innen már nilvánvaló hogan lehet a formulát még több változóra általánosítani. f f x f x df f x dxi; 0 xi 0 i1 n T Dr. Hanka László 189 Óbudai Egetem

196 Többváltozós Függvének.34.Példa: Tegük fel, hog eg 50Hz frekvenciájú váltakozó áramú soros RLC-kör impedanciáját számítjuk úg, hog megmérjük a körben lévő R ohmikus ellenállás, L induktivitás és C kapacitás értékét, természetesen hibával. Legenek a mért adatok a következők: R 100 ; azaz R 100 ; dr ; L 0,5 0, 01 H; azaz L 0,5 H; dl 0, 01 H; C F; azaz C 310 F; dc 10 F; Az eredő impedanciát a Z Z R, L, C R L C 1 háromváltozós függvén segítségével számítjuk. A közvetlenül számított érték a következő ;0,5; , , 4 5 Z Z Most következik a hibabecslés. Ehhez számítjuk az elsőrendű parciális derivált függvéneket és ezek helettesítési értékét. R Z RR, L, C ; Z R100; 0, 5;3 10 0,89; 11, 4 1 R L C 1 1 L 0, C Z LR, L, C ; Z L100; 0, 5; , 66; 11, 4 1 R L C Z C R, L, C 1 1 L C C 1 R L C 1 1 0, ; Z C 100; 0, 5; , 43; Helettesítve a hibabecslés fenti képletébe adódik, hog 11, 4 Z dz 6 0,89 14,66 0, , ,81 Kapjuk tehát az impedancia hibával becsült értékét, Z 11, 4 4,81. A számított érték 4,81 relatív hibája pedig 0,04 4,% 11,4. Dr. Hanka László 190 Óbudai Egetem

197 Többváltozós Függvének.8.3. Másodfokú közelítés Másodfokú közelítést alkalmazhatunk, ha nem megfelelő az elsőfokú Talor-polinommal történő közelítés, mert a közelítés pontossága nem elfogadható. Illetve az is előfordulhat, hog a Talorpolinomban az elsőfokú tag konstans zérus, amikor is az elsőfokú közelítés automatikusan nulladfokú polinomra redukálódik, ami eg konstans függvén. Ez nilván nagon durva közelítés, íg eg valamire való approximációhoz legalább a másodfokú Talor-polinomot kell segítségül hívni. Az f függvén másodfokú közelítése az (x 0, 0 ) pont körnezetében, az ezen pont körüli másodfokú Talor-polinommal történik. Ennek alakja, mint azt már láttuk a következő:,, f x T f x,,, x0, 0 f x f x x x f x 0 0 x f x x x f x x x f x,,, xx x Az egváltozós függvén másodfokú közelítése eg másodfokú függvénnel történik, mert az egváltozós esetben a másodfokú Talor-polinom eg másodfokú függvén. Ennek képe pedig mindig eg parabola. Ezért korábban használtuk a parabolikus közelítés elnevezést is. Azonban a kétváltozós esetben ez a helzet némileg összetettebb. Uganis a másodfokú Talor-polinom eg másodrendű felületet definiál, amel nem kizárólag paraboloid, hanem mint az a másodrendű felületek tárgalásánál láttuk lehet hiperboloid, ellipszoid, stb., Tehát a másodfokú közelítés kétváltozós esetben eg másodrendű felülettel történik. Ennek illusztrálására elsőként eg grafikus példát hozunk..35.példa: Határozzuk meg az f x, sin x cos másodrendű közelítését az x0, 0, pont körnezetében. Ehhez szükség van a deriváltakra másodrendig bezárólag és ezek helettesítési értékére. f x x, cos x cos ; f x, cos cos 0; f x, sin x sin ; f x, cos cos 0; f xx x, sin x cos ; f xx, sin cos 1; f x x, cos x sin ; f x, cos sin 0; f x, sin x cos ; f, sin cos 1; Dr. Hanka László 191 Óbudai Egetem

198 Többváltozós Függvének Figelembe véve még, hog f, sin cos 1 kapjuk a másodfokú Talor-polinomot: f x 1, T f x, 1 ;, x Az x0, 0, pont körnezetében a kapott forgási paraboloid közelíti a függvént, amint azt a.0. ábra illusztrálja..0. ábra. Kétváltozós függvén parabolikus közelítése.36.példa: Vezessünk le közelítő formulát az origó körnezetében az, ln 1 ln 1 f x x függvén közelítő értékeinek kiszámítására. Legen tehát x0, 0 0,0. Ebben a pontban a függvénérték f 0,0 ln 1 0ln 1 0 ln1ln1 0. A Talor-polinom felírásához szükség van a parciális derivált függvénekre. Az elsőrendű deriváltak 1 1 f xx, ln 1 ; f x, ln 1 x ; 1x 1 Ezen deriváltak helettesítési értéke az origóban f x 1 1 0,0 ln 10 0; 0,0 ln 10 0; f Ezek az eredmének azt jelentik, hog az elsőfokú Talor-polinom az azonosan nulla polinom Dr. Hanka László 19 Óbudai Egetem

199 1 x Többváltozós Függvének T f x, f 0,0 f 0,0 x 0 f 0, x 0 0; 0,0 ami azt jelenti, hog az elsőfokú közelítés érdemben nem használható a függvénértékek közelítő számítására. Emelnünk kell a Talor-polinom fokszámát, és legalább a másodfokú polinomot kell alkalmaznunk a közelítő formula levezetéséhez. Ehhez szükségesek a másodrendű deriváltak f x, ln 1 ; f x, ; f x, ln 1 x; xx 1x x 1x1 1 Ezeknek a deriváltaknak az értéke az origóban rendre f 0,0 ln 1 0 0; f 0,0 1; f 0,0 ln 1 0 0; xx 10 x Ha ezen eredmének alapján felírjuk a másodfokú Talor-polinomot, akkor figelembe véve, hog az elsőfokú rész azonosan zérus, az adódik, hog 1 1 0,0 xx x T f x, f 0,0 x 0 f 0,0 x 0 0 f 0,0 0 1x x Az origó körnezetében a függvénértékek közelítő kiszámítására alkalmas formula tehát f x, x ; ami eg hiperboloid egenlete. Alkalmazzuk ezt eg konkrét esetre. legen x = 0,01 és = 0,0. f 0,01;0,0 Ekkor a függvénérték pontos (számológéppel kapott) értéke ln(1,01) ln(1,0) 0,00019, a közelítő számítás eredméne pedig 0,010,0 0,000. A.1. ábra illusztrálja a közelítést..1. ábra. A kék-piros színű felület az ln(1+x)ln(1+) függvén grafikonja, a szürke hiperboloid pedig az origóhoz tartozó másodfokú Talor-polinom képe Dr. Hanka László 193 Óbudai Egetem

200 Többváltozós Függvének.9. Kétváltozós függvén szélsőértéke A többváltozós függvének szélsőértékének problémaköre, túl azon, hog a gakorlati alkalmazások szempontjából alapvetően fontos, eg nagon szép kapcsolatot is mutat a lineáris algebrával. Mint látni fogjuk, a kérdéskör vizsgálatában, leírásában csaknem nélkülözhetetlen a determinánsok és a kvadratikus alakok elmélete. Mindenek előtt a szélsőérték fogalmát tisztázzuk. Definíció: Az (x 0, 0 ) pont az f(x, ) függvén szigorú lokális maximumhele ha létezik olan ε > 0, hog ha az ε-sugarú körlapból választjuk az (x, ) pontot, akkor teljesül, hog,, ; ha 0 f x f x x x Az (x 0, 0 ) pont az f(x, ) függvén szigorú lokális minimumhele ha létezik olan ε > 0, hog ha az ε-sugarú körlapból választjuk az (x, ) pontot, akkor teljesül, hog,, ; ha 0 f x f x x x A szigorú jelző arra utal, hog a függvénnek az ε-sugarú körnezetben egértelműen az (x 0, 0 ) pontban van szélsőértéke, a körnezeten belül a többi pontban felvett függvénérték rendre szigorúan kisebb illetve nagobb. A fogalmat természetesen gengíthetjük, megengedve, hog a körnezeten belül esetleg több pontban is felveheti a függvén a szélsőértékét. Definíció: Az (x 0, 0 ) pont az f(x, ) függvén lokális maximumhele ha létezik olan ε > 0, hog ha az ε-sugarú körlapból választjuk az (x, ) pontot, akkor teljesül, hog,, ; ha f x f x x x Az (x 0, 0 ) pont az f(x, ) függvén lokális minimumhele ha létezik olan ε > 0, hog ha az ε-sugarú körlapból választjuk az (x, ) pontot, akkor teljesül, hog,, ; ha f x f x x x A szigorú jelző nélküli szélsőértékhel tehát azt jelenti, hog a függvén az ε-sugarú körlapon belül több pontban is felveheti a szélsőértékét. Az ilen szélsőértéket szokás genge szélsőértéknek is nevezni. Az (x 0, 0 ) pont az f(x, ) függvén abszolút vag globális szélsőértékhele, ha a fenti definíciókban szereplő egenlőtlenségek nem csak eg ε-sugarú körnezetben állnak fenn, hanem az f függvén teljes értelmezési tartománán. Dr. Hanka László 194 Óbudai Egetem

201 Többváltozós Függvének Az egváltozós analízisben első és másodrendű szükséges illetve elégséges feltételeket fogalmaztunk meg a szélsőértékre vonatkozólag. Ezek általánosításaként fogalmazzuk meg a többváltozós esetre vonatkozó analóg feltételeket. Nilvánvaló, hog ha eg kétváltozós f(x, ) függvénnek az (x 0, 0 ) pontban lokális szélsőértéke van, akkor ebben a pontban lokális szélsőértéke van a parciális függvéneknek is. Ez például f x, 4 x ; x, R függvén esetében, amelnek kiválóan látszik az nilvánvalóan abszolút maximumhele a (0, 0) pont. A parciális függvének konkáv parabolák, ameleknek az origóban 0 meredekségű érintőjük van... ábra. Kétváltozós függvén szélsőértékhelén a parciális deriváltak értéke zérus. Mivel a parciális függvének egváltozós függvének, alkalmazható a parciális függvénekre vonatkozólag az egváltozós függvén szélsőértékére vonatkozó elsőrendű szükséges feltétel, amel szerint a derivált a szélsőértékhelen zérus értéket vesz fel. Ebből azonnal adódik az alábbi tétel. Tétel: Kétváltozós függvén szélsőértékére vonatkozó elsőrendű szükséges feltétel. Tegük fel, hog a kétváltozós f(x, ) függvénnek az (x 0, 0 ) pontban lokális szélsőértéke van. Ekkor az f függvén mindkét változó szerinti elsőrendű parciális deriváltjának értéke zérus. Azaz f x, 0 és f x, 0; x Ez a tétel utat mutat arra, hog hogan keressük meg eg kétváltozós függvén szélsőértékeit. Elsőként elkészítjük mindkét változó szerint az elsőrendű parciális deriváltakat, ezeket egenlővé tesszük zérussal, majd a kapott egenletrendszernek megkeressük az összes megoldását. Tehát megoldjuk az alábbi, általában nem lineáris egenletrendszert. fx x f x 1, 0, 0 Dr. Hanka László 195 Óbudai Egetem

202 Többváltozós Függvének Definíció: A fenti egenletrendszer megoldásait az f(x, ) függvén kritikus vag stacionárius pontjainak nevezzük. Már az egváltozós analízisben is láthattunk egszerű példát olan függvénre, amelnek eg adott pontban a deriváltja zérus, de ott nincs szélsőértéke. Ilen függvén például az összes páratlan kitevőjű hatvánfüggvén a 0-pontban. Ezért volt elengedhetetlen az elégséges feltételek megadása, amelek biztosították, hog eg stacionárius pontban szélsőérték van. Uganilen okok miatt szükség van többváltozós esetben is szükséges feltételre..37.példa: Ennek illusztrációjára álljon itt a legnevezetesebb példa olan függvénre, amelnek a stacionárius pontjában nincs szélsőértéke. Vizsgáljuk az, ;, f x x x R függvént, ami a másodrendű felületek elméletéből jól ismert hiperbolikus paraboloid, vag neregfelület. A szükséges feltétel a következő: f x x, x 0 f x, 0 Ahonnan azonnal adódik a stacionárius pont: (0, 0), vagis az origó. Ebben a pontban azonban nilván nincs a függvénnek szélsőértéke, hiszen ha tekintetbe vesszük az origóhoz tartozó parciális függvéneket f x,0 x ; f 0, x akkor világos, hog az első parciális függvén konvex, tehát az origóban minimuma van, a második parciális függvén pedig konkáv, vagis az origóban maximuma van. Ebből már következik, hog az origó valóban nem lehet szélsőértékhel. A.3. ábra szemlélteti a mondottakat..3. ábra. Nem minden stacionárius pont szélsőértékhel. Erre tipikus példa a neregfelület neregpontja. Dr. Hanka László 196 Óbudai Egetem

203 Többváltozós Függvének Eg kétváltozós függvén esetében az ilen tulajdonságú pontot neregpontnak nevezzük. A neregfelület esetén az origó tehát a neregpont. Az elégséges feltétel megfogalmazásához szükség van a másodfokú Talor-polinomra. A tétel megfogalmazásához két úton is eljutunk. Az első esetben nem használjuk a lineáris algebra általános tételeit, hanem eg attól független gondolatmenettel vizsgáljuk meg mi az a feltétel, ami biztosítja hog a stacionárius pontban valóban szélsőérték van. Induljunk ki tehát a másodfokú Talor-polinommal történő közelítésből.,,,, f x f x f x x x f x 0 0 x f x x x f x x x f x,,, xx x Tegük fel, hog az f(x, ) függvénnek az (x 0, 0 ) pont stacionárius pontja. Ekkor az elsőrendű parciális deriváltak értéke zérus. Ha még bevezetjük egszerűsítésként a h x x0, k 0 továbbá az A f x,, B f x,, C f x, jeleket, akkor azt kapjuk, hog a xx 0 0 x Talor-polinommal való közelítés a stacionárius pontban egenértékű az 1 f x f x Ah Bhk Ck, 0, 0 közelítéssel. Ha szélsőértéket vizsgálunk, akkor célszerű átrendezni a kapott kifejezést az alábbi módon 1 f x f x Ah Bhk Ck, 0, 0 Ez az alak azért célszerűbb a vizsgálatainkhoz, mert a bal oldal éppen a szélsőérték definíciójában szereplő függvénértékek különbsége. Ahhoz, hog eldöntsük, az adott (x 0, 0 ) stacionárius pontban valóban van-e szélsőérték, vag éppen az ellenkezőjét, vagis hog nincs szélsőérték, a bal oldali különbség előjelét kell vizsgálni. A f x, 0. Ezen feltétel mellett azonos átalakítások és teljes négzetté Tegük fel, hog xx 0 0 kiegészítés után azt kapjuk, hog 1 1 Ah Bhk Ck A h ABhk ACk A 1 1 Ah Bk B k ACk Ah Bk AC B k A A Ha az (x, ) pont elég közel van az (x 0, 0 ) ponthoz akkor ennek a kifejezésnek az előjele f x, f x, különbség előjelével. megegezik az 0 0 Dr. Hanka László 197 Óbudai Egetem

204 Többváltozós Függvének Mielőtt az elégséges feltételt megfogalmaznánk, vegük észre, hog Ah Bk 0 nilván k 0. Ha feltesszük, hog AC B 0akkor,, különbség előjele megegezik az A f x, f x f x 0 0 továbbá Ah Bk AC B k 0. Ekkor az tiszta másodrendű parciális derivált előjelével. Ha ez pozitív akkor a függvénértékek különbsége nem negatív, tehát az (x 0, 0 ) pont lokális minimumhel, ha viszont ez a másodrendű derivált negatív akkor a függvénértékek különbsége nem pozitív, ami azt jelenti, hog az (x 0, 0 ) pont lokális maximumhel. Már csak anni a dolgunk, hog az egszerűsítő jelölésekről visszatérjünk az eredeti jelölésekre. xx 0 0,,, ; AC B fxx x0 0 f x0 0 fx x0 0 Ezzel bebizonítottuk a kétváltozós függvén szélsőértékére vonatkozó másodrendű elégséges feltételt. Tétel: A szélsőérték másodrendű elégséges feltétele Tegük fel, hog az f(x, ) függvén deriválható az (x 0, 0 ) pontban, és tegük fel, hog valamint tegük fel azt is, hog ebben a pontban f x, 0 és f x, 0; x D x0, 0 fxx x0, 0 f x0, 0 fx x0, 0 0 teljesül. Ekkor az (x 0, 0 ) pont az f(x, ) függvén lokális szélsőértékhele. Ha ekkor még az is teljesül, hog 0 0 f x, 0 akkor az (x 0, 0 ) pont lokális minimumhel, ha pedig akkor az (x 0, 0 ) pont lokális maximumhel. xx 0 0 f x, 0 xx Können látható, hog az elégséges feltételben szereplő D(x 0, 0 ) jelű menniség úg is tekinthető mint eg -es szimmetrikus mátrix determinánsa, és ez a szimmetrikus mátrix nem más, mint a korábbiakban már bevezetett H x, 0 0 0, 0 x 0, 0,, f xx x f x f x x f x Dr. Hanka László 198 Óbudai Egetem

205 Hesse-mátrix. Ezek szerint Dx, det H x, determinánsnak is nevezni Többváltozós Függvének és ezért szokás a D-t Hesse- Az elégséges feltételek sorában következik eg olan elégséges feltétel, amel eg stacionárius pontban arra vonatkozólag ad feltételt, hog a függvénnek biztosan nincs szélsőértéke. Ehhez először pontosan definiálni kell az előbbiekben már megemlített neregpont fogalmát. Definíció: Az (x 0, 0 ) pont az f(x, ) függvén neregpontja, ha tetszőlegesen kicsi ε > 0 esetén létezik az ε-sugarú körlapban olan (x, ) pont, amelre teljesül, hog,, ; és 0 f x f x x x valamint létezik az ε-sugarú körlapban olan (x, ) pont is, amelre az teljesül, hog,, ; és 0 f x f x x x Egszerűen fogalmazva tehát az (x 0, 0 ) pont akkor neregpont, ha a pont tetszőlegesen kis körnezetében van az f(x 0, 0 )-nál kisebb és van az f(x 0, 0 )-nál nagobb függvénérték is. A neregpontra vonatkozólag a következő feltétel fogalmazható meg. Tétel: Neregpontra vonatkozó másodrendű elégséges feltétel Tegük fel, hog az f(x, ) függvén deriválható az (x 0, 0 ) pontban, itt teljesül, hog valamint tegük fel azt is, hog ebben a pontban f x, 0 és f x, 0; x D x0, 0 fxx x0, 0 f x0, 0 fx x0, 0 0 teljesül. Ekkor az (x 0, 0 ) pont az f(x, ) függvén neregpontja. Bizonítás: Induljunk ki abból az előzőekben igazolt összefüggésből, hog az f x, f x, különbség előjele megegezik az A Ah Bk AC B k menniség előjelével, ha az (x, ) pont elég közel van az (x 0, 0 ) ponthoz. Feltesszük, hog AC B 0 és megmutatjuk, hog ekkor tetszőlegesen kis ε-sugarú körnezetben van olan h és k, hog az f x, f x, pozitív. előjele negatív és van olan h és k is amelre a különbség 0 0 Dr. Hanka László 199 Óbudai Egetem

206 Többváltozós Függvének Tegük fel elsőként, hog az A > 0. Emeljünk ki a fenti összegből k -et (k 0), ekkor azt kapjuk, hog k h A B AC B A k Ebben az összegben, a feltevés szerint az első ténező pozitív, a második ténező második tagja pedig negatív. Ha most úg közeledünk az (x 0, 0 ) ponthoz, hog az első tag azonosan zérus, B k vagis a h k egenletű egenes mentén, akkor azt kapjuk, hog AC B 0. Ezen A A feltételek mellett tehát tetszőlegesen közel kerülhetünk az (x 0, 0 ) ponthoz úg, hog f x, f x, 0. Másrészt, ha feltesszük, hog k 0, tehát k definíciójából adódóan az egenes mentén tartunk az (x 0, 0 ) ponthoz, akkor a fenti kifejezés arra egszerűsödik, hog 1 1 Ah Ah Bk AC B k A h 0 A k0 A Ami azt jelenti, hog ezen az egenesen közeledve, az (x 0, 0 ) ponthoz tetszőlegesen közel f x, f x, 0. kerülhetünk úg, hog közben végig Éltünk azzal a feltevéssel, hog A > 0. Nilvánvaló azonban, hog ha A < 0 akkor a fenti gondolatmenetben minden fordított előjellel adódik. Az állítás tehát ekkor is igaz. f x, -nál Igazoltuk tehát, hog az (x 0, 0 ) pont tetszőlegesen kis körnezetében van az 0 0 kisebb és nagobb függvénérték is. Ezt kellett igazolni. A fentiekben az elégséges feltétel bizonítására eg olan speciális módszert alkalmaztunk amel kihasználja azt, hog kétváltozós függvénről van szó. Ezt az eljárást komplikált lenne alkalmazni a többváltozós esetre. Erre azonban nincs is szükség, felhasználhatjuk uganis a lineáris algebrában a szimmetrikus mátrixokról és kvadratikus alakokról igazolt állításokat másodrendű szimmetrikus mátrixokra (Hanka László: Fejezetek a matematikából, pont). Eszerint a másodrendű és szimmetrikus 0 0 a b b c mátrix pontosan akkor pozitív definit, ha minden főminorja pozitív, és akkor negatív definit, ha a főminorjai váltakozó előjelűek úg, hog a páros rendű főminorok pozitívok a páratlan rendűek pedig negatívok. Azaz pozitív illetve negatív definit, ha rendre a b a b a ac b a ac b b c b c 0; 0; illetve 0; 0; teljesül. Dr. Hanka László 00 Óbudai Egetem

207 Többváltozós Függvének Az elmélet alkalmazása azon a felismerésen alapul, hog a másodfokú Talor-polinomban szereplő másodfokú tag - az 1 szorzótól eltekintve - T dr f x, dr f x, dx f x, dxd f x, d ; 0 0 xx 0 0 x eg homogén kvadratikus alak, amelnek a mátrixa éppen a már megismert H x, 0 0 0, 0 x 0, 0,, f xx x f x f x x f x szimmetrikus Hesse-mátrix. Az (x 0, 0 ) pontbeli szélsőérték azon múlik, hog ez a kvadratikus alak milen előjelű értékeket vesz fel, ha drdx, d T 0, kérdés tehát a Hesse-mátrix illetve az általa meghatározott kvadratikus alak definitsége. Az idézett tétel alapján kijelenthetjük, a következőket: T 1. Ha d f x d d f x r, r 0 ha r 0 és, 0 tehát a Hesse-mátrix illetve a 0 0 xx 0 0 kvadratikus alak pozitív definit, akkor az (x 0, 0 ) pont az f függvénnek lokális minimumhele. T dr f x, dr 0 ha dr 0 és f x, 0 tehát a Hesse-mátrix illetve a. Ha 0 0 xx 0 0 kvadratikus alak negatív definit, akkor az (x 0, 0 ) pont az f függvénnek lokális maximumhele. T dr f x, dr kvadratikus alak indefinit, akkor az (x 0, 0 ) pont az f függvénnek 3. Ha a neregpontja. 0 0 Ha a Hesse-mátrixra alkalmazzuk az idézett tételt, akkor a szélsőértékre vonatkozó másodrendű elégséges feltétel pontosan egbeesik a fentiekben más módon már igazolt feltétellel. Hangsúlozzuk, hog abban az esetben amikor akár a Hesse-mátrix determinánsa, akár a tiszta másodrendű derivált értéke a stacionárius pontban zérus, azaz D x0, 0 fxx x0, 0 f x0, 0 fx x0, 0 0 vag f xx x0, 0 0 ez az elmélet nem állít semmit a szélsőértékkel kapcsolatban. Ekkor bármelik eset előfordulhat és ezt a fentiektől független, az adott problémához jól illeszkedő módszerekkel kell megvizsgálni. A továbbiakban két példát is mutatunk, amikor ez az eset előfordul, ott megmutatjuk, hogan lehet ilen esetben a szélsőérték létezését vizsgálni..38.példa: Határozzuk meg az függvén szélsőértékeit., ;, f x x x x R 4 4 Dr. Hanka László 01 Óbudai Egetem

208 Többváltozós Függvének Elsőként alkalmazzuk az elsőrendű szükséges feltételt. Az elsőrendű parciális deriváltak 3 f, x x x x x x 3 f, x Ennek a rendszernek a megoldása azonnal adódik: x1 0; x 0,5; x3 0,5 valamint 1 0; 1; 3 1, és mivel a két egenlet független egmástól, ezek az megoldások minden lehetséges variációban párosíthatók. Ez azt jelenti, hog a függvénnek összesen 9 db stacionárius pontja van. Ezek a következők P 1 0;0 ; 0;1 ; 0; 1 ; 0,5;0 ; 0,5;0 ; P 0,5;1 ; P 0,5; 1 ; P 0,5;1 ; P 0,5; 1 ; P P P P Vizsgáljunk meg minden stacionárius pontot egenként. A másodrendű elégséges feltételhez szükség van a másodrendű deriváltakra. Ezek az alábbiak Ezekből felírhatjuk a Hesse-féle mátrixot Ennek determinánsa pedig f xx x, 4x f x, 0 f x x, 1 4 4x 0 H x, ; D x, det H x, 4x 1 4 ; Ha több stacionárius pont van, célszerű mind a Hesse-mátrixot, mind pedig annak determinánsát kétváltozós függvénnek tekinteni, és a helettesítést csak a determinánsban elvégezni. Vizsgáljuk először a P 1 pontot. D0, ; pozitív, ami azt jelenti, hog a P 1 pont lokális szélsőértékhel. Mivel továbbá f 0,0 0 0; xx Dr. Hanka László 0 Óbudai Egetem

209 Többváltozós Függvének negatív, következik, hog ez a stacionárius pont lokális maximumhel. A lokális maximum pedig f 0,0 0. Vizsgáljuk a P pontot. D0,5;1 40, ; pozitív, amiből az következik, hog a P pont ugancsak lokális szélsőértékhel. Ha figelembe vesszük, hog f 0,5;1 40, xx pozitív akkor az elégséges feltétel alapján adódik, hog a P pont lokális minimumhel. A lokális minimum értéke f 0,5; A tisztelt olvasóra bízzuk, hog megmutassa, a P 3, P 4 és P 5 pontok ugancsak lokális minimumhelek és a minimum értéke mindenütt megegezik. Eddig tehát megtaláltuk a függvén eg maximumhelét és nég minimumhelét. Ezt láthatjuk a.4. ábrán..4. ábra. A példában vizsgált f függvén lokális maximuma és eg lokális minimuma. Vizsgáljuk meg most a P 6 pontot. D0, ; A determináns negatív, ami azt jelenti, hog a P 6 pont nem szélsőértékhel, hanem neregpont. f 0, Hasonlóan adódik, hog Ebben a neregpontban a helettesítési érték a P 7, P 8 és P 9 pontok ugancsak neregpontok. Ezt mutatja a.5. ábra. Dr. Hanka László 03 Óbudai Egetem

210 Többváltozós Függvének.39.Példa: Vizsgáljuk meg az.5. ábra. A példában vizsgált f függvén eg neregpontja., ;, f x x x x x R 4 4 kétváltozós függvén lokális szélsőértékeit. Az elsőrendű deriváltak a következők. Kivonással kapjuk, hog például az (1) egenlet a x x f x, 4x x 0 3 f x, 4 x 0 0amiből azonnal következik, hog x =. Ebből adódóan 3 4x 4x 0 alakot ölti. Ezzel egenértékű a 4x x 1 0 egenlet, aminek a megoldásai 1, 1 és a 0. Figelembe véve az = x összefüggést kapunk három P 1,1 ; P 1, 1 ; P 0,0. Vizsgáljuk meg egenként ezeket a stacionárius pontot: 1 3 stacionárius pontokat az elégséges feltétel alkalmazásával. A másodrendű deriváltak a következők. f xx x, 1x f x, x f x, 1 Innen kapjuk a Hesse-mátrixot illetve a Hesse-determinánst. 1 x H x, ;, det, D x H x 1x 1 4; 1 Vizsgáljuk először a P 1 pontot. Ebben a pontban a determináns értéke Dr. Hanka László 04 Óbudai Egetem

211 Többváltozós Függvének D1, ; ami azt jelenti, hog a P 1 pont lokális szélsőértékhel. Mivel továbbá f xx 1, , adódik, hog a P 1 pont lokális minimumhel, és a lokális minimum értéke f 1,1. Térjünk rá a P pont vizsgálatára. Mivel mind a Hesse-determinánsban, mind pedig a tiszta másodrendű deriváltban az x változó a második hatvánon szerepel, pontosan uganazt mondhatjuk a P pontról, mint a P 1 -ről. Tehát ez is lokális minimumhel és a lokális minimum értéke szintén. Érdekesebb szituációt jelent a P 3 stacionárius pont vizsgálata. Uganis ebben a pontban a Hessedetermináns értéke zérus. D0, ; Ebben a pontban tehát az eddigiekben alkalmazott elégséges feltétel nem dönti el, hog valóban szélsőértékhelről van-e szó. Ehhez más utat kell választanunk. Elsőként alakítsuk át a függvént a következő módon f x, x x x x x ; Ha most feltesszük, hog a P 3 ponthoz, tehát az origóhoz az x + = 0, vagis az = x egenletű egenes mentén közeledünk, akkor ennek minden pontjában igaz, hog 4 4 f x, x 0; Ez azt jelenti, hog az origó tetszőlegesen kis körnezetében van olan pont, amelben a függvén pozitív értéket vesz fel. Most megmutatjuk, hog a függvén az origó tetszőlegesen kis körnezetében negatív értékeket is felvesz. Ehhez az f függvént a következő módon célszerű átalakítani f x, x x x x x x x x 1 1 x; Ebben az estben pedig közeledjünk az origóhoz az = x egenletű egenes mentén és még tegük fel, hog x 1 ami egúttal azt is jelenti, hog 1 valamint az is nilvánvaló, hog x és azonos előjelű, tehát x > 0. A mondott feltételek esetén világos, hog f utóbbi előállításában minden tag külön-külön negatív, tehát a függvénérték ezen egenes mentén, az origóhoz tetszőlegesen közel, negatív. Ezzel igazoltuk, hog az origó nem szélsőérték hele a függvénnek, hanem neregpontja. Dr. Hanka László 05 Óbudai Egetem

212 .40.Példa: Vizsgáljuk meg szélsőérték szempontjából a következő függvént., 3 ;, f x x x x R A szükséges feltételhez először kiszámítjuk az elsőrendű deriváltakat. Többváltozós Függvének f x x, x 3x x 3x 6 0; 1 3x 11x 5 x 0 f x, 3x x 3x 0; 3x 6x x 4 0 Innen világos, hog a 3x = 0 egenletű egenes minden pontja kielégíti a szükséges feltételeket, vagis ennek a függvénnek végtelen sok stacionárius pontja van. Az (1) egenlet alapján világos, hog ezen kívül más stacionárius pont nem létezik, hiszen az egenlet bal oldalán a második ténező szigorúan pozitív. Annak eldöntéséhez, hog ezen egenes pontjaiban a függvénnek van-e szélsőértéke nem is szükséges felhasználni az elégséges feltételt. Világos uganis, hog a 3x = 0 egenes minden pontjában a függvén a 0 értéket veszi fel, és az is világos, hog az ezen egeneshez nem tartozó pontokban a függvén értéke szigorúan pozitív, hiszen eg négzetösszegnek és eg nem nulla valós szám négzetének a szorzata. Ez pedig pontosan azt jelenti, hog a 3x = 0 egenes minden pontja abszolút minimumhele a függvénnek, egéb szélsőértéke pedig nincs. Kaptuk tehát, hog a függvénnek végtelen sok abszolút minimumhele van, és az abszolút minimum zérus. Ebben az esetben azt mondjuk, hog a függvénnek az egenes pontjaiban genge minimuma van. A függvén grafikonja látható a.6. ábrán..6. ábra. Az = 3x egenes pontjaiban genge minimum van..41.példa: Eg téglatest alakú úszómedencét építünk, amelnek az űrtartalma a tervek szerint 4000m 3. A kérdés az, hog mekkorák legenek a téglatest élei, hog minimális menniségű burkolóanaggal be lehessen fedni a medence öt oldalát. Dr. Hanka László 06 Óbudai Egetem

213 Többváltozós Függvének Ha a medence szélességét és hosszúságát rendre x és jelöli, a mélségét pedig z, akkor világos, hog a burkolandó felszín nagsága A x xz z ez tehát a felszínfüggvén. Azonban az is világos, hog ez egrészt három változós függvén és az is világos, hog nincs minimuma, csak akkor ha figelembe vesszük az űrtartalomra vonatkozó kitételt. Eszerint az űrtartalom V xz 4000 Ha ezt figelembe vesszük, akkor a felszínt megadó függvénben a változók száma eggel csökkenthető például úg, hog eg változót, például a z-t ebből az utóbbi egenlőségből 4000 kifejezzük z és behelettesítjük a felszín képletébe. Íg eg kétváltozós felszínfüggvént x kapunk: f x, x x x ; x 0, 0 x x x Ennek a függvénnek keressük meg a minimumát. A szükséges feltétel szerint teljesülnie kell az 8000 x, 0 x 1 x x 8000, 0 f x f x x egenleteknek. A két egenlet hánadosából adódik, hog szükségképpen = x. Ha ezt 3 visszahelettesítjük pl. az (1) egenletbe, akkor azt kapjuk, hog x 8000 azaz x = = 0. Kaptunk tehát egetlen stacionárius pontot: P(0, 0). Erről kell eldönteni, hog valóban minimumhel-e. Az elégséges feltételhez szükség van a másodrendű deriváltakra amelekből azonnal kapjuk a Hesse-mátrixot is Ennek determinánsa f xx x, x 1 3, 1 x f x x H x, ; f x, 3 Dr. Hanka László 07 Óbudai Egetem

214 Dx, det H x, 1; 3 3 x Most kiszámítjuk ennek értékét a stacionárius pontban D0, ; Többváltozós Függvének Mivel a determináns pozitív valóban szélsőértékhel a P(0, 0) pont. Vizsgáljuk meg végül a szélsőérték típusát is. Mivel f xx 0, pozitív, ezért a P pontban a függvénnek lokális minimuma van. Tehát a medencét akkor kell burkolni minimális menniségű csempével, ha mind a szélessége, mind a hosszúsága 0m. Ha 4000 felhasználjuk, hog z, akkor kapjuk, hog a minimális felszínű medence mélsége x z 10 m. A minimális felszín pedig f 0, m Az alábbi ábrán látható a medence felszínét leíró kétváltozós függvén képe a minimumhelhez tartozó parciális függvénekkel egütt..7. ábra. A medence felszínét megadó függvén grafikonja. Dr. Hanka László 08 Óbudai Egetem

215 Többváltozós Függvének.4.Példa: A témakör utolsó példájaként vizsgáljunk meg eg függvént amel meglehetősen érdekes tulajdonságokat mutat ha szélsőérték szempontjából vizsgáljuk. Vizsgáljuk meg, hog hol és milen szélsőértéke van az, ;, f x x x x x R 3 függvénnek. Szokás szerint elsőként kiszámítjuk az elsőrendű parciális deriváltakat. x 3 f x, x x 0 f x, x x 6x 0 x 1 x 3 0 Elsőként tegük fel, hog sem x sem nem zérus. Ebben az esetben az 1 1 x 0 1 x lineáris rendszert kell megoldani, amelnek egértelmű megoldása a P 1, 4 4 pont. Ha x = 0, akkor a () egenlet azonosan nulla, ennek elvileg bármilen a megoldása, de az (1) egenlet alakja ekkor ahonnan és 0 adódik. További stacionárius pontok 1 eszerint a P0, és P3 0, 0 pont. Ha pedig végül azt tesszük fel, hog = 0, akkor mindkét egenlet azonosan zérus, tehát bármel valós x kielégíti, ami azt jelenti, hog az x-tengel minden pontja stacionárius pont, ebben benne van a P 3 stacionárius pont is. Összefoglalva kaptuk tehát, hog van két diszkrét stacionárius pont és stacionárius pont az x-tengel minden pontja. Vizsgáljuk meg, hog ezek között melik az ahol valóban van szélsőérték. A második deriváltak a következők. f x, xx x, 4 6, 1 f x x f x x x x 1 1 Vizsgáljuk a P 1, 4 4 pontot. Ezen a helen a deriváltak értéke f xx, ; f x, ; f, ahonnan a Hesse-mátrix és a Hesse-determináns rendre a következő Dr. Hanka László 09 Óbudai Egetem

216 Többváltozós Függvének H, ; D, det H, 0; Ez azt jelenti, hog a P 1, 4 4 pont lokálos szélsőértékhel. Mivel f xx, 0 adódik, hog ez a pont lokális maximumhel (.8. ábra). A lokális maximum értéke f, ábra. A vizsgált függvénnek a (0,5; 0,5) pont eg lokális maximumhele Térjünk rá a P 1 0, pont vizsgálatára. Ebben a pontban a második deriváltak értéke f xx 0, ; f x 0, ; f 0, 0; Innen kapjuk a a Hesse-mátrix és a Hesse-determináns értékét, amelek rendre az alábbiak H 0, ; D 0, det H 0, 0 0; ami azt jelenti, hog a P 1 0, pontban nincs szélsőérték, ez a pont a függvén neregpontja. Végezetül vizsgáljuk meg az x-tengel pontjait. Ha = 0 akkor a másodrendű deriváltak értéke Dr. Hanka László 10 Óbudai Egetem

217 Többváltozós Függvének f x,0 0; f x,0 0; f x,0 x x ; xx x Ezért a Hesse-mátrix és a Hesse-determináns rendre a következő H x,0 ; D x,0 det H x,0 0; 0 x x 0 x x Ez pedig azt jelenti, hog az x-tengel minden pontjában eltűnik a Hesse-determináns,0 0 f x,0 0 tetszőleges xr esetén. Az x-tengel pontjaiban tehát Dx és ráadásul xx sehol sem tudjuk alkalmazni az elégséges feltételt. Más módszerrel kell tehát a vizsgálatot f x,0 0, xr, elvégezni. Mivel az (x, 0) koordinátájú pontokban nilván teljesül, hog vagis a tengel mentén a függvén azonosan zérus. A tengel pontjaiban a szélsőértéket úg tudjuk megvizsgálni, hog a tengel pontjainak körnezetében megvizsgáljuk a függvén előjelét. Legen ennek érdekében az x 0 eg tetszőlegesen rögzített valós szám, és vizsgáljuk az előjelet az (x 0, 0) pont körnezetében. Ennek érdekében a függvént a következő módon alakítjuk át 3 f x, x x x x 1 x ; Ha közeledünk az (x 0, 0) ponthoz, akkor az értéke tetszőlegesen kicsivé válik, tart a 0-hoz. Ha még figelembe vesszük, hog a tengelre nem illeszkedő pontok esetén nilván > 0, és ha tart 0-hoz, akkor feltéve, hog x 0 különbözik 1-től, akkor az 1 x 0 különbség abszolút értékben nagobb lesz mint a abszolút értéke. Íg világos, hog az említett kivétellel a függvén előjelét a tengelhez közel eső pontokban az x 0 és az 1 x 0 előjele egüttesen fogja meghatározni. 1.eset: Ha x 0 < 0 akkor x 0 < 0 és 1 x 0 > 0, tehát a függvén előjele negatív a tengelhez közeli pontokban. Innen adódik, hog a negatív féltengel pontjaiban a függvénnek lokális maximuma van. Ezek a pontok genge maximumhelek.. eset: Ha x 0 = 0 tehát ha az origót vizsgáljuk, akkor közeledjünk a (0, 0) ponthoz eg = mx egenletű egenes mentén. Ezen egenes pontjaiban 3, 1 f x mx x mx x mx x mx mx x x mx mx x m x 1 Legen most konkrétan m azaz m + 1 = 0. Ez azt jelenti, hog ezen egenes mentén a függvén az 1 f x, x mx x formulával adható meg. Ha x > 0 akkor nilván a függvénérték is pozitív, és ha x < 0 akkor a függvénérték is negatív, tetszőlegesen közel az origóhoz. Ez azt jelenti, hog a (0, 0) pont a függvénnek neregpontja, tehát az origóban nincs szélsőérték. Dr. Hanka László 11 Óbudai Egetem

218 Többváltozós Függvének 3. eset: Ha 0 < x 0 < 1 akkor nilván 0 < x 0 és 1 x 0 > 0 tehát ezen pontok körnezetében, elég közel a tengelhez a függvénértékek pozitívok, azaz a ]0, 1[ intervallum minden pontja lokális minimumhel. Ezek a pontok tehát genge minimumhelek eset: Ha x 0 = 1 akkor a második parciális függvén f 1, eg páratlan kitevőjű hatvánfüggvén. Ez azt jelenti, hog ha > 0 a függvén negatív, ha pedig < 0 a függvén pozitív. Vagis az (1, 0) pont nem szélsőértékhel, hiszen a pont tetszőlegesen kis körnezetében a függvén felvesz pozitív és negatív értéket is. Az (1, 0) pont tehát a függvén neregpontja (.9. ábra)..9. ábra. Az ábrán látható az (1, 0) pont amel eg neregpont és látható az x-tengel, amel végtelen sok genge szélsőértékhelet jelent. Továbbá jól látható a (0; 0,5) pont amel ugancsak neregpont. 5. eset: Ha x 0 > 1 akkor nilván x 0 > 0 és 1 x 0 < 0, tehát a függvén előjele negatív a tengelhez közeli pontokban. Innen adódik, hog az ]1, [ intervallum pontjaiban a függvénnek lokális maximuma van. Ezen intervallum minden pontja genge maximumhel. Ezzel a függvén összes stacionárius pontját megvizsgáltuk. Dr. Hanka László 1 Óbudai Egetem

219 Többváltozós Függvének.10. Három - és többváltozós függvének szélsőértéke Ebben a pontban azt vizsgáljuk, hogan lehet a kétváltozós függvénekre megfogalmazott szükséges és elégséges feltételt általánosítani n változó esetére. Keressük tehát az,,...,,,..., x x x f x x x R 1 n 1 n-változós valós értékű függvén lokális szélsőértékének szükséges és elégséges feltételét. Az nilvánvaló, hog ha eg x 0 x01, x0,..., x0n hel a függvén lokális szélsőértékhele, akkor ez a hel lokális szélsőértékhele az összes parciális függvénnek is, azaz ebben a pontban lokális szélsőértéke van az x f x, x,..., x,..., x R ; i 1,,..., n i 01 0 i 0n függvéneknek is. Ezekre vonatkozólag az egváltozós analízisből ismerjük a szükséges feltételt. Eszerint az x 0i pontbeli deriváltaknak, azaz a parciális deriváltaknak el kell tűnni. Már kaptuk is a szélsőérték szükséges feltételét. Tétel: A lokális szélsőérték elsőrendű szükséges feltétele x, x,..., x f x, x,..., x R n-változós függvén lokális Tegük fel, hog az x 0 pont az szélsőértékhele. Ekkor 1 n n f x, x,..., x 0; i 1,,..., n xi A szélsőérték meghatározása ezután úg történik, hog megoldjuk az fx x 1 1 x xn f x x x 1,,..., 0,,..., 0 x 1 n n f x x x xn 1...,,..., n 0 n db egenletből álló, általában nem lineáris egenletrendszert. Vegük észre, hog ez az egenletrendszer egenértékű azzal, hog szélsőértékhelen a függvén gradiense eltűnik, vagis a szükséges feltétel a következő: f x 0 ; Ennek a rendszernek illetve vektoregenletnek a megoldásait nevezzük stacionárius pontoknak. Tegük fel, hog eg megoldás, tehát eg stacionárius pont a következő: x 0 x01, x0,..., x0n. A kérdés, hog ebben a pontban valóban van-e szélsőértékhel. Ennek eldöntéséhez ismét a másodfokú Talor-polinomot használjuk fel. n n Dr. Hanka László 13 Óbudai Egetem

220 Többváltozós Függvének A Talor-polinom n-változós esetben is pontosan uganolan alakban írható, mint ahogan azt a kétváltozós esetben megadtuk. Vektoriális alakban T 1 T T f x f x 0 0 f x0 dr dr f x0 dr ; x Ha most figelembe vesszük a szükséges feltételt, akkor tehát szélsőértékhelen ez a 1 T T f x f x 0 0 dr f x0 dr ; x egenletre egszerűsödik. Ha felírjuk ezt koordinátás jelöléssel akkor a 1 T T f x , x,,...,,..., x 01, 0,..., 0 01, 0,..., 0 ; x x x n n f x x x n dr f x x x n dr összefüggést kapjuk. A függvénérték és a stacionárius pontbeli függvénérték különbsége ebből adódóan a 1 T f x f x0 dr f x0dr; 1 T f x1, x,..., xn f x01, x0,..., x0n dr f x01, x0,..., x0n dr; összefüggéssel adható meg, ahol tehát dr x x x x A fenti egenlőség jobb oldala eg homogén kvadratikus alak. Ennek a kvadratikus alaknak a definitsége dönti el, hog a függvénnek az x 0 helen milen szélsőértéke van. A lineáris algebrában megfogalmaztuk és igazoltuk ennek szükséges és elégséges feltételét. Eszerint eg szimmetrikus n-ed rendű A mátrix pontosan akkor pozitív definit, ha a főminorjai pozitívok és negatív definit ha a főminorjai váltakozó előjelűek, olan módon, hog a páros rendű főminorok pozitívok és a páratlan rendű főminorok negatívok. Ha az A mátrix az x n x x... x 0n ; a11 a1 a13... a1 n a1 a a3... a n A a13 a3 a33... a 3n ; a1n an a3n... a nn Dr. Hanka László 14 Óbudai Egetem

221 komponensekkel adott, akkor tehát az idézett tétel a következő módon hangzik. 1. Az A mátrix pontosan akkor pozitív definit, ha Többváltozós Függvének a a a... a n a a a a a a... a a a a 0, 0, a a a 0,..., a a a... a 0; n n a1 a a13 a3 a a a a... a 1n n 3n nn. Az A mátrix pontosan akkor negatív definit, ha a a a... a n a a a a a a... a a a a 0, 0, a a a 0,..., a a a... a 0 ha n ps és 0 ha n ptl n n a1 a a13 a3 a a a a... a 1n n 3n nn Ezek alapján megfogalmazhatjuk az elégséges feltételt. Tétel: A szélsőérték másodrendű elégséges feltétele. f T Tegük fel, hog x 0 és tegük fel továbbá, hog a pozitív definit, azaz 0 dr f x dr kvadratikus alak x x x x x x f f f f x0 1 f x0 1 f x0 1 f x 0 f x0 3 f x0 1 f x0 f x0 13 f 0 3 f 0 3 f 0 0, 0, 0,... Ekkor az x 0 pont az f függvén lokális minimumhele. f T Tegük fel, hog x 0 és tegük fel továbbá, hog a negatív definit, azaz 0 0 dr f x dr kvadratikus alak x x x x x x f f f f x0 1 f x0 1 f x0 1 f x 0 f x0 3 f x0 1 f x0 f x0 13 f 0 3 f 0 3 f 0 0, 0, 0,... Ekkor az x 0 pont az f függvén lokális maximumhele. Lássunk az elmélet alkalmazására eg példát. 0 Dr. Hanka László 15 Óbudai Egetem

222 Többváltozós Függvének.43.Példa: Vizsgáljuk meg az z 1 f x,, z x ; x 0, 0, z 0; x z Háromváltozós függvén lokális szélsőértékeit. Elsőként maghatározzuk az elsőrendű parciális derivált függvéneket és azonnal fel is írjuk a szükséges feltétel szerinti egenletrendszert. Ebből következik, hog f x x,, z 1 0 x x 1 z z 1 1 f f x,, z 0 xz x z x,, z 0 z xz x xz x z x z x x x x, azaz,, azaz vag ; Mivel x nem lehet zérus, a legutóbbi egenlet nem teljesül, tehát az előtte levőből adódik, hog x = 1 vag 1. Ekkor a harmadik összefüggésből adódik, hog rendre z = 1 vag 1, és végül az első egenlőség alapján adódik, hog = 1. Kaptunk tehát két stacionárius pontot: P 1,1,1 és P 1,1, 1. 1 Most következik az elégséges feltétel. A másodrendű deriváltak a következők. Innen a Hesse-mátrix a következő. 1 f xx x,, z ; f 3 x x,, z ; x x z f x,, z ; f 3 xz x,, z 0; 1 f zz x,, z ; f 3 z x,, z ; z x x 1 z 1 H x,, z ; 3 x z Dr. Hanka László 16 Óbudai Egetem

223 Vizsgáljuk meg most a stacionárius pontokat. A P 1 pontban a Hesse-mátrix 1 0 H 1,1,1 1 1 ; 0 1 Vizsgáljuk meg a főminorok előjelét , 3 0, ; Többváltozós Függvének Minden főminor pozitív, ami azt jelenti, hog a H(1,1,1) Hesse-mátrix pozitív definit, tehát a P 1 pont lokális minimuhel. A lokális minimum értéke pedig f(1,1,1) = 4. A P pontban foltatjuk a vizsgálatokat. Ebben a pontban a Hesse-mátrix A főminorok pedig a következők. H 1 0 1,1, ; , 3 0, ; Ezek előjele váltakozó, a páros rendű főminor pozitív a többi negatív, tehát a H( 1,1, 1) Hessemátrix negatív definit, ami azt jelenti, hog a P pont lokális maximumhel. A lokális maximum értéke pedig f( 1,1, 1) = 4. A bemutatott módszerrel vizsgálható tehát eg többváltozós függvén szélsőértéke. Ha azonban a vizsgálat során az derül ki, hog valamelik főminor értéke zérus, az még nem jelenti azt, hog akkor a stacionárius pontban nincs szélsőérték, hiszen az említett tétel valóban csak elégséges feltétel de nem szükséges. Íg ha előáll az említett eset, akkor az adott feladaton belül más módszerekhez kell folamodni annak eldöntéséhez, hog a stacionárius pont valóban szélsőértékhel-e, mint azt a kétváltozós esetben több példán keresztül bemutattuk. Dr. Hanka László 17 Óbudai Egetem

224 Többváltozós Függvének.11. A legkisebb négzetek módszere A többváltozós függvén szélsőértékének fontos alkalmazása a legkisebb négzetek módszere. Ezzel a módszerrel szokás például mérési adatokra legjobban illeszkedő, adott osztálba tartozó függvént illeszteni. Ennek eg másik aspektusa valószínűségi változók esetén a korreláció és regresszió fogalomköre. Ott a valószínűségi változók közötti sztochasztikus kapcsolat analitikus leírására használjuk ezt az eljárást. Az alábbiakban három konkrét függvénosztállal foglalkozunk. Először megvizsgáljuk a leggakoribb kérdést, hogan lehet legjobban illeszkedő egenest illeszteni a mérési adatokból kapott számpárokra. A statisztikában ezt nevezik lineáris regressziónak. Utána a bemutatott módszert általánosítjuk. Elsőként bemutatjuk, hogan lehet a lineáris regresszió esetén kapott formulákat hasznosítani, ha exponenciális függvén illesztése a feladat, tehát megvizsgáljuk az exponenciális regresszió problémakörét. Mint kiderül ez a két problémakör visszavezethető a kétváltozós függvének szélsőértékének vizsgálatára. Végül, a háromváltozós szélsőértékek elméletének alkalmazásaképpen megmutatjuk, hogan lehet adatsorra legjobban illeszkedő parabolát illeszteni, vagis megvizsgáljuk a parabolikus regresszió kérdéskörét. A.30. ábrán illusztráljuk, mit is jelent valójában a "legkisebb négzetek" módszere..30. ábra. A legkisebb négzetek módszerének szemléltetése Az ábrára tekintve tegük fel, hog adottak méréssel kapott rendezett párok, jelölje ezeket x,, k = 1,,..., n. Tegük fel, hog ezekre a pontokra szeretnénk illeszteni eg f(x) k k függvént, amel a vizsgálataink során konkrétan elsőfokú polinom, exponenciális függvén illetve másodfokú polinom lesz, de elvileg bármilen függvén lehet. Ebben a függvénben mindig kell, hog legen legalább eg konstans, ami szabad paraméternek tekinthető, amelnek a változtatásával változik az illesztett függvén is. Ha például elsőfokú polinomot illesztünk, melnek képlete f(x) = mx + b, akkor ezek a szabad paraméterek az m meredekség és a b tengelmetszet. Az illeszteni kívánt függvén paramétereit úg határozzuk meg, hog tekintjük a Dr. Hanka László 18 Óbudai Egetem

225 Többváltozós Függvének méréssel kapott pontoknak az ordinátáit illetve uganezen abszcisszákhoz tartozó f(x k ) függvénértékeket, és előírjuk, hog az ordináták és a függvénértékek különbségeinek négzetösszege legen minimális. Ezeket az előjeles különbségeket a.30. ábrán d k jelöli, ahol természetesen d k lehet pozitív és negatív sőt zérus is. Numerikusan tehát az a feladat, hog úg határozzuk meg a függvénben szereplő konstans paramétereket, hog n db mérési pont esetén a n 1 n k k1 d d... d d minimum n 1 f x1 f x n f xn k f xk... minimum feltétel teljesüljön. Innen világos, miért kapta az eljárás a "legkisebb négzetek módszere" elnevezést. Mielőtt a konkrét számításokba belemerülünk hangsúlozzuk a következőt. Igen gakori hiba a legkisebb négzetek módszerének alkalmazása során, hog mélebb indoklás nélkül illesztenek valamilen függvént eg adatsorra. Ez különösen az egenes illesztésére igaz, hiszen ez a legegszerűbb és íg a leggakoribb eset. Azonban a függvénkapcsolat létezése és a jelleg mélebb alátámasztása nélkül ez csak eg "semmitmondó" matematikai kapcsolat lesz, amelből közvetlenül semmiféle tudomános érvénű következtetést levonni nem lehet. Ezért azt javasoljuk az alkalmazóknak, hog regressziós függvének meghatározása előtt előbb derítsék ki a menniségek közötti összefüggéseket és indokolják meg, hog jogos-e adott függvén illesztése az adott probléma esetén. k1 Dr. Hanka László 19 Óbudai Egetem

226 Többváltozós Függvének Lineáris regresszió Ebben a pontban a legegszerűbb és leggakoribb estet tanulmánozzuk, amikor a mérési pontokra eg legjobban közelítő egenest illesztünk. A valószínűségelméletben ezt nevezzük lineáris regressziónak. Felmerül a kérdés, hog mit értünk azon, hog legjobban közelítő. Erre több definíciót is adhatnánk, ebben a témakörben ezt a következő módon szokás meghatározni. Adott a következő, n db mérésből származó rendezett pár x1; 1, x;,..., xn; n ami jelentheti például azt, hog n különböző időpontban megmérjük eg fizikai menniség értékét. Ha felfedezhető valamilen tendencia, valamilen "trend" az adatokban, és ez akár mélebb fizikai okok miatt lineáris kapcsolat, vag egszerűen csak vizuálisan úg tűnik, hog ez közelítőleg eg egenesre illeszkedő ponthalmaz a síkban, akkor megpróbálhatjuk a közelítő egenest mx b alakban felvenni. A kérdés az, hog menni legen az m meredekség és a b tengelmetszet értéke. Ezen ismeretlen paraméterek optimális értékének meghatározásához használjuk fel a többváltozós függvének szélsőértékének elméletét. Tegük fel, hog az n db x, i 1,,..., n alapponthoz a közelítő egenes az i mx b; i 1,,..., n i i ordinátákat rendeli. Az optimalitás kritériumát a következőképpen értelmezzük. Legen az m és b paraméter úg meghatározva, hog a n n mx b i i i i i1 i1 négzetösszeg minimális értéket vegen fel. Innen már világos az elnevezés, hog miért nevezik ezt a módszert "legkisebb négzetek" módszerének. Vegük észre, hog ez voltaképpen eg kétváltozós függvén, amelnek a két változója éppen az m és b hiánzó paraméterek. Feladat tehát meghatározni az alábbi szélsőérték feladat megoldását. n f m, b mx b minimum i1 i A szélsőérték meghatározásához alkalmazzuk a szélsőérték szükséges feltételét. Eszerint az elsőrendű deriváltak értéke zérus. i Dr. Hanka László 0 Óbudai Egetem

227 1 n, 0 f m b mx b x m i i i i1 n, 1 0 f m b mx b b i i i1 Többváltozós Függvének Vizsgáljuk meg milen megoldást ad ez az egenletrendszer. Ha mindkét egenletet osztjuk -vel majd kiemeljük a konstans m-et a szumma elé és rendezzük az egenleteket, azt kapjuk, hog n n n 1 m xi b xi xi i i1 i1 i1 n m x bn i i1 i1 Mint látható, ez eg lineáris egenletrendszer a két ismeretlenre vonatkozólag. A megoldás érdekében bővítsük az (1) egenletet n-nel, a () egenletet pedig 1 n i n n n mn xi bn xi n xi i i1 i1 i1 n n n n m xi b n xi xi i i1 i1 i1 i1 Innen kivonással már adódik az m ismeretlen értéke az n xi -vel. Ekkor kapjuk, hog i1 egenletből, illetve ennek n -tel osztott m n x x n x x n n n n n i i i i i i i1 i1 i1 i1 i1 m n n n n n xi xi xi i xi i i1 i1 i1 i1 i1 n n n n n változatából már adódik. Ha a szokásos alakban szeretnénk előállítani az m paraméter értékét, akkor célszerű bevezetni néhán egszerűsítő jelölést. Legenek n n n n xi i xi i xi i1 i1 i1 i1 x ; ; x ; x n n n n Dr. Hanka László 1 Óbudai Egetem

228 Többváltozós Függvének amel jelölésekben és hánadosokban felismerhetők a statisztikából ismert átlagértékek. Ezekkel a jelölésekkel kapott egenlet egszerűen a következő alakot ölti. Ahonnan az m meredekség optimális értéke. m x x x x x x m x x Ennek birtokában a hiánzó b paraméter már egszerűen adódik a () egenletbe történő helettesítéssel. Ha uganis a () egenletet osztjuk n-nel, akkor azt kapjuk, hog n ami a bevezetett jelölésekkel úg írható, hog x i i1 i1 m b n n mx b Ebből adódik a b tengelmetszet optimális értéke. b mx Még hátra van annak vizsgálata, hog ez valóban eg minimumhel. Ennek eldöntéséhez az elégséges feltételt hívjuk segítségül. Előállítjuk a másodrendű deriváltakat. n n f mm m, b xi xi xi i1 i1 n n f mb m, b xi 1 xi i1 i1 f m b n n n bb, 1 i1 i1 Innen kapjuk a Hesse-mátrixot és annak determinánsát n n xi xi n n i1 i1 H m, b ; Dm, b det H m, b 4n xi x n i i1 i1 xi n i1 n i Dr. Hanka László Óbudai Egetem

229 Többváltozós Függvének Ha a Hesse-determináns kapott alakjából kiemelünk 4n -et, akkor azt kapjuk, hog n n xi xi i1 i1 Dm, b 4n n n A stacionárius pontban akkor van szélsőérték, ha ez a determináns ott pozitív értéket vesz fel. Ez azonban igaz, uganis ha felhasználjuk a számtani és négzetes közép közötti ismert egenlőtlenséget, mel szerint a számtani közép legfeljebb akkora lehet mint a négzetes közép. Ha ezt az egenlőtlenséget négzetre emeljük, kapjuk hog ; 0 n n n n n n n n xi xi xi xi i1 i1 i1 i1 Mivel azt is tudjuk, hog a két közép pontosan akkor egenlő, ha az n db szám páronként egenlő - ami a vizsgált esetben nilván nem teljesül -, ezért a fenti egenlőtlenség szigorú formában teljesül. Ez pontosan azt jelenti, hog a Hesse-determináns pozitív, ráadásul nem csak a stacionárius pontban hanem mindenütt. Ez éppen azt jelenti, hog a fentiekben kapott stacionárius pont szélsőértékhel. Mivel továbbá nilvánvalóan igaz, hog n f m, b x 0 mm ezért a stacionárius pont valóban minimumhel, a négzetösszeg tehát valóban minimális. Ezzel meghatároztuk a legkisebb négzetek módszere szerint legjobban közelítő egenes paramétereit, a meredekséget és a tengelmetszetet..44.példa: Alkalmazzuk a fent levezett képleteket eg konkrét numerikus példában. Tegük fel, hog eg tendenciájában növekvő fizikai menniség értékét mértük 10 egmást követő percben. Az összetartozó adatpárok - mindeg milen mértékegségben - legenek a következők: x i i 0,4 1,7,1 1,9 3, 3, 4,6 4,4 5, 6,5 Most kiszámítjuk a fenti formulákban szereplő átlagértékeket. i1 i Dr. Hanka László 3 Óbudai Egetem

230 Többváltozós Függvének n n n n xi 55; i 33, ; xi i 3,1; xi 385; i1 i1 i1 i1 n n n n n xi xi i xi i xi i1 i1 i1 i1 i1 x 5,5; x 30, 5; 3,3; x 3, 1; x 38,5; n n Ebből a két kiemelt összefüggésbe helettesítve adódik a legkisebb négzetek módszerével kapott közelítő egenes két paramétere. x x 3, 15,5 3,3 m 0,6; b mx 3,3 0,65,5 0,0; x 38,5 30, 5 x A keresett egenes egenlete tehát a következő. 0,6x 0,0 A számítások eredménét, valamint a méréssel kapott pontok viszonát érzékelteti a.31. ábra. 7 Regressziós egenes Mérési adatok Az adatokra illesztett egenes.31. ábra. A legkisebb négzetek módszerével illesztett egenes képe Dr. Hanka László 4 Óbudai Egetem

231 Többváltozós Függvének.11.. Exponenciális regresszió Az exponenciális regressziós függvén alkalmazása azt jelenti, hog a méréssel kapott adatok által meghatározott rendezett párokra eg a e bx alakú függvént illesztünk, ezen függvén paramétereit keressük. A függvént ugancsak a legkisebb négzetek módszerével szeretnénk illeszteni. Ezt a problémát azonban könnedén visszavezethetjük az előző pontban tárgalt lineáris regresszió esetére. Vegük uganis az előző egenlet természetes logaritmusát. Ekkor az ln ln a bx lineáris összefüggést kapjuk x és ln között. Az erre vonatkozó optimális megoldást már ismerjük az előző pontból, íg tehát az exponenciális függvén illesztését közvetett módon tudjuk megoldani, eg elsőfokú függvén illesztését követően. Tegük fel tehát, hog adott a következő, n db mérésből származó rendezett pár x ;, x ;,..., x ; 1 1 A fenti gondolatmenet szerint ehelett vizsgáljuk az x ;ln, x ;ln,..., x ;ln 1 1 pontokat. Ezen pontokra illesztünk eg regressziós egenest, melnek paraméterei lna és b, ahol lna a tengelmetszet és b a meredekség. Az előző pont formuláit közvetlenül alkalmazhatjuk, íg kapjuk az optimális paraméterértékeket. Legen tehát n n n n n n n n xi ln i xi ln i xi i1 i1 i1 i1 x ; ; x ; x n n n n ekkor formálisan uganazok a képletek szolgáltatják az egenes paramétereit. x x b ; ln a bx x x Innen pedig az exponenciális függvén paraméterei is azonnal adódnak x x b ; a e x x bx Dr. Hanka László 5 Óbudai Egetem

232 Többváltozós Függvének Lássunk a mondottakra eg numerikus példát..45.példa: Exponenciális regressziós függvén illesztése. Tegük fel, hog adottak az alábbi rendezett párok, amelek mérés során kapott értékek. x i i 1,8 1,9, 3,6 4 5,7 6,7 7, ,6 17, Tegük fel továbbá, hog valamilen törvén alapján azt jósoljuk, hog a két adatsor között eg exponenciális függvénkapcsolat van. Ekkor kereshetünk eg exponenciális regressziós bx függvént a e alakban. Ekkor az i értékek helett ezek természetes logaritmusát vesszük alapul a számításokhoz. x i ln i 0,58 0,64 0,78 1,8 1,38 1,74 1,90,06,30,61,84 Ezen rendezett párok által meghatározott pontokra egenest illesztünk. Ezek paraméterei a mondottak szerint a következők x x 10,59 51,65 b a e e x 35 5 x bx 1,650,3 5 0,3; 1,61 0,3x A legjobban illeszkedő exponenciális függvén tehát az 1,61 e. A mérési pontokat és az illesztett exponenciális függvén grafikonja látható a.3. ábrán Exponenciális regresszió mért adatok illesztett exponenciális görbe.3. ábra. Exponenciális függvén illesztése a legkisebb négzetek módszerével Dr. Hanka László 6 Óbudai Egetem

233 Többváltozós Függvének Másodfokú regresszió Másodfokú regresszióról beszélünk akkor, ha az adatsorra eg x1; 1, x;,..., xn; n ax bx c alakú parabolát illesztünk. Ebben az esetben nilván az ismeretlen a, b és c konstansok értékét keressük a legkisebb négzetek módszerével. Előírjuk tehát, hog a n i i i f a, b, c ax bx c min i1 háromváltozós függvén minimális értéket vegen fel. A paraméterek meghatározásához a szélsőérték szükséges feltételét jelentő, három egenletből álló n fa a, b, c i axi bxi c xi 0 i1 n f a, b, c ax bx c x 0 b i i i i i1 n f a, b, c ax bx c 1 0 b i i i i1 egenletrendszert kell megoldani. Minden egenletet elosztva -vel, majd eg oldalra rendezve az ismeretleneket az egenletek a következő alakot öltik a x b x c x x n n n n 3 a xi b xi c xi xi i i1 i1 i1 i1 n n n a xi b xi c n i i1 i1 i1 n n n n 4 3 i i i i i i1 i1 i1 i1 Ez eg lineáris egenletrendszer az a, b, c ismeretlenekre vonatkozólag. Az adatsor ismeretében akár Gauss-eliminációval, vag Cramer-szabállal, vag valamel számítógépes szoftverrel megoldható. Az egenletrendszer megoldásával tehát kezünkben van a legkisebb négzetösszeggel közelítő parabola három paramétere. Dr. Hanka László 7 Óbudai Egetem

234 A jobb áttekinthetőség érdekében felírjuk a rendszert mátrixműveletekkel. Többváltozós Függvének n n n n 4 3 xi xi xi a xi i i1 i1 i1 i1 n n n n 3 xi xi xi b xi i ; i1 i1 i1 i1 n n n xi xi n c i i1 i1 i1 Hátra van még annak eldöntése, hog ez a megoldás valóban az eltérések négzetösszegének minimumát szolgáltatja. Ennek vizsgálatához szükség van a másodrendű deriváltakra. n 4 f a, b, c x f a, b, c x f a, b, c n aa i bb i cc i1 i1 3 f a, b, c x f a, b, c x f a, b, c x ab i ac i bc i i1 i1 i1 Ahonnan a harmadrendű Hesse-mátrix már felírható. n n n n n n n 4 3 xi xi xi i1 i1 i1 n n n 3 H a, b, c xi xi xi ; i1 i1 i1 n n xi xi n i1 i1 Vegük észre, hog a -es szorzótól eltekintve ez a mátrix pontosan megegezik az a, b és c paramétereket szolgáltató egenletrendszer egütthatómátrixával. Az világos, hog ez szimmetrikus mátrix. Az elégséges feltétel ismeretében az a kérdés, hog ez a mátrix, amel független az a, b és c értékétől, tehát konstans, pozitív definit-e. Ha igazolni szeretnénk, hog valóban minimumhelet kapunk, akkor a háromváltozós függvének szélsőértékére vonatkozó elégséges feltételt figelembe véve azt kell megvizsgálnunk, hog a n n n 4 3 n n xi xi xi 4 3 i1 i1 i1 n xi xi n n n 4 i1 i1 3 xi ; ; n n xi xi xi i1 3 i1 i1 i1 xi xi n n i1 i1 xi xi n i1 i1 Dr. Hanka László 8 Óbudai Egetem

235 Többváltozós Függvének bal felső sarok aldeterminánsok mindegike pozitív-e. Az elsőrendű tag esetén ez nilvánvaló, a Cauch-Schwarz-Bunakovszkij egenlőtlenséggel a másodikról is könnedén megmutatható, hog pozitív, a harmadrendű tag azonban elég bonolult összefüggésre vezet. Ezért nem általánosan mutatjuk meg, hog a Hesse-mátrix pozitív definit, hanem a konkrét példa kapcsán javasoljuk megvizsgálni, ahogan az alábbi példában ezt illusztráljuk..46.példa: Parabolikus regresszió. Adott az alábbi adatsor. Illesszünk rá eg parabolát a legkisebb négzetek módszerével. x i i Kiszámítjuk az egenletrendszer egütthatómátrixát és jobboldalát. n n n n 3 4 xi 10; xi 140; xi 14400; xi 17831; i1 i1 i1 i1 n n n i 314; i xi 3076; ixi 39088; i1 i1 i1 A megoldandó egenletrendszer tehát a következő a b 3076 ; c 314 Ennek megoldása pedig az a 0,9955 b 13,9133 ; c 49,9473 rendezett hármas. (A megoldást a MATLAB segítségével állítottuk elő.) Hátra van annak igazolása, hog ez valóban minimumhel, vagis igazolnunk kell, hog a Hesse-mátrix, ami ebben az esetben egbeesik az egütthatómátrixszal, pozitív definit. De ez igaz, hiszen kiszámítva a bal felső sarok aldeterminánsokat kapjuk, hog ; 1, ; , ; Azaz valóban pozitív definit, tehát a kapott megoldás a szélsőérték probléma minimumhele. Dr. Hanka László 9 Óbudai Egetem

236 Többváltozós Függvének Eszerint a legjobban közelítő parabola egenlete a következő x x 0, , ,9473 Az adatsort és a legjobban illeszkedő parabolát láthatjuk a.33. ábrán. 70 Parabolikus regresszió mérési adatok illesztett parabola.33. ábra. Adatsorra legjobban illeszkedő parabola a legkisebb négzetek módszerével. Dr. Hanka László 30 Óbudai Egetem

237 Többváltozós Függvének.1. Kétváltozós függvének integrálása Többváltozós függvének integrálása az egváltozós határozott integrál fogalomkörének általánosítását jelenti. Általánosítani lehet a primitív függvén fogalmát is, de ez a kérdéskör a vektoranalízis témaköréhez tartozik ezért később tárgaljuk. Az integrálás témakörében elsősorban mérnöki alkalmazási szempontokat tartunk szem előtt. Ez azt jelenti, hog nem azt vizsgáljuk, milen feltételek teljesülése esetén létezik az integrál, illetve mik az integrálhatóságnak a szükséges, elégséges illetve a szükséges és elégséges feltételei, hanem azt mutatjuk be, hog különböző típusú integrációs tartománok esetén az integrál kiszámításának a technikájára helezzük a hangsúlt. bemutatjuk, hogan számítható ki eg kettős vag hármas integrál és ami nagon fontos szempont lesz, megmutatjuk, hogan általánosítható a helettesítéses integrálás módszere több változó estére. Ez utóbbit úg fogjuk nevezni, hog az integrál transzformációja. Ha a Tisztelt Olvasót érdekli az elméleti háttér, többek közt a Jordan-féle mérték elmélete, és az integrálhatóság kritériumai, a jegzet végén megjelölt bőséges szakirodalomban megtalálja kérdéseire a választ. Itt tehát a határozott integrál fogalmát általánosítjuk. Ennek tárgalása előtt fontos érzékelnünk az integrál szemléletes jelentését. Az egváltozós analízisben azt a problémát tűztük ki, hog adott eg, legegszerűbb esetben, foltonos, korlátos és nemnegatív függvén amel eg [a, b] intervallumon van értelmezve, és kérdés volt a függvén grafikonja és az x-tengel közötti korlátos síkidom területének mérőszáma. Ezt a mérőszámot szolgáltatja ebben az esetben definíció szerint a határozott integrál. Általánosítsuk ezt a problémát egelőre két dimenzióra. Az egdimenziós intervallum közvetlen két dimenziós általánosítása eg téglalap, melnek oldalai párhuzamosak a koordinátatengelekkel. Eg ilen téglalapot az I = [a, b] [c, d] Descartes-szorzattal tudunk definiálni. Tegük fel, hog ezen a kétdimenziós I intervallumon értelmezve van eg R f : a, b c, d, x, f x, kétváltozós valós értékű függvén, amelről feltesszük, hog foltonos, korlátos és nemnegatív. A korábbi pontokból tudjuk, hog ennek grafikonja eg felület az I intervallum felett. Feltesszük a kérdést: mekkora az f(x, ) függvén grafikonja és az [x, ]-sík közti korlátos térrész térfogatának mérőszáma? Ennek a kérdésnek a megválaszolására pontosan uganola módszert alkalmazunk, mint az egdimenziós esetben. Elsőként képezzük az I intervallum eg felosztását, meghatározzuk a keresett térfogat ezen felosztáshoz tartozó közelítő értékét, majd a felosztás finomításával határértékként definiáljuk a kétváltozós függvén I intervallumra vonatkozó határozott integrálját. Elsőként a felosztás fogalmát általánosítjuk. Felosztjuk mind az [a, b] mind a [c, d] intervallumot a már ismert módon. A részintervallumok száma legen rendre n és m. Az osztópontok pedig rendre a következők Dr. Hanka László 31 Óbudai Egetem

238 x a, x, x,..., x, x,..., x, x b x x, i 1,,..., n 0 1 i1 i n1 n i1 i c,,,...,,,...,, d, j 1,,..., m 0 1 j1 j m1 m j1 j Többváltozós Függvének Ezen osztópontokon át párhuzamos egeneseket húzunk a koordináta tengelekkel. Ezek az egenesek az I intervallumot nm db részintervallumra, kicsin téglalapra osztják. Ez a felosztást mutatja a.34. ábra..34. ábra. Kétdimenziós intervallum felosztása Ezek után minden kis kétdimenziós részintervallumból választunk eg tetszőleges pontot a következő módon. Legen, i xi 1 xi, i = 1,,..., n és, j j 1 j, j = 1,,..., m esetén. Ekkor világos, hog az i, j rendezett pár által meghatározott pont az xi 1, xi j1, j Descartes-szorzat által definiált kicsin téglalapban van, ahogan azt az ábra mutatja. Az integrál közelítő összeget a következő módon értelmezzük. Minden ilen részintervallumbeli pontban kiszámítjuk a függvénértéket és ezt szorozzuk a kicsin téglalap területével. n m, S f x x n, m i j i i 1 j j 1 i1 j1 Ennek az összegnek, amel a Riemann-összeg nevet is viseli szemléletes jelentése van. A kettős szumma minden tagja eg olan egenes hasáb térfogatát adja amelnek alapja az x, x, f, függvénérték. Ezek összege, vagis a téglalap és magassága az i j i1 i j1 j Riemann-összeg, az egenes hasábok térfogatösszege a kérdéses térfogat közelítő értéke. Kérdés, hog hogan tudjuk pontosítani a közelítést. Úg, hog a felosztást finomítjuk olan módon, hog az osztópontok száma mindkét intervallumban tart a -hez uganakkor a kétdimenziós Dr. Hanka László 3 Óbudai Egetem

239 Többváltozós Függvének részintervallumok területe tart 0-hoz. Ez utóbbi teljesül, ha megköveteljük, hog a felosztást úg finomítsuk, hog teljesüljenek a xi xi 1 i n j j1 j m limmax 1,,..., 0 és lim max 1,,..., 0 n m Ha ez teljesül, azt mondjuk, hog a "felosztás minden határon túl finomodik". Végül összefoglalva, ha elvégezzük a fenti határátmeneteket és az S n,m Riemann-összegnek létezik véges határértéke, amel a felosztástól független, akkor az f(x, ) függvént az I intervallumon integrálhatónak nevezzük. Az f(x, ) függvén I a, b c, d intervallumra vonatkozó kettős integrálját ezek után - a jelölés bevezetésével - a következő módon értelmezzük. I, f x, di lim lim S nm n m feltéve tehát, hog teljesülnek a xi xi 1 i n j j1 j m limmax 1,,..., 0 és lim max 1,,..., 0 n m határérték relációk és a fenti határérték a felosztástól független véges érték..47. Példa: A bemutatott definíció alapján határozzuk meg az f(x, ) = 13 4x függvén grafikonja alatti térfogat mérőszámát az [1, ] [1, 3] intervallum felett. Mivel a függvén mindkét változójában elsőfokú, világos hog grafikonja eg sík. A.35. ábra mutatja a sík adott intervallum feletti részét, és a térrészt amelnek meghatározandó a térfogata..35. ábra. Az f(x, ) = 13 4x függvén grafikonja az [1, ] [1, 3] intervallum felett Dr. Hanka László 33 Óbudai Egetem

240 Többváltozós Függvének Az egszerűség kedvéért válasszunk mindkét koordinátatengelen ekvidisztans felosztást, tehát legen minden részintervallum egenlő hosszúságú, azaz legen h, k, n n m m továbbá válasszuk úg a i, j rendezett párt, hog az legen minden esetben az 1 xi 1, xi j1, j intervallum xi, j sarokpontja. Ez azt jelenti, hog i 1 ih 1 i n másrészt pedig j 1 jk 1 j. A felosztás ekvidisztans volta miatt minden kicsin n részintervallum területe xi xi 1 j j1. Ezek alapján írhatjuk a Riemannösszeget. n m nm n m n m 1 1 Sn, m f i, j xi xi 1 j j i 1 j i1 j1 i1 j1 n n nm Anni feladat maradt, hog kiszámítsuk ezt az összeget zárt alakban majd kiszámítsuk n és m esetén a határértéket. A zárt alak meghatározásánál felhasználjuk a számtani sorozatok kk1 elméletéből ismert k összegző formulát. Először a j szerinti összegzést végezzük el majd az i szerinti összegzést. Összevonás és egszerűsítés után adódik, hog n m 1 1 Snm, i 1 j i1 j1 n m nm n 1 m m1 1 13m 4 1 i m 1 i1 n m nm 1 mm 1 1 n n 1 13nm 4 1 m 1 n n m nm 1 mm 1 nm 1 n n m n nm n nm m nm 4 n1 1 m n n m m n n m m Megkaptuk tehát az integrál közelítő összeget zárt alakban. Mielőtt képezzük ennek határértékét, vegük észre hog n illetve m esetén 1 0 és 1 0 tehát a részintervallumok n m hossza tart zérushoz, ami azt jelenti, hog automatikusan teljesül, hog xi xi 1 i n j j1 j m limmax 1,,..., 0 és lim max 1,,..., 0 n m Dr. Hanka László 34 Óbudai Egetem

241 Ebből következően az f(x, ) függvén kettős integráljának értéke Többváltozós Függvének I f x, di lim lim Snm, lim lim n m n m n n m m Eltekintünk annak igazolásától, hog ez a határérték független a felosztástól, hiszen a gakorlatban nem ezzel a módszerrel határozzuk meg a kettős integrálok értékét. Kaptuk tehát, hog a.35. ábrán szemléltetett térrész térfogata 10 térfogategség. A következő pontban ezt az integrált kiszámítjuk más módszerrel is. A következő pontokban rátérünk annak a kérdésnek a vizsgálatára, hog különböző típusú síkbeli tartománok esetén hogan lehet ennél egszerűbb, megszokott módszerekkel kiszámítani a kettős és hármas integrálok értékét. A bevezetőben azt a problémát tűztük ki, hog hogan lehet eg f(x, ) függvén grafikonja és az [x, ]-sík közötti térrész térfogatának mérőszámát meghatározni abban az esetben, ha a kétváltozós függvén nemnegatív. Ezt a problémát könnedén általánosíthatjuk arra az esetre, amikor a függvén negatív értékeket is felvesz. Az általános esetben a térfogat nilván úg határozható meg, ha a függvén abszolút értékét integráljuk a kijelölt tartománon. Az általános esetben tehát a térfogatszámítás az formula szerint végezhető el. Térfogat f x, di I Dr. Hanka László 35 Óbudai Egetem

242 .1.1. Kettős integrál téglalaptartománon Többváltozós Függvének A bevezetőben éppen eg téglalap tartománra vonatkozó integrált számítottunk ki a definíció alapján. Ott a téglalap tartománt kétdimenziós intervallumnak neveztük. Ez a két elnevezés szinonima, íg a következőkben a jelentése megegezik. Téglalap tartománokon az integrál kiszámítása nagon egszerű, uganis Fubini alábbi tételéből kiderül, hog ha eg kétdimenziós intervallumon integrálunk, akkor a kettős integrál kiszámítása visszavezethető két egmást követő egváltozós integrál kiszámítására. A módszert szukcesszív integrálásnak is nevezik. Tétel: (Fubini tétele téglalaptartománra) Tegük fel, hog létezik az f(x, ) függvén [a, b] intervallumra vonatkozó, -tól függő b a f x, dx határozott integrálja, továbbá tegük fel, hog az f(x, ) függvén integrálható az I a, b c, d kétdimenziós intervallumon a bevezetőben említett értelemben. Ekkor az f(x, ) függvén I-re vonatkozó kettős integrálja kiszámítható két egmást követő egszeres integrál segítségével a következő módon d b d b f x, di f x, dxd f x, dxd I c a c a amivel eg jelölést is bevezettünk. Továbbá téglalap tartomán esetén az is igaz, hog az integrál értéke független az integrálás sorrendjétől, tehát b d b d f x, di f x, d dx f x, ddx I a c a c Azt az eljárást, melnek során eg kettős integrált két egmást követő egszeres integrál segítségével számítjuk ki, szukcesszív integrálásnak nevezzük. Az integrálhatóság feltételei között kiemeljük, hog ha az f(x, ) függvén foltonos, az I intervallumon, akkor az integrál létezik, tehát a Fubini-tétel állítása ekkor igaz. Ez megnugtató abból a szempontból, hog a mérnöki gakorlatban legtöbbször foltonos függvéneket integrálunk, íg ebben az esetben tehát az integrálhatóság teljesül. Az integrál kiszámításával kapcsolatos technikai jellegű megjegzésünk az, hog a szukcesszív integrálás során, amikor eg adott változó szerint integrálunk a másik változót állandónak kell tekinteni, pontosan úg, ahogan a parciális deriváltak kiszámítása során tettük. Példákon keresztül mutatjuk meg, hogan meg ez a gakorlatban. Dr. Hanka László 36 Óbudai Egetem

243 Többváltozós Függvének.48.Példa: Első példaként számítsuk ki azt az integrált Fubini tételével, amelet a bevezetőben a definíció szerint határoztunk meg. Legen I = [1, ] [1, 3], ekkor írhatjuk, hog I x di x dx d x x x d d 7 d Természetesen a definíció alapján kapott értékkel megegező eredmént kaptunk. Mutassuk meg ebben az esetben, hog az integrál értéke valóban független a sorrendtől. I x di 13 4x d dx 13 4x dx x 13 4x d 8xdx x 4x Ismét uganazt az eredmént kaptuk..49.példa: Számítsuk ki a következő kettős integrált. Fubini tétele szerint I I 1 x1 x 1 x 1 3 di? ahol I 0, 0, di dxd d d x ln 3 ln 5 (ln1 ln 3) 1 9 d ln 1 ln 3 ln Számítsuk ki az integrált fordított sorrendben is. I 1 1 x 1 x di ddx dx dx x 1 x 6 x ln 6 ln10 (ln ln 6) dx ln x ln x 6 ln ln 0 x x6 0 5 A két eredmén a várakozásnak megfelelően megegezik. Dr. Hanka László 37 Óbudai Egetem

244 Többváltozós Függvének.50.Példa: Számítsuk ki a következő kettős integrált. I x x di I Fubini tételét alkalmazva, írhatjuk, hog sin? ahol 0, 0, 1 x x di x x dxd x x dxd sin sin sin I cos cos cos 1 1 x d d cos cos d sin sin sin sin sin 0 sin Ebben az esetben nilvánvaló, hog a fordított sorrendben számított integrál uganezt az eredmént adja, hiszen az integrandus is és az I integrációs intervallum is szimmetrikus az x, változókban. Térjünk ki eg speciális esetre. Tegük fel, hog az integrandus szorzat alakú, mégpedig úg hog eg csak x-től és eg csak -tól függő ténezőre bomlik az, f x f x f 1 formula szerint. Ekkor a kettős integrál két egszeres integrál szorzatára bomlik. Uganis d b f x, di f x f di f x f dx d 1 1 I I c a f f xdx d f xdx f d d b b d 1 1 c a a c Azt kaptuk tehát, hog szorzat alakú integrandus esetén a kettős integrál kiszámítása a f x f dxd f xdx f d d b b d 1 1 c a a c 0 Dr. Hanka László 38 Óbudai Egetem

245 Többváltozós Függvének formula szerint történhet..51.példa: Számítsuk ki az I = [0, ln] [0, ln3] téglalapra az I e 3x di kettős integrált. Tekintettel arra, hog az integrandus szorzattá bontható írhatjuk, hog I ln3 ln ln ln3 3x ln 3x 3x 3x e e e di e e dxd e dx e d e ln e 0 e ln3 e Ebben az esetben, tekintettel arra, hog a valós számok szorzása kommutatív művelet, nilvánvalóan teljesül, hog az integrálás tetszőleges sorrendben elvégezhető. ln3 Dr. Hanka László 39 Óbudai Egetem

246 .1.. Kettős integrál normáltartománon Többváltozós Függvének Ebben a pontban a téglalaptartománt általánosítjuk. Az általánosítás lénege az, hog a téglalap egenes szakaszokkal megadott eg szemközti oldalpárját lecseréljük eg-eg foltonos függvén grafikonjára. Definíció: A sík eg N x tartománát az x-tengelre vonatkozólag normáltartománnak nevezzük, ha léteznek olan, az x-tengel [a, b] intervallumán értelmezett foltonos R R g : a, b, x g x és h : a, b, x h x függvének, amelekre g(x) h(x) teljesül és amelekkel az N x tartomán a következő módon adható meg. x, R, N x a x b g x h x A.36. ábra illusztrálja az x-tengelre vonatkozó normáltartománt..36. ábra. Normáltartomán az x-tengelre vonatkozólag A sík eg N tartománát az -tengelre vonatkozólag normáltartománnak nevezzük, ha léteznek olan, az -tengel [c, d] intervallumán értelmezett foltonos R R g : c, d, g és h : c, d, h függvének amelekre g() h() teljesül és amelekkel az N tartomán a következő módon adható meg., R, N x c d g x h Dr. Hanka László 40 Óbudai Egetem

247 A.37. ábra illusztrálja az -tengelre vonatkozó normáltartománt. Többváltozós Függvének.37. ábra. Normáltartomán az -tengelre vonatkozólag A következő probléma nilván az, hog milen módon számítható ki a kettős integrál eg N x vag N típusú normáltartománra vonatkozólag. Erre Fubini-tételének módosított alakja adja a választ. Tétel: (Fubini-tétele normáltartománokra) a) Integrálás az x-tengelre vonatkozó normáltartománon. x a, b esetén létezik az f(x, ) függvén Tegük fel, hog tetszőlegesen rögzített g x, hxintervallumra vonatkozó, x-től függő hx g x f x, d határozott integrálja, továbbá tegük fel, hog az f(x, ) függvén integrálható az N x normáltartománon. Ekkor az f(x, ) függvén N x -re vonatkozó kettős integrálja kiszámítható két egmást követő egszeres integrál segítségével a következő módon amivel eg jelölést is bevezettünk. b hx hx b f x, dnx f x, d dx f x, ddx Nx a g x a g x Dr. Hanka László 41 Óbudai Egetem

248 Többváltozós Függvének b) Integrálás az -tengelre vonatkozó normáltartománon. c, d esetén létezik az f(x, ) függvén Tegük fel, hog tetszőlegesen rögzített g, h intervallumra vonatkozó, -tól függő h g f x, dx határozott integrálja, továbbá tegük fel, hog az f(x, ) függvén integrálható az N normáltartománon. Ekkor az f(x, ) függvén N -ra vonatkozó kettős integrálja kiszámítható két egmást követő egszeres integrál segítségével a következő módon d h h d f x, dn f x, dx d f x, dxd N c g c g A tételbeli integrálok logikáját és sorrendjét illusztrálja a.38. ábra. a) b).38. ábra. A normáltartománon történő integrálás logikájának szemléltetéséhez A.38. a) ábra alapján tehát az integrál kiszámításának logikája eg x-tengelre vonatkozó normáltartománon a következő. Minden rögzített x a, b esetén kiszámítjuk az f, hx g x x d egváltozós integrált - az ábrán a piros színnel jelölt szakaszon -, vagis minden rögzített x esetén az változó szerint integrálunk a g(x) és h(x) határok között. Ennek előne, hog akárhogan is rögzítjük az x változót, az alsó és felső határt, bár minden x-re más, uganazzal az analitikus formulával adhatjuk meg. Az integrálás eredméne eg x-től függő függvén, amelet már csak Dr. Hanka László 4 Óbudai Egetem

249 Többváltozós Függvének az [a, b] intervallumon kell integrálni az x-változó szerint. Ebből nilvánvalóan következik, hog normáltartomán esetén az integrálás sorrendje nem változtatható meg. Jegezzük meg azt a "szabált" hog a belső integrál esetén mindig "függvének között" integrálunk, a külső integrál esetében pedig konstansok között. Értelemszerű változtatással kapjuk a.38. b) ábra alapján az -tengelre vonatkozó normáltartománon történő integrálás logikáját. Hasonlóan ahhoz, ahogan azt a bevezető pontban említettük, ha az integrandus nem jeltartó, tehát negatív értékeket is felvesz, akkor a térfogatszámítás normáltartománon a összefüggések szerint számítható. b hx Térfogat f x, dn x f x, d dx Nx a gx d h Térfogat f x, dn f x, dx d N c g A kettős integrál azonban alkalmazható területszámításra is. Téglalaptartomán esetén ez semmitmondó alkalmazás, azonban normáltartománok esetén felmerülhet a kérdés, hog a f x, 1 azonosan 1 függvént területet hogan határozhatjuk meg. Nilvánvaló, hog ha az integráljuk eg normáltartománra vonatkozólag, akkor a kapott érték, a térfogat mérőszáma megegezik a normáltartomán területének mérőszámával, hiszen hengerszerű test térfogatát úg számítjuk, hog az alapterületet szorozzuk a magassággal, amel ebben az esetben konstans 1. Tehát a területszámítás normáltartomán esetén a következő összefüggésekkel végezhető el. b hx Nx területe 1dN x 1d dx Nx a gx d h N területe 1dN 1dx d N c g Az alábbiakban példákkal illusztráljuk, hogan számítható ki a kettős integrál normáltartománok esetén, valamint arra is kitérünk, mi a teendő, ha az integrációs tartomán nem normáltartomán egetlen tengelre vonatkozólag sem. Ebben az esetben nilván azt kell tenni, hog alkalmas egenes szakaszokkal feldaraboljuk az integrációs tartománt olan részekre, amelek már normáltartománok..5.példa: Számítsuk ki az f(x, ) = x függvén kettős integrálját arra a háromszögtartománra, amelnek csúcspontjai A(1, ), B(3, 1) és C(3, 4). Először ábrázoljuk az integrációs tartománt. Ezt mutatja a.39. ábra. Világos az ábra alapján, hog ez az integrációs tartomán az x-tengelre vonatkozólag normáltartomán. Az alsó határ nilván az AB egenes szakasz, ez Dr. Hanka László 43 Óbudai Egetem

250 Többváltozós Függvének tekinthető a g(x) foltonos függvén grafikonjának, a felső határ pedig az AC szakasz, amel a h(x) függvén grafikonja..39. ábra. A.5. példában szereplő integrációs tartomán Egszerű számolással adódik, hog az AB egenes egenlete egenlete pedig hx x 1, és mindkét függvén az x-tengel 1 5 g x x, az AC egenes ab, 1,3 intervallumán van értelmezve. Ebből következik, hog a kettős integrál a következő módon számítható ki. Nx 3 x1 3 x1 1 x dn x x d dx x 1 5 dx x 1 x x x 1 x 1 x x x dx x x dx x x x Ez az eredmén annak tudható, hog a függvénérték az A és C pontban negatív, a B pontban pedig pozitív, tehát az előjeles térfogatok összegeként kaptuk a zérus értéket..53.példa: Számítsuk ki az x f x, e függvén kettős integrálját arra a négszögtartománra amelnek csúcspontjai A( 1, 1), B(4, 1), C(3, 3) és D(1, 3). Elsőként rajzoljuk le az integrációs tartománt. Ezt mutatja a.40. ábra..40. ábra. A.53. példabeli N integrációs tartomán Dr. Hanka László 44 Óbudai Egetem

251 Többváltozós Függvének Ez a tartomán nilvánvalóan az -tengelre vonatkozólag normáltartomán, az alsó határ az AD szakasz, ezt tekintjük a g() függvén grafikonjának, a felső határ pedig a BC szakasz, ezt tekintjük a h() függvén grafikonjának. Elsőként meghatározzuk ezen egenesek egenletét. Ismét egszerű számítással adódik, hog az AD egenes egenlete = x +, a BC egenes egenlete pedig = x + 9. Itt azonban óvatosan kell eljárnunk, ezeket a görbéket úg kell megadnunk, mint az -tengel [1, 3] intervallumán értelmezett függvéneket, tehát az előbbi egenleteket rendezni kell x-re, tehát az x-et mint az változó függvénét kell megadnunk. Ennek figelembe vételével kapjuk, hog x g valamint alapján a kettős integrál már felírható. N x h. Ezek x x x e dn e dx d e d e e d , 41 e e d e e e e e Mivel ez a függvén mindenütt pozitív, nilván az N integrációs tartomán felett is pozitív, íg a kapott eredmén a grafikon alatti térrész térfogatának mértéke Példa: Számítsuk ki az f x, x kétváltozós függvén kettős integrálját arra a 1 tartománra, amelnek határoló görbéi a következők: az x függvén grafikonja, az x 1 függvén grafikonja és az egenletű egenes. Az integrációs tartomán a.41. ábrán 4 látható..41. ábra. A.54. példabeli N integrációs tartomán Dr. Hanka László 45 Óbudai Egetem

252 Többváltozós Függvének Világos az ábrára tekintve, hog ez a tartomán is eg -tengelre vonatkozó normáltartomán. Az is világos, hog az integrálás alsó határa az x függvén grafikonja a felső határ pedig a 1 függvén grafikonja. Hangsúlozzuk azonban itt is, hog ezen görbéket az -tengel eg x 1 intervallumán, adott esetben az,1 4 intervallumon értelmezett függvénként, tehát az -változó függvéneként kell megadni. Ezekből az összefüggésekből tehát ki kell fejezni az x-et az -változó függvéneként, akkor kapjuk a g() és h() függvéneket. Ezek rendre a következők: 1 x g valamint x h. Ezek felhasználásával a kettős integrál az alábbi módon írható fel. dn dx d d d x 1 x N 1 x 1 x , Példa: Számítsuk ki az f x, x kétváltozós függvén kettős integrálját arra a tartománra, amelnek határoló görbéi a következők: az x x 3 függvén grafikonja, és az x 1 függvén grafikonja. A.4. ábrán látható az integrációs tartomán..4. ábra. A.55. példában szereplő N x normáltartomán Dr. Hanka László 46 Óbudai Egetem

253 Többváltozós Függvének Az ábra alapján ebben az esetben is világos, hog az integrációs tartomán az x-tengelre vonatkozó normáltartomán. A tartomán alsó és felső határa egaránt az x-tengel [ 1, ] intervallumán értelmezett foltonos függvének, amelek ebben az esetben pontosan megegeznek a feladat kitűzésében szereplő analitikus formulák által megadott függvénekkel, hiszen ilen esetben a görbéket az x-változó függvéneként kell megadnunk. Tehát írhatjuk, hog g x x és hx x x 3. Íg már kiszámítható a kettős integrál értéke. 1 Nx x x3 x x3 x dn x x d dx x dx x1 1 x x x x x x x x x dx x x 3x x 4x 9 4x 6x 1x x x x x 1dx x 5x x 1x 8dx 1 5 x x x 6x 8x 3, Példa: Határozzuk meg annak a síkidomnak a területét, amel az első síknegedben 1 helezkedik el, és amelet az x, az x és az = 3x görbék határolnak. Célszerű a tartomán ábrázolásával kezdeni a megoldást. A tartománt a.43. ábra szemlélteti. Világos, 1 hog szükséges ismernünk a görbék páronkénti metszéspontjait. Az x 3x és az 3 x x egenletek megoldása rendre x = 3 és x = ábra. A példabeli integrációs tartomán Dr. Hanka László 47 Óbudai Egetem

254 Többváltozós Függvének Az ábra alapján világos hog ez az integrációs tartomán közvetlenül nem normáltartomán egetlen tengelre sem, hiszen "akárhonnan is nézzük" vag a felső, vag az alsó határra igaz, hog nem tudjuk egetlen analitikus alakban megadott foltonos függvénnel leírni. Ha azonban az x = 3 egenletű egenessel két részre bontjuk, akkor világos, hog a keletkezett két résztartomán már külön-külön normáltartomán az x-tengelre vonatkozólag. Az N 1 1 normáltartomán alsó határa a g x x, x 0,3 a felső határa pedig a h 1 x x, x 0,3 1 függvén grafikonja. Az N normáltartomán alsó határa a g x x, x 3,6 felső határa pedig a h x 3 x, x 3,6 függvén grafikonja. Korábban már utaltunk rá, hog területszámítás esetén az integrandus a konstans 1 függvén. Ezek alapján a keresett terület számértéke a következő. 3 x 6 3x 3 6 x 1 x Tartomán területe 1dN 1dN 1ddx 1ddx dx dx x N1 N 0 x 3 x x x x x x x x dx ,5 x dx x.57.Példa: Az integrálás sorrendjének megcserélésével számítsuk ki a következő kettős integrált. 1 0 x e dxd Az integrálnak ebben a formában való kijelölése azt jelenti, hog az integrandust elsőként az x-változó szerint kell integrálni. Jól ismert tulajdonsága azonban az integrandusnak, hog nem létezik - az x-változóban - primitív függvéne. Tehát ebben a sorrendben az integrál analitikusan nem számítható ki. Können kiszámíthatóvá válik azonban a kettős integrál, ha szemléltetjük az integrációs tartománt. Ez mutatja a.44. ábra..44. ábra. A.57. példabeli integrációs tartomán Dr. Hanka László 48 Óbudai Egetem

255 Többváltozós Függvének Ha az ábrára tekintünk világos, hog ez az integrációs tartomán normáltartomán mind az x-tengelre mind az -tengelre vonatkozólag. Az integrálást úg jelöltük ki, hog a tartománt -tengelre vonatkozó normáltartománnak tekintettük. Mint már elemeztük, ebben a sorrendben az integrál nem számítható ki. Ha azonban kihasználjuk, hog a tartomán az x-tengelre vonatkozólag is normáltartomán, vagis a kitűzött integrálban megcseréljük az integrálás sorrendjét, mint kiderül az integrál kiszámíthatóvá válik. x 1 x 4 x x x x x x x e e dxd e ddx e dx e dx e xdx e Amint látható, kihasználva az integrációs tartomán speciális szerkezetét, az integrálás sorrendjének cseréjével kiszámíthatóvá válhatnak olan integrálok, amelek közvetlenül csak numerikusan értékelhetők ki. Az utolsó példa amit ebben a pontban tárgalunk egszerű de tanulságos, visszatérünk rá eg új fogalom bevezetése kapcsán a következő pontban Példa: Határozzuk meg az f x, x kétváltozós függvén kettős integrálját arra a tartománra vonatkozólag amelet az = 0, = 4, = x és = x egenesek határolnak. Világos, hog az integrációs tartomán eg paralelogramma, hiszen a szemközti egenesek párhuzamosak. Ezt láthatjuk a.45. ábrán..45. ábra. A.58. példabeli integrációs tartomán Az világos, hog az integrációs tartomán az -tengelre vonatkozólag normáltartomán. Az alsó és felső határt megadó függvének az -tengel [0, 4] intervallumán vannak értelmezve, analitikus alakjukat úg kapjuk, hog a fent megadott egenleteket megoldjuk x-re. Tehát az Dr. Hanka László 49 Óbudai Egetem

256 Többváltozós Függvének integrálás alsó és felső határa rendre integrál az adott tartománra. g illetve h 1. Ezekkel felírható a kettős N x x x dn x dx d d d d d Meghatároztuk tehát a kettős integrál értékét úg, hog a tartománt normáltartománként kezeltük, mint a korábbi példákban. Ezen példa kapcsán a következő pontban megmutatjuk, hog bizonos esetekben egészen eltérő elvi alapokon is kiszámítható eg kettős integrál. Általánosítani fogjuk az egváltozós helettesítéses integrál fogalmát kettős integrálokra. Ezzel a módszerrel az adott feladatban a normáltartománt téglalappá tudjuk transzformálni és az integrál kiszámítása egszerűbbé tehető. Dr. Hanka László 50 Óbudai Egetem

257 Többváltozós Függvének.1.3. A kettős integrál transzformációja Nagon hatékon módszer volt egváltozós határozott integrálok kiszámításánál a helettesítés módszere. Ennek lénege a következő. Ha f(x) integrálható függvén és g(t) eg foltonosan deriválható és invertálható függvén, akkor igaz a következő. b 1 g b a 1 g a f x dx f g t g t dt Ennek haszna az egváltozós analízisben elsősorban az, hog segítségével eg bonolult szerkezetű integrandus, amelnek közvetlenül bonolult meghatározni a primitív függvénét, átalakul olan függvénné, amel már közvetlenül és "könnedén" integrálható, de mindenesetre az integrandus egszerűbb szerkezetűvé válik. A helettesítés módszerét általánosíthatjuk többváltozós integrálok kiszámítására. Ebben a pontban kettős integrálokra mutatjuk meg az általánosítás módszerét. Ha a helettesítést kettős vag többes integrálokra alkalmazzuk, akkor nem a "helettesítés" elnevezést használjuk, hanem az integrál transzformációjáról beszélünk. Kettős és többes integrálok transzformációjánál a cél elsősorban nem az, hog az integrandus egszerűbbé váljon - többek közt azért nem, mert kettős integrálok esetében ritkán szokott bonolult lenni az integrandus, legalábbis a matematika órákon... - hanem inkább az a cél, hog a transzformáció eredméneképpen az integrációs tartomán egszerűbb szerkezetűvé váljon. Konkrétan, ha eg tartomán normáltartomán, akkor a transzformáció eredméneképpen téglalaptartománon integrálhatunk, illetve ha az integrációs tartomán még csak nem is normáltartomán, akkor az a transzformáció hatására normáltartománná vag akár közvetlenül téglalaptartománná alakul, amel esetekre már ismerjük az integrálási módszereket. Vezessünk be tehát az x és változók helére két új változót, jelölje ezeket u és v, és a transzformációt megadó függvének - egelőre általánosan - legenek a következők.,,, x x u v u v Ez a két egenlet eg általában nemlineáris transzformációt jelent az [x, ] és az [u, v] koordinátarendszerek között. Ha elvégezzük a helettesítést, akkor az intergandus, formálisan a következő módon alakul át.,,,, f x f x u v u v Ez megfelel annak, ahogan egváltozós esetben az f(x) helére f(g(t))-t írtunk. De felmerül az alapvetően fontos kérdés, hog mit kell írni kettős integrálok esetén a g'(t) deriváltfüggvén helére. Ezt eg vázlatos gondolatmenettel megmutatjuk, de előtte szükség van eg, a témakörben nagon fontos fogalom bevezetésére. Dr. Hanka László 51 Óbudai Egetem

258 Többváltozós Függvének Definíció: (A Jacobi-mátrix és Jacobi-determináns fogalma) x x u, v, u, v kétváltozós valós függvének parciális Tegük fel, hog az deriváltjaikkal egütt foltonosak. Ekkor az x xu, v, u, v leképezés - koordináta transzformáció - Jacobi-mátrixának nevezzük a J u, v függvénekkel definiált x x u v 1x x 1 u v parciális deriváltfüggvénekből képezett másodrendű mátrixot. Ennek a mátrixnak a detrminánsát Jacobi-determinánsnak nevezzük. x x x, u v x x x x u, v u v v u u v 1 det det x x A következőkben vázlatosan megmutatjuk, hog a kettős integrál transzformációjánál a g'(t) deriváltfüggvén szerepét a Jacobi-determináns abszolút értéke veszi át. Ennek megokolásához elsőként tegük fel, hog eg bizonos T tartomán területét szeretnénk meghatározni a kettős integrál transzformációjával. Korábbiakból tudjuk, hog ekkor az azonosan 1 függvént kell integrálnunk. Tegük fel, hog a leképezés az [u, v] koordinátarendszer T ' tartománához rendeli hozzá az [x, ] rendszer T tartománát. Ekkor - egelőre semmit sem feltételezve a szorzóként szereplő menniségről - formálisan írhatjuk, hog T 1dxd 1 T ' x, uv, dudv Innen világos, mivel mindkét integrál területet határoz meg, hog a J menniség abszolút értéke azt mutatja meg, hog a transzformáció során milen menniségi kapcsolat van a két koordinátarendszerbeli elemi terület, a dxd és a dudv területek között. Ennek kiderítéséhez x x u, v, u, v kétváltozós függvéneket, de álljunk meg az fejtsük Talor-sorba az elsőrendű tagoknál. Gakorlatilag tehát a két függvén teljes differenciálját írjuk fel. x x dx du dv, d du dv u v u v Ezeket az egenleteket úg is felfoghatjuk, mint a dx és d menniségeknek, mint vektoroknak az előállítását, az [u, v] koordinátarendszerben. Ha ezeket térbeli vektoroknak tekintjük - azonnal kiderül, hog erre szükség van - akkor azt kapjuk, hog Dr. Hanka László 5 Óbudai Egetem

259 Többváltozós Függvének dx x, x,0,,,0 u v d u v hiszen síkbeli vektorokról van szó, íg a harmadik koordináta zérus. Ez a két vektor kifeszít eg paralelogrammát. Az 1. fejezetben igazoltuk, hog eg paralelogramma területét a két kifeszítő vektor vektori szorzatának abszolút értéke adja. Határozzuk ezt meg. i j k x x x x 0 0i 0j k u v u v v u 0 u v Vegük észre, hog a kapott vektori szorzat harmadik koordinátája éppen a Jacobi-determináns értéke. Mivel a másik két koordináta zérus, ebből következik, hog a vektori szorzat abszolút értéke a harmadik koordináta abszolút értéke, vagis a Jacobi-determináns abszolút értéke. Ez az eredmén azt jelenti, hog ha az [u, v] koordinátarendszerben az elemi terület dudv, akkor a leképezés során ennek megfelelő terület az [x, ] koordinátarendszerben x x x, dxd dudv dudv u v v u u, v Ebből már következik, hog ha az x xu, v, u, v leképezés során a T ' tartomán képe a T tartomán, akkor a kettős integrál transzformációja a következő összefüggéssel adható meg. T x, f x, dxd f xu, v, u, v dudv uv, Ez a helettesítéses integrál kétváltozós esetre vonatkozó megfelelője. T ' A módszer illusztrációját eg olan feladattal kezdjük, amelet más eljárással már megoldottunk Példa: Határozzuk meg az f x, x kétváltozós függvén kettős integrálját arra a tartománra vonatkozólag amelet az = 0, = 4, = x és = x egenesek határolnak. Az integrációs tartomán a.45. ábrán látható. Írjuk fel az integrált kissé átalakítva. N x x dn dxd 0 Dr. Hanka László 53 Óbudai Egetem

260 Többváltozós Függvének Már kiszámítottuk az integrált arra támaszkodva, hog az integrációs tartomán eg -tengelre vonatkozó normáltartomán, az integrál értékére adódott. Alkalmazzuk most a helettesítés módszerét, pontosabban számítsuk ki az integrált a kettős integrál transzformációjával. A tartománt meghatározó feltételek a következők. 0 4, x 1 Az első egenlőtlenségláncot változatlanul hagva a másodikat pedig rendezve azt kapjuk, hog 0 4, 0 x Innen már látható, hog hogan célszerű új változókat bevezetni. Legen a definíció u x, v. Ekkor világos, hog az integrációs tartomán az [u, v] rendszerben az 0u, 0v 4 egenlőtlenségekkel definiált téglalaptartomán. A normáltartomán transzformáció szerinti inverz képe tehát téglalaptartomán. Oldjuk meg az új változókat definiáló egenleteket az eredeti x és változókra, ekkor kapjuk, hog u v x, v Ezen két függvén által definiált leképezésnek a Jacobi-mátrixa és Jacobi-determinánsának abszolút értéke rendre a következő. x x 1 1 u v x, 1 J u, v, uv, 0 1 u v Ezekből valamint abból, hog a kapott tartomán téglalaptartomán, tehát az integrálás tetszőleges sorrendben elvégezhető, következik, hog az integrál transzformációjának eredméne a következőképpen írható. N x u 1 uv u x dn dxd dvdu du udu Természetesen uganazt az eredmént kaptuk, mint a normáltartománra történő közvetlen integrálás során..60.példa: Számítsuk ki a T x x dt Dr. Hanka László 54 Óbudai Egetem

261 kettős integrált az integrál transzformációjával, ha a T tartománt az x 1, x, x 4, x 7 egenesek határolják. A T tartomán a.46. ábrán látható. Többváltozós Függvének.46. ábra. A.60. példabeli integrációs tartomán Az ábra alapján látható, hog ez nem normáltartomán. A transzformációhoz mindegik egenletet alkalmasan átrendezzük rendre az alábbiak szerint. x 1, x, x 4, x 7 Ebből nilvánvalóan adódik az új változók definíciója. Legen u x, v x. Ekkor nilvánvalóan teljesülnek az új változókra a 1 u, 4 v 7 egenlőtlenségek. Ez pontosan azt jelenti, hog a T tartomán inverz képe eg téglalap, tehát az integrál transzformációja azt eredménezi, hog téglalapon integrálhatunk. Elsőként invertáljuk a definiáló egenleteket, tehát kifejezzük az eredeti x és változókat u és v segítségével. Egszerű számítással adódik, hog u v, u x v 3 3 Szükség van a Jacobi-mátrixra és annak determinánsára. Ezek rendre a következők. x x 1 1 u v 3 3 x, 1 1 J u, v, 1 uv, u v 3 3 Ezen eredmének felhasználásával kiszámíthatjuk a kitűzött integrált a fenti transzformáció segítségével. Dr. Hanka László 55 Óbudai Egetem

262 T u 4uv v u uv uv v 4u 4uv v dudv Többváltozós Függvének u v u v u v u v 1 x x dt dudv u v 1 3 v 9 7 uv dudv uv dudv dv vdv Példa: Számítsuk ki a T x x dt kettős integrált az integrál transzformációjával, ha a T tartománt az x 1, x 9, x, 4x egenletű görbék határolják. A T tartomán a.47. ábrán látható..47. ábra. A.61. példában szereplő integrációs tartomán Világos az ábra alapján, hog ez a tartomán sem normáltartomán. Ebben a példában eljárhatunk úg is, hog most az integrandust próbáljuk egszerűbbé tenni. Ehhez célszerűnek látszik az új u és v változókat az alábbi módon definiálni. u, x v x Azonnal fordítsuk meg ezeket az összefüggéseket. A két egenlet osztásával illetve szorzásával adódik x és mint u és v függvéne. Dr. Hanka László 56 Óbudai Egetem

263 Többváltozós Függvének v x, uv u Vizsgáljuk meg, hog ezek az egenletek milen tartománt határoznak meg az [u, v] rendszerben. Mivel a feltételi egenletekből jól láthatóan az 1 4, 1 x 9 x egenlőtlenségek következnek, azonnal adódik az új változókra az 1 u, 1 v 3 egenlőtlenségpár, tehát az eredeti T integrációs tartomán inverz képe ismét téglalaptartomán. Szükség van még a Jacobi-mátrixra és a determináns abszolút értékére, melek rendre a következők. x x v 1 u v x, v v v J u, v u u, u, v u u u v u u v Ezen eredmének felhasználásával adódik a kettős integrál transzformációja az alábbiak szerint. T 3 3 v v x dt u v dudv v dudv x u u uv v ln u dv 4v v ln v dv v v ln dv ln 3 5 v v ln 1 ln 8 ln 0, A következőkben eg speciális koordináta transzformációt vizsgálunk. Dr. Hanka László 57 Óbudai Egetem

264 Többváltozós Függvének.1.4. Síkbeli polártranszformáció Az alkalmazások szempontjából nagon hasznos és fontos eg speciális koordinátatranszformáció, különösen akkor, amikor az integrációs tartomán eg körlap, körcikk, félkörlap, stb. A síkbeli polártranszformációt már értelmeztük az analitikus geometriában az 1... pontban. Ennek definíciója a következő. Az [x, ] koordinátarandszerről áttérünk az [r, φ] koordinátarendszerre az alábbi formulák szerint. x x r, r cos r, r sin Mivel a következő példákban minden esetben ezt a koordináta transzformációt alkalmazzuk, célszerű a Jacobi-mátrixot és annak determinánsát már most meghatározni. Ezek rendre a következők. x x r cos r sin x, sin r cos uv, r J r, ; r cos r sin r cos sin r Ebből következik, hog síkbeli polártranszformáció esetén a kettős integrál transzformációja minden esetben az alábbi összefüggés szerint írható fel.,,,, cos, sin f x dxd f x r r r drd f r r r drd T T ' T ' Ebben a konkrét esetben nagon szemléletes módon meg tudjuk mutatni, hog a Jacobidetermináns jelentése valóban az, amit az általános gondolatmenet során vázlatosan igazoltunk, vagis azt, hog a determináns az elemi terület nagságát jelenti. Ezt érzékelteti a.48. ábra..48. ábra. Az elemi cella területének mértéke síkbeli polárkoordináta rendszerben Dr. Hanka László 58 Óbudai Egetem

265 Többváltozós Függvének Az ábra alapján világos, hog az elemi cella eg olan görbe vonalú négszög, melnek egik oldala dr hosszúságú, másik oldala pedig az r sugarú körnek az a darabja amel a dφ középponti szöghöz tartozik, ennek ívhossza az elemi geometriából ismert összefüggés szerint rdφ. Ha dr és dφ "infinitézimálisan kicsin", akkor ez a görbe vonalú négszög jól közelíthető eg téglalappal, melnek területe az oldalhosszak szorzata. Eszerint az elemi cella területet rdrdφ, pontosan úg, ahogan az az általános gondolatmenetből is adódik. Vigázzunk tehát az alkalmazásoknál, hog a dxd szimbolikus szorzat nem helettesíthető egszerűen a drdφ szimbólummal. Ebben az esetben tehát pontosan az rdrdφ szorzattal helettesítendő..6.példa: Számítsuk ki az f x, sin x függvén kettős integrálját arra a T tartománra melet az x, x 1 feltételek határoznak meg. Az első feltétel az = x egenes alatti félsíkot jelöli, a második feltétel pedig meghatároz eg egségni sugarú, origó középpontú körlapot. A.49. ábrán látható az integrációs tartomán..49. ábra. A.6. példában szereplő integrációs tartomán Tekintettel arra, hog eg félkörlapról van szó, a polártranszformáció megfelelő az integrál kiszámításához. Az ábra alapján nilvánvaló, hog az r és φ polárkoordináták a 3 0 r 1, 4 4 feltételeknek tesznek eleget, tehát ismét téglalap tartomán adódik a kettős integrál transzformációjának következtében. A kettős integrál ezek után az alábbi módon számítható ki sin sin cos sin sin T x dxd r r rddr r rddr cos1 sin r r dr sin r rdr sin r rdr cos r 0, Dr. Hanka László 59 Óbudai Egetem

266 Többváltozós Függvének.63.Példa: Számítsuk ki a T x e dxd kettős integrált az integrál polártranszformációjával, ha a T tartománt az x x x,, 1 4 feltételek határozzák meg. A tartománt a.50. ábra szemlélteti..50. ábra. A.63. példabeli integrációs tartomán A tartomán eg körgűrűnek és eg körcikknek a metszete. Ezt könnedén leírhatjuk polárkoordinátákkal, az adódó tartomán nilván ismét téglalap tartomán, melet az 3 1 r, egenlőtlenségek definiálnak. A kettős integrál ezen feltételek felhasználásával polártranszformációval kiszámítható. T 3 3 x r r r sin cos sin 3 e dxd r e rddr r e sin ddr 1 1 Az integrandus eg csak r-től és eg csak φ-től függő ténező szorzatára bontható eg téglalap tartománon, ez pedig - ahogan a pontban megmutattuk - azt jelenti, hog a kettős integrál két integrál szorzataként áll elő. Dr. Hanka László 60 Óbudai Egetem

267 Többváltozós Függvének r r sin r e ddr r e dr sin d 1 1 Az egszerűség kedvéért a két integrált külön-külön számítjuk ki. Az első ténező parciálisan integrálható, a második integrandust linearizálni kell. r e dr r re dr r e re dr r e e 3 r 1 r 1 r r 1 r r sin 1 e 5e 4 1 5e e cos sin 3 sin 3 sin d d Ezek szorzata adja a kettős integrál értékét. T x e 5e e dxd 0,5059 A következő integrálási feladatban arra látunk példát, hog síkbeli polártranszformáció eredméne nem minden esetben az, hog az integrációs tartomán téglalap tartománná alakul, az általánosabb esetben a transzformáció vezethet normáltartománra is..64.példa: Számítsuk ki a T x dxd kettős integrált az integrál polártranszformációjával, ha a T tartománt a.51. ábra szemlélteti. A tartomán tehát a (0, 1) középpontú és egségni sugarú körlapnak az a része, amel az első síknegedbe esik. A kérés, hog ez a tartomán hogan adható meg polárkoordinátákkal. A válaszhoz azt kell csak észrevenni, hog az OA = r vezérsugár φ szöge Tahlész tétele miatt megegezik az OCA szöggel, hiszen az említett ok miatt merőleges szárú szögek. A kör átmérője pedig egség, amiből következik, hog adott φ szög esetén az r sugár maximális hossza az OA sin elemi képlet alapján r sin. Ha a teljes félkörlapot figelembe vesszük, akkor világos hog φ értéke 0-tól -ig növekszik, ha pedig lerögzítjük a φ szöget akkor r értéke 0 és sinφ között változik. Dr. Hanka László 61 Óbudai Egetem

268 Többváltozós Függvének.51. ábra A.64. példában szereplő integrációs tartomán, kiegészítve az integrál felírásához szükséges segédvonalakkal Az integrációs tartomán a polárkoordináta rendszerben tehát a 0, 0 r sin összefüggésekkel leírt normáltartomán. Ezek szerint a kettős integrál polártranszformációja a következő. T sin sin 4 3 r x dxd r cos r sin rdrd r cos sin drd cos sin d sin 16sin sin cos sin d 4 sin cos d Mivel nem téglalap tartománon integráltunk, az integrálás sorrendje természetesen nem volt tetszőleges..65.példa: Számítsuk ki az 1 0 xx xx ddx kettős integrált az integrál polártranszformációjával. Az integrációs tartomán szerkezetét most az integrálás határai alapján kell megfejtenünk. Foglalkozzunk elsőként a felső határgörbével. Ennek egenlete hog x x. Négzetre emeléssel majd teljes négzetté kiegészítéssel kapjuk, Dr. Hanka László 6 Óbudai Egetem

269 Többváltozós Függvének x x, x x, x x 0, x 0, x ; Ez alapján már jól látható, hog a felső határoló görbe eg,0 középpontú 1 r sugarú kör felső félsíkba eső része. Ha az alsó határoló görbéből indulunk ki, uganennek a körnek az alsó félsíkba eső részéhez jutunk. 1 Ebből a gondolatmenetből következik, hog az integrációs tartomán éppen az,0 1 középpontú r sugarú körlap. Ez látható a.5. ábrán..5. ábra. A.65. példabeli integrációs tartomán kiegészítve az integrál transzformációjához szükséges szakaszokkal. Ha tekintetbe vesszük az egész körlapot, akkor a φ szög nilván -től -ig változik. Rögzített OA φ esetén az ábra alapján, tekintetbe véve ismét Thalész tételét, az elemi cos OC összefüggés alapján kapjuk, hog OC = 1 miatt r OA cos, íg r értéke 0 és cosφ között változik. Az integrál polrátranszformációjának eredméneképpen ismét eg normáltartománt kaptunk az [r, φ] rendszerben, amelet az, 0 r cos egenlőtlenségek határoznak meg. Ebből már következik, hog az integrál a következő módon számítható ki. A relatíve hosszúra núló számításokból csak a főbb lépéseket adjuk meg és a végeredmént. A hiánzó lépések ellenőrzését a Tisztelt Olvasóra bízzuk. Dr. Hanka László 63 Óbudai Egetem

270 Többváltozós Függvének 1 xx cos cos 4 3 r ddx r sin rdrd r sin drd sin d 4 0 xx cos 1 cos cos sin d cos sin d d cos cos 1 cos d 1 cos cos cos d cos 1 cos 4 cos 1 sin d cos 4 sin cos d 3 64 Ezzel a kitűzött integrálási feladatot megoldottuk. Síkbeli polárkoordináta transzformáció nem csak korlátos tartománokra alkalmazható, hanem kétdimenziós improprius integrálok is kiszámíthatók a segítségével. Ennek illusztrálására eg olan problémát oldunk meg, amelre az egváltozós analízisben nincs közvetlen módszer. Mindenki által ismert tén, hog az cos függvénnek nem létezik primitív függvéne, f x e x illetve az zárt, analitikus alakban nem adható meg. Ebből adódóan a függvén határozott integrálja csak numerikusan számítható, vag táblázat alapján adható meg. Azonban síkbeli polártranszformáció segítségével a teljes valós számegenesre vett improprius integrálja können kiszámítható. Az integrál kiszámítása előtt, gakorlati fontossága miatt szemléltetjük is a függvént a.53. ábrán..53. ábra. Az f(x) = exp( x ) függvén grafikonja. Dr. Hanka László 64 Óbudai Egetem

271 Többváltozós Függvének Tétel: Az függvén teljes számegenesre vonatkozó improprius integráljának értéke f x e x x I e dx Bizonítás: Nilvánvalóan uganezt az integrált kapjuk, ha x helett az változót alkalmazzuk. Képezzük ennek a két integrálnak a szorzatát és használjuk fel amit szorzat alakú integrandusok kettős integráljáról mondtunk. x x x I e dx e d e e dxd e dxd Erre az integrálra már alkalmazhatjuk a polártranszformációt. Nilvánvaló, hog a kettős integrál az egész síkra kiterjesztendő, amiből következik, hog az integrációs tartomán 0 r, 0. x r cos r sin r r r 0 I e dxd e rddr e rddr e r dr e rdr r r r 0 lim 0 1 e r dr e e e r Innen pedig négzetgököt vonva következik a nevezetes eredmén, mel szerint 0 x I e dx Az állítást ezzel igazoltuk. Ezt az eredmént felhasználva igazolni tudunk eg fontos összefüggést, amelnek alapvetően fontos szerepe van a valószínűségelméletben. A standard normális eloszlás sűrűségfüggvénéről van szó, amelről a valószínűségelmélet tankönvek csak hivatkozással mutatják ki, hog valóban sűrűségfüggvén. Mi az előző összefüggés birtokában igazolni tudjuk az alábbi állítást. Tétel: (A standard normális eloszlás sűrűségfüggvéne) A teljes valós számegenesen értelmezett x 1 x e, xr függvén sűrűségfüggvén, tehát a számegenesre vett improprius integrálja 1. Dr. Hanka László 65 Óbudai Egetem

272 Többváltozós Függvének Bizonítás: Az integrálás során alkalmazzunk helettesítést, majd használjuk fel a fenti eredmént x t x 1 x t g( t) t t xdx e dx e dt e dt 1 g ' t dt x t x t Az állítást ezzel igazoltuk. A témakör lezárásaképpen megmutatjuk a síkbeli polárkoordináták eg általánosítási lehetőségét. Ha az integrációs tartomán nem körlap vag annak eg olan jellegű részhalmaza amelekkel a fenti példákban találkoztunk, hanem ellipszis, akkor lehetőség van a polárkoordinátákat módosítva az integrálást elvégezni. A módosítás eg lehetőségét a következő értelmezés adja. Definíció: (Módosított polárkoordináták) Ha az [x, ] rendszerről az [r, φ] rendszerre az x x r, ar cos r, br sin összefüggések szerint térünk át, ahol a és b rögzített pozitív állandók, akkor a kapott koordinátákat módosított polárkoordinátáknak nevezzük. Világos, hog ez a transzformáció ideális ellipszistartománok esetén, hiszen r = 1 esetében éppen az ellipszis, mint másodrendű görbe paraméterezését kapjuk, másrészt ha r < 1 akkor az előbbi ellipszis által határolt tartomán belső pontjai adódnak. Határozzuk meg a koordinátatranszformáció Jacobi-mátrixát és Jacobi-determinánsát. Ezek rendre a következők. x, x x r a cos ar sin Jr, ; bsin br cos r uv, abr cos abr sin abr cos sin abr Ebből következik, hog módosított síkbeli polártranszformáció esetén a kettős integrál transzformációja minden esetben az alábbi összefüggés szerint írható fel. Dr. Hanka László 66 Óbudai Egetem

273 T, cos, sin f x dxd f ar br abr drd Ennek a transzformációnak az illusztrálására csak eg példát mutatunk. T ' Többváltozós Függvének.66.Példa: Határozzuk meg annak az ellipszisnek a területét, amelnek nag és kis féltengele rendre a és b. Jelölje T az ellipszistartománt. Mivel területet számítunk, az integrandus a konstans 1 függvén. Alkalmazva a fenti transzformációt, kapjuk, hog r 1 T 1dxd 1abr ddr abr dr abrdr ab ab 0 ab ellipszis 0 T Azzal a nevezetes eredménnel zárjuk tehát a kettős integrálok fejezetét, hog az ellipszis területe Tellipszis ab 1 Dr. Hanka László 67 Óbudai Egetem

274 .13. Háromváltozós függvének integrálása Többváltozós Függvének A háromváltozós függvének integráljának értelmezése értelemszerű módosítással uganúg történik, mint ahogan a kettős integrál értelmezését vázlatosan megadtuk a.11. pontban. Eg léneges különbség azonban van, ez pedig a szemléltetés lehetősége. Eg háromváltozós függvén térbeli tartománra vonatkozó integráljának nem létezik olan szemléletes matematikai jelentése, mint a kettős integrálnak. Ez utóbbi matematikai jelentése, mint láttuk, eg felületdarab alatti térrész térfogatának számértéke. Hármas integrálok esetén ennek a megfelelője eg négdimenziós térbeli felület által meghatározott "test" térfogata lehetne, de ennek szemléltetésére illetve elképzelésére már nem nagon van lehetőség. Ezért a hármas integrál vázlatos értelmezéséhez inkább eg fizikai fogalmat hívunk segítségül. Tegük fel, hog valamilen skaláris fizikai menniségnek ismerjük a térbeli eloszlását. Legen ez a fizikai menniség konkrétan például mechanikában a tömegsűrűség, vag villamosságtanban az elektromos töltés sűrűsége. Jelölje ezt a sűrűségfüggvént szokás szerint ρ = ρ(x,, z), és tegük fel, hog a sűrűségeloszlást ismerjük eg V térfogaton belül. Felvetjük a következő problémát. Hogan határozható meg a V térfogatban foglalt anag tömege vag az elektromos töltés összege ha ez a függvén a tömegsűrűséget, illetve hogan határozható meg a V térfogatban levő össze töltés, ha ez a függvén az elektromos töltések eloszlását adja meg? A következő módon járhatunk el. Felosztjuk a V térfogatot a koordinátasíkokkal párhuzamos síkokkal kicsin téglatestekre, olan kis átmérőjű téglatestekre, ameleken belül a ρ(x,, z) függvén jó közelítéssel már konstansnak tekinthető. Jelölje ezen téglatestek térfogatát dv dxddz x x z z. i i1 j j1 k k1 ahol i = 1,,..., n, j = 1,,..., m és k = 1,,..., p ahol n, m és p jelöli az eges koordinátatengeleken a felosztás részintervallumainak a számát. Kiválasztunk minden eges elemi téglatestben eg majd képezzük a i j k V i xi xi 1 j j j1 k zk zk 1,, pontot ahol, ;, ;, ; i, j, k dv i, j, k dxddz i, j, k xi xi 1 j j1 zk zk 1 szorzatot, amel a kérdéses tömegnek illetve töltésnek az adott dv térfogatbeli járuléka, majd ezeket összegezzük a teljes V térfogatra. Ez utóbbi lesz a tömeg illetve töltés közelítő értéke. A ρ(x,, z) függvén V térfogatra vonatkozó hármas integrálját a V p m n,, lim lim lim,, x zdv i j k xi xi 1 j j1 zk zk 1 p m n k 1 j 1 i 1 határértékkel értelmezzük, ha még az is teljesül, hog az elemi téglatestek térfogata olan módon tart 0-hoz, hog a téglatestek étmérője is tart zérushoz vagis teljesül, hog Dr. Hanka László 68 Óbudai Egetem

275 Többváltozós Függvének x x z z lim 0 i i1 j j1 k k1 minden i, j és k esetén. Ha a fenti határérték létezik, véges és független a felosztástól, akkor a ρ(x,, z) függvént a V térfogatban integrálhatónak nevezzük. Speciális esetként a hármas integrál természetesen lehetőséget ad arra is, hog segítségével térrészek térfogatának számértékét kiszámítsuk. Ekkor úg járunk el, hog a megadott V térfogatra a konstans 1 függvént integráljuk. Térfogat kiszámítása tehát a formula szerint történhet. Térfogat 1dV V A kettős integrálok tárgalásához hasonlóan, a hármas integrálok kiszámításának módját is három esetben fogjuk tárgalni. Elsőként megmutatjuk, hogan lehet téglatest tartománon integrálni, majd áttérünk a háromdimenziós normáltartománon történő integrálás kérdésének vizsgálatára, és végül megmutatjuk, hogan lehet hármas integrálokat transzformálni két nevezetes esetben, térbeli polárkoordináták esetén, ha az integrációs tartomán eg gömb, vag annak alkalmas részhalmaza, illetve megmutatjuk a hengerkoordináták alkalmazását ha az integrációs tartomán eg hengerszerű test. V Dr. Hanka László 69 Óbudai Egetem

276 Hármas integrál téglatest tartománon Többváltozós Függvének A téglatest az egdimenziós intervallum fogalmának három dimenziós megfelelője. Értelmezése a következő. 3 I a, b c, d e, f x,, z R a x b, c d, e z f Téglatest tartománokon a hármas integrál kiszámítása hasonlóan a kettős integrálhoz, uganis Fubini tétele általánosítható három dimenzióra, amelből kiderül, hog ha eg háromdimenziós intervallumon integrálunk, akkor a hármas integrál kiszámítása visszavezethető három egmást követő egváltozós integrál kiszámítására. Tétel: (Fubini-tétele téglatest tartománra) Tegük fel, hog létezik a ρ(x,, z) függvén [a, b] intervallumra vonatkozó, -tól és z-től függő b a x,, z dx határozott integrálja, továbbá létezik az íg kapott -tól és z-től függő függvén [c, d] intervallumra vonatkozó z-től függő d c b a x,, zdx d határozott integrálja, végül tegük fel, hog a ρ(x,, z) függvén integrálható az I a, b c, d e, f háromdimenziós intervallumon a bevezetőben említett értelemben. Ekkor a ρ(x,, z) függvén I-re vonatkozó hármas integrálja kiszámítható három egmást követő egszeres integrál segítségével a következő módon f d b f d b x,, zdi x,, zdxd dz x,, zdxddz I e c a e c a amivel eg jelölést is bevezettünk. Továbbá téglatest tartomán esetén az is igaz, hog az integrál értéke független az integrálás sorrendjétől. Mivel három egmást követő integrálás 3! = 6-féle módon végezhető el, ezért eg ilen integrál kiszámítására 6 lehetőség van. Azt az eljárást, melnek során eg hármas integrált három egmást követő egszeres integrál segítségével számítjuk ki, ebben az esetben is szukcesszív integrálásnak nevezzük. Az integrálhatóság feltételei között kiemeljük, hog ha az ρ(x,, z) függvén foltonos az I intervallumon, akkor az integrál létezik, tehát a Fubini-tétel állítása ekkor igaz. Ez megnugtató abból a szempontból, hog a mérnöki gakorlatban legtöbbször foltonos függvéneket integrálunk, íg ebben az esetben tehát az integrálhatóság feltétele teljesül. Dr. Hanka László 70 Óbudai Egetem

277 Többváltozós Függvének Az integrál kiszámításával kapcsolatos technikai jellegű megjegzésünk uganaz, mint kettős integrálok esetén. Szukcesszív integrálás során, amikor eg adott változó szerint integrálunk a többi változót állandónak kell tekinteni. Példákon keresztül mutatjuk meg, hogan meg ez a gakorlatban..67.példa: Számítsuk ki az I 1,,7 1, e térfogatrészben a sűrűségeloszlás a x,, z térrész tömegét, ha ebben a x függvénnel adott. Téglatest tartomán z esetén Fubini-tétele szerint tetszőleges az integrálás sorrendje. Integráljunk például x,, z sorrendben. Kapjuk, hog I e 7 e 7 x 3 1 x,, zdi dxddz x ddz z z e e ddz dz z 3 z e dz z 15 1 e ln ln1 1,15 15 e 43 ln z.68.példa: Számítsuk ki az I 0, 0, 0,ln térrész tömegét, ha ebben a térfogatrészben a sűrűségeloszlás a z x,, z cos x e függvénnel adott. Ezt az integrált kiszámítjuk két különböző sorrendben. Egrészt x,, z sorrendben integrálva kapjuk, hog ln ln z I z x,, z di cos x e dxddz sin x x e ddz ln ln ln 3 z z z sin 0 sin e ddz e ddz e dz ln 8 z 8 z ln e dz 3 e Másrészt például z, x, sorrendet követve az adódik, hog ln z I z x,, z di cos x e dzdxd z cos x e dxd ln ln cos x e e dxd ln sin x x d 0 0 ln 0 1 Dr. Hanka László 71 Óbudai Egetem

278 Többváltozós Függvének ln sin sin 0 d A két különböző sorrendben elvégzett integrálás eredméne valóban megegezik. Térjünk ki arra a speciális esetre amikor az integrandus szorzat alakú, mégpedig úg hog eg csak x-től eg csak -tól és eg csak z-től függő ténezőre bomlik az x,, z f x f f z 1 3 formula szerint. Ekkor a hármas integrál három egszeres integrál szorzatára bomlik. Uganis f d b x,, zdi f x f f zdi f x f f zdx d dz I I e c a f d b b f d f f3 z f1 xdx d dz f1 xdx f f3 zd dz e c a a e c b d f f1 x dx f d f3 z dz a c e Azt kaptuk tehát, hog szorzat alakú integrandus esetén a hármas integrál kiszámítása az formula szerint történhet. f d b b d f f x f f z dxddz f x dx f d f z dz e c a a c e.69.példa: Számítsuk ki az I 0,ln 0,0, téglatestre az függvén hármas integrálját. Az előzőek szerint ln ln x ln x x e x x,, z e sin z e sin zdxddz e dx d sin zdz cos z 0 Az integrált ezzel kiszámítottuk. ln 0 e e cos 0 cos 6 Dr. Hanka László 7 Óbudai Egetem

279 .13.. Hármas integrál normáltartománon Többváltozós Függvének A háromdimenziós normáltartomán olan tartomán, amelet foltonos kétváltozós függvének által meghatározott felületek határolnak. A kétdimenziós esetben a normáltartománnak két típusa volt, annak megfelelően, hog először az -változó szerint lehetett integrálni majd az x-változó szerint, illetve fordítva. Tekintettel arra, hog eg hármas integrál esetén a három változó szerinti integrálás sorrendje 3! = 6 féle lehet, ezért hármas integráloknál a normáltartománoknak is 6 típusa létezik. Nem fogjuk felsorolni mind a 6 típust, általánosan csak eg formulát írunk fel. A példákban megmutatunk két sorrendet, a többi felírását és alkalmazását az Olvasóra bízzuk. Tegük fel, hog eg térbeli tartománt a következő módon határolnak felületek. A tartománt az [x, ]-sík eg x-tengelre vonatkozó normáltartománán értelmezett G(x, ) és H(x, ) (G(x, ) H(x, )) függvének grafikonjai határolják "alulról" és "felülről", az [x, ]-síkbeli normáltartománt pedig az x-tengel [a, b] intervallumán értelmezett g(x) és h(x) (g(x) h(x)) függvének határolják. A normáltartomán tehát például a következő egenlőtlenség rendszerrel írható le. a x b, g x h( x), G x, z H x, Ekkor a felületek által határolt V térfogatra vonatkozó integrál a következő módon írható fel, illetve a kijelölt sorrendben számítható ki. V b h( x) H ( x, ) x,, zdv,, a g( x) G( x, ) x z dzddx és itt az integrálás sorrendje általában kötött, de előfordulhat, hog eg tartomán a 6 típus közül egszerre több kategóriába is sorolható. Ekkor az integrálás sorrendje változhat, de ekkor természetesen a határok is módosulnak. Technikailag tehát ez a következőt jelenti. Elsőként rögzítjük az x és változókat, és integráljuk az integrandust a z változó szerint a G(x, ) és H(x, ) határok között. Az eredmén függ x-től és -tól. Ezután rögzítjük az x-változót és integráljuk az előző lépésben kapott függvént az -változó szerint a g(x) és h(x) határok között. A kapott függvén már csak x-től függ. Végül ezt integráljuk az a és b határok között az x-változó szerint. Ilen tartománra vonatkozó hármas integrál kiszámítását mutatjuk be a következő két példában..70.példa: Számítsuk ki annak a testnek a térfogatát, amel a pozitív térnolcadban van, határolja a három koordinátasík és az a sík, amelnek az eges tengelekkel való tengelmetszete rendre 1, és 3. A testet a.54. ábrán láthatjuk. Az ábra alapján világos, hog a kérdéses test eg tetraéder. Ennek térfogatát elemi módszerekkel is azonnal kiszámíthatjuk V Talap m Dr. Hanka László 73 Óbudai Egetem

280 Többváltozós Függvének Ami azt jelenti, hog a test térfogata pontosan 1 egségni. Az integrálás eredménét összevethetjük majd ezzel az eredménnel..54. ábra. Integrálás három dimenziós normáltartománon (.70. Példa) Mindenek előtt meg kell adnunk a tartomán határait analitikus alakban. Mind a sík, mint az [x, ]-síkbeli határoló egenes egenletét legegszerűbben a tengelmetszetes alakból kapjuk. Az egenes és a sík egenlete a tengelmetszetek alapján rendre x 1 x x 1 x z 3 1 6x 3 z 6 z 3 3x 1 3 Ez azt jelenti, hog a fenti általános leírásban szereplő, határokat definiáló függvének valamint ebből következően az integrálás határai rendre a következők. 3 g x 0, hx x, G x, 0, H x, 3 3x 3 0 x 1, 0 x, 0 z 3 3x Ezek alapján már felírható a normáltartománra vonatkozó hármas integrál. Tekintettel, hog térfogatot számítunk az integrandus az azonosan 1 függvén. 3 33x 1 x 1 x 3 1 x 3 1dV 1dzddx z ddx 3 3x ddx 33x 0 V x x dx 3 x 3x x x dx 4 4 Dr. Hanka László 74 Óbudai Egetem