Analitikus hierarchia eljárás. Módszertani alapok, algoritmus és számpélda
|
|
- Hanna Juhász
- 7 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Analitikus hierarchia eljárás Módszertani alapok, algoritmus és számpélda Készítette: Dr. Kiss Ferenc 2009.
2 Tartalom Az Analitikus Hierarchia eljárás...3 Alapelvek és a szempontrendszer kialakítása... 3 Az algoritmus lépései... 7 A konzisztencia mérése...8 Példa szempontrendszer Az iterációs számítás lépései A kapott modell értékelése Hasznossági függvények Irodalom
3 Az Analitikus Hierarchia eljárás Alapelvek és a szempontrendszer kialakítása Az Analytical Hierarchy Process (AHP) eljárás kifejlesztése Saaty nevéhez fűződik. Azon az elven alapul, hogy amikor egy adott dologról döntünk, akkor valójában sok részlet információt, tényezőt veszünk figyelembe, és ezen a részletek, valamint a döntési feladat között egy információ-hierarchia húzódik meg. Ezen összefüggésrendszer ismerete segíti a döntés meghozatalát. Más megfogalmazásban: A döntéshozók amikor egy döntés meghozatalára készülve elemezniük kell a helyzetet és a lehetőségeket rendszerint egymással összefüggésben levő tényezők mint például rendelkezésre álló pénz és egyéb erőforrások, tervezett eredmények, piaci helyzet, árfolyamok sokrétű, bonyolult rendszerével találják szemben magukat. Amikor a szempontok, vagy a rendszer elemei és egymással való kapcsolatai túlzottan sokan vannak ahhoz, hogy egyszerre át lehessen tekinteni azokat, természetes módon csoportokba soroljuk őket egyes tulajdonságaik alapján. Ennek a folyamatnak a többszöri megismétlésével a csoportokat vagy még inkább az azokat meghatározó közös tulajdonságokat az ismeretrendszer újabb szintjének elemeiként vizsgáljuk tovább. Ezeket az elemeket más szempont szerint besorolva újabb, magasabb hierarchia szintet alkotunk, míg végül eljutunk a rendszer legfelső eleméhez, amely a döntési probléma általános megfogalmazását illetve a döntés átfogó célját takarja. Az így kialakított ismeretrendszer a valóság modellje, lehetővé teszi az egyes alkotóelemek teljes rendszerre gyakorolt hatásának vizsgálatát. A hierarchia elemzése során megválaszolandó legfontosabb kérdés az, hogy a legalsó szinten található elemek milyen módon hatnak a legfelső szintű tényezőre. Mivel ez a hatás általában nem azonos az összes tényező esetében, meg kell határozni a súlyukat, vagy más néven intenzitásukat, prioritásukat. Egy probléma hierarchikus struktúrába (gráfba) való rendezése az AHP leglényegesebb lépése. E modell építéséhez szakértők bevonására van szükség, akik meghatározzák a problémához leginkább illeszkedő leképezést. Egy általános probléma m-szintű hierarchiája látható a következő ábrán. 3
4 1. szint Döntési probléma 2. szint Döntési jellemző (-csoport) 1. Döntési szempont (-csoport) Döntési szempont (-csoport) n. 3. szint Részletezettebb döntési szempont (alcsoport) 1. Részletezettebb döntési szempont (alcsoport) Részletezettebb döntési szempont (alcsoport) k. : : m. szint Elemi döntési szempont 1. Elemi döntési szempont Elemi döntési szempont n. Döntési változat 1. Döntési változat Döntési változat l. 1. ábra. A Saaty-féle hierarchia egy általános problémára Az egyes csomópontok közötti kapcsolat erősségét egy-egy [0;1] intervallumba eső számérték jelzi. Ezek megállapításához a szakértőknek el kell végezniük az összes páros összehasonlítást, esetenként megítélve az adott két jellemző (szempont) egymáshoz viszonyított fontosságát, azaz hatásának erősségét a hierarchiában közvetlenül felettük állóra vonatkozóan. 1 Az összemérések során minden vizsgált páros egyik tagjához az 1, 2, 3,..., 9 pozitív egészszámok valamelyikét kell rendelni az alábbi táblázatnak megfelelően, míg a másik tagjához a kiválasztott érték reciprokát. 1. táblázat. A Saaty fontossági értékek értelmezése Fontossági érték abszolút skálán Értelmezés Magyarázat 1 Egyformán preferált Mindkét tényező egyformán fontos a cél szempontjából 3 Mérsékelten preferált A tapasztalatok alapján az egyik tényező kis mértékben preferált a másikhoz képest 5 Erősen preferált A tapasztalatok alapján az egyik tényező lényegesen preferált a másikhoz képest 7 Nagyon erősen preferált Az egyik tényező olyannyira erősen preferált a másikhoz képest, hogy ez a gyakorlatban is világosan megmutatkozik 9 Rendkívüli módon A gyakorlati példák alapján az egyik tényező a lehető preferált legnagyobb mértékben preferált a másikhoz képest 2,4,6,8 Köztes értékek A fenti preferenciák közti kompromisszumos 1 E vizsgálatok módszereiről, lebonyolításáról, kiértékeléséről bővebben lásd például [1]. 4
5 lehetőségek (Ez összhangban van Miller híres megfigyelésével is, hogy általában az emberek egyszerre 7±2 dologra tudnak egyszerre figyelni. Valójában azonban ezzel a trükkel egy 17 elemű skálán értékelünk, átlépve szubjektív megítélésünk korlátait!) A szakértők munkájához kérdőívek állíthatók össze, a Ross-féle keverési tábla segítségével. Az egyes számpárok azt jelentik, hogy milyen sorrendben melyik szempontokat kell összevetni és értékelni a fenti 1-9-ig terjedő értékkel úgy, hogy a fontosabb mellé írjuk az értéket, míg a kevésbé fontos mellé a reciprokot. 2. táblázat. Ross-féle keverési tábla Szempontszám Kevert szempontpárok , 3 2, , 4 1, 3 2, 1 3, 2 4, , 5 3, 4 1, 3 2, 4 5, 1 3, 2 4, 5 1, 3 4, , 6 4, 5 1, 3 2, 5 6, 1 3, 2 4, 6 1, 4 3, 5 2, 1 4, 3 5, 2 6, 4 5, , 7 3, 6 4, 5 1, 3 2, 4 7, 5 6, 1 3, 2 4, 7 5, 6 1, 4 3, 5 2, 6 7, 1 4, 3 5, 2 6, 7 1, 4 5, 3 6, , 8 4, 7 5, 6 1, 3 2, 5 8, 6 7, 1 3, 2 4, 8 6, 7 1, 4 3, 5 2, 7 8, 1 4, 3 5, 2 6, 8 1, 5 4, 6 3, 7 2, 1 5, 4 6, 3 7, 2 8, 5 6, 4 7, , 9 3, 8 4, 7 5, 6 1, 3 2, 4 9, 5 8, 6 7, 1 3, 2 4, 9 5, 8 6, 7 1, 4 3, 5 2, 6 9, 7 8, 1 4, 3 5, 2 6, 9 7, 8 1, 5 4, 6 3, 7 2, 8 9, 1 5, 4 6, 3 7, 2 8, 9 1, 5 6, 4 7, 3 8, 2 9 5
6 A kapott fontossági értékekkel minden hierarchia szintre felírható az úgynevezett S Saatymátrix az alábbi alakban: (1) S = w1 w1 w1... w w w 1 2 n w2 w2 w2... w w w 1 2 n, : : : wn wn wn... w w wn 1 2 ahol: w i jelenti az adott szinten elhelyezkedő n darab szempont közül az i. szempont relatív súlyértéket; n jelenti az adott hierarchia szinten elhelyezkedő szempontok számát. Az S egy pozitív reciprok mátrix, és jellemző tulajdonsága, hogy valamint Sij Sjk = Sik S w = n w, ahol: S a Saaty mátrix; w a súlyszámok vektora. Megmutatható, hogy egy pozitív reciprok mátrixban az együtthatók kis perturbációja a sajátértékeknek csak kis perturbációját okozza, ezáltal a sajátvektor érzéketlen a bírálatban bekövetkező kis változásokra [1]. Az S mátrix L max legnagyobb sajátértékéhez tartozó w sajátvektor elemei megadják a hierarchia összeköttetéseinek súlyait. A w vektor értéke az (S ni) = 0 egyenlet megoldásaként adódik. Az AHP-re alapuló modell e súlyszámoknak a csomópontokra történő kiszámításával nyerhető. 6
7 Az algoritmus lépései 1. Azonosítsuk S mátrix méretét, azaz n-et. 2. Vegyünk fel egy tetszőleges ε > 0 számot. ε-nal írjuk elő a λ max hibáját. Ez az algoritmus leállítója olyan értelemben, hogy ha az iterálásnál a λ max utolsó két közelítésének különbségének abszolút értéke kisebb mint ε, akkor az utolsó közelítést fogadjuk el λ max -nak. 3. Vegyünk fel egy n méretű csupa egyest tartalmazó 1 1 v = 1 2 vektort. M M 1 n 4. Szorozzuk meg a v vektorral az S mátrixot jobbról, ekkor egy y 1 vektort kapunk: y 1 = Sv 5. λ 1 max = max y 1, (azaz a λ max első közelítése), amely egyenlő az y 1 eredményvektor maximális elemével. Legyen k=1. 6. Legyen v 1 k k = y egy vektor. (Ez y k vektortól annyiban különbözik, hogy k λmax maximális eleme 1. Erre a maximum normára csak azért van szükség, hogy az iteráció gyorsabb legyen.) 7. Szorozzuk meg az S mátrixot jobbról a v k vektorral ekkor y k+1 vektort kapunk eredményül: y k+1 =Sv k. k 8. Legyen λ + 1 max = max y k Hasonlítsuk össze az előbbi sajátérték közelítéssel az előírt ε>0 hibakorlát figyelembe vételével. Ha λ k + 1 λ k < ε, akkor hajtsuk végre a 10. pontban leírtakat, ha a max max feltétel nem teljesül, akkor pedig k=k+1 legyen és menjünk vissza a 6. pontra λ = λ k + azaz a k+1. közelítést fogadjuk el az S mátrix sajátértékének. max max Sajátvektorát, w-t pedig úgy kapjuk meg, hogy az y k+1 elosztjuk elemeinek összegével, azaz w = 1 k + 1 y n k + 1 yi i= 1 7
8 A konzisztencia mérése Megmutatható, hogy minden lehetséges esetben L max n, és bevezethető az alábbi mérőszám a döntési konzisztencia mérésére: Lmax n CI =. n 1 Saaty és Mariano megmutatta, hogy a CI 10% nagyon jó értéknek tekinthető [5]. Azonban a következő évek gyakorlati tapasztalatai, valamint más szerzők publikációi alapján bevezethető az alábbi pontosítás. CI CR =, RI ahol RI a véletlenszerű konzisztencia index, melynek értéke a mátrix méretétől függ, és nagyszámú szimuláció lefuttatásával került becslésre. A 2. táblázatban található a véletlenszerű konzisztencia index 1 és 10 közti méretű mátrixokra Saaty 500 fős mintán végzett kísérletei alapján. 3. táblázat. Átlagos véletlenszerű konzisztencia index (Saaty, 2000 alapján) A mátrix mérete (n) Véletlenszerű konzisztencia index (RI) ,15 3 0,52 4 0,89 5 1,11 6 1,25 7 1,35 8 1,4 9 1, ,49 Az elfogadható konzisztencia érték (CR) a mátrix méretén múlik; egy 3x3-as mátrix estén az érték felső határa 0,05, egy 4x4-es mátrix estén 0,08, míg ennél nagyobb mátrixok esetén (n>= 5) az elfogadható érték maximuma 0,1 (Saaty, [5], Cheng and Li,[1] ). Amennyiben CR értéke kisebb vagy egyenlő ezen határértékkel, a mátrixon belüli bírálatok elfogadhatóak, azaz konzisztensek. Ezzel szemben amennyiben a CR meghaladja az elfogadható értéket a mátrixban szereplő bírálatok közt olyan mértékű inkonzisztencia lépett, amely szükségessé teszi a becslési folyamat áttekintését, átszervezését és javítását. A páronkénti összehasonlításokat újra kell értékelni. 8
9 Segíthet a probléma megoldásában a hierarchia átszervezése is; például az érintett elemek egy másik (általánosabb) elem alá való csoportosítása (Crowe et al., [2] ). Az elfogadható konzisztencia index azt jelzi, hogy a bírálatok megalapozottak voltak, és segítenek annak biztosításban, hogy a végső súlyok tényleg a valóságnak megfelelő erőviszonyokat képviseljék. 9
10 Példa szempontrendszer Az alábbi számpélda az algoritmus működését mutatja egy egyszerű hitelképességi döntési modellen. A modellbe bevont szempontok a következők: 4. táblázat. Döntési szempontok hitelképesség elbírálása során Hitelképesség 1 Kérelmező pénzügyi 2 Referenciák 3 Személyes adatok 4 adatok 5 Egyéb adatok 6 felhasználási célja A fenti szempontcsoporthoz előállítható a szakértői értékelő kérdőív a szempontok súlyainak meghatározásához (kevert szempontpárok 6 szempontra a Ross-féle keverési tábla alapján: 1 2, 6 4, 5 1, 3 2, 5 6, 1 3, 2 4, 6 1, 4 3, 5 2, 1 4, 3 5, 2 6, 4 5, 3 6). A fent bemutatott kitöltési útmutató alapján egy szakértő ki is töltötte az alábbiak szerint. 5. táblázat. Kitöltött szakértői kérdőív 1. Szempont Fontosság 2. Szempont Fontosság Kérelmező pénzügyi 7 Referenciák felhasználási célja 1 adatok Egyéb adatok Kérelmező pénzügyi 4 Személyes adatok Referenciák 7 Egyéb adatok felhasználási célja 2 Kérelmező pénzügyi 5 Személyes adatok Referenciák adatok 7 felhasználási célja Kérelmező pénzügyi 6 adatok 1 Személyes adatok Egyéb adatok Referenciák 4 Kérelmező pénzügyi 4 adatok Személyes adatok Egyéb adatok 4 Referenciák 1 felhasználási célja adatok 2 Egyéb adatok Személyes adatok 3 felhasználási célja 10
11 Az iterációs számítás lépései Kérelmező adatok adatok adatok lási célja v0 y1 λ1max v1 w1 Kérelmező pénzügyi ,50% Referenciák 0, , , , , ,17% Személyes adatok 0, ,25 3 * 1 = 12,45 0, ,75% adatok 0, ,25 0, ,47% Egyéb adatok 0,25 0,25 4 0,5 1 0,5 1 6,5 0, ,27% felhasználási célja 0, , ,5 0, ,84% ε=0,001 Kérelmező adatok adatok adatok lási célja v1 y2 λ2max v2 λmax w2 Kérelmező pénzügyi , , , ,71% Referenciák 0, , , , , , ,61% Személyes adatok 0, ,25 3 * 0, = 3, , ,67% adatok 0, , , , ,96% Egyéb adatok 0,25 0,25 4 0,5 1 0,5 0, , , ,36% felhasználási célja 0, , , , , ,70% 11
12 Kérelmező pénzügyi Referen-- felhasználási ciák adatok adatok adatok célja v2 y3 λ3max v3 λmax w3 Kérelmező pénzügyi , , , ,44% Referenciák 0, , , , , , ,15% Személyes adatok 0, ,25 3 * 0,38483 = 2, , ,53% adatok 0, , , , ,54% Egyéb adatok 0,25 0,25 4 0,5 1 0,5 0, , , ,06% felhasználási célja 0, , , , , ,29% Kérelmező adatok adatok adatok lási célja v3 y4 λ4max v4 λmax w4 Kérelmező pénzügyi , , , ,01% Referenciák 0, , , , , , ,99% Személyes adatok 0, ,25 3 * 0, = 3, , ,43% adatok 0, , , , ,21% Egyéb adatok 0,25 0,25 4 0,5 1 0,5 0, , , ,21% felhasználási célja 0, , , , , ,15% Kérelmező adatok adatok adatok lási célja v4 y5 λ5max v5 λmax w5 Kérelmező pénzügyi , , , ,28% Referenciák 0, , , , , , ,59% Személyes adatok 0, ,25 3 * 0,3857 = 3, , ,44% adatok 0, , , , ,07% Egyéb adatok 0,25 0,25 4 0,5 1 0,5 0, , , ,58% felhasználási célja 0, , , , , ,04% 12
13 Kérelmező adatok adatok adatok lási célja v5 y6 λ6max v6 λmax w6 Kérelmező pénzügyi , , , ,31% Referenciák 0, , , , , , ,77% Személyes adatok 0, ,25 3 * 0, = 3, , ,18% adatok 0, , , , ,93% Egyéb adatok 0,25 0,25 4 0,5 1 0,5 0, , , ,69% felhasználási célja 0, , , , , ,11% Kérelmező adatok adatok adatok lási célja v6 y7 λ7max v7 λmax w7 Kérelmező pénzügyi , , , ,22% Referenciák 0, , , , , , ,82% Személyes adatok 0, ,25 3 * 0, = 3, , ,27% adatok 0, , , , ,02% Egyéb adatok 0,25 0,25 4 0,5 1 0,5 0, , , ,55% felhasználási célja 0, , , , , ,12% Kérelmező adatok adatok adatok lási célja v7 y8 λ8max v8 λmax w8 Kérelmező pénzügyi , , , ,25% Referenciák 0, , , , , , ,75% Személyes adatok 0, ,25 3 * 0, = 3, , ,31% adatok 0, , , , ,03% Egyéb adatok 0,25 0,25 4 0,5 1 0,5 0, , , ,57% felhasználási célja 0, , , , , ,10% 13
14 Kérelmező adatok adatok adatok lási célja v8 y9 λ9max v9 λmax w9 Kérelmező pénzügyi , , , ,26% Referenciák 0, , , , , , ,76% Személyes adatok 0, ,25 3 * 0, = 3, , ,27% adatok 0, , , , ,00% Egyéb adatok 0,25 0,25 4 0,5 1 0,5 0, , , ,60% felhasználási célja 0, , , , , ,10% Kérelmező adatok adatok adatok lási célja v9 y10 λ10max v10 λmax w10 Kérelmező pénzügyi , , , ,25% Referenciák 0, , , , , , ,78% Személyes adatok 0, ,25 3 * 0, = 3, , ,27% adatok 0, , , , ,00% Egyéb adatok 0,25 0,25 4 0,5 1 0,5 0, , , ,59% felhasználási célja 0, , , , , ,11% Kérelmező pénzügyi 40,25% CI= 0, adatok 16,00% CR= 0, > 0,1 14
15 A kapott modell értékelése Amennyiben az egyes csomópontokban számított súlyrendszer erősen szélsőséges, felvethető a modell egyszerűsítésének lehetősége. Ha egy szempont súlya az adott csoportban nem éri el az egyébként az adott csoportra számítható átlag súlyérték 10%-át, megvizsgálható, hogy e szempont elhanyagolásával járó modell egyszerűsödés okoz-e lényeges változásokat az összképben. (pl. egy 5 szempontot tartalmazó csomópontban az elmélet átlagsúly 100/5=20%, ha valamelyik érték 2% alatt van, vizsgálandó.) Hasznossági függvények A döntési modell teljes kidolgozásához az egyes szempontokhoz tartozó hasznossági függvények meghatározása szükséges. A hasznossági függvények az adott szemponthoz tartozó értékkészlet lehetséges elemeihez hozzárendeli a döntéshozó értékítéletét. Minden esetben legalább egy értékhez hozzárendeli a 100 pontos maximumot, és legalább egy értékhez a 0 pontos minimumot. Amennyiben a döntéshozók illetve a modellt fejlesztő szakértők ettől eltérő függvényt adnak meg, a függvényt normálni kell egységes, pl. a as skálára. Természetesen a hasznossági függvény lehet folytonos vagy diszkrét a mérési skála függvényében A fenti példában szereplő felvétel célja szempont hasznossági függvénye az alábbi lehet egy áruhitelező cég üzleti céljainak megfelelően: 6. táblázat. A hasznossági függvény alap Konyhai gép 60 Hifi és elektronika 100 TV 70 Kerti eszköz 40 Bútor 30 Egyéb 0 15
16 Konyhai gép Hifi és elektronika TV Kerti eszköz Bútor Egyéb 2. ábra: Példa hasznossági függvényre 16
17 Irodalom [1] Cheng, E.W.L. and Li, H.: Information priority-setting for better resource allocation using analytic hierarchy process (AHP). Information Management and Computer Security, 2001, Vol. 9 Iss. 2, pp [2] Crowe, T. J., Noble, J. S. and Machimada, J.S.: Multi-attribute analysis of ISO 9000 registration using AHP. International Journal of Quality and Reliability Management, 1998, Vol 15 Iss.2, pp [3] Kindler József, Papp Ottó: Komplex rendszerek vizsgálata. Műszaki Könyvkiadó, [4] Saaty, T.L.: The Analytic Hierarchy Process. McGraw-Hill, New York, [5] Saaty, T.L.: Fundamentals of Decision Making and Priority Theory. 2nd ed. Pittsburgh, PA: RWS Publications [6] Saaty, T.L. and R.S. Mariano: Rationing Energy to Industries: Priorities and Input- Output Dependence. Energy Systems and Policy, 1979 Winter 17
Nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrixok sajátérték optimalizálása Newton-módszerrel p. 1/29. Ábele-Nagy Kristóf BCE, ELTE
Nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrixok sajátérték optimalizálása Newton-módszerrel Ábele-Nagy Kristóf BCE, ELTE Bozóki Sándor BCE, MTA SZTAKI 2010. november 4. Nem teljesen kitöltött páros
RészletesebbenPáros összehasonlítás mátrixok empirikus vizsgálata p. 1/20
Páros összehasonlítás mátrixok empirikus vizsgálata Bozóki Sándor 1,2, Dezső Linda 3,4, Poesz Attila 2, Temesi József 2 1 MTA SZTAKI; 2 Budapesti Corvinus Egyetem 3 Szegedi Tudományegyetem 4 Budapesti
Részletesebben5. Analytic Hierarchy Process (AHP)
5 Analytic Hierarchy Process (AHP) (ld Temesi J: A döntéselmélet alapjai, 120-128) (Rapcsák T: Többszempontú döntési problémák I ld http://wwwoplabsztakihu/tanszek/download/ ITobbsz-dont-modszpdf) 51 Bevezetés
RészletesebbenBírálat. Farkas András
Bírálat Farkas András Közlekedési rendszerek fejlesztése és értékelése többtényezős döntési eljárások felhasználásával (Appraisal and Development of Transportation Systems Using Multiple Criteria Decision
RészletesebbenPáros összehasonlítás mátrixokból számolt súlyvektorok Pareto-optimalitása
Páros összehasonlítás mátrixokból számolt súlyvektorok Pareto-optimalitása Bozóki Sándor 1,2, Fülöp János 1,3 1 MTA SZTAKI; 2 Budapesti Corvinus Egyetem 3 Óbudai Egyetem XXXI. Magyar Operációkutatási Konferencia
RészletesebbenDöntéselőkészítés. XII. előadás. Döntéselőkészítés
XII. előadás Többszempontú döntések elmélete MAUT (Multi Attribute Utility Theory ) A többszempontú döntési feladatok megoldásának lépései: A döntési feladat felépítése: a) a cél megfogalmazása, b) az
Részletesebben5. Analytic Hierarchy Process (AHP)
5 Analytic Hierarchy Process (AHP) (ld Temesi J: A döntéselmélet alapjai, 120-128) (Rapcsák T: Többszempontú döntési problémák I ld http://wwwoplabsztakihu/tanszek/download/ ITobbsz-dont-modszpdf) 51 Bevezetés
RészletesebbenTöbbtényezős döntési problémák
KIPA módszer: Lépései: 1. értékelési tényezők páros elrendezése, 2. páros összehasonlítás elvégzése, 3. egyéni preferencia táblázatok felvétele, konzisztencia mutatók meghatározása, 4. aggregált preferencia
RészletesebbenTöbbtényezős döntési problémák
KIPA módszer: Lépései:. értékelési tényezők páros elrendezése, 2. páros összehasonlítás elvégzése, 3. egyéni preferencia táblázatok felvétele, konzisztencia mutatók meghatározása, 4. aggregált preferencia
RészletesebbenPáros összehasonlítás mátrixok empirikus vizsgálata. Bozóki Sándor
Páros összehasonlítás mátrixok empirikus vizsgálata Bozóki Sándor MTA SZTAKI Operációkutatás és Döntési Rendszerek Kutatócsoport Budapesti Corvinus Egyetem Operációkutatás és Aktuáriustudományok Tanszék
Részletesebben6. gyakorlat. Gelle Kitti. Csendes Tibor Somogyi Viktor. London András. jegyzetei alapján
Közelítő és szimbolikus számítások 6. gyakorlat Sajátérték, Gersgorin körök Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Somogyi Viktor Vinkó Tamás London András Deák Gábor jegyzetei alapján . Mátrixok sajátértékei
RészletesebbenGauss-Seidel iteráció
Közelítő és szimbolikus számítások 5. gyakorlat Iterációs módszerek: Jacobi és Gauss-Seidel iteráció Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Somogyi Viktor London András Deák Gábor jegyzetei alapján 1 ITERÁCIÓS
RészletesebbenSzámítógépes döntéstámogatás. Döntések fuzzy környezetben Közelítő következtetések
BLSZM-09 p. 1/17 Számítógépes döntéstámogatás Döntések fuzzy környezetben Közelítő következtetések Werner Ágnes Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék e-mail: werner.agnes@virt.uni-pannon.hu
RészletesebbenOpponensi vélemény. Farkas András. Közlekedési rendszerek fejlesztése és értékelése többtényezős döntési eljárások felhasználásával
Opponensi vélemény Farkas András Közlekedési rendszerek fejlesztése és értékelése többtényezős döntési eljárások felhasználásával 1. Disszertáció felépítése c. akadémiai doktori értekezéséről Az angol
RészletesebbenMátrixhatvány-vektor szorzatok hatékony számítása
Mátrixhatvány-vektor szorzatok hatékony számítása Izsák Ferenc ELTE TTK, Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék & ELTE-MTA NumNet Kutatócsoport munkatárs: Szekeres Béla János Alkalmazott Analízis
RészletesebbenNéhány elemmel konzisztenssé tehető páros összehasonlítás mátrixok
Néhány elemmel konzisztenssé tehető páros összehasonlítás mátrixok Poesz Attila BCE Operációkutatás és Aktuáriustudományok Tanszék 2010. április 1. Poesz A. () Következetlenség 2010. április 1. 1 / 28
RészletesebbenBozóki Sándor február 16. Érzékenységvizsgálat a Promethee módszertanban p. 1/18
Érzékenységvizsgálat a Promethee módszertanban Bozóki Sándor 2011. február 16. Érzékenységvizsgálat a Promethee módszertanban p. 1/18 Vázlat PROMETHEE Parciális érzékenységvizsgálat egy szempontsúly változhat
RészletesebbenGauss-Jordan módszer Legkisebb négyzetek módszere, egyenes LNM, polinom LNM, függvény. Lineáris algebra numerikus módszerei
A Gauss-Jordan elimináció, mátrixinvertálás Gauss-Jordan módszer Ugyanazzal a technikával, mint ahogy a k-adik oszlopban az a kk alatti elemeket kinulláztuk, a fölötte lévő elemeket is zérussá lehet tenni.
RészletesebbenTöbbszempontú döntési módszerek, modellek Dr. Stettner Eleonóra
Kaposvári Egyetem Gazdaságtudományi Kar Kari Tudományos Diákköri Tanács TDK módszertani kurzus 3. alkalom Többszempontú döntési módszerek, modellek Dr. Stettner Eleonóra 2016. április 4. A kurzus a Nemzeti
RészletesebbenGyakorló feladatok. Agbeko Kwami Nutefe és Nagy Noémi
Gyakorló feladatok Agbeko Kwami Nutefe és Nagy Noémi 25 Tartalomjegyzék. Klasszikus hibaszámítás 3 2. Lineáris egyenletrendszerek 3 3. Interpoláció 4 4. Sajátérték, sajátvektor 6 5. Lineáris és nemlineáris
RészletesebbenVektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek
a Matematika mérnököknek I. című tárgyhoz Vektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek Vektorok A rendezett valós számpárokat kétdimenziós valós vektoroknak nevezzük. Jelölésükre latin kisbetűket használunk.
RészletesebbenInformációk. Ismétlés II. Ismétlés. Ismétlés III. A PROGRAMOZÁS ALAPJAI 2. Készítette: Vénné Meskó Katalin. Algoritmus. Algoritmus ábrázolása
1 Információk 2 A PROGRAMOZÁS ALAPJAI 2. Készítette: Vénné Meskó Katalin Elérhetőség mesko.katalin@tfk.kefo.hu Fogadóóra: szerda 9:50-10:35 Számonkérés időpontok Április 25. 9 00 Május 17. 9 00 Június
RészletesebbenNumerikus módszerek 1.
Numerikus módszerek 1. 6. előadás: Vektor- és mátrixnormák Lócsi Levente ELTE IK 2013. október 14. Tartalomjegyzék 1 Vektornormák 2 Mátrixnormák 3 Természetes mátrixnormák, avagy indukált normák 4 Mátrixnormák
RészletesebbenII. Két speciális Fibonacci sorozat, szinguláris elemek, természetes indexelés
II. Két speciális Fibonacci sorozat, szinguláris elemek, természetes indexelés Nagyon könnyen megfigyelhetjük, hogy akármilyen két számmal elindítunk egy Fibonacci sorozatot, a sorozat egymást követő tagjainak
RészletesebbenNorma Determináns, inverz Kondíciószám Direkt és inverz hibák Lin. egyenletrendszerek A Gauss-módszer. Lineáris algebra numerikus módszerei
Indukált mátrixnorma Definíció A. M : R n n R mátrixnormát a. V : R n R vektornorma által indukált mátrixnormának nevezzük, ha A M = max { Ax V : x V = 1}. Az indukált mátrixnorma geometriai jelentése:
RészletesebbenSorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján
Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján Számsorozatok, vektorsorozatok konvergenciája Def.: Számsorozatok értelmezése:
RészletesebbenSTATISZTIKA. A maradék független a kezelés és blokk hatástól. Maradékok leíró statisztikája. 4. A modell érvényességének ellenőrzése
4. A modell érvényességének ellenőrzése STATISZTIKA 4. Előadás Variancia-analízis Lineáris modellek 1. Függetlenség 2. Normális eloszlás 3. Azonos varianciák A maradék független a kezelés és blokk hatástól
RészletesebbenMintavétel fogalmai STATISZTIKA, BIOMETRIA. Mintavételi hiba. Statisztikai adatgyűjtés. Nem véletlenen alapuló kiválasztás
STATISZTIKA, BIOMETRIA. Előadás Mintavétel, mintavételi technikák, adatbázis Mintavétel fogalmai A mintavételt meg kell tervezni A sokaság elemei: X, X X N, lehet véges és végtelen Mintaelemek: x, x x
RészletesebbenFIT-jelentés :: Telephelyi jelentés. 10. évfolyam :: Szakközépiskola
FIT-jelentés :: 2010 10. évfolyam :: Szakközépiskola Cserháti Sándor Műszaki Szakképző Iskola és Kollégium 8800 Nagykanizsa, Ady Endre u. 74/A Figyelem! A 2010. évi Országos kompetenciaméréstől kezdődően
RészletesebbenIrányított TULAJDONSÁGRA IRÁNYULÓ Melyik minta sósabb?, érettebb?, stb. KEDVELTSÉGRE IRÁNYULÓ Melyik minta jobb? rosszabb?
ÉRZÉKSZERVI VIZSGÁLATI MÓDSZEREK RENDSZEREZÉSE I. Kókai Zoltán - dr.erdélyi Mihály v.6. 26 ÉRZÉKSZERVI VIZSGÁLATI MÓDSZEREK CSOPORTOSÍTÁSA SZAKÉRTôI módszerek analitikus tesztek és eljárások FOGYASZTÓI
RészletesebbenStatisztika - bevezetés Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc 1
Statisztika - bevezetés 00.04.05. Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc Bevezetés Véletlen jelenség fogalma jelenséget okok bizonyos rendszere hozza létre ha mindegyik figyelembe vehető egyértelmű leírás általában
RészletesebbenMátrixok 2017 Mátrixok
2017 számtáblázatok" : számok rendezett halmaza, melyben a számok helye két paraméterrel van meghatározva. Például lineáris egyenletrendszer együtthatómátrixa 2 x 1 + 4 x 2 = 8 1 x 1 + 3 x 2 = 1 ( 2 4
RészletesebbenFIT-jelentés :: Telephelyi jelentés. 10. évfolyam :: Szakközépiskola
FIT-jelentés :: 2012 10. évfolyam :: Szakközépiskola Szegedi Műszaki és Környezetvédelmi Középiskola és Szakképző Iskola Gábor Dénes Tagintézménye 6724 Szeged, Mars tér 14. Létszámadatok A telephely létszámadatai
RészletesebbenNumerikus matematika vizsga
1. Az a = 2, t = 4, k = 3, k + = 2 számábrázolási jellemzők mellett hány pozitív, normalizált lebegőpontos szám ábrázolható? Adja meg a legnagyobb ábrázolható számot! Mi lesz a 0.8-hoz rendelt lebegőpontos
RészletesebbenA mérés problémája a pedagógiában. Dr. Nyéki Lajos 2015
A mérés problémája a pedagógiában Dr. Nyéki Lajos 2015 A mérés fogalma Mérésen olyan tevékenységet értünk, amelynek eredményeként a vizsgált jelenség számszerűen jellemezhetővé, más hasonló jelenségekkel
RészletesebbenFIT-jelentés :: Telephelyi jelentés. 10. évfolyam :: Szakközépiskola
FIT-jelentés :: 2013 10. évfolyam :: Szakközépiskola Szegedi Műszaki és Környezetvédelmi Középiskola és Szakképző Iskola Gábor Dénes Tagintézménye 6724 Szeged, Mars tér 14. Létszámadatok A telephely létszámadatai
RészletesebbenDöntéselőkészítés. I. előadás. Döntéselőkészítés. Előadó: Dr. Égertné dr. Molnár Éva. Informatika Tanszék A 602 szoba
I. előadás Előadó: Dr. Égertné dr. Molnár Éva Informatika Tanszék A 602 szoba Tárggyal kapcsolatos anyagok megtalálhatók: http://www.sze.hu/~egertne Konzultációs idő: (páros tan. hét) csütörtök 10-11 30
RészletesebbenMatematika. Xántus János Két Tanítási Nyelvű Gimnázium és Szakgimnázium OM azonosító: Telephelyi jelentés Telephely kódja: 001
Országos kompetenciamérés 2017 3 1a Átlageredmények A telephelyek átlageredményeinek összehasonlítása Az Önök eredményei a 4 évfolyamos gimnáziumi telephelyek eredményeihez viszonyítva A szignifikánsan
RészletesebbenPONTFELHŐ REGISZTRÁCIÓ
PONTFELHŐ REGISZTRÁCIÓ ITERATIVE CLOSEST POINT Cserteg Tamás, URLGNI, 2018.11.22. TARTALOM Röviden Alakzatrekonstrukció áttekintés ICP algoritmusok Projektfeladat Demó FORRÁSOK Cikkek Efficient Variants
Részletesebben[Biomatematika 2] Orvosi biometria
[Biomatematika 2] Orvosi biometria 2016.02.15. Esemény Egy kísérlet vagy megfigyelés (vagy mérés) lehetséges eredményeinek összessége (halmaza) alkotja az eseményteret. Esemény: az eseménytér részhalmazai.
RészletesebbenMatematika A2 vizsga mgeoldása június 4.
Matematika A vizsga mgeoldása 03. június.. (a (3 pont Definiálja az f(x, y függvény határértékét az (x 0, y 0 helyen! Megoldás: Legyen D R, f : D R. Legyen az f(x, y függvény értelmezve az (x 0, y 0 pont
Részletesebben0-49 pont: elégtelen, pont: elégséges, pont: közepes, pont: jó, pont: jeles
Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I. 2013. jan. 10. Név: Neptun kód: Idő: 180 perc Elm.: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. Fel. össz.: Össz.: Oszt.: Az elérhető pontszám 40 (elmélet) + 60 (feladatok)
Részletesebben1 Lebegőpontos számábrázolás
Tartalom 1 Lebegőpontos számábrázolás... 2 2 Vektornormák... 4 3 Indukált mátrixnormák és tulajdonságaik... 5 4 A lineáris rendszer jobboldala hibás... 6 5 A kondíciószám és tulajdonságai... 7 6 Perturbációs
RészletesebbenA KroneckerCapelli-tételb l következik, hogy egy Bx = 0 homogén lineáris egyenletrendszernek
10. gyakorlat Mátrixok sajátértékei és sajátvektorai Azt mondjuk, hogy az A M n mátrixnak a λ IR szám a sajátértéke, ha létezik olyan x IR n, x 0 vektor, amelyre Ax = λx. Ekkor az x vektort az A mátrix
RészletesebbenMatematikai geodéziai számítások 10.
Matematikai geodéziai számítások 10. Hibaellipszis, talpponti görbe és közepes ponthiba Dr. Bácsatyai, László Matematikai geodéziai számítások 10.: Hibaellipszis, talpponti görbe és Dr. Bácsatyai, László
RészletesebbenKATONA JÓZSEF SZAKKÖZÉPISKOLA ÉS
FIT-jelentés :: 2013 10. évfolyam :: Szakközépiskola KATONA JÓZSEF SZAKKÖZÉPISKOLA ÉS FELNŐTTOKTATÁSI GIMNÁZIUM 1138 Budapest, Váci út 107. Létszámadatok A telephely létszámadatai a szakközépiskolai képzéstípusban
RészletesebbenFIT-jelentés :: Telephelyi jelentés. 10. évfolyam :: Szakiskola
FIT-jelentés :: 2016 10. évfolyam :: Szakiskola Tatabányai SZC Bláthy Ottó Szakközépiskolája, Szakiskolája és Kollégiuma Telephelye 2890 Tata, Bercsényi utca 7 Létszámadatok A telephely létszámadatai a
RészletesebbenBiomatematika 2 Orvosi biometria
Biomatematika 2 Orvosi biometria 2017.02.13. Populáció és minta jellemző adatai Hibaszámítás Valószínűség 1 Esemény Egy kísérlet vagy megfigyelés (vagy mérés) lehetséges eredményeinek összessége (halmaza)
RészletesebbenFIT-jelentés :: 2016 Telephelyi jelentés 10. évfolyam :: Szakközépiskola Miskolci SZC Andrássy Gyula Szakközépiskolája
FIT-jelentés :: 2016 10. évfolyam :: Szakközépiskola Miskolci SZC Andrássy Gyula Szakközépiskolája 3530 Miskolc, Soltész Nagy Kálmán utca 10 Létszámadatok A telephely létszámadatai a szakközépiskolai képzéstípusban
RészletesebbenPrincipal Component Analysis
Principal Component Analysis Principal Component Analysis Principal Component Analysis Definíció Ortogonális transzformáció, amely az adatokat egy új koordinátarendszerbe transzformálja úgy, hogy a koordináták
RészletesebbenFourier transzformáció
a Matematika mérnököknek II. című tárgyhoz Fourier transzformáció Fourier transzformáció, heurisztika Tekintsük egy 2L szerint periodikus függvény Fourier sorát: f (x) = a 0 2 + ( ( nπ ) ( nπ )) a n cos
RészletesebbenFIT-jelentés :: Erzsébet Utcai Általános Iskola 1043 Budapest, Erzsébet u. 31. OM azonosító: Telephely kódja: 001. Telephelyi jelentés
FIT-jelentés :: 2012 8. évfolyam :: Általános iskola Erzsébet Utcai Általános Iskola 1043 Budapest, Erzsébet u. 31. Létszámadatok A telephely létszámadatai az általános iskolai képzéstípusban a 8. évfolyamon
RészletesebbenBevezetés az algebrába 2 Vektor- és mátrixnorma
Bevezetés az algebrába 2 Vektor- és mátrixnorma Wettl Ferenc Algebra Tanszék B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M 2016.
RészletesebbenI. BESZÁLLÍTÓI TELJESÍTMÉNYEK ÉRTÉKELÉSE
I. BESZÁLLÍTÓI TELJESÍTMÉNYEK ÉRTÉKELÉSE Komplex termékek gyártására jellemző, hogy egy-egy termékbe akár több ezer alkatrész is beépül. Ilyenkor az alkatrészek általában sok különböző beszállítótól érkeznek,
RészletesebbenNumerikus módszerek beugró kérdések
1. Definiálja a gépi számok halmazát (a tanult modellnek megfelelően)! Adja meg a normalizált lebegőpontos szám alakját. (4 pont) Az alakú számot normalizált lebegőpontos számnak nevezik, ha Ahol,,,. Jelöl:
RészletesebbenFIT-jelentés :: Telephelyi jelentés. 10. évfolyam :: Szakközépiskola
FIT-jelentés :: 2014 10. évfolyam :: Szakközépiskola Szegedi Gábor Dénes Műszaki és Környezetvédelmi Középiskola és Szakiskola 6724 Szeged, Mars tér 14. Létszámadatok A telephely létszámadatai a szakközépiskolai
RészletesebbenKészítette: Bruder Júlia
Készítette: Bruder Júlia nkp.hu Megfigyelés Kísérlet Mérés Feladat: Lakóhely időjárásának megfigyelése 2 hétig: max. hőmérséklet, min. hőmérséklet, szél (nincs, gyenge, erős), csapadék. Az adatokat táblázatba
RészletesebbenIntézményi jelentés. 10. évfolyam
FIT-jelentés :: 2010 2800 Tatabánya, Fő tér 1. Figyelem! A 2010. évi Országos kompetenciaméréstől kezdődően a szövegértés, illetve a matematika területén új, évfolyamfüggetlen skálát vezettünk be, amelyen
RészletesebbenZárthelyi dolgozat feladatainak megoldása 2003. õsz
Zárthelyi dolgozat feladatainak megoldása 2003. õsz 1. Feladat 1. Milyen egységeket rendelhetünk az egyedi információhoz? Mekkora az átváltás közöttük? Ha 10-es alapú logaritmussal számolunk, a mértékegység
RészletesebbenFIT-jelentés :: Telephelyi jelentés. 10. évfolyam :: Szakközépiskola
FIT-jelentés :: 2016 10. évfolyam :: Szakközépiskola Tatabányai SZC Bláthy Ottó Szakközépiskolája, Szakiskolája és Kollégiuma 2890 Tata, Hősök tere 9 Létszámadatok A telephely létszámadatai a szakközépiskolai
RészletesebbenIntézményi jelentés. 10. évfolyam. Corvin Mátyás Gimnázium és Műszaki Szakközépiskola 1165 Budapest, Mátyás király tér 4. OM azonosító:
FIT-jelentés :: 2010 Corvin Mátyás Gimnázium és Műszaki Szakközépiskola 1165 Budapest, Mátyás király tér 4. Figyelem! A 2010. évi Országos kompetenciaméréstől kezdődően a szövegértés, illetve a matematika
RészletesebbenSzövegértés. Xántus János Két Tanítási Nyelvű Gimnázium és Szakgimnázium OM azonosító: Telephelyi jelentés Telephely kódja: 001
Országos kompetenciamérés 2017 22 1a Átlageredmények A telephelyek átlageredményeinek összehasonlítása Az Önök eredményei a 4 évfolyamos gimnáziumi telephelyek eredményeihez viszonyítva A szignifikánsan
RészletesebbenFIT-jelentés :: Telephelyi jelentés. 10. évfolyam :: Szakközépiskola
FIT-jelentés :: 2015 10. évfolyam :: Szakközépiskola Puskás Tivadar Távközlési Technikum Infokommunikációs Szakközépiskola 1097 Budapest, Gyáli út 22. Létszámadatok A telephely létszámadatai a szakközépiskolai
RészletesebbenFIT-jelentés :: Újbudai Széchenyi István Gimnázium 1118 Budapest, Rimaszombati út 2-4. OM azonosító: Telephely kódja: 001
FIT-jelentés :: 2015 10. évfolyam :: 4 évfolyamos gimnázium Újbudai Széchenyi István Gimnázium 1118 Budapest, Rimaszombati út 2-4. Létszámadatok A telephely létszámadatai a 4 évfolyamos gimnáziumi képzéstípusban
RészletesebbenIntézményi jelentés. 10. évfolyam. Révai Miklós Gimnázium és Kollégium 9021 Győr, Jókai u. 21. OM azonosító:
FIT-jelentés :: 2010 9021 Győr, Jókai u. 21. Figyelem! A 2010. évi Országos kompetenciaméréstől kezdődően a szövegértés, illetve a matematika területén új, évfolyamfüggetlen skálát vezettünk be, amelyen
RészletesebbenIntézményi jelentés. 10. évfolyam
FIT-jelentés :: 2010 Babits Mihály Gimnázium 1047 Budapest, Tóth Aladár u. 16-18. Figyelem! A 2010. évi Országos kompetenciaméréstől kezdődően a szövegértés, illetve a matematika területén új, évfolyamfüggetlen
RészletesebbenPopulációbecslések és monitoring
Populációbecslések és monitoring A becslés szerepe az ökológiában és a vadgazdálkodásban. A becslési módszerek csoportosítása. Teljes számlálás. Statisztikai alapfogalmak. Fontos lehet tudnunk, hogy hány
RészletesebbenFIT-jelentés :: Széchenyi úti Szakközépiskolai Telephely 2800 Tatabánya, Széchenyi u. 20. OM azonosító: Telephely kódja: 003
FIT-jelentés :: 2013 10. évfolyam :: Szakközépiskola Széchenyi úti Szakközépiskolai Telephely 2800 Tatabánya, Széchenyi u. 20. Létszámadatok A telephely létszámadatai a szakközépiskolai képzéstípusban
RészletesebbenFIT-jelentés :: Eötvös József Főiskola Gyakorló Általános Iskolája 6500 Baja, Bezerédj utca 15. OM azonosító: Telephely kódja: 001
FIT-jelentés :: 2014 8. évfolyam :: Általános iskola Eötvös József Főiskola Gyakorló Általános Iskolája 6500 Baja, Bezerédj utca 15. Létszámadatok A telephely létszámadatai az általános iskolai képzéstípusban
RészletesebbenFIT-jelentés :: Telephelyi jelentés. 8. évfolyam :: Általános iskola
FIT-jelentés :: 2014 8. évfolyam :: Általános iskola Grassalkovich Antal Német Nemzetiségi és Kétnyelvű Általános Iskola 2220 Vecsés, Fő utca 90-92. Létszámadatok A telephely létszámadatai az általános
RészletesebbenSzinguláris értékek. Wettl Ferenc április 3. Wettl Ferenc Szinguláris értékek április 3. 1 / 28
Szinguláris értékek Wettl Ferenc 2015. április 3. Wettl Ferenc Szinguláris értékek 2015. április 3. 1 / 28 Tartalom 1 Szinguláris érték 2 Alkalmazások 3 Norma 4 Mátrixnorma Wettl Ferenc Szinguláris értékek
RészletesebbenFIT-jelentés :: Telephelyi jelentés. 8. évfolyam :: Általános iskola
FIT-jelentés :: 2015 8. évfolyam :: Általános iskola Baár-Madas Református Gimnázium, Általános Iskola és Kollégium 1022 Budapest, Lorántffy Zsuzsanna utca 3. Létszámadatok A telephely létszámadatai az
RészletesebbenPélda: Háromszög síkidom másodrendű nyomatékainak számítása
Példa: Háromszög síkidom másodrendű nyomatékainak számítása Készítette: Dr. Kossa Attila kossa@mm.bme.hu) BME, Műszaki Mechanikai Tanszék. február 6. Határozzuk meg az alábbi ábrán látható derékszögű háromszög
RészletesebbenFIT-jelentés :: Telephelyi jelentés. 8. évfolyam :: Általános iskola
FIT-jelentés :: 2010 8. évfolyam :: Általános iskola Comenius Angol-magyar Két Tanítási Nyelvű Általános Iskola, Gimnázium és Gazdasági Szakközépiskola és Kollégium 8000 Székesfehérvár, Koppány u. 2/a
RészletesebbenIntézményi jelentés. 10. évfolyam. Bolyai János Gimnázium és Kereskedelmi Szakközépiskola 2364 Ócsa, Falu Tamás u. 35. OM azonosító:
FIT-jelentés :: 2010 Bolyai János Gimnázium és Kereskedelmi Szakközépiskola 2364 Ócsa, Falu Tamás u. 35. Figyelem! A 2010. évi Országos kompetenciaméréstől kezdődően a szövegértés, illetve a matematika
RészletesebbenFIT-jelentés :: Telephelyi jelentés. 10. évfolyam :: Szakközépiskola
FIT-jelentés :: 2014 10. évfolyam :: Szakközépiskola Hunfalvy János Két Tanítási Nyelvű Közgazdasági és Kereskedelmi Szakközépiskola 1011 Budapest, Ponty utca 3. Létszámadatok A telephely létszámadatai
RészletesebbenFIT-jelentés :: Telephelyi jelentés. 8. évfolyam :: Általános iskola
FIT-jelentés :: 2010 8. évfolyam :: Általános iskola Általános és Alapfokú Művészeti Iskola Gyenesdiás-Várvölgy Közös Fenntartású Nevelési-Oktatási Intézmény 8315 Gyenesdiás, Kossuth u. 91. Figyelem! A
RészletesebbenIntézményi jelentés. 10. évfolyam
FIT-jelentés :: 2010 Budapest XXI. Kerület Csepel Önkormányzata Jedlik Ányos Gimnázium 1212 Budapest, Táncsics M. u. 92. Figyelem! A 2010. évi Országos kompetenciaméréstől kezdődően a szövegértés, illetve
RészletesebbenFIT-jelentés :: Katona József Szakközépiskola, Szakiskola és Gimnázium 1138 Budapest, Váci út 107. OM azonosító: Telephely kódja: 001
FIT-jelentés :: 2015 10. évfolyam :: Szakközépiskola Katona József Szakközépiskola, Szakiskola és Gimnázium 1138 Budapest, Váci út 107. Létszámadatok A telephely létszámadatai a szakközépiskolai képzéstípusban
RészletesebbenTársadalmi és gazdasági hálózatok modellezése
Társadalmi és gazdasági hálózatok modellezése 2. el adás A hálózatkutatás néhány fontos fogalma El adó: London András 2015. szeptember 15. Átmér l ij a legrövidebb út a hálózatban i és j pont között =
RészletesebbenFIT-jelentés :: Telephelyi jelentés. 10. évfolyam :: Szakközépiskola
FIT-jelentés :: 2011 10. évfolyam :: Szakközépiskola Szegedi Műszaki és Környezetvédelmi Középiskola és Szakképző Iskola Gábor Dénes Tagintézménye 6724 Szeged, Mars tér 14. Létszámadatok A telephely létszámadatai
RészletesebbenFIT-jelentés :: Telephelyi jelentés. 10. évfolyam :: Szakközépiskola
FIT-jelentés :: 2016 10. évfolyam :: Szakközépiskola Xántus János Két Tanítási Nyelvű Gimnázium és Szakközépiskola 1055 Budapest, Markó utca 18-20. Létszámadatok A telephely létszámadatai a szakközépiskolai
RészletesebbenFIT-jelentés :: Telephelyi jelentés. 10. évfolyam :: Szakiskola
FIT-jelentés :: 2015 10. évfolyam :: Szakiskola Öveges József Szakközépiskola és Szakiskola (Fehérvári út 10. szám alatti székhely telephelye) 1118 Budapest, Beregszász út 10. Létszámadatok A telephely
RészletesebbenFIT-jelentés :: Szentendrei Református Gimnázium 2000 Szentendre, Áprily tér 5. OM azonosító: Telephely kódja: 001. Telephelyi jelentés
FIT-jelentés :: 2014 8. évfolyam :: 8 évfolyamos gimnázium Szentendrei Református Gimnázium 2000 Szentendre, Áprily tér 5. Létszámadatok A telephely létszámadatai a 8 évfolyamos gimnáziumi képzéstípusban
Részletesebben4. Fuzzy relációk. Gépi intelligencia I. Fodor János NIMGI1MIEM BMF NIK IMRI
4. Fuzzy relációk Gépi intelligencia I. Fodor János BMF NIK IMRI NIMGI1MIEM Tartalomjegyzék I 1 Klasszikus relációk Halmazok Descartes-szorzata Relációk 2 Fuzzy relációk Fuzzy relációk véges alaphalmazok
RészletesebbenFIT-jelentés :: Tóth Árpád Gimnázium 4024 Debrecen, Szombathi István u. 12. OM azonosító: Telephely kódja: 001. Telephelyi jelentés
FIT-jelentés :: 2010 10. évfolyam :: 4 évfolyamos gimnázium Tóth Árpád Gimnázium 4024 Debrecen, Szombathi István u. 12. Figyelem! A 2010. évi Országos kompetenciaméréstől kezdődően a szövegértés, illetve
RészletesebbenFIT-jelentés :: 2013 Telephelyi jelentés 10. évfolyam :: Szakközépiskola Fáy András Közlekedésgépészeti, Műszaki szakközépiskola
FIT-jelentés :: 2013 10. évfolyam :: Szakközépiskola Fáy András Közlekedésgépészeti, Műszaki szakközépiskola 1095 Budapest, Mester u. 60-62. Létszámadatok A telephely létszámadatai a szakközépiskolai képzéstípusban
RészletesebbenFIT-jelentés :: Szentendrei Református Gimnázium 2000 Szentendre, Áprily tér 5. OM azonosító: Telephely kódja: 001. Telephelyi jelentés
FIT-jelentés :: 2015 8. évfolyam :: 8 évfolyamos gimnázium Szentendrei Református Gimnázium 2000 Szentendre, Áprily tér 5. Létszámadatok A telephely létszámadatai a 8 évfolyamos gimnáziumi képzéstípusban
RészletesebbenFIT-jelentés :: Miskolci Andrássy Gyula Szakközépiskola 3530 Miskolc, Soltész Nagy Kálmán utca 10. OM azonosító: Telephely kódja: 001
FIT-jelentés :: 2014 10. évfolyam :: Szakközépiskola Miskolci Andrássy Gyula Szakközépiskola 3530 Miskolc, Soltész Nagy Kálmán utca 10. Létszámadatok A telephely létszámadatai a szakközépiskolai képzéstípusban
RészletesebbenKözösség detektálás gráfokban
Közösség detektálás gráfokban Önszervező rendszerek Hegedűs István Célkitűzés: valamilyen objektumok halmaza felett minták, csoportok detektálása csakis az egyedek közötti kapcsolatok struktúrájának a
RészletesebbenFIT-jelentés :: Telephelyi jelentés. 10. évfolyam :: Szakközépiskola
FIT-jelentés :: 2015 10. évfolyam :: Szakközépiskola Nagykanizsai Műszaki Szakképző Iskola és Kollégium Cserháti Sándor Tagintézménye 8800 Nagykanizsa, Ady Endre utca 74/a Létszámadatok A telephely létszámadatai
RészletesebbenFIT-jelentés :: Telephelyi jelentés. 10. évfolyam :: Szakiskola
FIT-jelentés :: 2016 10. évfolyam :: Szakiskola Budapesti Gépészeti SZC Öveges József Szakközépiskolája és Szakiskolája Beregszász Úti Telephelye 1118 Budapest, Beregszász út 10 Létszámadatok A telephely
RészletesebbenFIT-jelentés :: Telephelyi jelentés. 10. évfolyam :: Szakközépiskola
FIT-jelentés :: 2012 10. évfolyam :: Szakközépiskola Nagykanizsai Műszaki Szakképző Iskola és Kollégium Cserháti Tagintézménye 8800 Nagykanizsa, Ady u. 74/a Létszámadatok A telephely létszámadatai a szakközépiskolai
RészletesebbenFIT-jelentés :: Egri Dobó István Gimnázium 3300 Eger, Széchenyi István utca 19. OM azonosító: Telephely kódja: 001. Telephelyi jelentés
FIT-jelentés :: 2014 10. évfolyam :: 4 évfolyamos gimnázium Egri Dobó István Gimnázium 3300 Eger, Széchenyi István utca 19. Létszámadatok A telephely létszámadatai a 4 évfolyamos gimnáziumi képzéstípusban
RészletesebbenVektorterek. =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott
Vektorterek =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott 40. Alteret alkotnak-e a valós R 5 vektortérben a megadott részhalmazok? Ha igen, akkor hány dimenziósak? (a) L = { (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) x 1 = x 5,
RészletesebbenFIT-jelentés :: Telephelyi jelentés. 10. évfolyam :: 4 évfolyamos gimnázium
FIT-jelentés :: 2015 10. évfolyam :: 4 évfolyamos gimnázium Xántus János Két Tanítási Nyelvű, Gyakorló Gimnázium és Idegenforgalmi Szakközépiskola, Szakiskola és Szakképző Iskola 1055 Budapest, Markó utca
RészletesebbenTelephelyi jelentés. Baross Gábor Középiskola, Szakiskola és Kollégium 4030 Debrecen, Budai É. u. 8/A OM azonosító: Telephely kódja: 001
FIT-jelentés :: 2010 10. évfolyam :: Szakközépiskola Baross Gábor Középiskola, Szakiskola és Kollégium 4030 Debrecen, Budai É. u. 8/A Figyelem! A 2010. évi Országos kompetenciaméréstől kezdődően a szövegértés,
RészletesebbenStruktúra nélküli adatszerkezetek
Struktúra nélküli adatszerkezetek Homogén adatszerkezetek (minden adatelem azonos típusú) osztályozása Struktúra nélküli (Nincs kapcsolat az adatelemek között.) Halmaz Multihalmaz Asszociatív 20:24 1 A
RészletesebbenFIT-jelentés :: Telephelyi jelentés. 10. évfolyam :: 4 évfolyamos gimnázium
FIT-jelentés :: 2010 10. évfolyam :: 4 évfolyamos gimnázium Comenius Angol-magyar Két Tanítási Nyelvű Általános Iskola, Gimnázium és Gazdasági Szakközépiskola és Kollégium 8000 Székesfehérvár, Koppány
RészletesebbenFIT-jelentés :: Dobó István Gimnázium 3300 Eger, Széchenyi u. 19. OM azonosító: Telephely kódja: 001. Telephelyi jelentés
FIT-jelentés :: 2013 10. évfolyam :: 6 évfolyamos gimnázium Dobó István Gimnázium 3300 Eger, Széchenyi u. 19. Létszámadatok A telephely létszámadatai a 6 évfolyamos gimnáziumi képzéstípusban a 10. évfolyamon
Részletesebben