Matematika tantárgyi tanterv a évfolyam számára. A kerettanterv alapján készült helyi tanterv óraterve. Általános profilú osztályokban

Átírás

1 MATEMATIKA 1

2 Matematika tantárgyi tanterv a évfolyam számára A kerettanterv alapján készült helyi tanterv óraterve 9. osztály 10. osztály 11. osztály 12. osztály 37 hét 37 hét 37 hét 32 hét Otthoni tanulási idő heti 2 óra heti 2 óra heti 3 óra heti 3 óra Általános profilú osztályokban Heti óraszám Évi óraszám Reál profilú osztályokban Heti óraszám Évi óraszám Informatika profilú osztályokban Heti óraszám Évi óraszám Idegen nyelv profilú osztályokban Heti óraszám Évi óraszám

3 Célok és feladatok A matematikatanítás célja és feladata a tanulók önálló, rendszerezett, logikus gondolkodásának kialakítása, Mindezt az a folyamat biztosítja, amelynek során fokozatosan kiépítjük a matematika belső struktúráját (fogalmak, axiómák, tételek, bizonyítások elsajátítása), és a tanultakat változatos területeken alkalmazzuk. A problémák felvetése indokolja a tanulók számára a pontos fogalomalkotást. Ezek a folyamatok váljanak a tanulók felfedező tanulási tevékenységének részévé. Mindez fejleszti a tanulók absztrakciós és szintetizáló képességét. A célszerű, új fogalmak alkotása, az összefüggések felfedezése és az ismeretek feladatokban való alkalmazása fejleszti a kombinatív készséget, a kreativitást, a problémahelyzetek önálló, megfelelő önbizalommal történő megközelítését, megoldását. A matematikai nevelés sokoldalú eszközökkel fejleszti a tanulók matematizáló, modellalkotó tevékenységét, kialakítja a megfogalmazott összefüggések, hipotézisek bizonyításának igényét, megmutatja a matematika hasznosságát, belső szépségét, az emberi kultúrában betöltött szerepét. Fejleszti a tanulók térbeli tájékozódását, esztétikai érzékét. A matematika a maga hagyományos és modern eszközeivel segítséget ad a természettudományok, az informatika, a technikai, a humán műveltségterületek, szakközépiskolákban a választott szakma ismeretanyagának tanulmányozásához, a mindennapi problémák értelmezéséhez, leírásához és kezeléséhez. A lehetőségekhez igazodva támogassa az elektronikus eszközök (zsebszámológép, grafikus kalkulátor, számítógép, Internet stb.) célszerű felhasználásának megismerését, alkalmazását, ezzel hozzájárul a digitális kompetencia kifejlődéséhez. Fontos, hogy a tanulók képessé váljanak a pontos, kitartó, fegyelmezett munkára, törekedjenek az önellenőrzésre, legyenek képesek várható eredmények becslésére. Törekedni kell a tanulók pozitív motiváltságának biztosítására, önállóságuk fejlesztésére. Ebben a törekvésben fontos terület a matematika alkalmazásának, eszköz jellegének sokoldalú bemutatása, és a tanításban való érvényesítése. A tananyag egyes részleteinek csoport-munkában való feldolgozása, a feladatmegoldások megbeszélése az együttműködési képesség, a kommunikációs képeség fejlesztésének, a reális önértékelés kialakulásának fontos területei. Az általános iskolai tanításhoz képest egyre inkább hangsúlyt kap a tárgy deduktív jellege, de továbbra sem nélkülözhető a szemléletre és tevékenységre épülő feldolgozás sem. A tanulók váljanak képessé a középszintű érettségi vizsga sikeres letételére. A matematika tanulása járuljon hozzá helyes pályaválasztási irány megtartásához és megalapozásához. 3

4 A matematika kerettantervének új vonásai: a) a modellalkotás, matematizálás jelentőségének növekedése; b) a matematika alkalmazási terének növekedése; c) egyensúly a matematika belső struktúrájának kiépítése és a tanultaknak a mindennapi életben, más tárgyakban való felhasználása, eszközként való alkalmazása között; d) a modern oktatási, tanulási technológiák beépítése a mindennapi iskolai oktatási, nevelési tevékenységbe. Az egyes témákban szerepeltetett különböző nehézségű problémák természetesen nyújtják a differenciálás lehetőségét. A fokozott szaktanári figyelem, az iskolai könyvtár és az elektronikus eszközök használatának lehetősége biztosítsák az esélyegyenlőséget. Fejlesztési követelmények A matematika kompetencia kialakítása Az elsajátított matematikai fogalmak alkalmazása A matematikai szemlélet fejlesztése A középiskolai tanulmányok során a korábban szemléletesen, tevékenységek segítségével kialakított fogalmak megerősítésére, bizonyos fogalmak definiálására, általánosítására kerül sor. A különböző témakörökben megismert összefüggések feladatokban, gyakorlati problémákban való alkalmazása, más témakörökben való felhasználhatóságának felismerése, alkalmazásképes tudása fejleszti a tanulók matematizáló tevékenységét. Az időszak végére szükség van a valós számkör biztos ismeretére, e számkörben megismert műveletek gyakorlati és elvontabb feladatokban való alkalmazására is. A tananyag különböző fejezeteiben a számításoknál fontos a zsebszámológép, a számítógép biztos alkalmazása. Műveleteket az algebrai kifejezések és a vektorok körében is értelmezünk és használunk. Elengedhetetlen az elemi függvények ábrázolása koordináta-rendszerben és a legfontosabb függvénytulajdonságok meghatározása nemcsak a matematika, hanem a természettudományos tárgyak megértése miatt, különböző gyakorlati helyzetek leírásának érdekében is. A geometriai ismeretek bővülése, a megismert geometriai transzformációk rendszerezettebb tárgyalása fejleszti a dinamikus geometriai szemléletet. A trigonometriai számítások a gyakorlat szempontjából fontosak (távolságok, szögek meghatározása számítás útján). A sík- és térgeometriai fogalmak és tételek mind a térszemlélet, mind az analógiás gondolkodás fejlesztése szempontjából lényegesek. A terület-, felszín-, térfogatszámítás más tantárgyakban is elengedhetetlen. A koordinátageometria elemeinek tanításával a matematika különböző területeinek összefüggéseit s így a 4

5 matematika komplexitását mutatjuk meg. A következtetési, a bizonyítási készség fejlesztése hangsúlyos ennél a korosztálynál. A ha..., akkor... az akkor és csak akkor helyes használata az élet számos területén (nem csak a matematikában) fontos. Gyakorlottság a matematikai problémák megoldásában, jártasság a logikus gondolkodásban A problémaérzékenységre, problémamegoldásra nevelés fontos feladatunk. Ehhez elengedhetetlen egyszerű matematikai szövegek értelmezése, elemzése s az, hogy a tanulók minél többször önállóan oldjanak meg feladatokat. Aktívan vegyenek részt a tanítási, tanulási folyamatban. A diszkussziós képesség fejlesztése, a többféle megoldás keresése, megtalálása és megbeszélése a többféle nézőpont érvényesítésének, a komplex problémakezelésnek a képességét is fejleszti.. Hasznos az élet problémái és a különböző tudományok megértéséhez (a társadalomtudományokéhoz is) a gyakorlatban fontos témák megismerése, pl. a geometriai számítások, a leíró statisztika és valószínűség-számítás elemeinek alkalmazása. Ez megmutatja a tanulók számára a matematika használhatóságát. El kell érnünk, hogy az érettségi előtt állók e területen bizonyos gyakorlottságra tegyenek szert. Az elsajátított megismerési módszerek és gondolkodási műveletek alkalmazása A évfolyam matematikatanításában az induktív módszer mellett nagyobb szerepet kapnak a deduktív következtetések is. A tanítandó anyagban sejtéseket fogalmazunk (fogalmaztatunk) meg, melyek néhány lépésben bizonyíthatók vagy megcáfolhatók. Tanításunkban fontos a bizonyítás iránti igény felkeltése. Sor kerül néhány egyszerű tétel bizonyítására, bizonyítási módszerek megismerésére, valamint a fogalmak, szabályok pontos megfogalmazására. A matematikatanításban alapvetően fontos az absztrakciós képesség Az érettségi előtti rendszerező összefoglaláskor a matematika komplexitását mutatja meg az elemi halmazelméleti és logikai ismeretek alkalmazása különböző témakörökben, valamint egyszerű modellek (pl. gráfok) szerepeltetése. A logikus gondolkodás a problémamegoldásban, az algoritmikus eljárások során és az alkalmazásokban egyaránt lényeges. A matematika különböző területein néhány lépéses algoritmus készítése az informatika tanulmányozásához is fontos. Természetesen ezen időszakban is elengedhetetlen a szemléltető ábrák és egyéb eszközök alkalmazása nemcsak a geometriában (trigonometriában), hanem a kombinatorikában és a statisztikában is. Az adatsokaságok különböző jellemzési lehetőségeinek megismertetésével ezen a téren is fejlesztjük az alkalmazásképes tudást. Ezek az eljárások biztosítják sokoldalú kommunikációs formák közül a megfelleő kiválasztásának és alkalmazásának képességét. 5

6 Helyes tanulási szokások fejlesztése A gyakorlati számítások során alkalmazott újabb ismeretek egyre fontosabbá teszik az elektronikus eszközök célszerű használatát. A közelítő értékekkel való számoláshoz különösen elengedhetetlen a becslés, a kerekítés, az ellenőrzés különböző módjainak alkalmazása, az eredmény realitásának eldöntése. A tanulóktól megkívánjuk a szaknyelv pontos használatát, a jelölésrendszer helyes alkalmazását írásban és szóben egyaránt. A helyes érvelésre szoktatással sokat tehet (és tesz is) a matematikatanítás a kommunikációs készség fejlesztéséért. A matematikai szöveg értő olvasása, tankönyvek, lexikonok használata, szövegekből a lényeg kiemelése, a helyes jegyzeteléshez szoktatás a felsőfokú tanulást is segíti. Fontos elérnünk, hogy a tanulók meg tudják különböztetni a definíciót, a sejtést és a tételt. Matematikatudásról akkor beszélhetünk, ha a definíciókat, tételeket alkalmazni is tudja a tanuló. Nem hagyhatjuk figyelmen kívül, hogy a matematika a kultúrtörténet része. Komoly motiváció lehet tanításunkban a matematikatörténet egy-egy mozzanatának megismertetése, a máig meg nem oldott egyszerűnek tűnő matematikai sejtések megfogalmazása, nagy matematikusok élete, munkássága. Ehhez segítséget ad a könyvtár és az Internet használata is. 6

7 Belépő tevékenységformák Fontos a tanulók motiválása. Ennek érdekében az egyes témák felvezetésében alkalmazunk a mindennapi életben felmerülő problémákhoz kapcsolódó feladatokat, használjuk a témákhoz kapcsolódó számítógépes programokat. Az új fogalmak, tételek és bizonyítások tárgyalása történhet frontális vagy csoportos munkával. Differenciált foglalkozással hatékonyan fejleszthetjük a tanulói kreativitást. Egyes témakörök feldolgozását (pl. függvények, térgeometria stb.) érdekessé, eredményessé teszi a számítógépes feldolgozás. Megmutatjuk és alkalmazzuk a matematikában használt bizonyítási módszereket. Matematikatörténeti ismeretekkel érdekesség tehetjük a tanórákat, gazdagíthatjuk a tanulók ismereteit. Tanulói tevékenységek A már meglévő ismereteket felidézik, rendszerezik, összehasonlítják, kibővítik és alkalmazzák. Feladatokat értelmeznek, modelleznek, megoldanak és az eredményeket ellenőrzik, összevetik az adatokkal és a valósággal. Adatokat rendszereznek, elemeznek, egyszerűbb szerkesztéseket, bizonyításokat végeznek. Tanórán önállóan jegyzetelnek. Rendszeresen házi feladatot készítenek. Értékelési módok: - folyamatos megfigyelés, korrekció, - csoportos és egyéni szóbeli számonkérés - diagnosztizáló felmérés - dolgozat - témazáró dolgozat - teszt - otthoni önálló munka értékelése - év végi szintmérés - standardizált pedagógiai tesztek 7

8 Évfolyamonként ismétlődő szerkezeti egységek 9. évfolyam Reál profilú osztályokban Évi óraszám: 111 kötött + 37 óra a szabadon tervezhető keretből A kerettantervi éves időkeret 20 %-át (22 órát) és 37 többletórát a tanár a tananyag gyakorlására, ismétlésre, a tanultak elmélyítésére, megerősítésre használja fel. Elosztása kb. a témakörök nagyságával arányos, konkrétan a mindenkori tanmenet rögzíti. Az évi óraszám felhasználása témakörök szerinti lebontásban: Kerettantervi időkeret 80 %-a Kerettantervi időkeret 20 %-a Választható heti 1 óra Gondolkodási módszerek 8 óra 2 óra 3 óra Számtan, algebra 36 óra 8 óra 19 óra Függvények, sorozatok 10 óra 3 óra 4 óra Geometria 22 óra 6 óra 8 óra Valószínűség, statisztika 5 óra 3 óra 3 óra Témazárók írása, javítása 8 óra Összesen 111 óra 37 óra Általános, informatika, idegen nyelv profilú osztályokban Évi óraszám: 111 kötött A kerettantervi éves időkeret 20 %-át (22 órát) a tanár a tananyag gyakorlására, ismétlésre, a tanultak elmélyítésére, megerősítésre használja fel. Elosztása kb. a témakörök nagyságával arányos, konkrétan a mindenkori tanmenet rögzíti. Az évi óraszám felhasználása témakörök szerinti lebontásban: Kerettantervi időkeret 80 %-a Kerettantervi időkeret 20 %-a Gondolkodási módszerek 8 óra 2 óra Számtan, algebra 36 óra 8 óra Függvények, sorozatok 10 óra 3 óra Geometria 22 óra 6 óra Valószínűség, statisztika 5 óra 3 óra Témazárók írása, javítása 8 óra Összesen 111 óra 8

9 Az elégséges osztályzathoz szükséges minimális követelményt a negyedik oszlop vastagon szedett része tartalmazza. Gondolkodási módszerek A megismert számhalmazok, A szemléletes fogalmak Tájékozottság a racionális ponthalmazok áttekintése, definiálása, tudatosítása. számkörben. véges és végtelen halmazok, az intervallum fogalma. Halmazműveletek: unió-, Részhalmaz, unió, metszet, metszet-, két halmaz különbsége. részhalmazképzés, két halmaz különbsége. Egyszerű kombinatorikai Módszer keresése az összes Feladatok értelmezése feladatok, az összes eset eset áttekintéséhez. áttekintése. Az akkor és csak akkor használata (folyamatos). A szükséges és elégséges Tétel és megfordítása feltétel megkülönböztetése. (folyamatos). 9

10 Számtan, algebra A hatványozás értelmezése 0 és negatív egész kitevőre, a hatványozás azonosságai; számok abszolút értéke, normál alakja. A fogalom célszerű kiterjesztése, a számok nagyságrendjének tudása. Az azonosságok ismerete és alkalmazásuk. Nevezetes azonosságok: kommutativitás, asszociativitás, disztributivitás; (a ± b) 2, a 2 b 2 szorzat alakja, (a Számok abszolútértéke, normálalakja. A másodfokú azonosságok alkalmazása. ± b) 3, a 3 b 3 szorzat alakja. Ezen azonosságok alkalmazása egyszerű algebrai törtekkel végzett műveleteknél. A szaknyelv használata. Műveletek végzése számokkal és algebrai kifejezésekkel. A négy alapművelet egyszerű algebrai törtekkel. Egyes változók kifejezése fizikai, kémiai képletekben. Elsőfokú kétismeretlenes egyenletrendszer megoldása. Egyenletrendszerre vezető szöveges feladatok, százalékszámítás, kamatszámítás. Algoritmikus gondolkodás. Gyakorlati problémák modellezése, értő szövegolvasás. Egyszerű egyenletrendszerek biztos megoldása. A százalékszámítás alkalmazása a gyakorlatban. Egy abszolútértéket tartalmazó egyenletek. A rendszerező-képesség Relatív prímek, oszthatósági feladatok. Példa számrendszerekre. A matematika iránti érdeklődés erősítése az elemi számelmélet alapvető problémáival és matematikatörténeti vonatkozásaival. 3-mal, 9-cel való oszthatóság ismerete. Számok prímtényezőkre való bontása. 2-es alapú számrendszer kapcsolata a 10-es alapú számrendszerrel. 10

11 Függvények, sorozatok A függvény fogalma, elemi tulajdonságai; a lineáris függvény, abszolútértékfüggvény, másodfokú függvény, gyakorlati példák további függvényekre, a fordított arány. x a/x A függvényszemlélet fejlesztése: a hozzárendelések szabályként való értelmezése. A megfelelő modell megkeresése. Az alapfüggvények tulajdonságainak ismerete. Képlettel megadott függvény ábrázolása értéktáblázat segítségével. Geometria Geometriai alapfogalmak, háromszögekkel, négyszögekkel, sokszögekkel kapcsolatos ismeretek kiegészítése, rendszerezése. A háromszög nevezetes vonalai, beírt köre, körülírt körre. (Legalább egy tétel bizonyítása.) Thalész tétele, a kör és érintői. A tengelyes és középpontos tükrözés, az eltolás áttekintése, rendszerezése, pont körüli elforgatás és tulajdonságai. A forgásszög fogalma, ívmérték, a kör középponti szöge. A körív hossza, körcikk kerülete, területe (képletek használata). Egyszerű szerkesztési feladok. Tájékozottság a megismert síkidomok tulajdonságaiban. Sejtések megfogalmazása, új összefüggések felfedezése, bizonyítási igény kialakítása. A transzformációk, mint függvények értelmezése, a matematika különböző területei közötti kapcsolatok keresése. Síkbeli tájékozódás, a konstrukciós, analizáló képesség és a diszkussziós igény kialakítása. Tervezés, szemléltetés, szerkesztőprogramok megismerése. Speciális háromszögek, négyszögek és szabályos sokszögek tulajdonságainak ismerete. A nevezetes vonalak és a háromszög beírt és köré írt körének ismerete. A körrel kapcsolatos fogalmak és az érintő tulajdonságának ismerete. Az eltolás és tükrözések tulajdonságainak felhasználása egyszerű feladatokban. Valószínűség, statisztika Statisztikai adatok és ábrázolásuk (kördiagram, oszlopdiagram, stb.), számtani közép, medián, módusz; szórás. A statisztikai adatok helyes értelmezése. 11 Adatok összevetése a valósággal. Számsokaság számtani közepének kiszámítása, a középső érték (medián) és a leggyakoribb érték (módusz) ismerete. Kördiagram, oszlopdiagram adatainak értelmezése.

12 10. évfolyam Évi óraszám: 111 kötött A kerettantervi éves időkeret 20 %-át (22 órát) a tanár a tananyag gyakorlására, ismétlésre, a tanultak elmélyítésére, megerősítésre használja fel. Elosztása kb. a témakörök nagyságával arányos, konkrétan a mindenkori tanmenet rögzíti. Az évi óraszám felhasználása témakörök szerinti lebontásban: Kerettantervi időkeret 80 %-a Kerettantervi időkeret 20 %-a Gondolkodási módszerek 8 óra 2 óra Számtan, algebra 32 óra 8 óra Függvények, sorozatok 12 óra 4 óra Geometria 24 óra 5 óra Valószínűség, statisztika 5 óra 3 óra Témazárók írása, javítása 8 óra Összesen 111 óra Gondolkodási módszerek Tétel és megfordítása. Bizonyítási módszerek, jellegzetes gondolatmenetek (indirekt módszer, skatulya-elv). Változatos kombinatorikai feladatok. A köznapi gondolkodás és a matematikai gondolkodás megkülönböztetése. A bizonyítási igény további A csak kimondott, illetve be is bizonyított összefüggések megkülönböztetése. Egyszerű sorbarendezési és kiválasztási feladatok konkrét elemszám esetén. 12

13 Számtan algebra A valós szám szemléletes fogalma, kapcsolata a számegyenessel, a valós számok tizedestört alakja, példák irracionális számokra. A négyzetgyökvonás azonosságainak használata egyszerű esetekben, az n-edik gyök. A másodfokú egyenlet megoldása, a megoldóképlet, gyöktényezős alak. Összefüggés két pozitív szám számtani és mértani közepe között. Másodfokú egyenletre vezető szöveges feladatok. Ekvivalens és nem ekvivalens lépések egyenletek átalakításánál, egyszerű négyzetgyökös egyenletek. Másodfokú egyenlőtlenségek, megoldása. A permanencia elve a számfogalom bővítésében. Az algoritmikus gondolkodás A matematika eszközként való felhasználása gyakorlati és természettudományos problémák megoldásában. Diszkussziós igény az algebrai feladatoknál. A megoldás keresése többféle úton, tanulói felfedezések, önálló eljárások keresése. Az algebrai és grafikus módszerek együttes alkalmazása a problémamegoldásban. Tájékozottság a valós számok halmazán, a racionális és irracionális számok tizedestört alakja, nevezetes irracionális számok ismerete. A négyzetgyök azonosságainak alkalmazása egyszerű esetekben. A megoldóképlet biztos ismerete és alkalmazása. Két pozitív szám számtani és mértani közepének fogalma. Különböző típusú egyszerű szöveges feladatok megoldása. Egyszerű négyzetgyökös egyenlet megoldása. A megoldások ellenőrzése. Függvények, sorozatok A négyzetgyök függvény. A tanult függvények néhány egyszerű transzformációja. A forgásszög szögfüggvényeinek értelmezése, összefüggés a szög szögfüggvényei között. A szögfüggvények tulajdonságai (értelmezési tartomány, monotonitás, zérushelyek, szélsőértékek, periodicitás, értékkészlet), a függvények ábrázolása. Új függvénytulajdonságok megismerése. Függvénytranszformációk további alkalmazása. A szögfüggvények definíciójának ismerete, A négyjegyű az x sinx és x cosx függvénytáblázatok és függvények ábrázolása és matematikai összefüggések tulajdonságai. célszerű használata. 13

14 Geometria A hasonlósági transzformáció fogalma. A háromszögek hasonlósága, alapeseteinek ismerete és alkalmazása egyszerű esetekben. A hasonlóság alkalmazásai: háromszög súlyvonalai, súlypontja, arányossági tételek a derékszögű háromszögben. Hasonló síkidomok területének aránya, hasonló testek térfogatának aránya. Pitagorasz tételének, illetve a szögfüggvényeknek alkalmazása derékszögű háromszög hiányzó adatainak kiszámítására, gyakorlati feladatok. Nevezetes szögek szögfüggvényértékeinek kiszámítása. A vektor szorzása számmal, vektor felbontása síkban. A transzformációs szemlélet Kreatív problémamegoldás. Geometriai ismeretek alkalmazása A vektorok további alkalmazása..biztos számolási készség, zsebszámológép célszerű használata. A hasonlóság szemléletes tartalmának ismerete, a középpontos nagyítás és kicsinyítés alkalmazása egyszerű gyakorlati feladatokban. Az alapesetek ismerete. A felsorolt tételek ismerete és alkalmazása egy vagy két lépéssel megoldható számítási feladatoknál. Valószínűség, statisztika Valószínűségi kísérletek. A valószínűség szemléletes fogalma, kiszámítása konkrét esetekben. A valós helyzetek értelmezése, megértése és értékelése. A valós helyzetek értelmezése, megértése és értékelése. Egyszerű problémák megoldása a klasszikus valószínűségi modell alapján. 14

15 11. évfolyam Évi óraszám: 111 kötött + 37 óra a szabadon tervezhető keretből A kerettantervi éves időkeret 20 %-át (22 órát) és 37 többletórát a tanár a tananyag gyakorlására, ismétlésre, a tanultak elmélyítésére, megerősítésre használja fel. Elosztása kb. a témakörök nagyságával arányos, konkrétan a mindenkori tanmenet rögzíti. Az évi óraszám felhasználása témakörök szerinti lebontásban: Kerettantervi időkeret 80 %-a Kerettantervi időkeret 20 %-a Választható heti 1 óra Gondolkodási módszerek 10 óra 2 óra 4 óra Számtan, algebra 25 óra 6 óra 10 óra Függvények, sorozatok 12 óra 2 óra 5 óra Geometria 28 óra 8 óra 12 óra Valószínűség, statisztika 6 óra 4 óra 6 óra Témazárók írása, javítása 8 óra Összesen 111 óra 37 óra Gondolkodási módszerek Vegyes kombinatorikai feladatok. Binomiális együtthatók. A kombinatív készség A többféle megoldási mód lehetőségének keresése. Becslés, a becslés összevetése a számításokkal. Egyszerű kombinatorikai feladatok megoldása. Gráfelméleti alapfogalmak, alkalmazásuk. Feladatok megoldása gráfokkal. A gráf modellként való felhasználása. A gráf szemléletes fogalma, egyszerű alkalmazásai. Számtan, algebra Másodfokúra visszavezethető egyszerű egyenletek. A hatványozás kiterjesztése pozitív alap esetén racionális kitevőkre. A hatványozás azonosságai és alkalmazásuk. A logaritmus értelmezése. A logaritmus azonosságai. A definíciókon és a megismert azonosságokon alapuló exponenciális, logaritmikus és trigonometrikus egyenletek. A matematikai fogalom célszerű kiterjesztése, a fogalmak általánosításánál a permanencia elv felhasználása. Bizonyítás iránti igény mélyítése. Az absztrakciós és szintetizáló képesség Az önellenőrzés igényének 15 Matematikatörténeti vonatkozások megismerése (könyvtár- és Internet használat). A hatványozás definíciója, műveletek, azonosságok ismerete egész kitevő esetén. A logaritmus fogalmának ismerete, azonosságainak alkalmazása egyszerűbb esetekben. Exponenciális, logaritmusos és trigonometrikus egyenlet egyszerű, konkrét feladatokban.

16 Függvények, sorozatok A 2 x, a 10 x függvény, az exponenciális függvény vizsgálata, exponenciális folyamatok a természetben. A logaritmus függvény mint az exponenciális függvény inverze. A tanult függvények tulajdonságai (értelmezési-tartomány, értékkészlet, zérushely, szélsőérték, monotonitás, periodicitás, paritás). Függvény-transzformációi: f(x) + c; f(x + c); c f(x); f(c x). A függvényfogalom Összefüggések felismerése a matematika különböző területei között. A bizonyításra való törekvés Számítógép használata a függvényvizsgálatokba n és a transzformációkban. Az alapfüggvények ábrái és legfontosabb tulajdonságainak vizsgálata (értelmezési tartomány, értékkészlet, zérushely, szélsőérték). Geometria, mérés A vektorokról tanultak áttekintése. A vektorműveletek tulajdonságai. Két vektor skaláris szorzata. A skaláris szorzat tulajdonságainak felsorolása. Szinusztétel, koszinusz-tétel. Az alkalmazásukhoz szükséges egyszerű trigonometrikus egyenletek. Távolság, szög, terület meghatározása gyakorlati feladatokban (fizikában). Helyvektor. Műveletek koordinátákkal megadott vektorokkal. Szakasz felezőpontja, harmadolópontja. A háromszög súlypontja. Két pont távolsága, szakasz hossza. A kör egyenletei. Az irányvektor, a normálvektor, az irány-tangens fogalma, ezek kapcsolata. Az egyenes egyik egyenlete. Két egyenes párhuzamosságának, merőlegességének feltétele, két egyenes metszéspontja. Kör és egyenes kölcsönös helyzete. A kör adott pontjához tartozó érintője. A térszemlélet Pontos fogalomalkotásra törekvés. Bizonyítás iránti igény tovább A fizika és a matematika termékeny kapcsolatának megmutatása. Tervszerű munkára nevelés. Az esztétikai érzék A matematika gyakorlati felhasználása. Az eredmények realitásának és pontosságának eldöntése. A bizonyítási készség Adott probléma többféle megközelítése. 16 A zsebszámológép és a számítógép alkalmazása. Geometriai feladatok megoldása algebrai eszközökkel. Vektorműveletek és tulajdonságaik (összeadás, kivonás, skalárral való szorzás). Vektorok alkalmazásai. A szinusztétel és a koszinusztétel alkalmazása alapfeladatok megoldásában (a háromszög hiányzó adatainak meghatározása). Vektorok koordinátáinak biztos használata. Szakasz felezőpontja koordinátáinak kiszámítása. A kör középponti egyenletének ismerete. Az egyenes egy szabadon választott egyenletének tudása. Két egyenes metszéspontjának meghatározása. Kör és egyenes kölcsönös helyzetének vizsgálata.

17 Valószínűség, statisztika Egyszerű valószínűségszámítási problémák. A binomiális eloszlás (visszatevéses mintavétel). Eseményekkel végzett műveletek egyszerű, konkrét feladatokban. Relatív gyakoriság. A valószínűség klasszikus modellje. Statisztikai mintavétel a gyakorlati életben. A körülmények kellő figyelembevétele. Előzetes becslés összevetése a számításokkal. Modellalkotásra nevelés. Modellalkotás. A relatív gyakoriság és a valószínűség közötti szemléletes kapcsolat ismerete, egyszerű valószínűségi feladatok megoldása. A mindennapi problémák értelmezése. A számítógép alkalmazása statisztikai adatok, illetve véletlen jelenségek vizsgálatára. Statisztikai zsebkönyvek, a napi sajtó adatainak elemzése. 17

18 12. évfolyam Általános, reál, informatika profilú osztályokban Évi óraszám: 128 kötött + 32 óra a szabadon tervezhető keretből A kerettantervi éves időkeret 20 %-át (26 órát) és 32 többletórát a tanár a tananyag gyakorlására, ismétlésre, a tanultak elmélyítésére, megerősítésre használja fel. Elosztása kb. a témakörök nagyságával arányos, konkrétan a mindenkori tanmenet rögzíti. Az évi óraszám felhasználása témakörök szerinti lebontásban: Kerettantervi időkeret 80 %-a Kerettantervi időkeret 20 %-a Választható heti 1 óra Gondolkodási módszerek 10 óra 2 óra 3 óra Számtan, algebra 18 óra 8 óra 7 óra Függvények, sorozatok 20 óra 3 óra 6 óra Geometria 34 óra 8 óra 11 óra Valószínűség, statisztika 12 óra 5 óra 5 óra Témazárók írása, javítása 8 óra Összesen 128 óra 32 óra Idegen nyelv profilú osztályokban Évi óraszám: 128 kötött A kerettantervi éves időkeret 20 %-át (26 órát) a tanár a tananyag gyakorlására, ismétlésre, a tanultak elmélyítésére, megerősítésre használja fel. Elosztása kb. a témakörök nagyságával arányos, konkrétan a mindenkori tanmenet rögzíti. Az évi óraszám felhasználása témakörök szerinti lebontásban: Kerettantervi időkeret 80 %-a Kerettantervi időkeret 20 %-a Gondolkodási módszerek 10 óra 2 óra Számtan, algebra 18 óra 8 óra Függvények, sorozatok 20 óra 3 óra Geometria 34 óra 8 óra Valószínűség, statisztika 12 óra 5 óra Témazárók írása, javítása 8 óra Összesen 128 óra 18

19 Gondolkodási módszerek Ekvivalencia, implikáció. A halmazelméleti és logikai ismeretek kapcsolata, rendszerezése. A megismert bizonyítási módszerek összefoglalása. A kombinatorikai és gráfokkal kapcsolatos ismeretek áttekintése. Az ismeretek rendszerezése. A matematika különböző területei közti összefüggéseinek tudatosítása. A deduktív gondolkodás Az előző években felsorolt továbbhaladási feltételek. Számtan, algebra Rendszerező összefoglalás Számhalmazok Számelméleti összefoglalás. A valós számok és részhalmazai. A műveletek értelmezése, műveleti tulajdonságok. Közelítő értékek. Egyenletek Nevezetes másod- és harmadfokú algebrai azonosságok. Első- és másodfokú egyenlet és egyenlőtlenség. Négyzetgyökös kifejezések és egyenletek. Egyszerű exponenciális, logaritmikus, trigonometrikus egyenletek és azonosságok. Az egyenletmegoldás módszerei. Az alaphalmaz szerepe. Egyszerű kétismeretlenes elsőfokú és másodfokú egyenletrendszer. Szöveges feladatok. Szám- és műveletfogalom biztos alkalmazása. Matematikatörténeti ismeretek (könyvtár- és Internethasználat). Tervszerű, pontos és Önellenőrzés. fegyelmezett munkára nevelés. Az önellenőrzés fontossága. A problémamegoldó gondolkodás, a szövegértés, a szövegelemzés Az előző években felsorolt továbbhaladási feltételek. 19

20 Függvények, sorozatok A sorozat fogalma. Számtani és mértani sorozat, az n. tag, az első n elem összege. Kamatoskamat-számítás. Rendszerező összefoglalás A függvényekről tanultak áttekintése, rendszerezése. Az alapfüggvények ábrázolása. Függvénytranszformációk. Függvényvizsgálat függvényábrák segítségével. A matematika alkalmazása a gyakorlati életben. Az absztrakciós készség A függvényszemlélet Matematikatörténeti feladatok. A függvények alkalmazása a gyakorlatban és a természettudományokban. Számtani és mértani sorozat esetén az n. tag, és az első n elem összegének kiszámítása feladatokban. Kamatoskamat-számítás alkalmazása egyszerű gyakorlati feladatokban. Az előző évek tantervében felsorolt továbbhaladási feltételek. 20

21 Geometria, mérés Térelemek kölcsönös helyzete, távolsága, szöge. A terület- és kerületszámítással kapcsolatos ismeretek összefoglalása. A tanult poliéderek felszíne, térfogata. A forgáshenger és a forgáskúp felszíne és térfogata. A csonkagúla, csonkakúp, a gömb felszíne, térfogata. Rendszerező összefoglalás Geometriai alapfogalmak, ponthalmazok. Egybevágósági és hasonlósági transzformációk áttekintése. Háromszögekre, négyszögekre és a körre vonatkozó tanult tételek és alkalmazásaik. Vektorok, vektorok koordinátái. Vektorműveletek, műveleti tulajdonságok, alkalmazások. Derékszögű koordinátarendszer. Egyenes és kör egyenlete. Trigonometrikus összefüggések és alkalmazásaik. Valószínűség, statisztika Adatkezelésnél osztályba sorolás. Terjedelem. Összefoglalás: Adathalmazok jellemzői: számtani közép, mértani közép, súlyozott közép, medián, módusz, szórás. Gyakoriság, relatív gyakoriság. A klasszikus valószínűségi modell. A térszemlélet Az esztétikai érzék A matematika gyakorlati alkalmazásai a térgeometriában. A függvényszemlélet A deduktív gondolkodás A matematika különböző területei közötti összefüggések felhasználása. A leíró statisztika és a valószínűség-számítás gyakorlati szerepe, alkalmazása. 21 Sík- és térgeometriai ismeretek összekapcsolása, analógiák felismerése. Az előző években felsorolt továbbhaladási feltételeken kívül: térelemek kölcsönös helyzetének, távolságuk, hajlásszögük definíciójának ismerete. A megismert felszín- és térfogat-számítási képletek alkalmazása egyszerű feladatokban. A számítógép Az előző években felsorolt felhasználása továbbhaladási feltételek. statisztikai adatok kezelésére, véletlen jelenségek vizsgálatára. Egyszerű klasszikus valószínűség-számítási feladatok megoldása.

22 Az emelt szintű érettségire történő felkészítés tanterve matematikából a 11. és 12. évfolyamokra Általános fejlesztési feladatként fogalmazzuk meg a középiskolában tanult matematikai alapfogalmak, definíciók, axiómák, tételek pontos, értő ismeretét, a bizonyítási igény és módszerek beépítését a tanulók gondolkodásába. Nagy hangsúlyt kap a problémamegoldó gondolkodás A matematikai műveltség, mint az általános műveltség része tudatosan jelenjen meg diákjaink gondolkodásában. Nagy hangsúlyt kell kapnia az önálló ismeretszerzésre való nevelésnek. Az emelt szintű képzés átmenetet képez a középiskola és a felsőoktatás között, így előkészíti a diákot az egyetemi, főiskolai tanulmányok megkezdésére. Mind a két évfolyamon a Tartalom oszlopban csak azokat a plusz tartalmakat tüntetjük fel, amelyeket az alaptanterv nem tartalmaz, de az emelt szintű érettségire való felkészítés során tanítani kell az érettségi vizsgakövetelmények miatt. 22

23 11. évfolyam Évi óraszám: 74 óra Gondolkodási módszerek: Számtan, algebra: Függvények, sorozatok: Geometria: Összesen 8óra 30 óra 15 óra 20 óra 74 óra Gondolkodási módszerek Bizonyítási módszerek ismerete (példák direkt és indirekt bizonyításra), skatulyaelv. Pascal-háromszög. Véges megszámlálhatóan végtelen és nem megszámlálhatóan végtelen halmazok ismerete. Mit értünk adott műveletre zárt számhalmazon? Permutációk, variációk (ismétlés nélkül és ismétléssel), kombinációk (ismétlés nélküli) kiszámítására vonatkozó képletek ismerete, bizonyítása és alkalmazása. FELADATOK, TEVÉKENYSÉGEK Az új ismeretek beépítésének lehetőségei. Véges és végtelen kérdése Kombinatorikai összefüggések alkalmazása a gyakorlatban Absztraháló képesség fejlesztése Értő alkalmazás feladatokon. A nyelv logikai elemeinek tudatos használata Tételek megfordításának megfogalmazása konkrét esetekben. Felismerni a feladatban a matematikai problémát Pont, él, fok, út, kör, összefüggő gráf, fa fogalmak definiálása. Gráfelmélet a gyakorlatban Egyszerű gráf pontjainak foka és éleinek száma valamint a fa és élei száma közötti összefüggések 23

24 Számtan, algebra A számelmélet alaptétele. Oszthatósági feladatok megoldása. Számok átírása 10-es alapú számrendszerből n alapú számrendszerbe.. A hatványozás azonosságainak bizonyítása egész kitevőre. Azonos kitevőjű hatványok összegének és különbségének szorzattá alakítása. A négyzetgyökvonás azonosságainak bizonyítása. 2 irracionális szám, bizonyítás. Permanencia elv. Irracionális kitevőjű hatvány értelmezése szemléletesen. A logaritmus azonosságainak bizonyítása. A számtani, mértani, négyzetes és harmonikus közép n szám esetén, nagyságrendi viszonyaikra vonatkozó tételek. Két pozitív szám számtani és mértani közepére vonatkozó tétel bizonyítása és a rá vonatkozó feladatok megoldása. Két és háromismeretlenes egyenletrendszerek. Paraméteres egyenletek és egyenletrendszerek. A másodfokú egyenlet megoldóképletének levezetése. Viété- formulák bizonyítása. Másodfokú paraméteres egyenletek megoldása. Másodfokúra visszavezethető egyenletrendszer megoldása. Szorzattá alakítható egyenletek. Négyzetgyökös egyenletek megoldása (értelmezési tartomány, értékkészlet vizsgálata). Két négyzetre emeléssel megoldható négyzetgyökös egyenletek. Abszolutértékes egyenletek. Négyzetgyökös, abszolutértékes, logaritmikus és trigonometrikus egyenlőtlenségek megoldása. FELADATOK, TEVÉKENYSÉGEK Egy probléma, több módszer. Indukciós gondolkodás. Bizonyítási igény kialakítása és Algebrai és geometriai megközelítés egyenértékűsége. Egyenletrendezési rutin Ötletek Az ellenőrzés fontosságának kiemelése. Alkalmazói tudás. A számkör felépítése, a hatványozás, négyzetgyökvonás és a logaritmus azonosságainak ismerete Fogalmak pontos ismerete. Egyszerűbb feladatok megoldása. Biztos feladatmegoldás. 24

25 Sorozatok, függvények Számsorozat jellemzése (korlátosság, monotonitás, konvergencia). A számtani és a mértani sorozat n-edik elemére és az első n elem összegére vonatkozó összefüggések bizonyítása. Végtelen mértani sor fogalma és összege. Gyűjtőjáradék és törlesztőrészlet számítása Az alapvető függvények pontos definíciója. Függvény leszűkítésének és kiterjesztésének fogalma. Hatványfüggvény. Összetettebb függvények ábrázolása. Függvénytranszformációk. Függvényvizsgálat ( korlátosság, konvexitás, szélőérték ) Szélsőérték-feladatok megoldása. Geometria Alakzatok távolságának értelmezése. A geometriai transzformáció, mint függvény. Egybevágósági transzformációk fogalma és alkalmazása síkban és térben. Hasonlósági transzformáció. Merőleges vetítés és tulajdonságai A háromszög nevezetes vonalaira, pontjaira és köreire vonatkozó tételek bizonyítása. Bizonyítások: - Pitagoras tétel és a megfordítása, - magasság és befogótétel, - a húrnégyszögre és az érintőnégyszögre vonatkozó tételek - a konvex sokszög átlóinak száma, a belső és a külső szögösszegekre vonatkozó tétel - a kör érintője merőleges az érintési pontba húzott sugárra. - külső pontból körhöz húzott érintőszakaszok egyenlők - kerületi és középponti szögek tétele - Thales tétel és megfordítása. - Látókör fogalma. Sinus és cosinus tétel bizonyítása Szögfüggvények közötti kapcsolatok. Addíciós képletek ( sinus, cosinus és tangens ) alkalmazása. FELADATOK, TEVÉKENYSÉGEK Az életből vett példák matematikai elemzése. Pontosság. Igényes munka, esztétikus külalak. FELADATOK, TEVÉKENYSÉGEK Térszemlélet, alaprajz értelmezése. A bizonyítási igény Adatok közötti összefüggések megfigyelése, táblázatok használata. Az alapfüggvények és a transzformációs lépések biztos tudása. f(ax+b)+d Fogalmak ismerete Alkalmazások. Szögfüggvények ismerete. 25

26 12. évfolyam Évi óraszám: 64 óra A differenciálszámítás elemei Számtan, algebra Geometria Az integrálszámítás elemei Statisztika, valószínűség Összesen 12 óra 9 óra 15 óra 20 óra 8 óra 64 óra A differenciálszámítás elemei Véges és végtelenben vett határérték szemléletes fogalma. Folytonosság szemléletesen A differencia- és differenciálhányados. Összeg, constansszoros, szorzat-és hányadosfüggvény és egyszerűbb összetett függvény deriválása. Hatványfüggvény deriválási szabályának bizonyítása. Trigonometrikus függvények deriválása. Alkalmazások (érintő, szélsőérték, függvényvizsgálat). FELADATOK, TEVÉKENYSÉGEK Szemléltetés. Számítógép alkalmazása. Szemléletformálás. Egyszerűbb feladatok megoldása. Az összefüggések alkalmazni tudása. Gyakorlati problémák megoldása. Számtan, algebra Irracionális kitevőjű hatvány szemléletes fogalma. Különböző alapú logaritmusok. Algebrai törtes, exponenciális, logaritmikus egyenlőtlenségek. FELADATOK, TEVÉKENYSÉGEK Absztrakciós készség A relációk és függvények tudatos alkalmazása. Feladatokon alkalmazás. 26

27 Geometria Vektorok skalárszorzatának kiszámítása koordinátákból, bizonyítás. Szakasz felező és harmadolópontja. A háromszög súlypontja. Bizonyítások. Az egyenes egyenletei különböző adatokkal. A kör egyenletének levezetése. A kör és a kétismeretlenes másodfokú egyenlet. Két kör kölcsönös helyzete, metszéspontok. Külső pontból körhöz húzott egyenes egyenlete. A parabola fogalma. Az x tengelyre szimmetrikus parabola egyenletének levezetése. A háromszög területének kiszámítására használt képletek bizonyítása. Heron képlet alkalmazása. FELADATOK, TEVÉKENYSÉGEK A geometria és az algebra kapcsolata. Kreativitás. Geometriai alapismeretek. Egyenletek és egyenletrendszerek megoldása készség szintjén. A háromszög nevezetes vonalaira vonatkozó összefüggések. Térgeometriai feladatok. A térszemlélet Felszín és térfogatszámításra vonatkozó összefüggések. Az integrálszámítás elemei Folytonos függvények határozott integráljának szemléletes fogalma és tulajdonságai.a kétoldali közelítés módszere, az integrál függvénym, primitívfüggvény. A Newton-Leibnitz tétel. Alkalmazások: polinomfüggvény ill. sinus és cosinus függvények grafikonja alatti terület meghatározása Statisztika, valószínűség Hisztogram készítése és arról információ leolvasása. Adathalmazok egyesítése és átlaguk kapcsolata. Események egyesítésének, metszetének és komplementerének valószínűsége. Feltételes valószínűség, függetlenség, függőség. A nagy számok törvényének szemléletes tartalma. Geometriai valószínűség. A binomiális eloszlás (visszatevéses modell). Hipergeometriai eloszlás (visszatevés nélküli modell) tulajdonságai és ábrázolása. Várható érték, szórás fogalma és kiszámítása a diszkrét egyenletes és a binomiális eloszlás esetén. A binomiális eloszlás alkalmazása. A minta relatív becslése a sokaság paraméterének ismeretében. FELADATOK, TEVÉKENYSÉGEK Szemléletformálás. FELADATOK, TEVÉKENYSÉGEK A modell szerepe. Számítógép. Modellalkotás 27 A korábban tanult függvények ábrázolása készség szintjén. Fogalmak pontos ismerete. Egyszerű feladatok megoldása. Táblázatok értelmezése és elemzése. Fogalmak ismerete. Egyszerű alkalmazás.

28 Közismereti tantárgyak taneszközjegyzéke: Taneszköz Téma, tartalom Intézményi szükséglet Jelenlegi készlet Hiányzik 9. évfolyamon Transzparenssorozat - A nevezetes azonosságokhoz CD-ROM - Függvények fajtái Fóliasorozat - Geometriai transzformációk - Háromszögek nevezetes vonalai CD-ROM - Statisztikai adatok ábrázolása, elemzése 10. évfolyamon Transzparens - Gyökvonás azonosságai Megoldóképlet CD-ROM Fóliasorozat - Szögfüggvények ábrázolása, transzformáció CD-ROM - Kombinatorikai feladatok Transzparens Szétszedhető, átlátszó geometriai testek sorozata - Hatványozás általánosítása, azonosságok - Logaritmus azonosságai - Testek felszíne és térfogata 11. évfolyamon 12. évfolyamon

29 Taneszközök: - Czapáry Endre- Gyapjas Ferenc: Matematika Matematika feladatgyűjtemény Kosztolányi József: Sokszínű MATEMATIKA Matematika feladatgyűjtemény I. - Matematika feladatgyűjtemény Il. - Egységes érettségi feladatgyűjtemény. Matematika I. - Egységes érettségi feladatgyűjtemény. Matematika II - Geometriai feladatok gyűjteménye I. - Geometriai feladatok gyűjteménye II - Négyjegyű függvénytáblázatok Matematikai, fizikai, kémiai összefüggések. - Összefoglaló feladatgyűjtemény matematikából - Felvételi feladatsorok matematikából - Sain Márton: Matematikai történeti ABC - Matematikai lexikonok - KÖMÁL és matematikai módszertani folyóiratok - Sík és térgeometriai modellező - Írásvetítő, fóliasorozat - Faliképek - Zsebszámológép - Körző, vonalzó - Számítógép - Számítógépes programok, Oktató CD - Táblai rajzeszközök - Modellek 29

30 Szempontok a tanulók teljesítményének értékeléséhez A tanterv megvalósításának sikerességét, a tanulók elõmenetelét az úgynevezett diagnosztikus mérésekkel vizsgálhatjuk meg. Ezek a mérések olyan információt szolgáltatnak, amelyek elemzése segítséget nyújthat a tanárnak a hiányosságok feltárásához, a hibák korrigálásához, a problémák jó megoldásának megtalálásához. A kilencedik évfolyam elején mindenképpen célszerû ilyen mérést elvégezni. Az idõnként sorra kerülõ attitûdmérés feltérképezheti az osztály, az egyes tanulók motivációs szintjét. Ezek egyre alaposabb ismerete és pozitív irányba történõ elmozdítása az eredményes tanítás jelentõs tényezõje. Más információk mellett ezeknek a méréseknek a tanulságai is részei lehetnek a tantárggyal kapcsolatos minõségbiztosításnak. A tanulók értékelését szolgáló témazáró dolgozatok, felmérések összeállításánál egyik fontos szempont legyen, hogy a kitûzött feladatok megoldása beleférjen a tervezett idõkeretbe. A felmérést különbözõ nehézségû feladatokból célszerû összeállítani. Legyen köztük az adott téma alapvetõ ismereteire közvetlenül épülõ, valamint begyakorolt típusfeladat és olyan feladat is,amelyik megoldása megfelelõ nehézségû akadály elé állítja a matematikából tehetségesebb, jól felkészült tanulókat is. A két utolsó évfolyamon fontos a kitûzött feladatok között választhatót is szerepeltetni, ez az érettségi elõkészítését is segíti. A tizenkettedik évfolyamon célszerû dupla órás témazárót, valamint egy próbaérettségi feladatsort is íratni. Az írásbeli beszámolók formái lehetnek a perces röpdolgozatok, valamint az otthoni munkára építõ házi dolgozat (kutató munka összegezése, projekt feladat beszámolója). A szóbeli felelet lehet egy-egy probléma megoldása, kiselõadás tartása pl. matematikatöténeti érdekességekrõl, feladatok ismertetése matematikai lapok tartalmából (pl. KöMaL). Az értékelés alapelvei a következetesség, a humánum, a kölcsönös bizalom legyenek. Ezzel az értékelés is megerõsítheti a pozitív motivációt. 30