GÖRBEELMÉLET ELMÉLETI ÖSSZEFOGLALÓ ÉS FELADATOK

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "GÖRBEELMÉLET ELMÉLETI ÖSSZEFOGLALÓ ÉS FELADATOK"

Átírás

1 GÖRBEELMÉLET ELMÉLETI ÖSSZEFOGLALÓ ÉS FELADATOK Ajánlo irodalom: 1. Szilasi József: Bevezeés a dierenciálgeomeriába modern szemléle, sok ismeree aralmazó ankönyv, érdekl d knek kiváló. Kurusa Árpád: Bevezeés a dierenciálgeomeriába modern szemléle, összefoglaló jelleg könyv, érdekl d knek ajánlom. Sz kefalvi-nagy Gyula, Gehér László, Nagy Péer: Dierenciálgeomeria klasszikus szemléle ankönyv 4. Srohmajer János: Dierenciálgeomeriai példaár 5. V. T. Vodnyev: Dierenciálgeomeriai feladagy jemény 1. A háér A gyakorla során f kén az R valós érben dolgozunk. Analízisb l fel kell idézni egy esz leges f : R n R m függvény ado ponbeli haárérékének, folyonosságának, dierenciálhaóságának sb. fogalmá. A kövekez kben összefoglaljuk a legfonosabb jelölésbeli és szóhasználabeli különbségeke, amelyeke a félév során alkalmazni fogunk. Legyen r esz leges vekor R -ban, koordináái R ermészees bázisára vonakozóan x 1, x, x : r = x 1 e 1 + x e + x e. Amennyiben az r vekor végponja a P pon, úgy P x 1, x, x írhaó. Használni fogjuk az Einsein-féle összegzési konvenció, ahol például az r = x i e i, i = 1,, jelenése: r = x i e i. Egy R-b l R -ba képez függvény szokás vekor-függvénynek vagy vekor-skalár függvénynek is nevezni, és az r: R R, r = x i e i jelölés is használjuk. Azonnal láhaó, hogy i x i : R R i = 1,,. Egy r vekor-függvény homeomorzmus vagy opologikus leképezés, ha bijekív, folyonos és az inverze is folyonos. Egy r = r 1, r, r dierenciálhányados-függvényé ṙ jelöli: ṙ = r 1, r, r. A ṙ 0 helye szokásos még a dr jelölés is. i=1 d =0. A paramerizál görbe fogalma, érin vekor, ívhossz.1. Deníció. Legyen I R nemüres, nyíl inervallum. Egy r: I R leképezés paramerizál görbének nevezünk, ha az legalább C -oszályú. A I 1

2 valós számoka paraméernek nevezzük. r reguláris, ha ṙ 0 minden paraméerre. r bireguláris, ha ṙ, r lineárisan függelen minden -re. r pályasebessége a v : I R, v := ṙ leképezés. Ha v = 1 minden -re, akkor r- egységpályasebesség nek vagy ermészees paraméerezés nek vagy ívhossz-paraméerezés nek nevezzük. r gyorsulása a sebességének a deriválja, amelye r-al jelölünk. r ívhossza Sr := v = ṙ = r1 + r + r d, I I ahol r 1, r, r az r komponensfüggvényei; ívhosszfüggvénye a I σ : I [0, Sr], σ := függvény, ahol a = infi. r érin egyenese egy paraméer ponban az r + Lṙ lineáris sokaság. a v Megjegyzés: Könnyen kiszámíhaó, hogy ha r: [a, b] R ermészees paraméerezés görbe eseén minden egyes [a, b] paraméer éppen a görbe ívhossza ra-ól a görbe kezd ponjáól r-ig a -hez arozó görbeponig, innen ered az ívhossz-paraméerezés görbe elnevezés... Deníció. Az r: I R és r: I R paramerizál görbék kongruensek, ha van olyan F : R R izomeria, hogy r = F r. Az r: I R és r: Ĩ R paramerizál görbék ekvivalensek, ha léezik olyan θ : Ĩ I dieomorzmus, amelyre r = r θ. Ekkor a θ függvény paraméerranszformációnak nevezzük. Ha minden Ĩ eseén θ > 0 vagy θ < 0, akkor a paraméerranszformáció irányíásaró vagy irányíásváló. 1. A denícióból láhaó, hogy öbb paramerizál görbe ugyanaz a érbeli ponhalmaz érbeli görbé adhaja; de nyilvánvalóan egy paramerizál görbéhez

3 egyelenegy érbeli ponhalmaz arozha.. Paramerizál görbéke r helye r-vel, c-vel vagy γ-vel is szokás jelölni.. Az érin egyenes lehene szel k haárhelyezeekén is deniálni. Ehhez elegend végiggondolni a dierenciálhányados deníciójá. 4. Az ívhossz valójában a görbeívbe ír normális örvonalak hosszainak halmazának fels korlája. 5. Áparaméerezés során a regulariás, biregulariás invariáns, és az érin egyenes nem válozik. Irányíásaró paraméerranszformáció eseén az ívhossz is invariáns. 6. Egy reguláris paramerizál görbe akkor és csak akkor egyenes, ha gyorsulása el nik. 7. Emlékeze ül: Legyen U R n nemüres nyíl halmaz, f : U R m leképezés. Az f C 1 -oszályú U-n, ha f minden koordináafüggvényének összes parciális deriválja léezik, és folyonosak U fölö. Az f C k -oszályú, ha minden koordináafüggvényének összes parciális deriválja C k 1 -oszályú... Állíás. Minden paramerizál görbe ekvivalens egy ermészees paraméerezés görbével. Bizonyíás. Tegyük fel, hogy r: I R paramerizál görbe és I = [a, b]. Az r görbe σ : [a, b] σ = a v [0, Sr] ívhosszfüggvényé ekinve az inegrandus folyonos, így σ dierenciálhaó: σ = v. Az ṙ injekív, v = ṙ poziív I fölö, ezér σ szigorúan monoon növekv, és kövekezik, hogy léezik az inverze: σ 1 : [0, Sr] [a, b]. Legyen r := r σ 1 az r görbével ekvivalens paramerizál görbe. Könnyen láhaó, hogy r ermészees paraméerezés : r = 1 ṙσ 1 σ σ 1 = ṙσ 1 = vσ 1 1 vσ 1 = 1, 1 σ σ 1 = felhasználva, hogy f 1 = 1 f f 1. Megjegyzés: Bár az állíás bizosíja, hogy egy görbe ívhossza paraméerül szolgálha, nem bizos, hogy ez meg is udjuk adni. Ennek oka az, hogy az ívhossz képleében szerepl inegrál nem mindig udjuk kiszámíani. Feladaok a. fejezehez: 1. Ado a 5 = x +y egyenle kör. Adjuk meg a kör egy paraméerezésé! Raja van-e az 4, koordináájú pon a görbén? Haározzuk meg az érin egyenes egyenleé egy esz leges körponban! Megoldás: r = 5 cos, 5 sin. Írjuk föl az r görbe r 0 -beli érin egyenesének egyenlerendszeré, ha a r = e cos, e sin, e, 0 = 0 Megoldás: x 1 = y = z 1

4 b r =, ln, + 1, 0 = 1 Megoldás: x ln = y ln = 5z 5 ln c r = cos 4, sin 4,, 0 = π 8 Megoldás: x 4 = z π 8, y = 1. Számísuk ki az r: I R n görbe ívhosszá, ha a I = [0, ], r =, Megoldás: Sr = b I = [1, ], r = cos, sin, Megoldás: Sr = 1 c I = [1, ], r =,, Megoldás: Sr = ln 6+ 41, felhasználva, hogy 4 5 x + a dx = 1 x x + a + a lnx + x + a + c 4. Vezessünk be ermészees paraméerezés az r = e cos, e sin, e görbénél! Az ívhossz-függvény olyan inervallumon adjuk meg, amelynek 0 a baloldali végponja. Megoldás: r = + 1 cos ln + 1, + 1 sin ln + 1, Adjuk meg álalánosan egy hengeres csavarvonal paraméerezésé, és érin jé esz leges ponban! Vezessük be az ívhossz paraméernek! Megoldás: ha α > 0 a henger alapkörének sugara, β R pedig a csavarvonal emelkedése, akkor r = α cos, α sin, β, a ermészees paraméerezés ekvivalens görbe: r = α cos α, α sin +β α, β +β α +β. A kísér háromél.1. Deníció. Tekinsünk egy r: I R bireguláris, paramerizál görbé. ṙ 1. A ovábbiakban az ṙ egységnyi hosszúságú vekor -vel jelöljük, esz leges paraméerre.. Bármely I eseén az r + Lṙ, r lineáris sokaságo az r görbe r-beli simulósíkjának nevezzük.. Az r simulósíkjára mer leges, egységnyi hosszúságú vekor az r görbe r-beli binormális vekorának hívjuk, és b-vel jelöljük. 1. A simulósík szemléleesen a kövekez képpen is el állíhaó: Legyen ado a denícióbeli görbén egy P 0 = r 0 pon, valamin ezen kívül ké különböz P 1 és P pon. Ez a három különböz pon egyérelm en meghaároz egy síko a érben. Ha P 1, P P 0, azaz a ké esz leges görbepon ar az r 0 ponhoz, min vekorok aranak egy vekorhoz ld. analízis akkor haárhelyzeben a három pon álal felfeszíe sík éppen az ado ponhoz arozó simulósík. A simulósík ehá az a sík, amely a görbe ívé az ado ponban! a lehe legjobban közelíi, azaz simul a görbéhez. 4

5 . A binormális vekor deníciójából azonnal adódik, hogy bármely I paraméerre b = ṙ r ṙ r eljesül.. Egy paramerizál görbe biregulariása szemléleesen az jeleni, hogy a simulósík deníciójában szerepl alér kédimenziós, így a sík nem fajul el... Lemma. Megarva az el z deníció jelölései, az r görbe r-beli simulósíkjának egyenlee: r r r r x r 1 + r r 1 r 1 r x r + r 1 r r r 1 x r = 0 Bizonyíás. Egyszer számolással adódik az egyenle: ṙ r vekoriális szorza a sík normálvekora, r egy ado ponja... Deníció. Legyen egy r: I R bireguláris, paramerizál görbe. Tesz leges paraméer görbepono véve, az f := b egységnyi hosszúságú vekor az r görbe r-beli f normális vekornak nevezzük. Az f és b álal felfeszíe síko az r görbe r ponjához arozó normálsíkjának, az és b álal felfeszíe síko az r görbe r ponjához arozó rekikáló síkjának hívjuk. A, f, b vekorhármas az r görbe r-beli kísér hároméljének vagy Frene-féle hároméljének mondjuk. A eljes r görbére vonakozóan a, f, b:, f, b leképezés-hármas Frene-féle háromélmez nek is nevezzük. 1. Egy paraméer ponhoz arozó Frene-féle háromél poziív oronormál bázisa R -nak, ezér = f b, f = b, b = f. 5

6 . Az f f normális kifejezhe a érin -egységvekorral: f = ṫ ṫ.. Mivel egy paramerizál egyenes gyorsulása el nik ld..1 uáni megjegyzés 6. ponjá, ezér az nem bireguláris, és így a Frene-féle háromélmez je is elfajul. 4. Paraméerranszformációval szemben a f normális vekor invariáns, a Freneféle háromél másik ké agja invariáns, illeve el jele vál aszerin, amin a paraméerranszformáció irányíásaró, illeve irányíásváló. 4. Görbüle és orzió 4.1. Deníció. Legyen r: I R paramerizál görbe. r görbülefüggvénye ṫ κ: I R, κ :=. v Speciálisan, ha r ermészees paraméerezés, akkor κ = r. 1. A görbüle szemléleesen: Tudjuk, hogy a paramerizál egyenes ponbeli érin vekorai egymással párhuzamosak, hosszuk megegyezik. Egy esz leges görbé véve, az érin irányválozása az egyenes l való elérés, az irányválozás sebessége =érin vekor hossza pedig az elérés méréké jelzi. Láhaó, hogy a görbüle éppen ez a válozás muaja.. Síkgörbék eseén bevezehe az ún. el jeles görbülefüggvény, amely megmuaja, hogy a görbe egy ado ponjának egy környezeében a görbe a normális felé hajlik ekkor az el jeles görbülefüggvény poziív, vagy elhajlik a normális vekoról ebben az eseben az el jeles görbülefüggvény negaív. Részleesen lásd az ajánlo irodalmak közül például: Rapcsák-Tamássy 9.Ÿ/5. vagy Szilasi I/6.9c.. A görbüle paraméerranszformációval szemben invariáns. 4. A f normális vekor el áll f = vκṫ 1 alakban is. 4.. Állíás. Egy r: I R paramerizál görbe eseén Bizonyíás. Mivel = κ = ṙ ṙ = ṙ v ṙ r ṙ. r = v + vṫ. A ṙ r vekoriális szorzao ovábbírva, ezér ṙ = v. Ez deriválva: ṙ r = v v + vṫ = = v v + v vṫ = 0 + v ṫ E vekor normájának négyzeé véve: ṙ r = v 4 ṫ, ṫ = v 4 ṫ = = ṙ r = v 4 κv = v 6 κ = = κ = ṙ r v = κ = ṙ r ṙ 6

7 A -gal jelöl lépésben a Lagrange-ideniás használuk fel, a -ban pedig az, hogy konsans normájú vekor-függvény eseén a képvekor és annak deriválja egymásra mer leges, így skaláris szorzauk nulla. 1. Egy paramerizál görbe ponosan akkor bireguláris, ha görbülefüggvénye seholsem nulla.. Egy r gyorsulása el áll r = v + v κf alakban is. 4.. Deníció. Tekinsünk egy r: I R bireguláris paramerizál görbé, valamin ennek egy r ponjá. Az a kör, amely benne van a r-hez arozó simulósíkban, középponja r κ f, sugara κ, az ado görbe ille ponbeli simulókörének nevezzük. 1. A simulókör el állíása szemléleesen: Tekinsünk egy görbén különböz pono. Ezek egyérelm en meghaároznak egy kör. Mos ké ponal arsunk a harmadik ponhoz, és haárhelyzeben a simulókörhöz juunk. v.ö.: simulósík szemlélees el állíása. A simulókör deníciójából azonnal leolvashaó, hogy egy görbeponhoz arozó simulókör görbülee és a görbe ado ponbeli görbülee megegyezik.. A görbe összes ponjához arozó simulókörök középponjainak összessége szinén paramerizál görbe, amelye a görbe evoluájának hívunk Deníció. Tekinve egy r bireguláris paramerizál görbé, a görbe orziófüggvénye az a τ : I R függvény, amelye a képle jellemez. ḃ = vτf 1. A orzió szemléleesen: Egy síkgörbe binormálisai egymással párhuzamos vekorok hiszen egy síkgörbe minden ponjának összes simulósíkja egybeesik. A binormálisok irányválozása a síkgörbé l való elérés, az irányválozás sebessége pedig az elérés méréké jeleni. A orzió ez a válozás muaja.. A orziófüggvény irányíásaró izomeriával és esz leges paraméerranszformációval szemben invariáns, irányíásváló izomeria eseén el jele vál Állíás. Legyen r bireguláris, paramerizál görbe. Ekkor r 1. paramerizál egyenes κ = 0.. paramerizál síkgörbe τ = 0.. körvonal κ > 0 konsans függvény és τ = csavarvonal κ poziív, τ nemzérus konsans függvény. Megjegyzés: Tesz leges R sugarú kör görbülee minden ponjában 1 R. Szemléleesen: minél nagyobb a kör sugara, annál kevésbé hajlik el az egyenes l a kör min görbe. 7

8 5. Frene-egyenleek. A görbeelméle alapéele 5.1. Téel Frene-egyenleek. Tekinsünk egy r: I R bireguláris paramerizál görbé. Ekkor ṫ = vκf ḟ = vκ + vτb ḃ = vτf Speciálisan ermészees paraméerezés eseén: ṫ = κf ḟ = κ + τb ḃ = τf 5.. Állíás. Ha r bireguláris paramerizál görbe, akkor τ orziójára eljesül:... ṙ ṙ r, r τ = ṙ r = 1 ṙ r de r.... r Természees paraméerezés eseén τ = ṙ r,... r r = 1 κ de 5.. Téel A görbeelméle alapéele. ṙ r... r. 1. Uniciás-éel. Tegyük föl, hogy r: I R és r: I R bireguláris paramerizál görbe, amelyeknek görbüle- és orziófüggvénye megegyezik. Ekkor léezik olyan irányíásaró izomeria, amely a görbék egyiké a másikba viszi á, kövekezésképpen a görbüle- és a orziófüggvény irányíásaró izomeriáól elekinve egyérelm en meghaározza az R -beli paramerizál görbéke.. Egziszencia-éel. Tesz legesen ado κ: I R poziív érék, differenciálhaó és τ : I R dierenciálhaó függvényhez léezik olyan r: I R ermészees paraméerezés szükségképpen bireguláris paramerizál görbe, amelynek görbüle- és orziófüggvénye a megado κ, illeve τ függvény. A feni éelek és állíások bizonyíásai lásd irodalomjegyzék- Megjegyzés: beli könyvek. Feladaok a., 4. és 5. fejezeekhez: 1. Haározzuk meg a r 0 -beli Frene-féle háromél élegyeneseinek egyenlerendszeré és síkjainak egyenleé, ha 8

9 a r := 1, + 1, 1 4, 0 := 1 Megoldás: érin egyenes: x 1 = y+16 = z+1, normálsík: 6x 48y 1z = 65, 4 4 binormális egyenes: x 1 = y + 16, z = 1, simulósík: 4x + y = 4, 16 x 1 f normális egyenes: = y+16 = z+1, rekikáló sík: 1x 96y z = b r :=,,, 0 := 0 Megoldás: érin egyenes: x = esz., y = z = 0, normálsík: x = 0, binormális egyenes: z = esz., x = y = 0, simulósík: z = 0, f normális egyenes: y = esz., x = z = 0, rekikáló sík: y = 0 c r := e, e, + e, 0 := 0 Megoldás: érin egyenes: x = 1, y 1 = z +, normálsík: y + z = 1, binormális egyenes: x 1 = 1 y = z+, simulósík: 6x y + z = 1, 6 f normális egyenes: x 1 = y 1 = z+, rekikáló sík: 5x + 6y 1z = Igazoljuk, hogy esz leges paramerizál egyenes görbülee valóban el - nik!. Muassuk meg, hogy egy R sugarú kör görbülee a konsans 1 R függvény! 4. Lássuk be, hogy egy hengeres csavarvonal konsans görbüle és konsans orziójú! Megoldás: κ = α, τ = β α +β α +β 5. Számísuk ki az alábbi görbék ado ponbeli görbüleé, ha a r =,, 1, p = 8, 8, 1 Megoldás: κ = b r =, +,, p =, 1, Megoldás: κ 1 = 6 11 c r =, +, 5, 0 = 1 Megoldás: κ1 = 4 98 d r = 1 cos, sin,, 0 = π sin Megoldás: κ π = π4 +π +18 π +4 π Bizonyísuk be, hogy az alábbi görbék síkgörbék: a r = cos, sin, cos b r = + 1, +, + 4 c r = e cos, e sin, e cos + sin 7. Legyen r bireguláris paramerizál görbe, melynek orziója seholsem nik el. Haározzuk meg álalánosan a ṫ és ḃ szögé! Megoldás: Frene-egyenleek segíségével: α = 0, ha τ < 0, és α = π, ha τ > 0 8. Haározzuk meg a ṫ 0, ḟ 0 és ḃ 0 vekoroka, ha a r := sin, cos, 4 sin, 0 := π 4 Megoldás: ṫ π 4 = 1, 0,, ḟ π 4 5, 0, = 6, 4 6, 9 6 9, ḃ π 4 = 9

10 b r :=,, 4 4 Megoldás: ṫ1 =, 0,, 0 := 1 6, 0, 6 6 6, ḟ1 = c r :=,, 1, 0 := 0 6 Megoldás: ṫ0 = 5, 0, 1 5, ḟ0 = 5 5 1, 0,,,, ḃ1 = , 5, 6 5, ḃ0 = Adja meg az alábbi görbék ado ponjaiban a simulókör középponjá és sugará! a r = + 1, 4 + +, 4, 0 = 0 Megoldás: középpon: 1, 7, 6 5 5, sugár: b r = 1,, + 0 = 1 Megoldás: középpon: 4, 7 4, 15 4, sugár: Kiegészíés: Alapve ismereek a görbékhez A görbe megadási módjai: Példaképpen vegyük a síkon az origó középponú, egységsugarú kör. Implici alak: gx, y = 0 ; a kör eseén: x + y = 0. Paraméeres alak: r = a, b ; a kör eseén: r = cos, sin vagy { x = cos y = sin. Explici alak: y = fx ; a kör eseén: y = ± 1 x. Ájárhaóság a különböz ípusú egyenleek közö: Implici alakból paraméeres alak: Amennyiben egy gx, y = 0 egyenleb l szerenénk paraméeres egyenlerendszer el állíani, úgy célszer az implici egyenleb l explici egyenlee lérehozni, és el áll egy r =, f alakú paraméeres alak. Példa: A kör explici egyenlee y = ± 1 x, innen az implici alakból el álló paraméeres megadás: r =, ± 1. Paraméeres alakból implici alak: Ha ado egy r = a, b görbe paraméeres alakban, akkor legyen x := a, és így = a 1 x. A második koordináába ez a - behelyeesíve b = b a 1 x -e kapunk, ebb l pedig: y = b a 1 x. Példa: Kiindulva a kör r = cos, sin megadásából, x = a = cos, a 1 x = arccos x. Ennek segíségével: y = sin arccos x. Azonnal láhaó, hogy ez valóban az álalunk ismer kanonikus egyenlee a körnek, ugyanis: y = sin arccos x = 1 cos arccos x = 1 x x + y = 1. 10

11 Hogyan írhaunk fel egy esz leges érgörbé, és hogyan állapíhajuk meg, hogy egy pon raja van-e a görbén? Egy paramerizál görbének legalább háromszor folyonosan dierenciálhaónak kell lennie egy ado I inervallumon. Ezér ha komponensfüggvényeknek is ilyen ulajdonságú függvényeke válaszunk, akkor paramerizál görbé adunk meg. Például: r =, cos, e bireguláris paramerizál görbé ad egy megfelel en válaszo inervallumon, de az r = cos π, 5[ + ], e ahol [ ] az egészrész-függvény nem paramerizál görbe. Egy P = p 1, p, p pon raja van az r = a, b, c görbén, ha az p 1 = a, p = b, p = c egyenleekb l álló egyenlerendszernek ponosan egy megoldása van a kapo az ado P ponhoz arozó paraméer. Az el bbi görbe eseén a P 0, 1, 1 pon görbepon, mivel a 0 =, 1 = cos és 1 = e egyenlerendszernek egyelen közös megoldása a = 0. 11

3. feladatsor: Görbe ívhossza, görbementi integrál (megoldás)

3. feladatsor: Görbe ívhossza, görbementi integrál (megoldás) Maemaika A3 gyakorla Energeika és Mecharonika BSc szakok, 6/7 avasz 3. feladasor: Görbe ívhossza, görbemeni inegrál megoldás. Mi az r 3 3 i + 6 5 5 j + 9 k görbe ívhossza a [, ] inervallumon? A megado

Részletesebben

Fourier-sorok konvergenciájáról

Fourier-sorok konvergenciájáról Fourier-sorok konvergenciájáról A szereplő függvényekről mindenü felesszük, hogy szerin periodikusak. Az ilyen függvények megközelíésére (nem a polinomok, hanem) a rigonomerikus polinomok űnnek ermészees

Részletesebben

5. Differenciálegyenlet rendszerek

5. Differenciálegyenlet rendszerek 5 Differenciálegyenle rendszerek Elsőrendű explici differenciálegyenle rendszer álalános alakja: d = f (, x, x,, x n ) d = f (, x, x,, x n ) (5) n d = f n (, x, x,, x n ) ömörebben: d = f(, x) Definíció:

Részletesebben

HF1. Határozza meg az f t 5 2 ugyanabban a koordinátarendszerben. Mi a lehetséges legbővebb értelmezési tartománya és

HF1. Határozza meg az f t 5 2 ugyanabban a koordinátarendszerben. Mi a lehetséges legbővebb értelmezési tartománya és Házi feladaok megoldása 0. nov. 6. HF. Haározza meg az f 5 ugyanabban a koordináarendszerben. Mi a leheséges legbővebb érelmezési arománya és érékkészlee az f és az f függvényeknek? ( ) = függvény inverzé.

Részletesebben

Matematika III előadás

Matematika III előadás Matematika III. - 2. előadás Vinczéné Varga Adrienn Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Előadáskövető fóliák Vinczéné Varga Adrienn (DE-MK) Matematika III. 2016/2017/I 1 / 30 Egy

Részletesebben

Dierenciálgeometria feladatsor

Dierenciálgeometria feladatsor Dierenciálgeometria feladatsor 1. Görbék paraméterezése 1. Határozzuk meg az alábbi ponthalmazok egy paraméteres el állítását: a a, b középpontú, r sugarú kör a síkban; b y = mx + b egyenlettel leírt egyenes

Részletesebben

Kockázati folyamatok

Kockázati folyamatok Kockázai folyamaok Sz cs Gábor Szegedi Tudományegyeem Bolyai Inéze, Szochaszika Tanszék Uolsó frissíés: 219. szepember 17. Taralomjegyzék 1. Az exponenciális eloszlás 2 2. A Wald-azonosság 4 3. Felújíási

Részletesebben

leképezés, amely teljesíti a következő feltételeket:

leképezés, amely teljesíti a következő feltételeket: I. fejezet Görbeelmélet 0. Előismeretek Transzformációk 0.1. Definíció. Legyen M egy tetszőleges nemüres halmaz. Metrika M-en egy olyan d : M M R + {0} leképezés, amely teljesíti a következő feltételeket:

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA II 6 VI TÉRGÖRbÉk 1 Alapvető ÖSSZEFÜGGÉSEk A térgörbe (1) alakú egyenletével írható le Ez a vektoregyenlet egyenértékű az (2) skaláris egyenletrendszerrel A térgörbe három nevezetes

Részletesebben

Negyedik gyakorlat: Szöveges feladatok, Homogén fokszámú egyenletek Dierenciálegyenletek, Földtudomány és Környezettan BSc

Negyedik gyakorlat: Szöveges feladatok, Homogén fokszámú egyenletek Dierenciálegyenletek, Földtudomány és Környezettan BSc Negyedik gyakorla: Szöveges feladaok, Homogén fokszámú egyenleek Dierenciálegyenleek, Földudomány és Környezean BSc. Szöveges feladaok A zikában el forduló folyamaok nagy része széválaszhaó egyenleekkel

Részletesebben

Fizika A2E, 11. feladatsor

Fizika A2E, 11. feladatsor Fizika AE, 11. feladasor Vida György József vidagyorgy@gmail.com 1. felada: Állandó, =,1 A er sség áram öl egy a = 5 cm él, d = 4 mm ávolságban lév, négyze alakú lapokból álló síkkondenzáor. a Haározzuk

Részletesebben

Tiszta és kevert stratégiák

Tiszta és kevert stratégiák sza és kever sraégák sza sraéga: Az -edk áékos az sraégá és ez alkalmazza. S sraégahalmazból egyérelműen válasz k egy eknsük a kövekező áéko. Ké vállala I és II azonos erméke állí elő. Azon gondolkodnak,

Részletesebben

Síkalapok vizsgálata - az EC-7 bevezetése

Síkalapok vizsgálata - az EC-7 bevezetése Szilvágyi László - Wolf Ákos Síkalapok vizsgálaa - az EC-7 bevezeése Síkalapozási feladaokkal a geoehnikus mérnökök szine minden nap alálkoznak annak ellenére, hogy mosanában egyre inkább a mélyépíés kerül

Részletesebben

A lecke célja: A tananyag felhasználója megismerje az anyagi pont mozgásának jellemzőit.

A lecke célja: A tananyag felhasználója megismerje az anyagi pont mozgásának jellemzőit. 1 modul: Kinemaika Kineika 11 lecke: Anagi pon mogása A lecke célja: A ananag felhasnálója megismerje a anagi pon mogásának jellemői Köveelmének: Ön akkor sajáíoa el megfelelően a ananago ha: meg udja

Részletesebben

Dierenciálhányados, derivált

Dierenciálhányados, derivált 9. fejezet Dierenciálhányados, derivált A dierenciálhányados deníciója D 9.1 Az egyváltozós valós f függvény x0 pontbeli dierenciálhányadosának nevezzük a lim f(x0 + h) f(x0) h 0 h határértéket, ha ez

Részletesebben

8. előadás Ultrarövid impulzusok mérése - autokorreláció

8. előadás Ultrarövid impulzusok mérése - autokorreláció Ágazai Á felkészíés a hazai LI projekel összefüggő ő képzési é és KF feladaokra" " 8. előadás Ulrarövid impulzusok mérése - auokorreláció TÁMOP-4.1.1.C-1/1/KONV-1-5 projek 1 Bevezeés Jelen fejezeben áekinjük,

Részletesebben

Matematika A3 HÁZI FELADAT megoldások Vektoranalízis

Matematika A3 HÁZI FELADAT megoldások Vektoranalízis Maemaika A HÁZI FELADAT megoldáok Vekoranalízi Nem mindenhol íram le a konkré megoldá. Ahol az jelenee volna, hogy félig én oldom meg a feladao a hallgaóág helye, o cak igen rövid megjegyzé alálnak A zh-ban

Részletesebben

Dierenciálhatóság. Wettl Ferenc el adása alapján és

Dierenciálhatóság. Wettl Ferenc el adása alapján és 205.0.9. és 205.0.26. 205.0.9. és 205.0.26. / Tartalom A dierenciálhatóság fogalma Pontbeli dierenciálhatóság Jobb és bal oldali dierenciálhatóság Folytonosság és dierenciálhatóság Deriváltfüggvény 2 Dierenciálási

Részletesebben

.1. A sinx és cosx racionális függvényeinek integrálásáa. = R sinx,cosx dx. x x 2. 1 dt

.1. A sinx és cosx racionális függvényeinek integrálásáa. = R sinx,cosx dx. x x 2. 1 dt . Trigonomeriai fügvények inegrálása Egy J függvény ípusáól függ. R x inegrál kiszámíása az R x racionális.. A sinx és cosx racionális függvényeinek inegrálásáa negrál J R sinxcosx Helyeesíés () R A és

Részletesebben

Vektoranalízis Vektor értékű függvények

Vektoranalízis Vektor értékű függvények VS Vektor értékű üggvények VS A korábbi ejezetekben tanulmányoztuk azokat a üggvényeket, amelyek értékkészlete a valós számok halmazának egy részhalmaza. Ezek egyrészt az R R típusú egyváltozós, valós

Részletesebben

SZE, Doktori Iskola. Számítógépes grafikai algoritmusok. Összeállította: Dr. Gáspár Csaba. Térgörbék

SZE, Doktori Iskola. Számítógépes grafikai algoritmusok. Összeállította: Dr. Gáspár Csaba. Térgörbék SZE, Doori Isola. Számíógées graiai algorimso. Összeállíoa: Dr. Gásár Csaba Térgörbé Térgörbé megadása Görbüle és orzió Kísérő riéder meris deriválás Görbeilleszés: Bernsein-olinomo, Bézier-görbé Görbeilleszés:

Részletesebben

Intraspecifikus verseny

Intraspecifikus verseny Inraspecifikus verseny Források limiálsága evolúciós (finesz) kövekezmény aszimmeria Denziás-függés Park és msai (930-as évek, Chicago) - Tribolium casaneum = denziás-függelen (D-ID) 2 = alulkompenzál

Részletesebben

1. Előadás: Készletezési modellek, I-II.

1. Előadás: Készletezési modellek, I-II. . Előadás: Készleezési modellek, I-II. Készleeke rendszerin azér arunk hogy, valamely szükséglee, igény kielégísünk. A szóban forgó anyag, cikk iráni igény, keresle a készle fogyásá idézi elő. Gondoskodnunk

Részletesebben

Vektoranalízis Vektor értékű függvények

Vektoranalízis Vektor értékű függvények Vektoranalízis VS Vektoranalízis Vektor értékű üggvények A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK engedélyével használhatók el! Vektoranalízis VS A korábbi ejezetekben tanulmányoztuk

Részletesebben

Makroökonómiai modellépítés monetáris politika

Makroökonómiai modellépítés monetáris politika Makroökonómiai modellépíés moneáris poliika Szabó-Bakos Eszer 200. ½oszi félév Téelezzük fel, hogy az álalunk vizsgál gazdaságban a reprezenaív fogyaszó hasznossági függvénye az X U = ln C +! v M+ L +

Részletesebben

MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA)

MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Okaási Hivaal A 015/016 anévi Országos Közéiskolai Tanulmányi Verseny dönő forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javíási-érékelési úmuaó 1 Ado három egymásól és nulláól különböző számjegy, melyekből

Részletesebben

Egyváltozós függvények 1.

Egyváltozós függvények 1. Egyváltozós függvények 1. Filip Ferdinánd filip.ferdinand@bgk.uni-obuda.hu siva.banki.hu/jegyzetek 015 szeptember 1. Filip Ferdinánd 015 szeptember 1. Egyváltozós függvények 1. 1 / 5 Az el adás vázlata

Részletesebben

Térgörbék (R R 3 függvények) Síkgörbék (R R 2 függvények) Felületek (R 2 R 3 függvények)

Térgörbék (R R 3 függvények) Síkgörbék (R R 2 függvények) Felületek (R 2 R 3 függvények) Vekoranalíis Térgörbék (R R függének Síkgörbék (R R függének Felüleek (R R függének A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel! Vekoranalíis

Részletesebben

1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények

1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények 1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények 1.1. Dierenciálhatóság 1.1. deníció. Legyen a z 0 pont az f(z) függvény értelmezési tartományának torlódási

Részletesebben

Túlgerjesztés elleni védelmi funkció

Túlgerjesztés elleni védelmi funkció Túlgerjeszés elleni védelmi unkció Budapes, 2011. auguszus Túlgerjeszés elleni védelmi unkció Bevezeés A úlgerjeszés elleni védelmi unkció generáorok és egységkapcsolású ranszormáorok vasmagjainak úlzoan

Részletesebben

GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN

GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN Készült a TÁMOP-4.1.-08//a/KMR-009-0041 pályázati projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszékén az ELTE Közgazdaságtudományi Tanszék

Részletesebben

Adatbányászat: Rendellenesség keresés. 10. fejezet. Tan, Steinbach, Kumar Bevezetés az adatbányászatba

Adatbányászat: Rendellenesség keresés. 10. fejezet. Tan, Steinbach, Kumar Bevezetés az adatbányászatba Adabányásza: Rendellenesség keresés 10. fejeze Tan, Seinbach, Kumar Bevezeés az adabányászaba előadás-fóliák fordíoa Ispány Máron Logók és ámogaás A ananyag a TÁMOP-4.1.2-08/1/A-2009-0046 számú Kele-magyarországi

Részletesebben

Lineáris leképezések. Wettl Ferenc március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések március 9. 1 / 31

Lineáris leképezések. Wettl Ferenc március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések március 9. 1 / 31 Lineáris leképezések Wettl Ferenc 2015. március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések 2015. március 9. 1 / 31 Tartalom 1 Mátrixleképezés, lineáris leképezés 2 Alkalmazás: dierenciálhatóság 3 2- és 3-dimenziós

Részletesebben

MBNK12: Permutációk (el adásvázlat, április 11.) Maróti Miklós

MBNK12: Permutációk (el adásvázlat, április 11.) Maróti Miklós MBNK12: Permutációk el adásvázlat 2016 április 11 Maróti Miklós 1 Deníció Az A halmaz permutációin a π : A A bijektív leképezéseket értjünk Tetsz leges n pozitív egészre az {1 n} halmaz összes permutációinak

Részletesebben

ELEKTRONIKAI ALAPISMERETEK

ELEKTRONIKAI ALAPISMERETEK Elekronikai alapismereek középszin ÉETTSÉG VZSGA 0. május. ELEKTONKA ALAPSMEETEK KÖZÉPSZNTŰ ÍÁSBEL ÉETTSÉG VZSGA JAVÍTÁS-ÉTÉKELÉS ÚTMTATÓ EMBE EŐFOÁSOK MNSZTÉMA Egyszerű, rövid feladaok Maximális ponszám:

Részletesebben

GAZDASÁGI ÉS ÜZLETI STATISZTIKA jegyzet ÜZLETI ELŐREJELZÉSI MÓDSZEREK

GAZDASÁGI ÉS ÜZLETI STATISZTIKA jegyzet ÜZLETI ELŐREJELZÉSI MÓDSZEREK BG PzK Módszerani Inézei Tanszéki Oszály GAZDAÁGI É ÜZLETI TATIZTIKA jegyze ÜZLETI ELŐREJELZÉI MÓDZEREK A jegyzee a BG Módszerani Inézei Tanszékének okaói készíeék 00-ben. Az idősoros vizsgálaok legfonosabb

Részletesebben

v i = v i V. (1) m i m i (v i V) = i P = i m i V = m i v i i A V = P M

v i = v i V. (1) m i m i (v i V) = i P = i m i V = m i v i i A V = P M Mképpen függ egy pontrendszer mpulzusa a vonatkoztatás rendszertől? K-ban legyenek a részecskék sebessége v. K -ben mely K-hoz képest V sebességgel halad v = v V. (1) P = m v = m (v V) = m v m V = = P

Részletesebben

Permutációk véges halmazon (el adásvázlat, február 12.)

Permutációk véges halmazon (el adásvázlat, február 12.) Permutációk véges halmazon el adásvázlat 2008 február 12 Maróti Miklós Ennek az el adásnak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudni: ismétlés nélküli variáció leképezés indulási és érkezési halmaz

Részletesebben

A diszkrimináns, paraméteres feladatok a gyökök számával kapcsolatosan

A diszkrimináns, paraméteres feladatok a gyökök számával kapcsolatosan MÁSODFOKÚ MINDEN A egoldókéle alkalazása Oldd eg a kövekező egyenleeke!... 9 A diszkriináns, araéeres feladaok a gyökök száával kacsolaosan. Az valós araéer ely érékei eseén van a 0 egyenlenek ké egyenlő

Részletesebben

Lagrange és Hamilton mechanika

Lagrange és Hamilton mechanika Lagrange és 2010. október 17. Lagrange és Tartalom 1 Variáció Lagrange egyenlet Legendre transzformáció Hamilton egyenletek 2 3 Szimplektikus sokaság Hamilton mez Hamilton és Lagrange egyenletek ekvivalenciája

Részletesebben

ANALÍZIS II. Példatár

ANALÍZIS II. Példatár ANALÍZIS II. Példatár Többszörös integrálok 3. április 8. . fejezet Feladatok 3 4.. Kett s integrálok Számítsa ki az alábbi integrálokat:...3. π 4 sinx.. (x + y) dx dy (x + y) dy dx.4. 5 3 y (5x y y 3

Részletesebben

ELEKTRONIKAI ALAPISMERETEK

ELEKTRONIKAI ALAPISMERETEK Elekronikai alapismereek középszin Javíási-érékelési úmaó 09 ÉETTSÉGI VIZSG 00. májs 4. ELEKTONIKI LPISMEETEK KÖZÉPSZINTŰ ÍÁSBELI ÉETTSÉGI VIZSG JVÍTÁSI-ÉTÉKELÉSI ÚTMUTTÓ OKTTÁSI ÉS KULTUÁLIS MINISZTÉIUM

Részletesebben

Függvények július 13. Határozza meg a következ határértékeket! 1. Feladat: x 0 7x 15 x ) = lim. x 7 x 15 x ) = (2 + 0) = lim.

Függvények július 13. Határozza meg a következ határértékeket! 1. Feladat: x 0 7x 15 x ) = lim. x 7 x 15 x ) = (2 + 0) = lim. Függvények 205. július 3. Határozza meg a következ határértékeket!. Feladat: 2. Feladat: 3. Feladat: 4. Feladat: (2 + 7 5 ) (2 + 7 5 ) (2 + 0 ) (2 + 7 5 ) (2 + 7 5 ) (2 + 0) (2 + 0 7 5 ) (2 + 0 7 5 ) (2

Részletesebben

f(x) vagy f(x) a (x x 0 )-t használjuk. lim melyekre Mivel itt ɛ > 0 tetszőlegesen kicsi, így a a = 0, a = a, ami ellentmondás, bizonyítva

f(x) vagy f(x) a (x x 0 )-t használjuk. lim melyekre Mivel itt ɛ > 0 tetszőlegesen kicsi, így a a = 0, a = a, ami ellentmondás, bizonyítva 6. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 6.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási

Részletesebben

VIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag

VIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag VIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag 2018/19 1. félév Függvények határértéke 1. Bizonyítsuk be definíció alapján a következőket! (a) lim x 2 3x+1 5x+4 = 1 2 (b) lim x 4 x 16 x 2 4x = 2

Részletesebben

4. Lineáris csillapítatlan szabad rezgés. Lineáris csillapított szabad rezgés. Gyenge csillapítás. Ger-jesztett rezgés. Amplitúdó rezonancia.

4. Lineáris csillapítatlan szabad rezgés. Lineáris csillapított szabad rezgés. Gyenge csillapítás. Ger-jesztett rezgés. Amplitúdó rezonancia. 4 Lneárs csllapíalan szabad rezgés Lneárs csllapío szabad rezgés Gyenge csllapíás Ger-jesze rezgés Aplúdó rezonanca Lneárs csllapíalan szabad rezgés: Téelezzük fel hogy a öegponra a kvázelaszkus vagy közel

Részletesebben

Matematika. Kocsis Imre. TERC Kft. Budapest, 2013

Matematika. Kocsis Imre. TERC Kft. Budapest, 2013 Maemaika Maemaika Kocsis Imre ERC Kf Budapes, 3 Kocsis Imre, 3 Kézira lezárva: ISBN 978-963-9968-69- Kiadja a ERC Kereskedelmi és Szolgálaó Kf Szakkönyvkiadó Üzleága, az 795-ben alapío Magyar Könyvkiadók

Részletesebben

Matematika III előadás

Matematika III előadás Matematika III. - 2. előadás Vinczéné Varga Adrienn Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Előadáskövető fóliák Vinczéné Varga Adrienn (DE-MK) Matematika III. 2016/2017/I 1 / 23 paramétervonalak,

Részletesebben

Dinamikus optimalizálás és a Leontief-modell

Dinamikus optimalizálás és a Leontief-modell MÛHELY Közgazdasági Szemle, LVI. évf., 29. január (84 92. o.) DOBOS IMRE Dinamikus opimalizálás és a Leonief-modell A anulmány a variációszámíás gazdasági alkalmazásaiból ismere hárma. Mind három alkalmazás

Részletesebben

3. ábra nem periodikus, változó jel 4. ábra periodikusan változó jel

3. ábra nem periodikus, változó jel 4. ábra periodikusan változó jel Válakozó (hibásan váló-) menniségeknek nevezzük azoka a jeleke, melek időbeli lefolásuk közben polariás (előjele) válanak, legalább egszer. A legalább eg nullámenei (polariásválás) kriériumnak megfelelnek

Részletesebben

5. fejezet. Differenciálegyenletek

5. fejezet. Differenciálegyenletek 5. fejezet Differenciálegyenletek 5.. Differenciálegyenletek 5... Szeparábilis differenciálegyenletek 5.. Oldjuk meg az alábbi differenciálegyenleteket, és ábrázoljunk néhány megoldást. a) y = x. b) y

Részletesebben

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Gazdasági matematika II tárgy gyakorlataihoz a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottnak tekintjük a nehezebb

Részletesebben

Matematika (mesterképzés)

Matematika (mesterképzés) Matematika (mesterképzés) Környezet- és Településmérnököknek Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 1 / 29 Lineáris tér,

Részletesebben

Függvényhatárérték és folytonosság

Függvényhatárérték és folytonosság 8. fejezet Függvényhatárérték és folytonosság Valós függvények és szemléltetésük D 8. n-változós valós függvényen (n N + ) olyan f függvényt értünk amelynek értelmezési tartománya (Dom f ) az R n halmaznak

Részletesebben

mateking.hu -beli vektorokat, de egyáltalán nem biztos, hogy így az egész V

mateking.hu -beli vektorokat, de egyáltalán nem biztos, hogy így az egész V LINEÁRIS LEKÉPEZÉSEK ÉS TRANSZFORMÁCIÓK A leképezés lineáris leképezésnek neezzük, h ármely elesül, hogy ; ekorokr és R számr Minden lineáris leképezés lhogy így néz ki: Kerφ Imφ meking.hu H kkor lineáris

Részletesebben

ELEKTRONIKAI ALAPISMERETEK

ELEKTRONIKAI ALAPISMERETEK Elekronikai alapismereek középszin Javíási-érékelési úmuaó 063 ÉETTSÉG VZSG 006. okóber 4. EEKTONK PSMEETEK KÖZÉPSZNTŰ ÍÁSE ÉETTSÉG VZSG JVÍTÁS-ÉTÉKEÉS ÚTMTTÓ OKTTÁS ÉS KTÁS MNSZTÉM Elekronikai alapismereek

Részletesebben

párhuzamosan kapcsolt tagok esetén az eredő az egyes átviteli függvények összegeként adódik.

párhuzamosan kapcsolt tagok esetén az eredő az egyes átviteli függvények összegeként adódik. 6/1.Vezesse le az eredő ávieli üggvény soros apcsolás eseén a haásvázla elrajzolásával. az i-edi agra, illeve az uolsó agra., melyből iejezheő a sorba apcsol ago eredő ávieli üggvénye: 6/3.Vezesse le az

Részletesebben

Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar. Neogrády-Kiss Márton. Számelméleti függvények vizsgálata differenciál- és integrálegyenletekkel

Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar. Neogrády-Kiss Márton. Számelméleti függvények vizsgálata differenciál- és integrálegyenletekkel Eövös Loránd Tudományegyeem Természeudományi Kar Neogrády-Kiss Máron Számelmélei függvények vizsgálaa differenciál- és inegrálegyenleekkel Szakdolgoza Témaveze : Simon L. Péer Alkalmazo Analízis és Számíásmaemaikai

Részletesebben

Statisztika II. előadás és gyakorlat 1. rész

Statisztika II. előadás és gyakorlat 1. rész Saiszika II. Saiszika II. előadás és gyakorla 1. rész T.Nagy Judi Ajánlo irodalom: Ilyésné Molnár Emese Lovasné Avaó Judi: Saiszika II. Feladagyűjemény, Perfek, 2006. Korpás Ailáné (szerk.): Álalános Saiszika

Részletesebben

1. Példa. A gamma függvény és a Fubini-tétel.

1. Példa. A gamma függvény és a Fubini-tétel. . Példa. A gamma függvény és a Fubini-tétel.. Az x exp x + t )) függvény az x, t tartományon folytonos, és nem negatív, ezért alkalmazható rá a Fubini-tétel. I x exp x + t )) dxdt + t dt π 4. [ exp x +

Részletesebben

3. Gyakorlat. A soros RLC áramkör tanulmányozása

3. Gyakorlat. A soros RLC áramkör tanulmányozása 3. Gyakorla A soros áramkör anlmányozása. A gyakorla célkiőzései Válakozó áramú áramkörökben a ekercsek és kondenzáorok frekvenciafüggı reakív ellenállással ún. reakanciával rendelkeznek. Sajáságos lajdonságaik

Részletesebben

VIK A2 Matematika - BOSCH, Hatvan, 3. Gyakorlati anyag. Mátrix rangja

VIK A2 Matematika - BOSCH, Hatvan, 3. Gyakorlati anyag. Mátrix rangja VIK A2 Matematika - BOSCH, Hatvan, 3. Gyakorlati anyag 2019. március 21. Mátrix rangja 1. Számítsuk ki az alábbi mátrixok rangját! (d) 1 1 2 2 4 5 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 0 1 1 2 1 0 1 1 1 1 2 3 1 3

Részletesebben

Függvények vizsgálata

Függvények vizsgálata Függvények vizsgálata ) Végezzük el az f ) = + polinomfüggvény vizsgálatát! Értelmezési tartomány: D f = R. Zérushelyek: Próbálgatással könnyen adódik, hogy f ) = 0. Ezután polinomosztással: + ) / ) =

Részletesebben

Függvények július 13. f(x) = 1 x+x 2 f() = 1 ()+() 2 f(f(x)) = 1 (1 x+x 2 )+(1 x+x 2 ) 2 Rendezés után kapjuk, hogy:

Függvények július 13. f(x) = 1 x+x 2 f() = 1 ()+() 2 f(f(x)) = 1 (1 x+x 2 )+(1 x+x 2 ) 2 Rendezés után kapjuk, hogy: Függvények 015. július 1. 1. Feladat: Határozza meg a következ összetett függvényeket! f(x) = cos x + x g(x) = x f(g(x)) =? g(f(x)) =? Megoldás: Összetett függvény el állításához a küls függvényben a független

Részletesebben

Vektorterek. Wettl Ferenc február 17. Wettl Ferenc Vektorterek február / 27

Vektorterek. Wettl Ferenc február 17. Wettl Ferenc Vektorterek február / 27 Vektorterek Wettl Ferenc 2015. február 17. Wettl Ferenc Vektorterek 2015. február 17. 1 / 27 Tartalom 1 Egyenletrendszerek 2 Algebrai struktúrák 3 Vektortér 4 Bázis, dimenzió 5 Valós mátrixok és egyenletrendszerek

Részletesebben

Területszámítás Ívhossz számítás Térfogat számítás Felszínszámítás. Integrálszámítás 4. Filip Ferdinánd

Területszámítás Ívhossz számítás Térfogat számítás Felszínszámítás. Integrálszámítás 4. Filip Ferdinánd Integrálszámítás 4. Filip Ferdinánd filip.ferdinand@bgk.uni-obuda.hu siva.banki.hu/jegyzetek 2015 november 30. Filip Ferdinánd 2015 november 30. Integrálszámítás 4. 1 / 12 Az el adás vázlata Területszámítás

Részletesebben

ELEKTRONIKAI ALAPISMERETEK

ELEKTRONIKAI ALAPISMERETEK Elekronikai alapismereek középszin 3 ÉETTSÉG VZSG 04. május 0. EEKTONK PSMEETEK KÖZÉPSZNTŰ ÍÁSBE ÉETTSÉG VZSG JVÍTÁS-ÉTÉKEÉS ÚTMTTÓ EMBE EŐFOÁSOK MNSZTÉM Egyszerű, rövid feladaok Maximális ponszám: 40.)

Részletesebben

Határozatlan integrál

Határozatlan integrál Határozatlan integrál 205..04. Határozatlan integrál 205..04. / 2 Tartalom Primitív függvény 2 Határozatlan integrál 3 Alapintegrálok 4 Integrálási szabályok 5 Helyettesítéses integrálás 6 Parciális integrálás

Részletesebben

Analitikus térgeometria

Analitikus térgeometria Analitikus térgeometria Wettl Ferenc el adása alapján 2015.09.21. Wettl Ferenc el adása alapján Analitikus térgeometria 2015.09.21. 1 / 23 Tartalom 1 Egyenes és sík egyenlete Egyenes Sík 2 Alakzatok közös

Részletesebben

2014/2015. tavaszi félév

2014/2015. tavaszi félév Hajder L. és Valasek G. hajder.levente@sztaki.mta.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2014/2015. tavaszi félév Tartalom Geometria modellezés 1 Geometria modellezés 2 Geometria modellezés

Részletesebben

A Lorentz transzformáció néhány következménye

A Lorentz transzformáció néhány következménye A Lorenz ranszformáció néhány köekezménye Abban az eseben, ha léezik egy sebesség, amely minden inercia rendszerben egyforma nagyságú, akkor az egyik inercia rendszerből az áérés a másik inercia rendszerre

Részletesebben

Számítógépes geometria (mester kurzus) III

Számítógépes geometria (mester kurzus) III 2010 sz, Debreceni Egyetem Felületek A felület megadása implicit: F : R 3 R, F (x, y, z) = 0 Euler-Monge: f : [a, b] [c, d] R, z = f (x, y) paraméteres: r : [a, b] [c, d] R 3 trianguláris háló direkt megadása

Részletesebben

HALMAZELMÉLET feladatsor 1.

HALMAZELMÉLET feladatsor 1. HALMAZELMÉLET feladatsor 1. Egy (H,, ) algebrai struktúra háló, ha (H, ) és (H, ) kommutatív félcsoport, és teljesül az ún. elnyelési tulajdonság: A, B H: A (A B) = A, A (A B) = A. A (H,, ) háló korlátos,

Részletesebben

A fontosabb definíciók

A fontosabb definíciók A legfontosabb definíciókat jelöli. A fontosabb definíciók [Descartes szorzat] Az A és B halmazok Descartes szorzatán az A és B elemeiből képezett összes (a, b) a A, b B rendezett párok halmazát értjük,

Részletesebben

Írja át a következő komplex számokat trigonometrikus alakba: 1+i, 2i, -1-i, -2, 3 Végezze el a műveletet: = 2. gyakorlat Sajátérték - sajátvektor 13 6

Írja át a következő komplex számokat trigonometrikus alakba: 1+i, 2i, -1-i, -2, 3 Végezze el a műveletet: = 2. gyakorlat Sajátérték - sajátvektor 13 6 Építész Kar Gakorló feladatok gakorlat Számítsa ki az alábbi komple számok összegét, különbségét, szorzatát, hánadosát: a/ z = i z = i b/ z = i z = - 7i c/ z = i z = i d/ z = i z = i e/ z = i z = i Írja

Részletesebben

Elsőrendű reakció sebességi állandójának meghatározása

Elsőrendű reakció sebességi állandójának meghatározása Fizikai kémia gyakorla 1 Elsőrendű reakció... 2 Elsőrendű reakció sebességi állandójának meghaározása 1. Elmélei áekinés A reakciókineikai vizsgálaok célja egy ado reakció mechanizmusának felderíésre,

Részletesebben

Fizika A2E, 7. feladatsor megoldások

Fizika A2E, 7. feladatsor megoldások Fizika A2E, 7. feladasor ida György József vidagyorgy@gmail.com Uolsó módosíás: 25. március 3., 5:45. felada: A = 3 6 m 2 kereszmesze rézvezeékben = A áram folyik. Mekkora az elekronok drifsebessége? Téelezzük

Részletesebben

Elektronika 2. TFBE1302

Elektronika 2. TFBE1302 Elekronika. TFE30 Analóg elekronika áramköri elemei TFE30 Elekronika. Analóg elekronika Elekronika árom fő ága: Analóg elekronika A jelordozó mennyiség érékkészlee az érelmezési arományon belül folyonos.

Részletesebben

A bolygók mozgására vonatkozó Kepler-törvények igazolása

A bolygók mozgására vonatkozó Kepler-törvények igazolása A bolygók mozgására vonatkozó Kepler-törvények igazolása Geometriai alapok. A kúpszeletek polárkoordinátás egyenlete A síkbeli másodrend görbék közül az ellipszist, a hiperbolát és a parabolát mondjuk

Részletesebben

A BIZOTTSÁG MUNKADOKUMENTUMA

A BIZOTTSÁG MUNKADOKUMENTUMA AZ EURÓPAI UNIÓ TANÁCSA Brüsszel, 2007. május 23. (25.05) (OR. en) Inézményközi dokumenum: 2006/0039 (CNS) 9851/07 ADD 2 FIN 239 RESPR 5 CADREFIN 32 FELJEGYZÉS AZ I/A NAPIRENDI PONTHOZ 2. KIEGÉSZÍTÉS Küldi:

Részletesebben

A sebességállapot ismert, ha meg tudjuk határozni bármely pont sebességét és bármely pont szögsebességét. Analógia: Erőrendszer

A sebességállapot ismert, ha meg tudjuk határozni bármely pont sebességét és bármely pont szögsebességét. Analógia: Erőrendszer Kinemaikai egyensúly éele: Téel: zár kinemaikai lánc relaív szögsebesség-vekorrendszere egyensúlyi. Mechanizmusok sebességállapoa a kinemaikai egyensúly éelével is meghaározhaó. sebességállapo ismer, ha

Részletesebben

Riemanngeometria 1 c. gyakorlat A Riemann-terekkel kapcsolatos fogalmak, jelölések

Riemanngeometria 1 c. gyakorlat A Riemann-terekkel kapcsolatos fogalmak, jelölések A Riemann-terekkel kapcsolatos fogalmak, jelölések Az R m euklideszi tér természetes bázisának az e 1 = (1, 0,..., 0),..., e m = (0,..., 0, 1) vektorokból álló bázist mondjuk. Legyen M egy összefügg nyílt

Részletesebben

ELEKTRONIKAI ALAPISMERETEK

ELEKTRONIKAI ALAPISMERETEK Elekronikai alapismereek emel szin Javíási-érékelési úmuaó ÉETTSÉGI VIZSG 0. okóber. ELEKTONIKI LPISMEETEK EMELT SZINTŰ ÍÁSELI ÉETTSÉGI VIZSG JVÍTÁSI-ÉTÉKELÉSI ÚTMUTTÓ EMEI EŐFOÁSOK MINISZTÉIUM Elekronikai

Részletesebben

Vektorterek. =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott

Vektorterek. =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott Vektorterek =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott 40. Alteret alkotnak-e a valós R 5 vektortérben a megadott részhalmazok? Ha igen, akkor hány dimenziósak? (a) L = { (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) x 1 = x 5,

Részletesebben

Bevezetés az elméleti zikába

Bevezetés az elméleti zikába Bevezetés az elméleti zikába egyetemi jegyzet Görbék, felületek Lázár Zsolt, Lázár József Babe³Bolyai Tudományegyetem Fizika Kar 20 TARTALOMJEGYZÉK 0.0.. Serret-Frenet képletek.........................

Részletesebben

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1 Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =

Részletesebben

2. gyakorlat: Z épület ferdeségmérésének mérése

2. gyakorlat: Z épület ferdeségmérésének mérése . gyakorla: Z épüle ferdeségének mérése. gyakorla: Z épüle ferdeségmérésének mérése Felada: Épíésellenőrzési feladakén egy 1 szines épüle függőleges élének érbeli helyzeé kell meghaározni, majd az 1986-ban

Részletesebben

Serret-Frenet képletek

Serret-Frenet képletek Serret-Frenet képletek Vizsgáljuk meg az e n normális- és e b binormális egységvektorok változását. e n = αe t + βe n + γe b, e t e n e n = 1 e n e n = 0 β = 0 e n e t = e n e t illetve a α = 1/R. Ugyanakkor

Részletesebben

Felügyelt önálló tanulás - Analízis III.

Felügyelt önálló tanulás - Analízis III. Felügyelt önálló tanulás - Analízis III Kormos Máté Differenciálható sokaságok Sokaságok Röviden, sokaságoknak nevezzük azokat az objektumokat, amelyek egy n dimenziós térben lokálisan k dimenziósak Definíció:

Részletesebben

Taylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját!

Taylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Taylor-polinomok 205. április.. Alapfeladatok. Feladat: Írjuk fel az fx) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Megoldás: A feladatot kétféle úton is megoldjuk. Az els megoldásban induljunk el

Részletesebben

Kalkulus S af ar Orsolya F uggv enyek S af ar Orsolya Kalkulus

Kalkulus S af ar Orsolya F uggv enyek S af ar Orsolya Kalkulus Függvények Mi a függvény? A függvény egy hozzárendelési szabály. Egy valós függvény a valós számokhoz, esetleg egy részükhöz rendel hozzá pontosan egy valós számot valamilyen szabály (nem feltétlen képlet)

Részletesebben

Vektorok. Wettl Ferenc október 20. Wettl Ferenc Vektorok október / 36

Vektorok. Wettl Ferenc október 20. Wettl Ferenc Vektorok október / 36 Vektorok Wettl Ferenc 2014. október 20. Wettl Ferenc Vektorok 2014. október 20. 1 / 36 Tartalom 1 Vektorok a 2- és 3-dimenziós térben 2 Távolság, szög, orientáció 3 Vektorok koordinátás alakban 4 Összefoglalás

Részletesebben

Matematika A1a Analízis

Matematika A1a Analízis B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Differenciálhatóság H607, EIC 2019-03-14 Wettl

Részletesebben

5. HŐMÉRSÉKLETMÉRÉS 1. Hőmérséklet, hőmérők Termoelemek

5. HŐMÉRSÉKLETMÉRÉS 1. Hőmérséklet, hőmérők Termoelemek 5. HŐMÉRSÉKLETMÉRÉS 1. Hőmérsékle, hőmérők A hőmérsékle a esek egyik állapohaározója. A hőmérsékle a es olyan sajáossága, ami meghaározza, hogy a es ermikus egyensúlyban van-e más esekkel. Ezen alapszik

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 16 XVI A DIFFERENCIÁLSZÁmÍTÁS ALkALmAZÁSAI 1 Érintő ÉS NORmÁLIS EGYENES, L HOSPITAL-SZAbÁLY Az görbe abszcisszájú pontjához tartozó érintőjének egyenlete (1), normálisának egyenlete

Részletesebben

Bevezetés az elméleti zikába

Bevezetés az elméleti zikába Bevezetés az elméleti zikába egyetemi jegyzet Kúpszeletek Lázár Zsolt, Lázár József Babe³Bolyai Tudományegyetem Fizika Kar 2011 TARTALOMJEGYZÉK 6 TARTALOMJEGYZÉK Azokat a görbéket, amelyeknek egyenlete

Részletesebben

17. előadás: Vektorok a térben

17. előadás: Vektorok a térben 17. előadás: Vektorok a térben Szabó Szilárd A vektor fogalma A mai előadásban n 1 tetszőleges egész szám lehet, de az egyszerűség kedvéért a képletek az n = 2 esetben szerepelnek. Vektorok: rendezett

Részletesebben

Meghatározás: Olyan egyenlet, amely a független változók mellett tartalmaz egy vagy több függvényt és azok deriváltjait.

Meghatározás: Olyan egyenlet, amely a független változók mellett tartalmaz egy vagy több függvényt és azok deriváltjait. Közönséges differenciálegyenletek Meghatározás: Olyan egyenlet, amely a független változók mellett tartalmaz egy vagy több függvényt és azok deriváltjait. Célunk a függvény meghatározása Egyetlen független

Részletesebben

Feladatok megoldásokkal a harmadik gyakorlathoz (érintési paraméterek, L Hospital szabály, elaszticitás) y = 1 + 2(x 1). y = 2x 1.

Feladatok megoldásokkal a harmadik gyakorlathoz (érintési paraméterek, L Hospital szabály, elaszticitás) y = 1 + 2(x 1). y = 2x 1. Feladatok megoldásokkal a harmadik gyakorlathoz (érintési paraméterek, L Hospital szabály, elaszticitás). Feladat. Írjuk fel az f() = függvény 0 = pontbeli érintőjének egyenletét! Az érintő egyenlete y

Részletesebben

Feladatsor A differenciálgeometria alapja c. kurzus gyakorlatához

Feladatsor A differenciálgeometria alapja c. kurzus gyakorlatához Feladatsor A differenciálgeometria alapja c. kurzus gyakorlatához Dr. Nagy Gábor, Geometria Tanszék 2010. szeptember 16. Görbék paraméterezése 1. feladat. (A) Bizonyítsuk be a vektoriális szorzatra vonatkozó

Részletesebben