0791. Függvények fogalma, ábrázolása; lineáris függvények

Átírás

1 hozzárendelések Függvények, Sorozatok Függvények fogalma, ábrázolása; lineáris függvények Készítette: paróczay józsef, pusztai julianna

2 134 matek A 7. évfolyam 079. hozzárendelések tanulói munkafüzet MINTAPÉLDÁK: 1. Adjunk meg két halmazt! Az A halmaz néhány európai nagyvárost tartalmaz, a B halmaz számokat. Az A halmaz elemeihez keressünk a B halmazból számokat úgy, hogy a nagyvárosok lakosságszámát mutassák! Az A halmaz: A={Párizs; Budapest; Róma; Moszkva; Stockholm} A B halmaz={ millió; 1,4 millió; 11 millió; 3 millió; 10 millió}. Most legyen A = {fennsík; alföld; mélyföld}, B = {Amazonas-medence; Kaszpi-mélyföld; Tibetifennsík, Préri-fennsík; Orinocho alföld}! 3. Az itt látható ábrán leolvasható, hogy mely gyümölcsök, milyen termésűek. A={szilva; ribizli; szőlő; alma; dió; őszibarack} B={bogyó; alma; csonthéjas}

3 tanunlói munkafüzet Függvények fogalma, ábrázolása 135 Milyen hasonlóságokat és milyen különbségeket vehetünk észre ezekben a mintapéldákban? 4. Az A halmaz elemeinek feleltessünk meg B halmazbeli elemeket: minden hídhoz rendeljük hozzá azt az országot, amelyben található! Jelöljük az egymáshoz rendelt elemeket nyilakkal! tudnivaló Az A halmazt alaphalmaznak, a B halmazt képhalmaznak nevezzük. Azt a hozzárendelést, amelyben az alaphalmaz minden eleméhez a képhalmaznak pontosan egy elemét rendeljük, egyértelmű hozzárendelésnek nevezzük. Az olyan egyértelmű hozzárendelést, amely visszafelé is egyértelmű, kölcsönösen egyértelmű hozzárendelésnek nevezzük. Pl. az előző hozzárendelés az országok felől nézve is egyértelmű minden országhoz is pontosan egy híd tartozik tehát kölcsönösen egyértelmű. Ha az A halmaz elemei közé fölvennénk a Lánchidat is, akkor hozzárendelésünk továbbra is egyértelmű maradna, de már nem volna kölcsönösen egyértelmű: Magyarországhoz két híd tartozna.

4 136 matek A 7. évfolyam 079. hozzárendelések tanulói munkafüzet 5. Milyen hozzárendelést adhatunk meg a két halmaz között? C = {Egyiptom; Olaszország, Törökország, Oroszország} D = {Vörös-tenger; Földközi-tenger; Fekete-tenger} Legyen a hozzárendelés: Az országokhoz rendeljük hozzá azt a tengert, mely közvetlenül határolja. Írjunk fel néhány egymáshoz rendelt elemet: Egyiptom Vörös-tenger Olaszország Földközi-tenger Törökország Fekete-tenger Oroszország Fekete-tenger Törökország Földközi-tenger Ez a hozzárendelés nem egyértelmű, mert van olyan ország, melyhez nem pontosan egy tengert rendel hozzá. (Több tenger is határolja pl. Törökországot.) 1. feladatlap 1. Adjatok meg hozzárendeléseket az alábbi halmazok segítségével! Az általatok készített hozzárendelések között keressetek egyértelmű, nem egyértelmű, kölcsönösen egyértelmű hozzárendelést! A = {USA; Egyiptom; Kanada; Magyarország; Anglia; Hollandia} B = {a; b; c; d; e; f} C = {természetes számok} D = {font; dollár; forint; euró} E = {Mont Everest; Mont Blanc; Lomnici csúcs; Kékes; Kilimanjaro; Fuji}. Az alábbi hozzárendelések közül melyek egyértelműek? Írjátok le a füzetetekbe! a) Alaphalmaz: Évszakok. Képhalmaz: A nem ember végű hónapok. Hozzárendelés: Minden évszakhoz rendeljük hozzá a megadott hónapok közül a hozzá tartozót! b) Alaphalmaz: A tanult tantárgyak Képhalmaz: A hét munkanapjai Hozzárendelés: Minden tantárgyhoz rendeljük hozzá azt a napot, amikor órarend szerinti óra van!

5 tanunlói munkafüzet Függvények fogalma, ábrázolása 137 c) Alaphalmaz: {Kefir; Cipő; Chester; Billy Joe; Pély Barna} Képhalmaz: {Green day; Linkin Park; V-tech; United; Republic} Hozzárendelés: A zenészhez/előadóhoz a zenekarjukat rendeljük. d) Alaphalmaz: A háromnál kisebb abszolút értékű egész számok Képhalmaz: A x < 10 egyenlőtlenséget igazzá tevő nem negatív egész számok Hozzárendelés: Minden alaphalmazbeli elemhez rendeljük hozzá a négyzetét! 3. Az itt látható halmazok elemei között létesíts egyértelmű hozzárendelést és szemléltesd Venndiagramon! a) A = {banán, kivi, eper, málna, meggy, narancs} B = {piros, bordó, sárga, narancs, zöld} b) A = {; 3; 4; 3; 4} B = {; 3; 4} c) A = {elem, keverék, vegyület, oldat} B = {oxigén, széndioxid, levegő, limonádé} Kitüntetett szerepet játszik a továbbiakban az egyértelmű hozzárendelés. Ezért ezt külön is elneveztük. tudnivaló Az egyértelmű hozzárendelést függvénynek nevezzük. Egy függvény akkor ismert, ha megadjuk az alaphalmazt, a képhalmazt és egy egyértelmű hozzárendelési szabályt.. feladatlap 1. Megadtuk egy-egy függvény alaphalmazát, képhalmazát és hozzárendelési szabályát. Szemléltesd rajzzal a függvényeket! a) A = {8-nál kisebb nem negatív egész számok} B = {egész számok} Hozzárendelési szabály: Minden A-beli számhoz rendeljük hozzá a kétszeresénél 3-mal kisebb számot! b) A = { 6-nál nagyobb negatív egész számok} B = {egész számok} Hozzárendelési szabály: Rendeljük hozzá minden A-beli számhoz az abszolút értékét!. Minden tanult számhoz rendeljük hozzá a felét! Készítsetek értéktáblázatot! Fogalmazzátok meg a hozzárendelést képlettel! x y A tengelyeken négyzetrács legyen az egység.

6 138 matek A 7. évfolyam 079. hozzárendelések tanulói munkafüzet 3. Készítsünk értéktáblázatot az alábbi függvényekhez! Az értéktáblázat elkészítése után ábrázoljuk a függvények grafikonjának 6 8 pontját! Az alaphalmaz és a képhalmaz az egész számok halmaza. a) Minden számhoz a kettővel nagyobb számot rendeljük. b) f( x) = x 1 c) g( x) = ( x 1) 4. Egy hordóba esővizet gyűjtünk öntözéshez. Egy tavaszi esős napon az alábbi grafikon szerint változott a hordóban lévő víz mennyisége. A megfigyelésünk fél órán keresztül tartott. a) Készíts táblázatot a grafikon alapján! b) Írd le, hogyan változott a hordóban lévő víz mennyisége! c) Mennyi víz volt a hordóban a vihar elején? d) Leolvasható-e a grafikonról, hogy mikor állt el az eső? e) Hány literrel nőtt a hordóban lévő víz mennyisége? f) 10 perc elteltével mennyi víz volt a hordóban? Hogyan lehet ezt leolvasni? g) Mikor volt 16 liter a hordóban? 5. Emeséék biciklitúrán voltak az Őrségben. A grafikon a csoport sebességének változását mutatja az idő függvényében. Nézd meg figyelmesen az itt látható grafikont, és válaszolj az alábbi kérdésekre! a) Körülbelül mikor volt a legnagyobb a csapat sebessége? b) Mikor mentek a leglassabban? c) Voltak-e olyan időpontok, amikor ugyanakkora sebességgel mentek? Írj rá példát! d) Mekkora sebességgel mentek a 30. percben? (kb. érték) e) Írd le, mely időszakokban növekedett a kerékpárosok sebessége?

7 tanunlói munkafüzet Függvények fogalma, ábrázolása feladatlap 1. Készíts értéktáblázatot, és ennek segítségével ábrázold a megadott függvényeket! Add meg képlettel a hozzárendelési szabályt! Az alaphalmaz és a képhalmaz legyen a tanult számok halmaza. a) Minden számhoz hozzárendeljük önmagát. b) Minden számhoz rendeljük hozzá a háromszorosát. c) Minden számhoz rendeljük hozzá a felét. Számítsd ki mindegyik feladatban az összetartozó értékpárok hányadosát! Milyen összefüggés van a két mennyiség között? Figyeld meg az összetartozó értékpárok arányát és az egyenesek meredekségét! Milyen összefüggést látsz közöttük? tudnivaló Az egyenes arányosság grafikonja az origón átmenő egyenes Lineáris függvény: f(x) = Grafikonja egyenes. egy szám x+ egy tetszőleges szám.. Ábrázold a megadott függvényeket közös koordináta-rendszerben! a) a( x) = x 1 b( x) = 3x 1 1 d( x) = x 1 b) f( x) = x + g( x) = x + 1 h( x) = x 1 3. Határozd meg az alábbi függvények hozzárendelési szabályát! Ha szükséges, készíts táblázatot! A képletben mi utal arra, hogy a függvények grafikonjai párhuzamos egyenesek?

8 140 matek A 7. évfolyam 079. hozzárendelések tanulói munkafüzet a) b) c)

9 tanunlói munkafüzet Függvények fogalma, ábrázolása feladatlap 1. ábrázold közös koordináta-rendszerben a lineáris függvényeket! Készíthetsz táblázatot az ábrázoláshoz! Az ábrázoláshoz használj különböző színeket! a) f( x) = x és g( x) = x Hol metszi egymást a két függvény grafikonja? Miért? Van-e egyenes arányosság a megadott függvények között? Igaz-e, hogy a g(x) függvény grafikonja az f(x) függvény grafikonja alatt halad? Miért? 3 3 b) v ( x) = x + 1 és u( x) = x 4 4 Hol metszi egymást a két függvény grafikonja? Miért? Van-e egyenes arányosság a megadott függvények között? Igaz-e, hogy a v(x) függvény grafikonja az u(x) függvény grafikonja alatt halad? Miért? ÖSSZEFOGLALÁS Lineáris függvények Elsőfokú függvényekben az x hatványkitevője: 1. grafikonja egyenes a képletben megadott alakja: f(x) = valahányszor x+ tetszőleges szám függvények grafikonjának meredeksége az x szorzótényezőjétől függ. az y tengelyen lévő metszéspontot a szorzathoz hozzáadott tetszőleges szám határozza meg. minden eddig vizsgált függvény grafikonja mindkét tengelyt metsző egyenes volt. Konstans függvényeknek nevezzük azokat a függvényeket, melyek bármely számhoz egy állandó értéket rendelnek. A konstans függvények grafikonja mindig az x tengellyel párhuzamos egyenes. Az y tengelyt abban a pontban metszik, amelynek második koordinátája a hozzárendelt értékkel egyezik meg. (Az elnevezés a latin konstans állandó szóra utal) Az f( x) = 0 konstans függvény grafikonja maga az x tengely. Mivel az elsőfokú és konstans függvények grafikonja egyaránt egyenes ezért ezeket közös néven lineáris függvényeknek nevezzük, (Az elnevezés a latin linea egyenes szóból származik.) Játék: A cél: találd ki a lineáris függvény szabályát! Felváltva tippelhetnek a tanulók egy-egy összetartozó értékpárral. A tippnek megfelelő pontot mindenki ábrázolja koordináta-rendszerben a következő módon: ha a tippelés jó, akkor a tanár válasza talált, vagyis a pont rajta van a függvény grafikonján, ezt a pontot pirossal kell bejelölni; ha a tippeléssel megadott pont a keresett grafikon alatt van, akkor a tanár válasza kisebb, ezt a pontot kékkel kell bejelölni; ha a tippeléssel megadott pont a keresett grafikon felett van, akkor a tanár válasza nagyobb, ezt a pontot zölddel kell bejelölni. Értékelés: aki fel tudja rajzolni a keresett függvény grafikonját, kaphat egy pontot, aki csak a meredekséget állapítja meg, az is 1 pontot kaphat, aki a hozzárendelést meg tudja határozni, az kaphat két pontot. Csak az első hibátlan válaszig játszunk egy-egy játékot. Aki rosszul tippelt a grafikonra, vagy a hozzárendelési szabályra, az kiesett ebből a játékból.

10 14 matek A 7. évfolyam 079. hozzárendelések tanulói munkafüzet. A következő hozzárendelési szabályok is lineáris függvényt határoznak meg? Táblázat készítése és ábrázolás után tudsz válaszolni erre a kérdésre. Próbáld megadni a hozzárendelési szabályt a legegyszerűbb alakban! a) 6 a( x) = x + b) b( x) = 3( x + ) ( x + 5) c) x c( x) = x 1 5. feladatlap A feladatlap feladatait közösen oldjátok meg! Ha valamelyik megoldásban véleménykülönbség van, döntsetek közösen. 1. ábrázoljátok a következő hozzárendeléseket külön koordináta-rendszerben! a) Legyen az alaphalmaz és a képhalmaz is a tanult számok halmaza. Hozzárendelési szabály: b) Legyen az alaphalmaz és a képhalmaz a természetes számok halmaza. Hozzárendelési szabály: a megvásárolt kiflikhez a fizetett értéket rendeljük, ha 1 kifli 1 Ft-ba kerül. A b)-ben megadott hozzárendelésnél az első tengelyen a kiflik számát, a második tengelyen a kiflikért fizetett értéket ábrázoljátok! Különböző-e a két hozzárendelés grafikonja? Miért?. Rendeljünk természetes számokhoz ismét természetes számokat! k: Kacsák számához hozzárendeljük a lábaik számát. r: Rókák számához hozzárendeljük a lábaik számát. s: Sáskák számához hozzárendeljük a lábaik számát. a) Készíts táblázatot a k, r, s hozzárendelésekhez! b) Függvények-e ezek a hozzárendelések? Miért? Írásban válaszoljatok! c) Melyik hozzárendelést kapcsolhatjátok a megadottakhoz az alábbiak közül? 1 f( x) = 6 x ; g ( x) = x + 6 ; h( x) = x ; j ( x) = x 4 ; i( x) = x. d) Ábrázoljátok a függvényeket közös koordináta-rendszerben! 4 Olvass a grafikonról! e) Megrajzolhatók-e a grafikonok egy vonallal? Miért? Írásban válaszoljatok! f) Melyik függvény grafikonja a legmeredekebb? g) Miért az origóból indul ki mindegyik hozzárendelt grafikon? h) Hány rókának van annyi lába, mint 6 kacsának? i) Hány kacsához, rókához, sáskához tartozik 4 láb? j) Ismertek-e olyan állatot, melynél a hozzárendelés lenne? 3. Meggyújtottunk egy 5 cm hosszú gyertyát. Egyenletesen égett, és azt tapasztaltuk, hogy 3 óra alatt a magassága 9 cm-t csökkent. a) Ábrázoljátok a gyertya magasságát az eltelt idő függvényében! b) Most önállóan dolgozz! Fogalmazz meg állításokat (lehetnek igazak, de hamisak is) a függvénnyel kapcsolatban! Írd le ezeket a füzetedbe! c) Olvassátok fel az állításokat, és csoporttársaid döntsék el, hogy igazak-e vagy hamisak!

11 tanunlói munkafüzet Függvények fogalma, ábrázolása Az alábbi grafikonok közül melyiket melyik történettel tudjátok logikai kapcsolatba hozni? Döntéseiteket indokoljátok! Írjátok fel, melyik tengelyen milyen változást jelöltünk! I. II. III. a) Luca barátaival kirándulni ment. 4 óra alatt értek el egy gyönyörű tisztásra. Ott megpihentek, játszottak, majd két óra elteltével hazamentek. A kirándulás során végig egyenletes 3 km/h sebességgel haladtak. b) Gergő öt napon keresztül napi 100 Ft-ot tett félre zsebpénzéből. Két napig nem tudott félretenni, és a következő napon elköltötte összes félretett pénzét. c) Egy 8 literes kannából másodpercenként 1 liter vizet öntünk ki. A 3. másodpercben 3 másodpercig megálltunk, majd kiöntöttük az összes vizet. 5. Készítsetek egy rövid történethez mozgásgrafikont! A történetet is és a grafikont is írjátok le a füzetetekbe!

12 144 matek A 7. évfolyam 079. hozzárendelések tanulói munkafüzet 6. Tamás 1 óra alatt kerékpárral tette meg az utat a 0 km-re lakó nagymamájához. Útközben pontosan félúton haladt el a vetőmagbolt előtt. Nagymamája megkérte őt, hozzon fűmagot a vetőmagboltból. Időveszteség nélkül újra felpattant a kerékpárra, és ugyanakkora sebességgel visszament a bolthoz. Itt elég sokan voltak, így a vásárlás fél óráig tartott. Mivel egy kicsit elfáradt, így most csak fele akkora sebességgel ment vissza a nagymamához Tamás egy órát töltött nála, közben közösen elvetették a fűmagot, és evett a kedvenc sajtos pogácsájából is, amit a nagyi az ő kedvéért sütött. Ezután elindult, és 45 perc alatt ért haza. a) Készítsétek el közösen megbeszélve Tamás mozgásgrafikonját! Mindenki a saját füzetébe dolgozzon! A vízszintes tengelyen az eltelt időt, a függőleges tengelyen a megtett utat ábrázoljátok! b) Válaszoljatok írásban a kérdésekre! Honnan látható a grafikonon, hogy Tamás nem haladt kerékpárjával? Hány km-t kerékpározott összesen? Mikor haladt a leggyorsabban? Mekkora sebességgel haladt két és három óra között? c) A grafikon alapján írjatok igaz és hamis állítást a feladattal kapcsolatban! Olvassátok fel egymásnak az állításokat, és a csoport többi tagja döntse el igaz volt-e az állítás vagy sem. d) Versenyzőknek! Ha jó a mozgásgrafikon, akkor 6 lineáris függvényből tevődhet össze az ábrázolt grafikon. Melyek ezek? Melyiket milyen intervallumon kell figyelembe venni? 6. feladatlap 1. Péter és Pál távirányítású autókkal játszanak. Egymástól 15 m távolságra állnak, egy egyenes útszakaszon. Péter autója 0 másodperc alatt teszi meg Pálig az utat, Pál autója 30 másodperc alatt ér Péterhez. Koordináta-rendszerben ábrázoltuk a két autó mozgását. Milyen megfigyeléseket tehetünk?. Töltsd ki az alábbi táblázatot! f( x) = x g( x) = 7 x x f(x) g(x) melyik érték nagyobb

13 tanunlói munkafüzet Függvények fogalma, ábrázolása Oldd meg grafikus úton a következő egyenleteket! a) x = x 1 3 Milyen számokra teljesül az x > x 1 egyenlőtlenség? 3 b) x 3 = 8 + x Milyen számokra teljesül x 3 < 8 + x egyenlőtlenség? 4. Egy nyári napon a levegő hőmérséklete reggel 5 órakor 1 C volt. Napközben a hőmérséklet egyenletesen növekedett 13 óráig, amikor 3 C-ot mértek. A hőmérséklet délután 16 óráig állandó, majd este 10 óráig 0 C-ra csökken egyenletesen. a) ábrázold a levegő hőmérsékletét az idő függvényében! b) A Balaton vizének hőmérséklete C. Ábrázold a megrajzolt koordináta-rendszerben a Balaton vizének hőmérsékletét! c) A grafikonok segítségével határozd meg, mikor volt a levegő hőmérséklete ugyanakkora, mint a Balatoné! 5. Az ebédnél megmaradt levest édesanya csak akkor teszi a hűtőszekrénybe, ha kihűlt. (Ez azt jelenti, hogy a leves hőmérséklete a levegő hőmérsékletével egyenlő.) A levegő hőmérséklete 6 C. Mennyi idő múlva lehet a levest a hűtőszekrénybe tenni, ha 80 C-os, és 5 perc alatt 4 C-kal csökken a hőmérséklete? Ábrázold a leves hőmérséklet változását, és a levegő hőmérsékletét közös koordináta-rendszerben! 7. feladatlap A feladatsor a) Mikor mondjuk egy hozzárendelésről, hogy függvény? b) Hogyan nevezzük a hozzárendelés két halmazát? c) Hogyan lehet megállapítani, hogy egy pont rajta van-e a függvény grafikonján (esetleg alatta vagy felette van)? Gondolj a közösen játszott függvénykitalálós játékra! d) Mi a lineáris függvények közös tulajdonsága? e) Mit jelent, milyen eredetű a lineáris szó? f) Hogyan jellemezhetjük a konstans függvényeket? g) Mit jelent, milyen eredetű a konstans szó? h) Hogyan tudjuk megadni az összes konstans függvényt?

14 146 matek A 7. évfolyam 079. hozzárendelések tanulói munkafüzet B feladatsor 1. Legyen az alaphalmaz és a képhalmaz a tanult számok halmaza. Írd le szavakkal a hozzárendeléseket! Például: f( x) = x + 1 Az f hozzárendelés minden számhoz az eggyel nagyobbat rendeli. a) f( x) = x 3 b) h( x) = x 5 c) k( x) = x + d) l( x) = 5 ( x 4). Add meg képlettel a hozzárendelés szabályát! a) Minden valós számhoz hozzárendeljük a harmadát. b) Minden valós számhoz hozzárendeljük a kilencet. c) Minden valós számhoz hozzárendeljük az ellentettjét. 3. Párosítsd az előző két feladatban a hozzárendelésekkel megadott függvényeket a grafikonokkal. Melyik grafikon hozzárendelési szabályát nem adtuk meg? Melyik hozzárendeléshez nem találtál grafikont? I II.

15 tanunlói munkafüzet Függvények fogalma, ábrázolása 147 III. IV. V. VI.

16 148 matek A 7. évfolyam 079. hozzárendelések tanulói munkafüzet VII. K feladatsor (könnyebb feladatok) K1. Van-e olyan lineáris függvény, amelynek grafikonja párhuzamos az y tengellyel? Indokolj! K. Válaszd ki a lineáris függvényeket a felsoroltak közül! f( x) = x 5 g( x) = x 3 h( x) = x 3 7 l( x) = x + 3 K3. Mely függvények grafikonjai párhuzamosak egymással? f( x) = x + 9 g( x) = 9 h( x) = 9x 1 l( x) = x 9 1 k( x) = 9 i( x) = 5 + 9x j( x) = x 9 1 K4. Hol metszi egymást az f ( x) = 7, és a g ( x) = x + 5 függvény grafikonja, ha a függvényeket a tanult számok halmazán értelmezzük? N feladatsor (nehezebb feladatok) N1. Melyek azok a számok, amelyekhez az f függvény nagyobb számot rendel, mint a g függvény? A függvényeket a tanult számok halmazán értelmezzük. Készíts táblázatot, majd ábrázold a függvényeket! f( x) = x + 1 és g( x) = x + 4 N. Fürdéshez 5 perc alatt töltöttük meg a 100 literes kádat vízzel. Negyed óráig fürödtünk, majd leengedtük a vizet. A lefolyón percenként 10 liter víz folyik le. Ábrázold az eltelt idő függvényében a kádban levő víz térfogatát! A csap megnyitásához képest mikor volt a kádban 50 liter víz? N3. Add meg a hozzárendelési szabályát annak a lineáris függvénynek, amely a P ( 5; 8) és Q ( 1; 0) pontokon halad át! 8 x 3 N4. Adj meg olyan lineáris függvényt, melynek grafikonja párhuzamos az f ( x) = függvény grafikonjával, és olyat is, amely az y tengelyt ugyanott metszi! 5

17 tanunlói munkafüzet Függvények fogalma, ábrázolása 149 feladatgyűjtemény 1. A következő hozzárendelések közül válaszd ki, melyek a függvények! a) A = {13 éves tanulók} K = {iskolák} Minden tanulóhoz rendeljük hozzá azt az iskolát, ahol tanulmányait végzi. b) A = {az iskolád ablakai} K = {egész számok} Minden ablakhoz rendeljük hozzá az ablakban lévő virágok számát. c) A = {az iskolád osztálytermei} K = {egész számok} Minden osztályteremhez az ablakok számát rendeljük. d) A = {az iskolád tantermei} K = {az iskolában található számítógépek} Minden tanteremhez hozzárendeljük azt a számítógépet, ami a teremben van. e) A = {a sík egy adott P pontja} K = {a sík pontjai} A P ponthoz rendeljük hozzá a tőle 3 cm-re levő pontokat.. Készíts hozzárendeléseket a megadott halmazok között! a) A = {Magyarország városai} K = {1000-re kerekített pozitív egészszámok} b) A = {édesvízi halak} K = {horgász csalik} c) A = {egészszámok} K = {prímszámok} d) A = {lábméretek} K = {a lakásotokban található cipők, papucsok} e) A = {a sík pontjai} K = {a tér pontjai} 3. Az alábbi grafikonok alapján határozd meg az alaphalmazt, a képhalmazt és a hozzárendelési szabályt! a) b)

18 150 matek A 7. évfolyam 079. hozzárendelések tanulói munkafüzet 4. állapítsd meg az alaphalmazt, képhalmazt! Mi lehet az ábrázolt hozzárendelés? Függvény-e a hozzárendelés? a) b) 5. állapítsd meg az alaphalmazt, képhalmazt! Mi lehet az ábrázolt hozzárendelés? Függvény-e a hozzárendelés? 6. ábrázold koordináta-rendszerben a hozzárendelést a tanult számok halmazán! Keress az ábrának megfelelő hozzárendeléseket! a)

19 tanunlói munkafüzet Függvények fogalma, ábrázolása 151 b) c) 7. ábrázold koordináta-rendszerben a hozzárendelést a tanult számok halmazán! a) Minden tanult számhoz rendeljük hozzá a nála kisebb, legközelebbi egész számot. b) Minden tanult számhoz rendeljük hozzá a nála nagyobb, hozzá legközelebbi egész számot. Milyen hasonlóságot, különbséget állapíthatunk meg a két grafikon között?

20 15 matek A 7. évfolyam 079. hozzárendelések tanulói munkafüzet 8. Gyűjts a környezetedből különböző sokszöglapokkal határolt testeket! Létesíts hozzárendelést: a) a lapok száma és a csúcsok száma között; b) a lapok és csúcsok összege és az élek száma között. Ábrázold koordináta-rendszerben a hozzárendelést! Az utóbbiról Euler, a híres matematikus egy szép, egyszerű összefüggést fedezett fel. Te is megtaláltad? tetraéder kocka oktaéder téglatest ötszög alapú hasáb háromszög alapú hasáb csúcs lap csúcs + lap él 9. Derékszögű háromszög egyik befogója 5 cm. A befogón levő hegyesszöget változtassunk 10 fokonként (10 ; 0 ; 30 ). Méréssel állapítsd meg, hogyan változik a másik befogó hossza! Ábrázold koordináta-rendszerben a befogó változását a hegyesszög változásának függvényében! 10. ábrázold koordináta-rendszerben a hozzárendelést a tanult számok halmazán! a) f( x) = x 3 b) g( x) = x 5 c) h( x) = x + 4 Milyen azonosságokat vettél észre a grafikonokon? Mit gondolsz, miért van ez? 11. Egy téglalap kerülete 0 cm. Az egyik oldalának hosszát változtatva hogyan változik a másik oldala? Készíts értéktáblázatot! Ábrázold az oldalak változását koordináta-rendszerben, ha az oldalak hossza a) egész szám, b) pozitív szám. Van-e különbség a két grafikon között? Indokolj! Mikor lesz a legnagyobb a téglalap területe? 1. Egy tó vízszintjének 10 napig tartó változását mutatja az itt látható grafikon. a) Állapítsd meg, melyik napon volt a legmagasabb a vízszint! b) Melyik napon volt a víz szintje 10 cm? c) A 4. napon mekkora volt a vízmagasság? d) Mikor volt a vízszint 115 cm-nél magasabb?

21 tanunlói munkafüzet Függvények fogalma, ábrázolása Egy turistacsoport mozgásának grafikonos megjelenítését látod. a) Mit fejez ki a grafikonon a két töréspont? b) Mennyi ideig mozogtak az egyes szakaszokon? c) Mekkora utat tettek meg a mozgás egyes szakaszain? d) Mennyi idő alatt tettek meg 1 km-t? e) Mekkora sebességgel mozogtak (mennyi utat tettek meg egy óra alatt) az egyes szakaszokon? 14. Egy teherszállító autó és egy személygépkocsi mozgását látod az ábrán. a) Melyik grafikon mutatja a személyautó mozgását és melyik grafikon a tehergépjárműét? b) Jellemezd a személyautó mozgását! c) Mennyi utat tett meg a teherautó fél óra alatt? d) Mennyi idő alatt tett meg a teherautó 75 km-t? e) Megelőzte-e a személyautó a teherautót? Ha igen, mikor? f) Megelőzte-e a teherautó a személyautót? Ha igen, mikor?

22 154 matek A 7. évfolyam 079. hozzárendelések tanulói munkafüzet 15. Péter kisöccse pancsol a fürdőkádban. 10 perc játék után kihúzza a dugót. perc múlva észreveszi az anyukája, de addigra 10 cm-t csökkent a víz magassága. Az édesanya visszateszi a dugót, és újra enged vizet a kádba 4 percig. Ekkor a víz magassága az eredeti 30 cm-es magasság lesz. Ábrázold a kádban lévő víz magasságát az idő függvényében! 16. Hóesés után Marci és Zoli épített egy hóbástyát. Az idő felmelegedésekor a hóbástya olvadni kezdett, magasságának változását az alábbi grafikon mutatja. a) Hány nap alatt olvadt el a hóból készült bástya? b) Mikor csökkent a felére az építmény magassága? c) Foglald táblázatba, hogy mennyit olvadt egy-egy nap alatt a gyerekek építménye! 17. a) A felsorolt összetartozó értékpárok alapján állapítsd meg a hozzárendelési szabályt, ha a hozzárendelést a tanult számok halmazán értelmezzük! b) Készítsd el a grafikonjaikat! c) Minden feladatban egy értékpárt hibásan adtunk meg. Ki tudod találni melyik a kakukktojás? d) Keress olyan pontokat, melyek biztosan lehetnének ennek a grafikonnak pontjai! I. x f( x) =?

23 tanunlói munkafüzet Függvények fogalma, ábrázolása 155 II. x g( x) =? III. x h ( x) =? A felsorolt lineáris függvényeket a tanult számok halmazán értelmezzük. Ábrázold a függvényeket koordináta-rendszerben, állapítsd meg, hol metszik a grafikonok az x, y tengelyeket! a) a( x) = x b) b( x) = x c) c( x) = x 3 d) d( x) = 4 3x e) f) 6 e( x) = x x f( x) = 3 g) g( x) = 5 ( x + 7) h) h( x) = 1 ( 9x 1) i) i( x) = ( 5 5x) + ( 3x ) 19. Válaszd ki az elsőfokú függvényeket a grafikonok alapján! Ezekhez készíts legalább 6 tagból álló értéktáblázatot, és keresd meg a hozzárendelési szabályokat!

24 156 matek A 7. évfolyam 079. hozzárendelések tanulói munkafüzet 0. Keresd meg annak a lineáris függvénynek a hozzárendelési szabályát, amely a) mindkét tengelyt 3-nál metszi; b) mindkét tengelyt 4-nél metszi; c) az x tengelyt 1-nél, az y tengelyt 5-nél metszi; d) az x tengelyt 6-nál, az y tengelyt 1-nél metszi; e) az x tengelyt -nél, az y tengelyt 1-nél metszi; f) átmegy a (1; 3) és a (; 5) pontokon; g) átmegy a ( 1; 3) és a ( ; 5) pontokon; h) átmegy a (3; 3) és a ( 6; ) pontokon!

25 0861. MODUL HOZZÁRENDELÉSEK, FÜGGVÉNYEK Grafikonok vizsgálata, hozzárendelések, függvények Készítette: Birloni Szilvia és Harsányi Zsuzsa

26 0861. modul: HOZZÁRENDELÉSEK, FÜGGVÉNYEK Grafikonok vizsgálata 7 1. FELADATLAP 1. A szóforgó szabálya szerint helyezzétek el az ábrában a következő állatneveket: vakondok, galamb, keresztes pók, atka, hiúz, delfin, anyavaddisznó, kergemarha, krokodil, csirke, marha, szarvasbogár, ló, éti csiga, cápa, elefánt, ponty, szurikáta, pingvin, orrszarvú, ürge, cinke, pióca, nyúl, patkány, galandféreg, fürgegyík, macska, róka, pele, EMBER. VESZÉLYES SZŐRÖS NEM SZŐRÖS NEM VESZÉLYES veszélyes szőrös

27 8 MATEMATIKA A 8. ÉVFOLYAM TANULÓI MUNKAFÜZET. I. Egy közvéleménykutató-intézet a tévéműsorok nézettségét vizsgálja. A felmérés eredménye: híradó: 1,8 millió fő mesefilm: 1,7 millió fő kultúráról szóló beszélgetések: 1, millió fő könnyűzenei műsorok:,9 millió fő thriller: 0,8 millió fő vígjáték:1,6 millió fő szerelmi dráma: 0,4 millió fő krimi:,5 millió fő háborús: 1,5 millió fő komolyzenei koncertek: 0, millió fő Grafikusan: 3,5 nézők száma (millió fő) 3,5 1,5 1 0,5 1,8 1,7 1,,9 0,8 1,6 0,4,5 1,5 0, 0 híradó: mesefilm: kultúráról szóló beszélgetések: könnyűzenei műsorok: thriller: vígjáték szerelmi dráma: krimi: háborús: komolyzenei koncertek: a) Melyik a legkedveltebb műsorfajta? b) Melyik a legkevésbé kedvelt műsorfajta? c) Állítsd nézettség szerint növekedő sorrendbe a műsorokat! d) Számítsd ki, hogy a lakosság hány százaléka kedveli a mesefilmeket és a szerelmi drámákat! (Magyarországon kb. 10 millió ember él.)

28 0861. modul: HOZZÁRENDELÉSEK, FÜGGVÉNYEK Grafikonok vizsgálata 9 II családban felmérték az április hónapban befolyó összes jövedelmet. A felmérés eredménye: Betűjel Összes jövedelem (006. április) Családok száma A Ft között 59 B Ft között 16 C Ft között 158 D Ft között 16 E Ft között 185 F Ft között 0 G Ft között 10 H Ft között 7 I Ft között 3 J Ft között 64 K Ft között Grafikusan: Havi jövedelem családok száma Ft között a) Melyik jövedelemsávban volt a legtöbb család? b) Melyik jövedelemsávban volt a legkevesebb család? c) Állítsd a családok száma szerint növekvő sorrendbe a jövedelemsávok betűjelét! d) Számold ki, hogy a családok hány százaléka volt akkor a legmagasabb, illetve a legalacsonyabb jövedelemsávban!

29 10 MATEMATIKA A 8. ÉVFOLYAM TANULÓI MUNKAFÜZET III. Az egyik divatcég felmérést készített a 14 éves fiatalok körében arról, hogy milyen színeket kedvelnek leginkább. (A kérdőíven csak az alábbi színekből lehetett választani, és csak egy színt volt szabad megjelölni!) A felmérés eredménye: Grafikusan: Szín Jelölések száma Piros 4 Sárga 7 Fekete 9 Barna 18 Zöld 56 Kék 43 Rózsaszín 16 Lila 1 Szürke Narancssárga 44 Színek kedveltsége fő Piros Sárga Fekete Barna Zöld Kék Rózsaszín Lila Szürke Narancssárga szín a) Melyik színt kedvelik a legtöbben? b) Melyik színt kedvelik a legkevesebben? c) Állítsd kedveltség szerint növekvő sorrendbe a színeket! d) A megkérdezettek hány százaléka választotta a fekete, a piros, illetve a lila színt?

30 0861. modul: HOZZÁRENDELÉSEK, FÜGGVÉNYEK Grafikonok vizsgálata 11 IV. Az egyik cukrászati cég új üzletet szeretne nyitni egy kisvárosban. Saját készítésű fagylaltot fog árulni. Mivel a fagylalt könnyen romlandó termék, ezért főleg olyanokat szeretne készíteni, amelyeket a városban lakók legszívesebben fogyasztanak. Felmérést végeztettek a nyolcadikosok körében. Az eredményt százalékos kiértékelésben kapták meg a piackutatóktól. Grafikusan: Vanília 1% Csokoládé 18% Pisztácia 6% Gyümölcs 8% Tiramisu 5% Túró 13% Mák 11% Rizs 7% A különböző fagylaltok népszerűsége a nyolcadikosok körében Mák 11% Rizs 7% Vanília 1% Túró 13% Csokoládé 18% Pisztácia 6% Tiramisu 5% Gyümölcs 8% Kérdések: a) Melyik fagylaltot választották a legtöbben? b) Melyik fagylaltot választották a legkevesebben? c) Állítsd kedveltség szerint növekvő sorrendbe a fagylaltokat! d) Számold ki, hogy hány gyerek választotta a gyümölcs, illetve a túró fagylaltot, ha a kérdőívet 600-an töltötték ki! e) Hányféle fagylaltot fog készíteni a cukrászda, ha a cég vezetősége úgy dönt, hogy csak azokat érdemes, amelyekre 10%-nál nagyobb a kereslet? f) Vajon miért nem lesz kapható sztracsatella?

31 1 MATEMATIKA A 8. ÉVFOLYAM TANULÓI MUNKAFÜZET V. Az iskolai büfét működtetők friss gyümölcsöt is szeretnének árulni, ezért felmérést végeztek a gyerekek körében arról, hogy melyik gyümölcsöt kedvelik leginkább. A felmérés eredménye: Grafikusan: Alma 1% Körte 14% Banán 8% Narancs 11% Mandarin 9% Szőlő 16% Szilva 1% Cseresznye 18% Milyen gyümölcsöt választanak a gyerekek Cseresznye 18% Alma 1% Szilva 1% Szőlő 16% Mandarin 9% Körte 14% Banán 8% Narancs 11% Kérdések: a) Melyik gyümölcsfajtát választották a legtöbben? b) Melyik gyümölcsfajtát választották a legkevesebben? c) Mely gyümölcsöket szeretik a kiértékelés szerint egyformán? d) Állítsd kedveltség szerint növekvő sorrendbe a gyümölcsfajtákat! e) Számold ki, hogy hány gyerek választotta az almát, illetve a narancsot, ha a kérdőívet 300-en töltötték ki! f) Vajon már másnaptól kapható lesz a büfében a legkedveltebb gyümölcsfajta? EMLÉKEZTETŐ: Egy mozgó test megfigyelésekor átlagsebességnek nevezzük a megtett út és a megtételéhez szükséges idő hányadosát. Például, ha egy autót Hatvanból Budapestre egy óra alatt ér el, akkor az átlagsebessége 60 km/h, mivel Hatvan és Budapest távolsága 60 km. Természetesen útközben az autó ennél nagyobb és kisebb sebességgel is haladhat.

32 0861. modul: HOZZÁRENDELÉSEK, FÜGGVÉNYEK Grafikonok vizsgálata 13. FELADATLAP 1. Zsuzsi és Péter 1 km-re lakik egymástól. Délután kettőkor egyszerre elindulnak egymás felé ugyanazon az úton. Zsuzsi gyalog megy, átlagsebessége 4 km/h, Péternek biciklivel 1 km/h. Párban dolgozzatok! Egyikőtök számoljon, a másik pedig a grafikon alapján ellenőrizze! Cseréljetek szerepet a b) résznél! a) Milyen messze voltak egymástól, az indulástól számított negyed, fél, háromnegyed és egy egész óra elteltével? (Használjátok az s = v t összefüggést!) b) Állapítsátok meg, hol és mikor találkoznak! Grafikusan: Zsuzsi Péter 14 távolság Zsuzsiéktól (km) :00 14:15 14:30 14:45 15:00 idő (óra:perc). Az ábra egy vasúti menetrend részletét mutatja négy állomással; ezek A, B, C és D. (A 4. vonat nem áll meg a B állomáson.) a) Olvasd le, mennyit ér 1 beosztás a vízszintes és a függőleges tengelyen! b) Milyen messze van az A állomástól a B, C és D?

33 14 MATEMATIKA A 8. ÉVFOLYAM TANULÓI MUNKAFÜZET c) Melyik vonat áll meg a B és a C állomáson is? d) Mennyi ideig mekkora sebességekkel haladt az 1. vonat? e) Mekkora az egyes vonatok átlagsebessége az A-tól D-ig terjedő távolságon! f) Rajzold be egy olyan vonat pályáját, amely reggel 9 óra 45 perckor indul A-ból, B-be érkezik 10 órakor, ott 10 percet áll, majd megállás nélkül D-be érkezik 10 óra 40 perckor. Mekkora volt az átlagsebessége? 3. FELADATLAP 1. Add meg az alaphalmazt és a képhalmazt! Mi lehetett a hozzárendelés szabálya? a) Alaphalmaz: Képhalmaz: Szabály: b) Alaphalmaz: Képhalmaz: Szabály: a = cm a = 3 cm a = 1 cm a = 1,5 cm a = 10 cm 8 cm 1 cm 4 cm 6 cm 40 cm c) A szám párok pontokat jelölnek a koordinátasíkon. A (1; 3) B (; 5) C ( 3; ) D (3; 0) E ( 1; ) A (1; 3) B (; 5) C ( 3; ) D (3; 0) E ( 1; -) Alaphalmaz: Képhalmaz: Szabály: d) a = 1 m a = m a = 1,5 m a = 3 m a = 10 m 1 m 3 8 m 3 3,375 m 3 7 m m 3 Alaphalmaz: Képhalmaz: Szabály:

34 0861. modul: HOZZÁRENDELÉSEK, FÜGGVÉNYEK Grafikonok vizsgálata 15 e) Alaphalmaz: Képhalmaz: Szabály: A következő képeken hozzárendeléseket adtunk meg. Minden esetben a sík pontjaihoz rendeltük a sík pontjait valamilyen szabály szerint. Osszátok szét a négy képet egymás között! A következő utasításokat a saját képeteken hajtsátok végre! Válasszátok ki valamelyik vitorlást, és jelöljétek meg nagybetűkkel három tetszőleges pontját! Keressétek meg, és a szokásos módon betűzzétek a kiválasztott pontok képeit a másik hajón! Írjátok le, hogy mi a hozzárendelés szabálya! Beszéljétek meg a csoporton belül az összes képre vonatkozó szabályt! 4. FELADATLAP 1. Add meg az alaphalmazt és a képhalmazt! Mi lehetett a hozzárendelés szabálya? a) Alaphalmaz: Képhalmaz: Szabály:

35 16 MATEMATIKA A 8. ÉVFOLYAM TANULÓI MUNKAFÜZET b) Alaphalmaz: Képhalmaz: Szabály: c) Alaphalmaz: Képhalmaz: Szabály: d) Alaphalmaz: Képhalmaz: Szabály: 5. FELADATLAP 1. a) Keressük a koordináta-rendszerben azokat a pontokat, amelyeknek második koordinátája megegyezik az elsővel, és jelöljük ezeket pirossal. b) Keressük a koordináta-rendszerben azokat a pontokat, amelyeknek második koordinátája nagyobb, mint az első, és jelöljük ezeket kékkel. c) Keressük a koordináta-rendszerben azokat a pontokat, amelyeknek második koordinátája nem nagyobb, mint az első, és jelöljük ezeket zölddel. A következő feladat előtt töröld le a tábládat!. a) Keressük a koordináta-rendszerben azokat a pontokat, amelyeknek második koordinátája az első koordináta ellentettje, és jelöljük ezeket pirossal! Írd le a feladat szövegét képlettel is! b) Keressük a koordináta-rendszerben azokat a pontokat, amelyeknek második koordinátája nem kisebb, mint az első koordináta ellentettje, és jelöljük ezeket kékkel! Írd le a feladat szövegét képlettel is! c) Keressük a koordináta-rendszerben azokat a pontokat, amelyeknek második koordinátája kisebb, mint az első koordináta ellentettje, és jelöljük ezeket zölddel! Írd le a feladat szövegét képlettel is!

36 0861. modul: HOZZÁRENDELÉSEK, FÜGGVÉNYEK Grafikonok vizsgálata 17 A következő feladat előtt töröld le a tábládat! 3. a) Keressük a koordináta-rendszerben azokat a pontokat, amelyeknek második koordinátája az első koordináta kétszerese, és jelöljük ezeket pirossal! Írd le a feladat szövegét képlettel is! b) Keressük a koordináta-rendszerben azokat a pontokat, amelyeknek második koordinátája nem kisebb, mint az első koordináta kétszerese, és jelöljük ezeket kékkel! Írd le a feladat szövegét képlettel is! c) Keressük a koordináta-rendszerben azokat a pontokat, amelyeknek második koordinátája nem nagyobb, mint az első koordináta kétszerese, és jelöljük ezeket zölddel! Írd le a feladat szövegét képlettel is! A következő feladat előtt töröld le a tábládat! 4. a) Keressük a koordináta-rendszerben azokat a pontokat, amelyekre a második és az első koordináta különbsége nulla, és jelöljük ezeket pirossal! Írd le a feladat szövegét képlettel is! b) Keressük a koordináta-rendszerben azokat a pontokat, amelyekre a második és az első koordináta különbsége nagyobb, mint nulla és jelöljük ezeket kékkel! Írd le a feladat szövegét képlettel is! c) Keressük a koordináta-rendszerben azokat a pontokat, amelyeknek második és az első koordináta különbsége kisebb, mint nulla, és jelöljük ezeket zölddel! Írd le a feladat szövegét képlettel is! A következő feladat előtt töröld le a tábládat! 5. a) Keressük a koordináta-rendszerben azokat a pontokat, amelyeknek második és az első koordináta különbsége hat, és jelöljük ezeket pirossal! Írd le a feladat szövegét képlettel is! b) Keressük a koordináta-rendszerben azokat a pontokat, amelyeknek második és az első koordináta különbsége nem kisebb, mint hat, és jelöljük ezeket kékkel! Írd le a feladat szövegét képlettel is! c) Keressük a koordináta-rendszerben azokat a pontokat, amelyeknek második és az első koordináta különbsége nem nagyobb, mint hat, és jelöljük ezeket zölddel! Írd le a feladat szövegét képlettel is! A következő feladat előtt töröld le a tábládat! 6. a) Keressük a koordináta-rendszerben azokat a pontokat, amelyeknek második koordinátáját hozzáadva az első koordináta kétszereséhez hatot kapunk, és jelöljük ezeket pirossal! Írd le a feladat szövegét képlettel is! b) Keressük a koordináta-rendszerben azokat a pontokat, amelyeknek második koordinátáját hozzáadva az első koordináta kétszereséhez több mint hatot kapunk, és jelöljük ezeket kékkel! Írd le a feladat szövegét képlettel is! c) Keressük a koordináta-rendszerben azokat a pontokat, amelyeknek második koordinátáját hozzáadva az első koordináta kétszereséhez kevesebbet kapunk hatnál, és jelöljük ezeket zölddel! Írd le a feladat szövegét képlettel is!

37 18 MATEMATIKA A 8. ÉVFOLYAM TANULÓI MUNKAFÜZET A következő feladat előtt töröld le a tábládat! 7. a) Keressük a koordináta-rendszerben azokat a pontokat, amelyeknek második koordinátája megegyezik az első koordináta négyzetével, és jelöljük ezeket pirossal! Írd le a feladat szövegét képlettel is! b) Keressük a koordináta-rendszerben azokat a pontokat, amelyeknek második koordinátája nagyobb, mint az első koordináta négyzete, és jelöljük ezeket kékkel! Írd le a feladat szövegét képlettel is! c) Keressük a koordináta-rendszerben azokat a pontokat, amelyeknek második koordinátája nem nagyobb, mint az első koordináta négyzete, és jelöljük ezeket zölddel! Írd le a feladat szövegét képlettel is! A következő feladat előtt töröld le a tábládat! 8. a) Keressük a koordináta-rendszerben azokat a pontokat, amelyeknek második koordinátája megegyezik az első koordináta abszolút értékével, és jelöljük ezeket pirossal! Írd le a feladat szövegét képlettel is! b) Keressük a koordináta-rendszerben azokat a pontokat, amelyeknek második koordinátája nem kisebb, mint az első koordináta abszolút értéke, és jelöljük ezeket kékkel! Írd le a feladat szövegét képlettel is! c) Keressük a koordináta-rendszerben azokat a pontokat, amelyeknek második koordinátája kisebb, mint az első koordináta abszolút értéke, és jelöljük ezeket zölddel! Írd le a feladat szövegét képlettel is!

38 0861. modul: HOZZÁRENDELÉSEK, FÜGGVÉNYEK Grafikonok vizsgálata FELADATLAP Különböző játékgépekkel fogtok párban dolgozni. A játékgépbe a pár egyik tagja bedobja az alaphalmaz néhány elemét, és a pár másik tagja a gép saját működési szabálya alapján meghatározza a bedobott számhoz tartozó képhalmazbeli elemet. Osszátok el egymás között az A és B betűket! Minden feladathoz készítsetek egy-egy táblázatot a füzetbe, amelynek felső sorába a bedobott számok, az alsóban pedig a kidobott számok szerepelnek! 1. A feladata: Adj meg egyenként 10 különböző természetes számot ( n N )! Ezeket egyenként dobd be a gépbe, és várd meg, amíg a társad kitalálja, hogy melyik számot adja ki a gép! Foglald táblázatba a bedobott, illetve a kidobott számokat! B feladata: A társadtól kapott számokhoz egyenként határozd meg a gép által kidobott számot! Foglald táblázatba a bedobott, illetve a kidobott számokat! Ábrázoljátok a saját koordináta-rendszeretekben azokat a pontokat, amelyeknek első koordinátája a bedobott, második pedig a kidobott szám! Írjátok le képlettel, hogy mi az összefüggés a pontok második és első koordinátája között! (A pont első koordinátáját x-szel, másodikat y-nal jelöltük.) Most cseréljetek szerepet!. B feladata: Adj meg egyenként 10 különböző egész számot ( z Z )! Ezeket egyenként dobd be a gépbe, és várd meg, amíg a társad kitalálja, hogy melyik számot adja ki a gép! Foglald táblázatba a bedobott, illetve a kidobott számokat! A feladata: A társadtól kapott számokhoz egyenként határozd meg a gép által kidobott számot! Foglald táblázatba a bedobott, illetve a kidobott számokat! Ábrázoljátok a saját koordináta-rendszeretekben azokat a pontokat, amelyeknek első koordinátája a bedobott, második pedig a kidobott szám! Írjátok le képlettel, hogy mi az összefüggés a pontok második és első koordinátája között! (A pont első koordinátáját x-szel, másodikat y-nal jelöltük.)

39 0 MATEMATIKA A 8. ÉVFOLYAM TANULÓI MUNKAFÜZET Most megint cseréljetek szerepet! 3. A feladata: Adj meg egyenként 10 különböző valós számot ( x R )! Ezeket egyenként dobd be a gépbe, és várd meg, amíg a társad kitalálja, hogy melyik számot adja ki a gép! Foglald táblázatba a bedobott, illetve a kidobott számokat! B feladata: A társadtól kapott számokhoz egyenként határozd meg a gép által kidobott számot! Foglald táblázatba a bedobott, illetve a kidobott számokat! Ábrázoljátok a saját koordináta-rendszeretekben azokat a pontokat, amelyeknek első koordinátája a bedobott, második pedig a kidobott szám! Írjátok le képlettel, hogy mi az összefüggés a pontok második és első koordinátája között! (A pont első koordinátáját x-szel, másodikat y-nal jelöltük.) Most megint cseréljetek szerepet! 4. B feladata: Adj meg egyenként 10 különböző valós számot ( x R )! Ezeket egyenként dobd be a gépbe, és várd meg, amíg a társad kitalálja, hogy melyik számot adja ki a gép! Foglald táblázatba a bedobott, illetve a kidobott számokat! A feladata: A társadtól kapott számokhoz egyenként határozd meg a gép által kidobott számot! Foglald táblázatba a bedobott, illetve a kidobott számokat! Ábrázoljátok a saját koordináta-rendszeretekben azokat a pontokat, amelyeknek első koordinátája a bedobott, második pedig a kidobott szám! Írjátok le képlettel, hogy mi az összefüggés a pontok második és első koordinátája között! (A pont első koordinátáját x-szel, másodikat y-nal jelöltük.)

40 0861. modul: HOZZÁRENDELÉSEK, FÜGGVÉNYEK Grafikonok vizsgálata 1 Most megint cseréljetek szerepet! 5. A feladata: Találj ki valamilyen működési szabályt, írd le képlettel, de ne mond meg a társadnak! Készíts egy táblázatot, és adj meg egy bedobott és egy hozzátartozó kidobott számot! A társad próbálja meg kitalálni a gép működését! Ha nem sikerül, akkor újabb és újabb számpárokat adj meg, mindaddig, amíg társad rá nem jön a szabályra! B feladata: Ki kell találnod a gép működési szabályát a társadtól kapott számpárok alapján! Foglald táblázatba a bemenő és a kijövő számokat, és ábrázold a számpárnak megfelelő pontokat! Minden újabb számpár után tippelned kell! Próbáld minél kevesebb információ alapján kitalálni a szabályt! Most megint cseréjetek szerepet! 6. A feladata: Találj ki valamilyen működési szabályt, de ne mond meg a társadnak! Készíts egy táblázatot, és adj meg egy bedobott és egy hozzátartozó kidobott számot! A társad próbálja meg kitalálni a gép működését! Ha nem sikerül, akkor újabb és újabb számpárokat adj meg, mindaddig, amíg társad rá nem jön a szabályra! B feladata: Ki kell találnod a gép működési szabályát a társadtól kapott számpárok alapján! Foglald táblázatba a bemenő és a kijövő számokat! Minden újabb számpár után tippelned kell, próbáld minél kevesebb információ alapján kitalálni a szabályt!

41 MATEMATIKA A 8. ÉVFOLYAM TANULÓI MUNKAFÜZET 7. FELADATLAP 1. Összegezzük tapasztalatainkat! Az előzőekben két nem üres halmaz, A és B elemeit valamilyen szabály vagy utasítás szerint egymáshoz rendeltük. (Vigyázz, a halmazok sorrendjét nem lehet felcserélni!) Néhány sematikus rajzon hozzárendeléseket mutatunk meg. Válogasd ki a csomagolópapíron szereplő hozzárendelések közül azokat, amelyek valamelyik sémába illeszthetők!

42 0861. modul: HOZZÁRENDELÉSEK, FÜGGVÉNYEK Grafikonok vizsgálata 3 TUDNIVALÓ: Függvénynek nevezzük az egyértelmű hozzárendelést. Egy függvény akkor ismert, ha megadjuk az alaphalmazt, a képhalmazt és az egyértelmű hozzárendelési szabályt. A B a a a 1 y = x 1 (A pontok második koordinátája eggyel kevesebb az elsőnél.) A B a a 1 Az A halmaz neve alaphalmaz, a B halmaz neve képhalmaz. Azt mondjuk, hogy a B halmazt hozzárendeljük az A halmazhoz, ezt nyíllal jelöljük: A B A példában az A halmaz minden eleméhez a nála eggyel kisebb B halmazbeli elemet rendeljük hozzá. Az elemek hozzárendelését jelöli: a ( talpas nyíl ) Itt a példában: x a x 1, x-szel az A halmaz elemeit jelöltük.. Ábrázold a következő függvényeket többféleképpen. Írd fel a hozzárendelés szabályát algebrai kifejezéssel! A feladata: Mindegyik egész számhoz (A halmaz) rendeljük hozzá a négyzetét (B halmaz)

43 4 MATEMATIKA A 8. ÉVFOLYAM TANULÓI MUNKAFÜZET B feladata: Mindegyik egész számhoz (A halmaz) rendeljük hozzá az abszolút értékét (B halmaz). C feladata: Mindegyik racionális számhoz (A halmaz) rendeljük hozzá az ellentettjét (B halmaz).

44 0861. modul: HOZZÁRENDELÉSEK, FÜGGVÉNYEK Grafikonok vizsgálata 5 D feladata: Mindegyik egész számhoz (A halmaz) rendeljük hozzá a kétszeresénél hárommal kisebb számot (B halmaz). 3. A függvények szöveggel megadott szabályát írd le a tanult jelöléssel! a) Minden egész számhoz hozzárendeli a kétszeresét. b) Minden racionális számhoz hozzárendeli a szám háromszorosának ellentettjét. c) Minden ötvennél kisebb természetes számhoz hozzárendeli a számsorban a jobb szomszédját. d) Minden egész számhoz hozzárendeli a szomszédjainak az összegét. e) Minden egész számhoz hozzárendeli a szomszédok különbségének az abszolút értékét. f) Minden racionális számhoz hozzárendeli a szám ellentettjének a háromszorosát. g) Minden természetes számhoz hozzárendeli a szomszédjainak a számtani közepét. h) Minden pozitív egész számhoz hozzárendeli a nála öttel nagyobb számot. i) Minden racionális számhoz hozzárendeli az abszolút értékét. j) Minden racionális számhoz hozzárendeli a szám négyzetével kettővel növelt értékét. Keresd meg azokat a meghatározásokat, amelyek azonos hozzárendeléseket rejtenek!

45 6 MATEMATIKA A 8. ÉVFOLYAM TANULÓI MUNKAFÜZET 8. FELADATLAP 1. Ábrázold koordináta-rendszerben a következő függvényeket, határozd meg szövegesen a hozzárendelés szabályát! a) f ( x) = x + 5 b) f ( x) = 3x 1 c) f ( x) = x + 1 d) f ( x) = x + 4, x N. Válogasd ki a következő rajzok közül azokat, amelyek függvények grafikonjai lehetnek! Példa: Az osztályod dolgozatot ír matematikából. A dolgozatot a tanár 0 5-ig pontozza. Legyen az A: ={az osztályba járó gyerekek neve} (alaphalmaz) B: ={ n N 0 n 5} (képhalmaz) Előfordulhat, hogy a dolgozatírásnál néhányan hiányoztak. Ilyenkor az alaphalmaznak csak egy részhalmazával végeztük el a hozzárendelést. Ezt a részhalmazt nevezzük értelmezési tartománynak. Az értelmezési tartomány: É.T. : = {a dolgozatokon szereplő nevek}. Ha most végignézzük a ténylegesen jelenlevő gyerekek (értelmezési tartomány) dolgozatán szereplő pontszámokat, akkor előfordulhat, hogy néhány érték kimarad. Például senki sem írt 0 pontos dolgozatot. Ilyenkor a ténylegesen előforduló pontértékek a képhalmaz egy részhalmazát adják. Ezt nevezzük értékkészletnek. Az értékkészlet: É.K. : = {a dolgozatokon szereplő pontszámok}. Új jelölés következik, amely egyszerűbbé teszi az összetartozó elemek leírását. a) A függvény jele általában f. (Lehet más betűvel is jelölni.) b) Az értelmezési tartomány elemeit jelöljük x-szel. c) Az értékkészlet elemeit jelöljük f(x)-szel. Eddig y-nal jelöltük, természetesen az y = f(x). A továbbiakban mind a kétféle jelölést használni fogjuk.

46 0861. modul: HOZZÁRENDELÉSEK, FÜGGVÉNYEK Grafikonok vizsgálata 7 Az f(x)-et az f függvény x helyen felvett értékének nevezzük. (Az y-t az f függvény x helyen felvett értékének nevezzük.) 1 1 Ha egy f függvény a -höz például az -et rendeli. Ezt úgy jelöljük, hogy: f ( ) =. Az egyszerűség kedvéért megállapodunk abban, hogy ha a hozzárendelési szabályt képlettel adjuk meg, és mást nem mondunk, akkor a függvény értelmezési tartománya az összes olyan valós számból álló halmaz, amelyekre a kijelölt műveletek elvégezhetők. 9. FELADATLAP 1. Legyen az f ( x) = x + 1! Válaszold meg a kérdéseket! a) Igaz- e, hogy f() = 5? b) Igaz- e, hogy f(1) =? c) Van-e x-nek olyan értéke, amelyre f(x) = 3? d) Igaz- e, hogy f(3) = 1? e) Igaz- e, hogy f(1,5) = 4? f) Van-e olyan szám, amelyet az f(0)-val jelölhetünk?. Laciék dolgozatot írtak. A dolgozat témája a függvények értelmezési tartományának megállapítása (a megállapodást figyelembe véve) és néhány helyettesítési érték kiszámítása volt. Javítsd ki a dolgozatot! Képlet Értelmezési tartomány a) f ( x) = 5x R b) g ( x) = x Helyettesítési érték x f ( 0) = f ( ) = 1 f ( 4 ) = 18 x N g ( ) = 4 g ( ) = 4 g ( 0 ) = 0 c) h ( x) = x x Z h ( 0 ) = nincs h ( 1 ) = 1 h ( 9 ) = 3 d) ( x) = x + 3 i R 1 R j x = x e) ( ) értelmezve 3 = x i ( ) 0 i ( 5 ) = 8 i ( 11 ) = 8 x j ( 1) = 1 j ( 0) = 0 1 j =