3. KOORDINÁTA-RENDSZEREK, VETÜLETI RENDSZEREK, TÉRKÉPEK

Átírás

1 3. KOORDINÁTA-RENDSZEREK, VETÜLETI RENDSZEREK, TÉRKÉPEK Vízszintes és magassági alapponthálózatok Vízszintes alapponthálózat Az ország egységes térképének elkészítéséhez olyan alapponthálózat szükséges, amely lehetővé teszi az ország különböző pontjain végzett mérések egységes rendszerben történő ábrázolását, és azok összeilleszthetőségét, valamint a terepen való kitűzést. Ennek biztosítására az országot olyan háromszögekkel fedték le, amelynek csúcspontjaiban a háromszögelési pontok találhatók. Ezt a hálózatot országos háromszögelési hálózatnak nevezzük. A háromszöghálózat kialakításához ismerni kell a háromszögek belső szögeit és oldalait, ha ezekközül megmérjük a szögeket és legalább egy oldalt hosszát, akkor a többi oldal hossza számítható. Mivel a háromszöghálózat kialakításakor még nem rendelkeztek olyan műszerekkel, amelyekkel pontosan meg lehet mérni a távolságokat, ezért rövidebb hosszakat (ún. alapvonal) határoztak meg, és azokból fejlesztették tovább a hálózatot. A háromszögelési hálózatot az égtájakhoz képest tájékozva kell elhelyezni, hogy egy ország térképe be illeszthető legyen az egységes világtérképbe. Ehhez a hálózat egyik pontján megmérik az egyik háromszögoldal azimutját (az északi iránnyal bezárt szögét). A pontosságot úgy lehet fokozni, hogy több háromszögoldal azimutját is megmérik (3.1. ábra). Magyarországon az egész monarchiát átfogó, első katonai hálózat között valósult meg. A kataszteri felmérés számára 1853-ban kezdte meg a háromszögelést a Háromszögmérési Hivatal, és fejlesztette láncolatszerűen között, felhasználva egyes helyeken a korábbi katonai háromszögeléseket is. A hálózatot először a Dunántúlra terjesztették ki. Az alappontokat grafikus eljárással határozták meg.

2 68 KOORDINÁTA-RENDSZEREK, VETÜLETI RENDSZEREK, TÉRKÉPEK É b 1 δ 1 δ 2 É IV. III. II. É δ 4 É δ 3 b ábra. Háromszöghálózat fejlesztése alapvonal segítségével 1864-ben vezették be a sztereografikus vetületet. Ekkor már minden szögmérést teo dolittal végeztek, és 1867-től a térképezés is ilyen pontokra támaszkodott. Ennek a háromszögelési hálózatnak a pontjait 1925-ig használták ben a Háromszögelő Hivatal új hálózat mérését kezdte meg; 1944-re az ország területének 80%-át mérték fel. Emellett földrajzi helymeghatározást is végeztek. A II. világháború alatt a korábban elkezdett mérések adatai megsemmisültek. Az új, és korszerű kifejlesztési elveknek megfelelő háromszögekből álló hálózat kialakítása 1947-ben kezdődött el. Az 1992-ben befejeződött háromszögeléssel az ország olyan egységes hálózathoz jutott (3.2. ábra), amilyen eddig még nem volt, így mindenféle műszaki, katonai és egyéb célra alkalmas keret létesült. Létrehozták az egységes országos térképrendszer hálózatát, az ún. HD 72-es rendszert, amelyet a nemzetközi IUGG/67 elnevezésű ellipszoidra vonatkoztattak ábra. Az évi háromszögelés elsőrendű láncolatkerete

3 VÍZSZINTES ÉS MAGASSÁGI ALAPPONTHÁLÓZATOK 69 Az országos háromszögelési hálózat első-, másod-, és harmadrendű hálózatra tagozódik. Az elsőrendű hálózat pontjai egymástól km távolságra vannak. Az elsőrendű hálózatot alkotó háromszögek súlypontjaiban helyeztek el újabb pontokat, így alakult ki a másodrendű hálózat, km-es pontsűrűséggel. A harmadrendű hálózat pontjait az első és másodrendű hálózat pontjai közé fejlesztették ki. Ezek egymástól 7 10 km távolságban vannak. Az első-, másod- és harmadrendű hálózatot együttesen felsőrendű hálózatnak nevezzük. A láncolatkerettel körülzárt területen nem fejlesztették ki külön az első-, másod, és harmadrendű hálózatot, hanem 7 8 km oldalhosszúságú kitöltő hálózatot létesítettek. Természetesen az ilyen távolságban lévő alappontok nem alkalmasak felmérésre és kitűzésre, ezért további pontokat létesítettek (IV. és V. rendű alappontok), valamint a geodéziai munkához igazodva újabb sokszögpontokat és kisalappontokat létesítünk, és azokra támaszkodva végezzük el a mérési vagy kitűzési munkákat Magassági alapponthálózatok A magassági alappontok meghatározása is a nagyból a kicsi felé haladás elve alapján történik. A magassági hálózat egymáshoz csatlakozó szintezési vonalak rendszeréből áll. Azonos rendű (pontosságú) szintezési vonalakból olyan zárt idomot alakítanak ki, amely mentén a magassági záróhibát el lehet osztani az egyes pontok magasságértékei között, ezt szintezési főkörnek vagy szintezési poligonnak nevezzük. Több szintezési vonal szintezési csomópontban találkozik. A szomszédos alappontokat 1 2 km hosszúságú szintezési szakaszok kötik össze. Az első-, másod- és harmadrendű hálózatot együttesen felsőrendű magassági alapponthálózatnak is nevezik. A helyi igényeknek megfelelően a hálózatot negyedrendű magassági alappontok meghatározásával tovább sűríthetjük. (3.3. ábra) I. rendű csomópont II. rendű csomópont I. rendű vonal II. rendű vonal III. rendű vonal 3.3. ábra. Magassági alapponthálózat felépítése A XIX. század közepéig hazánkban csak relatív magasságmeghatározást végeztek. Több, különálló folyó- és folyamszabályozáshoz, mintegy 60 önálló vízügyi társulat

4 70 KOORDINÁTA-RENDSZEREK, VETÜLETI RENDSZEREK, TÉRKÉPEK működéséhez, közel 30 város műszaki igazgatásához, jó néhány önálló vasúttársaság kiviteli munkáihoz néhány száz egymástól jelentősen különböző alapszintet használtak. Több százra rúgott a magassági pontok állandó megjelölésére használt jelek típusa is. Az első, az egész ország területére kiterjedő magassági alapponthálózatot az Osztrák Magyar Monarchia idején létesítették. A méréseket a bécsi Katonai Földrajzi Intézet végezte között. A magassági alapponthálózat hét főalappontra támaszkodott. Az abszolút magasságok számításához a trieszti Molo Sartorio mareográfján (vízmércéjén), az Adria tengernek hosszú időn át megfigyelt középvízszintjét fogadták el. Miután a monarchia-béli hálózatot jelentős mértékű hibák terhelték, a Háromszögelő Hivatal között új, korszerűbb felsőrendű szintezési hálózatot hozott létre. A munkák során a korábbi hálózatból csak néhány száz alappontot, a főalappontok közül pedig csak a nadapit lehetett átvenni. A hálózat alapfelülete változatlan maradt, magassági alapfelületnek azt a képzeletbeli szintfelületet használták fel, amely Nadap függővonalában mérve a csiszolt sziklafelülettől 173,8385 méterrel mélyebben fekszik. A II. világháború után sok alappont elpusztult, az ipari létesítményekhez, a közlekedési útvonalak kialakításához és egyéb műszaki objektumokhoz korszerű magassági alappontokra, új szintezései hálózatra volt szükség. A hálózatot között hozták létre. A hálózat dunántúli része jelenleg is a további magassági meghatározások alapját képezi. Az új hálózat alapfelületéül a Balti-tenger Kronstadtnál megfigyelt középszintjét választották. Így lehetővé vált a szomszédos országok magassági alapponthálózatának egyértelmű csatlakoztatása. Ezt a hálózatot az 1970-es évek végén fogadták el, mint hivatalos egységes országos magassági alaphálózatot (EOMA). Az áttérés átszámítással az alábbi összefüggés alapján történt: m BALTI = m NADAPI 0,675 m. Az egységes országos magassági alaphálózat (EOMA) Magyarország szintezési hálózata. Ennek segítségével határozható meg a földmérési és térképészeti célokra készült felmérések egyes pontjainak a magassága. Az EOMA elsőrendű hálózata 11 belső zárt poligonból áll, ezek 27 vonalat alkotnak. Ezeken kívül a szomszédos országokkal való csatlakozásokhoz még 22 nemzetközi csatlakozó vonal tartozik, amelyekkel további a szomszédos országokkal közös 22 poligon alakítható ki. Így valamennyi vonalat figyelembe véve a hálózat teljes hossza: 3934 km. Az elsőrendű hálózatban egyenletes elosztásban 40 kéregmozgási főalappont található. Ezekből 16 kibúvó sziklamasszívumba került, 24 pedig üledékes területre.

5 VÍZSZINTES ÉS MAGASSÁGI ALAPPONTHÁLÓZATOK 71 Az Országos GPS Hálózat (OGPSH) Az OGPSH olyan alapponthálózat passzív hálózat, amely a már meglévő Egységes Országos Vetület (EOV) rendszerében (lásd a alfejezetet) létesített alappontokra épül ben került sor egy 24 pontból álló kerethálózat meghatározására, amelyből 5 pont része az európai (EUREF-) hálózatnak is (3.4., 3.5. ábra). EUROP OGPSH kerethálózat GPSMP bázispontok HOLL SOPR KOSZ GYOR PENC BUDA NADA PILI KOND DISZ REGO IHAR CSER CSAR BALL OTTO AGGT SATO MISK HAJD TISZ MEZO CSAN TARP 3.4. ábra. OGPSH-kerethálózat 3.5. ábra. Az EUREF-hálózat Az OGPSH-t 2010-ben 1153 pont alkotta (3.6. ábra), amelyek egymástól kb. 10 km távolságban helyezkednek el. Koordinátáikat 1995 és 1998 között GPS-méréssel határozták meg, így az EOV rendszerbeli koordinátáik és Balti feletti magasságuk

6 72 KOORDINÁTA-RENDSZEREK, VETÜLETI RENDSZEREK, TÉRKÉPEK mellett adottak a térbeli koordinátáik is. Ezek a pontok szolgálhatnak akár a mérések referenciapontjaiként, vagy a koordináta-transzformációk közös pontjaiként is ábra. Az OGPSH A műholdas helymeghatározó rendszerek egyik kiegészítő rendszere a nemzeti aktív GNSS-hálózatok (Global Navigation Satellite System Globális Műholdas Helymeghatározó Rendszer) és a földi távközlési csatornák. Hazánkban az aktív hálózatot 12 állomásból kívánták kialakítani, melyek egymástól kb. 50 km távolságban helyezkednek el (3.7. ábra). Fontos, hogy ezeket az állomásokat úgy kell létesíteni, hogy az ország teljes területét lefedjék. Az aktív hálózat első állomása Pencen jött létre 1996-ban. Az aktív hálózat nyers mérési adatokat szolgáltat utófeldolgozáshoz, valamint valós idejű adatokat ad valós idejű meghatározáshoz. A permanens állomások szoftverei a nyers mérési adatok előzetes ellenőrzését és az utófeldolgozáshoz szükséges adatok előállítását végzik el, valamint a valós idejű meghatározáshoz szükséges korrekciókat közlik a többi aktív állomással. EDEL KISV SALG SZER EGER NYIR PENC GYOR KISV KAPU TATA HAJD JASZ SZOM ERD CELL ZIRC MONO BERE PUSP SZEK TORO DUNA ZALA TAPO KECS BEKE TAMA PAKS CSON OROS KISK KAPO SZEG BAJA PECS BARC 3.7. ábra. Aktív GNSS-hálózat

7 GEODÉZIAI KOORDINÁTA-RENDSZEREK Geodéziai koordináta-rendszerek A földmérési tevékenység egyik végterméke a térkép. A terepi objektumok térképen történő ábrázolása minden esetben koordináták alapján történik. A koordináták lehetnek helyi vagy országos rendszerbeliek. A földmérésben többféle koordinátarendszert használunk. Síkban derékszögű és poláris koordináta-rendszert alkalmazunk, térbeli feladatoknál topocentrikus koordináta-rendszert használunk, amelynek elemei az előző kötetben ismertetett földrajzi szélesség és földrajzi hosszúság, valamint a geoid feletti magasság. A geodéziai koordináta-rendszerekben is a matematikai koordináta-rendszereknél tanult szabályok érvényesek. Fontos azonban megemlíteni, hogy a geodéziai koordináta-rendszer tengelyeinek elnevezését a matematikaihoz képest felcserélték, és a tengelyek minden esetben jobbsodrású rendszert alkotnak. A munka megkezdése előtt minden esetben tisztázni kell, hogy a rendelkezésre álló alapanyag koordinátarendszere milyen, merre mutatnak a pozitív tengelyek, hiszen ahogy azt majd a vetületi rendszerek szelvényezésénél bemutatjuk többféle derékszögű koordinátarendszert is alkalmaztak. Általánosságban elmondhatjuk, hogy a koordináta-rendszerek kezdő irányának minden esetben tájékozottnak kell lennie. Ez azt jelenti, hogy a koordináta-rendszer valamely tengelyének egybe kell esnie egy kiválasztott égtájjal. A legtöbbször a pozitív x tengelyt rögzítjük, ami a mai gyakorlatban az északi irány felé mutat. Az észak keleti koordináta-rendszer kezdő iránya észak felé mutat. A pozitív y tengelyt a pozitív x tengely óramutató járásával megegyező értelemben 90 -kal való elforgatásával nyerjük, így a pozitív y tengely kelet felé mutat. A dél nyugati koordináta-rendszer pozitív x tengelye dél felé, pozitív y tengelye pedig nyugat felé mutat. A negatív tengelyek iránya a pozitív tengelyek ellentétes iránya (3.8. ábra). +x x IV. I. II. III. y +y +y y III. II. I. IV. x +x a) b) 3.8. ábra. Országos koordináta-rendszerek: a) észak keleti, b) dél nyugati A helyi koordináta-rendszer koordináta-tengelyinek irányát tetszőlegesen választjuk meg, de a tengelyek minden esetben merőlegesek egymásra. A felmérési vagy ki-

8 74 KOORDINÁTA-RENDSZEREK, VETÜLETI RENDSZEREK, TÉRKÉPEK tűzési munkáknál gyakran van szükség az országos és helyi koordináta-rendszerek közötti koordináta-átszámításokra, más néven koordináta-transzformációra. Mivel a számításokat a helyi rendszerben is az országos rendszerre érvényes szabályok szerint kívánjuk végezni, a helyi koordináta-rendszerek tengelyeit úgy kell megválasztani, hogy azok kielégítsék az országos koordináta-rendszerre érvényes feltételeket. A helyi koordináta-rendszerben pozitív abszcissza (a) tengelynek a mérés vagy kitűzés haladási irányát, pozitív ordináta (b) tengelynek pedig a haladási iránytól balra eső félegyenest tekintjük. Földmérési feladatok esetén azonban nemcsak abszolút koordinátákkal dolgozunk vagyis egy koordináta-tengelyhez és egy kezdőponthoz viszonyítjuk a további pontokat, hanem a pontok egymáshoz való viszonyát is felhasználjuk. A pontok egymáshoz való kapcsolatát a poláris koordináta-rendszer elemeivel tudjuk leírni. A poláris koordináta-rendszer kezdőpontja minden feladatnál más és más lehet. A koordináták pedig irányok és távolságok párosai. Az irányt valamilyen kezdőirányhoz kell viszonyítani, a távolság pedig az új pont meglévő ponthoz viszonyított távolsága (3.9. ábra). Kezdőirány P δ AP t AP A 3.9. ábra. Poláris koordináta-rendszer elemei 3.3. Síkgeometriai elemek a koordináta-rendszerben A koordináta-rendszer síkjában lévő bármely pont helyzetét két koordinátája egyértelműen meghatározza. Térbeli értelemben a koordináta-pár már nem elegendő, mivel az általuk meghatározott síkbeli helyhez tartozó térbeli pontok egy egyenesen helyezkednek el (amely egyenes a koordináta-pár által meghatározott pontban döfi a síkot), vagyis végtelen számú pontot kapunk a térben. Térben akkor lesz egyértelmű a pont meghatározása, ha helyét koordináta-hármassal adjuk meg.

9 SÍKGEOMETRIAI ELEMEK A KOORDINÁTA-RENDSZERBEN 75 Az egyenes helyzetét a síkbeli koordináta-rendszerben két pontjának koordinátapárjaival (derékszögű koordináták), vagy az egyenes egy pontjának koordinátáival és az egyenes irányszögével (derékszögű és poláris koordináták vegyes alkalmazása) határozhatjuk meg egyértelműen (3.10. ábra). Irányszögnek azt a szöget nevezzük, amelyet a koordináta-rendszer kezdőirányával (a pozitív x tengellyel) párhuzamos irány leír, ha az óramutató járásával megegyező irányba forgatjuk. Az irányszög elnevezést akkor használjuk, ha a szögértéket derékszögű koordinátákból határozzuk meg. A tájékozott irányérték olyan irányszög-jellegű mennyiség (szögérték), amelyet a tájékozás során meghatározott tájékozási szög és az irányra vonatkozó irányérték összegeként kapunk. A jelentése és értelme ugyanaz, mint az irányszögé, csupán azért különböztetjük meg, hogy jelezzük, nem koordinátákból kaptuk, hanem mérésből vezettük le. Az irányszög jele δ, minden esetben csak és kizárólag pozitív értéket vezet fel ig. A tájékozott irányérték jele δ. x P y P P (y P, x P ) +x Q (y Q, x H ) δ H (y H, x H ) A (y A, x A ) +y ábra. Pont és egyenes megadása a koordináta-rendszerben: a) derékszögű koordináta-párokkal, b) koordináta-párral és irányszöggel A különböző egyenesek közötti kapcsolatokat meghatározhatjuk irányszögükkel (3.11. ábra). Ha valamely irány ellenirányát keressük, akkor az eredeti egyenes irányát 180 -os szöggel kell elforgatni. δ e = δ e ± 180º Két párhuzamos egyenes irányszögei egymással egyenlők. δ e = δ f Egy adott irányra merőleges irányt úgy kapjuk meg, hogy annak irányszögét 90 -kal elforgatjuk. δ f = δ e ± 90º +x t. e a) b) Ha rendelkezésünkre áll két egyenes irányszöge, akkor a két egyenes által bezárt törésszög számítható. Ha viszont az egyik egyenes irányszöge és a két egyenes által

10 76 KOORDINÁTA-RENDSZEREK, VETÜLETI RENDSZEREK, TÉRKÉPEK bezárt szög áll rendelkezésünkre, akkor a második egyenes irányszöge számítható, a szögek egymásból történő kivonásával, vagy összeadásukkal. α = δ f δ e, illetve δ f = δ e + α +x e δ e A e δ e +x A B δ e δ f e f +y a) b) +y +x e +x δ e δ δ f A δ e f α +y A f c) d) ábra. Egyenesek közötti kapcsolat: a) irány ellenirány, b) párhuzamos egyenesek, c) merőleges egyenesek, d) irányszög és törésszög kapcsolata +y 3.4. Geodéziai számítások alapfeladatai A vízszintes felmérésekkel kapcsolatos geodéziai számítások feladata az, hogy a pontok helyét megadó koordinátákat meghatározzuk. Ezeket a feladatokat összefoglaló néven geodéziai főfeladatoknak nevezzük. Természetesen ezek az összefüggések nemcsak síkbeli, hanem térbeli koordinátákra is igazak, de az érthetőség kedvéért csak a síkbeli összefüggéseket ismertetjük A koordináta-számítás alapképletei Ezt a feladatot polárispont-számítás néven is említi a szakirodalom. Ebben az esetben ismert koordinátájú ponthoz viszonyítva határozzuk meg az új pont koordinátáit, ha rendelkezésünkre állnak a poláris koordináták is. A ábra szerint adottak az

11 GEODÉZIAI SZÁMÍTÁSOK ALAPFELADATAI 77 A pont koordinátái (y A, x A ), az adott és az új pont távolsága (t AP ), az A pontról P pontra menő irány irányszöge (δ AP ). Meghatározandók a P pont koordinátái (y P, x P ). Az ábrán látható derékszögű háromszög y tengellyel párhuzamos befogója a P és A pontok y koordináta különbsége: Δy = y P y A ; x tengellyel párhuzamos befogója a P és A pontok x koordinátájának különbsége: Δx = x P x A. A háromszög átfogója a két pont távolsága. Az így meghatározott derékszögű háromszög egyik belső szöge pedig az irányszög (δ AP ). Ezekre a mennyiségekre felírhatók a szinusz és koszinusz szögfüggvények. sin d cos d AP AP Dy yp y = = - A, illetve t t AP AP = Dx = xp - x t t AP A fenti egyenleteket átrendezve számíthatjuk az ismeretlen koordináta-különbségeket (Δy és Δx), majd azok alapján az új pont koordinátáit. AP A. +x x P +x t. Δy P Δx δ AP t AP x A A y A y P +y ábra. Poláris pont koordinátáinak számítása Irányszög és távolság számítása A feladat célja, hogy derékszögű koordináták alapján határozzuk meg a pontok közötti távolságot (t AB ), és a pontok által meghatározott egyenes irányszögét (δ AB ) (3.13. ábra). Adott az egyenes két pontja, koordinátáikkal: B (y B,x B ) és A (y A,x A ). Ha kiszámítottuk az A pontról a B pontra menő irányszöget, akkor egyúttal meghatároztuk a B pontról A pontra menő irányszöget is, hiszen a két irány ellenirányoknak felel meg, így ellenőrzésként felhasználhatjuk a 3.3. fejezetben ismertetett, irányszögekre vonatkozó azonosságot is.

12 78 KOORDINÁTA-RENDSZEREK, VETÜLETI RENDSZEREK, TÉRKÉPEK +x x B +x t. Δy = y B y A B x A Δx = x B x A δ AP t AP A y A y B +y ábra. Irányszög és távolság számítása Először határozzuk meg a két pont távolságát. Ehhez fel kell használni az előző témakörnél ismertetett derékszögű háromszöget, amelynek befogói a koordinátakülönbségekkel egyeznek meg. A távolság számításához Pitagorasz tételét alkalmazzuk: t y 2 x 2 AB = D + D = ^yb - yah 2 + ^xb -xah 2. Az irányszöget a tangens szögfüggvény alkalmazásával számítjuk ki: Dy yb- y tg dab = = A. Dx x - x A fenti képletből azonban csak abban az esetben kapjuk meg a tényleges irányszöget, ha a keresett szög az I. szögnegyedben van (3.14. ábra), ugyanis ezzel a képlettel minden esetben az x tengellyel bezárt kisebbik szöget, az irányszög főértékét (α) kapjuk meg. Ha a koordináta-különbségek abszolút értékével számolunk, akkor α értéke mindig pozitív: Dy tg a = = Dx y x B - y - x A B A. B A Az irányszögek (δ) meghatározását az irányszög főértékéből (α), az egyes szögnegyedekben a ábra szemlélteti. Annak megállapítására, hogy a keresett szög melyik szögnegyedben van, felhasználjuk a Δy és Δx koordináta-különbségek előjeleit. Az irányszöget az ábrán szereplő képletek alapján határozzuk meg, az irányszög főértékét felhasználva. Ügyeljünk arra, hogy a koordináta-különbségek számításakor mindig az irány végpontjának koordinátáiból kell kivonni a kezdőpont koordinátáit. Ha nem így tennénk, akkor az ellenirány irányszögét kapnánk meg.

13 KÉT PONTJÁVAL ADOTT EGYENESEN FEKVŐ PONT 79 Δy: Δx: + δ AB = 360º α I. y B +x +x Δy Δy Δx α δ AB A Δx α A δ AB B II. +y Δy: + Δx: + δ AB = α Δy: Δx: δ AB = 180º + α B y IV. Δy A α Δx x δ AB Δy x Δy: + Δx: δ AB = 180º α ábra. Az irányszögek meghatározása az irányszög főértékéből, különböző szögnegyedekben A Δx α δ AB B +y III. Meg kell jegyeznünk, hogy az irányszög kiszámításával az előző fejezetben ismertetett szinusz és koszinusz szögfüggvények összefüggéseivel kiszámítható a két pont távolsága a Pitagorasz-képlet alkalmazása nélkül is. Ez azonban veszélyeket rejt magában, hiszen ha hibás az irányszög, akkor annak a hibája terheli a számított távolságot is. Ezért minden esetben törekedni kell arra, hogy a számításokat lehetőleg mindig az adott adatokra támaszkodva végezzük el, és csak akkor használjuk fel a számított értékeket, ha más megoldás nem létezik. Törekedjünk arra is, hogy a számításokat egyszerű módszerrel ellenőrizzük, felhasználva esetleg a pontok között fellelhető más geometriai összefüggéseket is Két pontjával adott egyenesen fekvő pont koordinátáinak számítása Nyomvonalas létesítmények kitűzésekor gyakran feladatunk, hogy egy adott egyenesen adott távolságra újabb pontokat jelöljük meg. Ezt megtehetjük az IE és IV pontoknál leírt kitűzési módszerrel, vagy úgy, hogy kiszámítjuk a vonalon lévő új pont koordinátáit, és az alapján végezzük el a kitűzést. Ezt a feladatot szemlélteti a ábra. A feladat megoldásához adottak az egyenes A és B pontjainak koordinátái, valamint a P pont távolsága az egyik ponttól. Meghatározandók a P pont koordinátái.

14 80 KOORDINÁTA-RENDSZEREK, VETÜLETI RENDSZEREK, TÉRKÉPEK +x B δ BP A δ AP P t AP t BP ábra. Adott egyenesen lévő újabb pont koordinátáinak meghatározása A feladatot a következő lépésekben oldjuk meg: yb- ya számítsuk ki az egyenes irányszögét a tg d AB = összefüggésből, xb - xa a δ AP irányszög megegyezik a δ AB irányszöggel, az adott távolság és a számított irányszög segítségével határozzuk meg a P pont koordinátáit: y P = y A + t AP sin δ AP, x P = x A + t AP cos δ AP, a számítást ellenőrizzük úgy, hogy a P pont koordinátáit a fent ismertetett lépésekkel kiszámítjuk a B pontból is. Ekkor a PB távolságot a számított AB távolság és az adott AP távolság különbségeként kapjuk meg. Ha jól dolgoztunk, akkor az A és a B pontról meghatározott P pont koordinátáinak meg kell egyezniük. Megjegyezzük, hogy a kerekítések miatt 0,01 méter eltérés lehetséges. +y 3.6. Két egyenes metszéspontjának koordinátái Két egyenes metszéspontjára legjobb példa nyomvonalas létesítmények esetében a sarokpont meghatározása. Ha ki kell tűzni a sarokpontot, akkor megtehetjük a már ismertetett módon, vagy úgy, hogy kiszámítjuk a koordinátáit, és azokat tűzzük ki az építkezés közelében létesített alappontokra támaszkodva. A koordinátákkal való kitűzés gyorsabb és hatékonyabb a hagyományos irányok és távolságok kitűzésénél, és

15 KÉT EGYENES METSZÉSPONTJÁNAK KOORDINÁTÁI 81 nincsen szükség segédpontok kitűzésére, így csökkenthetjük a kitűzés hibájának lehetőségét. A metszéspont koordinátáinak meghatározásához tekintsük a ábrát! +x δ AB A t AM δ AM α t AB β B δ BA δbm γ M t BM +y ábra. Két egyenes metszéspontja koordinátáinak meghatározása A metszéspont kitűzéséhez adott a két egyenes egy-egy pontja: A (y A, x A ) és B (y B, x B ), valamint a két adott pontról a metszéspontra menő irányszögek, vagyis az egyenesek irányai: δ AM és δ BM. Határozzuk meg a metszéspont (M) koordinátáit! A koordináta-számítás alapképleteit felhasználva számítsuk ki az adott pontok (A és B) közötti távolságot, valamint az AB egyenes és ellenirányának irányszögét. y tg d = B - AB x - x B y A A δ BA = δ AB ± 180º t = ^y - y h + ^x -x 2 2 AB B A B Ah A kiszámított irányszögekből és a háromszögek belső szögeinek összegéből határozzuk meg az AMB háromszög belső szögeit (α, β, és γ) Következő lépésként szinusztétellel határozzuk meg a metszéspont távolságát az adott pontoktól: AM sin b sin b =, amiből AM = AB $, AB sin c sin c BM = sin a, amiből BM = AB $ sin a. AB sin c sin c A metszéspont koordinátáinak számítása: y M = y A + AM sin δ AM = y B + BM sin δ BM, x M = x A + AM cos δ AM = x B + BM cos δ BM.

16 82 KOORDINÁTA-RENDSZEREK, VETÜLETI RENDSZEREK, TÉRKÉPEK 3.7. Vetületi rendszerek A vetítés elve, a vetületek csoportosítása Új utak építésekor valamint meglévő utak felújításakor mindig valamilyen térképet használunk fel. A térképek síkbeli alkotások, amelyek vetítés során jönnek létre, és a körülöttük lévő 3-dimenziós világot 2 dimenzióban reprezentálják valamilyen mértékű kicsinyítésben. Ez azt jelenti, hogy a Föld felszínén lévő görbe felületeket, vonalakat vagy objektumokat síkban kell ábrázolni. Ezt a módszert vtítésnek nevezzük. Ha egy idomot sík lapra vagy síkba kiteríthető másik felületre vetítünk, akkor létrejön az eredeti idom képe vagy más néven vetülete. Azt a felületet, amelyen az eredeti idom található amelynek elő akarjuk állítani a síkbeli képét alapfelületnek, azt a felületet, amelyen az eredeti idom képe létrejön, képfelületnek nevezzük. Akkor beszélhetünk térképi vetületről, ha az alapfelület maga a Föld felszíne. Az előző kötet részletesen tárgyalta a Föld alakját és annak helyettesítő szabályos felületeit, ezért ettől most eltekintünk. Az ott említett szabályos felületeket gömb, ellipszoid ki tudjuk síkba teríteni. Ilyen leképezések például a földrajzi atlaszokban is látható világtérképek. Az alapfelületről a képfelületre vetítés kétféle módon történhet. Beszélhetünk geometriailag értelmezhető és szemléltethető vetítésről, melynek során valamely vetítési középpontból kiinduló vetítősugarakkal hozzuk létre a képet. A vetítési középpont lehet a végtelenben vagy a végesben. A vetítősugarak menete a vetítési középpont helyzetétől függ. Tekintsük először azt az esetet, amikor a vetítési középpont a végtelenben van. A végtelenből érkező vetítősugarak a végesben minden esetben párhuzamosak egymással. Ha a vetítősugarak merőlegesek a képfelületre akkor ortogonális, ha a vetítősugarak valamilyen szöget zárnak be a képfelülettel de egymással párhuzamosak akkor klinogonális vetítésről beszélünk (3.17. ábra). Abban az esetben, ha a vetítés középpontja a végesben van, akkor centrális vetítésről van szó (3.18. ábra). Ekkor a vetítősugarak egy pontból indulnak ki és a képfelületet különböző szögekben érik. Csak a véletlennek köszönhető, ha egyes vetítősugarak merőlegesek a képfelületre. Centrális vetítés esetében a vetítősugarak nem lehetnek egymással párhuzamosak.

17 VETÜLETI RENDSZEREK 83 Vetítővonalak P 1 P 2 P 3 Alapfelület P 1 P 2 P 3 P 1 P 2 P 3 Képfelület P 1 P 2 P ábra. Vetítés végtelenben lévő vetítési középpont segítségével. a) ortogonális, b) klinogonális vetítés C P 1 P 2 P 3 Alapfelület α P 1 P 2 P 3 β Képfelület ábra. Centrális vetítés. C a vetítés középpontja A geometriai elven létrejött vetületeket más néven valós vagy igaz vetületeknek is nevezzük. A vetítés másik módja, hogy matematikai összefüggéseket határozunk meg az alapfelület és a képfelület között. Ekkor képzetes vetületekről beszélünk. A geometriailag értelmezhető vetítések esetében lehetséges matematikai összefüggések felírása, de a matematikai egyenletekkel meghatározott vetítést nem lehet szemléltetni geometriai módszerekkel. A matematikai összefüggéseket vetületi egyenleteknek nevezzük. A vetületi egyenletektől elvárjuk, hogy egyértelműek legyenek, vagyis egy alapfelületei ponthoz egy és csakis egy képfelületi pont tartozzon és a képfelületi ponthoz is csak egyetlen alapfelületi pont (kölcsönösen egyértelmű hozzárendelés), matematikailag is kezelhetők (differenciálhatók stb.) legyenek, és a számításokat egyszerűen végre lehessen hajtani. Erre a problémára megoldás, ha az idomok vetítését a forgási ellipszoidról, mint alapfelületről először gömbre, mint képfelületre végezzük el, majd a gömböt kezeljük alapfelületként, és arról vetítjük a pontokat a képfelületként szolgáló síkra. Ezt az eljárást kettős vetítésnek vagy más néven közvetett vetítésnek nevezzük. A kettős vetítés folyamatát a ábra mutatja.

18 84 KOORDINÁTA-RENDSZEREK, VETÜLETI RENDSZEREK, TÉRKÉPEK Korábbi Újabb Alapfelület Besselellipszoid IUGG/1967 ellipszoid 1. lépés Vetület Képfelület Alapfelület Régi Gauss-gömb Gauss-féle szögtartó gömbi vetület Új Gauss-gömb 2. lépés Vetület Sztereografikus vetülettel (STG), (HÉR, HKR, HDR) redukált szögtartó (EOV) Képfelület Képsík Képsík ábra. A kettős vetítés folyamata Közvetlen vetítésről akkor beszélünk, ha a vetítés az ellipszoidról a síkba vetíthető felületre történik. Egy térbeli görbe felület vagy vonal torzulások nélkül nem ábrázolható síkban, mivel az alapfelület gyűrődések vagy szakadások nélkül nem teríthető ki a képfelületre. A torzulások típusait tekintve létrejöhet területtorzulás, hossztorzulás, valamint a szögek torzulása. A torzulások szempontjából többféle vetületről is beszélhetünk: Általános torzulású vetületek: a képfelületen a szögek, hosszak és területek is torzulnak. Területtartó (ekvivalens) vetületek: A vetületen a területek változatlanok maradnak, a szögek és a hosszak torzulnak. Szögtartó (konform) vetületek: A szögek maradnak változatlanok, a területek és a hosszak torzulnak. A vetítés során mindig arra kell törekednünk, hogy a torzulások mértéke egy bizonyos határértéket ne lépjen túl. A geodéziában használt vetületeknél szögtorzulás egyáltalán nem léphet fel, vagyis az általunk a továbbiakban tárgyalt vetületek mind szögtartók. A hosszak torzulására általában az 1/ értéket adjuk meg határértéknek. Ennél nagyobb torzulás esetén másik vetületet kell választani. A vetületek torzulásait modulusokkal fejezzük ki. Ezek a modulusok az alapfelületi elemi távolságok, szögek és területek és azok képfelületen létrejött megfelelőinek arányát fejezik ki. A hossztorzulást a lineármodulus, a szögtorzulást az iránymodulus, a területtorzulást pedig a területi modulus fejezi ki.

19 VETÜLETI RENDSZEREK 85 A vetületeket csoportosíthatjuk a képfelületek alakja szerint is, azaz hogy milyen felületek vetíthetők ki torzulás nélkül a síkba. Ezek a felületek a következők: kúp, henger valamint a sík. Sík képfelületként való alkalmazásakor azimutális vetületről beszélünk. A következőkben a vetületek csoportosítását a képfelület tengelye és a Föld forgástengelyének egymáshoz viszonyított helyzetének vizsgálatával végezzük el. Transzverzális a vetület (3.20. ábra), ha a képfelület tengelye az egyenlítő síkjában van. Normális vetületről (3.21. ábra) beszélünk, ha a képfelület tengelye a Föld forgástengelyével egybeesik. Ferde tengelyű vetületről (3.22. ábra) beszélünk, ha a képfelület tengelye az előbb említettektől eltér ábra. Transzverzális ábra. Normális elhelyezkedésű hengervetület kúpvetület ábra. Ferde tengelyű, azimutális vetület

20 86 KOORDINÁTA-RENDSZEREK, VETÜLETI RENDSZEREK, TÉRKÉPEK A képfelület érintheti vagy metszheti az alapfelületet. Az első esetben érintő (ilyen vetületeket mutat be a ábrák) a második esetben süllyesztett vetületről (3.23. ábra) beszélünk. Forgástengely Metszőkörök A redukálás mértéke ábra. Süllyesztett, normális elhelyezkedésű hengervetület A magyarországi sztereografikus vetület és szelvényhálózata A magyarországi sztereografikus vetület (3.24. ábra) valódi, érintő, szögtartó, azimutális, ferde tengelyű, centrális vetület. A vetítés kettős: elsőként a Bessel-féle ellipszoidról a Gauss-gömbre történik a vetítés, majd a Gauss-gömbről vetítünk síkra. A vetület alapfelülete a Gauss-gömb, képfelülete pedig a sík. Ez a sík a gömbi meridiánon a vetület kezdőpontjául választott ponthoz tartozó érintő sík. Gaussgömbön azt a földi ellipszoidhoz legjobban simuló gömböt értjük, amely az ellipszoidot az alapfelület és a képfelület érintési pontjában érinti. +y K Képsík P Régi Gauss-gömb +x O A kezdőpont meridiánja Q ábra. A sztereografikus vetület P

21 VETÜLETI RENDSZEREK 87 A Gauss-gömb és a sík érintési pontja a vetület kezdőpontja (K). A vetítési középpont (Q) a kezdőponthoz tartozó átmérő másik végpontja (3.25. ábra). R = 127 km K A C Képfelület felülnézete Helyi vagy kezdőmeridián A K B B A Egyenlítő C N C Képfelület Alapfelület ábra. A vetítés elve a sztereografikus vetületi rendszer esetén A vetület szögei változatlanok, a hosszak és a területek torzítva jelennek meg a képsíkon. A képfelületen mért távolságok mindig nagyobbak, mint az alapfelületen mért távolságok. A kezdőponttól a hossztorzulás mértéke fokozatosan nő, de a kezdőpont körül rajzolt körön állandó. A hossztorzulás a kezdőponttól 127 km-es távolságban éri el a megengedett 1/ értéket. Mivel ez a torzulás elég kis területen engedi meg a vetület alkalmazását, ezért a történelmi Magyarország területét három sztereografikus vetülettel fedték le (3.26. ábra): Budapesti rendszer: kezdőpontja a Gellérthegy nevű felsőrendű alappont Marosvásárhelyi rendszer: kezdőpontja a Kesztejhegy nevű felsőrendű alappont Ivanici rendszer: kezdőpontja Ivanic zárdatorony. Budapesti rendszer +y Marosvásárhelyi rendszer Ivanici rendszer +y +y +x +x +x ábra. A vetületi rendszerek elhelyezkedése

22 88 KOORDINÁTA-RENDSZEREK, VETÜLETI RENDSZEREK, TÉRKÉPEK A +x tengely a kezdőpontokon áthaladó meridiánok vetületben egyenesként jelentkező képe, pozitív ága dél felé mutat, vagyis a sztereografikus vetület koordinátarendszere dél nyugati tájolású. Az y tengely a kezdőpontban a meridiánra merőleges gömbi főkör vetületben egyenesként jelentkező képe. A mai gyakorlatban még mindig használatos a budapesti sztereografikus vetület. A sztereografikus rendszer szelvényhálózata öl- vagy méter-rendszerű lehet. A dél nyugati tájolású koordináta-rendszerben az x tengellyel párhuzamosan helyezkednek el az oszlopok (római számokkal jelölve), az y tengellyel párhuzamosan a rétegek (arab számokkal jelölve). A rétegek számozását az ivanici rendszertől, annak északi szélétől kell érteni. Az öl-rendszerű szelvényhálózat beosztása a négyzetmérföldön alapul, melynek mérete 4000 öl 4000 öl, területe kataszteri hold. Egy négyzetmérföld 20 szelvényre oszlik, az egyes szelvények y tengellyel párhuzamos oldala 1000 öl, x irányban pedig 800 öl hosszú. A szelvények méretaránya 1:2880. A szelvények számozásánál a budapesti rendszerben a számozás keletről nyugatra a d betűkkel, és minden negyedben északról délre e i betűkkel történik (3.27. ábra). III. II. I. x I. II. III. N.o. K.o y d e f g h i c b a d c b a e f g h i 4000 öl 4000 öl +x O ábra. Az öl-rendszerű szelvényhálózat. A besötétített szelvény száma: K. o. II. 34. b. h A méteres rendszerben a szelvénybeosztás alapját a szelvénycsoportok képezik. Egy-egy, az oszlopok és rétegek határvonalaival kimetszett szelvénycsoport mérete 8000 m 6000 m. A szelvénycsoportok helyét a koordináta-tengelyekhez képest határozzuk meg. Az oszlopokat nyugatra és keletre is római, a rétegekben arab számokkal jelölik a szelvénycsoportokat (3.28. ábra). d e f g h i d e f g h i c c b b a a y

23 VETÜLETI RENDSZEREK 89 III. II. I. x I. II. III. 3 2 j i h g f e d c b a j i h g f a b c d e +y f g h i j e d c b a 8000 m 6000 m É.N. É.K. D.N. D.K. f g h i j a b c d e y +x ábra. Sztereografikus rendszer méter-rendszerű szelvényhálózata. A besötétített szelvény száma: D.N. II. 2. b. g A magyarországi ferde tengelyű hengervetületek A magyarországi hengervetületek érintő, szögtartó és ferde tengelyű vetületek. A vetítés kettős, először a Bessel-féle ellipszoidról vetítünk a Gauss-gömbre, majd a gömbről a képfelületet képező hengerpalástra. Tehát a vetületi rendszer alapfelülete a Gauss-gömb. A képfelület az alapfelületet egy legnagyobb gömbi kör mentén érinti (3.29. ábra). Gömbfelület Egyenlítő Érintőkör Forgástengely ábra. Példa a ferde tengelyű hengervetület elhelyezkedésére

24 90 KOORDINÁTA-RENDSZEREK, VETÜLETI RENDSZEREK, TÉRKÉPEK A ferde tengelyű hengervetület bevezetése Fasching Antal ( ) nevéhez fűződik. A ferde tengelyű hengervetület tengelye nem esik egybe a Föld forgástengelyével, és nem fekszik az Egyenlítő síkjában sem. Ebből következik, hogy az érintési kör egy tetszőlegesen választott legnagyobb gömbi kör (3.30. ábra). Az érintőkör mentén a vetületnek nincsen torzulása, attól minkét irányban 90 km-re érjük el a hossztorzulás megengedett határértékét. Mivel hazánk területét egy ilyen hengervetület nem volt képes a megengedett torzulási értéken belül lefedni, ezért három hengervetületi rendszert vezettek be, ezek a hengervetület északi rendszere, a hengervetület középső rendszere, és a hengervetület déli rendszere (3.31. ábra). Északi henger Forgástengely Z Érintőkör Egyenlítő C B A K N C B A Képfelület Képsík Torzulásmentes egyenes Gellért-hegyi meridián Segédegyenlítők Középső henger Déli henger K 1 K 2 K ábra. Ferde tengelyű ábra. A magyarországi hengervetület torzulásai ferde tengelyű hengervetület Mindhárom hengervetület x tengelye a gellérthegyi meridián egyenesként jelentkező képe, és a pozitív ága délre mutat. Az y tengely a legnagyobb gömbi kör síkba kivetített képe, és nyugatra mutat (3.32. ábra). HÉR +y 47º 55ʹ HKR +y 46º 22ʹ HDR +y +x ábra. A hengervetületek elhelyezkedése

25 VETÜLETI RENDSZEREK 91 A hengervetületeknél is öles és méter-rendszerű szelvényhálózatokat használunk. A méter-rendszerű szelvénybeosztás megegyezik a sztereografikus vetületi rendszernél használt méteres szelvénybeosztással. Az öles szelvénybeosztás hasonlít a sztereografikus rendszer öl-rendszerű szelvényhálózatához, azzal a különbséggel, hogy a négyzetmérföldek számozása olyan, mint a méteres szelvénybeosztásé Az Egységes Országos Vetület Hazánkban 1975-ig többféle vetületi rendszert alkalmaztak, azokat is leginkább katonai célra. A műszaki fejlődés és a térképészet polgári célra való egyre sokrétűbb felhasználása szükségessé tette egy olyan vetület bevezetését, amely esetében az ország egész területére a hossztorzulás mértéke a megengedett határérték alatt marad. Ezért 1975-ben bevezették az Egységes Országos Vetületet, röviden EOV-t. Az új rendszer bevezetését az alábbiak indokolták: nehézkes volt a különböző vetületi rendszerek közötti átszámítás, a polgári térképészet igyekezett elszakadni a katonai térképészettől, hiszen a katonai térképészet termékei titkosak voltak, azonos legyen a földmérési és topográfiai térképek szelvényhálózata, hossztorzulás értékének csökkentésére való törekvés, a rendszer használhatósági tartományának növelésére való törekvés. Az EOV ferde tengelyű hengervetület, amely süllyesztett, valamint szögtartó (3.33. ábra). A vetületi rendszer alapfelülete az IUGG67 elnevezésű ellipszoid, képfelülete pedig henger. A vetület kettős vetítéssel jön létre, az ellipszoidról vetítünk a Gaussgömbre, majd a Gauss-gömbről a hengerpalástra. Gellért-hegyi meridián P φ φ φ K Segédegyenlítő Egyenlítő Torzulásmentes segédparalelkörök P ábra. Az Egységes Országos Vetület

26 92 KOORDINÁTA-RENDSZEREK, VETÜLETI RENDSZEREK, TÉRKÉPEK A metsző elhelyezkedés miatt a segédparalelkörök mentén nem jön létre torzulás. Ezek között a hosszak rövidülnek, tőlük távolodva pedig nőnek. A süllyesztett hengervetület esetében az alkalmazhatósági tartomány megnövelhető a süllyesztett sáv teljes szélességével, amely az EOV esetében 150 km (3.34. ábra). A süllyesztett, ferde tengelyű hengervetület összesen kb. 310 km észak déli kiterjedésben alkalmazható, vagyis az ország majdnem teljes területét lefedi. Csak az ország legészakibb és legdélibb részén lépi túl a vetület torzulása az 1/ hossztorzulási határértéket (3.35. ábra). Süllyesztett sáv Magyarország ábra. Az EOV rendszer elhelyezkedésének elve x +x 1/ / mm/km +100 mm/km 350 km 325 km ±0 mm/km 275 km 200 km 1/ / / mm/km ±0 mm/km +100 mm/km +200 mm/km 0 +y Süllyesztett vagy redukált sáv 125 km 75 km 50 km km +y ábra. Hossztorzulások az EOV rendszerben Az EOV sajátossága, hogy a koordináta-rendszer x és y tengelyeit önmagukkal párhuzamosan nyugatra illetve délre eltolták 650, illetve 200 km-rel. Ennek következtében minden magyarországi pont koordinátái pozitív előjelűek, valamint a két koordináta nem cserélhető össze, hiszen az y koordináta mindig nagyobb, az x koordináta pedig mindig kisebb, mint (3.36. ábra).

27 VETÜLETI RENDSZEREK 93 +X +x X = 400 km +y Y = 400 km Y 0 X 0 +Y ábra. Az EOV koordináta-rendszere Az Egységes Országos Vetületi rendszerre épülő térképrendszert Egységes Országos Térképrendszernek (EOTR) nevezzük. A szelvényezés alapját az Y irányban 48 km, az X irányban 32 km nagyságú 1: méretarányú szelvények képezik. A szelvények száma a szelvénysorok, illetve a szelvényoszlopok sorszámaiból tevődik össze (3.37. ábra) ábra. Az EOTR 1: méretarányú szelvényei 1: szelvényből az 1:50 000, 1: és az 1: méretaránysor térképlapjait mindig a sor eggyel kisebb méretarányú szelvényéből, annak negyedelésével kapjuk (3.38. ábra) ábra. 1: méretarányú EOTR-szelvény felosztása méretarány szelvényszám 1: : : : :

28 94 KOORDINÁTA-RENDSZEREK, VETÜLETI RENDSZEREK, TÉRKÉPEK Hasonlóan lehet áttérni 1: szelvényről 1:4000, 1:2000 és 1:1000 méretarányú szelvényekre is (3.39. ábra) : ábra. Az 1: méretarányú EOTR-szelvény felosztása méretarány szelvényszám 1: : : : A Gauss Krüger-vetület Az eddig megismert vetületek mind kettős vetítéssel jöttek létre, az alapfelület a Gauss-gömb volt. A Gauss Krüger-vetület (3.40. ábra) esetében az alapfelület a Kraszovszkij-féle forgási ellipszoid, erről történik közvetlenül a vetítés a képfelületre, vagyis a hengerre. A vetületet 1950 óta alkalmazzák a katonai térképészetben, mert kiválóan alkalmas nagyobb területek összefüggő ábrázolására. Egyenlítő képe Képsík Szegélymeridián képe Középmeridián képe +x P P Egyenlítő +y Ellipszoid Henger ábra. Gauss Krüger-vetület A vetület egymáshoz csatlakozó hengervetületek összessége. A vetítés minden rendszernél az ellipszoidot kiválasztott ellipszoidi meridiánok mentén érintő, transzverzális elhelyezkedésű hengerek felületére történik. A hengerek képzetesen, a vetí-

29 VETÜLETI RENDSZEREK 95 tés tisztán matematikai úton jön létre. A vetület szögtartó. Az egyes rendszerek a szegélymeridiánok mentén csatlakoznak egymáshoz (3.41. ábra). A vetület érintő meridiánja mentén nincsen hossztorzulás, ettől kelet és nyugat felé a torzulás fokozatosan nő, ezért alkalmaznak több hengert. A vetületi sávok szélessége a vetület alkalmazásának céljától függ. A topográfiai térképeknél 6 -os, nagyobb méretarányú térképezés céljára 3 -os sávszélességet alkalmaznak. A vetületi sávok nemzetközi számozása a Greenwich-csel átellenes meridiánnál kezdődik. Hazánk a nemzetközi sávbeosztásban a 33. és 34. sorszámú sávokba esik. Szegélymeridiánok képei +x +x +x +y +y +y Az egyenlítő képe Középmeridiánok képei ábra. Gauss Krüger-vetületi sávok A Gauss Krüger-vetület szelvényhálózatának alapja az 1: méretarányú szelvény. A szelvények számozása az egyenlítőtől észak felé 4 -onként az ABC nagybetűivel, a Greenwich-csel ellentétes meridiántól 6 -onként arab számokkal történik. A szelvények továbbosztása a választott következő nagyobb méretaránynak megfelelően történik (3.42. ábra). L IV V VI XI A X B XII XVI XVII XVIII IV L 33 V L 33 VI L 33 C D VII L 33 VIII L 33 IX L 33 A 1 2 a 3 4 C c b d a b B c d D ábra. Az 1: méretarányú szelvény továbbosztása

30 96 KOORDINÁTA-RENDSZEREK, VETÜLETI RENDSZEREK, TÉRKÉPEK UTM-vetület Az UTM- (Universal Transverse Mercator) vetület a Hayford-ellipszoid képfelülete től a NATO-államok térképezési vetülete. A vetület ellipszoid egyenlítői elhelyezésű, szögtartó, hengervetület (3.43. ábra). A Gauss Krüger-vetülettől csak abban különbözik, hogy az ellipszoidikus henger a meridiánellipszisnél kisebb méretű és a középmeridiánra szimmetrikus helyzetű két ellipszis mentén metszi az ellipszoidot. A hossztorzulás a két normálellipszis mentén zérus, közöttük negatív, azokon kívül pozitív. 6 -os sávokat alkalmaznak, a rétegek azonban 8 -osak. A rétegek jelölése a Déli-Sarknál kezdődik. Hazánk az UTM-vetület esetében a 33. és 34. sávba, valamint a T és U jelölésű rétegbe esik. Újabban a Magyarországon készült katonai térképek a korábbi Gauss Krüger-vetület helyett UTM-vetületben készülnek. A szelvényhálózat megegyezik a Gauss Krüger-vetületi rendszer szelvényhálózatával. Az 1990-es években feloldották a katonai térképek titkosságát, így ezek a teljes országról megvásárolhatók. Ellipszoid Középmeridián P Metsző henger Egyenlítő Metszési ellipszisek P ábra. Az UTM-vetület

31 TÉRKÉPEK Térképek Az útépítés és -fenntartás geodéziai munkáinak kiinduló adata és végterméke egyaránt valamilyen rajzi és számszerű munkarész. Rajzi munkarész mindig egy vagy több térkép, a megfelelő térképi tartalommal, a számszerű munkarészt pedig a számítási jegyzőkönyvek és koordináta-jegyzékek alkotják. Térkép: a tér képe, olyan síkbeli alkotás, amely vetítéssel jön létre, és a körülöttük lévő háromdimenziós világot vagy annak részeit különböző mértékű kicsinyítésben ábrázolja. A kicsinyítés mértékét térképi méretaránynak nevezzük, jele M. A méretarányt törtszámmal fejezzük ki ahol a számláló 1, a nevező pedig a kicsinyítés mértéke. Ez a méretarányszám. A méretarány és a méretarányszám egymással fordítottan arányos: M térképi hossz =. vetületi hossz A magyarországi térképezés történetében sokféle térkép többféle vetületi rendszerben, különböző ábrázolásokkal készült. Ezek közül a legrégebbi emlékünk a Lázár deák által készített térkép, amely számunkra szokatlanul ábrázolja a domborzatot, illetve a településeket is sajátos szemlélettel helyezte el azon. Természetesen ez abból adódik, hogy nem végeztek geodéziai felméréseket, csupán az utazás során tapasztaltakat jelenítette meg a térkép készítője az 1528-ban megjelent és 1: átlagos méretarányú térképen (3.44. ábra) ábra. Részlet Lázár deák térképéből Az analóg térkép a Föld egyes részeinek felszínét, valamint a felszínen vagy alatta lévő természetes és mesterséges tereptárgyakat arányosan kicsinyítve, megadott vetítési szabályok szerint, általában sík felületen ábrázoló fénykép vagy rajz. A fényképet ortofotó-térképnek, a rajzot vonalas térképnek nevezik. A mai tervezési

32 98 KOORDINÁTA-RENDSZEREK, VETÜLETI RENDSZEREK, TÉRKÉPEK és kivitelezési gyakorlatban még mindig használatosak. A térkép hordozója lehet papír, műanyag vagy fémlemez. A változások felvezetése az analóg térképeken nehézkes, hiszen azokon törölni, illetve javítani kell. A változások felvezetésekor a térkép zsúfolttá válhat, ezért az adattartalom igencsak korlátozott. Az analóg térképnek nemcsak a korlátozott adattartalom a hátránya, hanem az is, hogy könnyen elhasználódik, illetve a nem megfelelő tárolás során a térkép torzulhat. A kis mértékben torzult térkép még használható, ha meg lehet állapítani a torzulás mértékét, és azt a munkavégzés során figyelembe kell venni. Arra azonban ügyelni kell, hogy a térképek torzulása nem szabályszerű, és a térképlap egyes részein nem azonos mértékű. A torzulás megállapítását az őrkeresztek és a méretarány ismeretében végezhetjük el. A fent említett hátrányok miatt a tervező szoftverek és térképkezelő szoftverek megjelenésével egyre inkább elterjedtek a digitális térképek. A digitális térkép a Föld egyes részeinek felszínét, valamint a felszínen vagy alatta lévő természetes és mesterséges tereptárgyakat valamely alapfelületen tartalmazó digitális adatállomány. A digitális térképek legfontosabb jellemzői a következők: Méretarány-független, vagyis a térkép bármilyen méretarányban szemlélhető, kicsinyíthető nagyítható anélkül, hogy az túl zsúfolt és olvashatatlanná válna. A szoftvertől függően a térképi tartalom megjelenítése igazítható a képernyőn megjelenő méretarányhoz. Természetesen a digitális térképről nyomtatással készíthetünk analóg változatot, de akkor ügyelnünk kell a térkép olvashatóságára. A digitális térkép esetében a különböző objektumcsoportok különálló rétegeken helyezkednek el, így csoportosítani tudjuk a logikailag összetartozó tereptárgyakat, illetve a rétegek ki- és bekapcsolásával a térképen csak a számunkra szükséges információkat tudjuk megjeleníteni. A digitális térképek másik előnye, hogy azok nem torzulnak a tárolás során. Természetesen felmerülnek az adattárolás és adatvédelem kérdései, de ezek tisztázása nem a földméréstan tantárgy feladata. Analóg térképről könnyedén át lehet térni a digitális változatra. Ennek két változata lehetséges: az analóg térképet lapolvasó (szkenner) segítségével alakítjuk át, ekkor egy raszterképet kapunk, amely pixelekből áll, a térkép tartalma a pixelek szürkeségi fokozataként jelenik meg, digitalizáló-tábla segítségével tervező szoftverben átrajzoljuk a térkép tartalmát. Ekkor vektoros térképhez jutunk. A tervezési és kivitelezési gyakorlatban vektortérképeket használunk fel. Gyakran a vektoros térkép előállítása két lépcsőben történik. Először az analóg térképet raszterképpé alakítjuk át, majd képernyőn való digitalizálással készítünk vektortérképeket. Ezt a műveletet raszter vektor-konverziónak is szokták nevezni. A részletes végrehajtását a Területszámítás fejezetben ismertetjük.

33 TÉRKÉPEK 99 A mai térképhasználati tendencia a térinformatika felé mutat. A térinformatika az informatika speciális ága, amely a földrajzi helyhez köthető adatok gyűjtésével, elemzésével, kezelésével, megjelenítésével, monitoringjával és tárolásával foglalkozik. Gyakorlatilag a digitális térképen megjelenített objektumainkhoz egy relációs adatbázisban hozzárendeljük mindazon adatokat, amelyek a számunkra fontosak, és azokat térinformációs szoftverrel együtt kezeljük. Meg kell azonban említeni, hogy a térinformatikai térképek például KRESZ-táblák nyilvántartására létrehozott térinformációs rendszer általában csak információt szolgáltatnak, tervezési célra nem megfelelő pontosságuk miatt nem alkalmasak. Az információs rendszer alapjául szolgáló térképet geodéziai mérések alapján térképszerkesztő szoftverben készítik el, majd azt integrálják a térinformációs rendszerbe. A térképeket különböző szempontok szerint csoportosíthatjuk, melyek közül a legfontosabbakat ismertetjük. Tartalom szerint: szabatos, közhiteles és nyilvános térképek, amelyek további térképkészítés alapját képezik:» felmérési térkép: geodéziai munka végeredményei sík és domborzatrajzi formában ábrázolva,» földmérési alaptérkép: az ország egészére kiterjedő, általános tervezési feladatok megoldására, illetve az állami ingatlan-nyilvántartás alapjául szolgáló, tereptárgyakat, növényzetet, közigazgatási beosztást tartalmazó, állami ellenőrzéssel készülő, M = 1:500 1:4000 méretarányú felmérési térkép,» átnézeti térképek: 1: méretarányú, szűkített térképi tartalommal készült térképek,» topográfiai alaptérképek: sík- és domborzatrajzot ábrázoló, terepi tájékozódásra alkalmas, M = 1: : méretarányú felmérési térképek,» síkrajzi térképek. földrajzi térképek: a teljes földfelületet vagy annak egy nagyobb részét ábrázolják egyezményes térképjelekkel (jelkulcsokkal), M = 1: és kisebb méretarányúak, tematikus térképek: a kívánt végeredmények megjelenítése céljából az alaptérkép átalakításával, egyszerűsítésével, kiegészítésével nyert térképek, (Térinformatika):» katonai térképek,» vízrajzi térképek,» közműtérképek (közműalaptérkép, közműtérkép, szakági helyszínrajzok),» városrendezési térképek,» történelmi atlaszok,» időjárástérképek, légszennyezettségi térképek stb.