MŐSZAKI MECHANIKA III.

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "MŐSZAKI MECHANIKA III."

Átírás

1 NYUGAT-MAGYARORSZÁGI EGYETEM Faipari Mérnöki Kar Mőszaki Mechanika és Tartószerkezetek Intézet Dr Hajdu Endre egyetemi docens MŐSZAKI MECHANIKA III KINEMATIKA ÉS KINETIKA Jegyzet a faipari-, ipari termék és formatervezı, papíripari és mechatronika mérnök MSC hallgatók számára S o p r o n 0 0 9

2 Tartalomjegyzék 3 Mozgásfüggvény 3 3 Sebesség, gyorsulás 8 33 Kinematikai alapfeladatok 4 34 A kinetika axiómái és a tömegpont mozgásegyenlete 8 35 A tömegpont legfontosabb mozgástípusai 3 - állandó sebességő mozgás 3 - állandó gyorsulású mozgás 3 - Körmozgás 5 - Szabadesés, hajítások 6 - Harmonikus rezgımozgás 8 - Ciklois mozgás 3 36 Faforgácsoló gépek kinematikájának alapjai 34 -Keretfőrészgép 34 - Fúrnérhámozógép 36 -Gyalugép Munka, teljesítmény, energia Kinetikai tételek A forgó mozgás kinematikája 5 30 A testek tehetetlenségi nyomatékai 55 3 A forgó mozgás kinetikája 60 - forgó testek csapnyomásai 6 - kritikus fordulatszám 65 3 A síkmozgás kinematikája A síkmozgás kinetikája Ütközés 76

3 KINEMATIKA ÉS KINETIKA 3 Mozgásfüggvény BEVEZETÉS A kinematika a mechanikai mozgás térbeli és idıbeli lefolyását vizsgálja, lényegében geometriai szempontból, függetlenül a mozgást elıidézı októl A kinetika a mozgást befolyásoló okokat tárja fel E két tudományág nem választható el egymástól élesen Ez a jegyzet a kinematikát és a kinetikát együtt tárgyalja Valamely test térben és idıben végbemenı mozgásának leírásához mindig valamilyen vonatkoztatási rendszert egy másik testhez kötött koordináta rendszert kell felvenni Vonatkoztatási rendszer nélkül a test mozgásáról semmit sem mondhatunk Természetesen a vizsgált mozgás függ a választott koordináta-rendszertıl, vagyis a mozgás mindig relatív, egy bizonyos vonatkoztatási rendszerhez viszonyított A mechanika néhány alaptételre, a Newtonaxiómákra épül Ezek az alaptételek csak meghatározott módon választott koordinátarendszerekben érvényesek Pusztán kinematikai vizsgálatok céljából azonban más koordinátarendszereket is alkalmazhatunk A kinematikai és kinetikai mennyiségek például a koordináták, erık méréséhez mértékrendszert kell választani A továbbiakban kizárólag a nemzetközi mértékrendszert (SI) alkalmazzuk, melynek használatát a magyar szabványok (MSZ4900) kötelezıen elıírják A nemzetközi mértékegységrendszer mechanikai alapegységei: a méter (m), a másodperc (s) és a kilogramm (kg) Egy test mozgásának vizsgálatánál ismerni kell valamelyik pontjának például súlypontjának mozgását, továbbá az egész testnek a kiszemelt pont körül végzett mozgását Elıfordulhat, hogy az utóbbi mozgás hiányzik, vagy valamilyen szempontból elhanyagolható Ilyenkor az egész test helyett egy tömegpontnak nevezett modellel dolgozhatunk Vagyis kinematikai szempontból csupán a kiszemelt pont mozgását vesszük figyelembe, kinetikai szempontból pedig az egész test tömegét Hogy mikor engedhetı meg a valóság ilyen modellel történı helyettesítése, azt esetenként kell eldönteni 3

4 Mivel a fent leírt egyszerő modell nagyon sok esetben használható, részletesebben foglalkozunk a tömegpont kinematikájával és kinetikájával ALAPFOGALMAK, MOZGÁSFÜGGVÉNY A vonatkoztatási rendszer felvétele után beszélhetünk a tömegpont helyzetérıl: koordinátáinak összességérıl, s a tömegpont mozgásáról: helyzetének megváltoztatásáról A vonatkoztatási rendszer gyakran térbeli derékszögő koordináta rendszer A mozgás leírása azt jelenti, hogy megadjuk azokat a helyeket, ahol a tömegpont a szóba jövı idıpontokban tartózkodik Az x x(t), y y(t), z z(t) Paraméteres egyenletrendszer minden t idıpontban megadja tömegpont helyzetét Tömörebb jelölésmódot alkalmazva azt is mondhatjuk, hogy a mozgást az r r(t) (m) Vektor-skalár függvény írja le Ez a függvény a t paraméter minden szóba jövı értékéhez egy olyan vektort rendel, melynek kezdıpontja a koordináta rendszer kezdıpontja, végpontja a mozgó pont (3 ábra) Az r (t) vektor a tömegpont helyvektora A helyvektorok végpontjának összessége a mozgó pont által leírt pálya Az r r(t) függvény neve: mozgásfüggvény Ez a függvény tapasztalatunk szerint egyértékő és folytonos 3ábra A helyvektor felbontható a koordináta tengelyekkel párhuzamos összetevıkre: 4

5 r r + r + r xi + yj zk, x y z + ahol az x x(t), y y(t), z z(t) komponensek az idı függvényei, i, j, k a vonatkoztatási rendszer alapvektorai A tömegpont t t t intervallumban történı elmozdulása a r(t ) r(t ) vektor Ha a tömegpont valamilyen adott görbén mozog, akkor a mozgás r leírása a következıképpen történhet: a pályagörbén megadunk egy irányítást (ezen azt értjük, hogy megadunk egy haladási irányt) és kijelölünk egy 0 kezdıpontot Ezután a tömegpont helyzetét minden pillanatban meghatározza egyetlen adat, az 0-tól a tömegpontig mért elıjeles ívhossz (4 ábra) Az s elıjeles ívhossz neve: ívkoordináta Most tehát a mozgást a pálya befutásának törvénye, az s s(t) (m) függvény írja le Egy derékszögő koordináta rendszer valamelyik tengelyén mozgó tömegpont esetén ívkoordinátául a tömegpont megfelelı koordinátáját választjuk 4ábra Ha a tömegpont t, t, idıközben egy pályaszakasz minden pontján csak egyszer halad át, akkor az adott idıközben megtett út a pályaszakasz hossza A térben mozgó tömegpont egy síkra vagy egy egyenesre vonatkozó vetületének mozgását az eredeti mozgás vetületi mozgásának nevezzük Legyen P xy a P pont vetülete az x, y síkon Ekkor P xy pályája a P pont pályájának vetülete (5 ábra) P-nek az x tengelyre vonatkozó vetülete P x Ha P mozgástörvénye Xx(t), yy(t), zz(t), akkor P x mozgástörvénye xx(t), y0, z0 5

6 Hasonló a helyzet az y, z tengelyre vonatkozó vetületi mozgásoknál is A vetületi pontok helyvektorai r, x r, y r z -vel jelölve írhatjuk: r r + r + r x y z Ezért a P mozgását a három vetületi mozgás eredı mozgásának is mondják P x, P y, P z mozgása az összetevı-mozgás P mozgását meghatározza két koordináta síkon megadott vetületi mozgás (ezek nem függetlenek egymástól) vagy egy koordináta síkon és egy, a síkra merıleges tengelyen megadott vetületi mozgás 5ábra POLÁRKOORDINÁTA-RENDSZER ALKALMAZÁSA Síkbeli mozgás esetén olykor elınyös a mozgást polárkoordináta rendszerben vizsgálni A tömegpont helyzetét vagyis az r helyvektort jellemezhetjük egy 0 kezdıpontú, x tengelyő polárkoordináta rendszerben (6 ábra) A két koordináta a következı: r r, vagyis a pontnak a koordináta rendszer kezdıpontjától mért távolsága, ϕ, vagyis a helyvektornak polártengellyel bezárt (irányított) szöge: E koordináták persze az idı függvényei, más szóval a pont mozgását az r r (t), ϕ ϕ(t) 6ábra paraméteres egyenletrendszerrel adjuk meg 6

7 Példa Írjuk le a főrészkeret mozgását! A keret mozgását a 7 ábrán látható ún forgattyús mechanizmus végzi Az r hosszúságú forgattyúkar egyenletesen forog, az idıegység alatt söpört szög ω Az r, l távolságok ismertek Megoldás Jellemezzük a keret helyzetét az s ívkoordinátával! Tegyük fel, hogy a forgattyúkar függıleges helyzetbıl indult el t idı alatt a forgattyúkar által söpört szög Az ábra derékszögő háromszögeibıl: ω t s r cosωt + l r sin ωt, s max r + l, s min l r 3 Példa Egy 0 kezdıpontú félegyenes egyenletesen forog 0 körül (az egységnyi idı alatt söpört szög ω), miközben egy egyenletesen mozgó pont halad rajta, 7ábra P 0 -ból kiindulva 0 felé Az egyenletesen mozgó pont egységnyi idı alatt v méter utat tesz meg (8 ábra) Vizsgáljuk meg a mozgó pont pályáját a papír síkjában, ha O P o R o 8ábra 7

8 Megoldás Vizsgáljuk meg a pályát a félegyenes kezdıhelyzetével egybeesı polárkoordináta rendszerben t idı múlva a polárkoordináták a következık: r R o vt ϕ ωt Ez az archimedesi spirális (9 ábra) paraméteres egyenlete A paramétert kiküszöbölve r R 0 ϕ v ω A mozgó pont R idı múlva jut 0-ba v T 0 3 Sebesség, gyorsulás ELİKÉSZÍTÉS 9ábra Az alábbiakban felsoroljuk a térgörbék elméletének néhány olyan alapvetı fogalmát, melyekre a késıbbiekben szükségünk lesz - Térgörbe érintıje: a térgörbe P pontbeli érintıje a görbe P és Q pontjain átmenı egyenes határhelyzete, midın Q P - Térgörbe simulósíkja: a térgörbe P pontbeli simulósíkja a görbe három pontján átmenı sík határhelyzete, midın a három pont tart P-hez - Térgörbe simulóköre: a térgörbe P pontbeli simulóköre a görbe három pontján átmenı kör határhelyzete, midın a három pont tart P ponthoz A simulókör síkja azonos a simulósíkéval Ha a térgörbének irányítást adunk, beszélhetünk valamely ponthoz tartozó pozitív irányú e érintı egységvektorról (30 ábra) A P pontból a simulókör középpontja felé irányuló az n fınormális 30ábra 8

9 egységvektor Az elıbbi kettıre merıleges a b exn binormális egységvektor Az y y(x) vektor-skalár függvény deriváltja a dy dx y(x + x) y(x) lim vektor, melynek 0 0 x állása azonos az y(x) térgörbe megfelelı pontbeli érintıjének állásával Ha az x paraméter az s elıjeles ívhossz vagy ívkoordináta, akkor d r e, a pozitív irányú érintı egységvektor A ds vektor-skalár függvények differenciálási szabályai hasonlóak a skalárfüggvények deriválási szabályaihoz A SEBESSÉG ÉS GYORSULÁS DEFINÍCIÓJA Mozogjon a tömegpont az ismert pályán az ss(t) törvény szerint Valamely t, t+ t idıközben a mozgásról bizonyos mértékő felvilágosítást nyújt a v átl s t s(t + t) s(t) t Hányados: a mozgásnak a mennyiség t-nek és idıpontban, minél kisebb t 0 t idıközre számított átlagos pályasebessége Ez a skaláris t -nek is függvénye, s annál pontosabban jellemzi a mozgást a t t A mozgás t-beli pontos jellemzıje az átlagsebességnek -ra adódó határértéke a már csak t-tıl függı pályasebesség: v lim v t 0 átl s(t + t) s(t) lim t 0 t ds dt s& (Az idı szerinti deriválást a deriválandó mennyiség jele fölé tett ponttal jelöljük) Vagyis a pályasebesség az ívkoordináta idı szerinti elsı deriváltja Hasonlóan járhatunk el akkor is, ha a mozgás r r(t) alakban adott Ha a mozgó pont t pillanatban a pálya P helyén van (3 ábra), t+ t idıpontban pedig q-ban, 3ábra 9

10 akkor a t idıközben végbement mozgás átlagsebessége: v átl r r(t + t) r(t) t t Ez a vektor a r vektorral egyállású és t-n kívül jellemzésére ismét az átlagsebesség vektor alkalmas: t -nek is függvénye A mozgás pontos t 0 -ra adódó határértéke, a sebesség v lim v t 0 átl r(t + t) r(t) lim t 0 t dr dt r& (m s ) A sebességvektor tehát a helyvektor idı szerinti elsı deriváltja Ez olyan vektor, melynek koordinátái a helyvektor koordinátáinak idı szerinti deriváltjai A továbbiakban feltesszük, hogy az ss(t) és az r r(t) függvények az idı szerint legalább kétszer deriválhatók Ez a vektor csak t-nek függvénye, állása megegyezik a P-hez tartozó érintıével, iránya pedig a P- beli mozgásiránnyal A sebességvektort a P ponthoz kötjük Az r xi + yj + zk mozgásfüggvényő pont sebessége a definíció értelmében v x& i + y& j+ z& k, ahol az x & x(t), & y& y(t), & z& z(t & ) skaláris függvények a sebességkomponensek A sebességvektor a helyvektor változásának jellemzıje A pályasebesség változást egy adott pillanatban a pályasebesség idı szerinti deriváltja mutatja Ez a pályagyorsulás: a e v(t + t) v(t) dv lim v& & s t 0 t dt (m s ) A sebességvektor változásának jellemzıje, a gyorsulás, hasonlóan definiálható: 0

11 v(t + t) v(t) dv a lim v& & r t 0 t dt (m s Az r xi + yj + zk mozgásfüggvényő pont gyorsulása derékszögő komponensekkel: a & xi + && yj + & zk A gyorsulásvektort a mozgó ponthoz kötjük Felbonthatjuk a sebességvektort és a gyorsulásvektort a pályagörbe természetes koordinátarendszerében is ) Megmutatható, hogy ha e,n, b a pályagörbe természetes koordináta rendszerének egységvektorai, R a pályagörbe simulókörének sugara, a mozgástörvény r r(s), s s(t), akkor: v ve s& e, dv v R s& a a e + a n e + n & s& e + n dt R Az a e v& e érintıleges összetevı neve: pályamenti vagy tangenciális gyorsulás Az a n v n összetevıé: centripetális vagy R v normális gyorsulás A skaláris v& és R mennyiségek a gyorsulás pályamenti, ill centripetális komponensei Amint a fentiekbıl kitőnik, általános esetben a gyorsulásvektor a pályagörbe P-beli simulósíkjában fekszik, s a sebességvektorral 0 ϕ π (3 ábra) szöget zár be 3ábra Másképpen: a gyorsulásvektor az érintı által kettéosztott simulósíknak abban a felében van, amelyben a görbületi középpont A mozgás gyorsuló, ha a vizsgált pillanatban létezik gyorsulásvektor, vagyis ha a két gyorsuláskomponens közül legalább az egyik nem zérus Az a e komponens csak a pályasebesség változásától függ, a pálya alakjától független a e iránya megegyezı vagy ellenkezı a sebesség irányával az a e elıjelének megfelelıen Ha a pályasebesség állandó, a e 0 A nem negatív a n komponens a pályasebesség nagyságától és a

12 pálya alakjától, pontosabban annak R görbületétıl függ Ha a pálya egyenes, akkor véges sebesség és végtelen görbületi sugár folytán a n 0 Az alábbi ábrasor néhány speciális esetet szemléltet (33 ábra): 33ábra A hétköznapi nyelvhasználat gyorsuló mozgásról beszél, ha a e 0 és lassuló -ról, ha a e 0 Görbe pályán mozgó pont valójában mindig gyorsuló mozgást végez, mert legalább a n létezik Inflexiós pontban azonban R miatt egy pillanatra eltőnhet a gyorsulás Olykor hasznos lehet az a tétel, mely szerint a tömegpont vetületi mozgásának sebessége, gyorsulása az eredeti mozgás sebességének, ill gyorsulásának vetülete A SEBESSÉGVEKTOR POLÁRKOORDINÁTA RENDSZERBEN Ha a mozgást polárkoordináta rendszerben vizsgáljuk, a sebességvektort egy helyvektorral egyirányú e r és egy arra merıleges e ϕ egységvektor lineáris kombinációjaként írhatjuk fel (34 ábra) Mielıtt ezt a felbontást megadnánk, rámutatunk arra, hogy a ϕ polárkoordináta idıbeli változása éppen úgy 34ábra jellemezhetı a ϕ (t) függvény idı szerinti deriváltjával, miként az ívkoordináta változása s& (t) -vel Vagyis beszélhetünk egy szögkoordináta sebességérıl is A ϕ (t) függvény ϕ& (t) deriváltja az r vektor skaláris szögsebessége Ezek

13 után a polárkoordináta rendszerben vizsgált mozgás sebességvektorának felbontása a következı: v + v + v r& e + r ϕ& e r ϕ r ϕ 4 Példa Számítsuk ki a Példában szereplı főrészkeret pályasebességét Megoldás Mint láttuk, az ívkoordináta sr cos ωt+ l r sin ωt volt r sin ωt ωcosωt A pályasebesség: v s& rωsin ωt +, l r sin ωt s& rωsin ωt r ωsin ωt l r sin ωt 5 Példa Vizsgáljuk meg az egyenletes körmozgás kinematikai viszonyait, a mozgások leírására tanult különbözı módszereket alkalmazva! Legyen a pályakör sugara R, a mozgó ponthoz tartozó sugár szögsebessége ω Ívkoordináta alkalmazásával (35 ábra) s Rωt, v s& Rω, & s 0 Derékszögő koordinátákkal (36 ábra): R cosωt Rωsin ωt r v r& R sin ωt Rωcosωt 35ábra ω & R r Rω a cosωt sin ωt 36ábra 3

14 A sebesség- és gyorsulásvektor elhelyezkedésének tisztázása végett számítsuk ki a természetes koordináta rendszerre vonatkozó komponenseket és ábrázoljuk a (37 ábra)! v, a vektorokat Mint láttuk, v Rω, a & e v R & s 0, a n Rω, tehát a a n Végül polárkoordináta rendszerben (38 ábra): 37ábra R r ωt, 0 v Rω, a gyorsulásvektorral nem foglalkozunk 38ábra 33 Kinematikai alapfeladatok Ismert pálya esetén az ss(t) függvény a mozgást teljesen meghatározza Ebben az esetben differenciálásokkal állíthatjuk elı a pályasebességet és a pályagyorsulást Elıfordulhat azonban, hogy a mozgásjellemzık ( s, s, & & s ) nem az idı, hanem egymás függvényében ismeretesek A mozgás összes lehetséges megadási módjait az alábbi táblázatban szemlélteti: t s t t(s) s s(t) s& s(t) & s(s) & && s && s(t) && s(s) s& t(s) & [ s(s) & ] && s(s) & && s t(s) && s(s) && s(s) & && A táblázat második rovatában és harmadik oszlopában álló függvény jelentése például: a mozgás ss( s& ) alakban adott, vagyis az ívkoordináta a pályasebesség függvényeként ismeretes 4

15 A táblázat tizenkét függvényének bármelyikébıl esetleg további adatok ismeretében elıállítható a többi tizenegy bármelyike Az ilyen kinematikai alapfeladatok közül néhánynak a megoldását mutatjuk be Adott: v s(t & ) és az összetartozó t 0, s 0 értékpár, keressük az ss(t) függvényt Megoldás: ds v s&, dt ds sdt, & s ds t s 0 t 0 s(t) & dt, s s + s(t)dt & 0 t t 0 Ha a pályagyorsulás ismert az idı függvényében, hasonlóan, integrálással kapjuk a pályasebességet Ekkor ismerni kell összetartozó idı- és pályasebesség-adatokat További kinematikai feladat: Adott: & s & s(s), s, v 0 0 Keressük a v(s) függvényt Megoldás: v v 0 s + & s(sw)ds vagy v v + 0 s 0 s s 0 & s(s)ds Az ss(t), v s& s(t), & ae && s & s(t ) függvények grafikonjai az ún kinematikai diagramok (foronomia görbék) Nem tévesztendık össze a pályagörbével! Természetesen ezek a grafikonok meghatározott kapcsolatban állnak egymással, hiszen azok a függvények, melyeket ábrázolnak, egymásból differenciálással, ill Integrálással nyerhetık A valamely zárt intervallumban folytonos egyváltozós f(x) függvény és F(x) primitív függvénye b között fennálló f (x)dx F(b) F(a) összefüggés, valamint az s, s &,& s közötti kapcsolat a alapján megállapítjuk, hogy: Adott t, t idıközben az ívkoordináta megváltozása egyenlı a v-t ábra alatti síkidom elıjeles területével 5

16 t t s& (t)dt s(t ) s(t) Adott t, t idıközben a pályasebesség megváltozása egyenlı az a e -t ábra alatti síkidom elıjeles területével: t t & s (t)dt s(t & ) s(t & ) Legyen például s t + t, s& + t, & s, t t 0, t Számítsuk ki az ívkoordináta és a pályasebesség megváltozását a megadott idıközben: s s() s(0) + 0, v s() & s(0) & + ( ) 39 ábra 6

17 A kinematikai diagramokról ugyanezt az eredményt olvashatjuk le (39 ábra) Az s(t), s &(t),s(t & ) kinematikai diagramokból elıállíthatók az s &(s),&& s(s),s(s && &) kinematikai diagramok is Ilyen szerkesztés is nyomon követhetı a 0 ábrán: s& (s) diagram Ha a kinematikai diagramok közül valamelyik szerkesztés vagy közvetlen mérés alapján adott, akkor a hiányzó diagramok elıállítása grafikus úton történhet Ilyenkor grafikus differenciálásai, ill integrálási ajánlással érünk célt E módszereket illetıen a felsorolt irodalomra utalunk 6 Példa Egy jármő lehetséges legnagyobb gyorsulása, (ill lassulása) a max, legnagyobb pályasebessége v max Határozzuk meg azt a legkisebb idıt, mely alatt a jármő egy d hosszúságú pályaszakaszt befuthat Megoldás Vázoljuk fel a sebességábrát (40 ábra)! A legkisebb menetidıre törekszünk, tehát a lehetséges legnagyobb gyorsulással érjük el v max -ot A gyorsításhoz szükséges idı t Maximális sebességgel halad a jármő t ideig, t idı alatt lassul le ismét zérus sebességre A teljes menetidı: T t + t Az ábra geometriájából, ill a sebességábra tulajdonságaiból következik, hogy t v a max max, d v max (t + t ), t d v max t, d v max v a max max 40ábra T d v max v + a max max 7

18 34 A kinetika axiómái és a tömegpont mozgásegyenlete NEWTON-AXIÓMÁK A kinetika fıfeladata a testek mozgásának leírása a testekre ható erık ismeretében Ezt a feladatot néhány alapfeltevés a NEWTON-féle axiómák segítségével oldjuk meg Ezek a tömegpontra érvényes kijelentések közvetlenül nem bizonyítottak, helyességükre a belılük következı megállapítások s a tapasztalat egyezésébıl következtetünk Elsı axióma: Minden test (tömegpont) megmarad a nyugalomnak vagy az egyenes vonalú egyenletes mozgásnak az állapotában míg más testek hatásai állapotát meg nem változtatják A testek azon tulajdonságát, hogy külsı hatás hiányában sebességállapotukat változatlanul megtartják, tehetetlenségnek, az axiómát pedig tehetetlenség törvényének is nevezik A tehetetlenség törvénye közvetlenül nem igazolható, mert a testeket más testek hatása alól telje3sen kivonni nem tudjuk A törvény egyértelmősége végett meg kell állapítani, hogy a nyugalmi helyzetet mihez viszonyítsuk NEWTON az axiómát az abszolút nyugalomban lévı térre vonatkoztatta Ez utóbbi fogalom azonban a kísérlete számára nem hasznosítható A törvény lényeges tartalmának ma ezt tekintjük, hogy van olyan rendszer az ún tehetetlenségi vagy inercia-rendszer melyben érvényes az elsı axióma A kinetika egyéb törvényeit is ilyen rendszerre vonatkoztatjuk Az eddigi tapasztalatok szerint az asztronómiában használt bizonyos állócsillagokhoz kötött koordináta-rendszer, inerciarendszer A mőszaki mechanikában a Földhöz kötött koordináta rendszer is sok esetben inercia-rendszernek tekinthetı Azt, amit az elsı axiómában más testek hatása -ként említettünk, vagyis az erıt, a második axióma definiálja: d(mv) dt F 8

19 Itt v a tömegpont sebessége, az m arányossági tényezı egy pozitív, a test tehetetlenségének mértékét kifejezı fizikai mennyiség, a test tömege (pontosabban tehetetlen tömege) A tömeg a testnek egyik legfontosabb jellemzıje, mely (nem atomi mérető és nem nagyon nagy sebességő testek esetén (állandó az idıtıl, a helytıl, a test mozgásától és a reá ható erıktıl független) Ilyen esetben a második axióma dv m ma F dt Alakban is felírható Az az erı, melyet a Föld valamely testre kifejt, a test súlya (súlyon gyakran csak az említett erı nagyságát értik) Egy adott test súlya tömegével ellentétben a tér különbözı helyein más és más Tapasztalatunk szerint a szabadon esı testnek gyorsulása a tér egy adott helyén minden testre ugyanaz (légüres térben) Egy m tömegő test súlya olyan helyen, ahol a gyorsulás g, a II axióma értelmében G mg,illg G és g g jelöléssel Gmg Az erı nagyságának mértékegysége a newton (N), az az erı, mely az egységnyi gyorsulással mozgó egységnyi tömegre hat: N kg m s - A régebben használatos kilopond vagy kilogrammsúly és a newton közötti kapcsolat: kp 9,8 N Harmadik axióma (a kölcsönhatás törvénye, hogy az akció reakció elve) Ha egy anyagi pont vagy általában egy test egy másik testre hatást gyakorol, akkor a másik test is hatást fejt ki az elsıre s e két erı egyenlı nagy és ellentétes irányú Tehát ha az A test által a B testre kifejtett erı F AB s a B test által az A-ra gyakorolt hatás F BA, akkor F AB F BA Negyedik axióma (az erıhatások függetlenségének elve): Ha ugyanarra a tömegpontra egyidejőleg több erı hat, ezek együttes hatása egyenértékő az erık vektorális összegzéssel 9

20 nyert eredıjének hatásával Ha az m tömegő anyagi pontra ható erık F s az általuk, F,, Fn létrehozott gyorsulások külön a,a,,a n, akkor F + F + + F m(a + a + n + a n ) A KINETIKA ALAPEGYENLETE A tömegpont kinematikája és kinetikája között kapcsolatot teremtı F ma alaptörvényt a dinamika alapegyenletének is nevezik Ha az erıt és gyorsulást derékszögő koordináta rendszerben bontjuk fel, az alapegyenlet a következı alakot ölti: F x mx, & F my, && F mz & y z F x, F y, F z az erıkomponensek, & x,&& y, & z a gyorsuláskomponensek A felbontás történhet a tömegpont pályájának természetes koordináta rendszerében is Mint láttuk, a gyorsulásvektor felírható érintı irányú aeés normális irányú összegeként A II axióma értelmében mondhatjuk, hogy a tömegpontra a n összetevık F ma, ill F e e erı hat Az F e erı neve: érintıleges vagy tangenciális erı F n neve: normális vagy centripetális erı (4 ábra) Felhívjuk a figyelmet arra az F n centripetális erı vagyis a centripetális n ma gyorsulást elıidézı erı nem tévesztendı össze azzal az erıvel, melyet a tömegpont gyakorol az F n -t szolgáltató testre Ez a reakcióerı a centripetális erı ellenereje A természetes koordináta rendszerben felbontott gyorsulásnak binormális irányú összetevıje nincs, így F b 0 Ebben a koordináta rendszerben tehát az alapegyenlet így néz ki komponens alakban: dv v s& Fe m ms, & Fn m m dt R R n 4ábra E két egyenlet közül az elsıbıl következik, hogy: 0

21 dv állandó pályasebesség vagyis 0 esetén Fe 0, dt változó pályasebesség esetén F e 0 A második egyenlet értelmében: állandó pályasebesség esetén, ha R 0, állandó görbületi sugár esetén, ha v 0 F n F n Mozgó tömegpontra ható erı mindkét komponense csak abban az esetben zérus, ha v állandó és a görbületi sugár végtelen nagy A mozgásegyenletek két feladattípus megoldására alkalmasak: Ismert a tömegpont mozgása és keressük a mozgást elıidézı erıket Rendszerint adott a pálya és a pályabefutásának törvénye Ilyenkor célszerő az alapegyenlet: dv v Fe m, Fn m alakját alkalmazni dt R Ismertesse a tömegpontra ható F F(t,r,r& ) és keressük a létrejövı mozgást, vagyis azt az r r(t) függvényt, mely az F m& r differenciál egyenletet kielégíti Ez a feladat típus nehezebb, és nem minden esetben oldható meg szigorúan A megoldáshoz ismerni kell a t 0 idıponthoz tartozó r, r & 0 0 kezdeti értékeket, összesen 6 állandót 7 Példa Adott a 4 ábrán látható, vízszintes síkon nyugvó, sima felülető hasábok m, m tömege, valamint az F erı Meghatározandó az m tömegő hasábra ható F erı Megoldás Az alapegyenlet az m tömegő hasábra: F m a, ahol a a két hasáb közös pályagyorsulása 4ábra

22 Ez az F (m +m )a egyenletbıl: a F ' m, tehát a keresett erı: F F m + m m + m 8 Példa G súlyú jármő állandó v pályasebességgel halad végig a vázolt pályaszakaszon (43 ábra) A pálya görbületi sugara a legfelsı P pontban R Mekkora erıvel nyomja a jármő a pályát P- ben? 43ábra Megoldás A keresett erıvel egyenlı nagy, de ellentétes T erıt gyakorol a talaj a jármőre A tömegpontra ható erıket, a sebességet és a gyorsulást mely most azonos a centripetális gyorsulással a 44 ábra szemlélteti Az alapegyenlet: 44 ábra G G T g v, R v T G, gr ekkora erıvel nyomja a jármő a talajt v gr sebesség esetén a jármő kereke és a talaj közötti erıátadás megszőnik Ha a pálya görbületi sugara azonos a Föld sugarával (kb 6400 km), akkor az erıátadás v 9, ,6m /s 8km /s sebességnél szőnik meg Körülbelül ekkora a Föld közelében keringı mesterséges holdak sebessége is

23 35 A tömegpont legfontosabb mozgástípusai Az alábbiakban áttekintjük a tömegpontnak a mőszaki gyakorlat szemszögébıl a legfontosabb mozgástípusait A Állandó sebességő mozgás Mozgástörvénye: r r c t,r, c állandó vektorok, r mértékegysége m, c -é ms -, c 0 (45 ábra) 45ábra A pálya: az r 0 helyvektorú P 0 ponton átmenı és a c vektorral párhuzamos egyenes (vagy annak része), ilyen mozgást, ha a rá ható erık eredıje zérus a sebesség: v r& c, a gyorsulás: a & r 0, a tömegpontra ható erı: F 0 E mozgásfajtát egyenes vonalú egyenletes mozgásnak is A tömegpont akkor és csakis akkor végez nevezik Könnyen belátható, hogy c c jelöléssel a pálya befutásának törvénye: ss 0 +ct, a pályasebesség: v s& c, a pályagyorsulás: a e & s 0 A foronómiai görbéket a 46ábra szemlélteti B Állandó gyorsulású mozgás Mozgástörvénye: r r + c t + a t r (m), 0 0 c(m s ), a a(m s 0, ) állandó vektorok A mozgás megállapításánál két esetet különböztetünk meg: 46ábra a) c a, ekkor a mozgást egyenes vonalú, egyenletesen gyorsuló mozgásnak nevezik A pálya: az r 0 helyvektorú pontos átmenı, 3

24 A sebesség: a gyorsulás: c és a vektorokkal párhuzamos egyenes v & r c + at, & r a, a tömegpontra ható erı: F ma Tehát a sebesség az idıben lineárisan változik, a gyorsulás állandó A II axióma értelmében a tömegpontra állandó, a gyorsulással egyezı irányba mutató vektorú erı hat E mozgástípus kinematikai és kinetikai viszonyait a 47ábra szemlélteti 47ábra A pálya befutásának törvénye: s s0 + ct + a et, a pályasebesség: v s& c + a t, e a pályagyorsulás: a e & s 48ábra Abban az esetben, midın s 0 0, c0, érvényesek a s a t, v a t, következı összefüggések: v e e a s e A foronomiai görbéket a 48ábra szemlélteti b) c vektor nem párhuzamos a -val: állandó gyorsulású mozgás Ennél a mozgásnál az r r x 0 ct + at r 4

25 (az r0 helyvektorú pontból a tömegpontba mutató) vektor a t eredıje, a tömegpont tehát mindig a P 0 kezdıpontú c és az at vektorok a és c vektorok által kifeszített síkban van Megmutatható, hogy a pálya olyan parabola íve, melynek tengelye párhuzamos az a vektorral E mozgástípusnál a sebesség: r & c + a t, a gyorsulás: & r a Az állandó gyorsulású mozgás jellemzıit s a tömegpontra ható erıt a 49 ábra szemlélteti 49ábra Bizonyítás nélkül megemlítünk két, az állandó gyorsulással kapcsolatos tételt: Tétel: Ha az állandó gyorsulású mozgás sebessége t t idıpontokban v, illetve v, akkor az említett idıközökben v + v vátl Tétel: Ha az állandó gyorsulású mozgás sebessége t t idıpontokban v, illetve v, az elmozdulás vektor r, a gyorsulás a, akkor v v + a r C Körmozgás A tömegpont körmozgást végez, ha a pálya kör, vagy körív Legfontosabb és legegyszerőbb fajtája az egyenletes körmozgás Ezt az jellemzi, hogy a tömegpont állandó sebességgel halad körön, vagyis: v s& állandó Ezt a mozgástípust a 4 példában megvizsgáltuk, itt már csak kiegészítjük az ottani megállapításokat 5

26 A pálya egyszeri befutásának ideje a keringési idı, vagy π periódus: T (s) ω A másodpercenkénti fordulatok száma a ω frekvencia: f (s ) T π Az ω πf összefüggés alapján ω-t körfrekvenciának is nevezik A kinematikai és kinetikai viszonyokat a 50ábra szemlélteti A tömegpontra állandó nagyságú erı hat, melynek vektora: F ma mω r (r 0P) A tömegpont mozgása közben az állandó nagyságú r, v, a vektorok állandó szögsebességgel forognak 50ábra Gyakran fordul elı az állandó pályagyorsulású körmozgás is Ezzel a késıbbiekben is foglalkozunk D Szabadesés, hajítások Ha a tömegpontot a Föld nehézségi erıterében magára hagyjuk és a tömegpont kezdeti sebessége v 0 0, a mozgást szabad esésnek nevezik Ha v 0 0, a mozgás neve hajlítás Az egyszerőség kedvéért a levegı ellenállását elhanyagoljuk és feltesszük, hogy a mozgás a földfelület közelében (legfeljebb néhány 00 méteres magasságban) történik Ilyen körülmények között a szabadon esı tömegpont függılegesen lefelé mozog, gyorsulásának nagysága: g 9,8 m s - és a tömegpontra ható egyetlen erı a súlyerı A 5ábrán látható koordináta rendszerben 6

27 r g t k, illetve z g t, r & v g t k, illetve z & v g t, & r a g k, illetve & z a e g az esési magasságot H, az esés idejét T jelöli, akkor: 5ábra H H gt, T, g a végsebesség: v H g H Pontosabb vizsgálatok szerint a szabadesés bonyolult jelenség (pl a nehézségi gyorsulás több változó függvénye, a légellenállás nem hanyagolható el, a Föld forgása is figyelembe veendı), de a mőszaki gyakorlat igényeit az egyszerősített tárgyalásmód is kielégíti A hajításokat szokás felosztani a v 0 0 sebességvektor vízszintes, függıleges és ferde helyzete alapján Mi a legáltalánosabb esetet tekintjük át, a ferde hajítást, melynél a v 0 vektornak a vízszintessel bezárt szöge A ϕ 0 eset a vízszintes hajítás, és a o ϕ 90 o ϕ a függıleges hajítás a ferde hajítás 5ábra különleges eseteinek tekinthetık A ferdén elhajított tömegpontra mozgása közben egyetlen erı hat, a súlyerı A súlyerı, a tömeg és a gyorsulás állandóságából, valamint az állandó gyorsulású mozgás tulajdonságaiból 5ábra következik, hogy a ferdén elhajított tömegpont pályája függıleges tengelyő parabola (5 ábra) Az ábrán látható koordináta rendszerben könnyen felírhatjuk a pálya egyenletét és néhány jellemzı adatát Az állandó gyorsulású mozgásra tanultak értelmében: a t r c t+ 7

28 Itt c c cosϕi + c sin ϕ j, a & y j g j A tömegpont koordinátái tehát c c jelöléssel: x c cos ϕ t, yc sin ϕ t- g t A pálya explicit egyenlete: y x tg g ϕ x c cos ϕ Ebbıl a hajítási távolság: c L sin ϕ g Ez akkor maximális, ha ϕ 45 o, ekkor c Lmax g A röppálya magassága: c sin ϕ H g E Harmonikus rezgı mozgás A következıkben az egyenletes körmozgás vetületi mozgását vizsgáljuk Egy A sugarú körön állandó pályasebességgel mozgó pont kezdeti helyzete legyen P 0 és a ponthoz vezetı sugár szögsebessége ω Vetítsük a körön mozgó pontot az 0 kezdıpontú és a kör síkjában fekvı x tengelyre A vetületi pont mozgástörvénye a 53 ábra alapján: x A cos ( ω t α) Könnyen belátható, hogy a tengely alkalmas megválasztásával a vetületi pont mozgástörvénye általában x A cos, vagy x B sin ( ω t β) 53ábra 8

29 Mindezeket a mozgásokat harmonikus rezgı mozgásnak nevezik A mozgás függvényekben szereplı A (ill B) távolság dimenziójú mennyiség a harmoniku8s rezgı mozgás amplitúdója, α(β) a nullafázisszög vagy fáziseltolási szög, ω a rezgés vetítı szögsebessége vagy körfrekvenciája A vetületi pont a tengelyen váltakozó irányban mozog, miközben a származtató pont befutja a kört A rezgésidı és rezgésszám hasonlóan definiálható, mint a körmozgásnál A harmonikus rezgımozgás pályasebessége: v x& Aωsin( ωt + α), pályagyorsulása: a & x Aω cos( ωt + α) ω x e A foronómiai görbéket a 54 ábra szemlélteti A fenti egyenletekbıl, ill a foronómiai görbékbıl a harmonikus rezgı mozgás következı fontos tulajdonságai olvashatók le: π a) x, v, e e T ω szerint periodikus b) a pályasebességnek szélsı értéke van, midın az ívkoordináta zérus és megfordítva, c) a pályagyorsulásnak szélsı értéke van midın x A, zérus, x0-nál a pályagyorsulás d) a pályagyorsulás egyenesen arányos az ívkoordinátával, de ellentétes elıjelő 54ábra 9

30 55ábra Megjegyezzük, hogy mindezek a tulajdonságok beláthatók a vetületi mozgásokra tanultak alapján is A harmonikus rezgı mozgást végzı tömegpont mozgásjellemzıit s a reá ható erıt a pálya néhány pontjában a 55 ábra szemlélteti E mozgásfajta mőszaki jelentıségét az adja, hogy a gyakorlatban elıforduló periodikus mozgások sokszor, közelítıleg harmonikus mozgások, vagy ilyenekbıl összetettnek tekinthetık A 56 ábrán látható mechanizmusokkal megvalósítható a harmonikus rezgı mozgás A kulisszás mechanizmussal (56/a) pontosan, a forgattyús mechanizmussal (56/b közelítıleg a közelítés annál jobb, minél nagyobb l / r) 56ábra Ha a mozgásjellemzıket nem az idı, hanem a koordináta függvényében vizsgáljuk, akkor a következı megállapításokat tehetjük: a) a vv(x) ábra ellipszis, b) az a e a e (x) ábra egyenes szakasz Elıször azt mutatjuk meg, hogy azok a pontok, melyeknek derékszögő koordinátái egy harmonikus rezgı mozgás összetartozó x, v értékei, ellipszisen vannak Legyen a mozgásegyenlet az egyszerőség kedvéért 30

31 x Asin ωt Ekkor v A ω cos ωt A ω ( sin ωt) A ω ω x, ebbıl x A v + A ω Tehát az x,v koordinátájú pontok egy A, A ω tengelyő ellipszisen vannak (57/a ábra) A gyorsulás ábrára vonatkozó állítás pedig az adódik (57/b ábra) a e ω x, x A összefüggésekbıl 57ábra Az egyenes vonalú harmonikus rezgı mozgást származtathattuk volna az a & x ω x Cx, (C 0) összefüggésbıl kiindulva is Vagyis abból a e tulajdonságból, hogy a pályagyorsulás arányos és ellentétes elıjelő a koordinátával A kinetikában gyakran felhasználjuk, hogy az így definiált mozgás periódusa T π C F Ciklois-mozgás A következıkben gördülı mozgást végzı jármőkerekek, ill kör alakú tárcsák (pl körfőrészlapok) pontjainak mozgásával foglalkozunk Gördüljön egy R sugarú körlemez egy derékszögő koordináta rendszer x tengelyén úgy, hogy középpontjának 3

32 sebessége állandó c legyen t0-nál a körlemez középpontjának koordinátái legyenek: 0, R és vizsgáljuk azon pontjának mozgását, amely kezdetben egybeesett az origóval (58 ábra)- Egy késıbbi idıpontban az említett pont helyvektora: r r 0 + rp ct c jelöléssel : r R c 0 Az r p vektor felírása végett gondoljuk meg, hogy a körlemez mindegyik sugara (így az r vektorral p egybeesı is) egyenlı idık alatt egyenlı szöggel fordul el, vagyis a körlemez sebessége állandó ω érték lesz: x O c t R ωt a gördülés miatt, tehát ω c R 58ábra Az r p vektor így a következı c R sin t r R p c R cos t R A mozgásfüggvény tehát: r r + r c c t R sin t R : c R R cos t R O p Ez egy közönséges csúcsos ciklois egyenlete, a mozgás ciklois-mozgás A sebesség és gyorsulásvektor állását a 59 ábra szemlélteti A gyorsulásvektor mindig a gördülı kör pillanatnyi középpontjába mutat A sebességvektorra vonatkozólag késıbb magyarázatot adunk Ha a 59ábra 3

33 körlemez egy belsı Q, vagy egy, a körlemezhez rögzített külsı Q pontjának pályáját vizsgáljuk, teljesen hasonló megoldással élhetünk, csak R helyett a képletben kr szerepel Ha k<, akkor nyújtott, ha k> akkor hurkolt cikloist kapunk (60 ábra) Az ábra mellett feltüntettük a görbe paraméteres egyenletrendszerét is Ha egy tárcsa középpontjának sebessége c, s a tárcsa haladása közben ω szögsebességgel forog, akkor a nyújtott, ill hurkolt ciklois-pályákat leíró pontokat elválasztó kör R sugarát az R c képlettel számíthatjuk ki ω 9 Példa Határozzuk meg közelítıleg a keretfőrész hajtórúdjában ébredı erıt üresjárat esetén! A közelítés abból fog állni, hogy a főrészkeret mozgását harmonikus rezgı mozgásnak tekintjük, tehát a mozgást az x r cos t ω függvénnyel írjuk le (lásd: és 4 példa) A hajtórudat t0-nál függıleges helyzetőnek vesszük 60ábra Megoldás Legyen a főrészkeret súlya G, a hajtórúd által a keretre gyakorolt erı F Modellezzük a főrészkeretet egy tömegponttal, mely 0 pont körül r amplitúdójú és ω körfrekvenciájú harmonikus rezgı mozgást végez (6 ábra) A mozgásegyenlet: F G G g & x G ( xω g ), xω F G( g ) 6ábra A rúderı tehát lineárisan változik g A rúd nyomott a r x < szakaszon, ω húzott a g ω < x r szakaszon 33

34 36 Faforgácsoló gépek kinematikájának alapjai RELATÍV MOZGÁSOK A faforgácsoló gépek forgácsolást végzı elemei fogcsúcs késél többnyire egyszerő mozgást végeznek a földhöz, az álló gépalaphoz kötött koordináta rendszerben A pályák általában egyenes szakaszok, körök Ha azonban a mozgást rendszerint mozgó munkadarabhoz kötött koordináta rendszerben vizsgáljuk, a forgácsoló elemek mozgását jóval bonyolultabbnak találjuk Gyakran mégis szükség van arra, hogy a mozgást a munkadarabhoz kötött koordináta rendszerben vizsgáljuk, vagyis a forgácsolást végzı elem relatív mozgását tanulmányozzuk A faforgácsoló gépek mőködtetése s az általuk elıállított termékek minısége szempontjából egyaránt szükséges e relatív mozgásokkal kapcsolatos kinematikai tények ismerete A továbbiakban három jellegzetes esetben vizsgáljuk meg a relatív mozgásokat, a szaktárgyakban sorra kerülı részletes tárgyalás mechanikai elıkészítéséül A KERETFŐRÉSZLAP FOGCSÚCSÁNAK RELATÍV MOZGÁSA Legyen a keretfőrész gépalapjához kötött x,y koordináta rendszerben a főrészlap P fogcsúcsának mozgása az abszolút mozgás, a keretfőrész felé tolt rönkhöz kötött ξ, η koordináta rendszerben vizsgált mozgás a relatív mozgás (6/a ábra) Az ábrán alkalmazott jelölésekkel r r Ω + ρ, Illetıleg ρ r r Ω 34

35 6ábra A 6/b ábra szerint ρ a fogcsúcs helyvektora a ξ, η rendszerben Feltesszük, hogy a rönköt folyamatosan toljuk a gép felé, állandó c sebességgel Ekkor az elıbb említett vektorok a következık: r cosωt + a r, l r sin ωt + b d c t r Ω, h a relatív mozgás törvénye tehát: a d + c t ρ r rω : r cosωt + l r sin ωt + b h Ha figyelembe vesszük, hogy l r sin ω t l, a közelítı mozgásfüggvény: a d + c t ρ r cosωt + l + b h 35

36 A fogcsúcs relatív pályája tehát általános sinus-vonal A relatív mozgás sebessége közelítıleg: c ρ& rωsin ωt A fogcsúcs a rönkhöz viszonyított sebessége tehát c és c + r ω között ingadozik A FURNÉR-HÁMOZÓKÉS RELATÍV MOZGÁSA Kinetikai szempontból a furnérhámozás lényege a következı: állandó ω szögsebességgel forgatunk egy R sugarú hengert, miközben egy, a henger tengelyével párhuzamos élő kést mozgatunk állandó sebességgel, a henger tengelyével párhuzamos síkban Kinematikai szempontból a problémát a késél mozgásának vizsgálata jelenti a hengerhez kötött koordináta rendszerben 63ábra A vizsgálat célja polárkoordináta rendszert célszerő alkalmazni Ha a késél mozgássíkjának a henger tengelyétıl mért távolsága d, a késél sebességvektorának és az él támadáspontjának (ez a hengerhez tartozik) sebességvektora által bezárt szög ν (63 ábra), akkor a következı esetek különböztethetık meg: D0 ESET Ez az eset igen egyszerő A 64 ábráról leolvasható, hogy a hengerrel együtt forgó polárkoordináta rendszerben r R ct, ϕ ωt 36

37 A késél mozgása tart R T ideig c A mozgásfüggvény r r( ϕ) alakban a következı: c r R ϕ ω 64ábra A relatív pálya archimedesi spirális A vágási sebesség komponensei: v r r& c, vϕ rϕ & (R ct) ω A vágássebesség abszolút értéke az idı függvényében: v c + (R ct) ω A sugár függvényében: v c + r ω d>0, ν < π/ ESET A 65ábra alapján elıször az rr(t) függvényt írjuk fel: r d + x, x R d ct, r d + ( R d ct) r R ct R d + c t 37

38 A ϕ ϕ(t) szög így számítható: ϕ ωt β, β d arc cos R d arccos, r 65ábra d d ϕ ωt arc cos + arccos R R ct R d + c t ν π/ ESET Hasonlóan intézhetı el, mint a ν π/ eset, ϕ képletében jelentkezik csupán elıjelkülönbség Figyelemre méltó, hogy azonos d esetén két különbözı alakú relatív pálya adódik A GYALUGÉP VÁGÓÉLÉNEK RELATÍV MOZGÁSA A gyalugép vágó-élének és a körfőrészlap fogcsúcsának relatív pályája (a faanyaghoz kötött koordináta-rendszerben) teljesen hasonló gondolatmenettel határozható meg, mint amelyet a ciklois mozgásnál követtünk A gyalugép forgórésze (66 ábra) a tengely körül ω szögsebességgel forog, miközben a munkadarab c sebességgel halad elıre A vágó-él valamely pontjának pályáját a munkadarabhoz kötött x, y koordináta rendszerben vizsgáljuk 38

39 A ciklois mozgásnál szerepelt három vektornak most a következık felelnek 66ábra c t R sin ωt c t + R sin ωt meg: r0, rp r r0 + rp b R cosωt b R cosωt Most c és ω között nem áll fenn a cr ω kapcsolat A relatív pályagörbe hurkolt ciklois 30 példa Furnérhámozásnál bizonyos jelentısége van a kinematikai hátszögnek Ez a relatív pályagörbe valamely érintıje s az érintési ponthoz tartozó sugár normálisának szöge A szakirodalom αg -vel 67ábra archimedesi spirális, vagyis d0 esetén jelöli (67ábra) Határozzuk meg ezt a szöget Megoldás A sebességvektor polár-koordinátás felbontásából leolvasható, hogy 39

40 tgα g v v r ϕ c (R ct) ω Szükség lehet a kinematikai hátszög és a h furnérvastagság közti kapcsolatra is Ha T a π forgás periódusa, h ct c c t visszahelyettesítve és figyelembe véve, hogy R- ω ctr, h α g arctg πr 37 Munka, teljesítmény, energia Néhány további fogalom bevezetésével olyan tételekhez juthatunk, melyek feladatok során gyakran elınyösebben használhatók, mint az alapegyenlet MECHANIKAI MUNKA Ha egy tömegpontra állandó F erı hat, miközben a tömegpont elmozdulás vektora r, akkor az erı által végzett mechanikai munka W F r F r cosϕ (kgm s ) ( ϕ a két vektor által bezárt szög) A munka mértékegysége joule Nm, jele: J Ez a skaláris mennyiség pozitív, zérus, vagy negatív lehet, eszerint, amint az erı- és elmozdulás-vektor szöge hegyes- derék- vagy tompaszög Ha r elmozdulás során F, F,,F n állandó erık hatnak a tömegpontra, akkor W F r + F r + + F r (F + F + + F ) r F n n r 40

41 Tehát az eredı munkája egyenlı az összetevık munkáinak algebrai összegével Általános esetben, mikor a tömegpont valamilyen görbe vonalon jut el az r helyvektorú P pontból az r helyvektorú P pontba és közben F is változik, a mechanikai munka értelmezése a következı A P, P görbedarabot n részre osztjuk úgy, hogy az osztópontok egy P -tıl P -be vivı vektorsokszög szögpontjai legyenek (68 ábra) Ha elég sőrő a görbedarab felosztása, akkor a vektorsokszöget alkotó elmozdulás vektorok jól megközelítik a pályagörbét és az F összeg tekinthetı a r + F r + + Fn rn változó F erı munkája közelítı értékének, midın F támadáspontja P -bıl P -be jut Itt, F,,a r, r, elmozdulás vektorhoz F tartozó és egy-egy szakaszon állandónak vehetı vektor Ezek után a munka definícióját így adhatjuk meg: 68ábra W lim i n n i max ri 0 F r i i lim i n n i (F x x i i + F yi y i + F zi z ) i x F dx + Fydy + Fz dz x y z r x Fdr, r (x, y,z), r (x, y,z) y z r Ha az F erıt a pálya érintıjébe esı F e és arra merıleges összetevıre bontjuk fel (69 ábra), akkor az F erı ds úton végzett elemi munkáját az F e összetevı munkája adja Ha az F e F e (s) függvény vagyis az érintıleges komponens az ívkoordináta 69ábra függvényében ismert, akkor az s, ill s ívkoordinátájú P, ill P pontok között végzett munka: 4

42 W s s F (s)ds e Speciálisan, ha az erı támadáspontjának pályája görbe vonal és az erı vektora állandó (70 ábra), akkor a munka: W s Fcosϕ ds F cosϕ ds s s s Fs v, s v : a pályaszakasz vetületének elıjeles hossza 70ábra MECHANIKAI TELJESÍTMÉNY A munkavégzés sebességének jellemzésére vezetjük be a mechanikai teljesítmény fogalmát Valamely t idı alatt W munkát végzı erı átlagos teljesítménye: P átl W t Az erı- és munkagépeknél általában ezzel számolnak Az átlagteljesítmény t 0 -ra adódó határértéke a pillanatnyi teljesítmény: dw P dt Ez a skaláris mennyiség pozitív, zérus vagy negatív lehet A teljesítmény mértékegysége az watt, jele W W J s m s 3 kg Nagyobb egység a kilowatt000 watt A teljesítmény fontos kifejezéséhez juthatunk el a következıképpen: 4

43 P dw dt F dr dt F v F x& + F y& + F z& x y z Ha ismert pálya adataival kívánunk dolgozni, a PF e v Képlettel is számolhatunk, ahol v a pályasebesség Ha a tömegpontra több erı hat, az eredı erı teljesítménye egyenlı az összetevı erık teljesítményeinek algebrai összegével Ugyanis ha az összetevık F,, F, az eredı F,a n sebesség v : Fv + F v + + F v (F + F + + F )v Fv n n A teljesítmény és a munka közötti kapcsolata következı: ha W jelöli az erı által a t, t idıközben végzett munkát, akkor W P dt F v dt, t [ F (t)x(t) & + F (t) y(t) & F (t)z(t)] dt W x y + z & t MECHANIKAI HATÁSFOK A gépek mőködése közben a befektetett W b munka egy része nem az eredeti célra, hanem különféle ellenállások leküzdésére fordítódik Ha ezt a veszteséget W v -vel jelöljük, akkor a gép rendeltetése szempontjából hasznos munka W h W b W v A gépek gazdaságosságát jellemzi a mechanikai hatásfok: W W h η b 43

44 A hatásfok -nél kisebb, dimenzió nélküli szám A hatásfok más formában: η W W h b Wb W W b v W W Kifejezhetjük a hatásfokot a teljesítménnyel is, ha a fenti törtek számlálóját és nevezıjét az idıvel elosztjuk: P P h b v v η, b P P P b P P b v b Ahol P b, P h, P v a befektetett, hasznos teljesítmény, ill teljesítmény-veszteség Ha egy hajtómő hatásfoka η és a hajtómővel egy η hatásfokú gépet mőködtetünk, akkor a második géppel közölt ηηpb teljesítmény Pb ηpb,így a rendszer hatásfoka : η η η P b Általában η, η hatásfokú gépekbıl álló rendszer esetén az összhatásfok: η,, n η η ηηn MECHANIKAI ENERGIA Az m tömegő, v sebességő tömegpont kinetikai energiáját így értelmezzük: E k mv mv ms& Ez a munka jellegő skaláris mennyiség, mértékegységei azonosak a munka mértékegységeivel Ha az m tömegő, zérus-sebességő anyagi pontot v sebességőre gyorsítjuk, a gyorsító erı munkája mv 44

45 A kinetikai energia t, s, v szerinti deriváltjainak kinetikai jelentésük van, ugyanis: de dt d mv dt dv Fe mv mv dt m k P, de ds dv dv dt mv mv mva ds dt ds v k e F, e 3 Példa de k mv mv dv Számítsuk ki a főrészkeret kinetikai energiáját a) az idı függvényében, b) b) az ívkoordináta (kitérés) függvényében Egyszerőség kedvéért tekintsük xr cos ωt törvényő harmonikus rezgı mozgásnak a főrészkeret mozgását A keretfőrész tömege m, a forgattyú sugara r, a forgattyú szögsebessége ω Megoldás A főrészkeret sebessége v- r ω sin ωt, így íz energia: a) EK mv m( rωsin ωt), EK mr ω sin ωt x b) EK mv m( rω cos ωt ) mr ω ( ), EK mω (r x ) r Az energia változását t, ill x függvényében a 7 ábra szemlélteti 45

46 a b 7ábra 3 Példa Számítsuk ki az elızı példában szereplı keretfőrész hajtórúdjában ébredı erı teljesítményét a koordináta függvényébenmegoldás A 9 Példa ábrája és eredménye alapján számolhatunk Változzék x -r-tıl +r-ig xω P P(x) Sv G( g ω )( rωsin ωt) G rω( x ) g cos ωt ω x P(x) Grω( x ) g r 7ábra 38 Kinetikai tétele 38 Kinetikai tételek A függvényt a 7 ábra szemlélteti EGYETLEN TÖMEGPONTRA VONATKOZÓ TÉTELEK A tömegpontra ható erı F e érintıleges komponense és a pályasebesség között az alapegyenlet dv értelmében fennáll az F e m összefüggés, melybıl a tömegpont mv mozgás dt mennyiségének megváltozása: mv mv F e(t)dt t t 46

47 Általánosabban, ha t idıpontban az m tömegő anyagi pont sebessége v, t idıpontban v, s a tömegpontra ható erı F(t), akkor érvényes a következı Tétel (impulzustétel): m v mv F(t) dt t t A tétel alapján, az erı ismeretében következtethetünk a sebességváltozásra, ill kiolvasható a tételbıl, hogy a mozgásmennyiségnek rövid idın belüli nagy változását (ütközés) nagy erı t idézi elı Az F (t)dt mennyiséget lökésnek vagy impulzusnak nevezik t A tömegpont kinetikai energiájának az ívkoordináta szerint deriváltja - mint láttuk - : de ds d ds k ( mv ) Fe, amibıl mv s mv F e(s)ds 73ábra Általánosabban, ha t idıpontban az m tömegő anyagi pont sebessége v, t idıpontban v, s a tömegpontra ható erı munkája a vizsgált idıközben W, akkor érvényes a következı Tétel (munkatétel): s W r mv mv F(r)dr F e(s)ds W r s s Ez a tétel éppen úgy, mint az elızı a kinetika alaptételének következménye Az alaptételnél kevesebbet mond, mert a tömegpontra ható erık eredıjének normális 47

48 komponensét nem tartalmazza Különösen olyankor alkalmazható elınyösen, mikor a tömegpont sebességét keressük az ismert pálya egyes helyein A tétel értelmében, ha a pályasebesség s így a kinetikai energia nem változik meg, akkor az erık összmunkája zérus Legyen a síkban mozgóm tömegő pont sebessége v, a pontra ható erı F és a pálya egyenesének távolsága a tetszıleges 0 pontról r Ekkor oldalt r-rel szorozva dv rmv rf rm d dt dt dv F m, ill mindkét dt rf M 0 az erınek, rmv Π 0 pedig a mozgásmennyiségnek 0-ra vonatkozó nyomatéka Fennáll tehát a következezı összefüggés: dπ0 M 0, ill Π Π M(t)dt dt t t Általánosabban is érvényes tételhez juthatunk a következıképpen: legyen az 0 nyomatékvonatkoztatási pont egy derékszögő koordináta rendszer kezdıpontja, s legyen az m tömegő pont helyvektora r, sebessége v, akkor a tömegpont mozgásmennyisége 0-ra vonatkozó perdülete m v, ennek r xmv A perdület valamely tengelyre is számítható, például az x tengelyre Π m(yz& ) Legyen végül a tömegpontra ható erı 0-ra vonatkozó nyomatéka M, x ekkor érvényes a következı Tétel (perdület-tétel): dπ dt 0 M 0, ill ha t, t idıpontban a perdület Π ill, akkor, Π Π Π M (t)dt t t A tételbıl kiolvasható, hogy a perdület nem változik meg, ha a tömegpontra ható erık 0-ra vonatkozó nyomatéka zérus A tétel hasznosságáról a továbbiakban gyızıdhetünk meg 48

49 TÖMEGPONT-RENDSZERRE VONATKOZÓ TÉTEL Több tömegpontból álló rendszer esetén a rendszer tömegközéppontját így értelmezzük: r c miri, m i ahol r i az i-edik tömegpont helyvektora, m i a tömege A tömegközéppont bár elvileg különbözik a mőszaki gyakorlat szemszögébıl azonosnak vehetı a rendszer pillanatnyi súlypontjával Tétel: A tömegpontrendszer tömegközéppontjának mozgásmennyisége egyenlı a rendszert alkotó tömegpontok mozgásmennyiségeinek vektorális összegével: m vc mivi, ahol m mi Tétel: (a tömegközéppont tétele): ha a tömegpontrendszer tömegközéppontjának gyorsulása a c, a rendszerre ható külsı erık (a rendszerhez nem tartozó testek hatásai) vektorális összege K i K akkor K ma c A tömegközéppont mozgását ezek szerint a rendszer sebességállapota és a külsı erık szabják meg A tétel fontos speciális esete: ha K 0, akkor a c 0, v c const vagyis, ha a külsı erık összege zérus, akkor a rendszer mozgásmennyisége állandó, a tömegközéppont állandó sebességő mozgást végez vagy nyugalomban van Általánosíthatjuk a korábban megismert munka- és perdület-tételt is A tömegpontrendszer kinetikai energiáját a rendszert alkotó elemek kinetikai energiájának algebrai összegezésével nyerjük A tömegpontrendszerre ható erık munkája hasonlóan számítható Figyelembe 49

Kinematika szeptember Vonatkoztatási rendszerek, koordinátarendszerek

Kinematika szeptember Vonatkoztatási rendszerek, koordinátarendszerek Kinematika 2014. szeptember 28. 1. Vonatkoztatási rendszerek, koordinátarendszerek 1.1. Vonatkoztatási rendszerek A test mozgásának leírása kezdetén ki kell választani azt a viszonyítási rendszert, amelyből

Részletesebben

rnök k informatikusoknak 1. FBNxE-1 Klasszikus mechanika

rnök k informatikusoknak 1. FBNxE-1 Klasszikus mechanika Fizika mérnm rnök k informatikusoknak 1. FBNxE-1 Mechanika. előadás Dr. Geretovszky Zsolt 1. szeptember 15. Klasszikus mechanika A fizika azon ága, melynek feladata az anyagi testek mozgására vonatkozó

Részletesebben

Tömegpontok mozgása egyenes mentén, hajítások

Tömegpontok mozgása egyenes mentén, hajítások 2. gyakorlat 1. Feladatok a kinematika tárgyköréből Tömegpontok mozgása egyenes mentén, hajítások 1.1. Feladat: Mekkora az átlagsebessége annak pontnak, amely mozgásának első szakaszában v 1 sebességgel

Részletesebben

KÖRMOZGÁS, REZGŐMOZGÁS, FORGÓMOZGÁS

KÖRMOZGÁS, REZGŐMOZGÁS, FORGÓMOZGÁS KÖRMOZGÁS, REZGŐMOZGÁS, FORGÓMOZGÁS 1 EGYENLETES KÖRMOZGÁS Pálya kör Út ív Definíció: Test körpályán azonos irányban haladva azonos időközönként egyenlő íveket tesz meg. Periodikus mozgás 2 PERIODICITÁS

Részletesebben

Mechanika. Kinematika

Mechanika. Kinematika Mechanika Kinematika Alapfogalmak Anyagi pont Vonatkoztatási és koordináta rendszer Pálya, út, elmozdulás, Vektormennyiségek: elmozdulásvektor Helyvektor fogalma Sebesség Mozgások csoportosítása A mozgásokat

Részletesebben

Mechanika Kinematika. - Kinematikára: a testek mozgását tanulmányozza anélkül, hogy figyelembe venné a kiváltó

Mechanika Kinematika. - Kinematikára: a testek mozgását tanulmányozza anélkül, hogy figyelembe venné a kiváltó Mechanika Kinematika A mechanika a fizika része mely a testek mozgásával és egyensúlyával foglalkozik. A klasszikus mechanika, mely a fénysebességnél sokkal kisebb sebességű testekre vonatkozik, feloszlik:

Részletesebben

ÁLTALÁNOS JÁRMŰGÉPTAN

ÁLTALÁNOS JÁRMŰGÉPTAN ÁLTALÁNOS JÁRMŰGÉPTAN ELLENŐRZŐ KÉRDÉSEK 3. GÉPEK MECHANIKAI FOLYAMATAI 1. Definiálja a térbeli pont helyvektorát! r helyvektor előáll ortogonális (a 3 tengely egymásra merőleges) koordinátarendszer koordinátairányú

Részletesebben

Matematika III előadás

Matematika III előadás Matematika III. - 2. előadás Vinczéné Varga Adrienn Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Előadáskövető fóliák Vinczéné Varga Adrienn (DE-MK) Matematika III. 2016/2017/I 1 / 30 Egy

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA II 6 VI TÉRGÖRbÉk 1 Alapvető ÖSSZEFÜGGÉSEk A térgörbe (1) alakú egyenletével írható le Ez a vektoregyenlet egyenértékű az (2) skaláris egyenletrendszerrel A térgörbe három nevezetes

Részletesebben

DINAMIKA A minimum teszt kérdései a gépészmérnöki szak hallgatói részére (2004/2005 tavaszi félév)

DINAMIKA A minimum teszt kérdései a gépészmérnöki szak hallgatói részére (2004/2005 tavaszi félév) DINAMIKA A minimum teszt kérdései a gépészmérnöki szak hallgatói részére (2004/2005 tavaszi félév) Dinamika Pontszám 1. A mechanikai mozgás fogalma (1) 2. Az anyagi pont pályája (1) 3. A mozgástörvény

Részletesebben

A mechanika alapjai. A pontszerű testek kinematikája. Horváth András SZE, Fizika és Kémia Tsz szeptember 29.

A mechanika alapjai. A pontszerű testek kinematikája. Horváth András SZE, Fizika és Kémia Tsz szeptember 29. A mechanika alapjai A pontszerű testek kinematikája Horváth András SZE, Fizika és Kémia Tsz. 2006. szeptember 29. 2 / 35 Több alapfogalom ismerős lehet a középiskolából. Miért tanulunk erről mégis? 3 /

Részletesebben

A Hamilton-Jacobi-egyenlet

A Hamilton-Jacobi-egyenlet A Hamilton-Jacobi-egyenlet Ha sikerül olyan kanonikus transzformációt találnunk, amely a Hamilton-függvényt zérusra transzformálja akkor valamennyi új koordináta és impulzus állandó lesz: H 0 Q k = H P

Részletesebben

Mechanika I-II. Példatár

Mechanika I-II. Példatár Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Műszaki Mechanika Tanszék Mechanika I-II. Példatár 2012. május 24. Előszó A példatár célja, hogy támogassa a mechanika I. és mechanika II. tárgy oktatását

Részletesebben

Lendület. Lendület (impulzus): A test tömegének és sebességének szorzata. vektormennyiség: iránya a sebesség vektor iránya.

Lendület. Lendület (impulzus): A test tömegének és sebességének szorzata. vektormennyiség: iránya a sebesség vektor iránya. Lendület Lendület (impulzus): A test tömegének és sebességének szorzata. vektormennyiség: iránya a sebesség vektor iránya. Lendülettétel: Az lendület erő hatására változik meg. Az eredő erő határozza meg

Részletesebben

Gépészmérnöki alapszak, Mérnöki fizika ZH, október 10.. CHFMAX. Feladatok (maximum 3x6 pont=18 pont)

Gépészmérnöki alapszak, Mérnöki fizika ZH, október 10.. CHFMAX. Feladatok (maximum 3x6 pont=18 pont) 1. 2. 3. Mondat E1 E2 Gépészmérnöki alapszak, Mérnöki fizika ZH, 2017. október 10.. CHFMAX NÉV: Neptun kód: Aláírás: g=10 m/s 2 Előadó: Márkus / Varga Feladatok (maximum 3x6 pont=18 pont) 1) Az l hosszúságú

Részletesebben

FIZIKA II. Dr. Rácz Ervin. egyetemi docens

FIZIKA II. Dr. Rácz Ervin. egyetemi docens FIZIKA II. Dr. Rácz Ervin egyetemi docens Fontos tudnivalók e-mail: racz.ervin@kvk.uni-obuda.hu web: http://uni-obuda.hu/users/racz.ervin/index.htm Iroda: Bécsi út, C. épület, 124. szoba Fizika II. - ismertetés

Részletesebben

1. Feladatok a dinamika tárgyköréből

1. Feladatok a dinamika tárgyköréből 1. Feladatok a dinamika tárgyköréből Newton három törvénye 1.1. Feladat: Három azonos m tömegű gyöngyszemet fonálra fűzünk, egymástól kis távolságokban a fonálhoz rögzítünk, és az elhanyagolható tömegű

Részletesebben

Alapmőveletek koncentrált erıkkel

Alapmőveletek koncentrált erıkkel Alapmőveletek koncentrált erıkkel /a. példa Az.7. ábrán feltüntetett, a,5 [m], b, [m] és c,7 [m] oldalú hasábot a bejelölt erık terhelk. A berajzolt koordnátarendszer fgyelembevételével írjuk fel komponens-alakban

Részletesebben

Elméleti kérdések 11. osztály érettségire el ı készít ı csoport

Elméleti kérdések 11. osztály érettségire el ı készít ı csoport Elméleti kérdések 11. osztály érettségire el ı készít ı csoport MECHANIKA I. 1. Definiálja a helyvektort! 2. Mondja meg mit értünk vonatkoztatási rendszeren! 3. Fogalmazza meg kinematikailag, hogy mikor

Részletesebben

1 2. Az anyagi pont kinematikája

1 2. Az anyagi pont kinematikája 1. Az anyagi pont kinematikája 1. Ha egy P anyagi pont egyenes vonalú mozgását az x = 1t +t) egyenlet írja le x a megtett út hossza m-ben), határozzuk meg a pont sebességét és gyorsulását az indulás utáni

Részletesebben

Fizika. Fizika. Nyitray Gergely (PhD) PTE PMMIK február 13.

Fizika. Fizika. Nyitray Gergely (PhD) PTE PMMIK február 13. Fizika Nyitray Gergely (PhD) PTE PMMIK 017. február 13. A lejtő mint kényszer A lejtő egy ún. egyszerű gép. A következő problémában először a lejtőt rögzítjük, és egy m tömegű test súrlódás nélkül lecsúszik

Részletesebben

Mit nevezünk nehézségi erőnek?

Mit nevezünk nehézségi erőnek? Mit nevezünk nehézségi erőnek? Azt az erőt, amelynek hatására a szabadon eső testek g (gravitációs) gyorsulással esnek a vonzó test centruma felé, nevezzük nehézségi erőnek. F neh = m g Mi a súly? Azt

Részletesebben

A bifiláris felfüggesztésű rúd mozgásáról

A bifiláris felfüggesztésű rúd mozgásáról 1 A bifiláris felfüggesztésű rúd mozgásáról A végein fonállal felfüggesztett egyenes rúd részleges erőtani vizsgálatát mutattuk be egy korábbi dolgozatunkban, melynek címe: Forgatónyomaték mérése - I.

Részletesebben

t, u v. u v t A kúpra írt csavarvonalról I. rész

t, u v. u v t A kúpra írt csavarvonalról I. rész A kúpra írt csavarvonalról I. rész Sokféle kúpra írt csavarvonal létezik. Ezek közül először a legegyszerűbbel foglalko - zunk. Ezt azért tesszük mert meglepő az a tény hogy eddig még szinte sehol nem

Részletesebben

A bolygók mozgására vonatkozó Kepler-törvények igazolása

A bolygók mozgására vonatkozó Kepler-törvények igazolása A bolygók mozgására vonatkozó Kepler-törvények igazolása Geometriai alapok. A kúpszeletek polárkoordinátás egyenlete A síkbeli másodrend görbék közül az ellipszist, a hiperbolát és a parabolát mondjuk

Részletesebben

A klasszikus mechanika alapjai

A klasszikus mechanika alapjai A klasszikus mechanika alapjai FIZIKA 9. Mozgások, állapotváltozások 2017. október 27. Tartalomjegyzék 1 Az SI egységek Az SI alapegységei Az SI előtagok Az SI származtatott mennyiségei 2 i alapfogalmak

Részletesebben

Egy mozgástani feladat

Egy mozgástani feladat 1 Egy mozgástani feladat Előző dolgozatunk melynek jele és címe: ED ~ Ismét az ellipszis egyenleteiről folytatásának tekinthető ez az írás. Leválasztottuk róla, mert bár szorosan kapcsolódnak, más a céljuk.

Részletesebben

Kifejtendő kérdések december 11. Gyakorló feladatok

Kifejtendő kérdések december 11. Gyakorló feladatok Kifejtendő kérdések 2016. december 11. Gyakorló feladatok 1. Adja meg és a pályagörbe felrajzolásával értelmezze egy tömegpont általános síkbeli mozgását jellemző kinematikai mennyiségeket (1p)! Vezesse

Részletesebben

Mechanikai rezgések Ismétlő kérdések és feladatok Kérdések

Mechanikai rezgések Ismétlő kérdések és feladatok Kérdések Mechanikai rezgések Ismétlő kérdések és feladatok Kérdések 1. Melyek a rezgőmozgást jellemző fizikai mennyiségek?. Egy rezgés során mely helyzetekben maximális a sebesség, és mikor a gyorsulás? 3. Milyen

Részletesebben

Rezgőmozgás. A mechanikai rezgések vizsgálata, jellemzői és dinamikai feltétele

Rezgőmozgás. A mechanikai rezgések vizsgálata, jellemzői és dinamikai feltétele Rezgőmozgás A mechanikai rezgések vizsgálata, jellemzői és dinamikai feltétele A rezgés fogalma Minden olyan változás, amely az időben valamilyen ismétlődést mutat rezgésnek nevezünk. A rezgések fajtái:

Részletesebben

Mérnöki alapok 10. előadás

Mérnöki alapok 10. előadás Mérnöki alapok 10. előadás Készítette: dr. Váradi Sándor Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Gépészmérnöki Kar Hidrodinamikai Rendszerek Tanszék 1111, Budapest, Műegyetem rkp. 3. D ép. 334.

Részletesebben

1. Feladatok merev testek fizikájának tárgyköréből

1. Feladatok merev testek fizikájának tárgyköréből 1. Feladatok merev testek fizikájának tárgyköréből Forgatónyomaték, impulzusmomentum, impulzusmomentum tétel 1.1. Feladat: (HN 13B-7) Homogén tömör henger csúszás nélkül gördül le az α szög alatt hajló

Részletesebben

1. Feladatok munkavégzés és konzervatív erőterek tárgyköréből. Munkatétel

1. Feladatok munkavégzés és konzervatív erőterek tárgyköréből. Munkatétel 1. Feladatok munkavégzés és konzervatív erőterek tárgyköréből. Munkatétel Munkavégzés, teljesítmény 1.1. Feladat: (HN 6B-8) Egy rúgót nyugalmi állapotból 4 J munka árán 10 cm-rel nyújthatunk meg. Mekkora

Részletesebben

Az éjszakai rovarok repüléséről

Az éjszakai rovarok repüléséről Erről ezt olvashatjuk [ ] - ben: Az éjszakai rovarok repüléséről Az a kijelentés, miszerint a repülés pályája logaritmikus spirális, a következőképpen igazolható [ 2 ].. ábra Az állandó v nagyságú sebességgel

Részletesebben

2. REZGÉSEK Harmonikus rezgések: 2.2. Csillapított rezgések

2. REZGÉSEK Harmonikus rezgések: 2.2. Csillapított rezgések . REZGÉSEK.1. Harmonikus rezgések: Harmonikus erő: F = D x D m ẍ= D x (ezt a mechanikai rendszert lineáris harmonikus oszcillátornak nevezik) (Oszcillátor körfrekvenciája) ẍ x= Másodrendű konstansegyütthatós

Részletesebben

A brachistochron probléma megoldása

A brachistochron probléma megoldása A brachistochron probléma megoldása Adott a függőleges síkban két nem egy függőleges egyenesen fekvő P 0 és P 1 pont, amelyek közül a P 1 fekszik alacsonyabban. Azt a kérdést fogjuk vizsgálni. hogy van-e

Részletesebben

sin x = cos x =? sin x = dx =? dx = cos x =? g) Adja meg a helyettesítéses integrálás szabályát határozott integrálokra vonatkozóan!

sin x = cos x =? sin x = dx =? dx = cos x =? g) Adja meg a helyettesítéses integrálás szabályát határozott integrálokra vonatkozóan! Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Analízis II Határozatlan integrálszámítás g) t = tg x 2 helyettesítés esetén mivel egyenlő sin x = cos x =? g) t = tg x 2 helyettesítés esetén

Részletesebben

Mérnöki alapok 2. előadás

Mérnöki alapok 2. előadás Mérnöki alapok. előadás Készítette: dr. Váradi Sándor Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Gépészmérnöki Kar Hidrodinamikai Rendszerek Tanszék 1111, Budapest, Műegyetem rkp. 3. D ép. 334. Tel:

Részletesebben

Az elméleti mechanika alapjai

Az elméleti mechanika alapjai Az elméleti mechanika alapjai Tömegpont, a továbbiakban részecske. A jelenségeket a háromdimenziós térben és időben játszódnak le: r helyzetvektor v dr dt ṙ, a dr dt r a részecske sebessége illetve gyorsulása.

Részletesebben

Két körhenger általánosabban ( Alkalmazzuk a vektoralgebrát! ) 1. ábra

Két körhenger általánosabban ( Alkalmazzuk a vektoralgebrát! ) 1. ábra Két körhenger általánosabban ( Alkalmazzuk a vektoralgebrát! ) Egy korábbi dolgozatunkban címe: Két egyenes körhenger a merőlegesen metsződő tengelyű körhengerek áthatási feladatával foglalkoztunk. Most

Részletesebben

EGY ABLAK - GEOMETRIAI PROBLÉMA

EGY ABLAK - GEOMETRIAI PROBLÉMA EGY ABLAK - GEOMETRIAI PROBLÉMA Írta: Hajdu Endre A számítógépemhez tartozó két hangfal egy-egy négyzet keresztmetszetű hasáb hely - szűke miatt az ablakpárkányon van elhelyezve (. ábra).. ábra Hogy az

Részletesebben

Q 1 D Q 2 (D x) 2 (1.1)

Q 1 D Q 2 (D x) 2 (1.1) . Gyakorlat 4B-9 Két pontszerű töltés az x tengelyen a következőképpen helyezkedik el: egy 3 µc töltés az origóban, és egy + µc töltés az x =, 5 m koordinátájú pontban van. Keressük meg azt a helyet, ahol

Részletesebben

W = F s A munka származtatott, előjeles skalármennyiség.

W = F s A munka származtatott, előjeles skalármennyiség. Ha az erő és az elmozdulás egymásra merőleges, akkor fizikai értelemben nem történik munkavégzés. Pl.: ha egy táskát függőlegesen tartunk, és úgy sétálunk, akkor sem a tartóerő, sem a nehézségi erő nem

Részletesebben

Fizika feladatok - 2. gyakorlat

Fizika feladatok - 2. gyakorlat Fizika feladatok - 2. gyakorlat 2014. szeptember 18. 0.1. Feladat: Órai kidolgozásra: Mekkora az átlagsebessége annak pontnak, amely mozgásának első szakaszában v 1 sebességgel s 1 utat, második szakaszában

Részletesebben

Matematika II képletek. 1 sin xdx =, cos 2 x dx = sh 2 x dx = 1 + x 2 dx = 1 x. cos xdx =,

Matematika II képletek. 1 sin xdx =, cos 2 x dx = sh 2 x dx = 1 + x 2 dx = 1 x. cos xdx =, Matematika II előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika II képletek Határozatlan Integrálszámítás x n dx =, sin 2 x dx = sin xdx =, ch 2 x dx = sin xdx =, sh 2 x dx = cos xdx =, + x 2

Részletesebben

Dinamika. A dinamika feladata a test(ek) gyorsulását okozó erők matematikai leírása.

Dinamika. A dinamika feladata a test(ek) gyorsulását okozó erők matematikai leírása. Dinamika A dinamika feladata a test(ek) gyorsulását okozó erők matematikai leírása. Newton törvényei: I. Newton I. axiómája: Minden nyugalomban lévő test megtartja nyugalmi állapotát, minden mozgó test

Részletesebben

Matematika II. 1 sin xdx =, 1 cos xdx =, 1 + x 2 dx =

Matematika II. 1 sin xdx =, 1 cos xdx =, 1 + x 2 dx = Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika II Határozatlan Integrálszámítás d) Adja meg az alábbi alapintegrálokat! x n 1 dx =, sin 2 x dx = d) Adja meg az alábbi alapintegrálokat!

Részletesebben

A mechanika alapjai. A pontszerű testek dinamikája

A mechanika alapjai. A pontszerű testek dinamikája A mechanika alapjai A pontszerű testek dinamikája Horváth András SZE, Fizika Tsz. v 0.6 1 / 26 alapi Bevezetés Newton I. Newton II. Newton III. Newton IV. alapi 2 / 26 Bevezetés alapi Bevezetés Newton

Részletesebben

Matematika III előadás

Matematika III előadás Matematika III. - 2. előadás Vinczéné Varga Adrienn Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Előadáskövető fóliák Vinczéné Varga Adrienn (DE-MK) Matematika III. 2016/2017/I 1 / 23 paramétervonalak,

Részletesebben

Komplex természettudomány 3.

Komplex természettudomány 3. Komplex természettudomány 3. 1 A lendület és megmaradása Lendület (impulzus): A test tömegének és sebességének a szorzata. Jele: I. Képlete: II = mm vv mértékegysége: kkkk mm ss A lendület származtatott

Részletesebben

Matematika I. Vektorok, egyenesek, síkok

Matematika I. Vektorok, egyenesek, síkok Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika I Vektorok, egyenesek, síkok a) Hogyan számítjuk ki az a = (a 1, a 2, a 3 ) és b = (b 1, b 2, b 3 ) vektorok szögét? a) Hogyan számítjuk

Részletesebben

A mechanikai alaptörvények ismerete

A mechanikai alaptörvények ismerete A mechanikai alaptörvények ismerete Az oldalszám hivatkozások a Hudson-Nelson Útban a modern fizikához c. könyv megfelelő szakaszaira vonatkoznak. A Feladatgyűjtemény a Mérnöki fizika tárgy honlapjára

Részletesebben

Osztályozó, javító vizsga 9. évfolyam gimnázium. Írásbeli vizsgarész ELSŐ RÉSZ

Osztályozó, javító vizsga 9. évfolyam gimnázium. Írásbeli vizsgarész ELSŐ RÉSZ Írásbeli vizsgarész ELSŐ RÉSZ 1. Egy téglalap alakú háztömb egyik sarkából elindulva 80 m, 150 m, 80 m utat tettünk meg az egyes házoldalak mentén, míg a szomszédos sarokig értünk. Mekkora az elmozdulásunk?

Részletesebben

Gyakorlat 30B-14. a F L = e E + ( e)v B képlet, a gravitációs erőt a (2.1) G = m e g (2.2)

Gyakorlat 30B-14. a F L = e E + ( e)v B képlet, a gravitációs erőt a (2.1) G = m e g (2.2) 2. Gyakorlat 30B-14 Az Egyenlítőnél, a földfelszín közelében a mágneses fluxussűrűség iránya északi, nagysága kb. 50µ T,az elektromos térerősség iránya lefelé mutat, nagysága; kb. 100 N/C. Számítsuk ki,

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások Megoldások 1. Tekintsük az alábbi szabályos hatszögben a következő vektorokat: a = AB és b = AF. Add meg az FO, DC, AO, AC, BE, FB, CE, DF vektorok koordinátáit az (a ; b ) koordinátarendszerben! Alkalmazzuk

Részletesebben

Munka, energia Munkatétel, a mechanikai energia megmaradása

Munka, energia Munkatétel, a mechanikai energia megmaradása Munka, energia Munkatétel, a mechanikai energia megmaradása Munkavégzés történik ha: felemelek egy könyvet kihúzom az expandert A munka Fizikai értelemben munkavégzésről akkor beszélünk, ha egy test erő

Részletesebben

Lássuk be, hogy nem lehet a három pontot úgy elhelyezni, hogy egy inerciarendszerben

Lássuk be, hogy nem lehet a három pontot úgy elhelyezni, hogy egy inerciarendszerben Feladat: A háromtest probléma speciális megoldásai Arra vagyunk kiváncsiak, hogy a bolygó mozgásnak milyen egyszerű egyensúlyi megoldásai vannak három bolygó esetén. Az így felmerülő három-test probléma

Részletesebben

Mérnöki alapok 2. előadás

Mérnöki alapok 2. előadás Mérnöki alapok. előadás Készítette: dr. Váradi Sándor Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Gépészmérnöki Kar Hidrodinamikai Rendszerek Tanszék 1111, Budapest, Műegyetem rkp. 3. D ép. 334. Tel:

Részletesebben

Kinematika: A mechanikának az a része, amely a testek mozgását vizsgálja a kiváltó okok (erők) tanulmányozása nélkül.

Kinematika: A mechanikának az a része, amely a testek mozgását vizsgálja a kiváltó okok (erők) tanulmányozása nélkül. 01.03.16. RADNAY László Tnársegéd Debreceni Egyetem Műszki Kr Építőmérnöki Tnszék E-mil: rdnylszlo@gmil.com Mobil: +36 0 416 59 14 Definíciók: Kinemtik: A mechnikánk z része, mely testek mozgását vizsgálj

Részletesebben

Keresztmetszet másodrendű nyomatékainak meghatározása

Keresztmetszet másodrendű nyomatékainak meghatározása BUDAPEST MŰSZAK ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNY EGYETEM Keresztmetszet másodrendű nyomatékainak meghatározása Segédlet a Szilárdságtan c tárgy házi feladatához Készítette: Lehotzky Dávid Budapest, 205 február 28 ábra

Részletesebben

PÉLDÁK ERŐTÖRVÉNYEKRE

PÉLDÁK ERŐTÖRVÉNYEKRE PÉLÁ ERŐTÖRVÉNYERE Szabad erők: erőtörvénnyel megadhatók, általában nem függenek a test mozgásállapotától (sebességtől, gyorsulástól) Példák: nehézségi erő, súrlódási erők, rugalmas erők, felhajtóerők,

Részletesebben

Az elliptikus hengerre írt csavarvonalról

Az elliptikus hengerre írt csavarvonalról 1 Az elliptikus hengerre írt csavarvonalról Erről viszonylag ritkán olvashatunk, ezért most erről lesz szó. Az [ 1 ] munkában találtuk az alábbi részt 1. ábra. 1. ábra Itt a ( c ) feladat és annak megoldása

Részletesebben

Speciális mozgásfajták

Speciális mozgásfajták DINAMIKA Klasszikus mechanika: a mozgások leírása I. Kinematika: hogyan mozog egy test út-idő függvény sebesség-idő függvény s f (t) v f (t) s Példa: a 2 2 t v a t gyorsulások a f (t) a állandó Speciális

Részletesebben

Egy kinematikai feladat

Egy kinematikai feladat 1 Egy kinematikai feladat Valami geometriai dologról ötlött eszembe az alábbi feladat 1. ábra. 1. ábra Adott az a és b egyenes, melyek α szöget zárnak be egymással. A b egyenesre ráfektetünk egy d hosszúságú

Részletesebben

1. gyakorlat. Egyenletes és egyenletesen változó mozgás. 1. példa

1. gyakorlat. Egyenletes és egyenletesen változó mozgás. 1. példa 1. gyakorlat Egyenletes és egyenletesen változó mozgás egyenletes mozgás egyenletesen változó mozgás gyorsulás a = 0 a(t) = a = állandó sebesség v(t) = v = állandó v(t) = v(0) + a t pályakoordináta s(t)

Részletesebben

Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Polárkoordinátás és paraméteres megadású görbék. oktatási segédanyag

Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Polárkoordinátás és paraméteres megadású görbék. oktatási segédanyag Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR Polárkoordinátás és paraméteres megadású görbék oktatási segédanyag Összeállította: Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia Miskolc, 01. Köszönetnyilvánítás Az

Részletesebben

Fizika 1 Mechanika órai feladatok megoldása 7. hét

Fizika 1 Mechanika órai feladatok megoldása 7. hét Fizika 1 Mechanika órai feladatok megoldása 7. hét Az F erő által végzett munka, ha a test adott pályán mozog az r 1 helyvektorú P 1 pontból az r helyvektorú P pontba, az alábbi vonalintegrállal számolható:

Részletesebben

Vontatás III. A feladat

Vontatás III. A feladat Vontatás III Ebben a részben ázoljuk a ontatási feladat egy lehetséges numerikus megoldási módját Ezt az I részben ismertetett alapegyenletre építjük fel Itt az egy ontatott kerékpár esetét izsgáljuk feladat

Részletesebben

Az f ( xy, ) függvény y változó szerinti primitív függvénye G( x, f xydy= Gxy + C. Kétváltozós függvény integrálszámítása. Primitívfüggvény.

Az f ( xy, ) függvény y változó szerinti primitív függvénye G( x, f xydy= Gxy + C. Kétváltozós függvény integrálszámítása. Primitívfüggvény. Tartalomjegyzék Kétváltozós függvény integrálszámítása... Primitívfüggvény... Kettősintegrál... A kettősintegrál téglalap tartományon... A kettősintegrál létezésének szükséges feltétele... 3 Illusztráció...

Részletesebben

1. ábra. 24B-19 feladat

1. ábra. 24B-19 feladat . gyakorlat.. Feladat: (HN 4B-9) A +Q töltés egy hosszúságú egyenes szakasz mentén oszlik el egyenletesen (ld.. ábra.). Számítsuk ki az E elektromos térerősséget a vonal. ábra. 4B-9 feladat irányában lévő,

Részletesebben

Mérnöki alapok 1. előadás

Mérnöki alapok 1. előadás Mérnöki alapok 1. előadás Készítette: dr. Váradi Sándor Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Gépészmérnöki Kar Hidrodinamikai Rendszerek Tanszék 1111, Budapest, Műegyetem rkp. 3. D ép. 334. Tel:

Részletesebben

Vektorok és koordinátageometria

Vektorok és koordinátageometria Vektorok és koordinátageometria Vektorral kapcsolatos alapfogalmak http://zanza.tv/matematika/geometria/vektorok-bevezetese Definíció: Ha egy szakasz két végpontját megkülönböztetjük egymástól oly módon,

Részletesebben

A +Q töltés egy L hosszúságú egyenes szakasz mentén oszlik el egyenletesen (ld ábra ábra

A +Q töltés egy L hosszúságú egyenes szakasz mentén oszlik el egyenletesen (ld ábra ábra . Gyakorlat 4B-9 A +Q töltés egy L hosszúságú egyenes szakasz mentén oszlik el egyenletesen (ld. 4-6 ábra.). Számítsuk ki az E elektromos térerősséget a vonal irányában lévő, annak.. ábra. 4-6 ábra végpontjától

Részletesebben

17/1. Négypólusok átviteli függvényének ábrázolása. Nyquist diagram.

17/1. Négypólusok átviteli függvényének ábrázolása. Nyquist diagram. 7/. Négypólusok átviteli függvényének ábrázolása. Nyquist diagram. A szinuszos áramú hálózatok vizsgálatánál gyakran alkalmazunk különbözı komplex átviteli függvényeket. Végezzük ezt a hálózat valamilyen

Részletesebben

ANALÍZIS II. Példatár

ANALÍZIS II. Példatár ANALÍZIS II. Példatár Többszörös integrálok 3. április 8. . fejezet Feladatok 3 4.. Kett s integrálok Számítsa ki az alábbi integrálokat:...3. π 4 sinx.. (x + y) dx dy (x + y) dy dx.4. 5 3 y (5x y y 3

Részletesebben

17. előadás: Vektorok a térben

17. előadás: Vektorok a térben 17. előadás: Vektorok a térben Szabó Szilárd A vektor fogalma A mai előadásban n 1 tetszőleges egész szám lehet, de az egyszerűség kedvéért a képletek az n = 2 esetben szerepelnek. Vektorok: rendezett

Részletesebben

Előszó.. Bevezetés. 1. A fizikai megismerés alapjai Tér is idő. Hosszúság- és időmérés.

Előszó.. Bevezetés. 1. A fizikai megismerés alapjai Tér is idő. Hosszúság- és időmérés. SZABÓ JÁNOS: Fizika (Mechanika, hőtan) I. TARTALOMJEGYZÉK Előszó.. Bevezetés. 1. A fizikai megismerés alapjai... 2. Tér is idő. Hosszúság- és időmérés. MECHANIKA I. Az anyagi pont mechanikája 1. Az anyagi

Részletesebben

Segédlet: Főfeszültségek meghatározása Mohr-féle feszültségi körök alkalmazásával

Segédlet: Főfeszültségek meghatározása Mohr-féle feszültségi körök alkalmazásával Segédlet: Főfeszültségek meghatározása Mohr-féle feszültségi körök alkalmazásával Készítette: Dr. Kossa Attila (kossa@mm.bme.hu) BME, Műszaki Mechanikai Tanszék 212. október 16. Frissítve: 215. január

Részletesebben

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens Az R 3 tér geometriája Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. 1 Vektorok Vektor: irányított szakasz Jel.: a, a, a, AB, Jellemzői: irány, hosszúság, (abszolút érték) jel.: a Speciális

Részletesebben

Matematika A2 vizsga mgeoldása június 4.

Matematika A2 vizsga mgeoldása június 4. Matematika A vizsga mgeoldása 03. június.. (a (3 pont Definiálja az f(x, y függvény határértékét az (x 0, y 0 helyen! Megoldás: Legyen D R, f : D R. Legyen az f(x, y függvény értelmezve az (x 0, y 0 pont

Részletesebben

Feladatok megoldásokkal az első gyakorlathoz (differencia- és differenciálhányados fogalma, geometriai és fizikai jelentése) (x 1)(x + 1) x 1

Feladatok megoldásokkal az első gyakorlathoz (differencia- és differenciálhányados fogalma, geometriai és fizikai jelentése) (x 1)(x + 1) x 1 Feladatok megoldásokkal az első gyakorlathoz (differencia- és differenciálhányados fogalma, geometriai és fizikai jelentése). Feladat. Határozzuk meg az f(x) x 2 függvény x 0 pontbeli differenciahányados

Részletesebben

λ 1 u 1 + λ 2 v 1 + λ 3 w 1 = 0 λ 1 u 2 + λ 2 v 2 + λ 3 w 2 = 0 λ 1 u 3 + λ 2 v 3 + λ 3 w 3 = 0

λ 1 u 1 + λ 2 v 1 + λ 3 w 1 = 0 λ 1 u 2 + λ 2 v 2 + λ 3 w 2 = 0 λ 1 u 3 + λ 2 v 3 + λ 3 w 3 = 0 Vektorok a térben Egy (v 1,v 2,v 3 ) valós számokból álló hármast vektornak nevezzünk a térben (R 3 -ban). Használni fogjuk a v = (v 1,v 2,v 3 ) jelölést. A v 1,v 2,v 3 -at a v vektor komponenseinek nevezzük.

Részletesebben

MECHANIKA I. /Statika/ 1. előadás SZIE-YMM 1. Bevezetés épületek, építmények fizikai hatások, köztük erőhatások részleges vagy teljes tönkremenetel használhatatlanná válás anyagi kár, emberáldozat 1 Cél:

Részletesebben

Fizika alapok. Az előadás témája

Fizika alapok. Az előadás témája Az előadás témája Körmozgás jellemzőinek értelmezése Általános megoldási módszer egyenletes körmozgásnál egy feladaton keresztül Testek mozgásának vizsgálata nem inerciarendszerhez képest Centripetális

Részletesebben

Az egyenes ellipszishenger ferde síkmetszeteiről

Az egyenes ellipszishenger ferde síkmetszeteiről 1 Az egyenes ellipszishenger ferde síkmetszeteiről Vegyünk egy a és b féltengelyekkel bíró ellipszist a vezérgörbét, majd az ellipszis O centrumában állítsunk merőlegest az ellipszis síkjára. Ez a merőleges

Részletesebben

Analitikus térgeometria

Analitikus térgeometria Analitikus térgeometria Wettl Ferenc el adása alapján 2015.09.21. Wettl Ferenc el adása alapján Analitikus térgeometria 2015.09.21. 1 / 23 Tartalom 1 Egyenes és sík egyenlete Egyenes Sík 2 Alakzatok közös

Részletesebben

Lemez- és gerendaalapok méretezése

Lemez- és gerendaalapok méretezése Lemez- és gerendaalapok méretezése Az alapmerevség hatása az alap hajlékony merev a talpfeszültség egyenletes széleken nagyobb a süllyedés teknıszerő egyenletes Terhelés hatása hajlékony alapok esetén

Részletesebben

v i = v i V. (1) m i m i (v i V) = i P = i m i V = m i v i i A V = P M

v i = v i V. (1) m i m i (v i V) = i P = i m i V = m i v i i A V = P M Mképpen függ egy pontrendszer mpulzusa a vonatkoztatás rendszertől? K-ban legyenek a részecskék sebessége v. K -ben mely K-hoz képest V sebességgel halad v = v V. (1) P = m v = m (v V) = m v m V = = P

Részletesebben

Integrálszámítás. a Matematika A1a-Analízis nevű tárgyhoz november

Integrálszámítás. a Matematika A1a-Analízis nevű tárgyhoz november Integrálszámítás a Matematika Aa-Analízis nevű tárgyhoz 009. november Tartalomjegyzék I. Feladatok 5. A határozatlan integrál (primitív függvények........... 7.. A definíciók egyszerű következményei..................

Részletesebben

A csavarvonal axonometrikus képéről

A csavarvonal axonometrikus képéről A avarvonal axonometrikus képéről Miután egyre jobban megy a Graph ingyenes függvény - ábrázoló szoftver használata, kipróbáltuk, hogy tudunk - e vele avarvonalat ábrázolni, axonometrikusan. A válasz:

Részletesebben

Méréstechnika. Rezgésmérés. Készítette: Ángyán Béla. Iszak Gábor. Seidl Áron. Veszprém. [Ide írhatja a szöveget] oldal 1

Méréstechnika. Rezgésmérés. Készítette: Ángyán Béla. Iszak Gábor. Seidl Áron. Veszprém. [Ide írhatja a szöveget] oldal 1 Méréstechnika Rezgésmérés Készítette: Ángyán Béla Iszak Gábor Seidl Áron Veszprém 2014 [Ide írhatja a szöveget] oldal 1 A rezgésekkel kapcsolatos alapfogalmak A rezgés a Magyar Értelmező Szótár megfogalmazása

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 8 VIII VEkTOROk 1 VEkTOR Vektoron irányított szakaszt értünk Jelölése: stb Vektorok hossza A vektor abszolút értéke az irányított szakasz hossza Ha a vektor hossza egységnyi akkor

Részletesebben

Alkalmazott Mechanika Tanszék. Széchenyi István Egyetem

Alkalmazott Mechanika Tanszék. Széchenyi István Egyetem Széchenyi István Egyetem Szerkezetek dinamikája Alkalmazott Mechanika Tanszék Elméleti kérdések egyetemi mesterképzésben (MSc) résztvev járm mérnöki szakos hallgatók számára 2013. szeptember 6. 1. Folytonos

Részletesebben

Gépészmérnöki alapszak Mérnöki fizika ZH NÉV: október 18. Neptun kód:...

Gépészmérnöki alapszak Mérnöki fizika ZH NÉV: október 18. Neptun kód:... 1. 2. 3. Mondat E1 E2 Össz Gépészmérnöki alapszak Mérnöki fizika ZH NÉV:.. 2018. október 18. Neptun kód:... g=10 m/s 2 Előadó: Márkus/Varga Az eredményeket a bekeretezett részbe be kell írni! 1. Egy m=3

Részletesebben

Compton-effektus. Zsigmond Anna. jegyzıkönyv. Fizika BSc III.

Compton-effektus. Zsigmond Anna. jegyzıkönyv. Fizika BSc III. Compton-effektus jegyzıkönyv Zsigmond Anna Fizika BSc III. Mérés vezetıje: Csanád Máté Mérés dátuma: 010. április. Leadás dátuma: 010. május 5. Mérés célja A kvantumelmélet egyik bizonyítékának a Compton-effektusnak

Részletesebben

S T A T I K A. Az összeállításban közremûködtek: Dr. Elter Pálné Dr. Kocsis Lászlo Dr. Ágoston György Molnár Zsolt

S T A T I K A. Az összeállításban közremûködtek: Dr. Elter Pálné Dr. Kocsis Lászlo Dr. Ágoston György Molnár Zsolt S T A T I K A Ez az anyag az "Alapítvány a Magyar Felsôoktatásért és Kutatásért" és a "Gépészmérnök Képzésért Alapítvány" támogatásával készült a Mûszaki Mechanikai Tanszéken kísérleti jelleggel, hogy

Részletesebben

Mérnöki alapok 10. előadás

Mérnöki alapok 10. előadás Mérnöki alapok 10. előadás Készítette: dr. Váradi Sándor Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Gépészmérnöki Kar Hidrodinamikai Rendszerek Tanszék 1111, Budapest, Műegyetem rkp. 3. D ép. 334.

Részletesebben

A lengőfűrészelésről

A lengőfűrészelésről A lengőfűrészelésről Az [ 1 ] tankönyvben ezt írják a lengőfűrészről, működéséről, használatáról: A lengőfűrész árkolásra, csaprések készítésére alkalmazott, 150 00 mm átmérőjű, 3 4 mm vastag, sűrű fogazású

Részletesebben

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al: Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x

Részletesebben