4. Az a) és c) egyenlő, mindkettő a {12; 13} halmaz, valamint a b) és d) egyenlő mindkettő a {11; 12; 13; 14; 16; 17; 18} halmaz.

Átírás

1 Megoldások hlmzok feldtink eredménei. Számhlmzok. ) 48 0 c) ; ; ; 6; 3 7. ; 3; 9; 30; 73; Műveletek rcionális számokkl. ) 3 0 c) 5 3. ) z első: 4, második:,48. második ngo z első:,35, második:,. z első ngo m 4. megtkrított pénz: Ft. lekötött pénz: Ft. 5. ) 33 liter 675 liter 6. ) 60 kg,8% 7. 50; 350; 490; 686; 960, cm oldls fő 4. Részhlmz foglm. K = {; ; 3; ; 44}, L = {; 3; 43}, L Ì K. ) Ì, Ì R Ì T, R Ì D c) N Ì G Ì P Ì T d) Ì M, L Ì M Kételemű részhlmzok: {3;8} {3;3} {3;8} {3;33} {8;3} {8;8} {8;33} {3;8} {3;33} {8;33} Ez lpján már können megdhtók háromelemű részhlmzok. 5. [-3 ; ]Ì- ] 3 ; ], [ 063, ;, [Ì[ 0; 008] 5. Műveletek hlmzok között. ) {;3;6} Æ c) {; ; 3; 6; 7} d) {; ; 3; 6; 7} e) {4;8} f) {5; 9; 0} g) {4;8} h) Æ i) Æ j) Æ k) {, 5; 7; 9; 0} l) {, 4, 5; 7; 8; 9; 0} m){;3;6} 3. z ) és d) egenlő, mindkettő { 0; ; ; 3; 4; 5; 7; 8; 9; 0} hlmz, vlmint és c) egenlő, mindkettő {0; 3; 4; 7} hlmz. 4. z ) és c) egenlő, mindkettő {; 3} hlmz, vlmint és d) egenlő mindkettő {; ; 3; 4; 6; 7; 8} hlmz. 5. ) = { ; 3; 4; 0}, = {4; 5; 6; 7; 0} = {; 3; 4; 5; 6; 7; 8}, = {; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} 6. = {; 3; 4; 5; 7}, = {; ; 3; 5; 6; 7; 8; 9}, = {4; 5; 6; 7} 7. = { (;3), (;4), (;5), (;3), (;4), (;5), (3;3), (3;4), (3;5), (4;3), (4;4), (4;5)} 6. Logiki szit, egszerű összeszámlálások. Mindkettő szkkörre -en járnk.. z osztál létszám: 30. Közepes dolgoztot 9-en írtk. 3. evétel 5840 Ft 4. ngol: 4, német: 8, spnol: 9 5. Mindhárom szkkörre -en járnk. 6. Leglá z egikkel 57, pontosn z egikkel 500, egikkel sem 49 dr szám oszthtó. 7. ) c) 734 d) d ötjegű számot kphtunk, 35 d számn nem szerepel z -es, 465 d számn szerepel z 5-ös.

2 d htjegű, különöző számjegekől álló szám képezhető megdott számjegekől, eől 30 oszthtó öttel ór 40 perc. ) z lger, számelmélet feldtink eredménei. etűs kifejezések mtemtikán 5. ) 4-7 c) -3 d),5 e) ì3 6. ) \ í ü î 5þ \{} 0 c) \ ì í 7ü - î 4þ f) 38 7 ì d) \{ 0; -5} e) \ í ü ;-4 î þ ì 3 f) \ í ü 3; - î þ. Pozitív egész kitevőjű htván. ) = 34, = -864, = 6 = 5, = -9, = c) = 49, = 54, = 656 d) =, = 050, = 04 ì g) \ í ü - ; ; î 5þ 3. ) c) 5 d) 50 e) 96 f) 0,03 4. ) 0 4 c) c d) e) c f) Ft 3. Egész kitevőjű htván. ) 7 c) 00 d) 000 e) ) 0-9 c) d) 4 7 f) ) egenlők z első ngo c) második ngo d) z első ngo 4. Számok normállkj 4.» 9460, km , , , N 8. 96,6%-kl 9. cm g) 3 h) 45 i) lgeri egész kifejezések 4. ) c) d) e) c- + 4 c- c- 5c + 7 f) ) c) d) e) f) g) ) c) -5- d) e) f) g) h) i) j) k) ) c) d) e) f) g) h) - 3

3 Megoldások 6. Nevezetes szorztok 9. ) c) d) e) c + c f) - 8z+ 00z g) h) c c + i) j) k) c - 4c + 9c l) n n - n - n n - n ) c) 9-6c d) 4 - e) f) c 6 g) ) c) d) néges mrdék 5. 0 z ötös mrdék ) c) 3 c c 8 c d) - 6 c + c - 8c e) z z 0 + 8z 5 9. ) c) 6-64 d) ) c + 4+ c+ 4c c) c - 8+ c- 8c d) + + 4z -- 4z+ 4z 3 3. ) Szorzttá lkítás 3 3. ) 3 ( - 3) 7 ( - 3) c) ( - 4) d) ( + ) e) 5( ) 8 0. ) ( - ( 4+ 3 ) ( -)( -4 ) c) ( 7-5c)( 3-4 d) ( -)( - 5 e) ( + )( + ) 3. ) ( -6) æ3 94 ( + ) c) ( - 8) d) èç æ g) 4 èç öæ 3 4 ö + ø - èç 3ø ö -c ø e) ( - 9)( + 9) f) ( + )( + )( - ) æ 7 53öæ 7 3ö h) ( -3-)( - 3+ ) i) ( - 4)( + 8 ) j) + èç ø - èç ø k) ( k-7-)( k- 3+ ) 4. ) ( -)( -6 ) ( + )( + 8 ) c) ( -7)( -7 ) d) 5( -5)( - ) e) -3( -3)( -) f) - ( + 6)( + 4) 5. ) ( + )( -- ) 4( - ) c) ( -)( --3 ) d) ( )( ) e) ( -6)( - )( + ) f) ( + + )( - + ) ì 6. ) {0;} í 0 ; ü î 3þ c) {0} d) ì í - î 3ü 4þ ì e) {; 0} f) {-3; -} g) í ü 0; - ; î þ 7. ) ( + ) 3 ( - 3 c) ( +) 3 d) ( c-) 3 e) ( 3+ ) 8. ) ( - )( + + 4) ( + 3)( ) e) ( - 3( ) f) ( 4+ 5)( ) 8. lgeri törtek. ) 3( + ) -3 ¹ 0 ; ( + 3) ¹ 3; -3; 0 c) +5 5 e) ¹ 8; 4 ( + f) ¹ g) 3( - ( + ). ) ¹ 0 e) - ¹ ; - f) ( + 33 ) 8 ( + 3) ¹-3 c) ¹ 0; -3 g) c) ( - )( + + ) + + 5( -4) -4-6 ( + ) ( -) ¹3; 0 d) 3 h) {} d) ( 5c+ )( 5c - 5c + ) + 3 ( -5) ¹ 5; 0 ¹ h) - ( - + ) ¹- ¹4 d) ( + )( -) ¹ 0 ; ;- ¹ ; - h) ¹ 4

4 3. ) + ¹ 0 ; ;- + ( -) ¹ ; c) ( - ) e) ¹ 5-6 ; 6 f) + ¹ ¹ 0, ¹ 0 4. ) + 4 ¹- 5 ; 4 ¹ ; -,-3 c) ¹- ;; 5 5 ¹ 0; -0; 0 d) +6 ¹ 3; - 9. Számelmélet. ) i i c) i d) i e) n. ) c) d) e) f) g) 3. szám végződése: Nem, mert mindig oszthtó 7-tel, h négzetszámok végződése: 0,, 4, 4, 6, 9. Nem, mert 7-re végződik. 6. szorzt: Mind z ) mind eseten eg Igen pl Eg tízes számrendszereli szám kkor és csk kkor oszthtó nolccl, h z utolsó három számjegéől képezett szám oszthtó nolccl.. ) pl. 6, 0, 5 4. Leglá 385 csempére vn szükség. 5. ) és 39, ill. 8 és ) H = 0, kkor = 0; 3; 6; 9, h = 5 kkor = ; 4; 7. H = 0, kkor = ; 4; 7, h = 4, kkor = 0; 3; 6; 9, h = 8, kkor = ; 5; 8. c) H = 0, kkor = 6, h = 5, kkor =. d) H = 4, kkor = Háromszor. 9. négzetszámok. 0. Számrendszerek. ) 96 7 c) 3635 d) 5. ) c) d) ) ()(34)(54)(0) c) ) = 3; 7 6. = 0; 3 7. ) = 0 lehet ármel -nél ngo pozitív egész szám. függvének feldtink eredménei. függvén foglm, jelölések, elnevezések. ) z f és h függvén. z f kölcsönösen egértelmű. D ={ 0 ;; 3 ; }, R = {-50, ; ; ; p }, f ( ) = f f D ={ 0 ;; 3 ; }, R = {-50, ; ; p }, h( ) = 0 h h 5

5 Megoldások. ) függvén nem függvén c) függvén d) nem függvén e) függvén f) nem függvén ) f ( )=-, f ()=- f 7 f 6 g g, (- )=-, æ ö - èç 3ø =-, ( )=- () 5, = ( - )=- æ ö 4-5 èç 3ø = 69, g, g 5 5 c) -3,5 d) ) egenlők egenlők c) egenlők d) nem egenlők. koordinát rendszer I.. ( 5;7) (3; 8) E(0; 3) F( 6;0) D( ; 3) (4; 4). háromszög területe: 48,5 cm 3. ) (5; 7) (4; 6) (3; 5) D(; 4) E(; 3) (5; 0) (4; 8) (3; 6) D(; 4) E(; ) c) (9; 8) d) E( 3; 4) (3; ) D(0; ) (6; 5) (6; 4) (5; 3,5) (4; 3) D(3;,5) E(; ) F(;,5) G(0; ) H( ;0,5) F G 4. ) c) d) () = 4 () = () = 3 (; 5) () = 4 6

6 e) f) g) () 3 h) () E e k 5. ) c) e k d) e) f) 6. Q( ;5) P(3;5) P( ; ) F(; ) Q(3; ) négszög tégllp, területe 4 (t.e.) helre jutht el olh. 8. helre jutht el olh. 3. Függvének szemléltetése. ) f ( )= 6 ; g( )=--. Mindkét függvén grfikonj izolált pontól áll, grfikon megrjzolásához ezek pontok nem köthetők össze. 7

7 Megoldások. ) D f =- [ 48 ; [, R f =- [ 38 ; ], zérushelek: = 0, = 6; f ()= 5; c) = - 4, =, = 3 d) ]-4 ; [È ] 38 ; [. 4. Lineáris függvének, egenes ránosság. d) f) 3 g) c) e) ). d) c) f) h) ) f ( )= -3; g( )=- + 6; 3 c) h( )= + 3 ; 4 d) i( )= ; e) j( )=- - ; 3 f) k( )= ; g) l( )=-3 ; h) m( )= 0. g) e) 3. d) f) ) f ( )= + ; g( )= ; c) h( )=--4; d) i( )=-3 ; e) j( )=- ; f) k( )= 3 ; ) h) g) l( )=-4 ; h) m( )= 0. g) c) e) 4. kg liszt, 6 3 dkg cukor, 5 3 kg prdicsom, 3 3 dkg oregno, 0 dkg élesztő, kg sjt szükséges. 5. plckn levő gáz nomás 5%-kl nő. 5. Másodfokú függvén. d) c) ) h) n) j) k) g) i) m) f) l) e) 8

8 Hozzárendelési szál Zérushel Szélsőérték Monotonitás Pritás Grfikon = - = + Nincs ) -4 c) 3 = 0 d) = 0 3 e) - = 0 f) - = 0 g) ( -3) = 3 h) ( + 4) = -4 i) ( -) = j) ( + 5) = -5 k) ( -) - = 3 = - = l) -( + ) + 4 = -3 m) 3( -5) -3 3 n) - ( -3) + 6 = 4 = 6 = = 5 Minimum hele: = 0 Minimum értéke: = -4 Minimum hele: = 0 Minimum értéke: = Minimum hele: = 0 Minimum értéke: = 0 Minimum hele: = 0 Minimum értéke: = 0 Mimum hele: = 0 Mimum értéke: = 0 Mimum hele: = 0 Mimum értéke: = 0 Minimum hele: = 3 Minimum értéke: = 0 Minimum hele: = -4 Minimum értéke: = 0 Minimum hele: = Minimum értéke: = 0 Minimum hele: = -5 Minimum értéke: = 0 Minimum hele: = Minimum értéke: = - Mimum hele: = - Mimum értéke: = 4 Minimum hele: = 5 Minimum értéke: = -3 Mimum hele: = 3 Mimum értéke: = 6 ]- ;0]-on szig. mon. csökkenő, [ 0; [-on szig.mon. növekvő ]- ;0]-on szig. mon. növekvő, [ 0; [-on szig.mon. csökkenő ]- ;3]-on szig. mon. csökkenő, [ 3; [-on szig.mon. növekvő ]- ;-4]-on szig. mon. csökkenő, [- 4; [-on szig.mon. növekvő ]- ;]-on szig. mon. csökkenő, [ ; [-on szig.mon. növekvő ]- ;-5]-on szig. mon. csökkenő, [- 5; [-on szig.mon. növekvő ]- ;]-on szig. mon. csökkenő, [ ; [-on szig.mon. növekvő ]- ;-]-on szig. mon. növekvő, [- ; [-on szig.mon. csökkenő ]- ;5]-on szig. mon. csökkenő, [ 5; [-on szig.mon. növekvő ]- ;3]-on szig. mon. növekvő, [ 3; [-on szig.mon. csökkenő páros páros páros páros páros páros Nem páros, nem pártln Nem páros, nem pártln Nem páros, nem pártln Nem páros, nem pártln Nem páros, nem pártln Nem páros, nem pártln Nem páros, nem pártln Nem páros, nem pártln Pozitív irán níló prol Pozitív irán níló prol Pozitív irán níló prol Pozitív irán níló prol Negtív irán níló prol Negtív irán níló prol Pozitív irán níló prol Pozitív irán níló prol Pozitív irán níló prol Pozitív irán níló prol Pozitív irán níló prol Negtív irán níló prol Pozitív irán níló prol Negtív irán níló prol 6. négzetgök foglm, négzetgökfüggvén ) ³ 35, ; ³- ; ³ ; - ³ > 0; > 4; 3 > ; - > 3 c) ³ 5, ; 4³ ³- ; ³-5, 5 d) = ; Æ ; > 9

9 Megoldások 3. ) c) d) e) f) c f d e jellemzés grfikonok lpján már nem nehéz. g 4. ) lt ( )= T, T Î + 0 T: 0,68 s, 4,44 s,,99 s; l:,6 m, 4,33 m, 39,8 m p c) nég-, ill. kilencszeresére d) 75%-kl e) 5%-kl 7. z szolútérték-függvén. ) [-50 ; ] -on szigorún monoton csökkenő függvén, [ 03 ; ]-on pedig szigorún monoton növekvő. Zérushele: 0 = 0. Szvkn: mínusz öt, három zárt intervllum minden eleméhez rendeljük hozzá z szolút értékét! ]- ;0]-on szigorún monoton csökkenő függvén, [ 0; [-on pedig szigorún monoton növekvő. Zérushele: =- 5 és = 5. Szvkn: Minden vlós számhoz rendeljük hozzá z szolút értékénél öttel kise számot! c) ]- ;0]-on szigorún monoton csökkenő függvén, [ 0; [-on pedig szigorún monoton növekvő. Zérushele: nincs. Szvkn: Minden vlós számhoz rendeljük hozzá z szolút értékénél háromml ngo számot! d) ]-4 ; ]-on szigorún monoton csökkenő függvén, [ 47 ; [-on pedig szigorún monoton növekvő. Zérushele: 0 = 4. Szvkn: mínusz kettő, hét nílt intervllum elemeihez rendeljük hozzá náluk néggel kise számok szolút értékét! 0

10 e) ]- ;-3] -on szigorún monoton csökkenő függvén, [-30 ; [-on pedig szigorún monoton növekvő. Zérushele: 0 =- 3. Szvkn: negtív vlós számokhoz rendeljük hozzá náluk háromml ngo számok szolút értékét!. ) Minimum vn z =- helen: ( - ) =-3. z 5-öt két helen veszi föl: =-0 -nél és = 6 -nál. Mimum vn z = 0 helen: ( 0)= 0. függvén nem veszi fel sehol z 5-öt. c) Mimum vn. M. hele: = 3, mimum: 0. függvén nem veszi fel sehol z 5-öt. d) Minimum vn. Min. hele: =-4, minimum:. függvén z 5-öt két helen veszi föl: =-8 -nál és = 0 -nál.

11 Megoldások e) Minimum vn z = 0 helen: e( 0) =- 4. függvén z 5-öt két helen veszi föl: =-9 -nél és = 9 -nél. f) Mimum vn z = 0 helen: f ( 0) = 7. függvén z 5-öt két helen veszi föl: =- -nél és = -nél. 3. ) D f =- [ 66 ; ], R f =- [ 59 ; ], menete: [-6 ; ]-on szig. mon. csökk; z [ 6 ; ]-on szig. mon. növ. z = helen minimum f () =- 5. z =-6 helen mimum f (- 6) = 9. Zérushelei: =- 5, és = 35,. Nem páros. D g =, R g =- ] ;], menete: ]- ;-4]-on szig. mon. növ; [- 4; [-on szig. mon. csökk. z = 4 helen mimum g( - 4) =. Zérushelei: =- 6 és =-. Nem páros. c) D h =- ] 74 ; [, R h =- ] 65, ;-3], menete: ]-70 ; ]-on szig. mon. növ.; z [ 04 ; [-on szig. mon. csökk z = 0 helen mimum h( 0) =- 3. Minimum nincs. Zérushele nincs. Nem páros. függvének -, illetve 5 helen felvett helettesítési értékei: f (- ) =- ; f ( ) =- 3; f () 5 = 3; g( - ) =- ; g( ) =- 4; g( 5) =-7; h( - ) =-3, 5 ; h( ) =- 4; h( 5 ) nincs értelmezve.

12 4. ) Növekvő z f függvén pl. ]- ; [-on, ]-75 ; [-on vg ] 67 ; [-on. z f függvén növekvő pl. ]-75 ; [-on, ]-3; -[-on vg ] 78 ; [-on. c) z f függvén növekvő pl. ]-3; -[-on, de ezen z intervllumon z f függvén csökkenő. 5. ) f ]- ;-7]-on csökkenő, [-7;-4]-on növekvő, [-4;-]-on csökkenő, [- ; [-on növekvő. g Észrevehető, hog g = f, íg képük és menetük is ugnoln. c) ]- ;]-on csökkenő, [ 6 ; ]-on növekvő, [ 60 ; ]-on csökkenő, [ 0; [ -on növekvő. 6. ) D f =, R f = + 0, menete: ]- ;-5]-on csökkenő, [-5;-3]-on növekvő, [-3; -] -on csökkenő, [- ; [-on növekvő. Két zérushele vn: =- 5 és =-. Ugnezeken heleken vn minimum függvénnek, mi 0. z =-3 helen függvénnek heli mimum vn. Nem páros. f D g =, R g =- [, [. függvénnek 7 töréspontj, ezeknek hele: -6,-3, 0470,,,,. Ezek 8 intervllumr ontják z tengelt, melek közül z elsőn függvén csökkenő, mjd váltkozv növ. és csökk. Nolc zérushele vn: -7,-5,-359,,,,,. Minimum, mit 6-nál, 0-nál, 4-nél és 0-nél vesz föl. Heli mimum vn z =-3 helen és z = 7 helen, hol heli mimum:, és z = helen is, hol heli mimum:. Nem páros. 3

13 Megoldások 7. ) ]- ;-]-on csökkenő, [-4 ; ]-on konstns, [ 4; [-on növekvő. ]- ;-5]-on konstns, [-5 ; ]-on növekvő, [ ; [-on konstns. c) ]- ;-]-on növekvő, [- ; [-on csökkenő. 8. Fordított ránosság, lineáris törtfüggvén. méterre forgástengeltől.. legdrágá lm kilój 400 Ft. legolcsó lmáól 60 kilót is meg tudunk venni. Pl.:50 Ft-os lmáól vehetünk 40 kilót, 0 Ft-osól 50 kilót, 40 Ft-osól 5 kilót. z lm kilónkénti ár és z áltlunk megvásárolhtó menniség között fordított ránosság áll fenn (z állndó 6000 Ft-ot feltételezve). 3. fennálló fordított ránosság mitt nomás 0-szorosár változik. (Feltételeztük z állndó hőmérsékletet.) 4. Egedül z f függvén pártln (és egik sem páros). f i g h 5. ) D f = \{-6}, R f = \{} 0 ; D g = \{}, R g = \{} ; f g c) D h = \{} 0 ; R h = \{} 5 ; d) D i = \{-5}, R i = \{} ; 5 h i 5 e) D j = \{}, R j = \{}. j 4

14 6. ) D f = \{} 3, R f = \{}, zérushele: = 4, menete: ]- ;3]-on csökk., és [ 3; [-on is csökk. f D f = \{-}, R f = \{} 3, zérushele: =- 5, menete: ] ; ] -on csökk., és [- ; [-on is csökk. g c) D f = \{-4}, R f = \{-}, zérushele: =, menete: - ] ;3 ] -on csökk., és [ 3; [-on is csökk. h d) D f = \{}, R f = \{-4}, zérushele: = 3, menete: - ] ; ] -on növ., és [ ; [ -on is növekvő. i e) D f = ì í ü \ - î 3 þ, R ì f = í 5ü \ î 3 þ, zérushele: = ù ù, menete: - ;- -on növ., és 5 ûú 3ûú é é - ; -on is növekvő. ëê 3 ëê 5

15 Megoldások 9. Egészrész-, törtrész- és előjelfüggvén (Kiegészítő ng). ) I f I D f =, Rf = { n n Î }= { páros számok }, monoton csökkenő, zérushele [ 0 ; [ intervllum minden eleme. I H H H H D g =, R g = {-0 ; ; }, zérushele: =-, -nél ngo számok hlmzán konstns függvén értéke, -nél kise számok hlmzán konstns. g c) F F F F G G G D h =- [ 54, ; ], R h =- [ ; ], minden n Î{ -; -; 0; ; ; 3} esetén monoton növekvő függvén z [ nn ; + [ intervllumon, továá [-5, ; [ intervllumon is. ì Zérushelei: í ü - - ; ; - ; ; î ; 3 ; þ d) F Z F E F G F K G G G D F J c) feldteli h függvénen lklmzott előjel-függvén. hol h függvén pozitív volt, ott lesz j függvénnek z értéke, hol h függvén értéke negtív volt, ott lesz j függvénnek z értéke. j függvén zérushelei ugnzok, mint h függvénéi. D j =- [ 54, ; ], R j = {-0 ; ; }.. függőleges tengelen fizetendő pénzt árázoltuk, minek grfikonj soh nem meg lá nnk jó közelítéssel egenes grfikonú függvénnek, mit kkor kpnánk, h másodperc lpú számlázást árázolnánk. Viszont 60. másodperceket kivéve mindig fölötte hld. Tehát semmi kockázt, minden töredék perc plusz evételt jelent. 3. árák: ) f f D E I J H g g D G E F G 6

16 : 4 = 30. H minden megkezdett eszélgetés lklmávl pontn z 59-edik másodpercen tette le telefont kisválllkozó, kkor szélsőséges eseten lehetett eg összesen 30 perc 59 mp-es eszélgetése (k. 6 ór). Különen hánszor hívást kezdeménezett, nni másodpercet kell levonnunk 30 percől. legrossz eseten minden kezdeménezett hívás zonnl meg is szkdt, íg tárcsázhtott kár 30-szer is nélkül, hog másodpercet is eszélt voln. 0. koordinát-rendszer II.. ) c) d) ) 3 c) 0,3 d),5 3. ) c) d) ) 3 d) 6 3 0,5 c) 0, ) ) c) 4 4. hlmz: e) 5 hlmz: U hlmz: f) e) D f) 5 ) c) t z u v w c 7

17 Megoldások d) e) f) 5. ) = {(, ) Î, Î, = } = {(, ) Î, Î, - + } c) = {(, ) Î, Î, 4, < } 6. ) = geometri feldtink eredménei. Térelemek kölcsönös helzete, szöge Ismétlés I Felezzük meg derékszöget! 5. Rjzoljunk! Két lehetőség dódik: vg tompszög: z 3 -os, vg hegesszög: z 80-3 = Ötlet: ) Hosszítsuk meg z egik szögszárt! Állítsunk merőlegest szög csúcsán vlmelik szögszárr! ngoik szöge közös csúccsl másoljuk át kiseik szöget úg, hog z egik szögszár közös legen. másik szögszárk áltl lkotott szög lesz két szög különsége. 0. ) 63 vg 7 ; 90 (Itt csk ez z eg megoldás vn, mert 90 -nk kiegészítő szöge is 90.) c) 35 vg Sokszögek Ismétlés II.. ) 4; 35; c) ; 36 ; 96. külső szögek rán: ::7. 6. Készítsünk táláztot! n: sokszög oldlszám, min : legkise, m : legngo szöge n min m

18 3. Térelemek távolság, sokszögek osztálozás Ismétlés III.. K 600 m.. z újszülöttek fejátmérője k 0 cm. élszerű tehát 0 cm-nél sűrű rácsozású ágt hsználni. 3. Pl.: 3; 5; 7 vg ; 3; d, köztük mindössze 3 háromszögnek különöző hosszú minden oldl. 5. Pl.: ; ; 4; 8 vg ; 3; 5; ) c) c c d 3 d 3 F D c c o G H I J K L M f g h i j k l d N m d E z c n Z w e d 3 e d 3 P Q R S T U V p q r s t u v W 7. e H d 4 d I 3 d 3 K f J d 3 8. ) c) Eg tégllp htároló és első pontji. 9. ) zon pontok hlmz, melek z e egenestől leglá 3 cm és z f egenestől leglá 4 cm távolságr vnnk. zon pontok hlmz, melek z e egenestől legfelje 3 cm vg z f egenestől legfelje 4 cm távolságn vnnk. 4. Speciális sokszögek. leghossz átló: 6 cm. ( szálos htszög ht egevágó szálos háromszögre onthtó.) 9

19 Megoldások. Rövid válsz: 00, 40, 80, 40 vg , 55, 38, 7. Hosszú válsz: három dott ránú szög közül semelik kettő nem lehet egmássl szemközti. H z 5 egségni szög nem illeszkedik szimmetritengelre, kkor nég szög rán: 5::5:, íg ngságuk 38 6, , 38, 7. H z egségni szög nem illeszkedik szimmetritengelre, kkor nég szög rán: 5:::, íg ngságuk 00, 40, 80, 40. ln deltoid pedig nincs, minek egségni szög nem illeszkedik szimmetritengelére, mert nnk lenne eg 80 -os szöge , 0, 70, rövide átló is hosszúságú, és z oldlkkl 60 -os szöget zár e ) -féle: romusz; -féle: húrtrpéz; c) 3-féle: szálos háromszög, prlelogrmm, konkáv ht szög. 5. kör és részei. _merõleges F d I. Állítsunk merőlegest kör középpontján át z dott egenesre! Ennek körrel vett metszéspontji keresett érintőknek z érintési pontj. II. z érintési pontokn állítsunk merőlegest z imént szerkesztett egenesre. _dott E e. Nég megoldás. r r 3. z ponttól cm-nél távol, de 5 cm-nél közele lévő pontok hlmz. Vg: Eg középpontú 3 cm vstgságú körgűrű, melnek középköre 3,5 cm sugrú. 4. o o 0

20 ) Eg ilen kör vn. Nég ilen kör vn. (lásd ár) z árákon láthtó kétféle elhelezkedése lehet három körnek. I. H páronként kívülről érintik egmást, kkor J = K, K = I és I = J. Ezért háromszög kerületének fele egenlő három kör sugránk összegével. Ez teszi lehetővé szerkesztést: z körül szerkesztendő kör sugr = K -. Hsonló összefüggés teljesül töire is, ár zokt J és K pont ismeretéen már egszerűen is meg tudjuk J I szerkeszteni. K II. Q P N H z egik kört (áránkon körülit) másik két csúcs köré rjzolt kör elülről érinti, kkor z N szkszt kiforgtv z pont körül z z Q szksz, N szksz pedig körüli forgtás után P szksz meg át. Íg itt körüli ng kör sugránk kétszerese lesz háromszög kerülete. z körüli kör sugr tehát: K -. II. eseten ng kör természetesen ármelik csúcs körül lehet, íg z három különöző esetet d. Minden háromszög esetéen létezik mind nég elrendezésen három páronként egmást érintő kör. Megjegzés: körök érintési pontji eírt körnek háromszög oldlivl vett érintési pontji (I. eset), illetve háromszöghöz hozzáírt köröknek háromszög oldlegeneseivel lkotott érintési pontji (II. eset) lásd 7.lecke.

21 Megoldások 6. háromszög köré írhtó kör. tnákt összekötő szksz felezőmerőlegesének és z országút egenesének metszéspontjá helezzük postládát. z első két árán - megoldás dódik. H két tnát összekötő szksz felezőmerőlegese párhuzmos z országút egenesével, kkor nincs megoldás. (3. ár) H pedig egeesik z országút egenesével, kkor végtelen sok megoldás vn. (4. ár). ár. ár 3. ár 4. ár T _felezõmerõleges _felezõmerõleges T T T _felezõmerõleges _országút T P P P 3 P 4 P 5 _országút P_postlád T _országút P_postlád _országút T _felezõmerõleges T. P f ( 6, ) (, 04) (, 0 ) Q (, ) ) (;0); (0;4); c) (;); ( ;6) 3. Eg ktuális térképen megszerkesztve három várostól egenlő távolságr lévő pontot láthtjuk, hog országhtáron kívülre esne toron. 4. Próáljuk minél kevese körzőhsználttl megoldni szerkesztést! F G D 5. ) és c) Áltlános prlelogrmmánál és trpéznál nég ilen kör vn. Tetszőleges tégllpnál csk kör vn. 7. háromszöge írhtó kör. z szögfelezőjének és z oldlnk metszéspontj. e_szögfelezõ D

22 . szerkesztendő félkör középpontjánk egenlő távolságr kell lennie háromszög másik két oldlától. (Lásd. feldt) Nincs ilen félkör, h háromszög oln oldlár illeszkedne z átmérője, melhez cstlkozó szögek közül z egik tompszög. e_szögfelezô E D G 3. Kettő. Ugnoln gondoltmenet kell hsználnunk, mint nnk igzoláskor, hog háromszög szögfelezői eg pontn metszik egmást. 4. z egenesek két szögfelezője csúcson kívül ott metszi kört, hol z oldl felezőmerőlegese. f g E e D 5. Más-más kert lkul ki, h másik átlót válsztnk. 3

23 Megoldások 6. Ötletek: szemközti szögek szögfelezői egiránúk. kkor esnek ege, h prlelogrmm romusz is egen. Ekkor másik két szögfelező is átmeg romusz középpontján. H pedig nem romusz, kkor szemközti szögek szögfelezői párhuzmosk, tehát prlelogrmmát lkotnk. De z árán pl. z G háromszögről könnű elátni, hog derékszögű (mivel α + β = 80 ). D G H F E 7. δ = 58, ε = 69, ζ = 53 g 64 z e d z háromszögnek külső szöge δ, ezért d = +. Ugníg e g = + és z g = +. g z e d 8. Területszámítás. m = m c, m = m, m 3 = m Hsználjuk háromszög területképletét! T. 3 cm 3. Mindkét válsz: p» 57,. 4. ) 5-szörsére, 49-szeresére, c) n -szeresére változik. m m cm c = = =. 5. ) 6-szorosár, 0-szeresére, c) k-szorosár, d) n -szeresére nőtt. 6. Kössük össze csúcsot szemközti oldl felezőpontjávl. (súlvonl) 7. K = 60 cm 8. 4 cm (Gondolkozzunk el rjt, hog iztosn vn-e ilen háromszög!) 9. háromszög ármelik mgsság legfelje kkor, mint vele közös csúcsól kiinduló oldlk. Íg 6 cm-es oldl csk 6 merőleges lehet 8 cm-es mgsságr, tehát T = 8 = 44 ( cm ). 0. Prézli számár nem tiltott háromszög lkú terület eírhtó körének középpontjá érdemes leszúrni krót. Hsználjuk Kr Heron-képletet és T = összefüggést! 4

24 T K = 36 m, T = s( s-)( s-( s- c) = 8 89 = 36 ( m ), r = = ( m). Legfelje m hosszú pórázon köthetik ki Prézlit. K 9. Pitgorsz-tétel I.. ) 5 cm, 5 cm, c) 6 cm. ) 30, 380» 9, 49. c) + 3. szárk hossz: 0 egség, hozzájuk trtozó mgsságok hossz: 9,6 egség. 4. Két eset vn: 3 egség vg 7 egség. 5. z átlók hossz cm, kerület: K = 45+ 7» 35, 05 (cm) cm 0. Pitgorsz-tétel II.. m = 4 3» 693, egség, T = 6 3» 77, t.e.. 0 cm és 5 3» 866, cm 3. K. 9%-át ár jelöléseivel: (mindegik sokszögnek legfelje kétféle hosszúságú oldl vn) 5. T = 0 cm, eírt kör sugr: r = 5 4 Síkidom etűjele Egik oldl Másik oldl Területe (t.e.) c d e 6. 7 cm. z átló felezőmerőlegesének és z oldlnk metszéspontj. cm, körülírt kör középpontj háromszögön kívül vn, sugr: R = 89 6 cm. 7. z ), és d) eseten derékszögű háromszöget kpunk Pitgorsz-tétel megfordítás szerint, c) és z e) eseten pedig nem derékszögű háromszöget kpunk Pitgorsz-tétel szerint.. Geometrii trnszformációk (evezetés). Ezt z olvsór ízzuk.. ) '( -6; ), '(-; 4 ), '( 3 ; ); '( 6; - ), '( ; - 4), '(-;-3); c) '( -4; ), '( 4 ; ), '( 43 ; ); d) '( 6 ; ), '( 4 ;), '( 3; - ). 3. '( -; 7 ); '(-5; ); '(-3;-6); D '(-;-) 4. '( 30 ; ); '( 7 ; ); '( 4 ; ) (lásd ár) E D 5. nolc vg nnál tö os szöge csk eg lehet, íg másik két szög egenlő: 45 -os. Egenlő szárú, derékszögű háromszög. 5

25 Megoldások 7. Tégllp vg romusz. 8. Néhán péld: tengelesen szimmetrikus pl.: és forgásszimmetrikus pl.: 9. tengeles, középpontos, és htodrendű forgásszimmetriávl. Geometrii trnszformációkkl kcsoltos szerkesztések. Tükrözzük középpontot!. Hsználjuk ki négzet középpontj körüli negedrendű forgásszimmetriáját! c c D c 3. Prlelogrmm c c 6

26 cm. közös rész szálos htszög, íg tengelesen is, középpontosn is szimmetrikus, és htodrendű forgásszimmetriávl is rendelkezik. D 6. H z e és z f eg pontn metszi egmást, kkor háromszög mindig egértelműen létezik (hcsk ez metszéspont -vel összekötve nem merőleges szimmetritengelre: ekkor nem szerkeszthető háromszög). H e és f nem metszi egmást, kkor szintén nincs háromszög. És h e egeesik f-fel, kkor végtelen sok háromszög szerkeszthető megdott feltételekkel. (Mindkét utói eseten egenlő ngságú szöget zár e z e és z f egenes t-vel.) e_dott t_dott _dott e_dott t_dott _dott f_dott e e_dott t_dott _dott f_dott e f_dott 7. Forgssuk el z dott pont körül pl. z f egenest. Mivel pont körüli 60 -os elforgtottj pont, íg = f Çe. (lásd ár) z f egenes -60 -os elforgtásávl másik háromszöghöz jutunk, ezt z árán már nem rjzoltuk meg. f f f e _dott f d _dott e 3. Geometrii trnszformációkkl kcsoltos izonítások. M, vgis m c z M há- ^ és m ^ romszög M csúcsához trtozó mgsságvonl, oldl egenese pedig z M háromszög csúcsához trtozó mgsságvonl. m c m z M háromszög mgsságpontj, mivel mc c. 98, H derékszögű háromszög, kkor nincs KML. H α és β is hegesszög, kkor KML = +. H α vg β tompszög, kkor KML = 80 - ( + = g. 3. Ötlet: z egik átló két háromszögre ontj négszöget. négszög szomszédos oldlfelező pontjit összekötő szkszok e háromszögek középvonli. 7

27 Megoldások 4. z árán P ponthoz menjen z út. Más (Q) pont esetén hossz z Q = Q töröttvonl. foló Q P 5. m c közös mgsság z F és z F háromszögnek, és F = F. s c m c F 6. F s c S E s s c D s S s E s c F Tükrözzük z háromszöget z egik oldl felezőpontjár (D)! S = s, S ' = s és 3 3 SS ' = SD = sc = sc. z SS háromszög mindig létezik. Íg ( háromszög-egenlőtlenség szerint) létezik z s 3 3, s, s c oldlú háromszög is. 7. Q P e e e P Q Q P z árán láthtó PQ töröttvonl legrövide. Szerkesztési eljárás: P-t tükrözzük z egik szögszárr, Q-t másikr úg, hog PP és QQ szksz ne menjen át PQ szögtrtománon! és P Q metszéspontji szögszárkkl. tükrözés gondolt koráik lpján indokolt lehet. (Gondoljuk végig! Másik töröttvonl csk hossz lehetne.) De miért nem mindeg, melik szögszárr tükrözünk? z egform színnel jelölt szkszok tükrözések mitt egenlők, és = ', = ', e= e' = e '. kék P Q háromszögnek -nál + + 3e ngságú szöge vn, és z ezt közrefogó két oldl egenlő P Q (piros) háromszög két -ól induló oldlávl, de zok szöge csk: + + e. Íg (kék) P Q szksz hossz, mint (piros) P Q szksz. 4. Thlész tétele. e E = E = 40» 63, cm E Thlész_kör E e 8

28 . Eg m sugrú neged körívet létr kezdeti tlppontj körül körvonl pontjiól derékszögen látszik z dott szár, íg körvonl lppl vló metszéspontjáól is. T tehát merőleges -re, vgis z oldlhoz trtozó mgsság, mi felezi z egenlő szárú háromszög lpját. F m c T 4. négzet középpontj minden oldl mint átmérő fölé emelt körre illeszkedik. 5. F G r D r FG = D, D r r r r r rr r r = ( + ) -( - ) = rr - r = 4rr FG = r r = d d 6. két tlppontól derékszögen látszik M szksz, íg rjt vnnk M Thlész-körén. ármilen (tompszögű, derékszögű) háromszögre teljesül, minek -nél nincs derékszöge. (Ekkor ugnis nég pont egeesik.) F D E M 7. Pl. eg konkáv deltoid. 8. Három eset vn: 3 cm, 5 cm vg 6 cm. 9. ) Vegünk fel eg kört és nnk eg tetszőleges átmérőjét, vlmint eg erre nem illeszkedő E pontját! z átmérő két végpontján állítsunk merőlegest z átmérőre (z lpok egenese)! z E pontn pedig szerkesszünk szintén érintőt körhöz (z egik szár egenese)! Ezt tükrözzük felvett átmérő egenesére ( másik szár egenese)! z lpokkl párhuzmos középvonl hossz z lpok összegének fele, mi egenlő szárk összegének felével, vgis eg-eg szár hosszávl. 5. Körív hossz, körcikk területe, ívmérték. ) 4 p dm» 4, 66 dm ; p dm» 65, 97 dm ; c) 33 p dm» 9, 85 dm ) 89,95 90 ; 7,9 ; c) rd 57,3 ; d) rd 4, m 4. K. 670 km-t tesz meg, kerületi seessége: 670 km h. 9

29 Megoldások 5., 5 = p rd m 7. ) p ; p 4 ; c) p 4p ; d) ; 3 3 p 49 e) ; f) 5 60 p 8. ) 90 ; 70 ; c) 5 ; d) 300 ; e) 5 ; f) Vektorok, műveletek vektorokkl. = ; D =- ; = + ; D = - ; K = + ; KD = -. ) Pl. z árán láthtó módon; c) lásd ár F E D G D E H 3. lásd ár c 4. lásd ár c d c 5. DN DK DN felé km, K felé km» 7 km. z árán szggtott vonlll megrjzoltuk másik lehetőséget is. K 6. Hsználjuk 3.6. árát! S+ S + S = S+ S ' + SS ' = SS = =- 3i+ 5 j ; - =-4 i- j ; + = 7i-4 j ; - = i- j; = i-7 j 7. Síkidomok egevágóság. ); ; e); f) igz, c), d) nem igz. Hsználjuk ki, hog z átlók merőlegesen felezik egmást! 30

30 3. Nem. Pl. két árán páronként egevágó háromszögekől áll z D és z D négszög, mégsem egevágók. (Más típusú ellenpéld is tláhtó.) e d D c e d D c z egenletek, egenlőtlenségek feldtink eredménei. Egenlet foglm é. ) ; [- 4; [\{} 3 ; c) \{}; 3 d) ; e) ]- ;]; f) ; g) ëê ; é ; h) {}. ëê. z =- 6, z =-, z = 0 5,, z = 5 nem megoldási z ),, d), e), f) pontok ltti egenleteknek. z =- 6 5, z =-, z = 0, nem megoldási c) pont ltti egenletnek. z = 5 megoldás c) pont ltti egenletnek. 3. ) állítás, logiki értéke hmis; állítás, logiki értéke igz; c) nem állítás; d) állítás, logiki értéke hmis; e) állítás, logiki értéke igz; f) állítás, logiki értéke igz; g) nem állítás. 4. = =- = 3 Igzsághlmz ) hmis hmis hmis {} hmis igz hmis { ;-} c) hmis hmis hmis ì í - î d) hmis hmis hmis {} ü 3þ e) hmis hmis hmis [ 6; [ f) igz hmis hmis { ; 3; 5; 9; 5; 45} 5. ) prlelogrmm; 30, 60, 90 -os elsőszögekkel rendelkező háromszög; c) trpéz; d) szálos háromszög.. Egenletek megoldás grfikus úton. ) Megoldás: =. Megoldás: =, = 4. c) Megoldás:» 3,. 4 ( ) , 3

31 Megoldások d) Megoldás: = 0, = -3. e) Megoldás: =, = -5. ( ) 6. ) - = ( Î ) + = - ( Î ) c) - = ( Î ) Megoldás: {}. Megoldás: {}. 4 Megoldás: {}. d) - = - ( Î ) e) + = ( + ) ( Î ) Megoldás: {}. Megoldás: {-;- ; }. 3. ) p <- esetén nincs megoldás; p =- vg p > 3 esetén kettő megoldás vn; p = 3 -nál három megoldás vn; - < p < 3 esetén nég megoldás vn; p<- p> 4 vg 4 esetén nincs megoldás; - p 4 0 vg p = 4 esetén eg megoldás vn; 0 < p < esetén kettő 4 megoldás vn; c) ármel vlós p prméter esetén kettő megoldás vn. 3. Egenletek megoldás lgeri úton ì0. ) í ü ; î 3 { 30 þ }; c) ì3 í ü ; d) î { 9 þ }. ì70. ) í ü î 93 þ ; {}; 3 c) ì53 í ü î 78þ. 3. ) {}; {}; 6 c) ì í ü - î 30 þ ; d) ì 3 í ü î þ ; e) {}; f) { - 3 }. ìæ 4. ) {}; 4 {}; c) {(-3;-6; 9) }; d) {( 3; -; 5) }; e) 5 ; ö í ü èç ø ; f) {( ; );( ; -)}; g) {}; 9 h) {-}. î þ 5. ) { 0}; { }; c) { 8}; d) { 53}. 3

32 6. keresett egészek: 5 és 5; 5 és -5; -5 és -5; - és 7; - és -7; és -7; és ) ]- ;]; [- 4; [; c) {}; 9 d) [ 0; [. 8. ) ì í ü - î ; 9 ; 5 þ ; {-35 ; ; }; c) ì í î - 3 ü ; 59 ; þ ; d) ì í î - - ü ; ; e) {-34 ; ; }. 5þ 4. Egenlőtlenségek, egenlőtlenség rendszerek. termelés zon kiocsátások mellett nereséges, melekre Î[ , ;, [ teljesül.. )Megoldás: [ 9 ; ]. Megoldás: ]-;-[È ] 0 ; [. c) Megoldás: [-3 ; ]. d) Megoldás: \ {-4}. 3 4 ( ) ) - È{ 0 ;; }; + ; c) - È{ 0 ; }. ù é 4. ) - - ûú ; ëê È ] 5 3 ; [ ù é ; ]-34 ; ]; c) ]-73 ; ]; d) ]- ;-6]È[ ; 5 ]; e) [-8 ; [; f) -0;- ; ûú ëê g) ]- ;-[È[ 0; ]; h) ]- - [Èé é ; ; ëê 7 4 ëê. 5. ) \{}; 0 { 46 ; }; c) {( ; );(- ; )}; d) {}. 5. szolútértéket trtlmzó egenletek és egenlőségek ì. ) {-7 ; }; {-5 ; }; c) { 5; }; d) {}; e) {-33, }; f) í 0 ; ü î 3þ ; g) ]-4 ; [; ù 3 é h) ]- ;-]È[ 0 ; [; i) [ 097, ;, ]; j) ]- ;-4]È[ ; [; k) - - ûú ëê È ù ûú é ; ; ; l) \ {-5}. ëê ì8. ) í ü î 5þ ; ì í î - ü 5 ì ; ; c) í 90 ü - - é ; 6 ; d) ]- ;-]; e) [- 3; [ ; f) 5 7 þ î 7 þ ëê ; é ëê. ì 3. ) {}; {}; c) í 8 ü ; d) ; e) {}; f) ù é - ; 8 î 3þ ûú 3 ëê. é9 é 4. ) {-8 ;, }; ]- ;-6]È[ 0; 3]È ; ; c) {-;-0;-6;-4; 068 ; ; ; }; d) - ëê ëê [ ]È é ù 93 ; ë 6 ê ; 5 ûú. 6. Szöveges feldtok I.. keresett kétjegű szám 7.. Tehát 750 pólót nereséggel, 50 pólót veszteséggel dott el. 3. ) liter 3%-os és liter 35%-os sóoldtot kell összekeverni hhoz, hog 4 liter 9%-os sóoldtot kpjunk. 30 liter 3%-os és 6 liter 35%-os sóoldtot kell összekeverni hhoz, hog 36 liter 5%-os sóoldtot kpjunk. 4. teljes vgon 000 livres volt, mind nég fiú ugnnnit, zz 3000 livrest örökölt. 5. z első játékos 39, második, hrmdik pedig louis-vl ült le játszni. 6. urkolt 0 np ltt készült el. 7. ) H ugnn z iránn közlekednek, kkor,8 s ltt hldnk el egmás mellett. H egmássl szemen közlekednek, kkor, s ltt hldnk el egmás mellett. 7. Szöveges feldtok II.. háromszög elsőszögei: ) 45, 60, 75 ; 8, 63, 99 ; c) ,,

33 Megoldások. háromszög elsőszögei: ,, trpéz szögei rendre: ,,, vg ,,, vg 67, 5,, 5, 45, 35 vg , 5,, 5, 35, deltoid szögei rendre: 5, 75, 95, 75 vg 8, 34, 8, 90 vg ,,, ) háromszög oldli 48, 90, 0 cm hosszúságúk, eírt kör sugránk hossz 8 cm. keresett pont hosszik efogó zon pontj, mel derékszögű csúcstól 3, cm távolságn vn. 6. keresett pont z ponttól 5,5 cm, ponttól,5 cm távolságn vn. 7. keresett háromszög oldlink hossz 3,3,. 8. Elsőfokú egenletrendszerek ìæ 4 7ö. ) í ü ; èç ø ; {(-; -5)}; c) {(-; -)}. î þ ìæ. ) 5 ; ö í ü èç ø ; {( 0 ; )}; c) {( ;-) }; d) {( ; 4+ Î )}; e) {( 6 ; )}; f) {( 6 ; )}. î þ 3. ) =- ; ¹ ; c) = ; d) nincsen ilen ; e) ¹. 4. ) =- 4, = ; =- 4, ¹ ; c) ¹-4 ; d) ¹. 9. Egenletrendszerrel megoldhtó feldtok. z egik sokszög 8, másik 6 oldlú. sokszögeknek egütt 359 átlój vn.. képkeret első mérete: cm. 3. jetski seessége állóvízen 8 km h, foló seessége km h. ìæ 3 ö 4. ) {( 0 ; )}; í ü ; èç 5 5ø ìæ 3 ö ; c) í ü ; Î \ {} 0 î þ èç 5 ø. î þ 5. {( 0 ; ;-)}. 6. tégltest eg csúcs futó élei: 9 cm, cm, 4 cm hosszúságúk, testátlój 3 89 cm. 7. tégltest térfogt 44 cm 3, eg csúcs futó élei 3 cm, 4 cm, cm, testátlój 3 cm. sttisztik feldtink eredménei. dtok megdás, szemléltetése. ) testmgsság 3 cm-es csoportgkoriság: Testmgsság (cm) Intervllumhoz trtozó gkoriság gkoriság éves fiúk testmgsság szerinti eloszlás testmgsság (cm) 34

34 mtemtik osztálztok gkorisági eloszlás: sztálzt Gkoriság Középértékek. ) = 357,, Mo = 3, Me = 4; 36% 4% 33% 7% 3% % 0% 9% 7% elégséges közepes jó jeles elégtelen elégséges közepes jó jeles 5 éves fiúk mtemtik osztálzt szerinti eloszlás z osztál történelem osztálzt szerinti eloszlás. z említett játékos mgsság pálán mrdt játékosok mgsságánk átlgánál 6 cm-rel ngo. 3. ) Mind z átlg, mind módusz, mind medián 5-tel nő. Mind z átlg, mind módusz, mind medián (-)-szeresére változik. 4. ) Hét tnuló írt jó osztálztú dolgoztot. gkoriság osztálztok eloszlás 0 elégtelen elégséges közepes jó jeles osztálztok c) Mo = Me = ) Vn feltételeknek eleget tevő számsokság. Pl.: ,,,,,,,, 904 ; Vn feltételeknek eleget tevő számsokság. Pl.:, 33888,,,,,,, 7977 ; c) Vn feltételeknek eleget tevő számsokság. Pl.:, 33,,,, 848, 848, 848, 57 ; d) Nem létezik feltételeknek eleget tevő számsokság. 35