A más és az ugyanaz. A tekintési rendszerek általános elmélete. Relációk megadása. és R 1

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "A más és az ugyanaz. A tekintési rendszerek általános elmélete. Relációk megadása. és R 1"

Átírás

1 A más és az ugyanaz A tekintési rendszerek általános elmélete Édesapám, dr. Vajda Endre emlékének, aki a budapesti Postamúzeum alapító főigazgatója volt Relációk megadása Ha egy nemüres S halmazon mint alaphalmazon értelmezett n-változós R 0 és R 1 relációt az S elemeiből képzett rendezett n-esek S n halmazának részhalmazaiként definiálunk, csak akkor tudunk különbséget tenni a két reláció között, ha a két részhalmaz sem azonos. Bizonyos modellálási feladatoknál azonban olyan relációkat is célszerű lenne megkülönböztetni, melyekkel kapcsolatban az őket reprezentáló részhalmazok azonossága miatt a fenti definíció ezt nem teszi lehetővé. Mivel a reláció fogalma nem egyszerűen a tetszőleges dolgok közti viszonynak, hanem a tetszőleges dolgok közti tetszőleges viszonynak a naiv fogalmát kell hogy matematikailag szabatosan explikálja, olyan meghatározásra van szükség, amely a kívánt explikálást torzítatlanul megvalósítva nem csak bizonyos speciális struktúrák osztályán van érvényben. A megoldandó probléma végső soron az, hogyan lehet valamely elem ugyanazon halmazt definiálni látszó más-más tulajdonságait egymástól megkülönböztetni. Első lépésként az inherens és koherens tulajdonság fogalmát kell szétválasztani. Ha inherens tulajdonságnak csak azt fogadjuk el, amely valamely elemre teljesülve nem mond ki többet, mint hogy az egy adott halmazhoz tartozik, akkor halmaz és inherens tulajdonság között kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés áll fönn. Valamely inherens tulajdonsággal bíró elemek kivétel nélküli megadása definiál egy halmazt. (Az üres halmaz esetében ennek értelmében azt mondhatjuk, hogy egy és csakis egy olyan inherens tulajdonság van, amely egyetlen halmaz egyetlen elemére sem teljesül.) Koherens tulajdonságnak ezzel szemben azt nevezhetjük, amely valamely halmaz elemeire teljesülve nem az adott halmazhoz való tartozásukat fogalmazza meg. A kiindulási feladatot ezzel annak a kérdésnek a megválaszolására redukáltuk, hogyan különítsük el az ugyanazon halmaz elemeire teljesülő tetszőlegesen sok koherens tulajdonságot egymástól is. Ha E egy E halmaz elemeire teljesülő in- 261

2 herens tulajdonság, akkor az E elemeire teljesülő koherens tulajdonságok mint egy X { E } szorzathalmazt alkotó rendezett párok interpretálhatók, ahol bár X elemeinek a mibenlétével általánosságban nem foglalkozunk, konkrét esetekben a szükségleteknek megfelelően megadható megkülönböztető jegyeket nézőpontokat értjük alattuk. Az inherens és koherens tulajdonság fogalmának oppozícionális értelmezésével máris elkerülhetővé válik az a csapda, hogyan lehet egy üres vagy nemüres halmazt vagy egyáltalán bármit is valamilyen módon önmagától megkülönböztetni. Evidens ugyan, hogy sehogy, az viszont, hogy ehelyett azokat a nézőpontokat különböztessük meg egymástól, amelyekből tekintve ugyanaz az objektum más és más értékeket vesz föl, az inherens és koherens tulajdonságokról előlegképpen mondottak absztrahálásával minden nehézség nélkül megoldható. Az alábbiakban tehát bevezetjük előbb egy általános értelemben vett objektum, majd pedig specifikusan egy halmaz tekintéseinek fogalmát, amellyel a más és az ugyanaz érvényességét relativizálva a reláció mibenlétének másmilyen interpretálása is lehetővé válik. Legyen C( A ) az a halmaz, amely egy tetszőleges számosságú nemüres bár egy speciális és a mi szempontunkból érdektelen esetben mégiscsak üres A halmaz minden egyes elemére külön-külön vonatkozó ismétléses kiválasztás valahányszori nem szükségképpen ugyanannyiszori eseteit összesíti. A elemeit tehát egymástól függetlenül rendre kiválasztjuk bárhányszor akár nullaszor, akár véges vagy végtelen sokszor. E kiválasztást az az ε : A B bijekció írja le, amelynek értékei az A egy-egy a i elemének összes b ij kiválasztási esetét egybefogó, tetszőleges sőt egymástól független számosságú (üres vagy nemüres, véges vagy végtelen, megszámlálható vagy megszámlálhatatlan) B i halmazok. Az i index egy hézagtalan I rendszámhalmazon, a j index pedig egy-egy hézagtalan J i rendszámhalmazon fut végig. A könnyebb megnevezhetőség kedvéért ε argumentumait a kiválasztási esetek etalonjainak, ezek képpontjait egy-egy etalon múzeumának, az egyes múzeumok elemeit pedig a megfelelő etalonok tekintéseinek vagy mint az előbb is kiválasztási eseteinek fogjuk hívni. B az a halmazrendszer, amely az A-beli etalonokhoz tartozó és azok tekintéseit magukba foglaló múzeumok halmaza, ami alapján A-nak az etalonhalmaz, B-nek pedig a múzeumhalmaz nevet adhatjuk. C( A ) amely A üres volta esetén evidens módon maga is üres mint B i definiálható. Vizsgáljuk meg ezek tükrében azt az esetet, amikor az etalon maga is halmaz. P = P( H )-val H hatványhalmazát, P elemeit vagyis H részeit pedig iєi Mi a szakirodalomban elterjedt nem megszámlálható vagy nemmegszámlálható kifejezések helyett magyarosabbnak tartjuk a megszámlálhatatlan szó használatát. A szerző. 262

3 P i -vel fogjuk jelölni. A C( P ) halmaz a H összes részére vonatkozó ismétléses kiválasztás összes esetét fogja egybe, azaz a H részeihez rendelt múzeumok uniója. A ζ : P Y bijekció P-t a P i halmazok Y i múzeumainak Y halmazrendszerére képezi le. Az egy-egy P i halmazhoz tartozó Y i = ζ( P i ) múzeum elemei a mondottaknak megfelelően a szemlélt P i tekintései. Legyen Z = P( S n ) az S elemeiből képzett rendezett n-esek S n halmazának hatványhalmaza. Az előbbiek alapján az S-en kijelölt n-változós relációkat nem Z, hanem C( Z ) elemeiként határozhatjuk meg. A reláció fogalmának eme bővítésével mód nyílik az első bekezdésben szűknek talált definíció átfogalmazására: egy nemüres S halmazon értelmezett n -változós R 0 reláció az S n valamely R részéhez mint etalonhoz tartozó M múzeum egy eleme vagyis R egy tekintése, amely alatt egy R 0 relációformának mint az n-kitevős Descarteshatványok részei által alkotott osztály egy, R-et elemként magába foglaló adott részosztályának és R-nek az R 0, R rendezett párját értjük. R-re R 0 arcaként fogunk utalni. (A grafikon fogalmának ilyen értelmű általánosítását mi a magunk részéről praktikusabbnak látjuk függvényekre specifikálni; azaz grafikon alatt egy függvénynek mint relációnak az arcát értjük.) Két reláció, ha arcuk azonos, egyarcú, míg ha nem, különarcú relációk. A relációfogalom hagyományos értelmezése tulajdonképpen csak a különarcú relációk egymástól való szétválasztására szorítkozik. Befejezésképpen azonban le kell szögezni, hogy a reláció fogalmának mind a szűkebb, mind a tágabb érvényű definíciója csupán egy adott relációnak egy adott halmazon való bevezetését jelenti, nem pedig e fogalom absztrakt meghatározását, mivel mindkettő eleve adottnak veszi az,,eleme, a,,részhalmaza és a,,rendezett n-est alkot relációt, valamint a rendezett n-esek halmazának képzését, amely mint minden művelet egyben relációnak is minősül. Ezeket a nehézségeket sem az nem küszöböli ki, ha a reláció fogalmát a tulajdonságéra vezetjük vissza, rendezett n-esek egyváltozós tulajdonságáról beszélve**, sem pedig a halmazelmélet axiomatizálása, hiszen az egyes axiómarendszerek nyelve a változók jelein kívül éppen néhány definiálatlan reláció jeléből kell hogy álljon. A helyzetet az is bonyolítja, hogy a műveletek általánosításaként felfogható függvények így a logikai függvények is szintén relációkként írhatók le. Mindez azt sugallja, hogy a relációfogalom származtatott definíció helyett axiomatikus tárgyalást igényel, amire az inkriminált meghatározás vitathatatlanul kényelmes voltán kívül mindmáig valószínűleg csupán azért nem került sor, mert azokat a nevezetes matematikai antinómiákat, amelyek a ** Említést érdemel, hogy mivel a rendezett n-esek fogalmában az n-esek fogalmának speciális esetét láthatjuk, a relációfogalom az általános n-esek egyváltozós tulajdonságaként tovább szélesíthető, értelemszerűen módosított algebrai megalapozást téve indokolttá. A szerző. 263

4 halmazelmélet axiomatizálását s ezáltal a matematika paradigmaváltóan radikális unifikálását mintegy kikényszerítették, halmazokról beszélve sokkal szemléletesebben lehetett megfogalmazni, mint relációkkal kapcsolatban, s így az utóbbiak jelentősége a halmazokéhoz képest mellékesnek tűnt. A szükségesség és a lehetőség azonban egyaránt adott: egyfelől a halmaz vagy az elem, másfelől pedig a tulajdonság vagy reláció fogalmát definiálatlan alapfogalomnak véve, a meglevő halmazelméleti axiómarendszerek több-kevesebb módosításával viszonylag könnyen olyan egységes axiomatikus alapelmélet alkotható meg, amely a matematika egésze szempontjából a halmazelméleti modellek továbbfejlesztésének bizonyulhat Etalonok kvalifikálása Egy nemüres A halmaz elemeit külön-külön illető ismétléses kiválasztás egy olyan A, Q, B; ε rendezett négyessel fejezhető ki, ahol az ε : A B bijekció az etalonhalmaznak nevezett A halmaz minden egyes, etalonnak nevezett a i eleméhez hozzárendeli a rá vonatkozó b ij kiválasztási esetek vagy más szóval tekintések tetszőleges sőt egymástól független számosságú, múzeumnak nevezett B i =Q i { a i } szorzathalmazát, ahol a kvalifikátorhalmazoknak nevezett Q i halmazok rendre az egyes egyelemű { a i } részekre mint egy-egy közös arcra teljesülő, kvalifikátoroknak nevezett egyarcú egyváltozós Q ij tulajdonságok tetszőleges sőt egymástól független számosságú halmazai, melyek egy Q halmazrendszert alkotnak, míg B a Q i halmazokkal értelemszerűen rendre ekvivalens B i szorzathalmazok által alkotott és múzeumhalmaznak nevezett halmazrendszerként definiálható. Az i index egy hézagtalan I rendszámhalmazt, a j index A megismerés viszonylagosságának circulus vitiosusából azonban nem lehet semmiféle axiomatizálással (sem) kitörni, mert bármely A axiómarendszer megadásához valamilyen nyelvre van szükség, amely mint struktúra egész sereg specifikus absztrakt algebrai és egyéb matematikai fogalom definíciójának előfeltételezésén keresztül végső soron a halmazelmélet komplett axiomatizálását vagy ha A már maga is a halmazelméletre vonatkozott, akkor újraaxiomatizálását is előfeltételezi, s mivel az előfeltételezett axiómarendszer saját nyelvében is törvényszerűleg ugyanez a probléma rejlik, a halmazelméleten belül pedig az összes többi matematikai elmélet modellálható, akármelyik matematikai részterület axiomatizálása igazi (vagyis független) axiómarendszer sikeres fölállítása helyett a halmazelmélet álaxiómarendszerére ad infinitum ismétlődő visszajutással a matematika egészének végtelen regressziójába torkollik. Ezt a problémát és annak általunk javasolt megoldását a Viszonyítási rendszerek című tanulmányunkban részletesen ismertetjük. A szerző. 264

5 pedig egy-egy hézagtalan J i rendszámhalmazt fut be. Tisztázni kell még azokat a fogalmakat, amelyek a tulajdonságéval kapcsolatosak: egy egyváltozós tulajdonságnak valamely halmazon megjelenő arca alatt a halmaznak azt a részét értjük, amelynek elemeire a tulajdonság igaz, több tulajdonság egyarcúsága pedig azt jelenti, hogy az arcuk azonos. Az egyes a i etalonok b ij tekintései mint a B i szorzathalmazok elemei olyan Q ij, a i rendezett párok, amelyek első komponense az adott Q i halmaz valamely elemeként mindig más és más, míg második komponense mint a tekintett etalon egy-egy múzeumon belül mindig ugyanaz. Ezáltal formálisan is kifejeződik az a különbség, amely egyrészt valamely etalon bármely két tekintése, másrészt maga az etalon és annak bármely tekintése között intuitíve nyilvánvaló. Nem árt azonban hangsúlyoznunk, hogy egy etalon kvalifikálásakor sem tulajdonságon, sem annak teljesülésén messze nem azt értjük, amit a hétköznapi szóhasználat, sőt még a logikai predikátumfogalomtól és a halmazelméleti osztályfogalomtól is elvonatkoztatunk. A elemeit bármely A-val ekvivalens halmazrendszer elemeinek mint halmazoknak az elemeivel kvalifikálhatjuk, s ha A maga is halmazrendszer, akkor e szerepet akár önmaga is betöltheti. Ebben az esetben egy A-beli A i etalon B-beli B i múzeumát olyan rendezett párok alkotják, melyek első komponense A valamely akár éppen ugyanazon elemének mint halmaznak valamely eleme, második komponense pedig a tekintett A i. Az, hogy mit nevezünk akár a mindennapi nyelvben, akár a matematikában objektumnak és tulajdonságnak, csakis nézőpont kérdése, és semmi sem jogosít föl minket arra, hogy annak a kapcsolatnak a mibenlétét, amely a tekintésnek mint kvalifikátorból és etalonból összetevődő rendezett párnak a két komponense között áll fönn, akármilyen módon is értelmezzük úgy is fogalmazhatunk, hogy szemantikailag nem interpretálhatjuk. Van azonban egy szempont, amelyből mégis érdemes a kvalifikátor természetét elemezni, éspedig a szempont mármint a kiválasztási szempont fogalma. Ennek bevezetésekor tulajdonképpen nem a kvalifikátor, hanem a szempont az, aminek a mibenlétével nem foglalkozunk. Egy a i etalont vagy különböző különálló szempontok, vagy különböző szempontok ismétlés nélküli kombinációi szerint választunk ki. Kézenfekvő az előbbi módot egyszerű, az utóbbit pedig összetett kvalifikálásnak hívni. Ha P i a szempontok halmaza az ún. szemponthalmaz, akkor egyszerű kvalifikálásnál Q i =P i, összetettnél pedig Q i a P i hatványhalmazát jelölő P( P i ) valamely nem szükségképpen valódi része. Egyszerű kvalifikálásnál az az eset, amikor az etalont semmilyen szempont szerint sem választjuk ki, nem jelenti tekintés képzését, míg összetettnél igen: az etalont ilyenkor az üres halmaz kvalifikálja. Az egyszerű kvalifikálás egyébként 265

6 az összetett kvalifikálás speciális eseteként is felfogható, ahol Q i mégsem maga P i, hanem P i egyelemű részeinek S 1 ( P i ) halmaza. Minthogy bármely objektum tetszőlegesen összeállított halmazok elemei között egyaránt szerepeltethető, és bármely halmaz felfogható múzeumnak, ha egy vele ekvivalens kvalifikátorhalmazt és egy etalont rendelünk hozzá melyet egy efféle modellben az adott halmaz ideájának vagy külső elemének is nevezhetünk, bármely objektum mibenléte végtelen sokféleképpen értelmezhető, sőt a nemléte is matematizálható azáltal, hogy az etalonját az üres halmazzal kvalifikáljuk. Mivel az, hogy egy objektumot mely halmaz elemének veszünk, szükségleteink és lehetőségeink összjátékának relativizmusán múlik, mindez csupán a matematikai tükröződése annak a ténynek, hogy a dolgok számunkra megnyilvánuló léte és mibenléte sem több e relativizmus megnyilvánulásánál Tekintési rendszerek Egy nemüres, de egyébként tetszőleges számosságú vagy egy pillanatnyilag érdektelen és talán ellentmondásosnak is tűnő speciális esetben mégiscsak üres A halmaz elemeinek ismétléses kiválasztásához egy olyan ε : A B bijekciót kell megadnunk, amely A minden egyes a i eleméhez az adott elemre vonatkozó ismétléses kiválasztás eseteinek tetszőleges (sőt egymástól független) számosságú B i halmazát rendeli hozzá. Az i index egy hézagtalan I rendszámhalmazt fut be. A elemeit etalonoknak, A-t magát etalonhalmaznak, B elemeit az egyes etalonok múzeumainak, B-t magát múzeumhalmaznak, az egyes múzeumok elemeit pedig a megfelelő etalonok tekintéseinek vagy kiválasztási eseteinek hívjuk. Hogy az egyes etalonok tekintései között különbséget tudjunk tenni, első lépésként A minden egyes egyelemű { a i } részének mint egy-egy közös arcnak rendre megfeleltetjük adott egyarcú egyváltozós Q ij tulajdonságok ún. kvalifikátorok egy-egy tetszőleges (sőt egymástól független) számosságú Q i halmazát az ún. kvalifikátorhalmazokat, melyek egy Q halmazrendszert alkotnak. Valamely egyváltozós tulajdonság arca alatt egy adott halmaznak azt a részét értjük, melynek elemeire a szóbanforgó tulajdonság teljesül. A j index egy-egy hézagtalan J i rendszámhalmazt fut be. Az egyes Q i és { a i } halmazokból második lépésként rendre a B halmazrendszer elemeit adó B i = Qi { a i } szorzathalmazokat mint az a i etalonok múzeumait képezzük. Egy-egy B i múzeum b ij elemei így mint olyan Q ij, ai rendezett párok különülnek el egy- 266

7 mástól, melyek első komponense a j index szerint különböző, második komponense viszont a vizsgált múzeumon belül mindig ugyanaz: mindig a tekintett etalonnal azonos. Egy adott elem ismétléses kiválasztásának hétköznapi fogalmában azonban nemcsak az egyes kiválasztási eseteknek a részben egymástól, részben pedig magától a kiválasztott elemtől való megkülönböztetésének szükségessége rejlik benne aminek az A, Q, B; ε rendezett négyes a fenti interpretációval maradéktalanul eleget is tesz, hanem az a nézőpont is, amelyből valamely elemet annak összes kiválasztási esetével együtt ugyanazon egyetlen elemnek látunk. Nem elég tehát egyrészt egy-egy etalon és annak tekintései, másrészt pedig az egyes tekintések közti különbséget explikálnunk, hanem ugyanígy rá kell találnunk annak a nem matematikai természetű értelmezésnek a matematizálására is, amelyben az egy-egy etalon által alkotott egyelemű halmazok és az adott etalonokhoz rendelt múzeumok páronkénti uniójának elemeit egy-egy unión belül valamilyen szempontból azonosnak vesszük egymással. Ezt a valamilyenséget matematikailag úgy ragadhatjuk meg, hogy tekintjük az unitásoknak hívható C i = { a i } B i halmazok C halmazrendszerét, az ún. unitáshalmazt, s W = C i -n definiálunk egy ψ szürjekciót, amely a C i unitásokat rendre leképezi az únumoknak nevezhető d i iєi elemekből álló és únumhalmaznak nevezhető D halmazba vagyis ψ : W D az azonos C i unitások elemeinél azonos d i, a különböző C i unitások elemeinél pedig különböző d i értékeket vesz föl. Ha Q elemei mint halmazok üresek, akkor magától értetődően B elemei mint halmazok is azok, és ψ ilyenkor minthogy { a i } = C i speciális esetként bijekció. A ψ szürjekció W-n való értelmezésével az egy-egy azonos D-beli képpontra átvitt ősökre teljesülő egyértelműsödési tulajdonságok D-vel azonosítható U halmazát adjuk meg, azaz C minden egyes C i eleméhez tartozik egy-egy d i -vel azonosítható U i egyértelműsödési tulajdonság, amely ezeknek az elemeknek mint halmazoknak az elemeire igaz. Mindezek alapján tekintési rendszer alatt egy olyan A = A, Q, B, C, W, D; ε, ψ rendezett nyolcast értünk, amely a fenti kívánalmaknak eleget tesz, s amely az A, Q, B; ε és a C, W, D; ψ rendezett négyesekből előállítva tulajdonképpen az emberi tudat ama mechanizmusának a matematikai explikálása, amellyel az bizonyos dolgokat egyfelől megkülönböztet egymástól, másfelől pedig azonosít egymással. Pszichológiai értelemben van olyan nézőpont, amely egyazon objektum egyes tekintetbevételeit sem a tekintett objektummal, sem pedig egymással nem azonosítja, s ennek inverzeként van olyan is, amely nem tesz különbséget sem egy fogalom és annak egyedi megvalósulásai, sem pedig az egyes konkrét megvalósulások között. Le kell azonban szögeznünk, hogy a tekintési rendszer absztrakt konstruktum, s nem pedig valamely tudati tevékenység direkt modellje. Matematikailag 267

8 teljesen érdektelen, hogy akár az etalonok, akár a rájuk teljesülő egyarcú egyváltozós tulajdonságok objektíve micsodák. Mindez persze nem azt zárja ki, hogy bizonyos tényeket tekintési rendszerekben fogalmazhassunk meg, hanem csak azt, hogy e rendszerek mibenlétét az általuk leírható jelenségek valamelyikével azonosítsuk. Sőt, véleményünk szerint a tekintési rendszerek értelmezése a tudat világmodelláló működésének éppen az egyik legfontosabb operátora. Az A-beli B, Q, C és D halmazok A-val szükségképpen ekvivalensek, s minthogy A a számosságára nézve teljesen szabad, ez az öt halmaz speciális esetként akár üres is lehet, amikor is üres tekintési rendszerről beszélhetünk, amely matematikailag az emberi fogalomalkotás struktúrájának nullelemét formalizálja. Az olyan tekintési rendszereknek azonban, amelyekben ez az öt halmaz egyelemű, kitüntetett szerepük van. Az ilyeneket elemi tekintési rendszereknek (rövidítve: etereknek), míg az olyanokat, amelyekben ez az öt halmaz egynél több elemű, összetett tekintési rendszereknek nevezhetjük. Bármilyen akár üres, akár elemi, akár összetett tekintési rendszer eterek valamilyen számosságú nulla, egy vagy egynél több elemű halmaza. Egy a i etalonból és egy neki megfeleltetett B i múzeumból álló a i, B i rendezett párt etalon múzeum komplexumnak fogunk hívni. Egy eter értelmezhetőségét egy etalon múzeum komplexum megadásával teremtjük meg. Egy absztrakt algebrai struktúra meghatározott reprezentánsainak, egy tetszőleges fogalom meghatározott individuális megvalósulásainak, egy személy különféle meghatározott társadalmi szerepeinek vagy akár az etalon és múzeum közti megfeleltetésre most felsorolt példáknak az összessége is mind-mind egy-egy etalon múzeumaként értelmezhető, amellyel egy-egy etert indukáló etalon múzeum komplexumot adunk meg. Egy tekintési rendszerből különböző módokon újabbakat lehet létrehozni. E technikák közül tanulmányunk jelen fejezetében csak a két legegyszerűbbel foglalkozunk. Az egyikkel tekintési rendszerek A 0, A 1,..., A k,... végtelen sorozatát képezzük úgy, hogy e sorozat bármely tagjának únumjait a rákövetkező tag etalonjainak vesszük. A tagokat g G-vel indexezzük, s az i I indexet a korábbi értelemben használjuk. Válasszuk ki valamely A g -t, amelyen belül ha egy B gi múzeum definíciója Q gi { a gi }, akkor a ψ g szürjekciót adó rendezett párok is olyan C gi { d gi } szorzathalmazokat alkotnak, melyekben az A g -ből ily módon előállítható A g+1 tekintési rendszer B g+1 múzeumhalmazának elemeit láthatjuk. Bármely tekintési rendszer tehát ennek az eljárásnak a végtelen rekurziójával egymásból előálló tekintési rendszerek végtelen sorozatának megadását implikálja. Ez persze nem zárja ki, hogy adott esetben az így képzett tekintési rendszereknek csak egy bizonyos tagig szemlélt véges sorozatát vizsgáljuk. A másik nemkevésbé triviális eljárással egy automatát konstruálunk. 268

9 Mivel bármely múzeum bármely és bárhány eleme egyben etalon is lehet, az etalon múzeum megfeleltetés véges vagy végtelen rekurziója egy véges vagy végtelen állapotú, iniciális Mealy automatát határoz meg, ahol egy-egy belső állapot egy olyan halmaz, amelyből egy vagy több elemet etalonok egy vagy több elemű halmazaként választunk ki. A kezdőállapotot jelentő halmaz etalonhalmazként kiválasztott, nem szükségképpen valódi, nemüres része lesz az első bemenő jel, az első kimenő jel az ezekhez az etalonokhoz múzeumokat rendelő bijekció, a kiváltott belső állapot pedig e múzeumok uniója és így tovább. Az ilyen automatát, amely múzeumok uniójából etalonokként kiválasztott tekintésekhez újabb múzeumokat rendel, asszociációnak fogjuk nevezni. Az asszociáció így értelmezett fogalmát azonban annak viszonylag specifikus volta miatt indokolt előbb általánosítani, majd differenciálni azzal a céllal, hogy a bemenő jelekként szereplő etalonhalmazok elemeire ne vonatkozzon az a korlátozás, miszerint mindig csak az 1-gyel kisebb indexű állapotnak megfelelő halmazból kerülhetnek ki. Kiindulópontként a bemenő jelekként szereplő etalonhalmazokat két diszjunkt részre, az ún. családi etalonokból (vagy röviden családtagokból) álló családi részre és az ún. vendégetalonokból (vagy röviden vendégekből) álló vendégrészre kell széthasítani, megengedve, hogy e két rész közül az utóbbi bármely bemenő jelként szereplő etalonhalmaznál üres is lehessen, az előbbi viszont egyszer se. Míg a családtagok valóban mindig az 1-gyel kisebb indexű állapotnak megfelelő halmazból származnak, addig a vendégek nem. Azok a vendégek, amelyek valamely n>1-gyel kisebb indexű állapotnak megfelelő halmazból választódnak ki, az ún. endogén vendégek, míg azok, amelyek még egyetlen korábbi állapotnak megfelelő halmaz elemeiként sem szerepeltek, az ún. exogén vendégek. A bemenő jelekként szereplő etalonhalmazok vendégrésze így további két diszjunkt részre osztódik: az endogén vendégrészre és az exogén vendégrészre. Mivel az első bemenő jelként szereplő etalonhalmaznál az endogén vendégrész csakis üres lehet, itt összesen két eset állhat elő: vagy csak az endogén vendégrész üres, és mind az exogén vendégrész, mind a családi rész nemüres, vagy pedig mind az endogén, mind az exogén vendégrész üres, és a családi rész nemüres. A többi bemenő jelként szereplő etalonhalmaznál e két eset mellett további kettőként adódhat egyrészt az, hogy csak az exogén vendégrész üres, és mind az endogén vendégrész, mind a családi rész nemüres, másrészt pedig az is, hogy a családi rész, az endogén vendégrész és az exogén vendégrész egyaránt nemüres. A bemenő jelekként szereplő etalonhalmazok tehát egyenként három diszjunkt halmaz egy családi rész, egy endogén vendégrész és egy exogén vendégrész uniói. A bemenő jelekként szereplő etalonhalmazok e három kitüntetett részét a szobáiknak nevezhetjük. Az asszociációról elsőnek adott leírás 269

10 annak tulajdonképpen csak azt a speciális típusát mutatta be, ahol az összes bemenő jelként szereplő etalonhalmaznak mind az endogén, mind az exogén vendégrésze üres, s amelyet mi mostantól fogva családi asszociációnak fogunk hívni, asszociáció alatt ennek imént részletezett általánosítását értve. A különféle asszociációkat egyébként a bemenő jelekként szereplő etalonhalmazok öszszeállíthatósága természetes módon tipologizálja. Az így megadható tipológiát az asszociációk etalontipológiájának kereszteltük el. E tipológia középpontjában három elem mondjuk a 0, 1 és 2 számjegy 27 harmadosztályú ismétléses variációjának 6 meghatározott eseteként képezhető ama háromjegyű kód áll, amelyet egy asszociáció típusának hívunk, s amelynek első, második és harmadik számjegye a bemenő jelekként szereplő etalonhalmazok p tagú sorozata esetén rendre a tagokból sorra kivágott családi részeknek, endogén vendégrészeknek és exogén vendégrészeknek az egy-egy, értelemszerűen szintén p tagú sorozatára vonatkozik. Ha q a szobák e három sorozatában az üres tagok (mármint az üres halmazzal megegyező tagok) sorozatonkénti száma, akkor az egyes sorozatok a kódbeli helyükön q = p esetén a 0-t, 0<q<p esetén az 1-et, q =0 esetén pedig a 2-t veszik föl értékként. Mivel mindegyik bemenő jelként szereplő etalonhalmaz családi része nemüres, a kód első számjegye csak a 2 lehet, s mivel az első bemenő jelként szereplő etalonhalmaz endogén vendégrésze szükségszerűen üres, a kód második számjegye nem lehet a 2. Minden korlátozástól csak a kód harmadik számjegye mentes. Ennek megfelelően csak a 200, a 201, a 202, a 210, a 211 és a 212 kódol létező típusokat, melyek közül a családi asszociáció típusa a 200. E tipologizálás mibenlétéről talán csak annyit érdemes még megjegyeznünk, hogy az asszociációk etalontipológiája alatt voltaképpen egy olyan operációt* lehet érteni, amely minden egyes asszociációhoz hozzárendeli az annak típusát értékelő függvényt. Nézzünk most egy konkrét példát egy véges állapotú, iniciális, családi azaz 200 típusú asszociációra. Adott fogalmaknak az iniciális állapotot jelentő halmazából válasszunk ki néhány fogalmat, melyekhez mint az első bemenő jelként szereplő etalonhalmaz elemeihez rendeljük hozzá az e fogalmak meghatározott nyelveken való egy-egy megnevezéséből álló múzeumokat. E múzeumok uniója lesz a sorra kerülő első állapot, amelynek a második bemenő jelként szereplő etalonhalmaz az összes elemét gyűjtse össze, s kapcsoljuk hozzájuk a megegyező nyelvű, meghatározott szinonimáikból álló múzeumo- Az operáció terminust mi most nem algebrai, hanem halmazelméleti jelentésében használjuk, vagyis nem a művelet szó szinonimájaként, hanem olyan leképezés megnevezésére, amelynek értelmezési tartománya olyan osztály, amelynek elemei nem alkotnak halmazt. A szerző. 270

11 kat. E múzeumok uniója lesz a sorra kerülő második állapot, amelyből a harmadik bemenő jelként szereplő etalonhalmaz megint az összes elemet gyűjtse ki, és rendeljük hozzájuk az egy-egy megegyező nyelvű, meghatározott könyvben való előfordulásaikból összetevődő múzeumokat. Tételezzük föl, hogy e múzeumok nem mind üresek, és uniójuk lesz a sorra kerülő harmadik állapot. Innen csak egyetlen elemet emeljünk ki a negyedik bemenő jelként szereplő etalonhalmaz elemeként, s az ehhez tartozó múzeum, amely egyben a sorra kerülő negyedik állapot, azokat a fogalmakat összesítse, amelyek egy meghatározott olvasó képzeletében az adott helyen használt megnevezés olvasásakor a pszichológiai értelemben vett asszociáció révén fölmerülnek. A negyedik állapotot tekintsük finálisnak. Egy további példa kedvéért gondoljuk el, hogy az első bemenő jelként szereplő etalonhalmaz elemei között olyan fogalmak is szerepelnek, amelyek az iniciális állapotot jelentő halmaz elemei között nem. Ha egyéb eltérés nincs, akkor egy 201 típusú asszociációval van dolgunk. A félreértéseket megelőzendő, szeretnénk egyértelműsíteni, hogy az, amit mi aszszociációnak nevezünk, éppúgy absztrakt struktúra, mint a tekintési rendszer, és nem a pszichológiai értelemben vett asszociáció modellje legalábbis nem közvetlenül az. Nem is filozófiai konstrukció; az etalon múzeum megfeleltetésnek mint ahogy a tekintési rendszer ismertetésekor egyszer már tisztáztuk nem muszáj objektív tényeken alapulniuk az ezekhez való viszonyuk matematikai szempontból közömbös. Ennek a tanulmánynak azonban mégis van gnoszeológiai, sőt ontológiai konklúziója is. Sok szempontból úgy tűnik, hogy érzékleteink világa egy olyan, potenciálisan végtelen P halmazt alkot, amely egy véges generátorrendszer által generált szabad egységelemes félcsoport, ahol az egység szerepét az érzéklet hiánya játssza, az emberi tudat valóságmodelláló apparátusa pedig P-n egy olyan, potenciálisan szintén végtelen K operátortartománnyal dolgozik, amelyet egy másik véges generátorrendszer szintén mint szabad egységelemes félcsoportot generál. K-ban az egységet az érzékletek tudatos fogadása mintegy nyugtázása jelenti, s K elemei, melyek a megismerés operátorai, a tudaton kívülről jövő érzékletekre és az én önérzékelésére mint a K-beli egységgel való külső szorzás P-beli produktumaira, valamint a más operátorokkal kapott műveleti eredmények tudaton belülről jövő érzékleteire mint a K-beli egységtől különböző K-beli elemekkel való külső szorzás P-beli produktumaira rekurzívan alkalmazódnak, amit gondolkodásnak hívhatunk. Ezek közé az operátorok közé többek között a preverbális modelláló technikák verbalizálása és a prematematikai modelláló technikák matematizálása egyaránt beletartozik. A matematizálás energetikailag éppúgy gazdaságosabbá és hatékonyabbá teszi a megismerést, mint ahogy a közösségi érintkezés által megkívánt egyértelmű és egyetemes jelrendszer a nyelv is a szociális individualitás bizony- 271

12 talanságát tapogató preverbális operátorok használatát. A nyelv tehát nemcsak a kommunikációnak, hanem éppen ezáltal egyben a megismerésnek az eszközrendszere is, egyfajta másodlagos érzékszerv, a matematika pedig egy erre ráépülő, magasabb szintű eszközrendszerként kifejlesztett harmadlagos érzékszerv szerepét tölti be. Az eszközrendszer szót sem a nyelv, sem a matematika dolgában nem metaforának szánjuk: mind a nyelv összetevői, mind pedig a matematikai fogalmak legyenek azok számok, térelemek, relációk vagy halmazok az ember eszközkészítő tevékenységének belső produktumai, és sem a nyelvnek, sem a matematikának a fejlődése nem jelent egyebet, mint a megismerés tudati folyamatának az egymás fölötti szinteken zajló technizálását. Minthogy az érzékleteinkben számunkra létező világ alkotóelemei az egyediség és az általánosság síkjának metszésvonalában manifesztálódnak, a percepció e két ellentétes kategóriájának közös részeként vagy ha úgy tetszik: szintéziseként, ugyanabban a dologban az egyik irányból az egyedit, a másikból pedig az általánosat szemlélhetjük anélkül, hogy az érzékelt tárgy mibenléte eközben megváltozna. A nyelv a matematikától eltérően mind az egyediségek, mind az általánosságok spontán észlelését technizálja, s ebben a szerepében alapjául szolgál a tudományos paradigmáknak, amelyek a matematikához hasonlóan szintén a megismerés szupraverbális szintjén helyezkednek el, s amelyek rekurzív módon egyre magasabb szintű metaparadigmákba szerveződnek úgy, hogy a paradigmaváltások is csak ebbe a hierarchiába ágyazódva, annak belső dinamizmusaként történnek meg. A matematika viszont a tudományos paradigmáktól eltérően kizárólag az általánosságok preverbális érzékelésének verbális technizálását technizálja tovább, s így látóterébe az általánosságokon kívül semmi egyéb nem fér bele ami egy csapásra megmagyarázza, hogy míg az egyes tudományos paradigmák, ha más-más mértékben is, de mind alkalmazzák szisztematizált általánosításaikhoz explicit vagy esetleg csak implicit segédeszközként a matematikát, addig a matematika sose folyamodik se explicit, se implicit segédeszközként egyetlen tudományos paradigmához sem.** Mindez pedig arra enged következtetni, hogy az egyes tudományos paradigmák nem rendelkeznek specifikus megismerő Ezzel természetesen nem azt akarjuk mondani, hogy a tudományágak a fizikától a nyelvészetig az általuk tanulmányozott jelenségek implicit formalitásának explikálásához egyszer sem kényszerítik a matematikát újabb meg újabb eszközök kifejlesztésére hisz egy tudománytörténeti közhelyekkel kapásból cáfolható efféle állítás a mi elemzésünk egészével is szöges ellentétben állna, hanem azt, hogy míg a tudományágak fogalmai és módszerei a matematikában eleve nem tudnak direkte érvényesülni, addig a matematikai fogalmak és módszerek a tudományágakban akár explicite, akár implicite, de mindenképp direkte jelennek meg. A szerző. 272

13 operátorokkal; operátortartományaik egyfelől a verbális, másfelől a matematikai operátortartomány egy-egy valódi részének nemdiszjunkt uniói. Gondolatmenetünk szükségszerűen arra a fölismerésre vezet, hogy a nyelvben, a tudományos paradigmák metabolikus hierarchiájában és a matematikában egyaránt megvalósuló technizáció az egyediségek és/vagy általánosságok eredetileg biológiai természetű percipiálását az evolúció menete szerint, evolúciós produktumként fejleszti tovább pontosan úgy, ahogy mondjuk a közlekedési eszközök használata a végtagokkal való helyváltoztatást vagy ahogy akár az optikai, akár a videokommunikációs eszközök alkalmazása a látást. A belső, szellemi síkon előrehaladó technizálási folyamatban föltételezésünk szerint sem olyan preverbális operátor nincs, amely ne lenne verbalizálható, sem pedig olyan generalizáló szerepű prematematikai operátor, amely matematizálható ne lenne. A jelen dolgozatban többek között éppen ez utóbbi állításra próbáltunk meg példát szolgáltatni azzal, hogy nem filozófiai irányból közelítettünk egy olyan témához, amellyel hagyományosan bár legtöbbször szemlátomást nem direkt tudatossággal csak a filozófia foglalkozik. Ez a kérdés a dolgok azonos vagy különböző voltának a kérdése, amelyet identifikációs alternatívának nevezhetünk, s amely végső soron a létezés relatív vagy abszolút voltának a kérdésével egyenértékű. Az, hogy az ember mit mikor mivel tart vagy nem tart azonosnak, álláspontunk szerint nem a külvilág hipotetizált univerzális kódjának megfejtésén, hanem az aktuális szükségletek relativizmusán múlik. Hogy a megismerési próbálkozások pozitív és negatív visszacsatolásai vajon a szövegként értelmezett valóság egy-egy virtuális mondatának a dekódolási sikerét vagy kudarcát jelentik-e, vagy éppenséggel egyiket se, érzékleteink végtelen Világmindenségének elhagyhatatlan börtöncelláján belül eldönthetetlen. A tekintési rendszer fogalmának mostani bevezetése éppen azt célozza, hogy az identifikációs alternatívához azt filozófiai kontextusból kiemelve is hozzá lehessen szólni

14 Az azonosság relativitása Az, ahogy az emberi tudat bizonyos érzékletekből mint egyfajta nyersanyagból ismereteket gyárt, a szükségletek által diktált viszonylagosság szerint történik. Az ismeretek tehát éppúgy reaktív produktumok, mint azoknak a változásoknak az eredményei, amelyeket a világban cselekedeteinkkel előidézünk. Mivel az, hogy lehetőségeink vagyis elérhető céljaink és elérésük módjai korlátozottak, valamely lehetséges cselekedet megtételére vonatkozó döntési szabadságunkat nem érinti, cselekedeteinket nem külső vagy belső determinizmus, hanem az e döntési szabadság értelmében vett relativizmus jellemzi: egyedül tőlünk függ, hogy egy lehetséges cselekedetet megteszünk-e vagy sem. Döntéseinket a saját érzelmi reakcióinkból összetevődő és ennek megfelelően időről időre változó értékskála szerint, egymással szorozható gondolati operátorokkal hozzuk meg, érzelmeinkben tehát a cselekvési mechanizmusnak a legfelsőbbnél eggyel alsóbb szintű regulálásának operátorait kell látnunk, míg magát a legfelsőbb szintet a kétértékű döntési szabadságban mint e mechanizmus egyetlen önmagában determinálatlan komponensében. Mivel ismereteink, mint mondtuk, reaktív termékek, a rájuk jellemző viszonylagosságot is döntési szabadságunk jegyében kell elképzelnünk: a tudásunk által modellált világot mint adaptív produktumot saját szabad döntéseinkkel mi magunk építjük föl magunk köré. Az ismeretek összehangolásához különböző szintű absztrahálásukra, e különböző absztrakciós szintek további összehangolásához kontrollálásához pedig az absztrakció abszolutizálására van szükség. Ezt az abszolutizálást matematikai formalizálásnak vagy röviden matematizálásnak nevezhetjük. A matematizálás tehát nem közvetlen absztrahálás, hanem szuperabsztrahálás, amiből belátható, hogy feladatának csak úgy tehet eleget, ha direkte explikálja minden abszolútnak tűnő ismeret relativitását. A természetes számok fogalmai mint gondolkodásbeli operátorok például csak akkor jelennek meg a hominizáció folyamán, ha már nemcsak a hordatagok vagy az elejtett állatok, hanem bármik legyenek azok akár a külvilág, akár a képzelet objektumai véges sorozatokba rendezhetők. És a halmazfogalomnak is csak az intuitív előképzete van meg mindaddig, amíg különböző dolgok összetartozásának az eszméje csupán olyan esetekben merül föl, ahol ez az összetartozás magától értetődőnek tűnik, vagyis külső tényezőktől már eleve meghatározott. A matematikai halmazfogalom ezzel szemben az elemek tetszőleges csoportosíthatóságának a gondolatát formalizálja. Halmazokról tehát mindaddig nem beszélhetünk, amíg mondjuk a 2 prím kitevőjű hatványainak az együttesét el tudjuk ugyan 274

15 képzelni, de azt az együttest már nem, amelynek az említett elemeken kívül az Olvasó is pont ugyanolyan eleme, mint a többi. A gondolkodás két legfontosabb prematematikai operátora közül az egyik az, amellyel két dolgot megkülönböztetünk egymástól, a másik pedig ennek inverzeként az, amellyel azonosítjuk őket. Az, hogy mit mikor mivel azonosítunk vagy nem azonosítunk, a pillanatnyi szükségleteink szerinti reakciónk által produkált ismeret, amely ebből kifolyólag a többi ismeretnél semmivel sem kevésbé relatív. A matematikának, hacsak nem akarja önmagát megtagadni, ezt a relativitást is formalizálnia kell. A matematikusok azonban ebben a kérdésben mindmáig ellentétes álláspontot foglaltak el. Ennek egész egyszerűen az az oka, hogy mindmáig nem tudatosult bennük a matematikának az ismeretek relativitását formalizáló funkciója, s ebből adódóan meg se fordult a fejükben, hogy az azonosságelmélet kiindulópontjává az azonosság abszurdumnak rémlő relativitását tegyék. Amikor szembesültek azzal a ténnyel, hogy Leibniz és Cantor azonosság fogalma nem esik egybe, a problémát természetesen az azonosság abszolút voltának bizonyítására törekedve logikai értelmezésben próbálták megoldani. Mindez a logikában ugyan minden várakozást felülmúlóan gyümölcsözőnek bizonyult, az azonosság relativitása azonban vagy inkább éppen ezért nem nyert egyértelmű matematizálást. A mi elképzelésünk szerint az az összefüggés, hogy az ember bizonyos dolgokat hol azonosít egymással, hol pedig megkülönböztet egymástól, az etalon, a tekintés és a kvalifikátor fogalmaival írható le. Etalon alatt egy tetszőleges objektumot értünk, amely halmaz, halmaznak valamely eleme, tulajdonság vagy bármi egyéb lehet. Az etalon tekintései olyan esetek, amikor ugyanazt az etalont vesszük tekintetbe, s ezeket az eseteket valamilyen nézőpontból megkülönböztetjük egymástól (ami által szükségszerűen magától az etalontól is). A tekintések megkülönböztető jegyeit kvalifikátoroknak hívjuk. Ezek mibenlétével ugyanúgy nem foglalkozunk, mint ahogy az etalonéval sem. A tekintések olyan rendezett párokként ábrázolhatók, amelyek első komponense egy-egy kvalifikátorként mindig más és más, míg második komponensük maga az etalon, s így mindig ugyanaz. Az etalon tekintéseinek halmazát az etalon múzeumának nevezzük. Mivel a kvalifikátorok összességükben az ún. kvalifikátorhalmazt alkotják, az etalon pedig egyetlen elemként az ún. etalonhalmazt, a múzeum e két halmaz Descartes-szorzataként fogható föl. A kvalifikátorhalmaz és a múzeum természetesen ekvivalens. A kvalifikátorhalmaz konkrét esetekben valamilyen számhalmazzal, tulajdonságok halmazával vagy ez utóbbi hatványhalmazának valamely nem okvetlenül valódi részével reprezentálható, de mivel természetére vonatkozólag ennek ellenére semmilyen konkrét kikötésünk nincs, így ha az etalon maga is halmaz, akkor 275

16 akár önmagának a kvalifikátorhalmaza is lehet. Üres kvalifikátorhalmaz esetén nyilván a múzeum is üres; ez azt a szemléletmódot formalizálja, amikor az etalont valamilyen nézőpontból nemlétezőnek tekintjük. Ha az etalont különböző nézőpontoknak csak az egyikéből tekintjük nemlétezőnek, akkor kvalifikátorhalmaznak valamilyen A halmaz hatványhalmazának egy olyan részét választjuk, amelynek egyik eleme az üres halmaz. A az ún. szemponthalmaz, amelynek elemei azok a szempontok, amelyekből az etalon számunkra létezik. Hogy az etalon létezésének szempontjain mit értünk, azt konkrétan megint csak nem határozzuk meg. Azzal, ha az etalont egyéb esetek mellett A üres részével is kvalifikáljuk, azt a hozzáállásunkat fejezzük ki, hogy az etalont az adott esetben ugyan nemlétezőként kezeljük, de a többiben létezőként. Azzal, ha az etalont A egyelemű részeivel kvalifikáljuk, azt fejezzük ki, hogy az etalon csak egy-egy szempontból érdekel minket. Elgondolásunk szerint egyrészt nincs olyan matematikai objektum, amely ne volna valamely másik objektumnak mint etalonnak a tekintéseként értelmezhető, másrészt bármely objektum értelmezhető bármely más objektumnak mint etalonnak a tekintéseként. Elvárható azonban, hogy ennek a koncepciónak a teljes megvilágítása előtt az etalon és a tekintés fogalmának konkrét matematikai alkalmazására hozzunk föl néhány példát. Egy véges vagy végtelen n számosságú H halmazon egyváltozós extenzionális tulajdonságok 2 n számosságú T halmaza adható meg. Extenzionális tulajdonságon olyan tulajdonságot értünk, amely aszerint teljesül valamely elemre, hogy az mely elemekkel áll együtt, vagyis hogy H melyik részéhez tartozik. Mivel ezek a tulajdonságok kizárólag halmazhoz tartozást jelentenek, a továbbiakban inherens tulajdonságokként fogjuk említeni őket. Bármely halmaz egy és csakis egy inherens tulajdonságot extendál, ugyanakkor bármely halmaz elemeiről végtelen sok csak rájuk de rájuk mind teljesülő egyéb egyváltozós tulajdonság fogalmazható meg, melyeket koherens tulajdonságoknak fogunk nevezni. Értelmezésünk szerint az ugyanazon M halmaz által extendált koherens tulajdonságok az M által extendált M inherens tulajdonságnak mint etalonnak a tekintései, amelyekben mint rendezett párokban a kvalifikátorkomponensek szerepét természetes módon az adott koherens tulajdonságok definíciói játsszák. A következő példánk tárgyául az üres halmazt szemeltük ki. Összesítsék az U o,u 1, U 2 és U 3 halmazok rendre az Amerikai Egyesült Államoknak a tizenkilencedik században trónra került királyait, királynőit, a Nagy Alfréd uralkodása alatt született állampolgárait és a 2-nél nagyobb páros prímeket. Mivel az USA nem monarchia, U o és U 1 üres, mivel az USA Nagy Alfréd idejében még nem létezett, U 2 is üres, s mivel a 2 az egyetlen páros prím, ugyanezt állapíthatjuk meg U 3 -ról is. Csakhogy azt is hozzá kell fűznünk, hogy ez a négy halmaz 276

17 mind azonos egymással, hiszen ha bármely halmazt egyértelműen meghatároznak az elemei, akkor az olyan halmazokból, amelyeknek egyetlen elemük sincs, nem lehet egynél több. Vagy mégis? Ha két halmaz azonos egymással, akkor pontosan egy olyan kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés az ún. identikus bijekció található hozzájuk, amely szerint a két halmaz egy-egy eleme rendre azonosítható egymással. De vajon az, hogy az üres halmaznak nincsenek elemei, csakugyan azt jelenti, hogy nemlétező elemei vannak? S vajon a nemlétező elemek nemlétezésük alapján csakugyan mind azonosíthatók egymással? S vajon ha ebből a nézőpontból azonosak egymással, ez csakugyan azt implikálja, hogy minden egyéb nézőpontból is? Mielőtt álproblémák boncolgatásába fognánk, tisztáznunk kell, hogy az emberi gondolkodás szimulált valóságok generálásával működik, ami lehetővé teszi a számára, hogy különféle potencialitások egybevetésével azokat kiértékelje, s ez alapján prognózisokat és terveket készítsen. E szimulált valóságok az egyén képzeletében léteznek, s egy R halmazt alkotnak. A gondolkodó individuumok G halmazán definiált γ : G W bijekció természetesen minden egyes egyénnél más-más indexű R-t vesz föl értékként, s W értelemszerűen a,,társadalmi tudatot modelláló ama halmazrendszer, amelynek elemei e különböző indexű R-ek. Világosan kell látni, hogy az, ami az egyén számára pszichológiailag a tényleges valóságot jelenti, semmi egyéb, mint az általa szimulált valóságok R halmazának az a kitüntetett eleme, amely az ő saját szabad döntéseivel gyártott ismereteinek tükrében őszerinte nem csak a képzeletében, hanem attól függetlenül is létezik. Mivel azonban ez a valóság mint ahogy azt a megfogalmazásunk egyértelműen mutatja éppúgy megvan az egyén képzeletében, mint a többi, formális szempontból teljességgel indokolatlan lenne másként kezelni, mint azokat. A filozófia meg a pszichológia ugyan állást foglalhat sőt kell is hogy állást foglaljon a tényleges valóság kitüntetett voltának kérdésében, de a matematikát ugyanez hidegen kell hogy hagyja. Mivel nyilvánvaló, hogy senki sem lehet egyszerre király és királynő, nem élhet egyszerre két különböző történelmi korban, és nem lehet mindezek tetejébe még szám is, az U 0, U 1, U 2 és U 3 objektumokban nem magát az üres halmazt, hanem annak mint etalonnak egy-egy tekintését kell látni, amelyekben mint rendezett párokban a kvalifikátorkomponensek szerepét az üres halmaz egy-egy más és más tartalmú fogalmi definíciója tölti be. Az egyén fogalomrendszere egyébként egy olyan függvényként fogható föl, amely az egyes fogalmak definícióihoz hozzárendel egy-egy olyan függvényt, amelyek az egyén által elképzelt valóságokhoz a tekintett definíciókkal megadott fogalmak reprezentánsainak egy-egy ottani osztályát rendelik hozzá. (Megjegyzendő, hogy ezeknek az osztályoknak nem mindegyike olyan, hogy 277

18 elemei egyúttal halmazzá is összeállnának, s ettől függően halmazképző és nem halmazképző fogalmakról beszélhetünk.) Előfordulhat, hogy valamely valóságban ugyanaz az osztály tartozik két olyan fogalomdefinícióhoz, amelyhez egy másik valóságban egy-egy külön osztály. Ez a sajátos helyzet áll elő például akkor, ha valamely valóságban például abban, amelyet az egyén ténylegesként jelöl ki két különböző fogalom egyaránt nemlétező dolgokra vonatkozónak minősül, s így reprezentánsaik két megfelelő osztálya egyaránt üres s ennélfogva azonos. (Hadd szúrjuk itt közbe, hogy ha definiálunk egy olyan fogalmat, amely valamely valóság például a ténylegesnek vett szerint nem létező dolgokra vonatkozik, azzal egyben kijelölünk egy olyan valóságot is, amely szerint ugyanaz a fogalom létező dolgokra vonatkozik, vagyis amelyben a reprezentánsainak az osztálya nemüres, s ha van legalább egy olyan valóság, amely szerint e fogalom létező dolgokra vonatkozik, akkor formális eszközökkel is igazolhatóan végtelen sok olyan valóság generálható, amelyek szerint szintén.) De a helyzet a maga specifikumában lényegileg akkor is ugyanez, ha például olyan valóságot konstruálunk, amelyben az emberek nemi hovatartozása konjunktív is lehet. Ebben a valóságban elképzelhető, hogy egy olyan királyság királyai és királynői, akik egy másik például a ténylegesnek tekintett valóságban két diszjunkt osztályba tartoznak, két nemdiszjunkt osztályt alkossanak (vagyis hogy egyes uralkodók mindkét osztályba beletartozzanak), s ennek végletes eseteként az is, hogy a két osztály egybeessen. Azzal a helyzettel tehát, hogy két fogalom reprezentánsai mint elemek egyazon osztályt definiálják, nemcsak különböző fogalmú nemlétező, hanem bizonyos esetekben különböző fogalmú létező dolgok vonatkozásában is szembesülünk. Erre bárki számtalan sok egészen triviális példát hozhat föl még az általa ténylegesként kezelt valóságon belül is: azoknak a személyeknek a fogalma például, akik e sorok íróját mandarin kínaira tanították, nyilván nem azonos azoknak a személyeknek a fogalmával, akik az e sorok írója által fiatalkorában szeretett kínai lánnyal együtt egyetlen közös baráti körbe tartoztak e két különböző fogalom reprezentánsaiból azonban az e sorok írója által ténylegesnek választott valóságban történetesen egy és ugyanazon osztály tevődik össze. Az etalon és a tekintés kategóriájával operálva viszont a fogalomrendszer modelljének egésze is éppúgy áttekinthetőbbé tehető, mint ahogy arra a koherens tulajdonságoknak az etalonok szerepét betöltő inherens tulajdonságok tekintéseiként való értelmezésével már lényegében ekvivalens példát adtunk. Az etalonként kezelt üres halmaz némely különböző tekintéseinek elkülöníté- Tanulmányunk jelen fejezete mintegy elvi előkészítője a soron következőnek, amelyben többek között e két állítás részletes bizonyítását is meg kívánjuk adni. A szerző. 278

19 se egy konkrét részletét mutatta be a fogalomrendszert leíró modellünk ilyen irányú átdolgozásának. A módosítás voltaképpen egyetlen mozzanatból áll: azoknak a másodlagos függvényeknek az értékeit, amelyeket az egyén tudatában érvényes fogalomdefiníciók N halmazán értelmezett elsődleges függvény a saját értékeiként vesz föl, s amelyek mindegyike az egyén tudatában létező valóságok R halmazán van értelmezve, nem néhol egybeeső osztályoknak, hanem etalonokként kezelt osztályok mindig különböző tekintéseinek fogjuk föl. Az elsődleges függvény már e változtatás előtt is egy-egy értelmű volt, így pedig a másodlagos függvények is mind azok. E másodlagos függvények értékeit jelentő tekintéseknek mint rendezett pároknak a különbözőségét az biztosítja, hogy kvalifikátorkomponensük mindig a megfelelő fogalomdefiníció, függetlenül attól, hogy valamely etalonkomponens csak egy vagy egynél több rendezett párban fordul-e elő. Föltételezzük egyébként, hogy az első esettel valójában soha nem is kell számolni, s hogy egyazon etalonkomponens mindig igen nagyszámú potenciálisan végtelen sok rendezett párban szerepel. Ennek okát abban látjuk, hogy az effektív fogalomalkotás megítélésünk szerint a gondolkodásnak egy olyan mechanizmusa, amely a fogalmakat véges sok szintaktikai művelet potenciálisan végtelen, bár aktuálisan szükségképpen véges sokszori, rögzített sorrendű ismétlésével generálja. A félreértéseket elkerülendő, hadd tisztázzuk, hogy mást és mást értünk fogalom, fogalomdefiníció és ez utóbbinak valamely megfogalmazása alatt. Ehhez elsőnek szükségszerűen a fogalom mibenlétét kell közelebbről is szemügyre vennünk. A fogalmak ahogy mi látjuk a gondolkodás azonosító operátorai, amelyeknek érzékletek lehetnek az operandusai, és gondolati érzékletek a produktumai (valamint egyben más fogalmaknak újra az operandusai). Az azonosítás abban áll, hogy a fogalom önmagában véve ábrázolja és egyúttal tagadja mind az osztály és eleme, mind pedig tulajdonképpen éppen ezáltal az azonos osztályhoz tartozó elemek közti különbséget. Ez úgy képzelendő el, hogy a fogalom két absztrakt komponensnek, az ún. konceptusnak és az ún. atomnak a rendezett párja. A konceptus olyan absztraktum, amely a fogalom konkrét reprezentánsaitól egyértelműen elkülönül, s így matematikailag az e reprezentánsokból mint a konceptus tekintéseiből álló múzeumnak az etalonjaként szemlélhető. Az atom ezzel szemben olyan absztraktum, amely mind a konceptussal, mind a fogalom konkrét reprezentánsaival azok lényegi mivoltában azonos, s így matematikailag annak a szürjekciónak az egyetlen és éppen ezért únum nevű képpontja, amelyet az etalon és annak összes tekintése által alkotott unitás nevű halmazon értelmezünk. Az únum egyébként, ha más szemszögből 279

20 nézve is, de ugyanaz, mint az unitás összes elemére és csak rájuk teljesülő, ún. egyértelműsödési tulajdonság, amely mint koherens tulajdonság az unitást definiáló inherens tulajdonságnak mint etalonnak az egyik tekintése. E számos új terminus betájolása elengedhetetlenné teszi az A = A, Q, B, C, W, D; ε, ψ rendezett nyolcasként fölírható halmazelvű tekintési rendszer* mibenlétének ismertetését. E tisztán formális konstruktum, mint látható, hat halmazból és két függvényből áll, bár mivel a függvények tulajdonképpen nem mások, mint első komponensükben különböző rendezett párok halmazai az a megfogalmazás is jogos, miszerint a tekintési rendszer egy nyolctagú, specifikus struktúrával ellátott halmazrendszer. A elemei a i etalonok, B elemei az a i etalonok B i múzeumai, C elemei az {a i } B i halmazokként definiált unitások, D elemei pedig a ψ szürjekció által az azonos unitások elemeihez azonos, a különböző unitások elemeihez pedig különböző értékekként hozzárendelt únumok. Mindezeknek megfelelően A- ra etalonhalmazként, B-re múzeumhalmazként, C-re unitáshalmazként, D-re pedig únumhalmazként utalunk. Q elemei tetszőleges sőt egymástól független számosságú Q i kvalifikátorhalmazok, W pedig C uniója. A két függvény közül ε A-t bijiciálja B-re, ψ pedig W-t szürjiciálja D-re. A Q, B, C és D halmazok ekvivalensek A-val, amely számosságára nézve teljesen szabad, s ha speciális esetként üres, akkor üres tekintési rendszerről, ha egyelemű, akkor elemi tekintési rendszerről (rövidítve: eterről), ha pedig egynél több elemű, akkor összetett tekintési rendszerről van szó. Az i index egy hézagtalan I rendszámhalmazt fut be. Mivel mindenfajta halmazelvű tekintési rendszer legyen az akár üres, akár elemi, akár összetett voltaképpen nem más, mint eterek valamilyen számosságú nulla, egy vagy egynél több elemű halmaza, az etereknek a tekintési rendszerek általános elmélete szempontjából kulcsfontosságú jelentőségük van. A halmazelvű tekintési rendszerek mellett egyébként léteznek osztályelvű tekintési rendszerek is, melyekkel teljesen másféle fölépítésük miatt tanulmányunk következő fejezetében kizárólagosan kell majd foglalkoznunk. Most előzetesként csak annyit jegyzünk meg, hogy mivel nem minden osztály elemei alkotnak halmazt, előfordul, hogy egy etalon tekintései sem. Ha egy etalon tekintéseinek összességét csak olyan osztályként tudjuk értelmezni, amelynek elemei nem alkotják egy kvalifikátorhalmaz és az etalonból álló halmaz Bár a tekintési rendszerekben mi tisztán matematikai objektumokat vagy ahogy ezeket pszichokibernetikailag értelmezzük: matematizáló (az absztrakciót abszolutizáló, azaz az ismeretek relativitását explikáló) szerepű gondolkodásbeli operátorokat látunk, aminek jegyében matematikailag kívánjuk vizsgálni őket, mégis vagy inkább éppen ezért szándékunkban áll, hogy tanulmányunk befejező fejezeteiben igen behatóan foglalkozzunk némely matematikán kívüli területeken való alkalmazási lehetőségeikkel, mint amilyen például a kvantumelmélet, a pszichológia, a szociológia és a nyelvészet. A szerző. 280

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 1 I. HALmAZOk 1. JELÖLÉSEk A halmaz fogalmát tulajdonságait gyakran használjuk a matematikában. A halmazt nem definiáljuk, ezt alapfogalomnak tekintjük. Ez nem szokatlan, hiszen

Részletesebben

Példa a report dokumentumosztály használatára

Példa a report dokumentumosztály használatára Példa a report dokumentumosztály használatára Szerző neve évszám Tartalomjegyzék 1. Valószínűségszámítás 5 1.1. Események matematikai modellezése.............. 5 1.2. A valószínűség matematikai modellezése............

Részletesebben

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az

Részletesebben

OOP. Alapelvek Elek Tibor

OOP. Alapelvek Elek Tibor OOP Alapelvek Elek Tibor OOP szemlélet Az OOP szemlélete szerint: a valóságot objektumok halmazaként tekintjük. Ezen objektumok egymással kapcsolatban vannak és együttműködnek. Program készítés: Absztrakciós

Részletesebben

Automaták mint elfogadók (akceptorok)

Automaták mint elfogadók (akceptorok) Automaták mint elfogadók (akceptorok) Ha egy iniciális Moore-automatában a kimenőjelek halmaza csupán kételemű: {elfogadom, nem fogadom el}, és az utolsó kimenőjel dönti el azt a kérdést, hogy elfogadható-e

Részletesebben

út hosszát. Ha a két várost nem köti össze út, akkor legyen c ij = W, ahol W már az előzőekben is alkalmazott megfelelően nagy szám.

út hosszát. Ha a két várost nem köti össze út, akkor legyen c ij = W, ahol W már az előzőekben is alkalmazott megfelelően nagy szám. 1 Az utazó ügynök problémája Utazó ügynök feladat Adott n számú város és a városokat összekötő utak, amelyeknek ismert a hossza. Adott továbbá egy ügynök, akinek adott városból kiindulva, minden várost

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 3 III. MEGFELELTETÉSEk, RELÁCIÓk 1. BEVEZETÉS Emlékeztetünk arra, hogy az rendezett párok halmazát az és halmazok Descartes-féle szorzatának nevezzük. Más szóval az és halmazok

Részletesebben

Automaták és formális nyelvek

Automaták és formális nyelvek Automaták és formális nyelvek Bevezetés a számítástudomány alapjaiba 1. Formális nyelvek 2006.11.13. 1 Automaták és formális nyelvek - bevezetés Automaták elmélete: információs gépek általános absztrakt

Részletesebben

JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM. Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok

JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM. Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok Pécs, 1994 Lektorok: Dr. FEHÉR JÁNOS egyetemi docens, kandidtus. Dr. SIMON PÉTER egyetemi docens, kandidtus 1 Előszó Ez a jegyzet

Részletesebben

1. előadás. Lineáris algebra numerikus módszerei. Hibaszámítás Számábrázolás Kerekítés, levágás Klasszikus hibaanalízis Abszolút hiba Relatív hiba

1. előadás. Lineáris algebra numerikus módszerei. Hibaszámítás Számábrázolás Kerekítés, levágás Klasszikus hibaanalízis Abszolút hiba Relatív hiba Hibaforrások Hiba A feladatok megoldása során különféle hibaforrásokkal találkozunk: Modellhiba, amikor a valóságnak egy közelítését használjuk a feladat matematikai alakjának felírásához. (Pl. egy fizikai

Részletesebben

ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az eredmény. A kérdés a következő: Mikor mondhatjuk azt, hogy bizonyos események közül

ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az eredmény. A kérdés a következő: Mikor mondhatjuk azt, hogy bizonyos események közül A Borel Cantelli lemma és annak általánosítása. A valószínűségszámítás egyik fontos eredménye a Borel Cantelli lemma. Először informálisan ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az

Részletesebben

Relációk. 1. Descartes-szorzat. 2. Relációk

Relációk. 1. Descartes-szorzat. 2. Relációk Relációk Descartes-szorzat. Relációk szorzata, inverze. Relációk tulajdonságai. Ekvivalenciareláció, osztályozás. Részbenrendezés, Hasse-diagram. 1. Descartes-szorzat 1. Deníció. Tetsz leges két a, b objektum

Részletesebben

4. Fuzzy relációk. Gépi intelligencia I. Fodor János NIMGI1MIEM BMF NIK IMRI

4. Fuzzy relációk. Gépi intelligencia I. Fodor János NIMGI1MIEM BMF NIK IMRI 4. Fuzzy relációk Gépi intelligencia I. Fodor János BMF NIK IMRI NIMGI1MIEM Tartalomjegyzék I 1 Klasszikus relációk Halmazok Descartes-szorzata Relációk 2 Fuzzy relációk Fuzzy relációk véges alaphalmazok

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

Halmazok; a matematikai logika elemei 1.1. A halmaz fogalma; jelölések

Halmazok; a matematikai logika elemei 1.1. A halmaz fogalma; jelölések 1 Halmazok; a matematikai logika elemei 1.1. A halmaz fogalma; jelölések A matematikában alapfogalmaknak tekintjük azokat a fogalmakat, amelyeket nem határozunk meg, nem definiálunk más fogalmak segítségével

Részletesebben

A valós számok halmaza

A valós számok halmaza VA 1 A valós számok halmaza VA 2 A valós számok halmazának axiómarendszere és alapvető tulajdonságai Definíció Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti a következő axiómarendszerben

Részletesebben

A nevelés eszközrendszere. Dr. Nyéki Lajos 2015

A nevelés eszközrendszere. Dr. Nyéki Lajos 2015 A nevelés eszközrendszere Dr. Nyéki Lajos 2015 A nevelési eszköz szűkebb és tágabb értelmezése A nevelési eszköz fogalma szűkebb és tágabb értelemben is használatos a pedagógiában. Tágabb értelemben vett

Részletesebben

7. Gyakorlat A relációs adatmodell műveleti része

7. Gyakorlat A relációs adatmodell műveleti része 7. Gyakorlat A relációs adatmodell műveleti része Relációs algebra: az operandusok és az eredmények relációk; azaz a relációs algebra műveletei zártak a relációk halmazára Műveletei: Egy operandusú Két

Részletesebben

Következik, hogy B-nek minden prímosztója 4k + 1 alakú, de akkor B maga is 4k + 1 alakú, s ez ellentmondás.

Következik, hogy B-nek minden prímosztója 4k + 1 alakú, de akkor B maga is 4k + 1 alakú, s ez ellentmondás. Prímszámok A (pozitív) prímszámok sorozata a következő: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,... 1. Tétel. Végtelen sok prímszám van. Első bizonyítás. (Euklidész) Tegyük fel, hogy állításunk nem igaz, tehát véges

Részletesebben

Adatbázis rendszerek 6.. 6. 1.1. Definíciók:

Adatbázis rendszerek 6.. 6. 1.1. Definíciók: Adatbázis Rendszerek Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Fotogrammetria és Térinformatika 6.1. Egyed relációs modell lényegi jellemzői 6.2. Egyed relációs ábrázolás 6.3. Az egyedtípus 6.4. A

Részletesebben

1/50. Teljes indukció 1. Back Close

1/50. Teljes indukció 1. Back Close 1/50 Teljes indukció 1 A teljes indukció talán a legfontosabb bizonyítási módszer a számítástudományban. Teljes indukció elve. Legyen P (n) egy állítás. Tegyük fel, hogy (1) P (0) igaz, (2) minden n N

Részletesebben

A matematika nyelvéről bevezetés

A matematika nyelvéről bevezetés A matematika nyelvéről bevezetés Wettl Ferenc 2006. szeptember 19. Wettl Ferenc () A matematika nyelvéről bevezetés 2006. szeptember 19. 1 / 17 Tartalom 1 Matematika Kijelentő mondatok Matematikai kijelentések

Részletesebben

FRAKTÁLGEOMETRIA. Metrikus terek, szeparábilitás, kompaktság. Czirbusz Sándor czirbusz@gmail.com. Komputeralgebra Tanszék ELTE Informatika Kar

FRAKTÁLGEOMETRIA. Metrikus terek, szeparábilitás, kompaktság. Czirbusz Sándor czirbusz@gmail.com. Komputeralgebra Tanszék ELTE Informatika Kar Metrikus terek, szeparábilitás, kompaktság Czirbusz Sándor czirbusz@gmail.com Komputeralgebra Tanszék ELTE Informatika Kar 2010. március 7. Vázlat 1 Szeparábilitás Definíciók A szeparábilitás ekvivalens

Részletesebben

24. szakkör (Csoportelméleti alapfogalmak 3.)

24. szakkör (Csoportelméleti alapfogalmak 3.) 24. szakkör (Csoportelméleti alapfogalmak 3.) D) PERMUTÁCIÓK RENDJE Fontos kérdés a csoportelméletben, hogy egy adott elem hanyadik hatványa lesz az egység. DEFINÍCIÓ: A legkisebb olyan pozitív k számot,

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I. Számelmélet I. DEFINÍCIÓ: (Osztó, többszörös) Ha egy a szám felírható egy b szám és egy másik egész szám szorzataként, akkor a b számot az a osztójának, az a számot a b többszörösének nevezzük. Megjegyzés:

Részletesebben

1. tétel. Valószínűségszámítás vizsga Frissült: 2013. január 19. Valószínűségi mező, véletlen tömegjelenség.

1. tétel. Valószínűségszámítás vizsga Frissült: 2013. január 19. Valószínűségi mező, véletlen tömegjelenség. 1. tétel Valószínűségszámítás vizsga Frissült: 2013. január 19. Valószínűségi mező, véletlen tömegjelenség. A valószínűségszámítás tárgya: véletlen tömegjelenségek vizsgálata. véletlen: a kísérlet kimenetelét

Részletesebben

Sorozatok B.: Tanulmányok a számosságokról, a végtelenről, a prímekről, a rac. és irrac számokról

Sorozatok B.: Tanulmányok a számosságokról, a végtelenről, a prímekről, a rac. és irrac számokról Sorozatok B.: Tanulmányok a számosságokról, a végtelenről, a prímekről, a rac. és irrac számokról A. Sorozatok általában B. Tanulmányok a végtelenről, a prímekről a racionális és irracionális számokról.

Részletesebben

Készítette: Ernyei Kitti. Halmazok

Készítette: Ernyei Kitti. Halmazok Halmazok Jelölések: A halmazok jele általában nyomtatott nagybetű: A, B, C Az x eleme az A halmaznak: Az x nem eleme az A halmaznak: Az A halmaz az a, b, c elemekből áll: A halmazban egy elemet csak egyszer

Részletesebben

Kombinatorika. 9 10. évfolyam. Szerkesztette: Surányi László Ábrák: Hraskó András. 2015. december 6.

Kombinatorika. 9 10. évfolyam. Szerkesztette: Surányi László Ábrák: Hraskó András. 2015. december 6. Kombinatorika 9 10. évfolyam Szerkesztette: Surányi László Ábrák: Hraskó András 2015. december 6. A kötet létrehozását 2008-tól 2010-ig a Fővárosi Közoktatásfejlesztési Közalapítvány támogatta Technikai

Részletesebben

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 15 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 151 Lineáris egyenletrendszer, Gauss elimináció 1 Definíció Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az (1) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a

Részletesebben

Az elme minősége. Az elme minősége. Tartalom. Megjegyzés

Az elme minősége. Az elme minősége. Tartalom. Megjegyzés Tartalom Mi az elme, hogyan épül fel, és mi adja a jelentőségét a világ és az élet számára, illetve a saját szempontunkból? Az elme univerzalitása és konkrét megjelenései. Megjegyzés Alapjában nem tudom

Részletesebben

PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak

PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak MATEMATIKA (A tantárgy tartalma és a tananyag elsajátításának időterve.) Összeállította: Kis Miklós adjunktus Tankönyvek (mindhárom félévre): 1. Scharnitzky

Részletesebben

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat.

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat. Poisson folyamatok, exponenciális eloszlások Azt mondjuk, hogy a ξ valószínűségi változó Poisson eloszlású λ, 0 < λ

Részletesebben

A lineáris algebrában központi szerepet betöltı vektortér fogalmát értelmezzük most, s megvizsgáljuk e struktúra legfontosabb egyszerő tulajdonságait.

A lineáris algebrában központi szerepet betöltı vektortér fogalmát értelmezzük most, s megvizsgáljuk e struktúra legfontosabb egyszerő tulajdonságait. 2. VEKTORTÉR A lineáris algebrában központi szerepet betöltı vektortér fogalmát értelmezzük most, s megvizsgáljuk e struktúra legfontosabb egyszerő tulajdonságait. Legyen K egy test és V egy nem üres halmaz,

Részletesebben

MATEMATIKA ÍRÁSBELI VIZSGA 2009. május 5.

MATEMATIKA ÍRÁSBELI VIZSGA 2009. május 5. MATEMATIKA ÍRÁSBELI VIZSGA 2009. május 5. I. rész Fontos tudnivalók A megoldások sorrendje tetszőleges. A feladatok megoldásához szöveges adatok tárolására és megjelenítésére nem alkalmas zsebszámológépet

Részletesebben

Helyi tanterv Német nyelvű matematika érettségi előkészítő. 11. évfolyam

Helyi tanterv Német nyelvű matematika érettségi előkészítő. 11. évfolyam Helyi tanterv Német nyelvű matematika érettségi előkészítő 11. évfolyam Tematikai egység címe órakeret 1. Gondolkodási és megismerési módszerek 10 óra 2. Geometria 30 óra 3. Számtan, algebra 32 óra Az

Részletesebben

Általános algoritmustervezési módszerek

Általános algoritmustervezési módszerek Általános algoritmustervezési módszerek Ebben a részben arra mutatunk példát, hogy miként használhatóak olyan általános algoritmustervezési módszerek mint a dinamikus programozás és a korlátozás és szétválasztás

Részletesebben

Atomataelmélet: A Rabin Scott-automata

Atomataelmélet: A Rabin Scott-automata A 19. óra vázlata: Atomataelmélet: A Rabin Scott-automata Az eddigieken a formális nyelveket generatív szempontból vizsgáltuk, vagyis a nyelvtan (generatív grammatika) szemszögéből. A generatív grammatika

Részletesebben

5. A kiterjesztési elv, nyelvi változók

5. A kiterjesztési elv, nyelvi változók 5. A kiterjesztési elv, nyelvi változók Gépi intelligencia I. Fodor János BMF NIK IMRI NIMGI1MIEM Tartalomjegyzék I 1 A kiterjesztési elv 2 Nyelvi változók A kiterjesztési elv 237 A KITERJESZTÉSI ELV A

Részletesebben

Mátrixjátékok tiszta nyeregponttal

Mátrixjátékok tiszta nyeregponttal 1 Mátrixjátékok tiszta nyeregponttal 1. Példa. Két játékos Aladár és Bendegúz rendelkeznek egy-egy tetraéderrel, melyek lapjaira rendre az 1, 2, 3, 4 számokat írták. Egy megadott jelre egyszerre felmutatják

Részletesebben

Segédlet az Informatika alapjai I. című tárgy számrendszerek fejezetéhez

Segédlet az Informatika alapjai I. című tárgy számrendszerek fejezetéhez Segédlet az Informatika alapjai I. című tárgy számrendszerek fejezetéhez Sándor Tamás, sandor.tamas@kvk.bmf.hu Takács Gergely, takacs.gergo@kvk.bmf.hu Lektorálta: dr. Schuster György PhD, hal@k2.jozsef.kando.hu

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Matematika I

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Matematika I Matematika I (Analízis) Készítette: Horváth Gábor Kötelező irodalom: Ács László, Gáspár Csaba: Analízis 1 Oktatási segédanyagok és a tantárgyi követelményrendszer megtalálható a http://rs1.szif.hu/ horvathg/horvathg.html

Részletesebben

Kiegészítő részelőadás 2. Algebrai és transzcendens számok, nevezetes konstansok

Kiegészítő részelőadás 2. Algebrai és transzcendens számok, nevezetes konstansok Kiegészítő részelőadás. Algebrai és transzcendens számo, nevezetes onstanso Dr. Kallós Gábor 04 05 A valós számo ategorizálása Eml. (óori felismerés): nem minden szám írható fel törtszámént (racionálisént)

Részletesebben

Matematika B/1. Tartalomjegyzék. 1. Célkit zések. 2. Általános követelmények. 3. Rövid leírás. 4. Oktatási módszer. Biró Zsolt. 1.

Matematika B/1. Tartalomjegyzék. 1. Célkit zések. 2. Általános követelmények. 3. Rövid leírás. 4. Oktatási módszer. Biró Zsolt. 1. Matematika B/1 Biró Zsolt Tartalomjegyzék 1. Célkit zések 1 2. Általános követelmények 1 3. Rövid leírás 1 4. Oktatási módszer 1 5. Követelmények, pótlások 2 6. Program (el adás) 2 7. Program (gyakorlat)

Részletesebben

ELEMI PROGRAMOZÁSI TÉTELEK

ELEMI PROGRAMOZÁSI TÉTELEK ELEMI PROGRAMOZÁSI TÉTELEK 1. FELADATMEGOLDÁS PROGRAMOZÁSI TÉTELEKKEL 1.1 A programozási tétel fogalma A programozási tételek típusalgoritmusok, amelyek alkalmazásával garantáltan helyes megoldást adhatunk

Részletesebben

A MEGBÍZHATÓSÁGI ELEMZŐ MÓDSZEREK

A MEGBÍZHATÓSÁGI ELEMZŐ MÓDSZEREK 1. Elemző módszerek A MEGBÍZHATÓSÁGI ELEMZŐ MÓDSZEREK Ebben a fejezetben röviden összefoglaljuk azokat a módszereket, amelyekkel a technikai, technológiai és üzemeltetési rendszerek megbízhatósági elemzései

Részletesebben

1. Algebrai alapok: Melyek műveletek az alábbiak közül?

1. Algebrai alapok: Melyek műveletek az alábbiak közül? 1. Algebrai alapok: Művelet: Egy H nemüres halmazon értelmezett (kétváltozós) műveleten egy H H H függvényt értünk, azaz egy olyan leképezést, amely bármely a,b H elempárhoz egyértelműen hozzárendel egy

Részletesebben

Tanmenet a Matematika 10. tankönyvhöz

Tanmenet a Matematika 10. tankönyvhöz Tanmenet a Matematika 10. tankönyvhöz (111 óra, 148 óra, 185 óra) A tanmenetben olyan órafelosztást adunk, amely alkalmazható mind a középszintû képzés (heti 3 vagy heti 4 óra), mind az emelt szintû képzés

Részletesebben

A matematikai modellalkotás folyamatáról

A matematikai modellalkotás folyamatáról Máté László A matematikai modellalkotás folyamatáról 1. A felsőoktatás tömegessé válása olyan problémákat vet fel a matematika oktatásában amelyek a matematikai ismeretszerzés folyamatának az átgondolására

Részletesebben

Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Valós számsorozaton valós számok meghatározott sorrendű végtelen listáját értjük. A hangsúly az egymásután következés rendjén van.

Részletesebben

Chomsky-féle hierarchia

Chomsky-féle hierarchia http://www.ms.sapientia.ro/ kasa/formalis.htm Chomsky-féle hierarchia G = (N, T, P, S) nyelvtan: 0-s típusú (általános vagy mondatszerkezetű), ha semmilyen megkötést nem teszünk a helyettesítési szabályaira.

Részletesebben

Rekurzió. Dr. Iványi Péter

Rekurzió. Dr. Iványi Péter Rekurzió Dr. Iványi Péter 1 Függvényhívás void f3(int a3) { printf( %d,a3); } void f2(int a2) { f3(a2); a2 = (a2+1); } void f1() { int a1 = 1; int b1; b1 = f2(a1); } 2 Függvényhívás void f3(int a3) { printf(

Részletesebben

15. BESZÉD ÉS GONDOLKODÁS

15. BESZÉD ÉS GONDOLKODÁS 15. BESZÉD ÉS GONDOLKODÁS 1. A filozófiának, a nyelvészetnek és a pszichológiának évszázadok óta visszatérô kérdése, hogy milyen a kapcsolat gondolkodás vagy általában a megismerési folyamatok és nyelv,

Részletesebben

Osztályozóvizsga követelményei

Osztályozóvizsga követelményei Osztályozóvizsga követelményei Képzés típusa: Tantárgy: Nyolcosztályos gimnázium Matematika Évfolyam: 11 Emelt óraszámú csoport Emelt szintű csoport Vizsga típusa: Írásbeli Követelmények, témakörök: Gondolkodási

Részletesebben

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Valószínőségi eloszlások Binomiális eloszlás

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Valószínőségi eloszlások Binomiális eloszlás Matematikai alapok és valószínőségszámítás Valószínőségi eloszlások Binomiális eloszlás Bevezetés A tudományos életben megfigyeléseket teszünk, kísérleteket végzünk. Ezek többféle különbözı eredményre

Részletesebben

Diszkrét matematika I. gyakorlat

Diszkrét matematika I. gyakorlat Vizsgafeladatok megoldása 2012. december 5. Tartalom Teljes feladatsor #1 1 Teljes feladatsor #1 2 Teljes feladatsor #2 3 Teljes feladatsor #3 4 Teljes feladatsor #4 5 Válogatott feladatok 6 Végső bölcsesség

Részletesebben

Vári Péter-Rábainé Szabó Annamária-Szepesi Ildikó-Szabó Vilmos-Takács Szabolcs KOMPETENCIAMÉRÉS 2004

Vári Péter-Rábainé Szabó Annamária-Szepesi Ildikó-Szabó Vilmos-Takács Szabolcs KOMPETENCIAMÉRÉS 2004 Vári Péter-Rábainé Szabó Annamária-Szepesi Ildikó-Szabó Vilmos-Takács Szabolcs KOMPETENCIAMÉRÉS 2004 2005 Budapest Értékelési Központ SuliNova Kht. 2 Országos Kompetenciamérés 2004 Tartalom 1. Bevezetés...4

Részletesebben

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak!

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak! Magyar Ifjúság 6 V SOROZATOK a) Három szám összege 76 E három számot tekinthetjük egy mértani sorozat három egymás után következő elemének vagy pedig egy számtani sorozat első, negyedik és hatodik elemének

Részletesebben

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének 6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük

Részletesebben

IFJÚSÁG-NEVELÉS. Nevelés, gondolkodás, matematika

IFJÚSÁG-NEVELÉS. Nevelés, gondolkodás, matematika IFJÚSÁG-NEVELÉS Nevelés, gondolkodás, matematika Érdeklődéssel olvastam a Korunk 1970. novemberi számában Édouard Labin cikkét: Miért érthetetlen a matematika? Egyetértek a cikk megállapításaival, a vázolt

Részletesebben

II. Halmazok. Relációk. II.1. Rövid halmazelmélet. A halmaz megadása. { } { } { } { }

II. Halmazok. Relációk. II.1. Rövid halmazelmélet. A halmaz megadása. { } { } { } { } II. Halmazok. Relációk II.1. Rövid halmazelmélet A halmaz (sokaság) jól meghatározott, megkülönböztetett dolgok (tárgyak, fogalmak, stb.) összessége. A halmaz alapfogalom. Ez azt jelenti, hogy csak példákon

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 9.A, 9.D. OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT ÖSSZ: 148 ÓRA

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 9.A, 9.D. OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT ÖSSZ: 148 ÓRA MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI ELJÁRÁS MELLÉKLET Tanmenetborító ME-III.1./1 2 Azonosító: Változatszám : Érvényesség kezdete: Oldal/összes: 1/6 Fájlnév: ME- III.1.1.Tanmenetborító SZK-DC-2013 2013. 09. 01. MATEMATIKA

Részletesebben

Széchenyi István Egyetem, 2005

Széchenyi István Egyetem, 2005 Gáspár Csaba, Molnárka Győző Lineáris algebra és többváltozós függvények Széchenyi István Egyetem, 25 Vektorterek Ebben a fejezetben a geometriai vektorfogalom ( irányított szakasz ) erős általánosítását

Részletesebben

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie.

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Eponenciális és Logaritmikus kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szoálhatnak fontos információval

Részletesebben

Gráfelméleti alapfogalmak-1

Gráfelméleti alapfogalmak-1 KOMBINATORIKA ELŐADÁS osztatlan matematika tanár hallgatók számára Gráfelméleti alapfogalmak Előadó: Hajnal Péter 2015 1. Egyszerű gráfok Nagyon sok helyzetben egy alaphalmaz elemei között kitűntetett

Részletesebben

A zsebrádiótól Turán tételéig

A zsebrádiótól Turán tételéig Jegyzetek egy matekóráról Lejegyezte és kiegészítésekkel ellátta: Meszéna Balázs A katedrán: Pataki János A gráfokat rengeteg életszagú példa megoldásában tudjuk segítségül hívni. Erre nézzünk egy példát:

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA II 3 III NUmERIkUS SOROk 1 Alapvető DEFInÍCIÓ ÉS TÉTELEk Végtelen sor Az (1) kifejezést végtelen sornak nevezzük Az számok a végtelen sor tagjai Az, sorozat az (1) végtelen sor

Részletesebben

A biomatematika alapjai és a kapcsolódó feladatok megoldása számítógép segítségével Abonyi-Tóth Zsolt, 2005-2006 készült Harnos Andrea, Reiczigel Jenő zoológus előadásainak valamint Fodor János és Solymosi

Részletesebben

A hiperbolikus síkgeometria Poincaré-féle körmodellje

A hiperbolikus síkgeometria Poincaré-féle körmodellje A hiperbolikus síkgeometria Poincaré-féle körmodellje Ha egy aiómarendszerre modellt adunk, az azt jelenti, hogy egy matematikai rendszerben interpretáljuk az aiómarendszer alapfogalmait és az aiómák a

Részletesebben

MATEMATIKA Kiss Árpád Országos Közoktatási Szolgáltató Intézmény Vizsgafejlesztő Központ

MATEMATIKA Kiss Árpád Országos Közoktatási Szolgáltató Intézmény Vizsgafejlesztő Központ MATEMATIKA Kiss Árpád Országos Közoktatási Szolgáltató Intézmény Vizsgafejlesztő Központ I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY Az érettségi követelményeit két szinten határozzuk meg: középszinten a

Részletesebben

Mindannyiunknak vannak olyan gondolatai, amelyek HO OPONOPONO ÉS AZ EMLÉKEK

Mindannyiunknak vannak olyan gondolatai, amelyek HO OPONOPONO ÉS AZ EMLÉKEK 2 HO OPONOPONO ÉS AZ EMLÉKEK AZ EMLÉKEID HATÁROZNAK MEG Mindannyiunknak vannak olyan gondolatai, amelyek korlátozóak, mint például «nem érdemlem meg», «nem vagyok elég művelt» vagy «szegénynek születtem,

Részletesebben

MATEMATIKA I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY A) KOMPETENCIÁK

MATEMATIKA I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY A) KOMPETENCIÁK MATEMATIKA I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY Az érettségi követelményeit két szinten határozzuk meg: - középszinten a mai társadalomban tájékozódni és alkotni tudó ember matematikai ismereteit kell

Részletesebben

A Szekszárdi I. Béla Gimnázium Helyi Tanterve

A Szekszárdi I. Béla Gimnázium Helyi Tanterve A Szekszárdi I. Béla Gimnázium Helyi Tanterve Matematika Készítette: a gimnázium reál szakmai munkaközössége 2015. Tartalom Emelt szintű matematika képzés... 3 Matematika alapóraszámú képzés... 47 Matematika

Részletesebben

Tömbök kezelése. Példa: Vonalkód ellenőrzőjegyének kiszámítása

Tömbök kezelése. Példa: Vonalkód ellenőrzőjegyének kiszámítása Tömbök kezelése Példa: Vonalkód ellenőrzőjegyének kiszámítása A számokkal jellemzett adatok, pl. személyi szám, adószám, taj-szám, vonalkód, bankszámlaszám esetében az elírásból származó hibát ún. ellenőrző

Részletesebben

Minta 2. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI FELADATSOR. I. rész

Minta 2. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI FELADATSOR. I. rész 2. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI FELADATSOR I. rész A feladatok megoldására 45 perc fordítható, az idő leteltével a munkát be kell fejeznie. A feladatok megoldási sorrendje tetszőleges. A feladatok megoldásához

Részletesebben

Ellenőrző kérdések. 36. Ha t szintű indexet használunk, mennyi a keresési költség blokkműveletek számában mérve? (1 pont) log 2 (B(I (t) )) + t

Ellenőrző kérdések. 36. Ha t szintű indexet használunk, mennyi a keresési költség blokkműveletek számában mérve? (1 pont) log 2 (B(I (t) )) + t Ellenőrző kérdések 2. Kis dolgozat kérdései 36. Ha t szintű indexet használunk, mennyi a keresési költség blokkműveletek számában mérve? (1 pont) log 2 (B(I (t) )) + t 37. Ha t szintű indexet használunk,

Részletesebben

1. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI FELADATSOR

1. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI FELADATSOR 1. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI FELADATSOR A feladatok megoldására 240 perc fordítható, az idő leteltével a munkát be kell fejeznie. A feladatok megoldási sorrendje tetszőleges. A II. részben kitűzött

Részletesebben

TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok I. útmutató

TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok I. útmutató BGF PÉNZÜGYI ÉS SZÁMVITELI KAR Módszertani Intézeti Tanszéki Osztály TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok I. útmutató 2014/2015. tanév I. félév Tantárgyi program Tantárgy megnevezése Matematikai alapok

Részletesebben

Miskolci Egyetem. Diszkrét matek I. Vizsga-jegyzet. Hegedűs Ádám Imre 2010.12.28.

Miskolci Egyetem. Diszkrét matek I. Vizsga-jegyzet. Hegedűs Ádám Imre 2010.12.28. Miskolci Egyetem Diszkrét matek I. Vizsga-jegyzet Hegedűs Ádám Imre 2010.12.28. KOMBINATORIKA Permutáció Ismétlés nélküli permutáció alatt néhány különböző dolognak a sorba rendezését értjük. Az "ismétlés

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek X.

Egyenletek, egyenlőtlenségek X. Egyenletek, egyenlőtlenségek X. DEFINÍCIÓ: (Logaritmus) Ha egy pozitív valós számot adott, 1 - től különböző pozitív alapú hatvány alakban írunk fel, akkor ennek a hatványnak a kitevőjét logaritmusnak

Részletesebben

TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok I. útmutató

TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok I. útmutató BGF PÉNZÜGYI ÉS SZÁMVITELI KAR Módszertani Intézeti Tanszéki Osztály TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok I. útmutató 2013/2014. tanév II. félév Tantárgyi program Tantárgy megnevezése Matematikai alapok

Részletesebben

Diszkrét matematika 2 (C) vizsgaanyag, 2012 tavasz

Diszkrét matematika 2 (C) vizsgaanyag, 2012 tavasz Diszkrét matematika 2 (C) vizsgaanyag, 2012 tavasz A vizsga menete: a vizsga írásbeli és szóbeli részből áll. Az írásbeli beugrón az alábbi kérdések közül szerepel összesen 12 darab, mindegyik egy pontot

Részletesebben

Pécsi Tudományegyetem Bölcsészettudományi Kar Filozófia Doktori Iskola

Pécsi Tudományegyetem Bölcsészettudományi Kar Filozófia Doktori Iskola Pécsi Tudományegyetem Bölcsészettudományi Kar Filozófia Doktori Iskola Openness The Phenomenon of World-openness and God-openness PhD értekezés tézisfüzet Hoppál Bulcsú Kál Témavezető: Dr. Boros János

Részletesebben

Pöntör Jenõ. 1. Mi a szkepticizmus?

Pöntör Jenõ. 1. Mi a szkepticizmus? Pöntör Jenõ Szkepticizmus és externalizmus A szkeptikus kihívás kétségtelenül az egyik legjelentõsebb filozófiai probléma. Hogy ezt alátámasszuk, elég csak arra utalnunk, hogy az újkori filozófiatörténet

Részletesebben

A tér lineáris leképezései síkra

A tér lineáris leképezései síkra A tér lineáris leképezései síkra Az ábrázoló geometria célja: A háromdimenziós térben elhelyezkedő alakzatok helyzeti és metrikus viszonyainak egyértelmű és egyértelműen rekonstruálható módon történő ábrázolása

Részletesebben

C++ programozási nyelv

C++ programozási nyelv C++ programozási nyelv Gyakorlat - 13. hét Nyugat-Magyarországi Egyetem Faipari Mérnöki Kar Informatikai Intézet Soós Sándor 2004. december A C++ programozási nyelv Soós Sándor 1/10 Tartalomjegyzék Objektumok

Részletesebben

Bevezetés a programozásba

Bevezetés a programozásba Bevezetés a programozásba 1. Előadás Bevezetés, kifejezések http://digitus.itk.ppke.hu/~flugi/ Egyre precízebb A programozás természete Hozzál krumplit! Hozzál egy kiló krumplit! Hozzál egy kiló krumplit

Részletesebben

Analízis lépésről - lépésre

Analízis lépésről - lépésre Analízis lépésről - lépésre interaktív tananyag Dr. Stettner Eleonóra Klingné Takács Anna Analízis lépésről - lépésre: interaktív tananyag írta Dr. Stettner Eleonóra és Klingné Takács Anna Tartalom Előszó...

Részletesebben

Kaposi Ambrus. University of Nottingham Functional Programming Lab. Hackerspace Budapest 2015. január 6.

Kaposi Ambrus. University of Nottingham Functional Programming Lab. Hackerspace Budapest 2015. január 6. Bizonyítás és programozás Kaposi Ambrus University of Nottingham Functional Programming Lab Hackerspace Budapest 2015. január 6. Bizonyítás, érvelés Példa: sáros a csizmám ha vizes a föld, esett az eső

Részletesebben

Projekt menedzser teszt

Projekt menedzser teszt Question 1 A módszertanok szerint (3 helyes válasz) Projekt menedzser teszt a. A projektek hossza előre nem meghatározható. b. Meghatározott és egyedi termékek jönnek létre a projektek során. c. A projektek

Részletesebben

22. szakkör (Csoportelméleti alapfogalmak 1.)

22. szakkör (Csoportelméleti alapfogalmak 1.) 22. szakkör (Csoportelméleti alapfogalmak 1.) A) A PERMUTÁCIÓK CIKLIKUS SZERKEZETE 1. feladat: Egy húsztagú társaság ül az asztal körül. Néhányat közülük (esetleg az összeset) párba állítunk, és a párok

Részletesebben

Matematika. 4. konzultáció: Kétváltozós függvények szélsőértéke. Parciális függvény, parciális derivált

Matematika. 4. konzultáció: Kétváltozós függvények szélsőértéke. Parciális függvény, parciális derivált Matematika 1 NYME KTK, Egyetemi kiegészítő alapképzés 2004/2005. tanév, I. évf. I.félév Budapest Előadó: Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet 9400 Sopron, Bajcsy Zs. u. 9. GT fszt. 3. (99) 518

Részletesebben

Próbaérettségi 2004 MATEMATIKA. PRÓBAÉRETTSÉGI 2004. május EMELT SZINT. 240 perc

Próbaérettségi 2004 MATEMATIKA. PRÓBAÉRETTSÉGI 2004. május EMELT SZINT. 240 perc PRÓBAÉRETTSÉGI 2004. május MATEMATIKA EMELT SZINT 240 perc A feladatok megoldására 240 perc fordítható, az idő leteltével a munkát be kell fejeznie. A feladatok megoldási sorrendje tetszőleges. A II. részben

Részletesebben

Szakmai zárójelentés

Szakmai zárójelentés Szakmai zárójelentés A csoporttechnológia (Group Technology = GT) elvi és módszertani alapjaihoz, valamint a kapcsolódó módszerek informatikai alkalmazásaihoz kötődő kutatómunkával a Miskolci Egyetem Alkalmazott

Részletesebben

Az olvasási képesség szerepe a matematikai gondolkodás fejlődésében. Steklács János Kecskeméti Főiskola Humán Tudományok Intézete steklacs@gmail.

Az olvasási képesség szerepe a matematikai gondolkodás fejlődésében. Steklács János Kecskeméti Főiskola Humán Tudományok Intézete steklacs@gmail. Az olvasási képesség szerepe a matematikai gondolkodás fejlődésében Steklács János Kecskeméti Főiskola Humán Tudományok Intézete steklacs@gmail.com Vázlat Számolás és olvasás Szöveges feladatok Az olvasási

Részletesebben

NP-teljesség röviden

NP-teljesség röviden NP-teljesség röviden Bucsay Balázs earthquake[at]rycon[dot]hu http://rycon.hu 1 Turing gépek 1/3 Mi a turing gép? 1. Definíció. [Turing gép] Egy Turing-gép formálisan egy M = (K, Σ, δ, s) rendezett négyessel

Részletesebben

BUDAPESTI KÖZGAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM. Puskás Csaba, Szabó Imre, Tallos Péter LINEÁRIS ALGEBRA JEGYZET

BUDAPESTI KÖZGAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM. Puskás Csaba, Szabó Imre, Tallos Péter LINEÁRIS ALGEBRA JEGYZET BUDAPESTI KÖZGAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM Puskás Csaba, Szabó Imre, Tallos Péter LINEÁRIS ALGEBRA JEGYZET BUDAPEST, 1997 A szerzők Lineáris Algebra, illetve Lineáris Algebra II c jegyzeteinek átdolgozott

Részletesebben

Skalárszorzat, norma, szög, távolság. Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2005.

Skalárszorzat, norma, szög, távolság. Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2005. 1 Diszkrét matematika II., 4. el adás Skalárszorzat, norma, szög, távolság Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2005. március 1 A téma jelent sége

Részletesebben