0. Ha valahol még nem szerepelt a relációs algebrai osztás, akkor azt kell először venni:

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "0. Ha valahol még nem szerepelt a relációs algebrai osztás, akkor azt kell először venni:"

Átírás

1 Funkcionális függések, kulcskeresés, Armstrong axiómák A kékkel írt dolgokat tudniuk kell már, nem kell újra elmondani 0. Ha valahol még nem szerepelt a relációs algebrai osztás, akkor azt kell először venni: Példa: Önálló feladat: 1. Funkcionális függőség: Definíció: B attribútum funkcionálisan függ A attribútumtól (vagy A funkcionálisan meghatározza B-t), ha t1[a]=t2[a] esetén t1[b]=t2[b]. Ez a definíció azt jelenti, hogy ha B attribútum (tábla egy oszlopa) funkcionálisan függ A attribútumtól, akkor az A attribútmon azonos értéket felvevő sorokban a B attribútum értékei is megegyeznek. Jelölés: A B A B C a1 b1 c1 a1 b2 c2 a2 b3 c3 b2=b1 F: funkcionális függés halmaza ( pl: F={A D, B E, DE C} ) 1 A B C a1 b1 c1 a1 b1 c2 a2 b3 c3

2 Implikáció definíciója (Logikai következmény) Egy adott FD1 funkcionális függőségi halmaz implikáltja (logikai következménye) FD2 függőségi halmaz, ha a reláció minden egyes legális előfordulása FD1 szerint legális FD2 szerint is. Jelölés: FD1 = FD Adott a következő R(X,Y,Z) reláció egy r előfordulása: r: X Y Z x1 y1 z1 x1 y1 z2 x2 y1 z1 x2 y1 z3 Kérdések: Mondjon példát olyan funkcionális függésre, amely szerint legális az előfordulás. Módosítsuk z3-at, z2-re. Válaszoljon az előző kérdésre újra! Válaszok: F={ Z Y, X Y, XZ Y } Ugyan az mint előbb. ( F nem változott ) 1.2. Adott a következő S(A,B,C) reláció egy s példánya: s: A B C Kék részeket csak kérdezni kell. Kérdés: Ellenőrizze, hogy s legális-e az alábbi függőségekre: A B, BC A, B C Válasz: BC A szerint nem legális (pl: 1,2,3 illetve 4,2,3) a többi igen 2. Armstrong axiómák: (Előadáson szerepelt! Ezért talán nem kellene ideírni, nehogy véletlenül vegyék) 2.1. Reflexívitás-Reflexivity: Állítás (nem def)ha attribútum részhalmaza attribútumnak akkor funkcionálisan függ -tól. (Ha, akkor ) Biz.: A funkcionális függések definíciójából következik, hogyha t1[ ]= t2[ ], akkor t1[ ]= t2[ ] is igaz. A állítás következménye, hogy ha a sorok értéke ugyanaz az attribútumok halmazán, akkor a részhalmazon is Bővítés-Augmentation: Def.: Ha, akkor Biz.: t1[ ] = t2[ ] és t1[ ] = t2[ ] t1[ ] = t2[ ] t1[ ] = t2[ ] t1[ ] = t2[ ] 2.3. Tranzitivitás-Transivity: Def.: Ha és, akkor Biz.: jelentése: ha t1[ ] = t2[ ] t1[ ] = t2[ ] jelentése: ha t1[ ] = t2[ ] t1[ ] = t2[ ] Így ha t1[ ] = t2[ ] és t1[ ] = t2[ ] fennáll, akkor t1[ ]= t2[ ] kell legyen. 2

3 3. Levezetések és formális bizonyítások: 3.1. Dekompozíció szabály (definíció alapján) (ha, akkor és ) jelentése: ha t1[ ]= t2[ ], akkor t1[ ]= t2[ ] igaz. De ez a második egyenlőség a t1[ ]= t2[ ] és t1[ ]= t2[ ] egyenlőségekből áll, amelyek bizonyítják az állítást Unió szabály ( és, akkor ) Ha t1[ ]= t2[ ], akkor t1[ ]= t2[ ] és t1[ ]= t2[ ], akkor t1[ ]= t2[ ] igaz, akkor a t1[ ]= t2[ ], akkor t1[ ]= t2[ ] is teljesül Pszeudo-tranzitivitás (ha és, akkor ) Ha + bővítés -val. Mivel és, ezért a tranzitivitás miatt Pszeudo-kibővítés (ha, akkor ) Ha + bővítés -val. Dekompozíciós szabály: és Önálló feladat (ha és, akkor ) Ha + bővítés -val. Valamint + bővítés -val. Tranzitivitással: és. 4. Funkcionális függés lezártja: F lezártja F +, ha az F + tartalmazza az összes funkcionális függést, amit az F meghatároz (ami az Armstrong axiómák segítségével levezethető F-ből). Két függőségi halmaz ekvivalens, ha lezártjuk egyenlő. Ez nem volt még! A kékek kövekező gyakorlaton legyenek! Definíció: Az levezethető (derivation) az FD1, FD2, FD3,...FDn funkcionális függések sorozatából az FD funkcionális függések halmazán, ha: FDn = és minden FDk FD, vagy az FDk az FD elemeiből levezethető az Armstrong axiómák segítségével vagy az előzőleg meghatározott származtatottakból vagy mindkettőből Funkcionális függés lezártja: R(A,B,C,D) F = {A B, A C, C D} F + = {A A, A B, A C, A D, A AB, A AC, A AD, A BC, A BD, A CD, A ABC, A ABD, A BCD, A ABCD, C D } 3

4 4.2. Ekvivalens függőségi halmazok: R(A,B,C) F1 = {AC C, A BC, C C} F2 = {ABC BC, A B, A C} Megoldás: F1-ből levezethetőek F2 funkcionális függőségei: A BC dekompozíció: A B, A C A BC bővítés BC-vel: ABC BC F2-ből levezethetőek F1 funkcionális függőségei: A B és A C unió: A BC A C bővítés C-vel: AC C C-ből triviális (reflexivitással): C C 4.3. Következménye-e a C A, illetve a D C függőségek az F:={AB C, C D, D A} függőségi halmaznak? (Funkcionális függés lezárttal) Megoldás: C D és D A tranzitivitás: C A C A következménye F-nek. D funkfügg-jei: D A, D D, D AD D C nem következménye F-nek. 5. Attribútum halmaz lezártja adott F függőségi halmaz szerint: {A1, A2,... An} + ={B A1, A2,... An B, amely F-ből következik} Bemenet: X attribútum halmaz, F függőségi halmaz Eredmény: X attribútum halmaz F szerinti lezártja (X + ), azaz minden olyan attribútum, ami X + -ból következik F függőségeit felhasználva. Az algoritmus nem szerepelt, végig kell következtetniük Módszer: 1. X(0) = X (Az attribútum halmaz elemei triviálisan bent lesznek) 2. X(i+1) = X(i) A, ha F-ben van olyan függőség, hogy Y Z, ahol A Z, és Y X(i) 3. Kilépés: X(i+1) = X(i) (Ha nincs változás készen vagyunk) ( Tétel: Ez a módszer helyesen számolja ki X + -t Bizonyítás: Teljes indukcióval ) 5.1. Keressük meg a különböző attribútum halmazok lezártjait! R{A,B,C,D,E} F={A C, B C, C D, DE C, CE A} Megoldás: tehát itt le kell vezetniük {A} + = {A,C,D}; {B} + = {B,C,D}; {C} + = {C,D} {DE} + = {D,E,C,A}... {BE} + ={ A,B,C,D,E} 5.2. Következménye-e a C A, illetve a D C függőségek az F:={AB C, C D, D A} függőségi halmaznak? (Attribútum halmaz lezárttal) Megoldás: Megoldás: tehát itt le kell vezetniük 4

5 C + ={C, D, A}, így A C +, tehát C A következik F-ből. D + ={ D, A}, így C D +, tehát D C nem következik F-ből. 6. Kulcsok meghatározása a funkcionális függőség segítségével: Szuperkulcs (Super key): α szuperkulcs, ha α R. Vagyis α-ból levezethető a reláció összes attribútuma a funkcionális függőségek segítségével. Kulcsjelölt (Candidate key): α kulcsjelölt, ha α R és nincs olyan β α amire β R. Máshogy: {A} kulcsjelölt, ha {A} + az összes R attribútum, de A egy valódi részhalmazára sem igaz ez, azaz minimális. Elsődleges kulcs: Tetszőleges kulcsjelölt A funkcionális függések segítségével meg lehet határozni a kulcsokat és az elsődleges kulcsot. Egy attribútum vagy attribútum halmazt akkor nevezünk kulcsnak, ha az attribútum halmaz lezártja tartalmazza az összes attribútumot (Ki lehet fejezni velük az összes többi attribútumot). Tippek kulcs jelöltek keresésére: - Amelyik attribútumok nem szerepelnek a funkcionális függések jobb oldalán, azokat nem határozza meg semmi (csak önmaguk), tehát mindenképpen a kulcsjelölt részét fogják képezni. - Ha a fenti attribútumok, kevesek lennének kulcs jelöltnek, akkor a funkcionális függések bal oldalán álló attribútumok közül esélyes (ezek meghatározhatnak más attribútumokat), hogy valamelyikre még szükség van LEFT( kulcsban lesz) LEFT-RIGHT (lehet a kulcsban) RIGHT(soha nem lesz a kulcsban) 6.1. Példa: Kérem szépen a Left(FD-k csak baloldalán szereplő attr), Left- Right(mindlkét oldalon szerpel), Right(csak jobboldalon szerepel) csoportosításra trenírozni őket!! Határozzuk meg a kulcsjelölteket! R(A,B,C,D) a) F1 = {C D, C A, B C} B LEFT LEFT_RIGHT RIGHT B C A a) F2 = {B C, D A} BD LEFT B D LEFT_RIGHT RIGHT A b) F3 = {ABC D, D A} ABC vagy BCD LEFT LEFT_RIGHT RIGHT B,C A,D _ 5

6 b) F4 = {A B, BC D, A C} A LEFT LEFT_RIGHT RIGHT A B, C D c) F5 = {AB C, AB D, C A, D B} AB, CD, AD, vagy BC LEFT LEFT_RIGHT RIGHT A, B, C, D 6.2. Befektetési iroda Séma: Attribútumok: {Bróker, Iroda, Befektető, Részvény, Darab, Osztalék} Függőségi halmaz = {Bróker Iroda; Részvény Osztalék; Befektető, Részvény Darab; Befektető Bróker} Határozzuk meg a reláció kulcsát az előző megoldások mintájára! Megoldás: (Befektető, Részvény) lesz a kulcsjelölt 6.3. Határozzuk meg a reláció kulcsait A reláció sémája: R(A, B, C, D, E) A hozzátartozó függőségi halmaz: F={A B, CA D, C E, D A} LEFT LEFT_RIGHT RIGHT C A, D B, E 6

7 Megoldás: Figyelmesen nézzük meg a funkcionális függőségek bal és jobb oldalait: C mindenképpen benne lesz a kulcsban (jobb oldalt nem szerepel) bal oldalon még az A és D attribútum szerepel Sejtés: CA és CD lehet kulcs jelölt 1. CA + 1={C, A} a reflexivitás miatt 2. CA + 2={C, A} {B} az A B 3. CA + 3={C, A, B} {D} a CA D 4. CA + 4={C, A, B, D} {E} a C E 5. CA + 5={C, A, B, D, E} 6. CA + 5= CA CD + 1={C, D} a reflexivitás miatt 2. CD + 2={C, D} {A} az D A 3. CD + 3={C, D, A} {E} a C E 4. CD + 4={C, D, A, E} {D} a CA D 5. CD + 5={C, D, A, E, D} 6. CD + 5= CD + 6 Minimalitási feltétel ellenőrzése: C + ={C, E}, A + ={A, B}, D + ={D, A, B} önmagukban nem képesek a teljes R relációt meghatározni CA és CD valóban kulcsjelöltek! 7. Gyakorlás zh-ra: 7.1. Relációs algebra(akár átírást is lehet gyakorolni): Gyümölcsök (Azonosító, Név, Egységár); Termelők (Termelőazonosító, Név, Település, Utca, Összes földterület); Termel (Azonosító, Termelőazonosító, Éves mennyiség); Azonosító Név Név Utca Egységár Gyümölcsök Termelők T.Azonosító Település Termel Összföld. Éves mennyiség Kérdések és válaszok: 1. Mi a legdrágább gyümölcs azonosítója? (π(egységár, Egységár) (Hallgatók)) \ π(új.azonosító, Új. Egységár) (σ (Gyümölcs. Egységár > Új. Egységár) (π(azonosító, Egységár) (Gyümölcsök) ρ(új) (π(azonosító, Egységár) (Gyümölcsök))))) 2. Mi a legtöbb földdel bíró termelő neve? (π(név, Föld) (Hallgatók)) \ π(új.név, Új. Föld) (σ (Termelő. Föld > Új. Föld) (π(név, Föld) (Termelő) ρ(új) (π(név, Föld) (Termelő))))) 3. Azon termelők neve akik termelnek dinnyét. π (Termelők.név) (Termelők (σ (gyümölcsök.név> dinnye ) (Gyümölcsök Termel))) 7

8 4. Kik azok a termelők (név szerint), akik mindenféle gyümölcsöt termelnek? π (név) (Termelők (π (Termelőazonosító, Azonosító) (Termel) / π (Azonosító) (Gyümölcsök))) 7.2. Relációs algebra <-> SQL: Adott a következő séma. Írjuk át a relációs algebrai kifejezéseket SQL-re, és fordítva! Suppliers (sid int, sname str, address str) Parts (pid int, pname str, color str) Catalogue (sid int, pid int, cost real) Rel. alg. (piros cikkeket forgalmazó szolgáltatók listája): π suppliers.sname (Suppliers (σ parts.color= piros (Catalog Parts))) SQL? Megoldás: SELECT sname FROM SUPPLIERS s, CATALOG c, PARTS p WHERE s.sid=c.sid and c.pid=p.pid and p.color=`piros'; SQL (piros és sárga cikkeket is forgalmazók listája): SELECT sname FROM SUPPLIERS s WHERE sid IN ( ( SELECT c.sid FROM CATALOG c, PARTS p WHERE c.pid=p.pid AND p.color='piros' ) INTERSECT ( SELECT c.sid FROM CATALOG c, PARTS p WHERE c.pid=p.pid AND p.color='sarga' ) ); Rel. alg.? Megoldás: π suppliers.sname (Suppliers (σ parts.color= piros (Catalog Parts))) π suppliers.sname (Suppliers (σ parts.color= sarga (Catalog Parts))) 7.3. Iskola határozzuk meg a kulcsot! Séma: Attribútumok: {Diák, Idő, Terem, Kurzus, Jegy} Függőségi halmaz = {Diák, Idő Terem; Diák, Kurzus Jegy} Megoldás: (Diák, Idő, Kurzus) lesz a kulcsjelölt (minimális, mindent meghatároz) 8

9 7.4. Jármű határozzuk meg a kulcsot! Séma: Attribútumok: {Autó, Benzin, Megtett út, Rendszám, Sofőr, Utas} Függőségi halmaz = {Autó Benzin, Utas; Benzin Megtett út; Rendszám Autó} Megoldás: (Rendszám, Sofőr) lesz a kulcsjelölt (minimális, mindent meghatároz) 9

Kezdők és Haladók (I., II. és III. kategória)

Kezdők és Haladók (I., II. és III. kategória) ARANY DÁNIEL MATEMATIKAI TANULÓVERSENY 013/014-ES TANÉV Kezdők és Haladók (I., II. és III. kategória) Feladatok és megoldások A verseny az NTP-TV-13-0068 azonosító számú pályázat alapján a Nemzeti Tehetség

Részletesebben

4. Számelmélet, számrendszerek

4. Számelmélet, számrendszerek I. Elméleti összefoglaló A maradékos osztás tétele: 4. Számelmélet, számrendszerek Legyen a tetszőleges, b pedig nullától különböző egész szám. Ekkor léteznek olyan, egyértelműen meghatározott q és r egész

Részletesebben

Skatulya-elv. Sava Grozdev

Skatulya-elv. Sava Grozdev Skatulya-elv Sava Grozdev Egy alapvető szabály, azaz elv azt állítja, hogy: ha m testet szétosztunk n csoportba és m > n, akkor legalább két test azonos csoportba fog kerülni. Ezt az elvet különböző országokban

Részletesebben

Többtáblás lekérdezések megjelenítése

Többtáblás lekérdezések megjelenítése Többtáblás lekérdezések megjelenítése Célkitűzés Egynél több táblának egyenlőségen vagy nem-egyenlőségen alapuló összekapcsolást végző SELECT utasítások írása. Egy táblának önmagával történő összekapcsolása.

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I. Számelmélet I. DEFINÍCIÓ: (Osztó, többszörös) Ha egy a szám felírható egy b szám és egy másik egész szám szorzataként, akkor a b számot az a osztójának, az a számot a b többszörösének nevezzük. Megjegyzés:

Részletesebben

Szakdolgozat. Készítette: Csuka Anita. Témavezető: Besenyei Ádám, adjunktus

Szakdolgozat. Készítette: Csuka Anita. Témavezető: Besenyei Ádám, adjunktus Az szám Szakdolgozat Készítette: Csuka Anita Matematika Bsc, matematikai elemző szakirány Témavezető: Besenyei Ádám, adjunktus ELTE TTK, Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék Eötvös Loránd

Részletesebben

Jelöljük az egyes területrészeket A-val, B-vel és C-vel, ahogy az ábrán látható.

Jelöljük az egyes területrészeket A-val, B-vel és C-vel, ahogy az ábrán látható. 1. feladat. 013 pontosan egyféleképpen írható fel két prím összegeként. Mennyi ennek a két prímnek a szorzata? 40 Megoldás: Mivel az összeg páratlan, ezért az egyik prímnek párosnak kell lennie, tehát

Részletesebben

1J. feladat Petike menő srác az iskolában, így mindig csak felemás színű zoknikat hord. Ruhásszekrénye mélyén

1J. feladat Petike menő srác az iskolában, így mindig csak felemás színű zoknikat hord. Ruhásszekrénye mélyén 1J. feladat Petike menő srác az iskolában, így mindig csak felemás színű zoknikat hord. Ruhásszekrénye mélyén összesen 30 darab piros színű, 40 darab zöld színű és 40 darab kék színű zokni található, azonban

Részletesebben

Euler kör/út: olyan zárt/nem feltétlenül zárt élsorozat, amely a gráf minden élét pontosan egyszer tartalmazza

Euler kör/út: olyan zárt/nem feltétlenül zárt élsorozat, amely a gráf minden élét pontosan egyszer tartalmazza 1) Euler körök és utak, ezek létezésének szükséges és elégséges feltétele. Hamilton körök és utak. Szükséges feltétel Hamilton kör/út létezésére. Elégséges feltételek: Dirac, és Ore tétele. Euler kör/út:

Részletesebben

LÁNG CSABÁNÉ TELJES INDUKCIÓ, LOGIKA, HALMAZOK, RELÁCIÓK, FÜGGVÉNYEK. Példák és feladatok

LÁNG CSABÁNÉ TELJES INDUKCIÓ, LOGIKA, HALMAZOK, RELÁCIÓK, FÜGGVÉNYEK. Példák és feladatok LÁNG CSABÁNÉ TELJES INDUKCIÓ, LOGIKA, HALMAZOK, RELÁCIÓK, FÜGGVÉNYEK Példák és feladatok Lektorálta: Czirbusz Sándor c Láng Csabáné, 2010 ELTE IK Budapest 20101020 1. kiadás Tartalomjegyzék 1. Bevezetés...............................

Részletesebben

A lehetetlenségre visszavezetés módszere (A reductio ad absurdum módszer)

A lehetetlenségre visszavezetés módszere (A reductio ad absurdum módszer) A lehetetlenségre visszavezetés módszere (A reductio ad absurdum módszer) Ezt a módszert akkor alkalmazzuk, amikor könnyebb bizonyítani egy állítás ellentettjét, mintsem az állítást direktben. Ez a módszer

Részletesebben

Komplex számok algebrai alakja

Komplex számok algebrai alakja Komplex számok algebrai alakja Lukács Antal 015. február 8. 1. Alapfeladatok 1. Feladat: Legyen z 1 + 3i és z 5 4i! Határozzuk meg az alábbiakat! (a) z 1 + z (b) 3z z 1 (c) z 1 z (d) Re(i z 1 ) (e) Im(z

Részletesebben

6. előadás Környezetfüggetlen nyelvtanok/1.

6. előadás Környezetfüggetlen nyelvtanok/1. 6. előadás Környezetfüggetlen nyelvtanok/1. Dr. Kallós Gábor 2013 2014 1 Tartalom Bevezetés CF nyelv példák Nyelvek és nyelvtanok egy- és többértelműsége Bal- és jobboldali levezetések Levezetési fák A

Részletesebben

Programozási Módszertan definíciók, stb.

Programozási Módszertan definíciók, stb. Programozási Módszertan definíciók, stb. 1. Bevezetés Egy adat típusát az adat által felvehető lehetséges értékek halmaza (típusérték halmaz, TÉH), és az ezen értelmezett műveletek (típusműveletek) együttesen

Részletesebben

Alap fatranszformátorok I. Oyamaguchi [3], Dauchet és társai [1] és Engelfriet [2] bebizonyították hogy egy tetszőleges alap

Alap fatranszformátorok I. Oyamaguchi [3], Dauchet és társai [1] és Engelfriet [2] bebizonyították hogy egy tetszőleges alap Alap fatranszformátorok I Vágvölgyi Sándor Oyamaguchi [3], Dauchet és társai [1] és Engelfriet [2] bebizonyították hogy egy tetszőleges alap termátíró rendszerről eldönthető hogy összefolyó-e. Mindannyian

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

10. Síkgeometria. I. Elméleti összefoglaló. Szögek, nevezetes szögpárok

10. Síkgeometria. I. Elméleti összefoglaló. Szögek, nevezetes szögpárok 10. Síkgeometria I. Elméleti összefoglaló Szögek, nevezetes szögpárok Egy adott pontból kiinduló két félegyenes a síkot két részre bontja. Egy-egy ilyen rész neve szögtartomány, vagy szög. A két félegyenest

Részletesebben

2. Logika gyakorlat Függvények és a teljes indukció

2. Logika gyakorlat Függvények és a teljes indukció 2. Logika gyakorlat Függvények és a teljes indukció Folláth János Debreceni Egyetem - Informatika Kar 2012/13. I. félév Áttekintés 1 Függvények Relációk Halmazok 2 Természetes számok Formulák Definíció

Részletesebben

1/50. Teljes indukció 1. Back Close

1/50. Teljes indukció 1. Back Close 1/50 Teljes indukció 1 A teljes indukció talán a legfontosabb bizonyítási módszer a számítástudományban. Teljes indukció elve. Legyen P (n) egy állítás. Tegyük fel, hogy (1) P (0) igaz, (2) minden n N

Részletesebben

LOGIKA. A logika feladata tehát a premisszák és a konklúzió

LOGIKA. A logika feladata tehát a premisszák és a konklúzió LOGIKA hétköznapi jelentése: a rendszeresség, következetesség szinonimája Ez logikus beszéd volt. Nincs benne logika. Más logika szerint gondolkodik. tudományszak elnevezése, melynek fő feladata a helyes

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 131 ÉRETTSÉGI VIZSGA 013. október 15. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

Diszkrét matematika II., 1. el adás. Lineáris leképezések

Diszkrét matematika II., 1. el adás. Lineáris leképezések 1 Diszkrét matematika II., 1. el adás Lineáris leképezések Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2005. február 6 Gyakorlati célok Ezen el adáson,

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2013. október 15. EMELT SZINT

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2013. október 15. EMELT SZINT MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 0. október 5. EMELT SZINT ) Oldja meg a valós számok halmazán a következő egyenleteket! a) b) ( )( ) I. ( pont) (7 pont) a) A négyzetgyök függvény értelmezési tartománya és értékkészlete

Részletesebben

SZÁMELMÉLET FELADATSOR

SZÁMELMÉLET FELADATSOR SZÁMELMÉLET FELADATSOR Oszthatóság 1. Az 123x4 számban milyen számjegy állhat x helyén, ha a szám osztható a) 3-mal; e) 6-tal; b) 9-cel; f) 24-gyel; c) 4-gyel; g) 36-tal; d) 8-cal; h) 72-vel? 2. Határozd

Részletesebben

GONDOLKODÁSI MÓDSZEREK

GONDOLKODÁSI MÓDSZEREK 0611. MODUL GONDOLKODÁSI MÓDSZEREK Hány eset van? KÉSZÍTETTE: PINTÉR KLÁRA 0611. Gondolkodási módszerek Hány eset van? Tanári útmutató 2 MODULLEÍRÁS A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási

Részletesebben

Számítások, hivatkozások

Számítások, hivatkozások Bevezetés Ebben a fejezetben megismerkedünk az Excel programban alkalmazható különböző hivatkozásokkal (relatív, vegyes, abszolút). Képesek leszünk különböző alapszintű számítások elvégzésére, képletek

Részletesebben

Oszthatósági problémák

Oszthatósági problémák Oszthatósági problémák Érdekes kérdés, hogy egy adott számot el lehet-e osztani egy másik számmal (maradék nélkül). Ezek eldöntésére a matematika tanulmányok során néhány speciális esetre látunk is példát,

Részletesebben

"Ha" - avagy a Gödel paradoxon érvényességének korlátai

Ha - avagy a Gödel paradoxon érvényességének korlátai 165 "Ha" - avagy a Gödel paradoxon érvényességének korlátai Geier János ELTE BTK Pszichológiai Intézet janos@geier.hu Bevezetés Gödel nemteljességi tétele (én paradoxonnak nevezem, ki fog derülni, miért)

Részletesebben

A geometriák felépítése (olvasmány)

A geometriák felépítése (olvasmány) 7. modul: HÁROMSZÖGEK 13 A geometriák felépítése (olvasmány) Az általános iskolában megismertük a háromszöget, a négyzetet, a párhuzamosságot és hasonló geometriai fogalmakat, és tulajdonságokat is megfogalmaztunk

Részletesebben

MATEMATIKA A 10. évfolyam

MATEMATIKA A 10. évfolyam MATEMATIKA A 10. évfolyam 1. modul Logika Készítette: Vidra Gábor Matematika A 10. évfolyam 1. modul: Logika Tanári útmutató 2 A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási pontok A képességfejlesztés

Részletesebben