PÉLDATÁR a Vasbetonszerkezetek I. című tantárgyhoz

Átírás

1 BUDAPESTI MŰSZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM ÉPÍTŐMÉRNÖKI KAR HIDAK ÉS SZERKEZETEK TANSZÉKE PÉLDATÁR a Vasetonszerkezetek I. című tantárgyhoz Budapest, 007

2 Szerzők: Friedman Noémi Huszár Zsolt Kiss Rita Klinka Katalin Kovács Tamás Völgyi István Kézirat lezárva: 007.októer 16. ISBN Kiadja: BME Hidak és Szerkezetek Tanszéke

3 Tartalomjegyzék Oldalszám Gyakorlatok anyaga 1. Repedésmentes és erepedt vasetontartók 4. Hajlított vaseton keresztmetszet ellenőrzése Hajlított vaseton keresztmetszet tervezése 7 4. Külpontosan nyomott vaseton keresztmetszet Vaseton gerendák nyírásvizsgálata Gerendák komplex vizsgálata, határnyomaték és határnyíróerő 60 számítása 7. Használhatósági határállapotok 80 Felkészülést segítő példák 1. Repedésmentes és erepedt vasetontartók 89. Hajlított vaseton keresztmetszet ellenőrzése Hajlított vaseton keresztmetszet tervezése Külpontosan nyomott vaseton keresztmetszet Gerendák komplex vizsgálata, határnyomaték és határnyíróerő 114 számítása 7. Használhatósági határállapotok 16 Segédlet a tervezési feladat elkészítéséhez 135 Kiegészítő anyagok Kiegészítő anyag az I. gyakorlathoz 164 Kiegészítő anyag a II. gyakorlathoz 175 Kiegészítő anyag a VII. Gyakorlathoz 181 Kiegészítő anyag a Segédlethez 189

4 I. gyakorlat I. GYAKORLAT Repedésmentes és erepedt vaseton tartók Készítették: Dr. Kiss Rita és Klinka Katalin Némi elméleti összefoglaló: A számításokan feltételezzük, hogy: - a rúd tengelyére merőleges keresztmetszetek a deformációk után síkok és rúd tengelyére merőlegesek maradnak és - a eton és az acél csúszásmentesen együttdolgozik Az I. feszültségi állapotot a erepedetlen vaseton keresztmetszetre értelmezzük, a eton és a etonacél viselkedését rugalmasnak feltételezzük, az I. feszültség állapot határát a eton megrepedése jelenti. A II. feszültségi állapotot a erepedt vaseton keresztmetszetre értelmezzük, a eton és a etonacélok viselkedését rugalmasnak feltételezzük, a II. feszültség állapot határát vagy eton képlékeny állapota kerülése vagy akár csak egy etonacél megfolyása jelenti. A III. feszültségi állapot szerinti vizsgálat feltevése az, hogy - vagy a vaseton keresztmetszet nyomott szélső száláan a legnagyo keresztmetszeti összenyomódás elérte a eton törési összenyomódásának a határértékét (ε cu -t) - vagy (akár csak egy) húzott acéletét nyúlása elérte az acél szakadónyúlásának értékét (ε su -t). Megjegyzés: Mivel majdnem mindig az első szokott ekövetkezni, ezért a III. feszültségi állapot szerinti hajlítás vizsgálatot (lásd a következő gyakorlatok anyagáan) azzal a feltételezéssel indítjuk, hogy a eton nyomott szélső száláan a törési összenyomódás értéke lép fel. - A feladatok megoldása során a eton esetén a következő egyszerűsített anyagmodelleket használjuk : - Az I. feszültségi állapotan lévő eton anyagmodellje: lineárisan rugalmas anyagmodell σc f c.c εc.t f c.t εc.c εc[%0] - Az II. feszültségi állapotan lévő eton anyagmodellje: lineárisan rugalmas anyagmodell σc f c.c εc.c.εc εc[%0] - Az III. feszültségi állapotan lévő eton anyagmodellje: lineárisan rugalmas, tökéletesen képlékeny anyagmodell: téglap alakú σ(ε)-diagram: (még tová egyszerűsített modell) c σc f c.c εc.c.εc εcu εc[%0] f c.c εc1=0,7 εcu=3,5 εc[%0] - A feladat megoldások során a etonacél esetén a következő anyagmodelleket használjuk : - a etonacél rugalmassági modulusa: E s := 00 kn s εs' f y.es f y εsu=5 εs[%0] Az acél σ(ε) diagramja az origóra szimmetrikus. Es -f' y 4

5 I. gyakorlat A következő példákan a etonkeresztmetszet geometriai méretei és a felhasznált eton, illetve etonacél szilárdsági jellemzői azonosak: A A-A metszet M M z A hajlítónyomaték alul okoz húzást A 300 4φ0 A repedésmentes eton A erepedt eton σ(ε) diagramja: σ(ε) diagramja: A etonacél σ(ε) diagramja: c[mpa] c[mpa] σs[mpa] 10,7 10,7 0,104 εc[% ] 0,585 3,5 1,9 E c = 18.3 kn Geometria jellemzők definiálása: h := 500mm := 300mm d := 450mm 0,585 3,5 d εc[% ] εs' ,17 σs', εs[%0] 5 E s = 00 kn As - az alkalmazott húzott vasalás: n := 4 d φ := 0mm A s n φ π := A 4 s = Anyagjellemzők definiálása: N A eton anyagjellemzői: A eton nyomószilárdsága: f c.c := 10.7 N A eton húzószilárdsága: f c.t := 1.9 f c.c A nyomott szélsőszál rugalmas határához tartozó nyúlás: ε 1 := E c ε 1 = ε c.e := ε 1 ε c.e = f c.t A húzott szélsőszál határnyúlása: ε := ε E = c ε cu := 3.5 N A etonacél anyagjellemzői: A etonacél folyáshatára: f y := 434 f y A etonacél folyási határához tartozó nyúlás: ε s.e := ε E s.e =.17 s Az acél határnyúlása: ε su := 5 E s A etonacél és a eton rugalmassági modulusának aránya: α E := α E E = c 5

6 . Vasetonszerkezetek I. I. gyakorlat I. FESZÜLTSÉGI ÁLLAPOTBAN LEVŐ (REPEDÉSMENTES) VB. KM. SZÁMÍTÁSA 1.1.példa: Határozza meg az alái repedesmentes vaseton keresztmetszet repesztőnyomatékát! d h = 500mm = 300mm A s = A s d = 450mm A repedésmentes eton σ(ε) diagramja: A etonacél σ(ε) diagramja: c[mpa] 10,7 0,104 0,585 3,5 1,9 E c = 18.3 kn εc[% ] ε 1 = ε c.e = f c.c = 10.7 N f c.t = 1.9 N ε = εs' ,17 σs[mpa], σs' 5 εs[%0] f y = 434 N ε s.e =.17 E s = 00 kn Megjegyzés: eton és etonacél σ(ε) diagramjánál is elegendő lenne lineárisan rugalmas szakaszt megadni, hisz a etonacél a II. feszültségi állapotan nem éri el a diagram képlékeny szakaszát. A feladat megoldása: M M A A-A metszet z A h As x y d ε ε1=κ*x { εs κ x { ε=κ*(h-x) σs Εc σ ε1*ec {.. 3 x { ε*ec Belső erők 3 (h-x) Fc.c= *κ*x*ec**x 1 Fc.t= 1 *κ*(h-x)*ec**(h-x)-κ*(d-x)*ec*as Fs=κ*(d-x)*Es*As A vetületi egyenletől megkapjuk a repedesmentes vaseton keresztmetszet súlypontjának helyét:: ( ) F c.c F c.t x I E c x 1 I κ Nxκ, 1 κ = F s = 0 mivel κ 0 ( ) ( ) ( ) h x I E c h x I κ d x I E c A s κ d x I E s A s = 0 ezért végigoszthatunk vele ( ) 1 x 1 I E c x I ( h x I) E c ( h x I ) ( d x I ) E c A s ( d x I )E s A s = 0 x I = 65mm 6

7 I. gyakorlat A repesztőnyomatékhoz tartozó κ görület számítása: ε A húzott eton szélsőszál határnyúlásához tartozó görület: κ cr := κ h x cr = I mm Megjegyzés: A repedésmentes állapot végét a húzott eton szélsőszál megrepedése okozza, az ehhez tartozó görület lesz a legkise, tehát a mértékadó. Elvileg az is elképzelhető lehet, az is hogy a húzott acél megfolyik mielőtt a eton megreped, ezért számoljuk ki lehetséges κ görületeket: ε 1 A nyomott szélsőszál rugalmassági határához tartozó nyúlásához a görület: κ 1 := κ x = I mm ε s.e A húzott acél rugalmassági határához tartozó nyúlásáól kapott görület: κ s := κ d x s = I mm Az II. feszültségi állapot határát jelentő görület értéke: (húzott szélső szál megrepedéséhez tartozó görület) κ 1 κ I := min κ cr κ I = mm κ s Nyomatéki egyenlet I. feszültségi állapotan a semleges tengelyre felírva: M 1 κ x I E c x I 3 x 1 I κ h x = + ( I) E c ( h x I ) 3 ( h x I ) κ ( d x I ) E c A s d x I + κ ( d x I ) E s A s ( d x I) E s vezessük e a α = -t, így az egyenlet a következő alakra egyszerűsödik E E c ( ) A nyomatéki egyenleten a húzott eton szélsőszálnak határnyúlásához tartozó görület van, így a repesztőnyomaték: M cr = κ I E c x I + ( 3 3 h x I) 3 + A s ( α E 1) ( d x I) 3 x I ahol ( h x I) 3 I I := + + A 3 3 s ( d x I ) ( α E 1) I I = cm 4... M cr = 9.04kN m 7

8 I. gyakorlat A feladat alternatív megoldása az ideális keresztmetszeti jellemzők felhasználásával: A nyomott etonzóna magasságának számítása az ideális keresztmetszeti jellemzőkkel: Az acél keresztmetszetét a eton keresztmetszetére redukáljuk: - Az ideális keresztmetszet területe: A i := h + A s α E A s vagyis A i := h + α E 1 ( ) A s - Az ideális keresztmetszet statikai nyomatéka a felső szélső szálra: h S x := h + A s ( α E 1) d - A nyomott etonzóna magassága: A i = 164.8cm S x = 43115cm 3 S x x I := x A I = 65mm i - Ideális keresztmetszet inerciája a semleges tengelyre felírva: 3 x I h x I φ 4 I I + π + A s ( d x I) := + ( α E 1) I I = cm 4 ( ) 3 - Ideális km. inerciája a semleges tengelyre felírva az acélok saját súlyponti tengelyre felírt inerciájának elhanyagolásával: 3 x I I I := 3 h x I + + A 3 s ( d x I ) α E 1 ( ) 3 ( ) Megjegyzés: mivel az acélok saját súlyponti tengelyre felírt inerciájának elhanyagolása az eredmény pontosságát nem csorítja, ezért a következőken ezt mindig elhanyagoljuk I I = cm 4 A eton megrepedéséhez tartozó nyomaték: f c.t = M cr h x I I I ( ) M cr = 9.04kN m 8

9 . Vasetonszerkezetek I. I. gyakorlat II. FESZÜLTSÉGI ÁLLAPOTBAN LEVŐ VB. KM. SZÁMÍTÁSA 1..példa: Határozza meg az alái erepedt v. km. II. feszültségi állapot végét jelentő görületét és a hozzá tartozó nyomatékot! A s d h = 500mm = 300mm d = 450mm A repedésmentes eton σ(ε) diagramja: 10,7 c[mpa] 0,585 3,5 εc[% ] A s = A etonacél σ(ε) diagramja: σs[mpa] = f y = 434 N ε c.e f c.c = 10.7 N E c = 18.3 kn εs' ,17, εs[%0] ε s.e =.17 E s = 00 kn Megjegyzés: eton és etonacél σ(ε) diagramjánál is elegendő lenne lineárisan rugalmas szakaszt megadni, hisz a etonacél a II. feszültségi állapotan nem éri el a diagram képlékeny szakaszát. ε σ Belső erők ε1=κ*x ε1*ec M A M z A h A feladat megoldása: A-A metszet y As x d { κ x { εs ε=κ*(h-x) {. 3 x σs Εc Fc.c= 1 *κ*x*ec**x Fs=κ*(d-x)*Es*As A vetületi egyenletől megkapjuk a repedesmentes vaseton keresztmetszet súlypontjának helyét:: ( ) F c.c + F s Nxκ, = = 0 1 κ x II E c x II κ ( d x II ) E s A s = 0 mivel κ 0 ezért végig oszthatunk vele 1 x II E c x II ( d x II ) E s A s = 0 x II = 16.3mm A II. feszültségi állapot határát adó κ II görület számítása: ε 1 A nyomott szélsőszál rugalmassági határához tartozó nyúlásához a görület: κ 1 := κ x = II mm ε s.e A húzott acél rugalmassági határához tartozó nyúlásáól kapott görület: κ s := κ d x s = II mm κ A II. feszültségi állapot határát adó κ II görület: κ II min 1 := (a nyomott szélsőszál eléri a rugalmassági határát) κ s κ II = mm A húzott acéletét megfolyását okozó nyomaték nagysága: 3 1 M II = κ II E c x II 3 ahol + A s α E d x II ( ) 3 1 I II := x II + A 3 s α E ( d x II) I II = 15648cm 4 σs' M II = kN m 9

10 I. gyakorlat 1.3.példa: Határozza meg az alái vaseton keresztmetszet felső-szélső szálának összenyomódását aan az eseten, ha a keresztmetszetre M=100 knm nagyságú hajlítónyomaték hat! A etonkeresztmetszet geometriai méretei és a felhasznált eton, illetve etonacél szilárdsági jellemzői, mint az előző példákan. A feladat megoldása: Tegyük fel, hogy a eton és acél rugalmas állapotan vannak! A vetületi egyenletől megkapjuk a repedesmentes vaseton keresztmetszet súlypontjának helyét:: x II = 16.3mm A nyomatéki egyenlet: M = 1 κ x II E c x II ( ) d x II x 3 II + κ d x II E s A s ( ) eől a görületet megkapjuk κ = mm Feltevés ellenőzése: ε s := κ d x II ε s = < ε s.e =.170 jó volt a feltevés, az acél rugalmas Felső szélső szál összenyomódása: ( ) ε c := κ x II ε c = < ε 1 = jó volt a feltevés, a eton rugalmas 10

11 x. Vasetonszerkezetek I. I. gyakorlat AZ II. ÉS III. FESZÜLTSÉGI ÁLLAPOT KÖZÖTTI INTERMEDIER ÁLLAPOTBAN LEVŐ VB. KM. SZÁMÍTÁSA 1.4.példa: Határozza meg az azt a görületet és hozzátartozó nyomatékot, amikor a etonacélok épp a rugalmas és képlékeny állapot határán van! = 300mm A As s = d = 450mm A repedésmentes eton σ(ε) diagramja: A etonacél σ(ε) diagramja: 10,7 c[mpa] d 0,585 3,5 E c = 18.3 kn εc[% ] h = 500mm ε c.e = f c.c = 10.7 N εs' 434 σs[mpa] εs[%0] = -5 -,17,17 5 ε su = 5 ε cu 3.5 A feladat megoldása: T.f.h. a eton képlékeny állapotan van σs' -434 f y = 434 N ε s.e =.17 E s = 00 kn M M A A-A metszet z A h As εs.e x y d ε εc.e a. A semleges tengely helye a vetületi egyenletől meghatározható: 1 ( x a) f c.c + a f c.c A s f y = 0 κ f c σ { Belső erők Fc.c,1 Fc.c, σs Fs ε c.e ε s.e a = eől a = d x ε c.e ( d x) ε s.e x ε c.e ( d x) 1 ε c.e f ε s.e c.c + ( d x) f ε s.e c.c A s f y = 0 x = 03.mm ε s.e Az acéletétek megfolyásához tartozó görület értéke: κ εs.e := κ d x εs.e = mm Felső szélső szál összenyomódása: ε c := κ x ε c = 0.71 > ε c.e = a eton valóan képlékeny ε c.e a := ( d x) a = 66.5mm ε s.e M ( x a) f x a c.c d 1 := + a f c.c d x + 3 a M = 198.5kN m 11

12 . x. Vasetonszerkezetek I. I. gyakorlat III. FESZÜLTSÉGI ÁLLAPOTBAN LEVŐ VB. KM. SZÁMÍTÁSA 1.5.példa: Határozza meg a v. km.-nek azt a görületét és a hozzátartozó nyomatékot, amikor a nyomott, felső szélső szálan az összenyomódás eléri a eton határösszenyomódásának értékét! h = 500mm As d = 300mm d = 450mm A s = A repedésmentes eton σ(ε) diagramja: A etonacél σ(ε) diagramja: 10,7 c[mpa] 0,585 3,5 E c = 18.3 kn εc[% ] ε c.e = f c.c = 10.7 N εs' 434 σs[mpa] εs[%0] = -5 -,17,17 5 ε su = 5 ε cu 3.5 σs' -434 f y = 434 N ε s.e =.17 E s = 00 kn Megjegyzés: A példánkan szereplő a v. keresztmetszet úgy kerül a III. feszültség állapota, hogy nyomott szélső szálan az összenyomódás eléri a eton határösszenyomódásának értékét (ε c,felső =ε c,u =3,5%o). A feladat megoldása: ε σ Belső erők A A-A metszet εcu { f c { M M z A h x y As d εc.e κ a f y Fc.c,1 Fc.c, Fs A semleges tengely helye a vetületi egyenletől meghatározható: 1 ( x III a) f c.c + a f c.c A s f y = 0 ε c.e ε cu a = eől a = x III ε c.e x III ε cu ε c.e x III x III ε cu 1 ε c.e f c.c + x III f ε cu c.c A s f y = 0 x III = 185.4mm ε cu A görület értéke III. feszültségi állapotan: κ III := κ x III = III mm Az acéletétek megnyúlása: ε s := κ d x III ε s = 0.94 > ε c.e = az acéletétek valóan képlékenyek ( ) ε c.e a := x III a = 31mm ε cu ( ) M III := x III a f c.c d x III a + 1 a f c.c d x III + 3 a M III = 199kN m 1

13 II. gyakorlat II. GYAKORLAT Hajlított vaseton keresztmetszet ellenőrzése (Négyszög és T-alakú keresztmetszetek nyomatéki teherírása III. feszültségi állapotan) Készítették: Dr. Kiss Rita és Klinka Katalin A számításokan feltételezzük, hogy: - a rúd tengelyére merőleges keresztmetszetek a deformációk után síkok és rúd tengelyére merőlegesek maradnak és - a eton és az acél csúszásmentesen együttdolgozik Ezeken túl még azt is feltételezzük, hogy a eton III. feszültségi állapotan van és nyomott szélső száláan elérte a határösszenyomódását, azaz ε c =ε cu, - ez a feltevés iztos, hogy nem teljesül, ha a vaseton keresztmetszet gyengén vasalt, mert az acél elszakad, mielőtt a eton szélső száláan létrejönne a határösszenyomódás - a feltevés teljesül normálisan vasalt keresztmetszet esetén, azaz az acél megfolyt és a etonan létrejön a törési összenyomódás - a feltevés teljesül túlvasalt keresztmetszet esetén is, azaz a etonan létrejön a törési összenyomódás, de az acél rugalmas állapotan van - A feladat megoldások során a eton esetén a következő anyagmodellt használjuk : - anyag modellje: merev-képékeny anyagmodell c -f ck -αf cd εc1=-0,7 σck(ε) ασcd(ε) εc[%0] εcu=-3,5 1. ára:a eton σ(ε) diagramja Az EC-en javasolt eton σ(ε) diagramok közül a legegyszerű ε cu ε c az ára kitöltöttsége: c = = = 0.8 ε cu 3.5 Természetesen lehetőség van, ennél pontosa σ(ε)-diagram használatára is, de mivel a megkívánt számítási pontosságnak ez is megfelel, és a iztonság javára tér el a töi σ(ε)-diagramtól, ezért az egyszerűség kedvéért a továiakan ezt használjuk. (Az EC-en javasolt töi diagramot lásd a Farkas-Huszár-Kovács-Szalai: 163 old.) - eton iztonsági tényezője: γ c := működési tényező (kedvezőtlen hatásokat figyeleme vevő tényező): α := 1 (Magyarországon) - eton határösszenyomodása: ε cu := A feladat megoldások során az acél esetén a következő anyagmodellt használjuk : s fyk f yd σyk(ε) σyd(ε) εs' ' σyd(ε) ' σyk(ε) f yd Es -f' yd -f' yk εsu=,5 εs[%] σs'. ára:az acél σ(ε) diagramja - acél iztonsági tényezője: γ s := acél határnyúlása: ε su := 5 (általáan) N - acél rugalmassági modulusa: E s :=

14 II. gyakorlat Annak szemléltetésére, hogy a relatív nyomott etonzónamagasság határhelyzetének képletének kényelmes, általunk 560 használt végleges formája, nem mértékegység konzekvens, mégis fizikai tartalommal ír, álljon itt a ξ c0 = f yd képletének levezetése: d. cu { αf cd x.xc=cx As ε εs σs σ 3. ára: A vaseton keresztmetszet ε, σ árája Az x és az x c viszonya az 1. és a 3. ára alapján elátható (hasonló háromszögek): x c x = x c = 0.8x = cx vagy x c x = 1.5x c = c d x Az acélan keletkező nyúlás (aránypáról a 3. ára alapján): ε s = ε cu x f yd Az acél folyik, ha ε s > E s cd ε s = ε cu 1 x c x c d ( ) ( ) E s f yd > E átrendezve s c ε cu E s x c < = ξ c0 ahol ξ c = és f yd + ε cu d ξ c0 = c ε cu E s f yd + ε cu E s N ehelyettesítve ε su := 5 ; E s := ; c := 0.8 megkapjuk ξ c < ξ c0 = 560 f yd és ha ez az egyenlőtlenség teljesül, akkor a húzott acéletétek megfolynak Megjegyzés: a képleten az f yd N/ -en van, de dimenzió nélkül kell eírni A teljesség kedvéért álljon itt: relatív nyomott etonzónamagasság határhelyzete a húzott acéletétekhez: ξ c0 = f yd relatív nyomott etonzónamagasság határhelyzete a nyomott acéletétekhez: ξ c0 = 700 f yd a rugalmas, húzott acéletétek esetén a redukált feszültség képlete: σ s = x c 700 d - a rugalmas, nyomott acéletéteken esetén a redukált feszültség képlete: σ s = x c d 14

15 II. gyakorlat EGYSZERESEN VASALT NÉGYSZÖGKERESZTMETSZET HATÁRNYOMATÉKA NORMÁLISAN VASALT VB. KERESZTMETSZET.1.példa: Ellenőrizze az alái keresztmetszetet a megadott pozitív hajlítónyomatékra: M Ed =190 knm Anyagok : 4φ0 Feladat definiálása: 300 Beton: C16/0 Betonacél: S500B Geometria jellemzők definiálása: h := 500mm := 300mm d := 450mm - az alkalmazott húzott vasalás: n := 4 dara φ := 0mm A s n φ π := A 4 s = Anyagjellemzők definiálása: eton: C16/0 N - a eton nyomószilárdságának karakterisztikus értéke: f ck := 16 f ck - a eton nyomószilárdságának tervezési értéke: f cd := f cd = 10.7 N γ c - a eton húzószilárdságának várható értéke: acél: S500B f ctm := 1.9 N N - az acél folyási határának karakterisztikus értéke: f yk := 500 f yk - az acél folyási határának tervezési értéke: f yd := γ f s yd = N relatív nyomott etonzónamagasság határhelyzete ξ c0 := ξ a húzott acéletétekhez: f yd c0 = relatív nyomott etonzónamagasság határhelyzete a nyomott acéletétekhez: 560 ξ c0 := 700 f ξ c0 =.111 yd x c0 := d ξ c0 x c0 =.1mm 15

16 ... Vasetonszerkezetek I. c0 c0 c0 II. gyakorlat Számítás: ε εcu { σ αf cd Belső erők h d x xc zc Fc=xc**α*f cd 4. ára: A vaseton keresztmetszet ε, σ árája és első erői As εs f yd Fs=As*f yd Tegyük fel, hogy a húzott acéletétek folynak (σ s =f yd ) (T.f.h a km normálisan vasalt) A vetületi egyenlet: x c α f cd = A s f yd x c = 170.7mm ahol = 300mm α = 1.0 f cd = 10.7 N A s = f yd = N Feltevés ellenőrzése (hasonló háromszögek): σ(ε)-diagram kitöltöttsége: c = 0.8 Az acélan keletkező nyúlás: x c x c ε d d s c c = átrendezve ε ε cu x s := ε cu ε c x s = 3.88 c c f yd rugalmássági határ: ε s.e := ε E s.e =.174 s ε s = 3.88 > ε s.e =.174 ezért az acéletétek tényleg megfolynak A feltevés ellenőrzése (relatív nyomott etonzóna magasság határhelyzete alapján) : x c ξ c := ξ d c = < ξ c0 = A felt. helyes volt, az acéletétek folyási állapotan vannak vagy x c = 170.7mm < x c0 =.1mm Továá az acéletétek megnyúlása: ε s = 3.88 < ε su = 5 acéletétek nem szakadnak el c A nyomatéki egyenlet húzott vasak súlyvonalára: x c M Rd := x c α f cd d M Rd = 199.kN m ahol = 300mm x c = 170.7mm α = 1.0 f cd = 10.7 N d = 450mm M Rd = 199.kN m > M Ed = 190kN m a keresztmetszet hajlításra megfelel 16

17 ... Vasetonszerkezetek I. Rd Ed TÚLVASALT VB. KERESZTMETSZET II. gyakorlat.. példa: Ellenőrizze az alái keresztmetszetet a megadott pozitív hajlítónyomatékra: M Ed := 30 kn m Anyagok : 6φ0 300 Beton: C16/0 Betonacél: S500B Feladat definiálása: ε εcu { σ αf cd Belső erők 5. ára: A vaseton keresztmetszet ε, σ árája és első erői x xc Fc=xc**α*f cd h d zc As εs σs Fs=As*σs Geometria jellemzők definiálása: h := 500mm := 300mm d := 450mm - az alkalmazott húzott vasalás: n := 6 dara φ := 0mm Anyagjellemzők: lásd.1. példa Számítás: Tegyük fel, hogy a húzott acéletétek folynak (T.f.h a km normálisan vasalt) A vetületi egyenlet: x c α f cd = A s f yd A s n φ π := A 4 s = 1885 x c = 56.1mm ahol = 300mm α = 1.0 f cd = 10.7 N A s = 1885 f yd = N A feltevés ellenőrzése : x c A feltételezés nem volt helyes, az acéletétek rugalmas állapotan vannak ξ c := ξ d c = > ξ c0 = ( keresztmeteszet túlvasalt) vagy x c = 56.1mm > x c0 =.1mm A feltételezés nem volt helyes, az acéletétek rugalmas állapotan vannak A feltevés módosítása miatt a vetületi egyenlet újóli felírása: d 560 x c α f cd = A s 700 (az egyenlet megoldása másodfokú egyenletre vezet, melyől a x c fizikai tartalommal író gyökét használjuk fel a feladat megoldása során) ahol = 300mm f cd = 10.7 N A s = 1885 x c = 30.8mm 17

18 II. gyakorlat Acél rugalmasságának ellenőrzése: x c ξ c := ξ d c = > ξ c0 = az acéletétek rugalmas állapotan vannak vagy x c = 30.8mm > x c0 =.1mm 560 Az acélan keletkező feszültség: σ s := x c d 700 σ s = N < f yd = N A nyomatéki egyenlet húzott vasak súlyvonalára: x c M Rd := x c α f cd d ahol = 300mm x c = 30.8mm f cd = 10.7 N d = 450mm M Rd = 47.1kN m M Rd = 47.1kN m > M Ed = 30kN m a keresztmetszet hajlításra megfelel Megjegyzés: A.1. és a.. példáan a vaseton keresztmetszeten eton méretei egyforma nagyságúk voltak, a.1 példáan a húzott vasalás 4φ0 volt és így a keresztmetszet nyomatéki teherírása M Rd =199,kNm a. példáan a húzott vasalás 6φ0 volt és így a keresztmetszet nyomatéki teherírása M Rd =34,kNm. A vasmennyiség növelesével az x c nyomott etonzóna magassága is nőtt, hiszen tö eton kell evonni a nyomott zónáa ahhoz, hogy egyensúlyan legyenek a keresztmetszet első erői (lásd 6. ára) A gyakorlatan a túlvasalt keresztmetszetet kerülni kell! σc[mpa] f cd=10,7 0,7 εcu=3,5 C16/0 εc[%0] xc0 x0 xc xc 500 d 4φ0 6φ0 As 300 ε σs[mpa] ' f yd=434,8 S500B εs εsu=-5 f yd Es f yd Es =,17 εsu=5 ' εs[%0] 6. ára: A etonacél határhelyzetének ellenőrzése σs 18

19 ... Vasetonszerkezetek I. II. gyakorlat GYENGÉN VASALT VB. KERESZTMETSZET.3 példa: Ellenőrizze az alái keresztmetszetet a megadott pozitív hajlítónyomatékra: M Ed := 105 kn m Anyagok : φ1 Megoldás: 300 Beton: C16/0 Betonacél: S500B ε σ Belső erők h d εcu { x αf cd xc zc Fc=xc**α*f cd Geometria jellemzők definiálása: h := 500mm := 300mm d := 450mm As εs f yd Fs=As*f yd 7. ára: A vaseton keresztmetszet ε, σ árája és első erői - az alkalmazott húzott vasalás: n := dara φ := 1mm A s n φ π := A 4 s = 6. Anyagjellemzők: lásd a.1. példáan Számítás: Tegyük fel, hogy a húzott acéletétek folynak (T.f.h a km normálisan vasalt) A vetületi egyenlet: x c α f cd = A s f yd ahol = 300mm α = 1.0 f cd = 10.7 N A s = 6. f yd = N A feltevés ellenőrzése (aránypárral): σ(ε)-diagram kitöltöttsége: c := 0.8 Az acélan keletkező nyúlás: x c x c ε d d s c c = átrendezve ε ε cu x s := ε cu ε c x s = c x c = 30.7mm c c f yd rugalmássági határ: ε E := ε E E =.174 s ε s = > ε E =.174 ezért az acél tényleg folyik A feltevés ellenőrzése (relatív nyomott etonzónamagasság határhelyzete alapján) : x c ξ c := ξ d c = < ξ c0 = A felt. helyes volt, az acéletétek folyási állapotan vannak DE!!!!! ε s = > ε su = 5 acéletétek elszakadnak!!!! keresztmetszet gyengén vasalt 19

20 II. gyakorlat A nyomatéki egyenlet húzott vasak súlyvonalára: x c M Rd := x c α f cd d M Rd = 4.7kN m A feltevés helytelen, ezért elvileg előről kell kezdeni a feladatot, de könnyen elátható, hogy a vetületi és a nyomatéki egyenleten számszerűen semmi nem változik. ahol = 300mm x c = 30.7mm α = 1.0 f cd = 10.7 N d = 450mm M Rd = 4.7kN m < M Ed = 105kN m a keresztmetszet hajlításra nem felel meg!!!! Megjegyzés: az acéletétek elszakadnak mielőtt a eton szélső száláan kialakulna határösszenyomódás (ε cu =3,5 ) c αf cd ασcd ε c < 0.8 0,7 c 3,5 εc[%0] 8. ára: A eton σ(ε) diagramjának kitöltöttsége Az ára kitöltöttsége: c x c = 0.8 x A gyengén vasalt km. határnyomatéka tehát a normálisan vasalt km.-tel azonos összefüggésekkel számítható, csak a tönkremenetel jellege és x c illetve x egymáshoz viszonyított aránya változik. 0

21 . Vasetonszerkezetek I. II. gyakorlat KÉTSZERESEN VASALT NÉGYSZÖGKERESZTMETSZET HATÁRNYOMATÉKA.4. példa: Ellenőrizze az alái keresztmetszetet a megadott pozitív hajlítónyomatékra: M Ed := 90 kn m φ0 500 Anyagok : 6φ0 300 Beton: C16/0 Betonacél: S500B Geometria jellemzők definiálása: h := 500mm := 300mm kengyel: φ k := 10mm etonfedés: f := 0mm a vasak kedvezőtlen elmozdulása: δ := 10mm alkalmazott húzott vasalás: n := 6 dara φ := 0mm A s n φ π := A 4 s = 1885 Megjegyzés: Ha a keresztmetszeten az acéletétek két vagy tö soran helyezkednek el, akkor számításan a súlypontjukan egyetlen acélkeresztmetszettel helyettesített acéletétek hasznos magasságát a következőképpen számítjuk: ζ 1. ára:acéletétek súlyvonala vasak közötti minimális távolság: ζ := max φ 0mm ζ = 0mm alsó soran levő vasak száma: n alsó := 4 felső soran levő vasak száma: n felsõ := φ hasznos magasság: d := h f φ k n felsõ n felsõ + n alsó φ φ + ζ + δ d = 436.7mm φ π alkalmazott nyomott vasalás: n := dara φ := 0mm A s := n 4 A s = 68.3 φ hasznos magasság: d := f + φ k + + δ d = 50mm Anyagjellemzők: lásd a.1. példáan Számítás: A's ε's ε εcu {.x σ's σ αf cd.xc Belső erők F's=A's*σ's Fc=xc**α*f cd 13. ára:a vaseton keresztmetszet ε, σ árája és a első erők h d As εs σs Fs=As*σs Tegyük fel, hogy a húzott acéletétek (σ s =f yd ) is és a nyomott acéletétek (σ, s =f yd ) is folynak A vetületi egyenlet: x c α f cd + A s f yd A s f yd = 0 x c = 170.7mm ahol = 300mm α = 1.0 f cd = 10.7 N A s = 68.3 A s = 1885 f yd = N 1

22 II. gyakorlat A feltevés ellenőrzése : x c ξ c := ξ d c = < ξ c0 = A felt. helyes volt, a húzott acéletétek folyási állapotan vannak x c ξ c := d ξ c = > ξ c0 =.111 A felt. helyes volt, a nyomott acéletétek folyási állapotan vannak A nyomatéki egyenlet húzott vasak súlyvonalára: x c M Rd := x c α f cd d + A s f yd ( d d ) M Rd = 97.6kN m ahol = 300mm x c = 170.7mm f cd = 10.7 N A s = 68.3 d = 436.7mm f yd = N d = 50mm M Rd = 97.6kN m > M Ed = 90kN m a keresztmetszet hajlításra megfelel Megjegyzés: (A megelőző példákan a vaseton keresztmetszeten eton méretei egyforma nagyságúak voltak) Az eredményeket összevetve tehát jól követhető, hogyan változik a nyomott zóna magassága és a keresztmetszet hajlítónyomatéki ellenállása a vasalás változtatásával. σc[mpa] C16/0 f cd=10,7 εc[%0] 0,7 εcu=3,5 φ0 A's xc0 x0 xc 500 d 6φ0 As 300 ε σs[mpa] ' f yd=434,8 S500B εs εsu=-5 f yd Es f yd Es =,17 εsu=5 εs[%0] ' f yd=-434,8 s 14. ára: A etonacél nyúlásának ellenőrzése

23 II. gyakorlat.5. példa: Ellenőrizze az alái keresztmetszetet a megadott pozitív hajlítónyomatékra: φ0 M Ed := 00 kn m 500 Anyagok : 4φ0 300 Beton: C16/0 Betonacél: S500B Geometria jellemzők definiálása: kengyel: φ k := 10mm etonfedés: f := 0mm a vasak kedvezőtlen elmozdulása miatt: δ := 10mm alkalmazott húzott vasalás: n := 4 dara φ := 0mm A s n φ π := A 4 s = φ hasznos magasság: d := h f φ k δ d = 450mm φ π alkalmazott nyomott vasalás: n := dara φ := 0mm A s := n 4 A s = 68.3 φ hasznos magasság: d := f + φ k + + δ d = 50mm Anyagjellemzők: lásd a.1. példáan Számítás: Tegyük fel, hogy a húzott acéletétek is és a nyomott acéletétek is folynak A vetületi egyenlet: x c α f cd + A s f yd A s f yd = 0 x c = 85.4mm ahol = 300mm α = 1.0 f cd = 10.7 N A s = 68.3 f yd = N A s = A feltevés ellenőrzése : x c ξ c := ξ d c = 0.19 < ξ c0 = A felt. helyes volt, a húzott acéletétek folyási állapotan vannak x c ξ c := d < ξ c0 =.111 A felt.nem volt helyes, a nyomott acéletétek rugalmas állapotúak ξ c = A feltevés módosítása miatt a vetületi egyenlet újóli felírása: (húzott acéletétek folynak, nyomottak rugalmasak) 560 x c α f cd + A s 700 A x s f yd = 0 c d Megjegyzés: használatos még a redukált feszültség alái alakja is: σ s := 560 x c d 700 (az egyenlet megoldása másodfokú egyenletre vezet, melyől a fizikai tartalommal író gyökét használjuk fel a feladat megoldása során) x c = 9.6mm Ez a forma az elő alkalmazott képlet ellentettjét adja és egyéként formailag egyezik a húzott oldali rugalmas acéletét feszültségét számító képlettel. Tekinthetjük ezt egy általánosan használható képletnek, ami mechanikai értelemen ad előjelhelyes eredményt, tehát húzott etonacél esetén pozitív, nyomott esetén pedig negatív eredményt ad. Mindkét formula használható, de a zárójel előtti előjel úgy választandó, hogy a kifejezés előjele nyomott etonacél esetén a nyomott eton által képviselt erővel azonos (általáan pozitív) előjelet adjon. A nyomatéki egyenleten azonos megoldást kell választanunk. mivel ez az elői alakkal ellentétes előjelű, ezért a vetületi egyenlet a alakja a következő: 560 x c α f cd + A s 700 A x s f yd = 0 c d 3

24 II. gyakorlat Feltétel ellenőrzése: x c ξ c := ξ d c = 0.06 < ξ c0 = a húzott acél képlékeny x c ξ c := d ξ c = < ξ c0 =.111 a nyomott acél rugalmas 560 σ s := 700 N nyomott acélan keletkező feszültség: x c σ s = d σ s = N (< f yd = N ) A nyomatéki egyenlet húzott vasak súlyvonalára: x c M Rd := x c α f cd d + A s ( σ s ) ( d d ) M Rd = 19.6kN m ahol = 300mm x c = 9.6mm f cd = 10.7 N d = 450mm d = 50mm A s = 68.3 M Rd = 19.6kN m > M Ed = 00kN m a keresztmetszet hajlításra megfelel φ0 A's σc[mpa] f cd=10,7 0,7 εc[%0] εcu=3,5 xc xc0 x0 C16/0 500 d 4φ0 As 300 ε f yd=434,8 σs[mpa] S500B εs' εsu=-5 f yd Es f yd Es =-,17 εsu=-5 εs[%0] σs' 15. ára: A etonacél nyúlásának ellenőrzése 4

25 . Vasetonszerkezetek I. II. gyakorlat.6. példa: Ellenőrizze az alái T keresztmetszetet a megadott pozitív hajlítónyomatékra: 400 M Ed := 50 kn m Anyagok : 4φ5 40 Beton: C16/0 Betonacél: S400B Feladat definiálása: As t h 16. ára: A T-keresztmetszet jelölései Geometria jellemzők definiálása: h := 500mm := 400mm d := 460mm t := 10mm (a fejlemez vastasága) w := 40mm (orda szélessége) w - az alkalmazott húzott vasalás: n := 4 dara φ := 5mm A s n φ π := A s = Anyagjellemzők definiálása: eton: C16/0 N f ck f ck := 16 f cd := f cd = 10.7 N γ c acél: S400B N f yk f yk := 400 f yd := f yd = N γ s 560 ξ c0 := ξ f yd c0 = Számítás: Tegyük fel, hogy a húzott acéletétek folynak és Tegyük fel, hogy a nyomott zóna a fejlemezen van αf cd 4 x xc Fc 17. ára: A T-keresztmetszet ε, σ árája és a első erők As ε σ Fs első erők A vetületi egyenlet: x c α f cd = A s f yd x c = 160.1mm ahol = 400mm α = 1.0 f cd = 10.7 N A s = f yd = N A feltevés ellenőrzése : x c ξ c := ξ d c = < ξ c0 = a feltevés helyes, az acéletétek folyási állapotan vannak x c = 160.1mm > t = 10mm a feltevés helytelen, a nyomott zóna a ordáa nyúlik Megjegyzés: ha x c <t, akkor a T-keresztmetszet négyszög keresztmetszetként számolható, hisz az egyenletek felírásakor irreleváns, mi van nyomott zóna alatt 5

26 . Vasetonszerkezetek I. II. gyakorlat A feltevés módosítása miatt a vetületi egyenlet újóli felírása αf cd x xc Fc 18. ára: T-keresztmetszet ε, σ árája és a első erők As ε σ Fs első erők ( ) t w α + x c w f cd = A s f yd x c = 186.8mm > t = 10mm ahol = 400mm w = 40mm t = 10mm f cd = 10.7 N A s = f yd = N A feltevés ellenőrzése : x c ξ c := ξ d c = < ξ c0 = A felt. helyes volt, az acéletétek folyási állapotan vannak A nyomatéki egyenlet a húzott vasak súlyvonalára: M Rd t ( t w ) d x c := + x c w d α f cd M Rd = 57.kN m ahol = 400mm w = 40mm t = 10mm f cd = 10.7 N d = 460mm x c = 186.8mm M Rd = 57.kN m > M Ed = 50kN m a keresztmetszet hajlításra megfelel 6

27 III. gyakorlat III. GYAKORLAT Hajlított vaseton keresztmetszet tervezése (Négyszög alakú keresztmetszetek kötött és szaad tervezése) Készítették: Dr. Kiss Rita és Klinka Katalin A számításokan feltételezzük, hogy: - a rúd tengelyére merőleges keresztmetszetek a deformációk után síkok és rúd tengelyére merőlegesek maradnak és - a eton és az acél csúszásmentesen együttdolgozik A tervezés lehet: - Kötött tervezés: amikor a keresztmetszet eton kontúrja adott (azaz van egy adott méret, amekkora helyre egy gerendát meg kell tervezni), és vasalást kell megtervezni - Szaad tervezés:amikor a keresztmetszet, szélessége vagy magassága adott és a másikat kell számolni, vagy semmilyen kötöttség sincs a eton keresztmetszettel szemen (azaz a szélesség és magasság is ismeretlen és ekkor, úgy tehető a feladat matematikailag határozottá, ha ezek arányát megadjuk) és a vasalás is megtervezendő Tervezési irányelvei: - A vaseton keresztmetszetet úgy célszerű megtervezni, hogy az acéletétek folyási állapotan legyenek (tehát normálisan vasalt legyen) - A vaseton keresztetszeten csak akkor alkalmazzunk nyomott vasalást, ha másképp nem kerülhető el, hogy a húzott acéletét rugalmas állapotan legyen MEd A KÖTÖTT TERVEZÉS 3.1.példa: Tervezze meg az alái keresztmetszet hajlítási vasalását a megadott nyomatékra: M Ed := 80kN m A nyomaték alul okoz húzást. Anyagok : Beton: C0/5 Betonacél: S500B Anyagjellemzők: eton: C0/5 -eton anyag modellje: merev-képékeny anyagmodell c -f ck -αf cd εc1=-0,7 acél: S500B εs' ' ' σyd(ε) σyk(ε) σck(ε) ασcd(ε) εc[%0] εcu=-3,5 f yk f yd s σs f yd Es -f' yd -f' yk ' N f ck f ck := 0 f cd := f cd = 13.3 N γ c N A eton húzószilárdságának várható értéke 8 napos koran: f ctm :=. 1. ára: A eton σ(ε) diagramja σyk(ε) σyd(ε) εsu=,5 εs[%]. ára:az acél σ(ε) diagramja N f yk f yk := 500 f yd := f yd = N γ s 560 ξ c0 := ξ f yd c0 = ξ c0 := 700 f ξ c0 =.111 yd 7

28 ... Vasetonszerkezetek I. III. gyakorlat A feladat megoldása: Geometria jellemzők definiálása: h := 360mm := 50mm kengyel: φ k := 10mm etonfedés: f := 0mm a vasak kedvezőtlen elmozdulása: δ := 10mm 1. lépés: az acéletétek feltételezett átmérője : φ := 0mm és feltételezzük egy soran elfér a vasalás φ feltélezett hasznos magasság: d := h f φ k. lépés: az M 0 meghatározása δ d = 310mm M 0 az a maximális nyomaték, amit keresztmetszet nyomott vasalás nélkül el tud viselni úgy, hogy a húzott acéletétek folynak: - ha M 0 >M Ed, akkor nem kell nyomott vasalás (A s=0) - ha M 0 <M Ed, akkor nyomott vasalást is alkalmazunk (A s 0, ekkor a számítás feltevése: x c =x c0 ) x c0 := ξ c0 d x c0 = 153mm húzott acélok megfolynak x c0 M 0 := x c0 α f cd d M 0 = 119.1kN m > M Ed = 80kN m nem kell nyomott vasalás εcu { αf cd x xc Fc=xc**α*f cd h d zc As ε εs σs σ Fs=As*f yd Belső erők 3. ára: A vaseton keresztmetszet ε, σ árája és első erői 3. lépés: a nyomatéki egyenletől meghatározzuk az x c -t x c M Ed = x c α f cd d ahol M Ed = 80kN m = 50mm α = 1.0 f cd = 13.3 N d = 310mm 4. lépés: Az acéletétek állapotának ellenőrzése (elvileg ez felesleges, mert M 0 >M Ed -ől ez nyilvánvaló): x c ξ c := ξ d c = 0.93 < ξ c0 = az acélok megfolytak x c = 90.7mm 5. lépés: a húzott acélok szükséges keresztmetszeti területe a vetületi egyenletől: x c α f cd A s f yd = 0 A s = 695. ahol x c = 90.7mm = 50mm α = 1.0 f cd = 13.3 N f yd = N 8

29 III. gyakorlat 6. lépés: a szerkeztési szaályok a hosszvasalás mennyiségére [Farkas-Huszár-Kovács-Szalai: 08 old.]: f ctm - minimális vasmennyiség: A s.min max 0.6 d := f yk 1.3 d f ctm ahol 0.6 d = 88.7 f yk 1.3 d= A s.min = maximális vasmennyiség: A s.max := 4% d A s.max = 3100 A s.min = < A s 695. = < A s.max 3100 = megfelelő 7. lépés: az alkalmazott vasalás A leggyakraan használt vasátmérőkkel a következő lehetősegeink vannak: 4 d φ16mm acéletétek esetén A s =804, 3d φ0mm acéletétek esetén A s =94,5 d φ5mm acéletétek esetén A s =981,7 legyen n := 4 d φ := 16mm A s.alk n φ π := A 4 s.alk = 804. > A s = lépés: a vasak elhelyezése: φ vasak közötti minimális távolság: ζ := max ζ = 0mm 0mm ( ) n φ req := f + φ k + + ( n 1) ζ + f + φ k req = 184mm < = 50mm elfér egy soran ( ) 9. lépés: A vaseton keresztmetszet ellenőrzése: a feltételezett helyett az alkalmazott méretekkel! φ a hasznos magasság: d alk := h f φ k δ d alk = 31mm Tegyük fel, hogy a húzott acélok folynak A vetületi egyenlet: x c α f cd = A s.alk f yd ahol = 50mm α = 1.0 f cd = 13.3 N A s.alk = 804. f yd = N Feltevés ellenőrzése : x c ξ c = 0.93 < ξ c0 = A felt. jó volt, az acél folyási állapotan van ξ c := d A nyomatéki egyenlet: x c M Rd := x c α f cd d alk M Rd = 90.8kN m ahol = 50mm x c = 104.9mm α = 1.0 f cd = 13.3 N d alk = 31mm x c = 104.9mm M Rd = 90.8kN m > M Ed = 80kN m a keresztmetszet hajlításra megfelel 9

30 III. gyakorlat 3..példa: Tervezze meg az alái keresztmetszet hajlítási vasalását a megadott nyomatékra: M Ed := 150 kn m 360 MEd Anyagok : Beton: C0/5 Betonacél: S500B 50 A feladat megoldása: Anyagjellemzők: lásd 3.1. példa Geometria jellemzők definiálása: lásd 3.1. példa 1. lépés: az acéletétek feltételezett átmérője: φ := 0mm és feltételezzük, hogy egy soran elfér a φ := 0mm vasalás φ hasznos magasságok: d := h f φ k δ d = 310mm φ d := f + φ k + + δ d = 50mm. lépés: az M 0 meghatározása (előzővel azonos) x c0 := ξ c0 d x c0 = 153mm x c0 M 0 := x c0 α f cd d A's ε's ε εcu {.x M 0 = 119.1kN m < M Ed = 150kN m kell nyomott vasalás σ's σ αf cd.xc Belső erők F's=A's*f yd Fc=xc**α*f cd 4. ára: A vaseton keresztmetszet ε, σ árája és a első erők h d As εs σs Fs=As*f yd Ha nyomott acéletét kell a keresztmetszete, akkor: x c := x c0 x c = 153mm 3. lépés: A nyomott acéletétek állapotának ellenőrzése: ξ c := x c d ξ c = 3.06 > ξ c0 =.111 a nyomott acélok megfolynak 4. lépés: a nyomatéki egyenletől meghatározzuk az A s-t M Ed = M 0 + A s f yd ( d d ) A s = 73.6 ahol M Ed = 150kN m M 0 = kN m f yd = N d = 310mm d = 50mm 5. lépés: a húzott acélok szükséges keresztmetszeti területe a vetületi egyenletől: x c α f cd + A s f yd A s f yd = 0 ahol x c A s = = 153mm = 50mm α = 1.0 f cd = 13.3 N A s = 73.6 f yd = N 6. lépés: a szerkeztési szaályok a hosszvaslás mennyiségére (lásd 3.1. példa) A s.min = < A s + A s = 170 < A s.max = 3100 megfelelő 30

31 III. gyakorlat 7. lépés: az alkalmazott vasalás A leggyakraan használt vasátmérőkkel a következő lehetősegeink vannak: 7 d φ16mm acéletétek esetén A s = d φ0mm acéletétek esetén A s = d φ5mm acéletétek esetén A s = n := 5 dara φ := 0mm A s.alk n φ π := A 4 s.alk = > A s = Megjegyzés: az alkalmazott acéletéteknél hasonló vasalakok esetén egy átmérő maradjon ki, hogy a vasszerelésnél a kivitelezők nehogy összekeverjék őket n := dara φ := 16mm φ π A s.alk := n 4 A s.alk = 40.1 > A s = lépés: a vasak elhelyezése: vasak közötti minimális távolság: φ ζ := max 0mm ζ = 0mm ( ) n φ ( ) rec := f + φ k + + ( n 1) ζ + f + φ k rec = 40mm < = 50mm elfér egy soran a húzott vasalás nyomott vasakat a keresztmetszet két sarkáan helyezzük el 9. lépés: A vaseton keresztmetszet ellenőrzés: a feltételezett helyett az alkalmazott méretekkel! φ hasznos magasság: d alk := h f φ k δ d alk = 310mm Tegyük fel, hogy a húzott acélok folynak A vetületi egyenlet: φ d alk := f + φ k + + δ d alk = 48mm x c α f cd + A s.alk f yd A s.alk f yd = 0 x c = 15.4mm ahol = 50mm f cd = 13.3 N A s.alk = A s.alk = 40.1 f yd = N A feltevés ellenőrzése : x c ξ c := ξ d c = < ξ c0 = A felt. jó volt, a húzott acél folyási állapotan van alk x c ξ c := ξ c = > ξ c0 =.111 A felt. jó volt, a nyomott acél folyási állapotan van d alk A nyomatéki egyenlet: x c M Rd := x c α f cd d alk + A s.alk f yd ( d alk d alk) M Rd = 164.6kN m ahol = 50mm d alk = 310mm f cd = 13.3 N A s.alk = 40.1 f yd = N x c = 15.4mm d alk = 48mm M Rd = 164.6kN m > M Ed = 150kN m a keresztmetszet hajlításra megfelel 31

32 ... Vasetonszerkezetek I. III. gyakorlat A SZABAD TERVEZÉS 3.3.példa: Tervezze meg a vaseton keresztmetszetet a megadott nyomatékra: M Ed := 1000 kn m h MEd A nyomaték alul okoz húzást. Anyagok : Beton: C5/30 Betonacél: S500B Anyagjellemzők: eton: C5/30 As N f ck f ck := 5 f cd := f cd = 16.7 N γ c acél: S500B N f yk f yk := 500 f yd := f yd = N γ s 560 ξ c0 := ξ f yd c0 = A feladat kitűzése: Ismeretlenek:, d, A s, ( A s), x c Egyenletek: vetületi egyenlet és nyomatéki egyenlet 560 ξ c0 := 700 f ξ c0 =.111 yd Mivel négy (ill. 5) ismeretlent egyenletől nem lehet meghatározni, továi feltételeket kell állítanunk: 1. Nem alkalmazunk nyomott vasalást: A s=0. x c -t úgy érdemes felvenni, hogy a etonacél folyási állapotan legyen például legyen a feladat megoldása során: ξ c =0.4 < ξ c0 =0.493 (S500B esetén), de ne legyen ξ c < < ξ c0 3. Felvehetjük szaadon - a keresztmetszet szélességét és számolhatjuk a magasságát vagy - a keresztmetsze magasságát (d hasznos magasságát) és számolhatjuk szélességét, - a kettő arányát, például legyen ez az arány a feladat megoldása során: d η = = 1.5 Ezekkel a feltevéssekkel a feladat egyértelműen megoldható! A feladat megoldása: εcu { αf cd x xc Fc=xc**α*f cd h d zc As ε εs σs σ Fs=As*f yd Belső erők 5. ára: A vaseton keresztmetszet ε, σ árája és első erői 3

33 III. gyakorlat 1. lépés: a nyomatéki egyenlet felírása x c M Ed = x c α f cd d d 3 ξ c M Ed = η α f cd ξ c 1 a feltevéseket ehelyettesítve: ahol η = 1.5 α = 1 f cd = 16.7 N ξ c = 0.4 M Ed = 1000kN m eől d-t kifejezve: 3 η M Ed d := ξ c α f cd ξ c 1. lépés: a keresztmetszet szélességének meghatározása: d := 1.5 d = 655.mm = 436.8mm 3. lépés: a húzott acélok keresztmetszeti területe a vetületi egyenletõl: x c := ξ c d x c = 6.1mm x c α f cd A s f yd = 0 ahol = mm α = 1.0 f cd = 16.7 N f yd = N A s = lépés: a szerkeztési szaályok a vasmennyiségre [., Farkas-Huszár-Kovács-Szalai: 08 old.]: f ctm - minimális vasmennyiség: A s.min max 0.6 d := f yk - maximális vasmennyiség: A s.max := 4% d 1.3 d f ctm ahol 0.6 d = 37.4 f yk 1.3 d= 37 A s.min = 37 A s.min 37 = < A s = < A s.max = megfelelő A s.max = lépés: az alkalmazott vasalás kengyel: φ k := 1mm etonfedés: f := 0mm a vasak kedvezőtlen elmozdulása miatt: δ := 10mm A leggyakraan használt vasátmérőkkel a következő lehetősegeink vannak: d φ16mm acéletétek esetén A s = d φ0mm acéletétek esetén A s = d φ5mm acéletétek esetén A s = n := 14 dara φ := 0mm A s.alk n φ π := A 4 s.alk = > A s =

34 .. Vasetonszerkezetek I. III. gyakorlat 6. lépés: a vasak elhelyezése: ζ 6. ára: A vasak közötti minimális távolság ζ A vasak közötti minimális távolság: φ ζ := max 0mm ζ = 0mm felső soran levő vasak száma: n f := 5 alsó soran levő vasak száma: n a := n n f n a = 9 ( ) n a φ ( ) ζ ( ) req := f + φ k + + n a 1 + f + φ k req = 404mm < = 436.8mm tehát így elférnek két soran, ezért alk := 440mm 7. lépés: a tartó magassága φ n f φ φ h rec := f + δ + φ k ζ + + d n f + n a h rec = 71.5mm h alk := 70mm 8. lépés: A vaseton keresztmetszet ellenőrzés: a feltételezett helyett az alkalmazott méretekkel! φk=1 φ1 =440 14φ0 7. ára: A keresztmetszet vasalása hasznos magasság: d alk := h alk f δ φ k φ n f n f + n a φ + ζ + φ d alk = 653.7mm Tegyük fel, hogy a húzott acélok folynak A vetületi egyenlet: x c alk α f cd = A s.alk f yd x c = 60.8mm x c := ahol alk = 440mm α = 1.0 f cd = 16.7 N A s.alk = f yd = N Feltevés ellenőrzése : x c ξ c := ξ d c = < ξ c0 = A felt. jó volt, az acél folyási állapotan van alk A nyomatéki egyenlet: x c M Rd := alk x c α f cd d alk M Rd = kN m ahol alk = 440mm x c = 60.8mm α = 1.0 f cd = 16.7 N d alk = mm Find( x c ) M Rd = kN m > M Ed = 1000kN m a keresztmetszet hajlításra megfelel 34

35 d Vasetonszerkezetek I. IV. gyakorlat IV. GYAKORLAT Külpontosan nyomott vaseton keresztmetszet (Négyszög keresztmetszet teherírási vonala) Készítették: Dr. Kiss Rita, Klinka Katalin és Völgyi István NYOMOTT-HAJLÍTOTT KM. ELLENŐRZÉSE "PONTOS" MÓDSZERREL 4.1. példa: Határozza meg a keresztmetszet határkülpontosságát a geometriai középponttól, ha a normálerő tervezési értéke: N Ed =600 kn! N Ed =600 kn 300 Beton: C0/5 Betonacél: S400B 3φ16 5φ0 Anyagjellemzők: eton: C0/5 -eton anyag modellje: merev-képékeny anyagmodell -f ck -αf cd c σck(ε) ασcd(ε) N f ck f ck := 0 f cd := f cd 13.3 N N = f ctm :=. γ c εc1=-0,7 acél: S400B εs' ' ' σyd(ε) σyk(ε) εc[%0] εcu=-3,5 f yk f yd s σs f yd Es -f' yd -f' yk ' 1. ára:a eton σ(ε) diagramja σyk(ε) σyd(ε) εsu=,5 εs[%]. ára:az acél σ(ε) diagramja N f yk f yk := 400 f yd := f yd = N γ s 560 ξ c0 := ξ f yd c0 = ξ c0 := 700 f ξ c0 = 1.59 yd Geometria jellemzők definiálása: h := 500mm := 300mm A keresztmetszet úgy van külpontos nyomással igényevéve, hogy az egyik oldali acéletétek nyomottak,míg a másik oldalon pedig húzottak lesznek. - az alkalmazott húzott vasalás: n := 5 dara φ := 0mm A s n φ π := A 4 s = d := 450mm alkalmazott nyomott vasalás: n := 3 dara φ := 16mm φ π A s := n 4 A s = 603. d := 50mm NEd NEd d' A's erd d As 35

36 IV. gyakorlat Számítás: Tegyük fel, hogy a húzott acéletétek is és a nyomott acéletétek is húzásra ill. nyomásra folynak A vetületi egyenlet: x c α f cd + A s f yd A s f yd = N Ed x c = 34.1mm ahol = 300mm α = 1.0 f cd = 13.3 N A s = 603. f yd = N A s = A feltevés ellenőrzése : x c ξ c := ξ d c = 0.5 < ξ c0 = A felt. helyes volt, a húzott acéletétek folyási állapotan vannak x c ξ c := d ξ c = > ξ c0 = 1.59 A felt. helyes volt, a nyomott acéletétek folyási állapotan vannak A nyomatéki egyenlet a geometriai középpontra: h x c M Rd x c α f cd A s f h yd d h := + + A s f yd d M Rd = 75.7kN m ahol = 300mm x c = 34.1mm h = 500mm f cd = 13.3 N A s = d = 450mm A s = 603. d = 50mm f yd = N M Rd A határkülpontosság: e Rd := e N Rd = 459.6mm Ed (az erő támadáspontja keresztmetszeten kívül esik) 4.. példa: Határozza meg a km. határerejét, ha a mértékadó külpontosság a geometriai középponttól mérve: e Ed =700mm! (az ára és az adatok u.a. mint 4.1.feladatnál!) Számítás: Tegyük fel, hogy a húzott acéletétek is és a nyomott acéletétek is húzásra ill. nyomásra folynak 1. lehetőség: a nyomatéki egyenlete ehelyettesítjük a vetületi egyenletől kifejezett határerőt ( egyenlet, ismeretlen) N Rd := α x c f cd + A s f yd A s f yd N Rd e Ed = x c α f cd h x c h A s f yd d h + + A s f yd d (az egyenlet megoldása másodfokú egyenletre vezet, melyől a fizikai tartalommal író gyökét használjuk fel a feladat megoldása során) x c = 179.mm. lehetőség: a nyomatéki egyenletet a határerő helyére írjuk fel h 0 = x c α f cd e Ed + x c h h + A s f yd e Ed + d A s f yd e Ed (az egyenlet megoldása másodfokú egyenletre vezet, melyől a fizikai tartalommal író gyökét használjuk fel a feladat megoldása során) x c = 179.mm Feltevés ellenőrzése: x c ξ c := ξ d c = < ξ c0 = a feltevés helyes, húzott acéletétek megfolynak x c ξ c := d ξ c = > ξ c0 = 1.59 a feltevés helyes,nyomott acéletétek megfolynak Így vetületi egyenletől az e Ed -hez tartozó határerő értékét megkapjuk: N Rd := α x c f cd + A s f yd A s f yd N Rd = 380.3kN ahol = 300mm α = 1.0 f cd = 13.3 N A s = 603. A s = f yd = N + d 36

37 . Vasetonszerkezetek I. IV. gyakorlat NYOMOTT-HAJLÍTOTT KM. ELLENŐRZÉSE TEHERBÍRÁSI VONALLAL ÉS A KÖZELÍTŐ TEHERBÍRÁSI VONALLAL "KÖZELÍTŐ MÓDSZERREL" 4.3. Példa: Határozza meg a négyszögkeresztmetszet teherírási vonalának a 10 jellemző pontját úgy, hogy a nyomatékokat a geometriai középpontra írja fel! 500 3φ φ0 Anyagjellemzők definálása: (lásd 4.3. példa) Geometria jellemzők definiálása: (lásd 4.3. példa) - az alkalmazott húzott vasalás: n 1 := 5 dara φ 1 := 0mm d 1 := 450mm a 1 := 50mm Beton: C0/5 Betonacél: S400B φ 1 π A s1 := n 1 A 4 s1 = φ π - az alkalmazott nyomott vasalás: n := 3 dara φ := 16mm A s := n A 4 s = 603. d := 50mm a := 50mm Megoldás: Megjegyzés: a feladatan a nyomatéki egyenleteket a geometriai középpontra írjuk fel A teherírási vonal és a közelítő teherírási vonal 1. pontja: a maximális nyomóerőhöz tartozó pont (központos nyomás) ε σ Belső erők %0 αf cd h As d εs σs xc Fs=As*σs Fc=xc**α*f cd Központos nyomás esetén a eton összenyomódása nem lehet tö -nél. As1 εs1 σs1 Fs1=As1*σs1 A -es összenyomódáshoz tartozó acélfeszültségek: σ s := E s σ s = 400 N > f yd = N az acéletétek megfolynak, így σ s1 =σ s =f yd Megjegyzés: S500B esetén rugalmas lenne! N Rd.1 := h α f cd + A s1 f yd + A s f yd N Rd.1 = 756.kN M Rd.1 A s f h yd d h := A s1 f yd d 1 M Rd.1 = 67.3 kn m h As As1 d=x ε εs σ εsu=3.5%0 αf cd σs xc=0.8x. A teherírási vonal. pontja: az A s1 jelű húzott acéletét nyúlása zérus (nyomott acéletétek az A s ) Belső erők Fs=As*σs Fc=xc**α*f cd x := d 1 x = 450mm x c := 0.8 x x c = 360mm εs1=0 A nyomott acéletétek állapotának ellenőrzése:ξ c := x c d ξ c = 7. > ξ c0 = 1.59 megfolynak, így σ s =f yd N Rd. := x c α f cd + A s f yd N Rd. = kN M Rd. A s f h yd d h x c := + x c α f cd M Rd. = 14.8kN m 37

38 IV. gyakorlat A teherírási vonal 3. pontja és a közelítő teherírási vonal. pontja: A maximális nyomatékhoz tartozó pont (az A s1 jelű húzott acéletétek és nyomottak az A s ) A maximális nyomaték helye közel esik, ahhoz a keresztmetszeti erőjátékhoz, ahol ξ c =ξ c0, (azaz a húzott acél a képlékeny és a rugalmas állapot határán van) As ε εs σ εsu=3.5%0 αf cd σs. xc=xc0 Belső erők Fs=As*σs Fc=xc**α*f cd As1 εs1= f yd Es A nyomott acéletétek állapotának ellenőrzése: σs1 Fs1=As1*σs1 ahol σ s1 =f yd x c0 := ξ c0 d 1 x c0 = 40.5mm x c := x c0 x c = 40.5mm x c ξ c := d ξ c = 4.81 > ξ c0 = 1.59 nyomott acéletétek megfolynak, így σ s =f yd N Rd.3 := x c0 α f cd + A s f yd A s1 f yd N Rd.3 = 65.4kN M Rd.3 := x c0 α f cd h x c0 h h + A s f yd d + A s1 f yd d 1 A teherírási vonal 4.pontja és a közelítő teherírási vonal 3. pontja:: Tiszta hajlítás (N=0) (az A s1 jelű húzott acéletétek és nyomottak az A s ) As ε εs σ εsu=3.5%0 αf cd σs. xc Belső erők Fs=As*σs Fc=xc**α*f cd M Rd.3 = 76.1kN m As1 εs1 σs1 Fs1=As1*σs1 Tegyük fel, hogy a húzott acéletétek is és a nyomott acéletétek is húzásra ill. nyomásra folynak A vetületi egyensúlyi egyenlet: 0 = x c α f cd + A s f yd A s1 f yd Az acéletétek állapotának ellenőrzése: x c = 84.1mm x c ξ c := ξ d c = < ξ c0 = a húzott acéletétek megfolynak, így σ 1 s1 =f yd x c ξ c := d ξ c = > ξ c0 = 1.59 a nyomott acéletétek megfolynak, így σ s =f yd (ellenőrzés) N Rd.4 := x c α f cd + A s f yd A s1 f yd N Rd.4 = 0kN h x c h M Rd.4 x c α f cd A s f yd d h := + + A s1 f yd d 1 M Rd.4 = 1.kN m Egyszerűsített (közelíto) teherírási vonal (a keresztmetszet geometriai középpontjára): N [kn] M [knm] 38