Combinatorial Diophantine equations. Kombinatorikus diofantikus egyenletek. Kovács Tünde Témavezet : Dr. Hajdu Lajos

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Combinatorial Diophantine equations. Kombinatorikus diofantikus egyenletek. Kovács Tünde Témavezet : Dr. Hajdu Lajos"

Átírás

1 Egyetemi doktori (PhD értekezés tézisei Combinatoria Diophantine equations Kombinatorikus diofantikus egyenetek Kovács Tünde Témavezet : Dr. Hajdu Lajos Debreceni Egyetem Matematika- és Számítástudományok Doktori Iskoa Debrecen, 2011.

2 Egyetemi doktori (PhD értekezés tézisei Combinatoria Diophantine equations Kombinatorikus diofantikus egyenetek Kovács Tünde Témavezet : Dr. Hajdu Lajos Debreceni Egyetem Matematika- és Számítástudományok Doktori Iskoa Debrecen, 2011.

3 Introduction Our dissertation consists of ve chapters each containing new resuts concerning Diophantine equations and Diophantine probems. Most probems have certain combinatoria background. These resuts have been pubished in our papers [20], [25], [26], [27] and [21], respectivey. Here we sha give an overview of the contents of the chapters, but before doing so we make some introductory notes on the subjects of our thesis. In the rst chapter we present the main method used in our studies namey the Eog method together with an improvement due to Hajdu and Kovács [20]. For the resoution of eiptic equations, an ecient method was deveoped simutaneousy and independenty by Stroeker, Tzanakis [47] and Gebe, Peth, Zimmer [14] in The most recent version of this so-caed Eog method is aready capabe to nd (at east in principe a integra points on genus 1 curves (see [49], and aso the references given there. Furthermore, Stroeker and Tzanakis [48] provided an agorithm to determine that Morde-Wei basis of the curve in which one can get the best bound for the integra points of the curve. In the rst chapter we show that working with more Morde-Wei bases simutaneousy, the na bound for the integra points can be further decreased. The resuts of this chapter are pubished in [20]. In the second chapter we appy the Eog method to sove many combinatoria Diophantine equations whose soutions are missing from the iterature. One of the rst resuts giving a integer soutions of a combinatoria Diophantine equation is a theorem of Morde [35], which provides a integer soutions of the equation y(y + 1 = ( + 1( + 2. Other scattered equations have been investigated by severa authors, see for eampe [1], [2], [9], [31], [43], [47], [57], [58], [61]. Hajdu and Pintér [22] systematicay coected and soved those combinatoria equations that can be reduced to Morde-type equations. We etend this resut to more genera combinatoria equations that can be reduced to genera eiptic equations. Namey, we coect those equations that can be reduced to equations of genus 1. The resuts of the second chapter are pubished in [25]. In the third chapter we give severa eective and epicit resuts concerning the vaues of some poynomias in binary recurrence sequences. First we provide an eective niteness theorem for certain combinatoria numbers (binomia coef- cients, products of consecutive integers, power sums, aternating power sums in binary recurrence sequences, under some assumptions. The proof of this theorem is based on Baker's method. We aso give an ecient agorithm (based on genus 1 curves for determining the vaues of certain degree 4 poynomias in 1

4 such sequences. Finay, party by the hep of this agorithm we competey determine a combinatoria numbers of the above type for the sma vaues of the parameter invoved in the Fibonacci, Lucas, Pe and Associated Pe sequences. The resuts of the third chapter are pubished in [26]. Baancing numbers and their generaizations have been investigated by severa authors, from many aspects. In the fourth chapter we introduce the concept of baancing numbers in arithmetic progressions, and prove severa eective niteness and epicit resuts about them. In the proofs of our resuts, among others, we combine Baker's method, the moduar method, the Chabauty method and the theory of eiptic curves. The resuts of the fourth chapter are pubished in [27]. In the fth chapter we prove that the product of k consecutive terms of a primitive arithmetic progression is never a perfect fth power when 3 k 54. This probem is cosey reated to a cassica probem, considered by severa mathematicians e.g. Erd s, Sefridge, Gy ry, Saradha, Shorey, Tijdeman. We aso provide a more precise statement, concerning the case where the product is an "amost" fth power. Our theorems yied considerabe improvements and etensions, in the fth power case, of recent resuts due to Gy ry, Hajdu and Pintér [19]. Whie the earier resuts have been proved by cassica (mainy agebraic number theoretica methods, our proofs are based upon a new too: we appy genus 2 curves and the Chabauty method (both the cassica and the eiptic verison. The resuts of the fth chapter are pubished in [21]. The Eog method and an improvement Eiptic Diophantine equations have a ong history. Even the eective theory of such equations have an etremey rich iterature. A cassica resut of Baker [3] yieds that an eiptic equation can have ony nitey many integer soutions, and the size (absoute vaue of the soutions can be eectivey bounded. However, to epicity nd a integra soutions another method has been deveoped, which uses the arithmetic properties of eiptic curves. This agorithm combines many deep ingredients, due to severa authors. Here we ony refer to the papers of Stroeker, Tzanakis [47] and Gebe, Peth, Zimmer [14], where the rst compete versions of this method are independenty given. (See aso the references in these papers. The most recent version of this so-caed Eog method is aready capabe to nd (at east in principe a integra points on genus one curves (see [49], and aso the references given there for certain important intermediate steps. To summarize the method in one sentence, what happens is that rst 2

5 the maimum N of the coecients of the integra points (in some Morde-Wei basis is bounded, and then this bound is graduay decreased to a size where the actua points can aready be identied by an ehaustive search. (Of course, in fact the method is much more genera and compicated. To get the na bound N fina for N, the LLL-agorithm is appied. First we briey summarize the main steps of the Eog method. We foow the presentation in [49]. Let f Z[u, v] and dene the curve C by C : f(u, v = 0. Suppose that C is of genus one. Then C is birationay equivaent (over a number ed to some eiptic curve E : 3 + A + B = y 2 with A, B Q. Let r be the rank of E, and et P 1,..., P r be a Morde-Wei basis of E. Then any rationa point P of E can be written as P = P 0 + n 1 P n r P r, (1 where P 0 is some torsion point of E, and n i Z (i = 1,..., r. Now on the one hand, using estimates of David [11] concerning inear forms in eiptic ogarithms, one gets a ower bound of the form L(P ep( c 1 (og N + c 2 (og og N + c 3 r+3. (2 Here L(P is a certain inear form in eiptic ogarithms (roughy" the eiptic ogarithm of P, N = ma n i and c 1, c 2, c 3 are constants depending ony on 1 i r the curves C and E. On the other hand, supposing that P is the image of an integra point of C under the above birationa transformation, using standard arguments (incuding height estimates of points of E we get an inequaity of the form L(P c 4 ep( c 5 λn 2. (3 Here c 4, c 5 are again constants, which depend ony on C and E. Further, most importanty from our point of view, λ is the east eigenvaue of the height pairing matri of the basis P 1,..., P r occurring in (1. That is, λ certainy depends on the choice of the Morde-Wei basis. As it is demonstrated by Stroeker and Tzanakis [48], the size of λ has a great impact on the na bound N fina for N. We sha return here a itte ater. 3

6 Combining estimates (2 and (3 we get an initia upper bound N 0 for N. However, this upper bound is usuay etremey huge. Due to an observation of Stroeker and Tzanakis [48], N 0 shoud be around 10 (5r2 +5r+28/2. Hence to epicity determine the integra points on C, this initia bound N 0 shoud be reduced. This can be done by attice reduction techniques due to de Weger [59], based on the LLL-agorithm. We use a variant due to Tzanakis [56]. To appy this resut, one starts with (3, together with the inequaity N < N 0. Using the appropriate Proposition from Section 5 of Tzanakis [56], one gets a new ower bound of the shape N < c 6 c5 λ for N, where c 6 is an epicity computabe constant depending on some parameters of E, and aso on the ength of the shortest vector of an LLL-reduced basis of a certain attice. As one can see, this new bound is inear in λ 1/2, which shows the importance of this parameter. Stroeker and Tzanakis [48] have considered severa eampes which indicate this phenomenon in a rather convincing way. Summarizing the resuts in [48], to get the best possibe reduced bound N fina for N one shoud denitey choose an ST-basis (i.e. a basis for which the corresponding λ vaue is the greatest possibe of the curve E in (1. Subsequenty, Stroeker and Tzanakis [48] have aso worked out an ecient agorithm for nding an ST-basis of the curve. However, in the seque it turns out that the bound obtained by using an STbasis, can sti be improved further, if one works with severa Morde-Wei bases simutaneousy. It is important to note that foowing our method the use of more bases sha increase ony by a fraction the tota time needed to get a better N fina. Aready a sma gain in N fina may ead to a arge improvement in the searching time for nding the sma soutions - in particuar, if r is arge. The reason is simpy that the region where we have to ook for the sma soutions is of size (2N fina + 1 r. Note that a simiar size" notion was used aso in [48] to compare the na bounds obtained in dierent Morde-Wei bases. Now we briey outine how to work in severa bases simutaneousy. To epain our ideas in fact it is sucient to use two bases. So assume that B 1 = (P 1,..., P r is a Morde-Wei basis of E, and et S be an integra unimoduar matri of size r r. Let B 2 = (Q 1,..., Q r be the basis of E obtained from B 1 by using S as a basis transformation matri. Let P be a rationa point on E with the representation (1, and assume that we aso have P = Q 0 + m 1 Q m r Q r, (4 4

7 with some torsion point Q 0 and integers m 1,..., m r. Put M = ma m i, and 1 i r reca that by eementary inear agebra we have S 1 n 1. n r = m 1. m r. (5 This impies M sn, where s = S 1 is the row norm of S 1. (The row norm of a k type rea matri A = (a ij 1 i k is dened by A = ma a ij. 1 j 1 i k j=1 In particuar, this means that one does not have to go through the Eog method both for B 1 and B 2, it is sucient to use it with B 1 say. Indeed, take for eampe B 1 to be an ST-basis of E, and suppose that after appying the Eog method (together with the reduction stage we have the bound N < N fina. Then by M sn, we automaticay have M M 0 := sn fina. As s is typicay sma" (it wi be at most around ten, M 0 is not too arge - and of course, it can aso be reduced. Importanty, we can get the na bound M fina very easiy and quicky. The reason is that the reduction steps are dicut and time consuming ony if the initia bound is arge, as then e.g. high precision is needed. However, as s wi be sma, the reduction steps eading from M 0 to M fina are made very easiy. The na bounds N fina and M fina yied simutaneous upper bounds for the coecients of P, in two dierent bases. Combining these two bounds by (5, we can decrease the domain where the na search has to be done. As one may predict (which wi turn out to be true, the gain starts getting more and more signicant as the rank r is getting arger and arger. Strategy 1. We try to decrease N (1 (corresponding to fina B 1, componentwise. For this purpose, choose distinct indices i, j with 1 i, j r and a positive integer t, and consider the bases B 2 and B 3 obtained by repacing P i by P i +tp j and P i tp j in B 1, respectivey (eaving the other basis eements untouched. With the bases B 2 and B 3 the reduction process starts from the quite sma bound (t + 1N (1 fina N (3 fina (2 and gives, respectivey, the na bounds, say, N. Then a simpe cacuation yieds that n i N (2 fina + N (3 fina 2t fina and hods. If the right hand side happens to be ess than N (1 fina, then we get a new, improved bound for n i. To make this principe work, for each ed i we 5

8 (heuristicay choose that j, for which the sum of the λ vaues (corresponding to B 2 and B 3 is maima with t = 1. Then for simpicity (and aso because we try to keep the time consumption of the method ow, instead of checking severa vaues, we take the ed vaue t = 10 in the computations. The procedure can be iterated, and the iteration eads to further improvement in some cases. Further, we have some reasons for the choice of t = 10. If λ t denotes the λt λ t+1 vaue of λ corresponding to t (either in B 2 or in B 3, then t+1 t is cose to 1, if t is arge". The vaue t = 10 seems to be arge enough to make the λ-s corresponding to B 2 and B 3 more or ess cose to each other, and it seems to have some good eect on the outcome. Sti, obviousy at this point the method can have many variants. Strategy 2. Using the agorithm of Stroeker and Tzanakis [48], we determine the best" ten Morde-Wei bases B j (j = 1,..., 10 i.e. ten Morde-Wei basis corresponding to the ten argest λ-vaues. (Note that by the agorithm we get a the basis transformation matrices with respect to B 1, as we, and aso that the cacuation of ten basis takes ony a itte etra time than cacuating ony B 1. Then we compute the initia upper bounds N (j 0 (j = 1,..., 10 for the coordinates of the integra points in these bases, respectivey. (As we mentioned, out of these ony the cacuation of N (1 0 is time consuming (but it has to be cacuated even if we use ony B 1, the other bounds come very quicky and easiy. Having these bounds, using the basis transformation matrices, we get severa etra information for the coecients of P in B 1. In fact we get a system of inequaities dening a conve body, which contains much ess integra points than the one impied by n i N (1 fina (i = 1,..., r. Finay, we mention that atogether it seems that Strategy 2 yieds more improvement than Strategy 1. In the dissertation we give severa eampes to iustrate how our method works. The resuts of the rst chapter are pubished in [20]. Combinatoria Diophantine equations of genus 1 Many Diophantine equations possess combinatoria background. One of the rst resuts giving a integer soutions of a combinatoria Diophantine equation is a theorem of Morde [35], which provides a integer soutions of the equation y(y + 1 = ( + 1( + 2. Other scattered equations have been investigated by severa authors, see for eampe [1], [2], [9], [31], [43], [47], [57], [58], [61]. 6

9 Hajdu and Pintér [22] systematicay coected and soved those combinatoria equations that can be reduced to Morde-type equations. Our purpose is to etend this resut to more genera combinatoria equations that can be reduced to genera eiptic equations. Namey, we coect those equations that can be reduced to equations of genus 1. The equations are soved with the Eog method and with the Magma [8] computationa agebra system. We mention that beside a ot of sparse resuts (see e.g. [40], [41], [43], [50] and [60], Stroeker and de Weger [51] soved a such equations invoving binomia coecients. We need some notation to formuate our resuts. For a n, N et S n ( = 1 n + 2 n ( 1 n, Π n ( = ( + 1 ( + n 1. The formery soved Diophantine equations which can be reduced to eiptic equations concerning Π n (, S n ( and ( n, are the foowings: Π 2 (k = Π 3 ( (Morde [35], ( 2 = 3 (Avanesov [1], Π 2 (k = Π 6 ( (MacLeod and Barrodae [31], S 2 (k = ( 2 (Avanesov [2] and Uchiyama [58], Π 3 (k = Π 4 (, S 2 (k = ( 4 (Boyd and Kisievsky [9], 2 = Π3 ( (Tzanakis and de Weger [57], 2 = Π4 ( (Pintér [40], see aso [15], p. 225., ( 4 = 2 (Pintér [41] and de Weger [60], ( 3 = 4 (de Weger [61], 4 = Π2 (, Π 3 ( (Pintér and de Weger [43], m = Πn (, where (m, n = (3, 6; 3, 6 (Stroeker and de Weger [50], ( m = n, where (m, n = (2; 3, 4, 6, 8, (3; 4, 6, (4; 6, 8 (Stroeker and de Weger [51], S 5 (k = ( 2, S5 (k = ( 4, Sm (k = Π n (, where (m, n = (2, 5; 2, 4, m = Π n (, where (m, n = (2, 4; 6, (3, 6; 2, 4, Π 4 (k = Π 6 ( (Hajdu and Pintér [22]. Here and ater on (k, = (a 1,..., a n ; b 1,..., b m means that (k, can be any of the pairs (a i, b j, i {1,..., n}, j {1,..., m}. 7

10 Equation Soutions S 3 (k = Π 2 ( (k, = ( 1, 0; 1, 0 S 3 (k = Π 4 ( (k, = ( 1, 0; 3, 2, 1, 0 S 3 (k = Π 8 ( (k, = ( 1, 0; 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0 S 5 (k = ( 3 (k, = ( 1, 0; 0, 1, 2, ( 2, 1; 3 S 7 (k = ( 2 (k, = ( 1, 0; 0, 1, ( 2, 1; 1, 2 P 2 (k = Π 4 ( (k, = ( 1, 0; 3, 2, 1, 0 P 2 (k = Π 8 ( (k, = ( 1, 0; 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0 P 3 (k = Π 6 ( (k, = ( 2, 1, 0; 5, 4, 3, 2, 1, 0, (8; 6, 1 P 4 (k = Π 8 ( (k, = ( 3, 2, 1, 0; 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0 Tabe 1: Equations which can be soved by Runge's method Equation Soutions S 3 (k = ( 3 (k, = ( 1, 0; 0, 1, 2, ( 2, 1; 3 S 3 (k = ( 6 (k, = ( 1, 0; 0, 1, 2, 3, 4, 5, ( 2, 1; 1, 6 S 3 (k = Π 3 ( (k, = ( 1, 0; 2, 1, 0 S 3 (k = Π 6 ( (k, = ( 1, 0; 5, 4, 3, 2, 2, 1, 0 S 5 (k = ( 2 (k, = ( 1, 0; 0, 1, ( 2, 1; 1, 2, ( 4, 3; 23, 24, ( 9, 8; 351, 352 S 5 (k = ( 4 (k, = ( 1, 0; 0, 1, 2, 3, ( 2, 1; 1, 4 S 5 (k = Π 2 ( (k, = ( 1, 0; 1, 0 S 5 (k = Π 4 ( (k, = ( 1, 0; 3, 2, 1, 0 Tabe 2: Equations which can be reduced to Morde-type equations We mention that S n ( is a poynomia of degree n + 1, and Π n ( is a poynomia of degree n. For the sake of competeness we give a integer soutions of the investigated poynomia equations (athough the negative soutions do not have combinatoria meanings. Our resuts are summarized in the net theorem. We distribute the equations considered into three tabes, according to the methods used in their soutions. Theorem 1 (Kovács, A integra soutions of the equations in the rst coumns of Tabes 1-3 are eacty the ones appearing in the second coumns of the tabes, respectivey. The resuts of the second chapter are pubished in [25]. 8

11 Equation Soutions S 1 (k = ( 4 (k, = ( 21, 20; 7, 10, ( 6, 5; 3, 6, ( 2, 1; 1, 4, ( 1, 0; 0, 1, 2, 3 S 1 (k = ( 8 (k, = ( 1, 0; 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ( 2, 1; 1, 8, ( 10, 9; 3, 10;, ( 78, 77; 7, 14, ( 221, 220; 10, 17 S 1 (k = Π 4 ( (k, = ( 16, 15; 5, 2, ( 1, 0; 3, 2, 1, 0 S 1 (k = Π 8 ( (k, = ( 1, 0; 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0 S 2 (k = ( 3 (k, = ( 1, 0; 0, 1, 2, ( 2, 1, (1, 3 S 2 (k = ( 6 (k, = ( 1, 0; 0, 1, 2, 3, 4, 5, (1; 1, 6 S 2 (k = Π 3 ( (k, = ( 1, 0; 2, 1, 0 S 2 (k = Π 6 ( (k, = ( 1, 0; 5, 4, 3, 2, 1, 0 S 3 (k = ( 2 (k, = ( 4, 3; 8, 9, ( 2, 1; 1, 2, ( 1, 0; 0, 1 S 3 (k = ( 4 (k, = ( 2, 1; 1, 4, ( 1, 0; 0, 1, 2, 3 S 3 (k = ( 8 (k, = ( 1, 0; 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ( 3, 2; 2, 9, ( 2, 1; 1, 8 S 5 (k = ( 6 (k, = ( 1, 0; 0, 1, 2, 3, 4, 5, ( 2, 1; 1, 6 S 5 (k = Π 3 ( (k, = ( 1, 0; 2, 1, 0 S 5 (k = Π 6 ( (k, = ( 1, 0; 5, 4, 3, 2, 1, 0 S 7 (k = ( 4 (k, = ( 2, 1; 1, 4, ( 1, 0; 0, 1, 2, 3 S 7 (k = Π 2 ( (k, = ( 1, 0; 1, 0 S 7 (k = Π 4 ( (k, = ( 1, 0; 3, 2, 1, 0 2 = Π8 ( (k, = (0, 1; 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0 4 = Π4 ( (k, = (0, 1, 2, 3; 3, 2, 1, 0 4 = Π8 ( (k, = (0, 1, 2, 3; 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0 8 = Π2 ( (k, = (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7; 1, 0 = Π4 ( (k, = (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7; 3, 2, 1, 0 8 Tabe 3: Equations which can be reduced to genus 1 equations 9

12 Combinatoria numbers in binary recurrences Let U = {U n } n=0 be a binary recurrence sequence dened by the initia terms U 0, U 1 Z and the recurrence reation U n = AU n 1 + BU n 2 (n 2 where A, B are non-zero integers. Let α and β denote the zeros of the companion poynomia 2 A B of U. Further, et D = A 2 + 4B be the discriminant of U and a u = U 1 βu 0, b u = U 1 αu 0, C = a u b u = U 2 1 AU 0 U 1 BU 2 0. The sequence U is caed non-degenerate if C 0 and α/β is not a root of unity. It is we-known that if U is non-degenerate then for a n = 0, 1,... we have U n = a uα n b u β n. α β From this point on we assume that B = ±1 and that U is non-degenerate. Then as it is aso we-known, U has a so-caed associate sequence V = {V n } n=0 for which Vn 2 DUn 2 = 4C( B n (6 hods for a n = 0, 1,.... Observe that by our assumption B = ±1, we have ( B n = ±1. Further, note that V 0 = 2U 1 AU 0, V 1 = AU 1 + 2BU 0 and V satises the same recurrence reation as U. Beside deaing with genera sequences U we consider combinatoria numbers in certain specia famous sequences, too. Let F, L, P and Q denote the Fibonacci, Lucas, Pe and Associated Pe sequence, respectivey. These sequences are dened by F 0 = 0, F 1 = 1, F n = F n 1 + F n 2 (n 2, L 0 = 2, L 1 = 1, L n = L n 1 + L n 2 (n 2, P 0 = 0, P 1 = 1, P n = 2P n 1 + P n 2 (n 2, Q 0 = 1, Q 1 = 1, Q n = 2Q n 1 + Q n 2 (n 2. Now we give what kind of combinatoria numbers we are interested in. Beside binomia coecients, we consider power sums, aternating power sums and products of consecutive integers as we. In the previous chapter we dened these poynomias ecept for the aternating power sum. That poynomia is dened for a k, N as R k ( = 1 k + 2 k... + ( 1 1 ( 1 k. 10

13 We mention that R k ( is a poynomia of degree k. We use the previous notation. Further, reca that B = ±1 and U = {U n } n=0 is non-degenerate. A our resuts concern the equation U n = p( (7 in integers n, with n 0. For the sake of competeness we aso take care of the soutions with 0, athough these soutions usuay do not have combinatoria meanings. First we give an eective resut for the soutions of (7 which is vaid for genera U. Theorem 2 (Kovács, Let k 2 and p( be one of the poynomias S k 1 (, R k (, Π k (, ( k. If either k = 2 or p( is one of S2 (, Π 3 (, ( 3, then further assume that B = 1. Then the soutions n, of equation (7 satisfy ma (n, < c 0 (U, k, where c 0 (U, k is an eectivey computabe constant depending ony on U and k. Obviousy, the assumption k 2 cannot be omitted. The net proposition shows that the condition B = 1 in the specia cases of the theorem is necessary as we. Proposition 1. Let U be the sequence dened by B = 1 and by the vaues U 0, U 1, A given in the ith row of Tabe 4, for any i {1, 2, 3, 4, 5}. Further, et p( be a poynomia from the ast coumn of the ith row of Tabe 4. Then equation (7 has innitey many soutions. U 0 U 1 A p( S 1 (, R 2 (, ( Π 2 ( S 2 ( ( Π 3 ( Tabe 4: Settings where equation (7 has innitey many soutions 11

14 Remark. If (7 has innitey many soutions then these soutions have some specia structure. This structure has been described by Nemes and Peth [36], see Theorem 3 (cf. aso [37], [38]. Szaay [52] gave an agorithm for the resoution of (7 in the case when p( is a poynomia of degree 3. We etend this resut to the degree 4 case. For this purpose we need some further notation. Let p( Q[] be a poynomia of degree 4 and write p( = A A A A 3 + A 4. Suppose that the coecients of p fu the reations A 0 = a e, A 1 = 4ab e, A 2 = 6ab2 + c, A 3 = 4ab3 + 2bc, A 4 = ab4 + b 2 c + d, e e e with some integers a, b, c, d, e, ae 0. Then we have p( = a( + b4 + c( + b 2 + d. e Write 1 = + b and et y = V n where V = {V n } n=0 is the associate sequence of U. Then by (6 we get ( a y 2 4 D 1 + c d = 4C( B n, e which yieds where Y 2 = h 4 X 4 + h 3 X 3 + h 2 X 2 + h 1 X + h 0, (8 Y = ey, X = 2 1, h 4 = a 2 D, h 3 = 2acD, h 2 = (c 2 + 2adD, h 1 = 2cdD, h 0 = d 2 D + 4e 2 C( B n. Equation (18 in genera is of genus 1, therefore the Eog method can be used to determine a its integra soutions. In particuar, using the program package Magma, equation (18 can be soved competey in concrete cases. If h 0 is a perfect square then (18 can be soved by the procedure IntegraQuarticPoints. Putting together some toos and resuts about genus 1 curves, we give an ecient method for the resoution of (18 in the genera case. For the description of the method see the proof of Theorem 3. (Further, we impemented our agorithm in Magma, too. From the soutions, the vaues and the indices n can be easiy determined. Summarizing the above argument, we get 12

15 = F n L n P n Q n S 1( [33] [34] [32] (0, 1, (0, 2, (1, 1, (1, 2, (2, 2, (2, 3 S 2( [52] [52] [52] (0, 2, (1, 2 S 3( [52] [52] [52] T 2( T 4( Π 2( Π 3( Π 4( ( 2 ( 3 ( 4 (0, 0, (0, 1, (1, 1, (2, 1, (4, 3, (8, 7, (10, 11 (0, 0, (0, 1, (1, 1, (2, 1 (0, 1, (0, 0, (3, 2, (3, 1 (0, 2, (0, 1, (0, 0 (0, 3, (0, 2, (0, 1, (0, 0 (1, 1, (2, 3, (18, 107 (1, 1 [33] [34] [32] (0, 1, (0, 2, (1, 1, (1, 2 (1, 1 (0, 1, (1, 1, (2, 3 (0, 0, (0, 1, (1, 1 (0, 1, (0, 0, (2, 2, (2, 1, (4, 4, (4, 3 (0, 2, (0, 1, (0, 0 (0, 3, (0, 2, (0, 1, (0, 0 [53] [53] [53] [52] [52] (0, 0, (0, 1, (0, 2, (0, 3, (1, 1, (1, 4, (3, 2, (3, 5, (6, 5, (6, 8 (0, 1, (1, 1 (0, 1, (0, 2, (1, 1, (1, 2, (2, 2, (2, 3 (1, 1, (1, 4 Tabe 5: Soutions of equation (7 with the particuar settings Theorem 3 (Kovács, Using the previous notation, suppose that 8aDd(2ad c 2 64a 2 C ± e 2 c 4 D. Then equation (7 has ony nitey many soutions n, and these soutions can be eectivey determined. Our na resut about this probem competey describes the above type combinatoria numbers for the sma vaues of the parameter k in some weknown binary recurrence sequences. Theorem 4 (Kovács, Let U {F, L, P, Q}, p( {S 1 (, S 2 (, S 3 (, R 2 (, R 4 (, Π 2 (, Π 3 (, Π 4 (, ( ( 2, ( 3, 4 }. Then the soutions n, of equation (7 are eacty those contained in Tabe 5. The sign shows that the actua equation has no soution. Further, the references given in the tabe indicate that the corresponding equation was soved in the appropriate paper. Remark. The compete soution of the equation U n = R 3 ( remains open. 13

16 These equations are of genus 2 thus neither Szaay's method nor our agorithm given in the proof of Theorem 3 can be used to sove them. The resuts of the third chapter are pubished in [26]. Resuts on (a, b-baancing numbers A positive integer n is caed a baancing number if (n 1 = (n (n + r hods for some positive integer r (see [4] and [13]. The sequence of baancing numbers is denoted by B m (m = 1, 2,.... As one can easiy check, we have B 1 = 6 and B 2 = 35. Note that by a resut of Behera and Panda [4], we have B m+1 = 6B m B m 1 (m > 1. In particuar, there are innitey many baancing numbers. The iterature of baancing numbers is very rich. In [28] and [29] Liptai proved that there are no Fibonacci and Lucas baancing numbers, respectivey. Later, Szaay [54] derived the same resuts by a dierent method. In [30] Liptai, Luca, Pintér and Szaay generaized the concept of baancing numbers in the foowing way. Let y, k, be ed positive integers with y 4. A positive integer with y 2 is caed a (k, -power numerica center for y if 1 k + + ( 1 k = ( (y 1. In [30] severa eective and ineective niteness resuts were proved for (k, - power numerica centers. Recenty, the "baancing" property has been investigated in recurrence sequences (see [7]. In this chapter we etend the concept of baancing numbers to arithmetic progressions. Let a > 0 and b 0 be coprime integers. If for some positive integers n and r we have (a + b + + (a(n 1 + b = (a(n b + + (a(n + r + b then we say that an + b is an (a, b-baancing number. The sequence of (a, b- baancing numbers is denoted by B m (a,b (m = 1, 2,.... We mention that since = B m for a m, we obtain a generaization of baancing numbers. B (1,0 m 14

17 We prove severa eective niteness and epicit resuts concerning poynomia vaues in the sequences B m (a,b. That is, we consider the equation B (a,b m = f( (9 in integers m and with m 1, where f is some poynomia with rationa coecients, taking ony integra vaues at integers. To prove our theorems, beside the above mentioned resuts of Ping-Zhi [39], Pintér and Rakaczki [42] and Rakaczki [44], we further need the moduar method deveoped by Wies [62] and others and a deep resut of Bennett [5] concerning binomia Thue equations. From this point on, when we refer to equation (9 we aways assume that a and b are arbitrary, but ed coprime integers such that a > 0 and b 0. Our rst resut is the foowing. Theorem 5 (Kovács, Liptai, Oajos, Let f( be a monic poynomia with integer coecients, of degree 2. If a is odd, then for the soutions of (9 we have ma(m, < c 0 (f, a, b, where c 0 (f, a, b is an eectivey computabe constant depending ony on a, b and f. Our net resut concerns the case where f( = with some 2. In this case soving equation (9 is equivaent to nding (a, b-baancing numbers which are perfect powers. Theorem 6 (Kovács, Liptai, Oajos, If a 2 4ab 4b 2 = 1, then there is no perfect power (a, b-baancing number. Remark. One can easiy check that the equation a 2 4ab 4b 2 = 1 has innitey many soutions in integers a, b with a > 0, b 0. Hence Theorem 6 competey soves the proposed probem for innitey many pairs (a, b. The foowing theorem takes up the probem where the poynomia f( in (9 has some combinatoria meaning. More precisey, we investigate binomia coecients ( k, products of consecutive integers Πk (, power sums S k ( and aternating power sums R k (. Note that the coecients of ( k, Sk ( and R k ( are not integers. Further, in the case f( = Π k ( Theorem 5 yieds a niteness resut, however, ony for the odd vaues of the parameter a. For these combinatoria choices of f( our net statement yieds a bound for the soutions of (9, without any assumptions for the parameters a and b. Theorem 7 (Kovács, Liptai, Oajos, Let k 2 and f( be one of the poynomias ( k, Πk (, S k 1 (, R k (. Then the soutions of equation (9 satisfy ma(m, < c 1 (a, b, k, where c 1 (a, b, k is an eectivey computabe constant depending ony on a, b and k. 15

18 In our na resut, under the assumption a 2 4ab 4b 2 = 1, we provide the compete soution of (9 with the above choices of f(, for some sma vaues of the parameter k. More precisey, we consider a cases where (9 can be reduced to an equation of genus 1. Further, we aso sove a particuar case of (9 which can be reduced to the resoution of a genus 2 equation. Theorem 8 (Kovács, Liptai, Oajos, Suppose that a 2 4ab 4b 2 = 1. Let f( { ( ( 2, ( 3, 4, Π2 (, Π 3 (, Π 4 (, S 1 (, S 2 (, S 3 (, S 5 (}. Then the soutions (m, of equation (9 are those contained in Tabe 6. For the corresponding parameter vaues we have (a, b = (1, 0 in a cases. f( ( Soutions (m, of (9 ( 2 (1, 3, (1, 4 ( 3 (2, 5, (2, 7 4 (2, 4, (2, 7 Π 2 ( (1, 3, (1, 2 Π 3 ( (1, 3, (1, 1 Π 4 ( S 1 ( (1, 4, (1, 3 S 2 ( (3, 8, (3, 9, (5, 27, (5, 28 S 3 ( S 5 ( Tabe 6: Soutions of equation (9 with the particuar poynomias Remark. We considered some other reated equations that ead to genus 2 equations. However, because of certain technica dicuties, we coud not sove them by the Chabauty method. We checked that under the assumption a 2 4ab 4b 2 = 1 equation (9 has no "sma" soutions (i.e. soutions with in cases f( { ( ( 6, 8, Π6 (, Π 8 (, S 7 (}. The resut of the fourth chapter are pubished in [27]. Amost fth powers in arithmetic progression A cassica theorem of Erd s and Sefridge [12] states that the product of consecutive positive integers is never a perfect power. A natura generaization is the Diophantine equation ( + d... ( + (k 1d = by n (10 16

ACTA ACADEMIAE PAEDAGOGICAE AGRIENSIS

ACTA ACADEMIAE PAEDAGOGICAE AGRIENSIS Separatum ACTA ACADEMIAE PAEDAGOGICAE AGRIESIS OVA SERIES TOM. XXII. SECTIO MATEMATICAE TÓMÁCS TIBOR Egy rekurzív sorozat tagjainak átlagáról EGER, 994 Egy rekurzív sorozat tagjainak átlagáról TÓMÁCS TIBOR

Részletesebben

Construction of a cube given with its centre and a sideline

Construction of a cube given with its centre and a sideline Transformation of a plane of projection Construction of a cube given with its centre and a sideline Exercise. Given the center O and a sideline e of a cube, where e is a vertical line. Construct the projections

Részletesebben

Magyary Zoltán Posztdoktori beszámoló előadás

Magyary Zoltán Posztdoktori beszámoló előadás Magyary Zoltán Posztdoktori beszámoló előadás Tengely Szabolcs 2007. november 9. Számelméleti Szeminárium tengely@math.klte.hu slide 1 Eredmények Eredmények Chabauty (T.Sz.): On the Diophantine equation

Részletesebben

On The Number Of Slim Semimodular Lattices

On The Number Of Slim Semimodular Lattices On The Number Of Slim Semimodular Lattices Gábor Czédli, Tamás Dékány, László Ozsvárt, Nóra Szakács, Balázs Udvari Bolyai Institute, University of Szeged Conference on Universal Algebra and Lattice Theory

Részletesebben

Angol Középfokú Nyelvvizsgázók Bibliája: Nyelvtani összefoglalás, 30 kidolgozott szóbeli tétel, esszé és minta levelek + rendhagyó igék jelentéssel

Angol Középfokú Nyelvvizsgázók Bibliája: Nyelvtani összefoglalás, 30 kidolgozott szóbeli tétel, esszé és minta levelek + rendhagyó igék jelentéssel Angol Középfokú Nyelvvizsgázók Bibliája: Nyelvtani összefoglalás, 30 kidolgozott szóbeli tétel, esszé és minta levelek + rendhagyó igék jelentéssel Timea Farkas Click here if your download doesn"t start

Részletesebben

PELL EGYENLETEK MEGOLDÁSA LINEÁRIS REKURZÍV SOROZATOK SEGÍTSÉGÉVEL

PELL EGYENLETEK MEGOLDÁSA LINEÁRIS REKURZÍV SOROZATOK SEGÍTSÉGÉVEL PELL EGYENLETEK MEGOLDÁSA LINEÁRIS REKURZÍV SOROZATOK SEGÍTSÉGÉVEL KISS PÉTER Legyenek A, B, G 0, G x rögzített egész számok, melyekre AB ^ 0 és G 0, G x nem mindkettője zérus. Az egész számok G 0, G 1(

Részletesebben

Mapping Sequencing Reads to a Reference Genome

Mapping Sequencing Reads to a Reference Genome Mapping Sequencing Reads to a Reference Genome High Throughput Sequencing RN Example applications: Sequencing a genome (DN) Sequencing a transcriptome and gene expression studies (RN) ChIP (chromatin immunoprecipitation)

Részletesebben

Correlation & Linear Regression in SPSS

Correlation & Linear Regression in SPSS Petra Petrovics Correlation & Linear Regression in SPSS 4 th seminar Types of dependence association between two nominal data mixed between a nominal and a ratio data correlation among ratio data Correlation

Részletesebben

Nemzetközi Kenguru Matematikatábor

Nemzetközi Kenguru Matematikatábor Nemzetközi Kenguru Matematikatábor 2011. augusztus 19-27., Werbellinsee, Németország BESZÁMOLÓ Bevezető Idén hetedik alkalommal került megrendezére a Nemzetközi Kenguru Matematikatábor (7. Internationale

Részletesebben

STUDENT LOGBOOK. 1 week general practice course for the 6 th year medical students SEMMELWEIS EGYETEM. Name of the student:

STUDENT LOGBOOK. 1 week general practice course for the 6 th year medical students SEMMELWEIS EGYETEM. Name of the student: STUDENT LOGBOOK 1 week general practice course for the 6 th year medical students Name of the student: Dates of the practice course: Name of the tutor: Address of the family practice: Tel: Please read

Részletesebben

Dependency preservation

Dependency preservation Adatbázis-kezelés. (4 előadás: Relácó felbontásai (dekomponálás)) 1 Getting lossless decomposition is necessary. But of course, we also want to keep dependencies, since losing a dependency means, that

Részletesebben

ANGOL NYELV KÖZÉPSZINT SZÓBELI VIZSGA I. VIZSGÁZTATÓI PÉLDÁNY

ANGOL NYELV KÖZÉPSZINT SZÓBELI VIZSGA I. VIZSGÁZTATÓI PÉLDÁNY ANGOL NYELV KÖZÉPSZINT SZÓBELI VIZSGA I. VIZSGÁZTATÓI PÉLDÁNY A feladatsor három részből áll 1. A vizsgáztató társalgást kezdeményez a vizsgázóval. 2. A vizsgázó egy szituációs feladatban vesz részt a

Részletesebben

Phenotype. Genotype. It is like any other experiment! What is a bioinformatics experiment? Remember the Goal. Infectious Disease Paradigm

Phenotype. Genotype. It is like any other experiment! What is a bioinformatics experiment? Remember the Goal. Infectious Disease Paradigm It is like any other experiment! What is a bioinformatics experiment? You need to know your data/input sources You need to understand your methods and their assumptions You need a plan to get from point

Részletesebben

Széchenyi István Egyetem www.sze.hu/~herno

Széchenyi István Egyetem www.sze.hu/~herno Oldal: 1/6 A feladat során megismerkedünk a C# és a LabVIEW összekapcsolásának egy lehetőségével, pontosabban nagyon egyszerű C#- ban írt kódból fordítunk DLL-t, amit meghívunk LabVIEW-ból. Az eljárás

Részletesebben

Cluster Analysis. Potyó László

Cluster Analysis. Potyó László Cluster Analysis Potyó László What is Cluster Analysis? Cluster: a collection of data objects Similar to one another within the same cluster Dissimilar to the objects in other clusters Cluster analysis

Részletesebben

EN United in diversity EN A8-0206/419. Amendment

EN United in diversity EN A8-0206/419. Amendment 22.3.2019 A8-0206/419 419 Article 2 paragraph 4 point a point i (i) the identity of the road transport operator; (i) the identity of the road transport operator by means of its intra-community tax identification

Részletesebben

ANGOL NYELV KÖZÉPSZINT SZÓBELI VIZSGA I. VIZSGÁZTATÓI PÉLDÁNY

ANGOL NYELV KÖZÉPSZINT SZÓBELI VIZSGA I. VIZSGÁZTATÓI PÉLDÁNY ANGOL NYELV KÖZÉPSZINT SZÓBELI VIZSGA I. VIZSGÁZTATÓI PÉLDÁNY A feladatsor három részbol áll 1. A vizsgáztató társalgást kezdeményez a vizsgázóval. 2. A vizsgázó egy szituációs feladatban vesz részt a

Részletesebben

A befogott tartóvég erőtani vizsgálatához III. rész

A befogott tartóvég erőtani vizsgálatához III. rész A befogott tartóvég erőtani vizsgáatához III. rész Az I. részben a befogott gerendavéget merevnek, a tehereoszást ineáris függvény szerintinek vettük. A II. részben a befogott gerendavéget rugamasan deformáhatónak,

Részletesebben

Genome 373: Hidden Markov Models I. Doug Fowler

Genome 373: Hidden Markov Models I. Doug Fowler Genome 373: Hidden Markov Models I Doug Fowler Review From Gene Prediction I transcriptional start site G open reading frame transcriptional termination site promoter 5 untranslated region 3 untranslated

Részletesebben

A logaritmikus legkisebb négyzetek módszerének karakterizációi

A logaritmikus legkisebb négyzetek módszerének karakterizációi A logaritmikus legkisebb négyzetek módszerének karakterizációi Csató László laszlo.csato@uni-corvinus.hu MTA Számítástechnikai és Automatizálási Kutatóintézet (MTA SZTAKI) Operációkutatás és Döntési Rendszerek

Részletesebben

Miskolci Egyetem Gazdaságtudományi Kar Üzleti Információgazdálkodási és Módszertani Intézet Nonparametric Tests

Miskolci Egyetem Gazdaságtudományi Kar Üzleti Információgazdálkodási és Módszertani Intézet Nonparametric Tests Nonparametric Tests Petra Petrovics Hypothesis Testing Parametric Tests Mean of a population Population proportion Population Standard Deviation Nonparametric Tests Test for Independence Analysis of Variance

Részletesebben

Minta ANGOL NYELV KÖZÉPSZINT SZÓBELI VIZSGA II. Minta VIZSGÁZTATÓI PÉLDÁNY

Minta ANGOL NYELV KÖZÉPSZINT SZÓBELI VIZSGA II. Minta VIZSGÁZTATÓI PÉLDÁNY ANGOL NYELV KÖZÉPSZINT SZÓBELI VIZSGA II. A feladatsor három részből áll VIZSGÁZTATÓI PÉLDÁNY 1. A vizsgáztató társalgást kezdeményez a vizsgázóval. 2. A vizsgázó egy szituációs feladatban vesz részt a

Részletesebben

Biomassza hasznosítás és régiók közötti együttm ködés

Biomassza hasznosítás és régiók közötti együttm ködés Biomassza hasznosítás és régiók közötti együttm ködés Biomass Utiization and Interregiona Cooperation Bioetano akamazása hajtóanyagként bes égés motorokná Using bioethano as fue in interna combustion engines

Részletesebben

A jövedelem alakulásának vizsgálata az észak-alföldi régióban az 1997-99. évi adatok alapján

A jövedelem alakulásának vizsgálata az észak-alföldi régióban az 1997-99. évi adatok alapján A jövedelem alakulásának vizsgálata az észak-alföldi régióban az 1997-99. évi adatok alapján Rózsa Attila Debreceni Egyetem Agrártudományi Centrum, Agrárgazdasági és Vidékfejlesztési Intézet, Számviteli

Részletesebben

Előszó.2. Starter exercises. 3. Exercises for kids.. 9. Our comic...17

Előszó.2. Starter exercises. 3. Exercises for kids.. 9. Our comic...17 2011. december Tartalom Előszó.2 Starter exercises. 3 Exercises for kids.. 9 Our comic....17 1 Előszó Kedves angolul tanulók! A 2010/2011- es tanévben elkezdett újságunkat szeretnénk továbbra is szerkeszteni

Részletesebben

Miskolci Egyetem Gazdaságtudományi Kar Üzleti Információgazdálkodási és Módszertani Intézet. Hypothesis Testing. Petra Petrovics.

Miskolci Egyetem Gazdaságtudományi Kar Üzleti Információgazdálkodási és Módszertani Intézet. Hypothesis Testing. Petra Petrovics. Hypothesis Testing Petra Petrovics PhD Student Inference from the Sample to the Population Estimation Hypothesis Testing Estimation: how can we determine the value of an unknown parameter of a population

Részletesebben

Miskolci Egyetem Gazdaságtudományi Kar Üzleti Információgazdálkodási és Módszertani Intézet Factor Analysis

Miskolci Egyetem Gazdaságtudományi Kar Üzleti Információgazdálkodási és Módszertani Intézet Factor Analysis Factor Analysis Factor analysis is a multiple statistical method, which analyzes the correlation relation between data, and it is for data reduction, dimension reduction and to explore the structure. Aim

Részletesebben

Lopocsi Istvánné MINTA DOLGOZATOK FELTÉTELES MONDATOK. (1 st, 2 nd, 3 rd CONDITIONAL) + ANSWER KEY PRESENT PERFECT + ANSWER KEY

Lopocsi Istvánné MINTA DOLGOZATOK FELTÉTELES MONDATOK. (1 st, 2 nd, 3 rd CONDITIONAL) + ANSWER KEY PRESENT PERFECT + ANSWER KEY Lopocsi Istvánné MINTA DOLGOZATOK FELTÉTELES MONDATOK (1 st, 2 nd, 3 rd CONDITIONAL) + ANSWER KEY PRESENT PERFECT + ANSWER KEY FELTÉTELES MONDATOK 1 st, 2 nd, 3 rd CONDITIONAL I. A) Egészítsd ki a mondatokat!

Részletesebben

Tudományos Ismeretterjesztő Társulat

Tudományos Ismeretterjesztő Társulat Sample letter number 5. International Culture Festival PO Box 34467 Harrogate HG 45 67F Sonnenbergstraße 11a CH-6005 Luzern Re: Festival May 19, 2009 Dear Ms Atkinson, We are two students from Switzerland

Részletesebben

Tudományos Ismeretterjesztő Társulat

Tudományos Ismeretterjesztő Társulat Sample letter number 3. Russell Ltd. 57b Great Hawthorne Industrial Estate Hull East Yorkshire HU 19 5BV 14 Bebek u. Budapest H-1105 10 December, 2009 Ref.: complaint Dear Sir/Madam, After seeing your

Részletesebben

First experiences with Gd fuel assemblies in. Tamás Parkó, Botond Beliczai AER Symposium 2009.09.21 25.

First experiences with Gd fuel assemblies in. Tamás Parkó, Botond Beliczai AER Symposium 2009.09.21 25. First experiences with Gd fuel assemblies in the Paks NPP Tams Parkó, Botond Beliczai AER Symposium 2009.09.21 25. Introduction From 2006 we increased the heat power of our units by 8% For reaching this

Részletesebben

ó Ú ő ó ó ó ö ó ó ő ö ó ö ö ő ö ó ö ö ö ö ó ó ó ó ó ö ó ó ó ó Ú ö ö ó ó Ú ú ó ó ö ó Ű ő ó ó ó ő ó ó ó ó ö ó ó ó ö ő ö ó ó ó Ú ó ó ö ó ö ó ö ő ó ó ó ó Ú ö ö ő ő ó ó ö ö ó ö ó ó ó ö ö ő ö Ú ó ó ó ü ú ú ű

Részletesebben

TestLine - Angol teszt Minta feladatsor

TestLine - Angol teszt Minta feladatsor Minta felaatsor venég Téma: Általános szintfelmérő Aláírás:... Dátum: 2016.05.29 08:18:49 Kérések száma: 25 kérés Kitöltési iő: 1:17:27 Nehézség: Összetett Pont egység: +6-2 Értékelés: Alaértelmezett értékelés

Részletesebben

Néhány folyóiratkereső rendszer felsorolása és példa segítségével vázlatos bemutatása Sasvári Péter

Néhány folyóiratkereső rendszer felsorolása és példa segítségével vázlatos bemutatása Sasvári Péter Néhány folyóiratkereső rendszer felsorolása és példa segítségével vázlatos bemutatása Sasvári Péter DOI: http://doi.org/10.13140/rg.2.2.28994.22721 A tudományos közlemények írása minden szakma művelésének

Részletesebben

Figurális számok és diofantikus egyenletek

Figurális számok és diofantikus egyenletek Egyetemi doktori (PhD) értekezés tézisei Figurális számok és diofantikus egyenletek Varga Nóra Témavezető: Dr. Pintér Ákos Debreceni Egyetem Matematika- és Számítástudományok Doktori Iskola Debrecen, 2016

Részletesebben

Statistical Dependence

Statistical Dependence Statistical Dependence Petra Petrovics Statistical Dependence Deinition: Statistical dependence exists when the value o some variable is dependent upon or aected by the value o some other variable. Independent

Részletesebben

Miskolci Egyetem Gazdaságtudományi Kar Üzleti Információgazdálkodási és Módszertani Intézet. Nonparametric Tests. Petra Petrovics.

Miskolci Egyetem Gazdaságtudományi Kar Üzleti Információgazdálkodási és Módszertani Intézet. Nonparametric Tests. Petra Petrovics. Nonparametric Tests Petra Petrovics PhD Student Hypothesis Testing Parametric Tests Mean o a population Population proportion Population Standard Deviation Nonparametric Tests Test or Independence Analysis

Részletesebben

Using the CW-Net in a user defined IP network

Using the CW-Net in a user defined IP network Using the CW-Net in a user defined IP network Data transmission and device control through IP platform CW-Net Basically, CableWorld's CW-Net operates in the 10.123.13.xxx IP address range. User Defined

Részletesebben

Modeling the ecological collapse of Easter Island

Modeling the ecological collapse of Easter Island szakdolgozat Modeling the ecological collapse of Easter Island Takács Bálint Máté Alkalmazott Matematikus MSc hallgató Témavezet k: Faragó István egyetemi tanár ELTE Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai

Részletesebben

A rosszindulatú daganatos halálozás változása 1975 és 2001 között Magyarországon

A rosszindulatú daganatos halálozás változása 1975 és 2001 között Magyarországon A rosszindulatú daganatos halálozás változása és között Eredeti közlemény Gaudi István 1,2, Kásler Miklós 2 1 MTA Számítástechnikai és Automatizálási Kutató Intézete, Budapest 2 Országos Onkológiai Intézet,

Részletesebben

TÖRTénet EGÉSZ pontokról

TÖRTénet EGÉSZ pontokról TÖRTénet EGÉSZ pontokról Tengely Szabolcs 2008. március 21. Számelméleti Szeminárium tengely@math.klte.hu slide 1 Algebrai Algebrai Elliptikus Legyen f É [X, Y ], C(R) = {(x, y) R 2 : f(x, y) = 0}. génusz

Részletesebben

Egész pontokról racionálisan

Egész pontokról racionálisan Egész pontokról racionálisan Tengely Szabolcs 2008. április 16. Intézeti Szeminárium tengely@math.klte.hu slide 1 Algebrai görbék Algebrai görbék Legyen f Q[X, Y ], C(R) = {(x, y) R 2 : f(x, y) = 0}. génusz

Részletesebben

Bevezetés a kvantum-informatikába és kommunikációba 2015/2016 tavasz

Bevezetés a kvantum-informatikába és kommunikációba 2015/2016 tavasz Bevezetés a kvantum-informatikába és kommunikációba 2015/2016 tavasz Kvantumkapuk, áramkörök 2016. március 3. A kvantummechanika posztulátumai (1-2) 1. Állapotleírás Zárt fizikai rendszer aktuális állapota

Részletesebben

Miskolci Egyetem Gazdaságtudományi Kar Üzleti Információgazdálkodási és Módszertani Intézet. Correlation & Linear. Petra Petrovics.

Miskolci Egyetem Gazdaságtudományi Kar Üzleti Információgazdálkodási és Módszertani Intézet. Correlation & Linear. Petra Petrovics. Correlation & Linear Regression in SPSS Petra Petrovics PhD Student Types of dependence association between two nominal data mixed between a nominal and a ratio data correlation among ratio data Exercise

Részletesebben

FAMILY STRUCTURES THROUGH THE LIFE CYCLE

FAMILY STRUCTURES THROUGH THE LIFE CYCLE FAMILY STRUCTURES THROUGH THE LIFE CYCLE István Harcsa Judit Monostori A magyar társadalom 2012-ben: trendek és perspektívák EU összehasonlításban Budapest, 2012 november 22-23 Introduction Factors which

Részletesebben

3. MINTAFELADATSOR KÖZÉPSZINT. Az írásbeli vizsga időtartama: 30 perc. III. Hallott szöveg értése

3. MINTAFELADATSOR KÖZÉPSZINT. Az írásbeli vizsga időtartama: 30 perc. III. Hallott szöveg értése Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet TÁMOP-3.1.1-11/1-2012-0001 XXI. századi közoktatás (fejlesztés, koordináció) II. szakasz ANGOL NYELV 3. MINTAFELADATSOR KÖZÉPSZINT Az írásbeli vizsga időtartama: 30 perc

Részletesebben

Indítómotor behúzótekercsének szimulációs vizsgálata Investigation of the Solenoid Switch of an Electric Starter Motor with Simulation

Indítómotor behúzótekercsének szimulációs vizsgálata Investigation of the Solenoid Switch of an Electric Starter Motor with Simulation Indítómotor behúzótekercsének szimuációs vizsgáata Investigation of the Soenoid Switch of an Eectric Starter Motor with Simuation KOVÁCS Ernı, FÜVESI Viktor, SZALONTAI Levente 3 Ph.D., egyetemi docens;

Részletesebben

Correlation & Linear Regression in SPSS

Correlation & Linear Regression in SPSS Correlation & Linear Regression in SPSS Types of dependence association between two nominal data mixed between a nominal and a ratio data correlation among ratio data Exercise 1 - Correlation File / Open

Részletesebben

Véges szavak általánosított részszó-bonyolultsága

Véges szavak általánosított részszó-bonyolultsága Véges szavak általánosított részszó-bonyolultsága KÁSA Zoltán Sapientia Erdélyi Magyar Tudományegyetem Kolozsvár Marosvásárhely Csíkszereda Matematika-Informatika Tanszék, Marosvásárhely Budapest, 2010.

Részletesebben

MATEMATIKA ANGOL NYELVEN MATHEMATICS

MATEMATIKA ANGOL NYELVEN MATHEMATICS ÉRETTSÉGI VIZSGA 2005. május 10. MATEMATIKA ANGOL NYELVEN MATHEMATICS EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA HIGHER LEVEL WRITTEN EXAMINATION Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc Time allowed for the examination:

Részletesebben

ANGOL NYELVI SZINTFELMÉRŐ 2013 A CSOPORT. on of for from in by with up to at

ANGOL NYELVI SZINTFELMÉRŐ 2013 A CSOPORT. on of for from in by with up to at ANGOL NYELVI SZINTFELMÉRŐ 2013 A CSOPORT A feladatok megoldására 45 perc áll rendelkezésedre, melyből körülbelül 10-15 percet érdemes a levélírási feladatra szánnod. Sok sikert! 1. Válaszd ki a helyes

Részletesebben

Simonovits M. Elekes Gyuri és az illeszkedések p. 1

Simonovits M. Elekes Gyuri és az illeszkedések p. 1 Elekes Gyuri és az illeszkedések Simonovits M. Elekes Gyuri és az illeszkedések p. 1 On the number of high multiplicity points for 1-parameter families of curves György Elekes, Miklós Simonovits and Endre

Részletesebben

ANGOL NYELVI SZINTFELMÉRŐ 2014 A CSOPORT

ANGOL NYELVI SZINTFELMÉRŐ 2014 A CSOPORT ANGOL NYELVI SZINTFELMÉRŐ 2014 A CSOPORT A feladatok megoldására 45 perc áll rendelkezésedre, melyből körülbelül 10-15 percet érdemes a fogalmazási feladatra szánnod. Megoldásaid a válaszlapra írd! 1.

Részletesebben

SQL/PSM kurzorok rész

SQL/PSM kurzorok rész SQL/PSM kurzorok --- 2.rész Tankönyv: Ullman-Widom: Adatbázisrendszerek Alapvetés Második, átdolgozott kiadás, Panem, 2009 9.3. Az SQL és a befogadó nyelv közötti felület (sormutatók) 9.4. SQL/PSM Sémában

Részletesebben

MATEMATIKA ANGOL NYELVEN

MATEMATIKA ANGOL NYELVEN ÉRETTSÉGI VIZSGA 2014. május 6. MATEMATIKA ANGOL NYELVEN EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2014. május 6. 8:00 Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati EMBERI ERŐFORRÁSOK

Részletesebben

Computer Architecture

Computer Architecture Computer Architecture Locality-aware programming 2016. április 27. Budapest Gábor Horváth associate professor BUTE Department of Telecommunications ghorvath@hit.bme.hu Számítógép Architektúrák Horváth

Részletesebben

(Asking for permission) (-hatok/-hetek?; Szabad ni? Lehet ni?) Az engedélykérés kifejezésére a következő segédigéket használhatjuk: vagy vagy vagy

(Asking for permission) (-hatok/-hetek?; Szabad ni? Lehet ni?) Az engedélykérés kifejezésére a következő segédigéket használhatjuk: vagy vagy vagy (Asking for permission) (-hatok/-hetek?; Szabad ni? Lehet ni?) SEGÉDIGÉKKEL Az engedélykérés kifejezésére a következő segédigéket használhatjuk: vagy vagy vagy A fenti felsorolásban a magabiztosság/félénkség

Részletesebben

A SZEMCSEALAK ALAPJÁN TÖRTÉNŐ SZÉTVÁLASZTÁS JELENTŐSÉGE FÉMTARTALMÚ HULLADÉKOK FELDOLGOZÁSA SORÁN

A SZEMCSEALAK ALAPJÁN TÖRTÉNŐ SZÉTVÁLASZTÁS JELENTŐSÉGE FÉMTARTALMÚ HULLADÉKOK FELDOLGOZÁSA SORÁN Műszaki Földtudományi Közlemények, 83. kötet, 1. szám (2012), pp. 61 70. A SZEMCSEALAK ALAPJÁN TÖRTÉNŐ SZÉTVÁLASZTÁS JELENTŐSÉGE FÉMTARTALMÚ HULLADÉKOK FELDOLGOZÁSA SORÁN SIGNIFICANCE OF SHAPE SEPARATION

Részletesebben

Performance Modeling of Intelligent Car Parking Systems

Performance Modeling of Intelligent Car Parking Systems Performance Modeling of Intelligent Car Parking Systems Károly Farkas Gábor Horváth András Mészáros Miklós Telek Technical University of Budapest, Hungary EPEW 2014, Florence, Italy Outline Intelligent

Részletesebben

Statistical Inference

Statistical Inference Petra Petrovics Statistical Inference 1 st lecture Descriptive Statistics Inferential - it is concerned only with collecting and describing data Population - it is used when tentative conclusions about

Részletesebben

már mindenben úgy kell eljárnunk, mint bármilyen viaszveszejtéses öntés esetén. A kapott öntvény kidolgozásánál még mindig van lehetőségünk

már mindenben úgy kell eljárnunk, mint bármilyen viaszveszejtéses öntés esetén. A kapott öntvény kidolgozásánál még mindig van lehetőségünk Budapest Régiségei XLII-XLIII. 2009-2010. Vecsey Ádám Fémeszterga versus viaszesztergálás Bev e z e t é s A méhviaszt, mint alapanyagot nehéz besorolni a műtárgyalkotó anyagok különböző csoportjaiba, mert

Részletesebben

KELET-ÁZSIAI DUPLANÁDAS HANGSZEREK ÉS A HICHIRIKI HASZNÁLATA A 20. SZÁZADI ÉS A KORTÁRS ZENÉBEN

KELET-ÁZSIAI DUPLANÁDAS HANGSZEREK ÉS A HICHIRIKI HASZNÁLATA A 20. SZÁZADI ÉS A KORTÁRS ZENÉBEN Liszt Ferenc Zeneművészeti Egyetem 28. számú művészet- és művelődéstörténeti tudományok besorolású doktori iskola KELET-ÁZSIAI DUPLANÁDAS HANGSZEREK ÉS A HICHIRIKI HASZNÁLATA A 20. SZÁZADI ÉS A KORTÁRS

Részletesebben

FIATAL MŰSZAKIAK TUDOMÁNYOS ÜLÉSSZAKA

FIATAL MŰSZAKIAK TUDOMÁNYOS ÜLÉSSZAKA FIATAL ŰSZAKIAK TUDOÁNYOS ÜLÉSSZAKA Kolozsvár, 1999. március 19-20. Zsákolt áruk palettázását végző rendszer szimulációs kapacitásvizsgálata Kádár Tamás Abstract This essay is based on a research work

Részletesebben

ANGOL NYELVI SZINTFELMÉRŐ 2012 A CSOPORT. to into after of about on for in at from

ANGOL NYELVI SZINTFELMÉRŐ 2012 A CSOPORT. to into after of about on for in at from ANGOL NYELVI SZINTFELMÉRŐ 2012 A CSOPORT A feladatok megoldására 45 perc áll rendelkezésedre, melyből körülbelül 10-15 percet érdemes a levélírási feladatra szánnod. Sok sikert! 1. Válaszd ki a helyes

Részletesebben

+ magasabb rend½u tagok. x=x0

+ magasabb rend½u tagok. x=x0 Variációs módszer Ebben a fejezetben a kvantummechanikában már megismert variációs mószert eevenítjük fe. Ez az ejárás küönösen fnts szerepet töt be a mekua zikában, mive több aapvet½ közeítés ezen aapu

Részletesebben

Can/be able to. Using Can in Present, Past, and Future. A Can jelen, múlt és jövő idejű használata

Can/be able to. Using Can in Present, Past, and Future. A Can jelen, múlt és jövő idejű használata Can/ Can is one of the most commonly used modal verbs in English. It be used to express ability or opportunity, to request or offer permission, and to show possibility or impossibility. A az egyik leggyakrabban

Részletesebben

Csatlakozás a BME eduroam hálózatához Setting up the BUTE eduroam network

Csatlakozás a BME eduroam hálózatához Setting up the BUTE eduroam network Csatlakozás a BME eduroam hálózatához Setting up the BUTE eduroam network Table of Contents Windows 7... 2 Windows 8... 6 Windows Phone... 11 Android... 12 iphone... 14 Linux (Debian)... 20 Sebők Márton

Részletesebben

NASODRILL ORRSPRAY: TARTÁLY- ÉS DOBOZFELIRAT, VALAMINT A BETEGTÁJÉKOZTATÓ SZÖVEGE. CSECSEMŐ GYERMEK FELNŐTT 100 ml-es üveg

NASODRILL ORRSPRAY: TARTÁLY- ÉS DOBOZFELIRAT, VALAMINT A BETEGTÁJÉKOZTATÓ SZÖVEGE. CSECSEMŐ GYERMEK FELNŐTT 100 ml-es üveg NASODRILL ORRSPRAY: TARTÁLY- ÉS DOBOZFELIRAT, VALAMINT A BETEGTÁJÉKOZTATÓ SZÖVEGE TARTÁLY - BOTTLE NASAL LAVAGE For chronic or recurring infection NASODRILL Formulated with thermal Luchon water naturally

Részletesebben

Supporting Information

Supporting Information Supporting Information Cell-free GFP simulations Cell-free simulations of degfp production were consistent with experimental measurements (Fig. S1). Dual emmission GFP was produced under a P70a promoter

Részletesebben

Emelt szint SZÓBELI VIZSGA VIZSGÁZTATÓI PÉLDÁNY VIZSGÁZTATÓI. (A részfeladat tanulmányozására a vizsgázónak fél perc áll a rendelkezésére.

Emelt szint SZÓBELI VIZSGA VIZSGÁZTATÓI PÉLDÁNY VIZSGÁZTATÓI. (A részfeladat tanulmányozására a vizsgázónak fél perc áll a rendelkezésére. Emelt szint SZÓBELI VIZSGA VIZSGÁZTATÓI PÉLDÁNY VIZSGÁZTATÓI PÉLDÁNY A feladatsor három részből áll 1. A vizsgáztató társalgást kezdeményez a vizsgázóval. 2. A vizsgázó egy vita feladatban vesz részt a

Részletesebben

Sebastián Sáez Senior Trade Economist INTERNATIONAL TRADE DEPARTMENT WORLD BANK

Sebastián Sáez Senior Trade Economist INTERNATIONAL TRADE DEPARTMENT WORLD BANK Sebastián Sáez Senior Trade Economist INTERNATIONAL TRADE DEPARTMENT WORLD BANK Despite enormous challenges many developing countries are service exporters Besides traditional activities such as tourism;

Részletesebben

Algebrai görbék a diofantikus számelméletben

Algebrai görbék a diofantikus számelméletben Algebrai görbék a diofantikus számelméletben Tengely Szabolcs Habilitációs értekezés tézisei Debreceni Egyetem Debrecen, 2010 Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék 3 1 Bevezetés 5 2 Exponenciális diofantikus

Részletesebben

Adatbázisok 1. Rekurzió a Datalogban és SQL-99

Adatbázisok 1. Rekurzió a Datalogban és SQL-99 Adatbázisok 1 Rekurzió a Datalogban és SQL-99 Expressive Power of Datalog Without recursion, Datalog can express all and only the queries of core relational algebra. The same as SQL select-from-where,

Részletesebben

Create & validate a signature

Create & validate a signature IOTA TUTORIAL 7 Create & validate a signature v.0.0 KNBJDBIRYCUGVWMSKPVA9KOOGKKIRCBYHLMUTLGGAV9LIIPZSBGIENVBQ9NBQWXOXQSJRIRBHYJ9LCTJLISGGBRFRTTWD ABBYUVKPYFDJWTFLICYQQWQVDPCAKNVMSQERSYDPSSXPCZLVKWYKYZMREAEYZOSPWEJLHHFPYGSNSUYRZXANDNQTTLLZA

Részletesebben

Acta Acad. Paed. Agriensis, Sectio Mathematicae 29 (2002) PARTÍCIÓK PÁRATLAN SZÁMOKKAL. Orosz Gyuláné (Eger, Hungary)

Acta Acad. Paed. Agriensis, Sectio Mathematicae 29 (2002) PARTÍCIÓK PÁRATLAN SZÁMOKKAL. Orosz Gyuláné (Eger, Hungary) Acta Acad. Paed. Agriensis, Sectio Mathematicae 9 (00) 07 4 PARTÍCIÓK PÁRATLAN SZÁMOKKAL Orosz Gyuláné (Eger, Hungary) Kiss Péter professzor emlékére Abstract. In this article, we characterize the odd-summing

Részletesebben

Az Open Data jogi háttere. Dr. Telek Eszter

Az Open Data jogi háttere. Dr. Telek Eszter Az Open Data jogi háttere Dr. Telek Eszter Egy kis ismétlés Open Data/Open Access/Open Knowledge gyökerei Open Source Software FLOSS (Free Libre Open Source Software) Szoftver esetében egyszerű alapok:

Részletesebben

There is/are/were/was/will be

There is/are/were/was/will be There is/are/were/was/will be Forms - Képzése: [There + to be] [There + létige ragozott alakja] USE - HASZNÁLAT If you simply want to say that something exists or somebody is doing something then you start

Részletesebben

OLYMPICS! SUMMER CAMP

OLYMPICS! SUMMER CAMP OLYMPICS! SUMMER CAMP YOUNG BUSINESS CAMP 3D DESIGN CAMP OLYMPICS SUMMER CAMP 20 24 JUNE AND 27 JUNE 1 JULY AGE: 6-14 Our ESB native-speaking teachers will provide a strong English learning content throughout

Részletesebben

Ensemble Kalman Filters Part 1: The basics

Ensemble Kalman Filters Part 1: The basics Ensemble Kalman Filters Part 1: The basics Peter Jan van Leeuwen Data Assimilation Research Centre DARC University of Reading p.j.vanleeuwen@reading.ac.uk Model: 10 9 unknowns P[u(x1),u(x2),T(x3),.. Observations:

Részletesebben

MATEMATIKA ANGOL NYELVEN

MATEMATIKA ANGOL NYELVEN ÉRETTSÉGI VIZSGA 2016. október 18. MATEMATIKA ANGOL NYELVEN KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2016. október 18. 8:00 I. Időtartam: 45 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA

Részletesebben

Geokémia gyakorlat. 1. Geokémiai adatok értelmezése: egyszerű statisztikai módszerek. Geológus szakirány (BSc) Dr. Lukács Réka

Geokémia gyakorlat. 1. Geokémiai adatok értelmezése: egyszerű statisztikai módszerek. Geológus szakirány (BSc) Dr. Lukács Réka Geokémia gyakorlat 1. Geokémiai adatok értelmezése: egyszerű statisztikai módszerek Geológus szakirány (BSc) Dr. Lukács Réka MTA-ELTE Vulkanológiai Kutatócsoport e-mail: reka.harangi@gmail.com ALAPFOGALMAK:

Részletesebben

ELLENŐRZŐ KÉRDÉSEK LENGÉSTANBÓL: A rugóállandó a rugómerevség reciproka. (Egyik végén befogott tartóra: , a rugómerevség mértékegysége:

ELLENŐRZŐ KÉRDÉSEK LENGÉSTANBÓL: A rugóállandó a rugómerevség reciproka. (Egyik végén befogott tartóra: , a rugómerevség mértékegysége: ELLENŐRZŐ ÉRDÉSE LENGÉSNBÓL: Átaáno kérdéek: Mik a engőrendzer eemei?: engőrendzer eemei: a tömeg(ek), a rugó(k), ietve a ciapítá(ok). Mi a rugóáandó?: rugóáandó a rugó egyégnyi terheé aatti aakvátozáát

Részletesebben

Smaller Pleasures. Apróbb örömök. Keleti lakk tárgyak Répás János Sándor mûhelyébõl Lacquerware from the workshop of Répás János Sándor

Smaller Pleasures. Apróbb örömök. Keleti lakk tárgyak Répás János Sándor mûhelyébõl Lacquerware from the workshop of Répás János Sándor Smaller Pleasures Apróbb örömök Keleti lakk tárgyak Répás János Sándor mûhelyébõl Lacquerware from the workshop of Répás János Sándor Smaller Pleasures Oriental lacquer, or urushi by its frequently used

Részletesebben

Unit 10: In Context 55. In Context. What's the Exam Task? Mediation Task B 2: Translation of an informal letter from Hungarian to English.

Unit 10: In Context 55. In Context. What's the Exam Task? Mediation Task B 2: Translation of an informal letter from Hungarian to English. Unit 10: In Context 55 UNIT 10 Mediation Task B 2 Hungarian into English In Context OVERVIEW 1. Hungarian and English in Context 2. Step By Step Exam Techniques Real World Link Students who have studied

Részletesebben

MATEMATIKA ANGOL NYELVEN

MATEMATIKA ANGOL NYELVEN ÉRETTSÉGI VIZSGA MATEMATIKA ANGOL NYELVEN EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 8:00 Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Matematika angol

Részletesebben

Ister-Granum EGTC. Istvan FERENCSIK Project manager. The Local Action Plans to improve project partners crossborder

Ister-Granum EGTC. Istvan FERENCSIK Project manager. The Local Action Plans to improve project partners crossborder Expertising Governance for Transfrontier Conurbations Ister-Granum EGTC Istvan FERENCSIK Project manager The Local Action Plans to improve project partners crossborder governance «EGTC» URBACT Final conference

Részletesebben

USER MANUAL Guest user

USER MANUAL Guest user USER MANUAL Guest user 1 Welcome in Kutatótér (Researchroom) Top menu 1. Click on it and the left side menu will pop up 2. With the slider you can make left side menu visible 3. Font side: enlarging font

Részletesebben

Vizsgáztatás multimédia eszközökkel

Vizsgáztatás multimédia eszközökkel Vizsgáztatás multimédia eszközökkel Szabó József PICTRON Számítás- és Videótechnikai Kft 1114 Budapest, Bartók Béla út 7. Tel: 186-9035, 186-8999 Fax: 186-8940 E-mail: pictron@odin.net Abstract. The test

Részletesebben

Kvantum-informatika és kommunikáció 2015/2016 ősz. A kvantuminformatika jelölésrendszere szeptember 11.

Kvantum-informatika és kommunikáció 2015/2016 ősz. A kvantuminformatika jelölésrendszere szeptember 11. Kvantum-informatika és kommunikáció 2015/2016 ősz A kvantuminformatika jelölésrendszere 2015. szeptember 11. Mi lehet kvantumbit? Kvantum eszközök (1) 15=5 3 Bacsárdi Képek forrása: IBM's László, Almaden

Részletesebben

SAJTÓKÖZLEMÉNY Budapest 2011. július 13.

SAJTÓKÖZLEMÉNY Budapest 2011. július 13. SAJTÓKÖZLEMÉNY Budapest 2011. július 13. A MinDig TV a legdinamikusabban bıvülı televíziós szolgáltatás Magyarországon 2011 elsı öt hónapjában - A MinDig TV Extra a vezeték nélküli digitális televíziós

Részletesebben

Összefoglalás. Summary. Bevezetés

Összefoglalás. Summary. Bevezetés A talaj kálium ellátottságának vizsgálata módosított Baker-Amacher és,1 M CaCl egyensúlyi kivonószerek alkalmazásával Berényi Sándor Szabó Emese Kremper Rita Loch Jakab Debreceni Egyetem Agrár és Műszaki

Részletesebben

FÖLDRAJZ ANGOL NYELVEN

FÖLDRAJZ ANGOL NYELVEN Földrajz angol nyelven középszint 0821 ÉRETTSÉGI VIZSGA 2009. május 14. FÖLDRAJZ ANGOL NYELVEN KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Paper

Részletesebben

FATERMÉSI FOK MEGHATÁROZÁSA AZ EGÉSZÁLLOMÁNY ÁTLAGNÖVEDÉKE ALAPJÁN

FATERMÉSI FOK MEGHATÁROZÁSA AZ EGÉSZÁLLOMÁNY ÁTLAGNÖVEDÉKE ALAPJÁN 4. évfolyam 2. szám 2 0 1 4 101 107. oldal FATERMÉSI FOK MEGHATÁROZÁSA AZ EGÉSZÁLLOMÁNY ÁTLAGNÖVEDÉKE ALAPJÁN Veperdi Gábor Nyugat-magyarországi Egyetem, Erdômérnöki Kar Kivonat A fatermési fok meghatározása

Részletesebben

GEOGRAPHICAL ECONOMICS B

GEOGRAPHICAL ECONOMICS B GEOGRAPHICAL ECONOMICS B ELTE Faculty of Social Sciences, Department of Economics Geographical Economics "B" KRUGMAN (1991) MODEL: EXTENSIONS Authors: Gábor Békés, Sarolta Rózsás Supervised by Gábor

Részletesebben

2. Közelítő megoldások, energiaelvek:

2. Közelítő megoldások, energiaelvek: SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM ALKALMAZOTT MECHANIKA TANSZÉK 3. MECHANIKA-VÉGESELEM MÓDSZER ELŐADÁS (kidogozta: Szüe Veronika, egy. ts.) III. eőadás. Közeítő megodások, energiaevek:.. A tejes otenciáis energia

Részletesebben

Seven Verses. from the Bhagavad Gita. by Swami Shyam. in Hungarian. magyarul

Seven Verses. from the Bhagavad Gita. by Swami Shyam. in Hungarian. magyarul Seven Verses from the Bhagavad Gita by Swami Shyam Swami Shyam has translated the Bhagavad Gita from the original Sanskrit into English and Hindi. He selected these seven essential verses to be sung and

Részletesebben

Magyar ügyek az Európai Unió Bírósága előtt Hungarian cases before the European Court of Justice

Magyar ügyek az Európai Unió Bírósága előtt Hungarian cases before the European Court of Justice Magyar ügyek az Európai Unió Bírósága előtt Hungarian cases before the European Court of Justice FEHÉR Miklós Zoltán Közigazgatási és Igazságügyi Minisztérium Európai Uniós Jogi Főosztály Ministry of Public

Részletesebben

Eladni könnyedén? Oracle Sales Cloud. Horváth Tünde Principal Sales Consultant 2014. március 23.

Eladni könnyedén? Oracle Sales Cloud. Horváth Tünde Principal Sales Consultant 2014. március 23. Eladni könnyedén? Oracle Sales Cloud Horváth Tünde Principal Sales Consultant 2014. március 23. Oracle Confidential Internal/Restricted/Highly Restricted Safe Harbor Statement The following is intended

Részletesebben

7 th Iron Smelting Symposium 2010, Holland

7 th Iron Smelting Symposium 2010, Holland 7 th Iron Smelting Symposium 2010, Holland Október 13-17 között került megrendezésre a Hollandiai Alphen aan den Rijn városában található Archeon Skanzenben a 7. Vasolvasztó Szimpózium. Az öt napos rendezvényen

Részletesebben

ELMIB ZRT. FÖLDGÁZKERESKEDELMIÜZLETSZABÁLYZATA. l l I I BUDAPEST, 2009. SZEPTEMBER 1.

ELMIB ZRT. FÖLDGÁZKERESKEDELMIÜZLETSZABÁLYZATA. l l I I BUDAPEST, 2009. SZEPTEMBER 1. ELMB ZRT. FÖLDGÁZKERESKEDELMÜZLETSZABÁLYZATA BUDAPEST, 2009. SZEPTEMBER 1. i r L L ELMB Zrt. Födgáz- kereskedemi Üzetszabáyzata TARTALOMJEGYZÉK BEVEZETÉS.................................. 3 1. ÁLTALÁNOS

Részletesebben