Combinatorial Diophantine equations. Kombinatorikus diofantikus egyenletek. Kovács Tünde Témavezet : Dr. Hajdu Lajos

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Combinatorial Diophantine equations. Kombinatorikus diofantikus egyenletek. Kovács Tünde Témavezet : Dr. Hajdu Lajos"

Átírás

1 Egyetemi doktori (PhD értekezés tézisei Combinatoria Diophantine equations Kombinatorikus diofantikus egyenetek Kovács Tünde Témavezet : Dr. Hajdu Lajos Debreceni Egyetem Matematika- és Számítástudományok Doktori Iskoa Debrecen, 2011.

2 Egyetemi doktori (PhD értekezés tézisei Combinatoria Diophantine equations Kombinatorikus diofantikus egyenetek Kovács Tünde Témavezet : Dr. Hajdu Lajos Debreceni Egyetem Matematika- és Számítástudományok Doktori Iskoa Debrecen, 2011.

3 Introduction Our dissertation consists of ve chapters each containing new resuts concerning Diophantine equations and Diophantine probems. Most probems have certain combinatoria background. These resuts have been pubished in our papers [20], [25], [26], [27] and [21], respectivey. Here we sha give an overview of the contents of the chapters, but before doing so we make some introductory notes on the subjects of our thesis. In the rst chapter we present the main method used in our studies namey the Eog method together with an improvement due to Hajdu and Kovács [20]. For the resoution of eiptic equations, an ecient method was deveoped simutaneousy and independenty by Stroeker, Tzanakis [47] and Gebe, Peth, Zimmer [14] in The most recent version of this so-caed Eog method is aready capabe to nd (at east in principe a integra points on genus 1 curves (see [49], and aso the references given there. Furthermore, Stroeker and Tzanakis [48] provided an agorithm to determine that Morde-Wei basis of the curve in which one can get the best bound for the integra points of the curve. In the rst chapter we show that working with more Morde-Wei bases simutaneousy, the na bound for the integra points can be further decreased. The resuts of this chapter are pubished in [20]. In the second chapter we appy the Eog method to sove many combinatoria Diophantine equations whose soutions are missing from the iterature. One of the rst resuts giving a integer soutions of a combinatoria Diophantine equation is a theorem of Morde [35], which provides a integer soutions of the equation y(y + 1 = ( + 1( + 2. Other scattered equations have been investigated by severa authors, see for eampe [1], [2], [9], [31], [43], [47], [57], [58], [61]. Hajdu and Pintér [22] systematicay coected and soved those combinatoria equations that can be reduced to Morde-type equations. We etend this resut to more genera combinatoria equations that can be reduced to genera eiptic equations. Namey, we coect those equations that can be reduced to equations of genus 1. The resuts of the second chapter are pubished in [25]. In the third chapter we give severa eective and epicit resuts concerning the vaues of some poynomias in binary recurrence sequences. First we provide an eective niteness theorem for certain combinatoria numbers (binomia coef- cients, products of consecutive integers, power sums, aternating power sums in binary recurrence sequences, under some assumptions. The proof of this theorem is based on Baker's method. We aso give an ecient agorithm (based on genus 1 curves for determining the vaues of certain degree 4 poynomias in 1

4 such sequences. Finay, party by the hep of this agorithm we competey determine a combinatoria numbers of the above type for the sma vaues of the parameter invoved in the Fibonacci, Lucas, Pe and Associated Pe sequences. The resuts of the third chapter are pubished in [26]. Baancing numbers and their generaizations have been investigated by severa authors, from many aspects. In the fourth chapter we introduce the concept of baancing numbers in arithmetic progressions, and prove severa eective niteness and epicit resuts about them. In the proofs of our resuts, among others, we combine Baker's method, the moduar method, the Chabauty method and the theory of eiptic curves. The resuts of the fourth chapter are pubished in [27]. In the fth chapter we prove that the product of k consecutive terms of a primitive arithmetic progression is never a perfect fth power when 3 k 54. This probem is cosey reated to a cassica probem, considered by severa mathematicians e.g. Erd s, Sefridge, Gy ry, Saradha, Shorey, Tijdeman. We aso provide a more precise statement, concerning the case where the product is an "amost" fth power. Our theorems yied considerabe improvements and etensions, in the fth power case, of recent resuts due to Gy ry, Hajdu and Pintér [19]. Whie the earier resuts have been proved by cassica (mainy agebraic number theoretica methods, our proofs are based upon a new too: we appy genus 2 curves and the Chabauty method (both the cassica and the eiptic verison. The resuts of the fth chapter are pubished in [21]. The Eog method and an improvement Eiptic Diophantine equations have a ong history. Even the eective theory of such equations have an etremey rich iterature. A cassica resut of Baker [3] yieds that an eiptic equation can have ony nitey many integer soutions, and the size (absoute vaue of the soutions can be eectivey bounded. However, to epicity nd a integra soutions another method has been deveoped, which uses the arithmetic properties of eiptic curves. This agorithm combines many deep ingredients, due to severa authors. Here we ony refer to the papers of Stroeker, Tzanakis [47] and Gebe, Peth, Zimmer [14], where the rst compete versions of this method are independenty given. (See aso the references in these papers. The most recent version of this so-caed Eog method is aready capabe to nd (at east in principe a integra points on genus one curves (see [49], and aso the references given there for certain important intermediate steps. To summarize the method in one sentence, what happens is that rst 2

5 the maimum N of the coecients of the integra points (in some Morde-Wei basis is bounded, and then this bound is graduay decreased to a size where the actua points can aready be identied by an ehaustive search. (Of course, in fact the method is much more genera and compicated. To get the na bound N fina for N, the LLL-agorithm is appied. First we briey summarize the main steps of the Eog method. We foow the presentation in [49]. Let f Z[u, v] and dene the curve C by C : f(u, v = 0. Suppose that C is of genus one. Then C is birationay equivaent (over a number ed to some eiptic curve E : 3 + A + B = y 2 with A, B Q. Let r be the rank of E, and et P 1,..., P r be a Morde-Wei basis of E. Then any rationa point P of E can be written as P = P 0 + n 1 P n r P r, (1 where P 0 is some torsion point of E, and n i Z (i = 1,..., r. Now on the one hand, using estimates of David [11] concerning inear forms in eiptic ogarithms, one gets a ower bound of the form L(P ep( c 1 (og N + c 2 (og og N + c 3 r+3. (2 Here L(P is a certain inear form in eiptic ogarithms (roughy" the eiptic ogarithm of P, N = ma n i and c 1, c 2, c 3 are constants depending ony on 1 i r the curves C and E. On the other hand, supposing that P is the image of an integra point of C under the above birationa transformation, using standard arguments (incuding height estimates of points of E we get an inequaity of the form L(P c 4 ep( c 5 λn 2. (3 Here c 4, c 5 are again constants, which depend ony on C and E. Further, most importanty from our point of view, λ is the east eigenvaue of the height pairing matri of the basis P 1,..., P r occurring in (1. That is, λ certainy depends on the choice of the Morde-Wei basis. As it is demonstrated by Stroeker and Tzanakis [48], the size of λ has a great impact on the na bound N fina for N. We sha return here a itte ater. 3

6 Combining estimates (2 and (3 we get an initia upper bound N 0 for N. However, this upper bound is usuay etremey huge. Due to an observation of Stroeker and Tzanakis [48], N 0 shoud be around 10 (5r2 +5r+28/2. Hence to epicity determine the integra points on C, this initia bound N 0 shoud be reduced. This can be done by attice reduction techniques due to de Weger [59], based on the LLL-agorithm. We use a variant due to Tzanakis [56]. To appy this resut, one starts with (3, together with the inequaity N < N 0. Using the appropriate Proposition from Section 5 of Tzanakis [56], one gets a new ower bound of the shape N < c 6 c5 λ for N, where c 6 is an epicity computabe constant depending on some parameters of E, and aso on the ength of the shortest vector of an LLL-reduced basis of a certain attice. As one can see, this new bound is inear in λ 1/2, which shows the importance of this parameter. Stroeker and Tzanakis [48] have considered severa eampes which indicate this phenomenon in a rather convincing way. Summarizing the resuts in [48], to get the best possibe reduced bound N fina for N one shoud denitey choose an ST-basis (i.e. a basis for which the corresponding λ vaue is the greatest possibe of the curve E in (1. Subsequenty, Stroeker and Tzanakis [48] have aso worked out an ecient agorithm for nding an ST-basis of the curve. However, in the seque it turns out that the bound obtained by using an STbasis, can sti be improved further, if one works with severa Morde-Wei bases simutaneousy. It is important to note that foowing our method the use of more bases sha increase ony by a fraction the tota time needed to get a better N fina. Aready a sma gain in N fina may ead to a arge improvement in the searching time for nding the sma soutions - in particuar, if r is arge. The reason is simpy that the region where we have to ook for the sma soutions is of size (2N fina + 1 r. Note that a simiar size" notion was used aso in [48] to compare the na bounds obtained in dierent Morde-Wei bases. Now we briey outine how to work in severa bases simutaneousy. To epain our ideas in fact it is sucient to use two bases. So assume that B 1 = (P 1,..., P r is a Morde-Wei basis of E, and et S be an integra unimoduar matri of size r r. Let B 2 = (Q 1,..., Q r be the basis of E obtained from B 1 by using S as a basis transformation matri. Let P be a rationa point on E with the representation (1, and assume that we aso have P = Q 0 + m 1 Q m r Q r, (4 4

7 with some torsion point Q 0 and integers m 1,..., m r. Put M = ma m i, and 1 i r reca that by eementary inear agebra we have S 1 n 1. n r = m 1. m r. (5 This impies M sn, where s = S 1 is the row norm of S 1. (The row norm of a k type rea matri A = (a ij 1 i k is dened by A = ma a ij. 1 j 1 i k j=1 In particuar, this means that one does not have to go through the Eog method both for B 1 and B 2, it is sucient to use it with B 1 say. Indeed, take for eampe B 1 to be an ST-basis of E, and suppose that after appying the Eog method (together with the reduction stage we have the bound N < N fina. Then by M sn, we automaticay have M M 0 := sn fina. As s is typicay sma" (it wi be at most around ten, M 0 is not too arge - and of course, it can aso be reduced. Importanty, we can get the na bound M fina very easiy and quicky. The reason is that the reduction steps are dicut and time consuming ony if the initia bound is arge, as then e.g. high precision is needed. However, as s wi be sma, the reduction steps eading from M 0 to M fina are made very easiy. The na bounds N fina and M fina yied simutaneous upper bounds for the coecients of P, in two dierent bases. Combining these two bounds by (5, we can decrease the domain where the na search has to be done. As one may predict (which wi turn out to be true, the gain starts getting more and more signicant as the rank r is getting arger and arger. Strategy 1. We try to decrease N (1 (corresponding to fina B 1, componentwise. For this purpose, choose distinct indices i, j with 1 i, j r and a positive integer t, and consider the bases B 2 and B 3 obtained by repacing P i by P i +tp j and P i tp j in B 1, respectivey (eaving the other basis eements untouched. With the bases B 2 and B 3 the reduction process starts from the quite sma bound (t + 1N (1 fina N (3 fina (2 and gives, respectivey, the na bounds, say, N. Then a simpe cacuation yieds that n i N (2 fina + N (3 fina 2t fina and hods. If the right hand side happens to be ess than N (1 fina, then we get a new, improved bound for n i. To make this principe work, for each ed i we 5

8 (heuristicay choose that j, for which the sum of the λ vaues (corresponding to B 2 and B 3 is maima with t = 1. Then for simpicity (and aso because we try to keep the time consumption of the method ow, instead of checking severa vaues, we take the ed vaue t = 10 in the computations. The procedure can be iterated, and the iteration eads to further improvement in some cases. Further, we have some reasons for the choice of t = 10. If λ t denotes the λt λ t+1 vaue of λ corresponding to t (either in B 2 or in B 3, then t+1 t is cose to 1, if t is arge". The vaue t = 10 seems to be arge enough to make the λ-s corresponding to B 2 and B 3 more or ess cose to each other, and it seems to have some good eect on the outcome. Sti, obviousy at this point the method can have many variants. Strategy 2. Using the agorithm of Stroeker and Tzanakis [48], we determine the best" ten Morde-Wei bases B j (j = 1,..., 10 i.e. ten Morde-Wei basis corresponding to the ten argest λ-vaues. (Note that by the agorithm we get a the basis transformation matrices with respect to B 1, as we, and aso that the cacuation of ten basis takes ony a itte etra time than cacuating ony B 1. Then we compute the initia upper bounds N (j 0 (j = 1,..., 10 for the coordinates of the integra points in these bases, respectivey. (As we mentioned, out of these ony the cacuation of N (1 0 is time consuming (but it has to be cacuated even if we use ony B 1, the other bounds come very quicky and easiy. Having these bounds, using the basis transformation matrices, we get severa etra information for the coecients of P in B 1. In fact we get a system of inequaities dening a conve body, which contains much ess integra points than the one impied by n i N (1 fina (i = 1,..., r. Finay, we mention that atogether it seems that Strategy 2 yieds more improvement than Strategy 1. In the dissertation we give severa eampes to iustrate how our method works. The resuts of the rst chapter are pubished in [20]. Combinatoria Diophantine equations of genus 1 Many Diophantine equations possess combinatoria background. One of the rst resuts giving a integer soutions of a combinatoria Diophantine equation is a theorem of Morde [35], which provides a integer soutions of the equation y(y + 1 = ( + 1( + 2. Other scattered equations have been investigated by severa authors, see for eampe [1], [2], [9], [31], [43], [47], [57], [58], [61]. 6

9 Hajdu and Pintér [22] systematicay coected and soved those combinatoria equations that can be reduced to Morde-type equations. Our purpose is to etend this resut to more genera combinatoria equations that can be reduced to genera eiptic equations. Namey, we coect those equations that can be reduced to equations of genus 1. The equations are soved with the Eog method and with the Magma [8] computationa agebra system. We mention that beside a ot of sparse resuts (see e.g. [40], [41], [43], [50] and [60], Stroeker and de Weger [51] soved a such equations invoving binomia coecients. We need some notation to formuate our resuts. For a n, N et S n ( = 1 n + 2 n ( 1 n, Π n ( = ( + 1 ( + n 1. The formery soved Diophantine equations which can be reduced to eiptic equations concerning Π n (, S n ( and ( n, are the foowings: Π 2 (k = Π 3 ( (Morde [35], ( 2 = 3 (Avanesov [1], Π 2 (k = Π 6 ( (MacLeod and Barrodae [31], S 2 (k = ( 2 (Avanesov [2] and Uchiyama [58], Π 3 (k = Π 4 (, S 2 (k = ( 4 (Boyd and Kisievsky [9], 2 = Π3 ( (Tzanakis and de Weger [57], 2 = Π4 ( (Pintér [40], see aso [15], p. 225., ( 4 = 2 (Pintér [41] and de Weger [60], ( 3 = 4 (de Weger [61], 4 = Π2 (, Π 3 ( (Pintér and de Weger [43], m = Πn (, where (m, n = (3, 6; 3, 6 (Stroeker and de Weger [50], ( m = n, where (m, n = (2; 3, 4, 6, 8, (3; 4, 6, (4; 6, 8 (Stroeker and de Weger [51], S 5 (k = ( 2, S5 (k = ( 4, Sm (k = Π n (, where (m, n = (2, 5; 2, 4, m = Π n (, where (m, n = (2, 4; 6, (3, 6; 2, 4, Π 4 (k = Π 6 ( (Hajdu and Pintér [22]. Here and ater on (k, = (a 1,..., a n ; b 1,..., b m means that (k, can be any of the pairs (a i, b j, i {1,..., n}, j {1,..., m}. 7

10 Equation Soutions S 3 (k = Π 2 ( (k, = ( 1, 0; 1, 0 S 3 (k = Π 4 ( (k, = ( 1, 0; 3, 2, 1, 0 S 3 (k = Π 8 ( (k, = ( 1, 0; 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0 S 5 (k = ( 3 (k, = ( 1, 0; 0, 1, 2, ( 2, 1; 3 S 7 (k = ( 2 (k, = ( 1, 0; 0, 1, ( 2, 1; 1, 2 P 2 (k = Π 4 ( (k, = ( 1, 0; 3, 2, 1, 0 P 2 (k = Π 8 ( (k, = ( 1, 0; 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0 P 3 (k = Π 6 ( (k, = ( 2, 1, 0; 5, 4, 3, 2, 1, 0, (8; 6, 1 P 4 (k = Π 8 ( (k, = ( 3, 2, 1, 0; 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0 Tabe 1: Equations which can be soved by Runge's method Equation Soutions S 3 (k = ( 3 (k, = ( 1, 0; 0, 1, 2, ( 2, 1; 3 S 3 (k = ( 6 (k, = ( 1, 0; 0, 1, 2, 3, 4, 5, ( 2, 1; 1, 6 S 3 (k = Π 3 ( (k, = ( 1, 0; 2, 1, 0 S 3 (k = Π 6 ( (k, = ( 1, 0; 5, 4, 3, 2, 2, 1, 0 S 5 (k = ( 2 (k, = ( 1, 0; 0, 1, ( 2, 1; 1, 2, ( 4, 3; 23, 24, ( 9, 8; 351, 352 S 5 (k = ( 4 (k, = ( 1, 0; 0, 1, 2, 3, ( 2, 1; 1, 4 S 5 (k = Π 2 ( (k, = ( 1, 0; 1, 0 S 5 (k = Π 4 ( (k, = ( 1, 0; 3, 2, 1, 0 Tabe 2: Equations which can be reduced to Morde-type equations We mention that S n ( is a poynomia of degree n + 1, and Π n ( is a poynomia of degree n. For the sake of competeness we give a integer soutions of the investigated poynomia equations (athough the negative soutions do not have combinatoria meanings. Our resuts are summarized in the net theorem. We distribute the equations considered into three tabes, according to the methods used in their soutions. Theorem 1 (Kovács, A integra soutions of the equations in the rst coumns of Tabes 1-3 are eacty the ones appearing in the second coumns of the tabes, respectivey. The resuts of the second chapter are pubished in [25]. 8

11 Equation Soutions S 1 (k = ( 4 (k, = ( 21, 20; 7, 10, ( 6, 5; 3, 6, ( 2, 1; 1, 4, ( 1, 0; 0, 1, 2, 3 S 1 (k = ( 8 (k, = ( 1, 0; 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ( 2, 1; 1, 8, ( 10, 9; 3, 10;, ( 78, 77; 7, 14, ( 221, 220; 10, 17 S 1 (k = Π 4 ( (k, = ( 16, 15; 5, 2, ( 1, 0; 3, 2, 1, 0 S 1 (k = Π 8 ( (k, = ( 1, 0; 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0 S 2 (k = ( 3 (k, = ( 1, 0; 0, 1, 2, ( 2, 1, (1, 3 S 2 (k = ( 6 (k, = ( 1, 0; 0, 1, 2, 3, 4, 5, (1; 1, 6 S 2 (k = Π 3 ( (k, = ( 1, 0; 2, 1, 0 S 2 (k = Π 6 ( (k, = ( 1, 0; 5, 4, 3, 2, 1, 0 S 3 (k = ( 2 (k, = ( 4, 3; 8, 9, ( 2, 1; 1, 2, ( 1, 0; 0, 1 S 3 (k = ( 4 (k, = ( 2, 1; 1, 4, ( 1, 0; 0, 1, 2, 3 S 3 (k = ( 8 (k, = ( 1, 0; 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ( 3, 2; 2, 9, ( 2, 1; 1, 8 S 5 (k = ( 6 (k, = ( 1, 0; 0, 1, 2, 3, 4, 5, ( 2, 1; 1, 6 S 5 (k = Π 3 ( (k, = ( 1, 0; 2, 1, 0 S 5 (k = Π 6 ( (k, = ( 1, 0; 5, 4, 3, 2, 1, 0 S 7 (k = ( 4 (k, = ( 2, 1; 1, 4, ( 1, 0; 0, 1, 2, 3 S 7 (k = Π 2 ( (k, = ( 1, 0; 1, 0 S 7 (k = Π 4 ( (k, = ( 1, 0; 3, 2, 1, 0 2 = Π8 ( (k, = (0, 1; 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0 4 = Π4 ( (k, = (0, 1, 2, 3; 3, 2, 1, 0 4 = Π8 ( (k, = (0, 1, 2, 3; 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0 8 = Π2 ( (k, = (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7; 1, 0 = Π4 ( (k, = (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7; 3, 2, 1, 0 8 Tabe 3: Equations which can be reduced to genus 1 equations 9

12 Combinatoria numbers in binary recurrences Let U = {U n } n=0 be a binary recurrence sequence dened by the initia terms U 0, U 1 Z and the recurrence reation U n = AU n 1 + BU n 2 (n 2 where A, B are non-zero integers. Let α and β denote the zeros of the companion poynomia 2 A B of U. Further, et D = A 2 + 4B be the discriminant of U and a u = U 1 βu 0, b u = U 1 αu 0, C = a u b u = U 2 1 AU 0 U 1 BU 2 0. The sequence U is caed non-degenerate if C 0 and α/β is not a root of unity. It is we-known that if U is non-degenerate then for a n = 0, 1,... we have U n = a uα n b u β n. α β From this point on we assume that B = ±1 and that U is non-degenerate. Then as it is aso we-known, U has a so-caed associate sequence V = {V n } n=0 for which Vn 2 DUn 2 = 4C( B n (6 hods for a n = 0, 1,.... Observe that by our assumption B = ±1, we have ( B n = ±1. Further, note that V 0 = 2U 1 AU 0, V 1 = AU 1 + 2BU 0 and V satises the same recurrence reation as U. Beside deaing with genera sequences U we consider combinatoria numbers in certain specia famous sequences, too. Let F, L, P and Q denote the Fibonacci, Lucas, Pe and Associated Pe sequence, respectivey. These sequences are dened by F 0 = 0, F 1 = 1, F n = F n 1 + F n 2 (n 2, L 0 = 2, L 1 = 1, L n = L n 1 + L n 2 (n 2, P 0 = 0, P 1 = 1, P n = 2P n 1 + P n 2 (n 2, Q 0 = 1, Q 1 = 1, Q n = 2Q n 1 + Q n 2 (n 2. Now we give what kind of combinatoria numbers we are interested in. Beside binomia coecients, we consider power sums, aternating power sums and products of consecutive integers as we. In the previous chapter we dened these poynomias ecept for the aternating power sum. That poynomia is dened for a k, N as R k ( = 1 k + 2 k... + ( 1 1 ( 1 k. 10

13 We mention that R k ( is a poynomia of degree k. We use the previous notation. Further, reca that B = ±1 and U = {U n } n=0 is non-degenerate. A our resuts concern the equation U n = p( (7 in integers n, with n 0. For the sake of competeness we aso take care of the soutions with 0, athough these soutions usuay do not have combinatoria meanings. First we give an eective resut for the soutions of (7 which is vaid for genera U. Theorem 2 (Kovács, Let k 2 and p( be one of the poynomias S k 1 (, R k (, Π k (, ( k. If either k = 2 or p( is one of S2 (, Π 3 (, ( 3, then further assume that B = 1. Then the soutions n, of equation (7 satisfy ma (n, < c 0 (U, k, where c 0 (U, k is an eectivey computabe constant depending ony on U and k. Obviousy, the assumption k 2 cannot be omitted. The net proposition shows that the condition B = 1 in the specia cases of the theorem is necessary as we. Proposition 1. Let U be the sequence dened by B = 1 and by the vaues U 0, U 1, A given in the ith row of Tabe 4, for any i {1, 2, 3, 4, 5}. Further, et p( be a poynomia from the ast coumn of the ith row of Tabe 4. Then equation (7 has innitey many soutions. U 0 U 1 A p( S 1 (, R 2 (, ( Π 2 ( S 2 ( ( Π 3 ( Tabe 4: Settings where equation (7 has innitey many soutions 11

14 Remark. If (7 has innitey many soutions then these soutions have some specia structure. This structure has been described by Nemes and Peth [36], see Theorem 3 (cf. aso [37], [38]. Szaay [52] gave an agorithm for the resoution of (7 in the case when p( is a poynomia of degree 3. We etend this resut to the degree 4 case. For this purpose we need some further notation. Let p( Q[] be a poynomia of degree 4 and write p( = A A A A 3 + A 4. Suppose that the coecients of p fu the reations A 0 = a e, A 1 = 4ab e, A 2 = 6ab2 + c, A 3 = 4ab3 + 2bc, A 4 = ab4 + b 2 c + d, e e e with some integers a, b, c, d, e, ae 0. Then we have p( = a( + b4 + c( + b 2 + d. e Write 1 = + b and et y = V n where V = {V n } n=0 is the associate sequence of U. Then by (6 we get ( a y 2 4 D 1 + c d = 4C( B n, e which yieds where Y 2 = h 4 X 4 + h 3 X 3 + h 2 X 2 + h 1 X + h 0, (8 Y = ey, X = 2 1, h 4 = a 2 D, h 3 = 2acD, h 2 = (c 2 + 2adD, h 1 = 2cdD, h 0 = d 2 D + 4e 2 C( B n. Equation (18 in genera is of genus 1, therefore the Eog method can be used to determine a its integra soutions. In particuar, using the program package Magma, equation (18 can be soved competey in concrete cases. If h 0 is a perfect square then (18 can be soved by the procedure IntegraQuarticPoints. Putting together some toos and resuts about genus 1 curves, we give an ecient method for the resoution of (18 in the genera case. For the description of the method see the proof of Theorem 3. (Further, we impemented our agorithm in Magma, too. From the soutions, the vaues and the indices n can be easiy determined. Summarizing the above argument, we get 12

15 = F n L n P n Q n S 1( [33] [34] [32] (0, 1, (0, 2, (1, 1, (1, 2, (2, 2, (2, 3 S 2( [52] [52] [52] (0, 2, (1, 2 S 3( [52] [52] [52] T 2( T 4( Π 2( Π 3( Π 4( ( 2 ( 3 ( 4 (0, 0, (0, 1, (1, 1, (2, 1, (4, 3, (8, 7, (10, 11 (0, 0, (0, 1, (1, 1, (2, 1 (0, 1, (0, 0, (3, 2, (3, 1 (0, 2, (0, 1, (0, 0 (0, 3, (0, 2, (0, 1, (0, 0 (1, 1, (2, 3, (18, 107 (1, 1 [33] [34] [32] (0, 1, (0, 2, (1, 1, (1, 2 (1, 1 (0, 1, (1, 1, (2, 3 (0, 0, (0, 1, (1, 1 (0, 1, (0, 0, (2, 2, (2, 1, (4, 4, (4, 3 (0, 2, (0, 1, (0, 0 (0, 3, (0, 2, (0, 1, (0, 0 [53] [53] [53] [52] [52] (0, 0, (0, 1, (0, 2, (0, 3, (1, 1, (1, 4, (3, 2, (3, 5, (6, 5, (6, 8 (0, 1, (1, 1 (0, 1, (0, 2, (1, 1, (1, 2, (2, 2, (2, 3 (1, 1, (1, 4 Tabe 5: Soutions of equation (7 with the particuar settings Theorem 3 (Kovács, Using the previous notation, suppose that 8aDd(2ad c 2 64a 2 C ± e 2 c 4 D. Then equation (7 has ony nitey many soutions n, and these soutions can be eectivey determined. Our na resut about this probem competey describes the above type combinatoria numbers for the sma vaues of the parameter k in some weknown binary recurrence sequences. Theorem 4 (Kovács, Let U {F, L, P, Q}, p( {S 1 (, S 2 (, S 3 (, R 2 (, R 4 (, Π 2 (, Π 3 (, Π 4 (, ( ( 2, ( 3, 4 }. Then the soutions n, of equation (7 are eacty those contained in Tabe 5. The sign shows that the actua equation has no soution. Further, the references given in the tabe indicate that the corresponding equation was soved in the appropriate paper. Remark. The compete soution of the equation U n = R 3 ( remains open. 13

16 These equations are of genus 2 thus neither Szaay's method nor our agorithm given in the proof of Theorem 3 can be used to sove them. The resuts of the third chapter are pubished in [26]. Resuts on (a, b-baancing numbers A positive integer n is caed a baancing number if (n 1 = (n (n + r hods for some positive integer r (see [4] and [13]. The sequence of baancing numbers is denoted by B m (m = 1, 2,.... As one can easiy check, we have B 1 = 6 and B 2 = 35. Note that by a resut of Behera and Panda [4], we have B m+1 = 6B m B m 1 (m > 1. In particuar, there are innitey many baancing numbers. The iterature of baancing numbers is very rich. In [28] and [29] Liptai proved that there are no Fibonacci and Lucas baancing numbers, respectivey. Later, Szaay [54] derived the same resuts by a dierent method. In [30] Liptai, Luca, Pintér and Szaay generaized the concept of baancing numbers in the foowing way. Let y, k, be ed positive integers with y 4. A positive integer with y 2 is caed a (k, -power numerica center for y if 1 k + + ( 1 k = ( (y 1. In [30] severa eective and ineective niteness resuts were proved for (k, - power numerica centers. Recenty, the "baancing" property has been investigated in recurrence sequences (see [7]. In this chapter we etend the concept of baancing numbers to arithmetic progressions. Let a > 0 and b 0 be coprime integers. If for some positive integers n and r we have (a + b + + (a(n 1 + b = (a(n b + + (a(n + r + b then we say that an + b is an (a, b-baancing number. The sequence of (a, b- baancing numbers is denoted by B m (a,b (m = 1, 2,.... We mention that since = B m for a m, we obtain a generaization of baancing numbers. B (1,0 m 14

17 We prove severa eective niteness and epicit resuts concerning poynomia vaues in the sequences B m (a,b. That is, we consider the equation B (a,b m = f( (9 in integers m and with m 1, where f is some poynomia with rationa coecients, taking ony integra vaues at integers. To prove our theorems, beside the above mentioned resuts of Ping-Zhi [39], Pintér and Rakaczki [42] and Rakaczki [44], we further need the moduar method deveoped by Wies [62] and others and a deep resut of Bennett [5] concerning binomia Thue equations. From this point on, when we refer to equation (9 we aways assume that a and b are arbitrary, but ed coprime integers such that a > 0 and b 0. Our rst resut is the foowing. Theorem 5 (Kovács, Liptai, Oajos, Let f( be a monic poynomia with integer coecients, of degree 2. If a is odd, then for the soutions of (9 we have ma(m, < c 0 (f, a, b, where c 0 (f, a, b is an eectivey computabe constant depending ony on a, b and f. Our net resut concerns the case where f( = with some 2. In this case soving equation (9 is equivaent to nding (a, b-baancing numbers which are perfect powers. Theorem 6 (Kovács, Liptai, Oajos, If a 2 4ab 4b 2 = 1, then there is no perfect power (a, b-baancing number. Remark. One can easiy check that the equation a 2 4ab 4b 2 = 1 has innitey many soutions in integers a, b with a > 0, b 0. Hence Theorem 6 competey soves the proposed probem for innitey many pairs (a, b. The foowing theorem takes up the probem where the poynomia f( in (9 has some combinatoria meaning. More precisey, we investigate binomia coecients ( k, products of consecutive integers Πk (, power sums S k ( and aternating power sums R k (. Note that the coecients of ( k, Sk ( and R k ( are not integers. Further, in the case f( = Π k ( Theorem 5 yieds a niteness resut, however, ony for the odd vaues of the parameter a. For these combinatoria choices of f( our net statement yieds a bound for the soutions of (9, without any assumptions for the parameters a and b. Theorem 7 (Kovács, Liptai, Oajos, Let k 2 and f( be one of the poynomias ( k, Πk (, S k 1 (, R k (. Then the soutions of equation (9 satisfy ma(m, < c 1 (a, b, k, where c 1 (a, b, k is an eectivey computabe constant depending ony on a, b and k. 15

18 In our na resut, under the assumption a 2 4ab 4b 2 = 1, we provide the compete soution of (9 with the above choices of f(, for some sma vaues of the parameter k. More precisey, we consider a cases where (9 can be reduced to an equation of genus 1. Further, we aso sove a particuar case of (9 which can be reduced to the resoution of a genus 2 equation. Theorem 8 (Kovács, Liptai, Oajos, Suppose that a 2 4ab 4b 2 = 1. Let f( { ( ( 2, ( 3, 4, Π2 (, Π 3 (, Π 4 (, S 1 (, S 2 (, S 3 (, S 5 (}. Then the soutions (m, of equation (9 are those contained in Tabe 6. For the corresponding parameter vaues we have (a, b = (1, 0 in a cases. f( ( Soutions (m, of (9 ( 2 (1, 3, (1, 4 ( 3 (2, 5, (2, 7 4 (2, 4, (2, 7 Π 2 ( (1, 3, (1, 2 Π 3 ( (1, 3, (1, 1 Π 4 ( S 1 ( (1, 4, (1, 3 S 2 ( (3, 8, (3, 9, (5, 27, (5, 28 S 3 ( S 5 ( Tabe 6: Soutions of equation (9 with the particuar poynomias Remark. We considered some other reated equations that ead to genus 2 equations. However, because of certain technica dicuties, we coud not sove them by the Chabauty method. We checked that under the assumption a 2 4ab 4b 2 = 1 equation (9 has no "sma" soutions (i.e. soutions with in cases f( { ( ( 6, 8, Π6 (, Π 8 (, S 7 (}. The resut of the fourth chapter are pubished in [27]. Amost fth powers in arithmetic progression A cassica theorem of Erd s and Sefridge [12] states that the product of consecutive positive integers is never a perfect power. A natura generaization is the Diophantine equation ( + d... ( + (k 1d = by n (10 16

Nemzetközi Kenguru Matematikatábor

Nemzetközi Kenguru Matematikatábor Nemzetközi Kenguru Matematikatábor 2011. augusztus 19-27., Werbellinsee, Németország BESZÁMOLÓ Bevezető Idén hetedik alkalommal került megrendezére a Nemzetközi Kenguru Matematikatábor (7. Internationale

Részletesebben

Dependency preservation

Dependency preservation Adatbázis-kezelés. (4 előadás: Relácó felbontásai (dekomponálás)) 1 Getting lossless decomposition is necessary. But of course, we also want to keep dependencies, since losing a dependency means, that

Részletesebben

ANGOL NYELV KÖZÉPSZINT SZÓBELI VIZSGA I. VIZSGÁZTATÓI PÉLDÁNY

ANGOL NYELV KÖZÉPSZINT SZÓBELI VIZSGA I. VIZSGÁZTATÓI PÉLDÁNY ANGOL NYELV KÖZÉPSZINT SZÓBELI VIZSGA I. VIZSGÁZTATÓI PÉLDÁNY A feladatsor három részből áll 1. A vizsgáztató társalgást kezdeményez a vizsgázóval. 2. A vizsgázó egy szituációs feladatban vesz részt a

Részletesebben

Széchenyi István Egyetem www.sze.hu/~herno

Széchenyi István Egyetem www.sze.hu/~herno Oldal: 1/6 A feladat során megismerkedünk a C# és a LabVIEW összekapcsolásának egy lehetőségével, pontosabban nagyon egyszerű C#- ban írt kódból fordítunk DLL-t, amit meghívunk LabVIEW-ból. Az eljárás

Részletesebben

ANGOL NYELV KÖZÉPSZINT SZÓBELI VIZSGA I. VIZSGÁZTATÓI PÉLDÁNY

ANGOL NYELV KÖZÉPSZINT SZÓBELI VIZSGA I. VIZSGÁZTATÓI PÉLDÁNY ANGOL NYELV KÖZÉPSZINT SZÓBELI VIZSGA I. VIZSGÁZTATÓI PÉLDÁNY A feladatsor három részbol áll 1. A vizsgáztató társalgást kezdeményez a vizsgázóval. 2. A vizsgázó egy szituációs feladatban vesz részt a

Részletesebben

Biomassza hasznosítás és régiók közötti együttm ködés

Biomassza hasznosítás és régiók közötti együttm ködés Biomassza hasznosítás és régiók közötti együttm ködés Biomass Utiization and Interregiona Cooperation Bioetano akamazása hajtóanyagként bes égés motorokná Using bioethano as fue in interna combustion engines

Részletesebben

Előszó.2. Starter exercises. 3. Exercises for kids.. 9. Our comic...17

Előszó.2. Starter exercises. 3. Exercises for kids.. 9. Our comic...17 2011. december Tartalom Előszó.2 Starter exercises. 3 Exercises for kids.. 9 Our comic....17 1 Előszó Kedves angolul tanulók! A 2010/2011- es tanévben elkezdett újságunkat szeretnénk továbbra is szerkeszteni

Részletesebben

TestLine - Angol teszt Minta feladatsor

TestLine - Angol teszt Minta feladatsor Minta felaatsor venég Téma: Általános szintfelmérő Aláírás:... Dátum: 2016.05.29 08:18:49 Kérések száma: 25 kérés Kitöltési iő: 1:17:27 Nehézség: Összetett Pont egység: +6-2 Értékelés: Alaértelmezett értékelés

Részletesebben

A jövedelem alakulásának vizsgálata az észak-alföldi régióban az 1997-99. évi adatok alapján

A jövedelem alakulásának vizsgálata az észak-alföldi régióban az 1997-99. évi adatok alapján A jövedelem alakulásának vizsgálata az észak-alföldi régióban az 1997-99. évi adatok alapján Rózsa Attila Debreceni Egyetem Agrártudományi Centrum, Agrárgazdasági és Vidékfejlesztési Intézet, Számviteli

Részletesebben

First experiences with Gd fuel assemblies in. Tamás Parkó, Botond Beliczai AER Symposium 2009.09.21 25.

First experiences with Gd fuel assemblies in. Tamás Parkó, Botond Beliczai AER Symposium 2009.09.21 25. First experiences with Gd fuel assemblies in the Paks NPP Tams Parkó, Botond Beliczai AER Symposium 2009.09.21 25. Introduction From 2006 we increased the heat power of our units by 8% For reaching this

Részletesebben

Using the CW-Net in a user defined IP network

Using the CW-Net in a user defined IP network Using the CW-Net in a user defined IP network Data transmission and device control through IP platform CW-Net Basically, CableWorld's CW-Net operates in the 10.123.13.xxx IP address range. User Defined

Részletesebben

ó Ú ő ó ó ó ö ó ó ő ö ó ö ö ő ö ó ö ö ö ö ó ó ó ó ó ö ó ó ó ó Ú ö ö ó ó Ú ú ó ó ö ó Ű ő ó ó ó ő ó ó ó ó ö ó ó ó ö ő ö ó ó ó Ú ó ó ö ó ö ó ö ő ó ó ó ó Ú ö ö ő ő ó ó ö ö ó ö ó ó ó ö ö ő ö Ú ó ó ó ü ú ú ű

Részletesebben

A rosszindulatú daganatos halálozás változása 1975 és 2001 között Magyarországon

A rosszindulatú daganatos halálozás változása 1975 és 2001 között Magyarországon A rosszindulatú daganatos halálozás változása és között Eredeti közlemény Gaudi István 1,2, Kásler Miklós 2 1 MTA Számítástechnikai és Automatizálási Kutató Intézete, Budapest 2 Országos Onkológiai Intézet,

Részletesebben

Simonovits M. Elekes Gyuri és az illeszkedések p. 1

Simonovits M. Elekes Gyuri és az illeszkedések p. 1 Elekes Gyuri és az illeszkedések Simonovits M. Elekes Gyuri és az illeszkedések p. 1 On the number of high multiplicity points for 1-parameter families of curves György Elekes, Miklós Simonovits and Endre

Részletesebben

ANGOL NYELVI SZINTFELMÉRŐ 2014 A CSOPORT

ANGOL NYELVI SZINTFELMÉRŐ 2014 A CSOPORT ANGOL NYELVI SZINTFELMÉRŐ 2014 A CSOPORT A feladatok megoldására 45 perc áll rendelkezésedre, melyből körülbelül 10-15 percet érdemes a fogalmazási feladatra szánnod. Megoldásaid a válaszlapra írd! 1.

Részletesebben

Indítómotor behúzótekercsének szimulációs vizsgálata Investigation of the Solenoid Switch of an Electric Starter Motor with Simulation

Indítómotor behúzótekercsének szimulációs vizsgálata Investigation of the Solenoid Switch of an Electric Starter Motor with Simulation Indítómotor behúzótekercsének szimuációs vizsgáata Investigation of the Soenoid Switch of an Eectric Starter Motor with Simuation KOVÁCS Ernı, FÜVESI Viktor, SZALONTAI Levente 3 Ph.D., egyetemi docens;

Részletesebben

Performance Modeling of Intelligent Car Parking Systems

Performance Modeling of Intelligent Car Parking Systems Performance Modeling of Intelligent Car Parking Systems Károly Farkas Gábor Horváth András Mészáros Miklós Telek Technical University of Budapest, Hungary EPEW 2014, Florence, Italy Outline Intelligent

Részletesebben

A SZEMCSEALAK ALAPJÁN TÖRTÉNŐ SZÉTVÁLASZTÁS JELENTŐSÉGE FÉMTARTALMÚ HULLADÉKOK FELDOLGOZÁSA SORÁN

A SZEMCSEALAK ALAPJÁN TÖRTÉNŐ SZÉTVÁLASZTÁS JELENTŐSÉGE FÉMTARTALMÚ HULLADÉKOK FELDOLGOZÁSA SORÁN Műszaki Földtudományi Közlemények, 83. kötet, 1. szám (2012), pp. 61 70. A SZEMCSEALAK ALAPJÁN TÖRTÉNŐ SZÉTVÁLASZTÁS JELENTŐSÉGE FÉMTARTALMÚ HULLADÉKOK FELDOLGOZÁSA SORÁN SIGNIFICANCE OF SHAPE SEPARATION

Részletesebben

már mindenben úgy kell eljárnunk, mint bármilyen viaszveszejtéses öntés esetén. A kapott öntvény kidolgozásánál még mindig van lehetőségünk

már mindenben úgy kell eljárnunk, mint bármilyen viaszveszejtéses öntés esetén. A kapott öntvény kidolgozásánál még mindig van lehetőségünk Budapest Régiségei XLII-XLIII. 2009-2010. Vecsey Ádám Fémeszterga versus viaszesztergálás Bev e z e t é s A méhviaszt, mint alapanyagot nehéz besorolni a műtárgyalkotó anyagok különböző csoportjaiba, mert

Részletesebben

NASODRILL ORRSPRAY: TARTÁLY- ÉS DOBOZFELIRAT, VALAMINT A BETEGTÁJÉKOZTATÓ SZÖVEGE. CSECSEMŐ GYERMEK FELNŐTT 100 ml-es üveg

NASODRILL ORRSPRAY: TARTÁLY- ÉS DOBOZFELIRAT, VALAMINT A BETEGTÁJÉKOZTATÓ SZÖVEGE. CSECSEMŐ GYERMEK FELNŐTT 100 ml-es üveg NASODRILL ORRSPRAY: TARTÁLY- ÉS DOBOZFELIRAT, VALAMINT A BETEGTÁJÉKOZTATÓ SZÖVEGE TARTÁLY - BOTTLE NASAL LAVAGE For chronic or recurring infection NASODRILL Formulated with thermal Luchon water naturally

Részletesebben

(Asking for permission) (-hatok/-hetek?; Szabad ni? Lehet ni?) Az engedélykérés kifejezésére a következő segédigéket használhatjuk: vagy vagy vagy

(Asking for permission) (-hatok/-hetek?; Szabad ni? Lehet ni?) Az engedélykérés kifejezésére a következő segédigéket használhatjuk: vagy vagy vagy (Asking for permission) (-hatok/-hetek?; Szabad ni? Lehet ni?) SEGÉDIGÉKKEL Az engedélykérés kifejezésére a következő segédigéket használhatjuk: vagy vagy vagy A fenti felsorolásban a magabiztosság/félénkség

Részletesebben

Can/be able to. Using Can in Present, Past, and Future. A Can jelen, múlt és jövő idejű használata

Can/be able to. Using Can in Present, Past, and Future. A Can jelen, múlt és jövő idejű használata Can/ Can is one of the most commonly used modal verbs in English. It be used to express ability or opportunity, to request or offer permission, and to show possibility or impossibility. A az egyik leggyakrabban

Részletesebben

KELET-ÁZSIAI DUPLANÁDAS HANGSZEREK ÉS A HICHIRIKI HASZNÁLATA A 20. SZÁZADI ÉS A KORTÁRS ZENÉBEN

KELET-ÁZSIAI DUPLANÁDAS HANGSZEREK ÉS A HICHIRIKI HASZNÁLATA A 20. SZÁZADI ÉS A KORTÁRS ZENÉBEN Liszt Ferenc Zeneművészeti Egyetem 28. számú művészet- és művelődéstörténeti tudományok besorolású doktori iskola KELET-ÁZSIAI DUPLANÁDAS HANGSZEREK ÉS A HICHIRIKI HASZNÁLATA A 20. SZÁZADI ÉS A KORTÁRS

Részletesebben

ELLENŐRZŐ KÉRDÉSEK LENGÉSTANBÓL: A rugóállandó a rugómerevség reciproka. (Egyik végén befogott tartóra: , a rugómerevség mértékegysége:

ELLENŐRZŐ KÉRDÉSEK LENGÉSTANBÓL: A rugóállandó a rugómerevség reciproka. (Egyik végén befogott tartóra: , a rugómerevség mértékegysége: ELLENŐRZŐ ÉRDÉSE LENGÉSNBÓL: Átaáno kérdéek: Mik a engőrendzer eemei?: engőrendzer eemei: a tömeg(ek), a rugó(k), ietve a ciapítá(ok). Mi a rugóáandó?: rugóáandó a rugó egyégnyi terheé aatti aakvátozáát

Részletesebben

OLYMPICS! SUMMER CAMP

OLYMPICS! SUMMER CAMP OLYMPICS! SUMMER CAMP YOUNG BUSINESS CAMP 3D DESIGN CAMP OLYMPICS SUMMER CAMP 20 24 JUNE AND 27 JUNE 1 JULY AGE: 6-14 Our ESB native-speaking teachers will provide a strong English learning content throughout

Részletesebben

Az Open Data jogi háttere. Dr. Telek Eszter

Az Open Data jogi háttere. Dr. Telek Eszter Az Open Data jogi háttere Dr. Telek Eszter Egy kis ismétlés Open Data/Open Access/Open Knowledge gyökerei Open Source Software FLOSS (Free Libre Open Source Software) Szoftver esetében egyszerű alapok:

Részletesebben

FIATAL MŰSZAKIAK TUDOMÁNYOS ÜLÉSSZAKA

FIATAL MŰSZAKIAK TUDOMÁNYOS ÜLÉSSZAKA FIATAL ŰSZAKIAK TUDOÁNYOS ÜLÉSSZAKA Kolozsvár, 1999. március 19-20. Zsákolt áruk palettázását végző rendszer szimulációs kapacitásvizsgálata Kádár Tamás Abstract This essay is based on a research work

Részletesebben

SAJTÓKÖZLEMÉNY Budapest 2011. július 13.

SAJTÓKÖZLEMÉNY Budapest 2011. július 13. SAJTÓKÖZLEMÉNY Budapest 2011. július 13. A MinDig TV a legdinamikusabban bıvülı televíziós szolgáltatás Magyarországon 2011 elsı öt hónapjában - A MinDig TV Extra a vezeték nélküli digitális televíziós

Részletesebben

Efficient symmetric key private authentication

Efficient symmetric key private authentication Efficient symmetric key private authentication Cryptographic Protocols (EIT ICT MSc) Dr. Levente Buttyán Associate Professor BME Hálózati Rendszerek és Szolgáltatások Tanszék Lab of Cryptography and System

Részletesebben

FATERMÉSI FOK MEGHATÁROZÁSA AZ EGÉSZÁLLOMÁNY ÁTLAGNÖVEDÉKE ALAPJÁN

FATERMÉSI FOK MEGHATÁROZÁSA AZ EGÉSZÁLLOMÁNY ÁTLAGNÖVEDÉKE ALAPJÁN 4. évfolyam 2. szám 2 0 1 4 101 107. oldal FATERMÉSI FOK MEGHATÁROZÁSA AZ EGÉSZÁLLOMÁNY ÁTLAGNÖVEDÉKE ALAPJÁN Veperdi Gábor Nyugat-magyarországi Egyetem, Erdômérnöki Kar Kivonat A fatermési fok meghatározása

Részletesebben

There is/are/were/was/will be

There is/are/were/was/will be There is/are/were/was/will be Forms - Képzése: [There + to be] [There + létige ragozott alakja] USE - HASZNÁLAT If you simply want to say that something exists or somebody is doing something then you start

Részletesebben

Vizsgáztatás multimédia eszközökkel

Vizsgáztatás multimédia eszközökkel Vizsgáztatás multimédia eszközökkel Szabó József PICTRON Számítás- és Videótechnikai Kft 1114 Budapest, Bartók Béla út 7. Tel: 186-9035, 186-8999 Fax: 186-8940 E-mail: pictron@odin.net Abstract. The test

Részletesebben

Ister-Granum EGTC. Istvan FERENCSIK Project manager. The Local Action Plans to improve project partners crossborder

Ister-Granum EGTC. Istvan FERENCSIK Project manager. The Local Action Plans to improve project partners crossborder Expertising Governance for Transfrontier Conurbations Ister-Granum EGTC Istvan FERENCSIK Project manager The Local Action Plans to improve project partners crossborder governance «EGTC» URBACT Final conference

Részletesebben

Eladni könnyedén? Oracle Sales Cloud. Horváth Tünde Principal Sales Consultant 2014. március 23.

Eladni könnyedén? Oracle Sales Cloud. Horváth Tünde Principal Sales Consultant 2014. március 23. Eladni könnyedén? Oracle Sales Cloud Horváth Tünde Principal Sales Consultant 2014. március 23. Oracle Confidential Internal/Restricted/Highly Restricted Safe Harbor Statement The following is intended

Részletesebben

FORGÁCS ANNA 1 LISÁNYI ENDRÉNÉ BEKE JUDIT 2

FORGÁCS ANNA 1 LISÁNYI ENDRÉNÉ BEKE JUDIT 2 FORGÁCS ANNA 1 LISÁNYI ENDRÉNÉ BEKE JUDIT 2 Hátrányos-e az új tagállamok számára a KAP támogatások disztribúciója? Can the CAP fund distribution system be considered unfair to the new Member States? A

Részletesebben

Please stay here. Peter asked me to stay there. He asked me if I could do it then. Can you do it now?

Please stay here. Peter asked me to stay there. He asked me if I could do it then. Can you do it now? Eredeti mondat Please stay here. Kérlek, maradj itt. Can you do it now? Meg tudod csinálni most? Will you help me tomorrow? Segítesz nekem holnap? I ll stay at home today. Ma itthon maradok. I woke up

Részletesebben

Smaller Pleasures. Apróbb örömök. Keleti lakk tárgyak Répás János Sándor mûhelyébõl Lacquerware from the workshop of Répás János Sándor

Smaller Pleasures. Apróbb örömök. Keleti lakk tárgyak Répás János Sándor mûhelyébõl Lacquerware from the workshop of Répás János Sándor Smaller Pleasures Apróbb örömök Keleti lakk tárgyak Répás János Sándor mûhelyébõl Lacquerware from the workshop of Répás János Sándor Smaller Pleasures Oriental lacquer, or urushi by its frequently used

Részletesebben

KELER KSZF Zrt. bankgarancia-befogadási kondíciói. Hatályos: 2014. július 8.

KELER KSZF Zrt. bankgarancia-befogadási kondíciói. Hatályos: 2014. július 8. KELER KSZF Zrt. bankgarancia-befogadási kondíciói Hatályos: 2014. július 8. A KELER KSZF a nem-pénzügyi klíringtagjaitól, és az energiapiaci alklíringtagjaitól a KELER KSZF Általános Üzletszabályzata szerinti

Részletesebben

White Paper. Grounding Patch Panels

White Paper. Grounding Patch Panels White Paper Grounding Patch Panels Tartalom 1. Bevezető... 1 2. A földelés jelentőssége... 3 3. AC elosztó rendszer... 3 4. Földelési rendszerek... 3 4.1. Fa... 3 4.2. Háló... 5 5. Patch panel földelési

Részletesebben

MATEMATIKA ANGOL NYELVEN

MATEMATIKA ANGOL NYELVEN ÉRETTSÉGI VIZSGA 2010. május 4. MATEMATIKA ANGOL NYELVEN EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2010. május 4. 8:00 Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS

Részletesebben

ELMIB ZRT. FÖLDGÁZKERESKEDELMIÜZLETSZABÁLYZATA. l l I I BUDAPEST, 2009. SZEPTEMBER 1.

ELMIB ZRT. FÖLDGÁZKERESKEDELMIÜZLETSZABÁLYZATA. l l I I BUDAPEST, 2009. SZEPTEMBER 1. ELMB ZRT. FÖLDGÁZKERESKEDELMÜZLETSZABÁLYZATA BUDAPEST, 2009. SZEPTEMBER 1. i r L L ELMB Zrt. Födgáz- kereskedemi Üzetszabáyzata TARTALOMJEGYZÉK BEVEZETÉS.................................. 3 1. ÁLTALÁNOS

Részletesebben

Daloló Fülelő Halász Judit Szabó T. Anna: Tatoktatok Javasolt nyelvi szint: A2 B1 / Resommended European Language Level: A2 B1

Daloló Fülelő Halász Judit Szabó T. Anna: Tatoktatok Javasolt nyelvi szint: A2 B1 / Resommended European Language Level: A2 B1 Daloló Fülelő Halász Judit Szabó T. Anna: Tatoktatok Javasolt nyelvi szint: A2 B1 / Resommended European Language Level: A2 B1 1. Első hallgatás / First listening Hallgassa meg Halász Judit dalát a Youtube-on!

Részletesebben

Cashback 2015 Deposit Promotion teljes szabályzat

Cashback 2015 Deposit Promotion teljes szabályzat Cashback 2015 Deposit Promotion teljes szabályzat 1. Definitions 1. Definíciók: a) Account Client s trading account or any other accounts and/or registers maintained for Számla Az ügyfél kereskedési számlája

Részletesebben

Összefoglalás. Summary. Bevezetés

Összefoglalás. Summary. Bevezetés A talaj kálium ellátottságának vizsgálata módosított Baker-Amacher és,1 M CaCl egyensúlyi kivonószerek alkalmazásával Berényi Sándor Szabó Emese Kremper Rita Loch Jakab Debreceni Egyetem Agrár és Műszaki

Részletesebben

Intézményi IKI Gazdasági Nyelvi Vizsga

Intézményi IKI Gazdasági Nyelvi Vizsga Intézményi IKI Gazdasági Nyelvi Vizsga Név:... Születési hely:... Születési dátum (év/hó/nap):... Nyelv: Angol Fok: Alapfok 1. Feladat: Olvasáskészséget mérő feladat 20 pont Olvassa el a szöveget és válaszoljon

Részletesebben

A TÓGAZDASÁGI HALTERMELÉS SZERKEZETÉNEK ELEMZÉSE. SZATHMÁRI LÁSZLÓ d r.- TENK ANTAL dr. ÖSSZEFOGLALÁS

A TÓGAZDASÁGI HALTERMELÉS SZERKEZETÉNEK ELEMZÉSE. SZATHMÁRI LÁSZLÓ d r.- TENK ANTAL dr. ÖSSZEFOGLALÁS A TÓGAZDASÁGI HALTERMELÉS SZERKEZETÉNEK ELEMZÉSE SZATHMÁRI LÁSZLÓ d r.- TENK ANTAL dr. ÖSSZEFOGLALÁS A hazai tógazdasági haltermelés a 90-es évek közepén tapasztalt mélypontról elmozdult és az utóbbi három

Részletesebben

Kábel-membrán szerkezetek

Kábel-membrán szerkezetek Kábe-membrán szerkezetek Szereési aak meghatározása Definíció: Egy geometriai aak meghatározása adott peremfetéte és eőfeszítés esetén ameyné a beső erők egyensúyban vannak. Numerikus módszerek: Geometriai

Részletesebben

Tavaszi Sporttábor / Spring Sports Camp. 2016. május 27 29. (péntek vasárnap) 27 29 May 2016 (Friday Sunday)

Tavaszi Sporttábor / Spring Sports Camp. 2016. május 27 29. (péntek vasárnap) 27 29 May 2016 (Friday Sunday) Tavaszi Sporttábor / Spring Sports Camp 2016. május 27 29. (péntek vasárnap) 27 29 May 2016 (Friday Sunday) SZÁLLÁS / ACCOMODDATION on a Hotel Gellért*** szálloda 2 ágyas szobáiban, vagy 2x2 ágyas hostel

Részletesebben

KIEGÉSZÍTŽ FELADATOK. Készlet Bud. Kap. Pápa Sopr. Veszp. Kecsk. 310 4 6 8 10 5 Pécs 260 6 4 5 6 3 Szomb. 280 9 5 4 3 5 Igény 220 200 80 180 160

KIEGÉSZÍTŽ FELADATOK. Készlet Bud. Kap. Pápa Sopr. Veszp. Kecsk. 310 4 6 8 10 5 Pécs 260 6 4 5 6 3 Szomb. 280 9 5 4 3 5 Igény 220 200 80 180 160 KIEGÉSZÍTŽ FELADATOK (Szállítási probléma) Árut kell elszállítani három telephelyr l (Kecskemét, Pécs, Szombathely) öt területi raktárba, melyek Budapesten, Kaposváron, Pápán, Sopronban és Veszprémben

Részletesebben

18/1997. (IV.29.) sz. önkor.mányzati rendelete

18/1997. (IV.29.) sz. önkor.mányzati rendelete Budapest Kőbányai Önkor.mányzat 18/1997. (IV.29.) sz. önkor.mányzati rendeete a Budapest X. ker., Mag1ódi út - Bodza u. - Sörgyár u. - Kada utca áta határot terüet R-35973 tt.számú Részetes Rendezési Tervérő

Részletesebben

3. Nemzetközi talajinformációs rendszerek

3. Nemzetközi talajinformációs rendszerek Magyar Tudományos Akadémia Agrártudományi Kutatóközpont Talajtani és Agrokémiai Intézet Környezetinformatikai Osztály Pásztor László: Térbeli Talajinformációs Rendszerek/ Bevezetés a digitális talajtérképezésbe

Részletesebben

sorozat CD4 Katalógus füzetek

sorozat CD4 Katalógus füzetek sorozat CD4 Katalógus füzetek Bosch Rexroth AG Pneumatics sorozat CD4 3/2 szelep, sorozat CD4 Qn = 900 l/min, Menetes csatlakozás G1/8, egyoldali működtetésű, elektromos csatlakozóhoz, B-forma 3 5/2 szelep,

Részletesebben

T Á J É K O Z T A T Ó. A 1108INT számú nyomtatvány a http://www.nav.gov.hu webcímen a Letöltések Nyomtatványkitöltő programok fülön érhető el.

T Á J É K O Z T A T Ó. A 1108INT számú nyomtatvány a http://www.nav.gov.hu webcímen a Letöltések Nyomtatványkitöltő programok fülön érhető el. T Á J É K O Z T A T Ó A 1108INT számú nyomtatvány a http://www.nav.gov.hu webcímen a Letöltések Nyomtatványkitöltő programok fülön érhető el. A Nyomtatványkitöltő programok fület választva a megjelenő

Részletesebben

Megyei Angol csapatverseny 2015/16. MOVERS - 3. forduló

Megyei Angol csapatverseny 2015/16. MOVERS - 3. forduló MOVERS - 3. forduló Beküldő csapat tagjai:.. Beküldési határidő: 2016. január 29. Beküldési cím: Erzsébethelyi Általános Iskola, Baloghné Aradszki Gyöngyi 5600 Békéscsaba, Rózsa u. 21-23. 1. Look at the

Részletesebben

A golyók felállítása a Pool-biliárd 8-as játékának felel meg. A golyók átmérıje 57.2 mm. 15 számozott és egy fehér golyó. Az elsı 7 egyszínő, 9-15-ig

A golyók felállítása a Pool-biliárd 8-as játékának felel meg. A golyók átmérıje 57.2 mm. 15 számozott és egy fehér golyó. Az elsı 7 egyszínő, 9-15-ig A golyók elhelyezkedése a Snooker alaphelyzetet mutatja. A golyók átmérıje 52 mm, egyszínőek. 15 db piros, és 1-1 db fehér, fekete, rózsa, kék, barna, zöld, sárga. A garázsban állítjuk fel, ilyenkor az

Részletesebben

Vitorláshal Angelfish

Vitorláshal Angelfish Model: Peter udai 996. Diagrams: Peter udai 998.. Oda-visszahajtás felezve. Fordítsd meg a papírt! Fold in half and unfold. Turn the paper over. 2. Oda-visszahajtás átlósan. Fold and unfold diagonally.

Részletesebben

Angol C2 1 1 074 nyelvi programkövetelmény

Angol C2 1 1 074 nyelvi programkövetelmény Angol C2 1 1 074 nyelvi programkövetelmény A javaslattevő alapadatai Javaslatot benyújtó neve Katedra Nyelviskola Kft. A nyelvi képzésre vonatkozó adatok Nyelv megnevezése Nyelvi képzés szintje Nyelvi

Részletesebben

Nagy Örs, BBTE, MIK Matematika-informatika szak, IV. év

Nagy Örs, BBTE, MIK Matematika-informatika szak, IV. év XI. Erdéyi Tudományos Diákköri Konferencia Matematika szekció Ponceet záródási tétee Szerző Nagy Örs, BBTE, MIK Matematika-informatika szak, IV. év Témavezető Dr. András Sziárd, adjunktus BBTE, MIK, Differenciáegyenetek

Részletesebben

6. évfolyam Angol nyelv

6. évfolyam Angol nyelv IDEGEN NYELVI MÉRÉS 2016. május 18. 6. évfolyam ngol nyelv Általános tudnivalók a feladatokhoz Ez a füzet nyelvi feladatokat tartalmaz. feladatsor két részből áll. z I. részben csak a füzetben kell dolgoznod.

Részletesebben

Szundikáló macska Sleeping kitty

Szundikáló macska Sleeping kitty Model: Peter Budai 999. Diagrams: Peter Budai 999.. Oda-visszahajtás átlósan. Fold and unfold diagonally. 2. Behajtunk középre. Fold to the center. 3. Oda-visszahajtások derékszögben. Fold and unfold at

Részletesebben

Angol érettségi témakörök 12.KL, 13.KM, 12.F

Angol érettségi témakörök 12.KL, 13.KM, 12.F Angol érettségi témakörök 12.KL, 13.KM, 12.F TÉMÁK VIZSGASZINTEK Középszint 1. Személyes vonatkozások, család - A vizsgázó személye, életrajza, életének fontos állomásai (fordulópontjai) - Családi élet,

Részletesebben

Összefüggések a marótárcsás kotrógépek elméleti és tényleges

Összefüggések a marótárcsás kotrógépek elméleti és tényleges Összefüggések a marótárcsás kotrógépek eméeti és tényeges tejesítménye között BREUER JÁNOS ok. bányamérnök, DR.DAÓ GYÖRGY ok. bányagépészmérnök, ok. küfejtési szakmérnök A küfejtésnek a viág bányászatában

Részletesebben

Az egészségügyi munkaerő toborzása és megtartása Európában

Az egészségügyi munkaerő toborzása és megtartása Európában Az egészségügyi munkaerő toborzása és megtartása Európában Vezetői összefoglaló Európai Egészségügyi Menedzsment Társaság. április Fogyasztó-, Egészség-, Élelmiszerügyi és Mezőgazdasági Végrehajtó Ügynökség

Részletesebben

2-5 játékos részére, 10 éves kortól

2-5 játékos részére, 10 éves kortól - 5 játékos részére, 0 éves kortól Tervezők: Wolfgang Kramer és Michael Kiesling Grafikai tervező: Oliver Freudenreich DE Ravensburger, KniffDesign (játékszabály) Szerkesztő: Philipp Sprick Magyar fordítás:

Részletesebben

ANGOL NYELVI SZINTFELMÉRŐ 2008 A CSOPORT

ANGOL NYELVI SZINTFELMÉRŐ 2008 A CSOPORT ANGOL NYELVI SZINTFELMÉRŐ 2008 A CSOPORT A feladatok megoldására 60 perc áll rendelkezésedre, melyből körülbelül 15 percet érdemes a levélírási feladatra szánnod. Sok sikert! 1. Válaszd ki a helyes megoldást.

Részletesebben

Nemzetközi vállalat - a vállalati szoftvermegoldások egyik vezető szállítója

Nemzetközi vállalat - a vállalati szoftvermegoldások egyik vezető szállítója Nemzetközi vállalat - a vállalati szoftvermegoldások egyik vezető szállítója A Novell világszerte vezető szerepet tölt be a Linux-alapú és nyílt forráskódú vállalati operációs rendszerek, valamit a vegyes

Részletesebben

Longman Exams Dictionary egynyelvű angol szótár nyelvvizsgára készülőknek

Longman Exams Dictionary egynyelvű angol szótár nyelvvizsgára készülőknek Longman Exams Dictionary egynyelvű angol szótár nyelvvizsgára készülőknek Egynyelvű angol nagyszótár haladó nyelvtanulóknak és nyelvvizsgázóknak 212,000 szócikkel A szótárban minden definíció egyszerű

Részletesebben

Képleírási segédlet középszintű angol nyelvi vizsgákhoz. Horváth Balázs Zsigmond, Lövey Zoltán. Publio kiadó. Minden jog fenntartva!

Képleírási segédlet középszintű angol nyelvi vizsgákhoz. Horváth Balázs Zsigmond, Lövey Zoltán. Publio kiadó. Minden jog fenntartva! Képleírási segédlet középszintű angol nyelvi vizsgákhoz Horváth Balázs Zsigmond, Lövey Zoltán 2015 Publio kiadó Minden jog fenntartva! Tisztelt Olvasó! Az önálló témakifejtés vagy más néven képleírás a

Részletesebben

ENGLISH 24 English is fun Letter #1 Letters In the age of e-mails and cell phones writing a letter might seem out of fashion. However, learners of a foreign language should know how to do it. Here you

Részletesebben

EXKLUZÍV AJÁNDÉKANYAGOD A Phrasal Verb hadsereg! 2. rész

EXKLUZÍV AJÁNDÉKANYAGOD A Phrasal Verb hadsereg! 2. rész A Phrasal Verb hadsereg! 2. rész FONTOS! Ha ennek az ajándékanyag sorozatnak nem láttad az 1. részét, akkor mindenképpen azzal kezdd! Fekete Gábor www.goangol.hu A sorozat 1. részét itt éred el: www.goangol.hu/ajandekok/phrasalverbs

Részletesebben

2. Local communities involved in landscape architecture in Óbuda

2. Local communities involved in landscape architecture in Óbuda Év Tájépítésze pályázat - Wallner Krisztina 2. Közösségi tervezés Óbudán Óbuda jelmondata: Közösséget építünk, ennek megfelelően a formálódó helyi közösségeket bevonva fejlesztik a közterületeket. Békásmegyer-Ófaluban

Részletesebben

sorozat 563 018, 563 131 Katalógus füzetek

sorozat 563 018, 563 131 Katalógus füzetek sorozat 563 018, 563 131 Katalógus füzetek Bosch Rexroth AG Pneumatics sorozat 563 018, 563 131 4/2 szelep, sorozat 563 018 Qn = 300 l/min, Menetes csatlakozás G1/8, önálló és kapcsolótáblás beszereléshez

Részletesebben

Learn how to get started with Dropbox: Take your stuff anywhere. Send large files. Keep your files safe. Work on files together. Welcome to Dropbox!

Learn how to get started with Dropbox: Take your stuff anywhere. Send large files. Keep your files safe. Work on files together. Welcome to Dropbox! Learn how to get started with Dropbox: 1 2 3 4 Keep your files safe Take your stuff anywhere Send large files Work on files together Welcome to Dropbox! 1 Keep your files safe Dropbox lets you save docs,

Részletesebben

Utasítások. Üzembe helyezés

Utasítások. Üzembe helyezés HASZNÁLATI ÚTMUTATÓ Üzembe helyezés Utasítások Windows XP / Vista / Windows 7 / Windows 8 rendszerben történő telepítéshez 1 Töltse le az AORUS makróalkalmazás telepítőjét az AORUS hivatalos webhelyéről.

Részletesebben

Cloud computing. Cloud computing. Dr. Bakonyi Péter.

Cloud computing. Cloud computing. Dr. Bakonyi Péter. Cloud computing Cloud computing Dr. Bakonyi Péter. 1/24/2011 1/24/2011 Cloud computing 2 Cloud definició A cloud vagy felhő egy platform vagy infrastruktúra Az alkalmazások és szolgáltatások végrehajtására

Részletesebben

Tudok köszönni tegezve és önözve, és el tudok búcsúzni. I can greet people in formal and informal ways. I can also say goodbye to them.

Tudok köszönni tegezve és önözve, és el tudok búcsúzni. I can greet people in formal and informal ways. I can also say goodbye to them. Mérleg Your checklist Az alábbiakban a MagyarOK 1. tankönyv témáinak listáját találja. A mondatok mellett a kapcsolódó oldalak és gyakorlatok számát is megadtuk, hogy megkönnyítsük az ismétlést. This document

Részletesebben

TÁMOPͲ4.2.2.AͲ11/1/KONVͲ2012Ͳ0029

TÁMOPͲ4.2.2.AͲ11/1/KONVͲ2012Ͳ0029 AUTOTECH Jármipari anyagfejlesztések: célzott alapkutatás az alakíthatóság, hkezelés és hegeszthetség témaköreiben TÁMOP4.2.2.A11/1/KONV20120029 www.autotech.unimiskolc.hu ANYAGSZERKEZETTANI ÉS ANYAGTECHNOLÓGIAI

Részletesebben

Számtani sorozatok multiplikatív tulajdonságú halmazokban

Számtani sorozatok multiplikatív tulajdonságú halmazokban Számtani sorozatok multiplikatív tulajdonságú halmazokban MTA doktori értekezés tézisei Hajdu Lajos Debrecen, 2009 Tartalomjegyzék I. A kit zött kutatási feladat rövid összefoglalása............... 1

Részletesebben

MATEMATIKA ANGOL NYELVEN MATHEMATICS

MATEMATIKA ANGOL NYELVEN MATHEMATICS ÉRETTSÉGI VIZSGA 2006. május 9. MATEMATIKA ANGOL NYELVEN MATHEMATICS 2006. május 9. 8:00 EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA ADVANCED LEVEL WRITTEN EXAM Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc The exam

Részletesebben

N É H Á N Y A D A T A BUDAPESTI ÜGYVÉDEKRŐ L

N É H Á N Y A D A T A BUDAPESTI ÜGYVÉDEKRŐ L K Ö Z L E M É N Y E K N É H Á N Y A D A T A BUDAPESTI ÜGYVÉDEKRŐ L DR. HEINZ ERVIN A népesedésstatisztika igen fontos mutatószámai a népesség kormegoszlására és annak változására vonatkozó adatok. Ezért

Részletesebben

BÍRÁLATOK ÉS KONFERENCIÁK

BÍRÁLATOK ÉS KONFERENCIÁK BÍRÁLATOK ÉS KONFERENCIÁK Sass Bálint sass.balint@itk.ppke.hu témavezető: dr. Prószéky Gábor Doktoranduszi szeminárium 2008. november 7. 1 BÍRÁLATOK 2 KONFERENCIÁK 3 CFP DB 1 BÍRÁLATOK 2 KONFERENCIÁK 3

Részletesebben

A DEBRECENI MÉRNÖK INFORMATIKUS KÉPZÉS TAPASZTALATAIRÓL. Kuki Attila Debreceni Egyetem, Informatikai Kar. Összefoglaló

A DEBRECENI MÉRNÖK INFORMATIKUS KÉPZÉS TAPASZTALATAIRÓL. Kuki Attila Debreceni Egyetem, Informatikai Kar. Összefoglaló A DEBRECENI MÉRNÖK INFORMATIKUS KÉPZÉS TAPASZTALATAIRÓL TEACHING EXPERIENCES OF THE IT ENGINEERING COURSE OF UNIVERSITY OF DEBRECEN Kuki Attila Debreceni Egyetem, Informatikai Kar Összefoglaló A Debreceni

Részletesebben

NYOMÁSOS ÖNTÉS KÖZBEN ÉBREDŐ NYOMÁSVISZONYOK MÉRÉTECHNOLÓGIAI TERVEZÉSE DEVELOPMENT OF CAVITY PRESSURE MEASUREMENT FOR HIGH PRESURE DIE CASTING

NYOMÁSOS ÖNTÉS KÖZBEN ÉBREDŐ NYOMÁSVISZONYOK MÉRÉTECHNOLÓGIAI TERVEZÉSE DEVELOPMENT OF CAVITY PRESSURE MEASUREMENT FOR HIGH PRESURE DIE CASTING Anyagmérnöki Tudományok, 39/1 (2016) pp. 82 86. NYOMÁSOS ÖNTÉS KÖZBEN ÉBREDŐ NYOMÁSVISZONYOK MÉRÉTECHNOLÓGIAI TERVEZÉSE DEVELOPMENT OF CAVITY PRESSURE MEASUREMENT FOR HIGH PRESURE DIE CASTING LEDNICZKY

Részletesebben

EnergiaOtthon. Energy Home. Coal-burning. Széntüzelésű. Elektromos

EnergiaOtthon. Energy Home. Coal-burning. Széntüzelésű. Elektromos 1. Activity feladatlap card 1 Energy Energiaforrások sources Name Név: Match Párosítsd the a things bal oldalon on the levő left dolgokat to an energy azokkal source a jobb on oldali the right energiaforrásokkal,

Részletesebben

Rezgésdiagnosztika. Diagnosztika 02 --- 1

Rezgésdiagnosztika. Diagnosztika 02 --- 1 Rezgésdiagnosztika Diagnosztika 02 --- 1 Diagnosztika 02 --- 2 A rezgéskép elemzésével kimutatható gépészeti problémák Minden gép, mely tartalmaz forgó részt (pl. motor, generátor, szivattyú, ventilátor,

Részletesebben

INTELLIGENT ENERGY EUROPE PROGRAMME BUILD UP SKILLS TRAINBUD. Quality label system

INTELLIGENT ENERGY EUROPE PROGRAMME BUILD UP SKILLS TRAINBUD. Quality label system INTELLIGENT ENERGY EUROPE PROGRAMME BUILD UP SKILLS TRAINBUD WP4: Deliverable 4.5 Development of voluntary qualification system Quality label system 1 INTELLIGENT ENERGY EUROPE PROGRAMME BUILD UP SKILLS

Részletesebben

A vitorlázás versenyszabályai a 2013-2016. évekre angol-magyar nyelvű kiadásának változási és hibajegyzéke

A vitorlázás versenyszabályai a 2013-2016. évekre angol-magyar nyelvű kiadásának változási és hibajegyzéke A vitorlázás versenyszabályai a 2013-2016. évekre angol-magyar nyelvű kiadásának változási és hibajegyzéke A dokumentum A vitorlázás versenyszabályai a 2013-2016. évekre angol-magyar nyelvű kiadásában

Részletesebben

Sectio Juridica et Politico, Miskolc, Tomus XXVII/2. (2009), pp. 573-579 A FOGVA TARTOTTAK MUNKAVÉGZÉSÉRŐL RÁCZ ZOLTÁN *-RÁCZ ORSOLYA"

Sectio Juridica et Politico, Miskolc, Tomus XXVII/2. (2009), pp. 573-579 A FOGVA TARTOTTAK MUNKAVÉGZÉSÉRŐL RÁCZ ZOLTÁN *-RÁCZ ORSOLYA Sectio Juridica et Politico, Miskolc, Tomus XXVII/2. (2009), pp. 573-579 A FOGVA TARTOTTAK MUNKAVÉGZÉSÉRŐL RÁCZ ZOLTÁN *-RÁCZ ORSOLYA" Bevezetés Kutatásunkat a témában azért kezdtük meg, mert ez egy speciális

Részletesebben

Hatékony Online Angol tanfolyam - TARTALOMJEGYZÉK

Hatékony Online Angol tanfolyam - TARTALOMJEGYZÉK Hatékony Online Angol Tanfolyamom egy jól felépített tanfolyam, amit saját otthonodból, saját időbeosztással tanulhatsz, akár egyedül is. Tanfolyamom célja: megadja azt a képességet, hogy a mindennapi

Részletesebben

1. Gyakorlat: Telepítés: Windows Server 2008 R2 Enterprise, Core, Windows 7

1. Gyakorlat: Telepítés: Windows Server 2008 R2 Enterprise, Core, Windows 7 1. Gyakorlat: Telepítés: Windows Server 2008 R2 Enterprise, Core, Windows 7 1.1. Új virtuális gép és Windows Server 2008 R2 Enterprise alap lemez létrehozása 1.2. A differenciális lemezek és a két új virtuális

Részletesebben

Könnyen bevezethető ITIL alapú megoldások a Novell ZENworks segítségével. Hargitai Zsolt Sales Support Manager Novell Hungary

Könnyen bevezethető ITIL alapú megoldások a Novell ZENworks segítségével. Hargitai Zsolt Sales Support Manager Novell Hungary Könnyen bevezethető ITIL alapú megoldások a Novell ZENworks segítségével Hargitai Zsolt Sales Support Manager Novell Hungary Napirend ITIL rövid áttekintés ITIL komponensek megvalósítása ZENworks segítségével

Részletesebben

Vállalati kockázatkezelés jelentősége

Vállalati kockázatkezelés jelentősége www.pwc.com/hu Vállalati kockázatkezelés jelentősége Fedor Péter 2013. szeptember 19. Miről lesz szó 1. Mi is az az ERM? 2. Miért fontos? 3. Gyakorlati sajátosságok PwC Magyarország Mi is az az ERM? PwC

Részletesebben

A Vertex Bútor Kft. legújabb fürdőszoba katalógusát tartod a kezedben.

A Vertex Bútor Kft. legújabb fürdőszoba katalógusát tartod a kezedben. 105 A Vertex Bútor Kft. legújabb fürdőszoba katalógusát tartod a kezedben. A közvetlen beszerzésen és a személyes kapcsolatokon alapuló üzletpolitikánk lehetővé teszi termékeink legkedvezőbb áron való

Részletesebben

1. Az ezekhez tartozó. egyenlet megoldásai: k 360. forgásszögek a. Két különböz egységvektor van, amelyek els koordinátája

1. Az ezekhez tartozó. egyenlet megoldásai: k 360. forgásszögek a. Két különböz egységvektor van, amelyek els koordinátája 8. modu: EGYSERBB TRIGONOMETRIKUS EGYENLETEK, EGYENLTLENSÉGEK 5 III. Trigonometrius egyenete Azoat az egyeneteet és egyentenségeet, ameyeben az ismereten vaamiyen szögfüggvénye szerepe, trigonometrius

Részletesebben

PONTOS IDŐ MEGADÁSA. Néha szükséges lehet megjelölni, hogy délelőtti vagy délutáni / esti időpontról van-e szó. Ezt kétféle képpen tehetjük meg:

PONTOS IDŐ MEGADÁSA. Néha szükséges lehet megjelölni, hogy délelőtti vagy délutáni / esti időpontról van-e szó. Ezt kétféle képpen tehetjük meg: PONTOS IDŐ MEGADÁSA EGÉSZ ÓRÁK MEGADÁSA ( óra van. ) Az óra száma után tesszük az o clock kifejezést. pl. It s 7 o clock. (7 óra van.) A britek az órák számát csak 12-ig mérik. Náluk nincs pl. 22 óra!

Részletesebben

sorozat WV02 Katalógus füzetek

sorozat WV02 Katalógus füzetek sorozat WV02 Katalógus füzetek 2 Bosch Rexroth AG Pneumatics sorozat WV02 5/2 szelep, sorozat WV02 Qn = 500 l/min, egyoldali vagy kétoldali működtetésű 3 5/3 szelep, sorozat WV02 Qn = 250-400 l/min, mindkét

Részletesebben

Újraszabni Európa egészségügyét II. rész

Újraszabni Európa egészségügyét II. rész Újraszabni Európa egészségügyét II. rész A dokumentum első részét lapunk előző számában olvashatják Tisztelt Olvasóink! Ezzel a jelszóval indítja programdokumentumát a European ehealth Task Force munkacsoport

Részletesebben

PIACI HIRDETMÉNY / MARKET NOTICE

PIACI HIRDETMÉNY / MARKET NOTICE PIACI HIRDETMÉNY / MARKET NOTICE HUPX DAM Másnapi Aukció / HUPX DAM Day-Ahead Auction Iktatási szám / Notice #: Dátum / Of: 18/11/2014 HUPX-MN-DAM-2014-0023 Tárgy / Subject: Változások a HUPX másnapi piac

Részletesebben

Vágógyűrűs csatlakozók. Katalógus füzetek

Vágógyűrűs csatlakozók. Katalógus füzetek Vágógyűrűs csatlakozók Katalógus füzetek Bosch Rexroth AG Pneumatics Vágógyűrűs csatlakozók Vágógyűrűs csatlakozók Műszaki adatok 3 Egyenes külső menetes csatlakozó, AN típus Ø 4 - Ø 6 4 egyenes belsőmenetes

Részletesebben