KVANTITATÍV MÓDSZEREK

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "KVANTITATÍV MÓDSZEREK"

Átírás

1 Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Gazdaság- és Társadalomtudományi Kar Üzleti Tudományok Intézet KVANTITATÍV MÓDSZEREK Példatár megoldásokkal Dr. Kövesi János Dr. Tóth Zsuzsanna Eszter Budapest 8

2 Tartalomjegyzék Valószínűségszámítási tételek. Feltételes valószínűség. Események függetlensége Feltételes valószínűség... 3 Teljes valószínűség tétele... 5 Bayes-tétel... 9 Események függetlensége... Leíró statisztika... 4 Valószínűségi változó. Elméleti eloszlások... 3 Binomiális eloszlás... 3 Poisson-eloszlás... 4 Exponenciális eloszlás... 6 Normális eloszlás... 8 Döntéselmélet... 3 Első- és másodfajú hiba Becslés Hipotézisvizsgálatok... 4 Felhasznált irodalmak... 49

3 Valószínűségszámítási tételek. Feltételes valószínűség. Események függetlensége. Feltételes valószínűség. Ha nagyon sok kétgyermekes család közül véletlenszerűen választunk egyet, és megtudjuk, hogy legalább az egyik gyermek leány, mekkora a valószínűsége annak, hogy van fiú is a családban? Egy kétgyermekes családban négy egyenlő valószínűségű eset fordulhat elő a gyermekek nemét illetően, mivel mind az első, mind a második gyermek egyenlő valószínűséggel lehet leány vagy fiú: Leány-leány Leány-fiú Fiú-leány Fiú-fiú A esemény: az egyik gyermek leány B esemény: van fiú a családban Feladat, hogy az A teljesülése mellett vizsgáljuk a B esemény valószínűségét. A B) B A) A) Az (A B) esemény a fenti 4 lehetőségből kétszer áll fenn, így A B)=/4=/=,5 Az A esemény, vagyis hogy legalább leány van a családban, a négy esetből háromszor teljesül: A)=3/4 A B) / 4 4 P ( B A) A) 3/ Tehát /3 a valószínűsége annak, hogy van fiú a kétgyermekes családban, ha tudjuk, hogy legalább az egyik gyermek leány.. Egy kockát kétszer feldobnak. Mennyi a valószínűsége, hogy a dobott számok összege 7 lesz? Elvégzik az első dobást. Eredményül páros szám adódott (ezt közölték velünk). Mekkora a valószínűsége ezek után annak, hogy a két dobás összege 7 lesz? Melyik valószínűség a nagyobb? Elsőre dobhatunk 6-féle értéket (-6 között), és ugyanez igaz a második dobásra is. Így az összes dobáslehetőség száma: 36 (=n). Ebből a kedvező esetek száma, vagyis hogy a dobott 3 3

4 számok összege 7 lesz: -6; -5; 3-4; 4-3; 5-; 6-; azaz összesen 6 ilyen eset van (=k). Így az k 6 első kérdésre a válasz: n 36 6 Az első dobás alapján kapott információ (páros lett az első dobás) a következő számpárok jönnek számításba: -i; 4-i; 6-i; ahol i a második feldobás eredményét mutatja, vagyis: i=,, 3, 4, 5, 6. Így az összes lehetőség (=n) száma: 8. Az összes lehetőségen belül a kedvező esetek száma, vagyis, hogy a két dobás összege 7 lesz: -5; 4-3; 6-, vagyis összesen 3 (=k). k 3 Így a második kérdésre a válasz: n 8 6 Látható, hogy az a közlés, hogy az első dobás eredménye páros szám lett, nem befolyásolta annak a valószínűségét, hogy a dobott számok összege 7 lesz. 3. Egy 3 lapos kártyacsomagból 4 lapot húzunk egymás után, visszatevés nélkül. Mennyi a valószínűsége, hogy az első kettő király, a harmadik felső, a negyedik pedig ász? Legyen A az az esemény, hogy az első húzás eredménye király; A legyen az az esemény, hogy a második is király; A 3 az, hogy a harmadik húzás eredménye felső, végül pedig, A 4 legyen az az esemény, hogy a negyedik húzás eredménye ász. Visszatevés nélküli esetben: A A A A ) A ) A A ) A ( A A )) A ( A A A )) , Valamilyen vegyszerrel szúnyogirtást végeztek. Azt tapasztalták, hogy az első permetezésnél a szúnyogok 8%-a elpusztult, az életben maradottakban azonban annyi ellenállóképesség fejlődött ki, hogy a második permetezés során már csak a szúnyogok 4%-a pusztult el. A harmadik irtás során a szúnyogok %-a pusztult már csak el. Mennyi a valószínűsége, hogy egy szúnyog a három irtószer-alkalmazást túléli? Mekkora annak a valószínűsége, hogy egy szúnyog még két irtószer-alkalmazást túlél, feltéve, hogy az elsőt túlélte? Legyen A i az az esemény, hogy a szúnyog az i-edik irtást túléli. Így a következő valószínűségeket ismerjük: P ( A ), P ( A A), 6 P A ( A A ), 8 ( 3 Az első kérdésre a válasz, vagyis, hogy mennyi a valószínűsége annak, hogy egy szúnyog három irtószer alkalmazását túléli, a fenti három valószínűség szorzataként adódik:,,6,8,96 A A A3 ),96 P (( A A3 ) A ),48 A ), 4 3 4

5 Teljes valószínűség tétele. Három urnában fehér és fekete golyók vannak elhelyezve. Az elsőben fehér és 3 fekete; a másodikban 3 fehér és 4 fekete; a harmadikban 4 fehér és 5 fekete golyó van. A kísérlet abban áll, hogy véletlenszerűen kiválasztunk egy urnát: legyen /, /3 és /6 rendre az első, a második és a harmadik urna kiválasztásának a valószínűsége. Ezután a kiválasztott urnából véletlenszerűen kihúzunk egy golyót úgy, hogy mindegyik golyó kihúzásának a valószínűsége egyenlő legyen. Mennyi annak a valószínűsége, hogy fehér golyót húzunk? Legyen B, B, B 3 annak a valószínűsége, hogy az első, a második és a harmadik urnát választjuk ki. A legyen az az esemény, hogy fehér golyót húzunk ki. B ) / B B ) / 6 3 A B ) /5 A B ) / 3 ) 3/ 7 A B ) 4/9 3 A) 5 3 4, Tehát 4,7% a valószínűsége annak, hogy fehér golyót húzunk.. Két urnában golyók vannak. Az egyikben 5 fehér és 4 piros, a másikban 5 piros és 7 fehér. Az egyik urnából kiveszünk két golyót. Feltételezve, hogy a két urna közül egyenlő valószínűséggel választunk, mennyi a valószínűsége annak, hogy mindkét golyó fehér színű lesz? Ugyanilyen feltételek mellett, mennyi a valószínűsége annak, hogy a kihúzott két golyó közül legalább az egyik fehér lesz? Legyen B az az esemény, hogy az első urnából húzunk, B pedig, hogy a másodikból. Az A esemény pedig jelentse azt, hogy mindkét golyó fehér. Feltétel: P ( B ) B ) P ( A B ),77, ugyanígy P ( A B ), A teljes valószínűség tételét felhasználva: P ( A),77,38, 975 Tehát 9,75% a valószínűsége annak, hogy mindkét kihúzott golyó fehér lesz. 5

6 A második kérdés megválaszolásához C jelentse azt az eseményt, hogy a két golyó közül legalább egy fehér. A feltételes valószínűségek megállapításához az ellentétes eseményekből indulunk ki, vagyis megnézzük, hogy mi a valószínűsége az egyik, illetve a másik urna esetében, hogy egyik kiválasztott golyó sem lesz fehér (vagyis mindkettő piros lesz), és az eredményt kivonjuk egyből P ( C B ), ugyanígy P ( C B ) A teljes valószínűség tételét felhasználva a keresett valószínűség: 5 8 P ( C), ,% a valószínűsége annak, hogy a kihúzott golyók közül legalább az egyik fehér lesz. 3. Azonos fajta autórádió előlapokból két tételünk van. Az első tétel 6, a második 3 darabból áll. Mindkét tételben egy-egy hibás darab van. Az első tételből egy véletlenszerűen kiválasztott darabot átteszünk a másodikba. Ezután a második tételből választunk egyet találomra, és ezt megvizsgáljuk. Mi a valószínűsége annak, hogy ez a darab selejtes? Jelentse A esemény azt, hogy a második tételből selejtest húzunk. Jelentse B azt, hogy az első tételből jót, B pedig azt, hogy hibásat tettünk át a másodikba. Ezeknek a valószínűségei: 5 P ( B ) ; B ) 6 6 Ha B következett be, akkor a második tételben 33 darabból csak egy selejtes van, és az A esemény feltételes valószínűsége: P ( A/ B ) ; ha viszont B következett be, akkor két 33 selejtes darab van a második tételben, így ebben az esetben a feltételes valószínűség: P ( A B ). 33 Alkalmazzuk a teljes valószínűség tételét: 5 P ( A) A B ) B ) A B ) B ) ,34 Vagyis 3,4% a valószínűsége annak, hogy a második tételből selejtest húzunk. 4. Mikrohullámú sütők forgótányérjának kísérleti gyártását végzik egy gyárban. Három tétel mikrohullámú sütő készül el. Az első két tétel a teljes mennyiség egy-egy negyedét, a harmadik tétel pedig a felét adja. A minőségellenőrzés során kiderül, hogy az előírt működési óraszámot az első tétel %-a, a másodiknak %-a, a harmadiknak 8%-a éri el. Mennyi a valószínűsége annak, hogy egy találomra kiszemelt mikrohullámú sütő az előírt ideig működik? 6

7 A az az esemény, hogy a mikrohullámú sütő forgótányérja az előírt ideig üzemel. B, B és B 3 jelentse azt, hogy a kiválasztott darab az első, a második vagy a harmadik tételből való. A B i események valószínűségei rendre: P ( B ) ; B ) ; B3) 4 4 Felírjuk az A eseménynek a B i feltételek melletti valószínűségét, vagyis azt, hogy az egyes tételekből választott forgótányérok milyen valószínűséggel működnek a megfelelő ideig: P ( A B ) /; A B ) /; A B3 ) 8/ A teljes valószínűség tételét alkalmazva: 3 P ( A) A B ) i i B i ) Vagyis,5% a valószínűsége annak, hogy hibátlan darabot választunk.,5,5% 5. Egy műhelyben három műszakban termelnek azonos fajta árut. Egy napon az összes termelt áruból az első műszakban 4%, a másodikban és a harmadikban 3-3% készült. Az első műszakban készült áruk 5%-a, a másodikban gyártottak 7%-a, a harmadikban termeltek %-a hibás. A három műszakban elkészült teljes mennyiségből a minőségellenőr találomra kiválaszt egy darabot, és megvizsgál. Mennyi a valószínűsége, hogy ez hibátlan? Legyen A az az esemény, hogy a találomra kiválasztott darab hibátlan. B, B, és B 3 pedig jelentse azt, hogy a kiválasztott darab az első, a második, illetve a harmadik műszakban került legyártásra. Ezen események valószínűsége: P ( B ),4 P ( B ), 3 P ( B 3 ), 3 Felírjuk az A eseménynek a B i események melletti feltételes valószínűségeit: P ( A B ),5,95 P ( A B ),7, 93 P ( A B3 ),, 9 Végül alkalmazzuk a teljes valószínűség tételét: P ( A),4,95,3,93,3,9,99 9,9% a valószínűsége annak, hogy kiválasztott darab hibátlan lesz. 7

8 6. Egy egyetemi évfolyam végzett felmérésből tudjuk, hogy a női hallgatók 6%-a, a férfi hallgatók 4%-a dohányzik. Valaki így okoskodik: Ha egy személyt véletlenszerűen kiválasztunk, az a személy vagy nő, vagy férfi. A két esemény egymást kizárja. Annak a valószínűsége tehát, hogy a kiválasztott személy dohányzik, egyenlő a,6 és,4 valószínűségek összegével, tehát -gyel. Hol a hiba? A hiba ott van, hogy az adott,6 és,4 valószínűségek csak feltételes valószínűségek, mégpedig, ha A azt jelenti, hogy a kiválasztott személy dohányzik, B azt, hogy az illető nő, B pedig, hogy férfi, akkor: P ( A B ),6 és P ( A B ), 4, és az A valószínűségét a teljes valószínűség tétele mellett a P A) A B ) B ) A B ) ) képlet adja meg. A feladatmegoldó a B és B ( B valószínűségekről feledkezett meg. 7. Egy posztgraduális vizsgán a Menedzser szakos hallgatók 6%-a, az MBA szakos hallgatók 8%-a szerepel sikeresen. A Menedzser szakos hallgatók az évfolyam 5%-át teszik ki. Mennyi a valószínűsége annak, hogy egy találomra kiválasztott hallgató sikeresen vizsgázik? A legyen az az esemény, hogy a kiválasztott hallgató sikeresen vizsgázik. B esemény jelentse azt, hogy a kiválasztott hallgató Menedzser, B pedig, hogy MBA hallgató. Ennek valószínűségei: P ( B ),5 és P ( B ), 85 Az A eseménynek a B i események melletti feltételes valószínűségei adottak: P ( A B ),6 és P ( A B ), 8 A teljes valószínűség tételét alkalmazva: P A) A B ) B ) A B ) B ),5,6,85,8 ( 77% a valószínűsége annak, hogy egy találomra kiválasztott hallgató sikeresen szerepel a vizsgán.,77 8

9 Bayes-tétel. azonos alakú doboz közül az első 9-ben 4-4 golyó van, mégpedig fehér és kék. A tizedik dobozban 5 fehér és kék golyó van. Az egyik találomra kiválasztott dobozból véletlenszerűen kiveszünk egy golyót. Mi a valószínűsége annak, hogy ez a tizedik dobozból való, ha a kivett golyó fehér? Jelöljük A-val azt az eseményt, hogy fehéret húztunk. B j -vel jelöljük azt, hogy a j-edik dobozból választottunk. Ezeknek a valószínűsége azonos: B j )=/. Az A esemény B j feltétel melletti feltételes valószínűségére a következő áll fenn: A/B j )=/, ha j=,,3 9 A/B )=5/6 P ( B A) A B) B) A B ) B ) j ( ) j j Tehát 5,65% a valószínűsége annak, hogy egy fehér golyót éppen a. dobozból húzunk. Másik megoldás: Az A ismét az az esemény, hogy fehéret húzunk. B jelentse azt, hogy a kilenc egyforma közül húzunk (bármelyikből), B pedig jelentse azt, hogy a.-ből húzunk. Így B )=9/; B )=/. A/ B )=/, A/ B )=5/6. Innentől a megoldás menete ugyanaz.. Egy forgácsoló üzemben elkészült munkadarabok 96%-a felel meg a súlyszabványnak. A minőség-ellenőrzés során az elkészült munkadarabok egy részét megvizsgálták, a súly szempontjából szabványos darabok 98%-a bizonyult alakra jónak, a nem szabványos súlyú darabokból pedig 5%-ot nyilvánítanak alakra jónak. Mennyi a valószínűsége annak, hogy egy darab, amely a minőségellenőrzésen alakra jónak bizonyult, megfelel a súlyszabványnak? A az az esemény, hogy a munkadarab alakra jónak bizonyul. Legyen B az az esemény, hogy a vizsgált darab súlya szabványos, a B pedig, hogy a darab súlya nem szabványos. A feladatban adott valószínűségek: B ),96 B A B ),98 A B ),4 ),

10 A B esemény valószínűségét keressük az A esemény teljesülése esetén. Ezt a feltételes valószínűséget a Bayes-tétellel számoljuk ki: A B ) B ),9896 P ( B A),998 A B ) B ) A B ) B ),98,96,5,4 Tehát 99,8% a valószínűsége annak, hogy a minőségellenőrzésen alakra jónak bizonyult darab súlya megfelel a szabványnak. 3. Egy biológiai kísérlet során egyedet három, 3 ill. 5 egyedből álló- csoportokra osztanak. Az első csoport egyedeit gyenge, a másodikét közepes, a harmadikét erős hatóanyaggal oltják be. A csoportokat ezután külön tárolják. Az oltás hatására az első csoportból 3, a másodikból, a harmadikból pedig 39 megy keresztül valamilyen változáson. Ezután a csoportok elkülönítését megszüntetik. Ha az összes egyedből egyet találomra kiválasztunk és ennek vizsgálata azt mutatja, hogy nem ment keresztül változáson, akkor mennyi a valószínűsége annak, hogy a kiválasztott egyed a második csoportból való? A az az esemény, hogy a kiválasztott egyed nem megy keresztül változáson. A B j azt jelenti, hogy a kiválasztott egyed a j-edik csoportból való. 3 5 B ) ; B ) ; B3 ) 7 A B ) ; A B ) ; A B3 ) A B ) B ) B ) 3 A A B ) ( ) j P B j 3 5 j ,67% Tehát 4,67% annak a valószínűsége, hogy a kiválasztott egyed a második csoportból való. 4. Tudjuk, hogy egy gyakorlatban résztvevő 8 lövész négy csoportba sorolható úgy, hogy közülük öten,8, heten,7, négyen,6, és ketten,5 valószínűséggel találnak a céltáblára. Véletlenül meglátunk közülük egy lövészt, aki egy lövést ad le, de ez nem talál a céltáblára. Melyik csoporthoz tartozik a legnagyobb valószínűséggel a lövész, és mennyi ez a valószínűség? A legyen az az esemény, hogy a lövész nem talál a céltáblára. A B i esemény legyen az, hogy a lövész az i-edik csoportba tartozik: P ( B ) P ( B ) P ( B 3 ) P ( B 4 ) Az A esemény B i események melletti feltételes valószínűsége:

11 P ( A B ), P ( A B ), 3 P ( A B3 ), 4 P ( A B4 ), 5 A B i események A feltétel melletti feltételes valószínűségét Bayes tételével számoljuk ki. A Bi ) Bi ) P ( Bi / A) 4 A B ) B ) j j j E fenti valószínűségek (i=,, 3, 4) közül a legnagyobbat keressük. 5 A B ) B ), A B ) B ), A B3 ) B3 ),4 8 8 A B4 ) B4 ),5 8 8 Azt kaptuk, hogy a másodiknak a legnagyobb a számlálója. Így a B eseménynek az A feltétel melletti feltételes valószínűsége: A B ) B ) 8 P ( B A) A B ) ( ) j P B j j Tehát a találomra kiválasztott lövész a legnagyobb valószínűséggel a második csoportból való, és ez a valószínűség: 7/9. 7 9

12 Események függetlensége. Ketten lőnek céltáblára. A találat valószínűsége az első személy esetében,7; a második esetében,6. A találatok egymástól függetlenek. Ha mindketten egy-egy lövést adnak le, mennyi a valószínűsége annak, hogy legalább egy találat van a céltáblán. Legyen A az az esemény, hogy az első személy talál, és B jelentse azt, hogy a második találatot ér el. Az (A+B) esemény azt jelenti, hogy legalább egy találat van a céltáblán. Ennek a valószínűségére vagyunk kíváncsiak és felhasználjuk azt is, hogy az A és B események függetlenek: A B) A) B) A B) A) B) A) B),7,6,7,6,3,4,88 Tehát,88 a valószínűsége annak, hogy a céltáblán legalább egy találat van.. Két, egymástól függetlenül dolgozó szerszámgépen azonos fajta alkatrészeket gyártanak. Az első gépen,8, a második gépen,7 valószínűséggel kapunk első osztályú alkatrészeket, az ugyanazon a gépen gyártott alkatrészek is függetlenek egymástól. Az első gép gyártmányaiból 3, a második gép gyártmányaiból pedig alkatrészt választunk találomra és megvizsgáljuk őket. Mennyi a valószínűsége annak, hogy mind az 5 első osztályú? Legyen A a szóban forgó esemény. A függetlenség alapján 3 P ( A),8,7,5 Tehát 5,% a valószínűsége annak, hogy a vizsgált alkatrészek mind első osztályúak. 3. Két dobozban golyók vannak, amelyek csak színeikben különböznek. Az első dobozban 5 fehér, fekete és 8 piros, a másodikban fehér, 8 fekete és 6 piros golyó van. Mindkét dobozból találomra kiveszünk egyet. Mennyi a valószínűsége annak, hogy a két kiválasztott golyó azonos színű? Legyen A az az esemény, hogy a két kiválasztott golyó azonos színű. A két húzás egymástól független. Háromféle, egymást kizáró esemény összegeként adódik az A, mégpedig úgy, hogy vagy mindkét dobozból fehéret, vagy mindkét dobozból feketét, vagy mindkét dobozból pirosat húzunk. Így az A esemény valószínűsége: P ( A), Tehát 3% annak a valószínűsége, hogy a két dobozból azonos színű golyót húzunk.

13 4. Három szabályos kockát dobunk fel egyszerre. Mennyi a valószínűsége annak, hogy mindhárom kockán a felülre kerülő pontérték legalább öt? Jelöljük a vizsgált eseményt A-val. Egy kocka esetén az 5-ös és a 6-os dobás valószínűsége külön-külön /6. Ezek a lehetőségek egymást kizárják, így annak a valószínűsége, hogy egy kockával 5-öst vagy 6-ost dobunk a két esemény összegének a valószínűsége: /3. A három kockán kapott pontértékek egymástól függetlenek. Annak valószínűsége, hogy az A esemény következik be, azaz a kockák mindegyikén az 5-ös vagy 6-os pontértékek valamelyike kerül felülre, a független események szorzatára vonatkozó összefüggés alapján: 3 P ( A), így /7 annak a valószínűsége, hogy legalább öt a felül látható pontérték 3 7 az egyes kockákon. 5. Frici és Gizi a következő feltételek mellett játszanak önálló játszmákat. Frici kezdi a játékot, és,3 valószínűséggel nyerhet az első játszmában. Ha nem nyeri meg az első játszmát, akkor Gizi következik és ebben a második játszmában,5 valószínűséggel győzhet. Ha győz, akkor a játéknak vége. Ha azonban Gizi veszít, akkor ismét Frici következik, és, valószínűséggel nyerheti meg a harmadik játszmát. Ha Frici a harmadik játszmában veszít, a játék döntetlenül ér véget. Melyik játékosnak van nagyobb esélye a győzelemre a játékban? Jelöljük A-val azt az eseményt, hogy Frici nyeri a játékot, és B-vel azt az eseményt, hogy Gizi a győztes. Az egyes játszmák eredményeit független kísérletek eredményeinek tekintjük, így együttes bekövetkezésük valószínűsége az egyes események valószínűségének a szorzata. Ezek alapján A valószínűsége: P ( A),3,7,5,,3,7,37 A B esemény úgy jön létre, hogy Frici az első játszmában veszít, Gizi pedig a másodikban győz. Ezek az események is függetlenek, és B valószínűségét így valószínűségeik szorzata adja: P ( B),7,5,35 Az A esemény valószínűsége nagyobb, mint a B-é, így a két játékos közül Frici esélye nagyobb a győzelemre. 3

14 Leíró statisztika. A táblázat a Budapesti Értéktőzsde hivatalos indexének (BUX) száz napi záró értékéből számított hozamadatait tartalmazza. Készítse el az alábbi adatbázis részletes leíró statisztikai elemzését! Napi hozamok,896,63,9 -,74,38,45,85,754, -,3,846,86 -,4 -,76,,476,6 -,5,395 -,78,59,,8 -,567,865 -,836 -,,46,8,79 -,877,845,448,6,88,567,8,33,9,4,,58 -,3,9 -,8 -,43 -,676,6,47 -,365 -,759,3565,769,964 -,967,654,7 -,3,53 -,55 -,55,84,439,58 -,3858,39 -,37 -,45 -,9,6,69,359 -,7 -,4,758,8,438,44,44,79,6,758 -,6, -,43,483,57,43,8 -,7,48,358 -,69,87,83,43,493 -,39 -,54,54 Rangsor (oszloponként) -,567 -,8 -,43 -,4,,54,754,69,896,84 -,3858 -,55 -,39 -,5,48,567,85,33,9,865 -,76 -,6 -,365,6,7,6,8,38,45,964 -,967 -,3 -,3,8,39,6,845,359,47,358 -,877 -,55 -,3,87,43,6,,43,53,395 -,836 -, -,37,4,438,63,,46,758,3565 -,759 -,9 -,7,,44,6,9,493,758,439 -,74 -,78 -,45,,448,654,8,58,769,59 -,69 -,7 -,43,8,476,79,9,57,8,58 -,54 -,676 -,4,86,483,79,44,88,83,846. Osztályok számának meghatározása (egy lehetséges módszer) k N 7 8 h Y Y,846 (,567) max min h,8, k 7 4

15 . Gyakorisági táblázat 3. Kvartilisek meghatározása oszályközhosszúság f i g i f i ' g i ' -,567 -,365,%, -,365 -,63 6 6,% 8,8 -,63, ,% 44,44,39, ,% 8,8,4, ,% 97,97,443,645,% 99,99,645,847,% Az adatok egyenkénti ismeretéből kiindulva: s/ 4 5,5 4 Q,3,5,37 (,3), 375 Tehát ennél az értéknél az adatok ¼ része kisebb, ¾ része pedig nagyobb. 3 s3/ 4 75,75 4 Q3,43,75,46,43, 455 Ennél az értéknél az adatok ¾ része kisebb, ¼ része pedig nagyobb. 4. Medián A medián nem más, mint a középső kvartilis: s ˆ / 5,5 Me,483,5,54,483 A medián a két középső érték átlaga: Me (,483,54),535, 535 A medián becsülhető a gyakorisági táblázat alapján: N ' fme Me ˆ Y ' N me, hme f me fme ˆ 5 44 M e,39,, Módusz A 4. osztály a modális osztály, mert ebben a legnagyobb a tapasztalati gyakoriság: 5

16 d ˆ a Ymo, hmo d a fmo fmo d da d f fmo fmo f Mo M ˆo, Számtani átlag Az egyenként ismert adatokból számítva:,,556 (,567) (,3858)...,846,98497,6654 x,6654 A gyakorisági táblázatban szereplő információk alapján történő becslés: (,466) (,64) 6...,544,746,7536 x,7536 Osztályok Osztályközhossz. osztályközép fi osztályközép*fi di=osztályközép-xátl.becs. di fidi. -,567 -,365 -,466 -,93 -,466,76, ,365 -,63 -,64 6 -,584 -,64,697, ,63,39 -,6 36 -,3 -,6,384, ,39,4,4 38,53,4,96, ,4,443,34 5,53,34,696, ,443,645,544,88,544,9594, ,645,847,746,746,746,5565,55656 Összesen:,7536,46385 A táblázat utolsó három oszlopa a tapasztalati szórás becsléséhez szolgáltat majd információt! 7. Terjedelem R Y Y,846 (,567),43 max min 8. Interkvartilis terjedelemmutató R Q Q,455(,375),5 3, Tapasztalati szórások Adatok egyenkénti ismeretéből kiindulva: s j ( x j 99 x) j ( x j 99 x) Becslés gyakorisági táblázat alapján: s r i f i r i x x i f i 7 i f d i i r f i i j ( x,46385 j,6654) 99,54, ,88 6

17 Kumulált relatív gyakoriság Tapasztalati gyakoriság. Grafikus ábrázolás, hisztogram Gyakorisági hisztogram Osztály sorszáma Kumulált relatív gyakorisági hisztogram,,97,99,8,8,6,4,44,,8, Osztály sorszáma 7

18 . A g-os Omnia kávé töltési folyamatának két különböző napon mért nettó tömegértékei az alábbiak (a mérések a gyártási folyamatot követve, sorrendben történtek, kb. / óra alatt, egy négymérleges Hesser gép.sz. mérlegének töltését figyelve): egyik nap:,8,7,,,,4,5, 3,3,,,,,,3,,9,3,,,3,7,6,6,5,8,8,4,8,3,6,4 99,7,3,4,,,,9,,4,8,9,4,8,6,3,4,,4 másik nap:,4 99,3,5,,7,4 99,6,3 99,4,,,3 99,6,, 98,6,3 99, 99,5,3 98,5,,4 99,8,4 99,7,,,8 98,7 99,7 99,8 98,,6,5 99,9,,4,3 99,6 99,,7 99,,5,,,8,,3 99,8 Végezze el a statisztikai-szakmai elemzést! Számítsa ki az eloszlás statisztikai paramétereit! Mekkora a valószínűsége a tűréshatárokon való kivülesésnek, ha az alsó tűréshatár 98 g, a felső tűréshatár pedig g? 4. előadás diáinak végén. 8

19 3. Egy üdítőitalokat forgalmazó cég budapesti részlegénél dolgozó 6 értékesítési képviselő 5. január havi teljesítménye (kiszállított mennyiség, ezer rekesz): 5,6 6,8 3,5 8,8 3,3, 3,7 5,7 4,7 8,5 9, 6,6 9, 8,7 6,,5 4, 3, 5,9 3, 8,8 33,6 34,7 6,9 4,8,8 Számítsuk ki az átlagos teljesítményt, határozzuk meg a mediánt! Számítsuk ki az ismert szóródási mérőszámokat! Jellemezzük az eloszlás aszimmetriáját a Pearson-féle mutatószám segítségével! Készítsünk gyakorisági sort, és becsüljük meg a móduszt! Rangsor 8,5 8,8 3, 3, 3,3 3,5 3,7 4, 4,8 5,6 5,7 5,9 6, 6,6 6,9 8,7 8,8 9, 9,,,5,8 4,7 6,8 33,6 34,7 A, Számítsuk ki az átlagos teljesítményt, határozzuk meg a mediánt! Átlagos teljesítmény meghatározása számtani átlaggal: x x... xn 8 8, ,6 34,7 x 8ezer N 6 8 ezer rekesz az átlagos teljesítmény. Medián: 6,6,6 Me 6,35 6,35 ezer rekesznél többet teljesített az értékesítési képviselők fele, a másik fele kevesebbet. B, Számítsuk ki az ismert szóródási mérőszámokat! Terjedelem R X max X min 34,7 8,5 6, Szórás s (8 8) (8,5 8) Korrigált tapasztalati szórás s (8 8) (8,5 8)... (33,6 8) 6... (33,6 8) 5 (34,7 8) (34,7 8) 6,8 6,335 Átlagosan 6,335 ezer rekesszel tér el az egyes képviselők teljesítménye az átlagostól. 9

20 Relatív szórás: 6,8 V, Az egyes képviselők teljesítményének az átlagostól való átlagos eltérése 34,5%. Interkvartilis terjedelemmutató: s/ 4 (6 ) 6,75 4 Q 3,5,75 (3,7 3,5) 3,65 s 3 / 4 Q R 3 / 3 (6 ),5 4,,5 (,5,),75 Q 3 Q,75 3,65 6,65 Az értékesítési képviselők negyedének a teljesítménye 3,65 ezer rekesznél alacsonyabb, háromnegyedüké magasabb (Q ). Az értékesítési képviselők háromnegyedének teljesítménye,75 ezer rekesznél alacsonyabb, egynegyedüké magasabb (Q 3 ). Az interkvartilis terjedelemmutató azt fejezi ki, hogy az értékesítési képviselők felének teljesítménye 6,65 ezer rekesznyi sávban helyezkedik el. C, Jellemezzük az eloszlás aszimmetriáját a Pearson-féle mutatószám segítségével! 3 ( x Me) 3 (8 6,35) P,79 s 6, Erősebb (de még mérsékelt) baloldali aszimmetria. D, Készítsünk gyakorisági sort, és becsüljük meg a móduszt! k N, kb. 5 osztályt célszerű készíteni. h 34,7 8,5 5 5,4 Legyen 5,4 (kerekítéssel) az osztályköz-hosszúság! Osztályhatár gyakoriság 8,5 x<3,9 7 3,9 x<9,3 9,3 x<4,7 3 4,7 x<3, 3, x<35,5 Összesen: 6

21 megfigyelések száma 7 M oˆ 3,9 5,4 5,8 ( 7) ( 3) Az értékesített mennyiségek a 5,8 ezer rekesz körül tömörülnek. 4. Minőségellenőrzés keretében vizsgálták egy adott típushoz tartozó elektromos habverők élettartamát. A megfigyelés eredménye: Élettartam (év) Megfigyelések száma (db) 5, x<5,5 8 5,5 x<6, 8 6, x<6,5 5 6,5 x<7, 4 7, x<7,5 Összesen Ábrázoljuk a gyakorisági sort! Számítsuk ki a helyzeti középértékeket, az átlagot, a szórást, az aszimmetria egyik mérőszámát! a) Ábrázoljuk a gyakorisági sort! gyakorisági hisztogram ,-5,5 5,5-6, 6,-6,5 6,5-7, 7,-7,5 osztályok b) Számítsuk ki a helyzeti középértékeket, az átlagot, a szórást, az aszimmetria egyik mérőszámát! Élettartam (év) Megfigyelések száma (db) Kumulált gyakoriság (gyakoriságok) 5, x<5, ,5 x<6, , x<6, ,5 x<7, 4 7, x<7,5 Összesen

22 6 36 Me 6 *,5 6, 4 5 Mo 6 *,5 6, 3 6 8*5, 5... *7, 5 x 6,5 8(5, 5 6, 5)... *(7, 5 6, 5) s 3*(6, 5 6, 4) P,59,58,58 Enyhe bal oldali aszimmetria.

23 Valószínűségi változó. Elméleti eloszlások Binomiális eloszlás. Valaki találomra kitölt egy totószelvényt. Mennyi a valószínűsége annak, hogy az első hét mérkőzéshez az,, x lehetőségek közül legalább 5 helyre egyest választ? Legyen A az az esemény, hogy a szelvényt kitöltő egy mérkőzéshez -est ír. A) p / 3 így A) q p / 3 /3 A ξ valószínűségi változó jelentse az n=7 db mérkőzéshez beírt egyesek számát. n pk k) k n k 3 k 3 7k k 7k p q ( k,,...,7) Az az esemény, hogy az első hét mérkőzéshez legalább öt helyre -es kerül három, egymást kizáró esemény összegeként fogható fel: vagy öt, vagy hat, vagy hét helyre ír egyest a fogadó. Ezek a valószínűségek a binomiális eloszlás táblázatának segítségével (n=7; p=,3 és,35 értékeit átlagolva (vagy egyszerűen a,35-höz tartozó értéket alapul véve); k=5,6,7) a következők: p 5 p6 p7,358,6,4,4 Tehát kb. 4,% a valószínűsége annak, hogy legalább öt helyre -es kerül.. Mennyi a valószínűsége annak, hogy ha egy családban gyerek születik, akkor közülük éppen öt fiú lesz? Annak az eseménynek a valószínűsége, hogy fiú születik legyen az A esemény. p ( A) p / A leány születésének valószínűsége: p ( A) p q / A ξ valószínűségi változó jelentse az n= gyermek közül a fiúk számát. Annak az eseménynek a valószínűsége, hogy a ξ=5: p 5,46 4,6% (binomiális eloszlás táblázata: n=, p=,5, k=5) 3

24 3. Egy üzemben elektromos biztosítékokat gyártanak. A tapasztalat szerint átlagban ezek 5%-a hibás. Számítsuk ki annak a valószínűségét, hogy darab véletlenszerűen kiválasztott biztosíték között nincs selejtes, legalább egy selejtes van, nincs -nél több selejtes! p=,5 Annak a valószínűsége, hogy kiválasztott darab között nem lesz selejtes:,969 (táblázatban: p=,5; n=; k=) Annak a valószínűsége, hogy kiválasztott darab között legalább egy selejtes van (vagyis vagy annál több): ezt úgy is értelmezhetjük, mint azt a valószínűséget, amely a darab közötti selejt ellentett eseménye: -,969=,83 Annak a valószínűsége, hogy nincs -nél több selejtes, vagyis vagy selejtes van a között:,969+,3474=,5443 (táblázat alapján p=,5; n=; k=,) 4. Fej vagy írás játékkal kapcsolatos két eseményt tekintünk. Az egyik esemény: négy dobásból 3 fej, a másik: nyolc dobásból 5 fej. Állapítsuk meg, hogy melyik esemény valószínűsége nagyobb szabályos pénzdarab használata esetén! Legyen A az az esemény, hogy négy dobásból 3 a fej, és B pedig, hogy nyolc dobásból 5 a fej. Egy dobás esetén a fej dobásának valószínűsége: p=/ A)=,5 (táblázatból: p=,5; n=4; k=3) B)=,88 Tehát nagyobb az esélye annak, hogy négy dobásból háromszor dobunk fejet, mint annak, hogy nyolc dobásból ötször. Poisson-eloszlás. Kalácssütéskor kg tésztába 3 szem mazsolát tesznek. Mennyi a valószínűsége, hogy egy 5 dkg-os szeletben kettőnél több mazsolaszem lesz? (Feltételezzük, hogy a mazsolák száma Poisson-eloszlást követ.) Egy 5 dkg-os tésztába átlagosan 3/, azaz,5 mazsolaszem (=λ) jut. Annak a valószínűségét, hogy a mazsolaszemek száma -nél nagyobb úgy fogjuk kiszámítani, hogy kikeressük a Poisson-eloszlás táblázatából, hogy mennyi a valószínűsége annak, hogy (k=), és mazsola van benne, majd e valószínűségek összegét kivonjuk egyből: P=- (,3+,334+,5)=,9 Tehát 9,% a valószínűsége annak, hogy az 5 dkg-os szeletben kettőnél több mazsola van.. Egy nyomdai korrektúrában 4 oldalon átlagosan 4 sajtóhiba van. A tapasztalat szerint egy anyagrészben lévő hibák számának eloszlása csak az anyagrész hosszától függ. Mennyi a valószínűsége annak, hogy egy találomra kiemelt oldalon legalább három sajtóhiba van? 4

25 A ξ valószínűségi változó az egy oldalon lévő sajtóhibák számát veszi fel. A ξ valószínűségi 4 változó Poisson-eloszlású, paramétere az egy oldalra eső hibák várható értéke: 4 Annak az eseménynek a valószínűségét, hogy egy oldalon legalább három sajtóhiba van, az ellentett események valószínűségei közötti összefüggéssel számítjuk ki. Háromnál kevesebb sajtóhiba egy kiszemelt oldalon úgy következhet be, hogy a ξ valószínűségi változó, és értéket veszi fel. Ezek az esetek kizárják egymást, így összegük valószínűsége: p +p +p. Ezek a valószínűségek a Poisson-eloszlás táblázatból kikereshetők (λ=, k=,, ) ξ 3)=-(p +p +p )=-(,367+,367+,83)=,83 3. Egy augusztusi éjszakán átlagosan percenként észlelhető csillaghullás. Mennyi annak a valószínűsége, hogy egy negyedóra alatt két csillaghullást látunk? (Feltételezzük, hogy a csillaghullások száma Poisson-eloszlást követ.) Ha percenként átlagosan csillaghullás érzékelhető, akkor 5 percenként,5 lesz az átlagos csillaghullás, vagyis λ=,5. Annak valószínűsége, hogy ezalatt az idő alatt két csillaghullást látunk: p=,5 (táblázatból: λ=,5; k=) 4. Egy elektronikus műszer alkatrészből áll. Egy alkatrész a többitől függetlenül, valószínűséggel romlik el egy év alatt. Mennyi a valószínűsége annak, hogy legalább két alkatrész romlik el egy év alatt? Tulajdonképpen binomiális eloszlással kellene számolnunk. Mivel azonban az alkatrészek száma (n=) elég nagy (n>3), a p=, valószínűség pedig nagyon kicsi, így bevezetjük a n p, paramétert, és a binomiális eloszlás tagjait a megfelelő Poissoneloszlásból kapott tagokkal közelítjük. A legalább két alkatrész elromlási eseményének ellentettje, hogy kettőnél kevesebb alkatrész romlik el, vagyis hogy vagy, vagy alkatrész romlik el. Ezek az esetek egymást kizárják, és összegük valószínűségét ezek valószínűségének összege adja: p p,367,367,734 (Poisson-eloszlás táblázatból, λ=, k=,) Így a legalább két alkatrész meghibásodásának valószínűsége: ( p p ),734,66 Tehát kb. 6,6% a valószínűsége annak, hogy a műszer alkatrészei közül legalább kettő elromlik egy év alatt. 5. Egy telefonközponthoz 6 előfizető tartozik. Tegyük fel, hogy,5 a valószínűsége annak, hogy valamelyik előfizető egy meghatározott órában kapcsolást kér. Mennyi a valószínűsége annak, hogy abban az órában épp 4 előfizető kér vonalat? 5

KVANTITATÍV MÓDSZEREK

KVANTITATÍV MÓDSZEREK KVANTITATÍV MÓDSZEREK Dr. Kövesi János Tóth Zsuzsanna Eszter 6 Tartalomjegyzék Kvantitatív módszerek. Valószínűségszámítási tételek. eltételes valószínűség. Események függetlensége.... 3.. eltételes valószínűség...

Részletesebben

ÁLTALÁNOS STATISZTIKA

ÁLTALÁNOS STATISZTIKA Berzsenyi Dániel Főiskola ÁLTALÁNOS STATISZTIKA Műszaki menedzser alapszak Példatár Dr. Kövesi János Tóth Zsuzsanna Eszter 2006 1 Valószínűségszámítási tételek, feltételes valószínűség, események függetlensége

Részletesebben

36 0,3. Mo.: 36 0,19. Mo.: 36 0,14. Mo.: 32 = 0,9375 32 = 0,8125 32 = 0,40625. Mo.: 32 = 0,25

36 0,3. Mo.: 36 0,19. Mo.: 36 0,14. Mo.: 32 = 0,9375 32 = 0,8125 32 = 0,40625. Mo.: 32 = 0,25 Valószínűségszámítás I. Kombinatorikus valószínűségszámítás. BKSS 4... Egy szabályos dobókockát feldobva mennyi annak a valószínűsége, hogy a -ost dobunk; 0. b legalább 5-öt dobunk; 0, c nem az -est dobjuk;

Részletesebben

4.4. Egy úton hetente átlag 3 baleset történik. Mi a valószínűsége, hogy egy adott héten 2?

4.4. Egy úton hetente átlag 3 baleset történik. Mi a valószínűsége, hogy egy adott héten 2? HIPERGEO. BINOM. POISSON 4.1. Egy üzletben 100-an vásárolnak, közülük 80-an rendelkeznek bankkártyával. A pénztárnál 10-en állnak sorba, mi a valószínűsége, hogy 7-nek lesz bankkártyája? 4.2. Egy üzletben

Részletesebben

Gyakorló feladatok a 2. dolgozathoz

Gyakorló feladatok a 2. dolgozathoz Gyakorló feladatok a. dolgozathoz. Tíz darab tízforintost feldobunk. Mennyi annak a valószínűsége hogy vagy mindegyiken írást vagy mindegyiken fejet kapunk? 9. Egy kör alakú asztal mellett tízen ebédelnek:

Részletesebben

KVANTITATÍV MÓDSZEREK

KVANTITATÍV MÓDSZEREK Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Gazdaság- és Társadalomtudományi Kar Üzleti Tudományok Intézet Dr. Kövesi János, Erdei János, Dr. Tóth Zsuzsanna Eszter KVANTITATÍV MÓDSZEREK Példatár Budapest,

Részletesebben

AGRÁRMÉRNÖK SZAK Alkalmazott matematika, II. félév Összefoglaló feladatok 2. 4. A síkban 16 db általános helyzetű pont hány egyenest határoz meg?

AGRÁRMÉRNÖK SZAK Alkalmazott matematika, II. félév Összefoglaló feladatok 2. 4. A síkban 16 db általános helyzetű pont hány egyenest határoz meg? KOMBINATORIKA FELADATSOR 1 1. Hányféleképpen rendezhető egy sorba egy óvodás csoport ha 9 lány és 6 fiú van és a lányokat mindig előre akarjuk állítani? 2. Hány 6-jegyű telefonszám van ahol mind 35-tel

Részletesebben

Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűségszámítás,

Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűségszámítás, // KURZUS: Matematika II. MODUL: Valószínűség-számítás 22. lecke: A teljes valószínűség tétele és a Bayes-tétel Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűségszámítás,

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 4 IV. MINTA, ALAPsTATIsZTIKÁK 1. MATEMATIKAI statisztika A matematikai statisztika alapfeladatát nagy általánosságban a következőképpen

Részletesebben

VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS. MSc. Órai Feladatok

VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS. MSc. Órai Feladatok VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS MSc Órai Feladatok 1. Feladat (Diszkrét eloszlás) Ketten kosárlabdáznak. Az A játékos 0,4 a B játékos 0,3 valószínűséggel dob kosarat. A dobást A kezdi és felváltva dobnak egymás után.

Részletesebben

STATISZTIKA. András hármas. Éva ötös. Nóri négyes. 5 4,5 4 3,5 3 2,5 2 1,5 ANNA BÉLA CILI 0,5 MAGY. MAT. TÖRT. KÉM.

STATISZTIKA. András hármas. Éva ötös. Nóri négyes. 5 4,5 4 3,5 3 2,5 2 1,5 ANNA BÉLA CILI 0,5 MAGY. MAT. TÖRT. KÉM. STATISZTIKA 5 4,5 4 3,5 3 2,5 2 1,5 1 0,5 0 MAGY. MAT. TÖRT. KÉM. ANNA BÉLA CILI András hármas. Béla Az átlag 3,5! kettes. Éva ötös. Nóri négyes. 1 mérés: dolgokhoz valamely szabály alapján szám rendelése

Részletesebben

Feladatok és megoldások az 1. sorozat Építőkari Matematika A3

Feladatok és megoldások az 1. sorozat Építőkari Matematika A3 Feladatok és megoldások az 1. sorozat Építőkari Matematika A3 1. Tegyük fel, hogy A és B egymást kölcsönösen kizáró események, melyekre P{A} = 0.3 és P{B} = 0.. Mi a valószínűsége, hogy (a A vagy B bekövetkezik;

Részletesebben

STATISZTIKA PÉLDATÁR

STATISZTIKA PÉLDATÁR STATISZTIKA PÉLDATÁR www.matektanitas.hu www.matektanitas.hu info@matektanitas.hu 1 Minden feladat csak szöveges válasszal együtt ad teljes értékű megoldást! Becslés 1. feladat Az alábbi táblázat megadja

Részletesebben

Feladatok és megoldások a 8. hétre Építőkari Matematika A3

Feladatok és megoldások a 8. hétre Építőkari Matematika A3 Feladatok és megoldások a 8. hétre Építőkari Matematika A3 1. Oldjuk meg a következő differenciálegyenlet rendszert: x + 2y 3x + 4y = 2 sin t 2x + y + 2x y = cos t. (1 2. Oldjuk meg a következő differenciálegyenlet

Részletesebben

Biomatematika 15. Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar. Fodor János

Biomatematika 15. Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar. Fodor János Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar Biomatematikai és Számítástechnikai Tanszék Biomatematika 15. Nemparaméteres próbák Fodor János Copyright c Fodor.Janos@aotk.szie.hu Last Revision Date: November

Részletesebben

Valószínűségszámítás és statisztika

Valószínűségszámítás és statisztika Valószínűségszámítás és statisztika Programtervező informatikus szak esti képzés Varga László Valószínűségelméleti és Statisztika Tanszék Matematikai Intézet Természettudományi Kar Eötvös Loránd Tudományegyetem

Részletesebben

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Valószínőségi eloszlások Binomiális eloszlás

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Valószínőségi eloszlások Binomiális eloszlás Matematikai alapok és valószínőségszámítás Valószínőségi eloszlások Binomiális eloszlás Bevezetés A tudományos életben megfigyeléseket teszünk, kísérleteket végzünk. Ezek többféle különbözı eredményre

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Statisztika

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Statisztika MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Statisztika A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűségszámítás,

Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűségszámítás, // KURZUS: Matematika II. MODUL: Valószínűség-számítás 21. lecke: A feltételes valószínűség, események függetlensége Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűségszámítás,

Részletesebben

Valószínűség számítás

Valószínűség számítás Valószínűség számítás 1. Mennyi annak a valószínűsége, hogy szabályos játékkockával páratlan számot dobunk? 2. Egy dobozban 7 piros és 13 zöld golyó van. Ha találomra kihúzunk egyet közülük, akkor mekkora

Részletesebben

Módszertani Intézeti Tanszéki Osztály. A megoldás részletes mellékszámítások hiányában nem értékelhető!

Módszertani Intézeti Tanszéki Osztály. A megoldás részletes mellékszámítások hiányában nem értékelhető! BGF KKK Módszertani Intézeti Tanszéki Osztály Budapest, 2012.. Név:... Neptun kód:... Érdemjegy:..... STATISZTIKA II. VIZSGADOLGOZAT Feladatok 1. 2. 3. 4. 5. 6. Összesen Szerezhető pontszám 21 20 7 22

Részletesebben

Kabos: Statisztika II. ROC elemzések 10.1. Szenzitivitás és specificitás a jelfeldolgozás. és ilyenkor riaszt. Máskor nem.

Kabos: Statisztika II. ROC elemzések 10.1. Szenzitivitás és specificitás a jelfeldolgozás. és ilyenkor riaszt. Máskor nem. Kabos: Statisztika II. ROC elemzések 10.1 ROC elemzések Szenzitivitás és specificitás a jelfeldolgozás szóhasználatával A riasztóberendezés érzékeli, ha támadás jön, és ilyenkor riaszt. Máskor nem. TruePositiveAlarm:

Részletesebben

MATEMATIKA HETI 5 ÓRA. IDŐPONT: 2010. Június 4.

MATEMATIKA HETI 5 ÓRA. IDŐPONT: 2010. Június 4. EURÓPAI ÉRETTSÉGI 2010 MATEMATIKA HETI 5 ÓRA IDŐPONT: 2010. Június 4. A VIZSGA IDŐTARTAMA: 4 óra (240 perc) ENGEDÉLYEZETT SEGÉDESZKÖZÖK : Európai képletgyűjtemény Nem programozható, nem grafikus kalkulátor

Részletesebben

Segítség az outputok értelmezéséhez

Segítség az outputok értelmezéséhez Tanulni: 10.1-10.3, 10.5, 11.10. Hf: A honlapra feltett falco_exp.zip-ben lévő exploratív elemzések áttanulmányozása, érdekességek, észrevételek kigyűjtése. Segítség az outputok értelmezéséhez Leiro: Leíró

Részletesebben

Matematikai statisztika c. tárgy oktatásának célja és tematikája

Matematikai statisztika c. tárgy oktatásának célja és tematikája Matematikai statisztika c. tárgy oktatásának célja és tematikája 2015 Tematika Matematikai statisztika 1. Időkeret: 12 héten keresztül heti 3x50 perc (előadás és szeminárium) 2. Szükséges előismeretek:

Részletesebben

Statisztikai alapismeretek (folytatás) 4. elıadás (7-8. lecke) Becslések, Hipotézis vizsgálat

Statisztikai alapismeretek (folytatás) 4. elıadás (7-8. lecke) Becslések, Hipotézis vizsgálat Statisztikai alapismeretek (folytatás) 4. elıadás (7-8. lecke) Becslések, Hipotézis vizsgálat 7. lecke Paraméter becslés Konfidencia intervallum Hipotézis vizsgálat feladata Paraméter becslés és konfidencia

Részletesebben

1. tétel. Valószínűségszámítás vizsga Frissült: 2013. január 19. Valószínűségi mező, véletlen tömegjelenség.

1. tétel. Valószínűségszámítás vizsga Frissült: 2013. január 19. Valószínűségi mező, véletlen tömegjelenség. 1. tétel Valószínűségszámítás vizsga Frissült: 2013. január 19. Valószínűségi mező, véletlen tömegjelenség. A valószínűségszámítás tárgya: véletlen tömegjelenségek vizsgálata. véletlen: a kísérlet kimenetelét

Részletesebben

a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli, a nehezebb feladatokat jelöli

a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli, a nehezebb feladatokat jelöli Gyakorló feladatok valószínűségszámításból végeredményekkel a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli, a nehezebb feladatokat jelöli. Igaz-e, hogy tetszőleges A, B és C eseményekre teljesül a A B \ C =

Részletesebben

Kutatásmódszertan és prezentációkészítés

Kutatásmódszertan és prezentációkészítés Kutatásmódszertan és prezentációkészítés 10. rész: Az adatelemzés alapjai Szerző: Kmetty Zoltán Lektor: Fokasz Nikosz Tizedik rész Az adatelemzés alapjai Tartalomjegyzék Bevezetés Leíró statisztikák I

Részletesebben

(6/1) Valószínűségszámítás

(6/1) Valószínűségszámítás (6/1) Valószínűségszámítás 1) Mekkora annak a valószínűsége, hogy szabályos játékkockával páratlan számot dobunk? 2) Egy dobozban 7 piros és 13 zöld golyó van. Ha találomra kihúzunk egyet közülük, akkor

Részletesebben

Q1 = 1575 eft Me = 2027,7778 eft Q3 = 2526,3158 eft

Q1 = 1575 eft Me = 2027,7778 eft Q3 = 2526,3158 eft Gyak1: b) Mo = 1857,143 eft A kocsma tipikus (leggyakoribb) havi bevétele 1.857.143 Ft. c) Q1 = 1575 eft Me = 2027,7778 eft Q3 = 2526,3158 eft Gyak2: b) X átlag = 35 Mo = 33,33 σ = 11,2909 A = 0,16 Az

Részletesebben

Példa a report dokumentumosztály használatára

Példa a report dokumentumosztály használatára Példa a report dokumentumosztály használatára Szerző neve évszám Tartalomjegyzék 1. Valószínűségszámítás 5 1.1. Események matematikai modellezése.............. 5 1.2. A valószínűség matematikai modellezése............

Részletesebben

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Középértékek és szóródási mutatók

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Középértékek és szóródási mutatók Matematikai alapok és valószínőségszámítás Középértékek és szóródási mutatók Középértékek A leíró statisztikák talán leggyakrabban használt csoportját a középértékek jelentik. Legkönnyebben mint az adathalmaz

Részletesebben

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI 2013 I. rész

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI 2013 I. rész MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI 203 I. rész. Oldja meg a következő egyenletet: x 2 25. Az egyenlet megoldása: 2. Egy vállalat 280 000 Ft-ért vásárol egy számítógépet. A számítógép évente 5%-ot veszít az értékéből.

Részletesebben

Valószínűségszámítás és Statisztika I. zh. 2014. november 10. - MEGOLDÁS

Valószínűségszámítás és Statisztika I. zh. 2014. november 10. - MEGOLDÁS Valószínűségszámítás és Statisztika I. zh. 2014. november 10. - MEGOLDÁS 1. Kihasználva a hosszasan elhúzódó jó időt, kirándulást szeretnénk tenni az ország tíz legmagasabb csúcsa közül háromra az elkövetkezendő

Részletesebben

Készítette: Fegyverneki Sándor

Készítette: Fegyverneki Sándor VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS Összefoglaló segédlet Készítette: Fegyverneki Sándor Miskolci Egyetem, 2001. i JELÖLÉSEK: N a természetes számok halmaza (pozitív egészek) R a valós számok halmaza R 2 {(x, y) x, y

Részletesebben

Varianciaanalízis 4/24/12

Varianciaanalízis 4/24/12 1. Feladat Egy póker kártya keverő gép a kártyákat random módon választja ki. A vizsgálatban 1600 választott kártya színei az alábbi gyakorisággal fordultak elő. Vizsgáljuk meg, hogy a kártyák kiválasztása

Részletesebben

Bevezető Adatok rendezése Adatok jellemzése Időbeli elemzés. Gazdaságstatisztika KGK VMI

Bevezető Adatok rendezése Adatok jellemzése Időbeli elemzés. Gazdaságstatisztika KGK VMI Gazdaságstatisztika 2. előadás Egy ismérv szerinti rendezés Kóczy Á. László KGK VMI Áttekintés Gyakorisági sorok Grafikus ábrázolásuk Helyzetmutatók Szóródási mutatók Az aszimmetria mérőszámai Koncentráció

Részletesebben

1. Két pályázat esetén a nyerési esélyeket vizsgálják. Mintát véve mindkét pályázat esetén az egyik. (b) Mit nevezünk másodfajú hibának?

1. Két pályázat esetén a nyerési esélyeket vizsgálják. Mintát véve mindkét pályázat esetén az egyik. (b) Mit nevezünk másodfajú hibának? Statisztika 2015. május 08. D csoport Név Neptun kód 1. Két pályázat esetén a nyerési esélyeket vizsgálják. Mintát véve mindkét pályázat esetén az egyik pályázatnál 320 pályázóból 42 nyert, a másik pályázatnál

Részletesebben

Villamosmérnök A4 4. gyakorlat (2012. 10. 01.-02.) Várható érték, szórás, módusz

Villamosmérnök A4 4. gyakorlat (2012. 10. 01.-02.) Várható érték, szórás, módusz Villamosmérnök A4 4. gyakorlat (0. 0. 0.-0.) Várható érték, szórás, módusz. A k 0, (k,,, 4) diszkrét eloszlásnak (itt P(X k)) mennyi a (a) várható értéke, (b) módusza, (c) második momentuma, (d) szórása?

Részletesebben

Populációbecslések és monitoring

Populációbecslések és monitoring Populációbecslések és monitoring A becslés szerepe az ökológiában és a vadgazdálkodásban. A becslési módszerek csoportosítása. Teljes számlálás. Statisztikai alapfogalmak. Fontos lehet tudnunk, hogy hány

Részletesebben

BIOMETRIA (H 0 ) 5. Előad. zisvizsgálatok. Hipotézisvizsg. Nullhipotézis

BIOMETRIA (H 0 ) 5. Előad. zisvizsgálatok. Hipotézisvizsg. Nullhipotézis Hipotézis BIOMETRIA 5. Előad adás Hipotézisvizsg zisvizsgálatok Tudományos hipotézis Nullhipotézis feláll llítása (H ): Kétmintás s hipotézisek Munkahipotézis (H a ) Nullhipotézis (H ) > = 1 Statisztikai

Részletesebben

MÉRÉSI EREDMÉNYEK PONTOSSÁGA, A HIBASZÁMÍTÁS ELEMEI

MÉRÉSI EREDMÉNYEK PONTOSSÁGA, A HIBASZÁMÍTÁS ELEMEI MÉRÉSI EREDMÉYEK POTOSSÁGA, A HIBASZÁMÍTÁS ELEMEI. A mérési eredmény megadása A mérés során kapott értékek eltérnek a mérendő fizikai mennyiség valódi értékétől. Alapvetően kétféle mérési hibát különböztetünk

Részletesebben

K O M B I N A T O R I K A P e r m u t á c i ó k, k o m b i n á c i ó k, v a r i á c i ó k

K O M B I N A T O R I K A P e r m u t á c i ó k, k o m b i n á c i ó k, v a r i á c i ó k K O M B I N A T O R I K A P e r m u t á c i ó k, k o m b i n á c i ó k, v a r i á c i ó k. Az 1,, 3,, elemeknek hány permutációja van, amelynek harmadik jegye 1- es? Írjuk fel őket! Annyi ahányféleképpen

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 2 II. A valószínűségi VÁLTOZÓ És JELLEMZÉsE 1. Valószínűségi VÁLTOZÓ Definíció: Az leképezést valószínűségi változónak nevezzük, ha

Részletesebben

Statisztika I. 4. előadás Mintavétel. Kóczy Á. László KGK-VMI. Minta Mintavétel Feladatok. http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1.

Statisztika I. 4. előadás Mintavétel. Kóczy Á. László KGK-VMI. Minta Mintavétel Feladatok. http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1. Statisztika I. 4. előadás Mintavétel http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1.htm Kóczy Á. László KGK-VMI koczy.laszlo@kgk.uni-obuda.hu Sokaság és minta Alap- és mintasokaság A mintasokaság az a részsokaság,

Részletesebben

1. A skót bakák mellkas körmérete N(88, 10). A skót bakák mekkora hányada fér bele egy 84-es zubbonyba?

1. A skót bakák mellkas körmérete N(88, 10). A skót bakák mekkora hányada fér bele egy 84-es zubbonyba? Matematikai statisztika példák Matematikai statisztika példák Normális eloszlás 1. A skót bakák mellkas körmérete N(88, 10). A skót bakák mekkora hányada fér bele egy 84-es zubbonyba? 2. Majmok ébredését

Részletesebben

Az egyszerűsítés utáni alak:

Az egyszerűsítés utáni alak: 1. gyszerűsítse a következő törtet, ahol b 6. 2 b 36 b 6 Az egyszerűsítés utáni alak: 2. A 2, 4 és 5 számjegyek mindegyikének felhasználásával elkészítjük az összes, különböző számjegyekből álló háromjegyű

Részletesebben

Feladatok és megoldások a 9. hétre. 1. Egy szabályos kockával dobunk. Mennyi a valószínűsége, hogy 6-ost dobunk, ha tudjuk, hogy:

Feladatok és megoldások a 9. hétre. 1. Egy szabályos kockával dobunk. Mennyi a valószínűsége, hogy 6-ost dobunk, ha tudjuk, hogy: Feladatok és megoldások a 9. hétre Építőkari Matematika A3 1. Egy szabályos kockával dobunk. Mennyi a valószínűsége, hogy 6-ost dobunk, ha tudjuk, hogy: párosat dobunk? legalább 3-ast dobunk? legfeljebb

Részletesebben

Statisztika I. 4. előadás Mintavétel. Kóczy Á. László KGK-VMI. Minta Mintavétel Feladatok. http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1.

Statisztika I. 4. előadás Mintavétel. Kóczy Á. László KGK-VMI. Minta Mintavétel Feladatok. http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1. Statisztika I. 4. előadás Mintavétel http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1.htm Kóczy Á. László KGK-VMI koczy.laszlo@kgk.uni-obuda.hu Sokaság és minta Alap- és mintasokaság A mintasokaság az a részsokaság,

Részletesebben

Valószínűségszámítás

Valószínűségszámítás 1. Kombinatorika Valószínűségszámítás 2004.03.01. Készítette: Dr. Toledo Rodolfo 1.1. Tétel. Ha n darab különböző elemet az összes lehetséges módon sorba rendezünk, akkor ezt n! := n (n 1) (n 2) 2 1-féle

Részletesebben

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Statisztikai változók Adatok megtekintése

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Statisztikai változók Adatok megtekintése Matematikai alapok és valószínőségszámítás Statisztikai változók Adatok megtekintése Statisztikai változók A statisztikai elemzések során a vizsgálati, vagy megfigyelési egységeket különbözı jellemzık

Részletesebben

5. Egyszerre feldobunk egy-egy szabályos hat-, nyolc-, és tizenkét oldalú dobókockát.

5. Egyszerre feldobunk egy-egy szabályos hat-, nyolc-, és tizenkét oldalú dobókockát. 1. feladatsor 1. (a) Igazolja, hogy tetszőleges A, B, C eseményekre fennáll, hogy (A B) (A C) = A (B + C)! (b) Sorolja fel a valószínűség-számítás axiómáit! (a) c=? (4) (b) D(ξ)=? (0.4714) { c x 5 (c)

Részletesebben

Statisztikai módszerek 7. gyakorlat

Statisztikai módszerek 7. gyakorlat Statisztikai módszerek 7. gyakorlat A tanult nem paraméteres próbák: PRÓBA NEVE Illeszkedés-vizsgálat Χ2próbával MIRE SZOLGÁL? Illeszkedés-vizsgálat Ryan-Joiner próbával A val.-i vált. eloszlása egy adott

Részletesebben

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Valószínőségszámítási alapok

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Valószínőségszámítási alapok Matematikai alapok és valószínőségszámítás Valószínőségszámítási alapok Bevezetés A tudományos életben vizsgálódunk pontosabb megfigyelés, elırejelzés, megértés reményében. Ha egy kísérletet végzünk, annak

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 10 X. SZIMULÁCIÓ 1. VÉLETLEN számok A véletlen számok fontos szerepet játszanak a véletlen helyzetek generálásában (pénzérme, dobókocka,

Részletesebben

TANTÁRGYI ÚTMUTATÓ. Statisztika 1.

TANTÁRGYI ÚTMUTATÓ. Statisztika 1. I. évfolyam BA TANTÁRGYI ÚTMUTATÓ Statisztika 1. TÁVOKTATÁS Tanév 2014/2015 II. félév A KURZUS ALAPADATAI Tárgy megnevezése: Statisztika 1. Tanszék: Módszertani Tantárgyfelelős neve: Sándorné Dr. Kriszt

Részletesebben

Matematikai statisztikai elemzések 2.

Matematikai statisztikai elemzések 2. Matematikai statisztikai elemzések 2. Helyzetmutatók, átlagok, kvantilisek. A szórás és szóródás Prof. Dr. Závoti, József Matematikai statisztikai elemzések 2.: Helyzetmutatók, átlagok, Prof. Dr. Závoti,

Részletesebben

H0 hipotézis: μ1 = μ2 = μ3 = μ (a különböző talpú cipők eladási ára megegyezik)

H0 hipotézis: μ1 = μ2 = μ3 = μ (a különböző talpú cipők eladási ára megegyezik) 5.4: 3 különböző talpat hasonlítunk egymáshoz Varianciaanalízis. hipotézis: μ1 = μ2 = μ3 = μ (a különböző talpú cipők eladási ára megegyezik) hipotézis: Létezik olyan μi, amely nem egyenlő a többivel (Van

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

MATEMATIKA HETI 5 ÓRA. IDŐPONT: 2009. június 8.

MATEMATIKA HETI 5 ÓRA. IDŐPONT: 2009. június 8. EURÓPAI ÉRETTSÉGI 2009 MATEMATIKA HETI 5 ÓRA IDŐPONT: 2009. június 8. A VIZSGA IDŐTARTAMA: 4 óra (240 perc) ENGEDÉLYEZETT SEGÉDESZKÖZÖK : Európai képletgyűjtemény Nem programozható, nem grafikus kalkulátor

Részletesebben

Érettségi feladatok: Statisztika

Érettségi feladatok: Statisztika Érettségi feladatok: Statisztika 2003. Próba 14. Bergengóciában az elmúlt 3 évben a kormány jelentése szerint kiemelt beruházás volt a bérlakások építése. Ezt az állítást az alábbi statisztikával támasztották

Részletesebben

Valószínűségszámítás feladatok

Valószínűségszámítás feladatok Valószínűségszámítás feladato A FELADATOK MEGOLDÁSAI A 0. FELADAT UTÁN TALÁLHATÓK.. Egyszerre dobun fel három érmét. Mi anna a valószínűsége, hogy mindegyine ugyanaz az oldala erül felülre?. Két dobóocát

Részletesebben

Iskolai jelentés. 10. évfolyam szövegértés

Iskolai jelentés. 10. évfolyam szövegértés 2008 Iskolai jelentés 10. évfolyam szövegértés Az elmúlt évhez hasonlóan 2008-ban iskolánk is részt vett az országos kompetenciamérésben, diákjaink matematika és szövegértés teszteket, illetve egy tanulói

Részletesebben

Mérési hibák 2006.10.04. 1

Mérési hibák 2006.10.04. 1 Mérési hibák 2006.10.04. 1 Mérés jel- és rendszerelméleti modellje Mérési hibák_labor/2 Mérési hibák mérési hiba: a meghatározandó értékre a mérés során kapott eredmény és ideális értéke közötti különbség

Részletesebben

MINTAFELADATOK. 1. Az alábbi diagram egy kiskereskedelmi lánc boltjainak forgalomkoncentrációját szemlélteti:

MINTAFELADATOK. 1. Az alábbi diagram egy kiskereskedelmi lánc boltjainak forgalomkoncentrációját szemlélteti: 1. Az alábbi diagram egy kiskereskedelmi lánc boltjainak forgalomkoncentrációját szemlélteti: 100% 90% 80% 70% 60% 50% 2010 2011 40% 30% 20% 10% 0% 0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100% a) Nevezze

Részletesebben

1. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI FELADATSOR

1. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI FELADATSOR 1. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI FELADATSOR A feladatok megoldására 240 perc fordítható, az idő leteltével a munkát be kell fejeznie. A feladatok megoldási sorrendje tetszőleges. A II. részben kitűzött

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Statisztika

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Statisztika MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Statisztika A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

1.4 Hányféleképpen rakhatunk sorba 12 könyvet, ha 3 bizonyos könyvet egymás mellé akarunk rakni és

1.4 Hányféleképpen rakhatunk sorba 12 könyvet, ha 3 bizonyos könyvet egymás mellé akarunk rakni és Valószínűségszámítás és statisztika feladatok 1 Kombinatorika 2011/12. tanév, I. félév 1.1 Hányféleképpen lehet a sakktáblán 8 bástyát elhelyezni úgy, hogy egyik se üsse a másikat? Mennyi lesz az eredmény,

Részletesebben

Próbaérettségi feladatsor_a NÉV: osztály Elért pont:

Próbaérettségi feladatsor_a NÉV: osztály Elért pont: Próbaérettségi feladatsor_a NÉV: osztály Elért pont: I. rész A feladatsor 1 példából áll, a megoldásokkal maximum 30 pont szerezhető. A kidolgozásra 45 perc fordítható. 1. feladat Egy osztály tanulói a

Részletesebben

10. Valószínűségszámítás

10. Valószínűségszámítás . Valószínűségszámítás.. Események A valószínűségszámítás nagyon leegyszerűsítve események bekövetkezésének valószínűségével foglalkozik. Példák: Ha egy játékban egy dobókockával dobunk, akkor a kockadobás

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Statisztika

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Statisztika MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Statisztika A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Matematika kisérettségi I. rész 45 perc NÉV:...

Matematika kisérettségi I. rész 45 perc NÉV:... Matematika kisérettségi I. rész 45 perc NÉV:... 1. Az A halmaz elemei a háromnál nagyobb egyjegyű számok, a B halmaz elemei pedig a húsznál kisebb pozitív páratlan számok. Sorolja fel az halmaz elemeit!

Részletesebben

A mintavétel szakszerűtlenségeinek hatása a monitoring-statisztikákra

A mintavétel szakszerűtlenségeinek hatása a monitoring-statisztikákra A mintavétel szakszerűtlenségeinek hatása a monitoring-statisztikákra Vörös Zsuzsanna NÉBIH RFI tervezési referens 2013. április 17. Egy kis felmérés nem kor Következtetések: 1. a jelenlevők nemi megoszlása:

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Halmazok

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Halmazok MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Halmazok 1) Egy rejtvényújságban egymás mellett két, szinte azonos rajz található, amelyek között 23 apró eltérés van. Ezek megtalálása a feladat.

Részletesebben

Minta 2. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI FELADATSOR. I. rész

Minta 2. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI FELADATSOR. I. rész 2. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI FELADATSOR I. rész A feladatok megoldására 45 perc fordítható, az idő leteltével a munkát be kell fejeznie. A feladatok megoldási sorrendje tetszőleges. A feladatok megoldásához

Részletesebben

Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara. Prof. Dr. Závoti József. Matematika III. 6. MA3-6 modul. A statisztika alapfogalmai

Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara. Prof. Dr. Závoti József. Matematika III. 6. MA3-6 modul. A statisztika alapfogalmai Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara Prof. Dr. Závoti József Matematika III. 6. MA3-6 modul A statisztika alapfogalmai SZÉKESFEHÉRVÁR 2010 Jelen szellemi terméket a szerzői jogról szóló 1999.

Részletesebben

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat.

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat. Poisson folyamatok, exponenciális eloszlások Azt mondjuk, hogy a ξ valószínűségi változó Poisson eloszlású λ, 0 < λ

Részletesebben

Microsoft Excel 2010. Gyakoriság

Microsoft Excel 2010. Gyakoriság Microsoft Excel 2010 Gyakoriság Osztályközös gyakorisági tábla Nagy számú mérési adatokat csoportokba (osztályokba) rendezése -> könnyebb áttekintés Osztályokban szereplő adatok száma: osztályokhoz tartozó

Részletesebben

Méretlánc átrendezés elmélete

Méretlánc átrendezés elmélete 1. Méretlánc átrendezés elmélete Méretlánc átrendezés elmélete Egyes esetekben szükség lehet, hogy arra, hogy a méretláncot átrendezzük. Ezeknek legtöbbször az az oka, hogy a rajzon feltüntetett méretet

Részletesebben

MATEMATIKA HETI 3 ÓRA. IDŐPONT : 2009 június 8.

MATEMATIKA HETI 3 ÓRA. IDŐPONT : 2009 június 8. EURÓPAI ÉRETTSÉGI 2009 MATEMATIKA HETI 3 ÓRA IDŐPONT : 2009 június 8. A VIZSGA IDŐTARTAMA : 3 óra (180 perc) MEGENGEDETT SEGÉDESZKÖZÖK : Európai képletgyűjtemény Nem programozható, nem grafikus kalkulátor

Részletesebben

Statisztikai alapfogalmak

Statisztikai alapfogalmak Statisztika I. KÉPLETEK 2011-2012-es tanév I. félév Statisztikai alapfogalmak Adatok pontossága Mért adat Abszolút hibakorlát Relatív hibakorlát Statisztikai elemzések viszonyszámokkal : a legutolsó kiírt

Részletesebben

EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA

EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA ÉRETTSÉGI VIZSGA 2011. május 3. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2011. május 3. 8:00 Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Matematika

Részletesebben

Biomatematika 8. Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar. Fodor János

Biomatematika 8. Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar. Fodor János Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar Biomatematikai és Számítástechnikai Tanszék Biomatematika 8. Valószínűség-számítás II. Fodor János Copyright c Fodor.Janos@aotk.szie.hu Last Revision Date:

Részletesebben

Operációkutatás vizsga

Operációkutatás vizsga Operációkutatás vizsga A csoport Budapesti Corvinus Egyetem 2007. január 9. Egyéb gyakorló és vizsgaanyagok találhatók a honlapon a Letölthető vizsgasorok, segédanyagok menüpont alatt. OPERÁCIÓKUTATÁS

Részletesebben

A gyakorló feladatok számozása a bevezetı órát követı órán, azaz a második órán indul. Gyakorló feladatok megoldásai 1

A gyakorló feladatok számozása a bevezetı órát követı órán, azaz a második órán indul. Gyakorló feladatok megoldásai 1 A gyakorló feladatok számozása a bevezetı órát követı órán, azaz a második órán indul. Gyakorló feladatok megoldásai 1 1. A populációt a számunkra érdekes egységek (személyek, csalások, iskolák stb.) alkotják,

Részletesebben

Matematika III. Nagy Károly 2011

Matematika III. Nagy Károly 2011 Matematika III előadások összefoglalója (Levelezős hallgatók számára) Nagy Károly 20 . Kombinatorika.. Definíció. Adott n darab egymástól különböző elem. Ezeknek egy meghatározott sorrendjét az n elem

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 063 ÉRETTSÉGI VIZSGA 006. február. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások: A dolgozatot

Részletesebben

Próbaérettségi 2004 MATEMATIKA. PRÓBAÉRETTSÉGI 2004. május EMELT SZINT. 240 perc

Próbaérettségi 2004 MATEMATIKA. PRÓBAÉRETTSÉGI 2004. május EMELT SZINT. 240 perc PRÓBAÉRETTSÉGI 2004. május MATEMATIKA EMELT SZINT 240 perc A feladatok megoldására 240 perc fordítható, az idő leteltével a munkát be kell fejeznie. A feladatok megoldási sorrendje tetszőleges. A II. részben

Részletesebben

Valószínűségszámítás

Valószínűségszámítás Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Informatikai Intézet Tómács Tibor Valószínűségszámítás programtervező informatikusok részére Eger, 010. szeptember 0. Tartalomjegyzék 1. Véletlen események...............................

Részletesebben

Nemparametrikus tesztek. 2014. december 3.

Nemparametrikus tesztek. 2014. december 3. Nemparametrikus tesztek 2014. december 3. Nemparametrikus módszerek Alkalmazásuk: nominális adatok (gyakoriságok) esetén, ordinális adatok esetén, metrikus adatok esetén (intervallum és arányskála), ha

Részletesebben

2. Rugalmas állandók mérése

2. Rugalmas állandók mérése 2. Rugalmas állandók mérése Klasszikus fizika laboratórium Mérési jegyzőkönyv Mérést végezte: Vitkóczi Fanni Jegyzőkönyv leadásának időpontja: 2012. 12. 15. I. A mérés célja: Két anyag Young-modulusának

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Halmazok

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Halmazok MTEMTIK ÉRETTSÉGI TÍPUSFELDTOK KÖZÉP SZINT Halmazok szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek megoldásához!

Részletesebben

Matematika PRÉ megoldókulcs 2013. január 19. MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS KÖZÉPSZINT

Matematika PRÉ megoldókulcs 2013. január 19. MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS KÖZÉPSZINT Matematika PRÉ megoldókulcs 013. január 19. MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS KÖZÉPSZINT I. rész: Az alábbi 1 feladat megoldása kötelező volt! 1) Adott A( 1; 3 ) és B( ; ) 7 9 pont. Határozza meg

Részletesebben

Mérési adatok illesztése, korreláció, regresszió

Mérési adatok illesztése, korreláció, regresszió Mérési adatok illesztése, korreláció, regresszió Korreláció, regresszió Két változó mennyiség közötti kapcsolatot vizsgálunk. Kérdés: van-e kapcsolat két, ugyanabban az egyénben, állatban, kísérleti mintában,

Részletesebben

Megoldások 4. osztály

Megoldások 4. osztály Brenyó Mihály Pontszerző Matematikaverseny Megyei döntő 2015. február 14. Megoldások 4. osztály 1. Számkeresztrejtvény: Az alábbi keresztrejtvény ábra abban különbözik a hagyományos keresztrejtvényektől,

Részletesebben

KOMBINATORIKA Permutáció

KOMBINATORIKA Permutáció Permutáció 1) Három tanuló, András, Gábor és Miklós együtt megy iskolába. Hányféle sorrendben léphetik át az iskola küszöbét? Írja fel a lehetséges sorrendeket! 2) Hány különböző négyjegyű számot alkothatunk

Részletesebben

Statisztikai programcsomagok gyakorlat Pót zárthelyi dolgozat megoldás

Statisztikai programcsomagok gyakorlat Pót zárthelyi dolgozat megoldás Statisztikai programcsomagok gyakorlat Pót zárthelyi dolgozat megoldás A feladatok megoldásához használandó adatállományok: potzh és potolando (weboldalon találhatók) Az állományok kiterjesztése sas7bdat,

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2008. május 06. KÖZÉPSZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2008. május 06. KÖZÉPSZINT I. 1) Adja meg a Például: 1 ; 8 8 M 1 ; 10 5 MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 008. május 06. KÖZÉPSZINT I. nyílt intervallum két különböző elemét! ( pont) ( pont) ) Egy 7-tagú társaságban mindenki mindenkivel egyszer

Részletesebben

Matematika III. 8. A szórás és a szóródás egyéb mérőszámai Prof. Dr. Závoti, József

Matematika III. 8. A szórás és a szóródás egyéb mérőszámai Prof. Dr. Závoti, József Matematika III. 8. A szórás és a szóródás egyéb Prof. Dr. Závoti, József Matematika III. 8. : A szórás és a szóródás egyéb Prof. Dr. Závoti, József Lektor : Bischof, Annamária Ez a modul a TÁMOP - 4.1.2-08/1/A-2009-0027

Részletesebben