Matek_00_cimn_imp:Matek_00_cimn_imp_jav 1/12/10 2:10 PM Page 1 M A T E M A T I K A

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Matek_00_cimn_imp:Matek_00_cimn_imp_jav 1/12/10 2:10 PM Page 1 M A T E M A T I K A"

Átírás

1 M A T E M A T I K A

2 A K A D É M I A I K É Z I K Ö N Y V E K F I Z I K A Fôszerkesztô Holics Lásló S P O R T, É L E T M Ó D, E G É S Z S É G Fôszerkesztô Szatmári Zoltán F I L O Z Ó F I A Fôszerkesztô Boros Gábor M A G Y A R O R S Z Á G T Ö R T É N E T E Fôszerkesztô Romsics Ignác V I L Á G T Ö R T É N E T Fôszerkesztô Salamon Konrád M A G Y A R N Y E L V Fôszerkesztô Kiefer Ferenc K É M I A Fôszerkesztô Náray-Szabó Gábor V I L Á G I R O D A L O M Fôszerkesztô Pál József

3 M A T E M A T I K A Fôszerkesztô Gerôcs László Vancsó Ödön A k a d é m i a i A K i a d ó

4 Megjelent a NEMZETI KULTURÁLIS ALAP támogatásával Írták Bereczky Áron, Csányi Tibor, Gerőcs László, H. Temesvári Ágota, Katona Dániel, Kós Géza, Lerchner Szilvia, Máté László, Nagy Noémi, Németh László, Szakál Péter, Szűcs Zsolt, Vancsó Ödön Lektorálták Arató Miklós, Bátkay András, Gyenes Zoltán, Hortobágyi István, Katona Dániel, Sigray István ISBN ISSN Kiadja az Akadémiai Kiadó, az 1795-ben alapított Magyar Könyvkiadók és Könyvterjesztôk Egyesülésének tagja 1117 Budapest, Prielle Kornélia u Elsô magyar nyelvû kiadás: 2010 Akadémiai Kiadó, 2010 Minden jog fenntartva, beleértve a sokszorosítás, a nyilvános elôadás, a rádió- és televízióadás, valamint a fordítás jogát, az egyes fejezeteket illetôen is. Printed in Hungary

5 Tartalom Elôszó A kötetben használt jelölések Halmazok (Gerôcs László) Alapfogalmak Mûveletek halmazokkal A természetes számok halmaza, oszthatóság, számelmélet További számhalmazok, halmazok számossága Logikai alapok (Bereczky Áron) Állítások logikai értéke, logikai mûveletek Predikátumok és kvantorok Bizonyítási módszerek Számtan, elemi algebra (Gerôcs László) Elemi számtan (a számok írásának kialakulása, mûveletek különbözô számokkal, negatív számok, törtek, tizedes törtek), kerekítés, százalékszámítás Arányok (egyenes és fordított arányosság, az aranymetszés, a r), nevezetes közepek Algebrai kifejezések és mûveletek, hatványozás, összevonás, szorzás, kiemelés, nevezetes azonosságok Gyökvonás, hatványozás, logaritmus és mûveleteik Számrendszerek Egyenletek, egyenletrendszerek (fogalom, mérlegelv, osztályozás fokszám és egyenletek száma szerint, elsô- és másodfokú egyenletek, exponenciális és logaritmikus egyenletek) Harmad- és negyedfokú egyenletek (speciális magasabb fokú egyenletek)

6 T a r t a l o m 4. Polinomok és komplex számok algebrája (Bereczky Áron) Mûveletek polinomokkal, oszthatóság, legnagyobb közös osztó Szorzatfelbontás, felbonthatatlan polinomok Komplex számok Polinomok zérushelyei Többváltozós polinomok A sík elemi geometriája (Gerôcs László) A geometria rövid története Geometriai alapfogalmak Geometriai transzformációk Háromszögek, nevezetes vonalak, pontok, körök, egyéb nevezetes objektumok Négyszögek Sokszögek, szabályos sokszögek, aranymetszés A kör és részei, kerületi és középponti szögek, húr- és érintõnégyszögek Geometriai szerkesztések, speciális szerkesztések A tér elemi geometriája (Gerôcs László) Alapfogalmak Poliéderek Görbe felületû testek Henger és kúp síkmetszetei Ábrázoló geometria (H. Temesvári Ágota Szakál Péter Németh László) Bevezetés Ábrázolás két képsíkon Axonometrikus ábrázolás Néhány görbékre és felületekre vonatkozó feladat Kótás ábrázolás Néhány további ábrázolási módszer Vektorok (Gerôcs László) A vektor fogalma és jellemzõi Mûveletek vektorokkal, vektorok a koordináta-rendszerben Vektorok skaláris szorzata, vektoriális szorzata, vegyes szorzat 412 6

7 T a r t a l o m 9. Szögfüggvények (Gerôcs László) A hegyesszög szögfüggvényei Szögfüggvények általánosítása Szögfüggvények alkalmazása háromszögekkel kapcsolatos problémák megoldására Trigonometrikus egyenletek Trigonometrikus függvények és inverzeik Gömbháromszögek és tulajdonságaik Analitikus geometria (Gerôcs László) A sík analitikus geometriája (alapfogalmak, szakaszosztópontjai, két pont távolsága, a háromszög területe) Az egyenes egyenletei (két egyenes metszéspontja, hajlásszöge, pont és egyenes távolsága) A kör egyenlete Koordinátatranszformációk Kúpszeletek egyenletei, másodrendû görbék Polárkoordináták A tér analitikus geometriája (sík és egyenes, másodrendû felületek, térbeli polárkoordináták) Lineáris algebra (Bereczky Áron) Mátrixok és determinánsok Lineáris egyenletrendszerek Vektorterek Lineáris leképezések Bilineáris függvények Euklideszi terek Absztrakt algebra (Bereczky Áron) Az algebrai struktúrákról általában Gyûrûelmélet, alapfogalmak Kommutatív egységelemes gyûrûk Csoportelmélet, alapfogalmak További témák a csoportelméletbõl Testek és Galois-csoportok Modulusok Hálók és Boole-algebrák

8 T a r t a l o m Számelmélet (Bereczky Áron) Bevezetés, oszthatóság Számelméleti függvények Kongruenciák A kongruenciaosztályok algebrája Kvadratikus maradékok Prímszámok Diofantikus egyenletek Számsorozatok (Gerôcs László) A számsorozat fogalma A számtani sorozat és tulajdonságai A mértani sorozat és tulajdonságai Korlátos, monoton, konvergens sorozatok A Fibonacci-sorozat Magasabb rendû lineáris rekurzív sorozatok, néhány speciális sor Elemi függvények és tulajdonságaik (Csányi Tibor) Függvény Polinomfüggvények Racionális törtfüggvények Exponenciális és logaritmusfüggvények Trigonometrikus függvények Hiperbolikus függvények A valós analízis elemei (Szûcs Zsolt) A valós számok alapfogalmai Számsorozatok Numerikus sorok Egyváltozós függvények folytonossága és határértéke Többváltozós analízis elemei Differenciálszámítás és alkalmazásai (Nagy Noémi) Differenciálható függvények Nevezetes függvények deriváltja Függvénymûveletek és a deriválás kapcsolata Differenciálható függvények tulajdonságai Differenciálszámítás alkalmazása függvények viselkedésének leírására

9 T a r t a l o m Többváltozós függvények differenciálása Fizikai alkalmazások Integrálszámítás és alkalmazásai (Nagy Noémi) Határozatlan integrál Riemann-integrál és tulajdonságai Numerikus integrálás Integrálszámítás alkalmazásai (terület, térfogat, ívhossz) Többváltozós integrál Közönséges differenciálegyenletek (Lerchner Szilvia) Bevezetés Elsõrendû egyenletek Differenciálegyenlet-rendszerek Magasabb rendû egyenletek A Laplace-transzformáció Függvénysorok Parciális differenciálegyenletek (Nagy Noémi) Bevezetés Elsõrendû egyenletek Másodrendû egyenletek Vektoranalízis és integrálátalakító tételek A hõvezetési egyenlet és a hullámegyenlet Komplex függvénytan (Kós Géza) Bevezetõ Reguláris függvények Integráltételek Hatványsorba és Laurent-sorba fejtés A reziduumtétel és alkalmazásai Konform leképezések Harmonikus függvények Fraktálgeometria (Máté László) Bevezetõ példák Mátrixok és geometriai transzformációk Hasonlósági és kontraktív leképezések, halmazfüggvények Az IFS-modell

10 T a r t a l o m Olvasmány a halmazok távolságáról Az IFS-modell tulajdonságai IFS-modell és önhasonlóság Önhasonló halmazok szerkezete és a valóság A fraktáldimenziók A hatványszabály (power law) A boxdimenzió Mit mér a boxdimenzió? Tetszõleges halmaz boxdimenziója Fraktáldimenzió a geodéziában Kombinatorika (Vancsó Ödön) Egyszerû sorba rendezési és kiválasztási problémák Egyszerû sorba rendezési és leszámolási feladatok ismétlõdõ elemekkel A kombinatorika alkalmazásai, összetettebb leszámlálásos problémák A kombinatorikus geometria elemei Gráfok (Vancsó Ödön) Alapfogalmak Gráfok összefüggõsége, fák, erdõk A gráfok bejárásai Speciális gráfok és tulajdonságaik Irányított gráfok Szállítási problémák modellezése gráfokkal (Katona Dániel) Véletlen gráfok Gráfok alkalmazásai Gráfok és mátrixok Kódelmélet (Bereczky Áron) Bevezetés Hibajavító kódok Lineáris kódok Ciklikus kódok Valószínûség-számítás (Vancsó Ödön) Alapfogalmak, bevezetés Valószínûségi mezô, események, eseményalgebra

11 T a r t a l o m Feltételes valószínûség, függetlenség Valószínûségi változók Nevezetes diszkrét eloszlások Nevezetes folytonos eloszlások Az eloszlások legfontosabb jellemzôi: a várható érték és a szórás A nagy számok törvényei Nevezetes határeloszlás-tételek Korreláció, regresszió Egyszerû véletlen folyamatok matematikai leírása Matematikai statisztika (Vancsó Ödön) Leíró statisztika, alapfogalmak, mintavétel, adatsokaság Adatok szemléltetése, ábrázolása Átlag és szórás Idôsorok Összefüggések két ismérv között Összetett intenzitási viszonyszámok és indexálás A matematikai statisztika alapelvei, hipotézisvizsgálat A Bayes-statisztika elemei Tárgymutató

12

13 Elõszó Az Akadémiai kézikönyvek sorozat Matematika címû kötetét tartja kezében az olvasó. Bár kétségtelen, hogy több, jól használható matematikai kézikönyv is található a könyvpiacon, a kiadó mégis úgy gondolta, hogy a sorozatból nem maradhat ki éppen a matematika. Egy olyan matematikai ismereteket tartalmazó kötet, amely a XXI. század kihívásainak megfelelôen a hagyományos alap - ismeretek mellett a kor néhány újabb matematikai területét is tárgyalja, és ezek alapvetô fogalmaival igyekszik megismertetni az érdeklôdôket. Ennek megfelelôen a kötetben a hagyományosan tanultak (a felsôoktatási intézmények BSc fokozatáig bezárólag): a legfontosabb fogalmak, tételek, eljárások és módszerek kapják a hangsúlyosabb szerepet, de mindezek mellett igyekeztünk olyan (már inkább az MSc fokozatba tartozó) ismereteket is érinteni, melyek nagyobb rálátást, mélyebb betekintést kínálnak a kötet olvasóinak. Fontosnak tartottuk azt is, hogy a kötetbe bekerüljenek középiskolai szinten is azok a témakörök, melyek az új típusú érettségi követelményrendszerben is megjelentek (például a statisztika vagy a gráfelmélet). Mindezek mellett bár érintôlegesen a matematikai kutatások néhány újabb területét (kódoláselmélet, fraktálelmélet stb.) is bemutatjuk. Könyvünk 27 fejezetbôl áll. Az elsô fejezetekben az elemi számolási fogalmak és szabályok szerepelnek, majd a továbbiak elsôsorban a középiskolai tananyagban elôforduló legfontosabb területeket tárgyalják. A kötet második felében találjuk a felsôoktatási tematikáknak megfelelô témákat tárgyaló fejezeteket. Ez alól kivétel a 23., 24., 26. és 27. fejezet, ahol a középiskolai és a felsôoktatási anyag egy egységben szerepel. Az egyes fejezetekben levô fogalmakat gyakran magyarázattal is elláttuk. Sok esetben a fontosnak tartott tételek bizonyítását is megadtuk, hol csak vázlatosan, hol teljes részletességgel. Mivel néhány felsôoktatási intézményben alapvetôen fontos témakör az ábrázoló geometria, és a jelenleg forgalomban levô matematikai kézikönyvek általában nem vagy csak nagyon érintôlegesen tárgyalják, ezt a témakört kicsit részletesebben kifejtjük. Ezzel elsôsorban a mûszaki jellegû felsôoktatási intézményekben tanulóknak szeretnénk segítséget nyújtani. 13

14 E l ô s z ó Az egyes fejezeteken belül részletesen kidolgozott mintapéldák vannak a tárgyalt elméleti anyag alkalmazására, melyek áttanulmányozása nagyban hozzájárulhat az elméleti problémák mélyebb megértéséhez. Kötetünknek több szerzôje van. Ennek megfelelôen a stílus, a szövegformálás (ami nyilván szubjektív elemeket is hordoz) az egyes fejezeteket illetôen eltérô lehet. Mindez azonban, reményeink szerint, nem megy az élvezhetôség és a megértés rovására. Reméljük, hogy egy olyan könyv kerül az olvasó kezébe legyen általános vagy középiskolás diák, egyetemi hallgató vagy az idôsebb generációhoz tartozó, de a tárgyat valaha komolyabban tanuló és értô felnôtt, mely kellô eligazodást nyújt számára, akár egy számonkérésre való felkészüléshez, akár régen tanult, de valamelyest elfelejtett ismeretek felelevenítéséhez. Így akár érettségire készüléshez, akár egyetemi vizsgához is hasznos segédeszköz lehet. Az áttekintést segíti, hogy minden definíciót szürke tónusú kiemeléssel jeleztünk, minden tétel keretbe került, a példákat pedig más betûméret jelzi. A legfontosabb jelölések jegyzéke és egy tárgymutató is könnyíti a keresést és eligazodást ebben az egyébként igen vaskosra sikerült kötetben. A könyv a szokásos kézikönyveknél kissé részletesebben fejti ki az egyes témák matematikai tartalmát, és fôleg a sok példával az alkalmazásokat támogatja, ami a mai matematikaoktatás egyik fontos, korábban kissé elhanyagolt területe. Budapest, 2009 októbere A szerkesztôk 14

15 7. Ábrázoló geometria 7.1. Bevezetés Az ábrázoló geometria története pár ezer éves. Az építészet, a térképészet alakították ki elsõ, talán ma már kezdetlegesnek tûnõ eljárásait. Az alap- és homlokrajz eljárását a középkor építészete bonyolultabb feladatok megoldására is felhasználta. Késõbb a technika fejlõdése is hozzájárult az ábrázolás tudományának kialakulásához. Gaspard Monge ( ) foglalta tudományos rendszerbe az addigi módszereket, eljárásokat. Munkássága nyomán megszületett az alkalmazott matematika új ága, amelyet ma ábrázoló geometria néven ismernek. A geometria részterületeként tartják számon, a geometriai leképezések elméletének egy alkalmazása. Az ábrázoló geometria célja a térbeli alakzatok elsõsorban síkon való ábrázolása. Valamely síkbeli vagy térbeli alakzat ábrázolásán olyan geometriai alapokra épülõ módszereket, eljárásokat értünk, melyek lehetõvé teszik a térbeli alakzat méreteinek, helyzetének, alakjának grafikus szemléltetését, valamint az alak - zattal kapcsolatos geometriai feladatok szerkesztéssel történõ megoldását. Módszere a vetítés, az ábrázolás ered ménye az alakzat képe, vetülete (projekció). Az ábrázolási módszerekkel szemben támasztott legfontosabb követelmények: az ábrázolt alakzat geometriai viszonyai a vetületek alapján egyértelmûen megállapít hatóak legyenek, az ábrázolás eredményeképpen nyert képek lehetõleg szemléletesek legyenek, azaz a vetületek alapján könnyen el tudjuk képzelni az alakzatot. A vetítés egyik módja a párhuzamos vetítés. Ennek során adott a K sík és a v egyenes (7.1. ábra), ahol v-nek és K-nak egyetlen közös pontja van. A tér pontjait v irányú egyenesekkel, a vetítõsugarakkal képezzük le a K síkra, a képsíkra. A 7.1. ábrán a v adott egyenes adja a vetítõsugarak irányát. A tér tetszõleges P pontján át fektetett v állású egyenes K-val alkotott P a döféspontja a P pont pár huzamos vetülete, a P pont képe. Ha v K, akkor merõleges (ortogonális) vetítésrõl beszé lünk, ha pedig v nem merõleges K-ra, akkor ferde (klinogonális) vetítésrõl. A centrális vetítés esetén adott az O pont és a rá nem illeszkedõ K sík (7.2. ábra). A tér pontjait az O pontból, a centrumból vagy vetítési középpontból vetítjük le a K síkra, melyet képsíknak nevezünk. A tér valamely P pontjának P c centrális vetülete 311

16 7. Ábrázoló geometria (centrá lis képe) az OP egyenes (vetítõsugár) és a K képsík közös pontja. A centrális vetítést alkal mazó ábrázolási módszerrel a 7.5. fejezetben ismerkedünk meg részletesebben. Valamely alakzat pontjainak vetületei (képei) az alakzat vetületét (képét) alkotják. v P O P K P a P c K 7.1. ábra 7.2. ábra Az ábrázolással szemben támasztott követelmény a rekonstrukció (visszaállítás), vagyis az ábrázolt alakzat térbeli helyzetére, alakjára, geometriai viszonyaira való visszakövetkeztetés a vetületek ismeretében. A fenti két vetítés nyilván nem létesít egy-egyértelmû megfeleltetést a tér és a K képsík pontjai között. A különbözõ ábrázolási módszerek különféle módon igyekeznek kiküszöbölni ezt a problémát és más-más módon biztosítani az egyértelmû visszaállítást. A mérnöki munkában, a mûvészetekben szükségesek olyan képességek is, melyek lehetõvé teszik valamely alkotás elképzelését, rajzban való megfelelõ rögzítését még annak megvalósítása elõtt. Ehhez egyrészt megfelelõ térszemlélet és geometriai, térgeometriai ismeretanyag szükséges. Ezenkívül el kell sajátítani azokat az alapvetõ ábrázoló geometriai, mûszaki rajzban használatos módszereket, melyek lehetõvé teszik az ábrázolást, szemléltetést. A geometriai, ábrázoló geometriai ismeretek segítik a számítógéppel való tervezést is. Az alábbiakban csak a leggyakrabban használt ábrázolási módszerekkel foglalkozhatunk, helyszûke miatt. A megadott irodalomjegyzék további ismeretek elsajátítására nyújt lehetõséget. Jelölések, szerkesztések 312 A háromdimenziós euklideszi tér legegyszerûbb geometriai alak zatai, a térelemek: a pont, az egyenes és a sík. A térelemek jelölése: pontok: A, B, C, (dõlt nagybetûk), egyenesek: a, b, c, (dõlt kisbetûk), síkok: A, B, C, (álló nagybetûk).

17 7.1. B e v e z e t é s A különbözõ ábrázolási módszerek foglalkoznak a térelemek és azok kölcsönös helyzetének ábrázolásával. Ennek megfelelõen tárgyalják az illeszkedõ, a párhuzamos, a metszõ térelemek megadásával kapcsolatos kérdéseket, valamint azt, hogy a vetületekbõl milyen módon következtethetünk térbeli viszonyaikra. A szokásos jelöléseket használjuk. A teljesség igénye nélkül néhány példa. A P e jelölés szerint a P pont illeszkedik az e egyenesre. Ellenkezõ esetben P e. Egyenes és sík illeszkedésének jelö lése: e S. Az a és b párhuzamos egyeneseket a ; b jelöli. Ha az e egyenes metszi az S síkot, akkor a metszéspont D=e S. A D pontot az e egyenes S síkkal való döféspontjá nak nevezzük. Az A és B pontok által meghatározott egyenest AB-vel, az A, B, C nem egy egyenesre illesz kedõ pontok által meghatározott síkot ABC-vel jelöljük. A P pont és a rá nem illeszkedõ e egyenes síkja: Pe. Hasonlóan az a és b egyenesek által meghatározott síkot ab jelöli. A helyzetgeometriai feladatok megoldásánál nehezebb probléma az ábrázolt alakzatok méreteinek meghatározásával kapcsolatos szerkesztési feladatok megoldása, illetve adott metrikus tulajdonságokkal rendelkezõ alakzatok ábrázolása. (Ez az igény mûszaki vonatkozású ábrázolások esetén, a méretezésekkel kapcsolatban fokozottan fellép.) A geometriai alapot a térelemek távolságainak és szögeinek meghatározásával kapcsolatos definíciók és a vetítés tulajdonságainak ismerete jelenti. Bizonyos ábrázolási módok esetén fontos szerepet játszik a merõlegesség is, különösen a következõ esetben. Az S síkot metszõ n egyenes merõleges a síkra, ha a T=S n ponton átmenõ, minden S síkbeli egyenesre merõleges. Az S síkra merõleges n egyenest a sík egy nor málisának nevezzük, a T döféspontot pedig n talppontjának. A fenti feladatok megoldásánál térbeli szerkesztési feladatok lépnek fel, melyeket az adott ábrázolási módszer síkbeli szerkesztésekre vezet vissza. Ez oly módon történik, hogy a szerkesztés eredménye visszavihetõ a térbeli alakzatra. A síkgeometriában a szerkesztések nagy részében úgynevezett euklideszi szerkesz téseket alkalmazzunk. Euklideszi szerkesztéseket használunk például adott szakasz felezõ merõlegesének, adott szög szögfelezõ egyenesének megszerkesztésénél stb. Feladat. Adott az e egyenes és a P e pont. Szerkesszünk P-n át e-vel párhuzamos f egyenest! Megoldás. Rajzoljunk P középpontú, e-t két pontban (G és F) metszõ kört (7.3. ábra)! Írjunk P körül GF sugarú, F körül GP sugarú kört! Az FGP szögtartományba esõ metszéspontjuk legyen N! A PN egyenes a keresett f párhuzamos egyenes. Másképpen is szerkeszthetünk. Szerkesszünk P-bõl e-re merõleges m egyenest, majd ezután m-re merõleges egyenest P-ben! Ez utóbbi az f egyenes. 313

18 7. Ábrázoló geometria Megjegyezzük, hogy szokás a szerkesztés során úgy eljárni, hogy az egyik háromszögvonalzó átfogójának élét az e egyenesre illesztjük (7.4. ábra), a másik vonalzó egyik élét az elsõ befo gójával összeillesztjük. A második rögzített helyzete esetén az elsõt eltolva párhuzamos egyenest rajzolhatunk P-n át. Ez a szerkesztés nyilván már nem euklideszi, hiszen az eltolás során végtelen sok helyzetet érintünk. P f P N f e e G F 7.3. ábra 7.4. ábra Még az elvileg pontos szerkesztések is a gyakorlati végrehajtás során pontatlanná válnak. Megfelelõnek tekintjük a szerkesztést, ha a pontatlanság nem számottevõ. Sokszor alkalmazunk ún. közelítõ szerkesztéseket, amikor a szerkesztés elvileg sem pontos, viszont ez a pontatlanság elhanyagolhatóan kicsi. Körív közelítõ hosszának szerkesztésénél alkal maz hatjuk a következõ Snellius-féle szerkesztést. Az O közép pontú r sugarú kör a középponti szögéhez tartozó PL ívét tekintjük (7.5. ábra). Az OL szakasz O-n túli meghosszab bí tá sára felmérjük az r sugár kétszeresét. Az így kapott M pontot összekötjük P-vel. Legyen Q az MP egyenes és a körhöz az L pontban vont érintõ metszéspontja! Ekkor 3 sin α QL = r. Ebbõl 2 + cos α adódik, hogy a < 30 esetén a QL szakasz és a PL ív eltérése nem nagyobb, mint r két tized része. A 30 -nál nagyobb szögeket 30 -nál kisebbekre bontva alkalmazhatjuk az elõzõ szer kesztést. P Q a M r r O r L 7.5. ábra 314 Egy másik megoldás, ha a körívet a körbe beírt, elég nagy oldalszámú sokszög kerületével közelítjük (rektifikáljuk), melyet már könnyen meghatározhatunk. Ezt a módszert alkalmaz hatjuk síkbeli görbeívek esetén, ha az íveknek van ív hosszuk.

19 7.1. B e v e z e t é s A térgeometriai szerkesztések során a síkgeometriai szerkesztési eszközeink, ha nem síkbeli a feladat, nem alkalmazhatók. Értelmeznünk kell, mit jelent egy térbeli szerkesz tést elvégezni. A térben akkor tekintünk megszerkesztettnek egy alakzatot, ha a kiindulási adatokból a következõ, ún. alapszerkesztések véges sokszori alkalmazásával eljutunk a keresett alakzathoz: Egy síkot megszerkesztettnek tekintünk, ha ismerjük a síkot egyértelmûen meghatá rozó adatokat. Ha adott két sík, akkor feltételezzük, hogy a metszésvonalukat is meg tudjuk hatá rozni. Ha adott a térben egy tetszõleges sík, akkor ebben a síkban minden, a síkgeometriában szokásos szerkesztést végre tudunk hajtani. Nézzünk egy példát térbeli szerkesztési feladatra! Feladat. Adottak az e és f kitérõ egyenesek, vala mint a rájuk nem illeszkedõ P pont. Szerkesszünk P-n át olyan g egyenest, mely mindkét adott egyenest metszi. Megoldás. A szerkesztendõ g egyenes átmegy P-n, és metszi e-t, tehát benne van a Pe síkban (7.6. ábra). Hasonlóan benne van a Pf síkban is. Tehát g a két sík metszésvonala. Ha a két sík metszésvonala pár huzamos e-vel vagy f-fel, akkor nincs megoldás, különben pedig egyetlen megoldás van. Megjegyez zük, hogy az ábrázoló geometria eszközeivel a fent leírt szerkesztés konkrétan végrehajtható. f Pf g P Pe e 7.6. ábra Néhány geometriai transzformáció, leképezés A következõkben azokat a geometriai transzformációkat említjük meg, melyek egyrészt a különbözõ felületek konstrukciói szempontjából fontosak, másrészt a legalapvetõbb ábrázolási módoknál fellépnek. 315

20 7. Ábrázoló geometria Néhány térbeli egybevágósági transzformáció A távolságtartó transzformációkat neveztük egybevágósági transzformációknak. A síkbeli egybevágósági transzformációk közül középis kolában is szerepeltek a következõk: eltolás, pont körüli forgatás (ezen belül a pontra vonatkozó tükrözés), tengelyes tükrözés. A tér OB irányított szakaszával való eltolását a síkbeli esethez hasonlóan értelmezhetjük (sík helyett mindenütt teret kell gondolni) (7.7. ábra). A tér t egyenes körüli { irányított szögû elforgatása során (7.8. ábra) a t egyenes pontjai helyben marad nak. Állítsunk merõlegest a tér P (P t) pontjából t-re, a merõleges talppontja legyen T! A transzformáció a tér P pontjához azt a pontot rendeli, melyre TP=T, T t és (PT) ={ teljesülnek. A t egyenest forgástengelynek nevezzük. A csavarmozgás egy tengely körüli forgatás és egy, a tengellyel párhuzamos eltolás egymás utánja (7.9. ábra). t t O P P T { P T { B 7.7. ábra 7.8. ábra 7.9. ábra 316 Tekintsünk egy S síkot! Az S síkra vonatkozó tükrözésnél (7.10. ábra) a sík pontjai helyben maradnak, fixpontok. Az S által határolt egyik féltér P pontjához oly módon rendeljük hozzá a másik féltér pontját, hogy P S, és ha P talppontja S-en T, akkor PT=T. Az S síkot szimmetriasík nak nevezzük. A tér O pontjára vonatkozó tükrözésnél O-hoz önmagát rendeljük (7.11. ábra), a tér egy további P pontjához az OP egyenesnek azt a pontját rendeljük, mely az O kezdõpontú P-t nem tartalmazó félegyenesen van, és amelyre OP=O teljesül. A térbeli transzformációknál is vizsgáljuk, hogy az orientációt megtartják-e, vagy sem. Ehhez szükség van a jobbrendszer, illetve balrendszer fogalmára. Legyen O a nem egysíkú e, f, g félegyenesek közös kezdõpontja (7.12. ábra). Ha g irányával szembe nézve az e félegyenest az f félegyenesbe az O körüli, az ef síkban levõ, 180 -nál kisebb, pozitív irányú (azaz megállapodás szerint az óramutató járásával ellentétes) elforgatás viszi, akkor az e, f, g félegyenesek jobbrendszert alkotnak. El-

Geometria. a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk)

Geometria. a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk) 1. Térelemek Geometria a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk) b. Def: félegyenes, szakasz, félsík, féltér. c. Kölcsönös helyzetük: i. pont és (egyenes vagy

Részletesebben

A tér lineáris leképezései síkra

A tér lineáris leképezései síkra A tér lineáris leképezései síkra Az ábrázoló geometria célja: A háromdimenziós térben elhelyezkedő alakzatok helyzeti és metrikus viszonyainak egyértelmű és egyértelműen rekonstruálható módon történő ábrázolása

Részletesebben

Osztályozóvizsga és javítóvizsga témakörei Matematika 9. évfolyam

Osztályozóvizsga és javítóvizsga témakörei Matematika 9. évfolyam Osztályozóvizsga és javítóvizsga témakörei Matematika 9. évfolyam 1. félév Gondolkozás, számolás - halmazok, műveletek halmazokkal, intervallumok - racionális számok, műveletek racionális számokkal, zárójel

Részletesebben

17.2. Az egyenes egyenletei síkbeli koordinátarendszerben

17.2. Az egyenes egyenletei síkbeli koordinátarendszerben Tartalom Előszó 13 1. Halmazok; a matematikai logika elemei 15 1.1. A halmaz fogalma; jelölések 15 1.2. Részhalmazok; komplementer halmaz 16 1.3. Halmazműveletek 17 1.4. A halmazok ekvivalenciája 20 1.5.

Részletesebben

Matematika. 9.osztály: Ajánlott tankönyv és feladatgyűjtemény: Matematika I-II. kötet (Apáczai Kiadó; AP-090803 és AP-090804)

Matematika. 9.osztály: Ajánlott tankönyv és feladatgyűjtemény: Matematika I-II. kötet (Apáczai Kiadó; AP-090803 és AP-090804) Matematika A definíciókat és tételeket (bizonyítás nélkül) ki kell mondani, a tananyagrészekhez tartozó alap- és közepes nehézségű feladatokat kell tudni megoldani A javítóvizsga 60 -es írásbeliből áll.

Részletesebben

MATEMATIKA EMELT SZINTŰ SZÓBELI VIZSGA TÉMAKÖREI (TÉTELEK) 2005

MATEMATIKA EMELT SZINTŰ SZÓBELI VIZSGA TÉMAKÖREI (TÉTELEK) 2005 2005 1. * Halmazok, halmazműveletek, nevezetes ponthalmazok 2. Számhalmazok, halmazok számossága 3. Hatványozás, hatványfüggvény 4. Gyökvonás, gyökfüggvény 5. A logaritmus. Az exponenciális és a logaritmus

Részletesebben

Az osztályozóvizsgák követelményrendszere 9. évfolyam

Az osztályozóvizsgák követelményrendszere 9. évfolyam Az osztályozóvizsgák követelményrendszere 9. évfolyam Kombinatorika, halmazok Összeszámlálási feladatok Halmazok, halmazműveletek, halmazok elemszáma Logikai szita Számegyenesek intervallumok Algebra és

Részletesebben

Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból 2016 / tanév

Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból 2016 / tanév 9. évfolyam I. Halmazok Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból 2016 / 2017. tanév 1. Halmaz, részhalmaz fogalma, részhalmazok száma, jelölések 2. Intervallumok 3. Halmazműveletek

Részletesebben

Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból

Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból 9. évfolyam I. Halmazok 1. Alapfogalmak, jelölések 2. Halmaz, részhalmaz fogalma, részhalmazok száma, jelölések 3. Nevezetes számhalmazok (N,

Részletesebben

Az osztályozóvizsgák követelményrendszere MATEMATIKA

Az osztályozóvizsgák követelményrendszere MATEMATIKA Az osztályozóvizsgák követelményrendszere MATEMATIKA 1. Számok, számhalmazok A 9. évfolyam során feldolgozásra kerülő témakörök: A nyelvi előkészítő és a két tanítási nyelvű osztályok tananyaga: A számfogalom

Részletesebben

Geometria 1 összefoglalás o konvex szögek

Geometria 1 összefoglalás o konvex szögek Geometria 1 összefoglalás Alapfogalmak: a pont, az egyenes és a sík Axiómák: 1. Bármely 2 pontra illeszkedik egy és csak egy egyenes. 2. Három nem egy egyenesre eső pontra illeszkedik egy és csak egy sík.

Részletesebben

Matematika pótvizsga témakörök 9. V

Matematika pótvizsga témakörök 9. V Matematika pótvizsga témakörök 9. V 1. Halmazok, műveletek halmazokkal halmaz, halmaz eleme halmazok egyenlősége véges, végtelen halmaz halmazok jelölése, megadása természetes számok egész számok racionális

Részletesebben

Egyenes mert nincs se kezdő se végpontja

Egyenes mert nincs se kezdő se végpontja Szakasz mert van két végpontja Egyenes mert nincs se kezdő se végpontja Tört vonal Szög mert van két szára és csúcsa Félegyenes mert van egy kezdőpontja 5 1 1 Két egyenes egymásra merőleges ha egymással

Részletesebben

Osztályozó és Javító vizsga témakörei matematikából 9. osztály

Osztályozó és Javító vizsga témakörei matematikából 9. osztály Osztályozó és Javító vizsga témakörei matematikából 9. osztály 1. félév 1. Kombinatorika, halmazok Számoljuk össze! Összeszámlálási feladatok Matematikai logika Halmazok Halmazműveletek Halmazok elemszáma,

Részletesebben

Síklapú testek. Gúlák, hasábok Metszésük egyenessel, síkkal

Síklapú testek. Gúlák, hasábok Metszésük egyenessel, síkkal Síklapú testek Gúlák, hasábok Metszésük egyenessel, síkkal Az előadás átdolgozott részleteket tartalmaz a következőkből: Gubis Katalin: Ábrázoló geometria Vlasta Szirovicza: Descriptive geometry Síklapú

Részletesebben

2. tétel Egész számok - Műveletek egész számokkal. feleletvázlat

2. tétel Egész számok - Műveletek egész számokkal. feleletvázlat 1. tétel Természetes számok tízes számrendszer műveletek és tulajdonságaik Természetes számok, jele, jelölések, ábrázolása számegyenesen műveletek a természetes számok halmazán belül Tízes számrendszer

Részletesebben

Érettségi előkészítő emelt szint 11-12. évf. Matematika. 11. évfolyam. Tematikai egység/fejlesztési cél

Érettségi előkészítő emelt szint 11-12. évf. Matematika. 11. évfolyam. Tematikai egység/fejlesztési cél Emelt szintű matematika érettségi előkészítő 11. évfolyam Tematikai egység/fejlesztési cél Órakeret 72 óra Kötelező Szabad Összesen 1. Gondolkodási módszerek Halmazok, matematikai logika, kombinatorika,

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET. 9. osztály. 4 óra/hét. Budapest, 2014. szeptember

MATEMATIKA TANMENET. 9. osztály. 4 óra/hét. Budapest, 2014. szeptember MATEMATIKA TANMENET 9. osztály 4 óra/hét Budapest, 2014. szeptember 2 Évi óraszám: 144 óra Heti óraszám: 4 óra Ismerkedés, év elejei feladatok, szintfelmérő írása 2 óra I. Kombinatorika, halmazok 13 óra

Részletesebben

Háromszögek, négyszögek, sokszögek 9. évfolyam

Háromszögek, négyszögek, sokszögek 9. évfolyam Háromszögek, négyszögek, sokszögek 9. évfolyam I. Pontok, egyenesek, síkok és ezek kölcsönös helyzetet 1) a pont, az egyenes, a sík és az illeszkedés alapfogalmak 2) két egyenes metsző, ha van közös pontjuk

Részletesebben

Térbeli transzformációk, a tér leképezése síkra

Térbeli transzformációk, a tér leképezése síkra Térbeli transzformációk, a tér leképezése síkra Homogén koordináták bevezetése térben A tér minden P pontjához kölcsönösen egyértelműen egy valós (x, y, z) számhármast rendeltünk hozzá. (Descartes-féle

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET 9.B OSZTÁLY FIZIKA TAGOZAT HETI 6 ÓRA, ÖSSZESEN 216 ÓRA

MATEMATIKA TANMENET 9.B OSZTÁLY FIZIKA TAGOZAT HETI 6 ÓRA, ÖSSZESEN 216 ÓRA MATEMATIKA TANMENET 9.B OSZTÁLY FIZIKA TAGOZAT HETI 6 ÓRA, ÖSSZESEN 216 ÓRA A TÁMOP 3.1.4. EU-s pályázat megvalósításához a matematika (9. b/fizika) tárgy tanmenete a matematika kompetenciaterület A típusú

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 12.E ÉS 13.A OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 31 HÉT/ ÖSSZ 124 ÓRA

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 12.E ÉS 13.A OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 31 HÉT/ ÖSSZ 124 ÓRA MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI ELJÁRÁS MELLÉKLET Tanmenetborító Azonosító: ME-III.1./1 Változatszám: 2 Érvényesség 2013. 09. 01. kezdete: Oldal/összes: 1/6 Fájlnév: ME- III.1.1.Tanmenetborító SZK- DC-2013 MATEMATIKA

Részletesebben

Matematika szóbeli érettségi témakörök 2016/2017-es tanév őszi vizsgaidőszak

Matematika szóbeli érettségi témakörök 2016/2017-es tanév őszi vizsgaidőszak Matematika szóbeli érettségi témakörök 2016/2017-es tanév őszi vizsgaidőszak Halmazok Halmazok egyenlősége Részhalmaz, valódi részhalmaz Üres halmaz Véges és végtelen halmaz Halmazműveletek (unió, metszet,

Részletesebben

A hiperbolikus síkgeometria Poincaré-féle körmodellje

A hiperbolikus síkgeometria Poincaré-féle körmodellje A hiperbolikus síkgeometria Poincaré-féle körmodellje Ha egy aiómarendszerre modellt adunk, az azt jelenti, hogy egy matematikai rendszerben interpretáljuk az aiómarendszer alapfogalmait és az aiómák a

Részletesebben

Függvény fogalma, jelölések 15

Függvény fogalma, jelölések 15 DOLGO[Z]ZATOK 9.. 1. Függvény fogalma, jelölések 1 1. Az alábbi hozzárendelések közül melyek függvények? a) A magyarországi megyékhez hozzárendeljük a székhelyüket. b) Az egész számokhoz hozzárendeljük

Részletesebben

SULINOVA PROGRAMTANTERVÉHEZ ILLESZKEDŐ TANMENET 9. ÉVFOLYAM SZÁMÁRA

SULINOVA PROGRAMTANTERVÉHEZ ILLESZKEDŐ TANMENET 9. ÉVFOLYAM SZÁMÁRA 1 SULINOVA PROGRAMTANTERVÉHEZ ILLESZKEDŐ TANMENET 9. ÉVFOLYAM SZÁMÁRA Heti óraszám: 3 Éves óraszám: 37 x 3 = 111 A tanmenet 101 óra beosztását tartalmazza. A dolgozatok írása és javítása 10 órát foglal

Részletesebben

Matematika tanmenet 12. osztály (heti 4 óra)

Matematika tanmenet 12. osztály (heti 4 óra) Matematika tanmenet 12. osztály (heti 4 óra) Tankönyv: Ábrahám Gábor Dr. Kosztolányiné Nagy Erzsébet Tóth Julianna: Matematika 12. középszint Példatárak: Fuksz Éva Riener Ferenc: Érettségi feladatgyűjtemény

Részletesebben

MATEMATIKA. Szakközépiskola

MATEMATIKA. Szakközépiskola MATEMATIKA Szakközépiskola Az osztályozóvizsga írásbeli feladatlap. Az osztályozó vizsgán az osztályzás a munkaközösség által elfogadott egységes követelményrendszer alapján történik. A tanuló az osztályozó

Részletesebben

Osztályozóvizsga követelményei

Osztályozóvizsga követelményei Osztályozóvizsga követelményei Képzés típusa: Tantárgy: Nyolcosztályos gimnázium Matematika Évfolyam: 7 Emelt óraszámú csoport Emelt szintű csoport Vizsga típusa: Írásbeli Követelmények, témakörök: Gondolkodási

Részletesebben

Egybevágósági transzformációk. A geometriai transzformációk olyan függvények, amelyek ponthoz pontot rendelnek hozzá.

Egybevágósági transzformációk. A geometriai transzformációk olyan függvények, amelyek ponthoz pontot rendelnek hozzá. Egybevágósági transzformációk A geometriai transzformációk olyan függvények, amelyek ponthoz pontot rendelnek hozzá. Egybevágósági transzformációk azok a geometriai transzformációk, amelyeknél bármely

Részletesebben

Transzformációk síkon, térben

Transzformációk síkon, térben Transzformációk síkon, térben Leképezés, transzformáció Leképezés: Ha egy A ponttér pontjaihoz egy másik B ponttér pontjait kölcsönösen egyértelműen rendeljük hozzá, akkor ezt a hozzárendelést leképezésnek

Részletesebben

MATEMATIKA tanterv emelt szint 11-12. évfolyam

MATEMATIKA tanterv emelt szint 11-12. évfolyam MATEMATIKA tanterv emelt szint 11-12. évfolyam Batthyány Kázmér Gimnázium, 2004. 1 TARTALOM 11.osztály (222 óra)... 3 1. Gondolkodási műveletek (35 óra)... 3 2. Számelmélet, algebra (64 óra)... 3 3. Függvények,

Részletesebben

GEIGER JÁNOS ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIA

GEIGER JÁNOS ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIA GEIGER JÁNOS ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIA 2015 A jegyzet bírálója: Dr. Juhász Imre egyetemi tanár A jegyzetet szerkesztette, gépelte, rajzolta: Dr. Geiger János PhD 3 TARTALOMJEGYZÉK ELŐSZÓ... 9 BEVEZETÉS... 11

Részletesebben

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2011/2012 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) 2. forduló - megoldások. 1 pont Ekkor

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2011/2012 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) 2. forduló - megoldások. 1 pont Ekkor Okta tási Hivatal Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 0/0 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA). forduló - megoldások. Az valós számra teljesül a 3 sin sin cos sin egyenlőség. Milyen értékeket

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 9.A, 9.D. OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT ÖSSZ: 148 ÓRA

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 9.A, 9.D. OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT ÖSSZ: 148 ÓRA MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI ELJÁRÁS MELLÉKLET Tanmenetborító ME-III.1./1 2 Azonosító: Változatszám : Érvényesség kezdete: Oldal/összes: 1/6 Fájlnév: ME- III.1.1.Tanmenetborító SZK-DC-2013 2013. 09. 01. MATEMATIKA

Részletesebben

P ÓTVIZSGA F ELKÉSZÍTŐ FÜZETEK UNIÓS RENDSZERŰ PÓTVIZSGÁHOZ. 9. osztályosoknak SZAKKÖZÉP

P ÓTVIZSGA F ELKÉSZÍTŐ FÜZETEK UNIÓS RENDSZERŰ PÓTVIZSGÁHOZ. 9. osztályosoknak SZAKKÖZÉP J UHÁSZ I STVÁN P ÓTVIZSGA F ELKÉSZÍTŐ FÜZETEK UNIÓS RENDSZERŰ PÓTVIZSGÁHOZ T é m a k ö r ö k é s p r ó b a f e l a d a t s o r 9. osztályosoknak SZAKKÖZÉP 1. oldal 9. OSZTÁLYOS PÓTVIZSGA TÉMAKÖRÖK: I.

Részletesebben

Tanmenet a Matematika 10. tankönyvhöz

Tanmenet a Matematika 10. tankönyvhöz Tanmenet a Matematika 10. tankönyvhöz (111 óra, 148 óra, 185 óra) A tanmenetben olyan órafelosztást adunk, amely alkalmazható mind a középszintû képzés (heti 3 vagy heti 4 óra), mind az emelt szintû képzés

Részletesebben

Ábrázoló geometria kezdőknek

Ábrázoló geometria kezdőknek BANCSIK ZSOLT LAJOS SÁNDOR JUHÁSZ IMRE Ábrázoló geometria kezdőknek mobidiák könyvtár Bancsik Zsolt, Lajos Sándor, Juhász Imre Ábrázoló geometria kezdőknek mobidiák könyvtár SOROZATSZERKESZTŐ Fazekas István

Részletesebben

x = 1 = ı (imaginárius egység), illetve x 12 = 1 ± 1 4 2

x = 1 = ı (imaginárius egység), illetve x 12 = 1 ± 1 4 2 Komplex számok A valós számok és a számegyenes pontjai között kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés létesíthető. A számfogalom a számegyenes pontjainak körében nem bővíthető tovább. A számfogalom bővítését

Részletesebben

Az osztályozó vizsgák tematikája matematikából

Az osztályozó vizsgák tematikája matematikából Az osztályozó vizsgák tematikája matematikából Matematikából osztályozó vizsgára kötelezhető az a tanuló, aki magántanuló, vagy akinek a hiányzása eléri az össz óraszám 30%-át. Az írásbeli vizsga időtartama

Részletesebben

Osztályozóvizsga követelményei

Osztályozóvizsga követelményei Osztályozóvizsga követelményei Képzés típusa: Tantárgy: Nyolcosztályos gimnázium Matematika Évfolyam: 9 Emelt óraszámú csoport Emelt szintű csoport Vizsga típusa: Írásbeli Követelmények, témakörök: Gondolkodási

Részletesebben

Matematika javítóvizsga témakörök 10.B (kompetencia alapú )

Matematika javítóvizsga témakörök 10.B (kompetencia alapú ) Matematika javítóvizsga témakörök 10.B (kompetencia alapú ) 1. A négyzetgyök fogalma, a négyzetgyökvonás művelete 2. A négyzetgyökvonás azonosságai 3. Műveletek négyzetgyökökkel 4. A nevező gyöktelenítése

Részletesebben

Osztályozóvizsga követelményei

Osztályozóvizsga követelményei Osztályozóvizsga követelményei Képzés típusa: Tantárgy: Nyolcosztályos gimnázium Matematika Évfolyam: 11 Emelt óraszámú csoport Emelt szintű csoport Vizsga típusa: Írásbeli Követelmények, témakörök: Gondolkodási

Részletesebben

16. tétel Egybevágósági transzformációk. Konvex sokszögek tulajdonságai, szimmetrikus sokszögek

16. tétel Egybevágósági transzformációk. Konvex sokszögek tulajdonságai, szimmetrikus sokszögek 16. tétel Egybevágósági transzformációk. Konvex sokszögek tulajdonságai, szimmetrikus sokszögek EGYBEVÁGÓSÁGI TRANSZFORMÁCIÓK Geometriai transzformáció Def:Olyan speciális függvény, melynek értelmezési

Részletesebben

Minimum követelmények matematika tantárgyból 11. évfolyamon

Minimum követelmények matematika tantárgyból 11. évfolyamon Minimum követelmények matematika tantárgyból. évfolyamon A hatványozás általánosítása pozitív alap esetén racionális kitevőre. Műveletek hatványokkal. A, a 0 függvény. Az eponenciális függvény. Vizsgálata

Részletesebben

Az írásbeli eredménye 75%-ban, a szóbeli eredménye 25%-ban számít a végső értékelésnél.

Az írásbeli eredménye 75%-ban, a szóbeli eredménye 25%-ban számít a végső értékelésnél. Matematika A vizsga leírása: írásbeli és szóbeli vizsgarészből áll. A matematika írásbeli vizsga egy 45 perces feladatlap írásbeli megoldásából áll. Az írásbeli feladatlap tartalmi jellemzői az alábbiak:

Részletesebben

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének 6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük

Részletesebben

PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak

PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak MATEMATIKA (A tantárgy tartalma és a tananyag elsajátításának időterve.) Összeállította: Kis Miklós adjunktus Tankönyvek (mindhárom félévre): 1. Scharnitzky

Részletesebben

, D(-1; 1). A B csúcs koordinátáit az y = + -. A trapéz BD

, D(-1; 1). A B csúcs koordinátáit az y = + -. A trapéz BD Kör és egyenes kölcsönös helyzete Kör érintôje 7 9 A húr hossza: egység 9 A ( ) ponton átmenô legrövidebb húr merôleges a K szakaszra, ahol K az adott kör középpontja, feltéve, hogy a kör belsejében van

Részletesebben

Számítási feladatok a Számítógépi geometria órához

Számítási feladatok a Számítógépi geometria órához Számítási feladatok a Számítógépi geometria órához Kovács Zoltán Copyright c 2012 Last Revision Date: 2012. október 15. kovacsz@nyf.hu Technikai útmutató a jegyzet használatához A jegyzet képernyőbarát

Részletesebben

EGYBEVÁGÓSÁGI TRANSZFORMÁCIÓK TENGELYES TÜKRÖZÉS

EGYBEVÁGÓSÁGI TRANSZFORMÁCIÓK TENGELYES TÜKRÖZÉS GEOMETRIA 1. Az A, B, C egy egyenes pontjai (ebben a sorrendben), AB szakasz 5 cm, BC szakasz 17 cm. F 1 az AB szakasz, F 2 a BC szakasz felezőpontja. Mekkora az F 1 F 2 szakasz? 2. Az AB és CD szakaszok

Részletesebben

Szög. A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából:

Szög. A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából: Szög A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából: http://hu.wikipedia.org/wiki/szög A sík egy pontjából kiinduló két félegyenes a síkot két tartományra osztja. Az egyik tartomány és a két félegyenes szöget

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

BEVEZETÉS AZ ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIÁBA

BEVEZETÉS AZ ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIÁBA Pék Johanna BEVEZETÉS AZ ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIÁBA (Matematika tanárszakos hallgatók számára) Tartalomjegyzék Előszó ii 0. Alapismeretek 1 0.1. Térgeometriai alapok............................. 1 0.2. Az ábrázoló

Részletesebben

Matematika tanmenet 10. osztály (heti 3 óra) A gyökvonás 14 óra

Matematika tanmenet 10. osztály (heti 3 óra) A gyökvonás 14 óra Matematika tanmenet 10. osztály (heti 3 óra) Tankönyv: Ábrahám Gábor Dr. Kosztolányiné Nagy Erzsébet Tóth Julianna: Matematika 10. Példatárak: Fuksz Éva Riener Ferenc: É rettségi feladatgyűjtemény matematikából

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 10.B OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT/ ÖSSZ 148 ÓRA

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 10.B OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT/ ÖSSZ 148 ÓRA MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI ELJÁRÁS MELLÉKLET Tanmenetborító Azonosító: ME-III.1./1 Változatszám: 2 Érvényesség 2013. 09. 01. kezdete: Oldal/összes: 1/7 Fájlnév: ME- III.1.1.Tanmenetborító SZK- DC-2013 MATEMATIKA

Részletesebben

9-10. évfolyam felnőttképzés Heti óraszám: 3 óra

9-10. évfolyam felnőttképzés Heti óraszám: 3 óra 9-10. évfolyam felnőttképzés Heti óraszám: 3 óra Fejlesztési cél/ kompetencia lehetőségei: Gondolkodási képességek: rendszerezés, kombinativitás, deduktív következtetés, valószínűségi Tudásszerző képességek:

Részletesebben

Interaktív geometriai rendszerek használata középiskolában -Pont körre vonatkozó hatványa, hatványvonal-

Interaktív geometriai rendszerek használata középiskolában -Pont körre vonatkozó hatványa, hatványvonal- Fazekas Gabriella IV. matematika-informatika Interaktív geometriai rendszerek használata középiskolában -Pont körre vonatkozó hatványa, hatványvonal- Jelen tanulmány a fent megjelölt fogalmak egy lehetséges

Részletesebben

Feladatok a májusi emelt szintű matematika érettségi példáihoz Hraskó András

Feladatok a májusi emelt szintű matematika érettségi példáihoz Hraskó András Feladatok a 2010. májusi emelt szintű matematika érettségi példáihoz Hraskó András 1. Halmazok, halmazműveletek, halmazok számossága, halmazműveletek és logikai műveletek kapcsolata. HA.1.1. Adott a síkon

Részletesebben

Koordináta-geometria feladatok (középszint)

Koordináta-geometria feladatok (középszint) Koordináta-geometria feladatok (középszint) 1. (KSZÉV Minta (1) 2004.05/I/4) Adott az A(2; 5) és B(1; 3) pont. Adja meg az AB szakasz felezőpontjának koordinátáit! 2. (KSZÉV Minta (2) 2004.05/I/7) Egy

Részletesebben

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al: Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x

Részletesebben

10. Tétel Háromszög. Elnevezések: Háromszög Kerülete: a + b + c Területe: (a * m a )/2; (b * m b )/2; (c * m c )/2

10. Tétel Háromszög. Elnevezések: Háromszög Kerülete: a + b + c Területe: (a * m a )/2; (b * m b )/2; (c * m c )/2 10. Tétel Háromszög Tulajdonságok: - Háromszögnek nevezzük a sokszöget, ha 3 oldala, 3 csúcsa és 3 szöge van - A háromszög belső szögeinek összege 180 o - A háromszög külső szögeinek összege 360 o - A

Részletesebben

3 függvény. Számítsd ki az f 4 f 3 f 3 f 4. egyenlet valós megoldásait! 3 1, 3 és 5 3 1

3 függvény. Számítsd ki az f 4 f 3 f 3 f 4. egyenlet valós megoldásait! 3 1, 3 és 5 3 1 Érettségi, M, I-es feladatsor, természettudomány.. Számítsd ki a C! összeget! log 4. Határozd meg a. Számítsd ki az egyenlet valós megoldásait! összeg értékét, ha és az 4. Adott az f : 0,, f. Adottak az

Részletesebben

VII.4. RAJZOLGATUNK II. A feladatsor jellemzői

VII.4. RAJZOLGATUNK II. A feladatsor jellemzői VII.4. RAJZOLGATUNK II. Tárgy, téma A feladatsor jellemzői Axonometrikus rajzok készítése megadott szempontok alapján, meglévő rajzok kiegészítése, azokban való tájékozódás. Előzmények Arányos számítások,

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. Koordináta-geometria és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 4

Részletesebben

Az alapvetı tudnivalók jegyzéke matematikából 9. évf. Halmazok. Algebra és számelmélet

Az alapvetı tudnivalók jegyzéke matematikából 9. évf. Halmazok. Algebra és számelmélet Az alapvetı tudnivalók jegyzéke matematikából 9. évf. Halmazok halmaz halmaz megadása, jelölésmód üres halmaz véges halmaz végtelen halmaz halmazok egyenlısége részhalmaz, valódi részhalmaz halmazok uniója

Részletesebben

A GEOMETRIA TÉMAKÖR FELOSZTÁSA. Síkgeometria Térgeometria Geometriai mérések Geometriai transzformációk Trigonometria Koordináta-geometria

A GEOMETRIA TÉMAKÖR FELOSZTÁSA. Síkgeometria Térgeometria Geometriai mérések Geometriai transzformációk Trigonometria Koordináta-geometria GEOMETRIA A GEOMETRIA TÉMAKÖR FELOSZTÁSA Síkgeometria Térgeometria Geometriai mérések Geometriai transzformációk Trigonometria Koordináta-geometria A SÍKGEOMETRIA TANÍTÁSA 5-10. OSZTÁLY Síkgeometriai fogalmak

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Koordinátageometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Koordinátageometria 1) MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Koordinátageometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 1

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 1 Halmazok 1 Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 2 A fejezet legfontosabb elemei Halmaz megadási módjai Halmazok közti műveletek (metszet,

Részletesebben

Geometria 1 normál szint

Geometria 1 normál szint Geometria 1 normál szint Naszódi Márton nmarci@math.elte.hu www.math.elte.hu/ nmarci ELTE TTK Geometriai Tsz. Budapest Geometria 1 p.1/4 Vizsga 1. Írásban, 90 perc. 2. Index nélkül nem lehet vizsgázni!

Részletesebben

Matematika 11 Koordináta geometria. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < szeptember 27.

Matematika 11 Koordináta geometria. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < szeptember 27. Matematika 11 Koordináta geometria Juhász László matematika és fizika szakos középiskolai tanár > o < 2015. szeptember 27. copyright: c Juhász László Ennek a könyvnek a használatát szerzői jog védi. A

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek

Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek Eponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek. Hatványozási azonosságok. Számítsd ki a következő hatványok pontos értékét! a) 8 b) 4 c) d) 7 e) f) 9 0, g) 0, 9 h) 6 0, 7,, i) 8 j) 6 k) 4 l) 49,.

Részletesebben

4. A kézfogások száma pont Összesen: 2 pont

4. A kézfogások száma pont Összesen: 2 pont I. 1. A páros számokat tartalmazó részhalmazok: 6 ; 8 ; 6 ; 8. { } { } { }. 5 ( a ) 17 Összesen: t = = a a Összesen: ot kaphat a vizsgázó, ha csak két helyes részhalmazt ír fel. Szintén jár, ha a helyes

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Matematika I

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Matematika I Matematika I (Analízis) Készítette: Horváth Gábor Kötelező irodalom: Ács László, Gáspár Csaba: Analízis 1 Oktatási segédanyagok és a tantárgyi követelményrendszer megtalálható a http://rs1.szif.hu/ horvathg/horvathg.html

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 11B OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT/ ÖSSZ 148 ÓRA

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 11B OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT/ ÖSSZ 148 ÓRA MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI ELJÁRÁS MELLÉKLET Tanmenetborító Azonosító: ME-III.1./1 Változatszám: 2 Érvényesség 2013. 09. 01. kezdete: Oldal/összes: 1/5 Fájlnév: ME- III.1.1.Tanmenetborító SZK- DC-2013 MATEMATIKA

Részletesebben

A MATEMATIKA ÉRETTSÉGI VIZSGA ÁLTALÁNOS KÖVETELMÉNYEI. A vizsga formája. Közé pszinten: írásbeli Emelt szinten: írásbeli és szóbeli

A MATEMATIKA ÉRETTSÉGI VIZSGA ÁLTALÁNOS KÖVETELMÉNYEI. A vizsga formája. Közé pszinten: írásbeli Emelt szinten: írásbeli és szóbeli Az érettségi vizsga követelményei 1 MATEK A vizsga formája Közé pszinten: írásbeli Emelt szinten: írásbeli és szóbeli A MATEMATIKA ÉRETTSÉGI VIZSGA ÁLTALÁNOS KÖVETELMÉNYEI A matematika érettségi vizsga

Részletesebben

Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit!

Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! 1. 2. 3. 4. Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg a kivonásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg a szorzásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg az osztásban szereplő számok

Részletesebben

1. Mit nevezünk egész számok-nak? Válaszd ki a következő számok közül az egész számokat: 3 ; 3,1 ; 1,2 ; -2 ; -0,7 ; 0 ; 1500

1. Mit nevezünk egész számok-nak? Válaszd ki a következő számok közül az egész számokat: 3 ; 3,1 ; 1,2 ; -2 ; -0,7 ; 0 ; 1500 1. Mit nevezünk egész számok-nak? Válaszd ki a következő számok közül az egész számokat: 3 ; 3,1 ; 1,2 ; -2 ; -0,7 ; 0 ; 1500 2. Mit nevezünk ellentett számok-nak? Ábrázold számegyenesen a következő számokat

Részletesebben

MATEMATIKA C 12. évfolyam 4. modul Még egyszer!

MATEMATIKA C 12. évfolyam 4. modul Még egyszer! MATEMATIKA C 1. évfolyam 4. modul Még egyszer! Készítette: Kovács Károlyné Matematika C 1. évfolyam 4. modul: Még eygszer! Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási pontok

Részletesebben

OSZTÁLYOZÓ VIZSGA TÉMAKÖREI

OSZTÁLYOZÓ VIZSGA TÉMAKÖREI OSZTÁLYOZÓ VIZSGA TÉMAKÖREI Matematika - 5. évfolyam A természetes számok A tízes számrendszer A kettes számrendszer A római számírás A számegyenes A számok összehasonlítása A számok kerekítése A természetes

Részletesebben

Az értékelés a következők szerint történik: 0-4 elégtelen 5-6 elégséges 7 közepes 8 jó 9-10 jeles. A szóbeli vizsga várható időpontja

Az értékelés a következők szerint történik: 0-4 elégtelen 5-6 elégséges 7 közepes 8 jó 9-10 jeles. A szóbeli vizsga várható időpontja 2016/17 I. félév MATEMATIKA szóbeli vizsga 1 A szóbeli vizsga kötelező eleme a félév teljesítésének, tehát azok a diákok is vizsgáznak, akik a többi számonkérést teljesítették. A szóbeli vizsgán az alább

Részletesebben

Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Tekintsünk a térben egy P (p 1, p 2, p 3 ) pontot és egy v = (v 1, v 2, v 3 ) = 0 vektort. Ekkor pontosan egy egyenes létezik,

Részletesebben

TANMENET. Matematika

TANMENET. Matematika Bethlen Gábor Református Gimnázium és Szathmáry Kollégium 6800 Hódmezővásárhely, Szőnyi utca 2. Telefon: +36-62-241-703 www.bgrg.hu OM: 029736 TANMENET Matematika 2016/2017 9. B tagozat Összeállította:

Részletesebben

Matematika 5. osztály

Matematika 5. osztály OSZTÁLYOZÓ VIZSGA KÖVETELMÉNYEI MATEMATIKA TANTÁRGYBÓL Matematika 5. osztály Halmazba rendezés adott tulajdonság alapján, részhalmaz felírása, felismerése. Két véges halmaz közös részének, két véges halmaz

Részletesebben

Fejezetek az abszolút geometriából 6. Merőleges és párhuzamos egyenesek

Fejezetek az abszolút geometriából 6. Merőleges és párhuzamos egyenesek Fejezetek az abszolút geometriából 6. Merőleges és párhuzamos egyenesek Ebben a fejezetben megadottnak feltételezzük az abszolút tér egy síkját és tételeink mindig ebben a síkban értendők. T1 (merőleges

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 8 VIII VEkTOROk 1 VEkTOR Vektoron irányított szakaszt értünk Jelölése: stb Vektorok hossza A vektor abszolút értéke az irányított szakasz hossza Ha a vektor hossza egységnyi akkor

Részletesebben

Érettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve / 5

Érettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve / 5 Érettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve 2005-2013 1/ 5 Vektorok 2005. május 28./12. Adottak az a (4; 3) és b ( 2; 1) vektorok. a) Adja meg az a hosszát! b) Számítsa ki az a + b koordinátáit!

Részletesebben

Tanmenetjavaslat. Téma Óraszám Tananyag Fogalmak Összefüggések Eszközök Kitekintés. Helyi érték, alaki érték. Számegyenes.

Tanmenetjavaslat. Téma Óraszám Tananyag Fogalmak Összefüggések Eszközök Kitekintés. Helyi érték, alaki érték. Számegyenes. Heti 4 óra esetén, 37 tanítási hétre összesen 148 óra áll rendelkezésre. A tanmenet 132 óra beosztását tartalmazza. Heti 5 óra esetén összesen 37-tel több órában dolgozhatunk. Ez összesen 185 óra. Itt

Részletesebben

Matematika gyógyszerészhallgatók számára. A kollokvium főtételei tanév

Matematika gyógyszerészhallgatók számára. A kollokvium főtételei tanév Matematika gyógyszerészhallgatók számára A kollokvium főtételei 2015-2016 tanév A1. Függvénytani alapfogalmak. Kölcsönösen egyértelmű függvények és inverzei. Alkalmazások. Alapfogalmak: függvény, kölcsönösen

Részletesebben

Síkgeometria. Ponthalmazok

Síkgeometria.  Ponthalmazok Síkgeometria http://zanza.tv/matematika/geometria Ponthalmazok Alapfogalmak: pont egyenes sík (nincs kiterjedése; általában nagy betűvel jelöljük) (végtelen hosszú; általában kis betűvel jelöljük) (végtelen

Részletesebben

Hasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok)

Hasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok) Hasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok) DEFINÍCIÓ: (Hasonló alakzatok) Két alakzat hasonló, ha van olyan hasonlósági transzformáció, amely az egyik alakzatot a másikba

Részletesebben

Ismételjük a geometriát egy feladaton keresztül!

Ismételjük a geometriát egy feladaton keresztül! Laczkó László Készült a Fazekas ihály Oktatási Kulturális és Sport lapítvány támogatásával z árák elektronikus változatát Véges árton (009c) diák készítette feladat z hegyesszögű háromszög -nél levő szöge.

Részletesebben

NT-17202 Matematika 10. (Heuréka) Tanmenetjavaslat

NT-17202 Matematika 10. (Heuréka) Tanmenetjavaslat NT-17202 Matematika 10. (Heuréka) Tanmenetjavaslat A Dr. Gerőcs László Számadó László Matematika 10. tankönyv A Heuréka-sorozat tagja, így folytatása a Matematika 9. tankönyvnek. Ez a kötet is elsősorban

Részletesebben

Geometria I. Szilágyi Ibolya. Matematika és Informatika Intézet EKF, Eger április 21.

Geometria I. Szilágyi Ibolya. Matematika és Informatika Intézet EKF, Eger április 21. Geometria I. Szilágyi Ibolya szibolya@ektf.hu Matematika és Informatika Intézet EKF, Eger 2006. április 21. Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria 2006. április 21. 1 / 77 Outline Szimmetrikus alakzatok, speciális

Részletesebben

1. Mit nevezünk egész számok-nak? Válaszd ki a következő számok közül az egész számokat: 3 ; 3,1 ; 1,2 ; -2 ; -0,7 ; 0 ; 1500

1. Mit nevezünk egész számok-nak? Válaszd ki a következő számok közül az egész számokat: 3 ; 3,1 ; 1,2 ; -2 ; -0,7 ; 0 ; 1500 1. Mit nevezünk egész számok-nak? Válaszd ki a következő számok közül az egész számokat: 3 ; 3,1 ; 1,2 ; -2 ; -0,7 ; 0 ; 1500 2. Mit nevezünk ellentett számok-nak? Ábrázold számegyenesen a következő számokat

Részletesebben

6. modul Egyenesen előre!

6. modul Egyenesen előre! MATEMATIKA C 11 évfolyam 6 modul Egyenesen előre! Készítette: Kovács Károlyné Matematika C 11 évfolyam 6 modul: Egyenesen előre! Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási

Részletesebben

Osztályozóvizsga követelményei matematikából (négy évfolyamos képzés, alapóraszámú csoport)

Osztályozóvizsga követelményei matematikából (négy évfolyamos képzés, alapóraszámú csoport) Osztályozóvizsga követelményei matematikából (négy évfolyamos képzés, alapóraszámú csoport) Az osztályozóvizsga írásbeli és szóbeli részből áll. Az írásbeli vizsga 45 perces, ezen 4-5 különböző témakörbe

Részletesebben

Fejezetek az euklideszi geometriából

Fejezetek az euklideszi geometriából Fejezetek az euklideszi geometriából Ebben a fejezetben euklideszi térben dolgozunk: vagyis mindvégig feltételezzük, hogy érvényes az abszolút geometria axiómarendszere és az euklideszi párhuzamossági

Részletesebben

SULINOVA PROGRAMTANTERVÉHEZ ILLESZKEDŐ TANMENET 10. ÉVFOLYAM SZÁMÁRA

SULINOVA PROGRAMTANTERVÉHEZ ILLESZKEDŐ TANMENET 10. ÉVFOLYAM SZÁMÁRA SULINOVA PROGRAMTANTERVÉHEZ ILLESZKEDŐ TANMENET 10. ÉVFOLYAM SZÁMÁRA Heti óraszám: 3 Éves óraszám: 37 3 = 111 A tanmenet 100 óra beosztását tartalmazza. A dolgozatok írása és javítása ezeken felül 8 órát

Részletesebben