Matek_00_cimn_imp:Matek_00_cimn_imp_jav 1/12/10 2:10 PM Page 1 M A T E M A T I K A

Átírás

1 M A T E M A T I K A

2 A K A D É M I A I K É Z I K Ö N Y V E K F I Z I K A Fôszerkesztô Holics Lásló S P O R T, É L E T M Ó D, E G É S Z S É G Fôszerkesztô Szatmári Zoltán F I L O Z Ó F I A Fôszerkesztô Boros Gábor M A G Y A R O R S Z Á G T Ö R T É N E T E Fôszerkesztô Romsics Ignác V I L Á G T Ö R T É N E T Fôszerkesztô Salamon Konrád M A G Y A R N Y E L V Fôszerkesztô Kiefer Ferenc K É M I A Fôszerkesztô Náray-Szabó Gábor V I L Á G I R O D A L O M Fôszerkesztô Pál József

3 M A T E M A T I K A Fôszerkesztô Gerôcs László Vancsó Ödön A k a d é m i a i A K i a d ó

4 Megjelent a NEMZETI KULTURÁLIS ALAP támogatásával Írták Bereczky Áron, Csányi Tibor, Gerőcs László, H. Temesvári Ágota, Katona Dániel, Kós Géza, Lerchner Szilvia, Máté László, Nagy Noémi, Németh László, Szakál Péter, Szűcs Zsolt, Vancsó Ödön Lektorálták Arató Miklós, Bátkay András, Gyenes Zoltán, Hortobágyi István, Katona Dániel, Sigray István ISBN ISSN Kiadja az Akadémiai Kiadó, az 1795-ben alapított Magyar Könyvkiadók és Könyvterjesztôk Egyesülésének tagja 1117 Budapest, Prielle Kornélia u Elsô magyar nyelvû kiadás: 2010 Akadémiai Kiadó, 2010 Minden jog fenntartva, beleértve a sokszorosítás, a nyilvános elôadás, a rádió- és televízióadás, valamint a fordítás jogát, az egyes fejezeteket illetôen is. Printed in Hungary

5 Tartalom Elôszó A kötetben használt jelölések Halmazok (Gerôcs László) Alapfogalmak Mûveletek halmazokkal A természetes számok halmaza, oszthatóság, számelmélet További számhalmazok, halmazok számossága Logikai alapok (Bereczky Áron) Állítások logikai értéke, logikai mûveletek Predikátumok és kvantorok Bizonyítási módszerek Számtan, elemi algebra (Gerôcs László) Elemi számtan (a számok írásának kialakulása, mûveletek különbözô számokkal, negatív számok, törtek, tizedes törtek), kerekítés, százalékszámítás Arányok (egyenes és fordított arányosság, az aranymetszés, a r), nevezetes közepek Algebrai kifejezések és mûveletek, hatványozás, összevonás, szorzás, kiemelés, nevezetes azonosságok Gyökvonás, hatványozás, logaritmus és mûveleteik Számrendszerek Egyenletek, egyenletrendszerek (fogalom, mérlegelv, osztályozás fokszám és egyenletek száma szerint, elsô- és másodfokú egyenletek, exponenciális és logaritmikus egyenletek) Harmad- és negyedfokú egyenletek (speciális magasabb fokú egyenletek)

6 T a r t a l o m 4. Polinomok és komplex számok algebrája (Bereczky Áron) Mûveletek polinomokkal, oszthatóság, legnagyobb közös osztó Szorzatfelbontás, felbonthatatlan polinomok Komplex számok Polinomok zérushelyei Többváltozós polinomok A sík elemi geometriája (Gerôcs László) A geometria rövid története Geometriai alapfogalmak Geometriai transzformációk Háromszögek, nevezetes vonalak, pontok, körök, egyéb nevezetes objektumok Négyszögek Sokszögek, szabályos sokszögek, aranymetszés A kör és részei, kerületi és középponti szögek, húr- és érintõnégyszögek Geometriai szerkesztések, speciális szerkesztések A tér elemi geometriája (Gerôcs László) Alapfogalmak Poliéderek Görbe felületû testek Henger és kúp síkmetszetei Ábrázoló geometria (H. Temesvári Ágota Szakál Péter Németh László) Bevezetés Ábrázolás két képsíkon Axonometrikus ábrázolás Néhány görbékre és felületekre vonatkozó feladat Kótás ábrázolás Néhány további ábrázolási módszer Vektorok (Gerôcs László) A vektor fogalma és jellemzõi Mûveletek vektorokkal, vektorok a koordináta-rendszerben Vektorok skaláris szorzata, vektoriális szorzata, vegyes szorzat 412 6

7 T a r t a l o m 9. Szögfüggvények (Gerôcs László) A hegyesszög szögfüggvényei Szögfüggvények általánosítása Szögfüggvények alkalmazása háromszögekkel kapcsolatos problémák megoldására Trigonometrikus egyenletek Trigonometrikus függvények és inverzeik Gömbháromszögek és tulajdonságaik Analitikus geometria (Gerôcs László) A sík analitikus geometriája (alapfogalmak, szakaszosztópontjai, két pont távolsága, a háromszög területe) Az egyenes egyenletei (két egyenes metszéspontja, hajlásszöge, pont és egyenes távolsága) A kör egyenlete Koordinátatranszformációk Kúpszeletek egyenletei, másodrendû görbék Polárkoordináták A tér analitikus geometriája (sík és egyenes, másodrendû felületek, térbeli polárkoordináták) Lineáris algebra (Bereczky Áron) Mátrixok és determinánsok Lineáris egyenletrendszerek Vektorterek Lineáris leképezések Bilineáris függvények Euklideszi terek Absztrakt algebra (Bereczky Áron) Az algebrai struktúrákról általában Gyûrûelmélet, alapfogalmak Kommutatív egységelemes gyûrûk Csoportelmélet, alapfogalmak További témák a csoportelméletbõl Testek és Galois-csoportok Modulusok Hálók és Boole-algebrák

8 T a r t a l o m Számelmélet (Bereczky Áron) Bevezetés, oszthatóság Számelméleti függvények Kongruenciák A kongruenciaosztályok algebrája Kvadratikus maradékok Prímszámok Diofantikus egyenletek Számsorozatok (Gerôcs László) A számsorozat fogalma A számtani sorozat és tulajdonságai A mértani sorozat és tulajdonságai Korlátos, monoton, konvergens sorozatok A Fibonacci-sorozat Magasabb rendû lineáris rekurzív sorozatok, néhány speciális sor Elemi függvények és tulajdonságaik (Csányi Tibor) Függvény Polinomfüggvények Racionális törtfüggvények Exponenciális és logaritmusfüggvények Trigonometrikus függvények Hiperbolikus függvények A valós analízis elemei (Szûcs Zsolt) A valós számok alapfogalmai Számsorozatok Numerikus sorok Egyváltozós függvények folytonossága és határértéke Többváltozós analízis elemei Differenciálszámítás és alkalmazásai (Nagy Noémi) Differenciálható függvények Nevezetes függvények deriváltja Függvénymûveletek és a deriválás kapcsolata Differenciálható függvények tulajdonságai Differenciálszámítás alkalmazása függvények viselkedésének leírására

9 T a r t a l o m Többváltozós függvények differenciálása Fizikai alkalmazások Integrálszámítás és alkalmazásai (Nagy Noémi) Határozatlan integrál Riemann-integrál és tulajdonságai Numerikus integrálás Integrálszámítás alkalmazásai (terület, térfogat, ívhossz) Többváltozós integrál Közönséges differenciálegyenletek (Lerchner Szilvia) Bevezetés Elsõrendû egyenletek Differenciálegyenlet-rendszerek Magasabb rendû egyenletek A Laplace-transzformáció Függvénysorok Parciális differenciálegyenletek (Nagy Noémi) Bevezetés Elsõrendû egyenletek Másodrendû egyenletek Vektoranalízis és integrálátalakító tételek A hõvezetési egyenlet és a hullámegyenlet Komplex függvénytan (Kós Géza) Bevezetõ Reguláris függvények Integráltételek Hatványsorba és Laurent-sorba fejtés A reziduumtétel és alkalmazásai Konform leképezések Harmonikus függvények Fraktálgeometria (Máté László) Bevezetõ példák Mátrixok és geometriai transzformációk Hasonlósági és kontraktív leképezések, halmazfüggvények Az IFS-modell

10 T a r t a l o m Olvasmány a halmazok távolságáról Az IFS-modell tulajdonságai IFS-modell és önhasonlóság Önhasonló halmazok szerkezete és a valóság A fraktáldimenziók A hatványszabály (power law) A boxdimenzió Mit mér a boxdimenzió? Tetszõleges halmaz boxdimenziója Fraktáldimenzió a geodéziában Kombinatorika (Vancsó Ödön) Egyszerû sorba rendezési és kiválasztási problémák Egyszerû sorba rendezési és leszámolási feladatok ismétlõdõ elemekkel A kombinatorika alkalmazásai, összetettebb leszámlálásos problémák A kombinatorikus geometria elemei Gráfok (Vancsó Ödön) Alapfogalmak Gráfok összefüggõsége, fák, erdõk A gráfok bejárásai Speciális gráfok és tulajdonságaik Irányított gráfok Szállítási problémák modellezése gráfokkal (Katona Dániel) Véletlen gráfok Gráfok alkalmazásai Gráfok és mátrixok Kódelmélet (Bereczky Áron) Bevezetés Hibajavító kódok Lineáris kódok Ciklikus kódok Valószínûség-számítás (Vancsó Ödön) Alapfogalmak, bevezetés Valószínûségi mezô, események, eseményalgebra

11 T a r t a l o m Feltételes valószínûség, függetlenség Valószínûségi változók Nevezetes diszkrét eloszlások Nevezetes folytonos eloszlások Az eloszlások legfontosabb jellemzôi: a várható érték és a szórás A nagy számok törvényei Nevezetes határeloszlás-tételek Korreláció, regresszió Egyszerû véletlen folyamatok matematikai leírása Matematikai statisztika (Vancsó Ödön) Leíró statisztika, alapfogalmak, mintavétel, adatsokaság Adatok szemléltetése, ábrázolása Átlag és szórás Idôsorok Összefüggések két ismérv között Összetett intenzitási viszonyszámok és indexálás A matematikai statisztika alapelvei, hipotézisvizsgálat A Bayes-statisztika elemei Tárgymutató

12

13 Elõszó Az Akadémiai kézikönyvek sorozat Matematika címû kötetét tartja kezében az olvasó. Bár kétségtelen, hogy több, jól használható matematikai kézikönyv is található a könyvpiacon, a kiadó mégis úgy gondolta, hogy a sorozatból nem maradhat ki éppen a matematika. Egy olyan matematikai ismereteket tartalmazó kötet, amely a XXI. század kihívásainak megfelelôen a hagyományos alap - ismeretek mellett a kor néhány újabb matematikai területét is tárgyalja, és ezek alapvetô fogalmaival igyekszik megismertetni az érdeklôdôket. Ennek megfelelôen a kötetben a hagyományosan tanultak (a felsôoktatási intézmények BSc fokozatáig bezárólag): a legfontosabb fogalmak, tételek, eljárások és módszerek kapják a hangsúlyosabb szerepet, de mindezek mellett igyekeztünk olyan (már inkább az MSc fokozatba tartozó) ismereteket is érinteni, melyek nagyobb rálátást, mélyebb betekintést kínálnak a kötet olvasóinak. Fontosnak tartottuk azt is, hogy a kötetbe bekerüljenek középiskolai szinten is azok a témakörök, melyek az új típusú érettségi követelményrendszerben is megjelentek (például a statisztika vagy a gráfelmélet). Mindezek mellett bár érintôlegesen a matematikai kutatások néhány újabb területét (kódoláselmélet, fraktálelmélet stb.) is bemutatjuk. Könyvünk 27 fejezetbôl áll. Az elsô fejezetekben az elemi számolási fogalmak és szabályok szerepelnek, majd a továbbiak elsôsorban a középiskolai tananyagban elôforduló legfontosabb területeket tárgyalják. A kötet második felében találjuk a felsôoktatási tematikáknak megfelelô témákat tárgyaló fejezeteket. Ez alól kivétel a 23., 24., 26. és 27. fejezet, ahol a középiskolai és a felsôoktatási anyag egy egységben szerepel. Az egyes fejezetekben levô fogalmakat gyakran magyarázattal is elláttuk. Sok esetben a fontosnak tartott tételek bizonyítását is megadtuk, hol csak vázlatosan, hol teljes részletességgel. Mivel néhány felsôoktatási intézményben alapvetôen fontos témakör az ábrázoló geometria, és a jelenleg forgalomban levô matematikai kézikönyvek általában nem vagy csak nagyon érintôlegesen tárgyalják, ezt a témakört kicsit részletesebben kifejtjük. Ezzel elsôsorban a mûszaki jellegû felsôoktatási intézményekben tanulóknak szeretnénk segítséget nyújtani. 13

14 E l ô s z ó Az egyes fejezeteken belül részletesen kidolgozott mintapéldák vannak a tárgyalt elméleti anyag alkalmazására, melyek áttanulmányozása nagyban hozzájárulhat az elméleti problémák mélyebb megértéséhez. Kötetünknek több szerzôje van. Ennek megfelelôen a stílus, a szövegformálás (ami nyilván szubjektív elemeket is hordoz) az egyes fejezeteket illetôen eltérô lehet. Mindez azonban, reményeink szerint, nem megy az élvezhetôség és a megértés rovására. Reméljük, hogy egy olyan könyv kerül az olvasó kezébe legyen általános vagy középiskolás diák, egyetemi hallgató vagy az idôsebb generációhoz tartozó, de a tárgyat valaha komolyabban tanuló és értô felnôtt, mely kellô eligazodást nyújt számára, akár egy számonkérésre való felkészüléshez, akár régen tanult, de valamelyest elfelejtett ismeretek felelevenítéséhez. Így akár érettségire készüléshez, akár egyetemi vizsgához is hasznos segédeszköz lehet. Az áttekintést segíti, hogy minden definíciót szürke tónusú kiemeléssel jeleztünk, minden tétel keretbe került, a példákat pedig más betûméret jelzi. A legfontosabb jelölések jegyzéke és egy tárgymutató is könnyíti a keresést és eligazodást ebben az egyébként igen vaskosra sikerült kötetben. A könyv a szokásos kézikönyveknél kissé részletesebben fejti ki az egyes témák matematikai tartalmát, és fôleg a sok példával az alkalmazásokat támogatja, ami a mai matematikaoktatás egyik fontos, korábban kissé elhanyagolt területe. Budapest, 2009 októbere A szerkesztôk 14

15 7. Ábrázoló geometria 7.1. Bevezetés Az ábrázoló geometria története pár ezer éves. Az építészet, a térképészet alakították ki elsõ, talán ma már kezdetlegesnek tûnõ eljárásait. Az alap- és homlokrajz eljárását a középkor építészete bonyolultabb feladatok megoldására is felhasználta. Késõbb a technika fejlõdése is hozzájárult az ábrázolás tudományának kialakulásához. Gaspard Monge ( ) foglalta tudományos rendszerbe az addigi módszereket, eljárásokat. Munkássága nyomán megszületett az alkalmazott matematika új ága, amelyet ma ábrázoló geometria néven ismernek. A geometria részterületeként tartják számon, a geometriai leképezések elméletének egy alkalmazása. Az ábrázoló geometria célja a térbeli alakzatok elsõsorban síkon való ábrázolása. Valamely síkbeli vagy térbeli alakzat ábrázolásán olyan geometriai alapokra épülõ módszereket, eljárásokat értünk, melyek lehetõvé teszik a térbeli alakzat méreteinek, helyzetének, alakjának grafikus szemléltetését, valamint az alak - zattal kapcsolatos geometriai feladatok szerkesztéssel történõ megoldását. Módszere a vetítés, az ábrázolás ered ménye az alakzat képe, vetülete (projekció). Az ábrázolási módszerekkel szemben támasztott legfontosabb követelmények: az ábrázolt alakzat geometriai viszonyai a vetületek alapján egyértelmûen megállapít hatóak legyenek, az ábrázolás eredményeképpen nyert képek lehetõleg szemléletesek legyenek, azaz a vetületek alapján könnyen el tudjuk képzelni az alakzatot. A vetítés egyik módja a párhuzamos vetítés. Ennek során adott a K sík és a v egyenes (7.1. ábra), ahol v-nek és K-nak egyetlen közös pontja van. A tér pontjait v irányú egyenesekkel, a vetítõsugarakkal képezzük le a K síkra, a képsíkra. A 7.1. ábrán a v adott egyenes adja a vetítõsugarak irányát. A tér tetszõleges P pontján át fektetett v állású egyenes K-val alkotott P a döféspontja a P pont pár huzamos vetülete, a P pont képe. Ha v K, akkor merõleges (ortogonális) vetítésrõl beszé lünk, ha pedig v nem merõleges K-ra, akkor ferde (klinogonális) vetítésrõl. A centrális vetítés esetén adott az O pont és a rá nem illeszkedõ K sík (7.2. ábra). A tér pontjait az O pontból, a centrumból vagy vetítési középpontból vetítjük le a K síkra, melyet képsíknak nevezünk. A tér valamely P pontjának P c centrális vetülete 311

16 7. Ábrázoló geometria (centrá lis képe) az OP egyenes (vetítõsugár) és a K képsík közös pontja. A centrális vetítést alkal mazó ábrázolási módszerrel a 7.5. fejezetben ismerkedünk meg részletesebben. Valamely alakzat pontjainak vetületei (képei) az alakzat vetületét (képét) alkotják. v P O P K P a P c K 7.1. ábra 7.2. ábra Az ábrázolással szemben támasztott követelmény a rekonstrukció (visszaállítás), vagyis az ábrázolt alakzat térbeli helyzetére, alakjára, geometriai viszonyaira való visszakövetkeztetés a vetületek ismeretében. A fenti két vetítés nyilván nem létesít egy-egyértelmû megfeleltetést a tér és a K képsík pontjai között. A különbözõ ábrázolási módszerek különféle módon igyekeznek kiküszöbölni ezt a problémát és más-más módon biztosítani az egyértelmû visszaállítást. A mérnöki munkában, a mûvészetekben szükségesek olyan képességek is, melyek lehetõvé teszik valamely alkotás elképzelését, rajzban való megfelelõ rögzítését még annak megvalósítása elõtt. Ehhez egyrészt megfelelõ térszemlélet és geometriai, térgeometriai ismeretanyag szükséges. Ezenkívül el kell sajátítani azokat az alapvetõ ábrázoló geometriai, mûszaki rajzban használatos módszereket, melyek lehetõvé teszik az ábrázolást, szemléltetést. A geometriai, ábrázoló geometriai ismeretek segítik a számítógéppel való tervezést is. Az alábbiakban csak a leggyakrabban használt ábrázolási módszerekkel foglalkozhatunk, helyszûke miatt. A megadott irodalomjegyzék további ismeretek elsajátítására nyújt lehetõséget. Jelölések, szerkesztések 312 A háromdimenziós euklideszi tér legegyszerûbb geometriai alak zatai, a térelemek: a pont, az egyenes és a sík. A térelemek jelölése: pontok: A, B, C, (dõlt nagybetûk), egyenesek: a, b, c, (dõlt kisbetûk), síkok: A, B, C, (álló nagybetûk).

17 7.1. B e v e z e t é s A különbözõ ábrázolási módszerek foglalkoznak a térelemek és azok kölcsönös helyzetének ábrázolásával. Ennek megfelelõen tárgyalják az illeszkedõ, a párhuzamos, a metszõ térelemek megadásával kapcsolatos kérdéseket, valamint azt, hogy a vetületekbõl milyen módon következtethetünk térbeli viszonyaikra. A szokásos jelöléseket használjuk. A teljesség igénye nélkül néhány példa. A P e jelölés szerint a P pont illeszkedik az e egyenesre. Ellenkezõ esetben P e. Egyenes és sík illeszkedésének jelö lése: e S. Az a és b párhuzamos egyeneseket a ; b jelöli. Ha az e egyenes metszi az S síkot, akkor a metszéspont D=e S. A D pontot az e egyenes S síkkal való döféspontjá nak nevezzük. Az A és B pontok által meghatározott egyenest AB-vel, az A, B, C nem egy egyenesre illesz kedõ pontok által meghatározott síkot ABC-vel jelöljük. A P pont és a rá nem illeszkedõ e egyenes síkja: Pe. Hasonlóan az a és b egyenesek által meghatározott síkot ab jelöli. A helyzetgeometriai feladatok megoldásánál nehezebb probléma az ábrázolt alakzatok méreteinek meghatározásával kapcsolatos szerkesztési feladatok megoldása, illetve adott metrikus tulajdonságokkal rendelkezõ alakzatok ábrázolása. (Ez az igény mûszaki vonatkozású ábrázolások esetén, a méretezésekkel kapcsolatban fokozottan fellép.) A geometriai alapot a térelemek távolságainak és szögeinek meghatározásával kapcsolatos definíciók és a vetítés tulajdonságainak ismerete jelenti. Bizonyos ábrázolási módok esetén fontos szerepet játszik a merõlegesség is, különösen a következõ esetben. Az S síkot metszõ n egyenes merõleges a síkra, ha a T=S n ponton átmenõ, minden S síkbeli egyenesre merõleges. Az S síkra merõleges n egyenest a sík egy nor málisának nevezzük, a T döféspontot pedig n talppontjának. A fenti feladatok megoldásánál térbeli szerkesztési feladatok lépnek fel, melyeket az adott ábrázolási módszer síkbeli szerkesztésekre vezet vissza. Ez oly módon történik, hogy a szerkesztés eredménye visszavihetõ a térbeli alakzatra. A síkgeometriában a szerkesztések nagy részében úgynevezett euklideszi szerkesz téseket alkalmazzunk. Euklideszi szerkesztéseket használunk például adott szakasz felezõ merõlegesének, adott szög szögfelezõ egyenesének megszerkesztésénél stb. Feladat. Adott az e egyenes és a P e pont. Szerkesszünk P-n át e-vel párhuzamos f egyenest! Megoldás. Rajzoljunk P középpontú, e-t két pontban (G és F) metszõ kört (7.3. ábra)! Írjunk P körül GF sugarú, F körül GP sugarú kört! Az FGP szögtartományba esõ metszéspontjuk legyen N! A PN egyenes a keresett f párhuzamos egyenes. Másképpen is szerkeszthetünk. Szerkesszünk P-bõl e-re merõleges m egyenest, majd ezután m-re merõleges egyenest P-ben! Ez utóbbi az f egyenes. 313

18 7. Ábrázoló geometria Megjegyezzük, hogy szokás a szerkesztés során úgy eljárni, hogy az egyik háromszögvonalzó átfogójának élét az e egyenesre illesztjük (7.4. ábra), a másik vonalzó egyik élét az elsõ befo gójával összeillesztjük. A második rögzített helyzete esetén az elsõt eltolva párhuzamos egyenest rajzolhatunk P-n át. Ez a szerkesztés nyilván már nem euklideszi, hiszen az eltolás során végtelen sok helyzetet érintünk. P f P N f e e G F 7.3. ábra 7.4. ábra Még az elvileg pontos szerkesztések is a gyakorlati végrehajtás során pontatlanná válnak. Megfelelõnek tekintjük a szerkesztést, ha a pontatlanság nem számottevõ. Sokszor alkalmazunk ún. közelítõ szerkesztéseket, amikor a szerkesztés elvileg sem pontos, viszont ez a pontatlanság elhanyagolhatóan kicsi. Körív közelítõ hosszának szerkesztésénél alkal maz hatjuk a következõ Snellius-féle szerkesztést. Az O közép pontú r sugarú kör a középponti szögéhez tartozó PL ívét tekintjük (7.5. ábra). Az OL szakasz O-n túli meghosszab bí tá sára felmérjük az r sugár kétszeresét. Az így kapott M pontot összekötjük P-vel. Legyen Q az MP egyenes és a körhöz az L pontban vont érintõ metszéspontja! Ekkor 3 sin α QL = r. Ebbõl 2 + cos α adódik, hogy a < 30 esetén a QL szakasz és a PL ív eltérése nem nagyobb, mint r két tized része. A 30 -nál nagyobb szögeket 30 -nál kisebbekre bontva alkalmazhatjuk az elõzõ szer kesztést. P Q a M r r O r L 7.5. ábra 314 Egy másik megoldás, ha a körívet a körbe beírt, elég nagy oldalszámú sokszög kerületével közelítjük (rektifikáljuk), melyet már könnyen meghatározhatunk. Ezt a módszert alkalmaz hatjuk síkbeli görbeívek esetén, ha az íveknek van ív hosszuk.

19 7.1. B e v e z e t é s A térgeometriai szerkesztések során a síkgeometriai szerkesztési eszközeink, ha nem síkbeli a feladat, nem alkalmazhatók. Értelmeznünk kell, mit jelent egy térbeli szerkesz tést elvégezni. A térben akkor tekintünk megszerkesztettnek egy alakzatot, ha a kiindulási adatokból a következõ, ún. alapszerkesztések véges sokszori alkalmazásával eljutunk a keresett alakzathoz: Egy síkot megszerkesztettnek tekintünk, ha ismerjük a síkot egyértelmûen meghatá rozó adatokat. Ha adott két sík, akkor feltételezzük, hogy a metszésvonalukat is meg tudjuk hatá rozni. Ha adott a térben egy tetszõleges sík, akkor ebben a síkban minden, a síkgeometriában szokásos szerkesztést végre tudunk hajtani. Nézzünk egy példát térbeli szerkesztési feladatra! Feladat. Adottak az e és f kitérõ egyenesek, vala mint a rájuk nem illeszkedõ P pont. Szerkesszünk P-n át olyan g egyenest, mely mindkét adott egyenest metszi. Megoldás. A szerkesztendõ g egyenes átmegy P-n, és metszi e-t, tehát benne van a Pe síkban (7.6. ábra). Hasonlóan benne van a Pf síkban is. Tehát g a két sík metszésvonala. Ha a két sík metszésvonala pár huzamos e-vel vagy f-fel, akkor nincs megoldás, különben pedig egyetlen megoldás van. Megjegyez zük, hogy az ábrázoló geometria eszközeivel a fent leírt szerkesztés konkrétan végrehajtható. f Pf g P Pe e 7.6. ábra Néhány geometriai transzformáció, leképezés A következõkben azokat a geometriai transzformációkat említjük meg, melyek egyrészt a különbözõ felületek konstrukciói szempontjából fontosak, másrészt a legalapvetõbb ábrázolási módoknál fellépnek. 315

20 7. Ábrázoló geometria Néhány térbeli egybevágósági transzformáció A távolságtartó transzformációkat neveztük egybevágósági transzformációknak. A síkbeli egybevágósági transzformációk közül középis kolában is szerepeltek a következõk: eltolás, pont körüli forgatás (ezen belül a pontra vonatkozó tükrözés), tengelyes tükrözés. A tér OB irányított szakaszával való eltolását a síkbeli esethez hasonlóan értelmezhetjük (sík helyett mindenütt teret kell gondolni) (7.7. ábra). A tér t egyenes körüli { irányított szögû elforgatása során (7.8. ábra) a t egyenes pontjai helyben marad nak. Állítsunk merõlegest a tér P (P t) pontjából t-re, a merõleges talppontja legyen T! A transzformáció a tér P pontjához azt a pontot rendeli, melyre TP=T, T t és (PT) ={ teljesülnek. A t egyenest forgástengelynek nevezzük. A csavarmozgás egy tengely körüli forgatás és egy, a tengellyel párhuzamos eltolás egymás utánja (7.9. ábra). t t O P P T { P T { B 7.7. ábra 7.8. ábra 7.9. ábra 316 Tekintsünk egy S síkot! Az S síkra vonatkozó tükrözésnél (7.10. ábra) a sík pontjai helyben maradnak, fixpontok. Az S által határolt egyik féltér P pontjához oly módon rendeljük hozzá a másik féltér pontját, hogy P S, és ha P talppontja S-en T, akkor PT=T. Az S síkot szimmetriasík nak nevezzük. A tér O pontjára vonatkozó tükrözésnél O-hoz önmagát rendeljük (7.11. ábra), a tér egy további P pontjához az OP egyenesnek azt a pontját rendeljük, mely az O kezdõpontú P-t nem tartalmazó félegyenesen van, és amelyre OP=O teljesül. A térbeli transzformációknál is vizsgáljuk, hogy az orientációt megtartják-e, vagy sem. Ehhez szükség van a jobbrendszer, illetve balrendszer fogalmára. Legyen O a nem egysíkú e, f, g félegyenesek közös kezdõpontja (7.12. ábra). Ha g irányával szembe nézve az e félegyenest az f félegyenesbe az O körüli, az ef síkban levõ, 180 -nál kisebb, pozitív irányú (azaz megállapodás szerint az óramutató járásával ellentétes) elforgatás viszi, akkor az e, f, g félegyenesek jobbrendszert alkotnak. El-