Matek_00_cimn_imp:Matek_00_cimn_imp_jav 1/12/10 2:10 PM Page 1 M A T E M A T I K A

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Matek_00_cimn_imp:Matek_00_cimn_imp_jav 1/12/10 2:10 PM Page 1 M A T E M A T I K A"

Átírás

1 M A T E M A T I K A

2 A K A D É M I A I K É Z I K Ö N Y V E K F I Z I K A Fôszerkesztô Holics Lásló S P O R T, É L E T M Ó D, E G É S Z S É G Fôszerkesztô Szatmári Zoltán F I L O Z Ó F I A Fôszerkesztô Boros Gábor M A G Y A R O R S Z Á G T Ö R T É N E T E Fôszerkesztô Romsics Ignác V I L Á G T Ö R T É N E T Fôszerkesztô Salamon Konrád M A G Y A R N Y E L V Fôszerkesztô Kiefer Ferenc K É M I A Fôszerkesztô Náray-Szabó Gábor V I L Á G I R O D A L O M Fôszerkesztô Pál József

3 M A T E M A T I K A Fôszerkesztô Gerôcs László Vancsó Ödön A k a d é m i a i A K i a d ó

4 Megjelent a NEMZETI KULTURÁLIS ALAP támogatásával Írták Bereczky Áron, Csányi Tibor, Gerőcs László, H. Temesvári Ágota, Katona Dániel, Kós Géza, Lerchner Szilvia, Máté László, Nagy Noémi, Németh László, Szakál Péter, Szűcs Zsolt, Vancsó Ödön Lektorálták Arató Miklós, Bátkay András, Gyenes Zoltán, Hortobágyi István, Katona Dániel, Sigray István ISBN ISSN Kiadja az Akadémiai Kiadó, az 1795-ben alapított Magyar Könyvkiadók és Könyvterjesztôk Egyesülésének tagja 1117 Budapest, Prielle Kornélia u Elsô magyar nyelvû kiadás: 2010 Akadémiai Kiadó, 2010 Minden jog fenntartva, beleértve a sokszorosítás, a nyilvános elôadás, a rádió- és televízióadás, valamint a fordítás jogát, az egyes fejezeteket illetôen is. Printed in Hungary

5 Tartalom Elôszó A kötetben használt jelölések Halmazok (Gerôcs László) Alapfogalmak Mûveletek halmazokkal A természetes számok halmaza, oszthatóság, számelmélet További számhalmazok, halmazok számossága Logikai alapok (Bereczky Áron) Állítások logikai értéke, logikai mûveletek Predikátumok és kvantorok Bizonyítási módszerek Számtan, elemi algebra (Gerôcs László) Elemi számtan (a számok írásának kialakulása, mûveletek különbözô számokkal, negatív számok, törtek, tizedes törtek), kerekítés, százalékszámítás Arányok (egyenes és fordított arányosság, az aranymetszés, a r), nevezetes közepek Algebrai kifejezések és mûveletek, hatványozás, összevonás, szorzás, kiemelés, nevezetes azonosságok Gyökvonás, hatványozás, logaritmus és mûveleteik Számrendszerek Egyenletek, egyenletrendszerek (fogalom, mérlegelv, osztályozás fokszám és egyenletek száma szerint, elsô- és másodfokú egyenletek, exponenciális és logaritmikus egyenletek) Harmad- és negyedfokú egyenletek (speciális magasabb fokú egyenletek)

6 T a r t a l o m 4. Polinomok és komplex számok algebrája (Bereczky Áron) Mûveletek polinomokkal, oszthatóság, legnagyobb közös osztó Szorzatfelbontás, felbonthatatlan polinomok Komplex számok Polinomok zérushelyei Többváltozós polinomok A sík elemi geometriája (Gerôcs László) A geometria rövid története Geometriai alapfogalmak Geometriai transzformációk Háromszögek, nevezetes vonalak, pontok, körök, egyéb nevezetes objektumok Négyszögek Sokszögek, szabályos sokszögek, aranymetszés A kör és részei, kerületi és középponti szögek, húr- és érintõnégyszögek Geometriai szerkesztések, speciális szerkesztések A tér elemi geometriája (Gerôcs László) Alapfogalmak Poliéderek Görbe felületû testek Henger és kúp síkmetszetei Ábrázoló geometria (H. Temesvári Ágota Szakál Péter Németh László) Bevezetés Ábrázolás két képsíkon Axonometrikus ábrázolás Néhány görbékre és felületekre vonatkozó feladat Kótás ábrázolás Néhány további ábrázolási módszer Vektorok (Gerôcs László) A vektor fogalma és jellemzõi Mûveletek vektorokkal, vektorok a koordináta-rendszerben Vektorok skaláris szorzata, vektoriális szorzata, vegyes szorzat 412 6

7 T a r t a l o m 9. Szögfüggvények (Gerôcs László) A hegyesszög szögfüggvényei Szögfüggvények általánosítása Szögfüggvények alkalmazása háromszögekkel kapcsolatos problémák megoldására Trigonometrikus egyenletek Trigonometrikus függvények és inverzeik Gömbháromszögek és tulajdonságaik Analitikus geometria (Gerôcs László) A sík analitikus geometriája (alapfogalmak, szakaszosztópontjai, két pont távolsága, a háromszög területe) Az egyenes egyenletei (két egyenes metszéspontja, hajlásszöge, pont és egyenes távolsága) A kör egyenlete Koordinátatranszformációk Kúpszeletek egyenletei, másodrendû görbék Polárkoordináták A tér analitikus geometriája (sík és egyenes, másodrendû felületek, térbeli polárkoordináták) Lineáris algebra (Bereczky Áron) Mátrixok és determinánsok Lineáris egyenletrendszerek Vektorterek Lineáris leképezések Bilineáris függvények Euklideszi terek Absztrakt algebra (Bereczky Áron) Az algebrai struktúrákról általában Gyûrûelmélet, alapfogalmak Kommutatív egységelemes gyûrûk Csoportelmélet, alapfogalmak További témák a csoportelméletbõl Testek és Galois-csoportok Modulusok Hálók és Boole-algebrák

8 T a r t a l o m Számelmélet (Bereczky Áron) Bevezetés, oszthatóság Számelméleti függvények Kongruenciák A kongruenciaosztályok algebrája Kvadratikus maradékok Prímszámok Diofantikus egyenletek Számsorozatok (Gerôcs László) A számsorozat fogalma A számtani sorozat és tulajdonságai A mértani sorozat és tulajdonságai Korlátos, monoton, konvergens sorozatok A Fibonacci-sorozat Magasabb rendû lineáris rekurzív sorozatok, néhány speciális sor Elemi függvények és tulajdonságaik (Csányi Tibor) Függvény Polinomfüggvények Racionális törtfüggvények Exponenciális és logaritmusfüggvények Trigonometrikus függvények Hiperbolikus függvények A valós analízis elemei (Szûcs Zsolt) A valós számok alapfogalmai Számsorozatok Numerikus sorok Egyváltozós függvények folytonossága és határértéke Többváltozós analízis elemei Differenciálszámítás és alkalmazásai (Nagy Noémi) Differenciálható függvények Nevezetes függvények deriváltja Függvénymûveletek és a deriválás kapcsolata Differenciálható függvények tulajdonságai Differenciálszámítás alkalmazása függvények viselkedésének leírására

9 T a r t a l o m Többváltozós függvények differenciálása Fizikai alkalmazások Integrálszámítás és alkalmazásai (Nagy Noémi) Határozatlan integrál Riemann-integrál és tulajdonságai Numerikus integrálás Integrálszámítás alkalmazásai (terület, térfogat, ívhossz) Többváltozós integrál Közönséges differenciálegyenletek (Lerchner Szilvia) Bevezetés Elsõrendû egyenletek Differenciálegyenlet-rendszerek Magasabb rendû egyenletek A Laplace-transzformáció Függvénysorok Parciális differenciálegyenletek (Nagy Noémi) Bevezetés Elsõrendû egyenletek Másodrendû egyenletek Vektoranalízis és integrálátalakító tételek A hõvezetési egyenlet és a hullámegyenlet Komplex függvénytan (Kós Géza) Bevezetõ Reguláris függvények Integráltételek Hatványsorba és Laurent-sorba fejtés A reziduumtétel és alkalmazásai Konform leképezések Harmonikus függvények Fraktálgeometria (Máté László) Bevezetõ példák Mátrixok és geometriai transzformációk Hasonlósági és kontraktív leképezések, halmazfüggvények Az IFS-modell

10 T a r t a l o m Olvasmány a halmazok távolságáról Az IFS-modell tulajdonságai IFS-modell és önhasonlóság Önhasonló halmazok szerkezete és a valóság A fraktáldimenziók A hatványszabály (power law) A boxdimenzió Mit mér a boxdimenzió? Tetszõleges halmaz boxdimenziója Fraktáldimenzió a geodéziában Kombinatorika (Vancsó Ödön) Egyszerû sorba rendezési és kiválasztási problémák Egyszerû sorba rendezési és leszámolási feladatok ismétlõdõ elemekkel A kombinatorika alkalmazásai, összetettebb leszámlálásos problémák A kombinatorikus geometria elemei Gráfok (Vancsó Ödön) Alapfogalmak Gráfok összefüggõsége, fák, erdõk A gráfok bejárásai Speciális gráfok és tulajdonságaik Irányított gráfok Szállítási problémák modellezése gráfokkal (Katona Dániel) Véletlen gráfok Gráfok alkalmazásai Gráfok és mátrixok Kódelmélet (Bereczky Áron) Bevezetés Hibajavító kódok Lineáris kódok Ciklikus kódok Valószínûség-számítás (Vancsó Ödön) Alapfogalmak, bevezetés Valószínûségi mezô, események, eseményalgebra

11 T a r t a l o m Feltételes valószínûség, függetlenség Valószínûségi változók Nevezetes diszkrét eloszlások Nevezetes folytonos eloszlások Az eloszlások legfontosabb jellemzôi: a várható érték és a szórás A nagy számok törvényei Nevezetes határeloszlás-tételek Korreláció, regresszió Egyszerû véletlen folyamatok matematikai leírása Matematikai statisztika (Vancsó Ödön) Leíró statisztika, alapfogalmak, mintavétel, adatsokaság Adatok szemléltetése, ábrázolása Átlag és szórás Idôsorok Összefüggések két ismérv között Összetett intenzitási viszonyszámok és indexálás A matematikai statisztika alapelvei, hipotézisvizsgálat A Bayes-statisztika elemei Tárgymutató

12

13 Elõszó Az Akadémiai kézikönyvek sorozat Matematika címû kötetét tartja kezében az olvasó. Bár kétségtelen, hogy több, jól használható matematikai kézikönyv is található a könyvpiacon, a kiadó mégis úgy gondolta, hogy a sorozatból nem maradhat ki éppen a matematika. Egy olyan matematikai ismereteket tartalmazó kötet, amely a XXI. század kihívásainak megfelelôen a hagyományos alap - ismeretek mellett a kor néhány újabb matematikai területét is tárgyalja, és ezek alapvetô fogalmaival igyekszik megismertetni az érdeklôdôket. Ennek megfelelôen a kötetben a hagyományosan tanultak (a felsôoktatási intézmények BSc fokozatáig bezárólag): a legfontosabb fogalmak, tételek, eljárások és módszerek kapják a hangsúlyosabb szerepet, de mindezek mellett igyekeztünk olyan (már inkább az MSc fokozatba tartozó) ismereteket is érinteni, melyek nagyobb rálátást, mélyebb betekintést kínálnak a kötet olvasóinak. Fontosnak tartottuk azt is, hogy a kötetbe bekerüljenek középiskolai szinten is azok a témakörök, melyek az új típusú érettségi követelményrendszerben is megjelentek (például a statisztika vagy a gráfelmélet). Mindezek mellett bár érintôlegesen a matematikai kutatások néhány újabb területét (kódoláselmélet, fraktálelmélet stb.) is bemutatjuk. Könyvünk 27 fejezetbôl áll. Az elsô fejezetekben az elemi számolási fogalmak és szabályok szerepelnek, majd a továbbiak elsôsorban a középiskolai tananyagban elôforduló legfontosabb területeket tárgyalják. A kötet második felében találjuk a felsôoktatási tematikáknak megfelelô témákat tárgyaló fejezeteket. Ez alól kivétel a 23., 24., 26. és 27. fejezet, ahol a középiskolai és a felsôoktatási anyag egy egységben szerepel. Az egyes fejezetekben levô fogalmakat gyakran magyarázattal is elláttuk. Sok esetben a fontosnak tartott tételek bizonyítását is megadtuk, hol csak vázlatosan, hol teljes részletességgel. Mivel néhány felsôoktatási intézményben alapvetôen fontos témakör az ábrázoló geometria, és a jelenleg forgalomban levô matematikai kézikönyvek általában nem vagy csak nagyon érintôlegesen tárgyalják, ezt a témakört kicsit részletesebben kifejtjük. Ezzel elsôsorban a mûszaki jellegû felsôoktatási intézményekben tanulóknak szeretnénk segítséget nyújtani. 13

14 E l ô s z ó Az egyes fejezeteken belül részletesen kidolgozott mintapéldák vannak a tárgyalt elméleti anyag alkalmazására, melyek áttanulmányozása nagyban hozzájárulhat az elméleti problémák mélyebb megértéséhez. Kötetünknek több szerzôje van. Ennek megfelelôen a stílus, a szövegformálás (ami nyilván szubjektív elemeket is hordoz) az egyes fejezeteket illetôen eltérô lehet. Mindez azonban, reményeink szerint, nem megy az élvezhetôség és a megértés rovására. Reméljük, hogy egy olyan könyv kerül az olvasó kezébe legyen általános vagy középiskolás diák, egyetemi hallgató vagy az idôsebb generációhoz tartozó, de a tárgyat valaha komolyabban tanuló és értô felnôtt, mely kellô eligazodást nyújt számára, akár egy számonkérésre való felkészüléshez, akár régen tanult, de valamelyest elfelejtett ismeretek felelevenítéséhez. Így akár érettségire készüléshez, akár egyetemi vizsgához is hasznos segédeszköz lehet. Az áttekintést segíti, hogy minden definíciót szürke tónusú kiemeléssel jeleztünk, minden tétel keretbe került, a példákat pedig más betûméret jelzi. A legfontosabb jelölések jegyzéke és egy tárgymutató is könnyíti a keresést és eligazodást ebben az egyébként igen vaskosra sikerült kötetben. A könyv a szokásos kézikönyveknél kissé részletesebben fejti ki az egyes témák matematikai tartalmát, és fôleg a sok példával az alkalmazásokat támogatja, ami a mai matematikaoktatás egyik fontos, korábban kissé elhanyagolt területe. Budapest, 2009 októbere A szerkesztôk 14

15 7. Ábrázoló geometria 7.1. Bevezetés Az ábrázoló geometria története pár ezer éves. Az építészet, a térképészet alakították ki elsõ, talán ma már kezdetlegesnek tûnõ eljárásait. Az alap- és homlokrajz eljárását a középkor építészete bonyolultabb feladatok megoldására is felhasználta. Késõbb a technika fejlõdése is hozzájárult az ábrázolás tudományának kialakulásához. Gaspard Monge ( ) foglalta tudományos rendszerbe az addigi módszereket, eljárásokat. Munkássága nyomán megszületett az alkalmazott matematika új ága, amelyet ma ábrázoló geometria néven ismernek. A geometria részterületeként tartják számon, a geometriai leképezések elméletének egy alkalmazása. Az ábrázoló geometria célja a térbeli alakzatok elsõsorban síkon való ábrázolása. Valamely síkbeli vagy térbeli alakzat ábrázolásán olyan geometriai alapokra épülõ módszereket, eljárásokat értünk, melyek lehetõvé teszik a térbeli alakzat méreteinek, helyzetének, alakjának grafikus szemléltetését, valamint az alak - zattal kapcsolatos geometriai feladatok szerkesztéssel történõ megoldását. Módszere a vetítés, az ábrázolás ered ménye az alakzat képe, vetülete (projekció). Az ábrázolási módszerekkel szemben támasztott legfontosabb követelmények: az ábrázolt alakzat geometriai viszonyai a vetületek alapján egyértelmûen megállapít hatóak legyenek, az ábrázolás eredményeképpen nyert képek lehetõleg szemléletesek legyenek, azaz a vetületek alapján könnyen el tudjuk képzelni az alakzatot. A vetítés egyik módja a párhuzamos vetítés. Ennek során adott a K sík és a v egyenes (7.1. ábra), ahol v-nek és K-nak egyetlen közös pontja van. A tér pontjait v irányú egyenesekkel, a vetítõsugarakkal képezzük le a K síkra, a képsíkra. A 7.1. ábrán a v adott egyenes adja a vetítõsugarak irányát. A tér tetszõleges P pontján át fektetett v állású egyenes K-val alkotott P a döféspontja a P pont pár huzamos vetülete, a P pont képe. Ha v K, akkor merõleges (ortogonális) vetítésrõl beszé lünk, ha pedig v nem merõleges K-ra, akkor ferde (klinogonális) vetítésrõl. A centrális vetítés esetén adott az O pont és a rá nem illeszkedõ K sík (7.2. ábra). A tér pontjait az O pontból, a centrumból vagy vetítési középpontból vetítjük le a K síkra, melyet képsíknak nevezünk. A tér valamely P pontjának P c centrális vetülete 311

16 7. Ábrázoló geometria (centrá lis képe) az OP egyenes (vetítõsugár) és a K képsík közös pontja. A centrális vetítést alkal mazó ábrázolási módszerrel a 7.5. fejezetben ismerkedünk meg részletesebben. Valamely alakzat pontjainak vetületei (képei) az alakzat vetületét (képét) alkotják. v P O P K P a P c K 7.1. ábra 7.2. ábra Az ábrázolással szemben támasztott követelmény a rekonstrukció (visszaállítás), vagyis az ábrázolt alakzat térbeli helyzetére, alakjára, geometriai viszonyaira való visszakövetkeztetés a vetületek ismeretében. A fenti két vetítés nyilván nem létesít egy-egyértelmû megfeleltetést a tér és a K képsík pontjai között. A különbözõ ábrázolási módszerek különféle módon igyekeznek kiküszöbölni ezt a problémát és más-más módon biztosítani az egyértelmû visszaállítást. A mérnöki munkában, a mûvészetekben szükségesek olyan képességek is, melyek lehetõvé teszik valamely alkotás elképzelését, rajzban való megfelelõ rögzítését még annak megvalósítása elõtt. Ehhez egyrészt megfelelõ térszemlélet és geometriai, térgeometriai ismeretanyag szükséges. Ezenkívül el kell sajátítani azokat az alapvetõ ábrázoló geometriai, mûszaki rajzban használatos módszereket, melyek lehetõvé teszik az ábrázolást, szemléltetést. A geometriai, ábrázoló geometriai ismeretek segítik a számítógéppel való tervezést is. Az alábbiakban csak a leggyakrabban használt ábrázolási módszerekkel foglalkozhatunk, helyszûke miatt. A megadott irodalomjegyzék további ismeretek elsajátítására nyújt lehetõséget. Jelölések, szerkesztések 312 A háromdimenziós euklideszi tér legegyszerûbb geometriai alak zatai, a térelemek: a pont, az egyenes és a sík. A térelemek jelölése: pontok: A, B, C, (dõlt nagybetûk), egyenesek: a, b, c, (dõlt kisbetûk), síkok: A, B, C, (álló nagybetûk).

17 7.1. B e v e z e t é s A különbözõ ábrázolási módszerek foglalkoznak a térelemek és azok kölcsönös helyzetének ábrázolásával. Ennek megfelelõen tárgyalják az illeszkedõ, a párhuzamos, a metszõ térelemek megadásával kapcsolatos kérdéseket, valamint azt, hogy a vetületekbõl milyen módon következtethetünk térbeli viszonyaikra. A szokásos jelöléseket használjuk. A teljesség igénye nélkül néhány példa. A P e jelölés szerint a P pont illeszkedik az e egyenesre. Ellenkezõ esetben P e. Egyenes és sík illeszkedésének jelö lése: e S. Az a és b párhuzamos egyeneseket a ; b jelöli. Ha az e egyenes metszi az S síkot, akkor a metszéspont D=e S. A D pontot az e egyenes S síkkal való döféspontjá nak nevezzük. Az A és B pontok által meghatározott egyenest AB-vel, az A, B, C nem egy egyenesre illesz kedõ pontok által meghatározott síkot ABC-vel jelöljük. A P pont és a rá nem illeszkedõ e egyenes síkja: Pe. Hasonlóan az a és b egyenesek által meghatározott síkot ab jelöli. A helyzetgeometriai feladatok megoldásánál nehezebb probléma az ábrázolt alakzatok méreteinek meghatározásával kapcsolatos szerkesztési feladatok megoldása, illetve adott metrikus tulajdonságokkal rendelkezõ alakzatok ábrázolása. (Ez az igény mûszaki vonatkozású ábrázolások esetén, a méretezésekkel kapcsolatban fokozottan fellép.) A geometriai alapot a térelemek távolságainak és szögeinek meghatározásával kapcsolatos definíciók és a vetítés tulajdonságainak ismerete jelenti. Bizonyos ábrázolási módok esetén fontos szerepet játszik a merõlegesség is, különösen a következõ esetben. Az S síkot metszõ n egyenes merõleges a síkra, ha a T=S n ponton átmenõ, minden S síkbeli egyenesre merõleges. Az S síkra merõleges n egyenest a sík egy nor málisának nevezzük, a T döféspontot pedig n talppontjának. A fenti feladatok megoldásánál térbeli szerkesztési feladatok lépnek fel, melyeket az adott ábrázolási módszer síkbeli szerkesztésekre vezet vissza. Ez oly módon történik, hogy a szerkesztés eredménye visszavihetõ a térbeli alakzatra. A síkgeometriában a szerkesztések nagy részében úgynevezett euklideszi szerkesz téseket alkalmazzunk. Euklideszi szerkesztéseket használunk például adott szakasz felezõ merõlegesének, adott szög szögfelezõ egyenesének megszerkesztésénél stb. Feladat. Adott az e egyenes és a P e pont. Szerkesszünk P-n át e-vel párhuzamos f egyenest! Megoldás. Rajzoljunk P középpontú, e-t két pontban (G és F) metszõ kört (7.3. ábra)! Írjunk P körül GF sugarú, F körül GP sugarú kört! Az FGP szögtartományba esõ metszéspontjuk legyen N! A PN egyenes a keresett f párhuzamos egyenes. Másképpen is szerkeszthetünk. Szerkesszünk P-bõl e-re merõleges m egyenest, majd ezután m-re merõleges egyenest P-ben! Ez utóbbi az f egyenes. 313

18 7. Ábrázoló geometria Megjegyezzük, hogy szokás a szerkesztés során úgy eljárni, hogy az egyik háromszögvonalzó átfogójának élét az e egyenesre illesztjük (7.4. ábra), a másik vonalzó egyik élét az elsõ befo gójával összeillesztjük. A második rögzített helyzete esetén az elsõt eltolva párhuzamos egyenest rajzolhatunk P-n át. Ez a szerkesztés nyilván már nem euklideszi, hiszen az eltolás során végtelen sok helyzetet érintünk. P f P N f e e G F 7.3. ábra 7.4. ábra Még az elvileg pontos szerkesztések is a gyakorlati végrehajtás során pontatlanná válnak. Megfelelõnek tekintjük a szerkesztést, ha a pontatlanság nem számottevõ. Sokszor alkalmazunk ún. közelítõ szerkesztéseket, amikor a szerkesztés elvileg sem pontos, viszont ez a pontatlanság elhanyagolhatóan kicsi. Körív közelítõ hosszának szerkesztésénél alkal maz hatjuk a következõ Snellius-féle szerkesztést. Az O közép pontú r sugarú kör a középponti szögéhez tartozó PL ívét tekintjük (7.5. ábra). Az OL szakasz O-n túli meghosszab bí tá sára felmérjük az r sugár kétszeresét. Az így kapott M pontot összekötjük P-vel. Legyen Q az MP egyenes és a körhöz az L pontban vont érintõ metszéspontja! Ekkor 3 sin α QL = r. Ebbõl 2 + cos α adódik, hogy a < 30 esetén a QL szakasz és a PL ív eltérése nem nagyobb, mint r két tized része. A 30 -nál nagyobb szögeket 30 -nál kisebbekre bontva alkalmazhatjuk az elõzõ szer kesztést. P Q a M r r O r L 7.5. ábra 314 Egy másik megoldás, ha a körívet a körbe beírt, elég nagy oldalszámú sokszög kerületével közelítjük (rektifikáljuk), melyet már könnyen meghatározhatunk. Ezt a módszert alkalmaz hatjuk síkbeli görbeívek esetén, ha az íveknek van ív hosszuk.

19 7.1. B e v e z e t é s A térgeometriai szerkesztések során a síkgeometriai szerkesztési eszközeink, ha nem síkbeli a feladat, nem alkalmazhatók. Értelmeznünk kell, mit jelent egy térbeli szerkesz tést elvégezni. A térben akkor tekintünk megszerkesztettnek egy alakzatot, ha a kiindulási adatokból a következõ, ún. alapszerkesztések véges sokszori alkalmazásával eljutunk a keresett alakzathoz: Egy síkot megszerkesztettnek tekintünk, ha ismerjük a síkot egyértelmûen meghatá rozó adatokat. Ha adott két sík, akkor feltételezzük, hogy a metszésvonalukat is meg tudjuk hatá rozni. Ha adott a térben egy tetszõleges sík, akkor ebben a síkban minden, a síkgeometriában szokásos szerkesztést végre tudunk hajtani. Nézzünk egy példát térbeli szerkesztési feladatra! Feladat. Adottak az e és f kitérõ egyenesek, vala mint a rájuk nem illeszkedõ P pont. Szerkesszünk P-n át olyan g egyenest, mely mindkét adott egyenest metszi. Megoldás. A szerkesztendõ g egyenes átmegy P-n, és metszi e-t, tehát benne van a Pe síkban (7.6. ábra). Hasonlóan benne van a Pf síkban is. Tehát g a két sík metszésvonala. Ha a két sík metszésvonala pár huzamos e-vel vagy f-fel, akkor nincs megoldás, különben pedig egyetlen megoldás van. Megjegyez zük, hogy az ábrázoló geometria eszközeivel a fent leírt szerkesztés konkrétan végrehajtható. f Pf g P Pe e 7.6. ábra Néhány geometriai transzformáció, leképezés A következõkben azokat a geometriai transzformációkat említjük meg, melyek egyrészt a különbözõ felületek konstrukciói szempontjából fontosak, másrészt a legalapvetõbb ábrázolási módoknál fellépnek. 315

20 7. Ábrázoló geometria Néhány térbeli egybevágósági transzformáció A távolságtartó transzformációkat neveztük egybevágósági transzformációknak. A síkbeli egybevágósági transzformációk közül középis kolában is szerepeltek a következõk: eltolás, pont körüli forgatás (ezen belül a pontra vonatkozó tükrözés), tengelyes tükrözés. A tér OB irányított szakaszával való eltolását a síkbeli esethez hasonlóan értelmezhetjük (sík helyett mindenütt teret kell gondolni) (7.7. ábra). A tér t egyenes körüli { irányított szögû elforgatása során (7.8. ábra) a t egyenes pontjai helyben marad nak. Állítsunk merõlegest a tér P (P t) pontjából t-re, a merõleges talppontja legyen T! A transzformáció a tér P pontjához azt a pontot rendeli, melyre TP=T, T t és (PT) ={ teljesülnek. A t egyenest forgástengelynek nevezzük. A csavarmozgás egy tengely körüli forgatás és egy, a tengellyel párhuzamos eltolás egymás utánja (7.9. ábra). t t O P P T { P T { B 7.7. ábra 7.8. ábra 7.9. ábra 316 Tekintsünk egy S síkot! Az S síkra vonatkozó tükrözésnél (7.10. ábra) a sík pontjai helyben maradnak, fixpontok. Az S által határolt egyik féltér P pontjához oly módon rendeljük hozzá a másik féltér pontját, hogy P S, és ha P talppontja S-en T, akkor PT=T. Az S síkot szimmetriasík nak nevezzük. A tér O pontjára vonatkozó tükrözésnél O-hoz önmagát rendeljük (7.11. ábra), a tér egy további P pontjához az OP egyenesnek azt a pontját rendeljük, mely az O kezdõpontú P-t nem tartalmazó félegyenesen van, és amelyre OP=O teljesül. A térbeli transzformációknál is vizsgáljuk, hogy az orientációt megtartják-e, vagy sem. Ehhez szükség van a jobbrendszer, illetve balrendszer fogalmára. Legyen O a nem egysíkú e, f, g félegyenesek közös kezdõpontja (7.12. ábra). Ha g irányával szembe nézve az e félegyenest az f félegyenesbe az O körüli, az ef síkban levõ, 180 -nál kisebb, pozitív irányú (azaz megállapodás szerint az óramutató járásával ellentétes) elforgatás viszi, akkor az e, f, g félegyenesek jobbrendszert alkotnak. El-

Geometria. a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk)

Geometria. a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk) 1. Térelemek Geometria a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk) b. Def: félegyenes, szakasz, félsík, féltér. c. Kölcsönös helyzetük: i. pont és (egyenes vagy

Részletesebben

A tér lineáris leképezései síkra

A tér lineáris leképezései síkra A tér lineáris leképezései síkra Az ábrázoló geometria célja: A háromdimenziós térben elhelyezkedő alakzatok helyzeti és metrikus viszonyainak egyértelmű és egyértelműen rekonstruálható módon történő ábrázolása

Részletesebben

Osztályozóvizsga és javítóvizsga témakörei Matematika 9. évfolyam

Osztályozóvizsga és javítóvizsga témakörei Matematika 9. évfolyam Osztályozóvizsga és javítóvizsga témakörei Matematika 9. évfolyam 1. félév Gondolkozás, számolás - halmazok, műveletek halmazokkal, intervallumok - racionális számok, műveletek racionális számokkal, zárójel

Részletesebben

17.2. Az egyenes egyenletei síkbeli koordinátarendszerben

17.2. Az egyenes egyenletei síkbeli koordinátarendszerben Tartalom Előszó 13 1. Halmazok; a matematikai logika elemei 15 1.1. A halmaz fogalma; jelölések 15 1.2. Részhalmazok; komplementer halmaz 16 1.3. Halmazműveletek 17 1.4. A halmazok ekvivalenciája 20 1.5.

Részletesebben

Matematika. 9.osztály: Ajánlott tankönyv és feladatgyűjtemény: Matematika I-II. kötet (Apáczai Kiadó; AP-090803 és AP-090804)

Matematika. 9.osztály: Ajánlott tankönyv és feladatgyűjtemény: Matematika I-II. kötet (Apáczai Kiadó; AP-090803 és AP-090804) Matematika A definíciókat és tételeket (bizonyítás nélkül) ki kell mondani, a tananyagrészekhez tartozó alap- és közepes nehézségű feladatokat kell tudni megoldani A javítóvizsga 60 -es írásbeliből áll.

Részletesebben

Az osztályozóvizsgák követelményrendszere 9. évfolyam

Az osztályozóvizsgák követelményrendszere 9. évfolyam Az osztályozóvizsgák követelményrendszere 9. évfolyam Kombinatorika, halmazok Összeszámlálási feladatok Halmazok, halmazműveletek, halmazok elemszáma Logikai szita Számegyenesek intervallumok Algebra és

Részletesebben

Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból

Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból 9. évfolyam I. Halmazok 1. Alapfogalmak, jelölések 2. Halmaz, részhalmaz fogalma, részhalmazok száma, jelölések 3. Nevezetes számhalmazok (N,

Részletesebben

Az osztályozóvizsgák követelményrendszere MATEMATIKA

Az osztályozóvizsgák követelményrendszere MATEMATIKA Az osztályozóvizsgák követelményrendszere MATEMATIKA 1. Számok, számhalmazok A 9. évfolyam során feldolgozásra kerülő témakörök: A nyelvi előkészítő és a két tanítási nyelvű osztályok tananyaga: A számfogalom

Részletesebben

Osztályozó és Javító vizsga témakörei matematikából 9. osztály

Osztályozó és Javító vizsga témakörei matematikából 9. osztály Osztályozó és Javító vizsga témakörei matematikából 9. osztály 1. félév 1. Kombinatorika, halmazok Számoljuk össze! Összeszámlálási feladatok Matematikai logika Halmazok Halmazműveletek Halmazok elemszáma,

Részletesebben

Érettségi előkészítő emelt szint 11-12. évf. Matematika. 11. évfolyam. Tematikai egység/fejlesztési cél

Érettségi előkészítő emelt szint 11-12. évf. Matematika. 11. évfolyam. Tematikai egység/fejlesztési cél Emelt szintű matematika érettségi előkészítő 11. évfolyam Tematikai egység/fejlesztési cél Órakeret 72 óra Kötelező Szabad Összesen 1. Gondolkodási módszerek Halmazok, matematikai logika, kombinatorika,

Részletesebben

Térbeli transzformációk, a tér leképezése síkra

Térbeli transzformációk, a tér leképezése síkra Térbeli transzformációk, a tér leképezése síkra Homogén koordináták bevezetése térben A tér minden P pontjához kölcsönösen egyértelműen egy valós (x, y, z) számhármast rendeltünk hozzá. (Descartes-féle

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET. 9. osztály. 4 óra/hét. Budapest, 2014. szeptember

MATEMATIKA TANMENET. 9. osztály. 4 óra/hét. Budapest, 2014. szeptember MATEMATIKA TANMENET 9. osztály 4 óra/hét Budapest, 2014. szeptember 2 Évi óraszám: 144 óra Heti óraszám: 4 óra Ismerkedés, év elejei feladatok, szintfelmérő írása 2 óra I. Kombinatorika, halmazok 13 óra

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET 9.B OSZTÁLY FIZIKA TAGOZAT HETI 6 ÓRA, ÖSSZESEN 216 ÓRA

MATEMATIKA TANMENET 9.B OSZTÁLY FIZIKA TAGOZAT HETI 6 ÓRA, ÖSSZESEN 216 ÓRA MATEMATIKA TANMENET 9.B OSZTÁLY FIZIKA TAGOZAT HETI 6 ÓRA, ÖSSZESEN 216 ÓRA A TÁMOP 3.1.4. EU-s pályázat megvalósításához a matematika (9. b/fizika) tárgy tanmenete a matematika kompetenciaterület A típusú

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 12.E ÉS 13.A OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 31 HÉT/ ÖSSZ 124 ÓRA

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 12.E ÉS 13.A OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 31 HÉT/ ÖSSZ 124 ÓRA MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI ELJÁRÁS MELLÉKLET Tanmenetborító Azonosító: ME-III.1./1 Változatszám: 2 Érvényesség 2013. 09. 01. kezdete: Oldal/összes: 1/6 Fájlnév: ME- III.1.1.Tanmenetborító SZK- DC-2013 MATEMATIKA

Részletesebben

A hiperbolikus síkgeometria Poincaré-féle körmodellje

A hiperbolikus síkgeometria Poincaré-féle körmodellje A hiperbolikus síkgeometria Poincaré-féle körmodellje Ha egy aiómarendszerre modellt adunk, az azt jelenti, hogy egy matematikai rendszerben interpretáljuk az aiómarendszer alapfogalmait és az aiómák a

Részletesebben

SULINOVA PROGRAMTANTERVÉHEZ ILLESZKEDŐ TANMENET 9. ÉVFOLYAM SZÁMÁRA

SULINOVA PROGRAMTANTERVÉHEZ ILLESZKEDŐ TANMENET 9. ÉVFOLYAM SZÁMÁRA 1 SULINOVA PROGRAMTANTERVÉHEZ ILLESZKEDŐ TANMENET 9. ÉVFOLYAM SZÁMÁRA Heti óraszám: 3 Éves óraszám: 37 x 3 = 111 A tanmenet 101 óra beosztását tartalmazza. A dolgozatok írása és javítása 10 órát foglal

Részletesebben

Matematika tanmenet 12. osztály (heti 4 óra)

Matematika tanmenet 12. osztály (heti 4 óra) Matematika tanmenet 12. osztály (heti 4 óra) Tankönyv: Ábrahám Gábor Dr. Kosztolányiné Nagy Erzsébet Tóth Julianna: Matematika 12. középszint Példatárak: Fuksz Éva Riener Ferenc: Érettségi feladatgyűjtemény

Részletesebben

MATEMATIKA. Szakközépiskola

MATEMATIKA. Szakközépiskola MATEMATIKA Szakközépiskola Az osztályozóvizsga írásbeli feladatlap. Az osztályozó vizsgán az osztályzás a munkaközösség által elfogadott egységes követelményrendszer alapján történik. A tanuló az osztályozó

Részletesebben

GEIGER JÁNOS ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIA

GEIGER JÁNOS ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIA GEIGER JÁNOS ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIA 2015 A jegyzet bírálója: Dr. Juhász Imre egyetemi tanár A jegyzetet szerkesztette, gépelte, rajzolta: Dr. Geiger János PhD 3 TARTALOMJEGYZÉK ELŐSZÓ... 9 BEVEZETÉS... 11

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 9.A, 9.D. OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT ÖSSZ: 148 ÓRA

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 9.A, 9.D. OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT ÖSSZ: 148 ÓRA MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI ELJÁRÁS MELLÉKLET Tanmenetborító ME-III.1./1 2 Azonosító: Változatszám : Érvényesség kezdete: Oldal/összes: 1/6 Fájlnév: ME- III.1.1.Tanmenetborító SZK-DC-2013 2013. 09. 01. MATEMATIKA

Részletesebben

MATEMATIKA tanterv emelt szint 11-12. évfolyam

MATEMATIKA tanterv emelt szint 11-12. évfolyam MATEMATIKA tanterv emelt szint 11-12. évfolyam Batthyány Kázmér Gimnázium, 2004. 1 TARTALOM 11.osztály (222 óra)... 3 1. Gondolkodási műveletek (35 óra)... 3 2. Számelmélet, algebra (64 óra)... 3 3. Függvények,

Részletesebben

Tanmenet a Matematika 10. tankönyvhöz

Tanmenet a Matematika 10. tankönyvhöz Tanmenet a Matematika 10. tankönyvhöz (111 óra, 148 óra, 185 óra) A tanmenetben olyan órafelosztást adunk, amely alkalmazható mind a középszintû képzés (heti 3 vagy heti 4 óra), mind az emelt szintû képzés

Részletesebben

x = 1 = ı (imaginárius egység), illetve x 12 = 1 ± 1 4 2

x = 1 = ı (imaginárius egység), illetve x 12 = 1 ± 1 4 2 Komplex számok A valós számok és a számegyenes pontjai között kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés létesíthető. A számfogalom a számegyenes pontjainak körében nem bővíthető tovább. A számfogalom bővítését

Részletesebben

Ábrázoló geometria kezdőknek

Ábrázoló geometria kezdőknek BANCSIK ZSOLT LAJOS SÁNDOR JUHÁSZ IMRE Ábrázoló geometria kezdőknek mobidiák könyvtár Bancsik Zsolt, Lajos Sándor, Juhász Imre Ábrázoló geometria kezdőknek mobidiák könyvtár SOROZATSZERKESZTŐ Fazekas István

Részletesebben

Az osztályozó vizsgák tematikája matematikából

Az osztályozó vizsgák tematikája matematikából Az osztályozó vizsgák tematikája matematikából Matematikából osztályozó vizsgára kötelezhető az a tanuló, aki magántanuló, vagy akinek a hiányzása eléri az össz óraszám 30%-át. Az írásbeli vizsga időtartama

Részletesebben

Osztályozóvizsga követelményei

Osztályozóvizsga követelményei Osztályozóvizsga követelményei Képzés típusa: Tantárgy: Nyolcosztályos gimnázium Matematika Évfolyam: 11 Emelt óraszámú csoport Emelt szintű csoport Vizsga típusa: Írásbeli Követelmények, témakörök: Gondolkodási

Részletesebben

Osztályozóvizsga követelményei

Osztályozóvizsga követelményei Osztályozóvizsga követelményei Képzés típusa: Tantárgy: Nyolcosztályos gimnázium Matematika Évfolyam: 9 Emelt óraszámú csoport Emelt szintű csoport Vizsga típusa: Írásbeli Követelmények, témakörök: Gondolkodási

Részletesebben

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének 6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük

Részletesebben

PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak

PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak MATEMATIKA (A tantárgy tartalma és a tananyag elsajátításának időterve.) Összeállította: Kis Miklós adjunktus Tankönyvek (mindhárom félévre): 1. Scharnitzky

Részletesebben

Az írásbeli eredménye 75%-ban, a szóbeli eredménye 25%-ban számít a végső értékelésnél.

Az írásbeli eredménye 75%-ban, a szóbeli eredménye 25%-ban számít a végső értékelésnél. Matematika A vizsga leírása: írásbeli és szóbeli vizsgarészből áll. A matematika írásbeli vizsga egy 45 perces feladatlap írásbeli megoldásából áll. Az írásbeli feladatlap tartalmi jellemzői az alábbiak:

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

BEVEZETÉS AZ ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIÁBA

BEVEZETÉS AZ ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIÁBA Pék Johanna BEVEZETÉS AZ ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIÁBA (Matematika tanárszakos hallgatók számára) Tartalomjegyzék Előszó ii 0. Alapismeretek 1 0.1. Térgeometriai alapok............................. 1 0.2. Az ábrázoló

Részletesebben

Számítási feladatok a Számítógépi geometria órához

Számítási feladatok a Számítógépi geometria órához Számítási feladatok a Számítógépi geometria órához Kovács Zoltán Copyright c 2012 Last Revision Date: 2012. október 15. kovacsz@nyf.hu Technikai útmutató a jegyzet használatához A jegyzet képernyőbarát

Részletesebben

Matematika tanmenet 10. osztály (heti 3 óra) A gyökvonás 14 óra

Matematika tanmenet 10. osztály (heti 3 óra) A gyökvonás 14 óra Matematika tanmenet 10. osztály (heti 3 óra) Tankönyv: Ábrahám Gábor Dr. Kosztolányiné Nagy Erzsébet Tóth Julianna: Matematika 10. Példatárak: Fuksz Éva Riener Ferenc: É rettségi feladatgyűjtemény matematikából

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 10.B OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT/ ÖSSZ 148 ÓRA

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 10.B OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT/ ÖSSZ 148 ÓRA MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI ELJÁRÁS MELLÉKLET Tanmenetborító Azonosító: ME-III.1./1 Változatszám: 2 Érvényesség 2013. 09. 01. kezdete: Oldal/összes: 1/7 Fájlnév: ME- III.1.1.Tanmenetborító SZK- DC-2013 MATEMATIKA

Részletesebben

9-10. évfolyam felnőttképzés Heti óraszám: 3 óra

9-10. évfolyam felnőttképzés Heti óraszám: 3 óra 9-10. évfolyam felnőttképzés Heti óraszám: 3 óra Fejlesztési cél/ kompetencia lehetőségei: Gondolkodási képességek: rendszerezés, kombinativitás, deduktív következtetés, valószínűségi Tudásszerző képességek:

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. Koordináta-geometria és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 4

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

Geometria 1 normál szint

Geometria 1 normál szint Geometria 1 normál szint Naszódi Márton nmarci@math.elte.hu www.math.elte.hu/ nmarci ELTE TTK Geometriai Tsz. Budapest Geometria 1 p.1/4 Vizsga 1. Írásban, 90 perc. 2. Index nélkül nem lehet vizsgázni!

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Matematika I

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Matematika I Matematika I (Analízis) Készítette: Horváth Gábor Kötelező irodalom: Ács László, Gáspár Csaba: Analízis 1 Oktatási segédanyagok és a tantárgyi követelményrendszer megtalálható a http://rs1.szif.hu/ horvathg/horvathg.html

Részletesebben

A MATEMATIKA ÉRETTSÉGI VIZSGA ÁLTALÁNOS KÖVETELMÉNYEI. A vizsga formája. Közé pszinten: írásbeli Emelt szinten: írásbeli és szóbeli

A MATEMATIKA ÉRETTSÉGI VIZSGA ÁLTALÁNOS KÖVETELMÉNYEI. A vizsga formája. Közé pszinten: írásbeli Emelt szinten: írásbeli és szóbeli Az érettségi vizsga követelményei 1 MATEK A vizsga formája Közé pszinten: írásbeli Emelt szinten: írásbeli és szóbeli A MATEMATIKA ÉRETTSÉGI VIZSGA ÁLTALÁNOS KÖVETELMÉNYEI A matematika érettségi vizsga

Részletesebben

Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Tekintsünk a térben egy P (p 1, p 2, p 3 ) pontot és egy v = (v 1, v 2, v 3 ) = 0 vektort. Ekkor pontosan egy egyenes létezik,

Részletesebben

Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit!

Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! 1. 2. 3. 4. Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg a kivonásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg a szorzásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg az osztásban szereplő számok

Részletesebben

Tanmenetjavaslat. Téma Óraszám Tananyag Fogalmak Összefüggések Eszközök Kitekintés. Helyi érték, alaki érték. Számegyenes.

Tanmenetjavaslat. Téma Óraszám Tananyag Fogalmak Összefüggések Eszközök Kitekintés. Helyi érték, alaki érték. Számegyenes. Heti 4 óra esetén, 37 tanítási hétre összesen 148 óra áll rendelkezésre. A tanmenet 132 óra beosztását tartalmazza. Heti 5 óra esetén összesen 37-tel több órában dolgozhatunk. Ez összesen 185 óra. Itt

Részletesebben

MATEMATIKA C 12. évfolyam 4. modul Még egyszer!

MATEMATIKA C 12. évfolyam 4. modul Még egyszer! MATEMATIKA C 1. évfolyam 4. modul Még egyszer! Készítette: Kovács Károlyné Matematika C 1. évfolyam 4. modul: Még eygszer! Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási pontok

Részletesebben

NT-17202 Matematika 10. (Heuréka) Tanmenetjavaslat

NT-17202 Matematika 10. (Heuréka) Tanmenetjavaslat NT-17202 Matematika 10. (Heuréka) Tanmenetjavaslat A Dr. Gerőcs László Számadó László Matematika 10. tankönyv A Heuréka-sorozat tagja, így folytatása a Matematika 9. tankönyvnek. Ez a kötet is elsősorban

Részletesebben

Fejezetek az abszolút geometriából 6. Merőleges és párhuzamos egyenesek

Fejezetek az abszolút geometriából 6. Merőleges és párhuzamos egyenesek Fejezetek az abszolút geometriából 6. Merőleges és párhuzamos egyenesek Ebben a fejezetben megadottnak feltételezzük az abszolút tér egy síkját és tételeink mindig ebben a síkban értendők. T1 (merőleges

Részletesebben

Hasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok)

Hasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok) Hasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok) DEFINÍCIÓ: (Hasonló alakzatok) Két alakzat hasonló, ha van olyan hasonlósági transzformáció, amely az egyik alakzatot a másikba

Részletesebben

54. Mit nevezünk rombusznak? A rombusz olyan négyszög,

54. Mit nevezünk rombusznak? A rombusz olyan négyszög, 52. Sorold fel a deltoid tulajdonságait! 53. Hogy számoljuk ki a deltoid területét? A deltoid egyik átlója a deltoid Átlói. A szimmetriaátló a másik átlót és a deltoid szögét. A szimmetriatengely két ellentétes

Részletesebben

6. modul Egyenesen előre!

6. modul Egyenesen előre! MATEMATIKA C 11 évfolyam 6 modul Egyenesen előre! Készítette: Kovács Károlyné Matematika C 11 évfolyam 6 modul: Egyenesen előre! Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási

Részletesebben

Az osztályozó- és javítóvizsga témakörei matematika tantárgyból. 9. évfolyam

Az osztályozó- és javítóvizsga témakörei matematika tantárgyból. 9. évfolyam Az osztályozó- és javítóvizsga témakörei matematika tantárgyból Minden évfolyamra vonatkozóan általános irányelv, hogy a matematikai ismeretek alkalmazásán (feladatok, problémák megoldása) van a hangsúly,

Részletesebben

NT-17102 Matematika 9. (Heuréka) Tanmenetjavaslat

NT-17102 Matematika 9. (Heuréka) Tanmenetjavaslat NT-17102 Matematika 9. (Heuréka) Tanmenetjavaslat Ezzel a segédanyaggal szeretnék segítséget nyújtani a középiskolák azon matematikatanárainak, akik a matematikai oktatáshoz és neveléshez Dr. Fried Katalin

Részletesebben

Síkbeli egyenesek. 2. Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg

Síkbeli egyenesek. 2. Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg Analitikus mértan 3. FELADATLAP Síkbeli egyenesek 1. Írjuk fel annak az egyenesnek a paraméteres egyenleteit, amely (i) áthalad az M 0 (1, 2) ponton és párhuzamos a a(3, 1) vektorral; (ii) áthalad az origón

Részletesebben

Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6

Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6 Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6 2005. május 10. 4. Döntse el, hogy a következő állítások közül melyik igaz és melyik hamis! A: A háromszög köré írható kör középpontja mindig valamelyik súlyvonalra

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

9. ÉVFOLYAM. Tájékozottság a racionális számkörben. Az azonosságok ismerete és alkalmazásuk. Számok abszolútértéke, normál alakja.

9. ÉVFOLYAM. Tájékozottság a racionális számkörben. Az azonosságok ismerete és alkalmazásuk. Számok abszolútértéke, normál alakja. 9. ÉVFOLYAM Gondolkodási módszerek A szemléletes fogalmak definiálása, tudatosítása. Módszer keresése az összes eset áttekintéséhez. A szükséges és elégséges feltétel megkülönböztetése. A megismert számhalmazok

Részletesebben

Osztályozóvizsga követelményei

Osztályozóvizsga követelményei Osztályozóvizsga követelményei Képzés típusa: Tantárgy: Nyolcosztályos gimnázium Matematika Évfolyam: 11 Emelt óraszámú csoport Emelt szintű csoport Vizsga típusa: Írásbeli Követelmények, témakörök: Emelt

Részletesebben

Matematika emelt szint a 11-12.évfolyam számára

Matematika emelt szint a 11-12.évfolyam számára Német Nemzetiségi Gimnázium és Kollégium Budapest Helyi tanterv Matematika emelt szint a 11-12.évfolyam számára 1 Emelt szintű matematika 11 12. évfolyam Ez a szakasz az érettségire felkészítés időszaka

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA. 9. Nyelvi előkészítő osztály

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA. 9. Nyelvi előkészítő osztály MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI ELJÁRÁS MELLÉKLET Tanmenetborító Azonosító: ME-III.1./1 Változatszám: 2 Érvényesség 2013. 01. 01. kezdete: Oldal/összes: 1/6 Fájlnév: ME- III.1.1.Tanmenetborító SZK- DC-2013 MATEMATIKA

Részletesebben

Reiman István: Matematika

Reiman István: Matematika Reiman István: Matematika Reiman István Matematika Budapest, 2011 Reiman István, Typotex, 2011 Az 1992-es kiadás alapján készült. Lektorálták: Laczkó László, Pálmay Lóránt, Urbán János ISBN 978 963 279

Részletesebben

x = cos αx sin αy y = sin αx + cos αy 2. Mi a X/Y/Z tengely körüli forgatás transzformációs mátrixa 3D-ben?

x = cos αx sin αy y = sin αx + cos αy 2. Mi a X/Y/Z tengely körüli forgatás transzformációs mátrixa 3D-ben? . Mi az (x, y) koordinátákkal megadott pont elforgatás uténi két koordinátája, ha α szöggel forgatunk az origó körül? x = cos αx sin αy y = sin αx + cos αy 2. Mi a X/Y/Z tengely körüli forgatás transzformációs

Részletesebben

Hasonlóság. kísérleti feladatgyűjtemény POKG 2015. 10. osztályos matematika

Hasonlóság. kísérleti feladatgyűjtemény POKG 2015. 10. osztályos matematika Hasonlóság kísérleti feladatgyűjtemény 10. osztályos matematika POKG 2015. Hasonló háromszögek oldalaránya 0. Keressük meg az alábbi háromszögek összetartozó oldalpárjait és arányossággal számítsuk ki

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria I.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria I. Geometria I. Alapfogalmak: Az olyan fogalmakat, amelyeket nem tudunk egyszerűbb fogalmakra visszavezetni, alapfogalmaknak nevezzük, s ezeket nem definiáljuk. Pl.: pont, egyenes, sík, tér, illeszkedés.

Részletesebben

MATEMATIKA HETI 5 ÓRA. IDŐPONT: 2009. június 8.

MATEMATIKA HETI 5 ÓRA. IDŐPONT: 2009. június 8. EURÓPAI ÉRETTSÉGI 2009 MATEMATIKA HETI 5 ÓRA IDŐPONT: 2009. június 8. A VIZSGA IDŐTARTAMA: 4 óra (240 perc) ENGEDÉLYEZETT SEGÉDESZKÖZÖK : Európai képletgyűjtemény Nem programozható, nem grafikus kalkulátor

Részletesebben

Matematika B/1. Tartalomjegyzék. 1. Célkit zések. 2. Általános követelmények. 3. Rövid leírás. 4. Oktatási módszer. Biró Zsolt. 1.

Matematika B/1. Tartalomjegyzék. 1. Célkit zések. 2. Általános követelmények. 3. Rövid leírás. 4. Oktatási módszer. Biró Zsolt. 1. Matematika B/1 Biró Zsolt Tartalomjegyzék 1. Célkit zések 1 2. Általános követelmények 1 3. Rövid leírás 1 4. Oktatási módszer 1 5. Követelmények, pótlások 2 6. Program (el adás) 2 7. Program (gyakorlat)

Részletesebben

Elméleti kérdés minták (3 x 5 pont) 1. Definiálja két halmaz unióját! Készítsen hozzá Venn-diagramot!

Elméleti kérdés minták (3 x 5 pont) 1. Definiálja két halmaz unióját! Készítsen hozzá Venn-diagramot! Elméleti kérdés minták (3 x 5 pont) 1. Deiniálja két halmaz unióját! Készítsen hozzá Venn-diagramot!. Csoportosítsa a négyszögeket az oldalak párhuzamossága, és egyenlősége alapján! 3. Határozza meg a

Részletesebben

Melléklet a Matematika című részhez

Melléklet a Matematika című részhez Melléklet a Matematika című részhez Az arányosság bemutatása Az első könyvsorozatban 7. osztály, Tk-2 és Tk-3-ban 6. osztály, Tk-3b-ben 5. osztály(!), Tk-4-ben ismét 6. osztály, és végül Tk-4b-ben 5-6.

Részletesebben

A továbbhaladás feltételei fizikából és matematikából

A továbbhaladás feltételei fizikából és matematikából A továbbhaladás feltételei fizikából és matematikából A továbbhaladás feltételei a 9. szakközépiskolai osztályban fizikából 2 Minimum követelmények 2 A továbbhaladás feltételei a 10. szakközépiskolai osztályban

Részletesebben

Matematika. a fogalma. Négyzetgyökvonás azonosságainak használata. A logaritmus fogalma, logaritmus azonosságai. Áttérés más alapú logaritmusra.

Matematika. a fogalma. Négyzetgyökvonás azonosságainak használata. A logaritmus fogalma, logaritmus azonosságai. Áttérés más alapú logaritmusra. Matematika Gondolkodási módszerek, halmazok, logika, kombinatorika, gráfok 1. Halmazok A halmazok megadásának különböző módjai, a halmaz elemének fogalma. Halmazok egyenlősége, részhalmaz, üres halmaz,

Részletesebben

pontokat kapjuk. Tekintsük például az x tengelyt. Ezen ismerjük az O, E

pontokat kapjuk. Tekintsük például az x tengelyt. Ezen ismerjük az O, E Az axonometria előadások és gyakorlatok vázlata Bevezetés Az axonometrikus ábrázolás feladata, hogy a térbeli alakzatok szemléletes képét gyorsan és egyszerűen állítsuk elő. Egy alakzat szemléletes képe

Részletesebben

Láthatósági kérdések

Láthatósági kérdések Láthatósági kérdések Láthatósági algoritmusok Adott térbeli objektum és adott nézőpont esetén el kell döntenünk, hogy mi látható az adott alakzatból a nézőpontból, vagy irányából nézve. Az algoritmusok

Részletesebben

Tartalomjegyzék. 3. Elsőfokú egyenletek és egyenlőtlenségek... 8 3.1. Elsőfokú egyenletek... 8 3.2. Valós szám abszolút értéke...

Tartalomjegyzék. 3. Elsőfokú egyenletek és egyenlőtlenségek... 8 3.1. Elsőfokú egyenletek... 8 3.2. Valós szám abszolút értéke... Tartalomjegyzék 1. Műveletek valós számokkal... 1 1.1. Gyökök és hatványozás... 1 1.1.1. Hatványozás... 1 1.1.2. Gyökök... 1 1.2. Azonosságok... 2 1.3. Egyenlőtlenségek... 3 2. Függvények... 5 2.1. A függvény

Részletesebben

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI 2013 I. rész

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI 2013 I. rész MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI 203 I. rész. Oldja meg a következő egyenletet: x 2 25. Az egyenlet megoldása: 2. Egy vállalat 280 000 Ft-ért vásárol egy számítógépet. A számítógép évente 5%-ot veszít az értékéből.

Részletesebben

Matematika az építészetben

Matematika az építészetben Matematika az építészetben Molnár-Sáska Katalin Főisk.docens YMÉK Bevezetés - Történeti áttekintés - A geometria helye a főiskolai képzésben - Újraindítás és körülményei Részletes tanmenet Megjegyzések:

Részletesebben

A MATEMATIKA ÉRETTSÉGI VIZSGA ÁLTALÁNOS KÖVETELMÉNYEI

A MATEMATIKA ÉRETTSÉGI VIZSGA ÁLTALÁNOS KÖVETELMÉNYEI A MATEMATIKA ÉRETTSÉGI VIZSGA ÁLTALÁNOS KÖVETELMÉNYEI A vizsga formája Középszinten: írásbeli Emelt szinten: írásbeli és szóbeli A matematika érettségi vizsga célja A matematika érettségi vizsga célja

Részletesebben

XVIII. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny

XVIII. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny 9. osztály 1. feladat: Oldjuk meg a természetes számok halmazán az 1 1 1 egyenletet? x y 009 Kántor Sándor (Debrecen). feladat: B Az ABCD deltoidban az A és C csúcsnál derékszög van, és a BD átló 1 cm.

Részletesebben

TARTALOM. MATEMATIKA - MD Matematika oktatótablók 135 Geometriai oktatótablók 136 Táblai vonalzók 137 Geometria 138 Fóliamappák 139 141

TARTALOM. MATEMATIKA - MD Matematika oktatótablók 135 Geometriai oktatótablók 136 Táblai vonalzók 137 Geometria 138 Fóliamappák 139 141 TARTALOM MATEMATIKA - MD Matematika oktatótablók 135 Geometriai oktatótablók 136 Táblai vonalzók 137 Geometria 138 Fóliamappák 139 141 INFORMATIKA Informatikai falitablók 142 MATEMATIKAI OKTATÓTABLÓK 50

Részletesebben

Gráfelméleti alapfogalmak-1

Gráfelméleti alapfogalmak-1 KOMBINATORIKA ELŐADÁS osztatlan matematika tanár hallgatók számára Gráfelméleti alapfogalmak Előadó: Hajnal Péter 2015 1. Egyszerű gráfok Nagyon sok helyzetben egy alaphalmaz elemei között kitűntetett

Részletesebben

A MATEMATIKA ÉRETTSÉGI VIZSGA ÁLTALÁNOS KÖVETELMÉNYEI

A MATEMATIKA ÉRETTSÉGI VIZSGA ÁLTALÁNOS KÖVETELMÉNYEI A MATEMATIKA ÉRETTSÉGI VIZSGA ÁLTALÁNOS KÖVETELMÉNYEI A vizsga formája Középszinten: írásbeli Emelt szinten: írásbeli és szóbeli A matematika érettségi vizsga célja A matematika érettségi vizsga célja

Részletesebben

Geometriai példatár 2.

Geometriai példatár 2. Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara Baboss Csaba Szabó Gábor Geometriai példatár 2 GEM2 modul Metrikus feladatok SZÉKESFEHÉRVÁR 2010 Jelen szellemi terméket a szerzői jogról szóló 1999 évi

Részletesebben

GEOMETRIA. b a X O Y. A pótszögek olyan szögpárok, amelyek az összege 90. A szögek egymás pótszögei. b a

GEOMETRIA. b a X O Y. A pótszögek olyan szögpárok, amelyek az összege 90. A szögek egymás pótszögei. b a GOMTRI ndrea Philippou, Marios ntoniades Szakaszok és félegyenesek gy szakasz felezőmerőlegese egy olyan egyenes, félegyenes vagy szakasz, ami áthalad a szakasz középpontján és merőleges a szakaszra. Tétel:

Részletesebben

2) = 0 ahol x 1 és x 2 az ax 2 + bx + c = 0 ( a,b, c R és a 0 )

2) = 0 ahol x 1 és x 2 az ax 2 + bx + c = 0 ( a,b, c R és a 0 ) Fogalom gyűjtemény Abszcissza: az x tengely Abszolút értékes egyenletek: azok az egyenletek, amelyekben abszolút érték jel szerepel. Abszolútérték-függvény: egy elemi egyváltozós valós függvény, mely minden

Részletesebben

Halmazok Halmazok, részhalmaz, halmazműveletek, halmazok elemszáma

Halmazok Halmazok, részhalmaz, halmazműveletek, halmazok elemszáma Az osztályozóvizsgák követelményrendszere 9.Ny osztály Halmazok Halmazok, részhalmaz, halmazműveletek, halmazok elemszáma Algebra és számelmélet Alapműveletek az egész és törtszámok körében Műveleti sorrend,

Részletesebben

MATEMATIKA 9. osztály Segédanyag 4 óra/hét

MATEMATIKA 9. osztály Segédanyag 4 óra/hét MATEMATIKA 9. osztály Segédanyag 4 óra/hét - 1 - Az óraszámok az AROMOBAN követhetőek nyomon! A tananyag feldolgozása a SOKSZÍNŰ MATEMATIKA (Mozaik, 013) tankönyv és a SOKSZÍNŰ MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY

Részletesebben

Az osztályozó vizsgák tematikája matematikából 7-12. évfolyam

Az osztályozó vizsgák tematikája matematikából 7-12. évfolyam Az osztályozó vizsgák tematikája matematikából 7-12. évfolyam Matematikából a tanulónak írásbeli és szóbeli osztályozó vizsgán kell részt vennie. Az írásbeli vizsga időtartama 60 perc, a szóbelié 20 perc.

Részletesebben

Matematika 10 Másodfokú egyenletek. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < 2015. szeptember 27.

Matematika 10 Másodfokú egyenletek. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < 2015. szeptember 27. Matematika 10 Másodfokú egyenletek Juhász László matematika és fizika szakos középiskolai tanár > o < 2015. szeptember 27. copyright: c Juhász László Ennek a könyvnek a használatát szerzői jog védi. A

Részletesebben

6. OSZTÁLY. Az évi munka szervezése, az érdeklõdés felkeltése Feladatok a 6. osztály anyagából. Halmazok Ismétlés (halmaz megadása, részhalmaz)

6. OSZTÁLY. Az évi munka szervezése, az érdeklõdés felkeltése Feladatok a 6. osztály anyagából. Halmazok Ismétlés (halmaz megadása, részhalmaz) 6. OSZTÁLY Óraszám 1. 1. Az évi munka szervezése, az érdeklõdés felkeltése a 6. osztály anyagából Tk. 13/elsõ mintapélda 42/69 70. 96/elsõ mintapélda 202/16. 218/69. 2 3. 2 3. Halmazok Ismétlés (halmaz

Részletesebben

Tartalomjegyzék Hiba! A könyvjelző nem létezik. Hiba! A könyvjelző nem létezik.

Tartalomjegyzék Hiba! A könyvjelző nem létezik. Hiba! A könyvjelző nem létezik. Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék... 1 Előszó... 4 1. A műszaki kommunikáció alapjai... 5 1.1. A szabványosítás szerepe... 5 1.2. Nemzetközi és európai szabványosítás... 5 1.3. Nemzeti szabványosítás...

Részletesebben

OECD adatlap - Tanmenet

OECD adatlap - Tanmenet OECD adatlap - Tanmenet Iskola neve: IV. Béla Általános Iskola Iskola címe: 3664, Járdánháza IV. Béla út 131. Tantárgy: Matematika Tanár neve: Lévai Gyula Csoport életkor (év): 13 Kitöltés dátuma 2003.

Részletesebben

V. Békés Megyei Középiskolai Matematikaverseny 2012/2013 Megoldások 11. évfolyam

V. Békés Megyei Középiskolai Matematikaverseny 2012/2013 Megoldások 11. évfolyam 01/01 1. Ha egy kétjegyű szám számjegyeit felcseréljük, akkor a kapott kétjegyű szám értéke az eredeti szám értékénél 108 %-kal nagyobb. Melyik ez a kétjegyű szám? Jelölje a kétjegyű számot xy. 08 A feltételnek

Részletesebben

Bevezetés. Párhuzamos vetítés és tulajdonságai

Bevezetés. Párhuzamos vetítés és tulajdonságai Bevezetés Az ábrázoló geometria célja a háromdimenziós térben elhelyezkedő alakzatok helyzeti és metrikus viszonyainak egyértelműen és egyértelműen visszaállítható (rekonstruálható) módon történő való

Részletesebben

Intergrált Intenzív Matematika Érettségi

Intergrált Intenzív Matematika Érettségi . Adott a mátri, determináns determináns, ahol,, d Számítsd ki:. b) Igazold, hogy a b c. Adott a az 6 0 egyenlet megoldásai. a). c) Számítsd ki a d determináns értékét. d c a b determináns, ahol abc,,.

Részletesebben

ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIA. Csavarvonal, csavarfelületek. Összeállította: Dr. Geiger János. Gépészmérnöki és Informatikai Kar MISKOLCI EGYETEM

ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIA. Csavarvonal, csavarfelületek. Összeállította: Dr. Geiger János. Gépészmérnöki és Informatikai Kar MISKOLCI EGYETEM ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIA Csavarvonal, csavarfelületek Összeállította: Dr. Geiger János Gépészmérnöki és Informatikai Kar MISKOLCI EGYETEM 2014 TARTALOM 1. A munkafüzet célja, területei, elsajátítható kompetenciák...

Részletesebben

Matematika. Specializáció. 11 12. évfolyam

Matematika. Specializáció. 11 12. évfolyam Matematika Specializáció 11 12. évfolyam Ez a szakasz az eddigi matematikatanulás 12 évének szintézisét adja. Egyben kiteljesíti a kapcsolatokat a többi tantárggyal, a mindennapi élet matematikaigényes

Részletesebben

MATEMATIKA A 10. évfolyam

MATEMATIKA A 10. évfolyam MATEMATIKA A 10. évfolyam 8. modul Hasonlóság és alkalmazásai Készítették: Vidra Gábor, Lénárt István Matematika A 10. évfolyam 8. modul: Hasonlóság és alkalmazásai A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály

Részletesebben

Feladatok a szinusz- és koszinusztétel témaköréhez 11. osztály, középszint

Feladatok a szinusz- és koszinusztétel témaköréhez 11. osztály, középszint TÁMOP-3.1.4-08/-009-0011 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Feladatok a szinusz- és koszinusztétel témaköréhez 11. osztály, középszint Vasvár, 010.

Részletesebben

Célok, feladatok Fejlesztési terület Ismeretanyag. A kilencedik osztályos tananyagra támaszkodva egy nyílt végű feladat megoldása, megbeszélése.

Célok, feladatok Fejlesztési terület Ismeretanyag. A kilencedik osztályos tananyagra támaszkodva egy nyílt végű feladat megoldása, megbeszélése. Matematika 10. első kötet Témák Az óra témája (tankönyvi 1. Bevezető óra (101. Ismerkedés a tankönyvvel 2. Nyílt végű feladat: Szálloda tervezése (102. 3. Matematikai logika: Igaz vagy hamis (103. 4. Matematikai

Részletesebben

Koós Dorián 9.B INFORMATIKA

Koós Dorián 9.B INFORMATIKA 9.B INFORMATIKA Számítástechnika rövid története. Az elektronikus számítógép kifejlesztése. A Neumann-elv. Információ és adat. A jel. A jelek fajtái (analóg- és digitális jel). Jelhalmazok adatmennyisége.

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 1 I. HALmAZOk 1. JELÖLÉSEk A halmaz fogalmát tulajdonságait gyakran használjuk a matematikában. A halmazt nem definiáljuk, ezt alapfogalomnak tekintjük. Ez nem szokatlan, hiszen

Részletesebben

Hatvány, gyök, normálalak

Hatvány, gyök, normálalak Hatvány, gyök, normálalak 1. Számítsd ki a következő hatványok pontos értékét! 3 5 3 3 1 4 3 3 4 1 7 3 3 75 100 3 0,8 ( ) 6 3 1 3 5 3 1 3 0 999. 3. Számológép használata nélkül számítsd ki a következő

Részletesebben