Orosz Gyula: Rekurzív sorozatok. Rekurzív sorozatok. Bevezető

Átírás

1 Orosz Gyul: Rekurzív soroztok Rekurzív soroztok Bevezető A középskolás törzsyg rekurzív soroztok elméletét em trtlmzz. Az áltláos ttervű osztályokb számt és mért soroztokkl fogllkozuk; ezekívül fkultáó keretébe títjuk. és. osztályb soroztok ltk tuljdoságt, htárértékszámítást. Rekurzív soroztokt sk értőlegese, lklmkét hszáluk, főleg kokrét feldtok esetébe. (Néháy feldt tlálhtó ebből témából z összefoglló érettség feldtgyűjteméybe, vlmt z utóbb évtzedek egyetem felvétel feldt között.) Méltáytlul elhygoljuk rekurzív godolkodásmód títását. Tpsztltm szert ez kombtork-jellegű tém skeres dákok körébe (pl. több feldt megoldás egyszerűbbé, elegásbbá válk). Nehézséget legkább z okoz, hogy rekurzív kpsoltok kezelése komoly tehk jártsságot géyel, mt sk sok gykorlássl, dőgéyes rutszerzéssel lehet elér. A rekurzív soroztok témköréek több (felsőfokú) folyttás s v. Az lklmzások köréből éháy (em egyform fjsúllyl) ezek közül: Ctl-számok; Mrkov-láok; geerátorfüggvéyek; dffereegyeletek; dffereálegyeletek; szmuláós modellek (pl. káosz jelesége populáóbológáb). A rekurzós problémák számítógépek elterjedése ót még kább előtérbe kerültek, hsze gyors gépek redkívül lklmsk z lgortmkus számításokr. Godoljuk sk véges rekurzók umerkus kezelésé kívül pl. rekurzív függvéyek és görbék, frktálok vzsgáltár. A kk tovább részébe következő témköröket vzsgáljuk:. Áltláos foglmk. A rekurzók és teljes dukó kpsolt 3. Elsőredű rekurzók 4. Az elsőredű leárs rekurzók áltláos megoldás 5. Másodredű rekurzók 6. A másodredű rekurzók lklmzás 7. Egyéb rekurzók 8. Érdekességek (trükkök és problémák) 9. Gykorló feldtok Mtemtk Okttás Portál, - / 3 -

2 Orosz Gyul: Rekurzív soroztok. Áltláos foglmk A rekurzív összefüggések szkm és módszert elemzését áltláb úgy végezzük el, hogy rekurzív soroztok tárgylt típust áltláos megoldjuk (vgys meghtározzuk z explt lkot), mjd problém megoldását vsszvezetjük rekurzív összefüggés keresésére, ll. felállításár. Módszert szempotból egyébkét s érdemes külö egységkét tárgyl rekurzó felállítását és megoldását. A mtemtklg kezelhetetle rekurzív soroztok tgj s gykr előállíthtók számítógéppel. Jelölések: Állpodjuk meg következőkbe. Jeletse () zt soroztot, melyek tgj,, 3, stb. Az, k, dexek továbbkb természetes számokt jeleteek, soroztok kezdőtgját 0-tól vgy -től dexeljük. Explt és rekurzív lkok: A sorozt explt megdás zt jelet, hogy z áltláos. tgot oly képlettel djuk meg, mely sk -től függ (tehát em függ sorozt korább tgjtól). Pl. =,. A rekurzív formul oly egyértelmű utsítás, mellyel sorozt tgjt korább tgok segítségével fejezhetjük k. Ekkor sorozt bzoyos számú kezdőtgját előre meg kell d, hsze sk így tudjuk később következő tgokt meghtároz. Az előző péld rekurzív megdás: = + ( ) és = ; vgy z ezzel egyeértékű + = + ( ) és =. Az explt lk segítségével sorozt lgebrlg és ltklg s köye kezelhetővé válk. Ezért áltláb rekurzív soroztok explt lkják meghtározás éluk; ezt evezzük rekurzó megoldásák. A fordított ráyú - expltből rekurzív - átírásr rtkább v szükség. Rekurzók osztályozás: A soroztokt jellemezhetjük ttól függőe, hogy rekurzív összefüggésbe sorozt háy korább tgj szerepel (vgys háyd redű rekurzó), tlálhtó-e kosts tg stb. Néháy péld: ) = + d ( ), = (, d álldó). Ez számt sorozt rekurzív lkj; álldó együtthtós, elsőredű, d = 0 eseté homogé, egyébkét homogé, leárs rekurzó. Az smert explt formul: = + ( )d, ( ). b) b = qb ( ), b = (, q 0 álldók). Ez mért sorozt: álldó együtthtós, elsőredű, homogé, leárs rekurzó. A mért sorozt explt lkj b = q ( ). ) = ( ), 0 =. Nem-álldó együtthtós, elsőredű, homogé, leárs rekurzó. Megoldás =! ( 0) 0! = megállpodássl. Mtemtk Okttás Portál, - / 3 -

3 Orosz Gyul: Rekurzív soroztok d) A jól smert Fbo-sorozt: f = f + f ( ), f 0 = f = álldó együtthtós, másodredű, homogé, leárs rekurzó. e) d = d elsőredű, e = homogé emleárs rekurzók. e másodredű, g = g g + g 4 pedg egyedredű A soroztok rekurzív lkj em egyértelmű: Tektsük pl., 4, 6, 8,... számt soroztot. Eek egy rekurzív megdás lehet "klsszkus" = + ( ), = képlet. A soroztot megdhtjuk másodredű rekurzóvl s: = + 4 ( 3), ekkor két kezdőtgot kell megduk: = és = 4. A soroztot hrmdredű (és hsoló godoltmeettel tetszőleges redű) rekurzóvl s megdhtjuk: = ( 4), s kezdet értékek =, = 4, 3 = 6. Egy másk godoltmeet következő: A számt soroztb bármely közbülső elem két szomszédos tg számt közepe. + Így eseté = +, vgys + =, e dexeltolássl = ( 3). Ezzel módszerrel egy másodredű rekurzót kptuk, melyek két kezdőtgját kell megduk: = és = Negyedredű rekurzóhoz jutuk pl. z = összefüggés 5 felhszálásávl: + = ( 3), =, = 4, 3 = 6, 4 = 8; és így tovább.. A rekurzók és teljes dukó kpsolt Áltláos hszált eljárás, hogy rekurzív összefüggés lpjá felírjuk sorozt éháy kezdőtgját, klkul egy sejtésük sorozt explt lkjár, mjd sejtést teljes dukóvl bzoyítjuk. Nézzük éháy feldtot!.. feldt: Htározzuk meg z + =, (, = ) sorozt explt lkját! Megoldás: Az =, = 3, behelyettesítések lpjá z = 3 4 = összefüggést sejthetjük meg. Teljes dukóvl bzoyítuk: feltesszük, hogy k = k, s kérdés, hogy k + = k + teljesül-e. A rekurzós összefüggés és z dukós feltevés lpjá k + = + k = + k = + k, vgys sejtésük gz. Megjegyzés: Érdemes soroztot más poztív egész kezdőérték eseté s megvzsgál. Mtemtk Okttás Portál, / 3 -

4 Orosz Gyul: Rekurzív soroztok.. feldt: Htározzuk meg z =, (, = ) sorozt explt lkját! 3 4 Megoldás: A sorozt éháy kezdőtgj lpjá ( =, 3 =, 4 = ) z = + sejtést próbáljuk bebzoyít z k = k k + dukós feltevésből kdulv. k + Mvel k+ = = =, így z explt képlet vlób k k k + = +. k +.3. feldt: Az = (, = ) sorozt mely tgj oszthtók 3-ml? Első megoldás: A sorozt tgjk háromml vló osztás mrdék (, 0,, 0, ) perodkus smétlődek. (A perodtás egyébkét - sktuly-elv mtt - bármely redű rekurzív összefüggés és 3-s helyett tetszőleges modulus esetébe s feáll, h sorozt eleme egészek.) Így sorozt páros dexű tgj - és sk zok - oszthtók 3-ml. Másodk megoldás: A sorozt kezdőeleme, 3, 5, 9, 7 stb. Észrevehetjük, hogy mdegyk tg eggyel gyobb egy kettőhtváyál, így z = +, explt lkot sejthetjük meg. Az dukós feltevés k = k +, ebből kell belátuk, hogy k+ = k +, ez pedg z k+ = k = ( k + ) = k + átlkításból már következk. + ugyzt mrdákot dj 3-ml osztv, mt ( ) +, tehát sorozt páros dexű tgj oszthtók 3-ml. 3. Elsőredű leárs rekurzók A számt sorozt = + d ( ), = (, d álldó) rekurzív formuláját kézefekvő úgy áltláosítuk, hogy képletbe d kosts helyett egy -től függő változót szerepeltetük. Jelöljük változót f -el, ekkor z = + f (, =, álldó) rekurzó explt lkját keressük. Írjuk fel z. tg rekurzós lkját redre z =,, 3,..., esetekbe: =, = + f, 3 = + f, = + f, = + f. Mtemtk Okttás Portál, / 3 -

5 Orosz Gyul: Rekurzív soroztok Az egyeleteket összedv, közbülső tgok kesek, z = + f explt lkot kpjuk. Vgys mde oly esetbe felírhtjuk -et zárt lkb, mkor f zárt lkr hozhtó. Az eljárás em túl ehéz, dákok egy része öálló, mások ks segítséggel rátlálk megoldásr. Az lábbkb felsoroluk éháy feldtot. 3.. feldt: Folytsd z,, 4, 7,, 6,, 9, 37,... soroztot! ) M lehet sorozt 995. tgj? b) A sorozt mely tgj oszthtók 3-ml? Megoldás: ) A sorozt persze tetszőlegese folytthtó. Az egyk lehetséges megoldás z = + (, = ) összefüggés felsmerésé lpszk. Az =, = +, 3 = +, = + egyeleteket összedv = ( ) = ( ), s így 995 = + ( ) b) A 3-ml vló oszthtóság szempotjából elég vzsgál z = + = ( ) + explt lk számlálóját, hsze és 3 reltív prímek. H mrdék 0, vgy, kkor ( ) + mrdék redre,,. Vgys ebbe soroztb s 3-ml oszthtó tg. 3.. feldt: Legfeljebb háy részre osztj egyees síkot? Ezt klsszkus feldtot dákok egy része áltláb meg tudj old. Néháyukk esetleg segítük eldul, felvesszük kezdőhelyzeteket, de rekurzós összefüggést már öálló sejtk meg. Megoldás: Adott számú egyees eseté legtöbb síkrészt kkor kphtjuk, h z egyeesek között seek párhuzmosk és semelyk poto em megy át kettőél több egyees; tehát továbbkb feltesszük, hogy z egyeesek áltláos helyzetűek. Nézzük meg, hogy = 0,,, 3, 4 egyees felvételekor háy trtomáy keletkezk! Ném próbálkozás és rjzolás utá kpjuk z lább tábláztot: Mtemtk Okttás Portál, / 3 -

6 Orosz Gyul: Rekurzív soroztok Egyeesek szám: Trtomáyok szám: 4 7 Külöbség: 3 4 Észrevehetjük, hogy szomszédos trtomáyszámok külöbsége eggyel ő. A sejtés bzoyításához tegyük fel, hogy egyees S részre osztj síkot. Az. egyees elmetsz korább felvett egyeest, ekkor új trtomáy keletkezk; vlmt z utolsó metszéspot utá szté kpuk egy plusz síkrészt. Vgys egyees legfeljebb S + részre osztj fel síkot, mt zt sejthettük. (Az ábrá z = 5 eset láthtó.) Az S = S + (, S 0 = ) rekurzó megoldás már em okoz ehézséget. Az ( + ) egyeleteket összegezve S = = + képlet dódk. A kpott képlet összhgb v z eddg eredméyekkel, erről z 4 kezdet értékek vsszhelyettesítésével meggyőződhetük. Megjegyzés: A problém középskol érettség példtár, "Zöld köyv" 366. sz. feldtáb következő megfoglmzásb szerepel: "Bzoyíts be, hogy drb egyees + + síkot legfeljebb részre osztj." Itt teljes dukós bzoyítást rekurzós összefüggés segítségével lehet elvégez. Ebbe z esetbe s egyeértékű teljes dukó és rekurzó módszerét hszáló megoldás, bár teljes dukó lklmzásához smer kell végeredméyt. Áltláb s gykoroltthtjuk (smétlés, szte trtás) z egyk tém keretébe máskt feldt: (Z.367.) Bzoyíts be, hogy kör síkot legfeljebb + részre osztj. Az előző feldt megjegyzése most s érvéyes, bzoyíthták teljes dukóvl s. Hszáljuk zob rekurzó felállításák és megoldásák módszerét, hsze így zt s megtudjuk, hogy kphtó meg z explt képlet. Megoldás: A képletet eseté gzoljuk, = 0-r em teljesül. Adott számú kör felvételekor legtöbb síkbel trtomáyt kkor kphtjuk, h bármely két kör két potb metsz egymást és semelyk metszéspoto em megy át kettőél több Mtemtk Okttás Portál, / 3 -

7 Orosz Gyul: Rekurzív soroztok kör. (Ellekező esetbe trtomáyok számát övelheték.) A továbbkb tehát sk z lye helyzetű körökkel fogllkozuk Tegyük fel, hogy drb kör k részre osztj síkot. Az. kör felvételekor ( ) metszéspotot kpuk, s mdegykhez trtozk egy új trtomáy (z ábr z = 4 esetet muttj). Így k = k + ( ) (, k = ) rekurzív összefüggést kpjuk, eek megoldás k = + ( ( )) = + ( ), m vlób megegyezk bzoyítdó + -vel. A szélsőhelyzet el s érhető. Tetszőleges eseté megdhtuk drb kört úgy, hogy bármely kettőek két metszéspotj legye. Pl. egy dott kört rögzített ráyb ( )-szer kssé eltoluk; h z első és utolsó kör középpotják távolság ksebb, mt kör sugr, kkor mdegyk kör metsz mdegyk kört, külöböző potokb feldt: Háy átlój v egy kovex -szögek? Egyk lehetséges megoldás: Összekötjük potokt egymássl, megszámoljuk keletkezett szkszokt, mjd levojuk z oldlk számát. Az első súsból drb szkszt húzhtuk (kmrd ömg); másodk súsból már sk -t, hsze z első súsl már összekötöttük egyszer; hrmdkból 3-t stb; végül z utolsó, ( ). súsból már sk egy szksz húzhtó. A behúzott szkszok ( ) ( ) ( 3) szám ( ) =, z átlók szám tehát =. Másodk megoldás: Mde súsból 3 átlót húzhtuk; ez ( 3) átlót jelet. ( 3) Mvel mde átlót kétszer számoltuk, z összes átló szám. Hrmdk megoldás (rekurzív godoltmeettel): Tegyük fel, hogy kovex ( )- szög átlók szám A. Sorszámozzuk be súsokt pl. poztív ráyú körüljárás szert - től ( )-g, és z. potot z. és ( ). között vegyük fel. Az. potból 3 drb új átló dul k (kmrd két szomszédos sús); vlmt z. és ( ). sús között s keletkezk egy új átló. (Eddg ez szksz egy oldlél volt.) Vgys z A = A + ( 4, A 3 = 0) rekurzó explt lkját kell előállítuk. ( 3) Eek megoldás hgyomáyos módo A = ( ) =. Mtemtk Okttás Portál, / 3 -

8 Orosz Gyul: Rekurzív soroztok Megjegyzések: Az első két megoldás lpjá ez problém már áltláos skoláb s típusfeldtk mősül tehetségesebb gyerekek körébe. A hrmdk megoldás s mmáls tehk pprátust hszál. A dákokt egyszerű feldtokkl érdemes már ge korá hozzászokttuk rekurzív godolkodásmódhoz. A középskolások számár kkor d vlm újt z - esetleg sokdszor hllott - feldt, h kfejezette rekurzó lpuló megoldást kérük. Az egyszerű feldtokkl s tuduk gykoroltt, mert rekurzó felállítás újszerű godoltot kívá feldt: Egy szbályos 8-szög lkú lbrtus egyk súsáb egy egér, másk súsáb egy sjtdrb v. Az egér em látj sjtot; mde lépésbe 8-szög oldl vgy átló közül véletleszerűe válszt egyet, és z utt sústól súsg véggjárj (tehát pl. másodk lépésbe vssztérhet kdulás helyére). ) Mekkor k vlószíűsége, hogy z egér em tlálj meg sjtot? b) Átlgos mey dő múlv tlálj meg z egér sjtot? ) Átlgos mey dőre v szüksége z egérek, h z összes súsot át krj kutt? Megoldás: A súsok szerepe szmmetrkus. Az egér bármely súsból 7 vlószíűséggel tlálj meg sjtot, ll. 6 7 vlószíűséggel egy másk súsb jut. 6 ) Ak vlószíűsége, hogy z egér z. lépésg em tlálj meg sjtot,. Ez 7 z érték lépésszám övekedtével ullához trt, tehát z egér előbb-utóbb vlószíűséggel rátlál sjtr. b) Jelöljük L-lel sjt megtlálásához szükséges átlgos lépésszámot. Az egér z lphelyzetből vgy 7 vlószíűséggel egy lépésbe élt ér, vgy 6 vlószíűséggel lép egyet 7 és egy másk súsb kerül. Ez z állpot kdulás helyzettel ekvvles, e továbbr s L sjt megtlálásához szükséges átlgos lépésszám. Eek lpjá felírhtó rekurzív 6 összefüggés: L = + ( + L). Eek megoldás L = A sjt megtlálásához szükséges átlgos "dő" 7 lépés. ) Szíezzük be súsokt: legye pl. pros szíű z sús, hol már járt z egér, és legye kék, hol még em. Kezdetbe egy sús pros, hol z egér áll, több hét kék szíű. Az első lépésével z egér mdeféleképpe "prosr szíez" egy súsot. A másodk lépés már kétféle lehet: 7 vlószíűséggel pros súsb vezető élt válszt z egér, 6 7 vlószíűséggel kék súsb vezetőt. (Ekkor 3 pros és 5 kék sús lesz.) Áltláb h kék 7 súsok szám, vlószíűséggel kék, vlószíűséggel pros súsot válszt z egér. 7 7 (Itt khszáltuk, hogy z egér mdg pros súso áll.) Jelöljük L -vel zt z átlgos lépésszámot, m z összes sús prosr szíezéséhez szükséges, h még drb kék v közöttük. A feldt L 7 meghtározás. Mtemtk Okttás Portál, / 3 -

9 Orosz Gyul: Rekurzív soroztok H kék súsok szám, 7 vlószíűséggel kék súsot válszt z egér. Ekkor törtét egy lépés, és ( ) kék sús mrdt; z ezek szíezéséhez szükséges lépésszám L. H 7 vlószíűséggel pros súsot válszt z egér, kkor lép egyet, és továbbr s átlgos 7 7 L lépésre v szüksége. Ez lpjá z L = ( + L ) + ( + L ) véges rekurzót írhtjuk 7 7 fel ( =,,..., 7 és L 0 =0) A képlet átlkítás utá z L = L + formulát kpjuk, ho L7 = = 3,5; ey súsok bejárásához szükséges átlgos lépésszám. Megjegyzés: ez egy tpkus bolyogás-feldt Mrkov-láok témköréből. ; Néháy tovább feldt öálló gykorlásr: 3.6. feldt: Háy részre osztj síkot drb párhuzmos helyzetű tégllp? 3.7. feldt: Háy 5-tel oszthtó szám v z = +, (, = ) sorozt első 00 tgj között? 3.8. feldt: Háy háromszöget htároz meg drb áltláos helyzetű pot síko? 3.9. feldt: Legfeljebb háy részre osztj teret drb sík? 3.0. feldt: Legfeljebb háy részre osztj teret drb gömb? 4. Az elsőredű leárs rekurzók áltláos megoldás Tovább áltláosítás lehetőség, mkor z = b + képletbe b, együtthtók álldók, de most b. 4.. feldt: Adjuk meg z = b +, (, = e) rekurzív sorozt explt lkját! Megoldás: Írjuk fel sorozt éháy kezdőtgját és vzsgáljuk szomszédos tgok külöbségét: = e, = b +, 3 = b +, 4 = b 3 +, Mtemtk Okttás Portál, / 3 -

10 Orosz Gyul: Rekurzív soroztok A külöbségek: = b + e, 3 = b( ), 4 3 = b( 3 ), Defáljuk (d) külöbségsoroztot d = ( ) formáb, ekkor d = b + e (= álldó), d 3 = b d, d 4 = b d 3 Vgys (d) egy b háydosú mért sorozt, d = b d. Mvel = d +, = d +, = d +, (d) sorozt smeretével egy oly elsőredű rekurzót kptuk ()-r, melybe együtthtój. Eek megoldás már b egyszerű: z egyeleteket összedv = + d, e = + d = e + b b b ( be + e). 4.. feldt: M z = +, (, = 3) rekurzív sorozt explt lkj? Megoldás: A sorozt kezdőtgj: = 3, = + = 7, 3 = + = 5, 4 = 3 + = 3. A külöbségsorozt d = 4, d 3 = 8, d 4 = 6,..., d =. Így = + d = = +. Megjegyzések: b Természetese korább levezetett áltláos = e + ( be + e) formuláb b egyszerűe behelyettesíthettük vol z = e = 3, b =, = értékeket. Az s láthtó, hogy külöbségsorozt hszált mtt kssé kéyelmesebb z () soroztot 0-tól dexel. Egyébkét z explt lk köye megsejthető, dolgozhttuk vol teljes dukóvl s feldt: Adjuk meg z = b + (, 0 = e) áltláos elsőredű leárs rekurzó megoldását! Megoldás: H = 0, kkor rekurzó homogé, egyébkét homogé. Az áltláos megoldást speáls homogé rekurzó megoldás segítségével állítjuk elő. A továbbkb feltesszük, hogy b 0 (egyébkét rekurzó elfjul). Legye = 0 esethez trtozó homogé rekurzó megoldás (h): h = b h (, h 0 értéke egyelőre b szbdo válszthtó); mjd tektsük (q) = soroztot: = + = h h h h +. Az így kpott q = q +, (, q0 később meghtározdó) rekurzó h h h megoldás q = q 0 +, e 0 0 = +, vgys = h + h. h h h 0 h h 0 h A homogé rekurzó megoldás h = h 0 b b b ; h b álldó, kkor speáls esetkét mért soroztot kpjuk meg. Az s láthtó, hogy h 0 = válsztás legkéyelmesebb feldt: Oldjuk meg z = 3 +, (, 0 = ) rekurzót: ) írjuk fel sorozt első eleméek összegét függvéyekét; b) állpítsuk meg, hogy sorozt mely tgj oszthtók 5-tel! Mtemtk Okttás Portál, / 3 -

11 Orosz Gyul: Rekurzív soroztok Megoldás: A sorozt éháy kezdőtgj: 0 =, = 5, = 9, 3 = 65. A 4.3. feldt megoldás lpjá először h = 3h, (, h 0 = ) homogé leárs rekurzót oldjuk meg. A (h) mért sorozt explt lkj h = 3. Ezutá meghtározzuk + + összeget; 3 = = h = 3 = 3 h 3 3. Végül z = h + h összefüggés lpjá = h 0 h = Vgys z 3 explt lk = ( 0). A kpott képlet összhgb v z eddg eredméyekkel, erről z 3 kezdet értékek vsszhelyettesítésével meggyőződhetük. + 3 = b) A kfejezés 5-tel vló osztás mrdékt vzsgáljuk. Az oszthtóság szempotból egyeértékű ( ) + + kfejezés páros ktevőkre (tehát pártl értékekre) ull mrdékot d, pártl ktevők (tehát páros -ek) eseté + mrdék. Tehát z = 3 + (, 0 = ) soroztb sk pártl sorszámú tgok oszthtók 5-tel. + + ) Az első elem összege S = ( 3 ) Másodk megoldás: Egyes esetekbe speáls módszereket s lklmzhtuk. Az 0 =, = 3 0 +, = 3 +, = 3 +, = 3 + egyeletek összedás előtt zoos együtthtókt állítuk elő mdkét oldlo. Az. (utolsó előtt) egyeletet megszorozzuk 3-ml; z ( ). egyeletet 3 -, z ( )-et 3 3 -,, végül z első egyeletet 3 -el. Az egyeleteket összedv z = összeget kpjuk, m (3 )-es téyezővel bővítve ( 0). Megjegyzés: A típusú összeget felfoghtjuk egy 3 kezdőtgú és 3 kvóesű mért sork s, ekkor z összegzés hgyomáyos képlettel törtéhet feldt (97. közgzdság egyetem felvétel): Vlk évete 000 Ft-ot rk tkrékpéztárb év 5% kmtos kmtr. Háy év múlv lesz Ft-j? Megoldás: Ezzel feldttl mde középskolás dák tlálkozk. Jeletse z. év végé meglévő összeget, ekkor tuljdoképpe z = 000,05, = ( + 000),05 =, ,05 rekurzót kell megolduk ( ). A korább égy megoldás módszer mellé (teljes dukó, külöbségsorozt módszere, áltláos képlet, együtthtók Mtemtk Okttás Portál, - / 3 -

12 Orosz Gyul: Rekurzív soroztok vsszszorzás (4.4. feldt másodk megoldás)) most leggykrbb hszált frotáls módszert lklmzzuk. Az első év végé = 000,05 z összeg; másodk év végé ez tovább kmtozk, értéke 000,05 lesz; s z újo betett 000 Ft tovább 000,05 értéket d. A hrmdk év végére (000, ,05), ,05 = 000, , ,05 kmtozott összeg. Észrevéve szbályosságot, z. év végére 000, , ,05 teljes összeg, m gyobb vgy egyelő, mt Ezutá lklmzhtjuk mért sorozt összegképletét. Eredméy: 4,97, vgys = 5 év. 5. Másodredű, álldó együtthtós, homogé leárs rekurzók Az = b + (b, 0 kostsok) típusú rekurzók áltláb szerepelek középskolákb. Az f = f + f (, f 0 = f = ) Fbo-sorozt explt lkját és z előállítás módszerét több köyvbe, tköyvbe és példtárb megtlálhtjuk. Érthetőe kevesebbet fogllkozuk középskoláb zzl z esettel, mkor krktersztkus egyeletek komplex gyöke vk vgy mkor vlós gyökök egybeesek. A teljesség kedvéért mdhárom esetre rövde megolduk egy-egy feldtot. Azok számár, kket tém részletesebbe érdekel, jálhtjuk pl. z [], [], [6], [8] köyveket. 5.. feldt: Adjuk meg z = + 6 (, 0 = 0, = ) rekurzív sorozt explt lkját! Megoldás: A sorozt kezdőtgj 0,,, 7, 3, 55, 33,... Az () sorozt megoldását - z elsőredű rekurzókhoz hsoló - = x lkb keressük; ekkor z x = x + 6x átlkítás utá x (x x 6) = 0. Mvel x 0, z x x 6 = 0 ú. krktersztkus egyelet gyöke b = és = 3. Ez zt jelet, hogy z = + 6 összefüggést z = b = ( ) és z = = 3 mért soroztok s kelégítk. Az áltláos megoldást b és leárs kombáójkét kphtjuk meg; egyszerű behelyettesítéssel meggyőződhetük rról, hogy mért soroztok leárs kombáój vlób megoldás z eredet rekurzók. Az = ub + v áltláos megoldásb z u, v értékeket z 0 = 0, = kezdet értékek llesztésével htározhtjuk meg. Az 0 = 0 feltételből u + v = 0, z = feltétel mtt u + 3v =. Az így kpott egyeletredszer megoldás u =, v = ; tehát sorozt 5 5 explt lkj = ( ) Az = 0,,, 3, 4 értékeket behelyettesítve redre z = 0,,, 7, 3 értékeket kpjuk. Hsoló járhtuk el mde = b + rekurzó megoldáskor, h krktersztkus egyeletek két vlós gyöke v. (Sőt kkor s, h két gyök komplex, lásd 5.3. feldt.) Megjegyzés: Mért pot mért soroztok leárs kombáójkét kerestük megoldást? Elképzelhető, hogy más úto s eljuthtuk ehhez z eredméyhez (godoljuk Mtemtk Okttás Portál, - / 3 -

13 Orosz Gyul: Rekurzív soroztok sk rr, hogy soroztok rekurzív lkj sem egyértelmű), zob ez módszer gykorltb mdg élhoz vezet, tehát áltláos lklmzhtó. A következő feldtb krktersztkus egyeletek egy kétszeres gyöke v. 5.. feldt: Adjuk meg z = (, 0 =, = 3) rekurzív sorozt explt lkját! Első megoldás: Az x x + = 0 krktersztkus egyelet gyöke egyelők: b = =. Most z = ub + v = (u + v)b = yb átlkítás mtt sk egy y kezdet álldók mrd; ezt áltláb em lehet úgy megválszt, hogy 0 = és = 3 egyszerre teljesüljö. Áltláos megmutthtó (pl. Vet-formulák segítségével), hogy = s kelégít z eredet rekurzív öszefüggést, ezért b = mtt megoldást = ub + v = (u + v)b lkb állíthtjuk elő. Az 0 = és = 3 kezdőfeltételek lpjá u = és u + v = 3. Ie v = 5, így b = fgyelembe vételével = ( + 5)b = 5 dódk ( 0). Másodk megoldás: A sorozt kezdőtgj:, 3, 8, 3, 8,... ; sejthető, hogy ez egy 5 külöbségű számt sorozt. Bzoyíthtuk teljes dukóvl, vgy speáls módszerkét észrevehetjük, hogy rekurzív formul átlkíthtó: =, vgys z () sorozt külöbségsorozt álldó feldt: Adjuk meg z = (, 0 =, = 3) rekurzív sorozt explt lkját! Megoldás: A sorozt éháy kezdőtgj:, 3, 4,, 4,, 6, 8, 6, 48, 64 stb. Az x x + = 0 krktersztkus egyeletek két komplex gyöke v: b = + és =. Hszáljuk fel z = ub + v megoldáshoz kezdőfeltételeket: 0 = mtt u + v = és = 3 mtt u( + ) + v( ) = 3. A másodk egyeletből u + v + (u v) = 3 átlkítás utá u v = =. Az egyeletredszer megoldás u = és v = +. Az = sorozt explt lkj ( + ) + + ( ), 0. Az = 0,, stb. értékeket behelyettesítve meggyőződhetük képlet helyességéről. Másodredű rekurzók felállítás Az feldtokb tárgylt megoldás módszerrel tetszőleges = b + lkú másodredű rekurzó explt lkj megdhtó. A következő feldtokb ezért tuljdoképpe problém rekurzív összefüggés felállítás. (Mdegyk megoldás Fbo-sorozt f = f + f képlete.) 5.4. feldt: Háyféleképpe lehet 0 fortot és fortosokkl kfzet, h z érmék sorredjét s fgyelembe vesszük? Mtemtk Okttás Portál, / 3 -

14 Orosz Gyul: Rekurzív soroztok Megoldás: Jelöljük f -el zt számot, háyféleképpe k tuduk fzet fortot és fortosokkl, h z érmék sorredjére s tektettel vgyuk. A feldt f 0 meghtározás. H kfzetést fortossl kezdjük, kkor továbbkb ( ) fortot kell kfzet és fortosokkl; ezt kfzetést f -féleképpe tudjuk megte. H vszot z első kfzetett érme fortos, kkor továbbkb ( ) fortot kell kfzet; ezt f -féleképpe tehetjük meg. A kfzetést vgy, vgy fortos érmével kezdhetjük, így z f = f + f (, f =, f = ) összefüggést kpjuk. Ezutá meghtározhtjuk Fbo-sorozt explt lkját, vgy smételte lklmzhtjuk rekurzív hozzáredelést. A sorozt tgj,, 3, 5, 8, 3,, 34, 55, 89 stb, vgys f 0 = feldt: Háyféleképpe lehet egy 0 sztes lépső tetejére felme, h egyszerre egy vgy két lépsőt léphetük? 5.6. feldt: Háyféleképpe lehet x-es domókkl lefed egy x5-ös tábláztot? (A domók em fedk egymást és em lógk k tábláról.) Útmuttás: Az első domó elhelyezésére két lehetőségük v. H z első domót z ábr szert állítv helyezzük el, továbbkb egy x4-es táblát kell lefedük: A másk lehetőség, hogy z első domót fektetve helyezzük el. A másodkt ekkor sk párhuzmos fölé helyezhetjük, s ezutá mrdék x3-s táblát kell lefedük feldt: Pros és kék szíű üveggolyókból tíz golyó hosszúságú láot készítük. Háyféleképpe tehetjük ezt meg, h em krjuk, hogy kék golyók kerüljeek egymás mellé? 5.8. feldt: Háyféleképpe lehet egy -személyes pdr fúkt és láyokt leültet úgy, hogy láy láy mellé e ülhesse? Ihomogé leárs másodredű rekurzók Az = b + + e homogé rekurzó külöbségsorozt mdg homogé másodredű rekurzó lesz. A külöbségsorozt explt lkj így z feldtok megoldás lpjá előállíthtó, e - z elsőredű homogé rekurzók megoldásához hsoló - összegzéssel kpjuk z () sorozt explt lkját. A módszer tetszőleges e kosts eseté lklmzhtó feldt: Adjuk meg z + = (, 0 = 0, = ) rekurzív sorozt explt lkját! Mtemtk Okttás Portál, / 3 -

15 Orosz Gyul: Rekurzív soroztok Megoldás: A sorozt kezdőtgj: 0,,, 9,, 77, 0 stb. Tektsük z () sorozt (d) külöbség-soroztát: d = ( ). Ekkor (d) sorozt tgj,, 7, 3, 55, 33 stb. Az = ( ) = + 6( 3 ) átlkítás mtt d = d + 6d ( 3), vgys (d) sorozt már homogé másodredű rekurzó, d = d = kezdet feltételekkel. Eek megoldás z 5.. feldt lpjá d = u( ) + v3 lkú, kezdet feltételeket felhszálv d = ( ) + 3, ( 5 5 ). Ezutá írjuk fel redre szomszédos tgok külöbséget: 0 = d, = d, 3 = d 3, = d. Az egyeletek összegzéséből 0 = d, vgys = 0 + d. A keresett explt lk = 3 ( 3 ) ( ) ), ( 0). 0 5 Elleőrzésképp z = 0,,, 3, 4 helyettesítéssel redre 0,,, 9, értékeket kpjuk. 6. A másodredű rekurzók lklmzás A másodredű homogé és homogé rekurzók lklmzáskét vlószíűségszámítás témköréből vzsgáluk meg egy-egy feldtot, mjd Beroull és Euler híres problémáját említjük meg. Leárs vgy egydmezós bolyogás ltt zt értjük, mkor "bolyogó pot" véletle mozgást végez egy egyees meté. Az egyees lehet pl. koordátredszer x tegelye, vgy síkbel égyzetrásból kválsztv egy tetszőleges sor; ekkor bolyogó pot dott vlószíűséggel egy-egy egységyt léphet poztív vgy egtív ráyb (ll. jobbr vgy blr). Eek megfelelőe vegyük fel egy h hosszúságú táblát, mezőket blról jobbr sorszámozzuk -től h-g. Helyezzük el tábl vlmelyk mezőjé bolyogó potot; legye p blrlépés, q jobbrlépés vlószíűsége. A következő két feldtb bolyogó pot mozgásávl kpsoltb egyrészt zt vzsgáljuk meg, hogy mekkor vlószíűséggel hgyj el pot jobbról, lletve blról pályát; másrészt meghtározzuk pály elhgyásához szükséges átlgos lépésszámot. Az ábrá h = 5, p = q = esetet tütettük fel, pot kezdőhelye 4. mező. Mtemtk Okttás Portál, / 3 -

16 Orosz Gyul: Rekurzív soroztok o p = q = Ez modell egy játékk s tekthető. A ferdefo evű játékb felvehetük 0. és 6. fktív mezőkö egy-egy kput, s két játékos, Jobb és Bl közül z veszít, kek kpujáb kerül véletle bolyogást végző "lbd". A fet helyzet Bl játékosk kedvező. A játék szmmetr okok mtt kkor lee gzságos, h lbd ( pot) kezdőhelye 3. mező lee. A p = q = speáls vlószíűségek eseté z érmedobálás modellt kpjuk meg. Érmedobálások eseté blrlépés megfeleltethető pl. fej, jobbrlépés pedg z írás dobásák. H pot kezdőhelye 3. mező, kkor bolyogás játék átlgos lépésszám (mely pály elhgyásához szükséges) egyúttl megdj zt z átlgos dobásszámot s, melyet hhoz kell szbályos érmével végezük, hogy fej és írás dobások eltérése három legye. Ez z egyszerű péld s muttj, hogy bolyogás modell áltláos vzsgált ge hszos. A feldtok bevezető tárgylás megtlálhtó: 6.. feldt: Legye h hosszúgágú pályá blrlépés vlószíűsége p, jobbrlépés vlószíűsége q = p. Melyk mezőre kell kezdetbe helyez bolyogó potot, hogy játék közelítőleg gzságos legye? B J h h+ p q Megoldás: Legye p k vlószíűsége, hogy z. mező trtózkodó bolyogó pot blról hgyj el pályát. (Azt s modhtjuk, hogy ekkor vlószíűséggel yer Jobb.) Az értékét kell úgy meghtározuk, hogy p legye. A bolyogó pot vgy p vlószíűséggel blr, vgy q vlószíűséggel jobbr lép egy mezőt, és e későbbekbe p, lletve p + vlószíűséggel hgyj el blról pályát. Eek megfelelőe p = p p + q p + vlószíűség egyeletet írhtjuk fel. Célszerű 0. és (h + ). fktív mezőket felve, ekkor p 0 =, p h+ = 0. Adott p, q és h értékek eseté megoldhtjuk h drb egyeletből álló p = p p + q p + ( =,,, h) egyeletredszert és megkereshetjük, melyk -re teljesül, hogy p. (H h értéke gy, hszálhtuk számítógépet.) Az áltláos eset vzsgáltkor p = p p + q p + ( =,,, h) rekurzó explt lkját keressük p 0 =, p h+ = 0 peremfeltételek mellett. Mtemtk Okttás Portál, / 3 -

17 Orosz Gyul: Rekurzív soroztok A qx x + p = 0 krktersztkus egyelet vzsgáltát két részletbe végezzük el. Első eset: H p = q =, kkor z egyelet gyöke egybeesek, x, =, ezért (p) sorozt p = + b lkú (lásd 5.. feldt). A p 0 = feltétel mtt =, p h+ = 0 feltétel h + mtt b =. A (p) sorozt explt lkj p = =. h + h + h + Másodk eset: H p q, kkor legye pl. p < q. Ekkor krktersztkus egyelet két p p gyöke x =, x =. Legye =, ekkor p = + b lkb írhtó (lásd 5.. feldt). A p 0 q q = feltétel mtt + b =, p h+ = 0 feltétel mtt h+ + b = 0. Ie = és h+ h+ h+ b =. A (p) sorozt explt lkj tehát p h+ =. h+ h + A p egyeletet kell -re megolduk. Az első esetbe, m trváls p h+ + l = q szmmetr mtt. A másodk esetbe, mkor p q,. l Megjegyzés: Vegyük észre, hogy kpott értékek sk q p háydostól függek. 6.. feldt: Legye h hosszúgágú pályá blrlépés vlószíűsége p, jobbrlépés vlószíűsége q = p. Melyk mezőre kell kezdetbe helyez bolyogó potot, hogy játék lehető legtovább trtso? (A bolyogásk kkor v vége, h pot vlmelyk oldlo elhgyj pályát.) B J h h+ p q Megoldás: Jelölje L z átlgos lépésszámot, h bolyogó pot z. mező v. A feldt L mxmumhelyéek meghtározás. A várhtó lépésszámr z L = p( + L ) + q( + L + ) egyeletet írhtjuk fel. Az egyelet első tgj úgy értelmezhető, hogy pot p vlószíűséggel z ( ). mezőre kerül, tehát lép egyet, plusz még yt, mey átlgos z ( ). mező állv várhtó, vgys L -et. Hsoló másodk tg jobbrlépést írj le. H pot fktív mezőkre kerül, játékk vége lesz, tehát L 0 = L h+ = 0. Az egyeletet átlkítv z L = + pl + ql + ( =,,, h) rekurzív összefüggést írhtjuk fel, L 0 = L h+ = 0 peremfeltételek. Az egyelet átredezésével kpott ql + = L pl homogé másodredű rekurzó megoldásához először meg kell olduk külöbségsorozt áltl kphtó homogé másodredű rekurzót (lásd 5.9. feldt). Ezutá peremfeltételeket llesztjük; ez lépés vlmvel boyolultbb lesz, hsze most em sorozt első két tgj dott. Mtemtk Okttás Portál, / 3 -

18 Orosz Gyul: Rekurzív soroztok Defáljuk z (L) sorozt (d) külöbség-soroztát: d = L L, ( =,, ). Ekkor (d) soroztr érvéyes összefüggés qd + = d + pd. H meg tudjuk d (d) tgjt, kkor d = L L 0, d = L L, d 3 = L 3 L, d = L L, d h+ = L h+ L h egyeletredszer összegzéséből következe L h+ L 0 = + h d j, pl. L h+ = + j= d. h d, és mvel L 0 = 0, L = A qx x + p = 0 krktersztkus egyelet vzsgáltát smét két részletbe végezzük el. Első eset: H p = q =, kkor z egyelet két gyöke x, =, ezért (d) sorozt d = + b lkú. Most (d) sorozt peremfeltételet em smerjük, két álldó, és b z (L) sorozt kezdet feltételeek felhszálásávl htározhtó meg. h Először s, L h+ = 0, és L h+ = + (h + )(h + ) d mtt ( h + ) + b = 0, vgys h + + b = 0. Mvel L 0 = 0, L = d = + b, L = L + d = + b + + b = + 3b. A másk egyeletet és b meghtározásához (L) rekurzív lkják felhszálásávl kpjuk. Eszert L pl0 L L = = = L, így + 3b = + b. Az q h + + b = 0, + 3b = + b egyeletredszer megoldás b =, = h +, tehát d = h +, s mvel L = d, így L = ( + ) (h + ) = + + h = (h + ). A h + + h + kfejezést teljes égyzetté lkítv, mxmumot helye kpjuk, m pály közepe, s mt szemléletük s sugll. H h = k lkú pártl szám, kkor = k, és L k = k mxmum. Megjegyzés: Érdemes khgsúlyoz, hogy h h = k lkú, és = k ( pály közepe), kkor várhtó lépésszám mde esetbe L k = k. Ez evezetes eredméy pl. z érmedobálások szempotjából zt jelet, hogy hhoz, hogy fejek és írások számák eltérése (először) k legye, átlgos k dobásr v szükség. (És megfordítv: k dobás eseté z eltérés közelítőleg k.) Mtemtk Okttás Portál, / 3 -

19 Orosz Gyul: Rekurzív soroztok Másodk eset: H p q, kkor legye pl. p < q. Ekkor krktersztkus egyelet két p p gyöke x =, x =. Legye =, ekkor d = + b lkb írhtó. Az egyk feltétel smét q q h z L h+ = + h + d összefüggésből dódk: L h+ = + b(h + ) = 0. Továbbá mvel L 0 = 0, L = d = + b, L = L + d = + b + + b = ( + ) + b. L A másk egyeletet (L) rekurzív lkjából kpjuk. Eszert L pl 0 L + b + b = = =, tehát ( + ) + b =. Az q q q q h + + b(h + ) = 0, q( + ) + bq = + b egyeletredszer megoldás q p h + b + =, =. Mvel L h q p p( ) = (h + ) p h + L = b + = + = + + d, ezért h+ h ( ) q p q p A kpott eredméy meglehetőse "súy", legegyszerűbb - dott h, p, q, érték eseté - számítógép segítségével meghtároz kfejezés szélsőértékét. Kokrét példák: Pl. h = 4 hosszúságú pályá, p =, q = p = = értékeket válsztv k 3 3 vlószíűsége, hogy pot z. mezőről dulv blról hgyj el pályát, redre p =, p =, p3 =, p 4 =. Láthtó, hogy még z első mezőről dulv s, játék h+ + l Bl-k kedvező. Az "gzságos hely" képletébe behelyettesítve l A lépésszámok: L =, L =, L3 =, L 4 =. A mxmáls lépésszámot = eseté kpjuk ( képlettel,84, L = 5,64). x x h + Az lább táblázt z L x = L(x) = + függvéy szélsőértékét h+ q p q p trtlmzz külöböző h értékek mellett. A prméterek: p =, q = p = = Mtemtk Okttás Portál, / 3 -

20 Orosz Gyul: Rekurzív soroztok Pály hossz ( h ) Szélsőértékhely ( x ) Felvett szélsőérték ( L(x) ),5, 3,56 3,78 4,84 5,64 5,08 7,7 6,9 9,97 7,48,34 8,64 4,79 9,79 7,3 0,93 9,89 0 3,86 47, ,43 75, ,83 04,9 50 5,4 33,4 60 5,40 6, ,6 9,8 80 5,8,4 90 5,98 50, ,3 80,8 Megjegyzés: Érdekes, hogy z "gzságos hely" és "mxmáls lépésszámú hely" áltláb em egyezk meg. A bolyogásos feldtk több áltláosítás lehetséges. Megegedhetjük speáls lépéskét helybemrdást; lehetséges, hogy bolyogó pot em egy egységgel mozdul el; felvehetük gátkt, melyekről pot vsszverődk; bolyogás törtéhet egyees helyett síkb stb feldt: Háyféleképpe lehet z x-es táblár drb függetle bástyát úgy felállít, hogy egyk se legye tábl főátlójá? (Két básty függetle, h em ütk egymást.) Megoldás: Jelöljük s -el kérdésre ddó válszt, s ézzük meg, mlye rekurzót írhtuk fel s -re. Mde oszlopb potos egy bástyát helyezhetük; vzsgáljuk meg zt z esetet, mkor z első oszlop bástyáját. mezőre tesszük (z első mező tltott, hsze főátló v). Ekkor másodk oszlop bástyáját egyrészt tehetjük z első mezőre; ekkor mrdék ( )x( )-es résztáblár kell bástyát feltételekek megfelelő módo elhelyez. Eze elhelyezések szám s. Másrészt h másodk bástyát z. mezőre tesszük ( ), kkor. sor, vlmt z első oszlop elhgyásávl kpott ( )x( )-es résztáblár kell függetle bástyát úgy elhelyez, hogy főátlób e kerüljö básty; eze elhelyezések szám s. Tehát h z első bástyát. mezőre tesszük, s + s elhelyezés dódk. Mvel z első básty 3., 4.,,. mezőre törtéő elhelyezése egyeértékűek, z összes básty elhelyezésére s = ( )( s + s ) rekurzót kpjuk. (A kezdet értékek: s = 0 és s =.) A rekurzó megoldás elég boyolult. Először átlkítjuk kfejezést: s s = (s ( )s ), s ezt felírjuk redre 3, 4, 5,, esetekre: Mtemtk Okttás Portál, / 3 -

21 Orosz Gyul: Rekurzív soroztok s 3 3s = (s s ), s 4 4s 3 = (s 3 3s ), s s = (s ( )s ). Az egyeleteket összeszorozv kpjuk: s s = ( ) (s s ) = ( ), m már elsőredű rekurzó, s lklmzhtjuk hgyomáyos megoldás módszereket (áltláos képlet: 4.3. feldt). Elegás megoldás lehetőség, h leosztjuk!-sl z egyeletet: s s ( ) =, s! ( )!! felírjuk z egyeleteket redre, 3,, -re: s s ( ) =,!!! 3 s3 s ( ) =, 3!! 3! s s ( ) =! ( )!!. lk: Az egyeletek összedás utá s ( ) ( ) ( ) = !! 3!! 3 ( ) ( ) ( ) ( ) s =! =! 3!!! ±... +.! 3!! dódk, tehát z explt Megjegyzések: Ezt híres problémát Nolus Beroull tárgylt először, mjd Leohrd Euler s fogllkozott vele. A feldt smertebb z elserélt levelek problémáj - két: Háyféleképpe tehetük drb levelet megímzett borítékb úgy, hogy egyk levél sem kerül z eredet ímzetthez? A megoldást áltláb logk szt módszerével végezzük el (lásd pl. [8]), de fet rekurzós megoldás s ge szellemes. 7. Egyéb rekurzók Ebbe fejezetbe fogllkozuk mgsbbredű, emleárs és szmultá rekurzókkl. Mgsbbredű leárs rekurzók: A mgsbbredű leárs rekurzók másodredűekhez hsoló oldhtók meg. A számítások boyolultbbá válk és godot okozht krktersztkus egyelet gyökeek meghtározás. Mtemtk Okttás Portál, - / 3 -

22 Orosz Gyul: Rekurzív soroztok 7.. feldt (Ary Dáel versey 985.): "Az A, A, soroztr z A + = A A + A képlet érvéyes, A =, A = A 3 =. Mey A 985? Első megoldás: Felírjuk sorozt explt lkját. A krktersztkus egyelet x 3 x + x = (x + )(x ) = 0, eek gyöke,, (hol = képzetes egység). Az A = + b + ( ) képletbe z, b, együtthtókt z A =, A = A 3 = kezdet feltételből htározhtjuk meg. Az =,, 3 behelyettesítés utá kpott egyeletredszer: = + b, = b, = b +. 3 Az első és hrmdk egyeletből =, z első egyeletből b = =, másodkból + b =. Az egyeletredszer megoldás 3 + =, b = és = A sorozt explt lkj A = + ( ). Mvel = +4, ezért A = A rögtö következk; továbbá 985 =, s így A 985 = A =. Másodk megoldás: Persze feldt ktűző ylvá em erre gyágyút hszáló megoldásr godoltk. A + = A A + A = (A A + A 3 ) A + A = A 3, tehát sorozt mde egyedk tgj egyelő. Mvel 985 = , ezért A 985 = A =. Hrmdk megoldás: Az első éháy tg felírás utá:,,,,,,,,,... sejthető, hogy A 4k = A 4k+ = és A 4k+ = A 4k+3 =. Ezeket z összefüggéseket teljes dukóvl bzoyíthtjuk. 7.. feldt: Háyféleképpe mehetük fel egy 0 sztes lépső tetejére, h egyszerre egy, kettő vgy három lépsőt léphetük? Útmuttás: Jelöljük l -el, háyféleképp egy hosszú lépső tetejére fel tuduk me, vgy 3 hosszú lépésekkel. (A kérdés l 0.) A feldt z l = l + l + l 3 ( 4), l =, l =, l 3 = 4 rekurzó megoldásár vezethető vssz. Az x 3 x x = 0 krktersztkus egyeletek két komplex gyöke v. A gyökök közelítő eljárássl, égy tzedes jegy potossággl: x =,8393; x = 0, ,6063; x 3 = 0,497 0,6063. Az l = u x + v x + w x 3 (, l =, l =, l 3 = 4) explt lk gyökök közelítő értéke és kerekítés hbák mtt em lesz potos. H dákok - z dőgéyes számolás elleére - meghtározzák z u, v, w együtthtókt, érdemes z = 0 helyettesítéssel, vlmt rekurzív formul smételt lklmzásávl kpott (tehát potos) l 0 értékeket összehsolít. Tulságos z összehsolítás gyobb értékek eseté s. (Mde osztályb v oly dák, k egyszerű progrmot tud ír (l) tgjk meghtározásár.) Mtemtk Okttás Portál, - / 3 -

23 Orosz Gyul: Rekurzív soroztok Gykorló feldtok: 7.3. feldt (KöML F.870.): Adjuk meg z lább soroztok explt lkját ( 0): ) +3 = + + +, 0 = 0, =, = ; b) +3 = + + +, 0 =, =, = ; ) +3 = + +, 0 =, =, = ; Nemleárs rekurzók: A emleárs rekurzók mtemtk tárgylás léyegese ehezebb. Megoldásukr áltláos eljárás em smert, áltláb z ktuáls feldt speltását gyekszük khszál. Így jártuk el.. és.. feldtokb s. Két tovább péld: 7.4. feldt (Nemzetköz Mgyr Mtemtk Versey 99.): Az () soroztr =, = 3, + = 3 + +, h. Htározzuk meg z. tgot. Megoldás: A rekurzó átírhtó: dukóvl gzolhtjuk. + = 3 +, mjd z = + sejtést 7.5. feldt: Háyféleképpe lehet átlókkl háromszögekre bot egy síkbel kovex -szöget? Útmuttás: A feldtot 75-be tűzte k Euler Chrst Goldbh számár. Azót gyszámú problémát vsszvezettek erre feldtr, megoldáskét kpott számokt Ctl-számokk evezzük. Most sk rekurzó felállításávl fogllkozuk, tém bőséges tárgylás megtlálhtó szkrodlomb. Jelöljük keresett felbotások számát S -el. A sokszög súst z,,, számokkl jelölve ( 3) pl. z oldl mdg egy háromszög lpj lesz. H z lppl szemköztes sús pl. r, kkor z r háromszög egyk oldlá egy r-szög, másk oldlá egy ( + r)-szög keletkezk. Ezek felbotás S r, ll. S + r -féleképpe törtéhet, e S értékéhez egy S r S + r tg dódk. Mvel r redre, 3,, lehet, ezért S = S S + S 3 S + + S S. (Itt form kedvéért felvett S =.) A Ctl-rekurzó megoldását lásd pl. [], [8] szkrodlmkb. Szmultá rekurzók: Szmultá rekurzók esetébe több, egymásr kölsööse hvtkozó sorozt rekurzív lkj dott. Három példát muttuk, mdegyket rövd útmuttássl feldt (Fzeks versey 98.): Htározzuk meg z () és (b) soroztok. tgját függvéyébe, h =, + = b ; vlmt b =, b + = b +. (.) Mtemtk Okttás Portál, / 3 -

24 Orosz Gyul: Rekurzív soroztok Útmuttás: Egy lehetséges megoldás eljárás, hogy kküszöböljük pl. (b) sorozt rekurzív lkjából z () tgjt. Pl.: másodk egyeletből = b + b ; z első egyelet kétszeresébe ezt vsszírv + = b + 5b ; s ezt másodkb vsszhelyettesítve (egy dexeltolássl) b + = b + 5b. A b kezdőtgot köye kszámolhtjuk, s ekkor ez már egyváltozós homogé leárs rekurzó, kdolgozott megoldás eljárássl feldt: Legyeek 0 < b < dott vlós számok, h. Htározzuk meg z () és (b) soroztok htárértékét. = + b +, b + =, + b Útmuttás: b b + + számt és hrmokus közép között egyelőtleség mtt mdg teljesül. (b) mooto övő, () mooto sökkeő sorozt, s mvel mdkét + b b sorozt korlátos, v htárértékük. Mvel 0 < + b + = = + b b b + b < b b, ezért b <, tehát két sorozt htárértéke megegyezk. Utolsó észrevétel: + b + = b, ezért soroztok htárértéke b, kezdőtgok mért közepe feldt: Az (), (b), () soroztokt következőképpe képezzük: = b, b =, = b, h, s legye =, b = b, =. Adjuk meg z (), (b), () soroztok explt lkját! Útmuttás: A feldt megtlálhtó pl. [4] szkrodlomb, más megfoglmzásb áltláos skolások számár ktűzött feldtkét. A soroztok éháy tgját felírv szbályszerűséget vehetük észre, mely továbböröklődk. Többváltozós rekurzók: Középskoláb rtká tlálkozuk velük; sk megemlékezés sztjé muttuk két példát kétváltozós rekurzókr péld: A C(, k) = C(, k ) + C(, k) rekurzó Psl-háromszög képzés szbály lpjá C(, k) = értékeket dj, C(k, 0) = C(0, k) = (k N) k kezdet feltételek mellett péld: Egy érdekesség: z f(x, y) = f(x, y + ) + f(x, y ) kétváltozós rekurzó f(, 0) tgj, h f(0, y) = és f(x, 0) = f(x, ), (x, y, Z + ) korább említett Ctl-számokt dj. Mtemtk Okttás Portál, / 3 -

25 Orosz Gyul: Rekurzív soroztok h Érdekességek, trükkök és problémák 8.. feldt: Adjuk meg z () sorozt explt lkját, h = 3, =, és =, Útmuttás: Az egyelet átlkításávl kvóesű mért soroztról v szó. = (= álldó), tehát egy 3 tel? 8.. feldt: Tektsük z,,, soroztot. A sorozt mely tgj oszthtók 7- Útmuttás: Többféle lehetséges megoldás dhtó. Az lábbk z z érdekessége, hogy rtká lklmzott eljárást hszáluk: z explt lkból rekurzívr térük át. A soroztot z =, = 0 + ( ) rekurzó írj le. A tgok 7-tel vló osztás mrdék, 4, 6, 5,, 0,, 6-hosszú smétlődő klust lkotk. Mde 6. tg oszthtó 7- tel, tehát 6k drb -esből állók (k Z + ). 0 A sorozt explt lkj egyébkét = feldt: (Kd, 00.) Amkor Mrk felmegy lépsőházb, lépésekét, vgy 3 fokot hld egyszerre. ) Háyféleképpe tud felme 0-hosszú lépső? (Az utolsó foko kell befejez z utt; két út kkor zoos, h mde lépésbe ugyrr lépsőfokr lép.) b) Háyféleképpe tud felme 0-hosszú lépső, h 6. lépsőfokr em lép rá? (Korább már egyszer elesett ott.) Útmuttás: ) Az = + + 3, ; =, =, 3 = 4 rekurzó írj le folymtot. Eredméy: 0 = 74. b) Jelöljük b -el 6. lépsőt khgyó utk számát. Ekkor b =, h < 6; b 6 = 0; mjd b 7 -től kezdve smét lklmzhtjuk b = b + b + b 3 rekurzót. Eredméy: b 0 = feldt: 0 =, 00 = 5, + = - + 3, h. Htározzuk meg sorozt. tgját. Útmuttás: Természetese vzsgálhtjuk z x + x + = 0 krktersztkus egyelet komplex gyöket, de mvel ez feldt s áltláos skolásokk szól (más megfoglmzásb), ylvá egyszerűbb megoldást s tlálhtuk. Az = 3 átlkításból következk, hogy sorozt bármely három szomszédos tgják összege álldó. Írjuk fel éháy kezdőtgot:, b, 3 b,, b, 3 b stb., ekkor észrevehetjük perodtást. A rekurzív formulák zob egyes esetekbe em lklmzhtók. A következő feldt rr péld, mkor em hszálhtó rekurzív godoltmeet. Mtemtk Okttás Portál, / 3 -

26 Orosz Gyul: Rekurzív soroztok 8.5. feldt (Ary Dáel versey 980.): "Botsuk fel egy háromszöget ks háromszögekre úgy, hogy bárhogy kválsztv három potot felbotást dó háromszögek sús közül, zok e esseek egy egyeesre! Igzoljuk, hogy felbotásb szereplő ks háromszögek szám sk pártl szám lehet!" Első (hbás) megoldás: Tegyük fel, hogy háromszög belsejébe potot felvéve H ks háromszöget kpuk. Az. pot vlmelyk ks háromszög belsejébe kerül. H eek súsvl összekötjük potot, felbotást dó háromszögek szám kettővel ő. Így H = H + (, H = 3) rekurzót kpjuk, melyek megoldás H = + ( ). M hb? Egyrészt elképzelhető, hogy dott eseté H em álldó; esetleg kpott háromszögek szám ttól s függ, hogy hogy kötöttük össze potokt egymássl. Másrészt z sem bztos, hogy rekurzós lépést megegedk geometr feltételek. Az ábrá láthtó elredezésre fet megoldás em lklmzhtó (bár helyes eredméyt kpuk). Ugyígy hbás rekurzóvl roko teljes dukó elvé lpuló megoldás s. Másodk (ezúttl helyes) megoldás: Tegyük fel, hogy háromszög belsejébe potot vettük fel és h drb háromszöget kptuk. A háromszögek belső szögösszege h 80. Ezt szögösszeget két részből kpjuk meg: egyrészt z pot körül teljes szögekből, 360, másrészt z eredet háromszög három szögéből, m 80 -ot d. Ie h 80 = , h = +, vgys háromszögek szám vlób pártl. A megoldásból z s következk, hogy H álldó. Hsoló megoldást kpuk, h szkszok számát tektjük smeretleek, vgy h közvetleül lklmzzuk z Euler-féle poléder-tétel síkbel változtát feldt: Egy kör kerületé felveszük potot. Legfeljebb háy részre osztják potokt összekötő szkszok körlemezt? Megoldás: Ez evezetes feldt típuspéld rr, hogy meyre kell vgyáz z áltláosításokkl. Adott potok eseté lehető legtöbb trtomáyt kkor kpjuk, h semelyk poto em megy át kettőél több összekötő szksz. A továbbkb sk lye potelredezést vzsgáluk. Jelöljük trtomáyok számát (t) sorozttl. Nézzük meg z lább tábláztot: Mtemtk Okttás Portál, / 3 -

27 Orosz Gyul: Rekurzív soroztok Potok szám: Trtomáyok szám: t Ez táblázt tulók többségét helytele t = sejtésre sábítj. Sjos t 6 = 3 (ábr) A rekurzív összefüggés felállításához tegyük fel, hogy z ( ) potot összekötő szkszok mxmáls t részre osztják körlemezt. Sorszámozzuk be potokt -től ( )-g vlmelyk körüljárás ráy szert, s vegyük fel z. potot pl. z. és ( ). pot között. H most z. potból behúzuk egy új szkszt vlmelyk súsb, y új trtomáyt kpuk, háy metszéspotj v z új szkszk korábbkkl, plusz még egyet. Összeszámoljuk metszéspotokt: H z első pottl kötjük össze z. potot, 0 metszéspotot kpuk. (Tehát egy új trtomáyt.) H másodk pottl kötjük össze z. potot, kkor ( 3) metszéspot keletkezk, u. ey pottl kötöttük korább össze "levágott" első potot. H hrmdk pottl kötjük össze, z összes oly szkszt elmetsz z átló, melyk z első és másodk potot köt össze kmrdó ( 4) pottl; tehát ( 4) metszéspot keletkezk. Áltláb h z. pottl kötjük össze, ( )( ) metszéspotot kpuk. Az ( ). pottl összekötve z,,..., ( 3). potokhoz egy-egy metszéspot trtozk, így ( 3) metszéspot lesz. Végül z ( )., utolsó pottl összekötve em kpuk új metszéspotot. Az összes metszéspot szám ( )( ), ehhez dódk még potokét egy trtomáy, összese ( ). Ebből felírhtjuk t = t + + ( )( ) rekurzív összefüggést. Most összegezhetjük ( + ) kfejezést. (Egy másk szép megoldáshoz jutuk, h geerátorfüggvéyeket hszáluk.) Mtemtk Okttás Portál, / 3 -

28 Orosz Gyul: Rekurzív soroztok ( + ) = + = ( ) + ( )( ) ( ) ( )( )( 3) ( )( )( 3). A műveletek elvégzése utá ( + ) = 6 6 ( )( )( 3) dódk, keresett rekurzív kpsolt t = t + +, hol. 6 ( )( )( 3) Vegyük észre, hogy 4 eseté =, így felírhtjuk, hogy 6 3 t =, t = t +, t 3 = t +, 3 t 4 = t , 3 4 t 5 = t , 3 t = t + ( ) +. 3 ( ) Az egyeletek összedás utá t = A összeg szép egyszerű lkr hozhtó teleszkopkus módszerrel: =, + =, + = stb., így = ( ) A form kedvéért = és = bevezetésével t = Megjegyzés: Ez péld emsk zért került ebbe fejezetbe, mert kezdet szép,, 4, 8, 6 értékek köye sábíthtk hms sejtésre; hem zért s, mert egyfjt elrettetések szátuk. Ugys több más, egyszerűbb megoldás s létezk erre feldtr, tehát semmképpe sem érdemes rekurzív megoldást hszál. Egy másk megoldás lehetőség pl. z Euler-féle C + L = E + polédertétel lklmzás. Az -szög eseté metszéspotj lesz z átlókk, tehát C = +. Az átlók 4 4 metszéspotjából 4 él dul k, sokszög mde súsából +, így z élek szám 4 + ( + ). Vsszhelyettesítve z L = E C + egyeletbe, L = dódk. Mtemtk Okttás Portál, / 3 -

29 Orosz Gyul: Rekurzív soroztok 8.7. feldt: Bzoyítsuk be, hogy z zoos kerületű háromszögek közül szbályos háromszög területe mxmáls. Megoldás: Erre evezetes feldtr több geometr megoldás s közsmert; most egy ltkus bzoyítást muttuk (mely messze em legegyszerűbb). Tegyük fel, hogy háromszög em szbályos, pl. AC BC. Ekkor rögzítjük háromszög BC oldlát, z A súsot pedg úgy mozgtjuk, hogy kerület álldóság mellett terület mxmáls legye. Az A sús egy ellpszsíve mozog, z extremáls helyzetbe BA = A C. Másodk lépésbe z A C oldlt rögzítjük; mxmáls területet álldó kerület mellett oly A B C háromszög ér el, melykbe A B = B C. Ezutá z eljárást elölről folyttjuk. (Természetese bármkor előfordulht, hogy em kpuk új háromszöget. Ekkor zob oldl párokét megegyezk, vgys elértük szbályos háromszöget; z eljárás befejeződk.) H z eljárás sorá kpott oldlk hosszák v htárértéke, kkor késze s vgyuk: htárhelyzetbe mxmáls területű háromszöget kpjuk. Legye tehát három oldl, b, k b (hol k kerület álldó). Az első lépésbe k k k + k k + kpott oldlk hossz,, ; másodk lépésbe,, ; 4 4 k + 3k 3k k k + hrmdkb,, és így tovább. Az y 0 =, y =, y + = (y + + y ), ( 0) rekurzív sorozt tgj felváltv háromszög-oldlkt dják. (A páros dexűek z ktuáls AC, pártl dexűek z ktuáls BC oldlt.) Ezt homogé másodredű rekurzót tult módo oldhtjuk meg. A x x = 0 krktersztkus egyelet gyöke x =, x =. Az y = u + v áltláos tgot kezdet y0, y értékekből htározhtjuk meg. A felírhtó k 3k k 3k egyeletredszerből u = és v =, e y = Eek soroztk 3 k htárértéke ( prtásától függetleül), vgys eredméyül szbályos háromszöget kpjuk feldt: Egy számítógéppel következő soroztot vzsgáljuk: 5 Legye 0 =, =, s mde tovább tgr = + ( ). A gép rekurzív összefüggés egymásutá lklmzásávl redre kszámolj sorozt tgjt. Mt váruk pl. 00 értékére? Mtemtk Okttás Portál, / 3 -

30 Orosz Gyul: Rekurzív soroztok 5 Útmuttás: Megmutthtó, hogy z explt lk =, így 00 értékére egy 0-hoz gyo közel (poztív) számot várák. A vlóságb zob teljese más törték; egy bzoyos dő utá egyre gyobb bszolút-értékű számokt kpuk. A kokrét futttás eredméy 86, értéket d, mjd túlsordulás lép fel, progrm futás megszkd. M lehet eek z ok? A problém részletes elemzése megtlálhtó sok íme. Most sk yt, hogy számítógépek lklmzásávl vgyáz kell; gép számhlmz több tuljdoságáb eltér vlós számok hlmzától. (Rádásul tpsztlt hb elv hb, tehát em küszöbölhető k; ugyígy megjelek kkor s, h potosbb (gyobb trtomáyú) gép számhlmzzl dolgozuk, legfeljebb em 86. tg köryéké, hem később.) 9. Gykorló feldtok A kk korább részebe már mutttuk példákt z érettség és felsőfokú felvétel feldtok közül. Az lábbkb éháy, rekurzív soroztok témköréhez kpsolódó tovább érettség, felvétel -és verseyfeldtot soroluk fel, megoldások élkül. Érettség feldtok: 9.. feldt: (ZK ) Htározzuk meg következő összeget: feldt: (ZK. 353.) Az () számt soroztot így djuk meg: =, =, + = x + y - ( ). Htározz meg z x és y értékét! 9.3. feldt: (ZK. 365.) Tíz év ltt mde év elejé 4000 fortot teszük tkrékb. Tíz év leteltével 4000 fortot veszük k évekét. Mey pézük lesz huszdk év végé, h 5%-os kmt? Tovább hsoló kmtszámításos feldtok: ZK. 366, ZK feldt: (ZK. 364.) Egy soroztr = és = +. Bzoyíts be, hogy =! Egyetem felvétel feldtok: 9.5. feldt: (987. pótfelvétel) Egy számsorozt első eleme, másodk eleme 3, és = 3, h 3. Írj fel sorozt -edk elemét függvéyekét! Mvel egyelő sorozt első eleméek összege? 9.6. feldt: (995, KMF ulldk évfolym) Háyféleképpe lehet egy 7 fokból álló létr tetejére feljut, h egyszerre egy vgy két lépsőfokot léphetük? Mtemtk Okttás Portál, / 3 -