A LOLP valószínűségi mérték értelmezésével kapcsolatos néhány kérdés Dr. Fazekas András István

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "A LOLP valószínűségi mérték értelmezésével kapcsolatos néhány kérdés Dr. Fazekas András István"

Átírás

1 A villamosenergia-termelés rendszerszintű megbízhatóságának jellemzésére széleskörűen alkalmazzák a Loss-of-Load Probability (LOLP) értéket. A mutató fontos szerepet játszik a rendszerszintű teljesítőképesség-tervezési és megbízhatóság számítási feladatokban ([], [2]). Használata a hazai teljesítőképesség-tervezési gyakorlatban is elterjedt. Mindennek ellenére szakmai körökben is kevéssé ismertek e megbízhatóságot jellemző valószínűségi mérték alkalmazásának korlátai. Számos esetben tévesen értelmezik a LOLP értéket, ami félrevezető lehet a teljesítőképesség-mérlegek, a rendszerszintű villamosenergia-termelés megbízhatósági szempontból való minősítésekor. Jelen cikk célkitűzése annak bemutatása, hogy milyen következtetések vonhatók le e valószínűségi mértékből és milyenek következtetések levonására nem alkalmas ez a sokszor idézett és hivatkozott mutató. Tekintettel a terjedelmi korlátokra jelen összefoglaló áttekintés nem ismerteti a mutató meghatározásának elvét, számítási módszerét, azt ismertnek feltételezi. A LOLP értelmezésével kapcsolatban négy fontosabb témakört tekint át a cikk.. A LOLP által jelzett teljesítőképesség-hiány értelmezése A LOLP értéke valószínűség érték. Annak az együttes valószínűsége, hogy a rendszerszinten rendelkezésre álló teljesítőképesség adott nagyságú (), és a rendszerszintű terhelés meghaladja ezt az értéket (2). A definícióból következően a rendszerszintű teljesítőképesség-hiány valószínűségi mértékét két valószínűségelméleti értelemben egymástól független véletlen esemény (() és (2)) egyszerre való bekövetkezésének eredő valószínűsége adja. A LOLP tehát az értelmezésből következően felvilágosítást ad arra vonatkozóan, hogy milyen valószínűséggel lesz teljesítőképesség-hiányos az adott villamosenergia-rendszer. A teljesítőképesség-hiány alatt az értendő, hogy a forrásoldalon rendelkezésre álló, az aktuális fogyasztói igények kielégítésére bevethető villamos teljesítőképesség kisebb, mint a rendszerszintű fogyasztói teljesítmény-igény. A verbális értelmezés első közelítésben többé-kevésbé világosnak tűnik. Kérdésként vetődik fel azonban rögtön, hogy milyen módon értelmezett ebben az esetben a valószínűség. Nem belemenve az egzakt valószínűségelméleti levezetés részleteibe, a valószínűség a köztudatban hányados értékként él. Mégpedig a valamilyen szempontból releváns esetek bekövetkezésének (előfordulási számának) és az összes esetek számának hányadosaként (pontosabban e hányados határértékeként, ha a vizsgált esetek ( kísérletek ) száma a végtelen számosság felé tart). A villamosenergia-termelés és fogyasztás szinkron folyamat, így az esetek száma nehezen értelmezhető. Nyilvánvaló az első pillantásra, hogy nem erről van szó. A LOLP, mint valószínűségi mérték lényegében geometriai valószínűségként értelmezett, időtartamok hányadosaként. A teljesítőképesség-hiányos időtartam (vagyis azon időtartam, amikor az előbbiekben említett rendelkezésre álló bevethető rendszerszintű teljesítőképesség alatta marad a rendszerszintű fogyasztói teljesítményigénynek) és a vonatkoztatási időtartam hányadosaként. Ebből következően a LOLP értelmezése minden esetben feltételezi a vonatkoztatási időtartam (általában év) ismeretét. Így válik érthetővé, hogy miért adják meg a LOLP értékét néha időtartamként, például 48 h formájában. Ekkor feltételezett, hogy ismert a vonatkoztatási időtartam. Az időtartam formájában megadott LOLP érték is valószínűséget jelent, ami olyan módon értelmezendő, hogy a megadott időtartamot osztani kell a vonatkoztatási időtartam (jelen esetben 8760 h) hosszával. Az osztás eredményeként adódó érték a tulajdonképpeni keresett valószínűségi érték. A példa szerinti esetekben a teljesítőképesség-hiány előfordulási valószínűsége LOLP 48h /8760 0, Máskor a LOLP értékét eleve valószínűségi értékként adják meg. h A LOLP meghatározásának elvét és számításának menetét ismerteti az alábbi két összefoglaló cikk: : A rendszerszintű teljesítőképesség-hiány valószínűségi mértéke: A LOLP / A számítási eljárás ismertetése. Magyar Energetika, 2008/2, p : A LOLP meghatározásának alapjául szolgáló rendszer konfiguráció számítások. Magyar Energetika, 2008/3, p FAZEKAS_D_060_ENG_C_v0.doc :08:00 /9

2 0,250,250 2,250 3,250 4,250 5,250 6,250 7,250 8,250 9,250 0,250,250 2,250 3,250 4,250 5,250 6,250 7,250 8,250 9,250 20,250 2,250 22,250 23,250 TELJESÍTMÉNYIGÉNY [MW] Világosan kell látni azonban, hogy a LOLP értéke függetlenül a megadásának módjától mindig valószínűségi mérték. Mindezek után kézenfekvőnek tűnik az az értelmezés, hogy a példa szerinti LOLP érték azt fejezi ki, hogy az éves rendszerszintű terheléslefutást figyelembe véve a terhelési tartamdiagramban első 48 órás időtartamában jelentkező legnagyobb terhelések lesznek azok a terhelések, amikor a rendszerszintű rendelkezésre álló ténylegesen bevethető teljesítőképesség elmarad a rendszerszintű teljesítményigények mögött. Ezt a látszólag kézenfekvő értelmezést magyarázza az. ábra. A helyzet azonban nem ez! A LOLP nem értelmezhető ilyen módon! Az ábrázolhatóság és a könnyebb áttekintés érdekében a továbbiakban a vonatkoztatási időtartam nem év, hanem egy nap, másrészt a LOLP értéke időtartamban kifejezve,5 h, azaz LOLP,5 h / 24h 0, ábra A teljesítőképesség-hiányos időszakok időtartamának meghatározása ([3]) RENDSZERSZINTŰ (NAPI) TERHELÉSI TARTAMDIAGRAM HIÁNYZÓ TELJESÍTŐKÉPESSÉG ÓRA [h] Nem igaz tehát az, hogy a példa szerint 48 h időtartamnak megfelelő LOLP érték a rendszerszintű terhelési tartamdiagram legnagyobb terhelésű első 48 órás időszakában jelentkező teljesítményigények esetén fellépő teljesítőképesség-hiányra utal! A magyarázatot a LOLP számítási módszere adja. A LOLP valószínűségi mérték meghatározása a korábbiakban említetteknek megfelelően két valószínűség meghatározását jelenti, majd ezek eredőjeként adódik a keresett LOLP érték. Az első meghatározandó valószínűség az ún. rendszer konfigurációk előfordulásának a valószínűsége. Közismert az a tény, hogy az erőműegységek véletlenszerű meghibásodásának következtében teljesítőképesség-vesztés léphet fel. Az erőműrendszer rendelkezésre álló teljesítőképessége ebből következően véletlenszerűen csökkenhet, az éppen kiesett erőműegység vagy erőműegységek miatt fellépő teljesítőképesség-vesztések következtében. Rendszer konfiguráció alatt minden esetben az üzemképes erőműegységek által alkotott halmaz értendő. Ez az elmondottak szerint időben változhat a különböző erőműegység meghibásodások következtében. A mindenkori rendszer konfiguráció meghatározza, hogy az adott időpillanatban mely erőműegységek üzemképesek és mekkora a rendszerszinten bevethető teljesítőképesség. A lehetséges FAZEKAS_D_060_ENG_C_v0.doc :08:00 2/9

3 rendszerkonfigurációk száma a valószínűségszámítás (kombinatorika) szabályai szerint határozható meg. A LOLP számítások első lépéseként tehát minden esetben meg kell határozni a lehetséges rendszer konfigurációkat, majd ezt követően meg kell határozni azt, hogy az egyes lehetséges rendszer konfigurációk milyen valószínűséggel lépnek fel. Példaképpen a számítás alapjául szolgáló erőműrendszer (erőműpark) jellemzői az. táblázat szerintiek ([3]). A számítási példában alapadatként használt megbízhatósági jellemzők (például az erőműegységek [pl. d - ] meghibásodási, illetve [pl. d - ] javítási rátája, és értelemszerűen az ezekből számolt A [-] készenléti tényezők stb.) szándékosan eltérnek a műszaki gyakorlatban szokásosan előforduló értékektől. A gyakorlatban előforduló értékektől történő eltérést ebben az esetben is ábrázolástechnikai megfontolások indokolják. A példában szereplő értékek esetében a kapott eredmények jól ábrázolhatók és segítik a megértést.. táblázat Az erőműrendszer megbízhatósági szempontból releváns jellemzői ERŐMŰEGYSÉG BT A - MW - d - d - U 00 0,60 0,2 0,3 U ,70 0,3 0,7 U ,50 0, 0, U ,80 0, 0,4 A táblázatban: BT beépített villamos teljesítőképesség [MW]; A készenléti tényező [-]; meghibásodási ráta [d - ]; javítási ráta [d - ]. A példa szerinti erőműrendszer négy erőműegységből egységből áll (U, U2, U3, U4), az erőműegységek beépített villamos teljesítőképessége az. táblázat szerinti. Az erőműrendszerben az összes beépített villamos teljesítőképesség BT 200MW. Az eredő teljesítőképesség azonban az erőműegységek véletlen meghibásodásának következtében nem mindig áll rendelkezésre rendszerszinten. Az erőműegységek különböző lehetséges üzemállapotait tekintve különböző rendszerkonfigurációk adódnak a rendszerszintű teljesítőképesség rendelkezésre állására. Nem részletezve a számítás hogyanját, a 2. táblázat tartalmazza az egyes lehetséges rendszer konfigurációkban a rendszerszinten rendelkezésre álló teljesítőképességet (bal oldali oszlop), míg ugyanezen táblázatban megtalálhatók az egyes esetekhez rendelt számított előfordulási valószínűségek (jobb oldali oszlop). Az eredményeket szemlélteti a 2. ábra. A számított eredményekből, az ábrából jól látható, hogy igen jelentős különbség van az egyes esetek előfordulási valószínűsége között. Feltételezett a LOLP számítások esetében, hogy az eseménytér teljes eseményrendszert reprezentál. A legnagyobb valószínűséggel ( p 0, 840) az az esemény fordul elő, hogy a rendszer rendelkezésre álló villamos teljesítőképessége BT 000 MW, míg a legkisebb ( p 0,020) annak a valószínűsége, hogy BT 0 MW az erőműpark rendelkezésre álló teljesítőképessége. Az eredmények világosan mutatják, hogy messze nem egyenletes a teljesítőképesség-vesztések következtében előálló (megmaradó) teljesítőképesség valószínűségi eloszlása. A teljes rendszer konfiguráció vonatkozóan az egyes események előfordulási valószínűségeinek összege biztos eseményt reprezentál, azaz értéke P ( ). Magától értetődik, hogy a komplementaritás elve alapján meghatározható a teljesítményvesztések valószínűségi eloszlása is. Azaz megválaszolható az a kérdés is, hogy a különböző lehetséges teljesítményvesztések milyen valószínűséggel fordulnak elő. Nem részletezve ennek bemutatását, csak egyetlen példát említve: a legnagyobb valószínűséggel ( p 0, 840) a példa szerinti erőműrendszer rendelkezésre álló teljesítőképessége BT 000 MW. Ez a kijelentés ekvivalens azzal, hogy a legnagyobb valószínűséggel az összes beépített teljesítőképesség ( BT 200 MW) és az aktuálisan FAZEKAS_D_060_ENG_C_v0.doc :08:00 3/9

4 Valószínűség [-] meglévő teljesítőképesség különbsége, jelen esetben BT 200 MW elvesztése várható. Ennek valószínűsége értelemszerűen: p 0, táblázat A rendelkezésre álló teljesítőképesség valószínűségi eloszlása ([3]) Rendelkezésre álló teljesítőképesség Rendelkezésre álló teljesítőképesség (diszkrét) valószínűségi eloszlása BT [MW] P [-] 200 0, , , , , , , , , , , , ábra A rendelkezésre álló rendszerszintű teljesítőképesség valószínűségi eloszlása ([3]) RENDELKEZÉSRE ÁLLÓ TELJESÍTŐKÉPESSÉG VALÓSZÍNŰSÉGI ELOSZLÁSA 0,2000 0,800 0,600 0,400 0,200 0,000 0,0800 0,0600 0,0400 0,0200 0, MW Mindezek után meg kell határozni azt, hogy milyen valószínűséggel lép fel a példa szerinti erőműrendszerben P 000MW rendszerszintű terhelés. Nem részletezve ebben az esetben sem a számítás módját, vagyis azt, hogy miképpen transzformálható a rendszerszintű terhelési tartamdiagram a rendszerszintű terhelések valószínűségi eloszlásfüggvényévé, a 3. táblázat tartalmazza az egyes rendszerszintű terhelések előfordulási valószínűségét. Mindezek után csak egy lépés maradt hátra: annak meghatározása, hogy mekkora a valószínűsége annak, hogy a rendszerszintű terhelés meghaladja az említett értéket ( P 000MW) és ugyanekkor a rendelkezésre álló teljesítőképesség a rendszerben kisebb, mint a rendszerszintű teljesítményigény. FAZEKAS_D_060_ENG_C_v0.doc :08:00 4/9

5 SÚLYOZOTT ELŐFORDULÁSI IDŐTARTAM [h] Ennek meghatározásához szükséges a rendelkezésre álló teljesítőképesség valószínűségi eloszlásfüggvényének (nem eloszlásának!) a számítása ([2]). Ezt követően utolsó lépésként a két valószínűségi értelemben egymástól független esemény egyidejű előfordulásának valószínűségét kell meghatározni. 3. táblázat A teljesítőképesség-hiányos időszakok hozzájárulása a LOLP értékéhez (A teljesítőképesség-hiányos időszakok a teljesítőképesség függvényében) ([3]) Meglévő teljesítőképesség rendszerszinten Kiesett teljesítőképesség rendszerszinten Teljesítőképességhiányos időszak időtartama (a rendszerszintű terhelési tartamdiagram alapján A teljesítőképességhiányos időtartam előfordulási valószínűsége (lásd 4. táblázat) A teljesítőképességhiányos időtartam előfordulási valószínűségével súlyozott időtartam MW MW h/d - h/d * , , , , , ,25 0, , ,25 0, , ,25 0, , ,25 0, , ,75 0, , , , , , , , , , , , Az eredő teljesítőképesség-hiányos időtartam 4, ábra Az előfordulás valószínűségével súlyozott teljesítőképesség-hiányos időtartam alakulása a hiányzó teljesítőképesség függvényében ([3]) AZ ELŐFORDULÁS VALÓSZÍNŰSÉGÉVEL SÚLYOZOTT TELJESÍTŐKÉPESSÉG-HIÁNYOS IDŐTARTAMOK ALAKULÁSA A HIÁNYZÓ TELJESÍTŐKÉPESSÉG FÜGGVÉNYÉBEN 0,90 0,80 0,70 0,60 0,50 0,40 0,30 0,20 0,0 0, HIÁNYZÓ TELJESÍTŐKÉPESSÉG [MW] FAZEKAS_D_060_ENG_C_v0.doc :08:00 5/9

6 TELJESÍTŐKÉPESSÉG Az eredmények alapján belátható, hogy az egyes hiányzó teljesítőképességeknek mekkora a súlyozott előfordulási időtartama. A példa ezt kívánta bizonyítni. Szó sincs tehát arról, hogy a legnagyobb rendszerigények esetében lép fel mindig a hiány (. és 3. ábra). 2. Amiről a LOLP nem ad felvilágosítást Világosan kell látni, hogy a LOLP valószínűségi mérték a definíciójából és a származtatásából következően nem ad felvilágosítást arra vonatkozóan, hogy mekkora a rendszerszintű teljesítőképesség-hiány és mekkora a kiesett villamos energia. Másképpen fogalmazva ez azt jelenti, hogy adott időtartamon keresztül jelentkező és 00 MW teljesítőképesség-hiány esetében a LOLP értéke ugyanakkora! Ugyanez a helyzet a kiesett villamos energiát illetően. Az említett esetekben a kiesett villamosenergia-termelés h hiány esetében MWh, illetve 00 MWh. A LOLP értéke mindkét esetben ugyanakkora! Az elmondottakat világítja meg a 4. ábra. Az ábra mutatta esetekben a LOLP értéke minden esetben ugyanaz, jóllehet igen különbözőek a rendszerszinten jelentkező teljesítőképesség-hiányok, illetve a kiesett villamos energia mennyisége. A 4. ábrán ábrán 4 görbe arra mutat példát, hogy mind a LOLP, mind a kiesett villamos energia értéke ugyanakkora, a rendszerszintű teljesítőképesség-hiány lefutása azonban különböző. 4. ábra A hiányzó teljesítőképesség különböző lefutása azonos LOLP értékek esetében,2 A HIÁNYZÓ TELJESÍTŐKÉPESSÉG KÜLÖNBÖZŐ LEFUTÁSA AZONOS ÉRTÉKŰ LOLP ESETÉN 0,8 0, ,4 0, IDŐOSZTÁSOK 3. Erőműegységek megbízhatósági leírása a LOLP számítások során A hazai alkalmazásokban az erőműrendszerek megbízhatósági analízise során az erőműegységeket általában kétállapotú rendszerelemként modellezik. Szükséges annak nyomatékos kiemelése, hogy a kétállapotú megbízhatósági leírás az alaperőművi egységek esetében alkalmazott általános gyakorlat! Külön magyarázat nélkül belátható, hogy ez a leírási mód a menetrendtartó, a csúcserőművi, kis éves kihasználási óraszámú erőműegységek megbízhatósági modellezésére nem alkalmas, abból következően, hogy ezen erőműegységek esetében az üzemen kívüli állásidő igen jelentős, általában jóval meghaladja az üzemben töltött időt. Általános gyakorlat szerint ebben az esetben négyállapotú modellt alkalmaznak, mely szerint négy jellemző üzemállapot definiálható a megbízhatósági FAZEKAS_D_060_ENG_C_v0.doc :08:00 6/9

7 MEGHIBÁSODÁSOK SZÁMA viselkedés leírására. Ezek a következők: () üzemképes üzemben, (2) üzemképes tartalékban, (3) üzemképtelen igényelt üzemi időszakban, (4) üzemképtelen nem igényelt (tartalék) időszakban. A LOLP eredmények értékelésekor ezt a lényeges egyszerűsítést nem szabad figyelmen kívül hagyni! 4. További egyszerűsítő feltételezések: exponenciális eloszlás és időben állandó meghibásodási (és javítási) ráta feltételezése Az erőműegységek életciklusa a meghibásodás szempontjából a megbízhatóság-elméletben ismert kádgörbének megfelelően alakul (5. ábra). 5. ábra Erőműegység teljes műszaki élettartama alatti meghibásodások (üzemzavarok) alakulása 6 ERŐMŰEGYSÉG TELJES MŰSZAKI ÉLETTARTAMA ALATTI MEGHIBÁSODÁSOK (ÜZEMZAVAROK) ALAKULÁSA 4 2 λ const IDŐ (0 HETES PERIÓDUSOK) A teljes életciklust leíró görbe értelmezésekor szükséges az értelmezés peremfeltételeinek, a különböző feltételezéseknek a pontos leírása, a különböző egyszerűsítő feltételezések rögzítése. Általános tapasztalat, hogy az energiatermelő egységek, erőműegységek életciklusának első szakaszában a meghibásodások száma viszonylag magas, később e meghibásodások száma csökken. Ez annak a következménye, hogy az erőműegységek komplex, többszörösen összetett, igen nagyszámú összetevőből, elemből álló rendszerek, amelyekben mindig vannak rejtett hibás elemek, alrendszerek, amelyek a rendszer üzembe lépést követően, részlegesen vagy teljesen üzemképtelenné válnak. Ezt a periódust bejáratási, kezdeti periódusnak, vagy más néven a selejtes elemek kiégetési periódusának nevezik. Az életciklus második szakaszát a meghibásodások számának stabilizálódása jellemzi. Ez az úgynevezett normális működési periódus. Az utolsó szakaszt öregedési periódusnak nevezi a szaknyelv, utalva arra az általános tapasztalatra, hogy a meghibásodások száma ebben az üzemi életciklusban ismét nő. Ez a tapasztalat alapvetően a rendszert alkotó részrendszerekben, elemekben bekövetkező irreverzibilis fizikai, kémiai változások, következtében előálló minőség-romlásnak a következménye. A meghibásodások számának ugrásszerű növekedése ebben az üzemi életciklusban alapvetően ezekre az elváltozásokra vezethető vissza ([6]). A korszerű erőműegységek esetében a görbe középső szakasza év időtartamot ölel fel. Mindezek alapján megalapozottan kijelenthető, hogy az erőműegységek esetében létezik egy olyan hosszú időszakasz, amelyre nézve FAZEKAS_D_060_ENG_C_v0.doc :08:00 7/9

8 VALÓSZÍNŰSÉG ( t ) const. () Ez a tapasztalt tény ad alapot arra a feltételezésre, ami az erőműegység megbízhatósági viselkedését leíró összefüggések jelentős egyszerűsödését eredményezi. Ebben az esetben ugyanis az ún. megbízhatósági függvény a következő egyszerű alakot nyeri: t F ( t) exp[ t] e. (2) U A kapott eredmény azt jelenti, hogy a meghibásodási függvény ( F U ( t)), A meghibásodási függvény ebből következően t F ( t) F ( t) exp[ t] e. (3) D U Az exponenciális eloszlás feltételezése nemcsak a számításokat egyszerűsíti, hanem jól egyezik a tapasztalattal. Elméleti és gyakorlati szempontból van azonban még egy igen nagy jelentőséggel bíró konzekvenciája. Bizonyítható, hogy exponenciális eloszlás esetén adott ( t, t t) időintervallumbeli hibamentes működés valószínűsége nem függ az előző t működési időtől, hanem kizárólagosan csak a t időintervallum hosszának a függvénye. Ez a feltételezés azonban csak a kádgörbe középső szakaszára vonatkozóan érvényes. A 6. ábra az erőműegységek megbízhatósági függvényét mutatja, különböző értékek esetében, míg a 7. ábra a meghibásodási függvény alakját mutatja különböző értékek esetében. 6. ábra Erőműegységek megbízhatósági függvényei különböző értékek esetében ERŐMŰEGYSÉGEK MEGBÍZHATÓSÁGI FÜGGVÉNYEI KÜLÖNBÖZŐ LAMBDA ÉRTÉKEK ESETÉN 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0, LAMBDA = 0, LAMBDA = LAMBDA = 2 LAMBDA = 0,5 0 IDŐOSZTÁS IDŐOSZTÁSOK FAZEKAS_D_060_ENG_C_v0.doc :08:00 8/9

9 VALÓSZÍNŰSÉG 7 ábra Erőműegységek megbízhatósági függvényei különböző értékek esetében ERŐMŰEGYSÉGEK MEGHIBÁSODÁSI FÜGGVÉNYEI, KÜLÖNBÖZŐ ÉRTÉKEK ESETÉN 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 MŰ = MŰ = MŰ = 0,3 0,2 0, IDŐ Felhasznált irodalom: [] : Villamosenergia-rendszerek rendszerszintű tervezése, I. kötet. Akadémiai Kiadó, Budapest, p.4-6. [2] : Villamosenergia-rendszerek rendszerszintű tervezése, II. kötet. Akadémiai Kiadó, Budapest, megjelenés alatt, ( A villamosenergia-termelés rendszerszintű megbízhatósági számításai fejezet) [3] : A rendszerszintű teljesítőképesség-hiány valószínűségi mértéke: A LOLP / A számítási eljárás ismertetése. Magyar Energetika, 2008/2, p [4] : A LOLP meghatározásának alapjául szolgáló rendszer konfiguráció-számítások. Magyar Energetika, 2008/3, p [5] Gnyegyenko Beljajev Szolovjev: A megbízhatóságelmélet matematikai módszrei. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 970., p. 0. FAZEKAS_D_060_ENG_C_v0.doc :08:00 9/9

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 2 II. A valószínűségi VÁLTOZÓ És JELLEMZÉsE 1. Valószínűségi VÁLTOZÓ Definíció: Az leképezést valószínűségi változónak nevezzük, ha

Részletesebben

Készítette: Fegyverneki Sándor

Készítette: Fegyverneki Sándor VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS Összefoglaló segédlet Készítette: Fegyverneki Sándor Miskolci Egyetem, 2001. i JELÖLÉSEK: N a természetes számok halmaza (pozitív egészek) R a valós számok halmaza R 2 {(x, y) x, y

Részletesebben

MÉRÉSI EREDMÉNYEK PONTOSSÁGA, A HIBASZÁMÍTÁS ELEMEI

MÉRÉSI EREDMÉNYEK PONTOSSÁGA, A HIBASZÁMÍTÁS ELEMEI MÉRÉSI EREDMÉYEK POTOSSÁGA, A HIBASZÁMÍTÁS ELEMEI. A mérési eredmény megadása A mérés során kapott értékek eltérnek a mérendő fizikai mennyiség valódi értékétől. Alapvetően kétféle mérési hibát különböztetünk

Részletesebben

KUTATÁSMÓDSZERTAN 4. ELŐADÁS. A minta és mintavétel

KUTATÁSMÓDSZERTAN 4. ELŐADÁS. A minta és mintavétel KUTATÁSMÓDSZERTAN 4. ELŐADÁS A minta és mintavétel 1 1. A MINTA ÉS A POPULÁCIÓ VISZONYA Populáció: tágabb halmaz, alapsokaság a vizsgálandó csoport egésze Minta: részhalmaz, az alapsokaság azon része,

Részletesebben

Mérési hibák 2006.10.04. 1

Mérési hibák 2006.10.04. 1 Mérési hibák 2006.10.04. 1 Mérés jel- és rendszerelméleti modellje Mérési hibák_labor/2 Mérési hibák mérési hiba: a meghatározandó értékre a mérés során kapott eredmény és ideális értéke közötti különbség

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 4 IV. MINTA, ALAPsTATIsZTIKÁK 1. MATEMATIKAI statisztika A matematikai statisztika alapfeladatát nagy általánosságban a következőképpen

Részletesebben

Zárthelyi dolgozat feladatainak megoldása 2003. õsz

Zárthelyi dolgozat feladatainak megoldása 2003. õsz Zárthelyi dolgozat feladatainak megoldása 2003. õsz 1. Feladat 1. Milyen egységeket rendelhetünk az egyedi információhoz? Mekkora az átváltás közöttük? Ha 10-es alapú logaritmussal számolunk, a mértékegység

Részletesebben

Al-Mg-Si háromalkotós egyensúlyi fázisdiagram közelítő számítása

Al-Mg-Si háromalkotós egyensúlyi fázisdiagram közelítő számítása l--si háromalkotós egyensúlyi fázisdiagram közelítő számítása evezetés Farkas János 1, Dr. Roósz ndrás 1 doktorandusz, tanszékvezető egyetemi tanár Miskolci Egyetem nyag- és Kohómérnöki Kar Fémtani Tanszék

Részletesebben

1 Energetikai számítások bemutatása, anyag- és energiamérlegek

1 Energetikai számítások bemutatása, anyag- és energiamérlegek 1 Energetikai számítások bemutatása, anyag- és energiamérlegek Előzőleg a következőkkel foglalkozunk: Fizikai paraméterek o a bemutatott rendszer és modell alapján számítást készítünk az éves energiatermelésre

Részletesebben

Energiamenedzsment kihívásai a XXI. században

Energiamenedzsment kihívásai a XXI. században Energiamenedzsment kihívásai a XXI. században Bertalan Zsolt vezérigazgató MAVIR ZRt. HTE Közgyűlés 2013. május 23. A megfizethető energia 2 A Nemzeti Energiastratégia 4 célt azonosít: 1. Energiahatékonyság

Részletesebben

Valószínűségszámítás és statisztika

Valószínűségszámítás és statisztika Valószínűségszámítás és statisztika Programtervező informatikus szak esti képzés Varga László Valószínűségelméleti és Statisztika Tanszék Matematikai Intézet Természettudományi Kar Eötvös Loránd Tudományegyetem

Részletesebben

Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűségszámítás,

Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűségszámítás, // KURZUS: Matematika II. MODUL: Valószínűség-számítás 22. lecke: A teljes valószínűség tétele és a Bayes-tétel Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűségszámítás,

Részletesebben

36 0,3. Mo.: 36 0,19. Mo.: 36 0,14. Mo.: 32 = 0,9375 32 = 0,8125 32 = 0,40625. Mo.: 32 = 0,25

36 0,3. Mo.: 36 0,19. Mo.: 36 0,14. Mo.: 32 = 0,9375 32 = 0,8125 32 = 0,40625. Mo.: 32 = 0,25 Valószínűségszámítás I. Kombinatorikus valószínűségszámítás. BKSS 4... Egy szabályos dobókockát feldobva mennyi annak a valószínűsége, hogy a -ost dobunk; 0. b legalább 5-öt dobunk; 0, c nem az -est dobjuk;

Részletesebben

ÚTMUTATÓ AZ EGYÜTTES VÉGREHAJTÁSI PROJEKTEK ADDICIONALITÁSÁNAK ELLEN- ŐRZÉSÉHEZ ÉS AZ ENERGETIKAI PROJEKTEK ALAPVONAL KIBOCSÁTÁSAINAK MEGHATÁROZÁSÁHOZ

ÚTMUTATÓ AZ EGYÜTTES VÉGREHAJTÁSI PROJEKTEK ADDICIONALITÁSÁNAK ELLEN- ŐRZÉSÉHEZ ÉS AZ ENERGETIKAI PROJEKTEK ALAPVONAL KIBOCSÁTÁSAINAK MEGHATÁROZÁSÁHOZ ÚTMUTATÓ AZ EGYÜTTES VÉGREHAJTÁSI PROJEKTEK ADDICIONALITÁSÁNAK ELLEN- ŐRZÉSÉHEZ ÉS AZ ENERGETIKAI PROJEKTEK ALAPVONAL KIBOCSÁTÁSAINAK MEGHATÁROZÁSÁHOZ I. ADDICIONALITÁS Addicionalitás: a projektalapú tevékenységekkel

Részletesebben

Kutatásmódszertan és prezentációkészítés

Kutatásmódszertan és prezentációkészítés Kutatásmódszertan és prezentációkészítés 10. rész: Az adatelemzés alapjai Szerző: Kmetty Zoltán Lektor: Fokasz Nikosz Tizedik rész Az adatelemzés alapjai Tartalomjegyzék Bevezetés Leíró statisztikák I

Részletesebben

Papp Tibor Karbantartási menedzser Sinergy Kft.

Papp Tibor Karbantartási menedzser Sinergy Kft. Gázmotor üzemeltetés új kihívásai a Virtuális Erőmű (VE) korszakban, az üzemeltető tapasztalatai Balatonfüred, 2015. március 26. Papp Tibor Karbantartási menedzser Sinergy Kft. Gázmotor üzemeltetés új

Részletesebben

SZÉLTURBINÁKAT TARTALMAZÓ MÉRLEGKÖRÖK KIEGYENLÍTŐ ENERGIA KÖLTSÉGEINEK MINIMALIZÁLÁSA

SZÉLTURBINÁKAT TARTALMAZÓ MÉRLEGKÖRÖK KIEGYENLÍTŐ ENERGIA KÖLTSÉGEINEK MINIMALIZÁLÁSA SZÉLTURBINÁKAT TARTALMAZÓ MÉRLEGKÖRÖK KIEGYENLÍTŐ ENERGIA KÖLTSÉGEINEK MINIMALIZÁLÁSA Varga László E.ON Hungária ZRt. Hirsch Tamás Országos Meteorológiai Szolgálat XXVII. Magyar Operációkutatási Konferencia

Részletesebben

VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS. MSc. Órai Feladatok

VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS. MSc. Órai Feladatok VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS MSc Órai Feladatok 1. Feladat (Diszkrét eloszlás) Ketten kosárlabdáznak. Az A játékos 0,4 a B játékos 0,3 valószínűséggel dob kosarat. A dobást A kezdi és felváltva dobnak egymás után.

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 1 I. HALmAZOk 1. JELÖLÉSEk A halmaz fogalmát tulajdonságait gyakran használjuk a matematikában. A halmazt nem definiáljuk, ezt alapfogalomnak tekintjük. Ez nem szokatlan, hiszen

Részletesebben

1. előadás. Lineáris algebra numerikus módszerei. Hibaszámítás Számábrázolás Kerekítés, levágás Klasszikus hibaanalízis Abszolút hiba Relatív hiba

1. előadás. Lineáris algebra numerikus módszerei. Hibaszámítás Számábrázolás Kerekítés, levágás Klasszikus hibaanalízis Abszolút hiba Relatív hiba Hibaforrások Hiba A feladatok megoldása során különféle hibaforrásokkal találkozunk: Modellhiba, amikor a valóságnak egy közelítését használjuk a feladat matematikai alakjának felírásához. (Pl. egy fizikai

Részletesebben

1. szemináriumi. feladatok. két időszakos fogyasztás/ megtakarítás

1. szemináriumi. feladatok. két időszakos fogyasztás/ megtakarítás 1. szemináriumi feladatok két időszakos fogyasztás/ megtakarítás 1. feladat Az általunk vizsgál gazdaság csupán két időszakig működik. A gazdaságban egy reprezentatív fogyasztó hoz döntéseket. A fogyasztó

Részletesebben

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat.

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat. Poisson folyamatok, exponenciális eloszlások Azt mondjuk, hogy a ξ valószínűségi változó Poisson eloszlású λ, 0 < λ

Részletesebben

Statisztika I. 4. előadás Mintavétel. Kóczy Á. László KGK-VMI. Minta Mintavétel Feladatok. http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1.

Statisztika I. 4. előadás Mintavétel. Kóczy Á. László KGK-VMI. Minta Mintavétel Feladatok. http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1. Statisztika I. 4. előadás Mintavétel http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1.htm Kóczy Á. László KGK-VMI koczy.laszlo@kgk.uni-obuda.hu Sokaság és minta Alap- és mintasokaság A mintasokaság az a részsokaság,

Részletesebben

Adatbázis rendszerek 6.. 6. 1.1. Definíciók:

Adatbázis rendszerek 6.. 6. 1.1. Definíciók: Adatbázis Rendszerek Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Fotogrammetria és Térinformatika 6.1. Egyed relációs modell lényegi jellemzői 6.2. Egyed relációs ábrázolás 6.3. Az egyedtípus 6.4. A

Részletesebben

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Valószínőségi eloszlások Binomiális eloszlás

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Valószínőségi eloszlások Binomiális eloszlás Matematikai alapok és valószínőségszámítás Valószínőségi eloszlások Binomiális eloszlás Bevezetés A tudományos életben megfigyeléseket teszünk, kísérleteket végzünk. Ezek többféle különbözı eredményre

Részletesebben

Statisztika I. 4. előadás Mintavétel. Kóczy Á. László KGK-VMI. Minta Mintavétel Feladatok. http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1.

Statisztika I. 4. előadás Mintavétel. Kóczy Á. László KGK-VMI. Minta Mintavétel Feladatok. http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1. Statisztika I. 4. előadás Mintavétel http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1.htm Kóczy Á. László KGK-VMI koczy.laszlo@kgk.uni-obuda.hu Sokaság és minta Alap- és mintasokaság A mintasokaság az a részsokaság,

Részletesebben

Méretlánc átrendezés elmélete

Méretlánc átrendezés elmélete 1. Méretlánc átrendezés elmélete Méretlánc átrendezés elmélete Egyes esetekben szükség lehet, hogy arra, hogy a méretláncot átrendezzük. Ezeknek legtöbbször az az oka, hogy a rajzon feltüntetett méretet

Részletesebben

Informatikai rendszerek modellezése Dr. Sztrik, János

Informatikai rendszerek modellezése Dr. Sztrik, János Informatikai rendszerek modellezése Dr. Sztrik, János Informatikai rendszerek modellezése Dr. Sztrik, János Debreceni Egyetem Kelet-Magyarországi Informatika Tananyag Tárház Nemzeti Fejlesztési Ügynökség

Részletesebben

Bevezető Adatok rendezése Adatok jellemzése Időbeli elemzés. Gazdaságstatisztika KGK VMI

Bevezető Adatok rendezése Adatok jellemzése Időbeli elemzés. Gazdaságstatisztika KGK VMI Gazdaságstatisztika 2. előadás Egy ismérv szerinti rendezés Kóczy Á. László KGK VMI Áttekintés Gyakorisági sorok Grafikus ábrázolásuk Helyzetmutatók Szóródási mutatók Az aszimmetria mérőszámai Koncentráció

Részletesebben

A végeselem módszer alapjai. 2. Alapvető elemtípusok

A végeselem módszer alapjai. 2. Alapvető elemtípusok A végeselem módszer alapjai Előadás jegyzet Dr. Goda Tibor 2. Alapvető elemtípusok - A 3D-s szerkezeteket vagy szerkezeti elemeket gyakran egyszerűsített formában modellezzük rúd, gerenda, 2D-s elemek,

Részletesebben

I. ANALITIKAI ADATOK MEGADÁSA, KONVERZIÓK

I. ANALITIKAI ADATOK MEGADÁSA, KONVERZIÓK I. ANALITIKAI ADATOK MEGADÁSA, KONVERZIÓK I.2. Konverziók Geokémiai vizsgálatok során gyakran kényszerülünk arra, hogy különböző kémiai koncentrációegységben megadott adatokat hasonlítsunk össze vagy alakítsuk

Részletesebben

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Középértékek és szóródási mutatók

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Középértékek és szóródási mutatók Matematikai alapok és valószínőségszámítás Középértékek és szóródási mutatók Középértékek A leíró statisztikák talán leggyakrabban használt csoportját a középértékek jelentik. Legkönnyebben mint az adathalmaz

Részletesebben

Nyomtatási rendszer szolgáltatás - SLA

Nyomtatási rendszer szolgáltatás - SLA Nyomtatási rendszer szolgáltatás - SLA 1. oldal Telefon: +36 (72) 501-500 Fax: +36 (72) 501-506 1. Dokumentum adatlap Azonosítás Dokumentum címe Állomány neve Dokumentum verzió 1.1 Kiadás idõpontja 2009.11.01.

Részletesebben

Jelentés az Európai Bizottság részéremagyarország indikatív nemzeti energiahatékonysági célkitűzéséről a 2020. évre vonatkozóan

Jelentés az Európai Bizottság részéremagyarország indikatív nemzeti energiahatékonysági célkitűzéséről a 2020. évre vonatkozóan Jelentés az Európai Bizottság részéremagyarország indikatív nemzeti energiahatékonysági célkitűzéséről a 2020. évre vonatkozóan I. Bevezetés E dokumentum célja az Európai Parlament és a Tanács 2012/27/EU

Részletesebben

Bevezetés. 1. előadás, 2015. február 11. Módszerek. Tematika

Bevezetés. 1. előadás, 2015. február 11. Módszerek. Tematika Bevezetés 1. előadás, 2015. február 11. Zempléni András Valószínűségelméleti és Statisztika Tanszék Természettudományi Kar Eötvös Loránd Tudományegyetem Áringadozások előadás Heti 2 óra előadás + 2 óra

Részletesebben

1/12. 3. gyakorlat. Lineáris Programozási feladatok megoldása szimplex módszerrel. Pécsi Tudományegyetem PTI

1/12. 3. gyakorlat. Lineáris Programozási feladatok megoldása szimplex módszerrel. Pécsi Tudományegyetem PTI / Operációkutatás. gyakorlat Lineáris Programozási feladatok megoldása szimplex módszerrel Pécsi Tudományegyetem PTI Normál feladatok megoldása szimplex módszerrel / / Normál feladatok megoldása szimplex

Részletesebben

1lehetőség 19815754-2-42. százalék. 2011/03 www.mee.hu. 104. évfolyam

1lehetőség 19815754-2-42. százalék. 2011/03 www.mee.hu. 104. évfolyam A magyar elektrotechnikai egyesület hivatalos lapja Alapítva: 1908 Rendszerszintű tartalék teljesítőképesség tervezése Markov-modell alkalmazásával 2. rész 19815754-2-42 1lehetőség közös százalék cél 1%1

Részletesebben

Hő- és füstelvezetés, elmélet-gyakorlat

Hő- és füstelvezetés, elmélet-gyakorlat Hő- és füstelvezetés, elmélet-gyakorlat Mérnöki módszerek alkalmazásának lehetőségei Szikra Csaba tudományos munkatárs BME Építészmérnöki Kar Épületenergetikai és Épületgépészeti Tanszék szikra@egt.bme.hu

Részletesebben

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie.

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

Transzformátor rezgés mérés. A BME Villamos Energetika Tanszéken

Transzformátor rezgés mérés. A BME Villamos Energetika Tanszéken Transzformátor rezgés mérés A BME Villamos Energetika Tanszéken A valóság egyszerűsítése, modellezés. A mérés tervszerűen végrehajtott tevékenység, ezért a bonyolult valóságos rendszert először egyszerűsítik.

Részletesebben

AZ ÉPÜLETEK ENERGETIKAI JELLEMZŐINEK MEGHATÁROZÁSA ENERGETIKAI SZÁMÍTÁS A HŐMÉRSÉKLETELOSZLÁS JELENTŐSÉGE

AZ ÉPÜLETEK ENERGETIKAI JELLEMZŐINEK MEGHATÁROZÁSA ENERGETIKAI SZÁMÍTÁS A HŐMÉRSÉKLETELOSZLÁS JELENTŐSÉGE AZ ÉPÜLETEK ENERGETIKAI JELLEMZŐINEK MEGHATÁROZÁSA Három követelményszint: az épületek összesített energetikai jellemzője E p = összesített energetikai jellemző a geometriai viszonyok függvénye (kwh/m

Részletesebben

Budapesti Mûszaki Fõiskola Rejtõ Sándor Könnyûipari Mérnöki Kar Médiatechnológiai Intézet Nyomdaipari Tanszék. Karbantartás-szervezés a nyomdaiparban

Budapesti Mûszaki Fõiskola Rejtõ Sándor Könnyûipari Mérnöki Kar Médiatechnológiai Intézet Nyomdaipari Tanszék. Karbantartás-szervezés a nyomdaiparban Budapesti Mûszaki Fõiskola Rejtõ Sándor Könnyûipari Mérnöki Kar Médiatechnológiai Intézet Nyomdaipari Tanszék Karbantartás-szervezés a nyomdaiparban 6. előadás Karbantartás irányítási információs rendszer

Részletesebben

Készletgazdálkodási módszerek ÚTMUTATÓ 1

Készletgazdálkodási módszerek ÚTMUTATÓ 1 Készletgazdálkodási módszerek ÚTMUTATÓ 1 A programozást elvégezték és a hozzá tartozó útmutatót készítették: dr. Gelei Andrea és dr. Dobos Imre, egyetemi docensek, Budapesti Corvinus Egyetem, Logisztika

Részletesebben

ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az eredmény. A kérdés a következő: Mikor mondhatjuk azt, hogy bizonyos események közül

ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az eredmény. A kérdés a következő: Mikor mondhatjuk azt, hogy bizonyos események közül A Borel Cantelli lemma és annak általánosítása. A valószínűségszámítás egyik fontos eredménye a Borel Cantelli lemma. Először informálisan ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az

Részletesebben

Iceberg ajánlatok a BÉT-en Összefoglalás

Iceberg ajánlatok a BÉT-en Összefoglalás Iceberg ajánlatok a BÉT-en Összefoglalás A Xetra kereskedési rendszer bevezetésével a Budapesti Értéktőzsdén is elérhetővé váltak az iceberg ajánlatok. Az új ajánlattípus bevezetésekor a Kereskedési Bizottságon

Részletesebben

Képszerkesztés elméleti kérdések

Képszerkesztés elméleti kérdések Képszerkesztés elméleti kérdések 1. A... egyedi alkotó elemek, amelyek együttesen formálnak egy képet.(pixelek) a. Pixelek b. Paletták c. Grafikák d. Gammák 2. Az alábbiak közül melyik nem színmodell?

Részletesebben

Jelen projekt célja Karácsond Község egyes közintézményeinek energetikai célú korszerűsítése.

Jelen projekt célja Karácsond Község egyes közintézményeinek energetikai célú korszerűsítése. Vezetői összefoglaló Jelen projekt célja Karácsond Község egyes közintézményeinek energetikai célú korszerűsítése. A következő oldalakon vázlatosan összefoglaljuk a projektet érintő főbb jellemzőket és

Részletesebben

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 051 É RETTSÉGI VIZSGA 005. október 5. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások: A dolgozatot

Részletesebben

Tisztelt Partnerünk! És hogy mikor lép hatályba, az (5) bekezdés vonatkozik rá:

Tisztelt Partnerünk! És hogy mikor lép hatályba, az (5) bekezdés vonatkozik rá: Tisztelt Partnerünk! A biztonság mindannyiunk számára fontos paraméter. A költséghatékony, ugyanakkor hatékony biztonság mindannyiunk érdeke. A következőkben összefoglaljuk Önnek / Önöknek azokat a törvényi

Részletesebben

Cikkely A Kódex célja

Cikkely A Kódex célja 1 Cikkely A Kódex célja (1) A Kódex a Magyarországon internet hozzáférés szolgáltatási tevékenységet folytató elektronikus hírközlési szolgáltatók szakmai-etikai normagyűjteményeként szolgál, melynek önkéntes

Részletesebben

7. számú melléklet Két forduló közötti projektfejlesztési szakasz eljárásrendje a Társadalmi Infrastruktúra Operatív Program

7. számú melléklet Két forduló közötti projektfejlesztési szakasz eljárásrendje a Társadalmi Infrastruktúra Operatív Program 7. számú melléklet Két forduló közötti projektfejlesztési szakasz eljárásrendje a Társadalmi Infrastruktúra Operatív Program A felsőoktatási tevékenységek színvonalának emeléséhez szükséges infrastrukturális

Részletesebben

Osztott jáva programok automatikus tesztelése. Matkó Imre BBTE, Kolozsvár Informatika szak, IV. Év 2007 január

Osztott jáva programok automatikus tesztelése. Matkó Imre BBTE, Kolozsvár Informatika szak, IV. Év 2007 január Osztott jáva programok automatikus tesztelése Matkó Imre BBTE, Kolozsvár Informatika szak, IV. Év 2007 január Osztott alkalmazások Automatikus tesztelés Tesztelés heurisztikus zaj keltés Tesztelés genetikus

Részletesebben

Módszertani segédlet a munka törvénykönyvének a távolléti díj kiszámítására vonatkozó szabályainak alkalmazásához

Módszertani segédlet a munka törvénykönyvének a távolléti díj kiszámítására vonatkozó szabályainak alkalmazásához Nemzetgazdasági Minisztérium Nemzeti Munkaügyi Hivatal Módszertani segédlet a munka törvénykönyvének a távolléti díj kiszámítására vonatkozó szabályainak alkalmazásához I. Az új munka törvénykönyvének

Részletesebben

Hitelintézeti Szemle Lektori útmutató

Hitelintézeti Szemle Lektori útmutató Hitelintézeti Szemle Lektori útmutató Tisztelt Lektor Úr/Asszony! Egy tudományos dolgozat bírálatára szóló felkérés a lektor tudományos munkásságának elismerése. Egy folyóirat szakmai reputációja jelentős

Részletesebben

Második lépésben meg kell határozni, hogy az adott sávba jutó nettó árbevételhez mekkora összegő elábé + közvetített szolgáltatások értéke jut.

Második lépésben meg kell határozni, hogy az adott sávba jutó nettó árbevételhez mekkora összegő elábé + közvetített szolgáltatások értéke jut. Dr. Kovács Attila - PÉLDA Iparőzési adómegállapítás -> az elábé és a közvetített szolgáltatások értéke együttes összegének korlátos levonhatósága a nettó árbevételbıl 1. A szabályozás bemutatása egy példán

Részletesebben

Szilárdtüzelésű kazánok puffertárolóinak méretezése

Szilárdtüzelésű kazánok puffertárolóinak méretezése Buderus Tervezői Akadémia 2010 Szilárdtüzelésű kazánok puffertárolóinak méretezése 1. számú fólia Szilárdtüzelésű kazánok a múlt Nyílt, gravitációs fűtési rendszer villanybojlerrel. Aztán jött a gázprogram,

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET 9.B OSZTÁLY FIZIKA TAGOZAT HETI 6 ÓRA, ÖSSZESEN 216 ÓRA

MATEMATIKA TANMENET 9.B OSZTÁLY FIZIKA TAGOZAT HETI 6 ÓRA, ÖSSZESEN 216 ÓRA MATEMATIKA TANMENET 9.B OSZTÁLY FIZIKA TAGOZAT HETI 6 ÓRA, ÖSSZESEN 216 ÓRA A TÁMOP 3.1.4. EU-s pályázat megvalósításához a matematika (9. b/fizika) tárgy tanmenete a matematika kompetenciaterület A típusú

Részletesebben

Biomatematika 8. Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar. Fodor János

Biomatematika 8. Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar. Fodor János Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar Biomatematikai és Számítástechnikai Tanszék Biomatematika 8. Valószínűség-számítás II. Fodor János Copyright c Fodor.Janos@aotk.szie.hu Last Revision Date:

Részletesebben

Mechanika Kinematika. - Kinematikára: a testek mozgását tanulmányozza anélkül, hogy figyelembe venné a kiváltó

Mechanika Kinematika. - Kinematikára: a testek mozgását tanulmányozza anélkül, hogy figyelembe venné a kiváltó Mechanika Kinematika A mechanika a fizika része mely a testek mozgásával és egyensúlyával foglalkozik. A klasszikus mechanika, mely a fénysebességnél sokkal kisebb sebességű testekre vonatkozik, feloszlik:

Részletesebben

Posztanalitikai folyamatok az orvosi laboratóriumban, az eredményközlés felelőssége

Posztanalitikai folyamatok az orvosi laboratóriumban, az eredményközlés felelőssége Posztanalitikai folyamatok az orvosi laboratóriumban, az eredményközlés felelőssége Autovalidálási folyamatok Lókiné Farkas Katalin Az autovalidálás elméleti alapjai Az előző eredménnyel való összehasonlítás

Részletesebben

Mérési adatok illesztése, korreláció, regresszió

Mérési adatok illesztése, korreláció, regresszió Mérési adatok illesztése, korreláció, regresszió Korreláció, regresszió Két változó mennyiség közötti kapcsolatot vizsgálunk. Kérdés: van-e kapcsolat két, ugyanabban az egyénben, állatban, kísérleti mintában,

Részletesebben

ÚTMUTATÓ A FÖLDRENGÉSES KÖRÜLMÉNYEKNEK KITETT FELVONÓKRAVONATKOZÓ EN 81-77 SZABVÁNY ALKALMAZÁSÁHOZ

ÚTMUTATÓ A FÖLDRENGÉSES KÖRÜLMÉNYEKNEK KITETT FELVONÓKRAVONATKOZÓ EN 81-77 SZABVÁNY ALKALMAZÁSÁHOZ ÚTMUTATÓ A FÖLDRENGÉSES KÖRÜLMÉNYEKNEK KITETT FELVONÓKRAVONATKOZÓ EN 81-77 SZABVÁNY ALKALMAZÁSÁHOZ 2014. október Felelısség kizárása: Jelen útmutató az ELA szakembereinek legjobb tudását tükrözi a közzététel

Részletesebben

A MAGYAR VILLAMOS MÛVEK KÖZLEMÉNYEI

A MAGYAR VILLAMOS MÛVEK KÖZLEMÉNYEI AZ ÁRAM FORRÁSA A MAGYAR VILLAMOS MÛVEK KÖZLEMÉNYEI XXXIX. ÉVFOLYAM 1 2. SZÁM, 2002. JÚLIUS Az új villamosenergia-törvény alkalmazása Az ellátásbiztonságról Mahalia, az alap- és távközlési hálózat nyilvántartó

Részletesebben

szakértői rendszer Tóth György E.ON Németh Bálint BME VET

szakértői rendszer Tóth György E.ON Németh Bálint BME VET xát transzformátor, megszakító és mérőváltó állapot tényező szakértői rendszer Tóth György E.ON Németh Bálint BME VET Kiindulás amink van: Primer diagnosztikai és karbantartási stratégiák Egymásra épülő,

Részletesebben

Nukleáris alapú villamosenergiatermelés

Nukleáris alapú villamosenergiatermelés Nukleáris alapú villamosenergiatermelés jelene és jövője Dr. Aszódi Attila igazgató, egyetemi tanár Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Nukleáris Technikai Intézet Villamosenergia-ellátás Magyarországon

Részletesebben

Az elosztott villamos energia termelés szerepe a természeti katasztrófákkal szembeni rugalmas ellenálló képesség növelésében

Az elosztott villamos energia termelés szerepe a természeti katasztrófákkal szembeni rugalmas ellenálló képesség növelésében Az elosztott villamos energia termelés szerepe a természeti katasztrófákkal szembeni rugalmas ellenálló képesség növelésében Prof. Dr. Krómer István Óbudai Egyetem Intelligens Energia Ellátó Rendszerek

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Szoftverminőségbiztosítás

Szoftverminőségbiztosítás NGB_IN003_1 SZE 2014-15/2 (11) Szoftverminőségbiztosítás Tesztautomatizálás A tesztelés kivitelezése Tesztelési feladatok Detektálatlan maradék hibák számának csökkentése hatásosan és hatékonyan megfelelő

Részletesebben

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Statisztikai változók Adatok megtekintése

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Statisztikai változók Adatok megtekintése Matematikai alapok és valószínőségszámítás Statisztikai változók Adatok megtekintése Statisztikai változók A statisztikai elemzések során a vizsgálati, vagy megfigyelési egységeket különbözı jellemzık

Részletesebben

Kompetenciamérés eredményei 2011 tanév - 6. és 8. osztály. Szövegértés, matematika. SIOK Balatonendrédi Általános Iskola

Kompetenciamérés eredményei 2011 tanév - 6. és 8. osztály. Szövegértés, matematika. SIOK Balatonendrédi Általános Iskola Kompetenciamérés eredményei 2011 tanév - 6. és 8. osztály Szövegértés, matematika SIOK Balatonendrédi Általános Iskola 1 Fit jelentés 2011-es tanév, 6-8. osztály (matematika, szövegértés) A 2011-es mérés

Részletesebben

Görbe- és felületmodellezés. Szplájnok Felületmodellezés

Görbe- és felületmodellezés. Szplájnok Felületmodellezés Görbe- és felületmodellezés Szplájnok Felületmodellezés Spline (szplájn) Spline: Szakaszosan, parametrikus polinomokkal leírt görbe A spline nevét arról a rugalmasan hajlítható vonalzóról kapta, melyet

Részletesebben

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az

Részletesebben

Megoldások 4. osztály

Megoldások 4. osztály Brenyó Mihály Pontszerző Matematikaverseny Megyei döntő 2015. február 14. Megoldások 4. osztály 1. Számkeresztrejtvény: Az alábbi keresztrejtvény ábra abban különbözik a hagyományos keresztrejtvényektől,

Részletesebben

KÖZGAZDASÁGI- MARKETING ALAPISMERETEK

KÖZGAZDASÁGI- MARKETING ALAPISMERETEK ÉRETTSÉGI VIZSGA 2011. május 13. KÖZGAZDASÁGI- MARKETING ALAPISMERETEK EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2011. május 13. 8:00 Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati NEMZETI

Részletesebben

Képszerkesztés elméleti feladatainak kérdései és válaszai

Képszerkesztés elméleti feladatainak kérdései és válaszai Képszerkesztés elméleti feladatainak kérdései és válaszai 1. A... egyedi alkotóelemek, amelyek együttesen formálnak egy képet. Helyettesítse be a pixelek paletták grafikák gammák Helyes válasz: pixelek

Részletesebben

LINEÁRIS PROGRAMOZÁSI FELADATOK MEGOLDÁSA SZIMPLEX MÓDSZERREL

LINEÁRIS PROGRAMOZÁSI FELADATOK MEGOLDÁSA SZIMPLEX MÓDSZERREL LINEÁRIS PROGRAMOZÁSI FELADATOK MEGOLDÁSA SZIMPLEX MÓDSZERREL x 1-2x 2 6 -x 1-3x 3 = -7 x 1 - x 2-3x 3-2 3x 1-2x 2-2x 3 4 4x 1-2x 2 + x 3 max Alapfogalmak: feltételrendszer (narancs színnel jelölve), célfüggvény

Részletesebben

A pedagógia mint tudomány. Dr. Nyéki Lajos 2015

A pedagógia mint tudomány. Dr. Nyéki Lajos 2015 A pedagógia mint tudomány Dr. Nyéki Lajos 2015 A pedagógia tárgya, jellegzetes vonásai A neveléstudomány tárgya az ember céltudatos, tervszerű alakítása. A neveléstudomány jellegét tekintve társadalomtudomány.

Részletesebben

Számítógéppel segített folyamatmodellezés p. 1/20

Számítógéppel segített folyamatmodellezés p. 1/20 Számítógéppel segített folyamatmodellezés Piglerné Lakner Rozália Számítástudomány Alkalmazása Tanszék Pannon Egyetem Számítógéppel segített folyamatmodellezés p. 1/20 Tartalom Modellező rendszerektől

Részletesebben

Döntéselőkészítés. I. előadás. Döntéselőkészítés. Előadó: Dr. Égertné dr. Molnár Éva. Informatika Tanszék A 602 szoba

Döntéselőkészítés. I. előadás. Döntéselőkészítés. Előadó: Dr. Égertné dr. Molnár Éva. Informatika Tanszék A 602 szoba I. előadás Előadó: Dr. Égertné dr. Molnár Éva Informatika Tanszék A 602 szoba Tárggyal kapcsolatos anyagok megtalálhatók: http://www.sze.hu/~egertne Konzultációs idő: (páros tan. hét) csütörtök 10-11 30

Részletesebben

II. rész: a rendszer felülvizsgálati stratégia kidolgozását támogató funkciói. Tóth László, Lenkeyné Biró Gyöngyvér, Kuczogi László

II. rész: a rendszer felülvizsgálati stratégia kidolgozását támogató funkciói. Tóth László, Lenkeyné Biró Gyöngyvér, Kuczogi László A kockázat alapú felülvizsgálati és karbantartási stratégia alkalmazása a MOL Rt.-nél megvalósuló Statikus Készülékek Állapot-felügyeleti Rendszerének kialakításában II. rész: a rendszer felülvizsgálati

Részletesebben

Információ megjelenítés Tufte szabályai

Információ megjelenítés Tufte szabályai Információ megjelenítés Tufte szabályai Mennyiségi adatok megjelenítése Edward Tufte (Professor, Yale) Mondat: 2, 3 adat összehasonlítására alkalmas Táblázat: sorokba, oszlopokba rendezett adat pontos

Részletesebben

Seven implantátumok klinikai és radiológiai vizsgálata. Az osseointegráció mértéke és a csont szintjének stabilitása. Elsődleges eredmények.

Seven implantátumok klinikai és radiológiai vizsgálata. Az osseointegráció mértéke és a csont szintjének stabilitása. Elsődleges eredmények. Seven implantátumok klinikai és radiológiai vizsgálata. Az osseointegráció mértéke és a csont szintjének stabilitása. Elsődleges eredmények. Zabaras D, Boubolis S, Spanos A, Petsinis V, Gisakis I G Bevezetés

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA. 9. Nyelvi előkészítő osztály

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA. 9. Nyelvi előkészítő osztály MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI ELJÁRÁS MELLÉKLET Tanmenetborító Azonosító: ME-III.1./1 Változatszám: 2 Érvényesség 2013. 01. 01. kezdete: Oldal/összes: 1/6 Fájlnév: ME- III.1.1.Tanmenetborító SZK- DC-2013 MATEMATIKA

Részletesebben

Towards the optimal energy mix for Hungary. 2013. október 01. EWEA Workshop. Dr. Hoffmann László Elnök. Balogh Antal Tudományos munkatárs

Towards the optimal energy mix for Hungary. 2013. október 01. EWEA Workshop. Dr. Hoffmann László Elnök. Balogh Antal Tudományos munkatárs Towards the optimal energy mix for Hungary 2013. október 01. EWEA Workshop Dr. Hoffmann László Elnök Balogh Antal Tudományos munkatárs A Magyarországi szélerőmű-kapacitásaink: - ~330 MW üzemben (mind 2006-os

Részletesebben

VÁLTAKOZÓ ÁRAMÚ KÖRÖK

VÁLTAKOZÓ ÁRAMÚ KÖRÖK Számítsuk ki a 80 mh induktivitású ideális tekercs reaktanciáját az 50 Hz, 80 Hz, 300 Hz, 800 Hz, 1200 Hz és 1,6 khz frekvenciájú feszültséggel táplált hálózatban! Sorosan kapcsolt C = 700 nf, L=600 mh,

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

Cikktípusok készítése a Xarayában

Cikktípusok készítése a Xarayában Cikktípusok készítése a Xarayában A Xaraya legfontosabb tulajdonsága az egyedi cikktípusok egyszerű készítésének lehetősége. Ezzel kiküszöbölhető egyedi modulok készítése, hiszen néhány kattintással tetszőleges

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (Derivált)

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (Derivált) Valós függvények (3) (Derivált) . Legyen a belső pontja D f -nek. Ha létezik és véges a f(x) f(a) x a x a = f (a) () határérték, akkor f differenciálható a-ban. Az f (a) szám az f a-beli differenciálhányadosa.

Részletesebben

I. rész. Feladatsor. 2. Andi keresett két olyan számot, amelyre teljesül, hogy a < b. Igaz-e, hogy a < b?

I. rész. Feladatsor. 2. Andi keresett két olyan számot, amelyre teljesül, hogy a < b. Igaz-e, hogy a < b? 1. Feladatsor I. rész 1. Adott két halmaz. A a 9-nél kisebb páros pozitív egészek; B a 30-nál kisebb, 6-tal osztható pozitív egészek halmaza. Adja meg az A B és a B \ A halmazokat!. Andi keresett két olyan

Részletesebben

Microsoft Excel 2010. Gyakoriság

Microsoft Excel 2010. Gyakoriság Microsoft Excel 2010 Gyakoriság Osztályközös gyakorisági tábla Nagy számú mérési adatokat csoportokba (osztályokba) rendezése -> könnyebb áttekintés Osztályokban szereplő adatok száma: osztályokhoz tartozó

Részletesebben

Folytonos rendszeregyenletek megoldása. 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja

Folytonos rendszeregyenletek megoldása. 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja Folytonos rendszeregyenletek megoldása 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja A folytonos rendszeregyenletek megoldásakor olyan rendszerekkel foglalkozunk, amelyeknek egyetlen u = u(t)

Részletesebben

Irodaépület fényforrásainak vizsgálata különös tekintettel a hálózati visszahatásokra

Irodaépület fényforrásainak vizsgálata különös tekintettel a hálózati visszahatásokra Diplomaterv Prezentáció Irodaépület fényforrásainak vizsgálata különös tekintettel a hálózati visszahatásokra Készítette: Ruzsics János Konzulens: Dr. Dán András Dátum: 2010.09.15 Irodaépület fényforrásainak

Részletesebben

Tervezzük együtt a jövőt!

Tervezzük együtt a jövőt! Tervezzük együtt a jövőt! gondolkodj globálisan - cselekedj lokálisan CÉLOK jövedelemforrások, munkahelyek biztosítása az egymásra épülő zöld gazdaság hálózati keretein belül, megújuló energiaforrásokra

Részletesebben

Matits Ágnes Az önkéntes nyugdíjpénztárak teljesítményének értékelése

Matits Ágnes Az önkéntes nyugdíjpénztárak teljesítményének értékelése Matits Ágnes Az önkéntes nyugdíjpénztárak teljesítményének értékelése Az értékelés módszere A pénztári tevékenység értékeléséhez a költségszintek, a tartalékolás, a vagyonkezelés hatékonysága, valamint

Részletesebben

= 3 és az y = 1 egyenletű egyenesek metszéspontjának (M)

= 3 és az y = 1 egyenletű egyenesek metszéspontjának (M) Matematika PRÉ megoldókulcs 04. január 8. MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS KÖZÉPSZINT I. rész: Az alábbi feladat megoldása kötelező volt! ) Adja meg az x+ y = 3 és az y = egyenletű egyenesek metszéspontjának

Részletesebben

5/1. tétel: Optimalis feszítőfák, Prim és Kruskal algorithmusa. Legrövidebb utak graphokban, negatív súlyú élek, Dijkstra és Bellman Ford algorithmus.

5/1. tétel: Optimalis feszítőfák, Prim és Kruskal algorithmusa. Legrövidebb utak graphokban, negatív súlyú élek, Dijkstra és Bellman Ford algorithmus. 5/1. tétel: Optimalis feszítőfák, Prim és Kruskal algorithmusa. Legrövidebb utak graphokban, negatív súlyú élek, Dijkstra és Bellman Ford algorithmus. Optimalis feszítőfák Egy összefüggő, irányítatlan

Részletesebben

Szakértelem a jövő záloga

Szakértelem a jövő záloga 1211 Budapest, Posztógyár út. LEKTORI VÉLEMÉNY Moduláris tananyagfejlesztés Modul száma, megnevezése: Szerző neve: Lektor neve: Imagine Logo programozás Babos Gábor Újváry Angelika, Szabó Imre Sorszám

Részletesebben

Az átjárhatóság műszaki specifikációi. Az Energia alrendszer

Az átjárhatóság műszaki specifikációi. Az Energia alrendszer Az átjárhatóság műszaki specifikációi Az Energia alrendszer A nagysebességű és a hagyományos vasúti rendszer átjárhatóságának műszaki specifikációi TSI HS ENE 2008/284/EU TSI CR ENE 2011/274/EU A hagyományos

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 091 ÉRETTSÉGI VIZSGA 011. május 3. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

PRECÍZ Információs füzetek

PRECÍZ Információs füzetek PRECÍZ Információs füzetek Információk, Módszerek, Ötletek és Megoldások a Precíz Integrált Ügyviteli Információs rendszerhez 3. EXCEL adatkapcsolat (mod. 2009.07.) Ügyviteli nyilvántartások és EXCEL formátumú

Részletesebben