KÉZIKÖNYV a MATEMATIKA

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "KÉZIKÖNYV a MATEMATIKA"

Átírás

1 Alkotószerkesztő: Csatár Katalin KÉZIKÖNYV a MATEMATIKA a középiskolák 9. évfolama számára II. kötetéhez Celldömölk,

2 Szerzők KORNAI JÚLIA, KOVÁCS ELŐD, LÖVEY ÉVA, PÁLOVICSNÉ TUSNÁDY KATALIN, SCHUBERT MIHÁLY Illusztrálta FRIED KATALIN SZALÓKI DEZSŐ Alkotószerkesztő CSATÁR KATALIN Felelős szerkesztő ACKERMANN RITA AP 983 ISBN c Kornai Júlia, Kovács Előd, Löve Éva, Pálovicsné Tusnád Katalin, Schubert Mihál, Kiadja az APÁCZAI KIADÓ Kft. 95 Celldömölk, Szécheni u. 8. Telefon: 95/55-, fa: 95/ Internet: Felelős kiadó: Esztergálos Jenő ügvezető igazgató Nomdai előkészítés Könv Művek Bt. Terjedelem: 9 87 (A/5) ív Tömeg: 566 g

3 Kombinatorika Kombinatorika. óra: Rendezett és rendezetlen összeszámlálás. óra: Több vag kevesebb? 3. óra: Összeszámlálás az egszerűbbtől a bonolultabb felé 4. óra: Melik utat válasszam? 5. óra: Sorrendek száma 6. óra: Sorrendek száma ismétlődő elemek esetén 7. óra: A lottó kiválasztás, ha a kiválasztott számok sorrendje nem fontos 8. óra: Lépésről lépésre Mire építünk? A tanulók korábbi tanulmánaik során találkoztak már olan feladatokkal, amikor különböző dolgok, számok, esetek számát kellett összeszámolni. Az ilen típusú feladatok közül néhánat ebben a fejezetben ismét áttekintünk. Fordítsunk nag figelmet arra, hog a tanulók valamiféle rendszert, rendet vigenek a megoldásukba az esetek összeszámolása során! Meddig jutunk el? Rövid ismétlés után olan feladatokat nézünk, amikor nem a lehetőségek számát kell kiszámolni, hanem csupán el kell dönteni, hog melik esetben van több lehetőség. Ezt követően eg fejezet foglalkozik azzal, hog eg bonolult feladat esetén először érdemes eg hozzá hasonló, egszerűbb példát megoldani. Kísérleteket végezhetünk, sejtéseket fogalmazhatunk meg, majd bizoníthatjuk sejtésünket. Melik utat válasszam? Ebben a fejezetben döntési lehetőségeinket utak választásával szemléltetjük, megbeszéljük, hog (a tárgalt esetekben) miért szorozhatjuk össze az eges esetek számát. A Sorrendek száma, illetve a Sorrendek száma ismétlődő elemek esetén fejezet a permutációval, illetve az ismétléses permutációval foglalkozik. Az utóbbi esetén legfeljebb három ismétlődő elemmel foglalkozunk, és csak ehhez adunk meg képleteket. Célunk, hog feladatokon keresztül érzékeltessük a tanulókkal a különböző kombinatorikai problémákat. A lottó kiválasztás, ha a kiválasztott számok sorrendje nem fontos fejezetben is legfeljebb három szám kiválasztásával foglalkozunk. Ide sok-sok feladat, probléma megvizsgálásával jutunk el. Az ismétlés nélküli kombinációról a következő évfolamon mélítik el a tanulók a tudásukat. A Lépésről lépésre című fejezet bevezetés a rekurzív feladatok világába, miközben találkozunk a Pascal-háromszöggel és a Fibonacci-sorozattal is. Fontos, hog ezekkel a fogalmakkal és a hozzájuk tartozó képletekkel a későbbiekben részletesen, mélebben foglalkozunk. Íg ezen az évfolamon a célunk az, hog a következő évek tanulmánait megalapozzuk. Képleteket csak egszerű esetekre adunk, a feladatmegoldásokra helezzük a hangsúlt. A továbbhaladás feltételei A legfontosabb fejezet a Melik utat válasszam?, melnek feldolgozása során értik meg a tanulók sok kombinatorikafeladat alapját, a kombinatorikus gondolkozás lénegét. A későbbiekben használni fogjuk a permutációkról és a kombinációkról tanultakat is. 3

4 Kombinatorika Érettségi követelmének Középszint Tudjon a tanuló egszerű sorba rendezési, kiválasztási és egéb kombinatorikai feladatokat megoldani. Emelt szint Ismerje, bizonítsa és alkalmazza a tanuló a permutációk, variációk, kombinációk (ismétlés nélkül) kiszámítására vonatkozó képleteket.. óra: Rendezett és rendezetlen összeszámlálás Tk.: 3 6. oldal, 6. feladat Fg.: feladat Ebben a fejezetben arra helezzük a hangsúlt, hog a lehetőségek felírásakor valamilen rendet vag rendszert vigünk a munkánkba. ( Bölcsész beállítottságú osztál esetén feltehetjük esszékérdésnek, hog Mi a rend?. Ha valaki mindig otthon hagja a matekkönvét, az vajon rend vag rendetlenség?) Hangsúlozzuk, hog a rendszer, melet a megoldásban használunk, többféle lehet, a következetesség a legfontosabb! Feladatok 4. Hánféleképpen olvasható le a jókedv az ábráról? J Ó K A jobbra lépést jelölje J, a lefelét L! Íg két J és három L sorrendjeit kell leírni. Ó K E LLLJJ, LLJLJ, LLJJL, LJLLJ, LJLJL, LJJLL, JLLLJ, JLLJL, JLJLL, JJLLL. K E D Összesen lehetőség van. E D V. Hánféleképpen olvasható le a jókedv az ábráról, ha kétszer egmás után nem léphetünk jobbra? A következő leolvasási iránok jók: LLJLJ, LJLLJ, LJLJL, JLLLJ, JLLJL, JLJLL, íg összesen 6 lehetőség van. 3. Hánféleképpen olvasható le a jókedv az ábráról, ha kétszer egmás után nem léphetünk lefelé? Csak a LJLJL sorrend megfelelő, vagis eg eset van. 4. Próbálkozz olan megoldással a 4. példánál, amikor a rendezőelv az, hog tölg vag bükk van-e középen! a) Ha tölg van középen: Ekkor lehet a fennmaradó három mindegike bükk. Eg ilen parketta van. Két bükk, eg tölg a maradék háromból. Ilen is csak eg van (bármel kettő egmásba forgatható). Eg bükk, két tölg. Ebből szintén egféle van. Mindhárom tölg. Ilen nem lehet, mert ekkor nem kétféle fából készült a parketta. Eddig tehát három típus van. b) Szintén 3 típust találunk, ha bükk van középen. (Az előző 3 parketta bükkjeit és tölgeit egmásra kicserélve megkapjuk ezeket.) Összesen tehát 6 parketta felel meg a feltételeknek. 5. Leírtuk egmás mellé a -nál nem nagobb pozitív páros egész számokat: 4684 :::9698. a) Hán darab számjeget írtunk le? 9 = 9 kétjegű számunk van, ennek a fele, vagis 45 páros, leírásukhoz 9 számjeg kell. Az egjegűek leírásához 4, az eg háromjegű leírásához 3 számjeg kell. Összesen = 97 számjeget írunk le.

5 Kombinatorika b) Hán darab 4-es számjeget írtunk le? Az egesek helén szerepel a 4-es a 4, 4, 4, :::, 94 esetén, vagis -szer. A tízesek helén a 4, 4, 44, 46, 48 esetén, azaz 5-ször. Íg összesen 5-ször írjuk le a 4-est. c) Mi balról a 49. számjeg? Egjegű 4 számjeg, Kétjegű és -gel kezdődik számjeg, Kétjegű és -vel kezdődik számjeg, Kétjegű és 3-mal kezdődik számjeg, Kétjegű és 4-gel kezdődik számjeg. Marad még 5 számjeg: :::, vagis 5 lesz a 49. leírt számjeg. 6. Három barátoddal (Péterrel, Ágival és Zolival) le szeretnétek ülni eg kör alakú asztalhoz, amel körül 4 rögzített szék van. Hánféleképpen tehetitek ezt meg, ha te mindenképpen Péterrel szemben szeretnél lenni, és fontos, hog ki melik székre ül? Válaszodat indokold!. megoldás: Te és Péter négféleképpen ülhettek le: Te Péter Te Péter Péter Te Péter Te Mindegik esetben Ági és Zoli kétféleképpen ülhet le, hiszen Pétertől jobbra és balra is ülhet Ági. Íg összesen 4 = 8 eset van.. megoldás: Péter 4 hel közül választhat, neked szembe kell ülnöd (csak eg lehetőséged van). Ági a fennmaradó hel közül választhat, Zoli a szabad helre ül. Íg 4 = 8 eset van.. óra: Több vag kevesebb? Tk.: 6 9. oldal, 3 + kérdéses totó feladat Fg.: feladat A fejezetben csak összehasonlítunk elemszámokat, nem számoljuk ki a lehetőségek számát. A befektetett idő uganakkor megtérül. Gondoljunk csak az ismétlés nélküli variáció és az ismétlés nélküli kombináció képletei közötti kapcsolatra vag az ismétléses és az ismétlés nélküli permutációnál használt képletekre! A később szóba kerülő képletek talán könnebben megérthetőek lesznek a most tárgalt példák átgondolása után. Feladatok Párban vag háromfős csoportokban töltsétek ki a következő totót! Totó Az alábbi lehetőségek közül válassz! : a) esetben van több lehetőség. : b) esetben van több lehetőség. X: Egenlő a lehetőségek száma.. a) Az a, b, c, d, e betűkből képezhető, legfeljebb négbetűs szavak száma, amelekben nincs betűismétlődés. b) A p, q, r, u, ü betűkből képezhető négbetűs szavak száma, amelekben nincs betűismétlődés. 5

6 Kombinatorika, mert a p, b q, c r, d u, e ü párba állítással (megfeleltetéssel) a képezhető szavak is párba állíthatók. Íg mindkét esetben ugananni négbetűs lesz, de az a) esetben a kevesebb betűből állókat is néznünk kell. (Természetesen nem követeljük meg, hog a szavak értelmesek legenek.). a) Eg 3 elemű halmaz 7 elemű részhalmazainak száma. b) Eg 3 elemű halmaz 3 elemű részhalmazainak száma. X, mert 7 elemet megjelölve egúttal kijelölünk eg 3 elemű részhalmazt is (a be nem jelöléssel). 3. a) { 3 4 5} kételemű részhalmazainak száma. b) Az 5, 6, 7, 8, 9 számjegekből képezhető olan kétjegű számok száma, amelekben a számjegek különbözők., mert számot az 5, 6, 7, 8, 9 közül ugananniféleképpen tudunk kiválasztani, mint az { 3 4 5}-ból, de a b) esetben két kétjegű számot kapunk minden kiválasztáskor. Megjegzés: a b) esetben kétszer anni kétjegű számot kapunk, mint ahán részhalmazt az a) esetben. 4. a) { 3 4 5} kételemű részhalmazainak száma. b) Az 5, 6, 7, 8, 9 számjegekből képezhető olan kétjegű számok száma, amelekben a számjegek különbözők, és növekvő sorrendben követik egmást. X, mert számot az 5, 6, 7, 8, 9 közül ugananniféleképpen tudunk kiválasztani, mint az { 3 4 5}-ból kettőt, és növekvő sorrendben egféleképpen tudjuk lerakni őket. 5. a) { 3 4 5} háromelemű részhalmazainak száma. b) Az 5, 6, 7, 8, 9 számjegekből képezhető olan háromjegű számok száma, amelekben minden számjeg különböző., mert 3 számot az 5, 6, 7, 8, 9 közül ugananniféleképpen tudunk kiválasztani, mint az { 3 4 5}-ból, de a b) esetben 6 háromjegű számot kapunk minden kiválasztáskor. Megjegzés: a b) esetben hatszor anni háromjegű számot kapunk, mint ahán részhalmazt az a) esetben. 6. a) { 3 4 5} háromelemű részhalmazainak száma. b) Az 5, 6, 7, 8, 9 számjegekből képezhető olan háromjegű számok száma, amelekben minden számjeg különböző, és növekvő sorrendben követik egmást. X, mert 3 számot az 5, 6, 7, 8, 9 közül ugananniféleképpen tudunk kiválasztani, mint az { 3 4 5}- ból, és növekvő sorrendben egféleképpen tudjuk lerakni őket. (Megjegzés: ha a későbbiekben feladjuk azt a feladatot, hog a, 3, 5, 6, 7, 8, 9 számjegekből hán olan ötjegű szám készíthető, amelnek minden jege különböző, és a jegek növekvő vag ( ) csökkenő ( ) sorrendben következnek, a válasz: ahán ötelemű részhalmaza 7 7 van { }-nak, vagis = =.) 5 7. a) 5 focimeccsre az összes lehetséges tipp száma (,, X lehet a tipp minden esetben). b) 5 teniszmérkőzésre az összes lehetséges tipp száma ( vag lehet a tipp, döntetlen nem fordulhat elő)., mertab)-nél kitöltött tippszelvéneket az a) esetben is lemásolhatjuk. Viszont az a)-nál vannak olan tippsorozatok (például X, X,,, ), amelek a teniszmeccseknél nem fordulhatnak elő. Megjegzések:. Esetleg ki is számolhatják a diákok, hog 3 5, illetve 5 a lehetőségek száma.. Szóba kerülhet, hog a tenisz-totó anniféleképpen tölthető ki, mint az { 3 4 5} részhalmazainak száma. A kapcsolat az lenne, hog -es tipp esetén az adott meccsnek megfelelő elemet beválogatjuk, -es tipp esetén nem. 8. a) A szabálos hatszög csúcsai által meghatározott egenesek száma. b) { } kételemű részhalmazainak száma. X, mert a csúcsokat megszámozva minden b)-beli kételemű részhalmaz egértelműen meghatároz eg egenest (és minden egenes eg részhalmazt). 6

7 Kombinatorika 9. a) A szabálos hatszög csúcsai által meghatározott háromszögek száma. b) { } háromelemű részhalmazainak száma. X, mert a csúcsokat megszámozva minden b)-beli háromelemű részhalmaz egértelműen meghatároz eg háromszöget (és minden háromszög eg háromelemű részhalmazt).. a) Az 5, 6, 7, 8, 9 számjegekből képezhető négjegű számok száma, ha eg jeget többször is felhasználhatunk. b) A, 6, 7, 8, 9 számjegekből képezhető négjegű számok száma, ha eg jeget többször is felhasználhatunk., mert5, 6 6, 7 7, 8 8, 9 9 párba állítással (megfeleltetéssel) a képezhető négjegű számok is párba állíthatók. Íg minden b)-belinek lesz párja, de az 5-tel kezdődő a)-belieknek a -val kezdés miatt nem.. a) Az,, 3, 3, 3 kártákból készíthető ötjegű számok száma. b) Az,, 3, 3, 4 kártákból készíthető ötjegű számok száma., mert,, 3 3, 3 3, 3 4 párba állítással (megfeleltetéssel) a képezhető ötjegű számok is párba állíthatók. Minden a)-belinek lesz párja b)-ben, de nem minden b)-belinek lesz a)-beli párja. Például a b)-beli 334-hez és a 343-hoz és a 433-hoz uganaz a szám ( 333) tartozna a)-ból. Megjegzés: Minden a)-belihez három b)-beli tartozik, íg ott háromszor anni ötjegű szám van.. a) Az,, 3, 3, 3, 4 kártákból készíthető hatjegű számok száma. b) Az,, 3, 3, 4, 4 kártákból készíthető hatjegű számok száma., mert, párba állítással (megfeleltetéssel) a kérdés csak az, hog 3, 3, 3, 4 számjegekből vag 3, 3, 4, 4 számjegekből készíthető-e több négjegű szám. Az első esetben 4, a másodikban 6 lehetőség van, akárhog rögzítjük is az -esek és -esek helét. Íg b) esetben van több lehetőség, 3. a) Eg jeget két szám bejelölésé- 3 b) Eg jeget nég szám bejelö- 3 vel érvénesítenek. A jeg íg lésével érvénesítenek. A jeg néz ki: íg néz ki: X, mert számot bejelölve egúttal kijelölünk nég számot is (a be nem jelöléssel). +. a) Eg jeget legfeljebb három 3 b) Eg jeget legalább három 3 (de legalább eg) szám bejelö szám bejelölésével érvénesíte lésével érvénesítenek. A jeg nek. A jeg íg néz ki: íg néz ki:, mert ez első esetben eg, kettő vag három, a második esetben három, nég, öt vag hat számot jelölnek be. Eg számot pontosan anniféleképpen jelölhetünk be, mint öt számot; két számot anniféleképpen, mint néget; azok a jegek, ahol hármat jelölünk meg, közösek (tehát a számuk is nilván ugananni). Van viszont mégazajegb)-ben, ahol mind a 6 számot bejelöljük, ennek nincs párja. Megjegzés: b)-ben a jegek száma eggel több, mint a)-ban. 3. óra: Összeszámlálás az egszerűbbtől a bonolultabb felé Tk.: 9. oldal, 6. feladat Fg.: feladat Ezen az órán a legfontosabb néhán kísérlet elvégzése, sejtés megfogalmazása és indoklása. Nem a konkrét feladatok megjegzése a cél, hanem a módszer ízének megérzése. 7

8 Kombinatorika Feladatok. 3 8-as tábla csokit -es kis darabokra törünk szét. Minden töréskor csak eg darab csokit foghatunk a kezünkbe. a) Hán törésre van szükség? Kísérletezz kisebb csokival! Például 3-as csoki esetén törés kell, 4-es esetén 3, 8-as esetén 7. 3-as esetén (visszavezetve a 3-as esetre): + =5 8 4-es esetén (visszavezetve az 4-es esetre) + 3=7. 8-as esetén (visszavezetve az 8-as esetre) + 7 = 5. A3 3-as, 3 4-es, 3 8-as csokik törését is visszavezethetjük a 3-as, 4-es, illetve a 8-as esetre, ezekben az esetekben + 3 =8,+3 3 =, = 3 törés kell. Válaszunk tehát: 3. b) Próbálj meg általánosítani n k-s méretű csokira! Méret Hán kis darabból áll a csoki? A törések száma Észrevehetjük, hog minden esetben eggel kevesebb törés kell, mint ahán kis darabból áll a csoki. A sejtésünk tehát az, hog n k-s csoki esetén n k törés kell. Indoklás: kezdetben eg csokink van. Minden törés esetén eggel nő a darabok száma, hiszen minden esetben eg darabból kettő lesz. Mivel végül n k darab lett, íg n k törésre van szükség.. Eg légitársaság nagváros mindegikét összeköti bármel másikkal (vagis bármelikből bármelikbe eljuthatunk, bár elképzelhető, hog esetleg többször is át kell szállnunk). a) A légitársaság minimum hán járatot üzemeltet? Mivel minden járat csak várost köt össze, ezért tíz város bármelikéből járattal juthatunk el az összes többibe, ha a járatok csak eg iránba közlekednek. b) A légitársaság maimum hán járatot üzemeltet? (Ebben az esetben közvetlen oda-vissza kapcsolat van bármel két város között. Mindegik járatot egszer vegük figelembe!). megoldás: Számozzuk meg a városokat! Az első városból 9 másikat kell elérni, ez 9 = 8 járatot jelent. A második városból 8-at kell elérni (az elsővel már összekötöttük), ez 8 = 6 járatot jelent, és íg tovább. Összesen :::+ + = (9+8+7+:::++)= 45 = 9 járatot üzemeltet a társaság maimálisan.. megoldás: Jelöljük a városokat eg-eg ponttal, a járatokat eg-eg níllal! város mindegikéből 9 níl indul ki, vagis összesen 9. Megjegzés: A., 3., 4., 5. feladat kapcsán, ha az idő engedi és a tanulók érdeklődése indokolja, beszélhetünk a gráfokról, megemlíthetjük az iránított gráfokat. Ejthetünk pár szót a gráfelméletnek a magar matematikatörténetben betöltött fontos heléről. 3. Hán átlója van eg szabálos 7 szögnek? Próbálj lépésről lépésre haladni, vizsgálj meg előbb egszerűbb eseteket! Megszámozzuk a pontokat. Az első pont 6 ponttal köthető össze. A második 5 újabb, a harmadik 4 újabb szakaszt határoz meg, és íg tovább. Összesen :::+ + = 36 szakaszt kapunk. Ebből 7 nem átló, hanem oldal. Íg az átlók száma: 36 7 = 9. Másik megoldás: Ha eg csúcsból átlót akarunk húzni, akkor önmagába és a két szomszédos csúcsba nem húzhatunk 7 4 átlót. Íg a szabálos 7 szög minden csúcsából 4 átló húzható. Az összes átló száma = 9, mert ezzel a módszerrel minden átlót mindkét végpontjánál számba vettünk. 4. Eg társaságban csak férfiak vannak. Mindenki mindenkivel kezet fog. Az emberek egesével érkeznek.

9 Kombinatorika Hán kézfogás történik, ha összesen 7-en vannak? Ha egmás után érkeznek az emberek, akkor a másodikként érkező eg emberrel fog kezet a megérkezésekor. A harmadik két ott lévővel, és íg tovább. A legutolsó 6 emberrel. Íg összesen ::: = 36 kézfogás történik. 5. Van-e kapcsolat a 3. és 4. feladat között? Ha igen, akkor mi? Módosítható-e (csupán eg-két szó beillesztésével) a 3. feladat úg, hog gakorlatilag a 4. feladatot kapjuk? Mit jelent itt a gakorlatilag szó? Ha a 3. feladat az oldalak és átlók számát kérdezte volna, akkor épp a 4. feladat eg szemléltetése lenne. A gakorlatilag szó azt jelenti, hog eg-eg férfit eg-eg pontra, a kézfogásokat szakaszokra (oldalakra vag átlókra) kicserélve a módosított harmadik és a negedik feladat szövege megegezik. 6. Eg társaságban csak nők vannak. Mindenki mindenkinek Jó napot! -ot köszön. Hán köszönés hangzik el, ha 7-en vannak?. megoldás: Bármel két nő között két köszönés hangzik el. Az 5. feladatban bármel két férfi eg kézfogással köszöntötte egmást. Íg a köszönések száma a kézfogások számának kétszerese: 36 = 7.. megoldás: Eg szabálos 7 szögben a nőket eg-eg csúccsal, a köszönéseket eg-eg níllal jelölve a nilak száma: 7 6 = óra: Melik utat válasszam? Tk.: 7. oldal,. feladat Fg.: feladat A fejezetnitó példa nagon egszerű, de a megértése kulcsfontosságú. Hangsúloznunk kell, hog az összeszorozgatás csak akkor lehetséges, ha az új döntésünkkor ugananni lehetőség közül választhatunk, bármi történt is korábban. A fejezetben használjuk, de nem nevezzük néven az ismétléses variációt, képletet sem készítünk az általános esetre. Az összes eset rosszak száma = jók száma nagon sokszor használható, érdemes felhívni rá a tanulók figelmét. Feladatok. Hánféleképpen olvasható le az ábráról az oázis szó? Csak az O-nál S és az I-nél van döntési lehetőségünk: 4 3 = a kiolvasások száma. S I S. Hán olan rövid ( ) és hosszú ( ) jelből álló morzejelsorozat van, Z amel: S Á S a) 5 jel hosszúságú; Minden esetben lehetőség közül dönthetünk, íg S I Z Á O Á Z I S 5 = 3 öthosszúságú morzejelsorozat van. S Á S b) legfeljebb 5 jel hosszúságú? Z Eg hosszú jelsorozat darab; S I S kettő hosszú jelsorozat = 4 darab; három jelből álló morzejel 3 = 8 darab; nég jelből álló morzejel 4 = 6 darab; öt jelből álló morzejel 5 = 3 darab. S Összesen tehát = 6 legfeljebb öthosszúságú morzejelsorozat van. 9

10 Kombinatorika 3. Kutatómunka: Nézz utána az interneten vag leikonban! a) Mikor alakult ki a morzejelrendszer? Samuel Finle Breese Morse találta fel 835-ben. A rádióamatőrök, vag például hajók és kikötők kommunikációjára még napjainkban is használják. b) Hol alkalmazták? Üzenetek közlésére használják. Nemcsak a betűket, de a számokat és írásjeleket is kódolják. Az első távíróvonal 844-ben nílt meg Amerikában, Washington és Baltimore között. c) Más-más nelveken eltérő-e? Természetesen. Az eredeti angol kódolást a magarban is használják, de ki kellett egészíteni bizonos betűk (például az ö és ü) kódjával. 4. Hánféle eredmén lehetett a félidőben a 4 : 3 végeredménű meccsen, ha tudjuk, hog a második félidőben csak eg gól esett? És ha három? Ha a második félidőben gól volt, akkor az első félidő eredméne csak 4 : vag 3 : 3 lehetett, azaz a megoldás. Három gól esetén 4 :, 3 :, : vag : 3 lehetett az eredmén, vagis négféle. 5. Feldobunk eg dobókockát a) háromszor, b) ötször. A kapott számokat egmás mellé írva eg-eg (háromjegű, illetve ötjegű) számot kapunk. Hán A: 5-tel osztható, B: páros, C: 4-gel osztható szám jöhet ki? A: Az utolsó dobás csak 5-ös lehet, a többi hatféle, íg 6 = 36, illetve 6 4 = 96 a lehetőségek száma. B: Az utolsó dobás, 4 vag 6 volt, a többi hatféle lehetett, íg az A pontbeli lehetőségek háromszorosa fordulhat elő: 3 6 = 8, illetve = C: Az utolsó jegből álló kétjegű szám csak a, 6, 4, 3, 36, 44, 5, 56, 64 lehet (összesen 9 eset), a többi számjeg pedig hatféle. Ezért 6 9 = 54, illetve = 944 lehetőség van. 6. A hatjegű számok hán %-a tartalmaz: a) 9-es számjeget, Az összes hatjegű szám száma: 9 5, közülük nem tartalmaz 9-est: Tartalmaz 9-est: Ez az összes ( )=9 5 = = 475 része, vagis 47 5 %-a. b) 8-as vag 9-es számjeget? A szám nem tartalmaz 8-as vag 9-es számjeget tagadása a szám nem tartalmaz 8-ast és nem tartalmaz 9-est, vagis egiket sem. Ilen hatjegű szám darab van. Olan hatjegű tehát, amelben van 8-as vag 9-es, darab van. Ez a hatjegűek számának ( )=9 5 = = 745 része, azaz 74,5 %-a. 7. a) Hán olan hatjegű szám van, amelben csak páratlan számjegek szerepelnek? Mivel mind a 6 számjeg ötféle lehet, 5 6 = 5 65 a lehetőségek száma. b) Hán olan hatjegű szám van, amelben csak páros számjegek szerepelnek? Az első helre 4, a többire 5 számjeg kerülhet, íg = 5 ilen szám van. Kevesebb eset van, mint az a) esetben. Megjegzés: Számolhatunk a b) esetben úg is, hog az összes helre megengedjük az összes páros számjeget, majd a -val kezdődőek számát levonjuk az összes esetből: = 5. Hasonlítsd össze a két feladat eredménét! 8. Hán olan tízjegű szám van, amelnek minden jege különböző?. megoldás: Mivel számjegünk van, és minden jegnek különbözőnek kell lennie, minden számjeget pontosan egszer használunk fel. Az első helre 9 számjeg kerülhet (a nem), a másodikra is 9, a harmadikra 8, a negedikre 7, és íg tovább. Összesen 9 9! = ilen szám van.. megoldás: a kilenc helre kerülhet (előre nem), az szintén 9 helre (eg már foglalt), a nolc helre, és íg tovább. 9 9! = számot kapunk. 9. Feldobtunk eg dobókockát hétszer, a kapott számokat egmás után írva eg hétjegű számot kaptunk. a) Hánféle lehet ez a szám? Minden számjeg hatféle lehet, ezért 6 7 = b) Hánféle lehet, ha az utolsó dobás -es volt? Az utolsó számjeg rögzített, ezért 6 6 = c) Hánféle lehet, ha az utolsó dobás -es volt, és a kapott szám osztható 4-gel? Az utolsó jeg, 3 és 5 lehetett csak, a maradék 5 dobás bármi, íg = 3 38 lehetőség van.

11 Kombinatorika. Projektfeladat: Alkossatok 4-5 fős csoportokat! Válasszatok eg témát az alábbi hat közül! Gűjtsetek erről anagot az interneten és a könvtárban! Tartsatok 5-7 perces kiselőadást a munkátokról az osztálban, vag készítsetek tablót, amelet kitehettek a falra! A zárójelben segítséget találtok, de más iránban is elindulhattok.. A számítógépek és a -es számrendszer ( -féle ember létezik: akik ismerik a bináris számokat, és akik nem. ) Megjegzés: -féle a kettes számrendszerben, vagis kétféle. 3. A genetikai kód a DNS (Fehérjék, -féle aminosav kódolása 4-féle nitrogénvegülettel. Miért 3 hosszúságú a kód? Mikor fedezték fel?) 4 4 = 6, ezért két vegület nem tud kódolni aminosavat, de három természetesen igen. A DNS-t (dezoiribonukleinsavat) két genetikus, James Watson és Francis Crick fedezte fel 953-ban. A DNSlánc minteg méter, de fel van csavarodva, íg a sejtmagba belefér. A projektfeladat (. feladat) akár poszter formában is kérhető, és természetesen kiállítást is szervezhetünk az osztálban. 5. óra: Sorrendek száma Tk.: 8. oldal, 9. feladat Fg.: feladat A fejezet az ismétlés nélküli permutációról szól. Egszerű feladatokon keresztül jutunk el az általános képlethez. Foglalkozunk olan példákkal, amikor rögzített elemek vannak, illetve valamilen kötöttség lép fel, feltétel fogalmazódik meg. Érdemes pár percet elidőzni annál, hog kapott eredméneink (mondjuk a 7!) milen óriási nag számok. Hívjuk fel tanítvánaink figelmét arra, hog kötöttségek (feltételek) esetén általában kevesebb lehetőség van, mint azok nélkül. Ennek szemléltetésére nagon alkalmas például a 4. feladat. Ha van időnk és kedvünk, beszélgethetünk arról a tanítvánainkkal, hog a feltételek/szabálok egrészt csökkentik a lehetőségeket (minteg korlátoznak minket), másrészt érdekes világokat teremthetnek. Ha nem lennének szabálok arra, hog a sakkfiguráknak hogan kell lépniük, sokkal több lehetőségünk lenne, de íg az egész játék érdektelenné válna. (Hasonlóan: a szabál nélküli tánc csak vonaglás, a szabálok teremtik meg azt a világot, amelet tangónak vag csárdásnak nevezünk:::és foltathatjuk a sort kártajátékok vag az eges országok közlekedési szokásainak felidézésével.) Feladatok. Számítsd ki az alábbi kifejezések értékét! a) 7! = 54 b) 8! = 4 3 c) (5!) =5! 5! = = 4 4 d) 8! 9 =! = e)! 98! = 98! 99 98! =99 = 99 Hívjuk fel a tanítvánaink figelmét arra, hog számológép-barátunk az e) feladatnál cserbenhag bennünket, hiszen E betűt ír ki, mégis meg tudjuk oldani a példát!. Próbáld ki a számológépeden, hog mit ír ki!, 5!,!,! esetén! Ki tudod olvasni a! értékét?! értékét? 3! értékét? (Például: 8! = negvenezer-háromszázhúsz.) 5! A! (és természetesen a!) esetén a legtöbb gép errort (E-t) ír ki, már nem tudja kezelni.

12 Kombinatorika Megjegzések:. Beszélgethetünk arról a tanulókkal, hog mit jelent az, hog a! esetén (normálalakban) a tizedesvessző utáni ötödik jeget már nem írjuk le. Például: Menni lenne a megadott számtól való eltérés, ha csak két tizedesjegig írnánk le a számot? Nag vag kicsi? Milen nagságrendű lenne az eltérés?. Megemlíthetjük, hog eg nagságrend -szerest jelent. Vagis például ha az egik csapat 53, a másik gólt dobott, akkor nem igaz az a hangzatos szöveg, hog nagságrendekkel több gólt szerzett a gőztes a milliárd milliárdszorosa. 4. Megkérdezhetjük a tanulókat, hog a!-t kiszámolhatjuk-e íg: 5! 5! Természetesen nem. 5. Érdemes felhívni a tanulók figelmét, hog a a számológépükön (általában) íg szerepel: : focista egmás mögött kifut a pálára. Hán sorrend lehetséges, ha: a) nincs megkötés;! = b) elöl fut a csapatkapitán, utána a kapus; 9! = 36 88, mert az első két hel rögzített. c) hátul fut a nég védő; 7! 4! = 54 4 = 96, mert a védők 4!-féleképpen, a többiek 7!-féleképpen futhatnak ki. d) b) és c) is teljesül? 5! 4! = 4 = 88, mert a csapatkapitán és a kapus helzete kötött, a védők 4!-féleképpen, a többiek 5!-féleképpen jöhetnek ki. 4. Hánféleképpen jöhetnek be az osztálod tanulói egmás után az osztálba, ha: a) nincs megkötés; n tanuló n!-féleképpen jöhet be a terembe. Ha például 3 tanuló van az osztálban, 3! a lehetőségek száma. (Érdemes rávezetni a tanulókat, hog kimondják: eg óriási számról van szó.) b) a fiúk előreengedik a lánokat; Ha l lán van és f fiú, akkor l! f! a lehetőségek száma. Ha például lán és fiú van,!! különböző módon jöhetnek be a terembe. c) előbb bejön az összes fiú, és csak utánuk a lánok? Ha l lán van és f fiú, akkor f! l! a lehetőségek száma, vagis éppen anni, mint a b) feladatban. Megjegzés: Érdemes összehasonlítani a!! számot a 3!-sal (vag az osztálban kapott értékeket 3! egmással) például úg, hog vesszük a hánadosukat. = Ha az osztálban a lánok!! és fiúk száma nem nagon tér el egmástól (és átlagos az osztállétszám), óriási lesz a hánados. 5. A, B, C, D, E, F moziba meg. Hánféleképpen foglalhatják el a helüket, ha a jegeik egmás mellé szólnak, és: a) nincs megkötés; 6! = 7 lehetőség van. b) B mindenképpen D mellett akar ülni; B és D eg molekulát alkot, de leülhetnek BD és DB sorrendben is. Mindkét esetben a lehetőségek száma 5! =. Összesen tehát: = 4 lehetőség van. c) B mindenképpen D és F mellett akar ülni? B-t D és F közrefogja, és eg háromatomos molekulát alkotnak. Ők hárman kétféle sorrendben ülhetnek le: BDF vag FBD. Mindkét esetben 4! = 4 lehetőség van, összesen tehát 4 = fiú és 4 lán párokban zsonglőrködik eg felvonuláson. Az eg-eg párt alkotó fiúk és lánok mindig egütt maradnak, de páronként pörögnek-forognak. A fiúknál és a lánoknál is fontos, hog ki hánadik párban vesz részt. Hánféle sorrend lehetséges?. megoldás: Ha a lánok megbeszélik, hog melikük hánadik párban lesz majd, akkor 4! = 4 sorrend közül kell dönteniük. Uganez a helzet a fiúk esetén is. Íg 4 4 = 576 sorrendje van a zsonglőröknek.. megoldás: Minden lán választ eg fiút (vag fordítva), ez 4!-féleképpen történhet meg, majd a párok eldöntik, hog ki hánadik lesz, ekkor is 4! lehetőség van. Összesen tehát 4 4 = 576.

13 Kombinatorika 7. a) Eg állatidomár két oroszlánt és három tigrist vezet be a porondra. Az állatok egmás után jönnek be, de a két oroszlán sosem kerülhet egmás mellé. Hán lehetőség van a bevonulásra?. megoldás: Két oroszlán közé kerül eg tigris (OTO) vag két tigris (OTTO) vag három (OTTTO). Az első esetben a másik két tigrist előre (TTOTO) vag hátra (OTOTT) rakhatjuk, vag eget előre, eget hátra (TOTOT). A második esetben is hasonló a helzet a kimaradó tigrissel (TOTTO és OTTOT). Íg összesen 6 mintánk van: TTOTO, OTOTT, TOTOT, TOTTO, OTTOT, TOTOT. Minden minta esetén a tigrisek is helet cserélhetnek egmással, és az oroszlánok is egmással helet cserélhetnek, ezért 3! = az eges esetekben a különböző sorrendek száma. Összesen tehát 6 = 7 sorrend van.. megoldás: Az öt állat 5! = sorrendben jöhetne be. Most viszont tilos az OOTTT, TOOTT, TTOOT és a TTTOO minta. Minden esetben 3! = lehetőség van íg 4 = 48 = 7 sorrend közül választhat az idomár. b) Az a) példából kiindulva tegél fel újabb kérdéseket! Eg lehetséges kérdés: Hán sorrend van, ha két tigris nem kerülhet egmás mellé? Mivel csak a TOTOT minta következhet be, ezért 3! = lehetőség van. Természetesen feladható az eredeti kérdés is az oroszlánok vag tigrisek számának megváltoztatásával. 8. Eg barokk estet állítunk össze eg-eg Bach-, Händel-, Rameau- és Scarlatti-darabból. Hánféle lehetőség van, ha két szünettel meg a program? (Fontos, hog hol van a szünet.) Jelölje a darabokat B, H, R, S! Szünet nem kerülhet a műsor elejére, végére, és két szünet nem kerülhet egmás mellé. Íg ha már eldöntötték a darabok sorrendjét, mondjuk SRBH, akkor a két szünet három helre kerülhet. (A szünetek lehetséges helét -gal jelölve: S R B H.) A három hel közül kettő háromféleképpen jelölhető ki. A nég darab sorrendje 4! = 4 lehet. Íg 3 4! = 3 4 = 7 lehetőség van. 9. Hán olan tízjegű szám van, amelben minden számjeg egszer szerepel? Ezt a feladatot a Melik utat válasszam? fejezet 8. feladatában megoldottuk már, de akkor úg szerepelt, hog: Hán olan tízjegű szám van, amelnek minden jege különböző? A válasz: 9 9! = Tk.: 5. oldal, 7. feladat Fg.: feladat 6. óra: A sorrendek száma ismétlődő elemek esetén A fejezet az ismétléses permutációval foglalkozik. Egszerű esetekkel foglalkozunk kárták két oldalára írt számok segítségével. Csak két vag három ismétlődő elemre fogalmazunk meg képleteket, konkrét feladatok megoldása után. A tapasztalatokat a tanulók későbbi tanulmánai során fogjuk általánosítani, képleteket most ne tanítsunk! Feladatok. a) Hán ötjegű szám alkotható a 7, 7, 7, 8, 8 kártákból? Válaszodat indokold! Öt jel közül 3 egforma 5! és ezektől különböző másik egforma, ezért 3!! =. b) Hán hétjegű szám alkotható a 6, 7, 7, 7, 8, 8, 9 kártákból? Hét jel közül 3 egforma és ezektől 7! különböző másik egforma, ezért 3!! = 4. c) Hán hatjegű szám alkotható a 6, 7, 7, 7, 8, 8, 9 kártákból? Eg kártát ki kell tennünk. 6! Ha ez a 6-os vag a 9-es, akkor 7, 7, 7, 8, 8, 9 vag 6, 7, 7, 7, 8, 8 marad, ezekből = 6 hatjegű 3!! szám készíthető, vagis eddig 6 = számunk van. Ha eg 7-est rakunk ki, akkor 6, 7, 7, 8, 8, 9 marad, 6! ezekből = 8 hatjegű számot rakhatunk ki. Ha eg 8-ast nem használunk fel, akkor 6, 7, 7, 7, 8, 9!! marad, ezekből 6! = hatjegű szám készíthető. Összesen tehát: = 4. 3! 3

14 Kombinatorika Megjegzés: A kártáinkból készíthető hétjegű számok számát kiszámolhatjuk úg is, hog megnézzük, hog hán olan van, amikor az utolsó számjeg a 6-os, eg 7-es, eg 8-as, illetve a 9-es. Minden esetben azokat a lehetőségeket kapnánk, mint a c) feladat megoldásánál. Íg nem meglepő, hog a kártáinkból képezhető hatjegű és hétjegű számok száma megegezik.. Két sakkozó (Ági és Dorka) nég partit játszott egmással. Gőzelemért pont, a döntetlenért pont járt, a parti vesztese nem kapott pontot. Tudjuk, hog Dorka 3 : -re nert. Hánféleképpen alakulhatott ki a végeredmén? Dorka szempontjából nézzük az eredmént. Elérhetett 3 gőzelmet és eg vereséget. Az,,, jeleknek 4 sorrendje van. Lehetett gőzelem és döntetlen. Az,,, jeleket 4!!! = 6-féleképpen tudjuk sorba rakni. Összesen tehát = -féleképpen akalulhatott ki az eredmén. 3. Kedvenc csapatod az utolsó hét meccsén 3-szor nert, -szer döntetlent ért el. Hánféleképpen születhetett meg ez az eredmén? Bevezetve a NY (nert), D (döntetlen), V (vesztett) jeleket, az utolsó 7 fordulóban 7! NY, NY, NY, D, D, V, V volt az eredmén. 7 jel közül 3 egforma, egforma és egforma. 3!!! = - féleképpen alakulhatott ki az eredmén. 4. Kedvenc csapatod az utolsó nég meccsén 8 pontot ért el. Hánféle sorrendben gűjthette be a pontokat, ha gőzelemért 3, döntetlenért, vereségért pont jár? Ha csak eget nert volna a csapat, akkor maimum = 6 pontot ért volna el, ez kevés. Ha hármat nert volna, akkor minimum = 9 pontot szerzett volna, ez sok. Vagis biztosan kettőt nert: 8 = Csak gőzelem és döntetlen lehetett. A 4! NY, NY, D, D jeleket = 6-féleképpen tudjuk sorba rakni.!! 5. Hán különböző (nem feltétlenül értelmes) szó készíthető a: a) REMEK, 5 jel közül egforma: 5! = 6 szó készíthető, ha az összes betűt felhasználjuk.! b) ALMAFA, 6 jel közül 3 egforma: 6! = szó készíthető, ha az összes betűt felhasználjuk. 3! c) ARANYALMA, 8 jel (az NY csak eg jel) közül 4 egforma: 8! = 68 szó készíthető, ha az összes betűt 4! felhasználjuk. 9! d) ALMAILLAT szavak betűiből? 9 jel közül 3 egforma és másik 3 egforma: = 8 szó készíthető, 3! 3! ha az összes betűt felhasználjuk. 6. Hán hatjegű, illetve ötjegű számot képezhetünk a, 3, 3, 4, 4, 4 kárták segítségével? a) A hatjegűek számát kiszámolhatjuk, ha az összes terítés számából levonjuk azoknak a számát, amelek -val 6! kezdődnek:! 3! 5! =6 = 5.! 3! b) Az ötjegű számoknál eg kárták kiveszünk, és nem használjuk fel. Ha ez a, akkor 3, 3, 4, 4, 4 marad 5! 5! = lehetőség van. Ha ez az egik 3-as, akkor, 3, 4, 4, 4 marad! 3! 3! 4! = 4=6 3! lehetőség van. Ha ez az egik 4-es, akkor, 3, 3, 4, 4 marad 5!!! 4! =3 6 = 4 eset van.!! Összesen tehát = 5 eset van. Megjegzés: A b) esetben éppen anni szám van, mint az a) részben. Ez nem meglepő, hiszen a hatjegűek számát kiszámolhattuk volna úg is, hog megnézzük, hán olan van, amikor a, eg 3-as, illetve eg 4-es áll az utolsó helen, és épp, 6, illetve 4 esetet kaptunk volna, mint a b) feladatnál. 7. Péter elfelejtette a lakása riasztójának kódját. Arra emlékszik csak, hog volt benne hármas, néges és hetes is, más szám viszont nem. A kód ötjegű. Hán számot kell végigpróbálnia? Ha nag szerencséje van, akkor csak eg számot, ha nagon nincs szerencséje, akkor az összeset. Két alapeset van:. az egik számból három, a többiből eg;. két számból kettő, eg számból eg volt a kódban. A lehetőségek: 4

15 Kombinatorika 3, 3, 3, 4, 7 5! = lehetőség, mert az 5 jel közül 3 egforma. Szintén - lehetőség van a 3, 4, 4, 4, 7 és a 3! 3, 4, 7, 7, 7 számötösöknél. 3, 3, 4, 4, 7 5! = 3 lehetőség, mert az 5 szám közül - egforma. Szintén 3-3 lehetőség van a 3, 3, 4,!! 7, 7 és a 3, 4, 4, 7, 7 számötösöknél. Tehát legalább eg, legfeljebb = 5 lehetőséget kell Péternek kipróbálnia. 7. óra: A lottó kiválasztás, ha a kiválasztott számok sorrendje nem fontos Tk.: 5 3. oldal, 8. feladat Fg.: feladat A fejezet során az ismétléses kombinációval kezdjük meg az ismerkedést. Két vag három elem kiválasztásával foglalkozunk csak, a bonolultabb esetekről és a binomiális egütthatókról a magasabb évfolamokon ejtünk szót. Hangsúloznunk kell, hog az eddigi példákban fontos volt a kiválasztás sorrendje, most viszont nem. A cím azért iránítja rá a lottóra a figelmet, mert a tanulók tudják, hog ennél nem fontos, hog milen sorrendben történik a számok kisorsolása. Feladatok. Bizonítsd be, hog nolc különböző dolog közül kettőt 8-féleképpen tudsz kiválasztani, ha a kiválasztás sorrendje nem számít! Bizonítás: Ha a sorrend számítana, akkor az első dolog 8-féle lehetne, a második 7-féle, bármi is az első. Íg a lehetőségek száma 8 7 = 56 lenne. De ekkor minden párt kétszer számolnánk össze. Ha a sorrend nem számít, feleenni, azaz 8 lehetőség van.. Eg kávézóban nolcféle pörkölt kávét árulnak kimérve. Hánféle keveréket kaphatsz, ha: a) két fajtából kérsz: az egikből g-ot, a másikból 5 g-ot; Fontos, hog melikből kérjük a g- ot és melikből az 5 g-ot. Az elsőre 8 közül, a másodikra 7 közül választhatunk, íg összesen 8 7=56 lehetőségünk van. b) két fajtából kérsz 5-5 g-ot? Most mindeg, mit kérünk először, illetve másodszor, ezért más eredmént kapunk, mint az a) részben. A feladat megegezik tehát az előző,. feladattal, ezért 8 lehetőségünk van. Miért kapsz a két feladat esetén más-más eredmént? Mert az a) esetben számít a sorrend, a b) esetben nem. 3. Hánféleképpen rakhatsz le eg sakktáblára: 4. a) két világos bástát; 64 mező közül ki kell választani azt a kettőt, ahová a básták kerülnek. eset van, mert eg mezőn két figura nem állhat = 6 b) eg világos és eg sötét bástát? A fehér básta 64, a fekete 63 helre kerülhet (nem állhat eg mezőn két figura), ezért = 43 lehetőség van. Uganaz az a) és b) feladat, vag sem? A két feladat nem uganaz, a b) esetben kétszer anni lehetőség van, mint az a) esetben. Hánféleképpen rakhatsz le eg sakktáblára: a) két világos bástát, b) eg világos és eg sötét bástát úg, hog azok ne üssék egmást, azaz ne legenek se azonos sorban, se azonos oszlopban? Uganaz az a) és b) feladat vag sem? A b) esetben a fehér bástát 64 helre rakhatjuk. A rajzok mutatják, hog a fekete bástának lesznek tiltott mezők. Bárhová raktuk is a fehéret, a fekete bástát 64 5 = 49 mezőre helezhetjük. Íg a lehetőségeink száma = 336. Az a) esetben éppen feleanni (568) lehetőség van, mint b) esetben, hiszen itt nem tudjuk megkülönböztetni a bástákat. B B 5

16 Kombinatorika 5. Hán olan tízjegű szám van, amelben a számjegek összege: a), Eg olan tízjegű szám van, ahol a számjegek összege : ez a szám a 9. b), Lehet a számban eg -es és kilenc, vag darab eges és nolc nulla. Az első esetben eg ilen szám van. A második esetben a legnagobb heli értékre lerakjuk az egik egest, a másodikat pedig 9 helre tehetjük, íg 9 ilen szám van. Összesen + 9 = olan tízjegű szám van, amelben a számjegek összege. c) legalább 4, Legalább nég azt jelenti, hog 4 vag 5 vag 6, és íg tovább 9-ig. A legalább 4 tagadása: kisebb, mint 4, vagis vag vag 3. Ezt érdemes megvizsgálni. Az első kettő vizsgálatát az a) és b) pontban megtettük. Három lesz az összeg, ha eg hármas és kilenc nulla, vag eg kettes, eg eges és nolc nulla, vag három eges és hét nulla van a számban. Eg hármas és kilenc nulla eg ilen szám van (az első számjegnek hármasnak kell lennie). Eg kettes, eg eges és nolc nulla kilenc olan szám van, amelben az első számjeg eges (ekkor a -es kilenc helen állhat), és kilenc olan szám van, amelben az első számjeg kettes (ekkor a -es kilenc helen állhat): = 8 ilen szám van. Három ( ) eges és hét nulla van a számban az első számjeg eges, a többi egest a megmaradt 9 helre 9 = 36-féleképpen rakhatjuk le. Tehát 36 ilen tízjegű szám van. Összesen tehát = 55 darab tízjegű szám esetén lesz a számjegek összege 3. Összefoglalva: = 66 olan tízjegű szám van, amelben a számjegek összege kisebb, mint 4. Mivel 9 9 tízjegű szám van, ezért olan van, amelben a számjegek összege legalább 4. ( ) d) 88, = 88, illetve = 88 alapján, illetve = 45, vagis összesen + 45 = 55 ilen szám van. e) 89, = 89 alapján ilen szám van. f) 9? 9 = 9 alapján ilen szám van. 6. Eg országban az,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, számok közül hármat húznak ki a lottón. a) Eg látnok elmondta neked, hog a következő héten pontosan két páros számot fognak kihúzni. Hán szelvént kell kitöltened a telitalálatoshoz, ha hiszel neki? Öt páros szám közül kettőt kell kiválasztani, öt páratlan közül pedig eget. Az előbbi 5 4 = -féleképpen, az utóbbi 5-féleképpen tehető meg. Íg 5 =5 szelvént kell kitölteni a telitalálatoshoz. b) Ugan nem jött be a jóslata, de újból próbálkozik. Azt állítja, hog pontosan eg darab 6-nál nagobb szám lesz az eredménben. Hán szelvént töltesz ki, ha továbbra is bízol benne? Az első 6 szám közül kettőt kell kiválasztani, az utolsó négből eget = 6 lehetőség van. c) A látnok most azt mondja, hog a következő héten a két korábbi jóslata egszerre fog teljesülni. Most hán szelvént kell kitöltened, ha bizalmad töretlen? Amit tudunk (vag inkább feltételezünk) az, hog két páros és eg páratlan szám lesz, és ezek közül csak eg hatnál nagobb. Esetszétválasztást csinálunk:. Ha a hatnál nagobb szám páros ( lehetőség: a 8 és a ), akkor az első hat közül még eg párost (3 lehetőség) és eg páratlant (3 lehetőség) kell kiválasztani. Összesen 3 3 = 8 lehetőségünk van.. Ha a hatnál nagobb szám páratlan ( lehetőség: a 7 és a 9), akkor az első hat körül párost kell kiválasztanunk. Azaz, 4, 6 közül eget elhagunk, ez három lehetőséget jelent. Összesen 3 = 6 eset van. Összefoglalva: A lehetőségek száma = 4. Megjegzés: A fejezetben sok olan feladat volt, ahol esetszétválasztást csináltunk. Felhívhatjuk a tanulók figelmét, hog ilenkor úg tűnhet, hog többet dolgozunk a kelleténél, de a kapott részfeladatok a kiindulásihoz képest általában jóval könnebbek. 6

17 Kombinatorika 7. Az { 3 4 5} halmaznak hán olan részhalmaza van, amelre igaz, hog: a) az benne van; 4 = 6 (mintha eg négelemű halmaz részhalmazait néznénk, hiszen az -esnél nincs döntési lehetőségünk). b) a 3 nincs benne; 4 = 6 (mintha eg négelemű halmaz részhalmazait néznénk, hiszen a 3-asnál nem dönthetünk). c) a 4 és az 5 is eleme; 3 = 8 (mintha eg háromelemű halmaz részhalmazait néznénk, mert a 4-esnél és 5-ösnél nem dönthetünk). d) a 4 vag az 5 eleme? Legalább az egik benne van a feltételnek megfelelő részhalmazban.. megoldás: I. Az 5-ös benne van, de a 4-es nem: 3 = 8 részhalmaz; II. a 4-es benne van, de az 5-ös nem: 3 = 8 részhalmaz; mindkettő benne van: 3 = 8 eset. Összesen = 4.. megoldás: AU B = A + B A B alapján 4 (ahán részhalmaz tartalmazza a 4-est) + 4 (ahán részhalmaz tartalmazza a 5-öst) 3 (ahán részhalmaz tartalmazza a 4-est és 5-öst is) = = megoldás: A részhalmaznak a 4 vag az 5 eleme tagadása a részhalmaznak sem a 4, sem az 5 nem eleme. Az összes részhalmaz számából ( 5 = 3-ből) elvesszük a számunkra nem megfelelő 3 = 8 esetet: 3 8 = Párokban dolgozzatok! Mit gondoltok, miért nem az a lottóverzió lett népszerű, amelben 9 szám közül 85-öt kell eltalálni? Bár ugananni eset van, mint a klasszikus lottónál, nagon sok idő lenne a 85 számot bejelölni. (És valószínű, hog az emberek nem kis része nem is hinné el, hog a lehetőségek száma nem több.) Vajon mi az oka annak, hog a -ból -at lottó bevezetését sem tervezi senki? szám közül -at olan sokféleképpen lehet kiválasztani, hog gakorlatilag soha nem lenne telitalálatos. Íg senki sem venné meg a szelvéneket. 8. óra: Lépésről lépésre Tk.: oldal, 6. feladat Fg.: feladat A fejezet bepillantás a rekurzív feladatok világába. A nitópélda nem könnű, a. és 3. példával is kezdhetjük a fejezetet. Feladatok. Próbálkozz a 3. példa b) részének megoldásával ki- A sebb téglalapokra bontva az ábrát! A-ból C -be = út visz. D-ből B-be 3 + = 4 úton juthatunk. Mivel C és D között csak eg út van, ezért 4 = 4 lehetőségünk van C D 3 B. Hán út visz A-ból B-be az alábbi ábrán, ha csak jobbra vag lefelé léphetünk? Minden mezőbe beírjuk, hog hán úton juthatunk el oda. A B Összesen 8 lehetőségünk van. 7

18 Kombinatorika 3. Kutatómunka: Nézz utána a könvtárban vag az interneten, hog ki volt Fibonacci (ejtsd: fibonaccsi)! Mikor és hol élt? A róla elnevezett számokkal találkoztunk-e ebben a fejezetben? Leonardo Pisano Fibonacci 7 körül született és 5 körül halt meg. A középkor legkiemelkedőbb matematikusának tartják. Fő művének (Liber quadratorum, Négzetszámok könve, 5) nag jelentősége van a számelmélet fejlődésében. A nevét viselő sorozattal, melben minden tag az őt megelőző két tag összege (,,, 3, 5, 8, :::) a Lépésről lépésre fejezet. példájában találkoztunk. 4. Hán út visz az ábrán látható eges körökbe, ha minden lépés lefelé tör- ténik? Összesen hán út vezet az első, második, harmadik, negedik sorba? A mezőkbe beírjuk, hog hánféleképpen juthatunk el hozzájuk: A Pascal-háromszög számaihoz jutottunk Feldobunk eg szabálos tetraédert. (Ezt a testet nég szabálos háromszögből tudod megépíteni.) A lapokra az F, L, J, B betűket írjuk, jelentésük: fel, le, jobbra, balra. A koordináta-rendszer origójába rakunk eg bábut. Minden dobásnál eg egséget mozdulunk el, a dobásnak megfelelő iránba. Mel rácspontokra juthatunk és hánféleképpen, ha: a) eg, b) kettő, c) három, d) nég dobásunk van? Felhasználva az a) A b) feladat megoldását A c) feladat megoldását felhasználva: feladat megoldását: felhasználva: A rácspontokat négzetekkel szemléltetjük, beírjuk, hog hánféleképpen juthatunk el hozzájuk Hogan játszhatnánk ezt a játékot, ha nincs szabálos tetraéderünk, de van két különböző pénzdarabunk? És ha csak eg? Megjegzések:. Ha a), b), c), illetve d) esetben összeadjuk az összes számot, 4, 4, 64, 56 lesz az eredmén. Ez nem meglepő, hiszen eg dobás esetén 4 = 4 az összes lehetőség, két dobásnál 4 = 6, három dobásnál 4 3 = 64, nég dobásnál pedig 4 4 = 56.. A négzetek szélén megjelennek a Pascal-háromszög számai. 6. Eg lépcsőn akarunk felmenni, ahol lépcsőfok van. Jó a kedvünk, egesével, kettesével vag hármasával vesszük a fokokat (minden lépésben újabb döntést hozunk). Hánféle lehetőségünk van a felérésre? Jelölje f (n) azt a számot, ahán lehetőségünk van felmenni eg n fokból álló lépcsőre! f () =, f () = (mert vag egszerre kettőt lépünk vag kétszer eget), f (3) = 4 (mert vag egszerre hármat lépünk vag + -t vag + -et vag + + -et). f (4) = f (3) + f () + f () = = 7, mert ha az első lépében eg lépcsőfokot lépünk, akkor még három marad, ha elsőre kettőt, akkor kettő marad, ha elsőre hármat, akkor pedig eg. Hasonlóan f (n +3)=f (n +)+f (n +)+f (n). Ezért f (5) = 7+4+ = 3,f (6) = = 4, f (7) = = 44, f (8) = = 8, f (9) = = 49, f () = = 74, f () = = 54. A végeredmén: f () = = 97-féleképpen érhetünk fel a lépcső tetejére. 8

19 Kombinatorika Tudáspróba. Melikből van a legtöbb, illetve a legkevesebb? a) Az,, 3, 4, 4 kártákból képezhető, egmástól különböző, ötjegű számok száma. b) Az,, 3, 4, 5 kártákból képezhető, egmástól különböző, ötjegű számok száma. c) Az,, 3, 4, 5, 6 kártákból képezhető, egmástól különböző, ötjegű számok száma. (Ekkor eg kárta kimarad.) Az,, 3, 4, 4 kártákra felírhatjuk az,, 3, 4, 5 számokat. A b) esetben akármelik számot raktuk is ki, a 4-es és 5-ös kártát megcserélve újabb számot kapunk, az a) esetben viszont nem. Íg kétszer anni szám van b) esetben, mint a) esetben. Akármelik számot raktuk is ki b) esetben, c) esetben is megkaphatjuk uganazt. Az -est 6-osra kicserélve uganenni ötjegű szám rakható ki. Uganez a helzet a többi számjeg (; 3; 4; 5) esetén. Íg a b) esethez képest hatszor anni szám van.. Az előző példában hánszor több eset van akkor, amikor a legtöbb számot rakhatjuk ki, mint amikor a legkevesebbet? 6 = -szer több lehetőség. 3. Menni az első példa eges eseteiben a lehetőségek száma? b) 5! = ; a) 5! = 6; c) 6 5! = 6! = Eg versenen a csapatokat 4-es csoportokba osztják, mindenki játszik mindenkivel, kettő jut tovább minden csoportból. Ekkor újabb sorsolás történik, és minden meccs gőztese a következő fordulóba jut, egészen a bajnok megszületéséig. Hán meccsre kerül sor, ha: a) 4, A körmérkőzés során 4 3 = 6 meccset játszanak, utána a két továbbjutó játssza a döntőt. Összesen 7 mérkőzésre kerül sor a versenen. b) 8, A körmérkőzések során 6 = meccs lesz. A 4 továbbjutó csapat 3 meccset játszik még, hiszen minden meccsen eg esik ki. Összesen + 3 = 5 meccset játszanak le. c) 6, 4 6 = 4 meccs lesz a körmérkőzésekkor, a továbbjutó 8 csapat még 7 meccset játszik, összesen tehát = 3 mérkőzést láthatnak a nézők. d) 3 csapat vesz részt a versenen? 8 6 = 48 meccset játszanak a körmérkőzések során, 6 = 5 meccset a kieséses szakaszban, összesen tehát = 63 meccset rendeznek meg. 5. Feldobunk eg szabálos dobókockát négszer, majd a számokat egmás mellé írjuk. a) Hánféle számot kaphatunk? Mivel minden szám 6-féle lehet, 6 4 = 96 szám jöhet ki. b) Hán párosat? Mivel az utolsó számjeg csak páros lehet, ezért = 648 eset lehetséges. c) Hán 5-tel oszthatót? Mivel az utolsó számjeg csak 5-ös lehet, ezért 6 3 = 6 szám van. 6. Eg állatidomár három oroszlánt és két tigrist vezet be a porondra. Az állatok egmás után jönnek be, de két oroszlán sosem kerülhet egmás mellé. Hán lehetőség van a bevonulásra? Biztosan az OTOTO sorrend valósul meg. Az oroszlánok sorrendje ezen belül 3! = 6-féle, a tigriseké -féle lehet. Összesen 6 = sorrend közül választhat az idomár. 7. Két sakkozó (Ági és Dorka) 4 partit játszott egmással. Gőzelemért pont, a döntetlenért pont járt, a parti vesztese nem kapott pontot. Tudjuk, hog döntetlen ( : ) lett a meccs. Hánféleképpen jöhetett létre az eredmén? (Az eredmének sorrendje számít.) Nézzük Ági szempontjából az eseméneket! Három eset lehetséges: 4!. eset: Két nerés, két vesztés történt (; ; ; ) = 6-féleképpen alakulhatott ki az eredmén.. eset: Eg nertes, eg vesztett parti és két döntetlen volt (; ; =; =) 4! = sorrend lehetséges. 3. eset: Nég döntetlen született (=; =; =; =). Csak eg sorrend van. Íg összesen = 9-féleképpen alakulhatott ki a végeredmén. 9

20 Kombinatorika 8. A 4, 4, 4, 5, 6, 7 kártákból hán különböző, hattal osztható, a) hatjegű, b) ötjegű, c) négjegű szám készíthető? Az utolsó számjegnek párosnak kell lennie és a számjegek összegének 3-mal oszthatónak. A 6 szám összege (3) osztható 3-mal, ezért a b) és c) esetben hárommal osztható az elhagott szám, illetve az elhagott számok összege. a) Ha az utolsó számjeg 4-es, akkor a megmaradó számjegeknek (4, 4, 5, 6, 7) 5! = 6 sorrendje van. Ha az utolsó helre a 6-ost tesszük, akkor a (4, 4, 4, 5, 7) számötösnek 5! = sorrendje van. 3! Az a) esetben összesen 6 + = 8 lehetőség van. b) Csak a 6-os hagható el. Az utolsó helre eg 4-est rögzítenünk kell. A megmaradt számjegeknek (4, 4, 5, 7) 4! = sorrendje van. c) Két eset lehetséges:. eset: Elhaghatjuk a (4; 5) számpárt. A maradó számjegek: 4, 4, 6, 7. Ha az utolsó számjeg 4-es, akkor 3! = 6 sorrend van. Ha az utolsó számjeg 6-os, akkor 3 sorrend van. Az. esetben összesen tehát 9 lehetőség van.. eset: Elhaghatjuk az (5; 7) számpárt. A megmaradó számjegek: 4, 4, 4, 6. Ezeknek bármel sorrendje páros számot ad: 4 szám van. A c) esetben tehát = 3 szám valamelikét rakhatjuk ki. 9. Hán út visz A-ból B-be az alábbi ábrán, ha csak jobbra és lefelé léphetünk? A Beírjuk az eges mezőkbe, hog hán úton juthatunk oda. 4 különböző út visz A-ból B-be B 4

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

MATEMATIKA 9. II. kötet KOMPETENCIAALAPÚ EJKLMLNLO

MATEMATIKA 9. II. kötet KOMPETENCIAALAPÚ EJKLMLNLO KOMPETENCIAALAPÚ EJKLMLNLO!"#$%&'()*#)'(%ġ+,-'.%/*,0.%."12 MATEMATIKA.,#3(451'#$"/#,67,489$":.;.,'(/;/*. II. kötet MATEMATIKA 9. II. kötet!"#$%#&'(#$) ") *"+,*"+-$"-) -.*,/,+,$) 0+"10.") *,22,++) ") 1-0$3$)

Részletesebben

Számelmélet. 4. Igazolja, hogy ha hat egész szám összege páratlan, akkor e számok szorzata páros!

Számelmélet. 4. Igazolja, hogy ha hat egész szám összege páratlan, akkor e számok szorzata páros! Számelmélet - oszthatóság definíciója - oszthatósági szabályok - maradékos osztás - prímek definíciója - összetett szám definíciója - legnagyobb közös osztó definíciója - legnagyobb közös osztó meghatározása

Részletesebben

K O M B I N A T O R I K A P e r m u t á c i ó k, k o m b i n á c i ó k, v a r i á c i ó k

K O M B I N A T O R I K A P e r m u t á c i ó k, k o m b i n á c i ó k, v a r i á c i ó k K O M B I N A T O R I K A P e r m u t á c i ó k, k o m b i n á c i ó k, v a r i á c i ó k. Az 1,, 3,, elemeknek hány permutációja van, amelynek harmadik jegye 1- es? Írjuk fel őket! Annyi ahányféleképpen

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I. Számelmélet I. DEFINÍCIÓ: (Osztó, többszörös) Ha egy a szám felírható egy b szám és egy másik egész szám szorzataként, akkor a b számot az a osztójának, az a számot a b többszörösének nevezzük. Megjegyzés:

Részletesebben

Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűségszámítás,

Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűségszámítás, // KURZUS: Matematika II. MODUL: Valószínűség-számítás 17. lecke: Kombinatorika (vegyes feladatok) Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűségszámítás, 3.1.

Részletesebben

A III. forduló megoldásai

A III. forduló megoldásai A III. forduló megoldásai 1. Egy dobozban pénzérmék és golyók vannak, amelyek vagy ezüstből, vagy aranyból készültek. A dobozban lévő tárgyak 20%-a golyó, a pénzérmék 40%-a ezüst. A dobozban levő tárgyak

Részletesebben

Feladatok és megoldások az 1. sorozat Építőkari Matematika A3

Feladatok és megoldások az 1. sorozat Építőkari Matematika A3 Feladatok és megoldások az 1. sorozat Építőkari Matematika A3 1. Tegyük fel, hogy A és B egymást kölcsönösen kizáró események, melyekre P{A} = 0.3 és P{B} = 0.. Mi a valószínűsége, hogy (a A vagy B bekövetkezik;

Részletesebben

Oszthatósági problémák

Oszthatósági problémák Oszthatósági problémák Érdekes kérdés, hogy egy adott számot el lehet-e osztani egy másik számmal (maradék nélkül). Ezek eldöntésére a matematika tanulmányok során néhány speciális esetre látunk is példát,

Részletesebben

Feladatok és megoldások a 8. hétre Építőkari Matematika A3

Feladatok és megoldások a 8. hétre Építőkari Matematika A3 Feladatok és megoldások a 8. hétre Építőkari Matematika A3 1. Oldjuk meg a következő differenciálegyenlet rendszert: x + 2y 3x + 4y = 2 sin t 2x + y + 2x y = cos t. (1 2. Oldjuk meg a következő differenciálegyenlet

Részletesebben

0644. MODUL SZÁMELMÉLET. Közös osztók, közös többszörösök KÉSZÍTETTE: PINTÉR KLÁRA

0644. MODUL SZÁMELMÉLET. Közös osztók, közös többszörösök KÉSZÍTETTE: PINTÉR KLÁRA 0644. MODUL SZÁMELMÉLET Közös osztók, közös többszörösök KÉSZÍTETTE: PINTÉR KLÁRA 0644. Számelmélet Közös osztók, közös többszörösök Tanári útmutató MODULLEÍRÁS A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály

Részletesebben

Matematika (alsó tagozat)

Matematika (alsó tagozat) Matematika (alsó tagozat) Az értékelés elvei és eszközei A tanév során az értékelés alapja a tanulók állandó megfigyelése. Folyamatos fejlesztő célzatú szóbeli értékelés visszajelzést ad a tanuló számára

Részletesebben

Ismétlés nélküli permutáció

Ismétlés nélküli permutáció Ismétlés nélküli permutáció Hányféleképpen lehet sorba rendezni n különböz elemet úgy, hogy a sorrend számít? (Ezt n elem ismétlés nélküli permutációjának nevezzük.) Például hány féleképpen lehet sorba

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 1 I. HALmAZOk 1. JELÖLÉSEk A halmaz fogalmát tulajdonságait gyakran használjuk a matematikában. A halmazt nem definiáljuk, ezt alapfogalomnak tekintjük. Ez nem szokatlan, hiszen

Részletesebben

A zsebrádiótól Turán tételéig

A zsebrádiótól Turán tételéig Jegyzetek egy matekóráról Lejegyezte és kiegészítésekkel ellátta: Meszéna Balázs A katedrán: Pataki János A gráfokat rengeteg életszagú példa megoldásában tudjuk segítségül hívni. Erre nézzünk egy példát:

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2008. május 06. KÖZÉPSZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2008. május 06. KÖZÉPSZINT I. 1) Adja meg a Például: 1 ; 8 8 M 1 ; 10 5 MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 008. május 06. KÖZÉPSZINT I. nyílt intervallum két különböző elemét! ( pont) ( pont) ) Egy 7-tagú társaságban mindenki mindenkivel egyszer

Részletesebben

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása 11 modul: EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK MEGOLDÁSA 6 I Egyenlet fogalma, algebrai megoldása Módszertani megjegyzés: Az egyenletek alaphalmazát, értelmezési tartományát később vezetjük be, a törtes egyenletekkel

Részletesebben

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 0511 ÉRETTSÉGI VIZSGA 005. május 10. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÉRETTSÉGI VIZSGA Az írásbeli vizsga időtartama: 180 perc JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók

Részletesebben

I. rész. Feladatsor. 2. Andi keresett két olyan számot, amelyre teljesül, hogy a < b. Igaz-e, hogy a < b?

I. rész. Feladatsor. 2. Andi keresett két olyan számot, amelyre teljesül, hogy a < b. Igaz-e, hogy a < b? 1. Feladatsor I. rész 1. Adott két halmaz. A a 9-nél kisebb páros pozitív egészek; B a 30-nál kisebb, 6-tal osztható pozitív egészek halmaza. Adja meg az A B és a B \ A halmazokat!. Andi keresett két olyan

Részletesebben

Programozási tételek. Dr. Iványi Péter

Programozási tételek. Dr. Iványi Péter Programozási tételek Dr. Iványi Péter 1 Programozási tételek A programozási tételek olyan általános algoritmusok, melyekkel programozás során gyakran találkozunk. Az algoritmusok általában számsorozatokkal,

Részletesebben

Érettségi feladatok: Halmazok, logika

Érettségi feladatok: Halmazok, logika Érettségi feladatok: Halmazok, logika 2005. május 10 18. Egy rejtvényújságban egymás mellett két, szinte azonos rajz található, amelyek között 23 apró eltérés van. Ezek megtalálása a feladat. Először Ádám

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2005. május 28. KÖZÉPSZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2005. május 28. KÖZÉPSZINT I. ) Mely valós számokra igaz, hogy 7 7 MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 005. május 8. KÖZÉPSZINT I. 7? Összesen: pont ) Egy 40 000 Ft-os télikabátot a tavaszi árleszállításkor 0%-kal olcsóbban lehet megvenni. Mennyi

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 0801 ÉRETTSÉGI VIZSGA 2008. május 6. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

BOLYAI MATEMATIKA CSAPATVERSENY KÖRZETI SZÓBELI FORDULÓ 2005. OKTÓBER 29. 5. osztály

BOLYAI MATEMATIKA CSAPATVERSENY KÖRZETI SZÓBELI FORDULÓ 2005. OKTÓBER 29. 5. osztály 5. osztály Józsi bácsi egy farkassal, egy kecskével és egy fej káposztával egy folyóhoz érkezik, amin át szeretne kelni. Csak egy olyan csónak áll rendelkezésére, amellyel a felsoroltak közül csak egyet

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Halmazok

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Halmazok MTEMTIK ÉRETTSÉGI TÍPUSFELDTOK MEGOLDÁSI KÖZÉP SZINT Halmazok szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

SZÁMÉRTÉKEK (ÁT)KÓDOLÁSA

SZÁMÉRTÉKEK (ÁT)KÓDOLÁSA 1 ELSŐ GYAKORLAT SZÁMÉRTÉKEK (ÁT)KÓDOLÁSA A feladat elvégzése során a következőket fogjuk gyakorolni: Számrendszerek közti átváltás előjelesen és előjel nélkül. Bináris, decimális, hexadexcimális számrendszer.

Részletesebben

148 feladat 20 ) + ( 1 21 + 2 21 + + 20 200 > 1 2. 1022 + 1. 5. Igazoljuk minél rövidebben, hogy a következő egyenlőség helyes: 51 + 1 52 + + 1

148 feladat 20 ) + ( 1 21 + 2 21 + + 20 200 > 1 2. 1022 + 1. 5. Igazoljuk minél rövidebben, hogy a következő egyenlőség helyes: 51 + 1 52 + + 1 148 feladat a Kalmár László Matematikaversenyről 1. ( 1 19 + 2 19 + + 18 19 ) + ( 1 20 + 2 20 + + 19 20 ) + ( 1 21 + 2 21 + + 20 21 ) + ( 1 22 + 2 22 + + 21 22 ) =? Kalmár László Matematikaverseny megyei

Részletesebben

Valószínűség számítás

Valószínűség számítás Valószínűség számítás 1. Mennyi annak a valószínűsége, hogy szabályos játékkockával páratlan számot dobunk? 2. Egy dobozban 7 piros és 13 zöld golyó van. Ha találomra kihúzunk egyet közülük, akkor mekkora

Részletesebben

SULINOVA PROGRAMTANTERVÉHEZ ILLESZKEDŐ TANMENET 9. ÉVFOLYAM SZÁMÁRA

SULINOVA PROGRAMTANTERVÉHEZ ILLESZKEDŐ TANMENET 9. ÉVFOLYAM SZÁMÁRA 1 SULINOVA PROGRAMTANTERVÉHEZ ILLESZKEDŐ TANMENET 9. ÉVFOLYAM SZÁMÁRA Heti óraszám: 3 Éves óraszám: 37 x 3 = 111 A tanmenet 101 óra beosztását tartalmazza. A dolgozatok írása és javítása 10 órát foglal

Részletesebben

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A Matematika 6. évfolyam eszközök diákok és csoportok részére 1. félév A kiadvány KHF/4632-14/2008. engedélyszámon 2008.12.16. időponttól tankönyvi engedélyt kapott Educatio

Részletesebben

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 051 ÉRETTSÉGI VIZSGA 005. május 9. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÉRETTSÉGI VIZSGA Az írásbeli vizsga időtartama: 180 perc JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók

Részletesebben

Írd le, a megoldások gondolatmenetét, indoklását is!

Írd le, a megoldások gondolatmenetét, indoklását is! 0 Budapest VIII., Bródy Sándor u.. Postacím: Budapest, Pf. 7 Telefon: 7-900 Fax: 7-90. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY MEGYEI FORDULÓ 0. április. HARMADIK OSZTÁLY JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ Írd le,

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 0711 ÉRETTSÉGI VIZSGA 007. május 8. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

A lehetetlenségre visszavezetés módszere (A reductio ad absurdum módszer)

A lehetetlenségre visszavezetés módszere (A reductio ad absurdum módszer) A lehetetlenségre visszavezetés módszere (A reductio ad absurdum módszer) Ezt a módszert akkor alkalmazzuk, amikor könnyebb bizonyítani egy állítás ellentettjét, mintsem az állítást direktben. Ez a módszer

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 1414 ÉRETTSÉGI VIZSGA 014. május 6. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

Matematika kisérettségi I. rész 45 perc NÉV:...

Matematika kisérettségi I. rész 45 perc NÉV:... Matematika kisérettségi I. rész 45 perc NÉV:... 1. Az A halmaz elemei a háromnál nagyobb egyjegyű számok, a B halmaz elemei pedig a húsznál kisebb pozitív páratlan számok. Sorolja fel az halmaz elemeit!

Részletesebben

Projektív ábrázoló geometria, centrálaxonometria

Projektív ábrázoló geometria, centrálaxonometria Projektív ábráoló geometria, centrálaonometria Ennél a leképeésnél a projektív teret seretnénk úg megjeleníteni eg képsíkon, hog a aonometrikus leképeést (paralel aonometriát) speciális esetként megkaphassuk.

Részletesebben

KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA

KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA ÉRETTSÉGI VIZSGA 2011. május 3. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2011. május 3. 8:00 I. Időtartam: 45 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Matematika középszint

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET 9.B OSZTÁLY FIZIKA TAGOZAT HETI 6 ÓRA, ÖSSZESEN 216 ÓRA

MATEMATIKA TANMENET 9.B OSZTÁLY FIZIKA TAGOZAT HETI 6 ÓRA, ÖSSZESEN 216 ÓRA MATEMATIKA TANMENET 9.B OSZTÁLY FIZIKA TAGOZAT HETI 6 ÓRA, ÖSSZESEN 216 ÓRA A TÁMOP 3.1.4. EU-s pályázat megvalósításához a matematika (9. b/fizika) tárgy tanmenete a matematika kompetenciaterület A típusú

Részletesebben

Elméleti kérdés minták (3 x 5 pont) 1. Definiálja két halmaz unióját! Készítsen hozzá Venn-diagramot!

Elméleti kérdés minták (3 x 5 pont) 1. Definiálja két halmaz unióját! Készítsen hozzá Venn-diagramot! Elméleti kérdés minták (3 x 5 pont) 1. Deiniálja két halmaz unióját! Készítsen hozzá Venn-diagramot!. Csoportosítsa a négyszögeket az oldalak párhuzamossága, és egyenlősége alapján! 3. Határozza meg a

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Knoch László: Információelmélet LOGIKA

Knoch László: Információelmélet LOGIKA Mi az ítélet? Az ítélet olyan mondat, amely vagy igaz, vagy hamis. Azt, hogy az adott ítélet igaz vagy hamis, az ítélet logikai értékének nevezzük. Jelölése: i igaz h hamis A 2 páros és prím. Logikai értéke

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2011. május 3. KÖZÉPSZINT

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2011. május 3. KÖZÉPSZINT MATMATIKA ÉRTTSÉGI 011. május 3. KÖZÉPSZINT 1) gyszerűsítse a következő törtet, ahol b 6 b b 36 6 I. Az egyszerűsítés utáni alak: b 6 Összesen: pont ) A, 4 és 5 számjegyek mindegyikének felhasználásával

Részletesebben

4. Egyéni és piaci kereslet. 4.1 Ár-ajánlati görbe (PCC)

4. Egyéni és piaci kereslet. 4.1 Ár-ajánlati görbe (PCC) 4. Egéni és iaci kereslet z előző részben megvizsgáltuk azt, hog miként határozható meg eg fogasztó otimális fogasztási szerkezete, illetve azt is elemeztük, hog eg költségvetési egenes helzetére miként

Részletesebben

Árvainé Libor Ildikó Lángné Juhász Szilvia Szabados Anikó. Második félév. Tizenegyedik, javított kiadás Mozaik Kiadó Szeged, 2013

Árvainé Libor Ildikó Lángné Juhász Szilvia Szabados Anikó. Második félév. Tizenegyedik, javított kiadás Mozaik Kiadó Szeged, 2013 Árvainé Libor Ildikó Lángné Juhász Szilvia Szabados Anikó Második félév Tizenegyedik, javított kiadás Mozaik Kiadó Szeged, 0 SZORZÁS ÉS OSZTÁS -VEL Mesélj a képrõl! Hány kerékpár és kerék van a képen?

Részletesebben

Ultrarövid lézerimpulzusban jelenlevő terjedési irány és fázisfront szögdiszperzió mérése

Ultrarövid lézerimpulzusban jelenlevő terjedési irány és fázisfront szögdiszperzió mérése Ultrarövid lézerimpulzusban jelenlevő terjedési irán és fázisfront szögdiszperzió mérése I. Elméleti összefoglaló Napjainkban ultrarövid, azaz femtoszekundumos nagságrendbe eső fénimpulzusokat előállító

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA. 9. Nyelvi előkészítő osztály

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA. 9. Nyelvi előkészítő osztály MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI ELJÁRÁS MELLÉKLET Tanmenetborító Azonosító: ME-III.1./1 Változatszám: 2 Érvényesség 2013. 01. 01. kezdete: Oldal/összes: 1/6 Fájlnév: ME- III.1.1.Tanmenetborító SZK- DC-2013 MATEMATIKA

Részletesebben

Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7

Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 A = {1; 3; 5; 7; 9} A B = {3; 5; 7} A/B = {1; 9} Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 Azonos alapú hatványokat

Részletesebben

4. Számelmélet, számrendszerek

4. Számelmélet, számrendszerek I. Elméleti összefoglaló A maradékos osztás tétele: 4. Számelmélet, számrendszerek Legyen a tetszőleges, b pedig nullától különböző egész szám. Ekkor léteznek olyan, egyértelműen meghatározott q és r egész

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 0813 ÉRETTSÉGI VIZSGA 008. május 6. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 061 ÉRETTSÉGI VIZSGA 006. május 9. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások: A dolgozatot

Részletesebben

Amortizációs költségelemzés

Amortizációs költségelemzés Amortizációs költségelemzés Amennyiben műveleteknek egy M 1,...,M m sorozatának a futási idejét akarjuk meghatározni, akkor egy lehetőség, hogy külön-külön minden egyes művelet futási idejét kifejezzük

Részletesebben

= 3 és az y = 1 egyenletű egyenesek metszéspontjának (M)

= 3 és az y = 1 egyenletű egyenesek metszéspontjának (M) Matematika PRÉ megoldókulcs 04. január 8. MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS KÖZÉPSZINT I. rész: Az alábbi feladat megoldása kötelező volt! ) Adja meg az x+ y = 3 és az y = egyenletű egyenesek metszéspontjának

Részletesebben

LINEÁRIS PROGRAMOZÁSI FELADATOK MEGOLDÁSA SZIMPLEX MÓDSZERREL

LINEÁRIS PROGRAMOZÁSI FELADATOK MEGOLDÁSA SZIMPLEX MÓDSZERREL LINEÁRIS PROGRAMOZÁSI FELADATOK MEGOLDÁSA SZIMPLEX MÓDSZERREL x 1-2x 2 6 -x 1-3x 3 = -7 x 1 - x 2-3x 3-2 3x 1-2x 2-2x 3 4 4x 1-2x 2 + x 3 max Alapfogalmak: feltételrendszer (narancs színnel jelölve), célfüggvény

Részletesebben

FELADATOK ÉS MEGOLDÁSOK

FELADATOK ÉS MEGOLDÁSOK 3. osztály 40 rózsát el lehet-e osztani 5 lány között úgy, hogy mindegyik lánynak páratlan számú rózsa jusson? Nem lehet.(1 pont) Öt darab páratlan szám összege páratlan, a 40 páros (1 pont). Hogyan tudnátok

Részletesebben

ELEMI BÁZISTRANSZFORMÁCIÓ LÉPÉSEI 1.EGYSZERŰSÍTETT VÁLTOZAT. 1.a) Paramétert nem tartalmazó eset

ELEMI BÁZISTRANSZFORMÁCIÓ LÉPÉSEI 1.EGYSZERŰSÍTETT VÁLTOZAT. 1.a) Paramétert nem tartalmazó eset ELEMI BÁZISTRANSZFORMÁCIÓ LÉPÉSEI 1.EGYSZERŰSÍTETT VÁLTOZAT 1.a) Paramétert nem tartalmazó eset A bázistranszformáció egyszerűsített változatában a bázison kívül elhelyezkedő vektorokból amennyit csak

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 063 ÉRETTSÉGI VIZSGA 006. február. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások: A dolgozatot

Részletesebben

Szöveges feladatok és Egyenletek

Szöveges feladatok és Egyenletek Szöveges feladatok és Egyenletek Sok feladatot meg tudunk oldani következtetéssel, rajz segítségével és egyenlettel is. Vajon mikor érdemes egyenletet felírni? Van-e olyan eset, amikor nem tanácsos, vagy

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 131 ÉRETTSÉGI VIZSGA 013. október 15. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 080 ÉRETTSÉGI VIZSGA 009. május 5. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

(6/1) Valószínűségszámítás

(6/1) Valószínűségszámítás (6/1) Valószínűségszámítás 1) Mekkora annak a valószínűsége, hogy szabályos játékkockával páratlan számot dobunk? 2) Egy dobozban 7 piros és 13 zöld golyó van. Ha találomra kihúzunk egyet közülük, akkor

Részletesebben

NÉGYOSZTÁLYOS FELVÉTELI Részletes megoldás és pontozás a Gyakorló feladatsor II.-hoz

NÉGYOSZTÁLYOS FELVÉTELI Részletes megoldás és pontozás a Gyakorló feladatsor II.-hoz NÉGYOSZTÁLYOS FELVÉTELI Részletes megoldás és pontozás a Gyakorló feladatsor II.-hoz Gedeon Veronika (Budapest) A javítókulcsban feltüntetett válaszokra a megadott pontszámok adhatók. A pontszámok részekre

Részletesebben

Róka Sándor. 137 számrejtvény. Megoldások

Róka Sándor. 137 számrejtvény. Megoldások Róka Sándor számrejtvény Megoldások Budapest, 008 A könyv megjelenését a Varga Tamás Tanítványainak Közhasznú Emlékalapítványa támogatta. Róka Sándor, Typotex, 008 ISBN 98 9 9 89 0 Témakör: matematika

Részletesebben

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS Matematika PRÉ megoldókulcs 0. január. MTEMTIK PRÓBÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS = KÖZÉP SZINT = I. rész: z alábbi feladat megoldása kötelező volt! ) Oldd meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán! tg

Részletesebben

36 0,3. Mo.: 36 0,19. Mo.: 36 0,14. Mo.: 32 = 0,9375 32 = 0,8125 32 = 0,40625. Mo.: 32 = 0,25

36 0,3. Mo.: 36 0,19. Mo.: 36 0,14. Mo.: 32 = 0,9375 32 = 0,8125 32 = 0,40625. Mo.: 32 = 0,25 Valószínűségszámítás I. Kombinatorikus valószínűségszámítás. BKSS 4... Egy szabályos dobókockát feldobva mennyi annak a valószínűsége, hogy a -ost dobunk; 0. b legalább 5-öt dobunk; 0, c nem az -est dobjuk;

Részletesebben

MEGOLDÓKULCSOK. 1. feladatsor (1. osztály)

MEGOLDÓKULCSOK. 1. feladatsor (1. osztály) MEGOLDÓKULCSOK 1. feladatsor (1. osztály) 1. feladat 8 9 10 14 15 16 10 11 12 18 19 20 1. pontdoboz: Hibátlan számszomszédok írása 1 pont, hiba 0 pont. 2. feladat 20 17 14 11 8 5 2 2. pontdoboz: Szabályfelismerésért

Részletesebben

KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA

KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA ÉRETTSÉGI VIZSGA 2011. május 3. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2011. május 3. 8:00 I. Időtartam: 45 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Matematika középszint

Részletesebben

HALMAZOK, SZÁMHALMAZOK, PONTHALMAZOK

HALMAZOK, SZÁMHALMAZOK, PONTHALMAZOK I. Témakör: feladatok 1 Huszk@ Jenő IX.TÉMAKÖR I.TÉMAKÖR HALMAZOK, SZÁMHALMAZOK, PONTHALMAZOK Téma A halmaz fogalma, alapfogalmak, elemek száma, üres halmaz, egyenlő halmazok, ábrázolás Venn-diagrammal

Részletesebben

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 051 É RETTSÉGI VIZSGA 005. október 5. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások: A dolgozatot

Részletesebben

Gráfelméleti feladatok. c f

Gráfelméleti feladatok. c f Gráfelméleti feladatok d e c f a b gráf, csúcsok, élek séta: a, b, c, d, e, c, a, b, f vonal: c, d, e, c, b, a út: f, b, a, e, d (walk, lanţ) (trail, lanţ simplu) (path, lanţ elementar) 1 irányított gráf,

Részletesebben

KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA

KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA ÉRETTSÉGI VIZSGA 2008. május 6. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2008. május 6. 8:00 I. Időtartam: 45 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Matematika középszint

Részletesebben

Analízis elo adások. Vajda István. 2012. szeptember 10. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem. Vajda István (Óbudai Egyetem)

Analízis elo adások. Vajda István. 2012. szeptember 10. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem. Vajda István (Óbudai Egyetem) Vajda István Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem 1 / 36 Bevezetés A komplex számok értelmezése Definíció: Tekintsük a valós számpárok R2 halmazát és értelmezzük ezen a halmazon a következo két

Részletesebben

MATEMATIKA C 12. évfolyam 4. modul Még egyszer!

MATEMATIKA C 12. évfolyam 4. modul Még egyszer! MATEMATIKA C 1. évfolyam 4. modul Még egyszer! Készítette: Kovács Károlyné Matematika C 1. évfolyam 4. modul: Még eygszer! Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási pontok

Részletesebben

KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA

KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA ÉRETTSÉGI VIZSGA 2009. május 5. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2009. május 5. 8:00 I. Időtartam: 45 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Matematika középszint

Részletesebben

Tananyag: Számfogalom erősítése a 100-as számkörben. Játékpénzzel számolunk.

Tananyag: Számfogalom erősítése a 100-as számkörben. Játékpénzzel számolunk. Óravázlat 2. osztályos matematika Tananyag: Számfogalom erősítése a 100-as számkörben. Játékpénzzel számolunk. Oktatási cél: Pénzhasználat, pénzváltás. Játék a játékpénzzel párokban. Megismerési képességek

Részletesebben

Matematika. 9.osztály: Ajánlott tankönyv és feladatgyűjtemény: Matematika I-II. kötet (Apáczai Kiadó; AP-090803 és AP-090804)

Matematika. 9.osztály: Ajánlott tankönyv és feladatgyűjtemény: Matematika I-II. kötet (Apáczai Kiadó; AP-090803 és AP-090804) Matematika A definíciókat és tételeket (bizonyítás nélkül) ki kell mondani, a tananyagrészekhez tartozó alap- és közepes nehézségű feladatokat kell tudni megoldani A javítóvizsga 60 -es írásbeliből áll.

Részletesebben

KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA

KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA Név:... osztály:... ÉRETTSÉGI VIZSGA 2006. október 25. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2006. október 25. 8:00 I. Időtartam: 45 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM

Részletesebben

Valószínűségszámítás és statisztika

Valószínűségszámítás és statisztika Valószínűségszámítás és statisztika Programtervező informatikus szak esti képzés Varga László Valószínűségelméleti és Statisztika Tanszék Matematikai Intézet Természettudományi Kar Eötvös Loránd Tudományegyetem

Részletesebben

Komplex számok algebrai alakja

Komplex számok algebrai alakja Komplex számok algebrai alakja Lukács Antal 015. február 8. 1. Alapfeladatok 1. Feladat: Legyen z 1 + 3i és z 5 4i! Határozzuk meg az alábbiakat! (a) z 1 + z (b) 3z z 1 (c) z 1 z (d) Re(i z 1 ) (e) Im(z

Részletesebben

Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit!

Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! 1. 2. 3. 4. Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg a kivonásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg a szorzásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg az osztásban szereplő számok

Részletesebben

SKATULYA-ELV. Sava Grozdev

SKATULYA-ELV. Sava Grozdev SKATULYA-ELV Sava Grozdev Ha 3 apró labdát akarunk elhelyezni a nadrágunk 2 zsebébe, akkor kétség sem férhet hozzá, hogy legalább 2 labda azonos zsebbe fog kerülni. Hasonlóan, ha 4 kicsi dobozt akarunk

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 091 ÉRETTSÉGI VIZSGA 011. május 3. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

MATEMATIKA VERSENY --------------------

MATEMATIKA VERSENY -------------------- Eötvös Károly Közös Fenntartású Általános Iskola 2013. és Alapfokú Művészetoktatási Intézmény 831 Vonyarcvashegy, Fő u. 8/1. 2. osztály MATEMATIKA VERSENY -------------------- név Olvasd el figyelmesen,

Részletesebben

Azonosító jel: ÉRETTSÉGI VIZSGA 2005. május 10. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA. Időtartam: 45 perc OKTATÁSI MINISZTÉRIUM

Azonosító jel: ÉRETTSÉGI VIZSGA 2005. május 10. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA. Időtartam: 45 perc OKTATÁSI MINISZTÉRIUM ÉRETTSÉGI VIZSGA 2005. május 10. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA I. Időtartam: 45 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Matematika középszint írásbeli vizsga I. összetevő

Részletesebben

MATEMATIKA 11. A tankönyv feladatai és a feladatok megoldásai

MATEMATIKA 11. A tankönyv feladatai és a feladatok megoldásai D Geőcs László Számadó László MATEMATIKA A tankönv feladatai és a feladatk megldásai A megldásk lvasásáhz Acbat Reade pgam szükséges, amel ingenesen letölthető az intenetől (például: adbelahu webldalól)

Részletesebben

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI MATEMATIKA ÚTMUTATÓ ÉRETTSÉGI VIZSGA KÖZÉPSZINT% ÍRÁSBELI. ÉRETTSÉGI VIZSGA 2006. február 21. OKTATÁSI MINISZTÉRIUM

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI MATEMATIKA ÚTMUTATÓ ÉRETTSÉGI VIZSGA KÖZÉPSZINT% ÍRÁSBELI. ÉRETTSÉGI VIZSGA 2006. február 21. OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Matematika középszint Javítási-értékelési útmutató 063 MATEMATIKA KÖZÉPSZINT% ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ ÉRETTSÉGI VIZSGA 006. február. OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók

Részletesebben

FELADATOK ÉS MEGOLDÁSOK

FELADATOK ÉS MEGOLDÁSOK 3. osztály Hány olyan háromjegyű szám létezik, amelyben a számjegyek összege 5? 15 darab ilyen szám van. 5 = 5+0+0 = 4+1+0 = 3+2+0 = 3+1+1=2+2+1 A keresett számok: 500, 401, 410, 104, 140, 302, 320,203,

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2006. február 21. KÖZÉPSZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2006. február 21. KÖZÉPSZINT I. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 006. február 1. KÖZÉPSZINT I. 1) Mennyi annak a mértani sorozatnak a hányadosa, amelynek harmadik tagja 5, hatodik tagja pedig 40? ( pont) 3 1 5 a a q 5 6 1 40 a a q Innen q Összesen:

Részletesebben

KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA

KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA ÉRETTSÉGI VIZSGA 2012. május 8. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2012. május 8. 8:00 I. Időtartam: 45 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Matematika középszint

Részletesebben

PRÓBAÉRETTSÉGI FELADATSOR : MATEMATIKA, EMELT SZINT

PRÓBAÉRETTSÉGI FELADATSOR : MATEMATIKA, EMELT SZINT 1. FELADATSOR Felhasználható idő: 40 perc I. rész 1.1.) Oldja meg grafikusan az alábbi egyenlőtlenséget! x + 1 + 1 x + x + 11 1..) Mekkora legyen az x valós szám értéke, hogy az alábbi három mennyiség

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 0631 É RETTSÉGI VIZSGA 006. október 5. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Formai előírások: Fontos tudnivalók

Részletesebben

Az osztályozó vizsgák tematikája matematikából

Az osztályozó vizsgák tematikája matematikából Az osztályozó vizsgák tematikája matematikából Matematikából osztályozó vizsgára kötelezhető az a tanuló, aki magántanuló, vagy akinek a hiányzása eléri az össz óraszám 30%-át. Az írásbeli vizsga időtartama

Részletesebben

P R Ó B A É R E T T S É G I 2 0 0 4. m á j u s KÖZÉPSZINT JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

P R Ó B A É R E T T S É G I 2 0 0 4. m á j u s KÖZÉPSZINT JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ P R Ó B A É R E T T S É G I 0 0 4. m á j u s MATEMATIKA KÖZÉPSZINT JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Formai előírások: A dolgozatot a vizsgázó által használt színűtől eltérő színű tollal kell javítani, és a

Részletesebben

7. témakör: kombinatorika. Kidolgozott feladatok:

7. témakör: kombinatorika. Kidolgozott feladatok: 7. témakör: kombinatorika Kidolgozott feladatok:.) A színházba egy fős baráti társaság jegyei egymás mellé szólnak. Hányféleképpen ülhetnek le egymás mellé? Hányféleképpen ülhetnek le akkor, ha András

Részletesebben

Mintafeladatsor Matematikaverseny ált. iskola 7-8.osztályosainak Bajza József Gimnázium és Szakközépiskola, Hatvan

Mintafeladatsor Matematikaverseny ált. iskola 7-8.osztályosainak Bajza József Gimnázium és Szakközépiskola, Hatvan Mintafeladatsor Matematikaverseny ált. iskola 7-8.osztályosainak Bajza József Gimnázium és Szakközépiskola, Hatvan TOLLAL DOLGOZZ, SZÁMOLÓGÉPET NEM HASZNÁLHATSZ, A LAPRA SZÁMOLJ! 1. A következő ábrán egy

Részletesebben

Modul bevezetése. Matematika 5. osztály 2009-2010. A negatív számok 0541. modul

Modul bevezetése. Matematika 5. osztály 2009-2010. A negatív számok 0541. modul Modul bevezetése Matematika 5. osztály 2009-2010 A negatív számok 0541. modul MODULLEÍRÁS A modul célja Időkeret Korosztály Modulkapcsolódási pontok A képességfejlesztés fókuszai Számfogalom bővítése.

Részletesebben

MATEMATIKA HELYI TANTERV Kéttannyelvű magyar-francia előkészítő év számára

MATEMATIKA HELYI TANTERV Kéttannyelvű magyar-francia előkészítő év számára MATEMATIKA HELYI TANTERV Kéttannyelvű magyar-francia előkészítő év számára Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson a matematikáról mint tudásrendszerről és mint sajátos emberi megismerési,

Részletesebben

TANÁRI KÉZIKÖNYV a MATEMATIKA

TANÁRI KÉZIKÖNYV a MATEMATIKA El sz Csahóczi Erzsébet Csatár Katalin Kovács Csongorné Morvai Éva Széplaki Görgné Szeredi Éva TANÁRI KÉZIKÖNYV a MATEMATIKA 8. évfolam II. kötetéhez TEX 04. június. 0:58 (. lap/. old.) Matematika 8. (K8-00)

Részletesebben