Természettudományi Kar. Ikvahidi Adrienn Matematika BSc. Elemző matematikus szakirány. Szakdolgozat

Átírás

1 Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kr Ivhidi Adrienn Mtemti BS. Elemző mtemtius szirány Növeedési függvénye, populáiónöveedési modelleben szereplő differeniálegyenlete Szdolgozt Témvezető: Pfeil Tmás Allmzott Anlízis és Számításmtemtii Tnszé Budpest, 204.

2 Trtlomjegyzé Bevezetés 2. Alpfoglm 3 2. Nevezetes függvénye Logisztius függvény Gompertz-függvény Bertlnffy-függvény Weibull-függvény Rihrds-függvény Morgn-Merer-Flodin-függvény Differeniálegyenlete Logisztius differeniálegyenlet Gompertz-féle differeniálegyenlet Bertlnffy-féle differeniálegyenlet Rihrds-féle differeniálegyenlet Köszönetnyilvánítás 30 Hivtozáso 32

3 Bevezetés Szdolgoztom témáj növeedési függvénye és populáiónöveedési modelleben szereplő differeniálegyenlete. Először pár ésőbb hsználndó definíiót mutto be. Után nevezetes függvénye vizsgáltávl fogllozo, ellenőrzöm, hogy eleget teszne-e növeedési függvény feltételeine, mjd további tuljdonságot mutto be. A hrmdi fejezetben orábbn bemuttott nevezetes függvényeet előállító differeniálegyenlete özül néhányt vizsgálo, mjd megeresem függvénye és differeniálegyenlete özti psoltot. 2

4 . fejezet Alpfoglm. Definíió Legyen z f vlós függvény értelmezve z pont egy örnyezetében. Azt mondju, hogy z f függvény z pontbn differeniálhtó, h ft) f) lim t t.) véges htárérté létezi, és z vlós szám. Az.) htárérté z f függvény pontbeli differeniálhánydos vgy deriváltj, jele f )..2 Definíió Az f vlós függvény monoton növevő monoton söenő) z A Df) hlmzon, h minden t, t 2 A, t < t 2 esetén ft ) ft 2 ) ft ) ft 2 ))..2) H.2) egyenlőtlenség helyett ft ) < ft 2 ), illetve ft ) > ft 2 ) áll fenn, or z f függvényt szigorún monoton növevőne illetve szigorún monoton söenőne) nevezzü. A monoton növevő vgy monoton söenő függvényeet röviden monoton függvényene hívju..3 Definíió Az f vlós függvény onvex z I Df) intervllumon, h minden, b I és < t < b esetén ft) fb) f) t ) + f)..3) b 3

5 H z.3) egyenlőtlenség helyett ft) fb) f) t ) + f) áll, or z f függvényt b z I intervllumon onávn nevezzü. H pedig ft) < fb) f) b t )+f), illetve ft) > fb) f) t )+f) áll, or z f b függvényt z I intervllumon szigorún onvexne, illetve szigorún onávn nevezzü..4 Definíió Azt mondju, hogy z f vlós függvényne z pontbn loális mximum illetve minimum) vn, h z pontn vn olyn U örnyezete, melyben f értelmezve vn, és minden x U esetén fx) f) illetve fx) f)). Eor z pontot z f függvény loális mximumhelyéne illetve loális minimumhelyéne) nevezzü..5 Tétel H z f függvény differeniálhtó z pontbn és ott loális szélsőértée vn, or f ) = 0. Ez loális szélsőérté létezéséne szüséges feltétele..6 Tétel H z f függvény differeniálhtó t 0 pont egy örnyezetében és f t 0 ) = 0, emellett t 0 említett örnyezetében f előjelet vált, or z f függvényne t 0 pont előbbi örnyezetében loális szélsőértée vn. Ez loális szélsőérté létezéséne elégséges feltétele..7 Definíió Azt mondju, hogy z pont z f vlós függvényne inflexiós pontj, h z f függvény differeniálhtó z pontbn, és vn olyn δ R +, hogy f onvex z δ, ] intervllumon és onáv z [, + δ) intervllumon, vgy fordítv..8 Tétel H f étszer differeniálhtó függvény t 0 pontbn és ott inflexiój vn, or f t 0 ) = 0. Tehát étszer differeniálhtó f függvény t 0 pontbeli inflexióján szüséges feltétele f t 0 ) = 0..9 Tétel H z f függvény étszer differeniálhtó t 0 pont egy örnyezetében, f t 0 ) = = 0 és f előjelet vált t 0 pontbn, or z f függvényne inflexiój vn t 0 pontbn. Ez pedig vizsgált pontbeli inflexió elégséges feltétele. 4

6 .0 Definíió Legyen f étváltozós folytonos függvény, Df) összefüggő nyílt hlmz, eor z f függvény áltl meghtározott elsőrendű expliit özönséges differeniálegyenlet: x t) = ft, xt)).. Definíió Egy elsőrendű expliit özönséges differeniálegyenlet mximális megoldás olyn megoldás, melyne nins olyn vlódi iterjesztése, melyi megoldás lenne..2 Definíió H z elsőrendű expliit özönséges x t) = ft, xt)) differeniálegyenlethez z xt 0 ) = x 0 ezdeti feltételt ielégítő x megoldásfüggvényt eresün, or ezdetiérté-feldtról beszélün. H vn ilyen x függvény, or ezdetiérté-feldt megoldhtó. Egy ezdetiértéfeldt megoldás egyértelmű, h pontosn egy mximális megoldás vn..3 Definíió Legyen f étváltozós folytonos függvény, Df) összefüggő nyílt hlmz. H z I R nyílt intervllumr, és z y : I R n differeniálhtó függvényre teljesül, hogy t, yt)) Df) minden t I esetén,.4) y t) = ft, xt)) minden t I esetén,.5) yt 0 ) = p 0.6) or z y függvényt z I intervllumon z f jobb oldlú expliit özönséges differeniálegyenlet megoldásán nevezzü z yt 0 ) = p 0 ezdeti feltétel mellett..4 Definíió Az f vlós függvény eleget tesz Lipshitz-feltételne z A Df) hlmzon, h vn olyn K 0 onstns, hogy fx ) fx 0 ) K x x 0 minden x 0, x A esetén. 5

7 .5 Tétel Pird-Lindelöf-tétel) H étváltozós vlós értéű f függvény H R 2 orlátos zárt hlmzon folytonos és ezen hlmzon bármely rögzített első változó esetén másodi változójábn eleget tesz Lipshitz-feltételne, or z x t) = ft, xt)) differeniálegyenlethez és H hlmz tetszőleges belső pontjához trtozó ezdetiértéfeldt megoldás egyértelmű. 6

8 2. fejezet Nevezetes függvénye A telítődési vgy más néven orlátos növeedési függvénye z idő múlásávl növevő és felső orláttl rendelező mennyisége időbeli lulásán leírásár szolgáln. E függvénye értelmezve vnn nemnegtív vlós számo hlmzán, vlmint három fontos tuljdonsággl rendelezne: nemnegtív, szigorún monoton növevőe, + helyen htárértéü pozitív vlós szám. A telítődési függvényeet demográfuso és biztosítási szembere népesedési és túlélési folymto, biológuso populáiódinmiábn orlátos növeedésű populáió leírásár és özelítésére hsználjá. 2.. Logisztius függvény A logisztius függvényt llmzhtju dott eltrtóépességű élőhelyen növevő populáió méretére z idő függvényében. Példént említhetjü még z internet-előfizető számán lulását szintén z idő függvényében. Egy felmérésben ez fv. jól özelíthető volt logisztius függvénnyel. 7

9 2. Definíió Logisztius függvényne nevezzü z Lt) := lú függvényeet, hol, b, R +., DL) := R 2.) + be t Először megmuttju, hogy logisztius függvény eleget tesz nemnegtivitási és szigorú növeedési feltételne, továbbá + -ben vlós htárértée vn. E függvény étszer differeniálhtó és nyilván pozitív értéű. Szigorún monoton növevő z L t) = be t > 0, t R 2.2) + be t ) 2 egyenlőtlenség szerint, hiszen, b, > 0 és z exponeniális függvény értéei pozitív. Végül lim t + =. + be t Vizsgálju meg, hogy 2.) lú függvény prmétere mely értéeire tesz eleget nemnegtivitási és szigorú növeedési feltételne, emellett mior vn vlós htárértée + -ben. = 0 esetén z L függvény onstnsfüggvény, így nem szigorún monoton növevő. H < 0, or pedig lim Lt) = 0, t + tehát > 0 szüséges feltétel. H = 0, or L onstnsfüggvény, h pedig < 0, or lim Lt) = < 0, t + ezért > 0 is szüséges feltétel. Ezután, > 0 esetén z L deriváltfüggvény 2.2) lj muttj, hogy L szigorú monoton növeedése s b > 0 mellett teljesülhet. H, b, > 0, or 2.) függvény teljesíti mindhárom elvárt tuljdonságot. Vizsgálju tovább logisztius függvényt! L t) = b e t + be t ) 2 e t 2 + be t )be t ) + be t ) 4 8

10 = b2 e t be t ) + be t ) 3, t R. 2.3) Ez hánydos or null, mior számláló utolsó tényezője null, hiszen z exponeniális függvény mindenhol pozitív, ezért másodi derivált t zérushelyére fennáll be t = 0. Ezt átrendezve pju t = lnb) megoldást. A 2.3) formul szerint L t) > 0, h t < lnb), és L t) < 0, h t > lnb), ezért [ ] [ ) L onvex 0, lnb) intervllumon, onáv lnb), + intervllumon. Ebből övetezi, hogy t = lnb) inflexiós pontj z L függvényne. Az lábbi tábláztbn fogllju össze logisztius függvényre pott eredményeet: ) ) DL),0) 0 0, lnb) lnb) lnb), + L L L mono o ton nv nö ex ve inflexió vő onáv A logisztius függvény = b = = esetén 9

11 2.2. Gompertz-függvény A Gompertz-függvényt Benjmin Gompertz ) brit mtemtiusról nevezté el. A demográfuso és biztosítási szembere gyrn hsználjá ülönböző népesedési és túlélési folymto özelítő leírásor. Példént említhetjü még tumoro növeedéséne modellezését. A tumoro behtárolt területen nőne, hol véges rendelezésüre álló tápnyg. A Gompertz-függvény tumoro méreténe növeedéséről d informáiót. 2.2 Definíió Gompertz-függvényne nevezzü Gt) := e bet, DG) := R 2.4) lú függvényeet, hol R +, b, R. Vizsgálju meg, milyen prméterere teljesíti 2.4) lú függvény nemnegtivitási és szigorú növeedési feltételt, emellett mior vn vlós htárértée + -ben. Az prméter s pozitív lehet, mert h negtív vgy null lenne, or függvényértée nem volnán nemnegtív, vgy függvény nem voln szigorún monoton növevő z R + intervllumon. H b vgy null lenne, or függvény onstnsfüggvény lenne, nem voln szigorún monoton növevő. H pedig b és előjele ülönbözi, or függvény szigorún monoton söenő, nem szigorún monoton növevő. H, b, > 0, or h pedig b, < 0, or mi > 0 esetén pozitív vlós htárérté. lim t + ebet = +, lim t + ebet =, A vizsgált függvény étszer differeniálhtó, teintsü deriváltját: G t) = be t e bet, t R. 0

12 H > 0 és b, < 0, or derivált mindenütt pozitív, ezért G szigorún monoton növevő függvény. H prmétere előjele ilyen, or mindhárom feltételt teljesíti 2.4) függvény. Megjegyzés. H > 0, vlmint b és ellentétes előjelű, or G szigorún monoton söenő függvény, melyne htárértée + -ben null. Ilyen függvény elenyészési folymtbn írhtj le vizsgált mennyiséget z idő függvényében. Vizsgálju tovább Gompertz-függvényt! G t) = be t e bet + e t e bet be t ) = b 2 e t e bet + be t ), t R. Tudju, hogy > 0, b, < 0 és z exponeniális függvény sehol sem 0, ezért G t) zérushelye z egyenlet megoldás, vgyis + be t = 0 t = ln ) b. Mivel G t) előjelet vált ezen helyen, pott szám inflexiós pont. Az lábbi tábláztbn fogllju össze Gompertz-függvényre pott eredményeet: DG), ln b ) ) ln b ) ) ln b ), + G G + 0 G szigorún onvex monoton inflexió növevő onáv

13 A Gompertz-függvény =, b = = esetén 2.3. Bertlnffy-függvény A Bertlnffy-függvényt Ludwig von Bertlnffy ) mgyr szármzású osztrá biológusról nevezté el. A Bertlnffy-függvénnyel ápá testhosszán növeedését próbáltá leírni, e növeedés szintén egy telítődési szinthez trtó folymt. Bertlnffy modellje ld pontot) szerint minden áp egy ezdeti testhosszl születi, mjd elezd növeedni, és testhosszán, mint z életor függvényéne vlós htárértée lenne + -ben, h z egyed öröé élne. 2.3 Definíió Bertlnffy-függvényne nevezzü lú függvényeet, hol, R +, b 0,]. Bt) := be t ), DB) := R 2.5) Először megmuttju, hogy Bertlnffy-függvény eleget tesz nemnegtivitási és szigorú növeedési feltételne, továbbá + -ben vlós htárértée vn. E függvény nemnegtív számo hlmzán nemnegtív értéű, h b 0,], mert t 0 esetén e t. Szigorún monoton növevő B t) = b e t > 0, t R 2.6) egyenlőtlenség szerint, hiszen, b, > 0 és z exponeniális függvény értéei pozitív. Végül lim t + be t ) =. 2

14 Vizsgálju meg, hogy 2.5) lú függvény prmétere mely értéére tesz eleget nemnegtivitási és szigorú növeedési feltételne, emellett mior vn vlós htárértée + esetén. H = 0, or B függvény onstnsfüggvény, így nem szigorún monoton növevő. H < 0, or pedig lim t + be t ) = lenne, tehát > 0. Ebben z esetben lim Bt) =, tehát > 0 szüséges feltétel. t + H b = 0, or B függvény onstnsfüggvény, így nem szigorún monoton növevő. H b < 0, or pedig 2.6) szerint B negtív lenne, zz függvény nem lenne monoton növevő, tehát b > 0 is szüséges feltétel. Eor B0) = b) 0 mitt b is szüséges. H, > 0 és 0 < b, or vizsgált függvény teljesíti mindhárom feltételt. Vizsgálju tovább Bertlnffy-függvényt! B t) = b 2 e t, t R. Ez függvény sehol nem veszi fel null értéet, így Bertlnffy-függvényne nins inflexiós pontj, és minden t R esetén onáv függvény. A Bertlnffy függvény = 2, b =, = esetén 8 Megjegyzés. A Bertlnffy-függvényt b = esetén Mitsherlih-függvényne is nevezi. A Bertlnffy-függvény speiális esete most övetező Weibull-függvényne. 3

15 2.4. Weibull-függvény A Weibull-függvény Weibull-féle eloszlás eloszlásfüggvényét áltlánosítj. Ezt z eloszlást többe özött megbízhtósági nlízisben hsználjá, ilyen például egy berendezés meghibásodásáig eltelt idő várhtó értééne iszámítás. 2.4 Definíió Weibull-függvényne nevezzü W t) := be t) ), DW ) := [0, + ) 2.7) lú függvényeet, hol,, R +, b 0,]. Megmuttju, hogy Weibull-függvény teljesíti nemnegtivitási és szigorú növeedési feltételt, vlmint htárértée + -ben vlós szám. H t 0, or e t) mitt W t) 0, továbbá lim t + be t) ) = > 0. A függvény folytonos, továbbá étszer differeniálhtó z R + intervllumon és ott deriváltj W t) = b)e t) )t) = be t) t. Ez minden t R + esetén pozitív, így W függvény szigorún monoton növevő [0, + ) intervllumon. Vizsgálju tovább Weibull-függvényt esetén! W t) = b e t) )t) t + e t) )t 2) = = b e t) t 2 )t) + ), t R ) Ez szorzt or null, mior szorzt utolsó tényezője null, hiszen z exponeniális függvény és pozitív lp htvány mindenhol pozitív, ezért )t) + = 0. Ezt átrendezve pju, hogy or vn pozitív megoldás, h >, mégpedig t = ). 4

16 Eor 2.8) formul szerint > esetén W t) > 0, h t < ), és W t) < 0, h t > [ ), ezért W t) onvex 0, ] [ ) ) intervllumon, onáv ), + intervllumon. Ebből övetezi, hogy t = ) inflexiós pontj W függvényne. Az lábbi tábláztbn fogllju össze Weibull-függvényre pott eredményeet > esetben: DW ) 0 0, ) ) ) W W W szigo on rún vex monoton inflexió ) ), + növevő onáv A Weibull-függvény = b = =, = 3 2 esetén A 0 < esetben Weibull-függvény onáv [0, + ) intervllumon. A Weibull-függvény = b = =, = 2 esetén 5

17 Megjegyzés. A j, λ R + prméterű Weibull-eloszlás sűrűségfüggvénye j t ) j λ λ e λ) t j, h t 0 ft) := 0, h t < 0. Számolju i z f függvény improprius integrálját vlós számo hlmzán! + ft)dt = 0 T = lim T + 0 ft)dt + j λ + 0 ft)dt = j λ ) j t e λ) t j dt = λ ) j t e [ λ) t j dt = lim e ] λ) t j T λ T + 0 = lim e ) T λ ) j e 0 ) =. T + Az f függvény nemnegtív értéű és szszonént folytonos, ezért tényleg egy vlószínűségeloszlás sűrűségfüggvénye. A Weibull-eloszlás F eloszlásfüggvényére F t) = t 0 fτ)dτ = t 0 j τ ) j e λ) τ j dτ = e t λ )j, t R +. λ λ Minden eloszlásfüggvény nemnegtív értéű, blról folytonos és monoton növevő függvény, melyne htárértée + -ben. Mivel f pozitív z R + intervllumon és folytonos [0, + ) intervllumon, ezért F szigorún monoton növevő [0, + ) hlmzon. F speiális esete fentebb definiált Weibull-függvényne, hiszen h 2.7) épletben := b :=, or és :=, := j válsztássl λ W t) = e t), t [0, + ), = W t) = e t λ )j = F t), t [0, + ). A Weibull-eloszlást Murie Fréhet ) fedezte fel 927-ben, és 933-bn llmztá először grnulált részesé eloszlásán leírásár. Az eloszlást Wloddi Weibullról 6

18 ) nevezté el, i 95-ben írt le részletesen. Allmzási területei igen soszínűe, példént említhetjü hibnlízist, rdrépe iértéelését, mobilommuniáióbn storná áthllásvizsgáltát, időjárás előrejelzését, ezen belül is szélsebességeloszlást Rihrds-függvény 2.5 Definíió Rihrds-függvényne nevezzü z Rt) := be t ), DR) := [0, + ) 2.9) lú függvényeet, hol,, R +, b 0,] vgy, R + és b, R. Megmuttju, hogy Rihrds-függvény teljesíti nemnegtivitási és szigorú növeedési feltételt, vlmint htárértée + -ben vlós szám. H 0 <,, és 0 < b, or t 0 esetén e t > 0 mitt Rt) 0, h pedig, > 0 és b, < 0, or t 0 esetén 0 < e t és b < 0 mitt < be t, ezért Rt) > 0. Mindét esetben lim t + be t ) = > 0. A függvény folytonos, étszer differeniálhtó z R + hlmzon és deriváltj R t) = b e t be t ), t R +, ezért deriváltfüggvény mindét esetben mindenütt pozitív, így függvény szigorún monoton növevő. Vizsgálju tovább Rihrds-függvényt! H =, or Bertlnffy-függvény [0, + ) intervllumr vontozó leszűítését pju. H, or R t) = b 2 e t be t ) 2 be t ), t R +, 2.0) 7

19 mely s bbn z esetben lehet null, h 2.0) jobb oldlán vlmelyi tényezője null. be t ) 2 tényező pozitív, mert htvány lpj minden t R számr mindét esetben pozitív. Eszerint inflexiós pontot z utolsó tényező zérushelyeént phtun: melyne z egyetlen vlós megoldás t = formul szerint R t) > 0, h t < be t = 0, 2.) ln b, mi b > esetén pozitív. Eor 2.0) ln b, ezért R onvex [ ] ln b 0, ln b, és R t) < 0, h t > intervllumon, onáv [ ln b, + ) intervllumon. Ebből övetezi, hogy t = pontj z R függvényne. ln b inflexiós H pedig 0 < b, or z 2.) egyenletne nins pozitív megoldás, és R < 0 z R + intervllumon, ezért R onáv függvény. A Rihrds-függvény = 2, b = 2, = = esetén A Rihrds-függvény =, b =, =, = 4 esetén 2 8

20 2.6. Morgn-Merer-Flodin-függvény 2.6 Definíió Morgn-Merer-Flodin-függvényne nevezzü z Mt) := b + t) lú függvényeet, hol,, R + és b 0,]. ), DM) := [0, + ) 2.2) Megmuttju, hogy Morgn-Merer-Flodin függvény teljesíti nemnegtivitási és szigorú növeedési feltételt, vlmint htárértée + -ben vlós szám. A definíióbn szereplő prmétere mellett M nemnegtív [0, + ) intervllumon és pozitív z R + intervllumon, továbbá lim t + ) b = > 0. + t) A függvény folytonos [0, + ) intervllumon, étszer differeniálhtó z R + intervllumon és deriváltj M t) = b t) + t) ) 2, t R+. A deriváltfüggvény pozitív értéű, emitt z M függvény szigorún monoton növevő [0, + ) intervllumon. Vizsgálju tovább Morgn-Merer-Flodin-függvényt! M t) = b 2 t) 2 ) + t) ) 2t) + t) ) 3, t R ) Ez függvény or null, mior hánydos számlálój null, vgyis mior ) + t) ) 2t) = 0. Az egyenletne pontosn or vn pozitív megoldás, h >, mégpedig t = ). + A > esetben 2.3) formul szerint 0 < M t), h 0 < t < ), és M t) < 0, + h t > ) [, ezért M onvex 0, ) ] [ intervllumon, onáv ) ), intervllumon. Ebből övetezi, hogy t = + 9 ) inflexiós pontj z M függvényne.

21 DM) 0 0, + ) ) ) + M M M szigo on rún vex monoton inflexió ) ), + + növevő onáv A Morgn-Merer-Flodin-függvény = b = =, = 2 esetén H, or M > 0 és M 0 0, + ) intervllumon, zz függvény szigorún monoton növevő és onáv, nins inflexiós pontj. A Morgn-Merer-Flodin-függvény = b = = = esetén 20

22 3. fejezet Differeniálegyenlete 3.. Logisztius differeniálegyenlet 3. Definíió A logisztius differeniálegyenlet y t) = yt) yt) ) 3.) lú, hol R\{0}. A 3.) differeniálegyenlet szétválszthtó differeniálegyenlet, szétválsztás után z y y ) dy = dt ) egyenletet pju bbn z esetben, h yt) yt) 0 semelyi t Dy) esetén sem. A bl oldli primitív függvényt priális törtere bontássl számolhtju i: y y ) = y + y = y + y, tehát y y ) dy = y + y dy = Ezért primitív függvényeet iszámolv llms p R mellett övetező egyenletet pju: ln yt) ln yt) = t + p, 2 dt.

23 Ezt átrendezve pju, hogy ln yt) yt) = t + p. yt) = + be t, hol b := ±e p. A 3.) egyenlet szétválsztásor feltettü, hogy yt) yt) ) 0 semelyi t Dy) esetén sem. Most vizsgálju meg ihgyott esetet! Megoldás 0 és z értéű mindenütt értelmezett onstnsfüggvény, más ihgyott mximális megoldás pedig Pird-Lindelöftétel mitt nins. Tehát differeniálegyenlet mximális megoldási yt) = 0 mellett yt) =, b R, + be t hol b 0 esetén Dy) = R, b < 0 esetén pedig Dy) =, ln b )) vgy Dy) = = ln b ), + ). Megjegyzés. H, b, R +, or 2. Definíióbeli logisztius függvényeet pun. A logisztius differeniálegyenlet néhány megoldás, = 2 prméterere 22

24 3.2. Gompertz-féle differeniálegyenlet 3.2 Definíió A Gompertz-féle differeniálegyenlet ) y t) = p yt) ln yt) 3.2) lú, hol, p R\{0}. A differeniálegyenlet jobb oldlán értelmezési trtomány R + esetén R R +, R esetén R R. A 3.2) differeniálegyenlet szétválszthtó, szétválsztás után övetező lot ) pju bbn z esetben, mior ln 0 semelyi t Dy) esetén sem: yt) dy ln ln y y ) y = p dt. ) dy = y p dt. 3.3) A bl oldli primitív függvényeet övetező helyettesítéssel számolju i: ) u := ln, du = y y dy. ln y A 3.3) egyenlet szerint ) dy = y u du = ln u + q = ln ln ) ln ln = pt + q, q R, yt) ) + q, q R. y ezt rendezve pju z yt) = e ±e pt q, q R 3.4) megoldásot. A 3.2) egyenlet szétválsztásor feltettü, hogy ln yt)) 0 semelyi t Dy) esetén sem. Vizsgálju meg most ezt z esetet! A Pird-Lindelöf-tétel szerint mximális megoldásént s z yt) =, Dy) = R 23

25 onstnsfüggvényt pju. Tehát differeniálegyenlet mximális megoldási yt) = e be pt, Dy) = R, hol b R. Megjegyzés. A megoldáso, p R +, b R esetén 2.2 Definíióbeli Gompertz-függvénye. A Gompertz-féle differeniálegyenlet néhány megoldás, b = 2 prméterere 24

26 3.3. Bertlnffy-féle differeniálegyenlet 3.3 Definíió A Bertlnffy-féle differeniálegyenlet y t) = yt)) 3.5) lú, hol, R\{0}. A 3.5) egyenlet lineáris differeniálegyenlet, ezért z y t) + yt) = lr hozv, mjd z egyenlet mindét oldlát beszorozv e t, t Dy) fügvénnyel y t)e t + yt)e t = e t. A bl oldlon szorzt deriváltját pju, ezért yt)e t ) = e t. A jobb oldl primitív függvényei e t dt = e t +, R, miből övetezi yt) = + e t = + ) e t, R. A b := R válsztássl differeniálegyenlet mximális megoldási yt) = be t ), Dy) = R, 3.6) hol b R. Megjegyzés. A differeniálegyenlet mximális megoldási, R +, b 0,] esetén 2.3 Definíióbeli Bertlnffy-függvénye. 25

27 A Bertlnffy-féle differeniálegyenlet néhány megoldás, > 0 és b 0,] prméterere A Bertlnffy-féle differeniálegyenlettel először ápá testhosszán növeedését modellezté. H nem testhosszt, hnem testtömeget szeretnén leírni z idő függvényében z), or feltételezve, hogy testtömeg egyenesen rányos testhossz öbével, z előbbire vontozó differeniálegyenlet: ) ) z t) = K zt) 2 3 zt) 3, 3.7) A hol A, K R\{0}. Bertlnffy modelljében természetesen, R +, illetve A, K R +.) Írju fel, milyen differeniálegyenlet érvényes zt) := γy 3 t), Dz) := Dy) függvényre, hol γ R\{0}. Eor ) zt) 3 yt) =, y t) = z t) γ 3γ 3 zt)

28 A z függvényt helyettesítve 3.7) differeniálegyenletbe ) ) z t) = 3γ 2 zt) 3 3 zt) 3. γ 3 A K := 3γ 3 és A := γ 3 válsztássl 3.7) differeniálegyenletet pju meg. A 3.7) differeniálegyenlet bármely A, K R\{0} esetén szétválszthtó, szétválsztás után övetező lhoz jutun, h zt) 0 és zt) A semelyi t Dz) esetén sem: z 2 3 z 2 3 dz ) ) = K dt. z 3 A z A ) ) dz = 3 K dt. A bl oldli primitív függvényeet övetező helyettesítéssel számolju i: z 2 3 ) ) dz = z 3 A u := z 3, du = 3z 2 3 dz. 3 u 3 A du = 3 3 A ln 3 A u + b = = 3 3 A ln 3 A 3 z + b, b R. Ezért Ezt rendezve pju 3 3 A ln 3 A 3 z = t + b, b R. zt) = 3 A ± e t+b 3 3 A ) 3, b R megoldást. A 3.7) egyenlet szétválsztásor feltettü, hogy ) ) zt) 2 3 zt) 3 0 A semelyi t Dz) esetén sem. Az eor elvesztett mximális megoldáso 0 és z A értéű mindenütt értelmezett onstnsfüggvénye. Ezért differeniálegyenlet mximális megoldási z yt) = 0, Dy) = R onstnsfüggvény mellett ) 3 zt) = A + e Kt+b A, Dz) := R 27

29 függvénye Rihrds-féle differeniálegyenlet 3.4 Definíió A Rihrds-féle differeniálegyenlet ) r ) yt) y t) = pyt) 3.8) lú, hol p,, r R\{0}. A 3.8) differeniálegyenlet szétválszthtó, szétválsztás után övetező lot pju ) r ) bbn z esetben, mior yt) 0 semelyi t Dy) esetén sem: yt) dy y ) y r ) = A szétválsztás után bl oldli primitív függvényeet áltlábn nem tudju meghtározni. H r pozitív egész, or bl oldli integrndus rionális törtfüggvény, de nn p dt. primitív függvényeit sem tudju prméteres lbn megdni. Behelyettesítéssel ellenőrizzü, hogy yt) := be prt ) r, Dy) := [0, + ) 3.9) minden b R, b mellett megoldás 3.8) differeniálegyenletne: y t) = ) be prt ) r bpre prt = r = bpe prt be prt ) +r r, t R ) A differeniálegyenlet jobb oldláb vizsgált függvényt helyettesítve pedig ) r ) p be prt ) be prt ) r r = = bpe prt be prt ) r = bpe prt be prt ) +r be prt r, t R + 28

30 függvényt pju, mi egyenlő 3.0) deriváltfüggvénnyel, tehát 3.9) függvénye tényleg megoldási 3.8) differeniálegyenletne minden b R, b mellett. Könnyen meggyőződhetün rról, hogy z yt) = 0, t R onstnsfüggvény mximális megoldás. Megjegyzés. A := r és := pr válsztássl látju, hogy megoldásfüggvénye 2.5 Definíióbeli Rihrds-függvénye z lábbi ét esetben: > 0, r, p < 0 és b 0,], hiszen pontosn or,, R + és b 0,],, r, p > 0 és b < 0, mert pontosn or, > 0 és b, < 0. A Rihrds-féle differeniálegyenlet néhány megoldás = 2, b = 0,5 prméterere 29

31 A Rihrds-féle differeniálegyenlet néhány megoldás = 2 és b = 7 prméterere 30

32 Köszönetnyilvánítás Ezúton szeretném megöszönni témvezetőmne, Pfeil Tmásn hsznos segítségét, tnásit és preíz munáját. Köszönöm brátimn, i végig mellettem állt és támogtt. 3

33 Irodlomjegyzé [] Bizó Gyul, Tolner László, Bééssy András, Krámli András, Rud Mihály, Soltész János: A növényi fejlődés néhány modellezési lehetőségéne összehsonlító vizsgált, MÉM NAK, MTA SZTAKIézirt), tolner/982/bizo.pdf [2] Fosz Niosz: Növeedési függvénye, társdlmi diffúzió, társdlmi változás, Szoiológii Szemle 2006/3, 9-5. [3] Hunydi László: A logisztius függvény és logisztius eloszlás, Sttisztii Szemle, 82. évfolym, szám [4] Lovih Milós T. Sós Ver: Anlízis I., Nemzeti Tnönyvidó, Budpest, [5] Lovih Milós T. Sós Ver: Anlízis II., Nemzeti Tnönyvidó, Budpest, [6] Sioly Eszter: Anlízis jegyzet Mtemtitnári Szoso részére, Budpest, 203, [7] Tóth János, Simon Péter: Differeniálegyenlete, TYPOTEX Kidó, Budpest,