Matematika példatár 3.

Átírás

1 Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara Csabina Zoltánné Matematika példatár 3 MAT3 modul MATDeriváltak differenciálszámítás függvények és görbék vizsgálatára Magasabb rendű deriváltak alkalmazása a hibaszámításban SZÉKESFEHÉRVÁR 2010

2 Jelen szellemi terméket a szerzői jogról szóló 1999 évi LXXVI törvény védi Egészének vagy részeinek másolása felhasználás kizárólag a szerző írásos engedélyével lehetséges Ez a modul a TÁMOP /1/A Tananyagfejlesztéssel a GEO-ért projekt keretében készült A projektet az Európai Unió és a Magyar Állam Ft összegben támogatta Lektor: Vígné dr Lencsés Ágnes Phd Projektvezető: Dr hc Dr Szepes András A projekt szakmai vezetője: Dr Mélykúti Gábor dékán Copyright Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010

3 Tartalom 3 MATDeriváltak differenciálszámítás függvények és görbék vizsgálatára Magasabb rendű deriváltak alkalmazása a hibaszámításban 1 31 Bevezetés 1 32 Differenciálszámítás A differenciálhányados fogalma Differenciálási szabályok A differenciálhányados geometriai alkalmazása érintőszámítás szögfeladat normális Magasabbrendű deriváltak Taylor-polinom Taylor sor simulókör L Hospital-szabály Függvényvizsgálat szélsőérték-számítás Többváltozós függvények differenciálása hibaszámítás Megoldások 27

4

5 3 fejezet - MATDeriváltak differenciálszámítás függvények és görbék vizsgálatára Magasabb rendű deriváltak alkalmazása a hibaszámításban 31 Bevezetés A feladatgyűjtemény a matematikai analízis tantárgy gyakorlatainak tananyagát öleli fel a NyME Geoinformatikai Kar mérnöki szakán A feladatgyűjtemény külön fejezetekben tárgyalja az egyes anyagrészeket Minden fejezet elején megtalálhatók a legfontosabb definíciók és tételek bizonyítás nélkül amelyek ismerete elengedhetetlen a feladatok megoldásához Minden fejezetben találhatók részletesen kidolgozott példák amelyek az egész tananyagot felölelik és segítik annak megértését Minden fejezet végén feladatok találhatók amelyeket további gyakorlás és az önálló munkára való szoktatás céljából készültek A feladatok részben saját összeállításúak továbbá más forrásból átvettek illetve átdolgozottak A fejezetek tananyagai egymásra épülnek ezért érdemes a feldolgozott sorrendben haladni a tanulásban A feladatgyűjtemény célja hallgatóink munkájának tanulásának könnyítése matematika tanulásának elmélyítése A fokozatosság elvén alapuló feladatok pedig fejlesztik a matematikai gondolkodásukat valamint a szaktárgyak és alapozó tárgyak elsajátításához szükséges ismeretek elmélyítését a feladatmegoldó készséget jártasságot A hallgatók olyan alapokra tesznek szert amelyek felhasználásával képessé válnak a gyakorlatban felmerülő problémák modelljeinek felállítására és azok megoldására A feladatok megoldásával szakmájához szükséges konvertibilis és tovább építhető matematikai ismeret birtokába jut 32 Differenciálszámítás 321 A differenciálhányados fogalma Definíció: Legyen x0 az f függvény értelmezési tartományának egy belső pontja Azt mondjuk hogy az f függvény differenciálható az x0 pontban ha a ges határértéke A (x) differencia-hányados-függvénynek az x0 pontban létezik vé- számot az f függvény x0 ponthoz tartozó differenciálhányadosának (deriváltjának) nevezzük Ha a fenti határérték nem létezik akkor azt mondjuk hogy az f függvény az x0 pontban nem differenciálható Az f függvény x0 helyen vett differenciálhányadosa az f függvénygörbe A(x0f(x0)) pontbeli érintőjének az iránytangense

6 Matematika példatár példa: Vizsgáljuk meg hogy az f(x) = 4x2 függvény differenciálható-e a 2 pontban! Megoldás: Először az f(x) függvény 2 pontjához tartozó differenciahányados-függvényét írjuk fel: x R\{2} Ennek a függvénynek a 2 pontban vesszük a határértékét: A 2 pontban van véges határérték tehát az f függvény differenciálható ebben a pontban 2 példa: Határozzuk meg az f(x) = x2 + 3x függvény differenciálhányadosát x=1 helyen a differenciahányados határértékeként! Megoldás: Tehát f (1) = 5 3 példa: Definíció alapján vezessük le az f(x) = x3 függvény derivált függvényét x R! Megoldás: Legyen x0 R tetszés szerinti Vizsgáljuk a differenciahányados-függvény határértékét az x0 helyen: Az x0 pontot tetszőlegesen választottuk ezért az f függvény bármely x R pontban differenciálható és f (x) = 3x2 4 példa: Differenciálható-e az alábbi függvény az x0 = 2 pontban? Megoldás: Megvizsgáljuk a függvény jobb és bal oldali differenciálhatóságát az x0 = 2 pontban: MAT3-2 Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010

7 Csabina Zoltánné MATDeriváltak differenciálszámítás függvények és görbék vizsgálatára Magasabb rendű deriváltak alkalmazása a hibaszámításban Tehát az f függvény az x0 = 2 pontban nem differenciálható 1 ábra A függvénynek az x0 = 2 pontban töréspontja van FELADATOK: 1) Határozzuk meg az f(x) = x2 + x függvény differenciálhányadosát x=2 helyen a differenciahányados határértékeként! 2) Tekintsük az f(x)= x2-5 függvény görbéjének az A(34) pontját Mivel egyenlő az A pontban húzott érintő iránytangense? 3) Közvetlenül a definíció alapján vezessük le az függvény derivált függvényét! 4) Differenciálható-e az alábbi függvény a [0;5] intervallumon? 5) Differenciálható-e az alábbi függvény az x= 0 helyen? 6) Differenciálható-e az alábbi függvény az x= 1 helyen? 7) Legyen f(x)= 8) Számítsuk ki az létezik) 9) Az Differenciálható-e az f függvény az x=0 helyen? függvény differenciálhányadosának értékét az helyen (ha függvény differenciálható-e az x=-3 az x=0 és az x=1 helyen? Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010 MAT3-3

8 Matematika példatár Differenciálási szabályok Az összetett függvény deriválási szabályát szokás lánc-szabálynak is nevezni Elemi függvények deriváltjai: Logaritmikus deriválás: MAT3-4 Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010

9 Csabina Zoltánné MATDeriváltak differenciálszámítás függvények és görbék vizsgálatára Magasabb rendű deriváltak alkalmazása a hibaszámításban ez egy olyan függvény amelynek az alapja és a kitevője is függvény Vegyük mindkét oldal logaritmusát majd deriváljuk mindkét oldalt 5 példa: Határozzuk meg az alábbi függvények deriváltjait! A függvények értelmezési tartományának és deriváltjaik értelmezési tartományának vizsgálatát önállóan végezze el! 1 1 f(x) = (lnx2) tg x 1 A fenti hozzárendelési törvénnyel adott függvény háromszorosan összetett h(x) = 2x g(h(x)) = sin(h(x))= sin2x f (g(h(x))) = Az összetett függvény deriválási szabályát felhasználva: z (x) = (esin2x) = esin2x (cos2x) 2 Ez a részletezés a feladatok során általában nem szükséges hiszen a konkrét függvény alapján látható a függvény összetétele s így a szabály közvetlenül alkalmazható 1 Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010 MAT3-5

10 Matematika példatár Logaritmikus deriválás: 8) Logaritmikus deriválás: 9) Implicit függvény deriválása: 10) MAT3-6 Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010

11 Csabina Zoltánné MATDeriváltak differenciálszámítás függvények és görbék vizsgálatára Magasabb rendű deriváltak alkalmazása a hibaszámításban Implicit függvény deriválása: Feladatok: Deriváljuk a következő függvényeket! Néhány példában gondolja meg mely valós x-re értelmezhetők illetve differenciálhatók a függvények! 1 11) 2 13) 3 15) 4 17) 5 19) 6 21) 7 23) 8 25) 9 27) 10 29) 11 31) 12 33) Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010 MAT3-7

12 Matematika példatár ) 14 37) 323 A differenciálhányados geometriai alkalmazása érintőszámítás szögfeladat normális Az érintő egyenlete: A P0 (x0; f(x0)) ponton átmenő m meredekségű (iránytangensű) egyenes egyenlete: y= m(x x0) + f(x0) a P0-ban az f függvényhez húzott érintő egyenlete: m = tgα = f (x0) y= f (x0)(x x0) + f(x0) A görbe normálisa merőleges az érintési pontban az érintőre A normális egyenlete: y= (x x0) + f(x0) m = tg = Az f (x0) 0 mert különben a képlet nem alkalmazható 2 ábra Definíció: A P pontban két egymást metsző síkgörbe hajlásszöge a két görbéhez a metszéspontban húzott érintők által bezárt derékszögnél nem nagyobb szög 3 ábra MAT3-8 Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010

13 Csabina Zoltánné MATDeriváltak differenciálszámítás függvények és görbék vizsgálatára Magasabb rendű deriváltak alkalmazása a hibaszámításban 0 ω ha f (x0)g (x0) 1 Abban az esetben ha f (x0)g (x0) = 1 akkor ω = 6példa: Határozzuk meg az f(x) = ex + 2 függvény görbéjének érintőjét és normálisát az x0 = 0 abszcisszájú pontjában Megoldás: amiből az érintő iránytangense: f (x0) = e0 = 1 Az érintési pont: E (0;3) A derivált függvény: A normális iránytangense: Az érintő egyenlete: = 1 y = 1(x 0) + 3 A normális egyenlete: y = 1(x 0) + 3 vagyis vagyis y=x+3 y = x ábra 7példa: Határozzuk meg az xy = 1 és az y = x2 görbék hajlásszögét Megoldás: Először meg kell adnunk a két síkgörbe metszéspontját A metszéspont M(1;1) 5 ábra Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010 MAT3-9

14 Matematika példatár és g(x) = x2 deriváltjaik: és g (x) = 2x f (x0) = f (1) = 1 és g (x0) = g (1) = 2 ebből α = példa: Határozzuk meg grafikusan az fokos szögben metszik egymást és y = ln x + 1 görbék metszéspontját majd számítsuk ki hány Megoldás: A két síkgörbe metszéspontja: M(1;1) 6 ábra és f (x0) = f (1) = 1 és g (x0) = g (1) = 1 Ekkor f (x0)g (x0) = 1 1 = 1 tehát ω = 90 Feladatok: 38)Keressük meg az függvény görbéjének érintőjét és normálisát az x0 = 45 helyen 39)Írjuk fel az parabola érintőjének az egyenletét az x tengellyel való metszéspontjaiban 40)A van 45 -os irányszögű érintője? egyenlettel adott függvény görbéjének milyen abszcisszájú pontjában 41)Mutassuk meg hogy az függvény görbéjének a koordinátatengelyekkel alkotott metszéspontjaiba húzott érintői párhuzamosak egymással 42)Adott az áthalad az origón? MAT3-10 x R függvény Milyen abszcisszájú pontban kell meghúzni azt az érintőt amelyik Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010

15 Csabina Zoltánné MATDeriváltak differenciálszámítás függvények és görbék vizsgálatára Magasabb rendű deriváltak alkalmazása a hibaszámításban 43)Adjuk meg az x+4y=3 egyenesre egyenlettel adott görbe azon érintőjének egyenletét amely merőleges az 44) Határozzuk meg a függvény azon pontjait amelyekhez húzott érintő párhuzamos az y=x+4 egyenessel 45) Mekkora az görbe érintőjének meredeksége az origóban és a P(21) pontban? 46)Keressük meg az amelyhez húzott érintő párhuzamos az x tengellyel függvénnyel megadott görbének azon pontjait 47) Határozzuk meg a és b paraméterek értékét úgy hogy az f függvény minden valós x-re differenciálható legyen 48) Hány fokos szögben metszi az y=x+6 egyenes az 49) Mekkora szög alatt metszi az y=-2x+5 egyenes az parabola felső ágát? -et a milyen értékénél metszi 45 -ban az x tengelyt? 50) Az 51)Milyen messze van az x=(2ln2)y-4ln2 egyenes az 52) Az görbétől? egyenes milyen messze van az től 324 Magasabbrendű deriváltak Taylor-polinom Taylor sor simulókör Definíció: Ha f differenciálható a H1 halmazon (H1 = Df ) és ennek f deriváltfüggvénye differenciálható a H2 H1 halmazon akkor az f deriváltfüggvényét amelyet f -vel jelölünk nevezzük az f függvény második deriváltjának (H2 = Df ) Hasonló módon jutunk el az f függvény n-edik deriváltjának fogalmához amit az f függvény n-edrendű deriváltjának is nevezzük Definíció: Ha az f függvény az x0 pontban n-szer differenciálható akkor képezhetjük a polinomot amelyet az f függvény x0-hoz tartozó n-edrendű Taylor polinomjának nevezünk Ha x0 = 0 akkor a Tn(x) függvényt az f n-edrendű Maclaurin-polinomjának nevezzük Definíció: Legyen az f függvény az értelmezési tartománya valamely x0 pontjában akárhányszor differenciálható Ekkor az Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010 MAT3-11

16 Matematika példatár hatványsort az f függvény x0-hoz tartozó Taylor-sorának nevezzük Definíció: Az y = f(x) függvény görbéjének simulóköre az x0 pontban az a kör amellyel a görbe legalább másodrendben érintkezik Ha az f(x) és g(x) függvények valamint differenciálhányadosaik értéke az n-edikig bezárólag az x0 helyen rendre megegyeznek azaz f(x0) = g(x0) f (x0) = g (x0) f (n)(x0) = g(n)(x0) f (n+1)(x0) g (n+1)(x0) akkor azt mondjuk hogy az f(x) és a g(x) görbék az x0 helyen n-edrendben érintkeznek Definíció: Egy görbe görbülete az x0 pontban az x0 pontbeli simulókör sugarának a reciproka: A simulókör sugarát a következő képlettel is kiszámíthatjuk: 9példa: Határozzuk meg az f(x) = ln x (x R+) függvény harmadik deriváltjának az x0 = 1 helyen vett helyettesítési értékét Megoldás: A deriváltak: f (1) = 2 10példa: Határozzuk meg az f(x) = sin x függvény 28-adik deriváltját Megoldás: f (x) = cos x f (x) = sin x f (x) = cos x f (4) (x)= sin x f (5) (x)= cos x Látható hogy a deriváltak n = 4-es periódussal ismétlődnek: Ezért f (28) (x) = sin x x R 11 példa: Írjuk fel az f(x) = ln x függvény x0 = 1 ponthoz tartozó n-endrendű Taylor-polinomját ahol 0 x 2 f(x) = ln x f(1) = ln 1 = 0 f (1) = 1 MAT3-12 Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010

17 Csabina Zoltánné MATDeriváltak differenciálszámítás függvények és görbék vizsgálatára Magasabb rendű deriváltak alkalmazása a hibaszámításban f (1) = 1 f (1) = 2 = 2! f 4(1) = 6 = 3! f 5 = 24 = 4! ΜΜ f(n)(1) = ( 1)n+1 (n 1)! 12 példa: Határozzuk meg és e helyen a parabola görbületét! parabola x0 = 2 helyhez tartozó simulókörének egyenletét (g(x)) Megoldás: 7 ábra = f(x) f(2) = 1 = g(2) = f (x) f (2) = 1 = g (2) Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010 MAT3-13

18 Matematika példatár 3 = f (x) 2010 f (2) = = g (2) Felírjuk a keresett simulókör egyenletét implicit alakban kétszer deriváljuk majd behelyettesítjük a konkrét értékeket Az u v és r-re így kapott egyenletrendszert megoldjuk: (2 + 2)2 + ( 1 + 5)2 = r2 ahonnan r = 4 Ez azt jelenti hogy a vizsgált egyenletű parabola a P(2;-1) pontjában olyan mértékben görbült mint egy 4 56 egység sugarú kör vonala (A kör görbültsége minden pontjában azonos a parabola görbültsége pontonként változik) A simulókör egyenlete: (x + 2)2 + (y + 5)2 = 32 A parabola görbülete az x0 = 2 helyen: FELADATOK: 53) Határozzuk meg az f(x) = 4x3 2x2 + 5x + 6 függvény összes f (n)(x) deriváltját! 54) Határozzuk meg az deriváltját! függvény deriváltját majd az függvény 15-dik 55)Képezzük a megadott függvények második és harmadik derivált függvényét: a)f(x)=xarctg(x) b) i d)f(x)=tgx 56) Az függvény minden pozitív egész n értékre adjuk meg az f (n)(x) függvényt 57) Írjuk fel a polinomot (x+1) hatványai szerint! 58) Írjuk fel az f(x)=cosx függvény 59) Írjuk fel az MAT3-14 függvény pontjához tartozó negyedfokú Taylor- polinomját! pontjához tartozó harmadfokú Taylor- polinomját! Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010

19 Csabina Zoltánné MATDeriváltak differenciálszámítás függvények és görbék vizsgálatára Magasabb rendű deriváltak alkalmazása a hibaszámításban 60) Írjuk fel az alábbi függvények harmadfokú MacLaurin- polinomját! a) b) c) f(x)=tgx 61) Határozzuk meg az f(x)=ln(1-x) MacLaurin-sorát! 62) Negyedrendű Taylor polinom felhasználásával adjuk meg ln15 közelítő értékét 63) Az görbületét függvénynek az y tengellyel való metszéspontjában írjuk fel a simulókörének egyenletét és 64) Mekkora az y=sinx görbülete az egyenletét! 65) Mekkora az rének egyenletét! pontban? Adjuk meg a görbe E pontjához tartozó simulókörének görbülete az pontban? Adjuk meg a görbe E pontjához tartozó simulókö- 66) Adjuk meg a következő függvények görbületét az a pontban! b) 67)Írjuk fel az függvény E(33) pontjában simulókörének egyenletét és görbületét! 325 L Hospital-szabály Vannak olyan határértékszámítási problémák amelyek megoldása az eddig ismert módszerekkel nem lehetséges vagy ha igen akkor csak nagyon körülményesen Ilyenek például a és a típusú határértékek valamint az ezekre visszavezethetők Az ilyen jellegű határértékek meghatározására való határértékszámítási szabályokat L Hospital-szabályoknak szokás nevezni A véges helyen vett és típusú Tétel: Ha f és g rendelkezik a következő tulajdonságokkal: 1) vagy 2) f és g x0 környezetében differenciálható (esetleg féloldali) 3) x0 környezetében és 4) létezik a Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010 MAT3-15

20 Matematika példatár 3 akkor a 2010 határérték is létezik és 13 példa: Számítsuk ki a következő határértékeket! A tétel feltételeinek vizsgálatát az olvasóra bízzuk Tétel: Ha f és g rendelkezik a következő tulajdonságokkal: 1) vagy 2) f és g függvény az (a; ) intervallumon differenciálható 3) g (x) 0 ezen az intervallumon és 4) létezik a akkor a határérték is létezik és 14 példa: Számítsuk ki a következő határértékeket: Megemlítjük még a típusú határértékeket E határértékek kiszámítását a alakra vezetjük vissza és ezekre alkalmazzuk a L Hospital szabályt vagy a 15 példa: ( ) típus MAT3-16 Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010

21 Csabina Zoltánné MATDeriváltak differenciálszámítás függvények és görbék vizsgálatára Magasabb rendű deriváltak alkalmazása a hibaszámításban Megoldás: Közös nevezőre mivel ez újból hozva a helyettesítési érték lesz alkalmazható a L Hospital szabály: alakú újra alkalmazzuk a L Hospital-szabályt: tehát 16 példa: ( 0) típus Megoldás: A kifejezést törtté alakítjuk így alkalmazható a L Hospital szabály: FELADATOK: A következő határértékek kiszámításához használjuk a L Hospital-szabályt 1 69) 2 71) 3 73) Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010 MAT3-17

22 Matematika példatár ) 5 77) 6 79) 7 81) 326 Függvényvizsgálat szélsőérték-számítás Tétel: Legyen az f függvény az [a;b] intervallumon folytonos és az (a;b) nyílt intervallumon differenciálható Az f függvény ezen az intervallumon akkor és csak akkor monoton növekedő ill fogyó ha f (x) 0 illetve f (x) 0 teljesül minden x (a;b)-re Tétel: Ha az f függvény az x0 hely valamely környezetében differenciálható f (x0) = 0 és az f deriváltfüggvény az x0 pontban előjelet vált akkor f-nek az x0 pontban van lokális szélsőértéke a Ha f az x0 pontban negatív értékből pozitív értékbe megy át akkor f-nek az x0 pontban lokális minimuma van b Ha f az x0 pontban pozitív értékből negatív értékbe megy át akkor f-nek az x0 pontban lokális maximuma van Annak megállapítására hogy egy függvénynek létezik-e szélsőértéke és ha létezik milyen néha célszerű magasabbrendű deriváltakat is felhasználni Tétel: Ha az f függvény az x0 pontban kétszer differenciálható továbbá f (x0) = 0 és f (x0) 0 akkor a függvénynek az x0 helyen lokális maximuma van Ha pedig f (x0) = 0 és f (x0) 0 akkor a függvénynek az x0 pontban lokális minimuma van 17 példa: Határozzuk meg az f(x) = x4 2x2 + 2 függvény monotonitási szakaszait és lokális szélsőértékeit Megoldás: f (x) = 4x3 4x = 4x(x2 1) f (x) = 0 ha 4x3 4x = 0 4x(x2 1) = 0 ha x = 1; 0; 1 Az f zérushelyei négy részintervallumra bontják az f értelmezési tartományát 8 ábra MAT3-18 Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010

23 Csabina Zoltánné MATDeriváltak differenciálszámítás függvények és görbék vizsgálatára Magasabb rendű deriváltak alkalmazása a hibaszámításban Táblázatunk már tartalmazza az f függvényre vonatkozó következtetéseinket is Ahol az első derivált pozitív ( 1 x 0 és x 1) ott a függvény szigorúan monoton növekedő ahol a derivált negatív (x 1 és 0 x 1) ott a függvény szigorúan monoton csökkenő 9 ábra 18 példa: Határozzuk meg az függvény lokális szélsőértékeit! Megoldás: Mivel a függvény minden x R differenciálható ezért lokális szélsőértéke ott lehet ahol az első derivált zérus: f (x) = 0 ha x = 1 1 A szélsőérték létezéséhez elengedő ha az első derivált zérushelyein az f függvény értéke nem nulla Ez esetben: f ( 1) = 3 0 f (1) = 3 0 Ez azt jelenti hogy a függvénynek az x = 1 helyen lokális minimuma van amelynek értéke f( 1) = 3 és az x = 1 helyen lokális maximuma van amelynek értéke f(1) = 3 Tétel: Ha az f függvény az [a;b] intervallumon kétszer differenciálható akkor ahhoz hogy itt konvex (illetve konkáv) legyen szükséges és elégséges hogy f (x) 0 (illetve f (x) 0) legyen az egész [a;b] intervallumon Tétel: Ha f függvény az x0 hely valamely környezetében kétszer differenciálható és f (x0) = 0 valamint az f függvény az x0 helyen előjelet vált akkor f-nek az x0 helyen inflexiós pontja van Tétel: Ha f az x0 helyen háromszor differenciálható valamint f (x0) = 0 és f (x0) 0 akkor f-nek az x0-ban inflexiós pontja van 19 példa: Határozzuk meg az függvény inflexiós pontjait! Megkeressük a második derivált zérushelyeit és megvizsgáljuk az f függvény előjelét: f (x) = x2 2x 3 és f (x) = 2x 2 Az f (x) = 0 egyenlet megoldása: x = 1 A második derivált előjelváltásait foglaljuk táblázatba: Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010 MAT3-19

24 Matematika példatár ábra Ahol f pozitív (x 1) ott konvex ahol f negatív (x 1) ott konkáv az f függvény Az x = 1 helyen f előjelet váltva 0 ezért az inflexiós pont (f (x) = 2 így f (1) = 2 0 tehát az x = 1 pontban van inflexiós pont) A gyakorlati feladatok egy része az úgynevezett szélsőérték-feladat amikor is csak a szélsőértékek meghatározása a cél Az ilyen feladatok kitűzésekor általában nem kapjuk meg a vizsgálandó függvényt azt a feladatban megfogalmazott feltételek alapján kell előállítani 20 példa: Adott egy felül nyitott négyzet alapú hasáb amelynek a térfogata 32 m3 Hogyan kell megválasztani a hasáb adatait hogy a felszín minimális legyen? Megoldás: 1 Ha az alapél a és a magasság m akkor a felszín: A = a2 + 4am 2 A következő lépésben egyváltozóssá tesszük a felszín függvényét a térfogat segítségével V = 32 m3 V = a2m = 32 A = a2 + 4a m= Df : a 0 1 A felszínnek ott lehet szélső értéke ahol A (a) = 0 Az a szerint differenciálva: ha a = 4 1 ez pedig azt jelenti hogy V-nek az a = 4 értékre minimuma van 1 A minimális felszínű négyzet alapú hasáb adatai: a=4 és A minimális felszín: Amin = = 48 m2 m= FELADATOK: 82) Vizsgáljuk meg a következő függvényeket szélsőérték szempontjából (helye nagysága minősége) Határozza meg azokat az intervallumokat is amelyeken a függvény monoton! a b) MAT3-20 Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010

25 Csabina Zoltánné MATDeriváltak differenciálszámítás függvények és görbék vizsgálatára Magasabb rendű deriváltak alkalmazása a hibaszámításban 83) Határozza meg az az függvény szélsőértékét! Határozza meg pontba húzható érintő egyenletét! 84) Határozza meg a következő függvények szélsőértékét Írja fel a függvénygörbékhez az húzható érintők egyenletét! pontban a b) 85) Vizsgáljuk meg a következő függvényeknél hogy a függvény görbéje mely intervallumban konvex illetve konkáv Határozza meg a függvény inflexiós pontját és írja fel az inflexiós pontbeli érintő egyenletét! a b) i d) 86) Határozza meg a következő függvények szélsőértékét/szélsőértékeit és inflexiós pontját/pontjait! a b) 87) A intervallumon hol konvex ill konkáv a következő függvény? 88)Végezzünk teljes függvényvizsgálatot és ábrázoljuk a függvényt! a b) 89) Húsz méter hosszú drótszövetünk van Hogyan válasszuk meg a téglalap alakú kert adatait ha maximális területet akarunk körülhatárolni és az egyik oldalon már van kerítés? 90) 60cm-es vashuzalból téglatestet alakítunk ki Hogyan kell megválasztani az éleit (alapja a 2a oldalú téglalap) hogy a térfogat maximális legyen? 91) Az egyenes és a koordináta tengelyek által meghatározott háromszögbe téglalapot írunk úgy hogy az egyik csúcs az adott egyenesen 2-2 csúcsa pedig az x ill y tengelyen van Hogyan kell megválasztani a csúcsok koordinátáit ha maximális területű téglalapot szeretnénk? 92) Egy felül nyitott henger alakú edény térfogata 500 magasságát hogy a felszín minimális legyen? Hogyan kell megválasztani a henger sugarát és 93) Bontsuk fel a 22-t két pozitív részre úgy hogy az egyik résznek a negyedik hatványa és a másik rész hetedik hatványának szorzata maximális legyen! Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010 MAT3-21

26 Matematika példatár ) Határozzuk meg az R sugarú gömbbe írható legnagyobb térfogatú kúp sugarát magasságát és térfogatát! 95) Adott egy oldalú négyzet alakú lemez mely minden sarkából kivágunk egy-egy kis négyzetet majd a maradék oldalrészeket felhajtva egy dobozt kapunk Mekkora legyen a levágott kis négyzetek oldala hogy a doboz térfogata maximális legyen? Mekkorák a maximális térfogatú doboz élei és mekkora a maximális térfogat? 96) Egy henger alakú üveg alján olyan félgömböt helyezünk el amelynek sugara megegyezik a henger sugarával Az így kapott test térfogata üveg a legkevesebb felülettel rendelkezzen? Mekkora legyen a henger sugara és a magassága hogy az 97) Egy termék árbevételi függvénye Milyen termékszám esetén lesz maximális az árbevétel? ahol x az előállított termék darabszámát jelöli 327 Többváltozós függvények differenciálása hibaszámítás Definíció: Legyen z = f(xy) egy kétváltozós függvény amely értelmezve van a P0(x0;y0) pont vala- mely környezetében A határértéket az f(xy) függvény x szerinti parciális differenciálhányadosának vagy parciális deriváltjának nevezzük a P0(x0;y0) pontban Az x szerinti parciális derivált jelölése: Az x indexszel azt emeljük ki hogy a differenciálást az x változó szerint hajtjuk végre állandó y mellett Hasonlóan definiálható az f függvény y szerinti parciális deriváltja Egy kétváltozós függvény mindkét parciális differenciálhányadosa egyváltozós függvény differenciálhányadosa Ebből következik hogy a parciális differenciálhányadosok kiszámítására mindazon differenciálási szabályok alkalmazhatók amelyeket az egyváltozós függvények differenciálásával kapcsolatban megtanultunk A parciális differenciálhányadosok értelmezéséből nyilvánvaló azok geometriai jelentése: a z = f(xy) felület és az y = y0 sík metszésvonala (x0;y0;f(x0y0)) pontjához húzott érintőjének az iránytangense az x tengelyre vonatkozóan Hasonlóan: az a z = f(x y) felület és az x = x0 sík metszésvonala (x0;y0;f(x0y0)) pontjához húzott érintőjének az iránytangense az y tengelyre vonatkozóan MAT3-22 Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010

27 Csabina Zoltánné MATDeriváltak differenciálszámítás függvények és görbék vizsgálatára Magasabb rendű deriváltak alkalmazása a hibaszámításban 11 ábra Tegyük fel hogy a z = f(x y) függvény parciális differenciálhányadosai léteznek az xy sík bizonyos tartományában Ezen függvények parciális differenciálhányadosait (amennyiben azok léteznek) az f(xy) függvény másodrendű parciális differenciálhányadosainak nevezzük: Az és differenciálhányadosokat vegyes másodrendű differenciálhányadosoknak nevezzük Tétel: Ha a z = f(xy) függvény második vegyes parciális differenciálhányadosai egy (x0y0) pontban folytonosak akkor e pontban egyenlők is egymással: Definíció: A z = f(xy) függvény teljes differenciálja a P0(x0;y0) pontban: A teljes differenciált a hibaszámításban használják Abszolút hiba: Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010 MAT3-23

28 Matematika példatár Relatív hiba: vagy 34 példa: Határozzuk meg a következő függvények parciális deriváltjait! a) f(xy)= 3x2y + xy2 b) c) Megoldás: a) (y-t konstansnak vesszük) (x-et konstansnak vesszük) b) c) 35feladat: Számítsuk ki a következő függvények másodrendű parciális deriváltjait: a) b) Megoldás: a) b) MAT3-24 Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010

29 Csabina Zoltánné MATDeriváltak differenciálszámítás függvények és görbék vizsgálatára Magasabb rendű deriváltak alkalmazása a hibaszámításban 36 feladat: Egy derékszögű háromszög befogóit adatokat használva mekkora abszolút hibával számítható a háromszög átfogója? -nek mértük A fenti Megoldás: a0=5 b0=12 37 feladat: Egy háromszög alakú telek két oldala a mérési hibával a köztük lévő szög pítsuk meg a hibakorlátokat! és Számítsuk ki a háromszög területét és álla- Megoldás: a0=8356 b0=5225 relatív hiba: Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010 MAT3-25

30 Matematika példatár abszolút hiba: Tehát a terület: FELADATOK: 98) Határozza meg az alábbi kétváltozós függvények elsőrendű parciális deriváltjait! 1 2) 3/ 4/ 1 6) 2 8) 3 10) 4 12) 5 14) 6 16) 7 18) 8 20) 9 22) 99) Tekintse az legegyszerűbb alakban! 100)Adott az kétváltozós függvényt Határozza meg az kétváltozós függvény ahol összeget a állandók Határozza meg a hányadost a legegyszerűbb alakban! MAT3-26 Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010

31 Csabina Zoltánné MATDeriváltak differenciálszámítás függvények és görbék vizsgálatára Magasabb rendű deriváltak alkalmazása a hibaszámításban 101) Bizonyítsuk be hogy 102) Igazoljuk hogy a ha függvény eleget tesz az 103) Mekkora a értéke ha az differenciálegyenletnek? differenciálegyenletnek függvény megoldása a 104) Megmérve egy henger m magasságát és alapkörének r sugarát a következő eredmények adódnak: r=25m ± 001m; m=40m ± 02m Becsüljük meg a henger térfogatának kiszámításakor fellépő abszolút és relatív hibát! 105) Egy négyzet oldalának hosszát megmértük és területét abból számítottuk A számított terület : a=351m Milyen pontossággal mértük meg a négyzet oldalát? 106) Megmérve egy egyenes körkúp m magasságát és alapkörének r sugarát a következő eredmények adódnak: r=100cm ± 01cm; m=20cm ± 005cm Becsüljük meg az egyenes körkúp térfogatának kiszámításakor fellépő abszolút és relatív hibát! 107) Egy négyzet alapú egyenes hasáb magasságát méternek alapélét csülje meg hogy mekkora abszolút és relatív hibával számolható a térfogat! méternek mérték Be- 108) Egy háromszög két szöge és az egyik oldala pedig b=4132m ± 001m Mekkora a háromszög a oldala? Határozzuk meg az a oldal abszolút és relatív hibáját! 109) Egy háromszög két oldala a=200m ± 2m és b=300m ± 5m a köztük levő szög pedig Mekkora a háromszög harmadik c oldala és mekkora abszolút és relatív hibával számítható ki a háromszög ezen oldala? 110)Egy optikai lencse fókusztávolsága f=30cm ± 015cm tárgytávolsága t=35cm ± 02cm Milyen határok között ingadozik a képlettel számított k értéke? 111) Egy golyó sugara r=2cm ± 0001cm tömege m=14g ± 002g Mekkora a sűrűség és annak abszolút és relatív hibája? 112) Adott egy P pont polárkoordinátáival P(tα): t=21564m ± 006m és ki a P pont Descartes-féle koordinátáit (P(xy)) és ezek abszolút és relatív hibáit! Számítsuk 113) Milyen pontossággal számítjuk ki a gravitációs gyorsulás értékét ha méréskor az időt 8% relatív hibával mértük és s=2m-t Δs=05cm abszolút hibával tudtuk mérni 33 Megoldások 1 Tehát f (2) = 5 2 Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010 MAT3-27

32 Matematika példatár Tehát x 3 4 Az x0 = 4 pontban kell vizsgálni a differenciálhatóságot tehát az f függvény az x0 = 4 pontban nem differenciálható és így a [0;5] intervallumon sem Ugyanis egy f függvény akkor differenciálható egy [a; b] zárt intervallumon ha minden belső pontban továbbá a-ban jobbról és b-ben balról differenciálható 5 A 0 helyen nem differenciálható mivel a különbségi hányados-függvény féloldali határértékei közül csak az egyik véges 6 A függvény differenciálható az x=1 helyen 12 ábra 7 MAT3-28 Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010

33 Csabina Zoltánné Mivel MATDeriváltak differenciálszámítás függvények és görbék vizsgálatára Magasabb rendű deriváltak alkalmazása a hibaszámításban ezért differenciálható az x=0 helyen és 8 Az f függvény így is megadható: 9 13 ábra Mivel x=0 helyen és ezért x=-3 x=1 helyeken nem differenciálható a függvény Míg ezért itt differenciálható Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010 MAT3-29

34 Matematika példatár MAT Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010

35 Csabina Zoltánné MATDeriváltak differenciálszámítás függvények és görbék vizsgálatára Magasabb rendű deriváltak alkalmazása a hibaszámításban az érintő egyenlete: y = (x 45) + 3 = x + 15 A normális egyenlete: y = 3(x 45) + 3 = 3x Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010 MAT3-31

36 Matematika példatár ábra 39 A metszéspontok : Az érintők egyenlete: -re illeszkedő y=-x+3; Metszéspontok: A(40)B(02) -re illeszkedő y=x-4 tehát párhuzamos 42Origón áthaladó érintő: 43 Érintési pont: E(38) érintő egyenlete: y=4x Az origóban m=1 a P(21)-ben pedig m=0 46 vagy ha és 47 x 3 és x 3 nál a függvény differenciálható x=3 akkor differenciálható ha az y=ax+b egyenes az függvénynek az x=3 ponthoz húzott érintője tehát E(39) illeszkedik az egyenesre b=-9 Az érintő egyen- lete: y=6x-9 48 Metszéspont: használható MAT3-32 A képlet nem Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010

37 Csabina Zoltánné MATDeriváltak differenciálszámítás függvények és görbék vizsgálatára Magasabb rendű deriváltak alkalmazása a hibaszámításban 15 ábra a=e y=lnx 51 E(21) 16 ábra 52 e f Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010 E(9-24) d=2 MAT3-33

38 Matematika példatár ábra 53 f (x) = 12x2 4x + 5 f (x) = 24x 4 f (x) = 24 f (4) = 0 és innen adódik hogy f (n)(x) = 0 ha n 4 54 f (x) = 2x ln2 f (x) = 2x ln2 2 f (15) (x)= 2x ln152 x R Az n-edik deriváltra vonatkozó képlet is könnyen megadható: f (n) (x) = 2x lnn2 55 a) b) c) d) 56 MAT3-34 Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010

39 Csabina Zoltánné MATDeriváltak differenciálszámítás függvények és görbék vizsgálatára Magasabb rendű deriváltak alkalmazása a hibaszámításban 57Meg kell határoznunk az f függvény -hez tartozó Taylor-polinomját a) b) c) 61 Eszerint n 1 esetén A MacLaurin-sor pedig: 62 Az ln(1+x) függvény Taylor sorát használjuk fel ln15 = ln(1+05) Tehát x=05 értéket helyettesítünk az alábbi MacLaurin-polinomba vagyis 63 Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010 MAT3-35

40 Matematika példatár ábra C(-23) a) simulókör: b) 67 MAT3-36 Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010

41 Csabina Zoltánné MATDeriváltak differenciálszámítás függvények és görbék vizsgálatára Magasabb rendű deriváltak alkalmazása a hibaszámításban C(-78) simulókör: IIMegoldás: alakkal állunk szemben Algebrai átalakítással alakra hozhatjuk és alkalmazhatjuk a szabályt: Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010 MAT3-37

42 Matematika példatár (Vegyük észre: nem használtuk a L Hospital szabályt!) ezért legyen 82 a) 19 ábra b) 83 MAT3-38 a szélsőérték max ha Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010

43 Csabina Zoltánné MATDeriváltak differenciálszámítás függvények és görbék vizsgálatára Magasabb rendű deriváltak alkalmazása a hibaszámításban 20 ábra A keresett érintő egyenlete : 84a) 21 ábra b) az érintő egyenlete: 22 ábra Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010 MAT3-39

44 Matematika példatár Az érintő egyenlete: 85a) 23 ábra Az inflexiós érintő egyenlete: b) 24 ábra c) az inflexiós érintő egyenlete: vel ha vagyis mi- 25 ábra MAT3-40 Az inflexiós érintő egyenlete: Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010

45 Csabina Zoltánné MATDeriváltak differenciálszámítás függvények és görbék vizsgálatára Magasabb rendű deriváltak alkalmazása a hibaszámításban d) Az hely környezetében az előző feladatot) előjelet vált tehát itt a függvénynek inflexiós pontja van (Lásd az Az inflexiós érintő egyenlet : 86a) Szélsőérték: Inflexiós pont: tehát van szélsőérték és ez helyi maximum nincs ilyen valós szám a függvénynek nincs inflexiós pontja b) 26 ábra 27 ábra Inflexiós pontok: Figyeljük meg a táblázatokon a függvény páratlan tulajdonságát! Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010 MAT3-41

46 Matematika példatár ábra 88a) Df : R \{ 1;1} Zérushelye: ha x = 0 A függvény páratlan mert x R Határértékei a végtelenben: és mivel páratlan: A szakadási helyekhez tartozó jobb és baloldali határértékek: x = 1 az y tengellyel párhuzamos aszimptota x=1 az y tengellyel párhuzamos aszimptota Ferde (ált helyzetű) aszimptota egyenlete: y = ax + b MAT3-42 Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010

47 Csabina Zoltánné MATDeriváltak differenciálszámítás függvények és görbék vizsgálatára Magasabb rendű deriváltak alkalmazása a hibaszámításban tehát az egyenlet: y = x A függvény monotonitási szakaszai szélsőértékei: f (x) = 0 (x2 1)2 = 1 + x2 x4 2x2 + 1 = 1 + x2 x2(x2 3) = 0 ; f(0) = 0 ; 29 ábra 30 ábra A függvény konvex illetve konkáv szakaszai inflexiós pont itt a függvénynek maximuma van a függvénynek minimuma van 31 ábra Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010 MAT3-43

48 Matematika példatár Az inflexiós pontban az érintő az x tengellyel párhuzamos A görbe vázlata: 32 ábra A függvény értékkészlete: R b) R \{7} zérushely:x=0 pólushely: x=7 Szélsőérték: ha x=-7 33 ábra ha x=-14 f(x) konvex x-14 x -7 f(x) konkáv x-14 Inflexiós pont:x=-14-nél A függvény értékkészlete: MAT3-44 Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010

49 Csabina Zoltánné MATDeriváltak differenciálszámítás függvények és görbék vizsgálatára Magasabb rendű deriváltak alkalmazása a hibaszámításban 34 ábra 89 T(ab)=a b milyen ab-re maximális k=20=2a+b b=20-2a ha 0 a 10 tehát az a=5 lok maximum b=10 90 maximumát keressük a feltétel mellettk=60=12a+4b értelmezési tartománya 0 a 5 lok maximum b= ábra T(xy)=x y maximumát keressük ha A feltételből y=6-06x 0 x 10 tehát maximuma van y=3 A(5;3) B(0;3) C(0;0) D(5;0) Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010 MAT3-45

50 Matematika példatár minimumát keressük ha térfogata A feltételt kihasználva: tehát minimuma van 93 0R maximumát keressük ha 0 x ábra 0 x R (R0 adott) Az értelmezési tartományon az első derivált csak akkor nulla ha R 3x = 0 azaz x = MAT3-46 Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010

51 Csabina Zoltánné MATDeriváltak differenciálszámítás függvények és görbék vizsgálatára Magasabb rendű deriváltak alkalmazása a hibaszámításban A térfogat az helyen maximális A sugár: A kúp magassága: A maximális térfogat: Tehát a kúp maximális térfogata a gömb térfogatának -ede 95 Jelöljük a levágott négyzet oldalát x-szel Ekkor a keletkezett doboz térfogata: Nyilván csak x=2 eleme az értelmezési tartománynak ezért az x=2 helyen a térfogatfüggvénynek maximuma van A doboz oldalai 88 és 2 cm hosszúak a térfogata pedig Legyen m a henger magassága rpedig a sugara Ezen két test együttes térfogata: minimális legyen tehát a függvénynek minimuma van az r=3-ban m=3 Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010 MAT3-47

52 Matematika példatár és vagyis ha vagyis 37 ábra a maximális árbevétel 98 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) MAT3-48 Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010

53 Csabina Zoltánné MATDeriváltak differenciálszámítás függvények és görbék vizsgálatára Magasabb rendű deriváltak alkalmazása a hibaszámításban 10) 11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18) 19) 20) Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010 MAT3-49

54 Matematika példatár Tehát a=351m ± 0213m MAT3-50 c=264575m Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010

55 Csabina Zoltánné MATDeriváltak differenciálszámítás függvények és görbék vizsgálatára Magasabb rendű deriváltak alkalmazása a hibaszámításban A határ ami között ingadozik: [19545cm ; 22455cm] Azaz a g relatív hibája 1625% Irodalomjegyzék Csabina Z-né: Matematika NymE Geoinformatikai Kar Jegyzetsokszorosító Részleg Székesfehérvár 2002 Banach S: Differenciál- és integrálszámítás Tankönyvkiadó Budapest 1975 Bay L Juhász A Szentelekiné Páles I: Matematikai analízis példatár Bárczy B: Differenciálszámítás Műszaki Könyvkiadó Budapest 1970 Csernyák L: Analízis Tankönyvkiadó Budapest 1992 Denkinger G: Analízis Tankönyvkiadó Budapest 1980 Denkinger G Gyurkó L: Matematikai analízis Feladatgyűjtemény Kovács J Takács G Takács M: Analízis Tankönyvkiadó Budapest 1986 Rejtő M Pach Zs Pálné Révész P: Matematika Mezőgazdasági Kiadó Budapest 1972 Szerényi Tibor: Analízis Tankönyvkiadó Budapest 1985 BPGyemidovics: Matematikai analízis feladatgyűjtemény Tankönyvkiadó Budapest 1974 Varga O- Merza J- Sebestyén L: Matematika és példatár I/2 Tankönyvkiadó Budapest 1966 Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010 MAT3-51

56 Matematika példatár Tóth A: Analízis feladatok ARÉV Nyomda Kft Székesfehérvár 2002 Csikós Pajor G: Matematikai analízis Műszaki Főiskola Szabadka 2000 MAT3-52 Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010